Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений. Методические указания для выполнения лабораторных и контрольных работ

2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Методические указания к лабораторным работам по курсу «Информатика» для студентов строительного факультета

Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений Составители: Даширабданов В.Д. Бундаев В.В. Ергонов В.П.

Методические указания предназначены для студентов строительного факультета очного и заочного отделений для выполнения лабораторных и контрольных работ по курсу «Информатика». Ключевые слова: численные методы, уравнение, корень, приближение, Mathcad, результат, график, интервал, итерация, условие. Работа выполнена к.т.н., доцентами кафедры «Сопротивления материалов» В.Д.Даширабдановым, В.В.Бундаевым, В.П.Ергоновым. Отв. редактор: проф. Г.С.Егодуров Рецензент: к.т.н., доцент А.А.Алтаев кафедра «Системы информатики»

Улан-Удэ 2004г.

4

3

Нелинейные и трансцендентные уравнения

Корнями такого уравнения являются такие значения x, при которых удовлетворяется уравнение (1.1). Графически решением является точка пересечения графика функции F(x) с осью абсцисс (см. рис 1).

Многие задачи механики сводятся к решению нелинейных алгебраических либо трансцендентных уравнений. При этом зачастую не удается добиться точного решения, поэтому используются итерационные численные методы позволяющие получить приближенное решение с определенной степенью точности. Рассмотрим уравнение в общем виде F(x) = 0 (1.1) где F(x) есть многочлен, либо какая-либо функция от x.

Обычно решение разбивается на два этапа: 1.Отделение корней. 2.Уточнение корней до заданной точности. На первом этапе необходимо выделить такой интервал, на котором существует только один корень. Это можно сделать, используя график, выделив, к примеру, участок [a,b], содержащий точку пересечения графика функции F(x) с осью абсцисс (см. рис.1). Либо аналитически, используя следующее условие:

Y F(x)

x0

F(b)

x1

x2

b X

0 a

F(a)

Рис.1

F(a)*F(b)<0 (1.2) где a и b есть значения x, при которых функция имеет противоположные знаки. На втором этапе используются численные методы: метод Ньютона или метод хорд, рассматриваемых далее.

5

6

Метод Ньютона Исходное уравнение 1.1 заменяем линейным уравнением F(x0) + FI(x0)*(x1-x0) = 0

(1.3)

I

где F (x0) – первая производная от функции F(x) в точке x0, а x0, x1 – начальное и первое приближение. Выбираем начальное приближение х0 из условия: если F(a)*FII(a)>0, то x0=a

(1.4)

где FII(a) – вторая производная от F(x) в точке a. И наоборот если F(b)*FII(b)> 0, то x0=b

(1.5)

Затем, преобразуя уравнение 1.3, находим первое приближение x1=x0 - F(x0)/FI(x0) Далее определяем второе приближение x2=x1 - F(x1)/FI(x1) …………………… xn+1=xn - F(xn)/FI(xn)

приближения осуществляются до тех пор, пока разность по модулю между очередным и последующим приближением не станет удовлетворять условию: │ xn+1 – xn │< ε

точность

где ε – заданная

Пример: Лабораторная работа Решение нелинейного уравнения методом Ньютона 1.Определим корень уравнения xr «ручным» способом в среде Mathcad ε := 0.001 3

2

x + 3 ⋅ x − 4.5 ⋅ x + 6

0

3

Зададимся произвольным интервалом x := −5 , −4 .. 5

2

F ( x) := x + 3 ⋅ x − 4.5 ⋅ x + 6

7

x=

8

F ( x) =

Выбираем начальное приближение x0 из следующего условия: F ( x) ⋅ F'' ( x) > 0

где

F'' ( x) :=

2

d

2

F ( x)

dx F ( a) ⋅ F'' ( a) =

то есть

x0 := a

обозначим F' ( x) :=

Построим график функции F(x)

d F ( x) dx

и далее производим последовательные приближения, проверяя условие

20

xn − xn−1 < ε F ( x)

x1 := x0 −

− 30 −9

x

1

x2 := x1 −

Определим искомый интервал из условия F(a)*F(b)<0 [a,b], где a = -5, а b = -4

F ( x0)

F' ( x0) F ( x1)

F' ( x1)

x1 − x0 =

x2 − x1 =

9

x3 := x2 −

x4 := x3 −

F ( x2)

10

Предполагаем, что на участке [a,b] имеется только один корень уравнения.

x3 − x2 =

F' ( x2) F ( x3)

x4 − x3 =

F' ( x3)

Y

таким образом, получим, что искомое решение F(b)

xr := x4

F(x)

xr =

2. Сверим полученный результат с решением через «встроенную функцию» в среде Mathcad x := x0

xmr := root ( F ( x) , x , a , b)

0

a

x1

xmr = −4.351

b

x2 F(a)

Метод хорд В методе Ньютона требуется вычислять производную функции, что не всегда удобно. Поэтому иногда пользуются методом хорд, который применяется для отыскания корня уравнения F(x)=0, где F(x) функция вещественная и непрерывная на найденном участке [a,b] (см.рис.2).

Рис.2 Метод заключается в следующем: дугу на участке [a,b] стягиваем хордой. В качестве первого приближения принимается точка пересечения

X

11

12

хорды с осью x. Затем на вновь выбранном участке [a,x1] опять стягиваем дугу хордой и получаем следующее приближение x2. Таким образом, приближения продолжаются до тех пор, пока не будет удовлетворено условие: │xn+1-xn│< ε где ε есть заданная точность, xn+1- последующее приближение, а xn- текущее приближение. Для выбора интервала (из двух [a,x1] или [x1,b]), используем условие если F(a)*F(x1)<0, то выбираем [a,x1] если F(x1)*F(b)<0, то выбираем [x1,b]

(1.6)

Для аналитического решения необходимо описать хорду, проходящую через точки (a, F(a)) и (b,F(b)) уравнением y = F(a) + [(F(b) - F(a))/(b – a)]*(x – a)

Эта формула в зависимости от выбранного интервала используется для аналитического решения уравнения в общем виде: xn+1 = (a*F(xn) – xn *F(a))/(F(xn) – F(a)) если был выбран [a, xn] xn+1 = (xn *F(b) – b *F(xn))/(F(b) – F(xn)) если был выбран [ xn,b] ( 1.9). Пример: Лабораторная работа Решение трансцендентного уравнения методом хорд 1.Определим корень уравнения xr «ручным» способом в среде Mathcad ε := 0.001

(1.7) 2

tan ( 0.5 ⋅ x + 0.1) − x

приравнивая это уравнение к нулю, находим пересечение хорды с осью x, то есть точку x1. x1 = a – F(a)*(b – a)/(F(b) – F(a)) или x1 = (a*F(b) – b*F(a))/(F(b) – F(a))

0

Зададимся произвольным интервалом (1.8)

x := −1.8 , −1.4 .. 1.8

2

F ( x) := tan ( 0.5 ⋅ x + 0.1) − x

13

x=

14

[a,b], где

F ( x) =

a = -0,4; а b = 0,2

Выбираем начальное приближение x1 из формулы (1.8): x1 :=

a ⋅ F ( b ) − b ⋅ F ( a) F ( b ) − F ( a)

x1 =

Для выбора интервала из двух [a,x1] или [x1,b], используем условие (1.6): Строим график функции F(x)

F ( a) ⋅ F ( x1) =

F ( x1) ⋅ F ( b) =

т.е. далее итерационные вычисления будут проводиться в пределах интервала [a,x1], до тех пока не будет удовлетворено условие:

0.4

F ( x)

xn − xn−1 < ε − 0.5 −2

x

Определим искомый интервал из условия F(a)*F(b)<0

1

x2 :=

a ⋅ F ( x1) − x1 ⋅ F ( a) F ( x1) − F ( a)

x3 :=

a ⋅ F ( x2) − x2 ⋅ F ( a) F ( x2) − F ( a)

x2 − x1 =

x3 − x2 =

16

15

x4 :=

a ⋅ F ( x3) − x3 ⋅ F ( a) F ( x3) − F ( a)

x4 − x3 =

a ⋅ F ( x4) − x4 ⋅ F ( a) x5 := F ( x4) − F ( a)

x5 − x4 =

Задания к лабораторным работам.

Решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Цель задания.

x6 :=

a ⋅ F ( x5) − x5 ⋅ F ( a) F ( x5) − F ( a)

x6 − x5 =

таким образом, получим, что искомое решение xr := x6

Постановка задачи.

xr =

2. Сверим полученный результат с решением через «встроенную функцию» в среде Mathcad x := −0.4

xmr := root ( F ( x) , x , a , b)

1. Отделить корни уравнения графически или аналитически. 2. Практика в использовании численных методов и освоение среды Mathcad 3. Составление программы и ее отладка.

xmr =

Найти корни уравнений с точностью ε = 0,001. Все вычисления проводить в среде Mathcad. Результаты распечатать и оформить в отчете. Варианты заданий. 1. а) x - Sin(x) = 0,25 б) x3 - 3x2 + 9x - 8 = 0 2. а) tg(0,58x + 0,1) = x2 б) x3 - 6x - 8 = 0 3. а) x1/2 - Cos(0,387x) = 0,25 б) x3 - 3x2 + 6x + 3 = 0 4. а) tg(0,4x + 0,4) = x б) x4 -0,1x2 + 0,4x – 1,5 = 0 5. а) x tg(x) – 1,2 = 0 б) x3 -0,1x2 + 0,2x – 1,3 = 0

17

18

6. а) x2 – 20 Sin(x) = 0 б) x3 + 0,2x2 + 0,5x + 0,8 = 0 7. а) x2 + 4 Sin(x) = 0 б) x3 - 2x + 4 = 0 8. а) 2x – lg│x│ = 0 б) x3 - 3x2 + 6x - 5 = 0 9. а) 3x – Cos(x) - 1 = 0 б) x3 - 0,2x2 + 0,5x - 0,8 = 0 10. а) tg(0,44x + 0,3) = x2 б) x3 -0,1x2 + 0,4x + 1,2 = 0 11. а) x2 – 3 Sin(x) = 0 б) x3 + 0,5x + 4 = 0 12. а) tg(0,36x + 0,4) = x2 б) x3 -0,2x2 + 0,4x – 1,4 = 0 13. а) x + lg│x│ = 0,5 б) x3 - 3x2 + 6x - 5 = 0 14. а) ctg(x) – x/5 = 0 б) x3 + x - 3 = 0 15. а) 2 lg│x│-x/2 + 1 = 0 б) x3 - 0,2x2 + 1,4 = 0 16. а) tg(0,55x + 0,1) = x2 б) x3 - 0,5x2 + 1,2 = 0 17. а) ctg(0,44x + 0,3) = x б) x3 - 0,4x + 1,8 = 0 18. а) x lg│x│- 1,2 = 0 б) x3 - 0,1x2 + 3x – 1,4 = 0 19. а) 1,8x2 - 4 Sin(10x) = 0 б) x3 + 3x2 + 6x - 1 = 0 20. а) x2 - 20 Sin(x) = 0 б) x4 - 0,2x + 4 = 0

Рекомендуемая литература 1. Численные методы/Н.Н.Калиткин – М., 1978. 2. Mathcad 7 в математике, физике и в Internet/В.П.Дьяконов, И.В.Абраменкова – М., 1998. 3. Общий курс Высшей Математики/И.И.Баврин, В.Л.Матросов – М., 1995.

Подписано в печать 28.10.2004г. Формат 60х841/16. Усл.п.л.1,16, уч.- изд.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № Издательство ВСГТУ Г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40, а.