Задачи ламинарных течений вязкой несжимаемой жидкости: точные и приближенные аналитические решения: Учебно-методическое пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

ЗА Д А ЧИ ЛА М И Н А РН Ы Х Т Е ЧЕ Н И Й В Я ЗК О Й Н Е СЖ И М А Е М О Й Ж И Д К О СТ И : Т О ЧН Ы Е И ПРИ БЛИ Ж Е Н Н Ы Е А Н А ЛИ Т И ЧЕ СК И Е РЕ Ш Е Н И Я

У чеб но – методическое пособ ие по курса м « М а тема тическое моделирова ние и компь ю терны й эксперимент» и « М еха ника ж идкости и г а за » Спец иа ль ности: 010200 – прикла дна яма тема тика и инф орма тика 010500 – меха ника

В оронеж 2003

2

У тверж дено на учно-методическим советом ф а куль тета прикла дной ма тема тики, инф орма тики и меха ники В ГУ от 10 октяб ря2003 г . Соста витель К орж ов Е .Н . Рец ензент – за ведую щ ий ка ф едрой теоретической меха ники В оронеж ской г осуда рственной технолог ической а ка демии, доктор технических на ук, проф ессор В .Н . К олодеж нов У чеб но-методическоепособ ие подг отовлено на ка ф едре теоретической и прикла дной меха ники В оронеж ског о г осуда рственног о университета . Рекомендуется для студентов 3 курса , об уча ю щ ихся по спец иа ль ностям 010500 –меха ника и 010200 –прикла дна яма тема тика и инф орма тика Н а стоящ ее учеб но-методическоепособ ие предста вляет соб ой сб орник за да ч, вклю ча ю щ ий рекоменда ц ии, советы и ука за нияпо их реш ению , и предна зна чен для студентов дневног о отделения, спец иа лизирую щ ихся по ка ф едре теоретической и прикла дной меха ники. Помимо ф ормулировки за да ний да ётся ука за ние на литера туру, котора я мож ет б ы ть исполь зова на при их вы полнении. В отличие от преды дущ их изда ний в на стоящ ее пособ иевклю чен ряд новы х за да ч, а та кж е доб а влен ра здел об исполь зова нии ма тема тическог о па кета Mathcad при вы полнении ла б ора торны х за нятий. Э то осущ ествлено ка к с ц ель ю ра звития пра ктических на вы ков исполь зова ния па кетов прог ра мм для численног о реш ения кра евы х за да ч, та к и в силуряда тех удоб ств, которы е предоста вляю т па кеты та ког о кла сса для визуализа ц ии резуль та тов компь ю терног о эксперимента .

3

О бщ ием е т о дич е с к иеук азания к ре ше нию задач В о всех за да ча х ф ормулировка за да нияна исследова ниеодна и та ж е: В ы пол н и т ь т е оре т и че ское и ссл е дован и е и у ст ан ови т ь осн овн ы е закон ом е рн ост и и особе н н ост и т е че н и я ж и дкост и и е ё взаи м оде йст ви я с т ве рды м и ст е н кам и кан ал а (и л и объе м а дру гой форм ы , в кот ором прои сходи т дви ж е н и е ). С этой ц ель ю необ ходимо вы полнить поста новкуза да чи (сф ормулирова ть конц ептуаль ную модель и построить ма тема тическую ) и да ть кра ткую ха ра ктеристикуполученной кра евой или на ча ль но-кра евой за да чи (ма тема тической модели). Н а йти и изучить её точное или приб лиж енное а на литическое реш ение – построить проф иль скорости и г ра ф ик ра спределенияда вленияв об ла сти течения. Получить вы ра ж ения и вы числить основны еха ра ктеристики потока : ра сход, средню ю и ма ксима ль ную скорости течения, ра спределение сдвиг овы х: компонент тензора на пряж ений (эпю ры на пряж ений), зна чения интенсивности сил трения на ог ра ничива ю щ их поверхностях и их вра щ а ю щ ег о момента (для за да ч с вра щ ением ж идкости). У ка за ть особ ы е точки проф иляскорости и эпю ры на пряж ений (точки экстремума , перег иб а ). Получить вы ра ж ение для диссипа тивной ф ункц ии и ра ссчита ть величинуполной диссипа ц ии меха нической энерг ии, а та кж е определить коэф ф иц иент г идра влическог о сопротивленияи необ ходимы еусловияреа лиза ц ии да нног о типа движ ения. Руководствуясь полученны м за да нием, студент вы б ира ет основны е ф изические ф а кторы , определяю щ ие поведение исследуемог о об ъекта , и ф ормулирует ег о конц ептуаль ную или ка чественную модель . После этог о на основе ура внений Н а вь е-Стокса строится соответствую щ а я ма тема тическа я модель , предста вляю щ а я соб ой совокупность диф ф еренц иа ль ны х ура внений и условий однозна чности её реш ения - на ча ль ны е и/или г ра ничны е условия. Н а треть ем эта пе вы полнения за да ния да ётся исследова ние полученной ма тема тической за да чи, вклю ча ю щ ее в себ я кра ткую ха ра ктеристикуза да чи, приведение её к б езра змерномувиду, определение критериев подоб ия и оц енкупорядков величин, входящ их в ма тема тическую модель . В о мног их случа ях удоб но привести системуура внений к норма ль номувидуили за писа ть диф ф еренц иа ль ное ура внение в ка нонической ф орме. Четверты й эта п посвящ ен вы б оруили ра зра б откеметода реш енияи ег о применению к полученной за да че. Н а пятом эта пе вы водятсяи за писы ва ю тсявы ра ж ениядляосновны х ха ра ктеристик ра ссма трива емог о проц есса или явления, которы е да ю т на иб олееисчерпы ва ю щ ий ответ на вопрос о возмож ности протека нияизуча емог о явления при тех или ины х условиях. Н а за клю читель ном эта пе ра б оты производится подг отовка и проведение вы числитель ног о эксперимента на персона ль ном компь ю тере с помощ ь ю одног о из ра звиты х ма тема тических па кетов, та ких ка к, на пример, Mathcad, Maple, Matlab и т.п. В изуализа ц иярезуль та тов мног опа ра метрическог о а на лиза долж на б ы ть осущ ествлена в на г лядной и удоб ной дляпонима ния ф ормепри помощ и ра звиты х г ра ф ических возмож ностей па ке-

4

та . В ы полнение за да ния за верш а ется ф ормулировкой вы водов об основны х за кономерностях и особ енностях изуча емог о проц есса или явления в за висимости от ег о соб ственны х ф изико-химических свой ств и па ра метров окруж а ю щ ей среды . О ф ормление отчета о вы полнении за да ния осущ ествляется в текстовом реда кторе MS Word в соответствии с треб ова ниями к ла б ора торны м ра б ота м по компь ю терномуэксперименту. Резуль та ты ра б оты в па кете Mathcad вста вляю тсяв подг отовленны й текстовы й документ. Д ляопределениякруга вопросов, на которы енеоб ходимо да ть ответ в ходе вы полнения за да ния, исполь зуется литера тура , ука за нна я в приведенном списке. Д ляка ж дой за да чи мож ет б ы ть приведена одна или несколь ко ссы лок. Студент мож ет восполь зова ть ся лю б ой из них. Ссы лки на источники в ква дра тны х скоб ка х озна ча ю т следую щ ее: номер изда ния в списке литера туры , помещ енном в конц е пособ ия, за тем после двоеточияследую т через точкуномера тома , г ла вы , па ра г ра ф а , пункта и т.д., после чег о через за пятую ука за ны стра ниц ы . 1. Д виж е ниеж идк о с т и м е ж ду паралле льным и пло с к им и с т е нк ам и 1.1. Т ечение в п ло с ко м канале п о д дейс т в ием п ереп ада дав ления . В язка янесж има ема я ж идкость движ ется меж дупа ра ллель ны ми плоскими стенка ми, на ходящ имися на за да нном ра сстоянии друг от друга . Причиной, вы зы ва ю щ ей течение, является дей ствие перепа да да вления в ка на ле [1:2.17,80-81; 2:8.88,435-436; 22:2.11,421-423; 36:2.5,55-56; 40:1.5,32-33; 45:2.6.2-3,68]. 1.2. Д в иж ение в п ло с ко м канале с о дно й дв иж ущ ейс я с т енко й(п ло с кая з адача Куэт т а). Ра сстояние меж ду па ра ллель ны ми плоскими стенка ми за да но. В язка я ж идкость , на ходящ а яся меж дуними, движ етсяза счет перемещ ения одной из них в своей плоскости с известной постоянной скорость ю [1:2.17,7980;22:2.11,423-424; 34:4.3,121-124; 36:2.5,51-53; 41:3.5.1,66-67]. 1.3. Д в иж ение в п ло с ко м канале с дв ум я дв иж ущ им ис я с т енкам и. В язка я несж има ема я ж идкость , на ходящ а яся меж дудвумя па ра ллель ны ми плоскими стенка ми, движ ется вследствие перемещ ения об еих поверхностей в своих плоскостях с некоторы ми за да нны ми скоростями [1:2.17,79-80; 22:2.11,423-424; 34:4.3,121-124; 36:2.5.1,51-53; 41:3.5,66-67]. а ) Д виж ение стенок в противополож ны х на пра влениях; б ) движ ение стенок в однусторону; в) скорости стенокра вны или ра зличны . 1.4. Т ечение п о д дейс т в ием п ереп ада дав ления в канале с дв иж ущ ейс я с т енко й. В язка я несж има ема я ж идкость за полняет простра нство меж дудвумя па ра ллель ны ми плоскими стенка ми, одна из которы х движ ется в своей плоскости с за да нной постоянной скорость ю , а втора я неподвиж на . В ка на ле за да н

5

перепа д да вления. Ра сстояние меж ду стенка ми известно [22:2.11,423-424; 34:4.3,121-124; 36:2.5.1,51-53; 67:5.1.1,83-84;]. 1.5. Т ечение п о д дейс т в ием п ереп ада дав ления в канале с дв иж ущ им ис я с т енками. В плоском г оризонта ль ном ка на ле с двумя па ра ллель ны ми плоскими движ ущ имися стенка ми на ходится вязка я несж има ема я ж идкость . Стенки движ утся в своих плоскостях с постоянны ми скоростями. И звестен перепа д да вления и ра сстояние меж ду стенка ми [22:2.11,423-424; 34:4.3,121-124; 36:2.5.1,51-53; 67:5.1.1,83-84]: а ) стенки движ утся в одном на пра влении; б ) стенки движ утся в противополож ны х на пра влениях; в) перепа д да вления мож ет б ы ть полож итель ны м или отриц а тель ны м. 1.6. Т ечение в п ло с ко м накло нно м канале. Д виж ение вязкой несж има емой ж идкости происходит меж дупа ра ллель ны ми плоскими стенка ми, об ра зую щ ими за да нны й угол с г оризонтом [27:2.17,78-79; 31:7.9,350-353]: а ) на личие перепа да да влениявдоль ка на ла ; б ) отсутствие перепа да да вления; в) действия перепа да да вленияи сила тяж ести совпа да ю т/несовпа да ю т. 1.7. Д в иж ение в длинно й з ам кнут о й п ря м о уго льно й п о ло с т и с дв иж ущ ейс я с т енко й. Д виж ение вязкой несж има емой ж идкости в длинной прямоуголь ной г оризонта ль ной об ла сти вы зва но перемещ ением верхней стенки в своей плоскости с постоянной скорость ю . Н иж няя стенка неподвиж на . Ра ссма трива ется лиш ь ц ентра ль на я об ла сть течения б ез учета особ енностей, вы зва нны х на личием б оковы х ог ра ничива ю щ их стенок. П рим ечание: При поста новке за да чи помимо г ра ничног о условия прилипа нияна ка ж дой стенке, за писы ва етсяусловиеза мкнутости полости [7,48]. 2. Д виж е ниеж идк о с т и в прям ых и к о льце вых т рубах 2.1. Т ечение в круго в о й цилиндричес ко й т рубе п о д дейс т в ием п ереп ада дав ления (т ечение Х агена-П уазейля ). В круглой ц илиндрической труб е за да нног о ра диуса под действием известног о перепа да да вления движ ется вязка я несж има ема я ж идкость [1: 2.17.1,81-82; 2:8.88,433-443; 3:4.4.2,233-235; 22:2.12,427-432; 34:4.5,126-130; 36:2.5.3,56-58; 40:1.5,33-34; 41:3.5.3,72-75; 45:2.3,52-55; 51:2.5,50-51; 52:1.5,2324; 55:9.331,732-733; 67:5.1.2,84-86]. 2.2. Д в иж ение в ко льцев о й цилиндричес ко й т рубе п о д дейс т в ием п ереп ада дав ления В прямой труб еколь ц евог о сечения, об ра зова нной соосны ми ц илиндра ми за да нны х ра диусов, вязка я несж има ема я ж идкость движ ется под действием известног о перепа да [1:2.17,82; 14:8.3,330-331; 34:4.6,130-132; 36:2.5.4,60-61; 45:2.4,57-59; 55:9.332.1,734-735] 2.3.Т ечение м еж дус о о с ным ицилиндрам и, о динизко т о рых дв иж ет с я . В коль ц евой ц илиндрической труб е, об ра зова нной двумя соосны ми круг овы ми ц илиндра ми, на ходится вязка я несж има ема я ж идкость . О дин из ц и-

6

линдров движ етсяпоступа тель но вдоль оси с за да нной скорость ю , а второй – неподвиж ен [1:2.17,83; 36:2.5.1,53-55; 45:2.3,69-70]: а ) движ ется внутренний ц илиндр; б ) движ етсявнеш ний. 2.4. Т ечение м еж дудв иж ущ им ис я с о о с ным ицилиндрам и. В язка я несж има ема я ж идкость на ходится меж дудвумя соосны ми круговы ми ц илиндра ми, которы е поступа тель но перемещ а ю тся с за да нны ми скоростями вдоль об щ ей оси [36:2.5.1,53-55]: а ) движ ение в однуили противополож ны естороны ; б ) скорости ра вны или ра зличны . 2.5. Т ечение п о д дейс т в ием п ереп ада дав ления м еж ду цилиндрами, о диниз ко т о рых дв иж ет с я . М еж дусоосны ми ц илиндра ми с за да нны ми ра диуса ми под действием известног о перепа да да вления движ ется вязка я несж има ема яж идкость . О дин из ц илиндров неподвиж ен, а второй движ ется поступа тель но вдоль своей оси с постоянной скорость ю [36:2.5.4,60-61; 51:7.7,393-395]: а ) внутренний неподвиж ен; б ) внеш ний неподвиж ен. 2.6. Т ечение м еж дудв иж ущ им ис я цилиндрам ип риналичиип ереп ада дав ления . В язка я несж има ема я ж идкость движ ется под действием за да нног о перепа да да вления меж дусоосны ми круговы ми ц илиндра ми за да нны х ра диусов. О б а ц илиндра перемещ а ю тся поступа тель но вдоль об щ ей оси с известны ми постоянны ми скоростями [36:2.5.1,53-55; 36:2.5.4,60-61]. 2.7. Д в иж ение ж идко с т и в з амкнут о й ко льцев о й цилиндричес ко й п о ло с т и, о дна изцилиндричес ких о блас т ей ко т о ро й дв иж ет с я , а в т о рая неп о дв иж на. Д виж ение вязкой несж има емой ж идкости происходит в за мкнутой удлиненной коль ц евой об ла сти, об ра зова нной соосны ми ц илиндра ми, ра сполож енны ми г оризонта ль но. Причиной, вы зы ва ю щ ей движ ение ж идкости, является перемещ ение одной из ц илиндрических поверхностей па ра ллель но оси с за да нной постоянной скорость ю . В торой ц илиндр неподвиж ен. Ра ссма трива ется лиш ь ц ентра ль на я об ла сть течения б ез учета особ енностей, вы зва нны х на личием б оковы х ог ра ничива ю щ их стенок: а ) внутренний ц илиндр движ ется па ра ллель но об щ ей оси ц илиндров при неподвиж ном внеш нем ц илиндре; б ) внеш ний ц илиндр движ ется, а внутренний неподвиж ен. П рим ечание: При поста новке за да чи помимо г ра ничног о условия прилипа ния на ка ж дом из ц илиндров за писы ва ется условие за мкнутости полости [49]. 2.8. Т ечение в накло нно й цилиндричес ко й т рубе. В язка я несж има ема я ж идкость движ ется в круглой ц илиндрической труб е, на клоненной кг оризонтуна за да нны й угол [26:2.17,78-79; 31:7.9,350-353]: а ) отсутствие внеш нег о перепа да да вления; б ) на личие внеш нег о перепа да да вления. П рим ечание: Н а личие угла на клона приводит к необ ходимости учета дей ствия г ра вита ц ионны х сил. Поста новка за да ч для на клонны х ка на лов и труб мож ет б ы ть осущ ествлена и длямног их других за да ч да нног о и последую щ их ра зделов.

7

2.9. Т ечение в т рубе эллип т ичес ко го с ечения . Ра ссма трива ется течение вязкой несж има емой ж идкости в прямой труб е эллиптическог о сечения под действием известног о перепа да да вления. Э ллипс за да н длина ми ег о полуосей [1:2.17.2,82-83; 2:8.88,438-439; 55:9.332.2,735736]. 2.10. Т ечение в т рубе п ря м о уго льно го п о п еречно го с ечения . Т ечение вязкой несж има емой ж идкости происходит в прямой труб е, сечение которой прямоуголь ник. Д виж ение вы зва но за да нны м перепа дом да вления[2:8.88,439-442]: а ) прямоуголь никв сечении; б ) ква дра т в сечении. 2.11. Т ечение в т рубе т реуго льно го п о п еречно го с ечения . И сследуется течение вязкой несж има емой ж идкости в прямой труб е, поперечны м сечением которой являетсяра вносторонний треуголь ник. Д виж ение происходит за счет за да нног о перепа да да вления. [1:2.17.3,83;2:8.88,439] 2.12. Т ечение в т рубе с с ечением в в иде гип ербо личес ко го с егм ент а (Задача Знам енс ко го ). Пряма я труб а , сечение которой об ра зова но контуром в видеветви г иперб олы , пересеченной отрезком прямой, ортог она ль ны м её оси симметрии, исполь зуетсядлятечениявязкой несж има емой ж идкости при за да нном перепа де да вления[18]. 2.13. Т ечение в угло в о м з азо ре (Вт о рая з адача Знаменс ко го ). В язка я несж има ема я ж идкость движ етсяв угловом за зоре прямой труб ы , сечение которой об ра зова но ветвь ю г иперб олы и пересека ю щ им её отрезком прямой, па ра ллель ной оси симметрии ветви г иперб олы [19]. 2.14. Т ечение в угло в о м канале (Т рет ья з адача Знам енс ко го ). Т ечение вязкой несж има емой ж идкости происходит под действием перепа да да вленияв ка на ле, об ра зова нном пересечением двух плоскостей [20]. 2.15. Т ечение в т рубе, о браз о в анно й п о лым ицилиндрам и п ря м о уго льно го п о п еречно го с ечения . Д ве прямы е труб ы прямоуголь ног о поперечног о сечения влож ены одна в другую и имею т об щ ую ц ентра ль ную ось . М еж дуними под действием за да нног о перепа да да влениядвиж етсявязка янесж има ема яж идкость . 2.16. Т ечение в т рубе, о браз о в анно й п о лым и цилиндрам и т реуго льно го п о п еречно го с ечения . Д ве прямы е труб ы с поперечны м сечением в виде ра вностороннег о треуголь ника , влож ены одна в другую и имею т об щ ую ц ентра ль ную ось . Под действием за да нног о перепа да да вления движ ется вязка я несж има ема я ж идкость , на ходящ а ясямеж дутруб а ми. 3. Вращ ат е льныедвиж е ния ж идк о с т и 3.1. Круго в о е т ечение меж дув ращ ающ им ис я цилиндрам и(з адача Куэт т а). Соосны е круговы е за да нны х ра диусов ц илиндры вра щ а ю тся вокруг об щ ей оси с известны ми постоянны ми угловы ми скоростями. М еж дуц илиндра -

8

ми на ходится вязка я несж има ема я ж идкость [1:2.18,85-86; 22:2.15,449-452; 34:7.8,134-136; 36:2.5.5,62-64; 41:3.5.2,67-72; 45:5.3-6,110; 51:2.4,48-49; 52:1.5,24-25; 67:5.1.3,86-87]. 3.2. Круго в о е дв иж ение м еж ду с о о с ным и цилиндрам и, о дин изко т о рых в ращ ает с я . В язка я несж има ема я ж идкость на ходится меж дукруговы ми конц ентрическими ц илиндра ми за да нны х ра диусов. О дин из ц илиндров неподвиж ен, а второй вра щ а ется вокруг своей оси с постоянной угловой скорость ю [45:5.31,93-95; 67:5.1.3,86-87]: а ) внутренний вра щ а ется; б ) внеш ний вра щ а ется. 3.3. Круго в о е дв иж ение ж идко с т ив о в ращ ающ ем с я цилиндре. В язка я ж идкость на ходится внутри ц илиндра за да нног о ра диуса , вра щ а ю щ ег осявокруг своей оси с постоянной угловой скорость ю . 3.4. Круго в о е дв иж ение ж идко с т ив о кругв ращ ающ его с я цилиндра. В язка я ж идкость приводитсяв движ ение вра щ ением ц илиндра , помещ енног о в нее. Линии тока леж а т в плоскости, ортог она ль ной оси вра щ ения [55:9.333,736-737]. 3.5. Д в иж ение ж идко с т и, в ыз в анно е в ращ ением дис ка (з адача Карм ана) Т онкий диск за да нног о ра диуса вра щ а ется с постоянной угловой скорость ю вокруг своей оси в неог ра ниченном об ъеме вязкой несж има емой ж идкости. Т ечение является простра нственны м [27:2.11,70-73; 35:1.2, 17-20; 67:5.2, 97-103]. 3.6. Д в иж ение ж идко с т и, в ыз в анно е в ращ ением в ней т в ердо й с феры. Сф ера за да нног о ра диуса вра щ а етсяс постоянной угловой скорость ю вокруг своей оси в неог ра ниченном об ъеме вязкой несж има емой ж идкости [55:9.333,737-739]: a) течение является плоским; б ) течение простра нственное. 4. Спиральныет е че ния ж идк о с т и 4.1. Т ечение П уазейля в о в ращ ающ ейс я т рубе. В язка янесж има ема я ж идкость движ ется под действием осевог о перепа да да вления в круглой ц илиндрической труб е, вра щ а ю щ ейся вокруг своей оси с постоянной угловой скорость ю . 4.2. Т ечение П уазейля в о в ращ ающ ейс я ко льцев о й т рубе. Т ечение вязкой несж има емой ж идкости, на ходящ ейся меж дусоосны ми круговы ми ц илиндра ми, вы зва но продоль ны м перепа дом да вления и вра щ ением ц илиндров с одина ковы угловы ми скоростями. 4.3. С п ирально е т ечение Куэт т а. М еж дусоосны ми круговы ми ц илиндра ми на ходится вязка я несж има ема я ж идкость . Ц илиндры вра щ а ю тсяи одновременно поступа тель но перемещ а ю тся вдоль своей об щ ей оси с постоянны ми скоростями. Гра диент да вления вдоль оси отсутствует [53:6.43,192-196]: а ) один из ц илиндров толь ко вра щ а ется; б ) одиниз ц илиндров толь ко перемещ а етсяпоступа тель но.

9

4.4. С п ирально е т ечение Куэт т а – П уаз ейля . В язка я несж има ема я ж идкость , за полняю щ а я простра нство меж дудвумя круговы ми соосны ми ц илиндра ми, движ ется под действием осевог о перепа да да вления. Ц илиндры вра щ а ю тся вокруг своей об щ ей оси, но не уча ствую т в поступа тель ном перемещ ении [53:6.43,192-196]: а ) об а ц илиндра вра щ а ю тся; б ) вра щ а ется толь ко внутренний ц илиндр; в) вра щ а ется толь ко внеш ний ц илиндр). 4.5. Обо бщ енно е с п ирально е т ечение Куэт т а - П уаз ейля . В язка я несж има ема я ж идкость на ходится меж дудвумя соосны ми ц илиндра ми, вра щ а ю щ имися вокруг своей оси с постоянны ми угловы ми скоростями. К роме тог о, ц илиндры перемещ а ю тсяпоступа тель но вдоль своей оси с известны ми постоянны ми скоростями. За да н та кж е осевой перепа д да вления [53:6.43,192-196]: а ) угловы ескорости ра вны ; б ) угловы ескорости ра зличны ). 4.5. С ло ж но е с п ирально е т ечение. Д виж ение вязкой несж има емой ж идкости вы зва но осевы м перепа дом да вления, поступа тель ны м движ ением одног о и вра щ а тель ны м движ ением другог о ц илиндра [53:6.43,192-196]: а ) внутренний вра щ а ется, внеш ний перемещ а ется поступа тель но; б ) внеш ний вра щ а ется, внутренний перемещ а ется поступа тель но. 5. П лёно ч ныет е че ния ж идк о с т и с о с во бо дно й по ве рхно с т ью 5.1. Грав ит ацио нно е т ечение п ленкиж идко с т ип о накло нно й п ло с ко с т и. Слой ж идкости постоянной толщ ины под действием соб ственног о веса стека ет по неподвиж ной на клонной плоскости, соста вляю щ ей с г оризонтом за да нны й угол. В ерхняя поверхность слоя своб одна я. Н а ниж ней поверхности слоя вы полняю тся условия прилипа ния [1:2.18,84; 2:8.88,436; 3:4.2,236-237; 22:2.5.11,424-427; 27:12.131,668-671; 34:4.4,124-126; 40:1.3,22-23; 45:2.2,46-50; 56:6.1.2.1,87-88]. 5.2. Плено чно е т ечение ж идко с т ип о дв иж ущ ейс я накло нно й п ло с ко с т и. Ж идка я пленка постоянной толщ ины стека ет под действием г ра вита ц ионны х сил по на клонной плоскости, движ ущ ейся в своей плоскости с постоянной скорость ю . В ектор скорости движ ущ ейся поверхности па ра ллелен на пра влению стека ния пленки [1:2.18,84; 22:2.5.11,424-427; 45:2.2,46-50]: а ) на клонна я поверхность движ ется вверх; б ) на клонна я поверхность движ ется вниз). 5.3. Т ечение п о накло нно й п ло с ко с т ис учет о м с илт рения Слой ж идкости постоянной толщ ины стека ет под действием сил тяж ести по неподвиж ной на клонной плоскости, об ра зую щ ей с г оризонтом известны й угол. Н а своб одной верхней поверхности слояж идкости действует постоянное ка са тель ноеусилие[1:2.18,84;. 22:2.5.11,424-427; 45:2.2,46-50]. 5.4. С т екание с ло я ж идко с т и п о дв иж ущ ейс я накло нно й п ло с ко с т и с учет о м п о в ерхно с т ных с илт рения Ж идкость в виде слоя постоянной толщ ины стека ет по на клонной поверхности, движ ущ ейся в на пра влении, па ра ллель ном линии естественног о

10

ска та . Н а верхней поверхности слояж идкости действует постоянное ка са тель ное на пряж ение [1:2.18,84;. 45:2.2,46-50]: а ) на клонна я плоскость движ ется вверх; б ) поверхность движ етсявниз. 5.5. С т екание п ленкиж идко с т ип о накло нно й п ло с ко с т ис учет о м с ло ж ных граничных ус ло в ий на в ерхней п о в ерхно с т и Слой ж идкости постоянной толщ ины под действием соб ственног о веса стека ет по на клонной плоскости. Н а верхней г ра ниц е слоя действует сдвиг овое ка са тель ное на пряж ение, пропорц иона ль ное скорости движ ения своб одной поверхности: а ) на клонна я плоскость неподвиж на ; б ) – на клонна я плоскость движ ется па ра ллель но линии естественног о ска та вниз; в – на клонна я плоскость движ етсяпа ра ллель но линии естественног о ска та вверх. 5.6.С т екание п о го риз о нт ально п ерем ещ ающ ейс я накло нно й п ло с ко с т и Т онкий слой ж идкости постоянной толщ ины стека ет под действием сил тяж ести по на клонной плоскости, об ра зую щ ей с г оризонтом известны й угол. Н а клонна яповерхность перемещ а етсяг оризонта ль но с постоянной скорость ю . В ерхняя поверхность слоя своб одна (а – перемещ ениев сторонууклона плоскости; б – перемещ ениев сторону, противополож ную уклонуплоскости). 5.7. Грав ит ацио нно е с т екание п ленкиж идко с т ип о в ерт икально й п ло с ко с т и Т онка я пленка ж идкости медленно стека ет по вертика ль ной плоскости под действием г ра вита ц ионны х сил. Т олщ ина плёнки счита ется постоянной [27:12.131,669-670]. 5.8. Грав ит ацио нно е с т екание п ленкиж идко с т ип о в ерт икально й цилиндричес ко й п о в ерхно с т и Ж идкость в виде пленки постоянной толщ ины стека ет по вертика ль ной ц илиндрической поверхности за да нног о ра диуса под действием соб ственног о веса [45:2.6.2_5,69]. 5.9. Грав ит ацио нно е п лено чно е т ечение ж идко с т ип о п о в ерхно с т ико нус а. Т онкий слой ж идкости постоянной толщ ины стека ет по поверхности круг овог о конуса с за да нны ми па ра метра ми под действием соб ственног о веса [45:2.6.3_20,117]. 5.10. С дув ание п ленки ж идко с т и, нахо дя щ ейс я на го риз о нт ально й п о в ерхно с т и Плёночное течение ж идкости, на ходящ ейсяна твердой поверхности, происходит под воздействием воздуш ног о потока на д её поверхность ю [27:12. 132,671-673]. 5.11. Рас т екание кап елькиж идко с т ип о го риз о нт ально й п о в ерхно с т и По г оризонта ль ной смоченной поверхности ра стека ется ка пля ж идкости под действием ка пиллярны х сил. Число Рей ноль дса доста точно ма ло [64:9.1, 272-276]: а ) с учетом действиясил В а н-дер-В а а ль са ; б ) б ез учета . О пределяетсякра евой угол сма чива нияи изменениепа ра метров ка пель ки со временем. П рим ечание. И нерц ионны ечлены в ура внении движ ениянеучиты ва ю тся. 5.11. П о дня т ие ж идко с т ив узко м кап илля ре

11

В тонком узком ка пилляре происходит поднятие ж идкости, хорош о сма чива ю щ ей поверхность ка пилляра [27:7.67,381-382; 64:9.2,276-280]: а ) б ез учета сил В а н-дер-В а а ль са ; б ) с учетом. 5.12. Н анес ение т о нко го с ло я ж идко с т и на дв иж ущ уюс я п о в ерхно с т ь (Задача Л андау-Л ев ича). Пла стина вы тяг ива ется с постоянной скорость ю из неог ра ниченног о об ъёма ж идкости. Н а её поверхности оста ется тонка яплёнка [27:12.133,674-682; 64:9.3,280-285]. 5.13.П лено чно е т ечение ж идко с т ип о п о в ерхно с т ив ращ ающ его с я дис ка. Ра стека ние ж идкости происходит по поверхности диска , вра щ а ю щ ег осяс постоянной угловой скорость ю вокруг оси, ортог она ль ной ег о плоскости. Вариант ы: а ) б ез учета сил В а н-дер-В а а ль са ; б ) с учетом. 6. Д вухс ло йныет е че ния ж идк о с т и 6.1. М еж дупа ра ллель ны ми плоскими стенка ми, на ходящ имися на за да нном ра сстоянии друг от друга , под действием известног о перепа да да вления происходит послой ное течение двух вязких несмеш ива ю щ ихся ж идкостей с ра зличны ми ф изическими свойства ми. Т олщ ины слоев об еих ж идкостей во всем ка на лера зличны , но постоянны вдоль оси ка на ла [45:2.5,60-62]. 6.2. Под действием г ра вита ц ионны х сил по на клонной плоскости происходит двухслойное стека ние ж идкой пленки постоянной толщ ины . В ерхняя поверхность ж идкости своб одна . Т олщ ины об оих слоев ж идкости постоянны [40:1.3,24-25]. 6.3. В круговой ц илиндрической труб е под действием за да нног о перепа да да вления происходит осесимметричное течение двух вязких не перемеш ива ю щ ихся ж идкостей с ра зличны ми ф изическими свойства ми. Ра диус ц илиндрическог о потока одной ж идкости и толщ ина коль ц евог о слоя другой известны и постоянны . 6.4.М еж дувра щ а ю щ имися ц илиндра ми реа лизуется двухслойное течение вязких ж идкостей с ра зличны ми ф изическими свойства ми. Перемеш ива ния ж идкостей непроисходит. Т олщ ины слоев известны и постоянны . 6.5. Н а г оризонта ль ной плоскости на ходится тонка я двухслойна я пленка ж идкости, на своб одной поверхности которой действует постоянноесдвиг овое усилие. В резуль та те этог о воздей ствияреа лизуетсятечениев виде двух слоев постоянной толщ ины . Примеча ния: 1. Подоб ны й подход в поста новке за да ч меха ники ж идкости исполь зуется при исследова нии движ ения стра тиф иц ирова нны х сред, б иолог ических и некоторы х других ж идкостей [4,7,9]. 2. Поста новки за да ч о двухслойны х течениях мог ут б ы ть осущ ествлены и дляряда других за да ч, приведенны х в да нном пособ ии.

12

3. О пределенны й теоретический и пра ктический интерес предста вляю т та кж е за да чи для трехслойны х течений (на пример, при ра ссмотрении эф ф екта Ф а реуса – Линдквиста ) или n –слойны х. 7. Разныезадач и о движ е ниях т е л в вязк о й ж идк о с т и Боль ш инство за да ч, предста вленны х в да нном ра зделе, реш а етсяв ра мка х приб лиж ения Стокса , ког да инерц ионны е члены в ура внении движ ения не учиты ва ю тся[1; 24; 43; 50; 66]. 7.1. О бт екание т в ердо й с феричес ко й час т ицы п о с т уп ат ельным п о т о ко м в я зко й нес ж им аем о й ж идко с т и(задача С т о кс а). Т вердую сф ерическую ча стиц уза да нног о ра диуса об тека ет однородны й поступа тель ны й поток вязкой несж има емой ж идкости с некоторой скорость ю . В язкость ж идкости известна . Получить вы ра ж ение для силы вза имодействия потока с об тека емой ча стиц ей [2:8.92,458-463]. 7.2. Задача о дв иж енииш ара в нео граниченно й в я з ко й ж идко с т и. Т вердоеш а рооб ра зное тело движ етсяс невы сокой постоянной скорость ю в неог ра ниченном об ъемевязкой несж има емой ж идкости. [40:2.2,48-49] 7.3. Задача о дв иж ении с феричес ко й кап ельки в нес ж им аем о й ж идко с т и, с ко т о ро й не п ро ис хо дит с меш ив ания (задача А дам ара - Рыбчинс ко го ). К а пля вязкой несж има емой ж идкости за да нны х ра змеров движ ется с известной постоянной невы сокой скорость ю в другой вязкой ж идкости б есконечног о об ъема , несмеш ива ясь ней. [27:8.70,393-400] 7.4. Задача о с хло п ыв ании с феричес ко й кав ерны в в я зко й ж идко с т и (Обо бщ енная з адача Брезант а-Релея ). В неог ра ниченном об ъеме вязкой несж има емой ж идкости, котора я на ходится в состоянии покоя, внеза пно возника ет сф ерическа я полость за да нног о ра диуса . Т реб уется на йти изменение да вления в лю б ой точке ж идкости, ра диуса пузы рь ка и время за полнения полости ж идкость ю . Д а вление вда ли от ка верны постоянно [54: 4.5,136-141]. 7.5. Задача о ко лебаниигаз о в о го п уз ырька в в я з ко й ж идко с т и(о бо бщ енная з адача Релея ). Н еб оль ш ой г а зовы й пузы рек соверш а ет колеб а тель ны е движ ения в неог ра ниченном об ъеме вязкой несж има емой ж идкости под воздействием г а рмонических колеб а ний да вления вда ли от пузы рь ка . А мплитуда и ча стота колеб а ний за да ны . Т реб уетсяопределить влияние вязкости ж идкости на изменения ра диуса пузы рь ка [33:2.8.19,225-240]. 7.5. Вс п лыв ание с феричес ко го п уз ырька в п о ко я щ ейс я в я з ко й ж идко с т и. Га зовы й пузы рек доста точно ма лог о за да нног о ра змера всплы ва ет в покоящ ейсяж идкости с за да нной г луб ины [30:5.5,178-183]. 7.6. Д в иж ение п о рис т о й с феричес ко й час т ицы в нео граниченно й ж идко с т и. Ш а рик из пористог о ма териа ла движ ется с невы сокой постоянной скорость ю в неог ра ниченном об ъеме вязкой несж има емой ж идкости. Т реб уетсяпо-

13

лучить вы ра ж ение для силы сопротивления, дей ствую щ ей на ча стиц у[Ж уров А .И ., Полянин А .Д ., Пота пов Е .Д .//И зв.А Н СССР.Сер.М Ж Г.1995,№ 3. С.113120]. 7.7. Д в иж ение в нео граниченно й ж идко с т и т в ердо й с феричес ко й час т ицы, п о крыт о й п о рис т ым с ло ем . Ш а рик из твердог о недеф ормируемог о ма териа ла , покры ты й пористы м сф ерическим слоем постоянной толщ ины , движ ется с невы сокой постоянной скорость ю в неог ра ниченном об ъеме вязкой несж има емой ж идкости [В а син С.И ., Ста ров В .М ., Ф илиппов А .Н .//К оллоид.ж урн. 1996. Т .58, № 3. С.298-302]. 7.8. Д в иж ение в нео граниченно й ж идко с т и т в ердо й с феричес ко й час т ицы, п о крыт о й т о нким с ло ем ж идко с т и Ш а рик из твердог о недеф ормируемог о ма териа ла , покры ты й сф ерическим слоем ж идкости постоянной толщ ины , движ ется с невы сокой постоянной скорость ю в неог ра ниченном об ъеме вязкой несж има емой ж идкости, не перемеш ива ю щ ейсяс ж идкой об олочкой. 7.9. Обт екание кап ельс м ем бранно й фаз о й. О днородны й поток ж идкости с за да нны ми ф изическими свойства ми об тека ет ка плю другой ж идкости, на поверхности которой на ходитсяв ка честве об олочки или мемб ра ны тонкий сф ерический слой ж идкости треть ег о сорта [40:2.2,49-50]. 7.10. Д в иж ение п о рис т о й с феричес ко й час т ицы, п о крыт о й т о нким ж идким с ло ем , в нео граниченно й газо в о й с реде. Ш а рик из пористог о ма териа ла , покры ты й тонкой пленкой ж идкости постоянной толщ ины , движ ется с невы сокой постоянной скорость ю в неог ра ниченном об ъеме г а за . Т реб уется получить вы ра ж ение для силы сопротивления, действую щ ей на движ ущ ую сяча стиц у. 7.10. Вс п лыв ание газ о в о го п уз ырька, п о крыт о го ж идко й о бо ло чко й. Га зовы й пузы рек доста точно ма лог о ра змера , покры ты й тонким слоем ж идкости, всплы ва ет в покоящ ейся ж идкости другог о сорта , не перемеш ива ясь с ней [Johnson R.E., Sadhal S.S. // Ann. Rev. Fluid Mech. 1985 v.17 pp.289320]. 7.11. Вс п лыв ание рас т в о ря ющ его с я газ о в о го п уз ырька в п о ко я щ ейс я ж идко с т и. Га зовы й пузы рек доста точно ма лог о ра змера всплы ва ет с за да нной г луб ины в вязкой ж идкости, ра створяясь в ней. Н а ча ль на я конц ентра ц ия и ра створимость г а за в ж идкости известны [70]. 7.12. Д в иж ение в в я зко й ж идко с т и с феричес ко й о бо ло чка изп о рис т о го м ат ериала. В неог ра ниченном об ъеме вязкой несж има емой ж идкости движ ется сф ерическое тело, предста вляю щ ее соб ой доста точно тонкую об олочкуиз пористог о ма териа ла конечной толщ ины . Т реб уется получить вы ра ж ение для силы сопротивления, дей ствую щ ей на ча стиц у, а та кж е уста новить основны е за кономерности движ енияж идкости внутри об олочки.

14

8. Ко нве к т ивныет е че ния вязк о й ж идк о с т и. 8.1. Т еп ло п ередача черездв иж ущ ийс я с ло й ж идко с т и. В язка янесж има ема я ж идкость движ ется в плоском ка на ле под действием за да нног о перепа да да вления. Стенки ка на ла имею т ра зличны е темпера туры . О пределить плотность тепловог о потока через движ ущ ийся слой ж идкости [67:12.6.2,280-281]. 8.2. С в о бо дно -ко нв ект ив но е т ечение м еж дув ерт икальным ип ло с ко с т я м и. Т ечение ж идкости происходит в вертика ль ном за мкнутом плоском ка на ле, стенки которог о имею т постоянны е, но ра зличны е темпера туры [49:2.14.2, 239-243]. 8.3. С в о бо дно -ко нв ект ив но е т ечение в накло нно й щ ели. Е стественна я конвекц ия в ц ентра ль ной об ла сти за мкнутой на клонной щ ели [49:2.14.2.4,246-247] ( а – ниж няясторона имеет б олее вы сокую темпера туру; б – верхняясторона имеет б олеевы сокую темпера туру). 8.4. Д иффуз ия в п ло с ко м лам инарно м п о т о ке ж идко с т и. Ж идкость , содерж а щ а я примесь некоторог о вещ ества , движ етсяв плоско па ра ллель ном ка на ле. Н а ниж ней стенке происходит оса ж дение примеси, через верхню ю стенкуперенос вещ ества непроисходит [68]. 8.5. Ко нв ект ив ная диффуз ия в с ис т ем е с п о луп ро ницаем о й м ем брано й В язка я несж има ема я ж идкость движ ется в плоском ка на ле, содерж а щ ем полупрониц а емую мемб ра ну, па ра ллель ную стенка м ка на ла . К онц ентра ц ия некоторог о вещ ества по ра зны е стороны мемб ра ны ра злична . О пределить основны еза кономерности проц ессов ма ссопереноса в системе[68]. 8.6. Д иффуз ия в п ерио дичес ко м п о ле с ко ро с т и. Ж идкость соверш а ет движ ения вдоль некоторог о на пра вления по г а рмоническому за кону во времени и по ортог она ль ной к на пра влению движ ения координа те. К онц ентра ц ия вещ ества в ж идкости имеет г ра диент вдоль на пра влениядвиж ения[17:1.6,77-80]. 9. Те че ния в с ис т е м ах с про ницае м ым и по ве рхно с т ям и В о всех за да ча х да нног о ра здела реш ение ищ ется методом ма лог о па ра метра , в ка честве которог о вы б ира ется число Рейноль дса , ра ссчиты ва емое по скорости вдува /отсоса . 9.1. Т ечение м еж дуп араллельным ип о рис т ым ис т енкам и(Задача Берм ана). В язка я несж има ема я ж идкость движ етсяпод дей ствием за да нног о осевог о перепа да да вления меж дупа ра ллель ны ми плоскими пористы ми стенка ми, на ходящ имисяна известном ра сстоянии друг от друга . Через пористы естенки осущ ествляется вдув или отсос ж идкости с некоторой постоянной скорость ю [15:5.1,143-145]. Вариант ы: а ) вдув; б ) отсос; в) через однустенкувдув, а через вторую отсос; г ) одна из стенок изг отовлена из пористог о ма териа ла , а втора я – непрониц а ема ; д) вдув под углом к поверхности стенок; е) вдув/отсос не ра вно-

15

мерны й; ж ) вдув под углом по/против на пра вленияпотока в ка на ле; з) течение в на клонном ка на лес учетом сил г ра вита ц ии. 9.2. Т ечение в канале с п о рис т ым ис т енкам и, о дна изко т о рых дв иж ет с я . В плоском ка на ле, об ра зова нном пористы ми пла стина ми, под действием за да нног о перепа да да влениядвиж етсявязка янесж има ема яж идкость . О дна из стенок ка на ла перемещ а етсяв своей плоскости с известной постоянной скорость ю , а втора янеподвиж на . Вариант ы: а ) вдув/отсос через об естенки; б ) вдув/отсос через неподвиж ную стенку; в) вдув/отсос через движ ущ ую сястенку; г ) вдув/отсос под углом к плоскости стенки; д) толь ко движ ущ а яся стенка пориста я; е) из пористог о ма териа ла толь ко неподвиж на ястенка ; ж ) нера вномерны й вдув/отсос; з) перепа д да вления и скорость движ ения стенки в однуи туж е сторону/в противополож ны е стороны ; и) отсутствует осевой перепа д да вления; к) через одну стенкувдув, а через другую отсос; л) вдув под углом по/против на пра вления потока ; м) течение в на клонном ка на ле с учетом сил г ра вита ц ионны х сил; н) двухслой ноетечениенеперемеш ива ю щ ихсяж идкостей. 9.3.Д в иж ение ж идко с т ив п ря м о линейно й т рубе изп о рис т о го м ат ериала. Под действием за да нног о перепа да да вленияв прямолинейной труб е круг овог о сечения движ ется вязка я несж има ема я ж идкость . Через прониц а емы е стенки труб ы осущ ествляется вдув/отсос с за да нной постоянной скорость ю [14:5.2,157-160]. Вариант ы: а ) сечение труб ы эллиптическое / прямоуголь ное / треуголь ное/ сег мент с па ра б олой или г иперб олой; б ) сечение труб ы коль ц евоекруговое / эллиптическое / прямоуголь ное / треуголь ное / сег мент с па ра б олой или г иперб олой. 9.4. Грав ит ацио нно е т ечение п ленкиж идко с т ип о накло нно й п ло с ко й п о рис т о й п о в ерхно с т и Под дей ствием г ра вита ц ионны х сил по на клонной плоскости из пористог о ма териа ла происходит пленочноестека ниевязкой несж има емой ж идкости. Вариант ы: а ) вдув/отсос; б ) на клонна яповерхность перемещ а етсяв своей плоскости с постоянной скорость ю ; в) вдув/отсос под углом к на клонной плоскости; г ) вдув/отсос под углом к плоскости по/против линии ска та ; д) двухслой на япленка . 9.5. Д в иж ение ж идко с т и, в ыз в анно е в ращ ением в ней п ро ницаем о го дис ка Д искиз пористог о ма териа ла вра щ а етсяв неог ра ниченном об ъемевязкой несж има емой ж идкости с постоянной скорость ю . Д а влениепо ра зны естороны диска ра злично [13:2.8,34-41]. 9.6. Вращ ат ельно е дв иж ение ж идко с т им еж дуп о рис т ым ицилиндрам и. Соосны екруговы ец илиндры из пористог о ма териа ла вра щ а ю тсявокруг об щ ей оси с некоторы ми за да нны ми постоянны ми угловы ми скоростями. Через однуц илиндрическую поверхность происходит вдув, через другую отсос со скоростями, об еспечива ю щ ими нулевой сумма рны й ра сход.

16

9.7. С п иральные т ечения м еж дуп о рис т ым ицилиндричес ким ип о в ерхно с т ями Т ечение вязкой несж има емой ж идкости, на ходящ ейся меж дусоосны ми пористы ми круговы ми ц илиндра ми, вы зва но продоль ны м перепа дом да вления и вра щ ением ц илиндров с одина ковы угловы ми скоростями. 10. Ре ше ниеавт о м о де льных к рае вых задач по гранич но го с ло я 10.1. Реш ение ав т о м о дельно й з адачиБлаз иус а о бт екания п лас т ины. В язка я несж има ема яж идкость об тека ет тонкую пла стинуконечной длины . В ектор скорости на б ег а ю щ ег о потока вда ли от пла стины па ра ллелен её плоскости. Число Рейноль дса доста точно велико [67:7.5,129-135]. 10.2. Реш ение ав т о м о дельно й задачи Ф о лкнера – С кэн (м ет о до м п рис т релки). Поток вязкой несж има емой ж идкости об тека ет клин та ким об ра зом, что ег о скорость вда ли от нег о пропорц иона ль на некоторой степени ра сстоянияот передней критической точки [67:9.1,156-158]. 10.3. Реш ение з адачи П о льгауз ена о с в о бо дно й ко нв екции о ко ло в ерт икально й п лас т ины. Пла стина за да нны х ра змеров помещ а ется в вязкую несж има емую ж идкость с темпера турой, отличной от темпера туры пла стины [49:1.3.3,75-78; 67:12.8,303-307]. 10.4. Реш ение задачи о ко нв ект ив но й диффуз ии к п ло с ко й в ерт икально й п о в ерхно с т и. Н а плоской вертика ль ной поверхности, на ходящ ейся в вязкой несж има емой ж идкости, происходит доста точно б ы стра яг етерог енна яреа кц ия с вещ еством, ра створенны м в ж идкости. Д виж ение ж идкости возника ет вследствие измененияконц ентра ц ии вб лизи реа кц ионной поверхности [27:2.23,133-142]. 10.5. Задача о п ло с ко й зат о п ленно й с т руе (з адача Ш лихт инга-Бикли). Струя несж има емой вязкой ж идкости вы тека ет из тонкой продоль ной щ ели в полупростра нство, за полненное та кой ж е средой [59:4.3,118-121; 67:9.7,176-179] 10.6. Задача о бо с ес им м ет рично й з ат о п ленно й с т руе (задача Ш лихт инга). В язка янесж има ема яж идкость истека ет в видеструи из неб оль ш ог о круговог о отверстияв плоской стенке в полупростра нство этой ж е среды . За крутка потока отсутствует [1:2.23,118-121; 67:11.2,224-227]. 10.7. Т ечение в о крес т но с т икрит ичес ко й т о чки Н а тека ние вязкой несж има емой ж идкости на плоскую поверхность , ра сполож енную ортог она ль но на пра влению потока ж идкости (а – плоска яза да ча ; б – простра нственна яза да ча ) [67:5.2,92-97]. 10.8. Т ечение в с леде з а т ело м . В б езг ра ничной неподвиж ной вязкой ж идкости движ ется некоторое тело, за которы м об ра зуетсятечениетипа своб одной струи [8].

17

11. Н е с т ацио нарныедвиж е ния вязк о й не с ж им ае м о й ж идк о с т и 11.1. Т ечение, в ыз в анно е в незап но п рив еденно й в дв иж ение п ло с ко й с т енки (I з адача С т о кс а). Плоска я стенка , ра нее покоивш а яся, внеза пно на чина ет двиг а ть ся в своей соб ственной плоскости с некоторой постоянной скорость ю [67:5.1.4,87-89]. 11.2. Раз го нно е т ечение в я зко й ж идко с т ив п ло с ко м канале. В б есконечно длинном плоском ка на ле на ходила сь неподвиж на яж идкость . В некоторы й момент внеза пно возника ет перепа д да вления, в да ль нейш ем сохра няю щ ий своепервона ча ль ноезна чение[67:5.1.7,89-90]. 11.3. Т ечение в я з ко й ж идко с т и в близ и ко леблющ ейс я п лас т ины (II з адача С т о кс а). Н еог ра ниченна я плоска я стенка соверш а ет в своей плоскости уста новивш иесяг а рмоническиеколеб а ния[67:5.1.7,90-91]. 11.4. Раз го нно е т ечение в я зко й ж идко с т ив кругло й цилиндричес ко й т рубе. В прямой труб е с круговы м сечением ж идкость на чина ет двиг а ть ся под действием внеза пно на лож енног о постоянног о перепа да да вления[67:5.1.7,8990]. 11.5. Пульс ирующ ее дв иж ение в я з ко й ж идко с т ив п ло с ко м канале. Д виж ение вязкой ж идкости в плоском ка на ле осущ ествляетсяпод действием уста новивш ег ося изменяю щ ег осяпо г а рмоническомуза конуперепа да да вления. 11.6. Пульс ирующ ее дв иж ение в я з ко й ж идко с т ив кругло й цилиндричес ко й т рубе. У ста новивш ееся пуль сирую щ ее движ ение ж идкости происходит под дей ствием г а рмонически изменяю щ ег ося со временем перепа да да вления [2:8.91,455-458]. 12. Задач и выч ис лит е льно й гидро динам ик и 12.1. Д в иж ение ж идко с т и или газа в п ло с ко й п ря м о уго льно й п о ло с т и с дв иж ущ ейс я в ерхней с т енко й (з адача Кав агут и). В за мкнутой прямоуголь ной полости конечны х ра змеров верхняя стенка движ етсяв своей плоскости с за да нной скорость ю , а три другие– неподвиж ны [Kawaguti M. // J. Phys. Soc. (Japan). 1961. v.16, N.11. pp.2307-2315]. 12.2. Т ечение в канале с о дино чным ус т уп о м (Задача С им уни). В плоском прямолинейном ка на ле под действием за да нног о перепа да да вления движ ется вязка я несж има ема я ж идкость . Н а некотором ра сстоянии от входа ка на л имеет уступ, то есть резкое изменение ш ирины в однуиз сторон [Симуни Л.М . // И нж енерны й ж урн. 1964. т.4,№ 3. С.446-450]: а) п ря м о й ус т уп ; б) о брат ный ус т уп . 12.3. Т ечение в п ло с ко м канале с п ря м о уго льно й я м о й. В плоском прямолинейном ка на ле имеет место ста ц иона рное течение вязкой несж има емой ж идкости под действием за да нног о перепа да да вления. Н а

18

ниж ней стенке ка на ла имеется прямоуголь ное углуб ление с за да нны ми па ра метра ми [Mills R.D. // J. Aeronaut. Soc. 1965. V.69, N.658. pp.714-718]. 12.4. Т ечение в п ло с ко м канале с о дино чным п ря м о уго льным в ыс т уп о м . В плоском прямолинейном ка на ле происходит ста ц иона рное течение вязкой несж има емой ж идкости под действием за да нног о перепа да да вления. Н а ниж ней стенке ка на ла имеется неб оль ш ой прямоуголь ны й вы ступ с за да нны ми па ра метра ми [Гвоздков Н .Н . Ра зг онное течение нь ю тоновскйой ж идкости. В ГУ , 1976. 12 с.]. 12.5. Т ечение в п ло с ко м канале с раз деля ющ ей п лас т ино й. Плоский прямолинейны й ка на л имеет об ра тны й уступ с ра зделяю щ ей пла стиной конечной длины . В ка на ле движ ется вязка я несж има ема я ж идкость [Симуни Л.М . // Гидродина мика . В ы п.2. Пермь , 1970. С.17-180]. 12.6. Т ечение в п ло с ко м канале, в незап но рас ш иря ющ ем с я в о бе с т о ро ны. Т ечение вязкой несж има емой ж идкости происходит под действием перепа да да вления в плоском ка на ле, которы й внеза пно ра сш иряетсяв об е стороны . И звестны м счита ется: а - ра сход ж идкости, б – перепа д да вления [Lewis J.P., Pletcher R.H. // Trans. ASME: JBE, 1986. N.2. pp.284-294]. 12.7. Т ечение в п ло с ко м канале, в незап но с уж ающ ем с я в о бе с т о ро ны. Т ечение вязкой несж има емой ж идкости происходит под действием перепа да да вления в плоском ка на ле, которы й внеза пно суж а ется в об е стороны . И звестны м счита ется: а - ра сход ж идкости, б – перепа д да вления [Durst F., Schierholz W.F., Wunderlich A.M. // Trans ASME: JFE. 1987, N.4 pp.376-387]. 12.8. Т ечение в п ло с ко м канале с о в с т ав кам и. В прямолинейном плоском ка на ле, содерж а щ ем прямоуголь ны е периодически ра сполож енны е вста вки, под дей ствием за да нног о перепа да да вления движ етсявязка янесж има ема яж идкость ю . 12.9. Д в иж ение ж идко с т ив круго в о м цилиндричес ко м с о с уде ко нечно й в ыс о т ы, в ыз в анно е в ращ ением ее крыш ки с п о с т о я нно й угло в о й с ко ро с т ью (Задача Д о рфм ана). В язка я несж има ема я ж идкость полность ю на полняет круглы й ц илиндрический сосуд, верхняя стенка которог о вра щ а ется с постоянной угловой скорость ю вокруг своей оси [Д орф ма н Л.А ., Рома ненко Ю .Б. // И зв. А Н СССР. Сер. М Ж Г, 1966. № .5. с.63-68]. 12.10. Задача о гидро динам ичес ко м в о лчке (Задача Т арунина- Я ким о в а). К оль ц ева я об ла сть , об ра зова нна я конц ентрическими ц илиндра ми конечны х ра змеров и плоскими основа ниями, ра скручива ется в течение за да нног о промеж утка времени с некоторы м постоянны м угловы м ускорением. После чег о внеш нее усилие снима ется, и вра щ ение волчка происходит по инерц ии при действии сил трения [Т а рунин Е .Л., Я кимов А .А . // И зв. А Н СССР. Сер. М Ж Г, 1988. № 2. С.37-42]. 12.11. С м еш ение п ло с ких лам инарных с т руй (Задача Л о йця нс ко го -С им уни).

19

И з рег улярно ра сполож енны х конечны х отверстий в плоской стенке в полупростра нство вы тека ет та ж еж идкость [Симуни Л.М . // И зв. А Н СССР. Сер. М Ж Г, 1966, № 1. С.149-150]. 12.12. Раз в ит ие лам инарно й с т руив п ло с ко м канале (Задача Вулис а) В полуб есконечны й плоский ка на л, за полненны й вязкой ж идкость ю , через торц евое конечное отверстие втека ет струя этой ж е ж идкости [В улис Л.А ., Д ж а уга ш тинК .Е . // ПМ Т Ф . 1968, № 6. С.120-123]. 12.13. Ч ис ленный анализя в ления с хло п ыв ания кав ит ацио нно го п уз ырька. В неог ра ниченном об ъеме вязкой ж идкости мг новенно возра ста ет да вление, под действием которог о происходит смы ка ние сф ерической г а зовой полости [Ivany P.D., Hemmit F.G. // Trans. ASME: Ser.D J. Bas. Eng 1965. N.4]. 12.14. Д в иж ение и ис п арение кап ли в в ыс о ко т ем п ерат урно м газо в о м п о т о ке. Н еб оль ш а я сф ерическа я ка пля попа да ет в вы сокотемпера турны й г а зовы й поток с теплоф изическими па ра метра ми, отличны ми от па ра метров ж идкости. К инема тические ха ра ктеристики ка пли и потока та кж е ра зличны [29, 40, 45, 68, 70]. 12.15. С в о бо дно - ко нв ект ив но е дв иж ение в я з ко й ж идко с т ив п ря мо уго льно й п о ло с т и. В за мкнутой прямоуголь ной полости, б оковы е стенки которой на г реты до некоторы х постоянны х, но ра зличны х темпера тур, движ ение возника ет за счет действия а рхимедовы х сил. Горизонта ль ны е поверхности: а ) теплоизолирова ны ; б ) изг отовлены из хорош о проводящ ег о тепо ма териа ла [10, 49]. П ри ме чан и е : При реш ении за да ч да нног о па ра г ра ф а исполь зуется метод уста новления. В ка честве на ча ль ног о условия удоб но за да ва ть ра спределения скорости и да вления, соответствую щ иеста тическомура вновесию в системе. С этой ц ель ю мож но восполь зова ть сяпоста новка ми соответствую щ их за да ч, на пример, из [73]. Гра ничны е условията кж е долж ны б ы ть при этом преоб ра зова ны к неста ц иона рномувидупутем введения коэф ф иц иента « г ра ничног о уста новления» , предлож енног о Н .Н . Гвоздковы м [20].

20

13. П рим е р выпо лне ния задания В ка честве примера да ется излож ение реш ения за да чи Ха г ена -Пуазейля для ла мина рног о течения в круглой ц илиндрической труб е при за да нном перепа деда вления- за да ча № 2.1. 13.1. Р азработ ка задан и я дл я и ссл е дован и я В ы полнить теоретическое исследова ние и уста новить основны е за кономерности и особ енности изотермическог о теченияоднородной вязкой несж има емой ж идкости в прямолинейной труб е круговог о поперечног о сеченияпод действием за да нног о перепа да да вления. Н а йти ра спределение скорости и да вления в труб е, определить за кон измененияра схода от величины перепа да да вления, построить проф иль скорости и эпю русдвиг овы х на пряж ений, ра ссчита ть коэф ф иц иент г идра влическог о сопротивления, а та кж е величинудиссипа ц ии меха нической энерг ии. 13.2. Ф орм у л и ровка кон це пт у ал ь н ой (каче ст ве н н ой и л и фи зи че ской) моде л и т е че н и я Пренеб рег а я кра евы ми эф ф екта ми, мож но ра ссмотреть течение ж идкости в б есконечной круглой ц илиндрической труб е ра диуса r0 под действием г ра диента да вления, об условленног о па дением да вления ∆p0 на уча стке за да нной протяж енности l 0 . Предпола г а ется, что уста новивш ееся течение является осесимметричны м с линиями тока , па ра ллель ны ми оси труб ы . Д ействие ма ссовы х сил не учиты ва ется, а на внутренней поверхности труб ы вы полняется условие прилипа ния. Ра ссма трива ется изотермический проц есс, и ж идкость счита ется несж има емой средой с за да нны ми ф изическими свойства ми ρ плотность , µ - вязкость . Причиной, вы зы ва ю щ ей движ ение, является перепа д да влениявдоль труб ы . r z v r0 ∆p 0

θ

l0 Рис.1. О б щ а ясхема теченияж идкости в круглой ц илиндрической труб е 13.3. П ост рое н и е м ат е м ат и че ской м оде л и Посколь куоб ла сть течения является ц илиндрической, то ра ссмотрение соответствую щ ей ма тема тической модели ц елесооб ра знее проводить в системе координа т та кж е ц илиндрической (r,θ,z). Полны е ура внения Н а вь е – Сто-

21

кса , описы ва ю щ ие ла мина рное течение вязкой несж има емой ж идкости, в ц илиндрической системекоордина т имею т следую щ ий вид [1, 2]: v ∂v v2  1 ∂p 2 ∂v  ∂ vr ∂v ∂v v + vr r + θ r + vz r − θ = − + ν  ∇ 2 v r − r2 − 2 θ  + f r ; ∂t ∂r r ∂θ ∂z r ρ ∂r r r ∂θ  

(1)

 v ∂v vv ∂ vθ ∂v ∂v v  1 ∂p 2 ∂v + vr θ + θ θ + v z θ + r θ = − + ν ∇ 2 vθ + 2 r − θ  + f θ ;(2) r ∂θ r ∂t ∂r ∂z ρr ∂ θ r ∂θ r   ∂vz ∂v v ∂v ∂v 1 ∂p + vr z + θ z + v z z = − + ν∇ 2 v z + f z ; ∂t ∂r r ∂θ ∂z ρ ∂z ∂ vr v r 1 ∂ vθ ∂ v z + + + = 0; ∂r r r ∂θ ∂ z

(3) (4)

г де ρ - за да нна яплотность , ν = µ /ρ - кинема тический коэф ф иц иент вязкости, µ - коэф ф иц иент вязкости, на зы ва емы й « дина мическим» ; p - да вление; vr , vθ , v z - компоненты вектора скорости; ∇ 2 - опера тор Ла пла са , имею щ ий в ц илиндрической системекоордина т следую щ ий вид: ∇2 =

1 ∂2 ∂2 ∂2 1 ∂ + + + ∂ r 2 r ∂ r r 2 ∂ θ2 ∂ z 2

(5)

У прощ ение исходны х ура внений (1)-(4) производится с учётом сф ормулирова нны х ра нее г ипотез, определяю щ их ка чественную или конц ептуаль ную модель реа ль ног о течения. В силуста ц иона рности и осесимметричности течениявсе ча стны е производны е по времени и координа те θ ра вны нулю , то есть ∂v i / ∂t = 0 и ∂v i / ∂θ = 0 дляi = r,θ,z и ∂p / ∂θ = 0 . Посколь кума ссовы есилы неу читы ва ю тся, то всеfi в ура внениях (1)-(4) на до полож ить ра вны ми нулю . Д а лее, та к ка к вектор скорости v па ра ллелен оси z, то он имеет лиш ь одну компоненту, отличную от нуля, то есть v=(0,0, v z ) или v r ≡ vθ ≡ 0 . В этом случа е из ура внениянера зры вности (4) непосредственно следует, что ∂v z = 0 ⇒ v z = v( r ) , ∂z

то есть неизвестна я величина v z не за висит от переменной z и является лиш ь ф ункц ией простра нственной координа ты r, то есть компонента скорости v z = v( r ) . К рометог о, из ура внений (1) и (2) получа ем ∂p = 0 ⇒ p = p( z ) . ∂r

С учётом всег о вы ш еизлож енног о ура внение (3) упрощ а етсяи мож ет б ы ть за писа но через об ы кновенны епроизводны евместо ча стны х

22 d 2v dr

2

+

1 d v 1 dp = . r d r µ dz

(6)

В об ы кновенное диф ф еренц иа ль ное ура внение (6) входит две неизвестны е ф ункц ии - v = v( r ) и p = p( z ) , за висящ ие от ра зны х переменны х. Следова тель но, лева я и пра ва я ча сти ура внения (6) долж ны б ы ть ра вны некоторой конста нте, котора я определяется с учетом дополнитель ны х условий относитель но неизвестной ф ункц ии p=p(z). Д ействитель но, если dp = C1 dz

или

d2 p d z2

=0,

(7)

то после ег о интег рирова ния на ходим, что p( z ) = C1 z + C 2 и для на хож дения ф ункц ии p = p( z ) доста точно за да ть два г ра ничны х условия, на пример, z = 0:

p( 0 ) = p 0 ;

z =l:

p( l ) = p1 .

(8)

Д ля интег рирова ния ура внения (6) после определения конста нты C1 необ ходимо сф ормулирова ть условия однозна чности определения ф ункц ии v = v( r ) . М ож но за да ть два следую щ их г ра ничны х условия: r = r0 : r =0:

v(r0 ) = 0 , ∂v = 0. ∂r

(9) (10)

Первое из них предста вляет соб ой вы ра ж ение условияприлипа нияили непроска ль зы ва ния ж идкости на внутренней поверхности труб ы , а второе– условие отсутствияособ ой точки упроф иляскорости на оси труб ы . Э то условиеэквива лентно ф изическому предполож ению о невозмож ности неог ра ниченног о возра ста ния зна чения скорости на оси труб ы и её симметричности относитель но оси Z. 13.4. Иссл е дован и е пол у че н н ой мат е м ат и че ской м оде л и Т а ким об ра зом, предлож енна я модель предста вляет соб ой совокупность двух двухточечны х кра евы х за да ч (7.2), (8) и (6), (9), (10) длялинейны х об ы кновенны х диф ф еренц иа ль ны х ура внений второг о порядка с постоянны ми коэф ф иц иента ми относитель но двух неизвестны х ф ункц ий – v(r) и p(z). Причем кра ева я за да ча для ф ункц ии p( z ) интег рируется отдель но от второй кра евой за да чи для ф ункц ии v(r). Д ля та ких кра евы х за да ч реш ение сущ ествует, единственно, а их ура внениядопуска ю т непосредственноепрямоеинтег рирова ние. В построенной ма тема тической модели пять числовы х па ра метров, ка ж ды й из которы х мож ет принима ть зна ченияиз некоторог о диа па зона допустимы х зна чений. 13.5. П ре образован и е м ат е м ат и че ской м оде л и Преж де всег о необ ходимо вы полнить а на лиз подоб ияполученной за да чи. С этой ц ель ю определим ха ра ктерны е величины или ма сш та б ы дляза висимы х и неза висимы х переменны х. Д ля простра нственны х переменны х они опреде-

23

ляю тся интерва лом, на котором происходит их изменение – для ра диа ль ной координа ты – ра диус труб ы r0 , для осевой – длиной труб ы l 0 , в которой известно па дение да вления ∆p0 = p 0 − p1 .Поэтомуприведение этих переменны х к б езра змерномувидумож но вы полнить следую щ им об ра зом: ξ=

r r0

ζ=

,

z l0

P=

,

p − p1 p 0 − p1

.

(11)

Д ля скорости мы не мож ем ука за ть ха ра ктерную величину, исполь зуя исходны е да нны е за да чи. В этом случа е в ка честве нормирую щ ей величины мож но вы б ра ть та кую комб ина ц ию известны х да нны х, чтоб ы она совпа да ла по ра змерности с ра змерность ю скорости. О б озна чим этунеизвестную величинучерез v∗ и вы полним приведениекб езра змерномувидуура внения(6). v∗  d 2V 1 d V  p0 − p1 d P + . = dζ µl 0 r02  d ξ 2 ξ d ξ 

Т ог да на основа нии ра венства порядков величин, ха ра ктеризую щ их б а ла нс внеш нег о перепа да да вления и сил внутреннег о трения, мож но за клю чить , что в ка честве ха ра ктерной величины для скорости v∗ мож ет б ы ть вы б ра н комплекс

∆p0 r02 l0µ

. Т о есть б езра змерна яскорость мож ет б ы ть введена по пра вилу V=

v ∆p 0 r02 l0µ

.

(12)

В новы х б езра змерны х переменны х совокупность двух полученны х кра евы х за да ч перепиш етсяв следую щ ем виде: - для ф ункц ии

P( ζ ) полу ча ем

простейш ее ура внение -

d2P dζ2

=0,

которое

долж но б ы ть проинтег рирова но с учетом г ра ничны х условий ζ=0:

P( 0 ) = 1 ,

- дляф ункц ии V ( ξ ) ура внениеимеет вид условиядлянег о

ξ =0:

dV = 0, dξ

ζ = 1 : P( 1 ) = 0 ;

d 2V dξ

2

+

1 dV d P = , ξ dξ d ζ

ξ = 1: V ( 1) = 0 .

(13) а г ра ничны е (14)

О тметим, что в пра вой ча сти ура внения(14) стоит конста нта , котора яопределяется из предш ествую щ ег о интег рирова ния кра евой за да чи (13). Д ругой особ енность ю полученног о реш ения является отсутствие б езра змерны х числовы х па ра метров в ура внениях и кра евы х условиях. В случа е, ког да та кие па ра метры содерж а тся в построенной модели, необ ходимо ра ссмотреть все возмож ны е предель ны е случа и с ц ель ю последую щ ег о оты ска ния возмож ны х а симптотических реш ений за да чи.

24

13.6. Нахож де н и е ре ше н и я дву хт оче чн ы х крае вы х задач Прямоедвукра тноеинтег рирова ниеура внения(13) да ёт вы ра ж ение P( ζ ) = C1ζ + C 2 ,

подста новка которог о в г ра ничны е условия (13) приводит с на хож дению конста нт интег рирова ния- C1 = −1 , C 2 = 1 . О конча тель ное вы ра ж ениедляра спределенияб езра змерног о да вленияимеет вид P( ζ ) = 1 − ζ .

(15)

С учетом на йденног о реш ения(15) ура внение(14) примет вид d 2V dξ

2

+

1 dV = −1 . ξ dξ

Лева я ча сть последнег о ура внения мож ет б ы ть предста влена в ином виде, а са мо ура внениеза пиш етсяследую щ им об ра зом: 1 d  dV  ξ  = −1 ξ d ξ  d ξ 

или

d  dV  ξ  = −ξ . d ξ  d ξ 

Проинтег рирова в последнееура внениеодин ра з, получим ξ

dV 1 = − ξ 2 + C3 2 dξ

или

dV C 1 =− ξ+ 3 dξ 2 ξ

.

Е щ ё ра з вы полним интег рирова ние полученног о ура внения и на й дём вы ра ж ениедляV 1 V ( ξ ) = − ξ 2 + C3 ln ξ + C 4 . 4

(16)

О пределим конста нты интег рирова ния. Т а к ка к ф ункц ия V ( ξ ) долж на б ы ть ог ра ничена , а её производна ядолж на б ы ть ра вна нулю при ξ = 0 , то необ ходимо полож ить конста нтуC 3 = 0 . К онста нта C 4 определяетсяиз второг о г ра ничног о условия (14) и имеет зна чение, ра вное 1 . Т а ким об ра зом, оконча тель ное 4

вы ра ж ение для б езра змерной скорости потока в труб е за пиш ется следую щ им об ра зом: 1 (17) V ( ξ ) = (1 − ξ 2 ) . 4

13.7. Ан ал и з пол у че н н огоре ше н и я Преж девсег о треб уетсяуб едить ся, что полученны евы ра ж ения(15) и (17) являю тся реш ением кра евой за да чи. После их подста новки в ура внения (13) и (14) последние тож дественно удовлетворяю тся. За тем уб еж да емся, что вы полняю тсяи г ра ничны еусловия. Т еперь треб уется проа на лизирова ть поведение полученны х реш ений толь ко лиш ь ка к ф ункц ий соответствую щ их а рг ументов. Е сли б ы в вы ра ж ения

25

б езра змерног о да вления или скорости входили ка кие–либ о числовы е па ра метры , то следова ло б ы вы полнить исследова ние за висимости реш ения от па ра метра , а та кж ера ссмотреть предель ны еслуча и, кода этот па ра метризменяется в об ла сти своих допустимы х зна чений. Ф ункц ия P( ξ ) линей но уб ы ва ет на отрезке [0,1], принима я зна чения на ег о конц а х ра вны е, соответственно, 1 и 0. Ф ункц ия является монотонно уб ы ва ю щ ей с постоянны м углом на клона , ра вны м –1. Поведениееё предста влено на рис.2а . P(ζ )

V(ξ)

1/4 1

1

0

a) Рис.2 В ид ф ункц ий

ζ

0

нокP( ζ ) (рису

б)

ξ

1

а ) и V ( ξ ) (рисунок– б ).

Ф ункц ия V ( ξ ) предста вляет соб ой пра вую ветвь « перевернутой» и поднятой вверх по оси ордина т па ра б олы . Ф ункц ия монотонно уб ы ва ет на отрезке [0,1] по па ра б олическомуза кону, в точке r0 об ра щ а етсяв ноль . В точке r = 0 её производна я об ра щ а ется в ноль . Ф ункц ия являетсявы пуклой на всем отрезке. М а ксима ль ноезна чениееё, достиг а емоев точке r = 0 , ра вно 1 . 4

13.8. В ы чи сл е н и е осн овн ы ххаракт е ри ст и к пот ока Ра спределение скорости по сечению труб ы определяется вы ра ж ением, получа емы м послеперехода от б езра змерной ф ункц ии V ( ξ ) кра змерной v( r ) v (r ) =

(

)

1  d p 2 −  r0 − r 2 . 4µ  d z 

(18)

Проф иль скорости изоб ра ж ён на рис.3(а ). И споль зуяреш ение (16), мож но получить вы ра ж ение дляоб ъемног о ра схода ж идкости. С этой ц ель ю доста точно вы б ра ть элемента рную площ а дкув ортог она ль ном сечении труб ы dS = dr ⋅ dl , г де dr - элемента рное прира щ ение ра диа ль ной координа ты от произволь ной точки в сечении труб ы с координа та ми ( r ,θ ) , dl - элемента рное изменение по дуговой координа те θ . О тметим, что dl = r ⋅ dθ . Э лемента рны й ра сход через площ а дку dS мож но определить ка кпроизведениескорости на площ а дь элемента рной поверхности, то есть dQ = v( r ) ⋅ dS . Полны й ра сход ж идкости через поперечное сечениетруб ы определитсяпутем интег рирова ниявы ра ж ениядля dQ по всемусечению

26 2π r0

Q = ∫ ∫ v( r ) ⋅ r dr dθ 0 0

Т а к ка к подинтег ра ль на я ф ункц ия не за висит от переменной θ, то вы ра ж ение дляопределенияра схода мож но за писа ть в видеодномерног о интег ра ла r0

Q = 2π ∫ rv( r )dr .

(19)

0

Послеподста новки вы ра ж ениядляскорости из (18) в вы ра ж ение (19) и интег рирова нияна ходим Q=

πr04 8µ

 dp π ∆p 0 r04  −  или Q = . 8µ l 0  dz 

(20)

Полученное соотнош ение (20.2) вы ра ж а ет известны й кла ссический резуль та т меха ники ж идкости – за конГа г ена – Пуазейля[1]: П ри у ст ан ови вше м ся л ам и н арн ом дви ж е н и и вязкой н е сж и м ае м ой ж и дкост и в ци л и н дри че ской т ру бе кру гового се че н и я се ку н дн ы й объе м н ы й расход ж и дкост и пропорци он ал ь н о пе ре паду давл е н и я н а е ди н и цу т ру бы и че т ве рт ой ст е пе н и е ё ради у са (и л и ди ам е т ра). В ы ра ж ение(20.2) мож ет б ы ть предста влено та кж ев другом виде ∆p 0 =

8µ l0 π r04

Q,

(21)

соответствую щ ем за конусопротивления, которы й ф ормулируется следую щ им об ра зом: П ри у ст ан ови вше м ся л ам и н арн ом дви ж е н и и вязкой н е сж и м ае м ой ж и дкост и паде н и е давл е н и я в ци л и н дри че ской т ру бе кру гового се че н и я пропорци он ал ь н о се ку н дн ом у объе м н ом у расходу , вязкост и ж и дкост и и дл и н е т ру бы , а т акж е обрат н опропорци он ал ь н оче т ве рт ой ст е пе н и е ё ради у са (ди ам е т ра). В ы ра ж ение (21) мож ет б ы ть преоб ра зова но к тра диц ионномувиду, если ввести в нег о величину, определяемую ка к средняя скорость течения – отнош ениеоб ъемног о ра схода кплощ а ди поперечног о сечения, v≡

Q ∆p 0 r02 = S 8µl 0

.

(22)

Посколь кув г идра вликепринято за писы ва ть за кон сопротивленияв виде ∆p 0 = ς

ρv 2 , 2

то сопоста вление полученног о вы ра ж ения с (21) позволяет получить вы ра ж ениедлякоэф ф иц иента г идра влическог о сопротивления ς=

64 l 0 Re d 0

,

(23)

27

г де d 0 =

2r0 -

диа метр труб ы , Re =

v d 0ρ - число Рейноль дса . µ

Т а к ка к в труб е круглог о сеченияместны ег идра влическиесопротивления отсутствую т, то из (23) с учетом тог о, что ς =λ

l0 dh

,

г де d h - г идра влический диа метр ка на ла , определяемы й ка к отнош ение учетверённоё площ а ди поперечног о сеченияка на ла кег о периметру dh =

4S , Π

на ходим вы ра ж ение для г идра влическог о коэф ф иц иента сопротивления трения λ=

64 . Re

(24)

О тметим, что вы ра ж ение (24) является резуль та том точног о а на литическог о реш енияпоста вленной за да чи. М а ксима ль ноезна чение скорости теченияв труб е, достиг а емоена её оси, ра вно v max =

∆p 0 ro2 4µ

.

(25)

Сра внива я полученное вы ра ж ение (25) с вы ра ж ением для средней скорости (22), уста на влива ем весь ма полезноесоотнош ениемеж дуv max и v v max = 2 v ,

(26)

пока зы ва ю щ ее, что ма ксима ль на я скорость ровно в два ра за превосходит величинусредней скорости потока в труб е. Ра спределение да вления по длине труб ы определяется линейной за висимость ю от осевой координа ты p (z ) = p 0 − ( p 0 − p1 )

z l0

,

(27)

то есть скорость па дения да вления в потоке определяется отнош ением величины полног о па дения да вленияк длине труб ы (па дение да вленияна единиц е длины ка на ла ).

а) б) Рис.3 Проф иль скорости (а ) и эпю ра сдвиг овы х на пряж ений (б ).

28

Ра спределение на пряж ений и другие дина мические ха ра ктеристики движ ения ж идкости определяю тся компонента ми тензора на пряж ений. В случа е модели вязкой несж има емой нь ю тоновской ж идкости для ц илиндрической системы координа т они имею т вид [1:8.64,с.411] p rr = − p + 2µ

∂v r ∂r

,

 1 ∂ vθ vr  p θθ = − p + 2µ +  , r   r ∂θ

 1 ∂v r ∂ v θ v θ  p rθ = p θr = µ + −  , ∂r r   r ∂θ

p zz = − p + 2µ

 ∂v ∂v  p rz = p zr = µ r + z  , ∂r   ∂z

∂vz ∂z

,

(28)

 ∂v ∂v  p θz = p zθ = µ θ + z  . ∂θ   ∂z

Д ляра ссма трива емой за да чи подста новка реш ения (17) в ф ормулы (28) с учётом тог о, что лиш ь осева якомпонента скорости отлична от нуля, приводит квы ра ж ениям 1 dp r , p rr = p θθ = p zz = − p , p rz = p zr = −  − 2  d z 

p rθ = p θr = p θz = p z θ = 0 .

(29)

Э пю ры сдвиг овы х компонент тензора на пряж ений предста влены на рис. 3(б ). Следова тель но, сдвиг овы е на пряж ения в ж идкости пропорц иона ль ны г ра диентуда вления и ра сстоянию от оси труб ы . Э пю ра сдвиг овы х на пряж ений предста влена на рис.3. М а ксима ль ное зна чение на пряж ения имею т на стенка х труб ы . В еличина интенсивность сил трения, действую щ их на внутренней поверхности труб ы , определяетсяка са тель ны м на пряж ением на стенке τ w ≡ − p rz

r =r0

=

∆p 0 r0 2l0

.

(30)

Е сли восполь зова ть ся вы ра ж ением для средней скорости потока в труб е (22), то мож но получить ещ е одно полезное соотнош ение, связы ва ю щ ее величинуинтенсивности сил трениясо средней скорость ю τw = 4

µv r0

.

(31)

Т о есть интенсивность сил трения определяется линейной за висимость ю от скорости потока и вязкости среды и об ра тно пропорц иона ль на ра диусутруб ы . Ра счет числа Рейноль дса для оц енки возмож ности ла мина рног о реж има теченияудоб но проводить с исполь зова нием следую щ ей ф ормулы : Re =

∆p 0 ρr03 4µ 2 l 0

.

К оэф ф иц иент трениядлякруглой ц илиндрической труб ы ра ссчиты ва ется ка к отнош ение интенсивности сил трения на стенке к г идродина мическому на пору[12] cf ≡

τw 16 = . 1 2 Re ρv 2

(32)

29

Полученное вы ра ж ение позволяет уста новить ф ормулу, связы ва ю щ ую коэф ф иц иент трения c f и г идра влический коэф ф иц иента сопротивлениятрения λ , определяемы й вы ра ж ением (24), λ = 4c f

.

(33)

Д ругой не менее ва ж ной ф ормулой, исполь зуемой при проведении ра счетов г идросистем, являетсяф ормула Д а рси-В ейсб а ха [12, с.156], определяю щ а я потери да вленияпо длинетруб опровода , hg ≡

∆p0 l v2 =cf 0 . ρg r0 2 g

(34)

Ра счёт диссипа тивной ф ункц ии Рэлея, ха ра ктеризую щ ей переход меха нической энерг ии потока в тепло за счет действия сил внутреннег о трения в ж идкости, осущ ествляетсяпо ф ормуле[1, с.78-79] ∂v j 1  ∂v D( r ) ≡ 2µε ij ε ij = µ i + 2  ∂ x j ∂ xi

2

  = 1  ∆p 0  8µ  l 0 

 r  

2

,

(35)

а полна я энерг ия, переходящ а я в тепло за единиц увремени во всём об ъеме труб ы , вы числяетсяпутем интег рирова ниявы ра ж ения(35) по этомуоб ъёму π ∆p 0 r0 E& кин = −2πl 0 ∫ D( r )dr = − 12 µ l 0 0 r0

2 3

.

(36)

П рим е ч ания: 1. Д ругие вопросы и ф ормулы , которы е способ ствую т б олее г луб окому предста влению о ха ра ктере течения ж идкости и её вза имодей ствия с окруж а ю щ ими тверды ми поверхностями, студент определяет са мостоятель но, исполь зуясписоклитера туры , помещ енны й в конц еметодическог о пособ ия. 2. В случа е, ког да исследуется теченияс вра щ ением ж идкости, то необ ходимо провести вы числение момента сил, действую щ их на движ ущ ийся поток, исполь зуятот ж е метод перехода от элемента рног о уча стка ко всей поверхности, ка к и в случа е определения ра схода ж идкости через поперечное сечение труб ы . 3. После получения всех вы ра ж ений, способ ствую щ их изучению основны х за кономерностей и уста новлению особ енностей течения, необ ходимо ра зра б ота ть проект для компь ю терног о эксперимента и вы полнить ег о реа лиза ц ию с помощ ь ю персона ль ног о компь ю тера . В ка честве прог ра ммног о об еспечения рекомендуется исполь зова ть один из ма тема тических па кетов (Mathcad, Maple, Mathlab и т.п.). 13.9. В ы воды . Закл юче н и е 1. При ла мина рном реж иметечениявязкой несж има емой ж идкости в круглой ц илиндрической труб е па дение да вления пропорц иона ль но секундному об ъёмудвиж ущ ейсяж идкости и длине труб ы , а та кж еоб ра тно пропорц иона ль но четвёртой степени её ра диуса .

30

2. При за да нном перепа де да вления об ъёмны й ра сход ж идкости в труб епропорц иона лен четвертоё степени ра диуса труб ы и об ра тно пропорц иона лен её длине. 3. Проф иль скорости является па ра б олическим, а её ма ксима ль ное зна чение достиг а етсяна оси труб ы и определяетсявы ра ж ением (25). 4. И зменение да вления в круглой ц илиндрической труб е происходит по линейномуза кону, от ег о на ча ль ног о зна чения p 0 до зна ченияна вы ходе p1 с постоянны м г ра диентом, определяемы м отнош ением перепа да да вления к длинетруб ы . В лю б ом ортог она ль ном сечении труб ы да влениепостоянно. 5. Э пю ра сдвиг овы х на пряж ений предста вляет соб ой линейную за висимость – от нулевог о зна чения на оси труб ы до ма ксима ль ног о зна чения на её стенка х, определяемог о вы ра ж ением (30). 6. М а ксима ль ное зна чение скорости ровно в два ра за превосходит средню ю скорость потока . 7. При увеличении вязкости ж идкости величина скорости, её среднее и ма ксима ль ное зна чения, об ъёмны й ра сход и диссипа ц ия меха нической энерг ии умень ш а ю тся, а сдвиг овы е на пряж ения в ж идкости и трение на стенка х труб ы неизменяю тся. 8. При за да нном перепа деда вленияс ростом ра диуса труб ы ра сход возра ста ет в б иква дра тичной за висимости. 9. К оэф ф иц иент г идра влическог о сопротивления тренияоб ра тно пропорц иона лен числу Рейноль дса с коэф ф иц иентом пропорц иона ль ности, ра вны м 64. 10. Д иссипа ц ия меха нической энерг ии пропорц иона ль на ква дра ту перепа да да вления и куб ура диуса труб ы и об ра тно пропорц иона ль на её длине и вязкости текущ ей ж идкости. 11. При ла мина рном ста ц иона рном реж име движ енияж идкости в прямой труб е круговог о сечения ни одна из вы численны х кинема тических и дина мических ха ра ктеристикнеза висит от плотности ж идкости. 14. Ре к ом е ндации по ис по льзо ванию пак е т а Mathcad. С ц ель ю исследова ниявида проф илей скорости и эпю р сдвиг овы х на пряж ений, а та кж е ра счета основны х ха ра ктеристик потока в за висимости от ег о па ра метров исполь зуется ма тема тический па кет Mathcad (См., на пример, Гурский Д .А . В ы числения в MathCAD. М инск: Н овое зна ние, 2003. 814 с.). За да ниена вы полнениереш енияза да чи в Mathcad’есостоит из двух ча стей. Д окумент Mathcad’а долж ен содерж а ть загол овок, вклю ча ю щ ий номер и « ш а пку» реш а емой за да чи, ф а милию , имя и отчество, курс и номер г руппы студента , вы полняю щ ег о реш ение. После этог о ука зы ва ю тся входн ы е дан н ы е задачи , определенны е студентом са мостоятель но, и числовы е зна чения с соответствую щ ими коммента риями об их содерж а тель ном смы сле. Т реб уется за писа ть та кж е единиц ы измерений для ка ж дой из исполь зуемы х величин. В пе рвой част и задан и я идет ра здел с орг а низа ц ией вы числений скорости, да вления и сдвиг овы х на пряж ений на основе полученног о аналит ичес ко го реш ения за да чи. Д а леев этом ра зделе строятсясоответствую щ ие графики, а та кж е

31

ра ссчиты ва ю тся основны е ха ра ктеристики потока и вы водятся их числовы е зна чения. В конц еэтог о ра здела строитсяграфик з ав ис им о с т ико эффициент а с о п ро т ив ления от числа Рей ноль дса и, возмож но, других па ра метров течения. В се г ра ф ики долж ны иметь удоб ную длявосприятияразмет куи иметь п о дрис уно чные п о дп ис и. В о вт орой част и задан и я в документе приводится численное реш ение полученной двухточечной кра евой за да чи с помощ ь ю встроенны х ф ункц ий интег рирова ния за да ч для об ы кновенны х диф ф еренц иа ль ны х ура внений или ура внений в ча стны х производны х па кета Mathcad. При вы полнении этой ча сти за да ния рекомендуется са мостоятель но озна комить ся с примера ми, приведенны ми в QuickSheets, и продела ть их в ка честве контроль ны х тестов. Пример вы полненияза да нияв па кетеMathcad приведенв отдель ном листинг е. 15. Таблицы не к о т о рых физич е с к их с во йс т в ж идк о с т е й (во да) № п/п

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16. 17.

О бо зна ч Н а именова ние ение Плотность ρ В язкость µ К оэфф иц иент кинема тиче- ν ской вязкости К оэфф иц иент σ поверхностног о на тяж ения К оэфф иц иент тепловог о β об ъемног о ра сш ирения К оэфф иц иент теплопро- λ водности У дель на ятеплоёмкость сp Д иэлектрическа я прони- ε ц а емость М а г нитна япрониц а емость Т емпера тура кипения Т кип У дель на я теплота па рооб - ξ ра зова ния Т емпера тура за мерза ния Т отв У дель на я теплота пла вле- ξпл ния К оэфф иц иент сж има емо- κ сти Число Пра ндтля Pr М олярна яконц ентра ц ия Co К онста нта скорости дис- k1 соц иа ц ии молекул воды К онста нта рекомб ина ц ии k2 протонов и ионов г идроксила

Числовое зна чение

Е диниц а измерения

Примеча ния

И сточник

Т =300 К Т =300 К

[24], [49] [24], [49] В ы числ.

0.9971⋅103 0.89⋅10-3 0.89310-6

кг/м 3 кг/м ⋅с м 2 /с

0.0727

н/м

0.00019

К

0.609

Вт /м ⋅К

[49]

0.00418 0.717⋅10-9

Ф /м

Т =293 К

[24], [49] [24]

373 6 2.26⋅10

K Д ж /кг

При н.у.

273 3.33⋅105

K Д ж /кг

При н.у.

0.47⋅10

-9

[24]

-1

Па

[24], [49]

[24] [49]

[49]

-1

[24]

7 5 0.556⋅10 -5 2⋅10

м о ль/м -1 с

1.3⋅108

м 3 /м о ль⋅с

3

В ы числ. А .И .В .

32 16. Лис т ингпак е т а Mathcad

Лам и н арн ое т е че н и е ж и дкост и в кру гл ой ци л и н дри че ской т ру бе под де йст ви е м задан н огопе ре пада давл е н и я И .О . Ф а милия3к. г р. мех Ис хо дныеданные: - ш ирина ка на ла , м

r0 := 0.1

- длина ка на ла , м

L0 := 1 5

- да влениена входев ка на л, Па =н/м2

P0 := 1 ⋅ 10

5

P1 := 0.999998⋅ 10

ра б очеетело

- да влениена вы ходеиз ка на ла , Па

- вода

µ := 0.001

- коэф ф иц иент вязкости, кг /м.с

ρ := 1000

- плотность воды , кг /м3

h := 1

- толщ ина слоя, м

n := 10

- количество точеквдоль ра диа ль ной коордиг а ты

m := 10

- количество точеквдоль осевой коордиг а ты

Ре ше ниезадач и: ξ := 0,

1 n

ζ := 0,

(

.. 1

V( ξ) :=

1

P( ζ) := 1 − ζ

m

.. 1

1 4

)

2

⋅ 1−ξ

0.3

1

0.24

0.8

0.18

0.6

V( ξ)

P( ζ) 0.12

0.4

0.06

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ξ

Рис 1. И зменениескорости в сечении труб ы .

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ζ

Рис 2. И змененниеда влениявдоль труб ы

33

Ан али з по луч е н н о го ре ше ния ∆P := P0 − P1 4

Q :=

π ⋅ ∆P ⋅ r0

8 ⋅ µ ⋅ L0 2

Uc :=

∆P ⋅ r0

8 ⋅ µ ⋅ L0

б е, н/м2 - перепа д да вленияв тру

∆P = 0.2

- ра сход ж идкости, м3/с

Q = 7.854× 10

- средняяскорость , м/с

Uc = 0.25

−3

2

Umax:= k :=

∆P ⋅ r0

4 ⋅ µ ⋅ L0

Umax

r0 .. r0 n

u(r) :=

∆P 4 ⋅ µ ⋅ L0

(

2

)

2

⋅ r0 − r

Prz(r) :=

−∆P ⋅r 2 ⋅ L0 Shear stress epure

0.6

0

0.45

0.0025

shear stress

velpcity

Velocity profile

u(r)

0.3 0.15 0

0

0.025 0.05 0.075 0.1

Prz(r)

0.005 0.0075 0.01

0

r radius

Рис.3. Проф иль скорости потока τ_w:=

∆P ⋅ r0 2 ⋅ L0

0.025 0.05 0.075 0.1 r radius

Рис.4. Э пю ра сдвиг овы х на пряж ений

−3 б ы , н/м2 - сила тренияна единиц уплощ а ди стенки тру τ_w = 10× 10 3

Re :=

Umax= 0.5

- отнош ениема ксима ль ной скорости к среднейk = 2

Uc

r := 0,

- ма ксима ль на яскорость течения, м/с

∆P ⋅ ρ ⋅ r0

- число Рейноль дса

2

4

Re = 5 × 10

4 ⋅ µ ⋅ L0 2

D :=

12⋅ µ ⋅ L0 64 Re 96

Cf := λ :=

3

π ⋅ ∆P ⋅ r0

Re

- диссипа ц иямеха нической энерг ии в ка на ле D = 0.01 - коэф ф иц иент сопротивлениятрения

−3

Cf = 1.28× 10

−3 - коэф ф иц иент г идра влическог о сопротивлениятрения λ = 1.92× 10

Re

34

Чи сл е н н ое ре ш е н и е задачи с помощ ь ю фу н кци и Odesolve Given d

2

dt

2

V(t) +

1 d ⋅ V( t) t dt

−1

V'(0.00000000001 ) 0

V( 1)

0

V := Odesolve( t , 1)

Velocity profile

velocity

0.2 V( t )

0.1

0

0.1

0

0.25

0.5

0.75

1

t radius

Рис.3 Проф иль скорости теченияпри численном реш ении

В ы воды :

1. Проф иль скорости являетсяпа ра б олическим. 2. Э пю ра сдвиг овы х на пряж енияв потокелинейна и симметрична относитель но оси. 3. Д иссипа ц иямеха нической энерг ии в ка на ленезна читель на . 4. Ра сходж идкости б иква дра тичен относитель но диа метра труб ы . 5. Па дениеда вленияпропорц иона ль но ра сходуж идкости или средней скорости и об ра тно пропорц иона ль но четвертой степени диа метра труб ы . 6. К оэф ф иц иент г идра влическог о сопротивлениясовпа да ет с та б личны м зна чением, взяты м из спра вочника И дель чика . 7. А на лиическоеи численноереш енияполность ю совпа да ю т. 8. Ф ункц ияра б ота ет неустойчиво, та кпри умень ш ениииш ирины ка на ла , вязкости ж идкости или увеличении перепа да да вленияреш ениеполучить невозмож но. 9. Н а основа нии на йденног о реш енияза труднитель но получить ра счет других па ра метров

35 О с но вная лит е рат ура 1. 2. 3.

Ла нда уЛ.Д . Т еоретическа я ф изика / Л.Д . Ла нда у, Е .М . Ливш иц : в 10 т. - М .: Н а ука , 2001. - Т .6. Гидродина мика . - 736 с. Лойц янский Л.Г. М еха ника ж идкости и г а за / Л.Г. Лойц янский. М .: Н а ука , 1987. - 840 с. БетчелорД ж . В ведениев дина микуж идкостей / Д ж . Бетчелор. - М .: М ир, 1973. - 760 с. Д о по лнит ельная ли т е рат ура, ис по льзуе м ая при по с т ано вк езадач

4.

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

19.

20. 21. 22. 23. 24. 25.

Белолипец кий В .М . М а тема тическое моделирова ние течений стра тиф иц ирова нной ж идкости /В .М .Белолипец кий , В .Ю .К остю к, Ю .И .Ш окин. Н овосиб ирск: Н а ука , 1991. 176 с. В а лла ндер С.В . Лекц ии по г идромеха нике/ С.В .В а лла ндер. Л.: ЛГУ , 1978. - 296 с. В а рг а ф тик Н .Б. Спра вочник по теплоф изическим свой ства м г а зов и ж идкостей / Н .Б. В а рг а ф тик. М .: Н а ука , 1972. - 720 с. Стра тиф иц ирова нны е течения / О .Ф . В а силь ев, К вон В .И ., Лы ткин Ю .М . и др. // И тог и на уки и техники. Сер. Гидромеха ника . - М ., 1975. - Т .8. - С.74-131. В улис Л.А . Т еория струй вязкой ж идкости / Л.А . В улис, В .П. К а ш ка ров. - М .: Н а ука , 1965. - 432 с. Га б ов С.А . За да чи дина мики стра тиф иц ирова нны х ж идкостей / С.А . Га б ов, А .Г. Свеш ников. М .: Н а ука , 1986. – 286 c. Герш уни Г.З. У стойчивость конвективны х течений / Г.З. Герш уни, Е .М . Ж уховиц кий, А .А . Н епомнящ ий. - М .: Н а ука , 1989. - 320 с. Гинзб ург И .П. Т еория сопротивления и теплопереда чи / И .П.Гинзб ург . - Л.: ЛГУ , 1970. – 320 с. Гирг идов А .Д . Т ехническа я меха ника ж идкости и г а за / А .Д .Гирг идов. - СПб .: И зд-во СГТ У , 2001. - 395 с. Д орф ма н Л.А . Гидродина мическое сопротивление и теплоотда ча вра щ а ю щ ихся тел / Л.А . Д орф ма н. - М .: Ф изма тг из, 1960. - 260 с. Е мц ев Б .Т . Т ехническа яг идромеха ника / Б .Т . Е мц ев. - М .: В ы сш а яш кола , 1978. - 463 с. Е рош енко В .М . Гидродина мика и теплома ссооб мен на прониц а емы х поверхностях / В .М . Е рош енко, Л.И .За йчик. - М .: Н а ука, 1984. - 275 с. Ж уковский Н .Е . Лекц ии по г идродина мике / Н .Е . Ж уковский. - М .: Гостехизда т, 1948. 358 с. Зель дович Я .Б. И зб ра нны е труды . Химическа я ф изика и г идродина мика / Я .Б. Зель дович. - М .: Н а ука , 1984. - 374 с. Зна менский В .А . Т очное реш ение за да чи движ ения вязкой несж има емой ж идкости в полупризма тической труб е / В .А . Зна менский // Прикла дна я меха ника . - 1980. - Т .16, № 9. - С.141-142. Зна менский В .А . Т очное реш ение за да чи движ ения вязкой несж има емой ж идкости в угловом за зоре / В .А . Зна менский // Прикла дны е за да чи меха ники сплош ны х сред. В оронеж : изд-во В оронеж . г ос. ун-та , 1988. - С.63-65. Зна менский В .А . Т очны е а на литические реш ения ура внений Н а вь е-Стокса / В .А . Зна менский, Е .Н . К орж ов. - В оронеж : В ГУ , 1990. - 8 с. И дель чик И .Е . Спра вочник по г идродина мическим сопротивлениям / И .Е . И дель чик. М .: М а ш иностроение, 1992. - 672 с. К очин Н .Е . Т еоретическа я г идромеха ника : в 2-х ча стях / Н .Е . К очин, И .А . К иб ель , Н .Е . Розе. - М .: Н а ука , 1963. - Ч.2. - 728 с. К ута тела дзеС.С. Т еплопереда ча и г идродина мическоесопротивление: Спра в. пособ ие/ С.С. К ута тела дзе. - М .: Э нерг оа томизда т, 1990. - 367 с. К ухлинг Г. Спра вочникпо ф изике/ Г. К ухлинг . - М .: Н а ука, 1985. - 520 с. Ла нда уЛ.Д . Т еоретическа я ф изика / Л.Д . Ла нда у, Е .М . Ливш иц : в 10 т. - М .: Н а ука, 2001. - Т .8. Э лектродина мика сплош ны х сред. - 624 с.; Т .10. Ф изическа якинетика . - 528 с.

36 26. Ла нда уЛ.Д . М еха ника сплош ны х сред / Л.Д .Ла нда у, Е .М .Ливш иц . - М .: ГИ Т Т Л, 1953. 788 с. 27. Левич В .Г. Ф изико-химическа я г идродина мика /В .Г. Левич. - М .: Ф изма тг из,1959. - 700 с. 28. М иг ун Н .П. Гидродина мика и теплооб мен г ра диентны х течений микроструктурной ж идкости / Н .П. М иг ун, В .В . Прохоренко. - М инск: Н а ука и техника , 1984. - 264 с. 29. Н иг ма тулин Р.И . М еха ника мног оф а зны х сред / Р.И . Н иг ма тулин: В 2-х ча стях. - М .: Н а ука , 1987. –Ч.1. – 464 с. – Ч.2. -360 с. 30. О стровский Г.М . Прикла дна я меха ника неоднородны х сред / Г.М . О стровский. - СПб .: Н а ука , 2000. - 359 с. 31. Па тра ш ев А .Н . Прикла дна я г идромеха ника / А .Н . Па тра ш ев, Л.А . К ива ко, С.И . Гож ий. - М .: В оенизда т, 1970. - 684 с. 32. Сб орник за да ч по г идродина мике / Под ред. Л.В . О всянникова . - Н овосиб ирск: Н ГУ , 1974. - 45 с. 33. Седов Л.И . М еха ника сплош ной среды / Л.И . Седов: В 2 т. - М .: Н а ука , 1994. - 528+560 с. 34. Слезкин Н .А . Д ина мика вязкой ж идкости / Н .А . Слезкин. - М .: ГИ Т Т Л, 1955. - 520 с. 35. Соковиш ин Ю .А . Гидродина мика и г а зодина мика в примера х и за да ча х / Ю .А . Соковиш ин. - Л.: ЛГУ , 1973. - 132 с. 36. Т а рг С.М . О сновны е за да чи теории ла мина рны х течений / С.М . Т а рг . - М ., Л.: ГИ Т Т Л, 1951. - 420 с. 37. Ф едяевский К .К . Гидромеха ника / К .К . Ф едяевский, Я .Н . В ой кутский , Ю .И . Ф а ддеев. Л.: Судостроение, 1968. - 568 с. 38. Ф ра нк-К а менец кий Д .А . Д иф ф узия и теплопереда ча в химической кинетике / Д .А . Ф ра нк-К а менец кий. - М .: Н а ука , 1987. - 502 с. 39. Холпа нов А .П. Гидродина мика и теплома ссооб мен с поверхность ю ра здела / А .П. Холпа нов, В .Я . Ш ка дов. - М .: Н а ука , 1990. - 386 с. 40. Химическа я г идродина мика : Спра в. пособ ие / А .М . К утепов, А .Д . Полянин, З.Д . За прянов и др. - М .: Б ю ро К ва нтум, 1996. - 336 с. 41. Черкесов Л.В . О сновы дина мики несж има емой ж идкости / Л.В . Черкесов. - К иев: Н а укова Д умка , 1984. - 168 с. 42. Ш ка дов В .Я . Т ечения вязких ж идкостей / В .Я . Ш ка дов, З.Д .За прянов. - М .: М ГУ , 1984. - 200 с. 43. Я б лонский В .С. Сб орник за да ч и упра ж нений по технической г идромеха нике / В .С. Я б лонский, И .А . И са ев. - М .: Ф изма тг из, 1963. - 200 с. 44. Бернулли Д . Гидродина мика или за писки о сила х и движ ениях ж идкости / Д . Бернулли. - М .: изд-во А Н СССР, 1959. - 551 с. 45. Берд Р. Я вленияпереноса / Р. Берд, В .Сть ю а рт, Е . Ла йтф ут. - М .: Химия, 1974. - 688 с. 46. Боядж иев Х. М а ссоперенос в движ ущ ихся пленка х ж идкости / Х. Боядж иев, В . Беш ков. - М .: М ир, 1988. - 136 с. 47. Д ейли Д ж . М еха ника ж идкости / Д ж . Д ей ли, Д . Ха рлема н. - М .: Э нерг ия, 1971. – 480 с. 48. Э ринг ен А .К . Т еориямикрополярны х ж идкостей // М еха ника . – 1969. - № 4. - С.79-93 49. Своб одноконвективны е течения, тепло- и ма ссооб мен / Б. Геб ха рт, Й . Д ж а лурия, Р. М а ха дж а н. и др.: в 2-х книг а х. - М .: М ир, 1991. - 678+528 с. 50. Гупта А . За крученнны епотоки / А . Гупта , Д . Лилли, Н . Са йред. - М .: М ир, 1987. - 588 с. 51. Ха ппель Д ж . Гидродина мика при ма лы х числа х Рейноль дса / Д ж . Ха ппель , Г.Бреннер. М .: М ир, 1975. - 632 с. 52. Ха нт Д .Н . Д ина мика несж има емой ж идкости / Д .Н . Ха нт. - М .: М осква , 1967. - 184 с. 53. Д ж озеф Д . У стой чивость движ ений ж идкости / Д . Д ж озеф . - М .: М ир, 1981. - 640 с. 54. К неппР. К а вита ц ия/ Р. К непп, Д ж .Д ейли, Ф .Хэммитт. - М .: М ир, 1974. - 688 с. 55. Ла мб Г. Гидродина мика / Г. Ла мб . - М .; Л.: ГИ Т Т Л, 1947. - 928 с.

37 56. Ле М еоте Б. В ведение в г идродина микуи теорию волн на воде/ Б. ЛеМ еоте. - Л.: Гидрометеоизда т, 1974. - 568 с. 57. М илн-Т омпсон Л.М . Т еоретическа я г идродина мика / Л.М . М илн-Т омпсон. - М .: М ир, 1964. - 655 с. 58. Современное состояние г идроа эродина мики вязкой ж идкости: в 2-х Т . / Под ред. С.Голь дш тейна . - М .: ГИ И Л, 1948. - 785 с. 59. Ба й Ш и-и. Т еорияструй / Ш и-и Б а й. – М .: Ф изма тг из, 1960. - 328 с. 60. Педлоски Д ж . Геоф изическа я г идродина мика / Д ж . Педлоски: В 2-х Т . - М .: М ир, 1984. - 801 с. 61. Plesset M.S. Bubble dynamic and cavitation / M.S. Plesset, A. Prosperetti // Ann. Rev. Fluids Mech. - 1977. - V. 9. - P.145-185. 62. Пра ндтль Л. Гидроа эромеха ника / Л. Пра ндтль . - М .: И И Л, 1949. - 520 с. 63. Пра удма н И . Ра злож ения по ма лы м числа м Рейноль дса в за да ча х об тека ния сф еры и круговог о ц илиндра / И . Пра удма н, Д ж . Пирсон // М еха ника . – 1958. - № 2(48). – с.237262. 64. Probstein R.F. Physico-chemical hydrodynamics: an introduction. - 2th ed. - New York e.a.: Wiley, 1994. - 406 p. 65. Рид Р. Свой ства г а зов и ж идкостей / Р. Рид, Д ж . Пра усниц , Т . Ш ервуд. - Л.: Химия, 1982. - 591 с. 66. Рича рдсон Э . Д ина мика реа ль ны х ж идкостей / Э . Рича рдсон. - М .: М ир, 1965. - 328 с. 67. Ш лихтинг Г. Т еорияпог ра ничног о слоя/ Г. Ш лихтинг . - М .: Н а ука , 1974. - 744 с. 68. Ш ервуд Т . М а ссопереда ча / Т . Ш ервуд, Р. Пиг ф орд, Ч.У илки. - М .: Химия, 1982. - 696 с. 69. Слеттери Д ж . Т еория переноса импуль са , энерг ии и ма ссы в сплош ны х среда х / Д ж . Слеттери. - М .: Э нерг ия, 1078. - 448 с. 70. СоуС. Гидродина мика мног оф а зны х систем / С. Соу. - М .: М ир,1971. - 536 с. 71. В а н - Д а йк М . М етоды возмущ ений в меха нике ж идкости / М . В а н - Д а йк. - М .: М ир, 1967. – 312 с. 72. В а н - Д а й кМ . А ль б ом течений ж идкости и г а за / М . В а н - Д а й к. - М .: М ир, 1986. -182 с. 73. К олодеж нов В .Н . Т еоретическа я меха ника в за да ча х ста тики на вза имодействие тел с ж идкость ю / В .Н . К олодеж нов. – В оронеж , 2000. 160 с.

38

СО Д Е РЖ А Н И Е Стр.

О б щ иеметодическиеука за ниякреш ению за да ч.......................................... 1. Д виж ениеж идкости меж дупа ра ллель ны ми плоскими стенка ми ....... 2. Д виж ениеж идкости в прямы х и коль ц евы х труб а х ............................. 3. В ра щ а тель ны едвиж енияж идкости ........................................................ 4. Спира ль ны етеченияж идкости ............................................................... 5. Плёночны етеченияж идкости со своб одной поверхность ю ................ 6. Д вухслойны етеченияж идкости ............................................................. 7. Ра зны еза да чи о движ ениях тел в вязкой ж идкости .............................. 8. К онвективны етечениявязкой ж идкости ............................................... 9. Т еченияв система х с прониц а емы ми поверхностями .......................... 10. Реш ениеа втомодель ны х кра евы х за да чс помощ ь ю численны х методов ..................................................................................................... 11. Н еста ц иона рны едвиж ениявязкой несж има емой ж идкости ................ 12. За да чи вы числитель ной г идродина мики ................................................ 13. Пример вы полненияиндивидуаль ног о за да ния.................................... 13.1. Ра зра б отка за да ниядляисследова ния.......................................... 13.2. Ф ормулировка конц ептуаль ной модели течения......................... 13.3. Построениема тема тической модели ............................................ 13.4. И сследова ниеполученной ма тема тической модели ................... 13.5. Преоб ра зова ниема тема тической модели ..................................... 13.6. Н а хож дениереш ениядвухточечны х кра евы х за да ч................... 13.7. А на лиз полученног о реш ения........................................................ 13.8. В ы числениеосновны х ха ра ктеристикпотока .............................. 13.9. В ы воды . За клю чение. ..................................................................... 14. Рекоменда ц ии по исполь зова нию па кета Mathcad ................................ 15. Т а б лиц ы некоторы х ф изических свойств ж идкостей ........................... 16. Листинг па кета Mathcad с численны м а на лизом за да чи ....................... О сновна ялитера тура ......................................................................................... Д ополнитель на ялитера тура , исполь зуема япри поста новки за да ч .............

3 4 5 8 8 9 11 12 14 15 16 17 18 20 20 20 20 22 22 24 24 25 29 30 31 32 35 36

39

Соста витель К орж ов Е вг ений Н икола евич Реда кторТ ихомирова О .А .