!"#
$%& " % " ' $
! " " ! " # $ % ! &
' ( " # ( & ) $ * + " " & % " , # ! $ ! " - . ! (
/ " ! " 0 1 ! !
2 $
! "# $ % & ' (# " )% & % # ' " &+ ,- # + & * / # !1 ) ) 2'#34 + ( $ "  # ' 6 # % &+ 6 # &#$ % - / 7 #$ 5 8 "& ' 7& ) ' % . "#$ 5 # &7 9 #$ 7& ) %#$ ' # : % % + &7 0 ! 5 ,- 7 5 & ' + ! - 5 # ' 8 "& ; & # ' 5 6 ) <
# 6 # 5 % + 5' % % # ' 5 % &+ = 5 > #$ 5 /
8 4& ?@AABCD
* . 0 0 0 *. *. * . . 0 . 0 . *
! #$ & + ' 5 + % 3 &E # 3 $ # 5 3 %& 5 3 5 F # # G 8- 7 5 & ' 3 , 2 #& % % $ H#$ &+ # & ' 5 # % ' 8 5 #' + 85$
% # ( # - $ # #' 8 7& ) #$3 5 % I 3% 5 5' '
8 - 5 3 5 5' 3 # % )%
% )# & ' & 7 & ' + < % 5 # ' 7 % & %# + ' % 5 # !#& $ $ 7 5 % & ' + " % 5' 1 85 %$ & ' 5 # ' 5 % $3 1 >& # ' $ 5 : >
8& 8#&+ $ # ' 5 + "# 5' + J 0K 8-' % % - 8 % 5 # & ' % %#3 & &#$ 8 #$1 # % 5 5
%)' >
& & # 5 # + ' 7 ' & ' + E $ # %$ % # #$ %)' $%& ($) % "( *" 5I q˙i = vi ,
d ∂L ∂L − =0 dt ∂vi ∂qi
i = 1, . . . , n.
JK
=% >
5 & 5I &+ 5 # 5 & ' 3 % #& % % 5 ' ' %
;# #& 1' ) F% # + #G 5# % 3 5 % #5 %% # + #3 + &#$ 5'I L = T (v, q) − V (q) =
1 ajk (q)vj vk − V (q) . 2 j,k
5% # 5 # %# + 5 JK &, &%%& & ' I
aik (q)v˙ k +
k
Γi,jk (q)vj vk +
j,k
∂ V (q) = 0 . ∂qi
JK
" % 5 5 # ' &# % % 3 >77) &
2
∂aik jk
∂qj
vj vk =
∂aik jk
∂qj
vj vk +
∂aij jk
∂qk
vk vj ,
< % ## 8$
8#)5 7& )' Γi,jk
1 = 2
∂ajk ∂aik ∂aij − + + ∂qi ∂qj ∂qk
5 %
J*K
j, k.
6 % 8$ 8 & % $ & 3 + 7 JKLJ*K >
8 5 >77) 6% # ' 8#$3 5 5%5 $ F >77) 5 # G < 3 + : > >77) 5 8 # 3 + .. M5 + 8$ J 8$ K 85 > >77) + 85# % + %
>77) &5 & ' 4 +
N %# % 3%+ & $ 3 #$ ' 8- "% # + q˙i # + 5 n − m 5 # ' 5 'I
lsk (q)q˙k = 0, s = m + 1, . . . , n,
#& 8- 1 > ' ' # ' ' 5 & ' #$ ' q˙i =
m
iλ (q) ωλ
JK
.
λ=1
# 5 ωλ 5 , # J 5 %O # # + 5
# 5 ωλ 85# 85 % 53 % K /# # &, $ # $ # &, + 5# #& & % # ' > T % 8
T = T ∗ (ω, q) =
1 gλμ (q)ωλ ωμ . 2
+ %&%+ I q, ω
JK
μ
gλμ (q)ω˙ μ +
1 Gλ,μν (q)ωμ ων + 2 μν i
iλ (q)
∂V =0 ∂qi
JK
) #1$ &, # &, 8 # & &, % # #$ $ 5 # ' &% 5 % #& 3 >77) Gλ,μν . " 8 8 > 3 #, #$ %3 7 PQ 5 %# +# 7 & &, % &, J 8 8- #$ < + 0K .
+,- ! JK p q˙ = ω P , # %%. !/ i i
Pν =
μ μ
pj >jν (q),
(. p 0 - # +$'- % q +1%"&23 %' "& # *! 4! !/ - .$)3 +$' p, q 5 & & % 5 5 % 5 #3 8 % #& , &, #$ % 3 6 % %'$)& j
j
d ∂L∗ + {Pλ , L∗ } = Pλ , ωμ Pμ , dt ∂ωλ
J.K
+. % % p *31 % ' %'$)& j
pj =
∂L . ∂ q˙j
! JK + " +$%.& +.*' "% +"! JK " $ J.K % + 6 - % 5%$ % 3 # & #, < &+ &$ % " & ' ω = v Pi ≡ pi {pi , L} = −∂L/∂qi , % #& , & 4 + 6 5 % 85 #$ % & )# 8&, %)#$ ' # & 8 % $ , 5 ' & ' + % & # + I %1# $ 85 % ' 8 7 #$ ' %$ + 8 '$ /8 #& 13 ,- # % "% % # 8 ' $ & ' F; % # "& G + ' 5 J# % RB@SBTUBUBCVRWXC@K
0
" % &, 7 &# & &, & 8 %3 $ % ' +' ># % 5 # %3 &,-' &, &I $ $ < > 3 $ % $ & & % E % > 7 #$ 5 J + ↔ ) % 85 & $ % 5 z 5I #8 7 & ' Ψ(z, . . .) = 0, #8 % z = ψ(ζ, . . .); $ dim z = dim Φ + dim ζ. " &
)5 8 % #$& 5 7& )' > &+
, #$ 5' E 5 %55 8% ' % & Y + % 5 J #, KE Y % # %% ,
%
8 J 7E %$3 3 85 5 KE *Y
% % % )3 # + % $ % + ,& %# ' 8# 5 % # 3 # + J # &&8 # #$ K ( I % $ & 8 & 8 '
$ %&1
,
J0K " 5 q % 5 $
J# # #$ &# K / J0K 53 , F% 5G I fa (x, t) = 0,
↔
x = x (q, t),
∂fa ∂f x˙ + a f˙a = ∂xγ γ ∂t ↔
= 0, ↔ ∂x ∂x ˙ q, t) = q˙i + γ . x˙ = x˙ (q, ∂qi ∂t
JK
%&1 &$ % # #$ 5 3 & 8
# %
#$ &, $I ⎧ ⎨ J0K JK ↔ gs (q, ˙ q, t) = 0 ↔ q˙ = v(ω, q, t). J K ⎩ gs (x, ˙ x, t) = 0
# 5 ωλ % 3%+ & 5 ,
5# 7 $ & 85$ 5 M + %$ I JK JK, gs (x,˙ x, t) = 0 ↔ x˙ = u(ω, x, t), & u(ω, x (q, t), t) ≡ x˙ (v(ω, q, t), q, t).
1 i, j, k, l n ; 1 κ, λ, μ, ν m < s, r n < a, b N ; 1 α, β, γ N.
=$
m < #
m = dim ω n = dim q N = dim x.
% ' 8 5 = & % ,- E b?c? = (b, c) .
& & & ' # 3 E % & 8 # F # 5G F # 5G 4" # % +$ $ % ! $ 4,8 + # # & $ + " 5 (ω, q, t) < $ % (x,˙ x, t), & # ,- < + $ $ & 3 x¨1, . . . , x¨N 5# 5 + ' % #$ 5I f¨a =
∂fa ∂gs x ¨γ + [. . .] = 0, g˙ s = x ¨γ + [. . .] = 0 ∂xγ ∂ x˙ γ
JK
H [. . .] 8 5 # 5 +- & ' x¨γ . $, # 5 J &-3 5K 8 =[] .
&- 5
% 5 8 [+] = . 6+ + + 8&3 & 5 $ % 5 # 5 & q¨i # % & ω˙ λ < 9# JK 5 & #&,- I [+]
x ¨γ =
n ∂xγ i=1
[+]
x ¨γ =
∂qi
[+] g˙s∗ =
q¨i
∂xγ ∂qi
q¨i ,
∂g∗ s
∂ q˙i [+]
q¨i =
q¨i = 0,
∂vi ω˙ λ ∂ωλ
∂uγ ω˙ λ ∂ωλ
JK > 7 #I 5# 5 & J% 7 3 K 8&, %# $ m. H 85 $ + ' # 8- I [+]
x ¨γ =
" %&1 " ' + $ & 5 7 *' *'% 6- +" # ' "' ! $ 1% "# +")&- !.%" %$&23( ( $ %&1&
# 5 ' & ' + 3 ) 5 8 5 #$3 5 % # % 3 & + RI N : J*K Mx ¨ = F (x, ˙ x, t), % > 5 T = M x˙ 2/2. 3 # # & # $ 5 #' & & ' 6$, ˙ ξ, t), α = 1, . . . , N . mα ξ¨α = Φα (ξ, JK =$ 5 8-
N m1 = m2 = m3 < > % ' ξ1, ξ2 , ξ3 <
5 # "&$ M 3 % ,-' $ 5 J % & KE % # + xα = mα /M ξα , Fα = M/mα Φα % #& J*K
$%& % $ ! ++"&- ∂G =0, ∂x ¨
JK
8&& # % 5 & ' % # 3 #$ 5 J*K # G $ !
G = 12 M
(¨ xα − Fα /M )2
[]
=
1 2 M x ¨α − x ¨α Fα ; 2
% % # $ "# $ # S, 5 % 8 E
% #& + J K J8 %K F #$ ># ' 8 5G
G = S(¨x − F ).
" %&1 ")'- & 6$, J*K %3 : 5# 5 + ' && ,- ( + % 8 5# 5 + 'Z [3 )#% # + 85 3 5+ J K
dqi = vi (ω, q, t) dt
% $ J% # 3 ' % )&5K & 3 dωλ = %λ (ω, q, t) J.K dt 5 % #& $ &&, & 77 )#$ 5 & ' P
% & '& & & && Ω &
ω˙ = %(ω, q, t, Ω),
˙ = ((ω, q, t, Ω), Ω
J0K
) & * + Ω,
, & -
& &
& . / #
' # &
- & 01
Q
!' )#$ < & 7 J.K 6%
% #+ 85$ 3 & & 5 53 # 5 > 8-% #$
4$/+ ! I & 5# 5 58$ 85 % &+ 3 # $ $1 5 % &+ G ω,˙ ω, q, t; % #& 5+ #&,- 8- I []
G∗ =
1 gλμ (ω, q, t)ω˙ λ ω˙ μ − Gλ (ω, q, t)ω˙ λ 2
J %& 5 % 8 K : &# ' 3 #$ G∗ % 8 !
$ ∂G∗ = 0, ∂ ω˙ λ
+ 85$ %% % 8 I
gλμ (ω, q, t)ω˙ μ = Gλ (ω, q, t)
JK
%$ % )5 ||gλμ ||−1 % J.K " &# & %#$ > 3 5 &- ' J % 5 3# > /4: K H#$ #+ % $ ' *3 !$%&
" . "# *'" %'+ '
" #& % $ 5 # 8 5 % % % )% & % # I , #$ 5+ # & ' # + 5
# 5+ ' # ' /& %&1 \# 5 # + 5 & 6$, JK % # #$ #3 I Mx ¨ = F (x, ˙ x, t) + R . J K 2 % # #$ # 5 &% ' )' 3 ' ! % 8 # # E % +3 x(t) # % #& R $ 3#8 85 ,- / & 5 58 R + % #& $ #,8 5# + *
" &# & & 7 #$ #1 3 $ % ) % $ >
% %# ' F7 ' 5#G % &#& 3 # #&,- ) ' 1 2 Rα 2M
G=
JK
. !
/ #$ $3 1' + ' I 8& 8-3 % 5' 7& # ' J 3 % )% & 5 % 5' %# < % & 8 :"M PQ # ]]]K
Rα 5 5 % 5 G = 21 m α &$
&,- % 5 )' 2
8$!* *!.!3 5 # S ∂uγ ω˙ λ + [. . .] ∂ωλ T ∗ = u2α /2.
x ¨γ =
JK
⇒
∗
=
gλμ =
u˙ 2α /2,
Rα
∂uα ∂uα ∂ωλ ∂ωμ
.
" > &
∂2T ∗ ∂ 2 uα = gλμ + uα . ∂ωλ ∂ωμ ∂ωλ ∂ωμ
JK
\# # ' 5 # % % \# >
7& ) & &,- & ' %
% ' + #5 3 +
[]
G∗ = S ∗ − G∗F =
1 gλμ ω˙ λ ω˙ μ + Gλ,μν ω˙ λ ωμ ων − Φλ ω˙ λ 2
& JK % 8& J JKK
gλμ (q)ω˙ μ +
Gλ,μν (q)ωμ ων = Φλ (ω, q)
JK
!# 5 % 8&# # 5 # J 8 %3 I > # 5 5 #, ># &, 8 & # #$K 6% # 5 # 3 # 5 # # ' %#3 #$ # #$ 7 & ' + \- % % 5 (q, ω) > 8-% 5 7 5 % & JK "#3 7 % '1&, %$
$ $ ,$ .' +1/ 9 3
# & % #$ M2 x˙ 2α '3 & ' F #$ 5'G ' % )# J 8#$ 3 > % 5#&K T (x,˙ x, t) % 5 F #$3 5G & + [T ]α ≡
d ∂T ∂T − = Fα (x, ˙ x, t) dt ∂ x˙ α ∂xα
J*K
# % 8
∂2T ∂T ∂2T ∂2T − x ¨β + x˙ β + = Fα ∂ x˙ α ∂ x˙ β ∂ x˙ α ∂xβ ∂ x˙ α ∂t ∂xα
Aαβ
JK
Tα
P6% 5 + $ $ & 3 5 % 4 8 /# 85 &, 3 ) &, &Q M)& A = ||Aαβ || J -&,
8- 3 K % $ % # +#$ %# '
) A # & & (¨x, A¨x) % & ' \ + $ #1$ 5 + ' # F & G % )% & &+ $ F> 3 & G H 85 & # $ 5 % 5 8&3 8 $ & 8&
> & J > % ) &-8 K
4$!).- % 23 "($)! 9 &3:%%# JK #$ 5 & 4 + JK 3 # $ J 4%1) & 9 PQ ^.K G=
1 ∂2T [T ] − F, A−1 ([T ] − F ) , A = 2 ∂ x˙ 2
JK
;' #$
# & ' 4 + J.K $ & + 3 $ + 8 ' % ' ' #5 J# & 6$, x··F = F/M ). H 85 % JK 3 $ G = 12 (¨x, A¨x) + (T − F, x¨) . ! $, 7& 3 ) JK < + M5 & G = S([T ] − F ), - x··F = A−1 (F − T )
# "#- $
T ≡ S([T ]) =
1 [T ], A−1 [T ]) 2
J0K
4$ *" ") 1 "# + /"- # 5 % &+ JK % 3
%+ & 5 % && # 53 # 5 & ' # # 8 +
& / & $ %3 % &# 8 + & %# $ 5#3 5 & ' ; 8 # & 4 + J*K ), ' R, $ [T (x, ˙ x, t)] = F (x, ˙ x, t) + R JK 5 % # 5 J% &+ K ) F%
& # ,G %$ 58 I G=
.
1 R, A−1 R . 2
J K
I $ 8 $ %$ $ 3 & %%& " 5 5 #$ J % # δ + $ # 5 5# K &
8 &$ 5 & #,
5 #$ ' &%$ % $ & " & #,8 #&,- + 5 I
Kα (t, x, x, ˙ . . . , x(p) )δxα , ˙ . . . , q (p) )δqi , δK = Ki (t, q, q, ˙ . . . , ω (p) )δωλ , δK = Kλ (t, x, ω, ω, ˙ . . . , ω (p) )δωλ , δK = Kλ (t, q, ω, ω, δK =
#& %% # 5 # + 5
3 5 q J#K % ω. =$ δx = (δx1, . . . , δxN ), δq = (δq 1 , . . . , δq n ), δω = (δω 1 , . . . , δω m ) &$ % 8 5 % #$ 5 # ' # #$ '3 1 & 5 )' + 85# 85 + $ 5 77 )#$ 5 7 5 %)#$ 6
# > #1 +$." [& $ δK 7& )' F (t, x, . . .), # >77) 5 5 #, % % - 5 %)' > ' 7& )'I δK = O(F ). M5 %O % # F −O→ δK. # 7& ) F (t, x, x, ˙ . . . , x(p) ) $ 3 δF =
∂F
(p)
∂xi
δxi
"% # 1 % 5 +
5 &#, 0
8 !1 ) 7& ) ϕ(x, t) %
7 % 5 77 )# 773 )# % 7 t : # > # / #
% # f (x,˙ x, t). 1 3 ) δf =
∂f δxα , ∂ x˙ α
85 )
∂f ∂f δx˙ α + δxα , ∂ x˙ α ∂xα
$ # % # 5 77 )# % % 5 N85 ) % 3 ) # J 8
δf ). 6 % 8 **3 # % % #$ 3 % ' 3$ & % #$ ' 7& ) Φ(t, x, ω, ω, ˙ . . . , ω (p) ) %# I # p 1,
δΦ(t, x, ω, ω, ˙ . . . , ω (p) ) =
∂Φ
#$ % % $
(p)
∂ωλ
δωλ ,
∂ϕ ∂uα (ω, x, t) δωλ ∂xα ∂ωλ
J*K ;# 8 ' %) & 3 % #$& δ % #&+ F1G ) )#
# + 8O 5
%& & #& 6+ # F1G %&- δϕ(x, t) =
4$%" +("3& +" +$1%. δϕ ≡ δ ϕ, ˙
δf ≡ δ f˙,
δF = δ F˙ ,
; #$ 3 % %
˙ δΦ ≡ δ Φ.
J*K
$/& : "$($) 7& )
Φ(x, ˙ x, t)
d ∂Φ ∂Φ Φ − → δ[Φ] = − [Φ]α δxα . δxα ≡ dt ∂ x˙ α ∂xα
N8 8- 7& ) 8 # 5 % 5 % 8 N8 8- ) 2'#34 + 7& ) (ω, q, t) +
+ 7& ) (q,˙ q, t) % # ' J *K 4$ +. % $ % ↔ J0K JK J K JK $ 5 #& n = N J0K # m = n J K > <
# J% K '
N8 Φ(q,˙ q, t) &#$ % x , x˙ 7& 3 ), Φ(x,˙ x, t). " % # ' 5+ ' q˙ = v(ω, q, t) 7& ), Φ(q,˙ q, t) # Φ∗ (ω, q, t) J &K " % )
δxα =
n ∂x
α
j=1
∂qj
δqj
J*K
+ & +$
δx ≡ δ x˙ ≡ δ x ¨.
!&$ > % I ∂ x˙ α ∂xα ∂x ¨α ≡ ≡ ∂ q¨i ∂ q˙i ∂qi
J**K ;# 7& )' 8 # 5 % 5 3 % #$ + 5 % # 5 % 3 5 5+ 5 5 % 5 2 5#$ #$
% % 5 %$ 7 &#I #& + # $ & # % #
$ $ $
4$*$1% % $%
#,8 ' % % 5 J% 3 K 8& % #$ &+ 5 5+ >77) 5 >
$ δxα δxα # J*K " # >
δK % 8& #&,- 8 I δK =
Kα (¨ x, x, ˙ x, t)δxα ,
δK =
Ξj δqj ,
Ξj =
s α=1
j
Kα
∂xα . ∂qj
" % #$ % ' ' + #$ ) ) % $ δqi δqi % 7 &# J*KI δqi =
∂vi (ω, q, t) ∂ωλ
δωλ
5 1 #1$ % $ % 3 # I &+ # ' 5+ % $ & # ' 5+ % % 8 5 # 5 P6& % 5 3 $Q ;# 5 >77) #
7 &3 #5 %1& #$
< % ' + 8 , % # % # ' 5 5+ '
%$ # "&$ 5' 8O J 7& 3 ) - 3 8&$K K % + 7& )' Ψ, $ K = O(Ψ). ;' O & 85$ % # 5 #,85 %3 5 \# % O % &&, (O(Ψ)) ≡ O (Ψ ) ,
$ %) O I > '
- 8 & % % K. ! %# & 5 $ # J&%%&K % 3 M + 1$ # % ' % 8 $ (O(Ψ))∗ ≡ O (Ψ∗ ) ,
+
8 &$ J& 8&K
N%)
F → F˙
%
()∗ ,
+
$/ +" +$1%. +. % ! $!2
( $ #$
d d Φ(x, ˙ x, t) = (Φ (q, ˙ q, t)) . dt dt
N%) % # ' % ' 7& ) ϕ(ω, q, t) #, 8 % & J > #& ' 85 + $KI ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ d ϕ(ω, q, t) = . ω˙ λ + vi + dt ∂ωλ ∂qi ∂t
%$ + %'
ω, ˙ ω Ψ(¨ q , q, ˙ q, t) % #& $ Ψ∗ . ∗ d d (ϕ(q, ˙ q, t)) ≡ ([ϕ(q, ˙ q, t)]∗ ) . dt dt
: # # 7& )' 8 # 5 % 5 N%) T → T J0K % () $, # 5 - & ' $/ δ δ[·] %$ ' % () J # 5' # % 8 $ P QK ;# #$ % 1$ % 3 & 8$ % 8 5 # 5 & $ + J**K % #3 + 1 % 5 N
J % K # Φ(x,˙ x, t) δ(Φ∗ ) = (δΦ)∗
& 5 $ δ % ()∗ + " % #$ % ' % ()∗ 3 3 & 8 # % % & () , % # $ 5 #$ % 'I ω = ω(θ, q, t).
:" $& $* $ >77) 3
#, #5I
δA =
Fα (x, ˙ x, t)δxα .
" # % % #& δA =
Qi (q, ˙ q, t)δqi .
( >77) 5 % 5 $ !#5 5 , #& # δA ≡ −δV (x, t), 2#& # # δA ≡ δ[W ], W =
(
δA ≡ δ[W ],
Wα (x, t)x˙ α + V (x, t).
& ' J*K #$ [L]α = 0, L = T − W.
!#5 5 ,
δA ≡ −δR(x, ˙ x, t).
#
#
> %# 5 % − % , % 8 ># ' 8 5 % % 3 % 8 $ % )# V, 8 8- 5' % )# W # % &, 7& ), ># R 8 "# 7" $ $* ' $ %# 3 # % #$ 7& ) ··
[]
A =
Fα (x, ˙ x, t)¨ xα
% % $, #,8 ' 7& ) = #$ 1
δ··A ≡ δA.
" % % 8 5 $ #$
··A.
;# 8 8- 3% )#$ 5 # ' 7& ) % &
# % 5 ··A =[] −R.˙ # !.* % #$ ··A # 5 8- 53 + ># ' 8 5 δA # ' &,- # /- ··A, 8 & 85 % #& ··
[]
˙ A = (Φ, aP ) + (M P , ω),
P < % #$ # aP < & Φ < & 1 # M P < #$ P, ω˙ < &# & !# #$
% %# , ) % #& % # - J*K δA = (Φ, δrP ) + (M P , δω), % # % # + 5
δω <
) &# ' 7& ) # + 5 3 ' ;#$ '1 % % ' % # %% ' 5 % 8 # 3 M5# % # % 5' #$ # %# 8O 5 A· dA. +
· dA = Adt 5# ># ' 8 5 5 # & dx = xdt. ˙ 8 ' > #
dT · = A. dt
J*K
!#& $ & + 85$ dA ≡ 0, δA = 0 J K N85 7& ) ># ' 7 ' 'E #$ > % % # # # ' 5 % % 8 A· = −2R J 85 3 R 0). H 85 $ R 5' 8O 3 ' 7 % $ 8#$ " % + % 5 >#3 ' 8 J8& %$ (δA)∗ ). /% #$ 3 % ' 7& )' ># R % *
! " ! $ I % 3 % #+ $ 85 85# 5% # 5 5 3 8 % fa(x, t) J0K gs (x,˙ x, t) = 0 J K ( > 8 5 5# 5 & ' 83 , 5 % ) -' 8 5 N8-% %# < % )% & < #$
1
#$ #$ J& #$ % 8- % )%5 # %$ # &K % #,- 8 #$1 %3 5 % 5 5% # 5 & 37 3 % # 5 3$ % #
F > + 3 #$G [ #
> % 8&+
8- J % $ $ K N 85 , & ' 3 5 5% # 5 85 % 5 5 # 3 + # % F > + #$G $ & 5 % + % $ 8 & &
8O I % 5' + % 8 % ' %# + 5 # ' + 3 + % % # + J %& K % - = % #& # $Z M5 8& # $ > % J $ # + KE & &#$I & $ 8- % 3 )% # # ' ' + % &, % #& $ & + J 1$ $ 5 # 5 + 8#, 5 K + 5' #I % #$ & 3 # 5 " - I % F > + #$G +# & E 1 $ #& % $ &, # 3 &, ##), I # #1 >
) % > O 9 F + %# G
" +$!).
)5 A−1 J - J K K 5 %# $ &&, < %1 A−1BA−1 : GB =
1 R, A−1 BA−1 R . 2
J*K
P ' > #$ 1,- % &+ < GB =
1 Bαβ Rα Rβ 2M
' )' >77) 3 JKQ 5 #5 #5 ) %%5 % &+ J*K & J.KI GB =
1 (¨ x − x··F , B(¨ x − x··F )) , 2
J*.K
!# 85$ (¨x, B x¨) % & ' &, 8 & $1 8- + $ 5 + ' % # +#$ ' %# 3 #$ %# 5# 5 & ' " 8& 85 5 & 85# 5#3 5 ' #$ # 3 8 + " #& " +$." .% ) : % #$ & % 5 %% - &+ 8$ % % 5 5 ' ' %
% 3 "# ""#
# 3 # 5 8& & %)#$ 8 3 ()∼ . % 7 x(t) & # & 4 + J*K + 85$ % I ∂T d ∂T − = Fα (x, ˙ x, t) dt ∂ x˙ α ∂xα
⇐⇒
δ[T ]∼ = δA∼ .
" +$." %$ !"#( +$3 & < > ' # ' 8 σx = (σx1 , . . . , σxN ),
5' + 85$ $, 5# 5 & ' 3 & # ,- # + 5 !# 85$ > 8 & # & '
∂fa , σx ∂x
= 0,
∂gs , σx ∂ x˙
= 0.
# + σxα =
∂uγ δωλ ∂ωλ
↔
σxα =
∂x ∂vi α δωλ , ∂qi ∂ωλ
5 δω1 , . . . , δω m < 8 % #$ 5 # #3 #% 8 σx % #+ 6 H & PQ 4$/+ .; "*$($) & I %&$ % )# T, ># ' 8 ' δA, J0K J K 3 %# 5 J 8#$
# K & < $ x(t) # + # #$ # + 3 δ[T ]∼ = δA∼
' # 8 δx % 3 # #,8 &#$ % - (x,˙ x, t). N + 5&%$ # %# + ' N + + ' # $ & %3 # J$ < % )% &K " 8 #$ > # % 3 5 % 7 # + &1 5' % ,-' #$ J 5# 8 & K 3
+ 8 & +# 4 + .
" %$ !"# +$3 +
%#$ & %& I % 5' < 4 P* * Q # & ' % # 5' ( # 5 PQ ' <
%# 5' $ 2 %& #$ 5 ' % # $ % 5 % 5# 5 + ' % 3 )% & J # PQK "&$ +$1%. % $% /
># 8 #+ +$ & ' >73 7) \# δC = Cα δxα , δD = Dαδxα < 5 ' % 5 + % 3 )# T # %# # % δC, δD = C, A−1 D = Cβ Aβγ Dγ ,
85
||Aβγ || = ||Aβγ ||−1 .
+$." + <(! 5 &
(x,˙ x, t) < > ' # 3 ' 8 ϑx = (ϑx1, . . . , ϑxN ), & # ,-' & 3 ' N
h=m+1
Dhα (x, ˙ x, t)ϑxα = 0 .
( 5 δDh = Dhαδxα , 5 J % #$ &# PQK & # ,- #&,- & &# ,I 8& 5 + $ )5 || δCη , δDh || J _ PQK (# %# % #& # 5 3 5 δCs = δgs , δCa = δfa ; N − m δCη #3 ' 5 8-, &#$ # &3 #$ 5 % - σx. 0
$%& +$."' ) "& < > #$ %7 &# % )% `:# 83 4 +I ∼ = 0 J*0K δ[T ] − δA − Λh δDh # #,8 # 8 δx, 5 # ∂T d ∂T − = Fα + Λh Dhα . dt ∂ x˙ α ∂xα
& > & ' ( # #& +# 4 + Λ, 3
8- 5 % J #E #$ # 8 #$1' + % #$
#5 ' # + # ' 5 % K # & ' + & + 85$ % I A¨ x + T − D ∗ Λ = F, C x ¨ = c,
( % # T % & ' 8 +
# c M)5 C, D 3 # 5 ># 8-' & #$ %$3 # 8 #$1' 3 + % #$ ' < 3 #$ 5 % > / #, & % #& # ' &, & & ' # 5 Λ : CA−1 (D ∗ Λ − T + F ) = c
⇐⇒
CA−1 D ∗ Λ = CA−1 (T − F ) + c .
M) > ' # ' ' 5 || δCη , δDh ||
5 + % %# , &#$ 5 % - '
J*K
+$." +$!). ;# 5 3 % )# T % &+ J*K & (x, ˙ x, t) < > ' # ' 8 ϑx = (ϑx1, . . . , ϑxN ), ,-' ϑxα =
Aαγ Bγβ σxβ ⇐⇒
ϑx = A−1 Bσx ,
J* K
< # &#$ % - % "# # .%! +$." J*.K & 5 5 - &# 5' > & I σx
B(¨ x − x··F ) = BA−1 ([T ]x − F ) =
Λa
∂fa ∂gs + Λs ∂x ∂ x˙
;# #$ 5 % 8 I
−1
BA
∂T d ∂T − −F dt ∂ x˙ ∂x
, σx
=0,
∂T d ∂T −1 − − F, A Bσx = 0 , dt ∂ x˙ ∂x
JK
5 #$ % $ J* K
%# $ {A−1 Bσx} + $ % % - 5 N8
%&$ 5 5 [ δDh . 9 3 ) J*K 5 + 6 $ {θx} = {A−1 Bσx} % ' ' % # +#$ %# ' 3 ) B. " #$ & 8 5 δCη , δDh + % 3 $ # ' 5 % 8 F &&G +5' %3 5 x + % &$ #$ & % 8 3 , 8 & $1 8- δCη = Eη , δDη = Eη − bηλ Eλ, Eα < 5' % % 3 M & < # & 8 %$ σxη = 0, σxλ ∈ RI θxη = bηλ θxλ , θxλ ∈ R I . = 85 85# σxλ = θxλ % # + Bλμ = E, Bλη ≡ Bηλ = bηλ , )& Bhη 58 #$ ' 85 ) B )# # % # +#$ %# '
4$ ,& ""2 $/& $ m1, m2 % ' J% 4 3H : #$ %# PQKI #5 F1 , F2 , $ x2 − x1 = WRaU. > & ' 2SB = μ1 x ¨21 + μ2 x ¨22 + 2μ3 x ¨1 x ¨2
&, # + &
& xα = q + WRaUα ;
(σx1 , σx2 ) = (1, 1)δq, (ϑx1 , ϑx2 ) =
q:
μ1 + μ3 μ2 + μ3 , m1 m2
%&$
δq.
9 8 $ μ3 = 0, J% ' bK %3 8 #$ % % % SB & & + # & $ >77) 5 % #& % [ & #+ 85$ I μ1 μ2 ϑx1 − ϑx2 = 0. m2 m1
9 + mα x ¨α = Fα + Rα ,
Rα =
μα m1 F2 − m2 F1 (−1)α . mα μ1 + μ2
(# % &+ < #& ' μα = mα. ) & # , $ & & 6$, !#+ J 5 ' K % μ2 = 0 J# μ2 = −μ3 , 8 # 8- KE m1 x ¨1 = F1 , m2 x ¨2 = m2 F1 /m1 ,
# F2 & + $, ) M + 3 #$ S % # +#$ %# ' μ3 . ( >77) 5 μi , $ 5 6
85 $ 3#8 F 5 5G # % &+ & $ % ' *
" [ + # % 5 3 5 6
#& $ %)#$ &, % 8 & 3 #$ 5 &+ 5 $ 8 % 4$$ %1) & **3& M5 + #& 3 1 % $
1 +& & # %3 # &#$ 5 % - ' &# 5 + 3 # $ T = 12 (x,˙ x), ˙ A = E. "&$ % 5 $ xN = 0, [ D = (D1 , . . . , DN ) ) % &+ B = ||Bαβ ||. / σx1 = δx1 , . . . σxN −1 = δxN −1 , σxN = 0 .
5# %# &#$ 5 % - 'I
Dα ϑxα = 0,
ϑxα =
9 +# J%$ x ¨α = Fα + ΛDα , xN = 0
" &+ []
GB =
& ∗
GB =
1 2
⇒
Bαi σxi
i, j < n) x˙ i = ωi , ω˙ i = Fi +
(¨ x − F, B(¨ x − F )) ,
Di FN . DN
% 8
1 Bij (ω˙ i − Fi )(ω˙ j − Fj ) − BiN ω˙ i FN , 2
∂GB = 0 ∂ ω˙
⇐⇒
Bij ω˙ j =
Bij Fj + BiN FN .
2
5 5 & & % $ 5 % &+ / % # % $ & 8 % 8$ )& B, ,-&, % ), %# &#$ 5 % - ' %# $ (D, x) = 0. \# $ |D| = 1, + $ + )& B 3 ' 7 5 x2 − (D, x)2 . *
"2 ( $ %&1 5" 6
"% # + J # 3 K #$ > T =M ˙ x), ˙ A = M E. \# 2 (x, $ # + 5 #&,- %7 ;# ) % &+ B %&$ 8& % 3 \ ># 5 , & $ 5 ;#$ '3 1 5 # # # 3 &+ #$ J )5 B) %& 5 % 3 % 8 > & ' % &+ , 1 Fα B B Bαβ x , S = ¨α x ¨β , G = S x ¨α − 2 M B
' 5 + ' J #& 1 < % # +#$
%# 'K )' >77) , # 3 + 5
5 % 5 % # % % )%& & % #&
¨β ∂SB ∂GB Fα ∂ x ≡ − Bαβ = 0. ∂ q¨i ∂ q¨i M ∂ q¨i
2 $ & 8
#$I δAB =
% #&
Bαβ Fα δxβ , ¨AB =
δAB ≡
-
QBi δqi ,
Bαβ Fα x ¨β ,
% # & &3:%%# 5 % &+ % & *
∂SB = QBi . ∂ q¨i
%$ % 8& # &, $ / ∂SB ∂x ¨α ∂ x˙ α = Bαβ x ¨β = Bαβ x ¨β = ∂ q¨i ∂ q¨i ∂ q˙i ∂ x˙ α d ∂xα d Bαβ x˙ β − Bαβ x˙ β . = dt ∂ q˙i dt ∂qi
=$ 5 +5 % #$ # % # % # - N# $ $
8+
∂ x˙ α d ∂xα ≡ . dt ∂qi ∂qi
Bαβ x˙ β
∂ 1 ∂ x˙ α ≡ Bαβ x˙ α x˙ β . ∂• ∂• 2
d ∂TB ∂TB ∂SB ≡ − , ∂ q¨i dt ∂ q˙i ∂ q˙i TB = 12 (x, ˙ B x) ˙
<
6 % #& "($)% $ !$% .%) & ."& ( $ $% %&1& I ∂TB d ∂TB − = QBi dt ∂ q˙i ∂qi
JK
( ' ># ' 8 % 5 + %# 85 ' J K # % #1$ N % '1 # J 3 % # #5 &%& %K % 3%+ & 8&& % )#$ 5 ' ,$ " 1.
( $ $% %&1&- $' "($)% ("# %' " #& $ #8 % 8 JK [3 % # & #$ 5 **
" #& $ [ # , ' ' 8- 9 # ##$ # #$ # + 5 3
5 # J % 3 5
K #$ % # > J K # 3 # %# &#$ 5 % - ' !# 8 8- % [ # + 5 > ' 8 5 "# $ &#$ 5 % - ' 5 3 δDh , 8 ⊥ (δD). " 8& 85 85# 5% # &# ⊥ (δD) ⊂⊥ (δf ). JK !# 85$ 8 & $ 8- + $ δDa # ' 5+, δfb, δDs < " % & σx ∈⊥ (δf ) ⇐⇒ σx = δx # % 8 ∂x α σxα = δqi , J*K ∂qi 8 δq % # 2 #& %# ) ( > & % $I % 8 5 - < $ % 3 % & #$ %# ' < # ' % % M5 8 % $ % )% `:# 834 + > ' %%$ & + # + 5
6 5 # ' ' #85 + % )% `:# 834 + & +# #$ '1 % # & $1 # 7 5 %3 5 < > #&,- &
1 =!"& $ 0 % !"#>
& & -
*
N8O % {z} $ %# $ ' /
π
3
{z : (KI , z) = 0} = π = {z : z = M ζ} ,
5 KI # ' 5 ) M #$ 5' " # ' 8+ % 3 {ζ} % {z} (K, z) = (K, M ζ) = (M K, ζ) = (K , ζ),
$ % % % # + % # =$ % % 8 5' 83 , I #&,- & + #$ 5I z∈π K K
⇒ (K, z) = 0 = ΛI KI = 0
%$ #& " # % x(q, t) & gs (x, ˙ x, t) = 0 & gs (q, ˙ q, t) = 0 $3 1 # % 5 "# $ ⊥ (D) % %# 3 $ ⊥ (D ), % > %# $ δDs J δDa ≡ 0). #& F &# < &#$G 3 & J*0K % 8 #&,-I δ[T ] − δA −
JK
Λs δDs = 0
!#$ % & q(t) , # % & > #$ !# #$
&
x(t)
J*0K <
d ∂T ∂T − = Qi (q, ˙ q, t) + Λs Dsi = 0 dt ∂ q˙i ∂qi
, &#$ #, ' 2
# & 4 + +# ' ' ' > # " *
# $ % !" %&1& & & # +
7& ) #$ 5 5+ 3 ' % q˙ = v(ω, q, t), JK + # 8& 5 % &+ (¨q, B(q,˙ q, t)¨q) . &+ & 5 5# 5 #3 + 5
5 qi; #, 5 3 5 J % # ' % ' %
K # + ' > ' 7&3 & % )# # 8 8- 5' % )# ' &,- # 6% )#$ 5 # 8 #$1' % %
$ %& $ $ & !/& % %3 # , PQ Y = (L − pq)˙ ∗ # L(q, ˙ q, t)
Y (t, ω, q, p) = L∗ (ω, q, t) −
pi vi (ω, q, t) .
J.K
' &%%5 % 5I % (t, ω),
5 q " & & p. " % #& & ' + 5 # 8 "& 7& )' F (p, q, . . .) G(p, q, . . .) % 7 &# n ∂F ∂G ∂F ∂G {F, G} = + − ∂pi ∂qi ∂qi ∂pi i=1
J0K
& >%& pi % #& , ' 85 5' 5# > # %# ' ! >
% 8 % % # % %
ω
∂ d ≡ + dt ∂t
ω˙ λ
∂ , ∂ωλ
N8 # % & &, #$ % 3 *.
$*%& +$!).2 "% # +
A−1 B
∂v ∂ = , ∂ωλ ∂ωλ
∂L ∂ q˙
∗
,
∂ ∂ωλ
=
∂M ∗ , ∂ωλ
JK
A = ||aij || = ∂ 2 L/q˙2 = 1 , . . . , n , M |(q, ˙ q, t).
# 5 7& )' 2 7& ) % $ 6 % 8&
"#
Z(t, ω, q, p) = M ∗ (ω, q, t) −
pi i (ω, q, t).
# %# + ' #
$ B = A. Z = Y. 56 5:6'89 # J# 3 # 85# % # %% # + JKK ;' #$
%&$ # + L = L2 + L1 + L0, 1 ajk (q, t)q˙j q˙k , L1 = L2 = lj (q, t)q˙j , J K 2 + ' & L & 5 % $ ' 7 5 ' # 5+ JK # ' 5I 56 37'589
vi (ω, q, t) =
"&$ ) >
B = ||bij ||
iλ (q, t) ωλ
+
i0 (q, t).
JK
'E 3
M = (q, ˙ B q) ˙ , i (ω, q, t) = aij (q, t)bjk (q, t)
kλ (q, t) ωλ .
5 :'7:;<9 # + 7 & 3 ' + # JK 5 1 >% # # ' *0
$ $ 1+ 5%1 5+ 3 ∂Y
' JK %
< > # < & dω ∂Z = dt ∂ωλ
∂Z ,Y ∂ωλ
vi (ω, q, t) ≡ −
∂pi
,
JK
% 5 5+ pj =
JK
∂L . ∂ q˙j
H + > Z " & 5+ ' JK JK 8 3 ( )∗∗ [ # % 8
Φ(p, q, ˙ q, t) → (Φ)∗∗ = Φ
p=∂L/∂ q˙
q=v(ω,q,t) ˙
JK∗∗ % 5 77 )#$ 5 & ' 1 5 #$ 1 % 3 5
∂2Z ∂t∂ωλ
∗∗
+
∗∗ ∂ 2 Z ∗∗ ∂Z ω˙ μ = ,Y . ∂ωλ ∂ωμ ∂ωλ
JK 5 ' # 5 5 #, % 3 -$, 8 #$1 # & #$ 5 %)'I % 3 % # % 8 "& % ( % % & ' 4 + 5 # 8&& % +$ % % 8 5 # 2 < & %# $ 8-' 7 5
". % ."& " ( % &+3
85 JK *
dω ∂Y = dt ∂ωλ
∂Y ,Y ∂ωλ
J*K
= 5 % # % 7& 3 ) Φ(p, q) #& & ' #$ % + 5 7& 3 )' H(p, q), dΦ JK = (Φ, H). dt N8 I & JK J*K , ' + 8-' &
1 "# % $' " #$ & 3 #, 5 % &# JK % 8
d ∂L ∂L − − Q, A−1 Bσq dt ∂ q˙ ∂q
=0,
, J # # JKK % $ 5+ σqα =
∂vi δωλ , ∂ωλ
% $ &#, >77) 5 % % #$ 5 # #& % #& & d ∂L ∂L ∗ ∂ >i ∂ >i − = Qi . dt ∂ q˙i ∂qi ∂ωλ ∂ωλ
δωλ .
JK
;# ' %% # + JK ,
∂ δω . !
8 > % #& ϑx = ∂ωλ λ d ∂L ∂L ∗ ∂ i ∂ i − = Qi . dt ∂ q˙i ∂qi ∂ωλ ∂ωλ
J.K
! % 8 5 $ # &, $ N8 % )3 #$ 5 #5
% $I # 3 5 $ % JK J*K . .+ # 7 /
' +$ δω + " +$*$1%& 7" $ $* ' 0 % . +. % # % %!23 %$ !"#' +$3& +"! # σA % " "! " "( θA % "! $% %&1 λ
*
" 7 &#& % ' # + ' 7& ) 3 ∂L ∗ ∂vi ∂L∗ = , J0K ∂ q˙ ∂ω ∂ω i
% # 4'8 ) " #& d ∂L ∗ dt ∂ q˙i ∂L ∗ − ∂ q˙j
λ
λ
d ∂L ∗ ∂ i ∂ i ∂L ∗ ∂ i − == − ∂ωλ ∂qi ∂ωλ dt ∂ q˙i ∂ωλ d ∂ i ∂ i ∂L∗ ∂L ∗ ∂vl − − = 0, dt ∂ωλ ∂ωλ ∂qi ∂ q˙l ∂qi
5
8
pj = [∂L/∂ q˙j ]∗ ,
> $ pi 3 5 % 5 : #$ & 5#& + 8& &$ N%$ % JK %$ 85 & M ∗ . : % #$ & % #& I
∂Ψ dω d Ψ(t, ω, q) ≡ Ψ(t, ω, q) + vj , dt dt ∂qj
dw ∂M ∗ dω ∂ i − pi + dt ∂ωλ dt ∂ωλ ∂ i ∂ ∂ ∂M ∗ ∂ i − pi pl vl . L∗ − − + vj ∂qj ∂ωλ ∂ωλ ∂ωλ ∂qi 0=
N# $ $
∂ ∗ vj = − pl vl , L − ∂pj
∂ ∂ i =− ∂ωλ ∂pi
3 $ 5 &
∂M ∗ ∂ k − pk ∂ωλ ∂ωλ
.
4$ N 8 #$1 % # 58 ># B + 7 5 JK , ($)% %$/& +$ %&1& ;# # % # +
)5
Σ =
Σ∗ =
pi q˙i ,
pi vi (ω, q, t).
\# 7& ),
Φ(ω, q, t), %&$ ∗ ω ∂Φ ∗ ∂Σ d ∂Φ = + ,Σ + ,Φ . dt ∂ωλ ∂ωλ ∂ωλ
Φλ
2 7& ) 7 #$ 5 %&#$ b %$ %&$ 7& ) F (q,˙ q, t) 5 % 3 " # + I
{F }λ = F ∗ λ −
∂F ∗
vi λ ∂ q˙i δ{F } = {F }λ δωλ
N%# ;# #$ % , -
JK
F Σ = F ∗ − Σ∗
& + {F }λ ≡
dω ∂F Σ − dt ∂ωλ
∂F Σ Σ ,F ∂ωλ
, pi =(∂F/∂ q˙i
)∗
+ < < #&,- # +3 J0KI
∂ FΣ ∂ωλ
pi =(∂F/∂ q˙i )∗
≡ 0.
9 + J8 % )#$ 5 #K % #& , σ{LΣ }∼ = 0.
& ! $ " !$' 1% . ; %& 3
# - % ε : & #+ Lε (q, ˙ q, t) ># ' 8 ' % 5 # δΦε(q,˙ q, t). \# > 73 % % 8 & + % ε → 0 , 5' %# > %# % %& ' 3 #$, 5 # % ' 8 5 2 %3 # + % %$ # ' + % %$ " & 5+$ & 7 + $ %#$ #$ % )%
3 "&# +$." [& %% #$ % 5 583 5
q˙λ = ωλ .
& ' + % $ & I q˙s = fs (q˙λ , qi , t); λ = 1, . . . , m, J K \
F ∗ %$ &#$ % % 7 3 &# J K 7& ), F (q˙λ, q˙s , qi, t) ? & "# J -
&7K 7 &# ' PQ
J.K % #$ 5 % 5 ps
Θ = L∗ −
ps f s .
N q˙λ qλ qs, t < > Y 8 # pλqλ. " & > 7& )
% % %#$ %
= 1$,' > %. " !$% .%) & 9 ' , q˙s = −
∂Θ , ∂ps
& 5I ∂Θ d ∂Θ | − = dt ∂ q˙λ ∂qλ
∂Θ |Θ ∂ q˙λ
J.K
=$ dtd | 5 # dtd % 7 5 qs, ps 3
8 % 7 5 q˙λ, qλ , t 5 # 8 "&3 ( | ) % 5 ps , qs. ( > & %8 $ 5+3 JK # I
∂L ps = ∂ q˙s
∗
= Φs (q˙λ , qλ , qs , t).
2 < # + # 5 %5&- %7 H#$ % &+ 5 % 8
.1 +$.'.!3( 6 %
8O ' & J K J.K % & % 5 ∂Θ rs ∂L ∗ p˙ r − + γ ps − = 0, ∂qr ∂ q˙s
J.K
) γ = ||γ rs || < % #,8 % #3 + & , % # N8
& % J0K F 5G % 5 Ωs ≡ ps. " % 3 # 8 5 % 5 7
8+ 3 %#$ 5 % ' % ' $E + #$ % 5# *
$
&
4 +c>#
& J.*K
∂Fε d ∂Lε ∂Lε − =− dt ∂ q˙i ∂qi ∂ q˙i
5 7& ) 4 + ># , 7 &# 1 αrs (q˙r − fr )(q˙s − fs ), 2ε 1 βrs (q˙r − fr )(q˙s − fs ), Fε = 2ε
Lε = L +
)5 α(q, t), β(q, t) 5
% 3 # +#$
)#$ %# 5 9 % ε &#, 1 qε (t) 5 J.*K % ' % 1 (q(t), p(t)) 5 # ' J K J.K J.K % ) γ = βα−1 %$ %
& 7& ) + 5 $ % & 5 # ' % #, 8#&+$ )#5' # #'
1 "# % $' % J.*K & &I % 8 4+ ps =
∂Lε ∂ q˙s
% # 5$ q˙s = q˙s(pr , . . . , ε) " & % > 7 3 &# 5 8 # ( )∧ 4 &8$
q˙s − fs = ε ·
sr
α
∂L pr − ∂ q˙r
∧
#& ( )∧ = ( )∗ + O(ε) 6 ) 7& ) &
,
L∧ = L∗ + O(ε)
∧ Rε = Lε − ps q˙s = Θ + O(ε).
J.K
$ " 7& ) & 5+ % # ' 7 &# % # & 3 #$ 5 /% #$&
1 J.K 5+ 8 8- 5 #I
∂Fε = −ε−1 βsr (q˙r − fr ), ∂ q˙s ∂Fε ∂f Qελ = − = ε−1 , βrs (q˙r − fr ) ∂ q˙λ ∂ q˙λ s Qεs = −
# 5%5 $ &#$ J #$3 #$ - ε ε−1 ), 5 + &8$
% ε → 0 % 5 & ' &
∂Rε ∂Rε , p˙s = + Qεs , ∂ps ∂qs d ∂Rε ∂Rε − = Qελ , dt ∂ q˙λ ∂qλ
q˙s = −
%'&
J K J.K J.K \$ $I % 3 # ' &%% % # d/dt # 5 p˙s , % -$, ' &%%5 & ' % ε → 0 & 3 +, Qλ ? ' - )"' "! \# βrs = cαrs J.K % ∂Θ ∂L ∗ p˙s − = −c ps − J.K , ∂q ∂ q˙ s
s
% c = 0 % #& #$ J 5 8& $ 8&+$ % % )%& $1
' % 5# 5 + 'K % c = ∞ < # I # J.K c % c → ∞ % 3 & P*Q
' ( )* " + $3 %' " * 4! [#
$ {F, G} = −{G, F } {F, WRaU} = 0. " % 5 8 % 5 5 &#, #, {pi, qi } = −1 J %+ 5 % 5K 3 5 6 > + %# +$ & 83 5' % ! 8 & "& % 8 & #3 < & &,- 7& )' (+ & # 7 &# J0K $ %+ { , }i % 3 ' % % 5 : %+ % ' % #
5 #$ #$ 5 % 5 % > < 3
5 9 + #, 5 # 8 "& #
F = ϕ(f1 , . . . , fm ) ⇒ {F, G} =
m ∂ϕ {fl , G} , ∂fl l=1
2 # +
%+ I {ϕ(f1 , . . . , fm ), G}i = −
∂ϕ(f1 , . . . , fm ) ∂G ∂ϕ(f1 , . . . , fm ) ∂G + , ∂pi ∂qi ∂qi ∂pi
∂ϕ(f1 , . . . , fm ) ∂ϕ ∂fl = . ∂•i ∂fl ∂•i
;& # I 8 "& # + ' 7& 3 ) ' 7& )' G 5# # + ' % ' m ∂ϕ F = ∂f fl . /# I 8 G # 77 )#$3 l=1 5 % + 7& )' F (p, q). . l
N, + 5 # ' $ % # 4'8 ) " 8 I {αF, G} = α(F, G), {F1 + F2 , G} = {F1 , G} + {F2 , G}, {F1 F2 , G} = F1 {F2 , G} + F2 {F1 , G}.
" # @#
{f F, gG} = f g{F, G} + f G{F, g} + F g{f, G} + F G{f, g}
N, #
f, g|p, F, G|q,
% #&
{f F, gG} = −f F gG + f F g G
129 JK 8 & '
5 %+ 'E JK % % ' % # 2 5# + %& $ # ' % # #$ ) % 5
8+
aρ pρ ,
bρ qρ
i
= −aρ bρ ⇒ {(a, p), (b, q)} − (a, b),
# 5 a b % 5 # + + 3 % 5 - % pρ, qρ. \# % 8& # + %$ # 8 & 8# ' ' 7 5 pρ qρ, % I {(p, Cq), (a, p)} =
{(C ∗ p, q), (a, p)}i = (C ∗ p, a) = (Ca, p)
* !/ -" ' + +!"# N8 i
Pa =
pi ai (q), Pb =
pj bj (q),
J 5 &# %1 K
{Pa , Pb } = (pi ai , pj bj ) = pi bj {ai , pj } + ai pj {pi , bj } ⇒ ⇒
∂ak ∂bk − al bl pk {Pa , Pb } = ∂ql ∂ql k
l
J..K 0
* 4! % $' +"& "&$ #3
8 # #$ 5
q1, . . . , qn. (3 #$ 5' + %$ a=
k
ai
i=1
∂ . ∂qi
!&$ #$ # % 3 # #$ , 77 ) # 7& )' f (q1 , . . . , qn ) #$ > # % # :
a(f ) =
ai
i
∂f ∂qi
$ % 7& ) f #$ % # ! 5I 773 )#$ 5' % 7 #$ 5' % 3 % ' &%%5 J7 % K \# a b < % # @ . / [a, b](f ) = a(b(f )) − b(a(f ))
$ % # $!.- %)9 a(f ) =
ai (q)
∂f ≡ {f, Pa} , {Pa, Pb} ≡ −P[a,b] . ∂qi
J.0K
M & < 8#, )' %#
!$%& " ' %&1 ( JK & 8 % $ η = 0, . . . , m; ω0 ≡ 1. " 3 # + Pη = P = pj >jη , ⇒ Σ∗ ≡ ωη Pη . η
" #$ &
{f (q, t), Σ∗ } =
{f (q, t), Σ∗ } =
ωη {f, Pη } ,
ωη >jη
∂f df ∂f − . = ∂qj dt ∂t
%$ & J*K + % #$ $ 8 # % 5 &, % # &, % &,I ∂Pλ d ∂L∗ + Pλ , + {Pλ , L∗ } = ωη Pη , dt ∂ωλ ∂t
J.K
% " A
%
()∗∗
! % #$ J..K % # % #& &
d ∂L∗ ∂L∗ − > = kλ dt ∂ωλ ∂qk ∂L ∗ ∂ kλ ∂ kλ + ωη − = lη ∂ q˙k ∂t ∂ql
∂ kη lλ ∂ql
J. K
3 *") +$%' !9 [& $ # + >77) 5 + % # + 0 = 0. 5+ 3 %& %$ # + % % + & %&I q˙ =
ωλ λ (q),
>μ (q) =
iμ (q)
∂ , ∂qi
# + n − m # ' 5 ' lsk (q)q˙k = 0. ( %# $ Πq % 3 ' 9+ % J.K % ' #$1 " # + [>λ , >μ ] = 2k,λμ ∂q∂k , 2k,λμ = −
l
∂ kλ − lμ ∂ql
∂ kμ lλ ∂ql
,
J0K
J.0K J..K ) )
d ∂L ∂L ∗ + ωμ 2k,λμ − dt ∂ωλ ∂ q˙k
kλ
∂L∗ = 0. ∂qk
J0K
*%" H #
< 7 #$ 5 8O 5 %& & 8
πλ
∂f (q, . . .) ∂f = ∂πλ ∂qi
π˙ λ = ωλ ;
>iλ.
5# # f (q) < % #$ % # % % % 5
2i,λμπ˙ μ = dtd ∂∂πq˙˙i
λ
−
J0K
∂ q˙i d ∂qi ∂ q˙i = − . ∂πλ dt ∂πλ ∂πλ
9 J0K % #& , % % $ # + I ∂ q˙i d ∂L∗ ∂L∗ ∂L ∗ d ∂ q˙i − = − , dt ∂ π˙ λ ∂πλ ∂ q˙i dt ∂ π˙ λ ∂πλ
J0*K
=$ 5 % ∂∂π˙ λ L∗, $ 7& ) -' #$ q, ω. " #
% # % 8 ' & & 3 $ % #& 5' #& ' JK N8 8- % %
# ' 5 &- &I ∂f (q, . . .) = ∂πλ
∂f ∂vi . ∂qi ∂ωλ
% ' &)I %$ > % $ % % 8 $ %$
π˙ λ = ωλ !
∂f ∂f ∂vi ∂f (q) d f (q) = vi ≡ π˙ λ = π˙ λ dt ∂qi ∂πλ ∂qi ∂ωλ
8 #& $ vi ≡
∂vi π˙ λ . ∂ωλ
6 > % # #+ &$
H 85
"& =$1$,(> "! & % % 8 I q˙λ = ωλ ,
qλ = xλ , qs = ξs .
%$ λi = δλi , >77) % 3 5 8 &#$
/ 0 $. & "
% 5 H%#5 L∗ ,
sλ
ξ,
\# 7& ) % #& &
d ∂L∗ ∂L∗ ∂L ∗ ∂ sλ ∂ sμ − − x˙ μ − =0. dt ∂ x˙ λ ∂xλ ∂xμ ∂xλ ∂ ξ˙s
8- #& % % 5+
∂L∗ ∂L ∗ + x˙ μ sλ ∂ξs ∂ ξ˙s
∂ sλ − rμ ∂ξr
∂ sμ rλ ∂ξr
J0K J0K
% #& & ) N & J.K % #, 8 ' + 5 & &5 % % - ' 7 #$ ' 8 "&
"' %&1 +.%)' $+$
5' #& ' & ' J0K [>λ , >μ ] =
!νλμ (q) >ν , & ' & 5 % d 8 & 5 # &, & J 85 5
3 # m < n).
!νλμ (q) jν = 2j,λμ , & + % 8& ∗ d ∂L∗ ν ∂L + ωμ Cλμ − dt ∂ωλ ∂ων
iλ
∂L∗ = 0. ∂qi
J0.K
!$"#' "($)' / L=T −V
L∗ =
⇒
1 2
gλμ (q)ωλ ωμ − V (q),
& J0.K & J % 5' #K I
+
μ,ν,i
ν ⎛
gλν (q)ω˙ ν +
⎝ ∂gλν ∂qi
iν
+
j
2i,λμ aij
jν
⎞ 1 ∂gμν ⎠ − iλ ωμ ων + 2 ∂qi ∂V + iλ = 0 ∂qi i
>77) % ωμων $
% μ, ν. 2 #, > 8#$
J
' # % & % 8 5 #3 5 % %1& )& ' 7 5
18 K ! ) $ %&- & 3 ("' %&1 +.%)' $+$ \# &# 3 5 d 8 & 5% # 5 % >1, . . . , >m %3 % # $ % #$ 5 >m+1 , . . . , >n 83 J
8- K % 'I q˙ =
ωκ >κ +
Ωs >s ⇐⇒ q˙i =
iκ ωκ
+
is Ωs .
J00K
2 % # 8 4 [>λ , >μ ] #5 $ % 8& >1, . . . , >n : [>λ , >μ ] =
l Cλμ >l ,
l Cλμ
il
= 2i,λμ .
J0K
N%# 2i,λμ J0K I 5 # #$ 3 ν % 8& % 2 >77) Cλμ j,λμ 3 )5 8 ' ' ) il .
"&$ L % & ' J00K # 3 + %$ ω, Ω + 5+$ q,˙ % & ∂L ∂L = ∂ωκ ∂ q˙i
iκ ,
∂L ∂L = ∂Ωs ∂ q˙i
is .
N % 8 $ & J0K # % $ % # Ω = 0 & $ J0KI ∗ d ∂L ν ∂L + ωμ Cλμ + dt ∂ωλ ∂ων ∂L s − + ωμ Cλμ ∂Ωs Ω=0 ∂L∗ − = 0. iλ ∂qi
J0 K
+$3 3
" # & 8 5 # # &#$ 5 + 8+$ [& $
7& ) T 3 M ' < , > /O $ > 5 [∂L/∂Ωs ]Ω=0
>i , >j = gij ,
>ki>lj akl , gij = gij −1 . 9 >λ ∈ Πq # ' 8 %# # + ' -
Πq #, % &, & & 3 #$ % M5 >s ∈ Πq . gij =
e# &% - # -3 & Π⊥q %# # + # gsλ = 0. T = T|| (ω) + T⊥ (Ω), gλμ = gλμ −1 , grs = grs −1 .
*
6 5 5
5+, >77) 3 5 & '
1 ' >s , >λ = 0
JK &#$ 7 & ' 8 # ' 1 % J0.K N % $ >77)3 ν J 5 % m)
5 Cλμ 5 >s J 5 8 #$1 m). " # > % # , #$ & & ' %# 5 >77) 5 , ( # " :%%#$ P*Q & 3 + J 5 %%$ K &
%#$ ' #$ 7& )' L∗. : &Z N I # & L∗ $ #$ #$ -3 & 5%5 , 1 !+$3& "&$ gsλ = 0 " # + ⇐⇒
2Γρμν = (>μ (gρν ) + >ν (gρμ ) − >ρ (gμν )) +
aik
ks
= lsi .
i i Cρμ giν + Cρν giμ
JK
# [>ρ, >μ], >ν + [>ρ , >ν ], >μ % & 3 % >s . " # + + Γκ μν = Fκ = −
hκρ Γρμν , hκρ >ρ (V ).
JK
J P*QK & + # ' 5 8&& x˙ i = >iλωλ, ω˙ λ = − Γκμν ωμων + F λ J*K " %$ 5 8#$ >77) 3 Γκμν % + / # > H=
1 gλμ ωλ ωμ + V. 2
, -
! 77 )#$ 5 & ' x˙ = f (x, u),
u˙ = g(x, u)
5 8 ' J % PQ 8 # 8- % < PQ P.QK (x, −u) = −f (x, u),
g(x, −u) = g(x, u).
\# x(t), u(t) < 1 x(−t), −u(−t) < + %$ 8 5 5 I x˙ i =
>iμ(x)uμ ,
u˙ λ = −
Gλμν (x)uμ uν + f λ (x)
JK
i n λ, μ, ν m n, rang >iλ = m, Gλμν = Gλνμ , %% # # % # +#$ %# # H=
1 gλμ (x)uλ uμ + V (x), 2
gλμ = gμλ .
JK
J $K #$ %% # + I
gλμ f μ = −
>iλ ∂V /∂xi ,
(gλρ Gρμν + gμρ Gρνλ + gνρ Gρλμ ) = = (>λ (gμν ) + >μ (gνλ ) + >ν (gλμ )).
2
J.K J0K
=$ 51 5 % # >λ = >iλ∂/∂xi +$ J% # 5' ![ # 5 & P0QKI JK # JK 5#$ , ' # ' J J*KK ! & ) gλμ % # +#$ %3 # J.K #$ JK 8 $ + % )E + #, & J0K
" # >λ 3 8&$ % # % # >s % +
i . 9 &+ $ g . % 5 # Cλμ λμ & $ &- &, # gsλ(x), Gλμν % #& , % 7 &# JK N grs 5 7
8- 3 E # gsλ ' 5 + % 8$ grs % # ) >77) gij 8& % # +#$ %#
,23& " ' !$% %$ %
Γλμν 8& % $ 7& ) % #& ,- gsλ = 0. ( 5 Gλμν 5
JK % % μν & 3 # , J0K + % 5 " γλμν = 2
gλρ (Gρμν − Γρμν ),
% ' 5 &# ' JK γλμν + γνλμ + γμνλ = 0, J K / JK I $ 1 gsλ & 5 & ' γλμν = γλνμ ,
s gsν + Cρμ
s Cρν gsμ = γλμν .
J K
" #,85 gsλ 7 J K & γλμν & # ,- JK J K γλλλ = 0 " > & 5 J K 3 8$ & 5 , γλμν 3 5 5# JK J K 6% I γλμλ , γμλμ ; λ < μ < m(m − 1) < m(m − 1)(m − 2)/3 γλμν , γμλν ; λ < μ < ν
! λ < μ < ν %$ J K
m(n − m) 5 gsλ (m3 − m)/3 & ' \# # ' 5 53 [λμ] % s , 1' 5 # Cρμ .
;' #$
J K [λμ]gλ −[λμ]gμ [λν]gμ + [λμ]gν [μν]gλ − [λμ]gν
= γλμλ = γμλμ = γλμν = γμλν
J K
# + 53 8)5 gμ % gsμ " 3 - #$ 5 # ' 5 8 ) 5 &3 #, ;# > & J0K & +
kλμ − − kλμ
kλμν kλμν # + 6&# #+ 5 $ >77)3 5 % gρI
kρμ [ρμ] −
− − kλρ [λρ] + kλρν [λν] + kρμν [μν]+ − )[λμ] = 0. + (kλμρ − kλμρ
" & 5 , " #&3 # $ m &# 5 # ' 5 8 )' m(m − 1)/2 3 3 [λμ] " 7 ρ > 5 $ % 3 , " > & − − − kρμ = kλρ = kλρν = kρμν = 0, kλμρ = kλμρ
" ' % ρ >77) 5 k < &#
$ "&$ 5% # &# J.K "&$ m(m − 1)/2 n − m; (m3 − m)/3 < m(n − m) J K ,- > 5 1 [ & $1 8- det >λμ = 0 8 &, )& 8 >κλ N8& 8 3 #8) # 5 n − m J$ % % 5 8 KI [[λμ]]s = >μ (>sλ ) − >λ (>sμ ) −
>sρ(>μ (>κλ ) − >λ (>κμ ))>κρ J K \# > 8 # ' &- & # # %5 8 ' ' JK 8#,- 5 # JK 0
1 "# %I !&- # $ < 8 [λμ] % %)#$ 58 >s . :
)& >iμ % # # ' % '1 8 I
>λμ 0
>ij =
>sμ δsr 8 )
>λμ −1 0 ij , >sμ = − >λμ −1 >sμ
> =
>sμ δsr &+ 5 5 # 5 + %$ J K / % '1 % % # )5 % 8 # $ #1$ #
85 7 &# 5 % $ 3 #, #$ )' >77) >sλ % +3 % - 6 # $ % # 58 >s , 1 + % $ # & ". %& " m = 2 J % 3 8 5K &# 5 % &# & 3 8 [λμ] < 5' 2 + 3 $ I % & % 8 5 + # ' 3 8 + &, # &, \# m = 3 &# 5 + 85$ 53 % # #1$ # n − m 3 % % # + ' 3 & 1 !# 85$ ' F 3 # 5G 83 5 5 + #$
8 % # + $, 5 8 #$1
. / 0 1 $
$ ?+"'( & & ' 3
%
∂Λ d ∂Λ − = x˙ 2 S, dt ∂ x˙ 1 ∂x1
d ∂Λ ∂Λ − = −x˙ 1 S, dt ∂ x˙ 2 ∂x2
J *K
' Λ = Λ(x˙ 1 , x˙ 2 , x1 , x2 ),
S = θ2 (x)
∂Λ ∂Λ − θ1 (x) . ∂ x˙ 1 ∂ x˙ 2
= dτ = N (x) dt
% # % &, & & ˜ ˜ ∂Λ d ∂Λ = 0, − dτ ∂ x˙ λ ∂x
˜ = Λ(N x , N x , x1 , x2 ); Λ 1 2
#$ & 77 )#$ 7 3 θ = θ1 dx1 + θ2 dx2 ; % > 7& ) N θ = d ln N.
2 7& ) 5 B 4$ 9 % % 5 7 & ' J *K % #, Λ, θ S/δ, δ(x) dx1 ∧ dx2 < #,8 7 8O N F G 5 H%#5 8 8- 8- & J.K # &% -,- %% # + I & - %#, %3 )#$ 5' 58 % 'I q˙i =
>iλ(q)ωλ + >i0 (q),
q˙λ = ωλ ,
L = L(q, q) ˙ ,
qλ = xλ , qs = ξs ,
& + &$ d ∂L∗ ∂L∗ ∂L∗ − − > = {Pλ , P0 } + x˙ μ {Pλ , Pμ } , sλ dt ∂ x˙ λ ∂xλ ∂ξs
J K
% > & #&,- I pj =
∂L , ξ˙s = >sλ(x, ξ)ωλ + >s0(x, ξ). ∂ q˙j
" & > 5 &# #$ 8 $ ()∗∗ . 6& % $ J $ 5 5+ >77)3 K , # + {Pλ , Pη }∗∗ =
? ' "!
> #& #
n = 2.
Kλην (x)
∂L∗ ∂ x˙ ν
J K
(# %% # +
∂ >sλ ∂L∗ ≡ 0, ≡ 0, ∂ξr ∂ξr
L∗1 , P0 = 0
J .K
% #&
S = {P1 , P2 }∗∗ = K121 (x) ⇒
d ∂L∗ ∂L∗ − = x˙ 2 S, dt ∂ x˙ 1 ∂x1
∂L∗ ∂L∗ + K122 (x) ⇒ ∂ x˙ 1 ∂ x˙ 2 d ∂L∗ ∂L∗ − = −x˙ 1 S, dt ∂ x˙ 2 ∂x2
2 & 8 , 3 5' &+ H%#5 N %% # + J .K & + #8$E 5 %& ' # + 5
% 5' # + 5 5 3 85 % #& $ J *K # % &% + % % 3 #$ n. 6 J K %% # + & J K % # ' %&%% # 5 % #& % 8 5' # +#&,-' 5 .
**3 $' ?+"'( "&$
Λ = Λ(x, ˙ x)
∂Λ ∂Λ d ∂Λ ∂Λ − = θλ (x) x˙ μ − θμ (x)x˙ μ dt ∂ x˙ λ ∂xλ ∂ x˙ μ ∂ x˙ λ
J 0K
2 # 5 #&,- & + % I JK dτ = N (x) dt % # % & # + & & Λ˜ = Λ(N x , x); JK 7 θλdxλ = d(ln N ) J*K #$ % 5 dyλ = − ∂H + (−θν yλ + θλ yν ) ∂H , dt ∂xλ ν=λ ∂yν dxλ = ∂H dt ∂yλ
J K
8# #$ 5 %# $, N n−1; JK 8 "& J F7 #$ Gb 3 8 &K ' (yλ , yμ ) =
1 1 (−θν yλ +θλ yν )δμν , (xλ , yμ ) = δλμ , (xλ , xμ ) = 0, N N ν=λ
& # + & "&
1 "# % %7 &# ."#' ("' ' &
8#,- # > I
⇒
L(x, ˙ y, ˙ x, y) a(x, y, t)x˙ + b(x, y, t)y˙ = 0
H(x, ˙ y, ˙ x, y) =
∂L ∂L x˙ + y˙ − L = h = WRaU ∂ x˙ ∂ y˙
" #& % Ih = {H = h}. .
%$ &#$ 5' # + 3
I 1 1 T − V = K(x, y)(x˙ 2 + y˙ 2 ) − V (x, y), K = 2 2 κ ⎧ ⎨ x˙ = vκ(x, y) cos Φ(x, y, t), ⇒ y˙ = vκ(x, y) sin Φ(x, y, t), ⎩ 1 2 + V (x, y) = h. 2v
⇒
M5 # 85 %%$ $ 77 )#$ & I
v˙ = −κ(x, y)
∂V ∂V cos Φ(x, y, t) + sin Φ(x, y, t) ∂x ∂y
6 > #$ & 8 ; ) % 5 ' 5 RI 3{x, y, v} : DIV =
∂Φ ∂Φ κ˙ + x˙ − y˙ κ ∂y ∂x
" &# # ' & ' 7& ) ∂Ψ ∂Φ ∂Ψ ∂Φ = , =− , ∂x ∂y ∂y ∂x
J&# % ( 13
+#$ 8 J=
eΨ . κ
Φ, Ψ
Ψ
8& J K
3 K JK
". % C " # 3
5 τ = M dt J 8 K % - % 5 P, Q Ih & % +, 5 3 #$ Θh (P, Q, t). M5 > #& 3 #) $' &- 17$( & ("# % # PQ .
4$$' ; #$ 5+ & 7 &#E P, Q &$ 5 % 5 # >
#$ ! 5# % 5 & < H%#5 % ' ' % )#$ ' #5 %# + ' ) & J # K ⎧ ⎨
x˙ = v cos γt, 1. y˙ = v sin γt, ⎩ 1 2 v + 12 (x2 + y 2 ) = h. 2 √ √ √ x = 2hP sin Q, y = 2hP cos Q, v = 2h 1 − P 2 Θ = 1 − P 2 cos(Q + γt) . ⎧ ⎨
x˙ = v cos γt, y˙ = v sin γt, ⎩ 1 2 + 12 x2 + 12 (1 + x2 )y 2 = h. 2v 2h − sh2 P cos Q, v = 2h − sh2 P sin Q , x = sh P, y = ch P 2h − sh2 P cos Q cos γt − sh P sin γt , Θh = ch P ⎧ ⎨ x˙ = v cos(γt + αx), 3. y˙ = v sin(γt + αx), ⎩ 1 2 v + 12 (x2 + y 2 ) = h. 2 2.
dτ =
eαy 2h −
x2
−
y2
dt,
Θ=
1 αy e cos(γt + αx) . α
*3 %1("&. ="#("'> 1. "&$ Φ := γt + Φ(x, y). \# 8#$ V (x, y) h
% &, &, % & J8 ' )K % Ih S 2, T 2 , . . . F )# G 83 + "& 2π/γ, N &, & /# ' # +# 8 M + % $ 8+ ' "& J & & PQK #$ 8#, J # < PQK .*
2
%
$ %' " . ($$!' %&1& +#$ 3
$ _VBRVaaVAW 6 #$
&% 5 3 18#$ % # 5 & # # 5 J # F # 3 5G &- # KE % % % #$ : 3 % #& & % 8&+$ > 7 5E
8- , #$ >% # 5 3 %$ $ & J & +E 85 & # $ &' 5# % # 5 $ > 8) 5K 6 % " b = #5 # % % # fWCUVaaVAW b 6 # 5 853 # 5 5 J% #& ) PQK 85# 5 # 5 & % ) 5 % )% P Q # # ' 85# ' 5 &- &,3 - 7 5 % & ' + # 5 +- %# 5 # P* . 0 Q " % # > 7 5 + #$ % #&3 ,- % I Y %%5 8 $ ' 7& )3 ' -' & ' #$ 5 7 I :%%#$ Y 8 8- 5
% 3 5I H%#5 ) *Y % #$&, # 5
8 8- 5 ' J % > 3 2'#&KI #$ M+ [ #$) Y % #$&, >77) 5 # + % 3 #$ % I "& #$ .
[ # %#$ 5' # % 8&+ $ #&,3 1I % J 8 # 5 % & 3 K % # & 7& $ & :%%# 2 3 , & ' # - 88 7 #$ %#
# 5 % , " P0Q % #
+ % # 5 ;# #3 + 5 < 5' % 5' #& ' % 3 ' J+ # &+ K % > & # & 3 ' H%#5 3 ) # # 85 %1 3 $ # #$3M+3[ #$) 3 # > # % +, )% 8 F % G 5 5# 5 %& # $ # +3 % % )% + % 3 % ' $ # + % & %&
% $ > 5#$ & # 8 ' 6 &, #$ &, %7 &# & + $ 83 #$ 'E % % # # ' ' &%% 4 d 8 & % 3 + % ( P*. * Q # " 8-$
' %3 % # ' % % +
8- # > 1#$ % # /# 3 # 5 8 #$1 #& 3 %O # # + ># ' 8 5 / #, < 8 , #1$ #$ 5 5 J , ) $ 8-&, , < PQ PQK " F % # G %
, I 8- & + # 5 & % $ > % 8 & + , %# + % $ 8-' 7 3 5 & ' % 8 "& 6 ' $ $ -&- > 85# $1 " + 85$ I ' ' % & 8- 85# % 5 8 "& % #$ #$ % %&# $, .
9 J0.K # % ' 8 5 m = n,
$ # # 5 % #& # "& E "&3 % 5 # 5 5 % #'E % & 7& # %% # + !νλμ % 5 "& 8 # &%% 4 " #$ & % #& # + & 5 7 #$ % 5 #$ # 3 5 JP*QKE 8- # F 3 G $ % E # 3 !νλμ &
% 5 " #$ 3 # M+ P.Q &+ # # 5 %# & 7 JK 51# $ [ #$) ' 85# % #&3 5 & J0K % %# J0*K [ #$)3 % #$ # 7 J0K # %# >77) 3 2i,λμ < + #$ 8 # 8- # # 5 5 5 %
J #& # ' 5 3 ' K # %
5 51# 8 # 5+ ' + 3 # + 5 8 4 3 8 "& J% #$ #$ F 7 #$ 5 % 3 5GK #$ # 5 5 8 # # + 5
I J0 K $ & # J3 % $ 5 5 85# # 3 #$ 5 PQK !#& ' % 5 !νλμ 85# # # &&8
5 J % %# > #& ' % # % +3 , &%%& 4K d #$ 8 8-# & "& 3 # 5 5 % 5# 8 & "& &
& & $ 5# #$ 6
53 > % 1#$ %13 I & "& [ #$) 5# #$ + ..
!#& % &$ & % #, + #, % & ' % [ #$) & >
%1& ) < # 5 $ % 5 # + % % % 3 " > & # 8& % # #$ 5 &#'I # % ' n J 5' # 5 'K % 8-$ % # 5 3 )5 >77) & & 5 % 3 5 # + % % 5 85# 3 8 # 5 % 8&& % 5 &#, +
+3 # 7 [ #$) # 9 PQ
& # $ # 5 3 E ) +& 7 ' #$ 3 #$ N8 8- % )% `:# 834 + % )% & & 5 7 & ' + # '3 5 # $ # 8 "+8 3 P Q H P *Q g P * 0Q # P.Q " > g 8 8-# % %
5 7 & & ' [ #$) #$
, 7 & 2 3 # 5 &#$5 % ##$ 5E #$
&,-' % $ 8 3 5 ' #& %& &
& 85 #$ $ 8 & [ #$) c # 8 & "& cH ( 3 %# & ) PQ + $ > 7 # & #$ =8 % +
6 H 1' 8 & "& P *Q & 5' 5# &% $ # ## 2 85# I H # #$ 3 # 5 %# &%% 5 # # # 3 5 < $ % # ,- %# $ # 3 ' 5 % +$ &%%& 4 & .0
1*$1 $ !$% (" /& #&,- 5# \# % % 3
5 % 5 (q,˙ q, t) % > >#3 8 5 # + 5 5 % ω, 5 % 85 % #& & 3 ' + % # 5 # ' % % 8 5 # & + & J.K 2
N 8 #$1 ;# % 5 8& $
$ J*K # ' 5 6% )3 #$ 5 #5 8 8 5 7 5 % 5 % #& # + J K % & % ' JK \# > % 5 '1 8 #$ 5 % 3 & :%%# & J*K & M+ JK & [ #$) J0K # & # J0 K < 5 3 % #& + J*!%"# . )@ < >
% + % # $K & JK # 3 JK " > JK " # 5 ' & &&,
\$ 8 8 > # # 5 7 3 7 5 #$ 5 % )%& `:# 834 + P*Q M # & ' %
(' & P*0Q #1$ +
% 5 3 ' > %
J% K + % 3 #& $ & %)' & 3 5 7& ) # + 5
+3#2 *3 $ . J#8 < 8 # 13 < % -$, & ' 4 + +# K & 3 + # 5 %1& - P .Q " & , 5 # 5 J% 5#& < ) ' 5 # 3 8# K % 5 5 & & &, 2 # 5 + 5 #$ 7& ) 6 # %
% #, $ 8 $ & 7 5 %3 5 # % .
! ' ' J # & 5 # K # % 8- &- 5 < >
%# 1
> 7 N & 8 8- I & ' + % #$ $ &
$ &, > , 5 8 ' (
8-' > &3
#$ & & 7 # N % 3 ' #$ 8#$ $ 8 3 #$
%&#$ ' #3 , % %&#$ J% 5 ' > % ' # % K
1*$1 $ !$% (" "* # $- +
8 #$ 8 8- 7 & ' 3 + & # $ )) 3 # 6 > %& , + 5 % 3 5 H%#5 %% 3 5 ' %1 &,- #& 5 J8 #$1 % #&5 #$ ' 7 P* . QK 8- # & ' ) 5 3 + ' J% 8 ' # P .QK % 8&# :(% + 7 &# 3 $ # 5 # $ '3 % 5 #$ 7 &# % & ' & ' 8 % & h M5 P 0Q #$3 5 5 7 5 & ' , % # 5 % #$ 5 53 # ' ;# > % # 8 "& 8&& % # 5 & 8 % $ &- 8&+ # 5 7 & ' + +, 8 5 P * Q #, 5
% % # $, .
' ?+"'( 3 # $ 85 , &
8+ , # %
, #$ 5 8 ' 2 # # % &#$5 % % 8# & J& #$
5 8 5I P.* .0 0 0 QK + +3 5 # % # 7 5 &# 3 % 8 N H%#5 $ 5 '
85 ' 7 ' % # ' - # # ' 3 $, % - % )#$ % # # ;# + % ) 85# % # !&# 5
#$ '1' P. 00Q " #$ & % 3 &# ' &#, 7 % 3 5 ; + J & 5 K 83 # & 5 # N 5 , 73 % % 5 & 5
8 3 5 & 85$ #$ J & % 5 #K 7 # 2 < 3 & % 5 !%)7 I % -' +#$ & % #,- & % & 7 "& ! % H%#53 & 5 + > 75 "& + % # &%%5 % & # ' &,-
83 % # + ' # #$ %#
% # % H3 %#5 & + #$ %# ' % #&7 P00Q % #& 5 + 5 & 5 5 3 !&# I % )# + 85$
#,- % 5 % #&+ %8 #
3 5 %# & % #,- &
% )% #$ 5
8 & $ + 7 ' $, & N% 87& )3
5 0
$& "* ("' < % # 3 # 5 ' #$ 5 83 5 N # P0Q %&8# 3 P0Q P0.Q P0Q , 5 3 +- #5' % "% #3 3% 5 % &# % ' 5 & 5 $ % #& ' # 3 5 3 5 > # 5 5 < % # 3 & 5 #$ 5 5 $ 8#, &# 3 % + " &# % % #8 # 5 % % 3 - % " ' + 5' % I # #8 # 8# & ' # %#5 '
8 P0Q ' % M 8
8 5 PQ #& ' % 7 3 % 8 #$1' $, 8& $ 3 5 &# 3% 1 / 3 5 &
& #8 # ' 5 + $ # ' 5 5 ( # 5 P0Q ! % + ' > ' + 8 & # ; = P*Q " #8 # ' 5 < J8 % #$5 K +# # %,- % + &, % $ 7 ' # & 6 &3 - ' # - # % 5 #5
5 % 5 & # 5 %3 5 / > #,) # P0.Q % % - % 3 % : & P*Q &- #& 2'# + 3 + %
1 % ' + % &- #& 4 + % + % #$ 5 % ' % % % 5 # > ) # > #,) &, 0
" & % ;: & % #$ #& $ 8 2 % &) &- 5 5 # 8 #$1 M : 5 # ' % 5 3 ' % 5
8 3 &- ' 5 #+ $ &, &
3 & $ D & .*" + - / & &
;& % 5 % + 5 8 $, #$ $ &, $ 73 % E > 5# #$ % : & ; # 83 #$ $ % 5 F' 3& #G &- ' J 8#$ 5 $ 5 + $ P0*QK 6% 1 5' 7 # ' 3 I % %8#+ 8# & ' & 5 > #& + # 3 5 8# ' & #5 3 #8 # 5 M#5' % % #3 & + % % - % I x := εx, x 3 F #5G % 5 $ ,- #$
8, ' 8&3 ,
8-
8 #$ 3 & $, #$ 77 )#$ 5 % # '
$ 5 #$
83 ' #$ 5 3 #$
+ % 3 )& % #$ ' 7 >77) 3 -
#$
8 0
\# $
8 #& ' 3 #8 8&& +
8- & 8 5 #3 ' 5
5 #$
8 ' , $ #8#, # 3 ' 5&%,- # % \# $ )& 8 #$1 #$
83 + &8 > #,) %8#3 + %8#+ 3 + $ #$ > #,) F 5G
3 #$
8 ' 6# # > % & >77) 5 %8#+ # F 5G
5 >77) 3 # #8 ' + + #) &% -3 , #$ & + #$
8 3 ' " 8- %% # + > &% - + % #& 7 #$ 5 % 5 # #& )#$ 5 5 ' $ &
&- # % 5 # PQ # ' I #)
% & '
8 'E % 3 8# & #$ 5 &# + 1 ' >
8 > P*Q % # 7 '
8 ' >& % $
&+ &&,
8- & # -3 #$
8 # ##, I
& % - 58 7 5 % 5 ;'3 #$
% 51& ' + 8# 3
8 ' 8# % 5 # # \# #, $ > #5 % 7 5 % 5 8&& #&+$
8 ' \# % $ 7 8& & & &# 0*
* 4! *1 ). % A* 5 8 "& < + % 8 -$ %$ & ' +3 ! # 8-' ; P**Q % #& 1' 1 3 + % # # J % P. . . . . * QK , #$ 5
# #$ 5 8 "& % % &#& &+ 5 ' 2 % # $ % ># #$ 5 ;8& &-
P Q N 5 $ '3 ' 8 + % 3 #& $ 8 # 8-&, , < ; # 8 5# 5 + 5 !
&,-' % # 5 5%3 P.Q % % # ' 8 5 P Q % 8#
%# 5' < 8 5 P Q P.Q 7 3 # 8 "& % 5 5 & ' 3 ' P.QI $ # J K 77 ) & N% 5 F#+3 8 "& G 5 5 # 7& )' # ' 5 % > ' 5 83 5 5
8 8#,- 5 + 5 5 # J,- % & 3 &K & + % +, 8 ' "&
,-' ' & = 5 # 5 # 5 5 # ' 5 ' I
8 % # + ' %# $ #$ % 3 ;# %)#$ $ $ & + %# +# ! PQ J % < :M 1 4; d PQK N % #$& 5' 7 # % # - , # 5
8' J & P.Q i P0Q ! 3 & PQ K ' 77 ) #1$ % # %# & ' ! & P*Q 0
) % ." % " . 61 % # '
8 # 8 #$1&, &, +$ /# + '
' )#$, 5 ' E # % # % 3 P Q H ' # %& # < 3 $ 8 [ P* Q # % # :%%# P*Q # 85# 5 3 & $ ( # PQ ! &+ # $ , % > 5% # 5 + 1 &% 8# 7 #$ I $ < > # 5' %3 5 ' & & 5 ,- &- ; % + > % )#$ 853
% + 3 $ 5% # 5 6% 8 hd #&8 P . Q %
8 5 & # $E
#1$ 85 85# # & ' 5' % 5' % ) % $ 85# 85 % ,- + # 7 5 ' 5 ; 8 $ > %#3 & %& " 5'I # % 3 77 )#$ & & , % & % % % ' # &% # % #$ %
85 ' , ' % 8I % #$ & #5 ) 3 ' & # , 8 , #$ ' Rγ σxγ = 0, $ $ & 5
8+3 ' #& % J# I K + #& #+-&, %# &#$ 5 % -3 ' % $ 85 # & 53 % # , 85# 5% # 6 #5 +
% #+$ #& ' $ 5% # 3 0
/6 +# P Q $, 5 3 # 7 5 % 5 5 #& 5 ' $, F+ G ' 5 # ' 5 %
% #& 5% # 5 5 18 E 3 #5 % &+,- 18 & $1 , 58, # '3 - 18 8- F8 #$1 G +# % ) >77) # - %
% )E 8- % 5 P*Q , % 85 ) +# # + 3 ' 5# # % 8 5' # + 5 5% # 5 3 5#$ ##,) # +& # 3 ' $, /6 +# 5 "1 &,-' 8) &+ # )#5' # 3 #' < , 7 3 J&# K
8 & %#$ % ;# # 3 5 ' > # 5 "& PQ N #) + % $ 8 P..Q ! 5 & ' + & 5 & 85$ % #& 5 &#$ %#$ % 5 # 5 3 %)#$ ' & &5 !#& $ %#$ % + 1 3 + % $ #$ '1 ;# #) 3 # 5 ' 1 &8#$ % % #& 3 # #5 &# % $ &- 8 #8 3 & ' J8 5 /6 +# (# P QK #8 8# & & J #$ ( 3 & & 1 de& # P QK ;# & $, /6 +# P Q =$ #, 5 + % 5 & + 7 %3 &$ & & # $ ! + P0 Q 0.
(# & # 5 # ' 3 % 5 # J # ( PQ & 3 ' 6: d&7 5 PQ 8- # ' : (% P*Q 6 [ # 5 PQK 5 5 )& + 3 8 ( # P 0 0Q % 1 8 ' M;8 PQ N % #& , %# % % # + ' # ' 3 5 7 % $ < >77 % 5 " +& 5 # < 8 )' & 51 5 % P0 0Q PQ + $ $ %#$ 3 % #+ 5 $ 8 &# % % #$ # # 5 8 # # ' 5 #& 5 % # ' ' :%%# > % 8 # %)#$ 5 #3 ' % # )#$ & #, , Jh/ 6'3 6: d&7 P*QK 6# ' 5 # 6 [ 3 # & PQ #$ % #& $ %#$ 5 % # 3 $ 8 8- 5 #5 # ' 5 % N 3 $ # ' 5 & $ & ' #$ 5' 5# J ' > %85 K -' 8 #) % )%
PQ % # 8 ' 8 8- J& ' ' # #$ & K &#$ :(% ( # P* 0 0Q !&- 5 PQ #, % # & #$ ' ' 7& ) 3 + $, % #$ $ # % #& & ' +3 % % - 7 #$ ' 8 "& ! % # 7 #$ ' 8 % % 1# % $ > ' & ' 3 1 5 #$ ' % #$3 5 PQ : > ' 8 < & 00
$' + % 1. 9
Y $ 3 &, & 7 #$ ' 8 "& J + # 7 )&3 ' 1 #5 P QKE Y % $ % $ &, 7 5# &, & % # &, & + $ #3 & % &+ ,E *Y %$ % '1 #5 + J # % # $' PQ 5 7 #$ 5 8 K # E Y & $ &- & # J+ % #$ 5 % - KE Y 8 $ % 5 # & ' % %3 8#+ 5 % % #$ 7 3 #$ 5 8 "& E .Y % $ $
8 ) 3 5 - ' J 8 # 8- # 5 3 5
8'K & #) & ' +
8 'E % 3 $ + $ &- % 5 # 3 + #& % ' & ' E 0Y 85 8$ >77 & % $ 3 # # ' 5 #$ + 5 & 8 8& % $ , %
# ' #8 # '
' 51E Y % + # %# $ Π⊥ q ; &, & ' 'E 5 & # % 8 & 5 < + % dim Π⊥x 2KE $ # 5 % 5Z 0
3 " + , - L Q ] _ J K +k ++ +, +- +L +Q
34567 3 894 :59;79<94; =45 >4?@A;9B 9; ;4C4D ECFADD4;@A;G4 =A5G4F64HH6 I4<79G +JKL * M$ M N $ O * P% +KQK 3RSH=45 0 TR U45 =94 :59;79<94; VS; 3AD9H6S; C;= >AC<4569CF WA?@59?@64; XRS; Y4F Z9FF4;F?@A[64; 7C YRS669;G4; >A6@ :@\F XH +JK] 3 , 1! P 0 ! !
! ^ 0 ( " +JK_ ^ K `SH6455A ` aS<5A C;A ?HAFF4 =9 4bCA69S;9 =9;AD9?@4 c669 c?A= a? dS59;S +JK_eKJ V -- LQ+eL_Q XS564f4G 8 TR U45 49;4 794DH9?@ V45U5496464 C;59?@69G4 g4@A;=HC;GFf49F4 49;4F :5SUH4D4F =45 5SHH4;=4; g4f4GC;G C;= 9;FU4FS;=454CU45 BH49;4 5SHH4;=4 a?@f9;GC;G4; CD 49;4 YH49?@G4f9?@6FHAG +JKK c5?@ hA69S;AH >4?@ c;AH L >AGG9 Y c 89 AH?C;4 ;CSV4 [S5DA =4HHA 4bCA79S;9 =4HHA =9;AD9?A A<
l4?A;9bC4 i 5 c?A= F?9 :A59F +Kk+ +-, -]Ke-_+ gSH67DA;; I TR U45 =94 mS5D =45 IAG5A;G45?@4; YH49?@C;G4; [RC5 ;9?@6@SHS;SD4 G4;45AH9F94564 XSS5=9;A64; a967C;GFU45 Z94;45 cBA= Z9FF >A6@ WA6C5f9FF XH +Kk, +Lk W +e, +]k-&+]+L ' $ N ' 0 ! O +Kk, ,, L ]QKe]J] 3AD4H Y 894 IAG5A;G4 nCH45F?@4; YH49?@C;G4; =45 >4?@A;9B E >A6@ C;= :@\F +KkL Qk +eQ_ hSC6@ n o 8\;AD9?F S[ A F\F64D S[ 59G9= US=94F W p +KkQ * q 2 2 + , O * % +KJ- N P r$ O * ) +K]Q gl4G@9; > 3 nl 6C=4 6@l4S59bC4 =4F ?SDA6@ c;; +K,L K, --eL+ a\;G4 o I u; 6@4 G4SD465\ S[ =\;AD9?F :@9H d5A;F hS\ aS? IS;=S; c +K,] ,,] -+e+k]
0
+] `5A;?4A;C Y aC5 H4 ?AH?CH =9v454;694H AUFSHC <SC5 H4F VA59464F ;S; @SHS;SD4F i 5 c?A= a?9 +K,] +J- +kJ-e+kQJ +_ 3S5AB E aC5 C;4 G4;45AH9FA69S; =4 HA ;S69S; =4 VA59464 :CUH mA? a?9 T;9V >AFA5\B Z5;S +K,_ wJ] +J a?@SC64; c u; 6@4 ;S; @SHS;SD9? ?S;;4?69S;F :5S? XS; ;4= ABA= f464;F?@ cx +K,J -+ ,K+e,KK +K :574US5FB9 c 894 cHHG4D49;F64; YH49?@CG4; =45 BHAFF9F?@4; 8\;AD9B >A6@ E +K-, -] +JLe+KL ,k iA5A6@4S=S5\ i 845 a?@H9664; Ec>> +K-- g= +- 3 , _+e_] ,+ 1 % M 0 $ M / ( y - +K-- ] ]Je_+ ,, oS@;F4; I 894 V956C4HH4; `45F?@94UC;G4; =45 ;9?@6 @SHS;SD4; a\F64D4 C;= =AF =zcH4DU456F@4 :59;79< cV@ WS5FB4 `9= cBA= uFHS +K-] w+k +e+k ,- oS@;F4; I cHHG4D49;4 {CAF9BSS5=9;A64; cV@ WS5FB4 `9= cBA= uFHS +K-] w++ +e+,L oS@;F4; I aC5 HA 54=C?69S; AC ;SDU54 D9;9DCD =4F 4bC9A69S;F =C DSCV4D4;6 =zC; F\F6|4D4 ;S; @SHS;}SD4 cV@ WS5FB4 `9= cBA= uFHS +K-_ w++ +e+L ,Q ~ P ^ P 0%^/ +K-_ ,] 3AD4H Y W9?@6@SHS;SD4 a\F64D4 @S@4545 c56 a g g45H9; DA6@ Y4F +K-J -_ L+eQ, ,_ oS@;F4; I iAH?CH F\DUSH9bC4 =4F A6@ SG WA6C5V9= +K-K L, w- +e+, ,J ! ( 2 2 2 O r * M +KL+ ,K 1 % M 0 N N +KL+ Q , ,Q-e,], -k 2 r ^ / O * +KL_ -+ % / )( % P 0 ' ' ! NOO +KQ+ +Q ] ]L,e]L_ -, ^ P % (( $ O +KQ, ^ -+ ' - Q_QeQJ] -- 2 N 0 ! ' * '$ $ O +KQK _k-e_,,
-L P 2 ' 0 (( $ "
/ P% +K]k ,L WQ _,+e_L, -Q P N ^ ^ , O * ) ! +K]k -] y q ! ! O * / OM~ +K]k -_ XA;4 d h 8\DAD9?F S[ ;S; @SHS;SD9? F\F64DF ca>n o c<4@ +K]+ ,J Q_LeQ_J O -J 1 % M ~
O * +K], -K y q ^ ! (( $ ! ! O * / OM~ +K]- Lk )( % P 0 $ ! ! NOO +K]L ,J -_ L+ % g '$ r +K]] L, ! P ^ ! P " $
) O * +K]_ L- % / )( % P 2 ! O * % +K]_ LL 2 ' M 2 ! $ ! O % +K]J LQ O 0 ~O% +K]K ,L , L] Y5SDSHH 8 XH9;G4;U45G Z >4\45 Z h94DA;;9A; G4SD46594 9D G5SFF I4?6C54 ;S64F 9; >A6@ +K]J W QQ * M 2 y ! ! ' O ' ! $ O * O +K_+ L_ N r P P O * % +K_+ LJ ' P O ) r 2 2(( $ ! !
2P% +K_, ,k, W- LK M y 2(( $ ! O * % +K_- Qk % / ' ~ / P% ^^ +K_- W+ Je+L Q+ y ' ' % / ' 0 ! O ! +K_- W+ +Qe+K
Q, ' % 0 $ ! NOO +KJ+ ^ LQ ' - LJ+eLJ_ Q- y P ' 0 $ ! NOO +KJ+ LQ + L,eQ+ QL y ' ' 2 !
t ' O +KJ, w - K,e+kk tt ^ +KJ, w L _ke_] ttt ^ +KJ- w - +k,e+++ QQ ' % y ! ' O +KJ- W+ ]ke]Q Q] y ' ' / ! ! ! ~O% +KJ- -J W+ -e]_ Q_ y ' ' $ !
2P% +KJ- ,_, W - QQkeQQL QJ ^ ' M (
y ' O +KJ- wL JQeKL+ QK ^ ' r$ O * / O +KJL ]k P ' / M P ! ' * ) ^ L '/%/^/ +KJQ ]+ 2 P y / O % N / ! t ' * ) L +_Ke,JL '/%/^/ +KJQ ], y ' '
! !
/ +KKQ ]- y ' ' y ! !
~ +KJQ J W- JQe+k_ ]L ^ ' M (
y (
(!$ ! ' O +KJQ w, _LeJ+ ]Q ^ ' N ! ! ! ~O% +KJQ Lk Q ,+] ]] P ' / y ' ' % P / O ' * ) - '/%/^/ +KJ]
]_ O P N 0 ! ! " " / P% O^^ +KJ] W+ ]Le]Q ]J a4V5\CB > g h4V45F9UH4 F\F64DF I4?6C54 ;S64F 9; >A6@ +KJ] W +,++ ]K ^ ( ' ' ) P ^ M N ! r"
' * % '/%/^/ +KJ] -e+kJ _k ^ ' !
" . ^ +KJ] P $ QK, _+ y ' ' 2 !
t` ' O +KJ_ WQ _]eJQ _, y ' ' 0 ! ! ! NOO +KJ_ Q+ L Q-JeQLQ _- ^ ' 1 r! ! ! / P% O^^ +KJ_ L -ke-] _L ^ ' ! ! ! O NOO +KJ_ Q+ Q _L+e_,K _Q ) % 0 ! ' O O +KJJ wQ K+eK- _] ^ ' ! ! ( O^^ +KJJ W+ __ ^ ' " ! ! ! ^
O * / OM~ +KJJ +]ke+_L _J ^ '
! ' * ^ ,k ,Q-e,QJ ! +KJJ _K ' P N ' r / ! ! ! r O LL wQ +KJJ ]kLe]+K Jk ) % 0 ! ! ' O +KJK wL -JeL+
*
J+ y ' ' N $ ' O +KJK w Q QKe]] J, ^ ' ~ ( $
!
! ' O +KJK w, ]ke]_ J- 2 ' 0 ! ' O +KJK w - L]eQk JL O P N ^ O * % +KKk JQ ^ ' # "$ ! ' O +KKk wQ K-eK] J] O P N 2 "! " O * % +KK, J_ ^ ' ! ! ! % #(( ! NOO +KK, Q] L JJ ' % ! ' O +KK, w] ,]e-k JK `A; =45 a?@A[6 c o >AF?@B4 g > u; 6@4 @AD9H6S;9A; [S5DCHA69S; S[ ;S;@SHS;SD9? D4?@A;9?AH F\F64DF h4< S; >A6@ :@\F +KKL V -L , ,,Qe,-- Kk % / ' )$ O * /
! ( OM~ +KKQ !
* WSVS7@9HSV t ` m5A?69S;AH c;AH\F9F >46@S=F S[ >S69S; 84?SD<SF969S; g95B@ACF45 +KK_ K+ y P ' ~ $ ~ +KKJ K, ' ) 0 ! NOO +KKJ ^ ], ' Q _],e_]_ K- P ' ) P ^ / ! ! ^ + LL- ? , LLQ ? / +KKK KL P ' O / N ! r ! / +KKK KQ M ) r $ $ (( $
N wQL O * /NO O ' y +KKK
K] M ) 2
N w+K O * /NO O ' y ,kkk K_ O M 0 ( !
' ,- / OM~ ,kkk Ke,+ ,Q KJ M ) O
NOO ,kk+ ]Q , ,++e,,L KK % / ' 0 ' % O * ) ,kk+ +_Le+K+ +kk $ ' ' 0 ^ L -J +k+ ^ ' ! ! ! OO^^e+L ,kk+ ! +k, y / i N
! ^ +k- aCDUA6SV c a WS;@SHS;SD9? F\F64DF h4G A;= i@AS6 8\; ,kk, V _ w, ,,+e,-J +kL ! P
O N ~ ! $ $ / iNM~ ,kk, +kQ O P 2 2! ^ % '$ / ,kk- +k] y P ' y P O ($ $ ! ' N Kk " P / ! O * ) ,kk- L]K L]L +k_ ' P ' % / '
^ +J_e+KQ +kJ ^ ' ~ (
' O ,kk- w- ]_e_] +kK ' P ' 0 $ ' O ,kk- w Q ,Ke-_ ++k 2 O ' 0 ! ~ ,kkL w, +++ gHS?@ c > >A5F=4; o n E4;BSV 8 ` WS;@SHS;SD9? 8\;AD9?F WS69?4F S[ 6@4 cD459?A; >A6@4DA69?AH aS?946\ Q, >A5?@ ,kkQ ++, >A5H4 i@ > u; F\DD46594F A;= ?S;F6A;6F S[ DS69S; 9; 3AD9H6S;9AD F\F64DF f96@ ;S; @SHS;SD9? ?S;F65A9;6F t;F696C6 =4 >A6@4DA69bC4F T;9V45F964 :94554 46 >A594 iC594 L 366<*fff DA6@ CFF94C [5DA5H4<=H4FF\D;S;@S <=[
n{TcdtuWa um iIcaaticI >ni3cWtia tW IciuWti muh>a pA ` dA6A59;SV + `A59SCF V45F9S;F S[ A ;4f G4;45AH [S5D <5S<SF4= 9; gi S[ =\;AD9?AH 4bCA69S;F 9; @SHS;SD9? A;= ;S;@SHS;SD9? D4?@A;9?F A54 =9F?CFF4= gC6 f@A6 D4A;F 6S AFF456 6@A6 A ;4f [S5D S[ 4bCA69S;F 9; ?HAFF9?AH =\;AD9?F 9F <54F4;64= aC<<SF4 6@A6 6@4 F\F64D C;=45 ?S;F9=45A69S; 9F ?@A5A?645974= + U\ IAG5A;G9A; L(q,˙ q, t) , U\ 4s<54FF9S;F S[ IAG5A;G9A; V4HS?9694F q˙ = v(ω, q, t),
(∗)
;S6 ;4?4FFA59H\ H9;4A5 9; 645DF S[
Φλ (ω, q, t)δωλ .
dS <5S<SF4 A ;4f [S5D D4A;F 6@A6 6@4 S<45A69S;F CF4= f96@ G9V4; [C;?69S; 6S SU6A9; 6@4 =\;AD9?AH 4bCA69S;F A54 FH9G@6H\ =9v454;6 9; ?SD
)+ %&,)-! %&& !#.,- (* /0*%,($%& #1'%!()*- (- 2#.+).,#/ 3(!" !"# %(/ )+ 4)(--)* 5.%$6#!- 5#+).# !"# $%*)*($%& ,),#*!% 3(&& %$1'(.# !"#(. '-'%& ,#%*(*7 8 9 d@4 AC6@S5 9;65S=C?4F 6@4 !.(2&# $"%.%$!#.(-!($ +'*$!()* t6 9F F9D9HA5
US6@ 6S 6@4 IAG5A;G4 A;= 3AD9H6S; [C;?69S;F A;= AHFS =9v45F [5SD 6@4D* Y (t, ω, q, p) = (L − pq) ˙ ∗ = L∗ (ω, q, t) −
pi vi (ω, q, t) .
d@544 B9;=F S[ VA59AUH4F A54 <54F4;6 @454* 69D4 A;=
A;= tt FCUF696C69;G 9;6S
.
(∗∗)
∂Y ,Y ∂ωλ
+ Φλ
6@4 4s<54FF9S;F pj =
(∗∗)
∂L ∂ q˙j
∗ .
d@4 [S5D 9F ?S;?9F4 A;= 4AF\ 6S D4DS5974 t6 9F AHFS ?S;V4;94;6 [S5 F\DUSH9? ?SDAGG9 `S5S;46F gSH67DA;; 3AD4H :574US5FB9 oS@;F4; d@9F H9F6 =S4F ;S6 9;?HC=4 6@4 4bCA69S;F f96@ C;=4645D9;4= DCH69
L c F9D9HA5 [S5D S[ 4bCA69S;F 9F =9F?CFF4= [S5 A HA5G4 ?HAFF S[ =\;AD9?AH F\F64DF 9;?HC=9;G 6@4 VABS;SD9? F\F64DF S[ ` ` XS7HSV Q t; c A ctW cTd3uhza chdtiIna* c Y4SD4659? [S5DAH9FD S[ ?HAFF9?AH =\;AD9?F iA;S;9?AH 54[S5DCHA69S;F S[ [C;=AD4;6AH 6@4S54DF [S5 ?S;jGC5A69S;F f96@ 6S5F9S; 9; SFBSV T;9V a45 t >A6 >4B@ +KJ] ;S - _L J+ g T;9V45FAH ?@A5A?6459F69? [C;?69S; A;= DSV9;G [5AD4 D46@S= 9; 6@4 =\;AD9?F S[ F\F64DF f96@ ;S;9;64G5AUH4 ?S;F65A9;6F >SF? T;9V >4?@ gCHH LL WS , + +k +KJK x 65A;FHA69S; [5SD `4F6; >SFB T;9V a45 t +KJK WS , ]k ]] i nbCA69S;F S[ ?HAFF9?AH D4?@A;9?F 9; ;4f [S5D hCFF9A; `4F6; >SFB T;9V a45 t ,kk- WS - ]_ _]
0
^ ' ~ ( O / ( OM~ ,kkQ & JJ
: ; ; < = > <; ?@ ?A B??C D A? ×90 @E@A : F CC G H? I @BC
/ N/ e ( OM~ ! O ' ! r$ " /2 w kLkQK ,k k, ,kk+ ! 0 !(
! ( OM~
