Свойства дефектов и их ансамблей, радиационная физика твердого тела

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

Н.Н. Дегтяренко

СВОЙСТВА ДЕФЕКТОВ И ИХ АНСАМБЛЕЙ, РАДИАЦИОННАЯ ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2011

УДК 004.4:[530.145:620.3](075) ББК 32.973.26.-018.227+22.314я7+22.37я7 Д26 Дегтяренко Н.Н. Свойства дефектов и их ансамблей, радиационная физика твердого тела: Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2011. – 200 c. Пособие знакомит с типом, характеристиками и кинетикой отдельных дефектов и их ансамблей в твердых телах с различной структурой, в частности, в сверхпроводящих соединениях, что позволяет овладеть принципами и физическими основами явлений в твердых телах, обусловленных наличием дефектов структуры, методами оценки концентрации и создания дефектов при радиационном воздействии быстрых частиц, и использовать их в качестве инструмента исследования, модернизации и изменения свойств материалов. Содержание данной книги базируется на изучении студентами дисциплин циклов ЕН и ОПД: математики, общей физики, теории упругости, квантовой механики, статистической физики, теоретической физики твердого тела. Пособие рекомендовано для студентов старших курсов. Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. О.В. Нагорнов Учебное пособие подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ ISBN 978-5-7262-1511-2 © Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2011 Редактор Т.В. Волвенкова Подписано к печати 15.12.2010 . Формат 60х84 1/16 Печ. л. 12,5. Уч.-изд. л. 13,25. Тираж 100 экз. Изд. № 1/4/1. Заказ № 16 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»,

115409, Москва Каширское ш., 31. ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ...................................................................................... S Раздел 1 Виды отдельных элементарных дефектов и их свойства. Дефекты в простых веществах................................ V NKNKКлассификация дефектов простых веществ=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=V= NKNKNKМеждоузлие==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NO= NKNKOKВакансии в ковалентных соединениях==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NQ= NKNKPK=Характеристики точечных дефектов==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NR= NKNKQK= Междоузлия в простых веществах и их характериJ стики==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=N8= NKNKRK=Дефекты упаковки===KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=OO= NKNKSK=Неупорядоченные сплавыK=Примесные дефекты==KKKKKKKKKKKKKK=OQ= NKNKTK= Упорядоченные сплавыK= Типы решеток с упорядоJ чением=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=OR= NKOKРавновесные и неравновесные дефекты==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=O8= NKOKNKРавновесная концентрация точечных дефектов в= простых веществах==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=PN= NKPK Дефекты упорядочивающихся сплавов=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=P8= NKPKNKМетрика дальнего порядка в упорядочивающихся= сплавах==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=QM= NKPKOKМетрика ближнего порядка в упорядочивающихся= сплавахK =Связь дальнего порядка и среднего значения= ближнего порядка в упорядочивающихся сплавах==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=QP= NKPKPKТемпературная зависимость концентрация равновесJ ных дефектов замещения в упорядочивающихся сплавах=KKKKKKKKK=QS= NKPKQK= Температурная зависимость концентрация равноJ весных вакансий в упорядочивающихся сплавах==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=RO= NKQK=Вопросы для самопроверки к разделу=N==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=RV= Раздел O. Описание дефектов кристаллической структуры в рамках теории упругости =KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=SN= OKNK=Основные положения механики сплошной среды==KKKKKKKKKKKKKK=SN= OKNKNK=Определения==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=SN= OKNKOK=Закон Гука==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=SR= OKNKPK=Закон Гука в обобщенном виде==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=SS= OKNKQKОбщий вид уравнений в абсолютных смещениях==KKKKKKKKKKKKK=SV= OKOK =Смещение атомов в кристаллической решетке с тоJ чечными дефектамиK=Изменение объема =KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=TN=

P= =

OKPK=Поведение дефекта во внешнем поле смещения==KKKKKKKKKKKKKKKKK=TR= OKQK= Плотность внутренних силI= эквивалентных центру= дилатации===KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=TS= OKRK=Взаимодействие дефектов с внешним упругим полем==KKKKKKKK=T8= OKSK=Упругое взаимодействие точечных дефектов==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=8N= OKTK= Непрерывное распределение точечных дефектов в= упругом поле==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=8P= OK8K=Течение кристаллаK=Ползучесть==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=88= OKVK=Кинетика пор в кристалле==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=VP= OKNMK= Неустойчивость однородного распределения точечJ ных дефектов =KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=V8= OKNNK=Дислокации =KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NMN= OKNOK=Пластическая деформация кристаллов==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NMV= OKNPK=Одномерная модель дислокации=–=модель Френкеля– Конторовой==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NNO= OKNQK=Вопросы для самопроверки к разделу=O=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NNV= Раздел P. Радиационные дефекты =KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NON= PKNK=Методы создания радиационных==дефектов=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NOO= PKNKNK=Облучение в реакторе==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NOP= PKNKOK=Облучение на ускорителях тяжелых ионов==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NOR= PKNKPK= Облучение в высоковольтном электронном микроJ скопе==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NOV= PKNKQK= Основные преимущества и недостатки экспрессивJ ных методов радиационного испытания==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NPM= PKOK= Первичные процессы взаимодействия частиц и излуJ чений с твердым телом==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NPN= PKOKNK= Общие представления о процессах взаимодействия= частиц с твердым телом==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NPN= PKOKOK=Взаимодействие нейтронов с веществом==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NQN= PKOKPK=Взаимодействие ускоренных ионов с веществом==KKKKKKKKKKKKK=NQQ= PKOKQK= Распределение по глубине проникновения внедренJ ных ионов и дефектовI=созданных ионами==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NRM= PKOKRK=Взаимодействие электронов с веществом=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NR8= PKOKSK=Взаимодействие=g-квантов с веществом==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NSM= PKPK=Основные условия воспроизводимости явлений реакJ торного повреждения при облучении на ускорителе==KKKKKKKKKKKKKKKKK=NSN= PKQK=Вопросы для самопроверки к разделу=P==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NSQ=

Q= =

Раздел 4.=Теоретическое сравнение структуры случайных полей радиационных дефектов, образующихся при облучении быстрыми частицами в пленочных образцах =KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NSR= QKNK= Каскад атомных столкновенийK= Индивидуальные хаJ рактеристики==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NSR= QKOK= Случайное поле дефектовK= Статистика повреJ ждений==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NTO= QKPK=Модель разреженных каскадов==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NTR= QKQK=Модель плотных каскадов==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NT8= QKRK=Параметры имитации==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=N8M= QKSK=Имитационные соотношения= для модельных спектров= ПВА==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=N8P= QKTK=Детальные расчеты характеристик поля повреждений= при облучении тонких пленок сверхпроводников АNR= ионами и нейтронами................................................................... N8R= QKTKN=Учет субкаскадной структуры повреждений………………N8S= QKTKOK=Расчеты для монохроматического ионного облучения…KKN8T= QKTKPK=Расчет спектров ПВА для нейтронного облучения………NVM= QK8K=Методика определения временного ресурса сверхпроJ водящих соединений=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NVO= QKVK=Вопросы для самопроверки к разделу=Q==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NVV= Список литературы KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=OMM= =

R= =

=

ВВЕДЕНИЕ Физика твердого тела= –= одна из областей наукиI= определяJ ющих развитие современного технологического обществаK=В сущноJ стиI=вся армия ученыхI=инженеров работает над наилучшим испольJ зованием твердых материалов при проектировании и изготовлении= самых разнообразных механических и электронных компонентовI= необходимых в таких областяхI=как связьI=транспортI=компьютерная= техникаI= а также фундаментальные исследованияK= ИсследователяI= работающего в области физики твердого телаI=интересуют такие маJ териалыI= как металлы и сплавыI= полупроводникиI= диэлектрики и= магнитные материалыK=Многие из них относятся к кристаллическим= веществамW= их атомы расположены такI= что образуют правильную= трехмерную решетку= –= периодическую структуруK= Нарушения идеJ альной периодичности могут быть обусловлены химическими приJ месямиI= незаполненными= EвакантнымиF= атомными узламиI= атомами= внедрения=Eв промежутках между узламиFI=а также дислокациямиK=Во= многих случаях подобными нарушениями или отклонениями от= строгой периодичности существенным образом определяются физиJ ческие свойства кристаллических твердых телK=Управляя концентраJ цией подобных дефектов или целенаправленно создавая ихI= можно= получать=…наперед заданные»=свойства твердых телK= Такая технолоJ гия играет первостепенную рольI= напримерI= в области полупроводJ никовой микроJI= наноэлектроникиK= Другой класс материаловI= предJ ставляющий интерес для физики твердого телаI =– =это стеклообразJ ныеI=или аморфныеI=материалыK=Атомы в таких материалах располаJ гаютсяI =в общем так жеI =как и в жидкостяхI =т.еK =они упорядочены= лишь в пределах нескольких межатомных расстояний от каждого= атомаI=принятого за центральныйK=Иначе говоряI=для стекол характеJ рен ближний порядок в расположении атомовI= а не дальнийI= как в= кристаллической структуреK= NK =…Физика неидеального твердого тела»= EФНТТF= изучает= физические явления и процессыI= обусловленные или возникающие= при высоком== содержании дефектов в твердом телеI=пытается выраJ ботать предсказательные теорииI= определяющие характеристики=

S= =

твердого телаK=Все==области применения и=…вынужденного»=испольJ зования твердого тела так или иначе определяются дефектами струкJ турыK=Простейшие примерыW= J=проводимость идеального твердого тела равна нулюX= J= критический ток в сверхпроводниках равен нулю в отсутJ ствие пиннинга системы вихрей на дефектах структурыK= OK Важным направлением является контролируемое введеJ ние в матрицу примесей и дефектовI= а также радиационноJ стимулированное изменение структурыK= Начало интенсивного разJ вития этого направления соответствует появлению полупроводникоJ вых приборовK= Это направление можно назвать=…Физической техноJ логией»I= поскольку конструирование и создание новых приборов и= инструментария исследователей определяется разработкой детальJ ной физической картины процессовI= интерпретации измеряемых веJ личинK= Естественное уменьшение размеров изучаемых объектов и= новые измерительные возможности привели к появлению нового= направления=…Наносистемы»K= PK Контролируемое введение в матрицу примесей и дефекJ тов имеет и физический интерес для анализа применимости тех или= иных моделей явлений в конденсированных средахK= НапримерI= для= анализа механизма сверхпроводимости в соединениях со структурой= АNRI=ВТСПK= Ряд проблемных задач физики конденсированных систем= имеет фундаментальный характерW== · предсказание механических свойств реальных тверJ дых телI=в том числе в интенсивных радиационных поляхX= · электрические свойства и явления в конденсированJ ных системах с высоким содержанием дефектовX= · механизмы сверхпроводимостиI=в том числе=–=высокоJ температурнойI=улучшение критических параметров сверхпроводниJ ковK= Успешное решение хотя бы ряда этих фундаментальных фиJ зических задач определяет сроки и реальное внедрение в экономику= страны новых практических задачW= J= нового поколения более эффективных и экономически боJ лее выгодных ядерных реакторовX=

T= =

J=появление сначала экспериментальныхI=а затем и промышJ ленных термоядерных реакторовX= J=использование новых композитных и наноматериаловX= J=создание экономически выгодных передающих сверхпровоJ дящих энергосистемK= Это небольшое перечисление дает представление о целесоJ образности фундаментальных исследований в области изучения= свойств реальных конденсированных средK= =

8= =

РАЗДЕЛ 1 ВИДЫ ОТДЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДЕФЕКТОВ И ИХ СВОЙСТВА. ДЕФЕКТЫ В ПРОСТЫХ ВЕЩЕСТВАХ

1.1.

Классификация дефектов простых веществ

Определение: Любые нарушения или искажения в регулярноJ сти расположения атомов кристалла считают дефектом кристалJ лической решеткиK= Характерные параметры дефектов= Eэнергия образованияI= энергия диффузии и дрKF==определяются структурой и связями атомов= матрицы (кристаллаFK= Различают следующие виды отдельных дефектовK= NK= Тепловое движение атомов= –= отклонение от положения равJ новесия по определенному законуK= ОбычноI= это термодинамически= равновесный вид дефектаI=имеющий динамический характерK= OK= Междоузельные атомы и вакансииK Эти дефекты имеют тенJ денцию быть равновеснымиK=Однако характерное время релаксации= к равновесному состоянию может быть достаточно большимK= ДейJ ствительноI= процесс диффузии дефектовI= определяющий их распреJ деление в твердом телеI= = является термоактивируемым процессомI= поэтому при=недостаточно больших температурах часто встречаютJ ся==неравновесные состояния систем=EрисKNKNFK= Значительное отличие систем точечных дефектов= –= это их= взаимодействие между собой=Eчерез атомы матрицыFI=что приводитI= в частностиI==к образованию их комплексов=EансамблейFI=конденсата= в матрицеI=т.еK=равновесное состояние системы точечных дефектов в= большинстве случаев является неоднородным в пространстве= (напримерI=вакансии=–=ансамбль вакансий=–=пораFK= PK= Примесные атомыK=ПримесиI=даже при малой концентрацииI= могут существенно влиять на свойства кристаллаI= напримерI= они= вносят заметный вклад в проводимость полупроводников=Eплотность= атомов в конденсированных системах=NMOO= J=NMOP= атомов/смPI=конценJ трация дефектов в зависимости от предыстории получения образца= меняется от=NMNO=J=NMOM=атомов/смPFK= = =

V= =

=

= РисKNKN= = Схематическое изображение точечных дефектов в= арсениде галлия=As=d~K=s=–=вакансииI=f=–=междоузельные атомыI=В=–= примеси= QK= Граница кристаллаK=Этот дефект приводит к искажениям даJ же внутри матрицы и к нарушению кристаллической симметрии в= областяхI=примыкающих к границеK= RK= ПоликристаллыW==зерна или кристаллиты с разной ориентациJ ейK= Объем зерен больше физически представительного объемаK= ПоJ перечный размер зерен порядка=NMJP= ¸=NMJS см=Eрис=NKOFK=Свойства поJ ликристаллов обусловлены как самими кристаллическими зернамиI= так и межзёренными границамиK= Если зерна малы и ориентированы= хаотичноI=то в поликристаллах не проявляется анизотропия свойствI= присущаяI=напримерI=монокристаллуK=Если есть определенная ориенJ тация зеренI=то поликристалл является текстурированным и обладает= анизотропиейK=

NM= =

SK= Дислокации= –= неравновесный тип дефектаI= т.еK= их появление= обусловлено предысторией образца и связано либо с ростом криJ сталлитаI=либо с действием внешних нагрузок или воздействийK=РазJ личают несколько типов дислокацийW= краевыеI= винтовыеI= смешанJ ные= (рисKNKPFK= Их скопления часто формируют межзеренные граниJ цыK==

= РисKNKO==Картина зерен в поликристалле= = TK= Статические смещения решетки вблизи дефектаW= в окрестJ ности дефекта можно выделить область с сильным возмущением= решеткиK=Такая деформация характерна для дефектов типов=O¸SK=ОдJ нако кристалл искажается и на больших расстоянияхK= Искажения= первой координационной сферы составляют менее=NMB=межатомноJ го расстоянияK=Дальнее поле дефектов может быть определено метоJ дами теории упругостиI=поле вблизи дефекта определяется из решеJ ния уравнений равновесия кристаллической структурыK== Характер влияния дефектов на свойства реального твердого= тела во многом определяется размерностью дефектаK=В зависимости= от размерности различают следующие типы дефектовW= fK Точечные дефекты=EпK=OI=PFK= ffK Линейные дефекты=EпK=SFK= fffK Плоские дефекты=EпK=QI=RFK= Приведем примеры различных типов дефектовK= =

NN= =

= =

=

=

а===============================================б=

===== в===============================================г= = РисKNKPK=Дислокации различных типовW= а=–=выход краевой дислокации на границуX= б=–=винтовая дислокация роста кристаллаX= в=–=скопление дислокаций на межзеренных границаX= г=–=сетка дислокаций= = = 1.1.1. Междоузлие

=

В идеальной структуре какого-либо типа атом занимает поJ ложениеI= соответствующее узлу решеткиK= = Лишний атомI= для котоJ рого нет соответствующего узлаI= занимает междоузельное положеJ ниеK= Таких положений может быть для структуры несколькоK=

NO= =

НапримерI=на рисKNKQ=представлены четыре типа междоузельных поJ ложений для атома углеродаK= =

= РисKNKQK= Различные виды междоузельных атомов углерода в= решетке алмазаW =а= – =тетраэдрическое= TX = =б= – =гексагональное= eX =в= – = междоузлие посредине связи=jX=г=–=расщепленное междоузлие==EганJ тель==YNMM[F= = Для упрощения рассмотрим плоскую квадратную решеткуI= содержащую междоузельный атомK= На рисKNKRIа= = величина смещений и их направления показыJ ваютI= куда сдвинутся атомы ближайшего окружения по отношению= к их положению в идеальной решеткеK== На рис= NKRIб= = показан другой междоузельный дефект= – =ганJ тельK =Этот тип дефектов возникает тогдаI =когда из-за наличия межJ доузельного атома один из ближайших атомов в узле кристалла= сильно смещается из положения равновесия и разделяет узел с лишJ ним атомомK=Такая конфигурация была предсказана в компьютерных= расчетах и открыта при ультразвуковых исследованияхK== =

NP= =

= РисKNKRK =Два типа междоузельных атомов для плоской квадJ ратной решетки= = 1.1.O. Вакансии в ковалентных соединениях Отсутствие атома в узле решетки создает точечный дефект= типа вакансии=EрисK=NKSFK== Картина смещений отличается от смещений для междоузельJ ных атомов направлениемI=обычно ближайшее окружение смещается= к пустому узлуK= =

= == а===========================================б= РисKNKSK=Конфигурация вакансии=EаF=и дивакансии=EбF=в алмазе= = В соединениях ионного типа вакансии образуются парамиI= что является энергетически более выгодной конфигурацией для данJ

NQ= =

ной структуры= Eдефект ШотткиFK= Сказывается необходимость соJ блюдения нейтральностиK= Такой тип дефектов проявляются тем заJ метнееI=чем выше ионность связиI=например в=k~ClK=Отметим такжеI= что в ВТСП типа= v_~OCuPlT также наблюдается частично ионная= связьK= = 1.1.P. Характеристики точечных дефектов Обычно рассматривают три феноменологические= характеристики точечных дефектовW= J=энергия образованияX= J=энергия миграцииX= J=дилатационный объёмK= Кроме тогоI= в случае рассмотрения кинетики дефектов= появляются дополнительные параметрыI= напримерI= объем= рекомбинации пар ФренкеляK= Вакансии в простых веществах и их характеристики= Рассмотрим оценку трех перечисленных характеристик на= примере вакансииK= Можно предложить следующий механизм= образования вакансииK= Атом выносится на границу кристаллаI= при= этом число частиц в системе не изменяется=EрисKNKTFK=ДействительноI= простое удаление атома из узла решетки кристалла на бесконечность= изменяет число частиц в системе и для расчета термодинамического= потенциала системы потребуется учитывать этот фактK=

= РисK= NKTK= Перенос атома из узла на поверхность в плоской= квадратной решетке и образование вакансии= =

NR= =

В окрестности образовавшейся вакансии будет происходить= релаксация атомов=EрисKNKTFK=Будем считатьI=что два атома вещества= взаимодействуют друг с другом посредством парного потенциала= взаимодействия= jEoFI= который не зависит от окружения атомовK= Энергия атомаI= находящегося в узле кристаллаI= равна= bузлZzNjEoGFI= где число ближайших соседей порядка=zN=»=S=J=8I=oG=–== равновесное= межатомное расстояниеI= оценка потенциала может быть сделанаI= напримерI= из энергии сублимации веществаI= что дает= jEoGF ≈= MKO =÷ = MKP=эВK=Таким образомI=величина энергии атома в узле решетки равна=== bузл =~=NKS=÷=OKQ=эВK=Такая энергия должна быть затрачена на разрыв= = связей при образовании вакансииK= Однако вынутый атом= размещается на поверхностиI= следовательноI= можно считатьI= что= половина разорванных связей восстанавливаетсяK= Энергия атомаI= находящегося на поверхности равна=bповZzNLOjEoGFK=Таким образомI= величина=энергии формирования вакансии b vf ≈=MK8=÷=NKO=эВK= Рассмотрим= миграцию вакансийK =Чтобы атом А= “перепрыгJ нул≤= на пустой узелI= в котором расположена вакансияI= казалось бы= ему не нужно преодолевать барьерI =но это не так= – =надо разорвать= связи=EрисKNK8FK=

= РисKNK8K= Перенос атома в соседний пустой узел= = в плоской= квадратной решетке= = Кроме тогоI=вдоль траектории миграции вакансии=Eили атома= АF= возникает энергетический барьер= Eэнергетическая линзаFI= создаJ

NS= =

ваемый ближайшими атомамиK=Это наиболее наглядно видно в трехJ мерном кристалле= EрисKNKVFK= Число ближайших соседей в сечении= A_Ca =обычно меньшеI =чем в узлеI =zO= Z =QI =Если предполагатьI =что= парный потенциал меняется слабоI=то величину энергетического баJ рьера для миграции вакансии можно оценить как= bsm ≈=MK8=÷=N=эВK= Рассмотрим теперь вопрос о= дилатационном объеме ваканJ сии на примере вакансии в квадратной решетке=EрисK=NKNMFK=Пусть ωM= –=объемI=приходящийся на один атом твердого телаK= =

= РисKNKVK= Формирование энергетического барьера при миграJ ции атома в пустой узел= = При образовании вакансии поверхность за счет релаксации= исказитсяI= и объем кристалла= s=изменитсяK= Оценки дают примерно= (N) ds = -MKNwM K=Такая величины была получена на основе результаJ тов дилатационных экспериментовI=связанных с введением в образец= множества вакансийK=ОтметимI=что в матрицеI=окружающей область= образования вакансииI=происходит некоторое увеличение плотности= вещества за счет релаксацииK= =

NT= =

= РисK=NKNMK=Схематическая картина смещений вблизи вакансии= = В рассмотренном выше механизме образования вакансии= атом выходит на поверхностьK=Связанное с этим дополнительное изJ менение объема составляет= ds * = ds ( 2) = wM K= Таким образомI= сумJ марное изменение объема кристалла равно= ds (N) + ds ( 2 ) = +MKVwM K= = 1.1.4. Междоузлия в простых веществах и их характеристики При образовании междоузлия для тогоI=чтобы сохранить вид= термодинамических функций и не рассматривать изменение= химического потенциалаI= необходимо сохранить число частиц в= системеK= Рассмотрим следующий механизм формирования= междоузельного атомаK= Пусть при формировании междоузлия атом= вносится=в кристалл с поверхностиK= Определим энергию образования междоузельного атомаK= ( ( Оценка энергии дает величину= zi × j( R) I= где= R= –= = расстояние миниJ мального сближения междоузельного атома с ближайшими соседяJ ( миK= При этомI= R Y R* – = =равновесного расстояния в решеткеI =т.еK =поJ тенциальная энергия парного взаимодействия большеK= Положение= равновесия междоузельного атома определяется равновесием сил=

N8= =

всех взаимодействующих парK= Число соседей определяется типом= междоузлийK= Как показывает экспериментI= обычно для наиболее= представительного типа междоузлий энергия образования составляет= величину= b ff ~=P=÷=R=эВ и большеI=чем для вакансий= b ff [ bnf K== В отличие от вакансии у междоузельного атома могут быть= разные стационарные положения в одной решетке с разными энергиJ ями образования= b ff ¹ b ff =EрисK=NKNNFK=Это означаетI=что в равновеJ N

2

сии заселенность этих состояний будет различнойK= Если= b ff Y b ff I= N 2 то при низких температурах=–=заселены междоузлия типа=NK=При поJ вышении температуры=–=заселяются и места=OK=В радиационных проJ цессах междоузельные дефекты второго типа могут рождаться и при= низких температурахK= Пример разных типов междоузлий показан на рисKNKNN= для= структуры=a-железаK== Величина энергия миграции междоузлия оценивается как= m bf = ~ =MKN =эВI =т.еK = b fm << bnm = –= энергии миграции вакансийK= Этот= факт обусловлен темI=чтоI=как следует из численных расчетовI=харакJ терное расстояние равновесия до ближайших соседей для междоJ узельного атома порядка тех расстоянийI=на которых междоузельный= атом преодолевает энергетический барьер при прохождении линзы= (рисKNKVFK= Число же ближайших соседей= zf= »= ziI= т.еK= высота барьера= для миграции междоузельного атома должна быть малаK= Рассмотрим вопрос о дилатационном объеме междоузлияK= Как показывают дилатационные экспериментыI= при образовании= междоузельного дефекта происходит увеличение объема кристаллаK= Величина изменения объемаI=приходящаяся на один междоузельный= атом= ds (N) = +MKNwM K= При образовании междоузлия твердое тело= немного=…распухает»=EрисKNKNOFK= Как и в случае с вакансиейI=при образовании междоузельного= атома в матрице и соответственно при его исчезновении на поверхJ ностиI= дополнительное изменение объема образца составляет= ds ( 2) = -wM K=Таким образомI=суммарное изменение объема кристалJ ла равно= ds (N) + ds ( 2 ) = -MKVwM K= =

NV= =

= РисKNKNNK=Шесть конфигураций междоузельного атома в=aJceW== а= – =fN-гантель= YNMM[X= б= – =fO= Jгантель== YNNM[X= в= – =fP-краудионX= г= – =fQJ смещенный краудионX=д=–=fR-октаэдрический междоузельный атомX=е= –=fS-тетраэдрический междоузельный атом= =

= РисKNKNOK=Схематическая картина смещений при образовании= междоузельного атома в плоской квадратной решетке= = =

OM= =

Приведем экспериментальные данные по характеристикам= точечных дефектов для кристаллов меди в эВW= bnf =Z=NKOTI= b ff =Z=OKOI=

bnm =Z=MKTOI= bfm =Z=MKNNTK= Несмотря на тоI=что энергия миграции междоузлий на много= меньше энергии миграции вакансийI= последниеI= поскольку их= концентрация больше концентрации междоузлийI= являются= дефектамиI= по сути определяющими механизм=диффузии в твердом= телеK =Если междоузлие оказывается рядом с вакансиейI =то оно= стремится восполнить пустоту и мигрирует в то местоI= где есть= локальное разрежениеK= В итоге может произойти рекомбинация= дефектовK=При одновременном рассмотрении близко расположенных= вакансии и междоузельного атома их называют парой дефектов= ФренкеляK= = Объем матрицы вокруг дефектовI= в пределах которой происходит= рекомбинацияI=называется зоной рекомбинацииI=sрек= –=объем рекомJ бинации составляет величину порядка= NMωM= EрисKNKNPJNKNQFK= На= рисKNKNP=узлыI=ограниченные пунктирной линией вокруг гантельного= внедрения=Eкрупные кружкиFI=составляют рекомбинационный объемI= т.еK=попадая в нихI=вакансия рекомбинирует с внедрениемK= = = = = =

= = =

= = = = РисKNKNPK= Зона рекомбинации вакансии и междоузельного= атомаK=Стабильность пары Френкеля в плоскости={NMM}=меди=

ON= =

= =

= РисK=NKNQK=Зона рекомбинации пары Френкеля в ГПУ решетки= магнияW●=–=нестабильные положения вакансии= = На рисKNKNQ= показаны пять разных= EMMMNF=плоскостей решетJ киI=расположенные на разных расстояниях от тригонального внедреJ нияW=а=–=OKOаI=б=–=NKQаI=в=–=MKSаI=г=–=MKOаI=д=–=NKMаK== Междоузельный= атом находится между плоскостями=в и=гK= 1.1.R. Дефекты упаковки В кристаллических решетках металловI= имеющих координаJ ционное число= NOI= т.еK= наиболее плотноупакованных= EгранецентриJ рованная кубическая= EГЦКF= и плотноупакованная гексагональная= структура= EГПУFFI= встречаются еще особого вида дефекты кристалJ лического строенияI=называемые ошибками наложения=EупаковкиFK= = = РисKNKNR= аK= Расположение атоJ мов в плотноупакованных кристаллиJ ческих решеткахW= светлые кружки= –= положения типа= NX= черные кружки= –= положения типа= OX= звездочки= –= полоJ жения типа=P= = =

OO= =

=

= РисK=NKNR=бK=Модели дефекта упаковки и изображения дефекта в обJ разце=piC== = Выберем упрощенную модельI= в которой атомы считаются= одинаковыми жесткими шарамиI=и рассмотрим возможные располоJ жения их при плотнейших возможных упаковкахK=Укладывая первый= ряд шаров на плоскостьI= получим картинуI= изображенную кругами= на рисKNKNRаK=Положения их центров обозначим светлыми кружками= и назовем положениями типа= NK= Второй ряд шаров может располоJ житься двумя различными способами относительно первого рядаK= Проекции их центров на плоскость могут попадать или в положения= типа=OI=обозначенные на рисунке черными кружкамиI=или в положеJ ния типа=PI=обозначенные звездочкамиK=Для следующих слоев проекJ ции центров шаров тоже будут попадать в одно из этих трех полоJ женийK= Упаковка будет плотнейшейI= если два соседних слоя нахоJ дятся в различных положениях= Eизображаемых разными цифрамиFI= тогда шары следующего слоя попадают в лунки между шарами= предыдущего слояK= Однако при этом возможны два простейших= структурно различных способа чередования слоевI= дающих периоJ дическую кристаллическую решеткуK=Один из них соответствует ряJ ду положений= NJOJNJOJNJOKKKI= дающих гексагональную плотноупакоJ ванную решеткуK=В этом случае атомы третьего ряда находятся над= атомами первогоK=В другом случае имеется чередование==типа===NOPJ NOPJNOPI= приводящее к кубической гранецентрированной решеткеI= ориентированной такI= что пространственная диагональ кубической= ячейки перпендикулярна плоскости укладки шаровK= = В реальных= кристаллах с гексагональной плотноупакованной решеткой встречаJ ются нарушения правильного чередования слоевI= например изобраJ

OP= =

жаемые рядом=NONOJPOPOPOKKKI=где пятый слой соответствует положеJ нию= PI= а не= NK= Дальнейшее чередование слоев= POJPOJPOI= очевидноI= опять соответствует гексагональной решеткеI= так как структурно не= отличается от чередования=NONONOK=Таким образомI=в гексагональном= кристалле имеется ошибочное чередование третьегоI= четвертого и= пятого слоев типа= NOPI= характерное для кубических гранецентрироJ ванных кристалловI= называемое ошибкой наложенияK= Аналогичные= ошибки наложения могут быть и в кубических гранецентрированных= кристаллахI=где среди типичного для них чередования может встреJ титься ошибочное чередование гексагонального типаK=Ошибка налоJ жения может привести к томуI=что чередование гексагонального тиJ па сменится чередованием кубическимI =тK =еK =плоскостьI =в которой= лежит ошибкаI =будет соединять кристаллы того же металла с кубиJ ческой гранецентрированной и гексагональной плотноупакованной= решеткамиK= Такое явление было обнаружено экспериментально у= кобальтаK=Другая интересная возможность встречается в кубических= гранецентрированных кристаллах с ошибкой наложения типа= NOPNONPONPOK= Здесь в шестом слое меняется порядок чередования= слоев кубического типа=NO=P=NO=P=на обратный порядок тоже кубичеJ ского типа=N=P=O=N=P=OI=в результате чего возникает так называемый= двойниковый кристаллI=или двойник в гранецентрированной кубичеJ ской решеткеK= Двойникование встречается и при образовании криJ сталлов с другими кристаллическими решеткамиK= = 1.1.6. Неупорядоченные сплавы. Примесные дефекты Примесные атомы вместе с атомами кристалла=EматрицыF=обJ разуют твердые растворы или сплавыK=Различают два основных типа= сплавовK= Сплав замещения= – =в этом случае примесь занимает узлы= самой решеткиK==При этом считаетсяI=что примесные атомы должны= быть близки по размерам к атомам матрицыK= Только при выполнеJ нии этого условия примесь может заместить атомы кристаллаK= Другой тип сплавов=–=сплав внедрения образуется примесьюI= которая= = попадает в междоузельные положения кристаллаK= Обычно= сплавы внедрения образуются легкими примесямиW =eI =_I =CI =pI =kK = НапримерI= сталь= –= раствор в железе углерода с концентрацией до= OBK==

OQ= =

Помимо указанных выше двух типов однородных твердых растворов (сплавов) существует также третий тип – растворы вычитания. Рассмотрим первый тип растворов – раствор замещения. Атомы двух сортов занимают узлы единой кристаллической решетки. Пусть структура состоит из N узлов и NА – число атомов типа А. В неупорядоченных растворах замещения вероятность занятия произвольного узла для атомов каждого сорта пропорциональна концентрации C A = N A / N и не зависит от узла и его окружения соседей. Заселение узлов происходит по случайному закону (здесь использовано приближение отсутствия корреляций, типа засыпки). При этом трансляционная инвариантность будет нарушена, в системе реализуется ячеистый беспорядок. Предположение об отсутствии корреляций заполнения адекватно отображает ситуацию при высоких температурах, когда оказывается, что атомы равновероятно располагаются вокруг атома определенного сорта. При более низких температурах в кристалле возникает ближний порядок. Если температура становится ниже критической, то оказывается возможным выделить предпочтительный тип узлов для атомов каждого сорта. При этом в системе появляется дальний порядок. Упорядочивающиеся структуры (растворы), а также интерметаллические соединения при низких температурах обладают дальним порядком. Атомы в упорядоченном состоянии распределены по подрешеткам. В зависимости от температуры вероятность заполнения подрешеток атомами того или иного типа изменяется. 1.1.7. Упорядоченные сплавы Типы решеток с упорядочением Рассмотрим несколько примеров кристаллических решеток реальных сплавов замещения (рис.1.16 – 1.18). Упорядочение в сплавах замещения тесно связано со стехиометрическим соотношением компонентов. Только стехиометрический состав может перейти во вполне упорядоченное состояние без геометрических искажений.

25

Рис.1.16. Структура сплав βлатуни (CuZn). Критическая температура упорядочения Т ~ 600 – 700 К

Рис.1.17. Структура сплава AuCu3

Рис.1.18. Соединения типа А15 – Nb3Sn

26

При охлаждении упорядочивающегося сплава А-В ниже темJ пературы упорядочения в разных местах образца возникают центры= зарождения упорядоченной фазыK= ВырастаяI= они заполняют весь= сплавK=При этом в разных таких центрах узламиI=законными для атоJ мов АI=могут стать узлы различных подрешетокK=В результате сплав= будет разбит на области или доменыI= называемые= …антифазными»= доменамиK= Второй тип растворов= –= сплавы внедрения= –= реализуются= обычно для систем с атомамиI=сильно различающимися по размерамK= В кристалле каждая ячейка оказывается искаженнойI=таким образомI= в системе возникает топологический беспорядокK=При полном заполJ нении междоузельного пространства искажения исчезаютK=Однако и= при неполном заполнении возможно пространственное упорядочеJ ние на междоузельных положенияхK= Примером сплава внедрения является стальK= Основной приJ месью в сталях являются атомы углеродаI=которые располагаются в= междоузельных положенияхK=В=a-железе атомы углерода имеют поJ ложения устойчивого равновесия в центрах граней и в серединах= ребер кубических объемно-центрированных ячеекK= В= g-железе= – =в= пространственных центрах и серединах ребер кубических гранеценJ трированных ячеекK= Третий тип сплавов=–=растворы вычитанияK=Здесь характерJ но наличие пустых узлов= EвакансийFI= которые возникают не в реJ зультате термического или внешнего воздействииI=а являются струкJ турными элементами кристаллической решеткиK= Примером сплава вычитания является= CoJAl =с преобладаюJ щим числом атомов=AlK=В таком сплаве узлыI=на которых располагаJ ются атомы= AlI= полностью заполненыI= а узлыI= на которых должны= располагаться атомы кобальтаI=содержат еще и вакансииK= В качестве примера сплава вычитания рассмотрим также= структуру= v_~OCuPlTK= Элементарная ячейка состоит из трех пировJ скитных=EрисKNKNVFK== В средней= …пировскитной»=ячейкеI= содержащей атом иттрия= (центральный темный атомFI=отсутствуют мостиковые атомы кислоJ рода= Eна вертикальных ребрахFK= В плоскостях= CulO= наблюдается= смещение атомов кислорода к атома иттрияI= поскольку его заряд=

OT= =

оценивается как=vHPK=в отличие от атомов бария=_~HOK=Это смещение= создает гофр плоскости=CulO= В верхней и нижней= …пировскитных»= ячейкахI= содержащих= атомы барияI= кислород отсутствует на парах горизонтальных реберK= При уменьшении концентрации кислорода в= v_~OCuPlTJxI= кислород= уходит из базовой плоскости= Cul=Eоснование ячейкиFI= создавая доJ полнительно структурные вакансии и разупорядочивая положения= кислорода в базовой плоскостиK== Таким образомI= даже при нулевой температуре в кристалле= ВТСП остаются структурные вакансииK= = =

РисKNKNVK=Структура ВТСП= v_~OCuPlT= =

= = = = =

1.O.Равновесные и неравновесные дефекты = При температуреI= равной нулюI= концентрация равновесных деJ фектов кристалла должна стремиться к нулюI= lim C Z= MK= С ростом= q ®M

температуры возникают дефекты= Eза счет теплового возбужденияFI= со временем их концентрация выходит на значениеI= соответствуюJ щее равновесию при данной температуреK=С понижением температуJ ры концентрация дефектов уменьшаетсяI= однако и процессы релакJ сации резко замедляютсяI= поэтому при низких температурах криJ

O8= =

сталл достаточно долго может содержать определенное количество= неравновесных дефектов=EрисKNKOMFK= C

t C

t T

= РисKNKOMK=Качественные температурные зависимости концентрации и= времени жизни равновесных дефектов= = Точечные дефекты типа примесных атомов и структурных= вакансий существуют даже= = при нулевой температуре= EрисKNKONFK= В= сплавах с нарушением стехиометрии такие дефекты неизбежныK= = C

t

t C

T

= РисKNKONK=Качественные температурные зависимости концентрации и= времени жизни дефектов при наличии структурных вакансий= =

OV= =

В дальнейшем будет показаноI=что изменение не только темJ пературы=TI=но и давления=m=приводит к перераспределению конценJ трации дефектовK= Существует множество процессовI= при которых возникают= точечные дефектыK= Большинству прямых процессов рождения можJ но сопоставить обратные процессы рекомбинацииK= В кристаллах возможны следующие процессы рождения деJ фектов=EрисKNKOOFK= fK=Под воздействием тепловых колебаний решетки существуJ ет вероятность выброса атома из узла решеткиK=Образуется вакансия= и междоузлие= – =пара ФренкеляK =Как отмечалосьI =если эти дефекты= находятся внутри рекомбинационного объемаI= они рекомбинируют= (атом сваливается обратно в узелFK= Поскольку дефекты при таком= механизме образуются парамиI= то должно выполняться равенство= C f = Cs K=Однако эксперимент показываетI=что это не такK= =

V

I

= = РисK=NKOOK=Качественная картина зарождения точечных дефектов= = ffK=Возможным оказывается также и рождение дефектов с поJ верхностиK= = Этот процесс допускает неравенство концентраций тоJ чечных дефектов при условии сохранения числа атомов в системеK== fffK= В описанных выше механизмах рождения дефектов речь= шла о термоактивированных процессахK= Появляющиеся в этих проJ цессах дефекты оказываются равновеснымиK= Помимо равновесных=

PM= =

дефектов в кристалле могут возникать также и неравновесные деJ фектыK=Приведем некоторые возможные способы создания неравноJ весных дефектовW= J=закалка=Eрезкое изменение температурыFX= J=пластическая деформация=Eперемещение дислокацийFX= J=рождение дефектов под действием излученияK= Обратные процессыW= J=рекомбинация между точечными дефектами противоположного= типа при их миграцииX= J=выход на стокI=в том числе на дислокации и на поверхностьX== J=образование кластеров из дефектов одного типа=EконденсацияFK= = 1.O.1.Равновесная концентрация точечных дефектов в простых веществах = Будем считатьI= что рассматриваемый кристалл представляет= собой чистый металлK=Предположим такжеI=что вакансии рождаются= независимо от междоузлийK=Для простоты примем сначалаI=что давJ ление равно нулю и предположимI=что раствор вакансий слабыйI=т.еK= вакансии не взаимодействуют между собойK== Пусть величина энергии формирования вакансии= bnf нам изJ вестнаK=Тогда для слабого раствора можно записатьI=что энергия сиJ стемы= b = b + n n b nf I=т.еK=энергия оказывается аддитивной величиJ M нойK=Поскольку давление равно нулюI=то подходящим термодинамиJ ческим потенциалом системы является свободная энергия= c (q , p )= b - q × p K= В дальнейшем будет учтен тот фактI=что на месте образоваJ ния вакансийI= где разрываются межатомные связиI= меняется жестJ кость кристаллаI=что приводит к изменению колебательного спектраI= и возникают локальные моды колебанийK= ПокаI= пренебрегая этим= эффектомI= т.еK= учитывая только энтропию перемешивания системыI= запишем= p = k ln m I=где=m=–=число возможных состояний при фиксиJ рованном количестве атомов и вакансий= nn W=

m=

( nn + k A )! I= nn ! k A !

PN= =

где=kА=–==число атомов кристаллаK=Используя формулу Стирлинга= ln x ! » (ln x - N)x I=получимW= c = b + nn bnf - kq {(nn + k )xln(nn + k ) -Nz A A M -nn (ln nn -N) - k (ln k -N)}. = A A æ ¶c bf ö В равновесии= = M I=следовательноI= nn = ( k + nn ) × exp ç - n ÷ K= A ç kq ÷ ¶nn è ø Поскольку= nn << k A I=то получим= æ

f ö

b = C *n = exp ç - n ÷ . =============================ENKNF= ç kq ÷ è ø

Для реальных кристаллов при температуреI=близкой к темпеJ ратуре плавления кристалла= Tпл ≈= NMP= hI= равновесная концентрация= * составляет величину== C n ≈=NMJP=÷=NMJQK= ОтметимI= что максимальная концентрация вакансийI= котоJ рую может выдержать решеткаI= составляет величину порядка= NMJOK= Такая концентрация может быть получена введением в кристалл= неравновесных вакансийK= При дальнейшем увеличении концентраJ ции кристаллическая решетка разрушаетсяK= Необходимо также сделать следующее замечаниеK=Если в каJ честве механизма образования дефектов рассмотреть рождение пары= ФренкеляI= то для концентрации дефектов можно получить= æ bf ö Ç Ç C n = C f = exp ç - c ÷ I= где= b cf = –=энергия образования пары ФренJ çç kq ÷÷ è ø

келяK= Обычно в реальных условиях реализуется соотношение= ======= Ç G C s >> C I= что обусловлено соотношением энергий образования= s f b c >> bsf K= Таким образомI= зависимость концентрации точечных дефекJ тов от температуры выражается в виде обычной аррениусовской= (экспоненциальнойF=зависимостиK= NK=Введем теперь в нашу задачу давлениеK=В качестве подхоJ дящего потенциала возьмем термодинамический потенциал=

PO= =

* * Ф = c + ps = c + m (sM + nn dsn ) I= где= dsn = wM + d sn X= ωM= –= увеJ личение объема при== переносе атома на поверхностьI= dsn =–=объемI= связанный с релаксацией решетки приведении одной вакансииK= Из=

условия= ¶Ф = M получимW= ¶nn

æ b f + pds * ö * n ÷ =K======================ENKOF= C n = exp ç - n ç ÷ kq è

ø

f f * * Поскольку= dsn [MI=то= bn H pdsn [ bn K=СледовательноI=равновесJ * ная концентрация= C n уменьшитсяK= Таким образомI= наличие давлеJ

ния приводит к уменьшению количества вакансий в кристаллеK= Можно оценить теперь характерное значение давления=

f p хар= b n / wM ≈=NMQ= атмK=Давление такой величины заметно влиJ яет на концентрацию дефектовK= Большой перепад давления в веществе можно создатьI=еслиI= напримерI=поднять кристалл из скважиныK=При этом произойдет резJ кое увеличение числа вакансийI=и образец может разрушитьсяK= OK=Будем теперь по-прежнему считатьI=что концентрация ваJ кансий мала и пусть давление вновь равно нулюK=Учтем тот фактI=что= вакансии локально меняет спектр колебаний твердого телаK = =Это= можно учестьI=вводя изменение колебательной энтропии кристаллаW= c ”= c - q ( pM + nn Ds ) I= где=pM=–=колебательная энтропия кристалла без вакансийI=Δs=–= изменение колебательной энтропииI= связанное с наличием одной= вакансииK= Здесь вновьI= в силу малой концентрации дефектовI= исJ пользовано аддитивное приближениеK = Аналогично предыдущему случаю можно получитьI=что конJ

Ds * * k % центрация вакансий= C n = C n e K=Оценим величину ΔsK=Для оценки=

используем модель ЭйнштейнаK= В модели использовано предполоJ жение о томI=что все атомы в кристалле колеблются с одной частоJ тойK=При этом колебательная энтропия идеального кристалла равнаW=

PP= =

é hn æ N ê hn p = P kh - ln ç N - e kq ê kq hn ç è ëê e kq - N

öù ÷ú I= ÷ú øûú

где=n=–=частота колебаний атомовK= При= kq >> hn имеем= p = P kk (N - ln(hn / kq ) ) K =В силу адJ дитивности энтропии вклад одного атома в общую сумму составляет= p = Pk (N - ln(hn / kq ) ) K=Поскольку в кристалле всего= nn вакансийI=то= N

nn × z атомов колеблются с частотой= n¢ K= Здесь= z= –= число ближайJ

ших соседей узла решеткиK= Таким образомI= вклад атомовI= находяJ щихся рядом с вакансиямиI= равен= znn Pk N - ln(hn' / kq ) K= СледоJ

(

)

вательноI=величина Δs составляет= Pzk ln(n / n¢) K= Рассмотрим колебание атомов кристалла в гармоническом= приближенииK= Уравнение движения атома имеет вид= mx ¢¢ = -g × x K= Решением уравнения является периодическое движение атома с чаJ 2

стотой= w = g / m K= Для жесткости=

g = можно записать оценку=

n z Z=NKMV= g = z × g K=СледовательноI=отношение частот есть= ~ N n¢ z -N ÷= NKO= для= z = ~= 8K= Тогда для концентрации вакансийI= учитывая поJ правкиI=связанные с локальным изменением колебательного спектра= кристаллаI=получимW= Pz * *æ n ö PS÷N8 * * % C n = C n ç ÷ ~ [ ENKMV ÷ NKOF ] × C n » ORC n =K==========ENKPF= ¢ n è ø ОднакоI=несмотря на тоI=что поправкаI=связанная с изменениJ ем частоты колебанийI=на порядок изменяет значение концентрации= вакансийI= реально она может нивелироваться небольшим изменениJ ем температуры кристаллаK= Таким образомI= вклад локального измеJ нения частот в величину концентрации вакансий соизмерим с поJ грешностьюI=связанной с неточностью определения температуры=T=и= энергии образования вакансии= bnf K =В случае кристаллов с сильной=

PQ= =

связью этим вкладом можно пренебречьK= В молекулярных кристалJ лах ослабление связи может оказаться весьма существеннымK= PK= Рассмотрим теперь влияние наличия примеси на конценJ трацию вакансийK=Пусть имеется бинарный неупорядоченный сплав= замещенияK=Рассмотрение будем проводить в рамках следующей моJ делиW= J= считаем взаимодействие между атомами одного и разного= сортов парнымK=Взаимодействие между атомами сорта=A=равно=sAA=I= между атомами сорта=_=–=sBBI=между атомами разных сортов=–=sABX= J=пренебрежем корреляциямиX= J= пренебрежемI= в частностиI= эффектом обогащения узловI= ближайших к вакансииI=атомами какого-либо сортаX= J=давление положим равным нулюX= J=считаем раствор вакансий слабымI=а такжеI=что сами ваканJ сии не вносят вклада в конфигурационную энергиюK= Пусть полное количество узлов равно= k ¢ = k + k + nn и= A B является переменнымI= т.еK= меняется объем системыK= C = A

kA k¢

I=

kB

n I== Cn = n =–=концентрацииI= соответственноI= атомов сорJ k¢ k¢ тов=AI=_=и вакансийW= C + C + C n = NK= A B CB =

Возьмем произвольный узелK= Вероятность его заселения атоJ мами сорта А пропорциональна концентрации= САK= Вероятность= найти ближайший соседний узел пропорциональна числу=zN=–==коорJ динационному числу первой сферыK= ПредполагаемI= что это число= является одинаковым для всех узловK= Вероятность тогоI= что произJ вольный узел из этих=zN заселен атомом сорта А=–=САK=СледовательноI= вероятность тогоI =что пара ближайших узлов заселена атомами АI = есть= zNCACAK АналогичноI =для пар атомов сорта В и смешанных пар= A_K= Таким образомI= конфигурационная энергии кристалла может= быть записана в видеW= k ¢ × zN b=C AC As AA + C BC BsBB + OC AC Bs AB K= O

(

)

PR= =

Поскольку предполагаетсяI=что вакансии не взаимодействуют= с атомамиI=то в выражении для энергии не учтены узлыI=в которых= находятся вакансииK= Количество различных конфигураций системы при фиксироJ ванном количестве атомов и вакансий равно= j =

k ¢! k A ! k B ! ns !

K=

Конфигурационная энтропия может быть рассчитана как= p = k ln j K= Свободная энергия кристалла есть= c = b - qp K=Используя для фактоJ риала формулу Стирлинга= ln x ! » x(ln x - N) и учитываяI= что= СB =1 - Сs - СA »==N - =С A I=получим= c =-

z1 × ( k + ns ) 2 2 × (C A × s AA + C B × sBB + 2C AC B × s AB ) 2

=

kq × {( k + ns ) × xln( k + ns ) - N] - ns × xln(ns ) - N] - ln k A !+ ln k B !}

Дифференцируя свободную энергию по числу вакансий и= ¶c приравнивая производную к нулю= ZMI= можно получить= ¶ns ¶c ¶C s

» -r s + kq × ln

Cs

ZMI=т.е==для концентрации дефектов==

(N + Cs )

æ rf Cs = exp ç - n ç kq è

ö ÷ I=============================ENKQF= ÷ ø

где== z f 2 rs = xsBB + O(s AB - sBB )C A - C A × ( Os AB - s AA - sBB )] = O =

zN

2

xs + O(s AB - sBB )C A - C Aw]. O BB

= Величина= w = Os I= при= AB - s AA - sBB

w YM= –= это энергия=

распадаI=а при= w [M= –= энергия упорядочения сплаваK= Энергия форJ мирования вакансии при концентрациях= CA= Z= NI= CB= Z =M =равна=

PS= =

f f r s = b n |a I=т.еK=она совпадает с энергией формирования вакансии в= чистом веществе= AK= При= CA= Z= MI= CB= Z= N= r f переходит в энергию= s формирования вакансии в чистом веществе=_= r f = bnf | (рисKNKOPFK= s b

Таким образомI= при наличии примеси зависимость конценJ трации вакансий от температуры сохраняет вид аррениусовской заJ висимостиI=но величина энергии формирования вакансии теперь окаJ зывается зависящей от концентрации компонентов твердого раствоJ раK= ОтметимI= что приведенные выше выражения для концентраJ ций дефектов получены в стационарном приближении для конценJ трацийI=усредненных по объему образцаK== = UV

w>0

w<0 CAm=(vAB-vBB)/ w 0

1

CA

= РисK=NKOPK=Зависимость эффективной энергии образования ваJ кансии в зависимости от состава сплава= = QK= Учесть пространственную неоднородность решения и его= зависимость от времени можно следующим образомK =Пусть в криJ сталле имеется два типа дефектов= – =вакансии и междоузлияK =Для= этой системы можно составить уравнения непрерывностиW= dn s = d - kn n + Ñ a Ñn - g n - n* I s s f s s s s s =====ENKRF= dt dn f = d - kn n + Ñ a Ñn - g n - n* I f s f f s f f f dt

(

)

(

)

PT= =

(

(

)

)

здесь= d =–=источники вакансий и междоузлийI= a =–=коэффиJ s ,f s ,f циенты диффузии вакансий и междоузлийI= g == –=коэффициентыI= s ,f описывающие уход вакансий и междоузлий на стокиI=k=–=коэффициJ ент рекомбинации дефектовK= Решая уравнения непрерывностиI= можно рассчитать временJ ное и пространственное распределение дефектов в кристаллеK= Записанная система уравнений является приближеннойK= При= ее составлении использованы следующие приближенияW== - растворы дефектов являются слабымиI =т.еK =дефекты не взаимоJ действуютX= - флуктуации не учитываются=–=приближение среднего значенияX= - неоднородное распределение стоков и источников дефектов и= их конкретная структура не рассматриваетсяI =не учтена также возJ можность насыщения стоковX= - диффузионное приближение=Eпренебрежение неоднородностями= на расстоянияхI=меньших диффузионной длиныFX= - не учитываются напряженияI=создаваемые дефектамиK= Часть этих приближений можно учестьI= рассматривая взаиJ модействие дефектовK== =

1.P. Дефекты упорядочивающихся сплавов = В упорядочивающихся сплавах появляется новый тип= дефектов= –= антисайтK= В кристалле упорядочивающегося сплава из= двух сортов атомов= Am_n существуют две подрешеткиI= заселенные= соответственно атомами А и ВK= = С ростом температуры атомы= другого сорта появляются не на своей подрешеткеK =Их предельная= концентрация может быть достаточно большой= –= порядка долей= единицыK= Упорядочивающийся сплав= –= двухкомпонентный кристаллI= обладающий следующими свойствами равновесного состоянияW= J=при температуреI=равной нулюI=бинарная структура состоит= из двух подрешетокI= на каждой из которой свой тип атомовI= следовательноI=в системе реализуется полное упорядочениеX= J= при высоких температурах наблюдается полный беспоряJ докI=т.еK=атомы распределены хаотическиX=

P8= =

J=остатки порядка сохраняются в промежуточном состоянииK= В промежуточном состоянии только часть подрешетки заселена= своими атомамиK= “Чужие≤= атомы= –= антисайты создают ячеистый= беспорядок=EрисKNKOQFK= =

= РисKNKOQK=Частично разупорядоченная структура=kbPpnK=Схематично= показаны узлы=EстрелкаFI=для которых атомы=pn=«=kb=поменялись= местами= = Переход порядок= –= беспорядок наблюдаетсяI=если выполнено= следующее соотношениеW= qc » w = Os AB - s AA - s BB < qпл K= В= сплавах со структурой АJNRI=напримерI= w ³ qпл K= Экспериментально переход можно наблюдатьI= напримерI= по= сверхструктурным рентгеновским линиямK=О степени порядка можно= также судить по теплоемкости кристаллаK=Скачок теплоемкости при= переходеI=по сутиI=есть вклад антисайтов в теплоемкостьK= Разупорядочение кристалла происходит неравномерноI= по= кристаллу проходит волна переупорядоченияK= Отметим следующий= фактW= чем больше разупорядочен кристалл= –= тем легче происходит= его дальнейшее разупорядочениеI= и наоборотI= чем больше степень= порядка в кристалле= – =тем труднее этот порядок разрушитьI =т.еK = переход порядок-беспорядок= –= кооперативное явлениеK= Для= иллюстрации этого утверждения рассмотрим следующий процессI= представленный на рисK=NKORK=В полностью упорядоченном кристалле= каждый атом А окружен атомами В и наоборотI =т.еK =все связи=

PV= =

наиболее выгодного типа АВK =На первом шаге заменим атом А= (светлыйF=на атом В= EтемныйFI== при этом разрушили=z связей АВI=а= появились менее выгодные связи ВВ= EрисKNKORIаFI= Если создать= второй дефект замещения рядом=–=заменить атом В=EтемныйF=на атом= А= EсветлыйFI= то при этом нужно разрушить меньшее количество= межатомных связей типа АВK=Затрачиваемая при этом энергия равна= Ez= –= NFsABK Таким образомI= разрушить идеальный порядок труднееI= чем неидеальныйK=

= а= = = = = б= РисKNKORK= Схематичное представление появления в решетке= первого==EаF=и второго=EбF=антисайтовK= Положения антисайтов указаJ ны стрелками= = 1.P.1. Метрика дальнего порядка в упорядочивающихся сплавах = Рассмотрим сплав=An_mI=в котором есть две подрешеткиW=αI=βK= Пусть= kAI= kB= – =полное количество атомов сорта= A =и= _I =kAHkBZk= –= полное число атомов в сплавеK =Далее пусть= iaI= ib= –= число узлов= подрешеток первого и второго типаI= ia + ib = i = –= общее число= узлов кристаллаK== При неполном упорядочении атомы распределяются по= подрешеткамK= Введем величины= k Aa I= k Bb I= k Ba I= k Ab = –= количество атомов сортов=A=и=_=на подрешеткахK= При этом общее количество атомов сорта= A= –= k A = k Aa + k Ab I =атомов сорта= _ =– = k B = k Bb + k Ba K= Будем=

QM= =

предполагатьI=что вакансий нетK=ОтметимI=что=kA совпадает с числом= узлов= ia подрешетки α в случае выполнения стехиометрического= соотношения и при отсутствии вакансий= k s a = M K=Аналогично для= kBK=Введем относительные доли атомов= g A =

n m+n

I=== g

B =

m m+n

K=

В случае выполнения стехиометрического соотношения и= при отсутствии вакансий относительное число атомов совпадает с= относительным числом узлов подрешеток= g A = g a I= g B = g b K= Тогда для концентраций можем записатьW= C Aa

здесь=

=

k Aa

ga i

I== C Ab =

g a i I= g b i =

k Ab

gbi

I== C Bb =

k Bb

gb i

I== C Ba =

k Ba

ga i

I========ENKSF=

– =полное число узлов подрешетки α и β=

соответственноK= Если в кристалле реализуется полное упорядочениеI =то все= атомы располагаются на своих местахW= Ù

C Aa

Ù

Ù

Ù

= C Bb = N========= , C Ab = C Ba = M. =========================ENKTF=

В случае полного разупорядочения= Eхаотического= заполненияF= имеем для стехиометрического сплава в отсутствие= вакансийW= Ú

С Aa = Ú

С Bb =

Ú k A × ga k ×g k ×g m = g a I=======С Ba = B a = B a = g a × = ia ia kA n

k B × gb ib

Ú

= g b I=======С Ab =

k A × gb ib

=

k A × gb kB

= gb ×

n = m

(m= n)

( m =n )

= ga ,

======ENK8F=

= gb ,

т.еK= для случая= mZn= заселенность атомами АI= В пропорциональна= концентрации узлов соответствующего типаK= Поскольку в данном приближении вакансии отсутствуют= ks = M I= то уход атома сорта= A =на чужую подрешетку= b должен= сопровождаться переходом атома сорта= _= на подрешетку= a= (рисKNKOSFK= Других альтернатив нетK= Из этого следуетI= что= абсолютное число дефектов замещения на подрешетках должно быть= равным= k Ab = k Ba K=

QN= =

Аa Вb Аb

Вa

= РисK= NKOSK= = Схематическое изображение образования антисайтов на= двух подрешетках в отсутствие вакансий= = Параметр дальнего порядка для атомов сорта А можно ввести= следующим образомW== RA =

C -g - C Amin a = Aa a I===========================ENKVF= m~x min C Aa - C Aa N - ga C Aa

min

m~x

–=максимальная концентрация атомов=AI=а= C Aa –=минимальная= концентрация атомов=A=на подрешетке=αK= Аналогично можно ввести= параметр порядка для атомов сорта= _K= ОтметимI= что в отсутствие= вакансий и при стехиометрии для сплавов= R A º RB º R K= В любом случаеI= параметр дальнего порядка однозначно= определяется из набора чисел= kAaI= kBbI= kBaI= kAb т.еK =это как бы= суммарная картинка по подрешеткамK= НапримерI= с точки зрения= данного выше определения дальнего порядкаI= нет различий между= двумя конфигурациямиI= представленными для одномерных= подрешеток на рисK=NKOTI=поскольку числа=kAaI=kBbI=kBaI=kA одни и те= жеW= = C Aa

QO= =

= = РисK= NKOTK= Для верхней и нижней конфигурации параметр= дальнего порядка= R имеет одно и==то же значение= = Скалярная детерминированная величина= o содержит очень= небольшую информацию о конфигурациях пар атомовI= поэтому= нужно для расчета конфигурационной потенциальной энергии= использовать другой подходK= ЗаметимI= что установление дальнего порядка в кристалле= происходит посредством диффузииK= Поэтому при малых= температурах этот процесс резко тормозитсяK= = 1.P.O. Метрика ближнего порядка в упорядочивающихся сплавах. Связь дальнего порядка и среднего значения ближнего порядка в упорядочивающихся сплавах Более детальный подход=–=подсчет числа конфигурацийI=возJ можных в данной структуре и при данной заселенности подрешетокI= т.еK= заданном значении дальнего параметра порядкаK= Рассмотрим= упрощенный подходI= не рассматривая геометрию конфигурацииI= а= пересчитывая только число пар атомов разного сортаK= Назовем=nAB=–=числом правильных пар атомовI=т.еK=парI=в коJ торых атом А находится на подрешетке αI=атом=_=–==на подрешетке= βK= nBA= – =числом неправильных парI =т.еK =атом А= – =на подрешетке βI = атом=_=–=на подрешетке αK=

QP= =

Доля смешанных пар типа=A_=E_AF=есть= q = (nAB + nBA ) / n I=где= n=–=полное число парW=n=Z=nAB=H=nBA=H=nBB=H=nAA=Z= k × zN / O K=Число= ближайших соседей= zN в первой координационной сфере будем= предполагать одинаковым для подрешеток структуры= Eв частностиI= для=b-латуниI=но не для=ANRFK= Введем параметр ближнего порядка как= = s = q - qmin I=================================ENKNMF= qm~x - qmin

здесь=qmin=–=минимальное количество пар типа=A_=E_AFI=qm~x=–=макJ симальное количество парK= В случае полного порядка имеемW=qZqm~xI= s ZNK=Все конфигуJ рации одинаковые= –= флуктуаций нетK= При полном беспорядкеW= qZqminI= s =ZMI=но флуктуации должны быть большимиI=поскольку при= беспорядке встречаются различные конфигурации окруженияK= В случае стехиометрического сплава типа АВ=ERMWRMF=в отсутJ ствие вакансий имеем= qm~xZNI= qminZNLO =и для этого варианта имеем= s = Oq - N K= Как отмечалосьI= заданному набору чисел= kAaI= kBbI= kBaI= kAb= соответствует одно значение дальнего порядкаK=Однако этому набору= чисел заполнения соответствует множество различных= конфигураций пар=nAB=I=nBA=I=nBB= I=nAAK= Параметр порядка=o может= быть функцией только среднего значения параметра= s K= Усреднение= должно проводиться по функции распределения вероятности= обнаружения различных конфигурацийI= которая определяется как= структурой подрешетокI= их заселенностью атомамиI= так и= взаимодействием последнихI= т.еK= связь= = весьма сложная= (упрощенный пример показан на рисKNKO8FK= Для упрощения представим среднюю вероятность нахождеJ ния правильной пары= EАВF= в приближении независимости= концентраций атомов на различных подрешеткахW==

n AB

/ n = C Aa C Bb ====== I nBA / n = C AbC Ba K=======ENKNNF=

=

QQ= =

=

=

РисK=NKO8K=Возможные конфигурации ближайших соседей для= плоской квадратной решетки сплава АВ= Eпоказаны конфигурации с= изменением числа атомов сорта В=–=светлые кружкиF= Концентрации собственных атомов можно выразить через= параметр дальнего порядка=EзаметимI=что= g B = N - g A FW=

С Aa

= g B R + g A I=== С Bb = g A R + g B I=================ENKNOF=

Концентрации дефектов замещения определяются через= o= и= условия сохранения числа атомов данного сорта и числа узлов= подрешеток в условиях стехиометрии и отсутствия вакансийW= g k - k Aa g A g a C Ab = A = - C Aa = A (N - g A - g B R ) = g A (N - R ) K==ENKNPF= gbi gb gb gB

Аналогично= –= C Ba = g B (N - R ) K= Отсюда средняя= доля= смешанных парW== n + nBA q = AB = C Aa × C Bb + C Ba × C Ab = ===================ENKNQF= n = O g A g B + ( g A - g B ) R + Og A g B R O . O

QR= =

Поскольку для сплава= A_= ERMWRMF=

g A = gB

получаем=

O s = Oq - N = R (рисKNKOVFK= R, < s > N

T

= РисKNK= OVK= Схематическое изображение температурной завиJ симости дальнего=Eсплошная линияF=и ближнего=Eпунктирная линияF= параметров порядка= = ИтакI= усреднение проводится по всем конфигурациямI= допуJ стимым при данном значении=oK= Таким образомI=как и предполагалиI=оказалосьI=что параметр= дальнего порядка связан со средним значением параметра ближнего= порядкаK= = 1.P.P. Температурная зависимость концентрации равновесных дефектов замещения в упорядочивающихся сплавах ДопустимI= известен способI= которым можно получить= статистическую сумму по ансамблю различных состояний= кристаллаI= имеющих одинаковые значения параметра дальнего= порядка= oI= но отличающихся значением параметра ближнего= порядкаK= Статистическая сумма равна=

æ = Z ( R ) = å exp ç n ,k ç è

{tk + bn } ö÷ I============================ENKNRF= k

kq

QS= =

÷ ø

гдеW= n==–=индекс различных мод колебаний для данной конфигурацииI= k= –= индекс состоянийI= отвечающий различным конфигурациям= кристалла для данного значения дальнего порядкаI= tk= –= конфигурационная энергия кристалла= Eпотенциальная энергия= данной конфигурацииFI= bnk –=колебательная энергия кристалла для моды= n==и конфигурации= kK= Зная статистическую сумму= Z ( R) I=можно получить величину= свободной

энергии=

( )

c R º - kq × ln Z

K=

Равновесие

системы=

достигается при минимуме свободной энергии= c ( R ) K =Отсюда из= условия=

¶c ¶R

=M

можно найти равновесные значения дальнего=

порядка= oG и получить равновесную концентрацию антисайтов= * C a ( q ) K= Выражение для статистической суммы можно переписать в= виде==

( ) å

Z R =

n ,k

k Zn

e

t -= k kq

=

,

k Zn

ºe

-

bnk kq

I====================ENKNSF=

Для вычисления последнего выражения необходимо знание= k

Z n I= для вычисления которой необходим анализ спектра колебаний= данной конфигурации структурыI= поскольку в общем случае спектр= k

меняется при изменении конфигурацииK=Если предположитьI=что= Z n = k

слабо зависит от конфигурации=kI=то формально можно= Z n вынести= за знак суммы по=kK== Это утверждение находит экспериментальное= подтверждениеI= напримерI= для= b-латуни в интервале температур= Т»RRM¸TRMК упорядочение резко меняетсяI= но колебательная часть= теплоемкости меняется слабоI= т.еK= конфигурационной составляющейK=

QT= =

k

Z n ≈ Z n I= в

отличие от=

Для конфигурационной части статистической суммы можно= записать==

Zk ( o ) =

åe

-

tk kq

K==============================ENKNTF=

k

Для конфигурационного слагаемого свободной энергии= соответственно получаем= ck ( o ) = - kq ln Z C K= Вновь рассмотрим систему в приближении парного= взаимодействияK= Причем предположимI= что взаимодействие между= атомами сорта= A =равное= EJsAAF= I =между атомами сорта= _ =– =EJsBBFI= между атомами разных сортов=–=EJsABFK===Чтобы соединение было бы= упорядочивающимсяI= необходимо выполнение соотношенияW= sAB= [= sAAI=sBBK= Пусть= nABI= nBAI= nBBI= nAA= = –= количество различных= взаимодействующих пар атомовK= Тогда в приближении парного= взаимодействияW= tk = -s AA n AA - s BB n BB - s AB ( n AB + n BA ) K=====ENKN8F=== Доля смешанных пар типа= A_= E_AF= есть= q = (n AB + nBA ) / n I= где= n= – =полное число парK =ИмеемW =nABHnBAZqnK =Число пар для= атомов одинакового типа=nAAHnBBZEN–qFnK== Рассмотрим сплав= A_= EmZnF= в приближении= sAA= Z= sBBI т.еK= для двух симметричных подрешетокK= Пусть= sAB= [= sAA= Z= sBBK= Для= конфигурационной энергии получимW==

tk = -

n O

( s AA + sBB ) -

n M º - O s AA

ОбозначимW t

(

+ sBB ) I w º

N O

qn O

( Os AB - sAA - sBB ) K===ENKNVF=

( Os AB - s AA - sBB ) K=

ОчевидноI=

что= to= – =средняя энергия чистых кристаллов= A =и= _I =w= –= энергия= упорядоченияK== Обозначим= t –= энергиюI= усредненную по микросостояниям при данном значении дальнего порядкаW=

Q8= =

всем=

åt p (k ) I= t = p k ( ) å k

k

k

где=pEkF=–=вероятность существования конфигурации=kK= Для того чтобы можно было реально рассчитать== конфигурационную энергиюI=необходимо ввести упрощающую= модельK=В качестве первого шага учтемI=что для сплава=A_=средняя= O

доля смешанных пар= q = (N + R ) / O I=получаем для средней= конфигурационной энергииW= t = tM -

qn O

w = tM -

nw æ N + R O

ç è

O

O

O ö nwR I===ENKOMF= ( ) = t M ÷ Q ø

где= t ( M ) = tM - nw = - n ( s AA + Os AB + sBB ) = –= энергия кристалла при= Q

Q

полном беспорядкеK= Пусть вероятность найти возможные при данном значении=o= конфигурации одна и та жеK= Тогда средняя конфигурационная= энергия равна= t =

N

t ( )å

g R

k

I= где= g ( R ) = –= число возможных=

k

конфигураций для данного значения дальнего порядкаK= В качестве= g ( o ) нужно взять число способов размещения= kAa атомов сорта А по подрешетке= aI= kBa атомов сорта= _ =по= подрешетке= aI= kAb атомов сорта А по подрешетке= b и= kBb атомов= сорта=_=по подрешетке=bW= ækö ækö ç ÷> ç ÷> Oø è èOø K=============ENKONF= g (o) = k > k > ( Aa ) ( Ba ) ( k Ab )>( k Bb )>

В сплаве АВW= k Aa = k Bb = k (N + o ) I= k Ab = k Ba = k (N - o ) K= Q

Q

Таким образомI=

g ( o) =

éæ k ö ù êçè O ÷ø >ú ë û éé k ùù ê ê Q (N + o )ú >ú ûû ëë

O

O

éé k ùù ê ê Q (N - o ) ú >ú ûû ëë

QV= =

I=или= O

( )

ln g R @

k

[O ln O - (N + R) ln(N + R) - (N - R) ln(N - R)] K=

O

ДалееI=разложим= e

æ è

exp ç -

t -= k kq

tk kq

в ряд относительно среднего значения= t W=

æ tö é N ö ÷ = exp ç - kq ÷ × êN - kq ø è ø ë

(t

k

ù - t + ... I=========ENKOOF=

)

úû

подставляя разложение в конфигурационную статистическую суммуI= получим= ZC = e

-

cc kq

= åe

-

tk kq

=e

-

t kq

k

-t = e kq × g R ×

¥

¥

æ N ö åå ç- ÷ k j =M è kq ø

( ) å × æç - ö÷ j ! è kq ø N

N

N

å (t g E oF

(t

k

-t

)

j

j!

=

=

j

j =M

Здесь= j j º

j

×jj,

- t ) =–=момент=j-го порядкаK=Ограничиваясь= j

k

k

приближением среднего поля= Eили приближением БрэггаJ ВильямсонаI =что для кристаллов то же самоеFI =т.еK =оставляя= единственное слагаемое с=j=Z=M=EjM=Z=NF=в разложенииI=получаем==

ZC »

åe

-

t kq

( )

=g R e

-

t kq

K=============ENKOPF=

k

Тогда конфигурационная свободная энергия запишется в видеW== cC = - kq ln g ( R ) + t = или окончательноW= cC = -

kqk

()

+t M -

O

[O ln O - (N + R) × ln(N + R) - (N - R) × ln(N - R)] +

Zk 8

wR

O

.

RM= =

=

¶cC

= M получаем трансцендентное уравнение= = ¶R для равновесной величины параметра дальнего порядка=oGW= N + R * Zw R * ln = K=================ENKOQF= N- R * Ok q РешениеI= которое легко получитьI= если представить его в качестве= обратной функции=TEoGFW=

ДалееI= из условия=

q ( R*) =

Zw

R*

Ok

N+ R *

ln

K=================ENKORF=

N- R *

Для сплава=Am_n в тех же приближениях можно получить= æ b + a × R * ö ( m + n × R * ) × ( n + m × R * ) ===ENKOSF= . exp ç ÷= O kq è ø m × n × (N - R * ) При получении этого уравнения был использован ряд= приближенийI= но в некоторых случаях их точности вполне= достаточноK= Зная величину параметра дальнего порядкаI= можно найти= равновесное значение концентрации антисайтов==EрисKNKPMFW== N * * = C~ ( q ) = N - o ( q ) K===================ENKOTF= O = = = R* , Сa * N = РисK=NKPMK=ТемпературJ ная зависимость конценJ трации антисайтов в= M.5 упорядочивающемся= сплаве АВ= = = Сa* = T = =

(

RN= =

)

1.P.4. Температурная зависимость концентрация равновесных вакансий в упорядочивающихся сплавах Представленное решение для равновесной концентрации= антисайтов может рассматриваться как первое приближение по= неравенству Са=[[=CvK= Антисайт в сплаве может образоваться различными= способамиK= НапримерI= атомыI= расположенные на соседних= подрешеткахI= обменяются местамиK= Такой процесс требует= координированного движения двух атомовI=поэтому вероятность его= невеликаK= Однако при наличии вакансии атом может прыгнуть на= чужую подрешеткуI=просто заняв ее местоK=СледовательноI=вакансия= –= катализатор кинетических процессовK= Вопрос концентрации= вакансий в упорядочивающихся сплавах важен именно для кинетики= процессов упорядоченияK= Рассмотрим упорядочивающийся сплав АВ=ERMWRMFK=Пусть=kAI= kB=–=количество атомов сорта=A=и=_I=kAHkBZk=–=полное число атомов= в сплавеK= Далее пусть= iaI= ib= –= число узлов подрешеток первого и= второго типаI= ia + ib = i = –= общее число узлов кристаллаK= Необходимо отметитьI=чтоI=поскольку не все узлы сплава заполненыI= то= k A ¹ ia I= k B ¹ ib K= Вновь введем величины= kAαI= kBβI= kAβI= kBα= –= количество= атомов сортов=A=и=_=на соответствующих подрешеткахK=Количество= атомов разных сортов в кристалле сохраняетсяI= поэтому=kAαHkAβZkA= и= kBαHkBβZkBK= Пусть также= ksαI= ksβ= –= число вакансий на= подрешеткахI= ksαHksβZks= –= полное количество вакансийK= Тогда= полное количество узлов кристалла можно представить в виде= iZkAHkBHksI= количество узлов первой подрешетки=iαZkAαHkBαHksαI= второй=–=iβZkAβHkBβHksβK= В случае отсутствия вакансий в кристалле для числа атомов= сорта=A=и=_=выполнялось бы соотношение=kAZkBZ k I=и поскольку в= O

этом случаеI= рождение дефектов возможно только за счет обмена= двух атомов местамиI= то= kAβZkBαK= Кроме того количество= “своих≤= атомов на подрешетках также одинаково=kAα=Z=kBβK=

RO= =

Рассмотрим теперь кристалл с вакансиямиK= Введем= следующую упрощающую модельW= пусть вновь антисайты= рождаются только за счет двойного обмена атомамиK= Поскольку= состояние равновесия не зависит от тогоI =каким способом в него= пришлиI= то рассмотрим переход в равновесное состояниеI= разделенный на два этапаK= NK Стартуем с полностью упорядоченной конфигурацииK=Введем= в кристалл равновесное число вакансийI= не меняя распределения= атомов по подрешеткамK= При этом количество вакансий на= подрешетках α и β будет равно=ksαI=ksβ соответственноK= OK За счет обмена местами атомов добавим в систему антисайтыK= При этом в соответствии с нашей моделью получим равновесное= состояние кристаллаK= ОтметимI=что в силу тогоI=что количества=“своих≤=и=“чужих≤= атомов на обеих подрешетках совпадаютI= kAαZkBβ= = и= kAβZkBαK= И= поскольку мы имеем дело со сплавом= A_I= т.еK= iαZiβI =то из= соотношений== N=

N=

k Aa ia k Ab ib

+

+

k Ba ia k Bb ib

+

+

ksa ia ksb

=

ib

получаем=ksαZksβK= Параметр дальнего порядка можно ввести и при наличии= вакансийW= k i i R A = ( Aa - a ) / (N - a ) K===================================ENKO8F= ia i i Аналогично можно записать и выражение для= oBK= Ввоспользовавшись предложенной модельюI= можно показатьI= что= упорядоченность рассматриваемой системы может= характеризоваться единым параметром порядка= R A = RB º R K= Рассчитаем свободную энергию кристалла с вакансиями и= антисайтамиK=Вновь будем считатьI=что колебательные возбуждения= слабо зависят от конфигурацииK= Усредним энергию кристалла по= состояниям с разными конфигурациямиI= но обладающими одним и=

RP= =

тем же значением параметра дальнего порядка=oK=Общее число таких= конфигураций может быть рассчитано следующим образомW=

( )

g R =

( ib ) ! ( ia )! K========ENKOVF= ( k Aa ) !( k Ba )! ( ks a ) ! ( k Ab )! ( k Bb )! ( ks b ) !

Для расчета средней конфигурационной энергии вновь= воспользуемся предположением о равновероятности различных= конфигурацийW=

( )

t R =

N

( )

å tk I=

g R k

где сумма взята по всем конфигурациямI= обладающим одинаковым= oK=Ограничиваясь приближением Брэгга-ВильямсонаI=запишем== e

-

tk kq

=e

-

t kq

æ N ö åj çè - kq ÷ø

j

(tk - t ) j!

j

»e

-

t kq

K=

Таким образомI= свободная конфигурационная энергия= упорядочивающегося сплава с вакансиями может быть представлена= в видеW= cC = - kq ln Z C » - kq ln g ( R ) + t ( R ) K= В равновесии имеемW= ¶cC ¶R

= M X=====

¶cC ¶k s a

= M X=====

¶cC ¶k s b

= M K=

Будем считатьI= что концентрация вакансий достаточно малаI= чтобы= не влиять на зависимость= R ( q ) K=В равновесии получимW=

ì ¶ ln g ( R ) N = ï kq ï ¶k s a í ï ¶ ln g ( R ) = N ï ¶k s b kq î

RQ= =

( )

¶t R ¶k s a

( )

¶t R ¶k s b

K=

(

)

(

)

УчитываяI=что= ln g ( R ) » i a ln i a - N - k s a ln k s a - N + L I= iαZkAαHkBαHkVαI=а производные= - ln - ln

¶ ¶x

{x [ln x - N]} = ln x получимW=

ks a N ¶t ( o ) = ia kq ¶ks a ks b ib

N ¶t ( o ) = kq ¶ks b

K=

Для средней конфигурационной энергии можно записатьW== t = -sAAnAA - sBB nBB - sAB nAB + nBA K=

(

Производные= величин=

¶n AA

¶t ¶k s a

I=

выражаются

¶nBB

I=

¶n AB

I=

через

)

производные

четырех=

¶nBA

K=ЗдесьI=как и раньшеI=nAA=–= ¶k s a ¶k s a ¶k s a ¶k s a число пар А=–=АK= ДопустимI= что двухточечную вероятность можно составить= из произвольных одночастичных вероятностейK= Вероятность= k обнаружить атом типа А на подрешетке= α= ~= Aa K= В отсутствие= ia корреляции заселенность соседнего узла решетки не зависит от тогоI= что происходит на рассматриваемом узлеK= Таким образомI= вероятность тогоI= что родившаяся в случайном узле вакансия= разорвет пару А–АI=равнаW== m ( AA) = Z N × C Aa × C Ab = Z N

k Aa k Ab ia

ib

K=

ПредположимI= что после образования вакансии вынутый= атом поместили на поверхностьI= тогда он восстановит половину= разорванных связей А=–=АK=СледовательноI=производная==

RR= =

¶n AA ¶k s a

=-

Z k Aa k Ab O ia

ib

K=

Тогда для производной средней конфигурационной энергии= получаемW=

Z és AA k Aa k Ab + sBB k Bb k Ba + ù K= ¶t = ê ú ¶k s a O ia ib ê +s AB ( k Aa k Bb + k Ab k Ba ) ú ë û Запишем выражения для количества атомов разных типов= для сплава АВ в приближении отсутствия вакансийW= k Aa = k Bb » k Ba = k Ab »

ИтакI=получимW==

- ln Cs a

=

Z 8kq

(

i Q i Q

(N + R ) (N - R )

)

K=

és AA N - RO + sBB (N - R O ) + ù ê ú I= O O ú ê êë +s AB (N + R ) + (N - R ) úû

(

)

тогда в результате для концентраций вакансий можно записать==

Cs a = C s b = e M

z

(

é M Z wRO ù ê bs + ú 8 ûú ê -ë kq

I=====================ENKPMF=

)

s AA + sBB + Os AB I= w = Os AB - s AA - sBB K= 8 НапомнимI= что для чистого монокомпонентного вещества= реализуется арениусовская зависимость концентрации вакансий от= температуры==

где= b v =

-

bsf kq

Cs = e K= Для упорядоченного состояния бинарного сплава вид= зависимости концентрации дефектов тот жеI= ноI= поскольку=

RS= =

показатель экспоненты теперь более сложным образом зависит от= температурыI= график температурной зависимости концентрации= вакансий отличается от аналогичного графика для чистого вещества= (рисKNKPNJNKPOFK=

= РисK= NKPNK= Качественный вид температурной зависимости= параметра дальнего порядка и концентрации антисайтов= EслеваF= и= эффективной энергии образования вакансий=EсправаF= =

= РисK= NKPOK= Качественный вид температурной зависимости= концентрации вакансий в упорядочивающихся сплавах= = Так как в выражение для энергии формирования вакансии= входит параметр порядка= oI= что реально приводит к увеличению=

RT= =

величины этой энергииI=можно подтвердить сделанный ранее вывод= о томI=что более упорядоченное состояние более==устойчивоK= АналогичноI= энергия миграции в упорядоченном состоянии= имеет большее значениеI=чем в разупорядоченном=EрисKNKPPFK==

= РисK=NKPPK=Качественный вид температурной зависимости коJ эффициента диффузии в упорядочивающихся сплавах= =

1.4. Вопросы для самопроверки к разделу 1 NK Дайте определение дефекта кристаллаK= OK Назовите основные виды дефектов кристаллических систем и= их классификацийK= PK Что такое структура==кристаллического твердого тела?= QK Что такое морфология твердого тела?= RK Соотнесите каждый из следующих дефектов с классификациJ ей по размерности= Eточечные дефектыI= линейные дефектыI= плоские= дефектыFW= J=междоузельные атомыX= J=вакансииX= J=примесные атомыX= J=междоузельная гантельX= J=вакансионная пустая пораI= J==пораI=заполненная газомX= J=граница кристаллаX= J=граница зернаX=

R8= =

J=граница двойникаX= J=дислокация==краеваяX= J=дислокация винтоваяX= J=дислокационная петляK= SK Может ли система междоузельных дефектов не порождать= = искажения решетки кристаллического твердого тела?= TK Дайте определение и укажите порядок феноменологических= параметровI=характеризующих==дилатационный точечный дефектK= 8K В моноатомном кристаллическом твердом теле может ли= быть несколько типов междоузельных дефектов из собственных= атомовI=вакансий?= VK Приведите примеры классификации сплавов= Eтвердых расJ творовFK= NMK Дайте определение и приведите примеры сплава замещенияK= NNK Дайте определение и приведите примеры сплава внедренияK= NOK Дайте определение и приведите примеры сплава вычитанияK= NPK С понижением температуры концентрация равновесных деJ фектов должна понижатьсяI=в то же время на практике их оказываетJ ся существенно большеK=В чем причина?== NQK В чем различие заселенности узлов при высоких и низких= температурах?= NRK Представьте качественный график концентрации равновесJ ных дефектов и времени их жизни от температурыK=Какие величины= определяют эти зависимости?= NSK Представьте качественный график концентрации равновесJ ных дефектов и времени их жизни от температуры при наличии= структурных вакансийK= Какие величины определяют эти зависимоJ сти?=При каких условиях создаются структурные вакансии?= NTK Какие термоактивируемые процессы рождения дефектов суJ ществуют в кристаллах?= N8K В каких процессах создаются неравновесные точечные деJ фекты?= NVK В каких процессах уничтожаются неравновесные точечные= дефекты?= OMK Как влияет давление на концентрацию вакансий в кристалле?= При каких давлениях это влияние существенно?= ONK Приведите определение упорядоченного сплава и покажите= на примереI=в чем различие сплава и раствора?=

RV= =

OOK Что такое антифазные домены в упорядочивающихся сплаJ вах?=Приведите примеры?= OPK Дайте определение дефектов=–=антисайтовK= OQK Какой физический смысл имеет величина=wZOsA_=–=sAAJ=s__= для двойных сплавов?==Рассмотреть=w=YMI=w[MK= ORK Для двухкомпонентного сплава замещения нарисовать качеJ ственную зависимость энергии образования вакансий от составаK= OSK Как экспериментально наблюдать фазовый переход порядокJ беспорядок в упорядочивающихся сплавах?= OTK Нарисуйте качественный вид температурной зависимости= параметра дальнего порядка для упорядочивающегося сплава=A_K= O8K Нарисуйте качественный вид температурной зависимости= параметра дальнего порядка для упорядочивающегося сплава=An_mK= OVK Сколько решений можно найти для одного значения темпераJ туры для дальнего порядка?= PMK Какой физический смысл отрицательных значений параметра= порядка?= PNK Нарисуйте качественную зависимость дальнего и среднего= значения ближнего порядкаK= POK Дайте определение ближнего порядкаK= PPK По какому ансамблю происходит усреднение для ближнего= порядка?= PQK Нарисуйте качественную зависимость концентрации анJ тисайтов от температурыK= PRK Какие приближения используются при определении параметJ ра дальнего порядка?= PSK Какой физический смысл параметра дальнего порядка для= сплава?= PTK Нарисуйте качественную зависимость концентрации ваканJ сий от температуры в упорядочивающемся сплаве АВK= P8K Какое соотношение между потенциалами взаимодействия= атомов должно выполняться в приближении парного взаимодействия= для тогоI=чтобы сплав был упорядоченным?= PVK Физический смысл приближения среднего поля и его испольJ зование при выводе выражения для статистической суммы?= QMK Назовите основные предпосылки при выводе выражения для= концентрации равновесных вакансий в упорядоченном сплаве АВK=

SM= =

РАЗДЕЛ O ОПИСАНИЕ ДЕФЕКТОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ В РАМКАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ = Рассматриваются задачиI= в которых концентрация дефектов= считается малойI= т.еK= можно предполагатьI= что дефекты образуют в= матрице слабый раствор и их взаимодействие малоK= Для ряда задач= удобно воспользоваться моделью сплошной среды и пренебречь= деталями кристаллического строения изучаемого твердого телаK= В= этом случае решение можно искать в рамках теории упругостиK = Теория упругости не является полным эквивалентом= = задач= математической физикиK=Она строится для малых смещений среды и= является линейным приближением уравнения состояния среды по= этим смещениямK= Вследствие этогоI= в частностиI= возможна= постановка граничных условий на невозмущенных границах образца= для ряда задачK= =

O.1. Основные положения механики сплошной среды = O.1.1. Определения При континуальном описании кристалла исходным понятием= служат векторы абсолютных смещенийI= определяемых в каждой= r r r точке среды= r ( x , y , z ) в некоторый момент времени=tW= r r , t .= При=

( )

этом= rk= –= координаты координатным осямK=

смещений

по

соответствующим=

При деформации координата==точки среды=xM перемещается в= координату==

æ

Dx

è

xM

x = xM ç N +

ö ÷ = x M (N + e xx ) I======================EOKNF= ø

где= Dx / x M º e xx есть относительная линейная деформация средыK==

SN= =

При деформации малый элемент среды объемом= s M = x M yM z M = в линейном приближении преобразуется в объем== s = s M + D s = ( x M + D x ) × ( y M + Dy ) × ( z M + D z ) = I=EOKOF= = x M yM z M (N + e xx ) N + e yy (N + e zz ) » sM éN + e xx + e yy + e zz ù

(

)

ë

(

)û

где================= q = e ll = e xx + e yy + e zz

= ======================== =–= локальная объемная относительная деформация= EдилатацияFK= СледовательноI== = Ds º s M × q =K=========================EOKPF Определение: Основной геометрической характеристикой= деформированного состояния среды является симметричный тензор= æ O è ¶x k

ö ¶xi ø

относительной деформации= e ik = N ç ¶r i + ¶r k ÷ K== Этот тензор имеет шесть различных компонентовI= которыеI= из-за тогоI= что среда сплошнаяI= зависимы между собойK= Условие= связности среды может быть записано как условие Сен-ВенанаW= eilm × ekpn × Ñ l × Ñ p e mn = M I= где= e kpn =J=единичный тензорK= ОчевидноI= что= pp e ik º e rr º q K= СледовательноI= изменение= всего объема кристалла составляет величину== Dscrii

= å Ds = ò ppe ik ds K================EOKQF=

ОпределениеW= Пусть в среде задана система координат= = (рисKOKNFK== Пусть= ci = –= силаI= приложенная в точке АI= принадлежащей= единичной площадкеI== ориентированной в соответствии с нормалью= r n M I=которая и задает ориентацию площадкиK=Тензор напряжений= s ik = связывает ориентацию площадки с компонентами силы=

ci = sik nkM K= Распределение напряжений в бесконечно малом= элементе объема показано на рисKOKOK=

SO= =

В случае если твердое тело подвержено гидростатическому= давлениюI= напряжения равны= s ik = - pM d ik K= Поэтому величину= гидростатического давления можно определить как=

p= -N / P ×sll K= ( d ii = P ) K= M r i

r k A

uur nM r j

ur c

=

= РисK= OKN= = Единичная площадкаI= = ориентированная в=

соответствии с нормалью=

r n M I= c i = – =силаI =приложенная в точке= А=

площадки= = В любом тензоре напряжений можно выделить его гидростаJ тическую частьW= N / Psll d ik K= Тогда оставшийся тензор есть тензорJ N девиатор= s ik¢ = s ik - s ll d ik K= Тензор-девиатор характеризует сдвигоJ P вые напряжения в кристалле=EрисKOKPKFK=

SP= =

z

σPP σ2P

σNP

σP2

σPN σNN

σN2

σ2N

σ22

y x

= РисKOKOK= Распределение напряжений в бесконечно малом элементе= объема=

y

u1 φ1

φ2 M

u2 x

РисK=OKPK=Сдвиговая деформация плоской фигуры= =

SQ= =

=

O.1.O. Закон Гука ОбщепринятоI= что закон Гука связывает малые упругие деJ формации и возникающие напряжения в кристаллеK= В полном= Eно= еще не в обобщенном видеF= закон Гука записывается какW= sik = l ikjl e jl K= Определение: Тензор=

l ikjl называется тензором упругих=

{ }

модулейK=Общее количество компонентов тензора= likjl = PQ = 8N K= Рассмотрим кубический кристаллK= Хотя он не изотропенI= в= нем есть три эквивалентных направленияK= Поэтому количество разJ личных компонентов тензора упругих модулей также равно тремW= = lN = lNNNN = l OOOO = l PPPP , =========================EOKRF= l O = lNNOO = lNNPP = l OOPP ,

d = lNONO = lNPNP = l OPOP = все остальные коэффициенты равны нулюK== В литературе принято пары индексов обозначать одной цифJ ройK=В таблице ниже приведены стандартные обозначенияK= = ТаблKOKNK=Обозначения свертки индексов= NN=

OO=

PP=

OP=

PN=

NO=

PO=

NP=

N=

O=

P=

Q=

R=

S=

T=

8=

= В=изотропной=конденсированной среде между тремя упругиJ ми модулями существует связьW= l N - l O - Od = M K=СледовательноI=

для описания изотропной среды нужно всего два индексаW= l = l O I= dK=Эти индексы также носят название индексов ЛамэK=

SR= =

Выражение для компонент тензора упругих модулей= изоJ тропной= среды можно записать в общем видеW= liklm= ld ik d lm + d Ed il d km + d im d kl F K= Закон Гука для изотропной среды примет видW=

és ik = Ode ik I i ¹ k ==========================EOKSF=== ê ës ii = ==Ph e ii I i = k= I где коэффициент= h = l + O L Pd носит название модуля объемного= сжатияI= коэффициент= d= – =модуль сдвигаK =Ниже приведены соотноJ шения между наиболее часто встречающимися упругими константаJ ми для изотропной средыW= b= n=

d(Pl + Od ) d+l P h - Od O(P h + d )

dºm= l=

=

=

b O(N + n )

Vdh

(

l O(d + l )

)

= Od N + n ;

Ph + d

=

b - Od Od

;

;

nb

(N + n ) (N - On )

=

On d N - On

;=======B º h

==========EOKTF= =

O.1.P. Закон Гука в обобщенном виде NK=Сначала рассмотрим следующие условияW= J=температура постоянная и однородная по образцуX= J=среда изотропнаяX= J=внутренних дефектов в среде нетK= Пусть=c=–=свободная энергия средыK=По определениюI=напряJ жения в среде есть= ¶c sik º K========================================EOK8F= ¶e ik ОказываетсяI= что закон Гука можно получитьI= исходя из обJ щего выражения для свободной энергии=c кристаллаK=Действительно=

SS= =

c==–=величина скалярнаяK=Каким образом можно составить скаляр из= тензора деформации?=При этом надо учестьI=что энергия=–=величина= квадратичная по деформации=ErZ=kxOFK==ОтметимI=что любой тензор= относительной деформации можноI= как и тензор напряженийI= предJ ставить в виде суммы гидростатической и девиантной частейW= N æ ö e ll d ik + ç e ik - dik e ll ÷ K==================EOKVF= P P è ø Разложим добавку к свободной энергииI= обусловленную деJ формациейI=по малым смещениямI=точнее по квадратам гидростатиJ ческой и девиантной частей тензора относительной деформации== e ik =

(

N

)

Dc q , s =

h

O ell

N æ ö + d ç e ik - dik ell ÷ P è ø

O

I= O где коэффициенты=d и=h==–=коэффициенты разложенияK= В дальнейJ шем мы их будем называть=d=–=модулем сдвигаI=h=–=модулем объемJ ного сжатияK= = Рассмотрим приращение свободной энергии= cI= обуJ словленное изменением деформацийW= N N æ ö æ ö dc = h ell de ll + Od ç e ik - e ll dik ÷ d ç e ik - ell dik ÷ K= P P è ø è ø

æ è

Поскольку= ç e ik -

N P

ö ø

e ll dik ÷ ×dik = M I=то==

é N æ öù dc = ê h ell dik + Od ç e ik - ell dik ÷ ú de ik K= P è øû ë Таким образомI=получаем отсюда закон ГукаW==

æ è

sik = h ell dik + Od ç e ik -

ö dik ell ÷ K================EOKNMF= P ø

N

OK=Поскольку для описания реальных кристаллов с дефектами= предполагается использовать теорию упругостиI= то естественным= образом возникает вопросI= как использовать сплошную средуI= не= имеющую никакой атомной структурыI= для описания точечных деJ фектов?=

ST= =

Закон Гука утверждаетI =что если в кристалле возникла деJ формацияI=то возникает и соответствующее ей напряжениеK=Однако= есть случаиI=когда деформация не связана с напряжениемK=Возможны= также ситуацииI= когда в кристалле возникают напряженияI= не свяJ занные с деформациейK= В представленном виде закона Гука не учитывается= возможность возникновения=свободной деформацииI=не приводящей= к появлению напряженияK= Таким примером является свободное= термическое расширениеK== Будем считать недеформированным состояние тела при= отсутствии внешних сил при некоторой температуре= qMK= Если тело= находится при температуре= q ¹ qM I=то даже в отсутствие внешних= сил оно будет деформировано в связи с наличием теплового= расширенияK= Поэтому в разложение свободной энергии= cEqF= будут= входить не только квадратичныеI= но и линейные по тензору= деформации членыK= Из компонентов тензора второго ранга= e ik = можно составить всего только одну линейную скалярную величину=–= сумму его диагональных элементов= e ii K==ДалееI=будем предполагатьI= что коэффициент при= e ii пропорционален разности= EqJqMFK =В этих= предположениях для свободной энергии системы получимW= c

N æ ö = cM + d ç e ik - d ik e ll ÷ P è ø

O

+

h O

(

O

)

ell - h a q - qM ell I=

здесь=cM=–=свободная энергия без напряжений и нагреваK==ДифференJ цируя=c= по= e ik I=получим тензор напряженийW= sik º

¶c ¶e ik

(

= - h a q - qM

) dik + h ell dik + Od æç eik è

N P

ö ø

d ik e ll ÷ K===EOKNNF=

Первое слагаемое представляет собой дополнительные= напряженияI= связанные с изменением температуры телаK= При своJ бодном тепловом расширении тела= Eпри отсутствии внешних силF= внутренние напряжения должны отсутствоватьI=т.еK=

(

)

s ik º M ® e ll = a q - qM I=

т.еK=a есть не что иноеI= как коэффициент термического расширения= телаK=

S8= =

НапомнимI= что== с точки зрения дискретной теории твердого= телаI= тепловое расширение связано с несимметричностью= потенциальной энергии атомов в решетке относительно точки= равновесия= Eангармонизм колебанийFK= При этом очевидноI= что= каждая ячейка решетки изменяет свои линейные параметрыK= PK=Определенный вид точечных дефектов кристалла такжеI=по= сутиI= является внутренними центрами дилатации= EрасширенияFI= но= локализованнымиK= При однородном пространственном распределеJ нии таких точечных дилатационных дефектов эффект их воздейJ ствия на тело может рассматриваться по аналогии с тепловым расJ ширением иI= следовательноI= под действием дефектов тело также деJ формируется без возникновения напряженийK= Свободная деформация возникает также и при введении= точечных дефектов в твердое телоW= s ¢ik = s ik - h w n d d ik I= т.еK=

N æ ö = s¢ik = - h a (q - qM ) dik + h ell dik + Od ç eik - dik ell ÷ - h wnd dik , P è ø ===EOKNOF=== где= n d = –= концентрация дефектовI= w= –= дилатационный объем= дефектовK=ОтметимI=что это уравнение справедливо для характерных= расстояний= iI много больших расстояний между отдельными= дефектами=nJNLPK= = O.1.4.Общий вид уравнений в абсолютных смещениях Рассмотрим уравнение теории упругости с учетом действия= дефектов на расстояниях меньшихI= чем среднее расстояние между= отдельными дефектами= nJNLPK= = Запишем общее= EволновоеF= уравнение= движения средыW== r r&&i = Ñ k s ki + f i I= здесь вектор=fi описывает плотность действующих на кристалл объJ емных силI=а тензор= s ik связан с деформациями законом ГукаK=Под=fi== понимаются внешние силыI= действующие внутри средыI= в частноJ стиI= это могут быть силыI= действующие со стороны отдельных деJ фектовI=выражение для которых пока нам неизвестноK== В условиях статического равновесия выполняется равенство= r r&&i = M I=следовательно=

SV= =

M = Ñ k s ki + f i K= Для дальнейших преобразований воспользуемся соотношениемI=слеJ дующим из полного закона Гука для изотропной средыW== ¶sik ¶x k

=h

æ ¶e dik + Od ç ik ¶x k è ¶x k ¶e ll

-

ö æ O ö ¶e dik ÷ = ç h - d ÷ ll P ¶xk P ø ¶xi ø è

N ¶ell

+ Od

¶e ik ¶x k

=

===EOKNPF и определением тензора относительной деформацииW= N æ ¶ri ¶r k ö K= e ik = ç + ÷ O è ¶x k ¶x i ø В сферических координатах= r, q, j для тензора относительной деJ формации имеемW= = ¶r r N ¶r r N ¶r j r q r + ;= = eqq= = = = = =q += = r =; = ejj = ctgq + r ; ¶r r ¶q r r sin q ¶j r r ¶ N r N ¶r q Oe qj = ( j - r jctgq) + ; r ¶q r sin q ¶j

err =

O======= e rq =

¶r q r q N ¶r r + ; ¶r r r ¶q

Oejr =

N ¶r r ¶r j r j + ; ¶r r sin q ¶j r

Воспользуемся известными соотношениями между упругими= b I=здесь=d=–=модуль сдвигаI=h=–= модулямиW= d = b I= h = P (N - Os ) O (N + s ) модуль объемного сжатияI=b=–=модуль ЮнгаI=s=–=коэффициент ПуасJ сонаK=Тогда получимW= ¶ Or i ¶ Or l = b b + + f = M I=====EOKNQF= i O (N + s ) ¶xkO O (N + s )(N - Os ) ¶xi ¶xl r ¶r r l = Dr I== = divr K=В итоге получим уравнение в векJ

O здесь= ¶ r { i } ¶xkO ¶xl торных операторах для абсолютного смещенияW== ® 2 (N + s ) r r N K==============EOKNRF= Dr + gr~d=divr = - f N- 2s b r r Воспользовавшись соотношением= Dr = gr~d=divr - rot=rotr I= окончаJ тельно получимW=

TM= =

® (N + s )(N - Os ) r N - Os r K====EOKNSF= gr~d=divr rot=rotr = - f O(N - s) (N - s) b

Данное уравнение должно решаться совместно с граничными= условиямиI= которые в теории упругости ставятся на границе средыK= ОтметимI= что граничные условия в линейной теории упругости= ставятся на недеформированных границахK= =

O.O. Смещение атомов в кристаллической решетке с точечными дефектами. Изменение объема Применим аппарат теории упругости к расчету возмущенияI= вызываемого дефектами в твердом телеK= Необходимо отметитьI= что= при изучении макроскопических механических свойств твердых телI= как правилоI= определяющим является учет статических искажений= кристаллической решеткиI= создаваемых точечным дефектом вдали= от негоK= ОказываетсяI= что для описания поля смещений атомовI= находящихся вокруг дефектаI= может быть применен некий общий= подходK= ПринципиальноI= что в этом подходе точечный дефект= выступает в роли источника упругого поляK= В дальнейшем для= простотыI= за исключением тех случаевI= когда это специально= оговореноI= в вычислениях будем использовать модель= сплошной= изотропной средыK= Исходя из уравнения= EOKNSF= и считаяI= что в рассматриваемой= области объемные силы равны нулюI=получимW=== ================ gr~d=divrr - N - Os rot=rotrr = M K====================EOKNTF= O(N - s)

Будем считатьI= что наша задача обладает центральной симJ r

r r (r )

метриейI=тогда ее решение можно искать в видеW= r = r r

r

I=rj=Z=rq=

Z=MK=В этом случае= rotr = M K=Таким образомI=второе слагаемое равно= нулюI= и для центрально симметричного случая получаем=

TN= =

r gr~d=divr = M K=Или в сферических координатах=

d éN d O ù r r ú = M K= dr êë r O dr û Решение уравнения может быть найдено в виде= r = A + Br I=тогда== rO

r r æA r r ör r r r (r ) = ç P + B ÷ r º r N ( r ) + r O ( r ) I================EOKN8F= èr ø r r r r r где r ( r ) = A rr и r O ( r ) = Br K=Константы=A и=B могут быть найдены= N rP из дополнительных условийK= Вначале рассмотрим случай бесконечной средыK= Теория= упругости применима только тогдаI=когда во всей исследуемой облаJ сти рассчитываемые смещения малыK= Исследуя поведение нашего= решения на бесконечностиI= приходим к выводуI= что константу= B= необходимо положить равной нулюW===== B=Z=MK= В этом случае смещеJ нияI =вызываемые дефектом в твердом телеI =описываются только= лишь первой компонентом решенияW==

r r r r r r æ Aö r (r ) = r N ( r ) = A P = - gr~d ç ÷ K======================EOKNVF= r èrø

Константа=A называется мощностью дефектаK= Рассчитаем теперь изменение объема= ds изотропной средыI= связанное с наличием дефектаK=Выделим в изотропной среде областьI= ограниченную некоторой произвольной поверхностьюK= ОчевидноI= что под воздействием дефекта выделенный объем деформируетсяK= r Нормальное смещение элемента поверхности есть= rNn = rN ( rr ) × nr I= p r где= n =–=единичный вектор нормалиK=Изменение объема областиI=свяJ занное со смещением рассматриваемого участка поверхности состаJ r r вит величину= d ds = r Nndp K= Суммарное изменение объема области составит величинуW= ìQpA = - если дефект внутJ rr r r rn ï = ри поверхности dp = í ds = r ndp = A

Ñò p

N

Ñò r p

P

ïM = î

TO= =

а=

=

=

=

= б= = РисKOKQK= Качественная картина абсолютных смещений для= областейI=не содержащих=EаF=и содержащих дефект=EбF= = Иначе говоряI=в рамках нашей модели дефект представляет собой=dJ образную особенностьK= Вычислим относительное изменение объема= кристаллаW==

r N d O ds ¢ - ds dd s N d = º q = divr = O r rN = O A = M K=====EOKOMF= ds ds r dr r dr

Таким образомI= точечный дефект в= бесконечной= изотропной среде= вызывает только сдвиговое смещениеK== Рассмотрим теперь случай= конечного твердого телаK= Вновь= предполагая сферическую симметрию задачиI= считаемI= что дефект= находится в центре сферического твердого телаK= ПредположимI= что= поверхность кристалла свободнаI= тогда граничное условие можно=

= M I= где= s rr p = –= радиальная составляющая= напряжений на поверхности кристаллаK= Как и преждеI=решение задачи записывается в видеW== r r r r r r r r r r (r ) = r N ( r ) + r O ( r ) = A P + Br I= r =

записать в видеW= s rr

p

TP= =

= РисKOKRK=Сферический образец с точечным дефектом в центре= = однако константа=B теперь не равна нулю и может быть найдена из= граничных условийK= Для компонентов тензора относительных деJ формаций имеемW==

err =

¶r r A = -O= P += B, = ¶r r

r A e=jj == e qq == =r = P + B K==========EOKONF= r r r

Таким образомI=дилатация равна= q = div r = P B K=Записав закон Гука= для радиальной составляющей напряженийI=получимW=

A + OdB K= rP Qd Тогда из граничного условия следуетI=что= B = A K= P P O l + d R ( ) srr = lq + Oderr = lq - Qd

Введем постоянную ЭшелбиW== g = N+

Qd Pl + Od

= N+

Qd Ph

=P

N- s N+ s

K=

Тогда смещение в нашей задаче может быть записано в виде== r é N g - Nù r r =A êë r P + RP úû r K==============================EOKOOF=

TQ= =

r r Смещения типа= r O r связаны с наличием поверхностиI= поэтому иногда говорятI= что смещения вызваны силами изображеJ нияK= r P Дилатация равна= q = divr = P g - N A / R K= Общее изменеJ

()

(

)

ние объема кристалла составитW= ds = dsN + dsO = Q pA +

Q

P

pR q = QpgA K=============EOKOPF=

P Оценим вклад смещенийI= вызванных силами изображенияI=в= изменение объема кристаллаK= Коэффициент Пуассона= s принимает= значения в диапазоне=M=¸= N / O K=СоответственноI=постоянная Эшелби= g принимает значения в диапазоне= P= ¸= NK= Возьмем= s = N / P I= тогда=

g = P / O K=Получим= dsO / dsN = N / O K=Таким образомI=вклад сил изобJ ражения существененK= Как это отмечено вышеI= изменение объема=dsN представляет= собой====== d-образную особенность и сосредоточено на самом дефекJ теK= Второе слагаемоеI= dsO= –= напротив= “размазано≤=по всему объему= кристаллаK= ОказываетсяI=формула=EOKOPF=верна и для произвольного тела= и произвольно расположенного дефектаK= В теле произвольной форJ мы смещенияI= вызванные силами изображенияI= зависят от формы= тела и расположения дефекта относительно поверхностиK=Однако эти= смещения точек среды представляют собой плавно меняющуюся= r r функцию координатI=тогда как смещения типа= r N ( r ) резко возрасJ тают при приближении к дефектуK= =

O.P. Поведение дефекта во внешнем поле смещения Исходным является уравнение статического равновесия= r упругой среды= Ñ k s ki = - f i I= здесь= f = –= плотность объемных силI= действующих внутри образцаK= Умножим обе части этого уравнения скалярно на радиусJ вектор и проинтегрируем по всему пространствуW==

TR= =

rr u Ñ s ds = rf i k ki ò ò ds K======================EOKOQF=

( )

Преобразуем левую часть уравнения следующим образомW= = r u Ñ s ds = Ñ s u ds s Ñ u ds = u s dp - ò s kk ds I== ( ) i k ki k ki i ki k i i ki ò ò ò Ñò p

при преобразовании было учтеноI=что= Ñ k u i = d ki K=Первый интеграл= определяется граничными условиями на поверхностиK= Во втором= интеграле учтемI=что= s kk = P h e kk I=где=h=–==модуль объемного сжаJ тияK=СледовательноW= rr Ph Ds = rf ds + u s dp K========================EOKORF=

ò(

)

Ñò

i

ki

k

p

Таким образомI=относительное изменение объема кристаллаI=связанJ r ное с действием внутренних сил= f и сил на поверхностиI=равноW== ù K===============EOKOSF= N é rr Ds = u s dp ê ò rf ds + Ñ ú i ki k òp Ph ë û =

( )

O.4. Плотность внутренних сил, эквивалентных центру дилатации Вспомним атомную модель точечного дефектаK=Ближайшие к= точечному дефекту атомы испытывают действие дилатационных= силI= обладающих симметричным распределением в каждой коордиJ национной сфере=EсмK=рисK=OKSFK=Система этих силI=разумеетсяI= облаJ дает результирующей и полным моментомI= равными нулюK= Если= вернуться к макроскопическому рассмотрению дефектаI= то можно= увидетьI= что их действие эквивалентно действию трех пар сил равJ ной величиныI=приложенных к точке расположения междоузельного= атома или вакансии и направленных по координатным осямK== O Исходя из смещения вдали от дефектаI = r = A L r I найдем= вид этих объемных силK=В векторной записи смещения можно предJ

r ставить как= r = -Ñ æ A ö K= ç ÷ èrø

TS= =

= РисK=OKSK=Качественный вид смещений близи точечного дефекта= = Тогда получимW=

r r ¶ æ Aö æNö divr = r i = -div=gr~d ç ÷ = - AD ç ÷ = OpAd ( r ) K====EOKOTF= ¶u i èrø èrø r r gr~d=divr = Q pA × gr~d=d r I=

()

СледовательноI=

учитывая

что=

r æNö rotr= - A × rot=gr~d ç ÷= M I= подставим эти выражения в уравнение= èrø

равновесияW= r (N + s ) × (N - Os ) r N - Os r I= gr~d=divr rot=rotr = - f O(N - s ) b × (N - s )

получимW=

(N + s ) K=Отсюда= P h (N - s ) r r r f = - h QpAggr~dd ( r ) = - h W M gr~dd ( r ) I========EOKO8F=

r r r) - f QpA =gr~dd(=

где введено обозначениеW= W M = Q pA g K=

TT= =

Таким образомI =в теории упругости дефект можно описать δJ функционной плотностью силK= Мощность дефекта характеризуется= величиной= WMK= Реакция среды на дефект определяется ее модулем= сжатия=КK= Изменение объема для тела конечных размеров с указанным= распределением плотности сил составит величину== rr r r N h N rf ds =Ds = W r Ñd(r )ds = W d(r ) × divr = ds =W KEOKOVF= Ph

ò(

)

Ph

M

ò

r r

P

M

ò

M

Дилатация= q = ppell =divr (r ) = - A × div=gr~d N = M равна нуJ

r

лю вездеI=за исключением начала координатI=т.еKI=как это получалось= и раньшеI=точечный дефект создает==только сдвиговую деформацию= в окружающей бесконечной средеK= ЕстественноI= последний вывод= справедлив только тогдаI=когда среда является упруго изотропнойI=а= точечный дефект эквивалентен центру дилатацииK= В противополоJ женной ситуации упругое поле точечного дефектаI=строго говоряI=не= является чисто сдвиговымK= В общем случае неизотропного возмущения можно записатьW=

r fi = - h W ik Ñ k d r K===========================EOKPMF=

( )

Как правилоI= характерный объем дефектов= N / P × Wll для ваJ кансий отрицателенI=для междоузлий положителенK=Для простых меJ таллов его величина составляет порядка= M . Nw M K ОднакоI=напримерI= для анизотропного графита она достигает больших значений= –= поJ рядка= Rw M K= В заключение отметимI= что введенный здесь способ описания= точечных дефектов= – =через плотность объемных сил= = – =подходит и= для описания других типов дефектовI=например дислокацийK= =

O.R. Взаимодействие дефектов с внешним упругим полем Будем считатьI= что дефект воздействует на кристаллI= в котоJ ром он находитсяI =тремя способамиK =Прежде всегоI =он вызывает= смещение атомов матрицыK= Кроме тогоI= дефект выступает в роли=

T8= =

локальной неоднородностиI=т.еK=онI=с одной стороныI=вносит изменеJ ние в массу элементарной ячейкиI=с другой=–=дает локальное изменеJ ние силовых константI=входящих в закон Гука= r r M = l ¢iklm = l iklm + W * L iklm d ( r - rM ) I=============EOKPNF= r

где= rM =–=точка расположения дефектаK= Пусть кристалл с точечным дефектом находится под действиJ ем внешней нагрузкиK= Рассмотрим некоторую общую задачуW= деJ фект в упругом поле смещенияI= созданном внешней нагрузкой на= средуK= РаботуI =которую совершает= = внешнее поле над дефектом при= малых смещениях последнегоI= найдем из работы внешних сил над= образцомI=содержащим дефектK=Последняя равнаW= dR = Ñò sik × dr k dp i = ò Ñi ( sik ×dr k ) ds = = p r r = ò dr k ×Ñ i sik ds + ò sik ×deik ds = - ò f ×drds + ò sik ×de ik ds =EOKPOF r Используем явный вид для объемных сил= f I= соответствуюJ щих наличию точечного дефекта в кристаллеI=а для преобразования= последнего слагаемого в= EOKPOF= используем закон Гука= s ik = l ¢iklm × e lm W= r r dR = h Wik × ò dr i ×Ñ k d ( r - rM ) ds + = r r * M +W × ò L iklm × elm × de ik ×d ( r - rM ) ds + ò l iklm ×elm ×deik × ds

Выполним интегрирование по частям в первом слагаемомI= во= втором= –= проведем тривиальное интегрированиеI= а в третьем учтем= симметриюW= N M dR = - éë h W ik - W* × L iklm × e lm ùû |rr=rrM ×de ik + ò l iklm × d ( e ik e lm ) ds . O = Будем считатьI= что температура во время деформации постоJ яннаK= Тогда работа= do совпадает с изменением свободной энергии= кристаллаK= СледовательноI= полная свободная энергия деформироJ ванного кристалла может быть записана в видеW= r r r N M N c = c (q ) + l × e × e × ds - h W × e ( r ) + W *L e ( r ) e ( r ) I================ Oò

M

iklm

ik

lm

ik

ik

TV= =

M

O

iklm ik

M

lm

M

EOKPPF=

где= cM (q ) =–=свободная энергия кристалла с одним точечным дефекJ том при отсутствии упругого поляK== Объемный интеграл=Eвторое слагаемоеF=равен энергии упругоJ го поля образца без дефектаK =Последние два слагаемых определяют= энергию взаимодействия дефекта с упругим полемW= r r r N = b вз = - h Wik × eik ( rM ) + W* × L iklm × eik ( rM ) × elm ( rM ) . O =========EOKPQF r Пусть дефектI=находящийся в точке= rM I=сдвинули на величину=

r dr I=тогдаW=

r r de ik = ( Ñ j e ik ) du j I======== db вз = - c × dr I==========EOKPRF=

Варьируя

выражение

для=

b вз I=

получим=

= –= силаI= с которой упруго деJ c= j ëé h W ik - W × L iklm × e lm ûù × Ñ j e ik *

формированный кристалл действует на дефектK= Как видимI= точечный дефект взаимодействует с упругим поJ лем двояким образомK =С одной стороныI =дефект выступает как исJ точник дилатацииI= это отражено в первом слагаемомI= линейном по= деформациямK=С другой стороныI=дефект проявляет себя как локальJ ная неоднородность упругих свойствI= что передает второе= EквадраJ тичное по деформациямF= слагаемоеK= Первое слагаемое называют= = размерным эффектомI=а второе=–=модульным эффектомK= Обычно деформации считают малымиI= модульным эффектом= (квадратичным по деформациямF= пренебрегают и в выражении для= энергии и силы оставляют линейное по упругим деформациям слагаJ емоеW= bвз = - h W ik ×eik I======= c j = h W ik × Ñ j × e ik K===========EOKPSF= Если перейти к еще более простому изотропному случаю=

W ik = W M d ik I= то энергию и силуI= действующую на центр дилатаJ

цииI=можно выразить через среднее гидростатическое давлениеW== r N bвз = - W M s ll º W M pM I= c = N W M × gr~d(s kk ) = -W M × gr~d( pM ) K===EOKPTF= P P Таким образомI=в линейном приближении на точечный дефект= в бесконечной изотропной среде и в кубическом кристалле действуJ

8M= =

ет силаI= пропорциональная градиенту среднего гидростатического= давленияK== Направление силы зависит от типа дефектаK=Для дефекта с отJ рицательным дилатационным объемом= W M < M = EвакансииF= сила= направлена в сторону увеличения давленияI=т.еK=эти дефекты смещаJ ются в более сжатые области кристаллаK= СилаI= действующая на деJ фекты с положительным дилатационным объемом= W M > M = EмеждоJ узельные атомыFI= направлена в сторону понижения давления= –= деJ фекты смещаются в разреженные области кристаллаK= Чисто сдвигоJ вые деформации никак не взаимодействуют с дефектом=E s kk = M FK= =

O.6. Упругое взаимодействие точечных дефектов = Пусть теперь в кристалле есть два дефектаK =Один дефект соJ здает в матрице поле смещенияI= а другой дефектI= воспринимая это= смещениеI=должен взаимодействовать с первымK=Именно таким обраJ зом в рамках теории упругости удается описать взаимодействие деJ фектовK= Взаимодействия такого рода принято называть деформациJ оннымиK= Однако вспомним теперьI= что точечный дефект в изотропном= приближении создает только сдвиговые напряженияI=следовательноI= s kk = M и взаимодействие дефектов отсутствуетK= Таким образомI= два точечных дефекта в изотропной= бесконечной среде в линейном приближении не взаимодействуютK= В анизотропных средах мощность точечных дефектов может= быть достаточно великаI=а упругие поляI=создаваемые дефектамиI=не= являются чисто сдвиговымиK= В таких веществах между дефектами= возникает взаимодействиеK= Природу деформационного взаимодействия удобно объяснить= на приведённой ниже простой аналогии=EрисKOKTFK= Представим упругую горизонтальную поверхностьI=на которой= на различных расстояниях друг от друга размещены небольшие шаJ ры= Eупругая поверхность имитирует плоскую кристаллическую реJ шёткуI =а шары= = – =дефекты на нейFK =ОчевидноI =что если расстояния= между шарами великиI= то они не будут= ?чувствовать?= друг друга и= расположатся каждый в своей лунке на поверхностиK= Однако стоит=

8N= =

двум шарам сблизиться на некоторое минимальное расстояниеI= определяемое упругими свойствами поверхности и==весом шаровI=как= под действием упругих сил они начнут двигаться на встречу друг= другу и в результате= ?свалятся?=в общую лункуK=ОчевидноI=что при= соответствующем начальном расположении в лунке может оказаться= и большее количество шаровK= На этом простом примере видноI=что деформационное взаимоJ действие обуславливает взаимное притяжение одноимённых дефекJ тов и может являться реальной причиной образования скоплений= дефектовK=

a)

б)

в) = РисKOKTK=Качественная картина взаимодействия междоузельных= атомов==в графите=–=слоистом веществеI=обладающем сильными аниJ зотропными свойствамиK= Взаимодействие двух междоузельных атоJ мовI=расположенных между одной и той же парой базисных плоскоJ стей графита= Eа и= бFK= Взаимодействие двух междоузельных атомовI= расположенных между разнымиI= но соседними базисными плоскоJ стями графита=EвF= = Так расчет показываетI=что в графите=–=слоистом веществеI=обJ ладающем сильными анизотропными свойствамиI= взаимодействие= двух междоузельных атомовI=расположенных между одной и той же=

8O= =

парой базисных плоскостей графитаI= на расстоянияхI= меньших= rM= ≈= NM=ÅI= носит характер притяженияK= Причем энергия взаимодействияI= величина которой достигает значения порядка= N= эВI= сопоставима с= энергией ковалентной связи в базисных плоскостях=EQKVS=эВFK= ПодчеркнемI= что благодаря анизотропии структуры графита= область взаимодействия дефектов значительно превосходит межJ атомные расстояния=–=объем зоныI=в пределах которой два междоузJ лия притягиваются друг к другуI=равен= s a » QM w M K=ДеформационJ ный потенциал взаимодействия междоузлийI=расположенных между= соседними парами базисных плоскостей графитаI= соответствует отJ талкиванию дефектовK= Величина энергии отталкивания на малых= расстояниях достигает значенияI=равного=O=эВK== =

O.T. Непрерывное распределение точечных дефектов в упругом поле Рассмотрим кристаллI= в котором находится большое количеJ r r ство дефектовK=Пусть= rd (r ) = nd ( r ) / v =–=плотность дефектов в объеJ ме кристаллаK= Здесь= v = –= объемI= по которому выполняется усреднеJ r ниеI= n d ( r ) = –= количество дефектов в объеме v K= Введем относительJ ную концентрацию дефектовI= которую определим как= C = nd I= где= d kM

kM=–=количество атомов кристаллаI=содержащихся в объеме υK=Когда= выполняется условие= С d << N I=можно говорить о слабом==EидеальномF= растворе дефектов в матрицеK= Рассмотрим дефекты одного сортаK= Раствор дефектов в равноJ весном или квазиравновесном состоянии характеризуют химическим= потенциалом μI= который определяется концентрацией самих дефекJ товK= Пусть в исходной матрице нет дефектов и напряженийK=Тогда= термодинамический потенциал объема υI= принадлежащего матрицеI= запишется в видеW= FM = k MmM ( p, q ) I= где=mM=–=химический потенциал атомовK=

8P= =

Введем в кристалл дефекты в количестве= ndK Поскольку конJ центрация дефектов мала и раствор дефектов слабыйI=то они не взаJ имодействуют и в термодинамический потенциал внесут аддитивJ ный вкладK=Термодинамический потенциал образца с дефектами заJ пишем в видеW== n ö æ F = k Mm M ( m , q ) + nd a + kq ln nd ! » k M mM ( m , q ) + nd ç a + kq ln d ÷ = = e ø è æ nd

= k Mm M ( m , q ) + nd kq ln ç

è e

a

ö

eq ÷.

ø

EOKP8F

a

Обозначим= e q º f ( m , q ) / k M K= Теперь потенциал можно записать в= однородной по=nd и=kM формеW== én N ù F = k MmM ( m , q ) + nd × kq ln ê d f ( m , q ) ú = = ë kM e û ==================EOKPVF k Mm M + nd × kq ln C d + nd × f¢ ( m , q ) . В соответствии с определением введем химический потенциал= растворителяW== n ¶F mº = m M ( mI q ) - kq d = m M - kqCd I======EOKQMF= ¶k M kM и растворенного=…вещества»I=то есть дефектовW= m¢ =

¶F ¶nd

= kq ln Cd + kq + f¢ ( m I q ) = kq ln Cd + f ( mI q ) K======EOKQNF=

Данное выражение для химического потенциала дефектов поJ лучено при условии отсутствия в кристалле напряженийK= В дефорJ мированном кристалле появляется дополнительная энергия дефекта= в упругом полеI= играющая роль потенциальной энергии частицы во= внешнем полеK= ОчевидноI= что добавка к химическому потенциалу в= напряженном кристалле совпадает с энергией взаимодействия деJ фекта с упругим полемW== m% ¢ ( Cd ) = m ¢ ( Cd ) + bdi I=======================EOKQOF= N r r r где= bdi = - h Wik e ik ( rM ) + W* L iklme ik ( rM ) e lm ( rM ) K= O Здесь необходимо учесть тот фактI=что химический потенциал= является функцией напряженийI=а не деформацийI=поэтому в добавке=

8Q= =

к потенциалу необходимо выразить=εik через=σik с помощью законов= ГукаK= В линейном приближении по напряжениям для центров дилаJ тации получимW== N m% ¢ = kq ln C d + f ( m ,q ) - W ik s ik K===========EOKQPF= P Ограничиваясь изотропным случаемI=окончательно запишемW=

N m% ¢ = kq ln C d + f ( m , q ) - WM skk = kq ln C d + f ( m , q ) + WM pM I=EOKQQF= P где=pM=–=гидростатическое давлениеK== В равновесии химический потенциал везде постоянен= m ZÅonst= по образцуI= тогда можно записать для концентрации дефектовI= выJ деляя сомножительI=зависящий от внешних напряженийW== r r æ WMskk ( r ) ö I=================EOKQRF= * C d (r ,q ) = C d (q )exp ç ÷ è Pkq ø где= C d ( q ) º exp *

é m% ¢ êë kq

ù úû

- f ( m , q ) =–=равновесная концентрация в одJ

нородном ненапряженном кристаллеK= Таким образомI= равновесное= распределение дефектов с учетом возможной неоднородности деJ формации кристалла может быть неоднороднымK= При отсутствии равновесия в твердом теле возникают дифJ фузионные потоки дефектовK= ПредположимI= что температура неизJ менна по всему объему кристалла=E Ñq = M FK=Тогда плотность потока= r дефектов= j d определяется градиентом химического потенциалаW= rd

× ad × gr~d =m% ¢ I========================EOKQSF= kq где коэффициент пропорциональности= ad по определению является= коэффициентом диффузииK== Макроскопический параметр= = ad связан микроскопическими= параметрами матрицы соотношениемW= jd = -

O

æ

bd

è

kq

ad = a n M exp ç -

8R= =

m

ö ÷ I==========================EOKQTF= ø

гдеW=а=–=длина однократного скачка для дефекта=E~ параметра решетJ ки матрицыFX= nM= –= частота колебаний дефекта в потенциальной яме= m

(число попыток выскочить из ямыFX= bd –=энергия миграции?=равная= высоте барьера в адиабатическом приближении=EрисKOK8FK=ЭкспоненJ циальный множитель дает вероятность удачной попытки для прыжка= дефекта в соседнее положениеK= Наличие диффузионных потоков в результате приведет к тоJ муI=что во всем кристалле==должен установиться один и тот же уроJ вень химического потенциала= m% ¢ ZÅonstK= =

= РисK= OK8K= Потенциальный барьерI= разделяющий равновесные= положения дефекта в точках=xM и=xN= = ÑC N - W MÑs kk I=следовательноI== Имеем= Ñm% ¢ = kq P C r W a n j d = - ad Ñnd + M d d Ñs kk K============EOKQ8F= Pkq Первое слагаемое=

( - a Ñn )

в нашем равенстве описывает=

обычную диффузиюI =имеющую место во всех типах веществI = напримерI=в идеальном газеK=Второе слагаемое представляет особый= интересI= так как оно обуславливает так называемую восходящую= диффузиюI=которая зависит от напряжений в матрице=Eдиффузия по= ГорскомуFK=

8S= =

Используя соотношение= pM = -N / P × Ñskk I= поток дефектов= можно выразить через градиент=pMW== r W a n ========================= j d = - ad Ñnd - M d d ÑpM K================EOKQVF= Pkq ОтметимI= чтоI= если объем дилатационного дефекта отрицатеJ лен= E W M < M FI= то дополнительный поток будет направлен в сторону= градиента давленияI =т.еK =в сторону сжатого веществаK = =При= W M > M = возникает поток дефектов=EмеждоузлийF= в сторону меньшего давлеJ ния=EрисKOKVFK== То естьI= при наличии неоднородного давления способный к= перемещению избыточный объем кристалла выталкивается в область= менее сжатого кристалла=EрисKOKNMFK==

= = = РисKOKVK= Направление силI= действуюJ щих в неоднородно сжатом кристалJ ле на вакансию=EfВF=и междоузельный= атом=EfМF= = = =

8T= =

= РисK=OKNMK=Потоки междоузельных атомов и вакансий== в неоднородно сжатом кристалле= =

O.8. Течение кристалла. Ползучесть В реальном кристалле под действием фиксированных внешних= нагрузок может развиваться медленное изменение формы образца=–= течение кристаллаK= Рассмотрим область высоких температур и малых напряженийK= Здесь наблюдается беспороговое течениеI= то есть крип=EползучестьF= кристаллаK= Определение: Скорость необратимого относительного измеJ нения линейных размеров тела называется скоростью теченияK= N

( )

В этой области скорость течения= e& ~ s f q K=Здесь также реJ ализуется механизм диффузионного теченияI=и структура решетки не= нарушаетсяK= Неупругое формоизменение твердого тела всецело обуJ словлено направленными потоками точечных дефектов типа ваканJ сий и междоузлийK= Рассмотрим диффузионный механизм течения монокристаллов= (третья областьFK= Если напряжения в кристалле однородныI= то остаJ ется только одна причина возникновения направленных диффузионJ ных потоков= –= неоднородность граничных условий на внешней поJ верхности образцаK= Поэтому начнем с тогоI= что сформулируем эти= условияK=

88= =

=

Если через внешнюю поверхность кристалла выходит ваканJ сияI= то число узлов решетки уменьшается на единицуI=а объем криJ сталла понижается в меру атомного объема=~PK=На макроскопическом== масштабе уход== большого числа вакансий через некоторый элемент= поверхности кристалла обнаруживается как смещение последней на= величинуI= прямо пропорциональную числу поглощенных или испуJ щенных поверхностью вакансийK= Связь между нормальной составJ ляющей скорости перемещения поверхности= sn и соответствующим= потоком вакансий можно записать в видеW= P M

sn = - ~ j n I========================================EOKRMF= M

где= j n =–=нормальный компонент плотности потока вакансий на поJ верхности телаK= Аналогичные рассуждения можно повторить относительно поJ тока междоузельных атомовK= Легко увидетьI= что вклад потока межJ доузельных атомов в перемещение поверхности образца отличается= лишь знаком от соответствующего вклада для вакансийK= ПоэтомуI= M

если положить в формуле=EOKRNF= j = js - j f I= где= j s и= j f =–=плотJ ности потоков вакансий и междоузельных атомовI= то она станет= универсальнойK= Если поверхность кристалла нагруженаI= то перемещение этой= поверхности сопровождается работой внешних силK=Пусть к поверхJ ности кристалла приложено нормальное напряжение= s n = s ik n i n k I= r где= n = –= единичный вектор нормалиK= Тогда работаI= приведенная к= единице площади поверхности и совершаемая за время= dt I=равна== d o = s nsnd t = -~ Ps n jnMd t = - ~ Ps nd k I=========EOKRNF= где== d k –=число вакансийI=уходящих из кристалла через единичную= площадку за время= d t K= СледовательноI= работаI= совершаемая при уходе одной= вакансииI=есть= dR P P = - ~ sn = ~ pM K==============================EOKROF= dk Для междоузельных атомов получим подобное соотношениеK= Только знак правой части следует поменять на противоположенныйK=

8V= =

Как правилоI= диффузионные потоки малы иI= следовательноI= поверхность кристалла перемещается медленноK= Будем считатьI= что= на поверхности успевает устанавливаться локальное равновесие тоJ чечных дефектовI= и их химический потенциал совпадает с таковым= для равновесного состояния при давлении= pM = -s n K= По определеJ нию химический потенциал есть энергияI=приходящаяся на одну чаJ стицу раствораK=Поэтому его величина для вакансийI=находящихся на= нагруженной поверхностиI= отличается от соответствующего значеJ ния у свободной поверхности ровно на величину рассчитанной рабоJ ты внешних силK= УчитываяI= что изменение энергии вакансии равно== работе внешних сил со знаком минусI=получимW= m s p = mMs + ~Ps n = m Ms - ~ P pM = ========================EOKRPF и для междоузельных атомов= m f p = mMf - ~Ps n = m Mf + ~ P pM K======================EOKRQF= Для простоты рассмотрим кристалл с одним типом дефектовK=Пусть= это будутI=напримерI=вакансии=Em=Z=m(νFI=j=Z=jνFK= Когда поле напряжений однородноI= диффузионный поток деJ фектов определяется только градиентом химического потенциала= r C a j = - PM gr~d m I= ~ kq

где через=CM обозначена равновесная концентрация вакансий в ненаJ пряженном кристаллеK=Формула записана в приближении малых отJ клонений от равновесия=Eтогда концентрация дефектов близка к=CMFK= Таким образомI= для стационарных диффузионных потоков= r E div=j = M F= в изотропном приближении= Eили в кубическом кристалJ леF= получимI= что химический потенциал является гармонической= функцией координат= Dm = M K= В качестве примера проанализируем диффузионное течение= кристаллического образца прямоугольного сеченияI= подвергнутого= чисто сдвиговой нагрузке вида=EрисKOKNNFW= s n = - p на его боковых= поверхностях= x = ± iN = ( p > 0 ) и= s n = p на поверхностях= y = ± i O K= Значения химического потенциала на поверхностях в таком кристалJ ле можно определить из граничных условийW=

VM= =

P

dm = - ~ p при=x = ± iN I= P

dm = ~ p при=y = ± iO K=

где= δm определяется как отклонение от его равновесного значения= при отсутствии внешней нагрузкиW= dm = m - m M K= = = РисKOKNNK= Направленный= диффузионный перенос вакансий= под действием внешней нагрузки= = = = = = = На рисKOKNN=стрелками указано направление стационарных поJ токов вакансийI=которые возникнут в объеме кристалла под действиJ ем неоднородных по внешней поверхности граничных условийK= Направленное движение вакансий приведет к томуI= что материал с= боковых поверхностей= x = ± iN кристалла будет перенесен на поJ верхности= y = ± i O I=вследствие чего произойдет распухание образца= вдоль вертикальной оси и сжатие в поперечном направленииK=Не реJ шая задачи о распределении потоков вакансий точноI= произведем= оценку величин этих потоков и вызываемой ими скорости деформаJ цииK= Нормальный компонент скорости смещения какой-либо поJ верхности кристалла по порядку величины есть=

VN= =

P

sn ~ ~ j ~

CM a dm

CM a æ ~P p ö

~ ç ÷ X i ~ ix ~ iy K==============EOKRRF= kq i i è kq ø Скорость относительного изменения линейных размеров телаI= характеризующую установившееся течение кристаллаI= можно полуJ читьI=разделив=sn на размер образца=iW= C a æ p~P ö e& yy = -e&xx ~ MO ç ÷ K=============================EOKRSF= i è kq ø ·

e

T

=

= РисK=OKNOK=Температурная зависимость скорости течения кристалла= = В этом выражении скорость течения кристалла линейно завиJ сит от напряженийK= Необходимо отметить характерную для диффуJ зионного течения кристалла обратную зависимость скорости дефорJ мации кристалла от квадрата размера кристаллического образца=EiOFK= Вид указанной зависимости от линейного размера позволяет сделать= вывод о томI=что чем меньше размер кристаллита темI=соответственJ ноI=выше его ползучестьK= Температурной зависимости скорости течения кристалла= (рисKOKNOF=определяется коэффициентом диффузииW= e& (q ) ~ NL q × exp - bms kq I=====================EOKRTF===============

(

VO= =

)

где= bms =–=энергия миграции вакансииK= Таким образомI= нами был рассмотрен диффузионный мехаJ низм течения монокристаллов и на качественном уровне получено= выражение для скорости необратимого изменения линейных размеJ ров образцаK==

O.9. Кинетика пор в кристалле Ранее была дана классификация типов дефектов кристаллиJ ческой решетки в зависимости от их размерностиW=точечныеI=линейJ ные и плоские дефектыK=Существует еще один=–=объемные дефектыK= Представителем этого типа дефектов являются порыK =Поры в криJ сталле можно рассматривать как конденсат вакансийK=Как и другие= дефектыI =поры в кристалле могут рождаться и растиI =и наоборотI = растворяться и исчезатьK= Исследуем процесс роста одиночной поры в большомI= но= ограниченном теле=EрисKOKNPFK=Поскольку поверхность поры является= внутренней граничной поверхностью кристаллаI= то на этой поверхJ ности= pN должно выполнятся граничное условие для химического= потенциалаW==

ms

pN

= msM + ~Psn I===========================EOKR8F=

здесь= s n =–=напряжения вблизи поверхностиK= = = РисKOKNPK=Геометрия задачи пор= = = = = = = =

VP= =

Пусть пора имеет форму сферыI=а кристалл будем считать изоJ тропнымK=Для пустой поры нормальное напряжение обусловливается= лапласовым давлениемW= Og sn = I===================================EOKRVF= R где=o=–=радиус порыX=g=–=коэффициент поверхностного натяжения на= любой свободной поверхности кристаллаK= В этом случае граничное= условие на поверхности поры можно записать какW= P Og dm = ~ K==================================EOKSMF= pN R Рассмотрим теперь внешнюю удаленную границу кристаллаK= ПредположимI= что в кристалле поддерживается пересыщение пара= мономеров= –= вакансийK= В этом случае граничное условие будет= иметь видW= dm

(N) pO

=

( ) dC = kq dC K======================EOKSNF=

¶m M C ¶C

CM

Если также образец находится в условиях гидростатического сжатия= под давлением=pI=то для внешней поверхности получимW= dm

¥

= kq

dC CM

P - p~ K==============================EOKSOF=

ЗдесьI= поскольку размеры кристалла по сравнению с порой великиI= внешняя поверхность кристалла была формально отнесена на бескоJ нечностьK=Можно считатьI=что внутренняя часть кристалла находится= в квазистационарном состоянииK=Тогда для химического потенциала= должно выполняться уравнение= Dm = M с указанными выше граничJ ными условиямиK=Для скорости изменения радиуса порыI=совпадаюJ щей со скоростью нормального смещения ее поверхностиI= можно= записатьW= dR

P

= sn = - ~ j n =

C M a ¶m

K==================EOKSPF= dt kq ¶n p В принципе задача поставлена и может рассматриваться обычJ ными методами уравнений математической физики для эллиптичеJ ских уравненийK =Однако эту задачу можно решить по аналогии с=

VQ= =

электростатикойK= Эквивалентной задачей является расчет плотности= заряда на сферическом проводнике в изотропном диэлектрике по= известному его потенциалу относительно бесконечностиW=

Dj = M I== n = C ( j M - j ¥ ) I== C = R I== n = Q pR O h I=

где= n= –= полный заряд на проводникеI= C= –= электрическая емкость= проводникаI= φM= –= потенциал проводникаI= φ∞= –= потенциал на бескоJ нечностиI= h =–=поверхностная плотность зарядаK== Для сферически симметричного конденсатора по теореме= Гаусса можно получитьW= ¶j N ¶j Qph = I=т.еK= =h = K= ¶n Q p ¶n Для нашей задачи в случае отсутствия источника вакансий= внутри кристаллаI=имеемW= Dm = M. = Тогда= m играет роль электрического потенциала в задаче о= сферическом конденсатореK=Далее= ¶m dR kq 1 ¶m 1 dR kq = ® =,= ¶n dt C M a 4p ¶n 4p dt C M a т.еK= величинаI= эквивалентная поверхностной плотности зарядов= hI= естьW= 1 dR kq .= " h" = 4p dt C M a Тогда по аналогии с электростатической задачей полный заряд= “n≤= равен= " n " = -QpR

O

æ N dR kq ö ç ÷=R è Q p dt C M a ø

(m

sN

-m

получаемW= -R

O

dR kq dt C M a

æ

= Rç ~

è

P

Og R

- kq

dC CM

+ p~

Уравнение для скорости роста порW=

VR= =

P

ö = ÷. ø =========

¥

) I=

dR dt

=-

CM a æ R R

ç è

*

R

+

p~

P

kq

-

ö ÷ I===================EOKSQF= CM ø

dC

P

* O g~ где= R º = –= величинаI= характеризуемая отношением поверхJ kq ностной энергииI= приходящейся на один атомI= к его тепловой энерJ гииK= Проанализируем полученное выражение с физической точки= зренияK= NK= Введем величину критического давления в соответствии с= kq dC равенством= pk = P K=ВидноI=что когда давление достигает знаJ ~ CM чения больше критического=E p > p k FI==любая пораI=независимо от ее= радиусаI= начинает уменьшать свои размерыI= “растворяясь≤= в криJ сталлеK=Внешнее давление как бы=“задавливает≤=поруK=При этом проJ исходит уплотнение материала образцаK= Таким образомI= под дейJ ствием диффузионного течения кристаллI= имеющий внутри свободJ ные полостиI=может необратимо изменить свой объемK= OK=ДалееI=пусть под действием внешнего давления пора раствоJ ряетсяK= Тогда в кристалле относительное пересыщение вакансий= dC / C M также растетK=Когда его величина становится равной= P * dC p~ R = + I= CM kq R уменьшение размера поры прекращается=

( dR / dt = M ) K =В

этих=

условиях пора будет находиться в квазистационарном равновесииK= При этом под действием постоянного давления в кристалле возникаJ ет пересыщение вакансийK= PK= Пусть теперь в кристалле имеется большое число порI= распределенных в среднем однородно по образцуK= Рассмотрим= модельную ситуациюI= когда все поры имеют одинаковый радиусK= Можно показатьI= что такая система неустойчиваK= ДействительноI= исходя из полученных выше соотношенийI= можно ввести= критический радиус поры=okW=

VS= =

R

*

Rk

º

dC CM

-

p~

P

kq

,=====или=====Rk º R

*

é dC /ê ë CM

-

pa

P

kq

ù = ú. û ==EOKSRF

ОтметимI= что критический радиус= ok определяется пересыщением= dC / C I=температурой=q и давлением=pK= Тогда=================== * Nö dR R æ N = CM a ç - ÷ K=======================EOKSSF====== dt R è Rk R ø Анализ полученного для скорости роста поры выражения поJ казываетI=что большие поры=Eo=[=okF==растутI==“поглощения≤=ваканJ сийI= а поры маленьких радиусов= Eo= Y= okFI= наоборотI= уменьшаютсяI= “испаряя≤=дефекты со своей поверхности=EрисKOKNQFK= При наличии в кристалле пор разных размеров возникает их= активное диффузионное взаимодействиеK= Поры получают возможJ ность влиять друг на друга опосредованноI=через среднее пересыщеJ ние вакансийK= В этих процессах происходит рост больших пор за= счет растворения маленьких= Eявление коалесценцииFK= При росте= каждая пора выбирает себе область влиянияK= =

= РисK=OKNQK=Качественная картина распределения пор по размерам=

VT= =

Для того чтобы уменьшить критический радиус=ok==необходиJ мо увеличить пересыщение вакансийK= Этого можно добитьсяI= напримерI=дополнительно облучив образецK=Изменение==критическоJ го радиуса происходит и при изменении температурыI= например за= счет изменения равновесной концентрации вакансийK= При медленном радиационном облучении в кристалле= возникает решетка порI= обратная к решетке кристаллаI= что= обусловлено длительной коалесценцией пор и другими процессамиK= =

O.1M. Неустойчивость однородного распределения точечных дефектов x4] Найдем поле напряженийI= создаваемое в растворе точечных= дефектовK= Сначала запишем дилатациюI= которую дает отдельный= дефектW= W d×x (N) e ll = PM I================================EOKSTF= R h N N+ s где= x = I=o=–=характерный размер в задаче=Eлибо размер обJ Pp N - s разцаI=либо среднее расстояние между дефектамиFK= Предположим теперьI=что в образце с характерным размером=o= растворены дефекты с плотностью ρdK Пусть=

e ll =–=дилатацияI=обуJ

словленная всеми дефектамиK=ТогдаW= (N)

ell = k d ell =

QpR

P

(N)

rd ell = WMrd px

Qd

I=====EOKS8F= Ph P здесь=kd=–=полное количество дефектов в образцеK= Из выражения= EOKS8FI= видноI= что при= W M > M получается всеJ стороннее растяжение образцаI=а при= W M < M =–=всестороннее сжатиеK= Далее для тока дефектов имеемW==

V8= =

r War W ar jd = - ad Ñrd + M d d Ñ s kk ( r ) = - adÑrd + M d d Ph Ñ e kk ( r ) = Pkq Pkq æ QpWMO ö dxrd ÷ Ñrd . = - ad ç N Pkq è ø

=

EOKSVF Критической величиной для развития неустойчивости является= концентрация==

rd G =

Pkq K =============================EOKTMF========== Q pW MOdx

Если концентрация дефектов в какой-либо области кристалла= становится равной величине= rd I= то поток дефектов в этой области= меняет свой знакK= Поскольку величина= = потока пропорциональна= концентрации дефектов и ее градиентуI= то с увеличением конценJ трации ρd поток дефектов также увеличиваетсяK= Таким образомI= в= рассматриваемой области кристалла начинается интенсивный рост= числа дефектов за счет притока из других областейK= Однородное распределение является неустойчивымI= энергетиJ чески более выгодно неоднородное распределение дилатационных= дефектовK= = *

= РисK= OKNR= Качественный вид изменение во времени конценJ траций дефектов для двух случаевW =меньше и больше критической= концентрации=

VV= =

Поскольку процессы восходящей диффузии могут приводить к= лавинообразному росту концентрации дефектов в отдельных облаJ стях твердого телаI=то возникающие в этих локальных точках искаJ жения кристаллической структуры могут достигать величин сравниJ мых с межатомными расстояниямиI=и тогда используемая нами теоJ рия упругости становится неприменимойK=В этом случае для детальJ ного исследования процессов в реальных кристаллах необходимо= привлекать методыI= учитывающие дискретную структуру твердых= телI=напримерI=метод молекулярной динамикиK= Тем не менееI= воспользуемся формулой= EOKTOFI= остающейся= *

верной лишь в рамках теории упругостиI= и оценим величину= rd K= Возьмем= s = N / P I= тогда для коэффициента κ получим= x = O / Pp K= Для объема дефекта имеем==

(

WM » M.NwM = M.N R × NM

)

-8 P

= N.OR × NM

-OP

=см 3 K=

ДалееI=положив температуру=qZTTКI=и= d = NMNN дин получимW== см

rd

*

P × N.P8 × NM

=

-NS

× TT

-QS

NN

*

*

»

POM × NM

2

-NS

-PR

» 8 × NM

OM

Q.O × NM 8 / P × N.RS × NM × NM В итоге для относительной концентрации имеемW== OM

=см-3 K==

-OO

= M.N K= С d = r d wM = 8 × NM × N.OR × NM Такие концентрации дефектов в кристалле могут быть получены в= процессах радиационного поврежденияK= Более точный расчетI =проведенный с помощью метода молеJ кулярной динамики для междоузельных атомовI=которые находятся в= анизотропной структуре графитаI= позволяет дать нижнюю оценку= величине критической концентрации= С d min * » M .MR K=НапомнимI=что в= графите слияние дефектов происходит под действием дальнодейJ ствующих сил притяженияI= которые возникают между междоузлияJ миI=находящимися между одними и теми же базовыми плоскостями= графитаK= Отталкивание дефектов в разных плоскостях препятствует= росту больших междоузельных кластеровI= способных к формироваJ нию новых упорядоченных графитовых плоскостейK= В результате= взаимодействия сил притяжения и отталкивания в соседних межJ

NMM= =

плоскостных полостях кристалла возникает чередование в располоJ жении скоплений дефектовK= Молекулярно динамические расчеты= предсказываютI= что в графитеI= находящемся под облучениемI= межJ доузельные атомы собираются в относительно небольшие скопления= (кластерыFK= В этом случае кластеры в кристалле располагаются в= шахматном порядкеK= ИтакI=если отойти от предположения об идеальности раствора= дефектовI=т.еK=учестьI=что дефекты находятся в матрице и могут поJ средством нее взаимодействоватьI= то можно увидетьI= что даже при= отсутствии внешних напряжений однородное распределение центров= дилатации является неустойчивымK== =

O.11. Дислокации Теория упругости позволяет описывать достаточно широкий= класс дефектов в твердом телеK= От точечных дефектов перейдем теJ перь к рассмотрению более сложных линейных дефектовK= Наиболее= известная их форма=–=дислокацииK= Определение: Дислокацией называется особая линия в криJ сталлеI= обладающая следующими свойствамиW=при обходе по любоJ му замкнутому контуруI= охватывающему линиюI= вектор упругого= r r смещения= r получает определенное конечное приращение= b K= Определение: СмещениеI= возникающее при обходе по контуJ r ру вокруг оси дислокацииI=называется вектором= b БюргерсаK= r r ¶r r d l = -b K ========================================EOKTNF= Ñò ¶l Сама линия дислокации является при этом линией особых тоJ чек поля деформаций и напряженийK=Все эти определения работают= для непрерывной средыK= Связь с атомарной структурой можно поJ нять из==рисK=OKNSK= r Определение: ДислокацияI= ось= t которой перпендикулярна= r вектору Бюргерса= b I=называется краевойK= Определение: Если вектор Бюргерса совпадает с одним из баJ зовых векторов кристаллаI=то такая дислокация называется полнойK= Частичная дислокация возникает в сложных==многоэлементных= соединенияхK=Добавляемая часть не кратна параметру решеткиI=это и=

NMN= =

есть частичная дислокацияK=В упорядоченных соединениях это приJ водит к наличию плоскостей дефектов замещения=EрисKOKNTFK=

= РисK= OKNSK= Правовинтовые контуры Бюргерса в идеальном= кристалле= EаF= и в кристалле= EбFI= содержащем дислокациюK= Вектор= r линии дислокации= t направлен за плоскость рисунка= =

= РисK= OKNTK= Качественная картина для частичной дислокации= для плоской решетки упорядоченного сплава АВ=

NMO= =

Решение уравнений теории упругости для краевой=дислокации= имеет видW= s rr = s qq = -

e zz =

(

N b

(s

zz

bd

(

Op N - s

)

sin q r

I===================================EOKTOF=

- s ( srr + s qq ) ) = M = Eиз

)

s zz = s s rr + s qq = -

sbd

(

p N- s

)

sin q r

симметрии задачиFI= т.еK=

I============ srz = sqz = M K=

Здесь= l = h - O / P × d I=h=–=модуль объемного сжатияI=d=–=моJ дуль сдвигаI==s=–=коэффициент ПуассонаK== Качественное изображение поля напряжений вокруг краевой= дислокации в декартовых координатах показано на рисKOKN8I= а на= рисK=OKNV=представлены контуры изонапряженийK= == = = = = = = = =

РисKOKN8K=Схематическое изображение поля напряжений== вокруг краевой дислокации=

NMP= =

= РисKOKNVK= Графическое изображение контуров постоянных= напряжений вокруг краевой дислокацииW=а=–=σxy=X=б=–=σxx=X=в=–=σyy= = Как и в случае точечных дефектов можно показатьI=что в рамJ ках изотропного бесконечного твердого тела любой объем вне дисJ локации испытывает только сдвиговое напряжениеK= Если только он= не охватывает саму дислокациюK= ОтметимI= что в реальном кристалле встречаются дислокации= разного знакаI= таким образомI= они создают случайное поле смещеJ ний со средним значениемI= равным нулюK= Возможен процесс анниJ гиляции краевых дислокаций разного знака=EрисKOKOMFK=

= = РисK=OKOMK=Аннигиляция краевых дислокацийW= а=–=две дислокации противоположных знаковX= б=–=восстановление атомной плоскости после слияния дислоJ каций=

NMQ= =

Рассчитаем энергию упругого поля вокруг краевой= дислокацииI=приходящейся на единицу длины вдоль оси=zW=

b= =b

N O

ò

e ik sik dxdy =

d

O

Qp

O

R

dr

N O

ò (e

Op

sin (N - s ) ò r ò rc

O

rr srr

)

+ e qqs jj + Oe rqsr q rdrdq =

qdq =

M

db

O

Q p(N - s )

ln

R rc

I=======EOKTPF=

где=o=–=либо имеет порядок размера кристаллаI=либо равно среднему= расстоянию между дислокациямиI= rÅ равен величине вектора БюрJ r герса= b и составляет величину порядка межатомного расстояния=~K= Для грубых оценок энергииI=запасенной в упругих деформацияхI=поJ рожденных дислокациейI=можно считать= b » dbO K= Кроме упругой энергии с дислокацией также связана энергияI= обусловленная разрывом межатомных связей по линии дислокацииK= Эта энергия сосредоточена на ядре=Eна осиF=дислокацииK= r Определение: ДислокацияI=ось= t которой параллельна вектоJ r ру Бюргерса= b I=называется винтовойK= Решение уравнений теории упругости для винтовой дислокаJ ции=EрисKOKONF=имеет видW= s zj( jz ) db b s zj = s jz = I========= e zj = e jz = I=====EOKTQF= = Opr Qpr Od остальные компоненты тензоров равны нулюK= Энергия упругих напряжений на единицу длины винтовой= дислокации равнаW= b=

N

ò O

eik s ik dxdy =

N

R

Ob Cb

ò O Q pr Opr rc

Oprdr =

db

O

Qp

ln

R

K======EOKTRF=

rc

ОтметимI= что в реальном случае линии дислокации предJ ставляют собой трубкиI=внутри которых практически нет кристаллиJ ческой структурыK= Радиус такой трубки=rÅ= ~=b=»=NMJT= смK=Величина=o= лежит в диапазоне=NMS¸NMObK= = =

NMR= =

= = = = = = = РисKOKONK=Схема и изображение винтоJ вой дислокации в кристалле= = = = = O

(

)

Таким образомI=энергия= b = db ln NM O ¸ NMS вновь может быть= Qp

оценена величиной порядка=dbOK= Заметим такжеI= что теория упругости хорошо= “работает≤= вне= ядра дислокацииK=Для описания кристалла внутри ядра дефекта нужJ но привлекать более сложные=…атомные»=моделиK== Трубки дислокаций могут выступать в качестве каналовI= по= которым внутрь кристалла могут активно проникать примесиK= Оценим величину энергииI=запасаемой в кристалле с дефектаJ ми по сравнению с идеальной структуройK== Необходимо отметитьI= что дислокации внутри кристалла не= обрываютсяW= они либо выходят на поверхностьI= либо образуют= …заJ мкнутое»= состояние= –= петлю вакансионного или междоузельного= типаK= Пусть=m=–=число выходов дислокацийI=приходящихся на квадJ ратный сантиметр поверхности кристаллаK= Обычно значение= m леJ жит в пределах= = = NMS= ¸= NMNO вых/смOK= Для= …реального»= кристалла= m= составляет величину порядка=====NM8 вых/смOK== Сначала вычислим энергию дислокацииI= которая приходится= на длинуI=равную величине вектора БюргерсаW==

NMS= =

P

NN

b × b = db = NM

дин см

2

NM

-ON

P см =Z=NM

JNM=

дин·см ≈=SM=эВK=

Рассчитаем суммарную длину дислокацийI= приходящуюся на= кубический сантиметр кристалла= Eв единицах длины вектора БюрJ герсаFW== -O

-N

-P

l b = m × N b = NM см × NM см = NM см K= Таким образомI=величина энергииI=запасаемой в=N=смP кристалJ ла за счет упругих полейI=создаваемых дислокациямиI=равна== 8

T

3

NS

NR

-S

b × b × l b = S × NM =эВ/см = NM =кДж/г K= Как уже было отмечено вышеI=с дислокацией связан еще один= тип неравновесной энергии=–=энергии разорванных межатомных свяJ зейK= Эта энергия сосредоточена на линии дислокацииK= Можно покаJ затьI= что по порядку величины дополнительно запасаемая энергия= совпадает с энергиейI=запасаемой в упругих полях дефектаK= Аналогично можно рассчитать энергиюI= запасаемую в точечJ -Q

ных дефектахW= относительная концентрация= C s £ NM I= следоваJ тельноI= величина энергии составляет= OP -P -Q NV -Q 3 N эВ × NM см = × NM NM эВ = см O × NM = кДж/гK= Для сравнения приведем величину энергииI= выделяемую при= сгорании обычного химического топливаK= Эта величина лежит в= пределах=8=¸=QR=кДж/гK=ОтметимI=что в процессах радиационного поJ вреждения может быть получена концентрация дефектовI= на неJ сколько порядков превышающая термодинамически равновесное= значение=–=вплоть до=Cd= ~=MKOK=В этом случае в дефектах кристаллиJ ческой структуры аккумулируется энергияI=сопоставимая с энергией= химического топливаK= Поле дислокации сказывается на расстоянии нескольких сотен= ангстрем от ее ядраK =В мягких кристаллах на расстоянии= ~NMQ= b от= центра дислокации напряжение соответствует величине предела теJ кучестиK= В мягких кристаллах на расстоянии=~NMQ=b от центра дислокаJ ции напряжение соответствует величине предела текучестиK= В случае краевой дислокации из-за возникающих упругих= напряжений оказываетсяI=что для междоузлий энергетически выгодJ ным является расположение дефектов под дислокациейI=а для ваканJ

NMT= =

сий=–=над нейK= ГоворятI= что вокруг линии дислокации формируется= облако дефектов=–=облако КоттреллаK=Если облако сильно развитоI=то= сдвинуть дислокацию оказывается трудноI= следовательноI= из-за деJ фектов теряется пластичность кристаллаK= Этот процесс называют= старениемK= Рассмотрим кристаллI= в котором имеется краевая дислокацияK= Пусть размер дислокации много больше среднего расстояния между= -

N P

точечными дефектами= rd K=Найдем атмосферу КоттреллаK=Для краеJ вой дислокации имеемW= sin j cos j srr = s jj = -bj X srj = bj X= r r sin j d s zz = s srr + sjj = -Obj s I=где= j º K= r Op N - s

(

)

(

)

Гидростатическое давлениеI=создаваемое дислокациейI=равноW= N O sin j K= pM = - s kk = - N + s bj P P r Тогда равновесная концентрация дефектов будет равна=

( )

C = CM q e

-

WM pM kq

( )

é

= C M q exp ê-

(

)

(

)

O N + s bW M j sin j ù

ë

Pkq

r

K=

ú. û =======EOKTSF

В формуле= r >> b I= WM= –= дилатационный объемI= WM= [= M= для= междоузлий и= WM= Y =M =для вакансийK =В итоге оказываетсяI =что над= плоскостью скольжения наблюдается избыточная концентрация ваJ кансийI=под плоскостью=–=междоузлийK= Оценим вклад в концентрацию дефектов от упругого поля= дислокацииI= для этого вычислим показатель экспоненты для типичJ ных значений константW= s = MKPX b » ~ » R ×NM-8 ; W » N×NM-OO ; j » N×NMNNX =

O ×NKP × R ×NM-8 ×NM-OO ×NMNN sin j sin j R ×NMQ sin j » R ×NM-Q = K -NS MKT × P NKP8 ×NM qr qr q ( r L NM-8 ) K=

NM8= =

é R ×NMO

СледовательноI C = CM (q ) exp ê -

êë

sin j ù

ú K===============EOKTTF=

( r L NM ) úû -S

q

Таким образомI= поле дислокации сказывается на расстоянии= нескольких сотен ангстрем от ее ядраK= =

O.1O. Пластическая деформация кристаллов Определение: Пластичностью кристаллов называют свойство= кристаллических тел необратимо изменять свои размеры и форму= под действием механических нагрузокK= Различают несколько механизмов пластичностиK=

s М

· В А

·

·

С

·

N Р ·

e =

РисK= OKOOK= Качественная диаграмма= = зависимости= ?напряжеJ ние=s=–=деформация=e?= = Точка= А на рисKOKOO= соответствует пределу пропорциональноJ сти материалаI= т.еK= максимальному напряжениюI= при котором ещё= справедлив закон ГукаK=Наибольшее напряжениеI=которое может выJ держать данный материалI=не обнаруживая остаточных деформаций= при нагрузкеI= называется пределом упругости или пределом плаJ

NMV= =

стичностиX= он не совпадает в общем случае с пределом пропорциоJ нальностиK= После точки= А диаграмма становится криволинейнойI= а= на отрезке= ВС она имеет горизонтальную площадкуI= называемую= площадкой текучестиK= Точка= В соответствует пределу текучести= материалаK= На площадке текучести деформация возрастает без увеJ личения напряженияK= Начиная с точки= С, кривая вновь идет вверхK= Если снять нагрузкуI= то диаграмма разгрузки оказывается прямой= МРI= параллельной прямой упругого участкаK= Вторичный вывод маJ териала в пластическую область повышает предел упругостиK== Конкретные соотношения положений характерных точек диаJ граммы для данного материала зависят от температуры образцаK= С учетом влияния температуры на диаграмме можно выделить= три областиI=отличающиеся механизмом деформацииK= NK=Область малых температур и больших напряженийK= Здесь= реализуется дислокационное течение кристаллаK== Поскольку дислокация обладает собственным полем деформаJ цийI= она под действием внешних приложенных к кристаллу напряJ жений испытывает силуI= под действием которой приходит в движеJ ниеI= результатом чего является взаимное проскальзывание атомных= плоскостей=–=дислокационная пластическая деформацияK= При перемещении дислокации в плоскости скольжения в кажJ дый данный момент разрываются и пересоединяются связи не между= всеми атомами на плоскости скольженияI=а только между теми атоJ мамиI= которые находятся у линии дислокации= EрисKOKOPFK= Поэтому= пластическая деформация может происходить при сравнительно маJ лых внешних напряженияхK=Эти напряжения на несколько порядков= нижеI=чем напряжениеI=при котором может пластически деформироJ ваться совершенный кристалл без дислокаций путем разрыва всех= межатомных связей в плоскости скольженияK= В итогеI=при достижении внешним напряжением определенной= величиныI=происходит изменение свойств среды=–= дислокации срыJ ваются со=“стопора≤=и начинают скользитьK= При этомI= двигаясьI= дислокации выходят на поверхностьK= То= естьI= как это уже отмечалось вышеI= при пластическом течении криJ сталлов существует пороговое напряжениеI= с которого начинается=

деформацияK=В этой области скорость течения= e& ~ s I=где= n » O K= = n

NNM= =

РисKOKOPK= Схематическое изображение сдвигаI= происходящего с помощью краевой дислокаJ цииK=Черные атомыI=конечноI=не обозначают те= же самые атомы в каждой из схемK =Они лишь= показывают положение= ?лишней?= атомной= плоскостиK= Когда дислокация движетсяI= ни= один из атомов не смещается со своего исходJ ного положения более чем на долю ангстрема= = Определение: Предел текучести кристалла= –= напряжениеI= сдвигающее дислокациюK= OK= Область относительно больших температур и малых= напряженийK=В этой области вблизи ядер дислокаций возникают поJ токи вакансий и междоузлий и дислокации получают возможность= достраивать илиI= наоборотI= растворять свои плоскостиI= переходя с= одной плоскости скольжения на другую=EрисKOKOQFK=Таким образомI=в= этой области реализуется диффузионное течение кристаллаK= БлагоJ даря диффузии точечных дефектов дислокация получает возможJ ность преодолевать препятствия=EстопорыFI=возникающие на пути ее= движенияI= переходя в другую= EсвободнуюF= плоскость скольжения= (рисKOKORFK== =

= РисKOKOQK=Перемещение краевой дислокации путем удлинения= лишней атомной полуплоскости при конденсации междоузельных= атомов=EМF=или укорочении лишней полуплоскости при конденсации= вакансий=EВF=

NNN= =

РисKOKORK= Преодоление препятствия= EАF= краевой дислокации путем перехода в друJ гую плоскость скольженияW= а=–=дислокация подошла к препятствиюX= б=–=дислокационный сегмент перемещается= в другую плоскость скольженияX= в=–=дислокация проходит над препятствием=

= PK= Область высоких температур и малых напряжений была= рассмотрена ранееK= Здесь наблюдается беспороговое течениеI= т.еK= крип=EползучестьF=кристаллаK= =

O.1P. Одномерная модель дислокации Френкеля – Конторовой = Перейдем к рассмотрению одной очень простой математичеJ ской моделиI=описывающей дислокацию в кристаллеK=Модель позвоJ ляет понять некоторые особенности динамики этого дефектаK= Рассмотрим одномерный кристаллI= находящийся во внешнем= периодическом поле с периодом=~W= t =

где= c ( u + a ) = c ( u ) K=

å c ( u ) I====================================EOKT8F= k

k

Это внешнее поле является аппроксимацией поляI=создаваемоJ го окружением данной цепочкиI=но в отличие от реального кристалла= это поле заморожено= Eокружение неподвижноFK= Теперь предполоJ жимI= что наша цепочка атомов является крайним атомным рядом= (слоемF= одной половины кристалла= E y > M на рисKOKOSFI= смещенной= определенным способом относительно другой половины=E y < M FK=

NNO= =

Тогда энергия кристалла есть сумма энергий упругого смещеJ ния соседних атомов и энергийI=связанных с абсолютными смещениJ ями атомов во внешнем полеK= Для того чтобы исследовать свойства полученной системыI= необходимо решить уравнения движения для одномерного кристалла= с потенциальной энергией= tK= Граничные условия в нашей задаче= сформулируем следующим образомW= на=–∞ произошло смещениеI=u=Z=~I= на=H∞ смещений нетI=u=Z=MK= = = = = = = = = = РисKOKOSK= Краевая дислокация в модели Френкеля– Конторовой= = В этом случае введенная выше энергия= t позволяет качеJ ственно описать воздействие несдвинутой половины кристалла на= расположенные вдоль оси=x атомыK= Поставленная таким образом задача в самом деле может слуJ жить аналогом задачи о скольжении дислокации в двухмерном или= трехмерном кристалле= EрисKOKOTFI= т.еK= о пластической деформации= кристалла при наличии напряжений за счет перемещения дислокаJ цийK=

NNP= =

= = = = = = = РисK=OKOTK=Схема перестройки атомных слоев при скольжении= краевой дислокации= = ОтметимI= что впервые эта задача была рассмотрена и решена= Я.И.Френкелем и Т.АK=КонторовойK=В их решении было принято еще= одно=Eне принципиальноеF=предположение о заданном виде функции= c ( u ) W=

( )

c u =

N

O O

t sin

pu

K==========================EOKTVF= O a При решении задачи ограничимся гармоническим приближеJ нием для взаимодействия между атомами цепочкиW=

(

)

mu&&k = a M uk +N + uk -N - O uk - dc duk K===========EOK8MF=

Переходя к пределу длинных волн= E l >> ~ FI= воспользуемся контиJ нуальным рассмотрением и заменим дискретное уравнение на неJ прерывноеW= O

¶r

где= sMO =

~ Oa M m

O sM

O

¶r

( )

= + f r I===============================EOK8NF= O O ¶t ¶x N dc K= и= f (r ) = m dr

Граничные условия полученного уравнения могут быть запиJ саны следующим образомW=

NNQ= =

( ) = r ( +¥ ) = M. r -¥ = a,

= = = = = РисK=OKO8K=Атомные смещения в окрестности ядра дислокации= = Так как коэффициенты уравнения не зависят от координат и= времениI=то оно имеет решение видаW= r = r ( x - n t ) I==где= n =–=некоторая константаK= Подставляя решение в указанной форме в уравнениеI=получимW=

(s

O M

-n

O

)r ¢¢ + f (r ) = M K=

Теперь проинтегрируем полученное равенствоI=умножив его на= r ¢ W= +¥

ò(

O sM

-n

O

)

+¥

r ¢¢r ¢dx +

x

ò f (r )r ¢dx = M K= x

ИмеемW==

s

O

( ) r¢ O

O

+¥

x

+¥

N m

O

O

ò c ¢ (r )r ¢ ( x ) dx = M K= x

O

Здесь введено обозначение= s º s M - n K= Далее из граничного услоJ вия следуетI=что= r ¢ ( +¥ ) = M K=СледовательноI=получаемW= N O

ms

O

æ dr ö ç ÷ è dx ø

O

Окончательно находим искомое решениеW==

NNR= =

( )

= c r K=

a O

ò

r

dr

( )

c r

O x - xM

=

m

s

I============================EOK8OF=

где=xM=–=константаK= Исследование найденного решения показываетI= что оно приJ водит к непрерывной монотонно убывающей функции= r ( x ) I= удоJ влетворяющей заданным граничным условиямI= если величина= s веJ щественнаK= Это соответствует условиюI= что скорость перемещения= возмущения меньше скорости звука= n < sM K= Если= n > sM I=то решение будет мнимым и можно показатьI=что= будет отвечать колебаниям одномерной цепочкиI=находящейся в доJ полнительном периодическом полеK= Поведение решения в окрестности ядра дислокации=Eточка=xMF= обусловливается точным видом функции= c ( u ) K =Для функцииI =выJ бранной Френкелем и КонторовойI= интегрирование может быть выJ полнено явноW= tg

где= l =

pu Oa

æ

= exp ç -

~s m

pt

x - xM ö

è

=

l

~sM m

pt

÷ I==========================EOK8PF= ø æ v ö K= ç s ÷÷ è Mø

N- ç

Параметр=l определяет ширину дислокации=EрисKOKO8FK=ХаракJ терноI=что с ростом скорости движения дефекта темп спада функции= r ( x ) увеличиваетсяI= и в пределе= n ® sM функция==становится разJ рывнойK= Тут можно увидеть аналогию с релятивистской теорией и= сказатьI= что дислокация испытывает сокращение своего линейного= размера при приближении ее скорости к скорости звука в кристаллеK= Вдали от ядра дислокации кристалл остается в том же физичеJ ском состоянииI= что и в отсутствие дефектаK= Основное изменение= свойств твердого тела при наличии дислокации сосредоточено в обJ ласти ее ядраK= В этом можно убедитьсяI= рассчитав производную= dr dx I=совпадающую с деформацией линейной цепочкиW=

NNS= =

dr dx

=-

a

N

pl

æ x - xM ö Åh ç ÷ è l ø

K=========================EOK8QF=

ВидноI= что вблизи дислокации происходит сжатие цепочкиK= Это приводит к соответствующей модификации плотности массы= вдоль цепочкиK= Относительное изменение плотности равно= dr / rM = -dr / dx I=где= r M = m / a I=m=–=масса одного атомаK=

= РисK=OKOVK==Профиль скорости смещений= = СледовательноI= увеличение плотности материала в ядре дисJ локации естьW= m N dr = K= pl æ x - x M ö Åh ç ÷ è l ø Вернемся теперь к выражению для смещения в нашей системеK=ПолJ ная форма зависимости дается выражениемW=

( )

r x,t =

Oa

é êë

~rÅtg exp -

x - nt ù

K= p l úû Рассчитаем энергию дислокацииK= В длинноволновом приближении= величина энергии может быть рассчитана как= O O +¥ ì üï dx bM ï m éæ ¶r ö æ ¶r ö ù I====EOK8RF= b = ò í êç ÷ + sMO ç ÷ ú + c (r ) ý = O t x a ¶ ¶ O è ø è ø -¥ î ï ëê N - ( n sM ) ûú þï

NNT= =

где= bM =

O

at a M K= Здесь вновь прослеживается аналогия с релятиJ p вистской теориейK=Если скорости малы=E n << sM FI=тоW= * O

b = m sM + где= m* =

bM O sM

=

Om × t pa a M

N O

* O

m n I======================EOK8SF=

I= mG= – =эффективная масса дислокацииK =ОтноJ

шение эффективной массы к массе отдельного атома=m определяется= отношением периода решетки к ширине покоящейся дислокации=lMW= Oa * m =m << m K= lM Найдем условия применимости полученных выраженийK= Из= вышесказанного следуетI=что скорость дислокации лежит в пределах= M < n < sM K= Величина скорости однозначно определяется величиной= полной энергии дислокацииK=Тем не менееI=вспомнимI=что нами было= использовано длинноволновое приближениеK= = СледовательноI= доJ полнительное ограничение возникает из-за тогоI= что ядро дислокаJ ции должно иметь макроскопическую ширинуW= l >> ~ I=т.еK=имеем= O O

sM - n >>

p t

K= msM ИтакI=модель Френкеля–Конторовой описывает возникновение= механического движения дислокации в кристаллеK=Таким образомI=в= континуальном пределе дислокация проявляет себя как подвижный= дефект кристаллической решеткиK= При этом оказываетсяI= что переJ мещение дислокации не связано с сопротивлением средыK= В самом= делеI=ее энергия не зависит от положения центра дислокацииI=следоJ вательноI= скорость= vM остается неизменной во время ее движенияK= Наблюдаемое экспериментально сопротивление движению дислокаJ ции появитсяI=если учесть дискретность кристаллической структуры= и отказаться от предположения о фиксированном периодическом= потенциалеK== =

NN8= =

O.14. Вопросы для самопроверки к разделу O NK Назовите основные предположенияI= сделанные при выводе= обобщенной формы закона ГукаK= OK Что считается дефектом в рамках теории упругости?= PK Напишите уравнение равновесия для сплошной средыK=Дайте= пояснение его составляющимK= QK Что означает= pp= тензора относительных деформаций для= сплошной среды?= RK Что означает девиаторная часть тензора относительных деJ формаций для сплошной среды?= SK Как связаны абсолютные деформации и тензор относительJ ных деформаций для сплошной среды?= TK Запишите общее уравнение для описания динамики сплошJ ной среды= 8K Что называют мощностью дилатационного дефекта в сплошJ ной среде?= VK Напишите выражение для энергии дефекта во внешнем упруJ гом полеK=Поясните смысл составляющих этого выраженияK= NMK Что называют размерным эффектом и что=–=модульным?= NNK Дайте качественное объяснение механизму взаимодействия= между дефектами в рамках теории упругостиK= NOK Почему для изотропной среды взаимодействие дефектов отJ сутствует?= NPK В чем состоит явление течения кристалла?= NQK Нарисуйте качественную зависимость скорости относительJ ной деформации при течении кристаллаK= Основные зависимости= (размер кристаллитаI= температурная зависимостьI= зависимость от= напряженийF?= NRK При каких давлениях рост пор прекращается?= NSK Что является критическим размером пор?= NTK Напишите зависимость абсолютных смещений вокруг дилаJ тационного дефекта для сплошной изотропной средыI= То же= –= для= конечного образца радиуса=oK= N8K Приведите выражение для силыI= с которой упруго деформиJ рованный кристалл действует на дефектK=

NNV= =

NVK Какие параметры определяют направление силыI= с которой= упруго деформированный кристалл действует на дефект?= OMK Чему равна работа внешних сил при выходе одной вакансии= на поверхность?= ONK Изменение каких параметров приводит к уменьшению= = криJ тического размера порK= OOK Какие предположения имеют место при рассмотрении непреJ рывного распределения дефектов в упругой среде?= OPK Какие параметры определяют коэффициент диффузии точечJ ных дефекто?= OQK Чем обусловлены напряжения вблизи пустой поры?= ORK Назовите условие равновесия для системы точечных дефекJ тов в напряженном кристалле в приближении непрерывного распреJ деления дефектовK= OSK Напишите выражение для потока дефектов в неоднородно= напряженном==кристаллеK= OTK Напишите выражение для граничных условий для измениях= химического потенциала вакансий на нагруженной поверхности= O8K Нарисуйте потоки вакансий в неоднородно нагруженном= стержнеK= OVK Нарисуйте потоки междоузельных атомов в неоднородно= нагруженном стержнеK= PMK Дайте определение краевой дислокацииK= PNK Дайте определение вектора БюргерсаK= POK Какая дислокация называется полной?= PPK Какая дислокация называется частичной?= PQK Дайте описание дислокационной петлиK= К какому виду дисJ локаций её необходимо отнести?= PRK Укажите направление скольжения дислокацийK== PSK В каком случае возможен процесс аннигиляции дислокаций?= PTK Что называется винтовой дислокацией?= P8K Дайте оценку энергииI= запасаемой в упругих деформацияхI= порождаемых дислокациейK= PVK Что представляет собой ядро дислокации?= QMK Дайте оценку длины дислокаций в= N= смP и энергииI= запасаеJ мой имиK= QNK Что представляет собой атмосфера Контрелла вокруг дислоJ кации?=

NOM= =

QOK Где выгоднее располагаться вакансиям в упругом поле дисJ локации?= QPK На каком расстоянии сказывается упругое поле дислокаций?= QQK Нарисуйте качественно зависимость= sEeF для реального тверJ дого телаK=Дайте пояснения различным участкам этой зависимостиK== QRK Опишите качественно дислокационные механизмы течения= кристаллаK= QSK Опишите качественно диффузионно-дислокационные мехаJ низм течения кристаллаK= QTK Опишите постановку задачи в модели Френкеля–КонторовойK= Q8K В каких приближениях решается модель Френкеля– Конторовой?= QVK Для реализации движения солитона в модели Френкеля– Конторовой скорость возбуждения должна быть больше= EменьшеF= скорости звука?= RMK Какой режим возбуждения реализуется при скорости возбужJ дения больше скорости звука?= RNK Как меняется ширина фронта возбуждения при изменении= скорости возбуждения?= ROK Напишите выражение для энергии дислокации в модели Ф-КK= = =

РАЗДЕЛ P РАДИАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ Радиационную стойкость материалов и закономерности развиJ тия радиационной дефектности в них изучаютI= проводя исследоваJ ния на опытных образцахI=облученных в тепловых и быстрых реакJ торах и на нейтронных генераторахX=образцахI= облученных на ускоJ рителях заряженных частицK== Такие исследования в области радиационного материаловедеJ ния чрезвычайно важны для создания и прогнозирования работы реJ акторов деления нового поколенияI= для решения проблем создания= термоядерного реактора=EТЯРF= иI= в частностиI= его сверхпроводящей= магнитной системы= EСМСFK= ЕстественноI= наиболее представительJ ные результаты изменения сверхпроводящих материалов и изделий= из них можно получить при испытании их в реальных условиях ТЯРK=

NON= =

На данный момент не существует достаточно интенсивного= источника нейтронов со спектромI= подобным ТЯР или в области= расположения= CjC= ТЯРK= Низкоэнергетическая часть спектра= нейтронов в области= CjC =может быть грубо смоделирована спекJ тром нейтронов реакторов деленияK= Однако различавшиеся по приJ роде и энергетическому спектру потоки излучений в различных реJ акторах деленияI= сложные условия метрологии облученияI= нестациJ онарность по тепловым и механическим нагрузкамI=другие специфиJ ческие обстоятельства даже в однотипных реакторах затрудняют поJ лучение однозначных результатов исследований радиационного возJ действияK =Кроме тогоI =если для реакторов деления режимы работы= материалов известныI= то для термоядерных реакторов они могут= быть указаны лишь приблизительноI=так как оптимальная конструкJ ция таких реакторов еще только разрабатываетсяK= =

P.1. Методы создания радиационных дефектов В таблK= PKN= приведены характеристики некоторых источников= излученийI=используемых для создания радиационных повреждений= в материалахK= Основным и общим методом исследования структурных измеJ ненийI=вызванных облучениемI=является рентгеновская дифракция и= электронная микроскопияK= Этими методами можно устанавливать= структурно-фазовые изменения в облучаемом материалеI=определять= изменение параметров решеткиI=связанное с развитием дефектности= материалаI=определять распределение элементарных дефектов струкJ турыI= а также дислокационных петельI= выделений и других образоJ ваний в пространстве и по размерамK=Наряду с этими методами для= исследований радиационно-индуцированных дефектов структуры= сверхпроводящих материалов используются автоионная микроскоJ пия и ядерно-физические методыW=аннигиляция позитроновI=малоугJ ловое рассеяние нейтронов и рентгеновских лучейK= = = =

NOO= =

Таблица=PKN== Некоторые характеристики источников излученийI= используемых= для создания радиационных повреждений в материалах= = = = = = Тип частиц= Тип источника= Энергия= ИнтенсивJ ||с.н.аK||||= = частиц/смO= МэВ= ность= O *=J=реактор= **=Jспектр= NLсм с= НейтроJ БОРJSM===G= GG= NKT=NMNR= RK8=NMJOO= ны= БРJNM======G= GG= RKM=NMNQ= NKO=NMJOO= NR bBo=f======G= GG= PKM=NM = RK8=NMJOO= NR ecfo=======G= GG= PKM=NM = NQK=NMJOO= NO Нейтронный= NQKR= OKM=NM = OTK=NMJOO= = генератор= NKM=NMNP= NMMK=NMJOO= a-частицы= ускоритель= ==QM= Протоны== ускоритель= Ионы=ki= ускоритель= Электроны= ускоритель= g-кванты=

=

PKM=NMNP= NKM=NMNQ= NKR=NMNR= SK=NMNP= NK=NMOM= PK=NMNR= NKM=NMNR=

NM= PM= SMM= N=÷=SM= N= QM=÷=PMM= PMM=

OMMK=NMJOO= RMK=NMJOO= PRK=NMJOO= NMTK=NMJOO= MKN=NMJOO= NKO=NMJOO= MK8=NMJOO=

P.1.1. Облучение в реакторе = Реакторные эксперименты по программе исследований радиаJ ционной стойкости конструкционныхI= в частностиI= сверхпроводяJ щих материалов проводятсяI= в основномI= с облучением в быстрых= реакторах=EБОРJSMI=БРJNMI=БНJPRMI=БНJSMM=и дрKFK=ЧастичноI=эта проJ грамма выполняется на реакторах с тепловым и смешанным спекJ тром нейтронов= EИТР и дрKF= и с облучением на нейтронных генеJ раторахK= В таблK= PKN= представлены некоторые характеристики услоJ вий облучения в исследовательских каналах реакторовK= Лишь немногие из перечисленных реакторов оборудованы сиJ стемой охлаждения облучаемых образцов= – гелиевой или азотной= петлейI= что позволяет проводить облучение не только при соответJ

NOP= =

ствующей температуреI=но и определять ряд характеристик исследуJ емых образцов во время экспериментаK= С точки зрения экспериментального исследования физических= основ процесса образованияI= развития и кинетики радиационных= дефектов реакторные условия имеют ряд недостатковW= J==малая скорость генерации точечных дефектов=ENMJT÷NMJV=с.н.аKLсFX= J= невозможность дифференциального исследования вклада многоJ численных факторовI=влияющих на развитие дефектностиX= J= сложность проведения облучения в строго контролируемых услоJ вияхX= J=высокая наведенная активность облученных образцовX= J=неоднородность радиационного и теплового полей в активной зоне= реакторовK= На рисKPKNK=приведено распределение температуры и нейтронJ ного потока по высоте активной зоны в реакторе БОРJSMK= Однако результаты реакторных экспериментов являются= наиболее представительными для инженерных разработок активной= зоны ядерных реакторов и оптимизации условий их работыK= =

=

РисK= PKN. Типичное распределение флюенса= и температуры= для гильзы компенсирующего стержня реактораW= N=– температура внутренней поверхности гильзыX= O=– температура внешней поверхности гильзыX= P=– флюенс нейтронов=Eb[MKN=МэВFX= Q – флюенс нейтронов=EЕ[MF=

NOQ= =

= P.1.O. Облучение на ускорителях тяжелых ионов = В=NVSV=гK=Мазей и Нельсон провели исследование образцов из= стали МPNSI= облученных ионами кислородаI= углерода и железа при= TOMJ8TRКI= и показалиI= что структура ионно-облученных образцов= сходна со структурой образцовI= облученных в реактореK= Этот экспеJ римент положен в основу нового направления радиационного матеJ риаловедения= – имитации реакторного повреждения путем облучеJ ния заряженными частицамиI=имеющими большое сечение столкноJ вения с атомами мишениK= Эксперименты на ускорителях тяжелых заряженных частиц с= целью имитации реакторных повреждений проводятся во многих= научных центрахK= Подобные эксперименты проводятся и на сверхJ проводящих материалахK= Высокие скорости смещения атомов= ENMJQ= ÷= NMJO с.н.аKLсF= при= ионном облучении позволяют набрать большую дозу за относительJ но короткое времяK= Уровень поврежденияI= достигнутый на реакторе= за два годаI=при облучении на ускорителе может быть превзойден за= два часаK= Экспрессный метод радиационного испытания на ускорителях= тяжелых ионов в настоящее время широко используется при исслеJ довании процессов зарождения и кинетики дефектов и предвариJ тельной оценке радиационной стойкости материаловI= для этого= успешно применяются ускорители ионов с энергией= MKN÷NM= МэВ= (типа Ван-де-ГрааффаI= циклотронаFK= К ускорителям такого типа= предъявляются следующие требованияW= N интенсивность пучка ионов должна обеспечить в течение неJ скольких часов облучение материала до дозы=NMOO ион/мOI=что по= уровню повреждений в смещениях на атом эквивалентно облуJ чению нейтронами=NMOT нейтрона/мOX= O ускоритель следует ориентировать на получение пучков ионов= атомовI= составлявших основу изучаемого материалаI= во избежаJ ние нежелательных структурных изменений в облучаемом объJ ектеX= P конструкция ускорителя должна предусматривать возможность= последовательного или одновременного облучения мишеней= ионами газа и металлаX=

NOR= =

Q

энергия ускоренных частиц должна составлять= MKN÷NMМэВI= что= позволяет исключить влияние поверхности и ионного внедрения= при облучении тонких сверхпроводящих пленокX= R лучше использовать ускорители тяжелых ионовI= работающие в= стационарном режимеI=что исключает необходимость учета влиJ яния импульсивности пучков на процесс образования и кинетики= дефектовX= S в ускорителях необходимо создание вакуума= = ~= NMJR= ÷NMJS= = ПаI = причем парциальное давление химически активных газов=EОOI=НOI= С) не должно превышать=NMJ8=÷NMJV ПаI=так как различные физиJ ко-химические процессы= EокислениеI= диффузияFI= протекающие= на поверхности облучаемых образцовI=могут отразиться на качеJ стве получаемой информацииX= T ускорители тяжелых ионов должны быть снабжены рядом спеJ циальных устройств и приспособлений для измерения и конJ троля параметров облученияI= диагностики пучкаI= измерения и= регулировки температуры облучаемых образцов и тK= дK= для соJ блюдения перечисленных условий и возможности облучения выJ соко энергетичными ионамиI= особые требования предъявляются= к мишенному комплексу ускорителейK= ОбразцыI=облученные на ускорителях заряженных частицI=не= обладают наведенной активностьюK= Использование ускорителей заJ ряженных частиц позволяетW= · осуществлять строгий контроль дозыI= температуры и других= параметров облученияX= · проводить эксперименты при циклических и других нестациJ онарных режимах облучения по намеченной программеX= · предварительно= Eимпульсно или непрерывноF=вводить атомы= других элементов в любом соотношении с числом смещенных атоJ мовX= · набирать дозыI= не достигаемые в действующих ядерных= установкахX= · изменять скорость повреждений в широких пределахX= получать обширную информацию о влиянии условий облучения= (массы и энергии бомбардирующих частицI= скорости поврежденияI=== скорости введения примесных атомовI= импульсивности пучкаF= на=

NOS= =

развитие радиационных дефектовI= их кинетикуI= свойства= облучаемого образцаI=его структуру и фазовое состояниеK= Вследствие малого объема поврежденного слоя действенными= методами определения структурного и дефектного состояния ионноJ облученных образцов являются рентгеновская дифракция и= электронная микроскопияK= Эти методы дают достаточно полное= представление о структурно-фазовых изменениях в облучаемом= материалеK= Профили= распределения дефектов в настоящее время измеряJ ются экспериментально с разрешением по глубине в лучших устаJ новках=~NMMǺK=Однако большинство методов позволяют исследовать= только монокристаллыK= Основные методы исследования поверхJ ностных слоевW== NF=метод обратного рассеяния каналированных частицX= OF= метод дифракции медленных электроновI= падающих под= скользящими углами к поверхности кристаллаX== PF=измерение электрических свойств поверхностных слоев поJ лупроводниковых кристалловK= Уровень повреждений сложным образом изменяется вдоль= траектории ионов=EрисKPKOI=PKPF=для экспериментального построения= профиля повреждений используются следующие методыW= · электронно-микроскопическое стерео исследованиеX= · электронно-микроскопическое исследование поперечного сечеJ ния облученных образцовX= · послойное электронно-микроскопическое исследование и исслеJ дование пакетов тонких пленокK= =

NOT= =

=

РисKPKOK=Расчетное число смещений на одну падающую чаJ стицу в=kbPpn=от глубины проникновенияW== N=– ионы=T~HP=EbMZTKRМэВFX=O=– ионы=kiHO=EbMZRKMМэВFX=P=– ионы=CHO= EbMZOMKMМэВFX=Q=– ионы=eHN=EbMZNKPМэВFX== R=– нейтроны=EbMZNQМэВFX=S=– нейтроны=EbMZN=МэВF= =

=

РисKPKPK=Экспериментальные профили повреждений и расJ пределения имплантированных частиц при облучении=kb=мишени= ионами=kb=EbMZPМэВX=jZ=NMON=NLмOF=

NO8= =

= Метод послойного электронно-микроскопического исследоваJ ния заключается в исследовании тонких слоевI= представляющих соJ бой продольные сечения образцов по глубине поврежденного сдояK= Одна из методических задачI =которую следует решитьI – выход в= слой на заданную глубинуK=Для этой цели вначале с облученной поJ верхности удаляют слой заданной толщиныI= а затем утоняют обраJ зец с противоположной поверхности до толщиныI= пригодной для электронно-микроскопических исследованийK= Применение пакетов тонких пленок для исследования распреJ деления радиационных дефектов вдоль пробега частицI= в мишени= имеет ряд преимуществ методического характераK= Во-первыхI= тонJ кие пленки сразу после облучения можно исследовать в электронном= микроскопеI =в то время как во всех предыдущих методах облученJ ные образцы должны проходить через кропотливую стадию пригоJ товления электронно-микроскопических объектовK= Во-вторыхI= поJ скольку толщины пленок известны достаточно точноI= отпадает= необходимость в определении толщин просматриваемых в электронJ ном микроскопе объектовK=Для определения распределения радиациJ онных дефектов по глубине набираетсяI= облучается и исследуется= пакет пленок с общей толщинойI= сравнимой с величиной проективJ ного пробега ионов в материалеK= = P.1.P. Облучение в высоковольтном электронном микроскопе = Электроны с энергией=N÷NM=МэВ вызывают смешение атомов и= создают в металлах дефекты в виде отдельных пар ФренкеляK=В свяJ зи с чем высоковольтный электронный микроскоп=EВВЭМF=с пучкаJ ми электронов энергией= N= МэВ и выше широко используется не= только как высокоразрешающий исследовательский инструментI= но= и как ускоритель электроновK= В современных электронных микроJ скопах плотность электронного потока достигает=OK×NMOQ=NLEмO×сFI=при= этом скорость повреждения в металлах составляет=NMJQ=÷NMJO с.н.аKLсI= что на=PJQ=порядка выше скорости поврежденияI=реализуемой в реакJ торных условияхK= Преимуществом ВВЗМ является возможность обJ лучения относительно толстых=Eдо=P= мкмF=мишеней и исследование= процесса развития радиационно-индуцированных дефектов структуJ

NOV= =

ры в динамикеK=Это имеет особое значение при изучении механизмов= радиационно-индуцированного разупорядочения и фазовых перехоJ дов структурыK= = P.1.4. Основные преимущества и недостатки экспрессивных методов радиационного испытания Основными преимуществами экспериментов с облучением обJ разцов на ускорителях заряженных частиц являютсяW= · увеличение скорости повреждения до= NMJQ÷NMJO с.н.аKLс по= сравнению с=NMJT=÷NMJS с.н.аKLс в условиях реакторного облученияX= · возможность дифференциального исследования многочисJ ленных факторовI==управляющих формированием дефектовX= · возможность избирательного введения примесей в исследуеJ мые объектыX= · возможность непосредственного исследования эволюции деJ фектной структуры при облученииX= · отсутствие наведенной активностиX=относительно низкая стоJ имость экспериментаK= Однако наряду с перечисленными достоинствами в имитациJ онных экспериментах имеются существенные недостатки и сложноJ стиK= Во-первыхI= при облучении материала заряженными частицами= необходимо знать и воспроизводить структуру первичных радиациJ онных поврежденийI= соответствующую имитируемойK= Во-вторыхI= для выполнения условий равенства отношения скорости генерации= точечных дефектов и скорости их преобразования или исчезновения= на стокахI= подобия прохождения сопутствующих диффузионных= процессовK= При больших скоростях генерации точечных дефектов= это требование может приводить к необходимости повышать темпеJ ратуру облучения= Eтемпературный сдвигFI= т.еK= в имитационных эксJ периментах не всегда воспроизводятся характерные для натурного= эксперимента условияK= Кроме тогоI= для ускоренного воспроизводJ ства каждого из диффузионных процессов требуется свой темпераJ турный сдвигI=что дополнительно усложняет установление корреляJ ции развития этих процессовK=Учет данного обстоятельства особенно= важен для сложных сплавовI= в которых указанный температурный= сдвиг может вызвать изменения в структурно-фазовых превращениJ

NPM= =

яхK=Низкие же температуры=Eдаже порядка=8MКF=не являются гарантиJ ей несущественности диффузионно-контролируемых процессовK= ВJ третьихI= уровень повреждения изменятся вдоль траектории ионов в= материале мишениI= а при облучении в ВВЭИ повреждение неодноJ родно по поперечному сечению облучаемого пятна мишениK=В обоих= случаях повреждаемый слой находится под напряжениемI=что вносит= изменения в развитие радиационно-индуцированных дефектов= структурыK= В частностиI= может вызвать изменение диффузионноJ контролируемых процессов при высоком уровне поврежденияK= НаконецI= в имитационных экспериментах не всегда просто= воспроизвести накопление в материале продуктов ядерных реакцииK= Для этого необходимо облучить мишени совмещенными пучками= заряженных частицK= Все это послужило причиной необходимости создания теореJ тических основ имитацииI= разработки условий подобия радиационJ ной повреждаемости твердых тел при облучении различными частиJ цами сверхпроводящих материаловK= =

P.O. Первичные процессы взаимодействия частиц и излучений с твердым телом P.O.1. Общие представления о процессах взаимодействия частиц с твердым телом = Из многочисленных характеристик излученийI= определяющих= эффективность их воздействия на структуру и свойства облучаемого= материалаI=следует выделить массуI=зарядI=энергию=EскоростьF=и проJ странственную плотность частицI=составляющих излучениеK= Поток частицI=проходящих через единицу площади в единицу= времениI=мJO·сJN или смJO·сJNI=при данной пространственной плотности= n движущихся со скоростью=vI=имеет вид= j = n× vK = ===============================EPKNF= Интегральный поток частиц=EфлюенсI=дозаFI=прошедших через= единицу площади за время=tI=мJO или смJOI=при этом составляет= EPKOF= F j = φt K ============================================== Формулы=EPKNF=и=EPKOF=применяются при расчете потока частиц= и интегрального потока моноэнергетического пучка однотипных и=

NPN= =

однородно распределенных в пространстве частицK=В активной зоне= тепловыхI=быстрых и термоядерных реакторов материалы подвержеJ ны облучению разными частицамиI= различающимися как по прироJ деI=так и по спектрам распределения частицI=по скоростям и энергиJ ямK=В этом случае в дополнение к характеристикам излученийI=переJ численным вышеI= следует ввести распределение частиц по скороJ стям или энергиям и спектральную плотность потока частиц типа=jW= dn j dn j n j EvFZ X n j EbFZ X dv db dφ j dφ j = φ j EvFZ X φ j EbFZ dv db и вычислить интегральный поток=Eфлюенс) частиц по формуле= t

¥

M

b% j

Φ j Z ò dt

ò φ j EbFdbI ======================================EPKPF=

где= b% j –=минимальная энергия частиц типа=jK= Попадая в твердое телоI=быстрая частица вовлекается в сложJ ный процесс взаимодействия с электронами и ядрами атомов криJ сталлической решеткиK= По мере проникновения вглубь материала= мишени частицы теряют свою энергию иI=передав ее электронной и= ядерной подсистемамI= останавливаютсяK= Скорость потери энергии= бомбардирующих частиц характеризуется тормозной способностью= вещества= db dx K=РасстояниеI= на которое частица проникает в матеJ риалI= называется глубиной= EдлинойF= пробега частиц= oEbFK Передача= энергии бомбардирующих частиц ядрам мишени и электронам проJ исходит в упругих и неупругих процессах их взаимодействияK= Суммарная кинетическая энергия частиц до и после соудареJ ния при= их упругом взаимодействии остается неизменнойI= энергия= реакции такого взаимодействия равна нулюK=Распределение энергии= между упруго рассеянными частицами определяется соотношением= их масс и углом рассеянияK= Для частиц в нерелятивистской области= скоростей= æΘö qNO ZαNO bN sin O ç ÷ I ======================================EPKQF= èOø =

NPO= =

Qj N j O

I ========================================EPKRF= Ej N Hj O FO где= qNO= –= энергияI= переданная налетающей частицей атому мишени= (энергия первично-выбитого атома=EПВАFFX=МNI=bN=–=массовое число= и энергия налетающей частицыX=jO=–=массовое число атомов мишеJ ниX=Q –=угол рассеянияK= При неупругом взаимодействии часть энергии бомбардируюJ щих частиц расходуется на возбуждениеI= ионизацию атомов мишеJ ниI=орбитальный переход электроновI=ядерные реакцииK=Энергия реJ акции неупругого взаимодействия частиц отлична от нуля= æΘö G qNO ZαNO EbN J gF sin O ç ÷ I ===================================EPKSF= èOø G где= qNO = –= кинетическая энергияI= переданная атому мишени при неJ упругом взаимодействииX= g= –= неупругие потери энергии бомбардиJ рующих частицK= Процесс взаимодействия излучения с веществом связан с= пучком падающих частиц и с большим числом атомов мишениK=ПоJ этому при рассмотрении процессовI= происходящих в облучаемом= материалеI= требуется статистический подходK= В основе такого подJ хода лежит вероятность протекания того или иного процесса взаиJ модействияK= За меру плотности вероятности событий при взаимоJ действии пучка частиц с твердым телом принято сечение= EдиффеJ ренциальноеI=парциальноеI=полноеF=реакции= σZm φI == ==================EPKTF= где= σ –= эффективное сечение взаимодействия= EреакцииFX= m= – =число= актов взаимодействия=EреакцийF=в единицу времениK= По определению эффективное поперечное сечение имеет= размерность площади и обычно выражается в барнахI=N=б=Z=NMJO8 мO= ENMJOQ смOFK= ПроцессыI= происходящие при столкновении налетающих чаJ стиц с атомами мишениI= а следовательноI= и вероятность того или= иного процесса взаимодействия частиц прежде всего определяются= силами их взаимодействияK=Силу взаимодействия обычно выражают= через потенциальную энергию= sErFI= появляющуюся за счет сближеJ ния частиц от бесконечности до расстояния= rK= Расчет потенциала= взаимодействия= sErF представляет собой сложную квантовоJ αNO Z

NPP= =

механическую задачуK= Каждый из описанных в литературе видов= sErF принципиально применим только для определенных частицI= конкретного типа взаимодействия и ограниченного интервала сблиJ жения частицK=На шкале расстояний имеются две характерные точкиW= боровский радиус атома водорода=~M=Z=MKMRP=нм и расстояние между= двумя ближайшими атомами в кристалле=–=dK=При= r>>d электроны= занимают энергетические уровни отдельных атомовX= между этими= атомами нет силы притяженияK= Силы притяжения возникаютI= когда= пара атомов сближается настолькоI= что перекрываются оболочки= валентных электроновK= Энергия взаимодействия атомов при переJ крытии только оболочек валентных электронов не превышает неJ скольких электрон-вольт и ее можно не учитывать при рассмотрении= столкновенийK При= ~M
NPQ= =

В основе большинства явлений радиационной повреждаемости= материалов лежит смещение атомов из узлов кристаллической реJ шетки=EрисK=PKQFK=При столкновении налетающая частицаI=испытывая= упругое или неупругое взаимодействиеI= передает атому мишени= часть энергии=ТNOK=В зависимости от энергииI=переданной атому при= столкновенииI= последний либо только отклоняется от своего первоJ начального равновесного положенияI= либо смещается на большое= расстояниеI=превышающее так называемый радиус спонтанной анниJ гиляцииI= и создает устойчивую пару Френкеля= –= вакансияJ межузельный атомK= Вообще говоряI= эффективность этого процесса= зависит от направления смещения в кристаллеI= но поскольку в= большинстве случаев импульсыI=передаваемые атомам мишениI=расJ пределены хаотически относительно кристаллографических направJ ленийI=то используется энергия смещенияI=усредненная по направлеJ ниямK==

= РисK=PKQK=Схема развития радиационного каскада в кристалле= =

NPR= =

Минимальное значение энергииI= переданной атому мишениI= ТNOI=при которой происходит необратимое смешение атома из первоJ начального положения в кристаллической решеткеI= принято назыJ вать энергией смещения= bdK= Значение этой энергии для различных= металлов и кристаллографических ориентации составляет=NR=–=8R=эВK= Точечные дефектыI=диффундируяI=могут либо рекомбинироватьI=лиJ бо объединиться в вакансионные и междоузельные кластерыK= ПоJ следниеI= разрастаясьI= образуют сложные дефектыW= петли дислокаJ цийI=вакансионные поры или в присутствии газа=–=газовые пузырькиK= С точки зрения создания в материалах радиационных поврежденийI= естественноI= представляют интерес потоки частиц и излученийI= пеJ редающих атомам мишени энергию=ТNOI=равную или превышающую= порог смешения=bdK=Оценка величины энергии= bd @ Qεs =E εs =–=энергия= сублимацииFK= Если первично выбитый атом=EПВАF=способен передавать друJ гому атому решетки энергию= qOP > bd I=то он выбивает второй атомI= который при том же условии смещает третий атом и тK =дK =Другими= словамиI= высокоэнергетичные частицы создают в твердых телах цеJ лые каскады атом-атомных смещений=EрисKPKRI=PKSFK= В таблK=PKO=приведены расчетные значения начальной энергии= ЕN для частиц различного сортаI= необходимой для передачи атомам= мишени энергииI= равной пороговой= Eоколо= PM= эВFI= и значительно= превышающей ее= ERM= кэВFK= В первом случае образуются отдельные= пары ФренкеляI=во втором=–=каскады смещенийK= Движение всех частиц в твердом теле в большинстве обсуждаJ емых процессов рассматривается до тех порI=пока их энергия больше= энергии ЕdI= необходимой для смещения атома из узла кристалличеJ ской решеткиI=которая составляет=NM¸RM=эВK=При энергии частицы=Е= »=Еd считаютI=что она взаимодействует с атомами твердого тела как= со свободными атомами в газеK= Атомные частицы с указанными энергиями имеют длину волJ ны де-Бройля значительно меньшеI=чем размеры их сечения взаимоJ действияI=и потому рассматриваются классическиK== = = = =

NPS= =

Таблица=PKOK== Расчетные значения минимальной энергии частиц ЕNI= при которой= образуются одиночные пары Френкеля=EТNO=Z=PM=эВF=и каскады=EТNO=Z= RM=кэВF= = Тип частиц= ТNOI=эВ= ЕNI=эВ= = PM== SM= Ион никеля= = RMMMM= NMMMMM= PM== ORM== = a-частица= RMMMM= QMMMMM= = PM== 8SM== Нейтрон= = RMMMM= NSMMMMM= = Электрон=

=

PM== RMMMM=

8MMMMM== VNMMMMMM=

=

= РисK=PKRK=Схема модели радиационных поврежденийI=произвоJ димых при соударениях нейтрона с атомами решетки=

NPT= =

= РисK=PKSK=Структура высокоэнергетических ветвей каскада= (энергия ПВА=Т=Z=NMM=КэВF=в железеI=полученная методом динамиJ ческого моделированияK=Цифрами показаны энергии=xэВz=выбитых= атомов= В области энергий атомных частиц=[=NMM=эВ величина сечения= меньшеI=чем квадрат расстояния между атомами в твердом телеI=тK=еK=

σ<
NP8= =

¥

hjZ

ò

bd

¥

dq ×γEqF×

ò

φ j EbF×

dσ j EbIqF

bmin

dq

db I =

EPK8F=

где= gEqF=–= каскадная функцияI= характеризующая среднее число смеJ щенных атомов в каскаде соударенийX= jj(ЕF= –= спектральная плотJ ность потока частицX= éë dσ j EbIqF L dq ùû = –= дифференциальное сечение= образования П_A=с энергией=Т при энергии налетающей частицы=ЕX= Еmin=–=минимальная энергияI=при которой частица способна привести= к смещению атомаK= При рассмотрении процесса образования дефектов в каскаде= можно выделить несколько стадийI=определяемых характерным вреJ менем их протеканияW== N образование ПВА=Et=~=NMJNS сFX== O динамическая стадия развития каскада=Et=~=NMJNP сFX= P стадия релаксации=Et=~=NMJ8=–=NMJT сFK= Предложен ряд моделей для расчета среднего числа смещенJ ных атомов в каскаде соударенийI= отличающихся друг от друга= предполагаемым вкладом различных процессов в создание смещеJ ний и потерями энергии в процессахI=не приводящих к дефектообраJ зованиюK= В качестве международного стандарта для расчета числа= смещений в каскаде принята модель Торренса-Робинсона-Норгетта= (ТРН-стандартFK=В этой модели при расчете пар Френкеля в каскаде= используется уравнение= B ×Eb J gF B × bG νEbF = = I ========================================EPKVF= Obd Obd где= g= – =общие электронные потери в каскадеX =В= –= эффективность= смещений=EВ=Z=MK8=для всех значений энергия ПВАFX=Е=–=энергия перJ вично-выбитого атома=Eпри упругом рассеянии частицFK= ДействительноI=поскольку смещенные атомы образуются в реJ зультате упругих столкновенийI= то число смещенных атомов опреJ деляется только той частью энергии ионаI =которая была передана= при упругих столкновенияхI= но не в результате неупругих потерь= энергии иона и смещенных атомовK= Энергия= ЕGI= затраченная при= упругих столкновенияхI=в зависимости от полной энергии=Е первичJ ной частицыI= которая инициирует каскадI= определяется приближенJ ной формулой=

NPV= =

bGZ b L ENHke gEεFFI ===================================EPKNMF=

где= ke= –= константаI= определяющая электронную тормозную способJ ность= pe Zke ε = Eформула= EPKNMF= применимаI= когда скорости всех= атомных частиц меньше скорости электронов на поверхности ФерJ миFX= gEεF –=универсальная функция безразмерной энергии=eI= которая= определена формулой=

εZb bi I ======== bi Z

ZNZO e O j N Hj O × I === ~ jO

EPKNNF=

gEε) ; εHMKQε P O HPKQε N S K ===========================EPKNOF=

При малых энергиях= Е*≈ ЕI= а по мере увеличения энергии и= доли неупругих потерь энергия=ЕG становится меньшеI=чем=ЕK= Число смещенных атомов= nI= созданных в каскаде при= ЕG»bdI= определяется простой формулой= bG ν= κ I == EPKNPF= bd где= κ =–=константаI=слабо зависящая от потенциала взаимодействия= атомов и равная= κ ≈= NLP= ¸= NLOK =Формула= EPKNPF =показываетI =что на= образование одного смещенного атома в каскаде в среднем идет= энергия=EO=¸=PFТdK= Этот факт достаточно универсален для кинетичеJ ских процессовI=в которых рождение новых частиц имеет пороговый= характерK= НапримерI= в газовом разряде энергияI= затрачиваемая на= образование ионаI=в среднем составляет=O¸P=потенциала ионизацииK= Экспериментальная проверка формулы=EPKNPF=осложняется темI= что измеряемые характеристики зависят от числа дефектовI= оставJ шихся после вторичных процессовI= в которыхI= как говорилосьI= большая часть вакансий и междоузельных атомов рекомбинируетK= Это особенно существенно для каскадовI= созданных тяжелыми чаJ стицамиI= в которых плотность смешенных атомов велика и потому= велика вероятность рекомбинацииK=В то же времяI=легкие ионы=EМN= «= МOF=передают первичным смещенным атомам сравнительно небольJ шую энергию=Е=~=ТdK= В этом случае каскад столкновений не образуетсяI=а создаются= лишь единичные смешенные атомы вдоль трека ионаK= Вероятность= «выживания»=точечных дефектовI= созданных таким образомI= значиJ

NQM= =

тельно большеK= Полное дифференциальное сечение образования= первично-выбитых атомов с энергией= q ( dσ L dq ) равно сумме дифJ ференциальных сечений в упругих и неупругих= ( dσ L dq )n процессах= взаимодействия потока частиц с веществом=

dσ æ dσ ö æ dσ ö = Zç H = dq è dq ÷øe çè dq ÷ø n ===============================EPKNQF Потери энергии и вклад каждого из процессов взаимодействия= потока частиц с веществом в создание смещенных атомов зависят от= энергииI=заряда и массы бомбардирующих частицI=а также от заряда= и массы ядер мишениK=В соответствии с принятой в настоящее время= терминологией бомбардирующие частицы условно делят в зависиJ мости от массы на легкие= МN< =Мp= EМp= – =масса протонаF =и тяжелые= МN> =МpI= от заряда= –= на нейтральные и заряженныеI= от энергии на= медленные= EbNY =l =кэВFI =промежуточные= EN =кэВ= Y =ЕN= Y= NMMкэВF= и= быстрыеX=EЕN= [=NMM=кэВFK=Ядра мишени в зависимости от массы подJ разделяются на легкие=EАO=Y=ORFI=промежуточные=EOR=Y=АO=Y=8MF=и тяJ желые=EАO=[=8MFK= Материалы термоядерных установок подвергаются действию= потока различных частиц и электромагнитных излученийK=ОсновныJ ми из них являются нейтроныI=заряженные частицы и=g-квантыK= = P.O.O. Взаимодействие нейтронов с веществом

= Основной вклад в создание дефектов вносит упругое рассеяние= нейтроновK=Максимальная энергияI=которую способны передать атоJ му нейтроны с энергией=ЕNI имеет вид= QA bN I =======================EPKNRF= qˆNO ZαNO bN Z EAHNFO где= А= Z =МN/МO= –= приблизительно равно массовому числу мишениK= Средняя энергияI= переданная атомам при упругом рассеянии= нейтронов= qˆ α b OA qNO Z NO Z NO N Z bN K ======================EPKNSF= O O EAHNFO

NQN= =

Для большинства атомных ядер в широком интервале энергий= нейтронов=EMIMO=¸=R=МэВF=дифференциальное сечение передачи энерJ гии можно записать такW= const σ d EqIbFZ K =============================EPKNTF= αNO bN С увеличением энергии растет вероятность неупругого рассеяJ ния нейтроновK= При неупругом рассеянии ядром поглощается некоJ торая часть энергии падающего нейтронаI= и ядро переходит в возJ бужденное состояниеK= Возврат возбужденного ядра в равновесное= состояние сопровождается вторичным излучением= Eиспусканием= gJ квантовFK=Средняя энергияI=переданная атомам при неупругом рассеJ янии= OAbN bγ qNO Z J I =======================EPKN8F= EAHN FO AHN где=Еg=–=энергияI=израсходованная на возбуждение ядраI=испускаемая= со вторичным излучениемK= При ядерных реакциях на нейтронах=xEnI=βF;=EnI=aF;=EnI=fF;=EnI= gFz= ядра отдачи иногда получают энергиюI= достаточную для смещения= атомовK= Число смещенийI= вызываемых атомом при испускании= g= J квантаI=определяется из формулы=

N νEqNO FZ Qj O bd

æ qγ çç è c

O

ö ÷÷ I =================== ø

EPKNVF=

где= q γ =–=энергия=g-квантаI= q O Z Oj 2 bотд c O I ===============================================EPKOMF= γ

где Еотд=–=энергия ядра отдачиK=Значения=Еотд и= νEqγ F для некоторых= элементов приведены в таблK=PKPK= Радиационный захват вносит ощутимый вклад в создание= смещений только на медленной составляющей нейтронного потокаK= При плотности потока тепловых нейтронов= jТ и сечении= sТ= реакции=EnI=gF скорость повреждения=

N h γ Zσq φq Qj O bd

æ qγ çç è c

O

ö ÷÷ K ================ ø

NQO= =

EPKONF=

При испускании=β-частиц ядра отдачи также обладают энерJ гиейI=достаточной для смещения атомовK=В этом случае==

N νEqβ FZ Qj O bd

æ bβ çç è c

O

ö ÷÷ I =========================EPKOOF= ø

где= b β –=энергия=β-частицI= h β Z φ × σ nIβ νEq β FK =============================EPKOPF=

= Таблица=PKP= Энергия ядер отдачи при испускании ядрами=g-кванта=EnI=gF=и= среднее число смещений в каскаде для некоторых элементов= Элемент= bотдI=xэВz= n ETg F = bотд÷sTI=xэВ·бz= АN= ce= Со= ki= Си=

TTMK=S= P8VK=O= PMR= RST= P8NK=V=

NS= 8= S= NO= T=

NTT= V8R= ===NNKP÷NMP= OTOO= NQQM=

Zr= Ti= jo= s= _e= jg=

OMN= QOTK=S= NQ8K=R= QPP= N8PNK=O= QNR=

Q= J= J= J= J= J=

PSKO= OQ8M= QMN= OONM= J= OS=

= Ядерные реакцииI= в которых образуются высокоэнергетичные= ионыI= могут рассматриваться как внутренние источники бомбардиJ рующих частицI= и число возникающих при этом смещений рассчиJ тывается по формулам для расчета числа смещенийI= образуемых= иономI=замедляющимся в твердом теле до полной остановкиK= Для определения скорости образования смещений при реакJ торном облучении материалов необходимо знать реальный энергеJ тический спектр нейтроновK= Обычно оценка повреждающей способJ ности реакторного облучения сводится к расчету скорости образоваJ ния смещений для нейтронов средней энергииK= Одно смещение на=

NQP= =

атом достигается в нержавеющих сталяхI=напримерI=при облучении в= реакторе БОРJSM=при флюенсе=NK8∙NMOR н/мOI=в реакторе=b_oJП=–=при= 2∙NMOR н/мOI=в реакторе=ecfo=–=при=T∙NMOQ н/мOK= Если сечения процессов взаимодействия нейтронов реакторноJ го спектра с веществом для материалов известныI=то расчет скорости= образования смещений при нейтронном облучении не вызывает= принципиальных затрудненийK= = P.O.P. Взаимодействие ускоренных ионов с веществом Для описания процесса рассеяния ионов на атомах решетки= обычно пользуются простым кулоновским потенциалом= Eпри= l= …= ~I= где= l =– =расстояние максимального сближения атомовI= а= –= радиус= экранированияFI=экранированным кулоновским потенциалом при=l= »= а и экранированным кулоновским потенциалом с учетом потенциала= Борна-Майера при=а=<=l=<=NMаK= NK=При кулоновском рассеянии ион с энергией=ЕN передает поJ коящемуся атому энергию от=M=до= qˆNO W= Qj N j O qˆNO ZαNO bN Z bNI ==============================EPKOQF= Ej N Hj O FO где=МN и=МO=–=массовые числа взаимодействующих частицK== Средняя энергияI=переданная атомам частицей с энергией=ЕNI= q lnEαNO bN L bd F qNO Z d K ===================== EPKORF= NJ bd L αNO bN Полное сечение образования смещений при кулоновском расJ сеянии частиц вычисляется по формуле=

Qπ~MO j NZNO Z OO boO E NJ bd L αNO bN FI == EPKOSF= j O bNbd где=bo=–=энергия Ридберга=ENPISMR=эВFI=ZNI=ZO=–=атомные номера взаиJ модействующих частицK= Облучение ионами с энергией= ЕN вызывает смещение атомов= со скоростью= σd Z

hZσ d EqNO F× φ=φ×

Oπ~MO j NZNO Z OO boO α b ×ln NO N K ===============EPKOTF= j O bNbd bd

NQQ= =

РезультатыI= приведенные вышеI= применимыI= когда всеми= скользящими столкновениями=El=[=аF=можно пренебречь=Eони не дают= ощутимого вклада в создание смещенийFK=Как предельный критерий= применимости простой кулоновской модели используется условие= ЕN»ЕbI=Еb=–= энергия ионовI= при которой для обычного кулоновского= потенциала=El=Z=аF= e O ~NO b~O I =======================================EPKO8F= Qbd где=Еа=–= энергия ионовI= при которой для экранированного кулоновJ ского потенциала=El=Z=аF= æ j Hj O ö b~ Z Obo EZNZO FT S ç N EPKOVF= ÷K è ej O ø =================== OK=Для ионов с энергией меньше=Еb=EЕ~=<=bN<=bbF наряду с лоJ бовыми столкновениями=El=…=аFI=следует учесть и скользящие столкJ новения для которых=l= »= аK=Наиболее приемлемой для расчета спекJ тров ПВА в этом случае является модель экранированного кулоновJ ского взаимодействия в аппроксимации ЛиндхардаK= На расстояниях между атомами=r ≤=MKTǺ наилучшую точность= дает потенциал Томаса-Ферми-ФирсоваW= bb Z

Z Z eO sErFZ N O χEr L ~FI =========================EPKPMF= r где= ZNI =ZO= –= атомные номера иона и атома мишениI= r= –= расстояние= между ядрами сталкивающихся атомных частицI=

~Z MI88×~M

(

ZN H Z O

)

OP

I = ~M= –= боровский радиусI= c(хF= –= функция=

экранирования Томаса-ФермиI= при= х= … =N = =c ≈= N–NIR8x и потенциал= sErF переходит в кулоновскийK= PK=При=ЕN ≤ Е~ нельзя пренебрегать лобовыми столкновениямиI= но также необходимо учитывать скользящие столкновения с приJ цельным параметром вплоть до= NMаI =тK =еK =при= ЕN ≤ Е~ представляют= интерес столкновенияI=для которых=а=<=l=
NQR= =

(

)

QP

эВK ==================EPKPNF= ~Z8TKT= ZN H Z O Для этого класса столкновений средняя энергияI= переданная= атомамI=и полное сечение рассеяния приближенно имеют вид= qNO Z αNO bN b d I ===================================EPKPOF=

σd Z

nO ~O b~ ~NO

K =========================EPKPPF= Q bN bd ========= Если знаем потенциал взаимодействия атомных частицI= то по= известным формулам классической механики можно найти диффеJ ренциальное сечение рассеяния иона на заданный угол или диффеJ ренциальное сечение передачи энергии=Т неподвижному атомуK== В общем случае интегралыI =входящие в выражения для дифJ ференциальных сечений с потенциалами= EPKPMF=и= EPKPNFI= не выражаJ ются через элементарные функцииK=Поэтому для большинства пракJ тических расчетов используют степенные аппроксимации потенциаJ лов=EPKPMF=и=EPKPNF= sErF~ r JN m I =M=<=m=≤=NI=при этом дифференциальное= сечение передачи энергии=Т хорошо аппроксимируется выражением= =========================EPKPQF= dσ Z C m × b Jm ×q JNJm I ==M=<=Т=<=ТmI======= ====ds=Z=MI========================q=>=qmI========================================== где= qm Z Qj N j O bN = –= максимально возможная передаваемая энерJ Ej N Hj O FO

гияK= Передаваемая энергия= Т= связана с углом рассеяния в системе= центра инерции соотношением= q Zqm sin O ( Θ L O ) K= Константы= Cm= имеют видW== æj ö π Cm Z λm ~ O ç N ÷ O è jO ø

m

æ OZ Z e O ö ç N O ÷ ç ÷ ~ è ø

Om

I ==m>NLQX==========EPKPRF=

m

æj ö π Cm Z λm b O ç N ÷ E OΛFOm I ===m
Потенциал= s : r JN m при= m= <= NLQ= аппроксимирует потенциал= Борна-Майера=EPKPNFI=а при=m=>NLQ=–=потенциал Фирсова=EPKPMFI=приJ

NQS= =

чем при=NM=<=rLа=<=PM==–==m=≈=NLPI=при=N=<=rLа=<=NM=–==m=Z=NLOI=при=MKO= <=rLа=<=O=–=mZ=OLPI=при=rLа=<=MKO==J=m=Z=NK=Константы= lm убывают с= ростом=mI=lM=Z=OQI==lNLP=Z=NIPMVI==lNLO=Z=MKPOTK= Вид потенциала=EPKPMFI=а также аппроксимации=EPKPQF=при=m=>= NLQ=позволяет ввести безразмерную энергию== Z Z e O j N Hj O b ;==bi Z N O K bi ~ jO

= EPKPSF= ====== Множитель= EjN Hj O FL j O в выражении= Еi введен для переJ вода безразмерной энергии в лабораторную системуK= Как можно= увидеть в дальнейшемI=многие важные результаты в теории взаимоJ действия атомных частиц с твердым телом выражаются в виде униJ версальных функций от безразмерной энергииK= Упругие столкновения ионов с атомами мишени приводят= во-первыхI=к рассеиванию ионовI=а во-вторыхI=к потере энергии= εZ

qm

æ db ö ç ÷ Z kpn Z k ò qdσEqFK ===========================EPKPTF= è dx ø n M Величина= pn называется упругой или ядерной тормозной споJ собностью веществаX= pnEeF= –= универсальная функция безразмерной= энергииI=она представлена на рисKPKTK=При степенной аппроксимации= EPKPMF=с=m=Z=NLP= jN pn ZNIPM8π~ZNZ O e O ZconstK = EPKP8F= j N Hj O При=NLQ ≤= e ≤=O=pn действительно слабо зависит от энергииI= и= можно пользоваться выражением=EPKP8FK= Высокоэнергетичные ионы могут проникнуть под облако= атомных электроновI= при этом часть энергии ионов расходуется на= ионизацию и возбуждение электронной подсистемыK= Однако ион= почти не рассеивается на электронах вследствие большой разницы= масс электрона и ионаK=Поэтому можно считатьI=что на ион действуJ ет непрерывная тормозящая силаI=направленная в сторонуI=обратную= скорости ионаK=При скоростях иона меньше скорости= электронов на= поверхности Ферми тормозная способность=EdbLdхFе пропорциональJ на скорости иона=vK=

NQT= =

=

РисK= PKTK= Ядерные и электронные тормозные способности в= безразмерных единицах=e=и=rW== —========–=ядерная тормозная способность= ( ¶ε L ¶ ρ )n X=

J=J=J=======–=в приближении потенциала=s=~=rJOX= J=∙=J=∙=J===–=электронная тормозная способность=EN=–=для протоновI=O=–= для тяжелых ионовF= = Выражение для неупругих потерь энергии тяжелых ионов быJ ло получено Фирсовым на основе представления об обмене электроJ нами летящим ионом и атомом мишениI= в результате которого кажJ дый электрон переносит импульсI=равный=mvI=где=m=–=масса электроJ наI=v=–=относительная скорость иона и атомаK= При этом на ион дейJ ствует сила тренияI= которая для не сильно отличающихся атомных= номеров иона и атома равна= æ db ö JPM EPKPVF= ç ÷ Z kpe ZJMIOPQ×NM EZN HZ O FkvI = è dx øn где=pе=–=электронная тормозная способностьK= Эта формула впоследствии обобщаласьI=во-первыхI=для случая= сильно различающихся атомных номеров иона и атома мишениK=ВоJ вторыхI= на основе распределений электронной плотности в атомахI= полученных из квантовой механикиI= были учтены оболочечные эфJ фекты и получена не монотоннаяI=а осциллирующая зависимость=pе= от= ZN= и= ZOK =Все эти обобщенияI =однакоI =приводят к весьма громоздJ ким формуламI=поэтому мы их не приводимK=Тем болееI=что формула= EPKPVF=отличается от ее обобщений не более чем на фактор=OK=ВыраJ

NQ8= =

жение для=EdbLdxFеI= мало отличающееся от формулы Фирсова=EPKPVFI= было дано также Линдхардом и Шарфом= é æ db ö O OLP OL P PL O ù v Jç ÷ Z8π~Б ξ ê ZNZ O e k L ZN HZ O ú v I = = = = = = = EPKQMF= è dx ø n ë û M где= ~Б и= vM= –= боровский радиус и скорость электрона на боровской= орбитеI=x=Z=N=¸=O=и меняется=~=zNLSK= Для протонаI= движущегося в металле со скоростью= v =< =vc= – фермиевской скорости электроновI= выражение для потери энергии= на возбуждение электронов было получено Трубниковым и ЯвлинJ скимW= æ db ö T N P O æ mэф ö EPK=QNF= Jç ÷ vI == ÷ ZNNIT×NM hne Z O ç è dx ø n è m ø где= ne= – =плотность свободных электроновI =~ =mэф= –= их эффективная= массаK= Эта формула была получена из рассмотрения поляризации= среды движущимся зарядом с помощью формализма диэлектричеJ ской проницаемостиK= Неупругие потери энергии достигают максимума при скорости= иона= ~ vM Z OOL P I=а затем уменьшаются с ростом скорости иона согласJ но формуле Бете-Блоха== O Q æ Om v O ö æ db ö QπZ N e ln Jç Z Z k × EPKQOF= ç e ÷I= O ÷ O ç f ÷ è dx øe mv è ø где= f= –= средний потенциал ионизацииI= который в модели ТомасаJ Ферми равен=NPIR=эВK= На рисK=PKT=приведена для сравнения также неупругая тормозJ ная способность= pе для некоторого ионаK= Безразмерная энергия= eсI= при которой сравниваются упругие и неупругие потери= pnEecF= Z= peEecFI составляет= eс=Z=N=¸=O=для=ZN=>=ZOK=При=ZN=<=ZO== eс=pnK= Полный пробег иона в веществе определяется суммой тормозJ ных способностей=p=Z=pn=H=pe и равен=

(

oZ

N k

M

)

db

ò pn Hpe K =======================================EPKQPF=

b

NQV= =

Однако практически наибольший интерес представляет не= полный пробег ионаI=а расстояние от места начала движения до меJ стеI= где ион останавливаетсяK= НапримерI= важно знать глубинуI= на= которую проникают ионыI= падающие на поверхность мишениI= или= расстояниеI=на которое смещается атомI=выбитый из узла кристаллиJ ческой решеткиK=Расстояние от места начала движения до остановки= в твердом теле всегда меньшеI =чем полный пробегI =поскольку ион= движется по=…ломаной траектории»I=вследствие рассеяния на атомахK= Если начальный импульс иона не ориентирован вдоль плотноJ упакованных атомных рядов в кристаллеI= то эффект каналирования= не существен для движения ионаI= его столкновения с атомами миJ шени не коррелированыK= В этом случае мишень можно считать= аморфнойK= Для большинства процессовI= рассмотренных нижеI= приJ ближение аморфной мишени вполне достаточноK= По мере проникновения вглубь мишени уменьшается энергия= ионовI= изменяются механизм и сечение их взаимодействия с атомаJ ми мишениI=что вызывает изменение скорости повреждения по глуJ бине пробега ионовK= Для расчета профилей повреждения созданы= программы и атласыI= которые следует использовать как стандарты= на расчет уровня повреждений при ионном облученииK= С помощью= этих программ рассчитывается также уровень повреждений при реJ акторном и электронном облученииK= P.O.4. Распределение по глубине проникновения внедренных ионов и дефектов, созданных ионами = Для исследования большинства процессовI=которые проходят в= облученном твердом телеI= важно знать распределение по глубине= проникновения= EилиI= как его называютI= …профиль»F= внедренных= ионовK= Распределение внедренных ионов по глубине проникновения= изучалось многоI= разными методамиI= как экспериментальноI= так и= теоретическиK= Ряд экспериментальных методов определения профиJ ля= основан на анализе поверхности= EнапримерI= методами оже-спекJ= троскопииI= масс-спектрометрииI= рентгеновской спектроскопии и= т.пKFI= которому сопутствует послойное стравливание поверхностных= слоевK= Существуют и неразрушающие методы измерения профиляI=

NRM= =

напримерI=с помощью рассеяния назад быстрых=Eобычно с энергией= ≥ МэВF=ионовK= Теоретически движение ионов в твердом теле описывается= rr r r функцией распределения= cEvIrItIvM IrM F I= зависящей от начальной= r r скорости= vM и начального положения= rM ионаK=Функция распределеJ ния удовлетворяет уравнению= r r ¶c v ¶c ¶c H Hk ò éë cE v FJ cDE vDFùû× r Z kpe ¶t v ¶r ¶b r r =====EPKQQF= æ v×vD b Jq j N Hj O b j NO ö dΩD ×δ çç J J J K ÷ dσEbIqF b Oj N bHq O ÷ø Qπ è v×vD Интеграл столкновений выражает изменение функцииI=распреJ деления иона в результате столкновений с неподвижными атомами= мишениK= Здесь= ds= EbI =ТF= –= дифференциальное сечение передачи= j vO энергии=Т=атому мишени ионом с энергией= bZ N K=ИнтегрироваJ O ние по= dW= D =производится по всем направляющим углам скорости= иона=v’ после столкновенияI=которые допускают законы сохраненияI= описываемые= d-функциейK= Торможение вследствие возбуждения= электронов рассматривается как действие непрерывной силыI=равной= kpе и направленной антипараллельно скорости ионаK= Обычно интеJ ресуются лишь распределением остановившихся ионов и рассматриJ r вают функцию распределения= cEzIbIeF I=не зависящую от времени=t и= от текущей скорости иона= vK =Если при этом граничное условие для= функции= распределения соответствует равномерному потоку ионовI= r падающих на поверхностьI=то функция= распределения= cEzIbIeF завиJ сит лишь от глубины= zI= начальной энергии= Е= и направления влета= r ионов= e K=Однако даже в этом случае решение кинетического уравнеJ ния для функции распределения является сложной задачейK=Обычно= r функцию= cEzIbIeF разлагают по полиномам Лежандра от направляJ r ющих косинусов вектора= e и ищут моменты распределения по глуJ бине=zK= Зная моменты распределенияI=можно определить его основные= характеристикиW= среднюю глубину проникновения= I средний= квадрат глубины проникновения= I который характеризует стеJ

NRN= =

пень= …размытия»= профиляK= Кроме тогоI= можно приближенно найти= функцию= распределения в виде некоторой функцииI= параметры коJ торой определяются через соответствующие моменты распределеJ нияK= Наиболее простым из используемых распределений является= гауссовское= æ ö EzJ z FO ÷ a ç exp ç cEzFZ =EPKQRF= ÷I = ç 2 Δz O ÷ 2π Δz O è ø где= a= –= полная доза облучения на единицу поверхности=

)

(

á Δz O ñ =

( á z O ñ -á zñ O ) K=

Аналитические выражения для моментов= á z ñ и= á z O ñ получены= лишь при=pЕ= Z= M=и для степенного потенциалаI=когда сечение рассеяJ ния описывается формулой=EPKPQFK=В этом случае=

á z ñ= A

b Om b Qm bSm X= á z O ñZB= X= á z P ñ= g= K ================EPKQSF= O O kCm kCm kCm

(

)

(

)

Здесь= АI =ВI =g= – =константыI =зависящие от соотношения массK =Хотя= пренебрежение неупругими потерями энергии= pе оправдано лишь= для достаточно медленных и тяжелых ионовK=Формулы=EPK=QSF=дают= представление об энергетической зависимости характеристик расJ пределенияK= Более точные расчеты моментов распределения с учеJ том неупругих потерь энергии и с потенциалом=EPKPMF=выполняются= методом численного интегрирования уравненийK=В настоящее время= имеются первые моменты распределения внедренных ионовK=В таблK= PKP= для иллюстрации даны значения= á z ñ и= á z O ñ I= рассчитанные для= нескольких комбинаций ион= –= мишень в зависимости от начальной= энергии иона при нормальном падении иона на мишеньK= В случае наклонного падения ионов на мишень средняя глубиJ на проникновения= á z ñ ZopÅosqI=где=q=–=угол паденияI=отсчитываемый= от нормали к поверхностиI= op= –= проектный пробегI= определяемый= как проекция среднего расстоянияI= на которое проникает ионI= на= направление начальной скорости ионаK= Для определения среднего= квадрата глубины проникновения= á z O ñ при наклонном падении=

NRO= =

необходимо знать также второй момент= á y O ñ распределения в= направленииI= перпендикулярном направлению начальной скорости= ионаK= Параметры распределения внедренных ионов зависят от соотJ ношения масс иона и атомов мишени=МOK=ТакI=для легких ионов=jN=«= jOI=которые сильно рассеиваютсяI=ширины распределения= á Δz O ñ и= á yO ñ

больше средней глубины проникновения= á z ñ I= причем=

á Δz O ñ » á y O ñ I в то время как для тяжелых ионов=МN=»=МOI= у которых=

траектория= …менее изломана»I= ширины=

á Δz O ñ и=

á y O ñ меньшеI=

чем= á z ñ и= á Δz O ñ =[= á y O ñ I=т.еK=распределение вытянуто сигарообразно= вдоль первоначального направления движения ионовK= По мере увеличения энергии ионов их профили= становятся все= более асимметричнымиI=при этом убывание функции распределения= от максимума к поверхности более медленноеI=чем убывание в глубь= мишениK= На рисK=PK8=представлены профили=остановившихся протонов в= тяжелой мишени=EМO=»=МNF=для разных значений безразмерной энерJ гии еK=Глубина выражена также в безразмерных единицахW= ρZ zkπ~ O

Qj N j OO

K Ej N Hj O FO = Имеющиеся сейчас методы расчета распределений внедренных= ионов вполне удовлетворительныK= При энергиях ионов больше неJ скольких сотен электрон-вольт расчетные и экспериментально измеJ ренные профили достаточно хорошо совпадаютK= НапримерI= расхожJ дение в значениях проективного пробега=oр между теорией и экспеJ риментом не превышает=NMJOM=BK=При малых энергиях=NMM=эВ теория= «работает»=значительно хужеI= но при этом сама глубина проникноJ вения ионов не превышает нескольких десятков ангстремI=и ошибки= не очень существенны для практикиK =В табK =PKQK =представлены расJ четные данные для параметров распределения внедренных ионов в= различные мишениK= =

NRP= =

=

РисK= PK8K= Профили= распределения остановившихся протонов в= тяжелой мишени для разных значений безразмерной энергииW=J=J=J=J== –= гауссовские распределенияI= использующие два момента= E á zñ и= á z O ñ FX==JJJJJ==–=распределения ЭджевортаI=использующие три момента= = Представляет интерес также пространственное распределение= дефектовI= создаваемых бомбардирующими ионамиI= которое совпаJ дает с распределением энергииI=выделенной при упругих столкновеJ нияхK= Теоретически этот вопрос исследуется с помощью функции= ® ®

распределения= ca æç r I v ö÷ I которая представляет собой плотность= è

ø

энергииI=выделенной при упругих столкновениях в точке=rI=в резульJ тате каскада инициированного частицейI= которая начинает свое= ®

®

движение в точке= r = M со скоростью= v K Если налетающий ион идентичен атомам мишениI=то функция= æ® ®ö распределения= ca ç r I v ÷ удовлетворяет уравнению== è ø r r r r ¶c v ¶ J ca Z kp e a Hk ò dσ éë ca E v FJ ca E vDFJ ca E vDDFùû I ====EPKQTF= v ® ¶b ¶r

NRQ= =

®

®

где= v D I= v DD = – скорости первого и второго= Eвначале неподвижногоF= атомов после столкновения соответственноX= dу содержит помимо= ®

дифференциального сечения также= d-функциюI= связывающую= v I= ®

®

vD I= v DD в соответствии с законами сохраненияK=

Если же ионI=инициирующий каскад отличен от атомов мишеJ æ® ®ö ниI=то приходится вводить две функции= распределенияW= caN ç r I v ÷ == è ø ® ® æ ö для каскадаI= инициированного иономI= и= caO ç r I v ÷ для каскадаI= è ø инициированного атомом мишениK= caO удовлетворяет уравнению= EPKQTFI=а= caN =–= уравнениюI= аналогичному=EPKQTFI= в которомI= однакоI= последний член подынтегрального выражения заменен на= æ ® ®DD ö caO ç r I v ÷ K= В этом случае приходится решать систему из двух= ç ÷ è ø уравненийK=Если же мишень состоит из=k различных видов атомовI=то= приходится вводить=Ek=HNF функцию распределения и решать систеJ му=Ek=HNF уравненийK= Функции=caN и=caO нормированы такI=что= ®

ò d r ( caN H caO )ZqNO K ============= G

EPKQ8F=

æ® ®ö Решение уравнений для функции= распределения= ca ç r I v ÷ = è ø обычно проводится методом моментовI= аналогично томуI= как это= делается для функции распределения остановившихся ионовK= КачеJ ственно распределение дефектов похоже на распределение внедренJ ных ионовK== =

NRR= =

bN,кэВ=

Параметры распределения внедренных ионов=

Таблица=PKQ===

=

NRS=

=

Средняя глубина проникновения ионов= á z ñ оказывается= большеI= чем средняя глубина залегания дефектов= á zñ a I= причем= различие тем существеннееI= чем больше отношение масс= МN/МOK= Это связано с темI=что ион в конце пробегаI=имея еще энергиюI=доJ статочную для движенияI=уже не может создавать дефектыK== Между ширинами распределения дефектов и внедренных= ионов имеются следующие соотношенияI=зависящие от массW= á Δz O ñ a < á Δz O ñ X

á y O ñ a < á y O ñ для легких ионов=EМN=«=МOFX=

á Δz O ñ a » á Δz O ñ X

á y O ñ a » á y O ñ для равных масс=EМN=Z=МOFX=

á Δz O ñ a > á Δz O ñ X á y O ñ a > á y O ñ для тяжелых ионов=EМN»МOFK= Решение уравнений типа=EPKQTF=дает распределение дефектовI= усредненное по многим каскадамK= Размеры каждого единичного= каскада оказываются меньшеI= чем размеры распределенияI= усредJ ненного по многим каскадамK= Если обозначить среднеквадратичJ ные размеры единичного каскада= á Δz O ñ aN и= á y O ñ aN I=то отношения=

á Δz O ñ aN

и= δ y Z

á y O ñ aN

приблизительно равны между собой и= á Δz O ñ a á yO ñ a меняются в зависимости от соотношения масс=МN/МO от=dz=≈=dy ≈=MIV= при=МN/МO=Z=NM=до= dz= ≈= dy ≈=MIOTR= при=МN/МO=Z= MINK= Малые относиJ тельные размеры единичных каскадовI=создаваемых легкими ионаJ миI =обусловлены темI =что длина пробега смещенных ими атомов= значительно меньше длины пробега ионовI=а ионы сильно рассеиJ ваются и повторяемость конфигураций каскадов малаK= ОтметимI= что для легких ионовI= которые создают в основном одиночные деJ фектыI=лучше говорить о размере области дефектовI=а не о размере= каскадаK= В этом случае= dz и= dy характеризуют размер области деJ фектовI=созданной единичным иономK= Имеющиеся теоретические расчеты распределения дефектовI= созданных ионами с энергиями=[N=кэВI= достаточно хорошо соглаJ суются с экспериментамиK= = = δz Z

NRT= =

P.O.R. Взаимодействие электронов с веществом Вследствие малой массы энергия электроновI= способных= привести к структурным нарушениям в металлахI= превышает= MIRМэВK= Для электронов с такой высокой энергией можно пренеJ бречь экранированиемI= обусловленным орбитальными электронаJ миI= и использовать релятивистское описание процесса передачи= энергии электронов ядрам мишениK=При энергии пучка электронов= около=NМэВ=EнапримерI=при облучении в ВВЭМ на=N=–=PМэВF=расJ чет скорости образования смещении наиболее простI= поскольку= основная часть первично выбитых атомов не способна вызывать= повторного смешений и развития каскадов смещенийK= При упругом кулоновском рассеянии электронов средняя= энергияI=переданная атомам электронами с энергией=ЕNI=имеет вид= α b b α b qNO Z NO N d ln NO N I ==================================EPKQVF= (αNO bN J bd F bd qˆ – максимальная энергияI= которую способен передать атому= NO

электрон с энергией=ЕN=I=равна=

OEb HOme cO FbN qˆNO ZαNO bN Z N I == EPKRMF= j Oc O где==mе=–=масса электронаX=с=–=скорость светаK= Дифференциальное сечение передачи энергии атому= N é ì üù 4π~MO ZOO boO N - b O ê pa ïæ q ö O q ïú qµ NO O q ds = × Q × N- b + íç ý × O dq K ÷ ê b mMO c Q qµ NO b ïè qµ NO ø qµ NO ï ú q êë î þ úû

Полное сечение образования смещений можно оценить из следуюJ щего выраженияW=

σd Z

4π~MO Z OO boO N- β O × ´ meO cQ βQ

= ì ˆ é éæ ˆ öNL O ù ˆ ù üï q q ïæ qNO ö O qˆNO NO NO ê ú JN÷ J β ln ´ íç -πα'β × O êç JNú J ln ýI çb ÷ ç b ÷÷ ê ú ê ú b b d d d d ïè ø ø û ë ëè û ïþ î

NR8= =

=EPKRNF=

β=Z=ve=Lс=Eve=–=скорость электронов с энергией=bNFI=a=DZ=ZOLlPTK= Для электронов с энергиейI=не намного превышающей пороJ говую энергию образования смещенийI= иI= следовательноI= с= αNO bN qd незначительно больше единицы=

σd Z

4π~MO Z OO boO NJ β O æ αNO bN ö JN÷ K ç meO cQ β Q è bd ø

EPKROF=

При достаточно высоких энергиях электронов= sd асимптотиJ чески приближается к значению=

σd ®

8π~MO ZOO boO

I===bN >mecO K =

=EPKRPF= bd j O c Уравнение=EPKRPF=обычно используется для оценочных расчеJ тов полного сечения рассеяния электронов на атомах твердого телаK= Скорость поврежденияI= выраженная числом смещений на= атом в единицу времениI= при электронном облучении материалов= имеет вид= h Zσ d éëN+νEqNO Fùû φI ======================================EPK=RQF= O

αNO bN ö 4π~MO Z OO boO æ OHln ç ÷ K =============================EPKRRF= bd ÷ø bd j O cO çè При энергии электронов выше порога ядерных реакций=EЕN= [= NM= МэВF= в дополнение к упругому рассеянию частиц необходимо= учесть нарушения за счет протекания процессов неупругого взаиJ модействия= Eядер отдачиI= нуклоновI= g-квантовFK= Прохождение выJ сокоэнергетичных= Eдесятки= – =сотни МэВF =электронов через вещеJ ство связано с развитием электронно-фотонного ливняK=С увеличеJ нием глубины проникновения электронов в твердое тело возрастает= число лавинных частицI= уменьшается их энергия и увеличивается= количество= g-квантовI= способных внести существенный вклад в= дефектообразованиеK= ПроцессыI= протекающие при облучении маJ териалов быстрыми электронами и= g-квантамиI= схематически приJ ведены на рисKPKVK= = hZφ

NRV= =

РисK=PKVK=Схема процессовI=протекающих в материале при= действии высокоэнергетичных электронов и=g-квантов=

=

= = P.O.6. Взаимодействие g-квантов с веществом Хотя дефектообразующая способность= g-квантов по сравнеJ нию с быстрыми нейтронами малаI=этот вид облучения имеет место= в активной зоне реакторов всех типов и часто используется при= исследованииK= Максимальная энергияI= которую способен передать атомам= = g-квант с энергией=ЕNI=имеет вид= æ j cO qˆNO Z bN ç NH O ç ObN è O При=ЕN=»=МOс эта формула принимает вид= O

JN

ö ÷ K =========================EPKRSF= ÷ ø

j c qˆNO ZbN O K ===========================EPKRTF= O При энергии=ЕN=Z=N=МэВ значение= qˆNO составляет несколько= десятков эВ и непосредственное взаимодействие= g-квантов с атоJ мами не приводит к существенным структурным нарушениямK= Кроме тогоI= сечение прямого взаимодействия= g-квантов указанной= энергии с ядрами очень малоK=В основном смещения атомов решетJ

NSM= =

ки при облучении= g-квантами вызывают непрямые процессы и взаJ имодействия с атомами мишени= EфотоэффектI= эффект КомптонаI= образование электрон-позитронных парFI=в результате которых обJ разуются высокоэнергетичные электроныI= способные привести к= смещению атомовK= При облучении= g-квантами высокой энергии= EЕN= [ =NMМэВF =в= твердых телах идут фотоядерные реакцииK= Энергия отдачиI= переJ данная ядру при поглощении= g-квантаI= достаточно высока для= смещения атомов из первоначальных положений в решетке криJ сталлаK= Высокая эффективность действия облучения= g-квантами с= энергией десятки= –= сотни МэВ на материалы предоставляет возJ можность имитации с их помощью явлений радиационной повреJ ждаемости материалов в ядерных и термоядерных реакторахK=ДейJ ствительноI= сравнение энергетических спектров ПВАI= инициируеJ мых= g-квантами с максимальной энергией до= PMMМэВ и реакторJ ным излучением= Eбыстрые нейтроны и= gJквантыFI= указывает на= удовлетворительное совпадение их как по формеI =так и по абсоJ лютным значениямK= Варьируя степень= …жесткости»= и максимальJ ную энергию= g-квантовI= можно добиться совпадения и по выходу= продуктов ядерных реакций при указанных видах облученияK= =

P.P. Основные условия воспроизводимости явлений реакторного повреждения при облучении на ускорителе Условием подобия воздействия различных видов излучений= на структуру и свойства материалов является близость значений= основных характеристикI=радиационного поврежденияW== скоростей создания радиационных дефектов= ¥

h g Z ò dq×γEqF qd

¥

ò

φg EbF

bmin

dσ g EbIqF db; = dq

функций=распределения дефектов по энергиям ПВА=

NSN= =

EPKR8F=

γEqF mg EqFZ hg

¥

ò

bmin

φg EbF

dσ g EbIqF db X = dq

EPKRVF=

скоростей образования продуктов ядерных реакций= ¥ h mg = ò φg EbFσ mg EbFdbX ===================================EPKSMF= M функций=корреляции координат образования ПВА=

æ N ö¥ ¥ dE r JrDFZç ÷ dq ò dqDνEqFνEqDFpEqIr IqDIrDFJNI EPK=SNF= ç hO ÷ ò è g ø Tg Td где= n EqF=–=каскадная функцияI= jg(ЕF=–=спектральная плотность поJ тока частиц сорта=gI=dsEbIqFLdq=–=дифференциальное сечение обраJ зования ПВА с энергией=Т частиц сорта=g с энергией=ЕI=Еmin=–=миJ нимальная энергия налетающей частицыI= способной создавать= ПВАI=qd=–=энергия порога смещенияI= smg=–=полное сечение образоJ вания частицей=g продукта сорта=РI= pEqIr IqDIrDF –=вероятность обраJ зования=ffВA=с энергией Т в точке r ==и ПВА с энергией ТD=в точке= rD K= ОчевидноI=эти условия подобия эффектов облучения различJ ными частицами не могут быть воспроизведены в полной мере даJ же при использовании однотипных источников излученийK= В реJ альных имитационных экспериментахI= напримерI= при имитации= реакторного облучения на ускорителях тяжелых ионовI= все они в= той или= = иной мере нарушаютсяK= Первое условие противоречит= идее экспрессности имитационных экспериментовK= Нарушение= второго обусловлено спецификой взаимодействия различного рода= частиц с веществомK= Третье существенно усложняет экспериментI= требуя использования многопучковой методики облучения и тK= дK= Поэтому для сравнения результатов облучения используют более= «мягкие»=условия подобияI=справедливость которых подтверждаетJ ся результатами экспериментов с облучением в= реакторах и на= ускорителяхK== К ним относятся условияW= NF= равенство дозы облученияI= выраженной числом смещений на= атом=Eс.н.аKF=

NSO= =

ag Zσd φg t I =

================EPKSOF=

¥

где= φg = ò φg EbFdb – плотность потока частиц сорта= gI= sd= –= полное= M

сечение дефектообразованияX= OF=подобие структуры первичных радиационных повреждений=EZZlX= Z= –= количественный критерийI= характеризующий число дефектовI= образованных одинаковым образомFX= PF= = равенство отношения скорости образования ПЯР= Eпродуктов= ядерных реакцийF=к скорости создания радиационных дефектов= h pn h pi Z I= ========================EPKSPF= hn hi что особенно важно при больших дозах облученияI=для соблюдения= этого условия возникла необходимость расчета и сопоставления наJ копления ПЯР в исследуемых материалах под действием нейтроJ новI=заряженных частиц и=g-квантовX= QF==равенство отношения скорости генерации точечных дефектов к= скорости их исчезновения на стокахI=для вакансий это условие заJ писываетсяI=следующим образомW= hN avN Z I= ====================EPKSQF= h O avO где= КN= и= КO= –= скорости повреждения в сравниваемых эксперименJ тахX=avN и=avO=–=коэффициенты диффузии= вакансий в течение облуJ чения== avENIOF Z aM exp ( Jbmv L kqNIO ) I ==================================EPKSRF= где=Еmv=–=энергия миграции вакансийI=ТNIO=–=температура облучения= в сравниваемых экспериментахX= RF=подобие протекания диффузионных= процессовI= включая диффуJ зию= газовых атомовI= рекристаллизациюI= распад твердого раствора= и растворение выделенийI= перераспределение компонентов сплаJ вовK= Кроме перечисленных условийI= при использовании ускориJ телей заряженных частицI= работающих в импульсном режимеI= необходимо учитывать характер влияния импульсности облучения=

NSP= =

на создание и эволюцию дефектной структуры облучаемого матеJ риалаK=

P.4. Вопросы для самопроверки к разделу P NK Сравните условия облучения и создания радиационных деJ фектов==в==реактореI=ускорителе ионовI=ускорителе электроновK= OK В чем различие первичных и вторичных процессов при выJ бивании атомов из решетки?== PK Какие приближенные представления потенциалов взаимоJ действия частиц с атомами вещества используются для оценок= быстрых заряженных частиц?= QK Сравните спектр энергий выбитых атомов для нейтронов и= протонов с энергией=NМэВK== RK Дайте определение полного и==проективного==пробегаK= SK Какие потери энергии налетающей частицы являются опреJ деляющими для создания дефектов?= TK Дайте определение понятия тормозной==способностиK= 8K Дайте определение понятий=?первично выбитые частицы?=и= "образование дефектов?K= VK Опишите процесс==смещения атомов решетки==под действием= быстрых частицK= NMK Чему равна==пороговая энергия смещения?=

NSQ= =

РАЗДЕЛ 4 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СРАВНЕНИЕ СТРУКТУРЫ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ РАДИАЦИОННЫХ ДЕФЕКТОВ, ОБРАЗУЮЩИХСЯ В ПЛЕНОЧНЫХ ОБРАЗЦАХ ПРИ ОБЛУЧЕНИИ БЫСТРЫМИ ЧАСТИЦАМИ 4.1. Каскад атомных столкновений Диссипация энергии частицыI= движущейся в твердом телеI= происходит при взаимодействии ее с электронной подсистемой= (если частица заряженаFI= а также при ее рассеянии на атомах миJ шениK= В последнем случаеI= если энергия= ТI= переданная атому миJ шениI= меньше пороговой= Тa= ~ORэВI= атом совершает затухающие= колебания вблизи его исходного положенияI= а его энергия рассеиJ вается в фононную и электронную подсистемы твердого телаK =В= противном случае этой энергии достаточно для образования пары= ФренкеляW=вакансия=–=междоузельный атомK= При больших значениях= Т первично выбитый атом= EПВАF= может также рассеяться на атомах мишениI= передавая им энергию= больше= ТaI =образуя каскад атомных столкновенийK =В результате в= окрестности выбитого атома образуется зона с высокой концентраJ цией радиационных дефектовI=которую называют каскадной облаJ стьюI=или кратко=–=каскадомK= При больших энергиях ПВА можно рассматривать его с тех= же позицийI= с каких мы рассматривали первоначальную частицуK= ПВА образует вторично выбитые атомы= EВВАFI= которые в свою= очередь образуют каскадыK= Для полного описания движения атоJ мов в каскаде атомных столкновений используется кинетическое= уравнениеK= Решение его является сложной задачей и возможно= только при введении определенных приближенийI=например метоJ дом моментовI= тK= еKI= ограничиваясь средними значениями характеJ ристик каскада= EразмераI =числа образующих пар Френкеля и т.дKFK = Часто для оценки размеров каскадов и выявления характерных= особенностей их структуры используется метод машинного модеJ лированияK= Сложность описания каскада атомных столкновений=

NSR= =

обусловливается большим количеством одновременно движущихся= атомовI=которые взаимодействуют как друг с другомI=так и с непоJ движными атомами мишениI= рекомбинируют с образующимися= при этом вакансиямиI=могут образовывать цепочки атомных соудаJ рений=EкраудионыFK= Характеристики каскада зависят от энергии= Т атомаI= который= инициирует каскадK=ТакI=число пар Френкеля в каскаде=Eкаскадная= функцияF=равно= α q νEqFZ fEqFI EQKNF= O ba где=α=Z=MI8=¸=NIM=–=подгоночный параметрI=ba=–=пороговая энергия= образования пары ФренкеляI= foEqF= –= функция РобинсонаI= учитывающая потери энергии атомов за счет взаимодействия с= электронной подсистемойK= В простейших случаях предполагаетсяI= что каскадная обJ ласть представляет собой сферический объем с диаметромI=равным= пробегу инициирующего атомаK= В последнее время все чаще исJ пользуется цилиндрическая модель каскадаI=причем длина каскадJ ной области равна пробегу инициирующего атомаI=а радиус=–=средJ нему пробегу выбитых им атомовK= Если движущаяся частица значительно легче атома мишени= или при близких массах имеет высокую энергиюI=длина ее пробега= без выбивания атома из решетки= Eсвободного пробега= –= λF= значиJ тельно превышает размер каскадаI= образуемого выбитым ею атоJ момI=это означаетI=что каскады атомных столкновенийI=образованJ ные разными ПВА развиваются независимо друг от другаI=а обраJ зование ПВА может описываться в приближении парного взаимоJ действия частицы с атомом мишениK= Если энергия ПВА достаточно велика=Eбольше=QM=–=SM=кэВFI= для него также выполняется условие=λ=>=iI=где=i=–=размер каскадаI= образуемого выбитым им атомомK=В этом случае говорят о появлеJ нии субкаскадной структурыI=тK=еK=о расщеплении каскада атомных= столкновений на отдельныеI= не связанные между собой субкаскаJ дыK= Движение ПВА при таких энергиях можно также описывать в= приближении парного взаимодействияK= Полная длина пробега находится из энергетических сообJ раженийW=

NSS= =

b

db I æ db ö æ db ö Mç ÷ Hç ÷ è dx øn è dx øe

oEbFZ ò

EQKOF

æ db ö где= ç ÷ –=потери за счет взаимодействия с атомами мишениW= è dx øn qm~x

dσEbIqF æ db ö (QKPF dq I ç ÷ Zk ò q dq è dx øn M где=k=–=атомная плотность телаI=Тm~x=Z=γb=–=максимальная переданJ ная энергияI=γ Z= QМ N М O LEМ N = H =М O FI =М N и М O –=массы частицы и= атома мишени соответственноK= Длину свободного пробега можно= определить стандартным образом= N N EQKQF K λEbFZ Z qm~x NσEbF dσEbIqF k ò dq dq qmin

ЗаметимI=что вообще говоряI=λ(ЕF приближается к действиJ тельной длине свободного пробега частицы только в случае= λ= «= oEbFX= в противном случае физическим смыслом обладает только= dx дифференциал= как вероятность образования ПВА на расстояJ λEbF нии=dxK=Это связано с темI=что в=EQ.Q) не учитываются электронные= потериI=т.еK=изменение=Е на длине=λK== В связи с этим при Е →=bLλ===λ(ЕF → ∞. Длина пробега ПВА зависит от переданной энергии=Т и меJ няется от= oEbaF до= oEγbFK =Поперечный размер каскадаI =тK =еK =длина= пробега ВВА зависит уже от двух параметровW =Т и= Т’ – энергииI= переданные при первом и втором столкновенияхK= СледовательноI= имеет смысл говорить о средних значениях геометрических размеJ ров каскадов иI=исходя из нихI=оценивать энергиюI=при которой обJ разуется субкаскадная структураK=В настоящее время не существует= общепринятого метода усреднения пробегов ПВА и ВВА по переJ данной энергииI=поэтому для сравнения используем три методикиW= =

NST= =

NK=Простое среднееW=

oENF ПВАEbFZ

qm~x

ò

oEqF

bd

dσEbIqF dq σEbFK dq

EQKRF

OK=Среднее квадратичноеW=

éqm~x dσEbIqF EOF oПВА EbFZ ê o O EqF dq ê dq b ë d

ò

ù σEbFú ú û

NO

K

EQKSF

PK=МедианноеW= oEOF ПВАEbFZoEqN O FI где=q NLO удовлетворяет условиюW= qNL O

ò

bd

σEbF dσEbIqF dqZ K dq O

= EQKTF= ================

ElF Усреднение= oПВА EqF =El=Z=MI=NI=OF=no=соответствующей метоJ дает среднее значение= oElF ВВА EbF I= тK= еK= средний поперечный=

дике размер каскадной области в цилиндрической моделиK= Для=oВВА а в= случаеI=если рассматривается облучение мишени атомами мишениI= то и для=oПВАI=происходит рассеяние тождественных частицK=В свяJ зи с этим формулы=EQKRF=–=EQKTF=нуждаются в модификацииI=так как= процессы рассеяния с передачей энергии=Т и=EЕ=–=Т=H=ЕdF отличаютJ ся только перестановкой частицK= Естественно считать выбитой ту= частицуI= которая имеет меньшую энергиюK= С учетом этогоI= в слуJ чае рассеяния тождественных частиц интегралы вида= qm~x

ò

bd

dσEbIqF fEqFdq dq

должны заменяться наW=

(qm~xHbd )

ò

bd

O

æ dσEbIqF dσEbIb Jq Hbd ç dq H dq è

NS8= =

Fö ÷ fEqFdq ø

.

При расчетах использовалось аналитическое представление= Линхарда дифференциального сечения потенциала типа ТомасаJ= ФермиK=В качестве мишени был выбран=kb=EА=Z=VPI=Z=Z=QNFI=а облуJ чение проводилось атомами=kb=и водородаK=На рисK=QKN=приведены= пробеги ПВА и ВВАI =образованных частицами= kb =для трех метоJ дик усредненияK= При рассеянии тождественных атомовI=один из которых поJ коилсяI=в лабораторной системе отсчета они разлетаются под углом= πLOK=СледовательноI=появление двух и более независимо развиваюJ щихся каскадов атомных столкновений возможноI= если начальные= точки каскадов разнесены большеI= чем на диаметр каскадаK= Для= цилиндрической модели каскада эти соображения приводят к нераJ венству= λEbF>OoENF ВВА ( b ) K= Из графиков видноI= что это условие соответствует следуюJ щим энергиямW=~NMMкэВ для простого среднегоI=~NМэВ для среднеJ го квадратичного и более=NMМэВ для медианного усреднения проJ бегов ВВАK= ЭкспериментI= а также методом машинного моделироJ вания было полученоI= что характерная энергияI= при которой появJ ляется субкаскадная структураI=составляет=QM¸8MкэВK=СледовательJ ноI=простое усреднение дает более реальное значение для среднего= размера каскада с цилиндрической геометриейK= ОтметимI= что если каскадная область предполагается сфеJ рическойI=условие появления субкаскадов записывается в виде=λ=>= oПВА(ЕFI=что приводит к чрезмерно высоким значениям характерной= энергииW=более=NМэВ для простого усреднения и более=NMМэВ для= двух других случаевK= На рисK= QKO= представлены пробеги и линейные размеры каскаJ довI= образующихся при облучении= kb= протонамиK= Для протонов= условие= λ= » =oПВАI =λ= » =oBBA выполняется для всех энергийI= поэтому= каскадные области образуют только ПВАI=а не сами протоныK= = = =

NSV= =

= РисK =QKNK =Энергетическая зависимость пробегов атомов в= kb = при облучении быстрыми ионами=kbW== N=– полный пробег частицX=O=– свободный пробег частицX==P=– средний= пробег ПВАX=Q – средний пробег ВВАK= = Варианты усредненияW= = EkJNF=J=простое усреднениеX= EkJOF=J=среднее==квадратK=усреднениеX== = = EkJPF=J=медианное усреднение= = =

= РисK=QKOK=То жеI=что на рисK=QKNI=но для облучения протонами= =

NTM= =

РисK=QKP=Энергетическая зависимость среднего объема зоны= повреждений=EкаскадовFI=образованных ПВА при облучении=kbPpn= атомами=kb=EаF=и протонами=EбFW= N= ||||||= –= простое усреднениеX= O= J= J= J= J= J–= среднее квадратичноеX= = = = = = = = = P=–––––––=–=медианноеX== Геометрия каскадаW=NI=OI=P=–=цилиндрический каскадX=Q=–=сферичеJ ский каскад= = Суммарный объемI= занятый каскадами в единице объема= мишениI=определяется выражением= qm~x

dσEbIqF sEqFdq I = EQK8F= dq bd = где=sEqF=–=объем каскадной областиI=образованной ПВА с энергией= ТX=Ф=–=флюенс облученияK== = Аналогично определяется относительное число смещенных= атомов=

ò

sΣ ZΦ

qm~x

Cd ZΦ

ò

bd

dσEbIqF νEqF dqI dq k

NTN= =

= =====

======================EQKVF=

где= ν(ТF= – =каскадная функция= EQKNFK =Из= EQK8 =– =QKVF =естественным= образом определяются средняя энергияI= затраченная на создание= поврежденийW== qm~x

qo Z

ò

bd

dσEbIqF qf o EqFdq σEbFI ================ EQKNMF= dq

и средний объем каскадной области для цилиндрической моделиW= qm~x

sp EbFZπ

ò

Obd

(

)

O dσEbIqF oEqF oENF EqF dq ПВА dq

qm~x

ò

Obd

dσEbIqF dq I =EQKNNF= dq

oENF ПВА

вычисляется по формулам= EQKQF–EQKTFK= ОтметимI= что= где= ТoLOЕd дает среднее число дефектов в каскадной областиK= На рисK= QKP= представлены средние объемы каскадовI= рассчитанные по различным моделям каскадных областейX=средние= энергииI=переданные ПВА и затраченные на создание повреждений= при облучении=kb=атомами=kb=и протонамиK== =

4.O. Случайное поле дефектов. Статистика повреждений Процесс образования радиационных дефектов как процесс= рассеяния частиц пучка на атомах мишени и последующего рассеJ яния выбитых атомовI= является случайнымI= поэтому в результате= облучения в образце создается случайное поле поврежденийK= ВосJ производимость экспериментальных результатов свидетельствует о= томI= что наблюдаемые величины являются функциями некоторых= средних характеристик этого поляK= Случайное поле= AE x F одноJ значно определяется средним значением поля в данной точJ ке φM E x FZ AE x F и корреляционными функциями= φnA E x N Ix O IKKKx n FZ

( ( )

)( ( )

) ( ( )

)

EQKNOF

Z A x N -á AE x N Fñ A x O -á AE x O Fñ KKK A x n -á AE x n Fñ I

где усреднение проводится по возможным реализациям случайного= поляK=

NTO= =

Основное значение на практике имеет среднее значение= φMExF=и первая корреляционная функция=

( ( )

)( ( )

)

φOA Ex N I x O F = A x N -á AEx N Fñ A x O -á AEx O Fñ =

( ) ( )

( ) ( )

= A xN A x O

- A xN

A xO

= EQKNPF=

I

которая дает дисперсию случайной величины= A ( x ) в данной точке=

( φOA E xIx F) и меру взаимосвязи случайных величин= A( xN ) и A( xO ) K=

В частностиI= если значения случайного поля= A ( xN ) и A ( x O ) незаJ висимыI=то= φOA E x N I x O FZM K=

В качестве случайного поля= A ( x ) может выступать любая= локальная характеристика твердого телаI= например для физики= сверхпроводимости большое значение имеет свободный пробег= электрона и константа электрон-фононного взаимодействияK= Локальная характеристика твердого тела связана с концентрацией= дефектов= C ( x ) в общем виде через некоторые функции=

c ( x ) и f ( x ) W= A ( x )Z c

( ò CE у FfE x J у Fd P y ) I

AM Z cEMF = I == =

EQKNQF=

в частностиI =если связь локальнаI =то= fE x J y FZδE x J y F –= дельтаJ функцияI=AM=–= значение= A ( x ) для неповрежденного телаK= Разложив=

A ( x ) в окрестности=AM в ряд по концентрации дефектовI=получимW= ¥

A ( x ) = AM H å An nZN

( ò CE y FfE x J y Fd P y )

n

I=

=EQKNRF=

вычисляя среднее значение= á A ( x )ñ и корреляционные функцииI= легко видетьI=что они выражаются через= áC ( x )ñ и корреляционные= функции случайного поля концентрации дефектовK=В частностиW= á A ( x )ñ = AM H AN ò áC ( y )ñ f E x - y Fd P y + + AO òò áC EyN FC Ey O Fñ f Ex - yN F f Ex - y O Fd P yNd P yO + KKK=I

NTP= =

=EQKNSF=

φOA E xNI xO F = AN òò φOC E yN I y O F f ExN - yN F f E x O - y O Fd P yNd P yO+KKK=K EQKNTF= Таким образомI= для определения характеристик случайного поля= любой физической величины достаточно знать характеристики= случайного поля концентрации дефектов и связь=EQKNQFK= Радиационные дефекты в твердом теле при облучении= ионами и нейтронами являются результатом каскадов атомных= столкновенийK=Поэтому облученный материал можно представить в= виде необлученной матрицыI= в которой распределены каскадные= областиK= Для простоты будем рассматривать случай однородного= повреждения твердого тела= – =в том смыслеI =что вероятность= образования каскада не зависит от его местоположенияK= Такая= ситуация возникает при облучении нейтронами из-за большой= длины их пробегаX= при облучении ионами однородность= обеспечивается использованием достаточно тонких образцов и= однородного по поверхности образца облученияK= Рассмотрим физические предпосылки появления= корреляции между плотностями дефектов в двух точках=E xN и= xO FK= Корреляция означает зависимость вероятности повреждения точки= xO от концентрации дефектов в точке xN K= Можно выделить три= основные причиныI=по которым возникает эта зависимостьI=причем= они отличаются характерными расстояниями между= коррелирующими точкамиK= Первая причина появления этой корреляции связана с темI= что образец имеет конечные размеры иI= следовательноI= в нем= расположено конечное число дефектных областей= EпорI= дислокационных петельI= каскадовFK= Эта корреляция малаI= так как= связана с отношением объема каскадной области к объему всего= образцаI=которое в реальных случаях много меньше единицыK= Вторая причина корреляции связана с конечным размером= дефектной областиK=ДействительноI=если расстояние= xN - x O между= коррелирующими точками меньше размера дефектной области и= точка= xN поврежденаI=то вероятность тогоI=что точка= xO попадает в= область поврежденияI= ниже для удаленной точкиK= Характерное= расстояние этой корреляции равно размеру дефектной областиK=

NTQ= =

Третий источник корреляции заключен в структуре= дефектной областиI= тK= еK= распределении в ней дефектовK= Характерный размер этой корреляции меньше размера дефектной= областиK= Для нахождения той части корреляционной функцииI= которая связана с этой причинойI= необходимо знать внутреннюю= структуру каскадаI=которая до сих пор известна плохоK= Основной вклад в изменение сверхпроводящих свойств= вносят гармоники коэффициентов Гинзбурга-Ландау с характерной= длинойI=больше длины когерентностиK=Размер каскадов в большинJ стве случаев порядка длины когерентностиI =поэтомуI =в первом= приближенииI= можно пренебречь более высокими гармоникамиI= возникающими в корреляционных функциях по третьей причинеI= и полагать распределение дефектов внутри каскада однороднымK= Для нахождения= áCñ и= φ OC необходимо рассмотреть вопрос= о результирующей концентрации дефектов в области перекрытия= каскадовK=Рассмотрим два предельных случаяW=разреженных каскаJ довI=когда концентрации дефектов просто суммируютсяI=и плотных= каскадовI=когда концентрация дефектовI=как в каскадахI=так и в обJ ластях их перекрытия одна и та жеK= =

4.P. Модель разреженных каскадов = Случай разреженных каскадовI= вообще говоряI= применимI= если=

ρEsC F»NI = где= ρ= – =число каскадных областей в единице объемаI = пропорциональное флюенсу облученияI= s= – =объем каскадной= областиI= С=–=относительная концентрация дефектов в нейI=а черта= означает усреднение по распределению каскадовK= В этом= приближении в образце реализуется пуассоновское случайное поле= дефектовI =для которого можно вычислить его среднее значение и= корреляционную функцию в явном видеK= Для этого сначала предположимI=что положение дефектов в= каскадах детерминированоK= Тогда концентрацию дефектов можно= записать в виде суммы=δ-функпийW=

NTR= =

kk nN

C ErF = åå dEr - oN -rij FI = =

EQKN8F=

iZN jZN

где= k k Z ρs% =–= число каскадов во всем объеме образцаI= s% –= объем= образцаI=ni=Z=siCi=–=число дефектов в=i-м каскадеI=и=si=и=Ci–=объем и= концентрация дефектов в=i-м каскадеI= oi –=координата центра=i-го= каскада= Eв качестве центра можноI =в принципеI =брать= произвольную точкуFI= rij –=радиус-векторI=соединяющий центр=i-го= каскада с=j-м дефектом в немK== Усреднение по расположению каскадовI=т.еK=по реализациям= случайного поляI =в таком подходе заключается в усреднении по= положению=kk=–=каскадовI=напримерW= kk

ò CErFd áCErFñ=

P

oNd P oO KKKd P okk

å nk

= iZN = ρEsC FI ===========EQKNVF= s%

% EsF т.еK =равноI =как и следовало ожидатьI =среднему числу дефектов в= единице объемаK= Для нахождения корреляционной функции необJ ходимо вычислить= kk

f = ò δ Er - r DFδ Er - r DDF d P rK ==================

EQKOMF=

В случаеI= если= r D ¹ r DD I= то нулю равны подынтегральная= функция= для всех= r и интегралK=Для нахождения функции в точке= r D=Z= r ?=проинтегрируем=EQKOMF=по= r ∞I=откуда получим=

ò fd

P

rD = ò δE r J rDDFd P r ò δE r J rDFd P rD = NK =

СледовательноI=согласно определению=δ-функции= fZδ Er D-r DDFK =====================================EQKONF= Вместо корреляционной функции= φOC ErN I r O F для удобства= будем= искать функцию= á C ErN FC Er O Fñ = φOC E rN I rO F + á C Er F ñ O K =

Перемножая члены ряда=EQK=N8F=и усредняя по положению каскадовI= согласно= EQKNVF =получим рядI =в который будут входить два вида= слагаемыхW=

NTS= =

N N δ ErN - o k - rij Fδ ErO - o k - rik F d P ok Z δ ErN - rij - rO + riN FI = ò % s s% N N δ ErN - o N - rij FdErO - o k - rik Fd P oN d P ok Z K= ò % s s% O В результате получим= kk kk n n kk ni ni N áC ErN FC ErO Fñ = åå i k + ååå δ ErN - rij - rO + ril F = % O i=N j=N l=N s% i=N k =N s k k

k

k n n

k n

k k nn k nO k i i N k i N = åå i k - å i + ååå δ ErN - rij - rO + ril F + åå δ ErN - rO F = %O %O s% s% i=N k =N s i=N s i=N j =N l =N i=N j=N

l¹ j

kk

k n n

k i i N nO ρEsCFO = E ρsC F + å N + ååå δ ErN - rij - rO + ril F+ρsCδ ErN - rO FK %O s% s% i=N s i=N j =N l =N

O

l¹ j

Первый член малI=так как пропорционален квадрату концентрацииI= % , где= которая мала по условиюK=Второй малI=тK=кK=имеет порядок= N s % – объем образцаI=который мы считаем бесконечно большимI=поJ s этому=

φOC ErN I rO F =

k k ni ni

N

ååå s% δ ErN - rij - rO + ril F +áC ErFñ δ ErN - rO FK i=N j =N l =N l¹ j

Величины= rij I=т.еK=координаты дефектов в каскаде неизвестныK=Как= указывалось вышеI=предположим их равномерно распределенными= по объему= NJго каскадаI= для чего необходимо провести последнее= усреднениеW= N δ ErN - rNi F - ErO - rNj F dPrNi dPrNj I EQKOOF O òò sN где интегралы берутся только по объему=N-го каскадаK Результатом интегрирования= EQKOOF= будет объем областиI= в= которой может выполняться условие= ErN - rij F = ErO - rij F K=Но обе чаJ

(

)

сти этого равенства=–=это координаты внутренних точек каскадных=

NTT= =

областей с центрами в= rN и rO K= СледовательноI= интеграл=EQKOOF=раJ вен объему перекрытия каскадных областей объема= siI построенJ ных с центрами= r N и rO K=Обозначим этот объем= sÇi ErN I rO F K=Тогда

(

)

φOC ErN I rO F =áC Er Fñ δ ErN - rO F + ρ CEsC JNFsÇ Ls K

EQKOPF

Корреляционная функцияI=как отмечалось вышеI=характериJ зует неоднородность поля дефектовI= образующихся в образцеK= С= ростом флюенса облучения корреляционная функция=EQKOPF=растет= линейноI=тK=еK=неоднородность монотонно возрастаетK=Это связано с= темI =что= EQKOPF =получено для случая разреженных каскадов и неJ применимоI= когда число перекрывающихся каскадных областей= великоK= Для нахождения асимптотики корреляционной функции= при больших флюенсах рассмотрим модель плотных каскадовK=

4.4. Модель плотных каскадов Будем предполагатьI= что внутри каскадной области создаJ ется концентрация дефектов= CMI= которая не меняется при прохожJ дении через данный объем последующего каскада атомных столкJ новенийK=Для дальнейших выкладок потребуется вероятность тогоI= что центр одного из каскадов попал в данный объем= s’I= покажем= это следующими рассуждениямиK=Вероятность тогоI=что центр данJ ного каскада не попал в объем=sI=составит sD NJ I s% % где s I=как и преждеI=–=объем образцаK Если в образце находится= N каскадных областейI= то вероJ ятность тогоI=что центр ни одного из каскадов не попал в данный= объем=s’I=равна= k

æ sD ö ç NJ % ÷ I = è sø таккак каскады распределены независимоK= k и устремляя= s% к бесконечностиI=имеемW Полагая= ρZ s% pM Z e JρsD I

NT8= =

где= pM =–=вероятность тогоI=что в объем=s’ не попал центр ни одноJ го из каскадовK Тогда вероятность тогоI= что в окрестности данной точки= концентрация дефектов равна=MI=записывается в виде= pM Ze Jρs I = где= s =–=средний объем каскадаI=так как=С=Z=M означаетI=что центр= ни одного из каскадов с объемом=si=не попал в областьI=окружаюJ щую данную точку с объемом= siK Соответственно вероятность обJ наружения концентрации=CM в данной точке pECM FZNJe Jρs I

а средняя концентрация

(

)

C ZCM NJeJρs K

EQKOQF=

Для нахождения корреляционной функцииI=как и вышеI=расJ считаем= áC ErN FC ErO Fñ K=Для этого достаточно рассчитать вероятность= тогоI= что в окрестности обеих точек концентрация дефектов равна= CMK=Это может случиться по двум причинамW=либо обе точки лежат в= одной каскадной областиI=либо=–==в разныхK=Если точки лежат в одJ ной каскадной областиI= то это означаетI= что центр попал в объемI= образующийся при перекрытии таких же каскадных областейI= поJ строенных с центрами в= rN и rO I= т.еK= в объем= sÇ I =который мы исJ пользовали вышеK=Вероятность такого исхода составит

(NJe ) K= - ρsÇ

В противном случае в объеме= sÇ нет центра каскадной обJ ластиI =зато в двух объемах= s= J sÇ находится по центру каскадной= областиW= = O e - ρsÇ N- eJρEs JsÇ F K = = Суммируя эти вероятностиI=находим=

)

(

)

(

áCE rN FCE rO FñZCMO N- Oe- ρs + e-2ρsHρsÇ I =

NTV= =

(

) ===============

φOC ErN I rO FZCMO eJOρs × e ρsÇ -N K

EQKORF

Таким образомI=при больших флюенсах облучения корреляционная= функцияI= а следовательноI= неоднородность поля дефектов уменьJ шается по экспоненциальному законуK= =

4.RK=Параметры имитации = ИзвестноI=что критические параметры однородного и неоднородноJ го сверхпроводника различныK= В литературе получены соотношеJ нияI=позволяющие выразить через корреляционные функции первоJ го и третьего коэффициентов Гинзбурга–Ландау ряд параметров= неоднородного сверхпроводникаK= ТакI= поправка к критической= температуре записывается в видеW= æ æ ö φEr Fd P r ö N N qC ZqCM çN+ φN ÷ I =EQKOSF= ÷ = qCM çN+ ç 4π á AP ñ ò ÷ r è Qπ á AP ñ ø è ø где= qCM =–=критическая температура сверхпроводника при однородJ ном распределении дефектовI= φEr F –=корреляционная функция перJ вого коэффициента Гинзбурга–ЛандауI=YАP[==среднее значение треJ тьего коэффициентаK=Ширина сверхпроводящего перехода и критиJ ческий ток в случаеI=если размер неоднородностей=o=«=ξEqF=–=длины= когерентностиI=выражаются через= φM = ò φErFd Pr

====================

EQKOTF=

для пленки и φMO ==для массивного образцаK= = В самом общем виде связь между коэффициентами ГинJ збурга-Ландау и концентрацией дефектов можно записать в виде= =EQKO8F= AN ErF = ò fN ( cEr + r DFI r D) d Pr DI == ε

где= АN= –= N-й коэффициент Гинзбурга–ЛандауI= cErF –= концентрация= дефектов в точке r I=ε=–=некоторая окрестность начала координатK= Если известен вид функции=fNEcI r FI=то можно найти среднее= значение коэффициентов Гинзбурга–Ландау и корреляционные= функции от нихW=

N8M= =

á AN ñ = ò d P rD ò f NEcI r DF pEcFdc e

φAN Z ò d r Dò d r DDòò fNEcN Ir DF fN EcN Ir DDF pEcN IcO I r + r D- r DDFdcNdcO -á AN ñ O K (QKOV) P

e

P

e

Нелокальная связь=EQKOVF=между коэффициентами ГинзбурJ га–Ландау и концентрацией дефектов сглаживает коротковолновые= гармоники в= C ErF K=Как отмечалось вышеI=эти гармоники слабо влиJ яют на решения уравненийI= поэтому вместо нелокальной связи= можно в первом приближении взять локальнуюW AN ErF = fN ( C Er F ) K EQKPMF= ======================= Кроме тогоI= ограничиваясь начальной стадией облученияI= в= приближении малой концентрации дефектов можно оставить тольJ ко первые члены разложения функций=fN в ряд Тейлора по=СW AN Z ANM HαNC Er FI EQKPNF= ¶A ANM Z ANECZMF;===αN Z N K ¶C В этом случае фор м улы EQKPNF=переписываются в видеW á AN ñ = ANM HαN áC ñ I

(

)

φErF=αNO áC Er DFC Er D+ r Fñ-áC ñ O K Используя результатыI= полученные для разреженных каскадовI= имеем в приближении шаровых каскадных областейW á AN ñZ ANM HαN ρEsC FI

æ æ Pr ö EQKPOF rP ö O ÷I φErFZαNO ρ ç s ç NJ H C q EOoJrF ÷ P ç èç Qo NSo ø÷ ÷ è ø где усреднение проводится по случайному распределению каскаJ довI= q –=тета-функцияK = Подставляя корреляционную функцию= EQKPOF= в интегралыI= через которые выражаются параметры сверхпроводникаI=получим= æ s OC O ö ÷K φM =αNO ρ s O C O ;==========φN ZNKO × αNO ρ ç ç o ÷ è ø

(

)

N8N= =

Если каскад полностью определяется энергией ПВАX=

dσ ( bM IbD )

–= db полное дифференциальное сечение рассеяния частиц с энергией=bM = и образованием ПВА с энергией= Е’ на единицу объема мишениI= равное= dσ æ dσ ö æ dσ ö ZC A ç ÷ HC B ç ÷ I= dbD è dbD ø A è dbD ø B æ dσ ö где= Cx= –= концентрации атомов А и В в мишениI= ~= ç ÷ = –= их= è dbD ø x дифференциальные сечения рассеянияX=kEbMF=–=спектр налетающих= частицI=нормированный на единицуI=то получим=

áC ñ = c ò kEbM FdbM φM = αNO c

bm~x

ò

dbDsEbDFCEbDF

bN bm~x

ò kEbM FdbM ò

dbDs O EbDFC O EbDF

bN

φN = NKOαNO c ò kEbM FdbM

dσEbM IbDF I dbD

bm~x

ò

bN

dbD

dσEbM IbDF I dbD

==EQKPPF=

s O EbDFC O EbDF dσEbM IbDF I oEbDF dbD

где= c= –= флюенс облученияI= ЕN ≈ Тd= –= энергия образования одной= пары Френкеля=EПВА с минимальной энергиейFI=Еm~x=–=максимальJ но возможная переданная энергияK= Таким образомI= при сравнении экспериментальных= результатов по влиянию облучения на критический ток= сверхпроводников и ширину сверхпроводящего перехода= необходимо сравнивать не концентрации образовавшихся в= материале дефектов= áC ñ= ρEsC F I= а величины= φMK= Для критической= температуры таким параметром является некоторая комбинация= áCñ I=φN и зависимостей=ТCM=E áCñ F=и=АPE áCñ FK= = = = =

N8O= =

4.6. Имитационные соотношения для модельных спектров ПВА = Рассчитаем эквивалентные дозы в двух модельных случаяхI= соответствующих нейтронному и ионному монохроматическому= облучениюK= При облучении ионами плотность вероятности= образования ПВА с энергией= Е= Eспектр ПВАF =грубо можно= аппроксимировать гиперболической зависимостью= NLЕI= которая= обрезана снизу энергией образования одного дефекта= EbN= Z =qd= ~= ORэВFI=а сверху=–=максимальной переданной энергией=Еpº Еm~xI=заJ висящей от масс налетающих ионов и атомов мишениK= При облучении нейтронами сечение рассеяния слабее завиJ сит от переданной энергииK= Рассмотрим модельный случай равенJ ства вероятностей передачи любой энергии от= ЕN до= ЕnI= которая= определяется как и=Еm~xK= Размер каскадаI=как отмечалось вышеI=равен или пропорциJ онален длине пробега ПВАI= которая в свою очередь пропорциоJ нальна энергии ПВАI=следовательноW== o Zconst K= b Количество дефектов в каскаде также пропорционально энергии= Cs Cs ПВАI= т.еK= ZconstI= = = ZconstI== причем все эти константы не= b o зависят от налетающих частиц и связаны только с составом и= структурой мишениK= Таким образомI= с учетом= kEbF =Z =σEb =J =bMF= EQKPPF= можно переписать в видеW= bm~x

dσEbM IbDF æ Cs ö dbD × bD áC ñ = Φ ç I ÷ ò dbD è b ø bN æ Cs φM =αNOΦ ç

ö ÷ è b ø

O bm~x

ò

dbD × bD O

O

b

bN

dσEbM IbDF I dbD

m~x dσEbM IbDF æ Cs ö æ b ö K φN ZNKOαNOΦ ç ÷ ç ÷ ò dbD × bD dbD è b ø è o ø bN

N8P= =

= EQKPQF=

Подсчитаем= áCñ I=φM и=φN для рассмотренных двух модельных спекJ тров ПВАK=Для удобства обозначим= σ =–=нормированное на единиJ цу дифференциальное сечение рассеянияW= dσEbM IbDF dbD σEb IbDF = K= M

bm~x

ò

dbD

bN

dσEbM IbDF dbD

Пусть=ρp и=ρn=–=число каскадных областей=EПВАF=в единице объема= для ионов и нейтронов соответственноK== Для ионного облучения= Qj Nj O ì = bM × X ïN bD ×ln=Eb p L bl =FI bN £= bD £ b p Z Ej N Hj O FO σEbM IbDF = í ïMI==========================bD < b I==bD > b ; N p î æ Cs ö b p J bN áC ñZ ρN EsC FZ ρN ç I ÷ è b ø O lnEb p L bN F

EQKPRF=

O b O J bO æ Cs ö p N φM αNO = ρN Es OC O FZ ρN ç I ÷ è b ø O lnEb p L bN F

æ s OC O ö æ Cs = ρN ç ÷= ρN ç O ç ÷ o è b NKOαN è ø φN

O ö æ b ö b p J bN K ÷ ç ÷ ø è o ø O lnEb p L bN F

Те же величины для нейтронного облучения равны= Qj Nj O ì N ; ï b J b I====bN £ bD £ bn ZbM × σEbM IbDFZ í n N Ej N Hj O FO ïMI==========================bD < b I==bD >b ; = l n î æ Cs ö bn HbN áC ñZ ρn ç I ÷ è b ø O O

O O æ Cs ö bn Hbn bN HbN φM αNO = ρn ç I ÷ P è b ø O

æ Cs ö æ b ö bn HbN Z ρn ç K ÷ ç ÷ è b ø èoø O NKOαNO φN

N8Q= =

=============================EQKPSF=

Сразу можно заметитьI=что в рамках данной моделиI=если совпадаJ ют средние концентрации= áCñ I=то совпадают и интегралы=φNI=а это= значитI=что совпадают и критические температурыK=СледовательноI= условие эквивалентных доз облучения для критической температуJ ры записывается в стандартном виде равенства средних концентраJ ций дефектов= b p J bN b Hb ρN = ρn n N K = = EQKPTF= O lnEb p L bN F O Для критического тока получаем другое условие эквиваJ лентностиW= b Op J bNO

b Hb b Hb = ρn n n N N EQKP8F= O lnEb p L bN F P ========== b=соотношение между=ρN и=ρnI=аI=следовательноI=флюенсами=ФN и=Фn= для эквивалентных доз по критическому току отличается от услоJ вия эквивалентности для критической температурыK= = ρN

4.T. Детальные расчеты характеристик поля повреждений при облучении тонких пленок сверхпроводников А1R ионами и нейтронами Спектры первично выбитых атомов= EПВАF= имеют определяJ ющее значение для расчета радиационной повреждаемости материJ аловK= СледовательноI= в реальных ситуациях нельзя ограничиться= модельными результатамиI=представленными в предыдущем раздеJ леK=Для сопоставления воздействия различных видов облучения на= сверхпроводящие пленки и конструкционные материалыI испольJ зуемые при создании сверхпроводящих магнитных систем необхоJ димы более детальные и достоверные расчетыK=С этой целью в данJ ном разделе представлены результаты расчеты радиационных деJ фектовI= проведенные с помощью разработанного комплекса проJ граммI=основных на идеологииI= частично представленной вышеK= В= рамках этих расчетов также детально учитывается возможность= образования субкаскадных структур при облучении быстрыми чаJ стицамиK==

N8R= =

Одной из основных характеристик сверхпроводящих свойств= является температура сверхпроводящего перехода=ТсK=В настоящее= время теоретически уменьшение критической температуры соедиJ нений АNR= при введении дефектов кристаллической структуры= объясняется==изменением плотности числа состояний электронов на= уровне ФермиK=Это подтверждается и прямыми=~bJinitio=расчетами= и экспериментальными даннымиK= С этой точки зрения=Тс должна быть универсальной функциJ ей средней концентрации дефектов в образце= áCñ I=испытывающей= слабые вариацииI= связанные с неоднородностью дефектной струкJ турыK= Поэтому при облучении сверхпроводника нейтронами и= ионами до флюенсовI при которых концентрации дефектов равныI= следует ожидать одинакового падения критической температурыK= Обычно вместо концентрации дефектовI= для нахождения которой= необходимо рассматривать процессы рекомбинацииI= пользуются= концентрацией смещенных атомов=CdI=полагаяI=что существует соJ ответствие между этими величинами=CdZkndK= Реально это соответJ ствие может в значительной степени зависеть от вида каскадной= структуры=Eразмеров каскадов и концентрации дефектов в нихFK== С другой стороныI=существует кластерная модель деградации= ТсI=предполагающаяI=что в каскадных областях сверхпроводимость= полностью= Eили частичноF= разрушенаI= а падение= Тс связано с= увеличением объемной доли кластеров в образцеK=Легко видетьI=что= это соответствует рассмотренному в предыдущем разделе случаю= плотных каскадов иI=следовательноI=Тс должна быть универсальной= функцией относительного объема каскадных областейK== = 4.T.1 Учет субкаскадной структуры повреждений= = ОднакоI= при больших энергиях ПВА возможно образование= вдоль их трека субкаскадной структурыI =тK =еK =о расщеплении= каскада атомных столкновений на отдельныеI=не связанные между= собой субкаскадыK= Формально учет субкаскадов сводится к= пересчету спектра для ПВАI= энергия которых выше пороговой= энергии образования субкаскадовI= на их спектр после рассеяния и= спектр выбитых ими атомовK=Пусть спектр ПВА=

N8S= =

kNEqFZ ò

dσM EbIqF kM EbFdq dq

EQKPVF

dσM –= сечение их= dq рассеяния на атомах мишениK=Тогда после первого рассеяния ПВА= с энергией больше=Еp=–=граничной энергии образования субкаскадJ ной структуры= –= спектр движущихся атомов будет даваться форJ мулой=En=Z=NFW=

где= kM EbF –= спектр частиц налетающего пучкаI=

q

N m~x æ dσEqDIqF dσEqDIqD JqF ö k nHNEqFZ k n EqFqE bp Jq F + H ç ÷ k n EqDFdqDK EQKQMF= σ bò è dq dq ø p

Продолжая итерационный процесс= EQKQMFI= в пределе получим= спектр всех частицI=которые имеют энергию меньше=Еp и образоваJ ны при выбивании атомов мишени частицами первоначального= пучка и выбитыми атомами с энергией больше= ЕpK= Эти частицы= инициируют в образце каскады атомных столкновенийI=и на основе= этого спектра рассчитываются характеристики поля дефектовK= Эта процедура значительно меняет объемы каскадных= областей и корреляционные функции дефектной структурыI=так как= учитывает неоднородность каскада атомных столкновений при= больших энергиях ПВА. Однако на среднее значение концентрации= дефектов учет субкаскадной структуры практического влияния не= оказываетK= = 4.T.O. Расчеты для монохроматического ионного облучения = Расчеты на ЭВМ для монохроматического ионного излучеJ ния и определенной пары= …ион-мишень»= позволяют получить поJ тери на электронное и ядерное торможениеI= полный и проектный= пробегиI= их разбросыI= энергетические потери на создание повреJ жденийI= распределение по размерам зон повреждений с учетом= возможного образования субкаскадных структурK= Для описания ядерных столкновенийI= в= которых создаются= дефектыI= использовались два варианта дифференциального сечеJ ния взаимодействияW= сечение Томаса-Ферми в аналитическом= представлении Линхарда и сечениеI= определенное Зиглером из поJ тенциала МольераK= Электронные потери учитываются по полуэмJ

N8T= =

пирическим соотношениямI= дающим хорошие результаты в широJ ком диапазоне пар ион-мишень и различных энергиях ионовK=В осJ нове метода расчета профиля повреждений и профиля имплантироJ ванных частиц лежит предположение об аппроксимации спектра= движущихся частиц гауссовским распределениемI= относительно= средней энергии на некоторой глубине в образцеK== Результаты расчетных параметров для ионного облучения= приведены в таблице=QKNW= =pеI =pkI =pi= –= потери энергии облученного иона на возбуждение= электронной подсистемыI= на ядерные столкновения и на создание= радиационных дефектовX==

o p ºá zñI== Δo p º á z O ñ-á zñ O –=средний проективный пробег и разJ брос проективных пробегов ионовX== pGEMF= –= потери на создание дефектов в приближении тонкой= мишениX== cG=–=флюенсI=соответствующий числу смещений=Сd=Z=NI=рассчиJ танный в приближении тонкой мишени= EЕd= Z= OR= эВ= –= энергия на= одно смещениеFK= Вторым этапом расчетов являлось определение структуры= поля поврежденийI= т.еKI= напримерI= размеров каскадовI= рожденных= ПВАI=ВВАK== Рассчитаны зависимости относительного изменения= критической температуры= kbPpn= от числа смещенных атомов и= объемовI= занятых каскадными областямиK= Использовались данные= по облучению= kbPpn =нейтронами с энергиями выше= NMM =кэВ и= N = МэВI= протонами с энергией TR =кэВI =α-частицами с энергиями= O = МэВK =OIR =МэВI =PIS =МэВI =ионами кислорода с энергией= OR =МэВ и= ионами Не с энергией= NIRS= МэВ= EрисK= Q.QFK= Использовались два= варианта дифференциального сечения взаимодействияW= сечение= Томаса-Ферми в аналитическом представлении Линхарда и= сечениеI=определенное ЗиглеромI=из потенциала МольераK== =

N88= =

Результаты расчетов по облучению пленок=kbPpn=EЕd=Z=OR=эВF

Таблица=QKNK==

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

= =

N8V=

=

4.T.P. Расчет спектров ПВА для нейтронного облучения= = = При нейтронном облучении в связи с большой длиной=их= свободного пробега и относительно слабой=зависимостью поперечJ ного сечения рассеяния от переданной энергии в образце наблюдаJ ется ярко выраженная каскадная структураK=Средняя энергия перJ вично выбитых атомов=EПВАF=для нейтронов с энергией=N=МэВ соJ ставляет десятки кэВI=что приводит к образованию каскада атомJ ных столкновений с участием сотен атомовK=При ионном облучеJ нии расстояние между ПВА на несколько порядков меньшеI=а их= средняя энергия не превышает=N=кэВK=В то же время при облучении= нейтронами возможно появление ПВА с энергией более=NMM=кэВI= что приводит к образованию в этихI=относительно редких случаяхI= субкаскадной структурыK== Для нейтронов реакторов деления и==будущих термоядерных хаJ рактерно наличие широкого энергетического спектраK= Расчетный= спектр нейтронов ТЯР после защиты в области=CjC=простирается= до энергии= NQ =МэВK =Для нейтронов таких энергий существен неJ упругий канал образования ПВАK== С целью расчетов спектров ПВА для реального спектра нейтроJ нов использовался комплекс программI=учитывающих упругое расJ сеяние нейтронов на атомах мишени в рамках модели параметриJ зованного фазового=анализа и неупругое рассеяние в модели ГрайJ мса и другихK= Основные выводы расчетов первого этапа= Eспектра ПВАF = заключаются в следующемW== · при энергиях нейтронов=Еп=[=R=МэВ в дифференциальном сечеJ нии упругого рассеяния= EугловомF= проявляются дифракционJ ные максимумы= EтK= еK= рассеяние таких нейтронов становится= неизотропным и отличным от упругих шаровFX== · с ростом энергии нейтронов относительная величина неупругоJ го рассеяния возрастаетI=для=Еn=[=T=МэВ на спектре ПВА проявJ ляется максимум при энергии=Т=~=NMR эВX æ dσ ö · при=Еn=[=T=МэВ зависимость= ç q ÷ имеет два максимумаI=т.еK= è dq ø существуют две группы ПВАW=с энергией=NMQ эВI=образованные= в упругих столкновениях нейтронов с атомами веществаI= и с=

NVM= =

энергией= NMR эВ= – =в неупругихX =первая группа ПВА создает= мелкие каскады с характерным размером=~PM=ǺI=вторая=–=каскаJ ды размером=~OMM=ǺX= · нейтроны с энергией=~NQ=МэВ образуют ПВА с энергией до SMM= кэВI=характерный размер каскадов при этом=~NMMM=Ǻ и необхоJ дим учет субкаскадной структуры поля поврежденийK= Были проведены расчеты на ЭВМI=в алгоритме которой==учиJ тывалосьI=что структура поля повреждений может значительно меJ няться для области больших размеров каскадовK= УчитывалосьI= что= каскад может распадаться на субкаскадыK=Для учета этого эффекта вводится функция распределения изолированных зон повреждений= –=…квантов»=поля повреждений=–=kПЗПK=Расчет функции=kПЗП провоJ дится итерационным способомI= который учитывает распад каскаJ дов на субкаскадыK =В результате показаноI =что число мелких зон= повреждений возрастаетI=а крупных убывает=–=в этом отличие=kПЗП = от= Edσ L dqF K=Для расчета пороговой энергии=qp образования субкасJ кадов разработана независимая методикаI= которая дает значение= порядка=QM=кэВ для мишени из=kbPpnK= Пусть= ΦN –= параметр имитацииI= соответствующий средней= степени повреждения образцаI= ΦO = –= параметрI= связанный с дисJ персией случайного поля поврежденийK=При помощи функции=kПЗП= параметры имитации для облученияI=имеющего флюенс=cI опредеJ ляются следующим образомW= α cf N=;===f N Z ò ba EqFk ПЗП EqFdq I Oba α O ΦO=Z O cf O=;===f O Z ò ba EqFk ПЗП EqFdq I Qba ΦN=Z

EQKQQF=

где=ba=–часть энергии ПВАI=затраченная на создание поврежденийI= α=–=константаI=определяющая каскадную функцию Eв модели КинJ чина–Пиза=α=Z=NI=для НРТ стандарта=α=Z=MI8FK= Результаты расчетов показалиI= что учет субкаскадной струкJ туры поля повреждений меняет значение корреляционной функции= ~ ΦO I= слабо сказываясь на средней по образцу концентрации деJ фектов=~ ΦN K=

NVN= =

По данной методике проводился пересчет спектров ПВАI=обJ разованных как нейтронамиI=так и быстрыми ионами=Eвключая тяJ желые частицыI =для которых это также актуальноFI =размер каскаJ довI=концентрацию дефектов в каскадах и т.дK== Основные==результатыW= · поле поврежденийI= образующееся в сверхпроводнике ниоJ бий-олово при протонном= EbN~= lMM= кэВF= облученииI= однородноI= в= том смыслеI= что представляет собой равномерно распределенные= по образцу пары ФренкеляI= что связано с большой длиной свободJ ного пробега= Eλ= » =d= –= толщины пленок= ~NMMM= ǺF= и малой средней= переданной ПВА энергией=ТX= · при облучении ионами Не=EЕN=~O=–=R=МэВF=образующееся в= образце поле поврежденийI= в сравнении с протонамиI= менее одноJ родноI= плотность числа смещений в каскаде меньше за счет их= большого размераX= · поле поврежденийI=создаваемое ионами=kе=EЕN=~NIS=МэВF=по= своим основным характеристикам совпадает с полем повреждений= от нейтронов с энергией=EN=–=NQ=МэВFX= · при облучении нейтронами при флюенсахI= соответствуюJ щих падению критической температуры ТÅ в два раза по сравнению= с первоначальной=EN8К для ниобий-оловоFI=кратность повреждения= образца= Eотносительная доля объемаF= составляет= MKNS= для нейтроJ нов с энергией=N=МэВ и=MKPN=для нейтронов с энергией=NQ=МэВK= =

4.8. Методика определения временного ресурса сверхпроводящих соединений На основе представленных соотношений была создана= программа для ЭВМI= которая позволяет проводить сопоставление= воздействия различных видов облучения на различные= характеристики сверхпроводящих материаловK= В рамках этих= расчетов= = определены характеристики элементов поля смещенийW= средний размер каскадовI= концентрациюI= дефектов в каскадеI= значения пороговой энергии=bp и так далееK= Используя полученные результатыI= были обработаны экспеJ риментальные данные для зависимости критической температуры= от флюенса=c ионного и==нейтронного облучений образцов=kbPpnK=

NVO= =

Зависимость приведенной критической температуры от флюенса= частиц=qcEcF==представлена на рисK=QKQK=Для ионного облучения исJ пользовались данные для тонких сверхпроводящих пленок для исJ ключения влияния имплантации частицK= Видно значительное разJ личие в величине флюенсовI= соответствующих падению критичеJ ской температуры в два разаK= Был проведен пересчет зависимостей от= c= на число смещеJ ний на атом=Cd и относительный объемI= занятый каскадамиK= ЗавиJ симость= Тс= /ТсM= EТсM= –= температура сверхпроводника до облученияF= от концентрации смещенных атомов достаточно хорошо укладываJ ется в окрестности одной кривой=EрисKQKRFK== Лучшая универсальность зависимости= qcLqсM от меры= облучения получается при использовании сечения Линхарда в двух= случаяхW= от относительного объемаI= занятого цилиндрическими= каскадамиI= рассчитанными в модели простого усредненияI= и от= числа смещений с учетом функции Робинсона= EрисK= Q.5бFK Остальные модели дают существенно больший разброс данныхK= = Из представленных результатов следуетI= что уменьшение= критической температуры= Тс в два раза происходит при одном и= том же числе смещений на атомI= независимо от типа облучения= Eкритерия имитации= ΦN FK=В пересчете флюенса на число смещений= для разных видов облучения полученоI=что зависимость=qcECdF стаJ новится практически универсальной для всех типов облучения= представленных на рисKQKQK=Число смещений на атомI=необходимое= для падения критической температуры в= O= разаI= равно = Cd (qc qM ZMKR ) » MKMQ K= = Используя этот универсальный результатI=можно рассчитать= значение флюенса= cnNLOI= необходимого для падения критической= температуры=Тc в два раза=для любого вида излученияK=== Для примера на рисK=QKS=показано отношение эквивалентных= по воздействию на критическую температуру флюенсов ионного и= нейтронного облучения= ηZcN cn в зависимости от энергии ионовK= ВидноI= что для эквивалентного результата необходимый флюенс= протонов в=NMN¸NMO раз меньшеK= =

NVP= =

NVQ=

=

РисK=QKQ=Экспериментальные данные зависимости=qcLqcM от флюенса облучения ионами= и нейтронамиK=Энергия=bi=и тип ионов различныK=Облучение нейтронами проводилось в реакJ торах деленияK= Характерная энергия нейтронов= bn»1МэВK= Температуры облучения= qоблZQ¸TMMh==

а

б

РисK= QKR= Зависимость нормированной критической темпераJ туры=kbPpn=при различных флюенсах и видах облученияW= а=–=от относительного объемаI=занятого каскадамиX= б=–=от числа смещений с учетом функции Робинсона= =

NVR= =

РисK=QKSK=Отношение флюенсов= h= º==ciLcn ионного и нейтронJ ного облученийI= эквивалентных по воздействию на критическую= температуру=qC соединения=kbPpn==в зависимости от энергии проJ тонов=ЕiK==Кривые=ENJ=QF=соответствуют имитации протонами облуJ чения нейтронами с различным энергетическим спектромW= N= –= = 1МэВX=O=–=TМэВX=P=–NQ=МэВX=Q=–=спектр нейтронов за защитой ТЯР=

=

РисKQKTK= Зависимость приведенной критической температуры от= флюенса нейтронного облученияK= Расчетные данные для энергий= нейтроновW= N= –= bnZNМэВX= O= –= bn=спектр за защитой ТЯРX =P– =bnZ= NQМэВK= ·= J= точки соответствуют экспериментальным данным для= нейтронов со спектром реакторов деления=Eлитературные данныеF=

NVS= =

= Можно также предсказать критический флюенсI= соответJ ствующий падению критической температуры= kbPpn= в два разаI= для потока нейтронов в=?окне?=защиты ТЯР=EЕ=Z=NQ=МэВFK=Это знаJ чение составляет=cnENLOF= ~=S·NMN8= н/смOK= Для нейтронов со спектром= за защитой ТЯР в области сверхпроводящей магнитной системы= ECjCF=эта величина составит==cnENLOF=~N·NMNV=н/смO=EрисK=QKTFK= Представленные результаты расчета радиационных= повреждений сверхпроводника ниобий-олово позволили ввести= критерии для имитационных экспериментов и разработать схему= определения радиационного ресурса интерметаллидов АNR= при их= использовании в качестве токонесущих элементов в CjC=ТЯР==xN8I= NVzK= Основные физические положения этой методикиW= · изменение значения критических параметров происходит= вследствие размытия тонкой структуры плотности электронных= состояний под действием радиационных дефектовX= · первоначальные= Eдо облученияF= микроскопические параметры= плотности электронных состояний определяются из измерений= свойств образцов в нормальном и сверхпроводящем состоянииX= · критическая температура является универсальной функцией= числа смешений на атом для всех видов облученийX= · основным типом дефектовI= ответственным за деградацию= критической температуры при облучении соединений АNR= являются дефекты замещения= = EантисайтыFI= = их концентрация= возрастает линейно с флюенсом облучения на основном= интервале деградации=ТсK= = Вопрос о радиационной стойкости сверхпроводящих матеJ риалов является важным не только с прикладной точки зренияK= Изучение влияния облучения на соединения со структурой АNR=в определенной степени открыло путь к пониманию природы сверхJ проводимости этих соединений и позволило выделить основные= механизмыI определяющие характерные особенности их свойств в= нормальной фазе (электросопротивленияI=магнитной восприимчиJ востиI=электронной теплоемкости и т.дKFK=Такие исследования позJ волили получить информацию о природе относительно высокого=

NV8= =

значения критической температурыI=причинах ее сильной зависиJ мости от наличия дефектов в структуреI=извлечь данные о элекJ тронном спектреI=т.еK=позволили получить информациюI==представJ ляющую фундаментальный интересK=

4.9. Вопросы для самопроверки к разделу 4 NK Опишите основные закономерности изменения сверхпровоJ дящих свойств=Eкритической температуры и критического токаF= под действием быстрых частицK= OK Какова структура случайных полей==радиационных дефектовI= образующихся в==пленочных==образцах==при==облучении быстрыми= частицами?== PK Основные приближенияI=используемые в модели разреженJ ных каскадов?= QK Основные приближенияI=используемые в модели плотных== каскадов?= RK Дайте пояснения к имитационным соотношениям для моJ дельных спектров ПВАK=== SK Каковы основные положения методики определения временJ ного ресурса сверхпроводящих соединений?=

NVV= =

NK OK PK QK RK SK TK 8K VK NMK NNK NOK NPK NQK NRK NSK NTK N8K NVK OMK

Список литературы=

Косевич А.МK=Физическая механика реальных кристалловK=КиевW=Наукова= ДумкаI=NV8NK= Смирнов А.АK=Теория сплавов внедренияK=МKW=НаукаI=NVTVK= Смирнов А.АK=Молекулярно–кинетическая теория металлов и сплавовK=МKW= НаукаI=NVSSK= Елесин В.ФKLLДАН СССРK=Т=OV8I==СNPTT=ENV88FX=Письма в ЖЭТФK=Т=RVI=С=QRN= ENVVQFK= Дегтяренко Н.НKI=Мельников В.ЛK=Радиационные дефекты перспективных= сверхпроводящих соединенийK=МKW=МИФИI=NVVMK= Томпсон МK=Дефекты и радиационные повреждения в==металлахK=МKW=МирI= NVTNK= Френкель Я.ИK=Введение в теорию металловK=ЛKW=НаукаI=NVTOK= Комник Ю.ФKI=Физика металлических пленокK=МKW=АтомиздатI=NVTVK= Зеленский В.ФKI=Неклюдов И.МKI=Черняева Т.ПK=Радиационные дефекты и= распухание металловK=КиевW=Наукова ДумкаI=NV88K= Мартыненко Ю.ВK=Взаимодействие плазмы с поверхностьюLLИтоги==науки и= техники=EСерK=Физика плазмыFK=ТPK=МKW=ВИНИТИI=NV8OK= Лейман КK=Взаимодействие излучения с твердым телом и образование= радиационных дефектовK=МKW=МирINVTVK= Кирсанов В.ВKI=Суворов А.ЛKI=Трушин Ю.ВKI=Процессы радиационного= дефектообразования в металлахK=МKW=ЭнергоатомиздатI=NV8RK=OTO=сK= Киттель ЧK==Введение в физику твердого телаK=jKW=НаукаI=NVT8K=SVSсK= Пространственные распределения энергииI=выделенной в каскаде атомных= столкновений в твердых телахK=МKW=ЭнергоатомиздатI=NV8RK=OQS=сK== Стоунхэм АK=МK=Теория дефектов в твердых телах МKW=МирK=ТN=W=Электронная= структура дефектов в диэлектриках и полупроводникахK=NVT8K=RSV=сK= Эльтеков ВK=АK=Взаимодействие атомных частиц с твердым теломK= Компьютерное моделирование==МKW=МГУI=NVVPK=NRO=сK= Александров АK=СKI=Елесин В.ФKI=Казеко МK=ПK=Влияние радиационных= дефектов на критическую температуру сверхпроводников=LL=Физика твердого= телаI==NVTVK=ТONI=k=TI==С=OMSO–OMTOK= Александров АK=СKI=Елесин ВK=ФK==Поляронная модель электронного спектра и= сверхпроводимость интерметаллидов со структурой АNRLL=Физика твердого= телаI=NV8PK=Т=ORI=k=OI=С=QRS–QSQK= Григорьев АK=ИKI=Дегтяренко НK=НKI=Мельников ВK=ЛK=Радиационная= повреждаемость материалов при низкотемпературном нейтронном и ионном= облученииK=LL=Воздействие излучения на сверхпроводникиK=МK=NV8PK= Григорьев АK=ИK=I=Дегтяренко НK=НK=I=Мельников ВK=ЛK=Влияние учета= субкаскадной структуры радиационных повреждений на критерий имитации= нейтронного облучения ионнымLLИзменение свойств сверхпроводящих= соединений типа АNR=под воздействием облученияK=МKW=ЭнергоатомиздатK= NV8RK=

OMM= =