Лекции по теории относительности

Е.И.Биченков, В.И.Тельнов

ЛЕКЦИИ

ПО ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

ФМШ НГУ НОВОСИБИРСК 1994

2

3

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение. ................................................................................................................... 5 2. Нерелятивистская кинематика. ............................................................................... 7 2.1 Основные принципы, координаты, скорость, ускорение........................ 7 2.2 Инерциальные системы отсчёта. Принцип относительности. ............... 8 2.3 Преобразование Галилея............................................................................ 8 3. Релятивистская кинематика..................................................................................... 11 3.1 Максимальная скорость распространения сигналов. Постулаты Эйнштейна. .............................................................................................................. 11 3.2 Одновременность, синхронизация часов, измерение расстояний. ........ 11 3.3 Неизменность поперечных масштабов..................................................... 12 3.4 Ход часов и замедление времени. ............................................................. 12 3.5 Сокращение движущегося масштаба........................................................ 14 3.6 Преобразования Лоренца. .......................................................................... 14 3.7 Четырехвектор события. ............................................................................ 16 3.8 Другой вывод преобразований Лоренца. ................................................. 16 3.9 Сложение скоростей. .................................................................................. 17 3.10 Аберрация.................................................................................................. 18 3.11 Эффект Доплера........................................................................................ 19 3.12 Ещё о четырехвекторах. Итервал и собственное время. Четырехвектор скорости......................................................................................... 22 4. Нерелятивистская динамика.................................................................................... 25 5. Релятивистская динамика. ....................................................................................... 29 5.1 Релятивистский импульс............................................................................ 29 5.2 Релятивистская энергия.............................................................................. 31 5.3 Четырехвектор энергии-импульса. ........................................................... 33 5.3 Четырехвектор силы................................................................................... 35 5.4 Релятивистская ракета, равноускоренная в собственной системе отсчета. ..................................................................................................................... 36 5.5 Столкновения и распады частиц. .............................................................. 41 6. Электромагнитное поле. Сила Лоренца. ................................................................ 49 6.1 Инвариантность заряда. Плотность заряда и плотность тока в разных системах отсчёта. ....................................................................................... 49 6.2 Взаимодействие движущегося заряда с током. ....................................... 50 6.3 Электричское поле движущегося заряда.................................................. 51 6.4. Взаимодействие движущихся зарядов..................................................... 53 6.5 Преобразования полей................................................................................ 55 7. Элементы общей теории относительности. ........................................................... 59 7.1 Введение. ..................................................................................................... 59 7.2 Инертная и гравитационная масса, принцип эквивалентности.............. 59 7.3 Падение фотона в гравитационном поле.................................................. 61 7.4 Замедление времени в гравитационном поле. ......................................... 62

2

7.5 Угол отклонения частицы при движении поперек гравитационному полю...........................................................................................................................62 7.6 Область применимости классических законов движения в гравитационных полях.............................................................................................63

5

1. ВВЕДЕНИЕ.

Появляясь на свет мы обнаруживаем, что живем в некотором мире, содержащем много предметов, обладающих различными свойствами и перемещающихся относительно друг друга. Опираясь на многочисленные опыты человек создает и непрерывно совершенствует модель, приближенно описывающую реальный мир. Физика изучает наиболее общие законы природы: пространство, время, движение, виды материи, её свойства и взаимодействия. Многие закономерности были правильно замечены и сформулированы ещё в XVIXIX веках. В XX веке был предпринят настоящий штурм по изучению законов природы, увенчавшийся появлением замечательных теорий - теории относительности и квантовой механики. На их основе объяснено строение молекул и атомов. Научились извлекать из материи энергию в милион раз большую, чем энергия горения. Обнаружен удивительный мир элементарных частиц: кварков, лептонов, W и Z-бозонов, фотонов, глюонов. Создана модель (единая теория слабого и электромагнитного взаимодействия + квантовая хромодинамика + гравитация) с высокой точностью описывающая явления происходящие на расстояниях более 10-17 см. Однако, несмотря на огромное продвижение в познании законов природы, мы ничего не можем пока ответить на такие вопросы как, например, с чем связано наблюдаемое многообразие элементарных частиц; почему у них именно такие массы, а не другие; почему, например, мюон в 210 раз тяжелее электрона? Подобные вопросы уже возникали несколько раз и были найдены ответы (таблица Менделеева, теория кварков, объяснившая строение около 300 наблюдаемых адронов), однако вопросы возникают снова и снова на других масштабах расстояний и энергий. Традиционно первым разделом физики является механика, изучающая общие законы движения. Её построение началось с перехода к опыту как основе для построения системы знаний и связано в первую очередь с именем Г.Галилея (1564-1642). В завершённой форме законы классической механики были сформулированы И.Ньютоном (1643-1727). Создание А.Пуанкаре (1854-1912) и А.Эйнштейном (1879-1955) к 1905 году теории относительности привело к радикальному пересмотру представлений о свойствах пространства и времени и сыграло огромную роль в развитии физики. В основе теории относительности лежит удивительный факт, что в природе существует максимальная скорость распространения сигналов c ≈ 3.1010 см/сек. При нерелятивистских скоростях (v<> h ≈ 10-27 г см /сек (h-постоянная Планка). Для изученных взаимодействий релятивистская квантовая механика прекрасно описывает все явления, включая процессы рождения и взаимопревращения частиц, до расстояний ~10-17 см, дальше пока нет данных. Здесь мы будем рассматривать только неквантовую механику при нерелятивистских (v<
7

2. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА.

2.1 Основные принципы, координаты, скорость, ускорение. Классическая механика опирается на следующие представления, почерпнутые из эксперимента: 1. В мире существуют тела, движущиеся под действием сил. Задание сил и началь-ных условий определяет полностью поведение системы в любой последующий момент времени. 2. Все физические процессы происходят в пространстве и времени. Предполагаются следующие свойства пространства: • равноправие всех точек пространства (однородность); • равноправие всех направлений (изотропность); • евклидовость (сумма углов в треугольнике равна p). Предполагается, что во всем пространстве можно ввести единое время, текущее везде равномерно и одинаково. По умолчанию предполагается, что движение тел никак не влияет на свойства пространства и времени. Тела состоят из материальных точек, т.е. тел, размерами которых при рассмотрении можно пренебречь. В природе существуют твёрдые тела, в которых относительное расположение точек остаётся приблизительно неизменным. Эти тела можно использовать для измерения расстояния между точками, выбрав некоторое из них за масштаб. Между двумя точками можно провести бесконечное число линий. Кратчайшая из них называ-ется прямой, а её длина расстоянием. Точки пространства сами по себе не могут быть помечены, они имеют смысл только по отношению к материальным телам. Для описания пространства нужно указать тело отсчёта. Для этого удобно использовать абсолютно твёрдое тело. Тогда каждая точка пространства будет совпадать с некоторой точкой твёрдого тела. Не обязательно использовать сплошное твёрдое тело. Можно для отсчёта взять некоторое количество материальных точек, расстояние между которыми не изменяется. Тогда с помощью жесткого масштаба (линейки) можно определить координату точки в пространстве. Совокупность тел, относительно которых определяется положение точек пространства, называется системой координат, а сами эти тела базисными. Минимальное количество тел (или количество чисел) необходимых для одноз-начного задания положения точек в пространстве, называется размерностью простран-ства. Мы живём в трехмерном пространстве. Задание, например, расстояний до трёх опорных точек задает координату в пространстве. Можно за три точки жестко закрепить декартову систему координат, тогда положение точки будет характеризоваться тремя числами (x,y,z). Другие наиболее популярные системы отсчета - это цилиндрическая и сферическая системы координат. В выбранной системе координат существует некоторая связь между линиями, углами, расстояниями, которые не очевидны, а должны определяться из опыта. Из опыта следует, что наше пространство с большой точностью евклидово, т.е. сумма углов в треугольнике равна p.. Однако, на масштабах порядка размеров вселенной или вблизи очень массивных и плотных тел, это соотношение может нарушаться. Для описания движения тел в пространстве нужно к системе опорных тел (системе координат) добавить еще часы в каждой точке пространства. Часами может быть любой

8

Ошибка! Стиль не определен.

периодический процесс, слабо зависящий от внешних воздействий. В классической механике предполагается, что все часы в пространстве независимо от движения идут одинаково. Система координат, снабженная часами, является системой отсчёта.

2.2 Инерциальные системы отсчёта. Принцип относительности. В качестве системы отсчёта может быть выбрана любая совокупность тел, движущаяся по произвольным законам. Есть класс особо важных в механике систем. Тело называется свободным, если влиянием других тел на его движение можно пренебречь. Система отсчёта, связанная с набором покоящихся относительно друг друга свободных тел называется инерциальной системой отсчёта. Обобщая экспериментальные данные, Галилей сформулировал закон инерции (называется также первым законом Ньютона): свободное тело в любой инерциальной системе движется равномерно и прямолинейно. Галилей также впервые высказал мысль, что во всех инерциальных системах отсчёта механические явления протекают одинаково. В дальнейшем было осознано, что вообще все законы физики в инерциаль-ных системах отсчета имеют одинаковый вид. Это общее утверждение называют прин-ципом относительности (Галилей, Пуанкаре, Эйнштейн). Один пример. Траектория движения падающего вертикально вниз на Землю тела выглядит, конечно, по-разному в неподвижной относительно Земли системе отсчёта и движущейся относительно неё с постоянной скоростью. Принцип относительности утверждает только, что вид закона движения, записанный через собственные координаты систем отсчёта имеет один и тот же вид. В данном случае

&&z = − g

&& z′ = − g

(2.1)

Замечено, что инерциальные системы отсчета движутся относительно далеких звезд без ускорений и вращений. В этом, очевидно, скрыта глубокая причина, до конца ещё не понятая.

2.3 Преобразование Галилея. Пусть инерциальная система S ′ движется поступательно со скоростью V относительно другой инерциальной системы S. СоY ответствующим сдвигом и поворотом осей коY' ординат (это никак не влияет на процессы, т.к. v пространство однородно и изотропно) можно сделать так, чтобы оси были парал-лельны и движение происходило вдоль осей X,X' (рис. 2.1). Примем, что в момент t=0 начала систем отсчёта совпадали. O O' X X' Из принципа относительности следует, что рис. 2.1 уравнения движения любого тела в обеих системах отсчёта совпадают

&& x = && x ′, &&y = &&y ′, && z = &&z ′

Интегрируя находим

(2.2)

Ошибка! Стиль не определен.

x& = x& ′ + V , y& = y& ′, z& = z& ′

9

(2.3)

Второе интегрирование дает x = x + Vt , y = y ′, z = z ′, t = t ′

(2.4)

При интегрировании мы предполагали, что время имеет абсолютный характер и одинаково во всех системах отсчёта. В векторном виде эти формулы могут иметь следующий вид r& = r& ′ + V, r = r ′ + Vt , t = t ′

(2.5)

Эти формулы перехода от одной инерциальной системы к другой называются преобразованиями Галилея. Рассмотрим одно из важных следствий. Пусть в системе S ′ находится неподвижный предмет некоторой длины l ′ = (r2′ − r1′)2 . Естественно определить длину этого предмета в S системе как l = (r2 − r1 )2 , где r2 и r1 взяты в один и тот же момент времени t. Тогда из формул (2.5) следует, что l = l ′ , т.е. размеры тел являются инвариантом преобразования Галилея.

11

3. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА.

3.1 Максимальная скорость распространения сигналов. Постулаты Эйнштейна. Постулат об абсолютности времени во всех системах отсчёта в классической механике подразумевает бесконечную скорость распространения сигналов. Однако, уже давно было известно, что даже свет имеет конечную скорость около 3.1010 см/сек (Рёмер, 1676 затмения спутников Юпитера; Брадлей, 1728 - звёздная абберация; Физо, 1849 измерения в земных условиях). В конце XIX века в связи с созданием электродинами-ки возникли проблемы, связанные с распространением света в пустоте. Пытались ввести понятие эфира, но эта гипотеза не нашла подтверждения в опытах Майкельсона (1881). Всё это побудило пересмотреть основные представления о пространстве и времени. В результате была создана Теория отностительности (1905), называемая также частной или специальной Т.О., т.к. в ней рассматриваются только инерциальные системы отсчёта. В основу теории относительности были положены два постулата: • Принцип относительности. Законы природы имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчёта. Никакими экспериментами нельзя установить какая система движется, а какая покоится. • Существует предельная скорость передачи сигналов c. Из принципа относительности следует, что эта скорость одинакова во всех системах отсчёта. В настоящее время с высокой точностью установлено, что предельная скорость c совпадает со скоростью света в пустоте. Рассмотрим первые следствия этих постулатов.

3.2 Одновременность, синхронизация часов, измерение расстояний. Из постоянства скорости c следует, что правило сложения скоростей Галилея неверно и в релятивистской теории нужно отказаться от идеи "всемирного" времени. Посмотрим какие изменения необходимо внести для построения релятивистской теории, чтобы не прийти в противоречие с принципом относительности и конечностью макси-мальной скорости распространения сигналов с. Рассмотрим снова две системы отсчета S и S ′ , движущиеся поступательно относительно друг друга со скоростью V . Направим оси OX и OX' систем отсчёта S ′ и S параллельно скорости V движения S ′ относительно S. Для удобства рассмотрения будем считать, что в системе отсчёта S в каждой точке находятся наблюдатели "Н", а системе S ′ - пассажиры "П" (в поезде, ракете и т.д.). Как определить одновременность событий в системах S и S ′ ? Не возникает затруднений для определения одновременности событий в одном и том же месте: момент, когда событие происходит, определяется положением стрелок часов находящихся тут же, т.е. судить о времени мы можем лишь локально. Чтобы установить порядок следования во времени событий, происходящих на некотором расстоянии друг от друга в прос-транстве, необходимо каждое из этих событий сопроводить одновременным с ним сигна-лом, сообщающим о локальном времени этого события, затем принять в каком-то месте два

12

Ошибка! Стиль не определен.

сигнала о двух событиях и после внесения поправок на время распространения сиг-налов составить суждение о временной последовательности удаленных друг от друга событий. При этом надо обязательно удостовериться, что часы, сопутствующие каждому из событий, установлены как следует и идут правильно. Последнюю процедуру называют синхронизацией часов в выбранной системе отсчета. Исключительное постоянство скорости с делает сигналы, распространяющиеся с такой скоростью, самыми подходящими и для синхронизации часов, и для определения расположения событий во времени. События в точках А и В назовём одновременными, если сопровождающие их сигналы, распространяющиеся со скоростью c, приходят в точку, расположенную посредине между А и В одновременно. Похожим способом могут быть синхронизованы все часы, находящиеся в одной системе отсчёта. Пусть мы хотим синхронизовать часы в точке А с часами в начале координат O Для этого в точке А устанавливаем отражающее зеркало, так что сигнал испущенный из О доходит до точки А и возвращается обратно за время t . После этого из точки О снова в момент t0 посылается сигнал в А с просьбой в момент прихода сигнала установить на часах в точке А время t0+Dt/2. Таким способом можно синхронизовать часы в каждой системе отсчёта, где они взаимно покоятся. Мы говорим, что в системе событие произошло в момент времени t - это значит, что часы, находящиеся в месте события в этот момент, показывали время t. Рассмотрим снова наши системы S и S ′ . Будем полагать, что в начальный момент часы, установленные в началах систем отсчета (точки О и O′ ), показывыли одинаковое время t=t'=0. Обсудим теперь процедуру измерения размеров тел. Измерение длины неподвижного отрезка затруднений не вызывает. Надо взять метровую линейку и обычным способом, путем прикладывания к отрезку, измерить его длину. А как быть с движущимся отрезком? Здесь дело сложнее. Для измерения необходимо в некоторый момент времени одновременно отметить в своей системе отсчёта положение правого и левого концов движущегося отрезка, а затем спокойно прикладывая масштабную линейку измерить расстояние между отметками. Для осуществления этой процедуры требуется, чтобы в каждой точке системы отсчёта находился наблюдатель с часами и отмечал время, когда мимо него проходит конец. Часы этих наблюдателей должны быть одинаковыми и синхронизованными.

3.3 Неизменность поперечных масштабов. Пусть в системе S ′ (определение систем S и S ′ было дано ранее) имеется неподвижная линейка, расположенная вдоль оси Y ′ . Мы хотим измерить длину этой линейки в системе S. Поместим в системе S такую же линейку ориентированую вдоль Y. Очевид-но, что когда линейки будут проходить мимо друг друга, их оси совпадут одновременно как в системе S, так и системе S ′ . Поскольку наблюдатели сидящие вдоль линеек окажутся "нос к носу", то им нетрудно будет решить, чья линейка длинее. Из симметрии картины ясно, что концы линеек совпадут. Отсюда следует вывод: измеренные наблюда-телями в разных системах отсчета поперечные размеры тел одинаковы и не зависят от движения систем отсчета. Еще более просто прийти к такому выводу рассматривая два одинаковых соосных кольца, один из которых покоится, а другой движется. Если бы при движении поперечные размеры изменялись, то одно из колец прошло бы внутри другого. Из симметрии задачи, ясно, что кольца равноправны и такого не произойдет.

13

Ошибка! Стиль не определен.

3.4 Ход часов и замедление времени. В качестве часов может быть использован любой периодический процесс. Пусть часы состоят из двух отражателей, расположенных на жестком стержне, и между ними движется короткий сигнал, распространяющийся со скоростью c. Пусть такими часами снабжены все наблюдатели в системе S. Одни из таких часов расположим в системе S ′ вдоль оси Y ′ (рис. 3.1). Что скажут наблюдатели в S, присмотревшись к работе движущихся относительно них часов. B

B

в системе S

в си ст еме S '

A

а)

б) рис. 3.1 В системе S ′ сигнал проходит путь туда и обратно за время τ 0 = 2l 0 c

(3.1)

С точки зрения наблюдателей в системе S сигнал за один период проходит путь, изображенный на рис. 3.1 б). Пусть период движения света по часам в S равен t. Поскольку поперечный размер при движении не меняется и скорость сигнала равна c, то из теоремы Пифагора следует

τ

cτ = 2 l02 + V 2 ( )2 2 откуда

τ=

2l 0 1 τ0 = c 1 − V 2 c2 1 − V 2 c2

(3.2)

(3.3)

Отсюда следует вывод: движущиеся часы идут медленнее, чем течёт время в неподвижной системе в γ = 1 1 − V 2 c 2 > 1 раз. Это явление многократно наблюдали в экспериментах с быстро движущимися нестабильными частицами. Увеличение их времени жизни достигало тысяч раз в точном согласии с предсказанием. В связи с этим явлением замедления времени часто возникает вопрос, сформулированный как "парадокс близнецов". Один из братьев близнецов улетел с Земли на ракете и вернувшись оказался моложе своего брата. "Парадокс" заключается в том, что вроде бы все было симметрично и непонятно кто от кого летал. Постарел, однако, один больше другого. Парадокса здесь, конечно, никакого нет. Обратите внимание, что в нашем рассмотрении в системе S ′ сигнал был испущен и принят в одной точке A ′ , в то время как в системе S эти события произошли в разных точках А и В. Симметрии нет. В парадоксе близнецов тоже нет симметрии. Оставшийся на Земле всё время находился в одной и той же инерциальной системе, летавший на космическом корабле при разво-роте назад перепрыгнул из одной инерциальной системы в другую.

14

Ошибка! Стиль не определен.

3.5 Сокращение движущегося масштаба. Посмотрим, что произоидет, если те же часы в системе S ′ положить вдоль оси X. От этого их длина и скорость хода в системе покоя не изменятся. С точки зрения наблюдателей в системе S сигнал в движущихся относительно них часах за время t1 пробегает от левого конца до правого, а затем за время t2 возвращается обратно. При этом путь, проходимый сигналом при его распространении слева направо, равен длине часов плюс смещение правого конца за время t1, т.е. cτ1 = l + Vτ1 .

(3.4)

Здесь l - пока неизвестная длина часов в системе S. При движении сигнала справа налево путь будет меньше l на смещение левого конца, т.е. cτ 2 = l − Vτ 2

(3.5)

Период часов, лежащих на боку, естественно, не отличается от стоящих вертикально, Отсюда с учетом (3.3), (3.4), (3.5) получаем 2l 1 1⎛ 1 1 ⎞ 2l c (3.6) τ= 0 = τ + τ = + = ⎜ ⎟ 1 2 c 1 − V 2 c2 c ⎝ 1 − V c 1 + V c ⎠ 1 − V 2 c2 Длина горизонтально лежащих часов l оказывается не совпадает с l0. l = l 0 1 − V 2 c2

(3.7)

Итак, измеряемый размер тела вдоль направления движения сокращается!

3.6 Преобразования Лоренца. Пусть в системе S в точке с координатой X в момент времени t произошло некото-рое событие. Найдем его координату x' и время t' в системе S ′ . Релятивистское сокращение масштабов позволяет утвержать что, если в S ′ событие произошло в точке x' от начала отсчёта O′ , то в неподвижной системе S оно произой-дет на расстоянии x ′ 1 − V 2 c2 от точки O′ , координата которой в свою очередь x0 = Vt . Отсюда x = Vt + x ′ 1 − V 2 c2

и x′ =

x − Vt 1 − V 2 c2

(3.8)

Поскольку системы S и S ′ симметричны относительно друг друга и отличаются только знаком относительного движения, то после замены x → x ′ , x ′ → x , t → t ′ , V → − V получаем x ′ + Vt ′ x = (3.9) 1 − V 2 c2 Подстановка последнего выражения в (3.8) дает

15

Ошибка! Стиль не определен.

t =

Vx ′ c2 1 − V 2 c2 t′ +

(3.10)

"Обратное" преобразование Vx t − 2 c t′ = 1 − V 2 c2

(3.11)

В итоге получаем прямые и обратные преобразования Лоренца L L−1 ⎧ x ′ = γ ( x − Vt ) ⎪ y′ = y ⎪ ⎨ z′ = z ⎪ ⎪⎩t ′ = γ ( t − Vx c 2 )

⎧ x = γ ( x ′ + Vt ′ ) ⎪ y = y′ ⎪ ⎨ z = z′ ⎪ ⎪⎩t = γ ( t ′ + Vx ′ c 2 )

(3.12)

Пример. Пусть два события произошли одновременно в системе S ′ в различных точках x1′ и x 2′ . Из формул обратного преобразования Лоренца получаем временной интервал между этими событиями в системе S V t 2 − t1 = γ ( x2′ − x1′ ) ≠ 0 (3.13) c

Именно поэтому при измерении длины линейки, лежащей вдоль движения в системе S ′ , экспериментаторы из систем S и S ′ получают разные результаты. Формулы (3.12) получены в 1904 году Х.Лоренцем как преобразования, при которых уравнения электродинамики сохраняют свой вид при переходе от одной инерциальной системы к другой. В 1905 году А.Эйнштейн вывел их из постулатов о равноправии всех инерциальных систем и существовании максимальной скорости передачи сигналов. Хотя получились те же самые преобразования, но физическое содержание в них было совершено новым.

3.7 Четырехвектор события. Упорядочную четвёрку чисел R = ( ct , x , y , z ) ≡ R ( ct , r ) называют четырехвектором события. Переход от R (ct , r ) ђ R(ct , r ′) можно записать в матричной форме ⎛ ct ′⎞ ⎛ γ − βγ 0 0⎞ ⎛ ct ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ x ′ ⎟ = ⎜ − γβ γ 0 0⎟ ⋅ ⎜ x ⎟ или R ′ = LR (3.14) ⎜ y′⎟ ⎜ 0 0 1 0⎟ ⎜ y ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1⎠ ⎝ z ⎠ ⎝ z′ ⎠ ⎝ 0 здесь γ = 1 1 − V 2 c 2 ,

β = V c . Такая форма записи означает, что

Ri′ = ∑ Lik Rk k

(3.15)

16

Ошибка! Стиль не определен.

Обычно знак суммирования опускают, подразумевая что происходит суммирование по повторяющемуся индексу. Аналогично можно записать R = L −1 R ′ , где L−1 - матрица обратного пребразования, отличающаяся от L заменой β на - . Принято называть ct нулевой, x - первой, y - второй, z - третьей компонентой четырехвектора события. Любая четвёрка чисел A = {a0 , a1 , a2 , a3 } , компоненты которой преобразуются как компоненты четырехвектора события, т.е. a0 = γ ( a0′ + βa1′ ), a1 = γ ( a1′ + βa0′ ), a2 = a2′ , a3 = a3′

(3.16)

называется четырехвектором. Зачем они нужны? Дело в том что, если физический закон записан через четырехвектора, то значит мы знаем его во всех инерциальных системах отсчета, т.к. известен закон пребразования входящих в него величин. О других свойствах четырехвекторов будет сказано дальше.

3.8 Другой вывод преобразований Лоренца. Теперь, когда выяснена физика дела, рассмотрим другой менее прозрачный, но более короткий вывод преобразования Лоренца. Рассмотрим те же системы S и S ′ . Пусть в момент, когда начала отсчета О и О' совпадали, был испущен во все стороны сигнал со скоростью c. Уравнение фронта сигнала будет иметь одинаковый вид в обеих системах отсчёта: x 2 + y 2 + z 2 − c 2t 2 = 0

x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 − c 2t ′ 2 = 0

(3.17)

Введем обозначение T = ict , где i = − 1 - мнимая единица. Тогда уравнения будут очень напоминать квадрат длины вектора в обычных декартовых координатах, а переход из одной инерциальной системы в другую - это поворот осей координат. Рассмотрим поворот в плоскости T,x, при этом y и z не изменяются. Из геометрии известно, что при повороте осей на угол ϕ координаты преобразуются следующим образом x = x ′ cos ϕ + T ′ sin ϕ (3.18) T = T ′ cos ϕ − x ′ sin ϕ

Остаётся определить угол ϕ , который зависит от скорости V системы S ′ относительно S. Для этого рассмотрим движение начала отсчёта системы S ′ . При x'=0 формулы (3.18) принимают вид x = ict ′ sin ϕ t = t ′ cos ϕ (3.19) Разделив одно на другое, получим x = i tg ϕ ct

(3.20)

но x/t - это скорость V системы S ′ . Теперь V tg ϕ = − i c

(3.21)

и V c sin ϕ = 1−V 2 c2 −i

cosϕ =

1 1−V 2 c2

(3.22)

17

Ошибка! Стиль не определен.

Пусть вас не удивляет, что tg ϕ - мнимое число, это ведь отношение двух "катетов", один из которых мнимый. Подставляя (3.22) в (3.18), получаем

x = γ ( x ′ + Vt ′ ) y = y ′ z = z ′ t = γ ( t ′ + Vx c )

(3.23)

т.е. пребразования Лоренца.

3.9 Сложение скоростей. Пусть некоторое тело движется относительно системы отсчёта S ′ со скоростью v ′ . В свою очередь S ′ движется относительно S со скоростью V вдоль оси ОХ. В кинематике Галилея скорость тела относительно S есть просто векторная сумма переносной скорости V и относительной v ′ , т.е. v = v′ + V

(3.24)

В релятивисткой кинематике это правило сложения скоростей неверно. Для получения правильных формул продифференцируем преобразования Лоренца V dx = γ ( dx ′ + Vdt ′ ), dy = dy ′, dz = dz ′, dt = γ ( dt ′ + 2 dx ′ ) (3.25) c Разделив dx , dy , dz íà dt , получаем dx v′ + V dy v′ γ dz v′ γ vx = = x ; vy = = x ; vz = = z v ′V v ′V v ′V dt dt dt 1 + x2 1 + x2 1 + x2 c c c

(3.26)

Заменяя знак у V, получаем формулы преобразования скоростей из S в S ′ vy γ dx ′ v +V dy ′ dz ′ v γ ; v ′y = ; v z′ = v x′ = = x = = z vV vV vV dt ′ dt ′ dt ′ 1 − x2 1 − x2 1 − x2 c c c

(3.27)

Легко убедиться, что при малых скоростях эти формулы переходят в правило Галилея для сложения скоростей. Пример. Если ракета летит со скоростью V ≈ c и вперед выпускают снаряд со скоростью vx′ = c то относительно неподвижного наблюдателя скорость снаряда будет v = ( c + c ) (1 + c2 c2 ) = c S

S'

3.10 Аберрация. V v'

рис. 3.2

Пусть в системе S ′ движется тело со скоростью v ′ под углом θ к оси OX ′ . Найдем под каким углом к оси X это тело движется в системе S (рис. 3.2.). Поскольку v ′x = v ′ cosθ ′ и v ′y = v ′ sin θ ′ , то применяя формулы сложения скоростей (3.26.), находим V + v ′ cos θ ′ v ′ sin θ ′ vx = vy = Vv ′ ⎛ Vv ′ ⎞ 1 + 2 cos θ ′ γ ⎜1 + 2 cos θ ′⎟ ⎝ ⎠ c c (3.28)

18

Ошибка! Стиль не определен.

Откуда tg θ =

vy vx

=

sin θ ′ γ (cosθ ′ + V v ′)

(3.29)

В случае, если тело движется с предельной скоростью v ′ = c , например свет, можно легко получить выражения для sin θ Џ cosθ , заметив, что и в системе S скорость света также равна c. Тогда vy v sin θ ′ cos θ ′ + V c sin θ = = ; cos θ = x = (3.30) V c c ⎛ V ⎞ + cos θ 1 ′ γ ⎜1 + cos θ ′⎟ ⎝ ⎠ c c Этот случай называется световой аберрацией. Обратный переход получается заменой θ → θ ′, θ ′ → θ и V → −V v ′y sin θ v ′ cos θ − V c sin θ ′ = = ; cos θ ′ = x = (3.31) V c c ⎛ V ⎞ cos θ 1 − ′ γ ⎜1 − cjsθ ⎟ ⎝ ⎠ c c Пусть в космическом корабле произошла вспышка света. Нетрудно получить направления лучей в лабораторной системе: θ′ = 0 ⇒ θ=0

θ ′ = π 2 ⇒ sin θ = 1 − V 2 c 2 = 1 γ θ′ = π ⇒ θ =π

(3.32)

Видим, что свет, испущенный в переднюю полусферу, соберётся в конус sin θ ′ = 1 γ вокруг направления движения корабля. Это явление называют эффектом "фары". Явление аберрации искажает картину звёздного неба. Рассмотрим, что увидят наблюдатели в космическом корабле. Воспользуемся формулами (3.31) и учтем, что свет от звёзд падает на корабль, т.е. надо заменить c на - c. Пусть в лабораторной системе луч света падает на корабль по углом θ к направлению движения. Тогда в системе корабля sin θ sin θ ′ = (3.33) ⎞ ⎛ V γ ⎜1 + cos θ ⎟ ⎠ ⎝ c

Передняя полусфера неба соберется в системе отсчёта корабля в угол sin θ ′ = 1 − V 2 c 2 = 1 γ

(3.34)

Явление звёздной аберрации впервые наблюдал Бредли в 1725 году. В результате орбитального движения Земли относительно Солнца угол, под которым видны звёзды меняется в течение года на величину V/c~10-4. Пример нерелятивистской аберрации изменение направления падения капель дождя при движении наблюдателя.

3.11 Эффект Доплера. При наблюдении звёздного неба в движущегося космического корабля меняется не только распределение звёзд на небе, но и изменяется их цвет и яркость.

19

Ошибка! Стиль не определен.

Как известно, свет характеризуется частотой, длиной волны и скоростью распространения. Пусть волна возбуждается электронами движущимися в плоскости XV (т.е. z=0). Волна будет распространяться в направлении Z. Рассмотрим только электрическую компоненту поля. Пусть вблизи поверхности z=0 E=E0(t.). Тогда поле в точке с координатой z

E ( t , z ) = E0 ( t − z c )

(3.35)

т.е. равно полю у источника с задержкой z c . Пусть E0 = A cos ωt , тогда E ( t , z ) = A cos(ωt − kz )

(3.36)

где k = ω c . В заданной точке пространства поле меняется с периодом (фаза меняется на 2p) 2π T= (3.37)

ω

В то же время, при фиксированном t поле имеет "гребни" и "впадины" с пространственным периодом ( kλ = 2π ) 2π 2π λ= ⇒ k= (3.38) λ k С другой стороны, k = ω c , откуда следуют тривиальные соотношения

λ = cT ,

ωλ = 2πc

(3.39)

Пусть поле наблюдается в точке с радиус-вектором r , тогда z = r ⋅ cosθ и можно записать E ( t , r ) = A cos( wt − kr ) (3.40) Здесь k - волновой вектор, направленный в сторону распространения волны. Его модуль определен теми же соотношениями. Переходим, наконец, к нашей задаче - преобразованию частоты и волнового вектора волны при переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую. Представим себе, что источник в системе S ′ создаёт систему плоских волн, рас-пространяющихся из начала координат О' под углом θ ′ и характеризующуюся длиной волны λ ′ = λ0 и периодом T' = T0 (например короткие вспышки через время T0). Очевидно, что l0=cT0. Пусть первый фронт испустился при x ′ = x = 0 . К моменту очередной вспышки он будет в точке А (см. рис. 3.3). Сле-дующую волну в системе S источник создаст через время t=gT0 (фронт, проходящий через точку B). Длина волны, т.е. расстояние между фронтами, будет равна cT = λ = AB = OA − OB = ct − OC cos θ = ct − Vt cos θ = V = cγT0 (1 − cos θ ) c

Откуда

20

Ошибка! Стиль не определен.

V 1 γ = (1 − cos θ ) T0 T c

(3.41)

или

ω0 ≡ ω ′ = γω (1 −

V cos θ ) = γ (ω − k xV ) c

(3.42)

где kx - проекция волнового вектора на ось X. Заменой V → − V получаем обратное пребразование V ω = γω ′(1 + cos θ ) = γ (ω ′ − k x′V ) (3.43) c Изменение частоты при движении источника называют эффектом Доплера. Формулы (3.42), (3.43) являются решением задачи в случае, когда движущийся источник испускает волну, движущуюся со скоростью c. Из (3.42) получаем, что при θ = 0 1+V c ω0 = γω (1 − V c ) ⇒ ω = ω0 (3.44) 1−V c

В направлении перпендикулярном движению источника волны θ = π 2 ω = ω0 γ

(3.45)

Эффект Доплера существует и в классике при малых скоростях источника (изменение звука сирены движущегося автомобиля). Их нельзя получить из выше приведенных формул простой заменой скорости света на скорость звука, т.к. скорость звука, в отличие от света, привязана к среде и не является инвариантом при переходе из одной инерциальной системы в другую. Используя формулы (3.42) и (3.31) нетрудно получить формулы для преобразования вектора k. В дальнейшем учитывается что |k|=w/c и |k'|=w'/c V cos θ − ω⎛ V ⎞ c = γ (k − β ω ) k x′ = k ′ cos θ ′ = γ ⎜1 − cos θ ⎟ (3.46) x V ⎠ c⎝ c c 1 − cos θ c ω⎛ V ω sin θ ⎞ k ′y = k ′ sin θ ′ = γ ⎜1 − cosθ ⎟ = sin θ = k y c⎝ c ⎠ γ ⎛1 − V cosθ ⎞ c ⎟ ⎜ c ⎠ ⎝ k z′ =K = k z

(3.47)

Вспоминая определение четырехвектора (раздел 3.7), мы видим, что четверка чисел {w/c,k} есть четырехвектор и преобразуется по формулам Лоренца ⎧ω ⎫ ⎫ ⎧ω ′ (3.48) ⎨ , k ′⎬ = L⎨ , k ⎬ ⎩c ⎭ ⎭ ⎩c Приведем ещё один красивый вывод формул для преобразования ω и k . В системе источника S ′ волна имеет вид cos(ω ′t ′ − k ′x ′ ) . В "неподвижной" системе поле ~ cos(ωt − kx) . Заметим теперь, что там, где поле равно нулю, оно равно нулю в любой системе. Отсюда следует, что фазы волны являются инвариантом, т.е.

ωt − kr = ω ′t ′ − k ′r ′

(3.49)

21

Ошибка! Стиль не определен.

или

ωt − k x x + k y y + k z z = ω ′t ′ − k x x ′ + k y y ′ + k z z ′

Подставляя t ′ и x ′, y ′, z ′ , из преобразований Лоренца и приравнивая его сомножители при t , x , y, z в левой и правой частях равенства, получаем

ω ′ = γ (ω − k xV ), k x′ = γ ( k x − β

ω c

), k y′ = k y , k z′ = k z

(3.50)

что и решает поставленную задачу. Все эти формулы запоминать не надо. Достаточно помнить, что {w/c,k} - это четырёхвектор, который преобразуется как {ct,r}.

3.12 Ещё о четырехвекторах. Итервал и собственное время. Четырехвектор скорости. Ранее мы дали определение четырехвектору как четверке чисел, преобразующихся при переходе в другую инерциальную системе также, как и четырехвектор события R={ct,r} т.е.. A = { a0 , a1 , a2 , a3} - четырехвектор, если a0 = γ ( a0′ + βa1′ ), a1 = γ ( a1′ + βa0′ ), a2 = a2′ , a3 = a3′

(3.51)

Назовём скалярным произведением двух четырёхвекторов A = { a0 , a1 , a2 , a3} и B = { b0 , b1 , b2 , b3} величину

( AB ) = a0 b0 − a1b1 − a2 b2 − a3b3 ≡ a0b0 − ( ab)

(3.52)

Прямой подстановкой ai , bi выраженных через их значения в S ′ системе (формулы 3.51) нетрудно получить ( AB ) = a0b0 − a1b1 − a2 b2 − a3b3 = (3.53) = a0′ b0′ − a1′b1′ − a2′ b2′ − a3′b3′ ≡ ( A′ B′ ) = inv т.е., определенное нами скалярное произведение четырехвекторов является инвариантом преобразований Лоренца. Отсюда следует в частности, что A2 = inv,

( A − B )2 = inv

(3.54)

Пусть произошло два события R1 = { ct1 , r1} и R2 = { ct2 , r2 } . Назовём интервалом между событиями величину s 2 = ( R1 − R2 )2 = c 2 ( t2 − t1 )2 − (r2 − r1 )2 = inv

(3.55)

Если s2 > 0 , то интервал называется времениподобным, если s2 < 0 - то пространственноподобным. При s2 > 0 можно выбрать систему отсчёта, где события произошли в одной точке. Действительно, если r2 = r1 , то s 2 = c 2 ( t2 − t1 )2 > 0 . При s2 < 0 можно найти систему отсчёта, где события произошли одновременно. Действительно, если t2 = t1 , то s 2 = −( r2 − r1 )2 < 0 . Для причинно-связанных событий

22

Ошибка! Стиль не определен.

r2 − r1 = V( t2 − t1 )

(3.56)

где V скорость, с которой виновник событий переместился из одной точки в другую. Тогда s 2 = c 2 ( t2 − t1 )2 − V 2 ( t 2 − t1 )2 > 0 (3.57) т.е. интервал времениподобный. Пусть два события произошли рядом по координате и времени, тогда ds 2 = c 2 ( dt ′ )2 − ( dr ′ )2 = inv

(3.58)

Если ds2 > 0 , то можно найти систему, где ( dr ′ )2 = 0 , т.е. события произошли в одном месте, рядом с покоящимися там часами. Тогда ds 2 = c 2 dτ 2 , где t - собственное время. Из ds2 = inv следует, что c2 − V 2 2 c 2 dt 2 − dr 2 = c 2 dτ 2 ⇒ dt = dτ 2 c2 ⇒ dτ = dt 1 − V 2 c 2 = dt γ

(3.59)

Это мы уже получали. Но теперь мы знаем, что

ds 2 = c 2 dτ 2 = inv

(3.60)

Понятие интервала и собственного времени оказывается очень полезным для конструирования других четырехвекторов. Имея четырехвектор события R, можно попытаться построить четырехвектор скорости. Для этого его нужно продифференцировать по некоторой скалярной величине, имеющей размерность времени и инвариантной при преобразованиях Лоренца. Такой скаляр у нас есть - это собственное время (3.59). Определим 4-скорость соотношением dRμ uμ = (3.61) dτ Учитывая, что dτ = dt γ , находим компоненты u ⎫⎪ ⎧ cdt dr1 ⎫ ⎧⎪ c v uμ = {u0 , u} = ⎨ = , , ⎬ ⎬ ⎨ 2 2 1 − V 2 c 2 ⎪⎭ ⎩ dt γ dt γ ⎭ ⎪⎩ 1 − V c

Квадрат четырехскорости uμ2 = u02 − u 2 = c 2 = inv

(3.62)

(3.63)

является инвариантом при преобразованиях Лоренца, как и положено быть любому четырехвектору.

25

4. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА.

Существование в природе максимальной скорости движения очевидно должно привести к коренному пересмотру динамики. Вспомним сначала основные положения нерелятивисткой динамики. Интуитивно ясно, что сообщить скорость пушинке легче, чем большому камню. Свойство тела "сопротивляться" попыткам изменить его скорость называется инертностью тела. Мера инертности - это масса тела. Степень воздействия одних тел на другие характеризуется силой. Требуется, конечно, дать точные количественные определения. Существует несколько подходов к формулировке законов динамики. Рассмотрим два из них. Первый подход основан на законах Ньютона. В этом подходе предлагается ввести некоторый эталон силы. Это может быть, например, пружинка, растянутая на определенную длину. Указав направление силы, получим вектор эталонной силы. Различные силы, приложенные к одному и тому же телу, сообщают ему различные ускорения, причём было замечено, что ускорение пропорционально силе a∝F.

(4.1)

Утверждение о том, что ускорение пропорционально действующей силе, является содержанием второго закона Ньютона. Обозначив коэффициент пропорциональности через m, (4.1) можно записать как

F = ma = mr&&

(4.2)

Это вовсе не очевидное утверждение, а экспериментальный факт, справедливый только при малых скоростях. Одновременно второй закон Ньютона несёт в себе количественное определение массы тела. Также обобщением экспериментальных фактов является и третий закон Ньютона: силы взаимодействия двух материальных точек i и k равны по модулю и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки Fik = − Fki (4.3) Кроме этого, предполагается, что справедлив закон независимости действия сил, т.е. взаимодействие двух материальных точек не зависит от присутствия вокруг других частиц. Отсюда следует принцип суперпозиции сил - результирующая сила действующая на материальную точку является векторной суммой сил взаимодействия с каждой из окружающих материальных точек. Принцип суперпозиции справедлив в классике для точечных тел. На малых расстояниях, где работают законы квантовой механики, он нарушается. Для протяженных тел принцип суперпозиции не работает уже в классике. Действительно, сила взаимодействия точечного заряда с проводящей плоскостью возрастает вдвое, если рядом поместить второй такой же заряд. Из третьего закона Ньютона сразу следует закон сохранения импульса

m1a1 = − m2 a 2 ⇒ m1V1 + m2 V2 ≡ p1 + p2 = const

(4.4)

26

Ошибка! Стиль не определен.

Однако закон сохранения импульса и третий закон Ньютона - это не эквивалентные утверждения. Действительно, из закона сохранения импульса следует, что F12 = − F21 , но отсюда ещё никак не следует, что эти силы действуют вдоль линии соединяющей тела. Последнее утверждение, содержащееся в третьем законе Ньютона, следует из того факта, что в замкнутой системе не только сумма сил равна нулю, но и сумма моментов сил равна нулю. Тело, закрепленное на оси не начинает само по себе вращаться. Здесь проявляется свойство изотропности пространства - если начнет вращаться, то в какую сторону? Из симметрии следует, что тело будет оставаться в покое. Рассмотрим теперь альтернативный подход к определению массы и сил. Здесь первичным считается закон сохранения импульса, следующий из опытных фактов. Постулируется, что каждой частице можно приписать определенную массу m1, так что для замкнутой системы частиц

∑mV i

i

= const

(4.5)

Приняв некоторую массу m0 за эталонную, можно найти массы всех остальных частиц, исследуя их взаимодействие с эталонной частицей | V ′ − V0 | mi Vi + m0V0 = mi Vi ′ + m0 V0′ ⇒ m1 = m0 0 (4.6) | Vi ′ − Vi | В этом подходе сила определяется как производная по времени от импульса частицы dp F1 = i (4.7) dt Соотношения (4.5), (4.7) эквивалентны второму закону Ньютона. Третий закон Ньютона следует из (4.5) только частично dp1 dp ≡ F12 = − 2 = − F21 (4.8) dt dt Вывода о направленности сил вдоль линии соединяющей тела отсюда не следует. Происхождении этого закона мы уже обсуждали чуть раньше, связан он с изотропностью пространства. Обсудим еще одно на первый взгляд очевидное утверждение, об аддитивности масс, т.е. о том, что масса составного тела

m = m1 + m2

(4.9)

В физике даже такие "очевидные" основопологающие утверждения нужно доказывать. Оказывается, это правило сложения масс справедливо только при малых скоростях. Посмотрим, откуда берется вывод об аддитивности масс в классической механике. На основании закона сохранения импульса в системе с можно записать

m1V1 + m2V2 = m V

(4.10)

Перейдем теперь в систему отсчёта S ′ , движущуюся прямолинейно и равномерно относительно S со скоростью V . Согласно принципу относительности закон сохранения импульса справедлив и в S ′ системе

m1V1′ + m2V2′ = mV ′

(4.11)

Ошибка! Стиль не определен.

27

В нерелятивистской механике скорости в системах S и S ′ связаны преобразованиями Галилея v1′ = v1 − V , v2′ = v2 − V , v′ = v − V

(4.12)

Подставив (4.12) в (4.11) получаем

m1 ( v1 − V ) + m2 ( v2 − V ) = m ( v − V )

(4.13)

Учитывая (4.10), получаем

( m1 + m2 ) V = m V Отсюда получаем "закон" аддитивности масс m = m1 + m2

(4.14)

Этот закон для химических реакций был открыт Ломоносовым и Лавуазье. Через несколько страниц будет показано, что это не всегда верно.

29

5. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА.

В случае конечной скорости распространения взаимодействий (сигналов) при рассмотрении сил действующих между двумя удаленными телами нужно учитывать запаздывание. Рассмотрим такой пример. Пусть в системе отсчёта, где тела покоятся, сила между ними действует в течение некоторого времени, а затем исчезает. В движущейся относительно них системе отсчёта действие сил на первое и второе тело прекратится в разное время. Видим, что третий закон Ньютона не выполняется. На самом деле все взаимодействия в природе носят локальный характер. В данном примере два тела взаимодействуют между собой через третье тело - поле, тоже материальный об"ект. Учёт полей - это сложная задача, для электродинамики она решена. В некоторых случаях, например рассеяние частиц, задача упрощается. Можно считать, что до столкновения частицы не взаимодействовали и после взаимодействия тоже. Мы будем далее рассматривать в основном этот случай.

5.1 Релятивистский импульс. Ясно, что в релятивистском случае закон сохранения импульса в виде m1 v1 + m2 v2 = const

(5.1)

несправедлив, т.к. не содержит ограничения на максимальную скорость частиц. В нерелятивистском случае мы просто постулировали закон сохранения импульса при рассеянии частиц, взяв выражение для импульса в 3 4 виде p = m v . Будет ли вообще аналог закона сохранения импульса в релятивистском случае, если не вводить дополнительных постулатов? 1 2 Рассмотрим такую конструкцию. Два тела с большими массами 1 и 2 выстреливают по ðèñ. 5.1 легкому релятивисткому ядру, которые рассеявшись друг на друге застревают в массивных поглотителях 3 и 4 (рис. 5.1). Если наблюдать только за большими тела-ми, которые имеют нерелятивистские скорости, то для них можно записать равенство нулю суммарного импульса или

( − p1 ) + ( − p2 ) + p1′ + p2′ = 0

(5.2)

p1 + p2 = p1′ + p2′

(5.3)

Отсюда следует существование закона сохранения импульса для релятивистских частиц. В рассуждениях мы сделали только одно естественное предположение, что при выстреле покоящимся телом ядра импульс отдачи равен импульсу ядра. Теперь осталось найти выражение для релятивистского импульса, при котором закон сохранения импульса, записанный в одной из систем отсчёта, будет автоматически выполняться при переходе в любую другую инерциальную систему отсчёта. Мы рассмот-

30

Ошибка! Стиль не определен.

рим два подхода к этой задаче. Первый способ основан на поиске выражения для релятивистского импульса путем рассмотрения частных случаев взаимодействия частиц и требования инвариантности явления при переходе в другую систему отсчёта. Второй способ, более формальный, опирается на свойства четырехвекторов. Будем искать выражение для импульса в виде p = f (v ) m v

(5.4)

где f (v ) - некоторая функция скорости, стремящаяся к единице при v → 0 . Рассмотрим два поезда, движущиеся с равными скоростями навстречу друг другу (рис. 5.2). Y С поездов навстречу друг другу стреляют 2 ядрами, так что в сопутствующих поездам системах отсчёта скорость выпущенных ядер перпендикулярна направлению движения и равна vy. Ядра встречаются и слипаются. Из симметрии ясно, что в неподвижной системе импульс 1 X образованного тела равен нулю. Тогда в системе поезда 1 это тело не движется в поперечðèñ. 5.2 ном направлении и его поперечный импульс равен нулю. Отсюда суммарный поперечный импульс ядер до столкновения также равен нулю, т.е. mv y = mf (u ) vy′ (5.5) Здесь vy′ и u - соответственно вертикальная и полная скорость ядра, выпущенного с поезда 2, в системе поезда 1. Пусть относительная скорость поездов равна V, тогда из формул преобразования для y-скоростей (3.27) находим (vx ядра в системе своего поезда равна 0)

vy′ = vy 1 − V 2 c2

(5.6)

Из (5.5) и (5.6) следует

f (u ) 1 − V 2 c2 = 1

(5.7)

Устремим vy к нулю. Тогда u → V , а следовательно 1 f (V ) = 1 − V 2 c2

(5.8)

В результате получаем

p ( v) = f ( v ) m v =

mv 1 − v2 c2

(5.9)

Это и есть искомое выражение для импульса при произвольных скоростях. При этом закон сохранение импульса (смотри аргументацию выше) имеет вид mi vi = const (5.10) ∑ pi = ∑ 1 − vi2 c2

5.2 Релятивистская энергия.

31

Ошибка! Стиль не определен.

Рассмотрим распад тела с массой m на две части с массами m1 и m2 . В системе покоя исходного тела разлет происходит в противоположных направлениях (рис. 5.3). Рассмотрим теперь этот же процесс распада в системе отсчёта, имеющей поперечную к v1 и v2 скорость w (см. рис. 5.4) Закон сохранения для вертикальной компоненты импульса имеет вид m1w m2w Mw = + (5.11) 2 2 2 2 1 − u1 c 1 − u2 c Устремим w к нулю. Тогда u1 → v1 è u1 → v2 . Сократив обе части на w, получаем m1 m2 M = + (5.12) 1 − v12 c2 1 − v22 c2 т.е. исходная масса не равна сумме конечных масс и M > m1 + m2

(5.13)

Поскольку исходная масса могла бы распасться и на другие составляющие, то (5.12) можно переписать в виде m j c2 mi c2 (5.14) = ∑ ∑ i j 1 − vi2 c2 1 − v2j c2 Введем обозначение E=

mc 2 1− v c 2

2

= γmc 2

(5.15)

и назовем эту величину энергией частицы. К такому термину есть основания: при v → 0 mv 2 2 E = mc + (5.16) 2 т.е. энергия отличается от энергии в покое на нерелятивистскую кинетическую энергию. В этих терминах (5.14) можно записать в виде (5.17) ∑ Ei = ∑ E j - это закон сохранения энергии в релятивистском случае. При малых скоростях он переходит в нерелятивистский закон сохранения кинетической энергии. Кинетической энергией в общем случае можно назвать величину

M

M

ðèñ. 5.3

ðèñ. 5.4

32

Ошибка! Стиль не определен.

T=

mc 2 1− v c 2

2

− mc 2 = (γ − 1)mc 2

(5.18)

Таким образом мы получили релятивистский закон сохранения энергии. Рассмотрим некоторые фундаментальные и практические следствия. 1. При столкновении столкновении частиц с массами m1 и m2 может образоваться частица с массой M>>m1+m2. 2. Если в конечном состоянии сохраняются исходные частицы и рождаются новые, то можно сказать, что эти новые частицы образовались из "чистой" кинетической энергии. Пример такой реакции p+ p→ p+ p+ p+p (5.19) В этой реакции на ускорителе в 1955 году впервые наблюдали антипротон. 3. При распаде частицы выделяется кинетическая энергия ΔT = Mc 2 − ∑ mi c 2

В пределе "высвобождается" кинетическая энергия E = mc 2 (π 0 → γγ , e + e − → γγ ) . При поглощении нейтрона ядро U235 быстро разваливается на две части с испусканием нескольких нейтронов n + U235 → A1 + A2 + (2 − 3 ) n

(5.20)

При этом кинетическая энергия осколков T = ΔMc 2 ≈ ( M u − m Ai − m A2 )c 2 ≈ 0.001 ⋅ Mc 2

(5.21)

Еще большая энергия (до 0.4 % от Mc 2 ) выделяется в реакции синтеза легких ядер, например: d +T →α + n (5.22) В одном килограмме вещества E = mc 2 ≈ 10 17 Дж., в то время как энергия, выделяющаяся при сжигании 1 кг угля, составляет ~1.5.107 Дж. Таким образом, даже при использовании 0.1% от Mc2, масса топлива будет в ~ 5.106 раз меньше, чем при сжигании угля. Введем единицу измерения энергии электронвольт, часто используемую физиками. Электронвольт - это энергия, набираемая частицей с зарядом равным заряду электрона, при прохождении разности потенциалов один Вольт 1 эВ = eΔU = 16 . ⋅10 −19 Кул ⋅1В = 1.6 ⋅10-19 Дж. Производные единицы - КэВ ≡ 103 эВ , МэВ ≡ 10 6 эВ, ГэВ ≡ 109 эВ и т.д. В табл. 5.1 приведена энергия покоя некоторых частиц (данные на 1992 год) Таблица 5.1 частица

Мс 2 , МэВ

фотон (g) нейтрино электронное (ν e )

< 3 ⋅ 10 −33

электрон (е)

0.511

мюон (m)

105.7

< 7 ⋅ 10 −6

33

Ошибка! Стиль не определен.

пион нейтр. ( π 0 )

140

протон (p)

938.3

нейтрон (n)

939.6

Z-бозон

91200

5.3 Четырехвектор энергиимпульса. Можно по-другому подойти к вопросу об импульсе частицы в релятивистском случае. Предположим, при соударении тел (упругом и неупругом) имеет место закон сохранения импульса (5.23) ∑ pi = ∑ pj Этот закон должен быть справедлив в любой инерциальной системе, значит при преобразованиях Лоренца обе части должны преобразовываться одинаковым образом. В этом случае говорят, что закон имеет ковариантный вид. При p = m v такой ковариантности при релятивистских скоростях очевидно нет. Если бы P был 4-вектором, тогда ковариантность была бы гарантирована. Ведем четырех-вектор импульса путем замены обычной скорости v на 4-скорость um (см. 3.62) dR mc mv Pμ = = muμ = { p0 , p}; p0 = , p= (5.24) 2 2 dτ 1−V c 1 − V 2 c2 а закон сохранения импульса запишем как закон сохранения 4-импульса ∑ Pμ = ∑ Pμ′, μ = 0K3 . i

(5.25)

j

В нерелятивистском случае уравнения для пространственных компонент 4-импульса переходят в обычный нерелятивистский закон сохранения импульса. Ранее мы искали выражение для релятивистского импульса в виде p = f (v ) m v, где f (v ) такая, что закон сохранения импульса ковариантен при преобразованиях Лоренца. Определенный (5.24) p = γmv удовлетворяет этим требованиям. Однако, при этом выясняется, что дополнительно мы получаем еще один закон сохранения - закон сохранения для нулевой компоненты 4-импульса, который при нерелятивистских скоростях переходит в закон сохранения кинетической энергии. Величину mc 2 E = p0 c = (5.26) 1 − V 2 c2 называют релятивистской энергией, а mv p= 1 − V 2 c2

(5.27)

- релятивистским импульсом. Некоторые следствия, вытекающие из релятивистских законов сохранения, мы уже обсудили ранее. Заметим, что квадрат 4-импульса, как и положено, является инвариантом при преобразованиях Лоренца E2 2 P ≡ 2 − p2 = m 2 c2 = inv (5.28) c

34

Ошибка! Стиль не определен.

Также всегда справедливо соотношение Ev p= 2 c

(5.29)

Поскольку Pm - это по-определению 4-вектор, то закон преобразования известен V E = γ ( E ′ + Vp′), p x = γ ( p ′x + 2 E ′), p y = p′y , p z = p ′z ; c V E ′ = γ ( E − Vp), p ′x = γ ( p x − 2 E ), p′y = p y , p ′z = p′z ; c

(5.30) (5.31)

Найдем, как энергия связана с работой сил. По определению трехмерная сила это dp F = (5.32) dt Дифференцируя E 2 − p2 c2 = m 2 c2 (5.28), получаем EdE = c2 pdp , откуда с учётом (5.29), (5.32) dE pc2 dp = = ( vF ) (5.33) dt E dt Следовательно, как и в классике, изменение энергии равно работе сил. Несколько следствий. Для фотона m = 0, и из (5.28) получаем Eγ =| pγ | c

(5.34)

Электромагнитная волна состоит из фотонов с энергией (Планк, Эйнштейн) Eγ = hω

(5.35)

С учётом (5.34) их импульс pγ = hω c

{

Поскольку Eγ c , pγ

(5.36)

} - 4-вектор, то является 4-вектором и {ω c, k} , где | k |= ω c Отсюда

следуют все формулы (3.50) для эффекта Доплера (раздел 3.11)

ω ′ = γ (ω − k xV ), k x′ = γ (k x − β

ω c

), k ′y = k y , k z′ = k z

С помощью импульсов легко получить формулы для световой абберации Py p ′ sin ′ϑ sin ′ϑ = tg ϑ = = 1−V 2 c2 E V Px γ ( p ′x + 2 V ) + cosϑ ′ c c

(5.37)

(5.38)

5.3 Четырехвектор силы. Введем 4-вектор силы, дифференцируя 4-импульс по инвариантному собственному времени (3.59), dPμ ⎧ γ dE dp ⎫ ⎧ γ ( Fv ) ⎫ ,γ , γF ⎬ Fμ = =⎨ (5.39) ⎬=⎨ dτ dt ⎭ ⎩ c ⎭ ⎩ c dt При получении последнего равенства были использованы формулы (5.32), (5.33).

Ошибка! Стиль не определен.

35

К сожалению, отсюда непросто получить закон преобразования трехмерный сил, т.к. в 4-силе имеются сомножители, зависящие от скорости. Наиболее просто закон преобразования сил получается из определения трехмерной силы V V dp dE F γ ( − ) − (Fv ) x x 2 2 dp ′x c c (5.40) Fx′ = = = V Vv x dt ′ γ (dt − 2 dx) 1− 2 c c dp ′y , z dp y , z Fy 1 − V 2 c 2 (5.41) Fy′, z = = = V Vv x dt ′ γ (dt − 2 dx) 1− 2 c c Обратный закон преобразования получается заменой V → −V . Например, если тело покоится в S' системе, т.е v ′ = 0 , то сила в неподвижной системе S Fx = Fx′, Fy , z = Fy′, z 1 − V 2 c 2 (5.42) Нетрудно найти связь между силой F и ускорением a = dv dt в релятивистском случае dp d ( av )v F= = (γmv ) = mγa + mγ 3 2 (5.43) dt dt c При дифференцировании было учтено, что d ( v 2 ) d ( vv ) = = 2( va ) dt dt

Отсюда следует, что направление силы и ускорения не совпадают. Поэтому, в релятивистском случае нельзя ввести понятия релятивистской массы как коэффициента пропорциональности между F и a . Во многих учебниках пишут p = mv , где m = γm0 . Это неверно. Фактор γ , является независимым сомножителем в импульсе, а не отно-сится к массе. У частицы есть только одна масса - масса покоя.

5.4 Релятивистская ракета, равноускоренная в собственной системе отсчета. 5.4.1. Кинематика. В качестве интересного упражнения по теории относительности рассмотрим движение космического корабля, имеющего постоянное ускорение в собственной системе отсчёта, направленное вдоль скорости. Космонавты предпочитают лететь с комфортом и их корабль имеет ускорение g. В сопутсвующей системе отсчёта S ′ уравнение движения имеет вид Fx′ = max′ = mg (5.44) Найдем уравнение движения в системе Земли (S), относительно которой корабль имеет мгновенную скорость v. Из формулы преобразования сил (5.40) видим, что поскольку v' корабля равна нулю, то Fx = Fx′ Отсюда получаем уравнение движения в неподвижной системе

36

Ошибка! Стиль не определен.

dp d ≡ (γmv) = Fx = mg dt dt Интегрируя уравнение с учётом, что v = 0 при t = 0, находим gt v = gt ⇒ v = 1 − v2 c2 1 + g 2t 2 c2

(5.45)

(5.46)

Это выражение для скорости можно получить и по-другому, чисто кинематичски. Мы знаем ускорение в системе S ′ dvx′ =g (5.47) dt ′ Ускорение в неподвижной системе S

37

Ошибка! Стиль не определен.

⎛ V + v ′x ⎞ ⎟ d ⎜⎜ 2 ⎟ v′ ′ 1 + V v c dv x ⎠ x=→0 dv ′x = g = ⎝ 2 dt γ (dt ′ + Vdx ′ c ) γ 3 dt ′ γ 3

(5.48)

отсюда dv

(1 − v

2

c

)

2 32

⎛ ⎞ v ⎟ = gdt = gdt ⇒ d ⎜⎜ 2 2 ⎟ 1 v c − ⎝ ⎠

(5.49)

т.е. мы пришли к тому же уравнению движения (5.45), решение которого (5.46) v=

gt 1 + g 2t 2 c 2

⇒γ = 1 +

g 2t 2 c2

(5.50)

Используя разложение 1 + α ~ 1 + α 2 • рЏ α << 1 , получаем ⎛ g 2t 2 ⎞ ⎟ gt c << 1 v ≈ gt ⎜⎜1 − 2 ⎟⎠ ⎝ ⎛ c2 ⎞ v ≈ c⎜⎜1 − 2 2 ⎟⎟ gt c >> 1 ⎝ 2g t ⎠ Путь, пройденный кораблем в неподвижной системе t gt dt c2 ⎛ g 2t 2 ⎞ ⎜ 1 + 2 − 1⎟ x=∫ = ⎟ g ⎜⎝ c 1 + g 2t 2 c 2 ⎠ 0

(5.51)

(5.52)

При gt c << 1 x = gt 2 2

(5.53)

gt c >> 1 c 2 ⎛ gt x ≈ ⎜⎜ g⎝ c

⎞ c2 c3 c2 c2 ⎟ ~ ct − + 1 − 1⎟ ≈ ct + 2 − 2g t g g 2t 2 g ⎠

(5.54)

Предположим, что через время T после старта ракеты вслед ей с Земли посылают световой сигнал. Пройденный им путь x = c (t − T ) = ct − cT

(5.55)

Сравнивая с (5.54), видим, что при T > c g свет никогда не догонит ускоряющийся космический корабль! При g=103 см/сек T=c/g=3.107 сек≡1 год. Космонавты всё время будут "видеть" изображение Земли, но движение на ней будет замедляться, и в пределе они будут видеть застывшую картинку Земли, "состарившуюся" всего на 1 год. Найдем теперь время t, прошедшее по часам на корабле. В соответствии с (3.3) или (3.59) dτ = dt 1 − V 2 c 2 = 1 γ

(5.56)

38

Ошибка! Стиль не определен.

Подставляя сюда γ из (5.50), получаем t

τ =∫ 0

≡

и наоборот

dt 1 + g 2t 2 c 2

=

c ⎛ gt ⎞ arcsh ⎜ ⎟ ≡ ⎝ c⎠ g

(5.57)

c ⎛ gt ⎞ ⎜ ln + 1 + g 2 t 2 c 2 ⎟ ⎝ ⎠ g c

(5.58)

gt ⎛ gτ ⎞ = sh⎜ ⎟ ⎝ c ⎠ c

(5.59)

При gt c << 1 ,

τ ≈t gt c >> 1

τ≈

c 2gt ln g c

(5.60)

Подставляя (5.59) в (5.50), находим скорость и путь по часам на корабле gt gτ = th v= 2 2 2 c 1+ g t c x=

c 2 ⎛ gτ ⎞ − 1⎟ ⎜ ch ⎠ g⎝ c

(5.61) (5.62)

При gt c >> 1 c 2 gτ c e 2g c 2 gx τ = ln g c x=

(5.63) (5.64)

График движения для g = 10 3 – “ – ( – g = 1 t 1год 10 лет 10 10 лет

t 0.88 года 3 года 23 года

‹”Љ ) приведен в табл.5.2

v 0.7 c 0.995 c ~c

x 0.41 свет года 9.05 свет.года 10 10 св.лет

Последняя строка соответствует достижению видимого горизонта вселенной (с более удаленных областей свет ещё до нас не дошел). Космонавтам на это путешествие понадобится всего 23 года!

5.4.2 Расход горючего. Найдем, сколько потребуется топлива космическому кораблю. Сначала решим задачу для нерелятивистского случая.

39

Ошибка! Стиль не определен.

Ускорение ракете сообщают выброшенные назад продукты горения. Пусть их скорость относительно ракеты равна u0. Перейдем в систему ракеты. Из сохранения импульса (опускаем величины второго порядка малости) mΔV = Δmд u 0 (5.65) где M - текущая масса ракеты, v - скорость ракеты, Δm д - масса порции выброшенного газа, равная убыли массы ракеты - Δm Отсюда получаем уравнение dm dv =− m u0

(5.66)

решение которого. m = m0 exp( − v u0 )

(5.67)

Это знаменитая формула Циолковского, дающая связь между оставшейся массой ракеты и набранной скоростью. В табл. 5.3 приведено отношение m0/m в зависимости от скорости истечения газов при достижении ракетой первой космической скорости v = 8 км/сек Табл. 5.3 u0 ђ“ – Њђ 1 2 3 4 m0 m 2980 54.6 14.5 7.4 Скорость u0 определяется жаропрочностью двигателя u0 ~ T , при T = 3000 0

(

)

молекулы H2O (кислородно-водородный двигатель) имеют скорость ~2 км/сек. Найдем решение этой задачи в релятивистском случае. Перейдем снова в системе ракеты ( S ′ ). Из закона сохранения импульса при выбросе очередной порции "газов" mdv ′ = dm д u 0γ д , γ д = 1 1 − u 02 c 2 (5.68) Здесь мы сразу предположили, что скорость истечения газов может быть релятивист-ской. Из закона сохранения энергии находим − d (mc 2 ) = dmдγ д c 2 + m(dv′) 2 2 (5.69) Опуская член второго порядка, получаем dmдγ д = −dm

(5.70)

Подставляя (5.70) в (5.68), находим уравнение движения в системе ракеты mdv ′ = − u0 dm

(5.71)

Найдем связь между dv′ и приращением скорости в неподвижной системе Земли. Для этого продифференцируем формулу сложения скоростей ⎛ V + v x′ ⎞ vx′ →0 V2 2 (5.72) dv = d ⎜ 2 ) = dv x′ γ 2 ⎟ ⇒ dv x′ (1 − c ⎝ 1 + v xV c ⎠ Подставляя найденную связь dvx′ с dv x в (5.71) получаем dm dv =− m u0 (1 − v2 c2 )

(5.73)

откуда

m ⎛1− v c⎞ =⎜ ⎟ m0 ⎝ 1 + v c ⎠

c 2 u0

(5.74)

40

Ошибка! Стиль не определен.

Это и есть решение задачи Циолковского в общем случае. Из полученной формулы видно, что самым экономичным является фотонный двигатель. При u0=c m 1−v c = (5.75) m0 1+v c Вернемся снова к движению равноускоренной ракеты, в которой мы хотели долететь до "горизонта". Пусть ракета имеет фотонный двигатель. Конечную массу ракеты можно найти подставив v из формулы (5.50 ) в (5.75), однако мы поступим иначе. Импульс, уносимый порцией света в системе корабля (dm)c (5.76) dpγ′ = dEγ′ c = − dτ где dm - убыль массы корабля. Такой же импульс приобретет корабль в сопутствующей системе. Действующая на корабль cила (dm)c dp ′ = mg = − (5.77) F′ = dτ dτ откуда

m = m0 exp(− gτ c)

(5.78)

41

Ошибка! Стиль не определен.

Для путешествия до горизонта вселенной с ускорением g потребуется 23 года в системе корабля (табл.5.2). Учитывая, что c/g = 1 год, получаем m = e−23 (5.79) m0 Если вначале ракета имела размер Земли (R = 6400 км), то в конце путешествия останется шарик диаметром 30 см - размер футбольного мяча!.

5.5 Столкновения и распады частиц. 5.5.1 Упругие столкновения. Все задачи на столкновения и распады решаются на основании закона сохранения 4импульса. В случае упругого столкновения двух частиц с массами m1 и m2 закон сохранения 4импульса имеет вид P1 + P1 = P2′ + P2′ (5.80) Будем обозначать 4-импульсы большой буквой P = {E c , p} . Уравнение, записанное в форме (5.80) означает на самом деле четыре уравнения. Однако, часто удобней оперировать с целыми 4-векторами. Для упрощения вычислений иногда полагают с = 1. В конце вычислений всегда видно, где по размерности нужно добавить c. Пусть частицы движутся навстречу друг другу с энергиями E1 и E2 и задан угол рассеяния первой частицы ☺ . Нужно найти энерðèñ. 5.5 гию этой частицы. Параметры второй частицы после этого находятся простым вычитанием. В принципе, можно записать закон сохранения по-компонентно. Получится 3 уравнения (одно уравнение для сохранения импульса в направлении, перпендикулярном плоскости разлета, выпадает). Имеется также три неизвестных | p1′ |, | p2′ | и ϑ 2 , так что система однозначно разрешается. Однако, эту задачу можно решить проще. Исключим одним шагом 2 неизвестные величины, относя-щиеся ко второй частице ( P2′)2 = ( P1 + P2 − P1′)2 = m22 ( c = 1 ) (5.81) после чего осталось одно уравнение с одной неизвестной | p1 |, которое легко решить. Рассмотрим, для примера, рассеяние фотона на летящем навстречу электроне (эффект Комптона, рис. 5.5). Вначале электрон и гамма квант имели 4-импульсы

{

}

Pe = { Ee ,− pe ,0,0} , Pγ = Eγ , pγ ,0,0

при этом | p e |≡ p e = E e2 − m 2 , | pγ |= Eγ . В соответствии с (5.81) ( Pe + Pγ − Pγ′ ) 2 = m 2 или

42

Ошибка! Стиль не определен.

Pe2 + Pγ2 + Pγ′ + 2 Pe Pγ − 2 Pe Pγ′ − 2 Pγ Pγ′ = m 2 2

(5.82)

Учитывая, что ( AB ) = a0b0 − ab, имеем Pe2 = m2 , Pγ2 = Pγ′2 = 0 ,

Pe Pγ = Ee Eγ + pe pγ = Eγ ( Ee + pe ), Pe Pγ′ = Ee Eγ′ + pe Eγ′ cosϑ , Pγ Pγ′ = Eγ Eγ′ − Eγ Eγ′ cosϑ

(5.83)

В результате подстановок в (5.82) получаем Eγ ( Ee + pe ) − Ee Eγ′ − pe Eγ′ cosϑ − Eγ Eγ′ + Eγ Eγ′ cosϑ = 0 Откуда (возвращаем "с" на место) получаем энергию фотона после рассеяния Ee + pe c Eγ′ = Eγ Ee + pe c cosϑ + Eγ − Eγ cosϑ

(5.84)

(5.85)

Рассмотрим интересный случай - обратное комптоновское рассеяние света лазера на ультрарелятивистском электроне: ϑ = π , E e m >> 1 . В этом случае в числителе (5.85) можно положить pec = Ee , а в знаменателе заменим pec на Тогда ответ преобразуется к виду 4 Ee Eγ x , где x = 2 4 Eγ′ = Ee x +1 mc

Ee2 − m 2 c4 ≈ Ee −

m 2 c4 . 2 Ee

(5.86)

Например: Ee = 100 Гэв, Eγ = 2.5 эВ (видимый свет), тогда x = 4 и Eγ′ = 80 ГэВ, т.е. 80 % энергии электрона перешло фотону. Этот метод используется для получения высокоэнергичных фотонов. 5.5.2 Распад частиц.

1. Сначала рассмотрим распад покоящейся частицы с массой M на две частицы с массами m1 и m2. Закон сохранения 4-импульса при распаде имеет вид P = P1 + P2

(5.87)

Из сохранения нулевой компоненты (энергии) следует, что распад возможен при (с = 1)

M = E1 + E2 > m1 + m2

(5.88)

Найдем энергию первого осколка. Из (5.87) имеем ( P − P1 )2 = P22 = m22

(5.89)

Учитывая, что P = { M ,0}, P1 = { E1 , p1} , получаем M 2 − 2 ME 1 + m12 = m22

откуда (возвращаем "с") M 2 + m12 − m22 2 c E1 = 2M и из симметрии (1 ↔ 2)

(5.90)

(5.91)

43

Ошибка! Стиль не определен.

E2 =

M 2 + m22 − m12 2 c 2M

(5.92)

Это решение в системе покоя распадающейся частицы. 2. Пусть теперь первичная частица движется со скоростью V и при распаде одна из возникших частиц с массой m=m1 имеет в системе центра инерции (ц.и.) энергию E0 ≡ E1 , импульс p0 = E02 − m 2 (полученные выше) и вылетает под углом ϑ 0 относительно линии движения. В лабораторной (неподвижной) системе импульс этого осколка E ⎞ ⎛ px = γ ⎜ p0 cos ϑ0 + 20 V ⎟ ; p y = p0 sin ϑ0 ; γ = 1 1 − V 2 c 2 (5.93) ⎝ c ⎠ откуда 2 E ⎞ ⎛ ⎜ px − γ 20 V ⎟ p 2y ⎝ c ⎠ + 2 =1 (5.94) p0 (γp0 )2 т.е. возможные значения импульса px , py лежат на эллипсе. При этом γp 0 - большая полуось, p0 - малая полуось, gE0V/c2 - сдвиг центра эллипса вдоль оси px (рис. 5.6). Если сдвиг меньше большой полуоси, то каждому углу ϑ соответствует одно решение. Для этого необходимо иметь p c2 EV γ 02 < γp0 ⇒ 0 ≡ v0 > V (5.95) E0 c

т.е. скорость движения осколка в системе ц.и. должна быть больше скорости распадающейся частицы. В противоположном случае, v0 < V , будет картина, показанная на рис.5.7, при этом одному углу соответствуют два возможных значения |p| осколка. В этом случае существует максимальный угол ϑ m (касательная к эллипсу). Найдем зависимость энергии осколка Е от угла ϑ . Из преобразований 4-импульсов следует (с = 1) E 0 = γ ( E − pV cosϑ ), p = E 2 − m 2

(5.96)

Отсюда для E получаем квадратное уравнение E 2 (1 − V 2 cos 2 ϑ ) − 2 EE0 1 − V 2 + E02 (1 − V 2 ) + V 2 m 2 cos 2 ϑ = 0

(5.97)

Написать ответ не представляет труда (писать не будем). Максимальный угол соответствует случаю равенства нулю дискриминанта уравнения. Из этого условия после несложных выкладок получается

p

ðèñ. 5.6

ðèñ. 5.7

44

Ошибка! Стиль не определен.

m 2 − E02 (1 − V 2 ) m 2V 2 (1 − V 2 )( E02 − m 2 ) p02 (1 − V 2 ) ⇒ sin 2 ϑm = = m 2V 2 m 2V 2 cos 2 ϑm =

или sin ϑm =

v 0γ 0 , Vγ

(5.98)

где γ = 1 1 − V 2 c 2 , γ 0 = 1 1 − v02 c 2 . .Њ. v 0 < V , как и было установОчевидно, что решение существует при sin ϑ m < 1, лено ранее. Можно эту же задачу о максимальном угле при распаде решить более простым способом. Если в системе ц.и. частица вылетает под углом ϑ 0 , то в лабораторной системе tg ϑ =

p0 sin ϑ0 sin ϑ0 = 2 γ ( p0 cosϑ0 + E0V c ) γ (cosϑ0 + V v0 )

(5.99)

Найдем max(tgϑ ) , приравняв tg ′ϑ = 0 . Легко получить, что это происходит при cosϑ0 = − v0 V . Отсюда v0 γ v (5.100) tg ϑ m = ⇒ sin ϑm = 0 0 2 2 γV γ V − v0 3. В качестве примера рассмотрим распад π 0 - мезона на два γ - кванта. Скорость π 0 - мезона V всегда меньше v0 = c , т.е. решение однозначно и нет предельного угла. Из формулы преобразования энергии (5.31) V E (1 − cosϑ ) c , E0 = mπ c 2 2 E0 = (5.101) 2 2 1−V c получаем E0 1 − V 2 c 2 E= V 1 − cosϑ c

(5.102)

Геометрическое место точек (E, ϑ ) есть эллипс r = p (1 − e cos ϕ ) . Из (5.102) находим максимальную и минимальную энергию фотонов

ϑ = 0 ⇒ E = Emax

E0 1 − V 2 c 2 mπ c 2 1 + V c = = V 2 1−V c 1− c

ϑ = π ⇒ E = E min =

E 0 1 − V 2 c 2 mπ c 2 1 − V c = V 2 1+V c 1+ c

(5.103)

(5.104)

45

Ошибка! Стиль не определен.

Найдем спектр по энергии фотонов в лабораторной системе. В системе покоя π 0 распределение по углу вылета фотона изотропно (для других частиц может быть и подругому) dΩ 0 2π sin ϑ0 dϑ0 1 dP (вероятность) = (5.105) = = − d (cosϑ0 ) 4π 4π 2 Из формулы

E = γE0 (1 +

V cosϑ0 ) c

(5.106)

находим cosϑ0 = (

E c − 1) γE0 V

(5.107)

cdE VγE0

(5.108)

откуда

d (cosϑ0 ) =

Подставляя (5.108) в (5.105) получаем энергетическое распределение фотонов в лабораторной системе отсчёта c 1 dP = − ⋅ ⋅ dE (5.109) 2V γE0 т.е. спектр равномерный от Emin до Emax . Найдем угловое распределение в лабораторной системе отсчёта. Исходным снова является угловое распределение фотонов в системе ц.и., в данном случае изотропное (5.105). Для световой абберации (3.31) cosϑ − V c cosϑ0 = (5.110) V 1 − cosϑ c откуда d (cos ϑ0 ) =

d (cos ϑ ) ⎛ V ⎞ γ ⎜1 − cos ϑ ⎟ c ⎝ ⎠

2

(5.111)

2

Подставляя последнее выражение в (5.105) получаем искомое угловое распределение. Зная угловое распределение в системе ц.м. и используя формылы преобразования углов можно найти угловые распределения для любого распада.

5.5.3 Неупругие столкновения, пороги рождения частиц, встречные пучки. 1. Общий подход При неупругом столкновении (слипании) двух частиц с массами m1 è m2 и 4-им-

пульсами P1 = { E1 , p1} , P2 = { E2 , p2 } образуется частица с массой

M 2 c4 = P 2 = ( P1 + P2 )2 = ( E1 + E2 )2 − ( p1 + p2 )2

2. Столкновение движущейся частицы с покоящейся.

(5.113)

46

Ошибка! Стиль не определен.

E = E1 + E2 = E1 + m2 c2

p = p1 + p 2 = p1 Образовавшаяся частица движется со скоростью c2 p p1 c2 V = = E E1 + m2 c2

(5.114)

(5.115)

Ее масса M 2 c 4 = ( E1 + m2 c 2 ) 2 − p12 = m12 c 4 + m22 c 4 + 2 E1 m2 c 2 ⇒ M 2 = m12 + m22 + 2 E1 m2 / c 2

(5.116)

Пример. Антипротон был впервые наблюдаем в реакции

p+ p→ p+ p+ p+ p

(5.117)

при соударении с неподвижной мишенью протонов, выпущенных из ускорителя. Найдем минимальную энергию протонов, при которой идет данная реакция. Масса конечных частиц на пороге рождения M = 4 m p ( m p - масса протона). Тогда из (5.116) находим E1 = 7 m p c 2 ≈ 6.5

дэе

(5.118)

Специально под эту задачу был построен ускоритель и в 1955 году на нем был открыт антипротон. При столкновении с неподвижной мишенью энергия налетающей частицы идет как на "создание" массы порождаемой частицы, так и на её кинетическую энергию. При этом доля энергии, идущая на создание массы, падает с ростом энергии: Mc 2 ∝ E1

m2 c2 E1

(5.119)

3. Встречные пучки. При слипании частиц с энергиями E0 и нулевым суммарным импульсом образуется частица с массой Mc 2 = 2 E0 (5.120) при этом вся энергия переходит в энергию покоя конечной частицы. Для рождения одной и той же частицы с массой М на ускорителе с неподвижной мишенью и на встречных пучках в первом случае потребуется существенно большая энергия: из (5.116), (5.120) находим E1 M 2 − m12 − m22 = E0 Mm 2 При m1 = m2 = m è M >> m

E1 E0 ≈ M m

(5.121)

Первый ускоритель со встречными электрон-электронными пучками, построенный в 1964 году в Новосибирске, имел энергию E0 ~ 200 МэВ и диаметр около 1 м. Для получения тех же эффектов при соударении с неподвижной мишенью был бы необходим ускоритель с энергией

Ошибка! Стиль не определен.

E1 = 200

47

2 ⋅ 200 = 160000 МэВ = 160 ГэВ 0.5

Размеры кольцевого электронного ускорителя с такой энергией составили бы несколько десятков километров. Максимальная энергия в e+ e− - столкновениях, достигнутая к настоящему времени, составляет 2E0=100 ГэВ, в pp- соударениях - 2E0=2000 ГэВ. Самая массивная из открытых частиц, Z 0 - бозон, имеет массу M = 92 ГэВ/ c2 .

49

6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. СИЛА ЛОРЕНЦА.

6.1 Инвариантность заряда. Плотность заряда и плотность тока в разных системах отсчёта. Законы электромагнетизма были установлены экспериментально. В их формулировке наибольшая роль принадлежит ряду замечательных ученых: К.Гаусу (1777-1855), А.Амперу (1775-1836), М.Фарадею (1791-1867). Полное завершение теория электромагнитных явлений получила в 60-ых годах XIX века в работах Д.Максвелла (18311879). Однако природа этих законов оставалась загадочной. Специальная теория относительности позволила объяснить все электромагнитные явления, опираясь только на два фундаментальных экспериментальных факта: 1. Закон Кулона. В природе существуют электрические заряды и сила взаимодей-ствия между неподвижными зарядами qq F = 1 22 (6.1) r 2. Величина электрического заряда не зависит от скорости. Второй постулат вытекает из электрической нейтральности атомов. Заряд атома водорода, как следует из эксперимента, составляет менее 10-20e (е-заряд электрона). Скорость электронов в атоме водорода V/c~10-2. Если бы заряд как-то менялся за счет эффектов теории относительности, то можно было бы ожидать Dq/q~1/g=10-4. Плотность зарядов зависит от системы отсчёта. Действительно, пусть в покоящемся цилиндре длиной l 0 и сечением S0 содержится заряд с объёмной плотностью ρ 0 . При движении цилиндра со скорость v , параллельной оси цилиндра, сечение остаётся неизменным S = S 0 , а длина сократится: l = l0 1 − v 2 c2 . Из условия сохранения заряда получаем

ρ=

ρ0

(6.2)

1− v2 c2

Плотность тока j = ρv =

ρ0 v

(6.3)

1 − v2 c2

Нетрудно видеть,что {ρ 0γc, ρ 0γv} = {ρc, ρv} является 4-вектором (зависимость от скоростей как у 4-импульса), т.е. преобразуется по правилу Vv 1 − 2x V c ρ ′ = γ ( ρ − 2 j) = ρ (6.4) c 1−V 2 c2 j ′x = γ ( j x − ρV )

,

j ′y = j y , j ′z = j z

Обратное преобразование получается заменой V на -V.

(6.5)

50

Ошибка! Стиль не определен.

6.2 Взаимодействие движущегося заряда с током. Известно, что на движущийся заряд действует магнитное поле, создаваемое током. Попытаемся понять природу такого взаимодействия. Рассмотрим цилиндр, в котором положительные заряды с плотностью r движутся V вправо со скорость V, а отрицательные с q плотностью -r - влево с той же скоростью (рис.6.1). Ясно, что в целом цилиндр является нейтральным и не действует на покоящиеся v v относительно него заряды. Пусть параллельно оси цилиндра (проводника) движется заряд q со скоростью V. Будет ли на него действовать сила? Для ответа на этот вопрос перейдем в систему движущегося заряда. В этой системе отсчёта в соответствии

ðèñ. 6.1

с формулой (6.4) плотности зарядов будут

ρ +′ = γ ( ρ + −

vV V j ) = γρ (1 − 2 ) 2 + c c

ρ −′ = γ ( ρ − −

V vV j ) = −γρ (1 + 2 ) 2 − c c

Здесь мы учли, что ρ + = ρ , плотность зарядов будет

ρ − = −ρ,

δρ ′ = ρ +′ + ρ −′ = −

2γρvV c2

j + = ρ + v = ρv,

(6.6) (6.7) j − = ρ − (− v ) = ρv . Суммарная

(6.8)

Видим, что в системе отсчёта, сопутствующей движущемуся заряду q, проводник имеет отличную от нуля плотность зарядов, а стало быть создает электрическое поле и притягивает заряд q! Этим и объясняется природа сил, действующих на движущиеся заряды. Найдем эту силу в данном случае. Пусть расстояние от оси проводника до заряда q равно r. Оно не изменяется при переходе в систему покоя заряда q. В курсе электричества показывается (следует из закона Гаусса), что линейный проводник создает электрическое поле 2λ E= (6.9) r где λ - линейная плотность зарядов. В нашем случае сила притяжения будет равна 2δρ ′S 4γρvVS Fy′ = q=− q (6.10) r rc 2 Переведем эту силу в неподвижную относительно проводника систему, воспользовавшись формулой преобразования сил (5.41). Поскольку v'x заряда q в его системе покоя равна нулю, то 2 IV 4 vVS (6.11) Fy = Fy′ =− q=− 2 q 2 rc rc Мы здесь учли, что полный ток в лабораторной системе равен

51

Ошибка! Стиль не определен.

I = 2 ρvS

(6.12)

Эту силу можно записать в виде 2I V | F | = q B, B= c rc

(6.13)

Величину В называют магнитным полем. Сравнивая с (6.9), видим, что v | B | =| E | c

(6.14)

Через несколько страниц будут получены формулы для электромагнитных сил в общем виде. Небольшое замечание. Для упрощения рассуждений мы предположили, что ток создается положительными и отрицательными зарядами, движущимися с равными скоростями в противоположных направлениях. В реальном же проводнике положительные заряды практически неподвижны и ток создается электронами. Не возникнет ли нескомпенсированного заряда уже в лабораторной системе? Ответ становится очевидным, если рассмотреть замкнутый проводник.

6.3 Электричское поле движущегося заряда. Рассмотрим взаимодействие покоящегося заряда q с зарядом Q, движущимся со скоростью V (рис.6.2). На заряд q действует сила q (6.15) F = qE где E - по определению есть электрическое поле, создаваемое движущимся зарядом Q. Это поле можно найти, рассмотрев взаимодействие зарядов в системе покоя заряда Q. В этой системе ( S ′ ) заряд Q создает вокруг себя поле Qr E′ = 2 r′

v Q ðèñ. 6.2

и на заряд q действует сила F ′ = qE ′ = q ( Ex′ i + Ey′ j + Ez′ k )

(6.16) (6.17)

Возвращаясь к исходной системе отсчета, где заряд Q движится вдоль оси OX со скоростью V, получаем из (5.41) с учётом v′ = − V i Fy′ Fz′ Fx = Fx′ , Fy = , Fz = (6.18) 2 2 2 2 1−V c 1−V c Отсюда, поле движущегося заряда E x′ = E x′ , E y = или Ex =

E ′y

1−V 2 c2

, Ez =

E z′ 1−V 2 c2

Qx ′ Qy ′ Qz ′ , E y = γ 3 , Ez = γ 3 3 r′ r′ r′

где r ′2 = x ′2 + y ′2 + z ′2 . Учитывая, что x ′ = γ ( x − Vt ),

(6.19)

(6.20) y ′ = y, z ′ = z , получаем

52

Ошибка! Стиль не определен.

E|| = E x = E⊥ =

[γ

Qγ ( x − Vt ) 2

( x − Vt ) 2 + y 2 + z

]

2 32

=

Qγr|| (r γ + r⊥ ) 3 2 2 ||

2

Qr⊥ (r γ + r⊥2 ) 3 2 2 ||

2

(6.21) (6.22)

где r|| = x − Vt , r ⊥ = y2 + z2 . Здесь E|| - составляющая напряженности поля движущегося заряда, параллельная вектору скорости, E⊥ - составляющая напряженности поля, перпенцикулярная V (ось Х||V). Нетрудно видеть, что r E|| x − Vt = = || (6.23) r⊥ E⊥ y 2 + z2 т.е электрическое поле движущегося заряда центральное и вектор напряженности поля E направлен радиально из точки, где в данный момент находится заряд Q. Прямо по движению заряда (y=z=0) поперечная компонента поля обращается в нуль, а продольная Q Q (6.24) = 2 2 E|| = 2 2 γ ( x − Vt ) r|| γ В направлении перпендикулярном движению заряда x − Vt = 0 , поэтому продольная компонента поля равна нулю, а поперечная Q E⊥ = γ 2 (6.25) r⊥ Из двух последних формул следует, что при малых скоростях движения поле почти сферическое, а при больших - сильно "деформируется", сжимаясь в продольном направлении в g2 раз и увеличиваясь в поперечном направлении в раз.

6.4. Взаимодействие движущихся зарядов. Предположим теперь, что оба заряда движутся, Q со скоростью V вдоль оси X, а q - с некоторой скоростью v (рис.6.4). Мы уже знаем из раздела 6.2, что, кроме чисто кулоновского притяжения, на заряд q будет v действовать сила, зависящая от скорос-тей обоих q зарядов. Перейдем опять в систему отсчета, движущуюся вместе с зарядом Q. В этой системе V на заряд q будет действовать ку-лоновское поле (6.16) заряда Q. Подставляя кулоновскую силу Q (6.17) в закон преобразова-ния сил (5.41), получаем силу, действующую на заряд q в ðèñ. 6.4 исходной лабораторной системе отсчета

Fx = q

V V ⎛ v ′xV ⎞ ⎜ − 2 E x′ + 2 (E′v) ⎟ 2 c = qE ′ + q⎜ c c ⎟= x v ′xV v′xV ⎜ ⎟ 1+ 2 1+ 2 ⎜ ⎟ c c ⎝ ⎠

E x′ + (E′v ′)

53

Ошибка! Стиль не определен.

V ( Ey′ vy′ + Ez′vz′ ) 2 c qEx′ + q v′ V 1 + x2 c

v ′y ,z , то ⎛ v x′V ⎞ γ ⎜1 + 2 ⎟ ⎝ c ⎠ V (Vv) Fx = qE x + q 2 (Ev ) − qE x 2 c c

(6.26)

Поскольку Ex = Ex′, E y ,z = γE ′y ,z , v y ,z =

(6.27)

Учитывая далее, что (5.41) Fy′, z = Fx , y

1−V 2 c2 vV 1 − x2 c

получаем Fy , z = Fx′, y

v xV vV 1 − x2 2 ( vV ) c c = qE ′y , z = qE y , z − qE y , z 2 c 1−V 2 c2 1−V 2 c2 1−

Выражения (6.27) и (6.28) можно записать в векторном виде V (Ev ) ( vV ) F = qE + q − qE 2 2 c c

(6.28)

(6.29)

В среднем слагаемом мы заменили V на V , т.к. ясно, что V (по сути Vx ) связано с выбором направления движения заряда Q. В векторном виде здесь должна стоять V . Применяя тождество a × b × c ≡ b( ac) − c ( ab) окончательно получаем F = q (E +

v × B) c

где введено обозначение ⎡V ⎤ B = ⎢ × E⎥ ⎣c ⎦

(6.30)

(6.31)

Полученная сила -это знакомая всем сила Лоренца, а B - магнитное поле. Направление полей E и B показаны на рис. 6.3. Поскольку магнитная составляющая силы Лоренца перпендикулярна скорости, то рабо-ты над движущемся зарядом она не совершает.

54

E

Ошибка! Стиль не определен.

B

V

6.5 Преобразования полей. Пусть система S ′ как всегда движется относительно S со скоростью V вдоль оси X. Найдем связь между электрическими и магнитными полями в этих системах. В

ðèñ. 6.3 системах S и S ′ dp = qEdt + q

[dr × B] , c

dε = qEdr

(6.32)

Здесь E - напряженнось поля, e - энергия частицы. C учетом a × b = i ( ay bz − az by ) + j ( az bx − ax bz ) + k ( ax by − ay bx ) (6.32) преобразуется к виду dyBz dzB y dp x = q ( E x dt + ), − c c dzB x dxBz dp y = q ( E y dt + ), − c c dyB y dzB x dp z = q ( E z dt + ), − (6.34) c c dε = q ( E x dx + E y dy + E z dz )

Аналогично

dy ′Bz′ dz ′B ′y − ), c c dz ′Bx′ dx′Bz′ − ), dp ′y = q ( E ′y dt + c c dy ′B′y dz ′Bx′ − ), dp ′z = q ( E z′ dt + c c dε ′ = q ( E x′ dx′ + E ′y dy ′ + E z′ dz ′)

dp ′x = q( E x′ dt +

(6.35)

Исходя из соотношения dp x = γ (dp ′x +

V dε ′) c2

(6.36)

и подставляя сюда dp из (6.34), dpx′ и dε ′ из (6.35), dx ′, dy ′, dz ′, dt ′ из преобра-зований Лоренца, после небольших преобразований (6.36) можно привести к виду VE VE ′ V ⎞ ⎛ − 2 x + 2 x dy ⎜ Bz − E y ⎛ E − E′ ⎞ ⎟ x x ⎟ c c + ⎜ c − B dx + dt ⎜⎜ ′ z⎟ + 2 2 ⎟ c ⎜ 1 − V 2 c2 1 − V 2 c2 ⎟ ⎝ 1−V c ⎠ ⎠ ⎝

55

Ошибка! Стиль не определен.

V ⎛ ⎞ ⎟ dy ⎜ By + c E z ⎟ =0 + + ⎜− B ′ y c ⎜ 1 − V 2 c2 ⎟ ⎝ ⎠

(6.37)

которое может быть справедливым при любых dt , dx , dy , dz только, если выражения в скобках по отдельности равны нулю. Из уравнений движения по другим координатам можно получить другие подобные соотношения. В итоге получаются правила преобразования для электрического V V Ez′ − By′ Ey′ + Bz′ c c Ez = Ex = Ey′ , Ey = (6.38) 2 2 1−V c 1 − V 2 c2 и магнитного поля

Bx = By′ ,

By =

V Ez′ c 1 − V 2 c2

By′ −

Bz =

V Ey′ c 1 − V 2 c2

Bz′ +

(6.39)

Обратное преобразование получается заменой V → − V .

Пример. Пусть в лабораторной системе есть магнитное поле Bz . Тогда в системе S ′ , движущейся вдоль оси X со скоростью V, имеется как электрическое, так и магнитное поля V E ′y = −γ Bz Bz′ = γBz (6.40) c Полученные преобразования показывают, что электрические и магнитные поля не существуют отдельно друг от друга, а являются частями электромагнитного поля, проявляющегося в действии силы Лоренца на движущийся заряд. Формулы преобразования полей можно получить проще, рассматривая движущийся заряженный конденсатор, это вы можете попробовать сделать сами. Рассмотрим движение заряженной частицы в однородном магнитном поле. Компонента силы Лоренца (6.30) вдоль поля равна нулю, поэтому вдоль поля импульс сохраняется. Закон изменения поперечного импульса ⎞ qvB dp d ⎛⎜ mv ⎟= (6.41) = 2 2 ⎜ dt dt 1 − v c ⎟ c ⎝ ⎠ Магнитное поле не совершает работы. Поэтому v = const и частица будет двигаться по окружности. Учитывая, что dp dt = p v R , находим радиус окружности pc (6.42) R= qB Электромагнитные поля и силы удобно рассматривать в системе СГСЭ (в системе СИ, электрические и магнитные поля отличаются по размерности, что является полнейшим абсурдом). Закон Кулона в СГСЭ имеет вид (6.1). Единичные заряды СГСЭ (нет имени), находящиеся на расстоянии 1 см, взаимодействуют с силой 1 дин = 10-5 н. Единица заряда СГСЭ = 1 Кул/ 3.109. Заряд электрона равен 4.8.10-10 ед.СГСЭ.

56

Ошибка! Стиль не определен.

Единицей магнитного поля в СГСЭ является 1Гаусс = 10-4 Тесла (СИ). Единица электрического поля в СГСЭ не имеет названия, по величине равна 300 Вольт/см (СИ). Их выбор очень естественный - при вычислении силы Лоренца (6.30) в полях E и B, выраженных в единицах напряженности СГСЭ и Гауссах, получается сила в динах.

59

7. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.

7.1 Введение. Выше мы рассмотрели Специальную (Частную) теорию относительности (СТО), которая описывает движение тел относительно инерциальных систем отсчета. При этом предполагалось, что пространство евклидово и сигналы связи, например свет, распространяются по прямым линиям. При известном законе взаимодействия СТО, в принципе, позволяет рассчитать все относительные движения тел при любых скоростях. В таком подходе, однако, имеются проблемы при рассмотрении гравитационных взаимодействий. Силы гравитации действуют на все тела без исключения, в том числе и на свет. Траектории фотонов становятся "кривыми". Абсолютно жестких линеек также принципиально не существует, иначе в них была бы бесконечной скорость звука, т.е. самые жесткие линейки тоже гнутся под действием гравитационных сил. Еще одна особенность - гравитационные поля создаются не только телами, но и любой вид энергии (в том числе гравитационной) порождает гравитационное поле. Принцип суперпозиции в достаточно сильных гравитационных полях не выполняется. Общая теория относительности - это релятивистская теория гравитации, созданная А.Эйнштейном (1916). Принцип относительноси был распространен и на системы, находящиеся в гравитационных полях. Ключем к решению задачи стал принцип эквивалентности. Гравитационные поля по своему действию очень похожи на силы, возникающие в неинерциальных (ускоренных) системах отсчета. В падающем с ускорением g лифте сила инерции и гравитационная сила компенсируются, законы физики в такой системе будут совпадать с законами в инерциальных системах. Сидя в лифте нельзя сказать, какая часть силы вызвана гравитацией, а какая ускорением лифта. Как и в СТО, в основу ОТО положен очень простой и красивый постулат. Сам Эйнштейн гордился ОТО даже больше, чем СТО, хотя СТО, пожалуй, оказала на развитие науки, техники и мировозрение неизмеримо большее влияние. Возникновение СТО было исторически подготовлено и неизбежно, и если бы не Эйнштейн в 1905, то годом - двумя позднее это сделали бы другие. В то же время появление ОТО без Эйнштейна могло бы задержаться лет на пятьдесят. ОТО - это фактически математически сформулированные следствия принципа эквивалентности, объединенные со СТО. Искривление траектории света в ОТО рассматривается как движение в искривленном пространстве, где уже не работает привычная евклидова геометрия. Сфера - пример искривленного двумерного пространства. Мы живем в слегка искривленном трехмерном пространстве. В земных лабораториях эффекты ОТО очень малы. Основными пользователями ОТО являются специалисты по космологии. Математический аппарат ОТО довольно сложен, однако многие яркие выводы, поддающиеся непосредственной экспериментальной проверке, можно понять, основываясь непосредственно на принципе эквивалентности и СТО. Некоторые из них мы дальше рассмотрим.

60

Ошибка! Стиль не определен.

7.2 Инертная и гравитационная масса, принцип эквивалентности. Масса, входящая во второй закон Ньютона, характеризует инертность тела и называется инертной массой mi = F a (7.1) В законе всемирного тяготения сила притяжения пропорциональна произведению гравитационных масс m g (1)m g (2) (7.2) Fg = −G r2 Оказывается, что с огромной точностью инертные массы пропорциональны гравитационным. Именно поэтому имеет место принцип эквивалентности, о котором мы говорили во Введении. Как это можно проверить? Рассмотрим падение двух тел 1 и 2 в поле тяжести Земли. Можно записать mi (1)a (1) = − GMm g (1) r 2

mi (2 ) a (2 ) = − GMm g (2 ) r 2

(7.3)

где mi , m g - инертная и гравитационная масса пробных тел, М - гравитационная масса Земли. Отсюда mi (1) m g (1)a(2) (7.4) = mi (2) m g (2)a(1) Галилей первым заметил, что все тела в пустоте падают с одинаковым ускорением: фa(2)=a(1) и mi (1) mi (2) (7.5) = m g (1) m g (2) Если это отношение одно и то же для всех тел, то путем выбора значения гравитационной постоянной это отношение можно сделать равным единице. В отличие от Галилея Ньютон использовал для этой цели маятник, период которого ⎛ l mi ⎞ ⎟⎟ T = 2π ⎜⎜ ⎝ g mg ⎠

12

(7.6)

Из этого опыта следует равенство mi и m g для различных тел с точностью 10 5. Большая точность достигается в статических экспериментах. Если на тело действует две силы, одна пропорциональная mi, а другая mg, то направление результирующей силы зависит от mi/mg. Такая установка создана самой природой. Земля вращается вокруг оси и является неинерциальной системой отсчета. На тело, покоящееся относи-тельно Земли, действуют две силы: гравитационное притяжение, пропорциональное mg, и центобежная сила, пропорциональная mi. В 1890-1920 годах Этвеш провел основан-ные на этом принципе эксперименты, используя крутильные весы с подвешенными на коромысле гирями из различных материалов, но с одинаковыми гравитационными массами (коромысло параллельно Земле). Если бы инертные массы были бы не равны у этих гирь, то за счет центробежных сил коромысло получило бы крутильный момент. Отсутствие такого момента показало, что отношение инертной и гравитационной массы одно и то же для тел, сделанных их различных материалов, с точностью 10-8. Впоследствие Дикке довел точность до 10-10, а затем Брагинский достиг уровня 10-12. Из этих экспериментов в

Ошибка! Стиль не определен.

61

частности следует, что энергия связи ядер также участвует в гравитационным взаимодействием с той же константой взаимодействия (точность 10-5). Все это доказывает принцип эквивалентности.

7.3 Падение фотона в гравитационном поле. Фотон имеет нулевую массу покоя. Какая же на него действует гравитационная сила? Можно предположить, что в качестве гравитационной массы в закон всемирного тяготения нужно подставить m=E/c2. Однако не все так просто. Оказывается, что при движении фотона вдоль поля это действительно так, в то же время при движении поперек поля сила будет в два раза больше! Попробуем в этом разобраться. Сейчас мы обсудим первый случай, отклонение света в поперечном поле будет рассмотрено в разделе 7.5. Пусть фотон "падает" вниз с высоты L. Для выяснения характера движения воспользуемся лифтом, падающим вниз с ускорением g. В этой системе отсчета сумма гравитационных и инерциальных сил равна нулю, фотон является свободным, его энергия постоянна во времени и равна E0. В первом приближении фотон достигнет пола за время t ≈L/c. За это время лифт наберет скорость V≈gt≈gL/c. Тогда энергия фотона в неподвижной лабораторной системе E = γ ( E0 + E0V c) ≈ E0 (1 + V c) (7.7) т.е. изменение частоты света Δω gL ≈ ω0 c2

(7.8)

Фотон как бы имеет гравитационную массу m = E0 c 2 = h ω 0 c 2 и в поле получает дополнительную энергию mgh . Такой эксперимент был поставлен в 1960 году Паундом и Ребка в Стэнфорде. Высота башни составляла 20 м. Изменение частоты совпало с расчетной в пределах ошибок (10 %). Относительное изменение частоты составило всего ~2.10-15. Такой малый эффект удалось измерить благодаря только что открытому эффекту Мессбауэра (при испускании фотона ядром импульс отдачи передается при некоторых условиях не ядру, а всему кристаллу). Еще раньше эффект изменения частоты света при прохождении разности гравитационных потенциалов наблюдался в красном смещении спектров излучения звезд. Формулу (7.8) можно переписать в виде Δϕ (7.9) ω ≈ ω 0 (1 + 2 ) c где ω 0 - частота света, испускаемая источником, находящимся в гравитационном потенциале Δϕ (относительно наблюдателя), ω -частота, регистрируемая наблюдателем. Частота света на большом расстоянии от Звезды ⎛ GM 3 B ⎞ ω ≈ ω 0 ⎜1 − (7.10) ⎟ R3 B c 2 ⎠ ⎝

7.4 Замедление времени в гравитационном поле. Пусть одни часы находятся при гравитационном потециале , а другие при нулевом потенциале. Каждую секунду первые часы испускают световые вспышки. Частота сигналов, принимаемых в районе вторых часов дается формулой (7.9). Количество зарегист-

62

Ошибка! Стиль не определен.

рированных сигналов - это и есть прошедшее время. Отношение показаний часов, находящихся в гравитационном потенциале ϕ , ко времени, прошедшему по часам при нулевом потенциале, равно ϕ t ≈ 1+ 2 (7.11) t0 c Вблизи тяжелых тел потенциал ϕ ниже, чем на бесконечности, поэтому часы на поверхности звезды будут идти медленнее. Для Солнца эффект составляет 2.10-6. Более точно эффект замедления времени в гравитационном потенциале проверен в 1976 году с помощью атомных часов, установленных на самолете. Самолет летал с малой скоростью на высоте 10 км в течение 15 часов. Гравитационный эффект составил 50.10-9 сек, за счет скорости - минус 7.10-9 сек. Теория была подтверждена с точностью 1.6 %. К настоящему времени эта цифра улучшена до 0.04 %.

7.5 Угол отклонения частицы при движении поперек гравитационному полю. Наиболее "коронный" эксперимент по проверке ОТО - это отклонение света при прохождении вблизи Солнца. В момент солнечных затмений рядом с Солнцем видны звезды, но их положение на небесной сфере отличается немного от истинного (когда Солнце далеко). Если фотону приписать массу m=E/c2, то расчет по классической механике дает угол отклонения луча света 0.87 ′′ . ОТО предсказывает угол вдвое больше! Эксперимент подтверждает это предсказание с 20 % точностью для Солнца и с 6 % точностью для внеземных радиоисточников. Поскольку объяснить дополнительную двойку непросто из-за сложности математичес-кого аппарата ОТО, то этот результат придает ОТО ореол загадочности и ощущение недоступ-ности для непосвященных. Попробуем разобрать-ся, в чем здесь дело. Пусть гравитационное поле шириной L (рис.7.1) пересекает частица со скоростью v, направленной перпендикулярно полю. Найдем угол отклонения. Как и раньше, для решения этой задачи перейдем в систему отсчета, падающую вниз с ускореним g вместе с частицей. Считаем, что эффект мал, поэтому в первом приближении частица пересечет область, занятую полем, за время t=L v (7.12) За это время ускоренная система отсчета наберет вертикальную скорость V = gt = gL v Угол на вылете составит V gL υ1 ≈ = 2 v v

(7.13)

(7.14)

63

Для света υ1 = gL c 2 .Этот результат вдвое меньше, чем дает ОТО. В чем же дело? Ответ состоит в том, что темп хода часов зависит от потенциала, а стало быть время пересечения будет зависеть от координаты входа. Это напоминает явление миража. Плотность воздуха зависит от высоты, что приводит к зависимости скорости света от высоты. В результате луч свет загибается. Рассмотрим это явление несколько иначе, используя известные нам формулы СТО. Пусть вместо точечной частицы на область с гравитационным полем падает плоская волна со скоростью v . Проследим за двумя точками фронта, имеющими координаты на входе h1 и h2 (рис.7.1). В системе, падающей с ускорением g, обе точки вошли в поле и вышли из поля одновременно. Однако в момент выхода падающая система имеет скорость V=gL/v (формула (7.13)), поэтому то, что одновременно в движущейся системе, уже неодновременно в неподвижной лабораторной системе. Из преобразований Лоренца следует, что разность времен выхода точек фронта 1 и 2 из области гравитационного поля в лабораторной системе отсчета gL t 2 − t1 = γ (t 2′ − t1′ + (h2 − h1 )V c 2 ) = (h2 − h1 ) 2 (7.15) vc Координата растет в направлении движения системы, т.е. h2 > h1 . Это значит, что точка фронта 2 выйдет в свободную область пространства позже на время (7.15), что соответствует повороту направления распространения волны на угол v(t − t ) gL υ2 = 2 1 = 2 (7.16) h2 − h1 c Полный угол поворота

υ = υ1 + υ2 =

gL ⎛ v 2 ⎞ ⎜1 + ⎟ v 2 ⎝ c2 ⎠

(7.17)

Для света v = c , эффект зависимости замедления времени от высоты приводит к увеличению угла отклонения света вдвое по сравнению с простым падением. Так что гравитационная сила, действующая на фотон (на любую частицу), зависит от направления движения. Правильно используя принцип эквивалентности и специальную теорию относительности можно, в принципе, объяснить все эффекты ОТО.

7.6 Область применимости классических законов движения в гравитационных полях. Из предыдущего раздела следует, что в ОТО есть два параметра, которые определяют величину эффектов ОТО, (см. формулы (7.11) и (7.17)). Эффекты ОТО малы при

ϕ c 2 << 1, v 2 c 2 << 1

(7.18)

При движении планет v 2 ~ GM r ~ ϕ , т.е. параметры примерно равны. Для отклонения света вблизи звезды, гравитационный потенциал мал, но тем не менее поправка ОТО достигает 100 % за счет большой скорости фотона. Важнейшую роль ОТО занимает при рассмотрении проблем космологии. Нельзя не упоминуть о возможном существовании черных дыр, предсказываемых ОТО, которые втягивают в себя окружающее вещество, но ничего не выпускают обратно. Движущиеся массы излучают свободные гравитационные волны, распространяющиеся со скоростью

64

Ошибка! Стиль не определен.

света. Их пока достоверно не зарегистрировали, но косвенно это подтверждается результатами наблюдений изменения периодов вращения двойных звезд. Как и электромагнитные волны, гравитационные волны состоят из квантов - гравитонов с энергией hω . Возможно, что гравитационные взаимодействия играют важную роль в структуре элементарных частиц. Из фундаментальных констант e,h,c,G можно построить размерность массы, только при использовании гравитационной постоянной G , а именно M = hc G ~ 10 −5 г ~ 1019 mпротона . декабрь 1993, Новосибирск,