Методические указания по высшей математике для студентов заочного отделения биолого-почвенного факультета. Часть 7

19

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Л .В. Рунов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ для студентов заочного отделения биолого-почвенного факультета Часть 7

г. Ростов- на -Дону 2000 г

20

Печатается по решению заседания кафедры ТФ и ФА Протокол №____ от ______________2000 г

Ответственный за выпуск профессор В. П. Кондаков

Методические указания предназначены для студентов 1-го курса биологопочвенного факультета. Настоящая часть является заключительной и содержит примеры и задачи, которые будут использоваться при проведении зачета и экзамена на факультете.

21

Комбинаторика 1)

Четыре мальчика и четыре девочки садятся на 8 расположенных подряд стульев , причем мальчики садятся на места с четными номерами ,а девочки - на места с нечетными номерами . Сколькими способами это можно сделать?

2)

Имеется 20 изделий 1-го сорта и 30 изделий 2-го сорта. Необходимо выбрать два изделия одного сорта. Сколько способов выбора двух изделий возможно в данной ситуации , если учитывать порядок выбора изделий ?

3)

В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту и профорга. Сколькими способами можно это сделать ?

4)

В газете 12 страниц. Необходимо в этой газете поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ?

5)

Сколько можно записать четырехзначных чисел ,используя без повторения все десять цифр ?

6)

Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке , чтобы определенные четыре книги стояли рядом ?

7)

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами это можно сделать ?

8)

Имеется 10 белых и 5 черных шаров . Сколькими способами можно выбрать 7 шаров ,, чтобы среди них были 3 черных ?

9)

Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на 2-е подгруппы , в одной из которых должно быть не более 5 , а во второй - не более девяти человек ?

10) Десять

команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу , лучшие из которых занимают 1-е , 2-е и 3-е места. Две команды ,занявшие последние места , не будут участвовать в следующем таком же первенстве. Сколько

22

различных вариантов результата первенства может быть , если учитывать только положение первых трех и последних двух команд ? 11) Из

города А в город В ведут 5 дорог , а из города В в город С - 3 дороги. Сколько путей , проходящих через В ,ведут из А в С ?

12) Имеется

5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма ?

13) Сколькими

способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова

«камзол» ? 14) У

англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка , если общее число имен 300 , а ему дают не более трех имен ?

15) У

одного человека есть 7 книг по математике , а у другого - 9 книг. Сколькими способами они могут обменять книгу одного на книгу другого ?

16) Автомобильные

номера состоят из одной , 2-х или 3-х букв и 4-х цифр. Найти число таких номеров ,если используются 32 буквы русского алфавита

17) Сколько

различных «слов» можно получить , переставляя буквы в слове «математика» ?

18) Сколько

ожерелий можно составить из семи бусинок разных размеров (надо использовать все 7 бусинок) ?

19) Сколько

ожерелий можно составить из пяти одинаковых бусинок и двух большого размера ?

20) Сколькими

способами можно переставить буквы слова «логарифм» так , чтобы 2-е ,4-е и 6-е места были заняты согласными буквами ?

23 21) Сколько

имеется шестизначных чисел , у которых 3 цифры четные ,3нечетные ?

22) Сколько

существует целых чисел от 0 до 999 ,которые не делятся ни на 5 ,

ни на 7 ? 23) Сколькими

способами можно вынуть 4 карты из колоды (52 карты) так , чтобы были 3 масти?

24) Сколькими

способами можно вынуть 4 карты из колоды (52 карты) так , чтобы были 2 масти ?

25) Сколько

пятизначных чисел можно составить из цифр числа 12335233 ?

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ АЛГЕБРА СОБЫТИЙ

Пусть А ,В , С - три произвольные события . Найти выражения для событий , состоящих в том , что из А ,В ,С : 1)произошло только А; 2)произошли А и В ,но С не произошло ; 3)все три события произошли ; 4)произошло по крайней мере одно из этих событий; 5)произошло по крайней мере два события ; 6)произошло одно и только одно событие ; 7)произошло два и только два события ;

24

8)ни одно событие не произошло ; 9)произошло не более двух событий.

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ

1)Из партии ,содержащей 10 изделий , среди которых 3 бракованных , наудачу извлекают 3 изделия для контроля. Найти вероятность следующих событий : А = { в полученной выборке содержится хоты бы одно бракованное изделие , В = { в полученной выборке все изделия бракованные ,С = {в полученной выборке ровно два бракованных изделия . 2)Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты Найти вероятность следующих событий :А= {в полученной выборке все карты бубновой масти } ; В = { в полученной выборке все карты одной масти }; С= {окажется хотя бы один туз} ; Д= {будет получен следующий состав: валет ,дама и два короля }. 3)Группа состоящая из 8 человек ,занимает места за круглым столом в случайном порядке .Какова вероятность того ,что при этом два определенных лица окажутся сидящими рядом? 4)В библиотеке университета имеются книги по 16 различным наукам . Поступили очередные 4 заказа на литературу .Считая , что любой состав заказанной литературы равновозможен ,найти вероятности следующих событий : А ={ заказаны книги по различным наукам } , В = {заказаны книги по одному виду науки}. 5)В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель выбил чек на 4 пирожных. Считая , что любой заказанный набор пирожных равновероятен , вычислить вероятность того ,что покупатель заказал а)пирожные одного вида (А); б)пирожные разных видов (В). 6)В продукции завода брак составляет 5 % от общего количества выпускаемых деталей. Для контроля отобрано 20 деталей. Какова вероятность того ,что среди них имеется хотя бы одна бракованная ? 7)Из 100 студентов ,находящихся в аудитории , 50 человек знают английский язык , 40 - французский и 35 - немецкий. Английский и французский языки знают 20 студентов , английский и немецкий - 8 ,французский и немецкий - 10.

25

Все три языка знают 5 человек. Один из студентов вышел. Рассмотрим следующие события: Е = {вышедший знает английский} ,F={вышедший знает французский }, D={вышедший знает немецкий}. а)Указать все пары независимых событий. б)Установить ,являются ли события E ,F , D независимыми в совокупности ? 8)В условиях предыдущей задачи вычислить вероятности следующих событий: А= {вышедший знает или английский или французский язык} ,В = { вышедший знает только английский язык } , C={вышедший не знает ни одного иностранного языка}. 9)Из полной колоды в 52 карты наудачу последовательно и без возвращения выбирают две карты. Какова вероятность того ,что второй картой можно покрыть первую ? 10)Три стрелка ,вероятности попадания которых при одном выстреле в мишень в неизменных условиях постоянны и соответственно равны р1= 0,8 ,р2= 0,7 ,р3= 0,6 ,делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вычислить вероятность события А= {в мишени ровно 2 пробоины }. 2-х заводах . На 1-х заводе изготовлено 75 % всех лампочек , на 2-м - 25%. На 1-м заводе 90 % продукции , удовлетворяет стандарту. На 2-м -95 %. Определить вероятность того , что случайная взятая на складе лампочка окажется бракованной. 12)Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле (событие А) равна 0,2. Какова вероятность поразить цель ,если 2% взрывателей дают отказа? 13)В некотором производстве вероятность для отдельной детали оказаться бракованной равна 0,005. Какова вероятность того , что в партии из 10000 окажется а)ровно 40 бракованных б)не более 70 бракованных? 14)Определить вероятность Р того, что 8000 бросаний игральной кости частота выпадения шестерки будет отклоняться от 1/6 меньше чем 1/80. 15)Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,63. Сколько выстрелов нужно произвести ,чтобы с вероятностью 0,9 получить не менее 10 попаданий. 16)В лотерее из 11 билетов 3 выигрышных. Поочередно 5 человек вытягивают по билету. Какова вероятность выигрыша (для каждого)?

26

17)Стрелок попадает в 10-у с вероятностью 0,05 ,в 9-у - с вероятностью 0,2 , в 8-у - с вероятностью 0,6. Сделан выстрел. Какова вероятность : А = {выбито не менее 8 очков }. B = { выбито более 8-ми очков} ? 18)По самолету производится три выстрела . Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5 ,при втором - 0,6 при третьем - 0,8. При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,3 ,при двух - с вероятностью 0,6 , при трех - самолет будет сбит наверняка. Какова вероятность того , что самолет будет сбит ? 19)Истребитель атакует бомбардировщик ,делает один выстрел и сбивает бомбардировщик с вероятностью 0,3 . Если этим выстрелом бомбардировщик не сбит ,то он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью 0,2 .Если истребитель этим не сбит ,то он еще раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью 0,35 . Найти вероятности следующих событий: А= «сбит бомбардировщик» В= «сбит истребитель» С= «сбит хотя бы один самолет». 20)Три стрелка одновременно выстрелили, и в мишени обнаружены две пули . Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень ,если вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6 ,для второго - 0,5 ,а для третьего -0,4 . 21)В 5-ти ящиках лежат одинаковые на ощупь шары. В ящиках первого состава (их два) лежат по 6 белых и 4 черных шара. В ящиках второго состава (их два) лежат по 8 белых и 2 черных шара. В ящике 3-го состава лежит 8 черных и 2 белых шара. Наудачу подходим к ящикам и вынимаем шар. Он оказывается черный. Чему равна вероятность того ,что : А= {шар вынимался из ящиков 1-го состава }, В= { шар вынимался из ящиков 2-го состава}, C= {шар вынимался из ящика 3-го состава}.? 22)При исследовании больного имеется подозрение на одно из трех заболеваний : А1 ,А2 ,А3. Их вероятности в данных условиях равны соответственно р(А1)=1/2 , р(А2)=1/6 ,р(А3)=1/3. Для уточнения диагноза назначен анализ ,дающий положительный результат с вероятностью 0,1 в случае заболевания А1 , с вероятностью 0,2 в случае заболевания А2 и с вероятностью 0,9 в случае заболевания А3. Анализ был произведен 5 раз и дал 4 раза положительные результаты и один раз отрицательный . Какова вероятность каждого заболевания после анализа ? 23)Вероятность того, что расход воды в больнице окажется нормальным равна 3/4. Найти вероятности того ,что в ближайшие 6 дней расход воды будет нормальным в течение 1,2,3,4,5,6 дней .

27

24)За некоторый промежуток времени амеба может погибнуть с вероятностью 1/4 , выжить с вероятностью 1/4, разделиться на две с вероятностью 1/2. В следующий промежуток времени с каждой амебой происходит то же самое . Сколько амеб и с какой вероятностью будут существовать к концу второго промежутка времени ? 25)Известно ,что в Ростове родилось 400 детей. Чему равна вероятность того, что число родившихся мальчиков оказалось между 180 и 220, если вероятность появления мальчика при родах равна 0,5? (Формула) 26)Охотник ,имеющий три патрона, стреляет в цель до первого попадания (или пока не расходует все 3 патрона). Число израсходованных патронов будет случайной величиной с 3-мя возможными значениями: 1,2,3. Найти распределение вероятностей этой величины при условии, что вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8 . 27)В партии из 8 деталей 5 стандартных. Наудачу взяты 4 детали. Построить ряд распределения числа стандартных деталей среди отобранных. 28)Дискретная случайная величина х задана следующим рядом распределений х 2 5 8 19 р 0,2 0,3 0,4 0,1 Найти математическое ожидаемое и дисперсию этой случайной величины. 29)Случайная величина задана следующим рядом распределения х 2 4 7 10 12 р 01 0,2 04 0,2 0,1 Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины . 30)Производятся независимые испытания , в каждом из которых с вероятностью 0,8 может произойти некоторое событие А. Испытания производятся до первого появления события А; общее число испытаний не превосходит четырех. Определить среднее число произведенных испытаний. 31)Сколько раз нужно подбросить две монеты ,чтобы с вероятностью не менее 0,99 можно было бы утверждать, что хотя бы один раз выпадут два орла? 32)Некто ,заблудившись в лесу , вышел на поляну, откуда вело 5 дорог. Известно, что вероятности выхода из лес за час для различных дорог равны соответственно 0,6;0,3;0,2;0,1;01. Чему равна вероятность того ,что заблудившийся пошел по первой дороге, если известно ,что он вышел из леса через час?

28

33)Сколько раз надо подбросить игральную кость ,чтобы наивероятнейшее число выпадения двойки было равно 32? 34)Было посажено 28 семян ячменя с постоянной всхожестью . Какова вероятность всхожести ,если наиболее вероятное число положительных результатов 17 и 18 ? 35)Стрелок сделал 30 выстрелов с вероятностью попадания при отдельном выстреле 0,3. Найти вероятность того ,что при этом будет 8 попаданий. 36)Из озера вылавливается 1000 рыб. Каждая из пойманных рыб метится красным пятнышком , а затем выпускается обратно в озеро. При следующем улове среди 1000 выловленных рыб оказалось меченными 100 рыб. Какие выводы можно сделать отсюда относительно числа рыб, живущих в озере?

29

ЛИТЕРАТУРА: Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. - М. : Наука, 1975, 208 с. 2. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. - М. : Наука, 1969, 328 с. 3. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика . М.: Высшая Школа, 1998, 336 с. 4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высщая школа, 1997,479 с. 5. Иванова В.М., Калинина В.Н. и др. Математическая статистика . -М.: Высшая Школа, 1975,368 с. 6. Рушинский Л.З. Элементы теории вероятностей.- М.: Физматгиз.,1963 ,156 с. (М.:Наука,1966) 7. Ивашев - Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика .М.: Наука ,256 с. 8. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике .- М.: Высшая Школа, 1970. 9. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей.- М.: Физматгиз.,1961. 10. Зубков А.М. ,Севостьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей.- М.: Наука,1989,320 с. 11. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. - М.: Наука,1976,168 с. 12. Вуколов Э.А., Ефимов А.В. и др. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. - М.: Наука, 1984, 607 с. 13. Смирнов Н.В. , Дунин -Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. - М.: Наука,1965, 512 с. 14. Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. - Минск: Вышэйшая школа, 1976,452 с. 15. Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас ДЖ. Вероятность .- М.: Мир, 1969 , 431 с. 16. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. и др. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. Ростов н/Д: Феникс , 1999 , 320 с. 17. Феллер В Введение в теорию вероятностей и ее приложения .- М.: Мир, 1967. 1.

ЗИМНИЙ ЗАЧЕТ Найти производную функции, у = f(х), если 1. y = sin x + 3 x 2

16. y = 3 1 + 1 + x

x2 +1 2. y = x3 − 1

17. y = ln2 (1 + tg x)

3. y = cos2 x3

18. y = x · sin (x2 - 1)

4. y = x + x

19. y =

2

5. y = e − x +sin x3 6. y = arcsin 7. y = arccos

x 2

1 − sin 2 x

1 + sin 2 x cos 2 x

21. y = arcsin 1 − x 2

1 x

22. y = arccos

8. y = e-x · 2x 9. y = e − x

20.

1 + sin 2 x

2x 1+ x2

x 2

23. y = tg − ctg

2

24. y =

10. y = x · ln2x

x a2 − x2

25. y = e e 1 x

x

e

11. y = (1 + ln )2

26. y = e x

12. y = sin x2 · ecos x

27. y = ln3x2

13. y = cos (sin x) 14. y = ln(2x2 +

3 ) x

15. y = 3 · 5x – arcsin x2

28. y =

x 2

cos x 2 sin 2 x

29. y = tg arctg x 30. y = sin arcsin x

Вычислить интегралы: 1.

( x + 1)dx

∫ x 2 + 2x + 3 dx

16.

dx

∫ sin x

2.

∫ x 2 + 2x − 3

17. ∫ e 2 x dx

3.

cos x − sin x ∫ sin x + cos x dx

ln 2 xdx 18. ∫ x

4. ∫ xe x dx

19. ∫ sin(5x − 1)dx

5. ∫ x ⋅ ln xdx

⎛ 1 ⎞ 20. ∫ ⎜ 3 + x x + 2 ⎟dx ⎝ x ⎠

6. ∫ x ⋅ sin xdx

1 1 1 ⎞ ⎛ 21. ∫ ⎜ x + 3 + + ⎟dx x x x x x⎠ ⎝

7. ∫ x ⋅ cos xdx

22.

8. ∫ ctgxdx

23.

9.

dx

∫ 2x 2 + x − 3 dx

10.

∫ x 2 + 3x − 4

11.

∫ 2x 2 + 3x − 5

dx

12. ∫ sin 2 xdx

24.

x2

∫ x 2 − 1 dx 2dx

∫ 3 − 3x 2 dx x 2 dx

∫ x 2 −1 x 2 dx

25.

∫ x 2 +1

26.

∫

27.

∫ ( x 2 + 1) 2

xdx 1− x2 xdx

13. ∫ cos 2 xdx

28.

∫ x 8 +1

14. ∫ sin 3 x cos xdx

29.

∫ 4 + x4

30.

∫ x ln x

15.

dx

∫ cos x

x 3dx xdx dx

Решить систему уравнений 1.

6. 7x – 4y + z = 0

7x – 4y + z = 5

21x – 12y + 3z = 0

21x – 12y+3z = 15 2.

7. 3x + 4y + 2z = 5

7x – 4y +z = 5

5x – 6y – 4z = -3

21x – 12y + 3z = 12

-4x + 5y + 3z = 1 8. x + y + z = 5

x – 2y – z = 15

3.

x– y+z=1

2x – 4y + 2z = 2

x+z=2 9. x + y + z = 5

2x – 5y + 8z = 0

4.

x– y+z=1

x – 4y – 3z = 0

x+z=3 5.

10. x + y + z = 0

7x – 4y + z = 0

3x – y + 2x = 0

21x – 12y + 3z = 0

x – 3y = 0 Вычислить определители:

1 −1 2 1.

−1

1 2

1 3

1 1 0 −5

5

2

5 −6

1 −1 2 2.

4 0

1 3

1 1 0 −5

0

2

5 −6

1 2 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 4. 2 3 2 2

2 2 2 2 5. 3 3 3 3

4 5 6 7

4 4 4 4

8.

−1

1 0 1 1 3.

0 1 1 1 0 2 3 3 0 2 2 4

1 2 3

1 0 0

6. 1 0 1

7. 2 1 1

0 0 1

1 2 2

1 0 0

1 0 0

1 0 0

0 1 0

9. 0 1 0

10. 0 2 0

1 0 1

0 0 1

0 0 3

11.

0 0

0

0

0 1 4 5

2 6

3 7

8 9 10 11

В предыдущих методических пособиях вопросу исследования решения систем линейных уравнений уделено, как показала практика, недостаточно внимания. Восполним этот пробел. Пусть задана система трех линейный уравнений.

а1х + b1y + c1z = d1 а2х + b2y + c2z = d2

(1)

а3х + b3y + c3z = d3 Обозначим:

a1

b1

c1

d1

b1

c1

∆ = a2

b2

c2

∆x = d2

b2

c2

a3

b2

c3

d3

b2

c3

a1

d1

c1

a1

b1

d1

∆y = a2

d2

c2

∆z = a2

b2

d2 .

a3

d2

c3

a3

b2

d3

z=

∆z ∆

Если ∆ ≠ 0,

то х =

∆x , ∆

у=

∆y ∆

,

(2).

Если ∆x = ∆y = ∆z = 0, а ∆ ≠ 0, то система (1) либо имеет бесчисленное множество решений, либо совсем их не имеет. Если ∆ = 0, а один из определителей ∆x ∆y ∆z

равен нулю, то два других определителя автоматически равны нулю. В этом случае система имеет бесчисленное множество решений, а одно из уравнений системы есть линейная комбинация двух других (или даже два из уравнений системы (2) являются следствием). Поэтому мы фактически имеем систему, состоящую из двух (одного) уравнений с тремя неизвестными:

а1х + b1y + c1z = d1 а2х + b2y + c2z = d2

(2)

(берем любые два уравнения системы (1)). Если ∆ = 0, а хотя бы один из определителей ∆x ∆y ∆z отличен от нуля (в этом случае все они отличны от нуля), то система (1) несовместна. Вернемся

к

системе

(2).

В

этом

случае

рассматриваются

определители:

a1

b1

b1

c1

a1

c1

a2

b2

b2

c2

a2

c2

(3)

Если хотя бы один из них не равен нулю, то существует бесконечное множество решений системы (2). Если все определители из (3) равны нулю, но один из определителей:

a1

d1

b1

d1

c1

d1

a2

d2

b2

d2

c2

d2

отличен от нуля, тогда система (2) не имеет решения.

(4)

Если все определители из (3) и (4) раны нулю, то система (2) сводится к одному из уравнений системы (2). Рассмотрим теперь однородную систему:

а1х + b1y + c1z = 0 а2х + b2y + c2z = 0

(5)

а3х + b3y + c3z = 0 В этом случае ∆x = ∆y = ∆z = 0. Если ∆ ≠ 0, то система (5) имеет единственное решение x = y = z = 0. Если ∆ = 0, то система имеет бесконечное множество решений и фактически сводится к системе:

а1х + b1y + c1z = 0 а2х + b2y + c2z = 0

(6)

Если все определители (3) равны нулю, то система (6) сводится к одному из уравнений этой системы. Если хотя бы один из определителей в (3) отличен от нуля, то

х=

b1

c1

b2

c2

t

y=

c1

a1

c2

a2

t

z=

a1

b1

a2

b2

t

t∈z

Вычислить пределы:

sin 2 x 1. lim x

⎛ 1 − sin x ⎞ 11. lim ⎜ ⎟ ⎝ 1 + 2 sin x ⎠

x→0

x→0

1 − cos x

2. lim x→0

3. lim x→0

4.lim

12. lim (cos x )

5x 2 cos 3x − cos x cos x − 1

⎛ 2x + 3 ⎞ 13. lim ⎜ ⎟ ⎝ 2x + 1 ⎠

x 3 − x 2 + 3x − 3

7. lim x→∞

8. lim x→∞

15. lim x→1-0

5−x −2 2 − x −1

16. lim x→3

( x − 1) 3

17. lim

2 x 3 + 3x − 1

x→1

2 x 2 − 5x + 4

18. lim

5x 2 − 2 x − 3

⎛ x + 4⎞ 9. lim ⎜ ⎟ ⎝ x −1 ⎠

x→-1

x

19. lim x→a

x→∞

1

⎛ 2 x − 3x 2 + 1 ⎞ x ⎟ 10. lim ⎜⎜ 2 ⎟ + + 5 x 3 x 1 ⎠ ⎝ x→0

14. lim

2x − 1 3x 2 − 3

x→1+0

x→0

x→1

x +1

x→∞

x2 − x 5. lim x −1

6. lim

1 sin 2 x

x→0

2x 3 − 2x 2 + x − 1

x→0

ctgx

20. lim x→a

2x − 1 3x 2 − 3 x 2 − 5x + 6 x 2 − 8x − 15 x 4 − 3x + 2 x 3 − 4x + 3 x 3 − 2x − 1 x 5 − 2x − 1

sin x − sin a x−a cos x − cos a x−a

21. lim x→a

22. lim x→a

23. lim x→0

ctgx − ctga x−a

32. lim x→∞

tgx − tga x−a

33. lim x→3

sin 5x − sin 3x sin x

2 + x2 + x 3 + x2 + x x2 − x − 6 x 2 − 5x + 6

⎛ 2x + 1 ⎞ 34. lim ⎜ ⎟ ⎝ 2x − 2 ⎠

3x −2

x→∞

1− x ⎞ 1− x

⎛ 1+ x 35. lim ⎜ ⎟ ⎝2+x⎠

35.lim x→∞

3x 3 − 4 x + 6 x 3 − 6x − 2

x→0

1− x ⎞ 1− x

⎛ 1+ x 36. lim ⎜ ⎟ ⎝2+x⎠

36. lim

x 3 + 3x 2 − x − 3 x 2 − 4x + 3

x→1

x→1

⎛ 1+ x ⎞ 37. lim ⎜ ⎟ ⎝2+x⎠

1− x 1− x

37. lim

5x tg 2 x

x→0

x→∞

27. lim x→a

ln x − ln a x−a

x→∞

39.lim x→1

x→0

3x 2 − 4 x + 5

x→∞

28. lim x (ln(1+x) – ln x)

29. lim

x 4 + 2x 2 − 3

38.lim

x

cos x

5x − 2 x 2 + 3x − 4

⎛ 2x + 1 ⎞ ⎟ 40. lim ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ 2x ⎠ 2

x 2 −1

x→∞

⎛ x+2 ⎞ 30. lim ⎜ ⎟ ⎝ 2x − 1 ⎠

x2

3

41.lim x→∞

x→∞

x −1

⎛ x 2 − 1 ⎞ x +1 ⎟ 31. lim ⎜⎜ 2 ⎟ x 1 + ⎠ ⎝ x→∞

42. lim x→2

x 6 + 1 − 3x x4 + 2 + x

x 4 − 5x 2 + 4 x3 − 8

43. lim

1− cos 2 x 2x 2

x→0

44.lim

54. lim x→1

6 x 5 − 3x 3 + 1

x→∞

45.lim x→-2

46. lim x→0

47.lim x→∞

48.lim x→5

2 + x 2 − 3x 5

2

x + 6x + 8 tg 2 x 4x

1

56. lim x→∞

57. lim x→4

x2 −1 − 2

58.lim

2 + 1 + 4x 2

x→0

x 4 − 24 x 2 + 25 x 2 − 3x + 20

59.lim x→∞

1 x ⎞ 2x

x 2 + 4x − 5

⎛ 1 − 2x ⎞ 4 x 55.lim ⎜ ⎟ ⎝ 1 + 2x ⎠ x→∞

2− 6+x

x4 + x3 − x −1

(x

2

− 16 − x 2 + 16

x − ( x − 2) x 2 − 5x + 4 cos 3x − 1 3x 2 x4 − x + x2 x 2 + x + 3x 2 x 4 − 3x 2 + 2

⎛5+ 49. lim ⎜ ⎟ ⎝5− x⎠

60. lim

50. lim ( x 2 − 25 − x )

⎛5−x ⎞ 61.lim ⎜ ⎟ ⎝4−x⎠

x→0

x→∞

x→-1

x3 +1 2 x −1

x→∞

51.lim x→0

52. lim

x + 25 − 5 x2 − x

x→∞

sin 5x tg 2 x

x→0

53.lim x→∞

62.lim

63. lim x→0

x2 − x3 +1 x−2

6x + 9x 2 − 1 x 2 + 3x − 1 x 4 − 3x 2 + 2 x 5 − 5x + 1

⎛ 5x − 1 ⎞ 64. lim ⎜ ⎟ ⎝ 4x − 2 ⎠ x→∞

x4

)

Построить графики функций. 1) y = ½ (x+2)2 (x-1)3

13) y =

1 x 2 + 2x − 3 x

1 ( x − 1) 3 2) y = 2 ( x + 1) 2

14) y =

3) y = x3 – 3x2 – 2x + 4

15) y = sin 2x + 1

4) y = 2x3 + 3x2 – 4x –1

x 16) y = cos -1 2

5) y = 2x4 + 3x2 – 5

17) y = 2cos 2x – 1

6) y = 2x4 + x2 – 3

18) y = 2 arcsin x

7) y = 2x3 – x

8) y = 5x5 + 3x3 – 8x

2

x −4

19) y =

1 arccos x 2

20) y =

π + arctg x 2

9) y = 3x5 + 2x3 – 5x

21) y = π - arctg x

10) y = 3x3 – 2x2 +42x –5

22) y = ln (-x)

11) y =

12) y =

2x − 1 3x + 2

23) y = ln x

2 x 2 + 3x − 5

24) y = -ln x

4x 2 + x − 5

25) y = 2·2x = 2x+1

27) y = x 2 − 5x + 6

26) y = ln x

28) y = x2 – 5x + 6

ЛЕТНИЙ ЭКЗАМЕН Вычислить интегралы: 1.

π 3 cos x

+ sin x dx sin 2 x

∫

π 6 π 2

10

10.

11.

π 3 cos 2

x

∫ sin 2 x dx

3

4. ∫ tg xdx

12.

x4

∫ 1 + x 2 dx

0

3

13.

π 4

5. ех ⋅ cosx dx

∫ x2 +1

1

π 4 π 3

x 2 dx

0

0

3.

∫ x 2 − 25

6

1

2. ∫ sin 2 x cos 3 xdx

dx

dx

∫ x + x2

1

π 2

14. ∫ sin 2 xdx 0

2

6. ∫ ln x ⋅ dx

4

1

∫1+

3

1

7. ∫ x ⋅ ln( x − 1)dx

15.

0

16.

2

3

8.

∫ x ⋅ arctgx ⋅ dx

1

e2

9.

∫ e

∫

1 + x 2 ⋅ dx

1

e x dx

0

17.

∫

01+ e

1

x ⋅ ln xdx

dx 2x + 1

2x

18. ∫ (2 − x + e x − 3) ⋅ dx 0

1

3

dx

∫1+ x2

19.

26.

2

0

4

1

dx 20. ∫ 01+ x 0

21.

27.

1

dx

∫ 4x 2 − 9 π

∫

sin 2

−π

1

23.

28.

x dx 2

25.

∫

xdx

∫ (1 + x 2 ) 2

0

0

π 3

xdx

∫ x2 +1

0

1

29.

30. ∫ sin 2 xdx

31. ∫ ctgxdx

0

1 2

∫ x8 + 1

π

x 2 dx

0

24.

x 3 dx

0

∫ x2 +1

1

xdx

∫ 4 + x4

0

−1

22.

dx

∫ x ⋅ ln x

π 4

1

32. ∫ e 2 x ⋅ dx

x 2 dx

0

1− x2

Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) y = x2

x = 2, x = 4.

2) y = 6x – x2 и осью Х-ов 3) y = – x2 + 7x – 10 и осью Х-ов 4) xy = 2, осью Х-ов и прямыми X=2, x=3. 5) y = ln x, осью Х-ов и прямой х = у.

x 2 y2 + = 1. 6) 4 9

x2 7) y = и прямой y = 3. 8 8) у = 4х и х – 2у – 1 = 0. 9) у2 = 4х и х2 = 4у. 10) х2 + у2 = 8х и у2 = 4x. 11) у = х3 и у = 2х. 12) у = х2 – 3х и у + 3x – 4 = 0 13) у = х2 – х и у2 = 2х 14) у2 = х3, у = 8, x = 0. 15) у2 = 2x + 4, х = 0. 16) ху = 4, х = 1, х = 4, у = 0. 17) у = х2 + 4х, у = x + 4. 18) н = 3 – 2x – х2, у = 0.

Вычислить площадь, ограниченную линиями. 1)

х = 2(t – sin t) и осью 0х. y = 2(t – cos t)

2)

x = 2cos3 t, y = 2sin3 t.

3)

r2 = 4cos 4ϕ

4)

r2 = 4 sin 2ϕ

5)

r = 2 (1-cos ϕ).

6)

r = 2 cos 2ϕ.

7)

r = 2 sin 2ϕ.

8)

r = 2 sin 3ϕ.

9)

r = 2 cos 3ϕ.

10) r = 2 cos t. y = 3 sin t. 11) r = 2 cos 2ϕ 12) r = 2 (cos ϕ + 1).

Определить длину дуги кривой 1) у2 = х3, отсеченной прямой х = 4/3. 2)

2 x3

+

2 y3

=

2 23 .

3) у2 = (х + 1)3, отсеченной прямой х = 4. 4) х = 2(t – sin t), e = a (1-cos t). 5) y = ln x,

3 12 ≤x≤ . 4 5

6) r = q (1- cos ϕ). 7) r = 2 ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π . 8) y =

4 (2 – x)3, отсеченной прямой х = 1. 9

9) к = 4 sin ϕ. 10)

к = 4 cos ϕ.

11)

к = 2(1- cos ϕ).

12)

r = 2 (1+ cos ϕ).

13)

x = 3cos3 t, y = 3sin3 t, 0 ≤ t ≤ π

14)

y = lnx,

3 ≤ x ≤ 8.

15)

r = 2 (1 + sin ϕ).

16)

r = 2 (1 – sin ϕ).

17)

Показать, что длина одной ветви циклоиды х = а(t – sin t) у = a (1-cos t) (0 ≤ t ≤ 2π )

18)

Найти длину окружности r = 2q sinϕ.