Методическое пособие к лабораторным работам по СВЧ оптике

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

"Студент, пользующийся самодельной, неточно работающей установкой, часто научается большему, нежели теми, которым он может доверять, но которые он не смеет разбирать на части". Дж. К. Максвелл. Л.Н. Смирных

Методическое пособие к лабораторным работам по СВЧ оптике. Методическое пособие к лабораторным работам по СВЧ оптике. ...................................1 Глава1. Генерация и распространение волн в волноводах и свободном пространстве .2 1. 1. Генераторы СВЧ волн ...............................................................................................2 1. 1. 1. Отражательный клистрон ..................................................................................2 1. 1. 2. Генераторы на диодах Ганна.............................................................................4 1. 1. 2. 1. Эффект Ганна ..............................................................................................4 1. 1. 2. 2. Генераторы на диодах Ганна......................................................................5 1. 1. 2. 3. Конструктивные особенности диодов Ганна ...........................................5 1. 2. Линии передачи и элементы волноводных трактов ...............................................6 1. 2. 1. Типы волн в волноводах. ...................................................................................6 1. 2. 2. Н-волны в прямоугольном волноводе. .............................................................6 1. 3. Регулирующие и измерительные элементы волноводных трактов ......................9 1. 3. 1. Аттенюаторы.......................................................................................................9 1. 3. 2. Ферритовый вентиль ..........................................................................................9 1. 3. 3. Измерительная линия.......................................................................................11 1. 3. 3. 1. Волновое сопротивление..........................................................................11 1. 3. 3. 2. Коэффициент стоячей волны ...................................................................11 1. 3. 3. 3. Устройство волноводной измерительной линии ...................................12 1. 3. 3. 4. Измерение параметров нагрузки с помощью линии .............................13 1. 3. 4. Частотомер ........................................................................................................14 1. 3. 5. Согласованная нагрузка...................................................................................14 1. 4. Антенны и индикаторы СВЧ поля .........................................................................15 1. 4. 1. Параметры антенн ............................................................................................15 1. 4. 1. 1. Диаграмма направленности .....................................................................15 1. 4. 1. 2. Коэффициент направленного действия антенны ...................................16 1. 4. 1. 3. Коэффициент усиления антенны .............................................................16 1. 4. 1. 4. Принцип взаимности антенн....................................................................17 1. 4. 2. Рупорные антенны............................................................................................17 1. 4. 2. 1. Излучение из открытого конца волновода .............................................17 1. 4. 2. 2. Рупорные антенны ....................................................................................17 1. 4. 3. Детекторные индикаторы поля .......................................................................19 1. 4. 4. 1. Конструкция СВЧ диодов ........................................................................19 1. 4. 4. 2. Эквивалентная схема и параметры СВЧ детекторов.............................19 1. 4. 4. 3. Детекторный индикатор СВЧ поля .........................................................19 1. 5. Список литературы ..................................................................................................21

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

1

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

Глава1. Генерация и распространение волн в волноводах и свободном пространстве К диапазону СВЧ относятся электромагнитные излучения с частотами (длинами волн) от 30 МГц до 1000 -1500 ГГц. Условно они подразделяются на следующие поддиапазоны: метровые волны 30 - 300 МГц (10 - 1 м), дециметровые – 300 - 3000 МГц (1 м - 10 см), сантиметровые 3000 - 30000 МГц или 3 – 30 ГГц (10 - 1 см), миллиметровые 30 – 300 ГГц (1 см - 1 мм) и субмиллиметровые вплоть до инфракрасного излучения. 1. 1. Генераторы СВЧ волн

Для генерации СВЧ колебаний в настоящее время используются разнообразные вакуумные и полупроводниковые электронные приборы, действие которых основано на различных физических принципах. В качестве таких приборов в практикуме используются отражательные клистроны, лампы бегущей и обратной волны (ЛБВ и ЛОВ), диоды Ганна. 1. 1. 1. Отражательный клистрон Отражательный клистрон – это электровакуумный прибор, предназначенный для генерации СВЧ колебаний. Для понимания его принципа действия нужно иметь представление об СВЧ резонаторе и способе формирования из сплошного потока электронов так называемых "электронных сгустков", подкачивающих энергию в резонатор в такт с резонансной частотой. В отражательных клистронах обычно используются тороидальные резонаторы. На рис. 1, а изображен подобный тор с прямоугольным поперечным сечением. Электрическая компонента СВЧ поля Е в осn новном сосредоточена между сетС E L С L ками, закрывающими среднюю Н часть тора, а магнитная образует концентрические окружности, заLр =L/n, Cр = C ωр = (1/LC)1/2 полняющие тороидальный объем. б) в) а) Модельное представление об этой Рис. 1. Тороидальный резонатор конфигурации поля можно полуа) разрез резонатора, б) одновитковый контур, в) модель формирования резонатора. чить, если представить себе предельный переход от простого одновиткового колебательного контура к тору (рис. 1, б, в). Тор, разрез которого показан на рис. 1, а, можно представить себе сформированным из вплотную поставленных параллельно включенных витков (рис. 1 в). Конденсаторы таких параллельных одновитковых контуров заменены сеткой в торе. Магнитное поле "пронизывает" витки, а электрическое сосредоточено в области сетки-конденсатора. Таким образом, подобный тор обладает всеми свойствами резонансного контура и называется объемным резонатором. Резонансная частота объемного резонатора будет значительно больше а добротность гораздо выше обычных LC-контуров, поскольку в них уменьшаешься как активное сопротивление "катушки", так и рассеивание электромагнитного поля. На рис. 2. приведена схема включения используемых в практикуме отражательных клистронов типа К19, К27, К54 с тороидальными резонаторами. Принцип генерации заключается в следующем. Электроны, эмитируемые катодом К, ускоряются в направлении к резонатору Р напряжением Uр. Импульс включения напряжения Uр возбуждает в резонаторе цуг затухающих колебаний на собственной резонансной частоте. Электрическое поле резонатора (в пространстве между сетками) в зависимости от фазы колебаний будет дополнительно ускорять или замедлять электроны, влетающие в пространство резонатор – отражатель через сетки резонатора и предварительно ускоренные напряжением резонатора.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

2

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

Поскольку сетки расположены очень близко друг к другу, то за время пролета между ними электроны получают различные скорости в зависимости от фазы СВЧ поля, но не успевают разделиться на пространственные "сгустки". Это они делают в гораздо более длинном пространстве резонатор– П Ф отражатель. Здесь действует постоянное λ/4 отрицательное поле отражателя, тормоО U зящее влетевшие электроны и заставляющее их возвращаться обратно к реВ зонатору. К Р Таким образом, в пространстве резонатор – отражатель непрерывный до U + этого поток электронов "разбивается" на + Uотр группы. Действительно, электроны, пролетавшие резонатор в положительРис. 2. Схема включения отражательного клистрона ную полуволну высокочастотного поля К – катод, О – отражатель, Р – резонатор, П – петля связи, Ф – фидер, В – волновод, Uн, Uр, Uотр – напряжения накала, резонатора, имеют скорость больше, чем резонатора и отражателя соответственно. скорость электронов, пролетавших в отрицательную полуволну. Следовательно, электроны положительной полуволны проникают дальше в область пространства резонатор – отражатель и больше времени "проводят" в этом пространстве. Электроны отрицательной волны возвращаются к резонатору быстрее, но зато они влетели в пространство резонатор – отражатель на половину периода СВЧ волны позднее. В результате этого фазовая дифференциация скоростей пролета электронов через резонатор переходит в пространстве резонатор - отражатель в пространственную группировку плотности потока возвращающихся в резонатор электронов. Группировка возвращающихся электронов происходит вокруг частиц, которые пролетали зазор резонатора при нулевой амплитуде высокочастотного поля. Если выполняется дополнительное условие, что поток электронов повышенной плотности возвращается в область резонатора в тот полупериод СВЧ колебаний, в котором поле сеток резонатора является тормозящим для электронов, летящих от катода, то возвращающийся поток отдает дополнительную энергию резонатору. То есть происходит "подкачка" собственных колебаний резонатора. Энергия колебаний будет нарастать до тех пор, пока потери за счет ухода электронов на электроды клистрона не ограничат процесс нарастания колебаний. После этого клистрон переходит в стационарный режим генерации. Условия модуляции плотности возвращающегося потока электронов в пространстве резонатор-отражатель могут выполняться не только для однопериодного времени пролета, но и для кратных времен. Поэтому для одного и того же значения напряжения резонатора Uр условия генерации могут выполняться для нескольких значений напряжения отражателя Uотр, образуя ряд так называемых зон генерации. Таким образом, зависимость мощности генерации от напряжения на отражателе, меняющемся в достаточно больших пределах, носит импульсный характер. Генерация происходит только в пределах зон генерации вокруг нескольких значениях напряжения отражателя Uотр.n, удовлетворяющих условию пребывания центра сгустка электронов в пространстве резонатор – отражатель в течение времени ¾ Т+ n T, где Т – период СВЧ колебаний. Примерный вид зон генерации клистрона типа К19 приведен на рис. 3 в виде зависимости излучаемой мощности Р и относительной частоты (f - f0)/f0 от напряжения отражателя Uотр. В пределах каждой зоны мощность изменяется по некоторому "колоколообразному" закону. Частота в пределах каждой зоны генерации также изменяется, причем в средней части зоны частота изменяется линейно с напряжением отражателя. Это позволяет при необходимости осуществить частотную модуляцию СВЧ излучения путем модуляции напряжения отражателя небольшим по амплитуде сигналом. Наибольшую мощность клистрон развивает при некотором напряжении (Uотр2. на рис. 3).

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

3

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

Для отвода энергии клистрона в волновод В служит петля связи П с фидером Ф (коаксиальной линией передачи), введенная в резонатор (см. рис. 2). Магнитная компонента СВЧ поля резонатора инР Р, (f - f0)/f0 дуцирует в петле эдс, которая (f - f0)/f0 по фидеру передается в волновод. Второй конец фидера вводится в волновод в виде штыря, расположенного на расстоянии |Uотр| λ/4 от короткозамкнутого конца волновода. То есть в пучность Uотр2 Uотр4 Uотр3 Uотр1 электрического поля волновода. Это позволяет отдать в волновод максимальную мощность. Пределы изменения частоты Рис. 3. Зоны генерации отражательного клистрона. генерации клистронов невелики. Поэтому при необходимости регулировки частоты СВЧ генераторов в широких пределах, в качестве активного генераторного элемента используют ЛБВ и ЛОВ, а не клистроны. 1. 1. 2. Генераторы на диодах Ганна Диод Ганна – полупроводниковый прибор без р – n перехода, в котором для генерации СВЧ колебаний используется эффект Ганна. 1. 1. 2. 1. Эффект Ганна Эффект Ганна заключается в генерации СВЧ колебаний электрического тока в однородных полупроводниках, вольтамперная характеристика которых имеет участок отрицательного дифференциального сопротивления (рис. 4, а). В основе эффекта лежит междолинный перенос электронов в полупроводниках, зона проводимости которых состоит из одной нижней и одной (или нескольких) верхних долин (полос разрешенных энергий). Подвижность электронов в верхних долинах заметно меньше, чем в нижней. Если в таком полупроОмические Е, n 7 воднике создать достаконтакты v, 10 см/с Е точно сильное электрикатод I ческое поле (Е > Екр, см. v анод рис. 4, а), то электроны II домен в нем разогреваются, и  анод + n часть их переходит в катод Екр верхние долины. При ω Е, кВ/см 5 1 этом уменьшается п/пров. б) в) а) средняя подвижность и Рис. 4. Диод Ганна соответственно скоа) Скорость дрейфа электронов v. б) Структура диода Ганна. рость дрейфа электров) Структура поля и концентрации электронов в диоде Ганна нов v. Поэтому с дальнейшим ростом поля электропроводность полупроводника и плотность тока в нем уменьшается. Появляется участок характеристики II с отрицательным дифференциальным сопротивлением. Структурно диод Ганна представляет собой тонкий диск высокоомного полупроводника соединенного с обеих сторон омическими контактами с электродами "катод" и "анод" (см. рис. 4, б). При подаче на электроды постоянного напряжения такой величины, которая обеспечивает напряженность поля в полупроводнике больше критической Екр, вблизи катода формируется неоднородность повышенного электрического поля, называемая доменом (рис. 4, в). Электроны в области домена переходят в более высокую долину с уменьшенной подвижностью, и проводимость области домена становится

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

4

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

ниже, чем в остальной области полупроводника. Это еще более увеличивает величину поля Е в области домена, понижая ее в остальной области полупроводника. Домен быстро движется по направлению к аноду. Это происходит благодаря тому, что электроны ближней к катоду области имеют более высокие скорости (подвижности) и "вливаются" в область домена, тогда как электроны области ближней к аноду, также имеющие более высокую подвижность, "уходят" от домена к аноду. Таким образом, фронт домена, обращенный к катоду, имеет более высокую концентрацию электронов, тогда как фронт, обращенный к аноду, напротив, обеднен электронами (кривая концентрации электронов n на рис. 4, в) и объемный заряд домена как бы "проталкивает" его от катода к аноду. Достигнув анода домен "исчезает" на нем, вызывая резкий скачек изменения общего сопротивления полупроводника. Это приводит к тому, что вблизи катода формируется новый домен, движущийся к аноду, и процесс повторяется. Эффект Ганна наблюдается в многодолинных полупроводниках типа GaAs (имеющем Екр ~ 3·105 В/м) и InP (Екр ~ 6·105 В/м). Скорости движения домена весьма высоки (v ~ 105 м/с), размеры домена порядка нескольких мкм, поля в нем (4…20)·105 В/м. При толщине полупроводникового диска d = 1 мм … 5 мкм время образования и движения доменов составляет 10-8 …5·10-9 с, что соответствует частоте генерации f = 0,1 … 20 ГГц. 1. 1. 2. 2. Генераторы на диодах Ганна Образование и движение доменов создает пульсацию тока I в цепи питания диода Ганна (рис. 5, а, б). Диод располагается в объемном СВЧ резонаторе, связанном с волноводом. Эквивалентная схема включения диода в цепь резонатора представлена на рис. 5, б, где U – источник поU(t) стоянного напряжения с маI лым выходным сопротивлеI С Uа нием, Cр, Lр - эквивалентные U U Т емкость и индуктивность Lр Ср t I Д резонатора, С – емкость связи t диода Ганна ДГ с t резонатором. При включении генератора а) б) в) импульсы тока вызывают возРис. 5. Принцип работы генератора на диоде Гана буждение собственных колеа) Форма тока в цепи питания диода. б) Схема включения диода Ганна (ДГ) в цепь резонатора. в) Пролетный режим работы генератора Ганна. баний резонатора на резонансной частоте с амплитудой U(t) = Uаsinωt. В результате диод Ганна оказывается под действием суммы двух напряжений: постоянного U и переменного U(t) рис. 5, в. Жирной линией внизу рисунка выделено время, в течение которого существует и движется домен. Величина амплитуды СВЧ напряжения Uа зависит от величины импульсов тока: чем больше импульсы, тем больше амплитуда. Регулируя величину U можно увеличивать величину импульсов тока, а, следовательно, режим генерации и мощность СВЧ колебаний. В зависимости от соотношения U и Uа различают несколько режимов работы генераторов Ганна: пролетный, гашения, запаздывания, гибридный и ОНОЗ-режим (режим ограниченного накопления объемного заряда). Эти режимы предоставляют различные возможности для регулирования частоты, мощности и кпд генераторов Ганна. В наших генераторах используется пролетный режим генерации. 1. 1. 2. 3. Конструктивные особенности диодов Ганна Теоретически диод Ганна – это пластина полупроводника n-типа, и в этом смысле не является диодом (однонаправленным по отношению к знаку напряжения прибором). Практически же это не так. Характерной особенностью диодов Ганна является очень высокая мощность рассеяния на единицу объема полупроводника (до 104 Вт/мм3). Поэтому задача отвода тепла весьма актуальна, и вынуждает создавать довольно сложную

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

5

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

технологическую конструкцию, приводящую, в частности, к тому, что электроды диода – анод и катод – становятся не эквивалентными по отношению к направлению тока. На рис. 6. приведена одна из конструк4 ций диода Ганна, характерная для диодов анод 1 5 повышенной мощности и называемая анод 2 структурой с "перевернутым монтажом". катод катод Активным элементом (собственно диодом 3 6 Ганна в теоретическом смысле) является б) а) высокоомная пленка полупроводника nРис. 6. Структура диода Ганна с "перевернутым типа 1, толщина которой определяется немонтажом" + обходимой частотой диода: f ~ v/d, где v – а).1. Активный n-слой. 2. Промежуточный n -слой. 3. Металскорость домена, d – толщина пленки. лические пленки-контакты. 4. Ленточный вывод (+). 5. Высо+ Пленка выращена методом легирования на колегированная подложка n -типа. 6. Теплоотвод. б). Обозначения туннельного диода. высоколегированной подложке из GaAs n+-типа 5. Между этой подложкой и основной пленкой находится слой 2 с концентрацией легирующей примеси меньшей, чем у подложки, но большей, чем у основной пленки. Такой же слой 2 расположен и снизу основной пленки. Эти слои нужны для создания омических переходов от основной пленки к другим электродам. Таким образом, общая структура диода получается n+ - n - n+ с несимметричными структурами сторонами. Общее обозначение диода и полярность его включения показаны на рис. 6, б. 1. 2. Линии передачи и элементы волноводных трактов

Для распространения электромагнитных волн по заданному пути в СВЧ технике применяются волноводы (другие названия - направляющие системы, линии передачи). В гигагерцовом диапазоне частот для этого используются главным образом полые металлические волноводы, но находят применение также более высокочастотные диэлектрические волноводы и менее высокочастотные коаксиальные линии. 1. 2. 1. Типы волн в волноводах. Электромагнитная волна в свободном изотропном пространстве чисто поперечная: векторы электрического Е и магнитного Н полей не имеют продольных (вдоль направления распространения волны) составляющих Еz и Нz. Такой тип волны называется ТЕМ-волной. В линиях передачи он осуществим только для двухпроводных и коаксиальных линий, но не для волноводов. В полых регулярных(однородных) волноводах обязательно существует продольная составляющая либо магнитного Нz, либо электрического Еz вектора. Волны с магнитной составляющей Нz вдоль направления распространения называются Н-волнами (магнитными), а волны с составляющей Еz называются Е-волнами (электрическими). Для других типов волноводов, в частности, с неоднородным заполнением диэлектриком, возможны кроме этого еще следующие типы волн: • Т-волны - поперечные волны, не имеющие продольной составляющей (Еz ≡ 0, Нz ≡ 0). Они могут существовать только в линиях с двумя (и более) изолированными друг от друга проводниками. (Например, в двухпроводной и коаксиальной линии). • НЕ или ЕН - гибридные волны (Еz ≠ 0, Нz ≠ 0; обозначаются в зависимости от величины отношения Еz/Нz). Такие волны характерны для линий с неоднородным диэлектрическим заполнением. 1. 2. 2. Н-волны в прямоугольном волноводе. Волновое уравнение для волноводов имеет вид r r r r (1) ∇ 2 E + k 2 E = 0, ∇ 2 H + k 2 H .

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

6

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

Рассмотрим более подробно конфигурацию полей в полых прямоугольных волноводах. В зависимости от того, сколько Y Z полуволн может уложиться в поперечном сечении волновода (вдоль осей Х и Y, рис. 7), к обозначениям Е или Н-волн добавляются индексы Еу(х) b m и n. В этом случае говорят о разХ а личных модах волн Hmn или Еmn. Еу, Hx Hz Еу, Hx Y Y В нашем практикуме используHz Z ются волноводы, возбуждаемые на Х основной моде H10 (m = 1, n = 0, Нz ≠ б а 0, Еz = 0)1. Поэтому дальнейшие Рис. 7. Эпюра проекций полей Е и Н. а) изменение компонент полей по оси Х; б) то же по оси Z. сведения мы будем приводить именно для этого типа волн. Основная мода соответствует наибольшей длине волны λкр (наименьшей критической частоте ωкр), распространяющейся без заметного затухания в данном волноводе. Конкретные решения волнового уравнения отыскиваются с учетом граничных условий на проводящих стенках волновода: тангенциальная составляющая напряженности электрического поля должна быть равна нулю. В случае Н-волн волновое уравнение имеет только одно решение для продольной составляющей: βa & π π H& z = i H 0 sin x ⋅ e i (ωt −βz ) = H& 0 cos x ⋅ e − γz , a a π

(2)

www.phys.nsu.ru и два для поперечных составляющих: H& π H& x = i 0 γa sin( x ) ⋅ e − γz π a

Здесь ∇ 2 =

∂2

∂2 + ∂x 2 ∂y 2

и

H& ⎛π ⎞ E& y = i 0 ωμa sin ⎜ x ⎟ ⋅ e − γz π ⎝a ⎠

(3)

- оператор Лапласа, а – размер широкой стенки волновода [м], μ,, ε

- относительная магнитная и диэлектрическая проницаемость среды, γ = α + iβ - коэффициент распространения волны, [1/м]; • α или α0 = 8,686⋅α - коэффициент затухания волны в направляющей системе [1/м] или [дб/м] соответственно; • β =2π /λв - коэффициент фазы, [рад/м]. • k - волновое число, Для волноводов вводится поперечный волновой коэффициент χ (волновое число стоячей волны): ~ χ2 = γ2 − k 2 . ~ При малых потерях в линии k = ik и γ = iβ . Поэтому имеет место примерное равенство χ2 = k 2 − β2 . Поперечные составляющие поля Е⊥ и Н⊥ в волноводах являются однозначными функциями продольных составляющих полей Еz и/или Нz. Поэтому волны в волноводах определяются существенным образом компонентами Еz и /или Нz. На рис. 7 приведена картина компонент полей Е и Н для волны Н10. Как видно из рисунка, поле Е имеет только поперечную компоненту Еу(х, z), изменяющуюся по осям х и z, а поле Н как поперечную Ну(х, z), так и продольную Нz(х, z). Вдоль волновода

www.phys.nsu.ru

1 К сожалению, в учебной, научной и технической литературе наблюдается неоднозначность в обозначении мод, так что мода Н10 иногда обозначается и как Н01. Это связано с возможностью по-разному располагать волновод относительно правовинтовой тройки осей координат. Обозначению Н01 будет соответствовать волновод, расположенный широкой стенкой вдоль оси Y.

7

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

(ось Z) векторы поля Е и Н (составляющие Еу, Ну и Нz) также периодически изменяются с пространственным периодом k = 2π/λв. Вектор поля Е (принятый за 2 направление поляризации волны) направлен перпендикулярно широкой стенке волновода. Поскольку стенки проводящие, то на границе с узкими стенками он должен зануляться. Это означает, что 1 б а самая большая длина волны, коРис. 8. Токи в стенках волновода. торая может распространяться в а) Картина токов волны Н10. б) Щели в стенках волновода: данном волноводе без заметного 1 – неизлучающие, 2 – излучающие. затухания, должна удовлетворять условию λв/2 = а, где а – размер широкой стенки. Размер b не критичен для длины волны, так как на широких стенках тангенциальная составляющая поля Е всегда равна нулю. От величины b зависит только максимальная допустимая мощность поля волны в данном волноводе: чем больше b, тем больше допустимая мощность волны. Периодическое изменение поля в волноводе приводит к перераспределению зарядов и соответственно к токам в проводящих стенках волновода. На рис. 8 показаны линии тока в стенках в случае волны Н10. Если в стенках волновода прорезаны узкие щели, то они возмущают поле в волноводе только в том случае, когда "перерезают" токовые линии (рис. 8, б). Поэтому щели 2 будут "возмущающими", а щели 1 – "невозмущающими". Это свойство щелей используют для создания щелевых антенн (возмущающие щели) и при необходимости внесения в волновод всевозможных зондов (невозмущающие щели). Наличие продольной составляющей поля Нz приводит к тому, что длина волны в волноводе λв не равна длине волны в свободном пространстве λ0. Это означает, что фазовая скорость волны в волноводе vфв не равна ее скорости в свободном пространстве vф0 = с. Для полых металлических волноводов vфв > с, где с – скорость света в свободном пространстве. Соответствующие величины в волноводе и свободном пространстве связаны соотношениями

www.phys.nsu.ru λв =

(

λ0

)

1− λ 0 / с 2

;

v фв =

(

v ф0

)

1 − v ф0 / с 2

(4)

Формулы (4) остаются справедливыми и в том случае, когда вместо волновода имеются две отдельные проводящие плоскости, расположенные параллельно плоскости поляризации волны. Сдвигая и раздвигая такие пластины, можно изменять длину волны и, соответственно, ее фазовую скорость. Если расстояние между пластинами станет меньше критического, волна начнет экспоненциально затухать вдоль направления распространения (оси Z). Плоскостью поляризации волны называется плоскость, в которой лежат векторы Е и k, т. е. плоскость, параллельная вектору Е и идущая вдоль оси z. Волна Н10 является плоскополяризованной. Общие характеристики волн Н10. • Волна Н10 имеет только составляющие Еу, Нх и Нz. • Компоненты Еу и Нх - синфазны, пропорциональны и взаимно перпендикулярны. • Компоненты Еу и Нх отстают по фазе от Нz на 90°. Если максимум Нz в момент t = 0 находится при z = 0, то максимумы Еу и Нх в

www.phys.nsu.ru

8

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

этот же момент находятся при z = - λ/4. • Волна Н10 плоскополяризованная с вектором поляризации, перпендикулярным широкой стенке волновода. Такая поляризация будет и у волны, излученной в пространство через открытый конец волновода или рупор. Стандартные волноводы, принятые в нашей лаборатории, имеют размеры а х b = 23 х 10 мм для 3-х сантиметрового диапазона длин волн и 7,2 х 3,4 мм для 8-ми миллиметрового. Это соответствует критическим длинам волн в волноводе λкр.в = 4,6 см и 1,4 см.

1. 3. Регулирующие и измерительные элементы волноводных трактов

1. 3. 1. Аттенюаторы Аттенюаторы – это устройства, предназначенные для регулировки (ослабления) мощности волны в линии передачи. По принципу действия они делятся на два класса: поглощающие и запредельные. Поглощающие аттенюаторы уменьшают мощность проходящей волны за счет ее поглощения в материалах с большими потерями, либо на активном сопротивлении полупроводникового диода (электрически управляемые аттенюаторы). В практикуме применяются главным образом поглощающие аттенюаторы первого типа (рис. 9). Выдвижная пластина 1 изготовлена из диэлектрика, покрытого проводящей пленкой, способной поглощать энергию 1 поля (переводить ее в тепловую). Если пласти2 на прижата к стенке волновода, то она находится в минимуме электрического поля (смотри рис. 7, а), и поглощение энергии поля минимально. Чем дальше от стенки выдвигается а пластина, тем больше поглощение. Устройство Рис. 9. Поглощающий аттенюатор. выдвижения 2 обычно снабжено лимбом с на1. Поглощающая пластина. 2. Выдвижное устройство несенными делениями, указывающими относительную величину ослабления поля. Действие запредельных аттенюаторов основано на том, что тем или иным способом физически уменьшают поперечный размер а волновода и делают его ниже критического для данного типа волны. Эти аттенюаторы реже применяются в качестве регулируемых, так как одновременно с увеличением затухания увеличивается и величина отраженной волны, что отрицательно сказывается на согласование аттенюатора с остальными элементами тракта. 1. 3. 2. Ферритовый вентиль Вентиль – это устройство с односторонним прохождением волны, т. е. с очень малым затуханием волны, проходящей в одном направлении и очень большим – для волны обратного направления. Вентили применяют для поглощения отраженных волн в линии передачи, улучшая тем самым согласование различных элементов цепи. Их эффективность определяется вентильным отношением В, т. е. отношением ослаблений обратной и прямой волн, выраженным в децибелах:

www.phys.nsu.ru

B=

20 lg S12 20 lg S21

=

α обр α пр

,

S21 = exp(−α прl ) ≈ 1,

S12 = exp(−α обрl ) << 1 ,

(5)

где α – коэффициенты затухания обратной и прямой волны, |S| - модуль ослабления обратной и прямой волн, l – длина активной части (ферритовой пластины) вентиля. Принцип действия вентилей основан на том, что намагниченная ферритовая пластина является невзаимной средой. То есть при прямом прохождении волны вектор ее по-

www.phys.nsu.ru

9

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

ляризации поворачивается из положения А в положение А΄, а при обратном прохождении, он не возвращается в исходное положение А. В круглых волноводах для этого обычно используется эффект Фарадея – вращение плоскости поляризации в продольно намагниченном феррите (вдоль оси z). Для прямоугольных волноводов чаще используется явление ферромагнитного резонанса в поперечно намагниченном феррите. Простейшая конструкция ферритового вентиля с поперечно намагниченным ферритом, используемого в нашем практикуме, показана на рис. 10. Постоянный магнит 1, закрепленный снаружи волноводной секции 2, создает внутри волновода поперечное поле Н0. В максимум этого поля внутрь волновода помещена тонкая ферритовая пластина 3, в которой при прохождении волны возникает явление ферромагнитного резонанса. αl, дб

1

В

αlобр

В

20 15

2

10

Н0 х0

40 20

0

S а

60

αlпр

5

3

80

а

б

0,1

0,2

0,3

0,4

х0/а

www.phys.nsu.ru Рис. 10. Ферритовый вентиль.

а) Конструкция: 1 - Магнит с полем Н0. 2. Секция волновода. 3. Ферритовая пластина. б) Зависимость потерь αl и вентильного отношения В от положения ферритовой пластины

Явление ферромагнитного резонанса заключается в следующем. Электроны молекул ферромагнетика имеют нескомпенсированный спин и связанный с ним спиновый магнитный момент. В постоянном поле Н0 возникает прецессия спинового момента с частотой f0 = λ м Н0 ,

где γ м =

е 1 μ0 = 35 ,18 кГц ⋅ м/А, . 2π me

Здесь γm – гиромагнитное отношение для электрона, μ0 – магнитная проницаемость вакуума. За счет потерь (передаче тепла решетке) прецессия быстро затухает и магнитные моменты электронов устанавливаются вдоль поля Н0. Но если перпендикулярно постоянному магнитному полю Н0 приложено переменное магнитное поле небольшой амплитуды с частотой f, то при совпадении этой частоты с частотой прецессии f = f0, наступает ферромагнитный резонанс. При этом переменное поле максимально поглощается ферритом, так как "расходуется" на удержание незатухающей прецессии спинов электронов. Объясним различие поглощения прямой и обратной волны в намагниченном феррите. Пусть волновод заполнен поперечно намагниченным ферритом. В этом случае волна Н10 распадается на две – обыкновенную и необыкновенную, отличающиеся фазовыми скоростями и затуханием. Обыкновенная волна имеет только две составляющие поля Ну и Ех, а необыкновенная – три: Нх Нz, и Еу. Поле обыкновенной волны имеет магнитную составляющую параллельную Н0, и по своим свойствам эта волна не отличается от обычной плоской однородной волны. Необыкновенная волна отличается тем, что ее магнитное поле эллиптически поляризовано в плоскости х0z, перпендикулярной Н0. При этом составляющие Нх и Нz взаим-

www.phys.nsu.ru

10

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

но перпендикулярны, сдвинуты по фазе на 90º и имеют различное распределение вдоль оси х (вдоль широкой стенки волновода). Следствием этого является изменение формы эллипса (поляризации) вдоль широкой стенки волновода, что условно показано на рис.11. На узких стенках (х = 0 и х = а) поляризация линейная с вектором поляризации вдоль оси z, в центре при х = а/2 – тоже линейная, но с вектором поляризации перпендикулярным оси z. В промежуточных положениях поляризация эллиптическая с изменяющимся вдоль оси х отношением осей эллипса и направлением поляризации относительно вектора Н0. При х = 0,25а магнитное поле имеет правостороннюю круговую поляризацию, а при х = 0,75а – левостороннюю. Если в сечении х = 0,25а расположить узкую плау стину поперечно намагниченного феррита, то для z прямой волны, направленной вдоль оси z, потери αlпр будут минимальными (см. рис. 10, б). В обратной волне поляризация левосторонняя и поглощение бых ло бы для нее минимальным в сечении х = 3/4а. Но а/2 а/4 3а/4 там ферритовой пластины нет. Таким образом, вена Рис. 11. Поляризация необыкновенной тильное отношение В максимально, если ферритовая пластина расположена в сечении х = а/4 (рис. 10, б). волны 1. 3. 3. Измерительная линия 1. 3. 3. 1. Волновое сопротивление Соотношение электрической и магнитной компонент поля зависит от свойств среды и граничных условий. Отношение комплексных амплитуд поля имеет размерность сопротивления и называется волновым сопротивлением Zв:

www.phys.nsu.ru Zв =

μаμ0 Е& = ; & εаε0 Н

Z0 =

μ0 ε0

= 120π ≈ 376,73, Ом;

(6)

где μа, εа, - относительные магнитная и диэлектрическая проницаемость среды, μ0, ε0, - их значения для вакуума, Z0 – волновое сопротивление вакуума, примерно равное волновому сопротивлению воздуха. В пустотелом прямоугольном волноводе волновое сопротивление для волны Н10 равно (7) ρ = Z н = Z / 1 − (λ / 2a )2 = 377 / 1 − (λ / 2a )2 , Ом в

0

0

0

где λ0 – длина волны в свободном пространстве, а – размер широкой стенки волновода2. 1. 3. 3. 2. Коэффициент стоячей волны В регулярной линии передач (т. е. с неизменным волновым сопротивлением вдоль линии) отражения нет, и волна чисто бегущая. Любая неоднородность, введенная в линию, нарушает регулярность, и возникает отраженная волна. Величина отражения определяется отношением сопротивления линии в месте неоднородности Zн к волновому сопротивлению Z0, а количественно она характеризуется коэффициентом отражения Г: (8) Г = Е& Е& , от

пад

где Е& от , Е& пад - комплексная амплитуда электрического поля отраженной и падающей волны. В общем случае коэффициент отражения носит комплексный характер, т. е. изменяется как амплитуда, так и фаза отраженной волны.

www.phys.nsu.ru 2

Для λ0 = 3,2 см. Zв = 525 Ом.

11

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

При сложении (интерференции) падающей и отраженной волн в линии образуется стоячая волна. Если нас интересуют только амплитудные соотношения в стоячей волне, то вместо коэффициента отражения используется другой параметр - коэффициент стоячей волны – КСВ или обратная ему величина – коэффициент бегущей волны (КБВ). Математически эти величины определяются через модуль коэффициента отражения, а экспериментально – через амплитуды напряженности электрического поля в пучности и узле стоячей волны: KCB =

E 1+ Г 1 = = max , КБВ 1 − Г E min

(9)

где Еmax, Еmin,– суммарная (падающей и отраженной волны) амплитуда напряженности поля в пучности и узле стоячей волны. В чисто бегущей волне коэффициент отражения равен нулю |Г| = 0 и КСВ = 1. В чисто стоячей волне амплитуда отраженной волны Еот равна амплитуде падающей Еп, |Г| = 1 и Еmin → 0, а КСВ → ∞. Распределение амплитуды стоячей волны вдоль линии определяется соотношением E( z ) = 2E0 sin(

2π z) λ

(10)

где Е0 = Еот = Епад. 1. 3. 3. 3. Устройство волноводной измерительной линии Обычно в линию передач включается ряд элементов, служащих для регулировки и измерения параметров волны. Каждый такой элемент характеризуется своим значением сопротивления. Если его сопротивление не равно волновому, то возникает отражение, что приводит к уменьшению передаваемой по линии мощности и сдвигу фазы выходного сигнала. Для измерения параметров согласования, амплитудных и фазовых соот-

www.phys.nsu.ru Д

Р Ф

Щ

И

Х

1

V

З

2

Шк 3 Г

d

А

а

Z

Рис. 12. Измерительная линия

4

б

а) Общая схема измерительной линии: Ф – фидер. Щ – щель. З – зонд. Р – резонатор. Д – СВЧ диод (детектор). Х – ВЧ разъем. И – индикатор. Г – генератор. А – аттенюатор. Z – нагрузка. б) Измерительная головка: 1 – регулировка глубины погружения зонда. 2 – подстройка резонатора зонда. 3 – подстройка детекторной секции. 4 – зонд.

ношений стоячей волны применяются измерительные линии. На рис. 12 представлено схематическое устройство волноводной измерительной линии типа Р1-4 (ИВЛ-140). Ее основу составляет отрезок волновода с фланцами (фидер Ф), на котором закреплены передвижная индикаторная головка, состоящая из резонатора Р, зонда З и детектора Д , и механизм отсчета перемещения (шкала Шк) – рис. 12, б. Вдоль широкой стенки волновода линии прорезана узкая щель Щ, через которую в волновод на глубину d погружается зонд 3. Глубина погружения зонда может регулироваться. Другим концом зонд входит в двухкамерный резонатор. Ввод зонда осуществляется таким образом, что имеется возможность подстройки камеры резонатора для отбора максимальной мощности от зонда. Часть сигнала резонатора отводится в камеру детекторной секции. В ней предусмотрена отдельная подстройка для отбора максимальной мощности сигнала в детектор Д.

www.phys.nsu.ru

12

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

Таким образом, в измерительной линии предусмотрены три настройки: глубины погружения зонда, камеры зонда и камеры детектора. Органы управления показаны на рис. 12, б, на котором изображена измерительная головка. Сигнал с детектора через разъем Х поступает в индикаторный прибор И (стрелочный или электронный, в т. ч. осциллограф). Из-за нелинейности характеристики диода показания прибора пропорциональны примерно квадрату напряженности электрического поля в том месте линии, в котором находится зонд. Перемещая измерительную головку вдоль линии, можно снять зависимость интенсивности поля (квадрата амплитуды напряженности электрического поля) от координаты Z. При точных измерениях напряженности поля необходимо снять градуировочную кривую детектора, учитывающую отличие его реальной характеристики от чисто квадратичной. Генератор СВЧ колебаний обычно подсоединяется к линии через поглощающий аттенюатор А, который создает постоянную нагрузку для генератора и исключают влияние последующего волноводного тракта и нагрузки Z на работу самого генератора. Если сопротивление нагрузки линии Z не равно волновому, то в линии возникает стоячая волна. Перемещая измерительную головку вдоль линии, по показаниям прибора И можно судить об изменении электрического поля вдоль линии и о характере волны. По снятой зависимости Е(z) можно определить КСВН, а по положению узлов и пучностей относительно места подсоединения нагрузки величину Z. 1. 3. 3. 4. Измерение параметров нагрузки с помощью линии В измерительной технике вместо КСВ, определяемого соотношением (9), используют коэффициент стоячей волны по напряжению – КСВН, определяемый как отношение напряжений, измеренных в пучности и узле стоячей волны. Напряжение, наводимое в измерительном зонде или антенне, пропорционально напряженности суммарного электрического поля в точке, где располагается зонд. Поскольку детектор измерительной линии обычно имеет квадратичную характеристику, то КСВН равен примерно корню квадратному из отношения показаний А прибора измерительной линии: (11) К =U /U ≅ (A / A )1 / 2 ,

www.phys.nsu.ru свн

max

min

max

min

где А – показания прибора измерительной линии3. При большом коэффициенте отражения (например, А при нагрузке линии на металлическую заглушку) веd Правая граница личина Аmin мала даже при максимальной чувствиB C линии тельности измерителя И. Это вызывает большую по2Ami z, Ami грешность определения КСВН по формуле (11). В этом случае для определения КСВН можно воспольλ/2 х зоваться методом "двух точек". Он заключается в Рис. 13. Измерение больших КСВН следующем. На графике стоячей волны в области вблизи минимума проводят хорду ВС на высоте вдвое превышающей показания прибора в минимуме и измеряют ее длину d (рис. 13). Используя известную форму зависимости амплитуды стоячей волны (уравнение 10) нетрудно показать, что при квадратичной характеристике детектора КСВН можно определить по формуле К свн = [(1 / sin 2

Если величина πd/λ < 0,12, то более 1%.

π d ) + 1]1 / 2 , λ

(12)

можно считать, что Ксвн = λ /πd с погрешностью не

3

При более точных измерениях предварительно проводят калибровку детектора (снимают зависимость U = f (А)) и величину напряжения U определяют по полученной калибровочной кривой.

www.phys.nsu.ru

13

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

1. 3. 4. Частотомер Для измерения частоты в СВЧ диапазоне применяются электронно-счетные и резонансные частотомеры (волномеры). Основой резонансных частотомеров является высокодобротный резонатор с перестраиваемой резонансной частотой. Точность измерения определяется точностью настройки в резонанс, точностью отсчета показаний и влиянием температуры на резонансную частоту. Частотомер типа Ч2-37 состоит из резонатора, СВЧ детектора, аттенюатора, усилителя и индикатора. Добротность резонатора (на различных участках диапазона) составляет 3000 – 5000. Момент резонанса фиксируется по максимуму отклонения стрелки индикатора. Выход детектора 1

3

2

4

5

Выход детектора 3

1

2

10

λ/4 (2n-1)λ/4 9

8

λ/4

11 7

n·λ/2

6

Вход СВЧ

Рис. 14. Резонаторы частотомеров а) Четвертьволновый коаксиальный резонатор. б) Полуволновый резонатор. 1 – корпус резонатора, 2 – настраивающий поршень, 3 – детекторная секция, 4 – емкостная втулка, 5 – микрометрическая головка, 6 – пружинный зажим, 7 – шайба-резистор, 8 – разъем связи с основным волноводом, 9 – участок запредельного волновода, 10 – механизм настройки, связанный с механизмом отсчета, 11 – отверстие связи с основным волноводом.

www.phys.nsu.ru

Одна из возможных конструкций четвертьволнового коаксиального резонатора, предназначенного для работы в качестве отдельного прибора, показана на рис. 14, а. Корпус 1 вместе с перемещающимся поршнем 2 образуют коаксиальный резонатор, замкнутый справа и открытый слева. Справа поршень скользит в пружинном зажиме 6, обеспечивающем надежный контакт в точке максимума тока. Чтобы обеспечить возможность настройки на различные частоты, слева для поршня должна быть предусмотрена возможность осевого перемещения. С другой стороны, в пространство 9 тогда будет излучаться энергия из коаксиального резонатора, что ухудшит его добротность. Чтобы этого избежать, расстояние поршня от левого торца резонатора должно образовывать участок запредельного волновода круглого сечения, рабочие частоты которого меньше критической fкр коаксиального. В этом случае в запредельном волноводе волна становится чисто реактивной, т. е. сам участок становится идеальным отражателем, "замыкающим" слева коаксиальный резонатор. Связь резонатора с входом СВЧ сигнала и выходом (детектором) осуществляется через емкостную втулку 4 и шайбу 7. Микрометрическая головка 5 с лимбом позволяет производить отсчет частоты (длины волны). На рис. 14, б показано устройство полуволнового резонатора, используемого в качестве встраиваемого элемента резонансных частотомеров. Левая стенка и подвижный поршень 2 образуют замкнутый полуволновый перестраиваемый резонатор. Связь резонатора с основным волноводом обеспечивает небольшое отверстие 11. Отсчетный механизм 10 с микрометрическим винтом обычно связан с лимбом, вынесенным на переднюю панель прибора. Перемещением поршня на длину l = n·λ/2 добиваются резонанса, при котором детектор обеспечивает максимум показаний. 1. 3. 5. Согласованная нагрузка Нагрузка линии передачи – устройство, частично или полностью поглощающее подводимую СВЧ мощность. Она характеризуется величиной КСВН, фазой коэффициента отражения и допустимой мощностью рассеяния.

www.phys.nsu.ru

14

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

Согласованной называется нагрузка, обеспечивающая максимально полное поглощение падающей волны, т. е. КСВН → 1. Варианты таких нагрузок показаны на рис. 15. Нагрузки представляют собой отрезок волновода, короткозамкнутого с одной стороны и имеющего присоединительный фланец с другой. Простейший вариант нагрузки представлен на рис. 15, а. В ней на расстоянии λ/4 от короткозамкнутого конца расположена диэлектрическая пластина 1 1 с металлизированной пленкой, сопротивление которой точно равλ/4 но волновому, а толщина меньше глубины скин-слоя. Такая нагруз1 ка обладает коэффициентом отраа) б) жения не более 5% на основной Рис. 15. Согласованная нагрузка. частоте (длине волны) для данного а) с поперечной пластиной, б) с продольной пластиной. волновода. Более широкополосными являются согласованные нагрузки с поглощающей продольной пластиной (рис. 15, б). Поглощающая пластина обладает либо поверхностным, либо объемным сопротивле6нием порядка 100-300 Ом/см2, что обеспечивает большой коэффициентом затухания α. Для обеспечения КСВН ≤ 1,05 поглощение должно быть не менее 23 дб. Отсутствие отражения от переднего среза волновода обеспечивается клинообразной формой пластины. Иногда ставят несколько таких пластин параллельно друг другу, что позволяет обеспечивает большую мощность поглощения. 1. 4. Антенны и индикаторы СВЧ поля

1. 4. 1. Параметры антенн Антенна – это преобразователь электромагнитного поля в энергию переменных токов (приемная антенна) и наоборот – преобразователь энергии токов высокой частоты в энергию электромагнитного излучения (передающая антенна). Поэтому параметры антенн можно разделить на две группы: "токовые" – входное сопротивление (импеданс), частотные параметры, полоса пропускания и т. д., "полевые" – диаграмма направленности, ширина главного лепестка, коэффициент усиления, коэффициент направленного действия, эффективная высота и площадь и т. д. Различают три зоны действия антенн: ближнюю r << l, λ, дальнюю r >> l, λ и промежуточную, где r – расстояние от антенны до точки наблюдения, l – характерный размер антенны, λ – длина волны излучения. В ближней зоне распределение интенсивности поля может иметь весьма сложный характер, и плохо поддается теоретическому расчету. Промежуточная зона примерно соответствует зоне дифракции Френеля, дальняя – дифракции Фраунгофера. В работах практикума мы обычно имеем дело с работой антенны в промежуточной и дальней зоне, поэтому дальнейшие формулы будем рассматривать именно для этого случая. 1. 4. 1. 1. Диаграмма направленности Поле излучения антенны в дальней зоне в полярных координатах выражается формулой

www.phys.nsu.ru

Е = 120πН = А

е −ikr F (θ, ϕ), В/м, r

(13)

где Е – напряженность электрического поля, Н – напряженность магнитного поля, r, θ, φ – полярные координаты с началом в средней точке антенны (рис. 16), k = 2π/λ – коэффициент фазы, λ – длина волны излучения, А – множитель, пропорциональный амплитуде тока (для штыревых антенн) или напряженности поля Е (у дифракционных и

www.phys.nsu.ru

15

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

волноводных антенн), F(θ,φ) – нормированная функция углов θ и φ, называемая диаграммой направленности антенны.4 В формуле (13) множитель перед функцией F не зависит от углов θ и φ. Поэтому диаграммой направленности можно считать график всей функции (13), нормируя его на единицу. Его можно изобразить в сферической, полярной или прямоугольной системе координат, как показано на рис. 16, б – г. z

z

Р

E

E/Emax А

H θ1

θ

1

θ2

θ2 θ1

E(θ) у

φ х

0,4

l

l

а

zy

х

θ

у

θ1 θ2

E(θ)

в

б

Рис. 16. Диаграмма направленности антенны.

г

а) сферическая система координат, б) сечение плоскостью zy диаграммы напряженности "длинного" симметричного вибратора (l ≈ 0,6·λ/2), в) та же диаграмма направленности в полярных координатах Е(φ), г) то же в прямоугольных координатах.

На рис. 16, б показано сечение плоскостью zy диаграммы направленности симметричного вибратора с l ≈ 0,6·λ/2. Чтобы получить полную диаграмму, нужно повернуть плоскость zy вокруг оси z на 360º. В полярной (рис. 16, в) и прямоугольной системе координат (рис. 16, г) видно, что для вибратора с длиной плеча l ≈ 0,6·λ/2 максимум излучения лежит в плоскости перпендикулярной плоскости расположения вибратора и проходящей через его середину. Излучение падает до нуля при некотором угле φ1, а затем вновь возрастает, имея вторичный максимум при угле φ2. Таким образом, диаграмма направленности данной антенны имеет три лепестка – один главный и два боковых. Более подробно диаграмма направленности симметричного вибратора рассмотрена в следующем пункте (см. рис. 18, б, в). 1. 4. 1. 2. Коэффициент направленного действия антенны Коэффициентом направленного действия D в данном направлении называют отношение квадрата напряженности поля, создаваемого антенной в данном направлении, к среднему (по всем направлениям) значению квадрата напряженности. Для антенн с осевой симметрией (рис. 16, 18)

www.phys.nsu.ru

D=

4π 2π

π/2

0

−π / 2

∫ ∫ dϕ

F12 (θ, ϕ) sin θdθ

,

(14)

где F1(θ, φ) = F[(90º - θ), φ], т. е угол θ отсчитывается не от оси z, а от оси симметрии антенны, как это и сделано на рис. 16 в, г. Если построить график функции F12 sinθ, в прямоугольных координатах, подобный показанному на рис. 16, г, то коэффициент D можно найти графически: D = 2/S, где S – площадь под кривой графика. Для полуволнового вибратора (l = λ/2, рис. 16, б - г) D = 1,64. 1. 4. 1. 3. Коэффициент усиления антенны

www.phys.nsu.ru

4 Нормировка функции на единицу означает, что ее максимальное значение равно единице и она является безразмерной величиной.

16

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

Коэффициентом усиления К антенны называется отношение квадрата напряженности поля, создаваемого данной антенной, к квадрату напряженности поля, создаваемого ненаправленной антенной, т. е. антенной, создающей одинаковую напряженность поля по всем направлениям. При этом полагается, что мощности, подводимые к обеим антеннам одинаковы, а кпд ненаправленной антенны равен единице η = 1. K=

E 2 / P0 E н2 / Р н

(15)

,

где Е, Ен – напряженности поля, создаваемые данной и ненаправленной антенной, Р0, Рн – полные мощности, подводимые к соответствующим антеннам. Учитывая, что ненаправленная антенна излучает равномерно во всю сферу, а направлена ту же мощность излучает в узкий лепесток, определяемый ее коэффициентом направленного действия D, можно установить следующие соотношения между введенными параметрами антенн: K=

E 2r 2 E 2r 2 = η, 60 P0 60 Pи

D=

1 E 2r 2 , Е= 60 P0 K , 60 Pи r

(16)

где η – кпд антенны, Ри = Р0·η – излучаемая антенной мощность, численный коэффициент 60 появляется в результате введения сопротивления пространства Z0 = 120π и площади сферы. 1. 4. 1. 4. Принцип взаимности антенн Если мощность излучения передающей антенны не слишком высока, то можно воспользоваться принципом взаимности антенн: диаграмма направленности любой приемной антенны совпадает с диаграммой направленности той же антенны, используемой в качестве передающей. Эта теорема выведена в предположении линейности среды между антеннами. Лишь при весьма высокой мощности излучение делает среду нелинейной (параметры среды начинают зависеть от подводимой мощности излучения). Если связь между приемной и передающей антенной происходит через ионосферу, то параметры последней, строго говоря, тоже нелинейны. Однако теорема о взаимности обычно и в этом случае дает довольно хорошее совпадение с экспериментальными результатами. 1. 4. 2. Рупорные антенны 1. 4. 2. 1. Излучение из открытого конца волновода Система координат для снятия диаграммы направленности открытого конца волно-

www.phys.nsu.ru z θ

z Е

r у

х

φ

90º 60º

а

х

Н

у

б)

45º 30º 15º

90º 60º

θ

45º 30º

θ

15º

в

Рис. 17. Диаграмма направленности открытого конца волновода. а) сферическая система координат, б) в плоскости составляющей поля Е, в) в плоскости составляющей поля Н

вода показана на рис. 17,а, а сами диаграммы для волны Н10 – на рис. 17, б и в. Диаграмма направленности в плоскости вектора Е близка к сферической (рис. 17, б). Более направленной является диаграмма излучения в плоскости вектора Н. 1. 4. 2. 2. Рупорные антенны Значительный выигрыш в направленности, а, следовательно, и в коэффициенте усиления позволяют получить рупорные антенны. На рис. 18 представлены широко используемые типы рупорных антенн для прямоугольных волноводных линий.

www.phys.nsu.ru

17

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

Диаграммы направленности секториальных Е– и Н–плоскостных рупоров в дальней зоне имеют "ножевидную" форму: они узконаправленны в плоскости, совпадающей с плоскостью расширения размера волновода, а в перпендикулярной плоскости фактически совпадают с диаграммой открытого конца волновода. Пирамидальный рупор имеет узконаправленную диаграмму в обеих плоскостях Е и Н (рис. 18, б). у, Е Е

Е

Н Н - плоскостной

z

х, Н

Н

Н - плоскостной

Е - плоскостной

у, Е z

Е - плоскостной

Е

Н Е

Н

х, Н

плоскости

а

пирамидальный Рис. 18. Типы рупорных антенн.

пирамидальный

б)

а) система координат с плоскостями Е, Н и типы рупоров, б) диаграммы направленности.

Рассмотрим более подробно структуру поля, создаваемую рупором. Для упрощения выкладок будем рассматривать случай Е-плоскостного секториального рупора (рис.19, а). Результаты выкладок полностью переносятся на соответствующий Н-плоскостной рупор, а данные для пирамидального получается простым "суммированием" эффектов.

www.phys.nsu.ru В В′

R

R0

0,5

φ0 А А′

1,0

l б

а Рис. 19. Параметры рупорной антенны

а) параметры рупора, б) угловой размер главного максимума дифракции

Поле в выходной плоскости рупора (в плоскости раскрыва) получается несинфазным, поскольку расстояние R0 на краях плоскости отличаются от расстояния в центре R0 > R. Очевидно, величина несинфазности растет с ростом угла раскрыва φ0. Из геометрии рисунка легко показать, что для "длинного" (R >> ар/2, bр/2) рупора максимальный сдвиг фаз для секториального и пирамидального рупоров соответственно равен ϕ max ≈

2 2 2 π ⎛⎜ a p b p ⎞⎟ π ap + , и ϕ max ≈ , 4λ R1 4λ ⎜ R1 R 2 ⎟ ⎝ ⎠

(17)

где R1, R2 – значения R в плоскостях Н и Е,5 ар, bр – раскрыв рупора в плоскости Е и Н соответственно. Для оценки параметров поля, создаваемого рупором, можно считать, что поле в плоскости раскрыва рупора имеет плоский фронт и равномерное распределение интенсивности. Тогда конфигурацию поля вне рупора можно рассматривать как результат дифракции плоской волны на прямоугольном отверстии в металлическом экране (рис. 19, б). Более подробно дифракция будет рассмотрена в Приложении 4, а здесь мы вос-

www.phys.nsu.ru 5

Значения R1 и R2 не совпадают, поскольку положение точки О зависит от угла раскрыва рупора в соответствующей плоскости.

18

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

пользуемся некоторыми результатами этого рассмотрения. При l >> λ, ар для углов главного максимума θ и γ можно принять следующие соотношения θ = 115(λ/ар) и γ = 51(λ/ар) (18) Эти формулы позволяют оценить ширину главного лепестка диаграммы направленности рупора при известных его размерах ар, bр или определить размеры рупора для обеспечения заданной диаграммы. 1. 4. 3. Детекторные индикаторы поля 1. 4. 4. 1. Конструкция СВЧ диодов Полупроводниковые СВЧ диоды применяются в качестве детекторов поля в различ1

1 6 3

2 3

а

3

1'

5 1'

5

гэ

1'

б

в

г

+1

е

1

4

4 1'

λ/4

д

Rп Lп Сш

Св

Св

Rн

ж

Рис. 20. Типовые конструкции СВЧ диодов: а) несимметричный в большом корпусе, б) симметричный миниатюрный, в) миниатюрный в стеклянном корпусе, г) коаксиальный, д) волноводный, е) полярность диодов, ж) эквивалентная схема диодов. 1, 1' – металлические выводы диода, 2 – керамический корпус, 3 – пружинящий контакт, 4 - полупроводниковый кристалл, 5 – изолятор, 6 – стеклянный корпус.

ных устройствах: частотомерах, измерительных линиях, детекторных головках и т. д. В практикуме они используются также в качестве самостоятельного приемного устройства, измеряющего напряженность поля в свободном пространстве. Устройство различных типов детекторных СВЧ диодов, применяемых в практикуме, и их эквивалентная схема показаны на рис. 20. 1. 4. 4. 2. Эквивалентная схема и параметры СВЧ детекторов Эквивалентная схема диода (рис. 20, ж) учитывает: емкость p-n перехода Шоттки Сш, сопротивление полупроводника и выводов Rп, индуктивность пружины и выводов Lп и емкость корпуса и выводов Св. Нагрузкой диода обычно является измерительный прибор или вход усилителя. В этом случае параллельно емкости Св подключается емкость проводов, соединяющих диод с измерителем, и входное сопротивление прибора Rн. Слева к эквивалентной семе диода подключен эквивалентный генератор Гэ, обеспечивающий СВЧ напряжение. Детекторные диоды предназначены для детектирования слабых сигналов СВЧ, мощность которых не превышает нескольких микроватт. В этом случае выпрямленный ток и напряжение на сопротивлении нагрузки пропорциональны мощности СВЧ, поглощенной в диоде. Основная характеристика диода – чувствительность по току βi (или по напряжению βu)

www.phys.nsu.ru

β i = I вп Р пад

где Iвп – выпрямленный ток в цепи диода и измерительного прибора, Рпад – мощность, подводимая к диоду (падающая мощность). Теоретическая величина чувствительности перехода Шоттки (при малом сопротивлении в цепи диода и без учета паразитных параметров эквивалентной схемы) равна примерно 20А/Вт. Реальная чувствительность всегда меньше (примерно на порядок) и зависит от конструкции диода, схемы его включения и нагрузки Rн. 1. 4. 4. 3. Детекторный индикатор СВЧ поля Детекторный диод, помещенный в СВЧ поле, можно рассматривать как приемную антенну. Металлические выводы диодов, показанных на рис. 20, а – в, образуют ди-

www.phys.nsu.ru

19

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

польную антенну, типа симметричный вибратор. На рис. 21, а приведена схема такой антенны с измерительным прибором, а на рис. 21, б, в – ее диаграммы направленности. Диаграмма направленности приемной антенны представляет собой зависимость амплитуды сигнала в антенне от направления (угла Θ, рис. 21, б, в), под которым приходит сигнал. Если диполь ориентирован вдоль оси Z (рис. 21, в), то максимальный сигнал в антенне возникает от источника поля, расположенного в экваториальной плоско1.0

l

Z

Е/Еmax 6

5

0.8

И

0.6

1 3

0.4

Θ

2 Θº

0.2

l

4

а

40

б

60

5

1

l

20

Е(Θ)

3 4

6

80 Θº

в

Рис. 21. Диаграммы направленности симметричного вибратора. а) Симметричный вибратор. б) Диаграммы направленности симметричного вибратора, зависящие от отношения l:/λ: 1) - l «λ, 2) - l = 0,25λ, 3) - l = 0,5λ, 4) - l = 0,55λ, 5) - l = 0,7λ, 6) - l = λ. в) Диаграммы направленности в полярных координатах (цифры соответствуют номерам кривых на рис. б).

сти, перпендикулярной оси Z и проходящей через середину диполя. Однако это верно только для диполей, в которых отношение l/λ ≤ 0,7, как следует из рис. 21, б, в (кривые 1 – 5). Антенна, для которой выполняется условие l/λ = 1, вообще "не чувствует" лежащий в экваториальной плоскости источник, а максимальный сигнал в ней возбуждается источником, находящимся под углом Θ ≈ 35º (кривая 6). Если волна линейно поляризована, то максимальная чувствительность антенны будет достигаться при совпадении вектора поляризации волны с направлением вдоль диполя (вдоль оси Z на рис. 21, в). Как уже говорилось, показания прибора И (рис. 21, а) примерно пропорциональны квадрату напряженности поля волны (точнее – проекции напряженности поля Е на ось, проходящую вдоль диполя). Для более точных измерений приходится снимать градуировочную кривую диода (вместе с измерителем). Как правило, для этого используют измерительную линию.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

20

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru 1. 5. Список литературы

1. Айзенберг Г.З. Антенны ультракоротких волн. – М.: Связьиздат, 1957. – 700 с. 2. Лабораторный практикум по физике: Учебн. пособие для студентов втузов/ Под ред. Барсукова К.А., Ю.И. Уханова. –М.:, Высш. шк., 1988. – 352 с. 3. Перкальскис Б.Ш. Волновые явления и демонстрации по курсу физики. – Томск: Изд-во Томск. Ун-та, 1984. – 280 с. 4. Семенов Н.А. Техническая электродинамика. – М.: Связь, 1973. – 480 с. 5. Стрельникова Л.П. Физический практикум по электромагнитным волнам. – М.: Изд. МГУ, 1974. – 94 с. 6. Специальный физический практикум, ч. 3, - М.: Изд. Моск. Ун-та, 1977. – 382 с. 7. Фрадин А.З., Е.В. Рыжков. Измерение параметров антенно-фидерных устройств. – М.: Связьиздат, 1962. – 316 с. 8. Чернушенко А.М., А.В. Майбородин. Измерение параметров электронных приборов дециметрового и сантиметрового диапазонов волн. – М.: Радио и связь, 1986. – 336 с. 9. Дитчберн Р. Физическая оптика.- М.: Наука, 1965. -632 с. 10. Калитеевский Н.И. Волновая оптика. Учеб. Пособие для ун-тов. – М.: Высш. шк. 1978. – 383 с. 11. Ландсберг Г.С. Оптика. Изд. 4. – М.: Гостехиздат, 1957. – 628 с. 12. Физическая энциклопедия. Т.1 – 5. - М.: Сов. энциклопедия. Т. 1. 1988. 704 с., Т. 2. 1990. 704 с., Т. 3. 1992. 672 с. /изд. Большая Российская энциклопедия/, Т. 4. 1994. 704 с. /изд. Большая Российская энциклопедия/, Т. 5. 1998. 760 с. /изд. Большая Российская энциклопедия/. 13. Портис А. Физическая лаборатория. – М., Наука, 1972. – 320 с. 14. Лукьянчиков Л.А. Электричество. Электромагнитные волны: Учеб. пособие/ Новосиб. Ун-т. Новосибирск, 2003. 168 с.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

21

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru Методическое пособие к лабораторным работам по СВЧ оптике. Приложение 3. Дифракция Содержание 3. 1. Введение......................................................................................................................................1 3. 1. 1. Подходы Гюйгенса – Френеля и Юнга.............................................................................1 3. 2. Дифракция Френеля (качественная картина)...........................................................................2 3. 2. 1. Зоны Френеля......................................................................................................................2 3. 2. 2. Векторное построение амплитуды излучения от зон Френеля ......................................3 3. 2. 3. Построение зон Френеля для прямоугольных краев и щелей. Спираль Корню ...........3 3. 2. 4. Дифракция на круглом отверстии. Зональная пластинка. Пятно Пуассона..................4 3. 3. Распределение интенсивности излучения вдоль оси z. Дифракция Фраунгофера...............4 3. 4. Математический аппарат принципа Гюйгенса - Френеля ......................................................5 3. 4. 1. Метод Кирхгофа .................................................................................................................6 3. 4. 2. Приближенная формула Кирхгофа ...................................................................................6 3. 5. Практические приложения ........................................................................................................7 3. 5. 1. Ограничения концепции Гюйгенса – Френеля и метода Кирхгофа...............................7 3. 5. 2. Дифракция на щели и прямоугольном отверстии ...........................................................8 3. 6. Ссылки:........................................................................................................................................9

3. 1. Введение Дифракция в первоначальном (узком) смысле слова – огибание волнами препятствий, в современном (широком) – любые отклонения при распространении волн от законов геометрической оптики. Правда при такой широкой трактовке термина "дифракция" оно охватывает и явления рассеяния волн в неоднородных средах. Поэтому мы будем считать дифракцией пространственное и временнόе перераспределение волнового поля при встрече волны с препятствиями, рассеяние электромагнитного поля на препятствиях. Именно благодаря дифракции мы видим объекты реального мира, поскольку глаз реагирует на преобразованную (рассеянную, отраженную) объектами волну. Первая волновая трактовка дифракции дана Юнгом (1800), вторая – Френелем (1815) на основе принципа Гюйгенса (1678). Математически теорию Гюйгенса – Френеля дополнили и развили Гельмгольц и особенно Кирхгоф (1883). 3. 1. 1. Подходы Гюйгенса – Френеля и Юнга Гюйгенс предположил, что каждая точка пространства, до которой доходит свет, может рассматриваться как источник вторичных сферических волн (рис.1, а). Направление распространения света он учитывал тем, что вторичные волны излучаются только в одну полуплоскость пространства (вперед). Огибающая вторичных волн образует фронт волны в следующий момент времени. Это позволило согласовать волновую теорию света с геометрической оптикой, включая образование полутени, отражение и преломление света, но не позволяло объяснить более сложные дифракционные картины, наблюдавшиеся в опыте.

www.phys.nsu.ru у λ/2 3 2 1

Р

А(у)

В

В1 φ

а

б

в

Рис. 1. Схемы дифракции а) по Гюйгенсу, б) по Френелю, в) по Юнгу

Френель дополнил принцип Гюйгенса представлениями о когерентности вторичных волн и их интерференции. Учет того, что от разных точек сечения отверстия свет доходит в точку наблюдения Р с различными фазами (рис. 1, б), приводит к тому, что в точке наблюдения амплитуды волн могут как складываться, так и вычитаться, а интенсивность света как увеличиваться, так и уменьшаться, образуя сложную дифракционную картину. Для суммирования амплитуды волн нужно разбить сечение отверстия на зоны и производить суммирование с учетом знака фазы волны от каждой зоны. При этом, как и у

www.phys.nsu.ru

1

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru Гюйгенса, точки-источники вторичных волн Френеля не имеют физического референта, а являются чисто математическими образами. Подход Юнга более физичен и основан на том, что дифракция представляет собой результат действия двух процессов: возбуждения вторичных волн на физических границах препятствий и интерференции вторичных волн с падающей и прошедшей (рис. 1, в). Результирующее поле образует дифракционную картину. Концепция Юнга в настоящее время находит содержательное развитие в теориях дифракции радиоволн (Леонтович, Фок, 1944 - 46 гг.) и в квазиоптике. В зависимости от расстояния точки наблюдения до рассеивающего объекта дифракцию делят на два вида: Френеля и Фраунгофера. Если точка наблюдения расположена достаточно далеко по сравнению с характерным размером рассеивающего объекта, то в точке наблюдения пришедшая волна имеет практически плоский фронт. В этом случае говорят о дифракции Фраунгофера. Остальные случаи называют дифракцией Френеля.

3. 2. Дифракция Френеля (качественная картина) 3. 2. 1. Зоны Френеля Подход Френеля позволяет получить хорошие результаты достаточно простым способом, если границы тела, на котором происходит дифракция, достаточно просты по геометрической форме. Поэтому мы воспользуемся им ниже для описания дифракции на щели, круглом и прямоугольном отверстии. Пусть монохроматическое излучение точечного источника S падает на непрозрачный экран с круглым отверстием радиуса R, а точка наблюдения Р находится на оси z, проходящей через источник и центр отверстия (рис. 2, а). Выберем точку М1 в сечении отверстия таким образом, чтобы М1Р = АР + λ/2. Тогда каждая точка, лежащая внутри сектора АМ1 будет точечным излучателем, фаза излучения которого изменяется от точки А до точки М1 в пределах 0 … π, а амплитуда излучения всех точек сектора будет суммироваться в точке Р. Обозначим расстояние точки М1 от центра отверстия через r. Определенный таким образом круг диаметром 2r называется первой зоной Френеля. Подчеркнем: амплитуды (интенсивности) излучения, пришедшего от каждого элемента первой зоны в точку наблюдения Р, суммируются.

www.phys.nsu.ru SА = a, АР = b ОM1 = r

М2

R

М1 S

а а

r

b+λ/2

О х А

b

R

Р

N2 φ2 N1 φ1

Линза

М1

b

S

z

Р

S

а

Р b

О б)

а)

b+λ/2

r

z

в)

Рис. 2. Зоны Френеля а) сферический фронт падающей волны, б) зависимость амплитуды суммарной волны от угла φ, в) плоский фронт падающей волны.

Аналогично можно найти точку М2 такую, что разность длин М1Р и М2Р будет также составлять λ/2 (или, что то же самое, М2Р = АР + 2·λ/2). Излучение из каждого элемента этой зоны (из кругового сектора М1 … М2), приходящее в точку Р, будет также суммироваться по амплитуде, но его фаза будет сдвинута относительно излучения первой зоны на полупериод. Следовательно, суммарная амплитуда (и интенсивность) излучения второй зоны будет вычитаться из суммарной амплитуды излучения первой зоны. Определенный таким образом круговой сектор будет составлять вторую зону Френеля и т. д. Таким образом, отверстие в экране радиусом R ≥ m·λ/2 может быть разбито на m зон Френеля. Определим радиусы зон Френеля. Для первой зоны можно написать: r 2 = a 2 − (a − x) 2 = (b + λ / 2) 2 − (b + x) 2 ,

откуда

x=

b λ λ2 + . a + b 2 8(a + b)

При λ << a, b вторым слагаемым можно пренебречь. Тогда

x=

b λ , a + b 2 и для радиусов зон Френеля

получим:

ab (1) λ. a+b Для определения суммарной интенсивности излучения определим площади зон Френеля. Площадь первой зоны, равная площади круга, равна rm = m

www.phys.nsu.ru S1 = 2πax =

πab πaλ2 πab λ+ ≈ a+b 4( a + b ) a + b

(2) 2

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

Поскольку для сегмента, захватывающего две зоны, площадь просто удвоится, для сегмента в три зоны – утроится и т. д., то, следовательно, площади колец каждой зоны равны между собой. Однако угол φ между нормалью к фронту волны N и направлением на точку Р, увеличивается от зоны к зоне (рис. 2, б). Френель предположил, что амплитуда волны, пришедшей с каждой последующей зоны, уменьшается пропорционально росту угла φ и при φ = π/2 становится равной нулю1. Поэтому для суммарной амплитуды волны в точке Р можно написать: (3) S = S1 – (S2 – S3) – (S4 – S5)…. Отсюда следует, что амплитуда волны, пришедшей в Р при отсутствии экрана, меньше той, которая приходит от первой зоны: S < S1, что подтвердилось экспериментально. Для излучения с плоским фронтом волны (рис. 2, в) решение упрощается и радиусы зон равны (1′) r = mbλ m

3. 2. 2. Векторное построение амплитуды излучения от зон Френеля Для определения амплитуды излучения в точке Р разобьем зоны на элементарные участки Δs (субзоны), в пределах которых можно считать фазу постоянной, а ее изменение будем считать происходящим только от одной субзоны к другой. Проведем векторы Si, величины которых будут равны друг другу, а углы θi будут соответствовать фазе волны, пришедшей в Р от данной субзоны (рис. 3, а). При Δs → 0 суммирование θi по всей первой зоне даст полуокружность, а суммирование векторов Si – вектор А1 (рис. 3, б). Там же показан вектор А1/2, соответствующий амплитуде излучения от половины первой зоны. На рис. 3, в показано построение амплитуды излучения Аn от отверстия, включающего n зон Френеля, и амплитуды А2, соответствующей излучению от отверстия, включающего две первые зоны Френеля. Излучение второй зоны вычитается из излучения первой, но модуль А2 не равен нулю потому что излучение второй зоны приходит в точку Р с большего угла φ. Увеличение диаметра отА1 А1 А1 верстия (числа зон Френеля) даст спираль, Sm сходящуюся к полюсу О, соответствующему А1/2 А1/2 излучению в случае отсутствия экрана (отφπ Аn крыты все зоны). Этому будет соответствоφπ/2 А1/2 вать результирующий вектор амплитуды Аn S1 Аn А2 φ1 А2 в два раза меньший, чем вектор первой зоны в а г б А1 и меньший даже вектора S1/2 для половиРис. 3. Векторные диаграммы зон ны первой зоны (рис. 3, в, г). Амплитуда иза) суммирование по субзонам ΔS, б) векторы половины и полной лучения от первой зоны в 2 раза больше ам1-й зоны, в) векторная диаграмма при n → ∞, г) соотношение плитуды излучения при отсутствии экрана. амплитуд первой зоны, половины зоны, суммы 1-й и 2-й зон и Таким образом, интенсивность поля, всего пространства. пропорциональная квадрату амплитуды, при наличии экрана с отверстием, равным первой зоне Френеля I1, будет в 4 раза больше чем при отсутствии экрана I0: (4) I1 = 4 I0. 3. 2. 3. Построение зон Френеля для прямоугольных краев и щелей. Спираль Корню

www.phys.nsu.ru

Рассмотренный метод построения зон Френеля удобен для графического решения задачи об интенсивности поля при наличии препятствий с центральной симметрией, подобных отверстию, диску, шару. Другой частный случай графического решения задач об определении интенсивности (амплитуды) поля при наличии препятствий с прямоугольными гранями (край плоского экрана, щель) нашел Корню. На рис. 4 показан пример построения зон Френеля для дифракции на краю плоского экрана. Сферический фронт разбит на сек-

А Мn'

А3 Мn

F+

А

А2

М2' М ' М М1 М2 0 1 В1

А1

I=1/4

В2 В4 Fа

Р

I=1

В3

б

в

Р Р1

Рис. 4. Дифракция на краю экрана

а) построение зон Френеля, б) спираль Корню, в) интенсивность света за краем экрана.

www.phys.nsu.ru

1 Позднее Кирхгоф вывел зависимость амплитуды от угла φ из волновых уравнений и показал, что равным нулю этот множитель становится не при π/2, а при π.

3

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru торы следующим образом (рис. 4, а). Точки Мi удовлетворяют условию: РМk+1 - РМk = λ/2. Через А и каждую Мi проведены секущие плоскости, перпендикулярные чертежу. Суммируется амплитуда полученных "лунок", площади которых относятся как 1: 0,41 : 0,32 : 0,27 : 0,23 : 0,22 : 0,20 : 0,18 : 0,17 и т. д.2 Здесь амплитуда убывает гораздо быстрее, чем в случае круглых препятствий. Векторная диаграмма в этом случае образует спираль Корню (рис. 4, б). Точки F+, F- образуют полюсы для каждой половины волны (от края экрана), к которым спираль приближается асимптотически. Прямая F+ОF- проходит под углом 45º к оси АР. Пользуясь спиралью Корню, построенной в соответствующем масштабе, можно графически решать задачи о дифракции на препятствиях с прямолинейными краями. Для примера на рис. 4, в показан график распределения интенсивности света за краем прямоугольного экрана.

3. 2. 4. Дифракция на круглом отверстии. Зональная пластинка. Пятно Пуассона Выберем точку Р на оси z таким образом, чтобы круглое отверстие радиуса R ≥ m·λ/2 составляло первую зону Френеля, и поместим здесь приемный экран, перпендикулярный оси z (рис. 5). Как будет распределяться интенсивность излучения вдоль оси у, проходящей через приемный экран в плоскости рисунка? По мере движения точки наблюдения вдоль оси у интенсивность будет уменьшаться, и когда выполнится условие ОВ′ = АВ′ + 2·λ/2, интенсивность достигнет минимума, поскольку в точке Р′ суммируется излучение первой и второй зоны, после чего интенсивность вновь будет возрастать. Следующий y λ/2

Р′

I(y)

А Р О

2·λ/2

z

а)

б)

Рис. 5. Дифракционная картина на экране а) расположение максимумов и минимумов, б) дифракция на круглом отверстии.

максимум будет в точке, разность хода до которой центрального и крайнего луча составит 3·λ/2. Однако суммарная интенсивность излучения в данной точке будет значительно меньше интенсивности центрального максимума. Общая картина дифракции на круглом отверстии показана на рис. 5 б, в. Вуд использовал френелевы зоны для создания своеобразной линзы Вуда, которую также называют зональной пластинкой. Если закрыть четные зоны Френеля в отверстии непрозрачными кольцами (рис. 6), то интенсивность в точке Р значительно усилится, поскольку теперь амплитуда излучения четных зон уже не будет вычитаться из суммарной амплитуды 1 2 34 6 нечетных зон. Еще большего усиления можно достичь, если на место четных зон поместить кольца из прозрачного для излучения диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε ≠ ε0, рассчитав их толщину таким образом, чтобы они давали сдвиг фазы на π. Тогда амплитуды излучения Рис. 6. Зональная пластинка всех зон – нечетных и четных – будут складываться. Расположим теперь приемный экран в точке Р, для которой отверстие представляет собой сумму двух первых зон (рис. 7, а). Тогда на оси z будет минимум излучения, а максимум освещенности будет смещен вдоль оси у в точку Р′. В результате на приемном экране в центре (на оси z) будет темное пятно, окруженное светлым кольцом (рис. 7, б). Это темное пятно, расположенное по

www.phys.nsu.ru y

y

2·λ/2

I(y)

I(y)

Р′ z Р а)

z б)

Р

в)

Рис. 7. Пятно Пуассона а), б) пятно Пуассона на отверстии, в) то же на диске.

оси отверстия в экране, получило название пятна Пуассона. Если заменить экран с отверстием на непрозрачный диск диаметром, равным диаметру отверстия, то в результате мы получим дополнительную картину – светлое пятно на оси z, окруженное темным кольцом (рис. 7, в).

3. 3. Распределение интенсивности излучения вдоль оси z. Дифракция Фраунгофера Выше мы нашли способ выделения зон Френеля на площади отверстия радиуса R ≥ m·λ/2 в непрозрачном экране (рис. 2). Поставим вопрос несколько иначе. Если в опыте, представленном на рис. 8, а, задано отверстие R ≥ m·λ/2, то можно ли найти на оси z такую точку Р′, чтобы все отверстие представля-

www.phys.nsu.ru 2

Расчет выполнен для плоского фронта, что допустимо лишь при малой его кривизне.

4

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

ло собой первую зону Френеля? Очевидно да. Для этого достаточно расположить точку Р′ так, чтобы выполнить условия ОР′ =АР′ и МР′ = АР′ + λ/2. Интенсивность поля в точке Р′ будет в четыре раза выше, нежели была бы при отсутствии экрана с отверстием (формула 4). I(z)

λ/2 А М k·λ/2 R Ак Рк О а)

b+λ/2

b+2·λ/2 Р′

b

z

z

Р′′

Р′′

б)

Р′

Рис. 8. Интенсивность излучения вдоль оси z.

а) определение расстояний соответствующих зонам Френеля, б) интенсивность вдоль z.

Будем перемещать точку Р′ вдоль оси z в направлении к экрану. Очевидно интенсивность будет уменьшаться, поскольку сейчас мы "движемся" по второй полуокружности спирали рис. 3, в. В точке Р′′ интенсивность достигнет минимум, соответствующего сумме освещенности двух зон – первой и второй. При дальнейшем продвижении в направлении к О мы получим чередование ряда максимумов и минимумов, соответствующих нечетному и четному числу открывающихся зон Френеля. С учетом общего уменьшения интенсивности поля вдоль оси z мы получим изменение интенсивности, качественно изображенное на рис. 8, б. Вопрос о том, что будет в непосредственной близости к экрану и в его плоскости, выходит за рамки тех приближений, в которых строится теория Гюйгенса – Френеля. Очевидно, правее точки Р′ уже не будет чередования максимумов-минимумов, а интенсивность будет уменьшаться монотонно. Фактически правее точки Р′ мы попадаем в зону дифракции Фраунгофера, тогда как пространство левее этой точки – это зона дифракции Френеля.

3. 4. Математический аппарат принципа Гюйгенса - Френеля Сформулируем еще раз основной постулат, составляющий суть принципа Гюйгенса – Френеля. Он заключается в том, что поле Е(r, t) в точке наблюдения Р можно интерпретировать как суперпозицию вторичных волн, испускаемых воображаемыми источниками волн, расположенными на некоторой поверхности S, охватывающей точку излучения Р0 (рис. 9, а), или на поверхности S′, охватывающей точку наблюдения Р (рис. 9, в). Пусть в точку наблюдения Р падает излучение источника Р0 (рис. 9, а). Выделим сферическую волновую поверхность S, создаваемую источником на расстоянии r. Амплитуда скалярной волны, создаваемой источником в некоторой точке B волновой поверхности, равна

www.phys.nsu.ru EВ =

A exp[i(ωt − kr )], r

(5)

где А – амплитуда волны, создаваемая источником на единичном расстоянии, k – волновой вектор, ω – циклическая частота излучения. S

dS φ В

Р0

S

n ρ

ρ r

R

R

а)

Р

Р0

r

б)

S′

dS

n ρ + dρ

Р0

Р r

S′

dS

В

ρ Р

в)

Рис. 9. К принципу Гюйгенса-Френеля Элемент dS волновой поверхности, расположенный в точке В, создает в точке Р излучение, пропорциональное величине элемента и амплитуде поля на нем, зависящее от угла прихода излучения φ: dU ( P ) =

EB exp(−ikρ) K (ϕ)dS , ρ

(6)

где ρ – расстояние от В до Р, К(φ) – функция, описывающая зависимость амплитуды вторичных волн от угла прихода φ. Полное поле в точке Р определяется интегрированием излучения по замкнутой поверхности S, охватывающей источник излучения:

∫

U ( P ) = dU ( P)dS = S

∫ S

AK (ϕ) exp[i (ωt − kr − kρ)]dS . rρ

(7)

Заметим, излучение "вперед" определяется специфическим заданием функции К(φ) по волновой поверхности. Френель не дал аналитического выражения для этой функции, заменив его приближенным способом построения зон (Френеля) на поверхности S.

www.phys.nsu.ru

5

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru Кирхгоф нашел искомую функцию из решения волнового уравнения в приближении, когда r, R >> λ: K (ϕ) =

ik (1 + cos ϕ). 4π

(8)

Здесь множитель i означает, что фазы вторичных волн отличаются на π/2 от фазы первичной волны в точке В. Если через dS провести две бесконечно близкие сферические поверхности с радиусами ρ и ρ + dρ и центром в точке Р (рис.9, б), выразить dS через dρ, то для расчета поля в точке Р получим R + 2r

2πАе i (ωt − kr ) U ( P) = r+R

∫ K (ρ)exp(−ikρ)dρ.

(9)

R

3. 4. 1. Метод Кирхгофа Кирхгоф (вслед за Гельмгольцем) искал самый общий подход к задачам распространения света и его дифракции. Он показал, в частности, что предположения Френеля справедливы лишь тогда, когда источник света Р0 и точка наблюдения Р находятся достаточно далеко от поверхности S. Подход Кирхгофа заключается в следующем. В общем виде гармоническая волна может быть описана некоторой скалярной функцией ξ, амплитуда которой ψ (x,y,z) зависит только от координат и задает форму волновой поверхности:

ξ = ψ ( x , y , z ) e i ωt

(10)

В частном случае плоской или сферической волны для амплитуды имеем соответственно:

ψ = exp ik ( x + y + z );

ψ=

1 exp ikr r

Кирхгоф наложил на функцию ξ единственное условие – она должна удовлетворять волновому уравнению

Δψ + k 2 ψ = 0

(11)

Если ψ1 и ψ2 – функции, являющиеся частными решениями уравнения (11), однозначны, непрерывны и по крайней мере дважды дифференцируемы, то для них справедлива теорема Грина:

www.phys.nsu.ru ∫ (ψ

2 Δψ 1

V

∂ψ 1 ∂ψ 2 ⎞ ⎛ − ψ 1 Δψ 2 )dV = ⎜⎜ ψ 2 − ψ1 ⎟dS , n ∂ ∂n ⎟⎠ ⎝ S

∫

(12)

где n – внешняя пормаль к поверхности S, V – объем пространства, охваченный поверхностью S (рис. 10). Напомним, что теорема Грина справедлива только в том случае, если обе функции не имеют особых точек внутри области интегрирования. Пусть ψ1 пока неизвестна, а ψ2 = 1/r·еxp(-ikr) – сферическая волна, заведомо удовлетворяющая уравнению (11). Тогда с учетом (11) для подынтеn грального выражения в левой части имеем dS S0 2 2

(ψ 2 Δψ 1 − ψ 1 Δψ 2 ) = (− ψ 2 k

Р S

)

ψ 1 + ψ 1 k ψ 2 = 0.

Поскольку левая часть в (12) равна нулю, то из правой части с учетом значения ψ2 получим уравнение для нахождения функции ψ1:

⎛ е -ikr ∂ψ 1 ∂ е -ikr ⎞⎟ ⎜ − ψ1 dS = 0. ⎜ r ∂n ∂n r ⎟⎠ S⎝

∫

Рис. 10. к выводу формулы Кирхгофа

(13)

Если нас интересует точка наблюдения Р, в которой расположено начало координат, то мы не можем воспользоваться напрямую формулой (13), так как в начале координат функция ψ2 имеет особую точку. Для обхода этой трудности можно окружить особую точку малой замкнутой поверхностью S0. Тогда для области между S и S0 выведенные выше формулы применимы полностью, и на внутренней поверхности ∂/ ∂n = - ∂/ ∂r, т. е. нормаль направлена внутрь. Интеграл по внутренней поверхности S0 примет вид

⎛ е -ikr ∂ψ ∂ψ ⎞ ∂ е -ikr ⎞⎟ 2 ⎛ − ⎜ r dΩ = − е -ikr ⎜ ψ + е -ikr ψ + r −ψ ⎟dΩ, ⎟ ⎜ r ∂r r r ∂r ⎠ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ S0 S0

∫

∫

где dΩ- элемент телесного угла с вершиной в точке Р. При r → 0 правая часть последнего выражения стремится к - 4πψр, и формула (13) для потенциала ψр в точке Р даст

ψP =

1 4π

⎛ е -ikr ∂ψ ∂ е -ikr ⎞⎟ ⎜ dS 0 . −ψ ⎜ r ∂n ∂n r ⎟⎠ S0 ⎝

∫

(14)

Таким образом, если известны значения ψ и ∂ψ/ ∂n на внутренней поверхности S0, то можно вычислить значение функции ψ в точке наблюдения ψр. Аналогичные выкладки можно провести и для того случая, когда поверхность S0 окружает не точку наблюдения, а источники излучения.

3. 4. 2. Приближенная формула Кирхгофа

www.phys.nsu.ru Строго говоря, значения ψ и ∂ψ/ ∂n в уравнении (14) должны быть заданы как по внутренней, так и по внешней поверхности. В случае сложной поверхности (сложного по форме объекта дифракции) это приводит к значительным трудностям применения строгой тории Кирхгофа. Обычно она используется в несколько упрощенном виде. Полагается, например, что на экране значения

6

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru

ψ = ∂ψ/ ∂n = 0, а на поверхности, "затягивающей" отверстие в экране, они соответствуют невозмущенной волне, падающей от источника на эту воображаемую поверхность в отсутствии экрана. На остальной полусфере, замыкающей поверхность по бесконечно удаленному радиусу, принимают условия излучения Зоммерфельда: при r → ∞ ψ ~ 1/r, lim r (∂ψ/ ∂r – ikψ) = 0. В этом случае решение получается тем точнее, чем больше отверстие по сравнению с длиной волны и чем меньше размер освещенной зоны (в площади приемного экрана), которая нас интересует. В частности, если r и ρ много меньше λ, т. е. kr , kρ >> 1 (рис. 9, в), а ψВ = А/ r· exp(-ikρ), то уравнение (14) принимает вид

ψP =

1 4π

⎧⎪⎡ е -ikρ ∂ Aе -ikr cos(n, r ) ρ ∂r r

∫ ⎨⎪⎩⎢⎣⎢ S

⎤ ⎡ Aе -ikr ∂ е -ikρ ⎤ ⎫⎪ cos(n, r ) ⎥−⎢ ⎥ ⎬dS . ∂ρ ρ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎦⎥ ⎣⎢ r

Пренебрегая членами порядка А/ rρ2, почленным дифференцированием получим

ψP =

ik 4π

⎫⎪ ⎧⎪ Aе -ik ( r + ρ) [cos(n, r ) − cos(n, ρ)]⎬dS . ⎨ rρ ⎪⎭ ⎪ S ⎩

∫

(15)

Здесь поверхность S должна полностью окружать либо источник излучения Р0, либо точку наблюдения Р. Если источник излучения точечный, то он создает сферическую волну с одинаковой амплитудой по всей площади сферического фронта. Поэтому множитель А/r· exp(-ikr) = А′ = const и уравнение (15) перепишется в виде

ψP =

ikА′ 4π

⎫⎪ ⎧⎪ е -ikρ [cos(n, r ) − cos(n, ρ)]⎬dS , ⎨ ⎪⎭ ⎪ ρ S ⎩

∫

(15′)

где множитель [cos(n,r) – cos(n,ρ)] – это функция направления, медленно уменьшающаяся от значения 2 при угле (n,r) = 0, а множитель i перед интегралом эквивалентен опережению по фазе на π/2, что и постулировал Френель. Уравнения (15) и (15′) дает тем точнее результат, чем дальше точка наблюдения и источник удалены от экрана, чем больше отверстие по сравнению с длиной волны и чем больше экран по сравнению с отверстием и интересующей нас зоной дифракционной картины.

3. 5. Практические приложения 3. 5. 1. Ограничения концепции Гюйгенса – Френеля и метода Кирхгофа Приближенная теория Кирхгофа, являющаяся обоснованием принципа Гюйгенса – Френеля, опирается на два существенных постулата. Считается, что на экране (препятствии) волновое поле равно нулю, а в отверстии и вне экрана оно такое, какое было бы в отсутствии экрана (препятствия). Эти постулаты приводят фактически к ряду ограничений применимости теории. Во-первых, отверстие (полость в экране, препятствие) должны быть существенно больше длины волны излучения. Это связано с тем, что на физических границах экрана под действием электромагнитной волны происходит перераспределение зарядов, что создает свое собственное электромагнитное поле вблизи поверхности экрана. Поэтому полагать поле в отверстии таким, каким оно было бы в отсутствии экрана, можно с достаточной точностью лишь в том случае, если отверстие велико по сравнению с длиной волны. Во-вторых, строгие решения задач дифракции на основании уравнений Кирхгофа ограничены фактически телесным углом θ, под которым из точки наблюдения видно препятствие (рис. 11, а). Это также

www.phys.nsu.ru b+λ/2

В

y х P

θ D >>λ

z

Е

А

θ

О R >>D а)

Е

А

В б)

Рис. 11. Ограничения приближения Кирхгофа. связано с принятыми постулатами, поскольку лишь в области пространства, ограниченного телесным углом θ можно пренебречь излучением, приходящим извне экрана. Таким образом, точность расчета картины дифракции с увеличением ее размеров в плоскости ху уменьшается. В пределах телесного угла θ погрешность обычно не превышает 5 %. В-третьих, приближение Кирхгофа разработано для скалярного поля (хотя его и можно "модифицировать" для векторного электромагнитного поля, записанного уравнениями Максвелла). Это проявляется в дополнительных погрешностях, обусловленных необходимостью выполнения граничных условий для вектора электромагнитного поля Е на проводящем экране. Например, в случае симметричного квадратного отверстия в проводящем экране (рис. 11, б) картины распределения интенсивности дифрагировавшего поля поляризованного излучения, снятые вдоль АА и ВВ перестают быть одинаковыми. Действительно, если на экран падает плоская волна с равномерной интенсивностью поля по всей площади, то в

www.phys.nsu.ru

7

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru плоскости отверстия (на поверхности, "натянутой" на отверстие) излучение перестает быть равномерным, поскольку на сторонах отверстия, параллельных вектору Е последний должен "зануляться" (тангенциальная составляющая Е в плоскости идеально проводящего экрана должна быть равна нулю). Поэтому первоначально равномерное по амплитуде излучение, падающее на отверстие, становится в его плоскости неравномерным. Не смотря на эти ограничения, концепция Гюйгенса-Френеля и метод Кирхгофа находят широкое применение в качестве приближенных методов для анализа дифракции излучения не только собственно светового диапазона, но и в квазиоптике (в том числе в диапазоне СВЧ), так как обладают значительной простотой по сравнению с юнговской концепцией. 3. 5. 2. Дифракция на щели и прямоугольном отверстии Пусть есть плоская щель шириной 2b >> λ, на которую падает излучение с плоским фронтом волны. Нас будет интересовать дифракция Фраунгофера на этой щели, т. е. дифракционная картина в плоскости приемного экрана, удаленного от щели на расстояния L >> b. Нужно определить амплитуду излучения, приходящего из плоскости щели в некоторую точку Р приемного экрана (рис.12, а). Разобьем щель на малые участки dу и будем искать вклад в суммарное излучение в точке Р от каждого такого участка. Расстояния различных участков dу до точки Р не одинаковы, но по условиям дифракy φ

А(φ)

dу φ

y y sin φ

I(φ)

π

ρ Р kbφ а)

2π 3π б)

Рис. 12. Дифракция на щели и прямоугольном отверстии

www.phys.nsu.ru а) на щели, б) на прямоугольном отверстии (внизу контур отверстия).

ции Фраунгофера эти отличия малы, и мы можем пренебречь ими при расчете амплитуды излучения, приходящего в точку Р от каждого участка. Поэтому мы проведем луч ρ в точку Р от середины щели, и будем считать, что

www.phys.nsu.ru 8

Л.Н. Смирных

www.phys.nsu.ru 3. 6. Ссылки:

1. Айзенберг Г.З. Антенны ультракоротких волн. – М.: Связьиздат, 1957. – 700 с. 2. Лабораторный практикум по физике: Учебн. пособие для студентов втузов/ Под ред. Барсукова К.А., Ю.И. Уханова. –М.:, Высш. шк., 1988. – 352 с. 3. Перкальскис Б.Ш. Волновые явления и демонстрации по курсу физики. – Томск: Изд-во Томск. Ун-та, 1984. – 280 с. 4. Семенов Н.А. Техническая электродинамика. – М.: Связь, 1973. – 480 с. 5. Стрельникова Л.П. Физический практикум по электромагнитным волнам. – М.: Изд. МГУ, 1974. – 94 с. 6. Специальный физический практикум, ч. 3, - М.: Изд. Моск. Ун-та, 1977. – 382 с. 7. Фрадин А.З., Е.В. Рыжков. Измерение параметров антенно-фидерных устройств. – М.: Связьиздат, 1962. – 316 с. 8. Чернушенко А.М., А.В. Майбородин. Измерение параметров электронных приборов дециметрового и сантиметрового диапазонов волн. – М.: Радио и связь, 1986. – 336 с. 9. Дитчберн Р. Физическая оптика.- М.: Наука, 1965. -632 с. 10. Калитеевский Н.И. Волновая оптика. Учеб. Пособие для ун-тов. – М.: Высш. шк. 1978. – 383 с. 11. Ландсберг Г.С. Оптика. Изд. 4. – М.: Гостехиздат, 1957. – 628 с. 12. Физическая энциклопедия. Т.1 – 5. - М.: Сов. энциклопедия. Т. 1. 1988. 704 с., Т. 2. 1990. 704 с., Т. 3. 1992. 672 с. /изд. Большая Российская энциклопедия/, Т. 4. 1994. 704 с. /изд. Большая Российская энциклопедия/, Т. 5. 1998. 760 с. /изд. Большая Российская энциклопедия/. 13. Портис А. Физическая лаборатория. – М., Наука, 1972. – 320 с. 14. Лукьянчиков Л.А. Электричество. Электромагнитные волны: Учеб. пособие/ Новосиб. Ун-т. Новосибирск, 2003. 168 с.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

9