Теория аналитических функций. Начала теории

А.И.Маркушевич ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ТОМ I. НАЧАЛА ТЕОРИИ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию Из предисловия к первому изданию Глава первая Основные понятия § 1. Предмет теории § 2. Комплексные числа § 3. Множества и функции. Теория пределов. Непрерывные функции § 4. Связность множеств. Кривые и области § 5. Бесконечность. Стереографическая проекция и расширенная плоскость Глава вторая Дифференцируемость и ее геометрический смысл. Элементарные функции § 1. Производная. Условия Даламбера — Эйлера § 2. Геометрический смысл производной. Конформное отображение § 3. Многочлены. Показательная функция. Синус и косинус § 4. Рациональные функции. Дробно-линейная функция. Геометрия Лобачевского. Тригонометрические функции § 5. Элементарные многозначные функции Глава третья Интегралы и степенные ряды § 1 Спрямляемые кривые. Интегралы § 2. Интегральная теорема Коши § 3. Интеграл Коши. Формулы Ю. В. Сохоцкого § 4. Ряды функций и бесконечные произведения § 5. Степенные ряды. Связь с рядами Фурье. Разложение аналитической функции в степенной ряд § 6. Единственность. A-точки аналитической функции. Принцип максимума модуля. Особые точки элемента аналитической функции § 7. Приемы разложения функций в степенной ряд. Поведение' степенного ряда на границе круга сходимости Глава четвертая Различные ряды. Вычеты. Обратные и неявные функции § 1. Принцип компактности § 2. Ряд Лорана. Ряд Дирихле. Теорема Рунге § 3. Изолированные особые точки. Вычеты. Принцип аргумента § 4. Приложения теории вычетов к разложению функций в ряды. Интерполирование § 5. Обратные и неявные функции Литература

5 5 7 12 19 46 62

79 90 96 121 165 196 206 238 258 279 302 333

364 375 398 431 456 479

Предметный указатель

482

Предметный указатель Казорати теорема 405 Абеля вторая теорема 350 Витали теорема 371 — первая теорема 283 Внешняя точка 54 — преобразование 33 Внутренняя точка 54 Абсолютно сходящееся бесконечное Вторая теорема Абеля 350 произведение 275 Вычет 416 — сходящийся ряд 30 — логарифмический 424 Адамара — Коши неравенство 246 Гейне—Бореля лемма 61 — — теорема 279 Геометрический смысл производной — — формула 280 90 Алгебраическая точка разветвления Геометрия Лобачевского 146 171 Гиперболические функции 111 — — —, порядок 171 Главная часть ряда Лорана 408 Алгебры основная теорема 312 Главное значение аргумента 14 Аналитическая функция 7, 86, 299 — — интеграла 256 — —, полюс 402 — — корня 18 — —, существенно особая точка 402 — — логарифма 178 — —, элемент 319 Гладкая кривая 196 Ангармоническое отношение 136 Голоморфная функция 86 Аргумент, главное значение 14 Граница множества 54 — комплексного числа 14 Граничная точка 54 Аргумента принцип 425 Граничное значение 304 Арккосинус 189 Гурвица теорема 426 —, конформное отображение 192 Даламбера признак 31 Арктангенс 192 Даламбера—Эйлера уравнения 84 —, конформное отображение 193 Движение Лобачевского 147 A-точка 305 Двойное отношение 136 Аффикс 13 Двойной ряд 36 Бернулли лемниската 315 Действительная ось 13 — софизм 179 — часть 12 — числа 343 Деление степенных рядов 339 Бесконечное произведение 273 Дирихле ряд 382 Бесконечно-связная область 56 Дифференциал 80 Бесконечность 62 Дифференцируемая функция 79 Биномиальная формула 302 Длина кривой 196 Больцано—Вейерштрасса принцип Долгота 66 22 Дробно-линейная функция 93, 126 Бореля —Гейне лемма 61 — — —, конформное отображение Вейерштрасса теорема 265 96 — — подготовительная 472 Дробно-линейное отображение, Вейерштрасса—Больцано принцип круговое свойство 129 22 Единичное отображение 127 Вейерштрасса — Сохоцкого —

Жорданова кривая 47 Жуковского функция 155 — —, конформное отображение 158 Замкнутая кривая 47 — область 55 Замкнутое множество 42, 43 Замыкание множества 55 Звено ломаной 48 Зеркальное отражение 92, 140 Изолированная особая точка 400 Инверсия 140 Интеграл 200 —, главное значение 256 — Коши 239 — типа Коши 241 — — — несобственный 270 — Френеля 218 Интегральная теорема Коши 206, 228 — формула Коши 239 Интерполяционный многочлен 445 — — Лагранжа 449 — — Ньютона 450 — — Тейлора 448 — — Якоби 453 — ряд Ньютона 450 — — Якоби 454 Казорати — Сохоцкого — Вейерштрасса теорема 405 Кассини овал 315 Кеплера уравнение 467 Классический ряд Дирихле 382 Компактное множество 364 Комплексная плоскость 13 Комплексного переменного функция 20 Комплексное число 12 — —, аргумент 14 — —, модуль 14 — — несобственное 64 — — собственное 63 — — сопряженное 15 — —, тригонометрическая форма 14 Конечная плоскость 69 — точка кривой 47

Конечно-связная область 56 Континуум 48 Конформное отображение 74, 92 — — второго рода 92 Корень 17, 167 —, главное значение 18 Косеканс 161, 441 Косинус 109 —, конформное отображение 117 Котангенс 161, 438 Коши интеграл 239 — интегральная теорема 206, 228 — — формула 239 — критерий 25 — неравенство 245, 294 — признак 31 — теорема о разложимости в степенной ряд 297 Коши — Адамара неравенство 246 — — теорема 279 — — формула 280 Коши — Римана условия (уравнения) 84 Кратная Л-точка 305 ' — точка кривой 47 Кратный полюс 122, 403 Кривая гладкая 196 —, длина 196 — жорданова 47 — замкнутая 47 — кусочно-гладкая 197 — непрерывная 46 — неспрямляемая 196 — спрямляемая 196 —, уравнение 47 Критерий Коши 25 Круг сходимости 280 Круговое кольцо 377 — свойство дробно-линейного отображения 129 — — стереографической проекции 67 Кусочно-гладкая кривая 197

Лагранжа интерполяционный многочлен 449 — ряд 459 Лапласа преобразование 374 Лежандра многочлены 462 Лемниската 314 — Бернулли 315 Линейная функция 93 Лиувилля теорема 300 Лобачевского геометрия 146 — движение 147 — плоскость 146 — прямая 146 — точка 146 Логарифм 178, 188 —, главное значение 178 Логарифмическая точка разветвления 182 Логарифмический вычет 424 Локально-аналитическая функция 387 Ломаная 48 Лорана ряд 377 — —, главная часть 408 — —, правильная часть 409 — теорема 379 Лузина пример 361 Лузина — Привалова теорема 304 Максимума модуля принцип 309 Мероморфная функция 121 — — трансцендентная 161 Мнимая единица 13 — ось 13 — часть 12 Мнимое число 13 Многозначная функция 165 — —, однозначная ветвь 166 Многолистная функция 167 Многосвязная область 55 Многочлен 96 — интерполяционный 445 —, конформное отображение 97 — тригонометрический 162 Многочлены Лежандра 462

Множество, граница 54 — замкнутое 42, 43 —, замыкание 55 — компактное 364 — ограниченное 38 — открытое 52 —, предельная точка 37 — равномерно ограниченное 368 —, связная компонента 53 — связное 46 Модуль комплексного числа 14 Моногенная функция 79 Монтеля теорема 368, 398 Морера теорема 244 Муавра формула 17 Начальная точка кривой 47 Неопределенных коэффициентов метод 287 Непрерывная кривая 46 — функция 41, 72 Несобственное комплексное число 64 Несобственный интеграл типа Коши 270 Неспрямляемая кривая 196 Неявная функция 468, 476 Нормальное семейство аналитических функций 370 Нуль рациональной функции 122 Ньютона интерполяционный многочлен 450 —— — ряд 450 Область 52 — бесконечно-связная 56 — замкнутая 55 — конечно-связная 56 — многосвязная 55 — однолистности 167 — односвязная 55 Обобщенно-непрерывная функция 73 Обратная функция 456 Обратное отображение 127 Обратные тригонометрические функции 189 Обращение ряда 457

Общая показательная функция 186 — степенная функция 183 Общий ряд Дирихле 382 Обыкновенный ряд Дирихле 382 Овал Кассини 315 Ограниченная последовательность 22 Ограниченное множество 38 Однозначная ветвь многозначной функции 166 Однолистная функция 167 Однолистности область 167 Односвязная область 55 Окрестность 21, 68 Основная теорема алгебры 312 Основной период показательной функции 104 Особая точка 319 — — изолированная 400 Остаточный член 447, 448 Ось действительная 13 — — мнимая 13 Открытое множество 52 Отображение 127 — единичное 127 — конформное 74, 92 — обратное 127 — тождественное 127 Параллельности угол 153 Первая теорема Абеля 283 Пикара теорема (большая) 407 Плоскость комплексная 13 — конечная 69 — Лобалевского 146 — проективная 70 — расширенная 69 Подготовительная теорема Вейерштрасса 472 Подпоследовательность 21 Подстановка ряда в ряд 337 Показатель ряда Дирихле 382 Показательная функция 102, 186 — —, конформное отображение 107 Показательная функция, основной период 104

Полином 96 Полюс 122, 402 —, кратность 403 Порядок рациональной функции 123 — точки разветвления 171, 182 Последовательность 21 — ограниченная 22 — , предел 22 Правильная точка 319 — функция 86 — часть ряда Лорана 409 Предел последовательности 22 — функции 39 Предельная точка 21, 37 Преобразование Абеля 33 — Лапласа 374 Привалова — Лузина теорема 304 Признак Даламбера 31 — Коши 31 Прингсхейма теорема 326 Принцип аргумента 425 — Больцано — Вейерштрасса 22 — максимума модуля 309 Проективная плоскость 70 Проекция стереографическая 65 Произведение бесконечное 273 Производная 79 —, геометрический смысл 90 — формальная 87 Простая A-точка 305 Простой полюс 122, 403 Прямая Лобачевского 146 Равномерная непрерывность 43 Равномерно ограниченное множество 368 — сходящийся ряд 258 — — —, теорема Вейерштрасса 265 Радиальное граничное значение 304 Радикал 167 Радиус лемнискаты 314 Разветвления точка 171 — — алгебраическая 171 — — логарифмическая 182 Разделенная разность 451

Разложение на простейшие дроби 436 Разность разделенная 451 Расходящееся бесконечное произведение 273 Расходящийся ряд 30 Расширенная плоскость 69 Рациональная функция 121 — —, конформное отображение 124 — —, нуль 122 Рациональная функция, полюс 122 — —, порядок 123 Регулярная точка 319 — функция 86 Рельеф 113 Римана — Коши условия (уравнения) 84 Рунге теорема 390 Руше теорема 425 Ряд 29 — двойной 36 — Дирихле 382 — Лагранжа 459 — Лорана 377 — Ньютона интерполяционный 450 —, обращение 457 — равномерно сходящийся 258 — расходящийся 30 — степенной 279 — сумма 29 — сходящийся 29 —, — абсолютно 30 — Тейлора 284 —, частичная сумма 29 — Якоби интерполяционный 454 Связная компонента 53 Связное множество 46 Секанс 161, 437 Симметрия 140 Синус 109 —, рельеф 113 Собственное комплексное число 63 Сопряженные комплексные числа 15 Софизм Бернулли 179 Сохоцкого формулы 256

Сохоцкого — Казорати — Вейерштрасса теорема 405 Спрямляемая кривая 196 Степенная функция 89, 183 Степенной ряд 279 — — деление 339 — — круг сходимости 280 — — неравенства Коши для коэффициентов 294 — — пример Лузина 361 — — теорема единственности 285 — — — — внутренняя 303 — — — Коши о разложимости 297 Степень 19 —, конформное отображение 100 Стереографическая проекция 65 — —, круговое свойство 67 Сумма ряда 29 Существенно особая точка 402 Сходимости круг 280 Сходящаяся последовательность 23 Сходящееся бесконечное произведение 273, 275 Сходящийся ряд 29 — — абсолютно 30 — — равномерно 258 Тангенс 161, 164, 442 —, конформное отображение 165 Таубера теорема 355 Тейлора интерполяционный многочлен 448 — ряд 284 Тождественное отображение 127 Точка внешняя 54 — внутренняя 54 — граничная 54 — кривой 46 — — конечная 47 — — кратная 47 — — начальная 47 — Лобачевского 146 — особая 319 — — изолированная 400 — правильная 319

— разветвления 171 — — алгебраическая 171 — — бесконечного порядка 182 — — конечного порядка 171 — — логарифмическая 182 — регулярная 319 — существенно особая 402 Трансцендентная целая функция 102 Трансцендентные мероморфные функции 161 Тригонометрическая форма комплексного числа 14 Тригонометрические функции 109, 161 Тригонометрический многочлен 162 Угловое граничное значение 304 Угол параллельности 153 Фату теорема 357 Фокусы лемнискаты 314 Формальная производная 87 Френеля интеграл 218 Функции гиперболические 111 — обратные тригонометрические 189 — трансцендентные мероморфные 161 — тригонометрические 109, 161 Функция аналитическая 7, 86, 299 — голоморфная 86 — дифференцируемая 79 — дробно-линейная 93, 126 — Жуковского 155 — комплексного переменного 20 — — — , бесконечность 62 — логарифмическая 178, 188 — локально-аналитическая 387 — мероморфная 121 — многозначная 165

— многолистная 167 — моногенная 79 — непрерывная 41, 72 — неявная 468, 476 — обобщенно-непрерывная 73 — обратная 456 — однолистная 167 — показательная 102, 186 — правильная 86 —, предел 39 —, равномерная непрерывность 43 — рациональная 121 — регулярная 86 — степенная 89, 183 — целая 96 — — линейная 93 — — трансцендентная 102 Целая линейная функция 93 — трансцендентная функция 102 — функция 96 Частичная сумма ряда 29 Числа Бернулли 343 — Эйлера 348 Число комплексное 12 — мнимое 18 — чисто мнимое 13 Шварца лемма 317 Широта 66 Эйлера формула 11, 109 Эйлера — Даламбера уравнения 84 Эйлеровы числа 348 Элемент (аналитической функции) 319 Эрмита формула 447 Якоби интерполяционный многочлен 453 — — ряд 454