ホップ空間 (紀伊国屋数学叢書)

紀伊國 屋数学叢書 26

編集委員 伊藤 戸田

清 三   (東京大学教授) 宏 

(京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学教授)

三村 護

ホ ップ 空 間 紀伊國屋書店

ま

え

が

き

  位 相 群 の も っ と も よ く知 ら れ た 例 はLie群 的 な 観 点 か ら,と ら ぬHeinz    

die

あ っ た.彼

Topologie

を非解析 な

は論文

der

Verallgemeinerungen,

に お い て,連

のLie群

い う よ りむ し ろ ホ モ トピ ー 論 的 観 点 か ら 研 究 し た の は,他

Hopfで

Uber

で あ る が,こ

Gruppen-Mannigfaltigkeiten

Ann.

Math,

42 (1941),

und

ihre

22-52

続 的 な 積 を も つ 多 様 体 に 注 目 し た.

  連 続 な 積 を も ち(位 相 群 で 要 求 さ れ る)単 位 元 の 存 在 が ホ モ ト ピ ー の 意 味 で 成 り立 つ 位 相 空 間 をH-空  

Homologie 54 (1951),

間,H-espace,と

singuliere

des

espaces

論,こ

あ る の は い う ま で も な い.従

fibres. Applications,

のHがHeinz

っ て,こ

の1941年

Hopfに

Ann.

ら れ た 結 果 の 多 くが,実

か で も,Lie群

間 あるい

間 の理 論 は そ の 誕 生

数 的 位 相 幾 何 学 の 数 多 くの 研 究 に 滲 透 し て 来 て い る が,特

の 発 展 に は 目 覚 ま し い も の が あ る.な

に こ こ数 年

の様 々な性 質 を用 い て え

は 解 析 的 性 質 と は 無 関 係 に,代

数的に あ るいは ホモ

トピ ー 論 的 に 証 明 で き る と い う指 摘 が 少 な か ら ず 出 て 来 て い る.す Hopf空

Math.

ち な んだ もの で

と い う年 がH-空

間 の 誕 生 の 年 と い っ て い い で あ ろ う.Hopf空

以 来,代

Serre

425-505

が 初 め て で は な か ろ うか.勿

はHopf空

名 づ け た の はJ.-P.

間 の 理 論 は 位 相 群,特

に,Lie群

な わ ち,

の 構 造 あ る い は 性 質 を(位 相 幾 何 学 的

に)簡 明 に 説 明 す る の に 非 常 に 役 立 っ て い る と い え よ う.   本 書 で は,Hopf空 に 努 め,各

間 の 基 本 的 性 質 か ら 始 め,最

章 末 に 「補 遺 」 を も う け て,準

近 の 結 果 まで 紹 介 す る よ う

備等 の 関 係 で 詳 述 で き な か った事 実

を 述 べ る こ と に し た が,そ

れ で も 日進 月 歩 の 発 展 の た め に,そ

た か ど うか わ か ら な い.特

に,Hopf空

無 限 ル ー プ 空 間 の 理 論 に つ い て は,紙

の 目的 を 果 し え

間 の 重 要 な 例 で あ る 多 重 ル ー プ空 間, 数 の 関 係 も あ り触 れ る こ とが で き な か っ

た の は は な は だ 残 念 で あ る.   第1章

で はHopf空

間 の 例 お よ び 基 本 的 性 質 に つ い て 述 べ る.第2章

は

Hopf空

間 の(コ)ホ

モ ロ ジ ー環 を モ デ ル と す るHopf代

3章 で はHopf空

間 の 一 般 化 と も い え るGottlieb空

基 本 的 性 質 を 述 べ,有

第5章

で は,各

Bocksteinス torsionの

相 的 局 所 化 の 理 論,そ

項 がHopf代

数 に な る,Hopf空

ペ ク トル 系 列 を 構 成 し,こ

対 性,高

次

間 の分 類 空

ペ ク トル 系 列 と い うよ

ペ ク トル 系 列 を 構 成 す る.第7章

モ トピ ー 可 換 な 有 限Hopf空

間 に

モ ロジ ーに 関 す る

で は 結 合 的Hopf空

合 性 の 一 般 化 で あ る 高 次 結 合 性 を も つHopf空

Hubbuckの

間 の(コ)ホ

で

間 の 例 を 構 成 す る.

れ ら を 用 い てPoincare双

モ ロ ジ ー に 収 束 す るEilenberg-Mooreス

りRothenberg-Steenrodス

は,ホ

間 の

れ ら をHopf空

の ホ モ トピ ー 型 を 持 た な い 有 限Hopf空

存 在 性 等 に つ い て 議 論 す る.第6章

間 の(コ)ホ

間,Whitehead空

理 的 に は こ れ ら の 空 間 は 一 致 す る こ と を 示 す.第4章

は 代 数 的 局 所 化 の 理 論 か ら 始 め,位 応 用 し て,Lie群

数 の 一 般 論 で あ る.第

は ホ モ トピ ー 結

間 の 理 論 を 扱 っ て い る.第8章

間 は トー ラ ス の ホ モ ト ピ ー 型 を も つ と い う

定 理 を 目 的 と し て い る.第9章

で は,群

の 一 般 論 か ら 始 め,Hopf

空 間 の 写 像 の ホ モ トピ ー 類 の な す 群 に つ い て 述 べ て い る.

  第2章 → 第5章 → 第8章

とい う流 れ を 別 に

す れ ば,そ の 他 の 章 は,各 章 ほ ぼ 独 立 に 読 め るが,強

い てい うな らば,各 章 の 相 互 関 係 は

右 図 の よ うで あ る.   Hopf空

間 のEckmann-Hiltonの

の 双 対 概 念 で あ る双 対Hopf空 間)に つ い て も,ほ

意味 で 間(co

H-空

ぼ同様な 議 論 が 展 開 で

き る,と 同 時 に,そ れ 自身 興 味 の あ る 理 論 もあ る.こ れ ら に つ い て は 別 の 機 会 に 譲 り た い.   何 分,短

時 日の 間 に 急 い だ の と,著 者 の浅 学 非 才 の た め,不 充 分 な点 が 多 々

あ る と思わ れ る.大 方 の御 寛恕 を願 う と と もに,読 者諸 氏 の批 判,叱

正 を待 つ

こ とに よ り,よ り良 い もの に し た い と思 う.   最 後 に な ったが,本 書 の執 筆 をす す め て下 さ った京 都 大 学 の戸 田宏 教 授 に 心 か ら お礼 を 申 し 上げ る と とも に,原 稿 並 び に校 正 に 目を通 し て数 多 くの助 言 を 載 いた 徳 島 大 学 の沢 下 教 親,高 知 大 学 の 逸 見 豊,大 阪 府 立 大 学 の 山 口睦,九 州

大 学 の 岩瀬 則 夫 の 諸 氏,並 び に,出 版 に 色 々御 尽 力 い た だ い た 紀 伊 國 屋 書 店 の 水 野 寛 氏 に 感 謝 の 意 を 表 した い.

  1985年 

初秋  

Scotland,

Aberdeenに

て 著

者

目

次

 まえが き 第1章 

基 本 的性 質

  §1  Hopf空

間 

  §2  [  ,Hopf空

1 間]の

 §3  Postnikov系

構造  

11

 

19

 §4  pull-back   補

31

遺 

第2章 

39

Hopf代

数

  §1 代 数 と双 対 代 数  

45

  §2 Hopf代

56

数 

  §3 Lie代 数  

65

  §4 古 典 的 定 理  

67

  §5 filtration   補 第3章

 78

  Gottlieb空

  §1 Gottlieb空   §2 有 理Hopf空   §3 mod  補 第4章

74

遺 間 とWhitehead空

間

間

  83

間 

93

〓 Gottlieb空 間

  99

遺

 105

 局所化

  §1 代 数 的 局所 化     §2 位 相 的 局 所 化

109  

117

  §3  Hopf空

間 の 局所 化  

  §4  局 所 化 のHopf空  補

間 へ の 応 用 

遺  

第5章 

122 128 134

Bocksteinス

ペ ク トル 系 列

  §1  完 全 対  

138

  §2  Bocksteinス   §3  Poincare双

ペ ク トル 系 列 対 性 

  147 158

  §4  filtration 

162

  §5  高 次torsion 

169

 補 第6章

遺

 181

  分 類 空 間

  §1  位 相 的 準 備  

183

  §2  filterつ

189

き 空 間 の ス ペ ク トル 系 列  

  §3  ス ペ ク トル 系 列 の ク ロ ス 積   §4  幾 何 学 的 分 解

 199

  §5  幾 何 学 的 分 解 の ス ペ ク トル 系 列    補

第7章

遺

  高 次 結 合 性 造 とAn形

式

  §2  An写

像 とAn準

同型

  §3  An空

間 のPostnikov系

第8章

206   216

  §1  An構

 補

  193

遺

  219  235   240   244

 ホ モ トピー 可 換 性

  §1  n-可 換 性  

247

  §2  n-置 換 性

 255

  §3  ホ モ トピ ー 可 換 性    §4  Hubbuckの

定理

265   272

 補

遺

第9章 

 

279

ホ モ トピ ー 類 の 群

  §1 群 の 基 本 的 性 質

 282

  §2 [  ,X]の

 286

 §3  Hopf写

巾零 性

像 の群

  292

  §4 準 同型

 300

 補

 307

遺

  あ とが き と参 考 文 献  索

引

  309  319

記

Π={素

数}⊂N={自

⊂C={複

然 数}⊂Z={整

素 数}⊂H={四

Z/m=Z/mZ={整

#A:集

合Aの

  fはgに

号

数}⊂Q={有

理 数}⊂R={実

元 数}⊂ 〓={Cayley数}

数mod

m}

濃度 ホ モ トー プ

 

XはYに

ホ モ トピ ー 同 値

 

XはYに

弱 ホ モ トピー 同値

F(X,Y)={f:X→Y連

続}(CO-位

相)

 ホ モ ト ピ ー 類 の 集 合 iα:X→X×X:第

α 因子 へ の射 入

pα:X×X→X:第

α 因子 へ の射 影

Δ:X→X×X⇔

△(x)=(x,x):対

∇:X∨X→X⇔

∇(x,*)=∇(*,x)=x:折

Λ:X×Y→X∧Y=(X×Y/X∨Y):射 m￨n⇔mはnを Xn=X×

角写像 りた た む 写 像 影

割 り切 る … ×X 

(n個),∧nX=X∧

X[n]={(x1,…,xn)∈Xn￨∃i:xi=*}

… ∧X 

(n個)

数}

第1章  基本的性質

  本 章 で は[Stasheff

0],[W],[Zabrodsky

0]を

参 考 に し な が ら,Hopf

空 間 の 基 本 的 性 質 お よ び 後 の 章 で 用 い る 事 柄 を 紹 介 す る.   §1  Hopf空

間

  定 義 と例   以 下,各

位 相 空 間Xは(Hausdorffで)基

点 を も つ も の と し,(連

続)写 像

や ホ モ ト ピ ー は す べ て 基 点 を 保 つ も の とす る.   X∋e(基

点)に

つ いて

  記 号   ∇:X∨X→X⇔

∇(x,e)=x=∇(e,x)は

map),j:X∨X→X×Xは

射 入.

  定 義   (X,μ):Hopf空 ⇔

μ:X×X→Xは

  こ の と き,μ 位 元(homotopy

μ:X×X→Xは

  こ の と き,μ

を み た す.

の 積 ま た はHopf構

unit)と

  定 義   (X,μ):単 ⇔

間  

をX上

折 りた た む 写 像(folding

造 と い う.ま

た,eを

ホ モ トピ ー 単

い う.

位 元 を も つHopf空

間

μ°j=∇ を み た す. を 厳 密 な 積,eを

  注意  XがHopf空

単 位 元(strict

間 か つ 局所 可 算 なCW-複

unit)と 体 な らばXは

い う. 単 位 元 を もつHopf空

間 で あ る.   実 際,こ の と き,対(X×X,X∨X)は 構 造 μ に 対 し て μ′:X×X→Xが 位 元を もつHopf空

ホ モ トピ ー拡 張 性 質(HEP)を 存 在 し て, μ

もつ か ら,Hopf

′ °j=∇,す なわ ち,(X,μ ′)は単

間 に な る.

  注意  積 の ホ モ トピー類 の 中 に は,少 な く とも 一つ 厳 密 な積 が あ る.   (1.1)  位 相 群 は 単 位 元 を もつHopf空   (1.2)  Hopf空

間YがXを

間 で あ る.

支 配 す る(⇔f:X→Y,g:Y→Xが

存在 し

て  

)な ら ばXはHopf空

  実 際,Yの

間 で あ る.

積 を μYと す る と き,Xの

  (1.2)′

 

  特 に,基

点 に 可 縮 な 空 間 はHopf空

な ら ば,X:Hopf空

  (1.3)  X,Y:(単

積 は μX=g° μY°(f×f)で 与 え ら れ る. 間 ⇔Y:Hopf空

間.

間 で あ る.

位 元 を も つ)Hopf空

間 ⇔X×Y:(単

位 元 を も つ)Hopf

空 間.   (1.4) 

d=dimRFと

単 位 元 を も つHopf空   注 意   Sn:Hopf空

す る と きSd-1={x∈F￨￨x￨=1}は

間 で あ る. 間 ⇔n=0,1,3,7.

  証 明 は[TM]の

第7章,定

理7.1を

参 照.

  (1.5)  実 射 影 空 間P1(R)=S1,P3(R)=SO(3),P7(R)は S7の 積 よ り導 か れ る 積 に よ りHopf空   (1.6)  Xは

そ れ ぞ れS1,S3,

間 と な る.

局 所 コ ン パ ク ト とす る.F(X,X)={f:X→X}と

お く と き,積

μ:F(X,X)×F(X,X)→F(X,X)⇔μ(f,g)=f°g  に よ り(F(X,X),μ)は

単 位 元1Xを

もつHopf空

(合 成) 間 で あ る.

  (1.6)′  F(X,X)⊃Aut(X)={f∈F(X,X)￨f:ホ 位 元1Xを

もつHopf空

モ ト ピ ー 同 値 写 像}は

間 で あ る.

  (1.6)″  F(X,X)⊃Homeo(X)={f∈F(X,X)￨f:同 を も つHopf空

単

間 で あ る.特

に,Xが

相 写 像}は

局 所 連 結 な らばHomeo(X)は

単 位 元1X 位相群 で

あ る.   (1.7)  Xn=X× る と き,2点

… ×X(n重)に

お い て,基

は 同 値 と し て え られ る等 化 空 間 をXnと Xn=Xn×x0⊂Xn+1 

と 考 え て(無 CW-複

限)約

体 で,頂

に よ り(X∞,μ)は   (1.8)  Xnにn次 をSPnX=Xn/Snと finite

点 を 省 け ば 順序 を込 め て一 致 す

symmetric

積(reduced

点 がx0の

(x0:基

し, 点)

product) 

を 定 義 す る.Xが

可算

み な ら ば,積

単 位 元x0を

も つHopf空

対 称 群Snを

座 標 の置 換 とし て作 用 させ た と き の軌 道 空 間

し,SPnX⊂SPn+1Xと product) 

間 で あ る.

自然 に 考 え て,無 を 定 義 す る.Xが

限 対 称 積(in コン パ ク ト

の と き,積

に よ り(SP∞X,μ)は

単 位 元x0を

  定 義   積 μ が μ°(μ×1X)=μ (X,μ)を

結 合 的Hopf空

  S7とP7(R)の

も つHopf空

間 で あ る.

°(1X× μ)をみ た す と き,μ を 結 合 的(associative),

間 と い う.

積 は 結 合 的 で は な い が,逆

積 は 結 合 的 で あ る が,逆

元 を も つ.一

元 を も た な い.

  定 義   積 μ が μ=t° μ(t(x,y)=(y,x))を mutative),(X,μ)を

方,(1.7)∼(1.8)の

可 換 なHopf空

み た す と き,μ

を 可 換 的(com

間 と い う.

  (1.8)の 積 は 可 換 的 で あ る.   (1.9)  ル ー プ 空 間 ΩX=F((I,I),(X,x0))に

お け る積

Add

Add  に よ り(ΩX,Add)はHopf空

間 で あ り,x0へ

の 定 値 写 像x0は

ホ モ トピー 単

位 元 で あ る.   さ ら に,X〓

連 結,可

  定 義   Hopf空

体⇒

間(X,μX),(Y,μY)の

f:X→YはHopf写 H-写

算CW-複

像(H-写

位 相 群G(X)が

存在 して

間 の写 像

像)ま

た は μX-μY

像

  f:X→Yに

つ い て,Ωf:ΩX→

ΩY(⇔(Ωf)(l)(t)=f(l(t)))はHopf写

像 で

あ る.   積 を も つ 球 面S1,S3,S7の ν′ °η6∈ π7(S3)で

あ る(ιk∈ πk(Sk)).こ

  命 題1.9 ⅰ)   ⅱ) 

間 の 自 明 で な い 写 像 の ホ モ ト ピ ー 類 はnι1,nι3,nι7,

nι1はHopf写

nι3はHopf写

 ⅲ) 

nι7はHopf写

 ⅳ) 

ν′°η6はHopf写

  た だ し,ν2(n)はnを

像 ⇔

れ ら につ い て

像 で あ る, ν2(n)≠1,2,

像 ⇔ν2(n)≠1,2,3, 像 で は な い. 素 因 数 分 解 し た と き の2の

巾 の 数 で あ る.

  (証 明 は 定 理 Ⅸ.3.15参

照)

  F(S1,X)={f:I→X￨f(0)=f(1)基

点 を 保 た な い}を

を

射

e0(f)=f(0)を0に   (1.10) 

お け る 評 価 写 像 と す る と き,

XがCW-複

体,Hopf空

ば ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像 α:X× X)が

存 在 し て 右 図 は 可 換,た

1因 子 へ の 射 影,i2は

第2因

 [証 明]  α:X×

間 なら

ΩX→F(S1, だ し,p1は

第

子 へ の 射 入.こ

こ で α￨X=χ:X→F(S1,X)は

χ(x)(t)=x(∀t∈I)で

ΩX→F(S1,X)⇔

α￨X=χ.次

μ(x,φ(0))=μ(x,*)=x=p1(x,φ)⇒e0° =μ(*,λ(t))=λ(t)⇒

α=p1.λ

α°i2=i .以

α:ホ

  (1.11) 

XはCW-複

同値 写 像

⇒XはHopf構

  [証 明]  f:X→Yは

対 し て,αi2(λ)(t) たp1,e0は

より  

モ ト ピ ー 同 値 写 像. 

(終) 間,f:X→Yは

造 を も ち,fはHopf写

弱 ホ モ トピー

像 と な る.

弱 ホ モ トピー 同値 写 像 で

一 対 一 対 応 .従

っ て,μX:X×

存 在 し てf*μX=μY°(f×f),す

右 図 は ホ モ ト ピ ー 可 換 で あ る.こ

な わ ち,

こ で 射 入iα:X→X×X(α=1,2)に

つ い て,   積. 

  (1.12)  MacLane空   実 際,弱

可 換 群 π,n∈Nと 間K(π,n)はHopf空

と き,折

す る.CW-複

体 で,(π,n)型

のEilenberg-

間 で あ る か ら,(1.11)よ

ΩK(π,n+1)が

あ り(1.10)よ

りK(π,n)はHopf空

害 理 論 に よ っ て も直 接 証 明 す る こ と が で き る.X=K(π,n)と りた たむ 写像

(X×X,X∨X;πq(X))=0.全

(終)

間 で あ る.

ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像f:K(π,n)→

ΩK(π,n+1)はHopf空   実 は,障

フ ァイ

よ り誘 導 さ れ るf*:[X×X,X]

→[X×X,Y]は X→Xが

∈ ΩXに

上 に よ り上 図 は 可 換.ま

体,(Y,μY)はHopf空

∈ ΩX

に,e0α(x,φ)=α(x,φ)(0)=

バ ー 空 間 で あ る か ら ホ モ ト ピ ー 完 全 系 列 と5-lemmaに ⇒

与 え られ る.

α(x,φ)(t)=μ(x,φ(t)),x∈X,φ

と定 義 す る と き,α(x,*)(t)=x⇒

あ る か ら,fに

考 え る. 

入 と す る.e0:F(S1,X)→X⇔

∇:X∨X→XをX×Xに

り

間. お く

拡 張 す る 障 害 γは γ∈Hq+1

く同 様 に し て,K(π,n)のHopf構

造は ホモ ト

ピ ー の 意 味 で 一 意 的 で あ る こ と が わ か る.   (1.2)″  Hopf空

間Xの

レ ト ラ ク トAはHopf空

  実 際, 

射 入,r:X→Aはretraction,μ

r°μ°(i×i)はA上

の 積 で あ る.

  も っ と 一 般 に,σ:X→

ΩSX⇔

間 で あ る. をX上

の 積 とす る と き,

σ(x)(t)=(x,t)を1SX:SX→SXの

随伴写

像 と す る と き,   定 理1.13  (James) 

Xの

X:Hopf空   [証 明]  [〓]  °(σ×σ)はX上   [⇒]  か れ,こ

基 点 がHEPを

間 ⇔

も つ と き,

σ は ホ モ ト ピー 左 逆 写 像 を も つ.

τ を σ の ホ モ トピ ー左 逆 写 像: 

とす る と,τ °Add

の 積 で あ る.

XがHopf空

間 の と き,積X×X→Xよ

のretractionはretraction

で あ る か ら,σ

X∞ →Xに

りretraction 拡 張 可 能.こ

X2→Xが

は ホ モ トピ ー 左 逆 写 像 τを も っ て, 

  圏HT={位

相 空 間,(連

導

こで   (終)

続)写 像 の ホ モ トピ ー 類},A={可

換 群,準

同 型}を

考 え る.   定 理1.14 

と す る.こ

関 手 π:HT→Aが

積 を 保 つ,す

の と き,(X,μ)がHopf空

は 群 の 和(a,b)→a+bと   [証 明]  第r因

な わ ち,

間 な らば

一 致 す る.

子 へ の 射 入ir:X→X×Xに

つ い て,

は 準 同 型 で,j1(a)=(a,0),j2(b)=(0,b)⇒j1(a)+j2(b)=(a,b).一

方

こ こ で, 

(終)

  ホ モ トピ ー 結 合 性 と ホ モ トピ ー 可 換 性   ΩXの

積 は 結 合 的 で も な く,逆

意 味 で の 結 合 性,逆   定 義   Hopf空

元 も もた な い が,次

の よ う な,ホ

モ トピー の

元 の 存 在 性 が 成 り立 つ.

間Xの

積 μ は ホ モ トピ ー 結 合 的(homotopy

associative)

 定 義   σ:X→Xは積

μ の ホ モ トピ ー 逆 元(homotopy

inverse)

た だ し, △(x)=(x,x)は  定 理1.15 

⇒

対 角 写 像,x0はx0へ

(X,μ)はHopf空

の 定 値 写 像.

間,Xは

弧 状 連 結 なCW-複

σL:X→X(左

ホ モ トピー逆 元)が 存 在 し て

σR:X→X(右

ホ モ トピー 逆 元)が 存 在 して

さ ら に,μ

が ホ モ ト ピ ー 結 合 的 な ら ば,ホ

  [証 明]  μ1=(1× πi(X×X)→

×Xが

モ トピ ー 逆 元 が 存 在 す る.

μ)°(△×1):X×X→X×X×X→X×Xを

πi(X×X)に

ホ モ トピ ー 同 値

体

考 え る と,μ1#:

お い て μ1#(a,b)=(a,a+b)⇒

⇒ 射 入i1:X=X×x0⊂X×Xに

存 在 して  

p2を

ホ モ ト ピ ー 逆 元 と な る.同 に  

第2座

様 に,左

μ1#:同 型 ⇒ 対 し て,写

μ1:

像 σ1:X→X

標 へ の 射 影 とす る と,σR=p2°

σ1は 右

ホ モ ト ピ ー 逆 元 σLの 存 在 が わ か る.さ

ら

が み た さ れ て い る と き,

(終)   定 義   Hopf空 homotopy

間(X,μ)は

ホ モ ト ピ ー 可 換 的(homotopy

commutative,

abelian)⇔

  た だ しt:X×X→X×X⇔t(x,y)=(y,x).   (1.16) 

被 覆 空 間(X,q,X)の

も つHopf空

間 な ら ばXに

て,被

覆 写 像qはHopf写

底 空 間Xが 一意的に積

像 で,次

μ:(ホ

モ ト ピ ー)結 合 的

 ⅱ) 

μ:(ホ

モ ト ピ ー)逆 元 を も つ

 ⅲ) 

μ:(ホ

モ ト ピ ー)可 換 ⇒

  (1.17) 

第2章,定

弧 状 連 結 なCW-複

f*:H*(X)→H*(Y)を

μ が存 在 し

が 成 り立 つ:

 ⅰ) 

  (証 明:[TM上]の

積 μを

⇒ μ:(ホ

⇒ μ:(ホ

μ:(ホ 理4.2,

モ ト ピ ー)結 合 的, モ ト ピ ー)逆 元 を も つ,

モ ト ピ ー)可 換. 4.3)

体 でHopf空

誘導 す る な ら ば,fは

間 の 間 の 写 像f:X→Yが ホ モ ト ピ ー 同 値 で あ る.

同型

  [証 明]  Xの

普 遍 被 覆 空 間 は 

rel I,ま

たq:X→X⇔q(l)=l(1),q-1(*)=π1(X)と

考 え ら れ る か ら,Xの

使 っ てXの

積 を μ=X×X→X⇔

∋ α のXへ

の 被 覆 変 換 と し て の 作 用 はLα=μ(α, 

積 μを

μ(l1,l2)(t)=μ(l1(t),l2(t))と定 義 す る.π1(X)

で あ る か ら,π1(X)はH*(X)に

):X→Xで

自 明 に 作 用 す る.同

を 考 え,f:X→Y⇔f(l)=f°lと

定 義 す る.こ

様 にYの

の と き,仮

あ り,  普 遍 被 覆 空 間Y 定 お よび

 

かつ 基 本 群 の 作 用 の 自 明 性 か ら,  X,Yは

単 連 結 で あ る か らWhiteheadの

定 理([KNT])が

使え て  

ホ モ ト ピ ー 同 値.    定 義   (X,μ)はHopf群(H-group)ま

た は 群 状(group-like)

⇔(X,μ)は

間 で,ホ

ホ モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空

  (1.9)′  ΩXはHopf群

で あ る.さ

ホ モ ト ピ ー 可 換 で,Add    実 際,l1,l2∈

ΩXに

(終)

モ ト ピ ー 逆 元 を も つ.

ら に,(X,μ)がHopf空

間 な ら ば ΩXは

た だ し,μ ′(l1,l2)=μ°(l1×l2)° △,(li∈

ΩX).

対 して

(終)   定 義  (X,μ)はHopf空

間 と す る と き,写

φ:X×X→X×X⇔ をshear

mapと

  例   Xが に,逆

像

φ(x,y)=(x,xy)

い う(xy=μ(x,y)).

位 相 群 な ら ば φ は 同 相 写 像 で,逆

写 像 φ-1(x,y)=(x,x-1y).さ

ら

元 σ=p2° φ-1°i1.

  命 題1.17 

(X,μ)が

X:Hopf群  [証 明]  [〓]  き,σ:X→X⇔

ホ モ トピ ー 結 合 的Hopf空 ⇔shear

map

φ は ホ モ トピ ー 同 値 写 像.

φ を ホ モ トピ ー 同 値 写 像,ψ σ=p2°ψ

か つ 

間 の と き,

を ホ モ トピ ー 逆 写 像 と す る と

°i1と 定 義 す る とp1°φ=p1か

特 に, 

つ 

同

様 に, 

  [⇒] 

XがHopf群

で,そ

⇔ψ(x,y)=(x,σ(x)y)と

の ホ モ トピ ー 逆 元 を σ と し,ψ:X×X→X×X

定 義 す る と,ψ

はshear

map

φ の ホ モ トピ ー 逆 写

像 で あ る. 

(終)

  補 題1.18 

Hopf空

間Xが

弧 状 連 結 ⇒shear map

φ は 弱 ホ モ トピ ー 同

値 写 像.   [証 明]  第 α 因 子 へ の 射 影pα:X×X→X(α=1,2)の πn(X×X)→

πn(X)に

よ り πn(X×X)は

因 子 へ の 射 入iα:X→X×Xの πn(X×X)は

導 く準 同 型iα#:πn(X)→

直 和 と し て 表 わ さ れ る.積

μ#°i1#=μ#°i2#=id⇒ こ こ で,p1° φ=p1,p2°

μ:X×X→Xに

⇒ φ:弱

Xが

XはHopf群

で あ る.

っ て,命

  retractile部

  (1.20)   

弧 状 連 結CW-複

よ り

πn(X)のshear

mapに

体,ホ

題1.18に

(終)

モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空

よ りshear

map

間 な ら ば,

φ は ホ モ トピ ー 同

よ りXはHopf群. 

(終)

写 像 柱 をMp,i,jは

射 入,rはretractionと

す る:

つ い て 次 の 仮 定 を す る:

∀nに つ い て

  補 題1.21 

  [証 明] 

題1.17に

導 く準 同 型p#に

KはCW-複

h:K→Aが

φ#=p1#×p2#

分複体

  写 像p:A→Bの

さ ら に,pの

πn(G)

ホ モ トピ ー 同 値 写 像. 

  [証 明]  定 理 の 仮 定 の 下 で,補 値 写 像,従

よ り

つ い て,

の 下 で,φ#は

  定 理1.19 

た第 α

πn(X×X)に

μ#=p1#+p2#:πn(G×G)→

同 型 

対 応 す る か ら 同型

し て,ま

φ=μ で あ る か ら, p1#°φ#=p1#, p2#°

⇒

導 く 準 同 型pα#:

直 積 πn(X)× πn(X)と

体,Lは

そ の 部 分 複 体 と す る.

f:K→B,g:L→Aはp°g=f￨Lを あ っ て, 

 rel B.そ

拡張

rel L.

に つ い てr°ut=rを

の と き,ut°g′ はf′￨Lか

み た す と す る と,gの

み た すdeformation

ut:Mp→Mpに

こ でg′=i°g:L→Mp,f′=j°f:K→Mpと らg′ へ のdeformationで

あ る か ら,HEPに

お く.こ より

 

た だ し,f″ はg′ の 拡 張 で  

rel L.こ

同 値 で あ る か ら,  g=h￨Lを

こ でrは

rel L.た

み た す 写 像.従

ホ モ トピ ー

だ し,h:K→Aは

っ て, 

rel L. (終)

  補 題1.22  き, 

h0,h1:K→Aはh0￨L=h1￨Lか

つ

 rel Lを

みたす と

rel L.

 [証 明] と 定 義 す る と,仮 K×Iに

定 か ら,p°gはK×Iに

拡 張 さ れ,こ

拡張可能

れ が ホ モ トピ ー 

  (X,μ)はHopf空

間 と し,写

⇒ 補 題1.21に

rel Lを

像u:K→Xを

与 え る. 

考 え る.簡

よ りgは (終)

単 の た め に υ=u￨L

と お く.   命 題1.23 

f:K→X,g:L→Xは

こ の と き,gの

  [証 明]  補 題1.21に =(xy,y)(shear写 す.こ

μ°(g×υ)° △=f￨Lを

拡 張h:K→Xが

存 在 し て, 

み た す 写 像 とす る. rel L.

お い てA=B=X×X,p:X×X→X×X⇔p(x,y)

像)と

お く と,補

題1.18に

よ りpは

条 件(1.20)を

こ で,f′=(f,u)=K→X×X,g′=(g,υ):L→X×Xと

f′￨L.従

っ て,g′

の 拡 張h′:K→X×Xが

 

rel Lか

つ

お く と,p°g′=

あ っ て, 

に よ り定 義 さ れ る 写 像h,w:K→Xを

みた

rel L.h′=(h,w)

考え る と,g=h￨L,υ=w￨L.さ  rel L 

rel L. 

ら に, (終)

  全 く 同 様 に,   命 題1.24 

f:K→X,g:L→Xは

こ の と き,gの

μ°(υ×g)°△=f￨Lを

拡 張h:K→Xが

存 在 して  

  補 題1.21の

代 りに 補 題1.22を

  命 題1.25 

h0,h1:K→Xがh0￨L=h1￨Lか

また は     注 意   命 題1.23,

rel L.

用 いて

rel Lを 1.24, 1.25に

み た す 写 像 と す る.

つ  

rel L

み た す な らば  

お い て,L=*と

rel L.

と る こ とに よ り定 理2.7の

られ る.   定 義  LはKに ⇔K/LはCK/Lに

お い てretractile お い て 可 縮 ⇔SLはSKの

レ トラ ク ト

別証が え

⇔

射 入j:K→(K,L)の

導

くj*:[K,L;Z]→[K,Z]に

つ い て,j*-1(0)

=0.   補 題1.26 

K⊃L:

retractileと rel

  [証 明]  fの

す る.f,f′:K→Zは

零 ホ モ トピ ー をftと

す る と き,HEPに

へ の ホ モ ト ピーf′tが あ っ て,ft￨L=f′t￨L 定値

で あ り,Lはretractileで

.f″

と 定 義 す る と,gtはfか

モ  

定値 ホ モ

ト ピ ーrel 定 理1.27 

ホ モ

らf′

は 零 ホ モ トー プ(rel

す る.次

っ てHEPに

K⊃L:

らf′

間 と す る.f,f′:K→Xは

1.24に

お い てL=*と

と る こ と(ま た は 定 理2.7)に

あ っ て,μ °(f×u),μ°(u×f′)は 零 ホ モ トー プ.従

よ り 

⇒ 命 題1.25よ

LはKに

⇔f:K→Zは

り 

零 ホ モ トピ ーft:K→Zに

HEPに

トー プ,f′0￨Lは

rel L. 

(終)

ず,

み た す 零 ホ モ トピー

拡 張 さ れ て,f1=f.

明 ら か. よ り,gtの

拡 張f′t:K→Zが

定 値 写 像 で あ る か ら, 

存 在 し て,f′1=f.f′0は rel L.従

っ て,零

零ホモ

ホ モ トピ ー

  が 存 在 し て,

後 は,HEPを

よ

っ て,補

お い てretractile

零 ホ モ トー プ,gt:L→Zはg1=f￨Lを

  [証 明]  [〓]は

へ の ホ (終)

  上 の 定 理 は も っ と一 般 に 次 の よ うに 拡 張 さ れ る.ま

  [⇒] 

っ て,

rel L .

り写 像u:K→Xが

な ら ば,gtは

でgt=g1-t.従

よ りgtはfか

retractile,(X,μ)はHopf空

  [証 明]  命 題1.23,

  命 題1.28 

L).f″

に,

変 位 さ れ る. 

トー プ で, 

題1.26に

よ りf′ か ら 例 え ばf″

へ の ホ モ ト ピ ー で,L上

ト ピ ー に 変 位 さ れ,よ

Lに

ト ー プ で, 

は 零 ホ モ トー プ な 写 像 で, 

あ る か ら,f″

か ら定 値 写 像 へ の ホ モ トピ ーrel Lをf″tと

gt￨Lは

零 ホ モ

L.

用 い てftを

変 え て,求

め るftに

す れ ば よ い. 

(終)

  さ ら に,補

題1.22は

次 の よ うに 拡 張 さ れ る(p:A→Bは

条 件(1.20)を

み

た す):   補 題1.22′  h0,h1:K→Aとgt:L→Aはgi=hi￨L(i=0,1)を ら に,jt:K→Bが

あ っ てji=p°hi(i=0,1)か

gtの 拡 張ht:K→Aが

み た し,さ つjt￨L=p°gtを

み た す な らば

あ る.

  命 題1.28と

補 題1.22′

  定 理1.27′ 

K⊃Lはretractile,(X,μ)はHopf空

は ホ モ トー プ で,ホ

を用いて

モ トピ ーgt:L→Xが

間 とす る.f0,f1:K→X あ っ て,gi=fi￨L(i=0,1)な

gtの 拡 張 で あ る ホ モ トピ ーft:K→Xが

らば

あ る.

  証 明 は 読 者 に 任 せ る.   §2  [  ,Hopf空   こ の 節 で は,空

間]の 間Yか

ピ ー 類 の 集 合[Y,X]の か れ る[Y,X]に

構造 らHopf空

間(X,μ)へ

性 質 を 調 べ る.以

お け る2項

下,誤

演 算(binary

の(基 点 を 保 つ)写 像 の ホ モ ト 解 が な け れ ば,積

operation)を"+"で

な わ ち,μ*:[Y,X]×[Y,X]=[Y,X×X]→[Y,X]に α+β=μ*(α,β) 

特 に,定

値 写 像 の 表 わ す 元 を0で

  (2.1)  f:X→X′

がHopf写

μ に よ り導 表 わ す.す

ついて (α,β ∈[Y,X]).

表 わ す と,α+0=0+α=α(∀

α∈[Y,X]).

像 ⇒f*:[Y,X]→[Y,X′]は

準 同 型(2項

演 算 を 保 つ).   定 理2.2  ⇔

X:Hopf空

間

∀Yに 対 し て,自

  [証 明]  [⇒] 

然 な 和(binary

X上

operation)が[Y,X]に

の 積 を μ とす る と き,[Y,X]∋

存 在 す る. α=[f],β=[g]に

対 して α+β=[μ

こ の 和"+"がYに   [〓]  [p1]+[p2]に

°(f×g)°

△Y] 

(△Y:Y→Y×Y).

関 し て 自 然 な こ と も 明 ら か で あ ろ う.

第i因

子 へ の 射 影 をpi:X×X→Xと

対 し て,μ:X×X→Xが

す る と き,[X×X,X]∋

存 在 し て[μ]=[p1]+[p2].和

性 か ら, [μ]°[i1]=([p1]+[p2])°[i1]=[p1°i1]+[p2°i1]=[1Y]+[0]=[1Y]

の 自然

 

全 く同様 に, 

以 上 よ り 

(終)

  積 μが ホ モ トピー結 合 的 な らば μ*も 結 合 的 で あ る こ とに注 意 し て,   定 理2.3  ∀Yに 対 し て 自然 なmonoid構

造 が[Y,X]に

⇔Xは

ホ モ トピー結 合 的Hopf空

  Hopf空

間(X,μ)が ホ モ トピー 逆元 σ:X→Xを

の 可 換 性 か ら,[σ °f]+f=[0].同   逆 に,[Y,X]が

存在す る

間.

様 に[f]+[σ

群 の と き,1X:X→Xの

もつ と き,次 図

°f]=[0].

逆 元 を[σ],σ:X→X,と

す ると

次 の 合 成 写 像 は い ず れ も 定 値 写 像 に ホ モ トー プ:

以上 より   定 理2.4 

∀Yに

  次 は(1.11)の

対 し て 自 然 な 群 構 造 が[Y,X]に

続 き で あ る:

  (1.11)′  XはCW-複 f:X→Yは

存 在 ⇔XはHopf群.

体,(Y,μY)は

弱 ホ モ トピ ー 同 値 写 像

連 結 な ホ モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空 ⇒Xは

間,

連 結 な ホ モ トピ ー 結 合 的Hopf空

間.   [証 明]  Yは Yの

連 結

⇒Xも

ホ モ トピ ー 結 合 性 ⇒Xの

  定 理2.4′  Xが し て[Y,X]は   [証 明]  f:X′

連 結.fは(1.11)よ

像 で あ る か ら,

ホ モ トピ ー 結 合 性. 

連 結 な ホ モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空

(終)

間 ⇒

∀CW-複

体Yに

対

自 然 な 積 の 下 で 群 で あ る. →XをCW-近

似,す

ピ ー 同 値 写 像 と す る と,(1.11)′ 間 で, 

な わ ちX′

補 題1.18に

よ りshear

×X′ はCW-複

ー 同 値 写 像 .命

はHopf群

題1.17に

れ に 同 型 な[Y,X]も

はCW-複

体 でfは

弱 ホモ ト

に よ りX′ は 連 結 な ホ モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空

X′ は 弱 ホ モ トピ ー 同 値 写 像 で,X′

っ て,そ

りHopf写

よ り,X′

群 で あ る. 

map

φ:X′

×X′→X′ ×

体 で あ る か ら φ は ホ モ トピ で あ る か ら,[Y,X′]は

群,従 (終)

  命 題2.5  ⇔

XはHopf構

∀ 空 間A,Bに

造 を もつ

つ い てi:A∨B→A×Bを

射 入 とす る と き,次

は全 射

i*:[A×B,X]→[A∨B,X].   [証 明]  [⇒]  fB=f￨Bと =i*:全

Xの

お き,f=μ

積 を μ と す る.∀f:A∨B→Xに

対 し て,fA=f￨A,

°(fA×fB):A×B→X×X→Xと

お く と,i*[f]=[f]

射.

  [〓] 

∀A,Bに

A=B=Xの

対 し て,i*:[A×B,X]→[A∨B,X]が

と き,折

全 射 な ら ば,

りた た む 写 像 ∇:X∨X→Xに

つ い てi*-1(∇)はXの

積. (終)

  命 題2.6 

f:A→Bと

す る.f*:[B,X]→[A,X]は

い て 全 射 ⇔Sf:SA→SBは   [証 明]  [⇒]  写 像h:B→

す な わ ち,hの   [〓]  A→X→

ΩSXの

SB→SXと

と き,1SAの

随 伴 写 像 σ:A→

存 在 し て, 

随 伴 写 像ad

Sfの

間Xに

つ

左 ホ モ トピ ー 逆 写 像 を も つ.

X=ΩSAの

ΩSAが

∀Hopf空

対 し て,

随 伴 写 像 を 考 え て,

h:SB→SAがSfの

左 ホ モ ト ピ ー 逆 写 像 をhと

左 ホ モ ト ピ ー 逆 写 像. す る.∀g:A→Xに

随 伴 写 像ad(σ °g):SA→SXとhと

対 し て,σ °g:

の 合 成 をg=ad(σ

す る と, 

°g)°h:

こ の随 伴 写 像 を考 える と

σ°g=(adg)°f:A→B→ よ り写 像r:ΩSX→Xが

ΩSAに

ΩSX.XはHopf空

間 で あ る か ら,定

存在 して  

理1.13に

従 っ て,  (終)

  代 数 的 ルー プ と差   定 義   2項 作 用 を も つ 集 合Lが ⇔L∋

∀α,β に 対 し て,方

代 数 的 ル ー プ(algebraic

程式 α+x=β, 

は 一 意 的 に 解x,y∈Lを   定 理2.7(James)  ∀Yに

対 し て[Y,X]は

対 し てD(α,β)∈[Y,X]が

loop)

y+α=β

も つ. (X,μ)がHopf空

間,Xは

弧 状 連 結,CW-複

代 数 的 ル ー プ で あ る.す 一 意 的 に 存 在 し て, D(α,β)+β=μ*(D(α,β),β)=α.

な わ ち,∀

体 の と き,

α,β ∈[Y,X]に

  [証 明]  [f]=α,[g]=β よ りshear

map

(μ(x,y),y)は

と す る.補

φ:X×X→X×X⇔

題1.18に φ(x,y)=

ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像 で あ る か ら,右

の 図 のlifting問

題 に お い て,D(f,g):Y→Xが,(f×g)°

△ を み た す 一 意 的 な 解 に と れ る.従

△=φ °(D(f,g)×g)°

っ て,D(f,g)は

μ*(x,β)=α

の一意的な

解 で あ る.    系2.8 

(終)

Xは

弧 状 連 結,CW-複

 ⅰ) ∀α∈[Y,X]は ∈[Y,X]に

体,Hopf空

右 逆 元,左

間 とす る.

逆 元 を そ れ ぞ れ 一 意 的 に も つ.特

対 し て,α-β=α+(β

の 右 逆 元)と

α-β=0⇔  ⅱ)  f:X→X′  ⅲ)  X:ホ

がHopf写

像

モ トピ ー 結 合 的

さ ら に,X:ホ

に,∀ α,β

定 義す る と

α=β,

⇒f*(α-β)=f*(α)-f*(β), ⇒[Y,X]:群,D(α,β)=α-β,

モ トピ ー 可 換

⇒[Y,X]:可

  定 義   D:[Y,X]×[Y,X]→[Y,X]を

換 群.

差(difference)と

い う.こ

れは性質

に よ り一 意 的 に 定 ま る.   定 義   第i因

子 へ の 射 影pi:X×X→Xに

を 普 遍 的 差(universal

difference)と

  こ の と き,D(f,g)=D°(f×g)°

X×Xに

方,μ

→X×Xに

∀f,g:Y→Xに

 

°(0×1)°△=1で

を み た す 一 意 的 な写 像 で あ

,1)は

あ る か ら, 

述 のshear写

像 φ は φ￨X∨X=kを

仮 定 し て よ い.従

っ て,μ

は コ フ ァ イバ ー 空 み た す.こ

こ で,D(x,*)

°(D×1)°(1× △)°i1=1,ま

り,μ °(D×1)°(1× △)°k=∇

ト ピ ー 逆 写 像 を も つ か ら 定 理1.27に

入i2:X

を み た す一 意的 な 写

間 で あ り,上

μ°(D×1)°(1× △)°△=1よ

ま た,射

 

像k:X∨X→X×X⇔k°i1=i1,k°i2=△

,D(x,x)=*と

入i1:X→

をみたす一意的な写

像 で あ る.写

=x

同 様 に,射

 

方,μ °(1×0)°△=1で つ い てD°i2=D(0

対 し て 成 り立 つ.

あ る か ら, 

つ い て,D°i1=D(1,0)は

像 で あ り,一

い う.

△Yが

  D° △=D(1,1):X→Xは る.一

対 し て,D=D(p1,p2):X×X→X

より rel k.

で あ る.Sjは

た

左 ホモ

 

Dの

一意性から

  補 題2.9 

写 像h:Y→Z,Hopf写

  命 題2.10 

Xが

像g:X→X′,∀fi:Z→X,に

弧 状 連 結,CW-複

体 でHopf空

対 して

間 の と き,∀A,Bに

つい

て

は 次 の 意 味 で 短 完 全 系 列 で あ る:   (1)  i*:全

射

  (2)  Λ*:一

  (i:A∨B→A×B射

対一

入)

  (Λ:A×B→A∧B射

影)

  (3)  i*α=i*β ⇔D(α,β)∈ImΛ*  [証 明]  (1)は 命 題2 .5で あ る.   (2)  コ フ ァ イ バ ー 空 間A∨B→A×B→A∧Bに

を 考 え る.Si:S(A∨B)→S(A×B)は 左 逆 写 像 を もつ

左 ホ モ

⇒(Si)*:全

射

な ら ば Λ*D(α1,α2)=D(α1,α2)° α1=α2⇒

Λ*=一

  (3) 

i*α=i*β

関 す るPuppe完

⇒

ト ピ ー 逆 写 像 を も つ ⇒(Si)*は

∂=0⇒

Λ=D(α1°

全 系列

Λ*-1(0)=0.ま

た Λ*α1=Λ*α2

Λ,α2° Λ)=0⇒D(α1,α2)=0⇒

対 一. ⇔0=D(α

°i,β °i)=D(α,β)°[i]=i*D(α,β)

⇔D(α,β)∈ImΛ*. 

 H-偏

(終)

差

  定 義  (X,μ),(X′,μ ′)はHopf空

間 とす る.写

像f:X→X′

のH-偏

deviation) ⇔HD(f,μ,μ′)° =D(f°

Λ μ,μ′°(f×f))

で 定 義 さ れ る 元HD(f)=HD(f,μ,μ′)∈[X∧X,X′].   射 入i:X∨X→X×Xに

⇒D(f° さ ら に,容   f:Hopf写

つ い て, 

μ,μ′ °(f×f))は

Λ:X×X→X∧Xを

易 に わ か る よ うに 像

 

rel X∨X

通 っ て 分 解 す る.

差(H

従 っ て,HD(f,μ,μ で あ る.す

μ-μ ′ Hopf写

像 で あ る た め の 障 害(obstruction)

な わ ち,

  (2.11) 

f:Hopf写

  命 題2.12   (1) 

′)はfが

像

(Xi,μi)はHopf空

f0:X0→X1は

 (2)  f1:X1→X2は

間 と す る(i=0,1,2).

μ0-μ1 Hopf写

像

μ1-μ2 Hopf写

像

 [証 明]  (1)

こ こ で Λ*は 一 対 一 で あ る か ら,   (2)も 同 様.    XがHopf空

(終) 間 の と き,一

般 に そ のHopf構

的 と は 限 ら な い.今,μ:X×X→Xを

造 は ホ モ ト ピ ー の 意 味 で も一 意

一 つ の 積,α

∈[X∧X,X]と

す ると

き, μα=α ° Λ+μ は ま たXのHopf構

造 で あ る.実

j*μα=j*(α °Λ)+j*μ=α

際,射

入j:X∨X→X×Xに

つ い て,

°Λ°[j]+μ °[j]=∇ ∈[X∨X,X] (折 りた た む 写 像)

明 ら か に,D(μ

α,μ)=α°Λ

  XのHopf構

造 の集合は

⇒HD(1,μ

α,μ)=α.

j*-1(∇)⊂[X×X,X] で 与 え ら れ る.今,μ

∈j*-1(∇)を 一 つ と め て お く と,対

φμ:j*-1(∇)→[X∧X,X]⇔

応

φμ(μ)=HD(1,μ,μ)

は 対応 ψ μ:[X∧X,X]→j*-1(∇)⇔ の 逆 で,従

っ て,

ψμ(α)=μα

 定 理2.13 

XがCW-複

[X∧X,X]と

間 な ら ば,XのHopf構

造の集合は

一 対 一 対 応 に あ る.

  補 題2.14  ⇒fの

体,Hopf空

Hopf写

像f:(X,μ)→(X′,μ

ホ モ トピ ー 逆 写 像g:X′

′)が ホ モ トピ ー 同 値 写 像

→XもHopf写

像.

  [証 明]  こ こ で(f∧f)*は Hopf写

′,μ)=0⇒g:

像. 

(終)

  定 義  Xの2つ ⇔

同 型 で あ る か ら,HD(g,μ

のHopf構

造 μ,μ′はH-同

ホ モ トピ ー 同 値 写 像 か つ μ-μ′Hopf写

  記 号   こ の と き,〓

 定義  

値(H-equivalent) 像 で あ るh:X→Xが

存 在.

で 表 わ す.

をXの 本 質的 に異 なるHopf構 造の集合 とい う.

  も っ と一 般 に   定 義  f:(X,μ)→(X′,μ ⇔fは

ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像,か

  定 義   (X,μ)と(X′,μ

⇔H-同

値

つHopf写

′)はH-同

値 写 像f:X→X′

  定 義   Hopf空 ⇔

′)はH-同

像.

値, 

また は  

が 存在 す る.

間(X,μ)は ルー プ空 間(ま た は μは ル ー プ積)

空 間YとH-同

値写像

 

が 存在.

 定義 2つのループ空間  ら れ て い る と き,f:X→X′ ⇔

写 像g:Y→Y′

が与え

は ル ー プ写 像

が存在 して

右 の 図 は ホ モ トピ ー 可 換.   Hopf構

造 の変更

  空 間X,X′

と 写 像f:X→X′

が 与 え ら れ た と き,X,X′

を み つ け て,f:(X,μ)→(X′,μ

′)をHopf写

上 に そ れ ぞ れ 積 μ,μ′

像 に で き る か ど うか を 以 下,調

べ

て み る.   命 題2.15 

(X,μ),(X′,μ

′)はHopf空

  (1)  X′ 上 に 積 μ′が あ っ て,fが

間,f:X→X′

μ-μ′Hopf写

⇔HD(f,μ,μ′)∈Im{(f∧f)*:[X′   (2)  (X′,μ′)はホ モ ト ピ ー 結 合 的,Xは

は 写 像 と す る.

像 とな る

∧X′,X′]→[X∧X,X′]} 有 限 次 元 ま た は πn(X′)=0(n:十

分

大)と す る.こ X上

の と き,

に 積 μ が あ っ て,fが

⇔-HD(f,μ,μ

  (1)  [〓] 

w∈[X′

μ-μ′Hopf写

Λ+μ

お け る和).こ

nに

のHopf構

存 在 し てfは Λ+μ(た

μ-μ′Hopf写 だ し,+は

造 で,fは

像 と す る と,

μ に よ り導 か れ

の とき

し て,D(0,w)=cw∈[X∧X,X]と

-HD(f,μn,μ

元

′)=f°υn 

お くと

υn∈[X∧X,X]が

(f°υn=-wnと

∧n+2X(n+2回

のsmash積)と

あ っ て,次 を み た す:

お く) υn:∧n+2X→Xが

あ っ

υn=υn° αn

  [(2.16)0⇒(2.16)1] 

仮 定 か ら,υ

こ で μ0=μ,υ0=υ

  μ1=μ υ=υ °Λ+μ る 和).

お くと

関 す る 帰 納 法 で 次 の 命 題 を 示 す:

  (ロ)  αn:X∧X→

=f° υ.そ

あ っ て,μ′=μ′wがX′

写 像 μn:X×X→Xと

て

と

μ′=μ ′°(w° Λ × μ′)° △x′ ×x′)と

μ:X×X→Xが

μ に 関 す る 差 をDと

 (イ) 

存 在 し て, 

あ っ て,μ=μw=w°

,X]に

  (2.16)n 

′(⇔

∧X′,X′]が

積

w∈[X∧X,X]が

  [〓] 

∧X′,X′]が

表 わ す.

像 に な る とす る と

  (2)  [⇒] 

る[ 

対 角 写 像 を △Y:Y→Y×Yと

w∈[X′

′w=w°

  [⇒] 

像 となる

′)∈Im{f*:[X∧X,X]→[X∧X,X′]}.

  [証 明]  空 間Yの

す る.μ′=μ

μ-μ′Hopf写

と お く(た

∈[X∧X,X]が

と お く .υ0の だ し,+は

あ っ て-HD(f,μ,μ′)

分 解 は 自 明(f°

υ=-w).

μ に よ り 導 か れ る[ 

,X]に

おけ

 と お く と,写 (X∧X)∧(X×X)が

α1:X∧X→

あ っ て, 

と お く.そ α1=(1∧

像

μ)°α1,υ1=υ

こ で,υ1=υ °(υ∧1)と

  [(2.16)n⇒(2.16)n+1]上   μn+1=(μn)υn=υn°

°(υ∧ μ)°α1=υ

お け ば,υ1=υ1°

°(υ∧1)°(1∧

(+は[ 

,X]に

お き,

α1.

の 議 論 で,μ μn,υ υnと Λ+μn 

μ)°α1と

お き か え て,

お い て μnで 導 か れ る 和)

と お く と,

こ の と き,υn+1=υn°(υn∧1)°(1∧

αn+1=(αn∧1)°   (1) 

dim

  ∧nXは

μn)°α1は

γn,υn+1=υn°(υn∧1)と X=kの

次 の 図 の よ う に 分 解 さ れ る か ら,

お く と,υn+1=υn+1°

αn+1.

場 合.

少 な く と も(n-1)-連

結 で あ る か ら,[X∧X,∧2k+1X]=0,  従 っ て,μ2k-1が

求 め る積

で あ る.   (2) 

πn(X′)=0(n>k)の

場 合. 従 っ て,

μk-1が 求 め る 積 μ で あ る. 

(終)

  §3  Postnikov系   Postnikov系   以下  

の間の写像 連 結,可

算CW-複

体}の

圏 で 考 え る.

μ

  次 の 事 実 を 思 い お こ そ う:   定 義   空 間(n,X),写

像pn:X→(n,X),qn:(n,X)→(n-1,X)の

X),pn,qn}はXのPostnikov系(Postnikov ⇔

系{(n,

system)

次 の 条 件 が み た され て い る:

連結

(1) 

(2) は フ ァイバ ー空 間

(3) 

(4)   注 意   任 意 の 連結 な 空 間Xに

対 しPostnikov系

は 存 在 し, 

な らば

  定 義   写 像f:X→YがX,YのPostnikov系{(n,X),pn(X),qn(X)}, {(n,Y),pn(Y),qn(Y)}上 ⇔

に 導 く写 像

写 像 の 系fn:(n,X)→(n,Y)で

  定 義   写 像f:X→Yはf′:X′ ⇔

次 を み た す:

→Y′ に 同 値

ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像hx:X→X′,hY:Y→Y′

が 存 在 し て,右

の 図 は ホ モ トピ ー 可 換.

  こ の と き,次

が 成 り立 つ:

  (3.1)  右 の ホ モ トピ ー 可 換 な 図 が 与 え ら れ た と き,X,Y,U,Vに とf,g,a,bに

 

ホ モ トピ ー 同 値 なX′,Y′,U′,V′ 同 値 なf′,g′,a′,b′ が 存 在 し て,

  (1) 

右 の 図 は 可 換,

  (2) 

a′,b′

Xは(n-1)-連 結(n,m>1)と

は

フ ァ イ バ ー 空 間. 結,Yは(m-1)-連

し,l=min(n,m)と

お

く.p(X):X→K(πl(X),l),p(Y): Y→K(πl(Y),l)は,そ

m=lの

れ ぞ れn=l,

と き は 基 本 類,n>l,m>lの

と き は 自 明 な 類 を 表 わ す 写 像 と す る.

  (3.2)  る と,前

f:X→Yに

よ り 導 か れ る 写 像 をf#:K(πl(X),l)→K(πl(Y),l)と

す

ペ ー ジ の 下 の 図 は ホ モ ト ピ ー 可 換.

  (3.1)を(3.2)に   (3.3) 

適 用 し て

X,Yに

p(Y)′,f′

ホ モ

ト ピ ー 同 値 なX′,Y′

とp(X),p(Y),fに

同 値 なp(X)′,

が 存 在 し て,

  (1)  右 の 図 は 可 換,   (2)  p(X)′,p(Y)′

は フ ァイバ ー

空 間.   p(X)′ の フ ァ イ バ ー をFXと

し,フ

ァ イ バ ー 空 間FX→X′

→K(πl(X),l)に

関

す る完 全 系 列

よ り  

が わ か る.全

る と, 

従 っ て,基

(FY;πl+1(FY))が

存 在 す る.こ

く同 様 に,p(Y)′

の フ ァ イ バ ー をFYと

す

本 類lX∈Hl+1(FX;πl+1(FX)),lY∈Hl+1

の フ ァ イ バ ー 空 間 の 転 入(transgression)を

とす る と,τ(ιX)kl+2(X),τ(ιY)=kl+2(Y)は

そ れ ぞ れX,Yの

第1

τ

Postnikov

不 変 量 で あ る.  

を 同 一 視 し,f#=(f′￨FX)#:πl+1

(FX)→ πl+1(FY)に πl+1(Y))と  (3.4) 

よ り 導 か れ る 係 数 準 同 型 をf*c:Hi(Z;πl+1(X))→Hi(Z;

す る と,自

然 性 か ら,

f*ckl+2(X) =(f#)*kl+2(Y)

. 

さ らに

  (3.5)  右 上 の ホ モ ト ピ ー 可 換 な 図 お よび それ に 同値 な可 換 な 図 が 存 在 す る.た

だ し,u∈Hn(Z;π)に

対 応 す る 写 像 をu:Z→K(π,n)と

表

わ す.  (3.6) 

フ ァ イ バ ー 空 間 

が 存 在 し て,上 ピ ー 可 換,か

つ,特

性 類(k-不

変 量)は そ れ ぞ れ,kl+2(X),kl+2(Y).

の 図は ホ モ ト

  以 上 の 事 実 を使 って   定 理3.7  X→Yに

∀写 像f:

対 し て,X,Y

のPostnikov系{(n, X),pn(X),qn(X)}, {(n,Y),pn(Y),qn(Y)} と写 像 の 系   が

存在

し て,右 の 図 に お い て, 長 方 形 は 可 換,そ

の 他 の 部 分 は ホ モ トピ ー 可 換 に な る.さ

変 量kn(X),kn(Y)に

つ い て,

  [証 明]  fn:(n,X)→(n,Y)のnに り第1段

階 は 成 り立 つ.nま

(n+1,X)→(n+1,Y)を

関 す る 帰 納 法 で 示 す.(3.3), で 成 り立 つ と 仮 定 し,定

(3.4)に

理 の 条 件 を み た すfn+1:

構 成 す る.

  (イ)  帰 納 法 の 仮 定 か ら,右

の 図 は ホ モ トピ

ー 可 換 .従 っ て,(3.1)よ

り,X,

Yに

同 値 なX′,

pn(Y)に

Y′とpn(X),

ら に,Postnikov不

ホ モ トピ ー

同 値 なpn(X′),

pn(Y′)が

存 在 し て,右 の 図 は 可 換,か つpn(X′),

pn(Y′)は

フ ァ イ バ ー 空 間.ま

た,帰

納法の仮定

か ら

pn(X′)の

フ ァ イ バ ー をFn(X)と

表 わ す と完 全 系 列

よ り,

同様に

こ れ ら の 群 を 同 一 視 し て,基

本 類 ιn(X)∈Hn+1(Fn(X);πn+1(X)),ι

n(Y)∈Hn+1

よ

 

(Fn(Y);πn+1(Y))を

え る.こ

の と き,Postnikov不

変 量 はkn+2(X)=τ(ιn(X)),

kn+2(Y)=τ(ιn(Y)).   (ロ) 

(3.4)と

同 様 に し て,

転 入 の 自 然 性 か ら,f*c(kn+2(X))=f*n(kn+2(Y)).   (ハ)  上 の 関 係f*c(kn+2(X))=f*n(kn+2(Y))は る.こ

こ でf#を

ー 空 間 と思 って

下 の ホ モ トピー可 換 な 図 を与 え

フ ァイバ ,ACHP

を 使 っ てkn+2(X)を

同値

な 写 像 で お き か え て,右

上 の 図 を 可 換 と 思 っ て よ い.

  道 の フ ァ イ バ ー 空 間K(πn+1(X),n+1)→pK(πn+1(X),n+2)→K(πn+1(X), n+2),K(πn+1(Y),n+1)→pK(πn+1(Y),n+2)→K(πn+1(Y),n+2)か ぞ れkn+2(X),kn+2(Y)に

よ り 導 か れ る(n,X),(n,Y)上

(n+1,X),(n+1,Y)と

し,射

ら,そ

れ

の フ ァ イバ ー 空 間 を

影 を そ れ ぞ れqn+1(X):(n+1,X)→(n,X),

qn+1(Y):(n+1,Y)→(n,Y)と

す る.こ

の と き,

fn+1:(n+1,X)→(n+1,Y)⇔fn+1(x,a)=(fn(x),pf#(a))

と 定 義 す る と,右

の 図 は 可 換.

  (ニ)  障 害 理 論 を 用 い て,(イ)に お け る 写 像pn(X′),pn(Y′)のlifting pn+1(X′):X′

→(n+1,X),pn+1(Y′):Y′

→(n+1,Y)で

次 の条 件 を み た す もの

を 定 義 で き る:

(ⅰ)   (ⅱ)

 

(Y);πn+1(Y))は

そ れ ぞ れ の 基 本 類 を 基 本類 に写 す.

次 の可 換 な 図 に お い て 横列 は完 全:

これ より, 

全 く同様に,

  従 って,Postnikov系 に

  そ れ ぞ れ(n+1,

X),(n+1,Y)を kov系

加 え て,新 し いPostni

を え る.

  (ホ)  右 上 の 図 の ホ モ トピー可 換 性 を 示 さね ば な らな い.右 の 図 に お い て 上 端 の もの 以 外 は す べ て可換

が 存 在 して, (左 辺 の ・は フ ァ イ バ ー の 作 用) ⇒ 対 応 す るu∈Hn+1(X′;πn+1(Y))が

存 在 し て,

こ こ で 

が

あ っ て,pn+1(X′)*(υ)=u ⇒

右 の 図 は ホ モ トピ ー 可 換.

そ こ で,

と 定 義 す る と,f′n+1は

フ ァ イ バ ー 空 間.ま

(x))・fn+1(pn+1(X′)(x)).一

た,f′n+1°pn+1(X′)(x)=υ(pn+1(X′)

方, 

で あ る か ら,

 (ヘ)  最 後 に,f′n+1=fn+1と

お く.X′

き か え る こ と に よ りえ ら れ た か ら,X′ (x,y)で

表 わ さ れ る.そ

こ で 第1因

はXか

ら 写 像 を フ ァ イバ ー空 間 に お

の点 は対

子へ の射 影 に

よ り標 準 的 ホ モ トピ ー 同 値 写 像hX:X→X′

をえ

る.全

く 同 様 にhY:Y→Y′.こ

そ こ で,X′,Y′

の と き 前 ペ ー ジ の 下 の 図 は ホ モ ト ピ ー 可 換.

を そ れ ぞ れX,Yで

お き か え て よ い. 

(終)

  全 く同 様 に し て,   定 理3.8 

写 像f:X→Y,お

よ びX,YのPostnikov系{(n,X),pn(X),

qn(X)},{(n,Y),pn(Y),qn(Y)}が が

与 え ら れ て い る と き,写

存 在 し て,定

理3.7の

の 部 分 は ホ モ ト ピ ー 可 換 に な る.さ

図 に お い て,長

ら に,Postnikov不

像の系  

方 形 は 可 換,そ

の他

変 量kn(X),kn(Y)に

ついて   以 上 の こ と か ら 明 ら か に,   補 題3.9 

XがPostnikov系{(n,X),pn(X),qn(X)},k-不

変 量kn(X)を

も つ な ら ば{(n,X)×(n,X),pn(X)×pn(X),qn(X)×qn(X)}はX×Xの Postnikov系

で,Postnikov不

X×X→Xは

第j因

変 量 はi*1cp*1kn(X)+i*2cp*2kn(X).た

子 へ の 射 影,ij:X→X×Xは

  定 理3.10 

X,YのPostnikov系

(Y),qn(Y)}と

し,f,g:X→Yは

第j因

だ し,pj:

子 へ の 射 入.

を{(n,X),pn(X),qn(X)},{(n,Y),pn 与 え ら れ た 写 像 と す る.こ

の と き, 

な

ら ば,   [証 明]  ま ず,次   (n,X)の

の2つ

の ホ モ トピ ー 可 換 な 図 が あ る:

ホ モ トピ ー

型 を もつCW-複

体X′n

を 考 え,pn(X):X→ (n,X)に り,最

よ り導 か れ る こ の 複 体X′n上 初 か ら(n,X)をCW-複

の フ ァイバ ー空 間 を 構 成 す る こ とに よ

体 と 思 っ て よ い.i:(n,X)(n+1)→Xを(n+1)-

切 片 上 の 断 面 とす る と き,

こ こ で,πi(n,Y)=0(∀i>n)で

あ る か ら,上

の ホ モ トピ ー を(n,X)上

で き て, 

(終)

  概Hopf空

間

  定 義   Xは

概Hopf空

⇔

に拡 張

写 像 μ:X×X→Xが

間(almost あ っ て,射

Hopf

space)

入ij:X→X×Xに

つ い て,μ °ij:X→

 

Xは

ホ モ ト ピ ー 同 値(j=1,2).

  定 義   概Hopf空 (Y,μY)は ⇔

間 の 間 の 写 像f:(X,μX)→

概Hopf写

像(almost

Hopf

map)

右 の 図 は ホ モ ト ピ ー 可 換.

  命 題3.11 

Xは

連 結 な 概Hopf空

  [証 明]  X∋e:基 か ら,l,rは

点 と し,l=μ

間

°i1,r=μ

ホ モ ト ピ ー 同 値 で あ る.lの

ト ピ ー 逆 写 像 をr-と

⇒XはHopf空

間.

°i2:X→X×X→Xと

お く.仮

左 ホ モ トピ ー 逆 写 像 をl-,rの

定

右 ホモ

し,m:X×X→X⇔m(y,z)=l-(μ(r-°l(y),z))と

定義

す る と,

(終)   従 っ て,一

般 に は,積

は 元 の も の とは 異 な る.

  定 理3.12 

概Hopf空

間XのPostnikov系

∀(n,X)は

概Hopf空

  [証 明]  定 理3.8と

ホ モ トピー可 換,そ

間 で,qnは 補 題3.9に

よ り,次

上 列 を含 む 長 方 形 は

っ て,  こ で(μ °ij)#は同 型,pn#は

について同型

⇒(μn°inj)#は 

し て は,πl(n,X)=0⇒(μn°inj)#は ら,μn°injはホ モ トピー 同 値 Hopf写

す る と き,

像 で あ る.

の 図 が あ り,最

の 他 の 長 方 形 は 可 換.従

こ  

を{(n,X),pn,qn}と

す べ て 概Hopf写

  命 題3.11と

この 定理 よ り

つ ね に 同型. 

⇒(n,X)は

像 で あ る こ とは 明 らか. 

に つ い て 同 型.し か し,∀l>nに

概Hopf空

対

複 体 で あ るか 間.こ の とき,qnが (終)

概

  系3.13 

Hopf空

はHopf空

間XのPostnikov系{(n,X),pn,qn}に

間.

  系3.14 

kは 完 全 体 とす る.Hopf空

に つ い て,H*((n,X);k)は   証 明 はHopf空

間XのPostnikov系{(n,X),pn,qn}

単 生 成 の(truncated)多

間(n,X)に

  (X,μ)は 概Hopf空

定 理 Ⅱ.4.9を

間 と す る.よ

つ い て,自

然な分裂

が あ る.こ

の と き,第2因

X;π)と

お い て,∀(n,X)

項 式 環 のtensor積.

適 用 す れ ば よい.

く知 ら れ て い る よ うに,任

意の可換群 πに

子 へ の 射 影 を σ:Hn(X×X;π)→Hn(X×X,X∨

す る と き,

  定 義   Hn(X;π)∋uは   定 理3.15 

Xの

と し,πni=πni(X)と   XはHopf空

π-原 始 的(π-primitive)⇔

σ(μ*(u))=0.

ホ モ トピ ー 群 はn1,…,nk(n1<…
間 ⇔Xは

元 以外 では 自明

の と き, ∀ Postnikov不

変 量kni+1が

写 像 μniに 関 し て πni-

原 始 的 で あ る よ うなPostnikov系   [証 明]  [〓] 

(n1,X)=K(πn1,n1)で

帰 納 法 で[〓]が

示 さ れ た こ と に な る.

  (3.16) 

(ni-1,X)はHopf空

あ る か ら,次

間,kni+1は

を もつ. を 示 せ ば,iに

πni-原 始 的

関す る

⇒(ni,X)はHopf

空 間.   [(3.16)の

証 明]  右 の 図 を

ホ モ ト ピ ー 可 換 に す る よ うな 写 像 μni:(ni,X)×(ni,X)→(ni,X)を

構 成 す る.た

  ま ず,(ni,X)×(ni,X)はCW-複 て よ い.さ よ い.こ

体,(ni,X)∨(ni,X)は

ら に,q:(ni,X)→(ni-1,X)は の と き,μ

→(ni,X)を μ はHopf写

q*(kni+1)=0で

え る.こ

°(q×q)をni-切 の μniを(ni+1)-切

像 で,kni+1は

だ し,q=qni,μ=μni-1. そ の部 分 複 体 とし

局 所 自 明な フ ァイ バ ー空 間 とし て 片 上 にliftし

て

μni:((ni,X)×(ni,X))(ni)

片 上 に 拡 張 す る 障 害 は(q×q)*°

μ*(kni+1).

πni-原 始 的 で あ る か ら,

あ る か ら,(q×q)*μ*(kni+1)=0.従

っ て,μniは

〓(ni+1)-切

片 上

に 拡 張 可 能.従 →(ni,X)と

っ て,(ni,X)上

表 わ す .こ

に 拡 張 可 能.こ

の μniはHopf構

の 写 像 を μni:(ni,X)×(ni,X)

造 に な る と は 限 ら な い が,Hni+1((ni-

1,X)×(ni-1,X),(ni-1,X)∨(ni-1,X);πni)→Hni+1((ni-1 X);πni)は たむ 写 像

  [⇒] 

単 射 で あ る か ら(障

,X)×(ni-1,

害 は 消 え る の で)μni￨(ni,X)∨(ni,X)は

∇:(ni,X)∨(ni,X)→(ni,X)に

XのPostnikov系

ら れ る(n,X)上

ト ー プ で,従

を{(n,X),pn,qn}と

の 概Hopf空

μ*ckni+2(X×X).補

ホモ

題3.9よ

っ て,

し,定

間 の構 造 を考

える.こ

の

折 りた

理3.12で

与 え

と き,μ*nikni+2(X)=

り

μ°i1,μ°i2は ホ モ トピ ー 同 値 で あ る か ら,上

式 の 右 辺 

(上 式 の 右 辺) =0.    Hopf空

(終) 間 のPostnikov系

  (X,μ)はHopf空

間,す

μn:(n,X)×(n,X)→(n,X)が   定 理3.17  はHopf空

Hopf空

な わ ち, 

とす る と,定

存 在 し て, 

理3.10に

よ り写 像

従 っ て,

間XのPostnikov系{(n,X),pn,qn}に

お い て,∀(n,X)

間 で あ る.

  さ ら に,   定 理3.18 

XのPostnikov系

を{(n,X),pn,qn}と

す る.

  (1)  Xは

ホ モ トピ ー 結 合 的Hopf空

間

⇒ ∀(n,X)は

ホ モ トピ ー 結 合 的,

  (2)  Xは

ホ モ ト ピ ー 可 換 なHopf空

間

⇒ ∀(n,X)は

ホ モ ト ピ ー 可 換,

  (3)  Xは

ホ モ ト ピ ー 逆 元 を も つHopf空

間

⇒ ∀(n,X)は を もつHopf空

  [証 明]  (2)  Xが

ホ モ トピー逆 元 間.

ホ モ トピー可 換 な らば,右

の 図は ホ モ トピー可 換.こ

の と き,定 理3.10に

より  

は ホ モ トピー

可 換.   (1), (3)も 同 じ.   

XのPostnikov系

(終) を{(n,X),pn,qn}と

し,あ

るnに

つ い て(n,X)はHopf

空 間 とす る.   定 義   Postnikov不 ⇔(n,X)の

変 量kn+2∈Hn+2((n,X);πn+1(X))は

積 μn,標

原 始 的(primitive)

準 的 射 影 σ:Hn+2((n,X)×(n,X);πn+1(X))→

Hn+2((n,X)×(n,X),(n,X)∨(n,X);πn+1(X))に   定 理3.19 

XがHopf空

系{(n,X),pn,qn}に

積 μnを も ち,次

  (1)  qn:(n,X)→(n-1,X)はHopf写

のPostnikov

を み た す:

像,

変 量kn+2∈Hn+2((n,X);πn+1(X))は

  [証 明 の 概 略]  必 要 条 件 は 系3.13と

μnに 関 し て 原 始 的.

定 理3.15.十

ー 群 が 有 限 個 を 除 い て 自 明 の と き は 定 理3.15;一 て,半

いて σ(μ*n(kn+2))=0.

間 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,そ お い て,∀(n,X)は

  (2)  Postnikov不

つ

単 体 複 体 の 場 合 に 帰 着 さ せ る.こ

に ホ モ ト ピ ー 同 値.∀(n,X)はHopf空

分 条 件 は,Xの 般 の 場 合 は,特

の 場 合,Xは{(n,X)}の

ホ モ トピ

異複 体 を と っ 射 影的極限

間 で,qn:(n,X)→(n-1,X)はHopf

写 像 で あ る か ら,Xに

ホ モ トピ ー 同 値 な あ る 複 体 が 存 在 し て,そ

れは積を も

つ. 

体 で あ る か ら,こ

積.(終)

可 算 なCW-複

  Hopf空

の 積 の 実 現 が 求 め るXの

間 の拡 大

  記号   定 義   (Mooreの)自 た だ し,写

由 な 道 の 空 間pX={(f,r)￨f:[0,r]→X,r∈R+},

像 φ:pX→F(I,X)×R+⇔

φ(f,r)=(f′,r),f′(t)=f(rt),t∈I,

が そ の 像 の 上 に 同 相 で あ る よ う に 位 相 を 入 れ る.   pX∋(f,r),(g,s)がf(r)=g(0)を

  定 義   (Mooreの)基 こ の と き π:LX→X⇔ Ω*Xを(Mooreの)ル

み た す と き,こ

れ ら の 和 を 次 で 定 義 す る:

点 を も つ 道 の 空 間LX={(f,r)∈pX￨f(0)=*} π(f,r)=f(r)は

フ ァイ バ ー空 間 で そ の フ ァイバ ー

ー プ 空 間 と い う.

  慣 習  f=(f,r)と

表 わ し,1=rと

表 わ す(π(f)=f(1)).

  こ の と き,Ω*Xは

結 合 的Hopf空

間 で あ る.

  定 理3.20 

(X,m),(W,n)はHopf空

バ ー空 間   す る.も

し,fがHopf写

間 と し,写 像f:X→Wに

か ら 誘 導 さ れ る フ ァ イ バ ー空 間 を   像 な ら ば,積

μ:Y×Y→Yが

あ っ て,次

よりファイ と の図は い

ず れ も可 換,

  [証 明]  Y={(x,l)∈X×LW￨f(x)=π(l)}と か ら,定

義 に よ り ホ モ トピ ーht:X×X→Wが

h1(x,y)=f(xy).こ

こ で,定

ht(e,x)=f(x),∀t∈I,と htに

表 わ す.fはHopf写

理1.27に

存 在 し てh0(x,y)=f(x)f(y),

よ り,一

般 性 を 失 う こ と な くht(x,e)=

仮 定 し て よ い.pW={l:[0,r]→W}と

対 応 す る写 像F1:X×X→pWが

よ りF1をdeformし

F(x,e)=F(e,x)は ーmultiplierと

長 さ0,値f(x)を

像F:X×X→LWを

え る.こ

もつ 道 で あ る.(こ

のFをfの

こで

ホ モ トピ

に,

と定 義 す る と μ はwell-defined,す は(e,λe)で あ る.こ

の

み た す 写 像Fs:X×X→

て,写

い う.)次

お け ば,

存 在 し てF1(x,y)(t)=ht(x,y).こ

と き,Fs(x,y)(0)=f(x)f(y),Fs(x,y)(1)=f(xy)を LWに

像 である

の と き,定

な わ ち,π(ll′+F(x,x′))=f(xx′).単 理 の 中 の 図 は 明 ら か に 可 換 で あ る. 

位元 (終)

  次 の 定 義 を 思 い お こ そ う:   定 義   (X,m,Q)は

ホ モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空

⇔(X,m)はHopf空  

Q:I×X3→Xは

 

associatingホ

間, 次 の 条 件 を み た す モ

ト ピ ー:

 

(ⅰ)  Q(0,x,y,z)=m(x,m(y,z))

 

(ⅱ)  Q(1,x,y,z)=m(m(x,y),z)

 

す な わ ち,右

  定 義  f:X→Wは

間

上 の 図 は ホ モ トピ ー 可 換 で あ る. ホ モ トピ ー 結 合 的Hopf空

間(X,m,Q),(W,n,R)の

間

の ホ モ ト ピー 結 合 的 写 像 ⇔(1) 

sputnikホ

モ ト ピ ーht:X×X→Wが

h0(x,x′)=f(x)f(x′),h1(x,x′)=f(x,x′)(す  

(2)  ホ モ トピ ー   す:

存 在 し て, な わ ち,fはHopf写 が 存 在 し て,次

像)

の条 件 を み た

(a) 

d0(t,x,x′,x″)=R(t,f(x),f(x′),f(x″)),

(b) 

d2(t,x,x′,x″)=f°Q(t,x,x′,x″),

(c) 

ds(0,x,x′,x″)=f(x)hs(x′,x″), =hs

(d) 

-1(x,x′x″),

ds(1,x,x′,x″)=hs(x,x′)f(x″), =hs

  定 理3.21 

-1(xx′,x″),

(X,m,Q),(W,n,R)は

→LW→Wか

ホ モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空

らf:X→Wに

と す る.f:X→Wが

間 と し,ΩW

よ り誘 導 さ れ る フ ァ イ バ ー 空 間 を 

ホ モ ト ピ ー 結 合 的 写 像 な ら ば,Y上

に ホ モ

トピ ー 結 合 的

な 積 が あ る.   [証 明]  fを Y×Y→Yを

上 の 定 義 のht,dsを 定 理3.20と

も つ ホ モ ト ピ ー 結 合 的 な 写 像 と す る.μ:

同 様,htを

使 っ て 構 成 さ れ る 積 と す る.こ

の と き,

次 は 容 易 に 確 か め ら れ る:   (イ) 

μ°(1× μ)は

φ0:Y3→Yにdeformさ

φ0(y,y′,y″)=(x(x′x″),  y=(x,l),    (ロ) 

μ°(μ×1)は

φ1:Y3→Yにdeformさ

y=(x,l),  ま た,dsに

l(l′l″)+f(x)F(x′x″)+F(x,x′x″)), y′=(x′,l′), 

φ1(y,y′,y″)=((xx′)x″, 

れ て

y″=(x″,l″). れ て

(ll′)l″+F(x,x′)f(x″)+F(xx′,x″)),

y′=(x′,l′), 

対 応 し て 写 像D:I×X3→pWを

y″=(x″,l″). 定 義 す る.Yのassociatingホ

モ トピーは

 

φt(y,y′,y″)=(Q(t,x,x′,x″),  pR(t,l,l′,l″)+D(t,x,x′,x″))

に よ り与 え ら れ る. 

(終)

  §4  pull-back   簡 単 の た め,こ

の 節 で は 特 に 断 わ ら な け れ ば,CW-複

も つ 連 結 な 空 間 の 圏 で 考 え る.   弱pull-backとpull-back  空 間 と写 像

 

  定 義  fとgのpull-back

が 与 え ら れ て い る と す る. P(f,g)

体 の ホ モ トピー型 を

⇔P(f,g)={(x,y)∈X×Y￨f(x)=g(y)} r:P(f,g)→X⇔r(x,y)=x

射影

s:P(f,g)→Y⇔s(x,y)=y   こ の と き,右   定 義  fとgの

の 図 は 可 換. 弱pull-back

W(f,g)

⇔W(f,g)={(x,λ,y)∈X×F(I,A)×Y￨f(x)=λ(0),g(y)=λ(1)} r:W(f,g)→X⇔r(x,λ,y)=x

射影

s:W(f,g)→Y⇔s(x,λ,y)=y  こ の と き,右

の 図 は ホ モ トピ ー 可 換.

g=g0°g1(g0:フ

ァ イ バ ー 空 間,g1:ホ

さ ら にf=f0°f1(f0:フ

  こ の こ と よ り,以 成 り立 つ が,我

モ

ト ピ ー 同 値 写 像)と

分 解 す る と き,

(∵  g1:ホ

モ トピ ー 同 値 写 像)

(∵   g0:フ

ァ イ バ ー 空 間)

ァ イ バ ー 空 間,f1:ホ

下 の 議 論 でW(f,g)に

モ ト ピ ー 同 値 写 像)と 分 解 し て,

成 り立 つ こ と はP(f,g)に

ついて も

々 は 原 則 と し て ホ モ トピ ー 圏 で 考 え て い る か ら,弱pull-back

で 議 論 す る こ と に す る.   定 義   ホ モ ト ピ ー 可 換 な 図(4.1)が ⇔

弱pull-back図

式

ホ モ トピ ー 同 値 写 像 δ:W→W(f,δ)が

存在 して

 (4.1) 

 注 意1. 

写 像 ∂:ΩA→W(f,g)⇔

  2.  弱pull-back図 が,こ

式(4.1)に

れ も同 じ記 号

  弱pull-back図

∂(λ)=(*,λ,*)が

つ い て は,δ-1° ∂:ΩA→W(f,g)→Wが

∂:ΩA→Wで

式(4.1)の

表 わ す こ と に す る.

性質

  (4.2)  h:R→X,k:R→Yが を み たす

⇒d:R→Wが

 (4.3)   (4.4)  ∀Rに 対 し て,次

あ る.

  存 在 して

複体  

複 体.

ペ ー ジ の 系 列 は 次 の 意 味 で 完 全:

考 え られ る

 

(ⅰ)   

f*(x)=g*(y)(x∈[R,X], 

⇔w∈[R,W]が

y∈[R,Y]) 存 在 し て,a*(w)=x,b*(w)=y.

  (ⅱ) 

Ker

  (ⅲ) 

∂*(z)=∂*(z′)  (z,z′ ∈[R,ΩA])

 

a*∩Ker

b*=Im∂*

⇔x∈[R,ΩX]とy∈[R,ΩY]が (た だ し,+は

  特 に,R=Snと  (4.4)′ 

あ っ てz+(Ωf)*(x)=(Ωg)*(y)+z′ ΩAの

ル ー プ 積 に よ り 導 か れ る[R,ΩA]の

和).

し て

次 は 完 全 系 列 で あ る:

た だ し,(a#,b#)(w)=(a#(w),b#(w)),(f#-g#)(x,y)=f#(x)-g#(y).   命 題4.5 

右 の 弱pull-back図

式(4.5)に

(X,μX),(Y,μY),(A,μA)がHopf空 f:X→Aが g:Y→Aが ⇒WはHopf空

間,

μX-μA

Hopf写

μY-μA

Hopf写

 (4.5)

像 像

間,r,sはHopf写

像.

  [証 明]  W=W(f,g)はfとgの

弱pull-back,ま

を も つ 積 と 仮 定 し て よ い.(以 表 わ す.)定

理1.27に

下,2元

rel

∈Xに

 ∀y,y′ ∈Yに と 定 義 す る.さ  

つ い てAに つ い てAに

存 在 す る:

F(x,x′,1)=f(x)f(x′),

Y∨Y;

G(y,y′,0)=g(y)g(y′), 

お け る 道Fxx′ お け る 道Gyy′

G(y,y′,1)=g(yy′).

⇔Fxx′(t)=F(x,x′,t) ⇔Gyy′(t)=G(y,y′,t)

ら に, ∀(x,λ,y),(x′,λ

′,y′)∈Wに

つ い てAに

単位元

の 合 成 ま た は 和 は+で

rel X∨X;

F(x,x′,0)=f(xx′), 

G:Y×Y×I→A

た,μX,μY,μAは

の 積 は ・で,道

よ り次 の ホ モ トピ ーF,Gが

F:X×X×I→A

 ∀x,x′

お い て,

お け る道 γ

⇔ と 定 義 す る.た

γ((x,λ,y),(x′,λ

λ′+Gyy′.

だ し,

  明 ら か に,γ((x,λ,y),(x′,λ =f(xx′),終

′,y′))=Fxx′+λ

点=g(yy′)で

′,y′))はAに あ る .写

お け るwell-definedな

′,y′)) =(xx′,γ((x,λ,y),(x′,λ

と 定 義 す る と,FとGは

Hopf空

 

そ れ ぞ れrel

X∨X,

rel

Y∨Yの

′,y′)),yy′) ホ モ トピ ー で あ る

お け る 積 で あ る こ と が わ か る.

  r,sがHopf写   命 題4.6 

点

像mを

m:W×W→W⇔m((x,λ,y),(x′,λ

か ら,mはWに

道 で,始

像 で あ る こ と は 明 ら か.  弱pull-back図

式(4.5)が

間,r,sはHopf写

像 と す る.さ

(終)

与 え ら れ,(W,μW),(X,μX),(Y,μY)は ら に,(R,μR)はHopf空

間 で,準

同 型

⇔((Ωf)*+(Ωg)*)(x,y)=(Ωf)*(x)+(Ωg)*(y)

は 全 射 と す る と き,

  h:R→WはHopf写

像⇔

r°h:R→X

{

は い ず れ もHopf写

s°h:R→Y

 [証 明]  [⇒]は  [〓] 

明 らか.

代 数 的 ル ー プ[R×R,W]に

を 示 せ ば よ い.完

像.

お い て,

全 系 列(4.4)

に お い て,   r*(μW°(h×h)-h°

μR)=r°

μW(h×h)-r°h°

μR

=μXｰ(r×r)ｰ(h×h)-rｰhｰμR

  0  同 様 に,  =μW°(h×h)-h°

(∵  roh:Hopf写

像)

従 っ て,c∈[R×R,ΩA]が μR.仮 定 よ り,a∈[R×R,ΩX],b∈[R×R,ΩY]が

あ っ て,∂*(c) あ っ て,

c=(Ωf)*(a)+(Ωg)*(b)⇒(4.4)の(ⅲ)よ =0⇒h:Hopf写

り ∂*(c)=0⇒

μW°(h×h)-h°

像. 

  命 題4.7 

命 題4.5と

μR

(終)

同 じ 仮 定 の 上 に,さ

ら に,μX,μYは

ホ モ トピー結 合

的 か つ 次 の 準 同 型 が 全 射:

→[W×W×W,ΩA] ⇒ 命 題4.5に

お け る 積 μWは

ホ モ トピ ー 結 合 的.

  [証 明]  代 数 的 ル ー プ[W×W×W,W]に μW)=0を

示 せ ば よ い.完

に お い て,rはHopf写

全 系 列(4.4)

像 で あ る か ら,

  r*(μW°(μW×1)-μW°(1× 同 様 に,sはHopf写

μW))=(μX°(μX×1)-μX°(1×

存 在 し て,μW°(μW×1)-μW°(1×

μW))=0.従

  命 題4.8 

∂*(c)=0⇒

  [証 明]  W′=W(Ωf,Ωg)をΩfと pull-back,射

影 をa:W′

ら,δ:ΩW→W′

式

⇒

μW)=0. 

右 下 の 図 も 弱pull-back図

式.

→

で あ るか が 存 在 し て,

a°δ=Ωr, 

b°δ=Ωs.

次 ペ ー ジ の可 換 な 図 に お い て,最 上列 は 与 え られ た 弱pull-backに 系 列,最 下 列 はW′

(終)

Ωgの 弱

→ΩX,b:W′

す る. 

存 在 し て, μW°(μW×1)-μW°(1×

左 下 の 図 が 弱pull-back図

っ

μW)=∂*(c).さ

定 か ら,a∈[W×W×W,ΩX],b∈[W×W×W,ΩY]が

c=(Ωf)*(a)+(Ωg)*(b)⇒

ΩYと

μX))°(r×r×r)=0.

像 で あ る か ら,s*(μW°(μW×1)-μW°(1×

て,c∈[W×W×W,ΩA]が ら に,仮

お い て,μW°(μW×1)-μW°(1×

に 関 す る完全 系 列:

関 す る完全

従 っ て,5-lemmaに

よ り δ*は 同 型

  W(Ωf,Ωg)=ΩW(f,g)で   系4.9 

ル ー プ 写 像 の 弱pull-backは

  Zabrodskyの

(終)

あ るか ら

  以 下 で は 連 結 なCW-複

ル ー プ 空 間.

体 の ホ モ ト ピ ー型 を も つ 空 間 の 圏 で 考 え る.

定理 の 一 般化

  (Y,μY)はHopf空

間,g:Y→Aは

  定 義   YのAへ ⇔

⇒ δは ホ モ トピ ー 同 値 写 像. 

のg-作

写 像 と す る.

用(g-operation)

写 像 μ0:Y×A→Aで,射 iA:A→Y×Aに

入iY:Y→Y×A,

つ い て,

  か つ 右 図 は ホ モ トピ ー 可 換:   さ ら に,(A,μA)がHopf空 か ら,ホ

間 の と き, 

た だ し,q:Y×A→Y∧Aは

射 影,+は[ 

  定 義   こ の と き,ω   定 理4.10 

のg-作

像,μ0:Y×A→A 用 で そ の 差 元 を ω とす る.

さ ら に,ω:Y∧X→Xが

あ っ て, 

を み た す な ら ば,fとgの W(f,g)はHopf空

間 で,射

像 で あ る.さ

射 影rもHopf写

,A]に

(X,μX),(Y,μY),(A,μA)はHopf空

はYのAへ

はHopf写

存 在 し て,

を μ0の 差 元(difference

(X,μX)→(A,μA)はHopf写

弱pull-back 影s:W(f,g)→Y

ら に, 

像 で あ る.

  [証 明]  fはHopf写 か ら,右

であ る

モ トピ ー の 意 味 で 一 意 的 に ω:Y∧A→Aが

像 である

の 図 は ホ モ トピ ー可 換.

こ こ で,f°(μX°(1× μX))と

μA°

な ら ば,

お け る 和 で あ る.

element)と

い う.

間,g:Y→Aは

写 像,f:

(1× μA)°(f×f×f)はX∨X∨Xで (1× μA)°(f×f×f)へ A)rel

一 致 す る か ら,f°(μX°(1×

のX∨X∨Xを

X∨X∨Xが

存 在 す る.同

ω°q+μA°(g×1A)はY∨Aで (g×1A)

rel

るホ モ

とめ る ホ モ

な わ ち,ω

Y∨Aが

か ら ω°(1∧f)へ μ0°(1×g)か

らg° μAへ

理1.27′

°q+μA°(g×1A)か

ト ピ ーG:Y×A→F(I,A)rel 

ら

μA°

ト ピ ーF:X×X×X→F(I,

様 に,μ0=ω°q+μA°(g×1A)に

一 致 す る か ら,定

Y∨A,す

μX))か

ら

お い て μ0と

に よ り μ0へ

存 在 す る.ま

のY∨Aを た,定

の ホ モ ト ピ ー をH:Y∧

の ホ モ ト ピ ー をJ:Y×Y→F(I,A)と

μ0=ω °q+μA° とめ 理 の 条 件

λ→F(I,A), す る.こ

こで

W(f,g)={(x,φ,y)∈X×F(I,A)×Y￨f(x)=φ(0),g(y)=φ(1)} を 思 い お こ そ う.簡 る 道 の 和 を*で

単 の た め に,XとYに

表 わ す.こ

M((x,φ,y),(x′,ψ

の と き,W(f,g)∋

・ で,F(I,A)に

∀(x,φ,y),(x′,φ

おけ

′,y′)に 対 し て

′,y′))=F(ω(y,x′),x,x′)

*{H(y,x′)・f(x)・f(x′)}*{ω(y,φ と 定 義 す る.た

おけ る積 を

′)・(φ ・φ ′)}*G(y,g(y′))*J(y,y′)

だ し,

{H(y,x′)・f(x)・f(x′)}(t)=H(y,x′)(t)・(f(x)・f(x′)), {ω(y,φ′)・(φ ・φ′)}(t)=ω(y,φ

′(t))・(φ(t)・ φ(t′))

こ の と き,M((x,φ,y),(x′,φ′,y′))∈F(I,A)で,こ (x・x′)),終

W(f,g)の

点=μA(y,y′)で

あ る.

積 μWを

μW((x,φ,y),(x′,φ 定 義 す る.こ

の 道 の 始 点=f(ω(y,x′)・

′,y′))=(ω(y,x′)・(x・x′),M((x,φ,y),(x′,φ

れ は 明 ら か にW(f,g)の

元 で あ る.

′,y′)),y・y′)と

  今,A,Yの

基 点 お よ びF(I,A)の

定 値 道 を*で

表 わ す こ と に す る と,

μW((x,φ,y),(*,*,*))=(x,M((x,φ,y),(*,*,*)),y) こ こ で,道M((x,φ,y),*,*,*)は

端 点 を 留 め て φ に 変 位 で き る か ら ,  同 様 に, 

sｰμW((x,φ,y),(x′,φ 従 っ て,sはHopf写   ま た, 

さ らに

′,y′))=y・y′=s(x,φ,y)s(x′,φ

像. な ら ば,

従 っ て,rは

こ の と きHopf写

像 に な る. 

(終)

  f:(X,μX)→(A,μA),g:(Y,μY)→(A,μA)がHopf写 (g×1)と

お け ば μ0はg-作

  系4.11 

Hopf空

各 射 影 はHopf写

用 で,こ

の と き, 

間 の 間 のHopf写

像 の と き,μ0=μA° また  

と とれ るか ら

像 に よ る 弱pull-backはHopf空

間 で,

像 で あ る.

  注 意  定 理 の証 明 に よれ ばW(f,g)のXへ Hopf写

′,y′)

像h:(Z,μZ)→(X,μX)が

の作 用 があ る こ とが わ か る.従 って,も し

あ り,

差 元 に 関 す る 条 件 が み た さ れ て い れ ば,上 の 議 論 は 繰 り返 す こ とが で き て,rとhの 弱pull-back

W(h,r)はHopf空

間 で,射

影W(h,r)→W(f,g)はHopf写

  定 理4.10と g:Y→Aは

像 で あ る.

同 じ 設 定,す

な わ ち,(X,μX),(Y,μY),(A,μA)はHopf空

写 像,f:(X,μX)→(A,μA)はHopf写

Aへ のg-作

用 と す る と き,μ0と

た すω の 存 在 に つ い て は,次   命 題4.12 

μAに よ り差 元 ω が え られ る.定

な ら ば,ω:Y∧X→Xが

存在

を み た す.

  [証 明] ω=ω

と お き,Y∧X=Y∧A=Y∧SBとS(Y∧B)を

こ の 同 一 視 の 下 で,1∧f:Y∧X→Y∧Aはk1S(Y∧B):S(Y∧B)→S(Y∧B)に 対 応,従

理 の 条件 を み

の 命 題 が 成 り立 つ.

X=A=SB, 

し て, 

間,

像,μ0:Y×A→AはYの

っ て 右 の 図 は ホ モ トピ ー 可 換:  で あ る こ とを示 せ ば

よ い が,[SB,A]に

お い てAの

積からえ

同 一 視 す る.

られ る和 とSBの

双 対 積 か ら え られ る和 は一 致 す る か ら,  (終)

  系4.13 

(X,μX),(Y,μY)はHopf空

はYのXへ fとgの

のg-作

間,g:Y→Xは

写 像,μ0:Y×X→X

用,X=SB,f=k1X:X→X(k∈N)はHopf写

弱pull-back

W(f,g)はHopf空

間 で,射

像 な ら ば, 影s:W(f,g)→YはHopf

写 像 で あ る.  補

遺

  A  様 々 なHopf空

間[Adams

2]

  A=「 結 合 的 」 ま た は 「可 換 な 」 とす る.   定 義(Adams)  ⇔XにH-同

Hopf空 値 なA

  こ の と き,Hopf空

間Xはequivalent-A

Hopf空

間X′

が 存 在 す る.

間は

  (na) 

ホ モ トピー結 合 的 で な い

  (ha) 

ホ モ トピ ー 結 合 的 で あ る がequivalent-結

  (ea)  equivalent-結 の い ず れ か で あ る.同

合的で ない

合 的であ る 様 に,Hopf空

間は

  (nc) 

ホ モ トピ ー 可 換 で な い

  (hc) 

ホ モ トピ ー 可 換 で あ る がequivalent可 換 で ない

  (ec)  equivalent-可 の い ず れ か で あ る.従

換であ る っ て,9種

ら に 次 の2種

類 に 分 け ら れ る:

  (ea∩ec) 

equivalent-結

類 のHopf空

間 が あ る が,こ

の中の一つは さ

合 的か つ 可換

  (ea∩ec)′  同 時 に そ う で は な い.   こ れ ら の 例 は 次 の 空 間 で 与え ら れ る:   1  S7   2  S7か

ら πi(S7)の あ るp-成

  3  S3上

の 四 元 数 の積

  4  S7か

ら πi(S7)の2-成

分 を  

分を  

に対 し て 消去 し た空 間

に対 し て消 去 した 空 間

  5  S7か

ら πi(S7)の2-成

分 を

 

に 対 し て,あ

るp-成

分 を  

に対

して 消 去 した 空 間   6 

S7[0,12]

  7  M(Z{2},7) 

Moore空

間

  8  M(Z{2,3},5)   9  S1  10  M(Z{2},5)  [0,8]   た だ し,X[0,n]はn+1次   定 義(James)  ⇔

以 上 の ホ モ ト ピ ー 群 をkillし

(X,m)はequivalent-結

結 合 的 な 積m′

た 空 間.

合的

が あ って

  [Slifker]はAdamsの

定 義 とJamesの

定 義 が 異 な る こ とを 次 の 事 実 を 指 摘

す る こ と に よ っ て 示 し た:   (A.1) 

S3上

→(S3,m′)が

に2つ

の 積m,m′

お よ び,こ

れ ら に 関 す るH-同

値h:(S3,m)

あ っ て 次 を み た す:

  イ)  m′ は 結 合 的 な 積   ロ)  mは

い か な る 結 合 的 な 積 に も ホ モ トー プ で な い.

  B  弱Hopf空

間[Douady]

 定 義  f,g:X→Yは

⇔

弱 ホ モ トー プ

任 意 の 有 限CW-複

 定 義  X:弱Hopf空   (B.1) 

体K,∀k:K→Xに

対 し て,

間 ⇔μ:X×X→Xが

無 限 次 古 典 群O,U,Spお

あ って,

よ び 分 類 空 間BO,BU,BSpは

弱Hopf

空 間 で あ る.   C  Samelson積   (X,μ)は る.写

単 位 元 を も つHopf空

間,t:X×X→X×X⇔t(a,b)=(b,a)と

像f:Sn→X,g:Sm→Xに

を 考え る.こ

対 し て,μ °(f×g),μ°t°(f×g):Sn×Sm→X

こ で,μ°(f×g)とμ°t°(f×g)はSn∨Sm上

意 し,Sn×Sm=(Sn∨Sm)∪en+mで →Xを,Sn+mの

上,下

の ホ モ トピ ー 類 Samelson積

で一 致 す る こ とに注

あ る こ と に 注 意 す れ ば,写

半 球 面 で そ れ ぞ れ 上 の2つ

〈 α,β〉∈ πn+m(X)が

で あ る.定

す

義 か ら容 易 に

α=[f]∈

像

〈f,g〉:Sn+m

の 写 像 で 定 義 で き る .そ

πn(X)と

β=[g]∈

πm(X)の

  (C.1) 

Xが

  (C.2)  る が,ホ

ホ モ ト ピ ー 可 換 なHopf空

[Steer]

[A∧B,X]を

る.さ

Fn={f:Sn→Sn￨f(*)=*,deg

f=1}はHopf空

間で あ

∈[A,X],β

∈[B,X]に

〈α,β 〉∈

と ホ モ トピ ー 結 合 性[Schiffman]

ホ モ ト ピ ー 結 合 的 なHopf空 ら に,Xの

と

対 し てSamelson積

定 義 で き る[W].

  D  Samelson積 Xは

∀ Samelson積=0.

モ ト ピ ー 可 換 で は な い.

  も っ と 一 般 に,α

 

間 ⇒

間 で,CW-複

普 遍 被 覆Xに

体かつ  

とす

つ い て  

仮 定 す る.こ の と き,次 が成 り立 つ:

  (D.1)  Samelson積

μ を 任 意 の ホ モ トピ ー 結 合 的 な 積 と す る と き,こ 〈α,α〉μ は π6(X)を

  (D.2) ⅰ)  S3上

生 成 す る.

に 任 意 の 積mが

与 え ら れ た と き,X上

α:(S3,m)→(X,μ)はHopf写  ⅱ)  X上 (S3

に 任 意 の 積 μ が 与 え ら れ た と き,S3上

SU(3)の

  (X,μ)を

連 結,ホ

を も つ も の と し,巾

存 在 し て,α:

な く と も1/3は

ホ モ トピ ー 結 合 的 で は な い.

map) モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空

間 で,CW-複

写 像 をpλ:X→X⇔pλ(x)=xλ

  (E.1)  [Arkowitz-Curjel =N(X,μ)が

に 積mが

像.

積 の う ち,少

  E  巾 写 像(power

に積 μ が あって

像,

,m)→(X,μ)はHopf写

  (D.3) 

の μ に関す る

6],

体 の ホ モ トピー型 と定 義 す る.

[Arkowitz-Ewing-Schiffman] 

自 然 数N

存 在 し て,

  巾 写 像pλ は(X,μ)上

でHopf写

 ⅰ) 

N=1:X=S1

 ⅱ) 

N=24:(X,μ)=(S3,四

 ⅲ) 

N=240:(X,μ)=(S7,Cayley数

 ⅳ) 

N=p:(X,μ)=(S2p-3(p),ル

像 ⇔

λ(λ-1)≡0

mod

N,た

元 数 の 積) の 積) ー プ 積).

  も っ と一 般 に   (E.2)  [McGibbon]    巾 写 像pλ は(X,μ)上   Yを

自 然 数N=N(X,μ)が でHopf写

有 限 複 体,G=[Y,X],Z(G):Gの

像 ⇔

存 在 し て, λ(λ-1)≡0 中 心,と

mod

N.

す るとき

だ し,

  (E.3) 

[McGibbon] ⅰ) 

λ(λ-1)≡0

mod

N⇒

∀a,b∈Gに

つ い て(ab)λ

=aλbλ,  ⅱ) 

G∋

∀gに

つ い て,gN∈Z(G),

 ⅲ )  交 換 子 群[G,G]のexponentをCと  

F 

 

す る と,C￨N.

積 の 個 数

Hopf空

間X上

の(ホ

モ

ト ピ ー の 意 味 で の)積

の 個 数 をν(X)=#[X∧X,X]

と 表 わ す と き,  ⅰ) ν(K(π,n))=1 ⅱ)  S3)=220・316 ⅴ) 

ν(S3)=12 ⅲ)  [Naylor]

30720 ⅶ) 

[Mimura

ν(S7)=120 ⅳ) 

ν(SO(3))=768 ⅵ)  1]

ⅷ )  [Arkowitz-Curjel]

ν(SU(3))=215・39・5・7,ν(Sp(2))=220・3・55・7 Gを

コ ン パ ク ト単 純Lie群

は 次 の 場 合 の み 有 限:SO(n),n≠10,14,     

ν(S3×

[Rees] ν(RP(7))=

と す る と き,ν(G)

SU(n), 

Sp(n),

G2,F4,E7.

G 

3次

の ホ モ

  Steenrod平

ト ピ ー 群[Hubbuck-Kane]

方 作 用 素Sqi:Hn( 

;Z/2)→Hn( 

;Z/2)に

対 す るCartan公

式

に よ り非 分 解 元 の 間 の 準 同 型 Sqi:QHn(  が 導 か れ る こ と が わ か る.こ

;Z/2)→QHn+i(  の と き1-連

;Z/2)

結 な 有 限Hopf空

間Xに

つ い て,次

が 成 り立 つ:   (G.1) 

Sq2:QH4n-2(X;Z/2)→QH4n(X;Z/2)は

  奇 素 数pに   (G.2)  mod

全 射,∀n>0.

対 す る同 様 の結 果 は

p1:QH2n-2(p-1)(X;Z/p)→QH2n(X;Z/p)は

全 射, 

p.

 有限Hopf空

間 の普遍被覆空間は有限Hopf空

間であるか らXは 単連結 と

仮定 して,こ れ らか ら   (G.3) Xを 有 限Hopf空

間 とす るとき,π3(X)は 有限生成な 自由可換群で

あ る.  実際,Xが

単連結な らば, 

(G.1)⇒H4(X;Z/2)=QH4

であ り, 

(X;Z/2)=0⇒H4(X)は2-torsionを torsionを

も た な い.奇

もた な い

体Yに

も2-

素 数 成 分 に つ い て も 同 様.

  H  高 次 ホ モ トピ ー 群[Harper   CW-複

 

1, 2]

つ い てin:Y(n-1)→Y(n)を

πn(Y(n-1))→ πn(Y(n))}と

お く と き,J.H.C.

射 入 と し,Γn(Y)=Im{in#: Whiteheadに

よ る次 の 完 全 系 列

が あ る:

た だ し,λnは

射 入Y(n)⊂Yよ

り導 か れ る も の,〓nはHurewicz準

同 型,νnは

あ る 連 結 準 同 型 で あ る.   今,Xは

有 限Hopf空

ー)フ ァ イ バ ー をXと 全 系 列 か ら,次

間 と し,標 す れ ば,Xは

準 的 な 写 像X→K(π1(X),1)の(ホ 有 限Hopf空

間 で あ る .こ

モ トピ

の と き,上

の完

が 成 り立 つ:

 (H.1)

 (H.2) 

dim

π4(X)=dim

Xが

単 連 結 の と き,次

た だ し, 

Ker

は 生 成 元.

  さ ら に,H*(ΩX)がtorsionを   (H.3) 

もた な い な らば はp-torsionを

数〓3.π6(X)の2-torsionの   (H.4) 

は 完 全 系 列:

(p:奇

も た な い.π6(X)の3-torsionの

位

位 数〓4.

素 数)H*(ΩX)ま

た はH*(X)はp-torsionを

もた ない と

す る.  ⅰ) 

n<2p⇒

πn(X)はp-torsionを

 ⅱ) 

π2p(X)のp-torsionの

 ⅲ) 

dim 

も た な い,

位 数〓p, dim

 ⅳ)  π2p+1(X)はp-torsionを

Ker もた な い.

 Ⅰ   ホ モ トピ ー 逆 元 の 存 在[Sibson]   定 義(Dold)  ち,開

Xはparacontractible⇔Xは

集 合 で あ る 各supportのXへ

  例 え ば,CW-複

局 所 有 限 な1の

分割を も

あ り,paracontractibleな

空 間

の 射 入 は 可 縮.

体 はparacontractibleで

に ホ モ ト ピ ー 同 値 な 空 間 は ま たparacontractibleで   (Ⅰ.1)  Xは AHEPを

単 位 元eを

もつ な ら ば,左

も つHopf空

間 で,Xはparacontractible,

(X,e)が

ま た は 右 ホ モ トピ ー 逆 元 が 存 在 す る.さ

ホ モ ト ピ ー 結 合 的 な ら ば,こ 存 在 し て 一 意 的 で あ る.

あ る.

れ ら は ホ モ トー プ,す

な わ ち,ホ

ら に,積

が

モ トピ ー 逆 元 が

第2章 

  本 章 で は[Milnor-Moore], す る.ま

た,特

て 考 え る.た

Hopf代

[Browder]に

数

沿 っ てHopf代

に 断 ら な い 限 りpは 素 数 ま た は0を だ し,p=0の

と き はZ/0=Qを

数 の構 造 を解 説

表 わ し,Z/pを

基 礎 体 とし

表 わ す.

  §1  代 数 と 双 対 代 数   記 号   ベ ク トル 空 間A,Bに  

上

 

Hom(A,B):Aか

つ い て,

のtensor積,

  定 義   Aは

らBへ

のZ/p-準

次 数 つ き ベ ク トル 空 間

同 型(線 型 写 像)全 体.  

An:ベ

ク トル 空 間.

  次 数 つ き ベ ク トル 空 間 の 間 の 準 同 型f:A→B ⇔f={fn},fn∈Hom(An,Bn).   A,Bが

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 の と き,A  ま た,f:A→B,g:C→Dが

Bも

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 で,  次 数 つ き ベ ク トル 空 間

の 間 の 準 同 型 の と き,

も 次 数 つ き ベ ク トル 空 間 の 間 の 準 同 型 で あ る.   記 号   次 数 つ き ベ ク トル 空 間Aに

つ い て,A*={A*n},A*n=Hom(A,Z/p).

  次 数 つ き ベ ク トル 空 間 の 間 の 準 同 型f:A→Bに

つ い て,

f*:B*→A*⇔f*={f*n},f*n=Hom(fn,1) た だ し,上

と し て,基

に お い て,

礎 体Z/pを

  定 義   Aは

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 と み な す.こ

代 数(algebra)⇔A={An}は

の と き,

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 で,次

数

つ きベ ク トル空 間 の 準 同 型   (積)が

存 在 す る.

  η:代 数Aの ⇔

単 位 元(unit)

η:Z/p→Aで

右 図 は 可 換:

  Cは 双 対 代 数(coalgebra) ⇔C={Cn}は

次 数 つ きベ ク トル 空 間

で,次

数 つ き ベ ク トル空 間 の準 同型

 

(双対 積)が 存 在 す る.

  ε:双 対 代 数Cの

双 対 単 位 元(counit)

⇔

右 図 は 可 換:

ε:C→Z/pで

  以 下,代 え ば,双

数Aと

い え ば,積

対 積 ψ,双

φ,単 位 元 η を もつ も の と し,双

⇔

⇔

つ い て,

可 換(commutative)

右 図 は 可 換:φ

  双 対 代 数Cは

い

対 単 位 元 εを も つ も の とす る.

  定 義   次 数 つ き ベ ク トル 空 間A,Bに

  定 義   代 数Aは

対 代 数Cと

°τ=φ.

双 対 可 換(cocommutative)

右 図 は 可 換:τ ° ψ=ψ.

  定 義   代 数Aは

 双 対 代 数Cは

  A,Bが

結 合 的(associative)

双 対 結 合 的(coassociative)

それ ぞ れ 積 φA,φB,単 位 元 ηA,ηBを もつ代 数 の と き,A 

Bは 積

 

単位 元 ηA ηBを もつ代 数に な る.ま た,C,Dが

それ

ぞ れ 双 対 積 ψA,ψB,双

対単 位 元 εA,εBを もつ 双対 代 数 の と き,C 

双対

積  

Dは

双 対 単 位 元 εA εBを もつ 双 対 代 数 に な る.

  定 義  εは 代 数Aのaugmentation⇔

ε:A→Z/pは

単位 元 ηを もつ 代

数 の 準 同 型.こ

の と き,Aをaugmented代

数 と い う.

  記 号   I(A)=Ker(ε:A→Z/p):augmented

ideal.

 こ こ で こ の と き,

  定 義   η は 双 対 代 数Cのcoaugmentation⇔ εを も つ 双 対 代 数 の 準 同 型.こ

η:Z/p→Cは

の と き,Cをcoaugmented双

双対単位元 対 代 数 とい う.

  記 号   J(C)= Coker(η:Z/p→C) こ の と き,

  定義 Aは 代数 とす る.   次数つきベ ク トル空間Nが ⇔

準同型  

左A-加 群 が存在 し

右上 の2図 は可換.   定 義  N,N′ ⇔fは

群 と す る と き,f:N→N′

は 左A-加

群 の準 同型

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 の 準 同 型 で 右 上 の 図 は 可 換.

  左A-加 fの

を 左A-加

群 の 間 の 準 同 型f:N→N′

核Kerf⇔Kerfは

左A-加

に つ い て, 群 で,次

数 つ き ベ ク トル 空 間 と し て

(Kerf)q=Ker(fq). fの 双 対 核Cokerf⇔Cokerfは

左A-加

群 で,次 数 つ き ベ ク トル 空 間 と し て

(Cokerf)q=Coker(fq).   注 意1.  左A-加

群 は 可 換 圏(abelian

category)を

な す.

  2.  右A-加

群 も 同様 に 定 義 され,そ れ ら も可 換 圏 を な す.

  定 義   Aは

双対代数 と

す る.次

数 つ き ベ ク トル

空 間Sが

左A-双

対加群

(comodule)

⇔

準 同型  

  定 義  S,S′ は 左A-双

が 存 在 し て上 の2図 は 可 換. 対 加 群 とす る と き,f:S→S′

は 左A-双

対 加群 の準

同型 ⇔fは

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 の 準 同 型 で,右

図

は 可 換.  注 意1.  左A-双  2.  右A-双

対 加 群 は 可換 圏 を なす.

対 加 群 も同 様 に 定 義 され,可 換 圏 を なす.

  定義  Mは

右A-加

群,Nは

左A-加

は次 数 つ き ベ ク トル空 間M 

群 とす る と き,MとNのtensor積

ANで,次

と

の系 列 は次 数 つ き ベ ク トル空 間 の完

全 系列:

 こ の と き,次

が 成 り立 つ:

 (1.1)  M′ →M→M″

→0が

右A-加

群 の 完 全 系 列,Nは

左A-加

群 

は 次 数 つ き ベ ク トル空 間 の完 全 系 列.   (1.2) 

Mは

右A-加

群,N′

→N→N″

→0が

左A-加

群 の 完 全 系 列 

は 次 数 つ き ベ ク トル空 間 の完 全 系 列.   (1.3)  Aはaugmentation き,ε に よ りZ/pを

右A-加

ε:A→Z/pを

もつaugmented代

群 と み な す: 

数 とす る と こ の と き,

た だ し,   定 義   Sは cotenser積

右A-双 と は,次

対 加 群,Tは

左A-双

対 加 群 と す る と き,SとTの

数 つ き ベ ク トル 空 間,S□ATで,次

の 系 列 は 次 数 つ きベ ク

トル 空 間 の 完 全 系 列:

  定 義  代 数 また は 双対 代 数 上 の加 群 の系 列が 完 全 ⇔

次 数 つ きベ ク トル 空 間 と して 完全.

  この とき,次 が成 り立 つ:   (1.1)′ 0→S′ →S→S″ 加群

⇒0→S′

が右A-双

□AT→S□AT→S″

対 加群 の完 全 系列,Tは □ATは

左A-双 対

次 数 つ き ベ ク トル空 間 の 完

全 系 列.   (1.2)′  Sは

右A-双

全 系 列 ⇒0→S□AT′

対 加 群,0→T′

→T→T″

は 左A-双

→S□AT→S□AT″

対 加 群 の完

は 次 数 つ き ベ ク トル 空 間 の

完 全 系 列.   定 義   代 数Aは

連 結(connected)

双 対 代 数Cは   注 意   連 結 代 数Aは

連結 一 意的 にaugmentation

ε:A→Z/pを

id=ε0°η0:Z/p→A0→Z/p  

連 結 双 対 代 数Cは

もち,

.

一 意 的 にcoaugmentation

η:Z/p→Aを

もち,

id=ε0°η0:Z/p→C0→Z/p.   定 義   次 数 つ き ベ ク トル 空 間Nは   Aを

代 数 とす る と き,左A-加

と し て 連 結.(こ   Cを

連結

群Nは

連 結 ⇔Nは

次 数 つ き ベ ク トル 空 間

れ ら の 場 合 も 一 意 的 にaugmentationが

双 対 代 数 と す る と き,左C-双

対 加 群Nは

あ る.)

連 結 ⇔Nは

次 数 つ きベ ク

トル 空 間 と し て 連 結.   命 題1.4 

Aは

連 結 な 代 数,Nは

 [証 明]  [⇒]は  [〓] 

左A-加

群 の と き,

明 らか.

次 数 に 関 す る帰 納 法 で 証 明 す る.次 の こ とに 注 意 す る: 完 全.

A:連 結   すると, 

次に  

と仮定 (終)

 系1.5 Aは 連結な代数,f:N′→Nが左A-加群の準同型ならば f:全

射 

 [証 明]  [⇒]は  [〓] 

N″=Coker

全 射. 明 ら か. fと

お く と,仮 定 か ら,N′ →N→N″ は 完 全.こ

は 全射   全 く同 様 に 次 が 証 明 さ れ る:

全 射. 

→0は

完 全 

こ で, 

(終)

  命 題1.4′  Cは

連 結 な 双 対 代 数,Sは

左C-双

対 加 群 の と き,

S=0⇔Z/p□CS=0.   左C-双

対 加 群 の 圏 は 可 換 圏 で あ り,こ

  系1.5′  Cは

の 命 題 か ら 次 が 出 る:

連 結 な 双 対 代 数,g:S→S″

g:単

は 左C-双

対 加 群 の準 同型 な らば

射 ⇔1□Cg:Z/p□CS→Z/p□CS″:単

射.

  双 次数 つ き 加群   定 義   Aは

双 次 数 つ き(bigraded)ベ

ク トル 空 間

Ar,sは

ベ ク トル 空 間.

  定 義  f:A→Bは

双 次 数 つ き ベ ク トル 空 間 の 間 の 準 同 型

⇔f={fr,s},fr,s:Ar,s→Br,sは   さ ら に,A 

 こ の と き,準

Bは

ベ ク トル 空 間 の 準 同 型.

双 次 数 つ き ベ ク トル 空 間 で,

同 型f,gのtensor積f 

gも 同 様 に 定 義 さ れ る.

  定 義   双 次 数 つ き ベ ク トル 空 間A={Ar,s}に A*={A*r  ま た,双

つ いて

,s},  A*r,s=Hom(Ar,s,Z/p).

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 の 間 の 準 同 型f:A→Bに f*={f*r,s}:B*→A*, 

対 して

f*r,s=Hom(fr,s,1)

  定 義   双 次 数 つ き ベ ク トル 空 間A,Bに

対 して

  上 の 次 数 つ き ベ ク トル 空 間 に 対 す る 議 論 は そ の ま ま 双 次 数 つ き ベ ク トル 空 間 に つ い て も 行 え る.   Filtration   Aは

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 と す る.

  定 義   Aのfiltration⇔Aの

次 数 つ き 部 分 空 間 の 系{FnA}でFn⊂ Fn+1Aを

  こ の と き,Aをfilteredベ   定 義  f:A→Bはfilteredベ ⇔fは

み た す.

ク トル 空 間 と い う. ク トル 空 間 の 間 の 準 同 型

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 の 準 同 型 でf(FnA)⊂FnB.

  定 義   filtered,次

数 つ き ベ ク トル 空 間Aの

随 伴 双 次 数 つ き(associated

bigraded)

ベ ク トル 空 間   ⇔

双 次 数 つ き ベ ク トル 空 間E0(A);E0(A)n,m=(FnA/Fn-1A)m+n.

  f:A→Bがfiltered,次

数 つ き 加 群 の 準 同 型 の と き,随

ル 空 間 の 準 同 型E0(f):E0(A)→E0(B)が

導 か れ る.

  定 義   次 数 つ き ベ ク トル 空 間Aのfiltration

{FnA}が

A,Bは

完 全 なfiltered,次

数 つ き ベ ク トル 空 間 と す る.

 (1.6)  f:A→Bがfilteredベ

ク トル 空 間 の 準 同 型 な ら ば 次 が 成 り立 つ:

 (1)  E0(f):E0(A)→E0(B):単

射

⇒f:単

射,

 (2)  E0(f):E0(A)→E0(B):全

射

⇒f:全

射,

 (3)  E0(f):E0(A)→E0(B):同

型 ⇒f:同

  A,Bがfieltered次 tion

完 全(complete)

(2)

⇔(1)   

伴 双 次 数 つ きベ ク ト

{Fn(A 

型.

数 つ き ベ ク トル 空 間 の と き,A 

B)}を

Bに

次 の よ うなfiltra-

入 れ る: 

この と

き,自 然 な 準 同型

は 常 に 同 型 で あ る.   以 下,こ

こで は また は  

FnA=0 

(n<0)

が 成 り立 つ 場 合 の み を 考 え る.  注意 基礎体Z/pは

と 考 え てfiltered次

  Aは

積 φ を もつ 連 結 な 代 数,Nは

結 な 左A-加 お く.A  1c:A 

数 つ き ベ ク トル 空 間 と み な す.こ

群 と し,C=Z/p  C,N 

Cは

A  C→A 

N  C→N 

Cに

み な し,π:N→Cは

る.ま た,Nの

C,φN 

連

ANと

それ ぞれ

よ り,左A-加

の と きE0(Z/p)=Z/p.

φ 

1:A  群 と

自然 な 全 射 とす

連結性 を与 える同型  

に より写像

を 定 義 す る.   命 題1.7 

次 の条 件

  (1)  左A-加

群の準同型  

だ し,εN,εCは

が 存 在 し て 前 ペ ー ジ の 図 は 可 換(た

そ れ ぞ れN,Cのaugmentation),

  (2)  i:A→Nは

単射

が 成 り立 つ な らば, 

は 左A-加

群 の 同 型.

 [証 明]

で あ るか ら, 

系1.5よ

  次 に,単 射 を示 す た め に,A 

りfは 全 射.

C,N 

Cに

それ ぞれfiltration 

を 入 れ る.対 応 す る随 伴 双 次 数 つ きベ ク ト ル 空 間 を そ れ ぞ れ,E0(A 

C),E0(N 

C)と

す る.こ

の と き,

さ ら に, 

こ こ

で,ψ °fは 左A-加

群 の 準 同 型 で あ る か ら,  こ こ で  こ れ は(3)に

と 同 一 視 す る と,  射

⇒f:単

よ り単 射

射. 

⇒ ψ°f:単

(終)

 全 く同様 に,次 が 証 明 で き る. Aは 双 対 積 ψ を もつ 連 結 な 双 対 代 数,Nは □ANと

お く.A 

C,N 

Cは

 

対 加群,C=Z/p

そ れ ぞ れ 

に よ り左A-双

す る.ま た,Nの

連 結 な左A-双

対 加 群 とみ な し,ι:C→Nは

自然 な単 射 と

連結性 を与え る同型

に よ り写像

を 定 義 す る.   命 題1.7′

次の条件

 (1)′ 左A-双

対 加群 の 準 同 型  

が 存 在 し て 上 の 図 は 可 換(た

だ し,ηN,ηCは

そ れ ぞ れN,Cのcoaugmentation),

  (2)′ j:N→Aは

全射

が 成 り立 つ な ら ば     証 明 は 命 題1.7に

は 左A-双

対 加群の同型.

双 対 的 で あ る.

 双対性   定 義   次 数 つ き ベ ク トル 空 間A={An}は 所 有 限(locally

finite)⇔Anは

  こ の と き,次

有 限 型(of

finite

type)ま

た は局

有 限 次 元 ベ ク トル 空 間,∀n.

が 成 り立 つ:

  (1.8)  A,Bが

有 限 型 な らば

 (1) 

は 同 型,

 (2) 

は 同 型,

 以 下,誤 解 が な け れ ばA=A**,   注意 A:有

限型 ⇔A*:有

 命 題1.9  Aは

と同一 視 す る.

限型.

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 で 有 限 型 な らば はAの

 (1) 

 (2)  φ は結 合 的 ⇔   (3)  η:Z/p→Aは

積 

はA*の

双対 積,

φ*は 双 対 結 合 的, 積 φ の単 位 元 ⇔

η*:A*→(Z/p)*=Z/pは

双 対 積

φ*の 双 対 単 位 元,   (4)  (A,φ,η)は 代 数 ⇔(A*,φ*,η*)は   (5)  ε:A→Kは  

⇔

双 対 代 数,

代 数(A,φ,η)のaugmentation

ε*:K→A*は

  (6)  代 数(A,φ,η)は

双 対 代 数(A*,φ*,η*)のcoaugmentation, 可換 ⇔

双 対 代 数(A*,φ*,η*)は

代 数(A,φ,η)に

とす る.Nが

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 で 有 限 型 な ら ば 次 が 成 り立 つ:

 (1) 

はNに

お い てAは

双 対 可 換.

  命 題1.10 

左A-加  はN*に

 (2) 

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 と し て 有 限 型

群 の構 造 を与 え る 左A*-双

対 加 群 の 構 造 を 与 え る,

は有限型

  証 明 は い ず れ も定 義 よ り 明 ら か.   定 義   augmented代

数 の 間 の 準 同 型f:A→Bは

左 正 規(left

normal)

⇔

に つ い て 合成 写像 

自然な全射 

は

自 明.

 同 様 にfの

右 正 規 性(right

normality)を

定 義 す る.

さ らに   定 義  f:正

規(normal)⇔fは

右 か つ 左 正 規. さ ら に,f:単

 記 号   この と き, 

射 の と き,

 と 表 わ す.

 定 義 か ら 明 らか に   命 題1.11 

f:A→Bはaugmented代

数 の 左 正 規 準 同 型, 

は 自然 な全 射 な ら ば,次

数 つ きベ ク トル空 間 の 準 同 型 

が 存 在 し て,(C,φC,ηC,εC)はaugmented代

り,π

はaugmented代

数 の 準 同 型 と な る.

 定 義   augmented双

⇔

数 と な

対 代 数 の 間 の 準 同 型f:B→Aは

自然 な単 射 ι:C=Z/p□AB→Bに

つ い て,合

左 正 規(left

normal)

成写 像 

は 自 明.  同 様 に,fの

右 正 規 性(right

normality)を

定 義 す る.

さ ら に,   定 義  f:正

規 ⇔fは

右 か つ 左 正 規. さ ら に,f:全

  記 号   こ の と き, 

射 の と き,

 と 表 わ す.   定 義 か ら 明 ら か に,   命 題1.11′  f:B→Aはaugmented双

□AB→Bは

対 代 数 の 左 正 規 準 同 型,ι:C=Z/p

自然 な単 射 な らば,次

数 つ きベ ク トル空 間 の 準 同 型 

が 存 在 し て,(C,ψC,εC,ηC)はaugmented双

対 代 数 と な り,ι はaugmented双

対 代 数 の 準 同 型 と な る.

  注 意   代 数 また は 双対 代 数 の 正 規性 に お け る条 件 は 可 換 の ときは 常 に 成 り立 つ.   定 義   Aがaugmented代 (indecomposable  こ の と き,自

数 の と き, 

element)と

の元を非分解元

い う.

然 な 完 全 系 列   ま た,augmented代

が あ る か ら, 数 の 間 の 準 同 型f:A→Bに

つ い

て,Q(f):Q(A)→Q(B)を

導 く.

  定 義   Aがaugmented双

対 代 数 の と き,P(A)=Z/p□AJ(A)の

的 元(primitive

い う.

element)と

  この と き,自 然 な 完 全 系 列   P(A)=J(A)□AZ/p,ま

  命 題1.12 

f:A→Bはaugmented代

  [証 明]  [⇒]は

対 代 数 の 間 の 準 同 型f:A→Bに

導 く.

f:A→Bは

  [〓] 

が あ る か ら,

た,augmented双

つ い て,P(f):P(A)→P(B)を

元 を原 始

数 の 間 の 準 同 型,Bは

全 射 ⇔Q(f):Q(A)→Q(B)は

連 結 な ら ば, 全 射.

明 らか.

右 の可 換 な 図 に お い

て,横 列 は完 全.   次数 に 関す る帰 納 法 で 示す.   I(B)0=0⇒I(f)0は I(f))qは

全射  

全 射.今,I(f)q(∀q
全 射 と仮 定 す る.(I(f) 

よ りI(f)qは

  命 題1.12′  f:A→Bはaugmented双

全射  

(終)

対 代 数 の 間 の 準 同 型,Aは

連結 な

らば f:A→Bは   証 明 は 命 題1.12と   命 題1.13 

単 射 ⇔P(f):P(A)→P(B)は

単 射.

双 対 的 で 同 様 で あ る.

augmented代

数Aが(次

数 つ き ベ ク トル 空 間 と し て)有

限型な

らば P(A*)=Q(A)*, Q(A)=P(A*)*.   [証 明]  定 義 よ り明 ら か. 

 定義 

(終) の 元 を 分 解 元(decomposable

い,D(A)で

element)と

表 わ す.

  系1.14 

Aは 有 限 型 の 代 数 と す る と き,Q(A)∋

が 存 在 し て 〈x,x〉 ≠0.さ  命 題1.15 

ら に,P(A*)∋

f:A→Bはaugmented代

は 自然 な準 同型 とす る と

∀yに

∀xに

つ い て,元x∈P(A*)

つ い て,〈y,分

数 の 左 正 規 準 同 型, 

解 元 〉=0.

い

は 次 数 つ き ベ ク トル空 間 の 完 全 系 列 で あ る.  [証 明] (終)   命 題1.15′  f:B→Aはaugmented双 □AB→Bは

対 代 数 の 左 正 規 準 同 型,ι:C=Z/p

自然 な 準 同 型 とす る と

は次 数 つ き ベ ク トル空 間 の 完 全 系 列 で あ る.  [証 明]  f(x)=0,

後 は 明 ら か.    §2 Hopf代   Hopf代

(終) 数

数の定義

  定 義   AはHopf代 ⇔Aは

数

次 数 つ きベ ク トル 空 間 で あ り,次 数 つ きベ ク トル 空 間 の 準 同 型 (積), 

η:Z/p→A

(双対 積) 

ε=A→Z/p

 が 存 在 し て 次 を み た す:  (1) 

(A,φ,η,ε)はaugmented代

 (2) 

(A,Ψ,ε,η)はcoaugmented代

 (3) 

下 の 図 は 可 換:

 注 意1.  条 件(3)は

数, 数,

次 に 同 値:

 (3)′ ψ は 代 数 の 準 同 型,  (3)″  φ は 双 対 代 数 の 準 同 型. ま た こ の と き,ψ

はaugmented

代 数 の,φ はcoaugmented双   2.  条 件(1),   定 義   Hopf代  

Hopf代

対 代数 の 準 同 型 で あ る こ とがわ か る.

(2)の み を み た す もの をpre-Hopf代 数は結合的 ⇔ 数は双対結合的 ⇔

数 とい う こ とが あ る.

代 数 と し て 結 合 的, 双 対 代 数 と し て 双 対 結 合 的.

 注 意  上 に お け るHopf代 い る 準Hopf代

数 の 定 義 は[Milnor-Moore],[TM],[TM下]で

数 の こ と で あ る.こ こ でい う結 合 的Hopf代

い って

数 が,そ れ ら に おけ るHopf

代 数 で あ る.   以 下,AはHopf代   定 義   Mは

 

数 とす る.

左A-加

M,Nが

左A-加

に よ りM 

Nは

  右A-加

群 ⇔Aを

代 数 と し て,Mは

左A-加

群.

群 の とき,合 成 写 像

左A-加

群 に な る.

群 も 同 様 に 定 義 さ れ る.

  定 義  Cは

⇔Cは

左A-加

左A-加

群 双 対 代 数(left

群 で,左A-加

存 在 し て(C,ψC,εC)は  同 様 に,右A-加   定 義   Sは   S,Tが

  右A-双

左A-双

左A-双

双 対 代 数.

対 加 群 ⇔Aを

双 対 代 数 と し て,Sは

左A-双

対 加 群.

成写像

対 加 群 に な る.

対 加 群 も 同 様 に 定 義 さ れ る. 左A-双

左A-双

対 加 群 代 数(left

対 加 群 で,左A-双

が あ っ て,(B,φB,ηB)は

  右A-双

が

群 の 準 同 型 

対 加 群 の と き,合

Tは

  定 義   Bは

⇔Bは

coalgebra)

群 双 対 代 数 を 定 義 す る.

左A-双

に よ りS 

A-module

A-comodule

algebra)

対 加 群 の準 同型  代 数.

対 加 群 代 数 も 同 様 に 定 義 さ れ る.

  命 題2.1 

AはHopf代

は 次 数 つ きK-加

数,Bは

左A-加

群 双 対 代 数, 

群 の 自然 な 準 同 型 な らば,写 像 

が 存 在 し て(C,ψC,εC)は

双 対 代 数,π は 左A-加

 [証 明]  Bの 双 対 積 

は 双 対 代 数 の 準 同 型 と な る. 群 の 準 同 型 で あ る か ら, 

が 導か れ る.さ ら に 自然 な 準 同型  が あ る か ら,  ま た εB:B→Z/pも

左A-加

と定 義 す る.

群 の 準 同 型 で あ る か ら,  を 導 き,こ

の と き,容

易 に 確 か め ら れ る よ うに,

(C,ψC,εC)は

双 対 代 数 と な る.π

が 双 対 代 数 の 準 同 型 で あ る こ と は 明 ら か. (終)

  全 く同 様 に,   命 題2.1′  AはHopf代

数,Bは

左A-双

対 加 群 代 数,C=Z/p□AB,ι:C

→Bは 次 数 つ きベ ク トル空 間 の 自然 な 準 同 型 な らば ,写 像  が 存 在 し て(C,φC,ηC)は

 定 理2.2  Aは 連 結 なHopf代

代 数,ι は 代 数 の 準 同 型 と な る.

数,Bは

連 結 な左A-加

は標 準的 写像,か

群双 対 代 数, 

つ 

が 次数 つ き ベ

ク トル 空 間 の 完全 系 列 で あ る な らば,写 像  A-加

群 か つ 右C-双

が 存 在 し て,hは

対 加 群 の 同 型 で あ る.

  [証 明]  f:C→Bは

π°f=1cを

み た す 次 数 つ き ベ ク トル 空 間 の 準 同 型 と す

る.合 成 写 像  と き,命 題1.7の 群の同型

⇒

左

は 左A-加

群 の 準 同 型 で,こ

条 件 は み た され る ⇒ 

左A-加

は 左A-加

群 の 準 同 型g:B→Aが

存 在 し てg° ι=1A.そ

と定 義 す る とhは 左A-加 群 の 準 同 型 で あ る.

A 

を 入 れ る と,h°fは

Cにfiltration{Fn(A 

こ のfiltrationを

は 左A-加

の

こ で 

群 か つ 右C-双

対加

C)},  保 ち,従

群 の同型

っ て 

⇒hは

左A-加

群 の 同型.

 hが 右C-双 対 加 群 の 同 型 で あ る こ と も 同様. 

(終)

  全 く同 様 に,   定 理2.2′  Aは

連 結 なHopf代

数,Bは

Z/p□AB,π:B→A,ι:C→Bは

連 結 な 左A-双

標 準 的 写 像,か

対 加 群 代 数,C=

つ 

が次 数 つ が 存 在 し て,h

きベ ク トル 空 間 の 完全 系 列 で あ る な らば,写 像  は 左A-双

対 加 群 か つ 右C-加

  証 明 は 命 題1.7の

群 の 同 型 で あ る.

代 りに 命 題1.7′

を 使 う.

 標語   命 題2.3 

Aは

有 限 型 次 数 つ き ベ ク ト ル 空 間 と す る.こ

(A,φ,η,ψ,ε):Hopf代

数(φ:積,η:単

位 元,ψ:双

の とき 対 積,ε:augmen

tation) ⇔(A*,ψ*,ε*,φ*,η*):Hopf代

数(ψ*:積,ε*:単

位 元,φ*:双

対 積,η*:

augmentation).   証 明 は 定 義 よ り明 ら か.   以 上 の こ とを ま とめ て   命 題2.4 

A,B,Cは

連 結 なHopf代

の 準 同 型 とす る と き,次

の3条

数,ι:A→B,π:B→CはHopf代

数

件 は 同 値 で あ る:

 (1)  ιは 代 数 の左 正 規 単 射,  は 次 数 つ きベ ク トル空 間 の完 全 系 列,  (2)  π は 双 対 代 数 の 右 正 規 全 射,  は 次 数 つ きベ ク トル空 間 の完 全 系列,  (3)  左A-加

  命 題2.5 

群 かつ 右C-双

ι:A→B,π:B→Cが

の 準 同 型 な ら ば,次

命 題2.4の

よ び 命 題1.15,

数Dに

条 件 を み た す 連 結 なHopf代

つ い て 自 然 な 準 同 型:P(D)→Q(D)が

数

ある こ

1.15′ よ り 明 ら か. 

  命 題2.6  i:A→B,j:B→CはHopf代 つ 左 正 規 準 同 型 とし,  か れ るHopf代

が 存 在 し て,

の 図 は 可 換 で 横 列 は 完 全:

  [証 明]  任 意 のHopf代 と,お

対 加 群 の 同型 

(終)

数 の 準 同 型 で,代 数 の分 裂 単 射 か とお く と き,jに

よ り導

数 の 準 同型j′:B′ →C′ は 代 数 の 準 同 型 と して 左 正 規 な 単 射 で

 [証 明]  命 題2.4に

よ り

(終)

 標語  集 合Iは 有 向 集 合,す な わ ち,Iに る:(1) 

(2) 

は 半 順 序 〓が 与 え られ,次

をみ た す とす

(3) 

∀i,j∈Iに

対 し て,k∈Iが

存在 して

  定 義   {A(i)￨i∈I}は 代 数,Hopf代

次 数 つ き ベ ク トル 空 間(ま

⇔A(i)は

数)の 帰 納 的 系(direct

た は そ れ ぞ れ,代

た は,代

数,双

(∀i∈I), 

に つ い て 次 数 つ き ベ ク トル 空 間(ま

Hopf代

準 同 型f(j,i):A(i)→A(j)が

f(k,j)°f(j,i)=f(k,i)か   記号

対 代 数,Hopf代 た は,代

数,双

あ っ て, 

数) 対 代 数, な らば

つf(i,i)=1A(i).

 

の 帰 納 的 極 限(direct

  こ の と き, 

対

system)

次 数 つ き ベ ク トル 空 間(ま

数)の

数,双

limit).

は 次 数 つ き ベ ク トル 空 間(ま た は 代 数,双

対 代 数,Hopf

代 数)で あ る.   命 題2.7  連 結 なHopf代 分Hopf代

限 型 部 分Hopf代

す る.Aの

部分

す る.X≠Aと

仮定 し,x∈A-Xは

次 数 最 小 の元 と

双 対 積 ψAに つ い て, 

と す る と き,一

般 性 を 失 う こ と な く,y′,y″

た だ し, 

で あ り,X(i)はAの

今,A(i)をX(i)とxで

す る.従

数 の帰 納 的 極 限 に な っ て い るAの

数}に お い て,極 限 を と る操 作 は 閉 じて い るか ら,極 大 元 が 存 在 す る.

そ の極 大 元 の1つ をXと

Hopf代

数 つ き ベ ク トル空 間 と し て)有 限 型 な 部

数 の帰 納 的 極 限 で あ る.

  [証 明]  A={有 Hopf代

数Aは(次

生 成 さ れ るAの

∈X(i),∃i∈I,と

仮 定 し て よ い.

有 限 型 の 部 分Hopf代 部 分 代 数 とす る とA(i)はAの

数 で有 限 型 か つ 

これ はXの

っ て,A=X. 

  記 号   代 数Aに

数 で あ る. 部分

極大性に反 (終)

つ い て,A(n):次

数 〓nの

元 で 生 成 さ れ るAの

部 分 代 数.

  こ の と き 定 義 よ り明 ら か に   命 題2.8 

連 結 なHopf代

数Aは

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 と し て 有 限 型 な ら ば

次 が 成 り立 つ:   (1)  A(n)に

一 意 的 に 双 対 積 が 存 在 し て,A(n)はAの

  (2)  次 数 つ き ベ ク トル 空 間 と し てA(n)は   (3)  代 数 と し てA(n)は  (4)

有 限 生 成,

有 限 型,

部 分Hopf代

数,

 命 題2.9  AがQ上  

の連 結 なHopf代

自然 な準 同型 ν:P(A)→Q(A)は

 [証 明]  [⇒](結

数 な らば, 単射 ⇔

積 φ は 可 換 か つ 結 合 的.

合 性) 

と

定 義 す る.P(A)∋x,y,z⇒a(x,y,z)∈P(A)か

ν(a(x,y,z))=0⇒ に

仮 定 よ りa(x,y,z)=0.次 対 し てa(x,y,z)=0と

仮 定 し, 

考 え るa(x,y,z)∈P(A),ν(a(x,y,z))=0で  

つ

数 に 関 す る 帰 納 法 で,今,  t=w+1の

場 合を

あ る か ら,a(x,y,z)=0.帰

す な わ ち,積

納法で

φ は 結 合 的.

 (可換 性)  と定 義 す る.P(A)∋x,y⇒[x,y]∈P(A)⇒ [x,y]=0.上

と同 様 に 帰 納 法 で

ν([x,y])=0⇒  

仮定か ら

は 自 明 な 写 像,す

な わ ち,

φ は 可 換.   [〓] 

代 数Aは

可 換 で,生 成 元 は 唯 一 つx∈An(n>0)と

仮 定 す る.n:奇

数 ⇒x2=(-1)n2x2=-x2⇒x2=0⇒P(A)=I(A)=Q(A).n:偶

数

  帰 納 法 の 仮 定 と し て生 成 元 の 個 数 〓mに つ い て[〓]が 今,Aは

代 数 で, 

に お け る像 は   生 成 され て い るAの  

成 り立 つ と仮 定 し,

元{x1,…,xm+1}のQ(A) の基 底 に な って い る と仮 定す る.A′ 部 分 代 数 とす る とA′

を{x1,…,xm}で

は 双 対 積 を もつ 可 換 代 数 で あ る.

とお くとA″ は双 対 積 を もつ可 換 代 数 で,代 数 と して

は生 成 元 は一 つ.こ の と き,命 題2.5に

よ り横 列 が完 全 な 次 の 可 換 な 図 が あ る:

た だ し,上 の 注 意 か ら,  Q(A′):単 射 ⇒P(A)→Q(A):単

射.従

また,帰

納 法 の仮 定 か ら,P(A′)→

って,帰

納 法 に よ り[〓]は

生 成 代 数 に つ い て は 正 し い こ とが わ か る.命 題2.7で

有限

み た よ うに,双 対 積 を も

つ 連 結 な 代 数 は 双 対 積 を もつ 連 結 な 有 限 型 の 代 数 の 帰 納 的 極 限 で あ り,ま た, 命 題2.8で

示 した よ うに,双 対 積 を もつ 連 結 な 有 限 型 の 代 数 は 双 対 積 を もつ連

結 な 有 限 生 成 の 代 数 の 帰 納 的 極 限 で あ る.一

方,関

手P,Qは

 

と可 換 で あ

り,lim(単

射)=単

  命 題1.13よ   系2.10 

射 で あ る か ら,命

りP(A*)=Q(A)*で AがQ上

題 は 示 さ れ た こ と に な る.  あ るか ら

の 連 結,有

限 型 のHopf代

数 な らば

 (1)  双 対 積 ψ は 双 対 可 換 か つ 双 対 結 合 的 ⇔P(A)→Q(A)は  (2)  Aは   p≠0と

可 換,結

合 的,双

し,AはZ/p上

対 可 換,双

対結合的

ξ(x)=xp.

  こ の と き,x,y∈An,z∈Am,k∈Z/pに

ついて

ξ(x+y)=ξ(x)+ξ(y), 

 (2.11)′  p,n:奇   命 題2.12 

数 ⇒

p≠0,Aが

 自 然 な 写 像

全 射,

の 可 換 環 と す る.

 定 義   ξ:An→Apn⇔

 (2.11) 

(終)

ξ(xz)=ξ(x)ξ(z),  ξ(kx)=kpξ(x).

ξ(x)=0. 連 結 なHopf代

ν:P(A)→Q(A)は

数 ならば 単射 ⇔

積 φ は 可 換 か つ 結 合 的, ξ(An)=0  (∀n>0).

  [証 明]  [⇒]  ∋xに

命 題2.9の

証 明 の 前 半 か ら,φ

つ い て,ξ(x)∈P(A)pn⇒

m
ν(ξ(x))=0⇒

仮 定 す る と,ξ(An)⊂P(A)pn.こ

Q(A)pnは   [〓] 

自 明 で あ る か ら,帰 命 題2.9の

せ ば よ い.そ

は 可 換 か つ 結 合 的,P(An) ξ(x)=0.今

ξ(Am)=0(0<

こ で 合 成 写 像 ν°ξ:An→P(A)pn→

納 法 に よ り ξ(An)=0(∀n).

証 明 の 後 半 と 同 様 に,Aの

の 生 成 元 をx∈An(n>0)と

P(A)=I(A)=Q(A).(ロ)p,n:奇

生 成 元 が1個

す る.(イ)p=2の 数 の と き;同

と き;Aq=0(q≠kn,k=0,1,…,p-1)か

で あ る場 合 に 示 と き;x2=0⇒

様.(ハ)p≠2,n:偶

つxkはAknの

基 底.こ

数 の こで

(終)   記 号   ベ ク トル 空 間Mの  

Z/p(S):Sで

  定 理2.13 

p≠0と

部 分 集 合Sに

つ いて

生 成 さ れ る 部 分 空 間. す る.Aが

連 結,可

換,結

合 的Hopf代

数 な ら ば,次

完 全 系 列: 0→P(Z/p(ξ(A)))→P(A)→Q(A).   [証 明]  A′=Z/p(ξ(A)),  の と き,命

題2.5に

と お く と,ξ(A″n)=0(n>0).こ

よ り次 ベ ー ジ の 図 は 可 換 で 横 列 は 完 全.後

は 命 題2.12を

は

適 用 す れ ば よい.    定 義  p≠0と

(終)

す る.有 限 型,双 対

可 換 な双 対 代 数Aに

つ い て,Z/p

(λ(A))=Z/p(ξ(A*))*.ま  

た,Aが

有 限 型 の双 対 可 換 な双 対 代 数 の帰納 的 極 限

の と き は, 

と 定 義 す る.

  こ の と き,Z/p(λ(A))はAの た,Aが

商 双 対 代 数(quotient

coalgebra)で

あ る.ま

有 限 型 な ら ば,Z/p(λ(A))*=Z/p(ξ(A*)).

  命 題2.14 

p≠0と

す る.Aが

連 結 な 可 換,双

対 可 換Hopf代

数 な ら ば,次

は 完 全 系 列: 0→P(Z/p(ξ(A)))→P(A)→Q(A)→Q(Z/p(λ(A)))→0.   証 明 は 定 義 よ り 明 ら か.   注 意   命題2.14の n:奇   定 義   Hopf代 ⇔P(A)を

条 件 を み た すHopf代

最 小 の 部 分 代 数 はAで

  記 号   原 始 的 生 成 なHopf代

Hopf代

つ い て,

数 は 原 始 的 に 生 成 さ れ て い る(primitively

含 むAの

  補 題2.15 

数Aに

数

Aは

あ る.

数 の 成 す 圏 をpHと

有 限 型Hopf代

表 わ す.

数, 

数 と す る と き,x∈PA2m,x∈A*に

generated)

は 双 対 積,A*は

双 対

対 して

〈xn,xn〉=n!〈x,x〉n.   [証 明]  帰 納 法 で

(終)  

Hopf空

間 の(コ)ホ

 (X,μ)は

モ ロジ ー

連 結 なHopf空

間 と す る.

  定 義   ホ モ ロ ジ ー ク ロ ス積 α と μ*と の 合 成

をPontrjagin積 る が,こ   以 下,簡

と い う.こ

れ をHopf空

間XのPontrjagin環

単 の た め に,∀iに

と仮 定 す る.こ

の 積 の 下 に,H*(X;Z/p)は と い う.

つ い てHi(X;Z/p)は

の と き,Hi(X;Z/p)とHi(X;Z/p)は

次 数 つ き代 数 に な

自由 か つ 有 限 階 数 を もつ 双 対 ベ ク トル 空 間 で

あ る.さ

ら に,Kunnethの

従 って,積

公 式 か ら(同 型 は ク ロ ス 積 α に よ り与 え ら れ て)

μ お よび対 角 写 像 △:X→X×Xに

よ り次 の 準 同 型 が 導 か れ る:

  こ の と き,   定 理2.16 

(1)  H*(X;Z/p)は

積 μ*,双

対 積 △*を

も つHopf代

数 で

あ る.   (2)  H*(X;Z/p)は

積 △*,双

対 積 μ*を も つHopf代

  さ ら に,H*(X;Z/p)とH*(X;Z/p)は

互 い に 双 対 的 なHopf代

  [証 明]  殆 ん ど 明 ら か で あ る が,本 △ °μ=(μ

  ま た,定

数 で あ る. 数 で あ る.

質 的 な 部 分 は 次 の 等 式 で あ る:

× μ)°(1×t×1)°(△

× △). 

(終)

義 か ら 明 ら か に,

  命 題2.17 

Hopf空

  (1)  H*(X;Z/p)は   (2)  Xが

間Xに

ついて

双 対 結 合 的,H*(X;Z/p)は

ホ モ トピ ー 結 合 的 ⇒H*(X;Z/p)は

結 合 的, 結 合 的,H*(X;Z/p)は

双 対 結 合 的,   (3)  Xが

ホ モ ト ピ ー 可 換 ⇒H*(X;Z/p)は

可 換,H*(X;Z/p)は

双対

可 換.   次 の 補 題 は 第5章   補 題2.18 

で 用 い られ る:

(X,μ)はHopf空

間 と す る.x∈PH2n(X;Z/2),y∈

H2n+1(X;Z/2),z∈H2n+1(X;Z/2)に

 [証 明] 

こ こ でk>￨zi￨(ま

対 し て<Sq2nz,xy>=0 ￨zi￨+￨z′i￨=2n+1と

.

お く と き,

た はl>￨z′i￨)⇒Sqkzi=0(ま

た はSqlz′i=0)  た だ

しc=￨zi￨,d=￨z′i￨.こ

こ

で,

Sqczi=z2i,x∈PH*で ま

あ る こ とか ら 〈z2i,x〉=0.従

って, 

たSqdz′i=(z′i)2:偶数 次 数   につ い て  

(終)   §3 Lie代 数   この 節 で はLie代

数 の復 習 をす る.

  Aを 結 合 的 代 数 とす る.   定義

 

x∈Ar,y∈As.

  この次 数 つ き ベ ク トル空 間 の 準 同 型[,]をAのLie積 積 を もつ 次 数 つ き ベ ク トル空 間Aを algebra)と

随 伴Lie代

数(associated

Lie

い う.

  定義   LはLie代 ⇔Lは

代 数Aの

とい う.こ のLie

数(Lie

algebra)

準 同型  

を もつ 次 数

つ き ベ ク トル空 間 で,あ

る代 数Aに

対 して,

次 数 つ きベ ク トル空 間 の単 射f:L→Aが

存

在 して 右 図 は 可 換.   定 義 f:L→L′ ⇔fは

はLie代

数 の間 の準 同 型

次 数 つ き ベ ク トル空 間 の 間 の 準 同 型 で,

右 図 は 可換.   記号   L=圏{Lie代   定 義   U(L):代 ⇔U(L)は

Aは き,代

数Lの

数 の準 同型}

包 絡 代 数(universal

次 の 条 件 を み た すLie代

L→U(L)を  

数,Lie代

enveloping

algebra)

数 の 準 同 型iL:

も つ 代 数:

代 数,f:L→AがLie代

数 の準 同型 の と

数 の 準 同 型f:U(L)→Aが

一 意 的 に 存 在 し て,f=f°iL.

 注意   定 義 か ら包 絡 代数 は存 在 すれ ば 一 意 的 で あ る が,存 在 性 は 次 の よ うに 示 され る:  

をtensor代

数,T(L)⊃Iを

idealと す る とき,U(L)=T(L)/I.   Lie代 数L,L′

の 積L×L′

につ い て

元xy-(-1)pqyx-[x,y]で

生成 さ れ る

 (3.1)

  従 って,Lie代 は双 対 積  

数Lに

は 結 合 的Hopf代

対 して,自 然 な 写 像 △:L→L×L⇔ を導 き,こ

数 とな る.こ の双 対 積 は双 対 可 換 で あ る の で,CH=圏{双

可 換 なHopf代

数}と す る とU:L→CHは

  定 義 か ら明 らか に,結 合 的Hopf代 の 部分Lie代

△(x)=(x,x) れ に よ りU(L) 対

関 手 で あ る. 数Aに

数 で あ る の でH=圏{結

対 し,P(A)はAの

合 的Hopf代

随伴Lie代

数

数}と す る と,P:H→Lは

関 手 で あ る.  注意 原始的生成Hopf代 CHの 部 分圏 といえる.

数 は双 対可 換なのでpH=圏{原

始的生成Hopf代

  さ らに 次 が 成 り立 つ:   定 理3.2  p=0と

す る と き,

  (1)  関 手P°U:L→LはLの

恒 等 関 手,

  (2)  関 手U°P:pH→pHはpHの

恒 等 関 手.

  (証 明略)  以 下,pは

素 数 とす る.

 定義  Aは

結 合 的 代 数 とす る.n:偶 ξ:An→Apn⇔

と定 義 す る.Lie積 の 随 伴restricted

  定 義   Lはrestricted ⇔Lはn=偶

ξ(x)=xpn

を も ち,こ Lie代

数 また はp=2の

(x∈An)

の 写 像 ξ を も つ 次 数 つ き ベ ク トル 空 間AをA

数 と い う. Lie代

数

数 ま た はp=2に

対 し て,次

の条件

を み た す 写 像 ξ:Ln→Lpnを

も つLie代

数:

あ る 代 数Aに

数 の 単 射f:L→

対 し て,Lie代

Aが 存 在 し て 右 上 の 図 は 可 換.   定 義   L→L′

はrestricted

⇔fはLie代

数 の 準 同 型 で 右 中 の 図 は 可 換.

  記 号  RL=圏{restricted

Lie代

Lie代

数 の 間 の 準 同型

数,そ

の間の準

同 型}   定 義   V(L):restricted

と き,

Lie代

数Lの

包絡代 数

数}は

⇔V(L)は

次 の 条 件 を み た すrestricted

Lie代

数 の 準 同 型iL:L→V(L)を

も つ 代 数: Aは

結 合 的 代 数 で,f:L→Aがrestricted

数 の 準 同 型f:V(L)→Aが

Lie代

数 の 準 同 型 の と き,代

一 意 的 に 存 在 し てf=f°iL.

  注 意   定 義 か ら包 絡 代 数 は 存 在 す れ ば 一 意 的 で あ る が,存 在 性 は 次 の よ うに 示 され る: V(L)=U(L)/I.た

だ し,Iは,n=偶

数 また はp=2の

ときxp-ξ(x)(x∈Ln)な

る形

の 元 で生 成 され るideal.   restricted

Lie代

数L,L′

  従 っ て,restricted

Lie代

の 積L×L′

について

 (3.3)

数Lに

対 し て 自 然 な 写 像 △:L→L×L⇔L(x)

=(x,x)は

双対積

 

りV(L)は

原 始 的 生 成 な 結 合 的Hopf代

関 手 で あ る.ま た,結 Lie代

合 的Hopf代

数 のrestricted部

  さ ら に,次   定 理3.4 

を 導 き,こ

分Lie代

数 と な る.従

数Aに

れ に よ

っ て,V:RL→pHは

対 し てP(A)は,Aの

数 と な る.従 っ て,P:H→RLは

随 伴restricted 関 手 で あ る.

が 成 り立 つ: p≠0の

と き,

  (1)  関 手P°V=RL→RLはRLの

恒 等 関 手,

  (2)  関 手V°P:pH→pHはpHの

恒 等 関 手.

  (証 明 略)   記 号   Lie代 ま たL#を

数Lを

自 明 なLie積

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 と み な し た も の をL#と を も つLie代

数 と も み な す.こ

表 わ す.

の と き,A(L)=U(L#)

と 表 わ す.

  §4  古 典 的 定 理   以 下,こ

の 節 で は 結 合 的Hopf代

  定 義  augmented代

で 定 義 さ れ るfiltrationを と い う.

数 を 扱 う.

数Aに

入 れ る.こ

れ を,Aのaugmentation

filtration

  こ のfiltrationの

随 伴 双 次 数 つ き 加 群 をE0(A)と

す る と き,次

の命 題 は いず

れ も 定 義 か ら 明 ら か で あ る.   命 題4.1  augmented代   (1)  E0(A)は

数A,Bにaugmentation

filtrationを

入 れ る と き,

filtrationを

入 れ る と き,

連 結 な 双 次 数 つ き 代 数,

 (2)

 (3)   命 題4.2  E0(A)は

結 合 的Hopf代

数Aにaugmentation

原 始 的 生 成 な 双 次 数 つ きHopf代

  AはQ上

の 連 結,可

と お く.π:I(A)→Xは

換,結

合 的Hopf代

数 と し,X=Q(A),A(X)=U(X#)

自 然 な 準 同 型 と す る と き,

  定 理4.3  (Leray)  =1X:X→I(A)→Xを

f:X→I(A)が

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 の 準 同 型 で,π

み た す な ら ば,fは

  [証 明]  fが

導 くaugmented代

E0(f):E0(A(X))→E0(A)は 命 題4.1よ

数 で あ る.

代数 の 同 型  

数 の 準 同 型 をf:A(X)→Aと

双 次 数 つ き連 結 なHopf代

°f

を与 え る. す る と き,

数 の 準 同 型 で,従

って

り

右 の 可 換 な 図 に お い て,命 題2.9に よ り,縦 の準 同型 は単 射 ⇒P(E0 (f))は 単 射 ⇒E0(f)は 来,E0(f)は

単 射.元

全 射 で あ る か ら,E0(f):同

型 ⇒f:同

型. 

(終)

  この定 理 の系 とし て   定 理4.4 

Q上

の 連 結,可

換Hopf代

数Aが

ベ ク トル 空 間 と し て 有 限 次 元 な

ら ば,Aは

奇 数 次 数 の 元 で 生 成 さ れ る 外 積 代 数 で あ る.

  実 際,こ

の と き,Q(A)m=0(m:偶

  系4.5 

Xが

有 限 次 元Hopf空

数). 間 な らば

H*(X;Q)=Λ(x1,…,xl), 

￨xi￨=ni:奇

数.

  定 義   こ の と き,lを 有 限 次 元Hopf空 間Xの 階 数(rank)と =lと 表 わ す .ま た(n1,…,nl)をXの 有 理 型 と い う.  定 義   代 数Aの

部 分 空 間Bは

生 成 部 分 室 間(generating

い い,rankX

submodule)

⇔

自 然 な 射 入B→Aの

  定 義   XはAの ⇔Xは

導 く準 同 型T(B)→Aは

生 成 元 の 集 合(a

次 数 っ き で,生

set of generators)

成 部 分 空 間 の 生 成 元 の 集 合.

  注 意   Aが 連 結 の と きは,命 題1.12に   定 義   Aは

代 数,An∋xと

よ り,I(A)に

す る.xの

連 結,結

を も つ な ら ば,Aは

合 的Hopf代 結 合 的,双

 (1)  p=0⇒h(x)=2 

 (2)  p=奇

とす る.

数Aが,代

(n:奇

数)

=∞   (n:偶

数)

素 数 ⇒h(x)=2 

  (3) p=2⇒h(x)=∞

数 と し て 唯 一 つ の 生 成 元x∈An

対 結 合 的Hopf代

=∞

属 す る生 成 元 の集 合 を 選べ る.

高 さ(height)h(x)=min{q￨xq=0}.

こ の よ う な 整 数 の な い と き は,h(x)=∞   命 題4.6 

全 射.

ま た はpr 

数 で 次 を み た す:

(n:奇

数)

(n:偶

数)

また は2r.

  [証 明]  双 対 積 ψ に つ い て   対 結 合 的.n=奇

数,p=0ま

 

た はp=奇

素 数 ⇒x2=0.そ

p=0⇒xq≠0(∀q).p=素

-i)=0⇒q=pr

ψ:双

の 他 の場 合

数 ⇒h(x)=qな

らば(i,q

. 

  定 義   こ の と きAを   命 題4.7 

原始的 ⇒

p≠0と

  (1)  Q(A)r=0 

(終)

単 生 成(monogenic)と す る.連

結,結

(∀r>n) 

合 的,可

い う. 換Hopf代

(2)  あ るmが

数Aが

条件

あ っ て  ξm(I(A))=0

を み た す な ら ば,P(A)r=0,r>pm-1n.   [証 明]  ま ずAは   (ⅰ)  p,k:奇

単 生 成A={x},x∈Ak,と

数 の 場 合;xi=0で

す る.

あ る か らxはI(A)の

基 底 で,命

題 は成

り立 つ.   (ⅱ)  そ の 他 の 場 合;I(A)の

生 成 元 は{x,x2,…,xpm-1}で

が 成 り 立 つ か ら,P(A)の

あ り 

生 成 元 は{x,ξ(x),…,ξm-1(x)}.従

っ て 命 題 は 成 り立 つ.   次 に,生 仮 定 し,Aは

成 元 の 個 数 〓qで 今q+1個

は 最 高 次 数 の 生 成 元.A′

あ る 結 合 的Hopf代

の 生 成 元{x1,…,xq,x}を を{x1,…,xq}で

数 に つ い て 命 題 は 成 り立 つ と も つ と す る.た

生 成 さ れ るAの

だ し,x

部 分Hopf代

数 と

し,  Hopf代

と お く.こ 数 で あ る.こ

の と き,A″

の と き,命

は 条 件(1),(2)を

題1.15′

みたす単生成の

を 少 し 修 正 し て,

0→P(A′)→P(A)→P(A″) は 完 全 系 列.帰

納 法 の 仮 定 か ら,A′,A″

は 有 限 生 成 の 結 合 的Hopf代

数 に 対 し て 成 り立 つ ⇒

の 帰 納 的 極 限 で あ る 有 限 型 のHopf代

Aは

連 結,結

で あ り, 

合 的,可

は 次 数nの

換Hopf代 生 成 元xを

数 とす る.A′

を み た す な ら ば,代

有 限 型 のHopf

は 部 分Hopf代

も つ 単 生 成 で,条

で あ る.Aは

全 系 列,

数 とし て は 自 然 な 準 同 型 と し,f:A″

より  

→Aは

数,p=0ま

み た すyな

  (ⅱ)  h(x)=∞

はA′

群 の同型 が代数 な わ ち,

あ る こ と を 示 せ ば よ い.

た は 奇 素 数 の 場 合;h(y)=h(x)=2で

あ る か ら π(y)

ら ば な ん で も よ い. の 場 合;同

様.

  (ⅲ)  そ の 他 の 場 合;h(x)=pmと お く と,B′

って  

代 数 の 準 同 型 で あ る こ と を 示 せ ば よい.す

存 在 し て,π(y)=x,h(y)=h(x),で

  (ⅰ)  n=奇 =xを

は 代 数 の 準 同 型 で,従

π°f= は 積 とす

は 左A′-加

可 換 で あ る か ら,φ

の 同 型 で あ る た め に は,fが y∈Anが

数

件

1A″ を み た す 次 数 つ き ベ ク トル 空 間 の 準 同 型 と す る.  題1.7に

(終)

(r>n)

  [証 明]  i:A′ →A,π:A→A″

る と き,命

題 数

数 に 対 し て 命 題 は 成 り 立 つ. 

  (1)  0→Q(A′)→Q(A)→Q(A″)→0:完   (2)  Q(A)r=0 

有 限 生 成 のHopf代

数 に 対 し て 成 り立 つ ⇒

代 数 の 帰 納 的 極 限 で あ る 一 般 のHopf代   命 題4.8 

に つ い て 命 題 は 成 り立 つ か ら,命

仮 定 し て さ し つ か え な い.B′=ξm(A′)と

の 部 分Hopf代

数Z/p(ξm(A′))で

あ る.簡

単 の た め に,次

の よ うに お く:

命 題2.6に

よ り,自 然 な 準 同 型A″ →C″ は 同型,従

同 一 視 す る.ま た,C′ はCの Q(C).π ′:C→C″

部分Hopf代

は 自然 な 準 同型,z∈Cnを

っ て,以 下,A″=C″

数 で あ り,Q(A′)=Q(C′),Q(A)= π(z)=x∈C″n=A"nを

みたす元

とす る と,双 対 積 ψ に つ い て,  こ

と

こで0→

P(C′)→P(C)→P(C″)→0は す か ら,P(C)l=0⇒  α:A→Cを

完 全 系 列,C′,C″

は 命 題4.7の

条件 を み た

ξmz=0. 自 然 な 準 同 型,ω ∈Anを

α(ω)=zを

み た す 元 と す る 

命 題2.4に

A′nが 存 在 し て,ξmω0=ξmω

⇒y=ω-ω0と

よ り

ξmω∈B′

お く と,π(y)=xか

⇒

らh(y)=h(x)

=pm. 

(終)

  定 理4.9  (Borel) 

連 結,可

間 と し て 有 限 型 な ら ば,代

換,結

合 的Hopf代

  [証 明]  命 題2.7に 代 数A(n)の

よ りAは(代

帰 納 的 極 限.こ

次 数 つ き ベ ク トル 空

単 生 成Hopf代

数 と し て)有

こ で 命 題4.8よ

後 は 帰 納 的 極 限 を と っ て 一 般 のAに 連 結 なHopf空

数Aが

数 として た だ し,Aiは

  Xは

ω0∈

限 な 可 換,結

りA(n)に

  定 理4.10 

連 結,可

対 し て 定 理 は 成 り立 つ.

有 限 型 な ら ば,Borelの Ai:単

理 を適 用 で き て,代 数 とし て  生 成 元 をxiと

合 的 部 分Hopf

つ い て も 成 り立 つ こ と が わ か る.  (終)

間 とす る.H*(X;Z/p)が

  定 義   Aiの

数.

生 成.

す る と き,{xi￨i∈I}をXのBorel基

換,結 合 的Hopf代

定

底 と い う.

数Aにaugmentation

filtrationを

入 れ る と き,代 数 と し て   [証 明]  一 般 に,augmented代

数Bに

対 し て,ΣE0(B)は

代 数 で,E0(ΣE0(B))=E0(B).今,A={(B,f)￨次 す}と

ま たaugmented

の 条 件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

みた

お く:

  (ⅰ)  BはAの

部 分Hopf代

  (ⅱ)  f:ΣE0(B)→Bは

数 で,0→Q(B)→Q(A)は

完 全 系 列,

代 数 の 準 同 型 で,

E0(f)=id:E0(B)=E0(ΣE0(B))→E0(B),   (ⅲ)  Q(f)n:Q(ΣE0(B))n→Q(A)nが

同型 で な い な らば

Q(ΣE0(B))q=0(q>n).   ((ⅱ)⇒fは 順 序<を

代 数 の 同 型)A∋(Z/p,id)で

あ る か らA≠

φ.Aに

次 の よ うに

入 れ る:

(B,f)<(C,g)⇔(1) 

B⊂C,  (2)  Q(B)n→Q(C)nが

同 型 で な い な ら ばQ(B)q=0(∀q>n)

 

(3)  右 図 は 可 換.

  この線 型 順 序 の入 ったAの

部分集 合 に お

い て帰 納 的 極 限 を と る ことに よ り,Aに 大 元 が あ る こ と が わ か る.こ

は極

の 極 大 元 の1つ

n=min{m￨Q(B)m≠Q(A)m} 

(も し,そ

と お く.y∈Anはy∈Q(A)n,  の 部 分Hopf代

を(B,f)と

数 とす る.命

の よ うなmが

題4.8に

Hopf代

生 成 さ れ るA

は 代 数 と して 単 生 成 で あ るか ら, 

極 大 性 に 反 す る.従

数Aに

あ れ ば)

よ り 

が 存 在 し て,(C,g)∈Aか

  補 題4.11 p≠0と

らに

と な る 元,CをyとBで

さ らに, 

(B,f)の

し,さ

つ(B,f)<(C,g).こ

っ て,B=A. 

す る.連

結,結

れ は (終)

合 的,双

対 結 合 的,可

換,原

始的生成 の

つ いて P(Z/pξ(A))=Z/pξ(P(A)).

  [証 明]  定 理3.4よ

りA=V(P(A))⇒Z/pξ(A)=V(Z/pξ(P(A)))⇒P

(Z/pξ(A))=Z/pξ(P(A)).    命 題4.12  A′ はAの

Aは

連 結,原

部 分Hopf代

代 数 で あ り,条

(終) 始 的 生 成,可

数, 

換,結

合 的,双

は 次 数nの

対 結 合 的Hopf代

数,

生 成 元 を も つ 単 生 成Hopf

件

  (1)  0→Q(A′)→Q(A)→Q(A″)→0   (2)  Q(A)r=0 

(∀r>n)

を み た す な ら ば,Hopf代   [証 明]  命 題4.8の

数 と し て, 証 明 と 同 じ 記 号 の 下 に,y∈P(A)nが

h(y)=h(x)で

あ る こ と を 示 せ ば よ い.命

的 に とれ,さ

ら に,ξmω ∈P(ξmA′)=ξmP(A′)で

あ っ て,π(y)=x,

題4 .8の 証 明 で,z,ω

は い ず れ も原 始

あ る か ら ω0も 原 始 的 に とれ る . (終)

  定 理4.13 Aは

連 結,原

始 的 生 成,可

し か も 次 数 つ き ベ ク トル 空 間 と し てAが た だ し,Aiは

  [証 明]  命 題4.12を

単 生 成Hopf代

換,結

合 的,双

対 結 合 的Hopf代

有 限 型 な ら ば,Hopf代 数.

繰 り返 し使 うこ とに よ り,有 限 生 成 のAに

は 成 り立 つ.有 限 型 のHopf代

数,

数 と し て, 

数 は 有 限 生 成 のHopf代

つ い て定 理

数 の 帰 納 的 極 限 と して

表 わ せ る か ら,こ

の 後,帰

納 的 極 限 を と っ て,定

理 が 成 り立 つ こ と が わ か る. (終)

  Grassmann代

数(外

  定 義   代 数Aは ⇔Aは

積 代 数)

厳 密 に 可 換(strictly

commutative)

可 換 か つx2=0(∀x∈A2n-1).

  AがZ/p(p≠2)上

の 代 数 で あ る と き, A:可 換 ⇔A:厳

  次 数 つ き ベ ク トル 空 間Xに (X)/Iと

表 わ さ れ る.た

idealで

あ る.Xeven={偶

よ り生 成 さ れ る 自 由,厳

だ し,Iは

密 に 可 換 な 代 数 はA

奇 数 次 数 の 元xの

数 次 数 の 元}=0の

厳 密 に 可 換 な 代 数 をXの 代 数 と い い,Λ(X)と

密 に 可 換.

と き は,Xに

外 積 代 数(exterior

表 わ さ れ る.こ

平 方x2で

よ り 生 成 さ れ る 自 由,

algebra)ま

の と き,次

生 成 され る

た はGrassmann

が 成 り立 つ:

 (4.14)

 写像 

に よ り  が 導 か れ,こ

  (4.15) Xが   Xodd={奇

有限型

れ を 双 対 積 と し て Λ(X)はHopf代 ⇒

Λ(X*)=Λ(X)*.

数 次 数 の 元}=0の

(symmetric

algebra)と

い わ れ,P(X)ま

  定 理4.16  (Samelson-Leray)  で,積

と き,A(X)はXに

い わ れ る.ま

れ た と き,A(X)は{xi￨i∈I}に algebra)と

た,Xの

→Q(A)は

生 成 元{xi￨i∈I}が

た はP[xi￨i∈I]と Aは

合 的,双

ら ば,射

対 結 合 的Hopf代

数

入 に よ り導 か れ る準 同 型

同 型 で あ る.

ず,p=0,p≠0に 単 射.(仮

定 か らAは

般 の 場 合 は,帰

応 じ て 命 題2.9,2.12に

と き ξ(I(A))=0.)従

Q(A*)は

方,P(A*)even=0⇒[x,y]=0,∀x,y∈P(A*)⇒A*の

全 射.一

積 は 可 換.p=2の

と き,x∈P(A*)oddと

厳 密 に 可 換 でQ(A)even=0.命

っ て,A*は

納 的 極 限 を とれ

よ り 自 然 な 準 同 型P(A)

奇 数 次 数 の 元 で 生 成 さ れ,積

る か ら,p≠0の

⇒A*は

与え ら

表 わ さ れ る.

連 結,結

  [証 明]  Aが 有 限 型 の と き に 示 せ ば よ い(一 ば よ い).ま

よ り 生 成 され る 対 称 代 数

よ り生 成 さ れ る 多 項 式 代 数(polynomial

は 厳 密 に 可 換 か つQ(A)even=0な

Λ(P(A))→Aは

数 に な る.

は厳 密 に可 換 で あ

原 始 的 生 成

⇒P(A*)→

す る と,x2∈P(A*)even=0⇒x2=0 題2.9,2.12を

適 用 し てP(A*)→

Q(A*)は

単射

⇒P(A)→Q(A)は

全 射.以

上 を ま と め てP(A)→Q(A)は

同 型. (終)

  注 意   Aが

双 対 結 合 的 で な い な らば 定 理 は 成 り立 た な い.

  系4.17  torsionを

ホ モ トピ ー 結 合 的 な 有 限Hopf空

間 と す る.H*(X)がp

も た な い な ら ばH*(X;Z/p)=Λ(x1,…,xl)で

Xは

あ り,各xiは

原始

的 に と れ る.   命 題4.18 p≠2,Aは

連 結,可

換,双

対 可 換Hopf代

数

た だ し,   B:奇

数 次 数 の 生 成 元 よ りな る 外 積 代 数,C:Hopf代

 [証 明]  Aが

有 限 型 の と き に 示 せ ば よ い. Lq=

とお く.B=Λ(L)(Lに と

お く.Bは

同 型j*:B*→A*が す.こ

P(A)q 

q:奇

数

0 

q:偶

数

{

よ り生 成 され る部 分Hopf代

数), 

有 限 型 で あ るか ら, 

射 入,  ⇒Hopf代

あ っ て,j=(j*)*:A→Bは1B=j°i:B→A→Bを

こ でj:A→Bを

は

数 で,Codd=0.

使 っ て, 

を 構 成 す る.こ

数の準 みた

の と き,合

同型で,従 って, 

成写像  

(終)

 §5  filtration

 以 下,こ の 節 で は,次 数 つ き ベ ク トル空 間  

は ∀iに つ い て

有 限 次 元 とす る.   (A,φ)は 代 数 とす る.

 記号   定 義   Aの

減 少filtration{FqA}を

次 の よ うに 定 義 す る

F0A=A,

 定義    こ の と き,Eq0(A)は

Eq0(A)=FqA/Fq+1A. 次 数 つ き でEq,l0(A)={x∈Eq0(A)￨￨x￨=q+l}と

従 っ て,

 ま た,E00(A)=K,Eq,l0(A)=0(∀l<0).

お く.

 定 義    ∀x∈Aに  

Aが

に 対 し て,x={x}∈FqA/Fq+1A 対 し て 上 の よ うなqが

結 合 的 の と き,E0(A)上

  命 題5.1 A,Bは

存 在 す る の でxは

の 積 をx・y=xyで

常 に 定 義 さ れ る. 定 義 す る.

結 合 的 代 数 と す る と き,

 (1)  E0(A),E0(B)は

結 合 的 代 数, た だ し,積

 (2) 

は 

に よ り定 義 さ れ る,   (3)  準 同 型f:A→Bは

準 同 型f0:E0(A)→E0(B)を

  (4) E10(A)=QE0(A),す

な わ ち,E10(A)の

導 く,

元 は 分 解 的 で な く,E10(A)はE0(A)

を 生 成 す る.   [証 明]  (1)  A:結 defined,従

合的

っ てE0(A)は

⇒FnA・FmA⊂Fn+mA⇒E0(A)の

積 はwell

結 合 的 代 数. も し 

 (2) 

  (3),(4)は   (C,ψ)は

と お くと

明 ら か. 

(終)

双 対 代 数 と す る.ρ:C→Cは

自 然 な 射 影,ι:C→Cは

自然 な射 入

とす る.

 定義 (n+1重)  定 義  GnC=Ker

ψn.

 こ の と き{GnC}はCの

増 加filtrationで

 定義   注 意  C*=Hom(C,K)に とGnは  

Cが

あ る:GnC⊂Gn+1C,∪GnC=C.

0En(C)=GnC/Gn-1C. つ い て,Fn+1(C*)=GnCのannihilator,す

なわ ち,Fn+1

互 い に 双 対 的 なfiltrationで あ る. 双 対 結 合 的 の と き,0E(C)に

  命 題5.1の

双 対 積 Ψ0を Ψ0(x)=ψxで

双対 とし て

  命 題5.1′  C,Dは   (1)  0E(C),0E(D)は

双 対 結 合 的 双 対 代 数 とす る と き, 双 対 結 合 的 双 対 代 数,

定 義 す る.

  (2) 

(双 対 代 数 と し て),

  (3)  準 同 型g:C→Dは

準 同 型0g:0E(C)→0E(D)を

導 く,

  (4) 0E1(C)=P(0E(C)).   以 下,(A,φ,ψ)はHopf代

数 とす る.

  (5.2) Aが 結合的Hopf代 E0(A)のHopf代   (5.2)′  Aが

双 対 結 合 的Hopf代

型 で,0E(A)のHopf代

は代数の準同型で,

⊂PE0(A),従

数ならば  

は双対代数の準 同

数 構 造 を 与 え る.

  命 題5.3 (1) Aが

  (2)  Aが

数 ならば  

数 構 造 を 与 え る.

結 合 的Hopf代

っ て,E0(A)は

数 な ら ば,E0(A)はHopf代

数 でE10(A)

原 始 的生 成 .

双 対 結 合 的Hopf代

数 な ら ば,0E(A)は

結 合 的,可

換 なHopf代

数 で,ξ(0E(A))=0.   (3) Aが

結 合 的Hopf代

数 な ら ばE0(A)と0E(A*)は

互 い に 双 対 的 なHopf

代 数.   [証 明]  (1) 

はfiltrationを

で あ る か ら,E10(A)⊂P(E0(A)).こ

こ で 命 題1.1.(4)よ

保 ちE00(A)=Z/p りE10(A)はE0(A)を

生 成 す る.   (3)  filtration

Fn,

Gnは

  (2)  命 題2.4と(1),(3)よ   命 題5.4 

(1)  Aが

 (2)  AがZ/p上

互 い に 双 対 的 で あ る こ と か ら 明 ら か. り明 ら か. 

結 合 的,可

換 なHopf代

(終) 数 な ら ば,代

の 双 対 結 合 的,双 対 可 換なHopf代

数 として

数 な らば,双 対 代 数

とし て

  [証 明]  (1)  命 題1.1.(2)とBorelの   (2)は(1)の

定 理(定

双 対 で あ る. 

 双原始形式   定 義   Hopf代 ⇔Aの  

数Aは

原 始 的(primitive)

原 始 的 生 成 元 の 集 合 が あ る. Hopf代

数Aは

双 対 原 始 的(coprimitive)

理4.9)よ

り 出 る. (終)

⇔Aの

原 始 的 元 は 非 分 解 的:PA⊂QA.

  Hopf代 ⇔Aは

数Aは

双 原 始 的(biprimitive)

原 始 的 か つ 双 対 原 始 的.

  注 意   A:双

対 原 始 的 ⇔A*:原

始 的.

  次 の 定 理 は 命 題2.9と2.2の   定 理5.5 

(1)  Z/p上

  ⇔Aは

のHopf代

  系5.6 Aが 数Aは rank

のHopf代

結 合 的,可

  (2)  Q上

い い か え に す ぎ な い:

換,か 数Aは

つAの

決 定 さ れ る.す Biな

 [証 明]  Borelの

す べ て の 元 のp巾

数 な ら ば,整

な わ ち,A,Bが ら ば,代

は 自 明.

結 合 的 か つ 可 換. 数 の 組ri=rank

Aiに

よ り代

双 対 原 始 的Hopf代

数 で,∀iに

ついて

定 理5.5に

数 と し て 

数 と して

定 理(定

理4.9)と

た だ し,{xi}はAの

よ り,代

生 成 元 の 集 合 で,

の 場 合,￨xi￨に

今{ri￨i
双対原始的

双 対 原 始 的 ⇔Aは

双 対 原 始 的Hopf代

Ai=rank

従 っ て,こ

数Aは

￨xi￨=偶

数,

￨xi￨=奇

数.

よ り代 数 と し てAは

次 数
完 全 に 決 定 さ れ る.帰

決 定 し た と 仮 定 し よ う.Dn=(次

納 法 で,

数nの

分解

元)と お く と き, rn-rank

Dn=#{次

で あ る か ら,系

は 証 明 され た. 

  系5.7 Aが

双 原 始 的Hopf代

代 数Aは

数nの

生 成 元} (終)

数 な ら ば,整 数 の 組ri=rank

Aiに

完 全 に 決 定 さ れ る.

  [証 明]  Aが

原 始 的 な ら ば,Aの

生 成 元 は 原 始 的 に と れ る か ら,Aの

積 は 自動 的 に 定 ま る.    定 義   AはHopf代   BはAの   系5.8 

Hopf代

対結合的

数,Bは

双 原 始 的Hopf代

数 の 任 意 の2つ

合的

⇒E0(A):原

⇒0E(A):双

双対 (終)

双 原 始 形 式(biprimitive

  注 意   A:結 A:双

よ りHopf

数 とす る.

form)⇔rank

の 双 原 始 形 式 は(Hopf代

始 的(命 題5.3.(1)),

対 原 始 的(命 題5.3.(2)),

Ai=rank

Bi(∀i).

数 と し て)同 型.

A:原

始 的Hopf代

A:双

対 原 始 的Hopf代

  補 題5.9 

数

⇒A:双 数

(1)  A:原

  (2)  A:双

対 結 合 的,

⇒A:結

合 的.

始 的 ⇒0E(A):双

対 原始的

⇒E0(A):双

原 始 的.

  [証 明]  (2)  定 理5.5に

よ り,A:双

次 数 正 の 元 の す べ て のp巾

は 自 明.命

従 っ て,E0(A)は 対 原 始 的.一

原 始 的,

対 原 始 的 ⇒A:結 題5.4.(1)よ

合 的,可

り,代

数 と し て 

これ ら の 性 質 を も つ と し て よ い.す

方,命

題5.3.(1)よ

りE0(A)は

原 始 的.従

換かつ

な わ ち,E0(A):双 っ て,E0(A)は

双 原

始 的.   (1)は(2)の   系5.10 

(1)  Aが

  (2)  Aが  

双 対.  結 合 的Hopf代

双 対 結 合 的Hopf代

Aが 結 合 的,可 一方

(終)

数 な ら ば,E0(0E(A))はAの

換 な ら ば,Borelの

,p≠0で

あ り,Bが

を単 生 成 のHopf代 で 切 除 し て,各p巾 Bi:単

ち, 

数 な ら ば,0E(E0(A))はAの

定 理(定

結 合 的,可

数 のtensor積

理4.9)に

換,原

双 原 始 形 式. 双 原 始 形 式.

よ り代 数 と し て 

始 的 生 成 な ら ば,0E(B)は,B

とし て表 わ した と き,各 多 項 式 環 を 高 さp

の 元 の代 りに新 しい 生成 元 を導 入 し て え られ る.す

なわ

生 成Hopf代

ただ

数,と

す る と き, 

し,

  従 っ て,次

の 定 理 が え ら れ る:

  定 理5.11 AはZ/p上 て は,Aの

の 結 合 的,可

換 なHopf代

双 原 始 形 式 は,Z/p[x]/(xpf)と

い う形 のtensor積

に お き か え て え ら れ る.た

 特 に,Q上

 

 補

遺

 A

Hopfの

Xを

で は,代 数 と してAは

  Hopfの

間 で,H*(X)は

定 理   H*(X;Q)は

だ し,xpi-1はyiを

数 とし

の 因 子 を  表 わ す.

そ の双 原 始 形 式 に 同 型 で あ る.

定 理 の 一 般 化[Hubbuck

連 結 なHopf空

数 と す る と き,代

4] 群 と し て 有 限 生 成 と す る と き,

奇 数 次 数 の 生 成 元 を も つ 外 積 代 数 で あ る.

  次 の 定 理 は こ れ の 一 般 化 で あ る:  (A.1) Xは2-連

結 なHopf空

間 で,H*(X)は

環 と して 有 限 生 成 とす る と

き,H*(X;Q)は

奇 数 次 数 の 生 成 元 を も つ 外 積 代 数 で あ る.

  注 意1.  H*(X)が   2.  Xが2-連  ⅰ)  Xは

環 とし て有 限生 成 で なけ れ ば 結 論は 成 り立 た な い.

結 とい う仮 定 は 次 の2条 件 でお きか え られ る:

連結,

 ⅱ)  H2(X;Q)⊂H1(X;Q)・H1(X;Q)(カ   3.  H*(X)は

ッ プ積)

環 とし て 有限 生 成 とい う仮 定 は 次 の2条 件 でお き か え られ る:

 ⅲ)  あ る 素数pに

つ い てH*(X)はp-torsionを

 ⅳ)  H*(X;Z/p)の

もた な い,

環 の斉 次 な 生 成 元 の極 小 集 合 は,偶

数 次 数 の生 成 元 を有 限 個 し

か もた な い.   B  有 限 複 体 のHopf構   可 算CW-複

造[Curjel]

体 の ホ モ ト ピ ー 圏 を 〓hと す る.す

は 弧 状 連 結 な(基 点 の あ る)位 相 空 間 で 可 算CW-複 の で あ り,射(morphism)は

な わ ち,〓hの

体 の ホ モ ト ピ ー 型 を もつ も

基 点 を 保 つ 写 像 の ホ モ トピ ー 類 で あ る.〓hに

け る 群 は ホ モ トピ ー 結 合 的 な 積mを

も つHopf空

に お け る 同 型 と は,〓hに

値 な 射 を い う.

  こ の と き,次   (B.1) 

対 象(object)

お け るH-同

間(X,m)で

あ る.ま

お

た〓h

が 成 り立 つ:

連 結 な 有 限CW-複

体 は〓hの

群 とし て 互 い に 同 型 で な い 構 造 を 高

高 有 限 個 し か もた な い.   有 限 性 の 仮 定 が 必 要 な の は,S1×K(Z,2)が〓hの

群 と し て,互

いに同型で

な い 構 造 を 無 限 個 もつ た め で あ る.   記 号   βi(X):Xのi次Betti数,γi(X)=rank   (B.2) 

Xを

連 結 な 有 限CW-複

πi(X).

体,(X,m)を〓hの

群 と す る.こ

の と き,X

は ホ モ トピ ー 結 合 的 で な いHopf空

間 と し て互 い に 同型 で な い構 造 を 無限 個 も

つ た め の 必 要 十 分 条 件 は,あ

つ い て βn(X∧X)γn(X)≠0.

  す な わ ち,〓hの Hopf構

群 は,無

るnに

限 個 の 積 を もつ と,無

限 個 の 互 い に 同型 で な い

造 を も つ こ と に な る.

  γk(X)≠0と

な る 整 数kをn1,…,nrと

す るとき

  (B.3) ⅰ)  βni(X)=γni(X),∀i⇒Xは

有 限 個 の 群 構 造 しか もた な い

 ⅱ)  あ るiに

群構 造 の 有 限 個 の 同 型 類 の 各 々は

つ い てβni(X)>γni(X)⇒

無 限 個 の 群 構 造 を 含 む.   (B.4) ⅰ) 

あ るnに

つ い てβn(X∧X)γn(X)≠0な

らば 無 限 個 の互 い に 同型

で な いHopf構

造m1,m2,…

は す べ てPontrjagin環H*((X,mi);Q)が

結 合

的 で な い よ うに と れ る.  ⅱ)  N=#{k∈N￨(βk(X∧X)γk(X)≠0}と うち 少 な く と もN個

はQ上

  例 え ば, 

のPontrjagin環

の

の 多 元 環 と し て 互 い に 同 型 で な い. の 異 な るHopf構

型 で な いPontrjagin環

造 は 少 な く と もn-4個

の互いに 同

を 与 え る.

  C  有 限 次 元 のHopf空

間[Curjel-Douglas]

  記 号  ΘN={次

元 〓Nの

 こ の と き,次

が 成 り立 つ:

  (C.1) 

お く と き,上

連 結,有

限CW-複

集 ま り{H*(X)￨X∈ΘN}の

体 の ホ モ ト ピ ー 型 を も つ 空 間}

中 に は 同 型 を除 い て 高 々有 限 個 の 有 階

可 換 群 し か な い.  (C.2) 

の 中 に は 同 型 を除 い て 高 々有 限 個 の 有

集 ま り 

階 可 換 群 し か な い.   こ の2つ   (C.3) 

の定 理 か ら ∀Nに

対 し,次

元 が 高 々Nの

連 結,有

限CW-複

体 で あ るHopf空

間 は ホ モ トピ ー 型 を 除 い て 有 限 個 し か な い.   基 点 の あ る 連 結,有 定 理 と(B.1)か   (C.4) 

限 なCW-複

体 の ホ モ ト ピ ー 圏 をF〓hと

す る と き,こ

の

ら,

任 意 の 自 然 数Nに

対 し て,次

元 〓Nの

連 結,有

限 なCW-複

体の ホ

モ ト ピ ー 型 を もつF〓hに

おけ る群 は 群 の 同型 を除 い て有 限 個 しか 存 在 し な い.

  D  有 限 階 数 のHopf空

間[Hubbuck

  (D.1) 

Xを

し てdim

X
有 限Hopf空

  こ の 定 理 と(C.2)か   (D.2) 

間 でrank

X=kと

与 え ら れ た 階 数 を も つ 有 限 なHopf空

  E  射 影 平 面[Browder-Thomas] 間(X,m)に

す る と き,自

然 数N(k)が

存在

ら

個 し か な い.

  Hopf空

6],[Nunn]

対 して

p:EX→SX⇔p(x,(t,y))=(t,y)

間 の ホ モ トピー型 は 高 々有 限

と定 義 す る.pの と き,次

 ⅰ )   ⅱ

)   ⅲ)   ⅳ) 

写 像 錐 

をXの

の 完 全 系 列 が 存 在 し て,ⅰ)∼ⅳ)′

φ,λ,ιはSteenrod代

数Ap上

射 影 平 面 と い う.こ

の

を み な す:

の 準 同 型,

φ は 環 と し て の 準 同 型, ι(D)=0,  D=D2H*(P2X;Z/p), H*(X;Z/p)が

原 始 的 生 成 な ら ば,H*(P2X;Z/p)のideal

Sが

存

在 し て,ι(S)=0,S・H*(P2X;Z/p)=0, (環 と し て),  た だ し,

 ⅳ

)′  も しXが

有 限Hopf空

間 な らば (群 と し て)

 た だ し, 

とSはAp-加

  注 意   上 述 の 論 文 のTheorem

群(Ap=Ap/(β), 

(1.1)ま た は[TM]の

A2=A2/(Sq1)).

第6章,定

理5.9に

お い て はⅳ)′

の 有 限 性 の 条 件 を つ け てい な い が,こ れ に は 次 の 反 例 が あ る: X=(S3,4):S3の3-連

  F  低 い 階 数 のHopf空  

XはHopf空

結 フ ァ イ バ ー 空 間.

間の型

間 で 

を み た す も の とす る.X

の 射 影 平 面 の(一 般)コ ホ モ ロ ジ ー 環 に お け る コ ホ モ ロ ジ ー 作 用 素 を 考 察 す る こ と に よ り,次   (F.1)   ⅰ

) 

が わ か る[Adams],[Sigrist-Suter].

q,nは

次 の い ず れ か で あ る:

q,n∈{1,3,7}, ⅱ) 

(q,n)=(1,2),(3,5).

  これ ら の 例 と し て は,ⅰ) 

Sq×Sn,Sp(2), ⅱ) 

  (F.2)  [Hubbuck な ら ばXは

2]Hopf空

間Xが

SO(3),SU(2).も

連 結,有

次 の 空 間 の 積 で あ る 同 じ 階 数 のHopf空

限CW-複

っ と一 般 に 体 でrank 

間 の 型 を も つ:

S1,S7,SU(n),Sp(n).  

G 

U(M)多

元 環[Kane

  pは 奇 素 数,A(p)はSteenrod代

6] 数 と す る.Xは1-連

結Hopf空

間 で,

 

H*(X;Z/p)は

有 限 次 元 と す る と き,

 (G.1)  非 安 定A(p)加

群Mが

包絡代数

存 在 し て 

を み た す な ら ば,xp=0,∀x∈H*(X;Z/p).   特 に,Hopf代

数H*(X;Z/p)が

原 始 的 生 成 の と き は,M=PH*(X;Z/p)

と とれ る か ら,   (G.2) 

H*(X;Z/p)が

原 始 的 生 成 な ら ば,xp=0,∀x∈H*(X;Z/p).

  H  正 則 性   写 像f:X→Yが

あ っ て, 

を み た す と き,

XはYにp-同

値 で あ る と い う.Xが

連 結 な 有 限Hopf空

定 理(系4.5)に

よ り,H*(X;Q)=Λ(x1,…,xl),￨xi￨=ni:奇 と お き,XがS(X)にp-同

で,  (regular)で  (H.1) 

間 の と き,Hopfの 数 と な る.そ

値 の と きpはXに

こ

対 し て正 則

あ る と い う. [Kumpel

2] 

Xが1-連

な らばpは

結 の と き, 

正

則 で あ る.   Kumpelは

も っ と一般 にmod

1-連 結 で な い と き は,次  (H.2) 

[Harper

球 面 の 積 にp-同

p Hopf空

間 に つ い て こ の 定 理 を 示 し て い る.

が 成 り立 つ:

な ら ばXは

5] 

一 般 レン ズ空 間 と奇 数 次 元 の

値 で あ る.

  Ⅰ 原 始 的 生 成 性   命 題2.12の

特 別 な 場 合 と して

  (Ⅰ.1) [Kane  

1]  (X,m)が

H*(X;Z/p)は

有 限Hopf空

間ならば

原 始 的 生成 ⇔H*(X;Z/p)は

可 換 か つ 結 合 的.

 こ れ に 関 連 し て   (Ⅰ.2)  [Zabrodsky 空 間 と す る と き,次

1]  pは 奇 素 数,(X,m)は

ホ モ トピ ー 結 合 的 な 有 限Hopf

の 条 件 は 同 値 で あ る:

  (ⅰ)  H*(X)はp-torsionを

もた な い,

  (ⅱ)  H*(X;Z/p)はm*の

下 で 原 始 的 生 成,

  (ⅲ)  H*(X;Z/p)はm*の

下 で 可 換.

第3章 

Gottlieb空

  本 章 で は[Gottlieb 心 にHopf空

間 とWhitehead空

1,2],[Haslam],[Siegel],[Arkowitz-Gurjel]を

間 の 一 般 化 で あ るGottlieb空

断 ら な い 限 り,CW-複  §1  Gottlieb空

間

中

間 に つ い て 解 説 す る.ま

た,特

に

体 の ホ モ トピ ー 型 を も つ 空 間 の 圏 で 考 え る. 間

  評価 部 分群   X∋x0,Sn∋s0を

そ れ ぞ れ の 基 点 と す る.

  定 義   Gn(X,x0)={[f]∈

πn(X,x0)￨∃F:X×Sn→X,F￨X=1X,F￨Sn=f}.

す な わ ち,[f]∈Gn(X,x0)⇔1∨f:X∨Snの す る.こ

の と き,Fをfの

Gn(X,x0)は  

πn(X,x0)の

X,YはCW-複

拡 張F:X×Sn→Xが

提 携 写 像(affiliated

map)と

存在

い う.明

ら か に,

部 分 群 で あ る.

体,X∋x0基

点 と す る.

  記 号   F(X,Y)={f:X→Y}.  定 義   e:F(X,Y)→Y⇔e(f)=f(x0)   

XはCW-複

体 で あ る か ら,次

評 価 写 像(evaluation

map).

の 一 対 一 対 応 が あ る:

  従 っ て   命 題1.1 

X:CW-複

体 ⇒e#πn(F(X,X),1X)=Gn(X,x0).

  こ の 命 題 に よ り,Gn(X,x0)を group)と

Y,XはCW-複

  [証 明] 

[g]∈Gn(X,x0)と

.こ

評 価 部 分 群(evaluation

sub

い う.

  命 題1.2 

=g

πn(X,x0)の

の と き,合

体,f(y0)=x0⇒Gn(X,x0)⊂e#(πn(F(Y,X),f)). す る と 提 携 写 像F:X×Sn→Xが

成 写 像F°(f×1):Y×Sn→X×Sn→Xの

あ っ てF￨Sn 存 在

に よ り[g]

∈e#(πn(F(Y,X),f)).    ω:I→Xは

ω(0)=x0か

(終) ら ω(1)=x1∈Xへ

の 道 と す る.こ

の と き,よ

く知 ら

れ て い る よ うに, 

特 に,

  命 題1.3   [証 明] 

Gn(X,x1)∋[f]と

す る と,提

F(x,*)=x,F(x1,s)=f(s).そ

携 写 像F:X×Sn→Xが

存 在 し て,

こで

ht:Sn→X⇔ht(s)=F(ω(1-t),s), 

s∈Sn

と 定 義 す る と,h0=f,[h1]=ω#[f]∈ ω#[f]∈Gn(X,x0).従

πn(X,x0).こ

こ でFの

っ て,ω#(Gn(X,x1))⊂Gn(X,x0).一

I→Xは(ω-1)#:πn(X,x0)→

πn(X,x1)を

導

ω#:Gn(X,x1)→Gn(X,x0), 

存 在 性 か

方,上

く か ら,ω#は(ω-1)#の

逆 の 同 型 で,

(ω-1)#:Gn(X,x0)→Gn(X,x1)

で あ る か ら, 

(終)

 こ の 命 題 に よ り,以  一 般 に

下,Gn(X,x0)を

,写 像f:X→Yは

単 にGn(X)と

  し か し な が ら,次

略 記 す る こ と が あ る.

必 ず し もf#:Gn(X)→Gn(Y)を

  例   i1:(S1,s0)→(S1∨S1,*)は

  補 題1.4 

ら,

の 道 の 逆 ω-1:

第1因

導 か な い.

子 へ の 射 入 と す る と,

が 成 り立 つ:

f:X→Yに

対 し て,写

像F:Y×X→Yが

存 在 し て,F￨Y∨X=

1Y∨f⇒f#:πn(X)→Gn(Y).   [証 明]  πn(X)∋[g]に

対 し て 合 成 写 像F°(1×g):Y×Sn→Y×X→Yを

考

え る とf#[g]∈Gn(Y).    命 題1.5  Xを

(終)

YはCW-複

体 と す る.r:X→Yが

右 ホ モ ト ピ ー 逆 写 像i:Y→

持 つ な ら ばr#:Gn(X,x0)→Gn(Y,r(x0)).

 [証 明]  Gn(X,x0)∋[f]の

提 携 写 像 をF:X×Sn→Xと

し,写

像

F′:Y×Sn→Y⇔F′(y,s)=r°F(i(y),s) と 定 義 す る とF′(y,*)=r°F(i(y),*)=r°i(y).こ Sn,Y×*)はHEP(ホ

モ

在 し て,H0=F′,H1(y,*)=y.ま と 仮 定 し て よ い.こ (y0,*)と

ト ピ ー 拡 張 性 質)を

で あ り,(Y×

こ で  も つ か ら,ホ

た(Y,*)もHEPを

モ

ト ピ ーHtが

も つ か ら,r°i(y0)=y0

の と き,[F′￨r(x0)×Sn]=r#[f].ω:I→Y⇔

定 義 す る と, 

く と,ω#[h]=r#[f].こ ∈Gn(Y,y0)⇒r#[f]∈Gn(Y,y0). 

存

ω(t)=Ht

h=H1￨y0×Sn:Sn→Yと こ で[h]∈Gn(Y,y0)で

あ る か ら 命 題1.3よ

お り ω#[h] (終)

  系1.6 

r:X→Y:retraction⇒r#:Gn(X)→Gn(Y).

  系1.7 

Y:CW-複

体 と す る.i:Y→Xが

 [証 明]  仮 定 よ りr:X→Yが ピ ー をht:Y→Yと

左 ホ モ

トピ ー 逆 写 像 を もつ な ら ば

この ホ モ

あ っ て, 

し,ω:I→Y⇔

ω(t)=ht(y0)と

r#°i#=ω#:π1(Y,y0)→

す る.こ

ト

の と き,

π1(Y,y0)

(終)   定 理1.8  [証 明]  Y:CW-複

体 の と き:fは

f#(Gn(X))⊂Gn(Y).ま

たfは

右 ホ モ トピー 逆 写 像 を もつ か ら

左 ホ モ トピ ー 逆 写 像 を も つ か ら  一 方 

で あ る か ら,  一般

に

(CW-複

, 

体)の

と き,g°f:X→Y→Zは

ホ モ トピ ー 同

か つ 

値写像 

(終)   定 理1.9   [証 明]  簡 単 の た め にZ=X×Y,z0=(x0,y0)と

お く.p:Z→X,q:Z→Y

を 射 影 とす る と同 型

が あ る.p,qはretractionで 一 方

,射

あ る か ら 系1.5よ

り 

入j:X→X×y0⊂Z,k:Y→x0×Y⊂Zに Gn(X)∋[f]の

対 し て 

提 携 写 像 をH:X×Sn→X(H(x0,s)=f(s))と

K:X×Y×Sn→X×Y⇔K(x,y,s)=(H(x,s),y)と ら[j°f]∈Gn(Z).全

し,

定 義 す る とKの

く 同 様 に,[k°g]∈Gn(Z).従

存 在 か

っ て, 

(終)   定 理1.10 

(X,μ)がHopf空

 [証 明]  X∋e単

間 な ら ばGn(X)=πn(X).

位 元 とす る.∀f:Sn→Xに

対 し て,fの

提携写像 を

F:X×Sn→X⇔F(x,s)=μ(x,f(s))

と定 義 す れ ば よい. 

(終)

  Whitehead積   πp(X)∋

α=[f],f:(Ip,∂Ip)→(X,*),πq(X)∋

(X,*),と

β=[g],g:(Iq,∂Iq)→

す る:Sp+q-1=∂(Ip×Iq)=Ip×

∂Iq∪ ∂Ip∪Iqと

同 一 視 す る.

 定義 の 表 わ す ホ モ トピ ー 類 は,f,gの を[α,β]∈

πp+q-1(X)と

  こ の と き,対  (1.11)   (2) 

ホ モ ト ピ ー 類 α,β の み に 依 存 す る の で,こ

表 わ し,α

と β のWhitehead積

応(α,β)→[α,β]は

(1)  h:X→Yに

れ

と い う.

自 然 で 次 が 成 り立 つ:

つ い て,

[β,α]=(-1)pq[α,β],

 (3)

  定 義   h:Sp×Sq→Xは(α,β)型 ⇔h￨Sp×*は

α∈ πp(X)を,h￨*×Sqは

  定 理1.12 

πp(X)∋ α,πp(X)∋

像Sp×Sq→Xが  [証 明] 

β∈ πq(X)を

表 わ す.

β と す る と き,[α,β]=0⇔(α,β)型

の写

存 在 す る.

ω:(I,∂I)→(S1,*)は

Λ °ωn:In→(S1)n→Snと

等 化 写 像,ωn=ω

× … × ω:In→(S1)n,ωn=

お く.(Sp×Sq,Sp∨Sq)は

胞 体ep+qの

相 対CW-複

体 で, 

特 性 写 像 は 

で あ り,接

着 写 像 はWhitehead積[ι1,ι2]を

表 わ す.こ

こ

は 射 入,α=[f],

で,  f:Sp→X,β=[g],g:Sq→Xに

つ い て, 

と 定 義 す る と,(α,β)型 の 写 像f:Sp×Sq→Xが に 拡 張 可 能 ⇔k°

ωp,q￨∂(Ip×Iq)はIp×Iqに

存 在 ⇔kはSp×Sq

拡 張 可 能 

こ こ で    系1.13 

(終)

(X,μ):Hopf空

 [証 明]  α=[f],β=[g]と

間 ⇒[α,β]=0,∀

α ∈ πp(X),∀

β ∈ πq(X).

す る と き,μ °(f×g):Sp×Sq→Xで(α,β)型

の 写 像. 

(終)

  従 っ て,Hopf空   例  n>2,pは K(Z/p,n)を

間Xに

つ い て は,π1(X)の

奇 素 数 と し,CW-複 考 え,Y=K(Z/p,n)(2n)(2n-切

πn(X)の

作 用 は 自 明 で あ る.

体 で あ るEilenberg-MacLane空 片)と

お く.Yに2n+2次

間 元以

上 の 胞 体 を 接 着 し てYの2n+1次

元 以 上 の ホ モ トピ ー 群 を 消 し た 空 間 をY*

とす れ ば,Y*のWhitehead積 か ら,Y*はHopf空

は す べ て 自 明 で あ る が,コ

ホ モ ロジ ー の構 造

間 で は な い こ と が わ か る.

 定義  す な わ ち,α=[f]∈Wn(X,x0)  

⇔

∀m,∀[g]∈

πm(X,x0)に

G(*,s)=f(s), 

s∈Sn, 

 明 ら か に,Wn(X,x0)は   命 題1.14 

対 し て,G:Sm×Sn→Xが

存 在 し て,

G(r,*)=g(r), 

πn(X,x0)の

r∈Sm.

部 分 群 で あ る.さ

ら に

Gn(X,x0)⊂Wn(X,x0).

  [証 明] 

α=[f]∈Gn(X,x0)の

1X,F￨Sn=f.∀[g]∈

提 携 写 像 をF:X×Sn→Xと

πm(X,x0)に

す る:F￨X=

対 し て,

G:Sm×Sn→X⇔G(r,s)=F(g(r),s), 

(r,s)∈Sm×Sn

と定 義 す る と き,    Gottlieb空

(終)

間 とWhitehead空

  定 義   XはGottlieb空 従 っ て,定

理1.10よ

  系1.15 

Hopf空

間

間 ⇔Gn(X)=πn(X)  り

間 ⇒Gottlieb空

  定 義   XはWhitehead空   従 っ て,命   系1.16 

(∀n).

間.

間 ⇔Wn(X,x0)=πn(X,x0) 

題1.14よ

(∀n).

り

Gottlieb空

間 ⇒Whitehead空

間.

  注 意   3次 複素 射 影 空 間CP(3)はWhitehead空

間 で あ るが,Gottlieb空

間 では な

い.

  Hopf構   Gは

造 を 持 た な いGottlieb空

コ ン パ ク トLie群,Hは

は 射 影,i:H⊂Gは

間 閉 部 分 群,G/Hは

射 入 と す る と き,GのG/Hへ

左 剰 余 空 間,p:G→G/H の 作 用 に よ り写 像

F:(G/H)×G→G/H を え る.こ  (1.17) 

こ でF￨(G/H)∨G=1∨p.従

っ て,補

p#:πn(G,e)→Gn(G/H,e), 

  定 理1.18  ⇒G/HはGottlieb空

i#:πn(H,e)→

よ り

e=p(e).

πn(G,e)が 間,従

題1.4に

す べ て のnに

っ てWhitehead空

つ い て単 射 間 で あ る.

 [証 明]  (1.17)よ

i#は

単 射 で あ る か らp#:πn(G,e)→

πn(G/H,e)は

全 射.こ

こ で,

り 

はGottlieb空

(終)

間. 

 と表 わ す.

 記 号

  今,i:S1→SO(3)×S1⇔i(eiθ)=(2θ)×e3iθ S1の

部 分 群 と み な し て,次

と埋 め 込 み,S1をSO(3)×

の よ う に 定 義 す る:

X=SO(3)×S1/S1    補 題1.19 

(1)  XはGottlieb空

  (2)  XはHopf構

間,従

っ てWhitehead空

πn(SO(3)×S1)が

と き は 明 ら か.n=1の

に お い て, 

単 射 で あ る こ と を 示 せ ば よ い が,

と き,

単 射 ⇒X:Gottlieb空

(2)  Xは3次

間 で あ る.

造 を もた な い.

  [証 明]  (1)  i#:πn(S1)→ こ れ はn>1の

(左 剰 余 空 間).

間.

元 多 様 体 で あ る か ら,Hn(X;Z/3)=0(∀n>3).ま

た 

よ りH1(X;Z/3)=Z/3={x}⇒Poincare双 非 分 解 元y≠0∈H2(X;Z/3)が

対 性 定 理 か ら

存 在 す る(x2=0).今,μ:X×X→XをX

の 積 と す る と き,  に 対 し て,

これ は 矛 盾.    Hurewicz準   Gn(X)∋

(終) 同 型 とGn(X)

α=[f]と

し,fの

X×Sn,i2:Sn→X×Snは p2:X×Sn→Snは  

Kunnethの り,H*(X×Sn;R)の

提 携 写 像F:X×Sn→Xを

そ れ ぞ れ 第1,第2因 そ れ ぞ れ 第1,第2因

公 式 

考 え る.i1:X→

子 へ の 射 入,p1:X×Sn→X,

子 へ の 射 影 とす る. (R:係

元 は 

数 群)に

よ

とい う形 で 表 わ さ れ る こ とに注 意 す

る.た

だ し,λ ∈Hn(Sn)は

生 成 元 とす る.こ

の λ に よ り定 義 さ れ る 準 同 型 を 同

じ λ で 表 わ す:

さ ら に,帰

と定 義

納 的 に, 

す る.以

下,簡

単 の た め に,Rは

体 と す る.t:X×Sn→Sn×Xを 交 換 写 像 と す る と き,右

図 は可 換

で あ るか ら

こ こ で, 

と い う形 を し て い る か ら,

は 

 慣習 

に 次 式 に よ り作 用 す る こ と にす る:

 こ の と き,

さ ら に,帰

納 的 に,

(1.20)   た だ し, (1.21) 

n:偶

数 の と き,

n:奇

数 の と き,

  実 際,n:偶

 定 義   Hi(X;Z/p)∋xの ⇔y∈Hi-dn(X;Z/p)が

ま たn:奇

数 の と き, 

深 度(depth)はd あ っ て,yλd=xか

つ

数 の とき

  補 題1.22 

xλ=0と

し,xの

 (1)  n:奇

数 ⇒d:奇

 (2)  n:偶

数 ⇒d≡-1

深 度 をdと

す る と き,

数, modp.

  [証 明]  (1)  yλd=xと

と す る.d:偶

し, 

数 と仮 定 す る と,

￨z′i￨=nと

す れ ば,あ

あ るzが

る

υi∈H*(X;Z/p)が

あ っ て 

の

あ っ て 

深 度 はd+1.こ

れ は 矛 盾.

  (2)  n:偶

数 で あ るか ら

こ こ で 

(そ の 他 の 項)と

い う形 を し て い る か ら, 

は 上 式 の右 辺 に表 わ れ る.す な わ ち,  こで  

は △X*(yλd+1)に

た だ し,こ

お い て￨z′i￨=nと

な るす べ て の  

は 

か ら成 る 

な る形 の項 か ら え られ る, に お い て￨z′i￨=nと

た だ し, 

と い う項

な るす べ て の  

と い う項

か ら成 る  あ るzが

あ っ て,(d+1)yλd=(d+1)zλd+1.も

ら ばx=yλd=zλd+1.こ

れ はxの

深 度dに

矛 盾.従

し   っ て,d+1≡0

modpな modp.

(終)   記 号   χ(X):XのEuler標

 こ の と き,次  補 題1.23 

数

が 成 り立 つ. H*(X)が

有 限 生 成 な ら ば,χ(X)=χ(H*(X;Z/p)).

 [証 明]  普 遍 係 数 定 理 に よ り

こ こ で, 

で

あ る.位 数 がpで の

割 れ るHq(X)の

巡 回 部 分 群 はHq(X;Z/p)に

次 元 を1,Hq+1(X;Z/p)に

が,こ

お い てHq(X)*Z/pの

れ ら は χ(H*(X;Z/p))に

分 群Zは い.従

 

おいて  

お い て 相 殺 す る.ま

の 次 元 を1増

次 元 を1増 たHq(X)の

やす

無限巡回部

や す が,Hq+1(X)*Z/pに

は変化が な

って (終)

  記 号   Arq={x∈Hq(X;Z/p)￨xの λ(Arq)={xλ

深 度 はr},

∈Hq+n(X;Z/p)￨x∈Arq}.

  補 題1.24 

と表 わ す と き,  と表 わ せ て,λ(Adq)⊃Ad+1q+nをみ た す.さ ら に,

 (1)  n:奇

数 か つd:偶

 (2)  n:偶

数か つ  

数 mod p

  [証 明]  明 ら か に,  度>i+1}と

お き,Kの

Ai+1 q+n.今,  度>d+1,言 度 はdで

Aiq⊃K={x∈Aiq￨xλ 補 空 間 をLと

す る と, 

で な い と す る.す い か え れ ば,深

あ る か ら,x-yの

定 が あ る な ら ば,補

度>dの 深 度 もd.一

題1.22よ

こ の と き,λ(L)=

な わ ち,x∈Adqが

元yが

あ っ て,xλ

あ っ て,xλ=yλ.こ

れ は,yの

の深

こ でxの

方,(x-y)λ=0.(1)ま

りx-y=0.こ

の深

深

た は(2)の 仮 深 度=dと

盾. 

な り,矛 (終)

 記号 

はHurewicz準

同 型.素

数pに

ついて

mod wicz準

同 型,   有 理Hurewicz準

  定 理1.25 

p Hure

H*(X)は

同 型.

有 限 生 成 とす る. かつ

 (1)   (2)

  [証 明]  (1)ま た は(2)に と し,fの

応 じ てm=2n+1ま

た は2nと

提 携 写 像 をF:X×Sm→Xと

(λ と(1)λ

す る.  す る と,仮

を 同 一 視 す る).

定 から

 (1)  補 題1.24か

 こ こ で,m:奇

1.23よ

ら

数,dim

A2dq=dim A2d+1q+mで

りχ(X)=χ(H*(X;Z/p))で

 (2)  補 題1.24か

あ る か ら,χ(H*(X;Z/p))=0

あ る か ら,こ

れ は 仮 定χ(X)≠0

Akpq=dim Akp+1q+1=…=dim

に 矛 盾.

H*(X)は

倍 数.こ

有 限 生 成 と す る.χ(X)=1な

  次 にF:X×Sn→Xの

数)

Akp-p+1q+(p-1)nで あ る か ら , 

pの 倍 数 ⇒χ(X)=χ(H*(X;Z/p))はpの   系1.26 

題

ら

(∵m:偶 こ こ で,dim

.補

れ は 矛 盾. 

は (終)

らば

コ ホ モ ロ ジ ー で の 性 質 を 調 べ る:

H*(X;R)∋xに

対 し て, 

表 わ さ れ る が,こ

こ で,y=xλ

は λの 双 対 類)と と お き,準

同型

λ:Hq(X;R)→Hq-n(X;R)⇔xλ=y を 定 義 す る.さ

ら に,帰

納 的 に,xλn=(xλn-1)λ

  (1.27) λ:Hq(X;R)→Hq-n(X;R)は

と 定 義 す る.

λ:Hq(X;R)→Hq+n(X;R)の

対 で あ る.   実 際,

 

H*(X×Sn;R)に

おけ る カ ップ積 は

で与 え られ るか ら,  (1.28)

Fはf:Sn→Xの   (1.29) f*(x)=rλ, 

提

携写 像 と す る と,f=F°i2で ∀x∈Hn(X;R),た

あ る.こ だ し,r=xλ.

の と き,

双

  実 際,

  定 理1.30 

H*(X)は

有 限 生 成 と す る と き,

  [証 明]  Xと

す る.こ

と し,fの の と き,仮

  (1) λ の 双 対 類 を β∈H2n(X;Q)と =1∈H0(X;Q).ま

提 携 写 像 をF:X×Sn→

定 か ら,

ず,次

す る と,1=<β,(1)λ>=<β

λ,1>⇒

βλ

を 示 す:

 (1.30)′

βλ=1で

あ る か ら,上

式 はr=1の

と き は 明 ら か.今,r-1ま

で 成 り立 つ と仮

定 す る と,

ここで,あ るrが あって,βr=0と 仮定すると   こ

れは矛盾.従 って βr≠0(∀r)⇒

H2rn(X;Q)≠0(∀r).こ

れ はXの

  注 意   上 の 議 論 は,Z/p係

ホ モ ロ ジ ー の 有 限 性 に 矛 盾. 

数 の と き,βp=0は

必 ず し も βp-1=0を

(終) 意 味 し な い か ら,

成 り立 た な い.

 §2  有 理Hopf空

間

 高 次Whitehead積  

こ こ で は,特

に 断 ら な い 限 り 基 点 を も つ 連 結,可

  記 号  空 間  

体 の 圏 で 考 え る.

に 対 し て

  Ti(X1,…,Xn)={(x1,…,xn)∈X1×

… ×Xn￨xjの

  従 っ て,T0(X1,…,Xn)=X1× たT1(X1,…,Xn)はfat

算CW-複

う ち 少 な く と もi個

… ×Xn,Tn-1(X1,…,Xn)=X1∨ wedgeと

い わ れ て い る も の で あ り,X1∧

… ∨Xn.ま … ∧Xn=

T0(X1,…,Xn)/T1(X1,…,Xn).   記 号   S=(Sm1,…,Smn),Ti(S)=Ti(Sm1,…,Smn).   m=Σmiと

お き,対(T0(S),T1(S))の

は*}.

ホ モ ト ピ ー 完 全 系 列 を 考 え る:

た だ し,j:T1(S)→T0(S)は

自 然 な 射 入 で あ る. 

元 α の ∂ に よ る 像 をwn=∂

α∈ πm-1(T1(S))と

の生 成

お く.こ

の と き上 の系 列 の 完 全

性 から  (2.1)    例 

j#wn=0.

n=2の

と き,w2=[ι1,ι2]:Sm1+m2-1→Sm1∨Sm2.た

Smk→Sm1∨Sm2は

だ

ιk=[ik],ik:

射 入.

  定 義  φ:T1(S)→X  Whitehead積

に 対 し てW(φ)=φ#wn∈

πm-1(X)をn次

と い う.

  定 義   φ:Ti(S)→X(i
し

標 準 的 射 入kj:Smj→Ti(S)に

  定 義   (f1,…,fn)型

∈(f1,…,fn)と

対 して

のn次Whitehead積

の集合

[f1,…,fn]={W(φ)=φ#wn￨φ:T1(S)→X,φ  注 意   W(φ)はwell-definedな

表 わ す)

∈(f1,…,fn)}.

元 で あ る が,一

般 に[f1,…,fn]⊂

πm-1(X)は

空集合 の

こ と も あ る.   n=2の

と き,[f1,f2]は

通 常 のWhitehead積

で あ る.

 定 義 よ り明 ら か に   (2.2) 

(自 然 性)fi:Smi-1→Sri-1, 

φ:T1(Sr1,…Srn)→Xと

す る と き

 (1) 

(Sn-1f1∧

 (2) 

g#W(φ)=W(g°

… ∧fn)*W(φ)=W(φ

(Sn-1f1∧

  (4) 

g#[h1,…,hn]⊂[g°h1,…,g°hn].

… ∧fn)*[h1,…,hn]⊂[h1°(Sf1),…,hn°(Sfn)]

φ:T1(S)→XはT0(S)→Xに

  [証 明]  [⇒]拡 (φ)=W(φ

張 φ:T0(S)→Xが

°j)=φ#W(j).こ

 

仮定から  

で あ る か ら,φ

°T1(Sf1,…,Sfn))

φ)

 (3) 

 定 理2.3 

g:X→Y.

は 

こ で(2.1)よ

拡 張 可 能 ⇔W(φ)=0. 存 在 し た とす る と,φ °j=φ ⇒W りW(j)=j#wn=0.従

っ てW(φ)=0.

こ こ でW(1)=1#wn∈

に拡 張 可能.ホ

 を 用 い て φ=φ ′ °l:T0(S)→Xと

πm-1(T1(S))

モ トピ ー同 値 写 像l:

お け ば,こ

れ は φ の拡 張

で あ る.    定 理2.4 

(終) XがHopf空

間 の と き,φ:T1(S)→Xに

対 し てW(φ)=0.

  [証 明]  定 理2.3に

よ り φ はT0(S)に

拡 張 可 能 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.

よ く知 ら れ て い る よ う に,ST1(S)はST0(S)の 拡 張 さ れ て,φ:ST0(S)→SX.こ はHopf空

レ ト ラ ク トで あ る か ら,Sφ

の 随 伴 写 像 をφ′:T0(S)→

間 で あ る か ら 定 理Ⅰ.1.13′

に よ り写 像r:ΩSX→Xが こ の と き,射

つ い て    系2.5 

T0(S)→Xは XはHopf空

ΩSXと

す る.X

あ っ て, 

入j:T1(S)→T0(S)に

φ の 拡 張. 

間 

は

(終)

に つ い て, [f1,…,fn]=0.

  系2.6 

YはHopf空

  特 に,G:可

間

⇒(W(φ))*=0:[X,Y]→

換 群,Y=K(G,n)(n>0)に

対 して

  系2.7 

(W(φ))*=0:Hn(X;G)→Hn(Sm-1;G).

  系2.8 

懸 垂 準 同 型Sに

  [証 明]  k:X→ W(φ)=0.こ (φ)=W(k°

φ:T1(S)→X→

す る と き,SW(φ)=0⇔k# ΩSX(Hopf空

間)で

あ る か ら,k#W

φ)=0. 

(終)

  通 常 のWhitehead積 よ うに,高

つ い て,SW(φ)=0.

ΩSX⇔k(x)(t)=(t,x)と

こ で,k°

πm-1(Y).

は,写

次Whitehead積

像Sp∨Sq→XをSp×Sqへ

拡 張 す る障 害 で あ る

は あ る 写 像 の 拡 張 に 対 す る 障 害 と 思 え る.そ

こで

r=n-i+1}

 記号    こ の と き,次

が 成 り立 つ:

  (2.9)  ∀k=(k1,…,kr)∈Kniに

対 し て,自

然な埋め込み

hk:T1(Xk1,…,Xkr)→Ti(X1,…,Xn) が あ る.   さ ら に,定

理2.3よ

  定 理2.10 

写 像 Φ:Ti(S)→XはTi-1(S)→Xに

⇔

Φ°hk°wr=0, 

り一 般 に

∀k∈Kni.

 証 明 の 方 針 は 定 理2.3の

場 合 と同 様 で あ るか ら読 者 に任 せ た い.

∀ri∈N,∀

  定 理2.11 

head積[α1,…,αq]⊂πr1+…+rq-1(X)が ∨Smn→Xに →Xに

対 し て,自

拡 張 可 能.

拡張 可 能

然 数Nが

αi∈ πri(X) 

に 対 し て,q次White

有 限 位 数 で あ る な ら ば,∀ 存 在 し て,Nθ=θ+…+θ

はSm1×

θ:Sm1∨

…

… ×Smn

  [証 明]  簡 単 の た め に,Ti=Ti(S),Ak=Smk-1,と iに

関 す る 逆 向 き の 帰 納 法 で 示 す.帰

→Xに

対 し て,N>0が

とす る.仮 Mkと

お き,i=n-1か

納 法 の 仮 定 と し て,与

存 在 し て ,Nθ:Tn-1→Xは

定 か ら,∀

お き,M=M1Smiと

表 わ す.Tjは

え ら れ た θ:Tn

η:Ti→Xに

η°hk°wrは 有 限 位 数Mkで

ら始 め て

あ る.そ

-1

拡 張 され る

こ で,M=Πk∈Kni

関 手 で あ る か ら,次

の可 換 な図 が あ

る:

  た だ し,Aj=Smj-1,r=n-i+1, k=(k1,…,kr).Mの

定 義 か ら,

Mη°hk°wr=0(∀k∈Kni) ⇒

上 の図 で

η°Ti(M,…,M)°hk°wr=Mrη°hk°wr=0(∀k∈Kni) ⇒ 定 理2.10か ⇒

ら,η°Ti(M,…,M):Ti→Xは

ξ:Ti-1→Xに

拡 張 可 能

右 上 の 図 は 可 換.

こ こ で,(Nθ)°Tn-1(M,…,M)=MNθ   mod 0

Hopf空

  記 号  F:有

⇒MNθ

拡 張 可 能.(終)

間 限 可 換 群 のSerreク

  定 義   写 像f:A→BはQ-同

ラ ス.

値(Q-equivalence)ま

equivalence)⇔f*:Hn(A)→Hn(B)はF-同 ⇔f#:πn(A)→

  補題2.12 

はTi-1に

フ ァ イバー空

Hi(E),Hi(B)は

型  (∀n) πn(B)はF-同

間 

有 限 生 成(∀i)な

に お い て,F,

値,

  (2)  H*(F;Q)=0⇒p:Q-同

値. Hopf空間(有

型  (∀n)

E, Bは1-連

結,Hi(F),

らば

  (1)  H*(B;Q)=0⇒i:Q-同

  定 義   Xはmod 0

た は 有 理 同 値(rational

理Hopf空

間,mod, F Hopf空

間)

⇔

写 像m:X×X→Xが

→X×X射

入) .

 注 意  1-連 結,CW-複 ⇔

体XはHopf空

写 像m:X×X→Xが

  例   位 相 群,奇 様 体 はmod 0

間

あって 数 次 元 の 球 面 の 積,複

Hopf空

 定 理2.13  き,次

(ik:X

あ って, 

素Stiefel多

様 体,四

元 数Stiefel多

間 で あ る.

Xは1-連

結,有

限CW-複

体 と 同 じ ホ モ トピ ー 型 とす る.こ

の 条 件 は 同 値:

  (1)  X:

mod 0

Hopf空

  (2)  H*(X;Q)は

間,

奇 数 次 数 の 元 で 生 成 さ れ る 外 積 代 数,

 (3)  写 像 

(ni:奇

数)が

存 在 し て,

 (4)  写 像 

(ni:奇

数)が

存 在 し て,

 (5)  Xの

変 量 は 有 限 位 数 の コ ホ モ ロ ジ ー 元,

∀Postnikov不

Hurewicz準同

 (6)   (7)  Ker{Ωn:Hn(ΩX)→Hn+1(X):ホ wicz準

はXのホ

有 限 個 の 奇 数kを

Xは1-連

る 帰 納 法 で 次 を 示 す:nは し て,f:X→Snが   ま ず,Hopfの て,πi(Sn)は

無 限 位 数 のHure

モ ト ピ ー 懸 垂}は

有 限 群  (∀n), つ

除 い て 有 限 群. 定 理(系Ⅱ.4.5).

結,有

限CW-複

奇 数,生

体 と し,Xのi-切

片X(i)に

関す

成 元Hn(X;Q)∋x,Hn(Sn;Q)∋sに

対

存 在 し て,f*(s)=x. 定 理 よ りfn:X(n+1)→Snが 有 限 群 で あ る か ら,そ

の 写 像 とす る と,ri° α=0(∀

存 在 し て,f*n(s)=x.i>nに

の 位 数 をriと

α∈ πi(Sn)).従

の 拡 張 をfn+1:X(n+2)→Snと

dim  X), 

(∀n),

モ トピ ー 群 の 有 限 位 数 の 元 の 集 合,か

  [証 明]  [(1)⇒(2)]はHopfの  [(2)⇒(4)] 

有 限 群 

モ ロ ジ ー 懸 垂}は

πn+1(SX):ホ

 (9)  高 次Whitehead積   πk(X)は

型}は

同 型 の 像 の 元 を 含 ま な い  (∀n),

  (8)  Ker{S:πn(X)→

で,そ

の と

す る.こ

と お け ば,f:X→Snが

し,ri:Sn→Snを

っ て,rn°fnはX(n+2)に

つい 次数2ri 拡張可能

の 操 作 を 繰 返 し て,f=fm-1(m= 求 め る 写 像 で,f*(s)=Nx.

特 に,Hn(X;Q)∋x(n:奇 =xと

数)に

対 し て,写

数 と な っ て い る と き,上 (si∈Hni(Sni;Q)生

の 事 実 よ り,各xiに

成 元)を

存 在 し て,f*(s)

 [(4)⇒(6)]は

対 し てfi:X→Sni,f*i(si)=xi

み た す 写 像 を 考 え, 

と定 義 す れ ば よい.(△lはl重

対 角 写 像).

明 ら か.

 [(6)⇒(5)]XのPostnikov分

解 を{(n,X),pn,qn},Postnikov不

をkn+1∈Hn+1((n-1,X);πn(X))と

F-単

像f:X→Snが

な っ て い る こ と が わ か る.今,H*(X;Q)=Λ(x1,…,xI),￨xi￨=ni:奇

射 で あ る か ら,フ

す る.仮

変 量

は

定 か ら, 

ァ イ バ ー 空 間  in*:Hn(ΩK;Q)→Hn((n,X);Q)は

に お い て, i*n:Hn((n,X);Q)→Hn(ΩK;Q)は

全 射.Serreの

単射 ⇒

定 理 か ら,次

の可 換 な図

に お い て 上 の 横 列 は 完 全:

従 っ て,(kn+1)*=0⇒kn+1は   [(5)⇒(1)]  ΩBに

有 限 位 数.

Serreの

よ り導 か れ るA上

て,Q-同

道 の 空 間 Ω2B→ Ω(ΩB,ΩB,*)→ の フ ァ イ バ ー 空 間 をEfと

値 ρ:Ef→Emfが

kn+1,m=(kn+1の が 存 在 す る.こ

とれ ば,Q-同

す る と き,∀m∈Nに

対 し

値 ρ:(n,X)→(n-1,X)×K(πn(X),n)

こ で合 成 写 像

(た だ し,ξ はK(πn(X),n)に

現 わ れ るK(Z,n)へ

… ×K(Z,n))はF-同

型

  以 上 で(1)⇔(2)⇔(4)⇔(5)⇔(6)が   [(3)⇒(1)]は

の 射 影)の 導 く準 同 型 λ#: ⇒X

mod 0

Hopf空

間.

証 明 さ れ た.

明 ら か.

  [(1),(4)⇒(3)](4)に

の次 数 の み.そ こで, 

を え る.こ

らf:A→

存 在 す る.A=(n-1,X),B=K(πn(X),n+2),f=

位 数)と

πn(X)→ πn(K(Z,n)×

mod 0の

ΩBか

積m:X×X→Xを の と き,ml°(f1×

よ り,Xが

無 限 な ホ モ トピ ー 群 を も つ の は 有 限 個

の 自 由 な 直 和 因 子 の 生 成 元 をf1,…,flと 繰 り返 し 用 い て,写 … ×fl):ΠSni→Xl→Xは

像ml:Xl=X×

す る.

… ×X→X

明 ら か に,H*( 

;Q)

の 同 型 を 与 え る.   以 上 で(1)∼(6)の   [(6)⇔(8)] 

同 値性 が い え た. e:X→

ΩSXを

標 準 的 射 入(1SXの

随 伴 写 像)と

し,次

の可

換 な 図 を 考 え る:

  Pontrjagin代 し て,e* 

数H*(ΩSX;Q)はH*(X;Q)のtensor代

1に よ り埋 め 込 ま れ たH*(X;Q)を

[(1)⇒(6)]は e#  1:単

含 む,す

S:πn(X)→

単 射.こ

πn+1(SX)に

こ で,懸

つ い て,右

で あ る か ら,Ker 〓n:有

分空間 と

な わ ち,e* 1は

ル ー プ 空 間 に つ い て も 成 り立 つ か ら, 

射 

Ker S:有

数 で,部

単 射.

は 単 射.従

っ て,

垂

図 は可 換

限 群 ⇔Ker

e#=

限 群.

  [(6)⇔(7)]  い て 

右の可換な図にお

は単 射 で あ る か ら,右 図

の 可 換 性 よ り明 らか.  [(9)⇒(3)]  底f1,…,flが

→Xと

存 在 す る:[fi]∈

お く と き,自

え ら れ る.こ

の 自由 な 直 和 因 子 の生 成 元 の有 限 個 の基

仮 定 か ら, 

然 数Nが

πni(X),ni:奇

数.θ=f1∨

… ∨fl:Sn1∨

存 在 し て,Nθ

は 拡 張 さ れ て, 

…∨Snl

が

で あ る か ら,θ′*:

こ で, 

Hn(ΠSni;

  [(3)⇒(9)] 

仮 定 か ら,πn(X)は

ま た(3)⇔(8)で

あ り,系2.8よ

ら,∀ 高 次Whitehead積

  §3  mod 〓

は π*(X)の

Gottlieb空

  こ の 節 で は 

  mod 〓

Gottlieb空

間

りS(高

除 い て 有 限 群.

次Whitehead積)=0で

あ る か

有 限 位 数 の 元 か ら な る 集 合. (終)

間 連 結,可

考 え る.

有 限 個 の 奇 数 次 数nを

算CW-複

体;(X,*)はHEPを

もつ}で

  〓 は 可 換 群 の あ るSerreク   定 義   X:mod 〓   特 に 

ラ ス と す る.

Gottlieb空

の と き,mod 0

間 Gottlieb空

間(有 理Gottlieb空

  道 の 空 間 の フ ァ イ バ ー 空 間 ΩY→ Ω(Y,Y,*)→Yか れ る 主 フ ァ イ バ ー 空 間 をq:Ef→Xと  (3.1) gk:Ak→Ef 

す る と き,次

間)と い う.

らf:X→Yに

よ り導 か

が 成 り立 つ:

をみ た す

(k=1,2),g:A1×A2→Efが 

⇒h:A1×A2→Efが

存 在 し て,

  障 害 理 論 か ら,   (3.2)  Xはr-連

結 で,  はX×Smに

  XのPostnikov系   補 題3.3 

拡 張 可 能.

を{(n,X),pn,qn}と

X:r-連

結

す る と き,(3.2)か

ら

⇒Gm(2r+s,X)=πm(2r+s,X),

  特 に,Gm(m,X)=πm(m,X)(∀m).   補 題3.4    [証 明] 

pn#(Gm(X))⊂Gm(n,X)(∀m,n). Gm(X)∋

SmのPostnikov系

∀β=[b]と

し,bの

提 携 写 像 をF:X×Sm→Xと

を{(n,Sm),rn,sn}と

qn×sn}はX×SmのPostnikov系 ×(n,Sm)→(n,X)を

す る.

す る と き,{(n,X)×(n,Sm),pn×rn, で,定

理I.3.8に

よ り 写 像FはFn:(n,X)

導 き,qn+1°Fn=Fn-1°(qn+1×sn+1), 

を み た す.F′=Fn°(1×rn):(n,X)×Sm→(n,X)×(n,Sm)→(n,X)と と,F￨X=1xで

あ る か ら,F′￨(n,X)=id, 

∨Sm)はHEPを

お く ((n,X)×Sm,(n,X)

も つ か ら,pn#[b]∈Gm(n,X). 

  こ の 補 題2.4よ

(終)

り次 の 図 は 可 換:

 (3.5)

こ こ で,(pn#)″

は 全 射.ま

た,

  従 っ て,   定 理3.6 

X:

mod 〓

Gottlieb空

間

⇒

∀(n,X):mod 〓

Gottlieb空

間.

  Xに

つ い て 次 の 条 件 を 考 え る:

  (3.7.π) 

πr(X)=0 

  (3.7.H) 

(∀r:十

Hr(X)=0 

  定 理3.8 

(∀r:十

条 件(3.7.π)ま

X),pn,qn}に

分 大). 分 大).

た は(3.7.H)を

お い て ∀(n,X)がmod

Gottlieb空

み た すXのPostnikov系{(n, 〓 Gottlieb空

間 な ら ば,Xはmod

〓

間.

  [証 明] 

次 を 示 せ ば よ い.

  (3.8)′  ∀mに

対 し て, 

  (1)  (3.7.π)を (n,X)は

が 存 在 し て,

み た す 場 合:こ

の と き,十

ホ モ ト ピ ー 同 値 で あ る か ら,(3.8)′

  (2)  (3.7.H)を

み た す 場 合:mを

ん で, 

分 大 き いnに

対 し て,pn:X→

は 成 り立 つ.

任 意 に と り,固

定 す る.N(>m)を

とす る. 

(pN#)′:Gm(X)→Gm(N,X)は

単 射.従

(N,X)∋

β=[b]を

β′に 対 し て πm(X)∋

き,β ∈Gm(X)を

選

で あ る か ら,

っ て,(pN#)′:全

射 を 示 せ ば よ い.Gm

選 ん で,pN#(β)=β

′と す る.こ

示 せ ば よ い.今,F:(N,X)×Sm→(N,X)をpN°bの

提携

写 像 と し,FN=F°(pN×id):X×Sm→(N,X)×Sm→(N,X)と 出 発 し て,(3.1)を

使 っ て,帰

の と

お く.Nか

納 的 に 写 像Fn:X×Sm→(n,X)が

ら

え ら れ て,

次 を み た す:

そ こ で, 

(射 影 的 極 限)と お く と{Fn},{pn}は

を 定 義 す る.こ

こ でp∞

ら,F′:X×Sm→Xが を

は ホ モ トピ ー 同 値 で あ る か 存 在 し て, 

み た す.ホ

ー 逆 写 像 をf:X→Xと HEPを

モ ト ピ ー 同 値F′￨Xの す る と,F′

ホ モ トピ

°(f×1):X×Sm→X. 

も つ か ら, bの 提 携 写 像F′:X×Sm→Xを

  定 理3.9  ば,Xはmod

Xがmod

0 Hopf空

0 Gottlieb空

  [証 明]  定 理2.8に (n,X)がmod

それ ぞれ 写 像

間 で(3.7.π)ま

え る

は ⇒ β∈Gm(X).(終)

た は(3.7.H)を

間.

よ り,XのPostnikov系{(n,X),pn,qn}に

0 Gottlieb空

みたす なら

間 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.こ

お い て,∀ れ をnに

関す る 帰

納 法 で 示 す.n=2の

と き,(2,X)=K(π2(X),2)は

間.πm(n,X)は

∀mに

∀β ∈ πm(n,X)に

  実 際,こ

存 在 し て,tβ

と き は 補 題3.3よ

0

間 と す る と,s∈ZとF:(n-1,X)×Sm→(n-1,X)が

0 Hopf空

数,そ

∈Gm(n,X).

り 明 ら か.今(n-1,X)はmod 存 在 し て,

F￨(n-1,X)=id,F￨Sm=b′,[b′]=sqn#(β)∈ mod

0 Gottlieb

を 示 せ ば よ い:

対 し て,t≠0∈Zが

れ は,m=nの

Gottlieb空

0 Gottlieb空

つ い て 有 限 生 成 で あ る か ら,(n,X)がmod

空 間 で あ る こ と を 示 す に は,次   (3.9)′ 

明 ら か にmod

れ をrと

πm(n-1,X).仮

間 で あ る か ら,定

理2.13よ

りPostnikov不

し,r:Sm→Smを

写 像 度rの

定 か らXは 変 量kn+1は

有 限 位

写 像 と す る.Kunneth公

式Hn+1

((n-1,X)×Sm;  に お い て,F￨(n-1,X)=idで (sm∈Hm(Sm):生

あ る か ら, 

成 元).qn*(kn+1)=0で

あ る か ら, 

⇒ X)×Sm→(n,X)が

あ っ て,qn°F′=F°(qn×r)を

F″:(n,X)×Sm→(n,X)が

⇒(3.1)よ

あ っ て,F″￨(n,X)=id,F″￨Sm=b.た

こ で, 

はrsqn#(β)を

で

みたす

写 像F′:(n, り写 像 だ し,こ

表 わ す. 

あ る か ら,[b]=rsβ. 

  以 下,Xはmod

0 Gottlieb空

(終)

間,Hi(X)は

各iに

つ い て 有 限 生 成 と し,さ

ら に 次 の 条 件 を み た し て い る とす る:   (3.10) 

Hurewicz準

  注 意   K(Z,2)の

同型  

例 が 示 す よ う に,任

を み た さ な い が,πn(X)/Gn(X)∈Fで 複 体 のmod 限CW-複

に つ い て,

0 Gottlieb空 体 のmod

意 のmod

間 は(3.10)を

0 Gottlieb空

0 Gottlieb空

あ る か ら,定 理1.30に み た す.す

間Xは

必 ず し も(3.10)

よ れ ば 任 意 の 有 限 次 元CW-

な わ ち,以

下 の 議 論 は,1-連

結,有

間 に つ い て 成 り 立 つ.

 補題3.11 

に対して,写 像  が 存 在 し て,F￨Y=1Y,F￨Smi=F′￨Smiは

 

を表

わ す.   [証 明]  kに

関 す る 帰 納 法.k=1の

立 つ と仮 定 す る: 

と き は 定 義 よ り明 ら か.k-1ま が 存 在 し て, 

で成 り

βk=[gk]の

提 携 写 像 をf:Y×Smk→Yと

す る

と き,

(終)  系3.12 

Gottlieb空

間 に つ い て は,球

面 か ら の 写 像 の 高 次Whitehead積

は つ ね に 自 明 で あ る.   記 号   πm(X)は

有 限 生 成 で あ る か ら,

  Km=K(πm(X),m)=K(Z,m)×

… ×K(Z,m)×K(π,m) 

こ の と き,ρ(m)=rankπm(X)と

  XのPostnikov系   補 題3.13  X×

お き,

を{(n,X),pn,qn}と ∀nに

(π:有 限 群)

す る.

つ い て 弱Q-同

値f2n+1:ΠS2n+1→K2n+1と

ΠS2n+1→X,F′2n+1:ΠS2n+1→Xが

存 在 し て,次

 (1) 

写 像F2n+1: を み た す:

(ιn:Kn→(n,X)射

入),

 (2)   [証 明] 

ρ(2n+1)=0の

分 解 に 出 て く る 第i番

と き は 明 ら か な の で,ρ(2n+1)>0と 目 の 因 子 をK(Z,2n+1)iと

を 生 成 元 と す る.こ

の と き,β

′i∈ π2n+1(X)が

(p2n+1)#(β

Xはmod (X).集

0 Gottlieb空 合{βi}に

し,γ′i∈ π2n+1(K(Z,2n+1)i) 存 在 し て,

′i)=(ι2n+1)#(γ

間 で あ る か ら,ti≠0∈Zが

補 題3.11を

だ し,Π

よ う に,∀m>2n+1に っ て,f2n+1は

弱Q-同

ιは 射 入.よ

つ い て πm(S2n+1)∈Fで 値 で あ る.ま

あ り,ti≠0で

た,∀m>2n+1に

あ る か ら,障

す る.

し て

く知 ら れ て い る あ る か ら ∀ci,従

つ い て,πm(2n+1,X) 害 理 論 か ら(1)は

出 る.(2)は

ら か.    命 題3.14 

′i∈G2n+1

適 用 し て え ら れ る 写 像 をF2n+1,F′2n+1と

に お け る積 は  

=0,(p2n+1)#(βi)=(ι2n+1)#(γi)で

′i).

存 在 し て,βi=tiβ

γi=tiγ ′iを 表 わ す 写 像 をci:S2n+1i→K(Z,2n+1)iと

と お く.た

す る.K2n+1の

明

(終) XのPostnikov系

を{(n,X),pn,qn}と

す る.∀nに

つ い て,

q2nは 弱Q-同

値 で,写

像g2n+1:ΠSri→Xが

値 で あ る.た

だ し,ΠSriは

存 在 し て,p2n+1°g2n+1は

一 点 ま た は 奇 数 次 元 球 面 の 有 限 個 の 積 

  [証 明]  nに 関 す る帰 納 法.g3=F′3は 補題3.13で が

弱Q-同

え られ る写 像. 

値 で あ る こ とを示 す に は,ι3が 弱Q-同

せ ば よい.Hurewiczの

値 で あ る こと を示

定 理 か ら, 

また 仮 定

(3.10)か ら   Q)=0⇒

弱Q-同

で あ るか ら,H*(K2;

ι3は弱Q-同 値.

  帰 納 法 の仮 定 と して,写 像g2n-1:ΠSri→X(  て,p2n-1°g2n-1は 弱Q-同

た だ し,F2n+1,f2n+1は

)が 存 在 し

値 で あ る とす る.写 像

補 題3.13で

え られ た 写 像

→(2n+1,X)はK2n+1の(2n+1,X)へ   [ 

奇 数 

μ2n+1:(2n+1,X)×K2n+1

の作 用 . の 証 明] 

μ2n+1￨(2n+1,X)=id,μ2n+1￨K2n+1=ι2n+1で

る か ら, 

あ

ま た は=ΠS2n+1).∀m>2n+1に

つ い て πm(2n+1,X)=0⇒

上 の ホモ

ト ピ ー を ΠSri×

ΠS2n+1に

拡 張 す る障

害 は な い   [g′2n+1は 弱Q-同

値 の 証 明] 

q2n°p2n°g2n-1=p2n-1°g2n-1⇒q2n*:H2n+1((2n,

X);Q)→H2n+1((2n-1,X);Q)は

全 射.ま

→(2n-1,X)のSerre完 X);Q)は

単 射.次

r=2nの

と き, 

全 系 列([TM])か

た,フ

ァ イ バ ー 空 間K2n→(2n,X)

ら,ι2 n*:H2n(K2n;Q)→H2n((2n,

の 可 換 な 図 を 考 え る:

は 単射

H*(K2n;Q)=0⇒q2n:弱Q-同

値 ⇒p2n°g2n-1:弱Q-同

  次 の 図 を 考 え る,た

だ し,π

は 射 影.q2n+1°p2n+1=p2nか

K2n+1の(2n+1,X)へ

の 作 用 は フ ァ イ バ ー を 保 つ か ら,次

⇒

π2n(X)∈F,

値. つ μ2n+1に の図 は 可 換

よ り

⇒g2n+1は

フ ァイバ ー空 間 の写 像

⇒g′2n+1は

弱Q-同

  q2nが 弱Q-同

値.

値 で あ る こ とは 上 の証

明 の 過 程 か ら 明 ら か で あ ろ う. 

(終)

  注 意   証 明の 中 か ら,次 の こ とが わ か る:   (1)  π2n(X)∈F  (∀n),  (2) 

単 射  (∀n).

  定 理2.13に   命 題3.15  き,Xはmod

よ れ ば 結 局 次 を 証 明 し た こ と に な る: mod

0 Gottlieb空

0 Hopf空

間Xが(3.7.π)ま

た は(3.7.H)を

みたす と

間 で あ る.

  特 に,   定 理3.16 

Xは1-連

X:mod

結,有

限CW-複

0 Gottlieb空

体 とす る と き,

間 ⇔X:mod

0 Hopf空

間.

  これ ら の 応 用 と し て 次 の 命 題 を 証 明 し よ う.   命 題3.17

Xは1-連

m=X×X→Xが

結,有

限CW-複

あ っ て,m°i1=1x,m°i2:Q-同

  [証 明]  X→ ΠSmiは Xはmod

は 定 理2.13に 0 Gottlieb空

∈Gmi(X).補

体,mod

0 Hopf空

像

値.

π*(X)の

自 由 直 和 因 子 の 基 底 と し,f:

よ り与 え ら れ るQ-同

値 とす る.定 理3.16に

間 で あ る か ら, 

題3.11を{βi}に

間 な ら ば,写

よれ ば,

が 存 在 し て,βi=tiαi

適 用 す る と,写

像F:X×

ΠSmi→Xが

あ る.

こ の と き, m=F°(1×f):X×X→X が 求 め る 写 像. 

  補

(終)

遺

  A  Whitehead積   Xは

の 一 般 化[Arkowitz

位 相 空 間,A,Bは

射 影 とす る.[SA,X]∋

有 限CW-複

お く.た

体,pA:A×B→A,pB:A×B→Bは

α=[f],[SB,X]∋

(A×B)→Xとg′=g°SpB:S(A×B)→Xの S(A×B)→Xと

だ し,積

1]

β=[g]を

考 え,f′=f°SpA:S

交 換 子 をk=(f′-1・g′-1)・(f′ ・g′): ・お よ び 逆 元 はS(A×B)の

懸 垂構 造 か ら定

義 され てい る もの で あ る. 

で あ るか ら,対  

のHEPに

存在 し て  

よ り,写 像k:S(A×B)→Xが

を

射 影 とす る とき,kは

を導 き,k=k°Sq.こ

の と き,kの

 

ホ モ トピ ー類 はkの

選 び 方 に よ らな い こ と

が わ か る.  定 義  α と β の 一 般Whitehead積

を[α,β]=[k]∈[S(A∧B),X]と

定義

す る.   次 に,α=[f],f:(CA,A)→(X,*),β=[g],g:(CB,B)→(X,*)と し,CA×CB⊃Q=CA×B∪A×CBに

と定 義 す る.こ

表わ

つ い て,

の と き,ν は 同 相 写 像 で あ る.AとBは

か ら 射 影 μ′:A*B→S(A∧B)は 写 像 を μ:S(A∧B)→A*Bと

有 限CW-複

ホ モ ト ピ ー 同 値.そ

こ で,そ

体 である

の ホ モ トピー逆

す る.

  定 義   α と β の 一 般Whitehead積

を[α,β]=[h°ν

°μ]∈[S(A∧B),X]と

定 義 す る.   (A.1) 

上 の2つ

の 定 義 は 一 致 す る.

  (A.2) 

XがHopf空

  (A.3) 

S:[S(A∧B),X]→[S2(A∧B),SX]を

間

⇒[α,β]=0,∀

S[α,β]=0    (A.4) ⅰ)   ⅱ)  AとBが

β∈[SB,X].

懸 垂 準 同 型 とす る と, ∀α,β.

[β,α]=-(Sσ)*[α,β],(σ:B∧A→A∧B:交

換 写 像)

懸 垂 空 間 な らば

[α1+α2,β]=[α1,β]+[α2,β],    (A.5) 

α∈[SA,X],∀

[α,β1+β2]=[α,β1]+[α,β2]

[α,β]=0⇔m:SA×SB→Xが

存在 して

[m￨SA]=α,[m￨SB]=β.   (A.6) 

射入  

は ホ

モ トピ ー 同 値.  (A.7) 

Xに

お い て す べ て の 一 般Whitehead積

が 自明 ⇔

任意の有限

CW-複

体Pに

  (A.8) 

対 し て[SP,X]は

ι=[1SA]に

可 換 群.

つ い て[ι,ι]=0⇒SAはHopf空

間.

  B  一 般 高 次Whitehead積[Porter]   [Porter]に

お い て ま ず,次

  (B.1) 

空間  

… ,SAn)が

あ る.

  定義

の こ と が 示 さ れ て い る. に 対 し て 写 像wn:Sn-1(A1∧

 

… ∧An)→T1(SA1,

に 対 し て,W(φ)=φ*wn∈[Sn-1(A1

∧ … ∧An),X]をn次

一 般Whitehead積(generalized

Whitehead

product)

と い う.   定 義  φ:Ti(SA1,…,SAn)→X(i
∈(f1,…,fn)と

わ す) ⇔

標 準 的 射 入kj:SAj→Ti(SA1,…,SAn)に

  定 義   (f1,…,fn)型

のn次Whitehead積

[f1,…,fn]={W(φ)=φ

対 して の集合

°wn￨φ:T1(SA1,…,SAn)→X,φ

∈(f1,…,fn)}.

  定 義 よ り 明 ら か に,   (B.2)  (自 然 性)  fi:Ai→Bi,  (SB1,…,SBn)→Xと

g:X→Y,φ:T1

す る と き,

  (1)  (Sn-1f1∧ … ∧fn)*W(φ)=W(φ   (2)  g#W(φ)=W(g°

°T1(Sf1,…,Sfn))

φ)

  (3)  (Sn-1f1∧ … ∧fn)*[h1,…,hn]⊂[h1°(Sf1),…,hn°(Sfn)]   (4)  g*[h1,…,hn]⊂[g°h1,…,g°hn].   さ ら に,次   (B.3) 

が 成 り 立 つ:

φ:T1(SA1,…,SAn)→XはSA1×

… ×SAnに

拡張可能

⇔W(φ)=0.   (B.4) 

XがHopf空

間 の と き,φ:T1(SA1,…,SAn)→Xに

対 し てW(φ)

=0 .   特に  

に つ い て[f1,…,fn]=0.

 

(B.5) 

SW(φ)=0.

 

(B.6) 

写 像 Φ:Ti(SA1,…,SAn)→XはTi-1(SA1,…,SAn)に

⇔

Φ°kr°wr=0.

拡張可能

表

  C  Hurewicz準  

fを 空 間Xか

同 型[Weingram] らd次

元CW-複

体 へ の 写 像 とす る と き

  定 義  fは 圧 縮 不 能(incompressible) ⇔fはc次

元 の 部 分 複 体(c
 [Weingram]に

おけ る主 定 理 は

  (C.1)  Gを 像 な ら ばhは

有 限 生 成 可 換 群 と す る.h:ΩS2n+1→K(G,2n)が

自明 で な い写

圧 縮 不 能 で あ る.

  こ れ を 用 い て,Hurewicz準   (C.2) 

の 写 像f′ に ホ モ トー プ で な い.

XはHopf空

 ⅰ)  π1(X)の

後,最

同型  

間 でH*(X)は

につ い て 有 限 生 成 と す る.こ

の と き,

初 の 自 明 で な い ホ モ トピ ー 群 は 奇 数 次 元 に お こ る,

 ⅱ )

 さ ら に,こ

れ ら の 一 般 化 に つ い て は[Goldfeather]が

あ る.

第4章  局

  局 所 化 に つ い て は,[Sullivan]に て,Hopf空 Toda

所

化

も あ る が,こ

間 の 局 所 化 を 目 的 と し て お り,主

1],[Harrison-Stasheff],

こで は[Arkowitz

0]に

沿 っ

た る 結 果 は[Mimura-Nishida-

[Zabrodsky]等

に お け る 定 理 で あ る.

  §1  代 数 的 局 所 化   こ の 節 で は 代 数 的 局 所 化 の 復 習 を す る.   整 数 環 の 局所 化   Rは

単 位 元1を

も つ 可 換 環 で か つ 整 域 とす る.

  定 義   R-{0}⊃Mは ⇔(1) 

乗 法 集 合(multiplicative

set)

M∋1

  (2)  M∋a,b⇒ab∈M.   定 義   R-{0}⊃M:乗  

M-1R:M外

に

法 集 合 に つ い て, け るRの

局 所 化(R

⇔M-1R={r/m￨r∈R,m∈M}/∼(た   M-1Rは

次 の 和+と

localized

away

だ しr/m∼r′/m′

from

M)

⇔rm′=r′m).

積 ・に よ り環 と な る:

[r/m]+[r′/m′]=[rm′+r′m/mm′],    定 義   局 所 化 準 同 型(localization

[r/m]・[r′/m′]=[rr′/mm′]. homomorphism)

lM:R→M-1R

⇔lM(r)=[r/1].   例   R⊃Pが RのPに   (1)

素ideal⇒R-Pは

お け る 局 所 化(R RPで

は 素ideal

乗 法 集 合.こ localized

at P)と

Rが 整 域 な ら ば,0は of quotients)で

  以 下,整

い い,次

が 成 り立 つ:

Pに 含 まれ な い 元 は 正 則 で あ る,

  (2)  局 所 化 準 同 型R→RPはPをRPの   (3)

の と きRP=(R-P)-1Rを

素idealで,0に

あ る.

数 環 の 局 所 化 を 考 え る.

非 単 元 の 一 意 的 な 極 大idealに お け る 局 所 化RPは

写 す,

商 体(field

  記 号   Π={す  

M(P):Pに

べ て の 素 数}⊃Pに

つ い てP=Π-P(補

よ り生 成 さ れ る 乗 法 集 合.

 定 義   ZP=M(P)-1Z:Pに

お け るZの

  記 号 P∋pに

つ い てZp=Z{p}と

  こ の と き,次

が 成 り立 つ.

  (1.1)  Zpは

主 整 域 で あ る.

局所化

表 わ す.

  (1.2)  可 換 群 と し てZPはtorsion-free,従 で,任

意 の 可 換 群Aに

対 し てZP*A=0.

  (1.3)  M(P)∋m,m′

に 対 し て, 

れ,M(P)を

集 合).

有 向 集 合 に す る.M(P)∋

っ て 関 手ZP 

は完全関手

と定 義 し て,順 ∀mに

対 し てZ(m)=Zと

お き, 

に 対 し て 準 同 型m′/m:Z(m)→Z(m′)⇔(m′/m)(z)=m′/m・zを る こ と に よ り帰 納 的 系{Z(m)}を

構 成 す る.こ

の と き,こ

序 を入

対 応 させ の 帰 納 的 極 限 はZP

に 同 型 で あ る:

 (1.4) 

Π ⊃P,P′

に 対 し て 

(ⅰ)  ZP+ZP′=ZP∩P′ 

(た だ し,和,共

通 集 合 はQの

部 分 群 と し て).

(ⅱ)  ZP∩ZP′=ZP∪P′

は 同型 であ る.従

 (1.5)  準 同 型  っ て,積

に よ る 準 同 型ZP 

  定 義  P∋pと  

す る.可

GはM(P)-torsion群   記 号   Z∋nに

ZP→ZPは 換 群Gはp-群

⇔G∋

同 型 で あ る. ⇔Gの

各 元 の 位 数 はpの

∀gに 対 し て,m∈M(P)が

巾.

あ っ て,mg=0.

対 し て,n:G→G⇔n(g)=ng(∀g∈G).

 (1.6)  GがM(P)-torsion群

 (1.7)

  (1.8)  P:Z→Z⇔P(z)=pzに

よ り導 か れ る 準 同 型 αn:Z/pn→Z/pn+1

で 与 え ら れ る 帰 納 的 系{Z/pn,αn}:

の帰納 的極 限を 

と表 わ す.射

入i:Z⊂ZPのCoker

iは

Coker    特 に,P=φ

(群 と し て)

の と き,

  (1.8)′

 (1.9)  Π ⊃P⊃Qに

対 し て 次 の 自 然 な 射 入 が あ る: i(P,Q):ZP⊂ZQ, 

 (1.10)  Π ⊃ ∀P,Qに

M(P)⊂M(Q).

対 し て 右 下 の 図 は 可 換 で,次

の 系 列 は 完 全 で あ る:

た だ し,β,γ,μ,ν は い ず れ も 自 然 な 射 入 P∩Q⊂P,Q⊂P∪Q

に よ り導 か れ た 準 同 型 で あ り, (β,γ)(x)=(β(x),γ(x)), 

(μ-ν)(x,y)=μ(x)-ν(y).

 群 の 局 所 化  可 換 環Rの  定義  Mは

局 所化 を,次 の よ うにR上 乗 法 集 合,GはR-加

の加 群Gに

群 とす る. (Gの

 特 に,Z上

の加 群,す

拡 張 す る.

なわ ち,可 換 群Gに

局 所 化).

つ い て は 次 の よ うに 定 義 す る.

 定 義  Π ⊃Pに つ い て (GのPに

お け る 局 所 化).

 以 下,群 は す べ て可 換 群 を い うも の とす る.

 定義 

(Pを

強 調 し た い と き はlPと

書 く).

 記 号   G{p}=Gp,Gφ=GQ.

で あ るか ら,本 節 冒 頭 のZPは

 注意 

上 の 意味 で の 群Zの

る.

  例   (1)  GΠ=G.  (2)  Gは

階 数rの

有 限 生 成 群 な ら ば, P-torsion

P-torsion

P-torsion  (3)  G=Q/Zに

つ いて

P-torsion

G 

G 

G.

G

P-torsion

G

局所化 であ

 (3)′  も っ と一 般 に

 

GPの

性 質 を 列 挙 す る.

 (1.11) 

GPは

左ZP-加

へ の 作 用 は 

群 で,ZPの  で 与 え ら れ る.

 関手ZP   (1.12) 

は直和 お よび 

群Gi,i∈I,に

 (1.13) 

つ い て,

{Gi,i∈I}が

  (1.14) 

帰納的系

M(P)は(1.3)で

とお き  

考 え た 有 向 集 合,M(P)∋

m∈M(P)}を

構 成 す る.こ

極 限 はGPに

同 型 で あ る:

 注 意   M(P)∋1で

に

の と き,こ

の帰納的

この と き,上 図 は 可 換.

あ るか ら,射 入 

りえ られ る完 全 系 列

Ker Coker Z/p∞

  G:p-群

⇒Coker

Z/p∞*G:p-群

⇒Ker

l:M(P)-torsion群, l:M(P)-torsion群.

 以 上 よ り  (1.15)    実 は,Ker  さ ら に,次  (1.16)   (1) 

Gは

対 し てG(m)=G

納 的 系{G(m),

  Gを 施 して,

こ こ で,

∀mに

に 対 し て 準 同 型m′/m:G(m)→G(m′)⇔(m′/m)(g)=m′/m・g

を 対 応 さ せ る こ と に よ り,帰

 (1.8)よ

と交 換 可 能 で あ るか ら,

Ker

l,

Coker

lは

い ず れ もM(P)-torsion群.

lはGのM(P)-torsion部

分 群 で あ る.

が 成 り立 つ: 次 の4条 左ZP-加

件 は 同 値: 群 で,l:G→GPはZP-準

同 型,

  (2)  l:G→GPは   (3)  M(P)∋   (4)  Gは

群 の 同 型,

∀mに

対 し て,

左ZP-加

群.

  定 義   群GはP-局

所 的 ⇔(1.16)の

  (1.16)′  GpはP-局

条 件 の1つ

が 成 り立 つ.

所 的.

  特 に,p∈P⇒Z/pnはP-局

所 的.

  P-局 所 群 に つ い て は 次 が 成 り立 つ:   (1.17) 

(1)  Gi,i∈I,がP-局

所 的  

  (2)  A→B→C→D→Eが ⇒CはP-局

はP-局

所 的,

完 全 系 列 で,A,B,D,EがP-局

所的

所 的.

  P-同 値 とP-局

所化

  定 義   群 の 準 同 型f:G→HのPに

  明 ら か に,fPはZP-準

お け る 局 所 化fP:Gp→HP.

同 型 で 右 図 は 可 換:

  定 義   準 同 型f:G→HはP-同 (P-equivalence

値(準 同 型)

localization)

  P-同 値 準 同 型 は 次 の 性 質 に よ り特 徴 づ け ら れ る:  (1.18) 

fはP-同

値 準 同型

  (1.18)′  l:G→GPはP-同

⇔Ker

f°l=fを

一 意 的 にZP-準

Coker

f:M(P)-torsion群.

値 準 同 型.

  (1.19)  (普 遍 性 質)f:G→Hは 局所 的 ⇒

f,

群 の 準 同 型,HはP同 型f:Gp→Hが

存 在 し て,

み た す.

  P-同 値 準 同 型 に つ い て 次 が 成 り立 つ:  (1.20) 

fi:Gi→HiがP-同

値 準 同 型 

はP-

同 値 準 同 型 で あ る. 左 の 図 は可 換 で,横  (1.21) 

 (1.22) 

列はいずれ

も完 全 系 列. 図(1.21)に

お い てa,b,d,eがP-同

 定 義   群 の 準 同 型f:G→HはP-局

値 準 同 型 ⇒cはP-同

所 化(準 同 型)(P-localization

値 準 同 型. homo

morphism) ⇔

同型g: 

(⇔fは

が 存 在 して,g°l=fを

み たす.

本 質 的 に は 標 準 準 同 型lと 同 じ.)

  従 っ て,任

意 のP-局

所 化 は 普 遍 性 質(1.19)を

も つ.P-局

所 化は次の性質に

よ り特 徴 づ け ら れ る:   (1.23) 

準 同 型f:G→HはP-局

⇔fはP-同 ⇔Ker

所化

値 準 同 型 で,HはP-局 f,

Coker

所的

fはM(P)-torsion群

で,HはP-局

所 的.

  P-局 所 化 に つ い て 次 が 成 り立 つ:  (1.24) 

fi:Gi→HiがP-局

はP-局

所 化 

所 化.   (1.25) 

図(1.21)に

  (1.26) 

A,Bは

型 は い ず れ もP-局

お い て,a,b,d,eがP-局

群,f:G→H,f′:G′

所 化 ⇒cはP-局 →H′ はP-局

所 化.

所 化 な ら ば,次

の準 同

所 化 で あ る:

 (1)

 (2)  f*1A:G*A→H*A,1B*f′:B*G′ f*f′:G*G′  (1.27) 

→B*H′,

→H*H′.

群 の 帰 納 的 系 の 間 の 準 同 型{fi,i∈I}:{Gi,i∈I}→{Hi,i∈I}に

お い て 各fi:Gi→HiがP-局

所 化 な ら ば 

HiはP-局

所化

で あ る.   異 な る集 合 に お け る 局 所 化  Π ⊃P⊃Qと

す る と,M(P)⊂M(Q)か

所 的 群 はP-局

所 的.特

  定 義   群G,Π 的 にZP-準 =lQを

に,GQはP-局

⊃P⊃Qと

つi:ZP⊂ZQは

っ て ,Q-局

所 的.

す る.(1.19)に

同 型 λ=λPQ:GP→GQが

射 入,従

よ り,一

意

存 在 し て,λPQ°lP

み たす .

  こ の と き,   (1.28)  λPQ:GP→GQはQ∪P-同  (1.29) 

値 準 同 型, 特 に Π=Pの

と き,lP=1G,λPQ=lQ.

 (1.30) 

Π ⊃P⊃Q⊃R⇒

λQR°λPQ=λPR.

左 の 図 は群 と準 同型 の 可 換 な 図 とす る.

 (1.31) 

 図(1.31)に

お い て,次

の 系 列 を 考 え る:

 (1.31)′

  た だ し,(j,k)(x)=(j(x),k(x)),    定 義   (1.31)はfibre

(f-g)(x,y)=f(x)-g(y).

square

は 完全 系 列.  (1.31)はcofibre

square

は 完 全 系 列.   こ の2条

件 が 同 時 に 成 り 立 つ と き,(1.31)をfibre-cofibre

単 にfibre

square)と

square

∀G:群,∀b:G→B,∀c:G→C:準 型 がf°b=g°cを a:G→Aが

同

み た す な ら ば,準

同 型

一 意 的 に 存 在 し て,

b=j°a, 

c=k°a

  定 義   (1.31)はpush-out ⇔

た は

い う.

  定 義   (1.31)はpull-back

⇔

square(ま

square

∀H:群,∀b′:B→H,∀c′:C→H:準 同 型 がb′°j=c′°kを み た す な ら ば 準 同 型d:D→Hが b′=d°f, 

  (1.31)が

与 え ら れ て い る と き,準

Coker

存 在 し て 次 の 図 は 可 換:

gが

 (1.32) 

次 の3条

一意的に存在 して

c′=d°g.

同 型k′:Ker

j→Ker

件 は 同 値:

 (1) 

(1.31)はfibre-cofibre

 (2)

k′:Ker

j  Ker

square, g,  f′:Coker

j  Coker

g,

g,f′:Coker

j→

 (3) 

(1.31)はpull-back

 (1.32)′

squareか

  (1.31)はfibre

つpush-out

square⇔(1.31)はpull-back

(1.31)はcofibre

square,

square⇔(1.31)はpush-out

  注 意  「(1.31)はfibre square⇔0→A→B  定 義 す るの は[Sullivan

square.

1]に

C→D→0は

短 完 全 系 列」 と

よる.

  以 上 の 議 論 を 次 の 場 合 に 適 用 す る.す 射 入P∩Q⊂P,Q⊂P∪Qが

square.

な わ ち,Π

あ る か ら,次

⊃P,Qと

す る と き,自

然な

の 可 換 な 図 が え ら れ る:

j=λPUQ,Q k=λPUQ,P

 (1.33) f=λQ,P∩Q g=λP,P∩Q

 こ の と き,  (1.34) 

(1.33)はfibre-cofibre

squareで

  特 に,Π=P∪P,P∩P=φ  (1.34)′ 

あ る.

に 適 用 し て,

次 はfibre-cofibre

squareで l:P-局

所 化,

l:P-局

所 化,

あ る:

λ=λPφ, λ=λPφ.

  す な わ ち,∀Gは

λ:GP→Gφ

と λ:GP→Gφ

のpull-backで

あ る.

  (1.34)″   GP={0}=GP⇒G={0}.   注 意   Gが

有限生成

⇒Gは

∀pに 対 す る無 限pull-backλpφ:Gp→Gφ

に同型で

あ る.   (1.35)  f:G→AがP-同

値,h:H→AがP-同

値 な ら ば,準

同型

は 全 射 で あ る.   以 上[Arkowitz

0]に

ら 行 う こ と を す す め る.

沿 っ て 代 数 的 局 所 化 に つ い て 述 べ た が,証

明は 読 者 自

  §2  位 相 的 局 所 化   本 節 で は 位 相 的 局 所 化 に つ い て 復 習 す る.証 明 に つ い て は[TM],[Sullivan 1],[Mimura-Nishida-Toda 節 で は,弧

1],[Arkowitz

状 連 結 なCW-複

0]を

参 照 さ れ た い.尚,こ

の

体 と 同 じ ホ モ トピ ー 型 を も つ 空 間 の 圏 で 考 え る.

 局所化の定義   定 義   X:単   Xの

純  

に つ い て,π1(X)は

普 遍 被 覆 空 間 をXと

  定 義   XはSullivanの πn(X),Hn(X)に

πn(X)に

す る. 意 味 で単 純  

に つ い て π1(X)は

に 断 ら な い 限 り考 え る 空 間 は 単 純 とす る.

  Π ⊃Pと

す る.

  定 義   XはP-局

所 的(P-local)⇔

  定 義   写 像f:X→Yは ⇔f#:πn(X)→

∀nに つ い て πn(X)はP-局

ホ モ トピ ー のP-局

πn(Y)はP-局

  定 義   写 像f:X→Yは

ホ モ ロ ジ ー のP-局

所 化(P-localizing

homology)

ホ モ トピ ー のP-局 所 化 (∀n).

ホ モ ロジ ー のP-局 所 化

⇔Hn(Y)はP-局

所的かつ  

⇔Hn(Y)はP-局

所的かつ

  定 義  f:X→YはP-局

 

homotopy)

所 的かつ  

  (2) f:X→Yは

 

所 化(P-localizing

所 化   (∀n).

  注 意   (1) f:X→Yは

YはP-局

所 的.

所 化   (∀n).

⇔f*:Hn(X)→Hn(Y)はP-局

⇔(1) 

π1(X),

自 明 に 作 用 す る.

  以 下,特

⇔YはP-局

自 明 に 作 用 す る.

(∀n)

 

(∀n).

所 化(P-localization) 所 的,

(2)  次 の 普 遍 性 質 が 成 り立 つ: ∀g:X→W(P-局 →Wが

存 在 し てg=g°fを

  こ の と きfをP-局 (localization

所 的)に 対 し て,ホ

モ トピ ー の 意 味 で 一 意 的 にg:Y

みたす.

所 化(写 像)(P-localization

at P)と い う.こ

map),YをXのP-局

の 定 義 の 正 当 性 は 次 の2つ

  (2.1)  (一 意 性)  f:X→Y,f′:X→Y′

がP-局

所化

所 化

の 命 題 か ら わ か る.

⇒

一 意 的 に ホ モ トピ ー 同 値 写 像h:Y→Y′

が存在 し

てh°f=f′.   (2.2)(存 →XPが

在 性)  ∀Xに

つ い て,空

存 在 し てl:X→XPはP-局

間XPと

  記 号   P-局 所 化 をl=lP=lX:X→XPな   次 の3つ

写 像l:X

所 化 で あ る. ど と 表 わ す.

の 命 題 を 考 え る:

  (イ)  f:X→Yは

ホ モ ト ピ ー のP-局

所 化,

  (ロ)  f:X→Yは

ホ モ ロ ジ ー のP-局

所 化,

  (ハ)  f:X→YはP-局   こ の と き,次   (2.3) 

所 化.

が 成 り立 つ:

(1)  (イ)⇔(ハ)

  (2)  (イ)⇒(ロ)   (3)  X,YがSullivanの

意 味 で 単 純 な ら ば,(ロ)⇒(イ).

  これ よ り   (2.3)′  XがP-局 味 で 単 純 な ら ば,こ

所 的 ⇒H*(X)はP-局

所 的.ま

たXがSullivanの

意

の 逆 も成 り立 つ.

  従 って   (2.3)″  X,Yが1-連

結,ま

た はX,YがHopf空

間 な らば

(イ)⇔(ロ)⇔(ハ).   与 え ら れ た 空 間Xに

対 し て,(2.2)よ

在 し,(2.1)に

本 質 的 に は 一 意 的 で あ る か らXの

よ りlは

り,局

所 化 で あ る 写 像l:X→XPが 局 所 化XPは

存 ホモ ト

ピ ー 型 を 除 い て 一 意 的 で あ る こ と が わ か る.   ま た,P-局

所 化l:X→XPは

ホ モ トピ ー,ホ

モ ロ ジ ー をP-局

∀nに つ い て 同 型 

が あ り,

次 の 図 は 可換:

 (2.4)

 し か し,コ

ホ モ ロ ジ ー で は そ うで は な い.

 例  球 面Snは

単 純 で あ る が,そ

所 化 す るか ら

のP-局

所 化SnPに

つ い て,

  一 方, 

すなわち

 し か し な が ら,P-局

所 化l:X→XPに

つ い て,

 (2.5)

も っ と一般 に (∀G:P-局

 (2.6)    定 義   Xφ=XQと  ま た,XΠ=Xで

書 き,Xの

有 理 化(rationalization)と

い う.

あ り,lΠ=1X:X→XΠ=X.

  例   SnP=M(ZP,n)   

所 的).

(ZP,n)型

Snφ=SnQ=K(Q,n) 

のMoore空

(Q,n)型

間,

のEilenberg-MacLane空

間(n:奇

数).

同型

 記号 

同型  局 所 化 の 性 質  Π ⊃P⊃Q,f:X→Yは ZQ-加

写像 と す る.YQはQ-局

群 で あ り,ZP⊂ZQで

加 群,す

所 的 で あ る.従

普 遍 性 質 か ら,ホ

味 で 一 意 的 にfPQ:XP→YQが

っ て,P-

モ トピ ー の 意

存 在 して

  (2.7)  (1)  Π ⊃P⊃Q,i:ZP⊂ZQは

射 入,∀f:X→Yに

可 換:

  (2)  について   記 号   P=Qの   定 義   ∀f:X→Yに

な わ ち,πn(YQ)は

あ る か ら,πn(YQ)はZP-

な わ ち,YQはP-局

局 所 化lX:X→XPの

所 的,す

と きfPP=fPと つ い て,ホ

表 わ す. モ トピ ー の 意 味

つ い て次 の 図 は

で 一 意 的 にfP:XP→YPが

存 在 し て,fP°lX=lY°fを

み た す.こ

所 化(P-localization)ま

た はPに

のfPをfのP-局

お け る 局 所 化 と い う.

 こ の と き,次  (2.8) 

が 成 り立 つ

(1)  1X:X→X⇒(1X)P=1XP:XP→XP

 (2)  0:X→Y(定

値 写 像)⇒0P:XP→YP

 (3)  f:X→Y,g:Y→Wに  (4)  f:X→Yに

 (2.9) 

の 図 は 可 換(∀n):

所 化lX:X→XP,lY:Y→YPに

はX×YのP-局

(定 値 写 像),

ついて

つ い て,次

P-局

(恒 等 写 像),

つ い て 

所 化.

 記 号  下 図 の よ うに射 入,射 影 を 名 づ け る:

こ の と き,次

が 成 り立 つ:

  (2.10)  ホ モ トピ ー 同 値 写 像h:(X×Y)P→ XP×YPが

存 在 し て 次 を み た す:

 (1)  (2) 

qX°h=(pX)P, 

 (3) 

h°(iX)P=jX, 

 Π ⊃P⊃Qと モ

qY°h=(pY)P, h°(iY)P=jY.

す る.上

の 議 論 に お い て,X=Y,f=1X:X→Xと

ト ピ ー の 意 味 で 一 意 的 にj=jPQ:XP→XQが

て,JPQ°lP=lQ.こ

の と き,j=jPQ:XP→XQを

像(canonical

map)と

  こ の と き,次

が 成 り 立 つ:

 (2.11) 

(1) 

存 在 し 標 準 写

い う.

に つ い て,jQR°jPQ=jPR.

お く と ,ホ

(2)  射 入i:ZP⊂ZQに

  (2.12) 

つ い て,次

Π ⊃P,Qに

つ い て,ホ

像h=hX:XP∩Q→(XP)Qが

の 図 は 可 換:

モ トピ ー 同 値 写

存 在

し て,右

の図 は

可 換:h°lP∩Q=(lP)Q°lQ.

 (2)  ∀f:X→Yに

つ い て,下

の 左 の 図 は 可 換:hY°fP∩Q=(fP)Q°hX

 こ の 系 と し て  (2.12)′  ∀Xに

つ い て,

 こ の 同 一 視 の 下 で(fP)Qは(fQ)Pに  (2.12)″  特 に,Π

⊃P⊃Qの

対 応 す る. と き,h-1°lQ=jPQ:XP→XQ 

(標 準 写 像)

  P-同 値 写 像  Π ⊃Pと

す る

  定 義   写 像f:X→YはP-同

値(写 像)(P-equivalence)

⇔f#:πn(X)→

値 準 同 型   (∀n).

πn(Y)はP-同

  こ の と き,次

が 成 り 立 つ:

  (2.13)  f:X→Yは

写 像,Π

  (1)  f:P=同

値 ⇒f:Q-同

  (2)  f:P-同

値 ⇔fP:XP→YPホ ⇔Ker 所 化 ⇔Y:P-局

  (4)  f:P-同

値 か つR-同

  (2.14) 

値 ⇔f:ホ

Π ⊃P⊃Qと

⊃Rと

す る.

値, モ トピ ー 同 値 写 像

f#, Coker

  (3)  f:P-局

  (5)  f:Π-同

⊃P⊃Q,Π

f#:M(P)-torsion群 

所 的,f:P-同 値 ⇒f:P∪R-同

(∀n),

値, 値,

モ トピ ー 同 値.

す る.j:XP→XQが

標 準 写 像 ⇒j:P∪Q-同

値.

  (2.15) 

(f,g,h)が

フ ァ イバ ー空 間 か ら フ ァ イバ

ー 空 間 へ の 写 像 と す る .f,g,hの がP-同

値 な ら ば 残 りの 写 像 もP-同

  弱pull-backの

図 式(2.16)に

つ い て 次 が 成 り立 つ:

(1)  g:Y→AはP-同

  (2)  f:X→AはP-同   (2.18) 

値.

左 の 図 は 弱pull-back.

  弱pull-backの   (2.17) 

の写 像

定理

 (2.16) 

⇒

うち,2つ

値 ⇒r:W→XはP-同

値 ⇒s:W→YはP-同

Π ⊃P,Q,X,Y,Zは

値.

空 間,f:XP→Y,g:XQ→ZはP∩Q-同

次 の 長 方 形 は 弱pull-back図

  た だ し,l:局

所 化,i,j:標

式 で あ る:

準 写 像,kは

次の合成写像

  この 系 と して   (2.18)′  Π ⊃P,Qと

す る と 右 図 は 弱pull-back

図 式 で あ る(た だ し,写

像 は い ず れ も標 準 写 像).

  (2.18)″  Π ⊃Pと す る と 右 図 は 弱pull-back図 で あ る(た だ し,l,lは

局 所 化,j,jは

  (2.19) 

弱pull-back図

る と き,右

図 は 弱pull-back図

  §3  Hopf空   Hopf空  Π ⊃Pと

式(2.16)が

間 の 局 所化

間 の 局 所 化 の性 質 す る.

値,

式

標 準 写 像). 与 え られ て い

式 で あ る:

値

  命 題3.1 

(1)  XがHopf空

l:X→XPはHopf写

間 な ら ばXPもHopf空

像 で あ る.さ

トピ ー 可 換 な ら ば,XPも

ら に,Xが

間 で,局

所化写像

ホ モ トピー結 合 的 また は ホ モ

そ れ ぞ れ ホ モ トピ ー 結 合 的 ま た は ホ モ ト ピ ー 可 換 と

な る.   (2)  局 所 化l:X→XPに

つ い て,Ωl:ΩX→

Ω(XP)は (H-同

  [証 明]  Xの   (1)  (2.10)の

ま た 局 所 化 で,

値).

積 を μ と す る. ホ モ トピ ー 同 値 写 像h:(X×X)P→XP×XPの

写 像 をh-1と

す る と き,次

の 合 成 写 像 はXPの

  さ ら に,右

図 は ホ モ トピ ー 可 換

ホ モ トピー逆

積 を 与 え る:

で あ る か ら,l:(X,μ)→(XP,μP)は Hopf写

像 で あ る.

  (1)の 後 半 は 明 ら か.   (2)  Ωl:ΩX→

Ω(XP)は

ーの 局 所 化 で あ るか ら 従 っ て,ホ

ち,右

,局 所 化 で あ る こ とが わ か る.

モ トピ ー の 意 味 で 一 意 的 に ホ モ ト ピ ー 同

値 写 像r:(ΩX)P→ み た す.次

ホ モ トピ

Ω(XP)が

存 在 し てr°lΩX=Ωlを

にrがHopf写

像 で あ る こ と,す

なわ

図 が ホ モ トピー 可換 で あ

る こ と を 示 す.た

だ し,μ,μ ′は

そ れ ぞ れ ΩX,Ω(XP)の を 表 わ す.こ

ル ー プ積

こ で,Ω(XP)はP-

局所 空 間 で あ るか ら,次 を 示 せ ば よい:

左辺

左辺  右辺

右辺   以 下,Hopf空

(終) 間Xに

つ い て,XPがHopf空

間 と い う と き に は,Hopf構

造

は 上 の 定 理 の も の を 考 え て い る こ と に す る.   命 題3.2 

Π ⊃P⊃Qと

す る.f:(X,μX)→(Y,μY)がHopf写

像 な ら ば,

fPQ:XP→YQもHopf写

像 で あ る.

  [証 明]  右 の 図 の 外 周 が ホ モ トピ ー 可 換

で あ る こ とを 示 せ ば よい.   明 ら か に,下

半 分 は ホ モ ト ピ ー 可 換.上

半 分 が ホ モ トピー可 換 で あ る こ とを 示 す には,次 を 示 せ ば よい:

左辺 (終)

右辺    系3.3 

Π ⊃P⊃Qと

す る.

 (1)  f:x→Y:Hopf写  (2)  X:Hopf空  (3)  X:ル

像 ⇒fP:XP→YP:Hopf写 間 ⇒

像,

標 準 写 像jPQ:XP→XQはHopf写

ー プ 空 間 ⇒XP:ル

ー プ 空 間,か

像,

つ 標 準 写 像jPQ:XP→XQは

ル ー プ 写 像.  [証 明]  (1),(2)は

明 ら か.

 (3)  仮 定 よ りZとH-同 もH-同

値 写 像.こ

ま た,も

XQは

値 写 像h:X→

こ で 命 題3.1.(2)よ

あ る.こ の と き,hP:XP→(ΩZ)P ル ー プ 空 間.

り 

標 準 写像i:XP→

な ら ば, 

し, 

標 準 写 像ZP→ZQの

  命 題3.4 

ΩZが

Π ⊃P,Qと

ル ー プ に 対 応 す る.  す る.Xは

同 値 写 像f:XP→Y,g:XQ→Zが

(終)

空 間,Y,ZはHopf空

間 と し,ホ

モ トピ ー

存 在 し て,次 の 合 成 写 像kはHopf写

像 と

仮 定 す る:

た だ し,h,h′

は い ず れ も ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像,ま

の ホ モ トピ ー 逆 写 像 を 表 わ す.こ XP,XQは ら ば,標

そ れ ぞ れ,f,gに

た,g-1P∩Q,h′-1は

の と き,XP∪QはHopf空

よ りY,Zか

ら 導 か れ たHopf構

準 写 像i:XP∪Q→XP,j:XP∪Q→XQはHopf写

  [証 明]  (2.18)に

よ り次 の 図 は 弱pull-back図

はHopf写

よ りXPをHopf空

像.fに

同 様 に,XQもHopf空

それぞれ

間 に な る.さ

ら に,

造 が 与 え られ る な 像 で あ る.

式 で あ る.仮

定 か ら,k,lP∩Q

間 と み な す とf:XP→YもHopf写

間 でg:XQ→ZはHopf写

像.従

っ て 命 題 Ⅰ.4.5に

像. よ

りXP∪QはHopf空

間,i:XP∪Q→XP,

j:XP∪Q→XQはHopf写   系3.5 

像. 

Y,ZはHopf空

(終)

間 と す る.

も し,f:XP→Y,g:XP→Zが ト ピ ー 写 像 で,合

がHopf写

ホ モ 成写 像

像 な ら ばXはHopf空

  特 に,XP,XPがHopf空 XはHopf空

間 で あ る. 間 で,h°h′-1:(XP)φ

像 な ら ば,

間 で あ る.

  ま た,XP,XPがHopf空

間 の と き,h-1,h′-1はXφ

を 導 くが,こ

れ ら が 写 像Xφ

間 で あ る.す

な わ ち,XがHopf空

Hopf構

造 がXφ

  系3.6 

×Xφ →Xφ

  補 題3.7 

造

間 で あ る た め に はXPのHopf構

造 とXPの

に お い て 両 立 し な け れ ば な ら な い.

XPとXPはHopf空

ず れ もHopf写

上 に そ れ ぞ れHopf構

と し て ホ モ トー プ な ら ばXはHopf空

間 と す る.Xφ

い て 一 意 的 な 積 を 持 つ な ら ばXはHopf空

き,標

→(XP)φ がHopf写

がHopf空

間 で,局

間 で ホ モ トピー を 除

所 化X→XP,X→XPは

い

像 で あ る. Π ⊃P⊃Qと

す る.XP:Hopf空

準 写 像j:XP→XQに

間,K〓

有 限CW-複

体 とす る と

つ い て, (Ωj)*:[K,ΩXP]→[K,ΩXQ]

はP∪Q-同

値 準 同 型.

  [証 明]  仮 定 か ら,XPはHopf空 空 間 ⇒(Ⅰ.1.16)に 間 ⇒[K,ΩXP],[K,ΩXQ]:可 j#:πn+1(Xp)→

間 で あ る か ら, 

よ り ΩXP,ΩXQは 換 群.特

πn+1(XQ)はP∪Q-同

(Ωj)*:[K,ΩXP]→[K,ΩXQ]はPUQ-同

に  

CW-複

XはHopf空

体 とす る と き,準

の と き,(Ωj)*=

値 準 同 型 ⇒K=Sn∨

… ∨Snに

値 準 同 型 ⇒Kの

納 法 に よ り[K,ΩXP]→[K,ΩXQ]はP∪Q-同   系3.8 

もHopf

い ず れ も ホ モ トピ ー 可 換 なHopf空

切 片 に 関す る帰

値 準 同 型. 

間,j:XP→Xφ,j:XP→Xφ

つ い て,

は 標 準 写 像,K〓

(終) 有 限

同 型  は 全 射 で あ る.

 [証 明] 

(Ωj)*:[K,ΩXP]→[K,ΩXφ],(Ωj)*:[K,ΩXP]→[K,ΩXφ]は

そ

れ そ れ,P-,P-同

値 準 同 型 ⇒(1.35)に

 注 意  補題3.7,系3.8は

い ず れ も,∀X〓

  命 題3.9 

X,YはHopf空

有 限CW-複

体 と す る.も

YPが

い ず れ もHopf写

全 射. 

(終)

体 に つ い て も成 り立 つ.

写 像,X〓

し,fP:XP→YP,fP:XP→

像 な ら ばfはHopf写

像.

式.さ

ら に,系3.8

同型

は 全 射 で あ る.こ  

有 限 次 元CW-複

間,f:X→Yは

  [証 明]  右 上 図 は 弱pull-back図 に よ り,準

よ り(Ωj)*+(Ωj)*は

の とき命 題

f:X→YはHopf写

こ こ で,右

Ⅰ.4.6に

像 ⇔lY°f:X→YP,ly°f:X→YPはHopf写

図 は 可 換:lY°f=fP°lXか

もHopf写

像.全

  Hopf空

間の有理化

  XはHopf空 す る.Hopfの

よ り

つfP,lXはHopf写

く 同 様 にlY°fはHopf写

間,∀iに

つ い てHi(X)は

像.従

像, 像 で あ る か ら,lY°f

っ て,fはHopf写

像.  (終)

有 限 生 成 か つQH*(x)=0,*≫0と

定理に よ り

￨xi￨=ni:奇

数, 

と な る.∀xi,∀yjは

￨yj￨=mj:偶

数,

写 像fi:X→K(Q,xi),gj:X→K(Q,mj)を

定 め,こ

れ

らに よ り

が きま り,  こで,KはQ-局

こ 所的 ⇒h:Q-局

所化,従 って,

 定理3.10  Xは 各 次数 で有限生成 なホモ ロジーを もつHopf空 間 で,

な ら ば,  mj:偶

た だ し,

￨xi￨=ni:奇

数,￨yj￨=

数.

  定 理3.11 

Xは

ホ モ トピ ー 結 合 的Hopf空

ピ ー 型 を も ち,H*(X;Q)=Λ(x1,…,xl)と

間 で,有

限CW-複

体 のホモ ト

す ると た だ し,￨xi￨=ni:奇

数,

  [証 明] 

Leray-Samelsonの

(x1,…,xl)に

定 理(定

お い て,各xiは

理

Ⅱ.4.16)に

原 始 的 に と れ る.従

X→K(Q,ni),ni=￨xi￨,はHopf写

像

はHopf写

⇒

よ り,H*(X;Q)=Λ

っ て,xiに

定 理3.10の

よ り き ま るfi:

証 明に おけ る写 像

はHopf同

像 

 

値 写 像. (終)

 球 面 の 局 所 化   命 題3.12 

Π ⊃Pと

す る.nが

 [証 明]  K(Q,n)はP-局 偶 数.も

しSnPがHopf空

  定 義  σ:X→

Ω2S2Xは

  補 題3.13 

nは

P-torsion群

偶 数 な ら ばSnPはHopf空

間 で は な い.

,￨x￨=

所 的  間 な ら ば,こ

れ はHopfの

標 準 的 埋 め 込 み(つ

定 理 に 矛 盾. 

ま り1S2X:S2X→S2Xの

奇 数,p0=min{p￨p∈P}と

(終) 随 伴 写 像).

す る.∀m>(n+1)p0-1,∀G:

に つ い てHm=(X;G)=0な

ら ば,σ*:[X,SnP]→[X,Ω2S2SnP]は

一

対 一 上 へ の 写 像 で あ る.

で あ る か ら,∀i

 [証 明]  >nに

つ い て

πi(SnP),πi(Ω2S2SnP)はP-torsion群

πi(Ω2S2SnP,SnP)はP-torsion群.さ

に お い て σ#は

ら に,完

⇒

つ い て

つ い てP-torsion群

で あ る

全 系 列 

同 型 で あ る か ら,πi(Ω2S2SnP)は

こ と が わ か る.n<∀r
∀i≠n,n+1に

∀iに

つ い てHr(Ω2S2Sn;Z/p)=0で

ら,∀r
あ るか

つ い て 

こ こ で 

で あ る か ら,∀r
つ い て,  はP-

torsion群

で,∀i
つ い て 零.

  次 に,σ*:[X,SnP]→[X,Ω2S2SnP]は 写 像f:X→ :全

Ω2S2SnPをSnPに

一 対 一 上 へ の 写 像 で あ る こ と を 示 す. 変 位 す る 障 害 ∈Hi(X;πi(Ω2SnSnP,SnP))=0⇒

を み た す と す る.こ

射.f,g:X→SnPは 

IU*×IをSnPに

X×

変 位 す る 障 害 ∈Hi(X×I,X×IU*×I;πi(Ω2S2SnP,SnP))=

Hi-1(X;πi(Ω2S2SnP,Snp))=0⇒   定 理3.14 

の ホ モ ト ピ ーrel

σ*

nは

奇 数 と す る.

σ*:単

射. 

(終)

 (1) 

は ホ モ トピ ー 可 換 なHopf空

 (2)   (3)  2∈Pな

ら ば,SnP:Hopf空

間 ⇔n=1,3ま

 [証 明]  p0=min{p￨p∈P}と  (1) 

間,

は ホ モ トピ ー 可 換 か つ ホ モ トピ ー 結 合 的Hopf空

補 題3.13よ

間,

た は7.

お く.

り 

で あ る.Ω2S2SnPの

積 を μ と す る と き, 

と定 義 す る.そ れ ぞれ 第1,第2因

子 へ の射 入 

に つ い て  同 様 に,  の 積.こ

従 っ てmはSnP上

こ で 

はHopf写

X×X→X×X⇔t(x,y)=(y,x)と

像.t:

定 義 す る と き,μ は ホ モ トピ ー 可 換 で あ る

か ら, 

は ホ モ ト ピ ー 可 換.

 (2)  仮 定 か ら 

で あ る か ら 

補 題3.13よ

σ*:[SnP×SnP×SnP,SnP]=[SnP×SnP×SnP,Ω2S2SnP].各 SnP×SnP×SnP→SnPに

因 子 へ の 射 影q1

つ い て,m°(m×1)=(q1+q2)+q3

∈[SnP×SnP×SnP,SnP].σ*は

り

,q2,q3:

,m°(1×m)=q1+(q2+q3)

和 を 保 ち,[SnP×SnP×SnP,Ω2S2SnP]は

群 で あ るか ら

 ホ モ ト ピ ー 結 合 的.   (3)  [〓] 

n=1,3,7な

⇒

よ りSnPはHopf空

命 題3.1に

  [⇒] 

SnPはHopf空

はEilenberg-MacLane空

ら ば,よ

間

間.

間 とす る.(1)に 間

に よ りSnはHopf空

く知 ら れ て い る よ うに,SnはHopf空

⇒

よ りSnPはHopf空

間.Snφ=K(Q,n)

積 は ホ モ トピー を除 い て一 意 的 ⇒

間.Adamsの

結 果(Ⅰ.(1.4)の

注 意)に

系3

よ り,n=1,3,7

(終)  注 意   S2n-1pは ル ー プ 空 間 ⇔n￨p-1 

 §4 

 

HSMNT定

局 所 化 のHopf空

1].

間 へ の 応 用

理(Harrison-Stasheff,

  記 号   νp(k):kの

[Sullivan

Mimura-Nishida-Toda)

素 因 数 分 解 に お け る 素 数pの

巾.

.6 .

P(k)={p∈

Π￨νp(k)=0}={kを

割 り切 ら な い 素 数}

k=k1Sn:Sn→Sn.   補 題4.1 

Z∋ ∀kに つ い てk:Sn→SnはP(k)-同

  [証 明]  P=P(k)と

値 写 像 で あ る.

お く と き,kP:SnP→SnPが

ホ モ ロジ ー の 同 型 を 導 く こ と を

示 せ ば よ い が,

で あ り,r=nの

と き,こ

い る が,P=P(k)の   Gは

れ は,元

をk倍

定 義 か ら,kは

連 結 な 位 相 群,Hは

す る 準 同 型k:ZP→ZPに

対応 して

同 型. 

(終)

そ の 部 分 群 でG/H=Snな

る も の とす る.

  (4.2)  主 バ ン ドル   H→G→Sn か ら,kに

よ り導 か れ る バ ン ドル をEkと

  定 理4.2 

す る.

次 の条 件

  (1)  n=1 

(2)  n=3, 

ν2(k)≠1,2 

(3)  n=7, 

の い ず れ か が 成 り立 つ と き,EkはHopf空 は い ず れ もHopf写

間,射

ν2(k)≠1,2,3

影k:Ek→G,射

像 で あ る.

  [証 明]  π は フ ァ イ バ ー 空 間 で あ る か ら,Ek=W(k,π)と 常 の 意 味 でSn=G/Hに SSn-1と

み な し,写

ば よ い が,こ

入H⊂Ek

作 用 し,こ 像 度kの

れ は 第1章,§4の

写 像k:Sn→SnがHopf写

れ は 命 題 Ⅰ.1.9に

よ る と(1),(2)ま

し て よ い.Gは π-作 用 で あ る.Sn=

像 に な る条 件 を 求 め れ た は(3)で

あ る.後

は 系 Ⅰ.4.

12を 適 用 す れ ば よい.    補 題4.3 

(終)

主 バ ン ドル(4.2)の

k′≡ ±k mod

dな

dの

→Ek′ →SnとH→Ek→Snは k′≡-k

Sn→Snに

-1は

mod

dの

と き;k′ α=kα ∈ πn(BH)⇒

と き;写

像 度-1の

ら導 か れ る バ ン

す る.も

し,

主 バ ン ドルH

写 像-1: ドル をE-1と

フ ァ イ バ ー で は 恒 等 写 像,-1は

ホ モ トピー 同値 写 像

.こ

か ら,H→E-1→SnはH→Ek′

  定 理4.2と

位 数 をdと

同 値

よ りEk→Snか

す る と,-1は

特 性 類 α∈ πn(BH)の

らば

 [証 明]  (1)  k′≡k mod

  (2) 

通

補 題4.3か

こ で,kα →Snに

ら

ホ モ ト ピ ー 同 値 で あ る か ら,

°(-1)=-kα=k′ 同 値 

α ∈ πn(BH)で

あ る

(終)

  系4.4(HSMNT)  の 位 数 をdと

n=1,3,7と

す る.主 バ ン ドル(4.2)の

す る と き,ν2(k)=0ま

た は  

特 性 類 α∈ πn(BH)

な ら ば,EkはHopf空

間

で あ る.   [証 明]  こ の 系 の 条 件 が 成 り立 つ と き,整 l:Sn→Snは Hopf空

定 理4.2の

条 件 を み た す.従

数lが

あ っ て,l≡k

っ て,補

お い て,H,Gは

の と きHopfの

有 限CW-複

と し て よ い.こ

定 理(系

の と き,更

  (ⅰ)  n:奇

Ⅱ.4.5)に

に,次

より

の 仮 定 を す る:

数>nt, 特 性 類 α∈ πn(BH)の

位 数d,

  (ⅲ)  ∀p:素

数 に つ い て,νp(k)=0ま

た は

条 件(ⅰ),(ⅱ)が 成 り立 つ とす る.写

lの 写 像l:Sn→Snに l:H×Sn→Gが

対 し て,右

だ し,p2は

第2因

  [証 明] 

(H×Sn)φ=Hφ

を み た

→Gφ はHopf写

×Snφ と 同 一 視 し,(H×Sn)φ

造 はHφ

は 次 の よ うに 選 ん で お く:射

対 し て,  理3.11と

同 様 に し てH*(G;Q)の

入i: 標

原 始 的 生成 元 は 以 下qj:

値 写 像 を 与 え る: 

×Snφ→Hφ

×Snφ

た だ し,s∈Hn(Sn;Q)は

の と き,定

そ れ ぞ れ 射 影,i1:Hφ は 射 影 と す る.π*(s)=yで

→Hφ

×Snφ は 射 入,

あ る か

図 は 可 換.  お よ び,q°

φ °lφ:(H×Sn)φ

写 像 で あ る こ とが わ か れ ば,φ Hopf写

のHopf構

ら にH*(G;Q)=Λ(y1,…,yt,y),￨yi￨=ni,￨y￨

お け る原 始 的 生 成 元 

K→K(Q,nj),q:K→K(Q,n)は

ら,右

像 で あ る.た

子 へ の 射 影.

か ら 導 か れ る も の と す る.さ

準 的 生 成 元.こ

像度

図 を可 換 にす る写 像

存 在 し て, 

す と き,lφ:(H×Sn)φ

次 のHopf-同

は

数,

  (ⅱ)  (4.2)の

  補 題4.5 

つ

体 の ホ モ ト ピ ー 型 を もつ も

H*(H;Q)=Λ(x1,…,xi), ￨xi￨=ni:奇

p1:Hφ

dか

(終)

の と す る.こ

H→Gに

mod より  

間. 

  主 バ ン ドル(4.2)に

=n,に

題4.3に

→K(Q,n)がHopf

°lφ:(H×Sn)φ →Kが

像 で あ る こ と が わ か り,従

っ て,lφ:(H×Sn)φ

→Gφ

がHopf写

像であ

る こ と が わ か る.   [qj° φ °lφ:Hopf写 で,右

像] 

辺 はHopf写

lφ°i1=iφ

i*1(φ°lφ)*(qj)は 原 始 的.仮

定 か らn>njで

い に 逆 に な っ て お り,p1はHopf写 的 元 を原 始 的 元 に写 す  [q° φ °lφ:Hopf写

と もHopf写

で あ る か ら,qj°

像 の 合 成 で あ る か ら,Hopf写

φ°lφ°i1=qj° φ °iφ.こ

像

⇒

あ る か ら,準

左 辺:Hopf写 同 型i*1,p*1は

像 で あ る こ と よ りp*1は,従

⇒(φ °lφ)*(qj)は原 始 的 ⇒qj°

こ

像

⇒

同 型 で 互

っ てi*1は 原 始

φ°lφ:Hopf写

像.

こ こ でlφ,p2

像] 

像 で あ る か ら,そ

れ ら の 合 成 で あ る 右 辺,従

っ て 左 辺 もHopf写

像. 

(終)

  系4.6 

補 題4.5と

同 じ 条 件 の 下 に,lφ:(H×Sn)φ

  [証 明]  上 の 議 論 で,Hopf写   定 理4.7  (HSMNT)   

像〓 ル ー プ 写 像,と

条 件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)の

EkはHopf空

→Gφ は ル ー プ 写 像. お き か え れ ば よ い. (終)

下 に,

間 ⇔(a)n=1,3,7ま

た は(b)k:奇

  [証 明]  r=min{s∈N￨d￨sk},P=P(k),P=(Pの き,p∈P⇒

νp(k)≠0⇒(ⅲ)よ

数.

補 集 合)と

お く.こ

の と

り,νp(r)=0⇒p∈P(r)={p￨νp(r)=0}

⇒P⊂P(r).   右 の 図 を 考 え る.た

だ し,(Ek)rはrと

σ の

pull-back,rと

τ は 射 影 で あ る.H→(Ek)r→

Snは

∈ πn(BH)を

特 性 類rkα

で あ り,d￨krで

あ る か ら,(ⅱ)よ

ン ドル   k￨H=1Hで はP(r)-同   [⇒] 

も つ 主 バ ン ドル

りrkα=0⇒H→(Ek)r→Snは

で あ る.補 あ る か ら,k:Ek→GはP-同 値 で あ る.P⊂P(r)で EkはHopf空

間

⇒ 定 理3.14よ

題3.1よ

値 で あ る.

り(Ek)PはHopf空

間.SnPはHP×SnPの り  

値 で あ り,

様 に,r:H×Sn=(Ek)r→Ek

あ る か ら,r:H×Sn→EkはP-同

間 と す る と,命

自明 な主 バ

りk:Sn→SnはP-同 値.同

はHopf空 SnPはHopf空

題4.1よ

間 

レ ト ラ ク トで あ る か ら,

ま た はn=1,3,7⇒k:奇

数 また

はn=1,3,7.

  [〓]  間

 

k:奇

数 ま た はn=1,3,7と はHopf空

す る と,定 間.さ

理3.14よ

ら に,ホ

りSnPはHopf空

モ トピー 同値 写 像

が あ る.系3.5を

がHopf写

用 い てEkがHopf空

間 で あ る こ と を 示 す に は,合

像 で あ る こ と を 示 せ ば よ い が,こ

l=k°rと

れ は 補 題4.5に

成写像

お い てl=k°r,

お け ば よ い. 

  明 ら か に, 

複 体.バ

を 用 い る と,∀iに

ン ドルH→Ek→Snに

つ い てHi(Ek)は

Hn(Ek)=0,∀n>N.従   系4.8 

(終)

有 限 生 成.ま

っ て,Ek〓

条 件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)の

有 限CW-複

下 に,次

関 す るWang完 た,十

全 系列

分 大 き いNに

つ い て,

体.

の 図 は 弱pull-back図

式:

 (4.9)

た だ し,説

明 の な い 矢 印 は 局 所 化 ま た は 標 準 的 写 像 で あ る.

  定 理4.10 

条 件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)の

ー 結 合 的Hopf空

  [証 明]  弱pull-back図

式(4.9)を

定 理3.14よ 位相 群

⇒HPは

間.こ

れ よ り,(Ek)Pは

ピ ー 結 合 的.従

し,2,3〓kな

っ て,命

あ る こ と を い うに は,次

りSnPは ホ モ トピ ー 結 合 的Hopf空 間

 

ホ モ ト ピ ー 結 合 的.さ

題 Ⅰ.4.7を(4.9)に

間.Hは

ホ モ トピ ー 同 値 で

ら に, 

用 い てEkが

は ホモ ト

ホ モ トピー結 合 的 で

の 準 同 型 が 全 射 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.

ホ モ ト ピ ー 同 値 で あ る か ら,Ω(kφ kp)*:[E3k,Ω(Ek)p]→[E3k,ΩGφ]はP-同

  定 理4.11 

ホ モ トピ

はホモ

こ で(rP)-1:(Ek)P→(H×Sn)Pは

こ こ で,Ω(j)*:[E3k,Ω(H×Sn)P]→[Ek3,Ω(H×Sn)φ]はP-同

j°rP-1)*+Ω(j°kP)*は

ら ばEkは

考 え る. 

ホ モ トピ ー 結 合 的Hopf空

ピ トー 結 合 的Hopf空 あ る か ら,こ

下 に,も

間 で あ る.

値,kφ

°rφ°j°rP-1)*はP-同 値.従

っ て,(1.35)に

全 射. 

条 件(ⅰ),(ⅱ)の

値 準 同 型.同

°rφ,(rP)-1は 様 に,Ω(j°

よ り,Ω(kφ

°rφ°

(終) 下 に,(k,d)=1な

ら ばEkは

ル ー プ 空 間 で あ る.

 [証 明]  P=P(k)と

お く と き,(k,d)=1で

い て, 

あ る か らP⊂P(d).次

で あ り,dはP(d)-同

か ら,dはP-同

値.従

っ て,dP:(H×Sn)P→GPは

モ トピ ー 同 値.系4.8を(4.9)に す る に は,(4.9)のj°kP,kφ こ で 系3.3に

(H×Sn)Pに

ホ

用いて定理を証明

°rφ °j°rP-1が ル ー プ 写 像 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.こ

よ りj:GP→Gφ

に よ り ル ー プ写 像,さ

は ル ー プ 写 像,kφ °rφ:(H×Sn)φ →Gφ は 系4.10

ら に,kPと(rP)-1は

ホ モ トピ ー 同 値 で あ る か ら,結

適 当 な ル ー プ 構 造 を 与 え てj:(H×Sn)P→(H×Sn)φ

に な る よ う に す れ ば よ い.そ

こ で,dP:(H×Sn)P→GPが

こ と は 知 っ て い る か ら,GPの

ル ー プ構 造 をdPを

  一 方,右

図 は 可 換 で あ り,補 題4.5に

dφ はHopf写

像 で あ り,GP→Gφ

あ る か ら,jは

が ル ープ 写 像

ホ モ トピ ー 同 値 で あ る 使 っ て(H×Sn)Pに

入 れ る.

は ル ー プ写 像 で (終)

定理

  (X,μX)はHopf空

間 で,位

相 群Gは

G×X→Xに

よ りXに

μX°(η×1)を

み た し て い る と す る.さ

η:

作 用 し,η °(1×μX)= ら に,

X/G=Sn,π:X→Snは

軌 道 空 間 へ の 射 影 と す る.

  定 理4.12 

写 像k:Sn→Snと

pull-back

局,

よ りdPと

ル ー プ写 像 に な る. 

  Zabrodskyの

の可 換 図 に お

値 であ る

写 像 度kの

W(k,π)はkとnが

πの弱

奇 数 の と き,Hopf

空 間 で あ る.  [証 明]  P={奇

素 数}と

す る.系3.6に

と を 示 す に は,次

の(1)∼(3)を

  (1)  W(k,π)2はHopf空

間,

  (2)  W(k,π)PはHopf空

間,

  (3)  (1)と(2)か

数

ホ モ トピ ー 同 値.仮

⇒k2:Sn2→Sn2は

のHopf構

で あ る か らX2もHopf空

間 で,ホ

造 は 一 致 す る.

ホ モ トピー同 値

定 か らXはHopf空

s2を 使 っ て,W(k,π)2にHopf構

間で あるこ

示 せ ば よ い:

ら 導 か れ るW(k,π)φ

 [(1)の 証 明]  k:奇 X2は

よ りW(k,π)がHopf空

間

モ トピ ー 同 値 造 を 入 れ る.

⇒s2:W(k,π)2→

 

[(2)の 証 明]  右 上 の 図 にP-局

弱pull-back図

式 で あ る: 

は ホ モ ト ピ ー 可 換Hopf空

所 化 の 関 手 を 施 し た 右 図 を 考 え る と,こ か つnは

間.さ

SnPへ の πP-作 用 を 導 く.こ

ら に,XのSn=X/Gへ

局,定

れ は

よ りSnP

の π-作 用 は,XPの

こ で,SnP=SSn-1P,[SnP×SnP,SnP]=[Sn×Sn,SnP]

に 注 意 す れ ばkP:SnP→SnPがHopf写 用 で き て,結

奇 数 で あ る か ら,定 理3.14に

像 で あ る こ と が わ か り,命

理 Ⅰ.4.12よ

りW(k,π)PがHopf空

題 Ⅰ.4.11を

間,sPがHopf写

適

像で

あ る こ と が わ か る.  

[(3)の 証 明]  W(k,π)2お

い ず れ もXφ

か ら 写 像sの

よ びW(k,π)Pが

導 くW(k,π)φ

上 のHopf構

造は

局 所 化 に よ り導 か れ る も の で あ る か ら 一 致 す る . (終)

 

補

遺

  A  階 数2の   Xは

単 連 結Hopf空

階 数2の

間

単 連 結Hopf空

間 とす る:Hr(X;Q)=Λ(xq,xn),￨xi￨=i.こ

の と き,(q,n)=(3,3),(3,5),(3,7),(7,7),(3,11)で を もつS7上   (A.1)  [Zabrodsky のHopf空

特性類  

ン ドル と す る と,

8]  ホ モ ロ ジ ー が2-torsionを

も た な い 単 連 結,階

数2

間 の ホ モ トピ ー 型 は 次 の い ず れ か で あ る: S3×S3, 

  G2を

の 主S3バ

あ る .Ekを

階 数2の

SU(3), 

Ek(k=0,1,3,4,5), 

コ ン パ ク ト例 外Lie群,f:V7,2→BS3をG2の

た,φ:V7,2→V7,2∨S11をV7,2=S5∪e6∪e11のe11の 像,  ∨S11→BS3に

S7×S7.

赤 道 を縮 め て え られ る写

の 生 成 元 とす る.合 よ り導 か れ るV7,2上

  (A.2)  [Mimura-Nishida-Toda

の 主S3バ

分 類 写 像,ま

成 写 像(f∨bα)° ン ドル をG2,bと

す る と,

2]  ホ モ ロ ジ ー が2-torsionを

階 数2のHopf空

間 の ホ モ トピ ー 型 は 次 の い ず れ か で あ る:

  以 上 で 階 数2の

単 連 結Hopf空

φ:V7,2→V7,2

もつ 単 連 結,

間 の ホ モ トピ ー 型 は 分 類 され た こ と に な る.

  B  古 典 群 の 球 拡 張   (G(n),d)=(SO(n),1),(SU(n),2),(Sp(n),4)と 主 バ ン ドルG(n-1)→G(n)→Sdn-1か

し,dn-1=奇 ら 写 像 度lの

導 か れ る 主 バ ン ドル の 全 空 間 をE(n,d,l)と

数 と仮 定 す る.

写 像l:Sdn-1→Sdn-1に

す る と き,

よ り

 (B.1) 

[Zabradsky

)  lが

奇 数

6,9] ⅰ

⇒E(n,d,l)はHopf空

間, ⅱ

)  nd-1≠3,7で,E(n,d,l)がHopf空  (B.2) 

[Zabrodsky

 ⅰ)  d=2ま

間

⇒lは

奇 数.

10]

た は4で, ⅱ

)  群

 ⅲ) 

た だ し,k(n,d)は πdn-1(G(n-1))の

dn>8と

1)バ

位 数 で,

す る.d=2ま

た はd=4,n=奇

(n:奇

数)

(n:偶

数)

数 な ら ばSdn-1上

ン ドル の 全 空 間 は1/4(dn/2-1)!個

=4,n=偶

巡 回

の 主G(n-

の 異 な る ホ モ ト ピ ー 型 を もつ.d

数 な ら ば 少 な く と も1/4(dn/2-1)!個

の 異 な る ホ モ トピ ー 型 が

あ る.  ⅵ)  lが 奇 数 で, 

  C  Q-同 値 写 像 の 分 解[Zabrodsky 0]  単 連 結,有

限 型 のCW-複

X→X0はQ-同

体 の ホ モ トピ ー 型 を も つ 空 間 の 圏 で 考 え る.ψ:

値 写 像 と す る.Π ⊃ ∀Pに 対 し て,ホ

に 空 間X(P,ψ)と

写 像 ψ ′:X→X(P,ψ),ψ

モ トピ ー 型 を 除 い て 一 意 的

″:X(P,ψ)→X0が

存 在 し て,次

を

を み た す.  ⅰ)  ⅱ)  ψ ′はP-同   さ ら に,右

値 写 像,ψ

″はP-同

の 可 換 図 に お い て,ψ,ψ

X(P,ψ)→X(P,ψ)が

存 在 し て,次

値 写 像. がQ-同

値 写 像 な ら ば,写

の 図 は 可 換:

た だ し,ψ

′,ψ′:P-同 ψ ″,ψ″:P-同

  も し,X,X0が な ら ばf(P,ψ,ψ)は

次 の 条 件(FCH)ま

像f(P,ψ,ψ):

た はX,X0が

値 写 像 値 写 像

次 の 条 件(FCπ)を

ホ モ ト ピ ー の 意 味 で 一 意 的 で あ る.

みたす

 (FC) 

  (C.1) 

(FCH) 

自然 数N(X)が

あ っ て 

Hn(X)=0,∀n>N(X),

(FCπ) 

自 然 数N(X)が

あ って 

πn(X)=0,∀n>N(X).

Hopf空

ψ)はHopf空   (C.2) 

間 の 問 のQ-同

値 写 像 ψ:X→X0がHopf写

間 で あ り,ψ ′,ψ″ はHopf写 ψ:X→X0がQ-同

像 で あ る.

値 写 像, 

ψ″i:X(Pi,ψ)→X0のpull-backで

が Π の 分 割 な ら ば,Xは

あ る.

 は Π の 分 割,Xi,  空 間 とす る.こ

像 な ら ばX(P,

はQ-同

値 写 像 ψi:Xi→X0を

の とき

  定 義   写 像 ψ″i:Xi(Pi,ψi)→X0のpull-backをmix(Xi,Pi,ψi)と ホ モ トピ ー 型Xiの   (C.3) 

Xiが

もつ

混 合(mixing

homotopy

types)と

普 遍 空 間([TM])で,(FCH)ま

表 わ し,

い う.

た は(FCπ)を

み た す な ら ば,

次 が 成 り立 つ:  ⅰ)  mix(Xi,Pi,ψi)はXiにPi-同

値, ⅱ

)  ∀iに 対 し てXiがmod )  ∀iに

 D  Hopf空  

Xは

Pi Hopf空

対 し てXi=X,ψi=ψ

間 のgenus

間 ⇒mix(Xi,Pi,ψi)はHopf空

⇒mix(Xi,Pi,ψi)=X.

[Zabrodsky 11]

普 遍 空 間 で 条 件(FC)を

み た し て い る と す る.

 定義 

をXのgenusと

  空 間 の ホ モ ト ピ ー 型 の 性 質Pはgeneric⇔[X]∈Pな   例   Hopf空  (D.1) 

Xが(FCπ)を

み た すHopf空

Xi,Pi, 

在 し て ∀iに つ い てXi∈G(X)を   Q-同

い う.

ら ばG(X)⊂P.

間 で あ る こ と はgeneric.

[Y]∈G(X)⇔Hopf空   (D.2) 

間, ⅲ

間Zが は(C.3)の

間 な らば あ っ て, 条 件 を み た す と き,も

値 写 像 ψ:X→X0=K(QH*(X)/torsion)を

F,mi=min{n￨nπi(F)=0}と

し 空 間Xが

存

み た す な ら ばmix(Xi,Pi,ψ)∈G(X). 固 定 し,そ

お く.H*(X)のtorsionに

 で 割 り切 れ る 自然 数tに 対 し て [X,X]t={f:X→X￨fはp同

と お く とき,次 の形 の完 全 系 列 が あ る: [X,X]t→[(Z/t)*/{±1}]l→G(X)

の フ ァイバ ーを

現 れ る ∀ 素 数 お よび

値 写 像,∀p￨t}

 ⅲ)

こ こ で(Z/t)*={Z/tの

単 元},l=#{ni￨QHni(X)/torsion≠0}.

 例  φ をEuler関

数 と す る と き,

  E  p-torsionを

も つ 有 限Hopf空

  任 意 の 奇 素 数pに

対 し て1-連

間[Harper 結,有

0]

限CW-複

(p); 

体K(p)が

存 在 し てH*(K

た だ しp1x3=x2p+1,βx2p+1

=x2p+2

.こ

  (E.1) 

のK(p)を 積mを

 ⅰ)  m*の

用 い ホ モ トピ ー 型 を 混 合 し て

も つ1-連

結 有 限CW-複

下 でH*(X(p);Z/p)は

体X(p)が

存在 して

原 始 的 生 成,

 ⅱ )

  次 の 仮 定 と 命 題 を 考 え る:   仮 定(0)   

(1)    (2) 

  命 題(Ⅰ)   

な し, 積 は 結 合 的 ホ モ ロ ジ ー 環mod 積 のpに

  (Ⅲ)  X上

導 く,

お け る 局 所 化 は ホ モ トピ ー 結 合 的.

H*(X)はp-torsionを

(Ⅱ)  X上

pを

も た な い,

に 積 π が あ っ て,π*の

下 でH*(X;Z/p)は

に 積 κが あ っ て κ*の 下 でH*(X;Z/p)は

原 始 的 生 成, 可 換.

  こ の と き,こ れ ら の 命 題 の 間 に は 次 の 関 係 が あ る:   仮 定(0):κ=π

と とれ ば,π*は

あ る か ら 系 Ⅱ.2.10に

結合的かつ可換で

よ り(Ⅱ)⇒(Ⅲ).上

は  

の(E1)

を 示 し て い る.ま た,

Zabrodskyに

よれ ば,(Ⅲ)を

み た す 積 κ で,κ*

が 原 始 的 生 成 で は な い も の が あ る と の こ と で あ る.   仮 定(1):こ

の と き,m*が

始 的 で あ る と い う の は,定

結 合 的 な ら ばm*は 理 Ⅱ.4.16で

か に,  [Kane

あ る.明

一 方,[Lin 1]に

原 ら 3],

よれ ば κ*が 可 換 か つ 結 合 的 な ら ば κ*の 下 で 原 始 的 生 成.

  仮 定(2):[Zabrodsky

1]に

よ れ ば(Ⅱ)⇒(Ⅰ).上

の 図 は す べ て 同 値.

第5章 

  本 章 で はBrowderの

Bocksteinス

ペ ク トル 系 列

仕 事[Browder

2,5,6]を

中 心 に し てBocksteinス

ペ

ク トル 系 列 を 解 説 す る.

  §1  完 全 対   鎖複 体   定 義   Aは

鎖 複 体(chain

⇔A=ΣAiは

complex)

次 数 つ きZ-加

群 で,次

数s=±1の

d:Ai→Ai+s,    A:自

由(ま

た はtorsionを

境 界 作 用 素dを

も つ:

d2=0.

も た な い)⇔

∀Ai:自

由(ま

た はtorsionを

も

た な い).   記 号   Cn=Ker{d:An→An+s},Bn=Im{d:An-s→An}.   定 義  H(A)=C/B:Aの   A,A′

ホ モ ロ ジ ー.

は 次 数￨d￨=-1の

微 分 作 用 素dを

もつ 鎖 複 体 とす る(￨d￨=1の

場合

も 同 様).   Cn=Ker{d:An→An-1},C′n=Ker{d:A′n→A′n-1},Bn=Im{d:An+1→An}, B′n=Im{d:An+1→An}と   命 題1.1  な ら ば,鎖

お く.

φ:H(A)→H(A′)は 写 像(chain

  [証 明]  仮 定 か らAは

ホ モ ロ ジ ー の 準 同 型 と す る.も

map)f:A→A′

自 由 で あ る か ら,∀nに

た,0→Bn→Cn→Hn(A)→0は

しAが

自由

が 存 在 し て,H(f)=φ. つ い て,Bn,Cnは

完 全 系 列.さ

自 由.ま

らに 完全 系 列

(1.2) に お い て,Bn-1は

自 由 で あ る か ら,ρ:Bn-1→Anが

わ ち,(1.2)は

分 裂 完 全 系 列 で あ る.ま

が 存 在 し て,次

の 図 は 可 換.帰

完 全 系 列(1.2)を

使 っ て ∀An上

たCnは

納 法 でfはBn-1上 でfは

存 在 し て,d° ρ=id.す

な

自 由 で あ る か ら,f:Cn→C′n で も 定 義 さ れ る か ら,分

定 義 さ れ る こ と が わ か る.ま

た,定

裂 義

か ら,fはdと   命 題1.2 

可 換 で あ る こ と もわ か り,fは

求 め る 鎖 写 像. 

鎖 複 体A′ が 与 え ら れ た と き,自 由 な 鎖 複 体Aと

(終)

鎖 写 像f:A→A′

が 存 在 し て,   [証 明]  命 題1.1に

よ り,与

え ら れ た ホ モ ロジ ーH(A′)を

を構成す れば よい.Hn(A′)の 自由分解: 

もつ 自由鎖 複 体

を考 え, 

とお き,境 界 作 用 素 を

と定 義 す る.    命 題1.3 

(終)

f:A→A′

は 鎖 写 像,Aは

とす る.g:Bn-1→C′nが れ ば,f+gは

自 由, 

は(1.2)の

写 像 の と き,g:An→C′n⇔g(c,b)=g(b)と

分 裂 定義す

鎖 写 像 で,H(f+g)=H(f):H(A)→H(A′).

  証 明 は 明 ら か.   注 意   命 題1.3に

お い て,整

係 数 ホ モ ロジ ー の 準 同 型 とし て は 同 じ で あ るが,他 の 係

数 で は 必 ず し も同 じ準 同型 を 導 くとは 限 らな い.   命 題1.4 

Aは

自 由,A′

をtorsionを

系列   系 列 か ら,A′ A→A′

も た な い 鎖 複 体 と す る.係

(p:素 数)から生じるAの ホモロジー完全 の ホ モ ロ ジ ー 完 全 系 列 へ の 準 同 型 を φ とす る と き,鎖

が 存 在 し て,f*=φ.

  [証 明]  命 題1.1に

よ り鎖 写 像h:A→A′

が 存 在 し て,H(A)でh*=φ.普

遍 係 数 定 理 か ら 生 じ る 短 完 全 系 列 上 の 準 同 型 と し て φ-h*を

H(A)上

数の完全

で φ=h*で

従 っ て,φ-h*は,準

あ る か ら,上 同型 ξを

図 で,両

考 え る:

端 の 準 同 型 は 自 明:φ-h*=0.

写 像f:

に よ り定 義 す る.こ

の と き,ξ はwell-definedで, α °ξ°β=φ-h*.

 次 の図 を 考 え る:

た だ し,上 図 に お け る準 同 型 は 次 の よ うに定 義 され る:   (イ)  μ はTorを

定 義 す る系 列 か ら生 じ る も の:

  (ロ)  γ′は 上 の 系 列 に お い てA〓A′   (ハ)  ν,ν ′:mod

と と りか えた も の

p還 元

  (ニ)  μ は 一 対 一 で あ る か ら,Tor(Hm-1(A),Z/p)はBm-  因 子 で,従

っ て,準

Z/pの

同 型 τ: 

直和 が あ っ

て,τ °μ=1  (ホ)  ξ′=ξ°τ   (ヘ) 

は 全 射,Bm-1は

 

はliftさ

  命 題1.3と

同 様,分

鎖 写 像 で,整

係 数 ホ モ ロ ジ ー 上 でf*=h*.ま

=α

°(α-1°(φ-f*)°

裂(1.2)を

β-1)° β .こ

さ ら に,ξ=α-1°

な わ ち,H(A)お   Bocksteinス

れ て ψ:Bm-1→C′mが

使 っ てf=h+ψ

と お く.命

同型

あ る.

題1.3に

た, 

よ りfは

上 で,φ-f*

こ で, 

ψ*° β-1を

よ び 

確 か め ら れ る か ら,φ-f*=0.す

上 で φ=f*. 

(終)

ペ ク トル 系 列

  ま ず,Bocksteinス Aはtorsionを

自 由 で あ る か ら,準

ペ ク トル 系 列 の 定 義 を 思 い お こ そ う.以

も た な い 鎖 複 体,dは

  に つ い て,{jc}=xと

次 数￨d￨=s=±1の

を 表 わ す 鎖 をc∈A,す す る.d(jc)=jdc=0で

な わ ち,mod

下,pは

素 数,

境 界 作 用 素 とす る. p還 元j: 

あ る か ら,e∈Aが

存 在 し て,

dc=pe.d2=0で

あ る か ら,0=d2c=pde⇒de=0.こ

と 定 義 し て,β1を

第1次Bockstein準

dc=pre,e∈A,の

  以 下,こ

同 型 と い う.定

と き,βr(x)={je}と

義 よ り β12=0.一

般 に,

定 義 す る:

れ を 関 手 的 に 定 義 す る.

  定 義   C=〈D,E;i,j,k〉 (exact ⇔D,E:可

は完全対

couple) 換 群,i:D→D,j:D→E,k:E→D

は 準 同 型 で,右 Im

の と き,

k=Ker

の 図 は 完 全 な 三 角 形(⇔Im

i=Ker

j, Im

j=Ker

k,

i).

  こ の 完 全 対 か ら,導

来 対C′=〈D′,E′;i′,j′,k′ 〉 を 次 の よ う に し て 定 義 す

る:

(kか ら 自然 に導 か れ る)

これ を 繰 り返 し て,完

全 対 の 列Cn=〈Dn,En;in,jn,kn〉

dn=jn°kn:En→Enは

微 分 作 用 素 で,H(En:dn)=En+1.す

に 随 伴 し た ス ペ ク トル 系 列{En}を   今,Aをtorsionを

を え る.こ な わ ち,完

の と き, 全 対C

え る.

も た な い 鎖 複 体 と し,こ れ に 完 全 系 列0→Z→Z→

Z/p→0をtensor積

し て,鎖

複 体 の 完 全 系 列 を え る:

 これ よ りえ られ る ホ モ ロジ ー完 全 系 列 か ら生 じ る完 全 対

 (1.5)

  定 義  完 全 対(1.5)をBockstein完 {Er,dr}をAのmod

p

全 対,こ

Bocksteinス

  容 易 に 確 か め ら れ る よ う に,こ

れ に 随 伴 し ス ペ ク トル 系 列

ペ ク トル 系 列 と い う.

の と き の 微 分 作 用 素drはBockstein作

用 素

βrで あ る.ま も 次 数sで

た,Aは

次 数 つ き,dは

次 数sで

あ る か ら,Erも

次 数 つ き,dr

あ る.

  注 意   この ス ペ ク トル 系 列 の 構成 に お い て はfiltrationは な い.ま た,∀mに Hm(A)が

有 限 生 成 の と き,十 分大 き いrに つ い て,Er+1(A)=Er(A)で

つ い て,

あ る か ら,E∞(A)

を 定 義 で き る.す なわ ち,ス ペ ク トル系 列 は 収 束 す る.   記 号   torsionの て,ス

な い 鎖 複 体 の 間 の 鎖 写 像f:A→A′

ペ ク トル 系 列 の 間 の 準 同 型 を 導 く,こ

は 完 全 対 の,従

れ をfr:Er(A)→Er(A′)と

っ 表わ

す.   補 題1.6 

A,A′

はtorsionを

体, 

も た な い 鎖 複 体,A 

で,境

A′ はAとA′

の直和複

界 作 用 素 は そ れ ぞ れ の 境 界 作 用 素 の 和 と す る.

こ の と き,

  証 明 は 明 ら か.   補 題1.7 

torsionを

も た な い 鎖 複 体 の 間 の 鎖 写 像f:A→A′

が 同 型 

を導 くな らば

  [証 明] 

で あ る か ら,frは

∀rに つ い てEr上

型. 

で同 (終)

  以 下,特

に 断 ら な い 限 り,鎖

複 体 と い え ば,自

由 な 鎖 複 体 で,ホ

モ ロジ ーは

各 次 元 で 有 限 生 成 な も の と す る.   こ の と き,補

題1.7と

命 題1.2と

か ら,任

意 の 鎖 複 体A′

は 唯 一 つ の 自 明 で な い ホ モ ロ ジ ー を も つ 鎖 複 体,で さ よ り,鎖

ら に,補

題1.6よ

写 像f:A→

g*=id.今,鎖

り 

存 在 し て,完

与 え ら れ た と き(Cに

k*=id,l*=idが

と定 義 す る と,右

図 は 可 換.従

系 列 上 で,ξ′*=ξ*.す き か え る と き,こ

存 在 し て),

っ て,ス

な わ ち,Aを

の お き か え は,与

ペ ク トル

ΣAiで

お

え られ た 鎖 写

Ai

お き か えて よ く,  が 成 り立 つ.実

ΣAi,g:ΣAi→Aが

写 像 ξ:A→Cが

を 

際,命

題1.4

全 対 上 でf*=id, つ い て も, 

像 と 可 換 で あ る と し て よ い.  定義

 

とす る.

  A(n,l):初

等 的 鎖 複 体(elementary

chain

complex)

生 成 元u 生成 元 υ

  従 っ て,

(た だ し,Z0=Z)

  以 上 よ り,   定 理1.8 

与 え ら れ た 鎖 複 体 を 同 型 なBocksteinス

的 鎖 複 体 の 直 和 で お き か え て よ い.さ ペ ク トル 系 列 で 導 く準 同 型 と,お

ら に,与

ペ ク トル 系 列 を も つ 初 等

え ら れ た 鎖 写 像 がBocksteinス

き か えの 際 に ,こ

の 鎖 写 像 か ら生

じる 鎖 写 像

が 導 く準 同 型 と は 同 じ で あ る.   補 題1.9 

(l,p)=1⇒E1(A(n,l))=E∞(A(n,l))=0.

 [証 明] 

(終)

  補 題1.10

 [証 明]  次 数nに

お い て の み  (終)

  補 題1.11 

(a,p)=1, 

か らA(n,apm+1)の   [証 明] 

と す る と き,A(n,apm)のBockstein完

導 来 対 へ の準 同型

は 各 項 で 同型 .

簡 単 の た め に 次 の よ う に お く:

  A=A(n,apm+1),生   A′=A(n,apm),生   q:A′

φ が あ っ て,φ

全 対

成 元u,υ;関 成 元u′,υ

→A⇔q(u′)=pu,q(υ

=i(H(A))⇒q*はi(H(A))の

係 式   dυ=apm+1u,￨u￨=￨υ￨-1=n,

′;関

係 式   dυ ′=apmu′,￨u′￨=￨υ

′)=υ と 定 義 す る とqは

鎖 写 像 で,q*(H(A′))

上 へ の 同型 .

と 定 義 す る.  [m>0の

と き] 

に お い てd=0か

つE1(A)に

′￨-1=n.

おいて

 [m=0の とき] 

:同型. 上で 上で

と定 義す る とき,φ が 完 全 対 の準 同型 で あ る こ とを示 せ ば よい:

  q:鎖

写像

⇒i°q*=q*°i⇒i′

  {u′}はH(A′)を せ ば よ い.ま

°φ=φ °i.

生 成 す る か ら,{u′}上

ず,j{u′}={u′}p(mod

でj′ °φ=φ °jが 成 り立 つ こ と を 示

p還 元)⇒

一 方,j′ °φ{u′}=j′{pu}=j′{i(u)}={j(u)}={u}   最 後 に,∂p{u′}p=0=∂′p{u}p.従 せ ば よ い.m>0従 {apmu}.こ

φ°j{u′}=φ{u′}p={u}p p.す

って,φ

な わ ち,j′ °φ=φ °j.

°∂p{υ}p=∂′p° φ{υ′}p=∂′p{υ}pを示

っ て{υ′}p≠0な ら ば ∂′p{υ ′}p={apm-1u′}.一

こ で,φ{u′}={pu}で

方,∂′p{υ}p=

あ る か ら,φ °∂p=∂′p° φ.

  以 上 よ り φ は 完 全 対 の 同 型.    定 理1.12  対 か らAの

与 え ら れ た 鎖 複 体Aに

対 し て,鎖

写 像f′:A′

  [証 明]  前 半 は 補 題1.11と 題1.4か

(終) 対 し て,鎖

複 体A′

導 来 対 へ の 完 全 対 の 準 同 型 φ が 存 在 し て,φ

像f:A→Bに

.

お よ びA′ は 同 型.ま

の完 全 た,鎖

写

→B′ が 存 在 し て,φ°f′*=f2° φ.

定 理1.8か

ら 出 る.ま

た,後

半 のfの

存在 は 命

ら 出 る. 

(終)

  補 題1.13

 [証 明]  補 題1.9と1.11お

よびaに

関す る帰 納 法. 

 鎖複体Cに 完全系列 

をtensor積

(終) して

る完 全 対 お よび,そ れ か ら生 じるBocksteinス

ペ ク トル系 列{Er,βr}を

る.射 影jは  

を 導 く.ま た,Im j1⊂Ker

えら れ

考え β1

で あ る か ら,j1はj2:pH(C)→E2を

導 く.以

で あ る か ら,jr:pr-1H(C)→Erを

導 く.そ

下,帰

納 的 に,Im

jr⊂Ker

βr

こ で,

kr:H(C)→Er⇔kr(x)=jr(pr-1x) と 定 義 す る と き,   (1.14) 

Ker

kr=pH(C)+Tr-1,た

  (仮 定 か ら)各mに

つ い てHm(C)は

い てE∞=Er.従

っ て,k∞=krと

  命 題1.15   (2) 

だ し,Tr-1={x∈H(C)￨pr-1x=0}.

(1) 

Ker

有 限 生 成 で あ る か ら,十 お い てk∞:H(C)→E∞

分 群,

っ て,

  [証 明]  補 題1.9,1.10,1.13お

  命 題1.16 

つ

を 定 義 す る.

k∞=pH(C)+T,T:H(C)のtorsion部

E∞=k∞(H(C)),従

  k:Z/pr→Z/pは

分 大 き いrに

よ び 定 理1.8か

ら 出 る. 

(終)

自 然 な 写 像 と す る. (1)  Er(C)∋x≠0に

対 し て, 

が 存 在 し てx=

{k*x′}.   (2)  H(C)の

直 和 因 子Z/prの

生 成 元 をyと

  [証 明]  (1)  補 題1.9,1.10,1.13お   (2)  Z/pr={y}を (C)→Z/pr,β A(n,pr)が

す る と き,kr(y)≠0∈Er.

よび 定 理1.8か

ら 出 る.

直 和 因 子 と し て 表 わ す 写 像 を α:Z/pr→Hn(C),β:Hn

°α=1と

す る.命

題1.1よ

り,鎖

写 像f:A(n,pr)→C,g:C→

存 在 し て,f*=α,g*=β,g*°f*=1⇒Er(C)はEr(A(n,pr))を

直 和 因 子 と し て もつ.こ

の と き,補

題1.13か

らjr{u}≠0∈Er(A(n,pr)).一

方,f*{u}=y⇒kr(y)≠0∈Er(C).    定 義   鎖 複 体C,Dのtensor積C 

  記 号   鎖 複 体Aに

つ い て,定

(終) D

理1.12に

よ り対 応 す る 鎖 複 体 をA′

と 表 わ す.

こ の 記 号 の 下 に,   補 題1.17   [証 明]  ば よ い.(こ

C=A(n,mpa),D=A(s,tpb),(m,p)=(t,p)=1の の と き,C′=A(n,mpa-1),D′=A(s,tpb-1).a=1ま

と き は,   

Cの

場 合 に証 明す れ

生 成 元   u,υ;dυ=mpau,C′

で あ る か ら,a>1,b>1と の 生 成 元   u′,υ ′;dυ

た はb=1の 仮 定 し て よ い: ′=mpa-1u′,

  Dの

生 成 元  w,z;dz=tpbw,D′

一 般 性 を失 う ことな く  

の 生 成 元   w′,z′;dz′=tpb-1w′. と す る .ま

た,次

が あ って

従 っ て  従 っ て 

⇒{x,y}は(C  υ′,w′,z′)と

D)n+s+1の

が あ って

基 底.同

様 に,(x,y,u,υ,w,z) 

と り か え る と,{x′,y′}は(C′

と定義すれば,qは

の よ う に お く:

  D′)n+s+1の

鎖写像で, 

(x′,y′,u′,

基 底.さ

ら に,

さらに,鎖 写 像

siを,

と 定 義 し,s=s1 

s2と お け ば,

上で 上で と定 義 す る と,補

題1.11の

場 合 と 同 様,φ

は 完 全 対 の 準 同 型,従

対 の 同 型 で あ る こ と が わ か る. 

(終)

 定義  た だ し,  こ の と き,Z/p上

のKunneth公

式に より

 (1.18)   命 題1.19 

  [証 明] 

κ はBocksteinス

(1.18)に

よ り,

っ て,完

ペ ク ト ル 系 列 の 準 同 型 κrを 導 き,

全

さ ら に,直

接 計 算 す る こ と に よ り β1が 微 分 作 用 素 で あ る こ とが わ か る.後

定 理1.12と

補 題1.17か

  命 題1.20 

ら 帰 納 法 に よ り 出 る. 

い て ホ モ ロ ジ ーZ/lを

初 等 的 鎖 複 体 で,l≠0の

p

般 の 場 合 は,定

Bocksteinス

H(C)はp-torsionを

Er(C)∋xに

の 場 合,命

理1.8を

元n+1に

お

題 が 成 り立

用 い れ ば よ い . (終)

ペ ク トル 系 列{Er(C)}に

お い て,

も た な い ⇔E1(C)=E∞(C).

  [証 明]  補 題1.9,1.10,1.13お   定 理1.22 

と き,次

も つ(境 界 作 用 素 の 次 数=1).こ

つ こ と は 容 易 に 確 か め ら れ る.一 mod

(鎖 複 体 と し て),

随 伴.

  [証 明]  Hom(A(n,l),Z)は

  定 理1.21 

(終)

Er=Er(Hom(C,Z))=Hom(Er(C),Z/p) 

ま た,βr=(βr)*:βrの

は

よ び 定 理1.8か

ら 出 る. 

(終)

つ い て, が あ って

  [証 明]  初 等 的 鎖 複 体Cに

つ い て は 明 らか.一

般 の 場 合 は,定

理1.8を

用 す れ ば よ い. 

  §2  Bocksteinス   微 分Hopf代   以 下,Kは   定 義   K-加 ⇔

(終)

ペ ク トル 系 例

数 体 とす る. 群Mは

微 分 加 群(differential

微 分 作 用 素d:M→Mが

  記 号   Z(M)=Ker

module)

存 在 し て,d2=0.

d,B(M)=Im

  定 義   H(M)=Z(M)/B(M):Mの   MとNが

d. ホ モ ロ ジ ー 加 群.

微 分 加 群 の と き,

と 定 義 す る こ と に よ り,M 

Nは

微 分 加 群 に な る.こ

の と き,Kunnethの

式に よ り  (2.1)

  定 義   (A,φ,d)は ⇔Aは

適

微 分 代 数(differential

積 φ を も つ(K上

の)代 数 で,微

algebra) 分 作 用 素dを

も ち,d°

φ=φ °d.

公

  定 義   (C,ψ,d)は ⇔Cは

微 分 双 対 代 数(differential

双 対 積 ψ を も つ(K上

  この と き,次   補 題2.2 

の)代 数 で,微

coalgebra) 分 作 用 素dを

も ち,d° ψ=ψ °d.

は 定 義 よ り明 ら か.

(1)  Aは

微 分 代 数 とす る.A∋x,y,dx=yな

らば

x∈D(A)⇒y∈D(A).   (2)  Cは

微 分 双 対 代 数 とす る.C∋x,y,dx=yな

らば

x∈P(A)⇒y∈P(A).   補 題2.3 

(1)  A:微

  さ ら に,結

合 性,可

分 代 数 ⇒H(A):代

数.

換 性 な ど は 保 た れ る.

  (2)  C:微

分双対代数

  さ ら に,双

対 結 合 性,双

  補 題2.4 

(C,ψ,d)は

⇒H(C):双

対 代 数.

対 可 換 性 な ど は 保 た れ る.

微 分 双 対 代 数,C0=K,d(Ci)=0∀i
⇒d(Cn)⊂P(C).   [証 明]  Cn∋xに

対 して

(終)   命 題2.5   (2)  Cが

(1)  Aが

単 位 元 η を もつ 微 分 代 数 の と き,d° η=0.

双 対 単 位 元 εを も つ 微 分 双 対 代 数 の と き,ε °d=0.

  [証 明]  (1)

  (2)も 同 様. 

(終)

  定 義   (A,φ,ψ,d)は ⇔(A,φ,ψ)は

微 分pre-Hopf代

微 分 作 用 素dを

数

も つpre-Hopf代

φ°d=d° φ,    定 義   (A,φ,ψ,d)は ⇔(A,φ,ψ,d)は

 ただし, 

微 分Hopf代

微 分pre-Hopf代

数 で,

ψ°d=d° ψ.

数 数 で,

は交換写像.

  定 義   (A,φ,ψ,d)は ⇔(A,φ,ψ,d)は

微 分near

  記 号   誤 解 が な け れ ば,以   命 題2.6 

(1)  Aが

  (2)  Aが

微 分Hopf代

はHopf代

数

数 で,

下,(A,φ,ψ,d)をAと

微 分pre-Hopf代 数,ま

略 記 す る.

数 な ら ば,H(A)はpre-Hopf代

た は,微

分near

Hopf代

数.

数 な ら ば,H(A)

数.

  [証 明]  (1)  (A,φ,ψ,d)を あ る か ら,そ

Hopf代

微 分pre-Hopf代

微 分pre-Hopf代

数 と す る.φ,ψ

はdと

可換で

れ ら よ り導 か れ る 準 同 型 は

dK=0:K→Kと

お く と,命

題2.1に

換 で あ る か ら,こ

れ ら の 写 像 は 次 の 準 同 型 を 導 く: H(η):K→H(A), 

よ りdは

単 位 元 η,双 対 単 位 元 ε と 可

H(ε):H(A)→K.

この と き,(H(A),H(φ),H(ψ),H(η),H(ε))がpre-Hopf代

数 に な る こ とは 容

易 に 確 か め ら れ る.   (2)  Aが ら か.そ

こ で(A,ψ,φ,d)は

よ りZ(A  Z(A)∋

微 分Hopf代

A)の

数 の と き,H(A)がHopf代 微 分near

任 意 の 元 はZ(A) 

∀xに 対 し て, 

=dx″.こ

こで  

Hopf代 Z(A)の

数 に な るの は 殆 ん ど明 数 と す る.Kunnethの

公式に

元 と ホ モ ロ ー グ で あ る か ら,

と 

が 存 在 し て,ψ(x)+x′

で あ るか ら,

(終)   命 題2.7 

(A,d)は

微 分Hopf代

数,￨d￨=±1と

す る.代

数 と し て,

奇数 ⇒d=0,H(A)=A.   [証 明]  次 数 に 関 す る 帰 納 法 で 示 す.   d(1)=d(1・1)=2d(1)⇒d(1)=0⇒d(A0)=d(K)=0.今,d(Ai)=0,∀i
仮 定 す る.I=d(An)と

お く と,補

お い て,xp=0で

あ る か ら,Milnor-Mooreの

Q(A).従

し,I≠0な

っ て,も

￨d￨=±1で

  補 題2.8 

補 題2.2よ

(終)

連 結 な 微 分Hopf代

数,￨d￨=-1,A*はAの

数 と す る.P(A2n)∋x≠0,x=dy,y∈A2n+1と み た す 元 と し,d*x=yと

よ りI⊂

りI⊂D(A).

つd≡0. 

(A,φ,ψ,d)は

〈x,x〉 ≠0を

積代数 に

あ る か ら)I=d(An)⊂Aodd.

数 か つAn⊂D(A)⇒

っ て,I=0か

対 微 分Hopf代

りI⊂P(A).外

定 理(定 理 Ⅱ.2.13)に

ら ば,(Aeven⊂D(A)で

あ る か ら,n:偶

こ れ は 矛 盾.従

題2.4よ

双 し,x∈A2nは

お く と,

〈xp-1y,xp-1y〉=0.

 [証 明]  ま ず, 

こ で, 

ま た,

と お く と,yは

次 数2n+1以

補 題 Ⅱ.2.15よ 2項=0.従

り,第1項

外 の 元 は 消 去 す る の で,

≠0.A1∋zに

っ て,〈xp-1y,xp-1y〉

  定 義   AはHopf代 ⇔

こ

対 し て,〈y,xz〉=0で

あ る か ら,第

≠0. 

(終)

数 と す る.Am∋xはq-implicationを

元 の 列x=x0,x1,…,xq,xi≠0∈Ampiが

も つ

存 在 し て,∀i
つ い て次 の

い ず れ か が 成 り 立 つ:  (1) 

xi+1=xip

 (2) xi∈A*が

存 在 し て,xi(xi)≠0か

  こ の よ うな 元 の 無 限 列 が 存 在 す る と き,xは

つxip(xi+1)≠0.

∞-implicationを

も つ と い

う.   補 題2.9 

Aは

微 分Hopf代

数 とす る.H(A)∋x={y},y∈A,の

と き,xp≠0

な ら ばyp≠0.さ はAに

ら に,xがH(A)に

お い て

お い て ∞-implicationを

∞-implicationを

も つ な ら ば,y

も つ.

  [証 明] 

定 義 よ りxp={yp}⇒yp≠0.x∈H(A*)=(H(A))*とy∈A*に

対 し て,も

し,〈x,x〉

≠0,{y}=xな

らば

〈y,y〉 ≠0.こ

れ を 繰 り返 し 使 っ て

後 半 が え ら れ る.    補 題2.10  す る.も

(終)

(A,φ,ψ,d)は

微 分Hopf代

し,0≠{xp-1y}∈H(A)な

 [証 明]  Aの

数,x∈P(A2n),xp=0,dy=xと

ら ば{xp-1y}∈PH(A).

双対 積 ψ が 導 くH(A)の

と

双 対 積 を 

す る と,ψ{xp-1y}={ψ(xp-1y)}.P(A2n)∋xで

あ る か ら, 

に mod

お い て, 

pで

あ る か ら,

(終)   空 間 のBocksteinス   空 間Xの (X)は

ペ ク トル 系 列

特 異 鎖 複 体 をC*(X)と

Bocksteinス

X→Yの

p Bocksteinス

特 異 ホ モ ロ ジ ー 群Hn

ペ ク トル 系 列 をXの

ペ ク トル 系 列 と い い,{Er(X),βr}と

導 く準 同 型 をfr:Er(X)→Er(Y)と

体C*(X)=Hom(C*(X),Z)に ホ モ ロ ジ ーmod

p

Bocksteinス

  こ れ ら2つ

写 像 と す る.こ   命 題2.11 

表 わ す.同

Er(X)は

ε=irを

積

書 い て,Xの

題1.20に

よ り,互

コ

よ り導 か

い に 双 対 的 で あ る.

基 点 の 射 入,c:X→x0は

 

も つ 結 合 的,可

双 対 積

双対鎖複

つぶす

義 か ら 明 ら か に,

(1)  Er(X)は

augmentation

様 に,Xの

像f:

表 わ す.

対 角 写 像,i:x0→Xは の と き,定

た,写

ペ ク トル 系 列 と い う.f:X→Yに

の ス ペ ク トル 系 列 は,命

  △:X→X×Xは

ホ モ ロ ジ ーmod

表 わ す.ま

つ い て,Er(C*(X))=Er(X)と

れ る 準 同 型 をfr:Er(Y)→Er(X)と

  (2) 

下,Xの

∀nに つ い て 有 限 生 成 で あ る と仮 定 す る.

  定 義   C*(X)のmod p

表 わ す.以

 

単 位 元 η=cr, 換 な 微 分 代 数 で あ る. 双 対 単 位 元

η=cr,

coaugmentation

ε=irを

も つ,双

対 結 合 的,双

対可換な微分双 対 代 数 で あ

る.   (3)  ま た,こ

れ ら は 互 い に 双 対 的 で あ る:(Er)*=Er,(Er)*=Er.

  さ ら に,   命 題2.12  代 数 で,μ

(X,μ)がHopf空

はEr(X)の

間 の と き,Er(X)とEr(X)は

双 対 代 数 構 造 とEr(X)の

双 対 的 微 分Hopf

代 数 構 造 を 導 く.

  [証 明]  容 易 で あ ろ う.    次 はBorelの   定 理2.13 

(終)

定 理(定 理 Ⅰ.4.9)の 逆 で あ る: XがHopf空

間,Hi(X)が

Z/p)=Λ(x1,…,xn,…),￨xn￨:奇   [証 明]  命 題2.7と   定 理2.14  す る.こ

Xは

∀iに つ い て 有 限 生 成 か つH*(X;

数,な

定 理1.21よ

も た な い.

り明 ら か. 

弧 状 連 結 なHopf空

の と き,Hopf代

ら ばH*(X)はp-torsionを

(終)

間 で,∀iに

つ い てHi(X)は

有限生成 と

数 として torsion

  [証 明]  命 題1.15に よ りZ/p-加 群 とし て

 

さ らに,j∞ は 代 数 の準 同型 で,双 対 積 と可 換 で あ るか ら,上 の 同 型 はHopf代 数 の 同型. 

(終)

  系2.15  Xは 弧 状 連 結 なHopf空 つH*(X;Z/p)は

有 限Z/p-加

 (1) 

E∞(X)=Λ(x1,…,xn), 

 (2) 

PE∞2n(X)=0.

 [証 明]  (1)  Borelの

間 で,∀iに

つ い てHi(X)は

￨xi￨:奇

数,

定 理(定 理 Ⅱ.4.9)に

よ り 奇 数.

torsion 

  (2)  E∞(X)の

偶 数 次数 の 元 は 分解 的

偶 数 次 数 の 元 を 消 去 し,E∞=(E∞)*で   Cartanの

  Mが を す る.

⇒

系 Ⅱ.1.4に

あ る か ら,￨y￨:奇

よ り,y∈PE∞(X)は 数. 

(終)

結果

  記 号   集 合Mに   Λ(M):M上

有限生成か

群 とす る と き,

ついて

の 外 積 代 数,Z/p[M]:(Z/p上

次 数 つ き の と き,Z/p[M],Λ(M)は￨xy￨=￨x￨・￨y￨に

の)M上

の 多 項 式 環. よ り次 数 づ け

 定義  この と き,簡 単 な 計 算 で  (2.16) 

(p=奇

A1は

非 輪 状(acyclic).

素 数 の 場 合).

  記 号   K(Z/pr,n)のmod =E

s(K(Z/pr,n))と

pコ

ホ モ ロ ジ ーBocksteinス

  ι=id∈Hom(Z/pr,Z/pr)=Hn(Z/pr,n;Z/pr),射

影j:Z/pr→Z/pに

つ い て,ι=j*ι ∈Hn(Z/pr,n;Z/p)=En1を
ペ ク トル 系 列 をEs

略 記 す る.

つ い て βkι=0か

考 え る.こ

つ βrι=η≠0.た

だ し,こ

で あ る か ら,η ∈En+1r=Hn+1(Z/pr,n;Z/p)と

の と き,定

こ で,En1=Enr,En+1∞=En+1r

み な す.

  係 数 の 完 全 系 列0→Z/p→Z/p2→Z/p→0に

関 す るBockstein準

同 型 を β:H*(X;Z/p)→H*+1(X;Z/p)と   Steenrod代

す る.

数A(p)はp:奇

素 数 の 場 合,次

piと 次 数1のBockstein準 代 数 で あ る.従

数2i(p-1)のSteenrod作

っ て,A(p)の

単項式は εi=0,1,  si∈N

と 表 わ さ れ る.こ

れ を 単 にpI,I=(ε0,s1,ε1,…,sk,εk),と

表 わ す.

  定 義   系 列Iは

認 容 的(admissible) 

(∀i).

の と き 対 応 す るp1を

  こ の と き,次

容的

  こ こ で,Cartanの


r+1)は

⇒I=βI′(I′:認

H*(Z/pr,n;Z/p)はpIι,pIη(∀I,J:認

55.

容 的.

H2np(Z/pr,2n)は

容 的 で εk=0,excess

の 自 由 な 可 換 代 数 で あ る. 直 和 因 子Z/pr+1を

も つ が,Zま

た はZ/pk(k>

含 ま ない .

  (2.19)′  H4n(Z/2,2n)は

†  H.

容 的)ま た は βI:認

結 果 を 思 い お こ そ う:+

生 成 元 と す るZ/p上

  (2.19) 

認 容 的 単 項 式 と い う.

が 成 り立 つ こ と に 注 意 す る:

 (2.17)  I:認

  (2.18) 

用素

同 型 β に よ り生 成 さ れ る 次 数 つ き ,結 合 的(Hopf)

βε0ps1βε1…pskβεk, 

ま た,こ

義 か ら,∀k

Cartan: Paris.

Algebres

直 和 因 子Z/4を

d'Eilenberg-MacLane

et

も つ が,Z/2j(j>2)と

homotopie,

Seminaire

Henri

い う因 子

Cartan,

1954/

は 含 ま な い.   さ て,E1に

お い て は β1=β

で あ る か ら,(2.17)を

ら れ るE1=H*(Z/pr,n;Z/p)の を 除 い て)対

生 成 元 は,β1に

に な っ て い る と 考 え ら れ る.従

た だ し,SはH*(Z/pr,m;Z/p)の(ι

考 慮 す る と(2.18)で よ っ て(r>1の

与 え

と き は ι,η

って

と η を 除 く)生 成 元 の 上 を わ た り,

奇数 偶 数. こ こ でA(S)は

β1=β の 下 で 閉 じ て い る こ と に 注 意 す れ ば,Kunneth公

式 に

よ り

生 成 元Sの

うち,最

  (2.16)よ

小 次 数 の も の はp1ι で, 

な ら ば

り,m<(2n+4)pな

ら ばHm(A(S))=0⇒m<(2n+4)pな

こ こ で,βjι=βjη=0(∀j
(2.19)を

つ,βrι=η

使 う と,E2npr+2=0,従

  命 題2.20 

p>2と

場 合)

  [r>1] 

ま ず,￨x￨=2m+1の

た,x=SqIι,I=(s1,s2,…):認 SqI′ι は 生 成 元.す

で あ る か ら,(2

っ て,βr+1{ιp}≠0.以

す る.ι ∈E2nr(K(Z/pr,2n)),βrι=η

  (p=2の

で =0と

な わ ち,K(Z/2r,2n)の

か し,￨x￨=2m+1の

あ る か ら,E2項 な る .従

  [r=1] 

に お い て は,こ

っ て,p=奇

Sq1ι=η.特

.16)よ

り

上 よ り な らば

と き,x2=Sq2m+1x=Sq1Sq2mx=βSq2mx.ま 容 的,な

ら ばI′=(2m,s1,s2,…)も

認 容 的 で,

場 合 には 事 情 は 若 干 複 雑 で

生 成 元 は 他 の 生 成 元 と β1で 対 に な る の で は な く,奇 対 に な っ て い る.し

らば

,あ

る

数次数の生成元の平方 と

と き は,  れ ら の 現 象 は な くな り,(奇

数 次 数 の 元)2

素 数 の 場 合 と 同 じ 議 論 を 展 開 で き る.

に,Sq1(ι2)=0.た

だ し ι2∈E4n1,E4n1に お い て ι2以外 の

元 は β1-サ

イ ク ル で は な い 生 成 元 か,ま

る 生 成 元 な の で,ι2はE4n1に た,β1(Sq2nη+ι Sq2nη+ι

η)=Sq1Sq2nη+Sq1(ι

η はE4n+11に

りE4n3=0で

お い て

た は

β1-サ

イ ク ル で もE4n2で

β1-像 に 入 ら な い 唯 一 の 可 能 性 で あ る.ま η)=Sq2n+1η+η2=0で

あ り,同

お い て β1-像 に 入 ら な い 唯 一 の 可 能 性.こ

ι∈E2nr(K(Z/2r,2n)),βrι=η

  上 の 命 題2.20,  定 理2.22 

2.21を

こ で(2.19)′

よ

と す る と き,

x∈E2nr(X),y=βrx≠0と

か つ 

す る.さ

ら に,

の とき

の とき

と仮 定 す る と き,xp≠0が

成 り立 ち,さ

ら に, (p≠2ま (p=2か

[証 明] 

(p≠2ま

た はr≠1) 

影k:Z/pr→Z/pに

K(Z/pr,2n)が

命 題1.16よ

存 在 し てf*(ι)=x,た

fr(ι)=xか

つr=1).

りx∈H2n(X;Z/pr)が

存 在 し の と き,f:X→

だ し,ι=id∈Hom(Z/pr,Z/pr)=

こ で,ι=k*ι,f*(ι)=f*(k*ι)=k*f*(ι)=k*x⇒

つfr(η)=fr(βrι)=βrfr(ι)=βrx=y.こ 環 準 同 型 で あ る か ら,fr(ιp-1η)=xp-1y(ま

Sq2ny).仮

た はr≠1)

つ い て,{k*x}=x∈Er(X).こ

H2n(Z/pr,2n;Z/pr).こ

pr,2n))は

じ 理 由 で,

普 遍 例 に 用 い て

また は 

て,射

あ

あ る か ら,

  命 題2.21 

 

は0で

こ に,fr:Er(X)→Er(K(Z/ たf1(Sq2nη)=f*(Sq2nη)=

定 か ら,{xp-1y}≠0∈Er+1(X)⇒fr+1{ιp-1η}={xp-1y}≠0.従

っ て,fr+1βr+1{ιp}≠0よ

りfr+1{ιp}={xp}≠0か

つ βr+1{xp}=βr+1fr+1{ιp}=

c{xp-1y},c∈Z/p.  

(p=2か

か つ

つr=1) 

β2{Sq2nη+ι

  Hopf空

(終)

間 の ホ モ ロジ ー

  以 下,代

数 に お い て,積

帰 納 的 に,x0=1,xn=xn-1xと  

η}={Sq2ny+xy}≠0⇒f2{ι2}={x2}≠0

β2{x2}={Sq2ny+xy}. 

定 理2.23 

Xは

の 結 合 性 は 仮 定 し な い が,同

一 の 元 の 巾 に つ い て は

定 義 す る.

弧 状 連 結 なHopf空

間,∀iに

つ い てHi(X)は

有 限 生 成 とす

る.も

し,x∈PEr2n(X)か

  [証 明]  り にxpか 0に

つx=βry≠0な

xp≠0な

な ら な け れ ば,こ

れ は

仮 定 し て よ い.

  x∈E2nrを

〈x,x〉

  実 際,補 ￨y￨=奇

≠0と

≠0.こ

p≠2ま

の と き,次

れ を 繰 り 返 し て,xの

お く と,〈y,y〉=〈

題2.8と

と き は,w∈E1,{w}=y っ て,βr(xp-1y)=(p-1)

盾.従

  (2.23)′

βrz,xp-1y〉=

っ て,(2.23)′

が成

り立 つ.

と き{Sq2ny+xy}≠0∈E2.

補 題 Ⅱ.2.18よ

り 〈Sq2ny+xy,xy〉

∈E1.β1(Sq2ny+xy)=y2+y2=0.ま せ て(2.23)″

と き は,

す る と,〈xp-1y,xp-1y〉=〈

〈z,βr(xp-1y)〉=〈z,xp〉=〈z,0〉=0:矛

  実 際,補

っ

βrx,y〉=

≠0⇒xp-1y≠0∈Er.p≠2の

たp=2,r>1の

方,xp-1y=βrzと

つr=1の

が

を 示 す:

り 〈xp-1y,xp-1y〉

p=2か

任 意 のp巾

列 を 構 成 し た こ と に な る.従

を と っ て,y2={Sq2n+1w}={Sq1Sq2nw}=0∈E2.従

  (2.23)″ 

代

と き,{xp-1y}≠0∈Er+1.

数 で あ る か ら,y2=0.ま

xp-2y2=0.一

も つ.

あ る か ら,xの

な る 元 と し,y=βrxと

た はr≠1の

題2.8よ

た,こ

∞-implicationの

て,xp=0と

  (2.23)′ 

∞-implicationを

ら ばxp∈PEr(X)で,xp=βr(xp-1y)で

ら 議 論 を 始 め て よ い.ま

〈x,βry〉=〈x,x〉

ら ば,xは

た,上

と同様 に

≠0⇒Sq2ny+xy≠0  

を 示

が 成 り 立 つ こ と が わ か る. と(2.23)″

よ り 定 理2.22の

仮 定 が み た さ れ る こ と が わ か り,xp≠0

かつ

  次 が 成 り 立 つ:   (2.24) 

元a∈PEr+12npが

  実 際,ま

ず

た はr≠1の p=2,r=1の

βr(xp-1y)=xp=0.さ

≠0,a=βr+1bと

ら に,xp-1y=βqzと

と き は,〈Sq2ny+xy,xy〉=0.こ 〈xp-1y,b〉

お く と,補

  さ て,aを はxの

〈{xp},a〉

と き,〈xp-1y,xp-1y〉=〈xp-1y,βrz〉=〈

y}≠0∈Er+1⇒ βr+1bと

存 在 して

題2.10よ

≠0⇒

仮 定 す る と,p≠2ま βr(xp-1y),z〉=0.ま

た

れ は 矛 盾 で あ る か ら,b={xp-1 〈xp,βr+1b〉=c〈xp-1y,b〉

≠0.そ

こ でa=

りb∈PEr+1⇒a∈PEr+1.

表 わ す 元x1∈Er,{x1}=a,を

∞-implicationの

な る.

とれ ば

〈xp,x1〉

列 の 次 段 階 の 元 と し て と れ る.一

≠0.従 般 に,補

っ て,x1 題2.9に

よ り,Er+1に

お け る ∞-implicationの

implicationの

次 段 階 の 元 の 存 在 性 を 保 証 す る か ら,上

せ て,xの

∞-implicationの

  系2.24 

Xは

つ い てHi(X)は

よ りH*(X;Z/p)の Xは

あ っ て 〈y,βkx〉≠0か つ 〈y,βk βky≠0∈PEk.こ

有 限 次 元 性 に 矛 盾.従

弧 状 連 結 なHopf空

し,x∈PE2nr(X)か

間,∀iに

つ βrx=y≠0な

に は な ら ず,結

を 使 っ て, 

定 理2.23に

よ りxは

  定 理2.26 

Xは

合 的 か つ 可 換 なHopf代

高 有 限 個 のiに

有 限 生 成 とす

数.従

っ て,yは

数Er(X)に

よ り元y∈PErが

≠0.y∈PErで

定 理 Ⅱ.2.13

あ っ て 〈y,y〉≠0⇒

あ る か らx=βry∈PEr.従

∞-implicationを

弧 状 連 結 なHopf空

βk(D).  (終)

ら ばdimZ/p つ￨y￨=奇

系 Ⅱ.1.4に

〈x,βry〉=〈 βrx,y〉=〈y,y〉

っ て,βkx∈

れ は定 理

つ い てHi(X)は

  [証 明]  x∈PEr(X)⇒y=βrx∈PEr(X)か 他 の 元 のp巾

有 限生 成 とす

解 的}.

〈βky,x〉 ≠0か つ 〈βky,D〉=0⇒

  定 理2.25  る.も

間,∀iに

な ら ばy∈Ek2m+1(X)が

(D)〉=0⇒

の 操 作 は 無 限 回 繰 り返 (終)

βk(D),D={x∈E2mk(X)￨x:分

  [証 明] 

お け る ∞-

存 在 が わ か る. 

弧 状 連 結 なHopf空

る と き,βk(E2mk(X))⊂

2.23に

次 段 階 の 元 の 存 在 性 はErに

も ち,定 間,∀iに

対 し てHi(X;Z/p)≠0と

っ て,

理 が え ら れ る.  つ い てHi(X)は

す る.こ

(終)

有 限 生 成,高

の と き,

PE2nr(X)⊂Imjr. す な わ ち,原

始 的 な 元 は 整 係 数 サ イ ク ル の 像 で あ る.特

に,r=1の

と き,

PH2n(X;Z/p)⊂Imj*.   [証 明]  x∈PE2nr(X),βrx≠0な を もつ

⇒ 無 限 個 のiに

∀rに つ い て βr(x)=0.定   定 理2.27 

Xは

ら ば 定 理2.25に

つ い てHi(X;Z/p)≠0.こ 理1.22に

弧 状 連 結 なHopf空

間,∀iに す る.こ

  (1)  Im{j*:H*(X)→H*(X;Z/p)}は

  (3)  m>1と

p Hurewicz準 す る と き,最

が 奇 数 の と き お こ る.特

∞-implication

れ は 仮 定 に 矛 盾.従

よ り定 理 が え ら れ る. 

が 存 在 し てHi(X;Z/p)=0,∀i>Nと

  (2)  mod

よ りxは

って (終)

つ い てHi(X)は

有 限 生 成,N

の と き,

偶 数 次 数 の 原 始 的 な 元 を 含 ま な い,

同型

 

は 自 明,

初 の 自 明 で な い ホ モ トピー群

πm(X) 

Z/pはm

に,π2(X)=0.

  [証 明]  (1)  原 始 的 な 元x∈Im

j*と す る と,∀rに

つ い て βrx=0.系2.15

に よ り{x}=0∈E∞(X)⇒ か ら,{x}は

あ るrが

∞-implicationを

あ っ て{x}=βry∈Er(X)⇒

もつ

定 理2.23

⇒ ∀iに つ い てH2npi(X;Z/p)≠0:

矛 盾.   (2)  球 面 上 の ∀ サ イ ク ル は 原 始 的 か つ 整 係 数 の 元 か ら 成 り,    (3)  (π1(X)=0の

と き)  Serre-Hurewiczの

ホ モ トピ ー 群 に つ い て 〓 は 同 型.従   (π1(X)≠0の

は 原始 的 な 元

定 理 か ら,最

初 の 自明 で な い

っ て(2)よ

り結 果 は 出 る.

と き)  Xの 普 遍 被 覆 空 間XはHopf空

自 明 に 作 用 し,従

っ て,∀iに

つ い てHi(X)は

Hi(X)=0∀i>N([Browder 用 で き る.た

⇒Im〓

より

1]ま

だ し,こ

間 で π1(X)はH*(X)に 有 限 生 成 か つNが

た は 補 遺A).従

こ で,∀m>1に

存 在 し て,

っ て 上 の 議 論 をXに

適

つ いて (終)

  §3  Poincare双

対性

  p-次 元 と 有 理 次 元

 定義 

(Xのp-次

(Xの   定 理3.1 

Xは

る.も

し,p-dim

は1次

元 で

弧 状 連 結 なHopf空 X<∞

な ら ばp-dim

Hm(X;Z/p)=j*Hm(X)    [証 明]  H*(X;Z/p)は の 定 理(定 理 Ⅱ.4.9)に っ て,単

結 合 的,可 よ り,元

間,∀iに

X=mか

っ て,各qiが

だ し,H*(X;Z/p)は

有 限 生 成 とす つHm(X;Z/p)

(j:Z→Z/p). 換 なHopf代

数 で あ る か ら,Borel

の 集 合{a1,…,an},ai∈H*(X;Z/p),が

項 式 の 集 合{aq11…aqnn}, 

加 法 基 底.た

有理 次 元)

つ い てHi(X)は

X=Q-dim

元)

height,はH*(X;Z/p)の 有 限 次 元 で あ る か ら,h(ai)<∞(∀i).従

最 大 で あ る よ う な 元 が 一 意 的 に 存 在 す る.こ

の 次 元 をmと

る.   (π1(X)=0の

場 合) 

も し,あ

るqiが

あ

最 大 の 値 よ り 小 さ け れ ば￨aq11…aqnn￨<m-1⇒

Hm-1(X;Z/p)=0⇒Em1(X)=Em∞(X)=Z/p⇒E1m(X)=E∞m(X)=Z/p.

す

後 は 容 易.   (π1(X)≠0の

場 合)  Xの

普 遍 被 覆 空 間 をXと

定 理 の 条 件 を み た し て い る.一 X.従

っ て,上

般 にp-dim

の 結 果 か ら,p-dim

す る と,XはHopf空

X=p-dim

X=Q-dim

間 で,

X,Q-dim

X.Xの

X=Q-dim

結 果 か ら,Xの

が 出 る. 

(終)

  証 明 で 見 た よ う に,Erm(X)の (X)に

はp-torsionの

  系3.2 

Xは

す べ て の 元 はdr-サ

元 は な い.従

弧 状 連 結 なHopf空

(X)≠0,Hj(X)=0,∀j>mな   系3.3 

結果

Mは

っ て, 間,Hi(X)は

∀iに つ い て 有 限 生 成 で,Hm

ら ばHm(X)=Zか

弧 状 連 結,コ

イ ク ル で あ る か ら,Hm-1

つHm-1(X)は

ン パ ク ト多 様 体 でHopf構

自 由.

造 を も つ な ら ば,Mは

向 き づ け 可 能 で あ る.   cap積   対 角 写 像 △:X→X×Xの

導 く写 像 を 同 じ 記 号  

で 表 わ す.   記 号   C*=C*(X),C*=C*(X). とす る.こ

 定 義   Cq∋cq,Cn∋en, 

 定 義  Cqの 境 界 作 用 素 δに対 して,新 δ′:Cq→Cq+1⇔

  こ の と き,(δ ′に 関 す る ホ モ ロ ジ ー)=(δ   補 題3.4 

C*に

しい境 界作 用 素 δ′ δ′=(-1)q+1δ.

に 関 す る ホ モ ロ ジ ー).

新 し い 次 数 を ′Cq=C-qと

関 し て, 

の と きcap積

入 れ る と き,上 の 境 界 作 用 素 δ′に

は 鎖 写 像 で あ る.

 [証 明] 

(終)  従 っ て,∩   補 題3.5   [証 明]   

f:A→Bは

は ホ モ ロ ジ ー に お い てcap積 ∂en=0⇒ 0=cq∩

∩en:′Cq→Cn-qは

を 導 く. 鎖 写 像(′Cq上

∂en=δcq∩en+(-1)q∂(cq∩en)⇒(δ

自 由 な 鎖 複 体 の 間 の 鎖 写 像 と す る.

では

δ′).

′cq)∩en=∂(cq∩en). 

(終)

  命 題3.6 

f*:H*(A)→H*(B)は

同型

は ∀ 可 換 群Gに   [証 明]  [〓]    [⇒] 

G=Zと

H*(A 

つ い て 同型.

とれ ば よいか ら,明 らか.

G),H*(B 

G)の

普 遍 係 数 定 理 か ら え られ る完 全 系 列 を含

む可換な 図

に お い て,f*:同 fGも

型

⇒f* 

1,Tor(f*,1G):同

っ て5-lemmaに

同 型. 

  命 題3.7  Hi(B)は

f:A→Bは

自 由 な 鎖 複 体 の 間 の 鎖 写 像,∀iに

有 限 生 成 とす る.こ

の と き,

命 題3.3よ

は 同 型(∀p). り,f*:同

Cn=An-1+Bn(fの

型

写 像 錐)と

⇔d′(a,b)=(-da,db+f(a))と 鎖写像で

つ い てHi(A),

同 型 

  [証 明]  [⇒]    [〓] 

よ り (終)

f*:H*(A)→H*(B)は

-1の

型.従

⇒fp:同

お き,境

型.

界 作 用 素 をd′:Cn→Cn-1

定 義 す る.g:C→A⇔g(a,b)=aは

次数

,d°g=-g°d′.i:B→C⇔i(b)=(0,b)と

鎖写像を定義す る

は 自由 な 鎖 複 体 の 完 全 系 列 で あ る.可 換 群Gに

係 数 を もつ(3.4)′ に 関 す る ホ

と き,  (3.7)′

モ ロジ ー 完全 系列  (3.7)″

に お い てd*=fG.Hi(B),Hi-1(A)は

有 限 生成 で あ るか ら,(G=Zと

Hi(C)も 有 限 生 成.(3.4)″ に お い てG=Z/pと  

∀i,∀p.こ

同 型 で あ る か ら,

こで, 

∀i,∀p⇒(Hi(C)は Hi(C)=0.(3.7)"に

お い て,fpは

お い て)

有 限 生 成 で あ る か ら) おい てG=Zと

お いて (終)

  補 題3.8  Xは 弧 状 連 結Hopf空

間,Hi(X)は

∀iに つ いて 有 限 次 元 とす る.

も し,Hm(X;Z/p)≠0,Hk(X;Z/p)=0,∀k>mな 存 在 し て,∂

μ=0か

ら ば,鎖

つj*{μ}はHm(X;Z/p)を

生 成 す る.さ

∩ μ:Hq(X;Z/p)→Hm-q(X;Z/p)は  

[証 明] 

定 理3.1に

っ て,∂

μ=0か

4.9)に

よ りH*(X;Z/p)の

ら に,こ

の と き,

同 型 で あ る(∀q). よ りHm(X;Z/p)=j*Hm(X)⇒

つj*{μ}はHm(X;Z/p)を

はH*(X;Z/p)の

定 理(定

理 Ⅱ.

あ っ て,{aq11…aqnn},

だ し,ti=hi-qi,と

と き,{bi,…,bk}がHq(X;Z/p)の(単

項 式 の)基 項 式 の)基

に つ い てaf(a)=ah11…ahnn.さ

あ

加 法 基 底 に な る.今f:Hq(X;Z/p)

→Hm-q(X;Z/p)⇔f(aq11…aqnn)=at11…atnn,た

f(bk)}はHm-q(X;Z/p)の(単

鎖 μ ∈Cm(X)が 生 成 す る.Borelの

生 成 元 の 集 合{a1,…,an}が

 

μ ∈Cm(X)が

ら に,次

定 義 す る

底 で あ る と き,{f(b1),…,

底 に な っ て い る.ま

た,a=aq11…aqnn

が 成 り 立 つ:

 (3.8)′   i≠j⇒bif(bj)=0.

  実 際,bi=ar11…arnn,bj=at11…atnnに

つ い て,あ

る 巾tsに

対 し てts
f(bj)ah1-t11…ahn-tnn⇒bif(bj)=ah1-t1+r11…ahs-ts+rss…ahn-tn+rnn.こ で

こ で, 

あ る か らahs-ts+rss=0⇒bif(bj)=0.

  上 の 積 のpairingに

よ り, 

x≠0∈Hq(X;Z/p)な

従 っ て,も

ら ば,y∈Hm-q(X;Z/p)が

こ で,〈ah11…ahnn,j*{μ}〉

≠0⇒

従

〈xy,μ 〉=〈xy,j*{μ}〉 っ て,Im(∩

の元はない ⇒

∩μ は 全 射.ま

か ら 単 射 で あ り,∩

た

μ は 一 対 一.従

し

あ っ て,xy=ah11…ahnn.こ ≠0.一

方, 

μ)に 直 交 し て い るH*(X;Z/p)

∩μ は 有 限 次 元 ベ ク トル 空 間 の 全 射 で あ る っ て, (終)

  定 理3.9  (Poincareの

双 対 性 定 理)  Xは

∀iに つ い て 有 限 生 成 とす る.も Hm(X)=Zで

あ り,こ

弧 状 連 結 なHopf空

間,Hi(X)は

しHm(X)≠0,Hj(X)=0,∀j>mな

の 生 成 元 を ξ とす る と き,∀q,∀G(可

ら ば, 換 群)に つ い て,

  [証 明]  ∩ξの 定 義 に よ り,ξ を 表 わ す 鎖 μ に つ い て,∩ μ が 同 型 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.系3.2よ き,∀q,∀p(素 ⇒

命 題3.6よ

数)に

りHm(X)=Z.補 ついて同型 ⇒

題3.8よ 命 題3.7よ

り ∩μ は 任 意 の 可 換 群Gに

り ∩ μ はG=Z/pの

り ∩ μ はG=Zの

つ い て 同 型. 

と と き 同型 (終)

  §4  filtration   微 分Hopf代   Aは

数 のfiltration

微 分Hopf代

(d2=0)を

数 とす る,す

も ち,積

φ,双

Aが

数 で,微

分 作 用 素d

対 積 ψ は い ず れ も 微 分 加 群 の 準 同 型 で あ る.

  こ こ で,第2章,§5で

 

な わ ち,AはHopf代

導 入 し た2種

結 合 的 微 分Hopf代

類 のfiltrationを

思 い お こ そ う:

数 の と き は,dはfiltration{FpA}を

保 つ:

d(FpA)⊂FpA.

  定理4.1  Aが 結 合 的 微 分Hopf代 結合 的,原 始 的Hopf代   [証 明]  A:結

数 な らばfiltration{FpA}に

数 の スペ ク トル系 列  

合的⇒

積φ: 

φ が 導 くスペ ク トル 系 列 の 準 同型

に

に で{Er(A)}は

よ りEr(A)は 微 分 代 数 の準 同型 ⇒ よ りEr(A)はHopf代 微 分Hopf代

い て は補 題2.3を

が あ る.

はfilterつ き加 群 の 準 同 型 ⇒

はfilterつ き微 分 加 群 の 準 同 型 ⇒

は

随 伴 して,

φ  

代 数 に な る.さ ら に, 

ψ が導 く   数 にな る.ま た,φr,ψrはdrと

可換な の

数 の スペ ク トル系 列 に な る.結 合 性,原 始 性 に つ

用 いれ ば よい. 

(終)

  双対的に   定 理4.1′ Aが

双 対 結 合 的 微 分Hopf代

し て,双 対 結 合的,双 対 原 始 的Hopf代

数 な ら ばfiltration{GpA}に

随伴

数 の ス ペ ク トル 系列  

が あ る.   補 題4.2  Aが

原始 的微 分Hopf代

数 な らば ∞E(A)はH(A)の

双 原 始 形 式.

  [証 明]  ス ペ ク トル 系列 の一 般 論 に よ り,∞E(A)はH(A)のfiltrationに 伴 した 次 数つ き加 群 で あ る.従 って,∀qに つ い てrank (∞E(A))q=rank た だ し,(∞E(A))qは

∞E(A)の 全 次数.後

示 せ ば よい.補 題 Ⅱ.5.9よ り0E(A)は らばr+1E(A)=H(rE(A))は 明 され る. 

は,∞E(A)が

双 原 始 的 で あ る こ とを

双 原 始 的.一 方,rE(A)が

双 原 始 的 で あ るか ら,rに

随 Hq(A).

双 原始 的 な

関 す る帰納 法 で 補 題 は証 (終)

  双 対 的 に,   補 題4.2′  Aが

双 対 原 始 的 微 分Hopf代

数 な ら ば,E∞(A)はH(A)の

双原

始 形 式.   従 っ て,結

合 的 微 分Hopf代

数Aの

の ス ペ ク トル 系 列sE(Er(A))を   補 題4.3 

Aが

 [証 明]  定 理4.1よ (Er(A))=Er+1(A)の もEr+1(A)の

数 な ら ば,ス

収 束 す る.す

りEr(A)は

項

原始的 ⇒

っ て,系

ペ ク トル 系 列sE(Er(A))は

な わ ち,Hopf代

数 と して

補 題4.2よ

双 原 始 形 式.Er+1(A)は

双 原 始 形 式.従

お い て,各

考 え れ ば よ い.

結 合 的 微 分Hopf代

s→ ∞ の と き,0E(Er+1(A))に

ス ペ ク トル 系 列Er(A)に

り ∞E(Er(A))はH

原 始 的 で あ る か ら,0E(Er+1(A))

Ⅱ.5.7に

よ りHopf代

数 と し て,  (終)

 双対的 に   補 題4.3′  Aが

双 対 結 合 的 微 分Hopf代

はs→ ∞ の と き,E0(r+1E(A))に

  定 理4.4  項 はAの

Aは

数 な ら ば,ス ペ ク トル 系 列Es(rE(A))

収 束 す る.す

な わ ち,Hopf代

結 合 的 ま た は 双 対 結 合 的 微 分Hopf代

双 原 始 形 式,最

終 項 はH(A)の

数 と して

数 と す る.こ

の と き初

双 原 始 形 式 で あ る 双 原 始 的Hopf代

数

の ス ペ ク トル 系 列 が 存 在 す る.   [証 明]  (A:結 4.3よ

合 的 の と き)  ス ペ ク トル 系 列{E(Er(A))}に

=0E(Er+1(A)),1E(Er+1(A)),…

は ス ペ ク トル 系 列,従

並 べ た も の:{sE(E0(A))},{sE(E1(A))},…

対 結 合 的 の と き)  補 題4.3′ を 使 っ て,同

(A))},…

が 求 め る ス ペ ク トル 系 列 で あ る. 

  定 義   こ の ス ペ ク トル 系 列 をAの   定 義   微 分Hopf代 Hopf

    Bは

題

algebra

数Bは of type

ペ ク トル 系 列 を

様 に,{Es(0E(A))},{Es(1E (終)

双 原 始 的 ス ペ ク トル 系 列 と い う.

Ⅰ型 の 初 等 微 分Hopf代

数(elementary

differ

Ⅰ) x,y:原

Ⅱ型 ⇔

っ て,ス

が 求 め る ス ペ ク トル 系 列 で あ る.

  (A:双

ential

お い て,補

り ∞E(Er(A))=0E(Er+1(A))⇒0E(Er(A)),1E(Er(A)),…,∞E(Er(A))

同 じ 条 件 で,dy=x.

始 的,￨x￨:奇

数,￨y￨:偶

数,dx=y.

 明 らか に,こ れ らは,い ず れ も双 原 始的 で あ る.  定 義   双原 始 的 微 分Hopf代 ⇔

微 分Hopf代

数Aは

Ⅰ型(ま た は Ⅱ型)

数 とし て 

は Ⅰ型(ま た は Ⅱ 型)の 初 等 微 分Hopf

代 数.  

Aは

Ⅲ型 ⇔

  命 題4.5 

恒 等 的 に,d=0.

Z/p上

代 数 のtensor積

の 双 原 始 的 微 分Hopf代

で あ る.す

数Aは

Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ

な わ ち, 

型 の 微 分Hopf

た だ し,

xi,yi:原

始 的,￨xi￨,:奇

数,￨yi￨:偶

始 的,￨uj￨:奇

数,￨υj￨:偶

数,

dxi=yi, uj,υj:原

数,

dυj=uj,

  Lはd≡0で

あ る 双 原 始 的Hopf代

数.

  [証 明]  Aは

双 原 始 的 で あ る か ら,P(A)の

定 を み た すAの

生 成 元 の 集 合.従

っ て,Hopf代

元 の 各 々 に よ っ て 生 成 さ れ る 代 数,す さpのtruncated多

項 式 環,奇

積 に な る.こ こで,加 群F,G,Jが d(J)=0.こ

LはJで

の と き, 

任 意 の 基 底 はBorelの

な わ ち,偶

数 と し て,Aは

定 理 の仮

これ ら の生 成

数 次 数 の 生 成 元 に つ い ては 高

数 次 数 の 生 成 元 に つ い て は 外 積 代 数,のtensor

あ って,  はFodd 

d(F)=G,  はFeven 

Gevenで, 

生 成 され て い る. 

Goddで,

(終)

  こ こで,簡 単 な 計 算 で  (4.6) 

(1) 

￨x￨:奇

数,dx=y

Λ({xyp-1}) 

(p≠0)

Q 

(p=0)

⇒H(K)={  (2) 

￨u￨:奇

数,dυ=u

Λ({uυp-1}) 

(p≠0)

⇒H(M)={ Q 

(p=0)

  (3)  d(L)=0⇒H(L)=L.   定 理4.7  Aは 結 合 的 また は 双 対 結 合 的 微 分Hopf代 元 な ら ば,H(A)の 元 を もつ.

双 原始 形 式 はAの

数 とす る.Aが

有限次

双 原 始 形 式 と同 じ個 数 の奇 数 次 数 の 生 成

  [証 明]  定 理4.5に 定 理4.4のAの

よ り Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ

型 の 微 分Hopf代

双 原 始 形 式 か らH(A)の

系 列 に お い て(4.6)の

双 原 始 形 式 へ の 双 原 始 的 ス ペ ク トル

計 算 が 行 わ れ る.こ の 際,奇 数 次 数 の 生 成 元 は 新 し い(大

き い)奇 数 次 数 の 生 成 元 で 置 き換 え られ る が,も

し,奇

れ る と す れ ば こ の 奇 数 次 数 が ど ん ど ん 大 き くな っ て り,こ

れ はAの

数 に つ い て 示 せ ば よ い.

有 限 次 元 性 に 反 す る.従

っ て,奇

∞

数 次 数 の生 成 元 が失 わ に発 散 す る 場 合 で あ

数 次 数 の 元 が 失 わ れ る こと

は な い. 

(終)

  系4.8 

Aは

結 合 的,可

H(A)はAと

換 な 微 分Hopf代

数 と す る.Aが

有 限 次 元 な ら ば,

同 じ 個 数 の 奇 数 次 数 の 生 成 元 を も つ.

  [証 明]  定 理4.7と

定 理 Ⅱ.5.11か

ら 明 ら か. 

(終)

  さ ら に,   定 理4.9 

Aは

結 合 的 ま た は 双 対 結 合 的 な 微 分Hopf代

Am≠0,Ai=0,∀i>mな

らば  

  [証 明]  双 原 始 的 微 分Hopf代

数 と す る.も

数 に つ い て 示 せ ば よ い が,こ

れ は,双

原始 的

ス ペ ク トル 系 列 を 使 っ て 示 さ れ る.    Bocksteinス

連 結 なHopf空

pホ

(終)

ペ ク トル 系 列 の 応 用

  以 下,Xは のmod

し,

か つHi(A)=0,∀i>m.

間 で,∀iに

つ い てHi(X)は

モ ロ ジ ー お よ び コ ホ モ ロ ジ ーBocksteinス

的 なHopf代

数 の ス ペ ク トル 系 列 で あ る が,上

混 乱 を 避 け る た め に,こ

こ で は,そ

有 限 生 成 と す る.X ペ ク トル は 互 い に 双 対

で 考 え た ス ペ ク トル 系 列 と の

れ ぞ れ{Bk(X),βk},{Bk(X),βk}と

表わ

す.   Hopf空

間 のmod

換 なHopf代

pコ

ホ モ ロ ジ ーBocksteinス

数 の ス ペ ク トル 系 列 で あ る か ら,上

ペ ク トル 系 列 は 結 合 的,可 の 議 論 が 適 用 で き る.従

っ て,

Bocksteinス

ペ ク トル 系 列 の 各 項 に 対 し て 双 原 始 的 ス ペ ク トル が 存 在 す る.

  定 理4.10 

Xは

連 結 なHopf空

間,∀iに

が あ っ て,Hj(X;Z/p)=0∀j>Nと

す る.こ

偶 数 次 数 の 原 始 的 元 はdr-サ   [証 明]  PE0(Bk(X))の のp巾 の で,こ

で 表 わ さ れ る.こ のp巾

はBk(X)に

つ い てHi(X)は

有 限 生 成,あ

の と き,Er(Bk(X))に

るN

お い て,

イ ク ル で あ る.

偶 数 次 数 の 元 はBk(X)の こ でBk(X)は

偶 数 次 数 の 生 成 元 とそ れ ら

結 合 的 か つ 可 換 ま た βkは 微 分 的 で あ る

お い て サ イ ク ル.従

っ て,Bk(X)のp巾

に対応す

るPE0(Bk(X))の

元 は{Er(Bk(X))}のpermanentサ

を 証 明 す る に は,x∈QB2mk(X)に

よ り 表 わ さ れ るPEr(Bk(X))の

考 え れ ば よ い.今,x∈QB2mk(X)は す も の とす る.も

permanentサ

っ て,定

ら ば,系2.24に

理

元 につ い て

原 始 的 元z∈E10(Bk(X))=F1/F2を

し,βkx≠0な

あ っ て,βkx=βkw⇒

イ ク ル.従

表わ

よ りw∈F2=DBk(X)が

βk(x-w)=0⇒z={x}={x-w}∈E10=F1/F2は

イ ク ル. 

(終)

  特 に,   定 理4.11 

Xは

連 結 なHopf空

間,∀iに

が あ っ て,Hj(X;Z/p)=0,∀j>Nと て,偶

つ い てHi(X)は

す る.こ

有 限 生 成,あ

るN

の と き,sE(Er(Bk(X)))に

おい

数 次 数 の 原 始 的 元 は サ イ ク ル で あ る.

  こ こ で,微

分Hopf代

(B*)=(mE(B))*で  (4.12) 

数 と し て,Bk(X)=(Bk(X))*,rE(A*)=(Er(A))*,Em

あ る か ら,

Em(lE(Bk(X)))=(mE(El(Bk(X))))*.

 さ ら に,  (4.13) 

B:双

原始的

簡 単 の た め に,M=sE(Er(Bk(X)))と

お く と き,(4.13)に

よ り,

定 理4.11  ⇔d=0:PM2n→PM2n+1 ⇔d*=0:(PM2n+1)*→(PM2n)* ⇔d*=0:P(M*2n+1)→P(M*2n).

従 っ て,(4.12)に   定 理4.11′  Xは Nが て,奇

より 運 結 なHopf空

間,∀iに

あ っ てHj(X;Z/p)=0,∀j>Nと

つ い てHi(X)は

す る.こ

有 限 生 成,あ

の と きEm(lE(Bk(X))に

る おい

数 次 数 の 原 始 的 元 は サ イ ク ル で あ る.

  定 理4.14 

XはHopf空

間,H*(X)は

的 ス ペ ク トル 系 列 が あ っ て,そ

有 限 生 成 と す る.こ

の 初 項 はH*(X;Z/p)の

はtorsionの

原始

双 原 始 形 式,最

終項

双 原 始 形 式 で あ る.ま

トル 系 列 の 各 項 は Ⅰ型 と Ⅲ 型 の 微 分Hopf代   [証 明]  求 め る ス ペ ク トル 系 列 は,定 Bk+1(X)の

の と き,双

数 のtensor積

理4.4で

た,こ で あ る.

与 えら れ る そ れ ぞ れBk(X),

ス ペ ク トル 系 列 に お い て ∞E(E∞(Bk(X)))≡0E(E0(Bk+1(X)))と

視 す る こ と に よ り え ら れ る.後

半 は 命 題4.5と

のスペ ク

定 理4.11か

同一

ら え ら れ る.  (終)

  次 の 補 題 は §5で 用 い る.   補 題4.15  >Nと

Xは

連 結 なHopf空

間,あ

るNが

あ っ て,Hi(X;Z/p)=0,∀i

す る.s=min{n∈N￨Hn(X)はp-torsionを

数2mで

あ る.さ

p=2,m:偶

ら に,p>2な

も つ}と

ら ばHs(X;Z/p)は

数 な ら ば,Hs(X;Z/2)は

  [証 明]  ま ず,次   (4.16) 

Z/p上

お く と き,sは

偶

原 始 的 元 を も つ.ま

た

原 始 的 元 を も つ.

が 成 り立 つ: の 微 分Hopf代

数AがA0=Z/p,d(Ak)=0,∀k<mを

みた

す な ら ばd(Am)⊂PA.   これ よ り,Bk(X)⊃Imβkの

最 小 次 数 の 元xは

わ ち,H*(X)にp-torsionが

原 始 的 で,そ

最 初 に 現 わ れ る 次 数 で あ る.そ

と

す る.xは

奇 数 な ら ば,命 系2.24よ

題 Ⅱ.2.14に

よ りxは

りx=βky∈DBk(X):矛

  次 数<s-1に

の 次 数 はs,す

盾.従

方,￨y￨=s-1:偶

っ てs:偶

お い てB1(X)=B∞(X)⇒

こ で, 

原 始 的 で あ る か ら,も

非 分 解 的.一

数.以

次 数<sに

な

しs: 数 ⇒

下,s=2mと

お く.

お け るB1(X)の

すべて

の 生 成 元 は 奇 数 次 数 で あ る.   (p>2の

と き)  ま ず,奇

べ て0.xは て0.こ

数 次 数 のp巾

原 始 的 で あ る か ら,も れ は 矛 盾.故

に,xは

は0で

しxが

あ る か ら,Bs1(X)のp巾

分 解 的 な ら ば,xはp巾

非 分 解 的 で,xの

はす で,従

っ

双 対 元xはHs(X;Z/p)の

原 始 的 元 で あ る.   (p=2の u2.一

と き)  も し,xが

般 に,奇

数 次 数 の 生 成 元g∈H2n+1(X;Z/2)に

Sq1Sq2ng∈Imβ1.こ

こ で,次

な ら ば,g2=0.従 m:奇

数.従

Hs(X;Z/2)は   補 題4.17  >Nと

分 解 的 な ら ば,u∈Hm(X;Z/2)が

数<sで

っ て,x=u2に っ て,も

しm:偶

はIm

数 な ら ば,xは

あ る か ら,も

し,￨g￨<m

奇 数 次 数 の 生 成 元,す 非 分 解 的 で,xの

な わ ち,

双 対 元x∈

原 始 的.  Xは

(終)

連 結 なHopf空

間,あ

す る.t=min{n∈N￨Hn(X)は

偶 数 で,Ht(X;Z/p)は ∈Br(X),βry′

つ い て,g2=Sq2n+1g=

β1=0で

お い てuは

あ っ て,x=

≠0が

  [証 明]  補 題4.15の

原 始 的 元yを

るNが

あ っ て,Hi(X;Z/p)=0,∀i

高 次p-torsionを も ち,あ

るr>1が

も つ}と お く と き,tは あ っ て,{y}=y′

≠0

成 り立 つ. 場 合 と 同 様 に,Br(X)⊃Im

βr∋x,r>1,を

最小次数

の 元 とす る と き,x∈QBt2(X),t:偶 ≠0⊂Btn(X)}と

数 で あ る.(こ

お く と,Bq2(X)=Bq3(X)=…=Bqr(X)か

Btk(X),k>1,と

つ,tはImβk≠0⊂

な る最 小 の 整 数 で あ る.)

  ス ペ ク トル 系 列{Eq(B1(X))}を B2(X)は

こ でr=min{n>1￨Imβn

考 え る.次

数
お い て,E∞(B1(X)),

い ず れ も 奇 数 次 数 の 生 成 元 を も つ 外 積 代 数 で,次 数
E∞(B1(X))=rank   (4.18) 

B2(X)で

次 数
お い てrank

あ るか ら

お い て, 

(代 数 と し て).

  代 数 と して  

で あ り,次

お い て,E∞(B1(X))は

外

積 代 数 で あ る か らPE0(B1(X))の

偶 数 次 数 の 元 は こ の ス ペ ク トル 系 列(の

どこ

か の 段 階)に

お い て サ イ ク ル に な ら な い.特

dqはfiltrationをq上

げ,filtration

偶 数 次 数 の 生 成 元 はE0(B1(X))に は 奇 数 次 数 の 元 で 生 成 さ れ,次   (4.19) 

数
に,生 成 元 はfiltration

0の 元 の 上 で はdq≡0で

お い て サ イ ク ル で な い.従

1で あ り,

あ る か ら,上

の

っ て,E1(B1(X))

が わ か る:

次 数 〓tに お い て

  次 を 示 す:   (4.20) 

Q(E∞(B1(X)))t∋xに

=x∈E∞(B1(X))   次 数
対 し て,x′ ∈QE0(B1(X))が

元 と そ れ ら の 境 界 で 生 成 さ れ るEr(B1)のHopf部

す る とCrはEr(B1(X))は

微 分Hopf部

分 代 数 で,C0で

生 成 元 は 原 始 的 で,境 界 に な っ て お り,Cr(r>0)は さ れ て い る.従

っ てH(Cr)は

x∈QEr+1(B1(X))tはH(Cr)の (B1(X))と

す る と,x′

  以 上 よ り,Btr⊃Imβrの {x′}=x∈Bt2(X)を い て は,分 Z/p)が ≠0. 

存 在 し て,{x′}

. 分 代 数 をCrと

は,任

意 の偶 数 次数 の

奇 数 次 数 の原 始 的 元 で生 成

奇 数 次 数 の 原 始 的 元 で 生 成 さ れ て い る.従 像 に 入 っ て い な くて,も

し,x={x′},x′

って ∈Er

は 非 分 解 的. 最 小 次 数 の 元 をx(r>1)と

み た す と き,x′

す る と,∀x′ ∈Bt1(X)が

∈QB1(X)=QH*(X;Z/p).Bt1(X)に

お

解 元 を 法 に し て 境 界 に は な っ て い な い 元 が あ る か ら,y∈PHt(X; あ っ て,yは

β1-サ イ ク ル:{y}=y′

≠0∈Br(X)で

あ る か ら,β ry′ (終)

  §5  高 次torsion   Hopf鎖

複体

  こ こ で,鎖

複 体Cと

い え ば,主

  記 号   鎖 写 像f,gが

整 域R上

にtorsionを

鎖 ホ モ トー プ(chain

も た な い もの と す る.

homotopic)の

と き,f∼gと

表

わ す.   定 義   CはHopf鎖

複 体(Hopf

⇔Cは

鎖 複 体 で,鎖

写 像

存 在 し て,次

の 条 件 を み た す:

が  (1) 

chain

complex)  

ε°η=1k:R→R,

 (2) 

(ホ モ ト ピ ー を 除 い て η は φ の 単 位 元) (ホ モ ト ピー を 除 い て ε は ψ の 双 対 単 位 元)

 (3)  ホ モ トピ ー を 除 い て,ψ す な わ ち,右 一言 で い え ば

は 代 数 の 準 同 型,

図 は 鎖 ホ モ トピ ー 可 換:

,

 

C:Hopf鎖

複 体

⇔

ホ モ トピ ー を 除 い てCは

微 分Hopf

代 数.   例   Hopf空

間 の 鎖 複 体C*(X),双

対 鎖 複 体C*(X)はZ上

のHopf鎖

複体

で あ る.   定 義   鎖 複 体(ま た は 次 数 つ き 加 群)C={Ci}は ⇔

∀iに つ い てCiは

  定 義   鎖 複 体C,C′ ⇔

有 限 生 成R-加

  こ の と き,次   (5.1)  R上

群.

は ホ モ トピ ー 同 値,C∼C′

鎖 写 像f:C→C′,g:C′

  こ の と き,CとC′

有 限型

→Cが

存 在 し て,f°g∼1,g°f∼1.

は 同 じ ホ モ ト ピ ー 型 を も つ と い う.

は 明 ら か: 自 由 な 鎖 複 体Cが

有 限 型 の ホ モ ロ ジ ーH(C)を

も つ と き,Cは

有 限 型 の 鎖 複 体 に ホ モ ト ピ ー 同 値.   (5.2)  C∼C′,C:Hopf鎖   以 上 か ら,R上

自 由 なHopf鎖

複 体 ⇒C′:Hopf鎖 複 体Cが

複 体.

有 限 型 の ホ モ ロ ジ ー を もつ と き は,

最 初 か らCは のHopf鎖

有 限 型 と 思 っ て よ い.従

っ て,ホ

モ ロ ジ ー を 調 べ る に は,有

限型

複 体 を 考 え れ ば よ い.

  (5.3)  Cは 鎖 複 体.こ

有 限 型 のHopf鎖

の と きCが

 注 意  Hopf鎖

複 体 ⇒C*=Hom

(C,R)は

有 限 型 のHopf

自 由 な ら ば,C**=C.

複 体Cに

お い て恒 等 的 にd=0な

らばCはR上

のHopf代

数 で あ る.

  高 次torsionのimplication   CはHopf鎖

複 体 と す る.

 記号

こ の と き,H(C)∋  (5.4) 

∀uに つ い て,

ψ(u)=i1*u+i2*u+Q,

た だ し,

 定 義  射 入Z/p→Z/p2が mod p還 元Z/p2→Z/pが  この ときCが

導 く準 同型  導 く準 同 型

自由 な ら ば,次 の完 全 系 列 が あ る:

 (5.5)

  記号   こ こで,x∈I⇔c∈Cが

あ って{pc}=x,で

あ るか ら,次 が わ か る:

  (5.6)  Iはidealで,I2=0.   定理5.7  Cは

自由 なHopf鎖

も し,  q(u)は 

複体 で,H(C)は

に お い て1-implicationを

あ るが,仮 定

が

た だ し,RはQを2個

す る.

を み た す な らば,

  [証 明]  簡 単 のた めに,uk=ik*uと Q∈Ker(π1*+π2*)で

有 限 型,H0(C)=Zと

がpu≠0,  もつ.

お く.(5.4)か  

ら,ψ(u)=u1+u2+Q, か ら, 

あ って,Q=γ(Q′).従

以 上 含 む か ら,(5.6)よ

りR=0.従

って,

っ て,

 (5.8)

  こ こ で,  こ と に す れ ば,Q=γ(Q′)∈Ker

￨si￨+￨ti￨=2m=￨u￨,  (π1*+π2*)で

と表 わ す あ る か ら,￨si￨,￨ti￨>0と

仮定 し

て よ い.u=q(u)と

お く こ と に す れ ば,

  も し,up=q(up)≠0な up=0と

ら ば,u,upは1-implicationの

仮 定 す る.こ

の と き,(5.5)の

up=γ(υ),(pu=γ(u)).こ

列 で あ る.そ

完 全 性 か ら  

こ で,

が あ っ て,

こ で 次 の こ と に 注 意 す る:

 (5.9)

こ の と き,(5.8)と(5.9)か

た だ し, 

ら

mod

p.従

っ て,

 (5.10) 

た だ し,S∈Kerγ=Imβ1.こ

こ で,Q′

を含む項に

 

と い う形 の 項 の 和 で あ り,0<￨si￨,￨ti￨<2m=￨u￨で この 形 の 項 は い ず れ も   な い.今, 

あ る か ら, に 含 ま れ る こ とは

を 〈x,u〉 ≠0,β1x=0を

み た す 元 と す る と,帰

納 法 で,  (5.11)

 こ の と き,(5.10)お

よ び 次 数 の 関 係 か ら,

ここで, 

従 って,こ の

関係式 と(5.11)とか ら,〈xp,υ〉≠0⇒xp≠0⇒q(u)は1-implicationを もつ. 

(終)

  (n,2q)型 の代数   定義  Hopf代 数A=A(n,2q) ⇔Aは

代数 として, 

に より生成 されてお り

 双対 積  た だ し,Γiは

 こ の と き,定

帰 納 的 に 次 の よ うに 定 義 さ れ る:

義 か ら 明 ら か に,

 (5.12)  A=A(n,2q)は

結 合 的,可

換,双

対 結 合 的,双

対 可 換 なHopf代

数.

 (5.13)

  A2qkの

生 成 元 と 求 め 方:kをp進

γk(a)=ar00ar11…arssはA2qkの   定 義   Hopf代

  注 意   Hopf代 ら れ る.た Z/p加

展 開k=r0+r1p+…+rspsし

生 成 元(た

だ し  

た と き,

の と き,as=aps-nn).

数 の標 準的 準 同 型 を

数B=Z/p[y]の

だ し,Γ(y*)はy*に

双 対Hopf代

数 はB*=Hom

よ り 生 成 さ れ るdivided多

群 と し て は γk(y*)∈ Γ2qk(￨y￨=2q)に

(B,Z/p)=Γ(y*)で 項 式 環,す

よ り生 成 さ れ,積

与 え

な わ ち,Γ(y*)は

は

また,双 対 積  (5.14)  代 数 と し て

 [証 明]  双対 代 数 とし て  は 原 始 的: 

双対代数  

始 的 元 はa0の 係 数 倍 ⇒M*の a*0はM*を

た だ し,apn

生 成 元 はMの

生 成 す る.さ ら に, 

に お い て,原 原 始 的 元 に 双 対 的 であ るか ら,

の と きM*i=0⇒M*=Z/p[a*0]/

(a*pn+10)かつ  

(終)

  (5.15)  f:A(n,2q)→CはHopf代 ら ば 次 元<2qpn+1に   [証 明]  Kerfの

数 の 間 の 準 同 型 とす る.も しf(a0)≠0な

お い てfは 単 射. 最 小 次 数 の 元 は 明 らか に原 始 的.次

数>2qの

最 小次 数=2qpn+1.    記 号  A(i):元a0,…,ai(i
原始的元 の (終)

生 成 され るA(n,2q)のHopf部

分 代 数.

 (5.16)

 [証 明] 

に お い て,  な ら ばA(i)m=

0.   (5.17)  において,  [証明] (5.16)よ りm>4qpi-4qな らば 

(終) ここで 

ここで4qpi>4qpi-4qで あ るから,Γ2i=0. 

(終)

 次の定義を思いおこそう:完全系列 

に随伴

した 完 全 対 とそ の 導 来 対

に お い て,kr:H(C)→Er(C)⇔kr(x)=jr(pr-1x)と   記 号   可 換 群Mに   定 理5.18 

つ い て(M:p)はMのp-成

CはHopf鎖

で,H0(C)=Zと

照).

分 を 表 わ す.

複 体 で,H(C)は

有 限 型 か つ 結 合 的,可

す る.今, 

換な代数

を  

を み た す 元 と し,s
がHopf代

定 義 す る(§1参

ついて

数 の 準 同 型 で あ る と き,

  (1)  pr-2cpn≠0,   (2)  も し,ks(cpn)=0な

ら ば,cn+1∈H2qpn+1(C)が

存 在 し てcpn=pcn+1か  

つ

はHopf代

数 の 準 同 型 で あ る.   [証 明]  (1)  帰 納 的 に  

を 次 の よ うに定 義 す

る:

f:A(n,2q)→Es(C):Hopf代 た

だ し,ps-1A=0, 

数の 準 同 型   従 って

こ こ で,  (5.19)

  実 際,  と 定 義 す る と,g(Γn)=j*(Gn).(5.17)よ

り

 (5.20)

 実際,H(C)⊃K=(ci, 

で生 成 され る部 分 代 数), 

で 生 成 さ れ る 部 分 代 数),ξ=A(n,2q)→A(n,2q)⇔

=xpと

定 義す る と,j*(K)=f(A′)か

(5.16)か らm>2qpn-2qの (C)⇒l>4qpn-4qの

つ ξ(A′)=0⇒

ξ(x)

ξ(K)⊂pH(C)

と きA′m=0⇒m>2qpn-2qの とき, 

.さ らに,

とき,Km⊂pH こ こで, 

まず  

に つ い て, 

で あ るか ら,xp∈p2H(C).ま

た, 

と

す る とき,

従 って,(x+y)pの

各 項 はp2で

割 り切 れ て, 

と い う形 の 元 は(K  り(5.20)が

K)2qpnの

基 底 を な す か ら,以

示 さ れ た こ とに な る.

  (5.19)と(5.20)か

ら,(Aを

含 む 項 の 和 をAと

お い て)

 (5.21)

ここで, (第1 因 数 の 次 数 ≠2qpnの

  (2) 

項))=jr(pr-1Gn+1)≠0.一

も し,j*cpn=k1cpn≠0な

あ る か ら,ks(cpn)≠0.す (C)が

ら ば,(1)に

な わ ち,kscpn=0な

あ っ てcpn=pcn+1.(5.21)をpで

方,

よ りcpの

位 数  

ら ばj*cpn=0⇒ 割 っ て,

た だ し, こ こ で,ps-1A=0⇒psA1=0⇒ks+1A1=0.次

に,

か つs
あ るcn+1∈H2qpn+1

上 よ

と 定 義 す る と,f′(Γn+1)=ks(Gn+1),ks+1(pQ′)=ks+1(A1)=0で ψ °f.従

っ てf′

 定 理5.22 

はHopf代

あ る か ら,f°

数 の 準 同 型 で あ る. 

CはHopf鎖

複 体,H(C)は

(終)

有 限 型,結

合 的,可

換 でH0(C)=Z

と す る.今,x∈(H2q(C):p)がkr(x)≠0,ks(x)∈PEs(C),s
  x=c0と

お く と,n=0に

 

(1) 

 

(2) 

つ い て 定 理5.18の

と き)こ

あ る か ら,k

icationを

もつ

も つ.

関 す る 帰 納 法 で 示 す.

(kscp0≠0の

pr-2cp0≠0で

み た す な

お い て(r-s)-implicationを

  [証 明] 

仮 定 が み た さ れ る.

の と きkscp0∈PEs(C).ま

r-1(cp0)≠0⇒

た,定

と き)定

  (ks+j(cp0)≠0の

理5.18(2)に

よ りc1が

あ っ て,cp0=pc1.ま 定 義 さ れ る.そ

た

こ で(も

う

の よ う に 仮 定 す る:

と き)apj∈pA(j,2q)で

つkr-1(cpj)≠0⇒

implicationを

よ り

も つ.

f:A(1,2q)→Es+1(C)⇒f(ai)=ks+1(ci),i=0,1,が 一 つ の 帰 納 法 と し て)次

理5.18.(1)に

帰 納 法 に よ りks(cp0)は(r-s-1)-impl

⇒ks(c0)は(r-s)-implicationを

(kscp0=0の

(cj))p≠0か

ψ=

あ る か ら,PEs+j(C)∋f(apj)=(ks+j

帰 納 法 の 仮 定 か ら,ks+j(cpj)は(r-s-j-1)-

も つ.

  こ こ で 次 を 示 す.   (5.23) 

ks+j(c0),…,ks+j(cj)はks+j(c0)に

  実 際, 

で あ る か ら,∀i<jに

あ っ て,〈yi,ks+j(ci)〉 で,〈yi,ks+j(ci)〉

≠0,〈ypi,ks+j(ci+1)〉

も つ か ら,ks+j(cj)はEs+j(C)に

対 し てyi∈Es+j(C)が

み た す こ と を 示 せ ば よ い.こ 生 成 元.(5.15)よ

と き)こ

り ≠0⇒

お い て(r-s-j)-implicationを もつ

も つ ⇒ks

⇒ks(c0)はEs(C)に

お

も つ. の と き,定

目 の 帰 納 法 の 仮 定 が み た さ れ,定

こ

お い て(r-s-j-1)-implicationを

お い て(r-s-j)-implicationを

い て(r-s)-implicationを   (ks+j(cp0)=0の

列 で あ る.

〈(f*(yi))p,ai+1〉=〈ypi,f*(ai+1)〉=〈ypi,ks+j(ci+1)〉

成 り 立 つ.ks+j(cpj)はEs+j(C)に

(cj)はEs(C)に

≠0を

≠0⇒f*(yi)=a*iは(A(j,2q))2qpiの

〈(a*i)p,ai+1〉 ≠0⇒ (5.23)が

対 す るj-implication系

理5.18.(2)に

よ りj+1に

理 の 成 り 立 つ こ と が わ か る. 

対 し て 第2番 (終)

 

定 理5.24 

Zと

CはHopf鎖

す る.さ

す る.も

ら に,あ

るmに

有 限 型,結

つ い て βm≡0,従

合 的,可

換 で,H0(C)=

っ てEm(C)=Em+1(C)と

仮定

し,x∈(H2q(C):p)が, 

す な ら ば,ks(x)は  

複 体,H(C)は

をみ た

∞-implicationを

[証 明]  証 明 は 定 理5.22と

も つ.

同 様 で あ る.す

階 に お い て 準 同 型f:A(n,2l)→Es+j(C)が ≠0,s+j
こ で,定

な わ ち,定

理5.22の

証 明 の各 段

え ら れ て,f(an)=ks+j(cn),kr-i(cn)

理5.18を

適 用 す る わ け だ が,証

明 の 次 の段 階 に

お い て 次 の い ず れ か が 成 り立 つ:  

(1)  準 同 型f′:A(n+1,2l)→Es+j+1(C)が

あ っ て,

f′(an+1)=ks+j+1(cn+1),   

(2)  元y=ks+j(cpn)∈PEs+j(C)が

 

こ の 操 作 は,定

s+jと

な る.す

理5.22に な わ ち,準

kυ(cs)≠0か つ υ=uと て は βm≡0.従 Em+1(C)へ

kr-i(cn+1)≠0,

あ っ て,kr-i-1(cn)≠0.

お い て は い ず れr-i=s+j+1ま 同 型f″:A(2,2t)→Eu(C)が

な る の で,そ

た はr-i-1= あ っ て,f″(as)=k

れ 以 上 続 行 で き な い が,定

っ て, 

な の で,Em(C)へ

の 準 同 型 と 同 一 視 さ れ, 

u(cs),

理5 .24に

おい

の準同型は

が つ ね に 成 り立 つ の

で,添 字 は 一 致 す る こ と な く,上 の 操 作 は 繰 り返 し 続 行 さ れ て,∞-implication の 系 列 を え る こ と が で き る.    系5.25 

Cは

結 合 的,可

の 自 由 な 有 限 生 成Zp-加

(終)

換 なHopf鎖

複 体 で,恒

群 と す る と き,代

等 的 にd=0,か

つZp上

数 と して

奇数. 特 に

 [証明]  p:奇数の場合,  の れぞれ

形であるから,CのPoincare級数はそ

 (5.25)′  (5.25)″

と表 わ せ る.1の

原 始2mjrj乗

根 に は な り え な い.従 数は   (5.25)″

′

根 は(5.25)′=0の

っ て,l=0で,C 

Z/p:外

根 に な る が,(5.25)″=0の 積 代 数,CのPoincare級

こ こ で,  ば,1の

と 仮 定 し て よ い.も

原 始4sN-2乗

辺)≠0と

根 は((5.25)″′ の 左 辺)=0の

な り,矛

盾.よ

って

(5.25)″′ の 両 辺 を1+t2sN-1で y1,…,yN∈Cのmod

p還

 

 

同様 に し て  

Z/pを

  p=2の

場 合 も 同 様. 

  Hopf空

間への応用

  Hopf空

間 の 鎖 複 体 ま た は 双 対 鎖 複 体 はHopf鎖

  系5.27  Z/p)が

Xは

な わ ち,

複 体 で あ る か ら,mod

つ い て,定

連 結 なHopf空

理5.7よ

間 で,H*(X)は

p還

り

有 限 型 と す る.も

し,x∈

ら ば,q(x)はH*(X;Z/p)

も つ.

連 結 なHopf空

β1x=0を

生 成 す る,す な る.

H2m(X;Z/p2),px≠0,q(x)∈PH2m(X;Z/p)な に お い て1-implicationを

い え る.今,

(終)

元q:Hi(X;Z/p2)→Hi(X;Z/p)に Xは

従 っ てsN=nk.

割 っ て 帰 納 的 にN=k,si=niが 元y1,…,yNがC 

ら

根 に な る が,((5.25)″′ の 右

と す る と,C=ΛZp(y1,…,yN)と

  定 理5.26 

しsN>nkな

間 で,H*(X)は

有 限 型 と す る.x∈PH2m(X;

み た す な ら ば,xはH*(X;Z/p)に

お い て1-implication

を も つ.   [証 明]  Imβ1∋xな も し, 

ら ば,定

よ り元u∈H2m(X;Z/p2)が ≠0.従

理2.23に

よ りxは

っ て,uは

  H*(X)は   定 理5.28 

あ っ てx=q(u). 

定 理5.26の

も つ.

結 合 的 か つ 可 換 で あ る か ら,定 Xは

連 結 なHopf空

て(r-s)-implicationを

間 でH*(X)は

り

有 限 型 と す る.x∈(H2q(X):

み た す な ら ば,ks(x)はEs(X)に

おい

も つ.

全 く 同 様 に し て,定

理5.28と

  系5.29 

Xは

間 でH*(X)は

連 結 なHopf空

に つ い て βjx=0を

(x)は(r-s)-implicationを   定 理5.23と

(終)

理5.22よ

  系5.27と

つ, 

か らpu=i°q(u)=i(x)

仮 定 を み た す. 

p)がkr(x)≠0,ks(x)∈PEs(X),s
(X)か

∞-implicationを

ならば 完全系列

定 理2.25か

も つ. ら

定 理2.25か

ら

有 限 型 とす る.も

み た し,{x}≠0∈Er(X)な

し,x∈PE2qs ら ば,ks

  定 理5.30  βm≡0,従

Es(X)に

Xは

連 結 なHopf空

間 でH*(X)は

有 限 型 で,あ

っ てEm(X)=Em+1(X)と

す る.も

に つ い て βjx=0,従

っ て,{x}≠0∈Er(X)を

お い て ∞-implicationを

  系5.31 

Xは

し,x∈PE2qs(X)が, 

間,H*(X)は

す る.も

つ い て,

み た す な ら ば,xは

も つ.

連 結 なHopf空

Z/p)=0,∀i>Nと

るmに

し βm≡0な

有 限 型,Nが

あ っ てHi(X;

ら ば,Em(X)=E∞(X),す

な わ ち,

βk=0,   [証 明]  j=min

{n∈N￨n>mか

つ βn≠0}.Imβjの

と す る と,Im

βjの 最 小 次 数 で あ る こ と か らxは

実 際,￨x￨=奇

数 と す る と,xの

〈y,βjx〉.こ ￨βjx￨=偶

双 対 元xに

こ で,βjxはIm

数.従

H*(X;Z/p)の

って,定

ら,x′ ∈PE2qm(X)が

原 始 的.さ

つ い て,0≠

理2.23よ

り βjxは

数.

〈x,x〉=〈 βjy,x〉=

∞-implicationを

もつ.こ

れは

と り方 よ りEm(X)=…=Ej(X)で

あ っ て,{x′}=x∈Ej(X),j>m.定 も つ .こ

ら に,￨x￨=偶

βjの 最 小 次 数 の 元 で あ る こ とか ら 原 始 的 か つ

有 限 性 に 矛 盾.jの

∞-implicationを

最 小 次 数 の 元 をx=βjy

れ はH*(X;Z/p)の

あ るか

理5.30よ 有 限 性 に 矛 盾.従

りx′

に つ い て βj=0.    系5.25か

は

って   (終)

ら

  定 理5.32 

Xは

弧 状 連 結 なHopf空

間 で,H*(X)は

有 限 生 成 とす る.

  (1)  PE2m∞(X)={0}.   (2)  H*(X)/torsionが   以 下,Xは 成,か

連 結 なHopf空

つH*(X;Z/p)は

結 合 的,可

間 で,H*(X)は

implicationを   Imβ2の =2qと 題4.17に

よ り,H*(X;Z/p)は つ い てup=0.従

有 限生

結 合 的,可

換 かつ

っ て,x∈H*(X;Z/p)が1-

も つ な ら ばxp≠0.

最 小 次 数 の 元 をx=β2yと

す る と補 題4.17に

お く .x′ ∈H*(X;Z/p)を{x′}=x∈B2(X)を あ る 通 り,x′ は 非 分 解 的 に とれ て,し

生 成 で あ る か ら,x′ ∈PH*(X;Z/p)と cationを

有 限 型,H*(X;Z/p)は

原 始 的 生 成 と す る.

  こ の 最 後 の 仮 定 か ら,系2.10に 正 次 数 のu∈H*(X;Z/p)に

換 な 代 数 な ら ばPE∞2m(X)={0}.

よ り￨x￨は

み た す 元 と す る と,補 か もH*(X;Z/p)は

し て よ い.系5.29か

も ち,従 っ て(x′)p≠0.(x′)p∈PH*(X;Z/p)で

偶 数,￨x￨

原始的

らx′ は1-impli あ る か ら,も し{(x′)p}

≠0∈B2(X)な

ら ば(x′)pはH*(X;Z/p)に

(x′)p2≠0.そ

こ で,h=pkは

お い て1-implicationを

次 の 条 件 を み た すpの

もち

最 小 巾 数 と す る:B1(X)∋

(x′)h=a,B2(X)∋{a}≠0⇒B2(X)∋{ap}=0,B1=H*(X;Z/p)∋ap≠0.   従 っ て,こ

の と き,b∈H*(X;Z/p)が

  補 題5.33 

あ っ て,ap=β1b.

な ら ばz∈PH2qh(X;Z/p)とw∈PH*(X;Z/p)が

あっ

て,β1z=0,{z}≠0∈B2(X),zp=β1w≠0.   [証 明]  上 記 のaは

補 題 のzの

候 補 者 で あ る が,残

あ る か ど うか わ か ら な い.apは な 元cを

原 始 的 で あ る か ら,β1cが

探 す こ とに す る.簡

うにLに

換 な 代 数 をLと

双 対 積 を 定 義 し てLをHopf代 てLを

に よ り導 か れ る 微 分Hopf代 がH*(X;Z/p)を

ら に,β1:P→PをL上

数 とす る.射

入P→H*(X;Z/p)

数 の 準 同 型 を η:L→H*(X;Z/p)と

す る と,P

り,β1≡0:PH2m(X;Z/p)→PH2m+1(X;Z/p)で

の 偶 数 次 数 の 生 成 元 は サ イ ク ル で あ る.PLの

ぶ,た

元を原始的にな る よ

生 成 し て い る こ と よ り η は 全 射 で あ る.

  定 理2.25よ

れ ら のp巾

お き,Pで

す る.Pの

数 に し,さ

微 分Hopf代

原始的で

原始 的 とな る よ う

単 の た め に,P=PH*(X;Z/p)と

生 成 さ れ る 自 由 な 結 合 的,可

に 拡 張(d:L→L)し

念 な が ら,bは

と か ら 成 る.そ

だ し, 

こ でPoddの

あ る か ら,L

基 底 はLの(代

数 の)生 成 元 と そ

基 底 と し て{x1,…,xl,tl+1,…tq}を

は 線 型 独 立, 

と き, 

はPevenに

た だ し,Mは

 

代 数(p>2の

と き,こ

ば,元u′=dυ

′∈Pが

を み た す.こ

お い て 一 次 独 立.こ

とPの れ はHopf代

他 の 偶 数 次 数 の 元 で 生 成 さ れ るLの

部 分

数 の 同 型).も

な ら

あ っ て,(u-u′)p=dwを

し,up∈PL,up=dυ み た し,wは

張 ら れ る 線 型 部 分 空 間Sはd(S)⊃P∩Im ら ばu′=β1υ

は{z}≠0∈B2(X),zp≠0を こ れ は 矛 盾.従   こ こで と,wは

β1=j*°

dを

′∈Pが

原 始 的.(実

∂1で

に よ り み た す.)従

っ て,も

し,a-u′=β1xな

しap=β1b

ら ばa∈Im

よ りzp≠0. 

β1. (終)

あ る こ と を 思 い お こ そ う.XのHopf構

原 始 的 で あ る か ら,(πj:X×X→Xは

際,

あ っ てzp=(a-u′)p=β1w,w∈P.後

示 せ ば よ い.も

っ て,系5.29に

の

の とき

x1,…,xl,1x1=x1(dx1)p-1,…,1xl=xl(dxl)p-1,2x1=1x1(d1x1)p-1,…

∈H*(X;Z/p)な

選

第i因

造 を μ とす る

子 へ の 射 影)

z=j*c,c∈H2q(X),で

あ る か ら,j*(cp-∂1w)=0⇒cp=∂1w+pe,e∈H*

(X).z=j*c∈PH*(X;Z/p)で

あ る か ら, 

こ こ で,{z}≠0∈B2(X)で

あ る か ら,pc≠0.

  z∈H*(X;Z/p)と

pε=0⇒

〈z,z〉≠0,{z}≠0∈B2(X)を

ε=∂1t⇒j*ε=β1t.こ

み た す 元 と す る と,

こ で 

次 元 の 関 係 か ら,  これ はH*(X;Z/p)が あ る こ と に 矛 盾.従   定 理5.34 

Xは

限 生 成 とす る.も ≡0,従

っ て,β2≡0.系5.31に 連 結 なHopf空

よ りB2(X)=B∞(X).以

間 で,H*(X)は

し,H*(X;Z/p)が

原始的生成で 上 より

有 限 型,H*(X;Z/p)は

原 始 的 生 成 な ら ば,B2(X)に

っ てB2(X)=B∞(X)で,H*(X)のp-torsionの

有 お い て β2

元 は 丁 度 位 数pの

元で

あ る.   補 題5.35 

(X,μ)は

成 とす る.こ

の と き,

  (1)  ∀j<mに

弧 状 連 結 なHopf空

つ い てHj(X)はp-torsionを

x≠0∈Hm(X)がpr-torsionの  (2)  ∀j<mに

間 で,∀iに

つ い てHj(X)はp-torsionを

も た ず,あ

∀i<mに

か け る 写 像 はHi(X)上

た はj=mで

Tor (Hk(X),Hl(X))はp-torsionを

について

る  

に つ い てx

つ い て  つ い てHi(X)はp-torsionを

で,従

で 単 射.pr△*x=△*(prx)=0で

で の 成 分 はi=mま

る  

元 で あ る な ら ば,x∈PH*(X).

 [証 明]  (1)  対 角 写 像 △:X→X×Xに

Hj(X)上

も た ず,あ

有限生

元 で あ る な ら ば,x∈PH*(X).

≠0∈Hm(X)がpr-torsionの

か ら,prを

つ い てHi(X)は

っ て ∀i,j<mに

もた な い

つ い てHi(X) 

あ る か ら,△*xのHi(X) 

な け れ ば0.同

様 に,k<mか

もた な い ⇒

△*xの

つl<mの

Hj(X) と きは

Σ Tor (Hk(X),Hl

(X))で

の 成 分 は0.従

で の成

っ て,△*xは 

分 に等 し い   (2)  まずm=1の

と き,主 張 は 明 ら か.m>1と

仮 定 す る.∀jに つ い てHj(X)

は 有 限 生 成 で あ るか ら,コ ホ モ ロジ ー の 場 合 も普 遍 係 数 定 理 が 成 り立 つ:

0次 お よ び1次

の コ ホ モ ロ ジ ー 群 はp-torsionを

(X),H1(X))=

Tor (Hm+1(X),H0(X))=0で

も た な い.従

っ て,Tor(Hm

あ る こ と に 注 意 し て,μ*xに(1)

と 同 様 な 論 法 を 行 え ば よ い. 

 補

遺

 A

Hopf空

  Xは

(終)

間 の 被 覆 空 間[Browder

弧 状 連 結 なHopf空

間,Hq(X;Z/p)は

Xの

被 覆 空 間 をX,π:X→Xを

Xに

ホ モ ト ピー 同 値 な 空 間X′

を 考 え る と,  従 っ て,Leray-Cartanス p:奇

∀qに 対 し て 有 限 次 元 とす る.

被 覆 写 像,Gを

π の フ ァ イ バ ー とす る と き,

で お き か え る こ と に よ り,フ

fはHopf写

  (A.1) ⅰ) 

1]

像 で,GはH*(X;Z/p)に

ァイバ ー空 間

自 明 に 作 用 す る.

ペ ク トル 系 列 を 利 用 で き て, 素 数 の と き;環

とし て  

た だ し,A

=π*H*(X;Z/p)=H*(X;Z/p)/I(Iはf*H*(K(G,1);Z/p)に

よ り

生 成 さ れ るideal),E=Λ(x1,…,xn),￨xi￨=2pri-1(2priはKer

f*の

生

成 系 の 次 元).  ⅱ)  p=2の   (A.2) 

と き;加

Hq(X;Z/p)=0, 

  B  階 数1のHopf空   Xを

連 結 なHopf空

  (B.1) 

群 と し て 同 じ 同 型 が 成 り立 つ. q>m⇒Hq(X;Z/p)=0,  間[Browder 間 でHi(X)は

H*(X;Q)=Λ(x)⇒Xの

q>m.

4,6] ∀iに つ い て 有 限 生 成 と す る と き ホ モ トピ ー 型 は 次 の い ず れ か で あ る: S1,S3,S7,RP3,RP7.

  C

Hopf空

間 のp-torsion(p:奇

  pは

奇 素 数 と す る.ま

  (a)  Xは2-連

ず,Hopf空

結,CW-複

素 数)[Lin 間Xは

3]

次 の 仮 定 を み た す と す る:

体 の ホ モ トピ ー 型 を も ち,H*(X;Zp)は

有 限 型.

  (b)  Qeven={x∈QH*(X;Z/p)￨￨x￨=偶

数}はZ/p上

有 限 次 元 で β1Qeven

⊂DH*(X;Z/p).   系2.24と

定 理2.28に

よ り1-連

結,有

限Hopf空

間 は 上 の 仮 定(a),(b)を

み た す こ と が わ か る.   こ の 仮 定(a),(b)の

下 に,Adem関

係 式 β1pn=Σaibiに

モ ロ ジ ー 作 用 素 を 利 用 す る こ と に よ り,次   (C.1)  なZp-加

H*(ΩX;Zp)はtorsionを

も た な い.従

あ る.従

自由

は πn(X)のp-torsionで っ て,π2n(X) 

Zpはp-torsionの

は 自 明 で あ る.特

に,最

torsionを

も た な い.

  (C.3) 

H*(X)のp-torsionの

  (C.4) 

Xが

初 の 自 明 で な い ホ モ ト ピ ー 群 πn(X)は

間 な ら ばK*(X)は

間 の2-torsion 結,有

[Lin

奇数

奇 数torsionを

も た な い.特

限Hopf空

6]

間 と し,H*(X;Z/2)は

き,Qeven={x∈H*(X;Z/2)￨￨x￨=偶   (D.1) 

ついて

外 積 代 数 で あ る.

Hopf空

  Xを1-連

み か ら 成 り立 ち,∀n>0に

位 数 は 高 々p.

有 限Hopf空

に,K*(X;Z/p)は  D

っ てH*(ΩX;Zp)は

群 で あ る.

  (C.2) 

 

関 係 す る二 次 コ ホ

の こ と が 証 明 さ れ る:

H*(ΩX)は2-torsionを

H*(ΩX)はtorsionを

結 合 的 と す る.こ

数}=0で

の と

あ る こ とを 示 す こ とに よ って

も た な い,従

っ て(C.1)と

合 わ せ て,

も た な い.

  (C.2)  と合 わ せ て   (D.2) 

はtorsionで

な い ホ モ トピ ー 群 πn(X)はtorsionで

な い.

  こ れ は,(I.G.3)の   (D.3)  [Kane

あ る.特

に,最

初 の 自明 で

拡 張 で あ る. 2,5]

Eilenberg-Mooreス

  (D.4) 

K*(X)は2-torsionを

はtorsionを

も た な い.す

も た な い,従 な わ ち,K*(X)はHopf代

ペ ク トル 系 列{Er(X)}は

っ て(C.4)と

自 明:

合 わ せ て,K*(X)

数 の 構 造 を も つ.

第6章

  本 章 で は 結 合 的Hopf空 Mooreス

  分

類

空

間

間 の 分 類 空 間 お よ び そ れ に 随 伴 す るEilenberg-

ペ ク トル 系 列 に つ い て 講 義録[Rothenberg-Steenrod

0]に

沿 っ て紹

介 す る.

  §1  位 相 的 準 備   コン パ ク ト生 成 空 間[Steenrod   定 義   Xは

コ ン パ ク ト生 成(compactly

⇔XはHausdorff空

generated)ま

た はk-空

間

間 で 次 の性 質 を み たす

X⊃A:閉  (Xの

1]

集 合 

A∩C:閉

集 合,  ∀C:コ

ン パ ク ト⊂X

任 意 の コ ン パ ク ト集 合 と の 共 通 集 合 が 閉 集 合 で あ る 部 分 集 合 は そ れ

自身 閉 集 合).   記 号   K=圏{コ

ン パ ク ト生 成 空 間,そ

〓=圏{位

相 空 間},〓2=圏{Hausdorff空

  (1.1)  集 合Cが

と す る.X⊃ 存 在 し て,xはA∩Cの

∀Aの

間 ∈K,特

  定 義    k(X):随

に,距

間}

極 限 点xに

対 し て,Xの

コ ン パ ク ト部 分

極 限 点 に な る な ら ば,X∈K.

  (1.2)  局 所 コ ン パ ク トHausdorff空 sdorff空

の 間 の 連 続 写 像}

間 ∈K,第

一 可 算 公 理 を み た すHau

離 づ け 可 能 な 空 間 ∈K.

と す る. 伴 コ ン パ ク ト生 成 空 間(the

associated

compactly

generated

space) ⇔

集 合 と し てk(X)=X,位

 

k(X)⊃Aは(k(X)に

相 は 次 の よ うに 入 れ る: お い て)閉 集 合 

A∩Cは(Xに ∀C:コ

  記 号  f:X→Yが で 表 わ す.

〓2に お け る 写 像 の と き,同

お い て)閉

ン パ ク ト ⊂X.

じ 写 像 をk(f):k(X)→k(Y)

集 合,

  こ の と き,次

が 成 り立 つ:

  (1.3)  (1)  恒 等 写 像1X:k(X)→Xは   (2)  k(X)は

連 続,

コ ン パ ク ト生 成 なHausdorff空

  (3)  X∈K⇒1X:k(X)→Xは   (4)  k(X)とXは

間,

同 相 写 像,

同 じ コ ン パ ク ト集 合 を も つ,

  (5) f:X→Yに

つ い て,

  k(f):連

∀C:コ

続 ⇔

  (6)  1X:k(X)→Xは

ン パ ク ト ⊂Xに

ホ モ トピ ー 群,(特

対 し て,f￨C:C→Yは 異)ホ

連 続,

モ ロ ジ ー,コ

ホ モ ロジ ー群

の 同 型 を 与 え る.   (1.4) 

は 関 手 で,射

  従 っ て,kはretraction関   (1.5)  X∈Kの

と き,対

{f:X→k(Y),連   X×CYは

入関手  

応f→1Y°fは

続} 

次 の 一 対 一 対 応 を 与 え る:

{1Y°f:X→k(Y)→Y;連

通 常 のcartesian積

とす る.こ

な わ ち,X,Y∈Kで

もX×CY∈Kと

  定 義   X,Y∈Kに

つ い て,X×Y=k(X×CY).

  こ の と き,射

の 右 随 伴 関 手 で あ る.

手 と い っ て よ い.

続}.

の 構 成 はKで

は 限 ら な い.そ

こで

影 πX:X×CY→X,πY:X×CY→Yに

→k(X)=X,k(πY):X×Y→k(Y)=Y

つ い て,k(πX);X×Y

.

  (1.6)  射 影k(πX):X×Y→X,k(πY):X×Y→Yに お け るXとYの

は 閉 じ て い な い.す

よ り,X×YはKに

積 で あ る.す な わ ち,∀W∈Kに

対 し て,対 応f→(k(πX)°f,

k(πY)°f)は 次 の 一 対 一 対 応 を 与 え る:

  (1.7)  こ の 積 は 可 換 的X×Y=Y×X,か

つ 結 合 的X×(Y×Z)=(X×Y)

×Z.   ま た,こ

の 構 成 を 任 意 個 数 の 空 間 の 積 に 拡 張 す る こ と が で き る.

  注 意   Kに

お け る 写 像f:X→X′,g:Y→Y′,p:X×Y→X,q:X×Y→Y,p′:

X′ ×Y′ →X′,q′:X′

×Y′ →Y′

が 存 在 し て,p′ °(f×g)=f°p,q′   (1.8)  と き,I×Xは

Xは

を 射 影 とす る と き,一 °(f×g)=g°q.従

っ て,上

局 所 コ ン パ ク ト,Y∈K⇒X×CY=X×Y.特 通 常 の 位 相 を も つ か ら,ホ

意 的 にf×g:X×Y→X′

×Y′

に 定 義 し た 積 は 関 手 で あ る. に,X∈Kの

モ ト ピ ー の 概 念 は 変 ら な い.

  (1.9) 

とk(X×CY)の

  K∋X⊃Aと そ

す る.通

位 相 は 一 致 す る.

常 の 位 相 を も つAをArと

表 わ す と き,一 般 に, 

こ で,

  定 義   Xの

部 分 空 間Aと

は 位 相k(Ar)を

も つ 集 合Aの

  (1.10) 

X∈K⇒

  以 下,コ

ン パ ク ト生 成 空 間 の 部 分 空 間 と は,こ

こ と を い う.

任 意 の 閉 部 分 集 合 は コ ン パ ク ト生 成 で あ る. の よ うな位 相 を 入 れ な お し た

も の と す る.   定 義  Kに

お い てi:A→X射

⇔iはAか

らXの

  (1.11) 

入

部 分 空 間i(A)へ

の 同 相 写 像.

i:A→X,j:B→YがKに

お け る射 入

⇒i×j:A×B→X×YはKに

お け る 射 入.

  定 義  p:X→Yはproclusion ⇔p(X)=Y,Yはpに

よ る 等 化 位 相 を も つ(す な わ ち,Y⊃U:開

p-1(U):開

集合 

集 合 ⊂X).

  こ の と き,   (1.12) 

(1)  〓2に お け る 写 像f:X→Yに

お い て,X:コ

ン パ ク ト,f(X)

=Y⇒f:proclusion.   (2) 

proclusion

  (3)  f:X→X′,g:Y→Y′:proclusion⇒f×g:X×Y→X′

×

Y′:proclusion.   一 般 に,K∋X,Yに

つ い てC(X,Y)={f:X→Y,CO位

相}〓K.そ

こで

  定 義   F(X,Y)=k(C(X,Y)).   こ の と き,次   (1.13) 

が 成 り立 つ:

(1)  評 価 写 像e:C(X,Y)×CX→Y⇔e(f,x)=f(x)は

コンパ ク

ト集 合 上 で 連 続,   (2)  K∋X,Y⇒e:F(X,Y)×X→Yは

連 続,

  (3)    か つ,両

(集 合 と し て), 者 の 位 相 は 同 じ コ ン パ ク ト集 合 を も ち,従

(X,k(Y))=k(C(X,Y)),す   (1.14) 

K∋X,Y,Zに

な わ ち,F(X,k(Y))=F(X,Y). つ いて

っ て,Kに

お い てk(C

  (1)  F(X,Y×Z)=F(X,Y)×F(X,Z) 

(f→(πY°f,π2°f))

  (2)  F(X×Y,Z)=F(Y,F(X,Z)),  

(g→g:Y→F(X,Z)⇔g(y)(x)=g(x,y))

  (3)  合 成 は 連 続:F(Y,Z)×F(X,Y)→F(X,Z)    (1.15)  Fは 特 に,g:X′

第1因

((f,g)→f°g).

子 に つ い て 反 変,第2因

→X,h:Y→Y′

子 に つ い て 共 変 な 関 手 で あ る.

に つ い て,gとhと

の 合 成 に よ り連 続 な 写 像 を

え る: g*:F(X,Y)→F(X′,Y)⇔g*(r)=r°g, h*:F(X,Y)→F(X,Y′)⇔h*(r)=h°r.

  以 下,特

に 断 ら な い 限 り,こ

の 章 で はKで

考 え る こ と に す る.

  NDR-対   記 号  K2={(X,A)￨X∈K,A:部

分 空 間}.

  定 義  K2∋(X,A)はNDR-対(neighborhood

deformation

retract

pair) ⇔u:X→Iとh:I×X→Xが  

存 在 し て,次

(1)  A=u-1(0),  ∀(t,a)∈I×A, 

(2)  h(0,x)=x,  (4)  h(1,x)∈A, 

  定 義   (X,A)はDR-対(deformation ⇔u:X→Iとh:I×X→Xが た す:(4)′ 

の 条 件 を み た す:

∀x∈X, 

(3)  h(t,a)=a,

∀x∈U={x∈X￨u(x)<1}. retract

存 在 し て,上

pair)

の 条 件(1)∼(3)と

次の条件をみ

h(1×X)⊂A.

  こ の と き,(u,h)は(X,A)を

そ れ ぞ れ,NDR-対,DR-対

とし て 表 わ す と

い う.   例   ∀Xに

つ い て,(X,φ):NDR-対,(X,X):DR-対,従

  注 意   A=u-1(0)と の共 通 部 分).さ

な るuが 存 在 す るか ら,Aは

閉Gδ-集 合(⇔

らに,g:U→A⇔g(x)=h(1,x)はretraction.従

傍 レ トラ ク トで あ る.こ の とき,UをAのretractile近   (1.16) 

っ てNDR-対.

K2∋(X,A)に

つ い て,次

の4条

  (2)  (I×X,0×X∪I×A):DR-対,   (3)  0×X∪I×AはI×Xの

っ てAはXの 傍 とい う.

件 は 同 値 で あ る:

 (1)  (X,A):NDR-対,

レ トラ ク ト,

高 々可 算 個 の 開集 合 近

  (4)  (X,A)はHEPを

も つ(す

  (1.17) 

集 合,(X,A),(Y,B):NDR-対,A∩B=X∩Y

W⊃X,Y:閉

な わ ち, 

は コ フ ァ イ バ ー 空 間).

⇒(X∪Y,A∪B):NDR-対.   (1.18) 

X⊃B⊃Aに

つ い て,

  (X,B),(B,A):NDR-対(DR-対)⇒(X,A):NDR-対(DR-対).   (1.19) 

(X,A),(Y,B):NDR-対

⇒ 次 の5つ

の 空 間 か ら 作 ら れ る9つ

の

自 明 で な い 対 はNDR-対:

  特 に,   (1)  (X,A),(Y,B):NDR-対

⇒(X,A)×(Y,B)=(X×Y,X×B∪A×Y): NDR-対.

  (2)  (X,A):DR-対,(Y,B):NDR-対   定 義  f:(X,A)→(Y,B)は

⇒(X,A)×(Y,B):DR-対. 相 対 同 相 写 像(relative

⇔f:X→Yはproclusionか   こ の と き,次

homeomorphism)

つf￨X-A:X-A→Y-Bは

同 相 写 像.

が 成 り立 つ:

  (1.20)  f:(X,A)→(Y,B)は (Y,B)をNDR-対

相 対 同 相 写 像,(u,h),(υ,k)は

と し て 表 わ し,υ °f=u,k°(1×f)=f°hを

は(特 異)ホ モ ロ ジ ー,コ

そ れ ぞ れ(X,A), み た す な ら ば,f

ホ モ ロ ジ ー 群 の 同 型 を 導 く.

  filterつ き 空 間   {Aα￨α ∈ Λ}は 位 相 空 間 の 集 合 族 で,Aα   定 義   {Aα}はX上

⊂X,∀

の 連 接 族(coherent

α∈ Λ,と す る.

family)

⇔(1)

 

  (2)  ∀α,β に つ い て,Aα

∩Aβ はAα

(3)  ∀α,β に つ い て,Aα

お よ びAβ

の 閉 集 合, か ら 導 か れ るAα ∩Aβ 上 の 位 相 は 一

致す る.   こ の と き,次

が 成 り立 つ:

  (1.21) 

の 連 接 族{Aα}に

  X⊃C:閉

X上

集 合 ⇔

と位 相 を 入 れ る と き,

つ い て,

∀α に つ い て,C∩Aα

は(Aα

に お い て)閉

集 合

  (1)  Xは

位 相 空 間, 

  (3)  Aα:閉

(2)  Aα はXの

集 合 ⊂X 

部 分 空 間,

(4)  Xは{Aα}に

関 し て 弱 位 相 を もつ.

 注 意  Xが 連 接 族{Aα}に 関 して 弱 位 相 を もつ と き,  ない し,従 っ て,∀Aα ∈Kで   併 し,次

が 成 り立 つ:

  (1.22) 

{Aα}は

もX∈Kと

∀nに つ い てXn:閉

  (1.23) 

{Xn}は

Xnに

拡 大 系 列(expanding

拡 大 系 列 ⇒{Xn}は

  (1.24) 

Xが

  (1)  ∀C:コ

sequence)

 

上 の 連 接 族 で あ る.

関 し て 弱 位 相 を もつ 空 間  

ン パ ク ト生 成)の と き,Xをfilterつ

よ りfiltrationの

位 相 に 関 し て)

集 合 ⊂Xn+1.

  定 義   拡 大 系 列{Xn}に っ て,コ

とは 限 ら

は 限 ら な い.

コ ン パ ク ト生 成 空 間 の 連 接 族,(弱

  定 義   {Xn￨n=0,1,2,…}は ⇔

で も, 

がHausdorff(従

き 空 間(filtered

space)ま

たは

入 っ た 空 間 と い う.

拡 大 系 列{Xn}に ン パ ク ト⊂Xに

関 し て 弱 位 相 を も つ と き,次 対 し て,nが

が 成 り立 つ:

あ っ て,C⊂Xn,

  (2)  ∀nに つ い て(Xn+1,Xn):NDR-対 ⇒X∈Kか   (3)  proclusion

つ ∀nに つ い て(X,Xn):NDR-対, f:X→Yに

⇒{Yn=f(Xn)}は

関 し て 弱 位 相 を も つ.

き空 間 の間 の写 像

⇔X={Xn},Y={Yn}に

き,Z=X×Yは

充 足 し て い る(f-1(f(Xn))=Xn)

拡 大 系 列 で,Yは{Yn}に

  定 義  f:X→Yはfilterつ

  (1.25) 

関 し て{Xn}は

お い てf(Xn)⊂Yn,∀n.

K∋X,Yが

そ れ ぞ れ{Xn},{Yn}に  

よ りfiltrationが に よ りfiltrationが

入 って い る と 入 る.

  定 義   {Xn}はXのNDR-filtration⇔{Xn}はXのfiltrationで(Xn+1, Xn)(従

っ て(X,Xn))はNDR-対,∀n.

  (1.26) 

{Xn},{Yn}が

そ れ ぞ れX,YのNDR-filtrationの

{Zn}はX×YのNDR-filtrationで   区 間 I=[0,1]はI0={0,1},I1=Iに がfilterつ

き 空 間 の 写 像 の と き,ホ

F:I×X→YでF(0,x)=f0(x),F(1,x)=f1(x)を

と き,(1.25)の

あ る. よ りfiltrationが モ トピー  

入 る.f0,f1:X→Y

と はfilterつ

き空 間 の写 像

み た す も の を い う.従

っ て,

Fは

空 間 族 の 写 像 の ホ モ ト ピ ー で,F(I×Xn)⊂Yn+1,∀n.

  以 下,特

に 断 ら な い 限 り,filtrationと

い え ばNDR-filtrationを

意味す る こ

と に す る.   §2  filterつ き 空 間 の ス ペ ク トル 系 列   完 全 対(復 習)  完 全 対 〓か ら え られ る導 来 対 を  

  自 己 準 同 型d(r)=j(r)° d(r)}は

とす る:

∂(r)=E(r)→E(r)はd(r)°d(r)=0を

鎖 複 体 で,H(E(r):d(r))=E(r+1),す

を え る.こ

こ で,鎖

扱 い 易 い の で,以   記 号   ik=i°

扱 う よ り,元

の 性 質 を 列 挙 す る.(証

ペ ク トル 系 列{E(r)}

の 群Eを

直 接 考 え る方 が

明 は 読 者 に 任 せ た い.)

… °i:D→D(k回).

  (2.1) 

Z(r)=∂-1Imir-1,B(r)=jKerir-1と

つ,E=Z(1)⊃

… ⊃Z(r)⊃Z(r+1)⊃

  (2.2) 

な わ ち,ス

複 体 の 列{E(r)}を 下,そ

み た す か ら,{E(r),

導 来 対  

お く と き,E(r)=Z(r)/B(r),か … ⊃B(s+1)⊃B(s)⊃

に お い て,∂(r),i(r),j(r)は

… ⊃B(1)=0. 次 で 与 え ら れ る:

∂(r)(x+B(r))=∂x 

(x∈Z(r))

i(r)(a)=i(a) 

(a∈Imir-1)

j(r)(ir-1a)=j(a)+B(r) 

(a∈D).

 定義 

E(∞)=Z(∞)/B(∞).

 こ の と き  (2.2)′

  補 題2.3   

〓,〓′は 完 全 対 で,Dp,q=0=D′p,q,∀p<0,を

は完 全 対 の 準 同 型 で  

な ら ば, 

み た す も の とす る. で,fは

完全対

の 同 型 で あ る.   [証 明]  x0∈Dp,q,f(x0)=0と =0で

あ る か ら,j(x0)=0⇒u∈Dp

す る とf°j(x)=j′ °f(x)=0⇒Ker(f(Ep,q)) -1,q+1が

あ っ てx0=i(u)⇒i′

°f(u):

f°i(u)=f(x0)=0⇒y′

∈E′p,q+1が

は 全 射 で あ る か ら,y∈Ep,q+1が x0か

つf(x1)=0.同

あ っ てf(u)=∂y′.こ

あ っ てf(y)=y′.x1=u-∂yと

様 の 議 論 をx0の

っ てi(x2)=x1か

つf(x2)=0.こ

っ て,i(xk)=xk-1か

代 り にx1に

お く とi(x1)=

行 う と,x2∈Dp

-2,q+2が

あ

れ を 繰 り 返 し て,xk∈Dp-k,q+k(∀k>0)が

つf(xk)=0.k=p+1と

あ

す れ ば 仮 定D-1,q+p+1=0よ

xp+1=0⇒x0=ip+1(xp+1)=0⇒D上   以 上 よ り  

こ でf:Ep,q+1→E′p,q+1

でfは と み な せ る.そ

こ で,商

り

単 射. 完全 対  

を 考 え る.完

全 系

列の完全系列による商はまた完全系列であるから,   =0⇒

はまた完全対であり,  完全性から  

定 か らD″-1,p+q+1=0で   filterつ

よりE″ 仮

あ る か ら, 

き 空 間 の(コ)ホ

(終)

モ ロジ ー

  H*={hn},H*={hn}は

そ れ ぞ れ 一 般 ホ モ ロ ジ ー,コ

  空 間XのNDR-filtration  hn(Xp+1)の 方,射

に つ い て,{hn(Xp)}は

下 に 帰 納 的 系 を な す.こ

入hn(Xp)→hn(X)に

れ る が,こ

ホ モ ロ ジ ー とす る.

の 帰 納 的 極 限 を 

よ り,標

射 入hn(Xp)→ と 表 わ す.一

が導 か

準 的 準 同 型 

の と き,

  定 理2.4  (Milnor) 

h*が

加 法 的 な ら ば,

  系2.5

  一 般 コ ホ モ ロジ ー の 場 合{hn(X

限を 

と 表 わ す.こ

か れ る が,ホ

p)}は 射 影 的 系 を な す.こ

の と き,標

の と きの射 影 的極

準 的 準 同 型 ηn:hn(X)→hn(Xp)が

モ ロ ジ ー の 場 合 の よ う に 同 型 で は な く,

  定 理2.4′ (Milnor) 

h*が

加 法 的 な ら ば,次

の 短 完 全 系 列 が あ る:

  系2.5′

  (定 理2.4,2.4′

の 証 明 は い ず れ も[A]を

  以 下,一

般(コ)ホ

  filterつ

き空 間 の ホモ ロジー 完 全 対

  記 号   Jp,n-p=Im と お く と き,次

モ ロ ジ ー は,特

{hn(Xp)→hn(X)}

が 成 り立 つ:

参 照 さ れ た い.)

に 断 ら な い 限 り加 法 的 で あ る と す る.

導

 (2.6)

  従 っ て,hn(X)は

部 分 群Jp,q(p+q=n)に

双 次 数 つ き 随 伴 群grh*(X)が

よ りfiltrationが

構 成 で き て,(p,q)-成

入 る.こ

の と き,

分=Jp,q/Jp-1,q+1.

 記号 とお くと き,対(Xp,Xp-1)の 対

 

ホ モ ロジ ー完 全 系 列 よ り,完 全 対 〓 お よび 導 来 を え る:

た だ し,D={Dp,q},E={Ep,q}.ま =(1,-1),j(r)の

た,∂(r)の

次 数=(0,0)

.従

次 数=(-r,r-1),i(r)の

っ て,d(r)=j(r)°

次 数

∂(r):E(r)→E(r)の

次 数=

(-r,r-1).   rが Dp-1

十 分 大 の ,q}はrに

と き,hp+q(Xp-r)=0で

無 関 係 で,従

  さ ら に,こ

の と き,容

  定 理2.7 

同型  

あ

る か ら,Z(r)p,q=Ker

{∂p,q:Ep,q→

っ て,

易 にわ か る よ うに が あ る.

 以上 の こ とを ま とめ て   定 理2.8 

Xがfilterつ

き 空 間 の と き,hn(X)の

昇filtration

  (2.6) と双 次 数 つ き鎖 複 体   (1)  E(r)の

 

が あ っ て,次

を み た す:

境 界 作 用 素 ∂(r)の次 数=(-r,r-1),

  (2)  H(E(r):∂(r))=E(r+1),   (3)  ∀p,qと

十 分 大 き いrに

対 し て,全

  (4)  E(∞)={E(∞)p,q},  た 双 次 数 つ き群grh*(X)で   filterつ

はhn(X)のfiltration(2.6)に あ る.

き空 間 の コホ モ ロジ ー 完 全 対

  記 号   Jp,n-p=Ker と お く と き,次

{hn(X)→hn(Xp)}

が 成 り立 つ:

射E(r)p,q→E(r+1)p,qが あ る, 随伴 し

  (2.6)′

  従 っ て,商

群hn(X)/lim1

hn-1(Xp)の

  記 号   Ep,q=hp+q(Xp,Xp-1), 

た だ し, 

コ ホ モ ロ ジ ー 完 全 系 列 よ り,完

た だ し, 

た,δ(r)の

次 数=(0,0).従

全 対 〓*お よ

を え る:

D={Dp,q},E={Ep,q}.ま

=(-1,1),j(r)の

え る.

Dp,q=hp+q(X,Xp-1)

と お く と き,3対(X,Xp,Xp-1)の び導来対  

降filtrationを

次 数=(r,1-r),i(r)の

っ て,d(r)=j(r)°

δ(r):E(r)→E(r)の

次 数 次 数=

(r,1-r).   rが

十 分 大 の と き,Xp-r=φ

で,id:hp+q(X,Xp-r)→hp+q(X)で

Ker{hp+q(X,Xp-1)→hp+q(X,Xp-r)}はrに Bp,q(r)もrに

無 関 係.従

 さ ら に,こ

  定 理2.7″

あ る か ら, っ て,jp,qに

って

の と き,容

  定 理2.7′ 

無 関 係 で,従

易 に わ か る よ う に,

単 射 φp,q:Jp,q/Jp+1,q-1→Ep,q(∞)が

あ る.

  Coker

 た だ し,右 辺 の 準 同 型 は 適 当 な 射入 に よ り導 か れ る もの.  以 上 の こ とを まとめ て   定 理2.8′  Xがfilterつ

き 空 間 の と き,商

群 

の 降filtration  (2.6)″

と双 次 数 つ き双 対 鎖 複体   (1)  E(r)の

 

が あ っ て,次

を み た す:

双 対 境 界 作 用 素 δ(r)の次 数=(r,1-r),

 (2)  H(E(r):δ(r))=E(r+1),  (3)  ∀p,qと 十 分 大 き いrに  (4)  filtration

対 し て,単

射  

(2.6)″ に 随 伴 し た 双 次 数 つ き 群  

の 部 分 群 で あ る.

が あ る, は 

よる像

  §3  ス ペ ク トル 系 列 の ク ロ ス 積   本 節 で は,(コ)ホ (  ;R)で

モ ロ ジ ー は 係 数 環Rを

あ り,簡

単 の た め に,Rは

も つ 常(コ)ホ

モ ロ ジ ー,h( 

)=H

省 略 す る こ と に す る.

  定 義   (X,A,C):NDR-3対 ⇔X⊃A⊃Cで

あ り,(X,A),(A,C)はNDR-対.

  ク ロス 積 の 境 界 作 用 素   (X,A,C),(Y,B,D)は

い ず れ もNDR-3対

と す る.こ

の と き,次

の可 換 な

図 を 考 え る(l=p+q):

た だ し,こ

こ で,i,j,kは

い ず れ も 射 入 に よ り導 か れ る 準 同 型 で あ る が,k1,k2

は 切 除 定 理 に よ り 同 型, 

は そ れ ぞ れ3系(X×B∪A×Y;

X×B,X×D∪A×B∪C×Y),(X×B∪A×Y;A×Y,X×D∪A×B∪C×Y) の ホ モ ロ ジ ー 完 全 系 列 の 準 同 型,従   a∈Hp(X,A),b∈Hq(Y,B)に B))を

考 え る.こ

っ て,Im

i2=Ker

j1,Im

i1=Ker

j2.

つ い て そ の ク ロ ス 積a×b∈Hl((X,A)×(Y,

こ で,相

対Mayer-Vietoris完

全系列に より

 (3.1)

さ らに,上 図 の 可 換 性 か ら

  補 題3.2 

(1)

 (2)  [証 明]  (1)も(2)も  (イ)  C=B=φ

同 様 で あ る か ら,(1)を

の 場 合:こ

示 す.

れ は よ く知 ら れ て い る[KNS:定

理5.5].

  (ロ)  C=φ,B=*の (イ)の 場 合 か ら(ロ)の (Y)が

場 合:射

入g:Y→(Y,B),1X:(X,A)→(X,A)は

場 合 へ の 写 像 を 与 え る.g*:全

あ っ て,g*b′=b.次

射 で あ る か ら,b′ ∈Hq

の 可 換 な 図:

に お い て,gi(i=1,2,3),k1は

い ず れ も 射 入 よ り導 か れ る も の で あ る .ク

積 の 自然 性 か ら,g1(a×b′)=a×b.上

ロス

図 の 可 換 性 か ら,

こ こでk1は 同 型 で あ るか ら,   (ハ)  C=φ の場 合:Yか らBを*に 縮 め て え ら れ る空 間 をY′,h:(Y,B) →(Y′,*)を 縮 め る写 像 とす る.こ の とき,  は NDRの

相 対 同 相 写 像 で,(ハ)の

(1.20)に

よ り(1×h)*は

  (ニ)  一 般 の 場 合: 

場 合 か ら(ロ)の 場 合 へ の 写 像 に な っ てお り,

同 型 で あ る か ら, 射 入f:A→(A,C)は(ハ)の

場 合 か ら(ニ)の 場 合 へ の

写 像 で あ り,

(終)   以上 よ り  定 理3.3   コホ モ ロジ ーの 場 合 も同 様 で,u∈Hp(A,C),υ ロス積   の可 換 な 図

∈Hq(B,D)に

つ い てそ の ク

の境 界 作 用 素 δに よ る像 は,次

に おいて   定 理3.4 が 成 り立 つ.   証 明 は ホ モ ロ ジ ー の 場 合 に ほ ぼ 双 対 的 で あ る.   ス ペ ク トル 系 列 の ク ロ ス 積   X={Xn},Y={Yn}は

弱 位 相 を も ち,filtrationはNDR-filtrationと

こ こ で は §2で 考 え た ホ モ ロ ジ ー ス ペ ク トル 系 列{Er(X)},{Er(Y)}の

す る. 間 の ク

ロス積  (3.5)

を 定 義 す る.ま

ず,  は ク ロ ス 積,  は 射 入 と し て,

 定義

 (3.6)

 記号   定 理3.7 

を 誘 導 し,次   (1) 

上 で 定 義 した φ は

を み た す: につ い て

 (2)  E∞ に お い て誘 導 さ れ る積 は ク ロス 積

 

か ら誘 導 され る積 と一 致 す る,  (3)  この 積 はfilterつ き空 間 の 写 像f:X→X′,g:Y→Y′ (f×g)*(u・

  (4)  交換写像 

について t*(u・

 (5) 

積 は 結 合 的:(u・

に 関 して 自然:

υ)=(f*u)・(g*υ),

υ)=(-1)￨u￨・￨υ￨υ

υ)・w=u・(υ

・w),

・u,

 (6)  X=x0(1点),標

準的同型  

の 下 で,R∋1に

す る 元 を1∈Er0,0(x0),g:Y→x0×Y⇔g(y)=(x0,y)と g*υ=1・   [証 明] 

(1) 

rに

れ た と 仮 定 す る.u′ 0を

に お い て,写

∀υ∈Er(Y).

関 す る 帰 納 法.今,あ ∈E1p,s(X),υ

み た し,{u′}=u∈Erp

に つ い てdh(u′

υ, 

るrに

′∈E1q,t(Y)は

,s(X),{υ

・υ′)=0,か

つ(1)が

つ い て,Er-項

∀h
′}=υ ∈Erq,t(Y)と 成

対応

す る と き,

に積 が 誘 導 さ

つ い てdhu′=0,dhυ す る.こ

の と き,∀h
り立 つ こ と を 示 せ ば よ い .次

の 可 換 な 図:

像 は 射 入 か ら導 か れ た も の か 境 界 作 用 素 で あ る .∀h
 

′=

つ いて

こ の こ と と,3対(Xp,Xp-1,Xp-r)の

完 全 性 か ら,元u″ 同 様 に,元

υ″∈H*(Yq,Yq-r)が

  一 方,X×Yに

に お い て,左

∈H*(Xp,Xp-r)が

あ っ て,  あ っ て,gYυ

″=υ ′か つ{j°

∂″υ″}=drυ .

つ い て の次 の可 換 な図

上 隅 でu″

× υ″ を 考 え て 左 回 り に 回 る と: 

右 回 り に 回 っ て も 同 じ 元 を え る か ら,  に つ い て,dh(u′

・υ′)=0.同

様 に(右

上 隅 の)∂(u″

× υ″)は 

を 表 わ す 元 に 写 る.(X,A,C)=(Xp,Xp-r, Xp-r-1),(Y,B,D)=(Yq,Yq-r,Yq-r-1)と NDR-3対

  一 方,上

で,従

っ て 定 理3.3を

で 指 摘 した よ うに

す る と,仮 適用 で きて

, 

定 と(1

.19)か

ら これ ら は

上 の 等 式 の 右 辺 の 第1項 dr(u)・υ,(-1)p+su・dr(υ)を

お よ び 第2項

表 わ す.

  (2)  E∞ ∋u,υ の と き に 代 表 元u′,υ ′ ∈E1を (r>p,qと

し て)u″

の 像 は そ れ ぞ れ

∈H*(Xp),υ

選 ん で,上

″∈H*(Yq)が

射 入k:Xp×Yq→(X×Y)p+qに

と 同 様 に 議 論 す れ ば,

あ っ て,j(u″)=u′,j(υ

より  

ここ

で,u″,υ ″,k*(u″× υ″)の そ れ ぞ れH*(X),H*(Y),H*(X×Y)に えれ ば

,E∞

関 す る 図(3.6)か

に 関 す る 自 然 性 を 証 明 す る た め に,X,Yに

ら,X′,Y′

こ で,α

に 関 す る 図(3.6)へ

じ 等 式 がEr-項

の 積 はE1-項

っ て,E1-項

において

の も のか ら導 かれ た もの で あ るか

に お い て も成 り立 つ.

  (4)  積 α は 可 換 法 則t*(u× 施 し て,t*°k*=k*°t*を

従 っ て,Er-項

g*,(f×g)*を 一 方,

含 む 正 方 形 の 図 も可 換 で,従

(f×g)*(u・ υ)=f*u・f*υ.Er-項

にk*を

の 準 同 型f* 

は 自然 性 を み た す か ら, 

kは 射 入 で あ る か ら,k*を

ら,同

お け る像 を 考

の 積 と 空 間 の ホ モ ロ ジ ー の 積 が 対 応 し て い る こ と が わ か る.

  (3)  写 像f:X→X′,g:Y→Y′

考 え る.こ

″)=υ ′.

υ)=(-1)(p+s)(q+t)υ 使 え ば,E1-項

×uを み た す か ら,こ

の 等式

に お い てt*(u・ υ)=(-1)mυ

・u,

に お い て も 同 じ 等 式 が 成 り立 つ.

  (5)  ク ロ ス 積 の 結 合 性 と 自 然 性 よ り明 ら か.   (6)  まず,鎖 =0の

複 体 上 で,g*υ=1×

場 合,k*=idで

れ が 表 わ すErに   定 理3.8 

あ る か ら,r=1の

υ.次

に 図(3.6)に

お い て,X=x0,p=s

と き ,上 の 等 式 が 成 り立 つ.後

お け る 類 を 考 え れ ば よ い. 

∀p,q,rに

rに つ い て(3.5)の

つ い て 加 群Erp,q(X)(ま

は,そ (終)

た はErp,q(Y))が

自 由 な ら ば,各

積 φ は 双 次 数 つ き 加 群 の 同 型 で あ る:

 [証明] rに 関する帰納法で証明する.まず,次 の事実を思いおこそう:  (3.9) 射入  がひきおこす準同型

はH*((X×Y)p,(X×Y)p-1)を 仮 定 か らE1p,s(X)=Hp+s(Xp,Xp-1)は り,ク

ロス 積 を 与 え る写像

直 和 と し て のinjective表

現 で あ る.こ

自 由 で あ る か ら,Kunneth公

こ で, 式 に よ

は,Hn((Xi,Xi-1)×(Yp-i,Yp-i-1))の 上 に よ り,定

理 はr=1の

り立 つ と仮 定 す る.こ

直 和 と し て のinjective表

と き に 成 り立 つ.次 こで, 

鎖 複 体 で 境 界 作 用 素drを

に,定

理はあ る  

と 表 わ す.た

もつ も の とす る,す

現 で あ る.以

な わ ち,Ciは

について成

だ し,各Ciは

自由 な

次 の 形 で あ る:

(鎖複 体 の 直 和)と 表 わす と,

 同 様 に, 

(部 分 複 体Ci  Djの 直 和)

  仮 定 か ら,各Er+1p,q(X)は 自由 ⇒ Kunneth公

∀Ht(Ci)は 自由.CiとH(Ci)は

式 に より  

自由⇒

以 上 に よ り定 理 はr+1の

とき に も成 り立つ こ とがわ か る. 

(終)

  コホ モ ロジ ー の場 合:   定 義  E1-項 の 積 φ=k*°h*-1°α を 次 の図 の 可 換 性 で 定 義 す る(h:切 像).

 (3.6)′

  記 号   u・ υ=k*°h*-1(u×  定 理3.7′ 

を 誘 導 し,次   (1) 

υ).

上 で 定 義 した φ は

を み た す: について

 (2) E∞において誘導 され る積 は,ク ロス積   か ら誘導 され る積 と一致す る,

除写

 (3)  こ の 積 はfilterつ

き 空 間 の 写 像f:X→X′,g:Y→Y′ (f×g)*(u′

・υ ′)=f*u′

に 関 し て 自 然:

・g*υ ′,

 (4)  交 換 写 像  

に つ い て, t*(u・

 (5)  積 は結 合 的: 

υ)=(-1)￨u￨・￨υ￨υ

・u,

(u・υ)・w=u・(υ ・w),

 (6)  X=x0(1点),標

準 的 同型

 

の 下 で,R∋1に

応 す る 元 を1∈E0,0r(x0),g:x0×Y→Y⇔g(x0,y)=yと g*υ=1・

υ,

必 ず し も 双 対 的 と は い え ず,若

ほ ぼ 同 様 な の で,読

者 に 任 せ た い.

f:X→x0,f*:E0,0r(x0)→E0,0r(X)に

る.h:X×Y→Yは

あ る か ら,定

  定 理3.8′  ∀p,q,rに

干 複 雑 で あ る が,考

理3.7′ の(3), (4)よ り 出 る.  自 由,ま

 証 明は 読 者 に 任 せ る.

  本 節 で はGは   G-分

結 合 的Hopf空

位 元eを

もつ も の とす る.

解

  定 義  GのXへ ⇔

resolution) 間 で,単

の 右 作 用(right

写 像 ψ:X×G→Xで ψ(x,e)=x, 

  こ の と き,XをG-空

action)

次 を み た す:∀x∈X,∀gi∈Xに

つ い て,

ψ(x,g1g2)=ψ(ψ(x,g1),g2).

間 と い う.

  記 号   x・g=ψ(x,g).   定 義   EはG上 ⇔Eは

の(1点

の)分 解 ま た は 単 にG-分

解(G-resolution)

次 の

 

(イ)  GのEへ

 

(ロ)  G-不

の 右 作 用 ψ,

変 な 閉 部 分 空 間Enに

よ るEのfiltration:

(終)

たE1p,q(X)は

φ は 双 次 数 つ き 加 群 の 同 型 で あ る:

  §4  幾 何 学 的 分 解(geometric

す

υ,∀ υ∈Er(Y).

つ い て 加 群E1p,q(X),Ep,qr(X)は

有 限 個 の 基 底 を も つ と き,積

え方 は

つ い てf*(1)=1∈E0,0r(X)と

射 影 とす る と き,h*υ=1・

  [証 明]  g°(f×1)=hで

す る と き,

∀ υ ∈Er(Y).

  証 明 は 定 理3.7に

  系3.9 

対

E0⊂E1⊂

 

… ⊂En⊂

…,

(ハ)  閉 集 合Dn⊂En,

か ら 成 り,次

の 条 件 を み た す:

  (1) 

(弱 位 相),

  (2)  ∀nに つ い て,EnはEn+1に

お い て1点

に 可 縮,

  (3)  ∀nに つ い て,En-1⊂Dnか

つ 右 作 用 ψn:En×G→Enの

制 限 は 相対 同

相:φn:(Dn,En-1)×G→(En,En-1)  

(n=0の

と き は,φ0:D0×G→E0:同

  (4)  ∀nに

つ い て,写

En-1をDnに

相)

像un:Dn→I,hn:I×Dn→Dnが

お け るNDRと

あ っ て,こ

し て 表 わ し,φnに

導 す る 写 像:un:En→I,hn:I×En→Enは

よ りun,hnが

れ らは

一意的に誘

連 続:

  定 義   Eはfilterつ

きG-空

間 ⇔Eは

条 件(1)を み た す.

  Eは

非 輪 状filterつ

きG-空

間 ⇔Eは

条 件(1),

(2)を み た す.

  Eは

自 由 なfilterつ

きG-空

間 ⇔Eは

条 件(1),

(3), (4)を み た す.

  注 意   (1)  条 件(4)⇒(En,En-1):NDR-対,さ

らに,hn(t,xg)=hn(t,x)g,un(xg)

=un(x),(∀t∈I,∀x∈En,∀g∈G).   (2)  Gが

コ ンパ ク トの とき,∀Enは

と き,EnはDn×Gの 連 続 写 像un,hnを

コ ン パ ク トと仮 定 して 一 般 性 を 失 わ な い.こ の

等 化 空 間 で,(Dn,En-1)をNDR-対

と して 表 わ す 任 意 のun,hnは

誘 導 す る.従 って,こ の と き条 件(4)は

次 で お きか えて よい:

  (4)′ (Dn,En-1):NDR-対.   (3)  En⊃En-En-1:開

集 合,Dn×G⊃(Dn-En-1)×Gは

い ず れ も コ ンパ ク ト生 成 な

相 対 位相 を もつ.   Gは

群 で は な い か ら,Eの で あ る か ら,Eの

点 の 軌 道 はGに 各 点 はGに

同 相 で は な い が, 

同 相 な 極 大 軌 道 に 属 す る.こ

軌 道 は 閉 集 合 で あ る.   定 義   BはG-分 ⇔B=E/Gは

解Eの 極 大G-軌

底 空 間(base

space)

道 に よ るEの

等 化 空 間.

れ ら極 大

 射影 

(xが 属 す る極 大軌 道).

  記 号   Bn=p(En).   定 義   filtration{Bn}を  

もつBをGの

K∋E,p:E→B:proclusionで   補 題4.1 

space)と

あ る か ら,(1.12)(2)に

(1)  B⊃Bn:閉

い う.

よ りB∈K.

集 合,

  (2)  B0≠ φ,p￨D0:D0→B0は   (3)  Bは{Bn}に

分 類 空 間(classifying

同 相,

関 し て 弱 位 相 を もつ,

  (4)  p￨Dn:(Dn,En-1)→(Bn,Bn-1)は

相 対 同 相,

  (5)  (Bn,Bn-1):NDR-対.   証 明 は 読 者 に 任 せ る.   補 題4.2 

EがG-分

解

⇒Eを

点e0∈E0に

縮 め る ホ モ ト ピ ーF:I×E→E

が 存 在 し て,F(I×En)⊂En+1(∀n).   [証 明]  nに →E1が

関 す る 帰 納 法.条

存 在 す る.帰

I×Ei→Ei+1が

件(2)よ

存 在 し て,Fi￨I×Ei-1=Fi-1,か

と 仮 定 す る.そ

縮 め る 写 像F0:I×E0 つ い て ホ モ トピ ーFi:

つFiはEiをe0に

縮め るもの

こで

と定 義 す る と,(2)に

よ りEn+1に

お い て 

NDR-対,(I,I0):NDR-対(I0={0,1})で

(定 値 写 像).こ

あ る か ら,(1.17)よ

En∪I×En-1∪1×En)はNDR-対,従 hは

りE0をe0に

納 法 の 仮 定 と し て, に

拡 張 可 能 な 写 像 に ホ モ トー プ,す

ち,Fn￨×En-1=Fn-1,FnはEnをe0に

り(I×En,0×

っ て,HEPを

も つ か ら,En+1に

おいて

な わ ち,hは

拡 張Fn:I×En→Enを

も と

縮 め る. 

は 弱 位 相 で あ る か ら,Fは

定 義 す る と, 

こ で(En,En-1):

連 続 で,求

めるホモ

ト ピ ー で あ る.    Milnor分   Enと

(終)

解 のDold-Lashof版

右 作 用 ψn:En×G→Enを

E0×G→E0はGの 定 し,DnはEn-1上

積.今,En-1と の 錐 と す る. 

帰 納 的 に 次 の よ うに 定 義 す る.E0=G,ψ: ψn-1:En-1×G→En-1が

定 義 され た と仮

(ψn-1に よる接 着 空 間)と

定 義 す る.す Dn×Gの

な わ ち,Enは

ψn-1に よ りEn-1×GをEn-1へ

等 化 空 間 で あ る.こ

G→Dn×Gを

も ち,En-1に

ψn-1と 可 換,従 導 く.1×

こ で,Dn×Gは

っ てDn×Gの

  定 理4.3 

上 の 構 成EはG-分

右 作 用 ψnを

結 合 的.

位 相 を 与 え,ψ:E×G→E⇔ (弱 位 相)で

よ り ψ:E×G→Eは

ψ0は 同 一 視

右 作 用 は ψn-1の 拡 張 で あ るEnの

と お き,弱

(1.3)(5)に

ψ0:Dn×G×

お け る 作 用 は 結 合 的 で あ る か ら,1×

と 定 義 す る. 

あ り,各

ψ￨En×G=ψn ψnは 連 続 で あ る か ら,

連 続 で あ る. 解 で あ る.ま

  [証 明]  定 理 の 後 半 は 明 ら か.そ ∼(4)を

自 然 な 右 作 用1×

ψ0は 結 合 的 で あ る か ら,ψn:En×G→Enも

  次 に, 

つ ぶ し て え られ る

た,こ

れ はGの

こ で 上 の 構 成EがG-分

共 変 関 手 で あ る. 解 の 定 義 の 条 件(1)

み た す こと を示 す .

  (1)  は 構 成 か ら 明 ら か.   (2)  Dn+1=CEnで

あ る か ら,EnはDn+1に

 (3) 

お い て1点

に 可 縮 ⇒(2).

で あ る か らDn×G-En-1×GはEn-En-1に

同

相.

 (4)  u:I→Iを  (x)=1と

に つ い てu(x)=2x, 

定 義 し,h:I×I→Iは 

を0に

に つ い てu

縮 め, 

す る 写 像 と す る と,(u,h)は(I,{0})をNDR-対

を[0,1]に

と し て 表 わ す.こ

拡 張

の と き,u′:

I×X→I⇔u′(s,x)=u(s),h′:I×1×X→I×X⇔h′(t,s,x)=(h(t,s),x) と 定 義 す る と,(u′,h′)は(I×En-1,0×En-1)をNDR-対 En-1を1点

に 縮 め てDn=I×En-1/1×En-1が

と み て,(u′,h′)はNDR-対(Dn,En-1)を Dn→Dn,を

導 く.こ

un:En→I,hn:I×En→Enも

え ら れ る か ら,En-1=0×En-1 表 わ す(un,hn),un:Dn→I,hn:I×

こ で,Dn,I×Dnは

空 間 で あ る か ら,un,hnは

  G-分

と し て 表 わ す.I×

そ れ ぞ れI×En-1,I×I×En-1の

い ず れ も 連 続.ま

た,同

等 化

じ 理 由 で,un,hnが

連 続 で あ る. 

導 く (終)

解 の 積

  G′ は 単 位 元e′   定 理4.4  部 分 空 間

G×G′

を も つ も う1つ のE×E′

の 結 合 的Hopf空

間,E′

はG′-分

へ の 右 作 用(x,x′)・(g,g′)=(x・g,x′

解 と す る. ・g′)お

よ び

はG×G′-分

解 を な す.

  [証 明]  G-分   (1)  (1.25)よ   (2)  補 題4.2で

解 の 定 義 の 条 件(1)∼(4)が り 明 ら か. 与 え られ るE,E′

をF:I×E→E,F′:I×E′

と 定 義 す る と,こ

を,そ

→E′ と す る.そ

れ はE×E′

お い て1点

れ ぞ れe0,e′0に

縮 め る ホ モ トピ ー

こで

をe0×e′0に 縮 め る ホ モ トピ ー で あ る.こ

よ りEi×E′jはEi+1×E′j∪e0×E′j+1に は(E×E′)n+1に

成 り 立 つ こ と を 示 す.

お い て1点

に縮 め られ る

のFに

⇒(E×E′)n

に 縮 め ら れ る. …(ⅰ)

 (3) 

…(ⅱ)   定 理 の い う右 作 用 に よ り(ⅰ)にG×C′ こ こ で,同

相 写 像 の 積 は 同 相 写 像,同

同 相 写 像 で あ る か ら,上   (4)  (1.19)に

を 作 用 さ せ る と(ⅰ)×(G×G′)→(ⅱ). 相 写 像 の 直 和(disjoint

の 写 像(ⅰ)×(G×G′)→(ⅱ)は

E′)n,(E×E′)n-1)がNDR-対

繰 り返

で あ る こ と が わ か る.同

に よ り,(Ei,Ei-1)×(E′n-i,E′n-i-1)はNDR-対,(1.17)を

様 に,(1.19)

繰 り返 し 用 い て((E×

で あ る こ と が わ か る. 

  定 義   上 の 定 理 のG×G′-分

解 をE×E′

また

同 相 で あ る.

よ り(Di,Ei-1)×(D′n-i,E′n-i-1)はNDR-対.(1.17)を

し 用 い て,(Dn,(E×E′)n-1)がNDR-対

tion)と

union)は

と表 わ し,積

(終) 分 解(product

resolu

い う.

  系4.5 

E,E′

の 底 空 間 を そ れ ぞ れB,B′

と す る と き,E×E′

の 底 空 間=

B×B′.   G-分

解の間の写像

  f:G→G′

は 単 位 元 を も つ 結 合 的Hopf空

f(g1g2)=f(g1)f(g2)),E={En},E′={E′n}は

間 の 間 の 準 同 型(⇔f(e)=e′, そ れ ぞ れfilterつ

と す る.   定 義  f:E→E′ ⇔fはfilterつ

はf-写

像

き 空 間 の 写 像 で,f(xg)=f(x)f(g),∀x∈E,g∈G.

きG-,G′-空

間

 定 義 か ら,fは っ て,fは

各極 大G-軌

道 を あ る極 大G′-軌 道 に写 す こ とがわ か る.従

底 空 間 の 写 像f:B→B′

を 誘 導 し,f°p=

p′°fか つ ∀nに つ い てf(Bn)⊂B′nを   f0,f1:E→E′

はf-写

  定 義   Fはf0か

らf1へ

のf-ホ

⇔F:I×E→E′

はf0か

らf1へ

F(I×En)⊂E′n+1か

み た す.

像 とす る. モ トピ ー の ホ モ トピ ー で,∀nに

つF(t,xg)=F(t,x)f(g),∀(t,x,g)∈I×E×G.

  この と き,f0はf1にf-ホ

モ トー プ と い う.

  以 下,I=[0,1]をI1=I,I0={0,1}と と き,IはG={単 I×Eに

つ いて

し て,filterつ

き 空 間 と み な す.こ

位 元}上 の 分 解 と み な せ る.Eがfilterつ

積filtration,す

きG-空

の

間 の と き,

な わ ち, (I×E)n+1=(I0×En+1)∪(I×En)

とfiltrationを f1へ

のf-ホ

入 れ る.こ の と き,I×Eはfilterつ モ トピ ーFと

は,f-写

像F:I×E→E′

通 常 の ホ モ トピ ー の こ と で あ る.従 I×B→B′   定 理4.6  状filterつ

っ て,こ

は ホ モ ト ピ ー  f:G→G′

きG′-空 間 と す る.こ

  (2)  任 意 の2つ

の と き,底

間,E′

は非輪

像 はf-ホ

モ トー プ.

関 す る 帰 納 法 で 構 成 す る.n=0に

→E′0は そ れ ぞ れG-分

解,G′-

与 え ら れ る写 像 で あ る.

つ い て 求 あ ら れ た 条 件 を み た す 写 像fiが お い て可

に お い てHEPを

も つ か らfn-1は

解 の 定 義 の 条 件(4)の

と定 義 す る.同

きG-空

任 意 に と り,

る.E′n-1はE′nに

G-分

の

が 存 在 す る,

と お く.た だ し,φ0:D0×G→E0,ψ′0:E′0×G′

  今,∀i
らf1へ

空 問 に ひ き お こ すF:

自 由 なfilterつ

  [証 明]  (1)  f-写 像fn:En→E′nをnに

分 解 の 定 義 の 条 件(3)で

で,Fはf0か

ら

の と き,

の そ の よ うなf-写

つ い て は β0:D0→E′0を

間 で あ り,f0か

で あ る.

は 準 同 型,Eは

  (1)  f-写 像f:E→E′

きG-空

⇒E′nに

お い て 

あ る写 像 βn:Dn→E′nに

ホ モ トピ ー と し,γn:Dn→Dn⇔

様 に,γn:En→En⇔

γn(x)=hn(1,x)と

構 成 され た と仮 定 す

(定 値 写 像).En-1はDn 拡 張 さ れ る.hnを γn(x)=hn(1,x) 定 義 す る.こ

れ らを

使 っ て,

と 定 義 す る と,右

辺 の い ず れ の 写 像 も 連 続 か つEnの

い る こ と が わ か る.そ φn(y,g)に

の 共 通 集 合un-1(0,1)上

つ い て((γn(y)∈En-1で

従 っ て,fnはwell-definedか

開 集 合 上 で定 義 され て

で は:0
あ る か ら),βn° γn(y)=fn-1° γ(y).従

つ 連 続.fn(xg)=fn(x)f(g)が

容 易 に 確 か め ら れ る.ま

た,x∈En-1に

対 し て

と定 義 す る とEは

こ こ で    (2)  f0,f1:E→E′

はf-写

るnに

成 り立 つ こ と は

γn(x)=x⇒fn(x)=fn-1(x).

同 様,写

像Fn:I×En→E′n+1を

つ い て 求 め る 条 件 を み た すFn-1:

I×En-1→E′nが

構 成 さ れ た と仮 定 す る.filtration I⊃I0は{単

で あ る か ら,定

理4.4に

張 可 能.こ

よ りI×EはG-分

解.そ

場 合 と 同 様 に し て,ξnはf-写

位 元}上 の 分 解

こで

像 ζn:(I×E)n+1→E′n+1に

あ る.こ

こ で 各Fnはf-写

もf-写 像 かつ 

像 で あ る か ら,

(弱 位 相)で あ る こ とか ら,Fの

わ か る. 

連続性 が (終)

f=1G:G→Gの

と き,任

意 の2つ

れ ぞ れ の 底 空 間 はfilterつ

のG-分

同 値,従

っ て,そ

る.Gの

分 類 空 間 は す べ て 同 じ ホ モ ト ピ ー 型 を も つ.

  [証 明]  (E,E′,f=1G),(E′,E,f=1G)に 写 像f:E→E′,g:E′ 像 で,従

拡

の と き,

が 求 め るFnで

  系4.7 

っ て,

弱 位 相 を もつ の でfは 連 続.

像 とす る.(1)と

nに 関 す る 帰 納 法 で 構 成 す る.今,あ

と 定 義 す る と(1)の

み た すx=

っ て 定 理4.6に

→Eを

え る.こ

よ りf-ホ

解E,E′

はf-ホ

モ トピ ー

き 空 間 と し て ホ モ トピ ー 同 値 で あ

定 理4.6を

適 用 し て,そ

の と きg°f,1E:E→Eは

モ ト ピ ー 

が あ る.同

れ ぞ れf-

い ず れ もf-写 様 に,f-ホ

モ

ト ピ ー 

が あ る. 

(終)

  §5  幾 何 学 的 分 解 の ス ペ ク トル 系 列   ス ペ ク トル 系 列 のE2-項   Gは

単 位 元eを

こ で は,係

も つ 結 合 的Hopf空

数 環Rを

め 係 数 環Rは

も つ 常(コ)ホ

間 と し,E={En}はG-分 モ ロ ジ ーH( 

省 略 す る.filtration

{Bn}か

;R)を

解 とす る.こ 考 え る が,簡

単 のた

ら 生 ず る ホ モ ロ ジ ー 完 全 対,コ

ホモ

ロ ジ ー 完 全 対 を そ れ ぞ れ 次 の よ うに す る:

  これ ら の 完 全 対 か ら え ら れ る ス ペ ク トル 系 列{Er(B)},{Er(B)}を

調 べ るの

が 本 節 の 目的 で あ る.   ま ず,次

の 仮 定 を す る:

  (5.1)  Hn(G)はR-自   En-1はEnに

由,∀n.

お い て1点

に 可 縮 で あ る か ら,対(En,En-1)の

系 列 に お い てi=0:H(En-1)→H(En)で

を え る.従

っ て,次

あ り,従

っ て,短

ホ モ ロジ ー完 全 完全 系 列

の 系 列 は 完 全:

 (5.2)

た だ し,d=j°

∂ はE1(B)に

お け る 微 分 作 用 素,ε はE0を1点

に写 す写 像 か ら

導 か れ る も の.   GのEnへ

の 右 作 用 ψn:En×G→Enに

よ り導 か れ る 写 像 と ク ロ ス 積 α と

の合 成

に よ りH(En)お

よ びH(En,En-1)は

右H(G)-加

群 の 構 造 を も つ.ま

ス 積 α は 自 然 的 で あ り, ∂(x×y)=(∂x)×y,  を み た す か ら,(5.2)はH(G)-加

x∈H(En,En-1), 

y∈H(G),

群 の 完 全 系 列 で あ る.

た,ク

ロ

 G-分

解 の 定 義 の 条 件(3)の 写 像 φn:(Dn,En-1)×G→(En,En-1)は

よ り(1.20)の

条 件(4)に

仮 定 をみ た す こ とがわ か り

 (5.3)

  Dn×Gに

お け る 右G-作

用 を(x,g)g′=(x,gg′),x∈Dn,g,g′

す る とGの

結 合 性 か らDn×GはG-空

∈G,と

間 に な り,φnはG-写

の 同 型 はH(G)-加

群 と し て の 同 型 に な る.仮

か ら,Kunneth公

式 が 使 え て,ク

定(5.1)よ

像,従

りH(G)は

定 義

っ て(5.3) 自由 で あ る

ロ ス 積 α は 次 の 同 型 を 与 え る:

  こ こ で さ ら に 次 の 仮 定 を す る:   (5.4)  ∀nに つ い てH(Dn,En-1)はR-自 こ の 仮 定 に よ り 

由. はH(G)-加

φn*°α に よ りH(En,En-1)はH(G)-自   (5.5)  系 列(5.2)す

群 と し て 自 由,従

由 で あ る.以

っ て,同

型

上に より

な わ ち,{E1(B),d1}はH(G)上

のRの

自由 な分 解 で

あ る.  

と定 義 し て 次 の 図 を

考 え る:

た だ し,μ

は 商 群 へ の 自 然 な 準 同 型.明

(Dn,En-1)はNDR-対

ら か に,μ°φn*°α°hは 同 型.ま

た,p￨

の 相 対 同 相 写 像 で あ る か ら,p*° φn*°α°hも 同 型.従

て, 

p*はd1と

っ

可 換 で あ る か ら,

従 っ て,  (5.6)

 

で あ るか ら,H(Dn,En-1)のR-自

然 な準 同型 γ:H*(Bn,Bn-1)→Hom(H(Bn,Bn-1),R)は

由性 よ り,自

同 型.次  

に

い て,μ ′は射 入.φn*° αが 同型 で あ る こ と よ り

従 っ て,

の図

(分 解{E1(B),d1}にHomH(G)( 

,R)を

適用 し て え ら

れ る 双 対 鎖 複 体) 従 っ て,   (5.6)′   以 上 を ま と め て,   命 題5.7  R-自

H(G)はR-自

由 な ら ば,Eの

由,EはG-分

解 で,∀nに

ス ペ ク トル 系 列 の 第2項

つ い てH(Dn,En-1)は

は 次 を み た す:  (次 数 つ き 加 群 と し て).

  棒 分 解(bar   AはR上

resolution) の 次 数 つ き 代 数 とす る.A上

こ そ う.A=Ker

{augmentation

で あ り,Xnの さ れ る.ま

た,作

のRの

ε:A→R}と

棒 分 解{Xn}に

つ い て思 い お

お く と き, 

生 成 元 は 

a0∈A,ai∈A,と

用 μn,可 縮 ホ モ ト ピ ーsn,境

表わ

界 作 用 素 ∂nは 次 の よ うに定 義

さ れ る:

こ の と き,次

が 成 り立 つ:

 (5.8)

  命 題5.9 

棒 分 解{Xn}は

次 の 条 件 で 特 徴 づ け ら れ る:

 (1)  X0=A  (2) A-加

群 と し て, 

 (3)  上 の 同 型 の 下 で,∂n+1:Xn+1→Im∂n+1=Ker∂n⊂Xnは Ker∂n→Ker∂nに   た だ し,n=0の

対 応 す る.

と ぎ はKer∂0はKerε

で お き か える.

作用

μn:A 

  [証 明]  Ker∂n∋u⇒

∂n(u)=0⇒(5.8)よ よ

か つ ∂n+1はsnの

りsn°∂n+1(υ)=υ.従

逆 写 像.こ

も

り ∂n+1°sn(u)=u.一

の と き,A-加

方, 

っ て, 

群 とし て  

しKer∂n∋u,A∋aな

らば

(終)   定 理5.10 

EがG上

のMilnor分

解 な ら ば(5.2)は

代 数H(G)上

の棒 分解 に

同 型 で あ る.   [証 明]  ま ず,Milnor分 命 題5.7の

解E={En}に

お い てE0=G⇒E10,q(B)=Hq(G).

証 明 で み た よ う に, 

あ る か ら,次

の 図 は 可 換,か

∂(u× υ)=∂u× υ で

つ φn*°α は 右H(G)-加

群 の 同 型:

 (5.11)

  ψn*°α に よ りH(En)は

右H(G)-加

群 で あ り,Dn+1は

は 右H(G)-加 °α°(∂ ×1)-1に の 下 で,∂

可 縮 で あ る か ら, 

群 の 同 型.こ

の と き,同

よ り, 

型 φn* こ の同 型

は 作 用 ψn*°α に 対 応 し て い る.従

っ て(5.2)は

命 題5.9の

条件をみ

た し て い る. 

(終)

  ス ペ ク トル 系 列 の 準 同 型   X={Xn}はfilterつ I,I0={0,1})を

き 空 間 とす る.ま

たI=[0,1]はfiltration{I1,I0}(I1=

も つ も の と す る.I×Xに

は 射 影,gi:X→I×X⇔gi(x)=(i,x),i=0,1,と ず れ もfiltrationを

は 積filtrationを

入 れ,F:I×X→X

定 義 す れ ば,F,giは

い

保 つ.

  記 号   〓r(Y),〓r(Y):filterつ

き 空 間Yの

そ れ ぞ れ ホ モ ロ ジ ー,コ

ホモロジ

ー完 全 対   命 題5.11 

(1) 

につい て  

  (2) 

に つ い て, 

  [証 明]  (1)  ま ず,〓r(I)に  

(直 和 因 子) 

そ の 逆 はg0*=g1*. そ の 逆 はg*0=g*1.

お い て, 

さ ら に, に つ い て.Er(I)の

自明 で な い 部

分は  

の み.従

 

は 頂 点0に

とす る と,上

って,定 理3.8よ

お い て 係 数1を

り

も つ0-サ

の 同 型 はE2(X)∋u→z0・uに

=z0・u⇒g0*:同

型 .ま

イ ク ル に よ り表 わ さ れ る も の

よ り与 え られ る.明

ら か に,g0*u

た 

補 題2.3よ

り

 (2)  コ ホ モ ロ ジ ー の 場 合 も 同 様.    定 理5.12 

f0,f1:X→Yはfilterつ

き 空 間 の 写 像 で,filterつ

とし て ホ モ トー プ(⇔filtrationを

 

(終)

保 つ ホ モ トピ ーI×X→Yが

き空 間 の 写 像 存 在)な ら ば,

に つ い て,

  [証 明]  F:I×X→Yを (i=0,1)と

ホ モ ト ピ ー と し,gi:X→I×X⇔gi(x)=(i,x)

す る と,fi=F°gi.こ

の と き, 

に つ い てg0*=g1*⇒f0*=

F*°g0*=F*°g1*=f1*.    定 理5.13 

(終)

f:G→G′

そ れ ぞ れG-,G′-分

は 単 位 元 を も つ 結 合 的Hopf空 解 と す る と き,任

全 対 の 同 じ 準 同 型 を 導 く(BG,BG′

  [証 明]  定 理4.6に

よ りf0か

こ の と き,F:I×B→B′ ピ ー,従   系5.14 

任 意 の2つ

のf-写

は そ れ ぞ れG,G′

らf1へ

はfilterつ

っ て 定 理5.12よ

意 の2つ

のf-ホ

間 の 準 同 型,E,E′ 像f0,f1:E→E′

は完

の 分 類 空 間):

モ トピ ーF:I×E→E′

き 空 間 の 写 像 と し てf0か

が 存 在.

らf1へ

のホモ ト

り出 る.  のG-分

(終)

解 の 随 伴 完 全 対 と ス ペ ク トル 系 列 は 第2項

は 互 い に 標 準 的 に 同 型 で あ る.特

を

に,そ

れ ら はMilnor分

以後

解 の随 伴 完 全 対 と ス

ペ ク トル 系 列 に 同 型 で あ る.   [証 明]  定 理4.6をE,E′ g:E′ →Eが

はG-分

存 在 し てg°f,1E:E→Eは

解,f=1Gに

適 用 す れ ばf-写

い ず れ もf-写

像.定

像f:E→E′,

理5.13よ

り

 

(終)

 同 様 に,

  系5.15 

に 対 し て,随

伴 完 全 対 〓r(BG),〓r(BG)は

圏{結 合 的Hopf

空 間G,積

を 保 つ 連 続 写 像}か

ら 圏{完 全 対,準

同 型}へ

の そ れ ぞ れ 共 変,反

変

ス ペ ク トル 系 列 の 第2項

は

関 手 で あ る.   証 明 は 明 ら か で あ ろ う.   命 題5.7,定

理5.10お

  定 理5.16 

H(G)がR-自

よび 系5.14を

合わ せて

由 な ら ば,G-分

解Eの

次 な み た す: (次 数つ き 加 群 と し て).   G-分

解 の ス ペ ク トル 系 列 に お け る 積 と 双 対 積

  EはG-分 で あ る.対

解,Bを

そ の 底 空 間 とす る.定

角 写 像 △:G→G×GはHopf写

解 の △-写 像〓:E→E×Eが

理4.4に

よ りE×EはG×G-分

像 で あ る か ら,定

あ る.こ

の と き,定

準 同 型〓*:Er(B×B)→Er(B)は 

理5.13に

に つ い て〓

  定 義   次 の 合 成 に よ り,コ

理4.6に よ り,誘

解 よ り分 導 され た

の と り方 に よ ら な い.

ホ モ ロ ジ ー ス ペ ク トル 系 列 の 積 を 定 義 す る:

 (5.16)

た だ し,φ

は 定 理3.7′ の ク ロ ス 積 で あ る.

  記号   ∀rに つ い てEr(B)が

自 由 の と き,定

理3.8に

よ り ホ モ ロ ジ ー ク ロ ス 積 

は 同 型 で あ る か ら,   定 義   ∀rに つ い てEr(B)が

自 由 の と き,次

の 合 成 に よ り,ホ

モ ロジ ー スペ

ク トル 系 列 の 双 対 積 を 定 義 す る:  (5.17)

  次 にGは ら,B×Bの

可 換 とす る.こ

の と き,積

μ:G×G→GはHopf写

ス ペ ク ト ル 系 列 か らBの

像 で あ るか

ス ペ ク トル 系 列 の 準 同 型 を 導 く.そ

こで   定 義   Gが

可 換 の と き,次

の 合 成 に よ り,ホ

モ ロ ジ ー ス ペ ク トル 系 列 の 積 を

定 義 す る:  (5.18)

 記 号   さ ら に,E1(B)が に よ り 

自 由 で 有 限 型,∀rに

つ い てEr(B)が

は 同 型 で あ る か ら,

自 由 の と き,定 理3.8′

 定 義   Gが き,次

可 換,E1(B)は

自 由 で 有 限 型,∀rに

つ い てEr(B)が

自由 の と

の 合 成 に よ り コ ホ モ ロ ジ ー ス ペ ク トル 系 列 の 双 対 積 を 定 義 す る:

 (5.19)

  注 意   上 の定 義 は い ず れ も  い て は〓,μ

に つ い て は〓,μ の と り方 に よ ら な い が,r=1に

  命 題5.20 

につ い て

  (1)  定 義 さ れ た 積 は 可 換,結

合 的 か つ 単 位 元 を も つ,

  (2)  定 義 さ れ た 双 対 積 は 可 換,結

合 的 か つ 単 位 元 を もつ.

  [証 明]  (可 換 性) t:G×G→G×G⇔t(g1,g2)=(g2,g1)と はHopf写

つ

の と り方 に よ る.

像 で,t° △=△

で あ る か ら,系5.15に

定 義 す る とt よ り 

に つ い て 

(ま た は  と 定 義 す る と き,定 (4),3.7′.(4)に

よ り φ°τ=t*° φ,φ °τ=t*° φ.従

理3.7.

って

コ ホ モ ロ ジ ー 積 の 可 換 性, ホ モ ロ ジ ー 双 対 積 の 可 換 性.   次 にGは

可 換 と す る.従

っ て μ°t=t.系5.15に

よ り, 

に つ い て,

ホ モ ロ ジ ー 積 の 可 換 性, コホ モ ロジ ー双 対 積 の 可 換 性.   (結 合 性)  △ と μ は 結 合 的:  で あ る か ら,系5.15に ぞ れ,定

よ り ス ペ ク トル 系 列 に 導 か れ た 準 同 型 は 結 合 的.そ

理3.7.(3),(5),3.7′.(3),(5)に

ら の こ と か ら,積,双

ら 成 るe-分

△:G→e×G,g=μ

れ

えば

位 元 は 結 合 的 か つ 可 換 なHopf空

解 を 考 え る と 底 空 間 はe.そ

は 自 明 で,E0,0r(e)=R=Er0,0(e).射

f=(p×1)°

よ り ∀φ は 自 然 的 か つ 結 合 的.こ

対 積 の 結 合 性 が 出 る:例

  (単 位 元 の 存 在 性)  G∋e:単

れ

間.eの

みか

の 随 伴 ス ペ ク トル 系 列{Er(e)},{Er(e)}

入 と 射 影 

°(i×1):e×G→Gと

は 準 同 型 で あ るか ら,

お く と 定 理3.7′.(6)よ

り

双 対 積(5.19)が

定 義 さ れ た と き,

  単 位 元 ∈Er(B)か   Er(B)に

つi*は

そ の 双 対 単 位 元.

つ い て も 同 様. 

  命 題5.21 

(終)

につい て

  (1)  drは

定 義 さ れ た 積 お よ び 定 義 さ れ た 双 対 積 と可 換,

  (2)  drは

定 義 さ れ た 積 お よ び 定 義 さ れ た 双 対 積 と 可 換.

  [証 明]  d=drま

た はdr,E=Er(B)ま

た はEr(B)と

す る. 

と 定 義 す る と,定 (1)はdが

φ と 可 換 な こ と を 示 し て い る.ま

で あ る か ら,dは

合 成(5.16)∼(5.19)と

理3.7.(1),3.7′.

た,dは〓*,〓*,μ*,μ*と

可 換,す

な わ ち,定

可換

義 され た 積 お よび

定 義 さ れ た 双 対 積 と 可 換.    命 題5.22 

(終) に つ い て,Er(B)の

部 分 加 群 か らEs(B),の

部 分 加 群 か らEs(B);Er(B)の

上 へ の 自 然 な 準 同 型 λ=λr,sは 定 義 さ れ た 積 お よ び 定

義 さ れ た 双 対 積 を 保 つ.   [証 明]  λ は ス ペ ク トル 系 列 に 誘 導 さ れ た 準 同 型 と可 換,特 μ*と 可 換.Er(ま (ま た はE1)の

た はEr)お

よ びEs(ま

た はEs)に

お け る ク ロ ス 積 φ はE1

ク ロ ス 積 よ り導 か れ た も の で あ る か ら,φ

λ は 合 成(5.16)∼(5.19)と

可 換,す

な わ ち,定

に,〓*,〓*,μ*,

は λ と 可 換.従

対 積 を 保 つ.    命 題5.23 

(終) 次の同型  (随 伴 加 群), (随

は い ず れ も,定

伴 加 群)

義 さ れ た 積 お よ び 定 義 さ れ た 双 対 積 を 保 つ.

  [証 明]  ξはfilterつ 可 換,特

っ て,

義 され た積 お よび 定 義 され た 双

き 空 間 の 写 像 か ら 導 か れ た ス ペ ク トル 系 列 の 準 同 型 と

に,〓*,〓*,μ*,μ*と

な こ とを 示 し て い る.従

可 換.定

っ て,ξ

理3.7.(2),3.7′.(2)は

は 合 成(5.16)∼(5.19)と

可 換,す

義 さ れ た 積 お よ び 定 義 さ れ た 双 対 積 を 保 つ.    命 題5.24 f=G→G′

が 結 合 的Hopf空

間 の 準 同 型 な ら ば,ス

ξが φ と 可 換 な わ ち,定 (終) ペ ク トル 系 列

に 導 か れ た 準 同 型f*,f*は

定 義 さ れ た 積 お よび 定 義 さ れ た 双 対 積 を 保 つ.

  [証 明]  (コ ホ モ ロ ジ ー 積)  (f×f)° △=△  ま た 定 理3.7′.(3)よ れ ら か ら, 

こ ′)=f*(u′υ ′).

′ °fで あ る か ら,系5.14に

ま た 定 理3.7.(3)よ

よ り

り  従 っ て,(f*u′)(f*υ

  (ホ モ ロ ジ ー 双 対 積)  (f×f)° △=△

φ:同

′ °fで あ る か ら,系5.14に

よ り 

り 

こ こで

型 で あ る か ら, 

以 上 か ら,  は ホ モ ロ ジ ー ス ペ ク トル 系 列 に お い て 双 対 積 を

保 つ.   (ホ モ ロ ジ ー 積 と コ ホ モ ロジ ー 双 対 積)  G,G′ f)と す る と,系5.14に

は 可 換,従

っ てf° μ=μ′°(f×

よ りf*° μ*=μ ′*(f×f)*.

(終)   命 題5.25 

Er(B)(ま

た はEr(B))に

(ま た はEr(B))はHopf代

積 と 双 対 積 が 定 義 さ れ る と き はEr(B)

数 に な る 

  [証 明]  (コ ホ モ ロジ ー の 場 合)  Gが

可 換 な と き,Er(B)がHopf代

る こ と を 示 す に は, 

が 代 数 の準 同型 で あ る こ と

を 示 せ ば よ い.命

題5.24に

あ る.従

が 積 を 保 つ こ と を 示 せ ば よ い.こ

っ て,φ

数であ

よ り μ*は 積 を 保 つ,す

な わ ち,代

数の準同型で

れは次の図が可換であ るこ

と と 同 値:

 (5.26)

た だ し,△2はG×Gの

対 角 写 像.上

の 積 を 定 義 す る.△2=(1×t×1)°(△ る.ま

た,定

は:  向 きに 回 る と

理3.7′.(3)よ

の 横 列 はEr(B)2の × △)と 系5.15よ

積,下

の 横 列 はEr(B2)

り,三

角 形 の可 換 性 が 出

り右 の 四 辺 形 の 可 換 性 が 出 る.左

の六 角 形 につ い て

を 時 計 回 りに 回 る と(-1)pq(a・c)・(b・d)∈Er(B4).逆

(φ の 結 合 性 と 自然 性) (定 理3.7′.(4))

  従 っ て,Er(B)はHopf代

数 に な る.

  (ホ モ ロ ジ ー の 場 合)  Er(B)がHopf代 が 代 数 の 準 同 型,す は 積 を 保 つ.φ

な わ ち,積

数 で あ る こ と を 示 す に は,φ-1°〓*

を 保 つ こ と を 示 せ ば よ い.命

題5.24に

よ り〓*

が 積 を 保 つ こ とを 示 す に は 次 の 図 が 可 換 で あ る こ とを 示 せ ば よ

い.

 (5.26)′

  た だ し, 

す な わ ち,(g1,g2)(g3,g4)=(g1g3,g2g4).上

図 の 可 換 性 は 定 理3.7.(3)を   TorとExtの

使 っ て(5.26)と

同 様 に す れ ば よ い. 

積 と双 対 積

  (A,φ,ψ)は

積 φ,双

対 積ψ

を も つHopf代

数 と す る.こ

ジ ー 代 数 の 定 理 を 思 い お こ そ う([M],p.232):   (5.26) 

の (終)

α は ク ロ ス 積 とす る と き,

  (1)  ExtA(R,R)の

 (2)  TorA(R,R)の

 さ ら にAが

積 は 次 の 合 成 で 与 え ら れ る:

双 対 積 は 次 の 合 成 で 与 え ら れ る:

可 換 な らば

 (3)  TorA(R,R)の

積 は 次 の 合 成 で 与 えら れ る:

 (4)  ExtA(R,R)の

双 対 積 は 次 の 合 成 で 与 え ら れ る:

 定 理5.27 

自 由 な ら ば,定

H(G)が

理5.16の

は定 義 さ れ た 積 お よび 定 義 さ れ た 双 対積 を保 つ.

同型

の と き次 の ホ モ ロ

  [証 明]  仮 定 か らH(G)は

自 由 で あ る か ら,Kunneth公

そ し てH(G)はHopf代 H(G)上

式 に よ り 

数 に な る.(5.26)の(1)に

の 代 数 的 分 解X={H(En,En-1)}を

考 え,代

を 選 ん で 双 対 鎖 群 上 で 

よ れ ばA=

数 的 分 解 のψ-写

像 

に よ り積 を 計 算 す れ ば よ い が,

分 解 の 幾 何 学 的 写 像ψ:E→E×Eは

上 のhを

導 き,h*=ψ*で

あ る.こ

れに

よ り, (代 数 と し て).   他 の 場 合 も 同 様. 

 補

(終)

遺

  A  分 類 空 間 の 幾 何 学 的 意 味   Gを

位 相 群 とす る と き,任 意 のG-分

つB=E/G上 CW-複

の主G-バ

体 上 のG-バ

をCW-複

解 は作 用E×G→Gを

ン ドル で あ る.Eは

主 写 像 とし て も

可 縮 であ るか ら,従 っ て,Eは

ン ドル の 普 遍 バ ン ドルで あ る こ とが わ か る.す な わ ち,K

体 とす る とき,次 の一 対 一 対 応 が あ る: {K上

  特 に,Kが

のG-バ

有 限CW-複

ン ドル の 同 値 類}〓[K,B].

体 でLusternik-Schnirelmannカ

テ ゴ リ ー がnの

と き 次 が 成 り立 つ:   (A.1) 

K上

の 任 意 のG-バ

  (A.2) 

も し,2つ

ン ドル は あ る 写 像K→Bnに

のG-バ

い て ホ モ トー プ,従

ン ドル が

値 な ら ば,対

っ て,射 入in:Bn⊂Bn+1に

のG-バ

の 写 像 に よ り導 か れ る か ら,次

  B  Milgramの Xは

 定義

分 類 空 間[Milgram

結 合 的Hopf空

のG-バ

ン ドル を 導 き,こ

ン ドル の 同 値 類} のG-バ

ン ドル はBnへ

の 一 対 一 対 応 が あ る:

 ま たSiのLusternik-Schnirelmannカ

 

応 す る 写 像 はBn+1に

間 とす る.

お

つ い て 次 の 一 対 一 対 応 が あ る: {K上

  任 意 の 写 像K→BはK上

よ り導 か れ る.

テ ゴ リ ー は1で

1]

あ る か ら,

 Ai(X)に

次 の2種 類 の 同値 関 係Rを

入 れ る:

 [R.1]

また は  [R.2]

  定 義   Ei(X)=Ai(X)/R   こ の と き,Xは

(等 化 位 相).

結 合 的 に 左 か ら 作 用 す る:X×Ei(X)→Ei(X).

  定 義   E∞(X)=UEi(X) 

(弱 位 相).

  こ の と き,Ei(X)はEi+1(X)に   定 義   Bi(X)=Ei(X)/X  ρi:Ei(X)→Bi(X)は

お い て 可 縮.特 (等 化 位 相), 

に,E∞(X)は

可 縮 で あ る.

B∞(X)=UBi(X) 

(弱 位 相),

射 影 とす る.

  こ の と き,   (B.1)  ーXを

Xが

連 結,(X,e)がNDR-対

な ら ば ρi:Ei(X)→Bi(X)は

もつ 準 フ ァイバ ー空 間 で あ る

  (B.2) 

Xが

  (B.3) 

XがCW-複

複 体 で,鎖

可 換 な ら ばB∞(X)は

  [Steenrod

1]に

,

結 合 的,可

換 なHopf空

体 で 積m:X×X→Xがcellularな

群C(B(X))は,鎖

フ ァ イバ

群C(X)の

間, ら ば,BXもCW-

棒 分 解 に 同 型 で あ る.

お い て は こ の 構 成 の 改 良 が な さ れ,次

が 成 り立 つ こ と が 示

さ れ て い る:   (B.4) 

E(X×Y)=E(X)×E(Y).

  (B.5) 

Xが

可 換 なmonoidな

monoid,BX=EX/Xは   C  結 合 的Hopf空   Xを1-連

結,有

… ,xl),￨xi￨=ni:奇 [Ewing]の

可 換 なmonoidで,Xは

部分

あ る.

間 の 有 理 型[Ewing] 限 次 元 結 合 的Hopf空 数 と な る.こ

間 と す る と き,H*(X;Q)=Λ(x1,

の と き(n1,…,nl)をXの(有

理)型 と い う.

結果は

  (C.1)  rank 

な ら ば,XはLie群

(3,5,7,11,15),    (C.2)  Xの る.

ら ばE(X)も

商monoidで

の 型 か 次 の い ず れ か で あ る:

(3,7,11,11,15), 

有 理 型 の 成 分 は 重 複 せ ず,か

(3,5,5,7,9)

つ 最 大 成 分2n-1>59と

仮定す

ⅰ )  n:奇

数 ⇒Xの

有 理 型 は そ の成 分 にす べ て の 自然 数 

を もつ,ⅱ )  n:偶 数,n/2≠3の   ⅲ )  n:偶 数,n/2=3の  

巾 ⇒Xの

有 理 型 は そ の 成 分 に す べ て の 自然 数

を もつ, 巾 ⇒Xの を もつ.

有 理 型 は そ の成 分 に す べ て の 自然 数

第7章   高次結合性

  本 章 で は[Stasheff 1]に

3]に 沿 っ て 高 次 結 合 性 を 解 説 す る が,不

備 な 点 は[Iwase

よ り補 う.

  §1  An構

造 とAn形

式

  複 体Ki   ま ず,Ii-2に

同 相 な 凸 集 合 で, 

化 作 用 素s1,…,siを

もつ 胞 複 体Kiを

個 の 辺 作 用 素 ∂k(r,s)とi個

の退

以 下 の よ うに 構 成 す る.

 定義  こ の と き,Kiは

明 ら か にIi-2に

同 相 で あ り, が あ っ て 

 定 義   辺 作 用 素 ∂k(r,s):Kr×Ks→Kr+s-1を

(境 界). 次 で 定 義 す る:

に対 し て

に対 し て

 この と き,次  (1.1) 

が 成 り立 つ:

(イ)

 (ロ)   た だ し,χ:Ks×Kt→Kt×Ksは   [証 明] 

(イ) 

…,υt -2)に

対 し て

k,j>1と

因 子 を 交 換 す る 写 像. す る.ρ=(t1,…,tr-2),σ=(u1,…,us-2),τ=(υ1,

  た だ し,  一

方

,

 た だ し,   上 式 にuk-1を

代 入 し て 上 の 二 式 が 等 し い こ と が わ か る.後

半 に つ い て も同

様. 

(終)

  Kiの

面 に 番 号 を つ け る一 つ の 方 法:

  i個 の 文 字x1,…,xiか xi)は

除 く).こ

ら 成 る 単 語x1…xiに

の 各 挿 入 に 対 し て ∂Kiの

(xk…xk+s-1)…xiに

お い て,(xk…xk+s-1)に

像)に よ るKr×Ks(r+s=i+1)の

  実 は,条 *と

し,K2か

件(イ),(ロ)に らKi-1ま

ち,条

件

対 し て面 作 用 素

な わ ち,x1…

∂k(r,s)(同 相 写

像 と し て ∂Kiの 胞 体 を 対 応 さ せ る.

よ っ てKiを

帰 納 的 に 構 成 で き る.す

で 構 成 さ れ た と き,Kr×Ksを

合 わ せ て ∂Kiを 構 成 し,Kiは   こ の 構 成 を 用 い て,退

括 弧 を 挿 入 す る(た だ し,(x1…

胞 体 を 対 応 さ せ る .す

∂Kiの 錐(cone)と

化 作 用 素sj:Ki+1→Kiを

な わ ち,K2=

条 件(イ),(ロ)で

貼 り

と れ ば よ い. 帰 納 的 に 定 義 す る.す

なわ

 (ハ)

 (ニ)

(πmは 第m因

子 へ の 射 影)

 (ホ) に よ り,退 化 作 用 素sj:Ki+1→Kiを と き,∂Ki+1上

まず 帰 納 的 に ∂Ki+1上

で 定 義 す る.こ

の

で 次 が 成 り立 つ こ と が わ か る:

  (ヘ)   次 に,上 (Kiに

の 構 成 に 従 っ て,Ki+1の

各 点 を(t,τ),t∈I,τ

つ い て も 同 様 に 表 わ す).Ki+1∋

と表 わ さ れ る と き,sj(t,τ)=(ts,τ

表 わ す.

∀(t,τ)に 対 し て,sj(τ)=(s,τ ′),τ ′ ∈ ∂Ki

′)と定 義 す る.こ

み た し て い る の は 構 成 か ら 明 ら か で あ り,ま か め ら れ る.以

∈ ∂Ki+1と

の と き,sjが(ハ)∼(ホ)を

た(ヘ)が

成 り立 つ こ と も 容 易 に 確

上 よ り

  (1.2)  退 化 作 用 素sj:Ki→Ki-1は(ハ),(ニ),(ホ),(ヘ)を

み た す.

 さ ら に   (1.3)  次 の2条

件 を み た す 同 相 写 像 ηi:I×Ki→Ki+1が

存 在 す る:

 (ト)

 (チ)   [証 明] iに

つ い て の 帰 納 法 で 示 す.i=2の

て 成 り立 つ と仮 定 す る.(チ)に

が あ る こ と が わ か る.こ ∀r>1,(kとrは

∀j
つい

よ り中 へ の 同 相 写 像

こ でJi=Imη

共 に は2で

と き は 明 ら か.今

な い)か

′iはす べ て の 面 ら 成 る.さ

∂k(r,s)(Kr×Ks),∀k>1,

て

と み な す と,

この よ うに し て

と お い て(ト),(チ)を

み た す 同 相 写 像 ηiを定 義 す る. 

(終)

 こ の こ と よ り  (1.4)

 空 間 のAn構  以 下,圏{基

造 とAn形

点 の あ る 可 算 なCW-複

 定 義   XのAn構 ⇔n個

式 体}で

考 え る.

造(An-structure)

の準 フ ァイ バ ー空 間 pi:(Ei,X)→(Bi-1,*) が 存 在 し て,次

を み た す:

  (1)  右 図 は 可 換,  (2)  contractingホ

モ ト ピ ーh:CEn-1→Enが

あ っ て,h(CEi-1)⊂Ei.

  よ く知 ら れ た よ う に   補 題1.5 

準 フ ァ イ バ ー 空 間p:(E,X)→(B,*)に

な フ ァ イ バ ー 空 間F→E→Bが に よ り,上

対 し て,ホ

モ トピ ー 同 値

存 在 し て,

の 定 義 に お い て,pi:(Ei,X)→Bi-1は

ファ イ バ ー空 間 とみ な して

よ い.   定 義   {mi},  ⇔

はX上

のAn形

写 像 

式(An-form)

は 次 を み た す:

 (1)

 に対 し て

 (2)

τ∈Ki,i>2, に対して

 (3) 

 

こ の と き,(X,{mi})をAn空

  注 意   (1)  A2空

間(An-space)と

間 ⇔Hopf空

間.

  こ の と き,m2(*,x,y)=xyと   (2)  i=3の m2°(1×m2)の

書 く こ と も あ る.

と き,K3=Iで

あ る か ら,条

件(2)のm3:I×X3→Xはm2°(m2×1)と

間 の ホ モ トピ ー: 

モ ト ピ ー で あ り,m2は

  例   結 合 的Hopf空

い う.

で あ る .す

な わ ち,m3はassociatingホ

ホ モ ト ピ ー 結 合 的 な 積 で あ る.

間 は ∀nに

つ い てAn形

式 を も つ:

mi(τ,x1,…,xi)=x1x2…xi.

  こ れ を 自 明 なAn形

式 と い う.

  注 意  上 の定 義 に お け る条 件(3)は 技 術 的 な ものに す ぎず,制 限 的 では ない こ とが 次 の 補 題 に よ りわ か る.   補 題1.6 

{mi,i
す な ら ば,写

像mn:Kn×Xn→Xが

  [証 明]  Ln=∂Knと →F(Ln,X)と

式 で,m′n:Kn×Xn→Xが(2)を 存 在 し て(2),(3)を

XはHopf空

間,従

X[i]はXiに

お い てretractileで

随 伴 写 像 をf0:Xn

の 拡 張 は,f0とf1:Xn→F(Ln,X)

⇔f1(x1,…,xn)(τ)=x1(x2(…(xn-1xn)))の

間 の ホ モ トピ ー の 随 伴 写 像 で あ る.

っ てF(Ln,X)もHopf空

間 で あ り,容

易 に わ か る よ うに

あ る か ら,定 理 Ⅰ.1.27′ に よ りf0とf1の

ホ モ トピ ー が あ り,こ の 随 伴 写 像 が(2)と(3)を →Xで

み た す.

お く.m′n￨Ln×Xn:Ln×Xn→Xの

す る と,m′nのKn×Xnへ

みた

間 の

み た す 求 め る 写 像mn:Kn×Xn

あ る . 

  An形

(終)

式 か らAn構

造の構成

 記号 

があって

  次 の 補 題 は 後 で 用 い ら れ る:   補 題1.7 

(1)  Ki+1×XiにRiの

近 傍Riが

あ っ てRiはRiの

強変 位 レ ト

あ っ て,Si-1は〓i-1の

強変位 レ ト

ラ ク ト.   (2)  Ki+1×Xi-1にSi-1の

近 傍〓i-1が

ラ ク ト.   [証 明]  (1)

Ki+1に

お け るLi+1=∂Ki+1の

同 値 写 像φ:N′

→Li+1×(0,1]が

す.今,  Li+1が

あ っ て,φ と お

柱 状 近 傍N′ はLi+1を

を と る.す

恒 等 的 にLi+1×1に

く と,deformation

hs:Ki+1→Ki+1

あ っ て,h1=id,h0(N)⊂Li+1を

み た し,N′

  複 体 で あ る か ら,eの

開 近 傍Neとdeformation ks:X→Xが

の 外 側 で はhsは

辺 の 和 集 合 でKi+1×Ne×X×

… ×Xは

写 rel

定 値 写 像. 存 在

し て,k1=id,k0(Ne)=e.今

(た だ し,右

な わ ち,

除 く)

D″t=ht×1×(kt)i-1:Ki+1×Xi→Ki+1×Xiと (Ri)⊂Ri.従

っ て,D″tはRiか

お く と,D″1=id,D″0(Ri)⊂Ri,D″t らRiの

上 へ の 強 変 位retraction

D′tにdeform

で き る.   (2) Riか はSi-1の

ら 第1因

子 のXを

開 近 傍 で あ る.次

と 定 義 す る と,d′tは〓i-1か   定 義   空 間Eiと

省 略 し て え ら れ る も の を〓i-1と

お く と,こ

れ

に,

らSi-1へ

の 強 変 位retractionで

写 像 αi:Ki+1×Xi→Eiを

あ る. 

(終)

帰 納 的 に 次 の よ う に 定 義 す る:

は 相 対 同 相 写 像,   た だ し,

  定 義   空 間Bi-1と

写 像 βi:Ki+1×Xi→Bi-1を

帰 納 的 に 次 の よ うに 定 義 す

る:

は 相 対 同相 写 像.   た だ し,

 定義  こ の と き ρiは 写 像pi:Ei→Bi-1を

  以 下,iに

関 す る 帰 納 法 でpiが

こ と を 示 す.ま

ず,i=1の

定 と し てpi-1:Ei-1→Bi-2は

導 く:

フ ァ イ バ ーXを

と き,B0=*で

もつ 準 フ ァ イバ ー空 間 で あ る

あ る か ら 明 ら か.今,帰

準 フ ァ イ バ ー 空 間 で あ る と 仮 定 す る.

納 法 の仮

  [TM]の

第5章,系1.8,補

題1.13よ

り準 フ ァ イ バ ー空 間 に 関 す る次 の 性 質

を 思 い お こ そ う.   (1.8)  写 像p:E→B,Bの p￨p-1(U∩V)が

開 集 合U,Vに

つ い て,p￨p-1(U),p￨p-1(V),

準 フ ァ イ バ ー 空 間 な ら ば,p￨p-1(U∪V)も

準 フ ァイバ ー 空 間

で あ る.   (1.8)′ p:E→Bは   1)  B⊃B′

次 の 条 件 を み た す と き 準 フ ァ イ バ ー 空 間 で あ る:

が 存 在 し て,E′=p-1(B′)と

お く と き,p￨E′:E′

→B′ は 準 フ ァ イ

バ ー 空 間,   2)  deformation

  piを2つ

Dt:E→E,dt:B→Bが

存在 して

の 部 分 準 フ ァ イ バ ー 空 間 の 合 併 に 分 解 す る:

 記号

 こ の と き,

  補 題1.9 

pi￨P:P→Uは

  [証 明]  Pお

よびU上

る か ら,pi￨Pは

第2因

準 フ ァ イ バ ー 空 間 で あ る. で α-1i,β-1iはそ れ ぞ れwell-definedな 子 へ の 射 影X×U→Uに

同 値 で,従

同相 写 像 で あ って 準 フ ァ イバ ー

空 間 で あ る.    補 題1.10 

(終) pi￨Q:Q→Vは

準 フ ァ イ バ ー 空 間 で あ る.

  [証 明]  (1.8)′のp:E→B,(E′,B′)と る.帰

納 法 の 仮 定 か らpi￨Ei-1=pi-1は

た さ れ る.ま

し てpi￨Q:Q→V,(Ei-1,Bi-2)を 準 フ ァ イ バ ー 空 間 で あ り,条

と 件1)は

み

た

と 定 義 す る と,D′t,d′tは

強 変 位retraction,す

な わ ち,Ri,Si-1上

で そ れ ぞ れ

定 値 で あ る か ら,Dt,dtはwell-definedで

あ る.明

ら か にpi°Dt=dt°pi.さ

ら に,

従 っ て,後 は 

ま ず,z∈Bi-2の

と き,d0(z)=z,従

z∈V-Bi-2の あ るrが

と お く と き,次 を 示 せ ば よ い:

っ てgz=idで

と き:z=βi(τ,x2,…,xi)と

あ る か ら 上 は 明 ら か.次

一 意 的 に 表 わ せ る.ま

あ っ てd0(z)=βr(μ,y2,…,yr)と

に,

た こ の と き,

一 意 的 に 表 わ せ る.そ

こ で2つ

の 同

相写像 を

と定 義 す る.   d0は 次 の 写 像

に ホ モ ト ー プrel …,xi)が

Bi-2で

あ る.h0(τ)∈

問 題 な の で あ る か ら ,d0(z)は

∂Ki+1ま

た はk0(xj)=eの

βr(ρ,y2,…,yr)と

精 々 一 つ のyjがms(σ,xk+1,…,xk+s)と

場 合 の(τ,x2,

表 わ さ れ る.た

だ し,

い う形 で あ る の を 除 け ば,yjはxkの

ど れ か で あ る か ら 

また は

σ,xk+1,…,xk+sが

あ っ て

 こ の 右 辺 は 写 像x→x(xk+1(…(xk+s)…)) に ホ モ

トー プ.こ

ピ ー 同 値 写 像.従   定 理1.11    [証 明] 

こでXは っ て,い

pi:Ei→Bi-1は 補 題1.9,1.10に

る か ら,(1.8)に

弧 状 連 結 で あ る か ら,right ず れ に せ よgzは

translationは

ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像 . 

Xが

(終)

準 フ ァ イ バ ー 空 間 で あ る. よ りpiはU,V,U∩V上

よ りpi:Ei→Bi-1は

で 準 フ ァイバ ー空 間 で あ

準 フ ァ イ バ ー 空 間 で あ る.

 特 に   系1.12 

ホ モ ト

弧 状 連 結 な ら ば, 

  定 義   次 の 相 対 同 相 写 像 に よ り 定 義 さ れ る 空 間 をDiと

∀q. す る:

定義  と お く と( 

の と き,σi=pi￨Diと

な る),こ

れは相対同相写像

 (1.12)

を誘 導 す る.   定理1.13   [証 明]  2つ の 写 像

を 定 義 す る.こ る か ら,射

こ で 

で あ る が, 

入CEi-2⊂CEi-1は

⇒CEi-1に

射 入 

に ホ モ トー プ

お いて

  こ こ で,一 般 にf:Y→Zの rel Fで

であ

拡 張F:CY→CZに

あ る か ら,ψiはdeformさ

ψi￨Si-1=γi￨Si-1.こ と す る と,こ

対 し て 

れ て,ψi:Ki+1×Xi-1→CEi-1が

え ら れ て,

の 写 像 が 誘 導 す る写 像 を 再 び  れ は 明 ら か に φiの ホ モ ト ピ ー 逆 写 像 で あ る. 

  空 間 の増 加 列 Z1⊂Z2⊂

… ⊂Zl-1⊂Zl

が 与 え ら れ て い る と す る.   補 題1.14 

写 像 の 列 

が 写 像 の 列 

を誘 導 し て g′i=gi°(1Y×αi) が 成 り 立 つ た め の 必 要 十 分 条 件 は,次 り立 つ こ と で あ る:   (1)  g1:Y×E1→Z1はwell-defined,

が成

(終)

 (2)

 (3)

  [証 明]  必 要 性 は 明 らか.   (十 分 性)  iに 関 す る 帰 納 法 で 示 す.今,gi,  gi°(1Y× αi)が み た され て い る とす る.αi+1は

ま で 誘 導 さ れ,g′i=

等 化 写 像 で あ る か ら,gi+1が

さ れ る に は 次 を 示 せ ば 十 分 で あ る:  (1.15)

 た だ し,  と す る と,

  今,

な る 相 対 同 相 写 像 で あ る こ と よ り,次

 が

の い ず れ か が 成 り立 っ て い る:

(τ1,χ1)=(τ2,χ2) また は

また は また は  (τ1,χ1)=(τ2,χ2)の

と き,(1.15)が

 そ う で な い と き,条

成 り 立 つ の は 自 明.

件 か ら,

また は

で あ り,(2)よ

りt=1,2に

対 して

で あ り,こ れ ら は 仮 定 か ら 等 し い(順 不 同).帰 g′i+1(y,τ1,χ1)

納 法 の仮 定 か ら

誘導

と な る.た

だ し,中

τ2∈∂Ki+1な

括 弧 同 士 の 等 号 も 順 不 同 で あ り,例

ら ば,対

えば

τ1∈∂Ki+1か

応 す る等 式 は

と な る.  従 っ て,g′i+1はgi+1を   上 と全

誘 導 し てg′i+1=gi+1°(1×

写 像 の 列 

が 写 像 の 列

 を 誘 導 し て h′i=hi°(1Y×

βi)

が 成 り立 つ た め の 必 要 十 分 条 件 は,次 成 り立 つ こ と で あ る:   (1)  h1:Y×B0→Z1はwell-defined,

 (3)

 定義

(終)

く同 様 に し て

  補 題1.16 

 (2)

αi+1). 

が

つ

  補 題1.17 

と す れ ば,い   [証 明]  が

κ′i,μ′i-1に よ り誘 導 さ れ る写 像 を そ れ ぞ れ

ず れ もwell-definedで

あ る.

κ′i￨X×{1}×Ki×Xi-1=μ

′i-1であ る か ら,補

題1.15を

適 用 し て κ′i

κiを 誘 導 す る こ と を 言 え ば よ い.

  (1) 

E1=Xで

あ る か ら,κ2=κ

′2はwell-defined.

 (2)

一 方 ,

  従 っ て,補 き て,右

題1.15が

図 を 可 換 とす る κ″i:

X×I×Ei-1→Eiが とが わ か る.さ

  今,自

適用 で

存在す る こ ら に こ の と き,

然 な 射 影 を πi-1:I×Ei-1→CEi-1

と表 わ す と き,上 の2式 が成 り立 つ こと よ り,右

図 を 可 換 に す る写 像 κi:X×CEi-1→Eiが

わ か る. 

(終)

  系1.18

 定義

 こ の と き 明 ら か に,  (1.19) 

右 の 図 は 可 換 で あ る:

 記号

 こ の と き  (1.20)

  補 題1.21    [証 明] 

κi:(X×CEi-1,X×Fi-1)→(Ei,Ei-1)は αiは 相 対 同 相 写 像

I×Ei-2)も

相 対 同相 写 像

⇒1×

⇒Ti⊃I×Ri

相 対 同 相 写 像 で あ る.

αi-1:(I×Ki×Xi-1,I×Ri-1)→(I×Ei-1, -1で

あ

る か ら,1×

Xi-1,Ti)→(I×Ei-1,π-1i-1(Fi-1))も

相 対 同 相 写 像.さ

ら に,πi

{*}∪{0}×Ei-1)→(CEi-1,*)も

相 対 同 相 写 像 で あ り,*⊂Fi-1よ も 相 対 同 相 写 像 で あ る.従

(1.19)の

αi-1:(I×Ki× -1:(I×Ei-1,I× り  っ て,可

換 な 図

相 対 化

に お い て,κiを 像 で あ る.   定 理1.22

除 い た 他 の す べ て は 相 対 同 相 写 像 で あ る か ら,κiも 相 対 同 相 写 (終)

 [証 明] 

κi￨X×Fi-1=νiと

お く と,上

  さ て,Fi-1=CDi-2∪{1}×Ei-1で 対 で あ り,従

の補 題 よ り

あ り,Di-2は

可 縮,(Ei-1,Di-2)はNDR-

っ て ホ モ トピー拡 張 性 質 を もつ か ら

(終)  定 理1.23  Xが

弧 状 連 結 の と き,

  た だ し,X*n*X=X*…*X(n個).   [証 明]  簡 単 の た め にE=Ei-1,μ=μi-1と

お く. 

を 示 せ ば よい.π1:X×E→X,π2:X×E→Eは ま ず 

第i因

子 へ の 射 影 とす る.

と 表 わ せ る こ と に 注 意 す る.πi,μ の 写 像 錐 をMi,Mμ

と す る と き,

と 表 わ せ る.そ

こで

と 定 義 し,Mayer-Vietoris系

列 の 間 の 梯 子 を 考 える:

gが ホ モ トピー群 に お い て誘 導 す る準 同 型 は

で 与 え ら れ る ⇒g#:同 は 同 型 ⇒f*:同 従 っ てfは

An構

型 ⇒Xは

モ トピ ー 同 値 ⇒

上 の 梯 子 に お い てg*

弧 状 連 結 で あ る か ら,EもX*Eも1-連

結,

ホ モ ト ピ ー 同 値. 

  定 理1.11,定 き,An構

型 ⇒g:ホ

理1.22と1.23に

(終) よ り,X上

造 

造 を{pi(X):Ei(X)→Bi

にAn形

式{mi}が

与 えら れ た と

が 構 成 さ れ た こ とに な る.以 -1(X)}と

表 わ す こ と に す る.

後,こ

の

  定 理1.23に

対 応 し て,

  定 理1.24

  [証 明]  写 像 βiは βi=σi°γiと 分 解 さ れ る.た 相 写 像 で,σi￨Ei-1=pi-1.ま か ら,定

た 定 理1.13よ

相対 同

り 

で ある

理 を え る. 

  定 義   An空

(終)

間Xよ

な ど と表 わ し,Xに

り構 成 さ れ る 底 空 間  随 伴 し たi次X-射

と も 

をXP(i),XPi,Pi(X)

影 空 間 と い う,(pn+1が

定 義 で きな く

と し て 定 義 さ れ る.)

  定 理1.25  {mi}を

だ し,σiは(1.12)の

空 間XがAn構

造 を もつ た め の 必 要 十 分 条 件 はXがAn形

式

も つ こ と で あ る.

  こ の 定 理 の 十 分 条 件 は 上 の 議 論 に よ り証 明 さ れ て い る.以

下,こ

の定理の必

要 条 件 を 示 す.   補 題1.26 

YがAn形

式{ni}を

も ち, 

はAn形

  [証 明]  ホ モ トピ ー 同 値 写 像 を  {mi}は

式{mi}を

と す る と き,X上

もつ.

のAn形

式

次 の 合 成 で 与 え られ る:

(終)  こ の 補 題 と 補 題1.5に

よ り,与

え ら れ たAn構

造 

は フ ァイ

バ ー 空 間 と み な し て よ い.   An形 る.ま

式{mi}をiに ずi=1の

  次 ∀j
関 す る帰 納 法 で構 成 す

と き は 明 ら か. つ い てmjは

定 義 さ れ,従

pj(X):Ej(X)→Bj-1(X)が 換 に す る 写 像dj,bjが dj-1,bj￨Bj-2(X)=bj-1を

構 成 され 右 の 図 を可 存 在 し て,dj￨Ej-1(X)= み た し て い る と す る.

J=Int∂1(2,i)(K2×Ki)と 使 わ ず に 定 義 さ れ て い る.こ

k:CEi-1→Eiをcontractionと

っ て,

お く.Ri-J×(Xi-X[i])に

お い て は,αiはmiを

の 集 合 か ら 拡 張 し て 次 の 写 像 を え る:

し て

と 定 義 す る と,γ

の 定 義 域 上 でj°

bi:Bi-1(X)→Bi-1を らk°Cdi-1°

γ.従

誘 導 す る.∂Ki+1-JはKi+1の

γ は 拡 張 さ れ て,写

×Xi→Eiが

ρi=pi°k°Cdi-1°

あ っ て,pi°d=j°

変 位 レ ト ラ ク トで あ る か

ρi.こ

れ よ り,

っ て,

の と き,Ei(X)は

て,dはdi:Ei(X)→Eiを

構成 され

誘導 して 右 図 は 可換 に

な る.

(定 理1.25の

  系1.27 

⇔

Xは

証 明 終)

積 を もつ

写像 

 系1.28 

拡 張

像d:Ki+1

d(∂1(2,i)(K2×Ki)×Xi)⊂X.従

と 定 義 す れ ば よ い.こ

っ てjはbi-1の

が 存 在 して,

Xは

ホ モ トピー結 合 的 な 積 を もつ

⇔ 写像 

が 存 在 して

 

Ap空

間 の例

 

簡 単 の た め に,奇

X⊂ Ω2S2Xと 構 造 を もつ.対 お く.iに

数 次 元 球 面 の 奇 素 数pに

埋 め 込 む.Z=Ω2S2Xは 応 す るAi形

式 をni:Ki×Zi→Zと

関 す る 帰 納 法 でm′iをXへ

を 与 え る.今,帰

お け る 局 所 化 をX=S2n-1(p)と

ル ー プ空 間 で あ る か ら,∀iに

し,m′i=ni￨Ki×Xi→Zと

の 写 像 にdeformし

納 法 の 仮 定 で,∀j
簡 単 の た め にTi=∂Ki×Xi∪Ki×X[i]と

のAp-1形

つ い て,mj(Kj×Xj)⊂Xと

でmj(j
に 入 る.た … ∧X(i個).q<2pn-2の

で あ る か ら,πq(Z,X)=0.Xの な い か ら,q≠(2n-1)iの

と き πq(Ω2S2n+1,S2n-1)のp-成 コ ホ モ ロ ジ ー は2n-1次

と き,任

意 の 係 数 群Gに

従 っ て 上 の 障 害 類 が 属 す る 群 はi(2n-1)+i-2<2pn-2,す

式

す る.

と め てm′iをXにdeformす

害 類 は  X〈i〉=X∧

てX上

お く と き,m′iはTi上

を 用 い て 定 義 さ れ る か らm′i(Ti)⊂X.Tiを

お き,

対 し てAi

だ し,

分は 自明

元 の と き のみ 自明 で

対 し てHq(X〈i〉;G)=0. な わ ち,i
と

き,自

明 で あ る.従

  今,X上

っ て,X上

にAp形

式,従

q:Ep(X)→Bp-1(X)を て よ い.Thom空

のAp-1形

っ てAp構

え る が,補

式 が え ら れ る.

造 が あ る と仮 定 し よ う.す 題1.5に

像

フ ァ イ バ ー 空 間 とみ な し

間XP(p)=Bp-1(X)∪CEp(X)にThom-Gysin系

す れ ば, 

列 を適 用

で あ る か ら,

  こ こ で(n,p(p-1))=1に 盾.従

よ りqは

な わ ち,写

っ て,XはAp構

  定 理1.29 

と る とAdemの

関 係 式 か ら,0≠up=pnu=0:矛

造 を も た な い.以

任 意 の 奇 素 数pに

上 より

対 し て,Ap-1構

造 を も つ がAp構

造 は もた な

い 空 間 が あ る.

 §2  An写

像 とAn準

  Dold-Lashof構   まず,An形 Lashofの

同型

成 と の 関係 式 が 自 明mi(τ,x1,…,xi)=x1…xiの

構 成([TM]の

  復 習   dold-Lashof構   (X,m)は

第5章,§2)に

と き,§1の

構 成 がDold-

帰 着 さ れ る こ と を 示 す.

成

結 合 的Hopf空

間 とす る.こ

結 合 的 な 作 用mn:X×En→Enを

の と きDold-Lashof構

成 と い う の は,

もつ 準 フ ァ イ バ ー 空 間pn:En→Bn-1を

的 に 次 の よ うに 定 義 す る も の で あ る: p 1は

  今,結

合 的 な 作 用mi:X×Ei→Eiを

定 義 さ れ た と 仮 定 す る.こ

自 明.

も つ 準 フ ァ イ バ ー 空 間pi:Ei→Bi-1が

の とき

(Cは

非 約 錐).

 さ らに,次 の 可 換 な 図(垂 直 の写 像 は 等 化 写 像,π2は 第2因 子 へ の 射 影)

に よ り,写

像

帰納

を 定 義 す る とpi+1が

結 合 的 な 積mi+1を

易 に 確 か め ら れ る.従 …

っ て,En,Bn-1の

,ti-1,xn),ti∈I,xi∈X,と

はAn構

もつ 準 フ ァイバ ー空 間 で あ る こ とは 容 各 点 は(x1,t1,x2,…,tn-1,xn),(t1,x2,

表 わ さ れ る.以

上 に よ り,任

造 を もつ こ と を 示 し た こ と に な る(上

意 のnに

つ い てX

で は 非 約 錐 を 用 い た が,約

錐 を

用 い て も ホ モ トピ ー 型 に は 関 係 し な い).   §1の 構 成,す 1.22)を

な わ ち 

逆 に な が め てEiを

を 示 し た 過 程(定

理

相対同相写像

ai:(△i-1×Xi,Ri)→(Ei,Ei-1)

を 用 い て 定 義 す る.こ

こ で,  で あ り, 

の とき

の と き.

  写 像fi:Ei(X)→Eiを

構 成 す る に は,適 当 な ホ モ トピ ー 同 値 写 像 φi+1:Ki+1

→ △i-1を 次 の よ うに 定 義 す れ ば よ い:

と写 像 し,後 は 線 型 に拡 張 した 写 像, を次 の よ うに定 義 す る: (ρ∈Krの

と き) (s-1個

これ は ∂Kiか

ら ∂△i-2の 上 へ のwell-definedな

の 座 標 が0).

写 像 を 定 義 す る .こ

れを拡張

し て相 対 同相 写 像 φi:(K,∂Ki)→(△i-2,∂

を え る.そ

△i-2)

こで

fi:Ei(X)→Ei⇔fi(αi(τ,x1,…,xi))=ai(φi+1(τ),x1,…,xi)

と定 義 す る.φ-1i+1は 一 意 的 に は 定 義 さ れ な い が,fiの る.以

上 より

逆写像は容易に構成で き

 (2.1)

 定 義   {mi}はX上   f:X→WはAn準   定 理2.1 

An形

のAn形

式,{ni}はW上

同 型(An

homomorphism)

のAn形

式 と す る.

式 を もつ 空 間 の間 の写 像

f:X→WがAn準

同 型 な ら ば 写像fE:En

(X)→En(W)とfB:Bn-1(X)→Bn-1(W)が 存在 して

 [証 明]  fはAn準

同 型 で あ る か ら,

1×fi:Ki+1×Xi→Ki+1×Wi,1×fi-1:Ki+1×Xi-1→Ki+1×Wi-1は に そ れ ぞ れ 課 さ れ た 同 一 視 を 保 つ.従

っ て,そ

αiと れ ら はAn構

βi

造 を 保 つ. (終)

  注 意   An準 An形

同 型 写 像 の 概 念 は 些 か き つ す ぎ て,n=2の

式 を 保 つ と い う意 味 で の"写

い て は[Iwase

1]を

  定 義  X,Yは ⇔

結 合 的Hopf空

  定 義  f:X→Yは

強 ホ モ トピ ー 乗 法 的(strongly

 注 意  A2写 像 ⇔Hopf写

上 記 のhiが

  実 際,f:X→Y,g:Y→Zを

  n=2の

ときは

す べ て のiに

像(An

map)

が 存在 して

homotopy

multiplica

つ い て 存 在 す る.

像.

像 の 合 成 は ま たAn写

Y,ji:Ii-1×Yi→Zを

像 さ え 含 ま な い.

間 の 圏 に おけ る射 の定 義 に つ

間 とす る.f:X→YはAn写

モ トピ ー)hi:Ii-1×Xi→Y, 

し てshm)⇔

  (2.2)  An写

と きHopf写

な わ ち,An空

参 照 さ れ た い.

写 像(sputnikホ

tive略

像",す

像 で あ る.

そ れ ぞ れsputnikホ も つAn写

像 と す る と き,

モ ト ピ ーhi:Ii-1×Xi→

と定 義 す れ ば,こ   n=3の

れ はg°fに

対 す るsputnikホ

モ ト ピ ー で あ る.

と きは

と 定 義 す れ ば,こ

れ はg°fに

対 す るsputnikホ

モ ト ピ ー で あ る.

 一 般 の場 合 は 読 者 に任 せ た い .   定 理2.3 

結 合 的Hopf空

必 要 十 分 条 件 は,写

間 の 間 の 写 像f:X→YがAn写

像 で あ るた め の

像fE:En(X)→En(Y),fB:Bn-1(X)→Bn-1(Y)が

存在 し

て 次 の 条 件 を み た す:  (1)  fE￨X=f  (2) 

fB(Bi(X))⊂Bi(Y)

 (3)  fB°pn=pn°fE

  (4)  右 上 の 図 はCEi-1(X)をBi(Y)に (X).た

だ し,h,kはcontractionで

保 ち な が ら,ホ モ ト ピ ー 可 換rel あ る.

  [証 明]  (十 分 性)  §1で 指 摘 し た よ うに,Enに

と 同 一 視 し て も ホ モ トピ ー 型 は 変 ら な い.Bn-1に 下 こ の 同 一 視 を 用 い る.J=[0,2]と

お く.写

お い て,

つ い て も 同 様 で あ る か ら,以

像

(そ の 他 の 場 合) と 定 義 す る.こ

の と き,次

条 件(3)を

使 っ てpi°jiの

Bi-1(Y)に

拡 張 で き

gi(t0,…,ti-1,x1,…,xi)

En-1

が 成 り立 つ:

部 分 を 書 き 変 え て,pi°jiは

写 像gi:Ji×Xi→

 ⅲ

を み た す こ と が わ か る.pnを な し て,帰 Ei(Y)が =2の

フ ァ イバ ー空 間 とみ

納 的 に 各giをliftし え ら れ,t0=0の

と きgiはjiで

を み た す.従

てgi:Ji×Xi→

と きgi(Ji×Xi)⊂Y,t0 与 え ら れ る.か

つ,

って hi:Ii-1×Xi→Y⇔hi(t1,…,xi)=gi(0,t1,…,xi)

と定 義 す れ ば,こ

れ が 求 め るsputnikホ

モ トピ ー.

  (必 要 性)  iに 関 す る 帰 納 法 で 条 件ⅰ)∼ⅳ)を

みたす写像

を構 成 す る:  ⅰ )  pi(Y)°fi=fi-1°pi(X),  ⅱ )  hi1=fi,

)

 ⅳ )

ま ずi=0の

と きは

iま で構 成 され た と仮 定 して,写 像 fi+1:Ei+1(X)→Ei+1(Y), 

fi:Bi(X)→Bi(Y),

を次 の よ うに定 義 す る:

  こ の と き,こ れ ら の 関 数 は,そ れ ぞ れfi,fi-1,himの を み た し て い る こ と は 容 易 に 確 か め ら れ る.そ と を 確 か め て)fE=fn,fB=fn-1と

拡 張 で あ り,条 件ⅰ)∼ⅳ)

こ で(hn-12は

お け ば よ い.構

定義 され て い る こ

成 か ら(1),(2),(3)を

み た

し て い る こ と は 明 ら か.   (4)に つ い て は 次 の2式

よ り明 ら か:

(終)  §3  An空 間 のPostnikov系

 誘 導 され た フ ァ イバ ー 空 間  

X,Wは

単 位 元 を もつ 結 合 的Hopf空

間 と し,An写

像

f:X→W に よ り道 の フ ァ イ バー 空 間 

か

ら 誘 導 さ れ るX上

す

る.こ

の フ ァ イ バ ー 空 間 をYと

こ でpW={l∈F(I,W)￨l(0)=*},λ(l)

=l(1) .fはAn写

像 で あ る か ら,定

理2.3に

り 写 像fE:Ei(X)→Ei(W),fB:Bi-1(X)→Bi-1(W)が な る.た

だ し,簡

  記 号   Ei(Y):fEに

単 の た め に,pi=pi(X),qi=qi(W)と

よ り  バ ー 空 間,

よ 存在 して 上 図 は 可換 に 表 わ す.

か ら誘 導され る フ ァイ

 

Bi-1(Y):fBに

 か ら誘 導 され

よ り る フ ァ イ バ ー 空 間.

 す なわ ち,定 義 に よ り

  定 義   ri:Ei(Y)→Bi-1(Y)

  基 点 を そ れ ぞ れBi-1(X)∋*,Bi-1(W)∋*と   補 題3.1 

す る と

Y=r-1i(*,*).

 [証 明]

(終)   従 っ て,ri:(Ei(Y),Y)→(Bi-1(Y),*)で

あ る こ と が わ か る.こ

  補 題3.2 

す な わ ちriは

ー空 間 .   この補 題 は 次 の よ り一 般 的 な結 果 か ら 出 る:  右 の可 換 な 図 に お い て,同 型

が 成 り立 つ と 仮 定 す る.フ

ァ イバ ー空 間

ΩE′→pE′ →E′,ΩB′ →pB′ →B′ か らe,b に よ り誘 導 さ れ る フ ァ イ バ ー 空 間 を そ れ ぞ れE″,B″

と し,写

像を

の と き, 準 フ ァイバ

と 定 義 す る.B″

∋*を

基 点 と し,F″=p″-1(*)と

す る

とき  (3.3)

  [証 明]  フ ァ イ バ ーF″ は フ ァ イ バ ー 空 間 ΩF′→pF′ →F′ か らe￨Fに

よ り誘 導 さ れ た フ ァ イ バ ー 空 間 で あ る

こ と に 注 意 す る.誘

導 さ れ た 射 影 σ:E″ →E,ρ:B″

→Bに

ついて

と お く と,G=σ-1(F)=p″-1(ΩB′).p″(F″)= 1点

で あ る か ら,F″

⊂G.ま

点 で あ る か ら,Im(p″￨G)⊂

た

ρ°p″(G)=1

ΩB′.従

っ て,次

の 可 換 な 図 が 考 え ら れ る:

(た だ し,σ

こ れ よ り, 

の フ ァ イ バ ー ΩE′ ⊂G.)

従 っ て,次

の ホ モ トピー完 全 系 列 の

間の梯子

に お い て,左

か ら2番

目 と 右 端 のp″#は 同 型.ま

は フ ァ イ バ ー 空 間 で あ る か らσ#も

た,仮

同 型.5-lemmaよ

定 か ら,p#は

同 型,σ

り 中 央 のp″#も 同 型 で あ

る こ とが わ か る. 

(終)

  射 入Ei-1(X)⊂Ei(X),Ei-1(W)⊂Ei(W)か が 導 か れ る が,こ

ら 自 然 に 射 入j:Ei-1(Y)⊂Ei(Y)

れ につ い て次 が 成

り立 つ:   補 題3.4 

Ei-1(Y)はEi(Y)に

お

い て 可 縮 で あ る.   [証 明]  仮 定 か ら,上

の 可 換 な 図 にお い て,Ei-1(X)はEi(X)に

で あ る か ら,Ei-1(Y)={(z,l)∈Ei-1(X)×pEi-1(W)￨fE(z)=l(1)}は ー ΩEi(W)に

,す

な わ ち,写

像j1:Ei(Y)→

ΩEi(W)⇔j1(z,l)=l-aに

お い て 可縮 フ ァ イバ

deformさ

れ る.た

だ し,pEi(W)∋a(t)=fE°k(t,z),k:CEi

-1(X)→Ei(X)は

contraction.今,h:CEi-1(W)→Ei(W)を contractionと ら,定

す る.fはAn写

理1.25に

像 で あ るか

よ り右 の 図 は ホ モ ト ピ ー 可

換relEi-1(X).従

っ て,j2:Ei-1(Y)→

ΩEi

(W)⇔j2(z,l)=l-b,b(t)=h(t,fE(z)),と 定 義 す る と  =h(t,l(s))と

こ こ で,μ(s,t) お

く と,ｵ(1,t)=h(t,l(1))=

h(t,fE(z))=b(t),μ(s,1)=l(s)で π2(z,l)=lは

写像

あ る か ら,射

α:Ei-1(Y)→pEi(W)に

影 π2:Ei-1(Y)→pEi-1(W)⇔ ホ モ トー プ 

は フ ァ イ バ ー ΩWにdeformさ 縮 で あ る か ら,Ei-1(Y)はEi(Y)で   補 題3.2と3.4に た.従

  定 理3.5 

にAn構

よ り,Y上

結 合 的Hopf空

空 間 ΩW→pW→Wか

ΩEi(W)で

可 縮. 

よ りY上

っ て 定 理1.25に

れ,ΩWは

(終)

造{Ei(Y)}の

にAn形

間 の 間 のAn写 ら誘 導 さ れ たX上

可

存在す る ことが わ か っ

式 の あ る こ と が わ か る. 像f:X→Wに

よ り,フ

ァイバ ー

の フ ァ イ バー空 間YはAn形

式 を

も つ.   次 に こ の 定 理 の 逆 が 成 り立 つ 場 合 に つ い て 述 べ よ う.   An空

間 とPostnikov系

  r),YはAn形   補 題3.6 

は フ ァ イ バ ー 空 間 と し,Xは(r-1)-連 式  X上

結,Zは(s-1)-連

結(s>

を も っ て い る と す る. にAn-1形

=0, 

式 

が あ り,π はAn-1準

を み た す な ら ば,X上

よ びlnのdeformation 在 し て,こ

列

rel∂Kn×Yn∪Kn×Ynで

れ ら に 関 し て π はAn準

  [証 明]  フ ァ イ バ ーZは(s-1)-連 あ る ⇒Kn×(X(s))n上

にAn形

同 型,πq(X)

式

お

あ るl′n:Kn×Yn→Yが

存

同 型 と な る. 結 ⇒s-切

片X(s)上

でm′nを 定 義 で き る.m′nをKn×Xnに

障 害 類 は す べ て 次 の 形 の 群 に 現 わ れ る:

でcross-sectionが 拡 張す る際 の

  こ の 群 はq-n+3<(n-1)r+s+1の

と き は,任 意 の 係 数 群 に 対 し て 自 明,ま

た 

の と きは仮 定 か ら 自

明 で あ る か ら,m′nはKn×Xnに

拡 張 さ れ て,mn:Kn×Xn→Xを

π が(ホ モ ト ピ ーrel∂Kn×Yn∪Kn×(Y[n]∪(X(s))n)を

え る.ま

除 い て)An準同

た,

型 であ

るた め の 障 害 類 は 群

に 現 われ るが,こ れ も上 と同様 に 自明 で あ るか ら

  し か し,π:Y→Xは deform

フ ァ イ バ ー 空 間 で あ る か らlnはl′n:Kn×Yn→Yに

rel∂Kn×Yn∪Kn×(Y[n]∪(K(s))n)で

き て,π °l′n=mn°(1×πn). (終)

  こ の 補 題 を 繰 り返 し 用 い て   系3.7 

πq(X)=0, 

に 関 し て π はAn準

な ら ば,X,Y上

にAn形

式 が あ っ て,こ

同 型 で あ る.

  実 際,Y上

のAn形

  さ ら に,こ

の 系 を 空 間YのPostnikov系{(q,Y),pq},pq:(q,Y)→(q-1,

Y),に

式 は 与 え ら れ た も の のdeformationで

あ る.

適 用 す る こ とに よ り

  定 理3.8  を も ち,射

 補

れ ら

YがAn形

式 を も つ な ら ば,Postnikov系

影pq:(q,Y)→(q-1,Y)はAn準

の 各(q,Y)もAn形

式

同 型 で あ る.

遺

  A  有 限 なAp空   P=Ⅱ-{2,3}と

間[Zabrodsky

し,ψ:S2n+1→K(Z,2n+1)はH2n+1(S2n+1)の

す 写 像 とす る と き,補

遣

Ⅳ.Cの

ト ピ ー 結 合 的 空 間 で あ り,P-同 (Z,2n+1)は

3]

い ず れ も,A3写

値 写 像 ψ′:S2n+1→S2n+1,P-同

像 で あ る.そ

X2=SU(6), 

を 考え る と き,ψ″i:Xi(Pi,ψi)→X0はA3写

あ る が,結

値 写 像S2n+1→K

値 写 像 ψi:Xi→X0(i=1,2)

像 で,ψ″iのpull-back

体 の ホ モ ト ピ ー 型 を も つ ホ モ トピ ー 結 合 的Hopf空

合 的Hopf空

  も っ と一 般 に,P1={q∈

ホモ

こ でP1=P,P2=P, 

と お き,Q-同

Pi,ψi)は 有 限CW-複

生 成 元 を表 わ

構 成 に おけ る 空 間S2n+1=S2n+1(P,ψ)は

mix(Xi, 間で

間 で は な い. Ⅱ￨q>p}に

対 し て,S2n+1=S2n+1(P1,ψ)はAp空

間

で あ る. 

X2=SU(p+1), 

と お い て ホ モ ト ピ ー 型 を 混 合 し て え ら れ るmix(Xi,Pi,ψi)は 体 の ホ モ トピ ー 型 を も つAp-1空   B  An写

像[Iwase

  X,YをAn空

間 で あ る が,Ap空

有 限CW-複

間 で は な い.

1]

間 と す る.

  定 義 f:X→YのAn構

造

とは右 図 を可 換 に す る 写 像 の列

 写 像 のAn形

式 を 定 義 す るた め に,次

の複 体{Γi}を 構 成 す る: (同 相)

  た だ し,(1)は

にわ た る  (2)は 辺 作 用 素

δk(r,s):Γr×Ks→

お よ び 退 化 作 用 素 

Γk(r,s)(同

相),δ(t,r1,…,rt):Kt×

が 存 在 し て 次 を み た す:

 (1)

た だ し,  (2)

 (3)

た だ し,  (4)

た だ し,

Γr1× … × Γrt

 ⅱ  ⅲ

 (5)

(第1成 分 へ の射 影)  (6)

  定 義  f:X→YはAn形 ⇔

式 を もつ

写 像 の 列{Fi:Γi×Xi→Y}が

あ っ て,次

を み た す: ⅰ

)  F1=f

)

)

 ⅳ)

 こ の と き,次  (B.1) 

An空

の 定 理 が 成 り立 つ: 間 の 間 の 写 像f:X→Yに

  1)  fはAn構

造 を も つ,

  2)  fはAn形

式 を も つ.

つ い て 次 の2条

件 は 同値

第8章

  本 章 で は[Browder 可 換 なHopf空

  ホモ トピー可 換性

3],[Hubbuck

1],[Stasheff

1]を

中 心 に ホ モ トピ ー

間 に つ い て 解 説 す る.

§1  n-可 換 性  ホ モ ロジ ー 作 用 素   Z/2の

生 成 元 をtと

る も の と す る.こ   (1.1) Snは

し,tはSnに

対 頂 写 像(antipodal

map)と

し て作 用 す

の と き,

次 の 条 件 を み た す よ うに 三 角 形 分 割 さ れ る:

  (1) Sn⊃Sn-1⊃Sn-2⊃

… ⊃S1⊃S0 

(部 分 複 体 と し て),

  (2)  tは ∀Si上 で 対 頂 写 像,   (3)  tは 単 体 写 像.   [証 明]  Siのiに

関 す る 帰 納 法.i=0の

み た す よ う に 分 割 さ れ て い る と す る.Sn-1の に よ り,Snの

上 半 球enを

分 割 し,こ

分 割 を え る(こ れ ら の 分 割 は 勿 論Sn-1で   (X,μ)はHopf空

間,Yは

と き は 明 ら か.今,Sn-1が

条件を

単 体 と 北 極 と のjoinを

とること

の 三 角 形 分 割 にtを

施 し て 下 半 球tenの

一 致 す る). 

空 間,Z/2のSn×Y×Yへ

(終) の 作 用 は,

と定 義 す る.   定 義   写 像f:Y→Xはn-可 ⇔

φ:Sn×Y×Y→Xが

換(n-commutative) 存 在 し て 次 の 条 件 を み た す:

 (1)  φ(*,x,y)=μ(f(x),f(y))   (2)  Z/2がXに

*∈Sn(基

自 明 に 作 用 す る と き,φ

点),x,y∈Y, はZ/2の

φ°t=φ. こ の と き,φ

を 構 造 写 像(structure

  特 に,Y=X,f=1Xの

と き,XをHn-空

map)と

い う. 間 と い う.

作 用 に 関 し て 同 変:

 (1.2)  X:H1-空

間 ⇔X:ホ

 [証 明]  [〓] 

Xは

モ トピ ー 可 換 なHopf空

ホ モ ト ピ ー 可 換Hopf空

モ トピ ー をH:I×X×X→Xと

す る と き,構

間.

間 と し, 

を与 え る ホ

造写 像 は

で 与え ら れ る. [⇒] 

XはH1-空

間 と し,そ

積 μ:X×X→X⇔

の 構 造 写 像 φ:S1×X×X→Xに

μ(x,y)=φ(*,x,y)は

条 件(2)に

よ り導 か れ る

よ りホ モ トピ ー 可 換. (終)

 明 ら か に   (1.3)  f:n-可

換 ⇒f:i-可

 注 意  位 相 群G⊃H(部 [James-Thomas]の   記 号   Snの   ei=(Siの

分 群)に つ い て,f:H⊂Gが 「HはGに

分 割(1.1)に

っ て,準

体 の 和 か ら な る 特 異 鎖(singular

chain)).

表 わ す 生 成 元 をsn∈Hn(Sn)と

間,f:Y→Xはn-可

す る と き,φ

換性は

お い て,

イ ク ルen+(-1)n+1tenの

  XはHopf空

射 入 の と き,fの1-可

お い て ホ モ トピ ー 可換 」 と い う定 義 で あ る.

上 半 球 の す べ て のi単

こ の と き,サ

→Xと

換.

換 と し,そ

す る.

の 構 造 写 像 を φ:Sn×Y×Y

は 特 異 鎖 写 像 

を 導 く,従

同 型 

を 導 く(G:係

数群).

 定義 生 成 元.   特 に,f=1Xの

と き,ψn=ψfnと

  今,w={c},c∈Cm(Y×Y)と

は 

書 く.

す る と き,鎖 

を 表 わ す.

 定 義   Qfi:Hm(Y;Z/2)→H2m+i(X;Z/2) 

  Y=X,f=1Xの   定 義   X,X′

と き,Qi=Qfiと はHopf空

augmented

表 わ す.

間,f:Y→X,f′:Y′

は そ れ ぞ れ の 構 造 写 像 とす る.こ

square

→X′ はn-可

の と き,(κ,ξ)はfか

換 な 写 像,φ,φ

らf′ へ の 変 換(n-変

換)

′

⇔

κ:Y→Y′,ξ:X→X′   可 換:ξ

°φ=φ

  定 理1.4 

で 右 図は

′°(1× κ× κ).

f:Y→Xはn-可

換 写 像

と す る と き,

 (1)  G=Zま  (2) ψfnは

た は 体.

準 同 型 か つ

ψfn(tw)=(-1)n+1ψfn(w).  (3) ψfnはn-変

換 に 関 し て 自 然,

す な わ ち,(κ,ξ)がfか へ のn-変

ら.f′

換 と す る と き,

ξ*°ψfn=ψfn′°(κ× κ)*.

 (4)  φ をSi×Y×Yに

制 限 した 構 造 写 像 下 で

 定 理1.4′  (1)′ Qf0(x)=(f*(x))2   (2)′ i
 (3)′ Qfiはn-変

ψfi=0 

(∀i
(∀x∈H*(Y;Z/2)).

準同型

換 に 関 し て 自 然,す

な わ ち,(κ,ξ)がfか

らf′ へ のn変

とす る と き,ξ*°Qfi=Qfi′ °κ*.  に 関 す るBockstein

 (4)′ β2を 完 全 系 列 作 用 素 とす る と き,x∈Hp(Y;Z/2)に

対 して

 証 明 は い ず れ も定義 よ り容 易 に わ か る.   f:Y:→Xは

構 造写 像 φ を もつn-可 換 写 像 とす る.写 像 Φ を

と 定 義 す る と,f×fは   △z:Z→Z×Zを   定 理1.5   (2) 

n>0の

構 造 写 像 Φ を も つn-可

換 写 像 で あ る.

対 角 写 像 とす る と

(1)  (△Y,△X)はfか と き,

らf×fへ

のn-変

換 で あ る.

換

  た だ し,x,y,z,w∈H*(Y;G),￨x￨=p,￨y￨=q,￨z￨=r.   (3) 

x,y∈H*(Y;Z/2).

 [証 明] 

(1) 

△n:Sn→Sn×Snは

対 角 写 像,t:Y×Y→Y×Yは

t′:Sn×Y×Y→Y×Y×Sn⇔t′(s,x,y)=(x,y,s)と   (1.6) Φ=(φ

交 換 写 像,

定 義 す る と,

× φ)°(1×t′ ×1)°(△n×1×t×1).

こ れ よ り,(△X,△Y)がfか

らf×fへ

のn-変

換 に な っ て い る こ とは 明 ら か で

あ る.   (2) 

は 次 の こ と か ら 明 ら か:

 (3)  鎖 写 像 △ は 対 角 写 像 の 導 く写 像C(en)→C(en×en)とEilenberg-Zilber 写 像 

の 合成 で あ るか ら

(終)   注 意   一 般 に 次 が 成 り立 つ:

 n-可 換 写 像 と2-torsion   (C,φ,d)は

微 分 代 数,￨d￨=-1,Cは

る.Aはtorsionを

鎖 複 体 と し てtorsionを

も た な い 鎖 複 体,f:A→Cは

もた な い とす

鎖 写 像,  の 鎖 ホ モ トピ ー

と す る:

 定義

 

A,CのBocksteinス く 写 像 をfr:Er(A)→Er(C)と   命 題1.6 Er2n(A)∋xに

ペ ク ト ル 系 列 を{Er(A),βr},{Er(C),βr}と す る. つ い て

し,fの

導

  [証 明]  xお =2rb .こ

よ び βrxの 代 表 元 を そ れ ぞ れa∈A2n,b∈A2n-1と

す る とda

の と き,

(終)   記 号   {Er,βr},{Er,βr}は steinス

そ れ ぞ れmod

2ホ モ ロ ジ ー,コ ホ モ ロ ジ ーBock

ペ ク トル 系 列 と す る.

  以 下,特

に 断 わ ら な い 限 りXは

弧 状 連 結 なHopf空

間,f:Y→Xは1-可

換

な 写 像 と す る.   補 題1.7 

PH2n(Y;Z/2)∋x,β1x=yと

y〉≠0,x=β1yを

し,x,y∈H*(X;Z/2)は

〈y,f*

み た す 元 とす る と,〈xy,Qf1(y)〉=0.

  [証 明]  ま ず 次 を 示 す:  (1.7)′

  実 際,n=1と

す る と￨y￨=1.ま

す 元 と す る と,〈

β1y,f*x〉=〈y,β1f*x〉=〈y,f*y〉

る こ と よ り,上 n>1.次

こ こ で,定

定 理1.5に 〈x  y,上

たy∈H1(X;Z/2)を

〈y,f*y〉 ≠0.一

式 の 左 辺=〈Sq1y,f*x〉=〈y2,f*x〉=0⇒

≠0を

方,x:原 β1x=y≠0な

み た

始 的 で あ らば

に,

理1.4′,1.5よ

よ り,右

り

辺 の 最 後 の 項 

式 の 左 辺 〉 を 考 え る と き,次

以 外 は 自 明.こ

こ で,β1y=β1(β1x)=0で

従 って 元 の 関 係 か ら  あ る か ら,

(終)  

命 題1.8 

PEr2n(Y)∋x,βrx=y≠0,fr(y)≠0(従

fr(x)はEr(X)に

お い て1-implicationを

 [証 明]  PEr(Y)∋x⇒

よ り(β1=β2で

も し,Er+1(X)∋{frx・fry}≠0な (frx)2≠0∈Er(X).も

〈x,frx〉=〈  (1.9)

あ る か ら)

ら ば,βr+1{(frx)2}={frx・fry}≠0か し,Er+1(X)∋{frx・fry}=0な と っ て,〈y,fry〉

βry,frx〉=〈y,βrfrx〉=〈y,fry〉   〈xy,frx・fry〉

おけ る双 対 積

一 次 独 立 で あ る か ら,

と き)   定 理1.4′.(4)′

frx・fry.y∈E2n-1r(X)を

す る と

も つ.

βrx=y∈PEr(Y).Er(Y),Er(X)に

を △*と す る と,frxとfryは

 (r>1の

っ て,fr(x)≠0)と

ら ばzが ≠0と

つ あ っ て,βrz=

す る と,x=βryに

≠0.こ

つ い て,

の と き,

≠0.

  実 際,

 (r=1の

と き)   補 題1.7よ

 (1.10)

  〈xy,f1x・f1y+Qf1y〉

り ≠0.

  こ こ で,β1(f1x・f1y+Qf1y)=(f1y)2+(f1y)2=0.も Qf1(y)}≠0な

ら ば,命

(f1x)2≠0.も

題1.6に

し,E2(X)∋{f1x・f1y+Qf1y}=0な

β1z=f1x・f1y+Qf1y⇒   補 題1.11 

し,E2(X)∋{f1x・f1y+

よ り β2{(f1x)2}={f1x・f1y+Qf1y}≠0⇒

A*は

ら ばz∈E1(X)が

〈xy,β1z〉=〈 連 結 なHopf代

β1(xy),z〉 数,A*は

PA2n∋x,A2n-1∋y,x∈A2n,y∈A2n

-1は

 [証 明]  A*の

双 対 積 を ψ と す る と き,

β1(xy)=x2≠0. 

そ の 双 対Hopf代 〈x,x〉 ≠0,〈y,y〉

と す る と き, 〈xp-1y,xp-1y〉

≠0⇒

≠0.

あ っ て, (終)

数 と す る. ≠0を

み た す 元

こ こ で￨y￨<￨x￨で

あ る か ら,k>0に

つ い て

〈xk,y〉=0.ま

たA0=Z/pで

あ

る か ら,

⇒

〈y′i,y〉=0⇒

上 の

〈xp-1y,xp-1y〉

の 展 開 式 に お い て0で

あ る項 は

 

  命 題1.12  (X)に

お い て1-implicationを

βrfry=fr(βry)=frx≠0⇒fry≠0.こ ≠0を

≠0.以

下,命

の と き,βrx=yと

βrfry,x〉=〈frx,x〉 題1.6を

Er+1(X)∋{frx・fry}≠0な

こ で,Er2n(Y)

み た す 元 と す る.こ

と,〈y,fry〉=〈fry,y〉=〈fry,βrx〉=〈 〈xy,frx・fry〉

ら ば,xはEr

も つ.

〈frx,x〉=〈x,frx〉

ら ばzが

(終)

PE2nr(X)∋x(r>1),x=βry,frx≠0∈Er(Y)な

  [証 明]  frx≠0⇒ ∋xは

な い 可能 性 の

用 い て,命

題1.8と

ら ば(frx)2≠0.も

あ っ て,βrz=frx・fry⇒

お く

≠0.(1.9)に

よ り

同 様 に し て,も

し,

しEr+1(X)∋{frx・fry}=0な

〈xy,βrz〉=〈

βr(xy),z〉

≠0⇒

βr(xy)=

x2=0. 

(終)

  命 題1.13 

(C,ψ)は

数,η:C→Aは

双 対 可 換,双

対 結 合 的 双 対 代 数,(A,φ,ψ)はHopf代

双 対 代 数 の 準 同 型 と し,ψp:Cp→(Cp)2はCpに

積,φp:Ap→Aはp重

積,γ:Cp→A⇔

型 ξ:Cp→Aが

γ=φp° ηpと す る.次

数=0の

準 同

与 え ら れ て,  に つ い て,ψ

〈up,ξ(υ)〉=0,    [証 明] 

お け る双 対

°ξ=ξ ′°ψpを ∀u∈A*(双

次 数 つ き 加 群Mの

定 義 す る.こ

の と き,定

で あ り,仮   関 手Hom( 

数),￨u￨:偶

自 己 準 同 型 ω:M→M⇔

数,υ

∈Cp.

ω(m)=(-1)￨m￨mと

義 か ら 

施 し て,双

え る が,こ

次 数 つ き 代 数A*,Cp*の な 図 を え る.た

対Hopf代

定 か ら 右 図 は 可 換.

,Z/p)を

ξ*,ξ′*,ψ*,ψp*を

み た す と き,

対 準 同 型,

こで ψ*,ψp*は

積 で あ り,右 の 可 換

だ し,

  こ の と き,〈up,ξ(υ)〉=〈 ・γ*(uk-1)+γ*(u)ξ*(uk-1)

ξ*up,υ 〉.こ こ で￨u￨:偶 .ま

た,η

数 で あ る か ら,ξ*(uk)=ξ*(u)

は 双 対 代 数 の 準 同 型 ⇒

γ=φp°

ηpも 双 対 代

数 の準 同型 ⇒

γ*は 代 数 の 準 同 型 ⇒

(Cp)2は 双 対 可 換 ⇒Cp*に

お け る積 は 可 換 ⇒

帰 納 法 に よ り ξ*(up)≡p(γ*u)p-1ξ*u≡0   補 題1.14 

Xは

mod

弧 状 連 結 なHopf空

ξ*(u)γ*(uk-1)=γ*(uk-1)ξ*(u).

p. 

(終) 換 な ら ば,u∈

つ い て,

の 命 題 に お い て,C=H*(Y;Z/2),A=H*(X;Z/2),η=f*:

H*(Y;Z/2)→H*(X;Z/2)の ￨u￨:偶

定 か ら ψp:Cp→

間,f:Y→Xはn-可

H*(X;Z/2),a,b∈H*(Y;Z/2)に   これ は,上

γ*(uk)=(γ*u)k.仮

特 別 な 場 合 で あ る.(Z/2が

係 数 で あ るか ら

数 の 条 件 は 不 要.)

  補 題1.15 

PE2n1(X)∋x=β1(y)と

〈y,f*y〉 ≠0,￨x￨=￨x￨:偶

し,H*(Y;Z/2)∋x,yは

数,￨y￨=y:奇

〈x,f*x〉 ≠0,

数,￨x￨>￨y￨,を

み た す 元 とす る

と, 〈xy,f*x・f*y+Qf1y〉

  [証 明]  (1.9)と

同 様 に し て 〈xy,f*x・f*y〉 ≠0. 

こ こ で 定 理1.4′.(2)′

xは

と お く と,

よ り

原 始 的 で あ る か ら 分 解 的 な 元 を す べ て 消 去 す る:〈x,(f*yi)2〉=0,お

f*yi=1ま =1の

≠0.

た はf*yj=1で

な い な ら ば 〈x,f*yi・f*yj〉=0.f*yi=1ま

と き は, 

奇数 ⇒

こ こ で,補

で あ る か ら,〈x,f*yi〉=0

た はf*yi ら に,￨y￨:

〈y,(y′i)2〉=0.以 上 よ り

題1.14よ

  命 題1.16  ≠0∈E2nr(Y)を

り,上

PE2nr(X)∋xが

(終)

あ るu∈Enr(X)に

と き)  こ れ は 命 題1.12の

と き)  補 題1.15を

  定 理1.17 

式 の 右 辺=0.  つ い て,x=u2,x=βry,frx

み た す と き,xは1-implicationを

  [証 明]  (r>1の   (r=1の

.さ

よび

Xは

使 う と,命

弧 状 連 結 なHopf空  と す る.も

もつ. 特 別 の 場 合.

題1.8と

同 様 に 証 明 で き る.  (終)

間,f:Y→Xは1-可 し, 

換 な 写 像 と す る. に つ い てfr:

Emr(X)→Emr(Y)が

同 型 な ら ば,xは(q+1)-implicationを

  [証 明]  x2≠0な ら,x2=0と   frは

ら ば,定

理 のxの

代 りにx2を

考 え れ ば よ い か ら,最

初か

仮 定 し て よ い.

次 数￨x￨に

y=βrxと

お い て 同 型 で あ る か ら,〈x,frx〉

す る.xは

≠0 

よ り

≠0.

補 題 Ⅴ.2.10に

だ 

な ら ば 同 じ 議 論 をEr+1で

  系1.18 

あ る.

こ で,

{xy}∈PEr+1(X)⇒

と き)  命 題1.16を

  Y=X,f=1xと

な る 元xが

(r>1)

〈xy,f1x・f1y+Qf1y〉 あ る か ら βr(xy)=0.こ

  (x=u2の

≠0と

原 始 的 で あ る か ら 補 題1.15と(1.9)に 〈xy,frx・fry〉

x2=0で

も つ.

よ り βr+1{xy}∈PEr+1(X).こ

こ で,ま

行 え ば よ い.

使 っ て 同 様 に 証 明 で き る. 

(終)

して Xは

弧 状 連 結,ホ

  x=βryな

モ ト ピ ー 可 換 なHopf空

ら ば,xはEr(X)に

間 と す る.x∈PE2nr(X),

お い て ∞-implicationを

も つ.

  §2  n-置 換 性   ホ モ ロ ジ ー作 用 素   WはZ/pが

自 由 に 作 用 す る 可 縮 なCW-複

は 基 点 とす る.Z/pの

生 成 元 τ はYp=Y×

体,W(n)はn-切

片,W(0)∋*

… ×Yに

τ(y1,…,yp)=(y2,y3,…,y1)

に よ り作 用 す る も の とす る.   (X,μ)はHopf空

間 と す る と き,

  定 義  f:Y→XはZ/pに

関 し てn-置

⇔

写 像 φ:W(n)×Yp→Xが

 

(1)  φ(*,x1,…,xp)=f(x1)…f(xp), た だ し,右   (2)  Z/pがXに

  こ の と き,φ

辺 で はXの

換(n-permutative)

存 在 し て 次 の 条 件 を み た す:

あ る 一 定 の 積 の 順 序 を 決 め て お く,

自 明 に 作 用 す る と き,φ

を 構 造 写 像 と い う.ま

はZ/p-同

た,Y=X,f=1Xの

変 写 像;φ

°τ=φ.

と き,XをH(p)n-空

間 と い う.以

下,1-置

換 な 写 像 を 単 に 置 換 的 写 像 とい う.

 注 意  n-可 換⇔Z/2に   (X,μ)はHopf空

関 してn-置 換.

間 とす る.

  定 義  f:Y→Xは

  f:Y→Xは

ホ モ トピ ー 可 換

  定 理2.1  る と き,次

ホ モ トピ ー 結 合 的

XはHopf空 の3条

間,f:Y→Xは(基

像 とす

件 は 同 値 で あ る:

  (1)  あ るp>2が

あ っ て,fはZ/pに

  (2)  ∀pに つ い て,fはZ/pに   (3)  fは

点 を 保 つ:f(b)=*)写

関 し て 置 換 的,

関 し て 置 換 的,

ホ モ トピ ー 可 換 か つ ホ モ トピ ー結 合 的.

  [証 明]  [(2)⇒(1)]は   [(1)⇒(3)] 

明 ら か.

x1=x,x2=y, 

と お く.W(1)に

τ(1,2,…,n)=(2,…,n,1).τ(*)は*に

お い て

弧 で 結 ば れ る か ら,

ホ モ トピ ー 可 換.   φ(*,x1,…,xp)=f(x1)…f(xp).こ る積 を

μ(f(xi-1),f(xi))と

こ で,右 す る.そ

と お く.i>2な

辺 の 積 に お い て,一

番 最 初 に と

こ で,xi-1=x,xi=y,xi+1=z, 

ら ば, 

ホ モ ト ピ ー 結 合 的.i=2な

ら ば, 

は ホ モ トピ ー   [(3)⇒(2)] 

簡 単 の た め にf(xi)=xiと

と定 義 す る と,fの ら .こ F:I×Yp→Xと

お く.

ホ モ トピ ー 可 換 性 か ら ,fの

こ で,  す る.ま

合 的.

ホ モ トピー結 合 性 か

こ の ホ モ ト ピー を 与 え る写 像 を た, 

τ(ei2π θ)=ei2π(θ+1/p)

と定 義 す る.そ

こで

と お き,同 変 性 φ°τ=φ を 用 い て φ をW(1)×Ypに →X .こ

の と き,fはZ/pに

  特 に,Y=X,f=1Xと   系2.2 

次 の3条

(終)

おいて 件 は 同 値:

  (1)  Xは

あ るp>2に

  (2)  Xは

∀pに つ い てH(p)1-空

  (3)  Xは

ホ モ ト ピ ー 可 換,ホ

  f:Y→Xは

拡 張 す る:φ:W(1)×Yp

関 し て 置 換 的. 

つ い てH(p)1-空

間,

間, モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空

置 換 的 写 像,φ:S1×Yp→Xは

生 成 元s∈H1(S1)に

間.

そ の 構 造 写 像 と す る と,

対 し て,

 定義   定 義   X,X′

はHopf空

f′:Y′ →X′ はn-置

間,f:Y→X,

換 な 写 像,φ,φ′

はそ

れ ぞ れ の 構 造 写 像 と す る.こ

の と き,(κ,

η)はfか

換)

⇔

らf′ へ の 変 換(n-変

κ:Y→Y′,η:X→X′

  f:Y→Xは

で 右 図 は 可 換:φ′ °(1×κp)=η °φ.

構 造 写 像 φ を も つn-置

と 定 義 す る と,f×fは

換 な 写 像 とす る.写

Φ を 構 造 写 像 に も つn-置

対 角 写 像 △Y:Y→Y×Y,△X:X→X×Xを   (2.3)  (△Y,△X)はfか

  f:Y→Xは

 定 理2.4

の と き,

のn-変

換 で あ る.

つ い て,

置 換 的 写 像,ζ:Xp→Xは,ζ

す 写 像(す な わ ち,ζ はXのp個

換 な 写 像 で あ る.こ

考 え る と,

らf×fへ

  定 羲  次 数 つき 加 群Mに

像 を

°fp=φ￨*×Yp:Yp→Xを

の 元 の あ る 定 ま っ た 積)と す る と  に つ い て,

み た

 た だ し   証 明 は 読 者 に 委 ね る.   n置 換 写 像 とp-torsion(p:奇  

B,Cは

数)

自 由 な 鎖 複 体, 

は 鎖 写 像 と し,  と定 義 す る.θ:

(Bp)n→Cn+1は

φ と φ°tの 間 の 鎖 ホ モ ト ピ ー と す る:d°

θ+θ °d=φ-φ

°t.

 定義 た だ し,   注 意  φ がn-置

換 な 写 像fに

よ り導 か れ る 適 当 な鎖 写 像 の とき,こ の ξは 上 で 定 義

し た ξfと一 致 す る.   B,Cのmod

pホ

モ ロ ジ ーBocksteinス

(C)と す る.こ

の と き,命

題Ⅴ.1.19に

ペ ク トル 系 列 を そ れ ぞ れEr(B),Er よ り 

φ に よ り導 か れ る 準 同 型 を    記 号   x∈Aに

と す る.

つ い て,

の とき i>jの

 命 題2.5 

 [証 明] 

と き,(i,j;y,x)=-(j,i;y,x),

Er2n(B)∋x,Er2n-1(B)∋

u∈B2n,du=υ

βrx=yと

∈B2n-1と

す る と き,

す る と き,次

が 成 り 立 つ:

 (2.6)

 (2.7)   Er2n(B)∋x={u},du=prwな

ら ば{w}=y∈Er2n-1(B).ま

そ こで

と お く と,{U}=φr(xp).(2.6),(2.7)を

使 って

た{φ(up)}=φr(xp).

 (2.8)

  (r>1の

と き)  2r>r+1で

 (r=1の

あ る か ら,

と き)

 とお け ば

 な らば  こ こ で  と お く と

こ こ で,

(終)   こ の 命 題 に お い てB=Cは

空 間Xの

双 対 鎖 複 体 と す る.WはZ/p上

輪 状 鎖 複 体 と す る と き,よ

く知 ら れ て い る よ う に 同 変 鎖 写 像ψ:W 

が 存 在 す る.こ

単 に わ か る よ う に ξ≡0.従

  系2.6 

の と き,簡

p>2と

す る.E2nr(X)∋x,βrx=yと

  さ ら に,命

題2.5か

  定 理2.7 

XはHopf空

  定 理2.8 

Xは

β1x=y,  み た す 元,従

す る と,βr+1{xp}={xp-1y}.

間,f:Y→Xは

置 換 写 像 とす る.Er2n(Y)∋x,βrx=y

モ トピ ー 可 換 なHopf空

 (2)

間 とす る.Er2n

ば

XはHopf空

間,f:Y→Xは

(従 っ て  っ て,x=β1yと

置 換 写 像 とす る.x∈H2n(Y;Z/p),

)と し,y∈H2n-1(X;Z/p)は  お く と 

れ か の条 件  (1)

Cp→C

って

の 幾 何 学 的 定 理 を え る:

ホ モ トピ ー 結 合 的,ホ

(X)∋x,βrx=yなら

  補 題2.9 

ら,次

の非

 (従 っ てy∈PH*(Y;Z/p)),

で あ る.さ

を ら に,次

のいず

が み た され るな らば,

  [証 明]  (1) x,y∈PH*(Y;Z/p)の Z/p),し =0を

と き:こ

か も 

の と きf*x,f*y∈PH*(X;

従 っ て,〈xp-1y,ξ(1,1+i;y,x)〉

示 せ ば よ い .ま

ず

こ こ で, 

た だ

し,aはx,y,1のtensor積,bはf*x,f*yのtensor積   ￨a￨=0な  こ こ で,

ら ば,a=1か

￨f*y￨=奇

  ￨a￨=2n-1(次

  も し,bが

で あ る.

つ

数 で あ る こ と か ら,

に 次 数 の 小 さ い と き)な ら ばa=y,

分 解 的,す

な わ ち,bがf*xま

た はf*yを2個

￨y￨<￨b￨で

あ る か ら 〈y,b〉=0.同

っ て,0で

な い 項 の 唯 一 の 可 能 性 は 次 の 形:

こ こ で,tは

巡 回 置 換,従

様 に,bがf*xを

っ て ξ(ta)=ξ(a)で

  上 と 同 じ 議 論 で,xp-1をxp-2 xに

含 む な ら ば 〈y,b〉=0.従

あ る か ら,そ

と 符 号 し か 変 ら な い か ら,結

以 上含 む な らば

局,次

分 解 し て,ξ(y 

の 他 の 項 は  を 示 せ ば よ い:

…)に

双 対 積 を適 用

し て,

  一 方,β1y=β1(β1x)=0で

  (2) x=up∈PH*(X;Z/p)の

あ る か ら,

と き:ま

ず 帰 納 的 に,△p-1:H*(X;Z/p)

→H*(X;Z/p)p⇔

△1=△*, 

と 定 義 す る と,

△pは 代 数 の 準 同 型 で あ る.x∈PH*(X;Z/p)⇒

〈x,分 解 元 〉=0で

あるか

ら,  こ こ で,分 解 元,お

よ び 次 数 ≠2nの

元 はxで

消 去 さ れ る か ら,

  次 に,〈xp-1y,ξ(1,1+i;y,x)〉=0を   定 理2.4よ

示 す.

り 

上 で 

た だ し γはH*(X;Z/p)へ (H*(Y;Z/p)p)p上

の 像 の 元 の(あ

る 定 ま っ た 並 び の)積.こ

の と き,

で,

tは 巡 回 置 換

 (2.10)

  x∈PH*(X;Z/p)な

らば

〈x,分 解 元 〉=0で

で な け れ ば 〈x,γ(a)〉=0.従 に お い て0で

従 っ て,次

あ る か ら, 

っ て, 

と 表 わ す と き,(2.10)

な い 項 の 唯 一 の 可 能 性 は 次 の 形:

式

 (2.11)

を 示 せ ば,〈xp-1y,ξ(1,1+i;y,x)〉=0が ら,命

題1.13に

(2.11)が

こ で,x=upで

お い てC=H*(Y;Z/p),A=H*(X;Z/p),ξ=ξfと

基 礎 に し て,Sqiの

用 い て,命

  記 号   Xのmod

題1.8,1.12のmod pホ

モ ロ ジ ー,コ

(終) 代 りにPiを p(奇

用 い,命

代 りに,命

数)版 と し て 次 の 命 題 を え る.

表 わ す.

  命 題2.12 

間,f:Y→Xは

弧 状 連 結 なHopf空

題1.6の

ホ モ ロ ジ ーBocksteinス

そ れ ぞ れ{Er(X),βr},{Er(X),βr}と Xは

あるか お く と,

成 り立 つ こ と が わ か る. 

  こ の 補 題2.9を 題2.5を

成 り 立 つ.こ

ペ ク トル 系 列 を

置 換 写 像 と す る.x∈

PEr2n(X), 

な ら ばfr(x)はEr(X)に

implicationを

お い て1-

も つ.

  命 題2.13 

Xは

弧 状 連 結 なHopf空

間,f:Y→Xは

置 換 写 像 とす る.x∈

PE2nr(X),x=up,u∈Er(X),x=βry,  お い て1-implicationを   補 題1.11と

な ら ばxはEr(X)に

も つ.

定 理2.7を

用 い て,命

題1.12のmod

p(奇

数)版

とし て次 を え

る:   命 題2.14 

Xは

弧 状 連 結 なHopf空

間,f:Y→Xは

E2nr(X),r>1,x=βry,  cationを

置 換 写 像 と す る.x∈P

な ら ばxはEr(X)に

お い て1-impli

も つ.

  こ れ ら の 命 題 か ら,定   定 理2.15 

Xは

理1.17,系1.18の

弧 状 連 結 なHopf空

PE2nr(X),x=βryと

し,さ

場 合 と同様 に し て 間,f:Y→Xは

ら に, 

に つ い てfr:Emr(X)→Emr(Y)

が 同 型 な ら ばxは(q+1)-implicationを   系2.16 

Xは

弧 状 連 結,ホ

も つ.

モ トピ ー 結 合 的,ホ

す る.x∈PE2nr(X),x=βryな

置 換 写 像 とす る.x∈

モ ト ピ ー 可 換 なHopf空

ら ばxはEr(X)に

間 と

お い て ∞-implicationを

もつ.   ∞-implication   以 下 で は,空

間Xと

い え ば,弧

状 連 結 で ∀i>0に

つ い てHi(X)は

有限生成

と す る.   記 号   {Er(X),βr}:mod

pコ

ホ モ ロ ジ ーBocksteinス

 {Er(X),βr}:mod

pホ

モ ロ ジ ーBocksteinス

  定 理2.17  (X)∋xが tionを

p=2,Xは

ホ モ ト ピ ー 可 換 なHopf空

非 境 界 のpermanentサ

ペ ク トル 系 列. ペ ク トル 系 列.

間 と す る.こ

イ ク ル な ら ばEr(X)に

の と きPE2nr

お い て ∞-implica

も つ.

  [証 明]  s=max{n∈Nま

た は ∞￨βjx=0,∀j
つ 

と お く と,s<∞.  

な ら ば,定

理 Ⅴ.2.25に

お い て ∞-implicationを に お い て,従

っ てEr(X)に

よ りxはEs(X)に

も つ.x∈Imβsな

お い て,従

ら ば,系1.18に

お い て ∞-implicationを

も つ. 

っ てEr(X)に よ りxはEs(X) (終)

  定 理2.18 

Xは

ホ モ トピ ー 結 合 的,ホ

の と き,PE2nr(X)∋xが ∞-implicationを

非 境 界 のpermanentサ

Xは

ホ モ ト ピ ー 結 合 的,ホ

  [証 明]  ( 

Xが

XはHopf空

間 と す る.こ

も つ.

た は Ⅴ.5.32よ

り出 る.

っ て,βsx=βsup=0.こ

れ は 矛 盾 ⇒x∈

定 理2.18に

も つ ⇒xはEs(X)に

お い て,従

っ てEr(X) (終)

間 で,H*(X;Z/2)は

有 限Z/2-加

元 で,2で

的 で,2で

割 れ な い こ と よ りmod

も つ}と

割 れ な い と す る.こ

よ り,xは

よ りj*xは

  (m:奇

数 の と き)  コ ホ モ ロジー に

対 す る普 遍 係 数 定 理

∞-implicationを

も つ 最 小 のnはn=m+1.こ 存 在 し,定

か し,∞-implicationの

理2.17に

も つ.

の と き,同 様 の 議 論 よ りyは

元 の 列 の 存 在 はZ/2-加

∞-implication 群H*(X;Z/2)

の 有 限 性 に 反 す る. 

し,Xが

原始

2還 元

数 の と き)  定 理 Ⅴ.2.23に

  定 理2.21 

し

し,Hm(X)∋xは2-

の と き 補 題 Ⅴ.5.35に

  (m:偶

で,y≠0∈PHm+1(X;Z/2)が

群 とす る.も

も た な い.

  [証 明]  m=min{n￨Hn(X)は2-torsionを torsionの

分

よ りxはEs

もつ. 

ホ モ トピ ー 可 換 な ら ばH*(X)は2-torsionを

か ら,Hn(X)が2-torsionを

用 い る.  (終)

よ り,も しxが

あ っ て, 

お い て ∞-implicationを

を も つ.し

おいて

の と き)  定 理 Ⅱ.2.13に

あ っ て,x=up.従

に お い て ∞-implicationを   定 理2.20 

モ トピ ー 可 換 なHopf空

の と き)  定 理 Ⅴ.2.23ま

QEr2n(X)⇒x∈PE2ns(X)が (X)に

代 りに 系2.16を

お い て ∞-implicationを

が あ っ て, 

解 的 な ら ばuが

イ ク ル な ら ばEr(X)に

同 様 で あ る が,系1.18の

の と き,PEr2n(X)∋xはEr(X)に

  (あ る 

間 と す る.こ

もつ .

  [証 明]  定 理2.17と   定 理2.19 

モ トピ ー 可 換 なHopf空

(終)

XはHopf空

間 で,H*(X;Z/p)は

ホ モ トピ ー 結 合 的,ホ

有 限Z/p-加

群 とす る.も

モ トピ ー 可 換 な ら ば,H*(X)はp-torsionを

も た な い.   [証 明]  証 明 は 定 理2.20の に,定

理2.18,2.19を

  系2.22 

場 合 と 同 じ で,定

理2.17と

定 理 Ⅴ.2.23の

用 い る. 

H*(X)が2-torsionを

代 り (終)

も ち,H*(X;Z/2)が

有 限Z/2-加

群な ら

ば,Xは

ホ モ ト ピ ー 可 換 なHopf構

造 を も た な い.

  例  ホ モ ロジ ー 群 が2-torsionを PSU(n)(n:奇

数))は

も つLie群(SO(n),Spin(n),例

ホ モ ト ピ ー 可 換 なHopf構

  系2.23 H*(X)がp-torsionを ば,Xは

も ち,H*(X;Z/p)が

ホ モ トピ ー 結 合 的,ホ

  定 理2.24 

Xは

群 な ら

造 を もた な い .

モ トピ ー 可 換 なHopf空

は 有 限 生 成 とす る と き,H*(X;Zp)はtorsionを (X;Zp)は

有 限Z/p-加

モ トピ ー 可 換 なHopf構

ホ モ ト ピ ー 結 合 的,ホ

外 群,

造 を もた な い.

間,H*(X)

も た ず,X*(H;Zp)とH*

奇 数 次 数 の 生 成 元 を も つ 外 積 代 数 で あ る.

  [証 明]  定 理2.21とBorelの (定 理 Ⅱ.4.16)と

定 理(定 理 Ⅱ.4.9)とSamelson-Lerayの

か ら 出 る. 

(終)

  自 明 な 中 心 を もつ コ ン パ ク トLie群

の ホ モ ロジ ー はtorsionを

  例  自 明 な 中 心 を も つ コ ン パ ク トLie群 換 なHopf構

造 を も た な い.

  定 理2.25 

Xは

が 有 限Z/2-加

定理

も つ か ら,

は ホ モ ト ピ ー 結 合 的,ホ

ホ モ トピ ー 可 換 なHopf空

間 とす る.あ

るrに

モ トピー可

つ い てEr(X)

群 な ら ばEr(X)=E∞(X).

  [証 明]  証 明 は 定 理2.20と

同 様.も

し あ る 微 分 作 用 素 が0で

な け れ ば,偶

次 数 の 原 始 的 元 が あ っ て,こ

の 元 は ホ モ ロ ジ ー ま た は コ ホ モ ロ ジ ーBockstein

ス ペ ク トル 系 列 に お い て,微

分 作 用 素 の 像 に な っ て い る.こ

2.23ま

た は 定 理3.1に

よ り,こ

の 元 は ∞-implicationを

の と き,定

も ち,Z/2-加

限 性 に 反 す る. 

数

理 Ⅴ. 群 の有 (終)

  全 く同 様 に,   定 理2.26  るrに

Xは

ホ モ トピ ー結 合 的,ホ

つ い てEr(X)が

  定 理2.27 

p>2,Xは

有 限Z/p-加

モ ト ピ ー 可 換 なHopf空

間 と す る.あ

群 な ら ばEr(X)=E∞(X).

ホ モ トピ ー 結 合 的,ホ

モ トピ ー 可 換 なHopf空

間 と

す る.   (1) H*(X;Z/p)が

原 始 的 生 成 な ら ば,H*(X;Z/p)はZ/p上

の 自由 な

原 始 的 生 成 な ら ば,H*(X;Z/p)はZ/p上

の 自由 な

可 換 代 数:

 (2)  H*(X;Z/p)が 可 換 代 数:

  [証 明]  Hopf代 代 数A*の

数Aが

元 のp巾

原 始 的 生 成 な ら ば,命

は す べ て0.従

が ∞-implicationを

っ て,Aが

も つ な ら ばxの

  (1) H*(X;Z/p)の

生 成 元xは

もつ .従

implicationを

も ち,従

Z/p)はZ/p上

結 合 的,可

原 始 的 生 成 の と き は,x∈Am

高 さ は ∞,す

っ て,H*(X;Z/p)の

∞-

高 さ ∞ を もつ.H*(X;

数 で あ る か ら,Borelの

単 生 成 のHopf代

な わ ち,自

原

偶 数 次 数 の 生 成 元xは

数 のtensor積

偶 数 次 数 の 生 成 元 は ∞ の 高 さ を も つ か ら,H*(X;Z/p)は のtensor積,す

つ い て,

偶数次数の原始的元は

で 見 た よ うに,xは

換 なHopf代

代 数 と し て,H*(X;Z/p)は

な わ ち,∀mに

よ りH*(X;Z/p)の

っ て,上

よ り双 対Hopf

非 分 解 的 で あ る か ら,H*(X;Z/p)の

始 的 元 の 双 対 で あ り,定 理2.18に ∞-implicationを

題 Ⅱ.2.12に

定 理 に よ り, に 同 型.こ

外積 代

こ で,

数と 多 項 式 環

由 な 可 換 代 数 で あ る.

  (2) も ほ ぼ 同 様 で あ る. 

(終)

  §3  ホ モ トピ ー 可 換 性   射 影平 面   p:E→Bは   補 題3.1 

フ ァ イ バ ーF=p-1(*)を E,Bは

っ て,Add°(q× →Fが

連 結,FがEに

Ωp):F×

ΩE→ ΩBは

も つ 準 フ ァ イ バ ー 空 間 と す る. お い て 可 縮 な ら ば,写 像q:F→ ホ モ ト ピ ー 同 値.さ

像r:ΩB

あ っ て,r°q=1F.

  [証 明]  kt:F→EをFのcontractingホ (x)(t)=p°kt(x)と

定 義 す る.右

モ トピ ー と し,q:F→

下 の図 に お い て

こ こ で(Ωp)#:πi-1(ΩE)⊂

πi-1(ΩB)で

従 っ て,Add°(q×

ホ モ ト ピ ー 同 値.

  次 に

ら に,写

ΩBが

Ωπ)は

あ る か ら,

ΩB⇔q

あ

と 定 義 す る と,pは ft:F×

ΩB→Eが

準 フ ァ イ バ ー 空 間 で あ る か ら, あ っ て, 

特 に,f1(F×

r:ΩB→F⇔r(X)=f1(e,λ)と で あ る か ら,ft(e,q(x))と =k1(x)=x⇒r°q=1F   な お,こ

ΩB)⊂F.そ

こ で,

定 義 す る.  し てkt(x)が

と れ,従

っ てr°q(x)=f1(e,q(x))

.

の と き

(終)   定 義   空 間Xの

準 フ ァ イ バ ー 空 間p:E→Bへ

⇔

対 して

基 点e∈Xに

の 作 用m:X×E→E

  1)   2)  p°m=p⇔p(x,z)=p(z),    3)  mz:X→((m(e,z)を

z∈E, 通 る フ ァ イ バ ー)⇔mz(x)=m(x,z)は

ホモ ト

ピ ー 同 値.   あ るz∈Eに

対 し て,条 件3)のmzの

X×X→X⇔m=g°m°(1×mz)は

ホ モ トピ ー 逆 写 像 をgと

  (3.2)  Xが

準 フ ァ イ バ ー 空 間 に 作 用 す れ ば,XはHopf空

  p:E→Bは

フ ァ イ バ ーFを

m:F×E→Eは 像f1:F×

間 で あ る.

も つ 準 フ ァ イ バ ー 空 間,(F,m)はHopf空

作 用 で,m￨F×F=mを ΩB→Fに

す る と き,m:

積であるから

み た す と き,補

題3.1の

間, 証 明 中の 写

ついて

 (3.3)   [証 明] 

ま ず,m°(1×f0)=f0°(m×1).そ

ft°(m×1)に

れ

ぞ れ ホ モ

ト ピ ーm°(1×ft),

よ り, 

そ こで

また は

と定 義 す る と,p°H(s,x,y,λ,t)=λ(t)⇒p°Hは ×I→Bが

あ っ てG(I×F2×

ら,Gはlift,す

ΩB×1)=*.ま

な わ ち,Hは

拡 張 で き て,G:I×F2× たpは

拡 張 で き,H:I×F2×

ΩB

準 フ ァイ バ ー空 間 で あ るか ΩB×I→Eが

あ っ て,

H(I×F2×

Ω ×1)⊂F.従

っ て, 

  こ こ でDold-Lashof構 Xの

(終)

成 を 思 い お こ そ う.準

作 用m:X×E→Eが

フ ァ イ バ ー 空 間p:E→Bへ

与 え ら れ た と き,pを

の

準 フ ァ イ バ ー 空 間p:E→B

に 次 の よ うに 埋 め 込 む:

た だ し,

  この と き   (3.4)  p:E→Bは

準 フ ァ イ バ ー 空 間 で あ り,EはEに

  (X,m)はHopf空

間,p:X→*,m=m:X×X→Xに

構 成 し た と き の 空 間 をX=X×CX∪Xと   補 題3.5 

Xが

の2つ

g=f￨X×Xと

のtriadを

す る と

第i因 子 へ の 射 影 と す る と き,X*X=X×CX∪X.

考 え る:

お い てMayer-Vietoris系

f￨X=1X,g(x,y)=(m(x,y),y)は f*は

同 型.Xが

対 し てDold-Lashof

連結

  [証 明]  pi:X×X→Xを

こ こ で,次

お い て 可 縮.

列 の 間 の準 同 型 を 考 え る と

ホ モ ト ピ ー 同 値 で あ る か ら,5-lemmaよ

連 結 の と き,X,X*Xは1-連

結 で あ る か ら,fは

ホ モ トピ ー

同 値.   

(終)

定義  

plane)と

り

をXの い う.(以

下,P2Xの

点 は(t,x,s,y)∈CXま

射 影 平 面(projective た は(t,x)∈SXと

表

わ す.)   こ こ で,Xが

有 限 複 体 の と き,自

然 な 同 相写 像

  (3.6)  S(X*X)→SX∧SX が 存 在 す る †か ら,こ

れ を 同一 視 す れ ば コ フ ァ イバ ー空 間

 (3.7)

が え ら れ る.   命 題3.8 

(X,m)がHopf空

∈SX⊂P2XはHopf写   [証 明]  ーh

間 の と き 射 入 ω:X→

ΩP2X⇔

ω(x)t=(t,x)

像.

h0(x,y)=Add(ω(x),ω(y)),h1(x,y)=ω(m(x,y))を

s:X×X→

ΩP2Xを

み た す ホ モ トピ

構 成 す れ ば よ い.

 (1)

と 定 義 す れ ば ホ モ ト ピーh′sに よ り  (2) と 定 義 す れ ば,ホ

モ ト ピ ーh″s(x)(t)=(t,x,s,e)に

よ り((x,1,e)≡(e,1,x)に

注

意 し て),

 (3)

と定義 され た ホ モ トピー は 

を 表 わす.

 以上 よ り (終)   Hopf空

間(X,m)に

  (3.9) 

Ry:X→X⇔Ry(x)=xyは

  補 題3.10  r:ΩP2X→Xが

(X,m)は

つ い て 次 の 条 件 を 考 え る: ∀yに つ い て ホ モ ト ピ ー 同 値.

ホ モ トピ ー 結 合 的Hopf空

あ っ て,射

入 ω:X→

  [証 明] 

ΩSXに

Cohen:

み た す な らば

対 して

の 随 伴 ホ モ トピ ー をhs:X3→Xと

こ で,hs(x,y,e)=hs(x,e,y)=hs(e,x,y)=m(x,y)と †  D.E.

間 で(3.9)を

Prbducts

and

carrier

theory,

仮 定 し て よ い .次 Proc.

London

Math.

Soc.

7(1957),

す る.こ にXの 219-248.

Xへ

の作用を

と 定 義 す る と き,作

用 の 条 件(1)∼(3)が

以 下 の よ うに み た さ れ る:

 (1)

で あ るか ら   (2)  p°m(x,z)=p°m(e,z),∀z∈X.Xは

連 結 で あ る か ら 

z0=

(e,(t,e)),∀z∈X.   (3)  mzは

mz0は

ホ モ ト ピ ー 同 値 で あ り,m(x,e)=xで

あ る か ら ∀z∈Xに

つ い て

ホ モ ト ピ ー 同 値 で あ る.

  以 上 よ りm:X×X→Xは

作 用 で あ る か らDold-Lasnof構

ァ イ バ ー 空 間p:X→SXを か ら,補

題3.1に

え る.た

だ し,SX=P2X.XはXで

よ り 

  補 題3.11    1)  Hopf写

ΩP2X

モ トピー

で あ る か ら, 

(X,m)はHopf空

フ

可縮 で あ る

か つ 写 像r:ΩP2X→X,q:X→

が あ っ てr°q=1X.qをcontractingホ

で 定 義 す れ ば 

成 に よ り,準

(終)

間 とす る.

像 で あ るretraction

r:ΩSX→Xが

あ れ ば(X,m)は

ホモ トピ

み た す な ら ば,Hopf写

像で ある

ー結合的.   2)  (X,m)が retraction

ホ モ トピ ー 結 合 的 で(3.9)を r:ΩSX→Xが

  [証 明]  (1)  retraction → ΩSXに

あ る. r:ΩSX→XがHopf写

像 と す る と,射

入 ω:X

つ いて

2)  補 題3.10で

定 義 さ れ た 作 用m:X×X→Xに(3.3)を

適用すれば

(終)   命 題3.12 

(1)  f:(X,m)→(Y,n)はHopf写

→P2Yが

あ っ て,F￨SX=Sf

 (2)  (Y,n)が

像 とす る と き,写

.

ホ モ トピ ー結 合 的,(3.9)を

が あ れ ばHopf写

像F:P2X

み た す と き,写

像f:(X,m)→(Y,n)が

像F:P2X→P2Y

あ る.

  [証 明]  (1)  ht:X×X→Yはh0=n°(f×f),h1=f°mを

み た す ホ モ トピ

ー とす る と き

と定 義 す る とpY°f=f°pX.従

っ て,写

像F′:P2X→

P2Yが

え られ て,F′￨SX=f.こ

ごで 

であるか

ら,こ

の ホ モ ト ピ ー を 拡 張 し てF:P2X→P2Yが

えら

れ て,F￨SX=Sf.   (2)  f=r°

ΩF°ω:X→Yと

り ω はHopf写

定 義 す る.命

像,ΩFもHopf写

r￨ΩSYもHopf写

像,補

像 で あ る か らfはHopf写

  記 号   上 に よ りHopf写

像f:X→Yか

題3.8に

題3.11に

よ よ り

像. (終) ら 導 か れ る写 像 をP2f:P2X→P2Y

と 表 わ す.   命 題3.13 

X,Yが

ー 同 値f:X→Yが

連 結 で 同 じH-型

  [証 明]  対(P2X,SX)か 考 え る.た

を も つ(⇔Hopf写

像 で あ る ホ モ トピ

あ る)な ら ば ら(P2Y,SY)の

ホ モ ロジ ー完 全 系 列 へ の準 同型 を

だ し 

であ る

か ら,

こ こ でfは

ホ モ ト ピ ー 同 値 で あ る か ら,S(f*f)*,Sf*は

同 型 ⇒5-lemma

に よ りP2fも

同 型 ⇒P2fは

ホ モ ト ピ ー 同 値. (終)

 ホ モ トピ ー可 換 性   (X,m)は

ホ モ トピ ー 可 換 なHopf空

→X×Xに

つ い て 

は 可 換,た

だ し,kはt×rに

間 と す る.す な わ ち,交

今r:I→I⇔r(t)=1-tと よ り,lは1×rに

フ ァ イ バ ー 空 間 

ホ モ トピー 可換 な ら ば

っ て,写 像f:P2X→P2Xが

(3.6)の

同 一 視 の 下 で は,Sk:S(X*X)→S(X*X)は

X∧Xに

対 応 し て,次

図

よ り導 か れ る 写 像 で あ る.コ

に お い て,mが  を み た し,従

換 写 像t:X×X

定 義 す る と き,上

存 在 して

交 換 写 像t:X∧X→

の 図 に お い て 各 長 方 形 は ホ モ ト ピ ー 可 換 と な る:

 (3.14)

  定 義   写 像f:X×Y→Zに Z⇔h(y)=f(ex,y)で Zの

つ い て,g:X→Z⇔g(x)=f(x,eY),h:Y→ 定 義 さ れ るg,hをfの

部 分 空 間 で あ り,fの

Y→Zを

軸 写 像(axial

  定 理3.15 

軸(axis)と

軸 が 射 入X⊂Z,Y⊂Zで map)と

い う.特 にX,Yが

与 え ら れ る と き,f:X×

い う.

(X,m)はHopf空

間 とす る.

  (1)  (X,m)が

ホ モ トピ ー 可 換 な ら ば,軸 写 像f:SX×SX→P2Xが

  (2)  (X,m)が

ホ モ ト ピ ー 結 合 的 で(3.9)を

SX→P2Xが

あ れ ば(X,m)は

み た す と き,軸

存 在 す る. 写 像f:SX×

ホ モ トピ ー 可 換.

  [証 明]  (1)  g:SX∨SX→BX⇔g￨SX=射   で あ る.こ

入 こで

と定 義 す る.一

般 に,

今,h:∂I2×X2→P2X⇔h=β

°gと 定 義 す る と

 (3.16)

h￨∂I2∨X2は P2Xを

定 値 写 像 で あ る か ら(S1=∂I2と

同 一 視 し て),hよ

え る. 

と お く と き,

は  (従 っ て,φ

りh′:SX2→

に拡 張 され る.

を 軸 写 像 の 障 害 と い う.)[ω]=α

∈[X,ΩP2X]を

考 え る と,(3.16)

か ら

こ こ で[X2,X]に

お い て,m=p*1ι+p*2ι(ι=[1X]).同

次 に,χ=(p*1ι+p*2ι)-(p*2ι+p*1ι)と

(従 っ て,χ

お く と き,

を ホ モ ト ピ ー 可 換 性 の 障 害 と い う.)α

ω*p*iι=p*iα ⇒

ω*χ=φ,従

SX×SX→P2Xが

こ こ で,仮

っ て,(X,m)の

ら,r:ΩP2X→Xが

定 か ら φ=0⇒

  1ΩX:ΩX→

ΩXの

  定 理3.16 

軸dを

ΩXは(ル

ホ モ ト ピ ー 可 換. 

随 伴 写 像 をd:SΩX→X⇔d(t,λ)=λ(t)と も つ 軸 写 像f:SΩX×SΩX→Xが

(終)

す る. 存在 す る

ー プ積 で)ホ モ ト ピ ー 可 換. お い て,[d]=α=ι=[1ΩX].定

証 明 に お い て, 

障 害 は φ=χ ∈[(ΩX)2,ΩX].従   ΩX:ホ

⇒

あ っ て 

χ=0⇒(X,m)は

  [証 明]  同 一 視[SΩX,X]=[ΩX,ΩX]に 理3.15の

の 定 義 か ら,ω*ι=α

ホ モ トピ ー 可 換 な ら ば 軸 写 像f:

存 在 す る.

  (2)  補 題3.10か

⇔

様 にm°t=p*2ι+p*1ι.

モ トピ ー 可 換 ⇔

とす る と,対

応す る

っ て, 軸dを

も つ 軸 写 像f:SΩX×SΩX→Xが

あ る. (終)

  §4  Hubbuckの

定理

  こ の 節 で 考 え る 空 間 は す べ て 有 限CW-複   K-理   Xに

体 と す る.

論 つ い て 

は 複 素K-環

とす る.こ

のK-環

につい

て 後 で 用 い る 若 干 の 性 質 を 思 い お こ そ う.   (4.1) (Kunneth公

式)  K*(X)がtorsionを

もた な い な らば

 (4.2)

 (4.3)  f:X→Yに

につ い

関 す る コ フ ァ イ バ ー 系 列 

て,

 i:X(n-1)→Xを

こ の と き,こ

射 入 と す る と きK*(X)は

のfiltrationに

 微 分 作 用 素drはrが

次 のfiltrationを

随 伴 し て,ス

も つ:

ペ ク ト ル 系 列{E*r(X),dr}が

あ る:

偶 数 の と き 自明 で あ る.

 定義   補 題4.4 

K*(X)はp-torsionを

  [証 明]  有 限 生 成 可 換 群Gに   (ⅰ)  Gはp-torsionを   (ⅱ) 

もつ ⇒H*(X)はp-torsionを

もつ.

つ いて

もつ ⇔ 

はp-torsionを

はp-torsionを

もた ない ⇒

も つ,

自然 な 準 同 型 

は 単 射.   今,H*(X)は

有 限 生 成,従

がp-torsionを

っ て,K*(X)も

も た な い な ら ば,Zp⊂Qに

か し,よ

しH*(X)

よ り導 か れ る ス ペ ク トル 系 列 の 準 同

型{Er(X;Zp)}→{Er(X;Q)}は,(ⅰ),(ⅱ)に

で 単 射.し

有 限 生 成 で あ る.も

よ りE2-項

く知 ら れ て い る よ う に

従 っ て, 

に 随 伴 し た 有 階 群 はE∞(X;Zp)=E2(X; Zp)で

あ り,E2(X;Zp)はp-torsionを

を も た な い ⇒(ⅰ)よ

も た な い か らK*(X;Zp)もp-torsion

り,K*(X)はp-torsionを

もた な い. 

  ベ ク トル 束 の 外 積 巾 の 導 く 作 用 素 λi:K(X)→K(X)に Adams作

用素

 (4.5)

を 考 え る.た

だ し,λ1(x)=x.よ

く知 ら れ て い る よ うに

(終) よ り定 義 さ れ る

  (4.6)  ψ2は 環 準 同 型,か

つf:X→Yに

つ

い て,f*° ψ2=ψ2°f*,  (4.7) 

ψ2(x)≡x2

 (4.8) 

Bott周

mod

2,

期 律 β:K(X)→K(S2X)に

つ い て

ψ2°β=2β  

Chern指

°ψ2.

標 は 環 準 同 型

を 導 き,chx=Σa2m,x∈K(X),a2m∈H2m(X;Q),と

従 っ て,Chern指

す る と

標 を 使 っ て, 

  (4.9)  H2m(X;Q)は   補 題4.10 

固 有 値kmを

K(SX∧SX)に

お い て,元

X)に

2.さ

お い て ψ2≡0 mod mod

  以 下,(X,μ)は

も つ ψkの 固 有 空 間 で あ る.

お い て ψ2≡0

  [証 明]  K(X∧X)に

に お い て ψ2≡0

と 同 一 視 す る と,

mod

の 平 方=0で

ら に,(4.8)に

4. あ る か ら,(4.7)よ

りK(X∧

よ り 

4. 

(終)

可 換 なHopf空

間 と す る.こ

の と き,定

理2.20と

補 題4.4

も た な い.従

っ て,K*(X)は2-torsionを

より   (4.11)  H*(X)は2-torsionを も た な い.   命 題4.12 

K*(X;Z2)はtorsionを

も た ず,

K*(X;Z2)=Λ(ui,…,un),    [証 明]  係 数 環 の 射 入Z2⊂Qに H*(X;Q)が で,上

数.

よ り与 え ら れ る 単 射 準 同 型H*(X;Z2)→

存 在 し, 

は2-torsionを

もた な い の

の ス ペ ク トル 系 列 

こ こでK*(X;Z2)の し,そ

￨ui￨=奇

は 自 明:

積 構 造 はK*n(X;Z2)K*m(X;Z2)⊂K*n+m(X;Z2)を

れ か ら 導 か れ る 〓rH*(X;Z2)上

  Hopfの

定 理(系

Ⅱ.4.5)に

代 数 で あ り,H*(X)は2-torsionを 変 更 す る こ と に よ りH*(X;Z2)も

の 積 は 通 常 のcup積

よ りH*(X;Q)は

みた で あ る.

奇 数 次 数 の 生成 元 を もつ外 積

も た な い か ら,Hopfの

定 理 の証 明 を若 干

奇 数 次 数 の生 成 元 を もつ 外 積 代 数 で あ る こ

と が わ か る.そ (X;Z2)へ

こ でK*(X;Z2)の

生 成 元 と し て,そ

の 像 が 外 積 代 数H*(X;Z2)の

Z2)=K2n(X;Z2)で

あ る か ら,こ

べ る .K1(X;Z2)∋a,bに

の 随 伴 次 数 つ き 環 〓rK*

生 成 元 で あ る も の を 選 ぶ.K2n+1(X;

れ ら の 生 成 元 がK1(X;Z2)に

対 し てab=-baで

あ る よ うに選

あ る か ら,K*(X;Z2)も

奇数 次

数 の 生 成 元 を も つ 外 積 代 数 で あ る こ とが わ か る.    注 意   補 遺V.C.3に

よ りK*(X)は

K*(x)=Λ(u1,…,un)が

成 り立 つ.

  Kunnethの

奇 数torsionを

(終)

もた な い こ とがわ か って い る か ら,

公 式(4.1)

  (4.1)′ を 用 い る こ と に よ り,   命 題4.13 

対 角 写 像 

代 数K*(X;Z2)にHopf代

は 外積 数 の 構 造 を 与 え る.た

だ し,次

数 はZ/2で

あ る.

  コ フ ァ イバ ー空 間  (4.14)

に 関す るPuppe完

全系列

 (4.14)′

を 考 え る.こ

こ で,  で あ る か ら,次

の 完 全 系 列 を え る(補 遺V.E.

参 照):  (4.14)″

た だ し,φ=μ*-p*1-p*2    補 題4.15 

(pi:X×X→Xは

φ(w)=2υ,w∈K(X;Z2),υ

第i因

子 へ の 射 影).

∈K(X∧X;Z2)⇒t∈K(X;Z2)

が あ っ てw=2t.   [証 明]  Z2上 とす る.こ

の と き,単

の 基 底 で あ る.こ weightの 底 で あ る.

の 外 積 代 数K*(X;Z2)の

生 成 元 を 

項 式uε11…uεn1(εi=0,1)は

の 単 項 式 のweightを 

単 項 式 はK1(X;Z2)の,偶

自 由 なZ2-加 と 定 義 す る.明

数weightの

群K*(X;Z2) ら か に,奇

単 項 式 はK(X;Z2)の

数 基

等 化 写 像Λ:X×X→X∧Xは(4.2)に

を 与 え る か ら,以 式(4.1)′

よ り直 和 分 解

下,K(X∧X;Z2)⊂K(X×X;Z2)と

み な す.Kunneth公

に よ り,  偶 数)はZ2上

のK(X∧X;Z2)の

は 明 ら か.そ

こ でw≠0と

し,wを

い(Z2に)係

数 を も つ 最 小weight

uiを 適 当 に 入 れ 変 え て,最

基 底 で あ る.w=0の

上 の 基 底 で 表 わ す.こ 2sの

と きは 補 題

の と き,2で

割れ な

基 底 の 元 をuα11…uαnnとす る.こ

初 か ら αn=1と

し て よ い.Xの

こ で,

積 μ:X×X→Xか

ら 導 か れ る 双 対 積 

に つ い て,

  た だ し,akl∈Z2,xi,xjはweight>0のuiの

単 項 式.

従 っ て,  (4.16)

た だ し,bij∈Z2,yi,yjはuiの   αn=1で

単 項 式 で,weight(yi)+weight(yj)>2s.

あ る か ら,(4.16)の

  次 に,φ(w)に

右 辺 に お い て, 

お け る 

の 係 数 は2で

も し,φ(uγ11…uγnn)が,K(X∧X;Zn)の を 含 む な ら ば,Σ は,wを

数 はZ2の

αi>Σγiま た は αi=γi(∀i)で あ る.Σ

割 り切 れ な い. 

  補 題4.17 

K(P2X;Z2)はtorsionを

 [証 明]  完 全 系 列(4.14)"を

(X∧X;Z2)が

た,αi=γi(∀i)

っ て,w≠2tな

ら

も た な い.

考 え る.こ

あ っ て λ(υ)=u⇒

∧X;Z2)はtorsionを

αi>Σ γiの と き

(終)

りK*(X;Z2)はtorsionを

が あ っ て φ(w)=2υ.補

割 り切 れ る.ま

単 位 元 で あ る こ とは 上 で 見 た.従

ば φ(w)は2で

  補 題4.12よ

割 り切 れ な い こ と を 示 す.

上 述 の 基 底 で 表 わ し た と き, 

表 わ し た と き のuγ11…uγnnの係 数 は2で

の と き は,係

の 係 数=1.

題4.15か

の と き,次

を 示 そ う:

も た な い か ら,v(u)=0⇒υ λ(2υ)=2u=0で

あ る か ら,w∈K(X;Z2)

ら,t∈K(X;Z2)が

あ っ てw=2t.K(X

も た な い か らυ=φ(t)⇒u=λ(υ)=λ°

∈K

φ(t)=0. (終)

  Hopf代

数K*(X;Z2)の

原 始 的 元 で 生 成 さ れ るK1(X;Z2)の

直和因子の基

底 を 

と し,υi∈K(P2X;Z2)は 

と す る.さ

ら に 

をみたす もの

を 拡 張 し て 

の 乗 法 的 基 底 と す る.こ

は 外 積 代 数K*(X;Z2)

の と き,K(P2X;Z2)はZ2上

で は 次 の元 で 生成 され

る:

偶 数.  記 号  

で 生 成 さ れ るZ2-加 お よ び 

群. 以 外 の す べ て の 

で 生 成 さ れ るZ2-加

群.

  補 題4.18 

(Z2-加

群 と し て).

  [証 明]  を 考 え る.た に あ る 

だ し,aj,b(α1,…,βn),c∈Z2,第2項

の 和 はN(υi)の

を 除 くす べ て の αi,βiに わ た る.今z=0と

定義

仮 定 す る 

は 独 立 で あ る か ら, 

が 存 在 し て  で,(4.16)に

ここ お い て 

は 右 辺 に 現 わ れ な い か ら,c=0が

わ か る. (終)

  ホ モ トピ ー 可 換 性   補 題4.19 

Hopf代

数H*(X;Q)の

原 始 的 な 元 は す べ て 次 数1で

 [証 明]  コ フ ァイバ ー空 間  る.た

だ し,横

た だ し,こ

あ る.

に随 伴 す る 次 の 図 を 考 え

列 は い ず れ も完 全:

こ で 上 の2列

はChern指

標chに

よ り 同 一 視 し,射

入Z2⊂Qに

よ

り導 か れ る 準同 型 に よ り最 下 列 は 中 央 列 に 埋 め 込 む も の と す る.   懸 垂 同 型 

に よ り,x∈PH2s-1(X;Q)⊂H*

(X;Q)に

す る:σ(x′)=x.d∈Qを

対 応 す る 元 をx′ ∈H2s(SX;Q)と

適 当に

選 ん でu=dx′

∈K(SX;Z2)は2で

懸 垂 同 型 でK1(X;Z2)の は ψ2の 固 有 値2sの

原 始 的 な 元 に 対 応 す る.(4.9)に

す る .こ

の と き,uは

よ りH2s(SX;Q)

固 有 空 間 で あ る か ら,ψ2(u)=2su.

  次 に,y∈Heven(P2X;Q),υ =uと

割 り切 れ な い よ う に す る.こ

∈K(P2X;Z2)を

適 当 に 選 ん でi*(y)=x′,i*(υ)

こ で  で あ る か ら,(u,υ)は

(ui,υi), 

補 題4.18の

と 思 っ て よ い:

  (4.20)   ま た, 

で あ る か ら,

  (4.21)  j*(u  u)=υ2.  ψ2の

自 然 性(4.6)か

∧SX;Z2)が

らi*(ψ2(υ)-2sυ)=ψ2(i*(υ))-2si*(υ)=0⇒w∈K(SX

あ っ て,ψ2(υ)=2sυ+j*(w).(4.20)よ

  (4.21)よ

り,h∈Z2が

り ψ2(υ)=2sυ+j*(w1)+hυ2,h≡1

mod

あ っ て,

2.(3.14)の

左 の 可 換 性

⇒i*°f*=l*°i*⇒i*(f*(υ)+υ)=l*(i*(υ))+i*(υ)=l*(u)+u=0⇒w2∈ K(SX∧SX;Z2)が

あ っ て,f*(υ)=-υ+j*(w2),こ

同 型 で あ る こ と よ りf*(υ2)=υ2.さ

ら に,ψ2の

こ で(4.3)とf*が

環 準

自然 性 か ら

 (4.22)   (4.22)の 10よ

右 辺=-2ψ2(υ)+ψ2(j*(w2))=-2ψ2(υ)+j*ψ2(w2).こ

りψ2(w2)≡0

 (4.22)の

 (3.14)の

mod

4⇒((4.22)のI(υ)-成

こ で 補 題4. 分mod

4)=2υ2.

左 辺

右 の 可 換 性 ⇒f*°j*=j*°t*.j*(w1)∈N(υ)で

あ る か ら,j*t*(w1)

∈N(υ)⇒f*°j*(w1)-j*(w1)=j*°t*(w1)-j*(w1)∈N(υ)⇒(2sj*(w2)の I(υ)-成分mod 4)=2υ2.以

上 より,s=1,す

なち,∀

原 始 的 な 元x∈H1(X;

Q)    定 理4.23 

(終) Xは

連 結,有

可 縮 で な い な ら ば 

†  E.Thomas:On 12(1961),435-444.

functional

限 複 体,ホ

モ ト ピ ー 可 換 なHopf空

間 と す る.Xが

トー ラ ス.

cup

products

and

the

trangression

operator,Arch.Math.,

  [証 明]  連 結 な 複 体Xの 普 遍 被 覆 空 間 をXと す る と,よ く知 ら れ た よ うに, X は 有 限 複 体 に ホ モ ト ピー同 値,か つ(I.1.16)に よ り,ホ モ ト ピ ー 可 換 な Hopf空

間 で あ る.従

元 は す べ て 次 数1で 0.一

方,最

Q)=0で

っ て,補 あ る.こ

題4.19を

適 用 で き て,H*(X;Q)の

こ で,Xは1-連

結

⇒H1(X;Q)=H1(X;Q)=

小 次 数 の 生 成 元 は 明 ら か に 原 始 的 で あ る か ら,こ

な け れ ば 矛 盾.定

理3.4と

定 理Ⅴ.3.1を

と 表 わ す.す

結 で あ る か ら,π*(X)=0

こ で,Xは

は 有 限 生 成 な 可 換 群.そ

有 限 複 体,Hopf空

こ で 

な わ ち,X=K(F,1)×K(T,1).も

な わ ち,X=K(F,1)=S1×

 補

間 で あ るか ら,π1(X)

(F:自由

加 群,T:torsion群)

し,T≠0な

コ ホ モ ロ ジ ー は 次 数 が ∞ で あ る か ら,こ 0,す

れ は,H*(X;

使 っ て,H*(X;Z/p)=0,

∀p⇒H*(X)=0⇒H*(X)=0⇒Xは1-連 ⇒X=K(π1(X),1).こ

原始的な

れ はXの

… ×S1(ト

ら ば,K(T,1)の

有 限 性 に 矛 盾,従

ー ラ ス). 

っ てT= (終)

遺

 A  高 次 ホ モ トピ ー 可 換 性[Williams   n=(1,2,…,n)∈Rnを る も の と す る.こ Knは(n-1)次   (A.1) 

考 え る.対

1] 称 群Snは

の 作 用 に よ りnの

座 標 の置 換 に よ りRnに

軌 道 の 凸 多 面 体 をKnと

す る.定

作用す 義 か ら,

元 胞 体 に 同 値 で あ る. 胞 体Knは

  1)  ∂Knはnの

次 を み た す: 分 割(Al,Bm)と

  2)  nの 分 割(Al,Bm)に 応 す る ∂Knの

一 対 一 に 対 応 す る(n-2)-次

元 胞 体 の 和 集 合,

対

胞体は線

型 同 相 写 像V(Al,Bm): Kl×Km→

∂Knに

よ る

Kl×Kmの

像 で あ る.こ

の と きKAl×KBm=V(Al,Bm)(Kl×Km)と   3)  ∂Knの2つ ≠φ ⇔lの k)か

表 わ す.

の 胞 体KAl×KBm,KA′r×KB′sに 分 割(Cp,Dq)とsの

つ い てKAl×KBm∩KA′r×KB′s

分 割(C′j,D′k)が あ っ て,(p,q,m)=(r,j,

つ 右 上 の 図 は 可 換.

さ ら に,退

化 作 用 素 

が あ る.

  定 義 

とす る.位

相monoid

X上

のCn形

式 

は 次 を み た す:   (1)  Q1=1X:K1×X→X,  (2)

た だ し,  (3)

  Cn形

式 を も つ 空 間 をCn空

つ い て, 

間 とい う.Xが

がCn形

  例   (1)  可 換 な 位 相monoid と に よ りC∞ (2)  Cn形

も ち,∀nに 間 と い う.

XはQn(τ,x1,…,xn)=x1…xnと

定義す るこ

空 間 に な る.

式 は 可 換 ホ モ トピ ー(commuting

は ホ モ トピ ー 可 換 なmonoidで   定 義[Sugawara (strongly

∀iに つ い て{Qi}を

式 に な っ て い る と き,XをC∞空

5]  monoidの

homotopy

homotopy)で,従

っ て,C2空

間

あ る. 間 の 写 像f:Y→Zは

強 ホ モ トピ ー 乗 法 的

multiplicative)

⇔

写 像mn:Y×(I×Y)n→Z,n=0,1,…

 

(1)  m0=f,

が あって

 (2)

  fはmホ

モ トピ ー 乗 法 的 

  定 義   位 相monoid tative)⇔   例   Xが

Xは

に つ い てmnが

強 ホ モ トピ ー 可 換(strongly

積m:X×X→Xは

  (A.2)  可 算 なCW-monoidXに

  (3)  nホ

commu

ら ばXはC∞

空 間 で あ る.

つ い て 次 の 条 件 は 同 値:

式 を も つ,

  (2)  XのHopf構 さ れ る.た

homotopy

強 ホ モ トピ ー 乗 法 的.

強 ホ モ トピ ー 可 換 なmonoidな

  (1)  XはCn形

存 在 す る.

成p2:E2→SXは

主 準 フ ァ イ バ ー 空 間p:En→Bnに

拡張

だ し, モ ト ピ ー 乗 法 的 な 写 像d:Ω(SX)n→Xが

Ω(SX)n⇔j(x)(t)=t∧xに

ついて

あ っ て,射

入j:X→

  この 定 理 の 応 用 と して   (A.3) 

可 算 なCW-複

体 がC∞

ト ピ ー 乗 法 的 な 写 像d:Ω2S2X→Xが ついて

空 間 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,強 存 在 し て,射

入j:X→

ΩSX→

ホモ

Ω2S2Xに

第9章

  ホ モ トピー 類 の群

  本 章 で は,[W],[Arkowitz-Curjel

0, 4]に

沿 っ て ホ モ トピー類 のな す 群 に

つ い て 解 説 す る.

  §1  群 の 基 本 的 性 質   群 に つ い て の 基 本 的 概 念 と 性 質 を 思 い お こ そ う.Gは

群 と す る.

  巾零 群   定 義   G∋x,yに

つ い て[x,y]=xyx-1y-1(交

  記 号   G⊃A,Bに

ついて

換 子 積).

 [A,B]=([a,b],a∈A,b∈B,に   定 義   Gの

降 中 心 列(lower

よ り生 成 さ れ る 部 分 群).

central

series)

⇔

帰 納 的 に 定 義 さ れ る 部 分 群 の 列:G=G0⊃G1⊃

 

た だ し,

  定 義   Gは

巾 零(nilpotent)⇔

… ⊃{e}

∃n;Gn={e}.

  こ の よ う なnの

最 小 数 をGの

  定 義   長 さkの

中 心 鎖(central

⇔ 部 分 群 の 列G=Z0⊃Z1⊃

… ⊃Gn⊃

級(class)と

い う.

chain)

… ⊃Zk={e}で, 

を み た す.   例   巾 零 群 の 降 中 心 列 は 中 心 鎖 で あ る.   この と き定 義 か ら明 らか に   (1.1)  Gは

級 

の 巾零

  (1.2)  任 意 の 中 心 鎖{Zi}に   定 義   重 みqの(多 G∋ ∀gは 重 み1の は 重 みr+sの

⇔Gは

長 さnの

つ い て,Gi⊂Zi 

中 心 列 を も つ. (∀i).

重)交 換 子 と は 次 の よ うに 帰 納 的 に 定 義 さ れ る: 交 換 子,x,yが

そ れ ぞ れ 重 みr,sの

交 換 子 な ら ば,[x,y]

交 換 子 で あ る.

  特 殊 交 換 子(special

commutator)[x1,…,xq]は

帰 納 的 に 次 の よ うに 定 義

さ れ る:

 こ の と き  (1.3)   1) 

Gは

次 は 同 値 で あ る: 級
巾 零,

  2) 

重 みnの

  3) 

∀ 特 殊 交 換 子[x1,…,xn]=e∈G.

 (1.4) 

交 換 子 は す べ て 自 明,

G∋a,b,cに

つ い て

  1) 

[a,bc]≡[a,b]・[a,c]

  2) 

[a,[b,c]]・[b,[c,a]]・[c,[a,b]]≡e mod

  補 題1.5 

G′ をGの

mod

G2, G3.

交 換 子 部 分 群 と す る と き,

 1) 

∀nに

対 し てg∈G′

が あ って

(a1…at)n=gan1…ant.   2) 

Gが

有 限 生 成 で,G′

  3) 

ま た,こ

の と き,自

が 有 限 の と き,Gの 然 数Nが

中 心Zに

つ い てG/Zは

有 限,

あ って

 有限の階数をもつ群   定 義  群Gはtorsion群  記 号  

はGの

  定 義   Gの(正 る と き,こ

⇔G∋

正 規 部 分 群.

規)部 分 群 の 列G1,G2,…

に お い て 

れ を(正 規)部 分 群 の 昇 鎖(ascending で あ る と き,降

鎖(descending

  定 義   Gの

部 分 群 の 有 限 列 

い る と き,こ

れ を 正 規 鎖(normal

  定 義   Gは

可 解 群(solvable

が 存 在 し て,Gi/Gi+1:可   定 義   Gは ⇔

∀gは 有 限 位 数.

有 限 階 数(of

chain),ま

chain)と

chain)と group)⇔

finite

い う. 正 規 鎖 

rank)

正 規 鎖 

が 存 在 し て, Z

{

た 

い う. とな って

換群

G=/Gi+1=

であ

torsion群

  こ の よ う な 鎖(chain)をGの

ρ-鎖(ρ-chain)と

  記 号   こ の と き,ρ(G)<∞   (1.6) (K. A.

い う.

と表 わ す.

Hirsch) 

Gは

無 限 巡 回 群 の 因 子 の 数 はGの

有 限 階 数 の 群 とす る と き,Gの

ρ-鎖に お け る

不 変 量 で あ る.

  こ の こ と に よ り,   定 義  Gは

有 限 階 数 の群 とす る と き   ρ(G)=#{Gの

  こ の と き,ρ(G)をGの   (1.7)  Gが

ρ-鎖の 無 限 巡 回 群 の 因 子}.

階 数(rank)と

有限 生成 可 換群 ⇒

い う.

ρ(G)<∞

か つ,ρ(G)は

通 常 のGの

階数 と

同 じ で あ る.   定 義   群 の 準 同 型f:A→Bに   f:F-単

射

  f:F-全

射

  f:F-同

型 ⇔f:F-単

ついて

⇔Ker  f:torsion群, ⇔

∀b∈Bに

対 し て,N∋n≠0が 射 か つF-全

あ っ て,bn∈Im

f,

射.

  (1.8)  (階 数 の 性 質)   (1)  Gが

有 限 階 数 な ら ば,ρ(G)=0⇔G:torsion群,

  (2)  有 限 階 数 の 群G⊃H:部 がF-全  

さ ら に,Gのtorsion商

ち,ρ(H)=ρ(G)な   (3)   

分 群 な ら ば, 

特 に,射

部 分 群 が 有 限 群 な ら ば 逆 が 成 り立 つ,す

ら ば,射

な ら ば,G:有

入H⊂GはF-全

限階数

射,

⇔G/N,N:有

限 階 数.

こ の 場 合,ρ(G)=ρ(G/N)+ρ(N).

  定 義   Gが

昇鎖条件をみたす

⇔ 昇 鎖 が 有 限 で終 る ⇔Gお

入H⊂G

射 な ら ば,ρ(H)=p(G).

よ びGの

  定 義   G:S-群

す べ て の 部 分 群 が 有 限 生 成. ⇔Gは

可 解 群 で 昇 鎖 条 件 を み た す.

  (1.9)  (1)  ∀S-群 は 有 限 階 数.   (2)  GがS-群

な ら ば,ρ(G)=0⇔G:有

  (3)  S-群 の 部 分 群,商

群,拡

限 群.

大 は ま たS-群.

  注 意   1.  ∀lに対 し て ρ(G)=lと な るS-群 で な いGが

あ る.

なわ

  2.  有 限生 成 の 巾 零 群 は 有 限 階 数 で あ る.   3.  2文 字x,y上   (1.10) 

の 非 可 換 自 由群Fは

有 限 階 数 で は な い.

有 限 階 数 の 群 の 間 の 準 同 型j:A→B,q:B→Cに

単 射,q:F-全

射,q°j=0,射

入Im

j⊂Ker

つ い て,j:F-

qはF-全

射 な らば

ρ(B)=ρ(A)+ρ(C).   自己 同 型群   自 然 数s,Nに

つ いて

  定 義   Γ(s,N)=Ker{自

然 な 写 像SL(s,Z)→SL(s,Z/N)}

={A=(δkl+Nakl)∈M(s;Z)￨akl∈Z,detA=1}   s′<sに 対 し て Γ(s′,N)を

Γ(s,N)の

い て,Γ(2,N)⊂

ら か に,Γ(s,N′N)⊂

Γ(s,N).明

に つ い て,Γ(s,N)はp￨Nで 含 む.こ

こ で,次

部 分 群 と み な す.従

あ るpに

っ て, 

Γ(s,N).従

対 し て Γ(2,p)の

につ

っ て,∀s, 

部 分 群 Γ(2,N)を

の こ と を 引 用 し よ う †:

Γ(2,p)=

非 可換 自由群

{

Z/2 

 (p≠2)

(非 可 換 自 由 群) 

(p=2).

  自 由 群 の 任 意 の 部 分 群 は ま た 自 由 で あ る か ら,   (1.11)    π=F 

∀s,  Tを

に つ い て Γ(s,N)は

非 可 換 自 由 群 を 含 む.

有 限 生 成 可 換 群, 

の 基 底 を 選 び,GL(s,Z)を

(s個),T:有

π の 自 己 同 型 群Aut

限 群,と

す る.F

π の 部 分 群 と み な す.次

の各

射入

に お い て,各

部 分 群 は そ れ を 含 む 群 に お い て 有 限 階 数 で あ る か ら,

  (1.12) 

に つ い て,[Aut

  Ker{Aut

π→Aut

π:Γ(s,N)]<∞.

F=GL(s,Z)}は

有 限 群 で,GL(s,Z)は

有限生成で ある

か ら,   (1.13) 

Aut

†   H.Frasch:Die Ann.108(1933),229.

π は 有 限 生 成 で あ る.

Erzeugenden

der

Hauptkongruenzgruppen

fur

Primzahlstufen,Math.

 §2  [  ,X]の

巾零 性

  Lusternik-Schnirelmannカ

テ ゴ リー

  記 号   Xnk={(x1,…,xn)∈Xn￨少

く と もn-k個

  定 義   XのLusternik-Schnirelmannカ ⇔n重

対 角 写 像 わ ち,射

(x),を

テ ゴ リ ー
△n:(X,*〉

→(Xn,Xnn-1)は

入jn-1:Xnn-1⊂Xnに

  こ の と き,ホ

モ

cat

X
圧 縮 可 能(compressible),す

つ い て 写 像 △ ′:X→Xnn-1が

な

存 在 し て

ト ピ ーh:I×X→Xn,h(0,x)=△n(x),h(1,x)=jn-1°

圧 縮(compressin)と

  (2.1) 

の 座 標=*}.

X
い う.定

△ ′

義 か ら 明 ら か に,

X
 定義  (上 の よ うなnが   従 っ て, 

な い と き). 特 に,

  (2.2)  cat X=0⇔X:可   (2.3) 

縮. は 双 対Hopf空

  注 意 

Ai:可

間.

縮 な 閉 集 合,と い う こ と が証 明 で き る か ら,

古 典 的 な カ テ ゴ リー よ り1小 さい.   (2.4)  XがYを

支配す る

  特 に,   (2.5)  f:X→Yの

写 像 錐Cfに

  定 義  XはCW-複

体 とす る.Xの

⇔

つ い て, 高 さkの

部 分 複 体 の 列 

  従 っ て,Piは

で,(Piの

胞 体 の 集 ま りをPi-1に

球 面 の 集 ま り とす る と き,Piはf:S*→Pi-1の   例  連 結 なCW-複

成 層(stratification) 各 胞 体 の 境 界)

接 着 し て え ら れ る.す

な わ ち,S*を

写 像 錐 に な っ て い る.

体 の 切 片 は 成 層 に な っ て い る.   を そ れ ぞ れX,Yの

と す る と き,

 定 義 か ら,

 はX×Yの

成 層 で あ る.

成層

 (2.6)  Xが

高 さkの

 (2.7)  X:CW-複

成 層 を もつ 体

 さ ら に,  (2.8)  cat X
  (2.9)  X=Sp1×   (2.10) 

ら ば,任

(F=R,C,H).

性 質 に つ い て は[TM]の

  XはHopf群(群

状)で 基 点eは

第3章

を 参 照 さ れ た い.

単 位 元 と す る.

  定 義   交 換 子 写 像(commutator ⇔

つ いて

… ×Spn⇒catX=n.

cat FPn=n 

  以 上 のcatの

意 の 係 数 環Rに

map)φ:X×X→X

φ(x,y)=(xy)(x-1y-1).

  定 義から明らかに   (2.11)   定 義   多 重 交 換 子 写 像(iterated ⇔

commutator

φ1=1x, 

map)φn:Xn→X

(特 に φ2=φ).

  定 理2.12   [証 明]  n=1は

自 明.n=2は(2.11). 

る.(Xn,Xnn-1)はNDR-対

と し, 

で あ る か ら,φnの

と仮 定 す

ホ モ ト ピ ー ψ′:I×Xn→Xが

在 し て,ψ ′(1×Xnn-1)=e.こ

の と き,ψ=I×Xn+1→X×X⇔

ψ′(t,y))と 定 義 す る と,こ

れ は1× φnか らf:Xn+1→X×Xへ

存

ψ(t,x,y)=(x, の ホ モ トピーで

(終)   定 理2.13  ⇒[Y,X]は

Xは

級
  [証 明]  (1.3)に =G

連 結 なHopf群,cat

Y
巾 零(∀Y).

よ り次 を 示 せ ば よ い:特

.αi={fi},fi:Y→Xと

あ る ∀Yに 対 し て

殊 交 換 子 ∀[α1,…,αn]=0∈[Y,X]

す る と,[α1,…,αn]は

次の合成写像で表わ さ

れ る:

こ こ で,(f1×

… ×fn)(Ynn-1)⊂Xnn-1,△nはYnn-1へ

圧 縮 さ れ る か ら,射

入iY:

Ynn-1→Yn,ix:Xnn-1→Xに 像g:Y→Ynn-1が

対 し て写 存 在 し て,

  (終)   系2.14 

Xは

cat Y=nま

た はdim

連 結 な ホ モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空 Y=n⇒[Y,X]は

間,YはCW-複

級 〓nの

  [証 明]  定 理 Ⅰ.2.4′ に よ りXは

体 と す る.

巾 零.

群 状 と仮 定 し て よ い.従

っ て,(2.7)を

用 で き る.    系2.15 

Xは

⇒[S,X]は

連 結 な ホ モ トピ ー 結 合 的Hopf空 級 〓nの

  [証 明]  (2.9)よ   定 理2.16 

Xは

はCW-複

 (終)

り出 る. 連 結 な ホ モ トピ ー 結 合 的Hopf空

体Yの

と お く と,

体 で あ る か ら,Xは

f:Y→X,Gi∋

βi=[gi],gi:Y→Xと

い.相

体(Yi+1,Yi)の

任 意 の 胞 体Eλ

っ てYiは 

で あ る か ら, 

こ こ で[α,βi]は さ れ る が,(f′

に 対 し てIntEλ

か つ ∂EλはEλ-Fλ

α=[f], 示 せ ば よ

∋xλ を と る と, の 変 位 レ トラ ク

の 変 位 レ トラ ク ト.仮 定 か ら  HEPに

一 方R0={xλ}は  従 っ て, 

群 状 と 仮 定 し て よ い.G∋

す る と き,[α,βi]∈Gi+1を

閉 包 体Fλ ⊂Int Eλ が 存 在 し てxλ ∈IntFλ トと な る.従

間, 

成 層 と す る.  中 心 鎖 で あ る.

  [証 明]  YはCW-複

対CW-複

間,

巾 零.

G0,…,GnはG=[Y,X]の

よ りg′i:Y→Xが

存 在 し て 

の 変 位 レ トラ ク ト.Xは HEPに

よ りf′:Y→Xが

連 結 で あ る か ら 

存 在 し て 

合 成 写 像 φ°(f′×g′i)° △:Y→Y×Y→X×X→Xに ×g′i)° △(Yi+1)⊂X∨Xで

あ る か ら,(2.11)に

Gi+1. 

よ り表 わ よ り[α,βi]∈ (終)

  積空間   Y=Y1×

… ×Yn,Pi={(y1,…,yn)∈Y￨少

な く と もn-i個

お く と, *=P0⊂P1⊂  記号

適

(終)

… ⊂Pn=Y.

の 座 標 が 基 点}と

  定 義   ∀α ⊂{1,…,n}に

つ い て,

Yα=Yα/Yα   こ の と き,同   Pα:Yα

相 

→Yα

(￨α￨=α

は 等 化 写 像,qα:Y→Yα

⇔qα(y)=(a1,…,an),た

と 自 然 なretractionを

  補 題2.17 

Xは

連 結 な ホ モ ト ピ ー結合

と す る .も

しretraction

定 義 す る.こ

的Hopf空

ri:Y→Aiが

⇒j*:[Y,A;X,e]→[Y,X]は

だ しai=yi の と き,

間,(Y;A1,…,An)はCW 存 在 し て,ri(Aj)⊂Aj(∀i,j)

単射

  [証 明]  定 理 Ⅰ.2.4′に よ りXはHopf群 の と き,次

の 濃 度).

が あ る.

(i∈ α), 

-(n+1)-系

∩P￨α￨ -1 

で 単 位 元eを

も つ と し て よ く,こ

を 示 せ ば よ い:

rel A.

か つ  従 っ て, 

とす る と き,次

を 示 せ ば よ い:

 の ホ モ ト ピ ー をF:I×Y→Xと

して

と定 義 す る と

につい て   さ ら に,t=0,1の

と き,F′(t,y)=fi(y).写

rel eで

あ る か ら,F′￨I×Bj+1は

Bj+1と

お く と 

零 ホ モ

こ で(I×Y,C)はNDR-対

存 在 し てFは 

  こ の 補 題 を 対(Y,Yα),￨α￨=i,に   系2.18 

零 ホ モ トー プ

∂I×Bj+1.C=∂I×Y∪I×

た だ し,F″(t,y)=ft(y),((t,y)∈

F″(t,y)=e((t,y)∈I×Bj+1).こ 拡 張F:I×Y→Xが

像x→x・x-1は トー プrel

∂I×Y),

で あ る か ら,F″ の ホ モ ト ピ ー. 

(終)

適 用 して

j*:[Y,Pi-1;X]→[Y,Xに

つ い て,

 定 理2.19   [証 明]  (Yα,*)と

射 入jα:(Yα,Yα 写 像jの

∩Pi-1)→(Y,Pi-1)と

導 く凖 同 型

射 影pα:(Yα,Yα

∩Pi-1)→

の

に よ り,準

同 型 ξ: 

が 定 義 さ れ る.明

ら か にGi⊂Kerξ.

  逆 に,  は 単 射.  [ξ:全

射] 

iα:Y→Yα

Y→(Y,Pi-1)→Yα

⇔iα=pα

°qα と 定 義 す る.qα:

と 分 解 す る か ら,i*α[Yα,X]⊂Gi

-1.こ

こ で,

  全 射(つ   例   Yi=Smi=ei∪emi 

(CW-分

  (2.20) 

さ ら に,Y=Y1×

*=P0⊂P1⊂ G=[Sm1×

… ⊂Pn=YはYの … ×Smn,X]は

… ×YnはCW-複

成 層 で あ る.定

中 心 列G=G0⊃G1⊃

理2.19よ

… ⊃Gn={e}を

  ホ モ トピ ー 可 解 性 と ホ モ トピ ー 巾 零 性   Gは

代 数 的 ル ー プ と し,演

  定 義   αn:G2n=G× ⇔

算 は 誤 解 の な い 限 り"+"で

級
可 解(solvable

of

  定 義   βn:Gn=G×

… ×G→G⇔

  定 義   Gは

巾 零(nilpotent

級
  (X,μ)はHopf空   補 題2.21 

∀Yに

⇔G=[X2n,X]に対

  [(1)の

〓] 

of

class
級
巾零

対 し て,βn(p1,…,pn)=0. 明 ら か.

∀Y,∀fi:Y→Xに

が 存 在 し て,fi=pi°f.こ

こで

βn=1.

子 へ の 射 影 と す る.

級
し て,αn(p1,…,p2n)=0.

  [証 明]  (1),(2)の[⇒]は

αn=1.

βn(g1,…,gn)=[…[g1,g2],g3]…],gn].

つ い て,[Y,X]は

  (2)  ∀Yに つ い て,[Y,X]は ⇔G=[Xn,X]に

(交 換 子 積)

class
間 と し,pi:Xn→Xは (1) 

表 わ す.

… ×G→G

帰 納 的 に,α2(g1,g2)=[g1,g2]=g1g2g-11g-12 

  定 義   Gは

射).  (終)

割).

こ の と き,Yα=Sm(α),  でfiltration

い で にi*α:単

対 し てf:Y→X2n

可 解

体 り も ち

f*:[X2n,X]→[Y,X] は 準 同 型 で あ る か ら,

 

∀Y,∀fi:Y→Xに

が 存 在 し て,fi=pi°f.こ

対 し てf:Y→Xn

こで f*:[Xn,X]→[Y,X]

は 準 同 型 で あ るか ら, (終)

 定義

 定 義 か ら明 らか に,  (2.22) w2(X,μ)=0⇔(X,μ)は

ホモ

ト ピ ー 可 換,

 (2.23) υn+m=υn°(∧2nυm),  (2.24) 

υn-1=wn°(1∧1∧

  定 義   (X,μ)は

級
υ1∧υ2∧υ3∧…∧υn-2). ホ モ

ト ピ ー 巾 零(homotopy

nilpotent

of


(HN(X,μ)
級
ホ モ

ト ピ ー 可 解(homotopy

 (HS(X,μ)
表 わ す). solvable

of

class
表 わ す).

ら,

  (2.24)′   HN(X,μ)
f:(X,μX)→(Y,μY)がHopf写

像 な らば

  定 義   Hopf写像f:(X,μX)→(Y,μY)は

級
ホ モ トピ ー 巾 零(HN(f)
⇔f°wn(X,μX)=0.   Hopf写

像f:(X,μX)→(Y,μY)は

級
ホ モ トピ ー 可 解(HS(f)
class

⇔f°υn(X,μX)=0.   定 義   Hopf写

像f:(X,μX)→(Y,μY)は

中 心 的(central)

⇔w2(Y,μY)°(f∧1)=0.

 定義 

はH-フ

⇔(F,μF),(E,μE},(B,μB)はHopf空

ァイ バ ー 空 間 間,F→E→Bは

フ ァ イ バ ー 空 間,

j:(F,μF)→(E,μE),f:(E,μE)→(B,μB)はHopf写

像.

  補 題2.26 

はH-フ

 (1)  HN(f)
ァ イ バ ー 空 間 とす る.

心 的 ⇒HN(E)
 (2)  HS(j)<m,HS(f)
こ で,

(∵  j:中   (2) 

あ っ て,wn(E,μE)=

心 的).

υm+k(E,μE)=υm(E,μE)°∧2m(υk(E,μE))に

注 意 し て,   が あ っ て,υk(E,μE)=j°

υ.

こ こ で,j°υm(F,μF)=0⇒υm+k(E,μE)=υm(E,μE)°∧2m(υk(E,μE))=υm(E,μE) °∧2m(j)°∧2m(υ)=j°υm(F,μF)°∧2mυ=0

  §3  Hopf写

  以 下,簡

. 

(終)

像 の 群

単 の た めにXは

群 状 で ∀iに

つ い てHi(X)は

有 限 生 成 と す る.

  記 号  βn(X):XのBetti数, γn(X)=rankπn(X).   補 題3.1 A〓  ⅰ) 

連 結 な 有 限CW-複

[A,X]は

群 の 商)は

有 限 生 成 で,そ

体 の と き, の す べ て のtorsion

subquotient(⇔

有 限 で あ る,

 ⅱ)   [証 明] ⅰ) 

Xが1-連

→(n,X),pn:(n,X)→(n-1

結 の と き,XのPostnikov系{(n,X),fn,pn},fn:X ,X),に

関 す る 完 全 系 列 を 考 え る:

部 分

こ こ で[A,K(πn(X),n)]=Hn(A;πn(X))はS-群.帰 (n-1,X)]をS-群 ら,上

と す る.S-群

納 法 の 仮 定 と し て,[A,

の 部 分 群,商,拡

の 完 全 系 列 か ら[A,(n,X)]もS-群.十

[A,(N,X)]で

大 は す べ てS-群 分 大 き いNに

あ るか ら,[A,X]もS-群,従

であるか

つ い て[A,X]=

って有 限 生成 で あ る こ とがわ

か る.

  Xが 連 結 の と き;XをXの

が あ る.た あ る.従

だ し,iは っ て,完

が え ら れ る.こ

普 遍 被 覆 空 間 とす る と,フ ァイ バ ー空 間

被 覆 に 同 値.さ

ら に,Xも

群 状 で,i,pはHopf写

像で

全 系列

こ でXはHopf空

間 で あ る か ら,π

る.Hi(X),Hi(K(π,1))は∀iに

自明 に 作 用 す

つ い て 有 限 生 成 で あ る か らHi(X)も∀iに

い て 有 限 生 成 で あ る.Xは

単 連 結,有

限 次 元CW-複

は 有 限 生 成 で あ る か ら,[A,X]はS-群.一 ら[A,X]もS-群.従

はH*(X)に

体 で∀iに

つ い てHi(X)

方,[A,K(π,1)]はS-群

っ て,[A,X]は

有 限 生 成,そ

のtorsion

つ

で あ るか subquotient

は 有 限 で あ る.  ⅱ)  [SA,K(π,1)]=H1(SA;π)=0で i*:単

あ る か ら,上

  [Coker

p*:torsion群]実

  K(π,1)=T×K,た

際,

だ し,T=S1×

  p:X→T×KはT上

… ×S1,K=K(F,1),F:有

で 切 断 を も つ.す

存 在 し てp1°p° σ=1T.そ

て,[A,X]∋

θ=N(σ°p1° η),N=#Fと

θ⇔

限 可 換 群.

な わ ち,p1:T×K→Tを

る と,σ ∈[T,X]が

Coker

の完全系 列 に お い て

射.

射 影 とす

こ で,∀ η∈[A,K(π,1)]に

対 し

定 義 す る と,p*(θ)=Nη

⇒

p*:torsion群.

  [(ⅱ)の 証 明]  こ の こ と とi*の

単射性か ら

(終)   補 題3.2 

A〓 連 結,有

限CW-複

) f:A→Xがf*=0:PH*(X;Q)→H*(A;Q)を

体,X:有

限CW-複

体 と す る. ⅰ み た す な ら ば[A,X]

  に お い てfは

有 限 位 数 で あ る.

 ⅱ)  [A,X]の

交 換 子 群 は 有 限.

  [証 明]  補 題Ⅰ.1.13に ΩSXに

よ りHopf写

像r:ΩSX→Xが

対 し てr° ω=1X.Samelsonの

あ っ て,射

定 理(系Ⅱ.4.17)よ

始 的 生 成 と 仮 定 し て よ い か ら,仮

(ω°f)=fで

照).こ

りH*(X;Q)は

原

定 よ りf*=0:H*(X;Q)→H*(A;Q)⇒

(ω°f)*=f*° ω*=0:H*(ΩSX;Q)→H*(A;Q)⇒ い て 有 限 位 数(系4.7参

入 ω:X→

ω°fは[A,ΩSX]に

こ でr*:[A,ΩSX]→[A,X]は

あ る か ら,fは[A,X]に

お

準 同 型 でr*

お い て 有 限 位 数.

 ⅱ)  交 換 子 写 像 φ:X×X→Xはφ*=0:PH*(X;Q)→H*(X×X;Q)を 導 くか ら,ⅰ)に

よ りφ は[X×X,X]にお

部 分 群 はtorsion群   Yも

⇒

い て 有 限 位 数 ⇒[A,X]の

補 題3.1(ⅰ)に

よ り交 換 子 部 分 群 は 有 限 で あ る. (終)

群 状 と す る と き,

  記 号   [Y,X]H={f∈[Y,X]￨f:Hopf写  

交換子

〈[Y,X]H〉:[Y,X]Hに

  記 号  Z∋Mに

像},

よ り生 成 さ れ る[Y,X]の

部 分 群.

対 し て,[X,X]∋M=(1GのM重

積)と す る.

  例  位 相 群 の 場 合,M:g→gM.   以 下,群

の 演 算 を 誤 解 の な い 限 り,+で

  定 理3.3  Hopf写

∀Xに

対 し て 自然 数Nが

表 わ す(M=M・1G).

あ っ て,kN:X→Xは

∀k∈Zに

ついて

像.

  [証 明]  第i因

子 へ の 射 影 をpi:X×X→Xと

N:Hopf写 こ こ で 補 題3.1に

す る と き,

像 ⇔N°(p1+p2)=N°p1+N°p2∈[X×X,X]. よ り[X×X,X]は

の 交 換 子 部 分 群 は 有 限 群.後

有 限 生 成,補

題3.2に

は 補 題1.5をG=[X×X,X]に

よ り[X×X,X] 適 用 す れ ば よ い. (終)

 注 意   1.  上 の 定 理 のNは[X×X,X]の   2.  [X,X]H∋2⇔X:ホ   定 義  φ:X×X→Xを

不 変 量 で表 わ す こ とが で き る.

モ トピー可 換. 交 換 子 写 像 と す る.

  [A,X]∋fは

中 心 的(central)⇔

  こ の と き,定

義か ら

  (3.4)  射 影q1:A×X→A,q2:A×X→Xに

φ°(f×1)=0∈[A×X,X].

ついて

  f:中

心 的 ⇔

交 換 子[f°q1,q2]=f°q1+q2-f°q1-q2=0∈[A×X,X].

  (3.5)  f:A→Xが

中 心 的 ⇒[f]∈Z([A,X])中

  (3.6)  f:A→Xが

中心的 ⇒

心.

∀g:B→Aに

対 し て,f°g:B→A→Xは

中

心 的.   Yを 群 状 とす る.  記号

 [Y,X]CH={f∈[Y,X]H￨f:中

  [Y,X]CHは[Y,X]の

心 的}⊂ 〈[Y,X￨H〉.

可 換 部 分 群 で あ る.

  補 題3.7 ⅰ)  f∈[Y,X]H,g∈[Y,X]CH⇒f+g∈[Y,X]H,  ⅱ)  [Y,X]CHは[Y,X]の  ⅲ)  N∋Mが

存 在 し て,M・[Y,X]H⊂[Y,X]CH.

  [証 明]  ま ず,次  

中 心 の 部 分 群,

に 注 意 す る:

f:Y→XはHopf写

像 ⇔f°(p1+p2)=f°p1+f°p2∈[Y×Y,X].

 ⅰ) f∈[Y,X]H,g∈[Y,X]CHと

す ると

⇒f+g∈[Y,X]H.  ⅱ) ⅰ)に

よ りf,g∈[Y,X]CH⇒f+g∈[Y,X]H.ま

  [Y,X]CH∋fに

た(3.5),(3.6)よ

り

つ い て,(-1)°f°(p1+p2)=(-1)°(f°p1+f°p2)=-f°p2-

f°p1=-f°p1-f°p2⇒-f∈[Y,X]CH.   (3.5)に

よ り[Y,X]CH⊂Z([Y,X]).

 ⅲ) 

補 題3.1,3.2よ

つ.ま

た 補 題1.5.(2)よ

定 理3.3か

り[Y×X,X]は

ら 自 然 数N2が

そ こ で.M=N1N2と

有 限 位 数N1を

存 在 し て,kN2:X→Xは

お け ば[Y,X]H∋

[(Mf)°q1,q2]=0⇒Mf=M°fは Hopf写

有 限 生 成 で,有

り[Y×X,X]/Zは

∀fに

 [証 明]

rank

も つ(Zは

中 心).

∀kに つ い てHopf写 つ い て(N1f°q1∈Zで

中 心 的.ま

たN2の

像 ⇒M・[Y,X]H⊂[Y,X]CH. 

  定 理3.8 

限 交換 子部 分 群 を も

[Y,X]CH=rank〈[Y,X]H〉=Σnγn(Y)γn(X).

像.

あ る か ら)

と り 方 か らMfは (終)

⇔

ξ([f])=f*￨PH*(X;Q).

  ξH:〈[Y,X]H〉

→HomQ(PH*(X;Q),PH*(Y;Q))⇔

ξH=ξ￨〈[Y,X]H〉

と定 義 す れ ば 次 図 は 可 換:

  [Cokerξ:torsion群] 

補 題3.2よ

りKerξ

  一 方,H*(X;Q)はPH*(X;Q)の

⇒dim  ⇒

⇒Cokerξ

元 で生 成 され る外 積 代 数 で あ るか ら,

HomQ(PH*(X;Q),H*(Y;Q))

はtorsion群.

  [CokerξH:torsion群] 

HomQ(PH*(X;Q),PH*(Y;Q))∋hに

自然 数N0とf∈[Y,X]が mX°(f×f)に

 

で あ る か ら,

PHn(X;Q)=γn(X)

ρ(Imξ)=dim

3.2よ

はtorsion群

あ っ て,N0h=ξ(f).ま

つ い て,PH*(X;Q)上

で(f°mY)*=(mX°(f×f))*

り τ=[-f°mY+mX°(f×f)]は[Y×Y,X]に

N1=￨τ￨,N2=([Y×Y,X]の   N3=￨[Y×Y,X]/中

そ こ で,N=M2と

交 換 子 部 分 群[Y×Y,X]′

お く と,補

.従

って 補 題

お い て 有 限 位 数.そ

心￨,N4=(kN4:X→Xは

と し,M=N1N2N3N4と

対 し て,

た,[Y×Y,X]∋f°mY,

の 位 数),

∀kに つ い てHopf写

題1.5よ

り,γ ∈[Y×Y,X]′

とれ ば,N°f°mY=N°mX°(f×f).一

こで

像)

が あって

方NはHopf写

像 で

あ る か ら,N°mX°(f×f)=mX°(N×N)°(f×f)=mX°(N°f×N°f)⇒N°f はHopf写

像 か つ ξH(N°f)=N°h⇒CokerξH:torsion群.

  [ρ〈[Y,X]H〉

に つ い て]KerξH⊂Kerξ

群.従

っ て,KerξH,CokerξHは

=dim

HomQ(PH*(X;Q),PH*(Y;Q))=Σnγn(X)γ

はtorsion群

と も にtorsion群

  [定 理 の 証 明]  〈[Y,X]H〉/[Y,X]CHがtorsion群 い.MはM[Y,X]H⊂[Y,X]CHと

な る 自 然 数,M′

⇒KerξH:torsion で あ る か ら,ρ 〈[Y,X]H〉 n(Y). で あ る こ とを 示 せ ば よ は 交 換 子 部 分 群[Y,X]′

の 位 数 と す る.〈[Y,X]H〉 [Y,X]′ ⇒

∋aに

対 し て,補

題1.5よ

が 存 在 し てMa=γ+b⇒M′Ma=M′

りb∈[Y,X]CH,γ

γ+M′b=M′b∈[Y,X]CH

〈[Y,X]H〉/[Y,X]CHにtorsion群. 

  系3.9 

#[Y,X]Hは

∈

(終)

無 限 ⇔nが

あ っ て γn(Y)γn(X)≠0.

と定 義 す る と右 図は 可 換:   補 題3.10 

十 分 大 き いMに

  [証 明]  PH*(X;Q)の [X,X]H∋fの

つ い てKerζH,CokerζCHは

最 高 次 元 をnと

有 限 群.

し, 

とす る.

導 くf*:H*(X;Q)→H*(X;Q)は

環 準 同 型 で あ り,H*(X;Q)

は 可 換 環 で あ る か ら 容 易 に わ か る よ う に,(-f)*=(-1)*°f*も る.[X,X]H∋gに

こ の と き,上

ついて

式 の 右 辺 は 環 準 同 型.さ

て,〈[X,X]H〉

∋ ∀hはfま

い う型 の 元 の 和 で あ る か ら,h*:H*(X;Q)→H*(X;Q)は   [KerζH:有

環 準 同型 で あ

限]  〈[X,X]H〉

⊃KerζH∋hを

か らh*=0:PH*(X;Q)→PH*(X;Q).こ

た は-gと

環 準 同 型 で あ る. と る と,Cartan-Serreの

定理

こ でH*(X;Q)はPH*(X;Q)の

元 で 生 成 さ れ る か らh*=0:H*(X;Q)→H*(X;Q)⇒h*=0:H*(X;Q)→ H*(X;Q)⇒

補 題3.2よ

りhは

有 限 位 数 ⇒KerζHはtorsion群

⇒Ker

ζHは 有 限 群.   [CokerζH:有

 

限]  KerζHは

CokerζHはtorsion群,従

  [CokerζCH:有

有 限 群 で あ る か ら,

っ て 有 限 群.

限]

  で あ り,〈[X,X]H〉/[X,X,]CHはtorsion群 群

⇒CokerζCH:torsion群,従

で あ る か ら,CokerζH:torsion っ て 有 限 群. 

  定 義   EH(X)={f∈[X,X]H￨f:ホ   合 成 写 像 に よ りEH(X)は

モ ト ピ ー 同 値} 群 に な る.

(終)

  定 理3.11 

(ⅰ) EH(X)は

  (ⅱ) 

有 限 生 成 で あ る.

∀k⇒EH(X)は

  (ⅲ)  あ るkに

有 限 群 で あ る.

つ い て γk(X)>1⇒EH(X)は

  [証 明]  (ⅱ) 

Xと

す れ ば 補 題3.10よ

す る. 

り 

限 群 ⇔Imζ

Xと

(X)→ πj(X)と

す る と き,πni(X)の

′:有 限 群.

よ り導 か れ る 準 同 型 を ζ(f)j:πj お く.次 数 〓Mに

お い て γni(X)>1と

Γ(γni(X),N)∋

含 ま れ る も の と み な せ る  ∀Ai, 

この とき,

に 対 し て,g∈[X,X]Hが

  実 際,Γ(γni(X),N)∋Ai=(δkl+Nakl)と

補 題3.7よ

って,Imζ

自 由 部 分 群 の 基 底 を 選 ん で,Γ(γni(X),N)とM(γni(X),

Z)をHom(πni(X),πni(X))に

[X,X]CHが

限 群,従

す る.[X,X]∋fに

し,N=#CokerζCHと

って

′:有 限 群.

∀kな ら ば ΣAutπn(X):有

  (ⅲ) 

  (3.12) 

と は 有 限 群.従

EH(X):有 も し, 

非 可 換 自 由 群 を 含 む.

表 わ す と,Nの

存 在 し て,

選 び 方 か ら,fi∈

存 在 し て,

り,[X,X]∋1X+f1+…+frはHopf写

従 っ て,g=1X+f1+…+frが  

像で

求 め るHopf写

像 で あ る.

で あ る か ら,[X,X]∋hは,J.H.C.

Whiteheadの

定 理 に よ り,

  が み た さ れ る と き,ホ 同 値 で あ る.特

に,Γ(γni(X),N)⊂Autπni(X).従

∈EH(X).Γ(0,N)=Γ(1,N)={e}と

っ て,g=1X+f1+…+fr

す る と,

 従 って  (3.13)  も し,あ

るkに

つ い て γk(X)>1な

ら ば(3.13)に

よ り

モ トピー

  一 方 ,Γ(γk(X),N)は

自 由 非 可 換 部 分群Jを

含 む か ら,ζ′-1(J)はEH(G)の

自 由 非 可 換 部 分 群 で あ る.  ⅰ )  Kerζ ′,Imζ ′は 有 限 生 成 で あ る こ と を 示 す.   ま ず,Kerζ

′⊂ζ-1H(ζH(1))は 補 題3.10に

[Autπn(X):Γ(γN(X),N)]<∞, 

よ り有 限 群.こ

で あ るか ら  は 有 限 生 成.有 限 生 成 群 の 有 限 指 数 の部 分

こ こ で  群 は ま た 有 限 生 成 で あ る か ら,Imζ Xの

り

で あ る か ら 

ま た 

  系3.14 

れ と(1.12)よ

有 限 個 のH-同

′は 有 限 生 成 で あ る. 

値 写 像 が 存 在 し て,Xの

(終)

任 意 のH-同

値写像 は

こ れ ら の 合 成 で 表 わ さ れ る.   注 意   これ はmonoid   定 理3.15  mod

mた

[X,X]Hに

写 像 度Nの

つ い て は成 り立 た な い.

写 像N:Sp→SpはHopf写

  も し,{1,3,7}∋p,q,p≠qな

ら ば 任 意 のHopf写

  [証 明]  (ⅰ) 1s1はHopf写 たHopf写

像 ⇔N(N-1)≡0

だ し,(p,m)=(1,1),(3,24),(7,240).

像,可

像Sp→Sqは

換 なHopf空

自 明 で あ る.

間 へ のHopf写

像の和はま

像 で あ る か ら,[S1,S1]H=[S1,s1].

  (ⅱ)  G=[S3×S3,S3]を の 三 重 交 換 子 写 像=0.一

乗 法 的 に 表 わ す.cat(S3×S3)=2で 方,G∋

∀a,bに

あ る か ら,G

対 して

(ab)N=[b,a]N(N-1)/2aNbN. 第i因

子 へ の 射 影pi∈Cで

  射 影q:S3×S3→S3∧S3=S6の 12はSamelson積 p2]で

あ る か ら,

導 くq*:π6(S3)→Gに

お い て, 

〈ι3,ι3〉に よ り 生 成 さ れ て い る.定

あ る か ら,[p1,p2]は

位 数12で

あ る.従

義 か ら,q*〈ι3,ι3〉=[p1,

って

mod   (ⅲ)  S7は が,[Hilton

24.

ホ モ ト ピ ー 結 合 的 で は な い か ら,一 般 に[A,S7]は 1]に

さ ら に 〈ι7,ι7〉 は

よれ ば[S7×S7,S7]は

群 で,任

意 の3重

 を生 成 す る か ら,(ⅱ)の  

mod

群 では な い 交 換 子 写 像=0.

場 合 と同様 に し て 240.

  (ⅳ)  残 る 場 合 は,[S7,S3]Hで S15→S8をHopf写

あ る が,こ

像(積 か らHopf構

こ で η:S3→S2,ν:S7→S4,σ:

成 に よ り構 成 さ れ る 写 像)と す る. 

は α=(Sη)°ν に よ り生 成 さ れ る が,[Stasheff   α:Hopf写

像 ⇔Sα:S8→S4がCayley射 平 面P2(H)に

1]に

よれ ば

影 平 面P2(L)か

ら 四元 数 射 影

拡 張 され る

の で あ る か ら, α:Hopf写   一 方,Barrattに

豫 

は 自 明.

よ れ ばj°S2η °Sν° σ≠0で

あ る か ら,[S7,S3]H=0. (終)

  §4  準 同 型   以 下,こ

の 節 で は,Xは

き 定 理Ⅰ.2.4′ ら に,Xの

体Aに

間 とす る.こ

つ い て[A,X]は

自 明 で な い ホ モ ト ピ ー 群 は 有 限 個 の み と す る.こ

元CW-複

体Aに

い か ら,次

つ い て,[A,X]を

考 え る 場 合,Postnikov系

πi(Z′)はi
の 仮 定 は,有

限次

を考えれば よ

元CW-複

体,f:Z→Z′

と き 同 型,i=Nの に,Yは1-連

はN-同

と き全 射)な

値(⇔f#:πi(Z)→

ら ば,f*:[A,Z]→[A,Z′]

結 でPostnikov系{(n,Y)}を

も つ と き,射

次 の 同 型 を 与 え る:

,X]と

準 同型

  写 像fi,gi:A→B(i∈I)が Hn(gi):Hn(B)→Hn(A)に

導 く準 同 型f*i,g*i:[B,X]→[A,X],Hn(fi), ついて

 記号

 定 理4.2  [証 明] 

のと

群 と な る.さ

の よ く知 ら れ た 補 題 が 示 す よ うに そ れ 程 厳 し い 制 限 で は な い .

  補 題4.1 AはN-次

  群[ 

連 結 な ホ モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空

に よ り有 限 次 元CW-複

XのPostnikov系

を{(n,X),kn}と

に よ り次 の 可換 な 図 が え られ る:

す る と き,フ

ァイバ ー空 間

影

と お く と,j*,p*は

次 の 準 同 型J,Pを

導 く:

 (4.3)

こ の 列 が(1.10)の   (1)  J:F-単

条件 を み たす こ と 射, 

(2)  P:F-全

 (4)  射 入ImJ⊂KerPはF-全

射, 

(3) P°J=0,

射

を 示 す.   [(1)の 証 明]  次 の 完 全 系 列 を 考 え る:

こ こでXのPostnikov不 J:F-単

変 量 は 有 限 位 数(定 理 Ⅲ.2.12)⇒j*:F-単

射 ⇒

射.

  [(2)の 証 明]  knは

有限位

数 で あ る か らN∈Zが

存 在

し て,N1(n-1,X)=1(n-1,X)+…+1(n-1,X)(N個)はliftさ →(n,X)が

え ら れ る.従

っ て,α

∈C″

れ てν:(n-1,X) ⇒ν

°α ∈Cか

つJ(ν °α)=Nα

⇒J:

F -全 射 .   [(3)の

証 明]  は 明 ら か.

  [(4)の

証 明] 

α ∈KerP⇒

β ∈[B,ΩK]が

あ っ て

(f*i-g*i)(β)=(f*i-g*i)j*(β)=(f*i-g*i)(α)=0.j*はF-単 ∈Nが

射 入ImJ

射.

  π,π ′を 有 限 生 成 可 換 群 と し,f:A→Bの (B;π)→Hm(A;π)と

有 限 生 成 の π を 

こ で,j*

射 で あ る か ら,M

存 在 し て,(f*i-g*i)(Mβ)=0(∀i∈I)⇒Mα=J(Mβ)⇒

⊂KerPはF-全

 (4.4)

α=j*β.こ

導

く 準 同 型 をfπ=Hm(f;π):Hm

す る と き,

(torsion群)と

書 く こ と に よ り,

  定 理4.2をXのPostnikov系{(n,X)}のnに よ り,n=1の

と き 成 り立 つ.次

関 す る 帰 納 法 で 示 す.(4.4)に

に 帰 納 法 の仮 定 と して

が 成 り 立 つ と す る.(1.10)を(4.3)に

適 用

し て ρ(C)=ρ(C′)+ρ(C″).こ

こで

で あ る か ら,

Xの

自 明 で な い ホ モ トピ ー 群 は 有 限 個 で あ る か ら,帰

納 法 に よ り定 理 の 成 り立

つ こ と が わ か る. 

(終)

  記 号   βm(A):Aのm次Betti数.  fi=gi=0(∀i∈I)と   系4.5 

お い て,

ρ([A,X])=Σmβm(A)ρ(πm(X)).

  定 理4.6 

写 像f:A→Bの

(B)→Hn(A)に

つ い て,

導 く準 同 型f*:[B,X]→[A,X],Hn(f):Hn

 (1)

 (2)   [証 明]   (2) 

(1) 

(1.8)に

定 理4.2に

お い てfi=f,gi=0(∀i∈I)と

お け ぼ よ い.

よ り ρ([B,X])=ρ(Kerf*)+ρ(Imf*).ま

た,系4.5に

よ り

(終)   系4.7 

g:A→Xが

導 く 準 同 型Hn(g;Q):Hn(X;Q)→Hn(A;Q)が,

 と な る す べ て のnに

つ い てHn(g;Q)=0な

ら ば[A,X]∋[g]は

有 限 位 数.   [証 明]  仮 定 か らHn(g):Hn(X)→Hn(A)に {g*:[X,X]→[A,X]}はtorsion群   定 理4.6の   系4.8 

つ い て ρ(ImHn(g))=0⇒Im ⇒[g]=g*[1X]:有

限 位 数. 

記号の下で (1)  Kerf*:有

(2)  Imf*:有

限 ⇔

  [証 明]  ま ず,補

限 ⇔

ρ(KerHm(f))ρ(πm(X))=0,∀m.

ρ(ImHm(f))ρ(πm(X))=0,∀m.

題3.1の

証 明 よ り[A,X]はS-群

⇒Kerf*もImf*

(終)

もS-群

⇒

  系4.9 

定 理4.6と(1.9)の(2)よ f:A→Bの

り系 は 出 る. 

(終)

導 く準 同 型H*(f;Q):H*(B;Q)→H*(A;Q)に

つ

いて H*(f;Q):単

射 ⇒f*:[B,X]→[A,X]はF-単

射,

H*(f;Q):全

射 ⇒f*:[B,X]→[A,X]はF-全

射.

  [証 明]  は 上 と 同 様 で あ る が,f*がF-全 4.6の

他 に[A,X]がS-群

  群[ 

,X]の

射 で あ る こ と を 示 す に は,定

で あ る こ と お よ び(1.8)の(2)が

理

必 要 で あ る. (終)

固定点

  記 号   [A,A]⊃

Λにつ いて

  定 理4.10  [証 明] 

定 理4.2に

お い て

Λ={fi￨i∈I},gi=1A(i∈I)と

お け ば よ い.

(終)  記 号   Γ=Homeo(A)={f:A→A￨fは

  A/Γ:Γ

同 相}.j:Γ

の 作 用 に よ るAの

 定 理4.11 

Γ は 有 限CW-複

軌 道 空 間,q:A→A/Γ 体Aの

準 同 型q*:[A/Γ,X]→[A,X]に

→[A,A]射

入.

射 影.

同 相 写 像 の な す 有 限 群 とす る.qの

導 く

つ いて

 [証 明]  ま ず[A/Γ,K(Z,n)]=Hn(A/Γ)で

あ る か ら,

 (4.12)

た だ し,Hm(q)=q*:[A/Γ,K(Z,m)]=Hm(A/Γ)→[A,K(Z,m)]=Hm(A). こ こで(4.12)の 4.6.(2)お

よび 定 理4.10を

  最 後 に,こ た が,以

各 項 に ρ(πm(X))を

の 節 で は,Xの

上 の 結 果 は,A,Bが

か け,mに

つ い て 加 えた 後,系4.5,定

用 い て 定 理 を え る. 

理 (終)

自 明で ない ホ モ トピー群 は 有 限 個 で あ る と仮 定 し 有 限 次 元CW-複

体 の と き は,任

意 のXに

ついて

成 り立 つ.   尚,こ

れ ら の 結 果 は,ホ

モ トピ ー 分 解(Postnikov分

ー 分 解 を 用 い る こ と に よ り,す

べ て 双 対 化 で き,f:A→Bに

解)の

代 りに ホ モ ロジ よ り導 か れ る 準

同 型f*:[X,A]→[X,B](Xは

双 対 群 状)に つ い て ρ(Kerf*),ρ(Imf*)を

求

め る こ と が で き る.   対 称 平 方 の ホ モ トピ ー 可 換 性   以 下,簡

単 の た め に,Yは

  定 義   空 間Yに

τ(x,y)=(y,x),∀(x,y)∈Y2,Z/2

道 空 間 ΣY=Y2/(Z/2)を

の と き,自

然 な 射 影q:Y2→

に つ い てi=q°ik:Y→Y2→

 こ の と き,次

体 と す る.

つ い て,τ:Y2→Y2⇔

={1Y×Y ,τ}と し,軌 と い う.こ

有 限CW-複

ΣYと

対 称 平 方(symmetric ΣY,第k因

お く.従

は,∀

π,nに

つ い て 全 射 †.

は 単 射(∀n)†

  定 義   [Y2,X]∋

μ:可 換 ⇔

μ:ホ モ トピ ー 可 換 ⇔

 明 ら か に,可

換性 ⇒

τ*μ=μ た だ し,τ*:[Y2,X]→[Y2,X].

るnが

∈[Y,X] 

(k=1,2).

ホ モ トピ ー 可 換 性.

題4.16,4.18,4.19で

の と き,あ

†.

μ∈Im{q*:[ΣY,X]→[Y2,X]},

  定 義   (ホ モ ト ピ ー)可 換 な μ は α 型 ⇔i*kμ=α

る.こ

の 図 は い ず れ も 可 換:

が 成 り立 つ:

 (4.14) 

  以 下,命

子 へ の 射 入ik:Y→Y2

っ て,次

 (4.13) 

  [Y2,X]∋

square)

は,Yは

有 限CW-複

体,Xは

単 連 結 とす

存 在 し て 次 が 成 り立 つ:

 (4.15)

  従 っ て,本

節 の 前 半 の 結 果 を 適 用 し て よ い.

  命 題4.16  ⇒

[Y×Y,X]∋

整 数N>0が

  [証 明] 

μ は ホ モ ト ピー 可 換

存 在 し て,Nμ=μ+…+μ(N個)は

定 理4.10に

よ り ρ([Y×Y,X]Z/2)=ρ(Imq*)⇒(1.8)の(2)よ

射 入Imq*⊂[Y×Y,X]はF-全 † J.D.Liao:On

可 換.

射 ⇒N>0が

the topology

of cyclic products

存 在 し てNμ

of spheres,Trans.AMS,77(1954),520-

551. ††  A.Borel:Seminar

on

transformation

り は 可 換.  (終)

groups,Ann.Math.Studies,46(1960).

  補 題4.17 

[Y,X]∋

α を 固 定 す る:

 (1)  Zc(α)={n∈Z￨nα

型 の 可 換 な 元 μ∈[Y×Y,X]が

 (2)  Zhc(α)={n∈Z￨nα

型 の ホ モ トピー 可換 な元

存 在}はZのidea1, μ∈[Y×Y,X]が

存 在}

はZのideal,  (3)  Zc(α),Zhc(α)の

生 成 元 を そ れ ぞ れNc(α),Nhc(α)と

す る と,

Nhc(α)￨Nc(α).

  [証 明]  (1)  μi∈[Y×Y,X]は ±N2)α 型.さ

可 換 で,Niα

ら に,∀m∈Zに

対 し て,mμiは

型 ⇒

μ1±μ2も 可 換 で(N1

可 換 で,mNi型.

  (2)  も 全 く 同 様.   (3)  可 換 性 ⇒   命 題4.18 

ホ モ トピ ー 可 換 性. 

[Y,X]∋

∀α に 対 し て,正

(終) 整 数Nc(α),Nhc(α)が

存 在 し て,次

を

み た す:   (1)  可 換 な μ∈[Y×Y,X]はNα

型 ⇔Nc(α)￨N,

  (2)  ホ モ トピ ー 可 換 な μ∈[Y×Y,X]はNα   [証 明]  補 題4.17のideal Nhc(α)￨Nc(α)で つ い てNα

型 ⇔Nhc(α)N.

Zc(α),Zhc(α)の

あ る か ら,Nc(α)≠0を

生 成 元Nc(α),Nhc(α)に

示 せ ば よ い.す

な わ ち,あ

型 の 可 換 な 元 が 存 在 す る こ と を い え ば よ い.(4.13)と

i*:[ΣY,X]→[Y,X]はF-全

射 ⇒[Y,X]∋

Nα=i*β,∃

μ=q*β

β∈[ΣY,X]⇒

  命 題4.19 

[Y,X]∋

  (1)  Nc(α)￨Nを

は 求 め るNα

α を 固 定 す る と き,次

み た す ∀Nに

∀α に 対 し てNが

対 し て,Nα

つい て

るN≠0に 系4.9よ

り

存 在 し て,

型 の 可 換 な 元. 

(終)

の 条 件 は 同 値: 型 の 可 換 な 元 μ∈[Y×Y,X]が

無 限 個 存 在 す る.   (2) Nhc(α)￨Nを

みたす

[Y×Y,X]が   (3)  あ るmに   [証 明] 

射.従

お く. あ る か ら,右

理4.11よ

一 方 ,(4.14)よ

型 の ホ モ ト ピ ー 可 換 な 元 μ∈

つ い て,(ρm{ΣY)-ρm(Y))ρ(πm(X))>0(ρm(X)=ρ(Hm(X))).

i0=i*k￨[Y×Y,X]Z/2と

図 は 可 換.定

対 し て,Nα

無 限 個 存 在 す る.

[Y×Y,X]Z/2⊃Imq*で

q*はF-単

∀Nに

りq*はF-全

の 射.

りHm(q):Hm(ΣY;Q)→Hm(Y×Y;Q)は っ て,q*はF-同

型,従

単 射 で あ る か ら, っ て,F-同

型:Keri*→Keri0を

導

く.Keri*,Keri0はS-群

で あ る か ら,(3.4)に

 

(ⅰ) #q*(Keri*)=∞, 

 

こ こ で,[Y,X]∋

(ⅱ)  #Keri0=∞, 

⇔#q*(Keri*)=∞.従

ら か に,#i-10(β)=∞

た,(4.1)よ

有 限CW-複

⇔#Keri0=∞.従 ある (終)

間の可換性

体 で,ホ

モ ト ピー 結 合 的 なHopf空

間,自

の 結 果 を[Y×Y,X]に

明でない

お い て,X=Y,

場 合 に適 用 す る.

  定 義   [X×X,X]∋

N型

様 にi-10(β)=

り ρ(KerHm(i))=βm(ΣY)-βm(Y)で

ホ モ トピ ー 群 は 有 限 個 の み と し,上 α=ι=[1X]の

は な い).ま

ら か に,

よ り(3)⇔(ⅲ). 

  ホ モ トピ ー 結 合 的 なHopf空   以 下,Xは

型 の 可 換 な 元}.明

っ て,(1)⇔(ⅰ).同

{β 型 の ホ モ トピ ー 可 換 な 元}.明 っ て(2)⇔(ⅱ).ま

件 は 同 値:

(ⅲ)  #Keri*=∞.

β に つ い て,q*°i*-1(β)={β

#q*i*-1(β)=∞

か ら,系4.8に

よ り次 の3条

μ をXの

た,N∈Zに

積 の 元 と い う こ と に す る(必

つ い てNι 型 の(ホ

モ トピ ー)可

ず し もXの

積で

換 な積の 元 を 単 に

と い う.

  定 理4.20 

Xは

有 限CW-複

体,ホ

  (1)  正 整 数Nc(X),Nhc(X)が

モ トピ ー 結 合 的Hopf空

間 とす る と き,

存 在 し て,

 

(ⅰ)  XはN型

の 可 換 な 積 の 元 を も つ ⇔Nc(X)￨N,

 

(ⅱ)  XはN型

の ホ モ ト ピ ー 可 換 な 積 の 元 を も つ ⇔Nhc(X)￨N,

  (2)  ∀ ホ モ ト ピ ー 可 換 な 積 の 元 に 対 し て,M∈Nが

存 在 し て,Mμ

は可換

な 積 の 元,   (3)  次 の3条  

件 は 同 値 で あ る:

(ⅲ)  Nc(X)￨Nを

み た す ∀Nに

対 し て,N型

の 可換 な異 な る積 の元 は 無

み た す ∀Nに

対 し て,N型

の ホ モ トピ ー 可 換 な 異 な る

限 個 あ る,  

(ⅳ)  Nhc(X)￨Nを

積 の 元 は 無 限 個 あ る,  

(ⅴ)  あ るmに

つ い て,(βm(ΣX)-βm(X))ρ(πm(X))>0.

  [証 明]  (1)  命題4.18に

お い て α=ι と と り,Nc(X)=Nc(ι),Nhc(X)=

Nhc(ι).   (2)  命 題4.17.   (3)  命 題4.19. 

(終)

 

注 意   ΣXのBetti数

に 関 す るRichardsonの

公 式 を 思 い お こ そ う†:

(m≠2s)  (4.21.)

(4.21)を

 こ こ で,定

  従 っ て,次

理I.2.13に

つ い て βm

  (系4.5). {Xの

積 の ホ モ ト ピー 類}

が い え る:

無 限 個 も つ ⇔Xは

の 可 換,sNhc(X)型

の ホ モ トピー可 換 な積 の 元 を

無 限 個 の 積 を も つ.

遺

  A  巾 零 なHopf空 Xは

数).

あ るmに

よ り 

  ∀r,sに 対 し て,rNc(X)型

 

(m=2s,s:偶

つ い て(βm(ΣX)-βm(X))ρ(πm(X))>0⇔

(X∧X)ρ(πm(X))>0⇔#[X∧X,X]=∞

補

数)

使 うこ とに よ り

  あ るmに

Xは

(m=2s,s:奇

間[Snaith

可 算 なCW-複

X→Xは

体 で,ホ

1] モ トピ ー 結 合 的 なHopf空

間 とす る.φ2:X×

交 換 子 写 像,φn=φ2°(φn-1×1X):Xn=Xn-1×X→X×X→Xはn重

換 子 写 像 と す る.さ

ら に,次

交

の よ うに 定 義 す る:

 こ の と き  (A.1) 

に 対 し て,複

体X(j)と

射 入 

が 存 在 し て,次

の 性 質 を み た す:   (ⅰ)  X(2)=SX×SX   (ⅱ) は 第j因

  (ⅲ) 

子 を 第(j-1)

因 子 へ 折 りた た む 写 像 とす る と き,∀j>2に X(j-1)が

つ い て写 像

Γj:X(j)→

あ っ て 上 の 図 は 可 換.

(ⅳ) †  M.Richardson:On 35),50-69.

the

homology

characters

of

symmetric

products,Duke

Math.J.1(19

   

(ⅴ) 

写 像 △j:(X×Y)(j)→X(j)×Y(j), 

第k因

が 存 在 し て,次

子S(X×Y)→(第k因

子SX)×(第k因

△j°ij([t,x,y])=(ij[t,x],ij[t,y]), 

  (ⅵ)  ω:X→

ΩP2XをHopf写

はX(j)に

子SY)に

写 る:

t∈I,  x∈X, 

像 と す る.も し 

拡 張 さ れ る.Xが

式 に よ って

y∈Y,

な ら ば 

ホ モ トピ ー 結 合 的 で,右translation

が ホ モ トピ ー同値 な らば 逆 も成 り立 つ, (ⅶ) 

交 換 子 写 像 φj:(ΩY)j→

ΩYは

は 

零 ホ モ トー プ

(j)に 拡 張 され る

た だ し,   この定 理 か ら   (A.2) 

(ⅰ) 右translationがXで

ホ モ ト ピ ー 群 はn個   (ⅱ)  Yの

ホ モ トピ ー 同 値 で,P2Xの

のみ な らば

自 明 で な い ホ モ トピ ー 群 はn個

のみならば

  B  自 己 ホ モ トピ ー 同 値 写 像 類 の な す 群[Arkowitz-Curjel   空 間Xの

Xが1-連

結,N-次

元CW-複

πn(X),∀n}と

E(n,X)→E(n-1,X)が

お き,自

準 同 型 θn:Tn(X)→E#(n,X)が

な ら ば,θnはF-単

  以 下, 

と 仮 定 す る. あ る 

存 在 し て,次

射,ρnはF-全

に つ い て ρ(πn(X))>1な

す る と き,

は完 全 系 列

射 で あ る.

ら ばE(X)は

少 く と も2つ

成 元 を も つ 自 由 部 分 群 を 含 む.   (B.4) 

Xが1-連

結,N-次

  E(X)は

元CW-複

有限階数 ⇔

体 な らば す べ て のniは

 こ の 場 合,   特 に,  (B.5) 

E(X)は

然 な準 同 型

導 く準 同 型 を ρn:E#(n,X)→E#(n-1,X)と

さ ら に, 

  (B.3) 

表 わ す.

体 ならば

  Tn(X)=Ker{Hn(X;πn(X))→Hom(πn(X),πn(X))}と

 (B.2) 

0]

自己 ホ モ トピ ー 同 値 の ホ モ ト ピ ー 類 が(合 成 の 下 で)な す 群 をE(X)

と表 わ し,E#(X)={[f]∈E(X)￨f#=id:πn(X)→   (B.1) 

自 明で ない

有限群 ⇔

βni(X)=1,∀i.

相 異 な る.

の 生

あ

と が

き

と 参

考

文

献

  本 書 で は 位 相 幾 何 学 に お け る基 本 的 事 実 お よび そ れ らに 関 す る性 質 な どは 比 較 的 自 由 に 用 い た が,こ [A] 

荒 木 捷 朗:一

[H] 

S.T.Hu:Homotopy

[KNS] 

れ ら に つ い て は 次 の も の を 参 照 さ れ た い.

般 コ ホ モ ロ ジ ー,紀

伊 國 屋 数 学 叢 書4,1975.

Theory,Academic

小 松 醇 郎-中 岡 稔-菅 原 正 博:位

[M] 

S.MacLane:Homology,Springer-Verlag,1967.

[Sp] 

E.H.Spanier:Algebraic

[St] 

N.E.Steenrod:Cohomology

[TM] 

Press,1959.

相 幾 何 学Ⅰ,岩

波 書 店,1967.

Topology,McGraw-Hill,1966.

戸 田 宏-三 村 護:ホ

Operations,Ann.Math.Studies モ ト ピ ー 論,紀

50,1962.

伊 國 屋 数 学 叢 書3,1975.

[TM上] 

戸 田 宏-三

村 護:リ

ー 群 の 位 相,上,紀

伊 國 屋 数 学 叢 書14-A,1978.

[TM下] 

戸 田 宏-三 村 護:リ

ー 群 の 位 相,下,紀

伊 國 屋 数 学 叢 書14-B,1979.

[W] 

G.W.Whitehead:Elements

  Hopf空

間 そ の も の に つ い て は,単

て[Arkowitz は,こ

0],[Stasheff

Theory,Springer-Verlag,1978.

行 本 と し て[Zabrodsky

0],概

論 と し て[Sugawara

0],講 0]が

義 録 とし あ る.本

れ ら の も の に 多 大 な 影 響 を 受 け て い る の は 言 う ま で も な い.尚,上

[TM],[TM上],[W]等

に もHopf空

  本 書 を 書 く に あ た っ て,参 も 挙 げ て お い た が,こ こ れ ら が,Hopf空 く ま で も,本 録 集 のpp. のHopf空  

of Homotapy

た る もの は 各 章 の 冒 頭 に

考 文 献 を も う 一 度 列 挙 し て お く.勿

論

間 に つ い て の 文 献 を す べ て 網 羅 し て い る わ け で は な い.あ

書 に お い て 参 考 あ る い は 引 用 し た も の に す ぎ な い.尚,次 137-156にI.M. 間,Lie群

Jamesに

よ る 文 献 表 が あ る.こ

の 講 義

れ は そ の 当 時 ま で

に 関 係 し て い る も の を ほ ぼ 集 録 し て い る よ う に 思 わ れ る:

H-spaces-Neuchatel(Suisse)-Aout

1970,LNMS

196(1971).

J.F.Adams 0.  Infinite

loop

spaces,Ann.Math.Studies

1.  On

non

existence

the

記 の

間 に 関 す る 記 述 が 若 干 あ る.

考 に し た 文 献 の う ち,主

れ ら も 含 め て,参

書

of elements

90(1978). of

Hopf

invariant

one,Ann.Math.

72(1960),20-104. 2. 

The

sphere

considered

as

an

H-space

mod

p,Quart.J.Math.Oxford

12(1961),52-60. 3. 

H-spaces

with

few

cells,Topology

1(1962),67-72.

M.Arkowitz 0. 

Localization

1. 

The

and

H-spaces,Aarhus

generalized

Univ.Lecture

Whitehead

Notes

product,Pacific

44,1976.

J.Math.12(1962),7-23.

M.Arkowitz-C.R.Curjel 0. 

Groups

1. 

On

of the

homotopy

classes,LNMS

number

of

4(1964).

multiplications

of

an

H-space,Topology

2(1963),

205-209. 2. 

The

AMS

Hurewicz

homomorphism

and

finite

homotopy

invariants,Trans.

110(1964),538-551.

3. 

Zum

4. 

On

5. 

Some

Begriff maps

des

of

H-Raumes

mod

F,Arch.Math.16(1965),186-190.

H-spaces,Topology

properties

J.Math.Oxford

of

the

6(1967),137-148. exotic

multiplications

on

the

three-sphere,Quart.

20(1969),171-176.

F.Borel 1. 

Sur les

groupes

fondamentaux

des

H-espaces,C.R.Acad.Sci.Paris

283

(1976),879-881. 2. 

Sur

les

groups

fondamentaux

des

H-espaces,Comment.Math.Helv.53

(1978),73-91. W.Browder 1. 

The

cohomology

of

covering

spaces

of

H-spaces,Bull.AMS

65(1959),

140-141. 2. 

Torsion

3. 

Homotopy

4. 

Fiberings

Bull.AMS

in

H-spaces,Ann.Math.74(1961),24-51. commutative of

H-spaces,ibid.75(1962),283-311.

spheres

and

H-spaces

which

are

rational

homology

5. 

On

6. 

Higher

68(1962),202-203. differential torsion

Hopf in

algebras,Trans.AMS

107(1963),153-176.

H-spaces,ibid.108(1963),353-375.

W.Browder-I.Namioka  

H-spaces

with

commutative

homology

rings,Ann.Math.75(1962),449

spheres,

-451

.

W.Browder-E.Spanier H-spacesh

and

duality,Pacific

J.Math.12(1962),411-414.

W.Browder-E.Thomas On

the

projective

1. 

On

π3 of

2. 

Hopf

plane

of

an

H-space,Ⅲ.J.Math.7(1963),492-502.

A.Clark finite

dimensional

algebras

H-spaces,Ann.Math.78(1963),193-196.

over Dedekind

domains

and

torsion

in

H-spaces,Pacific

J.Math.15(1965),419-426. 3. 

Homotopy

commutativity

and

the

Moore

spectral

sequence,ibid.15(19

65),65-74. G.Cooke-J.R.Harper-A.Zabrodsky Torsion

free

mod

p

H-spaces

of

low

rank,Topology

18(1979),349-359.

C.R.Curjel On

the

H-space

structures

of

finite

complexes,Comment.Math.Helv.

43(1968),1-17. C.R.Curjel-R.R.Douglas On

H-spaces

of

finite

dimension,Topology

10(1971),385-389.

A.Douady Periodiute

du

59/60),expose

groupe

unitaire,Seminaire

H.Cartan-J.C.Moore

12(19

11.

R.R.Douglas-F.Sigrist Sphere

bundles

over

spheres

and

H-spaces,Topology

8(1969),115-118.

J.Ewing On

the

type

of

associative

H-spaces,Bull.AMS

78(1872),35-37.

J.E.Goldfeather Incompressibility

and

fibrations,Ⅲ.J.Math.21(1977),688-702.

D.H.Gottlieb 1. 

Evaluation

subgroups

of

homotopy

groups,Amer.J.Math.91(1969),

729-755. 2. 

On

the

construction

of

G-spaces

and

applications

to

homogeneous

Proc.Camb.Phil.Soc.68(1970),321-327. K.A.Hardie Higher

Whitehead

products,Quart.J.Math.Oxford

12(1961),241-249.

spaces,

J.R.Harper 0. 

Torsion

1. 

Homotopy

2. 

Homotopy

-331

in

H-spaces,Mem.AMS groups

of

groups

223,1979.

finite

of

H-spaces,Bull.AMS

H-spaces

78(1972),532-534.

I,Comment.Math.Helv.47(1972),311

.

3. 

The

4. 

Torsion

mod

5. 

Regularity

3

homotopy

free

mod of

type p

of

F4,LNMS

418(1974),58-67.

finite

H-spaces,LNMS

657(1978),144-149.

H-spaces,Ⅲ.J.Math.23(1979),330-333.

J.Harrison-J.D.Stasheff Families

of

H-spaces,Quart.J.Math.Oxford

22(1971),347-351

.

H.B.Haslam G-spaces

mod

F

and

H-spaces

mod

F,Duke

Math.J.38(1971),671-679

.

P.J.Hilton Note

on

H-spaces

and

nilpotency,Bull.Acad.Polon.Ser.Sci.Math.

Astronom.Phys.11(1963),505

.

J.R.Hubbuck 1. 

On

homotopy-commutative

2. 

Generalized

AMS 3. 

H-spaces,Topology

cohomology

operations

8(1969),119-126.

and

H-spaces

of

low

rank,Trans.

141(1969),335-360. Automorphisms

of

H-spaces,Osaka 4. 

Finitely

5. 

Simply

generated connected

Oxford

polynomial

algebras

and

homotopy

commutativity

J.Math.6(1969),197-209. cohomology

Hopf

H-spaces

of

algebras,Topology

rank

2

with

9(1970),205-210.

2-torsion,Quart.J.Math.

26(1975),169-177.

6. 

H-spaces

7. 

A

of

given

conjecture

on

rank,LNMS the

657(1978),271-281.

p-regularity

of

an

H-space,Proc.AMS

78(1980),

149-153. 8. 

Mod

p

associative

H-spaces

of

given

rank,Math.Proc.Camb.Phil.

Soc.88(1980),153-160. J.R.Hubbuck-R.Kane On

π3 of

a

finite

H-space,Trans.AMS

213(1975),99-105

N.Iwase 1. 

K*(XPn)の

2. 

On

the

環 構 造 に つ い て,修 K-ring

structure

士 論 文(九 of

州 大 学),1983.

X-projective

n-space,Mem.Fac.Sci.

.

in

Kyushu

Univ.38(1984),285-297.

I.M.James 1. 

Reduced

2. 

Commutative

-68 3. 

product

spaces,Ann.Math.62(1955),170-197. products

on

spheres,Proc.Camb.Phil.Soc.53(1957),63

.

Multiplication

AMS

on

spheres Ⅰ,Ⅱ,Proc.AMS

8(1957),192-196;Trans.

84(1957),545-558.

4. 

On

5. 

Products

spaces

6. 

On

with on

a

multiplication,Pacific

J.Math.7(1957),1083-1100.

spheres,Mathematika

H-spaces

and

their

6(1959),1-13. homotopy

groups,Quart.J.Math.Oxford

11

(1960),161-179. 7. 

On

homotopy-commutativity,Topology

6(1967),405-410.

I.M.James-E.Thomas Which

Lie

groups

are

homotopy

abelian?Proc.Nat.Acad.Sci.USA

45(1959),73-740. D.W.Kahn 1. 

Induced

2. 

A

maps

note

on

for

Postnikov

H-spaces

and

systems,Trans.AMS Postnikov

107(1963),432-450.

systems

of

spheres,Proc.AMS

15

(1964),300-307. R.Kane 1. 

Primitivity

and

finite

H-spaces,Quart.J.Math.Oxford

26(1975),300-

313. 2. 

On

3. 

The

loop

spaces

module

without of

p-torsion,Pacific

indecomposables

J.Math.60(1975),189-201.

for

finite

H-spaces,Trans.AMS

222

(1976),303-318. 4. 

Torsion

in

5. 

The

BP

6. 

The

module

homotopy

associative

homology of

of

H-spaces,Ⅲ.J.Math.20(1976),78-95.

H-spaces,ibid.241(1978),99-119.

indecomposables

for

mod

2

finite

H-spaces,ibid.249(19

79),425-433. 7. 

The

cohomology

of

finite

H-spaces

as

U(M)algebras Ⅰ,Ⅱ,Math.Proc.

Camb.Phil.Soc.89(1981),473-490;90(1981),113-125. P.G.Kumpel,Jr. 1. 

Lie

2. 

On

groups p-equivalence

and

products of

of mod

p

spheres,Proc.AMS H-spaces,Quart.J.Math.Oxford

16(1965),1350-1356. 23(1972),

173-178. G.E.Lang,Jr. Evaluation

subgroups

of

factor

spaces,Pacific

cohomology

J.Math.42(1972)

,701-

709. J.P.Lin 1. 

H-spaces

with

finitely

generated

space

problem

and

algebras,Bull.AMS

80

(1974),1233-1238. 2. 

The

loop

3. 

Torsion

in

its

consequences,ibid.81(1975)

,723-725.

H-spaces Ⅰ,Ⅱ,Ann.Math.103(1976),457-487;107(1978),

41-88. 4. 

Even

generators

in

the

Scand.44(1979),295-312 5. 

Steenrod

mod

2

cohomology

mod

2

cohomology

of

a

finite

H-space

,Math.

.

squares

in

the

of

a finite

H-space,Comment.

Math.Helv.55(1980),398-412. 6. 

Two

torsion

in

the

cohomology

of

finite

H-spaces,J.Pure

Applied

Alg

.

22(1981),265-291. 7. 

Two

torsion

and

the

loop

space

conjecture,Ann.Math.115(1982)

,35-

91. 8. 

Higher

order

operations

in

the

Amer.J.Math.105(1983),855-937

mod

2

cohomology

of

finite

H-spaces,

.

C.A.McGibbon Multiplicative

properties

of

(1980),341-350;Trans.AMS

power

maps Ⅰ

,Ⅱ,Quart.J.Math.Oxford

31

274(1982),479-508.

J.R.Milgram The -250

bar

construction

and

abelian

H-spaces,Ⅲ.J.Math

.11(1967),242

.

J.W.Milnor Construction

of

universal

bundles Ⅰ,Ⅱ,Ann

.Math.63(1956),272-284;

430-436. J.W.Milnor-J.C.Moore On

the

structure

of

Hopf

algebras,ibid.81(1965),211-264

.

M.Mimura 1. 

The

number

(1969),473-492.

of

multiplications

on

SU(3)and

Sp(2),Trans.AMS

146

2. 

On

the

mod

p

H-structures

of

spherical

fibrations,Manifolds-Tokyo

1973,

273-278. M.Mimura-G.Nishida-H.Toda 1. 

Localization

of

CW-complexes

and

its

applications,J.Math.Soc.Japan

23(1971),593-624. 2. 

On

the

classification

of

H-spaces

of

rank

2,J.Math.Kyoto

Univ.13

(1973),611-627. C.M.Naylor Multiplications

on

SO(3),Michigan

Math.J.13(1966),27-31.

Y.Nomura An

application

Nagoya

of

the

path-space

technique

to

the

theory

of

triads,

Math.J.22(1963),169-188.

C.W.Norman Homotopy

loops,Topology

2(1963),23-43.

J.D.M.Nunn The

homotopy

types

of

finite

H-spaces,Topology

18(1979),17-28.

G.J.Porter Higher

order

Whitehead

products,Topology

3(1965),123-135.

D.L.Rector Subgroups

of

finite

dimensional

groups,J.Pure

Applied

Alg.1(1971),

253-273. E.Rees Multiplications

on

projective

spaces,Michigan

Math.J.16(1969),297-

302. M.Rothenberg-N.E.Steenrod 0. 

The

cohomology

of

classifying

spaces

1. 

The

cohomology

of

classifying

spaces

of of

H-spaces,mimeographed H-spaces,Bull.AMS

notes. 71(1965),

872-875. S.J.Schiffman A

Samelson

product

and

homotopy-associativity,Proc.AMS

189-195. R.Sibson Existence 19-21.

theorem

for

H-space

inverses,Proc.Camb.Phil.Soc.65(1969),

70(1978),

J.Siegel G-spaces,H-spaces

and

W-spaces,Pacific

J.Math

.31(1969),209-214.

F.Sigrist Sur

les

Paris

groupes

fondamentaux

des

H-espaces

de

rang

2,C.R.Acad.Sci.

283(1976),887-889.

J.F.Slifker Exotic

multiplication

on

S3,Quart.J.Math.Oxford

16(1965)

,322-359.

V.P.Snaith Some

nilpotent

H-spaces,Osaka

J.Math.13(1976),145-156.

J.D.Stasheff 0. 

H-spaces

1. 

On

from

homotopy

the

homotopy

abelian

point

of

view,LNMS

161(1970).

H-spaces,Proc.Camb.Phil.Soc.57(1961),734-

745. 2. 

On

extensions

3. 

Homotopy

-312

of

H-spaces,Trans.AMS

associativity

of

105(1962),126-135.

H-spaces

Ⅰ,Ⅱ,ibid.108(1963),275-292;293

.

4. 

A

5. 

Manifolds

classification of

theorem the

for

homotopy

fibre

spaces,Topology

type

of(non

2(1963),239-248.

Lie)groups,Bull.AMS

75(19

69),998-1000. 6. 

Famillies

7. 

Sphere

of

finite

bundles

H-spaces

over

revisited,LNMS

spheres

as

H-spaces

196(1971),1-4. mod

p>2,LNMS

249(1971),

106-110. N.E.Steenrod 0. 

Cohomology

1. 

A

operations,Ann.Math.Studies

convenient

category

50(1962).

of

topological

space

of

spaces,Michigan

Math.J.14(1967),

133-152. 2. 

Milgram's

classifying

a

topological

group,Topology

349-368. B.Steer Extensions

of

mappings

into

H-spaces,Proc.London

Math.Soc.13(19

63),219-272. M.Sugawara 0. 

H-空

1. 

H-spaces

間 概 論,数 and

学20(1968),岩 spaces

of

波 書 店;202-211. loops,Math.J.Okayama

Univ.5(1955),5-11.

7(1968),

2. 

On

3. 

A

4. 

Some

a

condition

condition

that that

remarks

a

a

space

on

space

is

is

an

H-space,ibid.6(1956/57),109-129.

group-like,ibid.7(1957),123-149.

homotopy

equivalences

and

H-spaces,ibid.8(1958),

125-131. 5. 

On

the

homotopy-commutativity

Sci.Univ.Kyoto

of

groups

and

loop

spaces,Mem.Coll.

33(1960/61),257-269.

D.Sullivan 1. 

Geometric

topology,Part Ⅰ:Localization,periodicity

metry,MIT 2. 

and

Galois

sym

Notes,1970.

Genetics

of

homotopy

theory

and

the

Adams

conjecture,Ann.Math.100

(1974),1-80. E.Thomas 1. 

On

the

mod

2

cohomology

of

certain

H-spaces,Comment.Math.Helv.

37(1962/63),132-140. 2. 

Steenrod

square

and

H-spaces,Ann.Math.77(1963),306-317.

3. 

Steenrod

square

and

H-spaces

Ⅱ,ibid.81(1965),473-495.

S.Weingram On

the

incompressibility

of

certain

maps,Ann,Math.93(1971),476-485.

G.W.Whitehead On

mappings

into

group

like

spaces,Comment.Math.Helv.28(1954),

320-328. C.Wilkerson Genus

and

cancellation

for

H-spaces,LNMS

418(1974),157-160.

F.D.Williams 1. 

Higher

homotopy

commutativity,Trans.AMS

2. 

Higher

homotopy

commutativity

Samelson

products,J.Pure

139(1969),190-206. and

extensions

of

maps,Proc.AMS

(1970),664-670. 3. 

Higher

Applied

Alg.2(1972),249-260.

A.Zabrodsky 0. 

Hopf

spaces,North-Holland

1. 

Implications

in

the

Math.Studies cohomology

of

22,1976. H-spaces,Ⅲ.J.Math.14(1970),

363-375. 2. 

Secondary

Study

Inst.on

operations Alg.Top.Aarhus

in

the

module

of

indecomposables,Proc.Adv.

Univ.(1970),658-672.

26

3. 

Homotopy

-128 4. 

associativity

and

finite

CW-complexes,Topology

operations

and

homotopy

the

cohomology

9(1970),121

.

Cohomology

commutative

H-spaces,LNMS

168

(1970),308-317. 5. 

On

spherical

classes

in

of

H-spaces,LNMS

196(1970),

25-33. 6. 

On

sphere

Madison 7. 

extensions

of

classical

in

the

Lie

groups,Summer

Inst.on

Alg.Top.

1970,279-283.

Secondary

operations

cohomology

of

H-spaces,Ⅲ.J.Math.15

connected

H-spaces

(1971),648-655. 8. 

The

classification

of

simply

Math.Scand.30(1972),193-210;211-222 9. 

On

the

construction

the

homotopy

with

three

cells

Ⅰ,Ⅱ,

. of

new

finite

CW

H-spaces,Inv.Math.16(1972),

260-266. 10. 

On

Israel 11. 

On

type

of

principal

J.Math.11(1972),315-325 the

genus

of

classical

group

.

finite

CW-H-spaces,Comment.Math.Helv.49(1974),

48-64. 12.  Power 13. 

spaces,(preprint).

Endomorphisms

in

the

homotopy

category,(preprint).

bundles

over

spheres,

索

ア

associatingホ

Euler標

行

Eilenberg-MacLane空

間  4

モ ト ピ ー   30

圧 縮(compression) 

implication q-― 

square 

248

108

カ

行

階 数   68,284 150,170

外 積 代 数  73

150,262

可 解  290 ―

―

空 間   222 ,234,244

―

形 式   222,246 ― 構 造   222 写 像  237,245

群   283

ホ モ トピ

―

  291

可 換  3,46 ― 圏  47

―

n-― 

247

厳 密 に ― 

― 準 同 型   237 equivalent

73

ホ モ トピ ー ―

―-A  39

  6,248,277

核  47

結 合 的   40

S-群

46

augmented

An

―

数   90

augmentation 

286

圧 縮 不 能(incompressible) 

∞-― 

引

双 対 ― 

  284

47

拡 大 系 列   188 加群

f― 写 像   203 ―

左A-―

ホ モ トー プ   204

HSMNT定

 

左A-双

理   128,130,131

微 分 ― 

H-

47

対

― 

ホ モ ロジ ー― ― 群 7 写 像  3

型

―

Cartanの

Bockstein―

― 対   186   193

―filtration 

 217 結 果   152

完 全(exact)  48 ― 対   189 ,190,191

NDR-

―3対

完 全(complete)  188

帰納 的

F-

― 系   60 ―

全 射   284

―

単 射   284

― 同 型   284

 147

 163,164 有理 ―

― 同 値   17 ― 偏 差   15

47

147

― 極 限   60 cap積

  159

球 拡 張   134

対   141 51

強 ホ モ ト ピ ー 乗 法 的   237,280

moc

〓

― 99,100

局 所 化   109,111,114,119,122 ― 準 同 型   109

mod

0―

  100

有理 ― cofibre

群 の―

  111

P-― 

113,117,120

  100

square 

局所的

随伴 ―

P-―

115

コ ン パ ク ト生 成 空 間   183   183

  117

局 所 有 限   53

サ

Grassmann代

数   73

ク ロ ス 積  193,195

鎖 複 体   138

群 S-―

  284

H-―(Hopf―)  可解―

7

p-―

  285

  138   143

Hopf―

 169

  282

torsion―

 110,283

群状 7

軸   271 ― 写 像   271 次元 p-―

結 合 的   2,46,57

有理―

equivalent― 

40

ホ モ ト ピ ー ― 

5,30

  46,57

  158

同 型 群   285 ホ モ ト ピ ー 同 値  308

実―

 2

X-― 

  27

coaugmentation 

233

射 影 平 面   80,265,267 47

交 換子 ― 写 像   287 ―

  158

射 影空 間

生 成   63

π-―

自己 ― ―

原 始 的   28,76 ― 元   55 ―

40

像  7

k-空 間   183

双対―

定 理   36,133

Samelson積  shear写

  110

巾零 ―

自 由な ― 初等的―

Zabrodskyの

  283

自己 同型 ―

行

差 元   36

積   282

自由な ― 鎖 複 体   138

―

―filterつ きG-空 道 の 空 間   29

多重―

  282

多重―

写 像   287

An―

特殊―

  282

局所化―

準 同 型   47,50,300   237   109

Hurewicz―

降 鎖   283 構 造 写 像   247,256

間   200

  91

降 中 心 列   282

昇 鎖   283 ― 条 件 を み た す   284

cotensor積

 48

乗 法 集 合   109

Gottlieb空

間   87

ス ペ ク トル 系 列

双 原 始 的 ― 

Grassmann― 

163

Bockstein― 

140,147,151,165

73

双 対 ― 

46,57

正 規  5,54 ― 鎖   283

対 称 ― 

73

生成 ―

微 分 ― 

148

元 の 集 合   69

包 絡 ― 

65,67

―

部 分 空 間   69

Hopf―56,57,149

多 項 式 ― 

Lie― 

成 層   286

65,66

正 則 性   82

高 さ  69

積  211 ― 分 解   203

単 位 元   1,46

―

双 対 ― 

の元   306

cap― 

46

単 純   117

159

単 生 成   69

クロ ス ― 

193,195

厳 密 な― 

1

置換 ―

Samelson―  双 対 ― 

73

212

genus 

的 スペ ク トル系 列  163

―

的  77

双対 可 換  46 核  47

―

加 群  47

―

結 合 的  46

― ―

原 始 的  77 積   211 ,212

―

単 位元   46

148

―

空 間   199

―

分 解   199

DR-対

き―

空 間  200

  186

底 空 間   200 提 携 写 像   83

,57

tenser積

  48,145

同 値   20 Q-―96,135 P-―113,121

158,161

torsion群

 283

M(P)―110

双対 代数  46 augmented―  57

G-

非 輪 状filterつ

― ―

微 分 ― 

136

g-作 用   36

―

加 群 ― 

255

中 心 的   292

双原始 ― 形 式  77

双対性 Poincare― 

的 写 像   256

n-― 

40

Dold-Lashof構

47

成   235

ナ

行

ハ

行

認 容 的   153

タ 代 数  45 augmented―  外 積 ― 

73

行 47

Hubbuckの

定 理   272,279

paracontractible 

43

被 覆 空 間  181

双 次 数 つ き― 

評価 ―

filterつ き ―  写 像  83

―

変換   248,257 Poincare双 対 性   158,161

部 分 群  83

包 絡 代 数   65,67 Postnikov系  20,240

標 準 写 像  120 フ ァイ バ ー空 間 H-― 

292

準 ― 

― 上 に 導 く写 像  20 Hopf空 間 の―  18

222,224,225,226

fibre ―square 

square 

wedge 

filterつ ―

Bockstein ― 完 全 対   141

115

―cofibre fat

93

,190 間   200

50,162 188

減 少 ― 

74

増 加 ― 

75

pushout

pull-back 

115

115 32,122

図 式  32 同 型   91

p― 

有 理 ―  proclusion 

―

群 7

―

鎖 複 体  169

91

25

弱 ―  40 Hopf構 造   1 ―

31

―square 

Hurewicz準

Hopf

― の定 理  74,78 Hopf空 間  1,3,96

普 遍 的 差  14

弱―

ス ペ ク トル 系 列  140,141,147,151,

概 ― 

square 

弱 ― 

準 同型   141

―

空 間   188

NDR― 

の集 合   17

― の変 更   17 Hopf写 像  3 概 ―  26 Hopf代 数   56 微 分 ― 

149

91

微 分near― 

185

pre― 

149

57

ホモ トピー

分解 ―

―

165

―G-空

mod

115

き

filtration 

50 50

元   55

非 ―

元   54

幾 何 学 的 ―  棒 ― 

199,206

可解   291

―

可 換  6,248,277

強―

可 換   280

高次―

208

Milnor― 

―

201

可 換 性   279

分 類 空 間   201,206

― ―

巾 写 像  41

―

型 の 混 合   136 逆元 5 ,6,43 結 合 的   5 ,256

巾 零   290

―

結 合 的 写 像  30

― ―

単位元 1 同値   169

―

群  282

ベ ク トル 空 間

―

巾零  291

有限

―multiplier 

30

f-― 

204

高次―

群  43

強―

乗 法 的  237,280 204

弱 ― 

40

Borel基

型

 53,169

―

化   119

―

型   68

―

同 値  96

底  71

Whitehead空

ラ

間  87

Whitehead積  86 一 般 ―  106 一 般 高 次 ― 

107

  65

Lie代

数   65

66

随 伴restricted―  Lusternik-Schnirelmannカ   286 ループ

マ

行

道 の空間 基 点 を もつ ― 

29

―

空間

―

写 像   17

29

―

積   17

retractile  連 結   49 連 接 族   187

ヤ

 17,29

代 数 的 ― 

無 限対 称 積  2

約 積  2

行

65

restricted― 

環  64 積  64

自 由 な ― 

Lie積

随 伴 ― 

高 次 ―93,107 Pontrjagin ― ―

階 数   283

― 有理

ホ モ トー プ f-― 

―

行

ρ-鎖   284

13 9

66 テ ゴ リ―

著

三 1938年

者

村

護

生 ま れ.1960年

学 科 卒 業.京 現 在,岡

京都大学理学部数

都 大学 教 養 部 助 教 授 を 経 て,

山 大 学 理 学 部 教 授.理

学 博 士.

著 訳 書:「 線 型 代 数 演 習 と解 法 」 「微 分 積 分 演 習 と解 法 」(以 上,現 代 数 学 社),「 ホ モ ト ピー 論 」(共 著)「 リー 群 の 位 相(上 (共著)ク

ス タ イ ン 「数 学=創 (以 上,紀

ホ

ッ

プ

1986年8月5日

空  

・下)」

ラ イ ン 「不 確 実 性 の 数 学 」(共 訳) 造 され た宇 宙 」(共 訳)

伊國 屋 書 店).

間

第1刷 発行

発行所 

株式 会社 

紀伊國屋書店

東 京 都 新 宿 区 新 宿3の17の7 電

話

 (354)0131(代

表)

振 替 口 座  東 京9-125575

出版 部

C  Mamoru Mimura PRINTED IN JAPAN

1986

 東京 都 世 田谷区 桜 丘5の38の1 電 話  (439)0125(代 表) 郵 便 番 号  156

印 刷  研 究 社 印 刷 製 本  三 水 舎

紀 伊 國 屋 数 学 叢 書 に つ い て

  数学 を学 ぶ に は い ろ い ろ の段 階 が あ るが,い ず れ の 場 合 で も書 物 な ど に よ って 自学 自習 す る こ とが 最 も重 要 であ り,単 に講 義 を聞 くとい う よ うな受 動 的 な 勉 強 だ けで は,は な は だ 不 十 分 で あ る.   み ず か ら学 ぶ た め に 現 在 い ろい ろ な 数 学 書 が 出 版 され てい る.し

か

し,数 学 の 進 歩 は 極 め て基 礎 的 な 考 え 方 に 対 して さえ 常 に影 響 を与 え て お り,従 って どの よ うな 段 階 の勉 強 で あ って も,常 に新 し い考 え方 を理 解 す る こ とが必 要 で あ る.こ の た め に は,数 学 の過 去 と将 来 と を結 ぶ 視 点 か ら書 か れ た書 物 が 数 多 く出版 され る こ とが 望 ま しい.即

ち,新 しい

視 点 と古典 的 な視 点 と を見 くらべ,基 本 的 な こ と を も将 来 の 発 展 を考 慮 した 視 点 か ら説 明す る とい う立 場 で書 かれ た書 物 が 要 望 され てい る.   本 叢 書 は こ の よ うな要 望 に応 え て企 画 され た もの で あ っ て,各 巻 が 大 学 理 工学 系 の専 門課 程 の学 生 ま たは 大 学 院 学 生 が そ れ ぞ れ の 分 野 で の 話 題,対 象 に つ い て入 門 の段 階 か らあ る程 度 の 深 さ ま で勉 学 す るた め の 伴 侶 とな る こ と を 目指 し てい る.こ の た め に我 々は 各 巻 の 話 題 の 選 択 に つ い て,十 分 配慮 し,現 代 数 学 の発 展 に と っ て重 要 で あ り,ま た 既 刊書 で 必 ず し も重 点 が 置 か れ て い ない もの を選 び,各 分 野 の 第 一線 で 活 躍 し て お られ る数 学 者 に執 筆 をお 願 い して い る.   学 生 諸 君 お よび 数 学 同 好 の 方 々が,こ の 叢 書 に よ って数 学 の 種 々 の 分 野 にお け る基 本 的 な 考 え方 を理 解 し,ま た基 礎 的 な知 識 を会 得 す る こ と を期 待 す る と と もに,更 に 現 代 数 学 の 最先 端 へ 向 か お う とす る場 合 の基 礎 と もな る こ と を望み た い.