Неопределенный интеграл

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

А. А. Зингер, В. А. Зингер, Ю. Н. Сирота

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург 2005

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

А. А. Зингер, В. А. Зингер, Ю. Н. Сирота

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург 2005

УДК 517.5 ББК 22.161.8 З 63 А. А. Зингер, В. А. Зингер, Ю. Н. Сирота З 63 Высшая математика. Неопределенный интеграл: Учеб.-метод. пособие / СПбГУАП. СПб., 2005. 36 с.: ил. Пособие предназначено для изучения одного из основных понятий курса математического анализа: первообразной. В отличие от традиционного изложения, при котором неопределенный интеграл рассматривается лишь как техническое средство, используемое далее для вычисления определенных интегралов, здесь он приобретает важное самостоятельное значение и служит основой для введения понятия определенного интеграла. Большое внимание уделено физическому и геометрическому смыслу первообразной. Важное место занимает изучение основных методов вычисления неопределенных интегралов, приведено большое число примеров. Пособие предназначено для использования студентами всех специальностей. Резензенты: кафедра математического анализа РГПУ; доктор физико-математических наук профессор В. П. Одинец Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия

c

c

ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения», 2005 А. А. Зингер, В. А. Зингер, Ю. Н. Сирота 2005

1. 1.1.

Первообразная и неопределенный интеграл Определение первообразной

Понятие производной позволяет рассматривать ее нахождение как некоторое математическое действие, сопоставляющее каждой дифференцируемой функции новую функцию – ее производную. Так, в соответствии с правилами дифференцирования для каждой элементарной функции можно найти ее производную (также элементарную функцию). На практике часто возникает обратная задача, когда известна производная некоторой функции и требуется найти саму функцию. Она и называется первообразной. Определение 1 Пусть некоторая функция f (x) задана на интервале (a, b). Тогда дифференцируемая функция F (x) в том же интервале называется первообразной для функции f (x), если F 0 (x) = f (x) при x ∈ (a, b). Из определения видно, что нахождение первообразной является действием, обратным дифференцированию.

3

1.2. 1.2.1.

Физический и геометрический смысл понятия первообразной Пройденный путь при прямолинейном движении

Если рассматривать прямолинейное движение материальной точки, то скорость v(t) этого движения в момент времени t является производной от пути S(t), пройденного в промежутке времени [0, t], т.е. v(t) = S 0 (t). Следовательно S(t) является первообразной для функции v(t). 1.2.2.

Площадь криволинейной трапеции

Пусть y = f (x) задана, непрерывна и неотрицательна в промежутке [a, b]. Выберем и зафиксируем некоторое число x ∈ [a, b] и рассмотрим криволинейный четырехугольник, заключенный между графиком данной функции, осью x (y = 0) и вертикальными прямыми, проходящими через концы отрезка [a, x]. Такой четырехугольник обычно называют криволинейной трапецией. Площадь этой криволинейной трапеции, зависящую от x, обозначим через S(x) (рис. 1). Очевидно, что когда x меняется от a до b, S(x) как функция от x меняется от 0 до S(b). Вычислим производную S(x). По определению (берем ∆x > 0) S(x + ∆x) − S(x) ∆S(x) = lim . ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x

S 0 (x) = lim

обозначим через m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения f (x) в промежутке [x, x + ∆x]. Легко видеть, что площадь ∆S(x) заключена между площадями прямоугольников с тем же основанием ∆x и высотами m и M , 4

y

S(x) ∆S(x)

a

x x + ∆x

b

x

Рис. 1: Площадь криволинейной трапеции т.е. m∆x 6 ∆S(x) 6 M ∆x, и, следовательно,

∆S 6 M. ∆x В силу непрерывности f (x) при ∆x → 0, m и M будут стремиться к f (x), т.е. S 0 (x) = f (x). Поскольку x произвольная точка промежутка [a, b], то S(x) является первообразной для f (x) на (a, b). m6

1.2.3.

Масса прямолинейного тонкого стержня

Расположим этот стержень на отрезке [a, b] оси абсцисс. Выберем произвольную точку x ∈ [a, b] и обозначим массу отрезка [a, x] через m(x). Очевидно, m(x) меняется от 0 до m(b). Найдем производную m(x). Возьмем ∆x > 0: m(x + ∆x) − m(x) ∆m(x) = lim . ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x

m0 (x) = lim

∆m(x) является средней плотностью стержня на отрезке ∆x ∆x и при ∆x → 0 стремится к плотности массы стержня p(x) в 5

точке x, т.е. m0 (x) = p(x), откуда следует, что m(x) является первообразной для p(x).

1.3.

Основные свойства первообразной

1. Существование Теорема 1 Пусть функция f (x) задана и непрерывна в промежутке [a, b]. Тогда в (a, b) у нее существует первообразная F (x). Примем эту теорему без доказательства. Вопрос об ее доказательстве будет рассмотрен в [ 5 ] в §7. Из этой теоремы непосредственно следует, что первообразная непрерывной функции является дифференцируемой и, тем более, непрерывной функцией. 2. Линейность Пусть f1 (x) и f2 (x) две функции, заданные на [a, b] и F1 (x) и F2 (x) соответственно их первообразные. Тогда F1 (x) + F2 (x) является первообразной для f1 (x) + f2 (x). Действительно, F10 (x) = f1 (x), F20 (x) = f2 (x), (F1 (x) + F2 (x))0 = F10 (x) + F20 (x) = f1 (x) + f2 (x). Отсюда следует требуемое свойство. Если f (x) имеет первообразную F (x) и λ – некоторое постоянное число, то λF (x) есть первообразная для функции λf (x). В самом деле, так как F 0 (x) = f (x), то (λF (x))0 = λF 0 (x) = λf (x). 3. Множество первообразных для данной функции Действие дифференцирования является однозначным, т.е. 6

если у функции имеется производная, то она единственна. С обратным действием сложнее. Если взять функцию y = 0, то любая константа является ее первообразной, а, значит, если F (x) есть первообразная для данной функции f (x), то F (x) +C, где C–любая константа, также есть первообразная для f (x). (свойство линейности). Легко проверить, что других первообразных у f (x) быть не может. Действительно, если f (x) имеет две какиелибо первообразные F1 (x) и F2 (x), то G(x) = F2 (x) − F1 (x) удовлетворяет условию G0 (x) = F20 (x) − F10 (x) = f (x) − f (x) ≡ 0, и, из признака постоянства функции следует, что G(x) ≡ const. Таким образом, мы установили: Если данная функция f (x) имеет первообразную F (x), то множество всех первообразных состоит из функций вида F (x) + C, где C – произвольная постоянная. 4. Монотонность первообразной неотрицательной функции Теорема 2 Если неотрицательная функция f (x) имеет первообразную F (x) на промежутке [a, b], то первообразная монотонно возрастает. Доказательство Применим к F (x) на промежутке [x1 , x2 ], a < x1 < x2 < b формулу Лагранжа F (x2) − F (x1 ) = f (c) > 0, x2 − x1 7

x 1 < c < x2 .

Следовательно, F (x1 ) 6 F (x2).

2.

Неопределенный интеграл

Вернемся к свойству 3) первообразной и дадим такое определение. Определение 2 Если данная функция f (x) на интервале (a, b) имеет первообразную, то она называется интегрируемой на этом интервале. При этом, если F (x) – какая-либо первообразная, то выражение F (x) + C, где C – произвольная константа, называют неопределенным интегралом функции f (x) и обозначают Z f (x) dx = F (x) + C.

Согласно свойству 3), это определение означает, что неопределенный интеграл есть общее выражение первообразной. Смысл обозначения станет ясным далее, после изучения понятия определенного интеграла. Операция нахождения неопределенных интегралов называется интегрированием. Функцию f (x) называют подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным выражением. Следует отметить, что в символе неопределенного интеграла уже заложена произвольная постоянная. Замечание 1 Переменная интегрирования может быть обозначена любым символом или даже функцией. Здесь главное понимать, что переменная интегрирования – то, что находится под знаком дифференциала, т.е. если Z Z f (x) dx = F (x) + C, то f (t) dt = F (t) + C 8

и

Z

3.

f (ϕ(x)) dϕ(x) = F (ϕ(x)) + C.

Свойства неопределенных интегралов

1.

Z

2.

Z

f (x) dx

0

= f (x) или d

d F (x) = F (x) + C или

Z

Z

f (x) dx = f (x) dx. F 0 (x) dx = F (x) + C.

Эти свойства следуют из определения неопределенного интеграла и выражает еще раз то обстоятельство, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными действиями. Z 1 3. f (ax+b) dx = F (ax+b)+C, где F (x) первообразная a для f (x). Это свойство также Z следует из определения неопределенного интеграла: f (t) dt = F (t) или F 0 (t) = f (t),

d F (ax + b) = aF 0 (ax + b) = af (ax + b) dx или

d dx



1 F (ax + b) a



= f (ax + b)

1 F (ax + b) является первообразной для f (ax + b). a Правило 3) есть частный случай правила замены переменных, о котором речь будет идти далее. или

9

4. Свойство линейности неопределенного интеграла следует из линейности первообразной. Z Z Z (f1 (x) + f2 (x)) dx = f1 (x) dx + f2 (x) dx, Z Z λf (x) dx = λ f (x) dx.

4.

Основные методы интегрирования

Интегрирование (неопределенное) является, как мы уже знаем, действием, обратным дифференцированию и отличается от последнего принципиально тем, что если каждую элементарную функцию можно продифференцировать по определенным и простым правилам, причем получить в результате также элементарную функцию, то при интегрировании элементарных функций нет подобных правил, и результат интегрирования не всегда является элементарной функцией. Здесь мы рассматриваем наиболее простые приемы интегрирования.

4.1.

Таблица основных неопределенных интегралов

Начнем с таблицы наиболее простых и чаще всего встречающихся неопределенных интегралов. Такая таблица, в основном, получается из таблицы производных основных элементарных функций и дополняется некоторыми наиболее употребительными интегралами, вывод которых будет рассмотрен далее. Проверяются все формулы таблицы по определению.

10

1.

Z

xa+1 a x dx = + C, a 6= −1, a+1

Z

dx = x + C,

dx dx = ln |x| + C, x Z Z x a 3. ax dx = + C, ex dx = ex + C, ln a Z 4. cos x dx = sin x + C,

2.

Z

5.

Z

sin x dx = − cos x + C,

6.

Z

dx dx = tg x + C, cos2 x

7.

Z

dx dx = − ctg x + C, 2 sin x

dx 1 x dx = arctg + C, a 6= 0, a2 + x2 a a Z dx 1 x − a 9. dx = + C, a 6= 0, x2 − a2 2a x + a Z dx x √ 10. dx = arcsin + C, a 6= 0, a a2 − x2 Z √ dx 2 √ 11. dx = ln x + x + b + C. x2 + b 8.

Z

Поясним вывод формулы 2. При x > 0 |x| = x. (ln |x| + C)0 = (ln x)0 = 11

1 . x

При x < 0, |x| = −x,

1 1 (−1) = . −x x Задача интегрирования состоит, если это возможно, в сведении интегралов к табличным. В некоторых случаях это удается сделать с использованием тождественных преобразований подынтегральных функций и свойства линейности. (ln |x| + C)0 = (ln(−x))0 =

Пример 1 Z   √
2 3 2 x + x dx = x + 2x 2 + x dx = Z Z Z 3 1 3 4 5 1 2 = x2 dx + 2 x 2 dx + x dx = x + x 2 + x + C. 3 5 2 Z

Здесь следует отметить, что все произвольные постоянные объединяются в одну. Пример 2 Z dx sin2 x + cos2 x = dx = 2 2 2x 2x sin x cos sin x cos Z Z dx dx + = tg x − ctg x + C. cos2 x sin2 x Z

Пример 3

Z

dx 1 = ln |ax + b| + C. ax + b a

Пример 4 Z

1 e−3x dx = − e−3x + C. 3 12

Пример 5 Z 1 (sin(a + b)x + sin(a − b)x) dx = sin ax cos bx dx = 2 −1 −1 cos(a + b)x + cos(a − b)x + C, a 6= b 2(a + b) 2(a − b) Z

Пример 6 dx = x2 + 2x + 5

Z

dx 1 x+1 = arctg + C. (x + 1)2 + 22 2 2

Пример 7 (Вывод табличного интеграла №9) Z dx (x + a) − (x − a) = dx = x2 − a2 2a(x2 − a2 ) Z Z x − a 1 dx 1 dx 1 + C. = − = ln 2a x − a 2a x+a 2a x + a Z

4.2.

Интегрирование по частям

Этот метод основан на формуле дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и v(x) – две функции, заданные и дифференцируемые на [a, b] и d(uv) = u dv + v du. Тогда u dv = d(uv) − v du.

Переходя здесь к первообразным, а затем к неопределенным интегралам, получим Z Z u dv = uv − v du 13

Это и есть формула интегрирования по частям. Она позволяет в ряде случаев более сложный интеграл свести к более простому. На это и должен быть направлен выбор u и v (при этом надо иметь в виду, что нахождение v по dv (интегрирование части) должно быть осуществимо). Z Пример 8 Найти интеграл x cos dx. Решение Выберем u = x, dv = cos x dx. du = dx, v = sin x. Z Z x cos x dx = x sin x − sin x dx = x sin x + cos x + C. В результате выбора u и dv мы получили табличный интеграл. При нахождении v нет необходимости писать его общее выражение. Z Пример 9 Найти интеграл x ln x dx. Решение Здесь целесообразно выбрать u = ln x, dv = x dx, du = Z Z dx x2 x2 x x2 x2 , x = . x ln x dx = ln x − dx = ln x − + C. x 2 2 2 2 4 Z Пример 10 Найти интеграл x2 sin x dx. Решение u = x2 , dv = sin x dx, Z

du = 2x dx, v = − cos x.

x2 sin x dx = −x2 cos x+2 14

Z

x cos x dx.

Таким образом, более сложный интеграл сведен к более простому из примера 8, требующему повторного применения интегрирования по частям. Подобным образом можно решить следующий пример: Z Пример 11 Найти интеграл x2 ln2 x dx. Решение Здесь следует обозначить u = ln2 x, dv = x2 dx, du = x3 dx 2 ln x , v = . Тогда x 3 Z Z 3 x 2 2 2 x2 ln x dx = ln x − x2 ln x dx. 3 3 Далее следует применить снова интегрирование по частям к dx x3 2 2 интегралу x ln x dx: u = ln x, dv = x dx, du = ,v= . x 3 Z Z 3 x 1 x3 1 2 2 ln x − x dx = ln x − x3 + C. x ln x dx = 3 3 3 9 В итоге:  3  Z 3 x 2 x 1 x2 ln2 x = ln2 x − ln x − x3 + C = 3 3 3 9   x3 2 2 = ln2 x − ln x + + C. 3 3 9

4.3.

Замена переменной в неопределенном интеграле

Этот метод интегрирования основан на правиле дифференцирования сложной функции, из которого непосредствен15

но следует, что если Z то

Z

f (x) dx = F (x) + C,

f (ϕ(x)) dϕ(x) = F (ϕ(x)) + C.

Таким образом, если имеется функция f (x) и дифференцируемая функция ϕ(x), причем может быть образована сложная функция f (ϕ(x)), то Z Z f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt. (1) Если это соотношение прочесть справа налево, как это делается в некоторых учебниках, то получится прием, который называется методом подведения под знак дифференциала, в отличие от формулы (1) выражающей метод интегрирования заменой переменной x. Рассмотрим некоторые примеры интегрирования подведением под знак дифференциала. Пример 12 Z

sin2 x cos x dx =

Z

sin2 x d sin x =

1 3 sin x + C. 3

Пример 13 Z

3

cos x dx =

Z

2




1 − sin x cos x dx = Z Z = cos x dx − sin2 x d sin x = = sin x −

1 3 sin x + C. 3

16

Пример 14 Z

1 e x dx = 2 x2

Z

1 2 2 ex dx2 = ex + C. 2

Во всех примерах функция ϕ(x), стоящая под знаком дифференциала, принимается за переменную интегрирования, которую временно можно обозначить одним символом. Например, Z Z 1 1 2 ex x dx = et dt = et + C, 2 2

где обозначено t = x2 . В более общем случае в подынтегральное выражение подставляется вместо x функция x = ϕ(t), в результате чего оно преобразуется в f (x) dx = f (ϕ(t)) ϕ0 (t) dt = g(t) dt, Z Z f (x) dx = [x = ϕ(t)] = g(t) dt.

(2)

После вычисления интеграла (2) следует положить t = ψ(x), где ψ(x) функция, обратная для ϕ(t). Z Пример 15 dx √ √ . Найти интеграл x(1 − 3 x) Решение Здесь следует положить x = t6 , чтобы подынтегральная

17

функция не содержала корней. Тогда имеем Z Z Z 2 dx 6t5 dt t dt √ √ = = 6 = x(1 − 3 x) t3 (1 − t2 ) 1 − t2 Z Z Z 1 − (1 − t2 ) dt = 6 dt = 6 − 6 dt = 1 − t2 1 − t2 6 1 − t ln − 6t + C = = 2 1 + t √ 1 − 6 x √ √ = 3 ln − 6 6 x + C. 6 1+ x Этот интеграл является частным случаем интегралов более общего вида, которые будут рассмотрены ниже.

5. 5.1. 5.1.1.

Некоторые классы интегрируемых функций Интегрирование рациональных функций Виды рациональных функций

Под рациональной функцией мы понимаем отношение многочленов b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm , a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an

a0 b0 6= 0,

m, n ∈ N.

Если при этом m < n, то функция называется правильной рациональной или правильной рациональной дробью; если m > n, то неправильной. Во втором случае путем деления с остатком числителя на знаменатель можно неправильную функцию представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции. Далее в этом разделе будут рассматриваться только правильные рациональные функции. Возьмем 18

такую функцию (без потери общности старший коэффициент знаменателя можно считать равным единице) b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm f (x) = , m < n. (3) xn + a1 xn−1 + . . . + an Знаменатель (3) как и любой многочлен, согласно основной теореме высшей алгебры, можно разложить на линейные множители с учетом их кратности, и в соответствии с этим Теорема 3 Правильная рациональная функция b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm , f (x) = (x − c1 )k1 (x − c2 )k2 . . . (x − cs )ks

где c1 , c2 , . . . , cs – различные корни знаменателя (3) кратностей соответственно k1 , k2 , . . . , ks и таких, что k1 + k2 + . . . + ks = n, допускает разложение f (x) =

kl s X X l=1 j=1

Ajl , (x − cl )j

(4)

где Ajl – некоторые коэффициенты, и такое разложение единственно. Это разложение является линейной комбинацией функ1 ций вида , которые называются простейшими, а са(x − c)j мо разложение (4) называется разложением на простейшие. Наиболее просто оно выглядит, когда все корни знаменателя простые, т.е. kl = 1 для любого l: n X Al f (x) = . x − c l l=1 Полученное разложение (4) показывает, что интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию многочленов и простейших. 19

5.1.2.

Интегрирование простейших

Поскольку корни многочлена могут быть действительными или комплексными, простыми или кратными, то всего имеется четыре типа простейших: 1 1 1 1 , , , , x − b (x − b)k x − (α + iβ) [x − (α + iβ)]k b ∈ R,

α + iβ ∈ C,

β 6= 0,

k ∈ N,

k > 1.

Интегрирование двух первых типов, отвечающих действительным корням знаменателя, никаких дополнительных трудностей не вызывает, так как интегралы относятся к табличным. Рассмотрим подробнее третий и четвертый типы. Здесь, очевидно, требуется рассматривать интегрирование комплекснозначных функций. По определению, если f (x) = u(x) + iv(x), где u(x), v(x) – действительные функции, то Z Z Z f (x) dx = u(x) dx + i v(x) dx, при этом подразумевается, что в правой части к первообразным добавляется произвольная комплексная константа. Имея это в виду, Z Z dx x − (α − iβ) = dx = x − (α + iβ) (x − α)2 + β 2 Z Z x−α β = dx + i dx = (x − α)2 + β 2 (x − α)2 + β 2  1  x−α 2 2 = ln (x − α) + β + i arctg + C1 + iC2 . 2 β

Обращение к четвертому типу дает: Z dx 1 1 = + C1 + iC2 . [x − (α + iβ)]k 1 − k [x − (α + iβ)]k−1 20

Эта формула проверяется непосредственным дифференцированием. Используя ее, можно окончательно получить Z dx 1 [x − α + iβ)]k−1 = + C1 + iC2 . [x − (α + iβ)]k 1 − k [(x − α)2 + β 2 ]k−1

Для получения окончательного результата надо в числителе раскрыть скобки (например, по формуле бинома Ньютона) и выделить действительную и мнимую части. 5.1.3.

Определение коэффициентов разложения правильных рациональных функций на простейшие

Для этого обычно используют метод неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем: если в разложении (4) с буквенными коэффициентами слагаемые правой части привести к наименьшему общему знаменателя, он будет равен знаменателю функции f (x), степень числителя будет, по крайней мере, на единицу меньше, поэтому, сравнивая числители левой и правой частей, получим систему из n линейных уравнений для определения коэффициентов разложения. Z Пример 16 7−x Найти интеграл dx. (x + 1)(x + 2)(x − 3) Решение Подынтегральная функция представима в виде 7−x A B C = + + . (x + 1)(x + 2)(x − 3) x+1 x+2 x−3

Приведя дроби в правой части к общему знаменателю и приравняв числители полученных дробей, имеем: −x + 7 = A(x + 2)(x − 3) + B(x + 1)(x − 3) + C(x + 1)(x + 2). 21

Раскрыв скобки и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях многочленов в левой и правой части равенства, получим систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов A, B, C.   A + B + C = 0,   A = −2, A + 2B − 3C = 1, B = 95 , откуда   C = 15 . −6A − 3B + 2C = 7, Тогда Z

Z Z Z (7 − x) dx dx 9 dx 1 dx = −2 + + = (x + 1)(x + 2)(x − 3) x+1 5 x+2 5 x−3 9 1 = −2 ln |x + 1| + ln |x + 2| + ln |x − 3| + C = 5 5 9/5 (x + 2) (x − 3)1/5 + C. = ln 2 (x + 1)

Z Пример 17 Найти интеграл

(x2 + 1) dx. (x + 1)2 (x − 1)

Решение Имеем следующее разложение на простейшие: A B C (x2 + 1) = + + . (x + 1)2 (x − 1) x + 1 (x + 1)2 x − 1 x2 + 1 = A(x + 1)(x − 1) + B(x − 1) + C(x + 1)2 . Система для определения коэффициентов A, B, C  A + C = 1,  B + 2C = 0,  −A − B + C = 1 22

имеет решение A = 1/2, B = −1, C = 1/2. Откуда Z Z Z Z (x2 + 1) 1 dx dx 1 dx dx = − + = (x + 1)2 (x − 1) 2 x+1 (x + 1)2 2 x−1 1 1 ln |x2 − 1| + + C. = 2 x+1 Следует отметить, что из равенства многочленов следует, что они принимают равные значения при любом значении переменной. Этим свойством также можно воспользоваться для нахождения неопределенных коэффициентов. Особенно это удобно для случая простых действительных корней знаменателя. Переменной удобно придавать значения, равные этим корням (Можно проверить на примере 16). Z Пример 18 Найти интеграл

dx dx. (x + 1)(x2 + 1)

Решение В случае действительных рациональных функций мнимые корни знаменателя являются комплексно сопряженными, так как и отвечающие им числители. Поэтому в конкретных примерах их удобно объединить. Получим 1 A Bx + C = + , (x + 1)(x2 + 1) x+1 x2 + 1 1 = A(x2 + 1) + (Bx + C)(x + 1). Система для определения коэффициентов разложения   A + B = 0, B + C = 0,  A+C =1 23

имеет решение A = C = 1/2, B = −1/2. Тогда Z Z Z dx 1 dx 1 (−x − 1) = + dx = (x + 1)(x2 + 1) 2 x+1 2 x2 + 1 Z Z 1 1 −x dx 1 dx = ln |x + 1| + + = 2 2 x2 + 1 2 x2 + 1 1 1 1 = ln |x + 1| − ln |x2 + 1| + arctg x + C. 2 4 2

5.2.

Интегрирование тригонометрических выражений

Таковыми называются интегралы вида Z R (cos x, sin x) dx. Здесь и далее символ R означает рациональное выражение от соответствующих аргументов и констант (в данном случае от sin x и cos x и констант). Теорема 4 Тригонометрический интеграл с помощью замены переменной x tg = t 2 сводится к интегралу от рациональной функции. Доказательство Это проверяется непосредственно, используя выражения cos x и sin x через тангенс половинчатого угла и x = 2 arctg t: 1 − t2 cos x = , 1 + t2

sin x =

24

2t , 1 + t2

dx =

2 dt , 1 + t2

тогда Z

R (cos x, sin x) dx =

Z

R



2t 1 − t2 , 1 + t2 1 + t2



2 dt . 1 + t2

Очевидно, что подынтегральная функция есть рациональная функция аргумента t, к интегрированию которой применимы изложенные выше способы. Однако эта замена, являющаяся универсальной, приводит иногда к сложным вычислениям. В некоторых случаях цель может быть достигнута более простым способом. В случае, когда R(sin x, cos x) содержит sin x и cos x в четных степенях, целесообразнее замена t = tg x или x = arctg t: tg x = sin x = p 2 1 + tg x 1 cos x = p = 2 1 + tg x dt dx = . 1 + t2 Z Z Пример 19 dx dx и Найти интегралы sin x

t √ , 2 1+t 1 √ , 2 1+t

dx dx. cos x

Решение x 2 dt 2t Положим t = tg , dx = , sin x = . Тогда 2 1 + t2 1 + t2 Z Z dx dt x dx = = ln t + C = ln tg + C, sin x t 2
Z Z x π  d x + π2 dx
dx = ln tg dx = + + C. π cos x 2 4 sin x + 2 Z Пример 20 Вычислим интеграл

dx . cos x + 2 sin x + 3 25

Решение x Положим t = tg : 2 Z Z dx 2 dt
= = 1−t2 4t cos x + 2 sin x + 3 (1 + t2 ) 1+t + + 3 2 1+t2 Z Z 2 dt 2 dt = = = 1 − t2 + 4t + 3 + 3t2 2t2 + 4t + 4 Z Z dt dt = = = t2 + 2t + 2 (t + 1)2 + 1   x = arctg(t + 1) + C = arctg tg + 1 + C. 2

Z Пример 21 Найти интеграл

dx 2 . 1 + sin x

Решение Положим t = tg x, t2 dt 2 x = arctg t, sin x = , dx = . 1 + t2 1 + t2 Z Z Z dt dt dx
= = = 2 t2 1 + 2t 1 + sin2 x (1 + t2 ) 1 + 1+t 2 √ Z 1 dt 1 2 t = = arctg 1 +C = 1 2 √ 2 2 1 t +2 2 √ 1 = √ arctg( 2 tg x) + C. 2

26

5.3.

Интегралы, содержащие рациональные выражения от дробных степеней дробно-линейной функции

Здесь рассматривается интегралы вида Z

R x,



ax + b cx + d

 mn

,...,



ax + b cx + d

 pq !

dx,

(5)

где R, как и ранее, рациональное выражение от своих аргуm p ментов и констант, а , . . . , – несократимые дроби. n q Теорема 5 Интегралы вида (5) приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены переменной ax + b = tN cd + d где N есть Н.О.К. (n, . . . , q).1 Доказательство В самом деле, в результате такой замены все корни извлекаются, x есть рациональная функция от t. Z Пример 22 Найти интеграл 1

dx √ √ . (1 + 4 1 + x) x + 1

Н.О.К. – наименьшее общее кратное.

27

Решение Положим x + 1 = t8 , dx = 8t7 dt. Получим: Z

Z 8t7 dt t3 dt =8 = (1 + t2 )2 t4 (1 + t2 )2 Z Z 4t2 dt2 4(t2 + 1 − 1)d(t2 + 1) = = = (1 + t2 )2 (t2 + 1)2 Z Z d(t2 + 1) d(t2 + 1) = 4 −4 = t2 + 1 (t2 + 1)2 4 = 4 ln(t2 + 1) + 2 + C, t +1

dx √ √ = (1 + 4 1 + x) x + 1

где t =

√ 8

Z

x + 1.

Z r Пример 23 dx 3 x + 1 Найти интеграл . x−1x+1 Решение x+1 t3 + 1 6t2 dt 3 Положим =t ,x= 3 , dx = − 3 . Полуx−1 t −1 (t − 1)2 чим: Z Z r x + 1 dx t · 6t2 (t3 − 1) dt 3 = − = x−1x+1 (t3 − 1)2 2t3 Z Z Z dt dt (t + 2) dt = −3 = − + = t3 − 1 t−1 t2 + t + 1 1 = − ln |t − 1| + ln(t2 + t + 1) + 2 √ 2t + 1 + 3 arctg √ + C, 3 r x+1 где t = 3 . x−1 28

5.4.

Интегралы, содержащие квадратическую иррациональность

Подразумеваются интегралы вида Z  √  R x, ax2 + bx + c dx

(6)

в предположении, что квадратный трехчлен не имеет равных корней. В противном случае подынтегральная функция – рациональная. Теорема 6 Интегралы вида (6) приводятся к интегралам от рациональных функций. В качестве рационализирующих подстановок могут быть использованы различные подстановки, освобождающие подынтегральное выражение от радикалов. Здесь могут быть использованы тригонометрические подстановки после приведения подкоренного выражения к сумме или разности квадратов, но наиболее удобными и самый краткий способ основан на подстановках Эйлера. 5.4.1.

Виды подстановок Эйлера

1. Случай a > 0. Положим √

ax2

√ + bx + c = t − x a

Возводя в квадрат обе части равенства, получим √ 2 2 ax + bx + c = t − 2tx a + ax2 , √ bx + c = t − 2tx a, 2

29

t2 − c x= √ , 2t a + b

√

ax2

t2 − c √ + bx + c = t − √ a= 2t a + b √ √ √ 2t2 a + bt + c a − t2 a √ = = 2t a + b √ √ t2 a + bt + c a √ , = 2t a + b √ √ t2 a + bt + c a √ dx = 2 dt. (2t a + b)2

Если полученные выражения подставить в интеграл (6), то получится интеграл от рациональной функции от t. Для получения окончательного результата √ в первооб√ разной надо положить t = ax2 + bx + c + x a. 2. Случай c > 0. Положим √ √ ax2 + bx + c = xt + c Тогда √ ax2 + bx + c = x2 t2 + 2xt c + c, √ 2 2 2 ax + bx = x t + 2xt c, √ ax + b = xt2 + 2t c, √ 2t c − b x= , a −√t2 √ 2 √ t c − bt + a c ax2 + bx + c = , 2 a − t √ √ t2 c − bt + a c dx = 2 dt. (a − t2 )2 Подставив полученное в подынтегральное выражение, также получим интеграл от рациональной функции. 30

3. Случай действительных различных корней подкоренного выражения (квадратного трехчлена). В этом случае, обозначив их x1 и x2 , имеем: ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ). Положим: √ ax2 + bx + c = t(x − x1 ) Тогда a(x − x1 )(x − x2 ) = t2 (x − x1 )2 , a(x − x2 ) = t2 (x − x1 ), x1 t2 − ax2 x= , t2 − a √ a(x1 − x2 )t ax2 + bx + c = , t2 − a 2a(x2 − x1 )t dx = dt. (t2 − a)2 Пример 24 (Вывод табличного интеграла №11) Z

√

dx , x2 + b

a > 0.

Решение Применим первую подстановку Эйлера. Положим для √ этого x2 + b = t − x, t2 − b t2 + b 2 2 2 2 x + b = t − 2tx + x , b = t − 2tx, x = , dx = dt, 2t 2t2

31

√ t2 − b t2 + b 2 x +b=t− = . Тогда 2t 2t Z Z 2 Z dx t + b 2t dt √ dt = = ln |t| + C = = 2 t2 + b 2 2t t x +b √ 2 = ln x + x + b + C.

Z Пример 25 5x − 3 √ Вычислить интеграл dx. 2 2x + 8x + 1

Решение Выделим в подынтегральном выражении полный квадрат:     1 7 2x2 + 8x + 1 = 2 x2 + 4x + = 2 x2 + 4x + 4 − = 2 2   7 = 2 (x + 2)2 − . 2

Положим x + 2 = t, x = t − 2, 5x − 3 = 5t − 13, dx = dt. Тогда Z Z 5x − 3 5t − 13 √ dx = dx = √ q 2 7 2x + 8x + 1 2 t2 − 2 Z Z 5 t 13 dt q q = √ dt − √ = 7 7 2 2 2 2 t −2 t −2
Z Z 7 2 d t − 5 13 dt 2 q q = √ −√ = 7 7 2 2 2 2 2 t −2 t −2 r r 7 13 7 5 t2 − − √ ln t + t2 − + C = = √ 2 2 2 2 5 =√ 2

r

r 13 1 x2 + 4x + − √ ln x + 2 + x2 + 4x + 2 2 32

1 + C. 2

Z √ Пример 26 1 − x2 dx. Найти интеграл x Решение Здесь целесообразно вместо подстановки Эйлера поло√ жить x = sin t, dx = cos t dt, 1 − x2 = cos t. Z √ Z Z 1 − x2 cos2 t 1 − sin2 t dx = dt = dt = x sin t sin t Z Z dt = − sin t dt = sin t t = ln tg + cos y + C = 2 √ 2 1 1 − 1 − x √ √ = ln + 1 − x2 + C. 2 1 + 1 − x2

Z Пример 27 Найти интеграл

dx √ . 2 x 1+x

Решение Полагая x = tg t, получим dx =

dt и cos2 t Z Z Z t dx dt cos t · cos t dt √ = = = ln tg + C. 2 2 cos t sin t · 1 sin t 2 x 1+x

Возвращаясь к переменной x, заменим tg

5.5.

x t =√ . 2 2 1+x +1

Понятие “неберущихся” интегралов

Как уже было показано, в отличие от действия дифференцирования, не существует простых правил, позволяющих находить первообразные для любых элементарных функций, 33

которые сами являлись бы элементарными функциями. На самом деле это и не всегда возможно. Не все элементарные функции имеют в качестве первообразных элементарные функции. Неопределенные интегралы от таких функций называют “неберущимися”. Таковыми являются, например, sin x ex 2 неопределенные интегралы от функций , , e−x и x x многие другие.

Библиографический список 1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1975. Т.1. 2. Кремер Н. Ш. и др. Высшая математика для экономистов, М.: ЮНИТИ, 2000. 3. Виленкин Н. Я., Мордкович А. Г. Производная и интеграл, М.: Просвещение, 1976. 4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, СПб.: Лань, 1997. 5. Зингер А. А, Зингер В. А., Сирота Ю. Н. Неопределенный интеграл. СПбГУАП, 2005.

Оглавление 1. Первообразная и неопределенный интеграл 1.1. Определение первообразной . . . . . . . . . . . 1.2. Физический и геометрический смысл понятия первообразной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Пройденный путь при прямолинейном движении . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 3 4 4

1.2.2. Площадь криволинейной трапеции . . . 1.2.3. Масса прямолинейного тонкого стержня 1.3. Основные свойства первообразной . . . . . . . .

4 5 6

2. Неопределенный интеграл

8

3. Свойства неопределенных интегралов

9

4. Основные методы интегрирования 4.1. Таблица основных неопределенных интегралов 4.2. Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . 4.3. Замена переменной в неопределенном интеграле

10 10 13 15

5. Некоторые классы интегрируемых функций 5.1. Интегрирование рациональных функций . . . . 5.1.1. Виды рациональных функций . . . . . . 5.1.2. Интегрирование простейших . . . . . . . 5.1.3. Определение коэффициентов разложения правильных рациональных функций на простейшие . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Интегрирование тригонометрических выражений 5.3. Интегралы, содержащие рациональные выражения от дробных степеней дробно-линейной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Интегралы, содержащие квадратическую иррациональность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Виды подстановок Эйлера . . . . . . . . 5.5. Понятие “неберущихся” интегралов . . . . . . .

18 18 18 20

Библиографический список

34

35

21 24

27 29 29 33

Учебное издание Зингер Абрам Аронович Зингер Виктор Абрамович Сирота Юрий Наумович

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-методическое пособие

Редактор А. В. Семенчук Подписано к печати 1.07.04. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,86. Уч.-изд. л. 2,0. Усл.кр-отт. 1,98. Тираж 300 экз. Заказ № Редакционно-издательский отдел Отпечатано с авторского оригинал-макета СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б.Морская, 67