Математические основы кибернетических систем

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА АСУ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КИБЕРНЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к лабораторному практикуму по курсу "Математические основы кибернетических систем" для студентов направления 552800 Информатика и вычислительная техника Авторы: Г.Г. Куликов, Т.В. Брейкин, Р.Р. Еникеев УДК 681.3 Математические основы кибернетических систем: Методические указания к лабораторному практикуму по курсу "Математические основы кибернетических систем" для студентов направления 552800 - Информатика и вычислительная техника / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т; Сост.: Г.Г. Куликов, Т.В. Брейкин, Р.Р. Еникеев. -Уфа, 1999. -16 с. Содержатся методики выполнения лабораторных работ для студентов, обучающихся по направлению 552800 - Информатика и вычислительная техника

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 1 Цель работы Целью работы является изучение принципов разработки непрерывных динамических моделей, изучение методов моделирования динамических процессов с использованием пакетов визуального моделирования. 2 Основные теоретические сведения 2.1 Основные принципы работы с пакетами визуального моделирования Системы визуального моделирования, такие как SIMULINK и

Рисунок 1.1 - Основное окно пакета VisSim VisSim, предназначены для автоматизации инженерных и научных расчетов в области моделирования и анализа широкого класса динамических систем. Эти пакеты имеют систему иерархического меню, встроенный help, привязанный к рассматриваемому объекту.

Рисунок 1.2 - Основные наборы элементарных блоков пакета SIMULINK Пакет VisSim имеет инструментальную линейку, содержащую базис из элементарных блоков (рисунок 1.1). SIMULINK построен на оконном принципе (рисунок 1.2) Базис элементарных блоков в различных пакетах визуального моделирования, как правило, содержит блоки арифметических и трансцендентных функций, интеграторы, линейные динамические звенья в виде передаточных функций в s- и z-области и в пространстве состояний, блоки входных сигналов и блоки отображения. 2.2 Общая схема моделирования динамических систем в пакетах визуального моделирования Моделирование динамических систем в пакетах визуального моделирования осуществляется по следующей схеме: а) построение модели из элементарных блоков и ее сохранение на диске; б) задание метода и параметров моделирования; в) моделирование; г) анализ результатов моделирования.

2.3 Основные способы представления динамических моделей 2.3.1 Представление моделей в виде передаточных функций и структурных схем Электронная модель системы строится на основе математических моделей элементов системы, задаваемых в базисе передаточных функций (ПФ). Передаточная функция системы есть отношение Лапласова изображения выходной координаты к входной и обозначается W(s)=Xвых(s)/Xвх(s). Например:

где К и Т - параметры ПФ. Схема соединения передаточных функций, описывающих элементы системы, называется ее структурой. Структура системы строится на основе базиса элементарных блоков. 2.3.2 Представление модели в пространстве состояний Модели элементов системы записываются в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Для выходных сигналов составляются алгебраические уравнения от координат состояния. Пример модели, заданной в пространстве состояний:

или в векторной форме:

где

- вектор координат состояния;

- вектор выходных координат; -вектор управляющих координат; А, В и С - матрица соответствующей размерности. Пример механического перехода от моделей в виде передаточных функций к модели в пространстве состояний. Модель объекта 1-го порядка в виде передаточной функции в s-области выглядит следующим образом:

Для представления модели этого объекта в пространстве состояний в правой части этого выражения переменная s механически заменяется на

и во временной области

. получаем Далее это выражение преобразуется к нормальному виду в форме Коши: . 3 Порядок выполнения работы 3.1 Изучить методику набора модели в пакете SIMULINK и методику моделирования 3.1.1 Набрать в пакете SIMULINK модель замкнутой системы управления нагревателем (рисунок 1.3), заданной передаточными функциями, в соответствии с полученным вариантом (таблица 1). 3.1.2 Провести моделирование системы в соответствии с данным вариантом. Вывести на экран и зарисовать графики переходных процессов t (t) и t изм(t). 3.1.3 Перейти от модели, заданной в виде передаточных функций структурной схемой (рисунок 1.3), к модели в пространстве состояний. Разработать схему моделирования, используя блок интегрирования. Набрать модель в пакете SIMULINK. Провести моделирование и вывести на экран графики переходных процессов t (t) и t изм(t). 3.1.4 Сравнить графики, полученные в п.3.1.2 и в п.3.1.3.

Рисунок 1.3 - Структурная схема управления нагревателем 3.2 Изучить методику набора модели в пакете VisSim и методику моделирования, повторив п.3.1.1 - 3.1.4, используя этот пакет. 4 Форма отчетности Отчет представляется в рукописном виде и должен содержать: а) фамилии исполнителей, ╬ варианта и исходные данные; б) структурную схему модели в виде передаточных функций; в) графики, отражающие вид переходных процессов и их параметры (время переходного процесса и установившееся значение, точность достижения цели управления); г) модель в пространстве состояний и расчетные коэффициенты аij., bi и ci . д) схему моделирования на основе модели в пространстве состояний; е) графики, отражающие вид переходных процессов, и их параметры.

Таблица 1 - Варианты заданий Параметры системы Вариант 1 2 3 4 5 6 7

Параметры моделирования

Ka

Ki

Kt

K

T1

T2

3 2 1 1 3 4 2

3 2 5 3 5 3 1

1 2 2 2 1 2 4

1 1 1 1 1 1 1

35 30 40 25 60 80 28

1 1 1 1 1 1 1

время модел-я

шаг метод модел-я интегрирования

Эйлера Рунге-Кутта от t=0 до Эйлера окончания dT<0,2Tмин Рунге-Кутта переходного Эйлера процесса Рунге-Кутта Эйлера

Для всех вариантов tзад=20 С , tнач=0 С ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 ИЗУЧЕНИЕ УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ РЫНКА АБСТРАКТНОГО ТОВАРА 1 Цель работы Построение упрощенной модели рынка абстрактного товара и моделирование динамики происходящих на нем процессов. 2 Основные теоретические сведения 2.1 Упрощенная модель рынка абстрактного товара в понятиях спроса и предложения На свободном рынке любого товара цена последнего в значительной степени определяется соотношением спроса на товар и предложением по его продаже. Существует большое количество различных факторов, как субъективных, так и объективных, в значительной степени влияющих на цену товара. Чем больше таких факторов мы учитываем при моделировании, тем сложнее получается наша модель. Рассмотрим упрощенную модель рынка абстрактного товара. На рисунке 2.1 в координатах "количество - цена" заданы кривые спроса и предложения. Кривая спроса C-KN отражает ту среднюю цену М, по которой можно продать товар при условии, что на рынок поступило N условных единиц этого товара. Здесь С - потенциальная цена товара при отсутствии его на рынке, K - коэффициент, определяющий угол наклона кривой спроса. Коэффициент R определяет подъем кривой спроса по оси цен при затратах производителя на рекламную деятельность, т.е. кривая спроса принимает вид С-КN+RD, где D затраченные на рекламу финансовые средства. Кривая предложения AN2+B отражает среднее количество товара, поступающего на рынок в зависимости от сформировавшейся на нем цены на этот товар. Здесь В - та минимальная цена, за которую производитель готов продавать свой товар, включающая себестоимость товара и минимальную гарантированную прибыль, А - коэффициент растяжения параболы по оси N. Уравновешивание спроса и предложения происходит в точке с координатами (c1,n1).

Рисунок 2.1 - Рынок абстрактного товара 2.2 Составление динамической модели насыщения рынка Составим модель насыщения рынка, заданного на рисунке 2.1, позволяющую проследить динамику насыщения рынка. Обозначим через изменение количества поступающего на рынок товара за период времени delta t. Пусть минимальная гарантированная прибыль равна нулю и В есть себестоимость условной единицы товара. Тогда AN2 есть планируемая прибыль, а разность (C-KN)-(AN2+B) есть сверхплановая прибыль. Если производитель всю сверхплановую прибыль пускает на развитие производства, т.е. на увеличение выпускаемой продукции N, то, обозначив через Т период времени, необходимый для выпуска одной условной единицы товара, получим равенство:

где произведение RD определяет влияние на моделируемую систему рекламной деятельности производителя. Устремив delta t к нулю, в пределе получим:

Запишем полученную модель в пространстве состояний, положив N=x

, где ; ; ;u=RD; d1=1. Таким образом, динамическая модель насыщения рынка с параметрами, представленными на рисунке 2.1, составлена, и можно переходить непосредственно к моделированию, используя известные методы интегрирования и алгоритмические языки программирования или специализированные пакеты прикладных программ.

3. Порядок выполнения работы 3.1 Промоделировать процесс насыщения рынка при условии R=0. 3.1.1 Разработать схему моделирования системы (1) и набрать ее в пакете SIMULINK в соответствии с заданным вариантом. 3.1.2 Записать модель на диск с индивидуальным именем. 3.1.3 Провести моделирование системы. Вывести на экран график переходного процесса N(t). 3.1.4 Зарисовать структуру модели и график переходного процесса для отчета. 3.2 Промоделировать процесс насыщения рынка при условии R=0.5, D=qN (последовательность аналогична 3.1). 3.3 Промоделировать процесс насыщения рынка при условии

D=qN (последовательность аналогична 3.1). 3.4 Построить модель и определить, при каком количестве товара на рынке прибыль производителя в условиях монополии будет максимальной для рынка, заданного на рисунке 2.1. 4 Форма отчетности Отчет представляется в рукописном виде и должен содержать: а) фамилии исполнителей, № варианта и исходные данные; б) структурные схемы моделей для набора в SIMULINK и графики, отражающие вид переходных процессов N(t) и их параметры (время переходного процесса и установившееся значение N) для пунктов 2.1-2.4; в) структурную схему и график "прибыль = F(N)" для 2.5. Таблица 2 - Варианты заданий Параметры системы Вариант 1 2 3 4 5 6 7

C

c1

B

n1

q

T

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000

400 200 300 250 350 200 400

100 50 75 100 60 50 50

10 5 10 15 20 10 20

50 25 40 30 80 40 30

10 10 10 10 10 10 10

Параметры моделирования время шаг метод модел-я модел-я интегрирования Эйлера от t=0 Рунге-Кутта до Эйлера оконча выбрать ния самосто Рунге-Кутта переход ятельно Эйлера ного Рунге-Кутта процесса Эйлера

Список литературы 1. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы PC MATLAB. -М.: Физматлит, 1993. -112 с. 2. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. -М.: Энергоатомиздат, 1987. 494 с. 3. Кузин Л.Т. Основы кибернетики. -М.: Энергия, 1979. -584с. 4. Лапа В.Г. Математические основы кибернетики. -Киев: Наука, 1974. -450 с. 5. Потемкин В.Г. Система MATLAB: Справочное пособие. -М.: Диалог-МИФИ, 1997. -350 с.