Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания и контрольные задания для студентов заочного обучения.
Федеральное агентство по образованию Восточно-Сибирский государственный технологический университет
Составители: А.А. Бадлуева, Л.В. Бурлова
Теория вероятностей И математическая статистика Методические указания и контрольные задания для студентов заочного обучения
Составители: Бадлуева А.А. Бурлова Л.В.
Подписано в печать 29.12.2004 г. Формат 60 х 84 1/16. Объем в усл. п.л. 3,72, уч.-изд.л. 3,5. Тираж 200 экз. Заказ № 216 Издательство ВСГТУ. г.Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40 в
Издательство ВСГТУ Улан-Удэ, 2004
Данные методические указания содержат варианты контрольных заданий и краткие теоретические сведения, которые нужно рассматривать как дополнение к имеющимся учебникам по теории вероятностей и математической статистике. Номер варианта выполняемой контрольной работы выбирается в соответствии с последней цифрой номера зачетной книжки. Ключевые слова: вероятность случайного события, случайные величины, закон распределения, числовые характеристики случайных величин, статистическое оценивание законов и параметров распределения, корреляция.
Комбинаторика Соединениями называют различные группы, составленные из каких-либо объектов. Элементами называются объекты, из которых составлены соединения. Различают следующие три вида соединений: перестановки, размещения, сочетания. Перестановками из n элементов называют соединения, содержащие все n элементов и отличающиеся между собой лишь порядком. Число перестановок из n элементов находится по формуле Pn = n! . Размещениями из n элементов по m в каждом называют такие соединения, в каждое из которых входят m элементов, взятых из данных n элементов и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения. Число размещений из n элементов по m находят по формуле
Anm = n(n − 1)(n − 2)...[n − (m − 1)]
или
Anm =
n! . (n − m)!
Сочетаниями из n элементов по m называют соединения, в каждое из которых входят m элементов, взятых из данных n элементов и которые отличаются друг от друга, по крайней мере, одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m находят по формуле
Anm C = Pm m n
или Cnm =
n! . m!(n − m)!
При решении задач полезно использовать равенство
C =C m n
n−m n
. Правило суммы. Если элемент А1 может быть выбран n1 способами, элемент А2 – другими n2 способами, А3 – отличными от первых двух n3 способами и т.д., Ак – nк способами, отличными от первых (к-1), то выбор одного из элементов: или А1, или А2, …, Ак может быть осуществлен n1+n2+…+nк способами. Правило произведения. Если элемент А1 может быть выбран n1 способами, после каждого такого выбора элемент А2 может быть выбран n2 способами и т.д., после каждого (к-1) выбора элемент Ак может быть выбран nк способами, то выбор всех элементов А1,А2,…Ак в указанном порядке может быть осуществлен n1 ⋅ n2 ⋅ ⋅ ⋅ nк способами. Пример 1. Менеджер ежедневно просматривает 6 изданий экономического содержания. Если порядок просмотра
A103 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 . Пример 3. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человека на одинаковые должности, все 10 кандидатов имеют равные шансы. Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов? Решение. Состав различных групп должен отличаться по крайней мере хотя бы одним кандидатом и порядок выбора не имеет значения, следовательно, этот вид соединений представляет собой сочетания.
C103 =
10! 8 ⋅ 9 ⋅ 10 = = 120 . 3! 7! 1 ⋅ 2 ⋅ 3
изданий случаен, то сколько существует способов его осуществления? Решение. Способы просмотра изданий различаются только порядком, составы изданий при каждом способе неизменны. Следовательно, при решении этой задачи необходимо рассчитать число перестановок Р6 = 6!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 720 . Пример 2. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человека на различные должности, все 10 кандидатов имеют равные шансы. Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов? Решение. Так как группы по 3 человека могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т.е. порядком, то необходимо рассчитать число размещений из 10 элементов по 3.
Вероятность случайного события Для количественного описания степени возможности появления любого случайного события А в рассматриваемом эксперименте (опыте, испытании) находится специальная числовая функция Р(А), называемая вероятностью события А.
P( A) =
m , n
где n – число возможных исходов, m – число исходов, благоприятствующих наступлению события А. 0 ≤ P( A) ≤ 1 .
Пример 1. Из 30 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных 3 окажется в черте города. Решение. Событие А={3 сбербанка из отобранных 5 расположены в черте города}. Общее число исходов n равно 5 C20 , благоприятствующих появлению события А равно
C103 ⋅ C102 . 10 ⋅ 9 ⋅ 8 10 ⋅ 9 ⋅ C ⋅C 2 ⋅ 3 2 P ( A) = = = 0,348 . 5 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 C20 2⋅3⋅ 4⋅5 3 10
Полная вероятность При решении ряда задач рассматриваемое событие удобно представлять через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью допустимых алгебраических операций. Используются следующие формулы: P ( A) + P ( A ) = 1;
P ( A + B) = P( A) + P ( B), если А и В несовместны; P ( A + B) = P( A) + P ( B) − P( AB), если А и В совместны; Р ( А ⋅ В ) = Р ( А) ⋅ Р ( В ), если А и В независимы; Р ( АВ) = Р( А) ⋅ РА ( В) = Р( В) ⋅ РВ ( А), если А и В зависимые.
2 10
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула
полной
вероятности
-
к
Р( А) = ∑ P( H i ) ⋅ PH i ( A) ,
где
события
Н1,
Н2,…,Нк,
i =1
называемые гипотезами по отношению к событию А, попарно несовместны и в сумме дают достоверное событие. Формула Байеса PA ( H i ) = =
P( H i ) ⋅ PH i ( A)
P( A) P( H i ) ⋅ PH i ( A)
=
P( H1 ) ⋅ PH 1 ( A) + P( H 2 ) ⋅ PH 2 ( A) + ... + P( H к ) ⋅ PH к ( A)
.
Пример 1. Покупатель может приобрести акции 2 компаний А и В. Надежность 1-й оценивается экспертами
на уровне 90%, а 2-й – 80%. Чему равна вероятность того, что: а) обе компании в течение года не станут банкротами; б) наступит хотя бы одно банкротство? Решение. А={компания А не станет банкротом} В={компания В не станет банкротом} A ={компания А- банкрот} B ={компания В- банкрот} Р(А)=0,9 Р(В)=0,8 Событие С={обе компании не банкроты} С=АВ, А и В независимые, следовательно Р(С)=Р(А)·Р(В)=0,9·0,8=0,72. Р( A )=1-0,9=0,1 Р( B )=1-0,8=0,2. Д={наступит хотя бы одно банкрот} Д=А B + A В+ A · B Р(Д)= Р(А B )+Р( A В)+Р( A · B )=
=Р(А)·Р( B )+Р( A )·Р(В)+ Р( A )·Р( B ); Р(Д)=0,9·0,2+0,1·0,8+0,1·0,2=0,28. Пример 2. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнил мужчина? Решение. Событие А= {случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию}. Повторные события Проводится n независимых испытаний, в результате которых событие А может появиться с вероятностью р и не появиться с вероятностью q=1-p. Тогда, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаний ровно к раз равна
Pк (n) = Cnк р к q n − к - формула Бернулли. Пример. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2. найти вероятность того, что из восьми малых предприятий за время t сохранятся: а) два; б) более двух.
Н1= {случайно извлеченная анкета заполнена мужчиной}. Н2= {случайно извлеченная анкета заполнена женщиной}. 5 1 15 3 P ( H1 ) = = P( H 2 ) = = 20 4 20 4 PH 1 ( A) = 0,4 PH 2 ( A) = 0,3 1 3 ⋅ 0,4 + ⋅ 0,3 = 0,325. 4 4 Найдем вероятность того, что случайно извлеченную анкету, содержащую негативную реакцию, заполнил мужчина по формуле Байеса 1 P ( H1 ) ⋅ PH 1 ( A) 4 ⋅ 0,4 PA ( H1 ) = = = 0,308. P( A) 0,325 P ( A) = P( H1 ) ⋅ PH 1 ( A) + P ( H 2 ) ⋅ PH 2 ( A) =
Решение. По формуле Бернулли найдем вероятность того, что из 8 предприятий за время t сохраняться два предприятия. Вероятность быть банкротом = 0,2, значит, вероятность не быть банкротом равна 1-0,2=0,8. а) 8! Р2 (8) = С82 ⋅ 0,82 ⋅ 0,28 − 2 = ⋅ 0,64 ⋅ 0,26 = 2! 6! 7 ⋅8 = ⋅ 0,64 ⋅ 0,000064 = 0,0011. 2 б) Р8 (> 2) = 1 − P8 (≤ 2) = 1 − P8 (0) − P8 (1) − P8 (2) = = 1 − 0,28 − 8 ⋅ 0,8 ⋅ 0,27 − 0,0011 = = 1 − 0,000003 − 0,000082 − 0,0011 = 0,9988.
Случайные величины Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно – заранее неизвестно). Примеры случайных величин: 1) число родившихся детей в течение суток в городе; 2) количество бракованных изделий в данной партии; 3) число произведенных выстрелов до первого попадания; 4) расход электроэнергии на предприятии за месяц. Случайная величина Х называется дискретной, если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное.
Случайная величина Х называется непрерывной, если множество ее значений принадлежит конечному или бесконечному интервалу. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины есть ряд распределения. Х:
х1 р1
Числовые величины.
M (X ) =
i =1
Д ( X ) = M ( X 2 ) − [M ( X )]
характеристики
xi pi дискретной
… …
xn pn случайной
F ( x) = P( X < x) функция
распределения случайной величины Р ( х1 ≤ Х ≤ х2 ) = F ( x2 ) − F ( x1 ) Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке. Плотность распределения непрерывной случайной величины f(x)=F/(x). Числовые характеристики непрерывной случайной величины
∫ x f ( x)dx
−∞
2
Д ( Х ),
… …
∞
n
M ( X ) = ∑ xi pi
σ (X ) =
х2 … р2 …
∞
Д(Х ) =
∫x
2
f ( x)dx − [M ( X )]
2
σ (Х ) =
Д(Х )
−∞
β
Р (α < Х < β ) =
∫α f ( x)dx.
Пример 1. Сделано два высокорисковых вклада 10 тыс.руб. в компанию А и 15 тыс.руб. – в компанию В. Компания А обещает 50% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,2. Компания В обещает 40% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,15. составить закон распределения случайной величины – общей суммы
прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год и найти математическое ожидание.
pi
∑p
i
Решение. Случайная величина Х – общая сумма прибыли (убытка) от двух компаний через год. Возможные значения Х: -25, -10, -4, -11. Х=-25 (обе компании «лопнули») Х=-10 (компания А выплатила 5 тыс. (50% годовых), компания В «лопнула») Х=-4 (компания А «лопнула», компания В выплатила 40% годовых=6 тыс.руб.) Х=11 (компания А выплатила 5 тыс. (50% годовых) и компания В 6 тыс. (40% годовых) P ( X = −25) = 0,2 ⋅ 0,15 = 0,03 P( X = −4) = 0,2 ⋅ 0,85 = 0,17
P ( X = −10) = 0,8 ⋅ 0,15 = 0,12
Х: xi Решение.
-25
P( X = 11) = 0,8 ⋅ 0,85 = 0,68
-10
-4
0,12
0,17
= 1. 4
M ( X ) = ∑ xi pi = −25 ⋅ 0,03 + (−10) ⋅ 0,12 − 4 ⋅ 0,17 + i =1
+ 11 ⋅ 0,68 = 4,85 тыс. руб. Пример 2. Случайная величина задана функцией распределения 0, x ≤ 2 x 3 − 8 ,2< x≤3 F ( x) = 19 1, x > 3 Найти: а) f(x) б) P(2,5<X<3) в) М(Х), Д(Х), σ(Х).
∞
a ) f ( x) = F ′( x), P(α < X < β ) =
∫α f ( x)dx
0, x ≤ 2 3 x 2 , 2< x<3 f ( x) = 19 0, x > 3 3
3x 2 3 x3 б ) P(2,5 < X < 3) = ∫ dx = 19 19 3 2,5
0,68
11
β
=
0,03
в) M ( X ) =
∞
∫ xf ( x)dx.
−∞ 3
M (X ) = ∫ x ⋅ 2
∫x
Д(X ) =
2
f ( x)dx − [M ( X )]
2
−∞ 4 3
3x 2 3 x dx = 19 19 4
2
=
3 4 3 (3 − 2 4 ) = (81 − 16) = 76 76
= 2,566. 3
3
3x 2 3 x5 Д(X ) = ∫ x ⋅ − 2,566 2 dx = − 2,566 2 = 19 19 5 2 2 2
3
= 2,5
1 1 (27 − 15,625) = ⋅ 11,375 = 0,599. 19 19
1 3 (3 − 2,53 ) = 19
=
3 (243 − 32) − 2,5662 = 0,079. 95
σ (X ) =
Д ( X ) = 0,28.
Законы распределения случайных величин
1. Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0,1,2,…m,…,n с вероятностями P ( X = m) = Cnm p m q n − m , где m=0,1,2,…,n. M(X)=np, Д(Х)=npq. 2. Закон распределения Пуассона. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0,1,2,…m,… (бесконечное, но счетное множество значений) λme − λ с вероятностями P( X = m) = , где m=0,1,2,… m! M ( X ) = λ, Д(Х ) = λ . 3. Геометрическое распределение.
λ e − λx , х ≥ 0 f ( x) = х<0 0, 1 1 М (Х ) = , Д(Х ) = 2 .
λ
λ
6. Нормальный закон распределения. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и σ, если ее плотность вероятности имеет вид: 1 f ( x) = e σ 2π
−( x − a) 2 2σ 2
Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1,2,…,m,… с вероятностями P ( X = m) = pq m −1 , m = 1,2,3,... 1 q M (X ) = , Д(Х ) = 2 . p p 4. Равномерный закон распределения. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на [а,в], если ее плотность вероятности f(x) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е. 1 , а≤х≤в f ( x) = в − а 0, х < a, x > в (в − а ) 2 а+в , Д(Х ) = . 2 12 5. Показательный закон распределения. Непрерывная случайная величина Х имеет показательный закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид: М (Х ) =
M ( X ) = a,
Д(Х ) = σ 2
β −a α − a Р (α < X < β ) = Φ − Φ . σ σ Пример 1. Интервал движения автобуса равен 15 минутам. Какова вероятность того, что пассажир на остановке будет ждать автобус не более 5 мин.? Решение. Случайная величина Х- это время ожидания автобуса, которая имеет равномерное распределение на отрезке [0,15]. Ее функция распределения имеет вид:
того, что цена актива будет находиться в пределах от 91 до 109 усл.ед. Решение. a = 100, σ 2 = 9, σ = 3, то
0, x ≤ 0 x F ( x) = , 0 < x ≤ 15 15 1, x > 15
Тогда, P (0 ≤ X ≤ 5) = F (5) − F (0) =
5 0 1 − = . 15 15 3
Пример 2. Установлено, что время Т горения электрической лампочки является случайной величиной, распределенной по показательному закону. Считая, что среднее значение этой величины равно 6 месяцам. Найти вероятность того, что лампочка будет гореть в течение года. 1 1 Решение. M (T ) = = 6, λ = . λ 6 Поэтому, P (T > 12) = P(12 < T < ∞) = F (∞) − F (12) = = 1 − (1 − e
12 − 6
)=e
−2
≅ 0,1353.
Пример 3. Текущая цена ценной бумаги представляет собой нормально распределенную случайную величину Х со средним 100 усл.ед. и дисперсией 9. найти вероятность
Выборочная дисперсия
σ2
к
σ2=
∑ ( x i − x ) 2 ⋅ ni i =1
к
∑ ni i =1
Среднее квадратическое отклонение σ
σ = σ2
91 − 100 109 − 100 P (91 < X < 109) = Φ = − Φ 3 3 = Φ (3) − Φ (−3) = Φ (3) + Φ (3) = 2Φ (3) = 2 ⋅ 0,49865 = 0,9973.
Математическая статистика
1. Числовые характеристики вариационного ряда. Средняя арифметическая (выборочная средняя) к
x=
∑ x i ni i =1 к
, где
∑ ni
x i − i − ое значение признака, ni -
i =1
частота i - го значения, к – число его значений. Пример 1. Найти среднюю заработную плату одного из цехов промышленного предприятия и стандартное отклонение. Заработная плата, у.е. Число работников
5075 12
75100 23
100125 35
125150 37
150175 19
175200 15
200225 9
Решение. Найдем характеристики упрощенным способом, для этого составим расчетную таблицу
Интервалы 50-75 75-100 100-125 125-150 150-175 175-200 200-225
ni
xi
ui
uini
ui2ni
12 23 35 37 19 15 9 150
62,5 87,5 112,5 137,5 162,5 187,5 212,5 -
-3 -2 -1 0 1 2 3 -
-36 -46 -35 0 19 30 27 -41
108 92 35 0 19 60 81 395
xi − середины интервалов, ui – условные варианты, x −c ui = i , с – ложный нуль, h – длина интервала. h Например, интервал 100-125,
125 + 100 = 112,5, c = 137,5, h = 25 2 112,5 − 137,5 = −1. u3 = 25 x3 =
∑ u i ni = − 41 = −0,273 150 ∑ ni 2 u i ni 395 ∑ ~ ν1 = = = 2,633 ∑ ni 150 ν~1 =
µ~2 = ν~2 − ν~1 2 = 2,633 − (−0,273) 2 = 2,558 x = ν~1 ⋅ h + c = −0,273 ⋅ 25 + 137,5 = 130,675
σ 2 = µ~2 ⋅ h 2 = 2,558 ⋅ 25 2 = 1598,75 σ = 1598,75 = 39,984 Ответ: Средняя заработная плата стандартное отклонение 39,984 у.е.
130,675
у.е.
,
Пример 2. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю x , среднее квадратическое отклонение σ объем выборки n = 150. Решение. x =130,675, σ =39,984, n = 150.
tσ
x−
2Ф(t)=0,95 Ф(t)=0,475. По таблице значений функции Ф(х), находим t=1,96.
Пример 3. Найти выборочное уравнение прямой линии
tσ
n
=
1,96 ⋅ 39,984 150
=
78,368 = 6,397. 12,25
Доверительный интервал равен 130,675-6,397
n
tσ
Вычислим условные числовые характеристики
регрессии Y на Х
n
y x − y = rB
σy σx
( x − x ) по данной
корреляционной таблице Х
15
20
2 4
1
25
30
35
40
Y 100 120
7 2
3
130 160
5
10 1
3
5 2
u2 nu
2 3
∑
Решение. Составим расчетную таблицу, перейдя к условным вариантам, вычислим выборочный коэффициент корреляции rВ по формуле
rB
u
54
24
5
0
7
32
-2
4
6
5
9
8
6
-8
-6
0
9
16
∑ u 2 nu
=122 vnuv
контроль
∑ ∑ vnuv
=30
∑
vnuv
∑ nuv u ⋅ v − n ⋅ u v =
∑ u ∑ vnuv
=17
nσ u ⋅ σ v
По данным таблицы находим
∑ u n = − 12 = −0,24 ∑ n 50 ∑ u n = 30 = 0,6 v= ∑ n 50 u n 122 σ = ∑ − (u ) = − (−0,24) 50 ∑n u
u=
u
Y 100 120 140 160 nx
X
15
20
25
30
35
40
ny
u v
-3
-2
-1
0
1
2
nv
2 4
1
10 9 22 9 50
-1 0 1 2 nu
7 2
5 6
6
3 5
10 1 18
-18
-12
-5
0
5 2 7
3 2 3 8
7
16
Vnv
V2nv
-10 0 22 18
10 0 22 36
v
∑
=30 u nu
v
vnv
∑
2
u
2
u
2
= 1,54
u
v2nv
=68
∑ un u
=-12
∑v n ∑n 2
σv =
v
v
− (v ) = 2
68 − 0,62 = 1 50
x = u ⋅ h1 + c1 = −0,24 ⋅ 5 + 30 = 28,8 y = v ⋅ h2 + c2 = 0,6 ⋅ 20 + 120 = 132
σ x = σ u ⋅ h1 = 1,54 ⋅ 5 = 7,7 σ y = σ v ⋅ h2 = 1 ⋅ 20 = 20 rB =
17 − 50(−0,24) ⋅ 0,6 = 0,314. 50 ⋅ 1,54 ⋅ 1
Подставив найденные величины в уравнение прямой линии регрессии Y на X, получим искомое уравнение
20 ( x − 28,8) 7,7 y x = 0,82 x + 108,5. y x − 132 = 0,314 ⋅
Пример 4. Дан интервальный вариационный ряд распределения признака Х при уровне значимости α=0,01 проверить гипотезу о нормальности распределения Х в генеральной совокупности по критерию Пирсона.
Х nэ
3,03,6 2
3,64,2 8
4,24,8 35
4,85,4 43
5,46,0 22
6,06,6 15
6,67,2 5
xi
3,3
3,9
4,5
5,1
5,7
6,3
6,9
ni
2
8
35
43
22
15
5
1) Вычислим x , σ .
∑xn ∑n
i i
где t 2 =
xi − x
σ
, t1 =
x i −1 − x
.
σ
Ф(t) находим по таблице значений функции Лапласа. Все вычисления, необходимые для определения
Решение. Запишем дискретный ряд
x=
p i = P( x i −1 < X < x i ) = Φ (t 2 ) − Φ (t1 ),
выборочной статистики χ 2 = ∑
( n Э − nТ ) 2 проведем в nТ
следующих таблицах. Составим расчетную таблицу №1.
=
i
3,3 ⋅ 2 + 3,9 ⋅ 8 + 4,5 ⋅ 35 + 5,1 ⋅ 43 + 5,7 ⋅ 22 + 6,3 ⋅ 15 + 6,9 ⋅ 5 = 130 669 = = 5,15 130 ∑ ( xi − x ) 2 ⋅ ni = σ2 = ∑ ni =
=
(3,3 − 5,15) 2 ⋅ 2 + (3,9 − 5,15) 2 ⋅ 8 + (4,5 − 5,15) 2 ⋅ 35 +
+ (5,1 − 5,15) 2 ⋅ 43 + (5,7 − 5,15) 2 ⋅ 22 + (6,3 − 5,15) 2 ⋅ 15 + (6,9 − 5,15) 2 ⋅ 5 = 130 76,045 = = 0,585 130 σ = 0,585 = 0,76
2) Вычислим теоретические вероятности рi случайной величины в частичные интервалы
попадания
Таблица №1.
Интер валы
Час тоты nэ
xi
t1
t2
Ф(t1)
Ф(t2)
pi
nT=npi
3,0-3,6 3,6-4,2 4,2-4,8 4,8-5,4
2 8 35 43
3,3 3,9 4,5 5,1
-∞ -2,04 -1,25 -0,46
-2,04 -1,25 -0,46 0,33
0 0,0207 0,1057 0,3228
0,0207 0,1057 0,3228 0,6293
0,0207 0,085 0,2171 0,3065
3 11 28 40
5,4-6,0 6,0-6,6 6,6-7,2
22 15 5
5,7 6,3 6,9
0,33 1,12 1,91
1,12 1,91 ∞
0,6293 0,8686 0,9719
0,8686 0,9719 1
0,2393 0,1033 0,0281
31 13 4
3,6 − 5,15 Например, t2 = = −2,04 и т.д. 0,76 Наименьшее значение заменили на значение на ∞.
-∞,
наибольшее
nэ
nT
nэ -nT
(nэ--nT)2
(nЭ − nT ) 2 nT
nЭ2
nЭ2 nT
2 10 8
3 14 11
-4
16
1,14
100
7,14
35 43 22 15 20 5
28 40 31 13 17 4
7 3 -9
49 9 81
1,75 0,23 2,61
1225 1849 484
43,75 46,23 15,61
3
9
0,53
400
23,53
-
-
∑ 6,26
nЭ2 −n nT
6,26 = 136,26 − 130 6,26 = 6,26 2 χ крит . (к, α) находим по таблице критических точек
распределения χ 2 , где к=S-r-1, S – число интервалов, r –
Таблица №2.
130
2 χ набл . =∑
-
число параметров нормального распределения. Число степеней свободы к=5-2-1=2, α=0,01. 2 χ крит . = ( 2;0,01) = 9,2 . Вывод: Наблюдаемое значение χ 2 меньше табличного, то
выдвинутая гипотеза не противоречит данным наблюдений.
∑136,26
2 Контроль : χ набл . = 6,26 .
Индивидуальные задания по теории вероятностей
Вариант 1 Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей. Нужная студенту формула содержится в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна соответственно 0,6; 0,7;0,8.Найти вероятность того, что нужная формула содержится: а)не менее чем в двух справочниках, б) хотя бы в одном справочнике. Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий используя формулу полной вероятности и формулу Байеса. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую»и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,70; 0,15 cоответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,60, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,30, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью 0,10, когда ситуация «плохая». Какова вероятность того, что в настоящий момент индекс экономического состояния возрос? Если предположить , что индекс возрос, то чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме. Задание3. Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из 5 знаков : а) не будет искажено; б) содержит ровно одно искажение; в) содержит не более 3 искажений? Вариант 2
Задание4. Составить закон распределения дискретной cлучайной величины Х, построить многоугольник распределения. Найти F(x) и построить ее график . Найти МХ, ДХ, σХ. Найти Р(Х<x0), P(x1 ≤ X ≤ x2 ). Случайная величина Х- число обанкротившихся банков. Всего в городе 5 коммерческих банков и у каждого риск банкротства в течение года составляет 10%. x0 = 2, x1 = 1, x2 = 3. Задание5. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x): а) Является ли случайная величина Х непрерывной? б) Имеет ли случайная величина Х плотность вероятности f(x). Если имеет , то найдите ее. В) Постройте схематически графики F(x) и f(x). г) Найдите МХ, ДХ, σХ д) Найдите Р ( б < X < в ) 1 α = 1, β = 5 F ( x) = ( x 2 − 4 x + 4) на [2,6] 16 Задание6. Шкала угломерного инструмента имеет цену деления в 10. Отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Пусть случайная величина Х- допущенная при отсчете абсолютная величина ошибки. Найдите: а)плотность вероятности f(x); б) функцию распределния F(x); в) вероятность того, что допущенная при отсчете ошибка превзойдет 20/; г) постройте графики f(x) и F(x) ; д) числовые характеристики случайной величины Х.
Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей. В городе 3 коммерческих банка, оценка надежности которых – 0,95; 0,90; 0,85 соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития города администрацию интересуют ответы на следующие вопросы: а) какова вероятность того, что в течение года обанкротятся все 3 банка; б) что обанкротится хотя бы один банк; в) обанкротится один банк. Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий используя формулу полной вероятности и формулу Байеса. В магазин некоторое изделие поставляется тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй-85%, третий-75%. Найти вероятность того, что : а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой. Задание3. Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли Рабочий обслуживает 12 станков одного типа. Вероятность того, что станок потребует внимание рабочего в течение часа, равна 1/3. Найдите: а) вероятность того, что в течение часа 4 станка потребуют внимание рабочего; б) наиболее вероятное число (m0) cтанков, которые потребуют внимания рабочего в течение часа, и вероятность того, что (m0) станков потребуют внимания. Задание4. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, построить многоугольник Вариант 3
распределения. Найти F(x) и построить ее график . Найти МХ, ДХ, σХ. Найти Р(Х<x0), P(x1 ≤ X ≤ x2 ). Случайная величина Х- число попаданий в мишень, если три стрелка сделали по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна-0,5, для второго-0,4; для третьего-0,7. x0 = 1, x1 = 2, x2 = 3. Задание5. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x): а) Является ли случайная величина Х непрерывной? б) Имеет ли случайная величина Х плотность вероятности f(x). Если имеет , то найдите ее. В) Постройте схематически графики F(x) и f(x). г) Найдите МХ, ДХ, σХ д) Найдите Р ( б < X < в )
0, x ≤ 3 2 F ( x) = x − 3, 3 < x ≤ 2 1, x > 2
α = 1, β = 2
Задание6. Размер диаметра втулок, изготовленных заводом, можно считать случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами а=2,5мм , σ=0,01 мм. Найдите : а) плотность распределения f(x) ; б) график f(x); в) границы, в которых можно практически гарантировать (с вероятностью 0,9974) размер диаметра втулки; г) вероятность того что размер диаметра втулок не превысит 2,55 мм.
Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей. В магазине имеется 10 телевизоров, из которых три имеют дефекты. Посетитель купит телевизор, если для выбора телевизора без дефекта понадобится не более трех попыток. Какова вероятность того, что посетитель купит телевизор.
распределения. Найти F(x) и построить ее график . Найти МХ, ДХ, σХ. Найти Р(Х<x0), P(x1 ≤ X ≤ x2 ). Случайная величина Х- число правильных счетов, если аудиторской проверке подверглись 5 случайно отобранных счетов. Известно, что обычно при таких проверках 3% счетов содержат ошибки х0=1 х1=3 х2=5.
Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий используя формулу полной вероятности и формулу Байеса. Среди клиентов страховой компании 50% относится к классу малого риска, 30%- к классу среднего риска и 20%- к классу большого риска. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для класса малого риска равна 0,01, среднего- 0,03, большого- 0,08. Какова вероятность того, что наудачу взятый а) застрахованный клиент получит денежное вознаграждение за период страхования; б) получивший денежное вознаграждение клиент относится к группе малого риска.
Задание5. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x): а) Является ли случайная величина Х непрерывной? б) Имеет ли случайная величина Х плотность вероятности f(x). Если имеет , то найдите ее. В) Постройте схематически графики F(x) и f(x). г) Найдите МХ, ДХ, σХ д) Найдите Р ( б < X < в )
Задание3. Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли Контрольное задание состоит из 5 вопросов, на каждый из которых дается 4 варианта ответа , причем один из них правильный, а остальные неправильные. Найдите вероятность того что учащийся не знающий ни одного вопроса, дает: а) 3 правильных ответа; б) не менее 3-х правильных ответов ( предполагается, что учащийся выбирает ответы наудачу). Задание4. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, построить многоугольник Вариант 4
π 0, x ≤ − 2 π F ( x) = 1 + sin x,− < x ≤ 0 2 1 , x > 0
π π α =− , β = 4
4
Задание6. Автобусы идут строго по расписанию с интервалом 5 минут. Предполагая что время Х ожидания автобуса на остановке имеет равномерное распределение, найдите : а) плотность вероятности; б) функцию распределения cлучайной величины Х; в) вероятность того что время ожидания не превзойдет 2 мин ; г) постройте графики плотности вероятности и функции распределения; д) числовые характеристики данной случайной величины.
Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей В аудиторской фирме работают 7 аудиторов, из которых 3высокой квалификации, и 5-программистов, из которых 2высокой квалификации. В командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажется по крайней мере 1 аудитор высокой квалификации и хотя бы 1 программист высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать в командировку. Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу полной вероятности и формулу Байеса. Если экономика страны будет на подъеме, то вероятность роста стоимости акций некоторой компании оценивается в 0,75. Если экономика страны не будет успешно развиваться, то эта вероятность будет равна 0,30. По мнению экспертов вероятность экономического подъема в новом году равна 0,80. Оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в новом году. По прошествии года оказалось, что прогноз относительно роста стоимости акций оказался верным. Найдите вероятность того, что рост стоимости акций сопровождался экономическим ростом в стране. Задание3. Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли Вероятность того что покупателю потребуется обувь 41 размера равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится: а) одному; б) по крайней мере одному покупателю. Задание4. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, построить многоугольник Вариант 5
распределения. Найти F(x) и построить ее график . Найти МХ, ДХ, σХ. Найти Р(Х<x0), P(x1 ≤ X ≤ x2 ). Случайная величина Х- число рентабельных предприятий, попавших в число приватизируемых. В городе 10 машиностроительных предприятий, из которых 6 рентабильных и 4 убыточных. Программой приватизации намечено приватизировать 5 предприятий, случайно отобранных. х0=4 х1=3 х2=5. Задание5. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x): а) Является ли случайная величина Х непрерывной? б) Имеет ли случайная величина Х плотность вероятности f(x). Если имеет , то найдите ее. В) Постройте схематически графики F(x) и f(x). г) Найдите МХ, ДХ, σХ д) Найдите Р ( б < X < в ) 0, x ≤ 0 π 3π F ( x) = 1 / π ( x − 0,5 sin 2 x),0 < x ≤ π α= , β= 2 2 1, x > π Задание6. Автомат изготавливает детали. Случайные отклонения фактического размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ=5мм и математическим ожиданием а=0. Найдите : а) плотность распределения f(x); б) ее график; в) процент годных деталей, изготавливаемых автоматом, при условии, что деталь считается годной, если отклонение не превышает 10 мм; г) в каких границах практически находятся отклонения в размере изготовленных деталей (практически достоверное событие имеет вероятность не меньше 0,9974).
Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся 3 книги. Какова вероятность того, что среди отобранных : а) хотя бы одна книга по теории вероятностей; б) одна книга по теории вероятностей. Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий используя формулу полной вероятности и формулу Байеса. Директор компании имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В 1-м списке-фамилии 6 женщин и 3 мужчин. Во 2-м списке оказалось 4 женщины и 7 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из 1-го списка во 2-й. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из 2-го списка. Найти вероятность того, что выбрана фамилия мужчины. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из 1-го списка была перенесена фамилия женщины. Задание3. Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли На автобазе имеется 6 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найдите: а) вероятность нормальной работы автобазы, если для этого необходимо иметь на линии не меньше 5автомашин; б) вероятности на линию выйдет 3 автомашины. Задание4. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Найти F(x) и построить ее график . Найти МХ, ДХ, σХ. Найти Р(Х<x0), P(x1 ≤ X ≤ x2 ). Вариант 6
Случайная величина Х- число промахов. С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более трех выстрелов. х0=1 х1=0 х2=2. Задание5. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x): а) Является ли случайная величина Х непрерывной? б) Имеет ли случайная величина Х плотность вероятности f(x). Если имеет , то найдите ее. В) Постройте схематически графики F(x) и f(x). г) Найдите МХ, ДХ, σХ д) Найдите Р ( б < X < в ) 0, x ≤ 0 2 α = 0, β = 1 F ( x) = 3 x + 2 x, 0 < x ≤ 1 / 3 1, x > 1/ 3 Задание6. Известно , что время Т- промежуток времени между двумя последовательными событиями простейшего потока событий имеет показательный закон распределения с параметром λ, где λ- интенсивность потока. Поступающие на АТС вызовы образуют простейший поток событий. Среднее число вызовов, поступающих за 1 минуту, равно 2. Т- время между двумя последовательными вызовами. Найдите: а) f(t)- плотность распределения случайной величины Т; б) F(t)- функцию распределения; в) графики f(t) и F(t); г) числовые характеристики Т (МХ, ДХ,σХ); д) вероятность того, что за 3 минуты поступит 2 вызова.
Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6; 0,5; 0,8 .Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентов: а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по двум дисциплинам; в) хотя бы по одной дисциплине. Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий используя формулу полной вероятности и формулу Байеса. Экспертно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае- в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта , равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта? Контракт все же заключен, какова вероятность того, что конкурент выдвигал свои предложения ? Задание3. Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) три договора; б) менее двух договоров. Задание4. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Найти F(x) и построить ее график . Найти
МХ, ДХ, σХ. Найти Р(Х<x0), P(x1 ≤ X ≤ x2 ). Случайная величина Х- число проданных автомобилей черного цвета. В магазине имеется 12 автомобилей и среди них 7- черного цвета, 5- белого цвета. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 4 автомобилей. Учесть, что автомобили отбирались случайным образом. х0=4 х1=0 х2=3. Задание5. Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения. Найдите: а) значение параметра а, при котором f(x) будет плотностью распределения случайной величины Х; б) интегральную функцию распределения F(x), постройте графики F(x) и f(x); в) числовые характеристики ; г) Найдите Р ( б < X < в ) . 0, x ≤ 0 10 1 1. f ( x) = ax 2 ,0 < x ≤ α = , β =1 11 2 10 0, x > 11 Задание6. Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков d0=5мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметрслучайная величина Х, распределенная по нормальному закону со средним значением d0 и средним квадратическим отклонением σd=0,05 мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на 0,1 мм. Найдите : а) плотность вероятности случайной величины Х; б) построить график f(x); в) средний процент шариков которые отбраковываются ; г) интервал, в котором практически находится диаметр изготовляемых шариков.
Вариант 7 Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей Вероятность для компании, занимающейся строительством терминалов для аэропортов, получить контракт в стране А равна 0,4; вероятность выиграть его в стране В равна 0,3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране А и в стране В , равна 0,12. Чему равна вероятность того , что : а) компания получит контракт хотя бы в одной стране; б) не получит ни одного контракта; в) получит контракт только в одной стране. Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий используя формулу полной вероятности и формулу Байеса. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,95. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Какова вероятность того, что звуковой сигнал сработает. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации. Задание3. Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли Вероятность того, что стрелок хотя бы раз попадет в мишень при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти : а) вероятность попадания при одном выстреле, если эта вероятность постоянна и не зависит от результатов предыдущих выстрелов; б) вероятность одного попадания при трех выстрелах.
Задание4. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Найти F(x) и построить ее график . Найти МХ, ДХ, σХ. Найти Р(Х<x0), P(x1 ≤ X ≤ x2 ). Случайная величина Х- число правильных ответов студента на вопросы теста. Экзаменационный тест содержит 4 вопроса, каждый из которых имеет 5 возможных ответов и только один их них верный. х0=2 х1=3 х2=4. Задание5. Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения. Найдите: а) значение параметра а, при котором f(x) будет плотностью распределения случайной величины Х; б) интегральную функцию распределения F(x), постройте графики F(x) и f(x); в) числовые характеристики ; г) Найдите Р ( б < X < в ) . 0, x < 0 π 3π f ( x) = a sin x,0 ≤ x ≤ π α= , β= 2 2 0, x > π Задание6. На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором 1 минуту горит зеленый свет и 0,5 минутыкрасный, затем опять 1 минуту горит зеленый свет, 0,5 минут- красный и т.д. Некто подъезжает к перекрестку на машине в случайный момент, не связанный с работой светофора. Найдите: а) плотность распределения его времени ожидания у светофора; б) функцию распределения случайной величины времени ожидания; в) построить графики данных функций; г) вероятность того что он проедет перекресток не останавливаясь; д) числовые характеристики данной случайной величины.
Вариант 8 Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей Экспедиция издательства отправила газеты в 3 почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,9 во второе-0,9, в третье-0,8. Найти вероятности событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты вовремя. Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий используя формулу полной вероятности и формулу Байеса. При слиянии акционерного капитала 2-х фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают , что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха будет равна 0,30. Предполагается , что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,70. Чему равна вероятность успеха сделки? Допустим, что сделка принесла успех, чему равна вероятность того, что отставка председателя состоялась? Задание3. Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли Произведено 5независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании 2 монет. Найдите: а) вероятность того, что ровно в 3 испытаниях появились по 2 герба; б) вероятность того, что 2 герба выпадет не менее трех раз. Задание4. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, построить многоугольник
распределения. Найти F(x) и построить ее график . Найти МХ, ДХ, σХ. Найти Р(Х<x0), P(x1 ≤ X ≤ x2 ). Случайная величина Х- число станков, которые в течение часа не потребуют внимания рабочего. Рабочий обслуживает 3 независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,7, для второго-0,75, для третьего-0,9. х0=2 х1=0 х2=2. Задание5. Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения. Найдите: а) значение параметра а, при котором f(x) будет плотностью распределения случайной величины Х; б) интегральную функцию распределения F(x), постройте графики F(x) и f(x); в) числовые характеристики ; г) Найдите Р ( б < X < в ) . 0, x ≤ 0 f ( x) = a (4 x − x3 ), 0 < x ≤ 2 α = 1, β = 3 0, x > 2 Задание6. Случайная величина Х- прогноз, являющийся средним результатом индивидуальных прогнозов большого числа аналитиков. Пусть этот прогноз относительно величины банковской процентной ставки в текущем году подчиняется нормальному закону со средним значением а=9% и стандартным отклонением σ=2,6%. Из группы аналитиков случайным образом отбирается один человек. Найдите: а) f(x); б) F(x); в) вероятность того, что согласно прогнозу этого аналитика уровень процентной ставки: 1) превышает 11%; 2) окажется менее 14%; г) в каком интервале практически можно ожидать величину процентной ставки.
Вариант 9 Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей Мастер обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены потребует внимания рабочего, равна 0,3, второй-0,6, третий-0,4 и четвертый-0,25. Найти вероятность того, что в течение смены хотя бы один станок не потребует внимания и вероятность того, что один станок потребует внимания мастера. Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий используя формулу полной вероятности и формулу Байеса. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса- 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит? Какова вероятность того, что это произойдет в период экономического роста? Задание3. Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах для стрелка равна 0,99. Найти вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле одна и та же. Задание4. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Найти F(x) и построить ее график . Найти МХ, ДХ, σХ. Найти Р(Х<x0), P(x1 ≤ X ≤ x2 ).
Случайная величина Х- число фальшивых авизо, которые могут быть выявлены в ходе проверки. В банк поступило 30 авизо. Подозревают, что среди них 3 фальшивых. Тщательной проверке подвергается 10 случайно выбранных авизо. х0=1 х1=0 х2=1. Задание5. Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения. Найдите: а) значение параметра а, при котором f(x) будет плотностью распределения случайной величины Х; б) интегральную функцию распределения F(x), постройте графики F(x) и f(x); в) числовые характеристики ; г) Найдите Р ( б < X < в ) .
π π a cos x, − 2 ≤ x ≤ 2 f ( x) = π 0, x > 2
α = 0, β = π
Задание6. На числовой оси оt задан простейший поток событий. Случайная величина Т- время между двумя последовательными событиями потока. В среднем в минуту поступает 4 заявки. Т- имеет показательный закон распределения с параметром λ. Найдите: а) плотность распределения f(t) случайной величины Т; б) функцию распределения F(t); в) постройте графики f(t), F(t); г) числовые характеристики Т; д) вероятность того, что в течение 5 мин поступит хотя бы одна заявка.
Вариант 10 Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найдите вероятность того, что он: а) промахнется все три раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет два раза. Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий используя формулу полной вероятности и формулу Байеса. Транснациональная компания обсуждает возможность инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры оценивают вероятность успеха ( в терминах годового дохода от субсидий в течение 1-го года работы) в 0,55, если политическая ситуация будет благоприятной; в 0,30, если политическая ситуация будет нейтральной; в 0,10, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны :0,60; 0,20; 0,20. Чему равна вероятность успеха инвестиций? Чему равна вероятность, что успех инвестиций произойдет в неблагоприятной политической обстановке в стране? Задание3. Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли В урне 9 белых и один черный шар. Какова вероятность того, что при 10 извлечениях с возвращением каждого шара будет извлечен хотя бы раз черный шар. Сколько раз нужно производить извлечения, чтобы вероятность получить хотя бы раз черный шар была не меньше 0,9.
Задание4. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Найти F(x) и построить ее график . Найти МХ, ДХ, σХ. Найти Р(Х<x0), P(x1 ≤ X ≤ x2 ). Случайная величина Х- число проверенных стандартных деталей. Вероятность изготовления нестандартной детали 0,1. Из партии контролер берет деталь и проверяет ее на стандартность. Если деталь оказывается нестандартной, то дальнейшие испытания прекращаются, а вся партия задерживается. Если же деталь окажется стандартной, то контролер берет следующую и т.д., но всего он проверяет не более 4 деталей. х0=4 х1=0 х2=2. Задание5. Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения. Найдите: а) значение параметра а, при котором f(x) будет плотностью распределения случайной величины Х; б) интегральную функцию распределения F(x), постройте графики F(x) и f(x); в) числовые характеристики ; г) Найдите Р ( б < X < в ) . 0, x < 0 f ( x) = a (3 x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 3 α = 2, β = 4 0, x > 0 Задание6. Предположим , что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 48 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Найдите : а) f(x) ; б)F(x); в) вероятность того что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была: 1) более 60 у.е.; 2) между 40 и 50 у.е. за акцию; г) интервал, в котором практически может находится цена акции.
Индивидуальные задания по математической статистике Вариант 1 Задание 1. Найти методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки ( в первой строке указаны выборочные варианты x i , а во второй− соответственные
частоты ni количественного признака Х).
x i 105 ni 4
110
115
120
125
130
135
6
10
40
20
12
8
Задание 2. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а нормального распределения
с надежностью 0,95 , зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ .
X
5
10
15
20
25
30
ny
2 2
4 3 7
5 5 2 12
35 8 4 47
5 17 7 29
3 3
6 8 45 27 14 n=100
Y 45 55 65 75 85 nx
Задание 4. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по результатам выборки, представленной интервальным вариационным рядом, при уровне значимости α=0,05.
x =75,17, σ =6, n=36 Задание 3. Найти
y x − y = rB
выборочное
σy σx
уравнение
прямой
( x − x) регрессии Y на X по данной
корреляционной таблице.
X n
0,9-1,8 3
1,8-2,7 17
2,7-3,6 24
3,6-4,5 10
4,5-5,4 4
5,4-6,3 2
Вариант 2 Задание 1. Найти методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки ( в первой строке указаны выборочные варианты x i , а во второй− соответственные
частоты ni количественного признака Х).
x i 12,5 ni 5
13,0
13,5
14,0
14,5
15,0
15,5
15
40
25
8
4
3
Задание 2. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а нормального распределения
с надежностью 0,95 , зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ .
x =75,16, σ =7, n=49 Задание 3. Найти
y x − y = rB
выборочное
σy σx
уравнение
прямой
( x − x) регрессии Y на X по данной
корреляционной таблице.
X
10
15
20
25
30
35
ny
2 2
4 3 7
7 5 7 19
30 10 5 45
10 8 6 24
3 3
6 10 45 25 14 n=100
Y 40 50 60 70 80 nx
Задание 4. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по результатам выборки, представленной интервальным вариационным рядом, при уровне значимости α=0,05.
X n
1,6-2,7 3
2,7-3,8 9
3,8-4,9 11
4,9-6,0 24
6,0-7,1 11
7,1-8,2 2
Вариант 3 Задание 1. Найти методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки ( в первой строке указаны выборочные варианты x i , а во второй− соответственные
частоты ni количественного признака Х).
x i 10,2 ni 8
10,9
11,6
12,3
13,0
13,7
14,4
10
60
12
5
3
2
Задание 2. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а нормального распределения
с надежностью 0,95 , зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ .
x =75,15, σ =8, n=64 Задание 3. Найти
y x − y = rB
выборочное
σy σx
уравнение
прямой
( x − x) регрессии Y на X по данной
корреляционной таблице.
X
15
20
25
30
35
40
ny
4 4
1 6 7
4 2 1 7
50 9 4 63
2 7 3 12
7 7
5 10 54 17 14 n=100
Y 15 25 35 45 55 nx
Задание 4. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по результатам выборки, представленной интервальным вариационным рядом, при уровне значимости α=0,05.
X n
0,0-1,8 2
1,8-3,6 13
3,6-5,4 32
5,4-7,2 11
7,2-9,0 2
Вариант 4 Задание 1. Найти методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки ( в первой строке указаны выборочные варианты x i , а во второй− соответственные
частоты ni количественного признака Х).
x i 45 ni 4
50
55
60
65
70
75
6
10
40
20
12
8
Задание 2. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а нормального распределения
с надежностью 0,95 , зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ .
x =75,14, σ =9, n=81 Задание 3. Найти
y x − y = rB
выборочное
σy σx
уравнение
прямой
( x − x) регрессии Y на X по данной
корреляционной таблице.
X
2
7
12
17
22
27
ny
1 1
5 5 10
3 3 2 8
40 10 3 53
12 5 4 21
7 7
6 8 55 17 14 n=100
Y 110 120 130 140 150 nx
Задание 4. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по результатам выборки, представленной интервальным вариационным рядом, при уровне значимости α=0,05.
X n
1,7-2,8 8
2,8-3,9 10
3,9-5,0 22
5,0-6,1 10
6,1-7,2 6
7,2-8,9 4
Вариант 5 Задание 1. Найти методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки ( в первой строке указаны выборочные варианты x i , а во второй− соответственные
X 10 20 30 40 50 nx
частоты ni количественного признака Х).
x i 110 ni 5
115
120
125
130
135
140
10
30
25
15
10
5
Задание 2. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а нормального распределения
с надежностью 0,95 , зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ .
x =75,13, σ =10, n=100 Задание 3. Найти
y x − y = rB
выборочное
σy σx
прямой
( x − x) регрессии Y на X по данной
корреляционной таблице.
10
15
20
25
30
ny
3 3
5 4 9
4 7 2 13
35 10 5 50
8 8 6 22
3 3
8 8 50 20 14 n=100
Задание 4. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по результатам выборки, представленной интервальным вариационным рядом, при уровне значимости α=0,05.
X n уравнение
5
Y
0,02-1,16 4
1,16-2,30 16
2,30-3,44 24
3,44-4,58 10
4,58-5,72 6
Вариант 6 Задание 1. Найти методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки ( в первой строке указаны выборочные варианты x i , а во второй− соответственные
X 25 35 45 55 65 nx
частоты ni количественного признака Х).
x i 12,4 ni 5
16,4
20,4
24,4
15
40
25
28,4 8
32,4 4
x =75,12, σ =11, n=121
y x − y = rB
σy σx
прямой
( x − x) регрессии Y на X по данной
корреляционной таблице.
27
32
37
ny
2 2
4 6 10
3 6 2 11
35 8 14 57
4 6 7 17
3 3
6 9 45 16 24 n=100
Задание 4. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по результатам выборки, представленной интервальным вариационным рядом, при уровне значимости α=0,05.
X n уравнение
22
3
с надежностью 0,95 , зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ .
выборочное
17
36,4
Задание 2. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а нормального распределения
Задание 3. Найти
12
Y
0,00-0,25 8
0,25-0,50 12
0,50-0,75 16
0,75-1,00 18
1,00-1,25 6
Вариант 7 Задание 1. Найти методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки ( в первой строке указаны выборочные варианты x i , а во второй− соответственные
частоты ni количественного признака Х).
x i 26 ni 5
32
38
44
50
56
62
15
40
25
8
4
3
Задание 2. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а нормального распределения
с надежностью 0,95 , зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ .
x =75,11, σ =12, n=144 Задание 3. Найти
y x − y = rB
выборочное
σy σx
уравнение
прямой
( x − x) регрессии Y на X по данной
корреляционной таблице.
X
15
20
25
30
35
40
ny
3 3
4 6 10
3 6 12 21
35 8 4 47
2 6 7 15
4 4
7 9 43 26 15 n=100
Y 25 35 45 55 65 nx
Задание 4. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по результатам выборки, представленной интервальным вариационным рядом, при уровне значимости α=0,05.
X
0,291,27
1,272,25
2,253,23
3,234,21
4,215,19
5,196,17
n
3
10
30
11
5
1
Вариант 8 Задание 1. Найти методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки ( в первой строке указаны выборочные варианты x i , а во второй− соответственные
частоты ni количественного признака Х).
x i 10,6 ni 8
15,6
20,6
25,6
30,6
35,6
40,6
10
60
12
5
3
2
Задание 2. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а нормального распределения
с надежностью 0,95 , зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ .
x =75,10, σ =13, n=169 Задание 3. Найти
y x − y = rB
выборочное
σy σx
30 40 50 60 70 nx
уравнение
прямой
4
9
14
19
24
29
ny
3 3
3 5 8
4 40 5 49
2 10 4 16
8 6 7 21
3 3
6 9 50 21 14 n=100
Задание 4. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по результатам выборки, представленной интервальным вариационным рядом, при уровне значимости α=0,05.
X
( x − x) регрессии Y на X по данной
корреляционной таблице.
X Y
n
2,004,64 3
4,647,28 10
7,289,92 28
9,9212,56 15
12,5615,20 3
15,2017,84 1
Вариант 9 Задание 1. Найти методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки ( в первой строке указаны выборочные варианты x i , а во второй− соответственные
частоты ni количественного признака Х).
x i 100 ni 4
110
120
130
140
150
160
6
10
40
20
12
8
Задание 2. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а нормального распределения
с надежностью 0,95 , зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ .
x =75,09, σ =14, n=196 Задание 3. Найти
y x − y = rB
выборочное
σy σx
уравнение
прямой
( x − x) регрессии Y на X по данной
корреляционной таблице.
X
5
10
15
20
25
30
ny
2 2
6 5 11
3 7 4 14
40 9 4 53
2 6 7 15
5 5
8 8 49 19 16 n=100
Y 30 40 50 60 70 nx
Задание 4. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по результатам выборки, представленной интервальным вариационным рядом, при уровне значимости α=0,05.
X n
0,0-0,6 1
0,6-1,2 8
1,2-1,8 32
1,8-2,4 18
2,4-3,0 1
Вариант 10 Задание 1. Найти методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки ( в первой строке указаны выборочные варианты x i , а во второй− соответственные
частоты ni количественного признака Х).
x i 130 ni 5
140
150
160
170
180
190
10
30
25
15
10
5
Задание 2. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а нормального распределения
X 20 30 40 50 60 nx
X
x =75,08, σ =15, n=225
n
y x − y = rB
выборочное
σy σx
уравнение
прямой
( x − x) регрессии Y на X по данной
корреляционной таблице.
15
20
25
30
35
ny
5 5
1 6 7
2 5 2 9
40 8 4 52
5 7 7 19
8 8
6 8 50 17 19 n=100
Задание 4. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по результатам выборки, представленной интервальным вариационным рядом, при уровне значимости α=0,05.
с надежностью 0,95 , зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ .
Задание 3. Найти
10
Y
0,011,41 5
1,412,81 6
2,814,21 11
4,215,61 24
5,617,01 10
7,018,41 4
