Обобщенные когерентные состояния и их применения

А.М.Переломов ОБОБЩЕННЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ Книга посвящена одному из активно развивающихся направлений современной математической физики — теории обобщенных когерентных состояний и их применениям. Впервые приводится полное и систематическое изложение теории обобщенных когерентных состояний. Когерентные состояния, впервые введенные в работах Шредингера и фон Неймана, были с успехом использованы Глаубером для квантового описания лазерного пучка света и затем обобщены автором этой книги на случай произвольной группы Ли. Теория иллюстрируется большим числом примеров из различных областей теоретической и математической физики. Для физиков-теоретиков и специалистов-математиков, а также для студентов математических и физических вузов, факультетов университетов. Содержание Предисловие 6 Введение 7 ЧАСТЬ I. ОБОБЩЕННЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ ГРУПП ЛИ Глава 1. Обычная система когерентных состояний и ее связь с 11 группой Гейзенберга — Вейля. Случай одной степени свободы § 1.1. Группа Гейзенберга — Вейля и ее представления 11 1.1.1. Группа Гейзенберга — Вейля (12). 1.1.2. Представления группы Гейзенберга — Вейля (15). 1.1.3. Конкретная реализация представления Tλ(g) (16). § 1.2. Когерентные состояния (КС) 18 § 1.3. Представление Фока — Баргмана 24 § 1.4. Полнота подсистемы когерентных состоянии 28 § 1.5. Когерентные состояния и тета-функции 32 § 1.6. Операторы и их символы 36 § 1.7. Характеристические функции 45 Глава 2. Когерентные состояния для произвольной группы Ли 49 § 2.1. Определение обобщенного когерентного состояния 49 § 2.2. Общие свойства системы обобщенных когерентных состояний 51 § 2.3. Полнота системы КС и разложение по состояниям этой системы 53 § 2.4. Выделение систем обобщенных КС, наиболее близких к 55 классическим состояниям Глава 3. Обычная система когерентных состояний. Случай 59 нескольких степеней свободы § 3.1. Общие свойства 59 § 3.2. Когерентные состояния и тета-функции для нескольких степеней 62 свободы Глава 4. Когерентные состояния для группы вращений трехмерного 66 пространства § 4.1. Структура групп SO(3) и SU(2) 66

§ 4.2. Представления группы SU(2) § 4.3. Когерентные состояния Глава 5. Простейшая некомпактная неабелева простая группа: SU(1,1) § 5.1. Группа SU(1,1) и ее представления 5.1.1. Основные свойства группы SU(1,1) (81). 5.1.2. Дискретные серии (84). 5.1.3. Основная (непрерывная) серия (85). § 5.2. Когерентные состояния 5.2.1. Дискретные серии (87). 5.2.2. Основная (непрерывная) серия (91). Глава 6. Группа Лоренца: SO(3, 1) § 6.1. Представления группы Лоренца § 6.2. Когерентные состояния Глава 7. Когерентные состояния для группы SO(n,1):представления основной серии класса I § 7.1. Представления класса I группы SO(n,1) § 7.2. Когерентные состояния Глава 8. Когерентные состояния для бозонной системы с конечным числом степеней свободы § 8.1. Канонические преобразования § 8.2. Когерентные состояния § 8.3. Описание операторов в пространстве H+B Глава 9. Когерентные состояния для фермионной системы с конечным числом степеней свободы § 9.1. Канонические преобразования § 9.2. Когерентные состояния § 9.3. Описание операторов в пространстве H+F Глава 10. Когерентные состояния и квантование по Березину § 10.1. Классическая механика § 10.2. Квантование § 10.3. Квантование на плоскости Лобачевского 10.3.1. Описание операторов (139). 10.3.2. Принцип соответствия (140). 10.3.3. Выражение оператора Th в терминах оператора Лапласа — Бельтрами (142). 10.3.4. Представление группы движений плоскости Лобачевского в пространстве Fh (142). 10.3.5. Квантование с помощью отражений (аналог квантования Вейля) (143). § 10.4. Квантование на сфере § 10.5. Квантование на однородных кэлеровых многообразиях ЧАСТЬ II. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Глава 11. Предварительные сведения Глава 12. Квантовый осциллятор § 12.1. Квантовый осциллятор под действием переменной внешней силы § 12.2. Параметрическое возбуждение квантового осциллятора § 12.3. Квантовый сингулярный осциллятор

70 72 80 81 87 99 99 102 108 108 109 117 117 121 123 126 127 129 130 132 134 137 139

145 146 153 153 158 158 161 164

12.3.1. Стационарный случай (164). 12.3.2. Нестационарный случай (168). 12.3.3. Случай N взаимодействующих частиц (169). § 12.4. Осциллятор с переменной частотой под действием переменной внешней силы Глава 13. Частицы во внешнем электромагнитном поле § 13.1. Движение спина в переменном однородном магнитном поле § 13.2. Рождение пар бозонов в переменном однородном 13.2.1. Динамическая симметрия для скалярных частиц (182). 13.2.2. Многомерный случай: когерентные состояния (186). 13.2.3. Многомерный случай: нестационарная задача (190). § 13.3. Рождение пар фермионов в переменном однородном внешнем поле 13.3.1. Динамическая симметрия для частиц со спином 1/2 (192). 13.3.2. Гейзенберговское представление (196). 13.3.3. Многомерный случай: когерентные состояния (198). 13.3.4. Многомерный случай: нестационарная задача (203). Глава 14. Производящая функция для коэффициентов Клебша — Гордана группы SU(2) Глава 15. Когерентные состояния и квазиклассический предел Глава 16. 1/N-разложение для моделей типа Гросса — Неве § 16.1. Описание модели § 16.2. Квазиклассический предел Глава 17. Релаксация к термодинамическому равновесию § 17.1. Релаксация квантового осциллятора к термодинамическому равновесию 17.1.1. Кинетическое уравнение (220). 17.1.2. Характеристические функции и распределения квазивероятностей (221). 17.1.3. Использование символов операторов (224). § 17.2. Релаксация частицы со спином, находящейся в магнитном поле, к состоянию термодинамического равновесия Глава 18. Диамагнетизм Ландау Глава 19. Лагранжиан Гейзенберга — Эйлера Глава 20. Синхротронное излучение Глава 21. Классическая и квантовая энтропия Глава 22. Сверхтекучесть слабонеидеального бозе-газа Приложение 1. Доказательство полноты некоторых подсистем КС Приложение 2. Матричные элементы оператора D(γ) Список литературы Предметный указатель Предметный указатель 13 Алгебра Гейзенберга — Вейля, Гипотеза Вейля 244 случай нескольких степеней — Либа 245 свободы 61 Группа вращений трехмерная 66 — — —, — одной степени свободы

175 179 179 182

192

204 207 211 212 215 220 220

229 232 236 239 242 247 252 255 260 268

— Гейзенберга — Вейля 12 — — —, матричные элементы представлений 43 — — —, нормальное (виковское) и антинормальное (антивиковское) представления 41 — Ли осцилляторная 57 — Лоренца 99 — метаплектическая 119 — некомпактная, представления дискретной серии 84 Диамагнетизм Ландау 232 Излучение синхротронное 239 Квазиэнергия 158 Квантование геометрическое 133 — по Березину 133 Коэффициенты Клебша — Гордана для группы SU(2), 79, 204 Круг Зигеля единичный 123 Матрица плотности 47 Мера интегрирования в многомерном фазовом пространстве 61 — — в фазовой плоскости 19 Многообразие кэлерово однородное 147 Многочлены Лаггера 256 — Эрмита, интегральное представление 28 — — от двух переменных 177 Модель Гросса — Неве 211 Неравенство Березина 39 — Голдена — Томпсона 40 — Фейнмана 40 Оператор Казимира 58 — Лапласа — Бельтрами для плоскости Лобачевского 93 — массовый 239 — ядерный 39 Операторы рождения и уничтожения, бозевский случай 12 — — — —, линейные канонические преобразования 101 — — — —, представление Фока —

Баргмана 24—28 — — — —, фермиевский случай 127 Осциллятор, динамика 158 —, релаксация к равновесию 220 Предел квазиклассический для представлений группы SU(2) 207 — — — фермионных полей 215 — — — энтропии 243 Представления класса I 108 Преобразование линейное каноническое 117 Проекция стереографическая 69 Разложение Гаусса 68 — единицы 19 Реализация Фока — Баргмана для гильбертова пространства 24 Решетка допустимая 62 — правильная 29 Рождение пар бозонов 182 — — фермионов 192 Символ оператора 36 — — вейлевский 44 Симметрия динамическая 156 Соотношение неопределенности для компонент момента количества движения 77 — — — координаты и импульса 21 Соотношения перестановочные Гейзенберга, случай нескольких степеней свободы 60 — — —, — одной степени свободы 12 Состояния обобщенные когерентные, общее определение 50 Спин, релаксация к равновесию 229 Теорема Стоуна — фон Неймана 16 Тета-функции 34 Уравнение Фоккера — Планка 222 Условия Римана — Фробениуса 62 Функции Вейерштрасса 36 — характеристические для распределения вероятности в фазовом пространстве 47

Функция зональная сферическая 93 Электродинамика квантовая, эффективный лагранжиан 236 Энтропия 242 Эффект де Гааза — ван Альфе-на 233

Ядро Бергмана 150 — воспроизводящее 20 — орисферическое 96 — Пуассона 96