Операторный метод анализа и синтеза линейных систем управления. Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет) Кафедра автоматики и телемеханики

А.А. Бобцов, А.В. Лямин, М.С. Чежин ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург 2001

УДК 62.05 Бобцов А.А., Лямин А.В., Чежин М.С. Операторный метод анализа и синтеза линейных систем управления. Учебно-методическое пособие. - СПб., СПбГИТМО(ТУ), 2001. - 52 с.

Учебно-методическое пособие содержит необходимые теоретические сведения, методические указания и варианты заданий для курсовых работ по теме "Операторные методы анализа и синтеза линейных систем управления". Оно предназначено для студентов вузов, изучающих дисциплину "Теория автоматического управления". Пособие может быть также использовано студентами, аспирантами и инженерами для самостоятельного изучения современных операторных методов расчета систем управления.

© А.А. Бобцов, А.В. Лямин, М.С. Чежин

2

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ

4

1. ЗАДАНИЕ

5

1.1. Требования к выполнению курсовой работы

5

1.2. Требования к оформлению и содержанию пояснительной записки

7

1.3. Варианты заданий

9

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ

10

РЕКОМЕНДАЦИИ 2.1. Анализ объекта управления

10

2.2. Решение задачи стабилизации

13

2.3. Синтез следящей системы управления

14

2.4. Построение электронной модели регулятора

23

2.5. Исследование замкнутой системы управления

24

3. ПРИМЕР РАСЧЕТА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

25

3.1. Постановка задачи управления

25

3.2. Анализ объекта управления

26

3.3. Решение задачи стабилизации

27

3.4. Расчет передаточной функции регулятора

29

3.5. Построение электронной модели регулятора

33

3.6. Исследование замкнутой системы управления

39

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Титульный лист

44

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Варианты структурных схем объекта управления

46

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Номиналы резисторов и конденсаторов

49

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Вопросы к защите

50

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

52

3

ВВЕДЕНИЕ В теории управления наибольшее распространение получили метод пространства состояний и операторный метод. В операторных методах анализа и синтеза система рассматривается как совокупность элементов различной природы, представляющих собой единое целое. Основное свойство любой системы – целостность. Система выделена из окружающей среды, среда воздействует на систему через входы системы и получает отклик (реакцию) системы с ее выходов. Таким образом, система с точки зрения математики является оператором, который осуществляет преобразование множества входных сигналов в множество выходных. Суть операторных методов заключается в том, чтобы любую задачу управления свести к требованиям на выбор оператора и далее рассчитать систему управления на основе указанных требований. Данное методическое пособие посвящено применению операторных методов для анализа и синтеза линейных систем управления. Оно включает задания на курсовую работу, теоретические сведения и методические рекомендации, пример расчета системы управления, а также ряд приложений. Для самоконтроля знаний в пособие включены типовые задачи по материалам Международных студенческих олимпиад по автоматическому управлению. Целью курсовой работы, изложенной в пособии, является освоение операторных методов анализа и синтеза линейных систем автоматического управления. В процессе выполнения работы предусматривается построение следящей системы, удовлетворяющей заданным требованиям и электронной модели регулятора, проведение экспериментальных исследований. Пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, изучающих дисциплину "Теория автоматического управления", а также может быть использовано студентами, аспирантами и инженерами для самостоятельного изучения современных операторных методов расчета систем управления.

4

1. ЗАДАНИЕ 1.1. Требования к выполнению курсовой работы Для заданного, структурной схемой, объекта управления требуется разработать регулятор, который формирует управляющее воздействие u (t ) , обеспечивающее воспроизведение (слежение) выходной переменной y (t ) задающего воздействия

y * (t ) с требуемой точностью. Другими словами, за счет выбора управляющего воздействия u (t ) требуется обеспечить выполнение ограничений, которые накладываются на функцию ε(t ) = y * (t ) − y (t ) , где ε(t ) - ошибка слежения. Формирование управляющего воздействия u (t ) можно осуществлять не только на основе априорной информации, заключающейся в математической модели объекта управления, но и на основе текущей информации, получаемой от измерительного устройства, выходами которого являются сигналы y (t ) и ~ y * (t ) = y * (t ) − f (t ) , где

f (t ) - заранее неизвестная функция времени, отражающая зависимость помехи (шума) измерительного устройства от времени. Следящая система управления должна удовлетворять следующим требованиям: 1) запас устойчивости по амплитуде не менее 6 дБ, а запас устойчивости по фазе не менее 300;

2) установившаяся ошибка ε ∞ (t ) отработки сигнала

y* = a 0 + a1t , | a1 |≤ a1

(1.1)

должна удовлетворять условию | ε ∞ (t ) |≤ ε 1 ,

(1.2)

где a1 , ε 1 - константы (предельная скорость изменения сигнала, предельный постоянный момент нагрузки, предельная допустимая ошибка отработки); 3) установившаяся ошибка ε ∞ (t ) отработки сигнала y* = a y cos(ω y t ), | a y |≤ a y , | ω y |≤ ω y

(1.3)

должна удовлетворять условию 5

| ε ∞ (t ) |≤ ε y ,

(1.4)

где a y , ωy , ε y - заданная предельная амплитуда воздействия, верхняя предельная частота воздействия, предельная допустимая ошибка отработки; 4) установившаяся ошибка ε ∞ (t ) , вызванная наличием помехи f = a f cos(ω f t ), | a f |≤ a f , | ω f |≥ ω f

(1.5)

должна удовлетворять условию | ε∞ (t ) |≤ ε f ,

(1.6)

где a f , ω f , ε f - заданная предельная амплитуда помехи, нижняя предельная частота помехи, предельная допустимая ошибка. В ходе работы предусматривается выполнение следующих этапов. Анализ объекта управления. На этом этапе осуществляется вывод передаточной

функции объекта управления, определение ее нулей и полюсов, анализ устойчивости и исследование структурных свойств объекта управления, построение логарифмической амплитудной частотной характеристики (ЛАХ) и логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФХ). Решение задачи стабилизации. Данный этап включает: построение передаточ-

ной функции регулятора по выходной переменной, который обеспечивает устойчивость замкнутой системы (объект управления охваченный внутренней обратной связью); расчет передаточной функции замкнутой системы; определение нулей и полюсов передаточной функции замкнутой системы; построение ЛАХ и ЛФХ замкнутой системы. Синтез следящей системы управления. На этом этапе требуется: построить

асимптотическую ЛАХ объекта управления охваченного внутренней обратной связью и желаемую асимптотическую ЛАХ разомкнутой следящей системы управления; определить передаточную функцию регулятора по ошибке слежения и построить асимптотическую ЛАХ соответствующую данной передаточной функции. После проверки условия строгой реализуемости передаточной функции регулятора, найти характеристический полином замкнутой следящей системы управления и его корни,

6

построить ЛАХ и ЛФХ разомкнутой следящей системы, рассчитать запас устойчивости по фазе и амплитуде. Построение электронной модели регулятора. По найденным на предыдущих

этапах передаточным функциям регуляторов по выходу и по ошибке слежения построить математическую модель «вход-состояние-выход» комбинированного регулятора и его электронную модель. Скорректировать значения коэффициентов передаточных функций регуляторов в соответствии с существующими номинальными значениями параметров электронных элементов (см приложение 3), использованных при построении электронной модели. Исследование замкнутой системы управления. Исследование замкнутой сис-

темы управления включает проведение следующих вычислительных экспериментов: 1) построение процесса y (t ) при y ∗ (t ) = 1(t ), f (t ) = 0 ; 2) построение процессов ε(t ), y ∗ (t ) при y ∗ (t ) = a1t , f (t ) = 0 ; 3) построение процессов ε(t ), y ∗ (t ) при y ∗ (t ) = a y cos( ω y t ), f (t ) = 0 ; 4) построение процессов ε(t ), f (t ) при y∗ (t ) = 0, f (t ) = a f cos( ω f t ) ; 5) построение процессов y (t ), y ∗ (t ), f (t ) при y∗ (t ) = a y cos( ωyt ), f (t ) = a f cos( ω f t ) . По результатом экспериментов требуется определить время переходного процесса, перерегулирование, а также максимальные по модулю значения установившейся ошибки в каждом эксперименте. 1.2. Требования к оформлению и содержанию пояснительной записки

Материалы курсовой работы оформляются в виде пояснительной записки и плакатов, необходимых для защиты работы. Пояснительная записка должна включать титульный лист (см. приложение 1) и содержать следующие разделы: 1) постановка задачи управления; 2) анализ объекта управления; 3) решение задачи стабилизации; 4) синтез следящей системы управления;

7

5) построение электронной модели регулятора; 6) исследование замкнутой системы управления. В конце каждого раздела необходимо прокомментировать полученные результаты, а в заключении сделать выводы по результатам всей работы. В текст записки включаются графические материалы: 1) структурная схема объекта управления; 2) ЛАХ и ЛФХ объекта управления; 3) структурная схема системы охваченной внутренней обратной связью; 4) ЛАХ и ЛФХ системы охваченной внутренней обратной связью; 5) асимптотическая ЛАХ системы охваченной внутренней обратной связью; 6) желаемая асимптотической ЛАХ разомкнутой следящей системы управления; 7) асимптотическая ЛАХ передаточной функции регулятора по ошибке слежения; 8) ЛАХ и ЛФХ разомкнутой следящей системы управления; 9) структурная схема следящей системы управления; 10) принципиальная электрическая схема регулятора; 11) результаты вычислительных экспериментов. Распечатки программ моделирования и другие вспомогательные материалы выносятся в приложение. Защита курсовой работы проводится в форме краткого доклада, в ходе которого указываются основные особенности задания, комментируются промежуточные результаты и делается заключении о степени соответствия заданию полученных показателей качества синтезированной системы. На защите используются плакаты, на которые выносятся: полная структурная схема системы управления, основные формулы и результаты расчетов, а также частотные и временные характеристики замкнутой системы. Плакаты выполняются на листах форматов А1-А4. Во время защиты выполненной курсовой работы оцениваются качество полученных результатов, их оформления и представления, а также теоретическим знания и практическим навыки, представившего на защиту данную работу, по теме "Операторные методы анализа и синтеза систем управления".

8

1.3. Варианты заданий

Каждый вариант задания на курсовую работу включает структурную схему электромеханического объекта управления и значения его параметров, а также требования к следящей системе управления. Вариант задания определяется буквенноцифровым выражением следующего формата: X-X-X. Объект управления выбирается по первому числу кода X-Х-Х в соответствии с вариантами, представленными в приложении 2. Параметры объекта выбираются по второму числу кода в соответствии табл. 1.1, а характеристики замкнутой системы выбираются по третьему числу кода в соответствии с табл. 1.2. Таблица 1.1. Варианты значений параметров объекта управления Параметры c1 c2

c3 c4

c5 c6 c7 c8

1 6.4 2.0 8.4 8.0 7.0 4.6 8.5 8.2

2 1.9 4.5 1.0 3.1 8.0 8.4 3.3 8.8

3 4.8 5.6 6.2 6.6 6.0 6.9 5.1 7.1

4 5.2 6.1 9.7 8.2 3.2 5.9 1.3 2.5

5 8.0 6.7 1.0 5.6 4.5 9.0 2.8 7.0

Вариант 6 7 4.8 5.4 9.8 1.0 9.2 4.5 5.6 2.0 6.5 7.0 7.7 6.2 1.5 2.2 0.5 9.0

8 7.0 9.0 7.5 3.8 3.3 5.0 5.6 7.2

9 7.8 4.8 8.0 4.7 2.0 5.8 6.7 6.8

10 9.5 7.5 7.0 8.7 9.0 5.0 6.3 7.9

11 4.5 5.2 1.7 1.3 2.2 1.1 1.4 4.6

12 7.9 2.8 2.2 9.1 1.0 5.9 5.4 6.5

Таблица 2.2. Варианты значений характеристик следящей системы управления Параметры a1 ε1 ay ωy εy

af ωf εf

1 45

2 50

3 10

4 4

0.5 10

0.25 10

0.5 10

0.5 5

0.1 0.2 103 5 103

0.2 103

0.3 500

Вариант 5 6 7 8 9 10 2.5 2.5 2.5 5 5 1 0.05 0.5 0.25 0.25 0.25 2.5 0.7 5 3 10 20 5 5 0.05 0.3 0.25 0.2 0.1 0.02 1 500 500 103 103 103 103 0.01

11 5

12 10

0.5 10

1 15

1 2 103

1 5 103

9

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ 2.1. Анализ объекта управления

По структурной схеме объекта управления находится уравнение, описывающее связь входа с выходом системы a( p) y (t ) = b( p)u (t ) ,

t ≥0,

(2.1)

где

u (t ) n

a ( p ) = an p + an −1 p

n −1

+ K + a0

и

y (t )

Рис. 2.1. Структурная схема объекта управления

b( p ) = bm p m + bm −1 p m −1 + K + b0 - полиномы от оператора дифференцирования p =

W ( p)

d степени n и m соответственdt

но, а a n , a n −1 , K , a 0 , bm , bm −1 , K , b0 - постоянные коэффициенты. Таким образом, соотношение (2.1) представляет собой сокращенную форму записи обыкновенного линейного дифференциального уравнения n–го порядка, которое также можно представить в виде (рис. 2.1) y (t ) = W ( p )u (t ) , ∆

где W ( p ) =

(2.2)

b( p ) - дробно – рациональная функция. Для определения уравнения свяa( p)

зи (2.1) входа с выходом системы по структурной схеме рекомендуется вначале обозначить на схеме вход и выход каждого блока через вспомогательные переменные, а затем выписать соотношения между входом и выходом каждого блока на схеме, уравнения связей между различными блоками и уравнения связывающие вспомогательные переменные с входной и выходной переменной объекта. Исключив в полученной системе уравнений вспомогательные переменные можно получить искомое уравнение (2.1) или эквивалентное ему уравнение (2.2). Передаточная функция W ( s ) объекта управления по определению есть отноше-

ния изображения Лапласа выходной переменной 10

Y ( s ) = L[ y (t )]

к изображению входной переменной U ( s ) = L[u (t )]

при нулевых начальных условиях y (0) = py (0) = K = p n −1 y (0) = u (0) = pu (0) = K = p m −1 y (0) .

Напомним, что преобразование Лапласа F ( s ) = L[ f (t )] =

∞

∫ f (t )e

− st

dt

0

ставит в соответствие каждой функции f (t ) (оригиналу), для которой несобственный интеграл сходится, единственную функцию F (s ) (изображение) комплексной переменной s . Использование преобразования Лапласа для изучения дифференциальных уравнений основывается на утверждении: L[ p k f (t )] = s k F ( s ) , если равны нулю значения f (t ) и ее производных вплоть до ( k − 1 )–ой при t = 0 . Применяя преобразование Лапласа к правой и левой частям уравнения (2.1) при нулевых начальных условиях, получим a( s )Y ( s ) = b( s )U ( s ) , и, следовательно, передаточная функция W (s) =

b( s ) . a(s)

(2.3)

Передаточная функция у которой полиномы a (s ) и b(s ) не являются взаимно простыми называется вырожденной передаточной функцией. При выводе передаточной функции W (s ) системы необходимо следить за тем, чтобы не произошло сокращения ее числителя и знаменателя. При выполнении последнего условия, знаменатель a (s ) передаточной функции называется характеристическим полиномом системы. Устойчивость объекта управления определяется корнями характеристического уравнения a ( s ) = 0 . Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно отрицательность вещественных частей всех корней. Любой полином, все кор-

11

ни которого имеют строго отрицательную вещественную часть, называется устойчивым полиномом. Корни знаменателя передаточной функции называются полюсами, а корни числителя - нулями. Передаточная функция, у которой вещественные части всех нулей отрицательны называется минимально-фазовой. Для существования решения задачи управления достаточно, чтобы передаточная функция была минимально-фазовой. Если W (s ) не является минимально-фазовой передаточной функцией, то решение задачи управления может существовать только при условии, что наибольшее общее кратное полиномов a (s ) и b(s ) - устойчивый полином. Если W (s ) является минимально-фазовой передаточной функцией, то решение задачи будем искать в два этапа. Для этого представим сигнал управления в виде u = W0 ( p )(u1 + u 2 ) , где W0 ( p ) =

(2.4)

b0 ( p ) - дробно – рациональная функция. На первом этапе определим a 0 ( p)

алгоритм формирования переменной u1 для того, чтобы решить задачу стабилизации, т.е. обеспечить выполнение предельного соотношения lim y (t ) = 0 при любых t →∞

начальных условиях. На втором этапе, выбором сигнала управления обеспечим решение задачи слежения, т.е. выполнение неравенства | y∞ (t ) − y ∗ (t ) |≤ γ , где y∞ (t ) функция времени такая, что lim[ y∞ (t ) − y (t )] = 0 ,

t →∞

y ∗ (t ) - заранее неизвестная переменная величина (задающее воздействие), а γ > 0 некоторое заданное постоянное число. Отметим, что определенная подобным образом функция y∞ (t ) называется установившейся реакцией системы. В заключении первого этапа курсовой работы строятся ЛАХ и ЛФХ передаточной функции W (s ) объекта управления. Напомним, что логарифмической амплитудночастотной характеристикой, соответствующей передаточной функции W (s ) , называется график функции L(ω) = 20 lg | W ( jω) | 12

от логарифма lg ω , где ω - действительная переменная, которая называется частотой. Функция W ( jω) , которую получают из передаточной функции W (s ) при подстановке в нее s = jω , называется частотной передаточной функцией. Принято измерять значение ЛАХ в децибелах (дБ), а значение наклона ЛАХ – в децибелах на декаду. Декадой называют интервал на котором частота ω меняется в 10 раз. Лога-

рифмической фазочастотной характеристикой называется график функции ϕ(ω) = argW ( jω)

от логарифма lg ω .

2.2. Решение задачи стабилизации

Для решения задачи стабилизации выберем алгоритм формирования сигнала u1 в виде u1 = −W1 ( p ) y ,

где W1 ( p ) =

(2.5)

b1 ( p ) . Подставляя (2.4), (2.5) в уравнение (2.2) и разрешая его относиa1 ( p )

тельно выходной переменной найдем уравнение замкнутой системы y = Wy ( p )u2 ,

(2.6)

где Wy ( p) =

W ( p )W0 ( p ) b( p )b0 ( p )a1 ( p ) = . 1 + W ( p )W0 ( p )W1 ( p ) a( p )a0 ( p )a1 ( p ) + b( p )b0 ( p )b1 ( p )

(2.7)

Для объектов управления с минимально-фазовыми передаточными функциями, полиномы a0 ( p ), a1 ( p ), b0 ( p ), b1 ( p ) выбирают из условия b( p )b0 ( p )a1 ( p ) 1 , = a ( p )a0 ( p )a1 ( p ) + b( p )b0 ( p )b1 ( p ) a y ( p)

(2.8)

где a y ( p) - произвольный устойчивый полином степени n − m . Например, полином a y ( p) можно выбрать следующим образом a y ( p ) = ( p + 1) n − m ,

(2.9) 13

а многочлены a0 ( p ), a1 ( p ), b0 ( p ), b1 ( p ) a0 ( p ) = a0, n −1 p n −1 + a0, n − 2 p n − 2 + K + a0,0 , a1 ( p ) = a1, n −1 p n −1 + a1, n − 2 p n − 2 + K + a1,0 , b0 ( p ) = b0, n −1 p n −1 + b0, n − 2 p n − 2 + K + b0,0 , b1 ( p ) = b1, n −1 p n −1 + b1, n − 2 p n − 2 + K + b1,0 ,

где 4(n − 1) неизвестных коэффициентов этих полиномов находятся из тождеств a1 ( p ) = b0 ( p ) = ( p + 1) n −1 ,

(2.10)

a ( p )a0 ( p ) + b( p )b1 ( p ) = b( p )( p + 1) 2 n − m −1 .

Таким образом, принимая во внимание (2.7), (2.9)-(2.11), передаточная функция объекта управления охваченного

u2

⊗

W0 ( p )

W ( p)

y

u1

отрицательной обратной связью по выходу будет иметь вид 1 Wy ( s ) = , ( s + 1) n − m

(2.11)

W1 ( p )

Рис. 2.2. Структурная схема системы управления

(2.12)

Структурная схема системы управления представлена на рис.2.2. В заключении данного этапа строятся ЛАХ и ЛФХ передаточной функции Wy ( s ) .

2.3. Синтез следящей системы управления

С учетом того, что измерения проводятся с помехами, управляющее воздействие объектом (2.6) строится в форме: u 2 = W2 ( p )~ε ,

где W2 ( p ) =

b2 ( p ) и ~ε = y * (t ) − y − f (t ) = ε − f (t ) . Структурная схема системы a2 ( p )

(2.2), (2.4), (2.5), (2.13) приведена на рис.2.3.

14

(2.13)

Задача этого этапа со-

u2

стоит в выборе такой переда-

⊗

u

W0 ( p )

ε

W1 ( p )

W 2 ( s ) , которая обеспечит бли-

ошибки

управления W2 ( p )

ε(t ) = y ∗ (t ) − y (t ) к нулю и

требуемые

y *

⊗

u1

точной функции регулятора зость

W ( p)

y

~ε

⊗

f

Рис. 2.3. Структурная схема следящей системы управления

характеристики

замкнутой системы управле-

ния. Для решения этой задачи воспользуемся методом динамической компенсации. Используя уравнения (2.2), (2.4), (2.5) и (2.13) найдем выражение для ошибки управления ε(t ) = [1 − Wз ( p )] y ∗ (t ) + Wз ( p ) f (t ) ,

(2.14)

где Wз ( p ) =

W p ( p) 1 + W p ( p)

, W p ( p ) = Wy ( p )W2 ( p ) .

(2.15)

Функция Wз (s ) называется передаточной функцией замкнутой системы, а функция W p (s ) - передаточной функцией разомкнутой системы. Выбор передаточной функции регулятора определяет вид передаточной функции замкнутой системы. Простейший подход к выбору обратной связи заключается в том, чтобы предъявить требования к самой Wз (s ) , к примеру, потребовать выполнение условия Wз ( s )

где

Wз∗ ( s )

= Wз∗ ( s )

=

W p∗ ( s ) 1 + W p∗ ( s )

,

(2.16)

b∗p ( s ) bз∗ ( s ) ∗ = ∗ и Wp (s) = ∗ - соответственно, желаемые передаточные функa p (s) aз ( s)

ции замкнутой и разомкнутой системы, которые формируются на основе требований к системе управления. Преобразуем требования, предъявленные в курсовой работе, к замкнутой системе в условия на передаточную функцию замкнутой системы.

15

Требование к устойчивости замкнутой системы (a) означает, что все корни характеристического полинома ∆( s ) = [a ( s )a 0 ( s )a1 ( s ) + b( s )b0 ( s )b1 ( s )]a 2 ( s ) + a1 ( s )b( s )b0 ( s )b2 ( s )

(2.17)

замкнутой системы (2.2), (2.4), (2.5), (2.13) должны иметь строго отрицательную вещественную часть. Установившаяся ошибка, вызванная воздействием (1.1), равна ε∞ (t ) = [1 − Wз (0)](a0 + a1t ) +

d [1 − Wз ( s )] ⋅ a1 . ds s =0

(2.18)

Ошибка может быть ограниченной при a1 ≠ 0 , только если выполнено условие астатизма W з ( 0) = 1

(2.19)

W p−1 (0) = 0 ,

(2.20)

или

но это возможно, только при условии, что передаточная функция разомкнутой системы имеет нулевой полюс. Если он простой, то справедливо представление

W p ( s) =

kp ~ ~ W p ( s ) , W p ( 0) = 1 , s

(2.21)

где k p - коэффициент усиления разомкнутого контура. Тогда используя выражения (2.15) и (2.21), найдем d [1 − Wз ( s )] = k p−1 ds s =0

(2.22)

ε∞ (t ) = k p−1a1 .

(2.23)

и, следовательно,

Таким образом, для выполнения требования (1.2) необходимо, чтобы коэффициент удовлетворял условию kp ≥

a1 = δ1−1 . ε1

(2.24)

Установившаяся ошибка, вызванная воздействием (1.3), является гармонической функцией с амплитудой 16

ε y = 1 − W з ( jω) a y ,

(2.25)

где ω - частота воздействия. Таким образом, для удовлетворения требования (1.4) необходимо, чтобы

1 − W з ( jω) ≤

εy ay

= δ y , ω ≤ ωy .

(2.26)

Установившаяся ошибка вызванная воздействием (1.5), является гармонической функцией с амплитудой ε f = W з ( jω) a f .

(2.27)

Таким образом, для удовлетворения требования (1.7) необходимо, чтобы W з ( jω) ≤

εf af

= δ f , ω ≥ ωf .

(2.28)

Если передаточная функция объекта управления является минимально-фазовой и устойчивой, то для построения желаемой передаточной функции замкнутой системы, удовлетворяющей выше перечисленным условиям часто прибегают к методу основанному на соответствии между логарифмическими частотными характеристиками разомкнутой системы и ее статическими и динамическими свойствами в замкнутом состоянии. Явные зависимости L(ω) , ϕ(ω) достаточно сложны. Поэтому часто ограничиваются построением асимптотических логарифмических частотных характеристик. Для примера рассмотрим произвольную минимально-фазовую передаточную функцию с вещественными нулями и полюсами

W ( s ) = ks

−ν

∏ (Ti′s + 1) i

∏ (Ti′s′ + 1)

,

(2.29)

i

где k - положительный коэффициент усиления, Ti′ , Ti′′ - положительные постоянные времени,. ν - натуральное число (порядок астатизма). Тогда соответствующие ЛАХ и ЛФХ даются формулами ′ ) 2 + 1] , L(ω) = 20 lg k − 20ν lg ω + ∑ 20 lg[(Ti′ω) 2 + 1] − ∑ 20 lg[(Ti′ω i

(2.30)

i

17

π ′ ). ϕ(ω) = ν + ∑ arctg(Ti′ω) − ∑ arctg(Ti′ω 2 i i

(2.31)

Асимптотическая ЛАХ есть кусочно-линейная функция, получаемая заменой в (29) членов 20 lg[(Tω) 2 + 1] на 1  0 , ω ≤ ,  T  20 lg Tω, ω ≥ 1 ,  T где частота ω =

1 называется сопрягающей. T

Асимптотическая ЛФХ есть кусочно-постоянная функция, получаемая заменой в (30) членов arctg(Tω) на 1  0 , ω ≤ ,  T  π , ω ≥ 1 .  2 T Нетрудно заметить, что для систем с передаточной функцией вида (2.29) по асимптотической ЛАХ можно восстановить асимптотическую ЛФХ и саму передаточную функцию. Данное свойство характерно для любой передаточной функции, не имеющей нулей и полюсов в правой полуплоскости. Преобразуем требования к замкнутой системе в ограничения на свойства логарифмической амплитудной характеристики разомкнутой системы. Условие (2.21) на отработку линейно растущего задающего воздействия сводятся к ограничению на поведение W p ( jω) при низких частотах, близких ω = 0 : W p ( jω) ≈

kp jω

(2.32)

и, следовательно, L p (ω) = 20 lg W p ( jω) = 20 lg k p − 20 lg ω .

(2.33)

Иначе говоря, низкочастотная асимптота L p (ω) должна иметь наклон -20 дБ/дек, причем в силу (2.24) ее уровень определяется условием 18

20 lg k p ≥ −20 lg δ1 .

(2.34)

Условия (2.26), (2.28) при достаточно малых δ y , δ f можно заменить на W p ( jω) ≥ δ −y1 , ω ≤ ωy ,

(2.35)

W p ( jω) ≤ δ f , ω ≥ ω f

(2.36)

и, следовательно, L p (ω) = 20 lg W p ( jω) ≥ −20 lg δ y , ω ≤ ωy ,

(2.37)

L p (ω) = 20 lg W p ( jω) ≤ 20 lg δ f , ω ≥ ω f .

(2.38)

Условие (2.37) задает ограничение на поведение логарифмической амплитудной частотной характеристики в области низких частот, а условие (2.38) - в высокочастотной области. Поведение ЛАХ в области средних частот определяет запасы устойчивости по фазе и амплитуде и в значительной мере качество системы в переходном режиме (время переходного процесса и перерегулирование). Для обеспечения приемлемых запасов устойчивости наклон ЛАХ на частоте ω c такой, что L p (ω c ) = 0 обычно выбирается равным -20 дБ/дек, причем длительность этого участка должна быть не менее декады, что соответствует изменению частоты в 10 раз. Частота ω c называется частотой среза. Значение частоты среза надо выбирать наиболее большим из всех возможных для того, чтобы увеличить быстродействие замкнутой системы. Итак, все требования, которые были сформулированы в задании курсовой роботы, сведены к ограничениям на допустимое поведение ЛАХ разомкнутой системы (см. рис. 2.4, где заштрихованы границы зон, в которые не может заходить ЛАХ). Остается подобрать передаточную функцию разомкнутого контура W p∗ (s ) , для которой эти ограничения выполнены. Если W p∗ (s ) минимально-фазовая передаточная функция, то вначале строят асимптотическую ЛАХ, удовлетворяющую всем ограничением, а затем по ней находят саму W p∗ (s ) . Приведем в готовом виде сводку допустимых передаточных функций разомкнутой системы: 19

L p (ω) 20 lg k p

-20 дБ/дек

− 20 lg δ y − lg δ1

-20 дБ/дек 20 lg δ f

lg ω f

lg ωc

lg ω y

lg ω

Рис. 2.4. Ограничения на допустимое поведение ЛАХ 1) Пусть δy 1 . ≤ δ1 ≤ δ f ωf ωy

(2.39)

Тогда передаточная функция W p∗ ( s) =

kp s

, k p = δ f ωf

(2.40)

удовлетворяет всем ограничениям. При тех же условиях допустима, но требует меньшего усиления на частотах ω ≥ ω y и обеспечивает лучшее подавление помех передаточная функция вида W p∗ ( s ) =

k p (T2 s + 1) s (T1s + 1)(T3 s + 1)

,

(2.41)

где k p = δ1−1 , T1 =

δy δ 1 ω y2

, T2 =

µδ y ωy

, T3 ≈ 0.1T2 ,

(2.42)

а параметр µ , характеризующий расположение частоты среза ω c = µ / T2 , может выбираться в пределах 2÷4. 2) Пусть δ1 ≤

20

δy ωy

, δ1 <

1 . δ f ωf

(2.43)

Тогда допустима передаточная функция (2.41), если исходные требования удовлетворяют дополнительному условию

δf ≥

10 ω y2 δ y ω 2f

.

(2.44)

В противном случае, но при условии ωf > µ

1 1 , δf > 3 T3 µ

(2.45)

можно использовать функцию вида

W p∗ ( s ) =

k p (T2 s + 1) s (T1s + 1)(T3 s + 1)(T4 s + 1)

,

(2.46)

с теме же параметрами, но при

T4 =

1 T3 . µ

(2.47)

Все записанные выше формулы вытекают из вида асимптотических ЛАХ, представленных на рис.2.5. Когда найдена желаемая передаточная функция разомкнутой системы W p∗ ( s ) , то для того, чтобы обеспечить выполнение тождества (2.16) необходимо положить

W2 ( s ) = W y−1 ( s )W p∗ ( s ) .

(2.48)

На этом этапе проверяется условие строгой реализуемости передаточной функции регулятора. Последнее означает, что степень числителя не должна превышать степени знаменателя. Если степень числителя передаточной функции W 2 ( s) выше степени знаменателя, то можно воспользоваться законом

Wε ( s ) = W −1 ( s)W p∗ ( s )

1 1 , >> ωc . ∏ (Ti s + 1) Ti

(2.49)

i

После определения передаточной функции регулятора следует найти характеристический полином замкнутой системы (2.18) и по его корням оценить устойчивость системы.

Рассчитать

передаточную

функцию

разомкнутой

системы

W p ( s ) = W y ( s )W2 ( s ) и определить запас устойчивости по амплитуде и фазе. Запасом 21

L p (ω)

-20 дБ/дек

− 20 lg δ y

20 lg δ f

− lg δ1

lg ω y

lg ω f

lg ω

а) ЛАХ передаточной функции (2.40)

L p (ω) -20 дБ/дек

− 20 lg δ y

20 lg δ f

ωc

1/T3 lg ω f

1/T1 lg ω y 1/T2

lg ω

b) ЛАХ передаточной функции (2.41)

L p (ω) -20 дБ/дек

− 20 lg δ y ωc

1/T1 lg ω y 1/T2

1/T3 1/T4 lg ω f

lg ω

20 lg δ f

c) ЛАХ передаточной функции (2.46)

Рис. 2.5. ЛАХ допустимых передаточных функций

22

устойчивости по амплитуде называется величина ∆L = − L p ( ω) , где ω таково, что

ϕ p ( ω) = −π . Величина ∆ϕ = π + ϕ p (ωc ) называется запасом устойчивости по фазе. Для удовлетворительной работы системы необходимо выполнение условий

∆L ≥ 6 дБ , ∆ϕ ≥ 30 0 .

(2.50)

Если последние требования не выполнены, то следует видоизменить желаемую ЛАХ разомкнутой системы и заново определить передаточную функцию W 2 ( p) . В заключении раздела строится ЛАХ и ЛФХ передаточной функции разомкнутой системы W p (s ) .

2.4. Построение электронной модели регулятора

Построение электронной модели регулятора включает три этапа. На первом этапе осуществляется преобразование модели вход – выход регулятора u = W ( p )(−W ( p ) y + W ( p )~ε ) 0

1

2

к модели вход-состояние-выход x& = Ax + B1 y + B2~ε , u = Cx + D1 y + D2 ~ε ,

(2.51)

где матрицы A, B1 , B 2 , C , D1 , D 2 такие, что

− W0 ( p)W1 ( p) = C ( Ip − A)−1 B1 + D1 , W0 ( p)W2 ( p) = C ( Ip − A)−1 B2 + D2 , а также построение по уравнениям (2.51) структурной схемы на элементарных звеньях: сумматор, интегратор, усилитель. На следующем этапе в построенной структурной схеме сумматоры, интеграторы и усилители заменяются на блоки состоящие из операционного усилителя, резисторов и конденсато-

z1

R1

z2

R2

C R

zk

Rk z

ров, электрическая схема которого представлена на рис. 6. Данный блок осуществляет преобразование сигналов z1 , z 2 , K , z k в сиг-

Рис. 2.6. Электронный блок 23

нал z по формуле k 1 1  + Cp z = −   ∑ R zi . R   i =1 i

(2.52)

На последнем этапе, составляются уравнения электронной модели регулятора и находятся значения сопротивлений резисторов и емкости конденсаторов включенных в схему. После построения электронной модели необходимо скорректировать значения коэффициентов передаточных функций регуляторов в соответствии с существующими номинальными значениями параметров электронных элементов, использованных при построении электронной модели. 2.5. Исследование замкнутой системы управления

Исследование замкнутой системы управления производится по структурной схеме на рис. 2.3 и включает проведение следующих вычислительных экспериментов: 1) построение процесса y(t ) при y ∗ (t ) = 1(t ), f (t ) = 0 ; 2) построение процессов ε(t ), y ∗ (t ) при y ∗ (t ) = a1 t , f (t ) = 0 ; 3) построение процессов ε(t ), y ∗ (t ) при y ∗ (t ) = a y cos(ω y t ), f (t ) = 0 ; 4) построение процессов ε(t ), f (t ) при y ∗ (t ) = 0, f (t ) = a f cos(ω f t ) ; 5) построение процессов y (t ), y ∗ (t ), f (t ) при y ∗ (t ) = a y cos(ω y t ), f (t ) = a f cos(ω f t ) . По результатом экспериментов требуется определить время переходного процесса, перерегулирование, а также максимальные по модулю значения установившейся ошибки в каждом эксперименте.

24

3. ПРИМЕР РАСЧЕТА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 3.1. Постановка задачи управления

Рассмотрим процедуру синтеза регулятора для объекта управления, структурная схема которого представлена на рис. 3.1. Будем считать, что следящая система должна удовлетворять следующим требованиям: 1) запас устойчивости по амплитуде не менее 6 дБ, а запас устойчивости по фазе не менее 300; 2) установившаяся ошибка ε ∞ (t ) отработки сигнала y* = a0 + a1t , | a1 |≤ a1 = 0.5

(3.1)

должна удовлетворять условию ε ∞ (t ) ≤ ε1 = 0.05 ;

(3.2)

3) установившаяся ошибка ε ∞ (t ) отработки сигнала y* = a y cos(ω y t ), | a y |≤ a y = 0.25, | ω y |≤ ω y = 1

(3.3)

должна удовлетворять условию | ε ∞ (t ) |≤ ε y = 0.05 ;

(3.4)

Рис. 3.1. Структурная схема объекта управления

25

4) установившаяся ошибка ε∞ (t ) , вызванная наличием помехи f = a f cos(ω f t ), | a f |≤ a f = 0.1, | ω f |≥ ω f = 500

(3.5)

должна удовлетворять условию | ε∞ (t ) |≤ ε f = 0.01 .

(3.6)

3.2. Анализ объекта управления

По структурной схеме определим передаточную функцию. Введем дополнительные переменные как показано на рис. 3.2 и представим переменную y (t ) относительно входа u (t ) : y = x1 + x 2 =

1 1+ p p +1 1 x2 + x2 = x2 = (u + y ) . p p p p+2

(3.7)

Рис. 3.2. Структурная схема объекта управления Откуда следует ( p 2 + 2 p − p − 1) y = ( p + 1)u

(3.8)

и передаточная функция имеет вид W (s) =

s +1 . s2 + s − 1

(3.9)

Характеристический полином системы s 2 + s − 1 = 0 имеет корни с положительной вещественной частью и, следовательно, объект управления неустойчив. Корень чис26

лителя является нулем передаточной функции и равен -1. Таким образом, данная передаточная функция является минимально-фазовой и решение задачи управления существует. Логарифмическая амплитудная частотная характеристики (ЛАХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристики (ЛФХ) представлены на рис. 3.3. 3.3. Решение задачи стабилизации

Представим сигнал управления в виде u = W0 ( p)(u1 + u2 ) , где W0 ( p ) =

(3.10)

b0 ( p ) - дробно – рациональная функция. a0 ( p )

Рис. 3.3. ЛАХ и ЛФХ объекта управления Определим алгоритм формирования переменной u1 для того, чтобы решить задачу стабилизации. Для этого выберем алгоритм формирования сигнала u1 в виде u1 = −W1 ( p ) y ,

(3.11) 27

где W1 ( p ) =

b1 ( p ) . Подставляя (3.9), (3.11) в уравнение (2.2) и разрешая его относиa1 ( p )

тельно выходной переменной, найдем уравнение замкнутой системы y = Wy ( p )u2 , где Wy ( p ) =

W ( p )W0 ( p ) ( p + 1)b0 ( p )a1 ( p ) = 2 . 1 + W ( p )W0 ( p )W1 ( p ) ( p + p − 1)a0 ( p )a1 ( p ) + b( p )b0 ( p )b1 ( p )

(3.12)

Рассчитаем полиномы a0 ( p ), a1 ( p ), b0 ( p ), b1 ( p ) из условия b( p )b0 ( p )a1 ( p ) 1 , = a ( p )a0 ( p )a1 ( p ) + b( p )b0 ( p )b1 ( p ) a y ( p )

(3.13)

где a y ( p ) - произвольный устойчивый полином степени n − m = 2 − 1 = 1 . Пусть полином a y ( p ) = p + 1, тогда a1 ( p ) = b0 ( p ) = ( p + 1) n−1 = p + 1

(3.14)

и, используя следующее тождество a ( p )a0 ( p ) + b( p )b1 ( p ) = b( p)( p + 1) 2 n−m−1 ,

(3.15)

найдем коэффициенты многочленов a0 ( p ), b1 ( p ) . Тогда, подставляя соответствующие числовые значения в уравнение (3.15), получаем ( p 2 + p − 1)(a0,1 p + a0,0 ) + ( p + 1)(b1,1 p + b1,0 ) = ( p + 1) 2 ( p + 1) .

(3.16)

Откуда следует a 0,1 p 3 + (a 0,0 + a 0,1 + b1,1 ) p 2 + (a 0,0 − a 0,1 + b1,0 + b1,1 ) p + (b1,0 − a 0,0 ) = = p3 + 3 p 2 + 3 p + 1 . Приравнивая члены при соответствующих степенях, получаем a0,1 = 1 , a0,0 + a0,1 + b1,1 = 3 , a0,0 − a0,1 + b1,0 + b1,1 = 3 , b1,0 − a0,0 = 1 , 28

(3.17)

откуда следует a0,0 + b1,1 = 2 , b1,0 + b1,1 + a0,0 = 4 , b1,0 = 1 + a0,0 . Производя простые преобразования, находим коэффициенты полиномов a0 ( p ) и b1 ( p ) . В нашем случае получилось: a0,1 = a0,0 = 1 и b1,1 = 1, b1,0 = 2 . Таким образом передаточные функции регуляторов имеют вид: W0 =

s +1 s+2 и W1 ( s ) = , s +1 s +1

а передаточная функция замкнутой системы: W y ( s) =

1 . s +1

ЛАХ и ЛФХ замкнутой системы представлены на рис. 3.4. Структурная схема системы управления приведена на рис. 3.5. Результаты компьютерного моделирования представлены на рис. 3.6 иллюстрируют асимптотическую устойчивость системы. При постановке эксперимента были выбраны ненулевые начальные условия на интеграторе с выходом x1 . 3.4. Расчет передаточной функции регулятора

Управляющее воздействие объектом (3.13) строится в форме: u = W ( p )~ε , 2

где W2 ( p ) =

(3.18)

b2 ( p ) . a2 ( p )

Для расчета передаточной функции регулятора воспользуемся методом, предполагающим построение желаемой передаточной функции замкнутой системы, удовлетворяющей выше перечисленным требованиям и синтез регулятора на соответствии между логарифмическими частотными характеристиками.

29

Рис. 3.4. ЛАХ и ЛФХ замкнутой системы

Рис. 3.5. Структурная схема системы управления

30

Рис. 3.6. Переходные процессы замкнутой системе управления Исходя из требований точности, предъявляемых к системе управления, строим запретные области. Для выполнения требования (3.2) необходимо, чтобы коэффициент k p удовлетворял условию kp ≥

a1 0.5 = = 10 . ε1 0.05

(3.19)

Примем коэффициент k p = 15 , тогда условие (3.2) будет выполнено. Для выполнения требования (3.4) необходимо, чтобы δy ≤

εy ay

=

0.05 = 0.2 , ω ≤ ωy = 1 . 0.25

(3.20)

Для выполнения требования (3.6) необходимо, чтобы Wз ( jω) ≤

εf af

=

0.01 = 0.1 , ω ≥ ω f = 500 . 0.1

(3.21)

Строим желаемую асимптотическую ЛАХ разомкнутой следящей системы (см. рис. 3.7) и асимптотическую ЛАХ разомкнутой системы (см. рис. 3.8): y = Wy ( p )u2 .

(3.22)

31

Очевидно, что система (3.22) не удовлетворяет приведенным техническим требованиям и, следовательно, должна быть модернизирована с помощью регулятора W2 ( p ) . Передаточную функцию регулятора находим следующим образом:

Откуда W2 ( s ) =

следует,

что

W2 ( s ) =

15 s + 1 b2 ( s ) = W p∗W y−1 = . a2 ( s ) s 1

W2 ( s ) =

15s + 15 . s

Асимптотическая

(3.23) ЛАХ

регулятора

15s + 15 приведена на рис. 3.9. Структурная схема системы управления s

представлена на рис. 3.10. ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы приведены на рис. 3.11. По графикам находим запас устойчивости по амплитуде и фазе, которые соответственно составляют: ∆L ≥ 6 дБ; ∆ϕ = 90 0 ≥ 30 0 .

Рис. 3.7. Желаемая асимптотическая ЛАХ

32

Рис. 3.8. Асимптотическая ЛАХ системы (3.22)

Рис. 3.9. Асимптотическая ЛАХ регулятора W2 ( s ) =

15s + 15 s

3.5. Построение электронной модели регулятора

В данной части рассмотрим построение электронной модели регулятора для разработанного регулятора. Сначала, осуществим преобразование модели вход – выход регулятора u = W0 ( p)(−W1 ( p ) y + W2 ( p )~ε ) 33

к модели вход-состояние-выход x& = Ax + B1 y + B2 ~ε , u = Cx + D1 y + D2 ~ε , где матрицы A, B1, B2 , C , D1, D2 такие, что

− W0 ( p)W1 ( p) = C ( Ip − A) −1 B1 + D1 , W0 ( p)W2 ( p) = C ( Ip − A) −1 B2 + D2 .

Рис. 3.10.Структурная схема системы управления

Рис. 3.11. ЛАХ и ЛФХ разомкнутой следящей системы 34

(3.24)

Поскольку передаточная функция W0 ( s ) =

s +1 является составляющей регулятоs +1

ра, а не объекта управления, то она может быть сокращена, и для расчета управления целесообразно использовать следующий закон управления: u = −W ( p ) y + W ( p )~ε , 1

где W0 ( p ) =

2

(3.25)

p +1 = 1. p +1

Теперь найдем неизвестные коэффициенты матриц уравнения (3.24). Для этого представим передаточные функции W1 ( s ) и W2 ( s ) через элементарные звенья такие как: сумматор, интегратор и усилитель. Структурная схема уравнения (3.25) через элементарные звенья показано на рис. 3.12.

Рис. 3.12. Структурная схема регулятора Обозначив выход каждого из интеграторов, соответственно, как x1 и x2 получаем модель вход-состояние-выход  x&1  − 1 0  x1  1 0  ~  x&  =  0 0  x  + 0 y + 1 ε ,  2       2  u = − y − x + 15x + ~ε . 1

2

Откуда следует, что матрица неопределенных коэффициентов  − 1 0 1 0  ; = ; = A= B B 1 2  0  1 ; C = [− 1 15] ; D1 = −1 ; D2 = 1 .  0 0     35

Теперь, по структурной схеме построим электронную реализацию регулятора. Звено регулятора с передаточной функцией W ( s ) = коэффициент k p =

15 представлено на рис. 3.13, где s

1 . CR

Рис. 3.13. Электронная схема, реализующая передаточную функцию W ( s ) =

kp s

Используя модель пространства состояний, построим электронную схему для регулятора W1 ( s ) = −

R s+2 R (см. рис. 3.14), где u2 = kΣ1u1 + kΣ 2u , k Σ1 = − oc и kΣ 2 = − oc . R2 R1 s +1

Значения приведенных выше коэффициентов должны быть: k Σ1 = k Σ 2 = −1. Откуда следует, что значения электронных элементов выбираются из соотношений: R0 Roc Roc = = = CR = 1 . R1 R1 R2 На базе электронных схем представленных на рис. 3.13 и рис. 3.14, построим электронную схему всего регулятора (см. рис. 3.15).

Выбираем значения емкостей

и сопротивлений таким образом, чтобы были выполнены следующие соотношения: kp =

1 = 15 ; C1R1

R0 Roc Roc = = = C2 R 2 = 1; R3 R3 R4

36

R6 = 15 . R5 Из приложения 3 выбираем следующие значения емкостей и сопротивлений: C1 = 0.22 мкФ, C 2 = 1 мкФ, R0 = R3 = R4 = Roc = 1 МОм, R1 = 320 кОм, R5 = 11 кОм, R6 = 160 кОм. Тогда передаточная функция регулятора W2 ( s ) =

14.5s + 14.2 , а приs

веденные на рис. 3.16 ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы показывают, что следящая система удовлетворяет всем техническим требованиям.

Рис. 3.14. Электронная схема звена W1 ( p) = −

p+2 p +1

37

Рис. 3.15. Электронная схема регулятора

38

Рис. 3.16. ЛАХ и ЛФХ разомкнутой следящей системы 3.6. Исследование замкнутой системы управления

В предлагаемом разделе проведем моделирование замкнутой системы управления. Вычислительные эксперименты представлены на следующих рисунках.

Рис. 3.17. Построение процесса y (t ) при y ∗ (t ) = 1(t ), f (t ) = 0 39

Рис. 3.18. Построение процессов ошибки ε(t ) и задающего сигнала y ∗ (t ) при y ∗ (t ) = a1t , f (t ) = 0

Рис. 3.19. Построение процессов ошибки ε(t ) и задающего сигнала y ∗ (t ) при y ∗ (t ) = a y cos( ωy t ), f (t ) = 0 40

Рис. 3.20. Построение процессов ошибки ε(t ) при y ∗ (t ) = 0, f (t ) = a f cos( ω f t )

Рис. 3.21. Построение процессов возмущения f (t ) при y ∗ (t ) = 0, f (t ) = a f cos( ω f t )

41

Рис. 3.22. Построение процессов выхода y (t ) и задающего сигнала y ∗ (t ) при y ∗ (t ) = a y cos( ωyt ), f (t ) = a f cos( ω f t ) .

По результатом экспериментов определяем время переходного процесса и перерегулирование, а также максимальные по модулю значения установившейся ошибки в каждом эксперименте. По графику представленному на рис. 3.17 находим время переходного процесса tп = 0.8 с. и перерегулирование σ = 0% . По графикам представленным, соответственно, на рис. 3.18, 3.19 и 3.20 находим, что: • установившаяся ошибка отработки сигнала y* = a0 + a1t , | a1 |≤ a1 = 0.5 ε ∞ (t ) ≤ 0.036 ; • установившаяся

ошибка

отработки

сигнала

y* = a y cos(ω yt ), | a y |≤ a y = 0.25, | ω y |≤ ωy = 1 ε∞ (t ) ≤ 0.04 ; • установившаяся

ошибка,

вызванная

f = a f cos(ω f t ), | a f |≤ a f = 0.1, | ω f |≥ ω f = 500

42

наличием

помехи

ε∞ (t ) ≤ 0.004 . Таким образом, требования представленные на разработку системы управления удовлетворяют всем заданным выше техническим условиям, что иллюстрируется результатами компьютерного моделирования и теоретическим расчетом.

43

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Титульный лист Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет) Кафедра автоматики и телемеханики Задание на курсовую работу ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Студенту

Группы

Руководитель Вариант задания Структурная схема объекта управления:

Параметры объекта управления:

c1 = ___; c 2 = ___; c 3 = ___; c 4 = ___; c 5 = ___; c 6 = ___; c 7 = ___; c8 = ___ Требования к замкнутой системе:

1) запас устойчивости по амплитуде не менее 6 дБ, а запас устойчивости по фазе не менее 300; 2) установившаяся ошибка ε ∞ (t ) отработки сигнала y* = a 0 + a1t , | a1 |≤ ___ должна удовлетворять условию | ε ∞ (t ) |≤ ___ ; 3) установившаяся ошибка ε ∞ (t ) отработки сигнала y* = a y cos(ω y t ) , | a y |≤ ___ , | ω y |≤ ___ должна удовлетворять условию | ε ∞ (t ) |≤ ___ ; 4) установившаяся ошибка ε ∞ (t ) , вызванная наличием помехи f = a f cos(ω f t ) , | a f |≤ ___, | ω f |≥ ___ должна удовлетворять условию | ε ∞ (t ) |≤ ___ . 44

Содержание пояснительной записки:

Оглавление 1) Анализ объекта управления 2) Решение задачи стабилизации 3) Синтез следящей системы управления 4) Построение электронной модели регулятора 5) Исследование замкнутой системы управления Заключение Приложения Список литературы Перечень графических материалов:

1) структурная схема объекта управления; 2) ЛАХ и ЛФХ объекта управления; 3) структурная схема системы охваченной внутренней обратной связью; 4) ЛАХ и ЛФХ системы охваченной внутренней обратной связью; 5) асимптотическая ЛАХ системы охваченной внутренней обратной связью; 6) желаемая асимптотической ЛАХ разомкнутой следящей системы управления; 7) асимптотическая ЛАХ передаточной функции регулятора по ошибке слежения; 8) ЛАХ и ЛФХ разомкнутой следящей системы управления; 9) структурная схема следящей системы управления; 10) функциональная электрическая схема регулятора; 11) результаты вычислительных экспериментов. Литература

1) Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления. - СПб.: Наука, 1999. 2) Бобцов А.А., Лямин А.В., Операторный метод анализа и синтеза линейных систем управления. Учебно-методическое пособие. - СПб., СПбГИТМО(ТУ), 2001. ?? с. 3) Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. - М.: Мир, 1977. 4) Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления: Учебное пособие. - М.: Наука. 1986. - 616 с. 5) Теория автоматического управления: Учебник для вузов по специальности "Автоматика и телемеханика". В 2-х ч. Ч.1. Теория линейных систем автоматического управления / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов, А.А. Воронова и др.; Под ред. А.А.Воронова. - М.: Высш. шк. 1986. - 367 с. Дата выдачи задания Подпись руководителя Подпись студента

45

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Варианты структурных схем объекта управления

Вариант № 1

u

⊗

c1

c3 p

c2

1 p +1

⊗

1 p +1

⊗

c3

y

1 p +1

⊗

Вариант № 2 c1 u

1 p

⊗

⊗

⊗

c2

c3

1 p +1

1 p +1

1 p +1

⊗

c1

y

Вариант № 3 c1 u

c2 p

⊗

⊗

c3 p

⊗

c6

c4 p

y

c5 p

⊗

c7

c8

Вариант № 4 c1 u

⊗

c2 p

⊗

c3 p c6

46

⊗

c4 p c7

⊗

c5 p c8

⊗

y

Вариант № 5 c1 u

1 p

1 p

⊗ ⊗

c3

c2

⊗ ⊗

1 p

c5

1 p

c4

⊗

y

c6

Варианта № 6 c1 u

⊗

c2 c3 p + 1

1 p

⊗

⊗

c4 c5 p + 1

y

c6 c7 c8 p + 1 Вариант № 7

⊗ u

⊗

c1 c2 p + 1

⊗

y c7 c5 ⊗ c8 s + 1 c6 s + 1

c3 c4 p + 1

Вариант № 8 c1 u

⊗

c2 c3 p + 1

⊗

1 p

c4 ⊗⊗ c5 p + 1

y

c6 c7 c8 p + 1

47

Вариант № 9 c1 u

c2 ⊗ c3 p + c4 p + 1

⊗

2

c5 p

y

c6 c7 p + 1

⊗

c3 p

c4 c5 p + 1

c8 Вариант № 10 c1 u

⊗ ⊗

1 p

1 p

c2

⊗ ⊗

c6

c7

Вариант № 11 c1 c2 p + 1 u

c3 c4 p + 1

⊗

c5 c6 p + 1

⊗

c7 c8 p + 1

y

Вариант № 12 c1 c2 p + 1 u

48

⊗

c3 c4 p + 1

c5 c6 p + 1

⊗

y c7 c8 p + 1

y

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Номиналы резисторов и конденсаторов

Номинальные значения параметров компонентов (резисторов, конденсаторов) в электронике выбираются по следующим правилам: • все значения номиналов разбиты на декады; • внутри каждой декады номиналы распределены в соответствии со стандартизованными рядами. Значения номиналов в первой декаде (от 1 до 10) для наиболее часто используемых рядов Е6, Е12, Е24 приведены ниже. Цифра после буквы Е указывает число номинальных значений в декаде. Ряд Е6: 1.0; 1.5; 2.2; 3.3; 4.7; 6.8 Ряд Е12: 1.0; 1.2; 1.5; 1.8; 2.2; 2.7; 3.3; 3.9; 4.7; 5.6; 6.8; 8.2 Ряд Е24: 1.0; 1.1; 1.2; 1.3; 1.5; 1.6; 1.8; 2.0; 2.2; 2.4; 2.7; 3.0; 3.3; 3.6; 3.9; 4.3; 4.7; 5.1; 5.6; 6.2; 6.8; 7.5; 8.2; 9.1 Значения номиналов других декад получают путем умножения номинальных значений первой декады на 10 в n - й степени, где n – целое положительное или отрицательное число. Каждому ряду соответствует допустимое отклонение, которое характеризует степень отклонения истинного значения параметра от номинального значения для элементов данного класса точности. Допустимое отклонение для рядов Е6, Е12 и Е24 составляют ±20%, ±10% и ±5% соответственно. Номинальные сопротивления резисторов задаются в единицах кратных Ому: 1 кОм = 103 Ом, 1 МОм = 106 Ом, 1 ГОм = 109 Ом. Диапазон номинальных значений сопротивления резисторов общего назначения используемых в качестве нагрузок, в делителях напряжения и фильтрах составляет от 10 Ом до 10 МОм. Номинальные емкости конденсаторов задаются в единицах кратных Фараде: 1пФ = 10-12 Ф, 1нФ = 10-9 Ф, 1 мкФ = 10-6 Ф Для малогабаритных конденсаторов используемых в цепях коррекции ОУ диапазон номинальных значений емкости составляет от 1пФ до 1 мкФ.

49

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Вопросы к защите

1) От передаточной функции непрерывной системы управления W (s) =

5s + 1 15s 2 + 8s + 1

перейти к уравнениям состояния с диагональной матрицей состояния. Оценить управляемость и наблюдаемость системы. 2) Дана передаточная функция разомкнутой непрерывной системы управления W ( s) =

k s ( s + 1) 2

с помощью критерия устойчивости Найквиста, примененного к ЛАХ разомкнутой системы определить граничное значение коэффициента k , при котором система, замкнутая единичной отрицательной обратной связью оказывается устойчивой. 3) Дана передаточная функция "вход-выход" замкнутой системы W (s) =

β( s ) 3

2

s + 15s + 75s + 125

.

Определить минимальную по степени реализацию полинома β(s ) , при котором в системе наблюдается нулевая установившаяся ошибка ε уст (t ) = g − y уст (t ) при входном воздействии g (t ) = t . 4) Определить максимальное целое число µ, при котором для входного воздействия g = t µ установившаяся ошибка слежения ε в системе p c2 p + 1 g

будет равна нулю.

50

ε

⊗

k Tp + 1

⊗

1 p

y

5) Найти коэффициенты связей k1, k2, k3, обеспечивающие в замкнутой системе k1 g

ε

u

1 p

⊗

k2

⊗

1 p +1

1 p

y

k3

корни характеристического уравнения s1 = s2 = s3 = −2 6) Для систем второго порядка x& = Ax + Bu , y = Cx, имеющих матрицу C = [1 0] и передаточную функцию вида W (s )=

s +0,2 Y (s ) = , U (s ) 10 s 2 + 7 s + 1

привести примеры матриц А и B, соответствующих ненаблюдаемой (но управляемой), неуправляемой (но наблюдаемой) и одновременно ненаблюдаемой и неуправляемой модели вход-состояние-выход. 7) Является ли устойчивой система: G (s )

E (s ) ⊗

e

−0.1s

25 s (0.2 s + 1)(0.05s + 1)

Y (s )

8) Определить установившееся движение по выходной переменной y (t ) системы: x&1 = − 27 x3 +36u , x&2 = x1 − 27 x3 , x&3 = x2 −9 x3 + 4u , y =5 x3 при входном воздействии

u (t ) = 2 sin (3t ) +1(t ) .

51

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1) Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления. - СПб.: Наука, 1999. 2) Болтунов Г.И., Никифоров В.О., Чежин М.С. Программные средства анализа и синтеза систем управления. - СПб.: СПбГИТМО(ТУ), 2000. - с ?? 3) Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. - М.: Мир, 1977. 4) Лямин А.В., Михайлов С.В., Никифоров В.О. и др. Исследование моделей объектов управления и среды функционирования. - СПб.: СПбГИТМО(ТУ), 2000. с.89. 6) Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб.: Наука, 2000. - 549 с. 7) Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления: Учебное пособие. - М.: Наука. 1986. - 616 с. 8) Теория автоматического управления: Учебник для вузов по специальности "Автоматика и телемеханика". В 2-х ч. Ч.1. Теория линейных систем автоматического управления / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов, А.А. Воронова и др.; Под ред. А.А.Воронова. - М.: Высш. шк. 1986. - 367 с.

52