Дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной: Учебно-методическое пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И А ЛЬН Ы Е У РА В Н Е Н И Я , Н Е РА ЗРЕ Ш Е Н Н Ы Е О Т Н О СИ Т Е ЛЬН О ПРО И ЗВ О Д Н О Й

Пособ и едлястудентов Специ альность«М атем ати к а» 010101

В оронеж 2003

2

У тверж дено научно- м етоди ческ и м советом м атем ати ческ ого ф акультета, проток ол№ 3 от 16.12.02 г.

Соста ви тельдоц. Зуб оваС.П.

Пособ и е подготовлено на к аф едре м атем ати ческ ого анали за м атем ати ч еск ого ф акультета В оронеж ск ого государственного уни верси тета. Рек ом ендуется студентам 4-6 к урсов в пом ощ ь при и зучени и спецк урсов, в к оторы х и сследую тся вопросы сущ ествовани я и еди нственности реш ени й ли ней ны х ди ф ф еренци альны х уравнени й в б анаховом пространстве, неразреш енны х относи тельно старш ей прои зводной ; атакж епри вы полнени и к урсовы х и ди плом ны х работ наэту тем у.

3

В пособ и и рассм атри ваю тся ли ней ны е ди ф ф еренци альны е уравнени я первого порядк а в б анаховом пространстве с необ рати м ы м оператором при прои зводной , аи м енно: сф редгольм овск и м оператором и соператором , и м ею щ и м чи сло 0 норм альны м соб ственны м ч и слом . При этом и спользую тся нек оторы е результаты и з теори и ли ней ны х ди ф ф еренци альны х уравнени й в б анаховом пространстве. О ни при ведены в п.8 пособ и я. Ф орм ули ровк и лем м и теорем запи саны в об ы чном ви де (предлож ени ям и ), а такж е с пом ощ ью соврем енной си м воли к и . При док азательстве лем м и теорем си м воли к а и спользуется все ш и ре, и док азательство последней теорем ы запи сано б ез слов. Э то позволяет лучш е ви деть логи ческ и е связи м еж ду отдельны м и свой ствам и м атем ати ч еск и х об ъек тов и делает запи сьи ногдазначи тельно лакони ч ней . 1. В ведени е В разли чны х об ластях соврем енной наук и и техни к и встречаю тся процессы , к оторы е опи сы ваю тся с пом ощ ью ди ф ф еренци альны х уравнени й , неразреш енны х относи тельно прои зводной . Т аки е уравнени я появляю тся в м атем ати ческ ой эк оном и к е (уравнени е м еж отраслевого б аланса), теори и элек три ческ и х цепей , теори и м арк овск и х процессов, в задачах опти м ального управлени я, в задачах хи м и ческ ой к и нети к и и т.д.. М ы б удем рассм атри вать ли ней ны е ди ф ф еренци альны е уравнени я первого порядк а. Пусть E1 и E 2 – б анаховы пространства, A и B - ли ней ны е ограни ченны еоператоры , дей ствую щ и еи з E1 в E 2 ; A, B ∈ L(E1 , E 2 ) . Простей ш и м ди ф ф еренци альны м уравнени ем , неразреш енны м относи тельно прои зводной , являетсяуравнени е dx A = Bx (t ) , (1) dt где x (t )∈ E1, ∀t ∈ [0, ∞ ) . Рассм отри м задач уК ош и дляуравнени я(1) сначальны м услови ем (2) x (0 ) = x 0 ∈ E1 . Е сли оператор A и м еет ограни ченны й об ратны й оператор A −1 , то уравнени ем ож но разреш и тьотноси тельно прои зводной : dx = A −1Bx(t ) . (3) dt Задача(3), (2) и м еет еди нственноереш ени е x (t ) = e tA

− 1B

x0

длялю б ого значени я x 0 ∈ E1 (см . п.8). Е сли ж е A не и м еет об ратного оператора, то задача(1), (2) м ож ет не и м етьреш ени я, и ли реш ени ем ож ет б ы тьнееди нственны м .

4

При м ер 1. Рассм отри м задачу (1), (2) в R 2 с операторам и , 1 0 1 0  x (t )   и B =   . И м еем : x (t ) =  1  , задаваем ы м и м атри цам и A =  0 0 0 1  x 2 (t ) x 0 0 x1 (t ) , x 2 (t ) ∈ R , t ∈ [0, ∞ ) , x =  1 0  и задача(1), (2) запи сы ваетсяв ви де: x   2   dx1 = x (t ) x (0 ) = x 0 1 , 1 1.  dt 0 ( ) x ( 0 ) x t 2 = x2  0 = 2

 t 0 Реш ени е этой задачи x (t ) =  e x1  сущ ествует тогдаи тольк о тогда,  0    к огда x 02 = 0 , то есть при начальном услови и специ ального ви да:  0 x(0 ) =  x1  . Реш ени епри этом еди нственно.  0   

1 0 1 1  , то задача(1), (2): , B =  Е сли ж е A =  0 0  0 0 0  dx 2 = x 1 ( t ) + x 2 ( t ), x1 (0 ) = x1  dt x1 (0 ) = x10  0 = 0, и м еет реш ени е

 e t x 0 + t e t − s x (s )ds   1 ∫0 2 x (t ) =    x 2 (t )  

с лю б ой непреры вно ди ф ф еренци руем ой ф унк ци ей

x 2 (t ) , у к оторой

x 2 (0) = x 02 , то естьнееди нственно. Н аш ацель – вы яви ть услови я, при вы полнени и к оторы х задач а(1), (2) и м еет еди нственное реш ени е, и ли и м еет нееди нственное реш ени е; построи тьподпространства, в к оторы х леж ат эти реш ени я. М ы сделаем это дляспеци альны х операторов A . Сначаладади м неск ольк о определени й .

5

2. О сновны епоняти я 10. Я дром оператора A ( ker A , и ли нуль-подпространство A ) назы вается совок упность элем ентов x таки х, что Ax = 0 , то есть def ker A = {x ∈ E1 : Ax = 0}. Е сли Ax = 0 и x ≠ 0 , то чи сло 0 является соб ственны м чи слом оператораA , а x – его соб ственны м элем ентом , отвечаю щ и м нулевом у соб ственном учи слу. М нож еством значени й и ли об разом опера тораA ( im A ) назы вается совок упность элем ентов y ∈ E 2 , для к оторы х сущ ествую т x ∈ E1 таки е, def ч то Ax = y , то есть im A = y ∈ E : ∃ x ∈ E [Ax = y] . 2 1 Е сли ker A – зам к нутое подпространство пространства E1 , то

{

(

)

}

•

E1 = coimA + ker A , где ч ерез coimA об означено прям ое дополнени е к ker A в E1 ( coim чи таетсяк ак «к ооб раз» ). •

Е сли imA – зам к нутоеподпространство в E 2 , то E 2 = imA + co ker A , где через co ker A об означено прям ое дополнени е к imA в E 2 ( co ker ч и таетсяк ак «к оядро» ). Пусть A ∈ L(E1 , E 2 ) , imA = imA , ker A = ker A . В таком случае ~ суж ени е A оператораA наподпространство coimA и м еет ограни ч енны й ~ об ратны й A −1 . Е сли оператор A об ладает перечи сленны м и вы ш е свой ствам и и ker A и co ker A – к онечном ерны е подпространства, при ч ем разм ерности и х оди наковы е (т.е. dim ker A = dim co ker A < ∞ ), то оператор назы вается ф редгольм овск и м . И так, дляф редгольм овск ого операторасправедли вы разлож ени я: •

E1 = coimA + ker A ,

•

E 2 = imA + co ker A ,

(4)

и ли : E1

E2

A coimA

~ A−1

imA ,

ker A

co ker A

где ker A и co ker A - к онечном ерны е подпространства оди наковой разм ерности . О б означи м через I i еди ни чны й оператор в E i , i = 1,2 ; через P и Q – проек торы наker A и co ker A соответственно, отвечаю щ и е разлож ени ям

6

(4). И м еем : – I1 = (I1 − P ) + P , I2 = (I2 − Q) + Q , где I1 − P проек тор наcoimA , I2 − Q - проек тор наimA . При м ер 2. Рассм отри м  0 1 0  a        3 3 A =  0 0 0 , A ∈ L R ; R . И м еем : ker A =  0 , a , b ∈ R  ,  0 0 0  b         c    x1       imA =  0 , c ∈ R  . Лю б ой элем ент x =  x 2  ∈ E1 = R3 м ож ет б ы ть  0   x   3   

(

представлен

в

ви де

)

 x1   0   x1        x =  x2  =  x2  +  0  , x   0  x   3    3

 0    x 2  ∈ coimA ,  0  

где

 x1   y1      3 0 ∈ ker A y = . Л ю б ой э л е м е нт    y 2  ∈ E 2 = R м ож ет б ы тьпредставлен в x  y   3  3

 y1   y1   0   0  y1            ви де y =  y 2  =  0  +  y 2  , где  0  ∈ imA ,  y 2  ∈ co ker A . y   0  y  0 y   3    3  3   О ператор A взаи м но однозначно отоб раж ает coimA в imA , так к ак  0 0  0   y1          уравнени е A x 2  =  0  и м еет еди нственноереш ени е  x 2  =  y1  , то есть  0  0  0 0         0 0 0  y1   0   ~ −1  ~ −1    A  0  =  y1  , отк уда A =  0 1 0  . Здесь для удоб ства оператор 0 0 0 0 0       ~ −1 A ∈ L R1, R1 доопределен нулям и до оператора и з L R 3; R3 . Т ак и м об ра зом , рассм атри ваем ы й оператор является ф редгольм овск и м . Д ля найденны х разлож ени й R 3 и м еем : 1 0 0 0 0 0 0 0 0  1 0 0         P =  0 0 0 ; Q =  0 1 0 ; I1 − P =  0 1 0 ; I 2 − Q =  0 0 0  . 0 0 1 0 0 1 0 0 0  0 0 0        

(

)

(

)

Зам ечани е 1. Лю б ой ли ней ны й оператор, дей ствую щ и й и з Rn в R n являетсяф редгольм овск и м (см . [2] и теорем у1). Зам еч ани е 2. Разлож ени я пространств (4) м огут б ы ть нееди нственны м и .

7

(

)

 1 1  ∈ L R 2 ; R2 Д ля оператора A =  м ож но  2 2 получ и тьразлож ени я: 0  x1   0   x1   y1   y1    1)  ,   =   +    =   , здесь  +   x 2   x 2 + x1   − x1   y 2   2 y1   y 2 − 2 y1  При м ер

3.

0  0   x  y     ∈ coimA ,  1  ∈ ker A ,  2  ∈ imA ,    ∈ coimA ,  x 2 + x1   − x1   2 y1   y 2 − 2 y1  0 0  1 0  0 0 ~ A−1 =   , Q =   ;  , P =  1 0  −1 0 − 2 1 и  y1   1 y 2   y1 − 1 y 2   x1   x1 + x 2   − x 2  2)  ,   = 2 +   =   +  2 ,  y 2   y 2    x2   0   x2  0  1   x1 + x 2  − x2   y 2  ∈ imA ,   ∈ ker A ,  ∈ coimA , где  2   0   x2   y2  1    y1 − y 2  ∈ co ker A , 2   0   1   0 − 1 ~ −1  1 0  − 1    , Q = A =   , P =  2.  0 0 0 1     0 0  0 1 0   Задани е 1. У б еди ться, что оператор A =  0 0 1  ∈ L R3 ; R3 0 0 0   ~ являетсяф редгольм овск и м . Получи тьдлянего A −1 , P , Q . 20. Пусть теперь А - ли ней ны й , вооб щ е говоря, неограни ч енны й оператор, дей ствую щ и й и з Е 1 в Е 1 . Пусть е1 ∈ ker A , e1 ≠ 0 . Э лем ент e i назы вается при соеди ненны м элем ентом к ei −1 , отвечаю щ и м соб ственном у ч и слу 0, если Α e i = e i −1 , i = 2, 3,..... Э лем енты e1, e 2 ,..., ei ,... об ра зую т цепочк у Ж ордана. Э лем ент ei ещ е назы ваю т ( i − 1) – ы м при соеди ненны м элем ентом к e1 . Задани е 2. Провери ть, что если e1 , e2 ,..., e n - цепочк а Ж ордана

(

оператора

A,

то

элем енты

)

n

a1e1; a1e2 + a 2 e1;... ; ∑ a k e n − k +1 , k =1

1

∀a1, a 2 ,..., a n ∈ R такж еоб разую т цепочк уЖ орданаоператораΑ . Задани е3. Д ок азать, что если цепочк аЖ орданасостои т и з к онечного ч и слаэлем ентов, то всеони ли ней но незави си м ы .

8 0

3 . Рассм отри м совок упность всех соб ственны х элем ентов, отвечаю щ и х соб ственном у чи слу 0, и при соеди ненны х к ни м элем ентов. Е сли ли ней ное подпространство, натянутое нани х (ли ней ная об олочк а), к онечном ерно, то оно назы вается к орневы м подпространством оператора A. 2 0 . Ч и сло 0 назы вается норм альны м соб ственны м чи слом оператора A , если пространство Ε1 разлагается в прям ую сум м у двух •   подпространств M и N  E1 = M + N  , и нвари антны х∗ относи тельно Α и     об ладаю щ и х свой ствам и : N есть к орневое подпространство Α , а M ~ таково, что суж ени е A оператора Α на подпространство M и м еет ~ ограни ченны й об ратны й A −1 ∈ L(M; M ).

Т о есть:

Е1

Е1 A M Ã

-1

N

M

N

К при м еру, к аж ды й ли ней ны й вы рож денны й оператор, дей ствую щ и й

n

n

и з R в R (задаваем ы й к вадратной м атри цей с определи телем равны м нулю ), и м еет чи сло 0 норм альны м соб ственны м чи слом (см . [2]). Будем об означать проек торы на подпространстве M и N , соответствую щ и еразлож ени ю •

E1 = M + N

через R и S (R + S = I1 ) При м ер 4. ∗

подпространство KCE 1 назы вается и нвари антны м оператораA , если и з того, что x ∈ K , следует, что Ax ∈ K .

(5)

относи тельно

9

 0 1 0   A =  0 0 0  ∈ L R3 ; R3 .  0 0 1  

(

)

И м еем : 1 0     e1 =  0  , e 2 =  1  , так к ак Α e1 = 0 и Α e 2 = e1 . 0 0     Т огда  x1   x1  1 0         N =  x 2  , x1x2 ∈ R} , поск ольк у  x 2  = x1  0  + x 2  1  = x1e1 + x 2 e2 .  0   0 0 0         Подпространство

 0    M =  0  ,  x   3 

x 3 ∈ R}

является

прям ы м

~ дополнени ем к N в R3 . Суж ени е A оператора A на M и м еет ви д  0 0 0 0 0 0   ~  ~ −1  A =  0 0 0  , он и м еет в M ограни ченны й об ратны й A =  0 0 0  .  0 0 1 0 0 1     Подпространство M и нвари антно относи тельно A : 0  0     A  0  =  0 ∈ M . x   x   3  3 Задани е4. Рассм отретьв l2 б еск онечную м атри цу 1 0 0 0 L 0 L  0   0 1 0 0 L 0 L  0  0 0 −1 1 0 L 0 L   0 0 − 2 2 0 L 0 L   A= . 0 0 0 0 1 L 0 L   L L L L L O L L   0 0 0 0 L 1 L  0   L L L L L L L O

10

У б еди ться, что A и м еет чи сло 0 норм альны м соб ственны м ч и слом , а и м енно:  a       a    a   ∞    M =  2a , a ∈ R, ∑ x i2 < ∞  ,  x   i =5  5    x 6    M       0   1  0  0     1  0 1   0  0 1  N – ли ней наяоб олочк аэлем ентов e1 =   , e 2 =   , e 3 =   . Д алее: 0  M  M   0  0 M        M  M      0   M  x1   x 4 − x 3  1 0 0            x2   x4 − x3  0 1 0 x   x −x  0 0 1 3 4 3           x =  x 4  =  2( x 4 − x 3 )  + ( x1 + x 3 − x 4 ) 0  + ( x 2 + x 3 − x 4 ) 0  + 2( x 3 − x 4 ) 1  x    0 0 0 x5  5          x6    0 0 0 x6           M  M     M M  M •

и M ∩ N = {0}, то есть l 2 = M + N . Провери ть, что подпространство ~ М и нвари антно относи тельно A , и A−1 есть еди ни чны й оператор в M . В ы пи сатьпроек торы R и S. И м еет м есто Т еорем а 1. Е сли ли ней ны й оператор и м еет чи сло 0 норм альны м соб ственны м ч и слом , то он являетсяф редгольм овск и м .

11

В этом случ ае coim A есть прям аясум м аподпространстваM и ли ней ной об олочк и всех при соеди ненны х элем ентов б ез ядра, im A прям ая сум м а M и ли ней ной об олочк и всех соб ственны х и при соеди ненны х элем ентов, к ром е последни х при соеди ненны х элем ентов, co ker A - ли ней ная об олочк апоследни х при соеди ненны х элем ентов, то есть: E1

E1 М

coim A

ker A

A A

первы епри с. эл-ты

A

вторы епри с. эл.

A

. . . . .

A

посл. пр.эл

Ã

М

-1

п о сл. п р .э л п о сл. п р .э л п о сл. п р .э л п о сл. п р .э л п о сл. п р .э л

coker A

Д ля ф редгольм овск ого операторачи сло 0 м ож ет б ы ть норм альны м соб ственны м ч и слом . Э то пок азы вает следую щ и й при м ер. A = a ij , i, j = 1, 2,...; a 21 = 1 ; При м ер 5. Пусть E1 = l 2 ;

( )

a i i − 2 = 1 , i = 4,6,8... ; a k k + 2 = 1 , k = 3,5,7... ; остальны е к ом поненты равны 0 0 0 0 0 0 0 0 L    1 0 0 0 0 0 0 0 L  0 0 0 0 1 0 0 0 L    0 1 0 0 0 0 0 0 L  0 0 0 0 0 0 1 0 L   . нулю , то есть: A = 0 0 0 1 0 0 0 0 L    L L L L 0 0 0 0 1  L L L L L 1 L L L 0    0 1    1 O   О ператор А является ф редгольм овск и м , так к ак лю б ы еэлем енты x и y и з l 2 м огут б ы тьпредставлены в ви де:

12

x  x   0   1  1    x2   x2   0  x   0  x  x =  3  =   +  3 ,  x4   x4   0  x  x   0   5  5    M   M   M         x1     x2   0  Здесь{ } = coim A ,  x4  x   5  M   

 y1   0   y1         y2   y2   0  y  y   0  y =  3  =  3  +  .  y4   y4   0  y  y   0   5  5          M   M  M  0 0   y1        0 y    2 0 x  y  0 { 3 } = ker A, { 3 } = im A , { } = co ker A . 0  y4  0 0 y  0 5          M  M   M      ~ −1 рассм отри м уравнени е Ax = y, где Д ля построени я оператора A

x ∈ coim

A,

y ∈ im

A:

 0  0      0   x1       y2   x1   y 2   x1   0   y 2   x1    x  y       y   0   y4   5  3  x 2   y2   3    0   x 2   y4   0  y  ~ y  x    A  =  3 , и ли  x 7  =  y5 , отк удаA −1 4  =  4  =  y 6 , то есть     y x  x 4   y4   5  5 y      x y 4 6 x   y   y6   x 6   3       5  5      y8   M   M   x9   y7       y7   x 7   M   x 6   y8   M   M             M   M   0 1 0 0 0 0 0 0 L    0 0 0 1 0 0 0 0 L  0 0 0 0 0 0 0 0 L   0 0 0 0 0 1 0 0 L  ~  ~ A −1 =  = a ij , где a1 2 =1; a i i + 2 =1; 0 0 1 0 0 0 0 0 L    0 0 0 0 0 0 0 0 L    0 0 0 1 0 0 0 0 L   O O O O O O O O O  i= 2, 4, 6, … ; a k k − 2 =1; k= 5, 7, 9, … , остальны ек ом поненты равны нулю .

( )

13

Задани е 5. У б еди ться, ч то этот оператор и м еет цепочк у Ж орданаб еск онечной дли ны , то есть Ae i = e i−1 , i = 2,3,...; Ae1 = 0. Э то означает, что хотя ч и сло 0 является его соб ственны м чи слом , но оно не являетсянорм альны м соб ственны м ч и слом .

14

3. Реш ени ели ней ного уравнени я 1°. Рассм отри м уравнени е Ax = y, (6) где A – ф редгольм овск и й оператор, дей ствую щ и й и з E1 в E 2 , y – заданны й элем ент и з E 2 , х – и ск ом ы й элем ент и з E1 . В си лу ф редгольм овости оператораA и м еем : x = (I1 − P ) x + Px, y = ( I 2 − Q) y + Qy, (7) и уравнени е(6) запи сы ваетсяследую щ и м об разом : A(I1 − P) x = (I2 − Q) y + Qy, так к ак A ( Px ) = 0 . Здесь A(I1 − P)x ∈ im A, (I2 − Q)y ∈ im A,

Qy∈ co ker A,

следовательно, уравнени е(6) эк ви валентно си стем е Qу= 0  ~ −1 (I1 − P )x = A (I 2 − Q )у. ~ О б означи в A −1(I 2 − Q ) = Η и подстави в последнее соотнош ени е си стем ы в (7), получаем реш ени е x . И так, справедли ва Т еорем а 2. Е сли Α - ф редгольм овск и й оператор, то уравнени е Ax = у разреш и м о относи тельно x тогда и тольк о тогда, к огда его вы полнени и реш ени е вы полняется услови е Qу= 0 . При нееди нственно, оно и м еет ви д x = Hу+ Px , где Px - прои звольны й элем ент и з ker A . Т о есть: → (∃(x ∈E1 )[Ax = у]) (Qу= 0 ) ←

(x = Hу+ Px, ∀(Px )∈ ker A ) . 20. Рассм отри м случай, к огдаdim ker A = dim ker co ker A = 1. В озьм ем прои звольны й элем ент e ∈ kerΑ , тогдалю б ой элем ент и з ker A равен ae , где a - нек оторое чи сло. Пусть ϕ - нек оторы й элем ент и з co ker A , тогда лю б ой элем ент и з co ker A равен вϕ , где в- нек оторое чи сло. В ведем в подпространстве co ker Α ск алярноепрои зведени е <, > элем ентов y = cϕ и w = dϕ следую щ и м об разом < y, w >= cd . Т огда < y, ϕ >=< cϕ, ϕ >= c и y =< y,ϕ > ϕ . Т еорем а2 теперьф орм ули руетсятак:

15 1

A - ф редгольм овск и й Т еорем а 2 . Е сли оператор с dim ker A = 1 , то уравнени е Ax = у разреш и м о относи тельно x тогда и тольк о тогда, к огда вы полняется услови е < Qу, ϕ >= 0 . При его вы полнени и реш ени еи м еет ви д: x = Hу+ се, где с прои звольноечи сло. И ли :

(∃(x ∈ E )[Ax = у])

→ ←

(< Qу, ϕ >= 0 )

(x = Hу+ с.е, ∀с= const ) . Д альш е м ы б удем рассм атри вать ли ней ны й Α содном ерны м ядром . ф редгольм овск и й оператор

ограни ч енны й

16

4. О б рати м остьоператораA − νB В п.6 м ы пок аж ем , что вопросы сущ ествовани я и еди нственности реш ени я задач и К ош и для ди ф ф еренци ального уравнени я (1) тесно связаны с вопросом об рати м ости оператораA − νB при достаточно м алы х значени ях парам етра ν ∈ R+ . Т еперь ж е вы ведем услови я сущ ествовани я оператора(A − νB )−1 при м алы х ν и построи м этот оператор. Т еорем а 3. Д ля того чтоб ы оператор A − ν B б ы л об рати м при достаточно м алы х значени ях парам етра v , необ ходи м о и достаточно, ч тоб ы сущ ествовало такоечи сло p ∈ N , что < QB (HB )p −1 eϕ >≠ 0 . И ли , что то ж есам ое:

(∃(ν 0 ∈ R+ )∀(ν ∈ (0, ν 0 )[∃(A − νB)

−1

]) ← (∃(p ∈ N )[< QB(HB) (1) →

p −1

e, ϕ >≠ 0] .

( 2)

Д ок азательство (1). Пусть при достаточно м алы х значени ях −1 ν ∈ (0, ν 0 ) сущ ествует оператор (A − ν B ) . Т огда для лю б ы х y∈E2 сущ ествует еди нственноереш ени е x уравнени я (A − νB )x = y , отк уда Ax = νBx + y . По теорем е 1 последнее равенство возм ож но тогдаи тольк о тогда, к огда (8) < Q(νBx + у), ϕ >= 0 , и при этом x = H(ν Bx + y ) + ce , ∀c ∈ R . Последнеесоотнош ени ем ож но запи сатьв ви де (I − νHB)x = Hy + ce . (9) −1

Пусть νHB = ν HB < 1 , то есть ν < ν1 = HB . Т огдапо теорем е Н ей м ана(см .[3]) сущ ествует об ратны й ограни ченны й оператор

(I − νHB )−1 = I + νHB + ν 2 (HB )2 + ... + ν n (HB )n + ...

(10)

и и з (9) получаем :

x = (I − ν HB )−1 Hy + с(I − νHB )−1 e . Подстави м это вы раж ени ев услови е(8):

(11)

ν ⋅ c < QB(I − νHB )−1 e, ϕ >= − < Qy , ϕ > ν < QB (I − ν HB )−1 Hy, ϕ > , (12) Ч и сло с и з этого соотнош ени я находи тся еди нственны м об разом −1 ли ш ьесли < QB (I − ν HB ) e, ϕ >≠ 0 . В си лу (10) это услови е м ож но запи сать ∞

так: ∑ ν i < QB (HB )i e, ϕ >= f (ν ) ≠ 0 , аэто неравенство вы полняетсядля всех i=0

ν ∈ (0; min (ν 0 ν1 )) тольк о тогда, к огда хотя б ы оди н и з к оэф ф и ци ентов

разлож ени я f (ν ) в ряд по степеням

(∃(p ∈ N )[< PB(HB)

P −1

17

ν

отли чен

от

то

0,

есть

e, ϕ >≠ 0] .

Д ок азательство (2). Пусть (∃(p ∈ N )[< PB (HB )P −1 e, ϕ >≠ 0]) . Т огда сущ ествует ν 0 ∈ R+ такое, что f (ν ) ≠ 0 , ∀ν < ν 0 . В озьм ем c, удовлетворяю щ ееравенству(12), и подстави м его в (11): x = (I − ν HB ) Э то

и

−1

< Qy , ϕ > + ν < QB (I − ν HB ) HBy, ϕ > Hy − ⋅ I − ν HB −1 e . ν f (ν )

есть

−1

вы раж ени е

для

(A − νB)−1 y ,

(

)

то

есть

(A − νB)−1 (⋅) = (I − νHB)−1 B(⋅) − (13) < Q(⋅), ϕ > + ν < QB(I − ν HB)−1 H(⋅), ϕ > −1 ( I HB ) e . − ν ν⋅ < QB(I − ν HB)−1 e1ϕ > −1 Задани е 6. Пок азать, что для (A − νB ) , определяем ого ф орм улой (13), вы полняю тсясоотнош ени я (A − νB)(A − νB)−1 y = y и (A − νB)−1(A − νB)x = x , ∀x ∈ E1 , ∀y ∈ E 2 . У к азани е. В оспользоватьсяпри этом тем , ч то ~ AHy = AA −1 (I − Q)y = (I − Q)y ; ~ ~ HAx = A −1 (I − Q )Ax = A −1 (I − Q )A(I − P )x = (I - P)x. Задани е 7. Пок азать с пом ощ ью ф орм улы (13), что если сущ ествует оператор (A − ν B )−1 , то он являетсяограни ченны м при к аж дом ν . Зам еч ани е. Е сли оператор

(A − νB)−1

сущ ествует при нек отором

−1 значени и ν м еньш ем HB , то он сущ ествует при всех достаточно м алы х ν ≠ 0 . Д ей стви тельно, Th.3 ∃(A − νB )−1  →(∃(p ∈ N )[< QB(HB )P −1 e, ϕ >≠ 0] Th.3  →

(∃(ν 0 ∈ R + )∀(ν ∈ (0; ν 0 )[∃(A − νB) −1 ] .

18 −1 5. Свой стваоператора(A − νB ) A

Пусть для достаточно м алы х значени й ν сущ ествует оператор (A − νB)−1 . Построи м оператор (A − νB)−1 A и и зуч и м его свой ства.

Т еорем а4. Ч и сло 0 для оператора(A − νB )−1 A являетсянорм альны м соб ственны м ч и слом . Д ок азательство. Пусть u и υ нек оторы еэлем енты и з E1 таки е, что

(A − νB)−1 Aυ = u , отк уда A(υ − u ) = − νBu .

и ли Aυ = (A − ν B )u , В последнееуравнени еи м еет реш ени еточно тогда, к огда ν < QBu , ϕ >= 0 . При вы полнени и этого услови яи м еем : υ − u = − νHBu + ce , ∀c ∈ R . Построи м

к орневое подпространство

(14) си лу теорем ы 2

оператора

(15) (16)

(A − vB )−1 A .

Н ай дем его ядро: (A − νB )−1 Au1 = 0 → Au1 = 0 → u1 = e . Н аходи м элем ент u 2 , при соеди ненны й к u1 : (A − ν B )−1 Aи 2 = и 1 . Полож и м в (14) u = u1 , υ = u 2 , тогдаи з (15) следует, что u 2 сущ ествует в том и тольк о том случае, если < QBe1 , ϕ >= 0 . Е сли это услови е вы полняется, то и з соотнош ени я(16) находи м : u 2 = (I − ν HB )e + ce . Т огдапри соеди ненны й элем ент сущ ествует точно тогда, к огдавы полняется услови е (15) с u = −νHBe + c1e , то есть к огда < QBHBe , ϕ >= 0 , и в этом случае u 3 находи тся и з (16):

u 3 = (I − νHB )2 e + c(I − νHB )e + c1e и т. д… . По преды дущ ей

теорем е

(∃(ν 0 ∈ R+ )∀(ν ∈ (0; ν 0 ))[∃(A − νB) −1] → (∃(p ∈ N )[< QB(HB )P −1e, ϕ >≠ 0] . Пусть

q = min p

< QB (HB )P −1e, ϕ >≠ 0 .

(17)

Т огдаоператор (A − νB ) A и м еет цепочк уЖ орданаu i дли ны q . −1

Пусть N - это ли ней ная об олочк аэлем ентов u i ; i = 1, q . В к ачестве б ази сав N возьм ем элем енты υ i = (HB )i −1 e , i = 1, q . Задани е8. Пок азать, что элем енты υ i ли ней но незави си м ы .

i−1 Рассм отри м теперь элем енты υ , об ладаю щ и е свой ством : < QB(HB ) υ , ϕ >= 0 , i = 1, q . Пок аж ем , что совок упность таки х υ об разует

подпространство M1 , и нвари антное относи тельно (A − νB)−1 A. В озьм ем

υ ∈ M и об означи м u = (A − νB) −1 Aυ . Последнее равенство и м еет см ы сл, поэтом увы полняю тсясоотнош ени я(15) и (16). И з (16) получаем : υ = ( I − νHB) u + ce, (18) гдепостоянную C подб ерём так, чтоб ы υ ∈ M. И з (18) следует:

19

 (17)    < QB υB ϕ >= 0  →  < QBu,         →  < QBHBu, ϕ >= 0     (17)    < QBHB υB ϕ >= 0  →  <        + C < QBHBe, ϕ >= 0  → 

ϕ > − ν < QBHBu,

QBHBu,

ϕ > + C < QBe,

ϕ > − ν < QB(HB)

  < QB(HB) 

2

2

 ϕ >= 0  → 

u, ϕ > +

 u, ϕ >= 0   (19)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   (17)   < QB(HB) q − 2 υ, ϕ >= 0  →  < QB(HB) q − 2 u, ϕ > − ν < QB(HB)       + C < QB(HB)

q− 2

  e, ϕ >= 0  →  < QB(HB)  

q −1

q −1

u, ϕ > +

 u, ϕ >= 0  

Т ак и м об разом , элем ент u об ладает тем и ж есвой ствам и (15), (19), что и υ , то есть u ∈ M. ~ Т еперь пок аж ем , что суж ени е A1 оператора ( A − νB) −1 A на ~ подпространство M и м еет ограни ченны й об ратны й A1−1 . Рассм отри м уравнени е(14) при услови и , что υ ∈ M. Т ак к ак u ∈ M , то < QBu, ϕ >= 0 и υ = u − νHBu + ce. Т огда < QB ( HB ) q −1 υ , ϕ >=< QB ( HB ) q −1 u , ϕ > − ν < QB ( HB ) q u , ϕ > + + c < QB ( HB ) q −1 e , ϕ >

u , ν ∈M

→

0 = 0 − ν < QB ( HB ) q u , ϕ > +

+ c < QB ( HB ) q −1 e , ϕ >→ c = ν

< QB ( HB ) q e , ϕ > < QB ( HB ) q −1 e , ϕ >

e.

20

Подстави в это значени е в вы раж ени е ~ −1 значени еоператораA1 наэлем енте u :

υ,

для

получаем

< QB(HB) q u, ϕ > ~ A1−1u = (I − νHB)u + ν Задани е 9.

Провери ть,

< QB(HB) q −1e, ϕ >

и спользуя ф орм улы

e.

(20)

(20) и

(13),

что

~ ~ ( A − ν B) −1 AA1−1u = u , A1−1 ( A − ν B) −1 Aυ = υ, ∀u , υ ∈ M. •

Продолж аем док азы вать теорем у 4. Пок аж ем , что E1 = M + N, то есть

[

]

(∀( x ∈ E1 ) ∃(! )( u ∈ M )); x1, x 2 ,..., x q ∈ R) x = u + x1υ1 + x 2 υ2 + ... + x q υq ). Рассм отри м вы раж ени е x = u + x1υ1 + x 2υ 2 + ... + x q υq , где u ∈ M . (21) При м ени м к (21) операторы < QB ( HB ) i −1(⋅), ϕ >∈ L( E1 , R ), i = 1, q :

< QBx, ϕ >=< QBu, ϕ > + x1 < QBυ1, ϕ > + x 2 < QBυ 2 , ϕ > +... + x q < QBυq , ϕ > < QBHBx, ϕ >=< QBHBu, ϕ > + x1 < QBHBυ1 , ϕ > + x 2 < QBHBυ2 , ϕ > +... + x q < QBHBυq , ϕ > . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . < QB (HB ) q −1 x, ϕ >=< QB ( HB) q −1 u, ϕ > + x1 < QB (HB ) q −1 υ1, ϕ > + + x 2 < QB ( HB) q −1 υ2 , ϕ > +... + x q < QB( HB ) q −1 υq , ϕ > . В си лу свой ств элем ентов подпространстваМ , атакж евследстви е (17) эта си стем апри ни м ает ви д:  < QBx , ϕ >= x qdq   x q −1d q + x q d q +1 , (22) < QBHBx , ϕ >=  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  q −1 x , ϕ >= x d + ... + x < QB ( HB ) 1 q q −1d 2 q − 2 + x q d 2 q −1 где d i =< QB ( HB )i −1 e, ϕ >, i = q, 2q − 1 .

О предели тель последней

си стем ы равен ( d q ) q ≠ 0 , следовательно, отсю данаходятся x1, x 2 ,..., x q

21

еди нственны м об разом . Э лем ент ж е u находи тся и з (21) и тож е еди нственны м об разом . Т еперь пок аж ем , что лю б ой элем ент x ∈ E1 и м еет представлени е (21). В озьм ем x i , i = 1, q , определяем ы е си стем ой (22), и рассм отри м u = x − x1u1 − x 2 u 2 − ... − x q u q . Н етрудно провери ть, что u ∈ M (то есть < QB(HB )i −1 u , ϕ >= 0, i = 1, q ).

И так, чи сло 0 является для оператора (A − νB) A норм альны м соб ственны м чи слом : E1 = M + N , где N - ли ней ная об олочк аэлем ентов −1

υi = (HB )i −1 e , M = {x ∈ E1 :< QB(HB)

i −1

(A − vB )−1 A

}

x , ϕ = 0 , i = 1, q , суж ени еоператора

на подпространство M и м еет ограни ч енны й об ратны й , определяем ы й ф орм улой (20). При этом оператор проек ти ровани я S нак орневое подпространство N определяетсясоотнош ени ем q

Sx = ∑ x i (HB )i −1 e , ∀x ∈ E1 , i =1

где x i находятся и з си стем ы (22), а проек тор R на подпространство Μ ра вен I1 − S . Т еорем адок азана.

22

6. И сследовани еразреш и м ости задачи К ош и Переходи м к рассм отрени ю задачи (1), (2) с ли ней ны м ограни ченны м ф редгольм овск и м оператором А , разм ерность ядра к оторого равна1. 10. Пусть сущ ествует оператор (A − ν B )−1 при нек отором значени и парам етра ν , 0 < ν < HB −1 . Преоб разуем правую часть уравнени я (1) dx 1 = (νB − A + A)x( t ) и при м ени м к об еи м частям следую щ и м об разом : A dt ν −1 этого уравнени яоператор (A − ν B ) : (A − νB)−1 A dx = − 1 x(t ) + 1 (A − νB)−1 Ax(t ) . (23) dt ν ν По теорем е4 и м ею т м есто разлож ени я x 0 = Rx 0 + Sx 0 , x (t ) = Rx (t ) + Sx(t ) и (24) отк удаи и з (2) следует:

Є М

Є N

Є М

1 ( A − ν B) −1 ASx ( t ) . ν Є N

+

Є N

Є М

Rx(0) = Rx 0 , Sx (0) = Sx 0 . Подстави м (24) в (23): dRx ( t ) dSx ( t ) 1 1 1 ( A − ν B) −1 A + ( A − νB) −1 = − Rx ( t ) − Sx ( t ) + (A − ν B) −1 ARx ( t ) + dt dt ν ν ν

О тсю да:

dRx( t ) 1 1 = − Rx (t ) + (A − νB) −1 ARx(t ) , (25) dt ν ν dSx ( t ) 1 1 ( A − νB) −1 A = − Sx ( t ) + ( A − ν B) −1 ASx ( t ) . (26) dt ν ν Рассм отри м уравнени е (26). О б означи м к ом поненты ф унк ци и Sx (t ) в (A − νB) −1 A

q

б ази се u i , i = 1, q, через x i ( t ), i = 1, q , тогдаSx ( t ) = ∑ x i ( t )u i . i =1

У равнени е(26) и м еет ви д: q dx i 1 q 1 q −1 ( A − ν B ) Au = − x ( t ) u + x i (t )(A − νB)−1 Au i . ∑ dt ∑ ∑ i i i ν i =1 ν i =1 i =1

(27).

23 −1

( A − νB) Au1 = 0 , ( A − ν B) −1 Au i = u i −1 , поэтом у после

Но

при равни вани я к оэф ф и ци ентов при

u i , i = 1, q

в

(27)

получаем

соотнош ени я: dx 2 1 1 = − x1 ( t ) + x 2 ( t ) dt ν ν dx 3 1 1 = − x 2 ( t) + x3 ( t) dt ν ν

(28.1)

(28.2) .

Т огда

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . dx q 1 1 = − x q −1 ( t ) + x q ( t ) dt ν ν 1 0 = − x q (t ) . ν

(28.q-1)

(28.q)

(28.q −1)

( 28.q− 2)

(28.2)

(28.q) → (x q ( t) ≡ 0) →(x q−1 (t) ≡ 0) →.....→ ( 28.1)

(x 2 (t) ≡ 0) →(x1(t) ≡ 0). Т аки м об разом , если сущ ествует реш ени е задачи (1), (2), то ли ш ь тогда, к огдаSx0 = 0 . При этом Sx ( t ) ≡ 0, t ∈ [0, +∞ ). Рассм отри м теперь уравнени е (25). При м ени м к нем у оператор ~ −1 A1 , об ратны й к суж ени ю ( A − ν B) −1 A наМ : dRx ( t ) 1~ 1 = ( − A1−1 + I1 ) Rx ( t ). (29) dt ν ν 1~ В ы раж ени е (− A1−1 + νI1 )R находи тсяспом ощ ью ф орм улы (20): ν 1~ 1 < QB ( HB ) q R (⋅), ϕ > ( − A1−1 + I1 ) R (⋅) = HBR (⋅) − e. ν ν < QB( HB ) q −1 e, ϕ > и уравнени е(29) при ни м ает ви д:

dRx(t ) < QB(HB)q Rx (t ), ϕ > = HBRx(t ) − e. (30) dt < QB(HB)q −1e, ϕ > Сущ ествует еди нственное реш ени е уравнени я (30) с начальны м услови ем Rx (0) = Rx 0 : Rx(t ) = e Н ам и док азана

t ( HB(⋅) −

< QB (HB ) q R (⋅), ϕ > < QB (HB ) q −1 e, ϕ >

e)

Rx 0 .

(31)

24

Т еорем а 5.

Е сли

оператор

значени и парам етраν (0 < ν < HB

−1

A − νB

об рати м

при

нек отором

) , то задач а(1), (2) и м еет реш ени еx(t)

в том и тольк о том случае, если x 0 ∈ M . При вы полнени и этого услови я реш ени ееди нственно, леж и т в M , ∀t ∈ [0; ∞ ) и и м еет ви д(31). Т о есть:

(∃(ε ∈ (0; HB ))[∃(A − νB) ]) −1

Sx0 = 0

−1

  dx   ∀(t ∈ [0;+∞))∃(x(t )) A = Bx ∧ (x(0) = x 0 )    dt     < QB (HB ) q (⋅),e >   t  HB(⋅) − e   q − 1   (⋅),ϕ >  0 < QB( HB)   x ( t ) = Q1x ( t ) = e x .      

(

20. Пусть теперь оператор A − νB не и м еет об ратного ни при к аком

ν ∈ 0; HB

−1

). Т огдапо теорем е3

Рассм отри м

< QB(HB )i −1 e, ϕ >= 0 , ∀i ∈ N . об ладаю щ и е элем енты x ∈ E1 ,

свой ством :

< QB (HB )i −1 x , ϕ >= 0 , ∀i ∈ N . Совок упность таки х элем ентов об означи м

ч ерез M1 , то есть M1 = {x ∈ E1 :< QB (HB )i −1 x, ϕ >= 0, ∀i ∈ N}. Μ 1 представляет соб ой ли ней ное подпространство пространства E1 . И м еет м есто

(

)

Т еорем а6. Пусть оператор (Α − νB) необ рати м при ν ∈ 0; HB . Реш ени е x (t ) задачи (1), (2) сущ ествует в том и тольк о том случае, если x 0 ∈ Μ 1 . При вы полнени и этого услови я x (t ) ∈ Μ1 , нееди нственно и и м еет ви д t

x (t ) = e tHB (⋅)x 0 + ∫ e 0

−1

(t − s )HB (⋅ )

e1c(s )ds ,

(32)

где c(t ) - прои звольнаянепреры внаяф унк ци яот t . Задани е 10. Запи сать ф орм ули ровк у теорем ы 6 спом ощ ью при нятой си м воли к и .

25

Задани е11. Д ок азатьтеорем у6, пользуясьследую щ ей схем ой :

(x ( t ) = e

tHB

t

x (0) + ∫ e( t −S) HBec(s)ds, ∀c(t ) ∈ c0 ([0;+∞), x (0) ∈ M1 ) 0

(

(A

dx = HBx (t ) + c(t )e, ∀c(t ) ∈ c0 ([0;+∞)) dt

(33)

(33)

dx dx = Bx )  →(< QBx ( t ), ϕ >≡ 0) → ( < QB , ϕ >≡ 0) T .2 dt dt

(< QBHBx(t ), ϕ > +c(t ) < QBe, ϕ >≡ 0) Th.3

( < QBHBx ( t ), ϕ >≡ 0)

dx    < QBHB , ϕ >≡ 0  dt   (33)

 x ( t ) ∈ M1     x (0) ∈ M1 

(< QB(HB) 2 x (t ), ϕ > +C(t ) < QBHBe, ϕ >= 0) Th.3

( < QB ( HB) 2 x ( t ), ϕ >≡ 0) .

.

.

.

.

.

И так, реш ени е задачи (1), (2) с операторам и А и В , рассм атри ваем ы м и вы ш е, сущ ествует в том и тольк о том случае, к огда значени е x 0 при надлеж и т подпространству М и ли М 1 в зави си м ости от того, об рати м оператор A − vB и ли нет. Реш ени е и сам о леж и т в том ж е подпространстве. При чем , реш ени е еди нственно, если оператор A − ν B об рати м , и нееди нственно, если он необ рати м при м алы х ν . В и дреш ени я даётсяф орм улам и (31) и (32).

26

При м ер 6. Рассм отри м в l 2 задачу(1), (2) соператорам и :  0 0 0 0 0 L    b1 0 0 0 0 L    L 0 1 0 0 0   L b 0 b 0 0   2 3  0 0 1 0 0 L   и B = 0 0 0 b3 0 L  ; A=    0 0 0 1 0 L L 0 0 0 0 b   3  0 0 0 0 1 L  L L L L L O     L L L L L O    b1 , b 2 , b 3 ∈ R . И м еем : 1  0 0 0 0 0 L      1 0 0 0 0 L    0  0 1 0 0 0 L  0 0 0 0 0 L  0  0 0 1 0 0 L   . H= P = 0 0 0 0 0 L = Q, e1 = ϕ =  ,    0  0 0 0 1 0 L  0 0 0 0 0 L  0  0 0 0 0 1 L  0 0 0 0 0 L        M L L L L L O      Е сли b1 ≠ 0, то < QBe, ϕ >= b1 ≠ 0, значи т, при достаточно м алы х ν ≠ 0 оператор A − ν B об рати м незави си м о от того, к аковы вели чи ны b 2 и b 2 . Задача(1), (2) и м еет реш ени е в том и тольк о том случае, к огдаx 0 ∈ M . В данном при м ере M = {x ∈ l 2 : < QBx, ϕ >= 0}, то есть M = {x ∈ l2 : x1 = 0} . Реш ени еопределяетсяф орм улой (31), при этом < QBHBy, ϕ >= 0 ∀y ∈ l2 , 0   b2 HB =  0  0 L 

0

0

0

0

0 b3

0

0

0

0

b3

0

0

0

0

b3

L L L L

(i +1)  647 48  L 0 L 0 0   0 L 0 bi L 3  i  L и ( HB ) =  0 L 0 0  0 L 0 0 L  O L L L L  

0 0 b i3 0 L

  0 L 0 L  0 L , i = 2,3,.... b i3 L   L O  

27

Т огда

0  0 x2  t2 tHB 0 2 x(t ) = e x = (I + tHB + (HB) + ...) x03  =  0 2! x4   M   0    2 3  x 02 + tb3 x30 + (tb3 ) x 04 + (tb3 ) x50 + ... 2! 3!   2   (tb ) = x03 + tb3 x04 + 3 x50 + ... ∈ M.  2!   0 x 4 + tb3 x50 + ...   x50 + ...  Е сли

же

b1 = 0 ,

то

QB = (0) ,

следовательно,

< QB(HB)i −1e, ϕ >= 0, i ∈ N , и оператор A − ν B не об рати м ни при к ак и х ν ∈ (0; HB

−1

) . Реш ени е x(t) зада чи (1), (2) в этом случае сущ ествует при

лю б ом x 0 ∈ M1 = l 2 и нееди нственно. О но и м еет ви д(32) и определяетсяс t

точностью

до слагаем ого

∫e

(t − s)HB

ec(s)ds , где c(t) – прои звольная

0

непреры внаяф унк ци я. И м еем :

e( t −s)HBe = e + (t + s)HBe +

(t − s )2 (t − s )3 (HB)2 e + (HB)3 e + ..., 2! 3!

и , поск ольк у (HB)i e = 0, i = 2,3,..., то 1      b 2 ( t − s)  . e ( t − s) HB e =  0   0     M  

28

Т огда    t      x10 C(s )ds ∫     2 3 0  x 0 + b tx 0 + ( b3 t ) x 0 + ( b3 t ) x 0 + ...   2 3 3 4 5   t   2! 3!   b 2 ∫ ( t − s) C(s) ds   2 (b t ) . x (t ) =  x 30 + b3tx 04 + 3 x 05 + ... +  0    2!  0 0 0    x 4 + b 3tx 5 + ...  0     x 05 + ...    0      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   M   

29

7. Д ополнени я М ы и сследовали вопросы сущ ествовани я и еди нственности реш ени я задачи (1), (2) в случае, если Α ли ней ны й ограни ченны й ф редгольм овск и й оператор с dim ker A = dim co ker A = 1. М ож но рассм атри вать и неограни ченны й оператор. Т огдатреб уется, ч тоб ы A б ы л ли ней ны м зам к нуты м ф редгольм овск и м оператором свсю ду ~ плотной в E1 об ластью определени я D(А ) , x 0 ∈ D(А ) , тогда A −1 - это оператор, об ратны й к суж ени ю Α наD(А ) I coimA . М ож но рассм атри вать ф редгольм овск и й оператор с dim ker A = dim co ker A > 1 . В этом случае вм есто чи сел < QB(HB)i−1 e, ϕ > появляю тся к онечном ерны еоператоры . Т еорем ы 5 и 6 в эти х случаях остаю тсясправедли вы м и . М ож но рассм атри вать задачу (1), (2) с нетеровы м оператором Α , к оторы й отли чается от ф редгольм овск ого отсутстви ем услови я dim ker A = dim co ker A . Т еорем ы 5 и 6 в этом случаетреб ую т уточнени я. 8. Н ек оторы есведени яи з теори и ли ней ны х ди ф ф еренци альны х уравнени й в б анаховом пространстве Ли ней ное ди ф ф еренци альное уравнени е первого порядк а с постоянны м и к оэф ф и ци ентам и , разреш енноеотноси тельно прои зводной , в б анаховом пространстве Ε1 и м еет ви д: dx = Dx (t ) + f (t ) , (34) dt где D ∈ L(E1E1 ); f (t ) - заданная ф унк ци я от t со значени ям и в E1 ; x (t ) - и ск ом ая ф унк ци я (реш ени е) со значени ям и в об ласти определени я оператора D , непреры вно ди ф ф еренци руем ая и удовлетворяю щ ая уравнени ю при t ∈ [0; + ∞ ) . Прои зводная пони м ается к ак предел по норм е разностного отнош ени я x (t + ∆ t ) − x ( t ) при ∆t → 0 . ∆t У равнени еназы ваетсяоднородны м , если f (t ) = 0 . Д ля однородного уравнени я с ограни ченны м оператором D реш ени е задачи К ош и сущ ествует, еди нственно и и м еет ви д: x (t ) = e tD ⋅ x 0 . О ператор e tD определяетсярядом e tD = I1 + tD + операторов.

t2 2 tn D + ... + D n + ... , к оторы й 2! n!

сходи тся по норм е

30

Д ля неоднородного уравнени я (34) с непреры вной ф унк ци ей f (t ) реш ени е задачи К ош и сущ ествует, еди нственно и и м еет ви д: t

x (t ) = e tD x 0 + ∫ e (t − s )D f (s )ds . 0

С оде р ж ан и е 1. В ведени е__ ______________________________________________ 3 2. О сновны епоняти я__________________________________________ 5 3. Реш ени ели ней ного уравнени я________________________________ 14 4. О б рати м остьоператораΑ − vB _______________________________ 16

5. Свой стваоператора(Α − vB )−1 A ______________________________ 18 6. И сследовани еразреш и м ости задач и К ош и ______________________ 22 7. Д ополнени я________________________________________________ 29 8. Н ек оторы есведени яи з теори и ли ней ны х _____________________ ди ф ф еренци альны х уравнени й в б анаховом пространстве___________ 29 9. Ли тература________________________________________________ 30

Л ите р ат ур а 1. 2. 3.

К рей н С. Г. Ли ней ны е ди ф ф еренци альны е уравнени я в б анаховом пространстве/ С. Г. К рей н. - М .: Н аук а, 1967. – 464 с. Гельф андН . М . Лек ци и по ли ней ной алгеб ре / Н . М . Гельф анд. - М .: Н аук а, 1971. – 204 с. К олм огоров А . Н . Э лем енты теори и ф унк ци й и ф унк ци онального анали за/ А . Н . К олм огоров, С. В . Ф ом и н. - М .: Н аук а, 1976. - 496 с.

31

Состави тельдоц. Зуб оваСветланаПетровна Редактор Т и хом и роваО .А .

32