Функция распределения Максвелла в практикуме по физике

62

Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ, Ò. 6, ¹ 2, 2000

Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà â ïðàêòèêóìå ïî ôèçèêå À.Ï. Îâ÷èííèêîâ Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò (ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò) 141700, ÌÎ, Äîëãîïðóäíûé, Èíñòèòóòñêèé ïåð., 9, êàôåäðà îáùåé ôèçèêè Îïèñàí ìåòîä ïîëó÷åíèÿ è èçìåðåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ òåðìîýëåêòðîíîâ ðàäèîëàìï.

Ïðè çíàêîìñòâå ñ ðàáîòîé [1] ìîæåò ñîçäàòüñÿ âïå÷àòëåíèå, ÷òî òåðìîýëåêòðîíû â ðàäèîëàìïàõ "íå ìàêñâåëëèçîâàíû". ×òîáû ðàçâåÿòü ýòè ñîìíåíèÿ, ìû âçÿëè òó æå ëàìïó – ïåíòîä, ÷òî è â [1], è âêëþ÷èëè åå â äèîäíîì ðåæèìå, ò.å. âñå ñåòêè ñîåäèíèëè ñ àíîäîì. Äëÿ óìåíüøåíèÿ ðîëè îòðèöàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî çàðÿäà ìîùíîñòü íàêàëà ëàìïû áûëà âûáðàíà çíà÷èòåëüíî ìåíüøåé íîìèíàëüíîãî çíà÷åíèÿ. Ïî ïîëó÷åííûì ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì ïîñòðîåíû âîëüòàìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà òîêà ýìèññèè (Ðèñóíîê 1) è å¸ ïðîèçâîäíàÿ dI/dU (Ðèñóíîê 2). Ïðîèçâîäíàÿ âîëüòàìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè ïðåäñòàâëÿåò ôàêòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ.

Ðèñóíîê 1. Âîëüòàìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàäèîëàìïû.

Ðèñóíîê 2. Ïðîèçâîäíàÿ âîëüòàìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè.

Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà â ïðàêòèêóìå ïî ôèçèêå

63

 îñíîâó äàëüíåéøåé îáðàáîòêè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïîëîæèì óðàâíåíèå (7) ðàáîòû [1], ïðåäñòàâëåííîå â âèäå: −

⎛ qU ⎞ ⎟ ⎠

qU ⎜⎝ − kT 1 dI = e A qdU kT

= c χ e −χ ,

−χ ãäå χ = qU kT − áåçðàçìåðíàÿ ôóíêöèÿ, c – êîíñòàíòà. Ïîëîæèì χe = f (χ ) . Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè f(χ), ñïðàâåäëèâûé äëÿ ìàêñâåëëîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (Ðèñóíîê 3).

Ðèñóíîê 3.

f (χ ) = e − χ χ .

Ôóíêöèÿ

Åñëè ôàêòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ òàêæå èìååò ìàêñâåëëîâñêèé õàðàêòåð, òî ñ ó÷åòîì íîðìèðîâêè êîîðäèíàò ãðàôèêè ôóíêöèè f(χ) è ïðîèçâîäíîé âîëüòàìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè äîëæíû ñîâïàñòü â ñâîèõ ÷àñòÿõ, ñîîòâåòñòâåííî ñïðàâà è ñëåâà îò ïèêîâ. Ýòî

(

îçíà÷àåò, ÷òî íîðìèðîâî÷íûé êîýôôèöèåíò K = dI

dU

)

max

f (χ )

max

îò ôóíêöèé ñ ïèêîâûìè

çíà÷åíèÿìè äîëæåí îñòàòüñÿ ñïðàâåäëèâûì äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ çíà÷åíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàì ãðàôèêîâ èõ ôóíêöèé. Äëÿ ïðîâåðêè òàêîãî ñîâïàäåíèÿ ïîñòóïèì òàê: íà îñè àáñöèññ ãðàôèêà f(χ) (Ðèñóíîê 3) âûáåðåì òî÷êè 1/2, 1, 2, 3, 4 è íàéä¸ì ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f(χ). Ïðîèçâåäåíèå ýòèõ çíà÷åíèé íà êîýôôèöèåíò K åñòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè dI/dU (Ðèñóíîê 2), ïðîåêöèÿìè êîòîðûõ íà îñü U áóäóò òî÷êè a, b, c, d, e. Åñëè ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ ýìèññèè ìàêñâåëëîâñêîå, òî ðàçíîñòü êîîðäèíàò c – b, d – c è e – d áóäåò îäèíàêîâîé è ðàâíîé kT (íî âûðàæåííîé â âîëüòàõ). Åñëè ýëåêòðîíû òîêà ýìèññèè íå ìàêñâåëëîâñêèå, òî ðàâåíñòâà

64

À.Ï. Îâ÷èííèêîâ

âûøåóêàçàííûõ îòðåçêîâ íå áóäåò.  íàøåì ñëó÷àå òàêîå ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ äîñòàòî÷íî õîðîøî. Îïðåäåëèâ ïî òî÷êàì a, b, c, d, e âåëè÷èíó kT = q ΔU , âûðàæåííóþ â âîëüòàõ, íàéäåì òåïåðü íà îñè àáñöèññ (Ðèñóíîê 2) òî÷êó o, ñîîòâåòñòâóþùóþ íóëåâîìó çíà÷åíèþ çàäåðæèâàþùåãî ïîòåíöèàëà, ò.å. îòñóòñòâèþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ïðîñòðàíñòâå àíîä – êàòîä ëàìïû. Ýòî çíà÷åíèå, ñóäÿ ïî ãðàôèêó (Ðèñóíîê 3), îòñòîèò íà kT/2 âïðàâî îò òî÷êè a (Ðèñóíîê 2). Îïðåäåëèâ íà÷àëî îòñ÷åòà ïîòåíöèàëà çàäåðæêè, ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (8) ðàáîòû [1] è ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè îò íàïðÿæåíèÿ ôóíêöèè ⎛ 1 dI ⎞ ⎟. ψ (U ) = ln⎜⎜ ⎟ ⎝ U dU ⎠

Ýòà çàâèñèìîñòü èìååò âèä ïðÿìîé ëèíèè, ïî òàíãåíñó óãëà íàêëîíà êîòîðîé åù¸ ðàç ìîæíî îïðåäåëèòü kT (Ðèñóíîê 4).

Ðèñóíîê 4. Ôóíêöèÿ ψ(U)=ln(U-1/2dI/dU).

Ïîäîáíûå èçìåðåíèÿ è ïîñòðîåíèÿ ïðîâåäåíû äëÿ òðåõ ðàçíûõ çíà÷åíèé òîêà íàêàëà ëàìïû - òàêèõ, ÷òî çíà÷åíèÿ òîêà ýìèññèè ðàçëè÷àëèñü íà òðè ïîðÿäêà. Íåáîëüøèå ðàñõîæäåíèÿ â ðåçóëüòàòàõ áûëè. Òàê, íàïðèìåð, â ïðèâîäèìîì íàìè ñëó÷àå ìàêñèìóì (Ðèñóíîê 2) ñëàáî âûðàæåí; â äðóãèõ âûðàæåííîñòü ìàêñèìóìà áûëà áîëåå ÷åòêàÿ. Îäíàêî îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè ñîõðàíÿëèñü. Ñ óâåëè÷åíèåì òîêà íàêàëà kT âîçðàñòàåò, ñ óìåíüøåíèåì – ïàäàåò. Çàêëþ÷åíèå Òåðìîýëåêòðîíû â ðàäèîëàìïàõ èìåþò, òàêèì îáðàçîì, ìàêñâåëëîâñêóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Âûáîðîì ñõåìû èçìåðåíèé è ðåæèìà ðàáîòû ëàìïû óäà¸òñÿ ïîëó÷èòü ýòó ôóíêöèþ ýêñïåðèìåíòàëüíî.  ñèëó äîñòàòî÷íîé äåøåâèçíû ïîëó÷åííîé ëàáîðàòîðíîé

Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà â ïðàêòèêóìå ïî ôèçèêå

65

óñòàíîâêè, âïîëíå âîçìîæíî ðåêîìåíäîâàòü å¸ äëÿ ëàáîðàòîðíîãî ñòóäåí÷åñêîãî ïðàêòèêóìà.

Ëèòåðàòóðà 1. Áóëêèí Ï.Ñ., Ìèðîíîâà Ã.À. Íåìàêñâåëëîâñêèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è èõ èçó÷åíèå â îáùåì ôèçè÷åñêîì ïðàêòèêóìå //Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ, Ì., 1999, Ò. 5, ¹ 2, Ñ. 124 – 129.