МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ГИДРОДИНАМИКА
Курс лекций для ФМШ
ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
А. П. Ершов
24 февраля 2004...
112 downloads
204 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ГИДРОДИНАМИКА
Курс лекций для ФМШ
ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
А. П. Ершов
24 февраля 2004 г.
Глава 1 ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В этой главе рассматриваются течения идеальной жидкости на основе уравнения Д. Бернулли (1700–1782). Год рождения уравнения – 1738: гидродинамике в 1988 году исполнилось 250 лет. За это время развилась наука с довольно сложным математическим аппаратом. Здесь мы ограничимся почти везде уровнем школьной алгебры, обращая основное внимание на физическую сторону явлений. Большинство из них удается понять на основе физической интуиции и простых оценок.
1.1
Гидростатика
Рассмотрим вначале покоящуюся жидкость. Слово «жидкость» часто будет употребляться для краткости вместо «сплошная среда» и может применяться, например, к газу. Под «частицей жидкости» понимается объем, достаточно малый, чтобы внутри него можно было пренебречь изменениями давления или скорости течения. Однако этот объем все же должен содержать огромное количество молекул, что позволит рассматривать его как сплошное вещество. Понятие частицы жидкости в гидродинамике аналогично механическому понятию материальной точки. Силы, действующие на мысленно выделенную частицу жидкости, делятся на массовые – например, сила тяжести, и поверхностные – результат воздействия соседних частиц. Вводить поверхностные силы можно тогда, когда малы длины свободного пробега молекул и межмолекулярное растояние. Тогда «внешние» молекулы воздействуют на интересующий нас объем действительно вблизи его поверхности. В этом и состоит приближение сплошной среды. Для покоящейся жидкости поверхностные силы сводятся к давлению. Давление P – это сила, действующая на единичную площадку в направлении нормали к ней. Например, столб жидкости плотности ρ, высотой h, сечением S притягивается к Земле с силой ρghS. В равновесии разность сил давления нижних и верхних слоев должна
2
Глава 1. ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
компенсировать вес: ∆P S = ρghS, и давление столба жидкости ∆P = ρgh .
(1.1)
Давление измеряется в динах/см2 (СГС), Н/м2 = Па (СИ, в честь Б. Паскаля (1623– 1662)). Формула (1.1) позволяет при заданных ρ и g измерять давление в единицах длины. Часто используются миллиметры ртутного или водяного столба. Нормальное атмосферное давление равно 760 мм.рт.ст., что соответствует ρgh = 1,013·106 дин/см2 = 1,013 · 105 Па (плотность ртути 13,6 г/см3 , g = 980 см/с2 ). Для краткости говорят, что такое давление – одна атмосфера (1 атм). Без множителя 1,013 получаем 1 бар = 106 дин/см2 = 105 Па. Мы обычно не будем различать бар и атмосферу. Давление 1 кгс/см2 (кгс – килограмм силы или вес тела массой 1 кг) называется технической атмосферой и равно (1000 г)·(980 см/с2 )/(1 см2 ) = 0,98 бар. Интересно, что над каждым квадратным сантиметром земной поверхности находится почти точно килограмм воздуха (1033 г). По закону Паскаля (1653 г.), величина силы давления не зависит от ориентации поверхности. Это легко проверить, покрутив барометр-анероид. Другими словами, давление – скаляр (не имеет направления в пространстве). Вектор силы получается умножением давления на вектор площади, направленный перпендикулярно поверхности. В центре Земли давление порядка ρRg/2, где ρ = 5,5 г/см3 – средняя плотность, R = 6400 км – радиус Земли, g/2 – среднее ускорение силы тяжести. Получаем 1,7·106 атм или 1,7 мегабар1 . На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила: давление на нижнюю часть выше. Для вертикального цилиндра высоты h разность давлений равна ρgh, и при площади основания S цилиндр будет выталкиваться с силой ρghS. Другими словами, выталкивающая сила равна весу жидкости того же объема, как у рассмотренного цилиндра. Этот вывод не зависит от формы тела. Представим себе, что тело объема V заменили объемом жидкости точно такой же формы. Этот объем находится в равновесии, т.е. его вес точно компенсируется выталкивающей силой. Такой же будет выталкивающая архимедова сила, действующая на реальное тело, т.е. FA = ρV g ,
(1.2)
где ρ – плотность жидкости. Равенство (1.2) выражает закон Архимеда.
1.2
Стационарное течение. Закон Бернулли
Перейдем к гидродинамике. Скорость движущейся жидкости в общем случае изменяется в пространстве и времени. Разумеется, проще и понятнее течения, в которых скорость в данной точке пространства не зависит от времени. Такие течения называются стационарными. Пример стационарного течения – обтекание неподвижного тела (рисунок 1.1). На большом расстоянии от тела скорость равна V , в точках A и C нулевая, а в точке B больше, чем V . Частичка жидкости, приближаясь к телу, сначала 1
По более точным современным данным – около 3,92 Мбар.
1.2. Стационарное течение. Закон Бернулли
3
замедляется до точки A, затем разгоняется от A к B, замедляется от B к C, опять разгоняется до прежнего значения V . Но в данной точке пространства, куда все время приходят новые частицы жидкости, все они будут иметь одну и ту же скорость. В другой системе отсчета (например, где жидкость на бесконечности покоится, а тело движется со скоростью – V ), течение не будет стационарным. Обычно стационарность возможна не более чем в одной системе отсчета. В стационарном течении траектории частиц, прошедших через данную точку пространства, повторяют друг друга. Рис. 1.1. Эти траектории – линии, к которым в каждой точке касателен вектор скорости, называются линиями тока. Внесением краски можно сделать линии тока видимыми. Из неподвижных линий тока можно образовать стенки трубки тока. Жидкость, вошедшая в трубку тока с одного торца, выходит из другого (но не через стенки).
Рис. 1.2.
Рис. 1.3.
Здесь мы будем придерживаться простейшей модели – идеальной жидкости, в которой отсутствует трение и взаимодействие между любыми соприкасающимися объемами сводится к давлению. Кроме того, будем считать жидкость несжимаемой, т.е. не меняющей свою плотность при изменении давления. Мы увидим, что область применимости этих предположений достаточно обширна. Рассмотрим некоторую трубку тока (рисунок 1.2). Входное S1 и выходное S2 сечения будем считать малыми. Тогда можно пренебречь изменениями скорости и давления в пределах этих сечений. За малое время ∆t в трубку входит масса жидкости ρS1 V1 ∆t. С другого конца трубки вытекает масса ρS2 V2 ∆t. Так как количество жидкости внутри трубки в стационарном течении постоянно, получаем уравнение неразрывности S1 V 1 = S2 V 2 .
(1.3)
Теперь выделим («подкрасим») массу жидкости, которая в данный момент как раз заполняет трубку тока (рисунок 1.3). Через время ∆t основная часть этой массы еще будет находиться внутри трубки, но справа «высунется» кусок массы m = ρS2 V2 ∆t, а слева останется место, занятое как раз такой же массой неподкрашенной жидкости. Результат движения за интервал ∆t такой же, как если бы мы «вылезающую» массу
4
Глава 1. ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
изъяли слева и переместили вперед, изменив ее форму и скорость от V1 до V2 . При этом изменится кинетическая энергия подкрашенной жидкости: ρS2 V23 ∆t ρS1 V13 ∆t mV22 mV12 − = − . 2 2 2 2 Энергия изменяется за счет работы внешних сил. В нашем случае это силы давления, действующие на торцы объема. Работа силы P1 S1 слева равна P1 S1 V1 ∆t (сила, умноженная на перемещение), справа над нашей массой производится отрицательная работа −P2 S2 V2 ∆t. Через боковые стенки тоже действуют силы, но они перпендикулярны скорости и работы не производят. Получаем равенство K(t + ∆t) − K(t) =
ρS2 V23 ∆t ρS1 V13 ∆t − = P1 S1 V1 ∆t − P2 S2 V2 ∆t . 2 2 После сокращения на ∆t и на S1 V1 = S2 V2 имеем ρV12 ρV 2 = P2 + 2 . (1.4) 2 2 Другими словами, в стационарном течении вдоль линии тока постоянна сумма P + ρV 2 /2. Это и есть простейшая форма закона Бернулли, или уравнения Бернулли. Если действует сила тяжести, следует учесть потенциальную энергию mgh; тогда вдоль любой линии тока P1 +
ρV 2 + ρgh = const . (1.5) 2 Уравнения (1.4, 1.5) выглядят очень просто, но позволяют понять множество эффектов и шиРис. 1.4. роко используются в гидродинамике. Оценим величину гидродинамических (или аэродинамических) сил. Пусть тело обтекается потоком, имеющим на бесконечности скорость V и давление P0 (рисунок 1.4). Очевидно, есть линия тока, которая упирается в поверхность тела в точке A, где течение останавливается. Применим закон Бернулли вдоль этой линии тока: P+
P0 +
ρV 2 = PA + 0 , 2
откуда ∆P = PA − P0 =
ρV 2 . 2
Величина ρV 2 /2 и будет характерным гидродинамическим перепадом давления. Если точка A находится на подводной части корабля, идущего со скоростью 30 узлов = 15 м/с, то прирост давления составит 1,1 атм. На носу самолета, летящего со скоростью 200 м/с, давление возрастает на 0,25 атм. Сжимаемость воздуха при таких скоростях еще невелика.
1.3
Кумуляция
Неожиданное применение гидродинамики – кумулятивный заряд. В 1942 г. были захвачены немецкие снаряды нового типа, названные «бронепрожигающими», а позднее
1.3. Кумуляция
5
получили известность так называемые фаустпатроны2 , которые пробивали совершенно несообразную до этого толщину брони – до 200 мм. В таком боеприпасе (рисунок 1.5) заряд взрывчатого вещества имеет спереди коническую выемку с металлической облицовкой. Ясно, что под действием взрыва облицовка приобретет скорость, направленную перпендикулярно образующей внутрь конуса. Но как это приведет к пробиванию? В этом независимо разобрались Г. Биркгоф (1912–1994) и М. А. Лаврентьев (1900–1980). Оказалось, что материал облицовки течет, как идеальная жидкость. Пусть металл приобрел скорость 2 км/с. При остановке разовьется давление ρV 2 /2 = 2·1011 дин/см2 или 2 · 105 атм. Прочность меди, обычно применяемой для облицовки, около 20 кгс/мм2 , или 2 · 103 Рис. 1.5. атм: прочностью металла можно пренебречь. Под действием таких нагрузок он потечет (хотя буквально и не расплавится). Известно, что при встрече сходящихся к оси потоков жидкости вперед выбрасывается струя. Она и пробивает броню.
Рис. 1.6.
Рис. 1.7.
Найдем систему отсчета, в которой течение стационарно. Пусть скорость метания равна u. В лабораторной системе (рис. 1.6) место образования струи перемещается вперед со скоростью V = u/ sin α. Надо «поехать» со скоростью V , тогда жидкость приобретет дополнительную скорость −V . Вдали от места соударения скорость втекания будет V0 = u · ctgα и направлена вдоль облицовки, как и должно быть в стационарном течении. Получаем задачу о втекании облицовки со скоростью V0 и вытекании в обе стороны двух струй. Свободная граница жидкости – линия тока; вдоль нее выполняется закон Бернулли. Поскольку давление снаружи постоянно, вдоль всей свободной границы скорость будет постоянной и равной V0 . С удалением от места столкновения к той же величине V0 стремится скорость также и по всему сечению струи. 2
нем. faust – рука, ручной снаряд.
6
Глава 1. ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
В исходной системе отсчета скорость струи будет Vс = V + V0 = u(1 + cos α)/ sin α, скорость «песта», вылетающего с обратной стороны, Vп = u(1 − cos α)/ sin α, т.е. пест тоже летит вперед. Пусть u = 2 км/с, α = 20◦ . Тогда скорость струи будет 11,4 км/с, а скорость песта 0,35 км/с. Струя уносит почти всю кинетическую энергию облицовки, хотя ее масса мала. Такая концентрация воздействия в одном направлении, в одной точке и т.п. называется кумуляцией. Максимальное давление достигается в точке разворота O и равно ρV02 /2 (в нашем примере 1,5·106 атм, почти как в центре Земли). Теперь понятно, что, попав в броню, такая струя буквально размывает ее. В системе отсчета, в которой струя и броня движутся навстречу с равными скоростями Vс /2, получается обращенное кумуляции течение (рис. 1.7). При одинаковой плотности материалы брони и струи расходуются одинаково. Длина струи должна равняться длине образующей конуса D/(2 sin α), где D – калибр (диаметр) заряда. Такой же будет глубина пробивания. Облицовка с углом 20 градусов должна пробивать примерно 1,5 калибра. Реальное пробивание больше, так как струя в полете вытягивается. Поэтому взрыв надо производить на некотором «фокусном» расстоянии от брони. Увеличить длину струи, уменьшая угол облицовки, неограниченно не удается, так как растет давление и начинает сказываться сжимаемость облицовки. Скорость V0 должна быть хотя бы не больше скорости звука в металле c (в нашем примере почти равна). Теперь способность металла течь кажется очевидной, но в свое время идея воспринималась с трудом, в особенности среди специалистов по пробиванию брони.
1.4
Волновые движения
Волнение на поверхности воды – основной источник эстетического впечатления от больших водоемов. Начнем с волн на «мелкой воде», когда глубина h значительно меньше длины волны λ. Перейдем в систему отсчета, которая «сопровождает» волну, имеющую скорость V (пока неизвестную). В этой стациРис. 1.8. онарной системе жидкость движется со скоростью, практически равной V , а волна неподвижна (рис. 1.8). Из уравнения неразрывности V h = (V − ∆V )(h + a) ; здесь ∆V – уменьшение скорости воды в том месте, где ее уровень поднялся на величину a. (В лабораторной системе отсчета скорость перед волной нулевая, то есть волна набегает на покоящуюся жидкость. В волне же скорость как раз будет ∆V ). Считая
1.4. Волновые движения
7
∆V и a малыми, пренебрежем произведением a∆V ; тогда h∆V = aV .
(1.6)
Для верхней линии тока запишем закон Бернулли P0 V 2 P0 (V − ∆V )2 + + gh = + + g(h + a) . ρ 2 ρ 2 Опять пренебрегая ∆V 2 , получаем V ∆V = ga .
(1.7)
Поделив (1.7) на (1.6), видим, что эти два уравнения для двух неизвестных a и ∆V совместны только при условии g/V = V /h, т.е. скорость волны V =
(1.8)
gh .
При малой амплитуде (a h) скорость V не зависит от a. Пусть произошло подводное землетрясение на глубине 2 км. Если размер затронутой области больше десятка километров, мы получим длинную волну на мелкой воде. Ее √ скорость 10 · 2 · 103 = 140 м/с, т.е. сравнима со скоростью самолета. Еще раз отметим, что скорость, с которой перемещается изменение формы поверхности, не надо путать со скоростью частиц жидкости в лабораторной системе ∆V = aV /h = 7 см/с при амплитуде a = 1 м. У берега передний фронт волны замедляется: уменьшается глубина h. Поскольку задние участки продолжают напирать, растет высота волны. При «удачной» форме морского дна длинная волна может собраться в компактное образование (рисунок 1.9). Зависимость длины волны от глубины можно понять из простой аналогии. Пусть колонна автомобилей длины λ проезжает мимо неподвижного наблюдателя за время T . Можно считать, что передний автомобиль выехал из ворот стоянки на время T раньше заднего. Рис. 1.9. Затем колонна въезжает на участок дороги, где скорость снижена, например перед постом ГАИ. Сначала замедляет ход передний автомобиль, затем следующий, и т.д. Колонна сокращается, но мимо поста проходит за то же самое время T ! Ведь, чтобы доехать до данной точки, каждый автомобиль тратит одинаковое время. Следовательно, при движении колонны сохраняется отношение T = λ/V . Другими словами, длина колонны автомобилей или волны цунами изменяется пропорционально ее скорости: λ/λ0 = V /V0 =
h/h0 .
Пусть волна возникла на глубине h0 = 2560 м, первоначальная длина волны λ0 = 16 км, амплитуда a0 = 1 м. Корабль, оказавшийся на пути волны, поднимется на ее верхушку
8
Глава 1. ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
√ за время порядка λ0 /2 gh0 = 50 с и практически волны не почувствует. Но при глубине √ 10 м длина волны уменьшится в 256 = 16 раз – до 1 км. Масса такого бугра (на единицу длины фронта) ρλa; его центр тяжести поднят на высоту a/2, так что потенциальная энергия равна ρgλa · a/2. (Проверьте, что кинетическая энергия волны в лабораторной системе отсчета ρλh∆V 2 /2 равна потенциальной). В идеальной жидкости энергия сохраняется, так что произведение λa2 = const при движении волны по переменной глубине. Следовательно, высота волны растет очень медленно: a/a0 = (h0 /h)0,25 , и в рассмотренном примере она увеличится до 4 м. Скорость на этой глубине около 10 м/с. Здесь уже наша теория перестает выполняться, потому что высота волны стала порядка глубины. Выход волны на берег – довольно сложное явление. Все же попробуем сделать хотя бы грубую оценку. У берега может сформироваться волна, длина которой порядка высоты H, а энергия ρgH 3 /2 примерно такая же, как у исходной волны. Можно сказать, что это – самый опасный случай. Вряд ли возможна волна, у которой длина заметно меньше высоты – тонкая «стенка» воды; она тут же опрокинется и рассыпется. Получаем H ∼ (λ0 a20 )1/3 ≈ 25 м. Скорость такой стены воды порядка скорости падения с высоты H: около 20 м/с, т.е. убежать от нее трудно. Такие волны – цунами3 – тоже пример кумуляции. Длинное, пологое образование, совершенно незаметное в океане, может произвести большой эффект на отлогом берегу. Наблюдались цунами высотой до 50 м. Волны на глубокой воде, когда длина волны λ мала по сравнению с глубиной (рисунок 1.10), можно рассмотреть аналогично. Разница в том, что в уравнении неразрывности роль глубины играет величина, пропорциональная длине волны, так как искривления линий тока с глубиной затухают, и с некотоРис. 1.10. рой характерной глубины их можно заменить ровным дном. Оценку можно получить, считая характерную глубину равной четверти длины волны: на этом размере происходят заметные изменения высоты поверхности. Тогда в формуле для скорости заменим h на λ/4: V = gλ/4. Точное выражение дает (1.9) V = gλ/2π , то есть характерная глубина равна λ/2π. Аналогично, рассматривая колебания, мы всегда разыскивали частоту ω = 2π/T , как более полезную, чем ν = 1/T ; соответственно характерное время колебаний – не период T , а 1/ω = T /2π. Иногда правильные масштабы обозначают не особой буквой, как это произошло с частотой, а исправляют уже − принятую букву. Например, λ/2π обозначают λ . Рассмотрим теперь стоячую волну в реке, вызванную неровностью дна (рисунок 1.11). Пусть на дне имеется возвышение малой высоты y, скорость реки V , глубина h. Найдем поднятие уровня воды x. 3
По-японски: большая волна в гавани.
1.4. Волновые движения
9
Снова запишем уравнения неразрывности и Бернулли V h = (V − ∆V ) · (h + x − y) , V2 (V − ∆V )2 + gh = + g(h + x) . 2 2 Считая x, y, ∆V малыми и пренебрегая их произведениями и квадратами, получим h∆V = (x − y)V ,
V ∆V = gx ,
откуда x=y·
V2 . V 2 − gh
(1.10)
Картина, изображенная на рисунке, может наблюдаться при очень быстром течении (V 2 > gh), что бывает на горной реке. Для равнинной реки скорость течения всегда меньше √ gh, и поэтому при поднятии дна (y > 0), будет x < 0, т.е. уровень воды понижается. Рис. 1.11. Рельеф поверхности будет обратным рельефу дна. Жидкость, чтобы ускориться, должна опуститься. √ Что будет, когда скорость реки равна gh? Нуль в знаменателе (1.10) означает, что значение x будет велико по сравнению с y. Наше решение получено для малого x и √ при V = gh не годится: при такой или близкой скорости малому поднятию дна будет соответствовать не малое изменение уровня. Малое x формально получается при y = 0 – √ ровном дне. Это можно понять из таких соображений: скорость V = gh – это скорость поверхностных волн, течение их как раз останавливает. Но эти волны не нуждаются ни в каких неровностях дна: при ровном дне можно возбудить на поверхности волну, и поверхность при этом может иметь любую форму. √ Допустим, что на дне реки со скоростью течения, несколько меньшей gh, лежит большой камень (рисунок 1.12). Вначале его воздействие приведет к падению уровня и увеличению скорости. В некоторой точке знаменатель (1.10) может перейти через нуль и изменить знак, что соответствует большому поднятию. В результате на камне будет стоять высокий вал с бурным перемешиванием. Участки рек с такими валами привлекают к себе водных туристов. При большой высоте вала формулы применимы лишь качественно: появится вертикальная скорость. Волна большой амплитуды (бор) может существовать и на ровном дне. Естественно, она уже не привязана к какой-то точке реки и будет по ней перемещаться. Опять «остановим» волну, перейдя в стационарную систему отсчета (рисунок 1.13). Скорость втекания V равна скорости бора относительно воды. Запишем уравнение неразрывности V h = u(h + x) ,
10
Глава 1. ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Рис. 1.12.
Рис. 1.13.
а вместо закона Бернулли – второй закон Ньютона, определяющий изменение импульса течения. Импульс элемента массы m = ρhV ∆t = ρ(h + x)u∆t изменится из-за разности сил гидростатического давления: mu − mV =
ρgh ρg(h + x) · h∆t − · (h + x)∆t . 2 2
Сокращая на ρ∆t, получаем gh2 g(h + x)2 2 +V h= + u2 (h + x) . 2 2 Исключив из уравнения неразрывности u, имеем решаемое кубическое уравнение для высоты волны x: x(x2 + 3hx + 2h2 − 2V 2 h/g) = 0 . Ясно, что ровная поверхность x = 0 обязана быть решением. Скобка имеет корень h 8V 2 −3 . (1.11) x= · 1+ 2 gh Другой корень не имеет смысла, так как полная высота h+x получается отрицательной. При V 2 > gh будет x > 0, как на рисунке. Другими словами, скорость бора относительно √ воды при x > 0 больше скорости волн малой амплитуды gh (иначе бор, являющийся сильным возмущением поверхности, рассыпался бы на такие волны, излучая их вперед и теряя на этом энергию). Проверим теперь, выполняется ли закон Бернулли. Сравним для верхней линии тока gh + V 2 /2 в начальном состоянии и gH + u2/2 в конечном (давление P0 постоянно). Возьмем для удобства V 2 = 3gh, тогда x = h, H = 2h, u = V /2, gh+V 2 /2 = 20gh/8, а gH +u2 /2 = 19gh/8. Энергия после прохождения бора уменьшается. Часть энергии перейдет в беспорядочное движение воды или колебания поверхности, а впоследствии – в тепло. Поэтому мы и не применяли уравнение Бернулли: уравнение импульса выглядит более надежно. Если бы мы использовали закон Бернулли, то нарушился бы второй закон Ньютона, что эквивалентно появлению несуществующих (фиктивных) внешних сил. Строго говоря, при неравномерности течения и уравнение импульса нуждается в уточнении, но качественная картина не изменится. Может ли существовать «отрицательный» бор, у которого x < 0 и вода разгоняется? Наша формула при V 2 = 3gh/8 дает H = h/2, u = 2V . Перед волной gh + V 2 /2 = 19gh/16, после – gH + u2 /2 = 20gh/16, т.е. энергия должна увеличиваться.
1.4. Волновые движения
11
Найти дополнительную энергию сложнее, чем рассеять лишнюю. Такой бор может существовать только при внешней поддержке, например, если вода ускоряется какими-то устройствами, которые вдобавок должны двигаться по дну. В природе такие условия не встречаются. Бор возникает в устьях рек с небольшой глубиной, когда прилив затормаживает течение. После возникновения он может проходить расстояния порядка 100 км (по Сене – до Руана). В России заметные приливы бывают только на Дальнем Востоке, поэтому это явление у нас мало известно. Можно наблюдать бор в домашних условиях, пустив воду по наклонному лотку и перегораживая течение. Бор возникает у препятствия, затем перемещается вперед. Если убрать препятствие, он медленно сносится назад и исчезает. Высота настоящего бора может быть несколько метров, скорость перемещения – несколько м/с.
Рис. 1.14.
Рис. 1.15.
Пусть две волны малой амплитуды распространяются одна за другой. Вторая волна на рисунке 1.14 догонит первую, так как для нее глубина (и,значит, скорость) больше исходной. Пологая волна достаточно большой амплитуды имеет тенденцию становиться более крутой и даже опрокидываться. С другой стороны, длинные волны распространяются быстрее коротких. Слабая дисперсия – зависимость скорости от длины волны – сохраняется и для мелкой воды и работает в обратную сторону, стремясь сделать волну более плавной. Оказывается, оба эффекта могут точно компенсироваться.
Рис. 1.16. Такая уединенная волна, или солитон (рисунок 1.15), имеет вид колоколообразного возвышения и распространяется на большие расстояния, не изменяя своей формы. Удивительно, что при столкновении солитоны взаимодействуют как частицы, просто обмениваясь своими скоростями (рис. 1.16). В конечном состоянии получаются такие же два солитона, как в начальном. Сейчас активно исследуется идея солитонной природы элементарных частиц.
12
Глава 1. ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
1.5
Неустойчивость Гельмгольца
Почему ветер вызывает волнение? Казалось бы, ровная поверхность при любом ветре – состояние равновесия с минимальной потенциальной энергией. Это состояние тем не менее не всегда устойчиво. Над гребнем волны с малой амплитудой a воздух ускоряется (рисунок 1.17). Как уже отмечалось, характерная ширина трубки тока рав− на λ = λ/2π при длине волны λ. Изменение ско− . Это приводит к рости воздуха ∆V = V · a/λ падению давления ∆P = ρ · (V + ∆V )2 − V 2 /2 ≈ ρV ∆V ,
Рис. 1.17.
которое «пытается» увеличить амплитуду волны. Препятствует этому тяжесть. Если ∆P превышает давление столба жидкости ρl ga (ρl – плотность жидкости), волна будет расти. Получаем условие роста ρV 2 a > ρl ga или V > − λ
ρl − · gλ , ρ
(1.12)
Скорость ветра должна превышать скорость волн на глубокой воде по крайней мере в ρl /ρ ≈ 28 раз. Это и позволило нам не переходить в систему отсчета волны. Описанная неустойчивость рассмотрена Г. Гельмгольцем (1821–1894) в 1868 г. Ветер со скоростью 10 м/с должен вызывать волны с длиной в несколько сантиметров. Действительно, порыв ветра на гладкой воде вызывает появление мелкой ряби4 . Но для волн длиной в несколько метров требуется скорость на порядок больше. Такой ветер бывает настолько редко, что не может быть причиной почти постоянного волнения в океане. На самом деле для морских волн имеется эмпирическая зависимость V 2 = g · λ/4,9 , откуда видно, что неустойчивость Гельмгольца не имеет отношения к делу. Скорость ветра лишь немного превышает скорость волн. Волнение вызывается довольно сложным резонансом турбулентных пульсаций ветра с волнами. Неустойчивость Гельмгольца особенно наглядно проявляется, когда тяжесть не влияет. Если скользят друг по другу слои жидкости одинаковой плотности, неустойчивость возникает при любой скорости скольжения. Другой пример – столб дыма из трубы (g параллельно поверхности скольжения). Оценим скорость роста волн (рисунок 1.18). Из симметрии в лабораторной системе отсчета волна движется с половинной скоростью дымовой струи. Тогда в системе волны дым и окружающий воздух обтекают волну с 4
При таких коротких волнах начинает влиять поверхностное натяжение, которое мы здесь не рассматриваем.
1.6. Неустойчивость Релея–Тейлора
13
противоположными скоростями, равными V /2. При амплитуде волны a перепад давле− − ния ∆P = ρV 2 a/4λ . Этот перепад ускоряет слой с характерной толщиной λ : − ·W , ∆P = ρλ
где W – ускорение границы раздела, которое можно выразить через время роста волн t и амплитуду волны a: W = a/t2 . Получаем t≈
− 2λ , V
(1.13)
− : меньше своей длины. то есть волна заметно вырастает, проходя расстояние V t/2 = λ
Наблюдения дыма из трубы показывают, что возникает волна длиной около диаметра трубы, нарастающая согласно нашим выводам. Когда амплитуда волны становится не малой – порядка половины длины – струя дыма начинает быстро тормозиться и перемешиваться с воздухом. Трубы служат для того, чтобы выносить дым на большую высоту. Это достаточно дорогие сооружения. Можно ли добиться того, чтобы свободная струя не перемешивалась с воздухом и поднималась как бы в трубе? Поскольку такое движение неустойчиво, похоже, что ничего сделать нельзя. Поэтому и строят трубы такой высоты (до 300 м). В очень тихую погоду при малой скорости дыма, например из домашней печки, все же можно видеть струю, проходящую довольно большой путь без перемешивания. Видимо, здесь сказываются два обстоятельства: удачное (устойчивое) распределение скоростей в струе при малой скорости и очень малые начальные отклонения.
1.6
Рис. 1.18.
Неустойчивость Релея–Тейлора
Нальем в стакан воду, прикроем его бумажкой и перевернем. Вода не выливается. Этот опыт обычно объясняют тем, что в пузыре воздуха над водой давление меньше атмосферного и разница давлений удерживает воду. Теперь уберем бумажку. Хотя давление от этого измениться не могло, вода выливается за доли секунды.
Рис. 1.19.
Мы опять имеем дело с неустойчивостью. Пусть нижняя граница воды стала неровной. Можно считать, что из выемки взяли воду и сделали из нее выступ (рисунок 1.19).
14
Глава 1. ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
В целом вода переместилась вниз, и потенциальная энергия уменьшилась. Для волны длиной λ и амплитудой a изменение потенциальной энергии ∆U = −ρλa · ag/2 (на единицу длины в поперечном к рисунку направлении). Кинетическая энергия 2 da − 1 ρλλ · 2 dt − (снова по вертикали считаем затронутым слой жидкости λ = λ/2π). Сумма кинетической энергии и изменения потенциальной равна нулю – начальному значению. Получаем g da = − ·a . (1.14) dt λ
Существенное возрастание амплитуды (∆a ≈ a) произойдет за характерное время ∆t: − − a λ λ · = . ∆t ≈ g ∆a g Точное растущее со временем решение уравнения (1.14) имеет вид a = a0 · e(t/∆t) ,
(1.15)
то есть за характерное время ∆t возмущение увеличивается в e = 2,718 раз. Для стакана с водой характерное значение λ – диаметр стакана – около 5 см. Это наиболее медленно растущее возмущение, так как более длинные волны «не уместятся». Тогда ∆t ≈ 0,03 с. Вытаскивая бумажку, мы вызываем на поверхности волнение с амплитудой никак не меньше 0,3 мм. Когда амплитуда вырастет, скажем, до 3 см, можно считать, что вода уже практически вылилась. Амплитуда вырастает в 100 раз, exp(t/∆t) = 100, t = ∆t · ln(100) = 4,6 · ∆t = 0,15 с – разумное совпадение с опытом. Похожая ситуация наблюдается при падении карандаша, поставленного на острие, − что уже обсуждалось в прошлом семестре, только вместо λ надо поставить величину порядка длины карандаша. (Аккуратный расчет дает 2/3 длины). Напомним, что время проявления неустойчивости практически не зависит от начальных условий. В любом случае получится несколько характерных времен ∆t. Если сделать начальную амплитуду порядка молекулярных размеров (на 7 порядков меньше), то время возрастет всего в 4 раза (0,6 с). Попробуйте увеличить время падения карандаша, возможно точнее устанавливая его на острие. Какая польза от таких задач? Кто будет наливать воду на потолок и наблюдать ее падение? Оказывается, описанная неустойчивость Релея–Тейлора вполне прикладная. Примерно в 1950 г. к Дж. Тейлору (1886–1975) обратилась фирма, производящая бумагу. Бумажная масса, напоминающая кашу, помещалась на вибрирующий стол для освобождения от воды. При большой интенсивности вибраций качество бумаги резко ухудшалось. Тейлор выяснил, что это происходило, когда вертикальное ускорение стола превышало ускорение силы тяжести g. С «точки зрения будущей бумаги», тяжесть временами была направлена вверх, что и приводило к развитию неустойчивости и порче поверхности. Позднее выяснилось, что подобную задачу уже решал Релей (1842–1919).
1.6. Неустойчивость Релея–Тейлора
15
Эта открытая версия истории (возможно, сама по себе и верная) сильно уступает настоящей. В атомной бомбе взрывом химического ВВ сжимается к центру шар из плутония (имплозия). К маю 1944 г., после полугода исследований, не удалось достичь заметного прогресса. 24 мая в Лос-Аламос (в рамках сотрудичества США и Великобритании) прибыл Дж. Тейлор. Он указал на причины неудач – неустойчивость сжимающейся сферы. Вещество движется с ускорением к центру. В неинерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью, возникает искусственная тяжесть, направленная на ружу: тяжелая жидкость находится «выше» легкой. Время сжатия t порядка R/W , − = R бугде W – характерное ускорение, R – радиус. Время нарастания волн длиной λ дет R/W – то же самое. Более короткие волны растут еще быстрее. Есть явная опасность потери симметрии из-за неустойчивости. Довольно быстро эта трудность была преодолена, что впоследствии пригодилось в термоядерных бомбах, также работающих на принципе имплозии. (Термоядерный заряд облучается светом от предварительного взрыва атомного заряда. Отдача испаряющейся поверхности толкает вещество внутрь). В малом масштабе та же задача – лазерный термоядерный синтез. Вместо атомного взрыва шарик термоядерного горючего размером с горошину облучается мощными лазерами. Из-за неустойчивости нужное сжатие – в 104 раз – не достигается. С этим явлением ведется борьба, но пока хорошей симметрии сжатия не получено. По данным экспериментов нейтронный выход и выделившаяся энергия в несколько раз ниже расчетного значения. Можно сказать, что если раньше человечество использовало устойчивые процессы, то теперь приходится разрабатывать неустойчивые. Гидродинамика идеальной жидкости часто критикуется за нефизичность. Р. Фейнман в своем известном курсе физики называет ее теорией «сухой воды». Мы видели, что во многих задачах вода получается вполне мокрой, особенно когда нет твердых границ. Подробнее условия, когда мало влияние вязкости, мы рассмотрим ниже.
Глава 2 ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ 2.1
Уравнение состояния. Температура.
Одно из ценных замечаний, заполняющих фейнмановский курс физики, относится к роли идеи о молекулярной структуре вещества. Рекомендуется найти соответствующую цитату. Доказать правильность этой идеи удалось не так давно. Сейчас отдельные молекулы и атомы видно под микроскопом (хотя и не оптическим). Простейшую среду – идеальный газ – можно для начала понимать как набор невзаимодействующих молекул. Сами молекулы, тоже для начала, будем считать материальными точками, находящимися в непрерывном движении. Это хорошо согласуется с легкой сжимаемостью газа. Попробуем установить более количественные свойства газа. Введем плотность, или концентрацию, молекул n [1/см3 ], то есть число молекул в единице объема. Не надо путать с более привычной плотностью массы ρ = mn [г/см3 ], где m – масса молекулы. Каждая молекула может иметь свою скорость v. Скорости молекул направлены хаотически (случайно). Если нет направленного течения, то средняя скорость молекул в достаточно большом объеме E = 0. Мы по отдельности не чувствуем m, n, v, но можем измерить ρ = mn, а также давление газа P . Ударяясь о стенки сосуда, молекулы отскакивают и, таким образом, оказывают давление. При упругом ударе молекула передает стенке импульс p = 2mvx . За время t к участку стенки площадью S подлетит nSvx t/2 молекул. Это просто половина числа молекул в объеме Svx t; другая половина удаляется от стенки. Полный переданный импульс будет 2mvx nSvx2 t/2, сила равна mnSvx2 , а давление P = mnvx2 . Мы тут считали vx заданной. На самом деле молекулы можно разбить на группы с различными vx . Тогда давление будет зависеть от среднего значения: P = mnvx2 . Разумно выделить кинетическую энергию: P = 2n
2 mv 2 2 mvx2 = = nε . 2 3 2 3
2.1. Уравнение состояния. Температура.
17
Здесь использовано равенство vx2 = vy2 = vz2 = v 2 /3, означающее, что все направления равноправны и что стенка не вносит несимметрии в распределение скоростей молекул. ε = mv 2 /2 – это средняя кинетическая энергия молекул газа. Умножив обе части на объем V , получим 2 P V = Nε . (2.1) 3 где N = nV – полное число молекул в объеме. При контакте двух газов (скажем, через подвижный поршень) в системе выравниваются давления и, значит, произведения n1 ε1 = n2 ε2 . Покажем, что в равновесии равны и по отдельности множители. Рассмотрим газ в двух половинах сосуда, разделенных подвижным поршнем массы M (рис. 2.1). Поршень под ударами «левых» молекул может приобретать скорость и передавать энергию газу в правой половине, и наоборот. Пусть в некоторый момент скорость поршня была U, и по нему ударяет молекула со скоростью v вдоль оси x. После упругого удара, как известно из механики, 2m Рис. 2.1. (v − U) + U . M +m Возводим в квадрат: 2 2m 4m 2 (v − U)U + U 2 = U 2 . U = (v − U)2 + M +m M +m U =
В среднем после удара квадрат скорости поршня не должен измениться (энергия его в среднем постоянна). Получаем 2 2m 4m (v − U)U = 0 . (v − U)2 + M +m M +m Поскольку скорости v и U случайные, среднее произведение vU = 0. Тогда m v 2 + U 2 = U 2 ⇒ MU 2 = mv 2 . M +m Видим, что в равновесии средние кинетические энергии поршня и молекулы левого газа равны (для молекулы берется часть энергии, связанная с движением по оси x). Но можно провести те же рассуждения и для газа в правой секции. Значит, средняя кинетическая энергия правой молекулы будет точно такая же. Не обязательно связывать разные газы должен поршень. Это просто средство установления равновесия между двумя газами, которые в нашей ограниченной модели материальных точек по-другому взаимодействовать не умеют. Можно взять крупинку вещества и рассмотреть удары молекул об нее. Таким образом, у любых газов в равновесии равны средние кинетические энергии: ε1 = ε2 .
18
Глава 2. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
Поскольку с обеих сторон поршня равны и давления, а P ∼ nε, то будут одинаковы и концентрации (плотности); массы молекул газов и массовые плотности при этом вполне могут отличаться. Равенство средних энергий сильно напоминает известное каждому равенство температур при контакте тел. Естественно связать среднюю кинетическую энергию молекул с температурой. Сопоставим уравнение (2.1) и полученное независимо как обобщение эмпирических газовых законов уравнение Клапейрона–Менделеева: PV =
M RT µ
или P V = νRT .
(2.2)
Ясно, что N ∼ M – массе газа, или N ∼ M/µ. Отсюда опять видно, что ε ∼ T . Температура измеряется в градусах, поэтому нужен коэффициент перевода. По определению 3 ε = kT , 2 −16 где k = 1,38 · 10 эрг/град – постоянная Больцмана. Откуда взять это значение, мы узнаем в конце курса. ν = M/µ – это число молекул в особых единицах – молях. В 1 моле вещества содержится NA = 6,02 · 1023 молекул, или штук на моль [1/моль]; тоже пока постулируется. Газовая постоянная R = Nk = 8,3144·107 эрг/моль поддается непосредственному определению. В физике вместо (2.2) удобнее эквивалентные формы: P V = NkT ,
P = nkT ,
(2.3)
называемые уравнением состояния газа. Исторически температура не сразу идентифицировалась с энергией молекул, тем более что существование последних было под вопросом. Понимая ее как «степень нагретости», что явно содержит тавтологию, тем не менее пытались эту степень измерить. Видимо, первые удачные термометры основывались на тепловом расширении жидкости (воды, ртути). Появились температурные шкалы. Бытовая шкала Цельсия определяется по точкам замерзания (0 ◦ C) и кипения воды (100 ◦ C). Довольно быстро было замечено, что 50 ◦ C по ртутной шкале не соответствуют 50 ◦ C по спиртовой. Теперь это можно объяснить как непостоянство коэффициента теплового расширения. Возник вопрос, какая шкала будет правильной? Теория дает нам абсолютную температурную шкалу: правильная температура пропорциональна кинетической энергии молекул. Измерять эту энергию, в принципе, можно. Но уравнение состояния дает возможность построить газовый термометр, в простейшем варианте – постоянный объем с выходящей наружу трубкой, перекрытой легким поршнем. При постоянном давлении объем V ∼ T , и положение поршня на линейной шкале укажет температуру (рис. 2.2, а). Или можно присоединить к трубке ртутный манометр. Разность уровней ртути в коленах даст нам превышение давления внутри колбы; если трубка очень тонкая, то с хорошей точностью температура газа в колбе пропорциональна давлению (рис. 2.2, б).
2.1. Уравнение состояния. Температура.
Рис. 2.2.
19
Рис. 2.3.
Строя зависимости V (T , ◦ C) при разных давлениях, для разных газов (рис. 2.3), можно убедиться, что получаются прямые, с точностью до ошибок эксперимента пересекающиеся в одной точке, при V = 0, правда в недоступной области, где газы уже не существуют (сжижаются). Это подтверждает выводы молекулярной теории и позволяет определить абсолютную температурную шкалу с началом в этой самой точке. В ней ε = 0, что и дает естественное начало шкалы, не связанное с конкретным веществом. По последним измерениям, 0 ◦ C соответствует 273,15 K (абсолютной шкалы Кельвина). Именно абсолютная температура и входит в уравнение состояния. Не надо думать, что настоящий газовый термометр так прост. Надо среди прочего добиться постоянства температуры газа, объем сосуда не должен сам меняться, и т.д. По международному соглашению 1968 г. были приняты 12 основных реперных точек, в том числе: плавления льда1 0 ◦ C, кипения воды 100 ◦ C, кипения серы2 444,6 ◦ C, плавления серебра 960,8 ◦ C и плавления золота 1063 ◦ C. Эти температуры измеряются эталонными термометрами (газовыми для нижней части шкалы и пирометрами, фиксирующими тепловое излучение – для верхней) и затем применяются для градуировки промежуточных, более удобных приборов: термометров сопротивления, жидкостных, термопар и т.д. Приведем пример затруднений, возникающих при измерениях температуры. Точка плавления алюминия – около 660 ◦ C. По температурной шкале 1927 г. ниже этой температуры применялся платиновый термометр сопротивления, а выше – термопара. Сшивание их показаний осуществлялось при точке плавления сурьмы 630,5 ◦ C, но шкала термометра сопротивления, как более удобного, продлялась до «алюминиевой» точки. Но когда был получен достаточно чистый алюминий, его точка плавления по термометру сопротивления оказалась несколько выше 660 ◦ C, а по эталонной термопаре, наоборот, ниже. Поэтому до 1948 г. алюминий вообще не имел определенной темпера1
Точнее, тройная точка воды 0,01 ◦ C В прежней версии курса (и в кн. автора и В.Г. Харитонова «Физика») температура 444,6 ◦ C названа точкой плавления серы. На эту ошибку указал А. Панов 21.02.2004 г. 2
20
Глава 2. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
туры плавления. В 1948 г. постановили, что употребление термометра сопротивления выше 630,5 ◦ C для метрологических целей прекращается, что обеспечило однозначность шкалы. Сейчас действует международная шкала МТШ-90, имеющая следующие реперные точки и интервалы: Вещество Тип точки/способ T, К He Ps (T ) 0,65 − 5 H2 т.т. 13,8033 H2 , He Ps (T ) или г.т. 17 H2 , He Ps (T ) или г.т. 20,3 Ne т.т. 24,5561 O2 т.т. 54,3584 Ar т.т. 83,8058 Hg т.т. 234,3156 H2 O т.т. 273,16 Ga Плавление 302,9146 In Затвердевание 429,7485 Sn Затвердевание 505,078 Zn Затвердевание 692,677 Al Затвердевание 933,473 Ag Затвердевание 1234,93
T , ◦C −259,3467 −256,15 −252,85 −248,5939 −218,7916 −189,3442 −38,8344 0,01 29,7646 156,5985 231,928 419,527 660,323 961,78
Здесь Ps (T ) означает давление паров, т.т. – тройную точку, г.т. – газовый термометр. Как видно, со временем некоторые точки слегка смещаются (см. Ag). Ниже 0,65 К могут применяться приборы, основанные на магнитных свойствах веществ, а выше 1234,93 К хорошо работают пирометры теплового излучения. Молекулярная теория придает температуре точный смысл, но выражает ее через плохо наблюдаемую величину. Поэтому способы измерения температуры остаются косвенными. Через некоторое время мы обсудим абсолютную термодинамическую шкалу, использующую энергетический смысл температуры. Оценим характерную, или тепловую, скорость молекул v 2 = vT = 3kT /m. Масса молекулы кислорода 32/NA = 5,3 · 10−23 г. Получаем vT ≈ 5 · 104 см/с, или 500 м/с, при «комнатной» T = 300 К. Молекула водорода имеет скорость в 4 раза больше – 2 км/с, а микроб (или крупинка размером в 1 микрон = 10−4 см с плотностью воды и массой 10−12 г) будет двигаться со скоростью порядка 0,3 см/с. Мы тоже подвержены тепловому движению с еще меньшими скоростями. Интересно еще число ударов молекул о стенку. На 1 см2 в 1 с приходится порядка P/(2mvT ) ∼ 106 /(2 · 5,3 · 10−23 · 5 · 104) ≈ 2 · 1023 ударов в секунду. Плотность для воздуха n = P/kT ∼ 2,7 · 1019 1/см3 . Мы предполагали упругое, или «зеркальное» отражение молекул от стенок. На самом деле это не так: молекула сначала обычно прилипает к стенке. Просидев на ней
2.1. Уравнение состояния. Температура.
21
малое, но для ее масштабов долгое время, она отскакивает в случайном направлении и с другой скоростью. Но это не влияет на вывод, если молекулы отскакивают так, что не нарушается равновесие. Разумеется, можно сделать такую стенку, что молекулы просто не будут отскакивать. Например, на поверхности, охлаждаемой жидким гелием, вымерзают все газы, кроме гелия. Но при равенстве температур стенки и газа случаи, когда молекула отскакивает с меньшей скоростью, чем положено, компенсируются обратными процессами. Надо помнить, что стенка тоже состоит из движущихся молекул. Из уравнения состояния (2.3) следуют известные газовые законы: P V = const при T = const (Бойля–Мариотта), P/T = const при V = const (Шарля), V /T = const при P = const (Гей-Люссака). Исторически эти законы установлены раньше уравнения состояния, а последнее было из них скомбинировано. Наконец, обсудим применимость модели идеального газа. В жидком и твердом состоянии все вещества плохо сжимаемы. Можно полагать, что молекулы при этом практически соприкасаются. В 1 см3 жидкой воды имеется n = 6 · 1023 /18 = 3 · 1022 молекул. Если разместить молекулы в центрах кубиков, то на каждую придется объем 1/n, а сторона кубика будет n−1/3 ≈ 3 · 10−8 см. Действительно, характерные размеры атомов A(ангстрем). и простых молекул порядка 10−8 см, или 1 ˚ Воздух примерно в 103 раз менее плотен, чем вода (n ≈ 3 · 1019 ) и, следовательно, расстояния между молекулами примерно в 10 раз больше их размеров. Неожиданная в этих условиях точность модели идеального газа, которая заведомо лучше 10%, связана с быстрым убыванием взаимодействия молекул при удалении. Позднее мы оценим степень неидеальности более определенно.
Наш «вывод» уравнения состояния, кроме алгебраических преобразований, содержал еще более важную часть – отнесение измеряемых макроскопических параметров с микроскопическими. Приведенные рассуждения, конечно, нельзя считать строгим доказательством правильности отнесения и вообще молекулярной модели. Какой-нибудь скептик мог бы сказать, что сходство теоретических и эмпирических уравнений случайно, а давление газа обеспечивается совсем другими причинами. Подтвердить правильность теории может только согласие со всей практикой. Допустим, вы изобрели газ не из малых, почти невзаимодействующих молекул, а из соприкасающихся «мягких» частиц. Давление можно связать с упругостью этих «деталей». Но тогда трудно будет объяснить, каким образом из двух литров водорода и одного литра кислорода при 100 ◦ C и 1 атм получается два литра водяного пара при тех же условиях, а при охлаждении до комнатной температуры всего-то выходит капля воды в 1,16 см3 . Или кто-то додумался, что газ состоит вообще не из материальных частиц, а из более тонких сущностей вроде лучей света, вывел уравнения фотонного газа (см. ниже п. 2.4) и решился объяснить все свойства газов действием не молекул, а одних только фотонов. Очень скоро он наткнулся бы на противоречия. Уже давно надежно установлено, что молекулярная теория работает и имеет под собой реальную почву. Сейчас атомы можно наблюдать прямо под микроскопом.
22
2.2
Глава 2. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
Внутренняя энергия газа. Теплоемкость при постоянном объеме. Степени свободы
Средняя кинетическая энергия идеального газа mvT2 /2 = 3kT /2 на одну молекулу, на N будет E = 3NkT /2. Непосредственно энергия измеряется плохо, так как трудно задать нулевой уровень. Легче измерить изменения энергии, с которыми мы имеем дело на практике. Теплоемкостью при постоянном объеме называется отношение CV =
∆E , ∆T
показывающее, сколько надо добавить энергии для нагрева тела на 1 К. По нашей теории получается CV = 3Nk/2. Размерность теплоемкости эрг/К. Удельной теплоемкостью cV называется теплоемкость единицы вещества. Если взять за единицу одну молекулу, следует ожидать cV = 3k/2 эрг/К – это довольно малая величина. Для одного моля (N = NA ) получается cV = 3R/2 эрг/(моль·К); для грамма 3R/2µ эрг/(г·К). Характерный масштаб – теплоемкость жидкой воды, равная 4,1868 Дж/(г·К) ≡ 1 кал/(г·К). Кроме грамма, вода дает эталон для энергии и для теплоемкости. Сейчас в школе калорию пытаются искоренить, но мы не следуем этой моде. У большинства веществ удельная теплоемкость на единицу массы меньше, чем у воды. Не всегда было ясно, что тепло – это энергия. Сам факт и переводной коэффициент тепловой энергии – калории в механическую установлен Джоулем в опытах с переводом работы в тепло. Это было не так просто во времена, когда единицей энергии была (лошадиная сила × час), причем лошадиная сила понималась еще буквально. Удобно использовать молярные теплоемкости, как величины разумного порядка и заданные для фиксированного числа молекул (все вещества будут в равных условиях). Еще полезно перевести газовую постоянную в калории, R = 8,3144 Дж/(моль·К)/4,1868 Дж/кал = 1,986 кал/(моль·К). Это почти 2, и теплоемкость идеального газа в таких единицах должна быть около 3 – целого числа. На практике выходит не совсем так. В таблице показаны теплоемкости различных газов при разных температурах.
◦
0 C 300 ◦ C 1000 ◦ C
Ar,He,Kr 2,98 2,98 2,98
H2 N2 O2 CO2 SO2 H2 O 4,87 4,97 5,02 6,62 7,32 5,99 5,02 5,17 5,62 9,24 9,54 6,57 5,50 6,15 6,60 11,61 11,26 8,59
Только для одноатомных газов наши предположения хорошо согласуются с экспериментом. Действительно, теплоемкость не зависит от температуры, молекулярного веса и примерно равна 3. У двухатомных газов при нормальных условиях ближе к 5 и притом растет в температурой и с массой молекулы. У более сложных молекул вообще какая-то дробная и большая.
2.2. Внутренняя энергия газа. Теплоемкость. Степени свободы
23
Можно истолковать среднюю энергию молекулы газа 3kT /2 как происходящую от трех независимых движений, то есть скоростей vx , vy , vz . Говорят, что молекула имеет три поступательных степени свободы. На каждую степень свободы приходится средняя энергия kT /2. Вообще число механических степеней свободы – это число независимых координат, которые нужно задать для определения состояния тела. Для одного атома это три декартовых координаты. В п. 2.1 мы показали, что поступательная энергия не зависит от рода газа вообще, хоть бы даже молекулы имели вид велосипедов. Для двухатомных и более сложных молекул имеются еще вращательные и колебательные степени свободы. Как правило, столкновения молекул нецентральные, и если молекулы вначале и не вращались, вскоре они завертятся. Точно так же от ударов возникнут и колебания атомов относительно общего центра масс. Это значит, что кроме поступательного движения, всякий не одноатомный газ имеет дополнительную энергию. Отсюда и появляется дополнительная теплоемкость у сложных молекул. Естественно полагать, что в равновесии средние вращательные и колебательные энергии будут того же порядка, как поступательные. При сильном превышении энергии в каком-то виде движения она после пары столкновений перейдет к другим видам. Более точное утверждение, которое мы докажем позднее3 – теорема о равнораспределении: В равновесии любой вид энергии молекулы в среднем дает вклад kT /2 в полную энергию, если а) выполняется классическая механика б) энергия этого вида квадратично зависит от координат либо скоростей. Если теорема выполняется, то в таблице теплоемкостей благодаря удачным единицам мы просто должны иметь число степеней свободы. Вначале рассмотрим двухатомную молекулу. Центр масс может двигаться в любом из трех направлений, что дает три поступательных степени свободы, энергия 3 · mvi2 /2 = 3kT /2. Кроме того, молекула может вращаться вокруг центра масс. Вообще, тело имеет три оси вращения, что дает три степени свободы. Но для двухатомной молекулы нет смысла говорить о вращении вокруг продольной оси. Молекула имеет практически точечные ядра, в которых сосредоточена почти вся масса, а электроны, определяющие размер молекулы, имеют пренебрежимую массу. Поэтому при повороте молекулы вокруг продольной оси вроде как ничего не происходит, и такой степени свободы все равно что нет (более аккуратно мы разберем это ниже). Остаются две вращательных степени свободы вокруг двух осей, перпендикулярных продольной. Координатами будут углы поворота ϕ вокруг этих осей. Вращательная энергия 2 · I ϕ˙ 2 /2 = 2 · kT /2. Мы уже насчитали 5 степеней свободы. Две материальные точки – ядра атомов – имеют вместе 6 степеней свободы. Мы сейчас просто разделяем их по другому принципу. Остается, следовательно, одна колебательная степень свободы. Но при колебаниях 3
С той степенью определенности, с которой вообще можно говорить о доказательствах в физике.
24
Глава 2. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
имеется два вида энергии – потенциальная kx2 /2 и кинетическая4 µx˙ 2 /2. Обе они квадратичные и поэтому дают одинаковые вклады, поэтому колебательная энергия будет 2·kT /2. (Здесь иногда возникает путаница. В механическом смысле колебательная степень одна, но в термодинамике говорят о двух колебательных степенях свободы, подразумевая два вида энергии, или учитывают колебательную степень дважды, чтобы на каждую степень приходилось ровно kT /2). Следовательно, в рамках применимости нашей теоремы энергия двухатомного газа должна быть 7kT /2, а теплоемкость cV = cпост + cвр + cкол = 3Nk/2 + 2Nk/2 + 2Nk/2, или 7 кал/(моль·К) – единиц таблицы. Опять получается несогласие, хотя и не такое резкое; на этот раз теплоемкость преувеличена. Значит, не совсем можно полагаться на теорему о равнораспределении.
2.3
Вымораживание степеней свободы
Нарушаться теорема может при невыполнении условий а) или б). Условие б) может нарушаться, если колебания молекулы не гармонические. Если потенциальная яма не параболическая, а прямоугольная, то средняя потенциальная энергия просто равна нулю, и вклад kT /2 просто выпадет. Но эксперимент не согласуется с таким предположением, да и трудно представить себе молекулу с такими свойствами. При малых смещениях, каковые нас интересуют, сила пропорциональна смещению. С повышением температуры и амплитуды колебаний ангармоничность должна влиять сильнее, мы же видим приближение к 7 степеням с повышением температуры, особенно для тяжелых молекул. На самом деле не выполняется условие а). Молекула – это малая частица, и она ведет себя не как классическая гантель, а как квантовый объект. Разумеется, не зная квантовой механики, мы можем обсудить вопрос только качественно. Похоже, что при низкой температуре некоторые степени свободы не «работают». Об этом явлении говорят, как о вымораживании степеней свободы. Около 1900 года в физике появилась постоянная Планка: = 1,054 · 10−27 эрг·сек. Употребляется также h = 2π = 6,626 · 10−27 . Можно сказать, что когда величина, характеризующая движение и имеющая подходящую размерность, становится порядка , классическая механика перестает работать. Поскольку мало, мы редко замечаем такие явления. Парадокс теплоемкости газов – это как раз одно из первых успешных применений квантовой механики. В случае вращения нужную размерность имеет момент импульса L (импульс×длину = сила×время×длину = энергия×время). При L ∼ вращение должно изменять свой характер. Суть квантовой механики, грубо говоря, в том, что изменения происходят не непрерывно, а порциями – квантами. Таким квантом момента импульса будет , а характерной величиной вращательной энергии L2 /(2I) – соответственно 2 /(2I). Вра4
µ – приведенная масса молекулы, x – колебательная координата (изменение расстояния между атомами).
2.3. Вымораживание степеней свободы
25
щательная энергия может быть нулевой, может быть равна некоторым целым кратным5 2 /(2I), но не может равняться 0,27 · 2 /(2I). Оценим момент инерции молекулы водорода, считая, что расстояние между ядрами d=1˚ A, или 10−8 см. Масса ядра равна 1/NA = 1,6·10−24 г, I = 2·md2 /4 ≈ 10−40 в системе СГС. Тогда характерная вращательная энергия будет 10−27 · 10−27 /10−40 /2 = 0,5 · 10−14 эрг. Если сравнить с kT , можно оценить температуру, при которой тепловая энергия станет порядка этого кванта. Получаем «вращательную» температуру Tвр ≈ 50 К. При более низкой температуре теплового движения в среднем нехватает, чтобы возбудить вращение молекулы. Большинство молекул не будут вращаться совсем. При более высокой температуре kT 2 /(2I), при каждом соударении может передаваться много квантов, и вращательное движение будет классическим. Вот тогда вращательная теплоемкость и будет равна R на моль. Подобные же рассуждения проясняют, почему молекулы не вращаются вокруг продольной оси: момент инерции при таком вращении настолько мал, что для возбуждения вращения не хватит никакой достижимой температуры: раньше разрушится молекула и составляющие ее атомы. Кстати, по той же причине и одноатомные газы не имеют вращательной теплоемкости. Судя по таблице теплоемкостей, у водорода заметны следы частичного вымораживания вращения при 0 ◦ C. Другие газы имеют гораздо б´ольшие моменты инерции и соответственно малые вращательные температуры. У них практически всегда вращение полностью возбуждено, и теплоемкость содержит полностью вклад 2 · Nk/2. Как видно из данных для Ar, He, Kr, поступательные степени не вымораживаются вообще. В сумме поступательные и вращательные степени дают 5, и как раз близкую величину мы наблюдаем в таблице. Похоже, что колебательные степени дают малый вклад. Для колебаний величина с размерностью – это E · t или E/ω (вспомним широко известную формулу E = ω). Частота колебаний молекулы водорода k/m, а характерный коэффициент упругости найдем из kd2 ∼ D – энергии диссоциации молекулы. Тогда ω ∼ D/(md2). Энергия диссоциации D ≈ 5 электронвольт (эВ) = 5·1,6·10−12 эрг, а ω ≈ 3·1014 1/с. Энергия ω ≈ 3 · 10−13 эрг – примерно на порядок больше характерной вращательной. Характерная колебательная температура Tкол будет порядка 1000 К. В самом деле, у водорода между 300 и 1000 ◦ C начинается включение колебаний. У √ других газов заметно отличается только масса, так что Tкол ∼ 1/ m, для кислорода – в 4 раза меньше. Действительно, теплоемкость кислорода с ростом T приближается к классической величине 7. У более сложных молекул больше и число степеней свободы, например у трехатомной нелинейной H2 O (3пост + 3вр + 2·3кол ) = 12. Чем тяжелее молекула и чем выше температура, тем б´ольшая доля этих степеней работает. Число колебательных степеней – это разность 3N − (3пост + 3вр ), умноженная на 2 для учета кинетической и потенциальной энергии; здесь N = 3 – число атомов в молекуле. У линейной молекулы 5
А именно, можно умножать на 0, 2, 6, ... l(l + 1).
26
Глава 2. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
вращательных степеней 2. Поэтому при низкой температуре теплоемкость линейной молекулы CO2 меньше, чем нелинейной SO2 . Зато у нее больше колебательных степеней: 3N − (3пост + 2вр ), и при высокой температуре все наоборот. Практически колебательные степени не успевают полностью возбудиться, так как при высоких температурах происходит диссоциация молекулы.
2.4
Фотонный газ
Уравнение состояния идеального газа молекул для других сред может и не выполняться. Для примера рассмотрим тоже идеальный фотонный газ. Фотоны – это световые кванты, которые уж точно не взаимодействуют. Но свойства у них другие, и это влияет на уравнение состояния. Скорость фотонов в направлении x обозначим cx , чтобы подчеркнуть, что скорость c по величине задана (скорость света, 3 · 1010 см/с). Импульс по оси x: p = p · cx /c. Фотон, отскочив от стенки, передает импульс ∆px = 2px . За время ∆t к участку стенки площадью ∆S подлетит n∆Scx ∆t/2 фотонов, как было и с молекулами. Полный переданный импульс будет 2p(cx /c)·n∆Sc∆t/2, сила равна pn∆Sc2x /c, а давление P = pnc2x /c. При усреднении по всем направлениям P = cpn/3, так как все координаты равноправны, c2x = c2y = c2z = c2 /3. По существу такая же формула была у газа молекул: P = vpn/3. Остается усреднить по импульсам. Фотон не имеет массы, и у него зависимость энергии e от импульса, хотя на вид странная, но даже более простая: e = cp, откуда P = nε/3, где ε = e – средняя энергия фотонов. У молекул было 2nε/3. Если умножить на объем, E PV = , 3 где E = nεV – энергия фотонного газа в объеме. Из этой формулы видно, что для фотонного газа γ = 4/3. К сожалению, манометры не показывают давления фотонного газа. Скорее, его измерение представляет проблему (опыты Лебедева, 1900). Даже на ярком солнце мы не замечаем давления лучей, хотя хорошо чувствуем поток энергии. Как раз этот поток – легко измеряемая величина. Попробуем его выразить через энергию. Количество фотонов, попадающих на площадку ∆S, равно n∆Scx ∆t/2, каждый приносит энергию ε. Поток энергии, то есть энергия, приходящая на единицу площади в секунду, q = (ncε/2) · cx /c . Напомним, что усреднение по направлениям производится среди фотонов с положительными cx (летящих к стенке), так что cx /c > 0. Ясно, что cx /c < 1. Этот коэффициент в то же время больше 1/3 = (cx /c)2 , так как при возведении в квадрат число,
2.4. Фотонный газ
27
меньшее 1, уменьшается. Аккуратное вычисление6 дает cx /c = 1/2. Тогда q = ncε/4. Это та самая величина, которую мы ощущаем как тепло от горячей печки. Собственно, точный коэффициент 1/4 не так важен: энергия nε на см3 летит на стенку со скоростью порядка c. Входит то же произведение nε, что и в давление. Оказывается, поток энергии q = σT 4 , что мы можем рассматривать как экспериментальный факт. Постоянная СтефанаБольцмана σ = 5,67 · 10−5 эрг/(см2 ·K4 ). Тогда 4 σT 4 · V, PV = · 3 c
4 σT 4 P = · . 3 c
Оба выражения можно назвать уравнением состояния фотонного газа. Интересно, что давление не зависит от объема! Это из-за того, что число фотонов не сохраняется. Фотоны, ударившись в стенку, поглощаются, а из стенки вылезают новые. Поэтому сжатие фотонного газа не приводит к росту давления. Фотонов всегда столько, сколько дают стенки. Энергия одного фотона ε по-прежнему порядка kT , давление пропорционально плотности энергии nε, откуда плотность фотонов n ∼ T 3 . Давление делится на большую величину c, почему мы его и не чувствуем, в то время как поток энергии σT 4 – величина вполне заметная. Например, Солнце нагревает бак с водой объемом 1 м3 за день примерно на 10 К. Тогда поглощенная энергия Q = 106 ·10 = 107 кал, мощность 107 /3 · 104 = 300 кал/с, поток энергии 300/104 = 0,03 кал/(см2 ·с) = 106 эрг/(см2 ·с). (Точно 2 кал/(см2 ·мин) = 0,14 · 107 эрг/(см2 ·с)). Давление же световых лучей P ∼ q/c ∼ 10−5 дин/см2 для «солнечной» температуры 6000 К. Если увеличить температуру в 1000 раз, будет 1 атм.
6
cx /c – это косинус угла с одной из осей, усредненный по всем направлениям на полусфере. Эле мент поверхности сферы dS = 2πsinθ · dθ, cx /c = cosθ · dS/ dS = 1/2. Обратите внимание, что интегралы по θ берутся от 0 до π/2.
Глава 3 ТЕРМОДИНАМИКА Человек нуждается в механической работе. Когда-то люди могли использовать только свои физические возможности и жили довольно скромно. Затем были приручены животные, способные совершать больше работы, чем тратилось на заготовку корма. Далее появились механизмы, работающие на природных, а позднее технологических концентраторах энергии (паруса для транспорта, ветряные и водяные мельницы). Но только в конце XVIII – начале XIX века удалось создать паровые машины, объединившие два преимущества – автономность (т.е. независимость от внешних источников механической энергии вроде ветра или потоков воды, свойственную лошадям и индийским слонам) и неодушевленность (следовательно, ненужность ежедневного кормления и иных видов обслуживания, которыми еще в XIX веке занимались целые слои населения)1 . Паровые машины – это частный вид тепловых машин, обсуждаемых в данной главе. Мы видели в п. 2.1, что скорости молекул даже при нормальной температуре – сотни и тысячи метров в секунду. Значит, тепловая энергия вещества велика по нашим меркам: в любом кирпиче тепловой энергии примерно столько, сколько кинетической в летящем снаряде той же массы. Но использовать тепловую энергию не так просто. Как это сделать наилучшим образом – это и есть задача термодинамики.
3.1
P − V диаграмма. Работа расширения. Первый закон термодинамики
Уравнение состояния определяет по двум параметрам третий, скажем, по давлению и объему – температуру. После этого считается энергия и все прочее. Поэтому две независимые величины полностью определяют состояние газа (откуда и название). У 1
В «Пиквикском клубе» Ч. Диккенса (1837) кучеры, кондукторы, форейторы, конюхи, кэбмены и другие герои проезжих дорог по частоте упоминаний стоят на третьем месте (209), после юристов (428) и разного рода прислуги (267), паровоз и паровая машина упоминаются по 1 разу, железная дорога – 6 раз (первая железная дорога в Англии была пущена в 1825 г.) Но уже в 1865 г. сам Диккенс едва уцелел в железнодорожной катастрофе. Впрочем, еще в 1906 г. Пьер Кюри при переходе парижской улицы был задавлен ломовым извозчиком.
3.1. Первый закон термодинамики
29
других систем уравнение состояния может быть более сложным, но в равновесии все равно достаточно двух величин для определения всех остальных. Поэтому состояния вещества можно изображать на двумерных диаграммах. Например, на плоскости V − T точка задает объем и температуру. Из уравнения состояния находим давление. Если с веществом что-то делают, допустим, сжимают газ, то изображающая точка будет двигаться по плоскости V − T и проводить на ней линию. Эта линия будет графическим изображением процесса, проводимого над веществом. Очень часто используются P −V диаграммы (рис. 3.1). Например, из точки 1 можно расширять газ при постоянном давлении, поставив на поршень цилиндра заданный груз и нагревая газ. Можно охлаждать газ при постоянном объеме, а можно расширять при постоянной температуре, для чего надо привести цилиндр в хороший тепловой контакт с тепловым резервуаром (хотя бы бочка воды со снегом). Каждому процессу будет соответствовать своя линия на P − V диаграмме: изобара, изохора или изотерма (рис. 3.1). Разумеется, произвольной линии тоже соответствует Рис. 3.1. некоторый процесс, не обязательно имеющий специальное название. Пусть в цилиндре имеется газ, ограниченный поршнем. При сдвиге поршня на ∆x газ производит работу ∆A = P S∆x, или ∆A = P ∆V . Ясно, что та же формула годится и для жидкости. На P − V диаграмме работа выражается площадью под кривой, задающей процесс (рис. 3.1). Этим и удобна P − V диаграмма по сравнению, например, с T − V . При конечном изменении V V2 A= P dV , V1
причем давление берется вдоль кривой процесса. Примеры: 1. Изобарический процесс. A = P · (V2 − V1 ) – площадь прямоугольника (для любого вещества). 2. Изохорический процесс. A = 0 (для любого вещества). 3. Изотермический процесс. A = P dV = NkT dV /V = NkT · ln(V2 /V1 ) (для идеального газа). Если вещество сжимать (dV < 0), работа будет отрицательной, или можно сказать, что положительную работу совершают над системой внешние силы. Уместен вопрос: откуда берется работа при изотермическом процессе с идеальным газом? У него внутренняя энергия зависит только от температуры и, значит, не будет
30
Глава 3. ТЕРМОДИНАМИКА
меняться. Поразмыслив, приходим к выводу, что не иначе как из термостата, поддерживающего постоянную температуру. Если сунуть цилиндр с газом в океан, то при расширении газа океан чуть-чуть охладится. Опыты показывают, что при большой массе термостата потеря им энергии, которую можно оценить как mC∆T , как раз равна вычисленной выше работе. Получается, что кроме механической энергии и внутренней, надо учитывать обмен тепловой энергией, или теплом, с окружающей средой. Что работа может переходить в тепло, мы знаем давно, а теперь видим пример обратного перехода. Первый закон термодинамики – это попросту закон сохранения энергии: ∆Q = ∆E + ∆A
или
∆Q = ∆E + P ∆V .
Тепловая энергия ∆Q, подведенная к системе, идет на изменение ее внутренней энергии ∆E и на совершение системой работы ∆A. Разумеется, все три величины могут быть и отрицательными. При изохорическом процессе поглощенное тепло идет на увеличение внутренней энергии газа E. При изобарическом увеличивается энергия и одновременно производится работа над внешней средой. При изотерме в идеальном газе энергия вообще не меняется (E = CV T ) и все тепло переходит в работу. Заметим, что некоторые состояния газа нельзя изобразить на диаграмме. Например, в двух половинах сосуда разные температуры или давления (такое состояние можно приготовить, вставив посредине перегородку, а затем надо быстро ее выдернуть). Здесь непременно начнется движение и теплообмен, т.е. состояние неравновесное. Нельзя нарисовать в виде линии и процесс с нарушением равновесия. Мы увидим, что такие процессы являются необратимыми.
3.2
Теплоемкость при разных процессах
Вообще теплоемкость – это отношение C=
∆Q , ∆T
то есть количество тепла, необходимое для нагрева тела на 1 градус. От этого зависит, например, сколько надо сжечь топлива для нагрева котла, и т.п. Переданное системе тепло ∆Q зависит от процесса. Один пример мы уже видели: теплоемкость при постоянном объеме. Так как ∆Q = ∆E + P ∆V , а при постоянном объеме ∆V = 0 , то уже известная нам CV = ∆E/∆T , и теперь понятно ее название. Чаще применяется теплоемкость при постоянном давлении, которое легче реализовать (она и приводится в справочниках): CP =
∆Q ∆T
= P
∆V ∆E +P . ∆T ∆T
3.3. Адиабатический процесс
31
Значок снизу показывает, что производная берется при постоянном давлении. Для идеального газа энергия может быть выражена только через температуру, поэтому первое слагаемое будет попросту CV . Второе: P dV /dT , причем V выражаем через P и T : V = NkT /P . Тогда при P = const: dV /dT = Nk/P , и CP = CV + Nk. Для одного моля CP = CV + R. Теплоемкость при постоянном давлении больше, потому что газ, расширяясь при нагреве, сжимает атмосферу либо поднимает груз. На эту работу и требуется дополнительное тепло. У любого вещества CP > CV , хотя не обязательно на R2 . При других процессах будут свои теплоемкости. Например, пусть P = P0 V /V0 : прямая, проходящая из начала координат через точку (P0 , V0 ). Тогда для идеального газа C = CV +P ·dV /dT , причем надо V выразить только через T . С учетом процесса и уравнения состояния V 2 = NkT V0 /P0 , 2V dV /dT = NkV0 /P0 , P dV /dT = NkV0 P/2P0 V = Nk/2. Тогда C = CV + Nk/2, а для одного моля CV + R/2. Эта теплоемкость не имеет специального названия. На изотерме тепло поглощается, а ∆T = 0. Поэтому для процессов, близких к изотерме, теплоемкость стремится к ±∞.
3.3
Адиабатический процесс
Важен такой процесс, когда ∆Q = 0 (нет притока тепла). Этого можно добиться различными теплоизоляторами, а процесс называется адиабатическим3 . Можно также сказать, что теплоемкость при адиабатическом процессе равна нулю. Записываем для идеального газа dQ = CV dT + P dV = 0, ⇒ CV d(P V )/R + P dV = 0 ⇒ (CV /R + 1)P dV = −V dP , откуда dP/P = −(CV /R + 1) · dV /V . Считая с некоторым приближением CV постоянной, можем проинтегрировать с обоих сторон: ln(P/P0 ) = −(CV /R + 1) · ln(V /V0 ) ,
P/P0 = (V /V0)−(CV /R+1) .
Последнее равенство пишут еще в виде P V γ = const , и называют (чаще всего) уравнением адиабаты. Величина γ = (CV + R)/CV = CP /CV называется показателем адиабаты. Так как CV = sR/2, где s – число степеней свободы молекулы, то γ = (s + 2)/s = 1 + 2/s. Для воздуха при нормальных условиях s ≈ 5, так что γ = 1,4. Уравнения адиабаты, выраженные через другие переменные: T V γ−1 = const ,
P/T γ/(γ−1) = const .
Полезно выразить энергию газа через P, V : sNkT /2 = sP V /2 = P V /(γ − 1). То же получим, считая работу по адиабате: 1−γ V2 V2 V2 V 1 dV P1 V1γ 1 γ γ A = P dV = P1 V1 = P1 V1 = − . Vγ 1 − γ V1 γ − 1 V1γ−1 V2γ−1 V1
2 3
V1
Таблица теплоемкостей CV в п. 2.2 в действительности получена из CP вычитанием R. От греч. αδιαβατ oσ – непереходимый (в смысле, что не переходит тепло).
32
Глава 3. ТЕРМОДИНАМИКА
или A=
P2 V2 P1 V1 − , γ−1 γ−1
то есть работа равна разности внутренних энергий. Если газ расширяется от P, V до бесконечного объема, то как раз вся энергия P V /(γ − 1) израсходуется на работу над внешними силами. Примерно такова ситуация при выстреле из ружья. На P −V диаграмме адиабата S круче изотермы T , проходящей через ту же точку (рис. 3.2). Для газа это видно из формул (γ > 1), а для других веществ следует из того, что при расширении производится работа в отсутствие притока тепла. Ясно, что вещество при этом будет охлаждаться, то есть изображающая точка переходит на более низкие изотермы4 . Еще один смысл, постепенно усвоенный словом «адиабатический», можно передать как «медленный, осторожный». Например, расширение газа надо проводить достаРис. 3.2. точно медленно, чтобы все время газ был в равновесии. Обратный предельный случай – расширение газа в пустоту при мгновенном выдергивании перегородки. Тогда газ, заполнявший часть сосуда, распространится на весь объем, не совершая никакой работы. Энергия будет постоянна, а после установления равновесия температура будет равна начальной. При быстром сжатии пойдет ударная волна и газ нагреется сильнее, чем положено по адиабате. Адиабатическим будет процесс, медленный по сравнению с движением молекул. Поскольку их скорости VT ∼ 1 км/с, условие адиабатичности скорее трудно нарушить. (В то же время нельзя проводить процесс слишком медленно, иначе даже при хорошей теплоизоляции успеет пройти теплообмен. Практически важные скорости процессов в технике позволяют довольно точно выполнить оба условия адиабатичности). Насколько важно для этих выводов уравнение состояния? Для фотонного газа изотерма совпадает с изобарой, так как давление зависит только от температуры, P ∼ T 4 . Энергия E = 3P V , так что показатель адиабаты γ = 4/3. Выполняется уравнение адиабаты P V 4/3 = const, то есть адиабата действительно круче изотермы. Однако γ здесь уже не имеет смысла отношения CP /CV , так как CP вообще не определена. Не так просто сделать и адиабатический сосуд для фотонного газа. Если просто взять посуду с зеркальными стенками, при расширении нарушится равновесие по направлениям. Надо еще поместить внутрь маленькую крупинку любого вещества, через которую невзаимодействующие фотоны придут в равновесие. Важные кривые выделяются постоянством какого-то параметра (V, T, P ). На адиабате, оказывается, постоянна энтропия. Подробнее с ней мы познакомимся позже, в п. 3.6. Пока только ясно, что для газа это какая-то функция от P V γ . 4
В редких (аномальных) случаях это правило может нарушаться. Например, вода в диапазоне от 0 до 4 ◦ C уменьшает свою температуру при сжатии.
3.4. Тепловые машины. Работа и кпд цикла
3.4
33
Тепловые машины. Работа и кпд цикла
Возможность получать работу из тепла заманчива тем, что источников непосредственно работы либо механической энергии в природе мало. Зато имеются еще порядочные запасы тепловой энергии в виде залежей каменного угля, нефти, урана и т.д. И вообще мы живем в море тепловой энергии. Классический вариант тепловой машины работает циклически. Рабочее тело, например газ, при помощи которого мы извлекаем работу из тепла, переданного термостатом, должно возвращаться в исходное состояние. Иначе после каждого расширения машину придется менять. Расширившийся газ придется сжать снова, на что придется уже затратить некоторую работу. Суммарная работа цикла – алгебраическая сумма работ расширения и сжатия, то есть разность абсолютных величин. Очевидно, графически она выражается площадью цикла на P − V диаграмме. Рис. 3.3. Например, для цикла прямоугольной формы (конечно, не единственно возможной) A = P2 · (V2 − V1 ) − P1 · (V2 − V1 ) = (P2 − P1 ) · (V2 − V1 ) (рис. 3.3). Коэффициент полезного действия, сокращенно кпд, определяет качество цикла. Есть стойкое заблуждение – определять кпд как отношение полезной работы A к некоторой «соверш¨енной», в нашем примере делят на P2 · (V2 − V1 ). Это было бы правильно в воображаемом мире, где полно запасов готовой работы и надо только часть ее выкинуть на помойку, а остаток назвать полезной. На самом же деле тепловая машина не выбрасывает уже имеющуюся работу, а делает ее из тепла. Поэтому делить надо не на «соверш¨енную» работу, а на полученное телом за цикл тепло Qh : η=
A . Qh
В прямоугольном цикле требуется нагревать газ на участках α − β и β − γ, иначе он не станет расширяться. Поглощенное тепло Qh есть сумма Qαβ = Eβ − Eα = CV · (Tβ − Tα ) и Qβγ = Eγ − Eβ + ∆Aβγ = CV · (Tγ − Tβ ) + P2 · (V2 − V1 ) = CP · (Tγ − Tβ ). Видно, что работа P2 · (V2 − V1 ) = R(Tγ − Tβ ) – это далеко не преобладающая часть знаменателя. Если все выразить через температуры, P V = RT , η=
R(Tγ − Tβ − Tδ + Tα ) A = . Qαβ + Qβγ CV (Tγ − Tα ) + R · (Tγ − Tβ )
Для идеального газа, имеющего CV = 5R/2, возьмем для простоты квадратный цикл Tα = 1, Tβ = Tδ = 2, Tγ = 4, выйдет 2/19 ≈ 0,105. По крайней мере, надо иметь нагреватель с температурой не менее Tγ – максимальной за цикл. Это вторая деталь тепловой машины, не считая цилиндра с рабочим телом. Но на участке γ δ α надо охлаждать газ, иначе он может пойти не по изохоре и
34
Глава 3. ТЕРМОДИНАМИКА
изобаре, а ближе к какой-нибудь адиабате. Третий необходимый элемент – холодильник, причем его температура должна быть не более минимальной Tα . Нагреватель и холодильник полезно представлять себе в виде массивных тел с большой теплоемкостью – термостатов (рис. 3.4). Так как ∆Q = ∆E + ∆A, то полное тепло, переданное рабочему телу за цикл, равно работе цикла: энергия при возвращении в исходную точку не меняется. Следовательно, работа цикла равна разности теплоты Qh , полученной от нагревателя, и теплоты Qc , переданной холодильнику: A = Qh − Qc ,
Рис. 3.4. η=
A Qh − Qc Qc = =1− . Qh Qh Qh
Тепловая машина работает на том, что ухитряется отдать холодильнику меньше тепла, чем получено от нагревателя. И тепло, и работа не являются функциями состояния – их изменение при перемещении точки на диаграмме зависит не только от начального и конечного состояний, но и от пути. Поэтому и удается в результате цикла получать работу – пути αβγ и γδα разные. Энергия же – функция состояния, и изменение ее зависит от начального и конечного состояний, но не от пути. Примерно так, как описано, работает паровая машина. Но бывают и другие двигатели, в которых постоянно сменяется рабочее тело. Например, двигатель внутреннего сгорания, ружье. В двигателе автомобиля воздух, смешанный с бензином, воспламеняется примерно при постоянном объеме. Затем происходит расширение примерно по адиабате с совершением работы. Далее выбрасываются продукты сгорания (выхлоп) и давление падает. Наконец, забирается чистый воздух и сжимается по адиабате до момента впрыска топлива. Обменом рабочего тела с хорошей точностью можно пренебречь, представляя себе рост давления при сгорании смеси как результат контакта с горячим нагревателем, а выхлоп – как действие холодильника. Тогда для реального двигателя разумным приближением (что касается кпд) будет цикл Отто из двух изохор и двух адиабат с постоянным количеством газа. Работать же этот воображаемый цикл будет, конечно, медленнее, потому что теплообмен вообще медленный процесс. В котле паровой машины тепло нагревателя (топки) передается через множество трубок. Казалось бы, от холодильника один вред. Приходится отдавать ему тепло, отчего уменьшается кпд. Нельзя ли обойтись без холодильника, с одним тепловым резервуаром? Например, источником тепла мог бы быть мировой океан. В нем очень много энергии; если научиться превращать ее в работу, то малое охлаждение океана обеспечило бы все наши потребности. А поскольку вся полученная работа в конце концов идет в тепло, то и охлаждения в целом не происходило бы, кроме, быть может, мест, где расположены электростанции. Это выглядит слишком хорошо, чтобы происходить
3.5. Цикл Карно. Второй закон термодинамики
35
на самом деле. В следующем параграфе проблема обсуждается подробнее.
3.5
Цикл Карно. Второй закон термодинамики
Цикл из изобар и изохор имеет невысокий кпд. Естественно задуматься, существует ли наилучший (в смысле кпд) цикл? Оказывается, это – цикл Карно, состоящий из двух изотерм и двух адиабат (рис. 3.5). Сначала разберем случай идеального газа. Две изотермы соответствуют температурам нагревателя Th (heater) и холодильника Tc (cooler). Свяжем эти изотермы адиабатами и найдем кпд такого цикла. На каждом участке производится работа, всего участков 4. Проще вычислять тепло, которое приРис. 3.5. сутствует только на двух изотермах (и все равно понадобится для кпд). Для идеального газа энергия вдоль изотермы постоянна, и тепло равно произведенной работе. На изотерме 2–3 Qh = RTh · ln(V3 /V2 ) (получено от нагревателя); на изотерме 1–4 Qc = RTc · ln(V4 /V1 ) (отдано холодильнику). Поскольку точки 3–4 и 1–2 связаны адиабатами, то T V γ−1 = const, (Th /Tc )1/(γ−1) = V4 /V3 = V1 /V2 . Отсюда видно, что (V3 /V2 ) и (V4 /V1 ) одинаковы. Действительно, отношение этих дробей будет (V3 V1 /V2 V4 ) = 1 из уравнений адиабат. Тогда кпд η = (Qh − Qc )/Qh дается удивительно простым выражением: Th − Tc Tc =1− . Th Th Сравним этот коэффициент с полученным в предыдущем параграфе для «прямоугольного» цикла. Если взять те же нагреватель и холодильник, Th = 4, Tc = 1, то получим η = 0,75 вместо прежнего 0,105. Может, это случайность? Докажите в качестве упражнения, что кпд цикла Карно всегда больше, чем у прямоугольного цикла на P − V диаграмме, если максимальные и минимальные температуры совпадают. (Указание: усилить неравенство, увеличив «прямоугольный» кпд путем выбрасывания из знаменателя слагаемого CV (Tγ − Tα )). Обратим внимание, что кпд цикла Карно не содержит характеристик газа (вроде молекулярного веса или теплоемкостей). Теперь покажем, что кпд цикла Карно вообще не зависит от рабочего тела. Рассмотрим две тепловые машины, работающие между одними и теми же нагревателем и холодильником. Первая машина М использует произвольное рабочее тело, хотя бы воду. Она забирает у нагревателя тепло Qh , передает холодильнику Qc = Qh · (1 − η) и производит работу A = Qh · η. Коэффициента η мы пока не знаем (рис. 3.6). Вторая тепловая машина работает на идеальном газе. Ее включим наоборот – будем использовать работу, произведенную первой машиной, чтобы забирать тепло Qc у η=
36
Глава 3. ТЕРМОДИНАМИКА
холодильника и передавать Qh нагревателю. Так работает домашний холодильник. Он включен в розетку, мотор крутится (работа), рабочее тело отбирает тепло из морозилки и рассеивает его в комнате. Говорят, что при обратном включении тепловой машины получается тепловой насос (Т.Н. на рис. 3.6), который гонит тепло в обратном направлении. Точно так же механический насос качает воду снизу вверх; если же вода течет вниз, можно крутить колесо и получать работу. Лучше использовать именно название «тепловой насос», а не «холодильник», чтобы не путать с деталью целую машину. Отметим, что цикл Карно полностью обратим. По нему можно двигаться против часовой стрелки с тем же успехом. Если не торопиться, то медленная передача тепла на изотерме возможна при ничтожных перепадах температур, так что температуру рабочего тела при контакте с нагревателем просто можно считать равной Th , при контакте с холодильником Tc . На адиабатах вообще направРис. 3.6. ление не играет роли. Поэтому отношение A/Qh = η0 = (1 − Tc /Th ), это мы выяснили для идеального газа. Допустим, что кпд η для неизвестного рабочего тела больше, чем η0 для идеального газа. Например, η = 0,75, η0 = 0,5. Пусть машина получает от нагревателя 4 калории тепла. Из них 3 она превратит в работу, 1 отдаст холодильнику. Тепловой насос, имея на входе 3 калории работы, перекачает в нагреватель 3/0,5 = 6 калорий тепла, сделанных из этих 3, и еще 3, взятых из холодильника. Разумеется, первый закон термодинамики действует для обоих устройств. В результате всей операции из холодильника изъято 2 калории, которые переданы нагревателю. Больше ничего в природе не изменилось. Можно поместить обе машины в непрозрачный корпус – «черный ящик», который будет делать такую странную операцию. В природе тепло само не идет от горячего тела к холодному. Тепловой насос, потребляя внешнюю работу, может инвертировать поток тепла. Но может ли быть устройство, которое действует как тепловой насос, но ничего не потребляет? Если может, то возьмем нагреватель и холодильник вначале одной температуры, хотя бы Черное и Средиземное моря. Если гнать тепло из холодильника к нагревателю, то постепенно нагреватель станет горячим, а холодильник, как ему и положено, холодным. Теперь включим между ними простую тепловую машину. Она будет забирать тепло у нагревателя, часть возвращать холодильнику и остаток превращать в полезную работу. Это просто способ использовать тепловую энергию одного источника. Тепловая машина, способная работать без холодильника, называется вечным двигателем второго рода. Как видим, одна из возможностей сделать такой двигатель – сначала изготовить устройство, способное гнать тепло от холодного тела к горячему без
3.5. Цикл Карно. Второй закон термодинамики
37
каких-либо других изменений в природе. Вечный двигатель второго рода не нарушает закона сохранения энергии, в отличие от уже знакомых из механики вечных двигателей первого рода. Опыт показывает, что сделать вечный двигатель второго рода не проще, чем первого, и пока это никому не удалось. Примерно с такой же уверенностью, как закон сохранения энергии, можно считать установленным второй закон термодинамики. Его можно сформулировать как принцип невозможности создания вечного двигателя второго рода или как невозможность перехода тепла от холодного тела к горячему без затрат работы. Вернемся к двум машинам, использующим цикл Карно. Если кпд машины с произвольным рабочим телом больше, чем у машины на идеальном газе, то можно построить вечный двигатель второго рода, обратив поток тепла. Поэтому должно выполняться неравенство η ≤ η0 . Теперь, включив машины в обратном порядке – газовую как двигатель, а произвольную как тепловой насос – такими же рассуждениями получим неравенство: η0 ≥ η. Следовательно, кпд машин равны, и для любого рабочего тела при цикле Карно η =1−
Tc . Th
Теперь рассмотрим произвольный цикл. Он имеет максимальную и минимальную температуры. Если цикл Карно работает между этими температурами, то кпд такого цикла Карно всегда выше. Действительно, разрежем мысленно произвольный цикл близко расположенными адиабатами на множество узких циклов (рис. 3.7). Совокупность машин, работающих по этим циклам, эквивалентна одной, работающей по исходному. Работа (площадь) цикла складывается из площадей обрезков, теплота тоже суммируется, а работы на встречных адиабатах компенсируются. Но каждый из малых циклов – это практически цикл Карно, так как температуры на участках теплообмена почти постоянны. Его кпд, как правило, меньше, чем у описанного цикла Рис. 3.7. Карно, так как меньше отношение температур. Кпд всего цикла, как некоторое среднее от элементарных кпд, тоже будет меньше. Практически же цикл Карно неудобен из-за медленности теплопередачи на изотерме. В технике мирятся с меньшим кпд, если двигатель обеспечивает заданную мощность. Для грубой (возможно, завышенной раза в полтора) оценки кпд реального двигателя можно пользоваться формулой для цикла Карно. Например, автомобиль: максимальная температура ≈ 1000 ◦ С, минимальная ≈ 100 ◦ С, η ∼ 1 − 400/1200 ≈ 0,5 (реально – от 0,3 до 0,4). Упражнение. Найдите кпд цикла Отто (две изохоры и две адиабаты). Сравните с кпд соответствующего цикла Карно при разумных Th и Tc .
38
Глава 3. ТЕРМОДИНАМИКА
Цикл Карно – единственный обратимый цикл между двумя тепловыми резервуарами. Можно сделать обратимым произвольный цикл5 , если запастись множеством нагревателей и холодильников с различными температурами, чтобы теплообмен происходил примерно при равенстве температур рабочего тела и текущего термостата. Ограничение, которое накладывает термодинамика на кпд, гораздо серьезнее, чем в механике. Видно, что механика сравнительно более примитивный и менее интересный раздел физики. Цикл Карно позволяет установить абсолютную температурную шкалу. Например, задаем температуру кипения воды T0 . Отбираем у кипящей воды известное тепло Q0 и измеряем другое тепло Q, передаваемое телу при интересующей нас температуре T посредством цикла Карно (или разность Q0 − Q – работу цикла). Искомая температура будет T = T0 Q/Q0 , независимо от рабочего тела.
3.6
Энтропия
Многие рассуждения можно заметно сократить, введя новое понятие – энтропии. Мы отмечали, что тепло ∆Q зависит от процесса. Например, для идеального газа ∆Q = CV ∆T + P ∆V = CV ∆T + NkT ∆V /V . Если разделить на T , получим ∆Q/T = CV ∆T /T + Nk∆V /V или dQ/T = CV dT /T + NkdV /V . В правой части слагаемые теперь зависят только от T либо только от V . Значит, теперь правая часть интегрируется. Если обозначить 2 dQ , S2 − S1 = T 1 то для идеального газа S2 − S1 = CV ln(T2 /T1 ) + Nk ln(V2 /V1 ). Moжно записать S = CV ln(P V γ /Nk) (+ const). Это и есть энтропия. В отличие от тепла, она – функция состояния, и ее изменение не зависит от пути, а только от начальной и конечной точки. Для идеального газа это уже ясно. Чтобы перейти к произвольному веществу, рассмотрим цикл Карно. Для него Qc = Qh (1 − η) = Qh · Tc /Th . Получаем Qh /Th = Qc /Tc . Рабочее тело берет Qh у нагревателя и отдает Qc холодильнику, значит для него суммарный прирост энтропии равен 0 в круговом процессе. Другие циклы сводятся к циклу Карно, как в предыдущем параграфе, значит для них также ∆Q/T = 0 или dQ/T = 0 по любому замкнутому контуру. Это равносильно тому, что в незамкнутом процессе такая сумма не зависит от пути. Значит, для любого вещества энтропия, опре деленная как сумма ∆Q/T или dQ/T , будет функцией состояния (в том же смысле, как потенциальная энергия в механике – с точностью до константы или начала отсчета). У каждого вещества задается стандартное состояние, от которого отсчитывается энтропия, приводимая в справочниках. Для определения изменений энтропии нужен калориметр и термометр. 5
Например, прямоугольник на P − V диаграмме
3.6. Энтропия
39
Тепло ∆Q = T ∆S. Уже отсюда видна польза от энтропии. Как работа – это площадь на P −V диаграмме, так тепло выражается площадью на T −S диаграмме. Далее, на T − S диаграмме цикл Карно представляет собой прямоугольник: две изотермы и две адиабаты, на которых ∆Q = 0 и, значит, ∆S = 0 (рис. 3.8). Площадь этого прямоугольника, как и любого цикла на T − S диаграмме, тоже равна работе цикла, так как ∆Q = ∆E +∆A, а по замкнутому контуру ∆E = 0. Кпд как раз здесь будет отношением площадей αβγδ и S1 βγS2 – разности теплот к теплу, полученному от нагревателя. Упражнение. Показать оптимальность цикла Карно, пользуясь T − S диаграммой. Изменения энтропии прямо связаны с «качеством» цикла. При двух тепловых резервуарах цикл Карно – наилучший. Учтем полное изменение энтропии (всей Вселенной): нагреватель теряет Qh /Th , холодильник приобретет Qc /Tc , у рабочего тела за цикл нулевое. В сумме будет ∆S = −Qh /Th + Qc /Tc = 0, как мы видели выше. Другой предельный случай – самый плохой цикл, состоящий в передаче тепла Q от нагревателя к холодильнику безо всякой работы: ∆S = −Q/Th + Q/Tc > 0, так как Th > Tc . В неравновесном процессе энтропия растет. Для промежуточных циклов Рис. 3.8. будет промежуточное значение, так как при передаче тепла от нагревателя рабочему телу с меньшей температурой энтропия будет расти. Только при дифференциально малой разности температур – на изотерме – теплопередача происходит обратимо, равновесно, без роста энтропии. Если бы тепло могло идти от холодного тела к горячему, тогда бы энтропия уменьшалась (при Q < 0 в нашем примере). Аналогично, представим себе газ, заполняющий половину сосуда. Он стремится заполнить весь сосуд. Изменение энтропии в таком неравновесном процессе определяется увеличением доступного объема, так как энергия и температура при расширении в вакуум не изменятся. Тогда ∆S = Nk ln(V2 /V1 ) = Nk ln 2. Если же газ расширяется медленно, адиабатически, совершая работу над внешней средой, то ∆S = 0 по свойству адиабаты, да и из формулы это видно (P V γ = const). Можно сказать, что рост энтропии – это нехорошо. Если энтропия растет, теряется полезная работа. Опять-таки, если бы газ сам собрался в половине сосуда, V2 /V1 < 1, то энтропия уменьшилась бы. Можно сформулировать второй закон термодинамики и так: энтропия замкнутой системы не может уменьшаться. Вот если тепло пойдет от холодильника к нагревателю или вместо расширения газ сам сожмется, тогда закон будет опровергнут и энтропия уменьшится. Отдать энтропию можно только «наружу», но появиться она вполне может и «внутри». Раз возникнув, энтропия уже никуда не пропадает, совсем как какое-нибудь министерство. Энтропию можно истолковать и статистически. Для тех же молекул в сосуде: каждая может находиться в каждой половине с одинаковой вероятностью. Число способов разместить одну молекулу в двух половинах вдвое больше, чем в одной. Для двух
40
Глава 3. ТЕРМОДИНАМИКА
молекул есть четыре способа размещения во всем сосуде против одного в половинке. Для N молекул вероятность занимать весь объем превышает вероятность нахождения их всех в одной из половин в 2N раз. Если определить «статистическую» энтропию как Sst = k · ln(W ), где W – это число способов осуществления состояния, пропорциональное его вероятности, то изменение Sst при разлете газа в пустоту как раз и будет k · ln(2N ) = Nk ln 2. Больцман продемонстрировал совпадение термодинамической и статистической энтропий, на первый взгляд совершенно разных по своей природе. Энтропию можно понимать как меру беспорядка, если сопоставить, например, упорядоченное состояние с молекулами, занимающими половину комнаты, с менее упорядоченным, когда они могут гулять по всему помещению. Конечно, возможны отклонения от полного равновесия – флуктуации. Поэтому энтропия постоянно колеблется вокруг равновесного значения. В макроскопических телах эти колебания очень малы. Остается упомянуть еще проблему тепловой смерти Вселенной. Рост энтропии сопровождает теплообмен и вообще установление равновесия. Со временем звезды должны погаснуть, энергия равномерно размазаться и всякая активность – прекратиться. Мы тоже, как тепловые машины, действуем за счет разности температур, создаваемой Солнцем. Естественно, одни философы не могли стерпеть такой перспективы, тогда как другим она очень понравилась. Для нас со времени постановки (Клаузиус) добавляется еще наблюдение, что Вселенная идет не совсем к тепловой смерти, а как бы не наоборот. Из практически однородного состояния вскоре после Большого взрыва получились галактики, звезды, люди и пр. Кроме рассеяния, идет и явная самоорганизация. Это утешает, впрочем, и сейчас по поводу тепловой смерти существуют разные мнения.
3.7
Демон Максвелла
Второй закон термодинамики заслуживает дополнительного внимания. Подобно множеству вечных двигателей первого рода, конструировались умозрительно двигатели второго рода. Наиболее известен демон Максвелла (Дж.К. Максвелл, 1871). Представим себе маленькое существо, способное видеть отдельные молекулы и управлять ими. Оно могло бы нарушить второй закон термодинамики, то есть создавать и поддерживать разность температур, не совершая никакой работы. Пусть есть сосуд с газом, разделенный перегородкой на две части. В перегородке имеется небольшое отверстие, закрытое дверцей, которой и может управлять демон. Определяя координаты и скорости молекул, он будет, открывая дверцу, пропускать, скажем, в левую часть сосуда молекулы со скоростями выше средней, а в правую – со скоростями ниже средней. Через некоторое время средняя кинетическая энергия молекул, а, следовательно, и температура в левой части повысится, а в правой – понизится. Эту разность температур можно использовать для производства механической работы. Еще проще создавать разность давлений, пропуская больше молекул в левую половину. Тогда нет необходимости различать молекулы по скоростям (энергиям). Достаточно пропускать больше молекул справа налево. Тогда давление слева станет выше, чем в
3.7. Демон Максвелла
41
правой части сосуда, а разность давлений легко превратить в работу. Простейшим устройством, вроде бы соответствующим замыслу, является клапан с пружинкой (рис. 3.9). Молекулы, двигающиеся справа, могут открыть клапан и проникнуть в левую часть сосуда, а молекулы, подлетающие слева, отскакивают назад. Однако, для того, чтобы отдельные молекулы смогли открыть Рис. 3.9. клапан, он должен быть очень легким, а пружинка очень слабой. Кроме того, подвергаясь ударам молекул, дверца должна приобрести ту же температуру, что и газ и, следовательно, участвовать в тепловом хаотическом движении. Клапан будет хаотически дрожать, открываясь вне зависимости от того, с какой стороны в данный момент к нему подлетает частица. В среднем потоки молекул из каждой части объема в другую будут равны, и устройство, как «нарушитель» второго закона термодинамики, не будет работать. Однако приведенный пример не вполне отвечает идее Максвелла: демон не «видит» молекул. Не задаваясь вопросом, как выполнен «умный» демон, представим себе устройство, которое может определять место и энергию молекулы и поступать в соответствии с получаемой информацией. С появлением квантовой механики стали считать, что сам процесс измерения уже требует ненулевой энергии. Так, для определения положения частицы с помощью электромагнитного излучения ее нужно осветить хотя бы одним фотоном с некоторой энергией e = ω. При этом в газе молекул при данной температуре T уже присутствует равновесное излучение, в котором характерная энергия фотонов порядка kT . Для локализации частиц придется использовать фотоны с большей энергией, чтобы выделить их на фоне тепловых. Следовательно, нужен нагреватель с большей температурой. Позднее были предложены устройства, не нуждающиеся в фотонах. В поисках наиболее простой и физически прозрачной модели демона Максвелла в 1929 г. был изобретен двигатель Сцилларда (рис. 3.10). Цилиндр имеет подвижную перегородку, которая может разделять его на две половины. С двух сторон объем сосуда ограничен подвижными поршнями. В объеме летает одна-единственная молекула «газа». Как Рис. 3.10. видим, такой двигатель сделать трудно, но зато он удобнее для анализа. Любой демон Максвелла должен извлекать работу из флуктуаций; в двигателе Сцилларда флуктуации как раз максимальны. В исходном состоянии перегородка вынута, молекула свободно путешествует по всему объему. Следующий шаг – вдвигание перегородки. При этом молекула будет поймана в одной из половин, хотя бы в левой. Тогда придвигаем поршень справа к перегородке.
42
Глава 3. ТЕРМОДИНАМИКА
Нам удалось сжать рабочий объем вдвое без каких-либо затрат работы. Теперь вынимаем перегородку. При изотермическом расширении до исходного состояния наша молекула произведет kT · ln 2 = 0,69 · kT работы, взятой из окружающей среды (термостата, который поддерживает постоянную температуру стенок цилиндра). Но сразу возникает возражение: как мы узнаем, какой объем следует сжать? Можно ли детектировать молекулу без посторонних источников света? Двигатель Сцилларда отличается как раз способностью работать «в темноте». Будем всегда сначала задвигать правый поршень. Если внутри правой половины цилиндра есть молекула, ее «давление» при сжатии вырастет, и мы почувствуем сопротивление. Тогда надо вернуть правый поршень на место обратимым образом и задвинуть левый. Если же сопротивление не возникнет, сжатие правой половины будет успешным6 . Сциллард предполагал, что необратимость в его двигателе связана с процессом измерения. Принципиальный шаг – необязательность освещения, то есть присутствия второго, более горячего источника – был сделан Беннетом, Ландауэром, Зуреком и др. сравнительно недавно (1980-е годы). Но тогда снова возникает беспокойство из-за нарушения второго закона термодинамики. Те же авторы предложили новый, «информационный» подход к проблеме. Демон, или компьютер, управляющий машиной Сцилларда, все же определяет, где на каждом этапе находится молекула. Эта информация помещается в память демона. Если она не стирается, то демон помнит не только данную конфигурацию, но и все предыдущие, возникавшие с момента запуска двигателя. Со временем любая память переполнится, и записывать информацию будет некуда. Такая система будет вечным двигателем второго рода не в большей степени, чем часы с пружиной или батарейкой, работающие до истощения источника энергии, будут вечным двигателем первого рода. Казалось бы, выход прост: надо стирать информацию о прошлых циклах. Оказывается, что стирание информации как раз и вносит необратимость. Исчезновение информации ведет к затрате работы! В современном компьютере оперативная память построена на маленьких конденсаторах. При разряде конденсатора запасенная в нем энергия, которая должна превышать kT – уровень флуктуаций, перейдет в тепло. Независимо от конструкции запоминающего устройства, занесение в ячейки памяти нулей выделяет одно из возможных состояний ячейки и как бы сжимает информацию. Для этого приходится повысить энтропию окружающей среды. Распространение компьютеров и информационный взрыв привели к пониманию того, что лишняя информация может быть не только бесполезна, но и вредна. Как любой мусор, она порождает проблему уборки. Разумеется, реально потери такого рода пока что ничтожны в любом настоящем компьютере. Если вечным двигателем попытается управлять человек, его мозг будет нагреваться очень слабо по сравнению с обычным тепловыделением при метаболизме. Но важно, что могут существовать термодинамические ограничения на вычислительные процессы. 6
Более сложная процедура описана в статье Ч.Беннета "Демоны, двигатели и второе начало термодинамики", журнал "В мире науки", 1988, №1 . Материалы статьи использованы в этом параграфе.
Ãëàâà 4 ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ ÌÎËÅÊÓË 4.1
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóë. Ôàçîâûå ïåðåõîäû
Ìîëåêóëû è àòîìû ýòî ýëåêòðè÷åñêèå ñèñòåìû, ñäåëàííûå èç ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ çàðÿäîâ. Ñóììàðíûé çàðÿä íóëåâîé, ïîýòîìó íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ ìîëåêóëû ïðàêòè÷åñêè íå âçàèìîäåéñòâóþò. Íî íà ðàññòîÿíèÿõ, ñðàâíèìûõ ñ ðàçìåðàìè ìîëåêóë, èãðàåò ðîëü êîíôèãóðàöèÿ ÿäåð è ýëåêòðîíîâ, è âçàèìîäåéñòâèå ïîÿâëÿåòñÿ. Êàê ïðàâèëî, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ îòðèöàòåëüíà íà ¾ñðåäíèõ¿ ðàññòîÿíèÿõ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïðèòÿæåíèþ (ðèñ. 4.1).  ðåçóëüòàòå ïðàêòè÷åñêè âñå âåùåñòâà ìîãóò ñóùåñòâîâàòü â âèäå êîíäåíñèðîâàííûõ ôàç æèäêîé è òâåðäîé (òâåðäûõ áûâàåò íåñêîëüêî). Íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïîëîæèòåëüíà è âåëèêà. Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ ñðàâíèòåëüíîå ïîñòîÿíñòâî êîíäåíñèðîâàííûõ ôàç (íåñæèìàåìîñòü). ×àñòèöû âçàèìîäåéñòâóþò íå îáÿçàòåëüíî ïîÐèñ. 4.1. ïàðíî, íî áîëåå ñëîæíûå âçàèìíûå âëèÿíèÿ íå âíîñÿò êà÷åñòâåííûõ èçìåíåíèé. Îöåíèì õàðàêòåðíóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ â ìèíèìóìå êðèâîé. Åñëè ÷àéíèê íàãðåâàåòñÿ çà 10 ìèí, òî ýíåðãèÿ âîäû âîçðàñòàåò íà 1 êàë/(ããðàä) ãðàä = 80 êàë/ã = ; 9 ýðã/ã. Åñëè ïðîäîëæàòü íàãðåâàíèå, âîäà âûêèïèò ïðèìåðíî çà ÷àñ, êîãäà íà ãðàìì ïðèäåòñÿ 480 êàë 10 ýðã, à íà ìîëåêóëó " 10 = 23 13 ýðã. Ñòîëüêî íàäî çàòðàòèòü äëÿ îòðûâà êàæäîé ìîëåêóëû îò îñòàëüíîé âîäû. Ñèëà 5 äèí. Ýòî, êîíå÷íî, âåëè÷èíû ìàëûå, âçàèìîäåéñòâèÿ áóäåò ïîðÿäêà "= A íî îíè âåäü íà êàæäóþ ìîëåêóëó. Òî÷íîå çíà÷åíèå òåïëîòû èñïàðåíèÿ âîäû 540 êàë/ã áëèçêî ê íàøåé îöåíêå.
3 2 10
80
2 10
= 2 10 18 6 10 = 6 10
(1 ) 6 10
44
Ãëàâà 4. ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ ÌÎËÅÊÓË
Ñðàâíèì ýíåðãèþ " ñ ýíåðãèåé òåïëîâîãî äâèæåíèÿ kT . Ïðè íîðìàëüíîé òåìïåðàòóðå kT ; 16 14 ýðã. ßñíî, ÷òî åñëè kT ñòàíåò ñðàâíèìî ñ " èëè áîëüøå, òî âðÿä ëè ìîëåêóëû ñìîãóò ñîáðàòüñÿ â îäíî öåëîå òåïëîâîå äâèæåíèå ïðèâåäåò ê ðàñïàäó òåëà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, " äîëæíà áûòü ìåíüøå õàðàêòåðíîé ýíåðãèè õèìè÷åñêîé ñâÿçè. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ìîëåêóëû ïðè îáðàçîâàíèè æèäêîñòè èëè òâåðäîãî òåëà âñå æå, â îáùåì, ñîõðàíÿþò ñâîé ñóâåðåíèòåò. Æèäêàÿ âîäà âñå ðàâíî H2 O. Âñòóïàÿ æå â ñîåäèíåíèÿ, îíè îáìåíèâàþòñÿ ýëåêòðîíàìè, òî åñòü ïðîèñõîäèò áîëåå ñåðüåçíîå âçàèìîäåéñòâèå. Õèìè÷åñêóþ ýíåðãèþ ìîæíî îöåíèòü, âçãëÿíóâ íà áàòàðåéêó, èçâëåêàþùóþ ýëåêòðè÷åñòâî èìåííî èç õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé. Íàïðÿæåíèå U âîëüò = 1/300 ÑÃÑ 10= ïðèäàåò êàæäîìó ýëåêòðîíó ýíåðãèþ eU ýëåêòðîíâîëüò = ; ; 12 ýðã. Ýòà ýíåðãèÿ íà ïîðÿäîê áîëüøå, ÷åì ". Ìîæíî ïðèêèíóòü õèìè÷åñêóþ ýíåðãèþ, è íå âäàâàÿñü â ýëåêòðè÷åñòâî, èç òåïëîòû ñãîðàíèÿ òîïëèâà. Íàïðèìåð, áåíçèí ïðè ðàñõîäå 10 ë íà 100 êì äàåò ìîùíîñòü 100 ë.ñ. Ïîñêîëüêó ðå÷ü èäåò îá îöåíêå, êïä íå îñîáåííî âàæåí. Òâåðäîå òåëî ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò æèäêîñòè ïî ïëîòíîñòè. Ïîýòîìó ôàçîâûé ïåðåõîä ìåæäó íèìè òðåáóåò ìåíüøèõ çàòðàò òåïëà, íàïðèìåð, ïðè ïëàâëåíèè ëüäà 80 êàë/ã.  îáùåì, ôàçîâûé ïåðåõîä òðåáóåò çàòðàòû îïðåäåëåííîé òåïëîòû L, íàçûâàåìîé ñêðûòîé òåïëîòîé1 . Ïðè îáðàòíîì íàïðàâëåíèè ïåðåõîäà òàêàÿ æå òåïëîòà âûäåëÿåòñÿ. Ñëîâî ¾ñêðûòàÿ¿ îáîçíà÷àåò, ÷òî òåïëî èäåò íå íà ïîâûøåíèå òåìïåðàòóðû, à íà îòðûâ ìîëåêóë è ïåðåõîä èõ â äðóãóþ ôàçó. Ýòî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ¾ðåàêöèè¿: ëåä(0Æ Ñ) + 80 êàë/ã ) âîäà(0Æ Ñ), âîäà(100 Æ Ñ) + 540 êàë/ã ) ïàð(100Æ Ñ). Íàïðèìåð, òåïëîåìêîñòü ëüäà îêîëî 0,5 êàë/(ããðàä). Ïóñòü âåñåííèì óòðîì òåìïåðàÆ Ñ äî 0 Æ Ñ, ñêàæåì, çà òðè ÷àñà. Åñëè áû îíà ïðîäîëæàëà òóðà ñíåãà ïîäíÿëàñü îò ïîäíèìàòüñÿ â òîì æå òåìïå, òî ñòàëà áû ïîëîæèòåëüíîé, è ÷åðåç ìãíîâåíèå âåñü ñíåã ðàñòàÿë áû.  íàøèõ óñëîâèÿõ ýòî ñòèõèéíîå áåäñòâèå. Ïîòîêè âîäû òîëùèíîé ïîðÿäêà ìåòðà ñìûëè áû âñå çäàíèÿ. Íà ñàìîì æå äåëå ïîñëå äîñòèæåíèÿ òåìïåðàòóðû ðàâíîâåñèÿ ôàç òåïëî èäåò íà ôàçîâûé ïåðåõîä, à òåìïåðàòóðà íå ìåíÿåòñÿ. Äëÿ ñíåãà íàäî çàòðàòèòü 80 êàë/ã, ñòîëüêî æå, ñêîëüêî íàäî äëÿ íàãðåâà ëüäà íà 160 ãðàäóñîâ. Çà äåíü òàêîå êîëè÷åñòâî ýíåðãèè íå íàáèðàåòñÿ. Ïîýòîìó òàåò òîëüêî ÷àñòü ñíåãà, à çà íî÷ü îí îïÿòü çàìåðçàåò; â ðåçóëüòàòå òàÿíèå çàíèìàåò îêîëî ìåñÿöà. Òî÷íî òàê æå ðîñò òåìïåðàòóðû âîäû â ÷àéíèêå ïðåêðàùàåòñÿ ïîñëå íàãðåâà äî 100 Æ Ñ, èíà÷å ìãíîâåííî âîäà îáðàòèëàñü áû â ïàð. Íàøà îöåíêà " íå ó÷èòûâàåò, ÷òî ìîëåêóëû ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû íà÷èíàþò êîëåáàòüñÿ, è îòîðâàòü èõ ñòàíîâèòñÿ ëåã÷å. Íà ñàìîì äåëå òåïëîòà ôàçîâîãî ïåðåõîäà óìåíüøàåòñÿ ñ òåìïåðàòóðîé. Ýòî íå ìîæåò ïðîäîëæàòüñÿ äî áåñêîíå÷íîñòè: L îáðàòèòñÿ â íóëü. Òîãäà ¾õîëîäíàÿ¿ ôàçà íå áóäåò ñóùåñòâîâàòü. Ïîäðîáíåå ðàññìîòðèì ýòè ÿâëåíèÿ â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.
= 1 38 10
300 = 4 10
=1
5
1L
îò Latent ñêðûòàÿ, èíîãäà åùå îáîçíà÷àþò .
=1 4 8 10
300 = 1 6 10
4.2. Êðèâûå ôàçîâîãî ðàâíîâåñèÿ
4.2
45
Êðèâûå ôàçîâîãî ðàâíîâåñèÿ
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè âîçüìåì ïåðåõîä æèäêîñòü-ïàð. Ïóñòü íà ïîë âûëèëè âåäðî âîäû. Ñ ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè âûëåòàþò íàèáîëåå ýíåðãè÷íûå ìîëåêóëû, ïðåîäîëåâàÿ ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð. Âíà÷àëå âîçäóõ íå ñîäåðæèò âîäÿíûõ ïàðîâ. Ïîýòîìó êîëè÷åñòâî æèäêîñòè áóäåò óìåíüøàòüñÿ: ëóæà âûñûõàåò. Ñî âðåìåíåì êîëè÷åñòâî ìîëåêóë âîäû â âîçäóõå ðàñòåò. Íà÷íåòñÿ îáðàòíûé ïðîöåññ: èç âîçäóõà ìîëåêóëû íà÷íóò âîçâðàùàòüñÿ â æèäêîñòü. Åñëè îáúåì ïîìåùåíèÿ íåâåëèê, òî âîäû õâàòèò, ÷òîáû çàïîëíèòü åãî ïàðîì ñ òàêîé ïëîòíîñòüþ, ÷òî ïðîöåññû èñïàðåíèÿ è êîíäåíñàöèè âçàèìíî óðàâíîâåñÿòñÿ. Ïîòîê èñïàðÿþùèõñÿ ìîëåêóë (øò/(ñì2 ñåê)) äëÿ äàííîé æèäêîñòè çàâèñèò ïðàêòè÷åñêè òîëüêî îò òåìïåðàòóðû: jL jL T . (Âíåøíåå äàâëåíèå ìîæåò âëèÿòü òîëüêî â òîì äóõå, ÷òî ñæèìàåò æèäêîñòü è èçìåíÿåò ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ, òî åñòü î÷åíü ñëàáî). Ïîòîê âîçâðàùàþùèõñÿ èç ãàçîâîé ôàçû ìîëåêóë jG jG P; T , òî åñòü çàâèñèò åùå îò äàâëåíèÿ ïàðà íàä ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè. Åñëè êàæäàÿ ìîëåêóëà ïðèëèïàåò, ÷òî âûãëÿäèò ðàçóìíî, òî jG ýòî ïîïðîñòó ÷èñëî óäàðîâ î ñòåíêó Ðèñ. 4.2. è ïîðÿäêà nvT = . Ïëîòíîñòü n óäîáíåå âûðàçèòü ÷åðåç äàâëåíèå è òåìïåðàòóðó.  ðàâíîâåñèè jL T jG P; T , ÷òî çàäàåò ñâÿçü ìåæäó äàâëåíèåì è òåìïåðàòóðîé. p Íàïðèìåð, ïðè jG nvT = P= kT kT=m ýòà ñâÿçü âûãëÿäèò òàê:
= ( )
= (
)
6
( )= ( ) = 6=( 6 ) 3 p P = 6 mkT =3 j (T ) äëÿ ëþáîé çàâèñèìîñòè j (T ). Ïîñêîëüêó îáå ôàçû â ðàâíîâåñèè íàõîäÿòñÿ óæ ÿâíî L
L
ïðè îäíîì äàâëåíèè, äëÿ ðàññìîòðåíèÿ ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ óäîáíû P T äèàãðàììû (ðèñ. 4.2). Íà òàêîé äèàãðàììå ïîëó÷èòñÿ ëèíèÿ êðèâàÿ ôàçîâîãî ðàâíîâåñèÿ2 . Âäàëè îò ýòîé ëèíèè ôàçîâûå ïåðåõîäû íåðàâíîâåñíû ïðåîáëàäàåò ëèáî èñïàðåíèå, ëèáî êîíäåíñàöèÿ. Ïàð â ðàâíîâåñèè íàçûâàåòñÿ íàñûùåííûì, à ëèíèÿ ðàâíîâåñèÿ ôàç åùå íàçûâàåòñÿ ëèíèåé íàñûùåíèÿ. Æèäêîñòü èñïàðÿåòñÿ ïðè ëþáîé òåìïåðàòóðå. Íî ïðè íåêîòîðîé òåìïåðàòóðå äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ ðàâíî àòìîñôåðíîìó. Òîãäà àòìîñôåðà óæå íå ìîæåò çàäàâèòü çàðîäûø ïóçûðÿ, åñëè îí ïîÿâèëñÿ. Æèäêîñòü ìîæåò èñïàðÿòüñÿ íå òîëüêî ñ ïîâåðõíîñòè, à äàæå âíóòðü ñåáÿ.  íåé âîçíèêàþò áûñòðî ðàñòóùèå è âñïëûâàþùèå ïóçûðè ïàðà, êîòîðûå òóò æå çàìåíÿþòñÿ íîâûìè. Òàêîé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ êèïåíèåì. Îí ãîðàçäî áûñòðåå îáû÷íîãî èñïàðåíèÿ.  îñòàëüíîì àòìîñôåðà ïðàêòè÷åñêè íå âëèÿåò íà ôàçîâûé ïåðåõîä; âàæíî òîëüêî ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ïàðîâ. Êðèâàÿ ðàâíîâåñèÿ æèäêîñòè è ïàðà íå ìîæåò ïðîäîëæàòüñÿ ââåðõ íåîãðàíè÷åííî. Òåïëîâîå äâèæåíèå ïðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ ðàçðóøàåò æèäêîñòü, à ïëîòíîñòü 2 Ïîñêîëüêó
P
= nkT , à n ïàðà ðàñòåò ñ òåìïåðàòóðîé, ýòî èìåííî áóäåò êðèâàÿ.
46
Ãëàâà 4. ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ ÌÎËÅÊÓË
ïàðà ðàñòåò. Ïîýòîìó êðèâàÿ çàêàí÷èâàåòñÿ â íåêîòîðîé êðèòè÷åñêîé òî÷êå.  ýòîé òî÷êå îáðàùàåòñÿ â íóëü òåïëîòà èñïàðåíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, òåðÿåòñÿ ðàçíèöà ìåæäó Æ Ñ = 647 æèäêîñòüþ è ïàðîì. Êðèòè÷åñêèå ïàðàìåòðû âîäû: P àòì, T K, ; ã/ñì3 .  ïàðîâûõ êîòëàõ ñòàðàþòñÿ íå äîïóñêàòü ïåðåãðåâà âîäû ¾ïðàâåå¿ ëèíèè ðàâíîâåñèÿ, òàê êàê æèäêîñòü îòâîäèò òåïëî îò íàãðåâàþùåé ïîâåðõíîñòè ãîðàçäî ëó÷øå, ÷åì ãàç (îäíî äåëî ïðîñòî âûéòè çèìîé íà âîçäóõ, äðóãîå îêóíóòüñÿ â ïðîðóáü). Òàê êàê äëÿ êïä âûãîäíà âûñîêàÿ òåìïåðàòóðà, òî ïðèõîäèòñÿ ñîçäàâàòü â êîòëàõ âûñîêèå äàâëåíèÿ 100 àòì.
= 220
= 03
= 374
Ïðåäñòàâèì ñåáå öèëèíäð ñ êàïëåé æèäêîñòè è åå ïàðîì, çàìêíóòûé ïîðøíåì. Áóäåì íàãðåâàòü æèäêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè, íà÷èíàÿ ñ òî÷êè ëåâåå êðèâîé ðàâíîâåñèÿ. Òîãäà âíà÷àëå äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ ìåíüøå çàäàííîãî, è ïàðà íàä ïîðøíåì íå áóäåò âíåøíåå äàâëåíèå çàãîíèò âåñü ïàð â æèäêîñòü. Òåìïåðàòóðà æèäêîñòè ðàñòåò, ïîêà íå äîéäåò äî ðàâíîâåñíîé ïðè äàííîì äàâëåíèè. Ïîñëå ýòîãî íà÷íåòñÿ èñïàðåíèå ñ ïîâåðõíîñòè. Ïîÿâèòñÿ ïîâåðõíîñòü ðàçäåëà, îáúåì ïàðà áóäåò âîçðàñòàòü, âûòàëêèâàÿ ïîðøåíü, à òåìïåðàòóðà áóäåò ïîñòîÿííà. Íàêîíåö, èñïàðèòñÿ âñÿ æèäêîñòü, è âåñü óâåëè÷åííûé îáúåì çàïîëíèòñÿ ïàðîì. Äàëåå ñíîâà íà÷íåò ðàñòè òåìïåðàòóðà: ïàð áóäåò íàãðåâàòüñÿ, êàê ïîëîæåíî ãàçó. Íà ðèñ. 4.3 èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà êàê áû ¾çàñòðÿíåò¿ íà íåêîòîðîå âðåìÿ íà êðèâîé ðàâíîâåñèÿ. Òåïåðü áóäåì íàãðåâàòü æèäêîñòü, îäíîâðåìåííî óâåëè÷èâàÿ äàâëåíèå, ÷òîáû ïîâåðõíîñòü ðàçäåëà íå âîçíèêàëà. Òåì íå ìåíåå, îáúåì ìîæåò óâåëè÷èâàòüñÿ èççà òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ æèäêîñòè. Åñëè ìû óõèòðèìñÿ íàãðåòü æèäêîñòü, îáîéäÿ êðèòè÷åñêóþ òî÷êó, òî äàëüøå ïîñòåïåííî, ïðîäîëæàÿ íàãðåâ, ñíèçèì äàâëåíèå äî íà÷àëüíîãî. Ýòî óæå ïîëó÷èòñÿ ãàç.  ðåçóëüòàòå ìû èñïàðèì æèäêîñòü, òàê è íå óâèäåâ ðåçêîé ãðàíèöû ôàç îíà ïåðåéäåò â ãàç íåïðåðûâíûì îáðàçîì. Íàïðèìåð, Ðèñ. 4.3. ïëàíåòà Þïèòåð íå èìååò ïîâåðõíîñòè, òî åñòü òåìïåðàòóðà è äàâëåíèå ïðè ñïóñêå èçìåíÿþòñÿ òàê, ÷òî êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà îáõîäèòñÿ.  íåêîòîðîì ñìûñëå ìåæäó ãàçîì è æèäêîñòüþ íåò ïðèíöèïèàëüíîé ðàçíèöû. Äëÿ ôàçîâîãî ïåðåõîäà ìåæäó æèäêîé è òâåðäîé ôàçîé èìååòñÿ ñâîÿ êðèâàÿ ðàâíîâåñèÿ. Äâå êðèâûå: æèäêîñòü-ãàç è æèäêîñòü òâåðäàÿ ôàçà ïåðåñåêàþòñÿ â íåêîòîðîé òðîéíîé òî÷êå.  íåé îäíîâðåìåííî ñîñóùåñòâóþò æèäêàÿ, òâåðäàÿ è ãàçîîáðàçíàÿ ôàçû. Òðîéíàÿ òî÷êà âîäû: P ; ìì ðò.ñò., T ; Æ Ñ. Èç ýòîé æå òî÷êè âûõîäèò êðèâàÿ ðàâíîâåñèÿ ãàç-òâåðäàÿ ôàçà.
= 4 58
= 0 01
Ïðàêòè÷åñêè âñå âåùåñòâà èìåþò íåñêîëüêî òâåðäûõ ôàç, èëè ìîäèôèêàöèé, îòëè÷àþùèõñÿ ñòðîåíèåì êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè. Ìåæäó òâåðäûìè ôàçàìè òîæå áûâàþò ïåðåõîäû. Íàïðèìåð, ëèíèÿ ðàâíîâåñèÿ àëìàç-ãðàôèò: P T , ãäå äàâëåíèå âûðàæåíî â êèëîáàðàõ, òåìïåðàòóðà â òûñÿ÷àõ Ê. Ïðèìåðíî ïðè 100 êáàð, 4000 Ê íà-
= 20+20
4.3. Óðàâíåíèå Êëàïåéðîíà Êëàóçèóñà
47
õîäèòñÿ òðîéíàÿ òî÷êà àëìàç-ãðàôèò-æèäêîñòü. Àëìàç ýòî ïëîòíàÿ ôàçà, óñòîé÷èâàÿ ïðè âûñîêèõ äàâëåíèÿõ. Ìû æèâåì ïðè óñëîâèÿõ óñòîé÷èâîñòè ãðàôèòà. Òåì íå ìåíåå àëìàçû ïîïàäàþòñÿ, õîòÿ íå òàê ÷àñòî. Îíè, ñòðîãî ãîâîðÿ, äîëæíû ïðåâðàòèòüñÿ â ãðàôèò, íî ïðîñòî åùå íå óñïåëè. Òàêèå ôàçû íàçûâàþò ìåòàñòàáèëüíûìè. Ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû ïðèìåðíî äî 1000 Æ Ñ ãðàôèòèçàöèÿ èäåò íà ãëàçàõ. Àëìàç ìîæíî ñèíòåçèðîâàòü ïðè âûñîêèõ äàâëåíèÿõ è òåìïåðàòóðàõ. Åñëè ïîñëå îáðàçîâàíèÿ àëìàçà îõëàäèòü åãî, à çàòåì ñáðîñèòü äàâëåíèå, òî ãðàôèòèçàöèè íå ïðîèçîéäåò. Ïðèìåðíî ñ 1960 ã. àëìàçû ïðîèçâîäÿò â ñïåöèàëüíûõ ïðåññàõ. Ïîçäíåå íàéäåíû ñïîñîáû âçðûâíîãî ñèíòåçà, ïðè÷åì íå òîëüêî èç ãðàôèòà, íî è ïðÿìî èç ¾ëèøíåãî¿ óãëåðîäà âçðûâ÷àòîãî âåùåñòâà. Ñåé÷àñ èçâåñòíî 10 òâåðäûõ ôàç âîäû (ëüäà). Âñå îíè, êðîìå îáû÷íîãî ëüäà I3 , ïëîòíåå æèäêîé âîäû â îáëàñòÿõ ñîñóùåñòâîâàíèÿ è ñòàáèëüíû ïðè óìåðåííî âûñîêèõ äàâëåíèÿõ (åäèíèöû äåñÿòêè êáàð). Òàêèå óñëîâèÿ âîçìîæíû â íåäðàõ íåêîòîðûõ êðóïíûõ ñïóòíèêîâ ïëàíåò-ãèãàíòîâ. Ñîâåðøåííî íåîáû÷íûé ìàòåðèàë ïëóòîíèé, èìåþùèé ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè, â èíòåðâàëå òåìïåðàòóð ìåíåå 600 ãðàäóñîâ, 6 òâåðäûõ ìîäèôèêàöèé. Ïðè ïåðåõîäàõ ìåæäó íèìè ìåíÿåòñÿ îáúåì, èíîãäà äîâîëüíî ðåçêî. Íà ðàííèõ ýòàïàõ àòîìíîãî ïðîåêòà ýòî çàòðóäíÿëî ïîëó÷åíèå ïëóòîíèÿ: ïðè ðàñøèðåíèè ëîïàëèñü òèãëè.
4.3
Óðàâíåíèå Êëàïåéðîíà Êëàóçèóñà
Íà P V äèàãðàììå ôàçîâûé ïåðåõîä âûãëÿäèò òîæå ïîó÷èòåëüíî. Ïðè èçîòåðìè÷åñêîì ñæàòèè ïàðà ñíà÷àëà äàâëåíèå ðàñòåò ïî ãèïåðáîëå, êàê ó ãàçà (ðèñ. 4.4). Êîãäà îíî âûðàñòåò äî äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî ïàðà, íà÷íåòñÿ êîíäåíñàöèÿ. Îáúåì ñæèìàåòñÿ äàëåå ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè, ïàð çàãîíÿåòñÿ â æèäêîñòü. Íà ýòîì ó÷àñòêå èçîòåðìà ñîâïàäàåò ñ èçîáàðîé. Êîãäà ôàçîâûé ïåðåõîä çàêîí÷èòñÿ, íà÷íåòñÿ î÷åíü ðåçêîå ïîâûøåíèå äàâëåíèÿ ñæàòèå æèäêîñòè. Ïðè áîëåå âûñîêîé òåìïåðàòóðå íàäî ñæàòü ïàð ñèëüíåå, ïîýòîìó ïðàâûé èçëîì èçîòåðìû ïåðåìåñòèòñÿ âëåâî. Ëåâûé èçëîì ïåðåìåùàåòñÿ âïðàâî (òåïëîâîå ðàñøèðåíèå æèäêîñòè).  ðåçóëüòàòå íà P V äèàãðàììå âûäåëÿåòñÿ Ðèñ. 4.4. êóïîëîîáðàçíàÿ îáëàñòü ñîñóùåñòâîâàíèÿ æèäêîé è òâåðäîé ôàç. Âåðøèíà êóïîëà êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà K. Çäåñü õîðîøî âèäíî, ÷òî, êðîìå ñêðûòîé òåïëîòû (ýíåðãèè), ôàçû îòëè÷àþòñÿ åùå è îáúåìàìè. 3 Òîæå
èìåþùåãî äâå ìîäèôèêàöèè ãåêñàãîíàëüíóþ Ih è êóáè÷åñêóþ Ic.
48
Ãëàâà 4. ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ ÌÎËÅÊÓË
Íà P T äèàãðàììå îáëàñòü ðàâíîâåñèÿ âûãëÿäåëà êàê èçâåñòíàÿ óæå ëèíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Êàðòèíêà íà P V äèàãðàììå ïîçâîëÿåò íàéòè óðàâíåíèå ýòîé ëèíèè íà P T äèàãðàììå. Âîçüìåì äâå áëèçêèå èçîòåðìû. Òîãäà òî÷êè 1234 îáðàçóþò ïðàêòè÷åñêè öèêë Êàðíî. Ðàáîòà öèêëà ðàâíà P VG VL L L T =T . Ïîëó÷àåì
( dP dT
)=
= T (V L
V
G
L
=
):
Ýòî è åñòü óðàâíåíèå Êëàïåéðîíà Êëàóçèóñà.
L óäîáíî âçÿòü íà åäèíèöó ìàññû âåùåñòâà, íàïðèìåð íà ãðàìì. Òîãäà V è V óäåëüíûå îáúåìû îáîèõ ôàç (òî åñòü îáúåì åäèíèöû ìàññû, 1=). Çíàÿ L; T è óäåëüíûå îáúåìû ïðè äàííîé òåìïåðàòóðå, ìîæíî íàéòè íàêëîí ëèíèè P (T ), òî åñòü ïðåäñêàçàòü G
L
äàâëåíèå ðàâíîâåñèÿ ïðè äðóãîé òåìïåðàòóðå. Ïåðåìåùàåìñÿ â ýòó òî÷êó è ïîâòîðÿåì ðàñ÷åò; òàê ìîæíî ïîñòðîèòü âñþ êðèâóþ.  îáùåì ñëó÷àå âìåñòî VG VL íàäî ñòàâèòü èçìåíåíèå îáúåìà ïðè ôàçîâîì ïåðåõîäå è, êîíå÷íî, L ýòîãî ïåðåõîäà.
(
)
=1 35
=
Íàïðèìåð, äëÿ ïåðåõîäà àëìàç-ãðàôèò (Diamond Graphite) VD = ; ñì3 /ã, VGr = ; ñì3 /ã, L êàë/ìîëü = ; 9 ýðã/ã ) dP=dT àòì/ãðàä, åñëè âçÿòü T = 1000 Ê. Ýòî áëèçêî ê ïðèâåäåííîìó âûøå íàêëîíó 20 êáàð/1000 Ê. Êîíå÷íî, íàäî ó÷èòûâàòü èçìåíåíèå òåïëîòû ïåðåõîäà L ñ òåìïåðàòóðîé.
1 23
= 435
1 5 10
10
Âîäà îäíî èç íåìíîãèõ âåùåñòâ, ó êîòîðûõ òâåðäàÿ ôàçà (ëåä) ëåã÷å æèäêîé4 . Çàìåðçàíèå ëüäà ïðèâîäèò ê ðàçðûâó òðóá, áàêîâ è ïð. Óäåëüíûé îáúåì ëüäà ; ñì3 /ã, dP=dT 7 = ; ) = 120 àòì/ãðàä. Ñ ïîâûøåíèåì äàâëåíèÿ òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ ëüäà ñíèæàåòñÿ (ó íîðìàëüíûõ âåùåñòâ äîëæíà ïîâûøàòüñÿ), ïîä ëåäíèêîì òîëùèíîé 1 êì ïðèìåðíî íà ãðàäóñ. Íî åñëè äàâëåíèå íà ïîäîøâó íåðàâíîìåðíîå, òî ëåäíèê ìîæåò èñïûòûâàòü ìåñòíîå òàÿíèå, ñïîñîáñòâóþùåå åãî ìåäëåííîìó òå÷åíèþ. Ïîõîæå, ÷òî òàêèå æå êîíöåíòðàöèè äàâëåíèÿ ïîìîãàþò êàòàòüñÿ íà êîíüêàõ: ïîä êîíüêîì îáðàçóåòñÿ æèäêàÿ ïëåíêà (â îñíîâíîì âñå æå îò òðåíèÿ).
11
80 4 10 (273 (1 1 1)
=
(
)
Èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû êèïåíèÿ âîäû dT dP T VG VL =L. Çäåñü ìîæíî ïðåíåáðå÷ü îáúåìîì æèäêîñòè, à VG RT =P . Òîãäà ïîëó÷àåì dT =T RT =L dP=P ; dP=P . Ïðè çàìåòíîì ïàäåíèè äàâëåíèÿ 10% íà âûñîòå ïîðÿäêà êèëîìåòðà òåìïåðàòóðà êèïåíèÿ óìåíüøèòñÿ ïðèìåðíî íà 3 Ê. Ïðè èçâåñòíîé L T çàâèñèìîñòü èíòåãðèðóåòñÿ. Íà íåáîëüøèõ òåìïåðàòóðíûõ èíòåðâàëàõ ìîæíî ñ÷èòàòü L ïîñòîÿííîé. Òîãäà P P0 L=R =T0 =T .
=
0 08
=(
)
=
( )
=
exp((
) (1
1 ))
Ñêà÷îê îáúåìà ïðè ôàçîâîì ïåðåõîäå ïðèâîäèò ê ðàêîâèíàì ïðè ëèòüå, è ò.ï. Åñòü ãèïîòåçà, ÷òî çåìëåòðÿñåíèÿ âûçûâàþòñÿ, õîòÿ áû ÷àñòè÷íî, ïîäçåìíûìè ôàçîâûìè ïåðåõîäàìè ìåæäó òâåðäûìè ôàçàìè. 4 Åùå
ðàñøèðÿþòñÿ ïðè çàòâåðäåâàíèè âèñìóò è ïëóòîíèé.
4.4. Ïîâåðõíîñòíûé ñëîé. Êàïèëëÿðíûå ÿâëåíèÿ
4.4
49
Ïîâåðõíîñòíûé ñëîé. Êàïèëëÿðíûå ÿâëåíèÿ
Êàæäàÿ ìîëåêóëà â æèäêîñòè ïðèòÿãèâàåòñÿ ê ñîñåäíèì.  îáúåìå ñèëû ïðèòÿæåíèÿ ñ ðàçíûõ ñòîðîí â ñðåäíåì êîìïåíñèðóþòñÿ. Äðóãîå äåëî íà ïîâåðõíîñòè: òàì ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ïðèòÿæåíèÿ íàïðàâëåíà â ñðåäíåì âíóòðü. Åñëè õàðàêòåðíàÿ âåëè÷èíà ñèëû f , òî ïîâåðõíîñòíûå ìîëåêóëû áóäóò îáëàäàòü èçáûòêîì ýíåðãèè ïîðÿäêà fd, ãäå d òîëùèíà ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ. Ðàçóìíî ïðèíÿòü d ðàâíîé ìåæ÷àñòè÷íîìó ðàññòîÿíèþ â æèäêîñòè n 1=3 (èëè ðàçìåðó ìîëåêóëû, êîòîðûé ìû òàê è îöåíèâàëè). Åñëè îäíà ìîëåêóëà èìååò f d ëèøíåé ýíåðãèè, òî íà åäèíèöó ïëîùàäè ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ ïðèäåòñÿ n n 1=3 f d n2=3 f d, à íà ïëîùàäü S âûéäåò U n2=3 fd S S .
=
=
=
Âåëè÷èíà ñâîéñòâî æèäêîñòè íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïîâåðõíîñòíîãî íà13 òÿæåíèÿ. Äëÿ îöåíêè âñïîìíèì, ÷òî õàðàêòåðíàÿ ýíåðãèÿ èñïàðåíèÿ " ïîðÿäêà ýðã. Ñêîðåå âñåãî, " â íåñêîëüêî ðàç, ñêàæåì â øåñòü, áîëüøå, ÷åì fd, òàê êàê " ýòî âçàèìîäåéñòâèå ñî âñåìè ñîñåäÿìè, à fd ðàáîòà ïðèìåðíî îäíîãî íåñêîìïåíñèðîâàííîãî. 8 ñì, ïîëó÷èì 13 = 16 ) = 100 ýðã/ñì2 , èëè äèí/ñì. Ïî Ñ÷èòàÿ n 1=3 ñïðàâî÷íèêó ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå âîäû 70 äèí/ñì. Ðòóòü èìååò äèí/ñì.
6 10
3 10
10
(9 10
= 400
Ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòíûé ñëîé â öåëîì. Íà 1 ñì2 äåéñòâóåò ñèëà n2 3 f f=d2 n f d = 3 1022 10 13 = 3 109 äèí/ñì2 = 3000 àòì. Ïî÷åìó æå ýòîò ñëîé íå ñìåùàåòñÿ? =
Î÷åâèäíî, â æèäêîñòè äîëæíî áûòü âíóòðåííåå äàâëåíèå ïðèìåðíî òàêîé âåëè÷èíû. Îíî óðàâíîâåøèâàåò ïðèòÿæåíèå ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ. Ïîâåðõíîñòü ñäàâëèâàåò æèäêîñòü: ìîëåêóëû íà ïóòè âíóòðü ñòóêàþòñÿ î ïðåïÿòñòâèÿ â âèäå âíóòðåííèõ ìîëåêóë. Ýòè óäàðû â ñðåäíåì êîìïåíñèðóþò ïðèòÿæåíèå. Âíóòðåííåå äàâëåíèå âåëèêî, ÷òî åùå ðàç îáúÿñíÿåò ïëîõóþ ñæèìàåìîñòü æèäêîñòè. Îíà è òàê ïîðÿäî÷íî ñæàòà. Íàäî îòìåòèòü, ÷òî äëÿ âîäîëàçà èëè ïðîñòî ÷åëîâåêà, îêóíóâøåãî ïàëåö â âîäó, ýòî äàâëåíèå íå îïàñíî è äàæå íåíàáëþäàåìî. Ñëîé, êîíòàêòèðóþùèé ñ âîäîëàçîì, ïåðåäàåò âíóòðåííåå äàâëåíèå, óìåíüøåííîå íà ñèëó ïðèòÿæåíèÿ, òî åñòü ïîïðîñòó äî íóëÿ èëè äî gH , åñëè ñòîëá âîäû äàåò ñâîé âêëàä. Ðàññìîòðèì ìûëüíóþ ïëåíêó, íàòÿíóòóþ íà ðàìêó, ïðè÷åì îäíà èç ñòîðîí ðàìêè ïîäâèæíàÿ. Ýòî êàê áû äâóìåðíûé ïîðøåíü. Ïðè ðàñòÿæåíèè íà x ïëîùàäü ïëåíêè âîçðàñòàåò íà L x, à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ íà U L x. Äîëæíà ñóùåñòâîâàòü ñèëà U= x L, ñòðåìÿùàÿñÿ óìåíüøèòü ïëîùàäü ïëåíêè. Ñëåäîâàòåëüíî, ó÷àñòîê ïëåíêè äëèíîé L äåéñòâóåò íà ïðèëåãàþùèé ïðåäìåò (âîçìîæíî, òó æå ïëåíêó) ñ ñèëîé F L, îòêóäà âèäíî, ïî÷åìó ïðèâîäÿò ðàçìåðíîñòü äèí/ñì. Íà ñàìîì äåëå ïîâåðõíîñòåé â òàêîì ¾öèëèíäðå¿ äâå, è ðåçóëüòàò íàäî óäâîèòü.
=
=
=
Ïîñêîëüêó ïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ îáû÷íî ìåíüøå, ÷åì îáúåìíûõ, ïîâåðõíîñòíûå ÿâëåíèÿ ðåäêî çàìåòíû, äëÿ íèõ íàäî ñîçäàâàòü óñëîâèÿ. Íàïðèìåð, â òîíêèõ êàïèëëÿðàõ æèäêîñòü ïîäíèìàåòñÿ. Âåñ ñòîëáèêà gh r 2 äîëæåí óðàâíîâåñèòüñÿ íàòÿæåíèåì ïëåíêè r , îòêóäà h = gr . Ïîñêîëüêó äàâëåíèå íà èñõîäíîì óðîâíå æèäêîñòè àòìîñôåðíîå, ââåðõó îíî íèæå, ïîä ñàìûì ìåíèñêîì íà =r . Ýòî âûðàæåíèå óæå
2
=2 ( )
2
50
Ãëàâà 4. ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ ÌÎËÅÊÓË
ñîäåðæèò òîëüêî ðàäèóñ êðèâèçíû ïëåíêè, è åãî ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàññìîòðåâ ðàâíîâåñèå ïëåíêè. Ñèëà íàòÿæåíèÿ èìååò ñîñòàâëÿþùóþ ê öåíòðó, êîòîðàÿ óðàâíîâåøèâàåòñÿ ðàçíîñòüþ äàâëåíèé. Äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè (ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè) ïåðåïàä äàâëåíèé =r . Ëþáàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò äâà ãëàâíûõ ðàäèóñà êðèâèçíû, P =r1 =r2 ôîðìóëà Ëàïëàñà. Çíàêè ðàäèóñîâ ìîãóò áûòü è ðàçíûå (ïîâåðõíîñòü òèïà ñåäëà).  ìûëüíîì ïóçûðå äàâëåíèå óâåëè÷åíî íà =r (äâå ïîâåðõíîñòè).
= (1 +1 )
4
=1 3 10
Ìàêñèìàëüíîå êàïèëëÿðíîå ïîäíÿòèå áóäåò ïðè P àòì, èíà÷å æèäêîñòü ïî4 ñì. Äåðåâüÿ áûâàþò ðâåòñÿ. Äëÿ âîäû ýòî ñòîëá 10 ì, ïðè äèàìåòðå êàïèëëÿðà ãîðàçäî âûøå, ÷òî óêàçûâàåò íà âëèÿíèå è äðóãèõ ÿâëåíèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ïèòàíèÿ. Óìåíüøåíèå äàâëåíèÿ ïîä âîãíóòîé ïîâåðõíîñòüþ ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî íà ïðîáíóþ ÷àñòèöó ïîÿâëÿåòñÿ ìàëåíüêàÿ ñèëà íàðóæó ïî ñðàâíåíèþ ñ ïëîñêèì ñëó÷àåì. Ìîëåêóëû, íàõîäÿùèåñÿ âûøå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè, òÿíóò ââåðõ. Åñëè æå ïîâåðõíîñòü âûïóêëàÿ, áóäåò îáðàòíûé ýôôåêò, è âíóòðè êàïëè äàâëåíèå ïîâûøåíî. Êàïëÿ âîäû íà ÷èñòîì ñòåêëå ðàñòåêàåòñÿ êàê ìîæíî øèðå, à êàïëÿ ðòóòè îáðàçóåò øàðèê. Ãîâîðÿò, ÷òî âîäà ñìà÷èâàåò ñòåêëî, à ðòóòü íåò.  îáùåì ñëó÷àå ââîäèòñÿ êðàåâîé óãîë õàðàêòåðèñòèêà âçàèìîäåéñòâèÿ òðåõ ñðåä: æèäêîñòè, ïîäëîæêè è àòìîñôåðû. Äëÿ âîäû íà ñòåêëå , à äëÿ ðòóòè . Íåéòðàëüíîå ñìà÷èâàíèå áóäåò, êîãäà = . Òàêàÿ êîìáèíàöèÿ íå äàñò êàïèëëÿðíîãî ïîäíÿòèÿ â òðóáêå ïîâåðõíîñòíûå ñèëû ãîðèçîíòàëüíû, ðàäèóñ êðèâèçíû (1) ïðåâûøàåò ðàäèóñ êàïèëëÿðà. Íåñìà÷èâàþùàÿ æèäêîñòü èìååò óðîâåíü, íàîáîðîò, íèæå, ÷åì ïëîñêàÿ ïîâåðõíîñòü.
0
= 2
Îöåíèì õàðàêòåðíûé ðàçìåð êàïëè ðòóòè, ïðè êîòîðîì îíà åùå êðóãëàÿ. Êîíêóðèðóþò ïîâåðõíîñòíàÿ ýíåðãèÿ R2 è ïîòåíöèàëüíàÿ â ïîëå òÿæåñòè gR R3 = . Ïðè R =g ìì ýòè ýíåðãèè ñðàâíèâàþòñÿ, ÷òî è ïîõîæå íà ïðàâäó. Ïðàâèëüíåå áûëî áû ìèíèìèçèðîâàòü ñóììàðíóþ ýíåðãèþ, íî ïîðÿäîê ðåçóëüòàòà íå èçìåíèòñÿ.
=3
4
3
4
3
2 )
Äàâëåíèå ïàðà íàä âûïóêëîé ïîâåðõíîñòüþ áóäåò ïîâûøåíî, ïðèìåðíî íà ( =r ïàðà =æèäê . Ýòî ïîïðîñòó äàâëåíèå ñòîëáà ïàðà äëèíîé â êàïèëëÿðíîå îïóñêàíèå. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñ âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ìîëåêóëå ëåã÷å óëåòåòü. Ïðè êîíäåíñàöèè â ÷èñòîì âîçäóõå ñíà÷àëà îáðàçóþòñÿ î÷åíü ìàëûå çàðîäûøè. Ïðè ðàçìåðå 10 A 7 3 6 P = , òî åñòü ïîðÿäêà àòìîñôåðû. Äëÿ òàêèõ êàïåëü âîçäóõ åùå íåíàñûùåí ïàðàìè, è îíè áóäóò èñïàðÿòüñÿ, åñëè ñëó÷àéíî è îáðàçóþòñÿ5 . Âîçìîæíî çàìåòíîå ïåðåñûùåíèå (èëè ïåðåîõëàæäåíèå) ïàðîâ. Åñëè æå â âîçäóõå èìååòñÿ ñìà÷èâàåìàÿ ïûëü, òî íà ïûëèíêàõ îáðàçóþòñÿ áîëåå ïëîñêèå êàïëè. Ñêàæåì, ïðè ìèêðîííûõ ðàçìåðàõ P óïàäåò íà òðè ïîðÿäêà. Âíóòðè äîæäåâîé êàïëè âñåãäà åñòü ìàëåíüêàÿ ïûëèíêà, îíà è ïîìîãàåò êîíäåíñàöèè: âìåñòî àíãñòðåìîâ íàäî ïèñàòü ïðèìåðíî ðàäèóñ ïûëèíêè. Åñëè â âîçäóõå èìåþòñÿ êàïëè ðàçíûõ ðàçìåðîâ, òî ìåëêèå ñúåäàþòñÿ êðóïíûìè (êîàëåñöåíöèÿ).
(
)
(2 70 10 ) 10
10
5 Îöåíèòå
ñîîòâåòñòâóþùèé ñäâèã ðàâíîâåñíîé òåìïåðàòóðû èç óðàâíåíèÿ Êëàïåéðîíà Êëàóçèóñà.
4.5. Ìàëûå ÷àñòèöû è ôðàêòàëüíûå ñòðóêòóðû
4.5
51
Ìàëûå ÷àñòèöû è ôðàêòàëüíûå ñòðóêòóðû
Êàê ìû âèäåëè, äëÿ äîñòàòî÷íî êðóïíûõ òâåðäûõ ÷àñòèö èëè êàïåëü ðîëü ïîâåðõíîñòè íåâåëèêà. Îäíàêî ïîëîæåíèå èçìåíÿåòñÿ ñ óìåíüøåíèåì ðàçìåðà ÷àñòèö. Ðîëü ïîâåðõíîñòè ìîæíî îöåíèòü êàê îòíîñèòåëüíóþ äîëþ ïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ. Âîçüìåì ÷àñòèöó â âèäå êóáà. Åñëè âäîëü ðåáðà ïîìåùàåòñÿ 10 ìîëåêóë, òî âñåãî ìîëåêóë 103 = 1000, à âíóòðè íàõîäÿòñÿ 83 = 512 ìîëåêóë.  ýòîì ñëó÷àå ; , ïðèìåðíî ïîëîâèíà ìîëåêóë íàõîäèòñÿ íà ïîâåðõíîñòè. Ïðè õàðàêòåðíîé äëÿ òâåðäûõ âåùåñòâ ïëîòíîñòè n 23 ñì 3 òàêàÿ ÷àñòèöà èìååò ðàçìåð îêîëî 2 íàíîìåòðîâ. Äëÿ ñôåðè÷åñêîé ÷àñòèöû îöåíêà ¾ïîãðàíè÷íîãî¿ ðàçìåðà äàåò ïðàêòè÷åñêè òàêóþ æå âåëè÷èíó. Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåõîä îò êîíãëîìåðàòà àòîìîâ ê ÷àñòèöå ñî ñâîéñòâàìè, áëèçêèìè ê ñâîéñòâàì êîíäåíñèðîâàííîé ôàçû, êàê ðàç è ïðîèñõîäèò â äèàïàçîíå 6 àòîìîâ. ×àñòèöû, ñîñòîÿùèå èç äåñÿòêîâ àòîìîâ, íàçûâàþò êëàñòåðàìè . Íàçâàíèå ïîìîãàåò îòëè÷àòü èõ îò áîëüøèõ ìîëåêóë, èìåþùèõ ñòðîãî çàäàííûé ñîñòàâ (õîòÿ ãðàíèöà ìåæäó êëàñòåðàìè è ìîëåêóëàìè íåñêîëüêî ðàçìûòà). Êëàñòåðû ïðîÿâëÿþò î÷åíü ëþáîïûòíûå ñâîéñòâà, ÷àñòî ðåçêî çàâèñÿùèå îò ÷èñëà àòîìîâ. Íàïðèìåð, èç 60 àòîìîâ óãëåðîäà òåîðåòè÷åñêè ìîæíî ñîñòàâèòü êîíñòðóêöèþ â âèäå ôóòáîëüíîãî ìÿ÷à, ïðè÷åì âñå àòîìû áóäóò íà ïîâåðõíîñòè, ñîñòàâëåííîé èç ïÿòè- è øåñòèóãîëüíûõ ÿ÷ååê (ðèñ. 4.5). Ýòîò êëàñòåð (èëè ìîëåêóëà?) èìååò ñïåöèàëüíîå íàçâàíèå: áàêìèíñòåðôóëëåðåí, â ÷åñòü Áàêìèíñòåðà Ôóëëåðà èçîáðåòàòåëÿ æåñòêèõ êóïîëîâ, ñîñòàâëåííûõ èç ìíîãîóãîëüíèêîâ. Ðèñ. 4.5. Áàêìèíñòåðôóëëåðåí è ïîäîáíûå ìîëåêóëû (ôóëëåðåíû) îáíàðóæåíû ñðåäè äûìîâûõ ÷àñòèö è, âîçìîæíî, â ìåæçâåçäíîì ïðîñòðàíñòâå. ßñíî, ÷òî äîáàâëåíèå èëè óäàëåíèå îäíîãî àòîìà äàñò ÷àñòèöó ñ ñîâåðøåííî äðóãèìè ñâîéñòâàìè. Ñåé÷àñ ýòè âåùåñòâà ïîëó÷àþò óæå êèëîãðàììàìè. Èç òûñÿ÷è àòîìîâ ìîæíî ñîáðàòü êðèñòàëë èç 101010 ÿ÷ååê. Ñêîïëåíèÿ òûñÿ÷ àòîìîâ ñ ðàçìåðàìè â äåñÿòêè àíãñòðåì óæå ìîæíî ñ÷èòàòü ÷àñòèöàìè, õîòÿ è ñ îñîáûìè ñâîéñòâàìè. Ïîðîøîê èç òàêèõ óëüòðàäèñïåðñíûõ ÷àñòèö èìååò îãðîìíóþ óäåëüíóþ ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ àêòèâíî ïîãëîùàåò (àáñîðáèðóåò) ðàçëè÷íûå âåùåñòâà. Ýòî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ î÷èñòêè ãàçîâ è æèäêîñòåé. Ìàëûå ÷àñòèöû èìåþò çàìåòíî ìåíüøóþ òåìïåðàòóðó ïëàâëåíèÿ (îò íèõ ëåã÷å îòîðâàòü àòîì). Ñàìî ïîíÿòèå ïëàâëåíèÿ ðàçìûâàåòñÿ èç-çà ñóùåñòâåííîé ðîëè ôëóêòóàöèé (N 1=2 = ïðè N = 1000). Îäíî èç èíòåðåñíûõ ñâîéñòâ ìàëûõ ÷àñòèö ñïîñîáíîñòü ê îáðàçîâàíèþ òàê íàçûâàåìûõ ôðàêòàëüíûõ ñòðóêòóð. Ïðè âñòðå÷å äâóõ ÷àñòèö îíè, ñòðåìÿñü óìåíüøèòü
05
10
100 1000
1 30
6 Îò
àíãëèéñêîãî ñëîâà cluster ãðîçäü, êó÷à.
52
Ãëàâà 4. ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ ÌÎËÅÊÓË
ïîâåðõíîñòíóþ ýíåðãèþ, áóäóò ñëèïàòüñÿ. Æèäêèå ÷àñòèöû îáðàçóþò êàïëþ áîëüøåãî ðàçìåðà. Íî òâåðäûå ÷àñòèöû ïðè ñëèïàíèè ñîõðàíÿò ñâîþ èíäèâèäóàëüíîñòü è, â îñíîâíîì, ôîðìó. Ïðè îáúåäèíåíèè ìíîãèõ ÷àñòèö ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ ñòðóêòóðà, êîòîðóþ òîæå íàçûâàþò êëàñòåðîì, òîëüêî ñîñòàâëåí îí íå èç îòäåëüíûõ àòîìîâ, à èç ìåëêèõ ÷àñòèö. Èññëåäóÿ ýòîò ïðîöåññ, àìåðèêàíñêèå ôèçèêè Ò.Âèòòåí è Ë.Ñàíäåð â 1982 ã. èçîáðåëè êîìïüþòåðíóþ ìîäåëü ðîñòà êëàñòåðà. Ïóñòü â öåíòðå êàðòèíêè ïîìåñòèëè çàòðàâî÷íóþ ÷àñòèöó. Ñëåäóþùàÿ ÷àñòèöà âíîñèòñÿ â ñëó÷àéíîå ìåñòî íà ïåðèôåðèè è íà÷èíàåò äâèæåíèå, ñîñòîÿùåå èç ìàëûõ øàãîâ, íàïðàâëåíèå êîòîðûõ êàæäûé ðàç âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Òàêîé ïðîöåññ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé ìû ïîäðîáíî ðàññìîòðèì ÷óòü ïîçæå. Ïîäîéäÿ ê ïåðâîé ÷àñòèöå, Ðèñ. 4.6. âòîðàÿ ïðèëèïàåò è îáðàçóåòñÿ êëàñòåð èç äâóõ ÷àñòèö. Çàïóñêàåòñÿ òðåòüÿ ÷àñòèöà, ïðèëèïàåò ê êëàñòåðó, è ò.ä. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â òàêîì ïðîöåññå ïîëó÷àåòñÿ íå êîìïàêòíîå è äàæå íå ïîðèñòîå òåëî, à ïðè÷óäëèâàÿ âåòâèñòàÿ ñòðóêòóðà (ðèñ. 4.6). Ïðè ñëó÷àéíîì îáðàçîâàíèè âûñòóïà äàæå íà ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè êëàñòåðà õàîòè÷åñêè äâèæóùàÿñÿ ÷àñòèöà ñ áîëüøåé âåðîÿòíîñòüþ öåïëÿåòñÿ èìåííî çà âûñòóï, ÷òî è ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ áûñòðî ðàñòóùèõ âåòâåé, ìåæäó êîòîðûìè îñòàþòñÿ ïóñòûå ¾ôèîðäû¿. Ìîäåëü Âèòòåíà Ñàíäåðà ïîëó÷èëà íàçâàíèå DLA , òî åñòü äèôôóçèîííî ëèìèòèðîâàííîé àãðåãàöèè. Òàêèå ñòðóêòóðû íàáëþäàëèñü äàâíî â ïðîöåññàõ ðîñòà èç ðàñòâîðà. Òàêîé æå âèä êà÷åñòâåííî èìååò ðàçâèâàþùàÿñÿ ñòðóêòóðà ýëåêòðè÷åñêîãî ïðîáîÿ, à òàêæå êàðòèíà, âîçíèêàþùàÿ, êîãäà íåâÿçêàÿ æèäêîñòü (âîäà) âûòåñíÿåò áîëåå âÿçêóþ (íàïðèìåð, íåôòü) èç ïîðèñòîé ñðåäû. Ïðè âíåøíåì ðàçëè÷èè ïðèðîäà ýòèõ ïðîöåññîâ èìååò îáùóþ ÷àñòü íåóñòîé÷èâîñòü ðàñòóùåé ãðàíèöû êëàñòåðà. Äëÿ îïèñàíèÿ ñòðóêòóð, íå èìåþùèõ âûäåëåííîãî öåíòðà, ïîäîáíûõ ÷àñòèöàì ñàæè, Ï.Ìèêèí (ÑØÀ), à òàêæå ôðàíöóçñêèå ôèçèêè Ì.Êîëá, Ð.Áîòå è Ð.Æþëüåí â 1983 ã. ïðåäëîæèëè ìîäåëü êëàñòåð-êëàñòåðíîé àãðåãàöèè7 . Åñëè âñå ïåðâè÷íûå ÷àñòèöû ïðèñóòñòâóþò â îáúåìå îäíîâðåìåííî è äâèæóòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì, èç íèõ ïðè âñòðå÷å îáðàçóþòñÿ ñíà÷àëà íåáîëüøèå êëàñòåðû, ïîòîì è îíè ñîåäèíÿòñÿ, ïîêà íå ïîëó÷èòñÿ îäèí êðóïíûé êëàñòåð. Íåêîòîðàÿ ñòàäèÿ åãî ôîðìèðîâàíèÿ ïîêàçàíà íà Ðèñ. 4.7. ðèñ. 4.7. Ïðè îáîèõ ñïîñîáàõ àãðåãàöèè ïîëó÷àþòñÿ ðàçðåæåííûå ñòðóêòóðû, êîòîðûå â ¾ñïðåññîâàííîì¿ âèäå çàíèìàëè áû ãîðàçäî ìåíüøå ìåñòà. Äëÿ îïèñàíèÿ ýòèõ ñòðóêòóð óäîáíî ïîíÿòèå ðàçìåðíîñòè. Åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî âûòÿíóòàÿ öåïü èìååò ðàçìåðíîñòü 1. Åå ìàññà, òî åñòü êîëè÷åñòâî çâåíüåâ, ïðîïîðöèîíàëüíà äëèíå â ïåðâîé ñòåïåíè. Ó÷àñòîê ïîëà â âèäå êâàäðàòà, êðóãà èëè äðóãîé ïëîñêîé ôèãóðû, âûëîæåííûé êâàä7 Èíòåðåñíî,
÷òî íåçàâèñèìûå ðàáîòû àìåðèêàíñêîãî è òðåõ ôðàíöóçñêèõ àâòîðîâ áûëè âûïîëíåíû ïðàêòè÷åñêè îäíîâðåìåííî è ñòàòüè íàïå÷àòàíû ðÿäîì â îäíîì âûïóñêå æóðíàëà Physical Review Letters.
4.5. Ìàëûå ÷àñòèöû è ôðàêòàëüíûå ñòðóêòóðû
53
ðàòíûìè ïëèòêàìè, áóäåò ìíîæåñòâîì ðàçìåðíîñòè 2, òàê êàê ÷èñëî ïëèòîê ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ðàçìåðà. Òðåõìåðíûå îáúåêòû ñîäåðæàò ÷èñëî ýëåìåíòîâ, ïðîïîðöèîíàëüíîå êóáó ëèíåéíîãî ðàçìåðà. Ìîæíî àíàëîãè÷íî ââåñòè ðàçìåðíîñòü êëàñòåðîâ:
N
R
D
:
Çäåñü R èìååò ñìûñë õàðàêòåðíîãî ðàçìåðà êëàñòåðà, à N åãî ìàññû èëè êîëè÷åñòâà ÷àñòèö â íåì. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïîëó÷àþùàÿñÿ ðàçìåðíîñòü D ìåíüøå ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà è, êðîìå òîãî äðîáíîå ÷èñëî! Êëàñòåðû Âèòòåíà Ñàíäåðà èìåþò D ; íà ïëîñêîñòè è ; â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Êëàñòåð-êëàñòåðíàÿ àãðåãàöèÿ äàåò â ýòèõ ñëó÷àÿõ ðàçìåðíîñòè ; è ; . Çäåñü ðàçìåðíîñòü ìåíüøå, òàê êàê ïðè âñòðå÷å ïðèìåðíî îäèíàêîâûõ êëàñòåðîâ òðóäíåå çàïîëíÿþòñÿ ïóñò îòû. Ïîñêîëüêó ïîëó÷àþòñÿ ðàçðåæåííûå ñòðóêòóðû, äîñòèæåíèå äàííîãî ðàçìåðà òðåáóåò ìåíüøåãî ÷èñëà ÷àñòèö, ÷åì åñëè áû îáðàçîâûâàëèñü ïëîòíûå îáúåêòû. Êëàñòåðû ñ äðîáíîé ðàçìåðíîñòüþ íàçûâàþò ôðàêòàëüíûìè, èëè ïðîñòî ôðàêòàëàìè8 . Ýòî ñëîâî èçîáðåòåíî àìåðèêàíñêèì ìàòåìàòèêîì Á. Ìàíäåëüáðîòîì. Åãî çàñëóãà îñîçíàíèå òîãî, ÷òî â ïðèðîäå ôðàêòàëüíûå ñòðóêòóðû âñòðå÷àþòñÿ íà êàæäîì øàãó. Íàïðèìåð, äëèíà áåðåãîâîé ëèíèè ÿâíî çàâèñèò îò ìàñøòàáà, êîòîðûì ìû åå èçìåðÿåì (ñ ïîìîùüþ êèëîìåòðîâûõ ñòîëáîâ èëè ìåòðîâîé ëèíåéêè). Âî âòîðîì ñëó÷àå äëèíà áóäåò áîëüøå, òàê êàê òî÷íåå ó÷èòûâàåòñÿ èçðåçàííîñòü áåðåãà. Ðàçìåðíîñòü ïîáåðåæüÿ Àíãëèè îêàçûâàåòñÿ îêîëî ; , òî åñòü áîëüøå, ÷åì ó ëèíèè, íî ìåíüøå, ÷åì ó ïîâåðõíîñòè. Äëèíà L, èçìåðåííàÿ ìåðêîé ìàñøòàáà a, áóäåò ïîðÿäêà X X=a 0;2 , èëè X 1;2 =a0;2 , èëè a X=a 1;2 , ãäå X ðàññòîÿíèå, èçìåðåííîå ïî ïðÿìîé (êîîðäèíàòíîå). Íàïðèìåð, ïðè èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 4.8 ïðåîáðàçîâàíèè, åñëè åãî ìíîãî ðàç ïîâòîðÿòü äëÿ êàæäîãî îòðåçêà, ðàçìåðíîñòü áóäåò ðàâíà D = ; . Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî òàêîé ôðàêòàë ÷òî-òî âðîäå òîëñòîé ëèíèè. Ìíîæåñòâî ïðèðîäíûõ îáúåêòîâ (è ÷åëîâåê: ëåãêèå, êðîâåíîñíàÿ ñèñòåìà) â íåêîòîðîì äèàïàçîíå ðàçìåðîâ îáíàðóæèâàþò ñòåïåííóþ çàâèñèìîñòü òîãî æå âèäà.  íåêîòîðîì ñìûñëå ôðàêòàëüíîñòè â ïðèðîäå áîëüøå, ÷åì ãëàäêîñòè. Åñëè âåðíóòüñÿ ê êëàñòåðàì, òî ôðàêòàëüíûé ðîñò ïðîèñõîäèò ïðè ñèëüíî íåðàâíîâåñíîé êîíäåíñàöèè (ìîëåêóëû ) òâåðäûå ìàëûå ÷àñòèöû ) ôðàêòàëüíûé êëàñòåð). Êîìïàêòíîå æå òåÐèñ. 4.8. ëî îáðàçóåòñÿ ïðè óñëîâèÿõ âáëèçè ðàâíîâåñèÿ ôàç, íàïðèìåð, ðîñò êàïëè èç ïàðà. Íåðàâíîâåñíûå ïðîöåññû ñêîðåå ïðàâèëî, à ðàâíîâåñíûå èñêëþ÷åíèå. Îá ýòîì ïîëåçíî âñïîìèíàòü, ãëÿäÿ íà ôîðìó îáëàêîâ èëè êðîíó äåðåâüåâ. Àáñòðàêòíàÿ, íà ïåðâûé âçãëÿä, îáëàñòü ìàòåìàòèêè îêàçàëàñü ïðÿìî ñîçäàííîé äëÿ íîâîãî ðàçäåëà ôèçèêè, êîòîðûé ñåé÷àñ áóðíî ðàçâèâàåòñÿ.
1 68
2 46
=
1 44 1 78
12
(
)
= ln(8) ln(4) = 1 5
8 Îò
fraction äîëÿ, äðîáü.
(
)
Ãëàâà 5 ßÂËÅÍÈß ÏÅÐÅÍÎÑÀ 5.1
Ñòîëêíîâåíèÿ ìîëåêóë. Äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà. Ñëó÷àéíûå áëóæäàíèÿ. Äèôôóçèÿ
Èìåÿ êîíå÷íûå ðàçìåðû, ìîëåêóëû äîëæíû ñòàëêèâàòüñÿ. Îöåíèì ñðåäíþþ äëèíó ñâîáîäíîãî ïðîáåãà , ñ÷èòàÿ ìîëåêóëû òâåðäûìè øàðàìè. Ðèñóåì öèëèíäð, îñü êîòîðîãî òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìîëåêóëû, à ðàäèóñ ðàâåí R, ãäå R ðàäèóñ ìîëåêóëû, äëèíà öèëèíäðà èñêîìîå ÷èñëî . Åñëè â ýòîò öèëèíäð ïîïàäàåò öåíòð äðóãîé ìîëåêóëû, ïðîèçîéäåò ñòîëêíîâåíèå. Ñðåäíåå ÷èñëî ïîïàâøèõ â öèëèíäð ïîñòîðîííèõ öåíòðîâ R 2 n äîëæíî áûòü ïîðÿäêà 1, îòêóäà
2
(2 )
=
1 = 1 : 4R2n n
Âåëè÷èíà , êîòîðàÿ ïîðÿäêà ïëîùàäè ìîëåêóëû, íàçûâàåòñÿ ñå÷åíèåì ñîóäàðåíèÿ. p Ïðè ó÷åòå äâèæåíèÿ äðóãèõ ìîëåêóë óìåíüøàåòñÿ â ðàç. Íåò ñìûñëà ó÷èòûâàòü òàêîé êîýôôèöèåíò ïðè íàøèõ îöåíêàõ, òåì áîëåå ÷òî ðåàëüíûå ìîëåêóëû íå ïîõîæè íà òâåðäûå øàðû. Îäíàêî äëÿ íèõ òàêæå èìååò ñìûñë ïîíÿòèå ñå÷åíèÿ è, çíà÷èò, â êàêîì-òî ñìûñëå ðàçìåðîâ. 8 ñì è íîðìàëüíûõ óñëîâèé = 19 16 Äëÿ òèïè÷íîãî ðàçìåðà R 5 ñì. Ïðàâèëüíåå áóäåò 5 ñì, òî åñòü íàäî óâåëè÷èòü ðàçà â 3, 15 ñì.  òàáëèöå ïðèâåäåíû èçìåðåííûå ãàçîêèíåòè÷åñêèå ðàäèóñû ìîëåêóë è äëèíû ïðîáåãà ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ.
2
10 1 10
3 10
Ãàç R, A
He 1,09
1 (3 10 10 10 ) 3 10
Ar 1,83
H2 1,36
N2 1,89
O2 1,81
CO2 2,31
105 , ñì 1,72 0,63 1,13 0,58 0,64 0,39
H2 O 2,07 0,61
Ìîëåêóëû ìîãóò ïðîÿâëÿòü ñâîþ èíäèâèäóàëüíîñòü íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà . Ìàëîñòü äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà è ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ãàç êàê ñïëîøíóþ ñðåäó, äëÿ
5.1. Äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà. Äèôôóçèÿ
55
÷åãî õàðàêòåðíûå ðàçìåðû çàäà÷è äîëæíû ïðåâûøàòü . Âðåìÿ ìåæäó ñòîëêíîâåíèÿìè 10 ñ. =vT
3 10
10
5 àòì îíà ñòàíåò Äëèíà ïðîáåãà ðàñòåò ñ óìåíüøåíèåì ïëîòíîñòè. Ïðè P ïîðÿäêà 1 ñì. Ïðèìåðíî òàêèå óñëîâèÿ äîëæíû áûòü ìåæäó ñòåíêàìè òåðìîñà. Åñëè ñòàíîâèòñÿ ïîðÿäêà õàðàêòåðíîãî ðàçìåðà îáúåìà, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïîëó÷åí âàêóóì ìîëåêóëû ëåòàþò íåçàâèñèìî, ñòàëêèâàÿñü òîëüêî ñî ñòåíêàìè ñîñóäà, íî íå äðóã ñ 5 ñì âàêóóì ñóùåñòâóåò è ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè. äðóãîì.  ïîðàõ ïîðÿäêà Ïðè äèôôóçèîííîì ðàçäåëåíèè èçîòîïîâ èìåííî íàäî, ÷òîáû ìîëåêóëû íåçàâèñèìî ïðîëåòàëè îòâåðñòèÿ â ïîðèñòîé ïåðåãîðîäêå: åñëè â ïîðàõ îíè áóäóò ñòàëêèâàòüñÿ, ïîëó÷àòñÿ ïðîñòî ñòðóè èñõîäíîãî ñîñòàâà.
10
Ìåæçâåçäíàÿ ñðåäà ñîäåðæèò îêîëî 1 àòîìà/ñì3 , òàê ÷òî äëèíà ïðîáåãà áóäåò ïîðÿäêà 15 ñì. Ñâåòîâîé ãîä ðàâåí 7 10 19 ñì, òî åñòü ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåæçâåçäíûõ ðàññòîÿíèé òàêîé ãàç ýòî ñïëîøíàÿ ñðåäà.  íåì ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ âîëíû, âîçíèêàòü ñòðóè è ò.ï. Íî äëÿ êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà è äàæå äëÿ îáúåêòîâ ñ ðàçìåðàìè, êàê ó çâåçä è ïëàíåò, ýòî, êîíå÷íî, âàêóóì.
10
3 10 3 10
10
Äâèæåíèå ìîëåêóëû â ðåçóëüòàòå ñîóäàðåíèé áóäåò õàîòè÷åñêèì. Ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü ¾ïüÿíîãî ìîðÿêà¿: êàæäûé ñëåäóþùèé øàã èìååò ïîñòîÿííóþ äëèíó , íî ñëó÷àéíîå íàïðàâëåíèå. Íà øàãå N : RN +1 RN eN +1 , ãäå eN +1 åäèíè÷íûé âåêòîð íàïðàâëåíèÿ äàííîãî øàãà. ßñíî, ÷òî â ñðåäíåì hRi , òàê êàê íåò âûäåëåííîãî íàïðàâëåíèÿ. Íî ýòî íå çíà÷èò, ÷òî íåò âîîáùå íèêàêîãî ñìåùåíèÿ (òàêîå æå ïîëîæåíèå, êàê ñ òåïëîâîé ñêîðîñòüþ ìîëåêóë, òîæå â ñðåäíåì íóëåâîé). Íàäî íàéòè ñðåäíèé êâàäðàò ñìåùåíèÿ:
+1
=
+
=0
hR2 +1 i = hR2 i + 2 + 2h(R N
N
N
eN +1
)i :
Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ïðè óñðåäíåíèè äàåò íóëü â ñèëó íåçàâèñèìîñòè (ñëó÷àéíîñòè) íàïðàâëåíèÿ eN +1 . Ïîëó÷àåì
hR2 i = N 2 ; N
p
p
à õàðàêòåðíîå óäàëåíèå îò èñõîäíîé òî÷êè áóäåò N . Èç N øàãîâ òîëüêî N âåäóò â êàêîì-òî, çàðàíåå íåèçâåñòíîì, íàïðàâëåíèè. Ïðè áîëüøîì N ýòî ìàëàÿ äîëÿ âñåõ øàãîâ (òûñÿ÷à èç ìèëëèîíà).
1
10
Îöåíèì âðåìÿ ñìåùåíèÿ ìîëåêóëû íà 1 ñì. Ýòî òðåáóåò N ñì/ 5 øàãîâ, åñëè äâèãàòüñÿ ïî ïðÿìîé, à íà ñàìîì äåëå êâàäðàò ýòîãî ÷èñëà, ò.å. 1010 øàãîâ. Âðåìÿ 10 ñ , à âñåãî íàäî îêîëî 3 ñ. Äëÿ ñìåùåíèÿ íà ìåòð íóæíî áóäåò óæå íà øàã =vT 14 øàãîâ, èëè 4 ñ (10 ÷àñîâ). Ïðè ñâîáîäíîì ïðîëåòå ìîëåêóëå ïîíàäîáèëîñü áû ïðèìåðíî 3 ìêñ äëÿ 1 ñì è 300 ìêñ äëÿ 1 ì. Òðàåêòîðèÿ ìîëåêóëû êðàéíå çàïóòàííàÿ ëèíèÿ; êàê áû â êëóáîê ðàçìåðà R N ñâåðíóòà íèòü äëèíîé N 2 R. Àíàëîãè÷íî äâèæóòñÿ áðîóíîâñêèå ÷àñòèöû, êîòîðûå óæå ïîääàþòñÿ íàáëþäåíèþ.
10
3 10 3 10
=
(
)
Äëèíà áðîóíîâñêîé òðàåêòîðèè N 2 ìîæåò áûòü çàïèñàíà è êàê R= 2 , îòêóäà âèäíî, ÷òî ðàçìåðíîñòü òàêîé ëèíèè ðàâíà 2 âìåñòî ¾åñòåñòâåííîé¿ åäèíèöû. Ýòî òîæå
56
Ãëàâà 5. ßÂËÅÍÈß ÏÅÐÅÍÎÑÀ
ïðèìåð ôðàêòàëüíîãî ìíîæåñòâà, õîòÿ çäåñü ðàçìåðíîñòü îêàçàëàñü öåëîé. Ìîæåò áûòü, ïîýòîìó ðàñïðîñòðàíåíèå èäåè ôðàêòàëüíîñòè çàäåðæàëîñü ïðèìåðíî íà 100 ëåò. Òàêèå îöåíêè îáúÿñíÿþò ñðàâíèòåëüíóþ ìåäëåííîñòü ïðîöåññîâ äèôôóçèè (ñêàæåì, ðàñïðîñòðàíåíèÿ çàïàõîâ). Äðóãîé ïîäõîä ñîñòîèò â ðàññìîòðåíèè íå îòäåëüíûõ ìîëåêóë, à öåëûõ êîëëåêòèâîâ. Ðàññìîòðèì ïîòîê ìîëåêóë ÷åðåç âîîáðàæàåìóþ ãðàíèöó â ãàçå. Ñëåâà ñ ðàññòîÿíèÿ ëåòÿò ìîëåêóëû â êîëè÷åñòâå j = n v ÷åðåç 2 ñì â ñåêóíäó. Ñïðàâà áóäåò ïîòîê j+ = n+ v+ .  ðåçóëüòàòå ñóììàðíûé ïîòîê j = n v n+ v+ .  ðàâíîâåñèè, ðàçóìååòñÿ, ïîòîê íóëåâîé. Ïóñòü òåïåðü ðàâíîâåñèå íàðóøåíî, è êîíöåíòðàöèÿ n â ãàçå ìåíÿåòñÿ. Òåïëîâûå ñêîðîñòè ñ÷èòàåì îäèíàêîâûìè (òåìïåðàòóðà ïîñòîÿííà). Òîãäà
= (1 6) (
= (1 6)
= (1 6)
)
1 j = v (n 6
n+ ) =
T
v
3 T
n
2
n+
:
 ñêîáêàõ ñòîèò ïðîèçâîäíàÿ êîíöåíòðàöèè ñî çíàêîì ìèíóñ. Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì äèôôóçèîííûé ïîòîê â âèäå
j
=
D
dn : dx
3
Ìíîæèòåëü D , â íàøåì øåñòèãðóïïîâîì ïðèáëèæåíèè ðàâíûé vT = , íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì äèôôóçèè. Åãî âåëè÷èíà äëÿ âîçäóõà îêîëî ; cì2 /ñ. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå è ïåðåìåííîì n áóäåò ìåíÿòüñÿ äàâëåíèå, ÷òî ñêîðî âûçîâåò òå÷åíèå ãàçà. Íàøà ìîäåëü ïðèìåíèìà ê ðàñïðîñòðàíåíèþ ìàëîé ïðèìåñè. Èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ òîãäà êîìïåíñèðóþòñÿ îñíîâíûì ãàçîì. Ïîòîê j ñòðåìèòñÿ âîññòàíîâèòü ðàâíîâåñèå, îí íàïðàâëåí â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ êîíöåíòðàöèè. Îöåíèì âðåìÿ ðàññàñûâàíèÿ íåîäíîðîäíîñòè ðàçìåðà R. Èçáûòî÷íîå ÷èñëî ìîëåêóë N ïîðÿäêà n R3 , èõ ïîòîê íàðóæó j D n=R, ñêîðîñòü óìåíüøåíèÿ N ïîðÿäêà R2 j D nR. Òîãäà âðåìÿ t nR3 =D nR R2 =D. Òàêîãî ðåçóëüòàòà ìîæíî áûëî æäàòü èç ðàçìåðíîñòè D åäèíñòâåííîãî âàæíîãî ïàðàìåòðà. Ðàññòîÿíèå, p íà êîòîðîå ðàñïðîñòðàíèòñÿ äèôôóçèÿ çà âðåìÿ t, áóäåò ïîðÿäêà Dt. Ýòî òà æå çàâèñèìîñòü, êîòîðóþ ìû ïîëó÷àëè ïðè ðàññìîòðåíèè ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ R ì ïîëó÷àåì t 5 ñ ïðèìåðíî òî æå. Ìîæíî ïîëó÷èòü ñîâïàäåíèå, ñ òî÷íîñòüþ äî êîýôôèöèåíòà ïîðÿäêà 2, è ¾â áóêâàõ¿. Ñîáñòâåííî, ðàçìåðû ìîëåêóë è äëèíû ïðîáåãà ïîëó÷àþòñÿ êàê ðàç èç èçìåðåíèé êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè, à íå ïåðåìåùåíèé ìîëåêóë. Íàäî ñêàçàòü, ÷òî äëÿ ìåòðîâûõ ðàçìåðîâ âðåìÿ âåëèêîâàòî, òåì áîëåå äëÿ åùå áîëüøèõ. Çäåñü íàäî ó÷åñòü êîíâåêöèþ. Ñêàæåì, â àóäèòîðèè âñåãäà åñòü ïîòîêè âîçäóõà ñ õàðàêòåðíûìè ðàçìåðàìè L ñì è ñêîðîñòüþ u îêîëî 1 ì/ñ, âûçâàííûå øåâåëåíèåì ñòóäåíòîâ. Ýòîìó ñîîòâåòñòâóåò êîýôôèöèåíò ¾êîíâåêòèâíîé¿ äèôôóçèè Lu= 3 , òî åñòü íà 4 ïîðÿäêà áîëüøå, ÷åì ìîëåêóëÿðíûé. Òîãäà íà 1 ì çàïàõ ðàñïðîñòðàíèòñÿ çà 10 ñ, íà 10 ì çà 1000 ñ, ÷òî óæå ïîõîæå íà ðåàëüíîñòü. Ïåðåíîñÿòñÿ íå ìîëåêóëû, à öåëûå îáúåìû. Ëèìèòèðóþùåé ñòàäèåé ÿâëÿåòñÿ ïåðåìåøèâàíèå íà ñàìûõ êðóïíûõ ìàñøòàáàõ, äâèæåíèåì áîëüøèõ âèõðåé ñ ðàçìåðîì ïîðÿäêà õàðàêòåðíîãî
0 15
=1
6 10
30
3 10
=
5.2. Òåïëîïðîâîäíîñòü è âÿçêîñòü
57
ðàçìåðà ñèñòåìû. Ìåëêèå æå ìàñøòàáû ðàçìåøèâàþòñÿ â ðåçóëüòàòå íåóñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ãðàíèö êðóïíûõ ìàññ. Åùå áûñòðåå ïîéäåò ïåðåìåøèâàíèå, åñëè åñòü íàïðàâëåííàÿ öèðêóëÿöèÿ âîçäóõà. Âèäíî, ÷òî äëÿ ãàçîâîé àòàêè ÿâíî íåîáõîäèì ïîïóòíûé âåòåð. Äèôôóçèÿ âîçìîæíà âî âñåõ âåùåñòâàõ, ãàç âûäåëÿåòñÿ òîëüêî òåì, ÷òî ìû ìîæåì ïîñ÷èòàòü êîýôôèöèåíò äèôôóçèè.  æèäêîñòÿõ è òâåðäûõ òåëàõ ñìåùåíèÿ ÷àñòèö çàòðóäíåíû, è êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè ãîðàçäî ìåíüøå. Íî íåçàâèñèìî îò êîýôôèöèåíòà äèôôóçèÿ ýòî ìåäëåííûé ïðîöåññ â ïðèíöèïå.
5.2
Òåïëîïðîâîäíîñòü è âÿçêîñòü
Ìîëåêóëû ïðè äâèæåíèè ïåðåíîñÿò íå òîëüêî ñàìè ñåáÿ, à åùå è ñâîè ýíåðãèþ è èìïóëüñ. Ïîòîê ýíåðãèè áóäåò
q=
1 (n 6
n+ v+ "+ ) :
v "
= ) (2 )
Òåïëîïåðåíîñ ïðèíÿòî ðàññìàòðèâàòü îòäåëüíî îò äèôôóçèè, òî åñòü ñ÷èòàåòñÿ n v n+ v+ . Ýíåðãèÿ ìîëåêóëû " skT= . Âûõîäèò q vT = snk= T T+ = . Àíàëîãè÷íî çàäà÷å äèôôóçèè, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïîòîêà òåïëà:
=
q=
2
= (2
v
snk dT 3 2 dx = T
dT dx
6) (
2) (
(ýðã/(ñì2 ñ) :
Âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì òåïëîïðîâîäíîñòè. Òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ èäåò, êàê è ïîëîæåíî, îò ãîðÿ÷åãî ìåñòà ê õîëîäíîìó (çíàê ìèíóñ). Ïðîèçâåäåíèå snk= ýòî òåïëîåìêîñòü íà åäèíèöó îáúåìà, èëè cV ïðè âûðàæåíèè ÷åðåç îáû÷íóþ òåïëîåìêîñòü. 16 = Äëÿ âîçäóõà D 19 ; ; 3 ýðã/(ñìñÊ), ïî ñïðàâî÷íèêó ; 3 . Ó âîäîðîäà áîëüøå â ; ðàç, ó ãåëèÿ â 6 ðàç èç-çà áîëüøåé ñêîðîñòè ìîëåêóë. Âîçüìåì íàãðåòûé ñëîé ãàçà òîëùèíîé R. Ïîòîê òåïëà dT =dx T =R ïðèâîäèò ê ïàäåíèþ òåìïåðàòóðû: T=R cR T =t, îòêóäà
2
=
2 2 10
5 3 10 1 38 10 75
2 = 1 6 10
t (c=) R2 = R2 = ;
p
R = t :
=
Âåëè÷èíà =c íàçûâàåòñÿ òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòüþ. Îíà îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëîâûõ âîçäåéñòâèé. Ïî âèäó ôîðìóëû ñîâïàäàþò ñ äèôôóçèîííûìè, ñ çàìåíîé D ! . Äëÿ ãàçà è êîýôôèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè áëèçîê ê êîýôôèöèåíòó äèôôóçèè (â íàøåì ïðèáëèæåíèè òî÷íî ðàâåí).  æèäêîñòÿõ è òâåðäûõ òåëàõ òåïëî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ (äèôôóíäèðóåò) áûñòðåå, ÷åì âåùåñòâî. Õîðîøî ïðîâîäÿò òåïëî ìåòàëëû, ó êîòîðûõ äèôôóçèè ïðàêòè÷åñêè íåò. Äëÿ ñåðåáðà: Âò/(ìÊ), cP ; Äæ/(ìîëüÊ), ; ã/ñì3 , ; = ; = = ; ; 2 ñì /ñ. Åñëè ñåðåáðÿíóþ ëîæêó îïóñòèòü â ãîðÿ÷èé ÷àé, äåðæàñü çà íåå â 1 ñì îò ïîâåðõíîñòè, òî ïðèìåðíî ÷åðåç 1 ñ ñòàíåò ãîðÿ÷î.
= 25 49
= 10 5
= 418 = 4 18 (25 49 108) 10 5 = 1 6
58
Ãëàâà 5. ßÂËÅÍÈß ÏÅÐÅÍÎÑÀ
Íàêîíåö, ðàññìîòðèì ïåðåíîñ èìïóëüñà. Ïóñòü ãàç èìååò ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ux , ìåíÿþùóþñÿ â çàâèñèìîñòè îò ïîïåðå÷íîé êîîðäèíàòû y . Ìîëåêóëû, ïîïàäàþùèå ñíèçó ââåðõ, áóäóò ïðèíîñèòü ñ ñîáîé èìïóëüñ px mux , ñîîòâåòñòâóþùèé ¾íèæíåé¿ ñêîðîñòè. Ñâåðõó æå ìîëåêóëû, ïðîëåòàþùèå ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó, ïðèíåñóò äðóãîé èìïóëüñ px+ mux+ . Òîãäà ¾íèæíèé¿ ãàç ïîòåðÿåò nvT = mu , à ïðèîáðåòåò nvT = mu+ èìïóëüñà çà ñåêóíäó. Çäåñü vT òåïëîâàÿ ñêîðîñòü, íå ïóòàòü ñ u, îáû÷íî ãîðàçäî ìåíüøåé. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà 1 ñì2 , áóäåò
=
(
=
6)
(
du = v3 nm u+ 2 u = v3 nm du = dy dy T
T
x
x
6)
:
Ðàçìåðíîñòü êàê ó äàâëåíèÿ, íî íàïðàâëåíèå âäîëü ïëîùàäêè. Ñëîè â òå÷åíèè ¾òÿíóò¿ äðóã äðóãà. íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì äèíàìè÷åñêîé âÿçêîñòè. Ìîæíî çàïèñàòü åãî â âèäå , ãäå êîýôôèöèåíò êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòè, âñå òîé æå ðàçìåðíîñòè ñì2 /ñ è äëÿ ãàçà ïðèìåðíî ðàâíûé äèôôóçèè è òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè. Îïÿòü-òàêè âðåìÿ çàòîðìàæèâàíèÿ òå÷åíèÿ áóäåò ïîðÿäêà R2 = , òî åñòü â âîçäóõå íåñêîëüêî ÷àñîâ ïðè ðàññòîÿíèÿõ, íà êîòîðûõ ìåíÿëàñü ñêîðîñòü, ïîðÿäêà ìåòðà. Ðåàëüíî òå÷åíèå íå áóäåò ñëîèñòûì, èç-çà íåóñòîé÷èâîñòè ñëîè ïåðåìåøèâàþòñÿ è çàòóõàíèå áóäåò áûñòðåå. Ïîäðîáíåå ýòî ðàññìîòðèì â ñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ.
=
Ãëàâà 6 ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÂßÇÊÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ Â ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ òå÷åíèÿ æèäêîñòè, â êîòîðûõ ñóùåñòâåííî âíóòðåííåå òðåíèå. Èçëàãàåòñÿ ïîíÿòèå ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ, êîòîðîå ïîçâîëÿåò ïîíÿòü ïðèðîäó ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæåíèþ òåë â æèäêîñòè.
6.1
Ñèëà òðåíèÿ. Òå÷åíèå Ïóàçåéëÿ. Ôîðìóëà Ñòîêñà
 îòëè÷èå îò ãàçîâ, äëÿ æèäêîñòåé íå óäàåòñÿ ñêîëüêî-íèáóäü íàäåæíî âû÷èñëèòü âÿçêîñòü. Íî ñóùåñòâîâàíèå âÿçêîñòè è åå âàæíàÿ ðîëü íå âûçûâàþò ñîìíåíèé. Ïîýòîìó ìû çàéìåìñÿ ìåõàíè÷åñêèìè ïðîÿâëåíèÿìè âÿçêîñòè, ñ÷èòàÿ åå âåëè÷èíó èçâåñòíîé èç ýêñïåðèìåíòà. Ïîëåçíî ââåñòè âÿçêîñòü çàíîâî ìîäåëüíî-íåçàâèñèìûì ñïîñîáîì. Îò ÷åãî ìîæåò çàâèñåòü ñèëà òðåíèÿ ìåæäó ñëîÿìè æèäêîñòè? Ïóñòü æèäêîñòü ¾çàæàòà¿ ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè (ðèñóíîê 6.1), ïðè÷åì âåðõíÿÿ äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ V . Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå x êîìïîíåíòû ñêîðîñòè æèäêîñòè î÷åíü ïðîñòîå: Vx = V y=h. Ïðè íåáîëüøèõ ñêîðîñòÿõ è äîñòàòî÷íî òîíêîì çàçîðå ýêñïåðèìåíò äàåò ëèíåéíóþ Ðèñ. 6.1. ñâÿçü ñèëû òðåíèÿ, äåéñòâóþùåé íà âåðõíþþ ïëàñòèíó, è ñêîðîñòè V :
F=
V S : h
(6.1)
Òàêàÿ æå ñèëà äåéñòâóåò íà íèæíþþ ïëàñòèíó, íî â ñòîðîíó äâèæåíèÿ. Ðàçóìååòñÿ, ýòè ñèëû íå ïðÿìîå âçàèìîäåéñòâèå ïëàñòèí. Èç-çà ìàëîñòè ìåæìîëåêóëÿðíûõ ðàññòîÿíèé ïëàñòèíû âçàèìîäåéñòâóþò ÷åðåç ïîñëåäîâàòåëüíûå ñëîè æèäêîñòè. Íà ëþáîé ñëîé äåéñòâóåò ïàðà ñèë F , ïðè÷åì âåðõíÿÿ íàïðàâëåíà ïî òå÷åíèþ, à íèæíÿÿ ïðîòèâ.  ðåçóëüòàòå ñëîé äâèæåòñÿ áåç óñêîðåíèÿ. Íèæíèå ñëîè òîëêàþòñÿ âåðõíèìè, à ñàìûé âåðõíèé äâèæóùåéñÿ ïëàñòèíîé.
60
Ãëàâà 6.
ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÂßÇÊÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ
Íî âåëè÷èíû V è h íå èìåþò ñìûñëà äëÿ ïðîèçâîëüíîé ãðàíèöû ðàçäåëà ìåæäó ñëîÿìè. Æèäêîñòü, êðîìå âåðõíåé è íèæíåé ïîâåðõíîñòåé, âîîáùå íå âçàèìîäåéñòâóåò ñ ïëàñòèíàìè (¾íå çíàåò¿ îá èõ ñóùåñòâîâàíèè). Îòíîøåíèå V=h ñëåäóåò çàìåíèòü íà ëîêàëüíóþ õàðàêòåðèñòèêó òå÷åíèÿ, à èìåííî íà ïðîèçâîäíóþ dVx =dy , èìåþùóþ ñìûñë äëÿ ëþáîé òî÷êè â æèäêîñòè. Ïîýòîìó çàêîí òðåíèÿ íàäî çàïèñàòü â âèäå
F dV = = x : S dy
(6.2)
Ñèëà íà åäèíèöó ïëîùàäè (ðàçìåðíîñòü êàê ó äàâëåíèÿ) íàçûâàåòñÿ íàïðÿæåíèåì òðåíèÿ.  îòëè÷èå îò ñèëû äàâëåíèÿ ñèëà òðåíèÿ íàïðàâëåíà âäîëü ïîâåðõíîñòè, íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî-ïðåæíåìó óñëîâèÿìè íà ýòîé ïîâåðõíîñòè. Êîýôôèöèåíò íàçûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêîé âÿçêîñòüþ æèäêîñòè, åå ðàçìåðíîñòü ã/(ñìñ) = ïóàç. ×àñòî èñïîëüçóåòñÿ êèíåìàòè÷åñêàÿ âÿçêîñòü = = ðàçìåðíîñòè ñì2 /ñ = ñòîêñ.  ñèñòåìå ÑÈ ñîîòâåòñòâåííî ðàçìåðíîñòè êã/(ìñ) è ì2 /ñ.  òàáëèöå ïðèâåäåíà êèíåìàòè÷åñêàÿ âÿçêîñòü íåêîòîðûõ æèäêîñòåé è âîçäóõà ïðè ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóðàõ â åäèíèöàõ ñì2 /ñ. òåìïåðàòóðà, Æ C
0
10
20
40
60
80
100
âîäà ãëèöåðèí ðòóòü âîçäóõ(1 àòì)
0,018
0,013
0,01 6,80
0,0066
0,005
0,004
0,003
0,0013
0,001 0,25
0,15
Åñëè ïëàñòèíû èìåþò ïëîùàäü 1 ì2 , ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè 1 ìì, ñêîðîñòü âåðõíåé ïëàñòèíû 1 ì/ñ, òî ñèëà òðåíèÿ ðàâíà 105 äèí = 1 Í 100 Ã, åñëè â çàçîðå íàõîäèòñÿ âîäà, è îêîëî 103 äèí äëÿ âîçäóõà. Îïèñàííîå ïðîñòåéøåå òå÷åíèå íàçûâàåòñÿ òå÷åíèåì Êóýòòà. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ïî ñëîæíîñòè òå÷åíèå Ïóàçåéëÿ (17991869) â òðóáå (ðèñóíîê 6.2). Íà ó÷àñòêå òðóáû äëèíîé L èìååòñÿ ïåðåïàä äàâëåíèÿ P , êîòîðûé è âûçûâàåò òå÷åíèå. Ïðîôèëü ñêîðîñòè, î÷åâèäíî, ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè, ãäå ñêîðîñòü ìàêñèìàëüíà. Âûäåëèì â æèäêîñòè öèëèíäð ðàäèóñà y . Åãî òîëêàåò âïåðåä ñèëà äàâëåíèÿ P y 2 è òîðìîçèò ñèëà òðåíèÿ L 2y dV=dy .  ñòàöèîíàðíîì òå÷åíèè ýòè ñèëû ðàâíû: Ðèñ. 6.2.
dV P = y ; dy 2L Ïðè
îòêóäà
V = V0
T 2 y : 4L
y = R (íà ñòåíêàõ) ñêîðîñòü îáðàùàåòñÿ â íóëü, òàê ÷òî V0 =
P 2 R ; 4L
V=
P (R2 4L
y 2):
(6.3)
6.2.
61
×èñëî Ðåéíîëüäñà. Ïàðàäîêñ Äàëàìáåðà
Îòìåòèì, ÷òî íåâÿçêàÿ æèäêîñòü òåêëà áû áåç ãðàäèåíòà äàâëåíèÿ è ìîãëà áû èìåòü ëþáîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé ïîïåðåê òå÷åíèÿ. Ðàñõîä æèäêîñòè
Q=
ZR 0
V 2y dy =
P R4 : 8L
(6.4)
Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü Q=R ðàâíà ïîëîâèíå ìàêñèìàëüíîé è ïðîïîðöèîíàëüíà ãðàäèåíòó äàâëåíèÿ. ×åðåç êàïèëëÿð ðàäèóñà 1 ìì, äëèíîé 1 ì, ïðè ïåðåïàäå äàâëåíèÿ 0,1 àòì = 1 ì âîäÿíîãî ñòîëáà âîäà ïîòå÷åò ñî ñêîðîñòüþ 1,25 ì/ñ, ïðè ðàñõîäå 4 ñì3 =ñ. Òå÷åíèå Ïóàçåéëÿ (îïóáëèêîâàíî â 1840 ã.) óäîáíî äëÿ èçìåðåíèÿ âÿçêîñòè ïî ôîðìóëå (6.4). Äðóãàÿ âàæíàÿ ôîðìóëà äëÿ ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ, äåéñòâóþùåé íà øàð â âÿçêîé æèäêîñòè ïîëó÷åíà Ñòîêñîì (18191903) â 1851 ã. Ìû îãðàíè÷èìñÿ îöåíêîé ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû. Åñëè øàð ðàäèóñà R îáòåêàåòñÿ æèäêîñòüþ, èìåþùåé ñêîðîñòü V íà áåñêîíå÷íîñòè, òî âáëèçè ïîâåðõíîñòè øàðà åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ñêîðîñòè dV=dr V=R. Íàïðÿæåíèå òðåíèÿ áóäåò èìåòü ïîðÿäîê V=R, à ñèëà òðåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì íà ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðà: F 4V R. Óäèâèòåëüíî, íî ýòî òî÷íàÿ ôîðìóëà äëÿ ñèëû, âîçíèêàþùåé èç-çà íàïðÿæåíèé òðåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè. Êðîìå òîãî, âÿçêîñòü ïðèâîäèò è ê ðàçíèöå äàâëåíèé íà ïåðåäíåé è çàäíåé ñòîðîíàõ øàðà. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äàâëåíèå âíîñèò âäâîå ìåíüøèé âêëàä â ñîïðîòèâëåíèå è îêîí÷àòåëüíî ñèëà èìååò âèä: 2
F = 6V R :
(6.5)
Ñîïðîòèâëåíèå îïÿòü ïðîïîðöèîíàëüíî ñêîðîñòè. Êàêîâà ïðèìåíèìîñòü ïîëó÷åííûõ ôîðìóë? Ôîðìóëà Ñòîêñà íå èç òåõ, êîòîðûå âûïîëíÿþòñÿ âñåãäà è âåçäå. Ïîïðîáóéòå áðîñèòü ìåòàëëè÷åñêèé øàðèê â âîäó è ñðàâíèòå íàáëþäàåìóþ ñêîðîñòü ñ âû÷èñëåííîé. Ñîâïàäåíèÿ íå ïîëó÷èòñÿ. Ñêîðåå ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñ íåêîòîðûì òðóäîì äëÿ î÷åíü âÿçêèõ æèäêîñòåé ìîæíî ïîëó÷èòü ïîäòâåðæäåíèå çàêîíà Ñòîêñà. Ôîðìóëà Ïóàçåéëÿ âûïîëíÿåòñÿ ¾ëåã÷å¿. Íî âñå æå, åñëè óâåëè÷èòü â íàøåì ïðèìåðå ðàäèóñ òðóáêè äî 1 ñì, ìû íå ïîëó÷èì ñêîðîñòè 125 ì/ñ.
6.2
×èñëî Ðåéíîëüäñà. Ïàðàäîêñ Äàëàìáåðà
Êàêóþ âÿçêîñòü íàäî ñ÷èòàòü äîñòàòî÷íî áîëüøîé äëÿ âûïîëíåíèÿ çàêîíà Ñòîêñà? Ñèëà òðåíèÿ äîëæíà áûòü îñíîâíîé ñèëîé â òå÷åíèè è ïðåâûøàòü ãèäðîäèíàìè÷åñêèé íàïîð, êîòîðûé èìååò ïîðÿäîê V 2 . Îòíîøåíèå ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî íàïîðà ê âÿçêîìó íàïðÿæåíèþ
V 2 L V L V L = = V
Re
(6.6)
íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà (18421912). Áîëüøîé ñëåäóåò ñ÷èòàòü âÿçêîñòü, ïðè êîòîðîé Re 1. Åñëè æå Re âåëèêî, âÿçêèå ñèëû íåñóùåñòâåííû, ò.å. âÿçêîñòü ìàëà.
62
Ãëàâà 6.
ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÂßÇÊÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ
Ðàçìåð L, âõîäÿùèé â ÷èñëî Ðåéíîëüäñà, õàðàêòåðåí äëÿ òå÷åíèÿ (äèàìåòð øàðà, òðóáû, äëèíà êðûëà è ò.ä.). Ñäåëàåì íåñêîëüêî îöåíîê. Åñëè ÷åëîâåê ãóëÿåò ïðè îòñóòñòâèè âåòðà ñî ñêîðîñòüþ 1,5 ì/ñ, òî ÷èñëî Ðåéíîëüäñà 15050=0;15 = 5 104 . Ïîïåðå÷íûé ðàçìåð, ñóùåñòâåííûé äëÿ îáòåêàíèÿ, ïðèíÿò ðàâíûì 50 ñì. Êàïëÿ äîæäÿ, ïàäàþùàÿ ñî ñêîðîñòüþ 10 ì/ñ, èìååò Re = 2 103 ; ñòðóÿ âîäû, ìåäëåííî âûòåêàþùàÿ èç êðàíà, îêîëî 103 ; ÷èñëî Ðåéíîëüäñà àêâàðèóìíûõ ðûá ðàâíî 103 104 . Äàæå íåáîëüøèå òåëà, îáòåêàåìûå ñ ìàëîé ñêîðîñòüþ, èìåþò î÷åíü áîëüøèå ÷èñëà Ðåéíîëüäñà, íå ãîâîðÿ óæå î êîðàáëÿõ è ñàìîëåòàõ. Âÿçêèå ñèëû ïî÷òè âñåãäà äîëæíû áûòü ïðåíåáðåæèìî ìàëû. Êàçàëîñü áû, îòñþäà ïðÿìî ñëåäóåò ïðèãîäíîñòü ïî÷òè íà âñå ñëó÷àè æèçíè ìîäåëè èäåàëüíîé æèäêîñòè. Íî ðåàëüíîñòü îêàçûâàåòñÿ ñëîæíåå, ÷òî õîðîøî âèäíî íà çàäà÷å î ñîïðîòèâëåíèè òåë. Íà ïåðâûé âçãëÿä, ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ â ïîòîêå èäåàëüíîé æèäêîñòè áóäåò ïîðÿäêà V 2 S=2 ïðîèçâåäåíèÿ äèíàìè÷åñêîãî íàïîðà íà ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Ðàññìîòðèì, îäíàêî, øàð, îáòåêàåìûé èäåàëüíîé æèäêîñòüþ.
Ðèñ. 6.3. Èç ñèììåòðè÷íîé êàðòèíû ëèíèé òîêà íà ðèñóíêå 6.3,à âèäíî, ÷òî â òî÷êàõ A è B ñêîðîñòè îäèíàêîâû è, ñëåäîâàòåëüíî, îäèíàêîâû äàâëåíèÿ (çàêîí Áåðíóëëè). Íî òîãäà íà øàð â èäåàëüíîé æèäêîñòè ïîòîê íå äåéñòâóåò. Ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ðàâíà íóëþ! Ýòîò âûâîä ïàðàäîêñ Äàëàìáåðà (17171783) ñïðàâåäëèâ äëÿ òåëà ëþáîé ôîðìû. Ïðè äâèæåíèè òåëà ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ ýíåðãèÿ òå÷åíèÿ íå ìåíÿåòñÿ, òàê ÷òî ðàáîòà ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ F V t ðàâíà íóëþ è F = 0. Áîëåå òî÷íûì áóäåò óòâåðæäåíèå, ÷òî èäåàëüíàÿ æèäêîñòü ìîæåò îáòåêàòü òåëî áåç ñîïðîòèâëåíèÿ, òî åñòü âîçìîæíî òàêîå îáòåêàíèå. Ýòî íå çíà÷èò, îäíàêî, ÷òî â èäåàëüíîé æèäêîñòè ñîïðîòèâëåíèå îáÿçàòåëüíî ðàâíî íóëþ. Íàïðèìåð, æèäêîñòü ìîæåò îòðûâàòüñÿ íà çàäíåé êðîìêå òåëà, îáðàçóÿ ïîëîñòü (êàâèòàöèîííîå îáòåêàíèå, ðèñóíîê 6.3,á). Òîãäà íå áóäåò ñèììåòðèè â ðàñïðåäåëåíèè äàâëåíèÿ, ïîñêîëüêó ñçàäè æèäêîñòü íå òîðìîçèòñÿ, è ïîÿâèòñÿ çíà÷èòåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå1 . 1 Êðîìå
òîãî, â ðàìêàõ ìîäåëè èäåàëüíîé æèäêîñòè ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ïîÿâèòñÿ ïðè óñêîðåííîì äâèæåíèè òåëà; îíà ðàâíà W , ãäå W óñêîðåíèå, à ïðèñîåäèíåííàÿ ìàññà, êîòîðàÿ ïîðÿäêà (äëÿ øàðà ðîâíî ïîëîâèíà) ìàññû âûòåñíåííîé æèäêîñòè. Ïëûâóùèé êîðàáëü ñîçäàåò íà ïîâåðõíîñòè âîëíû, óíîñÿùèå ýíåðãèþ íà áåñêîíå÷íîñòü; âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå â èäåàëüíîé æèäêîñòè òàêæå íå ðàâíî íóëþ.
6.2.
63
×èñëî Ðåéíîëüäñà. Ïàðàäîêñ Äàëàìáåðà
Âîïðîñ â òîì, êàêàÿ êàðòèíà îáòåêàíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíîñòè. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âîâñå íå ðåäêîñòü îáòåêàíèå, áëèçêîå ê ¾äàëàìáåðîâñêîìó¿ è ñîîòâåòñòâóþùåå ïðàêòè÷åñêè ïîëíîé êîìïåíñàöèè ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ íàïîðîâ. Èìåííî ïîýòîìó ïàðàäîêñ Äàëàìáåðà è çàñëóæèâàåò âíèìàíèÿ.
Ðèñ. 6.4. Åñëè ÷èñëî Ðåéíîëüäñà äëÿ ðåàëüíîé æèäêîñòè âåëèêî, ò.å. âÿçêîñòü èñ÷åçàþùå ìàëà, òî äîëæíà áûòü ìàëîé (ñêàæåì, ïîðÿäêà ñòîêñîâîé) ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ. Ýòî ñîâåðøåííî íå ñîãëàñóåòñÿ ñ ïðàêòèêîé. Ñîïðîòèâëåíèå ãîðàçäî áîëüøå, ìåíÿåòñÿ è êàðòèíà òå÷åíèÿ. Îò âåòðà ìîæíî ñïðÿòàòüñÿ çà óãëîì çäàíèÿ. Íî èäåàëüíàÿ æèäêîñòü îáÿçàíà îáòåêàòü ïðåïÿòñòâèå, è çà óãëîì ñêîðîñòü âåòðà äîëæíà óâåëè÷èòüñÿ! Íà ðèñóíêå 6.4 ïðèâåäåí ýêñïåðèìåíòàëüíûé ãðàôèê ñîïðîòèâëåíèÿ øàðîâ â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà Ðåéíîëüäñà, âû÷èñëåííîãî ïî äèàìåòðó øàðà. Ïî âåðòèêàëüíîé îñè îòëîæåí êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ Cf , îïðåäåëÿåìûé èç ôîðìóëû
F = Cf S
V 2 : 2
(6.7)
Åñëè âûïîëíÿåòñÿ çàêîí Ñòîêñà, òî Cf = 24=Re. Òàêàÿ çàâèñèìîñòü, â ëîãàðèôìè÷åñêîì ìàñøòàáå ïðÿìàÿ ñ íàêëîíîì (1), ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì, ïîêà Re < 1. Íî äàëåå â î÷åíü øèðîêîé è ïðàêòè÷åñêè âàæíîé îáëàñòè ÷èñåë Ðåéíîëüäñà êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ ãîðàçäî áîëüøå, ÷åì ïî Ñòîêñó, è íå çàâèñèò îò âÿçêîñòè, âõîäÿùåé â Re. Ïîñòîÿíñòâî êîýôôèöèåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ ïðè Re = 102 105 è îïðåäåëÿåò ïîëåçíîñòü åãî ââåäåíèÿ. Cf ïîêàçûâàåò ýôôåêòèâíóþ äîëþ ñå÷åíèÿ S , íà êîòîðóþ äåéñòâóåò ãèäðîäèíàìè÷åñêèé íàïîð V 2 =2. Êðèâàÿ èìååò óíèâåðñàëüíûé õàðàêòåð: Cf çàâèñèò îò Re, à íå îò d, V , ïî îòäåëüíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè çàäàííîé ôîðìå òåëà ÷èñëî Ðåéíîëüäñà îïðåäåëÿåò êàðòèíó îáòåêàíèÿ.
64 6.3
Ãëàâà 6.
ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÂßÇÊÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ
Ïîãðàíè÷íûé ñëîé. Ñîïðîòèâëåíèå. Îáòåêàåìîñòü
Ïîêà ìû íå óäåëÿëè äîñòàòî÷íîãî âíèìàíèÿ óñëîâèÿì íà ãðàíèöå òåëà. Èäåàëüíàÿ æèäêîñòü, èìåþùàÿ òî÷íî íóëåâóþ âÿçêîñòü, ìîæåò ñêîëüçèòü âäîëü òâåðäûõ ïîâåðõíîñòåé. Íî äàæå ïðè î÷åíü ìàëîé âÿçêîñòè ñêîëüæåíèå íåâîçìîæíî: æèäêîñòü ïðèëèïàåò ê òâåðäûì ãðàíèöàì. Íàïðèìåð, ïðè îáòåêàíèè øàðà èäåàëüíîé æèäêîñòüþ ñêîðîñòü äîñòèãàëà áû ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ íà ýêâàòîðå øàðà (1;5 V ), à â äåéñòâèòåëüíîñòè íà øàðå ñêîðîñòü ðàâíà íóëþ. Íî òîãäà äîëæíî ìåíÿòüñÿ âñå òå÷åíèå è íåÿñíî, ãäå äîëæíà ïðîÿâèòüñÿ ìàëîñòü âÿçêîñòè. Ðåøåíèå ïðîáëåìû èñ÷åçàþùåé âÿçêîñòè â 1904 ã. íàøåë Ë. Ïðàíäòëü (18751953). Îí ïîíÿë, ÷òî ïðè îáòåêàíèè òåë ñ áîëüøèìè ÷èñëàìè Ðåéíîëüäñà âÿçêîñòü ñóùåñòâåííà â òîíêîì ñëîå, íåïîñðåäñòâåííî ïðèëåãàþùåì ê òåëó. Âíå ýòîãî ñëîÿ ñêîðîñòü æèäêîñòè òàêàÿ æå, êàê â òå÷åíèè èäåàëüíîé æèäêîñòè.  ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ, ïðîòàñêèâàÿ ÷åðåç æèäêîñòü ïëàñòèíêó (ïûòàÿñü ¾ðàçðåçàòü¿ âîäó íîæîì). Ïî÷òè âñÿ âîäà ïðè ýòîì îñòàåòñÿ íåïîäâèæíîé, è òîëüêî ïðèëåãàþùèé ê íîæó ñëîé óâëåêàåòñÿ. Ðàçáåðåì ïðîñòåéøóþ çàäà÷ó îáòåêàíèå òîíêîé ïëàñòèíû ïîòîêîì ñî ñêîðîñòüþ V (ðèñóíîê 6.5). Âíóòðè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ òîëùèíîé Æ ñêîðîñòü ðàñòåò îò íóëÿ äî èäåàëüíîãî çíà÷åíèÿ V , ïîýòîìó íàïðÿæåíèå òðåíèÿ V=Æ . Ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà ïëàñòèíó, F = bL, ãäå L äëèíà, b øèðèíà ïëàñòèíû. Îöåíèì ñèëó èç äðóãèõ ñîîáðàæåíèé.  ïîãðàíè÷íûé ñëîé âòåêàåò ñëåâà ìàññà Ðèñ. 6.5. æèäêîñòè V bÆ â 1 ñ, ñêîðîñòü åå óìåíüøàåòñÿ îò V äî V=2 â ñðåäíåì, ïîòåðÿ èìïóëüñà æèäêîñòè â ñåêóíäó, ò.å. ñèëà, ðàâíà V 2 bÆ=2. Ýòà ïîòåðÿ èìïóëüñà ïðîèñõîäèò èç-çà âÿçêîãî òîðìîæåíèÿ î ïëàñòèíó, òàê ÷òî
V 2 bÆ 2
bL V ; Æ
Æ
s
2L =L V
r
2 =L LV
r
2 Re
:
(6.8)
Òàê êàê Re âåëèêî, Æ L ïîãðàíè÷íûé ñëîé òîíêèé. Ïîýòîìó âÿçêîå òðåíèå V=Æ çíà÷èòåëüíî áîëüøå ñòîêñîâîé âåëè÷èíû V=L. Ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ ïëàñòèíû, îáòåêàåìîé ñ îáåèõ ñòîðîí, çàïèøåì â âèäå
F
V 2 2bL 2
òàê ÷òî êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ ðàâåí äàåò ïî÷òè òàêîé æå êîýôôèöèåíò:
r
p
2 Re
;
(6.9)
1;4= Re. Òî÷íîå ðåøåíèå Áëàçèóñà (1914)
p
Cf = 1;328=
Re :
6.3.
65
Ïîãðàíè÷íûé ñëîé. Ñîïðîòèâëåíèå. Îáòåêàåìîñòü
Òîëùèíà ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû, òàê êàê ñêîðîñòü ñòðåìèòñÿ ê V àñèìïòîòè÷åñêè. Îäíàêî âåëè÷èíà ñèëû ìîæåò áûòü èçìåðåíà. Äëÿ ïëàñòèí, ïðîòàñêèâàåìûõ ÷åðåç æèäêîñòü, ïîëó÷àåòñÿ õîðîøåå ñîâïàäåíèå ñ ýêñïåðèìåíòîì. Ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà V 3=2 . Äëÿ ïëàñòèíû ðàçìåðîâ 1 1 ì, îáòåêàåìîé âîäîé ñî ñêîðîñòüþ 50 ñì/ñ, Re = 5 105 , Æ 2 ìì, Cf = 0;0019, ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ 0,047 êÃ. pÍî äëÿ îáúåìíûõ òåë òèïà øàðà ïîëó÷åííîå ñîïðîòèâëåíèå âñå åùå ñëèøêîì ìàëî: â Re ðàç áîëüøå, ÷åì ïî ôîðìóëå Ñòîêñà, òîãäà êàê íàäî â Re ðàç áîëüøå, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü ïðîïîðöèîíàëüíîñòü V 2 . ×åì îòëè÷àåòñÿ îáòåêàíèå âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè? Ïóñòü ïðîèñõîäèò îáòåêàíèå ñ òîíêèì ïîãðàíè÷íûì ñëîåì (ðèñóíîê 6.6). Âíå ñëîÿ æèäêîñòü òå÷åò êàê èäåàëüíàÿ.  òî÷êå A äàâëåíèå ïîâûøåíî íà V 2 =2, à â òî÷êå B ïîíèæåíî. Îò òî÷êè A äî B, ãäå ñêîðîñòü ìàêñèìàëüíà, æèäêîñòü ðàçãîíÿåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ðàçíîñòè äàâëåíèé. Çàòåì îò B äî C æèäêîñòü (ñíàðóæè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ) äâèæåòñÿ â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ äàâëåíèÿ çà ñ÷åò íàáðàííîé èíåðöèè.
Ðèñ. 6.6.
Ðèñ. 6.7.
Íî âíóòðè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ òîðìîæåíèåì íåëüçÿ ïðåíåáðå÷ü, è ñêîðîñòü æèäêîñòè óìåíüøåíà (íà ñòåíêå âîîáùå äî íóëÿ). Ïîýòîìó ñëîé íå â ñèëàõ ïðåîäîëåòü ðàçíîñòü äàâëåíèé ìåæäó B è C. Îñòàòêè èíåðöèè ïîçâîëÿþò åìó ëèøü íåñêîëüêî ïðîäâèíóòüñÿ îò òî÷êè B â ñòîðîíó ïîâûøåíèÿ äàâëåíèÿ. Îò òî÷êè C â çàòîðìîæåííîì ñëîå ïîä äåéñòâèåì ðàçíîñòè äàâëåíèé âîçíèêàåò âîçâðàòíîå òå÷åíèå (ðèñóíîê 6.7).  íåêîòîðîé òî÷êå D ïîâåðõíîñòíûå ïîòîêè âñòðåòÿòñÿ è âûíóæäåíû áóäóò îòîðâàòüñÿ îò òåëà.  äàëüíåéøåì ôîðìèðóåòñÿ îáòåêàíèå ñ îòðûâîì. Âíóòðè îòðûâíîé çîíû âîçíèêàåò áîëåå èëè ìåíåå òóðáóëåíòíîå (áåñïîðÿäî÷íîå) òå÷åíèå, ïðè÷åì âáëèçè øàðà æèäêîñòü â ñðåäíåì íåïîäâèæíà. Äàâëåíèå â íåé ïîðÿäêà äàâëåíèÿ â îñíîâíîì ïîòîêå è çàâåäîìî ìåíüøå, ÷åì íà ëîáîâîé ÷àñòè òåëà. Ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ âèä çàêîíà ñîïðîòèâëåíèÿ ïðè áîëüøîì ÷èñëå Ðåéíîëüäñà. Êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ, ãðóáî ãîâîðÿ, îòðàæàåò äîëþ ñå÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî îòðûâíîé çîíå.  áîëüøîé îáëàñòè Re îáòåêàíèå ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿåòñÿ è Cf ïî÷òè ïîñòîÿíåí (ñì. ðèñóíîê 6.4). Ïðè âíåçàïíîì ðàçãîíå òå÷åíèÿ ñíà÷àëà îáòåêàíèå ïî÷òè èäåàëüíîå, êàê íà ðèñóíêå
66
Ãëàâà 6.
ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÂßÇÊÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ
6.5. Ðàçâèòèå îòðûâà ïðîèñõîäèò çà âðåìÿ ïîðÿäêà âðåìåíè îáòåêàíèÿ d=V . Ìû âèäèì, ÷òî ìàëàÿ âÿçêîñòü äåéñòâóåò íå ïðÿìîëèíåéíî, à îêîëüíûì ïóòåì, âûçûâàÿ ïîÿâëåíèå ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ, íåóñòîé÷èâîñòü êîòîðîãî óæå ïðèâîäèò ê îòðûâó. Ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ ïîÿâëåíèå áîëüøîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, ïðèòîì ïî÷òè íå çàâèñÿùåãî îò âÿçêîñòè. Ïðè Re = 5 105 ó øàðà íàáëþäàåòñÿ òàê íàçûâàåìûé êðèçèñ ñîïðîòèâëåíèÿ. Ñ ðîñòîì ñêîðîñòè Cf ðåçêî ïàäàåò ïðèìåðíî â÷åòâåðî, ïðè ýòîì óìåíüøàåòñÿ è ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ïîãðàíè÷íûé ñëîé ñòàíîâèòñÿ òóðáóëåíòíûì, åãî ñïîñîáíîñòü ïðåîäîëåâàòü ðîñò äàâëåíèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ, à çîíà îòðûâà óìåíüøàåòñÿ. Åñëè èñêóññòâåííî òóðáóëèçîâàòü ñëîé íèòêîé, íàäåòîé íà îáòåêàåìîå òåëî, ñîïðîòèâëåíèå ìîæíî óìåíüøèòü ïðè ìåíüøèõ Re. Òàêèì ïðèåìîì ïîëüçóþòñÿ àâèàìîäåëèñòû.
Èíòåðåñíûé ïðèìåð îáòåêàíèÿ âèõðåâûå êîëüöà, ñïîñîáíûå ïðîõîäèòü áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ â âîçäóõå èëè âîäå áåç çàìåòíîãî òîðìîæåíèÿ. Êàðòèíà òå÷åíèÿ (ðèñóíîê 6.8) òàêîâà, ÷òî íåò âûðàæåííîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, îòðûâà. Âîçäóøíûé øàðèê òàêèõ æå ðàçìåðîâ ñïîñîáåí ïðîëåòåòü âñåãî 1015 ñâîèõ äèàìåòðîâ, òàê êàê èìååò íåïîäâèæíóþ ãðàíèöó. Âûñêàçûâàëàñü èäåÿ (ïîÐèñ. 6.8. êà íå ðåàëèçîâàííàÿ) âûáðàñûâàòü äûì â âèäå òàêèõ âèõðåé è òåì èçáàâèòüñÿ îò äûìîâûõ òðóá. Ñîïðîòèâëåíèå òðåíèÿ â ïîãðàíè÷íîì ñëîå ïîðÿäêà ñîïðîòèâëåíèÿ òîíêîé ïëàñòèíû, ò.å. íåâåëèêî. Ïîýòîìó äëÿ óìåíüøåíèÿ ñèëû ñëåäóåò ïðåæäå âñåãî ìèíèìèçèðîâàòü îòðûâ.
Ðèñ. 6.9. Õîðîøî îáòåêàåìîå òåëî äîëæíî áûòü çàêðóãëåííûì ñïåðåäè, íî î÷åíü ïëàâíî ñóæàþùèìñÿ âíèç ïî ïîòîêó (ðèñóíîê 6.9,à). Òîãäà ðîñò äàâëåíèÿ íà ó÷àñòêå ñóæåíèÿ áóäåò ìåäëåííûì è çîíà îòðûâà áóäåò ìàëà. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì òåëî, íàïðèìåð êðûëî ñàìîëåòà, íåîáÿçàòåëüíî äîëæíî áûòü î÷åíü òîíêèì, ÷òî âàæíî ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðî÷íîñòè. Êîãäà-òî êðûëüÿ äåëàëè òîíêèìè è ïðèõîäèëîñü óêðåïëÿòü èõ äîïîëíèòåëüíûìè ðàñ÷àëêàìè, îò÷åãî ñàìîëåò íàïîìèíàë ýòàæåðêó è ðîñëî ñîïðîòèâëåíèå. Âïåðâûå ñâîáîäíîíåñóùåå êðûëî (áåç ðàñ÷àëîê) ïðèìåíèë Þíêåðñ (1915 ã.). Ïàðàäîêñ Äàëàìáåðà äëÿ îáòåêàåìûõ òåë ðàáîòàåò (ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëîãî Cf )! Åñëè æå îáðàòèòü îáòåêàíèå, îòðûâ ïðîèçîéäåò î÷åíü áûñòðî è Cf áóäåò îêîëî åäèíèöû (ðèñóíîê 6.9 á).
6.4.
6.4
67
Òóðáóëåíòíîñòü. Òóðáóëåíòíûé ñëîé
Òóðáóëåíòíîñòü. Òóðáóëåíòíûé ñëîé
 1883 ã. Î.Ðåéíîëüäñ îïóáëèêîâàë ñâîé çíàìåíèòûé îïûò. Îí ïîäêðàñèë òîíêóþ ñòðóéêó âîäû, òåêóùåé â òðóáå. Ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ ñòðóéêà ñìåùàåòñÿ âäîëü òðóáû, îñòàâàÿñü ðîâíîé è ðåçêî îêðàøåííîé. Ýòî çíà÷èò, ÷òî æèäêîñòü äâèæåòñÿ â íàïðàâëåíèè îñè, òå÷åíèå ñëîèñòîå, èëè ëàìèíàðíîå. Íî ñ óâåëè÷åíèåì ñêîðîñòè ñòðóéêà ðàçìûâàåòñÿ, ðàñòÿãèâàåòñÿ â ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè è ïî÷òè ðàâíîìåðíî îêðàøèâàåò âåñü ïîòîê.  òàêîì òóðáóëåíòíîì òå÷åíèè èìåþòñÿ áåñïîðÿäî÷íûå ïðîäîëüíûå è ïîïåðå÷íûå ïóëüñàöèè ñêîðîñòè, ïðèâîäÿùèå ê ïåðåìåøèâàíèþ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ëàìèíàðíîå òå÷åíèå Ïóàçåéëÿ òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü ïðè çíà÷åíèè ÷èñëà Ðåéíîëüäñà îêîëî 2300 (âû÷èñëåíî ïî ñðåäíåé ñêîðîñòè è äèàìåòðó). Çà ïðîøåäøèå ñòî ëåò íå óäàëîñü ïîëíîñòüþ ðàçîáðàòüñÿ â ïåðåõîäå ê òóðáóëåíòíîñòè. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî êðèòè÷åñêîå ÷èñëî Ðåéíîëüäñà îòíþäü íå áëèçêî ê åäèíèöå, êàê ýòî áûâàåò ñ áåçðàçìåðíûì ïàðàìåòðîì â ïðîñòîé òåîðèè. ×òîáû ïîëó÷èòü òàêîå áîëüøîå ÷èñëî, íóæíà äîñòàòî÷íî ñëîæíàÿ àðãóìåíòàöèÿ. Ìîæíî ïðèâåñòè äâà ñîîáðàæåíèÿ (âèäèìî, íåäîñòàòî÷íûõ): âî-ïåðâûõ, ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè âûçâàíà âÿçêîñòüþ (ïðèëèïàíèåì ê ñòåíêàì), êîòîðàÿ â òî æå âðåìÿ îïðåäåëÿåò äèññèïàöèþ (çàòóõàíèå ïóëüñàöèé) è äîëæíà áûòü ìàëà; âî-âòîðûõ, òå÷åíèå Ïóàçåéëÿ èìååò áîëüøîé çàïàñ óñòîé÷èâîñòè. Îöåíèì, êîãäà ïðîèçîéäåò ïåðåõîä ê òóðáóëåíòíîñòè â ïîãðàíè÷íîì ñëîå. Åñëè ðàññ÷èòàòü êðèòè÷åñêîå ÷èñëî Ðåéíîëüäñà ïî òîëùèíå ñëîÿ, ìû äîëæíû ïîëó÷èòü ïðèìåðíî òîò æå ðåçóëüòàò, ÷òî äëÿ òðóáû:
VÆ VL ReÆ = =
r
2 Re
p
= 2 Re 2 103 ;
îòêóäà Re = V L= 2 106 .  îïûòå ïîëó÷àåòñÿ êðèòè÷åñêîå Re, ðàññ÷èòàííîå ïî äëèíå, â äèàïàçîíå (0,3 1)106 , âîçìîæíî, èç-çà ìåíüøåé óñòîé÷èâîñòè òå÷åíèÿ â ëàìèíàðíîì ïîãðàíè÷íîì ñëîå.
Êðûëî äîçâóêîâîãî ñàìîëåòà øèðèíîé 4 ì íà ñêîðîñòè 250 ì/ñ èìååò Re 6;7 107 , ò.å. ïî÷òè íà âñåé ïîâåðõíîñòè ïîãðàíè÷íûé ñëîé òóðáóëåíòíûé. Êàê óæå ãîâîðèëîñü, òóðáóëåíòíûé ñëîé óñòîé÷èâåå ê îòðûâó, ÷åì ëàìèíàðíûé. Ó ðåàëüíîãî êðûëà ïðè íåáîëüøèõ óãëàõ àòàêè îòðûâ ïðàêòè÷åñêè íå âîçíèêàåò, ñîïðîòèâëåíèå ôîðìû (äàâëåíèÿ) íå ïðåâûøàåò ñîïðîòèâëåíèÿ òðåíèÿ. Äëÿ òóðáóëåíòíîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ äîâîëüíî õîðîøî âûïîëíÿþòñÿ ïîëóýìïèðè÷åñêèå ôîðìóëû
Æ 0;04 L Re
0;2
;
Cf
0;074 Re
0;2
:
Äëÿ êðûëà ñàìîëåòà ïðè Re = 6;7 107 Æ = 6 ìì, Cf = 0;002. Ñîïðîòèâëåíèå òðåíèÿ êðûëà ðàçìåðîì 304 ì2 îêîëî 1,2 òîííû. Äâà êðûëà è ôþçåëÿæ, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîãî òîãî æå ïîðÿäêà, äàþò 5 6 Ò. Åñëè îòðûâ óäâàèâàåò ñîïðîòèâëåíèå, ïîëó÷èì
68
Ãëàâà 6.
ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÂßÇÊÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ
1012 Ò. Ìàêñèìàëüíàÿ òÿãà äâèãàòåëåé ÒÓ-154 ðàâíà 39,5 Ò, ÷òî äàåò ïðåäñòàâëåíèå î òî÷íîñòè îöåíîê. Íà âûñîòå 10 êì ïëîòíîñòü âîçäóõà è, çíà÷èò, ñîïðîòèâëåíèå óìåíüøàåòñÿ ïðèìåðíî â òðè ðàçà. Ïîäúåìíàÿ ñèëà (âåñ) òîãî æå ñàìîëåòà îêîëî 90 Ò, íà 1 ì êðûëà ïðèõîäèòñÿ îêîëî 3 Ò. Ïî ôîðìóëå Æóêîâñêîãî (18471921), ïîëó÷åííîé â 1904 ã., ïîäúåìíàÿ ñèëà
Fy = V ;
H
(6.10)
ãäå = (V dl) öèðêóëÿöèÿ âîêðóã êðûëà, à èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî êîíòóðó, îõâàòûâàþùåìó êðûëî. Êàê âîçíèêàåò òàêàÿ çàâèñèìîñòü? Ïîä êðûëîì äàâëåíèå äîëæíî áûòü áîëüøå è, çíà÷èò, ñêîðîñòü ìåíüøå. Äëÿ òîíêîãî êðûëà (ðèñóíîê 6.10) ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî íà îñíîâíîé ïîòîê ñî ñêîðîñòüþ V íàêëàäûâàåòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ñêîðîñòü +u ñâåðõó è u ñíèçó êðûëà. Ðàçíîñòü äàâëåíèé
((V + u)2 2
à ïîäúåìíàÿ ñèëà âîêðóã êðûëà.
(V
u)2 ) = 2V u ;
V 2uL íà åäèíèöó äëèíû. Ïðîèçâåäåíèå 2uL è áóäåò öèðêóëÿöèåé
Ðèñ. 6.10.
Ðèñ. 6.11.
Ôîðìóëà Æóêîâñêîãî íå ñîäåðæèò âÿçêîñòè, â èäåàëüíîé æèäêîñòè öèðêóëÿöèÿ ìîæåò áûòü ëþáîé. Íà ñàìîì äåëå îïÿòü îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ. Öèðêóëÿöèÿ óñòàíàâëèâàåòñÿ òàêîé, ÷òîáû ïîãðàíè÷íûå ñëîè ñ îáåèõ ñòîðîí êðûëà ñõîäèëè ñ îñòðîé çàäíåé êðîìêè (ðèñóíîê 6.11,à). Îáòåêàíèå ñ äðóãèì ðàñïîëîæåíèåì òî÷êè ñõîäà (ðèñóíîê 6.11,á) íåóñòîé÷èâî, òàê êàê íà êðîìêå ñêîðîñòü áóäåò âåëèêà, à äàëåå æèäêîñòü, ïðèáëèæàÿñü ê òî÷êå ñõîäà, áóäåò òîðìîçèòüñÿ. Òàê æå êàê ïðè îáòåêàíèè âûïóêëîãî òåëà, ðàññìîòðåííîì â ï. 6.3, â ñëîå ðàçîâüþòñÿ âñòðå÷íûå òå÷åíèÿ, è îí îòîðâåòñÿ.  ðåçóëüòàòå òå÷åíèå ïåðåñòðîèòñÿ è òî÷êà âñòðå÷è ñëîåâ ïåðåäâèíåòñÿ íà êðîìêó. Äëÿ ìàëûõ óãëîâ è òîíêèõ êðûëüåâ òåîðåòè÷åñêàÿ ïîäúåìíàÿ ñèëà
Fy = 2 sin
V 2 L; 2
ò.å. = V L sin , ãäå = óãîë àòàêè. Íà âûñîòå 10 êì äëÿ ÒÓ-154 ïîëó÷àåì = 6Æ . Êîýôôèöèåíò ïîäúåìíîé ñèëû Cy = 2 sin = 0;6. Îòíîøåíèå Cy =Cf , â íàøåì ïðèìåðå
6.5.
69
Êîíâåêöèÿ è òåïëîïåðåäà÷à
ïîðÿäêà 10, íàçûâàåòñÿ àýðîäèíàìè÷åñêèì êà÷åñòâîì è ïîêàçûâàåò, âî ñêîëüêî ðàç âåñ ñàìîëåòà ìîæåò ïðåâîñõîäèòü òÿãó äâèãàòåëåé. Îòñàñûâàÿ ïîãðàíè÷íûé ñëîé, ìîæíî äîáèòüñÿ åãî ìàëîé òîëùèíû íà âñåì êðûëå. Äîñòàòî÷íî òîíêèé ñëîé áóäåò ëàìèíàðíûì è, çíà÷èò, ñîçäàþùèì ìàëîå òðåíèå. Ïðè ýòîì îäíîâðåìåííî ïðåäîòâðàùàåòñÿ îòðûâ. Ïî îöåíêàì, óïðàâëåíèå ïîãðàíè÷íûì ñëîåì ñíèçèò ñîïðîòèâëåíèå è óâåëè÷èò äàëüíîñòü ïîëåòà íà 30%. Ïîêà òàêèå èäåè íå âíåäðÿþòñÿ èç-çà óâåëè÷åíèÿ ñëîæíîñòè êîíñòðóêöèè.
6.5
Êîíâåêöèÿ è òåïëîïåðåäà÷à
Ãèäðîäèíàìè÷åñêèå ñèëû ýòî ïåðåäà÷à èìïóëüñà. Íå ìåíåå âàæíà ïåðåäà÷à òåïëîâîé ýíåðãèè. Ïîòîê òåïëà (ýíåðãèÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó â åäèíèöó âðåìåíè) âîçíèêàåò ïðè ðàçíîñòè òåìïåðàòóð:
q=
dT : dx
Âèä ýòîé çàâèñèìîñòè íàïîìèíàåò çàêîí âÿçêîãî òðåíèÿ. Êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè, èëè ïðîñòî òåïëîïðîâîäíîñòü, èìååò ðàçìåðíîñòü ýíåðãèÿ/(ñì ãðàä ñ); äëÿ ãàçà îí ðàññ÷èòàí â ï. 5.2. Êèðïè÷ èìååò = 0;5 êêàë/(ì ÷àñ ãðàä) = 0;6 Âò/(ì ãðàä). Èç êîìíàòû, ÷åðåç ñòåíó ïëîùàäüþ 10 ì2 â äâà êèðïè÷à (0;5 ì) ïðè ïåðåïàäå òåìïåðàòóð 50 Ê óõîäèò íà óëèöó 600 Äæ êàæäóþ ñåêóíäó; òðåáóåòñÿ ìîùíîñòü 600 Âò äëÿ îáîãðåâà. Åñëè êèðïè÷è ñäåëàòü èç ìåäè, ïîíàäîáèòñÿ ìîùíîñòü â 660 ðàç áîëüøàÿ ( = 400 Âò/(ì ãðàä)). Ó âîäû = 0;6 Âò/(ì ãðàä), ó âîçäóõà 0;027 Âò/(ì ãðàä). Îêðóæàþùàÿ íàñ ñðåäà èìååò ìàëóþ òåïëîïðîâîäíîñòü. Êàê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ òåïëî â ñðåäå? Íàãðååì ñòåðæåíü ñå÷åíèåì 1 ñì2 ñ îäíîé ñòîðîíû íà T . Çà âðåìÿ t âîëíà ïðîéäåò ðàññòîÿíèå L. Òåïëîâîé ïîòîê q T=L. Òåïëî qt ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî ýòîìó ó÷àñòêó: qt CLT . Ïîëó÷àåì L2 t=(C ) ( ïëîòíîñòü, C óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü). Âåëè÷èíà = =(C ) íàçûâàåòñÿ òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòüþ è èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü (ñì2 /ñ), ÷òî è êèíåìàòè÷åñêàÿ âÿçêîñòü. Äëÿ ãàçîâ ' , òàê êàê è òåïëî, è èìïóëüñ ïåðåíîñÿòñÿ âìåñòå ñ ìîëåêóëàìè. Îòíîøåíèå = íàçûâàþò ÷èñëîì Ïðàíäòëÿ Pr. Äëÿ âîäû Pr = 7, äëÿ æèäêèõ ìåòàëëîâ Pr 0;01. Äëÿ âîçäóõà = 0;2 ñì2 /ñ. Äîïóñòèì, ÷òî ëåãêî îäåòûé ÷åëîâåê âûøåë íà ìîðîç 23;4 Æ C. Ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû áóäåò ïîðÿäêà 3 Ê/ñì, ò.å. 60 Ê íà 20 ñì õàðàêòåðíîì ðàçìåðå, íà êîòîðîì äîëæíà ìåíÿòüñÿ òåìïåðàòóðà âîçäóõà. Òîãäà ñ 1 ì2 , ïëîùàäè òåïëîîáìåíà, áóäåò óõîäèòü îêîëî 10 Âò. ×åðåç îêíî ñ äâîéíûìè ðàìàìè ïëîùàäüþ 2 ì2 ìîæíî îæèäàòü 30 Âò. Ýòè îöåíêè ÿâíî íåâåðíû. Çèìîé ìîæíî çàìåðçíóòü, à ÷åðåç îêíî âûõîäèò ãîðàçäî áîëüøå òåïëà, èíà÷å â íàøåì êëèìàòå äåëàëè áû îêíà âî âñþ ñòåíó2 . Äàëåå, ñëîé âîçäóõà â 20 ñì äîëæåí ïðîãðåâàòüñÿ 2 Âïðî÷åì,
èíîãäà èõ êàê ðàç äåëàþò, ê íåóäîâîëüñòâèþ æèëüöîâ.
70
Ãëàâà 6.
ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÂßÇÊÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ
çà âðåìÿ 2000 ñ ýòî íèêàê íå ïîõîæå íà âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ òåïëîîáìåíà ÷åëîâåêà ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé. Àíàëîãè÷íî ïàðàäîêñàì ìàëîé âÿçêîñòè ìû íàáëþäàåì ïàðàäîêñ ìàëîé òåïëîïðîâîäíîñòè: ðåàëüíûé òåïëîîáìåí ãîðàçäî áîëüøå. Ïåðåäà÷à òåïëà ÷åðåç ãàçû è æèäêîñòè âîçìîæíà â îñíîâíîì ïóòåì êîíâåêöèè. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì âûíóæäåííóþ êîíâåêöèþ ïðè îáòåêàíèè òåëà ïîòîêîì ñ äðóãîé òåìïåðàòóðîé, îòëè÷àþùåéñÿ íà T . Äëÿ ãàçîâ, ó êîòîðûõ âÿçêîñòü è òåïëîïðîâîäíîñòü, ïî ñóòè, îäèí è òîò æå ïðîöåññ, ' , â îñîáåííîñòè î÷åâèäíî, ÷òî òåïëî ïðè îáòåêàíèè ïåðåäàåòñÿ ÷åðåç ïîãðàíè÷íûé ñëîé. Êàê ìàëàÿ âÿçêîñòü ñêàçûâàåòñÿ òîëüêî âáëèçè òåëà, òàê è òåìïåðàòóðà â ïîòîêå ìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ òåìïåðàòóðíîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ. Âðåìÿ t êîíòàêòà ÷àñòèöû æèäêîñòè ñ òåëîì ïîðÿäêà ñëîé, òîëùèíà êîòîðîãî
r p p Æ ' t ' t L
LV
=
L=V , è óñïåâàåò
ïðîãðåòüñÿ
pL : Re
Ïîýòîìó ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû è òåïëîâîé ïîòîê ñèëüíî óâåëè÷èâàþòñÿ:
q=
dT dx
p
ÆT :
Äëÿ ëàìèíàðíîãî ñëîÿ óâåëè÷åíèå áóäåò â Re ðàç. Åñëè ÷åëîâåê îáäóâàåòñÿ õîëîäíûì âåòðîì ñî ñêîðîñòüþ 2 ì/ñ, òî Re = 6104 , è âìåñòî 10 Âò ïîëó÷àåì òåïëîîòäà÷ó îêîëî 2;5 êÂò, ÷òî óæå ïîõîæå íà ïðàâäó. Èçáåæàòü çàìåðçàíèÿ ïîìîãàåò îäåæäà, â ïîðàõ êîòîðîé âîçäóõ íå äâèæåòñÿ, è òàêèì îáðàçîì èñïîëüçóåòñÿ åãî ìàëàÿ òåïëîïðîâîäíîñòü.  æèäêèõ ìåòàëëàõ âÿçêîñòü îïðåäåëÿåòñÿ äâèæåíèåì àòîìîâ, à ïåðåíîñ òåïëà ëåãêèìè ýëåêòðîíàìè, ïîýòîìó èõ òåïëîïðîâîäíîñòü íåïðîïîðöèîíàëüíî âåëèêà, òåïëîâîé ïîãðàíè÷íûé ñëîé ïðèìåðíî íà ïîðÿäîê òîëùå äèíàìè÷åñêîãî.  òóðáóëåíòíîì ïîãðàíè÷íîì ñëîå äëÿ ãàçîâ õîðîøî âûïîëíÿåòñÿ ïîëóýìïèðè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü:
T 0;037Re0;8 : L  ýòîì ñëó÷àå óæå íåëüçÿ îöåíèòü q êàê T=Æ ÷åðåç òîëùèíó òóðáóëåíòíîãî ñëîÿ.
q=
Ïðè òóðáóëåíòíîñòè òåïëîïåðåäà÷à ñòàíîâèòñÿ åùå áîëåå èíòåíñèâíîé èç-çà ïîïåðå÷íîãî äâèæåíèÿ ýëåìåíòîâ ïîòîêà è ïåðåìåøèâàíèÿ. Òî æå, êñòàòè, îòíîñèòñÿ è ê ôîðìóëå òðåíèÿ. Ïðè ñàìîñòîÿòåëüíîé êîíâåêöèè ñàìî äâèæåíèå âûçâàíî ïåðåïàäîì òåìïåðàòóð. Ïóñòü âåðòèêàëüíàÿ ñòåíêà íà T òåïëåå îêðóæàþùåãî âîçäóõà. Ñëîé âáëèçè ñòåíêè òàêæå íàãðåâàåòñÿ è ðàñøèðÿåòñÿ; èçìåíåíèå åãî ïëîòíîñòè ðàâíî T , ãäå êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ. Âîçíèêàåò âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà. Ðàçíîñòü äàâëåíèé P = gh ïðè ìàëîé âÿçêîñòè, êàê âñåãäà, ïîðÿäêà V 2 , îòêóp äà ñêîðîñòü â íàãðåòîì ñëîå V ' T gh. ×èñëî Ðåéíîëüäñà, âû÷èñëåííîå ïî âûñîòå
6.5.
71
Êîíâåêöèÿ è òåïëîïåðåäà÷à
p
ñòåíêè, Re ' T gh3 = 2 . Âåëè÷èíó ïîä êîðíåì íàçûâàþò ÷èñëîì Ãðàñãîôà Gr. Íàäîáíîñòü â íîâîì áåçðàçìåðíîì ÷èñëå ïîÿâèëàñü ïîòîìó, ÷òî êîíâåêöèÿ âîçíèêàåò òîëüêî ïðè îïðåäåëåííîì ïåðåïàäå òåìïåðàòóð, è ÷èñëî Ðåéíîëüäñà ìîæåò íå èìåòü ñìûñëà. Ïðè òåïëîîáìåíå îòîïèòåëüíîé áàòàðåè ñ âîçäóõîì â êîìíàòå = 1=T 1=300, T = 30 K, h = 0;5 ì, Gr = 5 108 , Re = 2 104 , ò.å. òå÷åíèå â ïîãðàíè÷íîì ñëîå ëàìèíàðíîå. Òîëp ùèíà ñëîÿ h= Re = 3;5 ìì. ×åðåç ýòîò òîíêèé ñëîé è ïðîèñõîäèò òåïëîîòäà÷à (èíà÷å áàòàðåÿ áûëà áû íåýôôåêòèâíà). Íàãðåòûé âîçäóõ ïîäíèìàåòñÿ ââåðõ è ñîçäàåò ïîñòîÿííóþ öèðêóëÿöèþ â êîìíàòå, ïåðåìåøèâàÿñü äàëåå ñ õîëîäíûìè îáúåìàìè è òàê ïåðåäàâàÿ èì òåïëî. Àíàëîãè÷íî ïðîèñõîäèò óíîñ òåïëà ÷åðåç äâîéíûå ðàìû: îñíîâíîå èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ïðèõîäèòñÿ íà äâà ïîãðàíè÷íûõ ñëîÿ íà âíóòðåííåì è íàðóæíîì ñòåêëàõ, ò.å. ýôôåêòèâíàÿ òîëùèíà òåïëîèçîëÿöèè íåâåëèêà. Ïî òåì æå ïðè÷èíàì çèìîé õîëîäíî äàæå ïðè ïîëíîì áåçâåòðèè: ñêîðîñòü êîíâåêòèâíîãî òå÷åíèÿ áóäåò ïîðÿäêà 1 ì/ñ. Åñëè ñëîé æèäêîñòè òîëùèíû h ïîäîãðåâàåòñÿ ñíèçó, êîíâåêöèÿ âîçíèêàåò ïðè óñëîâèè (Ðåëåé, 1916 ã.) Gr Pr =
g T h3 > 1700 :
Ïîíÿòü ýòó íåîæèäàííî áîëüøóþ öèôðó ìîæíî èç òàêèõ ñîîáðàæåíèé. Ïðè îáû÷íîì îáòåêàíèè òåëà äëÿ Re 1 äàæå èìåþùååñÿ äâèæåíèå ãàñèòñÿ âÿçêîñòüþ (òå÷åíèå Ñòîêñà). Ïîýòîìó îæèäàòü âîçíèêíîâåíèÿ êîíâåêöèè ñ Re 1 íå ïðèõîäèòñÿ: âÿçêîñòü ñëèøêîì âåëèêà, ëèáî íåõâàòàåò ïåðåïàäà òåìïåðàòóð. ×èñëî Ðåéíîëüäñà, ñîîòâåòñòâóþùåå p íà÷àëó êîíâåêöèè, ïîðÿäêà 1700 40. Íî ïðè îáòåêàíèè êàê ðàç ïðè Re â äèàïàçîíå íåñêîëüêèõ äåñÿòêîâ íàáëþäàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèé îòðûâ âèõðåé îò òåëà (äîðîæêà Êàðìàíà, ñ êîòîðîé ñâÿçàíî, íàïðèìåð, ãóäåíèå ïðîâîäîâ ïðè âåòðå), ò.å. âîçáóæäàþòñÿ âòîðè÷íûå òå÷åíèÿ. Ïðè íåáîëüøîì ïðåâûøåíèè óñëîâèÿ Ðåëåÿ âîçíèêàþò êîíâåêòèâíûå ÿ÷åéêè Áåíàðà, èìåþùèå ôîðìó ïî÷òè ïðàâèëüíûõ øåñòèóãîëüíèêîâ, ïðè÷åì æèäêîñòü âñïëûâàåò â öåíòðå è îïóñêàåòñÿ ïî êðàÿì. Âîäà ñëîåì 1 ñì ïðè 20 Æ C ( = 1;8 10 4 1/Ê) ìîæåò áûòü íàãðåòà ñíèçó íå áîëåå ÷åì íà 0;15 Æ C áåç êîíâåêöèè.  íåâåñîìîñòè äëÿ òåïëîîáìåíà íåîáõîäèìà âûíóæäåííàÿ êîíâåêöèÿ (ñïåöèàëüíûå âåíòèëÿòîðû).  ïîðèñòûõ ìàòåðèàëàõ êîíâåêöèÿ ïðåêðàùàåòñÿ ïðè ìèëëèìåòðîâûõ ðàçìåðàõ ïîð.  æèçíè î÷åíü âàæíà àòìîñôåðíàÿ êîíâåêöèÿ. Áîëüøèå ìàñøòàáû òðåáóþò ó÷åòà ñæèìàåìîñòè. Ïóñòü Ñîëíöå íàãðåâàåò ïîâåðõíîñòü Çåìëè, òàê ÷òî íèæíèå ñëîè âîçäóõà òåïëåå âåðõíèõ, èìåþùèõ òåìïåðàòóðó T0 , íà T . Ïîäíèìàÿñü ââåðõ, îáúåì ãàçà àäèàáàòè÷åñêè îõëàæäàåòñÿ èç-çà ïàäåíèÿ äàâëåíèÿ; íà âûñîòå h
T = (T0 + T )
p0
gh
p0
1
:
Çäåñü ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü âîçäóõà â ñòîëáå âûñîòîé h. Åñëè òåìïåðàòóðà T âûøå, ÷åì ¾çàêîííàÿ¿ T0 íà âûñîòå h, ïîäíÿâøèéñÿ îáúåì áóäåò ëåã÷å îêðóæàþùåãî âîçäóõà,
72
Ãëàâà 6.
ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÂßÇÊÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ
÷òî çàñòàâèò äðóãîé îáúåì îïóñòèòüñÿ âíèç. Ñ÷èòàÿ
h è T
ìàëûìè, ïîëó÷àåì
T 1 gh T 1 g > ; èëè > : T0
p0 T0
R Äëÿ âîçäóõà = 1;4; = 30 ã/ìîëü è êðèòè÷åñêèé ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû áóäåò 10 ãðàä/êì. Òàêèå óñëîâèÿ âîçíèêàþò ÷àñòî. Ñòðóè òåïëîãî âëàæíîãî âîçäóõà ëåãêî ðàñïîçíàòü ïî îáëàêàì, ñèäÿùèì íà èõ âåðøèíàõ. (Ïðè àäèàáàòè÷åñêîì ïàäåíèè òåìïåðàòóðû íà íåêîòîðîé âûñîòå íà÷èíàåòñÿ êîíäåíñàöèÿ ïàðà, ïîäíÿòîãî âìåñòå ñ âîçäóõîì ñ ïîâåðõíîñòè). Êîíâåêöèÿ â Ñîëíöå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ îò ïîâåðõíîñòè ïðèìåðíî äî ïîëîâèíû ðàäèóñà, ÷òî îáúÿñíÿåò âîçíèêíîâåíèå ïÿòåí, ïðîòóáåðàíöåâ è ò.ï., ïðè÷åì âàæíóþ ðîëü èãðàåò ìàãíèòíîå ïîëå. Êîíâåêöèÿ îïðåäåëÿåò äèíàìèêó çåìíîé àòìîñôåðû â öåëîì. Âîçäóõ ïîäíèìàåòñÿ íà ýêâàòîðå è îïóñêàåòñÿ â ñðåäíèõ øèðîòàõ.  ðåçóëüòàòå âîçíèêàåò öèðêóëÿöèÿ. Âäîëü ïîâåðõíîñòè Çåìëè ê ýêâàòîðó äóþò ïîñòîÿííûå âåòðû ïàññàòû, êîòîðûå âðàùåíèåì Çåìëè (ñèëîé Êîðèîëèñà) îòêëîíÿþòñÿ ê çàïàäó. Ïåðåòåêàíèå âîçäóõà ìåæäó ìàòåðèêàìè è îêåàíàìè èç-çà ðàçíîãî íàãðåâà âûçûâàåò ìóññîííóþ öèðêóëÿöèþ ñ ñóõèì è âëàæíûì âðåìåíàìè ãîäà. Ïðè áîëüøîé âëàæíîñòè êîíâåêöèÿ ñ ïîñëåäóþùèì âûïàäåíèåì äîæäÿ âûçûâàåò ðåçêóþ ñìåíó òåìïåðàòóð, ÷òî ïðèâîäèò ê òðîïè÷åñêèì óðàãàíàì. Äëÿ óðàãàíà íåîáõîäèìà æàðêàÿ ïîãîäà, âûçûâàþùàÿ ñèëüíîå èñïàðåíèå è ïîäíÿòèå íàãðåòîãî âîçäóõà, è ñèëà Êîðèîëèñà, êîòîðàÿ çàêðó÷èâàåò ñõîäÿùèåñÿ ê îñâîáîäèâøåìóñÿ ìåñòó ïîòîêè. Ñèëà Êîðèîëèñà â þæíîì ïîëóøàðèè çàêðó÷èâàåò óðàãàí ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, à â ñåâåðíîì ïðîòèâ. Íà ýêâàòîðå åå âëèÿíèå íóëåâîå, è ïîýòîìó óðàãàíû âîçíèêàþò â ñîðîêîâûõ (¾ðåâóùèõ¿) øèðîòàõ, ãäå åùå äîñòàòî÷íî æàðêî. Èíòåðåñíà ïðîáëåìà ïðîãíîçà ïîãîäû. Êàçàëîñü áû, çíàÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è óñëîâèÿ â àòìîñôåðå, ìîæíî ïðåäñêàçàòü áóäóùåå ñîñòîÿíèå ïîãîäû. Íàó÷íûì ïðîãíîçîì âïåðâûå çàíÿëñÿ àäìèðàë Ôèöðîé (18051865), áûâøèé êàïèòàí êîðàáëÿ ¾Áèãëü¿, íà êîòîðîì ñîâåðøèë ñâîå çíàìåíèòîå ïëàâàíèå ×.Äàðâèí. Ôèöðîé ïîíÿë, ÷òî âàæíà íå ïîãîäà â äàííîì ìåñòå â ïðîøëîì, à ðàçëè÷èå äàâëåíèé â îêðåñòíîñòÿõ, â îñîáåííîñòè ïîëîæåíèå ðåçêèõ ïåðåïàäîâ äàâëåíèÿ àòìîñôåðíûõ ôðîíòîâ.  èäåàëå, çíàÿ óñëîâèÿ íà äîñòàòî÷íî ãóñòîé ñåòêå òî÷åê, ìîæíî ïðåäñêàçàòü äâèæåíèå ôðîíòîâ. Ñåé÷àñ ðàçðàáîòàí ãèäðîäèíàìè÷åñêèé ïðîãíîç ïîãîäû ïðèìåðíî íà íåäåëþ. Ïî÷åìó íå óäàåòñÿ ïðåäñêàçàòü ïîãîäó íà ìåñÿö âïåðåä (ýòî áûëî áû ïîëåçíî äëÿ ñåëüñêîãî õîçÿéñòâà) èëè íà ãîä? Êîíâåêòèâíûå ïðîöåññû òåñíî ñâÿçàíû ñ íåóñòîé÷èâîñòüþ. Ðàíåå ýòà òðóäíîñòü íå îñîçíàâàëàñü. Îäíàêî â 1963 ã. Ý.Ëîðåíö îáíàðóæèë ïðèíöèïèàëüíóþ íåâîçìîæíîñòü äîëãîñðî÷íîãî ïðîãíîçà íà óïðîùåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè. Ïðåäñòàâèì ñåáå êîëüöåîáðàçíóþ òðóáêó, çàïîëíåííóþ âÿçêîé æèäêîñòüþ. Òðóáêà ðàñïîëîæåíà â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè è ïîäîãðåâàåòñÿ ñíèçó. Ïðè äîñòàòî÷íîé ðàçíîñòè òåìïåðàòóð íàãðåòûé âíèçó ó÷àñòîê íà÷íåò ïîäíèìàòüñÿ è æèäêîñòü ïðèäåò âî âðàùåíèå, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî çàâèñèò îò íà÷àëüíîãî âîçìóùåíèÿ. Ñ óâåëè÷åíèåì T æèäêîñòü âðåìÿ îò âðå-
6.5.
73
Êîíâåêöèÿ è òåïëîïåðåäà÷à
ìåíè íà÷íåò ìåíÿòü íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ. Ñêàæåì, îíà ðàçãîíÿåòñÿ íàñòîëüêî, ÷òî êàêîé-òî îáúåì ïðîñêàêèâàåò íèæíåå ïîëîæåíèå, íå óñïåâ âíîâü êàê ñëåäóåò íàãðåòüñÿ.  ðåçóëüòàòå íå äîõîäèò äî âåðõà è ìîæåò îñòàíîâèòüñÿ, à çàòåì äâèíóòüñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ýêñïåðèìåíò è ÷èñëåííûé ðàñ÷åò ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè áîëüøîé ðàçíîñòè òåìïåðàòóð ìîìåíòû ñìåíû íàïðàâëåíèÿ ñëó÷àéíû. Òðóáêà ìîäåëèðóåò êîíâåêòèâíóþ ÿ÷åéêó â àòìîñôåðå. Ïðèìåð Ëîðåíöà ýòî îäíî èç ïåðâûõ íàáëþäåíèé äèíàìè÷åñêîãî õàîñà, êîãäà áåçîáèäíûå ñ âèäó äåòåðìèíèðîâàííûå ñèñòåìû ðàçâèâàþòñÿ íåïðåäñêàçóåìûì îáðàçîì. Àòìîñôåðíûé ôðîíò ìîæåò ðàññûïàòüñÿ áåç âèäèìûõ ïðè÷èí èëè âîçíèêíóòü íà ¾ðîâíîì ìåñòå¿ èç-çà ñëàáûõ âîçäåéñòâèé, êîòîðûå íåâîçìîæíî êîíòðîëèðîâàòü. Ïî âûðàæåíèþ Ëîðåíöà, ñóùåñòâóåò ¾ýôôåêò áàáî÷êè¿: âçìàõ êðûëüåâ áàáî÷êè ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ìîæåò ñîâåðøåííî èçìåíèòü ïîãîäó. Ðåøåíèå óðàâíåíèé äèíàìè÷åñêîé ìåòåîðîëîãèè íåóñòîé÷èâî: ìàëûå îòêëîíåíèÿ íàðàñòàþò ñî âðåìåíåì. Âðåìÿ óäâîåíèÿ ñëó÷àéíîé îøèáêè ñîñòàâëÿåò 3 5 äíåé, à ÷åðåç 2 3 íåäåëè ðàñ÷åò íå áóäåò èìåòü íè÷åãî îáùåãî ñ ðåàëüíîñòüþ (õîòÿ è äàñò âïîëíå âîçìîæíóþ â ïðèíöèïå ïîãîäó). Ïåðåõîä ê òóðáóëåíòíîñòè, ïî-âèäèìîìó, òîæå ñâÿçàí ñ äèíàìè÷åñêèì õàîñîì. Ïîäðîáíåå ýòè âîïðîñû îñâåùåíû íèæå, â ïðèëîæåíèè. Âðåìÿ îò âðåìåíè ãàçåòû ïðîïàãàíäèðóþò äîñòèæåíèÿ îòäåëüíûõ ñèíîïòèêîâ ñ äèàïàçîíîì äåéñòâèÿ ïîðÿäêà ãîäà. Ïðè ýòîì óïîìèíàþòñÿ îáîñíîâàíèÿ òîëüêî ñàìîãî îáùåãî õàðàêòåðà (âñåìó ïðè÷èíîé Ñîëíöå), äåëàåòñÿ óïîð íà âàæíîñòü ðàáîò äëÿ íàðîäíîãî õîçÿéñòâà è áåçðàçëè÷èå îôèöèàëüíîé íàóêè. Èçëîæåíèå èëëþñòðèðóåòñÿ ìíîæåñòâîì âåðíûõ ïðåäñêàçàíèé. Íàïðèìåð, íåêòî çàíÿëñÿ ìåòåîðîëîãèåé ñëó÷àéíî, áåç ñïåöèàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ, ïîñêîëüêó êîìó-òî íàäî áûëî äàâàòü ïðîãíîçû. Ïåðâûé æå ïðîãíîç îêàçàëñÿ óäà÷íûì. Ïîêà ÷òî ôèçèêà íå ìîæåò îáúÿñíèòü òàêèå ôåíîìåíû. Äîïîëíåíèå. Ëîãèñòè÷åñêîå îòîáðàæåíèå è ìîäåëü Ëîðåíöà
Íà ïðîñòåéøåì ïðèìåðå ïîêàæåì ðåçóëüòàòû ñðàâíèòåëüíî íîâîãî ðàçäåëà ñîâðåìåííîé ôèçèêè äèíàìè÷åñêîãî, èëè äåòåðìèíèðîâàííîãî, õàîñà. Ïðîòèâ îæèäàíèÿ, ñàìûå ïðîñòûå ýâîëþöèîííûå çàâèñèìîñòè ìîãóò ïðèâîäèòü ê íåïðåäñêàçóåìîìó ïîâåäåíèþ. Ïóñòü íà íåêîòîðîì îñòðîâå îáèòàþò êðîëèêè (rabbits). Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðè ìàëîé íàñåëåííîñòè èõ êîëè÷åñòâî Ra ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ:
dRa dt
= k Ra ;
(6.11)
òî åñòü ñêîðîñòü óâåëè÷åíèÿ íàñåëåííîñòè ïðîïîðöèîíàëüíà óæå èìåþùåìóñÿ íàñåëåíèþ. Âåëè÷èíà k êîýôôèöèåíò ðàçìíîæåíèÿ. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.11) èçâåñòíî íàñåëåíèå ðàñòåò ýêñïîíåíöèàëüíî:
Ra = Ra0 exp(kt) ;
1
ãäå Ra0 ÷èñëî êðîëèêîâ â íà÷àëüíûé ìîìåíò. ×åðåç õàðàêòåðíîå âðåìÿ, ðàâíîå =k , ýòî ÷èñëî
âîçðàñòåò â e
= 2;71828 ðàç, åùå îäèí òàêîé ïðîìåæóòîê ñíîâà äàñò òàêîå æå óâåëè÷åíèå, è ò.ä.
74
Ãëàâà 6.
ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÂßÇÊÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ
Âèäíà ïîëíàÿ àíàëîãèÿ ñ ìåõàíè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòüþ, êîòîðóþ ìû óæå îáñóæäàëè. Ñåé÷àñ òîëüêî íàïîìíèì, ÷òî ýêñïîíåíöèàëüíî ðàçâèâàþùèéñÿ ïðîöåññ ñî âðåìåíåì ïðèîáðåòàåò õàðàêòåð âçðûâà. Ñêîðî íàø îñòðîâ ïåðåïîëíèòñÿ. Ïóñòü åãî ¾åìêîñòü¿ N0
= 1000 êðîëèêîâ. Ïðè ìåíüøåé
÷èñëåííîñòè êðîëèêè ðàçìíîæàþòñÿ, ïðè áîëüøåé ìðóò îò ãîëîäà.  óðàâíåíèå íàäî ââåñòè ïîïðàâêó íà Lebensraum (íåì. æèçíåííîå ïðîñòðàíñòâî):
dRa dt
= k Ra(1
Ra) :
(6.12)
=1
Çäåñü è äàëüøå ÷èñëî êðîëèêîâ èçìåðÿåòñÿ â åäèíèöàõ N0 (kilorabbit). Åñëè Ra , òî ñêîðîñòü ïðèðîñòà íàñåëåíèÿ ðàâíà íóëþ äîñòèãàåòñÿ ðàâíîâåñèå ìåæäó ÷èñëîì ðîæäåíèé è ñìåðòåé. Ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèè, êðîìå íóëÿ, Ra ñòðåìèòñÿ ê 1 ðàâíîâåñíîìó çíà÷åíèþ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè Ra < ïðàâàÿ ÷àñòü (6.12) ïîëîæèòåëüíà, è íàñåëåíèå âîçðàñòàåò.
1
Ïðè îáðàòíîì íåðàâåíñòâå ïðàâàÿ ÷àñòü îòðèöàòåëüíà, è íàñåëåíèå óìåíüøàåòñÿ. Êðîëèêè âðÿä ëè çíàêîìû ñ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè (êàê è ìíîãèå øêîëüíèêè). Ñêîðåå, ðàçìíîæåíèå êðîëèêîâ íîñèò ñåçîííûé õàðàêòåð è ïîä÷èíÿåòñÿ ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ: 0
Ra
èëè
Ra
= k Ra(1
Ra) ;
Ra0 = Ra + kRa(1
Ra) :
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïî òåêóùåìó çíà÷åíèþ Ra ïëàíèðóåòñÿ íîâîå çíà÷åíèå Ra0 ÷åðåç ïåðèîä ðàçìíîæåíèÿ . Âûáðàâ çà åäèíèöó âðåìåíè, îêîí÷àòåëüíî èìååì
Ra0 = Ra(1 + k
kRa) :
(6.13)
Óðàâíåíèÿ òàêîãî âèäà, êîãäà ñëåäóþùåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû âû÷èñëÿåòñÿ ÷åðåç ïðåäûäóùåå, íàçûâàþòñÿ
èòåðàöèîííûìè.
Ñðàçó âèäíî, ÷òî ïðè Ra
= 1 ïîëó÷àåòñÿ
Ra0
= 1. Òàêèì
îáðàçîì, ðàâíîâåñíîå çíà÷åíèå äëÿ íåïðåðûâíîãî óðàâíåíèÿ (6.11) è åãî äèñêðåòíîé ìîäåëè (6.13) îäíî è òî æå. Íî ýòî íå çíà÷èò, ÷òî ðåøåíèå äèñêðåòíîé ìîäåëè îáÿçàòåëüíî áóäåò íàïîìèíàòü ïîâåäåíèå íåïðåðûâíîé. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè áîëüøîì êîýôôèöèåíòå ðàçìíîæåíèÿ (òî÷íåå, ïðîèçâåäåíèè k ) ðàâíîâåñíîå çíà÷åíèå â äèñêðåòíîé ìîäåëè íåóñòîé÷èâî. Ëåã÷å ýòî ïîíÿòü ïðè ãðàôè÷åñêîì ïîäõîäå. Òî÷êà Ra0 Ra êîâ (ðèñ. 6.12)
=
y = x è y = x(1 + k
= 1 ýòî ïåðåñå÷åíèå ãðàôè-
kx) f (x) :
Çàâèñèìîñòü (6.13), åñëè ãîâîðèòü î ðàâíîâåñíîì çíà÷åíèè òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêîâ ìîæíî ïîíèìàòü êàê ñïîñîá ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
x = f (x)
= Ra0. Îòìå÷àåì åãî íà äåéñòâèòåëüíîé îñè. Åìó ñîãëàñíî (6.13) ñîîòâåòñòâóåò íîâîå çíà÷åíèå x0 = f (x0 ), ëåæàùåå íà ãðàôèêå
ìåòîäîì èòåðàöèé. Ïóñòü ìû íà÷àëè ñ êàêîãî-òî çíà÷åíèÿ x0
ôóíêöèè (òî÷êà 1). Åãî ñíîâà íàäî ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå èòåðàöèé. Ïåðåíîñèòü ýòî çíà÷åíèå
6.5.
75
Êîíâåêöèÿ è òåïëîïåðåäà÷à
íà ãîðèçîíòàëüíóþ îñü íå îáÿçàòåëüíî. Ïðîùå íàéòè ïåðåñå÷åíèå ñ ïðÿìîé y
()
= x (òî÷êà 2). Èç
íåå îïÿòü ïðîâîäèì âåðòèêàëü äî ãðàôèêà f x (òî÷êà 3), è ò.ä. Âèäèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíûå
çíà÷åíèÿ ïðèáëèæàþòñÿ ê òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ïî ñïèðàëè. Êàê ãîâîðÿò, èòåðàöèè ñõîäÿòñÿ. Ðåøåíèå êàê áû ïðèòÿãèâàåò ê ñåáå òðàåêòîðèþ. Íî òàê áûâàåò íå âñåãäà. Íà ðèñ. 6.13 ïîêàçàí
Ðèñ. 6.12.
Ðèñ. 6.13.
ïðèìåð ðàñõîäÿùèõñÿ èòåðàöèé, ¾îòòàëêèâàþùèõñÿ¿ îò ðåøåíèÿ. Ëåãêî óáåäèòüñÿ (íàðèñîâàâ íåñêîëüêî ãðàôèêîâ òèïà ðèñ. 6.12 è 6.13), ÷òî äëÿ ñõîäèìîñòè èòåðàöèé íåîáõîäèìî, ÷òîáû
= f (x) èìåë â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ìåíüøèé íàêëîí, ÷åì ó ïðÿìîé y = x, òî åñòü f ñëàáåå çàâèñåëà îò x, ÷åì y = x. ãðàôèê y
Ìåòîä èòåðàöèé ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé. Ïîïðîáóéòå ðåøèòü, íàïðèìåð, x x . Ïðàâóþ ÷àñòü ìîæíî âû÷èñëÿòü íà êàëüêóëÿòîðå. Íà÷àëüíîå
= cos( )
0
2
ïðèáëèæåíèå âîçüìèòå â èíòåðâàëå < x < = . Ïîïðîáóéòå òàê æå ðåøèòü óðàâíåíèå x tg x . Ñõîäÿòñÿ ëè èòåðàöèè?
= 10
()
Èç (6.13) âèäíî, ÷òî ñ âîçðàñòàíèåì k ôóíêöèÿ f ñòàíîâèòñÿ âñå áîëåå êðóòîé. Îêàçûâà-
2
åòñÿ, ÷òî íåóñòîé÷èâûì ðàâíîâåñèå ñòàíîâèòñÿ ïðè k > . ×òî æå áóäåò ñ êðîëèêàìè, åñëè ðàâíîâåñèå íåóñòîé÷èâî? Îáúÿñíèòü ýòî íà ñëîâàõ íå òàê ïðîñòî. Îïèøåì êðàòêî ðåçóëüòàòû, êîòîðûå äàåò êîìïüþòåðíàÿ ïðîãðàììà. Ïðè k <
2 ïîâåäåíèå Ra(t) áëèçêî ê íåïðåðûâíîé ìîäåëè. Ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèè
ñî âðåìåíåì ðåøåíèå ñòðåìèòñÿ ê 1 ðàâíîâåñèþ.
2 44
Îäíàêî ïðè k â èíòåðâàëå îò 2 äî ; íàáëþäàþòñÿ êîëåáàíèÿ. Ïðè áîëüøîé ïëîäîâèòîñòè ìàëàÿ çàñåëåííîñòü äàåò áûñòðûé ðîñò è ïåðåõîä ÷åðåç ðàâíîâåñèå; çàòåì ïåðåíàñåëåíèå ïðèâîäèò ê âûìèðàíèþ. Óñòîé÷èâî íå ðàâíîâåñíîå çíà÷åíèå, à öèêë ñ ïåðèîäîì 2.
2 5699457
Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè k âîçíèêàåò öèêë ñ ïåðèîäîì 4, è ò.ä., à ïðè k > ; íà÷èíàåòñÿ õàîòè÷åñêîå (áåñïîðÿäî÷íîå) ïîâåäåíèå. Ïðè k îêîëî 3 ïîñëåäîâàòåëüíûå èòåðàöèè äàþò ïðàêòè÷åñêè ñëó÷àéíûå ÷èñëà. Ýòî ïðîèñõîäèò, íåñìîòðÿ íà âïîëíå îïðåäåëåííûé (äåòåðìèíèðîâàííûé) õàðàêòåð âñåõ âû÷èñëåíèé. Òàêîå ïîâåäåíèå è íàçûâàåòñÿ äåòåðìèíèðîâàííûì õàîñîì. Êàê âèäíî, ê íåìó ìîãóò ïðèâîäèòü ñ âèäó âïîëíå áåçîáèäíûå ìîäåëè. Åñëè ïåðåéòè ê ÷èñëàì x
= Ra k=(1 + k), ïîëó÷àåòñÿ áîëåå ïðîñòîå óðàâíåíèå x0 = rx(1
ãäå r
x) ;
(6.14)
= (1 + k). Âåëè÷èíà x óäîáíåå òåì, ÷òî íå ïðåâûøàåò åäèíèöû. Óðàâíåíèå (6.14) íàçû-
76
Ãëàâà 6.
âàåòñÿ
ëîãèñòè÷åñêèì îòîáðàæåíèåì3 ,
ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÂßÇÊÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ
èëè îòîáðàæåíèåì Ôåéãåíáàóìà.
Ìû ðàññóæäàëè î êðîëèêàõ, ñëåäóÿ ëåêöèè Ä.Ìàðêñà4 , èçâåñòíîãî âåíãåðñêîãî ôèçèêà, åäèíñòâåííî äëÿ ïðèäàíèÿ èçëîæåíèþ èçâåñòíîé çàíèìàòåëüíîñòè. Íà ñàìîì æå äåëå ðàññìîòðåííàÿ çàäà÷à èìååò îòíîøåíèå ê òóðáóëåíòíîñòè. Ñ óâåëè÷åíèåì ñêîðîñòè òå÷åíèå ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâûì; âîçíèêàþò ïåðâè÷íûå âèõðè. Îäèí îáîðîò âèõðÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê öèêë îòîáðàæåíèÿ òèïà (6.13). Äàëåå ýòè âèõðè òîæå òåðÿþò óñòîé÷èâîñòü: ïîÿâëÿåòñÿ öèêë ñ ïåðèîäîì 2. Íà ìåñòî k â ãèäðîäèíàìèêå ñëåäóåò ïîñòàâèòü ÷èñëî Ðåéíîëüäñà Re. Êàê è â íàøåé çàäà÷å, ïåðåõîä îò ëàìèíàðíîãî òå÷åíèÿ ê òóðáóëåíòíîìó ïðîèñõîäèò ïðè íåáîëüøîì îòíîñèòåëüíîì èçìåíåíèè ÷èñëà Ðåéíîëüäñà. Âîîáùå äåòåðìèíèðîâàííûé õàîñ ñåé÷àñ íàõîäÿò âî ìíîæåñòâå îáëàñòåé. Íàïðèìåð, áûñòðî ðàçâèâàþùàÿñÿ ýêîíîìèêà ïðè áîëüøîì ïåðèîäå ïëàíèðîâàíèÿ òîæå ìîæåò äàòü õàîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå. È, â äîâåðøåíèå âñåãî, äàæå â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå åñòü ýëåìåíòû õàîñà. Êîãäà-òî Ëàïëàñ ïðåäëàãàë ðàññ÷èòàòü âñå áóäóùåå Âñåëåííîé, çíàÿ åå íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå è çàêîíû ðàçâèòèÿ. Ïîõîæå, ÷òî ýòî íåâîçìîæíî íå òîëüêî òåõíè÷åñêè, íî è ïðèíöèïèàëüíî. Ñî âðåìåí Íüþòîíà ñ÷èòàëîñü, ÷òî ðîëü íàóêè ïðåäñêàçàíèå áóäóùåãî. Òåïåðü ìû âèäèì, ÷òî áóäóùåå ìîæåò áûòü ñëó÷àéíûì. Âîçìîæíî, õàîòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ ïîìîãóò ðàçîáðàòüñÿ â òàêèõ ïðîáëåìàõ, êàê ñâîáîäà âîëè. Òåïåðü îïèøåì ðåçóëüòàòû ïðîñòåéøåé ìîäåëè Ëîðåíöà,
îïèñûâàþùåé êîíâåêöèþ è òîæå äåìîíñòðèðóþùåé äè-
íàìè÷åñêèé õàîñ. Ýòî äàñò íàì íåêîòîðîå ïðåäñòàâëåíèå î ñîâðåìåííîì âçãëÿäå íà ïðîáëåìó òóðáóëåíòíîñòè. Êîëüöåîáðàçíàÿ òðóáêà, ñòîÿùàÿ âåðòèêàëüíî, çàïîëíåíà æèäêîñòüþ (ðèñ. 6.14). Òðóáêà ïîäîãðåâàåòñÿ ñíèçó òàê,
sin '. Óãîë ' îòìå+T , à â âåðõíåé
÷òî òåìïåðàòóðà åå ñòåíîê ðàâíà T ðÿåòñÿ îò îñè x: â íèæíåé òî÷êå èìååòñÿ
T îòíîñèòåëüíî ñðåäíåãî óðîâíÿ.
Òåïëîâîå ðàñøèðåíèå èçìåíÿåò ïëîòíîñòü æèäêîñòè è
âûçûâàåò êîíâåêöèþ (âðàùåíèå); âÿçêîñòü ¾ïûòàåòñÿ¿ ñäåðæàòü êîíâåêöèþ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïîâåäåíèå ñèñòåìû çàâèñèò îò èíòåíñèâíîñòè ïîäîãðåâà âåëè÷èíû òåìïåðàòóðó æèäêîñòè â âèäå
T
T . Ïðåäñòàâèì
Ðèñ. 6.14.
= T sin ' + y cos ' + z sin ' ;
òàê ÷òî y ýòî òåìïåðàòóðà â ïðàâîé òî÷êå, à z îòêëîíåíèå îò òåìïåðàòóðû ñòåíêè â âåðõíåé òî÷êå òðóáêè. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ æèäêîñòè
m
dv dt
= mgby 2
kv :
Çäåñü m ìàññà æèäêîñòè â òðóáêå, v ñêîðîñòü òå÷åíèÿ. Ïåðâîå ñëàãàåìîå ñïðàâà îïèñûâàåò ¾äâèæóùóþ ñèëó¿ èç-çà ïåðåêîñà ìàññû ïðè òåïëîâîì ðàñøèðåíèè ñ êîýôôèöèåíòîì b. Ïðè 3 Ñëîâî
¾ëîãèñòèêà¿ (íå ïóòàòü ñ ëîãèêîé) äîâîëüíî áëèçêî ïåðåâîäèòñÿ ðóññêèì òåðìèíîì ¾ñíàá-
æåíèå¿. 4 George Marx, Simulation games in science education, Proc. of GIREP Conf. on the teaching of physics in schools, Budapest, 1981. Íå ïóòàòü ñ Ê.Ìàðêñîì.
6.5.
77
Êîíâåêöèÿ è òåïëîïåðåäà÷à
ïîëîæèòåëüíîé àìïëèòóäå y ñïðàâà æèäêîñòü òåïëåå è, çíà÷èò, ìåíåå ïëîòíàÿ5 . Âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ïðîïîðöèîíàëüíîå ñêîðîñòè òðåíèå. Óäîáíû áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå (ñ íèìè ìåíüøå êîýôôèöèåíòîâ).
dV dt
= s(Y
=
Y
dZ dt
=
V);
ãäå s êîíñòàíòà, çàâèñÿùàÿ îò ãåîìåòðèè è ñâîéñòâ æèäêîñòè. Åùå äâà óðàâíåíèÿ îïèñûâàþò èçìåíåíèÿ Y è Z :
dY dt
V Z + RV ; Z +VY :
Ïåðâûå ñëàãàåìûå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ýòî òåïëîîáìåí ñî ñòåíêîé. Èç-çà íåãî òåìïåðàòóðà âûðàâíèâàåòñÿ: ïîëîæèòåëüíàÿ àìïëèòóäà Y ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ Y . Îñòàëüíûå ñëàãàåìûå îïèñûâàþò êîíâåêòèâíûé ïåðåíîñ òåïëà (îíè ñîäåðæàò ñêîðîñòü V ). Íàïðèìåð, ñîãëàñíî ïîñëåäíåìó óðàâíåíèþ, ïðè ïîëîæèòåëüíîé ñêîðîñòè (ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè) è ïîëîæèòåëüíîé òåìïåðàòóðå ñïðàâà, ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ âîçðàñòåò òåìïåðàòóðà ââåðõó èç-çà ïåðåíîñà ãîðÿ÷åé æèäêîñòè. Òàêóþ æå ïðèðîäó èìååò ñëàãàåìîå ( V Z ) âî âòîðîì óðàâíåíèè; ñëàãàåìîå æå RV ýòî ïåðåíîñ ¾ðàâíîâåñíîé¿ òåìïåðàòóðû T ñíèçó â ïðàâóþ òî÷êó.
Âûðàæåíèÿ äëÿ áåçðàçìåðíîé ñêîðîñòè V è àìïëèòóä Y è Z ìû çäåñü íå âûïèñûâàåì.
Äîñòàòî÷íî çíàòü, ÷òî îíè ïðîïîðöèîíàëüíû ñîîòâåòñòâóþùèì ðàçìåðíûì âåëè÷èíàì v; y; z . Òðè óðàâíåíèÿ îáðàçóþò çíàìåíèòóþ ñèñòåìó Ëîðåíöà (E.Lorenz, Deterministic non-periodic flow. Journal of Atmos. Sciences, 1963, v.20, p.130). Êàê îáû÷íî ïðèíÿòî, çàôèêñèðóåì ïàðàìåòð s
= 10 (ýòî îçíà÷àåò äîâîëüíî áîëüøîå òðåíèå). Ïàðàìåòð R ïðîïîðöèîíàëåí ïåðåïàäó òåìïåðàòóðû T è ìîæåò ìåíÿòüñÿ. Îí àíàëîãè÷åí ÷èñëó Ðåéíîëüäñà â ïðîáëåìå òóðáóëåíòíîñòè. Îïèøåì ïîâåäåíèå ñèñòåìû ïðè ðàçëè÷íûõ
R, òî åñòü ïðè ðàçíîé èíòåíñèâíîñòè ïîäîãðåâà. Ïðè R < 1 óñòîé÷èâî ñîñòîÿíèå ïîêîÿ æèäêîñòè, òî åñòü V
=Y =Z=0;
â êîòîðîì îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé. Íà÷àëüíûå îòêëîíåíèÿ îò ðàâíîâåñèÿ çàòóõàþò.
1
( + 4) ( 2) = 17 5
Ïðè < R < s s =s ; óñòîé÷èâûì ñîñòîÿíèåì áóäåò êîíâåêöèÿ ïîñòîÿííîå âðàùåíèå æèäêîñòè â ñòîðîíó, îïðåäåëÿåìóþ ñëó÷àéíûìè îòêëîíåíèÿìè îò ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ. Ñíîâà ïðàâûå ÷àñòè äîëæíû îáðàùàòüñÿ â íóëü. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ èìååì Y
âòîðîãî òîãäà Z
= R 1, à èç òðåòüåãî Y = V =
p
R
=
V , èç
1. Ñîñòîÿíèå ïîêîÿ ïî-ïðåæíåìó
îñòàíåòñÿ ðàâíîâåñèåì, íî óæå íåóñòîé÷èâûì. Íàêîíåö, ïðè R > ; íåóñòîé÷èâîé ñòàíîâèòñÿ ñòàöèîíàðíàÿ êîíâåêöèÿ. Ðåøåíèå ñòà-
17 5
íîâèòñÿ õàîòè÷åñêèì: òåìïåðàòóðà è ñêîðîñòü èçìåíÿþòñÿ íåïðåäñêàçóåìûì îáðàçîì. Ìîäåëü Ëîðåíöà ïåðâûé îáíàðóæåííûé ïðèìåð äèíàìè÷åñêîãî, èëè äåòåðìèíèðîâàííîãî õàîñà. Îêàçàëîñü, ÷òî äåòåðìèíèðîâàííûå ñèñòåìû, êîòîðûå äîëæíû ðàññ÷èòûâàòüñÿ òî÷íî, ìîãóò âåñòè ñåáÿ ñîâåðøåííî íåîæèäàííî. Îòñþäà âèäíà òðóäíîñòü ïðîãíîçà ïîãîäû. Åñëè ðåøåíèå íåóñòîé÷èâî, òî îòêëîíåíèÿ îò íåãî íàðàñòàþò. Êàê óæå ãîâîðèëîñü, ÷åðåç 1 2 íåäåëè ïðîãíîç íå áóäåò èìåòü íè÷åãî îáùåãî ñ ðåàëüíîñòüþ. 5 Òî÷íåå,
âðàùàåò æèäêîñòü ìîìåíò ñèë. Íî óðàâíåíèå âðàùåíèÿ ïðèâîäèòñÿ èìåííî ê òàêîìó âèäó.
78
Ãëàâà 6.
ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÂßÇÊÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ
Åñëè ñëåäèòü çà ïîñëåäîâàòåëüíûìè ìàêñèìóìàìè îäíîé èç ïåðåìåííûõ, òî òàêîå îòîáðàæåíèå (n
) n + 1) áóäåò ïîõîæå íà îòîáðàæåíèå Ôåéãåíáàóìà. Ðàçíèöà æå ñîñòîèò â òîì,
÷òî çàäà÷à Ôåéãåíáàóìà äèñêðåòíàÿ, à ìîäåëü Ëîðåíöà íåïðåðûâíàÿ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â íåïðåðûâíîé ìîäåëè äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ äèíàìè÷åñêîãî õàîñà íóæíî íå ìåíåå òðåõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Èíòåðåñíî, ÷òî áîëåå ñëîæíûé âàðèàíò Ëîðåíöà áûë íàéäåí ðàíüøå.
Ãëàâà 7 ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ  ýòîé ãëàâå îáñóæäàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ìîëåêóë â ïðîñòðàíñòâå ïðè íàëè÷èè âíåøíèõ ñèë, â ÷àñòíîñòè, ñèëû òÿæåñòè. Êðîìå òîãî, ðàññìàòðèâàåòñÿ âîïðîñ î ðàñïðåäåëåíèè ìîëåêóë èäåàëüíîãî ãàçà ïî ñêîðîñòÿì. Ìû óâèäèì, ÷òî â îáîèõ ñëó÷àÿõ êîëè÷åñòâà ìîëåêóë â äàííîì ñîñòîÿíèè îïðåäåëÿþòñÿ â îñíîâíîì èõ ýíåðãèÿìè.
7.1
Ðàâíîâåñèå àòìîñôåðû. Ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà
Äî ñèõ ïîð ìû îáõîäèëèñü ñðåäíèìè õàðàêòåðèñòèêàìè, âðîäå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé ñêîðîñòè ìîëåêóë. Íî áûâàåò íóæíà áîëåå äåòàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ, íàïðèìåð, êàêàÿ äîëÿ ìîëåêóë èìååò òàêóþ-òî ýíåðãèþ. Èççà ìîëåêóëÿðíîãî äâèæåíèÿ òàêèå çàêîíîìåðíîñòè áóäóò ñòàòèñòè÷åñêèìè. Ðàññìîòðèì ñòîëá âîçäóõà, îïèðàþùèéñÿ íà ïëîùàäêó S , è ïóñòü ó íåãî çàäàííàÿ òåìïåðàòóðà T . Âûðåçàåì èç íåãî ïëîñêèé ñëîé òîëùèíîé dh, êîòîðûé äîëæåí íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè (ðèñóíîê 7.1):
mngSdh = S P Çíàê
=
Ðèñ. 7.1.
SkT n :
ïîÿâèëñÿ, òàê êàê ñ âûñîòîé n ïàäàåò. Ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
dn n
= (mg=kT )dh ; )
Äëÿ äàâëåíèÿ îòñþäà ñëåäóåò
n = n0 exp( mgh=kT ) :
áàðîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìóëà:
P
= P0 exp(
mgh=kT ) :
=
Ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû ìîæíî íàïèñàòü êàê gh=RT , èëè h=H , ãäå H RT =g òàê íàçûâàåìàÿ âûñîòà àòìîñôåðû. Äëÿ çåìíîé àòìîñôåðû H
= = 8 10 kT =mg
7
7.1.
75
Ðàâíîâåñèå àòìîñôåðû. Ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà
300=(30 103) = 8 105 = 8 êì. Íà òàêîé âûñîòå ïëîòíîñòü è äàâëåíèå äîëæíû ïàäàòü â e ðàç. Îíà ãîðàçäî ìåíüøå ðàäèóñà Çåìëè, ïî÷åìó ìû è íå ó÷èòûâàëè êðèâèçíû çåìíîé ïîâåðõíîñòè. Íàä ïëîùàäêîé S íàõîäèòñÿ ïîëíîå ÷èñëî ìîëåêóë
N
=S
Z1
ndh = Sn0
Z1
0
exp(
mgh=kT ) dh = S
0
kT n = SHn0 : mg 0
Èìåé àòìîñôåðà îäíîðîäíóþ ïëîòíîñòü n0 , îíà çàïîëíÿëà áû ñëîé òîëùèíîé H . Ãåîìåòðè÷åñêîå èñòîëêîâàíèå: ïëîùàäü ïîä ýêñïîíåíòîé ðàâíà ïëîùàäè ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 7.2). Ôîðìàëüíî àòìîñôåðà ïðîñòèðàåòñÿ äî áåñêîíå÷íîé âûñîòû, íî èç-çà áûñòðîãî ñïàäàíèÿ ýêñïîíåíòû ïðàêòè÷åñêè íà âûñîòàõ ïîðÿäêà äåñÿòêîâ H íàëè÷èåì âîçäóõà ñëåäóåò ïðåíåáðåãàòü. Ðåàëüíî àòìîñôåðà íå èçîòåðìè÷åñêàÿ, âåðõíèå ñëîè ñèëüíî íàãðåòû. Ïîýòîìó íåêîòîðûå ñëåäû âîçäóõà çàìå÷àþòñÿ íà âûñîòàõ â ñîòíè êì, òîðìîçÿ ñïóòíèêè Çåìëè, Ðèñ. 7.2. è ò.ï. Ìû ïîëó÷èëè ðàñïðåäåëåíèå ìîëåêóë ãàçà ïî âûñîòå. Òåïåðü ïðèìåíèì åãî íà ïðàêòèêå è çàîäíî óçíàåì, çà÷åì îíî íóæíî. Ðàññ÷èòàåì ñðåäíþþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ìîëåêóëû âîçäóõà. Ýòî áóäåò (ýíåðãèÿ âñåõ ìîëåêóë)/(èõ êîëè÷åñòâî):
hU i =
Z1
mghn0 exp( mgh=kT ) dh
Z1
0
Ðàçóìíî îáîçíà÷èòü mgh=kT
hU i = kT
n0 exp( mgh=kT ) dh :
0
= x; Z1
dh = (kT =mg )dx. Òîãäà
x exp( x) dx
0
Z1
exp( x) dx = kT ;
0
òàê êàê îáà èíòåãðàëà ðàâíû 1 . Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ñðåäíÿÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû ïîðÿäêà òåïëîâîé. Òåïåðü ïîëåçíî äàòü åùå îäíî òîëêîâàíèå òåïëîåìêîñòè ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè CP (íàïîìíèì, ÷òî ýòî CV R). Êîãäà ìû ãðååì íåáîëüøîé îáúåì ãàçà ïðè P const, òåïëî èäåò íà âíóòðåííþþ ýíåðãèþ è åùå íà ðàáîòó ðàñøèðåíèÿ, ïðîèçâîäèìóþ íàä îñòàëüíîé àòìîñôåðîé. Íî åñëè ãðåòü âñþ àòìîñôåðó, òî ðàáîòàòü âðîäå íå íàä ÷åì íàä àòìîñôåðîé âàêóóì. Òåïåðü ÿñíî, ÷òî ïðèõîäèòñÿ óâåëè÷èâàòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âîçäóõà, êàê ðàç íà ìîëü íàäî áóäåò äîïîëíèòåëüíî R T ïî ñðàâíåíèþ ñ íàãðåâîì ïðè V const. Àòìîñôåðà ïðè íàãðåâå ðàçáóõàåò. Åñëè ìîëåêóëû ìîãóò èìåòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ U (íå îáÿçàòåëüíî â ïîëå òÿæåñòè), òî
+
=
=
n = n0 exp( U=kT ) ;
76
Ãëàâà 7.
ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ
=0
ãäå n0 êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë â ñîñòîÿíèè ñ U . Ýòî îáîáùåíèå áàðîìåòðè÷åñêîé ôîðìóëû è íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Áîëüöìàíà. Âîçìîæåí äðóãîé ïîäõîä ê âûâîäó ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïëîòíîñòü ìîëåêóë ñïàäàåò ñ âûñîòîé. Ýòî âûçûâàåò äèôôóçèîííûé ïîòîê ìîëåêóë ñíèçó ââåðõ.  ðàâíîâåñèè îí êîìïåíñèðóåòñÿ ïàäåíèåì ìîëåêóë â ïîëå òÿæåñòè. Çà âðåìÿ ìåæäó ñîóäàðåíèÿìè ìîëåêóëà íàáèðàåò ñêîðîñòü g , à ïîñëå óäàðà îá ýòîì çàáûâàåò, è ïðèõîäèòñÿ íàáèðàòü íàïðàâëåííóþ ñêîðîñòü ñíîâà. Ðàâåíñòâî ïîòîêîâ:
ng
= ng=vT =
îòêóäà ïîëó÷àåì
dn n
D
dn dh
= v3g2 dh =
=
vT dn 3 dh ;
mg dh ; kT
T
÷òî äàñò îïÿòü áàðîìåòðè÷åñêóþ ôîðìóëó. Ïðàâäà, ýòè ðàññóæäåíèÿ äîïóñêàþò ÷èñëåííûå êîýôôèöèåíòû ïîðÿäêà 1, íî ñðàâíåíèå ñ ðàñïðåäåëåíèåì Áîëüöìàíà ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ñîîòâåòñòâèå. Òåïåðü ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà íà áîëåå øèðîêèé êëàññ ¾ìîëåêóë¿ áðîóíîâñêèå ÷àñòèöû. Êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ÷àñòèöû îöåíèì êàê ðàç èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà ïîòîêîâ
nu =
nmg
=
D
dn ; dh
ãäå u íàïðàâëåííàÿ ñêîðîñòü ÷àñòèöû, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ (ñèëà = ñêîðîñòü). Ïîäñòàâëÿÿ ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà, n n0 mgh=kT , ïîëó÷èì D kT= . Ýòî ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì Ýéíøòåéíà. Ïðè ñòîêñîâîì ðåæèìå òðåíèÿ r. Íàïðèìåð, äëÿ ìèêðîííûõ ÷àñòèö â âîäå D kT= r 9 ñì2/ñ . Äëÿ òàêèõ æå ÷àñòèö ¾âûñîòà¿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áîëüöìàíà áóäåò 5 kT =mg ñì, òî åñòü 1/10 ðàäèóñà.  íà÷àëå XX âåêà Æ.Ïåððåí (18701942) ïðîäåëàë òàêèå ýêñïåðèìåíòû, íàáëþäàÿ êîëè÷åñòâî ÷àñòèö â ïîëå çðåíèÿ ìèêðîñêîïà ñ ìàëîé ãëóáèíîé ðåçêîñòè â çàâèñèìîñòè îò âûñîòû, è îïðåäåëèë ïîñòîÿííóþ Áîëüöìàíà k . Âèäíî, ÷òî îïûòû áûëè íå òàêèå Ðèñ. 7.3. ïðîñòûå. Çàìåòíî óìåíüøèòü ÷àñòèöû íåëüçÿ, à òî èõ íå áóäåò âèäíî â ìèêðîñêîï (äëèíà âîëíû ñâåòà äåñÿòûå äîëè ìèêðîíà). Íåñêîëüêî îáëåã÷àåò äåëî ïëàâó÷åñòü (÷àñòèöû âçâåøåíû â âîäå, è ìîæíî ïîäîáðàòü ìàòåðèàë
=
=6 =
= 10
=
(6 ) = 2 10
exp(
)
7.2.
77
Ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà
íåìíîãî ïëîòíåå âîäû, ÷òî ðàâíîñèëüíî óìåíüøåíèþ ìàññû, ñêàæåì, íà ïîðÿäîê). ×àñòèöû äîëæíû áûòü òî÷íî îäèíàêîâûìè, è åñòü åùå ðÿä äðóãèõ òðóäíîñòåé. Êðîìå òîãî, Ïåððåí èññëåäîâàë äèôôóçèîííîå ïåðåìåùåíèå òàêèõ ÷àñòèö. Çà 30 ñ p 4 ñìåùåíèå ÷àñòèöû äîëæíî áûòü ïîðÿäêà Dt ñì. Èç íàáëþäåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü âåëè÷èíó D è, çíà÷èò, ïîñòîÿííóþ Áîëüöìàíà. Îäíîâðåìåííî îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëî Àâîãàäðî (kNA R). Ïîñëå îïûòîâ Ïåððåíà ðåàëüíîñòü ìîëåêóë ñòàëà ñ÷èòàòüñÿ äîêàçàííîé.  êà÷åñòâå ÷àñòèö èñïîëüçîâàëèñü øàðèêè èç ñìîëû ãóììèãóòà èëè ìàñòèêè. Ýòîò âûáîð îïðåäåëÿëñÿ, â ÷àñòíîñòè, áëèçîñòüþ ïëîòíîñòåé ìàòåðèàëà è âîäû.  ýòèõ 5 îïûòàõ â øèðîêèõ ïðåäåëàõ èçìåíÿëèñü ðàçìåðû ÷àñòèö (îò ; äî 5 ñì), âÿçêîñòü æèäêîñòè (â 125 ðàç), òåìïåðàòóðà. Íà ðèñóíêå 7.3 èçîáðàæåíû ïîñëåäîâàòåëüíî èçìåðåííûå Ïåððåíîì ÷åðåç t ñ ïîëîæåíèÿ òðåõ áðîóíîâñêèõ ÷àñòèö ðàäèóñà ; ìêì. Øèðèíà ïîëÿ çðåíèÿ ìêì.
2 10
=
2 12 10
0 52
7.2
68
55 10
= 30
Ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà. Óñòàíîâëåíèå ðàâíîâåñèÿ. Ñêîðîñòü õèìè÷åñêîé ðåàêöèè
Ìîëåêóëû ÿâíî èìåþò íåîäèíàêîâûå ñêîðîñòè. Óìåñòåí âîïðîñ îá èõ ðàñïðåäåëåíèè ïî ñêîðîñòÿì, à èìåííî, êàêàÿ äîëÿ ìîëåêóë èìååò íåêîòîðóþ ñêîðîñòü. Âèäèìî, èñêàòü ìîëåêóëó ñ òî÷íî çàäàííîé ñêîðîñòüþ, ñêàæåì, ïî îñè X, áåñïîëåçíî, è ðàçóìíåå ãîâîðèòü î ïîïàäàíèè â íåêîòîðûé èíòåðâàë ñêîðîñòåé. Åñëè ïîëíîå ÷èñëî ìîëåêóë N , òî èíòåðåñóþùàÿ íàñ äîëÿ ïðîïîðöèîíàëüíà èíòåðâàëó:
dN N
= f (vx)dvx :
Òî, ÷òî îñòàëîñü íåèçâåñòíûì, è åñòü èíòåðåñóþùàÿ íàñ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ñêîðîñòÿì f vx . Ýòî ïîïðîñòó âåðîÿòíîñòü ìîëåêóëå èìåòü ñêîðîñòü â åäèíè÷íîì èíòåðâàëå âîçëå vx . Ðàçìåðíîñòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ñêîðîñòÿì [ñ/ñì], è åå õàðàêòåðíàÿ âåëè÷èíà äîëæíà áûòü ïîðÿäêà îáðàòíîé òåïëîâîé ñêîðîñòè ìîëåêóë.
( )
Ïîïðîáóåì ñâÿçàòü ðàñïðåäåëåíèå ïî ñêîðîñòÿì ñ èçâåñòíûì óæå íàì ðàñïðåäåëåíèåì Áîëüöìàíà. Ïóñòü íåêîòîðûé îáúåì ðàçäåëåí ãðàíèöåé, ñëåâà îò êîòîðîé ìîëåêóëû íå èìåþò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, à ñïðàâà èìåþò U , ïðè÷åì U > . Âñåãäà ìîæíî ïîäîáðàòü òàêóþ ñêîðîñòü V , ÷òî mV 2 = U . Ñîãëàñíî ðàñïðåäåëåíèþ Áîëüöìàíà, ìîëåêóë ñïðàâà ìåíüøå:
0
2=
n = n0 exp
U kT
= n0 exp
mV 2 2kT
:
Ðàçóìååòñÿ, â ðàâíîâåñèè òåìïåðàòóðû â îáåèõ ÷àñòÿõ ñîñóäà îäèíàêîâû. Äîëæíû áûòü ðàâíû è ïîòîêè ìîëåêóë ñëåâà íàïðàâî è ñïðàâà íàëåâî:
n0
Z1 V
vx f (vx ) dvx = n
Z1 0
vx f (vx) dvx :
78
Ãëàâà 7.
ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ
Êàæäàÿ ãðóïïà ñî ñêîðîñòüþ vx äàåò âêëàä â ïîòîê, ïðîïîðöèîíàëüíûé ñâîåé ñêîðîñòè.  ëåâîé ÷àñòè èíòåãðèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ îò ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòè V , êîòîðîé êàê ðàç õâàòèò äëÿ ïðåîäîëåíèÿ ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà. Ñïðàâà æå ïðîëåòèò ëþáàÿ ìîëåêóëà, ëèøü áû îíà ëåòåëà â íóæíóþ ñòîðîíó. Âîîáùå-òî ïðàâûé èíòåãðàë ïðàâèëüíåå ïèñàòü îò 1 äî , íî èç ñèììåòðèè îí òàêîé æå, êàê îò äî 1. Îáà èíòåãðàëà èìåþò ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè, ïðè÷åì ïðàâûé ýòî ïðîñòî íåêîòîðàÿ ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ìîëåêóë, ïîðÿäêà òåïëîâîé. Ëåâûé æå çàâèñèò åùå îò ïåðåïàäà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ÷åðåç p ïðåäåë èíòåãðèðîâàíèÿ V U=m. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà ïîòîêîâ ïî ãðàíè÷íîé ñêîðîñòè V . Ñëåâà ïîëó÷èòñÿ ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ñ ìèíóñîì (íèæíèé ïðåäåë), ñïðàâà îò V çàâèñèò òîëüêî ïëîòíîñòü n:
0
0
= 2
d n0 V f (V ) = n0 dV
exp
Z1
mV 2 2kT
Ïîëó÷àåì
vx f (vx ) dvx =
0
f (V ) = A exp
m n0 V kT
mV 2 2kT
exp
mV 2 2kT
Z1
vx f (vx ) dvx :
0
;
ãäå êîýôôèöèåíò A çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû, à ïî âåëè÷èíå îí ïîðÿäêà îáðàòíîé òåïëîâîé ñêîðîñòè. Îêîí÷àòåëüíî èìååì ðàñïðåäåëåíèå ïî ñêîðîñòè vx :
m 1=2 2 x = A exp mv dvx = 2kT 2kT exp Çäåñü íàïèñàíî åùå è çíà÷åíèå A ñ íåêîòîðûì îïådN N
mvx2 2kT
dvx :
ðåæåíèåì ñîáûòèé. Ìîæíî áûëî ïðîñòî íàïèñàòü ýòî ðàñïðåäåëåíèå ïî àíàëîãèè ñ áîëüöìàíîâñêèì; òîëüêî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ çàìåíÿåò ïîòåíöèàëüíóþ. Ìû ïîëó÷èëè îäèí èç âàðèàíòîâ ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà. Ãðàôèê ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà ñèììåòðè÷íàÿ êîëîêîëîîáðàçíàÿ êðèâàÿ, îáà íàïðàâëåÐèñ. 7.4. íèÿ ñêîðîñòè ðàâíîâåðîÿòíû (ðèñ. 7.4). Íàèáîëåå âåðîÿòíû ñêîðîñòè vx âáëèçè íóëÿ. Äëÿ î÷èñòêè ñîâåñòè íàéäåì êîýôôèöèåíò A èç óñëîâèÿ
1Z
N
N
dN
=
Z1 1
f (vx ) dvx = A
Z1 1
exp
mvx2 2kT
dvx = 1 ;
÷òî ïîïðîñòó îçíà÷àåò, ÷òî êàêóþ-òî ñêîðîñòü èìååò ëþáàÿ ìîëåêóëà.  èíòåãðàëå äëÿ óïðîùåíèÿ îáîçíà÷àåì mvx2 = kT x2 (x áåçðàçìåðíàÿ ïåðåp ìåííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ; dvx kT =m dx. Ïîëó÷àåì
= 2
A
p
(2 ) =
Z1
2kT=m exp( 1
x2 ) dx = 1 :
7.2.
79
Ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà
Ïîñëåäíèé èíòåãðàë ýòî ïðîñòî êàêîå-òî ÷èñëî ïîðÿäêà 1. Åãî ìîæíî íàéòè õîòÿ áû ÷èñëåííî. Íî ìîæíî è íà ðóêàõ (âû÷èñëåíèå èìååòñÿ ó Ôåéíìàíà). Îáîçíà÷àåì åãî J . Òîãäà Z Z Z Z
J2 =
exp(
x2 ) dx
exp(
y 2 ) dy =
exp(
(x2 + y2)) dxdy ;
ïîòîìó ÷òî ïðîèçâåäåíèå ñóìì ýòî ñóììà âñåâîçìîæíûõ ïðîèçâåäåíèé. Èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî âñåé ïëîñêîñòè XY, dxdy ýòî ýëåìåíòàðíàÿ ïëîùàäêà. Óäîáíåå ïîðåçàòü ïëîñêîñòü íà òîíêèå êîëüöà:
J
2
Z1
= exp(
r
2
Z1
) 2r dr = exp( z) dz = :
0
=p
0
p
=
(2
)
Âèäèì, ÷òî J è îêîí÷àòåëüíî A m= kT . Ñ ýòèì ðàñïðåäåëåíèåì óæå âîçìîæíû êîå-êàêèå âû÷èñëåíèÿ. Íàéäåì äëÿ íà÷àëà ïîòîê ìîëåêóë ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó (÷èñëî óäàðîâ î ñòåíêó):
j
=n
Z1
vx f (vx)dvx = n
m 1=2 Z1
2kT
0
vx exp
mvx2 2kT
0
dvx :
Ýòîò èíòåãðàë ïðîùå, òàê êàê ìîæíî âíåñòè vx ïîä äèôôåðåíöèàë. Îáîçíà÷àåì mvx2 = kT x, òîãäà
(2 ) =
j=n
m 1=2 kT Z1
2kT
m
kT x) dx = n 2m
exp(
0
6
1=2
r
= n 3mkT p16 :
Äî ñèõ ïîð ìû îöåíèâàëè ïîòîê êàê nvT = ; òåïåðü âèäíî, ÷òî ïðàâèëüíûé êîýôôèöèåíò p = ; âìåñòî = ; : îòëè÷èå â ; ðàçà. Îáû÷íî ïîòîê ïèøóò â âèäå p nhv i= , ãäå hv i kT=m òàê íàçûâàåìûé ñðåäíèé ìîäóëü ñêîðîñòè ; vT . Íàéäåì ñðåäíèé êâàäðàò ñêîðîñòè
1 6 = 0 2303 1 6 = 0 1667 4 = 8 h i= vx2
Z1
vx2 f
(vx)dvx
Z1
0
f (vx )dvx =
0
Z1
1 382
vx2
exp
0
= 0 9213
mvx2 2kT
dvx
Z1 0
exp
mvx2 2kT
0 1) èç ñèììåòðèè. Îáîçíà÷àåì m=2kT = . Òîãäà
Ìîæíî áðàòü èíòåðâàë (
hvx2 i =
Z1
vx2 exp( vx2 )dvx
Z1
0
exp(
0
 èíòåãðàëå óìíîæàåì è äåëèì vx íà
0
h i= vx2
d @ 1 ln p d
Z1 0
exp(
p ;
vx2 )dvx =
d
p = u:
u )duA = 2
d d
dvx :
01 1 Z d @ ln exp( vx2 )dvxA : 0
vx
1
1 ln p = 21 = kT : m
80
Ãëàâà 7.
2=
ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ
2
Ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ áóäåò mvx2 = kT= . Íå âèäíî, ÷òî ìû ïîëó÷èëè ÷òîòî íîâîå: ðàáîòû ïðîäåëàíî ìíîãî, à ðåçóëüòàò ìû çíàëè çàðàíåå. Íà ñàìîì æå äåëå òîëüêî ÷òî äîêàçàíà òåîðåìà î ðàâíîðàñïðåäåëåíèè ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû: åñëè ýíåðãèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó êîîðäèíàò èëè ñêîðîñòåé, òàêèå æå âûêëàäêè äàäóò kT = íà ëþáóþ ñòåïåíü ñâîáîäû ïðè êëàññè÷åñêîé (Ìàêñâåëëà Áîëüöìàíà) ñòàòèñòèêå.
2
Åñëè ðàññìàòðèâàòü òðè êîìïîíåíòû ñêîðîñòè, òî îíè ðàâíîïðàâíû:
dN N
m 3=2
= 2kT
exp
m(vx2 + vy2 + vz2 ) 2kT
dvxdvy dvz :
Åñëè åùå íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè íå âàæíî, óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ íå ïàðàëëåëåïèïåäîì â ïðîñòðàíñòâå ñêîðîñòåé, à øàðîâûì ñëîåì:
dN N
m 3=2
= 2kT
exp
mv 2 2kT
4v2dv :
Ñèòóàöèÿ, â êîòîðîé ðàñïðåäåëåíèå ïî ñêîðîñòÿì æèçíåííî âàæíî ýòî õèìè÷åñêèå ðåàêöèè. Íàïðèìåð, ñìåñü âîäîðîäà è êèñëîðîäà ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå ñîõðàíÿåòñÿ ãîäàìè, à ïðè ïîäæèãàíèè âçðûâàåòñÿ. Äëÿ ðåàêöèè ÷àñòî ìîëåêóëû äîëæíû ïðåîäîëåòü ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð, òî åñòü èìåòü ýíåðãèþ â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ íå ìåíåå ýíåðãèè àêòèâàöèè EA . Äîëÿ òàêèõ ìîëåêóë ïðîïîðöèîíàëüíà EA =kT , ÷òî è îáúÿñíÿåò êàæóùóþñÿ ñòàáèëüíîñòü íåðàâíîâåñíîé ñìåñè H2 + O2 . Ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû âåëèê, è ñêîðîñòü ðåàêöèè ïðîñòî î÷åíü ìàëà. Ïðè íàãðåâå æå ñêîðîñòü âîçðàñòàåò, è ïðè êàêîé-òî òåìïåðàòóðå âûäåëåíèå òåïëà îò ðåàêöèè ïðåâûñèò òåïëîîòâîä. Íà÷íåòñÿ ñàìîðàçîãðåâ, è ñìåñü âçîðâåòñÿ. Ýíåðãèè àêòèâàöèè òîãî æå ïîðÿäêà, ÷òî è òåïëî ðåàêöèè (ýëåêòðîíâîëüò/ìîëåêóëó); íàïðèìåð, ÷òîáû ïîëó÷èòü âîäó, íàäî ñíà÷àëà, ãðóáî ãîâîðÿ, ðàçîðâàòü ìîëåêóëó êèñëîðîäà.
exp(
)
Íàêîíåö, îáñóäèì âîïðîñ îá óñòàíîâëåíèè ðàâíîâåñèÿ. Äîïóñòèì, ïîëîâèíà ìîëåêóë ëåòèò òî÷íî âïðàâî, äðóãàÿ ïîëîâèíà òî÷íî âëåâî, ïðè÷åì âñå ñêîðîñòè îäèíàêîâû.  ïëîñêîñòÿõ âíóòðè îáúåìà, ðàñïîëîæåííûõ íà ðàññòîÿíèè ïðèìåðíî â äëèíó ñâîáîäíîãî ïðîáåãà , ýòè ïîòîêè âñòðå÷àþòñÿ è óïðóãî îòðàæàþòñÿ äðóã îò äðóãà; ñîóäàðåíèÿ ëîáîâûå. Ñêîëüêî ìîæåò ïðîäîëæàòüñÿ ýòà ÿâíî íåðàâíîâåñíàÿ ñèòóàöèÿ? Èç-çà íåèçáåæíûõ ìàëûõ âîçäåéñòâèé ñíàðóæè ìîëåêóëû áóäóò ñëåãêà îòêëîíÿòüñÿ îò ïðÿìîãî ïóòè. Ïóñòü îäíà ìîëåêóëà îòêëîíèëàñü çà âðåìÿ ìåæäó óäàðàìè íà ïîïåðå÷íîå ðàññòîÿíèå Æ , òîãäà âîçíèêàåò ìàëûé óãîë Æ=R, ãäå R ðàçìåð ìîëåêóëû. Ïîñëå ñîóäàðåíèÿ ìîëåêóëà îòëåòèò óæå ïîä óãëîì ïîðÿäêà Æ=R è íà ïóòè äî ñëåäóþùåãî óäàðà íàáåðåò Æ 0 Æ =R . Îòêëîíåíèå âîçðîñëî âî ìíîãî ðàç (äëÿ íîðìàëüíûõ óñëîâèé â ). Íà ñëåäóþùèé ðàç îïÿòü áóäåò òàêîå æå óâåëè÷åíèå, è ò.ä. Ïóñòü íàì óäàëîñü ñêîìïåíñèðîâàòü âñå ïîìåõè, êðîìå îäíîãî-åäèíñòâåííîãî àòîìà âîäîðîäà, íàõîäÿùåãîñÿ íà ãðàíèöå Âñåëåííîé (L 9 ñâ. ëåò = 27 ñì). Îí ïðîèçâåäåò
=
1000
= (2
)
10
2
10
7.2.
81
Ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà
ñìåùåíèå
Gm 2 L vT
2
2 5 6 ;7 10 8 1;6 10 24 10 = 3 104 ' 10 1054
88
ñì:
Åñëè êàæäûé ðàç ýòî ñìåùåíèå âîçðàñòàåò íà òðè ïîðÿäêà, òî ïðèìåðíî ÷åðåç 88/3 29 ñîóäàðåíèé ïîëó÷èëñÿ áû 1 ñì, à ðàçìåð àòîìà ÷åðåç 80/3 27 öèêëîâ, ïî âðåìåíè ýòî 8 îäíî è òî æå ïðèìåðíî ñ. ×åðåç ýòî âðåìÿ ó íàñ áóäóò äâå ìîëåêóëû, ëåòàþùèå óæå êàê ïðèäåòñÿ. Îíè íà÷íóò ñòàëêèâàòüñÿ ñ äðóãèìè è íàðóøàòü ïåðâîíà÷àëüíûé ïîðÿäîê. Ïðè êàæäîì óäàðå ÷èñëî ¾íåïðàâèëüíûõ¿ ìîëåêóë óäâàèâàåòñÿ. Îïÿòü ÷åðåç íåñêîëüêî äåñÿòêîâ ñîóäàðåíèé â ãàçå âîöàðèòñÿ ïîëíûé áåñïîðÿäîê, êîòîðûé ìû è íàçûâàåì ðàâíîâåñèåì. Åñëè òåïåðü ìû îáðàòèì ñêîðîñòè ìîëåêóë, òî ñèñòåìà íå âåðíåòñÿ â èñõîäíîå íåðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå. Ê íåìó âåäåò îäèí ïóòü, à ê ðàâíîâåñíûì, áîëåå âåðîÿòíûì íå ïðîñòî ìíîãî ïóòåé, à ïîäàâëÿþùå ìíîãî. Îïÿòü ìîëåêóëû ñîáüþòñÿ ñ êóðñà è îñòàíóòñÿ â ðàâíîâåñèè ñ òî÷íîñòüþ äî ôëóêòóàöèé. Áîëüöìàí ýòî ÷óâñòâîâàë è òàê è ãîâîðèë îïïîíåíòàì: ïîïðîáóéòå, ïîâåðíèòå èõ! Íî óáåäèòü íå ñìîã, è êîí÷èëîñü ýòî ïëîõî. Òîãäà íå î÷åíü ïîíèìàëè, ÷òî òàêîå íåóñòîé÷èâîå äâèæåíèå. Ìû óæå âèäåëè ïðèìåðû äèíàìè÷åñêîãî õàîñà äàæå â ïðîñòûõ ñèñòåìàõ. Îäèí ìîëü ãàçà ýòî î÷åíü ñëîæíàÿ ñèñòåìà, è â íåé õàîñ òåì áîëåå òîðæåñòâóåò. Ñåé÷àñ åñòü ìíåíèå, ÷òî íàïðàâëåíèå õîäà âðåìåíè êàê ðàç çàäàåòñÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèìè ïðîöåññàìè, ïðèáëèæàþùèìè áîëüøèå ñèñòåìû ê ðàâíîâåñèþ (¾ýíòðîïèéíàÿ ñòðåëà âðåìåíè¿).
10
Ãëàâà 8
ÑÆÈÌÀÅÌÎÑÒÜ. ÀÊÓÑÒÈÊÀ. ÓÄÀÐÍÛÅ ÂÎËÍÛ
 ýòîì ðàçäåëå ðàññìîòðåíû îñíîâíûå îñîáåííîñòè ñæèìàåìûõ òå÷åíèé.  áûòó ïðîÿâëåíèå ñæèìàåìîñòè àêóñòèêà, èëè ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà. Çäåñü èçëàãàåòñÿ íåòðàäèöèîííàÿ ¾óäàðíàÿ¿ àêóñòèêà. Ñèíóñîèäàëüíûå âîëíû è ìíîãèå äðóãèå òåìû íå ðàññìàòðèâàþòñÿ. Âàæåí ó÷åò ñæèìàåìîñòè â àýðîäèíàìèêå è, êîíå÷íî, â çàäà÷àõ, ñâÿçàííûõ ñî âçðûâîì è óäàðíûìè âîëíàìè. Îòäåëüíî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñâåðõñæèìàåìàÿ ñðåäà õîëîäíûé ìåæçâåçäíûé ãàç. Ýòèì çàêàí÷èâàåòñÿ íàøå èçëîæåíèå ãèäðîäèíàìèêè, íà÷àâøååñÿ ñ ìîäåëè èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè.
8.1
Àêóñòèêà
Ïðåäñòàâèì ñåáå òðóáó, ïî êîòîðîé òå÷åò æèäêîñòü ñî ñêîðîñòüþ V (ðèñ. 8.1). Ïóñòü â íåêîòîðîì ñå÷åíèè çàñëîíêà ìãíîâåííî ïåðåêðûâàåò ïîòîê. Êàêèì áóäåò äàâëåíèå íà çàñëîíêó? Íåñæèìàåìàÿ æèäêîñòü äîëæíà îñòàíîâèòüñÿ ñðàçó. Åå èìïóëüñ ìåíÿåòñÿ ìãíîâåííî, è íà çàñëîíêó äåéñòâóåò áåñêîíå÷íàÿ ñèëà, õîòÿ è áåñêîíå÷íî ìàëîå âðåìÿ. Òàêàÿ êàðòèíà ÿâíî ñëèøêîì èäåàëèçèðîâàíà. Ñíà÷àëà îñòàíîâèòñÿ ÷àñòü æèäêîñòè âáëèçè çàñëîíêè, ñêîðîñòü åå ñòàíåò ðàâíà íóëþ, à äàâëåíèå ïîâûñèòñÿ íà âåëè÷èíó P . Ýòîò ó÷àñòîê ïîäåéñòâóåò íà ñëåäóþùèé òàê æå, êàê çàñëîíêà, Ðèñ. 8.1. è òàêîå ñîñòîÿíèå ñ íåïîäâèæíîé æèäêîñòüþ è ïîâûøåííûì äàâëåíèåì áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïðîòèâ òå÷åíèÿ ñî ñêîðîñòüþ çâóêà C (çâóê ýòî è åñòü ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ èçìåíåíèé äàâëåíèÿ). Çà âðåìÿ t îñòàíàâëèâàåòñÿ ìàññà âîäû m C tS , èçìåíåíèå èìïóëüñà V m V C tS . Ñëåäîâàòåëüíî,
=
=
82
8.1.
83
Àêóñòèêà
ïåðåïàä äàâëåíèÿ
P = V C :
Ýòî î÷åíü áîëüøàÿ âåëè÷èíà ïî ñðàâíåíèþ ñ èçâåñòíûì íàì ãèäðîäèíàìè÷åñêèì íàïîðîì V 2 = . Âìåñòî êâàäðàòà ñêîðîñòè ïîÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèå ñêîðîñòè òå÷åíèÿ íà áîëüøóþ ñêîðîñòü çâóêà. Ìîæíî îáúÿñíèòü ýòî òàê: ãèäðîäèíàìè÷åñêèé íàïîð âîçíèêàåò ïðè îáòåêàíèè, íàïðèìåð, ñòðóÿ ðàñòåêàåòñÿ ïî ñòåíêå, ãäå æèäêîñòè åñòü êóäà ñâåðíóòü.  òðóáå æå äåâàòüñÿ íåêóäà, è òå÷åíèþ ïðèõîäèòñÿ îñòàíîâèòüñÿ. Ñêîðîñòü çâóêà â âîäå ; êì/ñ. Ïðè ñêîðîñòè òå÷åíèÿ 3 ì/ñ äàâëåíèå áóäåò 45 àòì. Òàêàÿ íàãðóçêà ãèäðàâëè÷åñêèé óäàð îïàñíà äëÿ òðóá. Ïîýòîìó âîäîïðîâîäíûå êðàíû äåëàþò ìåäëåííî çàêðûâàþùèìèñÿ.  âîëíå íåñêîëüêî èçìåíÿåòñÿ ïëîòíîñòü. Çà âðåìÿ t âîëíà ïðîéäåò Ct, à æèäêîñòü åé íàâñòðå÷ó V t (ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî æèäêîñòè C V ). Ñæàòàÿ ìàññà áóäåò C V 0 tS . Ýòà ìàññà òåïåðü íàõîäèòñÿ â îáúåìå CtS ; ïëîòíîñòü 0 C V =V . Èçìåíåíèå ïëîòíîñòè
2
15
+
( + )
= ( + )
= V : 0
C
Íåñæèìàåìàÿ æèäêîñòü, äëÿ êîòîðîé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü èçìåíåíèåì ïëîòíîñòè ýòî æèäêîñòü ñ áîëüøîé ñêîðîñòüþ çâóêà èëè ìàëîé ñêîðîñòüþ òå÷åíèÿ1 . Çàìåòèì, ÷òî P= C 2 (ýòî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îïðåäåëåíèå ñêîðîñòè çâóêà).  ãàçå ñæàòèå â çâóêîâîé âîëíå ìîæíî ñ÷èòàòü àäèàáàòè÷åñêèì: P ; P= P=.  âîçäóõå p ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ C
P= ì/ñ. Çâóêîâûìè èëè àêóñòè÷åñêèìè íàçûâàþò âîëíû, â êîòîðûõ ñêîðîñòè âåùåñòâà V C è 0 .  ãàçå ïðè ýòîì P P0 . Äëÿ ñòàëè C ; êì/ñ è ïðè V ; êì/ñ äàâëåíèå áóäåò 4 àòì. Ýòî ìíîãî ïî áûòîâûì ìàñøòàáàì, íî íåäîñòàòî÷íî äëÿ çàìåòíîãî èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè, òàê ÷òî âîëíà âïîëíå çâóêîâàÿ.
=
=
4 10
Ðèñ. 8.2.
= 330
=
=55
=01
Ðèñ. 8.3.
Ïóñòü âîëíà ñî ñêîðîñòüþ âåùåñòâà (íàçûâàåìîé åùå ìàññîâîé) V è äàâëåíèåì P 0 V C ïàäàåò ñëåâà íà æåñòêóþ ñòåíêó, ãäå, ïî îïðåäåëåíèþ, ñêîðîñòü ðàâíà
=
íàçûâàòü ñêîðîñòüþ âîëíû âåëè÷èíó C + V , òî åñòü ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî íåñæàòîé æèäêîñòè. Íî â àêóñòèêå ýòà ðàçíèöà íåñóùåñòâåííà, òàê êàê ïðåäïîëàãàåòñÿ ìàëîñòü ñêîðîñòè V . 1 Ïðàâèëüíåå
84
Ãëàâà 8.
ÑÆÈÌÀÅÌÎÑÒÜ. ÀÊÓÑÒÈÊÀ. ÓÄÀÐÍÛÅ ÂÎËÍÛ
íóëþ.  òàêèõ çàäà÷àõ ïîëåçåí ñëåäóþùèé ïðèåì. Äîïóñòèì, ÷òî íèêàêîé ñòåíêè íåò, à â îäíîðîäíîé ñðåäå ñòàëêèâàþòñÿ äâå âîëíû: ñïðàâà ïðèõîäèò âîëíà ñî ñêîðîñòüþ V è äàâëåíèåì P . Ñêëàäûâàÿ ýòè âîëíû, ïîëó÷èì óäâîåíèå äàâëåíèÿ è íóëåâóþ ñêîðîñòü â ïëîñêîñòè ñèììåòðèè ìåñòå âñòðå÷è (ðèñ. 8.2). Ïîñêîëüêó â ïëîñêîñòè ñèììåòðèè ìû äîáèëèñü íóëåâîé ñêîðîñòè, ýòó ïëîñêîñòü ìîæíî òåïåðü çàìåíèòü æåñòêîé ñòåíêîé; ñëåâà îò ñòåíêè äâèæåíèå áóäåò òàêîå æå.
+
Åñëè âîëíà îòðàæàåòñÿ îò ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè (íàïðèìåð, âûõîäèò èç âîäû â âîçäóõ), òî íà ãðàíèöå äàâëåíèå ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûì ( P ). Òîãäà íàäî ñêëàäûâàòü âîëíû ( V ; P ) ñëåâà è ( V ; P ) ñïðàâà. Íà ãðàíèöå ïîëó÷èì P , ñêîðîñòü ãðàíèöû áóäåò V (ðèñ. 8.3).
0
+
+ 2
+
=0
=
Åñëè â èñõîäíîé âîëíå äàâëåíèå ñïàäàåò, ôèêòèâíóþ âñòðå÷íóþ âîëíó íàäî ðèñîâàòü òàêîé æå (ðèñ. 8.4). Âèäíî, ÷òî â ñðåäå ìîæåò ïîÿâèòüñÿ îòðèöàòåëüíîå äàâëåíèå (ðàñòÿæåíèå). Åñëè óäàðèòü ïî áðîíå, âíóòðü ïîéäåò êàê ðàç òàêîé èìïóëüñ. Åãî îòðàæåíèå îò âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè ïðèâåäåò ê ðàñòÿæåíèþ ìàòåðèàëà è îòêîëó íåêîòîðîãî ñëîÿ, åñëè äàâëåíèå óäàðà âåëèêî ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðî÷Ðèñ. 8.4. íîñòüþ. Ïðî÷íîñòü ñòàëè îêîëî 4 àòì, óäàð èëè âçðûâ ìîãóò äàòü ãîðàçäî áîëüøå. Îòêîëîâøèéñÿ ñëîé â âèäå ãðóïïû îñêîëêîâ ìîæåò ëåòåòü ñî ñêîðîñòüþ â ñîòíè ìåòðîâ â ñåêóíäó.
10
Ðèñ. 8.5. Èíòåðåñíàÿ êàðòèíà ïîëó÷àåòñÿ ïðè âçðûâå öèëèíäðè÷åñêîãî çàðÿäà â òîëñòîé ìåäíîé îáîëî÷êå. Ðåçóëüòàò ïîêàçàí íà ðèñ. 8.5: ñïåðåäè îòðûâàåòñÿ êîíóñ. Ïîïûòàéòåñü îáúÿñíèòü ýôôåêò ñ òî÷êè çðåíèÿ àêóñòèêè.
8.2
Çàêîí Áåðíóëëè äëÿ ñæèìàåìîãî òå÷åíèÿ
Ðàññìàòðèâàÿ òå÷åíèÿ ñæèìàåìîé ñðåäû, ìû òîæå áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ çàêîíîì Áåðíóëëè, îäíàêî â óòî÷íåííîì âèäå. Äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè âäîëü òðóáêè òîêà ïîñòîÿííà âåëè÷èíà SV V 2 = P= .  ñêîáêàõ V 2 = êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ åäèíè÷íîé ìàññû, ñëàãàåìîå P= âîçíèêàåò èç-çà ðàáîòû ñèë äàâëåíèÿ.  òå÷åíèÿõ, ãäå ñóùåñòâåííû ñæàòèå è ðàñøèðåíèå, íàäî ó÷åñòü è âíóòðåííþþ ýíåðãèþ E , äîáàâèâ åå â ñêîáêó. Äëÿ ãàçà íà åäèíèöó ìàññû E P= , ãäå
(
2+
)
= (
2
1)
8.2.
Çàêîí Áåðíóëëè äëÿ ñæèìàåìîãî òå÷åíèÿ
85
SV
= const èç ñîõðàíåíèÿ ìàññû, ïîëó÷àåì
ïîêàçàòåëü àäèàáàòû ãàçà. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
V2
P + 2 ( 1) = const
âäîëü ëèíèè òîêà â ñòàöèîíàðíîì òå÷åíèè. Íàéäåì óñëîâèÿ, ñîçäàþùèåñÿ íà íîñó äîçâóêîâîãî ñàìîëåòà. Òàê êàê ïðîùå âñåãî ñíà÷àëà íàéòè òåìïåðàòóðó:
P
= RT=,
= T + 2 1 VR : Ïðè V = 250 ì/ñ, = 30 ã/ìîëü, = 1;4 èìååì T = T + 32 Ê, ò.å. ðîñò òåìïåðàòóðû îêîëî 11% ïðè T = 300 Ê. Çàêîí Áåðíóëëè ïðåäïîëàãàåò îòñóòñòâèå òåïëîîáìåíà â T
2
0
0
0
òå÷åíèè. Ñ÷èòàÿ ñæàòèå àäèàáàòè÷åñêèì, ïîëó÷èì
0
=
T 11 T0
òàê ÷òî ïëîòíîñòü âîçðàñòàåò ïðèìåðíî â
P P0
=
1;11 ;
T ;
25
T0
25
;
ðàç, èëè íà 29%. Äëÿ äàâëåíèÿ
T 1 ; = = T 0
0
1 11 = 1 43 = 0 0012
ò.å. äàâëåíèå óâåëè÷èòñÿ îò 1 äî ; 3;5 ; àòì. Íàïîð äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè (ïðè íà÷àëüíîé ïëîòíîñòè 0 ; ã/ñì3 , ñîãëàñóþùåéñÿ ñ P0 è T0 ) 0 V 2 = ; àòì ëèøü íåìíîãî ìåíüøå ïðàâèëüíîãî çíà÷åíèÿ ; àòì. Ïðè ïîëåòå ñî ñêîðîñòüþ çâóêà (330 ì/ñ) T=T0 ; , =0 ; , P=P0 ; , 0 V 2 = ; àòì; ïðè 100 ì/ñ 2 T=T0 ; , =0 ; , P=P0 ; è 0 V = ; àòì. Îïÿòü âèäíî, ÷òî äëÿ íåñæèìàåìîñòè ñêîðîñòü äîëæíà áûòü çàìåòíî íèæå çâóêîâîé. Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ ìàëûõ ñêîðîñòåé äèíàìè÷åñêèé íàïîð ñîâïàäàåò ñ íåñæèìàåìûì ñëó÷àåì. Ïóñòü ãàç âûòåêàåò èç ñîñóäà ñ ïîâûøåííûì äàâëåíèåì ÷åðåç îòâåðñòèå. Åñëè äàâëåíèå ñíàðóæè ìàëî, ñòðóÿ ãàçà ìîæåò ðàçîãíàòüñÿ äî ñêîðîñòè çâóêà. Òàêîé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì èñòå÷åíèåì. Çàïèøåì çàêîí Áåðíóëëè
= 1 19 = 1 044
= 1 017
= 1 54 = 1 0615
0 43 = 1 82 2 = 0 66 2 = 0 0602
V2
2 = 0 376
P
P + = 2 1 1 è ïðèðàâíÿåì V = C = P=. Òîãäà C = 2C =( + 1), ãäå C ñêîðîñòü çâóêà â ñîñóäå è T = 2T =( + 1). Äàâëåíèå â êðèòè÷åñêîé òî÷êå ïîëó÷àåì èç óðàâíåíèÿ àäèàáàòû Pc = P (T=T ) = . Äëÿ âîçäóõà Pc = 0;53P . Ìèíèìàëüíîå äàâëåíèå â 0
0
2
2
2
2 0
0
0
0
0
(
1)
0
ñòðóå ðàâíî àòìîñôåðíîìó. Òàêèì îáðàçîì, åñëè P0 ïðåâûøàåò àòìîñôåðíîå äàâëåíèå â ; ðàçà, áóäåò äîñòèãíóòî êðèòè÷åñêîå èñòå÷åíèå è ñêîðîñòü â íåêîòîðîì ñå÷åíèè ïðåâçîéäåò ñêîðîñòü çâóêà. Òîãäà ðàñõîä ãàçà ÷åðåç îòâåðñòèå íå çàâèñèò îò óñëîâèé íèæå ïî òå÷åíèþ, òàê êàê âñÿ èíôîðìàöèÿ îòòóäà áóäåò ñíîñèòüñÿ ïîòîêîì. Ýòî ïîëåçíî
19
86
Ãëàâà 8.
ÑÆÈÌÀÅÌÎÑÒÜ. ÀÊÓÑÒÈÊÀ. ÓÄÀÐÍÛÅ ÂÎËÍÛ
â óñòðîéñòâàõ äîçèðîâêè ãàçà (ìîæíî îòìåðÿòü íóæíûå ïîðöèè íåçàâèñèìî îò óñëîâèé â íàïîëíÿåìîì îáúåìå). Ïëîòíîñòü â êðèòè÷åñêîì ñå÷åíèè 0 T=T0 1=( 1) ; 0 , à ïîòîê ìàññû ÷åðåç 2 îòâåðñòèå â 1 ñì V ; 0 C0 . Èç êîñìè÷åñêîãî êîðàáëÿ îáúåìîì 100 ì3 ÷åðåç òàêîå îòâåðñòèå âîçäóõ âûéäåò ïðèìåðíî çà ÷àñ.
= (
= 0 58
8.3
)
= 0 63
Óäàðíûå âîëíû
Ðàññìîòðèì äâå àêóñòè÷åñêèå âîëíû ñæàòèÿ, ñëåäóþùèå îäíà çà äðóãîé (ðèñóíîê 8.6). Âòîðàÿ âîëíà èäåò ïî äâèæóùåéñÿ ñðåäå; ê òîìó æå ïðè ñæàòèè ðàñòåò ñêîðîñòü çâóêà. Ïîýòîìó âòîðàÿ âîëíà äîãîíèò ïåðâóþ. Ïëàâíàÿ âîëíà ñæàòèÿ, êàê íàëîæåíèå ìíîãèõ ìàëåíüêèõ âîëí, äîëæíà ñòàíîâèòüñÿ âñå áîëåå êðóòîé. Äî áåñêîíå÷íîñòè ýòî ïðîäîëæàòüñÿ íå ìîæåò, ïîÿâèòñÿ ðåçêèé ñêà÷îê óäàðíàÿ âîëíà. Òîëùèíà åå ïîðÿäêà äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìîëåêóëû.
Ðèñ. 8.6. Òàêèå æå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî âîëíà ðàçðåæåíèÿ ñî âðåìåíåì óìåíüøàåò êðóòèçíó, ñòàíîâÿñü âñå áîëåå ïîëîãîé. Ïîýòîìó óäàðíûå âîëíû ðàçðåæåíèÿ ðåäêîñòü, îíè áûâàþò òîëüêî â âåùåñòâàõ ñ íåîáû÷íûìè ñâîéñòâàìè2 . Ïåðåéäåì â ñèñòåìó îòñ÷åòà, ñîïðîâîæäàþùóþ óäàðíóþ âîëíó, èìåâøóþ îòíîñèòåëüíî âåùåñòâà ñêîðîñòü D (ðèñóíîê 8.7). Ñïðàâà â âîëíó âòåêàåò ãàç ñ ïëîòíîñòüþ 0 , äàâëåíèåì P0 , ñêîðîñòüþ D. Ñëåâà ãàç, ïðîøåäøèé âîëíó, èìååò ñêîðîñòü D V è èçìåíèâøèåñÿ âíóòðåííèå ïàðàìåòðû. V ñêîðîñòü âåùåñòâà çà âîëíîé â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå. Ïîñêîëüêó âîëíà Ðèñ. 8.7. î÷åíü òîíêàÿ, âíóòðè íåå íå ìîæåò íàêàïëèâàòüñÿ ìàññà:
(D V ) = 0 D : Ñïðàâà â âîëíó âòåêàåò èìïóëüñ 0 D 2 ÷åðåç 1 ñì2 â 1 ñ, ñëåâà âûòåêàåò (D V )2 . Èõ ðàçíîñòü ñ ó÷åòîì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññû 0 D 2 (D V )2 = 0 DV íå ðàâíà íóëþ. Âûòåêàþùèé èìïóëüñ ìåíüøå èç-çà äåéñòâèÿ ðàçíîñòè äàâëåíèé:
P
P0 = 0 DV :
Íàêîíåö, â ñòàöèîíàðíîì òå÷åíèè âûïîëíÿåòñÿ çàêîí Áåðíóëëè
(D
2 Îòìåòèì,
2
V )2
+ 1 P = D2 + 1 P 2
0
0
:
÷òî â òå÷åíèÿõ ìåëêîé âîäû (ãë. 1) àíàëîãîì óäàðíîé âîëíû ÿâëÿåòñÿ áîð ðåçêèé ñêà÷îê âûñîòû ïîâåðõíîñòè. Óäàðíîé âîëíå ðàçðåæåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ¾îòðèöàòåëüíûé¿ áîð, â êîòîðîì âûñîòà óìåíüøàåòñÿ.
8.3.
87
Óäàðíûå âîëíû
Èìåþòñÿ òðè óðàâíåíèÿ ñ ÷åòûðüìÿ íåèçâåñòíûìè: P , , V , D . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óäàðíûå âîëíû ìîãóò áûòü ðàçíîé èíòåíñèâíîñòè. Çàäàâ, íàïðèìåð, D èëè V , ìû ñìîæåì íàéòè âñå îñòàëüíûå âåëè÷èíû. Ñëàáûå óäàðíûå âîëíû ïðè V D è 0 0 ýòî ïîïðîñòó çâóê. Äåéñòâèòåëüíî, èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññû ïîëó÷àåì = 0 V =D . Çàêîí Áåðíóëëè, åñëè ïðåíåáðå÷ü âåëè÷èíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà (ïðîïîðöèîíàëüíûìè V 2 ), äàåò
=
P
0
+ P
P0 20
1
1 îòêóäà, ïîäñòàâèâ è P = DV , ïîëó÷èì
0
0
0
DV
1
P0 0
P0 0 D 2
2
) DV ; 2 V
2
= 0:
=C=
D
Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü ñëàáîé óäàðíîé âîëíû
(D
= D2
p
P0 =0 .
Ýòà ôîðìóëà óæå âñòðå-
÷àëàñü â ï. 8.1 (àêóñòèêà).
Èíòåðåñíåå ñëó÷àé ñèëüíûõ óäàðíûõ âîëí, êîãäà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü íà÷àëüíûì äàâëåíèåì P0 .  çàêîí Áåðíóëëè ïîäñòàâèì ïëîòíîñòü , âûðàæåííóþ èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññû, è äàâëåíèå P0 0 DV :
=
D V 0 DV 1 0 D
èëè
V (D
D2
= 2
(D
V ) = (
2
V )2
1)V (D
V
V D 2 ; V=2) ;
îòêóäà
= 2+D1 ; =
+ 11 ; P = +2 1 D = +2 1 V Ïîñêîëüêó P P , äîëæíî áûòü D P = , V
0
0
2
0
0
2
0
2
:
0
ò.å. ñêîðîñòü ñèëüíîé óäàðíîé âîëíû çíà÷èòåëüíî áîëüøå ñêîðîñòè çâóêà è â ïðèíöèïå íå îãðàíè÷åíà. Îäíàêî ðîñò ïëîòíîñòè îêàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åí: âîçäóõ â ñèëüíîé âîëíå ñæèìàåòñÿ â øåñòü ðàç ( ; ), äàæå åñëè D è P ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â ñèëüíîé óäàðíîé âîëíå ðàñòåò òåìïåðàòóðà, ãîðàçäî áûñòðåå, ÷åì â àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå.  âîëíå òå÷åíèå ðåçêî òîðìîçèòñÿ (ñêîðîñòü âòåêàíèÿ D , à âûòåÐèñ. 8.8. êàíèÿ D V D= ) è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïåðåõîäèò â òåïëîâóþ. Íà ïðàêòèêå ïðè íàãðåâå óìåíüøàåòñÿ è ñæàòèå äîñòèãàåò 10 12 ðàç. Äëÿ ñèëüíûõ âîçäóøíûõ óäàðíûõ âîëí ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ; . Ïóñòü â àòìîñôåðå ëåòèò òåëî ñî ñâåðõçâóêîâîé ñêîðîñòüþ. Íà ëîáîâîé ÷àñòè äàâëåíèå ïîâûøåíî. Ïëàâíàÿ âîëíà ñæàòèÿ, åñëè äàæå îíà âîçíèêëà ïðè ðàçãîíå, íå ìîæåò
=14
6
= 1 25
88
Ãëàâà 8.
ÑÆÈÌÀÅÌÎÑÒÜ. ÀÊÓÑÒÈÊÀ. ÓÄÀÐÍÛÅ ÂÎËÍÛ
áûòü ñòàöèîíàðíîé, è ñôîðìèðóåòñÿ óäàðíàÿ âîëíà (ðèñóíîê 8.8). Ñêîðîñòü âîëíû D ýòî ñêîðîñòü ïîëåòà òåëà. Ïðè ñïóñêå îðáèòàëüíîãî àïïàðàòà D êì/ñ, è â òî÷êå A äîñòèãàåòñÿ ñæàòèå ïðèìåðíî â äåâÿòü ðàç (ïðè ; ). Åñëè ñêîðîñòü íå óïàäåò, òî ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè äàâëåíèå áóäåò îêîëî 800 àòì, òåìïåðàòóðà ïîðÿäêà 4 Ê, ïðè÷åì çàìåòíàÿ ÷àñòü âíóòðåííåé ýíåðãèè ïîéäåò íà èîíèçàöèþ è äèññîöèàöèþ âîçäóõà. Ñêîðîñòü â òî÷êå A â ñèñòåìå òåëà îêîëî 900 ì/ñ, äàëåå òå÷åíèå òîðìîçèòñÿ, è â òî÷êå B ñêîðîñòü ðàâíà íóëþ.
= 1 25
=8
10
Äëÿ ñâåðõçâóêîâîãî ñàìîëåòà ñî ñêîðîñòüþ 1 êì/ñ ïîêàçàòåëü àäèàáàòû ñóùåñòâåííî íå ìåíÿåòñÿ, íî ôîðìóëû äëÿ ñèëüíîé âîëíû áóäóò íåòî÷íûìè. Âñå æå äëÿ îöåíêè îíè ïðèìåíèìû è äàþò 0 , P P0 àòì íà âûñîòå 10 êì, T T0 .
=6
= 10
3
2
Íà íîñó ñàìîëåòà, â òî÷êå Â, òåìïåðàòóðà íàõîäèòñÿ èç çàêîíà Áåðíóëëè, êàê è â äîçâóêîâîì ñëó÷àå. Òàê êàê ñêîðîñòü óâåëè÷èëàñü â ÷åòûðå ðàçà ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðèìåðîì èç ï. 8.2, ïðèðîñò òåìïåðàòóðû (32 Ê 16) = 500 Ê. Ïðèìåðíî òàêàÿ òåìïåðàòóðà ïî âñåé ïîâåðõíîñòè â ïîãðàíè÷íîì ñëîå, òàê ÷òî ñàìîëåò áóäåò çàìåòíî íàãðåâàòüñÿ. Ðàçâåäûâàòåëüíûé ñàìîëåò SR71 â ïîëåòå óäëèíÿåòñÿ íà íåñêîëüêî ñàíòèìåòðîâ èç-çà òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ. Ìåõàíè÷åñêèõ íàãðóçîê èç-çà ðîñòà äàâëåíèÿ óäàåòñÿ èçáåæàòü, äåëàÿ íîñîâóþ ÷àñòü çàîñòðåííîé. Òîãäà ïîòîê íå ïîëíîñòüþ òîðìîçèòñÿ, à òîëüêî ðàçâîðà÷èâàåòñÿ íà ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøîé óãîë â êîñîé óäàðíîé âîëíå, è äàâëåíèå, à òàêæå ëîáîâîå ñîïðîòèâëåíèå çàìåòíî óìåíüøàþòñÿ. Ïðè îáòåêàíèè âáëèçè òåëà (äîïóñòèì, ñàìîëåòà) âñåãäà èìåþòñÿ îáëàñòè, â êîòîðûõ òå÷åíèå îòíîñèòåëüíî òåëà óñêîðÿåòñÿ. Äàæå ïðè äîçâóêîâîé ñêîðîñòè íà áåñêîíå÷íîñòè âîçìîæíî ïîÿâëåíèå ñâåðõçâóêîâûõ çîí â ìåñòàõ ñãóùåíèÿ ëèíèé òîêà, íàïðèìåð, íà êðûëüÿõ. Ïåðåõîä ÷åðåç çâóê íåæåëàòåëåí, òàê êàê ïðè òîðìîæåíèè âîçíèêàþò, õîòÿ è ñëàáûå, óäàðíûå âîëíû, óâåëè÷èâàþùèå ñîïðîòèâëåíèå. Ïîýòîìó êðûëüÿ ñîâðåìåííûõ ñàìîëåòîâ ñêîøåíû íàçàä. Òîãäà ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ êðîìêå êðûëà ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè, êîòîðàÿ è èãðàåò ðîëü ñêîðîñòè îáòåêàíèÿ, óìåíüøàåòñÿ. Óäàðíàÿ âîëíà îò ñàìîëåòà íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè îùóùàåòñÿ êàê õàðàêòåðíûé ðåçêèé çâóê. Åñòü ñòîéêîå ïîâåðüå, ÷òî ýòîò óäàð ñâÿçàí ñ ìîìåíòîì ïåðåõîäà çâóêîâîãî áàðüåðà.  ýòîò ìîìåíò äåéñòâèòåëüíî âïåðâûå ïîÿâëÿåòñÿ óäàðíàÿ âîëíà, íî îíà ñóùåñòâóåò âñå âðåìÿ ïîëåòà ñî ñâåðõçâóêîâîé ñêîðîñòüþ è äàæå ÷óòü äîëüøå: Ðèñ. 8.9. ïîñëå òîðìîæåíèÿ óõîäèò âïåðåä è çàòóõàåò. Ïðè ïîñòîÿííîé ñâåðõçâóêîâîé ñêîðîñòè V íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè îò ñàìîëåòà óäàðíàÿ âîëíà èìååò âèä êîíóñà (ðèñóíîê 8.9), ïðè÷åì C=V . Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäñòàâèì ôðîíò âîëíû êàê ïðÿìóþ, íàêëîíåííóþ ïîä òàêèì óãëîì ê ãîðèçîíòàëè. Åñëè ïðÿìàÿ ñìåùàåòñÿ â íàïðàâëåíèè íîðìàëè ñî ñêîðîñòüþ C , òî òî÷êà åå êîíòàêòà ñ ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé òðàåêòîðèåé ïîëåòà ñàìîëåòà èìååò ñêîðîñòü C= V.
sin =
sin =
8.4.
89
Äåòîíàöèÿ
Øëåéô óäàðíîé âîëíû çà ñàìîëåòîì íåïðèÿòíîå ÿâëåíèå, êîòîðîå îãðàíè÷èâàåò êîììåð÷åñêîå ïðèìåíåíèå ñâåðõçâóêîâîé àâèàöèè. Òðàññà ïîëåòà íå äîëæíà ¾çàäåâàòü¿ íàñåëåííóþ ìåñòíîñòü è ìîæåò ïðîõîäèòü, íàïðèìåð, íàä îêåàíîì. Äðóãèå îãðàíè÷åíèÿ ïîâûøåííûå ñîïðîòèâëåíèå è íàãðåâ àïïàðàòà, ÷òî óâåëè÷èâàåò ñòîèìîñòü ïîëåòà.  ðåçóëüòàòå ñâåðõçâóêîâàÿ àâèàöèÿ â îñíîâíîì èñïîëüçóåòñÿ â âîåííûõ öåëÿõ.
8.4
Äåòîíàöèÿ
Åñòåñòâåííûé èíòåðåñ ó ìîëîäûõ ëþäåé âûçûâàþò âçðûâ÷àòûå âåùåñòâà (ÂÂ) è èõ ïðèìåíåíèå. Ñóùåñòâóþò ìîëåêóëû, áîëåå èëè ìåíåå óñòîé÷èâûå ïðè îáû÷íûõ óñëîâèÿõ, íî ñïîñîáíûå ðàñïàäàòüñÿ ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû. Îñêîëêè ìîëåêóë çàòåì ìîãóò ñîåäèíÿòüñÿ, îáðàçóÿ êîíå÷íûå ïðîäóêòû. Òåïëîâîé ýôôåêò òàêîé ðåàêöèè ñîñòàâëÿåò îêîëî 3 êàë/ã èëè 5 Ìäæ/êã. Òàêèå âåùåñòâà íàçûâàþò ìåòàñòàáèëüíûìè. Ýòî çíà÷èò, ÷òî îíè íå íàõîäÿòñÿ â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè, èìåÿ çàïàñ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Íî âìåñòå ñ òåì ñàìîïðîèçâîëüíûé ïåðåõîä â ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå çàòðóäíåí, è âðåìÿ ïåðåõîäà äîñòàòî÷íî áîëüøîå. Íàïðèìåð, òðîòèë ìîæåò õðàíèòüñÿ äåñÿòèëåòèÿìè (ïðèìåíÿåòñÿ ñ ïåðâîé ìèðîâîé âîéíû) áåç çàìåòíîãî èçìåíåíèÿ ñâîéñòâ. Ñìåñü 2H2 + O2 , äëÿ êîòîðîé ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå âîäà, òîæå ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå ïðàêòè÷åñêè íå ðåàãèðóåò, íî âñïûõèâàåò îò ìàëåéøåé èñêðû. Âåùåñòâà, ðåàãèðóþùèå ñ çàìåòíîé ñêîðîñòüþ óæå ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ, íå ìîãóò èìåòü êàêèõ-ëèáî ñåðüåçíûõ ïðèìåíåíèé. Íåñìîòðÿ íà áîëüøîé îïûò ïðèìåíåíèÿ ÂÂ, ïîñëåäîâàòåëüíàÿ òåîðèÿ (Çåëüäîâè÷à Íåéìàíà) ïîÿâèëàñü òîëüêî â 40-õ ãîäàõ XX âåêà. Åñëè ïî ìåòàñòàáèëüíîìó  èäåò ñèëüíàÿ óäàðíàÿ âîëíà, òî â íåé âåùåñòâî íàãðåâàåòñÿ, è ñòàíîâÿòñÿ âîçìîæíû õèìè÷åñêèå ðåàêöèè. Ýêçîòåðìè÷åñêàÿ ðåàêöèÿ ñàìîóñêîðÿåòñÿ è ïðîäîëæàåòñÿ â êàæäîé ÷àñòèöå âåùåñòâà ïðèìåðíî ; ìêñ äëÿ òâåðäûõ ÂÂ. Âûäåëåíèå ýíåðãèè íå äàåò óäàðíîé âîëíå çàòóõàòü. Òàêàÿ äåòîíàöèîííàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ D , çàâèñÿùåé òîëüêî îò âåùåñòâà, òàê ÷òî â ñèñòåìå âîëíû òå÷åíèå ñòàöèîíàðíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèìåíèìû çàêîíû ñîõðàíåíèÿ, â òîì ÷èñëå â òî÷êå îêîí÷àíèÿ õèìè÷åñêîé ðåàêöèè. Îíè èìåþò ïðàêòè÷åñêè òîò æå âèä, êàê è â ñëó÷àå óäàðíûõ âîëí:
10
01
0 D = (D
V); P
= DV ; (D 2 V ) + 1 P = D2 + Q : 2
2
0
Íà÷àëüíûì äàâëåíèåì ïðåíåáðåãàåì; â çàêîíå ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ó÷òåíà õèìè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ èñõîäíîãî âåùåñòâà Q íà åäèíèöó ìàññû. Òðåõ óðàâíåíèé ìàëî äëÿ îïðåäåëåíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåæèìà äåòîíàöèè. Äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå ×åïìåíà Æóãå áûëî ñôîðìóëèðîâàíî â 18991910 ã. Èìåííî, â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå â ìîìåíò îêîí÷àíèÿ ðåàêöèè äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî:
(D
V )2 = C 2 :
90
Ãëàâà 8.
(
ÑÆÈÌÀÅÌÎÑÒÜ. ÀÊÓÑÒÈÊÀ. ÓÄÀÐÍÛÅ ÂÎËÍÛ
)
Íàïîìíèì, ÷òî D V ýòî ñêîðîñòü òå÷åíèÿ â ñòàöèîíàðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ ôðîíòîì âîëíû. Óñëîâèå ×åïìåíà Æóãå îçíà÷àåò, ÷òî âîëíû ðàçðåæåíèÿ, èìåþùèå îòíîñèòåëüíî âåùåñòâà ñêîðîñòü çâóêà C , íå ñìîãóò ïðîíèêíóòü â çîíó ðåàêöèè ñçàäè (êàê ïðè êðèòè÷åñêîì èñòå÷åíèè ãàçà ÷åðåç îòâåðñòèå â ï. 8.2). Ïîñêîëüêó èíôîðìàöèÿ îá óñëîâèÿõ íèæå ïî òå÷åíèþ íå ïîïàäàåò â çîíó ðåàêöèè, â íåé âûðàáàòûâàþòñÿ îïðåäåëåííûå óñëîâèÿ, îòâå÷àþùèå ñòàöèîíàðíîé âîëíå. Åñëè áû âîëíû ðàçðåæåíèÿ ìîãëè ïðîíèêàòü â çîíó ðåàêöèè, îíè óìåíüøàëè áû òàì òåìïåðàòóðó è ñêîðîñòü ðåàêöèè, â êîíöå êîíöîâ ïðèâîäÿ ê çàòóõàíèþ âîëíû. Ìåñòî, ãäå â ñòàöèîíàðíîé ñèñòåìå, ñâÿçàííîé ñ ôðîíòîì âîëíû, çàêàí÷èâàåòñÿ ðåàêöèÿ è äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâî ñêîðîñòè çâóêà è ñêîðîñòè òå÷åíèÿ, íàçûâàåòñÿ òî÷êîé Æóãå. Èñïîëüçóÿ óñëîâèå ×åïìåíà-Æóãå, óðàâíåíèå èìïóëüñà P 0 DV è âûðàæåíèå 2 äëÿ ñêîðîñòè çâóêà â ãàçå C
P=, ïîëó÷àåì
=
=
C2 = Òàê êàê
C=D V
0 D V
= (D
V )V
= CV ;
V
= C :
V , òî
= D+ 1 ;
=
+1 ; P
0
= 2(
1)
= +1 1 D 0
2
; C=
= 10
+1
D:
= 1 25
3 Òîãäà èç çàêîíà Áåðíóëëè D
2 Q. Ïðè Q êàë/ã, ; ñêîðîñòü äåòîíàöèè D ; êì/ñ. Ïðèìåðíî ñ òàêîé ñêîðîñòüþ è äåòîíèðóþò ãàçîâûå ñìåñè. Äàâëåíèå â òî÷êå Æóãå ïðè íà÷àëüíîé ïëîòíîñòè, êàê ó âîçäóõà, áóäåò 28 àòì. Çàìåòèì, ÷òî çà óäàðíîé âîëíîé ïðè òîé æå ñêîðîñòè D äîñòèãàåòñÿ âäâîå áîëüøåå äàâëåíèå 0 D2 = . Ïîýòîìó â äåòîíàöèîííîé âîëíå ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå äîñòèãàåòñÿ íà óäàðíîì ôðîíòå, à ïî ìåðå âûäåëåíèÿ ýíåðãèè P ñïàäàåò äî çíà÷åíèÿ â òî÷êå Æóãå, â ãàçå â äâà ðàçà. Õàðàêòåðíûé òðåóãîëüíûé ïðîôèëü è çîíó ýíåðãîâûäåëåíèÿ (ðèÐèñ. 8.10. ñóíîê 8.10) íàçûâàþò õèìïèêîì (õèìè÷åñêèé ïèê). Êàê íè ñòðàííî, ïðîäóêòû äåòîíàöèè òâåðäûõ  ñ ïëîòíîñòüþ ïîðÿäêà ïëîòíîñòè âîäû òîæå ìîæíî îïèñûâàòü ïîêàçàòåëåì àäèàáàòû , òîëüêî åãî çíà÷åíèå áëèçêî ê òðåì. Ñîîòâåòñòâåííî óâåëè÷èâàåòñÿ ñêîðîñòü äåòîíàöèè: 5 8 êì/ñ. Ðàçâèâàåòñÿ äàâëåíèå ïîðÿäêà ñîòåí òûñÿ÷ àòìîñôåð, ÷òî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü  äëÿ ðàçðóøåíèÿ, ìåòàíèÿ, ñâàðêè, ñèíòåçà àëìàçîâ è ïîäîáíûõ ïðèìåíåíèé. Äëÿ ãàçîâ ïëîñêàÿ äåòîíàöèîííàÿ âîëíà íåóñòîé÷èâà. Óäàðíàÿ âîëíà íàãðåâàåò ãàç íåäîñòàòî÷íî äëÿ áûñòðîé ðåàêöèè, è ñãîðàíèå ñìåñè ïðîèñõîäèò â äîïîëíèòåëüíûõ ïîïåðå÷íûõ âîëíàõ, èìåþùèõ èíîãäà î÷åíü ðåãóëÿðíóþ ñòðóêòóðó. Ïðèðîäà òàêèõ ñïèíîâûõ è ìíîãîôðîíòîâûõ ïðîöåññîâ âûÿñíåíà ñîòðóäíèêàìè Èíñòèòóòà ãèäðîäèíàìèêè ÑÎ ÀÍ ÑÑÑÐ (Á.Â.Âîéöåõîâñêèé, Â.Â.Ìèòðîôàíîâ, Ì.Å.Òîï÷èÿí).
= 22
2
( +1)
8.5.
91
Íåóñòîé÷èâîñòü Äæèíñà
Èçâåñòíû ñëó÷àè âçðûâîâ íà ýëåâàòîðàõ, ìåëüíèöàõ, óãîëüíûõ øàõòàõ. Ìåëêàÿ ïûëü ãîðþ÷åå, ïåðåìåøàííàÿ ñ âîçäóõîì, äàåò ïðèìåðíî òàêîé æå ýôôåêò, ÷òî ãàçîâûå ñìåñè. Íà ýòîì æå ïðèíöèïå èçâåñòíû áîåïðèïàñû ¾âàêóóìíûå áîìáû¿. Äàâëåíèå ïðè âçðûâå îáû÷íûõ  î÷åíü áûñòðî ñïàäàåò ñ ðàññòîÿíèåì. Ðàçìåð âçðûâàþùåãîñÿ îáëàêà ðàñïûëåííîãî ãîðþ÷åãî ïðè òîé æå ýíåðãèè íà ïîðÿäîê áîëüøå, è ñïàä äàâëåíèÿ áóäåò ìåäëåííåå. Çàìåòíî ìåíüøå ó  ïî ñðàâíåíèþ ñî ñìåñÿìè è ýíåðãèÿ íà åäèíèöó ìàññû: ÂÂ, ñîäåðæàùèå êèñëîðîä âíóòðè ñîáñòâåííîé ìîëåêóëû, ïðèíöèïèàëüíî ìåíåå óñòîé÷èâû, ÷åì ñìåñè. Ïîýòîìó äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ïðèãîäåí äîâîëüíî óçêèé êðóã âçðûâ÷àòûõ ñîåäèíåíèé, ñ îãðàíè÷åííûì çàïàñîì ýíåðãèè. Êðîìå òîãî, ïðè âçðûâå â àòìîñôåðå êèñëîðîä ìîæåò áðàòüñÿ èç âîçäóõà. Íàçâàíèå, âèäèìî, îòðàæàåò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ òàêèõ çàðÿäîâ â âåðõíèõ ñëîÿõ àòìîñôåðû (âàêóóìå) äëÿ ïðîòèâîðàêåòíîé îáîðîíû3 .
8.5
Íåóñòîé÷èâîñòü Äæèíñà
Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî Âñåëåííàÿ âîçíèêëà îêîëî 15 ìëðä ëåò íàçàä (Áîëüøîé âçðûâ) è ñ òåõ ïîð ðàñøèðÿåòñÿ. Êàêèì îáðàçîì ìîãëè îáðàçîâàòüñÿ ãàëàêòèêè è çâåçäû? Âíà÷àëå Âñåëåííàÿ áûëà ãîðÿ÷åé. Ðàñøèðåíèå, åñòåñòâåííî, ïðèâåëî ê îñòûâàíèþ (çà êîðîòêîå âðåìÿ ïîðÿäêà 6 ëåò). Ðàññìîòðèì ìîäåëü õîëîäíîãî âåùåñòâà ñ íóëåâûì äàâëåíèåì. Ñîâåðøåííî îäíîðîäíîãî âåùåñòâà íå áûâàåò. Äîïóñòèì, â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà ðàäèóñà R âåùåñòâî áîëåå ïëîòíîå, òàê ÷òî ìàññà ýòîãî øàðà âîçðîñëà íà âåëè÷èíó M . Òîãäà íà ãðàíèöå âîçíèêíåò óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè g GM=R2 dV=dt (V ñêîðîñòü âåùåñòâà, âòåêàþùåãî ñíàðóæè â âûäåëåííóþ ñôåðó). Ïîòîê âåùåñòâà óâåëè÷èâàåò ìàññó M : dM=dt R2 V . Èñêëþ÷àÿ V , ïîëó÷èì óðàâíåíèå
10
=
=
=4
d2 M dt2
= 4GM ;
îïèñûâàþùåå íåóñòîé÷èâîñòü Äæèíñà (18771946). Õàðàêòåðíîå âðåìÿ ðàçâèòèÿ íåóñòîé÷èâîñòè
p
= 1= 4G :
Èíòåðåñíî, ÷òî âðåìÿ ðàçâèòèÿ íåîäíîðîäíîñòè íå çàâèñèò îò åå ðàçìåðà. 29 Ïðè ïëîòíîñòè 0 ã/ñì3 âðåìÿ 17 ñ = 10 ìëðä ëåò. Çíà÷åíèå 0 òàê íàçûâàåìîå êðèòè÷åñêîå, ïðè êîòîðîì Âñåëåííàÿ íàõîäèòñÿ íà ãðàíèöå ¾çàêðûòîñòè¿. Íàáëþäåíèÿ äàþò ïëîòíîñòü âèäèìîãî âåùåñòâà â 30 ðàç ìåíüøå, íî åñòü îñíîâàíèÿ ïîëàãàòü, ÷òî íåäîñòàòîê êàê ðàç âîñïîëíÿåòñÿ ¾òåìíîé ìàòåðèåé¿ íåâèäèìûì âåùåñòâîì, ìîæåò áûòü, òèïà ìàññèâíûõ íåéòðèíî. Âî âñÿêîì ñëó÷àå, ñåé÷àñ âðåìÿ ðîñòà ïîðÿäêà èëè áîëüøå âîçðàñòà Âñåëåííîé, è êðóïíûå íåîäíîðîäíîñòè íå îáðàçóþòñÿ.  ïðîøëîì ïëîòíîñòü áûëà âûøå, ÷òî, âèäèìî, è ïðèâåëî ê îáðàçîâàíèþ ìàêñèìàëüíûõ
= 10
3 Êîíå÷íî,
= 3 10
â ýòîì ñëó÷àå îêèñëèòåëü òîæå äîëæåí âõîäèòü â ñîñòàâ çàðÿäà.
92
Ãëàâà 8.
ÑÆÈÌÀÅÌÎÑÒÜ. ÀÊÓÑÒÈÊÀ. ÓÄÀÐÍÛÅ ÂÎËÍÛ
íàáëþäàåìûõ íåîäíîðîäíîñòåé ñêîïëåíèé ãàëàêòèê. Äàëüøå äåëî ïîøëî âåñåëåå, òàê êàê â ñêîïëåíèÿõ ïëîòíîñòü âîçðîñëà è âðåìÿ íåóñòîé÷èâîñòè óìåíüøèëîñü.  ðåçóëüòàòå ïîÿâèëèñü çàðîäûøè ãàëàêòèê, êîòîðûå çàòåì åùå áûñòðåå îáðàçîâàëè çâåçäû. Ðàñïàäó çâåçä íà åùå áîëåå ìåëêèå îáúåêòû ïðåïÿòñòâóåò èõ âûñîêàÿ òåìïåðàòóðà: ïðåíåáðå÷ü äàâëåíèåì óæå íåëüçÿ. 24 Ñåé÷àñ ïëîòíîñòü ãàçà â Ãàëàêòèêå îêîëî ã/ñì3 , èëè îäèí àòîì H íà êóáè÷åñêèé ñàíòèìåòð. Äæèíñîâñêîå âðåìÿ ïðè òàêîé ïëîòíîñòè 15 ñ = 30 ìëí ëåò. Ïîýòîìó çâåçäû âïîëíå ìîãóò îáðàçîâàòüñÿ â íàøå âðåìÿ. Çâåçäà òèïà Ñîëíöà ñ ìàññîé 33 ã îáðàçîâàëàñü áû èç îáëàñòè ðàçìåðîì 19 ñì = 10 ñâ. ëåò. Ýòî ïîðÿäêà ìåæçâåçäíîãî ðàññòîÿíèÿ. Äàâëåíèå ãàçà ïîìåøàåò ñæàòèþ, åñëè çâóêîâàÿ âîëíà óñïåâàåò çà âðåìÿ 15 ïðîéòè çàðîäûø çâåçäû. Ïðè ñåê ñêîðîñòü çâóêà äîëæíà áûòü ìåíüøå 100 ì/ñ. Ýòî ñåðüåçíîå îãðàíè÷åíèå. Ðåàëüíî êîíäåíñàöèÿ çâåçä, âèäèìî, èäåò â ãàçîâûõ îáëàêàõ ñêîïëåíèÿõ, ãäå ïëîòíîñòü ìîæåò â äåñÿòêè ðàç ïðåâîñõîäèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå. Âåðíåìñÿ ê ôîðìèðîâàíèþ ïåðâè÷íîé êðóïíîìàñøòàáíîé ñòðóêòóðû Âñåëåííîé. Î÷åâèäíî, ïåðâîíà÷àëüíîå âîçìóùåíèå íå áóäåò àáñîëþòíî ñèììåòðè÷íûì.  îáùåì ñëó÷àå ïðîèñõîäèò ñæàòèå ñ ðàçíîé ñêîðîñòüþ ïî âñåì òðåì îñÿì, à èíîãäà è ðàñøèðåíèå ïî îäíîé èëè äâóì. Ïî íàïðàâëåíèþ íàèáîëåå áûñòðîãî ñæàòèÿ áóäåò ìàêñèìàëüíûì è óñêîðåíèå, òàê ÷òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ íå øàð, à ïëîñêîå îáðàçîâàíèå ¾áëèí¿ (Çåëüäîâè÷ ß.Á., 1970 ã.).  ïëîñêîñòè áëèíà ôîðìàëüíî äîñòèãàåòñÿ áåñêîíå÷íàÿ ïëîòíîñòü, à íà ñàìîì äåëå âîçíèêàåò óäàðíàÿ âîëíà. Òàêîé áëèí â äàëüíåéøåì ðàñïàäàåòñÿ íà ãàëàêòèêè. Âåùåñòâî, íå óñïåâøåå ïîïàñòü â êàêîé-ëèáî áëèí, îñòàåòñÿ òåìíûì, ãàëàêòèêè òàì íå îáðàçóþòñÿ. Íàáëþäåíèÿ è ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû äåìîíñòðèðóþò ÿ÷åèñòóþ ñòðóêòóðó Âñåëåííîé. Áîëüøàÿ ÷àñòü ìàññû âåùåñòâà (60 80%) íàõîäèòñÿ â ÿðêèõ îáëàñòÿõ, ãäå ïëîòíîñòü íà ïîðÿäîê áîëüøå ñðåäíåé. Íà ÿðêèå îáëàñòè òîãäà ïðèõîäèòñÿ 6 8% îáúåìà. Îñòàëüíîå âåùåñòâî çàíèìàåò îêîëî 90% îáúåìà â âèäå ðàçðåæåííûõ òåìíûõ îáëàñòåé. Êàçàëîñü áû, ÿðêèå îáëàñòè äîëæíû áûòü ðàçîáùåíû, êàê êàïëè æèðà â ìîëîêå. Íà ñàìîì äåëå îíè îáðàçóþò ñòåíêè ïóçûðåé, âíóòðè êîòîðûõ íàõîäèòñÿ ðàçðåæåííîå âåùåñòâî. Îáúÿñíåíèå ïàðàäîêñà ïðåäëîæèë Çåëüäîâè÷ â 1982 ãîäó. Ðàññìîòðèì íà÷àëüíîå, ïî÷òè îäíîðîäíîå ðàñïðåäåëåíèå âåùåñòâà. Åñëè áîëüøå ïîëîâèíû åãî ïîïàäåò â ÿðêèå îáëàñòè, òî âíà÷àëå ýòà ÷àñòü çàíèìàëà áîëüøóþ äîëþ îáúåìà, òå æå 60 80%. Òîãäà åñòåñòâåííî, ÷òî áóäóùèå òåìíûå îáëàêà áûëè îòäåëüíûìè âêðàïëåíèÿìè. Ïðè ãðàâèòàöèîííîì ñæàòèè ñîñåäíèå òî÷êè îñòàþòñÿ ñîñåäíèìè, òîïîëîãèÿ íå ìåíÿåòñÿ.  ðåçóëüòàòå ÿðêèå îáëàñòè óïëîòíèëèñü, íî îñòàëèñü ñâÿçàííûìè, à òåìíûå ðàçäóëèñü, íî òàê è íå ñîåäèíèëèñü. Ýòè ðàññóæäåíèÿ äåìîíñòðèðóþò, ÷òî äî ñèõ ïîð óäàåòñÿ íàõîäèòü î÷åíü ïðîñòûå çàäà÷è. Èìååòñÿ àíàëîãèÿ ñ ðàñïðåäåëåíèåì ñâåòà ïî äíó âîäîåìà ïðè âîëíåíèè íà ïîâåðõíîñòè.
10
10
= 10
10
2 10