Исследование распределения термоэлектронов по скоростям методом задерживающего потенциала: Описание лабораторной работы по атомной и ядерной физике

Министерство образования и науки Российской Федерации Омский государственный университет

УДК 539.14 ББК В38 И32 Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом ОмГУ 18.06.2004 г., протокол № 2 И32

ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕРМОЭЛЕКТРОНОВ ПО СКОРОСТЯМ МЕТОДОМ ЗАДЕРЖИВАЮЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА Описание лабораторной работы по атомной и ядерной физике (для студентов III курса физического факультета ОмГУ)

Исследование распределения термоэлектронов по скоростям методом задерживающего потенциала: Описание лабораторной работы по атомной и ядерной физике (для студентов III курса физического факультета ОмГУ) / Сост. Г.Ж. Худайбергенов. – Омск: Изд-во ОмГУ, 2004. – 14 с. Определены содержание, форма, объем и порядок проведения лабораторной работы. Включены необходимые теоретические сведения, даны методические рекомендации, обеспечивающие ее выполнение, контрольные вопросы, а также список рекомендуемой литературы. Для студентов III курса физического факультета. УДК 539.14 ББК В38

© Омский госуниверситет, 2004 Изд-во ОмГУ

Омск 2004

Лабораторная работа ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕРМОЭЛЕКТРОНОВ ПО СКОРОСТЯМ МЕТОДОМ ЗАДЕРЖИВАЮЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА Цель работы: исследование распределения термоэлектронов по скоростям методом задерживающего потенциала. Оборудование: радиолампа 6Х2П, источник питания, микроамперметр М244, вольтметр М106, реостат.

Общие сведения Основываясь на модели свободных электронов, можно объяснить ряд важных физических свойств металлов. Согласно этой модели, наиболее слабосвязанные (валентные) электроны составляющих металл атомов могут довольно свободно перемещаться в объеме кристаллической решетки. Эти валентные электроны становятся носителями электрического тока в металле, и поэтому их называют также электронами проводимости. В приближении свободных электронов можно пренебречь силами взаимодействия между валентными электронами и ионными остовами и вести расчеты так, как если бы электроны были действительно свободными и без всяких ограничений могли перемещаться в любой области образца. Их полную энергию можно считать равной кинетической, а потенциальной можно пренебрегать. Газ свободных, невзаимодействующих электронов, подчиняющийся принципу Паули, называют свободным электронным газом Ферми. Электроны, образующие в металлах электронный газ, по своим свойствам отличны от молекул газа. Поэтому и законы статистического распределения их различны: распределение молекул газа подчиняется классической статистике Максвелла – Больцмана, электронный газ – квантовой статистике Ферми – Дирака. Для уяснения различия между статистиками отметим прежде всего, что квантовой называют такую статистику, в которой учиты3

вается неразличимость одинаковых частиц. Иначе говоря, в основу квантовой статистики положено квантовое определение состояния системы: должно быть указано, сколько частиц находится во всех квантовых состояниях (дискретность или непрерывность спектра здесь не имеет значения). Классическое определение состояния системы (статистики) состоит в том, что указывается, какие частицы находятся в данных состояниях, так как можно следить (в принципе) за их траекториями. Из классического определения можно получить формулу Больцмана и непосредственно, минуя квантовые законы. Такое деление статистик имеет глубокий смысл, заключающийся в том факте, что электроны обладают волновыми свойствами. Если в статистике Максвелла – Больцмана состояние частицы однозначно определяется заданием ее координат x, y, z и составляющих импульса px, py, pz (поэтому состояния частиц здесь различимы), то в квантовой статистике невозможно различать два состояния: x, y, z, px, py, pz и x + dx, y + dy, z + dz, px+dpx, py+dpy, pz+dpz, если dxdydz dpx dpy dpz < h3,

(1)

где h – постоянная Планка (соотношение неопределенности Гейзенберга). Произведение dxdydz dpx dpy dpz = dτ представляет собой элементарный объем шестимерного фазового пространства. Из соотношения (1) следует, что различным элементам фазового пространства dτ будут соответствовать различные квантовые состояния электрона лишь в том случае, когда размер этих элементов не меньше h3. Поэтому в квантовой статистике за элементарную ячейку шестимерного фазового пространства принимается объем, равный dτ= h3. При рассмотрении свободных электронов предполагается, что потенциальная энергия одинакова во всех точках металла, вследствие чего распределение в объеме V является равномерным. В этом случае вместо шестимерного фазового пространства x, y, z, px, py, pz пользуются трехмерным пространством импульсов px, py, pz и разбивают его на элементарные ячейки.

4

dτ =

h3 . V

(2)

Каждой такой ячейке соответствует отдельное квантовое состояние, отличимое от других состояний. Таким образом, метод деления фазового пространства на элементарные ячейки составляет одну из особенностей квантовой статистики. Рассмотрим кусок металла объемом V, в котором находится N свободных электронов, образующих электронный газ. В пространстве импульсов каждой ячейке с объемом h3/V соответствует определенное квантовое состояние с энергией ε. Функция распределения, которую предстоит найти, должна выражать вероятность заполнения этих ячеек электронами. Получим искомое распределение, пользуясь методами статистической механики. Основной принцип здесь состоит в следующем. Если равновесная система может находиться в одном из N состояний, то вероятность того, что она находится в состоянии n с энергией εn равна:

P ( n, ε n ) ∝

1 −ε n e Q

kT

,

N

kT

.

Здесь µ – химический потенциал. Распределение Ферми – Дирака f(ε) можно рассматривать как вероятность того, что одночастичное состояние с энергией ε является занятым, когда система частиц, для которой указанное состояние – одно из возможных – находится в тепловом равновесии при температуре T. Остается применить выражение (4) к случаю состояния, в котором может находиться не более одного электрона. Когда состояние не занято, будем считать энергию равной нулю, отсюда следует, что P(0,0) = 1. Когда состояние занято электроном, то

⎡ (µ − ε ) ⎤ P(1, ε ) ∝ exp ⎢ . ⎣ kT ⎥⎦

f (ε ) =

Здесь k – постоянная Больцмана; T – температура, Q – статистическая сумма. Если i соответствует состоянию с энергией εi, а A – квантовомеханический оператор наблюдаемой физической величины, то среднее значение этой величины равно:

1 < i | A | i > e −ε n Q

(4)

Следовательно, вероятность того, что данное состояние занято, можно записать в виде:

n =1

< A >=

⎡ (µ − ε n )⎤ P (n, ε ) ∝ exp ⎢ . ⎣ kT ⎥⎦

(3)

где

Q = ∑ e −ε n

ния чисел n = 0,1. То есть в случае Ферми-частиц в каждом состоянии может находиться не более одной частицы. Учитывая это, не трудно получить выражение для функции распределения Ферми – Дирака, основываясь на формуле (3), переписав ее в виде:

kT

.

P(1, ε ) = P(0,0) + P (1, ε )

1 . ⎛ε −µ ⎞ exp⎜ ⎟ +1 ⎝ kT ⎠

(5)

Это и есть функция Ферми – Дирака. Здесь µ – химический потенциал, отнесенный к отдельной частице и равный:

µ=

U − TS + PV , N

Таким образом, состояние системы определяется указанием числа частиц n с энергией ε. При этом возможны следующие значе-

где U – внутренняя энергия системы; S – энтропия; V – объем системы; P – давление электронного газа; N – полное число электронов в системе.

5

6

Химический потенциал может быть измерен работой, которую нужно совершить, чтобы увеличить число частиц в системе на единицу. Величина µ является функцией температуры; в каждой конкретной задаче µ определяется из условия постоянства полного числа электронов в системе, т. е. из условия, что число электронов равно N. При абсолютном нуле µ равно энергии Ферми εF. При любой температуре T > 0 и при условии ε=µ функция f(ε)=1/2. Отсюда энергию Ферми можно определить как энергию наиболее высокого, занятого электронами состояния при абсолютном нуле. Область функции распределения, соответствующая большим значениям энергии, когда отвечает ε – µ >>kT большим значениям экспоненты в знаменателе (5); тогда единицей в знаменателе можно пренебречь и приближенно положить.

f(ε)= exp ⎡⎢

(µ − ε ) ⎤ .

⎣ kT ⎥⎦

Эта функция близка к классической функции распределения Больцмана. Функция распределения позволяет рассчитать число электронов, импульс (энергия) которых лежит в интервале p, p+dp (ε, ε + dε). Перейдем к распределению по фазовому пространству частицы. При этом надо иметь в виду, что при данном значении импульса состояние частицы определяется также направлением ее спина. Поэтому число частиц в элементе фазового пространства dpx dpy dpz dV равно: dn =

(2 S + 1)dpx dp y dpz dV h3 [e( e- m) / kT + 1]

,

(6)

где S – спин частицы. Интегрируя по dV, получим распределение по компонентам импульса частиц, а переходя к сферическим координатам в пространстве импульсов и интегрируя по углам, найдем распределение по абсолютной величине импульса dn p =

Vp 2 dp , p 2h 3 [e( e- m) / kT + 1] 7

(7)

где ε=p2/2m, или распределение по энергии 3

dne =

m 2V 2 2 3 ( e- m) / kT . + 1] p h [e

(8)

Теперь нетрудно определить число электронов (термоэлектронов), выходящих под действием теплового возбуждения в единицу времени из поверхности металла. Проходить через поверхность металла могут только такие электроны, у которых нормальная к стенке составляющая скорости vx больше некоторой величины v0x, удовлетворяющая неравенству.

mv 2 − µ (0) >> kT . 2

(9)

Иначе говоря, энергия вылетающих электронов отличаются от граничной энергии гораздо больше, чем на kT. Будем рассматривать металл как потенциальный ящик конечной глубины mv20x/2. Так как тангенциальная составляющая скорости сохраняется при пересечении поверхности, то работа выхода со дна ящика равна mv20x/2. С границы Ферми работа выхода равна mv20x/2 – µ. При нулевой температуре всегда имеются электроны с ε > mv20x/2; они в основном и выходят из металла. Число электронов со скоростью vx, падающих в секунду на квадратный сантиметр поверхности, равно vxdn(vx), где dn(vx) – плотность электронов, имеющих данное значение скорости vx. Запишем для плотности электронов, у которых составляющие скорости заключены в данном интервале аналогично (6):

dn(v x , v y , v z ) =

2mdv x dv y dv z h

3

(e

−(ε − µ ) / kT

)

−1

+1 ,

(10)

m 2 (v x + v y2 + v z2 ) . Через поверхность металла проходят толь2 ко те электроны, для которых выполняется ε – µ >> kT. Поэтому

где ε =

можно перейти от распределения Ферми к распределению Больцмана с тем же значением µ, как в распределении Ферми. Отсюда иско8

мый поток электронов, вычисляемый по «хвосту» фермиевской кривой, где ε – µ >> kT, равен +∞

mv 2 + ∞

mv 2 + ∞

mv 2

⎛

y − x − − z m(kT ) 2 ⎜⎜⎝ µ − 2m 3 µ kT 2 kT 2 kT 2 kT e v dv e dv e dv e = e ∫ x x −∫∞ y −∫∞ z h3 2π 2 = 3 v0 x

mv02 x 2

⎞ ⎟ / kT ⎟ ⎠

. (11)

Если приложить к металлу электрическое поле, то максимальный ток, который может быть снят с него при данной температуре (ток насыщения), определяется этой формулой. Отметим, что поскольку (11) относится к электронам в металле, то величина µ ≈µF , т. е. к граничной энергии при абсолютном нуле и не зависит от температуры. Для изучения распределения термоэлектронов по скоростям в настоящей работе используется метод задерживающего потенциала. Если на анод вакуумной лампы с накаленным катодом подавать отрицательное напряжение, препятствующее попаданию электронов на анод, то попадать на анод будут лишь те термоэлектроны, энергия которых больше работы сил электрического поля торможения. Измеряя анодный ток при изменении величины отрицательного анодного напряжения, можно непосредственно исследовать распределение термоэлектронов по скоростям и энергиям. При расчете зависимости анодного тока i от отрицательного анодного напряжения U необходимо учитывать геометрию системы электронов. Расчет для случая плоских электродов приводит к выражению:

⎛ eU ⎞ i = i0 exp⎜ − ⎟, ⎝ kT ⎠

(12)

где i0 – сила тока при нулевой разности потенциалов между катодом и анодом; e – заряд электрона. Экспериментальную проверку формулы (12) удобно осуществлять построением графика зависимости ln(i) от величины анодного напряжения. Этот график является прямой линией, угловой коэффициент которой равен e/kT:

9

ln i = const −

eU . kT

(13)

Определив угловой коэффициент, можно рассчитать температуру, соответствующую состоянию электронного газа. Опыт показывает, что при термоэлектронной эмиссии электронный газ находится в тепловом равновесии с катодом, так что тем самым определяется температура катода. Выражения (12), (13) справедливы в случае плоских электродов. В настоящей работе используется радиолампа с коаксиальными цилиндрическими электродами, но с небольшой разницей радиусов анода и катода, что приводит лишь к незначительной систематической погрешности. Так как анод и катод лампы изготовлены из разных материалов, то между ними имеется контактная разность потенциалов, изменяющаяся при изменении температуры катода. Контактная разность потенциалов складывается алгебраически с приложенным напряжением. Знак и величину ее можно определить непосредственно по графикам, построенным в соответствии с формулой (13). Зависимость (13) имеет место лишь место при отрицательных разностях потенциалов между катодом и анодом (с учетом контактной разности потенциалов). При положительных разностях потенциалов возрастание тока замедляется, а в случае достижения точек насыщения прекращается. На рис. 1 показаны примерные зависимости ln(i) от U, иллюстрирующие определение контактной разности потенциалов ∆ϕ между анодом и катодом путем экстраполяции обеих частей графика прямыми линиями до пересечения. После определения ∆ϕ можно построить график зависимости анодного тока от величины отрицательного анодного напряжения. Такой график показывает, какое число электронов обладает энергиями, большими определенной величины, соответствующей задерживающему анодному напряжению. От величины задерживающего напряжения U легко перейти к соответствующей составляющей скорости термоэлектронов, воспользовавшись соотношением:

mv 2 = eU . 2 10

(14)

ln(i)

µA

R2 Л 6Х2П

+ 2B

V

–

∆ϕ1 ∆ϕ2

R1 U

Рис. 1. График зависимости логарифма анодного тока от напряжения

Порядок выполнения работы Схема установки для проведения измерений показана на рис. 2. Используется радиолампа 6Х2П. Отрицательное анодное напряжение подается от источника питания, регулируется потенциометром и измеряется вольтметром. Анодный ток лампы измеряется микроамперметром, т. к. величина тока изменяется в широких пределах. При расчете величины отрицательного анодного напряжения на аноде лампы следует учитывать падение напряжения на микроамперметре, вычитая его из показаний вольтметра. Внутреннее сопротивление микроамперметра, различное при различных пределах измерения, указывается на приборе. Ток накала регулируется реостатом и измеряется амперметром, расположенным на лицевой панели источника питания. 1. Собрать схему для проведения измерений согласно рис. 2. 11

∼ 5,7÷7,0B

A

Рис. 2. Схема проведения измерений 2. Исследовать зависимость анодного тока Ia от анодного напряжения Ua, изменяя его от –0,5 B до +0,5 B при различных токах накала Imin и Imax. Эксперимент начинать с малого тока накала. Уменьшить напряжение через 0,05 В, снимать соответствующие показания микроамперметра. Результаты занести в таблицу. Ua(B)

Iн(min), A Ia(µA)

Ln(Ia)

Ua(B)

Iн(max), A Ln(Ia) Ia(µA)

3. Построить графики зависимости (аппроксимировать каждый из участков прямыми по методу наименьших квадратов), определить по ним величину и знак контактной разности потенциалов между анодом и катодом для каждого тока накала. 4. Изучить зависимость анодного тока от величины анодного напряжения, рассчитать значения температуры катода. 5. Построить графики зависимости анодного тока от величины отрицательного анодного напряжения Ua с учетом контактной разности потенциалов при указанных выше токах накала. 12

6. Для каждого напряжения рассчитать значения минимальной скорости термоэлектронов, при которой они достигают анода лампы, используя формулу (14). 7. Получить количество электронов, соответствующее каждому току, пользуясь соотношением Ia=N·e, где e – заряд электрона, а N – число электронов, которые достигают анода лампы за 1 секунду. Результаты занести в таблицу. N

Учебное издание Составитель Гамзат Жапарович Худайбергенов

vmin 8. Построить график зависимости N=f(vmin).

Контрольные вопросы 1. Дайте определение термоэлектронной эмиссии. 2. Опишите поведение электрона на границе между металлом и вакуумом. 3. Дайте определение химического потенциала. 4. Каков физический смысл контактной разности потенциалов, дайте определение. 5. Опишите способ изучения распределения электронов по скоростям методом задерживающего потенциала.

Рекомендуемая литература 1. Гапонов В.И. Электроника. М.: Физматгиз, 1960. Ч. 1. Гл. 3, §1. 2. Капцов Н.А. Электроника. М.: Гостехиздат, 1956. Гл. 2, §3. 3. Методы физических измерений / Под ред. Р.И. Солоухина. Новосибирск: Наука, 1975. С. 144. 4. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1987. Т. 3. Гл. IX, §61.

13

ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕРМОЭЛЕКТРОНОВ ПО СКОРОСТЯМ МЕТОДОМ ЗАДЕРЖИВАЮЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА Описание лабораторной работы по атомной и ядерной физике (для студентов III курса физического факультета ОмГУ)

Технический редактор Е.В. Лозовая Редактор О.А. Сафонова ________________________________________________________________ Подписано в печать 30.08.04. Формат бумаги 60х84 1/16. Печ. л. 0,9. Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 100 экз. Заказ № 493. ________________________________________________________________ Издательство Омского государственного университета 644077, г. Омск-77, пр. Мира, 55а, госуниверситет