Основы статистической динамики рынка ценных бумаг. Учебные материалы к спецкурсам Финансовая математика, статистика

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Воронежский государственный университет Факультет прикладной математики и механики Кафедра технической кибернетики и автоматического регулирования

ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ Учебные материалы к спецкурсам "Финансовая математика" и "Финансовая статистика" для студентов 4 курса дневного и вечернего отделений факультета ПММ Составитель А.И.Кремер

Воронеж 2000 г.

Данные учебные материалы предназначены студентам 4 курса дневного и вечернего отделений факультета прикладной математики и механики ВГУ, изучающим спецкурсы "Финансовая математика" и "Финансовая статистика". Рассматривается структура и основные понятия фондового рынка, излагаются концепции информационной эффективности рынка и простейшие вероятностностатистические модели движения цен акций. Содержание Введение………………………………………………….…………………………..3 1. Финансовый рынок, его участники и финансовые инструменты..…….3 1.1. Структура финансового рынка……………………………………………….4 1.2. Историческая справка…………………………………………………………5 1.3. Структура фондового рынка………………………………………………….7 1.4. Участники фондового рынка………………………………………………….8 1.5. Понятия фундаментального и технического анализа рынка…….………….9 2. Вероятностно-статистические модели ценообразования акций…..……….10 2.1. Гипотеза об информационной эффективности рынка и ее формы………..10 2.2. Марковские свойства цен акций и гипотеза случайного блуждания.……..11 2.3. Биномиальная модель движения цены акции, не приносящей держателю дивидендов…………………………………………………………………….14 2.4. Экспоненциальная биномиальная модель………………………………..…18 2.5. Об использовании в моделях ценообразования акций непрерывнозначных марковских процессов…………………………………20 Заключение…………………………………………………………………………..21 Приложение 1. Модель непрерывного начисления сложных процентов………..21 Приложение 2 Отображение мирового и российского фондового рынка в Internet……………………………………………………………………………………..22 Литература……………………………………………………………………………24 ______________________________________________________________________ Заказ _______от ______________2000 г. Тир. 50 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

2

Введение Данные материалы содержат начальные, минимальные сведения, которые могут служить основой для самостоятельного изучения студентами факультета ПММ математических моделей финансовых инструментов, обращающихся на российских и мировых рынках ценных бумаг (фондовых рынках) Идеи и методы математического моделирования случайных процессов все шире проникают в теорию и практику рынка ценных бумаг. При этом удачные модели зачастую построены на аналогиях процессов и явлений, протекающих на финансовом рынке, с процессами и явлениями, наблюдаемыми в природе и технике [ 3 ,7, 8 ]. Целью составителя являлось сжатое изложение исходных понятий о финансовом рынке в целом и о фондовом рынке, и знакомство читателя с простейшими моделями движения цен акций во времени. Среди многочисленных финансовых инструментов выбраны акции, поскольку для них характерна наибольшая изменчивость цен. Несмотря на простоту моделей, они позволяют получать весьма важные результаты, используемые в теории и практике рынка ценных бумаг. Работа с настоящими материалами требует знания основ теории вероятностей, изучаемой на дневном и вечернем отделениях факультета ПММ по программе курса "Теория вероятностей и математическая статистика". 1. Финансовый рынок, его участники и финансовые инструменты Нормальное функционирование рыночной экономики требует, чтобы образующие рынок отношения людей были обеспечены эффективными и надежными финансовыми инструментами (денежными знаками, ценными бумагами и др.), позволяющими физическим и юридическим лицам обоснованно и результативно совершать разнообразные экономические действия. В соответствии с Международным стандартом бухгалтерского учета финансовым инструментом считается любой контракт, который влечет за собой возникновение денежного актива одно-

3

го предприятия и денежного обязательства или инструмента капитала другого предприятия. К основным (традиционным) финансовым инструментам относят денежные знаки, акции, векселя и облигации. Остальные финансовые инструменты делятся на производные и гибридные [ 1, 3-5, 7-9 ]. Финансовым рынком называется рынок, где проявляется спрос и предложение на различные платежные средства. 1.1. Структура финансового рынка На рис 1 представлена общая структура финансового рынка.

Финансовый рынок

Кредитный рынок

Фондовый рынок

Валютный рынок

Рис. 1. Общая структура финансового рынка. Дадим основные определения к рис.1. Кредитный рынок – это механизм, с помощью которого устанавливаются взаимоотношения между предприятиями и гражданами, нуждающимися в финансовых средствах, и предприятиями и гражданами, которые их могут предоставить (т.е. одолжить) на определенных условиях. Валютный рынок - это механизм, с помощью которого устанавливаются правовые и экономические взаимоотношения между продавцами и потребителями валют. Фондовый рынок объединяет часть кредитного рынка и рынок инструментов собственности. Этот рынок охватывает операции по выпуску и обращению

4

инструментов займа, инструментов собственности, производных и гибридных финансовых инструментов. Таким образом, фондовый рынок включает в себя рынки ценных бумаг, производных и гибридных финансовых инструментов. С учетом сделанных замечаний на рис. 2 представлена детализированная структура финансового рынка Валютный рынок

Финансовый рынок

Кредитный рынок

Рынок денежных ресурсов

Рынок инструментов займа

Рынок инструментов собственности

Рынок производных и гибридных финансовых инструментов Фондовый рынок

Рис. 2. Детализированная структура финансового рынка. Перечислим типы финансовых инструментов, обращающихся на различных секторах фондового рынка: I.

на рынке инструментов займа: векселя, облигации, сертификаты [ 1.-.4 ];

II.

на рынке инструментов собственности: акции, варранты [ 1 - 4];

III.

на рынке производных и гибридных финансовых инструментов: фьючерсы, форварды, опционы, свопы – производные финансовые инструменты; конвертируемые облигации, конвертируемые привилегированные акции – гибридные финансовые инструменты [ 1, 3, 6, 7 8 ]. 1.2. Историческая справка

5

Первый в истории организованный фондовый рынок появился в XVII веке в Голландии, где в 1602 г. на Амстердамской фондовой бирже начали продаваться акции "Объединенной Ост-Индской Компании". В Великобритании фондовые биржи образовались в 1673 г., а с1698 г. началось издание биржевых бюллетеней с указанием текущих котировок ценных бумаг. Во Франции первая фондовая биржа была образована в 1801 г. по указу Наполеона Бонапарта. Тогда же для нее было построено специальное здание, хорошо сохранившееся до наших дней. В этом здании сегодня работают две фондовые биржи, торгующие производными финансовыми инструментами: 1) MATIF - по торговле фьючерсными контрактами (фьючерсами); 2) MONEP - по торговле опционами. В России первые акционерные общества появились в XVII веке, а с 1827 г. акции становятся объектом купли-продажи. В целом, однако, в России следует отметить медленное развитие фондового рынка, в отличие от товарного рынка. Если товарные биржи появились во время правления Петра I, то только в 1900 г. в составе Санкт-Петербургской биржи создается фондовый отдел, осуществляющий посреднические функции в торговле финансовыми активами. Развитие российского фондового рынка сдерживалось жесткими законодательными рамками, и только после февральской революции в марте 1917 г. Временное правительство сняло множество ограничений на деятельность акционерных обществ. В период новой экономической политики (НЭП) в СССР возобновили свою деятельность 100 дореволюционных бирж, в тринадцати из которых имелись фондовые отделы. Однако во время НЭП советское правительство постоянно ужесточало контроль рынка финансовых активов и регулировало их цены. Наконец, в 1930 г. все акционерные общества были преобразованы в государственные предприятия и обращение акций и векселей в СССР ликвидировано.

6

Возрождение российского рынка ценных бумаг началось в конце 1990 г., когда вышли постановления правительства РСФСР, утверждающие нормативные документы об акционерных обществах и обращении ценных бумаг. На протяжении более чем трех веков в сознании людей понятие фондового рынка ассоциировалось с огромными биржевыми операционными залами, в которых происходит купля и продажа финансовых инструментов, таких как ценные бумаги и иностранная валюта. В наши дни все шире распространяются системы электронных торгов, когда участники фондового рынка встречаются друг с другом не под сводами операционного зала, а общаются с помощью своих компьютеров, подключенных к глобальным сетям ЭВМ [ 11 ]. 1.3. Структура фондового рынка Структуру фондового рынка можно рассматривать с различных точек зрения. Прежде всего, в нем следует выделить два сектора - первичный и вторичный рынки. На первичном рынке происходит продажа вновь выпущенных (эмитированных) ценных бумаг. Поэтому первичный рынок есть именно рынок ценных бумаг в традиционном смысле, являясь подсистемой фондового рынка. На этом рынке покупатели (юридические и физические лица) становятся инвесторами, а их сбережения, вложенные в покупку ценных бумаг, превращаются в инвестиции, которые аккумулируются эмитентами. Все дальнейшие операции купли и продажи совершаются уже на вторичном рынке, где происходит свободное обращение ценных бумаг и других связанных с ними финансовых инструментов. На вторичном рынке покупателями и продавцами являются инвесторы. В результате их действий любой отдельно взятый эмитент не получает новых денежных средств, но происходит расширение или сужение круга его инвесторов. Инвестициями называется процесс помещения денег в акции, облигации, прочие ценные бумаги, а также долевое участие в других предприятиях. В активах предприятия выделяют долгосрочные (сроком более года) и краткосрочные (до года) финансовые вложения. 7

С точки зрения скорости исполнения сделок финансовый рынок можно разделить на два сектора - спотовый (кассовый) рынок и рынок срочных сделок. Спотовый (кассовый) рынок - рынок, на котором покупаются и продаются различные активы (в том числе и финансовые инструменты) с немедленной их поставкой (в российской практике - в течение не более чем двух дней). На спотовом рынке наличные активы оплачиваются денежными средствами. Следовательно, спотовый рынок - это рынок, где обращаются наличные активы. Другая часть рыночного пространства занята рынком срочных сделок. К срочным сделкам относятся сделки, которые имеют дату исполнения, установленную позже конечной даты спотового рынка. На финансовом рынке срочных сделок обращаются не наличные активы, а лишь производные финансовые инструменты. 1.4. Участники фондового рынка Участниками фондового рынка являются: 1)

государство;

2)

предприятия и организации;

3)

индивидуальные инвесторы;

4)

страны. Правительство действует на фондовом рынке в целях его стабилизации. Эта

политика заключается в том, чтобы контролировать рынок, следить, чтобы он функционировал должным образом и «не разваливался». Кроме того, как и у всякого другого участника рынка, у государства имеются доходы и расходы, которые необходимо производить в соответствии со статьями государственного бюджета. Как правило, доходы и расходы не совпадают во времени. Поэтому для перераспределения и согласования во времени доходов и расходов бюджета государство эмитирует ценные бумаги, т.е. выступает в роли заемщика денежных средств, а также тратит деньги на проведение политики стабилизации рынка. Вторая крупная группа участников рынка – организации и предприятия (фирмы). Фирмы выпускают акции прежде всего для того, чтобы иметь возмож8

ность получать инвестиции и развиваться. Механизм инвестирования невозможен без нормального и хорошо развитого финансового рынка, без его достаточно слаженной работы. В этом состоит существенное отличие рыночной экономики от централизованной плановой экономики, при которой инвестирование происходит строго в соответствии с планом. Акции по своей природе порождают рискованный поток платежей в силу неопределенности будущих дивидендов и курсовой стоимости. Акция дает право собственности на долю капитала фирмы. Но сам капитал фирмы все время переоценивается на рынке. Рискованность потока платежей составляет главное отличие акций от государственных облигаций. Третья группа участников рынка – индивидуальные инвесторы (рядовые граждане). В России они лишь в последнее время постепенно начинают вовлекаться в процесс инвестирования. У каждого отдельного гражданина весьма немного средств, однако таких потенциальных инвесторов очень много. Поэтому финансовый потенциал этой категории участников фондового рынка достаточно велик. В США и в развитых странах Европы большинство индивидуальных инвесторов составляют люди пожилого возраста. У них, как правило, есть необходимое имущество, все долги выплачены, имеется некоторый избыток денежных средств. Они инвестируют деньги, потому что доходы от ценных бумаг дают заметную прибавку к пенсии. Четвертая группа участников фондового рынка –страны. Страны принимают участие в международном финансовом рынке, эмитируют ценные бумаги. Соответственно есть страны-кредиторы и страны-заемщики, берущие кредиты. 1.5. Понятия фундаментального и технического анализа фондового рынка Фундаментальный анализ рынка состоит в изучении и анализе долгосрочных тенденций на рынке, выявлении факторов и скрытых взаимосвязей, влияющих на динамику цен. В фундаментальном анализе используются разнообразные статистические данные, публикуемые в печати, а также распространяемые в Inter9

net [ 11 ]. Широко применяются различные экономико-математические модели и методы. В большинстве случаев фундаментальный анализ является все же скорее качественным, чем количественным. Он позволяет лишь выявить начало определенных тенденций и их направленность. Как правило, для более определенных выводов необходимы дополнительные исследования отдельных явлений и факторов. Технический анализ проводится с целью анализа текущего состояния рынка («сиюминутный» анализ) и улавливания краткосрочных аспектов его поведения. Традиционный технический анализ состоит в построении диаграмм, изучении только что заключенных контрактов и т.п. Прежде всего он направлен на изучение динамики цен на конкретный финансовый инструмент с целью предугадывания движения цены в ближайший период времени. Для этого специалистыаналитики отыскивают на графиках поведения цен повторяющиеся характерные очертания, фигуры и выдают рекомендации в предположении дальнейшего движения цены по этой фигуре. 2. Вероятностно-статистические модели ценообразования акций 2.1.

Гипотеза об информационной эффективности рынка и ее формы

Многолетние статистические наблюдения за движением цен на финансовые инструменты на фондовых рынках позволили математикам и финансовым аналитикам построить удачные математические модели ценовой динамики. Следует отметить, что особенности каждой из таких моделей существенно зависят от принятой гипотезы об эффективности рынка. При этом эффективность понимается как информационная эффективность, в отличие от распределительной эффективности рынка. В финансово-экономической литературе гипотеза об эффективности рынка формулируется в трех формах (сильная, квазисильная, слабая форма). Гипотеза в сильной форме подразумевает, что цены на фондовом рынке выявляют всю имеющуюся информацию о покупаемых и продаваемых финансовых 10

инструментах. Это означает, что участники рынка не могут использовать такую информацию для систематического увеличения выгоды от совершаемых сделок. Действительно, любая информация подобного рода уже отражена в сложившихся рыночных ценах и потому в дальнейшем теряет свою ценность. Отсюда можно сделать вывод, что не имеет смысла прилагать усилия для уточнения имеющейся информации. Причина здесь в том, что дополнительная информация все равно отобразится в ценах, известных всем участникам рынка, так что усилия, приложенные одним из участников рынка, не оправдают себя. Таким образом, гипотеза в сильной форме утверждает, что в рыночных ценах отражена вся имеющаяся у кого-либо информация. Строго говоря, это утверждение нельзя считать реалистическим, поскольку оно приводит к противоречию: если никто не добывает новой информации об объектах купли-продажи, то появляется стимул к ее получению. Однако стоит кому-либо из участников рынка приложить усилия и добыть дополнительную информацию, как она тут же становится общедоступной, не принося своему первоначальному владельцу никаких преимуществ. Одну из возможностей разрешения этого противоречия дает модель рациональных ожиданий с помехами [ 4 ]. В этой модели считается, что цены отображают рыночную информацию не полностью, поэтому при принятии своих решений участники рынка используют как собственную информацию, так и ту, что содержится в ценах. Гипотеза в квазисильной форме гласит, что цены отображают не полную, а лишь общедоступную информацию об объектах купли-продажи. Наконец, гипотеза об эффективности рынка в слабой форме утверждает, что текущие цены отражают всю ту информацию, которую можно извлечь из прошлых цен. Именно эта форма гипотезы чаще всего тестируется на практике и используется при моделировании изменений цен на финансовые инструменты с течением времени. 2.2.

Марковские свойства цен акций и гипотеза случайного блуждания 11

В 1827 г. английский ботаник Р.Броун (R.Brown) наблюдал в микроскоп движение цветочной пыльцы, взвешенной в воде. Наблюдаемые частицы совершали неупорядоченные независимые движения, описывая сложные зигзагообразные траектории («броуновское движение» или случайное блуждание). Позднее было установлено, что причина броуновского движения заключается в хаотическом движении молекул жидкости, случайные удары которых заставляют взвешенную в жидкости частицу описывать случайные траектории. Исследования броуновского движения явились фактором, способствовавшим развитию теории случайных процессов. Современные математические модели случайного блуждания основаны на теории марковских процессов [ 5 ]. Марковский процесс является особым типом случайного процесса, в котором для предсказания будущих значений случайной переменной используется только ее текущее значение. Вся предыдущая история переменной и путь, по которому из прошлых значений сформировалось текущее значение, не играют роли. В 1900 г. французский экономист Л.Башелье выдвинул гипотезу, что движение цен на товарных рынках Франции по своему характеру аналогично броуновскому движению. В 1950-1960-е гг. идея Л.Башелье нашла подтверждение в исследованиях закономерностей, которые определяют колебания цен на акции. Но если легкая частица, взвешенная в жидкости, совершает случайное блуждание в трехмерном пространстве, то цена акции испытывает одномерные блуждания. При этом наилучшее подтверждение получила модель, в соответствии с которой случайные приращения цены распределены по нормальному закону. Гипотеза о случайном блуждании цен на акции аналогична гипотезе об эффективности рынка в слабой форме. Действительно, обе гипотезы утверждают, что последующая цена финансового инструмента связана лишь с ее текущим значением. На эффективном фондовом рынке цены финансовых инструментов находятся в равновесии. Эти цены будут изменяться только при получении участниками рынка новой информации. Такая информация может вызывать как положительные, так и отрицательные ожидания изменения рыночной ситуации. В ре12

зультате очередное изменение цены может иметь как положительное, так и отрицательное значение.

Рис. 3. Движение средних цен акций АО "Челябинский трубопрокатный завод" в 1995-1996 гг. Нижняя линия - цена покупки, верхняя - цена продажи, средняя - курсовая цена (средняя арифметическая цен покупки и продажи). На рис.3 представлена динамика средних цен акций АО "Челябинский трубопрокатный завод" с января 1995 г. по февраль 1996 г. [ 9 ]. Ход кривых на рисунке позволяет предположить, что математическую модель движения цен составят случайные блуждания в сумме с линейным трендом.

Рис.4. Динамика средних цен акций АО "Синарский трубный завод" в 19951996 гг. На рис.4 представлена динамика средних цен АО "Синарский трубный завод" за период с января 1995 г. по февраль 1996 г. [ 9 ]. Несмотря на заметные отличия характера движения от примера на рис.3, модель случайного блуждания цен вполне применима и здесь. 13

2.3.

Биномиальная модель движения цены акции, не приносящей держателю дивидендов Весь период наблюдения за ценой акции можно разбить на ряд интервалов времени одинаковой длительности Δt . В течение каждого из этих интервалов це-

Рис.5. Динамика цены акции на одном интервале биномиальной модели. на акции S может либо пойти вверх с вероятностью p , либо понизиться с вероятностью 1 − p , как схематически показано на рис. 5 В конце первого интервала ∆t1 длительностью ∆t цена акции становится равной либо S ⋅ u , где u - повышающий коэффициент ( u > 1 ), либо S ⋅ d , где d понижающий коэффициент ( d < 1 ). Рассматривая поведение цены на каждом следующем интервале времени, можно построить дерево распределения цены акции на всем периоде наблюдения.

14

Рис. 6. Дерево распределения курсовой цены акции для четырех временных интервалов. Построение дерева на отрезке времени длиной 4∆t показано на рис.6. Здесь начальная цена акции равна S . Итак, по завершении первого интервала ∆t 1 цена ее может составить S ⋅ u или S ⋅ d . По завершении второго интервала ∆t

2

цена может принять одно из трех значений: S ⋅ u 2 , S ⋅ d 2 или S ⋅ u ⋅ d . По завершении третьего интервала ∆t

3

- одно из четырех значений: S ⋅ u 3 , S ⋅ d 3 , S ⋅ u 2 ⋅ d

или S ⋅ u ⋅ d 2 , и т.д. В целях упрощения модели, поскольку период наблюдения за ценой обычно дробится на большое число интервалов, часто делается допущение, что u =

1 . С учетом того, что при этом ud = 1 , значения цен акции на дереве расd

пределения можно представить следующим образом (рис.7).

Рис. 7. Дерево распределения цены акции при ud = 1 . Таким образом, биномиальная модель порождает бинарное дерево, в каждой точке ветвления (узле) которого есть возможность как подъема, так и падения цены акции. Для упрощения расчетов наращенных и дисконтируемых сумм будем использовать безрисковую процентную ставку r в модели непрерывно начисляемых сложных процентов ( см. Приложение 1). Пусть в начале наблюдения цена акции равна S .Тогда, согласно представлениям финансовой математики, ожидаемое значение цены акции спустя время ∆t должно составить S ⋅ e r∆t , где e r∆t - мно15

житель наращения ( см. Приложение 1). С другой стороны, за время ∆t цена акции сформируется случайным образом, причем с вероятностью p она примет значение Su , а с вероятностью 1 − p - значение Sd . Поэтому математическое ожидание цены акции (как случайной величины) будет равно pSu + (1 − p) Sd . Это позволяет нам рассчитать вероятность p . Записав равенство Se r∆t = pSu + (1 − p) Sd , находим p=

e r∆t − d . u−d

(1)

В соответствии с марковскими свойствами цен акций коэффициенты повышения и понижения u и d зависят от длительности наблюдения и нормированного среднеквадратического отклонения цены σ так [ 3 ]: u = eσ∆t ; d = e −σ∆t .

(2)

Формула (1) позволяет рассчитать вероятность повышения и понижения цены акции. Пример расчетов. Цена акции в начале периода равна 40 руб., среднеквадратическое отклонение составляет 35%, безрисковая процентная ставка равна 10% годовых. Найти вероятность повышения и понижения цены акции через 1 месяц, а также возможные значения курса акций последовательно через 1 и 2 месяца. Решение. Одному месяцу соответствует 0,0833 календарного года, откуда u=e

0,35 0,0833

= 1,1063, ; ∆t = 1 / 12 ≈ 0,0833 ; d = e

−0,35 0,0833

= 0,9039 ;

e r∆t = e 0,1⋅0,0833 = 1,0084 ; p=

1,0084 − 0,9039 = 0,5163 ; 1 − p = 0,4837. 1,1063 − 0,9039

Через один месяц возможные значения цены акции составят (руб.); Su = 40 ⋅ 1,1063 = 44,25 (руб.); Sd = 40 ⋅ 0,9039 = 36,16 (руб.), Через 2 месяца Su 2 = 40 ⋅ 1,2239 = 48,96 (руб.) ; Sud = S = 40 (руб.) ; 16

Sd 2 = 40 ⋅ 0,8170 = 32,68 (руб.). Решение закончено.

Для бинарного дерева характерно то, что переход в любую промежуточную точку ветвления не зависит от траектории, по которой мы в нее попали. Важно лишь общее количество подъемов и спадов, которое претерпевает цена акции на пути в эту точку. Если мы не используем дополнительных вероятностных моделей риска участников рынка, то бинарное дерево отображает последовательность независимых испытаний (схему Бернулли): на каждом интервале длительностью ∆t как будто происходит случайный опыт, в результате которого цена акции может либо возрасти, либо уменьшиться. При этом «траектории» движения цен характеризуются случайными блужданиями по решетке, образованной ветвями бинарного дерева. Решетка, по которой происходят эти блуждания, может быть сколь угодно обширной, поскольку необязательно выбирать интервалы длиной в один месяц или год. На самом деле структура биномиальной модели зависит только от нашего выбора, и мы может задать шаги любой длины ∆t – суточные, часовые, минутные и т.п. Чем короче выбранный шаг, тем точнее биномиальная модель. Рассмотрим теперь биномиальную модель на периоде длиной n ⋅ ∆t ( n интервалов наблюдения), не предполагая, что обязательно u = 1 d . По завершении этого периода общее выражение для цены акции можно записать как Su j d n− j . Такая курсовая цена акции сложится, если на пути в соответствующую точку дерева произойдет j подъемов и n − j спадов цены. Поскольку подъем происходит с вероятностью p , а спад с вероятностью 1 − p , то вероятность формирования подобной траектории будет равна, в силу независимости случайных подъемов и спадов, p j (1 − p) n− j . При этом порядок подъемов и спадов не имеет значения. Количество траекторий блуждания по решетке, приводящих в выбранную точку дерева, определяется обычным биномиальным коэффициентом C nj =

n! . j!( n − j )!

(3)

17

Следовательно, каждой точке ветвления бинарного дерева соответствует свой биномиальный коэффициент, т.е. расположение точек ветвления (начиная со второго интервала времени наблюдения) совпадает с расположением чисел в треугольнике Паскаля (рис.8). 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …………………………. ……………………………… Рис. 8. Треугольник Паскаля. Расположение чисел (биномиальных коэффициентов) совпадает с расположением соответствующих узлов бинарного дерева. Таким образом, по завершении периода наблюдения длительностью n∆ ∆t цена P

акции

может

принять

значение

Su j d n− j

с

вероятностью

= C nj p j (1 − p) n− j , где S - курсовая цена акции в момент начала периода j ,n

наблюдения. Следовательно, в рамках биномиальной модели вероятность формирования той или иной случайной цены акции подчиняется биномиальному закону распределения. В соответствии со свойствами биномиального закона распределения вероятностей легко найти наивероятнейшее число j подъемов цены акции за время 0 наблюдения n ⋅ ∆t : j = ( n + 1) ⋅ p  , где скобки « ⋅ » обозначают операцию полу0 чения целой части числа. Если n >> 1 , можно считать, что j ≈ np . При этом по0 j n− j0 лучаем наивероятнейшее значение цены акции - Su 0 d , которое реализуется

с вероятностью P

j0 ,n

2.4.

, наибольшей из всех вероятностей P

j ,n

.

Экспоненциальная биномиальная модель

Многие исследователи фондового рынка полагают, что случайное блуждание демонстрируют не сами цены, а натуральные логарифмы их значений [ 8, 9 ]. Тогда цена акции к концу n -го интервала наблюдения S n может быть 18

представлена как S n = S ⋅ e H n , где H n = h + h + ... + hn , а h - независимые i 1 2 случайные величины одного порядка. Опираясь на центральную предельную теорему теории вероятностей, можно сделать вывод, что при n > 10 распределения величин H n близки к гауссову. Изменение цены акции в будущем – это случайный процесс. Если ввести в модель движения цены непрерывный отсчет времени t , то для любого момента времени t и любого τ > 0 , случайная величина k  S (t + τ )   k x = ln k S (t )  k  

(4)

окажется распределенной по гауссовому закону. Из этого результата следует важный вывод: в рамках экспоненциальной биномиальной модели отношение цен акции, наблюденных через любой промежуток времени, подчиняется логарифмически-нормальному распределению. Изначально можно было предположить, что в целях вероятностной оценки стоимости акции следует воспользоваться гауссовым распределением. Почему же в теории и практике прогнозирования цен акций принято использовать логарифмически-нормальное распределение [ 3, 8 ]? Это обусловлено следующими причинами. Во-первых, гауссово распределение имеет симметричную кривую относительно своей центральной оси и может давать как положительные, так и отрицательные значения. Во-вторых, гауссово распределение говорит о равной вероятности цены актива пойти как вверх, так и вниз. В то же время в практике рынка ценных бумаг всегда присутствует инфляция, которая оказывает давление на цены в сторону их повышения. В связи с этим в моделях вероятностного прогнозирования цен следует использовать логарифмически-нормальное распределение. Кривая этого распределения всегда соответствует только положительным значениям случайной величины и имеет правостороннюю скошенность, т.е. характеризуется положительным значением коэффициента асимметрии. Следовательно, согласно данному распределению, цена акции имеет большую вероятность пойти вверх, чем вниз. 19

Отметим, что отношение

S (t + τ ) k

S ( t ) характеризует среднюю доходk

ность финансового инструмента на отрезке времени [t , t + τ ] . В сущности, это k k отношение равно множителю наращения в экспоненциальной форме, используемого в модели непрерывного начисления сложных процентов (см. Приложение 1).

2.5. Об использовании в моделях ценообразования акций непрерывнозначных марковских процессов Модели поведения цен на акции в непрерывном времени обычно строятся на основе винеровского процесса [ 5 ], который является частным случаем марковского случайного процесса. В физике именно винеровский процесс используется для описания броуновского движения легкой частицы, испытывающей большое число слабых ударов от молекул жидкости. На любом интервале времени длиной T приращение случайной величины z , которая следует винеровскому процессу, подчиняется гауссовскому распреде-

лению с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным T .При этом для построения математических моделей используется аппарат стохастических дифференциальных уравнений.

Рис. 9. Пример реализации винеровского процесса и обобщенного винеровского процесса. Обобщенный винеровский процесс для переменной x (цены акции) подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению [ 8 ] 20

dx = a ⋅ dt + b ⋅ dz ,

(5)

где x -случайный процесс, описывающий движение цены акции; a, b -константы; слагаемое a ⋅ dt выражает наличие дрейфа цены со скоростью a в единицу времени (см. рис.9).; z - винеровский процесс; слагаемое b ⋅ dz есть "аддитивный шум", отображающий изменчивость цены акции; dz = ε dt , где ε - гауссова случайная величина с нулевым средним значением и единичной дисперсией [ 8 ]. Заключение Данное пособие следует воспринимать лишь как приглашение к знакомству с вероятностными моделями "капризного" и изменчивого рынка ценных бумаг. Применение аппарата теории вероятностей и математической статистики в исследовании фондового рынка представляет собой необычайно интересную и увлекательную область, в которой есть огромное поле деятельности для математиков всех специальностей.

Приложение 1 Модель непрерывного начисления сложных процентов Пусть первоначальный вклад в банк равен сумме Q0 . Необходимо найти сумму вклада через T лет, если ежегодно выплачивается R процентов годовых. Очевидно, что при R % годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в (1 + R 100) раз . Тогда, обозначая r = R 100 , получим, что по истечении года размер вклада составит Q = Q ⋅ (1 + r ), через 2 года - Q = (1 + r ) 2 , …, по 2 1 0 истечении T лет - QT = (1 + r )T . Перейдем от начисления процентов один раз в году (обычно по завершении года) к начислению n раз в год. Теперь, при том же ежегодном приросте R % , процент начисления за 1 n -ю часть года составит R n % , а размер вклада за T лет, в результате nT начислений, составит сумму r Q = Q (1 + ) nT . T 0 n Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие ( n = 2 ), ежеквартально ( n = 4 ), ежемесячно ( n = 12 ), каждый день ( n = 365 ), каж21

дый час ( n = 8760 ) и т.д., …, непрерывно ( n → ∞ ). Тогда через T лет сумма вклада достигнет размера n  nT   r r r     QT = lim Q  1 +   = Q ⋅ lim  1 +    0  0 n  n      n→∞

rT = Q ⋅ e rT , 0

(6)

n→∞

где e ≈ 2,718281... - основание натурального логарифма. При выводе ( 6 ) использовалось понятие второго замечательного предела: е = lim(1 + 1 n)n . n→∞ В практических финансово-кредитных расчетах непрерывное начисление процентов используется весьма редко. Однако этот удобный прием, позволяющий получать компактные, легко обозримые соотношения, является традиционным в финансовом анализе инвестиционных проектов и операций на фондовом рынке. Экспоненциальный множитель e rT , связывающий будущую (наращенную) сумму Q с исходной суммой Q , есть множитель наращения, а процентная ставка T 0 r , записанная в виде десятичной дроби, называется силой роста. Из ( 6 ) следует, что, зная наращенную сумму Q

T

и годовую процентную

ставку r , можно найти исходную сумму Q путем дисконтирования: 0 Q = QT ⋅ e −rT 0

.

(7)

Экспоненциальный множитель e −rT в ( 7 ) называется множителем дисконтирования.

Приложение 2 Отображение мирового и российского фондового рынка в Internet Нью-Йоркская фондовая биржа имеет сервер, расположенный по адресу http://www.nyse.com . На сервере представлен листинг компаний, чьи акции торгуются на бирже, ежедневно публикуются обзоры рынка. Интернет-сервер Американской фондовой биржи находится по адресу http://www.amex.com .

22

Самым известным бесплатным сервером, предоставляющим информацию для инвесторов, является сайт корпорации CNN (финансовая сеть CNN), расположенный по адресу http://www.cnnfn.com . С целью предоставления пользователям Internet качественной информации о финансовых рынках в 1993 г. в США была основана корпорация Quote.com . Ее сервер расположен по адресу http://www.quote.com . Для начинающих инвесторов, плохо владеющих английским языком, существует консультационный русскоязычный сервер, расположенный по адресу http://cna.vpk.ru/ . Основным бесплатным сервером, предоставляющим информацию по акциям российских эмитентов, является сервер Российской торговой системы. Он находится по адресу http://www.rtsnet.ru . Сервер Московской Межбанковской Валютной биржи (ММВБ) находится по адресу http://www.micex.com . Весьма полезным источником информации о российском фондовом рынке является сайт Федеральной комиссии по рынку ценных бумаг России (ФКЦБ), расположенный по адресу http://www.fe.msk.ru/infomarket/fedcom . Сервер информационного агентства "AK&M", предоставляющий полную оперативную информацию о российском фондовом рынке, можно найти по адресу http://www.akm.ru . Сервер российского информационного агентства "Росбизнесконсалтинг" (адрес http://www.rbc.ru ), кроме информации о российском фондовом рынке, предоставляет данные о мировых фондовых индексах, новости российских и мировых фондовых рынков. Еще одним полезным ресурсом российской части Интернет является сервер Межбанковского Финансового Дома, начальная страница которого находится по адресу http://www.mfd.ru . Кроме информации об индексах, новостях и курсах валют на финансовых рынках здесь можно получить дистрибутив информационной системы, которая является программной разработкой «МФД-Инфо-Центр». Эта программа обеспечивает получение по Интернет полной информации о тор23

говле ценными бумагами российских эмитентов в системе РТС в реальном масштабе времени. В работе [ 11 ] можно найти подробные разъяснения того, как, используя Internet, продавать и покупать акции российских и зарубежных эмитентов, как осуществляется открытие брокерского счета и передача брокерам распоряжений по Internet и т.д. и т.п. Литература 1. Белых Л.П. Основы финансового рынка. 13 тем: Учеб. пособие для вузов. – М.: Финансы и статистика, ЮНИТИ, 1999. – 231 с. 2. Едронова В.Н., Мизиковский Е.А. Учет и анализ финансовых активов: акции, облигации, векселя. – М.: Финансы и статистика, 1995. – 272 с. 3. Буренин А.Н. Форвардные, фьючерсные и опционные рынки. - М.: Тривола, 1995.- 240 с. 4. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. – М.: 1 Федеративная Книготорговая Компания, 1998. – 352 с. 5. Меньшиков И.С. Финансовый анализ ценных бумаг: Курс лекций. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 360 с. 6. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М., Советское Радио, 1977. – 488 с. 7. Маршалл Дж.Ф., Бансал В.К. Финансовая инженерия: Полное руководство по финансовым нововведениям: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 784 с. 8. Hull J.C. Options, futures and other derivative securities.-2 ed. Englewood Cliff: Prentice-Hall, Inc., 1993.-492 p. 9. Малыхин В.И. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов.- М.: ЮНИТИДАНА, 1999.- 247 с. 10. Федоров В. Деньги, вложенные в "трубные" акции, не вылетят в трубу//Рынок ценных бумаг. - 1996. - № 8. C. 21-23. 11. Закарян И.О., Филатов И.О. Интернет как инструмент для финансовых инвестиций. – СПб.: БХВ – Санкт-Петербург, 1999. – 256 с. Составитель Кремер Александр Ильич Редактор Бунина Т.Д.

24