Линейная алгебра и обыкновенные дифференциальные уравнения: Практические задания по численным методам

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т Ф акультетп рикладной математикиимеханики К афедравычислительной математики

П Р А КТИ Ч Е С КИ Е З А Д А Н И Я П О Ч И С Л Е Н Н Ы М М Е ТО Д А М Л ин ейн ая алгебра и обы кн овен н ы е дифферен циальн ы е уравн ен ия для ст уден т ов3 курса д/о и в/офакульт ет а П М М

С оста вите л и: К орз унинаВ .В . Л азаревК .П . Ш абунинаЗ.А . Ш аш кин А .И . Э ксаревская М .Е .

В ороне ж 2001

В В ЕД ЕН И Е П рактикум нап ерсональном комп ью тере п о численным методам на третьем курсе факультетап рикладной математики является общ им для студентоввсех сп ециальностей ип роходитп араллельно с чтением лекций п о основному курсу « Ч исленные методы». П рактикум вклю чает всебя самостоятельноевып олнениеп од контролем ис п омощ ью п реп одавателей трех-четырех з аданий вкаж дом семестре, з аканчивается з ачетом иставит п ереднимитриосновныез адачи: 1. из учение и п риобретение п рактических навыков численного реш ения основных тип овых з адач, втом числе: a) выбор и обоснование выбора того или иного метода реш ения с анализ ом числаоп ераций иобъемамаш инной п амяти для его реализ ации; b) составление тестовых п римеров, иллю стрирую щ их воз мож ности рассматриваемого метода, его п огреш ности, п огреш ность вычислений, область п рименимостиит.д.; 2. п олучение п рактических навыковп о отладке п рограмм, втом числе, п рактическое из учение средствотладки и п риобретение навыков составления тестов для обнаруж ения ош ибок п рограммы; 3. п олучение навыков п о оформлению п роделанной работы с п рактическим из учением воз мож ностей яз ыкап рограммирования и работы на п ерсональном комп ью тере, а такж е п олучение рез ультатов счета в виде окончательно оформленных документов. Н а кафедре вычислительной математики в течение ряда лет разрабатывались варианты индивидуальных з аданий п о различным разделам основного курса « Ч исленные методы». Н иж е п редлож ены варианты з аданий п о численным методам линейной алгебры ичисленным методам обыкновенных дифференциальных уравнений. Систему п рограммирования студент мож ет выбирать сам. В ып олнение каж дого з адания з аверш ается п редставлением п реп одавателю , ведущ ему п рактические з анятия, отчета п о з аданию , вклю чая из лож ениеобсуж дения п олученных рез ультатов. 2

I.

И Н Д И ВИ Д УА Л ЬН Ы Е З А Д А Н И Я П О Ч И С Л Е Н Н Ы М М Е ТО Д А М

И ндивидуальные з адания выдаю тся студентам с указанием необходимой литературы и структуры содерж ания отчета п о данному з аданию . С некоторымииз менениями, з ависящ имиот характераз адания, отчетдолж ен иметь следую щ ую структуру: 1. содерж аниез адания; 2. математическая п остановка з адачи и оп исание выбранного методареш ения (с обоснованием выбораданного метода); 3. анализ общ его илидля одной итерациичислаоп ераций иобъема маш инной п амяти, необходимых для реализ ации выбранного методареш ения, сравнениес другимичисленнымиметодами; 4. п одобранныетестовыез адачи. Замечания: 1. все входные п араметры з адачи долж ны быть размещ ены во входном текстовом файле; 2. рез ультаты тестирования п рограмм и рез ультаты численной реализ ации конкретного варианта размещ аю тся в выходном текстовом файле. II.

П Р А КТИ Ч Е С КИ Е З А Д А Н И Я П О Ч И С Л Е Н Н Ы М М Е ТО Д А М ЛИ Н ЕЙН О Й АЛГ ЕБ Р Ы

Реш ение з аданий долж но быть оформлено в виде п рограммы с тщ ательно п родуманным сп иском п араметров. В условиях з аданий исп ольз ую тся следую щ иеобоз начения: A - матрицакоэффициентовсистемы уравнений; x 0 , x, b - векторы начального п риближ ения, реш ения исвободных членовсоответственно; ε - точность реш ения. За да ние Л А -1. Д ля матрицы A , указанного п ортрета составить п роцедуры: 3

1) LU - разлож ения матрицы; 2) реш ения системы Ax = b ; 3) нахож дения оп ределителя матрицы; 4) нахож дения обратной матрицы. k

p k

а)

б)

в) p r

k m

k

l г)

д)

е)

а) – ленточная матрицаА размерности(nXn) с ш ириной ленты k (n иk - входныеп араметры). б) – симметричная матрица, в которой ненулевые элементы находятся вз аш трихованной области, p иk – входныеп араметры. в) – верхняя п очти треугольная матрица, элементы которой удовлетворяю т соотнош ению

a ik = 0

п ри i > k + 1 , т.е. ненулевые

элементы имею тся не только в верхнем треугольнике, но и в п римыкаю щ ей к нему « боковой диагонали». г) - ниж няя п очти треугольная матрица, элементы которой удовлетворяю т соотнош ению

a ik = 0

п ри i < k + 1, т.е. ненулевые

элементы имею тся не только в ниж нем п римыкаю щ ей к нему « боковой диагонали».

треугольнике, но и в

д) – блочная симметричная матрица с блоками размером ( k × k ), (m × m), (l × l ) .

4

е) – матрицаразмерности ( n × n) , вкоторой ненулевые элементы находятся вз аш трихованной области, p, r иk – входныеп араметры За да ние Л А -2. М етодом релаксации реш ить систему уравнений Ax = b . П оместить ввыходной файл все исходные данные, п олученное реш ение, число вып олненных итераций ивекторневяз ок, ε = 5e − 4 . Л итература: [1], С.307-310. За да ние Л А -3. М етодом оп тимального исклю чения реш ить систему уравнений Ax = b , вводя матрицу не всю сразу, ап оследовательно п о одной строке. П оместить ввыходной файл все исходные данные, вектор реш ения иоп ределитель матрицы A . Л итература: [2], С.302. За да ние Л А -4. Реш ить систему уравнений Ax = b с симметричной п олож ительно оп ределенной матрицей A методом квадратных корней. М атрицу A вводить не всю сразу, ап оследовательно п о одной строке, п ричем строкавводится неп олностью , аначиная с элемента, стоящ его на главной диагонали. П оместить ввыходной файл все исходные данные, п олученный векторреш ения иоп ределитель матрицы A . Л итература: [1], С.287-290. За да ние Л А -5. П олучить разлож ение п олож ительно оп ределенной матрицы A ( A = T ′ T, где T - верхняя треугольная матрица, T ′ матрица, трансп онированная к T ). М атрицу A вводить не всю сразу, а п оследовательно п о одной строке, п ричем строкавводится не п олностью , а начиная с элемента, стоящ его на главной диагонали (матрица A симметричная). П оместить в выходной файл все исходные данные и матрицу T . И сп ольз уя п роцедуру, п олучаю щ ую указанное разлож ение, нап исать п рограмму обращ ения симметричной п олож ительно оп ределенной матрицы A . Л итература: [1], С.237-290, С.99-101. За да ние Л А -6. В ычислить элементы обратной матрицы A −1 . М атрицу A вводить не сразу, а п оследовательно п о одной строке. П оместить в выходной файл исходную и обратную матрицы. П ри соз дании п роцедуры восп ольз оваться идеей метода оп тимального 5

исклю чения. И сп ольз уя данную п роцедуру, реш ить систему уравнений Ax = b, где

Л итература: [2], С.94-96. За да ние Л А -7. Реш ить систему уравнений Ax = b с симметричной матрицей A методом Х олесского. М атрицу A вводить не всю сразу, а п оследовательно п о одной строкеилистолбцу, п ричем строкавводится не п олностью , а начиная с элемента, стоящ его на главной диагонали. П оместить в выходной файл размерность системы, исходную матрицу коэффициентов, вектор п равой части, вектор реш ения и оп ределитель матрицы A . Л итература: [1], С.290-294. За да ние Л А -8. В осп ольз овавш ись идеей метода Х олесского, матрицу A п редставить ввиде п роиз ведения A = BC , где B - ниж няя треугольная, C - верхняя треугольная матрицы. П оместить ввыходной файл все исходные данные иэлементы матриц B и C . С п омощ ью этой п роцедуры найтиматрицу, обратную к A . Л итература: [1], С.290-294. За да ние Л А-9. Н ап исать п рограмму, которая п омещ ает ввыходной файл исходную матрицу A , размерность матрицы, обратную матрицу и оп ределитель исходной матрицы. П ри соз дании восп ольз оваться идеей методаХ олесского. И сп ольз уя эту п рограмму, реш ить систему Ax = b . Л итература: [1], С.290-294. За да ние Л А -10. Н ап исать п рограмму, которая выводит матрицу коэффициентов, вектор п равой части, вектор начального п риближ ения, точность, п олученное п риближ енное реш ение системы и число вып олненных итераций. Реализ овать следую щ ий метод: - нормальную систему уравнений A ′ Ax = Ab п ривести обычным сп особом к виду, удобному для интегрирования иреш ать методом Зейделя , ε = 5e − 4 . Л итература: [1], С.303-307, ([6], С.287-289). За да ние Л А -11. Реш ить систему уравнений x = Ax + b методом п ростой итерации. П оместить в выходной файл все исходные данные, п редп олагаемое число итераций, п олученное п риближ енное реш ение и число вып олненных итераций. В ычисления вести до тех п ор, п ока 6

x k +1 − x k

≤ ε . О п ределить п редп олагаемое число итераций, реш ив 2

уравнение x − x

k

≤ A 2

k 2

⋅ x0

2

+

A

k 2

⋅ b

1− A

. И сп ольз уя эту п роцедуру,

2

п олучить реш ениесистемы уравнений Cx = h , ε = 5e − 4 . Л итература: [2] с. 105-108, с. 145-146, ([6] с. 269-271, с. 327). За да ние Л А -12. Реш ить систему уравнений Ax=B с п олож ительно оп ределенной матрицей A методом наискорейш его градиентного сп уска. И терациип родолж ать до тех п ор, п окамаксимальная невяз кауравнений не станет меньш е ε . П оместить ввыходной файл все исходные данные, п олученное п риближ енное реш ение и число вып олненных итераций, ε = 5e − 4 . Л итература: [5], С.369, [6], С.292-296, [8], С.128-129. За да ние Л А -13. Реш ить систему уравнений Ax=B методом Гауссас частичным выбором главного элементап о столбцу. П олучить реш ение системы, для которой A = (a ij ) ij6 =1 ,

a ij = min{i, j}, b = (3, 5, 7, 8, 9, 9) .

П овторно реш ить эту ж е систему уравнений без выбора главного элемента, сравнить оба реш ения. П оместить в выходной файл все исходныеданные, п олученныереш ения ивекторы невяз ки. Л итература: [6], С.257-262 или[7], С.80-84, С.90-93. За да ние Л А -14. Реш ить систему уравнений Ax=B с симметричной п олож ительно оп ределенной матрицей A методом верхней релаксации. Значение итерационного п араметра п одобрать из условия минимума числаитераций для тестового п римера. П оместить ввыходной файл все исходные данные, з начение итерационного п араметра, п олученное п риближ енноереш ениеичисло вып олненных итераций, ε = 5e − 5 . Л итература: [8], С.101. За да ние Л А -15. Реш ить систему уравнений Ax=B методом минимальных невяз ок. П оместить ввыходной файл всеисходныеданные, начальное п риближ ение, п олученное реш ение и число вып олненных итераций, ε = 5e − 4 . Л итература: [8], С.126-128.

7

За да ние Л А -16. Реш ить систему уравнений Ax=B методом отраж ений. П оместить в выходной файл все исходные данные и п олученный векторреш ения. Л итература: [6], С.265-268. За да ние Л А-17. В осп ольз овавш ись идеей метода отраж ений, п редставить матрицу A ввидеп роиз ведения ортогональной матрицы Q и верхней треугольной матрицы R, то есть A=QR. П оместить ввыходной файл все исходные данные и элементы матриц Q и R. Н ап исать п рограмму обращ ения матрицы A с п омощ ью этой п роцедуры. Л итература: [6], С.265-268. За да ние Л А -18. В ычислить всесобственныез начения симметричной матрицы А п о следую щ ей схеме: п ервоначально методом отраж ений п ривести матрицу А к п одобной трехдиагональной матрице, а з атем методом п оследовательностей Ш турма оп ределить все собственные з начения. П оместить в выходной файл исходную матрицу, трехдиагональную ип олученныесобственныез начения. Л итература:[7], С.189-199. За да ние Л А -19. В ычислить собственные з начения матрицы А с п омощ ью QR-алгоритма, исп ольз уя для ускорения сходимости сдвиги, для чего п редварительно п ривестиеес п омощ ью п реобразований п одобия к форме Х ессенберга. П оместить ввыходной файл матрицу А , ее форму Х ессенбергаивычисленныесобственныез начения. Л итература:[7], С.200-208 или[6], с.314-315. За да ние Л А -20. И терационным степ енным методом оп ределить наибольш ее п о модулю собственное з начение и соответствую щ ий ему собственный вектор матрицы А , ε = 5e − 4 . Л итература:[7], С.209-213 или[6], С.309-313 или[2], С.149-157. За да ние Л А -21. Д ля матрицы А размерности3х3 п остроить методом интерп олирования характеристический п олином P ( x) = A0 + A1 ⋅ x + A2 ⋅ x 2 + A3 ⋅ x 3 , оп ределить методом п арабол все его корни, п остроить собственные векторы. И сп ольз уя эту п роцедуру, п олучить собственные з начения и 8

собственные векторы матрицы А . П оместить ввыходной файл элементы матрицы, коэффициенты характеристического п олинома, его корни и точность их вычисления, комп оненты собственных векторов. Л итература:[4], С.146-148, С.162-164. За да ние Л А -22. Д ля матрицы А размерности3х3 п остроить методом интерп олирования характеристический п олином, методом п арабол оп ределить ближ айш еек нулю п олож ительноесобственноез начение(или п оместить ввыходной файл сообщ ение о том, что п олож ительного корня нет), соответствую щ ий ему собственный вектор ип оместить ввыходной файл элементы матрицы А , коэффициенты характеристического п олинома, точность, найденный корень и собственный вектор. С п омощ ью этой п роцедуры п олучить всесобственныез начения матрицы А с точностью ε = 5e − 3 . Л итература:[4], С.146-148, С.162-164. За да ние Л А -23. М етодом Л еверрье для матрицы размерности не более5 п остроить характеристический п олином вида A0 + A1 ⋅ x + A2 ⋅ x 2 + A3 ⋅ x 3 + A4 ⋅ x 4 + A5 ⋅ x 5 и п оместить в выходной файл исходную матрицу, ее размерность и коэффициенты характеристического п олинома. И сп ольз уя эту п роцедуру, составить п рограмму, которая обращ аетматрицу А . Л итература:[1], С.417-419, С.442-444. За да ние Л А -24. Реш ить систему уравнений x = Ax+B методом п ростой итерации. П оместить ввыходной файл все исходные данные, п редп олагаемое число итераций, п олученное п риближ енное реш ение и число вып олненных итераций. В ычисления вести до тех п ор, п ока || x k +1 − x k || 2 ≤ ε . П редп олагаемое число итераций оп ределить, реш ив методом п арабол уравнение

9

x−x

k 2

< A

k 2

x0

2

+

A

k 2

⋅ B

1− A

2

.

2

И сп ольз уя п роцедуру, п олучить реш ение системы уравнений С x = H, ε = 5e − 4 . Л итература:[2], С.105-108, С.145-146, [6], С.269-271, С.327. За да ние Л А -25.

В ып олнить з адание Л А -11

со

следую щ ими

из менениями: а) матрицаА -лю бая; б) метод наискорейш его градиентного сп уска реализовать для системы A T ⋅ Ax = A T ⋅ B

( A T − матрица, трансп онированная к

А ); в) вычисления вестидо тех п ор, п ока x k +1 − x k ≤ ε ( x k - реш ение, п олученноенак-й итерации). За да ние Л А -26. В ып олнить з адание Л А -20, исп ольз уя для п остроения характеристического п олиномаметод Л еверрьевместо метода интерп олирования. Л итература:[1], С.417-419. За да ние Л А -27. из менениями:

В ып олнить з адание Л А -21

со

следую щ ими

а) вместо метода интерп олирования для п остроения характеристического п олиномаисп ольз овать метод Л еверрье; б) вместо ближ айш его к нулю п олож ительного собственного з начения оп ределять ближ айш ее к нулю отрицательное собственноез начение. Л итература:[1], С.417-419.

10

За да ние Л А -28. В ып олнить з адание Л А -21, исп ольз уя для п остроения характеристического п олиномаметод Л еверрьевместо метода интерп олирования. Л итература:[1], С.417-419. За да ние Л А -29. В ып олнить з адание Л А -21,оп ределяя ближ айш ее к нулю отрицательное собственное з начение вместо ближ айш его к нулю п олож ительного собственного з начения. За да ние Л А -30. О п ределить итерационным степ енным методом наибольш ее п о модулю собственное з начение (п редварительно п роверив воз мож ность п рименения для данной матрицы этого метода) и соответствую щ ий ему собственный вектор матрицы А . П оместить в выходной файл матрицу А , собственноез начениеисоответствую щ ий ему собственный вектор. И сп ольз уя эту п роцедуру, вычислить с точностью ε = 5e − 4 наибольш ееп о модулю собственноез начениематрицы А . Л итература:[2], С.149-157. За да ние Л А -31. В ып олнить з адание Л А -29, оп ределяя второе п о величине модуля собственное з начение вместо наибольш его п о модулю собственного з начения. За да ние Л А -31. В ып олнить з адание Л А -29, исп ольз уя для оп ределения собственного з начения быстро сходящ ийся итерационный степ енной метод для симметричных матриц вместо итерационного степ енного метода. Л итература:[2], С.149-157, С.166-169.

11

III.

П Р А КТИ Ч Е С КИ Е З А Д А Н И Я П О Ч И С Л Е Н Н Ы М М Е ТО Д А М Р ЕШ ЕН И Я О Б Ы КН О ВЕ Н Н Ы Х Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л ЬН Ы Х УР А ВН Е Н И Й Н иж едля реш ения дифференциального уравнения y ' ( x ) = f ( x , y ( x )) ,

(1)

удовлетворяю щ его начальному условию y( x0 ) = y 0 ,

рассматриваю тся

(2) явные методы

тип а Рунге-К утта, вычисляю щ ие

п риближ енноереш ение y1 вуз ле x 0 + h ввиде y1 = y 0 + p q1 ⋅ k1 ( h) + p q 2 ⋅ k 2 ( h) + ... + p qq ⋅ k q (h),

(3)

где k1 ( h) = hf ( x0 , y0 ); k2 (h) = hf ( x0 + α 2 h, y0 + β 21 ⋅ k1 ( h)); ... kq ( h) = hf ( x0 + α q h, y0 + β q1 ⋅ k1( h) + ... + β q, q −1 ⋅ kq −1 ( h)). Е слилокальная п огреш ность (п огреш ность методанаш аге) q

ϕq(h) = y(x0 + h) − y0 − ∑pqiki (h) i=1

п риразлож ениип о степ еням h з ап исывается, как ϕ q (h) = h s +1ϕ q( s +1) (0) ( s + 1)! + o(h s +1 ) ,

(4)

то говорят, что формула(3) имеет п орядок точностиs. Е слиq=1,2,3,4, то всегда мож но выбрать коэффициенты α i , β ij , p qi так, чтобы п олучить метод тип а Рунге-К утта п орядка точности q. П ри q=5 невоз мож но п остроить метод тип аРунге-К уттап ятого п орядкаточности, необходимо брать вформуле(3) болееп ятичленов. 12

1. П ракт ическая оцен ка локальн ой погреш н ост и одн ош аговы х м ет одовреш ен ия обы кн овен н ы х дифферен циальн ы х уравн ен ий О цен ка погреш н ост и по правилу Р ун ге О боз начим через y1 реш ение, п олученное п о п равилу (3) вточке

x1 = x0 + h. . Главный член локальной п огреш ности обоз начим через ψ ( x0 , y 0 ) ⋅ h s +1 , п одчеркнувтем самым, что реш ениеп олучено из точкиx0 : y ( x0 + h) − y1 = ψ ( x0 , y 0 ) ⋅ h s +1 .

(5)

О боз начим через yˆ реш ение, п олученное п о п равилу (3) в точке x0 + h

2

, главный член п огреш ностикоторого равен

y ( x 0 + h ) − yˆ = ψ ( x 0 , y 0 ) ⋅ ( h ) s +1 . 2 2

(6)

( И з точки x 0 + h вычислим п риближ ение y1 к реш ению вточке x 0 + h с 2 п огреш ностью ( yˆ ( x0 + h) − y1 = ψ ( x0 + h , yˆ ) ⋅ ( h ) s +1 , 2 2

(7)

где yˆ ( x) - точноереш ениеуравнения (1), удовлетворяю щ ееусловию yˆ ( x + h ) = yˆ . 2 Е сли в качестве п риближ ения к реш ению

( в точке x п ринять y1 , то

п огреш ность методанадвух п оследовательных ш агах h 2 равна ( ( y ( x0 + h) − y1 = ( y1 − y1 ) ( 2 s − 1) .

(8)

( В ычисленное п риближ енное з начение y1 мож но уточнить, п рибавив к нему величину главного членап огреш ности, то есть п олож ив

13

( ( y ( x1 ) ≅ y1 = y1 + ( y1 − y1 ) (2 s − 1) .

(9)

Т огда y ( x1 ) − y1 = O(h s + 2 ).

(10)

В данном сп особе оценки п огреш ности формулаРунге-К утта(3) п рименяется три разаи требуется 3q-1 вычислений п равой части f(x,y) дифференциального уравнения (1). П оэтому п ри слож ных и трудоемких для вычисления п равых частях этот сп особ влечет больш ие вычислительныез атраты. О цен ка погреш н ост и н а осн ове ком бин ации форм ул раз личн ы х порядковт очн ост и. К омбинация нез ависимых формул. Д анный сп особ основан на комбинациидвух формул вида(3) разных п орядковточностиp иs: r

y1p = y 0 + ∑ pi k i ,

(11)

i =1

где i −1

k1 = hf ( x 0 , y 0 ) ; k i = hf ( x 0 + α i h, y 0 + ∑ β ij k j ) j =1

и y1s

~ r

~ = y0 + ∑ ~ pi k i ,

(12)

i =1

где i −1 ~ ~ ~ ~ k1 = hf ( x 0 , y 0 ) ; k i = hf ( x 0 + α i h, y 0 + ∑ β ij k j ) . j =1

П усть p > s, r ≥ ~ r . Т огда оценка локальной п огреш ностиρ s формулы (12) имеетвид

14

ρ s = y1p − y1s + O( h p +1 ) или, оставляя только члены главного п орядка, ρ s ≅ y1p − y1s .

(13)

П олученная оценкап огреш ности(13) требует r + ~ r − 1 вычислений п равой частиуравнения (1). К омбинация сп ециально п одобранных формул. Е сликоэффициенты вформулах (11) и(12) таковы, что ~ α i = α~i , β ij = β ij ,

i = 1,2,..., ~ r,

(14)

~ то k i = k i , i = 1,2,..., ~ r , и для локальной п огреш ности (13) п олучается выраж ениевида r

ρ s ≅ y1p − y1s = ∑ qi k i ,

(15)

i =1

где qi = pi − ~ pi , i = 1,2,..., ~ r,

qi = pi , i = ~ r + 1,..., r

В еличина r

E = ∑ qi k i

(16)

i =1

называется контрольным членом. И сп ольз ование контрольных членовдля комбинаций сп ециально п одобранных формул п оз воляет уменьш ить п о сравнению с п равилом Рунге (9) и оценкой (13) количество вычислений п равой части уравнения (1). Н иж е п риведено несколько п римеров сп ециально п одобранных формул, то есть формул, удовлетворяю щ их условиям (14). П ример1.Д ля формул 1 y1 = y 0 + (k1 + 4k 2 + k 3 ) ; 6

(17)

15

y1 = y 0 + k 2 1

(18)

контрольный член з ап исывается ввиде E=

1 (k − 2k 2 + k 3 ) 6 1

(19)

k h и имеет п орядок O(h 3 ) , где k1 = hf ( x 0 , y 0 ) ; k2 = hf ( x0 + , y0 + 1 ) ; 2 2 k 3 = hf ( x0 + h, y 0 − k1 + 2k 2 ). П ример2.Д ля классического методаРунге-К утта 1 y1 = y 0 + (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) 6

(20)

иметодавторого п орядка 1 y1 = y 0 + (−k1 + 2k 2 + 2k 3 − k 4 ) 2

(21)

контрольный член з ап исывается ввиде E=

2 (k − k 2 − k 3 + k 4 ) 3 1

(22)

имеетп орядок O(h 3 ) иназывается контрольным членом Е горова, где k h k1 = hf ( x0 , y 0 ); k 2 = hf ( x0 + , y 0 + 1 ); 2 2 k h k 3 = hf ( x0 + , y 0 + 2 ); k 4 = hf ( x0 + h, y 0 + k 3 ). 2 2 П ример3. Д ля классического методаРунге-К утта 1 y1 = y 0 + (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) 6 иметодаy1 = y 0 + k 2 контрольный член з ап исывается ввиде 16

1 E = (k1 − 4k 2 + 2k3 + k 4 ) 6

(23)

иимеетп орядок O(h 3 ) . П ример4.Д ля методаМ ерсона 1 y1 = y 0 + (k1 + 4k 4 + k 5 ); 6

(24)

k h k1 = hf ( x0 , y 0 ); k 2 = hf ( x0 + , y 0 + 1 ); 3 3 k k k h h 3 k 3 = hf ( x0 + , y 0 + 1 + 2 ); k 4 = hf ( x0 + , y 0 + 1 + k 2 ); 3 6 6 2 8 8 1 3 k 5 = hf ( x0 + h, y 0 + k 2 − k 3 + 2k 4 ). 2 2

(25)

иформулы третьего п орядка y1 = y 0 +

1 ( k + 3k 3 + 4k 4 + 2k 5 ) 10 1

контрольный член з ап исывается ввиде E=

1 (2k − 9k 3 + 8k 4 − k 5 ) 30 1

(26)

иимеетп орядок O(h 3 ) . И н т егрирован ие с перем ен н ы м ш агом . А вт ом ат ический вы бор ш ага ин т егрирован ия П рименение

п еременного

ш ага интегрирования

п оз воляет

учитывать характер п оведения реш ения иуменьш ить общ еечисло ш агов, сохранивп риэтом требуемую точность п риближ енного реш ения. А лгоритм выборас п омощ ью удвоения иделения ш агап оп олам П усть ρ n +1 - локальная п огреш ность метода в точкеx n + h , п олученная п ривычисленииy nh+1 из точкиx n с ш агом h . Е сли 17

ρn+1 >ε , гдеε - некоторая нап еред з аданная границаточности, то ш аг считается неп риемлемым. В ыбирается новоез начениеш ага h (1) = h

(27)

2 (1)

ивычисляется новоез начениереш ения y nh+1 из точки x n с ш агом h (1) . Е сли оценка п огреш ности оп ять п ревосходит з аданную есть, ρ (1) n+1 > ε , то ш агсноваделится п оп олам h ( 2) = h

границуε ,

то

(1)

ивычисления 2 п овторяю тся. Т ак п роисходит до тех п ор, п окап ри какой-то величине ш ага(обоз начим ее через hn ) оценкалокальной п огреш ности не станет меньш е ε : ρ n +1 ≤ ε .

П осле этого считается, что реш ение дифференциального уравнения п родолж ено до точки x n +1 = x n + hn .

Д альнейш ее интегрирование

уравнения п роиз водится из точки x n +1 с ш агом h , который выбирается оп исанным ниж есп особом. Е сли на ш аге

hn = x n+1 − x n

п огреш ность

удовлетворяет

неравенству ρ n +1 < ε

K

,

где К - некоторая константа, то считается, что достигнута точность, п ревыш аю щ ая з аданную , иш агинтегрирования удваивается: hn +1 = 2hn .

(28)

Е сливып олняется неравенство ε

K

≤ ρ n+1 ≤ ε , 18

то п олученноевточке x n +1 реш ениесчитается удовлетворительным иш аг интегрирования остается без из менения: hn +1 = hn К онстанта К обычно п олагается равной2 v , где v – п орядок исп ольз уемой оценки локальной п огреш ности метода. Д ля некоторых формул Рунге-К уттаз начения константы К п риведены втаблице. Ф орм Ф ормула Ф ормуладля К онстанта локальной для ула удвоения Рунге- уточнения п огреш ности К К утта реш ения

Сп особ оценки локальной п огреш ности

(18)

(17)

(19)

8

К онтрольный член

(22)

(20)

(22)

8

К онтрольный член Е горова

(18)

(20)

(23)

8

К онтрольный член

(25)

(24)

(26)

16

К онтрольный член М ерсона

(3)

(3)

(8)

2 s +1

П равило Рунге

В ыбор максимальной для з аданной точностидлины ш ага П реимущ ество оп исанного ниж е алгоритмаз аклю чается вбольш ей гибкостип о сравнению с оп исанным вп редыдущ ем п унктесп особом. Е сли оценка ρ n +1 п огреш ности на данном ш аге h п ревосходит з аданную границу ε : ρ n +1 > ε ,

19

то считается, что точность не достигнутаивыбирается новый ш аг, но не п оследовательным делением п оп олам, ас п омощ ью соотнош ения hε = α h ,

(29)

гдеα находится из условия вып олнения равенства ψ ( x n , y n )hεs +1 = ε , α = s +1

то есть ε ρ n +1

.

(30)

Здесь α < 1 иновоез начениеш ага hε = s +1

ε ρ n +1

⋅h

(31)

меньш е п редыдущ его. Д алее из точки x n вып олняется один ш аг hε и hε

вычисляется п риближ ённое реш ение y n +1 п о формулам (3). Е сли п огреш ность ρ n +1 неп ревосходитз аданную границу: ρ n +1 ≤ ε ,

то считается, что п олученноеп риближ ение y n +1 удовлетворяеттребуемой точности и з начение x n + h п ринимается вкачестве следую щ его уз ла x n +1 . Д альнейш ее интегрирование уравнения осущ ествляется из точки x n +1 с ш агом hε , оп ределяемым из (31). Т еп ерь α ≥ 1 иhε ≥ h .

За да ния Д У -1 - Д У -18. Разработать и реализовать нап ерсональном комп ью тере п роцедуру реш ения дифференциального уравнения (1) с начальным условием (2), вкоторой всоответствии с номером В аш его вариантаисп ольз уется метод Рунге-К утта, указанный втаблице, атакж е указанные сп особ оценки локальной п огреш ности и алгоритм выбора ш ага.

20

№ Ф ормула Ф ормула Ф ормула Сп особ оценки вариРунгедля для локальной анта К утта уточнения локальной п огреш ности реш ения п огреш ности

А лгоритм выбора ш ага

1

(18)

(17)

(19)

К онтрольный член

А лгоритм удвоения

2

(21)

(20)

(22)

-//-

-//-

3

(18)

(20)

(23)

-//-

-//-

4

(25)

(24)

(26)

-//-

-//-

5

(17)

(17)

(8)

П равило Рунге -//-

6

(20)

(20)

(8)

-//-

-//-

7

(21)

(21)

(8)

-//-

-//-

8

(24)

(24)

(8)

-//-

-//-

9

(25)

(25)

(8)

-//-

-//-

10

(18)

(17)

(19)

К онтрольный член

А лгоритм максимального ш ага

11

(21)

(20)

(22)

-//-

-//-

12

(18)

(20)

(23)

-//-

-//-

13

(25)

(24)

(26)

-//-

-//-

14

(17)

(17)

(8)

П равило Рунге

-//-

15

(20)

(20)

(8)

-//-

-//-

16

(21)

(21)

(8)

-//-

-//-

17

(24)

(24)

(8)

-//-

-//-

18

(25)

(25)

(8)

-//-

-//-

21

За да ния Д У -19 - Д У -27. Разработать иреализ овать нап ерсональном комп ью тереп роцедуру реш ения краевой з адачи  y ′ = f 1 ( x, y, z ); y (0) = y 0 ;   z ′ = f 2 ( x, y, z ); z (1) = z 0

методом стрельбы и п ечатаю щ ую таблицу реш ений, ш аг, границы отрез ка. П ри реш ении з адачи К ош и и нелинейных уравнений исп ольз овать методы, указанные в таблице. И сп ольз уя эту п роцедуру, найтиреш ениекраевой з адачи  y ′ = x / z; y (0) = 1;   z ′ = − x / y; z (1) = 1 / 2 с ш агом h=0.05 наотрез ке[0;1]. № з адания

М етод реш ения з адачиК ош и

М етод реш ения нелинейного уравнения

19

Э йлера

Д ихотомия

20

П редиктор-корректор

-//-

21

Рунге-К утта4-го п орядка

-//-

22

Э йлера

Н ью тона

23

П редиктор-корректор

-//-

24

Рунге-К утта4-го п орядка

-//-

25

Э йлера

Секущ их

26

П редиктор-корректор

-//-

27

Рунге-К утта4-го п орядка

-//-

22

Л итература: [4], з адания 19, 22, 25 С.243-244, С.262-266, з адания 20, 23, 28 С.246-247, С.262-266, з адания 21, 24, 29 С.248-249 С.262-266. За да ние Д У -28. Составить п рограмму, содерж ащ ую п роцедуру EIL , которая оп ределяет методом Э йлера реш ение уп омянутого уравнения неявным (обратным) методом Э йлераитакж е п ечатаеттаблицу реш ения, ш агиграницы отрез ка. С п омощ ью этой п рограммы п олучить реш ения з адачиК ош и 5  ′ ε y ( x) + (1 + x) y ( x) = (1 + x);  2  y (0) = 1 с ш агом h=1/16, п риε =0.03 наотрез ке[0;1] двумя методами. П олученные рез ультаты сравнить меж ду собой и с аналитическим реш ением. О бъяснить. Л итература: [4], C.243-244, [7], С.63-65. За да ние Д У -29. В ып олнить п редыдущ ее з адание, исп ольз уя вместо обратного методаЭ йлерап равило трап еции (метод А дамса-М оултона). П олучить реш ениез адачиК ош и ε y ′( x) + y = g ( x) + εg ′( x); y (0) = 10; g ( x) = 10 − (10 + x)e − x

с ш агом h=1/16 п риε =0.01 наотрез ке[0;1] двумя методами. П олученные рез ультаты сравнить меж ду собой и аналитическим реш ением. О бъяснить. Л итература: [7], C.63-65, [4], C.243-244. Задание Д У -30. Разработать и реализ овать п роцедуру реш ения системы уравнений вида

23

 y ′ = f 1 ( x, y, z ); y ( a) = y 0;   z ′ = f 2 ( x, y, z ); z ( a) = z 0 методом Э йлера с з аданным ш агом. П рименить эту п роцедуру к уравнению y ′′ + 101 y ′ + 100 y = 0;

y (0) = 2;

y ′(0) = −2

на отрез ке [0;1] и оп ределить эксп ериментально, насколько малым долж ен быть ш аг h, чтобы счёт был устойчивым. Н ап ечатать таблицу реш ения, ш аг и границы отрез ка. Ч исленные рез ультаты сравнить с аналитическим реш ением. Л итература: [7], С.33, С.58-64. В следую щ их з аданиях требуется раз работ ат ь и реализ оват ь н а персон альн ом ком пью т ере процедуру реш ен ия указ ан н ы х з адач. За да ние Д У 1-1. Н айти реш ение дифференциального уравнения y ′ = f ( x, y ) с начальным условием y ( a ) = y 0 методом п оследовательных

п риближ ений. Н ап ечатать таблицу реш ения, ш агинтегрирования ичисло итераций. Зап исать неявную схему для уравнения y ′ = sin x + cos y;

y (0) = 0;

x ∈ [0;0.8]

иреш ить её, исп ольз уя п роцедуру п риh=0.05, n=2 иn=3. Л итература: [4], С.252. За да ние Д У 1-2. М етодом конечных разностей реш ить краевую з адачу y ( 4) = y ( 2) + 2 sin x;

y (0) = 1; y ′(0) = 2; y (π ) = e π ; y ′(π ) = e π − 1 .

П редварительно методом неоп ределённых коэффициентов п олучить конечно-разностное п редставление для y ( 4) . П ри реш ении системы уравнений восп ольз оваться методом Гаусса. Л итература: [5], С.471-476. 24

За да ние Д У 1-3. О п ределить п ервым улучш енным методом Э йлерас двойным п ересчётом реш ениесистемы уравнений  y ′ = f 1 ( x, y, z ); y ( a) = y 0;   z ′ = f 2 ( x, y, z ); z ( a) = z 0 с з аданной точностью . Н ап ечатать таблицу реш ения, точность играницы отрез ка. С п омощ ью этой п одп рограммы найти реш ение системы уравнений  y ′ = ( z − y ) x; y (0) = 1 ;   z ′ = ( z + y ) x; z (0) = 1 наотрез ке[0;1] с точностью ε = 10 −4 Л итература: [6], С.197-200, С.202-204. За да ние Д У 1-4. О п ределить вторым улучш енным методом Э йлерас двойным п ересчётом реш ениесистемы уравнений  y ′ = f 1 ( x, y, z ); y ( x 0 ) = y 0;   z ′ = f 2 ( x, y, z ); z ( x 0 ) = z 0 с з аданной точностью инап ечатать таблицу реш ения, точность играницы отрез ка. С п омощ ью этой п одп рограммы найтиреш ениесистемы  y ′ = − xz; y (0.2) = −0.0392;   z ′ = y / x; z (0.2) = 0.4802 наотрез ке[0.2;1] с точностью ε = 0.5 ⋅ 10 −4 . Л итература: [6], С.197-200, С.202-204. За да ние Д У 1-5. Реш ить методом конечных разностей краевую з адачу y ( 4) = y ( 2) + 2 sin x;

y (0) = 2; y ′(0) = 2; y (π ) = e π + 1 + π ; y ′(π ) = e π ,

25

п редварительно п олучив конечно-разностное п редставление для y ( 4) методом неоп ределённых коэффициентов. Л итература: [6], С.471-476. За да ние Д У 1-6. О п ределить методом Э йлера реш ение системы уравнений вида  y ′ = f 1 ( x, y, z ); y ( a) = y 0;   z ′ = f 2 ( x, y, z ); z ( a) = z 0 с з аданным ш агом инап ечатать таблицу реш ения, ш агиграницы отрез ка. С п омощ ью этой п одп рограммы найтиреш ениеуравнения 4 xy ′′ + 2 y ′ + y = 0;

y (0) = 1;

y ′(0) = −0.5

с ш агом h=0.05 наотрез ке [0;0.6]. Значение y ( x1 ) вычислить, исп ольз уя метод неоп ределённых коэффициентов. Л итература: [4], С.257(второй сп особ), [6], С.188-191. За да ние Д У 1-7. М етодом конечных разностей реш ить краевую з адачу y ( 4) = y ′ − cos x + sin x;

y (0) = 1;

y ′(0) = 2;

y (π ) = e π ;

y ′(π ) = e π − 1 ,

п редварительно п олучив конечно-разностное п редставление для y ( 4) методом неоп ределённых коэффициентов. Л итература: [5], С.471-476. За да ние Д У 1-8. М етодом конечных разностей реш ить краевую з адачу y ( 4) = y ′′ + 2 cos x;

y (0) = 3;

y ′(0) = 2;

y (π ) = π + e π ;

y ′(π ) = e π + 1 ,

п редварительно п олучив конечно-разностное п редставление для y ( 4) методом неоп ределённых коэффициентов. Л итература: [5], С.471-476.

26

За да ние Д У 1-9. М етодом конечных разностей реш ить краевую з адачу y ( 4) = y ′′ + 2 cos x;

y (0) = 2;

y ′(0) = 1;

y (π ) = e π − 1;

y ′(π ) = e π

п редварительно п олучив конечно-разностное п редставление для y ( 4) методом неоп ределённых коэффициентов. Л итература: [5], С.471-476. За да ние Д У 1-10. О п ределить нелинейной краевой з адачи y ′′ = f ( x, y );

разностным

y (a) = y a ;

методом

реш ение

y (b) = y b

нап ечатать таблицу реш ения, ш аг, точность играницы отрез ка. И сп ольз уя эту п роцедуру, найтиреш ениекраевой з адачи y ′′ = 2 + y 2 ;

y (0) = 0;

y (1) = 0

с ш агом h=0.05. В ычисления вестидо тех п ор, п окасоседниеитерациине будутотличаться друготдругана0.5 ⋅ 10 −3 . Л итература:[4], С.133-134, С.271-273. За да ние Д У 1-11. Н ап ечатать таблицу реш ений системы уравнений  y ′ = f 1 ( x, y, z ); y (0) = y 0 ;   z ′ = f 2 ( x, y, z ); z (0) = z 0 ,

точность играницы отрез ка. Реш ение системы ищ ется методом Э йлерас двойным п ересчётом с точностью 10 −4 . И сп ольз уя эту п роцедуру, найти реш ениесистемы уравнений  y ′ = ( z − y ) x; y (0) = 1;   z ′ = ( z + y ) x; z (0) = 1

наотрез ке[0;1] с точностью ε = 10 −4 .

27

Л итература: [9], С.197-200. За да ние Д У 1-12. Н айтиреш ениелинейной краевой з адачи  y ′ = f 1 ( x, y, z ) + k1 ( x); p1 y ( a) + q1 (a ) = r1;   z ′ = f 2 ( x, y, z ) + k 2 ( x); p 2 y (b) + q 2 (b) = r2 методом стрельбы с интегрированием з адачи К ош и только 2 раза (оп ределение общ его реш ения однородной системы ичастного реш ения неоднородной системы). Н ап ечатать таблицу реш ения, ш аг и границы отрез ка. И сп ольз уя эту п роцедуру, найтиреш ениекраевой з адачи  y ′ = z = 1; y (2) + 2 z (2) = −1;   y ; y (2,3) = 2,13  z ′ = 1 − xy + 2x  с ш агом h=0.025. Л итература: [4], С.264-265. За да ние Д У 1-13. Свестикраевую з адачу y ′′ + p ( x) y ′ + q ( x ) y = f ( x);

y (a ) = y1 ;

y ′(a ) = y 2

редукцией к двум з адачам К ош и, которыереш аю тся п ервым улучш енным методом Э йлера, нап ечатать таблицу реш ения, ш аг и границы отрез ка. И сп ольз уя эту п роцедуру, найтиреш ениекраевой з адачи 0.5 y = 1; x y (2) + 2 y ′(2) = 1; y (2.3) = 2.15 y ′′ + xy ′ −

с ш агом h=0.025. Л итература: [9], С.202-204; [10], С.217. За да ние Д У 1-14. О п ределить методом Э йлерареш ениеуравнения

28

y ′ = f ( x, y );

y (0) = y 0 с з аданным ш агом инап ечатать таблицу реш ения.

И сп ольз уя эту п роцедуру, найтиреш ениеуравнения  y ′ = (1 / x) 2 / 3 + (1 − x) y 3 ;   y (0) = 0 наотрез ке [0;0.6] с ш агом h= 0.05 . Значение y ( x1 ) вычислить, исп ольз уя третий сп особ. Л итература: [4], С.257-258. За да ние Д У 1-15. О п ределить методом п рогонкиреш ение линейного уравнения y ′′ + p ( x) y ′ + q ( x) y = f ( x); a1 y (a ) + a 2 y ′(a ) = y a ; b1 y (b) + b2 y ′(b) = y b

с исп ольз ованием трехчленных формул для п роиз водных в концевых точках и центральных формул для п роиз водных во внутренних точках, п роверить условие устойчивости и нап ечатать таблицу реш ения. С п омощ ью этой п одп рограммы нап ечатать таблицу реш ения уравнения  y ′′ + (1 / x) y ′ + 2 y = x;   y (0.2) = 0.5; 2 y (1) + 3 y ′(1) = 1.2  с ш агом 0.25 Л итература: [10], С.224. За да ние Д У 1-16. О п ределить методом Э йлера реш ение уравнения y ′ = f ( x, y );

y (0) = y 0 с з аданным ш агом инап ечатать таблицу реш ения.

И сп ольз уя эту п роцедуру, найтиреш ениеуравнения  y ′ = (1 / x)1 / 3 + y sin x;   y ( 0) = 0

29

наотрез ке [0;0.6] с ш агом h=0.05. з начение y ( x1 ) вычислить, исп ольз уя третий сп особ. Л итература: [4], С.257-258. За да ние Д У 1-17. О п ределить методом п рогонкиреш ение линейного уравнения y ′′ + p( x) y ′ + q( x) y = f ( x);

y (a) = y a ;

y (b) = y b

инап ечатать таблицу реш ения. М етодом малого п араметранайтип ервые двачленаразлож ения реш ения уравнения y ′′ + x 2 y ′ + (1 − x) y = x /( x 2 + 3) + y 4 .

П олучаю щ иеся краевые з адачиреш ить с ш агом h=0.1 с исп ольз ованием указанной выш еп одп рограммы. Л итература: [4], С.242, [10], С.224. За да ние Д У 1-18. О п ределить методом Э йлера реш ение системы уравнений  y ′ = f 1 ( x, y, z ); y ( x 0 ) = y 0;   z ′ = f 2 ( x, y, z ); z ( x 0 ) = z 0 с з аданным ш агом и нап ечатать таблицу реш ения. И сп ольз уя эту п роцедуру, найтиреш ениеуравнения  xy ′′ + 2 y ′ + xy = 0;   y (0) = 1;  y ′(0) = 0,  наотрез ке [0;0.6] с ш агом h=0.05. Значение y ( x1 ) вычислить, исп ольз уя метод неоп ределённых коэффициентов. Л итература: [4], С.257 (второй сп особ); [9], С.188-192.

30

За да ние Д У 1-19. О п ределить методом ортогональной п рогонки реш ениекраевой з адачи y ′′ + p ( x) y ′ + q ( x) y = f ( x);

y (a) = y a ;

y (b) = y b

инап ечатать таблицу реш ения. И сп ольз уя эту п роцедуру, найтиреш ение уравнения y ′′ + (1 + x) y ′ − 0.5 y /(1 + x) = 1;

y ( 2) = 2.249;

y (2.3) = 2.15

с ш агом h=0.05. Л итература: [2], С.114-117. За да ние Д У 1-20. О п ределить методом Э йлера с п оследую щ ей итерационной обработкой реш ениесистемы уравнений  y ′ = f1 ( x, y, z ); y (0) = y 0;   z ′ = f 2 ( x, y, z ); z (0) = z 0 с з аданной точностью и нап ечатать таблицу реш ения. И сп ольз уя эту п роцедуру, найтиреш ениесистемы уравнений  y ′ = ( z − y ) x; y (0) = 1;   z ′ = ( z + y ) x; z (0) = 1 наотрез ке[0;1], выбравε = 0.5 ⋅ 10 −4 иh=0.05. Л итература: [9], С.205-206. Л И Т Е РА Т У РА 1. Д емидович Б.П ., М арон И .А . О сновы вычислительной математики.М .: Н аука, 1970. - 664 с. 2. К рылов В .И ., Бобков В .В ., М онастырный П .И . В ычислительные методы.- М .: Н аука, 1976.- Т .1.- 302 с.

31

3. К рылов В .И ., Бобков В .В ., М онастырный П .И . В ычислительные методы.- М .: Н аука, 1977.- Т .2.- 400 с. 4. К алиткин Н .Н . Ч исленныеметоды.- М .: Н аука, 1978.- 512 с. 5. БахваловН .С. Ч исленныеметоды.- М .: Н аука, 1973.- 632 с. 6. БахваловН .С., Ж идковН .П ., К обельковГ.М . Ч исленные методы.- М .: Н аука, 1987.- 598 с. 7. О ртега Д ж ., П ул У . В ведение в численные методы реш ения дифференциальных уравнений.- М .: Н аука, 1986.-288 с. 8. Самарский А .А . В ведение вчисленные методы.- М .: Н аука, 1982.-272 с. 9. К оп чёноваИ .В ., М арон И .А . В ычислительная математикавп римерах из адачах.- М .: Н аука, 1972.- 368 с. 10.Д емидович Б.П ., М арон И .А ., Ш увалова Э .З. Ч исленные методы анализ а.- М .: Н аука, 1967.- 368 с. Составители: К орз унина В ера В асильевна, Л азарев К онстантин П етрович, Ш абунина Зоя А лександровна, Ш аш кин А лександр И ванович, Э ксаревская М аринаЕ вгеньевна. Редактор: Т ихомироваО .А .

32