Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории

Холево А.С. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. (М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980)

Книга посвящена основаниям квантовой механики и тем ее вопросам, в которых существенную роль играют вероятностные и статистические представления. За последние годы в этой области был достигнут прогресс, во многом стимулированный новыми приложениями квантовой теории. В книге в доступной и строгой форме обсуждаются вопросы вероятностной интерпретации, проблема скрытых параметров, кванто-вомеханические симметрии, теория канонических коммутационных соотношений и гауссовских состояний, соотношения неопределенностей и другие принципиальные границы точности квантового измерения. Для математиков и физиков (студентов-старшекурсников, аспирантов, научных работников), интересующихся основаниями квантовой теории, ее связями с теорией вероятностей и математической статистикой, вопросами квантового измерения. ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 3 ГЛАВА I. Общее понятие статистической модели 9 § 1. Состояния и измерения 9 § 2. Некоторые геометрические понятия 16 § 3. Определение статистической модели 24 § 4. Классическая статистическая модель 25 § 5. Редукция статистической модели. Классическая модель с 31 ограничениями на множество измерений § 6. Статистическая модель квантовой механики 37 § 7. Замечания к проблеме скрытых переменных 45 Комментарии 51 ГЛАВА II. Математический аппарат квантовой теории 55 § 1. Операторы в гильбертовом пространстве 55 § 2. Состояния и измерения в квантовой теории 62 § 3. Спектральное разложение ограниченных операторов 65 § 4. Спектральное разложение неограниченных операторов 69 § 5. О реализации измерения 76 § 6. Соотношения неопределенностей и совместная измеримость 79 § 7. Ядерные операторы и операторы Гильберта — Шмидта 84 91 § 8. Пространства L2, ассоциированные с квантовым состоянием § 9. Соотношения неопределенностей для измерений с конечным вторым 96 моментом § 10. Матричное представление неограниченных операторов 100 Комментарии 104 ГЛАВА III. Симметрии в квантовой механике 107 § 1. Статистическая модель и принцип относительности 107

§ 2. Однопараметрические группы сдвигов. Соотношение неопределенностей «время энергия» § 3. Кинематика квантовой частицы с одной степенью свободы § 4. Канонические наблюдаемые. Соотношение неопределенностей Гейзенберга § 5. Теорема единственности. Представление Шредингера § 6. Состояния минимальной неопределенности. Соотношения полноты и ортогональности § 7. Совместные измерения координаты и скорости § 8. Динамика квантовой частицы с одной степенью свободы § 9. Наблюдаемая времени § 10. Квантовый осциллятор § 11. Представление по когерентным состояниям § 12. Квантовая частица в трех измерениях. Случай нулевого спина § 13. Неприводимые представления группы вращений и понятие спина Комментарии ГЛАВА IV. Ковариантные измерения и соотношения неопределенностей § 1. Параметрические группы симметрии и Ковариантные измерения § 2. Структура ковариантного измерения § 3. Измерение параметров в ковариантном семействе состояний § 4. Оценивание чистого состояния § 5. Измерение параметров ориентации § 6. Измерение угла поворота в случае спиновых степеней свободы § 7. Соотношение неопределенностей «угол — угловой момент» § 8. Измерение фазы гармонического осциллятора. Соотношение неопределенностей «фаза — число квантов» § 9. Измерение угла поворота в случае пространственных степеней свободы § 10. Ковариантные измерения параметра поворота. Случай произвольного представления группы Т § 11. Ковариантные измерения параметра сдвига на прямой Комментарии ГЛАВА V. Гауссовские состояния § 1. Квазиклассические состояния квантового осциллятора § 2. Каноническое коммутационное соотношение для многих степеней свободы § 3. Теорема единственности. Преобразование Вейля § 4. Характеристическая функция состояния. Моменты § 5. Гауссовские состояния § 6. Характеристическое свойство гауссовских состояний Комментарии ГЛАВА VI. Несмещенные измерения § 1 Квантовый канал связи

112 116 119 122 125 128 136 141 147 155 101 167 171 174 174 176 185 191 196 200 205 210 211 214 218 225 228 228 232 237 243 251 256 260 262 262

§ 2. Нижняя граница для дисперсии измерения одномерного параметра 265 § 3. Случай параметра сдвига 269 § 4. Измерение силы, действующей на пробный объект 274 § 5. Граница для матрицы ковариации измерения многомерного 280 параметра, основанная на симметричной логарифмической производной § 6. Граница, основанная на правой логарифмической производной 284 § 7. Общая граница для среднеквадратичного отклонения 291 § 8. Канонические измерения 297 § 9. Измерение параметров среднего значения гауссовского 303 Комментарии 308 Список литературы 309 Предметный указатель 316 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ — сдвигов однопараметрическая 112 Автоморфизм множества состояний — унитарных операторов 73 110 Антилинейность 56 ∆-положительная определенность Апостериорного отклонения 243 оператор 189 Дисперсия измерения (наблюдаемой) Априорное распределение 187 79 Аффинное отображение 17 Измерение 15, 24 Аффинный функционал 17 — байесовское 187 Байесовский подход 187 — классическое 26 Вейля преобразование 237 — — детерминированное 27 Волновой пакет 126 — — рандомизованное 30 Время, измерение 225 — ковариантное 174 —, каноническая наблюдаемая 145 — локально несмещенное 267, 291 —, параметр 115 — максимального правдоподобия Выпуклая комбинация 16 191 — оболочка 16 — маргинальное 81 Выпуклое множество 16 — несмещенное 115, 264 Галилея преобразования 107 — оптимальное 176 Гамильтониан 114 — простое 40, 65 Группа вращений 162 —, реализация 79 — —, матричные элементы 199 — совместное 81 — —, представления 102 Изоморфизм гильбертовых — галилеева 107 пространств 56 — евклидова 107 Импульс 113, 129, 140 — кинематическая 107 Информационная матрица 281, 284 — —, представления 119, 170 Канал связи 262 — параметрическая преобразований Канонические измерения 298 174 — наблюдаемые 121, 234 — — транзитивная 176 Каноническое коммутационное — — унимодулярная 177 соотношение Вейля 119

— — — Вейля — Сигала 117 — — — Гейзенберга 125 Картина (представление) Гейзенберга 153 Ковариантное семейство состояний 185 Ковариантность 120, 175 Коммутатор 80 Коммутационный оператор 103 — — гауссовского состояния 257 Координата, измерение 224, 268 —, каноническая наблюдаемая 121 —, параметр 115 Корреляционная функция состояния 248 Крайняя точка 18 Логарифмическая производная семейства состояний правая 284 — — — — симметричная 265, 280 «Логика высказываний» 53 Локализуемость 172, 227 Мандельштама — Тамма неравенство 114 Масса 119, 141 Матрица весовая 264 — ковариации 264 — плотности 37 Матричные единицы 61, 101 — элементы оператора 61 Мера инвариантная 177 Минимаксный подход 187 Моменты состояния 247 Наблюдаемая 41, 79 Наймарка теорема 76 Некоммутативная теорема Бохнера — Хинчина 243 Некоммутативное неравенство Рао — Крамера 266, 281, 285 — преобразование Фурье 240 Непрерывная сумма гильбертовых пространств 218 Норма оператора 58 Ньютона уравнение 140 Оператор антиунитарный 110

— вполне непрерывный 85 — Гильберта — Шмидта 89 — изометричный 55, 59 — инфинитезимальный 74 — квадратично-суммируемый 93 — конечного ранга 57 — нормальный 159 — ограниченный 58 — плотности 62 — положительный 61 — самосопряженный 70 ) — симметричный '6~9 — — максимальный 70 — симплектический 235 — сопряженный 58, 70 — субнормальный 159 — унитарный 59 — эрмитов 59 Оператор ядерный 86 Ориентация микрообъекта 175 — —, измерение 198 Ортогональности соотношения 127, 181 Остов выпуклого множества 18 Отклонение полное среднеквадратичное 264 Отклонения функции 186 Паули матрицы 168 «Переполненная» система 75, 127 Переходная вероятность 26 Планка постоянная 129, 141 Полная наблюдаемость 28 Полноты соотношение 61, 68, 75, 126 Полугруппа операторов 147, 172 Полуторалинейная форма 58 Представление Баргмана 158 — временное 147 — группы 111 — импульсное 124, 143 — канонического коммутационного соотношения 122, 233 — фазовое 124, 143 — Фока 150 — Шредингера 123

— энергетическое 143 Приготовление состояния 9, 13 Пространство гильбертово 55 — симплектическое 234 — смесей 16 — — отделимое 17 Разбиение 27 Разложение единицы 63 — — конечное 38 — — ортогональное 40, 64 Редукция статистической модели 32 Рождения-уничтожения операторы 151 Сдвига параметр 269 Сила, измерение 278 —, параметр 276 Симплекс 18 Симплектический базис 235 Скорость, каноническая наблюдаемая 121 —, параметр 120 След матрицы 20 — оператора 61, 86 Совместимые измерения 81 Совместное измерение координаты и скорости (импульса) 130, 288 — — — — — каноническое 132, 302 Соотношение неопределенностей 80, 97, 101 — — «время — энергия» 116 — — Гейзенберга 121 — — «координата — импульс» 115 — — «угол — угловой момент» 207 — — «фаза — число квантов» 211 Состояние гауссовское 229, 252 — гнббсовское 230 — квазиклассическое 229 — классическое 26 — когерентное 156 — минимальной неопределенности 125 Состояние основное 126 — с конечным вторым моментом 248 — точное 104

— чистое 63 — —, оценивание 191 Спектральная мера 67, 71, 74 — — оператора умножения 69, 72 — — — дифференцирования 72 — — — — на полуоси 74 — теорема для самосопряженных операторов 71 — — — симметричных операторов 74 — — — эрмитовых (ограниченных) операторов 66 — — конечномерная 21 — — фон Неймана 218 Спин 170 Среднее значение наблюдаемой (измерения) 79 — — состояния 247 Статистическая модель 24 — — квантовой механики 43 — — классическая 28 — — отделимая 31 Статистический постулат 11 Стационарная подгруппа 176 Стокса параметры 23 Стоуна теорема 74 Стоуна — фон Неймана теорема 122, 237 Сходимости операторов 60 Тензорное произведение гильбертовых пространств 76 Тест 25 — классический 30 Угловой момент 164 Угол поворота, измерение 213, 217 — —, — для спиновых степеней свободы 205 — —, каноническая наблюдаемая 166 — —, параметр 165 Фаза, измерение 210 —, — каноническое 154 —, параметр 154 Фазовое пространство 25 Характеристическая функция

состояния 243 «Частица» 112 — классическая 124 Число квантов (наблюдаемая) 151 Шредингера уравнение 114, 140, 269 Штерна — Герлаха эксперимент 34, 170

«Шум тепловой» 231 Энергия 114, 140 — потенциальная 140 Ядро оператора Гильберта — Шмидта 91 — — конечного ранга 57