Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2001. Том 42, № 1
УДК 517.51
ОБ ОПЕРАТОРАХ РИМАНА ––– ЛИУВИЛЛЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ Д. В. Прохоров Аннотация: Даны критерии Lp − Lq -ограниченности и компактности оператора φ(x) R f (y)(x − y)α−1 dy при α, p, q ∈ Римана — Лиувилля вида f (x) 7→ v(x)χ(a,b) (x) ψ(x) 1 (0, ∞) и p > max( α , 1), где v — измеримая, а φ„ψ — абсолютно непрерывные неубывающие на [a, b] функции, удовлетворяющие условию 0 ≤ ψ(x) < φ(x) ≤ x, x ∈ (a, b). Библиогр. 8.
Введение Пусть α > 0, 0 ≤ a < b ≤ ∞. Мы рассматриваем оператор вида φ(x) Z
(T ψ,φ f )(x) = v(x)χ(a,b) (x) a,b
f (y) dy , (x − y)1−α
ψ(x)
где весовая функция v измерима, а φ и ψ — абсолютно непрерывные неубывающие на [a, b] функции, удовлетворяющие условию 0 ≤ ψ(x) ≤ φ(x) ≤ x, x ∈ [a, b], при этом равенство φ(x) = ψ(x) возможно, лишь когда φ(x) = ψ(a) или φ(b) = ψ(x). Для p ∈ (0, ∞) положим Z∞ kf kp =
p1 |f (x)| dx p
0
и обозначим через Lp ≡ Lp (R+ ) пространство всех измеримых на R+ функций таких, что kf kp < ∞. В работе [1] об оценках сингулярных чисел оператора Rα : L2 → L2 вида v(x) (Rα f )(x) = α x
Zx
f (y) dy , (x − y)1−α
x > 0,
(1)
0
в случае α >
1 2
дан следующий критерий ограниченности и компактности: kRα kL2 →L2
2Zk+1 12 |v(x)|2 ≈ A = sup dx , x k∈Z
(2)
2k
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 00–01–00239) и Министерства образования РФ (грант 10.98 ГР).
c 2001 Прохоров Д. В.
Об операторах Римана — Лиувилля
157
причем Rα : L2 → L2 компактен тогда и только тогда, когда A < ∞ и 2Zk+1 lim
|k|→∞
12 |v(x)|2 dx = 0. x
(3)
2k
Затем этот результат был обобщен на случай Rα : Lp → Lq при p > max( α1 , 1) для 1 < p = q < ∞ в [2], для 1 < p, q < ∞ в [3] и для 0 < p, q < ∞ в [4]. Отметим, что эта задача для оператора Rα , когда α ∈ [1, ∞) и 1 < p, q < ∞, решена в другой форме в более общей ситуации с двумя весовыми функциями (см., например, обзор [5]), а также ограниченность T ψ,φ , когда α = 1, 0 < q < ∞, a,b
p > 1 или α > 1, 1 < p, q < ∞, может быть получена из работы [6]. В этой работе мы получаем критерии ограниченности и компактности оператора T ψ,φ из Lp в Lq при 0 < p, q < ∞, p > max( α1 , 1). a,b
Без потери общности всюду в работе неопределенности вида 0·∞, 0/0, ∞/∞ полагаются равными нулю. Неравенство A B означает A ≤ γB, где γ зависит только от p, q, α; соотношения A ≈ B интерпретируются как A B A, χE обозначает характеристическую функцию множества E, Z и N — стандартные обозначения множеств всех целых и натуральных чисел соответственно. Обозначим p0 = p/(p − 1), q 0 = q/(q − 1) и для произвольного оператора T : Lp → Lq положим kT k = kT kLp →Lq . Под классом AC ↑ [a, b] понимаем множество всех абсолютно непрерывных неубывающих на [a, b] функций ϕ, удовлетворяющих условию 0 ≤ ϕ(x) ≤ x, x ∈ [a, b]. Каждой функции ϕ из AC ↑ [a, b] соответствуют две обратные функции: «левая» ϕ−1 Λ (x) = inf{s | ϕ(s) = x, s ∈ [a, b]} и «правая» ϕ−1 (x) = sup{s | ϕ(s) = x, s ∈ [a, b]}, которые заданы на [ϕ(a), ϕ(b)] Π и обладают свойствами −1 −1 −1 −1 −1 x ≤ ϕ−1 Λ (x) ≤ ϕΠ (x), ϕ(ϕΛ (x)) = ϕ(ϕΠ (x)) = x, ϕΛ (ϕ(x)) ≤ x ≤ ϕΠ (ϕ(x)). −1 Очевидно, для строго возрастающей ϕ обе функции ϕ−1 Λ , ϕΠ совпадают с обратной ϕ−1 . Кроме того, будем использовать сокращения T −,ϕ ≡ T ϕ(a),ϕ и a,b a,b T ϕ,− ≡ T ϕ,ϕ(b) . a,b
a,b
1. Ограниченность и компактность оператора с переменным верхним пределом Теорема 1. Пусть α > 0, 0 ≤ a < b ≤ ∞, max( α1 , 1) < p ≤ q < ∞, v — α−1 . измеримая функция, φ ∈ AC ↑ [a, b], a0 = φ−1 Π (φ(a)) и (Ωv)(x) = v(x)(x−φ(a)) p q Тогда для ограниченности T −,φ из L в L необходимо и достаточно, чтобы a,b A −,φ < ∞, где a,b
Zb A −,φ = sup A −,φ (t) = sup a,b
a0
a,b
a0
q1 1 |(Ωv)(x)| dx (φ(t) − φ(a)) p0 . q
t
Более того, kT −,φ kLp →Lq ≈ A −,φ . a,b
a,b
Доказательство. Предположим сначала, что a0 = a. Для неотрицательной функции f запишем Zb kT −,φ k kf kp ≥ kT −,φ f kq ≥ a,b
q
1 2 (φ(x)+φ(a))
Z
|v(x)|
a,b
a
φ(a)
f (y) dy (x − y)1−α
q
q1 dx
158
Д. В. Прохоров Zb
q
1 2 (φ(x)+φ(a))
q
Z
|(Ωv)(x)|
f (y) dy
a
q1 dx . (4)
φ(a)
Если для произвольного фиксированного t ∈ (a, b) взять f = χ[φ(a), 21 (φ(t)+φ(a))] , 1 то kf kp = 12 [φ(t) − φ(a)] p ∈ (0, ∞) и p1 Zb 1 q |(Ωv)(x)| kT −,φ k [φ(t) − φ(a)] a,b 2
1 2 (φ(t)+φ(a))
q
Z
dy
t
q1 dx
φ(a)
Zb
q1
q
|(Ωv)(x)| dx
=
1 (φ(t) − φ(a)). 2
t
Следовательно, kT −,φ k A −,φ и необходимость доказана. a,b a,b Достаточность. Положим Zy h(x, y) =
0
(x − t)(α−1)p dt
1 pp0
χ[φ(a),x] (y).
φ(a)
Применяя неравенство Гсльдера с параметрами p, p0 , имеем kT −,φ f kqq a,b
φ(x) Z
Zb
q
|v(x)|
= a
φ(a)
Zb ≤
q f (y) dy dx (x − y)1−α
q
φ(x) Z
p p
|f (y)| h (x, y) dy
|v(x)| a
pq φ(x) Z
φ(a)
0
h−p (x, y) dy (x − y)(1−α)p0
q0 p
dx. (5)
φ(a)
Используя известное неравенство min(γ, 1)sγ−1 (s − t) ≤ sγ − tγ ≤ max(γ, 1)sγ−1 (s − t),
s > t > 0,
γ > 0,
1
получим hp (x, y) ≈ [x − φ(a)]α−1 [y − φ(a)] p0 χ[φ(a),x] (y). Отсюда, принимая в расчет элементарное равенство φ(x) Z
0
h−p (x, y) dy = p0 hp (x, φ(x)) (x − y)(1−α)p0
φ(a)
и (5), приходим к оценке kT −,φ f kqq a,b
Zb
φ(x) pq Z q 1 p 0 |(Ωv)(x)| |f (y)| [y − φ(a)] p dy (φ(x) − φ(a)) p0 2 dx q
a
A
q p0 −,φ a,b
Zb
φ(a)
q
φ(x) Z
|(Ωv)(x)| a
p
|f (y)| [y − φ(a)] φ(a)
1 p0
pq Zb
q
|(Ωv)(t)| dt
dy x
− 10 p
dx
Об операторах Римана — Лиувилля
159
(применяя неравенство Минковского)
≤A
q p0 −,φ a,b
Zb φ(b) Z 1 p 0 |f (y)| [y − φ(a)] p
A
Zb
|(Ωv)(x)|
− 10 pq pq p |(Ωv)(t)| dt dx dy q
x
φ−1 Λ (y)
φ(a) q p0 −,φ a,b
q
Zb φ(b) Z 1 p 0 p |f (y)| [y − φ(a)]
q1 pq |(Ωv)(x)| dx dy ≤ Aq−,φ kf kqp . q
a,b
φ−1 Λ (y)
φ(a)
Последняя оценка вытекает из y = φ(φ−1 k A −,φ Λ (y)). Таким образом, kT −,φ a,b a,b показано. Общий случай представляет собой следствие вышеизложенного. Действительно, пусть a < a0 . Тогда по доказанному выше kT −,φ k ≈ A −,φ , но A −,φ = 0 0 0 a ,b
a ,b
a ,b
A −,φ и kT −,φ f kq = kT −,φ f kq для произвольной f ∈ Lp . Теорема доказана. 0 a,b
a,b
a ,b
Теорема 2. Пусть α > 0, 0 ≤ a < b ≤ ∞, 0 < q < p < ∞, p > max( α1 , 1), −1 1 1 1 ↑ 0 r = q − p , v — измеримая функция, φ ∈ AC [a, b], a = φΠ (φ(a)) и (Ωv)(x) = v(x)(x − φ(a))α−1 . Тогда оператор T −,φ : Lp → Lq ограничен, если и только если a,b D −,φ < ∞, где a,b
Zb D −,φ =
(φ(x) − φ(a))
r p0
Zb
r1 pr q |(Ωv)(t)| dt |(Ωv)(x)| dx . q
a,b
a0
x
Более того, kT −,φ kLp →Lq ≈ D −,φ . a,b
a,b
Доказательство. Не теряя общности, ограничимся случаем a = a0 . Необходимость. Сначала заметим, что (4) справедливо для веса v0 и строго возрастающей абсолютно непрерывной функции φ0 таких, что |v0 (x)| ≤ |v(x)|, φ(a) ≤ φ0 (x) ≤ φ(x) ≤ φ0 (b), x ∈ [a, b]. Кроме того, предположим, что Ωv0 из Lq и supp{v0 } — ограниченное множество. Тогда Zb D0 ≡
(φ0 (x) − φ(a))
Zb
r p0
q
pr
|(Ωv0 )(t)| dt
a
r1 q |(Ωv0 )(x)| dx <∞
x
и тем самым Zb
q1 1 q |(Ωv0 )(x)| dx (φ0 (s) − φ(a)) p0
s
Zb
r
Zb
(φ0 (x) − φ(a)) p0 s
q
|(Ωv0 )(t)| dt
pr
r1 q |(Ωv0 )(x)| dx → 0,
x
Положим f (s) = [s − φ(a)]
r pq 0
Zb
φ0 −1 (s)
r pq |(Ωv0 )(t)| dt χ(φ(a),φ(b)) (s).
q
s → b. (6)
160
Д. В. Прохоров
Тогда φ(b) Z r 0 q [s − φ(a)] kf kp = φ(a)
Zb
|(Ωv0 )(t)| dt
φ0
p1
rq
q
ds
.
−1 (s)
Делая замену переменных s = φ0 (y), находим kf kp =
p0 r
p1 Zb Zb
rq
q
|(Ωv0 )(t)| dt a
r
p1
d(φ0 (y) − φ(a)) p0
.
y p0 q
Интегрируя по частям и применяя (6), видим, что kf kp ≤ это и (4), получим
p1
r
D0p . Используя
r
kT −,φ kD0p kT −,φ f kq a,b
a,b
Zb ≥
q
Zb
|v0 (x)| a
x
Zb
r q q1 pr φZ0 (x) [y − φ(a)] pq0 dy dx |(Ωv0 )(t)| dt (x − y)1−α
q
q
Zb
|(Ωv0 )(x)| a
φ(a)
pr
q
1 2 (φ0 (x)+φ(a))
Z
[y − φ(a)]
|(Ωv0 )(t)| dt x
q
r pq 0
dy
q1 r dx D0q ,
φ(a)
откуда и следует kT −,φ k D0 . Применение теоремы Фату о монотонной схоa,b
димости дает требуемую нижнюю оценку kT −,φ k D −,φ . a,b a,b Достаточность. Положим Zx Zb
pr
q
r
d(φ(s) − φ(a)) p0 .
|(Ωv)(t)| dt
g(x) = χ(a,b) (x) a
s r q
Тогда (используя неравенство Гсльдера с параметрами Zb kT −,φ f kq =
q
q r
|(Ωv)(x)| g (x)g
− rq
и pq )
φ(x) q q1 Z f (y) dy dx (x − y)1−α
(1−α)q
(x)[x − φ(a)]
a,b
a
φ(a)
Zb ≤
φ(x) p p1 r1 Zb Z f (y) dy q p |(Ωv)(x)| g(x) dx |u(x)| dx , (x − y)1−α
a q p
a
φ(a)
− r1
где u(x) = |(Ωv)(x)| g (x)[x−φ(a)]1−α χ(a,b) (x). Рассмотрим отдельно каждый сомножитель данного произведения. Меняя порядок интегрирования в первом сомножителе и интегрируя по частям, получим Zb
r1 |(Ωv)(x)| g(x) dx q
a
Zb
q
Zx Zb
|(Ωv)(x)|
= a
q
|(Ωv)(t)| dt a
s
pr d(φ(s) − φ(a))
r p0
r1 dx
Об операторах Римана — Лиувилля Zb Zb
rq
q
|(Ωv)(x)| dx
=
161 r
r1
d(φ(s) − φ(a)) p0
≤
r1 r D −,φ . a,b q
s
a
Применяя теорему 1 ко второму сомножителю, находим, что он ограничен сверху некоторой константой, умноженной на kf kp , так как для всех τ ∈ (a, b) Zb
p1 1 |(Ωu)(x)| dx (φ(τ ) − φ(a)) p0 p
τ
Zb ≤
q
Zτ Zb
|(Ωv)(x)|
pr
q
|(Ωv)(t)| dt
τ
a
r
d[φ(s) − φ(a)] p0
− pr p1 1 dx [φ(τ ) − φ(a)] p0 = 1.
τ
Значит, kT −,φ f kq D −,φ kf kp , и теорема доказана. a,b
a,b
Теорема 3. Пусть α > 0, 0 ≤ a < b ≤ ∞, max( α1 , 1) < p ≤ q < ∞, v — измеримая функция, φ ∈ AC ↑ [a, b] и a0 = φ−1 Π (φ(a)). Тогда для компактности оператора T −,φ из Lp в Lq необходимо и достаточно, чтобы A −,φ < ∞ и a,b
a,b
lim0 A −,φ (t) = lim A −,φ (t) = 0.
t→a
t→b
a,b
a,b
Доказательство. Необходимость. Так как оператор T −,φ компактa,b ный, то T −,φ ограничен, и из теоремы 1 имеем A −,φ < ∞. Далее используем a,b a,b известный факт, что компактный оператор переводит слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся. Положим 1
fT −,φ ,1,s (x) ≡ fs (x) = χ[φ(a),φ(s)] (x)(φ(s) − φ(a))− p ,
s ∈ (a0 , b).
a,b 0
Тогда kfs kp = 1 и для произвольного фиксированного g ∈ Lp Z∞ φ(s) 10 Z p p0 fs (x)g(x) dx ≤ kfs kp |g(x)| dx −→ 0, 0
s → a0 .
φ(a)
Таким образом, fs → 0 слабо при s → a0 , и из компактности T −,φ имеем a,b
lim0 kT −,φ fs kq = 0. Но
s→a
a,b
Zb kT −,φ fs kq ≥
q
1 2 (φ(s)+φ(a))
Z
α−1
|v(x)|
(x − y)
1 −p
(φ(s) − φ(a))
q1
q dy
dx
a,b
s
Zb
φ(a)
q
1 2 (φ(s)+φ(a))
Z
|(Ωv)(x)|
1 −p
(φ(s) − φ(a))
q dy
q1 dx A −,φ (s). a,b
s
φ(a)
Следовательно, A −,φ (s) → 0 при s → a0 . Проводя подобные рассуждения с a,b последовательностью Zb − 10 q q q−1 fT −,φ ,2,s (x) = χ[s,b) (x) |(Ωv)(y)| dy |(Ωv)(x)| sign v(x) a,b
s
162
Д. В. Прохоров 0
0
∗ для двойственного оператора T −,φ : Lq → Lp , который также компактный, a,b
получим A −,φ (s) → 0 при s → b. a,b
Достаточность. Для a0 < ξ < η < b положим Pξ = χ(a,ξ) T −,φ , a,b
Pξ,η = χ[ξ,η] T −,φ , a,b
Pη = χ(η,b) T −,φ . a,b
Тогда T −,φ = Pξ +Pξ,η +Pη . Применяя теорему 1 к операторам Pξ и Pη , получим a,b
Zb kPξ k sup
a0
q1 1 q |(Ω(vχ[a,ξ) ))(x)| dx (φ(t) − φ(a)) p0 ≤ sup A −,φ (t), a0
t
Zb kPη k sup
a0
q
q1
|(Ω(vχ(η,b) ))(x)| dx
a,b
1
(φ(t) − φ(a)) p0 ≤ sup A −,φ (t). η≤t
t
a,b
Таким образом, kPξ k + kPη k → 0 при ξ → a0 , η → b потому, что lim0 A −,φ (t) = t→a
a,b
lim A −,φ (t) = 0. Так как
t→b
a,b
Zη K(x, y)f (y) dy,
(Pξ,η f )(x) = φ(a)
где K(x, y) = v(x)χ[ξ,η] (x)
χ[φ(a),φ(x)) (y) , (x − y)1−α
компактность оператора Pξ,η : Lp → Lq следует из известного критерия [7, гл. XI, разд. 3.2], ибо легко видеть, что Zη Zη
p0
|K(x, y)| dy φ(a)
q0 p
dx < ∞.
φ(a)
Тем самым мы показали, что kT −,φ − Pξ,η k ≤ kPξ k + kPη k → 0 при ξ → a0 , a,b η → b и оператор T −,φ компактен как предел компактных операторов. Теорема a,b доказана. Теорема 4. Пусть α > 0, 0 ≤ a < b ≤ ∞, p > max( α1 , 1), 0 < q < p < ∞, 1 1 1 ↑ r = q − p , v — измеримая функция и φ ∈ AC [a, b]. Тогда для компактности p q оператора T −,φ : L → L необходимо и достаточно, чтобы D −,φ < ∞. a,b
a,b
Доказательство. Необходимость вытекает из теоремы 2. С другой стороны, теорема Андо и ее обобщения [8, теоремы 5.5 и 5.8] говорят, что если интегральный оператор ограничен из Lp в Lq , когда 0 < q < p < ∞ и p > 1, то он компактный. Это доказывает достаточность. Если φ(x) = x, то, используя метод Соломяка [2] блок-диагонального разбиения для оператора Римана — Лиувилля Rα , мы дополним вышеизложенные теоремы двоичными версиями, подобными (2) и (3).
Об операторах Римана — Лиувилля
163
Следствие 1. Пусть α > 0 и Rα задан формулой (1). Если max( α1 , 1) < p ≤ q < ∞, то kRα kLp →Lq
1 2Zk+1 |v(x)|q dx q e = sup A ek = sup ≈A . q p k∈Z k∈Z x k 2
e < ∞ и lim A ek = 0. Более того, Rα : Lp → Lq компактный, если и только если A |k|→∞
Если 0 < q < p < ∞, p > max( α1 , 1) и kRα kLp →Lq
e= ≈D
1 r
X
= k
1 q
(2 )
r p0
k∈Z
− p1 , то 2Zk+1
|v(x)|q dx xq
rq r1
2k
e < ∞. и Rα компактный, если и только если D Первая часть следствия 1 доказана в [3], а обе части — в [4]. 2. Двойственные и дискретные версии Ниже мы представляем некоторые естественные аналоги теорем 1, 2, и первый из них — это их дискретная версия. Теорема 5. Пусть α > 0, {bn } — неубывающая последовательность натуральных чисел и для всех n ∈ N выполнено bn ≤ n, wn ≥ 0, an ≥ 0. Положим X X α−1 q q1 bn ∞ 1 q wn C = sup n−m+ am , 2 {an }∞ 1 n=1 m=1 P p где супремум берется по всем последовательностям {an } таким, что an = 1. Если max(1overα, 1) < p ≤ q < ∞, то C ≈ A0 , где X q1 1 ∞ 0 α−1 q 0 (wk k ) A = sup bnp . n∈N
n
k=n
Если 0 < q < p < ∞, p > и 1r = 1q − p1 , то C D0 , а в случае bn = n даже C ≈ D0 , где X X pr r1 ∞ ∞ r p0 0 α−1 q α−1 q D = bn (wk k ) (wn n ) . max( α1 , 1)
n=1
k=n
Следующий результат связан с двойственным оператором вида Zb
∗
T −,φ g(y) = χ[φ(a),φ(b)] (y) a,b
v(x)g(x) χ[φ(a),φ(x)] (y) dx. (x − y)1−α
y
Теорема 6. Пусть α > 0, 0 ≤ a < b ≤ ∞, v — измеримая функция, α−1 φ ∈ AC ↑ [a, b], a0 = φ−1 . Если 1 < p ≤ q < Π (φ(a)) и (Ωv)(x) = v(x)(x − φ(a)) ∗ ∗ 1/(1 − min(α, 1)), то kT −,φ kLp →Lq ≈ A −,φ , где a,b
a,b
Zb
∗
A −,φ = sup a,b
a0
t
10 p 1 |(Ωv)(x)| dx (φ(t) − φ(a)) q . p0
164
Д. В. Прохоров
Если 0 < q < min(p, 1/(1 − min(α, 1))) < ∞, p > 1,
1 r
=
1 q
∗ − p1 , то kT −,φ kLp →Lq ≈ a,b
D∗−,φ , где a,b
Zb
D∗−,φ =
r
Zb
(φ(x) − φ(a)) q
p0
r0 q
|(Ωv)(t)| dt
r1 p0 |(Ωv)(x)| dx .
a,b
a0
x
∗
∗
Более того, D −,φ ≈ E −,φ , где a,b
a,b
∗
φ(b) Z
[t − φ(a)]
E −,φ =
r p
Zb
r0 r1 p dt . |(Ωv)(x)| χ[φ(a),φ(x)] (t) dx p0
a,b
t
φ(a)
Доказательство. Не теряя общности, ограничимся случаем a = a0 и начнем с доказательства D∗−,φ ≈ E ∗−,φ . Заметим, что y ∈ [φ(a), φ(x)] тогда и только a,b a,b тогда, когда x ∈ φ−1 Λ (y), b . Поэтому для произвольной измеримой f Zb
Zb |f (x)|χ[φ(a),φ(x)] (y) dx = χ[φ(a),φ(b)] (y)
χ[φ(a),φ(b)] (y) y
|f (x)| dx.
φ−1 Λ (y)
Также имеет место равенство Zb Zb
r0 q
p0
|(Ωv)(x)| dx s
p0 |(Ωv)(t)| dt = r p0
t
Zb
r0 p . |(Ωv)(x)| dx p0
(7)
s
Используя (7) и интегрируя по частям, получим p0 ∗ r p0 B ≡ r r
Zb Zb a
r0 p r d(φ(s) − φ(a)) q |(Ωv)(x)| dx p0
s
=
r
Zb Zb
(φ(s) − φ(a)) q
s
t
r0 b q 0 p p |(Ωv)(x)| dx |(Ωv)(t)| dt + D∗r (8) −,φ . a,b 0
a
∗
Пусть теперь E −,φ < ∞. Тогда так как s ≥ a,b
r q (φ(s) − φ(a)) q r
Zb
φ−1 Λ (φ(s)),
имеем
r0 p p0 |(Ωv)(x)| dx
s φ(s) Z
≤
[t − φ(a)]
r p
Zb
r0 p dt −→ 0, |(Ωv)(x)| χ[φ(a),φ(x)] (t) dx p0
s → a. (9)
t
φ(a)
Делая замену переменных φ(s) = t в E ∗−,φ , видим, что E ∗−,φ B ∗ , а эта оценка a,b
a,b
вместе с (8) и (9) влечет E ∗−,φ D∗−,φ . Обратно, пусть D∗−,φ < ∞. Тогда a,b
r
Zb Zb
(φ(s) − φ(a)) q
s
t
a,b
r0 q p0 p0 |(Ωv)(x)| dx |(Ωv)(t)| dt
a,b
Об операторах Римана — Лиувилля Zb (φ(x) − φ(a))
≤
r q
Zb
s
165
r0 q p0 p0 |(Ωv)(t)| dt |(Ωv)(x)| dx −→ 0,
s → b,
x
и, следовательно, B ∗ D∗−,φ . Пусть φ0 — абсолютно непрерывная строго возa,b
растающая функция, удовлетворяющая условию φ(a) ≤ φ0 (x) ≤ φ(x) ≤ φ0 (b), x ∈ [a, b]. Определим E0∗ , B0∗ и D0∗ подобно E ∗−,φ , B ∗ и D∗−,φ с φ0 вместо φ соотa,b a,b 1 ветственно. Делая замену переменных φ0 (s) = t в E0∗ , находим E0∗ = rq r B0∗ D0∗ ≤ D∗−,φ и, применяя теорему Фату о монотонной сходимости, заключаем, a,b
что E ∗−,φ D∗−,φ . a,b
a,b
Далее, если 1 < p, q < ∞, то утверждение теоремы является следствием двойственности и теорем 1, 2. Если 0 < q ≤ 1 < p < ∞, то поступаем следующим образом. Выберем n = sup{k | 2k < φ(b)−φ(a), k ∈ Z}. Тогда для произвольного g ∈ Lp имеем представление k+1 min[φ(b),φ(a)+2 ] Zb q q1 X Z n v(x)g(x) dx ∗ dy J1 + J2 , kT −,φ gkq = a,b (x − y)1−α k=−∞
φ−1 Λ (y)
φ(a)+2k
n+1 в котором для упрощения записи обозначено φ−1 ) = φ−1 Λ (φ(a) + 2 Λ (φ(a) + 2n+2 ) = b и
J1 =
−1 k+2 k+1 ) min[φ(b),φ(a)+2 ] φΛ (φ(a)+2 Z Z
X n k=−∞
J2 =
k+1 φ(a)+2 Z
k=−∞
q1
q dy
Zb
|v(x)g(x)| dx (x − y)1−α
q1
q dy
.
k+2 ) φ−1 Λ (φ(a)+2
φ(a)+2k
Используя неравенство Гсльдера для интегралов с параметрами 1q , порядок интегрирования, находим J1q ≤
X
(2k )1−q
min[φ(b),φ(a)+2 Z
k≤n
k+1
−1 k+2 ) ] φΛ (φ(a)+2 Z
−1
≤
k 1−q
φΛ
(φ(a)+2k+2 )
φ(x) Z
Z |v(x)g(x)| dx
(2 )
k≤n
|v(x)g(x)|dx (x − y)1−α
1 1−q
и меняя
q
dy
φ−1 Λ (y)
φ(a)+2k
X
,
φ−1 Λ (y)
φ(a)+2k
n−2 X
|v(x)g(x)| dx (x − y)1−α
k φ−1 Λ (φ(a)+2 )
q
φ(a) −1
dy (x − y)1−α
X
2
k
φΛ
k≤n
(φ(a)+2k+1 )
q |(Ωv)(x)g(x)| dx .
Z
k φ−1 Λ (φ(a)+2 )
Применяя неравенство Гсльдера с параметрами p, p0 для интегралов и затем с параметрами rq , pq для сумм, получим −1
J1q
X k≤n
k
(2 )
r q
φΛ
(φ(a)+2k+1 )
Z
p0
|(Ωv)(x)| dx k φ−1 Λ (φ(a)+2 )
r0 rq p
kgkqp
166
Д. В. Прохоров
−1
k φ(a)+2 Z
X
[t − φ(a)]
r p
φΛ
(φ(a)+2k+1 )
Z
p0
p
|(Ωv)(x)| dx
k≤n φ(a)+2k−1
rq
r0 dt
kgkqp
k φ−1 Λ (φ(a)+2 )
q E ∗q −,φ kgkp . a,b
φ−1 Λ (φ(a)
Так как для каждого k в J2 одновременно выполнено x ≥ + 2k+2 ) ≥ k+2 k k+1 φ(a) + 2 и φ(a) + 2 ≤ y ≤ φ(a) + 2 , то x − y ≈ x − φ(a). Поэтому J2 оценивается сверху: φ(b) Z Zb
q q1 |(Ωv)(x)g(x)| dx dy .
J2 φ−1 Λ (y)
φ(a)
Положим Zb (φ(s) − φ(a))
h(y) =
r p
Zb
r0 q p0 p0 |(Ωv)(t)| dt |(Ωv)(s)| ds.
s
φ−1 Λ (y)
Используя неравенство Гсльдера с параметрами r1 φ(b) φ(b) Zb Z Z −p h(y) dy J2 h r (y) φ(a)
r q
и pq , имеем
p p1 |(Ωv)(x)g(x)| dx dy .
φ−1 Λ (y)
φ(a)
Поскольку khk1 = D∗r −,φ и для всех τ > 0 выполнено a,b
φ(τ Z )
h
−p r
p1 Z∞ (y) dy
10 p ≤ 1, |(Ωv)(x)| dx p0
τ
φ(a) p
p
двойственная версия весового L − L неравенства Харди влечет верхнюю оценку J2 D∗−,φ kgkp . a,b
Для нижней границы возьмем вес v1 такой, что supp{v1 } — ограниченное 0 множество, Ωv1 из Lp и |v1 (x)| ≤ |v(x)|, x ∈ [a, b]. Определим D1∗ , E1∗ подобно ∗ ∗ D −,φ , E −,φ с v1 вместо v соответственно. Положим также a,b
a,b
g(x) = (φ(x) − φ(a))
r pq
Zb
r0 q p p0 p0 −1 |(Ωv1 )(t)| dt |(Ωv1 )(x)| sign v(x).
x
Тогда kgkp = имеем ∗
r
D1∗ p
≈
r
E1∗ p
и, так как x ≥ 2y − φ(a) влечет x − y ≥ x − 21 (x + φ(a)),
1 2 (φ(a)+φ(b))
Zb
Z
|v(x)g(x)| dx (x − y)1−α
kT −,φ gkq ≥ a,b
dy
φ−1 Λ (2y−φ(a))
φ(a)
q1
q
1 2 (φ(a)+φ(b))
Z
Zb
≈ φ(a)
φ−1 Λ (2y−φ(a))
q q1 |(Ωv)(x)g(x)| dx dy
Об операторах Римана — Лиувилля
1 2 (φ(a)+φ(b))
Z
≥
[2y − 2φ(a)]
r p
Zb
p0
167 r0
q1
p
|(Ωv1 )(x)| dx
dy
r
E1∗ q .
φ−1 Λ (2y−φ(a))
φ(a)
∗ ∗ Поэтому kT −,φ k E1∗ и теорема Фату влечет требуемую оценку kT −,φ k E ∗−,φ . a,b
a,b
a,b
Теорема доказана. 3. Случай двух переменных пределов Лемма. Пусть α > 0, Fα (t, s) = (s + t)α − tα . Тогда (I) если 0 ≤ t ≤ s, то Fα (t, s) ≈ sα ; (II) если 0 ≤ s ≤ t, то Fα (t, s) ≈ stα−1 . Доказательство. Пусть 0 ≤ t ≤ s. Фиксируем s > 0 и рассмотрим функцию g(t) = Fα (t, s). В силу монотонности g на [0, s] имеем min(g(0), g(s)) ≤ g(t) ≤ max(g(0), g(s)) для всех t ∈ [0, s], но g(s) = (2α − 1)sα , g(0) = sα и тем самым утверждение (I) показано. По теореме Лагранжа существует θ ∈ (0, 1) такое, что Fα (t, s) = αs(θs + t)α−1 . Если теперь 0 ≤ s ≤ t, то Fα (t, s) ≈ stα−1 . Лемма доказана. Теорема 7. Пусть α > 0, 0 < a < b ≤ ∞, v — измеримая функция, ψ ∈ AC ↑ [a, b] и ψ(b) ≤ a; кроме того, определим λ, b0 ∈ [a, b] и функцию l −1 соотношениями λ + ψ(λ) = 2a, b0 = ψΛ (ψ(b)), l(x) = 2a − x. Тогда (I) если 1 < p ≤ q < ∞, то kT ψ,− k ≈ A ψ,− , где a,b
A ψ,− = a,b
a,b
A0 ,
если 2a − ψ(b) ≥ b0 ,
A1 + A21 + A22 + A3 + A4
иначе,
Z t A0 = sup A0 (t) = sup a
a
q1 ψ(b) 10 Z p (α−1)p0 |v(x)| dx , (a − y) dy q
a
ψ(t)
A1 =
sup
A0 (t)
a
A21 =
q1 ψ(λ) 10 Z p (α−1)p0 |v(x)| dx (a − y) , dy
Zt
q
sup 2a−ψ(b)
A22 =
ψ(t)
10 q1 Zl(t) p (α−1)p0 q |v(x)| dx (a − y) dy ,
Zt
sup 2a−ψ(b)
2a−ψ(b)
ψ(λ)
Zλ A3 =
|v(x)(x − a)
sup 2a−ψ(b)
q1 1 | dx (ψ(b) − l(t)) p0 ,
α−1 q
t
Z t
|v(x)(x − a)
A4 = sup A4 (t) = sup λ
q1 1 | dx (ψ(b) − ψ(t)) p0 ;
α−1 q
λ
(II) если 0 < q < p < ∞, p > 1 и D ψ,− = a,b
1 r
=
1 q
− p1 , то kT ψ,− k ≈ D ψ,− , где a,b
a,b
D0 ,
если 2a − ψ(b) ≥ b0 ,
D1 + D21 + D22 + D3 + D4
иначе,
168
Д. В. Прохоров Zb0Zx D0 =
pr ψ(b) r0 r1 Z p q (α−1)p0 |v(y)| dy (a − y) dy |v(x)| dx , q
t1
a
ψ(x)
2a−ψ(b) Z Zx D1 =
pr ψ(b) r0 r1 Z p q q (α−1)p0 |v(y)| dy (a − y) dy |v(x)| dx ,
t1
a
Zλ
Zx
2a−ψ(b)
t1
Zλ
Zx
D21 =
ψ(x)
ψ(λ) r0 r1 Z p q (α−1)p0 |v(y)| dy (a − y) dy |v(x)| dx , q
ψ(x) l(x) pr Z r0 r1 p 0 q |v(y)| dy (a − y)(α−1)p dy |v(x)| dx , q
D22 = 2a−ψ(b)
2a−ψ(b)
Zλ
Zλ
2a−ψ(b)
x
D3 =
Zb0Zx D4 = λ
r p
ψ(λ) q
|v(y)(y − a)α−1 | dy
q
|v(y)(y − a)α−1 | dy
pr
pr
r1 r q (ψ(b) − l(x)) p0 |v(x)(x − a)α−1 | dx ,
r1 r q (ψ(b) − ψ(x)) p0 |v(x)(x − a)α−1 | dx .
λ
Доказательство. Не ограничивая общности, предположим, что f ≥ 0 и b = b0 . Начнем со случая 2a − ψ(b) < b. Используя эквивалентность (x − a)(x − y)α−1 ≈ ((x − a) + (a − y))α − (a − y)α для 0 ≤ y ≤ a ≤ x, по лемме получим (x − a)α−1 , x + y ≥ 2a, α−1 (x − y) ≈ (a − y)α−1 , x + y ≤ 2a.
(10)
Оператор T ψ,− раскладывается в сумму a,b
T ψ,− = T a,b
ψ,ψ(b) a,2a−ψ(b)
+T
ψ,ψ(λ) 2a−ψ(b),λ
+T
ψ(λ),l 2a−ψ(b),λ
+T
l,ψ(b) 2a−ψ(b),λ
+ T ψ,ψ(b) . λ,b
Рассмотрим каждый оператор суммы по отдельности. 1. Если x ∈ [a, 2a − ψ(b)] и y ∈ (ψ(x), ψ(b)), то x + y ≤ 2a − ψ(b) + ψ(b) = 2a и (10) влечет kT ψ,ψ(b) f kq ≈ kH1 f kq , где, положив w(x) = v(x)χ(a,2a−ψ(b)) (x), a,2a−ψ(b) имеем ψ(b) Z (H1 f )(x) = w(x)χ(a,b) (x) f (y)(a − y)α−1 dy. ψ(x)
Но H1 — оператор Харди, значит, его норма оценивается константами: Zt sup a
q1 ψ(b) 10 Z p (α−1)p0 |w| (a − y) dy = q
a
A0 (t) = A1
при p ≤ q,
ψ(t)
Zb Zx a
sup a
a
r0 pr ψ(b) r1 Z p 0 q (a − y)(α−1)p dy |w(x)| dx = D1 |w| q
ψ(x)
при q < p.
Об операторах Римана — Лиувилля
169
2. Если x ∈ [2a − ψ(b), λ] и y ∈ (ψ(x), l(x)), то x + y ≤ x + 2a − x = 2a и из (10) следует, что kT ψ,ψ(λ) f kq ≈ kH21 f kq , где 2a−ψ(b),λ
ψ(λ) Z
f (y)(a − y)α−1 dy.
(H21 f )(x) = v(x)χ(2a−ψ(b),λ) (x) ψ(x)
Поэтому норма оператора T
оценивается константой A21 при p ≤ q и
ψ,ψ(λ) 2a−ψ(b),λ
константой D21 при q < p. Для оценки kT kT
Zλ
f kq ≈
ψ(λ),l 2a−ψ(b),λ
ψ(λ),l 2a−ψ(b),λ
k запишем
2a−x q q1 Z α−1 |v(x)| f (y)(a − y) dy dx . q
2a−ψ(b)
ψ(λ)
Делая замену переменных 2a − x = t, ввиду 2a − λ = ψ(λ) получим ψ(b) Z kT
ψ(λ),l 2a−ψ(b),λ
f kq ≈
q
Zt
α−1
|v(2a − t)| ψ(λ)
f (y)(a − y)
q1
q dy
dt
.
ψ(λ)
Таким образом, норма оператора T
характеризуется константами A22 ,
ψ(λ),l 2a−ψ(b),λ
D22 в (I), (II) соответственно. 3. Если x ∈ [2a − ψ(b), λ] и y ∈ (l(x), ψ(b)), то x + y ≥ x + 2a − x = 2a и согласно (10) имеем kT
l,ψ(b) 2a−ψ(b),λ
Zλ
α−1 q
|v(x)(x − a)
f kq ≈
ψ(b) Z
|
q f (y) dy
q1 dx .
2a−x
2a−ψ(b)
Делая замену переменных 2a − x = t, получим ψ(b) Z kT
l,ψ(b) 2a−ψ(b),λ
f kq ≈
ψ(b) q q1 Z | f (y) dy dt .
α−1 q
|v(2a − t)(a − t)
t
ψ(λ)
Следовательно, норма T
l,ψ(b) 2a−ψ(b),λ
определяется константами A3 в (I) и D3 в (II).
4. Если x ∈ [λ, b] и y ∈ (ψ(x), ψ(b)), то x + y ≥ x + ψ(x) ≥ x + 2a − x = 2a и kT ψ,ψ(b) f kq ≈ kH4 f kq , где λ,b
α−1
(H4 f )(x) = v(x)(x − a)
ψ(b) Z
χ(λ,b) (x)
f (y) dy.
ψ(x)
Поэтому kT ψ,ψ(b) k ≈ A4 в (I) и kT ψ,ψ(b) k ≈ D4 в (II). λ,b
λ,b
В случае 2a − ψ(b) ≥ b норма оператора T ψ,− оценивается константами A0 a,b
или D0 соответственно в (I) или (II), так как kT ψ,ψ(b) f kq ≈ kH1 f kq с w(x) = v(x). a,b Теорема доказана.
170
Д. В. Прохоров
Теорема 8. Пусть выполнены все условия теоремы 7. Тогда (I) если 1 < p ≤ q < ∞, то для компактности оператора T ψ,− из Lp в Lq необходимо и a,b
достаточно, чтобы A ψ,− < ∞ и lim0 A ψ,− (t) = 0, где A ψ,− (t) = A0 (t), если t→b
a,b
a,b
a,b
2a − ψ(b) ≥ b0 , но A ψ,− (t) = A4 (t) в ином случае; (II) если 0 < q < p < ∞, a,b
p > 1 и 1r = 1q − p1 , то для компактности оператора T ψ,− : Lp → Lq необходимо a,b и достаточно, чтобы D ψ,− < ∞. a,b
Доказательство. (I). Необходимость. Из компактности оператора T ψ,− следует его ограниченность, так что теорема 7 влечет конечность конa,b
станты A ψ,− . Для s ∈ (a, b0 ) положим fT ψ,− ,s (x) = fs (x), где a,b
a,b
1 −p 2a − ψ(b) < b0 , [ψ(b) − ψ(s)] χ(ψ(s),ψ(b)) (x), ψ(b) − p1 0 fs (x) = R (α−1) pp (α−1)p0 χ(ψ(s),ψ(b)) (x) иначе. (a − t) dt (a − x)
ψ(s)
0
Тогда kfs kp = 1 и для произвольной фиксированной функции g ∈ Lp Z∞ ψ(b) 10 Z p p0 fs (x)g(x) dx ≤ kfs kp |g(x)| dx −→ 0, 0
s → b0 .
ψ(s)
Таким образом, fs → 0 слабо при s → b0 , и из компактности оператора T ψ,− a,b
следует lim0 kT ψ,− fs kq = 0. Это и доказывает необходимость, так как для s, s→b
a,b
достаточно близких к b0 , выполнено kT ψ,− fs kq A0 (s), если 2a − ψ(b) ≥ b0 , и a,b
kT ψ,− fs kq A4 (s) в ином случае. a,b
Достаточность. Для a < ξ < η < b0 положим Pξ = χ(a,ξ) T ψ,− ,
Pξ,η = χ[ξ,η] T ψ,− ,
a,b
a,b
Pη = χ(η,b) T ψ,− . a,b
Тогда T ψ,− = Pξ +Pξ,η +Pη . Применяя теорему 7 к операторам Pξ и Pη , получим a,b
1 α− p
Zξ
kPξ k sup A0 (t) a a
kPη k
q1 |v(x)| dx , q
если ξ < 2a − ψ(b);
a
supη≤t
λ.
Таким образом, kPξ k + kPη k → 0 при ξ → a, η → b0 . Далее, из χ[ψ(ξ),ψ(b)] ∈ Lp и ограниченности оператора T ψ,− имеем a,b
Zη
1 p
(ψ(b) − ψ(ξ)) A ψ,− kT ψ,− χ[ψ(ξ),ψ(b)] kq a,b
q
|v(x)|
a,b
ψ(b) − ψ(x) (x − ψ(x))1−α
q
q1 dx
ξ
≥ min t∈[ξ,η]
ψ(b) − ψ(t) (t − ψ(t))1−α
Zη
q
|v(x)| dx ξ
q1 ,
Об операторах Римана — Лиувилля
171
и компактность оператора Pξ,η — следствие [7, гл. XI, разд. 3.2], так как Zη
q
ψ(b) Z
|v(x)| ξ
dy (x − y)(1−α)p0
q0 p
dx η
1 (α− p )q
Zη
q
|v(x)| dx < ∞. ξ
ψ(x)
Тем самым показано, что оператор T ψ,− является пределом компактных операa,b
торов и, следовательно, сам компактен. Случай (II) исчерпывается аналогично доказательству теоремы 4. Теорема доказана. Обратимся к изучению оператора T ψ,φ . c,d
Теорема 9. Пусть 0 ≤ c < d ≤ ∞, 0 < p, q < ∞, p > max( α1 , 1) и 1r = 1 1 q − p . Предположим также, что v измерима, а функции ψ, φ принадлежат классу AC ↑ [c, d] и удовлетворяют условию ψ(x) ≤ φ(x), x ∈ [c, d], где равенство φ(x) = ψ(x) возможно, лишь когда φ(x) = ψ(c) или φ(d) = ψ(x). Кроме того, ˜ ˜ ˜−1 ˜ обозначим φ˜ = min(φ, ψ(d)), ψ˜ = max(φ(c), ψ), c1 = φ˜−1 Π (φ(c)), d1 = ψΛ (ψ(d)), −1 −1 ˜ ˜ c2 = φ˜Λ (φ(d)), d2 = ψ˜Π (ψ(c)). Выбрав ξ0 в (c1 , d1 ) произвольно, если φ(c) < ψ(d), но ξ0 = c в ином случае, построим последовательность {ξk }: ( −1 ˜ ψ˜Π (φ(ξk−1 )) при k > 0, ξk = −1 ˜ ˜ φ (ψ(ξk+1 )) при k < 0, Λ
n1 = inf{k : ξk > c}, n2 = sup{k : ξk < d}. Тогда для ограниченности оператора T ψ,φ из Lp в Lq необходимо и достаточно, c,d чтобы A ψ,φ + C ψ,φ < ∞ при p ≤ q, но D ψ,φ + C ψ,φ < ∞ при q < p, где c,d
c,d
c,d
A ψ,φ = c,d
A
sup n1 ≤k≤n2
D ψ,φ =
X n2
c,d
k=n1
Zd C ψ,φ =
˜ −,φ ξk−1 ,ξk
+ +
˜ −,φ ξk−1 ,ξk
A
sup n1 ≤k≤n2
r1
Dr
c,d
X n2
˜ ψ,− ξk ,ξk+1
c,d2
c2 ,d
r1
Dr
k=n1
+ A ψ,− + A −,φ ,
˜ ψ,− ξk ,ξk+1
+ D ψ,− + D −,φ , c,d2
c2 ,d
q1 1 q |v(x)(x − ψ(d))α−1 | dx [max(φ(c) − ψ(d), 0)] p0 .
c,d
c
Доказательство. При разбиении интервала (c, d) точками {ξk } оператор T ψ,φ распадается в сумму двух блок-диагональных операторов и остатка S = c,d S1 + S2 : n2 n2 X X ˜ T ψ,φ = T −,φ˜ + T ψ,− + S1 + S2 , (11) c,d
k=n1
ξk−1 ,ξk
k=n1
ξk ,ξk+1
где S1 = T ψ,− +T −,φ , а S2 = T ψ(d),φ(c) , если φ(c) > ψ(d), но S2 = 0 в ином случае. c,d2
c2 ,d
c,d
Поэтому характеризация Lp − Lq ограниченности оператора T ψ,φ выполняется c,d ˜ через критерии для T −,φ˜ , T ψ,− , T ψ,− , T −,φ и S2 . Норма оператора S2 ξk−1 ,ξk
ξk ,ξk+1
c,d2
c2 ,d
элементарно оценивается константой C ψ,φ с помощью неравенства Гсльдера для c,d интегралов Zd kS2 f kq ≤
φ(c) q0 q1 Z p (α−1)p0 dx kf kp ≈ C ψ,φ kf kp |v(x)| (x − y) dy q
c,d
c
ψ(d)
172
Д. В. Прохоров
и тестовой функции χ[ψ(d),φ(c)] . Остальные операторы подходят под условия теорем 1, 2, 7. В силу блок-диагональности для неотрицательной f имеем n2 X
kT ψ,φ f kqq ≈
kT
c,d
k=n1
≤
n2 X
kT
k=n1
˜ −,φ ξk−1 ,ξk
˜ −,φ ξk−1 ,ξk
f kqq +
n2 X
kT
k=n1
kq kf χ(ξk−1 ,ξk ) kqp +
˜ ψ,− ξk ,ξk+1
n2 X
kT
k=n1
f kqq + kSf kqq
˜ ψ,− ξk ,ξk+1
kq kf χ(ξk ,ξk+1 ) kqp + kSkq kf kqp . (12)
Применяя к суммам при p ≤ q неравенство Йенсена, а при q < p неравенство Гсльдера и учитывая, что kS2 k ≈ C ψ,φ , из (12) и теорем 1, 2, 7 получим достаc,d точность. Необходимость. Из представления (11) имеем kT ψ,φ k sup kT c,d
k
˜ −,φ ξk−1 ,ξk
k + sup kT k
k + kT ψ,− k + kT −,φ k + kS2 k,
˜ ψ,− ξk ,ξk+1
c,d2
(13)
c2 ,d
откуда применением теорем 1, 7 заканчивается доказательство необходимости в случае p ≤ q. Кроме того, из (13) и теорем 2, 7 следует конечность всех ˜ констант вида C ψ,φ , D −,φ˜ , D ψ,− , D ψ,− , D −,φ , участвующих в характериc,d
ξk−1 ,ξk
c,d2
ξk ,ξk+1
зации случая q < p. Для каждого T
˜ −,φ ξk−1 ,ξk
c2 ,d
имеем kT
˜ −,φ ξk−1 ,ξk
k≈D
˜ −,φ ξk−1 ,ξk
, поэтому
для произвольного ε ∈ (0, 1) найдется такая неотрицательная функция fk с ˜ k−1 ), φ(ξ ˜ k )], что supp{fk } ⊂ [φ(ξ r
kfk kp = D p
˜ −,φ ξk−1 ,ξk
(1 − ε)D
,
В силу этого, обозначив f =
k2 P
˜ −,φ ξk−1 ,ξk
kfk kp kT
˜ −,φ ξk−1 ,ξk
fk kq .
fk , где n1 < k1 < k2 < n2 , получим
k=k1
(1 − ε)q
k2 X
Dr
k=k1
˜ −,φ ξk−1 ,ξk
= (1 − ε)q
k2 X
(D
k=k1
≤
kT ψ,φ f kqq c,d
˜ −,φ ξk−1 ,ξk
q
≤ kT ψ,φ k c,d
k2 X
kfk kp )q
k=k1
kf kqp
= kT ψ,φ k
q
kT
˜ −,φ ξk−1 ,ξk
X k2
D
c,d
k=k1
fk kqq
r ˜ −,φ ξk−1 ,ξk
pq .
Следовательно, X k2 (1 − ε) Dr k=k1
r1
˜ −,φ ξk−1 ,ξk
kT ψ,φ k. c,d
P r Устремляя k1 → n1 и k2 → n2 , а затем ε → 0, заключаем D −,φ˜ < ∞. ξk−1 ,ξk k P r Аналогично доказывается конечность суммы D ψ,− . Теорема доказана. ˜ k
ξk ,ξk+1
Следствие 2. Пусть max( α1 , 1) < p ≤ q < ∞, v измерима, а функции ψ, φ принадлежат классу AC ↑ [c, d] и удовлетворяют условию φ(c) ≤ ψ(x) ≤ φ(x) ≤ ψ(d), x ∈ [c, d], где равенство φ(x) = ψ(x) возможно, лишь когда φ(x) = ψ(c) −1 0 или φ(d) = ψ(x). Кроме того, обозначим c0 = φ−1 Π (φ(c)) и d = ψΛ (ψ(d)). Тогда p q 0 оператор T ψ,φ : L → L ограничен, если и только если A ψ,φ < ∞, где c,d
c,d
0
0
A ψ,φ = sup A ψ,φ (t) = sup [A c,d
c0
c,d
c0
−,φ −1 φ (ψ(t)),t Λ
+A
ψ,− −1 t,ψ (φ(t)) Π
].
Об операторах Римана — Лиувилля
173
Теорема 10. Пусть выполнены все условия следствия 2. Тогда для компактности оператора T ψ,φ : Lp → Lq необходимо и достаточно, чтобы A0ψ,φ < ∞ c,d
c,d
и lim0 A0ψ,φ (t) = lim0 A0ψ,φ (t) = 0. t→c
t→d
c,d
c,d
Доказательство. Необходимость. Из компактности оператора T ψ,φ c,d
вытекает его ограниченность, так что следствие 2 влечет A0ψ,φ < ∞. Для проc,d
−1 извольного t ∈ (c0 , d0 ) положим t1 = φ−1 Λ (ψ(t)), t2 = ψΠ (φ(t)) и рассмотрим операторы T −,φ , T ψ,− . По теореме 1 kT −,φ k ≈ A −,φ и, следовательно, существуt1 ,t
t,t2
t1 ,t
t1 ,t
ет такая неотрицательная функция fT ψ,φ ,1,t (x) ≡ ft c kft kp = 1 и supp{ft } ⊂ c,d
[φ(t1 ), φ(t)], что kT −,φ ft kq ≥ γA −,φ для некоторой константы γ = γ(α, p, q). t1 ,t
t1 ,t
Из определения t1 , t2 вытекает, что φ(t1 ) = ψ(t) и ψ(t2 ) = φ(t), откуда в силу непрерывности φ, ψ и равенств φ(c) = ψ(c), φ(d) = ψ(d) имеем lim φ(t) = lim0 φ(t1 ) = lim0 ψ(t2 ) = lim0 ψ(t) = φ(c),
t→c0
t→c
t→c
t→c
lim φ(t) = lim0 φ(t1 ) = lim0 ψ(t2 ) = lim0 ψ(t) = φ(d).
t→d0
t→d
t→d
t→d
0
Тогда для произвольной фиксированной функции g ∈ Lp будет φ(t) Z∞ 10 Z p p0 ft (x)g(x) dx ≤ kft kp −→ 0, |g(x)| dx 0
t → c0 , t → d0 .
φ(t1 )
Таким образом, ft → 0 слабо при t → c0 и t → d0 , и из компактности оператора T ψ,φ следует lim0 kT ψ,φ ft kq = lim0 kT ψ,φ ft kq = 0. Но kT ψ,φ ft kq ≥ kT −,φ ft kq ≥ t→c
c,d
t→d
c,d
c,d
c,d
t1 ,t
γA −,φ , откуда и lim0 A −,φ = lim0 A −,φ = 0. Аналогичные рассуждения с операt→c
t1 ,t
t→d
t1 ,t
t1 ,t
тором T ψ,− и неотрицательной функцией fT ψ,φ ,2,t ≡ ht cо свойствами: kht kp = 1, t,t2
c,d
supp{ht } ⊂ [ψ(t), ψ(t2 )] и kT ψ,− ht kq A ψ,− , которая также существует, дают t,t2
t,t2
lim A ψ,− = lim0 A ψ,− = 0. Необходимость доказана.
t→c0
t,t2
t→d
t,t2
Достаточность. Для c0 < ξ < η < d0 положим Pξ = χ(c,ξ) T ψ,φ ,
Pξ,η = χ[ξ,η] T ψ,φ ,
c,d
c,d
Pη = χ(η,d) T ψ,φ . c,d
Тогда T ψ,φ = Pξ + Pξ,η + Pη . Применяя следствие 2, получим c,d
kPξ k sup A0ψ,φ (t), c0
kPη k sup A0ψ,φ (t). η
c,d
c,d
Таким образом, kPξ + Pη k → 0 при ξ → c0 , η → d0 . Далее, из χ[ψ(ξ),φ(η)] ∈ Lp и ограниченности оператора T ψ,φ следует c,d
1 p
Zη
0
(φ(η) − ψ(ξ)) A ψ,φ kT ψ,φ χ[ψ(ξ),φ(η)] kq c,d
q
|v(x)|
c,d
φ(x) − ψ(x) (x − ψ(x))1−α
q
q1 dx
ξ
≥ min t∈[ξ,η]
φ(t) − ψ(t) (t − ψ(t))1−α
Zη
q
|v(x)| dx ξ
q1 ,
174
Д. В. Прохоров
и компактность оператора Pξ,η вытекает из [7, гл. XI, разд. 3.2], так как Zη
q
φ(x) Z
|v(x)| ξ
dy (x − y)(1−α)p0
q0 p
dx η
1 (α− p )q
Zη
q
|v(x)| dx < ∞. ξ
ψ(x)
Тем самым показано, что оператор T ψ,φ является пределом компактных операc,d торов и, следовательно, сам компактен. Теорема доказана. Теорема 11. Пусть выполнены все условия теоремы 9 и, кроме того, c3 = −1 φ−1 (φ(c 2 )), d3 = ψΛ (ψ(d2 )). Тогда (I) если p ≤ q, то для компактности операΠ p тора T ψ,φ : L → Lq необходимо и достаточно, чтобы A ψ,φ + C ψ,φ < ∞ и c,d
c,d
c,d
0 lim A −,φ (t) = lim A −,φ (t) = lim A ψ,− (t) = 0, lim A0ψ, ˜ φ ˜ (t) = 0; ˜ φ ˜ (t) = lim A ψ,
t→c3
t→d
c2 ,d
t→d3
c2 ,d
t→c1
c,d2
t→d1
c,d
c,d
(14) (II) если q < p, то для компактности оператора T ψ,φ : Lp → Lq необходимо и c,d достаточно, чтобы D ψ,φ + C ψ,φ < ∞. c,d
c,d
Доказательство. (I). Достаточность. Оператор T ψ,φ раскладывается c,d в сумму: ˜ φ ˜ + T −,φ + T ψ,− + S2 . T ψ,φ = T ψ, (15) c,d
c2 ,d
c,d
c,d2
Конечность константы A ψ,φ + C ψ,φ по теореме 9 влечет ограниченность T ψ,φ c,d
c,d
c,d
из Lp в Lq и, следовательно, ограниченность операторов представления (15). Применяя теоремы 1, 7 и следствие 2, получим конечность констант A −,φ , c2 ,d
A ψ,− , A0ψ, ˜ φ ˜ соответственно, а это вместе с (14) влечет компактность операторов c,d2
c,d
˜ φ ˜ в силу теорем 3, 8, 10. Компактность S2 , как вытекает из [7, T −,φ , T ψ,− , T ψ, c2 ,d
c,d2
c,d
гл. XI, разд. 3.2] и вида C ψ,φ , есть следствие конечности C ψ,φ . Таким образом, c,d c,d оператор T ψ,φ компактен, ибо раскладывается в конечную сумму компактных c,d операторов. Необходимость. Компактность оператора T ψ,φ влечет его ограниченc,d ность и, следовательно, конечность константы A ψ,φ + C ψ,φ . Кроме того, заc,d
c,d
метим, что для всякой неотрицательной функции f в силу представления (15) выполнено ˜ φ ˜ f kq + kT −,φ f kq + kT ψ,− f kq . kT ψ,φ f kq kT ψ, (16) c,d
c2 ,d
c,d
c,d2
Для доказательства (14) используем последовательности функций {fT −,φ ,1,s }, c2 ,d
{fT −,φ ,2,s }, {fT ψ,− ,s }, {fT ψ, ˜ φ ˜ ,1,t }, {fT ψ, ˜ φ ˜ ,2,t }, построенные при доказательстве c2 ,d
c,d2
c,d
c,d
теорем 3, 8, 10. Все они слабо сходятся к нулю: первая при s → c3 , вторая при s → d, третья при s → d3 , четвертая и пятая как при t → c1 , так и при t → d1 . Это вместе с компактностью оператора T ψ,φ , соотношением (16) и оценками c,d
kT −,φ fT −,φ ,1,s kq A −,φ (s), c2 ,d
c2 ,d
c2 ,d
kT ψ,− fT ψ,− ,s kq A ψ,− (s), c,d2
c,d2
c,d2
∗ kT ψ,φ fT −,φ ,2,s kp0 ≥ kT ∗−,φ fT −,φ ,2,s kp0 A −,φ (s), c,d
c2 ,d
c2 ,d
c2 ,d
c2 ,d
0
˜ ˜ ˜ φ ˜ fT kT ψ, ˜ φ ˜ (t) ˜ φ ˜ ,1,t kq + kT ψ,φ fT ψ, ˜ φ ˜ ,2,t kq A ψ, ψ, c,d
c,d
c,d
c,d
c,d
заканчивает доказательство необходимости. Случай (II) исчерпывается аналогично доказательству теоремы 4. Теорема доказана.
Об операторах Римана — Лиувилля
175
ЛИТЕРАТУРА 1. Newman J., Solomyak M. Two-sided estimates on singular values for a class of integral operators on the semiaxis // Integral Equations Operator Theory. 1994. V. 20. P. 335–349. 2. Solomyak M. Estimates for the approximation numbers of the weighted Riemann — Liouville operator in the spaces Lp // Operator Theory: Advances and Applications. 2000. V. 113. P. 371–383. 3. Meskhi A. Solution of some weight problems for the Riemann — Liouville and Weyl operators // Georgian Math. J.. 1998. V. 5. P. 564–574. 4. Prokhorov D. On the boundedness and compactness of a class of integral operators // J. London Math. Soc.. 2000. V. 61. P. 617–628. 5. Stepanov V. D. Weighted norm inequalities for integral operators and related topics // Nonlinear analysis, Function spaces and Applications. Prague: Prometheus, 1994. V. 5. P. 139–176. 6. Heining H. P., Sinnamon G. Mapping properties of integral averaging operators // Studia Math.. 1998. V. 129. P. 157–177. 7. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 8. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. Статья поступила 4 апреля 2000 г., окончательный вариант — 13 июля 2000 г. г. Хабаровск Вычислительный центр ДВО РАН [email protected]
