Матрицы и системы линейных уравнений

МАТЕМАТИКА МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В. А. БРУСИН Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

MATRICES AND SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS

1. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ И РЕШЕНИЕ В НЕОСОБОМ СЛУЧАЕ Будем рассматривать систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

V. A. BRUSIN

The paper is a continuation of the paper “Matrices as linear operators” and it is devoted to matrix apparatus application to linear system solutions. In particular, if no such precise solution exists, then a solution of location problems is given. If no such minimal location solution exists, then their innumerable set is given either. Статья является продолжением статьи “Матрицы как линейные операторы” и посвящена применению матричного аппарата к решению систем линейных уравнений. В частности, дается решение проблем нахождения наилучшего приближенного решения, если точных решений не существует, и нахождения минимальных решений, если их бесчисленное множество.

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 , a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 . Если изначально имеется только одно или два уравнения, то недостающие уравнения можно приписать, повторив уже имеющиеся. Аналогично если имеются три уравнения, но только два неизвестных x1 и x2 , то можно дополнить эти уравнения членами с неизвестным x3 и нулевыми коэффициентами ai3 , приведя систему к виду (1). Как известно [2, 3], решением системы (1) называется тройка чисел (x1 , x2 , x3), которая после подстановки в систему (1) обращает каждое уравнение в тождество. Известно также, что система (1) может иметь единственное решение, бесчисленное множество решений или не иметь решений вообще. Ниже, используя матричный аппарат и интерпретацию матриц как операторов [1], мы дадим геометрическую трактовку этим трем случаям. Введем в рассмотрение квадратную матрицу A, столбцы b и x:

© Брусин В.А., 2000

 a  11 A =  a 21   a 31

108

(1)

a 12 a 22 a 32

a 13 a 23 a 33

  ,  

 b   1 b =  b2  ,    b3 

 x   1 x =  x 2  . (2)    x3 

Согласно правилам действий с матрицами [1, 2] (формула (8) из [1]), система (1) будет эквивалентна одному уравнению Ax = b.

(3)

Решением уравнения (3) считается столбец x (или трехмерный вектор x ∈ R3 с координатами x1 , x2 , x3), удовлетворяющий данному равенству как равенству двух

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , ТО М 6 , № 1 , 2 0 0 0

МАТЕМАТИКА столбцов (или соответствующих векторов). Легко видеть, что если столбец x является решением уравнения (3), то набор (x1 , x2 , x3) будет решением системы (1), и наоборот. Пусть A – неособая матрица [1–3]. Значит, существует обратная матрица A −1 (формулы (6), (7) из [1]). Умножая на нее слева обе части равенства (3) и используя правила умножения матриц [1–3] (формулы (3)–(5) из [1]), а также факт, что A −1A = E – единичная матрица, получаем равенство x = A −1b.

(4)

Таким образом, в этом случае имеется единственное решение, которое можно найти по формуле (4). (Заметим, что, вычислив A −1 [1, 2], можно с помощью формулы (4) быстро находить решения для различных столбцов b.) Больше сложностей возникает в случае, когда матрица A особая. К этому случаю, в частности, приводятся системы, у которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных. Но именно такая ситуация наиболее часто встречается в прикладных задачах [4]. Чтобы разобраться во всех возникающих вариантах и дать им геометрическое истолкование, потребуются дополнительные сведения к тем, что приведены в [1]. 2. ОСНОВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА, ПОРОЖДАЕМЫЕ МАТРИЦЕЙ Определение 1. Говорят, что множество векторов образует линейное пространство L, если удовлетворяются следующие условия: а) для любых векторов a, b ∈ L a + b ∈ L;

(5)

б) для любого вектора a ∈ L и числа k k ⋅ a ∈ L.

Используя материал из [1], можно сказать, что N(A ) – это множество всех тех точек пространства (или их радиусов-векторов), которые с помощью преобразования TA переводятся в начало координат: x ∈ N(A)

(6)

(7)

TA

θ.

Нетрудно проверить, что N(A) – это линейное пространство. В случае неособой матрицы N(A) состоит из одной точки – начала координат. Определение 3. Областью значений R(A) или образом матрицы A третьего порядка [3, 6] называется множество тех векторов-столбцов y, которые можно получить после применения матрицы A, то есть ∃x ∈ R3.

y = Ax,

(8)

Переводя на язык преобразований [1], R(A) – это множество точек (или радиусов-векторов), в которые переводятся точки пространства R3 преобразованием TA : x ∈ R3

TA

y ∈ R(A).

Нетрудно проверить, что R(A) – линейное пространство. Если A – неособая матрица, то R(A) = R3. Определение 4 [6]. Говорят, что пространство трехмерных векторов R3 разлагается в ортогональную сумму R3 = L1 ⊕ L2 линейных пространств L1 и L2 , если: 1) любой ненулевой вектор из L1 ортогонален (перпендикулярен) любому (ненулевому) вектору из L2 , то есть L1 ⊥ L2 ; 2) любой трехмерный вектор a можно единственным образом представить в виде суммы векторов из L1 и L2 : a = a1 + a2 ,

Замечание. Для двумерных и трехмерных векторов указанные в (5), (6) действия определены в [1]. Определение 1 справедливо и для векторов (столбцов) произвольной размерности, для которых эти операции с указанными в [1] свойствами также могут быть определены [3, 5, 6]. Легко понять, что в качестве линейных пространств трехмерных векторов могут служить само трехмерное пространство R3, множества радиусов-векторов, составляющих плоскости и прямые, и, наконец, начало координат. Определение 2. Аннулируемым пространством N(A ) [6] матрицы A третьего порядка называется множество векторов-столбцов x ∈ R3, удовлетворяющих равенству Ax = θ,

где θ – нулевой вектор: θ = col(0, 0, 0).

∃a1 ∈ L1 ,

a2 ∈ L2 .

Пример. Пусть L1 – координатная плоскость. Тогда L2 – перпендикулярная ей ось координат. В этом случае ai (i = 1, 2) – это вектор-проекции вектора a на координатную плоскость и ось координат соответственно. Если L1 – любая плоскость, проходящая через начало координат, то L2 будет прямая, проходящая через начало координат и ей перпендикулярная. Определение 5 [2–6]. Матрица A T называется транспонированной к матрице A, если ее строки (столбцы) являются столбцами (строками) матрицы A с одинаковыми номерами. Лемма. Для любой матрицы A имеет место R3 = R(A) ⊕ N(A T ) = R(A T )⊕ N(A).

(9)

Достаточно простое доказательство этой леммы приведено в приложении.

Б Р УС И Н В . А . М А Т Р И Ц Ы И С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х У РА В Н Е Н И Й

109

МАТЕМАТИКА 3. РАССМОТРЕНИЕ СИСТЕМЫ (1) В СЛУЧАЕ ОСОБОЙ МАТРИЦЫ A Согласно изложенному выше, если матрица A особая (и ненулевая), то оператор TA переводит все точки (радиусы-векторы) пространства в некоторую плоскость или прямую, проходящие через начало координат. Тогда для системы (1) (или уравнения (2)) возможны два варианта: вариант I: b ∉R(A);

bˆ = n p R ( A ) b.

(10)

Следующая теорема дает алгоритм для нахождения НПР. Теорема 1 . Вектор-столбец xˆ есть НПР в том и только том случае, если он удовлетворяет уравнению T

T

A Axˆ = A b,

T

В первом варианте система решений не имеет. В этом случае возникает задача о нахождении приближенного решения с наименьшей погрешностью – наилучшего приближенного решения (НПР). Во втором варианте система будет иметь бесчисленное множество решений. Здесь очень часто возникает задача об отыскании вектора-решения наименьшей длины [4]: минимального решения (МР). Рассмотрим решение этих задач в отдельности. 3.1. Нахождение наилучшего приближенного решения Пусть x1 – произвольно выбранный вектор-столбец, который мы хотим рассматривать как приближенное решение (ПР) уравнения (2). Тогда за меру погрешности такого ПР обычно принимают величину |b − Ax1 |, то есть длину вектора b − Ax1 (рис. 1). Если b ∉R(A), то эта величина больше нуля. Чем меньше эта величина, тем ПР считается точнее. Тогда наилучшим ПР (НПР) будет такой вектор-столбец xˆ , для которого величина |Ax − b| будет наименьшей. Возникает задача нахождения такого вектора xˆ . Обозначим через bˆ проекцию вектора b на плоскость R(A) (см. рис. 1). Очевидно, что искомый вектор xˆ должен удовлетворять равенству Axˆ = bˆ . Ибо только в этом случае Axˆ – b ⊥ R ( A ) и, следовательно, величина Axˆ – b принимает минимально возможное

b

b – ^b

M

π --2

^ M Ax1

R(A)

Рис. 1

110

Axˆ = bˆ ,

(11)

или в другой форме – уравнению

вариант II: b ∈ R(A).

O ^b = Ax ^

значение. Таким образом, НПР должно удовлетворять соотношению

Ax2

M2

T

A yˆ = A b,

yˆ := Axˆ .

(12)

При этом вектор yˆ определяется однозначно: yˆ = bˆ .

(13)

Замечание. Система (12) может иметь бесчисленное множество решений, и вектор xˆ определяется неоднозначно. Но вектор yˆ и, значит, невязка Axˆ – b будут вполне определенными. Доказательство. 1) Пусть xˆ удовлетворяет (10). Поскольку bˆ – проекция вектора b на R(A), то bˆ ∈ R ( A ) и bˆ ⊥ b – bˆ (см. рис. 1). Отсюда по лемме получаем T T b – bˆ ∈ N ( A ). Это значит, что A ( b – bˆ ) = 0, то есть справедливо (11); 2) Наоборот, пусть xˆ удовлетворяет уравнению (11). Тогда yˆ = Axˆ будет удовлетворять равенству (12). Следует показать, что yˆ = bˆ является проекцией вектора b на R(A). По свойству проекций достаточно показать, что yˆ ⊥ b – yˆ (см. рис. 1). Из (11), (12) следует, что T T A ( b – yˆ ) = 0, то есть b – yˆ ∈ N ( A ). Но yˆ ∈ R ( A ), значит, согласно опять-таки лемме, yˆ ⊥ b – yˆ , что и требовалось доказать. Таким образом, согласно теореме 1, для того чтобы найти НПР, нужно найти любое решение системы (11). Заметим, что эта система относится к варианту II. Замечание. Схема нахождения НПР xˆ является одновременно и схемой проверки соотношения b ∈ R(A). Если решение системы (11) будет удовлетворять исходной системе, то, значит, это соотношение верно и в действительности мы получили не ПР, а точное решение. В противном случае имеет место b ∉R(A). Данная схема является альтернативной к ранговому критерию теоремы Кронекера–Капелли [2, 3]. Пример 1. Рассмотрим систему x 1 + x 2 – x 3 = 1,

M1

– x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 0, 3x 2 + x 3 = 0. Легко видеть, что эта система несовместна. Найдем ее НПР. Имеем

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , ТО М 6 , № 1 , 2 0 0 0

МАТЕМАТИКА  1  A =  –1   0  1   b =  0 ;    0

1 2 3

–1 2 1

 1  T A = 1   –1

  ,  

 2  T A A =  –1   –3

–1 14 6

3 6 6

  ,  

–1 2 2

0 3 1

  ,  

Замечание. Геометрически множество точек – концов радиусов-векторов x вида (16) представляет собой плоскость, перпендикулярную радиусу-вектору x0 ∈ ∈ R(A) и проходящему через его конец (рис. 2).

 1    T A b =  1 .    –1 

Система (11) имеет вид  –2   –1   –3

–1 14 6

3 6 6

  xˆ   1  1     xˆ 2  =  1      xˆ 3   – 1

  .  

Исключая из первого и третьего уравнений xˆ 1 , получим последовательно 9xˆ 2 + 3xˆ 3 = 1, xˆ 1 = 1 – 4xˆ 2 .

Д оказ ательств о теоремы 2 . Пусть x ∈ R3 – произвольное решение системы. Согласно лемме, он может быть однозначно представлен в виде суммы (16), где x0 ∈ R(A T ), ∆x ∈ N(A), причем x0 ⊥ ∆x (см. рис. 2). Вектор x0 будет решением исходной системы, так как Ax0 = A(x − ∆x) = Ax − A∆x = Ax = b, ∆x ∈ N(A). В силу перпендикулярности (и теоремы Пифагора) имеем |x| 2 = = |x0 | 2 + |∆x| 2 (|a| – длина вектора a). Отсюда вытекает, что среди всех решений x0 имеет минимальную длину (для него |∆x| = 0). То есть x0 есть МР и любое другое решение имеет вид (16). Теорема доказана.

Полагая xˆ 2 = t свободным параметром, записываем множество всех НПР в виде  xˆ   1 – 4t  1  t  xˆ 2  =     1  xˆ 3   --3- – 3t

  ,   

x3 M

t∈R . 1

M0 x x0

Проекция вектора b на R(A) вычисляется по формуле (12):  1  ˆ yˆ = b =  1   0

1 2 3

–1 2 1

     

1 – 4t t 1 --- – 3t 3

    2⁄3  =   –1 ⁄ 3   1⁄3 

  .  

x1

3.2. Нахождение “минимального” решения Пусть теперь b ∈ R(A). Тогда справедлива следующая теорема. Те ор е ма 2 . Минимальный по длине вектор-столбец x0 решения уравнения (2) (МР) имеет вид x0 = A Tz,

(14)

где z – любой вектор-столбец, удовлетворяющий уравнению AA Tz = b.

(15)

Множество всех решений будет иметь вид ∆x ∈ N(A).

x2 Рис. 2

Мы видим, что этот вектор действительно вычисляется однозначно. Легко получить, что НПР минимальной 11 длины получается при t = ------ . 26

x = x0 + ∆x,

∆x

(16)

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Изложенная теория имеет прямое обобщение на n уравнений с n неизвестными, n > 3, что и представляет действительный интерес для приложений [4]. Идейная, геометрическая часть при этом остается той же самой – нужно только представить, что все действия происходят в n-мерном пространстве. Техническая часть теории, конечно, усложняется, но это усложнение в основном носит количественный характер: при вычислении длин векторов, произведений матриц и т.п. вместо трех слагаемых в соответствующих выражениях будут присутствовать n слагаемых, отвечающих новым размерностям. Более сложной по сравнению с трехмерными матрицами [1] будет процедура нахождения обратной матрицы A −1. Но здесь помогает наличие стандартных компьютерных программ точного и приближенного (в случае очень больших размерностей) отыскания A −1.

Б Р УС И Н В . А . М А Т Р И Ц Ы И С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х У РА В Н Е Н И Й

111

МАТЕМАТИКА ПРИЛОЖЕНИЕ

Тогда 〈 x˜ , Az〉 = 0 для любого z ∈ R 3. Отсюда получаем

Доказательство леммы основано на формуле [6]

〈 x˜ , Az〉 = 〈 A x˜ , z〉 = 0. Но тогда A x˜ должен быть нулевым вектором, ибо в противном случае он должен быть перпендикулярным любому вектору z ∈ R 3. Это и доказывает наше утверждение.

〈x, Ay〉 = 〈A Tx, y〉

(I)

(I)

для любых векторов x, y ∈ R и матриц A n-го порядка, где через 〈a, b〉 обозначено скалярное произведение векторов-столбцов a = (a1 , a2 , …, an), b = (b1 , b2 , …, bn): n

n

〈 a, b〉 =

∑a b . i i

В случае трехмерных векторов (n = 3)

i=1

известно, что два ненулевых вектора a и b перпендикулярны в том и только том случае, если 〈a, b〉 = 0 [2–6] 1. Формула (I) для n = 3 легко проверяется прямым вычислением левой и правой частей. 1. Пусть x1 ∈ R(A), x2 ∈ N(A T )– ненулевые трехмерные векторы из соответствующих пространств. По определению этих пространств, x1 = Az,

∃z ∈ R 3 ;

A Tx = θ.

T

Из доказанного вытекает, что размерность пространства N(A T ) дополняет размерность пространства R(A) до полной размерности, n = 3. Значит, R(A) ⊕ ⊕ N(A T ) = R 3 и имеет место разложение x = x1 + x2 , x1 ∈ ∈ R(A), x2 ∈ N(A T ), причем x 1 = n p R ( A ) x, x 2 = n p N ( AT ) x. ЛИТЕРАТУРА 1. Брусин В.А. Матрицы как линейные операторы // Соросовский Образовательный Журнал. 2000. Т.6, № 1. С. 102–107. 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1980. 175 с.

(II)

3. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973. 399 с.

Покажем, что отсюда следует x1 ⊥ x2 . Вычислим скалярное произведение 〈x1 , x2〉. Подставляя в него соотноше-

4. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977. 223 с.

(II)

ния (II) и используя равенство (I), получаем 〈x1 , x2〉 = (II)

(I)

(II)

= 〈Az, x2〉 = 〈z, A Tx2〉 = 0. Таким образом, x1 ⊥ x2 . Поскольку x1 и x2 – произвольные векторы пространств, отсюда следует R(A) ⊥ N(A T ). 2. Покажем теперь, что любой вектор x˜ , перпендикулярный R(A), принадлежит N(A T ). Пусть x˜ ⊥ R ( A ). 1

Это вытекает из известной формулы вычисления косинуса угла между векторами a и b: 3

∑a b i

i

i=1 -. cos ( a, b ) = --------------------------------------------------------------2 2 2 2 2 2 a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3

112

T

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. 831 с. 6. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 270 с.

Рецензент статьи В.А. Ильин *** Владимир Александрович Брусин, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета, член-корреспондент РАЕН. Область научных интересов – математические проблемы теории устойчивости и теории управления. Автор более 160 научных статей и учебного пособия.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , ТО М 6 , № 1 , 2 0 0 0