Выбор инвестиционного портфеля. Лекция

! "!$#%'&(%')+*+,-%'& .0/(1(2436587:9:5=@?A74/(B@=DCFEHGI@=J/(GI...

Author: Новоселов А.А.

7 downloads 199 Views 200KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

! "!$#%'&(%')+*+,-%'& .0/(1(2436587:9:5<;>=@?A74/(B@=DCFEHGI@=J/(GI@=K3ML(/N;(1OC4PQCSRI:1T?O9VUW=J/>=(IYX[Z6\ ∗

]_^a` bacdfehgjijb kmln(o>p-oNq4r4o k sutv4wyx>zDoN{4|!r4{~}4w(v4zJo+F 6Nv4oN|!oNq4r4o }4v4w(zDr4n(w(v4oN4rMOp-w@ywNp-q4wyx>zDD'v4rFx>a 66>>DJA> 6>¡D¢£¡6¤WT¥D¡6H¦¦¦¦¦¦¦¦¦h¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦h¦¦¦¦¦¦ § 6©¨«ª:O¬yWJ®TDN>¯>¡D¥JY¦¦h¦¦¦¦¦¦¦¦¦h¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦h¦¦¦¦¦¦ ° 6 «V¤±¯>³²DD´aµ DD¡6>D¡Dµ¶h¦¦¦¦¦¦¦¦¦h¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦h¦¦¦¦¦¦ · 6 §¹¸º>DT²D¡D[jD¡D»6¼½¦h¦¦¦¦¦¦¦¦¦h¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦h¦¦¦¦¦¦ ¾ «¿ÀoNzDwNpÁwNÂÃrKp£DoNÄÅw({~}4wJFo+Nq4w'x>zDr Æ §DÇÅ>»³ATD>¯>@¤WO¬yWD¡8¦¦h¦¦¦¦¦¦¦¦¦h¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦h¦¦¦¦¦¦ ¾ §D©¨ÈÇÅ>@A¤WA>QÉ(Ê>JA DAÉ(³¤±D>»³>Ê0¡T>DT²D¡D[jD¡D»6¼Ë¦¦¦¦¦¦h¦¦¦¦¦¦ Ì §D «ÍÅ>D¢ÎOÉ(Ê>D>ÅJT» DDQ¬(QÉ(J¡D[¡j D>6O¤WA>QÉ(Ê>JA DAÉ(³¤±D>»³>ÊÏ¦h¦¦¦¦¦¦ Ì ÐÑÒ}4v46ÂÃq4oNq4rM Ó Ô ÕÖ bV` bagjijb ¸¬(D>µË¡6¤×¯>AØ0Dµ6²¡@ÙË DD>ÚAÉ(¢Û>>D¡D¡SD¡D»6jD¯AÉJD³>»ÜS DD>ÚAÉ(¢Î> 6>¡D¢ÎOÉ(Ê>D>ÝJT»QÞ DDQ¬(QÉ(D¡DË>ÝJTD¡DDDD´ÙËD»³¼@D»>¯ÃßàJT DD¡D¢£:áM@T D¡6TOÉy+âQMÇÅD¡D¢£JT¢£¡Ë DD¡@É(WØD¡Dµ ¢£>Ý³¼N»QÉJ¼NØ0¡6>Êãh>D¢£¡DD>¯+AD¡DÅ¡DD¯>»³>¡D¥D¡D>DJ>Ý D>6>ãhQÉJ:á6>DD¡6+>D¡JOÉ(Ê>D>hJT» DDQÞ ¬(QÉ(D¡D[ DD>¡6¤±¯>±¬(»³>¯+6 Ç¼>»³>Ê (X , ..., X ) ä ãh¡D@»³¡DD>¯+TDD´aµj»åÉJ¼@JTµDD´aµj¯>6>>:á m = (m , ..., m ) ä ¯>6>> Ý»DQ¬(D¡@Ù¤±JWDD¡Dµ:áy V = (v ) ä @>¯+TD¡JT¥D¡DTDJA¢ÎA>D¡D¥J6áD>»³>Ê ßæOâ m = EX , v = E(X − m )(X − m ), i, j = 1, ..., n. Ç¼>»³>ÊDáD¬yOÉ(Tá y = (y , ..., y ) ä ¯>6>>¡6¤ ßç¨>â L = {y ∈ R | y + ... + y = 1}. è-éAêæëQìOëQí±ëî³ïKðOìAêòñAìOëQóæñAô³éOõ³ö÷õøDõÜùOóæñAìOúOõ³îûQéOìWüjýKþ ÿ úAû³êæéOõÜüOúAê ±ûåùAó øDö÷õ³úOõÜùAõ "!$# %'&()*+# &*, ë #.- / 0213546/67 81 n

1

1

ij

i

i

ij

i

j

j

n

1

n

∗

i

n

1

n

n

¨ ÅÇ >6>ãhQÉ(¢~JA¤±´a¯+T³>»Ü »åÉJ¼@JTµDJA¯>QÉ(¡DD¡DJ

9;: 9;:<>= ?@=BA6C2DE= ?

ß +â

P = P(y) = y1 X1 + ... + yn Xn ,

DD¡GF³>>¢ N>¢£ D>D6>´ ¯>6>>J y DD¡D6D>~JA¤±´a¯+A>Ê~¯>»±T¢£¡Û¡DD»³>6¼@¢£±6+>¯ X , i = ¯ D>6>ãhQÉ(T@®A>¢ÎA>¡DD»±N> WØ0¡@¬yTD¡D¡[¬(¡D» DD»¡6 D>6>ãhQÉJß +âQáT@TD³>6¼W¬DÞ 1, ..., n D¤WT¢£³>¡6>ÊDá(JT¯>D´ ßà»¢aD¼@ DJAØ0DD¡D×ßç°@Oâ â ßà§Nâ EP = y m + ... + y m = y m, DP = v y y = y V y, ÝÜ¬(h¯>>Ù6D¡Dµ¡D@¬(N» T TÚ>T¤±JOJT³>JTD» D>D¡DD>¯+TD¡DT ª:O¬yWJaãh>D¢£¡DD>¯+TD¡6h D>6>ãhQÉJ¦¤WT@5É HºJT³>»Ü¯ ¯>´aÚ>>DÎ¯>»>¯ y JT¡@ÉJ¼@6²¡D¢ ¯DNAÞ >>D>¢ »¢£´a»QÉ([>ÚTJA¤±>¢a I ÉJ »JT¯>DD¡6 »QÉJ¼@JTµDD´VÙ ¯>QÉ(¡DD¡D ß >>DDTá¡@ÙÛJT» DDQ¬(QÉ(D¡Dµ(â¯>¯>±¬(¡6>»Ü ¢£J D¡D»6 µ á(>j»³>ÊÒT>>Ú>JAØD¡D¡6¤DNT>>D>Ýj¢£DWØ»³>¯>×»QÉJ¼@JTµDD´Ù¶¯>QÉ(¡DD¡D X ßà¡@É(¡ ¢£DOØ»³>¯+¡@ÙjJT» DDQ¬(QÉ(D¡Dµ F â¯¯> J»³>¯>DD@¼ H D+D¢-@¼ H>K i

1

n

1

N X N X

T

n

ij i j

T

i=1 j=1

µ : X → R, (µ : F → R).

®JD¡D»@ D>6>ãhQÉJ P >@A¤±´a¯+T³>»Ü DD¡LF³>>¢ ãÅ¼@DD¥D¡Dµ¯>»>¯>>Ý¯>6>>J

y

K

µ(P) = µ(y1 X1 + ... + yn Xn ) = f (y),

DBF³>>¢-¼Ò¤WO¬yWJ¯>´aÚ>>J D>6>ãhQÉJãh>D¢-¼±É(¡D6¼+³>»å»QÉ(Q¬J¼@HMJ¡D¢<>Ú>JA¤±>¢K f (y) → max(min)

ßç°>â

DD¡j¼+»QÉ(>¯>¡D¡ ß ·+â y∈L ¡:áÎ¯>T¤±¢£WØ0DDáF¬(> DAÉ(D¡6>QÉ(Ê>D´Ù~>ÝJTD¡DDD¡6@Ù'áV»¯T6¤WTDD´Ù8»»³¼+J»³+¯>>¢ @AØ¬(>µ8N>@Þ DD³>D>µ¤WO¬yOD¡: ¸Ú>T¤±JWD¡D¢ I = (1, 1, ..., 1) áD>>Ý ¬y¢£DOØ»³>¯> L ¢£WØ0D¤WO¬yA>Ê0JA¯>D»³>¯>>¢ ßç¾>â L = {y ∈ R | y I = 1}. 6» H¬J¼ ¬yOÉ(ÚT¼±¬(¢ »D¡6TA>Ê N>¯+TD¡JT¥D¡D>D6@¼ H ¢ÎA>D¡D¥6¼ D¯>´aDWØ¬(DD>Oµ NM DDP¡ F³>>¢ 6T V áKATS¡ V D¯AÉJ H>»åË DAÉ(WØ0¡6>QÉ(Ê>D> DDQ¬(QÉ(DD´ V¢£¡:áF6> DT¤±¯>AÉJD³¤WO¬yA>Ê¯ »6OÉJDDD>h DD>¡6¤±¯>Q¬(D¡D R ß Ì+â (u, v) = u V v, u, v ∈ R ¡jD>D¢-¼ kuk = (u, u) á6NT>>6@¼ H¡DD>Ý ¬yJA¤±´a¯+Q HR FD³DÝ³+¡DD±»@>µ:(~D@T>>D´Ùj»QÉJ¼+Þ JA@Ùj¯>»± D>6>ãhQÉJÒ¬(AÉJØ0D´ÛÚ>´>ÊDT>D¡D¥JO+QÉ(Ê>D´ ¢£¡:á(¯»¯T6¤±¡»ÅD¢8¤WO¬yWJ> 6>¡D¢£¡@Þ ¤WT¥D¡D¡Ãßç°>âJT»»¢ÎA>D¡D¯+T³>»åDhJ¯>»¢ ¢£DOØ»³>¯> L ß ·+âQáJJÝ D±¬(¢£DOØ»³>¯> *ß S+â S = {y ∈ L | y ≥ 0, ..., y ≥ 0}, JA¤±´a¯+T¢£>¢ »³TA@¬yT6+D´a¢<»¡D¢£ @É(N»>¢~¯ R y

y

n

T

n

n

n

T

−1

n

T

n

−1

q

n

n

n

n

1

n

TVUXW =6Y[Z\?@C6A']'Z^Z= \\= _=a`=6Yb]cdC2De

jc ^>hVibjlkfiljnmj^¦clipo bVqsr ÍhÁ¢£DWØ»³>¯> X »QÉJ¼@JTµDD´Ù ¯>QÉ(¡DD¡D:áh>ÚAÉyW¬yQHMJ¡@Ù_N>DDD´a¢ ¯T>>D´a¢ ¢£>¢£6>>¢K ¯@WD»³>¯>¦¢£D´ D¡D»@¢£OØ0D¯>´aÚ>JA>Ê¬(¡D» DD»¡ H »QÉJ¼@JTµDD>µ¯>QÉ(¡DD¡DD´pK EX < ∞ ßæu t+â µ(X) = DX, X ∈ X . ¸Ú>T¤±JOD¡D¯ D ¬(¡D» DD»¡ H »QÉJ¼@JTµDD>µ[¯>QÉ(¡DD¡DD´ÅáO¡D¢£6 HMJµ[ãÅ¼@DD¥D¡ H8JT» DDQ¬(QÉ(J¡6 F á F³T¼[¢£6¼¦D¡D»@º¢£OØ0D ¤WO¬yA>ÊºJ¢£DOØ»³>¯>JT» DDQ¬(QÉ(D¡Dµ áO>ÚAÉyO¬yQ HMJ¡@Ù[@TDDD´a¢ F ¯T>>D´a¢~¢£>¢£6>>¢ ßæ>Oâ µ(F ) = D , F ∈ F. I ¡D» DD»¡ H[á @T ¢£6¼<D¡D»@6áa»QÉ(Q¬J¼>³~¢£¡DD¡D¢£¡6¤±¡DD>¯+A>ÊDá DB F³>>¢-¼<¤WO¬yWJ ßç°>âQáhß ·+â DD>Ú>JA¤¼+³>»Ü j¯>¡@¬J¼ ßæO¨>â y V y → min, ßæW+â y I = 1. v ³²¡Dw ¢ F³T¼0¤WO¬yO6¼0¢£³>±¬(>¢8¢£DWØ0¡6>QÉ(yµ x[TÝJT6Ø{ z ¨ |ç I ÉJ{ F³>>Ý»>»³AT¯>¡D¢8ãÅ¼@D@Þ ¥D¡ H}x[TÝJT6Ø[¤WO¬yOD¡Sßç°>âQáMß ·+â f

g

2

F

F

T

y

T

¡JTµ@¬(¢ hJT»³>D´a[ DD>¡6¤±¯>±¬(D´a

L(y, λ) = y T V y + λ(y T I − 1), Ly = 2V y + λI, Lλ = y T I − 1.

ÇÅD¡DJT¯>D¡D¯+ALFQ>¡ DD>¡6¤±¯>W¬(D´¦st6áD¡6¤¦ DD¯>>Ý¼@JT¯>DD¡6 DAÉJ¼@JT¢ 1 y = − λV −1 I, 2

D W¬(»³AT¯AÉJD¢YT>»6H¬y y ¯>¯T>>D>¼@JT¯>DD¡DTáDJOÙ+±¬(¡D¢ ¤WO¬yOD¡SßæO¨>âQáMßæW+âÎJ¯OÉJJQ>»å¯>6>>

λ = −2/kIk2

áNATÒ6>D³²D¡D¢

æß ±§Nâ ¸º>¢£³>¡D¢aá'6>0¤±JWDD¡6 WØ0¡@¬yT¢£>µÒ¬(±ÙN±¬(D>»³>¡ ¡j¬(¡D» DD»¡D¡H D>6>ãhQÉJ J> 6>¡D¢ÎOÉ(ÊAÞ D>¢ y JT¯>D´ 1 (m, I) ßæO°>â , f (y ) = . EP(y ) = y m = _@OD»³>¯>×¡@ÉDÉ5Hº»³>JT¥D¡D¡Ã¯>´a D¡6²¢D³kIk ²D¡DyF³>>µË¤WO¬yWkIk D¡!¬DÉJË»QÉJ¼@JAÃDN>DDQÉ(¡@Þ D>¯+TDD´ÙË¡DD»³>6¼@¢£±6>>¯8ßàN>¢£ D>D6 ¯>6>>J X âQ4ÇÅD¡PF³>>¢ÀN>¯+TD¡JT¥D¡D>DJA!¢ÎA>D¡@Þ ¥J V D¯AÉJD³>»å!¬(¡JTÝ>JOÉ(Ê>D>µOK V = diag(σ , ..., σ ) áMATÃ6> V = diag(σ , ..., σ ) á ¡ kIk = σ y∗ =

V −1 I . kIk2

∗

∗

∗

∗T

2

2 1

2

Pn

i=1

2

2 n

−1

−2 i

yi∗ =

ÁJT»³>D>»³>¡:áy»QÉ(¡

σi−2 , i = 1, 2, ..., n, σ1−2 + ... + σn−2 σ1 = ... = σn = σ yi∗ =

á6>

1 , i = 1, ..., n, n

f (y ∗ ) =

f (y ∗ ) =

σ1−2

σ2 . n

1 . + ... + σn−2

−2 1

−2 n

§

9;: 9;:<>= ?@=BA6C2DE= ?

e acjbkfbagjijbmjcj^ii Ö ^¦cjbjiy4` ^^a` gj^>hVi$r$cjiLhV !JT¢£@OÙ¦ JTJO¬(¡DÝ¢£´å¬(±Ù+±¬(D>»³>Ê ä D¡D»b³ DD³¬( DAÉyTÝQT³+»å:áA6>º¡DD¯>»³>>»³>D¢£¡6+»å[¼@¯>QÞ É(¡DD¡6>ÊDáNJT»NAÉ(Ê>Nd F³>¦¯>T¤±¢£WØ0DDáTOØ0¡@¬yT¢-¼@H ¬(±Ù+W¬(D>»³>Ê¦ D>6>ãhQÉJ ßà¯hJA²¡@Ù>Ú>T¤±JOÞ DD¡6@Ù ä EP âQáT±¬(D>¯>D¢£DDÅ»¯>±¬J¢£¡DD¡D¢-¼@¢-¼l³D¡D»b DP I OÉ(JT»»¢£T>D¡D¢!¯>DJAAÞ ¥D>ÚQJ[¼@H D>»³TTD>¯T6¼ATD¡@Ù0¯>6>>DD´Ù0¤WO¬yW> 6>¡D¢£¡6¤WT¥D¡D¡Ò¡ D±¬DÙN±¬(´~0¡@ÙD³²D¡H[á DT>>¢ > D¡6²¢ D±¬(D>Ú>DÅ¬(¯+ATD¡@Ù D±¬DÙN±¬y¯¤WO¬yWDh D>6>ãhQÉ(Ê>D>µ> 6>¡D¢£¡6¤WT¥D¡D¡: p

~

OXX$ X¡$¢L¡X£O¤X¡M

Ç ¼+»³>Ê g , ..., g ä DNT>>D´ahãÅ¼@DD¥D¡D¡:á6¤WO¬yTDD´aÅJ¢£DWØ»³>¯> J¡Dh¤±JWDD¡6¯ (ª:O¬yWJ R m

1

D ∈ Rn

á6¡j DD¡DD¡D¢ÎQH Þ

g1 (y) → min , y ... gm (y) → min, y

J A¤±´a¯+T³>»Ü ¤WO¬yODµ ¯>6>>DDTµ8ßà¢£D>Ý>DD¡6>D¡JOÉ(Ê>D>µ(â> 6>¡D¢£¡6¤WT¥D¡D¡::ÇÅ>»NAÉ(Ê>6¼j>>@Þ D¡ y á£JHNT>>D´ÙÃ¬(>»³>¡DÝ³QH>»å ¢£¡DD¡D¢-¼@¢£´JA¤³É(¡DDD´Ù8ãÅ¼@DD¥D¡Dµ g , i = 1, ..., m á£@T DJT¯>¡@É(Dá+JA¤³É(¡DDD´Åá@»±T¢£¦ D>66>¡DD³²D¡60¤WO¬yWD¡>DÚT¼>³> DDQ¬(QÉ(D¡6:@ÍÅ¯A¬yT¯+AD»Ê ¯h DW¬(D>ÚTD> JT»»¢£T>DD¡DM F³>>µ0 DD>ÚOÉ(¢£´ÅáNJT»»¢£T>D¡D¢¶¬(¯+Å D±¬DÙN±¬yÅ JA¤±DQ²J¡ H[ ¸¬(¡DÃ¡6¤j D±¬DÙN±¬(>¯ ¤WT@5É HºJT³>»å8¯H»QÉ(Q¬J@¼ HMJ¢ K-¤±JWDD¡6Y¯>»QÙY¥DQÉ(¯T´Ù8ãÅ¼@DD¥D¡Dµ:á DD>¢£×±¬(D>µ:á4JT DD¡D¢£:áF DD¯>>µ:áFãh¡DN»¡D6@¼ H+»Ü:á-¡S¯>¢£»³>H¡D»ÜÙ+±¬(D>µÃJT»»¢ÎA>D¡D¯+T³+»Ü >Ú>´aDJAj¤WO¬yWJ¢£¡DD¡D¢£¡6¤WT¥D¡D¡»¬(> DAÉ(D¡6>QÉ(Ê>D´ ¢£¡>ÝJTD¡DDD¡6D¢£¡ y∈D

i

g1 (y) → min , y g2 (y) = a2 , ... gm (y) = am ,

¤WT¯>¡D»¡D¢£>»³>Ê!D³²D¡68NT>>D>µYT¶ JTJT¢£³>D>¯ a , ..., a ¤WA>¢ ¡D»»QÉ(Q¬J¼>³+»åÃ¬(> DAÉ(D¡@Þ >QÉ(Ê>DD I 6¼@Ý>µ D±¬DÙN±¬ ¤WT@5É HºJT³>»å ¯0 DD¡D»¯+T¡D¯+TD¡D¡DD¡6>D¡JOÉ(Ê>D´a¢ÁãÅ¼@DD¥D¡6D¢< DAÉ(WØ0¡@Þ >QÉ(Ê>D´ÙÒ¯>»>¯ α , ..., α ßà±¬(¡D0¡6¤NT>>D´Ù'á6JT DD¡D¢£:á α ¯>»ÝÜ¬y[¢£WØ0D¦¯>´aÚ>JA>ÊJT¯AÞ D´a¢ Wâ³áD¡jD³²T³+»Ü¤WO¬yOJ> 6>¡D¢£¡6¤WT¥D¡D¡»¯T¤±¯>³²DD´a¢<»@OÉJDDD´a¢ DD¡6>D¡J¢ y ∈ D,

2

1

m

m

m

g(y) = α1 g1 (y) + ... + αm−1 gm−1 (y) + gm (y) → min , y

T »»¢£T>D¡D¢ >Ú+¥F³>¡ D±¬DÙN±¬yÃ DD¡D¢£D¡6>QÉyÊ>D8Á DD>ÚAÉ(¢£H¯>´aÚ>>JS> 6>¡D¢ÎOÉ(Ê>D>Ý ßà¯»¢£´a»QÉ(0WØ0¡@¬yT¢£>µH¬(±Ù+W¬(D>»Q>¡S¡H¬(¡D» DD»¡D¡yâh D>6>ãhåÉJKáM¯NT>>D>µ g (y) = y V y á ¡ g (y) = −y m D = L y ∈ D.

v

1

2

T

n

T

°

TVUXW =6Y[Z\?@C6A']'Z^Z= \\= _=a`=6Yb]cdC2De (¦

§>¨db©$«ª¬X®¡X¤$

z §Q|:¡D» DAÉ(ÊT¤¼>³+»Ü DD¯>´aµj¡6¤Å> D¡D»±TDD´ÙÒ D±¬DÙN±¬(>¯K6WØ0¡@¬yT¢ÎA¬(±ÙN±¬(D>»³>Ê D>6>ãhQÉJ } ãh¡D@»¡D6¼>³+»Ü JÃDNT>>D>¢ ¼@D>¯>D M áa¡ D³²T³>»ÜÛ¤WO¬yWJY¢£¡DD¡D¢£¡6¤WT¥D¡D¡Á¬(¡D»QÞ y m DD»¡D¡Ë D>6>ãhQÉJ y V y KÇÅD¡F³>>¢Û¯>T¤±D¡D@T³¤WO¬yWJ6á: DWÙ+WØA¶J!ßæO¨>â ä ßæW+âQá'»±¬(D¡D¢ ¬(> DAÉ(D¡6>QÉ(Ê>D´ ¢~>ÝJTD¡DDD¡D¢ K ßæW·+â y V y → min, ßæO¾>â y I = 1, ßæWÌ+â y m = M, ÝÜ¬( M ä JTJT¢£³>¤WO¬yWD¡: v ³²A ßæW·+â ä ßæWÌ+â¢£³>±¬(>¢ ¢£DWØ0¡6>QÉ(¯µ x[TÝJT6Ø_ßà»¢a ¼@ DJAØ0DD¡D×ßç°@©¨>â âQáD DAÉJ¼@JT¢K ßæu S+â y (M ) = uM + v, ÝÜ¬( T

T

T

y

T

T

∗

¡

u = V −1

mkIk2 − I(m, I) , ∆

v = V −1

Ikmk2 − m(m, I) ∆

¡@¬(DDáN6>h¤WT¯>¡D»¡D¢£>»³>ÊD³²D¡6 y T¦ JTJT¢£³>Jh¤WO¬yWD¡ M É(¡DDµDJ6@´aD¡D»QÉJ6¬(¡D»QÞ DD»¡H_ D>6>ãhQÉJJ> 6>¡D¢ÎOÉ(Ê>D>¢ ¯>6>>D×ßæuS+âQáD DAÉJ¼@JT¢ kIk M − 2(m, I)M + kmk ßçQ¨ t+â , σ = f (y (M )) = DP(y (M )) = ∆ TTS6>¤WT¯>¡D»¡D¢£>»³>ÊH> 6>¡D¢ÎOÉ(Ê>D>Ý° ³D¡D»@ ³THWØ0¡@¬yT¢£>µ¶¬(±Ù+W¬(D>»³>¡ÃD¯+O¬(JA>¡DDJ6 ®¡DD¡D¢ÎOÉ(Ê>D>h¤±JWDD¡D¦¯ßçQ¨ t+âÎ¬(>»³>¡DÝQT³>»å DD¡ M = (m, I)/kIk ¡JT¯>D 1/kIk ßà»¢a ¼@ DJAØ0DD¡D×ßç°@ +â âQ ±Å6>D»D0T>¢£³>¡6+ÊDá(6>> 6>¡D¢ÎOÉ(Ê>D´aµ¯>6>>Ò¬(AÉ(µ y áD»>T>¯>³AÞ »³>¯T@¼ HMJ¡Jµ M áÎ¡D¢£³Ã¯>¡@¬ y (M ) = V I/kIk áV6>S»>¯> JO¬yT³Ã»D³²D¡D±¢ ¤WO¬yWD¡ ßæO¨>â ßæW+âQN¸º>¢£³>¡D¢ËAT6ØTá+6> á á>>¦»³>Ê[¯>6>> É(³Ø0¡6¦¯hÝ¡D DD @É(>»QÞ @>»³>ä ¡ L ßç¾>âQáJ¯>6>> u JTJOÉDÉ(IQÉ(us=F³0>>IµÝv¡D= D1D @É(>»N>»³+¡: v ®DWØ»³>¯>>>Dj @É(>»N>»³>¡ (σ , M ) á@»¯T6¤WTDD´ÙÒ»>T>DT²D¡D¢ ßçQ¨ t+âÎ DD¡ M ≥ M á >Ú>´aDD×JA¤±´a¯+T³>»Ü² Fãhãh6>¡D¯>D>µHÝJTD¡D¥D°µ z ° |ç ³F>DDs¡ F³>>ÝÒ¢£DWØ»Q>¯+×»TT>¯>³>»³+¯T¼+Þ DD¡¶¤WO¬yTDD>µ¶WØ0¡@¬yT¢£>µ H D>6>ãhQÉJD¢aáMTÚAÉyO¬yQ HMJ¡D¢Û¢£¡DD¡D¢ÎOÉ(Ê>D>µ ¬(¡D» DD»¡D±µ σ ¬(WÙ+±¬(D>»³>¡ M á-¡@É(¡:á-6>!¯ ¬yTDD>¢_»QÉJ¼@JTl FD¯>¡D¯+OÉ(6>DDá£¢VA@»¡D¢ÎOÉ(Ê>D>µYWØ0¡@¬yT¢£>µ ¬(WÙ+±¬(D>»³>BÊ H M DD¡!¤WO¬yTDD>µ¶¬(¡D» DD»¡D¡ σ F¸º>¢£³>¡D¢aá46> JL FãÅãh6>¡D¯>D>µÃÝJTD¡@Þ ¥D σ D¯AÉJD³>»Ü¶»³>D>ÝÒ¯>T¤±JT»³AQ HMJµ!ãÅ¼@DD¥D¡Dµ¶T M K³D¢ÁÚTAÉ(ÊT²¦¬(WÙ+±¬(D>»³>ÊDá'>¢ Ú>AÉ(ÊT²hD¡D»b A ±Å6>D»DË DDQ¬(»³TT¯>¡6>ÊS»Ú>TáÎ6>¶TA@> ¬(±ÙN±¬(D>»³>ÊDáÎ»>T>¯>³>»³+¯T@¼ HMJA ¢£¡@Þ M ä D¡D¢ÎOÉ(Ê>D>µ¬(>»³>¡6Ø0¡D¢£>µj¬(¡D» DD»¡D¡¶ D>6>ãhQÉJ: v T»»¢£T>D¡D¢Á»JWJOÉy0JT»³>D´aµH»QÉJ¼@JTµ:á @>Ý ¬y V = E »>¯> JO¬yT³»Q¬(¡DD¡DDD>µS¢ÎA>D¡D¥DµÁßà¯>»¡DD»³>6¼6¢£6+´ DN>DDQÉ(¡DD>¯+TD´ ¡<¡D¢£6 H8Q¬(¡DD¡DDD´a ¬(¡D» DD»¡D¡(âQ ÇÅD´¡ F³>>¢ V = E áVTT<6> kIk = n á (m, I) = áJ¡ m + ... + m ∆ = kIk2 kmk2 − (m, I)2 . ∗

2

2

∗

2

2

∗

2

∗

2

∗

∗

∗

∗

−1

T

T

2

n

2

∗

2

2

2

∗

−1

1

n

M∗ =

m1 + . . . + m n n

2

D¯AÉJD³>»å DD>»³>0»DQ¬(D¡D¢<AD¡Dãh¢£³>¡DD»±D¡D¢ ¬(±Ù+±¬(D>»³>µ ¡DD»³>6¼@¢£D>>¯D

·

9;: 9;:<>= ?@=BA6C2DE= ?

Ç ¼>»³>Ê<> DDÊÁ¢ÎA>D¡D¥J V ä ¬(¡JTÝ>JOÉ(Ê>JA:á >Á»³>ÊDá¡DD»³>6¼@¢£D>´ DAÞò DD³Ø0D¢-¼ D@>DDQÉ(¡DD>¯+TD´áFD¡D¢£6HOáF¯>>>ÚQJÝ>¯>>+:áMJA¤³É(¡DDD´a¬(¡D» DD»¡D¡ σ , i = 1, . . . , n ÇÅDL¡ F³>>¢ ¢ÎA>D¡D¥J V AT6ØD¯AÉJD³>»ÜÒ¬(¡JTÝ>JOÉ(Ê>D>µ»pFQÉ(¢£6TT¢£¡ σ , i = 1, . . . , n JÝ ÉyT¯>D>µÒ¬(¡JTÝ>JOÉ(¡:áJ DB F³>>¢-¼j¡D¢£¢ 2 i −2 i

−1

Pn

σi−2 mi −2 , i=1 σi

i=1 M = P n ∗

>»³>ÊDá M D¯AÉJD³>»Ü¯>´a 6¼@@É(>µ@>¢£Ú>¡DJT¥D¡DµD¡D»QÉ ∗

m1 , . . . , m n

»hNBFãhãh¡D¥D¡D6AT¢£¡

σk−2 Pn −2 > 0, k = 1, . . . , n, i=1 σi

¯ JT»³>D>»³>¡:á(¤±T¯>Q¬(>¢£ min{m , . . . , m } ≤ M ≤ max{m , . . . , m } ®WØ0D× DDQ¬( DAÉ(WØ0¡6>ÊDá'6>Ò¡H¯×>ÚQJ¢Á»QÉJ¼@JA M D¯AÉJD³>»ÜH¯T¤±¯>³²DD´a¢ »DQ¬(D¡D¢ ¡@É(¡!¯>´a 6¼@@É(>µ!@>¢£Ú>¡DJT¥D¡DµH¬(±Ù+W¬(D>»³>µË¡DD»³>6¼@¢£6+>¯NM DD¯>> DDQ¬( DAÉ(WØD¡D¬(µ@Þ »³>¯>¡6>³É(Ê>D¯>´a DAÉ(6D³>»Ü:áM±¬(JTNj¯>»±Ò¢£>Ý³¼N>@A¤WA>Ê>»Ü¶T>D¡D¥JA>QÉ(Ê>D´ ¢£¡:áM¯>»QÉ(Q¬(»³>¯>¡D DÝ0N>¢£Ú>¡DJT¥D¡6jÚT¼W¬(³0D¯>´a 6¼@@É(>µ:á(¡:áJ¯JT»³>D>»³>¡Ká(¯>T¤±¢£WØ0D´Û»QÉJ¼@JA¡ ∗

n

1

n

1

∗

M ∗ < min{m1 , . . . , mn }, M ∗ > max{m1 , . . . , mn }.

ÇÅD¡D¯>Q¬(¢ »>T>¯>³>»³+¯T¼@HMJ¡D[ DD¡D¢£D´ÅyÇ¼>»³>Ê n = 3 á § ¶ µ> ¨ t ¶ µ>¨ t V = t t , >>ÝÜ¬y y (M ) = V I/kIk = (−2/15, 2/3, 7/15) á£¡ DD¡ ¯>6>>Dj¬(±ÙN±¬(D>»³>µ m = DAÉJ¼@JT¢ = 2.18 > max{m , m , m } = 2.1 á( DD¡ m = (2, 1, 1) ¯>´a DAÉDÞ (1, 2, 2.1) 6D³>»å M = (13/15) M< min{m ,m ,m } = 1 



 

 

∗

∗

T

2

−1

T

T

∗

1

2

3

∗

1

*

2

3

²£O®¸·¹OX$º¥»¼XX¡XOX¡X»

T »»¢£T>D¡D¢H> DDÊh DD¡D¢¶±¬(D>¯>D¢£DD>µ> 6>¡D¢£¡6¤WT¥D¡D¡OØ0¡@¬yT¢£>µh¬(±ÙN±¬(D>»³>¡¡¦¬(¡D»QÞ DD»¡D¡!»¯>>JWD¡D¯+TD¡D¢ ¯>6>>DD>ÝDD¡6>D¡6!¯Ò»@OÉJDDD´aµ:MÇ¼>»³>Ê ¯T¤±¯>³²¡D¯+OÞ HMJ¡Dµ JTJT¢£³>:áJ>>Ý ¬y¢£OØ0DJT»»¢£T>D³+Ê0»QÉ(Q¬J¼@HMJ[¼.H¤WO¬yW6¼K α > 0 ä 1 ßç¨@Oâ g(y) = αy V y − y m → min, 2 ßç¨>¨>â y I = 1. v ³²D¡D¦¦¢£³>±¬(>¢ ¢£DOØ0¡6>QÉ(l µ x[TÝJT6Øjßà»¢aD¼@ DJAØ0DD¡D×ßç°@ §Nâ âÎ¬yT³ 1 (m, I) V I ßç¨T>â y = y (α) = V m− I + α kIk kIk α − (m, I) ßç¨A§Nâ , g(y ) = v

T

T

y

T

∗

∗

−1

"

2

#

−1

2

∗

kIk2

¾ DD¡DD¢SOØ0¡@¬yT¢ÎA¬(±Ù+W¬(D>»³>Ê[¡¬(¡D» DD»¡6×> 6>¡D¢ÎOÉ(Ê>D>Ý¦ D>6>ãhQÉJ× DD¡DD¡D¢ÎQH [¤±JOÞ DD¡6 ∆ (m, I) ßç¨>°>â EP(y ) = y m = + , αkIk kIk 1 ∆ ßç¨T·+â + . DP(y ) = y V y = α kIk kIk ±Å»»QÉ(Q¬J¼>¢Y D>¯>Q¬(D¡DºDQ²D¡6y F³>>µ¤WO¬yOD¡0 DD¡0¡6¤±¢£DD¡D¡× JTJT¢£³>J α J (0, ∞) ±¤ßç¨>°>âÎ¡!ßç¨T·+â£D»DDá66>WØ0¡@¬yT¢ÎA¬(±Ù+W¬(D>»³>Ê¡0¬(¡D» DD»¡6> 6>¡D¢ÎOÉ(ÊTD>Ý D>6>ãhQÉJ D¯AÉJ H>»å»³>D>Ý¼@Ú>´¯+Q HMJ¡D¢£¡ãÅ¼@DD¥D¡6D¢£¡ α áJ¡ TVUXW =6Y[Z\?@C6A']'Z^Z= \\= _=a`=6Yb]cdC2De

∗

∗T

2

∗

∗T

∗

2

lim y ∗ (α) = α→∞

2

2

2

V −1 I (m, I) 1 , α→∞ lim EP(y ∗ (α)) = , α→∞ lim DP(y ∗ (α)) = , 2 2 kIk kIk kIk2

>»³>Ê0 DDQ¬(QÉ(Ê>D>¦D³²D¡D[»>¯> JO¬yT³»0ßæ±§NâQáMßæO°>âQ ¾½

¿À$®·¹OX¡$¼X¡XÁXÂ

hÇ TJT¢£³> M ¤WO¬yWD¡Ã® AD@>¯>¡D¥JSßæW·+â ä ßæWÌ+âº¢£OØ³»QÉJ¼NØ0¡6>Ê ¡D@¬(¡D@A>>D>¢ÀT>DT²D¡6 ¡DD¯>»³>>J!YD¡D»6¼K£Ú>AÉ(ÒD¡D»N>¯+TDD´aµ ¡DD¯>»Q>> »@É(>DY¤WO¬yA>Ê¶Ú>AÉ(ÊT²Ò¤±JWDD¡D OØ0¡@¬yT¢£>µ¬(±Ù+W¬(D>»³>¡ M áy DD¡DD¡D¢ÎA¶J0»ÚWHÚ>AÉ(ÊT²¡Dµw³D¡D»b σ :Û¤WO¬yWDjßç¨@Oâ ä ßç¨>¨>â TJOÉ(>Ý¡DD6@¼ H DOÉ(Ê¶¡DÝJT³Ë JTJT¢£³> α K-¢£DÊT²¡DjÝ¶¤±JWDD¡68 DD¡D¯>±¬J6!YÚ>AÉ(ÊT²µ OØ0¡@¬yT¢£>µ¬(±Ù+W¬(D>»³>¡¶¡HÚ>AÉ(ÊT²³µ ¬(¡D» DD»¡D¡! DT6>ãhQÉJ:K ¬(µD»³>¯>¡6+QÉ(Ê>D>»³+¡!¢£³Ø¬J¼ F³>¡D¢£¡Á JTJT¢£³>JT¢£¡<»³+¼ J»³+¯T¼>Y J Ú>AÉ(>³»JAÁ»¯T6¤±ÊDá!¡D¢£DDDáD³²D¡6~¤WO¬yO ßæW·+â ä ßæWÌ+âV¡Sßç¨@Oâ ä ßç¨>¨>âV»¤±JWDD¡6D¢£¡ JTJT¢£³>D>¯ M ¡ α áD»¯T6¤WTDD´Ù»>T>DT²D¡D¢ (m, I) ∆ ßç¨>¾>â + , α > 0, M = M (α) = αkIk kIk ¡@É(¡>Ú>JA>D´a¢~»>T>DT²D¡D¢ ∆ (m, I) ßç¨TÌ+â α = α(M ) = , , M >M = M kIk − (m, I) kIk DD¡D¯>W¬J6±¬(¡DJTN>¯>´a¢ D>6>ãhQÉJD¢ßà»¢aD¼@ DJOØ0DD¡D°@©°>âQ b i^` ^d i0`Hehb ÅÛ>^ jÆmjp^ qb agj>^ hVii Ã Ä 2

2

2

∗

2

½M

ÇÈ®ÁO$®É£O¨db©X¡

2

T »»¢£T>D¡D¢S> DDÊ[¬(6¼@Ý>µ× D±¬DÙ+W¬Ò0¯>´aÚ>>6¼> 6>¡D¢ÎOÉ(Ê>D>Ý[ D>6>ãhQÉJ:á@>»D>¯+TDD´aµ×J >>D¡D¡S DAÉ(³¤±D>»³>¡Êz ·|çMÇ¼+»³>Ê U : R → R ä D³¼@Ú>´a¯+QHMJAS¯>>Ý6¼NAASãÅ¼@DD¥D¡6:Ë_ D>¢£QJÊBH¢£WØ0D¤WO¬yA>Ê»QÉ(Q¬J¼@HMJ[¼.H_¢£6¼jD¡D»@.K ßçQ¨ S+â ρ(X) = EU (X), X ∈ X , @T>>JAjJA¤±´a¯+T³>»åWØ0¡@¬yT¢£>µj DAÉ(³¤±D>»³>BÊ H_D¡D»6 X ¸ºØ0¡@¬yT¢ÎAÒ DAÉ(³¤±D>»³>Ê× D>6>ãÅQÉJÃß +â¡D¢£³0¯>¡@¬ v

g(y) = EU (P) = EU (y1 X1 + ... + yn Xn ) .

Ì v

9;: 9;:<>= ?@=BA6C2DE= ?

T»»¢£T>D¡D¢ ¤WO¬yW6¼Ò> 6>¡D¢£¡6¤WT¥D¡D¡ D>6>ãhQÉJ

ß Bt+â ß 6Oâ y∈L . Ì ¼@DD¥D¡D>JOÉ D¯AÉJD³>»ÜË¯>>Ý6¼N>´a¢ Dj¤±JWDD¡H[áMT>6¼±¬y¯>´>@T³ ¯>>Ý6¼N>>»³>Ê á:6T ãÅ¼@DD¥D¡D¡ y J ρ L z ¾u|çáK DBF³>>¢-¼ ß Bt+âQáÎß 6OâJ¯OÉJJQ>»å¶¤WO¬yODµ!¯>´a 6¼@@É(>Ý DD>ÝJT¢£g¢£¡DDAÞ ¯+TD¡6:áJ¡j¢£OØ³Ú>´>ÊD³²J¡D¢£6HMJ¡D¢£¡D»ÜD¡D»QÉ(DD´a¢£¡ ¢£³>±¬yT¢£¡: ®´~JT»»¢£T>D¡D¢Ã¤³¬(»ÊJT»³>D´aµ×»QÉJ¼@JTµ:á6¯¦NT>>D>¢S¼±¬yT³>»å× DAÉJ¼@D¡6>ÊD³²D¡DÅTJOÞ É(¡6>¡DD»±D¡:á(¡»JT¯>D¡D¢ DAÉJ¼@DDD>¦D³²D¡D[»Å¼NØh¡D¢£6HMJ¡D¢£¡D»ÜD³¤¼WÉ(ÊWTOTT¢£¡: g(y) → max , y n

n

½M(¦

ÇÈ£OEÍpÎ$Ï $ÍpO£$®ÁÎ«¡¼X®·¹OX¡$¼X¡$ÁXÂ

Ðz Ì|K¯>¯>Q¬(D D>66>¡D¦¥DD´ D¡D»@

π(X)

áJ@TD³²D¡6¼@JT¯>DD¡6

¡Ò¬DÉJÝ ÉyO¬(N>µãÅ¼@DD¥D¡D¡ DAÉ(³¤±D>»³>¡ U > DDQ¬(QÉJD³>»å D>66>¡D¦D DD¡66>¡6D¡D»@.K U (EX − π(X)) = EU (X),

a(x) = −

U 00 (x) , x ∈ R, U 0 (x)

-T¢_Øj D>6A¤WTD6áV6>ËÚ>AÉ(D¡D»N>¯+TDD´aµ~¡DD¯>»³>>_ßà¡D¢£6HMJ¡Dµ~¢£DÊT²[¼@H ãÅ¼@DD¥D¡H D DD¡66>¡6¶D¡D»@+â»>Ý ÉyT»H DD¡D66>Ê0É5HºÚ>>µ D¡D» ¤W0¢£DÊT²[¼@H¥D6¼>E³F>DDTáy»QÉ(¡¬(¯+ ¡DD¯>»³>>J~¡D¢£6H<ãÅ¼@DD¥D¡D¡À DAÉ(³¤±D>»³>¡ U , U á D NT>>D´a¢ ¯>´aD¡D»QÉJH>»ÜãÅ¼@DD¥D¡D¡ D DD¡66>¡6 D¡D»³6 a , a ¡¥DD´ D¡D»@ π , π áD»>T>¯>³>»³+¯>DDDá(> ³

1

1

2

1

2

2

ÅÇ ND¢£´a¢¯>´aD¡D»QÉ(D¡D¢ D³>6¼W¬(D¶¼@Ú>Q¬(¡6>Ê>»Ü8¯ >>¢aá-6> ¬DÉJÃ D>@A¤WA>QÉ(Ê>D>µ8ãÅ¼@DD¥D¡D¡ DAÉ(³¤±D>»³>¡ ß +¨>â U (x) = 1 − exp(−αx), x ∈ R, ÝÜ¬( α > 0 ä JTJT¢£³>:á(ãÅ¼@DD¥D¡6D³ DD¡6D>¡6D¡D»@ D>»³>WDDJ ß >+â a(x) = α, x ∈ R. a1 (x) ≤ a2 (x), x ∈ R ⇐⇒ π1 (X) ≤ π2 (X), X ∈ X .

½M*

ÑÈ$¢sÍpÎ$®Ê$®Á X$¨dEÍpOX¡$¡¼ $£OEÍpÎ$Ò $ÍpO£E$®ÁÎ

Ç¼+»³>ÊÃ»>¯>¢£»³>D>HJA» DDQ¬(QÉ(±D¡DH¯>6>>JS¡DD»³>6¼@¢£±6+>¯ D¯AÉJD³>»Ü D>D¢ÎOÉ(Ê>D´a¢a³F>Ý ¬y{z S|:JT» DDQ¬(QÉ(J¡Dh D>6>ãhQÉJ P(y) AT6ØXºD=¯AÉJ(XD³>,»Ü...,jDX>D¢Î) OÉ(Ê>D´a¢Y» JTJT¢£³>JT¢£¡ ν = y m ¡ σ = y V y ¡ @É(T>D>»³>BÊ H 1 (x − ν) ß T§Nâ f (x) = √ exp − . 2σ 2πσ ÇÅDQ¬( DAÉ(WØ0¡D¢aáD¬yOÉ(Tá(6>×ãÅ¼@DD¥D¡6 DAÉ(³¤±D>»³>¡ D>@A¤WA>QÉ(Ê>J6á(>0»³>Ê0¤WO¬yT³>»Ü ¯>´aJAØD¡D¢Àß +¨>âQ ³F>Ý ¬yWØ0¡@¬yT¢ÎAj DAÉ(³¤±D>»³>Ê0¢£WØU³Ú>´>Ê¯>´aD¡D»QÉ(JD¯>D K 1

T

2

T

2

2

EU (P(y)) =

Z

∞

U (x)f (x) dx = −∞

Z

!

∞ −∞

(1 − exp(−αx)f (x) dx

! (x − ν)2 1 Z∞ dx. exp(−αx) exp − =1− √ 2σ 2 2πσ −∞

n

TVUXW =6Y[Z\?@C6A']'Z^Z= \\= _=a`=6Yb]cdC2De S

ÇÅ>»@AÉ(Ê>6¼Ò D±¬(¡D6>ÝJOÉ(Ê>D>[¯>´JAØD¡DhJT¯>Dßà»¢aD¼@ DJAØ0DD¡D×ßç°@ ·+â â !

ß +°>â

(x − (ν − ασ 2 ))2 1 exp − exp α2 σ 2 − αν , 2 2σ 2

DAÉJ¼@JT¢

!

(x − (ν − ασ 2 ))2 1 Z∞ 1 exp − EU (P(y)) = 1 − exp α2 σ 2 − αν √ dx 2 2σ 2 2πσ −∞ 1 1 = 1 − exp α2 σ 2 − αν = 1 − exp α2 y T V y − αy T m , 2 2

T>6¼W¬y¯>¡@¬(DDáD6>¢ÎT@»¡D¢£¡6¤WT¥D¡6

EP(y)

D¯>¡D¯+OÉ(6>J¢£¡DD¡D¢Î¡6¤±T¥D¡D¡ãÅ¼@DD¥D¡D¡ F

1 g(y) = αy T V y − y T m 2

D D¡¼>»QÉ(>¯>¡D¡ y ∈ L áO6>Å»>¯> JO¬yT³»V¤WO¬yWDµßç¨@Oâ ä ßç¨>¨>âQu³-TD¡D¢ >Ú>JA¤±>¢aáA¢ÎTN»¡D¢£¡6¤WT¥D¡6 D>6A¤WA>QÉ(Ê>DTµ×WØ0¡@¬yT¢£>µ DAÉ(³¤±D>»³>¡× DD¡D>D¢ÎOÉ(Ê>D>¢ËJT» DDQ¬(QÉ(J¡D¡×¡DD»³>6¼@¢£D>>¯ ¬yT³HATN>µSØ D>6>ãhQÉ(ÊDá-@TÃ¡S¢£³>±¬ ¯T¤±¯>³²DD>ÝHDD¡6>D¡6:V¸º>¢£³>¡D¢AT6ØTáF6> JTJT¢£³> D DD¡66>¡6ÀD¡D»@ α w¯ F³>>µÛ¤WO¬yWDË»>¯> JO¬yT³ D »¢£´a»QÉJ¼Û»ËTJOÉ(>Ý¡DDD´a¢ JTJT¢£³>D>¢ ¤WO¬yWD¡Sßç¨@Oâ ä ßç¨>¨>âQ i Ó Ô mjceÅd gjbagjy ÑÒ}4v46ÂÃq4oNq4r4o!OÐ Õ k Ö×Ø@Ù5ÚÜÛ5ÙÝaÞ¥ÚÜßàá â5à6àyãâäQØ.àâÙ5àlÙåá ÙÚæ5àÜßÚÙçéèëêQì²æ5íîß5Ýðï®àÜÛ.ñ¯èÜòì²æ5í n

ãäQá äQââ×óÐôäß+äQõ¶ÝðàÜß5Ù5ÚÝaÙõ¶äuó

m, V

Ùâ5öQà6ÚÝaÙ÷Ù5íuââ×ôøÙâ5ÚÝXß5ùódàâÝðí öBú

ÑÒ}4v46ÂÃq4oNq4r4o!ÐOÕ$s¯û®àüaÙÝaÞ>ãäQá äQØ@ùaýøäß5õ+í öÙ÷älèþ+ÿìèþì$ódàÝðíuá íóGópâ5íÈÙÝðàÛà ä

ß+äQâ Èä¶ú

ÑÒ}4v46ÂÃq4oNq4r4o!ÐOÕ$¯Ö×Ø@Ù5ÚÜÛ5ÙÝaÞ²ÝðíuØ@õ¶ùsópÙâÙ@ópùópä[ÙPópÙâÙ@ópä'Û5Þ¶â5í àRãâäQØ.àâÙ5à{á Ù5Úæ5àÜß

ÚÙÙ[âäïbï®àõ¶ÝaÙ5öâ5í +ß äQâÙ÷5àdãäQá äQØ@Ùsýøäß5õ+í öÙ÷ä[èìBú

ÑÒ}4v46ÂÃq4oNq4r4o!ÐOÕ ¹û®àüaÙÝaÞ>ãäQá äQØ@ùlè@þìVè6ì$ódàÝðíuáí2óGópâ5íÈÙÝðàÜÛà ä ß+äQâ Èäö×

Ø@Ù5ÚÛ5ÙÝaÞyíÈÙá äBàópù¶ç¯áíô5íuá â5í ÚÝaÞèìðÙ[á Ù5Úæ5àÜßÚÙç}æ5íîß5Ýðï®àÛ.ñwè.ÿìðâäpßàüðàâÙÙú

ÑÒ}4v46ÂÃq4oNq4r4o!ÐOÕ$Ðyíuõ¶ä ãäQÝaÞØ@ÝðíLà6ÚÛ5Ù°æäß+äuódàÝXß5×

Ù ãäQá äQØåèþ+ÿìèþ6 ìyÙè@ þì M α è6ìXÚ6í íuÝðöQàÝðÚÝðöQàââ5íXÚ6ö'ñ.ãäQâ×ÐÚ6í íuÝaâ5íuüðàâÙ@ñ@ópÙè ì> è ìÝðí! ÝaÙPãäQá äQØ@Ù°Ù@ódàçÝ

íuá ÙâäQõ+í ö×®àßàüðàâÙ@ñú

ÑÒ}4v46ÂÃq4oNq4r4o!ÐOÕ#"¯Ö×®öQà6ÚÝaÙøï®íîß+ópù Û5ùèÜò ìBú ] mjLi h^ qli ibacde i%$0'c & Ð z 6 |(*)#+-, ./.0, 1: ÖMöQàáàâÙ5à;ö{Ýðà6íîß5Ùç¹öQàÜßíñÝaâ5í ÚÝðàPÙà6à;æQß5Ù+ÛíGàâÙ@ñ k32$s á:®! K:®¡D:á u S>ÌT§D z ¨ |45/6767,98 ) :;)=A@CBC5/DA@/1 5/EF(G)IHJ)Kßæu S+¾A§N* â K à6íîß5Ù@ñ- õ+ÚÝXßàópä'Û5Þ¶â×ôlãäQá äQØ D®! KOÍhOÞ ¼@@§+BÌ t»T

ut

9;: 9;:<>= ?@=BA6C2DE= ?

-ßæ >·+¨>âQK à6íîß5Ù@ñ²öQàÜßíñÝaâ5í ÚÝðà y®! K5±¤³¬DÞò¯>¡DD>»³>:DÉ(¡6>: z §Q|RFSUTWVWXZY'[]\W^!_`):ßæu S+°>¨> â acbedf gbehjikbAlmh#monfpikbeq ú Gä rst uwv3xy3szZ{U|#v3xv }~ áJu S+°>¨@á xuw}o á :@¾>¾ ä S6> z ° |RFSUTWVWXZY'[]\W^_`)Vßæu SBSBt+ â mq dipq?nom%qhjli#liqacbedf gbehjikbC3beiknomQq0ifh dmfl³ x uw|# ~ 3á xwx} t w~w K y]x}o7~y#y z ·|G675/ , ¡/D¢U:!£¤)=
öQàáàâÙ5à y®! K(Íh±¼@@6 z ¾ |5/E?5/ªO, .05/E¤8 )j8 )ºßçQ¨ tBtBt+â[¸ »¯>>µD»³>¯+OÙY¢£>DT>>DD>»³>¡8¡Y¯>´a 6¼@@É(>»³>¡ DNT>>D´Ù ¢£ËD¡D»@6F_D: K¬« ÝaäQÝaÙ5ÚÝaÙØ.à6Úõ¶äuñódàÝaäBïÙ.ãÙõ¶ä Wá ÅJT»DWDD»:á ±ha® Ëa¸ v® Íá »T(·>· ä Ì6> z Ì |¯°TOS\O\P±?)³²´)Kßæu S>·T§N0 â µ |#w¶C·~uww|#sv |#v` ~¸`xy#yxv |#v` ~¹Wxuw~ 3 ºcnobeq?be»!mfpdiknTá (s á :KO¨>¨ W>·6 ä z S|¼½@/1¾, EF8 )¿-)Fßæu S>BÌ S+â ÖMàÜßíñÝaâ5í ÚÝaÞ (®! K(ÍhW¼@@6á(·A¶§ tT»T z |ML!5/NOEPH) uS

Our partners will collect data and use cookies for ad personalization and measurement. Learn how we and our ad partner Google, collect and use data. Agree & close