Сборник задач по физике. Механика: Методическое пособие для поступающих в университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ Механика Методическое пособие для поступающих в университет

ПЕНЗА ИИЦ ПГУ 2007

УДК 530.1 С23 Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Физика» Пензенского государственного университета Л. И. Мокиевский; учитель физики высшей категории школы-лицея № 230 г. Заречного А. И. Сеитов

С23

Кривецков, С. Е. Сборник задач по физике. Механика : методическое пособие для поступающих в университет / сост.: С. Е. Кривецков, П. П. Першенков, В. В. Деревянкина ; под ред. П. П. Першенкова. – Пенза : Информационно-издательский центр ПГУ, 2007. – 68 с.

В части пособия «Механика» представлены типичные задачи по кинематике, динамике, статике, гидростатике и применению законов сохранения импульса и механической энергии, предлагаемые на вступительном экзамене по физике в Пензенском государственном университете. По каждой из указанных тем приведены основные формулы, знание которых необходимо для успешного решения задач. Рассмотрены примеры решения типовых задач этих разделов физики. Представлены задачи для самостоятельного решения. Ко всем рассмотренным задачам даны ответы. Сборник может использоваться абитуриентами для самостоятельной подготовки, для занятий на подготовительных курсах, а также для подготовки к ЕГЭ (уровни В, С).

УДК 530.1

2

1. Кинематика Скорость Здесь и в дальнейшем используется понятие приращение, обозначаемое буквой Δ. Приращением любой величины называется разность ее конечного и начального значений. Средняя скорость (средняя путевая скорость)

v cp =

ΔS S = , Δt t

где ΔS , S – путь за время Δt и t соответственно. Скорость (мгновенная скорость) r r r Δr dr , v = lim = Δt →0 Δt dt r где r – радиус-вектор точки. Разложение вектора скорости на составляющие r r r r v = v X i + vY j + v Z k ,

r где v X , vY , v Z – проекции вектора v на оси X, Y, Z, соответственно; r v = v = v 2X + vY2 + v 2Z .

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Равномерное движение (v = const) S(t) = v t.

(1.5)

В случае равномерного прямолинейного движения обычно считают, что материальная точка движется вдоль оси X, и общая форма уравнения движения имеет вид:

x = x0 ± vt ,

(1.6)

здесь x0 – начальная координата тела, которая в выбранной системе координат может быть как положительной, так и отрицательной величиной; знак + перед членом со скоростью ставится в том случае, если направление вектора скорости совпадает с положительным направлением оси X. Связь скоростей в подвижной и неподвижной системах отсчета (СО) r r r (1.7) v = v′ + u . r r r где v – скорость в неподвижной СО; v′ – скорость в подвижной СО; u – скорость подвижной СО относительно неподвижной.

3

Задачи с решениями

1р) Стоя на ступеньках эскалатора метро, пассажир съезжает за 1 минуту. По неподвижному эскалатору он спускается за 40 секунд. Сколько времени займет спуск идущего пассажира по движущемуся вниз эскалатору? Дано: Решение: t1 = 60 c Пусть длина эскалатора l, скорость эскалатора u, скоt2 = 40 c рость человека v. t3 = ? Когда человек стоит на эскалаторе, который движется l со скоростью u, время его спуска t1 = . Если человек со скоростью v идет по u l неподвижному эскалатору, он спускается за время t2 = . v Когда же человек со скоростью v идет по движущемуся со скоростью u l эскалатору, время его спуска становится равным t3 = . u+v l l Из первого соотношения: u = , из второго: v = . Подставив полученt2 t1 ные формулы в выражение для t3, будем иметь: t3 =

l l l + t1 t2

=

l t1t2 tt = 12 . l ( t1 + t2 ) t1 + t2

Используя заданныевеличины, получим: t3 =

60 ⋅ 40 = 24 с. 60 + 40

Ответ: 24 с.

2р) Автомобиль проехал вторую половину пути со скоростью в 1,5 раза большей, чем первую. Определить скорости автомобиля на первой и второй половинах пути в км/час, если средняя скорость автомобиля на всем пути равна vср = 30 км/час. Дано: v2 = 1,5 v1 vср = 30 км/ч

Решение: S , где tд – tд время, за которое материальная точка проходит путь S. Исходя из введенных обозначений, здесь tд = t1 + t2 .

По определению средней скорости v ср =

v1 – ? v2 – ? Время, за которое автомобиль проходит первую половину пути t1 = а время прохождения им второй половины пути t2 = 4

S . 2v 2

S , 2v1

Тогда v ср =

S

=

2v1v 2 . ( v1 + v2 )

S S + 2v1 2v 2 Подставив заданное в условии значение v2, получим: vср =

2v1 ⋅ 1,5v1 6v1 . = v1 + 1,5v1 5 5 v1 = v ср = 25 км/час, 6 v 2 = 1,5v1 = 37,5 км/час. Ответ: 25 км/час; 37,5 км/час.

Из него:

3р) От перекрестка один автомобиль поехал на север со скоростью 80 км/час, второй – на восток со скоростью 60 км/час. Определить скоростью второго автомобиля относительно первого (в км/час). Дано: Решение: v1 = 80 км/ч Чтобы решить задачу, необходимо считать первый v2 = 60 км/ч автомобиль неподвижным. Для этого к вектору скорости первого автомобиля v21 – ? r v1

r v2

r v1′

r v 2,1

r равный по величине, но противоположный по направлению v1 пристроим uur вектор v1′ (cм. рисунок). В этих условиях первый автомобиль как бы стоит на uur r месте, а второй кроме вектора скорости v 2 имеет также скорость v1′ . Тогда в соответствии с законом сложения скоростей, вектор скорости второго автомобиля относительно первого r r ur v 21 = v1 + v′1 . Так как эти векторы расположены по условию под 90°, величина относительной скорости v 21 = v12 + v 22 = 6400 + 3600 = 100 км/час. Ответ: 100 км/час. 5

4р) Два человека одновременно вступают на эскалатор с противоположных сторон и движутся навстречу друг другу с разными скоростями относительно эскалатора v1 = 2 м/с и v 2 = 3 м/с. На каком расстоянии от входа на эскалатор они встретятся? Длина эскалатора l = 100 м, его скорость u = 1,5 м/с. Дано: l = 100 м u = 1,5 м v1 = 2 м/с v 2 = 3 м/с S–?

Решение: Кинематическая схема объектов, рассматриваемых в задаче, изображена на рисунке.

r v1

1 0

r v2

2

r u

x

r u l

В выбранной системе координат уравнения движения людей будут иметь вид: x1 = ( v1 + u ) t ; . x2 = l − ( v 2 − u ) t. В уравнениях учтено, что для первого объекта скорость движения эскалатора складывается с собственной скоростью, а для второго – вычитается. В момент встречи координаты людей становятся одинаковыми, т.е. при t = tв x1 = x2 = S. Используя условие равенства координат, получаем:

( v1 + u ) tв = l − ( v 2 − u ) tв . Отсюда имеем: l . v1 + v 2 Подставив полученное значение, например, в первое уравнение, определим искомую в задаче величину: ( v + u )l . S = x1 ( t = tв ) = 1 v1 + v 2 Учитывая исходные данные, получим: ( 2 + 1,5)100 = 70 м. S= 2+3 Ответ: 70 м. 5р) Катер, отправляясь от пристани, выронил спасательный круг. Через τ = 1 час движения вниз по течению реки катер повернул обратно и встретил tв =

6

спасательный круг на расстоянии L = 6 км от пристани. Определить в км/час скорость течения реки, если скорость катера относительно воды во время всего рейса оставалась постоянной. Решение: Дано: Часы включаем в момент, когда круг упал в воду. Киτ = 1 час нематическая схема движения рассматриваемых в задаче L = 6 км объектов может быть представлена следующим образом: u –? r r r v1 1 u 3 v2 x 0

2

r u

L S

r r в ней u – скорость течения реки, v = v1 = v 2 – скорость катера относительно воды, S – расстояние, которое прошел катер до поворота обратно, L – заданное в задаче расстояние от пристани. Скорость катера при движению по течению реки равна сумме скорости течения реки и собственной скорости самого катера относительно воды, и уравнение движения катера может быть представлено виде: x1 = ( v + u ) t . При t равном заданному в задаче времени τ координата x1 становится равна расстоянию S, изображенному на кинематической схеме. То есть при t = τ x1 = S, имеем: S = (v + u)τ . Так как круг перемещается со скоростью течения реки, кинематическое уравнение его движения в выбранной системе координат может быть представлено следующим образом: x2 =ut . Для определения момента встречи катера и круга необходимо записать уравнение движения катера с того момента, когда он начал движение навстречу кругу, то есть находился в точке 3 с координатой S и начал двигаться против течения. Это произошло на τ позже, чем включены кинематические часы, то есть мы должны учесть в кинематическом уравнении эффект задержки события во времени. В этих условиях уравнение движения катера имеет вид: x3 = S − ( v − u )( t − τ) . В нем учтено, что скорость катера в рассматриваемый момент направлена против течения реки. В некоторый момент tв катер и круг встретились, попали в одну и ту же точку пространства, то есть при t = tв x2 = x3 = L. Последнее соотношение соответствует записи следующей системы уравнений: 7

⎧ L = utв , ⎪ ⎨ L = S − ( v − u )( tв − τ ) , ⎪ ⎩ S = ( v + u ) τ. Решение ее дает: ⎧ L = u tв , ⎨ ⎩ L = uτ + vτ − vtв + vτ + utв − uτ. Подставив первое уравнение во второе, получаем: utв = uτ + vτ − vtв + vτ + utв − uτ . Отсюда: 2vτ = vtв и tв = 2τ . Подстановка полученного значения в первое уравнение системы дает: L 6 u= = = 3 км/час. 2τ 2 Ответ: 3 км/час. Задачи для самостоятельного решения 1.1. Расстояние между железнодорожными станциями 16,6 км. Какова разность времен прихода звука от одной станции к другой по рельсам и по воздуху? Принять скорость звука в воздухе и в стали 330 м/с и 5500 м/с, соответственно. 1.2. Велосипедист, движущийся равномерно по прямолинейному участку дороги, увидел, как человек, стоящий у дороги, ударил стержнем по висящему рельсу, а через 1 с после этого услышал звук. С какой скоростью двигался велосипедист, если он проехал мимо человека через 69 с после начала наблюдения? Скорость звука в воздухе 340 м/с. 1.3. Автобус, двигавшийся по расписанию со скоростью 50 км/ч, простоял перед закрытым железнодорожным переездом 1,5 мин. С какой скоростью он должен продолжить движение, чтобы не выбиться из расписания, если расстояние от переезда до ближайшей остановки маршрута равно 3,75 км? 1.4. Из пункта A выехал велосипедист со скоростью 7,2 км/час. Через 15 мин после него по той же дороге выехал мотоциклист со скоростью 36 км/час. Через какое время после выезда велосипедиста мотоциклист нагонит его? 1.5. Велосипедист из пункта А в пункт В ехал со скоростью 10 м/с, а обратно со скоростью 15 м/с. Определить среднюю скорость велосипедиста. 1.6. Определить среднюю скорость поезда, если первую половину пути он шел со скоростью 60 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 90 км/ч. 1.7. Расстояние между расположенными друг за другом городами A и B, B и С равны L = 100 км и R = 100 км. Автомобиль ехал из A в B со скоро8

стью v = 100 км/час, из B в С со скоростью u = 50 км/час и возвратился в B со скоростью v. Определить (в км/час) среднюю путевую скорость за время движения. 1.8. Два автомобиля одновременно выехали из Москвы в Петербург. Первый автомобиль первую половину пути ехал со скоростью 120 км/ч, а вторую – со скоростью 80 км/ч. Второй автомобиль первую половину времени своего движения ехал со скоростью 120 км/ч, а вторую – со скоростью 80 км/ч. Какой автомобиль приедет в Петербург раньше? 1.9. Найти среднюю скорость самолета, если известно, что первую треть пути он летел со скоростью 700 км/ч, вторую треть – со скоростью 500 км/ч, а последнюю часть пути – со скоростью, вдвое большей средней скорости на первых двух участках пути. 1.10. Найти среднюю скорость поезда, если известно, что на прохождение отдельных участков дистанции, длины которых относятся как 1:3:4:2, потребовались промежутки времени, находящиеся в отношении 2:4:3:1, соответственно, и на последнем участке скорость поезда равна 80 км/ч. Считать, что на каждом из участков поезд двигался равномерно. 1.11. Расстояние от пункта А до пункта В катер проходит по течению реки за 3 ч, обратный путь занимает у катера 6 ч. За какое время катер пройдет расстояние от А до В при выключенном моторе? Скорость катера относительно воды при включенном моторе постоянна. 1.12. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за 1 мин. Если человек увеличит свою скорость относительно эскалатора вдвое, то он спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе? 1.13. Автоколонна движется со скоростью 36 км/ч, растянувшись вдоль дороги на расстояние 600 м. Из хвоста колонны в голову посылается машина сопровождения, которая затем возвращается обратно. Сколько времени ушло на поездку, если скорость машины 72 км/ч? 1.14. Спортсмены бегут колонной длиной 20 м со скоростью 3 м/с. Навстречу бежит тренер со скоростью 1 м/с. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и бежит назад с прежней скоростью. Какова будет длина колонны, когда все спортсмены развернутся? 1.15. При скорости ветра 10 м/с капля дождя падает под углом 30° к вертикали. При какой скорости ветра капля будет падать под углом 60°? 1.16. Лодочник, переправляясь через реку, все время направляет лодку под углом 60° к берегу, чтобы переплыть реку по кратчайшему расстоянию. Найти скорость лодки относительно воды, если скорость воды в реке равна 1 м/с. 1.17. В безветренную погоду самолет затрачивает на перелет между городами 6 ч. На сколько минут увеличится время полета, если будет дуть боковой ветер со скоростью 20 м/с перпендикулярно линии полета? Скорость самолета относительно воздуха равна 328 км/ч. 9

1.18. Поезд движется на север со скоростью 20 м/с. Пассажиру вертолета, пролетающего над поездом, кажется, что поезд движется на запад со скоростью 20 м/с. Найти скорость вертолета и направление его полета. Ответы. 1.1. 47,3 с. 1.2. 5 м/с. 1.3. 75 км/ч. 1.4. 1125 с. 1.5. 12 м/с. 1.6. 72 км/ч. 1.7. 75 км/час. 1.8. Второй. 1.9. 700 км/час. 1.10. 40 км/ч. 1.11. 12 ч. 1.12. 1,5 мин. 1.13. 80 с. 1.14. 10 м. 1.15. 30 м/с. 1.16. 2 м/с. 1.17. 9 мин. 1.18. 28,2 м/c, северо-восток.

Равнопеременное движение Ускорение (мгновенное ускорение) r r Δv d v r . = a = lim Δ t→ 0 Δ t dt Разложение ускорения на составляющие r r r r r a = a X i + aY j + aZ k ; a = a = a X2 + aY2 + aZ2 , r где a X , aY , aZ – проекции вектора a на оси X, Y, Z соответственно. v Равнопеременное движение ( a = const ) в плоскости X0Y aX t 2 x = x0 +v0 X t + ; v X = v0 X + a X t ; 2 a t2 y = y0 + v0Y t + Y ; vY = v 0Y + aY t ; 2

(1.8)

(1.9)

(1.10)

v2X − v02 X vY2 − v02Y x − x0 = y − y0 = ; ; (1.11) 2aX 2aY где x, y – координаты в момент времени t; x0 , y0 – начальные координаты; v X , vY – значения проекций скорости в момент времени t; v0 X , v0Y – проекции начальной скорости; a X , aY – значения проекций ускорения. Если направление движения не изменяется, то справедливы соотношения v 2 − v02 at2 ; v = v 0 ± at ; S = , (1.12) S = v 0t ± ±2a 2 где знак «+» соответствует равноускоренному движению; знак «–» – равнозамедленному. Задачи с решениями

6р) Подъезжая к светофору со скоростью 10 м/с, автомобиль тормозит в течение четырех секунд и останавливается рядом со светофором. На каком расстоянии от светофора находился автомобиль в начале торможения? 10

Дано: v0 = 10 м/c tдв = 4 с S–?

Решение: Кинематическая схема для решения задачи изображена на рисунке. В ней учтено, что при торможении автомобиля вектор r r v0 a 0 x S

r его ускорения a направлен в сторону противоположную направлению вектоr ра его скорости v 0 . В выбранной системе координат уравнение движения автомобиля имеет вид: at 2 , x = v 0t − 2 величина его скорости определяется соотношением: v = v0 − at . При t = tдв по условию v = 0 и x = S. Подставив эти условия в записанные выше уравнения, получим следующую систему уравнений: ⎧ v0 = atдв ⎪ ⎨ atдв2 S = v t − ⎪ 0 дв ⎩ 2 v Выразив из первого уравнения ускорение: a = 0 и подставив это выраtдв жение во второе, имеем: vt vt S = v0tдв − 0 дв = 0 дв . 2 2 Подстановка исходных данных дает: 10 ⋅ 4 S= = 20 м. 2 Ответ: 20 м.

7р) Двигаясь с постоянным ускорением, тело за 5 секунд прошло 100 метров. Какой путь оно прошло за последнюю секунду своего движения? Дано: Решение: S = 100 м Кинематическая схема для решения задачи изображена tд = 5 с на рисунке. S5 – ? S(t = 4) S5 r a x 0 S 11

В ней S(t = 4) – расстояние, пройденное телом за 4 секунды от начала движения, S – расстояние, пройденное телом за пять секунд движения, а S5 – расстояние, пройденное телом за последнюю, пятую секунду движения. Из рисунка видно, что S5 = S − S ( t = 4 ) . Так как начальная скорость тела равна нулю, уравнение его движения имеет вид a t2 . x= 2 В выбранной системе координат S(t = 4) = x(t = 4), имеем: 16a 25a 25a 16a 9a , а S = x(t = 5) = . Тогда . S (t = 4) = S5 = − = 2 2 2 2 2 При t = tд x = S, т.е. at 2 S= д , 2 откуда 2S a= 2 . tд Подставив в S5 выражение для ускорения a, получим: 9S S5 = 2 . tд 9 ⋅ 100 Подстановка численных значений дает: S5 = = 36 м. 25 Ответ: 36 м. Задачи для самостоятельного решения 2.1. Автомобиль разгоняется из состояния покоя до скорости 36 км/час за 5 секунд. Определить ускорение автомобиля и пройденный им за это время путь, полагая, что он движется прямолинейно. 2.2. При наборе высоты самолет летит по прямой, составляющей угол 30° с горизонтом, с постоянным ускорением 2 м/с2. На какую высоту поднимется самолет за 10 секунд, считая от момента времени, когда скорость его была равна 30 м/с? 2.3. По одному направлению из одной точки одновременно начали движение два тела: одно равномерно со скоростью 980 м/с, другое – равноускоренно без начальной скорости с ускорением 9,8 м/с2. Через какое время второе тело нагонит первое? 2.4. Велосипедист ехал по прямолинейному участку дороги со скоростью 10 м/с. Когда он поравнялся с неподвижным автомобилем, тот начал двигаться равноускоренно в том же направлении. Определить скорость автомобиля в тот момент, когда он догонит велосипедиста.

12

2.5. Снаряд, скорость которого 1500 м/с, пробивает стенку за 10–3 с и после этого имеет скорость 300 м/с. Считая движение равнозамедленным, определить толщину стены. 2.6. Во сколько раз скорость пули в середине ствола меньше, чем при вылете из ствола? Движение пули внутри ствола считать равноускоренным. 2.7. Тело, имея начальную скорость 1 м/с, двигалось равноускоренно и приобрело, пройдя некоторое расстояние, скорость 7 м/с. Какова была скорость тела на половине этого расстояния? 2.8. За время 3 секунды после начала равноускоренного движения первый вагон поезда проходит мимо наблюдателя, стоящего в начальный момент времени у начала этого вагона. За какое время пройдет мимо наблюдателя весь поезд, состоящий из девяти вагонов? 2.9. Две частицы в момент v , м /с времени t = 0 вышли из одной точки. 2 Определите по графикам зависимости скорости от времени время но1 вой встречи частиц. Частицы движутся по одной прямой в одном на0 0 2 4 6 8 1 0 t, с правлении. 2.10. По графику зависимости скорости тела от времени определить среднюю скорость на первой половине пути.

v, м/с 2

0

4

8

t, c

2.11. Тело за 15 с от начала движения прошло 180 м, двигаясь равноускоренно. Какой путь оно пройдет за 50 с от начала движения? 2.12. Два пункта А и В расположены на расстоянии 240 метров друг от друга на склоне горы. От пункта А начинает равноускоренно спускаться к пункту В велосипедист с начальной скоростью 8 м/с. Одновременно из пункта В к пункту А начинает равнозамедленно подниматься мотоциклист с начальной скоростью 16 м/c. Они встречаются через 10 секунд, к этому времени велосипедист проехал 130 метров. С каким ускорением ехал каждый их них? 2.13. Два автобуса выехали с остановки с интервалом в 1 минуту и шли с одинаковым ускорением 0,4 м/c2. Через какое время после выхода первого автобуса расстояние между ними станет равным 4,2 км? 2.14. За пятую секунду равноускоренного движения из состояния покоя тело прошло 90 метров. Какой путь оно пройдет за седьмую секунду своего движения? 2.15. Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя, стоящего на платформе, за 5 с, а второй – за 4 с. Длина каждого вагона – 22,5 м. Найти ускорение поезда. 13

2.16. В момент, когда опоздавший пассажир вбежал на платформу, мимо него прошел за 2,2 с предпоследний вагон. Последний вагон прошел мимо пассажира за 2 с. На сколько опоздал пассажир к отходу поезда? Поезд движется равноускоренно. Длина вагонов одинакова. 2.17. Путь тела разбит на равные отрезки. Тело начинает двигаться равноускоренно и проходит первый отрезок за 1 с. За сколько секунд тело пройдет девятый отрезок? 2.18. Поезд прошел 46 км за 40 мин. В начале движения он шел с ускорением +a, в конце (до остановки) – с ускорением −a, остальное время с постоянной скоростью 72 км/ч. Чему равно абсолютное значение ускорения a? 2.19. На рисунке показаны графики зависиv мости скоростей от времени для двух частиц, движущихся вдоль одной прямой из одного и того же начального положения. Найти время встречи частиц, если t1 = 3 с, t2 = 4 с. 0 t1 t2 t Ответы. 2.1. 2 м/с2, 25м. 2.2. 200 м. 2.3. 200 с. 2.4. 20 м/с. 2.5. 0,9 м. 2.6. 2 2.7. 5 м/с. 2.8. 9 с. 2.9. 20 с. 2.10. 1,2 м/с. 2.11. 2000 м. 2.12. 1 м/с2, 1 м/с2. 2.13. 205 с. 2.14. 130 м. 2.15. 0,25 м/с2. 2.16. ≈20 с. 2.17. ≈0,18 с. 2.18. 0,2 м/с2. 2.19. 6 с.

Свободное падение Если ось X параллельна поверхности земли, ось Y направлена вертикально вверх, то при движении тела в поле силы тяжести Земли x = x0 + v0 X t ; y = y0 + v 0 Y t −

v X = v0 X ; 2

gt ; 2

vY = v 0 Y − g t ,

.

(1.13)

Задачи с решениями

8р) Два тела брошены вертикально вверх друг за другом с интервалом в 4 секунды. Начальная скорость тел одинакова и равна 30 м/с. Через какой промежуток времени после вылета второго тела они столкнутся? Решение: Дано: Исходя из вопроса задачи, имеет смысл кинематические v0 = 30 м/c Δt = 4 с часы включить в момент начала движения второго тела. Уравнение его движения в соответствии с кинематичеtc – ? ской схемой, изображенной на рисунке, имеет вид: gt 2 . y2 = v 0t − 2 14

Так как первое тело во времени опережает кинематические часы, уравнение его движения будет содержать время t + Δt , т.е.: 2 g ( t + Δt ) . y1 = v 0 ( t + Δt ) − 2 В момент столкновения координаты тел будут одинаковы, то есть при t = tc y1 = y2. Получаем уравнение вида: 2 g ( t с + Δt ) gtс2 . = v 0 ( t с + Δt ) − v 0t с − 2 2 Раскрыв квадрат суммы, получим: gt 2 g v0tс − с = v0tc + v0 Δtc − ( tc2 + 2tc Δt + Δt 2 ) . 2 2 Приведя подобные члены, имеем: Δt 2 . gtc Δt = v 0 Δt − g 2 Откуда 2v − g Δt 2 ⋅ 30 − 10 ⋅ 4 tc = 0 = = 1 с. 2g 2 ⋅ 10

y

r v0 0

r g

Ответ: 1 с. 9р) Пуля пущена с начальной скоростью 200 м/с под углом 60° к горизонту. Определить максимальную высоту ее подъема и дальность полета. Решение: Дано: v0 = 200 м/c Кинематическая схема задачи имеет вид, изображенный α = 60° на рисунке: y S, h – ? r r v0 v0 y

α

h

r v0x

x S

Из него видно, что проекция начальной скорости на ось X v0x = v0 ⋅ cosα , проекция начальной скорости на ось Y v 0y = v 0 ⋅ sinα . Уравнения движения тела имеют вид: gt 2 . x = v0 xt , y = v0 yt − 2 В момент падения, который обозначим tдв вертикальная координата тела y = 0, а координата x равна искомому расстоянию S. Математически это означает:

g tдв2 , S = v 0 xtдв . 0 = v 0 y tдв − 2 15

Из первого уравнения tдв =

2v 0 y

(корень tдв = 0 нас не интересует, так как соg ответствует началу движения). Подставив полученный корень во второе уравнение, имеем: 2v v 2v 2 sin α ⋅ cos α v02 sin 2α S = 0x 0 y = 0 = = 3,53 ⋅ 103 м. g g g В данном случае траектория тела симметричная, поэтому можно считать, что tдв в два раза больше времени подъема тела до высшей точки его траектории. Максимальная высота подъема определяется координатой Y в момент времени tп = tдв/2. То есть v 0 y g v 02 y v02 y ⎛ tдв ⎞ h = y ⎜ t = ⎟ = v0 y ⋅ − ⋅ 2 = = 1,53 ⋅ 103 м. g g g 2 2 2 ⎝ ⎠ Ответ: 1,53·103 м. Задачи для самостоятельного решения При решении задач принять g = 10 м/с2. 3.1. Тело свободно упало с высоты 500 метров. Определить среднюю скорость падения тела. 3.2. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью 5 м/с. Через 2 секунды мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю. 3.3. Из равномерно поднимающегося вертолета вертикально вверх брошен предмет со скоростью 20 м/с относительно вертолета. Через сколько времени встретятся вертолет и предмет? 3.4. Тело бросают вертикально вверх со скоростью 40 м/с относительно земли. Одновременно с предельной высоты, которой может достичь это тело, начинает падать вертикально вниз другое тело с той же начальной скоростью. Определить время, по истечении которого тела встретятся. 3.5. Два тела начали свободно падать с одной и той же высоты одно за другим через 1 с. Через какое время от начала падения первого тела расстояние между телами будет равно 20 м? 3.6. Из гондолы аэростата, поднимающегося равномерно со скоростью 4 м/с, на высоте 15 м от земли бросили вверх камень со скоростью 6 м/с относительно аэростата. На какой высоте будет аэростат в момент падения камня на землю? 3.7. Самолет летит горизонтально со скоростью 720 км/ч на высоте 500 м. Когда он пролетает над точкой А, с него сбрасывают груз. На каком расстоянии от точки А груз упадет на землю? 3.8. Тело брошено горизонтально. Через 3 секунды после броска угол между направлением полной скорости и полного ускорения стал равным 60°. Определить величину полной скорости. 16

3.9. Определить синус угла, под которым тело было брошено к горизонту, если через 5 секунд после начала движения его скорость была направлена горизонтально. Начальная скорость тела 100 м/c. 3.10. Тело брошено под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 50 м/с. Через какое время тело достигнет высшей точки подъема? 3.11. Двое играют в мяч, бросая его друг другу. Какой наибольшей высоты достигает мяч во время игры, если от одного игрока к другому мяч летит 2 секунды? 3.12. Снаряд, вылетевший из орудия под углом к горизонту, находился в полете 12 секунд. Какой наибольшей высоты достиг снаряд? 3.13. Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы дальность его полета была в четыре раза больше максимальной высоты его подъема? 3.14. Из пружинного пистолета пуля вылетает со скоростью 20 м/с. Под каким минимальным углом к горизонту надо произвести выстрел, чтобы поразить цель, находящуюся на расстоянии 20 м на одном уровне с пистолетом? 3.15. Под углом 60° к горизонту брошено тело с начальной скоростью 20 м/с. Через какое время оно будет двигаться под углом 45° к горизонту? 3.16. С какой скоростью должен в момент старта ракеты вылететь снаряд из пушки, чтобы поразить ракету, стартующую вертикально с ускорением 10 м/с2? Расстояние от пушки до места старта ракеты равно 500 м, пушка стреляет под углом 45° к горизонту. 3.17. Летчик бомбардировщика обнаружил корабль противника, идущий встречным курсом с постоянной скоростью. Пикируя точно на корабль под углом 45° к горизонту, летчик сбрасывает бомбу и поражает цель. Какова была скорость корабля, если в момент освобождения бомбы самолет пикировал со скоростью 720 км/ч, находясь на высоте 500 м? 3.18. Камень бросают горизонтально с вершины горы, склон которой образует угол α с горизонтом. С какой скоростью нужно бросить камень, чтобы он упал на склон горы на расстоянии L от вершины? 3.19. Одна из труб фонтана, расположенного на уровне поверхности земли, наклонена под углом 45° к горизонту. Струя из этой трубы достигает земли на расстоянии 10 метров от трубы. Сечение отверстия трубы 1 см2. Определить объем воды, вытекающей из трубы за 1 час. 3.20. Мяч падает из состояния покоя вертикально с высоты 1 м на наклонную доску. Расстояние между точками первого и второго удара мяча о доску равно 4 м. Удар – абсолютно упругий. Определить угол наклона доски к горизонту. Ответы. 3.1. 50 м/с. 3.2. 10 м, 15 м/с . 3.3. 4 с. 3.4. 1с. 3.5. 2,5 с. 3.6. 27 м. 3.7. 2000 м. 3.8. 60 м/с. 3.9. 0,5. 3.10. 2,5 с. 3.11. 5 м. 3.12. 180 м. 3.13. 45°. 3.14. 15°. 3.15. ≈0,73 с, ≈2,73 с. 3.16. 100 м/с. 3.17. ≈15 м/с. ctg α 3.18. 2 Lg sin α . 3.19. 3,6 м3. 3.20. 30°. 2 17

Вращательное движение Частота вращения

n=

1 , T

(1.14)

ω=

Δϕ , Δt

(1.15)

где T – период вращения. Угловая скорость

где Δϕ – угол поворота за время Δ t ;

2π (1.16) = 2 πn . T Связь линейной и угловой скорости при вращательном движении v = ωr , (1.17) где r – радиус окружности. Центростремительное ускорение v2 (1.18) = ω2 r . aц = r При качении тела скорость каждой его точки r r r (1.19) v = v П + v ВР , r r где v П , v ВР – скорости, обусловленные поступательным и вращательным движениями, соответственно. ω=

Задачи с решениями

10р) Автомобиль движется равномерно и прямолинейно по сухому шоссе со скоростью 72 км/ч. Определить в км/час наибольшую и наименьшую скорости точек на ободе его колес относительно поверхности дороги. Дано: Решение: v = 72 км/ч Изобразим на рисунке колесо автомобиля, у которого центр колеса, очевидно, перемещается со скоростью r vmаx – ? vmin – ? движения самого автомобиля. vП A В любой момент времени каждая точка колеса r v Вр участвует как в поступательном, так и во вращательном движениях. Величина суммарной скоr С v рости конкретной точки относительно дороги в каждый момент равна векторной сумме скороr r сти поступательного движений v Вр O vП r иrвращательного r v=v П +v ВР . В верхней точке колеса А (см. рисунок) эти векторы направлены в одну сторону, их векторное сложение дает скалярную сумму указанных величин v A = vп + v вр . 18

v вр

Известно, что величина линейной скорости вращательного движения точек, лежащих на ободе колеса, равна скорости поступательного движе-

ния центра колеса vп . Поскольку скорость поступательного движения колеса v, то v A = 2V = 144 км/ч. Точка А – единственная точка колеса, в которой описанные векторы направлены в одну сторону (в остальных точках они направлены под разными углами). Следовательно, именно это точка имеет максимальную скорость, т.е. vmаx = 144 км/ч. r r Теперь рассмотрим точку O. Векторы v п и v вр направлены здесь в разные стороны, поэтому их векторное сложение приводит к скалярному вычитанию указанных величин, то есть vО = vп − vвр . vО = 0 . Вследствие равенства модулей этих векторов Это наименьшая из всех возможных значений скорости величина. То есть vmin = 0. Ответ: vmаx = 144 км/ч, vmin = 0. 11р) Две параллельные рейки движутся со скоростями v1 = 6 м/c и v2 = 4 м/c (см. рис). Между рейками зажат диск (см. рисунок), катящийся по рейкам без скольжения. Какова скорость его центра? r v1

A

O

r v2

B

Дано: v1 = 6 м/c v2 = 4 м/c v0 – ?

Решение: При решении задач такого рода следует по заданным исходным данным определить направление вращения диска и указать его на рисунке. Кроме того, необходимо уяснить, в каком направлении поступательно перемещается центр диска. r v0 r v0

O

r v Вр

r v Вр

r v0

19

ω

В рассматриваемой задаче диск будет вращаться по направлению часовой стрелки (на рисунке показано направление вращения тела), перемещение его центра в пространстве r будет происходить слева направо с искомой скорость, вектор которой v 0 . Каждая точка диска одновременно участвует как в поступательном со скоростью перемещения центра v0, так и во вращательном движении с линейной скоростью vвр, величина и направление которой зависят от положения точки на диске. В точке диска, которая сопрягается с верхr ней рейкой направление вектора v ВР будет совпадать с направлением вектоr r ра v 0 , а в нижней точке диска вектор v ВР будет направлен противоположно r вектору v 0 . Результирующая скорость диска как в точке А, так и в точке В будет такой, какова скорость соответствующей рейки, сцепленной с диском в данной точке. То есть в точке А: uur r r v1 = v 0 +v ВР , а в точке В: r r r v 2 =v 0 +v ВР . В скалярной форме вследствие изображенного направления складываемых векторов, получим: v1 = v0 + v ВР v 2 = v0 − v ВР . Сложение этих уравнений дает: 2v0 = v1 + v 2 , v + v2 6 + 4 отсюда v0 = 1 = = 5 м/c. 2 2 Ответ: 5 м/c. Задачи для самостоятельного решения При решении задач принять g = 10 м/с2. 4.1. Сколько оборотов сделает колесо, имеющее угловую скорость 4 рад/с за 50 секунд? 4.2. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса. 4.3. Линейная скорость точек на ободе вращающегося колеса равна 3 м/с. Точки, расположенные на 10 см ближе к оси, имеют линейную скорость 2 м/с. Сколько оборотов в секунду делает колесо? 4.4. Диск равномерно вращается вокруг своей оси так, что точки, расположенные на расстояниях 30 см от оси, за 20 секунд проходят путь 4 метра. Сколько оборотов за это время сделал диск? Чему равен период обращения диска? 20

4.5. Минутная стрелка часов в четыре раза длиннее секундной. Во сколько раз линейная скорость конца секундной стрелки больше линейной скорости конца минутной стрелки? 4.6. Две частицы 1 и 2 движутся по окружности с посто2 янными угловыми скоростями: ω1 = π/6 рад/с и ω2 = π/3 рад/с. В 1 начальный момент времени угол между радиусами, проведенными к частицам, равен π/3. В какой момент времени частицы встретятся? 4.7. Найти линейную скорость и центростремительное ускорение точек на экваторе Земли, если ее радиус равен 6400 км. 4.8. Лопасти ветряной мельницы вращаются с постоянной угловой скоростью. Центростремительное ускорение точек, находящихся на конце лопасти, 6 м/с2. Определить центростремительное ускорение точек, лежащих на средине лопасти. 4.9. Гладкий диск радиусом R, плоскость которого горизонтальна, вращается вокруг своей оси с частотой 40 об/мин. От поверхности диска на расстоянии R/2 от оси отрывается небольшое тело, которое без трения скользит по диску. Через какое время оно соскользнет с диска? 4.10. При взрыве покоящейся бомбы, имеющей форму цилиндра радиусом 0,2 м, осколки, разлетающиеся в радиальных направлениях, за время 1 с удаляются от оси цилиндра на расстояние 40 м. На какое расстояние от оси цилиндра удалятся осколки за то же время, если в момент взрыва бомба будет вращаться вокруг своей оси с угловой скоростью 150 рад/с? Влиянием силы тяжести пренебречь. 4.11. Ось с двумя тонкими дисками, расположенными на расстоянии 0,5 м друг от друга, вращается с частотой 1500 об/мин. Пуля, летящая параллельно оси, пробивает оба диска. При этом отверстие от пули во втором диске смещено по углу относительно отверстия в первом диске на 0,1π рад. Найти скорость пули. 4.12. Пустотелый цилиндр диаметром 1 м вращается с постоянной частотой 100 об/с вокруг своей оси, расположенной вертикально. Горизонтально летевшая с постоянной скоростью пуля пробила цилиндр вдоль его диаметра. Чему равна максимальная скорость пули внутри цилиндра, если входное и выходное отверстия совпали? Влиянием силы тяжести пренебречь. 4.13. Диск катится без проскальзывания со скоростью 10 м/с. Какова скорость точки А? А Как она направлена? Ответ обоснуйте. 4.14. На экране демонстрируется движущаяся повозка. Радиус колес повозки 1/π м. Каждое колесо имеет 6 спиц. Скорость перемещения кинопленки равна 24 кадрам в с. Считая, что колеса повозки катятся без проскальзывания, определить, с какой минимальной скоростью должна двигаться повозка, чтобы ее колеса казались на экране невращающимися. 21

4.15. Две параллельные рейки движутся со скоростями V1 = 0,4 м/с и V2 = 0,6 м/с (см. рис.). Между рейками зажат диск, катящийся по ним без проскальзывания. Найти угловую скорость диска и скорость центра диска. Диаметр диска равен 20 см. 4.16. Две параллельные рейки движутся со скоростями V1 = 0,3 м/с и V2 = 0,1 м/с (см. рис.). Между рейками зажат диск, катящийся по ним без проскальзывания. Найти угловую скорость диска, а также скорость его центра. Диаметр диска равен 20 см.

V2

V1

V2

V1

4.17. Горизонтальную платформу перемещают с помощью круглых катков. На сколько переместится каждый каток, когда платформа передвинется на 1 м? 4.18. Винт аэросаней вращается с частотой 360 об/мин. Скорость поступательного движения аэросаней равна 54 км/ч. С какой скоростью движется один из концов винта, если его радиус равен 1 м? 4.19. Волчок, вращаясь с частотой 20 об/с, свободно падает с высоты 5 метров. Сколько оборотов сделает он за время падения? Начальная скорость падения волчка равна нулю. 4.20. С колеса автомобиля, движущегося с r v постоянной скоростью v = 4 м/с, слетают комки грязи. Радиус колеса R = 0,4 м. На какую высоту α над дорогой будет отбрасываться грязь, оторвавА шаяся от точки А колеса, указанной на рисунке, которой соответствует угол α = 60°? Колесо катится без проскальзывания. Ответы. 4.1. 32. 4.2. 0,1 м. 4.3. 1,6 об/с. 4.4. 2,1 об, 9,4 с. 4.5. 15. 4.6. 10 с. 4.7. 465 м/с; 0,034 м/с2. 4.8. 3 м/с2. 4.9. 0,41 с. 4.10. 50 м. 4.11. 250 м/с. 4.12. 200 м/с. 4.13. ≈ 14 м/с. 4.14. 8 м/с. 4.15. 1 рад/с, 0,5 м/с. 4.16. 2 рад/с, 0,1 м/с. 4.17. 0,5 м. 4.18. 40 м/с. 4.19. 20. 4.20. 0,8 м.

22

2

Динамика

Законы Ньютона I закон Ньютона. Существуют такие системы отсчета, в которых материальная точка сохраняет неизменной свою скорость, если на нее не действуют силы или действие всех сил скомпенсировано. Такие системы отсчета называются инерциальными. II закон Ньютона. В инерциальной системе отсчета ускорение материальной точки с массой m r r F , (2.1) a= m r r где F = ∑ Fi – равнодействующая всех сил, действующих на материальную i

точку. III закон Ньютона. В инерциальной системе отсчета тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположными по направлению: r r F12 = − F21 , (2.2) r r где F12 – сила, действующая со стороны 1 тела на 2; F21 – сила, действующая со стороны 2 тела на 1. Сила гравитационного притяжения двух материальных точек с массами m1 и m2 , расположенных на расстоянии r друг от друга, mm (2.3) Fгр = G 1 2 2 , r где G = 6,67⋅10−11 Н⋅м2/кг2 – гравитационная постоянная. Таким же выражением определяется и сила гравитационного взаимодействия двух шарообразных тел, но под r понимается расстояние между центрами шаров. Сила тяжести r r (2.4) Fтяж = mg , GM Где g = – ускорение свободного падения (М – масса Земли; R – ра( R + h) 2 диус Земли; h – высота тела над поверхностью Земли). Для малых высот r GM h << R, g ≈ 2 ≈ 9,8 м/с 2 . Направлено ускорение свободного падения g к R центру Земли. Сила упругости (закон Гука)

Fуп. X = −k x ,

(2.5)

где Fуп.X – проекция силы упругости на ось Х, проведенную в направлении растяжения; x – величина деформации; k – коэффициент жесткости тела. 23

Сила трения скольжения

Fтр = μN ,

(2.6)

где μ – коэффициент трения; N – сила нормального давления. Задачи с решениями

12р) Два груза массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через легкий блок, подвешенный к динамометру. Какое значение покажет динамометр во время движения грузов? Трения в оси блока нет. Дано: m1 = 1 кг m2 = 2 кг

Решение: Рассматриваемая механическая система изображена на рисунке. На каждый из грузов действует сила тяжести и сила натяжения нити,

Fд – ? r причем в силу того, что блок практически невесом, силы Fд натяжения нити слева и справа от блока одинаковы. На диr ur N намометр действует сила F Д , на блок – сила реакции подuur uur веса N и силы натяжения T ′ нити слева и справа от блока. r r ′ ′ T T По третьему закону Ньютона сила Fд равна по величине r r силе N. Следовательно, задача сводится к определению поT T следней при условии, что грузы движутся с одинаковым по величине ускорением, а блок неподвижен. Запишем основное уравнение динамики для каждого из рассматриваемых в задаче тел – двух грузовrи блока ur вurвекторной форме: m1 a = m1 g + T , r r ur ur r m1 g m2 g m2 a = m2 g + T , uur uur uur N + T′ + T′ = 0. Учтем, что по третьему закону Ньютона силы T и T ′ имеют равную величину и при заданных числовых данных груз массой m1 поднимается, а груз массой m2 опускается. При записи динамических уравнений в скалярной форме будем считать, что силы, направление действия которых совпадают с направлением вектора ускорения, положительны. Тогда система расчетных уравнений будет иметь вид: ⎧m1a = T − m1 g ⎪ ⎨m2 a = m2 g − T . ⎪ N − 2T = 0 ⎩ Складывая первые два, получим: a ( m1 + m2 ) = g ( m2 − m1 ) . 24

Отсюда

m2 − m1 . m1 + m2 Подставляя это выражение в первое уравнение системы, имеем: 2m2 m1 T= g. m1 + m2 a=

Из последнего уравнения получаем, что N = Fд = 4m1m2 g . m1 + m2 Подстановка исходных значений дает: FД ≈ 26 Н.

Ответ: 26 Н. 13p) По горизонтальной поверхности движется тело массой 2 кг под действием силы в 8 Н, направленной под углом 60° к горизонту вверх. Найти расстояние, которое прошло тело, если скорость его увеличилась от 3 до 5 м/с, а коэффициент трения между телом и поверхностью равен 0,1. Дано: Решение: m = 2 кг Поскольку рассматриваемое в задаче тело движется с усF=8Н корением, для определения искомого расстояния удобно α = 60° воспользоваться известным соотношением кинематики v1 = 3 м/с v 22 − v12 S = . Следовательно, необходимо решить задачу v2 = 5 м/с 2a μ = 0,1 динамики по определению ускорения тела, которое S–? находится под влиянием y r заданных сил. Рассматриваемая механиa r ческая система N r ur изображена на рисунке. r F На нем F –uurвектор силы, заданной ur в Fy условии задачи, N – реакция опоры, F тр – r r α ur x Fтр Fx сила трения скольжения, mg – сила тяжести. Основное уравнение динамики для этого случая r ur имеет uuur вид: uur ur r am = F + Fтр + N + mg . mg Для проекций этого векторного уравнения на координатные оси получим: осьX : am = F cosα − Fтр . осьY : 0 = N + F sin α − mg По определению силы трения скольжения Fтр = μN . Имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными, из решения которой следует: N = mg − F sin α , Fтр = μ mg − μ F sin α , 25

F cosα − μ mg + μ F sin α . m Искомая в задаче величина выразится формулой вида: v 22 − v12 ) m ( . S= 2 ( Fcosα − μ mg + μ Fsinα ) Подставив исходные данные задачи, получим: ( 25 − 9 ) 2 ≈ 6 м. S= 2 ( 8 ⋅ 0,5 − 0,1 ⋅ 2 ⋅ 10 + 0,1 ⋅ 8 ⋅ 0,85 ) a=

Ответ: 6 м. 14p) Тело соскальзывает без начальной скорости с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости к горизонту 30°, длина наклонной плоскости 2 метра. Коэффициент трения тела о плоскость 0,3. Каково ускорение тела? Сколько времени длится соскальзывание? Решение: Дано: ur α = 30° На тело при его движении действуют сила тяжести mg , uur ur l=2м сила реакции опоры N и сила трения F тр . Основное уравμ = 0,3 нение динамики для вид: ur этого ur случая uur имеет ur а–? am = F тр + N + mg . y tс – ? r N r Fтр l

r mg x

α x

r mg y

h

r mg

α

При решении динамических задач обычно координату X направляют по r направлению вектора a , соответственно ось Y перпендикулярна этому вектору. Для указанных направлений координатных осей проекции основного уравнения динамики имеют вид: осьX : am = mg x − Fтр , осьY : 0 = N − mg y где mg x – проекция силы тяжести на координатную ось X, mg y – проекция силы тяжести на ось Y. Из прямоугольного треугольника сил (см. рисунок) mg x = mg ⋅ sin α , mg y = mg ⋅ cos α . К полученной системе добавляем определение трения скольжения Fтр = μN . Теперь решаем систему уравнений: 26

⎧am = mg x − Fтр ⎪ ⎨0 = N − mg y ⎪ ⎩ Fтр = μN относительно величины а. В процессе решения получаем: N = mg ⋅ cos α , Fтр = μmg ⋅ cos α , am = mg ⋅ sin α − μmg ⋅ cos α . Из последнего соотношения a = g ( sin α − μ ⋅ cos α ) . Подставив исходные данные, имеем: a = 10 ( 0,5 − 0,3 ⋅ 0,85 ) = 2, 45 м/с2. Кинематическое уравнение движения тела в этом случае имеет вид: at 2 . x= 2 При t = tс x = l, то есть: at 2 l= c , 2 2l 2⋅2 = = 1,27 с. откуда tс = a 2,45 Ответ: 1,27 с.

Задачи для самостоятельного решения При решении задач принять g = 10 м/с2. 5.1. С каким максимальным ускорением можно поднимать на веревке тело массой 200 кг, если она выдерживает неподвижный груз массой 240 кг? Груз какой максимальной массы можно опускать на этой веревке с таким же ускорением? 5.2. Масса первого вагона больше массы второго вагона на 5 тонн. Каковы массы вагонов, если под действием одинаковых сил они приобретут ускорения 1 м/с2 и 1,1 м/с2. Трением пренебречь. 5.3. Груз массой 50 кг из состояния покоя равноускоренно поднимают при помощи каната вертикально вверх в течение 2 с на высоту 10 м. Определить силу натяжения каната. 5.4. Тело массой 3 кг падает в воздухе вертикально вниз с ускорением 8 м/с2. Найти силу сопротивления воздуха. 5.5. Автомобиль трогается с места с ускорением 2 м/с2. При 50 км/ч ускорение автомобиля стало равным 1 м/с2. С какой установившейся скоростью будет двигаться автомобиль, если сила сопротивления пропорцио27

нальна скорости? Силу тяги двигателя при движении автомобиля считать постоянной. 5.6. Шайба массой 200 г, летящая горизонтально со скоростью 20 м/с, ударяется о борт под углом 30° к нему и отскакивает. Считая удар абсолютно упругим, определить среднюю силу действия шайбы на борт. Продолжительность удара – 0,01 с. 5.7. Шар массой 1 кг брошен под некоторым углом к горизонту. В момент, когда он достиг высшей точки траектории, его ускорение равнялось 12,5 м/с2. Какая сила сопротивления воздуха действовала на него в этот момент? 5.8. На тело массой 2 килограмма, лежащее на горизонтальной поверхности, действуют две силы F1 = 6 Н и F2 = 8 Н, направленные горизонтально и перпендикулярные друг к другу. Определить ускорение тела, если коэффициент трения 0,2. 5.9. Тело массой 10 кг находится на горизонтальной плоскости. На тело один раз подействовали горизонтальной силой 5 Н, а другой раз – силой 50 Н, направленной вверх под углом 30° к горизонту. Во сколько раз сила трения во втором случае больше, чем в первом, если коэффициент трения равен 0,2? 5.1. Сани массой 100 кг движутся равноускоренно в горизонтальном направлении. Сила тяги 1 кН приложена под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения равен 0,13. Найти ускорение саней ( 3 = 1,73 ). 5.11. Два груза массой 100 г и 150 г соединены нерастяжимой, невесомой нитью, перекинутой через блок. Блок невесомый. Найти ускорение грузов. Трение в блоке не учитывать. 5.12. Блок подвешен к потолку с помощью троса. Через блок перекинута нить с двумя грузами. Чему равно отношение масс грузов, если во время их движения натяжение троса равно силе тяжести более тяжелого груза? Массой блока и нити пренебречь. 5.13. Грузы, показанные на рисунке, движутся по гладкой горизонтальной плоскости под действием силы m2 m1 F F = 100 Н. Когда сила была приложена к правому грузу, натяжение нити, связывающей грузы, было равно 40 Н. Каким будет натяжение нити, если приложить эту же силу к левому грузу? Масса грузов неизвестна. 5.14. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой 2 кг, на котором F находится брусок массой 1 кг. Бруски соединены нитью, перекинутой через блок. Какую силу F нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он начал двигаться от блока с ускорением 5 м/с2? Коэффициент трения между брусками равен 0,5. Трением между нижним бруском и поверхностью стола, массой блока и нити пренебречь. 28

5.15. Брусок массой m1 = 1 кг лежит на m1 горизонтальной плоскости. К нему под углом α α = 30° прикреплена нерастяжимая нить, которая перекинута через неподвижный блок. Каm2 кой минимальной массы груз m2 надо подвесить на другой конец для того, чтобы брусок сдвинуть с места, если коэффициент трения покоя равен 0,3? Массой блока, нити и трением в блоке пренебречь. 5.16. Тело движется вверх по вертикальной стене под действием силы 20 Н, направленной под углом 30° к вертикали. Масса тела 1 кг. Найти ускорение тела, если коэффициент трения тела о стену 0,4 ( 3 = 1,7). 5.17. Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом наклона 40°. Определить коэффициент трения тела о плоскость. (Тангенс 40° = 0,84). 5.18. Найти ускорение тела, соскальзывающего с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 30°. Коэффициент трения между телом и плоскостью 0,3. 5.19. Небольшое тело резко толкнули снизу вверх вдоль наклонной плоскости, составляющей угол 60° с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема оказалось на 20% меньше времени спуска. 5.20. На тело массой 50 кг, находящееF ся на наклонной плоскости, действует горизонтально направленная сила F = 10 Н. Найти ускорение тела, если наклонная плоскость составляет с горизонтом угол α = 30°, а коэффиα циент трения равен 0,1. 5.21. На тело массой 5 кг, находящееся на наклонной плоскости, действует горизонF тально направленная сила F = 100 Н. Найти ускорение тела, если наклонная плоскость составляет с горизонтом угол α = 30°. α

5.22. Наклонная плоскость, составляющая с горизонтом угол 60°, вверху переходит в горизонтальную поверхность. Два бруска одинаковой массы 1 кг соединены нерастяжимой нитью, перекинутой α через невесомый блок. Один брусок находится на наклонной плоскости, а второй – на верхней горизонтальной. Найти силу натяжения нити и ускорение системы, если коэффициент трения равен 0,3. 29

5.23. Наклонная плоскость составляет угол α = 30° с горизонтом. Отношение m2/m1 = 2/5. Коэффициент трения между телом m1 и наклонной плоскостью равен 0,1. Массы блока и нити пренебрежимо m1 малы. Найти ускорение тел, если система m2 пришла в движение из состояния покоя. 5.24. Автомобиль с грузом массой α 5 тонн проходит по выпуклому мосту со скоростью 21,6 км/ч. С какой силой он давит на средину моста, если радиус кривизны моста 50 м? 5.25. С какой скоростью должен двигаться велосипедист по выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны 120 метров, чтобы в верхней точке моста давление на дорогу было в 3 раза меньше, чем при движении на горизонтальном участке? 5.26. Представьте себе, что Земля начала вращаться настолько быстро, что тела, находящиеся на экваторе, стали невесомы. Какой была бы в этом случае продолжительность суток? Радиус Земли – 6400 км. 5.27. На рисунке изображен так называемый конический маятник, состоящий из шарика, прикрепленного к нити, описывающий окружность в горизонтальной плоскости. Длина нити – 1 м, угол отклонения нити от вертикали – 45°. Найти скорость шарика. 5.28. Самолет делает поворот в горизонтальной плоскости, двигаясь с постоянной скоростью 2000 км/ч. При каком радиусе кривизны траектории летчик будет испытывать пятикратную перегрузку? 5.29. Человек сидит на краю круглой горизонтальной платформы радиусом 4 метра. С какой максимальной частотой может вращаться платформа вокруг вертикальной оси, чтобы человек удержался на ней при коэффициенте трения 0,2? 5.30. Шарик массой m, прикрепленный к резиновому шнуру, совершает вращательное движение, скользя по гладкой горизонтальной плоскости. Период обращения шарика равен T. Найти радиус окружности, по которой будет двигаться шарик, если жесткость шнура k. Длина нерастянутого шнура l0 . Ответы. 5.1. 2 м/с2, 300 кг. 5.2. 55 т, 50 т. 5.3. 750 Н. 5.4. 6 Н. 5.5. 100 км/ч. 5.6. 400Н. 5.7. 7,5 Н. 5.8. 3 м/с2. 5.9. В 3 раза. 5.10. 8 м/с2. 5.11. 2 м/с2. 5.12. 3. 5.13. 60 Н. 5.14. 25 Н. 5.15. ≈0,3 кг. 5.16. 3 м/с2. 5.17. 0,84. 5.18. 2,45 м/с2. 5.19. 0,38. 5.20.≈4,3м/с2. 5.21.≈22м/с2. 5.22. ≈5Н, ≈2м/с2.

30

5.23. ≈0,1м/с2. 5.24. 4,5·104Н. 5.25. 28 м/с. 5.26. ≈5000 с. 5.27. ≈2,65 м/с. T 2 kl0 . 5.28. 6,3 км. 5.29. 0,11 об/c. 5.30. 2 T k − 4π2 m

Закон сохранения импульса Импульс материальной точки

r r p = mv . Импульс системы материальных точек r r pсист = ∑ pi .

(2.7) (2.8)

i

Закон сохранения импульса r pсист = const , если

∑ Fi

Закон сохранения проекции импульса pсист X = const , если

∑ FiX

r

= 0.

(2.9)

i

= 0.

(2.10)

i

Задачи с решениями 15p) Охотник, сидящий в лодке, стреляет из ружья в горизонтальном направлении. Масса заряда 0,03 кг. Скорость дробинок при выстреле 600 м/с. Общая масса охотника и лодки 120 кг. Какова скорость лодки после выстрела? Дано: m = 0,03 кг v = 600 м/c M = 120 кг u= ?

Решение: Физическая модель взаимодействия рассматриваемых в задании тел может быть представлена следующим рисунком: M

m

v u

M

m

r v

По закону сохранения импульса в этом случае векторная сумма импульсов тел после выстрела равна векторной сумме импульсов r r тел до выстрела. До выстрела система покоилась, поэтому: 0 = M u + m v . В скалярной форме: Mu = mv, откуда mv . u= M Подставив заданные значения параметров, имеем:

u=

0,03 ⋅ 600 = 0,15 м/с. 120 Ответ: 0,15 м/с. 31

16p) Снаряд, летящий со скоростью 16 м/с, разорвался на два осколка, массы которых 6 кг и 10 кг. Скорость первого осколка 12 м/с и направлена под углом 60° к скорости снаряда. Найти величину скорости второго осколка и ее направление. Дано: m = 0,03 кг m1 = 6 кг m2 = 10 кг v = 16 м/c v1 = 12 м/c α1 = 60°

Решение: Рассматриваемая система может быть схематично предr ставлена рисунком, на котором v – вектор скорости снаr ряда до разрыва, v1 – вектор скорости первого осколка r после разрыва, v 2 – вектор скорости второго осколка после разрыва.

v2 –? α2 –? В этом случае силы тяжести снаряда и осколков не скомпенсированы, но так как процесс разрыва происходит очень быстро, закон сохранения в этом случае применить можно. y

r v1 r v

m

α1 α2

m1 m2

x

r v2

Он в данном случае запишется в виде: r r r ( m1 + m2 ) v = m1 v1 + m2 v 2 . Для направления осей, указанных на рисунке, это векторное уравнения в проекциях на оси X и Y, будет выглядеть следующим образом: ( m1 + m2 ) u = m1v1 ⋅ cos α1 + m2 v2 ⋅ cos α 2 . 0 = m2 v 2 ⋅ sin α 2 − m1v1 ⋅ sin α1 Из второго уравнения имеем: sin α 2 =

m1v1 sin α1 . m2 v 2

По известному соотношению 2

⎛ mv ⎞ cosα 2 = 1 − ⎜ 1 1 ⎟ sin 2α1 . ⎝ m2 v 2 ⎠ Подставив это выражение в первое уравнение, получим:

( m1 + m2 ) v − m1v1 cos α1 = ( m2 v2 ) − ( m1v1 ) 2

32

2

sin 2 α1 .

Возведя последнее уравнение в квадрат, выразим из него скорость второго тела v 2 : v2 =

( m1 + m2 )

2

v 2 + m12 v12 − 2m1 ( m1 + m2 ) uv1cosα1

m2

= 22,9 м/с.

Теперь можно рассчитать mv 6 ⋅ 12 sin α 2 = 1 1 sin α1 = ⋅ 0,5 = 0,272 . 10 ⋅ 22,9 m2 v 2 Окончательно имеем:

α 2 = arcsin 0,272 = 15,8° . Ответ: 15,8°.

17р) Доска массы m2 свободно скользит по поверхности льда со скоростью v2. На доску с берега прыгает человек массы m1. Скорость человека перпендикулярна скорости доски и равна v1. Определить скорость и направление движения доски с человеком. Силой трения доски о лед пренебречь. Дано: Решение: m1, v1 Физическая модель взаимодействия рассматриваемых в m2, v2 задании тел при рассмотрении их сверху может быть представлена следующим рисунком: y

u–? α–? r u

r v2

m2

m1+m2

α

x

r v1 m1

На нем учтено, что после приземления человека на доску скорость движения системы человек–доска будет u , а направление движения будет отличаться от первоначального направления движения доски на угол α. По закону сохранения импульса получаем следующее векторное уравнение: r r r m1 v1 + m2 v 2 = ( m1 + m2 ) u . r Вектор u известным образом может быть разложен по координатным осям на составляющие u x и u y , причем u = u x2 + u y2 . В проекциях на оси X и

Y, записанное векторное уравнение будет выглядеть следующим образом: m2 v 2 = ( m1 + m2 ) u x . m1v1 = ( m1 + m2 ) u y 33

m2 v 2 m1v1 , uy = . m1 + m2 m1 + m2 Следовательно, искомая величина определяется выражением вида: Из них несложно получить: u x =

u=

( m1v1 )

2

+ ( m2 v 2 )

2

m1 + m2 u mv α = arctg y = 1 1 . u x m2 v 2 Ответ: u =

.

( m1v1 )

2

+ ( m2 v 2 )

m1 + m2

2

, α = arctg

m1v1 . m2 v 2

Задачи для самостоятельного решения При решении задач принять g = 10 м/с2. 6.1. Тело, начальная скорость которого 10 м/с, движется прямолинейно с ускорением 1,5 м/с2. Во сколько раз изменится импульс тела при прохождении им пути 100 метров? 6.2. Два тела массой 1 кг и 2 кг движутся равномерно во взаимно перпендикулярных направлениях. Скорость первого тела 3 м/с, а второго – 2 м/с. Определить модуль импульса данной системы тел. 6.3. Тело массой 1 кг движется равномерно по окружности со скороr стью 2 м/с. Определить модуль приращения импульса тела Δp после того, как оно пройдет четверть окружности, половину окружности. 6.4. Тело массой m, брошено под углом к горизонту. За время полета до наивысшей точки траектории модуль приращения импульса тела оказался r равным Δp . Определить полное время полета. 6.5. Начиная игру в бильярд, по группе близко расположенных шаров ударили шаром, масса которого 250 грамм, а скорость 10 м/с. Найти суммарный импульс всех шаров после удара. 6.6. Пуля, масса которой m, вылетает из пистолета массой M c горизонтальной скоростью v относительно земли. Определить скорость отдачи пистолета. 6.7. Снаряд массой 50 кг, летевший горизонтально со скоростью 200 м/с, попал в покоящуюся тележку с песком массой 950 кг и застрял в песке. С какой скоростью стала двигаться тележка? 6.8. Два тела, массой 6 и 2 кг, движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью и слипаются. Во сколько раз скорость получившегося тела меньше первоначальной скорости тел? 6.9. Два хоккеиста, движущиеся навстречу друг другу, сталкиваются и далее движутся вместе. Первый хоккеист, масса которого 120 кг двигался со 34

скоростью 3 м/с, скорость второго при массе 80 кг была равна 6 м/с. В каком направлении и с какой скоростью они будут двигаться после столкновения? 6.10. Граната, летевшая горизонтально со скоростью 10 м/c, разорвалась на две части массами 1 кг и 1,5 кг. Больший осколок продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью, равной 25 м/с. Найти скорость меньшего осколка. 6.11. С кормы лодки массой 200 кг, движущейся в неподвижной воде со скоростью 1 м/с, прыгает мальчик в горизонтальном направлении в сторону, противоположную движению лодки. С какой скоростью относительно воды прыгает мальчик, если скорость лодки после его прыжка возросла до 3 м/с? Масса мальчика равна 50 кг. Сопротивлением воды пренебречь. 6.12. На противоположных концах неподвижной тележки массой 80 кг стоят два человека, один – массой 50 кг, другой – массой 60 кг. Они одновременно спрыгивают с тележки в противоположные стороны со скоростями относительно земли 2 м/с и 1 м/с, соответственно. С какой скоростью после этого будет двигаться тележка? Считать, что скорости людей в момент отрыва от тележки направлены горизонтально. 6.13. Тележка движется с постоянной скоростью. Человек, скорость которого в 2 раза больше, догоняет тележку, вскакивает на нее и остается на ней, в результате чего скорость тележки увеличивается на 20%. Во сколько раз масса тележки больше массы человека? 6.14. Тележка массой 200 кг движется со скоростью 3 м/с вместе с находящимся на ней человеком, масса которого 60 кг. С какой скоростью относительно тележки должен бежать человек в направлении движения, чтобы скорость тележки уменьшилась вдвое? 6.15. Железнодорожная платформа с установленным на ней орудием (общая масса 20 т) движется горизонтально со скоростью 1 м/с. В направлении хода платформы из орудия выпускается снаряд со скоростью 800 м/с под углом 60° к горизонту. Масса снаряда 20 кг. Определить скорость платформы после выстрела. 6.16. На горизонтальных рельсах стоит платформа с песком. В песок попадает снаряд, летящий вдоль рельсов, и застревает в нем. В момент попадания снаряда его скорость равна 400 м/с и направлена сверху вниз под углом 30° к горизонту. Какую скорость приобрела платформа? Масса платформы с песком 5 тонн, масса снаряда 10 кг. 6.17. Человек массой 80 кг стоит на краю тележки массой 120 кг и длиной 3 м. Определить, на сколько сместится тележка, если человек перейдет на другой ее край? Трение между тележкой и полом, на котором она стоит, пренебрежимо мало. 6.18. Лодка стоит неподвижно в стоячей воде. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние сдвинется лодка, если масса человека в три раза меньше массы лодки, а длина лодки равна 4 м? Сопротивлением воды пренебречь. 35

6.19. Снаряд вылетает из орудия под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 420 м/с. В некоторой точке траектории он разрывается на три осколка одинаковой массы. Первый осколок летит вверх по вертикали, второй – вниз по вертикали, а третий – под углом 45° к горизонту. Найти скорость третьего осколка. Массой взрывчатого вещества пренебречь. 6.20. Снаряд в верхней точке траектории на высоте 100 метров разорвался на две части массами 1 кг и 1,5 кг. Скорость снаряда в этой точке 100 м/с. Скорость большего осколка оказалась горизонтальной, совпадающей по направлению со скоростью снаряда и равной 250 м/с. Определить расстояние между точками падения обоих осколков. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответы. 6.1. в 2 раза. 6.2. 5 кг·м/с. 6.3. ≈ 2,8 кг·м/с; 4 кг·м/с. 6.4. r 2 Δp mv . 6.5. 2,5 кг·м/с . 6.6. 6.7. 10 м/с. 6.8. В 2 раза. 6.9. 0,6 м/с, в наmg M правлении движения второго. 6.10. 12,5 м/с. 6.11. 7 м/с. 6.12. 0,5 м/c. 6.13. В 4 раза. 6.14. 6,5 м/с. 6.15. 0,6 м/с. 6.16. ≈ 0,69 м/с. 6.17. 1,2 м. 6.18. 1 м. 6.19. ~891 м/с. 6.20. ≈ 1677 м.

Работа и энергия Работа постоянной силы F

A = FS cos α = Fτ S ,

(2.11)

где S – путь, пройденный телом; α – угол между направлением силы и направлением перемещения; Fτ = F cosα – проекция силы на направление перемещения. Работа переменной силы A = Fτ ср S ,

(2.12)

где Fτ ср – среднее значение проекции силы.

Средняя мощность силы

N ср =

A Fτ ср S = = Fτ ср vср , Δt Δt

(2.13)

где Δ t – время, за которое совершена работа А; v ср – средняя путевая скорость. Мгновенная мощность

A = Fτ v . Δt →0 Δt

N = lim

36

(2.14)

Кинетическая энергия материальной точки

mv 2 Eк = . 2

(2.15)

Кинетическая энергия системы материальных точек

Eк = ∑ i

mi vi2 . 2

(2.16)

Потенциальная энергия материальной точки в поле тяжести Земли Eп = mgh , (2.17)

где h – высота от нулевого уровня потенциальной энергии. Если тело нельзя считать материальной точкой, то приращение его потенциальной энергии определяется приращением высоты центра тяжести тела Δhc: (2.18) ΔEп = mg Δhc . Потенциальная энергия упругодеформированного тела

Eп =

k x2 , 2

(2.19)

где x – величина деформации; k – жесткость. Механическая энергия E = Eк + Eп .

(2.20)

Закон изменения механической энергии

ΔE = Aнк + Aвн ,

(2.21)

где ΔE – приращение механической энергии системы, т.е. приращение механической энергии равно работе внешних и неконсервативных сил, действующих в системе. Неконсервативными силами считают силы трения и силы сопротивления. Действие сил трения и сопротивления приводит к преобразованию части механической энергии тела в тепловую, поэтому их называются диссипативными силами. При этом количество выделившегося тепла Q численно равно работе диссипативных сил (взятой со знаком плюс), т.е. Q = Aнк . Если в системе нет неконсервативных сил, т.е. Анк = 0, и на нее не действуют внешние силы, механическая энергия системы остается неизменной (закон сохранения механической энергии): ΔE = 0. (2.22) Абсолютно упругим называется удар, при котором механическая энергия не переходит в другие виды энергии. Для такого удара выполняется закон сохранения механической энергии: 37

m1v12 m2 v 22 m1u12 m2u22 , (2.23) + = + 2 2 2 2 где v1, v2 – скорости тел непосредственно перед ударом; u1, u2 – скорости сразу после удара. При абсолютно неупругом ударе закон сохранения механической энергии не выполняется, т.к. происходят неупругие деформации, сопровождающиеся нагревом тел. Поэтому для абсолютно неупругого удара двух тел, закон изменения механической энергии записывают в следующем виде: m1v12 m2 v 22 (m1 + m2 )u 2 (2.24) + = + ΔU , 2 2 2 где u – скорость после удара, одинаковая для обоих тел; ΔU – приращение внутренней энергии тел при ударе. Увеличение внутренней энергии приводит к нагреву тел такому же, как если бы им было сообщено количество теплоты Q = ΔU. Задачи с решениями

18р) Поднимаясь равномерно, как всегда, из окна Малыша к себе на крышу, Карлсон в тот день, когда его угостили вареньем, затратил на подъем на 4 секунды больше, чем обычно. Какова масса съеденного им варенья, если мощность мотора всегда равна 75 Вт, а высота подъема 10 м? Решение: Дано: N = 75 Вт Работа, совершаемая мотором за время t, равна A = Nt . h = 10 м По закону изменения механической энергии: Δt = 4 с A = ΔE . Изменение кинетической энергии при равномерном подъеΔm − ? ме на крышу равно нулю, поэтому в данном случае ΔE = ΔEп = mgh , где h – высота подъема, m – масса Карлсона. Получаем: Nt = mgh . После угощения вареньем масса увеличивается на Δm , время подъема увеличивается на Δt . Можем написать аналогичное выражение N (t + Δt ) = (m + Δm) gh . Если вычесть из этого уравнения предыдущее, получим N Δt = Δmgh . Из него следует, что N Δ t 75 ⋅ 4 Δm = = = 3 кг. gh 10 ⋅ 10 Ответ: 3 кг. 19р) Брусок массой m1 = 500 г соскальзывает по наклонной плоскости высотой 0,8 м и, двигаясь по горизонтальной плоскости, сталкивается с бруском массой m2 = 300 г, движущимся ему навстречу со скоростью 2 м/с. 38

Считая столкновение абсолютно неупругим, определите суммарную кинетическую энергию брусков после столкновения. Трением при движении брусков пренебречь. Дано: m1 = 0,5 кг h = 0,8 м m2 = 0,3 кг v2 = 2 м/с Eк′ –?

Решение: Модель взаимодействия рассматриваемых в задании тел может быть представлена следующим рисунком:

m1 h

m1

r v1

r v 2 m2

m1 + m2

r u

По закону сохранения импульса при неупругом взаимодействии r r r m1v1 + m2 v 2 = ( m1 + m2 ) u . В скалярной форме это уравнение имеет вид: m1v1 – m2v2 = (m1+m2)u. m v − m2 v 2 . Отсюда u= 1 1 m1 + m2 Здесь неизвестна величина скорости первого тела перед ударом v1.. Чтобы определить эту величину, рассмотрим расположение этого тела относительно поверхности Земли в двух случаях: когда оно находилось на высоте h и когда оно стало двигаться по горизонтальной поверхности. Так как в системе нет сил трения, сопротивления и других неконсервативных сил, закон сохранения механической энергии для этого тела можно представить в следующем виде: Eп = Eк , т.е. m1v12 . m1 gh = 2

Откуда v1 = 2 gh . Следовательно, скорость тел после удара определяется выражением m 2 gh − m2 v 2 . u= 1 m1 + m2 Кинетическая энергия рассматриваемых тел после их столкновенияравна

(

m1 2 gh − m2 v 2 m1 + m2 ) u 2 ( ′ Eк = = 2 2 ( m1 + m2 ) Подстановка заданных величин дает: 39

)

2

.

( 0,5 E′ =

2 ⋅ 10 ⋅ 0,8 − 0,3 ⋅ 2

к

)

2 ⋅ 0,8

2

= 1,225 Дж. Ответ: 1,225 Дж.

20р) Шайба пущена по льду с начальной скоростью 2 м/с. Определить расстояние, которое пройдет шайба до полной остановки, если коэффициент трения шайбы о лед 0,02. Дано: Решение: v На шайбу при движении действуют: сила тяжести mg , v0 = 2 м/с r r μ = 0,02 сила реакции опоры N и сила трения Fтр (см. рисунок). S–?

r N

r

υ0

r Fтр

1 r mg

2 S

Сила трения скольжения – неконсервативная сила. Поэтому закон изменения механической энергии в этом случае имеет вид: Aтр = ΔE . Так как шайба движется по горизонтальной поверхности, потенциальная энергия ее не меняется и ΔE = ΔEк . Работа силы трения определяется выражением: r r Aтр = Fтр ⋅ S ⋅ cos( Fтр , S ) . Угол между вектором силы трения и вектором перемещения шайбы в этом случае равен π, тогда Aтр = − Fтр ⋅ S . По определению сила трения скольжения Fтр = μN , в данном случае N = mg , то есть Таким образом

Fтр = μmg . Aтр = −μmgS .

В рассматриваемом случае шайба останавливается. Следовательно, приращение ее кинетической энергии равно: ΔEк = 0 −

mv02 mv 2 =− 0 . 2 2 40

По закону изменения энергии имеем: mv02 . 2 Из последнего соотношения получаем: μmgS =

mv02 v2 = 0 . 2mgμ 2 gμ Подстановка исходных данных задачи дает ответ: 4 S= = 10 м. 2 ⋅ 10 ⋅ 0,02 S=

Ответ: 10 м. 21p) Небольшой шар массой 1 кг падает без начальной скорости на расположенную вертикально пружину, которая при ударе сжимается. Какова максимальная деформация пружины, если ее жесткость равна 150 Н/м, а расстояние от начального положения шара до верхней точки недеформированной пружины равно 0,1 м? Дано: Решение: m = 1 кг Очевидно, что в задаче можно пренебречь силой соk = 150 н/м противления воздуха. Тогда на шар при его падении действует только сила тяжести, которая является h = 0,1 м x–? консервативной. То есть, в рассматриваемой системе отсутствуют неконсервативные силы, поэтому выполняется закон сохранения механической энергии: ΔE = 0 . Следовательно, E1 = E2 , где E1 – механическая энергия рассматриваемой системы в начальный момент, E2 – механическая энергия системы в конечный момент. Расположение тел системы в начальном и конечном положениях изображено на рисунках 1) и 2), m соответственно. h Там же обозначен выбранный нулевой уровень потенциальной Eп = 0 x m энергии Eп = 0 , который здесь удобно считать совпадающим с начальным положением недеформированной пружины. 2) 1) Механическая энергия системы тел в начальном состоянии определяется только потенциальной энергией шара в поле тяжести Земли, т.к. пружина недеформирована. При таких условиях E1 = mgh . В конечном состоянии пружина сжата, обладает потенциаль41

kx 2 , а потенциальная энергия самого шара отрицательна, 2 так как он опускается ниже выбранного нулевого уровня этой энергии, и равkx 2 на: Eш = − mgx . Тогда E2 = Eпр + Eш = − mgx. В соответствии с законом со2 хранения механической энергии имеем: kx 2 mgh = − mgx . 2 Полученное выражение является квадратным уравнением относительно искомой в задаче величины максимальной деформации пружины x. Приведем его к каноническому виду: ной энергией Eпр =

kx 2 − 2mgx − 2mgh = 0 . Корни этого уравнения следующие: 2mg ± 4m 2 g 2 + 8mghk mg ± m 2 g 2 + 2mghk = . 2k k Отрицательный корень в условиях данной задачи не подходит, так как говорится о сжатии пружины, поэтому окончательно имеем: x1,2 =

mg + m 2 g 2 + 2mghk . k Подстановка исходных данных позволяет получить: x=

x=

1 ⋅ 10 + 1 ⋅ 100 + 2 ⋅ 1 ⋅ 10 ⋅ 0,1 ⋅ 150 = 0,2 м. 150 Ответ: 0,2 м.

22р) Два абсолютно упругих шарика массами m1 = 100 г и m2 = 300 г подвешены на одинаковых нитях длины 50 cм каждая. Первый шар отклоняют на угол α = 90° от положения равновесия и отпускают. На какую высоту поднимется второй шарик после соударения? Дано: Решение: m1 = 0,1 кг Интересующие нас положения рассматриваемой сисm2 = 0,3 кг темы тел изображены на рисунках 1) – 4). Первый рисуl = 0,5 м нок соответствует начальному положению системы, коα = 90° гда первый шарик отклонили на заданный угол, а второй покоится. h2 – ? Второй характеризует момент непосредственно перед ударом первого шарика о второй. Поскольку силой сопротивления воздуха, ввиду малости шариков, можно пренебречь, механическая энергия системы тел не меняется, то есть 42

E1 = E2 , где E1 – механическая энергия тел для случая 1), а E2 – механическая энергия тел для случая 2). m1

l

0

0

0

0

α l l

Eп = 0 m2 1)

m1 m2

u2 m2

u1 m1

2)

3)

m1

h2

m2

4)

Как это принято в маятниковых системах, будем считать, что нулевой уровень потенциальной энергии располагается в точке устойчивого равновесия шариков. При этом условии E1 = m1 gl , где l – высота подъема над нулевым уровнем потенциальной энергии при заданном значении угла α. m1v 2 , здесь v – скорость первого шарика непосредственно перед ударом. E2 = 2 Получаем уравнение m v2 m1 gl = 1 . 2 2 Из него v = 2gl . v = 2gl , В точке равновесия шаров происходит их упругое взаимодействие, следовательно, выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. В соответствии с указанными законами: ⎧m1v = −m1u1 + m2u2 ; ⎪ ⎨ m1v 2 m1u12 m2u22 = + , ⎪ ⎩ 2 2 2 где u1 и u2 – скорости шариков после удара. Далее кинетическая энергия каждого из шариков переходит в потенциальную в верхней точке их подъема, в частности, для второго шарика в соответствие с рис. 4): m2u22 = m2 gh2 . 2 Из последнего соотношения следует: u2 h2 = 2 . 2g Таким образом, для решения задачи необходимо знать величину скорости второго шарика после удара u2. Ее можно определить, решая систему уравнений, описывающую удар шаров. 43

В уравнениях системы, описывающих упругое взаимодействие, соберем по разные стороны от знака равенства члены, содержащие различные значения массы тел и получим:

⎧⎪m1 ( v + u1 ) = m2u2 , ⎨ 2 2 2 ⎪⎩m1 ( v − u1 ) = m2u2 . Разделив второе уравнение системы на первое, имеем: v − u1 = u2 . Отсюда выразим u1: u1 = v − u2 . Подставив последнее выражение в первое уравнение системы и приведя подобные члены, приходим к следующему уравнению: 2m1v − m1u2 = m2u2 . Из него u2 =

2m1v . Следовательно, искомая величина определяется m1 + m2

как: h2 =

4m12 v 2

=

2m12 v 2 . g ( m1 + m2 )

2 g ( m1 + m2 ) С учетом полученного выше значения v, имеем:

h2 =

2

2m12 ⋅ 2 gl

g ( m1 + m2 )

2

=

4m12l

( m1 + m2 )

2

.

Подстановка цифровых данных приводит к результату: 4 ⋅ 0,01 ⋅ 0,5 h2 = = 0,125 м. 2 ( 0,1 + 0,3) Ответ: 0,125 м. 23р) Небольшое тело соскальзывает без трения с вершины полусферы радиуса R. На какой высоте тело оторвется от поверхности полусферы? Дано: R h–?

Решение: Рассматриваемая в задаче система изображена на рисунке.

На нем точкой “В” обозначено исходное положение тела на полусфере, точкой “А” положение тела в момент отрыва от нее. Будем считать, что нулевой уровень потенциальной энергии Еп располагается на горизонтальной поверхности, на которой лежит полусфера. По условию задачи трение в системе отсутствует, внешние силы в ней не действуют, поэтому закон сохранения механической энергии в этом случае имеет вид: EB = E A . 44

r N

B r mg

α r g

r a

R

A

α 0

К

h Eп = 0

В точке “В” тело находилось в состоянии покоя. Находясь на высоте R по отношению к нулевому уровню потенциальной энергией, оно обладало только этим видом энергии: EВ = mgR . В точке отрыва тела от полусферы тело движется, то есть обладает кинетической энергией, и вместе с тем находится на некоторой высоте h над горизонталью, а значит, его потенциальная энергия отлична от нуля. Таким образом, mv 2 EA = + mgh . 2 По закону сохранения механической энергии имеем: mv 2 + mgh . mgR = 2 Сократив массу, получаем: v2 gR = + gh . 2 В полученном соотношении две неизвестные величины: v и искомая высота h. Для определения скорости v рассмотрим силы, действующие на тело в точке “А”. При движении от начальной точки до точки “А” тело массы r m r находится под воздействием силы тяжести mg и силы реакции опоры N . В точке отрыва “А” реакция опоры пропадает, поэтому основное уравнение динамики в ней имеет вид: r r ma = mg . Движение тела в момент отрыва происходит еще по дуге окружности радиуса R. Поэтому центростремительное ускорение в этот момент равно v2 r r . Так как полное ускорение a = g , центростремительное ускорение равR r но проекции вектора g на радиальное направление (см. рисунок). Следовательно, v2 = g ⋅ sin α . R В треугольнике ОАК, в котором R – гипотенуза, а h – катет, имеется такой же введенный в рассмотрение угол α и 45

sin α = Тогда получается:

h . R

v2 h =g . R R 2 Отсюда v = gh . Подставив полученное выражение в закон сохранения энергии, имеем: gh gR = + gh . 2 Сократив g, получаем: 2 h = R. 3 2 Ответ: h = R 3 24р) Преграда массой 4 кг, имеющая цилиндрическую поверхность с радиусом закругления 9,6 см, расположена на гладкой горизонтальной плоскости. Небольшое тело массой 1 кг скользит с начальной горизонтальной скоростью 2 м/с и поднимается по цилиндрической поверхности. Найти скорость тела в точке А относительно плоскости (см. рисунок). Точка А находится от плоскости на высоте, равной радиусу закругления. Трением пренебречь. r r vA v2 A

A

R

M

R

R

M

r v0

r v1 r v1

2)

1)

Решение: Дано: При подъеме тела преграда приходит в движение, т.к. M = 4 кг она находится на гладкой горизонтальной плоскости (треm = 1 кг r v0 = 2 м/c ния нет). Обозначим как v1 скорость преграды в тот моR = 0,096 м мент, когда тело поднимется до точки А. vA – ? Скорость тела в т. А можно представить в виде суммы двух r составляющих. Горизонтальная составляющая будет равна v1 (тело и преграда движутся в горизонтальном направлении с одной скоростью). Но у тела в r этот момент будет еще вертикальная составляющая скорости v 2 . Полная скорость тела относительно плоскости будет равна векторной сумме r r r v A = v1 + v 2 . Модуль полной скорости тела v A = v12 + v 22 . 46

По закону сохранения механической энергии (в системе действуют только консервативные силы) E1 = E2 , где Е1 – энергия системы в начальный момент, Е2 – энергия в конечный момент. Примем, что нулевой уровень потенциальной энергии располагается на плоскости первоначального расположения тела. Тогда закон сохранения механической энергии принимает вид mv02 Mv12 m(v12 + v 22 ) = + + mgR . 2 2 2 Одного этого уравнения недостаточно для решения задачи. Необходимо применить еще закон сохранения импульса для системы тело – преграда. Но он будет выполняться только для проекций на горизонтальное направление (в горизонтальном направлении внешние силы не действуют): mv0 = ( m + M ) v1 . Из последнего соотношения следует, что скорость v1 определяется выражением mv0 . v1 = m+M Подставив его в закон сохранения энергии, получим: m 2 v02 mv02 − 2mgR − = mv 22 . m+M M Отсюда v 22 = v02 − 2 gR . m+M Тогда модуль полной скорости тела в точке А m 2 v02 M v02 ⎛ m2 ⎞ 2 + − = + v 2 gR M 0 ⎜ ⎟ − 2 gR (m + M )2 m+M m+M ⎝ m+M ⎠ Подстановка числовых значений дает: 4 1 vA = (4 + ) − 2 ⋅ 10 ⋅ 0,096 = 1, 2 м/с. 4 +1 5 Ответ: 1,2 м/c.

v A = v12 + v 22 =

Задачи для самостоятельного решения При решении задач принять g = 10 м/с2. 7.1. Камень свободно упал с высоты 80 метров. Определить скорость камня в момент падения на землю, если сопротивление воздуха можно не учитывать. 7.2. Тело брошено с начальной скоростью V0 под углом к горизонту большим 45° с поверхности земли. На какой высоте его кинетическая энергия равна потенциальной? Сопротивлением воздуха пренебречь. 7.3. Мяч бросают с некоторой высоты вертикально вниз на горизонтальную площадку со скоростью 20 м/с. На сколько выше первоначального уровня подпрыгнет мяч? Удар мяча о землю считать абсолютно упругим. 47

7.4. Груз массой 7 кг поднимают на веревке с поверхности земли на высоту 1 м: один раз равномерно, второй – равноускоренно с ускорением 0,2 м/с2. На сколько работа по подъему груза во втором случае больше, чем в первом? Сопротивление воздуха не учитывать. 7.5. Сила тяги локомотива 250 кН, мощность 3000 кВт. За какое время поезд пройдет 10,8 км, если он движется равномерно. 7.6. На катер действует сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости катера. Во сколько раз нужно увеличить мощность двигателя, чтобы скорость катера возросла в 2 раза? 7.7. Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы лежащий на земле однородный столб длиной 10 м и массой 100 кг поставить вертикально? 7.8. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы из колодца глубиной 10 м поднять на тросе ведро с водой массой 8 кг? Линейная плотность троса равна 0,4 кг/м. 7.9. Ядро массой 5 кг бросили с поверхности земли под углом к горизонту так, что оно упало через 2 секунды на расстоянии 20 м от точки начала движения. Определить работу, совершенную при броске. 7.10. Тело равномерно перемещается по горизонтальной поверхности под действием силы, направленной вверх под углом 45° к горизонту. Работа этой силы на пути 6 метров равна 20 Дж. Масса тела 2 кг. Найти коэффициент трения с поверхностью. 7.11. Небольшой груз массой 100 г прикреплен к веревке длиной 72 см и массой 300 г, лежащей на гладком горизонтальном столе. Под тяжестью груза веревка начинает соскальзывать без начальной скорости в небольшое отверстие с гладкими краями, которое проделано в столе. Какова будет скорость веревки в тот момент, когда ее свободный конец соскользнет со стола? 7.12. Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед гирю массой 5 кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью 1 м/с. Масса конькобежца 60 кг. Определить работу, совершенную конькобежцем при броске. 7.13. Два шара массой 2 и 3 кг движутся навстречу друг другу со скоростью 6 и 2 м/с, соответственно. Определить количество тепла, выделяющееся при абсолютно неупругом ударе шаров. 7.14. Два груза массой 1 и 2 кг соединены нитью, переброшенной через невесомый блок, и расположены над столом на высоте 3 м. В начальный момент грузы покоятся, затем их отпускают. Какое количество теплоты выделится при ударе второго груза о стол? Удар абсолютно неупругий. 7.15. На обледеневшем участке шоссе коэффициент трения между колесами и дорогой в десять раз меньше, чем на необледеневшем. Во сколько раз нужно уменьшить скорость автомобиля, чтобы тормозной путь на обледеневшем участке остался прежним? 7.16. Двигаясь по гладкой горизонтальной поверхности, маленькая шайба попадает на участок шероховатой поверхности длиной 75 см. Коэффициент трения шайбы о поверхность на этом участке линейно возрастает от 0,4 на ближней границе до 0,8 – на дальней. При какой минимальной скорости шайбы она преодолеет этот участок? 48

7.17. Пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 150 м/с, простреливает лежащий на столе брусок массой 2,5 кг и теряет при этом половину своей кинетической энергии. Какую скорость приобретает брусок? 7.18. Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров больший шар до удара покоится. В результате прямого удара меньший шар потерял 3/4 своей кинетической энергии. Определить отношение масс шаров. 7.19. Какую горизонтальную скорость нужно сообщить шарику, висящему на невесомой и нерастяжимой нити длиной 0,4 м, чтобы она отклонилась на угол 60° от вертикали? 7.20. На веревке висит шар массой 5 кг. Максимальное натяжение, которое может выдержать веревка, 80 Н. На какой максимальный угол можно отклонить веревку, чтобы она не оборвалась? 7.21. Два одинаковых маленьких пластилиновых шарика подвешены на одинаковых нерастяжимых нитях в одной точке. Один шарик отклоняют от положения равновесия так, что нить становится горизонтальна, и отпускают. При соударении шарики слипаются. Определить максимальный угол, на который отклонятся после удара нити. 7.22. В подвешенный на веревке ящик с песком общей массой 5 кг попала пуля массой 10 г, летевшая горизонтально, и застряла в нем. При этом ящик откачнулся, поднявшись на 10 см. Определить скорость пули перед ударом. 7.23. При ударе шарика о идеально гладкую горизонтальную плоскость теряется третья часть его кинетической энергии. α Зная, что угол падения равен α = 45°, найти β угол отражения β. 7.24. Тело массой m, скатившись с горы высотой h, останавливается. Какую работу нужно совершить, чтобы медленно поднять тело обратно на гору? 7.25. Груз массой 1 кг медленно поднимают на высоту 1 м по наклонной плоскости с помощью блока и нити. При этом совершается работа 12 Дж. Затем нить отпускают, и груз скользит вниз. Какую скорость он наберет, опустившись до исходной точки? Массой блока и нити пренебречь. 7.26. С горы высотой 3 м и длиной основания 10 м съезжают санки, которые останавливаются, пройдя горизонтально путь 20 м от основания горы. Найти коэффициент трения, считая его одинаковым на всем пути. 7.27. Небольшое тело начинает скользить с вершины гладкой сферы радиусом 2,4 м. Найти скорость тела в момент отрыва от сферы. 7.28. Шарик соскальзывает без трения по наклонному желобу, образующему «мертвую петлю» радиусом 80 см. С какой наименьшей высоты шарик должен начать движение, чтобы не оторваться от желоба в верхней его точке? 7.29. На гладкой горизонтальной плоскости лежали два шара, между которыми находилась сжатая пружина. Затем пружине дали возможность распрямиться, вследствие чего шары приобрели некоторые скорости. Вычис49

лить их, зная, что масса шаров равна 1 и 2 кг, а потенциальная энергия сжатой пружины равна 3 Дж. Массой пружины пренебречь. 7.30. Легкая пружина установлена вертикально на столе. На нее падает стальной шар массой 250 г. Чему равно максимальное сжатие пружины, если в начальный момент шар находился на высоте 40 см от поверхности стола? На какой высоте относительно стола шар будет иметь максимальную скорость? Жесткость пружины 50 Н/м, длина в недеформированном состоянии 30 см. m 7.31. На гладкой горизонтальной поверхноR сти около стенки покоится симметричный брусок массой М = 2 кг с углублением полусферической M формы радиусом R = 0,2 м. Из начального положения, показанного на рисунке,без трения соскальзывает маленькая шайба массой m = 0,5 кг. Найти скорость бруска в момент, когда шайба окажется на правом склоне в наивысшей точке подъема. M 7.32. Тележка массой М стоит на гладкой горизонтальной плоскости. На тележке укреплен математический маятник, имеющий масα су m и длину L. В начальный момент тележка m и маятник покоились, а нить маятника образовывала угол α с вертикалью. Найти скорость тележки в момент, когда маятник будет проходить через вертикальное положение. Массой колес пренебречь. О 7.33. На стержне нулевой массы укреплены два шарика. ОА = АВ = L, начальный угол отклонения стержня равен α, начальная α угловая скорость стержня равна нулю. Найти А угловую скорость стержня в момент прохождения положения равновесия. Массы шариков одинаковы. В 7.34. Два подвижных клина одинаковой массы М = 1,6 кг имеют плавные переходы на m горизонтальную поверхность. С левого клина соскальзывает шайба массой m = 0,4 кг с высоты H = 1 м. На какую максимальную высоту H шайба поднимется по правому клину? ТрениM M ем пренебречь. 7.35. Шайба массой m, двигаясь горизонтально, въезжает на подвижную горку высотой h и массой M, которая находится на идеально гладкой горизонтальной поверхности. Найти минимальную скорость шайбы v, при которой она преодолеет горку. Трение между r шайбой, горкой и горизонтальной v h m M поверхностью отсутствует. 50

Ответы.

7.1. 40 м/с.

7.2.

v 02 . 4g

7.3. 20 м. 7.4. 1,4 Дж.

7.5. 900 с.

7.6. В 8 раз. 7.7. 5 кДж. 7.8. 1 кДж. 7.9. 500 Дж. 7.10. 0,2. 7.11. 3 м/с. 7.12. 390 Дж. 7.13. 38,4 Дж. 7.14. 20 Дж. 7.15. 10 . 7.16. 3 м/с. 7.17. 0,18 м/с. 7.18. 3. 7.19. 2 м/с. 7.20. 45°. 7.21. arccos ¾. 7.22. 700 м/с. 7.23. 30°. 7.24. 2mgh. 7.25. 4 м/с. 7.26. 0,1. 7.27. 4 м/с. 7.28. 2 м. 7.29. 2 м/с, 1 м/с. 7.30. 0,16 м;

0,25 м. 7.31. 0,4 м/с. 7.32. 2m ⋅ sin 7.35.

α gL . 7.33. 2 M (m + M )

2( M + m) gh . M

51

6g (1 − cos α ) . 7.34. 0,64 м. 5L

Статика Момент силы относительно некоторой оси M =Fl, (2.25) где l – плечо силы, равное кратчайшему расстоянию между линией действия силы и осью. Условия равновесия тела r (2.26) ∑ Fi = 0 ; i

∑ Mi = 0 , i r где Mi – момент i-й силы Fi , приложенной к телу.

(2.27)

Задачи с решениями 25р) Четыре материальные точки массами m1, m2, m3, m4 расположены на легком стержне на расстояниях d друг за другом (см. рисунок 1). Найти положение центра тяжести системы.

m2

m1 d

m3 d

m4 d

1)

Дано: Решение: Центром тяжести системы тел является такая точка, d m1 подвесив на нити за которую, мы приведем систему в равновесие. Пусть в данной системе тел центром тяжеm2 сти ее является точка С, расположенная на расстоянии x m3 от левого края стержня. Мысленно подвесим стержень m4 x–? на нити в указанной точке. Тогда на рассматриваемую сисr r r r тему тел будут действовать силы тяжести всех грузов m1 g , m2 g , m3 g , m4 g и r сила натяжения нити T (рис. 2). Запишем условия равновесия относительно r T точки С. По первому из них векторная сумма всех x сил, действующих на систему, равняется нулю, то есть: r r r r r C m1 g + m2 g + m3 g + m4 g + T = 0 . r r m1 g m3 g В скалярной форме с учетом направления r r m2 g m4 g сил имеем: 2) −m1 g − m2 g − m3 g − m4 g + T = 0 . По второму условию равновесия алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на систему, равняется нулю. Считают, что силы, которые вращают тело в одном направлении, имеют одинаковые по знаку величины моментов. Относительно точки С из всех сил, действующих на стержень, r только сила T имеет нулевой вращающий момент. Моменты сил тяжести m1 g r и m2 g будем считать положительными, а моменты двух других сил отрицательными. Плечи указанных сил хорошо видны на рис. 2). Уравнение для моментов сил имеет вид: 52

m1 g ⋅ x + m2 g ( x − d ) − m3 g (2d − x) − m4 g (3d − x) = 0 . Последнее равенство является уравнением с одной неизвестной величиной. Из него нетрудно получить: m + 2m3 + 3m4 x= 2 d. m1 + m2 + m3 + m4 Для решения задачи оказалось достаточно только выполнения одного условия равновесия. Это, действительно, имеет место в тех случаях, когда рассматриваемое тело не может перемещаться в пространстве, а имеет лишь возможность вращения относительно такой-либо точки. Заметим, что если тело в силу его формы или конструкции не может вращаться, а способно лишь к поступательному движению, для его равновесия достаточно выполнения только первого условия статики. m2 + 2m3 + 3m4 Ответ: d. m1 + m2 + m3 + m4 26р) Однородный стержень АВ опирается о шероховатый пол и удерживается в равновесии горизонтальной нитью ВС (см. рис.). Коэффициент трения между полом и стержнем 0,35. При каком наименьшем угле наклона стержня к полу возможно это равновесие?

Y C

r T

B

r N

A

α

r Fтр

r mg X

Дано: Решение: r На стержень действуют четыре силы: сила тяжести mg , μ = 0,35 r r αmin – ? r сила натяжения нити T , сила реакции опоры N и сила трения покоя Fтр , препятствующая скольжению стержня по полу. По первому условию статики векторная сумма всех сил равна нулю: r r r r mg + T + N + Fтр = 0 . В скалярной форме для проекций по осям координат получим следующую систему уравнений: ⎧⎪ Fтр − T = 0, (1) ⎨ ( 2) ⎪⎩ N − mg = 0. Из этой системы определить необходимую величину αmin не представляется возможным. Запишем второеrусловие статики относительно точки А. Силы реакции r опоры N и трения Fтр моментов не создают (плечи этих сил относительно r оси, проходящей через точку А равны нулю). Сила тяжести mg стремится r повернуть стержень по часовой стрелке, а сила натяжения T – против, поэтому: 53

l mg ⋅ cos α − Tl ⋅ sin α = 0 , 2 где l – длина стержня. Полученное уравнение дает: mg . tg α = 2T Из уравнения (1) следует: T = Fтр .

(3)

В данном случае Fтр – сила трения покоя. Для нее справедливо соотношение: Fтр ≤ Fтр max = μN . Получаем, что T ≤ μmg . С учетом этого соотношения из (3) имеем: 1 . tgα ≥ 2μ 1 Отсюда α min = arctg = 55 °. 2μ Ответ: 55°.

Задачи для самостоятельного решения При решении задач принять g = 10 м/с2. 8.1. Гаечным ключом с рукояткой длиной 20 см завинчивают гайку. Сила 80 Н приложена под углом 30° к концу рукоятки. Определить вращающий момент. 8.2. На бревне, сечение которого одинаково, а длина 3 м, сидят три человека, массы которых и расстояния от левого края бревна равны соответственно: m1 = 50 кг, l1 = 1 м, m2 = 65 кг, l2 = 1,5 м, m3 = 70 кг, l3 = 2 м. На каком расстоянии от левого края бревна расположен цент тяжести бревна и сидящих на нем людей? Масса бревна 100 кг. 8.3.Рабочий удерживает за один конец бревно так, что бревно образует с горизонтом угол α. С какой силой, направленной перпендикулярно бревну, удерживает рабочий бревно в этом положении? 8.4. На концах однородного стержня, масса которого 1 кг и длина 0,6 м, подвешены грузы. На каком расстоянии от точки подвеса второго груза надо подпереть стержень, чтобы он находился в равновесии? Масса первого груза 1 кг, второго – 2 кг. 8.5. К средней точке горизонтально подвешенного провода длиной 40 м подвешен груз массой 17 кг. Вследствие этого провод провис на 10 см. Определить силу натяжения, с которой каждая половина провода действует на груз. Массой провода пренебречь. 54

8.6. Небольшое тело массой m находится на r F горизонтальной поверхности. К нему приложена сила, направленная под углом α к горизонту. Коα эффициент трения между телом и поверхностью равен μ. При каких значениях силы тело будет оставаться в покое? 8.7. Груз массой 1 кг лежит на наклонной плоскости. Какова реакция опоры, если сила трения равна 6 Н? 8.8. На полуцилиндре радиусом R = 0,5 м находится шайба. Определить миR h нимальную высоту h от основания полуцилиндра, чтобы шайба еще не соскальзывала. Коэффициент трения между шайбой и полуцилиндром равен 0,8. 8.9. Шар массой 3 кг находится на наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 60°. Равновесие шара достигается за счет трения о плоскость и натяжения нити, прикрепленной одним концом к верхней части шара, а другим – к вершине наклонной плоскости. Найдите силу натяжения нити, если она располагается горизонтально ( 3 = 1,7). 8.10. Найти жесткость системы, состоящей из двух пружин, имеющих жесткости k1 и k2, если пружины соединены: а) параллельно; б) последовательно. 8.11. Между одинаковыми брусками квадратного сечения, лежащими на горизонтальной плоскости, вставлен гладкий клин такой же массы с сечением в виде равностороннего треугольника. При каком коэффициенте трения брусков о плоскость они начнут разъезжаться? 8.12. На горизонтальной поверхности лежит ящик, длина которого равна 60 см. В ящике находится шар массой 2 кг. С какой силой шар будет давить на стенку и дно, если край ящика приподнять на 18 см? Считать, что диаметр шара меньше размеров ящика. 8.13. Лом массой 16 кг и длиной 2 м лежит на ящике шириной 1,6 м, выступая за его край на расстояние 0,4 м. Какую минимальную силу нужно приложить к лому, чтобы приподнять его за край: а) лежащий на ящике; б) выступающий за ящик? 8.14. К стене прислонена лестница массы m под углом α к вертикали. Цент тяжести лестницы находится на расстоянии 1/3 длины от ее верхнего конца. Какую горизонтальную силу нужно приложить к середине лестницы, чтобы верхний ее конец не оказывал давления на стену? 8.15. Лестница длиной 3 метра приставлена к гладкой стене под углом 60° к полу. Максимальная сила трения между лестницей и полом 200 Н. На какую высоту может подняться человек, масса которого 60 кг, прежде чем лестница начнет скользить? Массой лестницы пренебречь.

55

8.16. Лестница опирается о вертикальную стену и горизонтальный пол. Коэффициент R r трения между стеной и лестницей равен 0,4, F между полом и лестницей – 0,5. Определить h наименьший угол наклона лестницы к полу, при котором она может оставаться в равновесии. 8.17. С какой минимальной горизонтальной силой необходимо тянуть колесо радиусом R за ось вращения, чтобы поднять его на ступеньку высотой h (R > h)? Масса колеса равна m. 8.18. Кусок какой длины необходимо отрезать от однородного стержня, чтобы его центр тяжести переместился на 10 см? 8.19. Стержень массой 100 г согнули посередине под углом 120° и подвесили на нити, привязанной к точке сгиба. Груз какой массы (в г) надо прикрепить к концу одной из сторон угла, чтобы другая сторона заняла горизонтальное положение? 8.20. Из однородной круглой пластины, радиус которой R, вырезан круг вдвое меньшего радиуса, касающийся первого круга. На какое расстоянии сместилось положение центра тяжести? Ответы. 8.1. 8 Н·м. 8.2. 1,53 м. 8.3.

mg ⋅ cosα . 2

8.4. 0,225 м.

8.5. 17 кН.

μmg . 8.7. 8 Н. 8.8. 0,39 м. 8.9. 17 Н. 8.10. а) k1 + k2; cos α + μ sin α 1 4 . 8.12. 6 Н, 19 Н. 8.13. 60 Н, 80 Н. 8.14. mg ⋅ tgα . б) k1k2/(k1+ k2). 8.11. 3 3 h(2 R − h) . 8.18. 20 см. 8.19. 25 г. 8.15. 1,5 м. 8.16. arctg 0,8. 8.17. mg R−h R 8.20. . 6

8.6. F <

56

Гидростатика Давление F , (2.28) S где F – сила, с которой жидкость или газ действуют на поверхность; S – площадь поверхности. Закон Паскаля: жидкость передает оказываемое на нее давление во все стороны одинаково. Гидростатическое давление рг = ρж gh, (2.29) где ρж – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; h – глубина, отсчитываемая от поверхности жидкости. Полное давление в жидкости на глубине h складывается из давления у поверхности и гидростатического. Если давление у поверхности равно атмосферному ра, то внутри жидкости оно будет равно р = ра + рг = ра + ρж gh. (2.30) Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной телом: FA = ρж gVвыт, (2.31) где Vвыт – объем жидкости, вытесненной телом. p=

Задачи с решениями 27р) В цилиндрический сосуд налиты ртуть, вода и керосин. Определить общее давление, которое оказывает жидкость на дно сосуда, если объемы всех жидкостей равны, а верхний уровень керосина находится на высоте 12 см от дна сосуда. Атмосферное давление 105Па. Плотность керосина 800 кг/м3, плотность ртути 13,6·103 кг/м3, плотность воды 103кг/м3. Дано: Решение: –2 h = 12·10 м Поскольку ртуть – самое плотное из всех рассматρ р = 13600 кг/м3 риваемых веществ, ее слой будет располагаться на саρ к = 800 кг/м3 мом дне. Выше будет находиться слой воды, а затем – керосин. Общее давление на дно будет состоять из давρ в = 1000 кг/м3 ления атмосферы pa , давления керосина pк , давления pа = 105 Па воды pв и давления ртути pр , то есть: p–? Керосин Вода Ртуть

p = pа + pк + pв + pр . 57

h

По условию объемы всех жидкостей одинаковы, а сосуд цилиндрический, следовательно, высоты всех слоев рассматриваемых жидкостей будут h h h h равны . Тогда pр = ρр g , pв = ρв g , pк = ρк g . Окончательно для давле3 3 3 3 ния p имеем: h p = pа + g ( ρр + ρв + ρк ) . 3 Подстановка исходных значений дает: p = 105 + 10 ⋅ 4 ⋅ 10−2 (13600 + 1000 + 800 ) = 1,06 ⋅ 105 Па. Ответ: 1,06·105 Па. 28р) Тело в воде весит в три раза меньше, чем в воздухе. Чему равна плотность тела? Дано: Решение: T2 = T1/3 Вес – это сила, с которой тело давит на опору или ρ–? растягивает подвес. При решении задач его часто можно моделировать силой натяжения нити, на которой тело подr вешено. В воздухе на тело действуют сила тяжести mg и сила наr r тяжения нити T1 (см. рис.). T1 В соответствии с условием равновесия тела, векторная сумма r mg сил, действующих на него, должна равняться нулю: r r T1 + mg = 0 . r В воде на тело действуют: сила тяжести mg , выталкиr r вающая сила FА и сила натяжения нити T2 . r тело находится в воде в статическом состояrПоскольку T2 r r r нии T2 + mg + FА = 0 . FA В скалярной форме, учитывая направления векторов сил, r получим следующую систему уравнений: mg T1 − mg = 0, FA + T2 − mg = 0. Учтя заданное в условии соотношение между T1 и T2, второе уравнение системы приводится к виду: T1 = mg − FA . 3 Из первого уравнения T1 = mg, тогда величина выталкивающей силы 2 FA = mg . 3 По закону Архимеда FA = ρвVg , где ρ в – плотность воды. Масса рассматриваемого тела m = ρV , 58

здесь ρ – искомая плотность тела. Подстановка полученных выражений в соотношение для FA дает: 2 ρвVg = ρVg . 3 3 3 Отсюда ρ = ρ в = ⋅ 1000 = 1500 кг/м3. 2 2 Ответ: 1500 кг/м3.

29р) Дубовый шар лежит в сосуде с водой так, что половина его находится в воде, и он касается дна. С какой силой шар давит на дно сосуда, если его масса 0,8 кг. Плотность дуба 800 кг/м3. Дано: m = 0,8 кг ρ = 800 кг/м3

Решение: r На шар, лежащий в сосуде, действуют: сила тяжести mg , r r реакция опоры N и выталкивающая сила FА .

N–? По третьему закону Ньютона, с какой силой дно воздействует на шар, с такой же по величине, но направленной противоположно силой шар давит на дно. Следовательно, задача сводится к определению величины силы реакции N. Так как шар покоится векторная сумма всех сил, дейстr mg вующих на него, равна нулю: r r r mg + N + FA = 0 . В скалярной форме с учетом направления векторов этих сил имеем: −mg + N + FA = 0 . r N r FА

Отсюда N = mg − FA . Так как тело погружено в воду лишь на половину своего объема, величина выталкивающей силы по закону Архимеда равна: 1 FA = ρв Vg , 2 где ρв – плотность воды, а V – объем шара, который определяется из известного соотношения m V= . ρ Тогда для определения величины силы давления шара на дно получается выражение: ⎛ ρ ⎞ ρm N = mg − в g = mg ⎜1 − в ⎟ . 2ρ ⎝ 2ρ ⎠ Подстановка исходных значений дает: 59

1000 ⎞ ⎛ N = 0,8 ⋅ 10 ⎜1 − ⎟ = 3 Н. ⎝ 2 ⋅ 800 ⎠ Ответ: 3 Н. Задачи для самостоятельного решения При решении задач принять g = 10 м/с2. 9.1. В подводной части судна на глубине 5 метров образовалось отверстие площадью 0,6 м2. Отверстие закрыто металлическим листом. Какая минимальная сила необходима, чтобы удержать лист изнутри? 9.2. Мальчик ростом 1,2 м ныряет в пруд так, что его вытянутое тело входит в воду под углом 30° к горизонту. Чему равна разность давлений у макушки головы и у пальцев ног мальчика, когда он полностью погрузился в воду? Плотность воды 1000 кг/м3. 9.3. У основания здания давление в водопроводе равно 5⋅105 Па. Каким будет давление воды на пятом этаже (высота 20 м от основания здания)? Плотность воды 1000 кг/м3. 9.4. Аквариум в форме куба наполнен до верха водой. Во сколько раз сила гидростатического давления на дно больше, чем на боковую стенку? 9.5. Какие силы давления испытывает дно и боковая поверхность сосуда с квадратным дном со стороной длиной 2 м? Боковая сторона стенки сосуда составляет угол 30° к вертикали. Высота столба воды в сосуде 10 м. Плотность воды 1000 кг/м3. Атмосферное давление 105 Па. 9.6. В цилиндрический вертикальный сосуд налиты вода и масло в равных массах. Найти общее давление на дно сосуда, если граница раздела воды и масла находится на высоте 10 см от дна. Плотность воды равна 103 кг/м3. Атмосферное давление равно 105 Па. 9.7. Определить выталкивающую силу, действующую на целиком погруженный в воду кусок пробки массой 10 г. Плотность воды 103 кг/м3, плотность пробки 300 кг/м3. 9.8. Кусок сплава плавает в ртути, погружаясь в нее на 75% своего объема. Определить плотность сплава, если плотность ртути 13600 кг/м3. 9.9. На сколько увеличится осадка теплохода у пристани в результате погрузки 24 т груза, если площадь сечения по ватерлинии – 4000 м2? Плотность воды 103 кг/м3. 9.10. Надводная часть айсберга имеет объем 500 м3. Определить объем всего айсберга. Плотность льда – 900 кг/м3, плотность воды – 1000 кг/м3. 9.11. Полый цинковый шар объемом 70 см3 плавает в воде, погружаясь в нее наполовину. Найти объем полости в шаре. Плотность цинка 7000 кг/м3, воды 1000 кг/м3. 9.12. Кусок железа весит в воде 100 Н. Определить его объем, если плотность железа 7,8·103 м3. Плотность воды 1000 кг/м3. 9.13. Кусок алюминия в воздухе весит 27 Н, а в керосине 19 Н. Определить плотность керосина, если плотность алюминия равна 2,7⋅103 кг/м3. 60

9.14. Полый железный шар поочередно взвешивают в воздухе и керосине. Показания динамометра, соответственно, равны 2,59 Н и 2,16 Н. Определить объем внутренней полости шара. Выталкивающей силой в воздухе пренебречь. Плотность керосина 0,8⋅103 кг/м3, железа – 7,8⋅103 кг/м3. 9.15. На плоскую льдину толщиной 0,2 м и площадью 1 м2 положили камень. При этом льдина полностью погрузилась в воду, не касаясь дна. С какой силой камень давит на льдину? Плотность льда 900 кг/м3, воды – 1000 кг/м3. 9.16. Из алюминия (плотность 2700 кг/м3) и железа (плотность 7900 кг/м3) сделали два шарика одинакового объема 1 дм3, связали их длинной легкой нитью и бросили в море. Чему будет равна сила натяжения нити после того, как погружение шаров станет установившимся (т.е. будет происходить с постоянной скоростью)? 9.17. К малому поршню гидравлического пресса приложена сила 200 Н, под действием которой за один ход он опускается на 25 см, вследствие чего большой поршень поднимается на 5 см. Какая сила передается при этом на большой поршень? 9.18. Гидравлический пресс, заполненный водой, имеет поршни сечением 100 и 10 см2. На больший поршень положили груз массой 0,88 кг. На сколько сместился при этом малый поршень? Плотность воды 103 кг/м3. 9.19. Камень массой 10 кг падает в воде с постоянной скоростью. Чему равна сила сопротивления воды этому движению? Плотность камня 2,5⋅103 кг/м3, плотность воды 103 кг/м3. 9.20. Кусок стекла падает в воде с ускорением 6 м/с2. Найти плотность стекла. Трением стекла о воду пренебречь. Ответы. 9.1. 30 кН 9.2. 6 кПа 9.3. 3⋅105 Па. 9.4. В 2 раза. 9.5. 8 ⋅ 105 Н, 6 ⋅ 105 Н 9.6. 1,02⋅105 Па. 9.7. 0,333 Н. 9.8. 10200 кг/м3. 9.9. 6 мм. 9.10. 5000 м3. 9.11. 65 см3. 9.12. 1,47·10-3 м3. 9.13. 800 кг/м3. 3 9.14. 20 см . 9.15. 200 Н. 9.16. 26 Н. 9.17. 1 кН. 9.18. 8 см. 9.19. 60 Н. 9.20. 2,5·103 кг/м3.

61

62

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Справочный материал Наименование мега кило гекто деци санти

Обозначение М к г д с

Десятичные приставки Множитель Наимено- Обозначение Множитель вание 6 10 милли м 10–3 103 микро мк 10–6 2 10 нано н 10–9 –1 10 пико п 10–12 10–2 фемто ф 10–15

g = 10 м/с2 G = 6,7⋅10–11 Н·м2/кг2 R = 8,31 Дж/(моль⋅К) k = 1,38⋅10–23 Дж/К NА = 6⋅1023 1/моль с = 3⋅108 м/c 1 Коэффициент пропорциональности в законе Кулона k= = 9⋅109 Н⋅м2/Кл2 4πε0 e = –1,6⋅10–19 Кл Заряд электрона Постоянная Планка h = 6,6⋅10–34 Дж·с Масса Земли 6⋅1024 кг Масса Солнца 2⋅1030 кг Расстояние между Землей и Солнцем 1 а.е. ≈ 150 млн км ≈ ≈ 1,5⋅1011м Примерное число секунд в году 3⋅107 с Соотношение между единицами измерения температуры 0 К = –273°C Атомная единица массы 1 а.е.м. = 1,66⋅10–27кг 1 атомная единица массы эквивалентна 931,5МэВ 1эВ = 1,6⋅10–19 Дж 1 электрон-вольт Ускорение свободного падения на Земле Гравитационная постоянная Газовая постоянная Постоянная Больцмана Постоянная Авогадро Скорость света в вакууме

Масса частиц:

электрона протона нейтрона

9,1⋅10–31 кг ≈ 5,5⋅10–4 а.е.м. 1,673⋅10–27 кг ≈ 1,007 а.е.м. 1,675⋅10–27 кг ≈ 1,008 а.е.м.

Нормальные условия: давление 105 Па, температура 0°С Плотность: воды 1000 кг/м3 древесины(ели) 450 кг/м3 керосина 800 кг/м3 пробки 250 кг/м3

63

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Кинематика Средняя скорость (средняя путевая скорость) v cp = Прямолинейное равномерное движение S = vt Равнопеременное прямолинейное движение

ΔS S = Δt t

at 2 ; v = v 0 ± at ; 2 ± 2aS = v 2 − v 02

S = v 0t ±

Свободное падение в поле силы тяжести (ось X горизонтальна, ось Y направлена вертикально вверх)

x = x0 + v0 X t

v X = v0 X

y = y0 + v 0 Y t −

g t2 2

vY = v 0Y − g t

1 T Δϕ 2π Угловая скорость ω = , ω= =2πn T Δt

Частота вращения n =

Связь линейной и угловой скорости при вращательном движении v = ω r Центростремительное ускорение aц =

v2 = ω2 r . r

Динамика

Сила упругости Fуп.X = − k x Сила трения скольжения Fтр = μN

Выталкивающая сила FA = ρж gVвыт

r

ur ∑F Работа постоянной силы A = FS cos α A = Fтяги ⋅ v Механическая мощность N ср = Δt Закон изменения механической энергии ΔE = Aнк + Aвн r r Импульс тела p = mv Основное уравнение динамики am =

64

Список литературы 1. Гольдфарб, Н. И. Сборник вопросов и задач по физике / Н. И. Гольдфарб. – М. : Высшая школа, 1983. – 351 с. 2. Демков, В. П. Физика. Теория. Методика. Задачи / В. П. Демков, О. Н. Третьякова. – М. : Высшая школа, 2001. – 669 с. 3. Ильин, С. И. Сборник задач по физике для поступающих в вузы : учебное пособие / С. И. Ильин, В. А. Никитенко, А. П. Прунцев. – М. : Высшая школа, 2001. – 246 с. 4. Павлов, С. В. Сборник конкурсных заданий по физике для поступающих в вузы / С. В. Павлов, И. В. Платонова. – М. : Интеллект-центр, 2001. – 672 с. 5. Гельгафт, И. М. 1001 задача по физике с решениями / И. М. Гельгафт, Л. Э. Генденштейн, Л. А. Кирик. – ИМП «Рубикон», 1997. – 592 с. 6. Бендриков, Г. А. Физика. Задачи для поступающих в вузы : учебное пособие / Г. А. Бендриков, Б. Б. Буховцев, В. В. Керженцев, Г. Я. Мякишев. – М. : Физматлит, 2000. – 400 с. 7. Турчина, Н. В. Физика: 3800 задач для школьников и поступающих в вузы / Н. В. Турчина, Л. И. Рудакова, О. И. Суров [и др.]. – М. : Дрофа, 2000. – 672 с. 8. Гомонова, А. И. Сборник задач по физике. Ч. I. Механика : пособие для поступающих в вузы / А. И. Гомонова, Л. И. Пентьегова, В. А. Плетюшкин, В. А. Погожев. – М. : Издат. отдел УНЦ ДО МГУ, 1995. – 160 с.

65

СОДЕРЖАНИЕ 1 КИНЕМАТИКА .................................................................................................3 Скорость.............................................................................................................3 Равнопеременное движение...........................................................................10 Свободное падение .........................................................................................14 Вращательное движение ................................................................................18 2 ДИНАМИКА ..................................................................................................23 Законы Ньютона ..............................................................................................23 Закон сохранения импульса...........................................................................31 Работа и энергия..............................................................................................36 Статика.............................................................................................................52 Гидростатика ...................................................................................................57 Приложение 1 .......................................................................................................63 Приложение 2 .......................................................................................................64 Список литературы ..............................................................................................65

66

ДЛЯ ЗАМЕТОК

67

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ Механика

Методическое пособие для поступающих в университет

Подписано в печать 26.09.07. Формат 60×841/16. Усл. печ. л. 3,72. Заказ № 122 И. Тираж 600. Информационно-издательский центр ПГУ Пенза, Красная, 40, т.: 56-47-33 68