フーリエ解析と偏微分方程式 (理工系の数学教室)

は

じ め

に

い う まで も な く,理 工 系 の 各 専 門分 野 で 基 礎 に な る の は数 学 で あ る .こ の よ うに 重 要 な数 学 の な か で,微 分 積 分 や 線 形 代 数 を習 得 した あ と学 ぶ べ き こ とが らは い ろい ろ あ り,ま た 分 野 ご と に異 な っ て い るが,ど して重 要 な もの に,常 微 分 方程 式,複 素 関 数 論,ベ

の 分 野 で あ っ て も共 通

ク トル解 析,フ ー リエ 解 析,

偏 微 分 方 程 式 が あ る ． また 知 っ て い て 便 利 な もの に ラ プ ラ ス変 換 が あ り,さ ら に最 近 の コ ン ピ ュ ー タの発 展 に よ り数 値 計 算 法 も理 工 学 に お い て 大 き な位 置 を 占め る よ う にな って きた.こ れ らの 項 目の な か で,常 微 分 方 程 式 お よ び複 素 関 数論 につ い て は 本 シ リー ズ で す で に刊 行 して い る.ま た ベ ク トル解 析 につ い て は微 分 積 分 学 との 関 連 を,ま た数 値 計 算 に つ い て は線 形 代 数 と の 関連 を重 視 し て そ れ ぞ れ本 シ リー ズ で 別 途 刊 行 予 定 で あ る.そ 変 換,フ

こ で本 書 で は残 りの ラ プ ラ ス

ー リエ解 析 お よ び偏 微 分 方程 式 に つ い て ま とめ て と りあ げ た.も

ちろ

ん,こ れ らの 項 目 は お 互 い 密 接 に 関連 して い る こ と を考 慮 した た め で あ る . 自然 現 象 は場 所 や 時 間 に よ っ て変 化 す る た め,そ

れ を記 述 す る 場 合 に は場 所

と時 間が 独 立 変 数 と な り,そ の 結 果,偏 微 分 方 程 式 が 現 れ る.し た が っ て,偏 微 分 方 程 式 を解 くこ とが理 工 学 にお い て重 要 な意 味 を もつ.そ

の 場 合,実 用 上

必 要 に な る こ とは,偏 微 分 方程 式 の 一 般 解 を求 め る こ とで は な く,あ る 初 期 条 件 や 境 界 条 件 を満 た す 解 を 求 め る こ とで あ る.こ 値 問題 と よ ん で い る.そ

の よ う な問 題 を初 期 値 ・境 界

して本 書 の 最 大 の主 題 は こ の よ うな 初 期 値 ・境 界 値 問

題 を解 く方 法 を示 す こ と に あ る.フ ー リエ 級 数 の 創 始 者 フー リエ も,熱 伝 導 方 程 式 と よ ばれ る偏 微 分 方程 式 の 初 期 値 ・境 界 値 問 題 を解 くた め に フ ー リエ 級 数 を導 入 した.こ の よ うに フー リエ 級 数 と偏微 分 方程 式 は密 接 に 関 連 す る .と こ ろ で,フ

ー リエ 級 数 は有 限周 期 を もっ た 関 数 を 三角 関 数 の 無 限級 数 で 表 現 す る

とい う もの で あ るが,周 期 関数 で は な い 関 数 も周 期 が 無 限 と考 え る こ と に よ り, 三 角 関 数 を用 い て 表 せ る.こ の場 合,級

数 は 積 分 の形 に な り,フ ー リエ 変 換 の

考 え に 自然 に到 達 す る.フ ー リエ変 換 は偏 微 分 方 程 式 の 有 力 な解 法 に な る だ け で な く周 波 数 解 析 な ど広 い 応 用 を も って い る.さ

ら に フ ー リエ 変 換 は積 分 変 換

とよ ばれ る操 作 の ひ とつ と考 え られ る が,別 の 有 用 な積 分 変 換 に ラ プ ラ ス 変 換 が あ る.ラ プ ラス 変 換 も フー リエ変 換 に お と らず 幅 広 い 応 用 を もつ. 本 書 の構 成 は 以 下 の とお りで あ る.第

１章 で は ラ プ ラス 変 換 を,定 義 か ら は

じめ て,そ の 性 質 や 逆 変 換 の 求 め方 を述 べ た あ と,常 微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題 の 解 法 やデュ ア メル の公 式 とい っ た応 用 に至 る まで 比 較 的 詳 し く記 して い る. 第 ２章 で は三 角 関 数 か らは じめ て周 期 関 数 を三 角 関 数 の和 で 表 す フー リエ 級 数 の 求 め 方 につ い て 述 べ,さ い て の 議 論 を行 う.第

ら に フ ー リエ級 数 の 収 束 性 や微 分 積 分 の 可 能 性 に つ

３章 で は フ ー リエ級 数 の 拡 張 と して フ ー リエ 変 換 を 導 入

し,そ の 性 質 や 簡 単 な 応 用 に つ い て 述 べ る.第

４章 で は 関 数 が 三 角 関 数 だ け で

は な く直交 関 数 と よば れ る 関 数 の 和 で表 せ る こ とや,こ

の よ う な 直交 関数 列 が

スツ ルム ・リュ ー ビル 型 の 微 分 方 程 式 の 境 界 値 問 題 に対 す る 固 有 関 数 と して得 られ る こ と を示 す. 第 ５章 か らあ との 部 分 は 実 用 上 重 要 な ２階 線 形 偏 微 分 方程 式 の初 期 値 ・境 界 問題 を取 り扱 う.第

５章 で は この よ う な偏 微 分 方 程 式 の 分 類 や 標 準 形 へ 書 き換

え を議 論 した あ と,実 際 の 物 理 現 象 か ら偏 微 分 方程 式 の 導 出 を行 う.さ ら に偏 微 分 方 程 式 の 解 の 性 質 をそ れ ぞ れ の 型 に分 け て議 論 す る.第

６章 で は 線 形 偏 微

分 方 程 式 を解 く場 合 に有 力 な変 数 分 離 法 につ い て,長 方 形 領 域 内 で の初 期 値 ・境 界 値 問題 に 焦 点 を あ て て 各 型 の偏 微 分 方 程 式 に対 して 説 明 す る.こ リエ 級 数 が 活 躍 す る.第

７章 で は 円 形 領 域 や 球 形 領 域 にお け る 初 期 値 ・境 界 値

問 題 を と りあ げ る.こ の場 合 に は,第 現 れ る.第

の ときフー

４章 で 述 べ た 三 角 関 数 以 外 の 直交 関 数 が

８章 で は 変 数 分 離 法 以 外 の 主 な 解 法 に つ い て概 説 す る.す

な わ ち,

変 数 分 離 法 で は取 り扱 え な い 非 同次 方程 式 に対 す る 固 有 関数 展 開 法 や １章 や ３ 章 で 述 べ た ラプ ラス 変換,フ ー リエ変 換 を利 用 した 解 法 を例 示 し,さ ら に グ リー ン関 数 を用 い た 解 法 に もふ れ る.付 録 で は複 素 関 数 論 との 関 連 と して ラプ ラ ス 逆 変 換 に現 れ る 複 素 積 分 に つ い て述 べ る.な お,コ い偏 微 分 方 程 式 の 数 値 解 法 も実 用 上 重 要 で あ るが,こ

ン ピ ュー タの 発 展 に と も な れ につ い て は 他 の巻 で 述

べ る予 定 で あ る. 本 書 に よっ て 読 者 諸 氏 が 理 工 学 に必 要 な数 学 の な か で も特 に重 要 な ラ プ ラス 変 換,フ

ー リエ 解 析,偏

微 分 方 程 式 に対 す る基 礎 知 識 を 習 得 し,さ ら に高 度 な

数 学 に進 む場 合 の 一 助 とな れ ば 幸 い で あ る.な お,本 書 の 原 稿 は 十 分 に推 敲 し た が 著 者 の 未 熟 か ら思 わぬ 間 違 い や 読 み づ らい点 が あ る こ と を恐 れ て い る.読

者 諸 氏 の ご叱 正 を待 ち,順 次 改 良 を加 え て い きた い. 最 後 に,本 書 執筆 にあ た り,お 茶 の水 女 子 大 学 大 学 院 人 間文 化 研 究 科 複 合 領 域 科 学 専 攻 の 宮 下 和 子 さ んお よび 同 研 究 科 数 理 ・情 報 科 学 専 攻 の割 田 真弓 さん に は数 式 の チ ェ ック を含 む原 稿 の 校 正 とい うめ ん ど うな仕 事 を引 き受 け て い た だ い た.ま た,朝 倉 書 店 編 集 部 の み な さ ん に は本 書 の 刊 行 に対 して終 始 お 世話 に な っ た.こ

こ に記 して感 謝 の意 を表 した い ・

2005年 ３月 河 村 哲 也

目

次

１.ラ

プ ラ ス 変 換 

１

1.1ラ

プ ラ ス 変 換 

１

1.2ラ

プ ラ ス 変 換 の 存 在 

４

1.3ラ

プ ラ ス 変 換 の 性 質 

５

1.4ラ

プ ラ ス 逆 変 換 

12

1.5定

数 係 数 常 微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題 

17

1.6単

位 応 答 と デ ル タ 応 答 

21

２.フ

ー リ 工 級 数 

2.1三

角 関 数 

28 28

2.2三

角 関 数 の 重 ね 合 わ せ 

2.3フ

ー リ エ 展 開 そ の １37

2.4フ

ー リ エ 展 開 そ の ２43

2.5フ

ー リ エ 級 数 の 収 束 性 

47

2.6ベ

ッ セ ル の 不 等 式 と パ ーセ バ ル の 等 式 

53

３.フ

ーリエ 変 換 

34

57

3.1フ

ー リエ の 積 分 定 理 

57

3.2フ

ー リエ 変 換 

60

3.3フ

ー リエ 変 換 の 性 質 

64

４.直交 4.1直交

関 数 と 一 般 のフ ーリ 工 展 開  関 数 系 

70 70

4.2一

般 の フ ー リ エ 級 数 

72

4.3ス

ツ ルム ・リュ ー ビ ル 型 固 有 値 問 題 

75

５.数 理 物 理 学 に 現 れ る偏 微 分 方 程 式  5.1線

形 偏 微 分 方 程 式 

84

5.2偏

微 分 方程 式 の 標 準 形 

87

5.3偏

微 分 方程 式 の 物 理 現 象 か ら の導 出 

94

5.4偏

微 分 方 程 式 の 解 の性 質 

98

６.変 数 分 離 法 に よ る 解 法  6.11次

元 波 動 方 程 式 

6.2ラ

プ ラ ス方 程 式 

6.3熱

伝 導 方 程 式 そ の  1115

6.4熱

伝 導 方 程 式 そ の  2119

７.い ろ い ろ な境 界 値 問 題 

107 107 113

122

7.1円

形 領 域 にお け る ラ プ ラス 方 程 式 

122

7.2円

形 膜 の 振 動 

128

7.3球

形 領 域 で の 境 界 値 問題 

132

８.種

々 の 解 法 

137

8.1固

有 関数 展 開 法 

137

8.2フ

ー リエ 変換 に よ る解 法 

143

8.3ラ

プ ラス 変 換 に よ る解 法 

145

8.4グ

リー ン 関数 

147

付

録  ラ プ ラ ス逆 変 換 と留数 定 理 

略解 

索

84

154 154

158

引 

167

１  ラ プラ ス変 換 1.1  ラ プ ラ ス 変 換

  t>0に

お い て 関 数f(t)が

定 義 さ れ て い る と き,複 素 数 ま た は 実 数 の パ ラ

メ ー タｓ を含 む 積 分 (1.1) を考 え る.式(1.1)の

右 辺 はｔ に関 す る定 積 分 で あ り,積 分 す れ ばｔ は 消 え てｓ

だ け が 残 る た め そ れ をF(s)と プ ラス(Laplace)変

書 い て い る.こ

のF(s)の

こ とを 関 数f(t)の

ラ

換 と よ び, (1.2)

な ど と記 す.す

な わ ちｆ の ラ プ ラ ス変 数Ｆ は次 式 で 定 義 され る.

  この よ う な 変 換 を導 入 す る理 由 と して,関 数f(t)に

対 す る 問 題 が 関 数F(s)

に対 す る 問題 に置 き換 え られ る こ とが あ げ られ る.こ の よ うに して 問題 が 簡 単 化 さ れ れ ば 変 換 した 意 味 が あ る.し か し,変 換 が 実 際 に役 立 つ もの で あ る た め に は.F(s)か らf(t)に

も どす 手 続 き も必 要 に な る.こ の 手 続 き を ラ プ ラス 逆 変

換 と よ び,記 号 (1.3) な どで 表 す.式(1.1)に 録 に与 え る.

対 応 す る よ うな,ラ プ ラス 逆 変 換 の 具 体 的 な計 算 式 は付

ラ プ ラ ス 変 換 を実 際 に計 算 す る場 合 に は 次 の例題 の 関 係 が役 立 つ. 例題1.1 Re(s)>0の

とき

(1.4) が 成 り立 つ こ とを 示 せ. 【解 】s=a+ibと

お く と,条 件 か らRe(s)=a>0で

あ る.t>0で

る こ と を考 慮 す れ ば

と な る.そ

こ で,ロピ

タ ル(L'H〓pital)の

 こ の 例題 を 用 い て,tn(n=0,1,2,…)の

定 理 を続 け て使 え ば

ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め て み よ う .In=L

[tn]と 記 す こ と に す れ ば

とな る.そ

こ で,Re(s)＞0で

た 右 辺 第 ２項 の 積 分 はIn-1で

が 得 ら れ る 。 一 方,Re(s)＞0の

と な る.し

た が っ て,

あ れ ば,式(1.4)か あ る.し

ら右 辺 第 １項 は ０ に な り,ま

た が っ て,漸

と き(式(1.4)でn=0の

化式

場 合 を 用 い て)

あ

と な る.ま

と め れ ば,

(1.5) と な る(0!=1で

あ る か ら上 式 はn=0の

  次 に 指 数 関eatの

ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め て み よ う.定

と な る の で,Re(a-s)＜0の 在 し て1/(s-a)と

と き も 使 え る).

な る.し

と き(す

義 か ら

な わ ち,Re(s)＞aの

た が っ て,ａ

と き)積

分 が存

が 実 数 な ら ば,

(1.6)

となる.ま たａ が純虚数 の ときはa=iωと

と な る.た

だ し,Re(s)＞0と

よ り得 ら れ る.こ

お くと

い う条 件 はRe(a-s)=Re(iω-s)=-Re(s)＜0

の式 の 実 部 と虚 部 か ら

(1.7)

(1.8) と な る.た

だ し 後 述 の ラ プ ラ ス 変 換 の 線 形 性(式(1.13))を

図1.1 U(t)の

単 位 階 段 関 数 と よ ば れ る 関 数U(t)を

用 い て い る.

グ ラフ

図1.1に 示 す よ う に (1.9)

で 定 義 す る.ま た,a＞0と

した と き,U(t-a)は

図1.2に 示 す よ うにU(t)を

右 にａ だ け平 行 移 動 した関 数 で あ る.こ れ ら は区 分 的 に連 続*な 関 数 で あ り,ラ プ ラ ス 変 換 は,定 義 か ら

と な る.す

な わ ち,

(1.10)

で あ る.

図1.2 U(t-a)の

◇ 問1.1◇

グ ラ フ

次 式 が成 り立 つ こ と を示 せ.

(1.11)

1.2  ラ プ ラ ス 変 換 の 存在

積 分(1.1)は 半 無 限 区 間 で の 積 分 な の で,任 意 の 関 数f(t)に

対 して 存 在 す る

わ け で は な く,あ る 制 限 が つ く.こ れ に 関 して は 以 下 の 事 実 が 知 られ て い る. す な わ ち,  関 数f(t)がt≧0に

お い て 区 分 的 に連 続 で あ り,ま た十 分 に大 き な正 の定 数

Ｔ に対 して,正 数 Ｍ,'γ が 存 在 して,す

べ て のt＞Tに

対 して (1.12)

*区

分 的 に連 続 と い う用 語 に つ い て は2 .5節 を参 照.

が成り 立 つ な ら ば,す

べ て のRe(s)＞γ

に 対 し てf(t)の

ラ プ ラ ス 変 換(1.1)が

存 在 す る.  こ の こ と を 示 す た め に は 以 下 の よ う に す れ ば よ い .い

ま,0＜T＜T0と

し

た と き

に お い て,右 辺 第 １項 はf(t)が

区 分 的 に連 続 で あ る か ら存 在 す る.一 方,右 辺

第 ２項 に つ い て は,仮 定 か ら十 分 に大 き なT＞0に ため,Re(s)=aと

お くと

とな る.こ こ でa＞γ ま た,a＞

対 して 式(1.12)が 成 り立 つ

で あ れ ば,最 右 辺 の 第2項

γで あ れ ば,T→

はT0→

∞ の と きe-(a-γ)T→0と

い く らで も小 さ くな る.こ の こ とはRe(s)＞

∞ の と き ０に な る. な り,上 式 の左 辺 は

γ を満 た す 任 意 の複 素 数 に対 して

ラ プ ラ ス 変 換(1.1)が 存 在 す る こ と を示 して い る.  さ らに,こ の 事 実 か ら想 像 で き る よ うに,f(t)の が 点s=s0で てF(s)が

存 在 す れ ば,Re(s)＞Re(S0)を

ラ プ ラ ス変 換F(s)=L[f(t)]

満 足 す る任 意 の 複 素数ｓ につ い

存 在 す る こ とが知 られ て い る.そ こ で,F(s)＞aと

してF(s)=L[f]が

ラ プ ラ ス変 換(1.1)の 収 束 座 標 と よぶ.こ 平 面)で

な る複 素 数 に対

存 在 す る とい う実 数ａ の 下 限 を α と した と き,こ の α を の と きRe(s)＞

α(複 素 平 面 上 の 半

ラ プ ラ ス変 換 が 存 在 す る が,こ の 領 域 を ラ プ ラス 変 換 の 収 束 域 とい う.

1.3  ラ プ ラ ス 変 換 の 性 質

 本 節 で は ラ プ ラス 変換 の性 質の うち基 本 的 な もの につ い て 調べ る.ま ず,ラ プ ラス 変 換 は線 形 の 演 算 で あ る.す な わ ち,f1(t)とf2(t)が とF2(s)を

ラ プ ラ ス 変 換F1(s)

も ち,ま たａ とｂ を定 数 とす れ ば

(1.13)

が成り 立 つ.こ の こ とは,ラ

プラス変換の定義式 か ら

の よ う に 確 か め ら れ る.   次 にa>0の

と き,相

似性 とよばれる

(1.14)

が 成 り立 つ.な

ぜ な ら,〓=atと

と な る か ら で あ る.ま

た,Ｕ

おけば

を式(1.9)で

定 義 され る単 位 階段 関 数 とす れ ば

(1.15) (1.16) が 成 り立 つ.た

だ し式(1.16)で

はa≧0と

す る.こ

れ ら も以 下 の よ う に して 証

明 で き る.

な お,関 数f(t-a)Ｕ(t-a)は 行 移 動 した あ と,t=aより

図1.3に 示 す よ う に,関f(t)を 左 の 部 分 を ０ と した 関 数 で あ る.

 次 に微 分 と積 分 に関 す る 性 質 に つ い て 述 べ る.ま ず,

右 にａ だ け 平

図1.3 f(x)とf(x)U(x-a)の

グ ラフ

(1.17) が 成 り立 つ.な

と な る が,最

ぜ な ら

右 辺 の 第 １項 は,十

あ れ ば,Re(s)＞γ

分 に 大 き いt＞0に

の と きlimt→ ∞e-stf(t)=0と

対 し て￨f(t)￨＜Meγtで な る か ら で あ る.

 ２ 階 微 分 に 対 し て は

と な る.同

様 に 考 え れ ばｎ 階 微 分 の ラ プ ラ ス 変 換 は

(1.18) と な る.f(1)=f',f(0)=fで

あ る か ら,式(1．18)は

特 殊 な 場 合 と して 式(1.17)

を 含 ん で い る.  積 分 の ラ プ ラス 変 換 につ い て は

(1.19) と な る.な

ぜ な ら

同様 にｎ 回 の積 分 につ い て は (1.20) と な る.微 分 の 場 合 とは 異 な り,こ れ らの 公 式 に はf(+0)な

どは 現 れ な い.

 微 分 や 積 分 につ い て は以 下 の 公 式 も成 り立 つ. (1.21) (1.22) これ らの公 式 が 成 り立 つ こ と は以 下 の よ う に して示 せ る.

 ２つ の関 数ｆとｇ の ラプ ラ ス変 換 をＦ とＧ と した と き,式(1.13)か [f+g]が これ はfgの

成 り立 った.そ れ で は,積FGは

らF+G=L

ど うな る で あ ろ うか.残 念 な が ら,

ラ プ ラ ス 変 換 に は な ら な い.こ のFGが

何 に対 す る ラ プ ラ ス 変 換

に な って い る か を調 べ る た め に,次 式 で 定 義 され る合 成 積 (1.23) を 導 入 す る.合 成 積 に対 して は 交 換 法 則

が成り

立 つ.な

ぜ な ら,t-〓=λ

とお け ば

と な る か ら で あ る.

図1.4 U(t-〓)の

グラフ

こ の よ う に 定 義 さ れ た 合 成 積 に 対 して

(1.24) が 成 り立 つ.証

明 は 以 下 の よ う に す る(図1.4参

照).

 本 節 で導 い た以 上 の 公 式 を ま とめ れ ば 次 の よ うに な る. [ラプ ラ ス 変換 の 性 質] (１) (２) (３) (４) (５)

(６) (７)

(８) (９)  こ れ ら の 公 式 は,以

下 の例 題 に示 す よ うに ラ プ ラス 変 換 の 計 算 や次 節 に示 す

ラ プ ラ ス 逆 変 換 に 有 効 に 利 用 さ れ る. 例 題1.2 次 の 関 数 を ラ プ ラ ス 変 換 せ よ.た

だ し,a＞0と

す る.

(1)eattn(n=0,1,2…),(2)eatsinωt,(3)eatcosωt 【解 】 式(1.5),(1.7),(1.8)お

よ び ラ プ ラ ス 変 換 の 性 質(１)と(３)な

どか ら

(１) (２)

(３)

例題1.3 関 数x=eatは

微 分 方 程 式x'-ax=0のx(0)=1を

と を 利 用 し て,eatの

ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め よ.

満 足 す る解 で あ る こ

【解 】 微 分 方 程 式 を ラ プ ラス 変 換 す れ ば,性 質(５)か ら

と な る.た

だ しL[x]=Xと

記 し て い る.初

(s-a)x=1よ

期 条 件 を考 慮 して

り,〓

例 題1.4 次 の 関 数 を ラ プ ラ ス 変 換 せ よ.た

だ し,a＞0と

(１)〓,(２)〓 【解 】(１)式(1.8)か

し た が って,性

ら

質(８)を 用 い て

(２)性質(６)と 上 式 か ら

例 題1.5 次 の 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め よ. (１)〓,(２)〓

【解 】 (１)

す る.

(2)◇ 間1.2◇

次 の 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め よ.

(１)(２)(３) ◇ 間1.3◇

次 の 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め よ.

(１)(２) ◇問1.4◇

次 の 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め よ.

(１)(２) 表1.1に

代 表 的 な 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 を ま と め て お く. 表1.1 

代 表 的 な関 数 の ラ プ ラ ス 変 換

1.4  ラプ ラ ス 逆 変 換

本 節 で は,あ

る関 数f(t)の

ラ プ ラ ス変 換F(s)が

与 え られ て い る と き,逆 に

F(s)か らf(t)を 求 め る こ と を考 え る.こ の よ う な手 続 きの こ と を ラ プ ラ ス逆 変 換 と よ び,記 号

と記 す こ とは1.1節 で す で に述 べ た.そ

して 具 体 的 に は付 録 で 述 べ る よ う に複

素 積 分 の 応 用 と して 計 算 可 能 で あ る.し か し,前 節 で 述 べ た ラ プ ラス 変 換 の性 質 か ら導 か れ る ラ プ ラ ス 逆 変 換 の性 質 を利 用 す れ ば複 素 積 分 を行 う こ とな く逆 変 換 が 求 ま る こ と も多 い.本 節 で は そ の よ うな 場 合 を取 り扱 う.  まず 代 表 的 な 関 数 に対 して ラ プ ラ ス変 換 を求 め て お け ば,そ とに よ っ て ラ プ ラス 逆 変 換 が た だ ち に求 まる.す

れ を逆 に使 う こ

な わ ち,表1.1を,表

あ る 関 数 の 逆 変 換 が 表 の 左 に あ る関 数 で あ る と解 釈 す れ ば よい.た

の右 に だ し,あ ま

り見 や す くな い ため,左 右 を逆 に して 少 し変形 した もの を表1.2に 載 せ て お く. こ の表 か ら,た

とえ ば

で あ る こ とが わ か る.  次 に ラ プ ラス 逆 変 換 は線 形 で あ る.す な わ ち,ａ とｂ を定 数 とす れ ば 表1.2 

代 表的な関数のラプラス逆変換

(1.25) が 成 り立 つ.な ぜ な ら,式(1.25)の が 線 形 の 演 算(式(1.13))で

両 辺 の ラ プ ラ ス変 換 を と って ラ プ ラ ス 変換

あ る こ と を用 い れ ば,両 辺 と もaF(s)+bF(s)と

な る か らで あ る.こ の こ と を使 え ば 表 に載 っ て い ない よ うな多 くの 関 数 に対 し て ラ プ ラス 逆 変 換 が 求 まる.  以 下,こ

の線 形 性 と表1.2を 用 い て ラ プ ラ ス逆 変 換 を求 め る方 法 を例題 を と

お して 説 明 す る. 例題1.6 次 の 関 数 の ラ プ ラス 逆 変 換 を求 め よ. (１)(２)(３) 【解 】

(１)(２)

(３)

◇問1.5◇

次 の関数の ラプラス逆変 換 を求 め よ.

(１)(２)(３)  有理 関 数 の ラ プ ラ ス逆 変換 は,次

の例題 に示 す よ う に部 分 分 数 に分 解 して 求

め る. 例題1.7 次 の 関数 の ラプ ラス 逆 変 換 を 求 め よ. (１)(２)(３) 【解 】

(１)

(２)

(３)〓 と お い てＡ,Ｂ,Ｃ

を 決 め る とA=-1/6,B=3/10,C=-2/15と

なる.

した が っ て,

例 題1.8 (ヘ ビサ イ ド(Heaviside)の P(s)とQ(s)がｍ

展 開 定 理)

次 お よ びｎ 次 多 項 式 でm＜nと

異 な るｎ 個 の 根a1,…,anを

す る.Q(s)=0が

相

もつ 場 合 に は

(1.26) が 成 り立 つ こ と を示 せ. 【 解 】Q(s)=A(s-a1)…(a-an)で よ り小 さい た め,P/Qは

あ り,P(s)の

次 数 がQ(s)の

次数

次 の よ う に部 分 分 数 に展 開 で きる .

(ａ) こ の こ と を示 す た め に は,P/Qを c1,…,cnが

上 式 の 右 辺 の 形 に仮 定 した と き,係 数

実 際 に決 ま る こ と を示 せ ば よい.こ

の と き,式(ａ)の 両 辺 の

ラ プ ラ ス 逆 変 換 を とれ ば

(ｂ)

と な る.た

だ し,

を 用 い た. 以 下,式(a)のcjを s→akと

両 辺 にs-akを

か けた上で

すれ ば

と な る.た

だ し,最

関 係 を 式(a)に

◇ 問1.6◇

求 め る た め に,式(a)の

後 の 等 式 を 導 く と き はロピ

代 入 す れ ば 式(1.26)が

タ ル の 定 理 を 用 い た.こ

の

得 ら れ る.

次 の 関 数 の ラ プ ラ ス 逆 変 換 を 求 め よ.

(1)〓(2)〓

ラ プ ラ ス 変 換 の 性 質(1.13)∼(1.23)か 得 ら れ る が,こ

ら次 の よ う な ラ プ ラス 逆 変 換 の性 質 が

れ ら の 公 式 も 逆 変 換 を 求 め る と き役 立 つ.

(1.27) (1.28)

(1.29)

(1.30)

(1.31)

た だ し,L-1F(s)=f(t)と

して い る.

例 題1.9 上 に あ げ た性 質 を利 用 して次 の 関 数 の ラプ ラス 逆 変 換 を求 め よ.

(１)〓,(２)〓

【解 】(１)

一方,

し た が っ て,式(1.29)か

ら

(２)

一 方,〓

◇ 問1.7◇

で あ る か ら ,式(1.30)を

用 いて

次 の 関 数 の ラ プ ラ ス逆 変 換 を求 め よ.

(１)〓,(２)〓

1.5定

数 係数 常微 分 方 程 式 の 初 期値 問題

ラプ ラス 変 換,逆 効 に利 用 され る.は

を 考 え る.こ と き,左

変 換 は定 数 係 数 常 微 分 方 程 式 の初 期 値 問 題 を解 く場 合 に有 じめ に,例

と して,２ 階 微 分 方 程 式 の初 期値 問 題

の 問 題 を解 く た め に 微 分 方 程 式 を ラ プ ラ ス 変 換 し て み よ う.こ

辺 に は 式(1.18),右

辺 に は 表1.1を

用 いる と

の

と な る.た

だ し,L(x)=Xと

お い て い る.こ

こ で初 期 条 件 を代 入 す れ ば

と な る が,こ れ はＸ に 関 す る １次 方程 式 で あ る の で,Ｘ

に つ い て 解 くこ とが

で きて

が 得 られ る,そ こ で,ラ プ ラ ス変 換 され た 関 数Ｘ が 求 まっ た た め,も ｘを求 め る に はＸ

を逆 変 換 す れ ば よい.す

との 関 数

なわ ち

と な る.こ れ が微 分 方 程 式 の 初 期 条件 を満 足 す る解 に な っ て い る.

図1.5 

ラ プ ラス 変 換 に よ る微 分 方 程 式 の 解 法

こ の よ う に定 数 係 数 の 常 微 分 方 程 式 を ラ プ ラ ス変 換 す る と代 数 方 程 式 に な る た め 簡 単 に解 け る.最 終 的 な 解 は初 期 条件 を考 慮 した上 で,代 数 方 程 式 の解 を ラ プ ラ ス逆 変 換 す れ ば求 まる(図1.5). 定 数 係ｎ

階微 分 方 程 式 (1.32)

を ラ プ ラ ス変 換 す る と

と な る.こ

の式 は (1.33)

(1.34)

とお け ば (1.35) と な る.こ の と き,Z(s)の 件 に は 無 関 係 で あ る.Z(s)の

形 は もと の微 分 方 程 式(1.32))だ け に関 係 して初 期 条 こ と を イ ン ピー ダ ンス とい う.一 方,G(s)は

微

分 方 程 式 の左 辺 と初 期 条 件 の 両 方 に依 存 す る が,微 分 方 程 式 の 右 辺 の 関 数f(t) に は依 存 しな い.ま  式(1.35)か

た,初 期 条 件 が す べ て ０で あ れ ばG(s)も

０に な る.

ら (1.36)

が 得 られ る.こ の と き,式(1.36)の

右 辺 第 １項 は,も

との 微 分 方 程 式 で 初 期 条

件 が す べ て ０で あ る よ う な解 と考 え る こ とが で きる.こ の よ う な解 を 初 期 静 止 解 とい う.一 方,右 辺 第 ２項 は,与

え られ た 初 期 条 件 を満 足 す る 同次 方 程 式

の 解 と 解 釈 で き る. な お,式(1.36)の

右 辺 第 １項 は,合成

積 を用 い る と

と な る た め,微 分 方 程 式 の 解 は

(1.37) と書 くこ とが で き る. 例題1.10 ラ プ ラ ス 変 換 を利 用 して 次 の 微 分 方 程 式 の初 期 値 問 題 を解 け.

【 解】 微分方程式 をラプラス変換す れば初期条件 を考慮 して

し た が って,〓

よ り

ゆ えに

◇ 問1.8◇

ラ プ ラ ス 変 換 を 利 用 し て 次 の 微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題 を 解 け.

(1)x"+x=0,x(0)=1,x'(0)=0(2)x'一x=et,x(0)=1 例題1.11 式(1.37)を

利 用 して 初 期 値 問 題

を 解 け. 【解 】 初 期 条 件 か ら,式(1.37)に

お い てG(s)=0と

式 か らZ(s)=s2+1で

た が っ て,式(1.37)か

あ る.し

な る.ま

た微 分 方 程

ら

次 の例題 に示 す よ う に定 数係 数 の 連 立 微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題 に対 して もラ プ ラ ス変 換 が 応 用 で き る.た だ し,初 期 条 件 に よ っ て 解 を もた な い こ と もあ る ため,解

が得 ら れ た あ とで も う一 度 条 件 を満 足 す る か ど う か を確 か め る 必 要 が

あ る. 例題1.12 次 の 連 立 微 分 方 程 式 を初 期 条 件x(+0)=1,y(+0)=1の x(t)とy(t)を

求 め よ.

も とで 解 い て

【解 】 微 分 方 程 式 を ラ プ ラス 変 換 してL[x]=X,L[y]=Yと

お くと

したが っ て

とな る.こ の 方 程 式 をＸ に つ い て 解 け ば

と な る か ら,逆 変 換 して

ｙは 第 １式 か らy=x'+x-etと

な る た め,こ

れ に こ こ で 求 め たｘ を 代

入 して

なお,こ ◇ 問1.9◇

のｘとｙ は 第 ２式 を満 足 す る こ とが確 か め られ る. 次 の 連 立 微 分 方 程 式 を初 期 条 件x(+0)=y(+0)=0の

も とで

解 け.

1.6  単 位応答 と デ ル タ応答

定 数 係 数常 微 分 方 程 式(1.32)を(初 f(t)か ら解x(t)が

定 ま る.そ

期 条 件 を与 えて)解

こで 本 節 で は,解x(t)を

く場 合,右

関数f(t)に

辺 の関数

対 す る 「応

答 」 と み な す こ と に す る.  さ て,方

程 式(1.32)の

期 静 止 解(初

解 は 式(1.36)よ

と な る.た

位 階 段 関U(t)で

期 条 件 がx(+0)=x'(+0)=…=x(n-1)(+0)=0で

し た が っ てG(s)=0)を (1.32)の

右 辺 の 関 数 がf(t)単

考 え る.こ

あ る 解, の 初 期 条 件 を満 足 す る 方 程 式

り

だ し,L[U(t)]=1/sを

て 特 にg(t)と

の と き,こ

あ る場 合 の 初

記 す こ と に す る.こ

用 い た.こ

の解 を単位応答 とよぶ ことに し

の定義か ら

(1.38) と な る.   方 程 式(1.32)の

初 期 静 止 解 は,式(1.36)でG(s)=0と

f(t)が 連 続 で あ れ ば 式(1.17)と

式(1.38)を

考 慮 し て,以

お い た も の で あ る が, 下 の よ う な変 形 が で

き る:

し た が っ て,

す なわ ち, (1.39) が 成 り立 つ.こ 静 止 解(応 答)が

の 式 は単 位 応 答g(t)が

既 知 で あ れ ば任 意 のf(t)に

求 まる こ と を示 して い る.

 同様 に次 の よ うな 変 形 も可 能 で あ る:

対 して 初 期

た だ し,ラ い た.こ

プ ラ ス 変 換 の 性 質(５)と,t=0の

と きf*g=0で

あ る こ と をを 用

れか ら

す な わ ち, (1.40) が 得 ら れ る.

図1.6 

デ ィラ ック の δ 関数(ε→0)

[デル タ 関 数] 図1.6に 示 す よ う な 関数 δε,すな わ ち

を考 え る.こ の 関 数 とｘ 軸 に挟 まれ た 部分 は,横 の長 さが2ε,縦 の 長 さが1/(2ε) の 長 方 形 なの で,面 積 は εの 値 に よ らず １で あ る.ま た,δε(x-a)は 右 にａ だ け平 行 移 動 した 関数 で あ る. εが 十 分 に小 さい と き,積 分

を 考 え る,δε(x-a)は

と な る.し

たが って

点x=aの

ご く近 く 以 外 で は ０ な の で

δε(x)を

で あ る.こ

こ で,ε→0と

した と き関 数 δε(x)をδ(x)と 記 し,デ ル タ関 数 と よ

ぶ.デ

ル タ関 数 はx=0の

と き ∞ でx≠0の

数)で

あ る が,上 述 の こ とか ら

と き ０ と な る特 異 な関 数(超

関

(1.41)

(1.42) と い う 性 質 を も つ. 式(1.42)か

らデ ル タ 関数 の ラ プ ラス 変 換 は

(1.43) (1.44)

と な る. 上 に 定 義 した デ ル タ関 数 に対 して,微 分 方 程 式

の初期 静 止 解 を求 め て み よ う.こ の式 の ラプ ラス 変 換 を と り,初 期 条 件(t=0 に お い てす べ て ０)を 考 慮 す る と Z(s)X=1す と な る.こ

な わ ち〓

の 逆 変 換 を デ ル タ 応 答 と よ び,h(t)と

記 す こ とにす れ ば

(1.45) と な る. 単 位 応 答g(t)と

デ ル タ 応 答h(t)の

間 に は 式(1.17),(1.38)か

ら

す なわち (1.46)

の関 係 が あ る こ と が わ か る.た

だ し,式(1.45)とg(0)=0を

最 後 に デ ル タ 応 答 が 既 知 の 場 合 に,微

分 方 程 式(1.32)の

う に 表 さ れ る か を 調 べ て お こ う.式(1.32)の

と な る,し

用 い た. 初期静 止解が どのよ

ラ プ ラ ス 変 換 を とれ ば

たが っ て

とな る か ら (1.47)

が 得 ら れ る.式(1.39),(1.40),(1.47)をデュ

ア メル(Duhamel)の

例 題1.13 微 分方程式

に対 して,単 位 応 答 とデ ル タ応 答 を求 め よ.ま た

に 対 す る 応 答x(t)を 【 解 】

求 め よ.

イ ン ピ ー ダ ン ス はZ(s)=s2-5s＋4で

f(t)に 対 す る 応 答 は 式(1.47)よ

り

あ るか ら

公 式 と い う.

◇ 問1.10◇ax'+bx=f(t)に

対 す る 単 位 応 答 と デ ル タ応 答 を 求 め よ.

章末 問 題

【1.1】 次 の 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め よ. (１)sin(at+b),(２)sinh2at,(３)et(2sint-5cos2t)

(４)

[1.2]次

の 関 数 の ラ プ ラ ス 逆 変 換 を 求 め よ.

(１)〓(２)〓(３)〓(４)〓 【1.3】 次 の 常 微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題 の解 を ラ プ ラ ス 変 換 を 用 い て 解 け. (１) (２) (３) 【1.4】 常 微 分 方 程 式 の境 界 値 問 題

をラ プラス変換 を用い て次 の順序 で解 け.

(１)x'(π/2)=e-π

と い う条 件 は 考 え ず,x'(0)=cと

値 問 題 を ラ プ ラ ス 変 換 を 用 い て 解 き,解 (２)x'(π/2)=e-π

仮 定 して 常 微 分 方 程 式 の 初 期

をｃ を含 ん だ 式 で 表 せ.

と い う条 件 を用 い てｃ を決 定 して,も

との 問 題 の解 を 求 め よ.

［ 1.5］ 次 の 方 程 式 の初 期 値 問 題 を ラ プ ラ ス 変 換 を用 い て 解 け.

２ フーリエ級 数 2.1  三

角

関

数

は じめ に,高 校 で す で に習 っ た こ とで あ るが,三

角 関 数 とそ の 性 質 につ い て

ま とめ て お こ う.

図2.1 

図2.1に 示 す よ う にx-y平

単 位 円 と三 角 関数

面 に 原 点 中心 の 単位 円 を考 え,円 周 上 の 任 意 の １

点 をＰ とす る と点Ｐ の座 標 は 直線OPとｘ

軸 の な す角 度 θ に よ っ て指 定 す る こ

とが で きる.す な わ ち,ｘ 座 標 とｙ 座 標 は そ れ ぞ れ θの 関 数 に な っ て い る,こ れ ら をそ れ ぞ れ余 弦 関 数 お よ び正 弦 関 数 と よ び

と記 す.こ の 定 義 か ら

と な り,ま

た

で あ る こ とが わ か る.さ

らに,代 表 的 な 角 度 に対 して は

と な る. 平 面 上 の 点Ｐ か ら出 発 して,原 点 中心 の 円 の ま わ りを １周 す れ ば も との 点 に もどるため

が 成 り立 つ.こ

の うち上 の ２式 は 反 時 計 回 り,下 の ２式 は 時計 回 りに １周 し た

場 合 に対 応 す る.同 様 にｎ を整 数 と した と き,原 点 中 心 の 円 をｎ 周 して も同 じ 点 に も ど るか ら

が 成 り立 つ.す

な わ ち 三 角 関 数 は 周 期 が2π の周 期 関 数 に な っ て い る.

【周 期 関 数 】 関 数f(x)が

すべ て のｘ に対 して

とい う性 質 を もつ 場 合,.f(x)を 周 期Ｔ の 周 期 関 数 とい う.周 期 関 数 の 代 表 は 三 角 関 数 で あ る が,三 角 関数 以 外 で も周 期 関 数 は い く らで も考 え られ る.た ば,図2.2(a)に

示 す 関数 は〓

の-1＜x≦1の

図2.2  周期 関数

とえ

部 分 を取 り出 して周 期 が

２ の 関 数 を つ く っ た も の で あ る.同

様 に 図2.2(b)はy=xの-1＜x＜1の

分 か らつ く っ た 周 期 ２の 周 期 関 数 で あ る.図2.2(a)の 2.2(b)の

関 数 はx=2n-1(ｎ

れ て い な い.後

は 整 数)で

述 の フ ー リ エ(Fourier)級

期 関 数 も 取 り扱 う が,不

連 続 点 で のf(x)の

と し て 定 義 す る と 便 利 で あ る.こ

部

関 数 は 連 続 で あ る が,図

不 連 続 で あ り,そ

こで は値 が 定 義 さ

数 で は この よ う な不 連 続 点 を もつ 周 値 はf(x+0)とf(x-0)の

の と き,図2.2(b)の

平均 値

関 数 で はf(2n-1)=0

と 定 義 さ れ る.

図2.3 

正 弦 関 数 と余 弦 関 数

図2.3は 余 弦 関 数 と正 弦 関 数 を図 示 した もの で あ る. 正 弦 関 数 と余 弦 関 数 に対 して 次 の 加 法 定 理 が 成 り立 つ,

こ の 定 理 は 図 を 使 っ て も 証 明 で き る が,オ

イ ラ ー(Euler)の

公式

(2.1) を使 う と 簡 単 に 示 す こ とが で き る.す

とオ イ ラ ー の 公 式 か ら

な わ ち,

とな るが,こ

の式 の 実 数 部 と虚 数 部 を等 しい とお け ば 加 法 定 理 が 導 け る .

◇ 問2.1◇

次 の 公 式 を証 明 せ よ.

(１) (２) (３) (４)

(５)

(６) ◇ 問2.2◇eniθ=(eiθ)nを

用 い て次 の公 式 を証 明 せ よ.

(１) (３) 三 角 関 数 の微 分 積 分 に つ い て は よ く知 られ て い る よ う に

(2.2) と な る(不 定 積 分 に つ い て は積 分 定 数 を省 略).前

述 の オ イ ラ ー の公 式 を用 い れ

ば こ れ らの 公 式 も指 数 関 数 の微 分 積 分 に直 す こ とに よ っ て示 す こ とが で き る . す なわち

が 成 り立 つ た め,式(2.1)か

ら得 ら れ る

の 実 数 部 と虚 数 部 を そ れ ぞ れ 等 し く置 け ば よ い. 上 に 述 べ た よ う に,sinx,cosxは と し た と き,sinax,cosaxは

と な る か ら で あ る,た

周 期2π 周 期2π/aの

と え ば,sin2x,cos2xは

の 関 数 で あ る.同

様 に,ａ

周 期 関 数 に な る.な

を実 数

ぜ な ら,

周 期 が π で あ り,sin2πx,cos2πx

は 周 期 は １ で あ る. 三 角 関 数 に は,ｍとｎ

を 正 の 整 数 と し た と き,以

下 の 重 要 な 性 質 が あ る(三

角 関 数 の 直交 関 係). (2.3)

(2.4)

(2.5) こ れ ら の 各 式 は 問2.1の

結 果 な ど を 用 い れ ば 簡 単 に 確 か め ら れ る.た

と え ば,式

(2.3)に つ い て は

と な る.こ

こ で,第

が,m-n=0の い の で,上

２ 式 か ら 第 ３式 の 変 形 で はm-n=0を と き は も と も とsinの

除 く必 要 が あ る

項 は ０ と な り 第 ２式 の 積 分 に は 現 れ な

式 の よ う に 変 形 し て い る.

次 に 式(2.4)に

つ い て も,m≠nな

ら ば 問2.1の

結 果 な どか ら

と な る(m=nの

と き は,分

得 ら れ な い).m=nの

と な る.式(2.5)も 式(2.3)∼(2.5)に x=bに

母 が ０ に な る 項 が あ る た め,第

２式 か ら 第 ３式 は

と き は,式(2.4)は

同 様 の 計 算 で 確 か め ら れ る. お い てｘ

な る よ うな 変 数 変 換

をＸ ,す

で 置 き換 え,X=-π

がx=a,X=π

が

なわち

を行 えば

( 2.6)

と な る. 特 に 式(2.6)に

お い て,a=-l,b=lと

とれ ば

(2.7)

が 成 り立 つ.

2.2  三 角 関 数 の 重 ね 合 わ せ

本 節 で は い ろ い ろ な 周 期 の 三 角 関 数 を足 し合 わ せ る と ど う な る か を考 え る. た とえ ば

を考 え る と,右 辺 第 １項 は周 期2π,第 期 が2π/3で

あ る.周 期 が2π/2な

２項 は 周 期 が2π/2(=π),第

３項 は周

らば も ち ろ ん2π「周 期 に もな る.な ぜ な ら ２

周 期 分 を ひ と ま とめ にす れ ば よい か らで あ る.同

じ く周 期 が2π/3な

期 分 を ひ と ま とめ にす れ ば 周 期 が2π で あ る とい っ て も よ い.し

らば ３周

たが っ て,こ

の 関 数 は全 体 と して周 期 は2π に な る.同 様 に考 え れ ば 正 弦 関 数 の和

(2.8) も周 期 が2π 式(2.8)の

の 関 数 に な る. 例 と して (2.9)

を 考 え る.図2.4にN=3,7,11の て い る.図

か らＮ

場 合 の グ ラ フ を 区 間[-π,π]に

が 大 き く な る に し た が っ て,両

に 近 づ い て い る こ と が わ か る*.こ *ｙ

の 値 が 急 に変 化 す る場 所(正

の よ う な現 象 は ギ ブ ス(Gibbs)の

の こ と か ら,区

お いて示 し

端 近 くを 除 い て 直 線

間 を[-π,π]に

限 れ ばy=x

確 に は 導 関 数 が 不 連 続 な 点)で 振 動 が 大 き くな る こ と もわ か る(こ 現 象 と よば れ て い る).

図2.4 

式(2.9)の

グ ラ フ(N=3,7,11)

という 関数 が 三 角 関 数 の適 当 な和 で表 せ るの で は ない か と予 測 で きる.ま た,区 間 を限 ら な い場 合 に は,上 の １次 関 数 を もと に して,そ れ を2π の 整 数 倍 だ け, 左 や 右 に平 行 移 動 した鋸 の 歯 の よ う な関 数(図2.2(b)参

照),す

な わ ち,y=x

を周 期 が2π の 関 数 に な る よ う に拡 張 した 関 数 を 表 す こ とが わ か る.こ の 拡 張 され た 関 数 は原 点 に 関 して対 称 な 関数 で あ る が,sinが

原 点 に 関 して 対 称 な関 数

で あ る こ とを 考 えれ ば 当然 期 待 され る こ とで あ る. 前 述 の とお り,も との 三 角 関数 の 周期 は変 数 変 換 に よ っ て 自由 に変 化 させ る こ とが で きる た め,上 式 のｘ をＸ と書 き,あ ら た め て

とお くと,任 意 の 有 限 区 間[ａ,b]に お い てy=Xが

三 角 関数 の 和

で 近 似 で き る こ と が わ か る.特

と き上 式 は

にa=-l,b=lの

図2.5 

式(2,11)の

グ ラ フ(N=3,7,11)

と な る. 次 に,余

弦 関数 の和 (2.10)

に つ い て 考 え る.式(2.10)の

例 と して

(2.11)

を用 い た と き,図2.5にN=3,7,11の 示 す.図

か らＮ

場 合 の グ ラ フ を 区 間[-π,π]に

が 大 き く な る に つ れ て,関

数y=￨x￨副に

おい て

近 づ く こ と が わ か る*.

こ の 関 数 は 前 の 例 と 異 な り,ｙ 軸 に 関 し て 対 称 な 関 数 で あ る が,こ

れ はcosnx

もｙ 軸 に 関 し て 対 称 な 関 数 で あ る か ら で あ る. 最 後 にsinとcosの

両 方 を 含 ん だ 級 数,す

な わ ち 式(2.8)と(2.10)の

和

(2.12)

の 例 と して

(2.13)

*こ

の 場 合 に は折 れ 曲が っ た点(導

関数 が 不連 続 な点)で

は特 異 な振 る舞 い は な い

.

図2.6 

式(2.13)の

を 考 え る.図2.6にN=3,7,11,100の 示 し て い る が,こ

グ ラ フ

場 合 の グ ラ フ を 区 間[-π,π]に

れ はｙ 軸 や 原 点 に 関 して 対 称 で は な い.た

期 性 を 反 映 し て2π の 周 期 性 を も っ て い る.実 の 平 均 を と っ た も の で あ る が,こ 以 上 の こ と か ら,周 る こ と,そ cosの 和,そ

は,式(2.13)は

の こ と は 図2.4∼2.6か

期 関 数 はsin,cosあ

お いて

だ し,三 角 関 数 の 周 式(2.10)と(2.11)

ら も 想 像 さ れ る,

る い は そ の 両 方 の和 に よ っ て表 され

し て 原 点 に つ い て 対 称 な 関 数 はsinの

和,ｙ

軸 につ い て 対 称 な関 数 は

の ど ち ら で も な い 関 数 は 両 方 を 含 ん だ 和 に な る こ と が 想 像 さ れ る.

な お,式(2.10),(2.11),(2.13)は を 表 し て い る.こ

区 間[0,π]に

の よ う に,区

形 は ひ と と お り で は な い.い

お い て は す べ て 同 じ関 数y=x

間 を 限 っ た 場 合 に は,同 い か え れ ば,限

じ 関 数 で あ っ て も和 の

られ た 区 間 に お い て 与 え られ た 関

数 が ど の よ う な 形 の 三 角 関 数 の 和 に な る か は,そ

の 関 数 の 区 間(定

義 域)を

拡

張 す る 場 合 の 拡 張 の 仕 方 に よ る こ と が わ か る.

2.3 フーリエ

展 開 その １

前 節 の 結 果 か ら,任

意 の 周 期2π

の 関 数 は 式(2.12)の

形 の 三 角 関 数 の 和 で表

せ そ う な こ と が 予 想 で き る. 本 節 で は,ま

ず は じ め に 任 意 の 周 期2π

の 関 数 が 与 え ら れ た と き,式(2.12)の

形 の 級 数 で そ の 関 数 が 近 似 で き た と 仮 定 す る.そ に つ い て 調 べ る.

し て,そ

の 上 で係 数 の 決 定 法

は じめ に,偶 関 数 と奇 関 数 につ い て 述 べ る.偶 関 数 とは

を満 た す 関 数 で,た

と え ばy=x2やy=cosnxが

そ の 例 に な っ て い る.偶

数 を グ ラ フ に 描 く とｙ 軸 に対 し て 対 称 に な っ て い る.一

を満 たす 関 数 で,た

とえ ばy=xやy=sinnxが

方,奇

関

関数 とは

そ の例 で あ る.奇

関数 は 原 点

に関 して対 称 で あ る(図2.7).

図2.7 

前 節 で も述 べ た が,あ

偶 関 数 と奇 関数

る 関数 を 三 角 関 数 の和 で 表 す 場 合,そ

の 関 数 が偶 関 数

で あ れ ば和 に は 余 弦 関 数 だ け が 含 まれ る はず で あ り,奇 関 数 で あ れ ば 和 に は 正 弦 関 数 だ け が 現 れ る.さ

ら に,偶 関 数 で も奇 関 数 で もな い 関 数 の場 合 に は 余 弦

関 数 と正 弦 関 数 の 両 方 が 現 れ る.こ の こ と は任 意 の 関 数f(x)の が偶 関 数 と奇 関 数 の 和 で 表 せ る こ とか ら もわ か る.す な わ ち,関 数f(x)を

と書 け ば,右 辺 第 １項 は偶 関 数,第 なぜ な ら,右 辺 第 １項 をh(x),第

２項 は 奇 関 数 で あ る こ とが 確 か め ら れ る. ２項 をg(x)と

書 け ば,

と な る か ら で あ る.し で 表 す と き に は,余

た が っ て,一

般 に 任 意 の 周 期2π

弦 関 数cosnxと

正 弦 関 数sinnxの

の 関 数 を三 角 関 数 の和 和 に な る と考 え ら れ る.

そこで (2.14)

と書 くこ と にす る(便 宜 的 に定 数 項 をa0/2と

記 して い る).た

だ し,右 辺 の 級

数 が 収 束 す る か ど うか は不 明 で あ る た め,等 号 は使 わ ず 記 号 ∼を 使 っ て い る. ま た,以 下 の 議 論 で は右 辺 の 無 限 級 数 は 収 束 して 項 別 積 分 が 可 能 で あ る と仮 定 す る.こ の と き級 数 に現 れ る係 数a0,an,bn(n=1,2,…)は (式(2.3)∼(2.5))を

三角 関 数 の直交 性

利 用 して 以 下 の よ う に決 め る こ とが で き る.

まず 式(2.14)の ∼を 等号 で あ る と仮 定 して,両 辺 を区 間[-π,π]で 積 分 す る と

と な る.こ

の式 か らた だ ち に

(2.15)

が 得 ら れ る.次

と な る.こ

に 式(2.14)の

両 辺 にcosmxを

の と き式(2.3)∼(2.5)を

な か でn=m以 和 の 各 項 は0で

外 は0と あ る.し

考 慮 す れ ば,右

な り,n=mの たがって

乗 じて 区 間[-π,π]で

積 分す ると

辺 に あ る 係 数 がanの

と き π と な る.ま

総和 の

た 係 数 がbnの

総

となるため (2.16) が 得 ら れ る.こ

の 式 でn=0と

ん で い る と み な せ る.こ bnを

す れ ば 式(2.15)と

れ が,式(2.14)の

求 め る た め に は,式(2.14)の

一 致 す る た め,式(2.15)を

定 数 項 をa0/2と

両 辺 にsinmxを

含

記 し た 理 由 で あ る.

乗 じ て 区 間[-π,π]で

積

分 す る.

こ の と き,式(2.3)∼(2.5)か り,bnを る,し

ら,第

含 ん だ 総 和 の な か でn=m以

１項 お よ びanを

含 ん だ 総 和 の 各 項 は ０で あ

外 は ０ と な り,n=mの

と き π とな

たが って

より (2.17) が 得 ら れ る. 以上の ことか ら

と な る こ とが わ か る.こ の よ うに 周期 関 数 を三 角 関 数 の 無 限 級 数 で 表 す こ と を 関 数 を フ ー リエ展 開す る とい う.ま た,三 角 関 数 の 無 限 級 数 を フ ー リエ 級 数 と い う.な お,上 式 の右 辺 を導 く と きに は 右 辺 の 級 数 が収 束 し,ま た項 別 積 分 で き る と仮 定 して形 式 的 な演 算 を行 っ た.こ れ ら の仮 定 は 自明 で は な い た め,上 式 で は等 号 を用 い て い な い 。

こ こ で も しf(x)が

奇 関 数 で あ れ ば,式(2.16)の

積 分 値 は ０ に な る.す な わ ち,式(2.14)に な い.一 方,f(x)が

被 積 分 関 数 も奇 関 数 と な り,

お い て 定 数 項 と余 弦 関 数 の 項 は 現 れ

偶 関数 の場 合 に は,式(2.17)の

そ の積 分 値 が ０に な る.し

たが っ て,正

被 積 分 関 数 が 奇 関 数 に な り,

弦 関 数 の 項 は現 れ な い.

例 題2.1 f(x)=xを 【 解 】f(x)が

区 間[-π,π]で

フ ー リ エ 展 開 せ よ.

奇 関 数 で あ る た めan=0,ま

た

した が って

例 題2.2 f(x)=x2を 【解 】f(x)が

区 間[-π,π]で

フ ー リ エ 展 開 せ よ.

偶 関 数 で あ る た めbn=0,ま

た

したが っ て

例 題2.3 f(x)=exを

区 間［-π,π]で

フ ー リ エ 展 開 せ よ.

【解 】 また

と な る(任 意 定 数 は省 略)か

した が って

ら

◇ 問2.3◇

次 の 関 数 を 区 間[-π,π]で

フ ー リ エ 展 開 せ よ.

(１)

(２)

2.4 フーリエ

式(2.14)は

展 開 そ の ２

区 間[-π,π]に

和 で 表 現 した 式 で あ っ た.い

と 記 す こ と に す れ ば,g(X)は

お い て 周 期2π ま,式(2.14)に

区 間[-l,l]に

の 関 数f(x)をsinnxとcosnxの お い てx=πX/lと

お い て 周 期2lの

お き,

関 数 に な る .こ

と き,式(2.14)は

と な り,式(2.16),(2.17)は

と な る.こ

れ ら の 式 でg(X)を

は 区 間[-l,l]に

あ ら た め てf(x)と

み な せ ば ,周 期2lの

関 数f(x)

お いて

(2.18)

の

た だ し, (2.19)

(2.20)

と 書 け る こ と が わ か る.式(2.18),(2.19),(2.20)はl=π (2.16),(2.17)と

一 致 す る た め,そ

の と き 式(2.14),

れ ら を特 殊 な 場 合 と し て 含 ん で い る 式 と み な

せ る. 例 題2.4 関 数f(x)=1-｜x｜ 【 解 】f(x)は

を 区 間 【-1,1]で

フ ー リ エ 展 開 せ よ.

偶 関 数 で あ る た めbn=0,ま

た

した が っ て

◇ 問2.4◇関数〓

を 区 間[-1,1]でフーリ

エ 展 開 せ よ. 次 に 式(2.14)を

複 素 数 の 指 数 関 数 を 用 い て 変 形 し て み よ う.い

ま,

(2.21)

とお け ば

と な る.ま

た,a0=2c0で

と書 き 換 え ら れ る.こ の(-m)をｎ

あ る か ら,フ

ー リエ 級 数 は

こ で 右 辺 の 第 １項 をn=0と

し て 第 ２項 に 含 め,第

３項

と書 くこ とに す れ ば

(2.22)

と な る.こ

れ を 複 素 形 式 の フ ー リ エ 級 数 と い う.展

開 係 数 は 式(2.21)か

ら

と な る た め, (2.23)

(2.24) と な る.ま

た 式(2.23)の

上 の 式 か らc-nはcnの

共役 複 素 数 で あ る こ と が わ か

る ため (2.25) で あ る.式(2.24)でn=0と ば 式(2.25)と

な る た め,ｎ

す れ ば 式(2.23)に

な り,ｎ の か わ り に-nと

が整 数 の と きこ れ らの 式 は

すれ

(2.26)

に ま と め られ る. 区 間 が[-l,l]の

場 合 の 複 素 形 式 の フ ー リ エ 級 数 は,式(2.18),(2.19),(2.20)

を 用 い て 上 と 同 じ手 続 き を 行 う か,ま

た は 式(2.22),(2.26)を

も と にx=πX/l

とい う変 数 変 換 を行 う こ と に よ り

(2.27)

ただ し (2.28)

と な る. 例 題2.5 関 数f(x)=exを

区 間[-1,1]に

【解 】 式(2.28)よ

り

し た が っ て,式(2.27)よ

◇ 問2.5◇ 数 で 表 せ.

お い て 複 素 数 の フ ー リ エ 級 数 で 表 せ.

り

関 数f（x)=eπ(1-x)を

区 間[-1,1]に

お い て 複 素 数 の フ ー リエ級

2.5 フーリエ

式(2.14)の

級 数 の収 束 性

係 数an,bnはf(x)が

算 す る こ とが で きる.そ こ で,f(x)の

積 分 可 能 で あ れ ば 式(2.15)∼(2.17)か 積 分 可 能 性 を仮 定 して係 数an,bnを

ら計 計算

す れ ば,形 式 的 に級 数 をつ くる こ とが で き る.し か し,実 際 に右 辺 が 収 束 す る の か ど うか,ま た収 束 した 場 合 にそ れ がf(x)と

等 し くな る か ど うか を確 か め る

必 要 が あ る.

図2.8 

区 分 的 に滑 らか な 関 数

図2.9 

図2.8の

実 は,こ の こ と は無 条 件 に成 り立 つ わ け で は な く,f(x)に

導 関数

対 して あ る制 限 を

つ け る必 要 が あ る.具 体 的 に どの よ う な制 限 で あ る の か を述 べ る前 に,「 区 分 的 に連 続 」 とい う用 語 と 「区 分 的 に滑 らか 」 とい う用 語 を導 入 す る. まず 関 数f(x)が

区 間[a,b]に お い て 区 分 的 に連 続 で あ る とは,区

有 限個 の 小 区 間[ai,bi]に 分 け ら れ て,各 小 区 間 でf(x)が の端 で 極 限 値f(ai+0),f(bi-0)を

間[a,b]が

連 続 で あ り,各 区 間

もつ こ と を い う.ま た 関 数f(x)が

[a,b]で 区 分 的 に滑 らか で あ る と は,関 数f'(x)が

区間

区 間[a,b]で 区分 的 に連 続 で

あ る こ と を い う.簡 単 にい え ば,区 分 的 に滑 らか な関 数 は 図 に描 い た と き,有 限 個 の 点 を除 い て滑 らか で あ り,除 外 した有 限個 の 点 で は 連 続 的 に つ な が っ て い な い か,ま た は連 続 につ なが っ て は い る が 尖 って い る よ う な関 数(図2

.8)で

あ る.区 分 的 に滑 らか な 関 数 は 不 連 続 点 また は尖 っ た 点 以 外 の 点 で は微 分 で き るが,導

関 数 を 図 示 す れ ば わ か る よ う に(図2．9) ,不 連 続 点 や 尖 っ た 点 の左 右

で不 連 続 に な っ て い る.区 分 的 に 連 続 な 関 数 を積 分 す る と区 分 的 な 滑 らか な 関 数 に な る. こ れ らの 用 語 を用 い れ ば,フ ー リエ 級 数 の収 束 条 件 は以 下 の よ う に表 現 で き る こ とが 知 られ て い る(証 明 略).

f(x)が

周 期2π

の 関 数 で,区

間[-π,π]で

区 分 的 に 滑 ら か で あ る と す る.

この と き フー リエ 級 数 は 収 束 して

(2.29)

が 成 り立 つ. 関 数f(x)が が,も

点ｘ で 連 続 で あ れ ば,式(2.29)の

左 辺 は も ち ろ んf(x)を

表す

し不 連 続 で あ れ ば左 極 限 と右 極 限 の平 均 にな る こ と を 意 味 して い る(図

2.2(b)参 照). 次 に フー リエ 級 数 の微 分 と積 分 につ い て調 べ て み よ う.は て考 え る.f(x)が

はf(x)が

じめ に積 分 につ い

区 間[-π,π]で 区 分 的 に連 続 で あ る とす る.こ の と き,

不 連 続 な 点 以 外 で は微 分 で きて

とな る.f(x)す

な わ ちF'(x)が

らかで あ る.し た が っ て,F(x)は よう にf(x)が

区 分 的 に連 続 で あ る か ら,F(x)は

区 分 的 に滑

フ ー リエ 級 数 に展 開で きる こ とに な る.こ の

区 分 的 に連 続 とい う条 件 で あ っ て も,そ れ を積 分 した 関 数 は フ ー

リエ 展 開 で き る こ とに な る. さて,f(x)が

フー リエ 展 開 され て い て

(2.30) と書 か れ て い る とす る.ま たF(x)を(以

前 と少 し異 な るが) (2.31)

と定義 す る と,先 程 と同 じ理 由 で フ ー リエ展 開 で き て

と 書 け る.こ

の とき

で あ る こ と に 注 意 す れ ばF(x)の

と な る.し

フ ー リ エ 係 数 は,n=1,2,…

と して

たがって

(2.32)

と な るが,c0を

と な る.こ

決 め る た め,x=π

の 式 か ら 得 ら れ るc0/2を

を 得 る.式(2.31)か

を上 式 に代 入 す れ ば

式(2．32)に

代 入 して

ら

(2.33)

と な る が,こ

の 式 は 式(2.30)を[一

以 上 の こ と を ま と め れ ば,

π,x]で 項 別 積 分 し た 式 に 一 致 す る.

関 数f(x)が 級 数 はf(x)の

フ ー リエ 展 開 され て い れ ば,項 別 積 分 して 得 られ る フ ー リエ 積 分 の フ ー リエ 展 開 と一 致 す る.

す な わ ち,フ ー リエ 級 数 は 項 別 積 分 で き る. そ れ で は,微 分 は ど う な る で あ ろ う か.フ ー リエ 級 数 は制 限 を つ け な け れ ば 項 別 微 分 が で き な い こ と は以 下 の例 か ら もわ か る. 例 題2.6 区 間[-π,π]に お け るf(x)=xの 的 に微 分 せ よ,次

フ ー リエ展 開(例 題2.1)の

に得 ら れ た式 にx=π

【 解 】 例 題2.1のf(x)の

両 辺 を形 式

を代 入 す る と ど う な る か.

フ ー リエ展 開 を形 式 的 に微 分 す れ ば

とな る.こ の 式 の 右 辺 にx=π

を代 入 す れ ば右 辺 は

とな り発 散 す る. f(x)が フー リエ 展 開 で きる た め に はf(x)が た よ うに,f'(x)が

区 分 的 に滑 らか で あ る必 要が あ っ

フ ー リエ 展 開 され る た め に はf'(x)も

必 要 が あ る.こ の 条 件 の も とで

と展 開 され た とす る.こ の と き展 開 係 数 は

区 分 的 に滑 らか で あ る

と な る.一

方,f(x)の

フ ー リエ 展 開 は

た だ し,

で 与 え ら れ る.こ

の 式 の 右 辺 を 項 別 に 微 分 し た と す れ ば 定 数 項 は な く な る.し

た が っ て,上

のc0も

要 が あ る.こ

の と き,上

な る.一

方,上

をf'(x)の

と な る が,こ

０ に な る は ず で あ る が,そ

のdnの

のcnの

れ に はf(π)=f(-π)で

あ る必

式 の 最 右 辺 の 第 １項 目 も消 え て,cn=nbnと

式 か らdn=-nanと

な る こ と が わ か る.こ

れ らの 関係

展 開 式 に 代 入 す れ ば,

の 式 はf(x)の

展 開 式 を 項 別 に微 分 した も の に な っ て い る .以

上の

こ と を ま と め れ ば次 の よ うに な る .

関 数〓

が 連 続 でf(π)=f(-π)を

区 分 的 に 滑 ら か で あ れ ば,f(x)の

満 足 し,f'(x)が

フ ー リ エ 展 開 は 項 別 に微 分 で き て,f'(x)

の フ ー リ エ 展 開 に 一 致 す る, 例題2.6の

フ ー リエ 級 数 が 項 別 微 分 で き な か っ た の はx=π

で 不 連 続 で あ り,

上 の 条 件 を 満 足 しな か っ た た め で あ る. 例題2.7 区 間[-π,π]に

お け るf(x)=xの

同 じ 区 間 に お け るx2の 値 を 求 め よ.

フ ー リエ 展 開(例

フ ー リ エ 展 開 を 求 め よ.こ

題2.1)を

積 分 し て,

の結 果 を用 い て 次 式 の

【解 】 フ ー リエ 級 数 は項 別積 分 が 可 能 で あ る.し た が っ て,a0を

任意 定数

と して

とな る.a0の

と な る.し

値 は 公 式 を用 い て

た が っ て,

も との 関 数(x2)はx=0で

連 続 で あ る た め,こ の 展 開式 にx=0を

代入

す る こ とが で きて,

とな る.し

た が っ て,

◇問2.6◇〓+xの

フ ー リエ 展 開(問2.3(1))を

区 間[-π,π]に

用 い て 次 式 の 値 を 求 め よ.

お ける

2.6  ベ ッ セ ル の 不等 式 と パ 一セバル の 等式

あ る 関 数 が フー リエ 展 開 され て 三角 関数 の無 限級 数 で表 され て い る と し よ う. こ の展 開 式 を数 値 計 算 で 用 い る 場 合 な ど近似 式 と して使 う と き に は,有

限項で

打 ち切 る.こ の よ う な と き,こ の 有 限項 の級 数 は も との 関 数 の どの 程 度 の 近似 に な っ て い るの で あ ろ うか.つ

ぎ に,こ の点 につ い て 考 え る.

(2.34) とお い て,こ

の 関 数 に よ っ てf(x)を

近 似 す る と考 え る.こ

こ で 右 辺 の係 数 は

フ ー リエ 展 開 の 係 数 と は異 な る もの と考 え て 別 の文 字αn,βnで

表 して い る.

f(x)-ψN (x)は 誤 差 を表 す が,こ れ は 正 に も負 に もな る た め,そ の ２乗 で あ る ２乗 誤 差 を考 え る.直 接 計 算 す る と

と な る.た

だ し,Ａはcoskxcosmx,coskxsinmx,sinkxsinmxの

項 の １次 結 合 で 表 さ れ る 式 で あ る.こ に よ っ て 大 小 が あ る.全 の(平

均 ２乗 誤 差)で

こ と に 注 意 す れ ば,

関 数 で あ る か ら,場

体 で の 誤 差 の 大 小 は こ れ を 区 間[-π,π]で

評 価 で き る.そ

の と き ， 上 式 の 最 右 辺 の 第1項 coskxsinmx,sinkxsinmxの

の ２乗 誤 差 はxの

形 を した

こ で,上

以 外 のf(x)に

式 を 区 間[-π,π]で

所

積 分 した も 積 分 す る.こ

式 （2.14)を 代 入 しcoskxcosmx,

形 を した 項 の[-π,π]に

お け る 積 分 が ０に な る

(2.35) と な る.こ

の 式 はαn=an,βn=bnの

と き 最 小 に な る.こ

数 を 三 角 関 数 の 有 限 項 の 和 で 近 似 し た 場 合,そ

の こ と は,あ

る関

の係 数 と して フ ー リエ展 開 で 決

ま る 係 数 と 等 し く と っ た 場 合 に 平 均 ２乗 誤 差 が 最 小 に な る こ と を 意 味 し て い る. 式(2.35)のＥ

は 関 数 の ２乗 の 積 分 で あ る か ら,負

式(2.35)でαn=an,βn=bnと

に は な ら な い.し

た が って

お い た 式 か ら,

(2.36)

と な る が,式(2.36)は

ど の よ う な Ｎ に 対 し て も 成 り立 つ か ら

(2.37)

が 得 ら れ る.こ い てＮ

の 不 等 式 を ベ ッ セ ル(Besｓel)の

が 増 え る ほ ど左 辺 は 大 き く な る.し

ほ ど 誤 差 が 小 さ く な る.実

不 等 式 と い う.式(2.36)に

た が っ て,1＞

際 に は,N→∞

の と き,誤

お

を 大 き くす れ ば す る

差 が ０,す な わ ち

(2.38)

が 成 り立 つ こ と が 知 ら れ て い る.こ

れ を パ ーセ バ ル(Parsevaｌ)の

等 式 と い う.

例題2.8 区 間[0,π］ で 定 義 さ れ た 関数f(x)=x(π-x)を し て 拡 張 し て,フ 用い て

の値 を求 め よ,

ー リ エ 展 開 せ よ.ま

た,そ

区 間[-π,π]に

偶 関数 と

の 結 果 と パ ーセ バ ル の 等 式 を

【解 】 偶 関 数 で あ る か らbn=0,ま

た

した が っ て,

パ ーセ バ ル の 等 式(2.37)よ

り

した が っ て

章末 問題 ［2.1］ 関数〓

をフーリ工級 数 に展 開せよ.ま た,そ の

結果 を利用 して級数

の 値 を求 め よ. ［ 2.2］ 関 数f(x)=sinhax(-π〓xπ〓;a＞0)を そ の結 果 を 利 用 し て 級 数

フ ー リエ 級 数 に展 開 せ よ.ま た,

の 値 を求 め よ. ［ 2.3］ 関 数f(x)=cosax(a≠

整 数)を[-π,π］

で フ ー リエ 級 数 に展 開 せ よ.

その結 果 を用 いて

を証 明 せ よ. ［ 2.4］ 関 数

の フ ー リエ 級 数 展 開 を 以 下 の順 に 求 め よ. (1)cosx=(eix+e-ix)/2を

利 用 して

で あ る こ と を示 せ. (２)無限 級 数 展 開1/(1-t)=1+t+t2+tn+…(￨t￨<1)を 数 をCOSの

［ 2.5］ 関 数f(x)の

区 間［-l,l］に お け る指 数 関 数 に よ る フ ー リエ 展 開 が

で あ る とす る.こ の と き,以 下 の 関 係 が 成 り立 つ こ と を 示 せ. (1)a>0の

(２)

利 用 して,問

無 限 級 数 で 表 せ.

と き,〓

題 の関

３ フ ー リ 工 変 換

3.1 フーリエ

区 間[-l,l]に

の 積 分定 理

お け る 関 数f(x)の

複 素 形 式 の フ ー リ エ 展 開 は,2.4節

の終 わ り

で述べ た ように

(3.1)

(3.2) で あ る.こ

こ で,式(3.2)に

お い て い る が,式(2.28)と で 置 き 換 え れ ば よ い.こ

現 れ る 積 分 の 変 数 はxで

ある必要 はないの で ξと

の 対 応 を は っ き り さ せ る た め に は 式(3.2)の の 展 開 は 周 期2lの

周 期 性 の な い 関 数 に も使 え る.そ

関 数 に 使 え る が ,l→∞

ξ をＸ とす れ ば

こ で,ｌ を 大 き く し た と き に フ ー リ エ 展 開 は ど

の よ う に な る か を 考 え て み よ う. 式(3.2)を

と な る.こ

式(3.1)に

代入す る と

の式で

λn=nπ/l,Δ

λ=λn+1-λn=(n＋1)π/l-nπ/l=π/l

とお け ば (3.3)

と な り,さ

らに

と お け ば,

と な る.こ

こ でl→∞

と な る.た

だ し,

と す れ ばΔ λ→0と

なるため

(3.4)

で あ る.し

た が っ て,式(3.3)は

と な る が,式(3.4)を

こ の式 に代 入 す れ ば

(3.5)

と な る. な お,こ

の 式 の 導 出 に は フ ー リ エ 級 数 が も と に な っ て い る た め,関

区 分 的 に 滑 ら か で あ り,か

で あ る 必 要 が あ る.さ (f(x+0)+f(x-0))/2を れ る.

数f(x)は

つ絶対可積分

ら に,点xに

お い てf(x)が

不 連 続 で あ れ ば,左

辺は

表 す こ と にな る.以 上 を ま とめ る と次 の 定 理 が 得 ら

[フー リエ の 積 分 定理]関 数f(x)が

(た だ し,f(x)が

区分 的 に滑 らか で か つ絶 対 可 積 分 な らば

連 続 の 点 で は 左 辺 はf(x)を

フ ー リエ の 積 分 定 理(3.5)に

表 す.)

お い て,eiλ

(x-ξ)=cosλ(x-ξ)+isinλ(x-ξ)

を 代 入 す る と,実

と な る が,２

数 部 と虚 数 部 は そ れ ぞ れ

番 目 の 式 の 括 弧 内 の 積 分 は λ に 関 し て 奇 関 数 で あ る か ら,λ

分 す る と ０ に な る.さ

で積

ら に １番 目 の 式 の 括 弧 内 の 積 分 は λ に 関 し て 偶 関 数 で あ

る こ と を考 慮 す れ ば

(3.6)

と な る. 式(3.6)のcosλ(x一

ξ)を 加 法 定 理 で 展 開 す れ ば,式(3.6)は

(3.7) た だ し, (3.8)

(3.9) と 書 け る.式(3.7)は,λ

が 離 散 的 な 値 を と る フ ー リ エ 展 開 の 公 式 を,連

値 を と る よ う に 拡 張 し た 式 と み な す こ と が で き る.

続的 な

式(3.7)∼(3.9)に (3.8),(3.9)の

お い てf(x)が

偶 関 数 で あ る 場 合 を 考 え よ う.こ

の と き,式

積 分 は

と な り,式(3.7)は

(3.10) と な る. 同 様 にf(x)が

奇 関 数 の と き は,式(3.8),(3.9)は

と な り,式(3.7)は

(3.11) と な る.

3.2 フーリエ

変 換

フ ー リ エ の 積 分 定 理(3.5)に

おいて

(3.12) と お く.こ

の 積 分 は パ ラ メ ー タ λ を 含 ん だ ξ に 関 す る 積 分 で あ り,積

は λ を 含 む た め,左

辺 の よ う に 記 して い る.こ

に対 して 意 味 を も つ 式 で あ る.式(3.12)を

分結 果 に

の 積 分 は 絶 対 可 積 分 な 関 数f(x)

用 い れ ば,式(3.5)は

(3.13)

と 書 く こ と が で き る. 式(3.12)を 換 と よ ぶ.一

関 数f(x)に 方,式(3.13)は

る 変 換 と み な せ る た め,フ

関 数g(λ)を 関 数g(λ)が

対 応 さ せ る 変 換 と み な し,フ 与 え ら れ た と き,も

ー リ エ 逆 変 換 と い う.

ー リエ 変

と のf(x)を

求め

関 数ｆ

に フ ー リ エ 変 換 を 行 う こ と を 記 号F[f]で

エ 逆 変 換 を 行 う こ と を 記 号F-1[g]で

表 す こ と に す る .ま

な る.

f(x)の

フ ー リエ 変 換 は

で あ り,g(λ)の

フー リエ 逆 変 換 は

で あ る.

例題3.1

【 解 】 フ ー リエ 変 換 の 定 義 式 に よ り,

例 題3.2 を 求 め よ. 【 解 】

表 し,逆

フ ー リ エ 変 換 の 定 義 式 に よ り,

に 関 数 ｇ に フー リ とめ る と次 の よ う に

と な る.こ と,積

こ で,複素

積 分〓

を 図3・1に 示 す よ う な 積 分 路 で 行 う

分 路 内 に 特 異 点 は な い た め,コ

は ０ に な る.そ

ー シ ー(Cauchy)の

積 分 定 理 か ら値

こで

図3.1  積分路

と な る が,∫C

で あ る.し

◇ 問3.1◇

2と∫C4はR→∞

の と き0と

な る た め,

た が っ て,

次 の 関 数 の フ ー リ エ 変 換 を 求 め よ.(１)xe-￨x￨(２)〓

f(x)が 偶 関 数 の と き 成 り立 つ 式(3.10)に

お いて

(3.14)

とお け ば (3.15) と書 く こ とが で きる.式(3.14)を

の 関 数ｆを λ の 関 数ｇ に対 応 させ る 変 換

とみ な して,フ ー リエ 余 弦 変 換 とい う.ま た,式(3.15)を

λの 関数ｇ をｘ の 関

数ｆ に対 応 させ る 変 換 とみ な して 逆 フ ー リエ余 弦 変 換 とい う.こ れ ら を そ れ ぞ れ 記号Fc[f]とF-1c[g]で 同 様 に,f(x)が

表 す こ とに す る.

奇 関 数 の と き成 り立 つ 式(3.11)に お い て (3.16)

とお け ば (3.17) と な る.こ れ ら をそ れ ぞ れ フー リエ正 弦 変 換,逆 れ ぞ れ記 号Fs[f]とF-1s[g]で

フー リエ 正 弦 変 換 と よ び ,そ

表 す こ と にす る.先 ほ ど述 べ た フ ー リエ変 換 の 場

合 と異 な り,正 弦 変 換 と余 弦 変換 で は,変 換 もそ の 逆 変 換 も全 く同 じ形 を して い る.以 上 を ま とめ る と次 の よ う に な る 。 f(x)の フ ー リエ 余 弦 変 換 と フ ー リエ 正 弦 変 換 は

で あ り,g(λ)の 逆 フ ー リエ 余 弦 変 換 と逆 フー リエ 正 弦 変 換 は

で あ る.

例題3.3 次 の 関係 を満 たす 関 数f(x)を

求 め よ.

【解 】f(x)の

フ ー リエ 余 弦 変 換 は

で あ る か ら,与 式 の左 辺 の√2/π 倍 に な って い る.し た が っ て,与 式 の 右 辺 をF(λ)と

◇ 問3.2◇ のf(x)を

書 い た と き,逆 変 換 の公 式 か ら

例題3.3の 式 の 左 辺 にお い て,cosλxをsinλxで

置 き換 え た 場 合

求 め よ.

3.3 フーリエ

変 換 の性質

本 節 で は フ ー リエ 変換 が もつ い くつ か の 性 質 に つ い て述 べ る. (１)線形 性 (3.18) た だ し,f1,f2は

フー リエ 変 換 が可 能 な関 数 で あ る とす る.

この 公 式 は フ ー リエ 変 換 が 線 形 演 算 で あ る こ と を意 味 して い る.こ れ は,積 分 が線 形 演 算 で あ る こ とか らの 帰 結 で あ る.実 際

(２)F [F[f(x)]]=f(-x)(3.19) こ の 公 式 は フ ー リエ 変 換 を ２回 行 う と も と の 関 数 のｘ と-xを に な る こ と を 意 味 し て い る.し

た が っ て,も

変 換 を ２回 行 え ば も と の 関 数 に も ど る,証

しf(x)が

入 れ替 え た もの

偶 関 数 で あ れ ば フ ー リエ

明 は 次 の と お り で あ る.F[f(x)]=g

とす れ ば

こ の式 に お い てｘ を-xで

置 き換 え れ ばとなる.(3))

〓(ａ，ｂ定 数 で,ｇはｆの

別

工 変 換) (3.20)

なぜ な ら

で あ り,u=ax+bと

で あ り,a＜0の

お く と,a＞0の

とき

とき

と な る.こ

れ ら を ま と め た も の が 式(3.20)で

特 に,b=0の

あ る.

と き, (3.21)

と な り,a=1,b=-cの

と きF

[f(x-c)]=e-icλg(λ)(3.22)

となる.(4)) (3.23) なぜ な ら

(実 際 の 証 明 で は(３)と 同 じくaの 符 号 に よ っ て場 合 分 け して 計 算 す る が,(３) と 同様 で あ る た め ひ と ま と め に して い る) (５)微 分

(3.24) (3.25) なぜ な ら,部 分 積 分 を用 い て

と な る が,f(x)は

絶 対 可 積 分 で あ る た め,￨x￨→∞

辺 第 １項 が ０ で あ る か ら 式(3.24)が こ と に よ り 同 様 に 証 明 で き る.

でf(x)→0に

得 ら れ る.式(3．25)も

な り ,最

右

部 分 積 分 を 繰 り返 す

(６) (3.26) な ぜ な ら,

(７)積分 x→ ±∞ の極 限 で∫x0f(ξ)dξ→0で

あ れば

(3.27) なぜ な ら,

た だ し部 分 積 分 を行 い,仮 定 を用 い て い る. (８)合成 積 フー リエ 変 換 で しば しば 現 れ る演 算 に合 成 積 が あ る.こ れ はf1(x),f2(x)が 全 区間で積分可 能 な とき

(3.28) の 右 辺 で 定 義 さ れ る 演算 で あ り,左 辺 の記 号 で 表 す .こ の 定 義 か らf 1*f2=f2*f1(3.29) が成 り立 つ こ とが 示 され る.

◇問3.3◇〓 の 合 成 積 を求 めよ ・ 合 成 積 の フ ー リエ 変換 に対 して 次 の 式 が 成 り立 つ. (3･  30) す な わ ち,２ つ の 関数 の 合 成 積 の フ ー リエ 変 換 は そ れ ぞ れ の 関 数 の フ ー リエ 変 換 の 積(に√2π

を か け た もの)に

な る.こ の こ とは以 下 の よ う に示 せ る.

定義 か ら

最 後 の 積 分 で,η=x-ξ

とお く と

と な る. 以 下 に フ ー リ エ 変 換 の 代 表 的 な 性 質 を ま と め て お く(ｇ はｆ の フ ー リ エ 変 換).

(1)F[a1f1+a2f2]=a1F[f1]+a2F[f2] (2)F[F[f(x)]]=f(-x) (3)〓

(4)〓

(5)〓

(6)〓

(7)〓

(8)〓

章末 問 題

［ 3.1]次

の 関 数 の フ ー リエ 変 換 を 求 め よ.

(1)(2) ［ 3.2]f(x)の

フ ー リエ 変 換 をF(λ)と

し た と き,次

の 関 数 の フ ー リエ 変 換 を求 め よ.

(1)xf(x),(2)f(x+2),(3)f(-x),(4)f(x+a)-f(x-a) (5)f(x)eiωx,(6)f(x)sinωx [3.3]〓

のフーリエ

変 換 を求 め,そ の 結 果 を利 用して

を計 算 せ よ. [ 3.4]フ

ー リエ 変 換 を 利 用 して次 の 関 係 を満 た す 関 数f(x)を

求 め よ.

４  直交 関数 と一般 のフーリエ 展 開

4.1 

直交

関

数

系

２章 で は あ る 関 数 を 三 角 関 数 の 和 で 表 し た が,本

章 では三角関数 だけ ではな

く直交 関 数 と よ ば れ る 関 数 の 和 に よ っ て も と の 関 数 を 表 す こ と を 考 え る.さ に,こ

ら

の 直交 関 数 が 次 章 以 降 で 述 べ る 偏 微 分 方 程 式 の 境 界 値 問 題 と密 接 に 関 係

す る こ と も 示 す. は じめ に 関 数 列 に つ い て 述 べ る.自 ・が定 めら れ て い る と き した.こ

然 数 １,２,３,… に 対 して 数 字 の 列al,a2,a3,・・

,こ の 数 字 の 列 を 数 列 と よ び,{an}な

どとい う記 号 で表

れ と 同様 に,自 然 数 １,２,３,… に 対 し て 関 数 の 列ψ1(x),ψ2(x),ψ3(x),…

が定 めら れ て い る と き,こ 号 で 表 す.た

の 関 数 の 列 を 関 数 列 と よ び,{(ψn(x)}な

ど とい う記

と え ば,

{sinnx}:sinx,sin2x,…,sinnx,… (4.1) {ei(n-1)x}:1(=ei0x),eix,e2ix,…,ei(n-1)x,… (4.2) は 関 数 列 で あ り,ま

た 適 当 に 川頁番 を つ け る こ と に す れ ば

１,cosx,sinx,cos2x,sin2x,… (4.3)

も 関 数 列 で あ る. 次 に 直交 関 数 列 に つ い て 述 べ る が,そ 義 を 述 べ る.い

ま,２ つ の 関 数ｆと

の 前 に 関 数 が 直交 す る と い う こ と の 定

ｇに 対 し て,そ

の 定 義 域 内 の 区 間[a,b]に

お

け る定 積 分 (4.4)

を関 数ｆ,ｇの

区 間[a,b]に

お け る 内 積*と

よ び,左

辺 の 記 号 で 表 す.こ

はｇ が 複 素 数 値 を と る と き そ の 共 役 複 素 数 を 表 す が,実

こ でｇ

数 値 の 関 数 の 場 合 はｇ

と 同 じで あ る. 内 積 に は 以 下 の 性 質 が あ る こ と は 定 義 か ら す ぐ に 確 か め ら れ る. (１)(f,g)=(g,f)(4.5) (２)(a1f1+a2f2,g)=a1(f1,g)+a2(f2,g)(a1,a2は

定 数)

あ る い は 一 般 化 して

(３)(4.6)

す な わ ち,内

積 は 線 形 の 演 算 で あ る.

◇ 問4.1◇

次 の 関 係 が 成 り立 つ こ と を 示 せ.

(u+v,u+v)+(u-v,u-v)=2(u,u)+2(v,v)

(f,g)=0の さ ら に,ｆ

と きｆとｇは

区 間[a,b]で

直交 す る と い う.

とｇ は 直交 して い な く て も,あ

る 正 の 値 を と る 関 数 ρ(x)に 対 し て

(4.7) が 成 り立 つ と き,ｆとｇは

区 間[a,b]に

お い て,ρ

を 重 み 関 数 と し て 直交 す る と

い う, 関 数 列{ψn(x)}に

で あ る な ら ば,こ 特 にA=1の *も

含 ま れ る 任 意 の２ つ の 関 数 に 対 し て,

の 関 数 列 は(区

と き,正

規 直交

間[a,b]に

お い て)直交

関 数 列 と い う.

しｆ とｇ が 離 散 的 に定 義 さ れ て い て

あ れ ば こ れ ら は ベ ク トル とみ なせ る.こ f1g1+f2g2+…+fkgkと

関 数 列 で あ る と い う.

,そ の 値 が(f1,f2,…,fk)お よ び(g1,g2,…,gk)で の と き,式(4.4)に 対 応 す る演 算 は,∫ を Σ とみ なせ ば,

な る ため 内 積 と解 釈 で きる.

た と え ば,正 弦 関 数 の 列{sinnx}は

で あ る か ら,区 間[0,π]で 直交 す る.ま た 複 素 数 の指 数 関 数 列{einx}は

で あ る か ら 区 間[-π,π]で

◇ 問4.2◇

直交 す る.

関 数 列{sin(n+1/2)x}(n=1,2,…)は

区 間[０,π]で 直交 す る こ

と を 示 せ.

4.2 一般

のフーリエ

級 数

フ ー リ エ 級 数 で は あ る 関 数 を 三 角 関 数 の 和 で 表 し た が,sinやcosの め る と き 三 角 関 数 の 直交 性 を 利 用 し た.た 間[0,π]で

正 弦 関 数 の 列sinnxは

と書 い た 場 合 に,両 た.す

な わ ち,内

辺 とsinmxの

と え ばf(x)=xを

係 数 を決

例 に と れ ば,区

直交 す る た め,

内積 を計 算 す れ ば係 数 を決 め る こ と が で き

積 は線形 の演算で あるか ら

(x,sinmx)∼a1(sinx,sinmx)+a2(sin2x,sinmx)+ …+ an(sinnx,sinmx)+…

と な る が,sinの

直交 性 か ら,上 式 の 右 辺 に お い て ０ で な い の は(sinmx,sinmx)

の項 だ け なの で (x,sinmx)=am(sinmx,sinmx)

した が って

と な る.こ

こ で,(sinmx,sinmx)=π/2で

あ り,ま

た

であるか ら す なわ ち と な る.し

た が っ て,展

開式 と して

が 得 ら れ る. 同 様 に,関

数f(x)を

一 般 の 直交 関 数 列{ψn(x)}の

こ の よ う な 級 数 を 一 般 の フ ー リ エ 級 数 と い う.ま 展 開 と い う.い

和 で 表 す こ と を 考 え る.

た この 手 続 を一 般 の フ ー リエ

ま,

(4.8)

と書 け た と して,そ と ψm(x)と

の 係 数 を 決 め て み よ う.こ

の と き,上

の 例 と 同 様 に 式(4.8)

の 内 積 を 計 算 す る と(右 辺 が 収 束 し て 項 別 積 分 が 可 能 で あ る と し て)

(f,ψm)=a1(ψ1,ψm)+a2(ψ2,ψm)+…+an(ψn,ψm)+… と な る.直交

性 か ら,上

式 の 右 辺 で０ で な い の は(ψm,ψm)を

るか ら (f,ψm)=am(ψm,ψm) す なわち また は

もつ 項 だ け で あ

と な る.し

た が って

(4.9)

と い う式 が 得 られ る.な お,内 直交 性 が 成 り立 つ 区 間(sinの 式(4.9)は,フ

積 を計 算 す る場 合 の 積 分 区 間[a,b]と

場 合 で あ れ ば[0,π]を

して は

と る必 要 が あ る.

ー リエ 展 開 と同 じ く,も し関 数 が 直交 関 数 系{ψn}で

展 開で き

た と仮 定 した と き,こ の よ うな 形 にな る とい う式 で あ り,そ の た め ∼と い う記 号 を使 っ て い る.ま が っ て,フ

た,暗 黙 の う ち に項 別 積 分 が で きる と仮 定 して い る.し た

ー リエ 級 数 の と き と同 じ く右 辺 が 実 際 に収 束 す る か ど う か は別 途 考

え な け れ ば な らな い. 以 下,直交

関 数 列{ψn}は((ψn,ψn)=1を

満 た す とす る.前 述 の とお り この

よ うな直交 関 数列 を正 規 直交 関 数 列 とい う.た だ し,{ψn}が な くて も,〓

正 規 直交 関 数列 で

と した と き ψn/√Aで 新 しい 関 数 列 を定 義 す れ ば正 規

直交 関 数 列 に な る た め,直交

関 数 列 を正 規 直交 関 数 列 と考 え て も一 般 性 を失 わ

な い. い ま,あ

る係 数cnを

用 い て有 限 項 の 級 数〓

した とす る.こ の和 はｆ とは 異 な るた め 誤 差 が 生 じる.こ

を つ くっ て

をｆ 近似

の誤 差 は 場 所 の 関 数

で あ る た め,誤 差 の 尺 度 と して平 均 ２乗 誤 差

を用 い る こ と にす る.右 辺 を展 開 して 計 算 す れ ば次 の よ う に な る.

た だ し,an=(f,ψn)し ,ψn)の

た が っ て〓

場 合 にEnは

と お い た.そ

最 小 に な る こ と が わ か る(こ

こ で,cn=αn=(f

の こ と は,係

数 として一

般 フ ー リ エ 級 数 の 係 数 を 用 い た と き 平 均 ２乗 誤 差 は 最 小 に な る こ と を 意 味 し て い る). さ ら に,〓

と な る が,Ｎ

で あ る か ら,cn=αnと

とった とき

は任 意 で あ っ た か ら

(4.10)

と な る.こ

れ を 三 角 関 数 の 場 合 の 式(2.37)と

こ こ で,等

式 が 成 り立 つ と き,す

同 様 に ベ ッ セ ル の 不 等 式 と い う,

なわ ち

(4.11)

が 成 り立 つ と き,正

規 関 数 列 は 完 全 で あ る と い う.式(4.11)も

くパ ーセ バ ル の 等 式 と い う.完

式(2.38)と

同 じ

全 であれ ば

であ るため (4.12)

が 成 り立 つ とい って よい. な お,正 規 直交 関 数系 の 完 全 性 を証 明 す る こ と はか な り高 度 に な る た め本 書 で は省 略 す る.

4.3 ス ツ ルム ・リュ ー ビ ル 型 固 有 値問 題

２階線 形 偏 微 分 方 程 式 を後 述 の 変 数 分 離 法 で 解 く と き,次 の 形 の 常 微 分 方 程 式 が よ く現 れ る：

(4・13) こ こ で,λ

は 定 数p(x),q(x),ρ(x)は

程 式 をス ツ ルム

実 関 数 で 特 に ρ(x)>0と

・リュ ー ビ ル(Sturm-Liouville)の

分 方 程 式 をx=aお

よ びx=bに

す る.こ

の方

微 分 方 程 式 と い う.こ

の微

お い て 適 当 な境 界 条 件 を与 え て解 く こ と を考

え る. も っ と も 簡 単 な 例 と し て,λ 区 間[0,1]で

は 実 数,p(x)=1,q(x)=0,ρ(x)=1と

し て,

考 え る こ と にす れ ば

(4.14) と な る.こ

の方程式 に x(0)=x(1)=0(4.15)

と い う 条 件 を 課 す こと に す る. も と の 方 程 式 の 一 般 解 はy=ekxと

お く こ と に よ り求 ま る.す

な わ ち,こ

の

解 を上 式 に 代 入 して 共 通 項 で 割 れ ば k2+λ=0

と な る.は

y=ae-√-λx+be√-λx と な る.こ

じめ に,λ

〈0の

と きｋ は 実 数±√λ

天 とな り

こ で 境 界 条 件 を 考 慮 す る とa=b=0と

解 以 外 の 解 は 求 まら な い.次

に λ>0の

な り,y=0と

と き はk=±√λiと

x+be√λix=Asin√λx+Bcos√λx と な る.さ ら に境 界 条件 を考 慮 す る と λ=(nπ)2の

い う 自明 の な り,一

般解 は

と きだ け 自明 で な い解

y=Asinnπx

を も ち,そ

れ 以 外 はA=B=0と

も と の 微 分 方 程 式 はd2y/dx2=0と

な っ てy=0に

な る.最

後 に λ=0の

な り そ れ を積 分 し てy=ax+bと

こ の 場 合 も境 界 条 件 を 考 慮 す る とy=0と

な る.

とき な る が,

ま とめ る と,微 分 方 程 式(4.14)の 境 界 条 件(4.15)を (y≠0の

解)は,λ

満 足 す る 自明 で な い 解

が 勝 手 な値 の と き は存 在せ ず,λ=(nπ)2の

と きに 限 り存

在 す る こ とが わ か る.こ の よ うな特 殊 な λの 値 を も との 微 分 方 程 式 の 固有 値 と い う.ま た,そ の 固有 値 に対 応 す る解(い

ま の 場 合 はsinnπx)を

固有 関数 と

い う. 例題4.1 上 の問題で境界 条件 を y(0)=0,y'(1)=0 と した と きの 固有 値 お よ び 固有 関 数 を求 め よ. 【 解 】 本 文 と 同様 に考 え る と,y=0と に は λ＞0で

い う 自明 な解 以 外 に 解 を もつ た め

あ り,こ の と き解 と して y =Asin√λx+Bcos√λx

が得 られ る.さ

ら に,境 界 条 件 か ら y(0)=B=0 y'(1)=A√λcos√λ=0

とな り,√λ=(n+1/2)π

で あ れ ばy=0以

外 の 解 を もつ.し

た が っ て,

固 有 値 と固 有 関 数 は

◇ 問4.3◇

例題4.1で

境 界 条 件 をy'(0)=0,y(1)=0と

値 と固有 関 数 を求 め よ. 以 上 の こ とを 一般 化 す れ ば,微 分 方 程 式(4.13)の 境 界 条 件 y(a)=y(b)=0(4.16)

変 えた場合 の固有

を満 た す 自 明 で な い 解 は,勝 さ て,式(4.13)の

手 な λ に 対 して は 存 在 し な い と予 想 さ れ る.

複 素 共 役 を と っ た 方 程 式 は,p,q,ρ

が実 関 数 で あ る こ と

か ら (4.17) と な る.そ

こ で 式(4.13)に

を か け た も の を 式(4.17)にｙ

を か け た もの か ら引

け ば

と な る.こ の式 の 両 辺 を[a,b]で 積 分 す れ ば

と な る.し

た が っ て,以

下 の ど れ か の 境 界 条 件 が あ れ ば,こ

の式の値 は ０に

な る.

(１)y(a)=y(b)=0 (２)y'(a)=y'(b)=0 (３)c1y'(a)+c2y(a)=0,d1y'(b)十d2y(b)=0 (４)y(a)=y(b),p(a)y'(a)=p(b)y'(b) (５  )p(a)=p(b)=0で

あ り,y(a)とy(b)は

こ の と き 被 積 分 関 数 は 正 で あ り,積 以 下,こ

れ ら(1)∼(5)の

分 値 も正 に な る た め λ=λ

ど れ か の 境 界 条 件 に 対 し て 式(4.13)の

固 有 関 数 を 求 め る こ と を 考 え る.こ 有 値 問 題 と い う.λ=λ

有界

の よ う な 問 題 をスッルム

で あ る こ と か ら,ス

ツ ルム

と な る. 固有値 お よび

・リュ ー ビ ル 型 固

・リュ ー ビ ル 型 固 有 値 問 題

の 固 有 値 は 実 数 で あ る こ とが わ か る.

例題4.2

 

次 の 微 分 方程 式(ル

ジ ャ ン ドル(Legendre.)の

微 分 方程 式)の 境 界 値 問 題

を 考 え る.こ

の 問 題 は λ=n(n+1)(n=0,1,2,…)の

とい う多 項 式 の 解(固 有 関 数)を 【解 】u=(x2-1)n(2n次

とき

もつ こ と を確 か め よ.

多 項 式)をxで

微 分 して両 辺 にx2-1を

かけ

ると

と な る.こ

の 式 をｘ に つ い てn+1回

微 分 す る と(ラ

イプニッツ(Leibniz)

の 公 式*を 用 い て)

こ の 式 か ら,y=u(n)は

も と の 方 程 式 の 解 で あ る こ と が わ か る.

こ の 例題 で 求 まっ た 解yｎ の 定 数 倍 で あ る

(4.18) を ル ジ ャ ン ドル の 多 項 式 と い う.な

お,ル

ズ １巻 『常 微 分 方 程 式 』 で も と りあ げ た.そ 数 解 の 方 法 を 用 い て,解 に λ=n(n+1)の た.そ

こ で は,微

分 方 程 式 を 解 く場 合 に 級

を 無 限 級 数 の 形 に 仮 定 し て 係 数 を 決 め た.そ

して,特

と き に 限 り,級 数 は 有 限 項 で 切 れ て 多 項 式 に な る こ と を 示 し

の 多 項 式 が 式(4.18)の

形 に 書 け る と い う の が 例題4.2で

(4.18)をロド

リ ー グ(Rodrigues)の

例題4.2は

微 分 方 程 式(4.13)に

の 場 合 で あ り,さ 問 題(境

ジ ャ ン ドル の 微 分 方 程 式 は 本 シ リ ー

に式

公 式 と い う. お い て,p(x)=1-x2,q(x)=0,ρ(x)=1

ら にp(-1)=p(1)=0で

界 条 件 は(5))に

あ る が,特

あ る か ら,スッルム

な っ て い る.

*(uv)(m)=u(m)v+mC1u(m-1)v(1)+…+mCm-1u(1)v(m-1)+v(m)

・リュ ー ビ ル

スツ ルム

・リュ ー ビ ル 型 固 有 問 題 の 相 異 な る 固 有 値 に 対 応 す る 固 有 関 数 は,

区 間[a,b]に

お い て ρ(x)を 重 み 関 数 と し て 直交 す る こ と が 以 下 の よ う に し て 示

せ る. い ま 相 異 な る 固 有 値 を λ1,λ2と る.こ

の と き λ1,y1に

と な り,ま

対 して,方

た λ2,y2を

し,対

,y2(x)と

す

程 式(4.13)は

方 程 式(4.13)に

と な る.た だ し,スツルム

応 す る 固 有 関 数 をy1(x)

代 入 した あ と,そ

の複 素 共 役 を と れ ば

・リュ ー ビル 問 題 の 固有 値 が 実 数 で あ る こ と を用 い

て い る.前 と 同様 に 第 １番 目 の 式 にy2を

か け た もの を,第

２番 目 の 式 にy1を

か け た もの か ら引 い た あ と,両 辺 を[a,b]で 積 分 す れ ば

とな る が,仮 定 か ら λ1≠ λ2で あ る か ら

(4.19) と な り,主 張 が証 明 され た こ と に な る. スツ ルム ・リュー ビ ル型 固 有 値 問 題 の 固 有 値 お よ び 固 有 関 数 に は以 下 の ２つ の 重 要 な性 質 が あ る.こ

こ で は 証 明 はせ ず に結 果 だ け を 記 す.

(1)固 有 値 はそ の最 小 値 を λ1と して 一∞<λ1<λ2<λ3<… という よ う に並 べ ら れ る.ま [a,b]の 内 部 にn個 (２)実関 数f(x)が の と き,y0(x)=0を

た,固 有 値 λnに 対 応 す る 固 有 関 数ynは

区間

の零点 を もつ. 区 間[a,b]に お い て 区 分 的 に 滑 ら か で あ る とす る.こ 満 たすxに お い てf(x)=0で あれば

は 区 間[a,b]に 例題4.2と

お い て 絶 対 か つ 一 様 収 束 し て,f(x)と

上 に あ げ た 性 質 か ら,関

数f(x)は

ル ジ ャ ン ドル の 多 項 式Pn(x)を

用 い て 一 般 の フ ー リ エ 展 開 で き る こ と が わ か る.そ

をPn(x)に

こ で,例

と して 関 数

よ り展 開 し て み よ う.

一 般 の フ ー リ エ 級 数 の 係 数cnは

とな る.こ

な る.

式(4

.9)か ら

こで,分 母 の 値 は本 シ リー ズ１ 巻 『常 微 分 方 程 式 』 で 述べ た よ う に,

2/(2n+1)に

な る.一 方,ロド

リー グ の公 式 でxの

か わ りに-xを

代 入 した と

き,ｎ が偶 数 な ら右 辺 は変 化せ ず,ｎ が 奇 数 の と き に は符 号 が 逆 に な る た め,ル ジ ャ ン ドル の 多 項 式 はｎ が 偶 数 の と き偶 関 数,ｎ した が って,

こ こで,次

の例題 で 示 す よ う に k＜nな

で あ る か ら,

ら ばx=±1に

お い て〓

が 奇 数 の と き奇 関 数 に な る.

と な る.た

だ し,c2飢-2は(x2一1)2mを

展 開 し た と き のx2m-2の

係 数 で あ る.

以 上 の こ とか ら

と な る.ま

た

で あ る.し

たが って

と な る. 例題4.3 k＜nな 【解 】

ら ばx=±1に

お い てdk(x2-1)n/dxk=0で

あ る こ と を 示 せ.

ライプニッツッ の 公 式 か ら

[(x2-1)m](k) =[(x+1)m(x-1)m](k) =[(x+1)](k)(x-1)m+kO1[(x+1)m](k-1)[(x-1)m](1) 十…

と な る.し

十kCk(x十1)m[(x-1)m](k)

た が っ て,k=0,1,…,mに

各 項 は ０ に な る.同

様 にx=−1の

対 し てx=1を

代 入す れば右辺の

と き も 右 辺 の 各 項 は０ に な る.

章末 問 題

l4.1]次

のスツルム

・リュ ー ビル 型 固 有 値 問 題 の 固 有 値 と固 有 関 数 を求 め よ.

[ 4.2]次

の微 分 方 程 式 の 境 界 値 問 題 を考 え る.

(１)こ の 問題 はス ツ ルム ・リュー ビ ル 型 で あ る こ と を確 か め よ. (２)T0=1は λ=n2(n=1,2

λ=0の ,…)に

場 合 の 解 で あ る こ と を 確 か め よ.さ

ら に,こ

の問題 は

対 し て,解

を もつ こ と を確 か め よ. (３)(２)で 得 られ た 式 が 多 項 式 に な る こ と を,n=1,2,3に こ の 問 題 で 得 られ た 多 項 式 をチェビ シ ェ フ(Chebyshev)の 14.3]チェビ

シ ェ フ の 多 項 式 に 対 して

が 成 り立 つ こ と を 証 明 せ よ(x=cosθ ［ 4.4]関

とお く).

数

をチェビ シ ェ フの 多 項 式 を用 い て展 開 せ よ.

対 して 確 か め よ.な 多 項 式 と い う.

お,

５ 数理物理学 に現れる偏微分方程式 本 シ リー ズ1巻

『常 微 分 方 程 式 』 で は,主

に独 立 変 数 が ひ とつ の 微 分 方 程 式

(常微 分 方 程 式)に つ い て詳 し く述 べ た.偏 微 分 方 程 式 につ い て も述 べ た が,そ れ は 常微 分 方 程 式 の 解 法 の あ る意 味 で の 延 長 で あ る １階偏 微 分 方 程 式 の 完全 解 を求 め る解 法 に 限 っ た.本 書 の 以 下 の 章 で は,物 理 や工 学 に広 い 応 用 範 囲 を も つ ２階 線 形 偏 微 分 方 程 式 につ い て述 べ る.

5.1  線 形 偏 微 分 方 程 式

は じめ に用 語 につ い て ま とめ て お く.微 分 方 程 式 の な か で 未 知 関 数 が ２変 数 以 上 の独 立 変 数 の 関数 で あ り,方 程 式 に偏 導 関 数 を含 む よ う な場 合,特 に そ の微 分 方 程 式 を偏 微 分 方 程 式 とい う.い ま,独 立 変 数 をxとy,未

知 関 数 をu(x,y)

と した場 合,

(5.1) (5.2) (5.3) は,す べ て偏 微 分 方 程 式 で あ る.偏 微 分 方 程 式 の な か で 未 知 関 数 の最 高 階 の偏 導 関 数 の 階 数 を偏 微 分 方程 式 の 階 数 とい う.し たが っ て,式(5.1)は 分 方 程 式 で あ り,式(5.2),(5.3)は

１階 の偏 微

２階 の偏 微 分 方程 式 で あ る.ま た 未 知 関数 に

つ い て線 形 で あ る場 合 を線 形 偏 微 分 方 程 式,線 形 で な い 場 合 を非 線 形 偏 微 分 方 程 式 とい う.し た が っ て,式(5.1),(5.2)は

線 形 で あ り,式(5.3)は

非 線形で あ

る.た だ し,非 線 形 で あ っ て も最 高 階 の 導 関 数 に注 目 して そ れ が 線 形 な ら ば準

線 形 偏 微 分 方 程 式 とい う こ とが あ る.こ の意 味 で は式(5.3)は 準 線 形 で あ る. 本 書 で は線 形 偏 微 分 方 程 式 だ け を取 り扱 う.ま た主 と して ２つ の独 立 変 数 の ２階 偏 微 分 方 程 式 を 取 り扱 う.こ と きよ く用 い ら れ る た め,独

うい っ た偏 微 分 方 程 式 は 物 理 現 象 を 記 述 す る

立 変 数 はｘ,ｙ また はｘ,ｔと す る.こ の 場 合,ｘ

やｙ は 空 間 座 標 を表 し,ｔは 時 間 を意 味 す る が,物 理 現 象 にあ ま り興 味 が な け れ ば単 な る独 立 変 数 と思 え ば よ い. ２変 数 の線 形 ２階偏 微 分 方 程 式 は,一 般 に

(5.4) と 書 け る 。 こ こ で 係 数 の 関 数A∼Gは

既 知 のｘ,ｙ

の 関 数 で あ り,も

ち ろ ん定

数 も 含 ま れ る. こ の 方 程 式 を2変

数の関数

ξ=ξ(x,y),η=η(x,y)(5.5) を用 い て 適 当 に変 数 変換 す れ ば d=B2-4AC

の 正 負 に よ り,5.2節

(１)d>0の

と き,双

に 示 す よ う に,次

曲 型 と よ ぶ.こ

の ３種 類 に 分 類 さ れ る.

の とき

(5.6)

または (5.7) と い う形 に 書 き 換 え ら れ る.こ

(２)d=0の

と き,放

れ を双 曲 型 偏 微 分 方 程 式 の 標 準 形 と い う.

物 型 と よ ぶ.こ

の とき

(5.8)

という 形 に書 き換 え られ る.こ れ を放 物 型 偏 微 分 方 程 式 の 標 準 形 と い う. (３)d<0の

と き,楕 円型 と よぶ.こ

の とき (5.9)

とい う形 に書 き換 え られ る.こ れ を楕 円 型 偏 微 分 方 程 式 の標 準 形 とい う. 双 曲 型 の 簡 単 な 例 と して は,式(5.7)の

右 辺 を ０ と した

(5.10) が あ り,１ 次 元 波 動 方 程 式 と よ ば れ て い る.さ 式(5.8)の

ら に,放

物 型 の 簡 単 な 例 と し て,

右 辺 を∂u/∂ η と した

(5.11) が あ り,１ 次 元 拡 散 方 程 式 と よ ば れ て い る.さ 式(5.9)の

ら に,楕

円 型 の 簡 単 な 例 と し て,

右 辺 を ０ と した

(5.12) が あ り,２ 次 元 ラ プ ラ ス 方 程 式 と よば れ て い る. ラ プ ラス 方 程 式 以 外 は,そ れ ぞ れ の 名 称 が 示 す よ う に あ る 物 理 量 が 波 と して 伝 わ る波 動 現 象,あ

る 物 理 量 が 周 囲 に広 が る拡 散 現 象 を表 して い る.ま た ラ プ

ラス 方 程 式 は あ る物 理 量 が 拡 散 し終 わ っ てそ れ 以 上 変 化 し ない 状 態(平 衡 状 態) を表 す 方 程 式 で あ る.こ

う い った 物 理 現 象 か ら偏 微 分 方 程 式 を導 くこ とは5.3

節 で 行 う が,そ れ ぞ れ が 意 味 す る物 理 現 象 が 異 な っ て い る こ とか ら も類 推 で き る よ う に,偏 微 分 方 程 式 の 型 が 異 な っ て い れ ば,数 学 的 な性 質 も異 な る.偏 微 分 方程 式 を分 類 す る意 義 は この よ うな点 に あ る. ◇ 問5.1◇

次 の 偏 微 分 方 程 式 の 型 を述 べ よ.

(1)uxx-2uxy+ux-uy=0,(2)uxx+4uxy+5uyy=0 (3)x2uxx+2xyuxy+y2uyy=0,(4)uxx-2sinxuxy-cos2xuyy=0

5.2  偏 微 分 方 程 式 の 標 準 形

線 形偏 微 分 方 程 式(5.4)を 変 換(5.5)に よ り,ξ と η を独 立 変 数 とす る よ う な 偏 微 分 方 程 式 に書 き換 え て み よ う.ま ず,変

数 変 換 の公 式 か ら (5.13)

(5. 14) と な る.２ 階微 分 につ い て は,以 下 の よ う に な る(例 題5.1参 照). (5.15)

(5.16) (5.17)

例題5.1 式(5.16)を証明

せ よ.

【 解 】 式(5.13),(5.14)か

となる．なお，

らuxy=(uξξx+uηηx)ξξy+(uξξx+uηηx)ηηy=ξxξyuξξ+ηxξyuη

上 式 に お いてｙをｘ

とみ な せば 式(5.15)が，ｘ

(5.1 7)が 得 ら れ る．

式(5.13)∼(5.17)を

式(5.4)に

代 入 し て 整 理 す れ ば,

をｙ と み な せ ば 式

(5.18) と な る.た

だ し

(5.19)

で あ る. 例題5.2 」=ξxηy-ξyηxと

した と き

(B*)2-4A*C*=J2(B2-4AC)(5.20) が 成 り立 つ こ と を証 明 せ よ.

【解 】(B*)2-4A*C*=(2Aξxηx+B(ξxηy+ξyηx)+2Cξyηy)2-4(Aξ2x+Bξxξy+Cξ2y)×(Aη2x+Bηxηy+Cη

以 下,変

換(5.5)の

関 数 を 適 当 に 選 ん で 偏 微 分 方 程 式(5.18)のA*とC*を

に す る こ と を 考 え る.そ

の た め にA*とC*をξ2yとη2yで

０

割 った式

(5.21)

を 利 用 す る.た 式(5.21)に

だ し,ξy≠0,ηy≠0と お い て,ξx/ξy=tと

仮 定 して い る. お け ば,２

次方程式

At2+Bt+C=0(5.22)

と な る.ま Ａ ,Ｂ,Ｃ

た ηx/ηy=tと

お い て も 同 じ 方 程 式 に な る.そ

こ で,係

数 にあた る

か らつ くら れ る 判 別 式 d=B2-4AC

の 値 に よ っ て,式(5.22)の

d＞ 0の d =0の d＜ 0の

そ し て,前

解 は 次 の ３種 類 に 分 類 さ れ る.

と き

相 異 な る ２実 根 を もつ

と き

１つ の 実 の 重 根 を も つ

とき

共 役 複 素 数 根 を もつ

節 で 述 べ た よ う に,順

に 双 曲 型,放

物 型,楕

円 型 と い う.以

下,そ

れ ぞ れ に つ い て 調 べ る. は じ め にd＞0の

と き,式(5.22)の

異 な る 実 根 を α と β と す る.こ

の と き,

変 換 と して (5.23) を満 た す も の を 選 ぶ と,α≠

β で あ る か ら,ξ と η は 異 な る 関 数 と な る.そ

そ れ ら の 関 数 を用 い る こ と に よ り,A*=0,C*=0と

こ で,

な る た め,式(5.18)は

(5.24)

と いう 形 に な る.さ

ら に,式(5.24)に

お い て,ξ=8-t,η=s+tと

お け ば,

以 下 の 例題 が 示 す よ う に

(5.25)

と い う形 に な る. 式(5.24)ま

た は(5.25)を

双 曲 型 偏 微 分 方 程 式 の 標 準 形 と い う.

例題5.3 1.1ξ=s-ct，

η=S+Ctと

い う変 換 に 対 して

が 成 り立 つこ とを証 明 せ よ．【解】

したがって次 に,d=0の

場 合 を 考 え る.こ

じ 方 程 式 に な る.言

い 換 え れ ば,関

の と き,α=β

で あ る た め,式(5.23)は

同

数 と して ξ ま た は η の どち らか 一 方 だ け を

決 め る こ と が で き る.そ と き,式(5.20)か

こ で 仮 に η を 決 め た と す れ ば,C*=0と

な る.こ

の

ら

(B*)2=(B*)2-4A*C*=J2(B2-4AC)=J2d=0 と な る た め,B*=0で

あ る.し

た が っ て,式(5.18)は

ηx/ηy=α

を満たす変

換 に よ り (5.26) と い う 形 に な る.式(526)を放

最 後 にdく0の

物 型 偏 微 分 方 程 式 の 標 準 形 と い う.

場 合 を 考 え る.こ

の と き,式(5.22)は

共役 複 素根

α,αを

も ち,

(5.27)

と な る.し

た が っ て,こ

と が で き る た め,も

の 方 程 式 の 解 を変 換 に 用 い れ ばA*=C*=0と

と の 偏 微 分 方 程 式 は 式(5.24)の

形 に な る.一

す るこ 方,式(5.27)

の 第 １式 の 両 辺 の 共役 複 素 数 は

で あ る.そ

こ で,式(5.27)の

な わ ち,η=ξ

第 １式 の 解 を ξ と す れ ば,ξ は 第 ２式 を 満 た す.す

は 第 ２式 の 解 で あ る.し

た が っ て,式(5.24)は

(5.28) と な る.こ

こ で,実

数 の変 数 に直 す た め に

ξ=s-it,η=s+it(5.29) と お け ば, (5.30) と な る(例

題5.3参

照).式(5.30)を

楕 円 型 方 程 式 の 標 準 形 と い う.

以 下,実

際 に 方 程 式(5.23)を

と書 くこ とが で きる.し ジ ュ(Lagrange)の

解 く こ と を 考 え る.式(5.23)は

たが って,１ 巻 の 『常 微 分 方 程 式 』 で 述 べ た ラ グ ラ ン

偏 微 分 方 程 式 の特 殊 な場 合 とみ な せ る ため,補

つ くって 解 くこ とが で き る.た

と え ば,第

とな る た め,最 後 の式 か らdξ=0で とな る.ま

た,は

(5.31)が 得 ら れ る.そ

助方程 式 を

１式 を解 く場 合 に は,補 助 方 程 式 は

あ る こ とが わ か り,ξ=a(α:定

数)が 解

じめ の 等 式 か ら常 微 分 方 程 式

こ で,こ

の 方 程 式 を解 い て 一般 解

f(x,y)=b(5.32) が 求 ま れば,も

と の 偏 微 分 方 程 式 の 一 般 解 は,ψ

を 任 意 関 数 と して

ψ(f(x,y),ξ)=0 と な る.た

だ し,変

選 べ ば よ い.そ

換 は ひ とつ 見 つ か れ ば よい の で ψ は もっ と も簡 単 な もの を

こ で, ξ=f(x,y)(5.33)

と す れ ば 十 分 で あ る.ま が 解 け て 式(5.32)の

と め る と,標

準 形 に 直 す 変 換 は,常

形 の 解 が 求 ま れば,式(5.33)で

与 え られ る.変

同 様 に して 求 め る こ と が で き る. 例題5.4 次 の 偏 微 分 方 程 式 を 標 準 形 に 直 せ.y 2uxx-c2x2uyy=0(c:定

【解 】

式(5.22)は

微 分 方 程 式(5.31)

数)

換 η も全 く

y 2t2-c2x2=0

と な る た め,２ 実 根 α=-cx/y,β=cx/yを

と な る た め,一

もつ.し

た が っ て,式(5.31)は

般 解 はy

2-cx2=a,y2+cx2=b

とな る.こ

の こ と か ら,変

換 と して

ξ=y2-cx2,η=y2+cx2

を 用 い れ ば よ い こ と が わ か る.こ

の と き,

ξx=-2cx,ξy=2y,ηx=2cx,ηy=2y

ξxx=-2c,ξxy=0,ξyy=2,ηxx=2c,ηxy=0,ηyy=2 で あ る か らB *=-8c2x2y2-8c2x2y2=-16c2x2y2=4c(ξ2 D*=-2cy2-2c2x2=

-2c(y2+cx2)=-2cη

E*=2cy2-2c2x2=2c(y2-cx2)=2cξ

(A*=C*=F*=G*=0)

と な り,も

と な る.

との 方 程 式 の標 準 形 は

-η2)

,

,

5.3  偏 微 分 方 程 式 の 物 理 現 象 から の 導 出

①波 動 方程 式 図5.1に 示 す よ うに有 限 長 さ(長 さ １とす る)の 弦 を考 え る.こ の 弦 の 微 小 振 動(上 下 方 向)を 議 論 す る.弦 数u(x,t)と

の振 幅 をｕ とす る と,ｕ は位 置ｘ と時 間ｔ の 関

な る.弦 の 線 密 度(単 位 長 さ当 た りの 重 さ)は 一 定 で ρ とす る.ま

た,弦 が 引 っ張 られ た状 態 で は 張 力 は場 所 に よ らず 一 定値Ｔ を と る とす る.こ の と き図 に示 す よ う に弦 の 微 小 部 分(長 トン(Newton)の

さΔx)を

と りだ し,こ の部 分 で ニ ュ ー

第 ２法 則(質 量× 加 速 度=力)を

適 用 して み よ う.弦 は 軽

く,弦 に働 く重 力 は 張 力 に 比 べ て無 視 で き る とす る.

図 5.1  弦 の 微 小 振 動

位 置ｘ に お い て 弦 が 水 平 面 と な す 角 を θ,位 置x+△xに と な す 角 を θ+△ でTsin(θ+△

θ と す る,こ

の と き微 小 部 分 に 働 く 力 の 上 下 方 向 成 分 は 右 側

θ),左 側 で はTsinθ F=Tsin(θ

と な る.微

で あ る か ら,上

向 き に 働 く正 味 の 力Ｆ

は

＋Δ θ)-TsinB(5.34)

小 振 幅 で あ る か ら,

た だ し,２ 番 目の 式 の 変 形 で はテイラ ー(Taylor)展 きの近 似 式

お い て弦 が 水 平 面

開 の 公 式 でΔxが

小 さい と

に お い てf=∂u/∂xと

し た も の を 用 い て い る.

こ れ ら の 関 係 を 式(5.34)に

と な る.一 る.し

方,微

代 入 す れ ば,Δxが

十 分 に小 さ い と き

小 部 分 の 質 量 は 線 密 度 を 用 い て ρΔx,加

た が っ て,ニ

速 度 は∂2u/∂t2で

あ

ュ ー ト ン の 第 ２法 則 は

す なわ ち (5.35) と な る.た

だ し,c=√T/p＞0と

お い て い る.

こ の 方 程 式 は 弦 の 振 動 現 象 を 表 す 方 程 式 で あ り,１ 次 元 波 動 方 程 式 と よ ば れ て い る.そ

し て,２

階 の 線 形 偏 微 分 方 程 式 で あ り,ｔをｙ

(5.4)に お い て,A=C2,C=-1,そ い る.な

と置 き 換 え れ ば,式

の 他 の 係 数 を ０ とお い た もの に一 致 して

お,d=B2-4AC=4c2＞0で

あ り,双

図5.2 

領域Ｖ

曲 型 の 偏 微 分 方 程 式 で あ る.

にお け る熱 の 出 入 り

② 熱伝導方程式 熱 は温 度 の高 い場 所 か ら低 い場 所 に伝 わ る.こ の 熱 伝 導 は 以 下 の 法 則 に よ っ て支 配 され る. 「熱 は温 度 の高 い場 所 か ら低 い 場 所 に等温 面 に垂 直 に温 度 勾 配 に比 例 して 流 れる」 これ を フ ー リエ の 熱 伝 導 の 法 則 とい う.こ の 法 則 を温 度 ｕ を未 知 関 数 とす る 偏微 分 方 程 式 に よ って 記 述 して み よ う.図5.2に

示 す よ う に空 間 内 に領 域Ｖ

を

考 え,そ の 表 面 をＳ とす る.Ｓ

を とお っ て微 小 時 間Δtの 間 に流 入 す る熱 量 を

求 め て み よ う.表 面Ｓ 内 の微 小 な面dSに

垂 直 な外 向 き法 線 ベ ク トル をｎ とす

る.こ の と き一 般 にｎ の 方 向 と温 度 勾 配∇uの

方 向 は 一致 しな い.一 方,フ ー

リエ の 法 則 か ら熱 は等温 面 に垂 直 に 流 れ るか ら,面dSを 量 は-k∇u(-n)=k∇u・nと た め流 入 は-k∇uで で あ る).こ

とお っ て流 入 す る熱

な る(熱 は 温 度 の 高 い 方 か ら低 い方 に流 れ る

あ り,外 向 き法線 をｎ と した た め,流 入 す る方 向 は-ｎ

こ でｋ は 温 度 を熱 量 に なお す 係 数 で あ り,簡 単 の た め 定 数 とす る.

したが っ て,表 面 全 体 を とお してΔt間 に流 入 す る 熱 量 は (5.36) と な る,た だ し,ガ ウス(Gauss)の

定 理 を用 い て 面積 分 を体 積 積 分 に変 換 して

い る.こ の 熱 量 の流 入 に よ り,領 域 の 温度 が 変 化 す る.こ

の 温 度 変 化 はΔtの

間に

とな る.熱 量 に なお す た め に は質 量 と比 熱ｃ をか け れ ば よい.領 域 内 の微 小 部 分 の体 積 をdV,密

度 を ρ とす れ ば 質 量 はpdVで

あ る か ら,領 域 全 体 で の熱 量

変化 は (5.37) とな る.式(5.36)と

とな る が,こ

式(5.37)は 等 し く,引 き算 す れ ば ０に な る.す な わ ち

の等 式 が 任 意 の 領 域 に つ い て 成 り立 つ た め,被 積 分 関 数 は ０で あ

り,そ の 結 果, (5.38) が 得 られ る,こ の式 が 熱 伝 導(お 式 で あ り,熱 伝 導 方程 式(ま 式(5.38)は 直 角 座 標 で は

よび よ り一 般 に は拡 散 現 象)を

た は拡 散 方 程 式)と

よば れ る.

支 配 す る方 程

を意 味 す る.一 方,も

との 領 域 を平 面 また は直 線 に とれ ば

(5.39) (5.40) とな る.こ れ らを そ れ ぞ れ ２次 元 熱 伝 導 方 程 式 お よび １次 元 熱 伝 導 方 程 式 と い う.な お,こ

こ で はｕ を熱 と考 え た が,溶 液 中 の物 質 の 拡 散 も,ｕ を物 質 の 濃

度 と考 え れ ば フー リエ の熱 伝 導 の 法 則 と類 似 の 法 則 が成 り立 つ た め,ａの 物 理 的 な意 味 は異 な るが 式(5.38)が 成 立 す る.式(5.40)に この 方 程 式 は式(5.4)に お い て,A=a

,E=-1で

お い てｔ をｙ とみ なせ ば, そ れ 以外 の 係 数 を ０ と した

もの に な っ て い る.し た が っ て,判 別 式 はd=B2-4AC=0と

な り,放 物 型

の偏 微 分 方 程 式 で あ る. 以 上 の議 論 で は,領 域 内 に熱 源(熱 源 が あ る 場 合 も考 え られ る.い

の 発 生 源 や吸 収 源)が

ま,点Ｐ

な い と した が,熱

を含 む微 小 領 域 に単 位 体 積(面

積,長

さ),単 位 時 間 当 た りcρQの 発 熱 が あ る 場 合 に は,領 域 全 体 で はΔtの 間 に

の熱 が 生 じる.そ の 場 合,式(5.37)の

下 の式 の 右 辺 に こ の項 を付 け加 え る必 要

が あ る.し た が っ て,熱 源 が あ る場 合 の 熱 伝 導 方 程 式 は

(5.41) と修 正 され る. ③ラ プ ラ ス 方 程 式 板 の 熱 伝 導 に お い て,た

とえ ば板 の 周 囲 の 温 度 を一 定 に保 った とす る と,十

分 に時 間 が経 過 した 後 で は,板

の 中 の 温 度 分 布 は 時 間 に依 存 しな くな る と考 え

られ る.そ の よ うな状 態 で は 関数ｕ に は時 間 が現 れ ず,式(5.39)の

左 辺 は ０に

な る.こ の と き,式(5.38),(5.39)は ∇ 2u

=0(5

.42)

(5.43)

とな るが,こ の方 程 式 を ラプ ラス 方程 式 とい う.ラ プ ラス 方 程 式(5.43)は 式(5.4) でA=C=1,そ

れ以 外 の係 数 を ０とお い た方 程 式 で あ り,楕 円 型 の 偏微 分 方

程 式 に な っ て い る.物 理 的 に は,上 述 の よ うに 熱 平 衡 状 態 に お け る 温 度 分 布 な ど,拡 散 す る物 理 量 の 平 衡 状 態 の 分 布 を記 述 す る方 程 式 を意 味 して い る. 熱 源 が あ る 場 合 の熱 平 衡 状 態 を記 述 す る 方 程 式 は,式(5.41)を

参 照 して (5.44)

とな り,特 に ２次 元 直 角 座 標 の 場 合 に は

(5.45) と な る.式(5.44),(5.45)を

5.4偏

微 分方程

本 節 で は,波

ボ ア ソ ン(Poisson)方

程 式 と い う.

式 の解 の 性 質

動 方 程 式,熱

伝 導 方 程 式,ラ

プ ラ ス ・ポ ア ソ ン方 程 式 の 解 の 性

質 を 調 べ る こ と に す る. ①波 動 方 程 式 １次 元 波 動 方 程 式

す なわち

を 解 く こ と を 考 え る.こ

の 方 程 式 は,例題5.3を

参 考 に し て,

ξ=x-Ct,η=x+ct(5.46) と お け ば, (5.47)

と変 形 で き る. 式(5.47)を

η で 積 分 す る と,f*(ξ)を

ξ の 任 意 関 数 と して,

と な り,さ

ら に ξで 積 分 す る とg(η)を

任 意 関 数 と して

u=f(ξ)+g(η)

と な る,た

だ し,ｆ(ξ)はf*(ξ)の

式(5.46)を

用 い て も と の 変 数 に も ど せ ば,１

ｆ ,ｇを

積 分 で あ り,こ れ も任 意 関 数 で あ る.ξ,η

を

次 元 波 動 方 程 式 は ２つ の 任 意 関 数

用 いて u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)(5.48)

と い う 解 を も つ こ と が わ か る.こ う.な

お,２

の 解 をダ ラ ン ベ ー ル(d'Alembert)の

解 とい

階 の 偏 微 分 方 程 式 の 解 で ２つ の 任 意 関 数 を も つ 解 を 一 般 解 と よ ん

で い る. 例題5.5 波 動 方 程 式(5.35)の

解 で,初

期条件

u(x,0)=F(x),ut(x,0)=G(x)(5.49) を 満 足 す る も の を 求 め よ. 【 解 】 式(5.48)を

も と に 考 え る.一

般 解(5.48)と

そ れ をtで

微 分 した 式

u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct),ut(x,t)=-cf'(x-ct)+cg'(x+ct) に お い て,初

と な る.式(b)を

期条件 か ら

u(x ,0)=f(x)+9(x)=F(x) 

(a)

ut(x,0)=-cf'(x)+cg'(x)=G(x) 

(b)

区 間[a,x]で

(c) が 得 ら れ る.式(a)と(c)か

積分すれ ば

ら

として(5.50)

が 得 ら れ る.式(5.50)は

なお,こ

ス トー ク ス(Stokes)の

公 式 と よ ば れ ている ・

こ で 示 し た よ う な 一 般 解 を 利 用 す る 方 法 は,こ

条 件 を 満 た す 解 を 求 め る こ と が で き た が,通

の 例題 で は た ま た ま

常 は うま くい か な い とい う こ と に

注 意 が 必 要 で あ る. ◇ 問5.2◇

ス トー ク ス の 公 式 を 用 い て 次 の 問 題 の 解 を 求 め よ. utt=uxx,u(x,0)=cosx,ut(x,0)=sinx

式(5.48)の

意 味 を 考 え て み よ う.た

と仮 定 す る.ま し,ｘ …の

を横 軸,ｕ

ず,は

だ し,話

を は っ き り さ せ る た め にc>0

じ め の 第 １項 に つ い て 考 え る.い

まｔ を パ ラ メ ー タ と み な

を縦 軸 に と っ て グ ラ フ を 描 い て み よ う.t=0,t=1,t=2,

と き式(5 .48)の 第 １項 は

u(x,0)=f(x),u(x,1)=f(x-c),u(x,2)=f(x-2c),・・

図5.3 

波 の 伝 播(２ 次 元 表 示)

・

図5.4 

波 の伝 播(３ 次 元 表 示)

とな る.u=f(x-c)はu=f(x)を

右 に ｃだ け平 行 移 動 し た も の で あ り,

u=f(x-2c)はu=f(x-c)を

右 に ｃだ け 平 行 移 動 した も の で あ る.し

が っ て,こ れ ら は 図5.3に 示 す よ う には じめ にu=f(x)と 理 量 が,分 布 の 形 を変 えず に 時 間tが

い う分布 を もっ た物

１増 え る と ｃだ け 右 に,す

で右 に伝 わ っ て い くこ と を意 味 して い る.言 い 換 え れ ば,こ を表 して い る.図5.4は

た

な わ ち速 さc

れ は波 の伝 播 現 象

こ の状 況 を ３次 元 的 に表 示 した図 で あ る が,x-t面

上に

お い て,１ つ の直 線 x -ct=a(a:定

数)

を考 え る と,こ の 直 線 上 で ｆ の値 はf(a)と

い う一 定 値 を と る.こ の よ うに 関

数 値 が 一 定 値 を とる よ う な独 立 変 数 の 間 の 関 係 式 を,２ 独 立 変 数 の 場 合 に は 曲 線(直 線 を含 む)に

な る た め,特 性 曲線 と よん で い る.

同 様 に考 えれ ば,式(5.48)の 量 が,分

第 ２項 は初 期 にg(x)と

い う分 布 を も っ た物 理

布 の 形 を変 えず に 速 さ ｃで 左 に伝 わ って い く こ と を意 味 して い る.そ

して,こ の 場 合 の特 性 曲線 は x +ct=b(b:定

数)

で あ る. 以 上 を ま とめ る と,１ 次 元 波 動 方程 式 の解 は 逆 方 向 に伝 わ る ２つ の 波 の重 ね 合 わせ に な り,ま た ２本 の特 性 曲線 を もつ こ とが わ か る.

図5.5 

点 Ｐが影響 を及ぼす領域

図5.6 

図5.5の 陰 影 を つ け た領 域 は,x-t面 にあ っ た物 理 量 が 時 刻t=Tま あ る.領 域 の 境 界APお

にお い て,t=0に

点 Ｑ に影 響 を 及 ぼ す 領 域

お い てｘ 軸 上 の 点 Ｐ

で に どの領 域 に影 響 を 及 ぼ した か を示 した図 で

よ びBPは

特 性 曲 線 で あ る.前 述 の とお り波 動 方 程 式

で は 影 響 は 特 性 曲線 上 を伝 わ る が,た と え ば 点P'ま

で は,直 線AP上

と して も,P'か

に あ る こ と も可 能 で あ る た

らはBPに

平 行 な特 性 曲 線P'Q'上

にあった

め,影 響 を及 ぼ した 可 能 性 の あ る 領 域 は 図 の 陰 影 をつ け た 部 分 に な る. 逆 に 図5.6に お い て,点Qに

影 響 を及 ぼ した可 能性 の あ る領 域 は 図 の 陰 影 を

つ け た 部 分 に な る.こ れ は 上 で述 べ た特 性 曲 線 を考 え れ ば 明 らか で あ るが,特 にt=0に

お い てAB上

に あ っ た点 が 影 響 を 及 ぼ す こ と は ス トー クス の公 式 か

ら も明 らか で あ る. この よ うに特 性 曲 線 を も ち,情 報 が 決 して 伝 わ ら な い領 域 が 現 れ る こ とが 波 動 方 程 式(双

曲型 方 程 式)の 最 大 の 特徴 で あ る.

②熱 伝 導 方 程 式 １次 元 の 熱 伝 導 方 程 式

の初期条件 u(x,0)=δ(x) を満 足 す る解 を調 べ る こ と にす る.こ (Dirac)の

こで,δ(x)は

１章 で 述 べ た デ ィ ラ ッ ク

デ ル タ 関 数 で あ る.具 体 的 な 解 き方 は 後 で 示 す(８ 章 章 末 問題8.3)

こ と に して,結 果 だ け を記 す と (5.51) で あ る.式(5.51)を,ｔを

パ ラ メ ー タ と み な して い ろ い ろ なｔ に対 し てuをｘ

の 関 数 と して 図 示 した もの が 図5.7で あ る.こ の 図や 式(5.51)の 形 か ら,初 期 に原 点 に集 中 して い た 熱 が,微 小 時 間後 に は(わ ず か な が ら)全 空 間 に広 が る こ とが わか る.す な わ ち,波 動 方 程 式 で は影 響(波)は を も って)伝

わ っ た の と は対 照 的 に,熱

有 限 の 速 さ で(方 向 性

は 一 瞬 に して全 空 間 に伝 わ る こ とが わ

か る. ◇ 問5.3◇

式(5.51)が

１次 元 熱 伝 導 方 程 式 を満 足 す る こ と を確 か め よ.

③ ラプラス方程式 ２次 元 の ラ プ ラス 方 程 式 を考 え る前 に,厳 密 解 が 簡 単 に 求 ま る １次 元 ラ プ ラ ス方程式

図5.7 

に つ い て 考 え る.こ

の 方 程 式 を 領 域a<x
式(5.51)の

グ ラ フ

境界 条件

u(a)=c,u(b)=d の も と で解 くと

とい う解 が 得 られ る.こ れ は 図5.8に 示 す よ うな 直 線 で あ る.直 線 上 の 任 意 の ２点 Ｐ,Ｑ を考 え る と,そ の 中点 Ｒ も同 じ直 線 上 に あ る.し 実 が 成 り立 つ こ とが わ か る.た

た が って,次

の事

だ し,ラ プ ラス 方 程 式 の 解 の こ と を慣 例 に従 っ

て調 和 関 数 と よぶ こ とにす る.

図5.8 

１次 元 ラ プ ラ ス方 程 式 の 解

「１次 元 調 和 関数 の あ る 点 にお け る値 は,(そ

の 点 を挟 む 両 側 の 点 で の値,

す な わ ち)周 囲 の 点 の 値 の平 均 値 に な っ て い る」 さ ら に,直 線 ｕ の最 大 値 と最 小 値 は境 界 上 に あ る か ら 「１次 元 調 和 関数 は,最 大 値 ・最 小 値 を境 界 で と る」 こ と もわ か る.こ れ らの 事 実 は そ れ ぞ れ 平 均 の 定 理 と最 大 ・最 小 の 定 理 と よ ば れ て い る. 実 は これ ら の 定 理 は,２ 次 元 や ３次 元 の 調 和 関 数 に対 して も成 り立 つ.す わ ち,平 均 の 定 理 は,２ 次 元 の場 合 に は

な

２次 元 の 調 和 関 数 に対 して,定 義 域 Ｄ 内 の １点 Ｐ に お け る ｕ の 値 をuP と し,点

Ｐ を 中心 とす る Ｄ に含 まれ る任 意 の 半 径ａ の 円 周 を ｃとす れ ば (5.52)

で あ り,３ 次 元 の 場 合 に は ３次 元 の 調和 関数 に対 して,定 義 域 Ｄ 内 の １点 Ｐ にお け る ｕ の 値 をup と し,点

Ｐ を 中 心 とす る Ｄ に 含 まれ る任 意 の 半 径ａ の 球 面 をＳ とす れ ば (5.53)

が 成 り立 つ. で あ る.ま た,最 大 ・最 小 の 定 理 は ２次 元,３ 次 元 の 調 和 関 数 に対 して も次 の よ うに な る. 調和 関 数 は,最 大 値 ・最 小 値 を境 界 で と る.

以 下,２ 次 元 の 場 合 に対 して,平 均 の定 理 と最 大 ・最 小 の 定 理 を証 明 して み よ う. ２次 元 の 平 均 の 定 理 を証 明 す る には 次 の ポ ア ソ ンの積 分 公 式 を利 用 す る.な お,こ の積 分 公 式 は7.1節 で 導 く.

図5.9 

[ポア ソ ン の 積 分 公 式]図5.9に

ポ ア ソ ン の積 分 公 式

示 す よ う に点 Ｐ を 中 心 とす る よ うな 極 座

標 を とっ た と き,次 式 が成 り立 つ.

(5.54)

平 均 の 定 理 は ポ ア ソ ンの積 分 公 式 でr→0と

た だ しadξ=dsを

す れ ば簡 単 に導 け る.す

なわ ち

用 い た.

最 大 ・最 小 の 定 理 は平 均 の 定 理 か ら背 理 法 を用 い て 次 の よ う に して 導 け る. た だ し,最 大 値 と最 小 値 の どち ら に対 して も同 じ よ う に示 せ る た め,最 大 値 に つ い て の み 示 す こ と にす る. 定 理 の 結 論 を 否 定 して,ｕ の 最 大 値 が境 界 で は な く領 域 内 の点Ｐ に あ った と して,そ れ をumaxと

お く.こ の と き,Ｐ を 中心 と して 半 径ａ の 円 を考 え,円

周 上 のｕ の 最 大 値 をuaと

すれ ば ua
とな る.一 方,平 均 の定 理 を用 い れ ば,uaが

円周 上 の 最 大 値 で あ る こ とを 考

慮 して

とな り矛 盾 が 生 じる.こ の こ とは領 域 内 に最 大 値 が あ る とい う仮 定 が 間 違 っ て い た こ と を意 味 す る. ◇ 問5.4◇

調 和 関 数 が 領 域 内 で最 小 値 を と ら ない こ と を証 明 せ よ.

最 大 ・最 小 の 定 理 か ら,調 和 関 数 を図 示 す れ ば,そ れ は 凹 凸 の な い(極 大,極 小 の ない)非

常 に滑 らか な 関 数 で あ る こ とが わ か る.な ぜ な ら,た と え ば あ る

点 に お い て極 大 値 を とっ た とす れ ば,そ

の 極 大 値 を 中 心 とす る小 さ な円 を考 え

た と き最 大 ・最小 の 定 理 が 成 り立 た な くな るか らで あ る. 後 章 で も述 べ るが,ラ な わ ち,あ

プ ラ ス 方 程 式 は実 用 上,境 界 値 問 題 と して現 れ る.す

る領 域 が あ っ て,そ の領 域 の 境 界 で 何 らか の 条件 を満 たす よ う な調

和 関 数 を 求 め る 必 要 が あ る こ と が 非 常 に 多 い.そ

の な か で,境

値 が 与 え ら れ る よ う な 問 題 を デ ィリクレ(Dirichlet)問 最 小 の 定 理 を用 い れ ば,デ

ィリクレ

件 を 満 た す 解 は ひ と つ しか な い)が

界全体 で関数 の

題 と い う.上

問 題 の 解 の 一 意 性(す

述 の最大 ・

な わ ち,同

じ境 界 条

以 下 の よ う に 簡 単 に 証 明 で き る.

い ま ▽2u=0(D内),u=f(Dの を 満 足 す る 解 が ２つ あ っ た と し て,そ

が 成 り立 つ.上

境 界 上) れ ら をu1,u2と

す る.こ

▽2u1=0(D内),u1=f(Dの

境 界 上)

▽2u2=0(D内),u2=f(Dの

境 界 上)

式 か ら下 式 を引 く と

▽2(ul-u2)=0(D内),u1-u2=0(Dの と な る が,こ

の こ と は 関数u1-u2が

あ る こ と を 意 味 し て い る.こ

境 界 上) 調 和 関 数 で あ り,し

か も境 界 上 で は ０で

こ で 最 大 ・最 小 の 定 理 を 用 い れ ば,u1-u2の

大 値 と最 小 値 は と も に ０ で あ る た め,領 わ ち,ul=u2と

の と き

域 Ｄ 全 体 でu1-u2=0と

な る.す

らか の方 法 で 解 を見 つ け さえ

す れ ば,そ

れ が 唯 一 の 解 に な る た め,た

よ っ て,発

見 的 に 解 を 求 め る こ と が 意 味 を も つ こ と に な る.

とえ ば次 章 で 述 べ る 変 数 分 離 法 な どに

章 末 問題

【5.1】 次 の 方 程 式 を標 準 形 に な お せ. (１) (２) 意 の 正 則 関 数 の 実 部 と虚 部 が ラ プ ラス 方 程 式 の 解 に な る こ と を 証 明 せ よ.

[ 5.3]u=f(n・r-ct)がutt=c2▽2uの r =(x,y,z)で

な

な り解 は ひ と つ で あ る こ と が わ か る.

こ の よ う に し て 解 の 一 意 性 が 保 証 さ れ れ ば,何

[ 5.2]任

最

あ る．

解 で あ る こ と を確 か め よ.た だ し,￨n￨=1,

６ 変数分離法 による解法 本 章 で は偏 微 分 方 程 式 の 初 期 値 ・境 界 値 問 題 を解 く強力 な 方 法 で あ る変 数 分 離 法 を紹 介 し,前 章 で 述 べ た波 動 方 程 式,熱

伝 導 方 程 式,ラ

プ ラ ス方 程 式 に適

用 す る こ とに す る.

6.1  1次 元 波 動 方 程式

弦 の微 小 振 動 の 問題 に も どろ う.弦 の 両 端 を固 定 して,初 期 に弦 を関数f(x) の 形 状 で 静 止 させ,そ の 後 に振 動 を 開始 させ た とす る.こ の と き,弦 は どの よ う に振 る舞 うで あ ろ うか.こ

の 問 題 は 数 学 的 に は 以下 の よ う に記 述 され る ．

(6.1) u(x,0)=f(x),ut(x,0)=0(6.2) 第 １番 目の 式 は波 動 方 程 式 で あ り,ｋは 正 の 定 数 で あ る.ま た,第

２番 目 の 式

は 両 端 で 弦 が 固 定 され て い る(変 位 が ０)と い う条 件 で あ る.こ れ は,考 え て い る領 域 の境 界 にお け る条 件 で あ る た め境 界 条 件 と よば れ る.ま た最 後 の条 件 は 初 期 の 弦 の形 がf(x)で

速 度 が ０(添 字 のｔ はｔ に 関す る偏 微 分 を表 す)と

いう

条 件 で あ る ． これ は初 期 の 時刻 にお け る 条 件 で あ る た め 初 期 条 件 と よ ば れ る. こ の 問 題 は 弦 の 長 さが有 限 で あ る た め,弦 され て い る とこ ろ が例題5.5と

の 両 端 で の 条 件(境 界 条 件)が

課

は異 な っ て い る.こ れ は少 しの違 い に 見 え るが,

実 は こ の 条 件 が 課 され る と例題5.5の と い う取 り扱 い はで きな くな る.

よ うなダ ラ ンベ ー ル の 解 を 出発 点 とす る

この よ うな 場 合 の解 法 に変 数 分 離 法 と よ ば れ る 強 力 な方 法 が あ る.以 下,こ の 問題 を用 い て 変 数 分 離 法 を説 明 しよ う. 解 はｘ とｔ の 関 数 で あ るが,特 にｘ だ けの 関 数X(x)とｔ 積 の形 に書 け る と仮 定 す る.す

だ け の 関 数T(t)の

なわち

u(x,t)=X(x)T(t)(6.3) とお く.こ れ を も と の偏 微 分 方 程 式 に代 入 す れ ば,左 辺 はｔ に 関 す る微 分 で あ るか ら,X(x)は

定 数 とみ なせ,同 様 に右 辺 はｘ に 関す る微 分 で あ る か ら,T(t)

は定 数 とみ なせ る た め,

とな る.た

だ し,偏 微 分 が 常 微 分 に置 き換 わ って い る の は,微 分 す る 関 数 が １

変 数 で あ る か らで あ る.こ

の式 の 両辺 をXTで

割ると

と な る.上 式 の左 辺 はｔ だ け の 関 数,右 辺 はｘ だ け の 関 数 で あ るか ら,両 辺 が 等 しい と い う こ と は,式 の 値 がｘ とｔの 両 方 に依 存 しな い定 数 で あ る こ と を意 味 す る.そ

こで,Ｃ

を定 数 と して

また は

(6.4) (6.5) と書 け る.Ｃ した結 果,偏

を分 離 の 定 数 とい う.ま

とめ る と,解 を式(6.3)と

い う形 に仮 定

微 分 方 程 式 が ２つ の 常 微 分 方 程 式 に な り,簡 略 化 で きた こ とに な

る.そ こ で,こ れ らの 方 程 式 を境 界 条 件 お よび初 期 条 件 を考 慮 して 解 け ば よ い. 境 界 条 件(6.1)はｔ

に よ らずｘ だ け に 関 す る条 件 で,式(6.3)を X(0)=0,X(1)=0

考慮 すれ ば

と な る.ま

ず こ の 条 件 の も と で 式(6.4)を

式(6.4)はＣ

解 い て み よ う.

の 正 負 に よ り解 の 形 が 異 な る.ま

ず,C>0な

ら ばＡ,Ｂを

任

意 定 数 と して X(x)=Ae√Cx/k+Be-√Cx/k と な る.境

界条件 か ら X(0)=A十B=0 X(1)=Ae√Cx/k+Be-√C/k=0

と な る が,こ X(x)

れ を 満 足 す る の はA=B=0の

=0と

と き に 限 ら れ る.し

た が っ て,

い う 自明 の 解 しか得 られ な い .

次 にC=0の

と き は,２

回積 分 す る こ と に よ り X(x)=Ax+B

と な る.こ

の 場 合 も境 界 条 件 を 課 す とA=B=0と

な りX(x)=0と

い う解

しか 得 ら れ な い. 最 後 にC<0の

とな る.x=0に

場 合 を 考 え る.こ

の と き,一

お け る 境 界 条 件 か ら,B=0と

界 条件 お よ びB=0か

般解 は

な る.次 にx=1に

お け る境

ら

とな る.A=0な

らば 前 と 同様 にX=0と

な る が,そ れ 以外 にC=-(nπk)2

で あ れ ばA≠0で

あ っ て も境 界 条 件 を満 足 す る た め,自 明 で な い 解 X(x)=Asinnπx(6.6)

が 得 られ る(n:整

数).

この よ う に,境 界 条件 を満 足 す る 解 は任 意 の分 離 の 定 数 に対 して 存 在 す る わ け で は な く,特 定 のＣ の値(今

の場 合 は 離 散 的 な値)に

対 して の み 存 在 す る.

境 界 条 件 に よっ て 決 ま る こ の よ うな特 定 の 値 を固 有 値 とい う.ま た,こ

の固有

値 に 対 す る 解 を 固 有 関 数 と い う.こ

の 定 義 か ら式(6.6)が

固有関数 であ るこ と

が わ か る. 次 に,Ｔ

に 関 す る 方 程 式 の解 を固 有 値 を使 っ て 表 せ ば T(t)=Asinnπkt+Bcosnπkt

と な る.こ

の 式 を微 分 す れ ば T'(t)=nπk(Acosnπkt-Bsinnπkt)

と な り,t=0の

と きT'(t)=0と

い う 初 期 条 件 を 課 せ ばA=0と

な る .し

た

が っ て, T(t)=Bcosnπkt(6.7) と な る. 式(6.3),(6.6),(6.7)か

ら,解

の 候 補 と して

u(x,t)=Ancosnπktsinnπx(An=AB)(6.8) が 得 ら れ る ． しか し,残 念 な が ら こ の 解 は も う ひ と つ の 初 期 条 件u(x,0)=f(x) を 満 た さ な い. こ こ で 以 下 の こ と に 注 意 す る.す れ 異 な っ た 関 数 と な る が,そ

な わ ち,式(6.8)はnの

値 に よってそれぞ

れ ら を 足 し合 わ せ た も の も 微 分 方 程 式 と 境 界 条 件

お よ び ひ と つ の 初 期 条 件 を 満 足 す る.し

た が っ て,

(6.9)

も解 の 候 補 と な る.そ

こで,こ

の式 にt=0を

代 入 して初 期 条 件 を考 慮 す れ ば (6.10)

と な る.こ

の 式 か ら 係 数Anが

求 ま れ ば,解

リ エ 展 開 を 思 い 出 せ ば,Anはf(x)を 数 に な っ て い る*.す *フ

区 間[0,1]で

方,フ

ー

フ ー リ エ 展 開 した と き の 係

な わ ち,

ーリエ展 開の公式 を忘 れた場合 には

の両辺 にsinmxを

が 得 ら れ る こ と に な る.一

,三 角関数 の直交性 を思 い出せ ば よい.す なわち式(6.10) かけて区 間[0,1]で 積分する.

最 終 的 な 答 え は こ れ を式(6.9)に 代 入 した もの で あ り

で あ る.た

だ し,右

辺 の 級 数 は 収 束 す る も の と し て い る.

例題6.1 f(x)=asin2πxお

よ びf(x)=bx(1-x)の

境 界 値 問 題(6.1),(6.2)の

と き,波

動 方 程 式 の 初期 値 ・

解 を 求 め よ.

【 解 】u(x,0)=f(x)=asin2πxの でAn=0,n=2でAn=aと

場 合 は 式(6.10)のAnと す れ ば よ い.し

し て,n≠2

た が っ て,式(6.9)を

用

いて u(x,t)=acos2πktsin2πx と な る． 一方

,u(x,0)=f(x)=bx(1-x)の

場 合 は フ ー リエ 係 数Anを

計算 する．

こ の と き,

とな る た め

◇ 問6.1◇

上 の 例題 でf(x)=2sinπx-4sin5πxの

と き 解 を 求 め よ.

例題6.2 式(6.1)のx=1で

の 境 界 条 件 をu'(1)=0に

変 化 させ た と き の解 を 求

め よ. 【解 】 本 文 と 同 様 に す れ ば,Ｘ

に 対 す る 方 程 式 で０ 以 外 の 解 を も つ た め に

は,分 離 の 定 数Ｃ は負 で

と な る.こ

こ で,x(0)=0か

らB=0と

な り,さ

ら にX'(1)=0を

考慮

すれ ば

と な る.し あ り,こ

た が っ て,A≠0で

あ る た め に は,√-C/k=(n+1/2)π

れか ら

で

が得 られ る.さ

と な る.た

ら に本 文 と同様 の 手 順 を 踏 め ば

だ し,

で あ る. こ こで 述 べ た 変 数 分 離 法 の 手順 を ま とめ る と次 の よ う に な る. (１)解をｘ だ け の 関数 とｔだ け の 関数 の積 の 形 に仮 定 して も との偏 微 分 方 程 式 に代 入 す る.変 数 が 分 離 され る 場 合 に は,２ つ の 常 微 分 方 程 式 が 得 ら れ る. (２)１つ の 常 微 分 方程 式 を境 界 条 件 を考 慮 して解 く． この 場 合,固 有 値 と 固 有 関 数 が 求 ま る.固 有 値 を用 い て も う ひ とつ の方 程 式 を,境 界(初 期)条 件 の一 部 を用 い て解 く. (３)解 を重 ね合 わせ て,残 数 を求 め る.

りの 境 界(初 期)条 件 を満 た す よ う に未 知 の 係

6.2  ラ プ ラ ス 方程 式

本節 では ラプラス方程式 を変 数分離法 で解 くことにす る.具 体例 と して,

境 界 条 件:u(0,y)=-4,u(1,y)=4(0
を と りあ げ る.こ 伝 導 率 が 一 定 の)平 の,熱

れ は 図6.1に

示 す よ う に １辺 の 長 さ が １の 正 方 形 を し た(熱

板 の ４つ の 辺 に,境

界 条 件 で 指 定 され た温 度 を与 え た と き

平 衡 状 態 で の 温 度 分 布 を 求 め る 問 題 で あ る.

図6.1  領域 と境界 条件

変 数 分 離 法 の 一 般 的 な手 順 に従 っ て,ま ず 解 をｘ だ け の 関 数X(x)とｙ の 関数Y(y)の

積 の 形 に 仮 定 して も との 方 程 式 に代 入 す る.そ

で 割 れ ば,

と な るが,こ

の方程 式 は

と変 形 で き,２ つ の 常 微 分 方 程 式

だけ

して 両 辺 をXY

が得 られ る.こ れ らの 方程 式 を境 界 条 件 を考 慮 して 解 く必 要 が あ るが,境

界条

件 は Ｙ に関 す る もの の 方 が Y(0)=Y(1)=0 を意 味 して簡 単 で あ る た め,は

じめ に Ｙ に 関 す る方 程 式 を解 くこ と にす る.前

節 の 波 動 方程 式 の 場 合 と同様 に,Y=0以 め に はC>0で

あ る必 要 が あ る.そ

外 に こ の 条件 を満 足 す る解 を もつ た

こでC=k2と

お け ば,常 微 分 方程 式 の 一

般解 は Y(y)=Asinky+Bcosky と な る.こ

こで,境 界 条 件 か らB=0,k=nπ(n:整

数)で あ る こ とが わ か

り,境 界 条件 を満 足 す る ひ とつ の 解 と して Y(y)=sinnπy が 得 られ る.さ

ら に,こ の と き Ｘ に 関 す る方 程 式 は

と な る た め,こ の 方 程 式 を解 け ば 一般 解 と して X(x)=Denπx+Ee-nπx が 得 られ る. 最 後 に残 りの境 界 条 件 を満 足 させ る た め に,解 を重 ね 合 わ せ て

と お く.

で あ るか ら,そ れ ぞ れ の式 の両 辺 にsinmπyを

か け て 区 間[0,1]で 積 分 す れ ば,

三 角 関数 の 直交 性 を用 い て

と な る.し

たが っ て

で あ り,こ の連 立 ２元 １次 方 程 式 を解 け ば 係 数 と して

が 得 ら れ る.こ

こで

に注 意 す れ ば,最 終 的 な解 は (6.13) とな る こ とが わ か る. ◇ 問6.2◇

式(6.11)でx=0に

お け る境 界 条 件 をu(0,y)=0と

した 場 合 の

解 を求 め よ.

6.3  熱 伝 導方程式 そ の １

図6.2に 示 す よ う に長 さ １の針 金 を考 え,両 端 を温 度 ０に保 った 状 態 を考 え る.こ の と き,初 期 の 針 金 の 温 度分 布 をf(x)で

与 え た場 合 の,熱 伝 導 方程 式 の

解 を求 め て み よ う.た だ し,簡 単 の た め 熱 伝 導 係 数 は １に す る.こ の 問 題 は 数 学的 には

境 界 条 件:u(0,t)=u(1,t)=0,(t>0) 初 期 条 件:u(x,0)=f(x)(0<x<1)

を 解 く こ と に な る.波

動 方 程 式 の 場 合 と 同 様 に 変 数 分 離 法 を 用 い て,前

節 の終

わ りの 部 分 に 記 し た 手 順 で 解 い て み よ う.

図6.2 

(１)u(x,t)=X(x)T(t)と

針 金 内の 熱 伝 導

お い て偏 微 分 方 程 式 に代 入 す る.そ の 結 果

と な る． こ の式 の 両 辺 をXTで

割 ると

とな る ． た だ し,左 辺 はｔ だ け の 関 数,右

辺 はｘ だ け の 関 数 で あ る か ら,式 の

値 はｘ に もｔ に も依 存 しない 定 数 に な り,そ れ をＣ と記 して い る.こ

れか ら ２

つ の常 微 分 方 程 式

(6.14) (6.15) が 得 ら れ る. (２)次にＸ に関 す る方 程 式 を境 界 条 件 を考 慮 して解 く.境 界 条 件 はｔ に よ ら ず にｘ だ け に 関 す る条 件 で, X(0)=0,X(1)=0

で あ る ． こ の 問 題 は 長 さ １の 弦 の 振 動 の 問 題 に 現 れ た 方 程 式(た お く)お C <0で

よ び 境 界 条 件 と全 く 同 じ で あ る た め,X=0以 あ る 必 要 が あ り,一

だ しk=1と

外 の 解 を も つ た め に は,

般解 は

X(x)=Asin√-Cx+Bcos-√Cx

と な る.x=0に

お け る 境 界 条 件 か ら,B=0と

界 条 件 お よ びB=0か

な る.次

にx=1に

お ける境

ら X(1)=Asin√-C=0

と な る.し

た が っ て,ｎ

を 整 数 と し てC=-(nπ)2で

あ れ ばA≠0で

境 界 条 件 を 満 足 す る ． こ れ で 固 有 値 が 求 まっ た た め,こ を 一 般 解 に 代 入 す れ ば,固

あって も

の Ｃ の 値 お よ びB=0

有 関数 X(x)=Asinnπx

が 得 ら れ る. (３)固 有 値 をＴ

に 関 す る 方 程 式 に 代 入 し た 後,そ

れ を 解 け ば,Ｄ

を任 意 定 数

と して T(t)=De-n2π2t と な る ． し た が っ て,解

の 候 補 の ひ とつ と して

u(x,t)=Ane-n2π2tsinnπx(An=AD)

が 得 ら れ る が,こ

れ は 一 般 に 初 期 条 件u(x,0)=f(x)を

こ れ ら を 足 し合 わ せ た も の

を解 の候 補 とす る. こ の式 にt=0を

代 入 して 初 期 条 件 を考 慮 す れ ば

満 た さ な い.そ

こ で,

と な る.弦 の振 動 の 問 題 と同様 に,未 知 の 係 数Anはf(x)を

区 間[0,1]で

フー

リエ 正 弦 展 開 した と きの 係 数 とな る た め,

よ り求 ま る.し

た が っ て,境

界 条 件 お よ び初 期 条 件 を満 足 す る 解 と して

(6.16)

が 得 ら れ る.た

だ し,右

辺 の 級 数 は 収 束 す る もの と し て い る.

例題6.3 本 節 で と り あ げ た 問 題 で, (１)f(x)=2sin2πx−3sin3πx, (２) の と き の 解 を 求 め よ. 【 解 】(１)係

数 を 比 較 す る.す

なわち

よ り,Al=0,A2=2,A3=−3,An=0(n=4,5,…)と

な る.し

が って u(x,t)=2e-4π2tsin2πx-3e-9π2tsin3πx と な る. (２)式(6.16)の

と な る.し

係 数 を 計 算 す る.す

た が っ て,

な わ ち,

た

◇ 問6.3◇

本 節 で と りあ げ た 問題 で,f(x)=1の

6.4  熱 伝 導方程式

場 合 の 解 を求 め よ.

そ の２

[半無 限 長 さ の 針 金 の 熱 伝 導] 前 節 の 問題 で 右 の 境 界 を 無 限 遠 ま で 延 ば した と き,解 は ど うな る か を考 え て み よ う.数 学 的 に は この 問 題 は,以 下 の よ う に な る.

境 界 条 件:u(0,t)=0(t>0) 初 期 条 件:u(x,0)=f(x)(x>0) 無 限長 の 弦 の振 動 問 題 と同 じ く,遠 方 で の境 界 条 件 は課 さな い が,解 で 有 界 とす る.上 の 問題 と同 じ くu(x,t)=X(x)T(t)と

は全 区間

お い て変 数 分 離 法 で 解

くと,前 節 と全 く同 じ ２つ の 常 微 分 方 程 式 が 得 られ る.ｔに 関 す る 方 程 式 を解 くと一 般 解 は T(t)=Dect とな るが,t>0で

解 が有 界 な の で,Ｃ は負 で な けれ ば な らな い.そ こでC=-λ2

(た だ しλ>0)と

お く.こ の と き,Ｘ

に 関 す る方 程 式 の 一 般 解 は

X(x)=Asinλx+Bcosλx とな る が,X(0)=0と した が って,解

い う境 界 条 件 を満 た す 必 要 が あ る た め,B=0と

な る.

の候 補 の ひ とつ と して u(x,t)=Dλe-λ2tsinλx(Dλ=AD)

が 得 られ る.し か し,こ の 解 もt=0で 重 ね 合 わせ る こ と を考 え る.有

の 初 期 条 件 は 満 足 しな い.そ

限長 の 針 金 の 場 合 に はX(1)=0と

こで解 を

い う境 界 条

件 か ら固 有 値 は と び とび の 値 で あ っ た た め,重 ね合 わ せ は総 和 の 形 に な っ た ． 一 方 ,こ の 問題 で は 固 有 値 に は そ う い っ た 制 限 は な く連 続 的 な値 を と る ． した が って,総 和 は積 分 の 形 と な り

(6.17)

と表 せ る.た

だ し,係

み な し てD(λ)と

数Dλ

は λ の 値 に よ っ て 異 な っ て よ い た め,λ

記 し て い る.こ

の 解 が 初 期 条 件 を 満 足 す る た め,

が 成 り立 つ.こ の 式 は 関数√π/2Dの 味 して い る． した が って,fの

の 関数 と

逆 フー リエ 正 弦 変 換 がｆ で あ る こ とを 意

フ ー リエ正 弦 変 換 が√π/2Dで

あ る こ とか ら

す な わ ち, (6.18) と な る.解

は こ の 式 を 式(6.17)に

代 入 した も の で

(6.19)

と な る. 例題6.4

の と き の 解 を 求 め よ. 【解 】

と な る.し

た が っ て解 は

章末 問 題 [ 6.1]熱 伝 導方程 式 の次 の境 界値 問題 を解 け.

[ 6.2]波

動 方 程 式 の 次 の 初 期 値 ・境 界 値 問 題 を解 け.

[ 6.3]波

動 方 程 式 の 次 の 初 期 値 ・境 界 値 問 題 を解 け.

[ 6.4]ラ

プラス方程 式 の次 の境 界値 問題

を満 たす 解 をu1と す れ ば

ただ し

で あ る こ と を 確 か め よ.こ

の こ と を 使 っ て,以

下 の 境 界 条 件 を 満 た す 解u2,u3,u4

を 求 め よ. u2(0,y)=0,u2(a,y)=f2(y),u2(x,0)=0,u2(x,b)=0

u3(0,y)=0,u3(a,y)=0,u3(x,0)=f3(x),u3(x,b)=0 u4(0,y)=0,u4(a,y)=0,u4(x,0)=0,u4(x,b)=f4(x) ま た,u=u1+u2+u3+u4が

満 た す 方 程 式 と 境 界 条 件 を 求 め よ.

７ いろいろな境界値問題 7.1円

形 領 域 にお け る ラ プ ラス 方程 式

前 章(6.4節)で

は,ラ プ ラ ス方 程 式 の境 界 値 問 題 を正 方形 領 域 で 考 え た.本

節 で は,円 形 領 域 にお い て ラ プ ラス 方 程 式 の境 界 値 問 題 を と りあ げ る. 以 下,半 径 １の 円板 を考 え,そ の 熱 平 衡 状 態 で の温 度 分 布 を,円 周 上 の 温 度 分 布 ｆ を与 え た場 合 に求 め る問 題 に つ い て 考 え て み よ う.こ の 問題 は 数 学 的 に は,ラ

プ ラス 方 程 式 (7.1)

をx2+y2<1の

領域 で u(x,y)=f(x,y)(x2+ya= 1上)

とい う境 界 条 件 の も とで 解 くこ とに対 応 す る.

図7.1 

極 座標

この 問題 は 円形 境 界 を もつ た め,境 界 条 件 を課す 場 合 に,図7.1に な極 座 標 を用 い るの が 便 利 で あ る.そ

こで,ま

ず

x=rcosθ,y=rsinθ(7.2)

示す よ う

と お いて,ラ

プ ラ ス 方 程 式 の 独 立 変 数 を(x,y)か

ら(r,θ)に

変 換 す る.

例題7.1 ラ プ ラ ス 方 程 式 を 極 座 標 で 表 せ(極

座 標 で の ラ プ ラ ス 方 程 式).

x=rcosθ,y=rsinθ(7.3) で あ るか ら (7.4) と な る.偏

微 分 の 変 数 変 換 の 関係

(7・5)

に,式(7.4)か

ら得 ら れ る 関 係

を代 入すれ ば

(7.6)

と な る. ２階 微 分 は この 関 係 を ２回使 え ば よい.具 体 的 に は

お よ び 同様 に して

が得 られ る.こ の ２式 を加 え れ ば

(7.7)

上 の例題 か ら,本 節 で と りあ げ る 問題 は (7.8) を境 界 条 件 (7.9) u(r,2π)=u(r,0)(0
の 境 界 条 件 は極 座 標 を用 い た た め に必 然 的

座 標 で は 点(r,2π)と(r,0)は

同 一 点 を表 す た め で

あ る. こ の 問 題 を,前 (1)解

章 の 手 順 に 従 っ て 変 数 分 離 法 で 解 い て み よ う.

をｒ だ け の 関 数R(r)と

θ だ け の 関 数〓(θ)の u(r,B)=R(r)〓 (θ)

に 仮 定 し て 式(7.8)に

代 入 す る.そ

の 結 果,

積 の形

と な るが,両

辺 にr2/(R〓)を

か け れ ば変 数 が 分 離 さ れ て

す なわち

(7.11) (7.12) と い う ２ つ の 常 微 分 方 程 式 が 得 ら れ る. (２)〓 は 境 界 条 件(7.10)か

ら2π の 周 期 性 を も つ た め,分

離 の 定 数Ｃ

は,ｍ

を整 数 と して C=m2 で な け れ ば な ら な い.な

ぜ な ら,こ

の 場 合 に は 方 程 式(7.11)は,Ａ,Ｂ

を任 意

定 数 と し て, 〓(θ)=Asinmθ+Bcosmθ(7.13) と い う2π 周 期 の 一 般 解 を も つ が,そ か ら で あ る.こ 意 定 数Ａ

こ でm〓0と

れ 以 外 の 場 合 に は2π 周 期 の 解 を も た な い

し て も 一 般 性 を 失 わ な い.m<0の

場 合 に は任

の 符 号 が 変 化 す る だ け で あ る.

式(7.12)の

一 般 解 はC=m2の

と き,R=rkと

お け ば 求 ま る.す

な わ ち,式

(7.12)は

)rk+krk-m2rk=(k2-m2)rk=0 と な る か ら, k=±m で あ り,し

た が っ て 一 般 解 は,Ｄ,Ｅ

を任 意定 数 と して

R(r)=Drm+Er-m と な る.た で はE=0で

だ し,右

辺 第 ２項 はr=0で

あ る必 要 が あ る 。

発 散 す る た め,こ

こで 考 え て い る問 題

(3)以 上 の こ とか ら,境 界 条件 を満 足 す る解 は,一 般 に

(7.14)

の 形 に書 け る こ とが わ か る.た

だ し,Am=AD,Bm=BDと

お い て い る.

あ と は,初 期 条件 を満 足 す る よ う に未 知 の係 数 を決 め れ ば よ い.初 期 条 件 か ら

とな る.こ れ は 関 数f(θ)を 区 間[0,2π]で フ ー リエ 級 数 に展 開 した式 とみ なせ る た め,係 数 は フー リエ 級 数 の展 開 公 式 か ら

した が って,初 期 条 件 お よび 境 界 条 件 を満 足 す る 解 は,こ の 関係 を式(7.14)に 代 入 した もの で あ り,

(7.15)

と な る.

こ こ で,積

分 内 に あ る 括 弧 で く く っ た 式 を 変 形 し て み よ う.オ

イ ラー の公 式

か ら得 られ る 関 係 2cosx=eix+e-ix お よび 幾 何 級 数

を利 用 す れ ば,r<1で

と な る.こ

あるか ら

の 関 係 を 式(7.15)に

代 入すれば

(7.16)

が 得 ら れ る. な お,こ わ り にr/aと

の 問 題 は 半 径 １ の 円 内 で 考 え た が,半

径ａ

の 円 の 場 合 に はｒ の か

お く こ と に よ り半 径 １の 円 内 の 問 題 に 帰 着 さ れ る.そ

の 結 果,式

(7.16)に 対 応 す る 解 と し て

(7.17)

が 得 ら れ る.式(7.17)は ◇ 間7.1◇

４章 で 取 り 上 げ た ポ ア ソ ン の 積 分 公 式 で あ る.

半 径 １の 円 周 上 でg(θ)=cos2θ=(1+cos2θ)/2と

を 与 え た と き の 円 の 内 側 の 温 度 分 布 を 求 め よ.

い う温 度 分 布

7.2  円 形 膜 の 振 動

本 節 で は 太 鼓 な ど 円形 の 膜 の 振 動 を考 え る.膜 の 振 動 は,弦 の 振 動 を記 述 す る １次 元 波 動 方程 式 を ２次 元 に拡 張 した ２次 元 波 動 方 程 式

(7.18) に よっ て支 配 され る.こ

こで,円 形 膜 の 振 動 を議 論 す る場 合 に は,7.1節

た よ う に極 座 標 を用 い る の が 便 利 で あ る.式(7.18)は

と な る.こ

合 は,中

す る .こ

表 さ れ る.

に 依 存 し な い よ う な も の を 考 え よ う(太

心 を 打 っ た こ と に 対 応 す る).し

の 距 離ｒ だ け の 関 数u(r,t)と a =1と

極座標 では

の と き 円 形 膜 の 境 界 は,ａ を 円 の 半 径 と し た 場 合,r=aで

こ の 方 程 式 の 解 の な か で,θ

な る.ま

た が っ て,振

た,議

の と き∂2u/∂ θ2=0と

で行 っ

鼓 の場

幅 ｕ は 時 間ｔ と 中 心 か ら

論 の 本 質 は 変 わ ら な い の でc=1,

お け る の で,上

式 は

(7.19) と な る.境

界 条 件 は周 囲 で 膜 が 固 定 され て い る と して

u(1,t)=0(7.20) と す る.さ

ら に,初 期 条 件(時

で あ り,初

期 速 度 が ０,す

間ｔ に 関 す る 条 件)と

し て 膜 の 初 期 の 変 位 がf(r)

なわち

u(r,0)=f(r),ut(r,0)=0(7.21)

を 課 す こ と に す る. 以 下,式(7.19)を よ う.ラ

条 件(7.20),(7.21)の

プ ラ ス 方 程 式 の 場 合 と 同 様 に,解

u(r,t)=R(r)T(t)

もと で変 数 分 離 法 を用 い て 解 い て み を

の 形 に 仮 定 し て 式(7.19)に

とな る.両 辺 をRTで

す な わ ち,２

代 入 す れ ば,

割 れ ば 変 数 分 離 され て

つ の常 微 分 方 程 式

(7.22)

(7.23) が 得 ら れ る.な 式(7,22)は

お,分

離 の 定 数 を 負 の 数-λ2と

お い た の は,そ

の よ う にす れ ば

三角 関数の形の周期解

T(t)=Asinλt+Bcosλt(7.24)

を も つ た め で あ り,膜

の 振 動 と い う 物 理 現 象 を 考 え れ ば,解

が 時 間 に 関 して 周

期 的 に な る 必 要 が あ る か ら で あ る. Ｒ に 対 す る 方 程 式(7.23)は,ベ

ッセ ルの 微 分 方 程 式 と よば れ る

(7.25) の 特 殊 な 場 合(m=0,x=λr,y=Rと １巻

お く)で

あ る.な

お,本

『常 微 分 方 程 式 』 で 述 べ た よ う に ベ ッセ ル の 微 分 方 程 式(7.25)の

第 １種 ベ ッ セ ル 関数Jm,第

２種 ベ ッ セ ル 関 数Yｍ

シ リー ズ の 一 般 解 は,

を用 い て

y=CJm(x)+DYm(x)(7.26)

で 与 え ら れ る.た

だ し,こ

れ ら の べ ッ セ ル 関 数 は 初 等 関 数 で は 表 せ ず,無

数 の 形 で 表 現 さ れ る. 式(7.26)か

ら式(7.23)の

一般解 は R(r)=CJ0(λr)+DY0(λr)

限級

図7.2 

と な る が,Y0はr=0で

ベ ッセ ル 関 数 の グ ラ フ

有 限 な 値 を と ら な い た め,D=0で

あ る 必 要 が あ る.

次 に 境 界 条 件(7.20)は R(1)=CJ0(λ)=0

で あ る.図7.2はJ0(λ)な

ど を 図 示 し た も の で あ り,こ

の 図か ら

λ=λ1,λ2,λ3,… の と き,上

の 境 界 条 件 が 満 た さ れ る こ と が わ か る.す

J0(λmr)が

固 有 関 数 で あ る.

以 上 を ま と め る と,境

な わ ち,λmが

固 有 値,

界 条 件 を満 足 す る解 と して

T(t)R(r)=(Amsinλmt+Bmcosλmt)J0(λmr)

が 得 ら れ る． し か し,解

は さ ら に 初 期 条 件 を 満 足 す る 必 要 が あ る た め,前

章 と

同 様 に これ ら を重 ね 合 わ せ て

(7.27)

とい う形 に 解 を仮 定 す る.そ

して未 定 の 係 数Am,Bmを

よ う に決 め る. まず,式(7.27)をｔ

で微 分 す れ ば

初 期 条 件 を満 足 す る

(7.28)

と な り,初 期 条 件 か らこ の 式 にt=0を

で あ る が,λm≠0で

あ る か らAm=0と

代 入 した もの が ０で あ る.す

なわち

な る ． し た が っ て,

(7.29)

が 得 ら れ る.こ 展 開(フ Bmは 一方

こ で,も

ー リ エ 展 開)し

関 数f(r)を ,ベ

しJ0が

三 角 関 数 な ら ばBmは

た と き の 係 数 に な る.こ

ベ ッ セ ル 関数J0で

関 数f(r)を

三 角 関数 で

の こ と か ら 類 推 さ れ る よ う に,

展 開 し た と き の 係 数 で あ る.

ッ セ ル 関 数 に は 次 の よ う な 直 交 性 が あ る こ と が 知 ら れ て い る.

(7.30) そ こ で,こ

の こ と を 利 用 す る た め に 式(7.29)の

両 辺 にrJ0(λnr)を

か けて区 間

[0,1]で 積 分 す れ ば

と な り,未 定 の 係 数Bmと

が 得 ら れ る.し

た が っ て,も

して(上 式 でnをm,rを

ξ とお い て)

と の 問 題 の 解 は,

(7.31)

で 与 え ら れ る.

7.3  球 形 領 域で の 境 界 値 問 題

図7.3に 示 す よ う に半 径ａ の 球 形 を した物 体 を考 え て 球 の 表 面 に適 当 な 温度 分 布 を与 え た と き,熱 平 衡 状 態 にお け る 球 内 の 温 度 分 布 を求 め る 問 題 を考 え よ う.こ の場 合 も温 度 分 布 は(３ 次 元)ラ プ ラ ス方 程 式 に支 配 さ れ る が,球 の 表面 上 で 温 度 が 指 定 され る た め,図 の よ うに 球 の 中 心 を原 点 とす る よ う な球 座 標

を 用 い る の が 便 利 で あ る.こ

の と き 温 度 をｕ

と す れ ばｕ

は(r,θ,ψ)の

関数

u(r,θ,ψ)と な る. 一方 ,球 座 標 で の ラ プ ラ ス 方 程 式 は

(7.32) と な る こ と が 知 ら れ て い る. い ま,簡

単 の た め 球 の 表 面 の 温 度 が 座 標 ψ に よ ら な く て θ の み の 関 数g(θ)で

あ る 場 合 を 考 え る.こ め,ｕ

は(r,B)だ

の と き,球

け の 関 数u(r,B)と

の 内 部 の 温 度 もψ に よ ら な い と 考 え ら れ る た な り,式(7.32)は

(7.33) と 簡 単 化 さ れ る.境

界条件 は

図7.3 

球座標

u(a,θ)=g(θ)(7.34) で あ る. こ の 境 界 値 問 題 を 変 数 分 離 法 を 用 い て 解 い て み よ う.ま

ず,解

を

u(r,θ)=R(r)〓(θ) と 仮 定 し て 式(7.33)に

と な る.こ

代 入 し,両

辺 をR〓

こ で 左 辺 はｒ だ け の 関 数,右

で 割 れ ば,

辺 は θ だ け の 関 数 で あ る か ら,そ

等 し い た め に は ど ち ら も定 数 で あ る 必 要 が あ る.こ と お け ば,２

れが

の 定 数 を 便 宜 的 にv(v+1)

つの常微分 方程式 (7.35)

(7.36) が 得 ら れ る. 式(7.35)を

解 くた め に x =cosθ

と お け ば,

と な る た め,式(7.35)は

すなわ ち (7.37) とな る.こ

の方 程 式 は １巻 『常微 分 方 程 式 』 で 取 り扱 った ル ジ ャ ン ドル の微 分

方程 式 で あ り,

v=m=0,1,2,…(7.38) で あ る と き に 限 り,多

項 式 で 表 さ れ る 解(ル

限 遠 点 を 除 い て 有 限 な 値 を も つ.し な る.そ

し て,固

ジ ャ ン ドル の 多 項 式)を

た が っ て,式(7.38)が

有 値 ｍ に 対 応 す る 固 有 関 数 をPmと

も ち,無

今 の問題 の固有値 に 記せ ば

(7.39) と な る こ と が 知 ら れ て い る(式(4.18)参

照).な

お,具

体 的 に計 算 す れ ば

P0=1 Pl=x P2=2/1(3x2-1) P3=2/1(5x3-3x)である.

次に式(7.36)は、やはり1巻『微分方程式』で取り扱 っ た オ イ ラ ー の微 分 方 程 式 で あ り, R=rα と お け ば 一 般 解 が 求 ま る.具

体 的 に 上 式 を 式(7.36)でv=mと

お い た 式 に代

入す れば α(α 一1)rα+2αrα-m(m+1)γ

α=(α-m)(α+m+1)rα=0

となるため α=m,-m-1 が 得 ら れ る.し

た が っ て,一

般解 は

と な る が,右 辺 第 ２項 はr=0で

発 散 す るた め,こ

の 問 題 で は 不 適 当 で あ る.

以 上 を ま とめ る と,も との 偏微 分 方 程 式 の ひ とつ の 特 解 は

R〓=AmrmPm(x)=AmrmrmPm(cosθ) と な る.し

か し,こ

の ま ま で は 境 界 条 件 を 満 足 し な い た め,特

解 を重 ね 合 わせ て

(7.40)

と お く.こ

こ で,r=aを

代 入 し て 境 界 条 件(7.34)を

考慮 すれ ば

(7.41)

と な る.し

た が っ て,未

定 の 係 数Amamは,関

数g(θ)を

ル ジ ャ ン ドル の 多 項

式 で 展 開 した と き の 展 開 係 数 で あ る こ と が わ か る. 具 体 的 に 展 開 係 数 を 求 め る た め に は,ル

ジ ャ ン ドル の 多 項 式 の 直交 性

(7.42) を 用 い る.こ

の 式 でx=cosθ

の と きx=1,θ=π

と お け ば,dx/dθ=-sinθ

の と きx=-1で

と な る.そ

こ で,式(7.41)の

す れ ば,上

で 述 べ た 直交 性 を 用 い て

が 得 ら れ る.こ の式 か らAnを

で あ り,ま

た θ=0

あ る こ と を用 い れ ば

両 辺 にPn(cosθ)sinθ

求 め て(nをm,θ

を か け て 区 間[0,π]で

積 分

を ξに 置 き換 え て)式(7.40)

に代 入 す れ ば

(7.43)

と いう 解 が 得 ら れ る. ◇ 問7.2◇

半 径aの

球 面 上 でg(θ)=3cos2θ+4cosθ-1=2P2(cosθ)+

4P1(cosθ)と

い う 温 度 分 布 を 与 え た と き の 球 の 外 側 の 温 度 分 布 を 求 め よ.

章末 問 題

[7.1]原

点 中 心 で 半 径aとb(た

方 程 式 の 解 で,内 [ 7.2]原

球 で 囲 ま れ た領 域 に お け る ラ プ ラ ス

側 の 球 面 上 で Ａ,外 側 の 球 面 上 で Ｂ に な る もの を 求 め よ.

点 中 心 で 半 径aとb(a
程 式▽2u=1の

だ しa
円 には さ まれた 円環 領域 に おけ るポ ア ソン方

半 径 方 向 だ け に依 存 す る解 の 中 で,内

側 の 円 上 でＡ,外

側 の円上 で

Ｂ と な る もの を 求 め よ. [17.3]半

径 １の 円 板 に お い て,初 期 に 境 界 を 除 い て温 度 が １で あ り,ま た 境 界 で 温 度

を ０ に 保 っ た と きの 温 度 分 布 を時 間 と 中 心 か ら の 距 離 の 関 数 と して 表 せ.

種 々 の 解 法 8.1固

有関数展開法

変 数 分 離 法 は 偏 微 分 方 程 式 の強 力 な 解 法 で あ る が,そ

れ が使 え る の は

(１)微分 方 程 式 が 線 形 で 同次 で あ る, (２)境界 条 件 が 線 形 で 同 次 で あ る, とい う条 件 を満 足 す る必 要 が あ る.線 形 で あ る とい う条 件 は,解

の 重 ね 合 わせ

に よ り級 数 の 形 で解 を表 す た め に必 要 な 条 件 で あ る(非 線 形 の場 合 に は,u1と u2が 個 別 に微 分 方 程 式 を満 足 して もu1+u2は

必 ず し も解 に な らな い).一

方,

同次 で あ る とい う条 件 は そ れ ほ ど厳 しい 条 件 で は な く,非 同次 で あ っ て も変 数 分 離 法,ま

た は そ れ と類 似 の 方 法 で解 が 求 ま る場 合 が あ る.本 節 で は,こ の 点

に つ い て １次 元 熱 伝 導 方 程 式 を例 に とっ て 説 明 す る こ と に す る. ① 非同次の境 界条件 次 の 問 題 を考 え る ：

境 界 条 件 でaとbが

と も に ０で な い 場 合 に は非 同次 と な り,変 数 分 離 法 は この

ま ま で は使 え な い.し か し, v(x,t)=u(x,t) とお け ば,上 の 問題 はvに 対 して は

-a-(b-a)x

v(0,t)=0,v(1,t)=0,v(x,0)=f(x)-a-(b-a)x と な り,変 数分 離 法 が 使 え る. ② 非 同 次 の偏 微 分 方 程 式 前 章 で述 べ た 長 さ １の針 金 の 熱 伝 導 の 問 題 は初 期 に温 度 分 布 を 与 え て,あ は境 界 か ら冷 え ていく とい う設 定 で あ っ た.も

と

し,針 金 の 内 部 を加 熱 した り冷

却 した りす る場 合 に は ど う な る で あ ろ う か.こ の よ うな 問 題 は,熱 源 の あ る熱 伝導方程 式 (8.1) に支 配 され る.こ こ で右 辺 のh(x,t)は

熱 源 の効 果 を表 す.境 界 条件 と初 期 条 件

は6.3節 で 取 り扱 っ た 熱 源 の な い場 合 と 同 じで あ る と し よ う. 変 数 分 離 法 の 手 順 に従 っ て,u(x,t)=X(x)T(t)と 両 辺 をXTで

お い て式(8.1)に 代 入 し,

割ると

と な る が,右 辺 に ｈが あ る た め 変 数 分 離 さ れず にい きづ ま っ て し ま う.一 方, ｈ が な い と きに は6.3節 の結 果 か ら境 界 条 件 を満 足 す る 解 は

(8.2) と い う形 に な る こ と が わ か っ て い る.そ

こ で,こ

の こ と をｈ が あ る 場 合 に 応 用

し て み よ う. い ま,h(x,t)を,ｔ て 区 間[0,1]で

を パ ラ メ ー タ と み な し てｘ の み の 関 数 と 考 え,ｘ

フ ー リ エ 展 開 し て み よ う.こ

に関 し

の とき

(8.3)

と な る.係 る.実

際,両

す なわち

数hm(t)は

上 式 にsinnπxを

辺 にsinnπxを

か け て,区

か け て,[0,1]で

間[0,1]で

積 分すれ ば

積 分 す れ ば求 ま

と な る. 式(8.2),(8.3)を

式(8.1)に

代 入 す れ ば

す なわち

と な る.こ れ が 任 意 のｘ につ い て成 り立 つ ため に は 上 式 のsinの 係 数 が す べ て ０で あ る必 要 が あ る た め,一 連 の常 微 分 方 程 式 (8.4) が 得 られ る.こ れ は線 形 １階 の 微 分 方 程 式 で あ り,一 般 解 を 求 め る公 式 が あ る (１巻 参 照).最

後 に初 期 条 件 を利 用 して方 程 式(8.4)の 解 を一 通 りに決 め る必 要

が あ る.式(8.2)と

初 期 条件 か ら,

が 得 ら れ る.fm(0)はf(x)を

区 間[0,1]で

程 と 同 様 に 上 式 の 両 辺 にsinｎπxを る.そ

フ ー リ エ 展 開 し た と き の 係 数 で,先

か け て 区 間[0,1]で

積 分 す る こ と に よ り求 ま

の 結 果,

(8.5) と な る.こ fm(x)を

れ が 式(8．4)を 解 く場 合 の 初 期 条 件 に な る.こ 式(8.2)に

代 入 し た も の が 最 終 的 に 求 め る 解 に な る.

以 上 に 述 べ た 方 法 を 固 有 関 数 展 開 法 と い う. 例題8.1u t=uxx+sin3πx(0<x,1,t>0)をu(0,t)=u(1,t)=0,u(x,0)= sin2πxの

の よ う に して 得 ら れ た

も と で 解 け.

【解 】 本 文 で 述 べ た 解 法 に お い て ん(x,t)=sin3πxと

し た も の な の で,式

(8.3)は

と な る.た

だ し,δmnはm=nの

で あ る(ク

ロ ネ ッ カ ー(Kronecker)の

と な る ． 一 方,初

と き １,m≠nの デ ル タ).し

と き ０ を意 味 す る 記 号 た が っ て,式(8.4)は,

期条件 は

で あ る た め, fm(0)=0(m≠2),f2(0)=1 と な る ． そ こ で,m≠2,3の はfm(t)=0と

と き は,境

な り,m=2の

ときは

よ り

f2=e-4π2t と な る.さ

ら にm=3の

ときは

よ り

で あ る.以 上 を ま とめ れ ば

界 条 件 を満 足 す る微 分 方 程 式 の 解

③ポア ソン方程式 本項 ではポ アソ ン方程式 の境界値 問題

を考 え る.こ の場 合 も右 辺 に 関 数 が あ り,非 同 次 に な る た め 変 数 分 離 法 は 使 え な い.そ

こ で,解 が 直 交 関 数 系 で展 開 で きた と して そ の係 数 を決 め て み よ う.

ｘに 関す る境 界 条件 を満 足 す る もっ と も簡 単 な直 交 関 数 は正 弦 関 数sinmπx/a で あ り,同 様 にｙ に 関 す る境 界 条 件 を満 足 す る もっ と も簡 単 な直 交 関 数 は 正 弦 関 数sinnπy/bで

あ る.た

だ し,m,nは

正 の 整 数 で あ る.し た が っ て,両 方

の境 界 条 件 を 満足 す るｘ とｙ の 関 数 は

とな る た め,解

をそ の 重 ね 合 わ せ と して

とお き,ポ ア ソ ン方 程 式 を満 足 す る よ うに係 数Amnを

決 め る こ と を考 える.そ

の た め に,右 辺 の 関 数 ρ(x,y)をｘ の 関 数 と して フー リエ 正 弦 展 開 す る と

た だ し,

とな る.さ

た だ し,

らに上 式 の 展 開 係 数 をｙ に 関 して フ ー リエ 正 弦 展 開 す る と

とな る.am(y)の

展 開式 を ρ の展 開 式 に 代 入 す る と

た だ し,

と な る. こ の よ うに ２変 数 の 関 数 を フー リエ 展 開す れ ば ２重 の 級 数 が 得 られ るが ,こ の展 開 を ２重 フー リエ 展 開 とい う.ま た,得

ら れ た級 数 を ２重 フー リエ 級 数 と

い う. 上 で 得 られ た未 定 係 数 を含 ん だ解u(x,y)と,ρ(x,y)の

２重 フー リエ 展 開 を

も との ポ ア ソ ン方 程 式 に代 入 して 係 数 を比 べ れ ば,

と な る.以 上 の こ とか ら,ポ ア ソ ン方 程 式 の解 は

と な る.

◇ 問8.1◇

ρ(x,y)=xyの

場 合 に つ い て 上 のbmnを

求 め よ.

上 で と りあ げ た 長 方 形 領 域 に お け る ポ ア ソ ン 方 程 式 の 境 界 条 件 は 長 方 形 の 各 辺 でu=0で

あ っ た が,次

に 境 界 条 件 を 一 般 化 して

u(0,y)=f1(y),u(a,y)=f2(y),u(x,0)=f3(x),u(x,b)=f4(x) と し て み よ う.こ

の 場 合 に は,関

数vに

対 す る ラ プ ラ ス方 程 式

を上 の 境 界 の条 件 の も とで 解 い て解v(x,y)を そ の 上 で,周 囲 にお い てu=0を れ ば,求

求 め る(６ 章 章末 問題6.4参

照).

満 足 す る ポ ア ソ ン方 程 式 の 解 をu(x,y)と

す

め る解 は u(x,y)+v(x,y)

となる． ◇ 間8.2◇

この こ とを確 か め よ.

8.2  フ ー リ 工 変 換 に よ る 解 法

線 形 偏 微 分 方 程 式 の有 力 な解 法 に フ ー リエ 変換 が あ る.本 節 で は,例 て フ ー リエ 変換 に よ る解 法 を説 明 す る.次

を用い

の 問題 を考 え る: (8.6)

u(x,0)=f(x)(-∞<x<∞)(8.7) こ の問 題 は,上 半 面(半 無 限 領 域)で

の ラ プ ラス 方 程 式 の 解 をｘ 軸 上 で値 を指

定 して 求 め る 問 題 で あ る. こ の 問 題 を解 くた め に,式(8.6)をｘ

に 関 して フー リエ 変 換 す る.u(x,y)を

ｘに関 して フー リエ 変 換 す る とパ ラ メ ー タ λ を含 ん だｙ の 関 数 に な る た め,そ れ をUλ(y)と 記 す こ とに す る.す な わ ち Uλ(y)=F[u(x,y)] とす る ． この 記 号 を用 い れ ば,式(8.6)は

とな る.た だ し,左 辺 第 １項 は ２章 の フ ー リエ 変 換 の 微 分 に 関 す る性 質 を用 い て い る.ま た 第 ２項 は,

が成り 立 つ こ と を 利 用 し て い る.境

界 条 件 の式 も フー リエ 変 換 す れ ば上 の記 法

を用 い て Uλ(0)=F(λ)(8.8) と な る.こ

こ でF(λ)はf(x)の

フ ー リエ 変 換 で あ る.以

の 問 題 を フ ー リ エ 変 換 す る こ と に よ り,偏

上 を ま と め れ ば,も

と

微 分方程 式の境界値 問題 は

(8.9) とい う 常 微 分 方 程 式 を,境

界 条 件(8.8)の

も とで解 く問題 に帰 着 され た こ とが わ

か る. 式(8.9)の

一般 解 は Uλ(y)=Ae-￨λ￨y+Be￨λ￨y

と な る.た な り,第

だ し,λ

に 絶 対 値 を つ け た の はy→

∞ の と き 右 辺 の 第 １項 が ０ に

２項 が ∞ に な る こ と を は っ き り さ せ る た め で あ る.こ

が あ る と 解 は 発 散 す る た め,B=0で A =F(λ)と

な る .し

あ る こ と が わ か る.さ

た が っ て,式(8.9)の

の と き,第 ら に 式(8.8)か

２項 ら

境 界 条 件 を満 足 す る解 と して

Uλ(y)=F(λ)e-￨λ￨y(8.10)

が 得 ら れ る. 未 知 関 数 の フ ー リ エ 変 換 が 求 ま っ た た め,未 る.ｆ

の フ ー リ エ 変 換 が Ｆ で あ っ た.さ

e￨a￨yと な る 関 数,す

ら に 関 数 ｇ と し て ｇ の フ ー リエ 変 換 が

なわ ち

F[g]=e-￨λ￨yま

と す る.こ

知 関 数 は そ の 逆 変 換 と して求 ま

た はg=F-1[e-￨a￨y]

の と き,式(8.10)は

F[u]=F[f]F[g]

を 意 味 し て い る.ま

た,合

成 積f*gの

フ ー リエ 変 換 に 関 し て

F[f*g]=√2兀F[f]F[g]

が成り 立 つ た め,こ れ ら ２式 を比 較 して (8.11) と な る こ とが わ か る.し

たが って,ｇ が わ か れ ば 解 が 求 まる.フ

ー リエ 逆 変 換

の 公 式 を用 い て ｇ を計 算 す る と

で あ るか ら,結 局

(8.12) と な る. こ の よ うに ２独 立 変 数 の 線 形 偏 微 分 方 程 式 は １つ の 変 数 に 関 して フ ー リエ 変 換 す れ ば常 微 分 方 程 式 に な るた め,解

法 が 大 幅 に 簡 単 に な る こ とが わ か る.

8.3  ラ プ ラ ス変換 に よ る 解 法

前 章 で述 べ た フ ー リエ 変 換 の 欠 点 と して,フ ー リエ 変 換 で きる た め に は も と の 関 数 が 絶 対 可 積 分 で あ る とい う条 件 が つ き,そ の た め 利 用 で き る関 数 は 大 幅 に制 限 され る こ とが あ げ られ る.さ 間 は 半 無 限 区 間0
ら に,時 間 に関 す る微 分 を含 む問 題 で は,時

に とる こ とが 多 い た め,フ ー リエ 変 換 は 時 間 変 数 で

は な く空 間 変 数 に対 して とる必 要 が あ る.一 方,１ 章 で 述 べ た ラ プ ラ ス変 換 で あ れ ば,変 換 で き る関 数 は フー リエ 変換 ほ ど制 限 され ず,ま

た半 無 限 区 間 の 積

分 に な る.そ こ で,本 節 で は ラ プ ラ ス 変 換 を用 い た偏 微 分 方 程 式 の 解 法 を,例 を用 い て 説 明す る こ と にす る. 半 無 限長 の 弦 の 振 動 問題 を考 え る こ とに して,１ 次 元 波 動 方 程 式

を,初 期 条 件

u(x,0)=0,ut(x,0)=0(x>0) お よ び境 界 条 件 u(0,t)=sinωt,u(∞,t)=0(t>0) の も と で 解 い て み よ う. も との 偏 微 分 方 程 式 を 時 間 に 関 し て ラ プ ラ ス 変 換 す る と,V=L[u]と

とい う常 微 分 方 程 式 に な る.こ こ で初 期 条 件 を ラ プ ラス 変 換 す る と V(x,0)=0,Vt(x,0)=0 とな るた め,上

の常微分 方程式は

と簡 単化 され る.次

とな る た め,こ

と な る. こ こで

に注意す れば

に境 界 条件 を ラ プ ラス 変 換 す れ ば

の 条 件 の も とで常 微 分 方 程 式 を 解 け ば

お い て,

と な る.こ

こ でＵ

は １章 で 述 べ た 階 段 関 数 で あ る.こ

の 式 は,

とお き,階 段 関 数 の 性 質 を 用 い れ ば次 の よ う に変 形 で きる.

こ れ が 求 め る 解 で あ る.

8.4 

グ リ ー ン 関 数

２次 元 領 域 Ｄ(境

界 をΓ

と す る)に

お い て,ポ

ア ソ ン方 程 式 の 境 界 値 問 題

▽2u=f(x,y)(Dの

内 部)(8.13) (8.14)

を 考 え る.た

だ し,f,g,α,β

は 与 え ら れ た 関 数 で あ り,∂/∂nは

境 界Γ の 外

向 き法 線 方 向 の 微 分 を 表 す. こ の 問 題 に 対 し て,

f(x,y)=-δ(x-ξ)δ(y-η),g(x,y)=0

(た だ し,δ は デ ィ ラ ッ ク の デ ル タ 関 数)と

お い た 次 の ポ ア ソ ン方 程 式 の境 界 値

問題 ▽2G=-δ(x-ξ)δ(y-η)(Dの

内 部)(8.15) (8.16)

の 解 を も と の 問 題 の グ リ ー ン(Green)関 の 関 数 で あ る が,ξ

数 と い う.グ

と η に も依 存 す る た め

リ ー ン 関Ｇ

はｘ

とｙ

G=G(x,y;ξ,η)

と記 す こ と に す る. 次 に,式(8.15)の

境 界 条 件 を 考 え な い解 を基 本 解 と よ び

P=P(x,y;ξ,η)

と 書 き,基

本 解 を用 い て グ リー ン関 数 を

G=P+w(x,y)(8.17)

と 表 す こ と に す る.式(8.17)を

式(8.15),(8.16)に

代 入 す る と,ω

が満足 すべ

き微 分 方 程 式 お よ び 境 界 条 件 は

▽2ω=0(Dの

内 部)(8.18) (8.19)

と な る.し め に は,条 以 下,グ

た が っ て,基 件(8.19)を

本 解 Ｐ が 既 知 で あ る 場 合 に グ リー ン関 数 を 求 め る た

満 足 す る よ う な 調 和 関 数 ω を 求 め れ ば よ い.

リ ー ン 関 数 Ｇ を 用 い て,も

と の 境 界 値 問 題(8.13),(8.14)の

解 を表

す こ と を 考 え る. そ の た め に,ま

ず ベ ク トル 解 析 で お な じ み の グ リ ー ン の 公 式

(8.20) を 利 用 す る.式(8.20)の (す な わ ち 式(8.15),(8.16)の

と な る.し

ｕ と して 式(8.13),(8.14)の 解)を

解,Ｕ

用 い れ ば,式(8.20)の

と して グ リー ン関 数 左辺 は

た が っ て,

(8.21)

が得 ら れ る. ① デ ィリクレ 式(8.14)に

問題

お い て,α=0,β=1の

第 １種 境 界 値 問 題 と い う.デ

と き デ ィリクレ(Dirichlet)問

ィリクレ

問 題 の 解 は 式(8.21)か

題 または

ら グ リー ン関 数 を

用 いて

(8.22)

と表 す こ と が で き る. ②ノ イ マ ン 問 題 式(8.14)に

お い て,α=1,β=0の

第 ２種 境 界 値 問 題 と い う.ノ

と き ノ イ マ ン(Neumann)問

イ マ ン 問 題 の 解 は 式(8.21)か

題 また は

ら グ リ ー ン関 数 を用

いて

(8.23)

と表 す こ と が で き る. ③ ロ バン 問 題 式(8.14)に

お い て,α=1の

と き ロ バン(Robin)問

問 題 と い う.今,式(8.14),(8.16)に

題 ま た は 第 ３種 境 界 値

お い て,α=1と

す れ ば境 界 上 で

で あ り,

とな る.し

た が っ て,ロ

バン 問 題 の 解 は 式(8.21)か

ら

(8.24)

と表 す こ と が で き る. 以 上 の こ と か ら,グ 題,ロ

リ ー ン 関数Ｇ

バン 問 題 の 解 が,そ

か る.さ

ら に,グ

が 求 ま れば,デ

ィリクレ

れ ぞ れ 式(8.22),(8.23),(8.24)か

問 題,ノ

イ マ ン問

ら求 ま る こ とが わ

リ ー ン 関 数 はｆ とｇ に よ ら ず に 決 ま る た め,グ

リー ン関 数 を

い っ た ん 求 め て し ま え ば,ｆ る.こ

や ｇ が異 な る よ うな 種 々 の 問題 を解 くこ とが で き

の こ と が グ リ ー ン 関 数 を 用 い る 解 法 の 最 大 の 利 点 に な っ て い る.

そ れ で は 上 半 平 面 に お け る ラ プ ラ ス 方 程 式 の デ ィリクレ

問題

▽2u=0(-∞<x<∞,y>0)

u(x,0 )=h(x),u(x,y)→0(√x2+y2→ を 例 に と っ て,グ は じ め に,ポ

∞)

リ ー ン 関 数 を 用 い た 解 法 を 具 体 的 に 示 す こ と に す る. ア ソ ン方 程 式 ▽2P=-δ(x-ξ)δ(y-η)(8.25)

の 基 本 解 が,(ξ,η)を

極 と す る 極 座 標(r,θ)を

用 いて

 (8.26) で 与 え ら れ る こ と が 以 下 の よ う に し て 示 せ る. x≠ ξ,y≠

η(し た が っ て,r≠0)で

あ る こ と が 容 易 に わ か る ． ま た,r=0は

あ れ ば,P=log(1/r)は

調和 関数で

特 異 点 で あ る が,(ξ,η)を

中 心 と して

半 径 ρ の 円 内 で ポ ア ソ ン 方 程 式 の 左 辺 を 積 分 す る と,ガ

とな る が,こ

ウス の 定 理 か ら

れ は ポ ア ソ ン方 程 式 の 右 辺 の積 分

と 一 致 す る .こ

れ ら の こ と か ら式(8.26)は

式(8.25)の

基 本 解 に な っ て い る.

次 に こ の 基 本 解 を 用 い て 上 半 平 面 に お け る グ リ ー ン 関 数 Ｇ を 求 め て み よ う. こ の 場 合,Ｇ

は

▽2G=-δ(x-ξ)δ(y-η)(y>0) G(x,0)=0

図8.1 

鏡 像点

を 満 足 す る 関 数 で あ る. 図8.1に と る.そ

お い て,上

半 平 面 に 座 標 が(x,y)で

して ξ軸 に 関 し て 点Ｂ

あ る 点Ａ

と対 称 な 点 を 点Ｂ'と

と(ξ,η)で あ る 点Ｂ

す る.こ

の と き,前

を

述 の

と お り上 半 平 面 に お い て,

は ポ ア ソ ン方程 式 の基 本 解 で あ り,ま た

はrAB'≠0で

あ る か ら調 和 関 数(▽2Q=0)で

あ る こ と が 確 か め ら れ る.し

たが って G=P+Q と お け ば,Ｇは

ポ ア ソ ン 方 程 式 を 満 た し,さ

ら に ξ軸 上 の 点Ｃ

で はrCB=rCB'

で あ る か ら,

とな る.す

な わ ち,Ｇは

境 界 条 件 も満 た す た め,求

る こ とが わ か る.以 上 を ま とめ れ ば

と な る.

め るべ き グ リー ン関 数 で あ

グ リ ー ン 関 数 が 求 まっ た た め,も

と の デ ィリクレ

て,f=0,α=0,β=1,g=h(x)と

問 題 の 解 は 式(8.22)に

おい

おけば よ く

と な る. こ こ で は,ラ

プ ラス 方 程 式 の グ リー ン関 数 につ い て述 べ た が,波

動方程式 や

熱伝 導 方 程 式 に対 す る グ リー ン関 数 も考 え られ る.

章末 問 題 [ 8.1]時

間に依存 しない熱 源h(x)を

もつ １次元 熱伝 導 方程式

を,次 の 初 期 条 件 ・境 界 条 件 の も とで 考 え る. u(0,t)=a,u(1,t)=b,u(x,0)=f(x) (１)こ の 問 題 に 対 して 以 下 の ２つ の 問 題 を考 え る と,u1+u2は こ と を 示 せ.

(２)u1をｈ を用 いて表 せ. 【8.2】次 の初期 値 ・境界 値 問題(外 力 のあ る場 合 の弦 の振 動)

u(0,t)=u(1,t)=0,u(x,0)=ut(x,0)=0 を 考 え る. (１)解 と し て

上の 問題 の解 に なる

を 仮 定 した と きan(t)が

満 足 す る方 程 式 を求 め よ.

(２)も との 問 題 の解 を 求 め よ. 【8.3】 次 の １次 元 熱 伝 導 方 程 式 の 初 期 値 問 題 を フ ー リ エ 変 換 を用 い て 解 け.

u(x,0)=δ(x)

付

録

ラ プ ラ ス 逆 変 換 と留 数 定 理

関数f(t)とf'(t)(t＞0と プ ラス 変 換L[f(t)]の

す る)が 有 限 な 閉区 間で 区分 的 に連 続 で,そ の ラ

収 束 座 標 が α で あ る とす る.こ の と き,Re(s)＞

α を満

足 す る 任 意 のｓ に対 して積 分

が存 在 す る.い てf(t)=0と

ま,こ

のf(t)を,t＞0に

定 義 し な お して,f(t)の

対 し て は そ の ま ま で,t〓0に ラ プ ラ ス 変 換F(s)を

対 し

考 え ると

(1) と な る.た

だ し,s=σ+iλ

は 存 在 す る た め,式(１)は,関 を示 す 式 で あ る と み な せ る.そ

と な る.し

と お い た.こ

数e-σtf(t)の こ で,フ

こで 積 分

フ ー リ エ 変 換 がF(s)で

ー リエ 逆 変 換 の 公 式 か ら

た が っ て,

と な る た め(s=σ+iλ),ラ

プ ラ ス逆 変 換 の公 式 と して

あ るこ と

(2)

が 得 ら れ る. さ て,ラ

プ ラ ス 変 換 の 定 義 式 でs=σ+iλ

とお きL[f]=F(s)=u(σ,λ)+

i v(σ,λ)と 書 く こ と に す れ ば,

(3)

(4) と な る.こ

こ で,〓,〓

れ ら の 積 分 は 存 在 す る.さ

で あ る か ら,σ＞ ら に,式(３)と(４)を

α に対 して こ

そ れ ぞ れ σ と λで 微 分 す れ ば

と な る.こ れ らの 積 分 も σ＞ α で 存 在 す る(な ぜ な らf(t)の 収 束 座 標 が α で あ る と きtf(t)の 収 束 座 標 も α で あ る)た め,上

式は

を意 味 す る.同 様 に して

で あ る こ と も示 す こ とが で きる.こ れ らはF(s)=u+ivが 示 すコ ー シ ー ・リー マ ン(Cauchy-Riemann)の

正則 であ るこ とを

方程 式 に な っ てい る(２ 巻参 照).

この よ うに ラ プ ラ ス 変 換 は 収 束 座 標 を α と した と きRe(s)＞ 則 で あ る.そ

して,ラ プ ラ ス逆 変 換 を行 う場 合 の積 分路 は,F(s)の

α におい て正 特 異点 がす

べ て そ の左 に くる よ う に と る必 要 が あ る. ２巻 『複 素 関数 とそ の応 用 』で は正 則 関数 の複 素積 分 が留 数 を用 い て 簡 単 に計 算 で き る こ と を示 した.こ の こ とは 式(２)に 対 して もあ て は まる.い

ま,f(t)

のラ プ ラ ス 変 換F(s)が

有理 形 関 数 で あ る と す る.ま

あ る す べ て の留 数 をsk(k=1,2,…,n)と

す る.こ

た 半 平 面Re(s)＜

α内 に

の とき

(５)

が 成 り立 つ.

図 １ ブ ロム ウ ィ ッチ の積 分 路

証 明 は 次 の よ うに す る.複 素 積 分 の 計 算 法 を思 い 出 す と,そ こで は 求 め た い 積 分 の積 分 区 間 を そ の 一 部 と して含 む 閉 曲線 を積 分 路 に選 び,積 分 を周 回積 分 の 計 算 に置 き換 え た.こ の と き,新 た につ け加 わ っ た積 分 が 極 限 で ０に な る よ う に積 分 路 を選んだ.そ チ(Bromwich)の

こで式(２)に 対 して,図

積 分 路)を

考 え る.r→

１に示 す積 分路(ブ

ロム ウ ィ ッ

∞ の と き,図 のⅡ に沿 っ た積 分 が

０ に な れ ば,図 の Ｉに 沿 っ た 積 分 が 求 め る積 分 に一 致 す る た め,そ

の極 限で周

回 積 分 と等 し くな る.一 方,留 数 定 理 か ら周 回 積 分 の値 は積 分 路 内 の(留 数 の 和)×(2πi)に 等 しい.2πiは 打 ち消 し合 うた め式(５)の 右 辺 と な る.結 局,Ⅱ に 沿 っ た 積 分 が ０ に な る こ と を証 明 す れ ば よい. さ て,円 弧BCA上

で はs=σ+Reiθで

あるか ら

した が っ て

￨ est￨=￨eσt+Rt(cosθ+isinθ)￨=eσt￨eRtcosθ￨,￨ds￨=Rdθ

で あ る か ら

と な る.一

方R→

∞ の とき ￨F (s)￨<ε

と な る た め,θ=π/2+ψ

が 成 り立 つ.こ

とお け ば

の 式 は ε を い く ら で も小 さ くで き る か ら,R→

な る. 例題 式(２)を

用 い て 次 の 関 数 の ラ プ ラ ス 逆 変 換 を 求 め よ.( 1)〓(2)〓

【解 】(１)特

異 点 はs=0とs=-aで

(２)特 異 点 はs=-1(2位

の 極)と-3で

あ るか ら

あ るか ら

∞ の と き ０に

略

解

第 １章 問1.1(1)

(2)

問1.2(1) (2)

問1.3(1)〓

したがって〓

(2)問1.4(1) (2) 問1.5(1)(2)

(3) 問1.6(1)〓,し

(2)〓.ヘ

〓問1.7(1)

た が っ て,

ビサ イ ドの展 開鯉

よ り,

(２)

問1.8L[x]=Xと

お く,

(1)L[x"+2x]=(s2X-1s-0)+X=0,X=s/(s2+1),x=cost. (２)

問1.9L[x]=X,L[y]=yと

お

く.〓,〓

よ り ，〓,

〓 .

問1.10イン

ピ ーダンス はas+b;〓 .

章末 問 題 ［ 1.1］(１)(２)

(３) (４ )

［1. 2］(１)(２)

(３)(４)

［1. 3］L[x]=X,L[y]=Yと (１)

(２)

お く.

〓

(３)

【1.4】(１)

(２) 【1.5]方

程 式 を ラ プ ラス 変 換 して〓;〓. ,〓.

第

２ 章

問2.1(1),(２)cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)=ei(θ1-θ2)=eiθ1e-iθ2=(cosθ1 +isinθ1)(cosB2-isinθ2)=cos1cosθ2+sinθ1sinθ2+i(sinθ1cosθ2 -sinθ2cosθ1). (3)∼(6)加

法 定 理 や(１),(２)を

右 辺

に 代 入 す

問2.2(1),(2)cos2θ+isin2θ=e2iθ=(eiθ)2=(cosθ+isinθ)2=cos2θsin2θ+i(2sinθcosθ). (3),(4)cos3θ+isin3θ=e3iθ=(eiθ)3=(cosθ+isinθ)3=COS3θ3sin2θcosθ+i(3cos2θsinθ-sin3θ). 問2.3(1)

(２)例

題2.1,2.2よ

り

る.

〓

問2.4f(x)は

奇関数 なので〓 .

問2.5

問2.6問2.3(1)でx=π

と お く と〓,し

たが って

,〓.

章末 問 題［2. 1］〓,ま

た は

問2.4よ

り〓.〓

とお く と 〓.

［2.2］

［

2・3］〓

.この 式 で x =π ［ 2・4］(1)右

とお き両 辺 に〓

を か け る と 問題 の 式 が 得 られ る.

辺=〓=左

辺.(2

)与 式 の 右 辺=

［ 2.5］(１)式(2.27)に

お い てx=aξ

(２)式(2.27),(2.28)に し て〓

第 ３章 問3.1(１)

を代 入 し,あ

お い てx=ξ+bを

ら た め て ξ をｘ と考 え る. 代 入 し,周 期2lの

が 成 り立 つ こ と を使 う.

関f(x)に

対

(2)

問3.2

問3.3x＜0のとき０,x＞0のときxe-x. 章末問 題 【3.1】(1) 〓(下 図 を 参 照) (2)

図 【3.2】(1)〓,(2)e2iλF(λ),(3)F(-λ) (4)2iF(λ)sinaλ,(5)F(λ-ω),(6)〓 【3.3】(1)

．

(２)反転 公 式 か ら〓

と お け ば〓 よ り,求 め る積 分 は〓. 【3.4】ｆ

の 正 弦 変〓,し

反 転 公 式 か ら〓

た がって,

第 ４章 問4.1(u+v,u+v)+(u-v,u-v)=(u,u)+(v,u)+(u,v)+(v,v)+(u,u) -(v,u)-(u,v)+(v,v)=2(u,u)+2(v,v).た =-(v,u);(-v,-v)=(v,v)の

だ し(u,-v)=-(u,v);(-v,u) 等を 用 い た.

問4.2

問4.3y=Asin√λx+Bcos√λx;y'=A√λcos√λx-B√λsin√λx,y'(0)= A√λ=

0→A=0;〓;〓

;〓. 章末 問 題 ［ 4.1］y=Asin√λx+Bcos√λx;y'=A√λcos√λx-B√λsin√λx.y'(0)= A=0;y'(π)=-B√λsin√λπ=0;λ=n2;y=cosnx. ［ 4.2］(１)p=√1-x2,q=0,〓,p(-1)=p(1)=0,y(-1)と y(1)は

有 界 よ り.

(２)〓よ

り . (３)〓(た

だ しx=cosθ),〓

. ［ 4.3］x=cosθ

［ 4.1］展開

と お く と〓

よ り〓.

係 数 は〓,た

〓はn=2mの

だ しAは

と き０ で,n=2m+1の

して[4.3]の 結 果 を用 い れ ば〓.

と き(-1)mで

問 題[4.3]の

積 分.〓.

あ り,ま たＡ と

第 ５章 問 5.1(1)B2-4AC=4-0＞0,双

曲 型.

(2)B2-4AC=16-4・5・1=-4＜0,楕円

型.

(3)B2-4AC=4x2y2-4x2y2=0,放物

型.

(4)B2-4AC=4sin2x+4cos2x=4＞0,双

曲 型.

問5・2

問5・3

問5.4umaxの

か わ りに 最 小 値uminを

と り,本 文 中 の不 等 号 を 逆 に す れ ば よ い.

章末 問 題 【 5.1】(1)

(2)A=1,B=-2x,C=x2→t2-2xt+x2=0→t=x(重 xηy →

根)→

ηx=

η=y+x2/2;ξ=x→B*=C*=0,A*=1,D*=0,E*=

-1→uξξ-uη=0. 【5.2】f(z)=u(x,y)+iv(x,y)と vy,uy=vx,し

お く とコ ー シ ー ・ リ ー マ ン の 方 程 式 はux= た が っ てuxx=vyx=vxy=(-uy)y=-uyy;vxx=

(-uy)x=-(ux)y=-vyy 【5.3】n=(nx,ny,nz)と

.

n2xf"な

お く とu=f(nxx+nyy+nZz-ct),ux=nxf',uxx=

ど か ら▽2u

=(n2x+n2y+n2z)f"=f"

,一

方,ut=cf',utt=c2f"

し た が っ てutt=c2▽2u.

第 ６章 問6.1式(6.10)とf=2sinπx-4sin5πxよ 式(6.9)よ

りA1=2,A5=-4,そ

の 他 は ０,

りu(x,t)=2coskπtsinπx-4cos5kπtsin5πx.

問6.2〓

した が っ て 〓,こ

の 式 にsinmπxを

かけ て

[0,1]で 積 分 す れ ば〓,し

問6.3〓

た が っ て〓

よ り〓.し て,式(6.16)よ

たが っ

りu(x,t)=．

章末 問 題 ［ 6.1］u=XTと

お い て 代 入 してXTで

割 る と,〓. 境界 条

件 か ら〓 の 条 件 か らA2=1,A4=-4そ

の他 は〓

. ［ 6.2］u=XTと

お い て 代 入 し てXTで T=

割 る と,〓.

Csin√ct+Dcos√ct,X=Asin(√c2+1/2)x+Bcos(√c2+1/2)x,

境 界 条 件 か らB=0,c2=4n2-1. し た が っ て,〓,u t(x,0)=0よ

りＣn=0ま

たu(x,0)の

条 件 か らD2=1,D4=-4し

た

が って〓. ［ 6.3］u=XTと

お く と 変 数 分 離 さ れ てX"+n2X=0,T"+2T'+4n2T=0,Xに

す る 方 程 式 を 境 界 条 件X(0)=X(π)=0で

解 く とX=Bsinnx(n:整

Ｔに 対 す る 方 程 式 を 境 界 条 件Tt(0)=0で √4n2-1cos√4n2-lt),し

数)．

解 く とT=De-t(sin√4n2-1t+

た が っ て〓 ;u(x,0)=sin2x-4sin4xよ

1/√15(n=2),B4=-4/√63(n=4),Bn=0(n≠2,4)以

第 ７章 問7.1〓 の 他 は ０.式(7.14)よ

りB2= 上 か らu=〓

［6. 4］

,そ

対

りu(r,θ)=1/2+(1/2)r2cos(2θ).

問7.2 〓

章末 問題 【 7.1】

ラ プ ラ ス 方 程 式 は〓.境

界 条 件 よ り,〓 .

【 7.2】

ポ ア ソ ン 方 程 式 は〓

とな る.し

般 解 と して〓

たが って この方程 式 を解 けば 一

が 得 られ る.境 界 条 件 を 満 足 す る よ う にc,

dを求 め て,〓. 【7・3】u=R(r)T(t)と

お くと,〓

,R=BJ0(λr)+CY0(λr),r=0で

有界 なので 〓た だ し

〓. 第 ８ 章 問8.1 〓. 問8.2 u+vは

方 程 式∇2(u+v)=∇2u+∇2v=-ρ

お よ び 境 界 条 件 を 満 た す.

章末 問題 【 8.1】(1)u1+u2は

方 程 式 と境 界 条 件 を 満 た す.

(2)〓

． た だ し境 界 条

件 よ り〓.

【8.2】(1)〓

に対 してan=0，a"+π2a1=sin2π 境 界 条 件 はa1(0)=a'1(0)=0.

(2)ラ プ ラ ス 変 換 して〓

.したが って〓. 【 8.3】U=F[u]と

お い て フ ー リ エ 変 換 す る と〓,ま 〓,方程式 を 解いて〓,逆 〓. (例 題3.2参

照)

た初 期 条件 は 変換 して

索

引

ア

行

イン ピー ダ ンス  19

弦 の微 小 振 動  94 合 成積  ８ コー シー の積分 定 理  62 コー シ ー ・リー マ ンの 方程 式  155

円形 膜の振 動  128

固 有 関数  77 オ イラー の公 式  30

固 有 関数 展 開法  139

オ イラー の微 分 方程 式  134

固 有値  77

重み 関数  71

サ

温度勾 配  96 力

行

行

最 大 ・最 小 の定 理  103 三 角関 数  28

ガ ウスの定 理  96

―の直交 関係  32

拡 散方 程式  86

―の微 積分  31

加 法定 理  30 関数列  70

指 数 関 数 の微 積 分  31

完全(正 規 関 数列 が)  75

周 期 関 数  29 収 束 域  5

奇 関数  38

収 束 座標  5

ギ ブス の現 象  34

準 線 形(偏 微 分 方程 式)  85

基本 解  148

初 期 条件  107

逆 フー リエ 正 弦変 換  63

初 期 静止 解  19

逆 フー リエ 余 弦変 換  63

初 期値 問題  17

球座 標  132 ―での ラ プラス 方程 式  132 非 同次 の― 

スツルム ・リュー ビル 型 固有値 問題  78 スツルム ・リュー ビル の微 分 方程 式  76

境界 条件  107 137

ス トー クス の公 式  100

極座標  122 ―での ラプ ラス 方程 式  123

正規 直交 関 数列  71 正弦 関数  28

偶 関 数 38

絶対 可 積 分  58

区分 的 に滑 らか  47

線 形 偏微 分 方程 式  84

区分 的 に連 続  47 グ リー ン関数  147 ク ロネ ッカ ーの デ ル タ 140

双 曲型(偏 微 分 方程 式)  85

 −

の 標準 形   85

相 似 性  6               タ  行

            

ハ 行

パ ー セバ ルの 等 式  54 波 動方 程 式   86

第1種 境 界 値 問 題  149 第1種

ベ ッセル 関 数  129

非 線 形偏 微 分 方程 式   84

第2種 境 界 値 問題   149 第2種

ベ ッセル 関 数  129

第3種 境 界 値 問 題  149

部 分分 数  14 フー リエ逆 変 換  60

楕 円型(偏 微 分 方 程式)  86

フー リ工級 数   40

 −

 −

の標準 形  86

の 収束 条 件  47

ダ ラ ンベ ー ルの 解  99

  一般 の−

単 位 応 答  22

  複 素 形式 の−  45 フー リエ正 弦 変 換  63

単 位 階段 関数   3

  73

フー リエ展 開  40 チ ェ ビ シェ フ の多 項 式  83 調 和 関 数  103

  一般 の−   73 フー リエ の積 分 定 理  59

直 交 関 数列   71

フー リエ の熱 伝 導 の法 則   95

定 数 係 数常 微 分 方 程 式   17 テ イ ラー展 開  94

   ― の 性 質  68

フー リエ 変換   60 フー リエ余 弦 変 換  63

デ ュ ア メル の公 式   25

ブ ロム ウ ィ ッチ の 積分 路   156

デ ル タ応答   24

分 離 の 定 数  108

デ ル タ関 数  24 平 均2乗 誤 差   53 特 異 点   155 特 性 曲線   101          ナ 行 内積   71

平 均 の 定 理  103 ベ ッセ ル の微 分 方程 式  129 ベ ッセ ル の不 等 式  54 ヘ ビサ イ ドの展 開 定 理  15 変 数 分 離 法  108 変 数 変 換  87

2次 元波 動 方 程 式  128

偏 微 分 方程 式   84

2重 フー リエ 級 数   142

 ―

2重 フー リエ 展 開  142 ニ ュ ー 卜ンの 第2法 則  94

  非 同 次 の―

の 階 数  84  138

ポ ア ソ ンの積 分 公 式   104 熱源   97

ポ ア ソ ン方程 式   98

熱伝 導 方 程式  96

放 物 型(偏 微 分 方 程 式)  85

熱平 衡 状 態  98

   ― の標 準 形  86 補 助 方 程 式  92

ノ イ マ ン問題  149

            

ヤ  行

 −

の 性 質  10

ラ プ ラス 方程 式   86

有 理形 関数   156 留 数   155 余 弦 関数   28               ラ  行 ラ イプ ニ ッツの公 式   79

留 数 定 理   156 ル ジ ャ ン ドルの 多 項式   79,134 ル ジ ャ ン ドルの 微 分 方程 式  78,133

ラ グ ラ ンジ ュの偏 微 分 方程 式   92 ラ プ ラス逆 変 換   1

ロ ドリー グの公 式  79

   ― の公 式   154

ロバ ン問 題  149

   ― の性 質  16 ラ プ ラス変 換   1

ロ ピタル の定 理   2

著 者 略 歴 河

村

哲

也(か

わむら.て っや)

1954年  京都府 に生 まれ る 1981年  東京大 学大 学院 工学系研究 科 博士 課程退学 現

在  お茶 の水女 子大 学大学 院人 間文化研 究科教授  工学博 士

理工系の数学教室 ３ フ ー リエ 解 析 と 偏 微 分 方程 式 2005年 2006年

４月10日  ９月30日 

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初版 第 １刷 第 ２刷 著

者  河

発 行 者  朝

村

哲

也

倉邦造

発 行 所 株式会社  朝

倉

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東京 都 新宿 区新 小 川 町  6-29 郵 便 番 号  162-8707 電話 03(3260)0141 FAX 03(3260)0180 〈検 印 省 略〉http://www.asakura.co.jp 〓2005〈 無 断複写 ・転載 を禁ず〉 ISBN4-254-11623-3 C3341Printed

東京書 籍印刷 ・渡辺 製本 in Japan

お茶の水大 河 村 哲 也 著 シ リー ズ<理 工 系 の数 学 教 室>１

常

微

分

ll621-7 C3341 

方 A5判 

程

式

180頁  本 体2800円

お茶の水大 河 村 哲 也 著 シ リー ズ<理 工 系 の数 学 教 室>２

複 素 関 数 と そ の 応 用 11622-5 

C3341 

A5判 

176頁 本体2800円

流体 力学,電 磁 気学 など幅広い応用 をもつ複素 関 数論 につ いて,例題 を駆使 しなが ら使 いこなすこ とを第一 の 目的 とした入門書 〔 内容 〕 複素数／正則 関数／初 等関数 ／複素積分 ／テイラー展開 とロー ラン展開／留数 ／ リーマ ン面 と解析接続／応用

東大  中村 周著

応 用 に重 点 を 置 い た フー リエ解 析 の 入 門 書 。 特 に

応用数学基礎講座 ４

微 分 方 程 式,数 理 物 理,信 号 処 理 の 話 題 を取 り上 げ る。 〔内容 〕フ ー リエ 級 数 展 開 ／ フー リエ 級 数 の 性 質 と応 用 ／ １変 数 の フー リエ 変 換 ／ 多変 数 の フ

フ

ー

リ

11 574‐I  C3341 

エ A5判 

解

析

200頁  本 体3500円

前金沢大  高 松 吉 郎 ・金沢高専  長  郁 男 著

微 分 方 程 式 と フ ー リエ 級 数 -X C3041  T.W.ケルナ

ー著

フ ー

A5判 

京大 高橋 陽 一 郎 監 訳

リ エ 解 析 大 全(上)

ll066-9 C3041  T.W.ケルナ

フ ー

ー著

A5判 

336頁 本 体5900円

京大 高橋 陽一 郎 監 訳

A5判 

S.J. フ ァー ロ ウ著

微

368頁  本 体6500円

中大 伊理 正 夫 ・理科大 伊 理 由美訳

分

方

程

式

−科 学 者 ・技術 者 の ため の使 い方 と解 き方− 11071-5 C3041  神奈川大 小 国

A5判 

424頁

本 体6200円

力 ・神奈川大 小 割健 一 著

MATLAB数 -0 C3041 

式処理による数学基礎 A5判 

192頁 本 体3400円

理科大 鈴 木 増 雄・ 中大 香取眞 理 ・東大 羽 田 野 直道 ・ 物質材料研究機構 野 々 村禎彦 訳

11090-l C3041 

A5判 

ー リエ変換／超 関数／超関数 のフーリエ変 換 大学理工系,工 業 高専向教科書。 定理 等の証明は 簡潔に,例題 と問題 を随所 にはさみ解 法の習熟 と 理論 の理解 をはか った。 〔 内容 〕 微分 方程式 ／ １階 微分 方程 式／特別 な形の微分方程 式／ 線形微分 方 程 式／級数解法／ フー リエ級数／ ラプラス変換 フ ー リエ 解 析 の 全 体 像 を 描 く"ち ょ っ と風 変 わ り で不 思 議 な"数 学 の 本 。独 自の 博 識 と饒舌 で フ ー リ エ解 析 の概 念 と手 法,エ レガ ン トな結 果 を幅 広 く 描 き 出 す 。 地 球 の 年 齢 ・海 底 電 線 な ど科 学 的 応用 と数 学 の 関 係 や,歴 史 的 な 逸 話 も数 多 く挿 入 した 〔内 容 〕フ ー リエ 級 数(ワ イ エ ル シ ュ トラ ウ ス の 定 理,モ ン テ カル ロ法,他)／ 微 分 方 程 式(減 衰 振 動,

リ エ 解 析 大 全(下)

11067-7 C3041 

偏

216頁 本 体2900円

学技術者のための 数 学 ハ ン ドブ ッ ク

11009 11101

物理 現象や工学現 象 を記述す る微分方程式 の解 法 を身につけ るため の入門書。例題,問 題 を豊富に 用 いなが ら,解 き方 を実践的に学べ るよ う構 成。 〔 内容〕微分方程 式／２階微 分方程 式／高階微 分 方 程式／ 連立微分 方程 式／ 記号法／級数解法／付録

570頁  本 体16000円

過 渡 現 象,他)直交 級 数(近 似,等周 問 題,他)／ フ ー リエ 変 換(積 分 順 序 ,畳 込 み,他)／ 発 展(安 定性, ラブ ラ ス変 換,他)／ そ の 他(な ぜ 計 算 を?,他)

物理や工学 な ど,偏 微分 方程 式 を応用す る人々に とっての絶好 の入門書。 〔 内容〕拡散型の問題／変 数分離／積分変換 ／双曲 型の問題 ／波動方程式／ 連立方程式／楕 円型の問題／ ラプ ラシアン／デ ィ リクレ問題／数値解 法／近似解 法／変分法 ／他 数学 ・数式処理 ・数値 計算 を関連づ け,コ ンピュ ー タを用 い た応 用に まで踏み 込んだ入 門書。 〔 内 容〕 微積分 の初 歩／線 形代数 等の初歩 ／微積分 の 基礎／積分 とその応用／ 偏微分 とその応 用／３変 数 の場合 ／微分方程 式／線形計算 と確率統計 計算 理工 系の学生や大学 院生には もちろん,技 術者 ・ 研 究者 として活躍 してい る入々 に も,数 学 の重要 事 項を一 気に学び,ま た研究 中に必要 になった事 項 を手 っ取 り早 く知 るこ とので きる便利 で役 に立 つハ ン ドブ ック。 〔 内容〕ベ ク トル解析 とテンソル 解析／常微分 方程式／行列 代数／ フー リエ級数 と フー リエ積分 ／線形ベ ク トル空間／複素関数／特 殊関数／変分 法／ ラプ ラス変換／偏微分方程式／ 簡単 な線形積分 方程式／群 論／ 数値的方法／確率 論入門／(付録)基本概念／行列 式 その他 上 記価 格(税 別)は2006年

８月 現 在