Двумерные отображения как модели хаоса

МАТЕМАТИКА ДВУМЕРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ КАК МОДЕЛИ ХАОСА В. Н. БЕЛЫХ Волжская государственная академия водного транспорта, Нижний Новгород

TWO-DIMENSIONAL MAPS AS MODELS OF CHAOS

Two-dimensional maps of plane cilinder and torus are considered. The strange attractor of the map with singularity and the trajectories of Smale's horseshoe are presented. Different examples such as the map of torus, Smale's horseshoe for Henon map and chaotic double scroll attractor modelling the electrical Chua's circuit are discussed. Рассмотрены различные двумерные отображения плоскости, цилиндра и тора. Проведен анализ неподвижных точек. Представлены странный аттрактор отображения с особенностью и траектории подковы Смейла. Приведены примеры хаотического множества траекторий отображения тора, отображения Эно и спирального аттрактора, моделирующего электрическую цепь Чуа (Chua).

© Белых В.Н., 2004

x(n + 1)= Х (х(n), у(n)), y(n + 1) = Y (x(n)), y(n)), 2

V. N. BELYKH

112

Двумерные отображения, как и одномерные [1, 2], задаются рекуррентными уравнениями

journal.issep.rssi.ru

2

(1)

1

где n ∈ Z, (х, у) ∈ R ; Х,Y : R R – функции двух переменных. Обычно, как и для одномерных отображений [1], зависимость от n для простоты обозначений опускают, ставят черту над переменными в последующий момент (n + 1) дискретного времени и переписывают двумерное отображение (1) в виде f : R2 R2: x = Х (х, у),

y = Y (х, у).

(2)

Используют также и форму записи двумерного отоб(X, Y ), из которой ясно, что точка ражения (х, y) плоскости переводится в точку той же плоскости. Двумерные отображения важны тем, что если они обратимы, то в отличие от одномерных могут иметь сложную хаотическую динамику. А это означает, что они, будучи отображениями последования Пуанкаре по траекториям трехмерной системы дифференциальных уравнений некоторой двумерной секущей в себя (см. пример системы Лоренца в [1]), могут адекватно представлять их динамическое поведение. Для обратимости двумерного отображения (2), оказывается, достаточно положительности якобиана J – определителя, составленного из производных: J=

X x ( x, y )

Xy ( x, y )

Y x ( x, y )

Y y ( x, y )

,

(3)

причем положительность J дает еще и ориентируемость. Последнее свойство, обязательное для двумерного отображения последования Пуанкаре, означает, что если (2) отображает не точку, а сразу целую площадку, то эта площадка деформируется (как резиновая пленка), но не переворачивается. Поверим следствию условия J > 0, поскольку объяснить его без специальных сведений трудно, но можно пояснить: J > 0 – аналог тому, что если для f : R1 R1 производная f ' > 0, то функция f имеет обратную и любой отрезок [х1 , х2] имеет образ той же ориентации [ x 1, x 2 ]. Часто двумерные отображения возникают как разностные схемы, используемые при численном

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 8 , № 2 , 2 0 0 4

МАТЕМАТИКА построении траекторий систем дифференциальных уравнений на плоскости. Например, схема Эйлера для системы

При малых u и υ (в малой окрестности неподвижной точки (х*, у*)) это двумерное отображение, а с ним и двумерное отображение (2) записывается в виде

dx ------ = P( x, y ), dt dy ------ = Q( x, y ), dt

u = Xx(x*, y*) ⋅ u + Xy(x*, y*) ⋅ υ + …, υ = Yx(x*, y*) ⋅ u + Yy(x*, y*) ⋅ υ + …,

u (t + h ) – u (t ) du ------------------------------------, где u = (х, у), состоящая в замене -----h dt h – шаг интегрирования, приводит к двумерному отображению вида x = х + hР(х, у),

y = у + hQ(х, у),

которое взаимно однозначно при малых h, но с ростом h может это свойство потерять. При исследовании двумерного отображения (2), как и для одномерных отображений, важную роль играют неподвижные точки и циклы периода k (k-циклы). Неподвижные точки, очевидно, задаются системой уравнений х = Х (х, у),

у = Y (х, у),

(5)

где точками обозначены отброшенные члены порядка 2 и выше по u и υ. Линейные двумерные отображения (5) можно представить в матричном виде u = a 11 a 21 υ

a 12 ⋅ u , a 22 υ

где коэффициенты aij обозначают производные в (5) (a11 = Xx(x*, y*) и т.д.). Тип неподвижной точки определяется корнями так называемого характеристического уравнения det

a 11 – z a 21

a 12 = 0, a 22 – z

то есть корнями квадратного уравнения

(4)

z2 + pz + q = 0, p = −(a11 + a22), q = a11a22 − a12a21 . (6)

а k-циклы – последовательностью М0 , М1 , М2 , …, Мk = = М0 , Мi 7 Мj , i 7 j, где Mi = (x(i), y(i)). Кроме того, k-циклы могут задаваться уравнениями (4), но для f k. В отличие от одномерных двумерные отображения могут иметь инвариантные кривые – кривые I ∈ R 2, удовлетворяющие условию, что если (х, у) ∈ I, то и ( x, y ) ∈ I. Интересны замкнутые инвариантные кривые: если (2) – это двумерное отображение последования Пуанкаре, то соответствующие дифференциальные уравнения имеют в R3 интегральный тор. Важную роль играют также сепаратрисные инвариантные кривые, примыкающие к неподвижным точкам типа седло, поскольку их взаимное расположение определяет распределение потоков траекторий. В настоящей статье мы познакомимся с различными типами странных аттракторов, соответствующих хаотическому поведению двумерных отображений, но сначала рассмотрим типы неподвижных точек и k-циклов.

Эти корни называют мультипликаторами. Заметим, что q – якобиан (3) в неподвижной точке (х*, у*). Пусть (6) имеет различные действительные, отличные от ±1 корни λ, γ. Очевидно, λ ⋅ γ = q. При этом двумерное отображение (5) с помощью линейного преобразования

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ И k-ЦИКЛЫ Пусть отображение f: R2 R2 (2) имеет неподвижную точку с координатами (х*, у*) как решение системы уравнений (4). Перейдем к новой системе координат, помещая ее начало в неподвижную точку (х*, y*), то есть сделаем замену х − х* = u, у − у* = υ: u = Х(х* + u, у* + υ) − х*, υ = Y(х* + u, у* + υ) − у*.

ξ = H⋅ u η υ с невырожденной матрицей H можно преобразовать к виду ξ = λξ,

η = γη.

(7)

Двумерное отображение (7) имеет решение ξ(n) = λnξ(0),

η(n) = γnη(0),

то есть ξ(n), η(n) – члены геометрических прогрессий (см. [3]). Отсюда следует, что двумерное отображение (7) имеет интегральные прямые I1 = {η = 0} и I2 = {ξ = 0} (рис. 1, а–в), вдоль которых точки итерируются либо к неподвижной точке, либо от нее в зависимости от λ и γ. Именно при 0 < λ < 1, 0 < γ < 1 обе прямые I1 и I2 устойчивы, и все траектории (7) движутся к неподвижной точке (рис. 1, а); при λ > 1, γ > 1 прямые I1 и I2 неустойчивы и все траектории движутся от неподвижной точки (рис. 1, б); при 0 < λ < 1, γ > 1 неподвижная точка (0, 0) есть седло, I1 – устойчивая сепаратрисная инвариантная прямая, а I2 – неустойчивая (рис. 1, в). В случае, когда оба мультипликатора λ и γ отрицательны, то для

Б Е Л Ы Х В . Н . Д В У М Е Р Н Ы Е О Т О Б РА Ж Е Н И Я К А К М О Д Е Л И Х А О С А

113

МАТЕМАТИКА η

а

η

б

в

η

г

y α4

α3

α1 α3 β1

x

ξ

ξ

α2

β2 β1

α3

α1

α1 ξ

β3

α2

β2

α2

ϕ

β3

Рис. 1. Неподвижные точки двумерного отображения: а – устойчивая неподвижная точка с положительными мультипликаторами, указаны две произвольные траектории α1 , α2 , α3 , …; β1 , β2 , β3 , …; б – неустойчивая неподвижная точка с отрицательными мультипликаторами; указанные траектории иллюстрируют перескакивание точек; в – неподвижная точка типа седло; г – картина отображения (10); α1(1, 1), α2(1, 2), α3(2, 3), α4(3, 5), … – траектория Фи5 боначчи, tg ϕ = -1---+ --------2

двумерного отображения (7) реализуются те же картины (см. рис. 1), если |λ| и |γ| удовлетворяют соответствующим неравенствам, с той лишь разницей, что каждая последующая точка оказывается по другую центральносимметричную сторону от неподвижной точки (рис. 1, б). В случае мультипликаторов разных знаков (q < 0) двумерное отображение не ориентировано и переворачивает плоскость относительно оси, соответствующей положительному корню, с деформациями |λ|, |γ|. При возвращении к переменным (u, υ) прямые I1 и I2 , в частности сепаратрисные инвариантные прямые седла, переходят соответственно в прямые (a11 − λ)x + a12y = 0,

(а11 − γ)х + a12y = 0.

(8)

Если теперь перейти к исходному двумерному отображению (2), то оказывается, в окрестности неподвижной точки (х*, у*) существуют инвариантные кривые (для седла сепаратрисные инвариантные кривые W s,W u) тех же типов, что и для (7), причем инвариантные прямые (8) касаются этих кривых в неподвижной точке (x*, y*). Если модуль одного из мультипликаторов становится равным 1, то в исходном отображении (2) происходит бифуркация либо исчезновение неподвижной точки (мультипликатор равен +1), либо удвоение периода неподвижной точки (мультипликатор равен −1). Эти две бифуркации полностью аналогичны бифуркациям одномерного отображения [1]. Если (8) имеет пару комплексно-сопряженных корней z1, 2 = ρ(соsϕ ± isinϕ), то можно найти подходящую матрицу Н такую, что в новых переменных отображение (5) примет вид ξ = ρ(соsϕ ⋅ ξ − sinϕ ⋅ η), η = ρ(sinϕ ⋅ ξ + соsϕ ⋅ η).

114

Это двумерное отображение есть отображение поворота плоскости (ξ, η) на угол ϕ и одновременно сжатия (растяжения) в ρ раз, если ρ < 1 (ρ > 1), так, что неподвижная точка (х*, у*) в этом случае либо устойчивый (ρ < 1), либо неустойчивый (ρ > 1) фокус. Бифуркации неподвижной точки (ρ = 1) происходят при |z1, 2 | = 1, то есть когда корни уравнения (6) попадают на единичную окружность на комплексной плоскости. Но вопрос о бифуркациях неподвижных точек непрост, и желающих познакомиться с ними мы адресуем к работам В.И. Арнольда [3]. В случае, когда двумерное отображение (2) имеет k-цикл, анализ его характера сводится к анализу неподвижной точки отображения f k по приведенной выше схеме. ПРИМЕРЫ Пример 1. Известно, что с золотым сечением связаны числа Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8 …, последовательность которых задается рекуррентным уравнением x(n + 2) = х(n + 1) + х(n),

х(0) = 1,

х(1) = 1. (9)

Золотое сечение α определяется пределом x(n + 1) –1 -. α = lim ------------------n → ∞ x(n ) Найдем его. Обозначая в (9) х(n) = х, х(n + 1) = у, получаем двумерное отображение вида x = y,

(10)

y = x + y,

которое есть двумерное отображение (5) с а11 = 0, а12 = = а21 = а22 = 1. Корни уравнения (6) в этом случае 1+ 5 λ = ---------------- > 1, 2

5–1 γ = – ---------------- , 2

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 8 , № 2 , 2 0 0 4

– 1 < γ < 0,

МАТЕМАТИКА то есть мы имеем неориентированное седло с сепаратрисными инвариантными прямыми (8) вида W u: (у = = λх) – неустойчивая, W s : (у = γx) – устойчивая, точки вдоль которой при каждой итерации оказываются по другую сторону от W u (рис. 1, г). Траектория двумерного отображения (10) с начальным условием х(0) = 1, у(0) = 1 (траектория Фибоначчи) по геометрической прогрессии со знаменателем |γ| “прижимается” к W u и уходит в бесконечность со “скоростью” λ. Отсюда ясно, что предел α−1 есть угловой коэффициент наклона W u, то есть 1+ 5 –1 α = λ = ---------------- ; 2

5–1 α = ---------------- . 2

Четыре первые точки траектории Фибоначчи показаны на рис. 1, г. Пример 2. Отображение тора Т = {x(mod1), у(mod1)}, f: Т Т вида x = 2х + у(mod1),

y = х + у(mod1)

(11)

fl выходит из Q) прямую этого семейства, то есть слоение инвариантно. Инвариантным является и слоение, образованное прямыми, параллельными W s. Отсюда следует, что все траектории отображения f: Т Т седловые, устойчивых нет и динамическое поведение обречено быть хаотическим. Интересен численный эксперимент, проведенный американцами при итерациях отображением (11) точек портрета А. Пуанкаре. Этот портрет сначала превратился в хаотическую (абстрактную) картину, видоизменявшуюся, но сохранявшую хаотические черты долго, до момента, когда из хаоса возник портрет Пуанкаре, близкий к первоначальному. Эксперимент помимо хаоса продемонстрировал теорему А. Пуанкаре о возвращаемости для консервативных систем. Эту теорему обычно интерпретируют ответом на вопрос: если в колбу с абсолютно упругими стенками, соединенную с такой же колбой трубкой с перегородкой, поместить идеальный газ и перегородку убрать так, чтобы газ мог

является примером отображения Аносова [4]. Т есть тор по той причине, что противоположные стороны единичного квадрата х, у = 0, 1 попарно отождествлены, то есть склеены. Двумерное отображение сохраняет площадь и обладает всеми атрибутами хаоса (инвариантные меры для таких объектов были построены Я.Г. Синаем [5]). Рассмотрим сначала это двумерное отображение как отображение плоскости f: R2 R2 (не беря модули), являющееся при этом отображением (5) с а11 = 2, а12 = а21 = а22 = 1. Корни уравнения (6) для неподвижной точки (0, 0) суть 3+ 5 λ = ---------------- > 1, 2

y a 1

f 0 1 x ϕ

3– 5 γ = ---------------- < 1, 2

q = 1 > 0 и f ориентировано. Следовательно, неподвижная точка – это седло с сепаратрисными инвариантныαx ми прямыми (8) вида W u(у = (λ − 2)х = ------ ), W s(у = 2 = (γ − 2)х = −α−1х) (рис. 2, а). Для исследования двумерного отображения (11) разделим первый квадрант плоскости (х, у) на квадраты со сторонами x = 1, 2, 3, …, у = 1, 2, … Тогда “взятию” модулей в (11) будет соответствовать переложение всех квадратов на квадрат, примыкающий к нулю. Последний, то есть квадрат Q (0
x < 1, 0
у < 1), имеет образ fQ – параллелограмм с вершинами (0, 0), (2, 1), (3, 2), (1, 1) (рис. 2, б), так что треугольники в четырех квадратах укладываются в Q отбрасыванием целых частей координат их точек. Семейство прямых у = (λ − 2)х + с, параллельных неустойчивой сепаратрисной инвариантной прямой W u, образует слоение, и любой отрезок l ∈ Q, лежащий на любой прямой семейства, растягивается в λ раз и переводится на другую (другие, если часть

y б 2

f f 1

f

f 0

1

2

3

x

Рис. 2. Действие отображения (11) тора, развернутого в квадрат Q(|x|
1, |y|
1): а – сепаратрисы седла (0, 0) и действие f на произвольную точку; б – образ fQ – параллелограмм с вершинами (0, 0), (2, 1), (3, 2), (1, 1); стрелки указывают действие f на вершины Q; одинаковые цвета указывают места, на которые попадают части параллелограмма после взятия модуля

Б Е Л Ы Х В . Н . Д В У М Е Р Н Ы Е О Т О Б РА Ж Е Н И Я К А К М О Д Е Л И Х А О С А

115

МАТЕМАТИКА растекаться по обеим колбам, то может ли такое быть, чтобы газ в какой-то момент целиком вернулся в колбу, где он первоначально находился. Пуанкаре ответил: да, только надо подождать.

y

f1(0, C1) Q2

СТРАННЫЙ АТТРАКТОР ОТОБРАЖЕНИЯ С ОСОБЕННОСТЬЮ

f2Q2

G C1

Пусть в R2 заданы прямая G(у = −(с1 − с2)x + с1 , 0 < < с2 < с1 < 1), делящая плоскость на две части: Р1 – область под G и Р2 – над G. Рассмотрим двумерное отображение f: R2 R2 вида f1 : x = λх, f2 : x = λx + (1 − λ),

y = γy, (х, y) ∈ P1 , y = γу + (1 − γ), (х, y) ∈ Р2 , (12)

где 0 < λ < 1/2, 1 < γ < 2. Двумерное отображение (12) кусочно-линейно и имеет особенность – разрыв на прямой G. Это отображение возникло из математической модели дискретной электронной системы управления частотой генератора [6, 7]. Найдем условия, при которых квадрат Q (0
х
1, 0
у
1) отображается в себя, fQ ⊂ Q, и покажем, что при этих условиях f имеет странный аттрактор, лежащий в Q. Двумерное отображение (12) имеет неподвижную точку типа седло в нуле O1(0, 0) ∈ Р1 и точно такую же сдвинутую в область Р2 неподвижную точку O2(1, 1) ∈ Р2 (см. двумерное отображение (7) и рис. 1, в). Устойчивые и неустойчивые сепаратрисные инвариантные прямые неподвижных точек O1 и O2 как раз и образуют квадрат Q, разделенный прямой G на области Q1 ⊂ Р1 и Q2 ⊂ P2 (рис. 3). Трапеция Q1 под действием двумерного отображения переходит в трапецию f1Q1 , а трапеция Q2 – в f2Q2 . Вершины этих образов суть точки O1(0, 0), f1(0, c1) = (0, γc1), f1(1, c2) = (λ, γc2), f1(1, 0) = (λ, 0); O2(0, 0), f2(1, c2) = (1, γc2 − (γ − 1)), f2(0, c1) = ((1 − λ), γc1 − (γ − 1)), f2(0, 1) = ((1 − λ), 1). Легко заметить, что при сделанных предположениях точка f1(1, с2) лежит ниже точки f1(0, с1), а точка f2(0, с1) – выше точки f2(1, с2). Следовательно, условие fQ ⊂ Q, то есть условие существования аттрактора, состоит в том, чтобы точки f1(0, с1) и f2(1, с2) лежали на сторонах квадрата Q, как показано на рис. 3. Это условие, очевидно, записывается в виде неравенств γ–1 1 ----------- < c 2 < c 1 < --. γ γ

(13)

Отображение (12) имеет два инвариантных слоения: неустойчивое F u (x = const ∈ [0, 1]) и устойчивое F s (у = const ∈ [0, 1]) так, что любой отрезок l, лежащий в F u, удлиняется в γ раз и переводится в F u либо целиком, если l ∈ Q1 (или Q2), либо разорванным на две части, ес-

116

O2

1

f1Q1

C2 Q1

0 O1

f2(1, C2) 1

x

Рис. 3. Действие отображения (12) на квадрат Q = = Q1 ∪ Q2 . Образ квадрата – две трапеции f1Q1 и f2Q2

ли l ∩ G 7 0. Аналогично ведут себя и отрезки, лежащие в F s, с той лишь разницей, что они укорачиваются в λ раз. Отсюда следует, что все траектории f седловые, устойчивых нет, и поскольку при условии (13) fQ ⊂ Q, двумерное отображение (12) имеет странный аттрактор. Следует отметить, что для отображения (12) построена инвариантная мера и установлены свойства эргодичности и перемешивания [8], то есть этот странный аттрактор – “настоящий” хаотический. ПОДКОВА СМЕЙЛА Пусть задан прямоугольник R = (|х|
с, |у|
d) и задано двумерное отображение f: R2 R2, действующее на R следующим образом: 1) двумерное отображение сжимает прямоугольник по оси х и растягивает вдоль оси у с помощью, например, линейного отображения S1 вида (7); 2) вытянутый прямоугольник S1R сгибается в подкову, которая по высоте больше прямоугольника R, некоторым отображением S2 ; 3) полученная подкова S2S1R “кладется” на R с помощью, например, отображения сдвига S3 так, что с прямоугольником R пересекаются только концы подковы, как это показано на рис. 4, а. Результирующее отображение f = S3S2S1 называют подковой Смейла. Это двумерное отображение, предложенное выдающимся американским математиком С. Смейлом в 1961 г. [9], явилось первым примером грубого, обратимого, то есть имеющего отношение к дифференциальным уравнениям двумерного отображения со сложной динамикой, оказавшего революционное воздействие на последующий ход развития теории динамических систем. Рассмотрим это отображение, считая нашей целью найти инвариантное множество

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 8 , № 2 , 2 0 0 4

МАТЕМАТИКА неблуждающих траекторий Ω, fΩ = Ω, другими словами, множество точек, которое остается в прямоугольнике R при бесконечном числе итераций отображением f всех его точек. Из топологии образа fR видно, что точки извне в R не попадают (R не притягивает) и точки из R возвращаются в него только на два прямоугольника r1 и r2 , r1 ∪ ∪ r2 = R ∩ fR, причем по построению f прообразами r1 и r2 служат две полосы B1 = f −1r1 и В2 = f −1r2 . Отсюда легко понять, что множество Ω лежит в четырех прямоугольниках Pij = ri ∩ Bj , i, j = 1, 2, обведенных на рис. 4, а жирными линиями. Далее прообразами этих четырех прямоугольников являются четыре полосы – по две в B1 и В2 , изображенные на рис. 4, а в виде горизонтальных полос синего цвета. Итерация же прямоугольников r1 и r2 вперед, f(r1 ∪ r2), дает две полосы вдоль подковы, изображенные на рис. 4, а также в виде полос синего цвета в подкове. Пересечение горизонтальных полос с полосами в подкове есть шестнадцать меньших прямоугольников по четыре в каждом из прямоугольников Pij , i, j = = 1, 2. Теперь мы можем говорить, что множество Ω лежит в этих меньших прямоугольниках. Дальнейшее построение пересечения образов и прообразов этих шестнадцати ведет к выделению в каждом из последних по четыре новых меньших, и мы снова говорим, что Ω лежит в них (их уже 64) и т.д. Повторяя эту процедуру бесконечное число раз, мы приходим к сложному точечному множеству, теперь уже не прямоугольников, а точек траекторий f, представляющему Ω. Формально описанный итерационный процесс можно задать рекуррентным преобразованием [7] Х(i + 1) = (fX(i) ∩ X(i)) ∩ f −1(fX(i) ∩ X(i))

(14)

с начальным условием X(0) = R. Пример 3. Рассмотрим известное отображение Эно [10] прямоугольника R = (|х|
с, |у|
d), f: R2 R2, вида x = −bу,

y = 1 + х − ау2, а > 0, b > 0.

(15)

Якобиан этого двумерного отображения J = b > 0, то есть f обратимо и ориентировано. Найдем область параметров а, b, с, d, для точек которой двумерное отображение (15) действует как подкова Смейла. Перепишем (15) в виде x = – b y,

–2 2

(16)

y = 1 + x – ab x

и введем обозначение вершин R: α1(с, −d),

α2(с, d),

α3(−с, d),

α4(−с, −d)

a α2

α3 B1 r1

r2

B2 α4

α1 – α2

– α3 – α4

– α1

y – β

б α3

α2

0 x

β α4

– α2

– α1

– α3

– α4

α1

Рис. 4. а – действие отображения, порождающего подкову Смейла; б – подкова Смейла, порождаемая отображением Эно

и точки β(−с, 0). Образы этих точек, очевидно, суть точки 2

α 1 ( b d , 1 + c – a d ), 2

α 3 ( – b d , 1 – c – a d ),

2

α 2 ( – b d , 1 + c – a d ), 2

α 4 ( b d , 1 – c – a d ),

β ( 0, 1 – c ).

Образы сторон прямоугольника получаются подстановкой их очевидных уравнений в (16) и записываются в виде –2 2

f [ α 1, α 2 ] = ( y = 1 + c – a b x , f [ α 3, α 2 ] = ( x = – b d ,

y ∈ [ α 3, α 2 ] ), –2

f [ α 4, α 3 ] = ( y = 1 – c – a b x, f [ α 4, α 1 ] = ( x = b d ,

x
b d ), x
b d ),

y ∈ [ α 4, α 1 ] ).

Используя полученное, легко строим образ fR, который вместе с прямоугольником R изображен на рис. 4, б. В результате получаем подкову, топологически эквивалентную подкове рис. 4, а. Для того чтобы эта подкова

Б Е Л Ы Х В . Н . Д В У М Е Р Н Ы Е О Т О Б РА Ж Е Н И Я К А К М О Д Е Л И Х А О С А

117

МАТЕМАТИКА x

µ = 0,000; ν = 0,375; a = 1,000; ω = 50,000; ϕ = 54,927

1,0 0,5 0 –0,5 –1,0 –4

–3

–2

–1

0

1 Φ

Рис. 5. Точки одной траектории отображения (18), моделирующего спиральный аттрактор

оказалась подковой Смейла и чтобы “прошел” проведенный выше ее анализ (с точностью до замены слов “прямоугольники” на слова “области”), необходимо, чтобы точка β оказалась выше стороны (α3 , α2), а точки α 1, α 2 в полосе |x| < с и ниже стороны (α4 , α1). Из элементарного анализа получаем, что непустая область параметров, для точек которой реализуется сказанное, а с ним и подкова Смейла, определяется неравенствами 2 a > ------------------2 , (1 – c)

b d < c < 1,

(17)

1 --2

1 + ( 1 + 4a ( 1 + c ) ) < d < 1 – c. Таким образом, отображение Эно в области параметров (17) действует как подкова Смейла. Заметим, что это отображение в некоторых других областях параметров имеет хаотический аттрактор, свойства которого до конца не выяснены, и его исследования продолжаются. Пример 4. Двумерное отображение цилиндра в себя f: С С, С = {х ∈ R1, Φ(mod2π)}, вида [11] π π ν Φ = – --- +  --- + a x cos ( Φ + ϕ – ω ln x ) signx,  2 2

(18)

ν

x = µsignx – a x sin ( Φ + ϕ – ω ln x ) , где все параметры µ, а, ω, ν, ϕ положительны, ν < 1, моделирует электрическую цепь Чуа (Chua), реальная модель которой – система трех дифференциальных уравнений, имеющая спиральный аттрактор. Отображение (18) обратимо, но, как и отображение для системы Лоренца [1], имеет особенность: окруж-

118

ность х = 0 на С преобразуется в две точки. Оно диссипативно: все его траектории попадают в два одинаковых круга с центрами в точках (µ, 0) и (−µ, π) радиуса ν a x s , где xs – решение уравнения х = µ + ахν, и остаются в них навсегда. Можно показать (это непросто), что двумерное отображение (18) имеет бесконечное множество подков Смейла как грубых, так и негрубых (изгиб подковы попадает на R). Хаотичность аттрактора отображения (18) иллюстрирует рис. 5, где изображенные точки являются точками одной траектории. В заключение отметим, что любое из представленных в статье отображений можно легко реализовать на компьютере в виде итерационной процедуры (1) и наблюдать хаотическое поведение дискретных траекторий, убеждаясь в сложности окружающего нас мира, имеющего дело с моделями, куда более сложными, чем двумерные отображения. ЛИТЕРАТУРА 1. Белых В.Н. Одномерные отображения: Самоподобие, бифуркация и хаос // Соросовский Образовательный Журнал. 2004. Т. 8, № 2. С. 106–111. 2. Белых В.Н. Элементарное введение в качественную теорию и теорию бифуркаций динамических систем // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. № 1. С. 115–121. 3. Теория бифуркаций динамических систем: Соврем. пробл. математики / Ред. В.И. Арнольд. М.: ВИНИТИ. 1986. Т. 5. С. 218. 4. Динамические системы с гиперболическим поведением: Соврем. пробл. математики / Ред. Д.В. Аносов, М.: ВИНИТИ. 1991. С. 248. 5. Эргодическая теория динамических систем: Соврем. пробл. математики / Ред. Я.Г. Синай. М.: ВИНИТИ. 1985. С. 312. 6. Белых В.Н. Качественные методы теории нелинейных колебаний: Учеб. пособие. Горький: Горьк. гос. ун-т, 1980. С. 99. 7. Белых В.Н. // Мат. сб. 1995. Т. 186, № 3. С. 3–18. 8. Сатаев Е.А. // Успехи мат. наук. 1992. Т. 47, вып. 1. С. 147– 202. 9. Смейл С. // Там же. 1970. Т. 25, вып. 1 (151). С. 113–185. 10. Henon M. // Communs Math. Phys. 1976. Vol. 50, № 1. P. 69–77. 11. Belykh V.N., Chua L.O. // J. Circuits, Systems and Computers. 1993. Vol. 3, № 2. P. 361–374.

Рецензент статьи Л.И. Маневич *** Владимир Николаевич Белых – доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математики Волжской государственной академии водного транспорта (Нижний Новгород), лауреат премии Ленинского комсомола 1974 г., заслуженный деятель науки РФ. Автор более 200 научных работ и трех монографий по теории динамических систем.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 8 , № 2 , 2 0 0 4