Три лекции по теории функций Бесселя: Учебно-методическое пособие к курсу ''Методы математической физики''

Êàçàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Â.È.Óëüÿíîâà-Ëåíèíà Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò

ÁÀËÀÊÈÍ À.Á.

ÒÐÈ ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÔÓÍÊÖÈÉ ÁÅÑÑÅËß

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ê êóðñó Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ñïåöèàëüíûå ôóíêöèè. (Êîíñïåêò ëåêöèé)

Êàçàíü - 2009

ÓÄÊ 517.5 Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà ÃÎÓ ÂÏÎ ¾Êàçàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Â.È. Óëüÿíîâà-Ëåíèíà¿ ìåòîäè÷åñêîé êîìèññèè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Ïðîòîêîë N 4 îò 21 ñåíòÿáðÿ 2009 ã. çàñåäàíèÿ êàôåäðû òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè è ãðàâèòàöèè Ïðîòîêîë N 9 îò 18 ñåíòÿáðÿ 2009 ã. Ðåöåíçåíò: äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. ÊÃÓ Þ.Â. Îáíîñîâ Áàëàêèí À.Á. Òðè ëåêöèè ïî òåîðèè ôóíêöèé Áåññåëÿ: Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå

/ À.Á. Áàëàêèí. - Êàçàíü: Êàçàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, 2009. 39 ñ. Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ è àñïèðàíòîâ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Êàçàíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.

c Êàçàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé

óíèâåðñèòåò, 2009 c Áàëàêèí À.Á., 2009

Êðàòêîå ïðåäèñëîâèå

Òåîðèÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ âïðàâå íàçûâàòüñÿ æåì÷óæèíîé

òåîðèè ñïåöè-

, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâûì ýëåìåíòîì êóðñà

àëüíûõ ôóíêöèé

ìàòåìàòè-

.  ñòàâøèõ êëàññè÷åñêèìè ìîíîãðàôèÿõ Ã.Í. Âàòñîíà [1],

÷åñêîé ôèçèêè

Ã.Áåéòìåíà è À.Ýðäåéè [2], Í.Í.Ëåáåäåâà [3], À.Í.Òèõîíîâà è À.À.Ñàìàðñêîãî [4], Í.Ñ.Êîøëÿêîâà, Ý.Á.Ãëèíåðà è Ì.Ì.Ñìèðíîâà [5] ÷èòàòåëü íàéäåò èñ÷åðïûâàþùóþ èíôîðìàöèþ î ôóíêöèÿõ Áåññåëÿ, èõ ñâîéñòâàõ è ïðèëîæåíèÿõ. Îñíîâûâàÿñü íà ñîáñòâåííîì îïûòå ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ñòóäåíòàì ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÊÃÓ, àâòîð ïðåäëàãàåò âíèìàíèþ ñòóäåíòîâ è àñïèðàíòîâ ñâîþ âåðñèþ èçëîæåíèÿ ëåêöèé ïî òåîðèè ôóíêöèé Áåññåëÿ, êîòîðûå, ñ îäíîé ñòîðîíû, íå îòÿãîùåíû èçëèøíåé äåòàëèçàöèåé ñâîéñòâ ýòèõ ôóíêöèé, íî ñ äðóãîé ñòîðîíû ñîäåðæàò âñå ñàìûå âàæíûå è ïðèíöèïèàëüíûå ìîìåíòû, íåîáõîäèìûå â äàëüíåéøåì äëÿ èçó÷åíèÿ ðàçëè÷íûõ àñïåêòîâ .

òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè

3

ËÅÊÖÈß I. Öèëèíäðè÷åñêèå ôóíêöèè êàê ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ 1.1. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå ôóíêöèè Áåññåëÿ

 ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå øèðîêî èçâåñòíû äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, íàçâàííîå â ÷åñòü íåìåöêîãî àñòðîíîìà, ãåîäåçèñòà è ìàòåìàòèêà Ôðèäðèõà Âèëüãåëüìà Áåññåëÿ (Bessel) (1784-1846)  dy  2 d2 y 2 + x + x − ν y = 0, x dx2 dx 2

(1)

è ìîäèôèöèðîâàííàÿ âåðñèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ

x2

 dy  2 d2 y 2 + x − x + ν y = 0. dx2 dx

(2)

Ïðè çàìåíå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x íà −x ñòðóêòóðà ýòèõ óðàâíåíèé îñòàåòñÿ íåèçìåííîé, ïîýòîìó â äàëüíåéøåì áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî èñêîìàÿ ôóíêöèÿ y(x) îïðåäåëåíà íà ïîëîæèòåëüíîé ÷àñòè äåéñòâèòåëüíîé îñè. Ïîñêîëüêó êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè x = 0, ýòà òî÷êà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê îñîáàÿ äëÿ äàííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé [6], à çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y(x) â íóëå èññëåäóþòñÿ ñïåöèàëüíî äëÿ êàæäîãî èç ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ. Øèðîêî èçâåñòíû òàêæå ñàìîñîïðÿæåííàÿ ôîðìà çàïèñè óðàâíåíèÿ (1)

d dy ν2   x + x− y=0 dx dx x 

!



(3)

è óðàâíåíèå ñ èñêëþ÷åííîé ïðîèçâîäíîé ïåðâîãî ïîðÿäêà

ν 2 − 14 d2  Y + 1− dx2 x2 



 Y

= 0,

1 y(x) = √ Y (x) , x

(4)

êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç (1) óêàçàííîé çàìåíîé ôóíêöèè y(x) íà Y (x). Óðàâíåíèå Áåññåëÿ (1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà â îáûêíîâåííûõ ïðîèçâîäíûõ, îáùåå ðåøåíèå êîòîðîãî åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ

y(x) = C1 Zν(1) (x) + C2 Zν(2) (x) 4

(5)

äâóõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé Zν(1) (x) è Zν(2) (x) ñ ïðîèçâîëüíûìè ïîñòîÿííûìè C1 è C2 [6]. Ôóíêöèè Zν(1) (x) è Zν(2) (x) îòíîñÿòñÿ ê êëàññó ñêèõ

öèëèíäðè÷å-

ôóíêöèé, ñàìûìè èçâåñòíûìè ñðåäè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè Áåññå-

ëÿ (Bessel), Âåáåðà-Øëåôëè (Weber, Schl ai), Õàíêåëÿ (Hankel), Ìàêäîíàëüäà (MacDonald), Êåëüâèíà (Kelvin), Íåéìàíà (Neumann), Àíãåðà (Anger), Áóðæå (Bourget), Äæóëèàíè (Giuliani), Ñòðóâå (Struve), Ëîììåëÿ (Lommel) [1,2]. Ïàðàìåòð ν , ïîÿâëÿþùèéñÿ â óðàâíåíèè Áåññåëÿ, íàñëåäóåòñÿ â îáîçíà÷åíèÿõ è íàçûâàåòñÿ

èíäåêñîì

öèëèíäðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Åñëè Zν (x) óäî-

âëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Áåññåëÿ, òî Z−ν (x) òàêæå ÿâëÿåòñÿ åãî ðåøåíèåì, ïîñêîëüêó èñõîäíûå óðàâíåíèÿ ñîäåðæàò ν 2 . Â ñèëó òîãî, ÷òî ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ Zν(1) (x) è Zν(2) (x) ïî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìû, äåòåðìèíàíò Âðîíñêîãî (Wronski)

d (2) d Zν (x) − Zν(2) (x) Zν(1) (x) (6) dx dx îòëè÷åí îò íóëÿ âî âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé. Îïèðàÿñü íà èçâåñòíóþ èç òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ôîðìóëó Ëèóâèëëÿ [6], äåòåðìèíàíò Âðîíñêîãî äëÿ öèëèíäðè÷åñêèõ ôóíêöèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â W[Zν(1) , Zν(2) ] ≡ Zν(1) (x)

âèäå

Cν , (7) x ãäå Cν - ýòî êîíñòàíòà, çàâèñÿùàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, îò èíäåêñà ν . ×òîáû ïðîW(x) =

âåðèòü ýòîò ðåçóëüòàò, íåîáõîäèìî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ îò äåòåðìèíàíòà Âðîíñêîãî, äîìíîæåííîãî íà x, ðàâíà íóëþ: 2 2 d (1) d (2) (2) d  [xW] = W + x Zν Zν − Z ν Zν(1)  = 0 . 2 2 dx dx dx 



(8)

Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âûðàçèòü âòîðûå ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèé Zν(1) è Zν(2) ÷åðåç ïåðâûå ïðîèçâîäíûå è ñàìè ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ (1). 1.2. Ïðåäñòàâëåíèå öèëèíäðè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ îáîáùåííûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ 1.2.1. Ôóíêöèè Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà

Ïðåäñòàâèì ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) â âèäå ðÿäà

y(x) = xσ ·

∞ X m=0

5

am x m .

(9)

Ìíîæèòåëü xσ ñ íåèçâåñòíûì ïîêà çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà σ îïðåäåëÿåò ïîâåäåíèå äàííîãî ðåøåíèÿ â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè x = 0. Ðàçëîæåíèå (9) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Áåññåëÿ, åñëè äëÿ ëþáîãî x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå  ∞ X h xσ  xm am (σ m=0

+ m)2 − ν 2 + i

∞ X m=0

 

xm+2 am  = 0 .

(10)

 ñèëó ôóíêöèîíàëüíîé íåçàâèñèìîñòè ñòåïåííûõ ôóíêöèé ñ ðàçëè÷íûìè ïîêàçàòåëÿìè ðàâåíñòâî (10) îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì, åñëè êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ am ñâÿçàíû ðåêóððåíòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè (11)

a0 σ 2 − ν 2 = 0 (m = 0) , h

i

a1 (σ + 1)2 − ν 2 = 0 h

i

am (σ + m)2 − ν 2 + am−2 = 0 h

i

(12)

(m = 1) ,

(13)

(m ≥ 2) .

Îáðàòèì âíèìàíèå íà òîò ôàêò, ÷òî ïðè σ = − 12 êâàäðàòíûå ñêîáêè â (11) è (12) ñîâïàäàþò, ïîýòîìó ïðè èññëåäîâàíèè îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé (11)-(13) åñòåñòâåííî âûäåëèòü ñëåäóþùèå òðè ñëó÷àÿ. (i) a0 6= 0, σ 6= − 21 .  ýòîì ñëó÷àå èç (11) ñëåäóåò, ÷òî σ = ±ν , ñîîòíîøåíèå (12) ïðèíèìàåò âèä

a1 (2σ + 1) = 0, îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî a1 = 0. Òîãäà â ñèëó (13) âñå êîýôôèöèåíòû ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè îáðàùàþòñÿ â íóëü, a2m+1 = 0, è èñêîìîå ðàçëîæåíèå ïðèíèìàåò âèä

y(x) → x±ν a0 + a2 x2 + ... + a2m x2m + ... . 

(14)



(ii) a1 6= 0, σ 6= − 21 .  ýòîì ñëó÷àå èç (12) ñëåäóåò, ÷òî σ=−1 ± ν , ñîîòíîøåíèå (11) ïðèíèìàåò âèä a0 (2σ+1)=0 è, ñëåäîâàòåëüíî, a0 = 0, a2m = 0, è èñêîìîå ðàçëîæåíèå ïðåâðàùàåòñÿ â

y(x) → x±ν−1 a1 x + a3 x3 + ... + a2m+1 x2m+1 + ... . 



(15)

Î÷åâèäíî, ýòî ðàçëîæåíèå îòëè÷àåòñÿ îò (14) òîëüêî ôîðìàëüíîé çàìåíîé êîýôôèöèåíòîâ a2m ← · → a2m+1 . Èíûìè ñëîâàìè, åñëè σ = ±ν 6= − 21 , òðåáîâàíèÿ a0 6= 0 è a1 6= 0 äàþò èäåíòè÷íûé ðåçóëüòàò. 6

(iii) σ = − 12 .  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (11) è (12) ïðèâîäÿòñÿ ê âèäó a0 ν 2 −

= 0, a1 ν 2 − 14 = 0. Åñëè a0 6= 0 è ν = ±1/2 èëè a1 6= 0 è ν = ±1/2, òî ïðåäûäóùèå ëîãè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ íåñïðàâåäëèâû. Àíàëèç âûäåëåííîãî ñëó÷àÿ ν 2 = 41 óäîáíî óïðîñòèòü, îáðàòèâøèñü ê óðàâíåíèþ (4). Î÷åâèäíî, ÷òî îáùåå h

h

1 4

i

i

ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ (1) âûðàæàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè

cos x sin x y(x) = C1 √ + C2 √ , x x ïîäðîáíûé àíàëèç ýòîãî ñëó÷àÿ ìû ïðîâåä¼ì â ðàçäåëå 2.1.3.

(16)

Âåðíåìñÿ ê ðåêóððåíòíûì ñîîòíîøåíèÿì (13), âûáåðåì äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå σ=+ν è áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûì íóëþ êîýôôèöèåíò a1 . Òîãäà âñå êîýôôèöèåíòû ñ ÷åòíûìè íîìåðàìè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç

a0 :

a2m−2 a2m−4 2 =(−1) = ... 22 m(ν+m) 24 m(m−1)(ν+m)(ν+m−1) a0 = (−1)m 2m . (17) 2 m! (ν+m)(ν+m−1)...(ν+1) Äëÿ òîãî, ÷òîáû îáîñíîâàòü âûáîð ñâîáîäíîãî ïàðàìåòðà a0 , âñïîìíèì îïðåa2m =(−1)

äåëåíèå è íåêîòîðûå ñâîéñòâà ãàììà-ôóíêöèè Γ(ν). ÑÏÐÀÂÊÀ Î ÃÀÌÌÀ ÔÓÍÊÖÈßÕ

Ãàììà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà (Euler) îïðåäåëåíà íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì

Γ(ν) ≡

Z∞

dt e−t tν−1 ,

(18)

0

êîòîðûé ñõîäèòñÿ ïðè ν > 0 (çäåñü è íèæå àðãóìåíò ãàììà-ôóíêöèè ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà). Èç ïåðâîãî çàìå÷àòåëüíîãî ñâîéñòâà ýòîé ôóíêöèè [2,3]

Γ(ν + 1) = νΓ(ν)

(19)

ñëåäóåò, ÷òî ïðè öåëîì çíà÷åíèè ν = m ãàììà-ôóíêöèÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ôàêòîðèàë

Γ(m + 1) = m! .

(20)

Ïðè m = 0 ïîëó÷àåì, â ÷àñòíîñòè, ÷òî Γ(1) = 1. Ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì èíòåãðàëà (18) íàõîäèì òàêæå, ÷òî Γ

  1 2

=

7

√

π . Âòîðîå çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî

ãàììà-ôóíêöèè

π (21) sin πν ïîçâîëÿåò, â ÷àñòíîñòè, çàìåòèòü, ÷òî Γ(1)Γ(0)= sinπ π , èëè Γ(0)=∞. Òîãäà èç ïåðâîãî ñâîéñòâà ñëåäóåò, ÷òî Γ(ν)Γ(1 − ν) =

Γ(0) Γ(−m + 1) = ... = (−1)m = ∞. (22) −m m! Ó÷èòûâàÿ ïåðå÷èñëåííûå ñâîéñòâà ãàììà-ôóíêöèé, âûáåðåì a0 â âèäå Γ(−m) =

a0 =

1 2ν Γ(ν + 1)

(23)

è ïðèâåäåì êîýôôèöèåíòû a2m â (17) ê êîìïàêòíîìó âèäó

a2m = (−1)m

1 . Γ(m+1) Γ(ν+m+1)

22m+ν

(24)

 ðåçóëüòàòå òàêèõ ïîñòðîåíèé ìû ïîëó÷èëè ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà èíäåêñà ν

Jν (x) =

∞ X

(−1)m

m=0

 2m+ν x 2

Γ(m+1)Γ(ν+m+1)

(25)

.

Ôîðìàëüíàÿ çàìåíà ν íà −ν äàåò ôóíêöèþ Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà îòðèöàòåëüíîãî èíäåêñà −ν

J−ν (x) =

∞ X

(−1)m

m=0

 2m−ν x 2

Γ(m+1)Γ(−ν+m+1)

.

(26)

Ôóíêöèè Jν (x) è J−ν (x) îòíîñÿòñÿ ê êëàññó öèëèíäðè÷åñêèõ ôóíêöèé, ïîñêîëüêó ñîãëàñíî ïðèíöèïó èõ ïîñòðîåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ Áåññåëÿ. Ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû, ïðåäñòàâëÿþùèå ôóíêöèè Áåññåëÿ (25) è (26), àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ íà ïîëîæèòåëüíîé ÷àñòè äåéñòâèòåëüíîé îñè. ×òîáû äîêàçàòü ýòîò ôàêò, èñïîëüçóåì ïðèçíàê Äàëàìáåðà (D'Alembert) è âû÷èñëèì ïðåäåë ìîäóëÿ îòíîøåíèÿ âåëè÷èíû ïîñëåäóþùåãî ñëàãàåìîãî â ñóììå (25) ê âåëè÷èíå ïðåäûäóùåãî: q(x)= m→∞ lim

x = 2

x 2

!2

!2

lim

m→∞



m! Γ(ν+m+1) = (m+1)! Γ(ν+m+2)

1 = 0. (m+1)(ν+m+1) 8

(27)

Ýòîò ïðåäåë ðàâåí íóëþ, òî åñòü, îí ìåíüøå åäèíèöû äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî çíà÷åíèÿ x, ÷òî è äîêàçûâàåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿäà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îòâåòèòü íà âîïðîñ: ìîãóò ëè ôóíêöèè Jν (x) è J−ν (x) áûòü âûáðàíû â êà÷åñòâå ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ, íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü îáðàùàåòñÿ ëè â íóëü îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî. Ýòà çàäà÷à ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ (7) ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ êîíñòàíòû Cν ïî ñëåäóþùåìó èçâåñòíîìó ðåöåïòó:

d d Cν = xW = lim x Jν J−ν − J−ν Jν x→0 dx dx (

"

#)

.

(28)

Ïîñêîëüêó ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ ïåðâûìè ñëàãàåìûìè â ðàçëîæåíèÿõ (25) è (26)

x Jν (x → 0) ' 2

!ν

1 , Γ(ν+1)

x J−ν (x → 0) ' 2

!−ν

1 , Γ(−ν+1)

(29)

äàííàÿ êîíñòàíòà ëåãêî íàõîäèòñÿ ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì

Cν = −

2ν 2 = − sin πν . Γ(ν+1)Γ(−ν+1) π

(30)

Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî W[Jν , J−ν ] îáðàùàåòñÿ â íóëü, åñëè

sin πν = 0, òî åñòü, èíäåêñ ôóíêöèè Áåññåëÿ ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì ν = n. Óñòàíîâèòü ýòîò ôàêò ìîæíî è èíà÷å. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Áåññåëÿ öåëîãî îòðèöàòåëüíîãî èíäåêñà J−n (x).  ñèëó ñâîéñòâà (22) ãàììà-ôóíêöèè ñ îòðèöàòåëüíûì àðãóìåíòîì ïðèíèìàþò áåñêîíå÷íî áîëüøèå çíà÷åíèÿ, îáðàùàÿ â íóëü ñîîòâåòñòâóþùèå ñëàãàåìûå â ðàçëîæåíèè (26). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóììèðîâàíèå â äàííîì ðÿäå ðåàëüíî íà÷èíàåòñÿ ñî çíà÷åíèÿ m = n:

J−n (x) =

∞ X

(−1)m

m=n

 2m−n x 2

Γ(m+1)Γ(−n+m+1)

.

(31)

Ââîäÿ íîâûé èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ l = m − n, ïåðåïèøåì äàííóþ ôîðìóëó â âèäå

J−n (x) =

∞ X

(−1)l+n

 2l+n x 2

Γ(l+1)Γ(n+l+1) îòêóäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò ëèíåéíîå ñîîòíîøåíèå

,

(32)

l=0

J−n (x) = (−1)n Jn (x) . Ôóíêöèè Áåññåëÿ Jn (x) è J−n (x) öåëîãî èíäåêñà ëèíåéíî çàâèñèìû. 9

(33)

1.2.2. Ôóíêöèè Áåññåëÿ âòîðîãî ðîäà - ôóíêöèè Âåáåðà-Øëåôëè

Ôóíêöèè Áåññåëÿ öåëîãî èíäåêñà Jn è J−n ëèíåéíî çàâèñèìû è ïîòîìó íå îáðàçóþò ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ ñ ν 2 =

n2 . Äëÿ òîãî, ÷òîáû îáîéòè ýòó ïðîáëåìó, áûëè ââåäåíû òàê íàçûâàåìûå ôóíêöèè Áåññåëÿ âòîðîãî ðîäà Yν (x) êàê ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ñëåäóþùåãî âèäà cos πνJν (x) − J−ν (x) . (34) Yν (x) ≡ sin πν Î÷åâèäíî, ÷òî â ñèëó ëèíåéíîñòè óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ ôóíêöèÿ Yν (x), êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ðåøåíèé, òàêæå ÿâëÿåòñÿ åãî ðåøåíèåì. Ýòè ôóíêöèè ïðèíÿòî íàçûâàòü èìåíàìè Âåáåðà è Øëåôëè. Òåðìèí ôóíêöèè Íåéìàíà, ââåäåííûé äëÿ ýòèõ ôóíêöèé, íàïðèìåð, â ó÷åáíèêå [4], ïî-âèäèìîìó, íåäîñòàòî÷íî îáîñíîâàí ñ èñòîðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ [1,5]. Äåòåðìèíàíò Âðîíñêîãî, ïîäñ÷èòàííûé äëÿ ïàðû ôóíêöèé Jν (x) è Yν (x):

1 2 W [Jν (x), J−ν (x)] = , (35) sin πν πx íå îáðàùàåòñÿ â íóëü íè ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ èíäåêñîâ. Ïîýòîìó îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ (1) äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ èíäåêñà ν ñòàíäàðòíî ïðåäW [Jν (x), Yν (x)] = −

ñòàâëÿåòñÿ â âèäå (36)

y(x) = C1 Jν (x) + C2 Yν (x) .

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ÿâíî ïðåäñòàâèòü ðàçëîæåíèå ôóíêöèé Yn (x), îáû÷íî ïîëüçóþòñÿ ïðåäåëîì Yn = ν→n lim Yν .  ýòîì ïðåäåëå cos πν → (−1)n , sin πν → 0, ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (33) ïîëó÷àåì íåîïðåäåëåííîñòü òèïà 0 0.

Âîñïîëüçîâàâøèñü ïðàâèëîì Ëîïèòàëÿ (L'Hospital)

∂ 1 1 ∂ lim −π tan πν Jν (x) + Jν (x) − J−ν (x) , Yn (x) = ν→n π ∂ν cos πν ∂ν èñêîìóþ ôóíêöèþ ïðèâîäÿò ê ñëåäóþùåìó ñòàíäàðòíîìó âèäó "

#

x 2 1 Yn (x) = Jn (x) log − π 2 π !

 2m+n x m 2

n−1 X m=0

x 2

!2m−n

(37)

(n−m−1)! − m!

∞ 1 X Γ0 (m+1) Γ0 (n+m+1)   − (−1) + . (38) π m=0 m!(m+n)! Γ(m+1) Γ(n+m+1) Çäåñü è äàëåå øòðèõ ñèìâîëèçèðóåò ïðîèçâîäíóþ îò óêàçàííîé ôóíêöèè ïî å¼ àðãóìåíòó. Âûâîä ýòîé ôîðìóëû íå âõîäèò â îáÿçàòåëüíóþ ÷àñòü íàøåé 

10



ïðîãðàììû, îäíàêî (38) èëëþñòðèðóåò âàæíîå ñâîéñòâî ôóíêöèé Yn (x): âñå îíè íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàþò ïðè x → 0. Óìåñòíî íàïîìíèòü, ÷òî äëÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ: J0 (0) = 1 (ïðè n = 0) è Jn (0) = 0, J−n (0) = ∞, åñëè n ≥ 1. Äëÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ âòîðîãî ðîäà

Yn (0) = ∞ ïðè n ≥ 1 èç-çà âòîðîãî ñëàãàåìîãî â (38), à Y0 (0) = −∞ èç-çà íàëè÷èÿ ëîãàðèôìà â ïåðâîì ñëàãàåìîì ýòîé ôîðìóëû. 1.2.3. Ôóíêöèè Áåññåëÿ òðåòüåãî ðîäà - ôóíêöèè Õàíêåëÿ

Ôóíêöèè Áåññåëÿ òðåòüåãî ðîäà, îïðåäåëåííûå ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Hν(1) (x) ≡ Jν + iYν (x) =

i i h Jν (x)e−iπν − J−ν (x) , sin πν

(39)

i i h J−ν (x) − Jν (x)eiπν , (40) sin πν îêàçàëèñü âåñüìà ïîëåçíûìè ïðè àíàëèòè÷åñêîì ïðîäîëæåíèè ôóíêöèé Áåññåëÿ â êîìïëåêñíóþ îáëàñòü x → z = x + iy .  äàííîì êóðñå ëåêöèé ôóíêöèè Õàíêåëÿ ïðèâîäÿòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî â ñïðàâî÷íûõ öåëÿõ. Ïîä÷åðêíåì òîëüêî îäíî çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî ýòèõ ôóíêöèé:

Hν(2) (x) ≡ Jν − iYν (x) =

(1)

H−ν (x) = eiπν Hν(1) (x) ,

(2)

H−ν (x) = e−iπν Hν(2) (x) ,

(41)

óêàçûâàþùåå íà ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî çàìåíû èíäåêñà ν íà −ν . 1.2.4. Ôóíêöèè Áåññåëÿ ìíèìîãî àðãóìåíòà

Ìîäèôèöèðîâàííîå óðàâíåíèå Áåññåëÿ (2) ìîæíî ôîðìàëüíî ïîëó÷èòü èç óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ (1) çàìåíîé x íà ix, ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ Áåññåëÿ

Jν (ix) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2). Îäíàêî, äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðåäñòàâèòü îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2) ñ ïîìîùüþ äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé (42)

y(x) = C1 Iν (x) + C2 Kν (x) ,

áûëè ââåäåíû ôóíêöèè Áåññåëÿ ìíèìîãî àðãóìåíòà Iν (x) è Kν (x) ïî ñëåäóþùèì ïðàâèëàì:

Iν (x) ≡ i−ν Jν (ix) =

∞ X

 ν+2m x 2

m=0

Γ(m+1)Γ(ν+m+1)

11

,

(43)

π [I−ν (x) − Iν (x)] . (44) 2 sin πν Ôóíêöèè Kν (x) áîëåå èçâåñòíû êàê ôóíêöèè Ìàêäîíàëüäà; îíè íàøëè øèðîêîå ïðèìåíåíèå â ñòàòèñòè÷åñêîé òåîðèè ðåëÿòèâèñòñêèõ ñèñòåì. Ôóíêöèè Ìàêäîíàëüäà ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè ôóíêöèÿìè èíäåêñà ν , ïîñêîëüêó èìååò ìåñòî çàìå÷àòåëüíîå ñîîòíîøåíèå K−ν (x) = Kν (x). Ôóíêöèè Iν (x) îáëàäàþò Kν (x) =

ïîäîáíîé ñèììåòðèåé: In (x) = I−n (x), íî òîëüêî ïðè öåëîì çíà÷åíèè èíäåêñà

ν = n. 1.3. Çàìå÷àíèå î äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ, ñâîäÿùèõñÿ ê óðàâíåíèÿì Áåññåëÿ

 ôèíàëå ïåðâîé ëåêöèè ñëåäóåò óïîìÿíóòü î òðåõ òèïàõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ñâîäÿòñÿ ê óðàâíåíèþ Áåññåëÿ çàìåíîé àðãóìåíòà, çàìåíîé ôóíêöèè èëè êîìáèíàöèåé ýòèõ äâóõ çàìåí. 1.3.1. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

x2 y 00 + xy 0 + (λ2 x2 − ν 2 )y = 0 ,

(45)

îòëè÷àþùååñÿ îò (1) òîëüêî ìíîæèòåëåì λ2 ïåðåä x2 , èìååò îáùåå ðåøåíèå âèäà

y(x) = C1 Jν (λx) + C2 Yν (λx) .

(46)

1.3.2. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

x2 y 00 + axy 0 + (x2 − ν 2 )y = 0 ,

(47)

îòëè÷àþùååñÿ îò (1) òîëüêî ìíîæèòåëåì a ïåðåä ïðîèçâîäíîé ïåðâîãî ïîðÿäêà, çàìåíîé

y(x) = x

1−a 2

Z(x)

(48)

ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ Áåññåëÿ

x2 Z 00 + xZ 0 + (x2 − µ2 )y = 0

(49)

ñ ïàðàìåòðîì

1 µ2 ≡ ν 2 + (a − 1)2 . 4 Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (47) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå y(x) = x

1−a 2

[C1 Jµ (x) + C2 Yµ (x)] . 12

(50)

(51)

1.3.3 Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

x2 y 00 + axy 0 + (λ2 x2k + c)y = 0 ,

k 6= 0 ,

λ 6= 0 ,

(52)

î÷åâèäíî, èìååò îáùåå ðåøåíèå

y(x) = x

1−a 2

"

λ k λ x + C2 Yµ xk k k !

C1 Jµ

!#

,

(53)

ãäå ïàðàìåòð µ îïðåäåëåí ðàâåíñòâîì

µ≡

1q (1 − a)2 − 4c . 2k

(54)

Î äðóãèõ óðàâíåíèÿõ, ñâîäÿùèõñÿ ê óðàâíåíèþ Áåññåëÿ, ìîæíî ïðî÷èòàòü â ôóíäàìåíòàëüíîì ñïðàâî÷íèêå [6]. Äëÿ òåõ, êòî èíòåðåñóåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì ôóíêöèé Áåññåëÿ â òåðìèíàõ ðåøåíèé ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ðåêîìåíäóþ èçó÷èòü ìîíîãðàôèþ [7].

13

ËÅÊÖÈß II. Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ, ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ è ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ 2.1. Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé Áåññåëÿ ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé 2.1.1. Âûâîä ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé

Òðè ôóíêöèè Áåññåëÿ îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà ñ èíäåêñàìè, îòëè÷àþùèìèñÿ íà åäèíèöó, Jν−1 (x), Jν (x) è Jν+1 (x), ñâÿçàíû ëèíåéíûì ñîîòíîøåíèåì, êîòîðîå ïðèíÿòî íàçûâàòü ðåêóððåíòíûì. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ýòî ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå, ïðîäåëàåì ñëåäóþùóþ öåïî÷êó îïåðàöèé. Âîïåðâûõ, íàéäåì ïðîèçâîäíóþ îò ïðîèçâåäåíèÿ xν Jν (x) è ïðåîáðàçóåì å¼ ñ ïîìîùüþ ïåðâîãî ñâîéñòâà ãàììà-ôóíêöèè:  2m+2ν

x ∞ 2ν d ν d X m 2 (−1) [x Jν (x)] = = dx dx m=0 Γ(m+1)Γ(ν+m+1)

=

∞ X

(−1)m

m=0

 2m+2ν−1 x 2

Γ(m+1)Γ(ν+m)

= xν Jν−1 (x) .

(55)

Åñëè ïðîäåëàòü àíàëîãè÷íóþ îïåðàöèþ ñ ïðîèçâåäåíèåì x−ν Jν (x), òî ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà è ôîðìóëà (55) äàþò ñëåäóþùóþ ïàðó äèôôåðåíöèàëüíûõ ñîîòíîøåíèé:

d ν [x Jν (x)] = xν Jν−1 (x) , dx

i d h −ν x Jν (x) = −x−ν Jν+1 (x) . dx

(56)

Âûïîëíèâ äèôôåðåíöèðîâàíèå è ðàçäåëèâ ïåðâîå è âòîðîå ðàâåíñòâà, ñîîòâåòñòâåííî, íà xν è x−ν , âûðàçèì ïðîèçâîäíóþ îò ôóíêöèè Áåññåëÿ

ν Jν0 (x) = Jν−1 (x) − Jν (x) , x

ν Jν0 (x) = −Jν+1 (x) + Jν (x) . x

(57)

Ñêëàäûâàÿ è âû÷èòàÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì äâà ñîîòíîøåíèÿ

2Jν0 (x) = Jν−1 (x)−Jν+1 (x) ,

Jν−1 (x)+Jν+1 (x) =

2ν Jν (x) . x

(58)

Ïåðâîå èç íèõ ïîçâîëÿåò âûðàçèòü ïðîèçâîäíóþ îò ôóíêöèè Áåññåëÿ èíäåêñà

ν ÷åðåç ôóíêöèè èíäåêñîâ ν+1 è ν−1. Âòîðîå èç ðàâåíñòâ (58) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èñêîìîå ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå. 14

Èç äèôôåðåíöèàëüíûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ (56) âûòåêàþò äâà âàæíûõ ñëåäñòâèÿ. Âî-ïåðâûõ, ðàçäåëèì ñîîòíîøåíèÿ (56) íà x, ïðîäèôôåðåíöèðóåì èõ åùå ðàç, çàòåì ïîâòîðèì óêàçàííóþ îïåðàöèþ íóæíîå ÷èñëî ðàç. Òîãäà î÷åâèäíûìè ñòàíîâÿòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ

k -ãî ïîðÿäêà −1

x

d dx

!k

[xν Jν (x)] = xν−k Jν−k (x) ,

i d k h −ν x Jν (x) = (−1)k x−ν−k Jν+k (x) . (59) x dx Âî-âòîðûõ, èíòåãðèðóÿ ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ (56), ïîëó÷èì èçâåñòíûå íåîïðåäåëåííûå èíòåãðàëû !

−1

Z

dx xν Jν−1 (x) = xν Jν (x) ,

Z

dx x−ν Jν+1 (x) = −x−ν Jν (x) .

(60)

Ôóíêöèè Áåññåëÿ âòîðîãî ðîäà Yν (x) ïîä÷èíÿþòñÿ òåì æå áàçîâûì äèôôåðåíöèàëüíûì ñîîòíîøåíèÿì (56), ÷òî è ôóíêöèè Jν (x). Äëÿ òîãî, ÷òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, äîñòàòî÷íî âçÿòü îïðåäåëåíèå (34), âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè (56) ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî sin πν = − sin π(ν − 1) è cos πν = − cos π(ν − 1). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå îñòàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ (57)-(60) òàêæå íå ìåíÿþò ñâîåãî âèäà ïðè çàìåíå Jν íà Yν . Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ Iν (x), - ôóíêöèé Áåññåëÿ ìíèìîãî àðãóìåíòà, ïîëó÷àþòñÿ àíàëîãè÷íî, íî òåïåðü îíè îñíîâûâàþòñÿ íà äèôôåðåíöèðîâàíèè ôîðìóëû (43). Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïîÿâëÿþùèåñÿ îòëè÷èÿ ñâÿçàíû ñ èçìåíåíèåì çíàêà âî âòîðîì ðàâåíñòâå (56):

d ν [x Iν (x)] = xν Iν−1 (x) , dx 2Iν0 (x) = Iν−1 (x)+Iν+1 (x) , x

−1

d dx

d x−1 dx Z

!k

!k

i d h −ν x Iν (x) = x−ν Iν+1 (x) , dx

Iν−1 (x)−Iν+1 (x) =

2ν Iν (x) , x

[xν Iν (x)] = xν−k Iν−k (x) ,

x−ν Iν (x) = x−ν−k Iν+k (x) ,

h

dx xν Iν−1 (x) = xν Iν (x) ,

i

Z

15

dx x−ν Iν+1 (x) = x−ν Iν (x) .

(61)

Èç (61) ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ (44) è ðàâåíñòâà sin πν=− sin π(ν−1) ïîëó÷àåì àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ôóíêöèé Ìàêäîíàëüäà Kν (x):

d ν [x Kν (x)] = −xν Kν−1 (x) , dx

i d h −ν x Kν (x) = −x−ν Kν+1 (x) , dx

(62)

2ν Kν (x) , x

(63)

−2Kν0 (x) = Kν−1 (x)+Kν+1 (x) , x

−1

−1

x Z

d dx

d dx

!k

Kν+1 (x)−Kν−1 (x) =

[xν Kν (x)] = (−1)k xν−k Kν−k (x) ,

(64)

x−ν Kν (x) = (−1)k x−ν−k Kν+k (x) ,

(65)

!k h

i

dx xν Kν−1 (x) = −xν Kν (x) ,

Z

dx x−ν Kν+1 (x) = −x−ν Kν (x) .

(66)

Ôîðìóëû (61)-(66) ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîâåðèòü ñàìîñòîÿòåëüíî. 2.1.2. Ïðèëîæåíèå ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé ê ôóíêöèÿì Áåññåëÿ öåëîãî èíäåêñà (ν = n)

Èñïîëüçóÿ ðåêóððåíòíûå

ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷åííûå â

ïðåäûäóùåì

ðàçäåëå, ëþáóþ ôóíêöèþ Jn (x) öåëîãî èíäåêñà ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç Jn−1 (x) è Jn−2 (x).  ñâîþ î÷åðåäü Jn−1 (x) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç Jn−2 (x) è Jn−3 (x) è òàê äàëåå.  ðåçóëüòàòå ôóíêöèÿ Áåññåëÿ Jn (x) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ äâóõ ôóíêöèé J0 (x) è J1 (x):

1 1 J0 (x) + Qn−1 J1 (x) , x x !

Jn (x) = Pn−2 â êîòîðîé ñèìâîëàìè

  Pn−2 x1

è

!

  Qn−1 x1

(67)

îáîçíà÷åíû ïîëèíîìû ñîîòâåòñòâó-

þùåé ñòåïåíè îò îáðàòíîé âåëè÷èíû àðãóìåíòà. Ñòðóêòóðà ýòèõ ïîëèíîìîâ ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíîé, åñëè ïðèâåñòè íåñêîëüêî ïðèìåðîâ äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé

n:

2 J2 (x) = −J0 (x) + J1 (x) , x ! 4 8 J3 (x) = − J0 (x) + −1 + 2 J1 (x) , ... (68) x x Åñëè ìû èìååì äåëî ñ ôóíêöèåé Áåññåëÿ îòðèöàòåëüíîãî èíäåêñà J−n , òî ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ (33) îíà ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê Jn , à çàòåì ïðåäñòàâëåíà

16

ðàçëîæåíèåì (67). Íàêîíåö, îòìåòèì, ÷òî âòîðîå èç ñîîòíîøåíèé (57) ïðè

ν = 0 äàåò âàæíîå ñëåäñòâèå: J1 (x) = −J00 (x) .

(69)

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå ôóíêöèè Áåññåëÿ öåëîãî èíäåêñà ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû ñîîòíîøåíèåì òèïà (67) ñ ïîìîùüþ åäèíñòâåííîé ôóíêöèè íóëåâîãî èíäåêñà

J0 (x) =

 2m x m 2 (−1) (m!)2 m=0 ∞ X

(70)

è å¼ ïðîèçâîäíîé ïåðâîãî ïîðÿäêà. 2.1.3. Ôóíêöèè Áåññåëÿ ïîëóöåëîãî èíäåêñà (ν=n+ 12 )

Ñîãëàñíî ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ (58) âñå ôóíêöèè Áåññåëÿ ïîëóöåëîãî èíäåêñà Jn+ 1 (x) ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû êàê ëèíåéíûå êîìáèíàöèè 2

äâóõ ôóíêöèé J (x) è J− 1 (x), â ÷àñòíîñòè, 1 2

2

1 J 32 (x) = −J− 21 (x) + J 12 (x) , x ! 3 3 J 52 (x) = 2 − 1 J 21 (x) − J− 21 (x) , ... (71) x x Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðåøåíèå (16), ñîãëàñíî êîòîðîìó ôóíêöèè Áåññåëÿ J 1 (x) è J− 1 (x) ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå 2 2 ôóíêöèè, ïîëó÷èì, ÷òî âñå Jn+ 1 (x) âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíê2

öèè. Èìåííî ýòî çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî âûäåëÿåò ôóíêöèè Áåññåëÿ ïîëóöåëîãî èíäåêñà ñðåäè îñòàëüíûõ ôóíêöèé ýòîãî âèäà è ïðåäîñòàâëÿåò ÿâíóþ âîçìîæíîñòü ïðîèëëþñòðèðîâàòü íà èõ ïðèìåðå âñå îñíîâíûå ñâîéñòâà ôóíêöèé Áåññåëÿ. Ôóíêöèÿ J 1 (x) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðÿäîì 2

 2m+ 1 x 2 m 2   (−1) J 12 (x)= 3 Γ(m+1)Γ +m m=0 2 ∞ X

.

(72)

Äëÿ òîãî, ÷òîáû îáíàðóæèòü â í¼ì ðàçëîæåíèå çíàêîìîé ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè, âû÷èñëèì îòäåëüíî âåëè÷èíó

2

2m+1

3 Γ(m+1) Γ +m . 2 !

17

(73)

Ðàñêðûâ ãàììà-ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (19), (20) 2m+1

2

"

[1 · 2 · · · (m − 1) · m]

1 1 3 1 1 m+ · m− · · · · · Γ 2 2 2 2 2 !

!

!#

(74)

è ðåîðãàíèçîâàâ ïðîèçâåäåíèå ñ ïîìîùüþ ìíîæèòåëÿ 22m+1 ê âèäó

2 · 4 · · · 2(m−1) · 2m · (2m+1) · (2m−1) · · · 3 · 1 ·

√

√ π= π(2m+1)! ,

(75)

ïîëó÷àåì, ÷òî ïðåîáðàçîâàííûé ðÿä ñâîäèòñÿ ê ôóíêöèè sin x, à ñàìà ôóíêöèÿ Áåññåëÿ ïðèíèìàåò âèä

J 12 (x) =

v u u t

v u

2m+1 u 2 m x (−1) = t sin x . (2m+1)! πx m=0 ∞ X

2 πx

(76)

Àíàëîãè÷íàÿ ïðîöåäóðà ïðèâîäèò ê ôîðìóëå äëÿ J− 1 (x): 2

J− 12 (x) =

v u u t

2 πx

x2m (−1) = (2m)! m=0 ∞ X

m

v u u t

2 cos x . πx

(77)

Ôóíêöèè Âåáåðà-Øëåôëè (34) ïðè ν= 12 ñâîäÿòñÿ ê íàéäåííûì ôóíêöèÿì:

Y 12 (x) = −J− 12 (x) = −

v u u t

2 cos x , πx

Y− 21 (x) = J 12 (x) =

v u u t

2 sin x , πx

(78)

à ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèè Õàíêåëÿ (39), (40) ïðèíèìàþò âèä (1)

H 1 (x) = −i

v u u t

2

2 ix e , πx

(2)

H 1 (x) = i

v u u t

2

v u u t

2 −ix e , πx

v u

u 2 2 ix (1) (2) H− 1 (x) = e , H− 1 (x) = t e−ix . (79) 2 2 πx πx Ïîâòîðÿÿ óêàçàííûå âû÷èñëåíèÿ äëÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ ìíèìîãî àðãóìåíòà, îáíàðóæèâàåì, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ I 1 (x) è I− 1 (x) äîñòàòî÷íî çàìåíèòü òðè2 2

ãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè íà ãèïåðáîëè÷åñêèå â ôîðìóëàõ (76), (77):

I 21 (x) =

v u u t

2 sinh x , πx

I− 12 (x) =

v u u t

2 cosh x . πx

(80)

Íàêîíåö, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (44) ïîëó÷èì ôóíêöèè Ìàêäîíàëüäà: s

K 12 = K− 12 = 18

π −x e . 2x

(81)

Âòîðîå äèôôåðåíöèàëüíîå ñîîòíîøåíèå â (59) ïðè ν= 12 ïîçâîëÿþò ÿâíî ïðåäñòàâèòü ôóíêöèè Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà ïîëóöåëîãî èíäåêñà ñ ïîìîùüþ nêðàòíîé ïðîèçâîäíîé îò ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè v u u nt 2

Jn+ 21 (x) = (−1)

n+ 21

x

π

−1

x

d dx

!n

sin x . x !

(82)

Äëÿ àíàëîãè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè In+ 1 (x) ñëåäóåò sin x çàìåíèòü íà 2

sinh x è èñêëþ÷èòü ìíîæèòåëü (−1) . Ôîðìóëà n

Kn+ 21 (x) = (−1)n

s

π n+ 1 −1 d x 2 x 2 dx

!n  −x  e  

(83)

x

ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü ôóíêöèè Ìàêäîíàëüäà ïîëóöåëîãî èíäåêñà. (i) Ïîâåäåíèå ôóíêöèé Áåññåëÿ èíäåêñà ± 12 â íóëå

Ïðè x = 0 â íóëü îáðàùàþòñÿ òðè èç ïåðå÷èñëåííûõ ôóíêöèè Áåññåëÿ:

J 12 (0) = 0 ,

Y− 12 (0) = 0 ,

(84)

I 21 (0) = 0 ,

îñòàëüíûå ïðèíèìàþò íåîãðàíè÷åííûå çíà÷åíèÿ. (ii) Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ôóíêöèé Áåññåëÿ èíäåêñà ± 12

Ïðè x → ∞ òîëüêî äâå ôóíêöèè I 1 (x) è I− 1 (x) íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòà2

2

þò, îñòàëüíûå àñèìïòîòè÷åñêè ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Ïîñêîëüêó äëÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ ïîëóöåëîãî èíäåêñà ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå, àíàëîãè÷íîå (67), òî ïðè x → ∞ â íóëü àñèìïòîòè÷åñêè îáðàùàþòñÿ ôóíêöèè Áåññåëÿ ïåðâîãî, âòîðîãî, òðåòüåãî ðîäà è ôóíêöèè Ìàêäîíàëüäà ñ ïðîèçâîëüíûì ïîëóöåëûì èíäåêñîì n+ 21 . (iii) Î êîðíÿõ ôóíêöèé Áåññåëÿ èíäåêñà ± 12 (1)

(2)

2

2

Ôóíêöèè Áåññåëÿ òðåòüåãî ðîäà H± 1 (x), H± 1 (x) è ôóíêöèè ìíèìîãî àðãóìåíòà I± 1 (x), K± 1 (x) íå îáðàùàþòñÿ â íóëü íà ïîëîæèòåëüíîé ÷àñòè äåé2

2

ñòâèòåëüíîé îñè x > 0. Â ýòîé îáëàñòè êîðíè èìåþòñÿ òîëüêî ó ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà:

π +πk =0 , 2 !

J 12 (πk)=0 ,

Y− 12 (πk)=0 ,

J− 21

π +πk =0 . 2 !

Y 21

(85)

Òàêèì îáðàçîì, íà èíòåðâàëå x > 0 ôóíêöèè Áåññåëÿ J± 1 (x) è Y± 1 (x) ÿâëÿ2

2

þòñÿ êâàçèïåðèîäè÷åñêèìè ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ýêâèäèñòàíòíî ðàñïðåäåëåííûõ íóëåé è áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ýêñòðåìóìîâ.  ÷àñòíîñòè, ìàêñèìóìû 19

ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà êàê ôóíêöèè ïîðÿäêîâîãî íîìåðà êîðíÿ k îïèñûâàþòñÿ ôîðìóëàìè

2 π 1 +2πk = √ , J− 12 (2πk) = √ , J 21 (86) 2 π 4k+1 π k îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî âûñîòà ýòèõ ìàêñèìóìîâ óìåíüøàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì ïîðÿäêîâîãî íîìåðà ýêñòðåìóìà. !

2.2. Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé Áåññåëÿ öåëîãî èíäåêñà ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè

Ôóíêöèÿ <(x, t) íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé äëÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà öåëîãî èíäåêñà n, åñëè Jn (x) ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè <(x, t) ïî ñòåïåíÿì t:

<(x, t) =

∞ X

Jn (x) tn = J0 (x) +

n=−∞

∞ X

Jn (x) tn + (−1)n t−n . h

i

(87)

n=1

Íàéòè ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ â ÿâíîì âèäå ïîìîãàþò ñëåäóþùèå ðàññóæäåíèÿ. Ïîäñòàâèì ðàçëîæåíèå (25) â ôîðìóëó (87) ∞ X

<(x, t) =

∞ X

 2m+n x tn m 2

(−1)

n=−∞ m=0

(88)

m!(m + n)!

è ñäåëàåì çàìåíó èíäåêñà ñóììèðîâàíèÿ k=m+n. Òîãäà äâîéíàÿ ñóììà â (88) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ñóìì, êàæäàÿ èç êîòîðûõ çàäàåò ýêñïîíåíòó: 

<(x, t) =

∞ X  k=0



   m  xt k x ∞ X  m 2t 2   (−1) k! m! m=0

xt

x

= e 2 · e− 2t .

(89)

 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì õîðîøî èçâåñòíóþ ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ äëÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà

1 x t− <(x, t) = exp 2 t "

!#

.

(90)

Êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðè t = eiϕ èç (87) è (90) ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ

eix sin ϕ =

∞ X

Jn (x) einϕ ,

(91)

n=−∞

êîòîðàÿ øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ, íàïðèìåð, â òåîðèè ìàãíèòîàêòèâíîé ïëàçìû. 20

2.3. Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ 2.3.1. Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå, ââåäåííîå Áåññåëåì äëÿ ôóíêöèé öåëîãî èíäåêñà ν=n

Ôîðìóëà Êîøè, ïîëó÷åííàÿ â êóðñå òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé, ïîçâîëÿåò íàéòè êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ (87) â âèäå êîíòóðíîãî èíòåãðàëà

1 Z dt x 1 1 Z dt <(x, t) = exp t− Jn (x) = 2πi C tn+1 2πi C tn+1 2 t "

!#

,

(92)

ãäå çàìêíóòûé æîðäàíîâ êîíòóð C îõâàòûâàåò òî÷êó t = 0 íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè t. Äëÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ öåëîãî èíäåêñà ýòîò êîíòóð ìîæåò áûòü âûáðàí â âèäå îêðóæíîñòè åäèíè÷íîãî ðàäèóñà (äåòàëè äîêàçàòåëüñòâà ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [1]). Ïîëàãàÿ â ýòîì ñëó÷àå

t = eiθ ,

|t| = 1 ,

dt = dθ , it

(93)

ïîëó÷àåì ïåðâîå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå

1 Zπ Jn (x)= dθ exp{i [x sin θ−nθ]} . 2π −π

(94)

 ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ ìíèìàÿ ÷àñòü äàííîãî èíòåãðàëà îáðàùàåòñÿ â íóëü, è ìû ïîëó÷àåì èíòåãðàëüíóþ ôîðìóëó Áåññåëÿ (Bessel, 1824)

1 Zπ Jn (x)= dθ cos (x sin θ−nθ) . π0

(95)

Äëÿ íåöåëûõ çíà÷åíèé ν èíòåãðàë

1 Zπ dθ cos (x sin θ−νθ) Jν (x) = π0

(96)

çàäàåò ôóíêöèþ Àíãåðà-Âåáåðà, êîòîðàÿ â îáùåì ñëó÷àå íå ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé Áåññåëÿ Jν (x), è äëÿ îïèñàíèÿ ïîñëåäíåé íåîáõîäèìî ïîëüçîâàòüñÿ èíòåãðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì Ïóàññîíà (Poisson, 1823).

21

2.3.2. Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé Áåññåëÿ ïðîèçâîëüíîãî èíäåêñà ν ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ïóàññîíà

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü èíòåãðàëüíóþ ôîðìóëó Ïóàññîíà äëÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà ïðîèçâîëüíîãî èíäåêñà, ðàññìîòðèì èíòåãðàë ñëåäóþùåãî âèäà

π

Fν (x) ≡

Z2

(97)

dϕ cos(x sin ϕ)(cos ϕ)2ν .

0

Ðàñêëàäûâàÿ cos(x sin ϕ) â ñòåïåííîé ðÿä, ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ Fν (x) â âèäå ñóììû

x2n (n) F , (2n)! ν

(98)

dϕ(sin ϕ)2n (cos ϕ)2ν

(99)

∞ X

Fν (x) =

(−1)n

n=0

ãäå âñïîìîãàòåëüíûé èíòåãðàë π

Fν(n) ≡

Z2 0

çàâèñèò òîëüêî îò íîìåðà n è èíäåêñà ν . Çàìåíîé ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ

z = sin2 ϕ èíòåãðàë (99) ñâîäèòñÿ ê áåòà-ôóíêöèè è âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ãàììàôóíêöèè Ýéëåðà: 1 Fν(n) =

Z1

20

dz z

n− 12

ν− 12

(1−z)

Γ(n+ 12 )Γ(ν+ 21 ) 1 1 1 . = B n+ , ν+ = 2 2 2 2Γ(n+ν+1) !

(100)

Âñïîìèíàÿ óïðàæíåíèå ñ ãàììà-ôóíêöèåé ïîëóöåëîãî àðãóìåíòà, âûïîëíåííîå â ðàçäåëå 2.1.3. (ôîðìóëû (73)-(75)), ïðèâåäåì îòíîøåíèå ãàììà-ôóíêöèé ñ óäâîåííûì àðãóìåíòîì ê ñëåäóþùåìó óäîáíîìó âèäó

Γ n+ 12 n− 12 · · · 12 · Γ Γ n+ 12 = = Γ (2n+1) (2n)! (2n)! 











  1 2

=

   √ √ (2n−1) · · · 3 · 1 2n · 2(n − 1) · · · 2 · 1 π ·  π = = . 2n (2n)! 2n n! 22n n! 

(101)

Òîãäà ôóíêöèÿ Fν (x) ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê

√ Fν (x) =

! x −ν

π 2 2

1 · 2 !

Γ ν+

  2n+ν x ∞ X  2   (−1)n Γ(n+1)Γ(n+ν+1) n=0 

22

,

(102)

à ñóììà, âûäåëåííàÿ êâàäðàòíûìè ñêîáêàìè, åñòü íè÷òî èíîå, êàê ðàçëîæåíèå â ðÿä ôóíêöèè Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà èíäåêñà ν . Ñðàâíèâàÿ (102) è (97) ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè Jν (x) ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ïóàññîíà: π

 ν

Z2 2 x2   Jν (x) = √ dϕ cos(x sin ϕ)(cos ϕ)2ν . 1 π Γ ν+ 2 0

(103)

Çàìåíîé t = sin ϕ îíî ñâîäèòñÿ ê äðóãîìó èçâåñòíîìó èíòåãðàëó

Jν (x) =

 ν x Z1 2     Γ 21 Γ ν+ 12 −1

1

dt cos(xt)(1 − t2 )ν− 2 ,

(104)

êîòîðûé ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé ôóíêöèé Áåññåëÿ ìíèìîãî àðãóìåíòà. 2.3.3. Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ìîäèôèöèðîâàííûõ ôóíêöèé Áåññåëÿ

Äëÿ ñïðàâêè óìåñòíî òàêæå ïðèâåñòè èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå òèïà Ïóàññîíà äëÿ ìîäèôèöèðîâàííûõ ôóíêöèé Áåññåëÿ (Schl ai, 1868)

Iν (x) =

 ν x Z1 2     Γ 21 Γ ν+ 12 −1

1

dt e−xt (1 − t2 )ν− 2 .

(105)

Ôîðìóëà (105) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç (104) ñëåäóþùèì îáðàçîì: â ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ (104) íå èçìåíèòñÿ, åñëè çàìåíèòü

cos(xt) ïîä çíàêîì èíòåãðàëà íà cos(xt)+i sin(xt) = eixt , ñëåäîâàòåëüíî, çàìåíà x íà ix íåïîñðåäñòâåííî ïðèâîäèò ê (105). Ïðåäñòàâëåíèå ìîäèôèöèðîâàííûõ ôóíêöèé Áåññåëÿ ñ ïîìîùüþ êîíòóðíîãî èíòåãðàëà [1] âîâëåêàåò â ðàññìîòðåíèå íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïî áåñêîíå÷íîìó èíòåðâàëó

1 Zπ sin πν Iν (x) = dθ ex cos θ cos νθ − π0 π

Z∞

dξe−x cosh ξ−νξ .

(106)

0

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè öåëîì ν = n âòîðàÿ ÷àñòü ýòîãî èíòåãðàëà èñ÷åçàåò, ïîñêîëüêó sin πn = 0. Èñïîëüçóÿ (106) â îïðåäåëåíèè (44), ìîìåíòàëüíî ïîëó÷àåì ïåðâîå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ôóíêöèè Ìàêäîíàëüäà    ν

Γ 21 x2 Kν (x) =  1  Γ ν+ 2

Z∞

dξe−x cosh ξ (sinh ξ)2ν .

0

23

(107)

Îäíàêî, íàèáîëåå èçâåñòíûì èíòåãðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì äëÿ ýòîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà (Schl ai, 1873)

Kν (x) =

Z∞

dξe−x cosh ξ cosh νξ ,

(108)

0

êîòîðàÿ íàøëà øèðîêîå ïðèìåíåíèå â ðåëÿòèâèñòñêîé ñòàòèñòèêå. 2.4. Îá àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèè ôóíêöèé Áåññåëÿ ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ãëàâíóþ ÷àñòü ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè Áåññåëÿ ïðîèçâîëüíîãî èíäåêñà ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà, ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïðè x → ∞ óðàâíåíèå (4) ïðåâðàùàåòñÿ â

Y 00 (x) + Y = 0

(109)

íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèÿ èíäåêñà ν . Èíäåêñ ν ïîÿâëÿåòñÿ òîëüêî ïðè êîíêðåòèçàöèè êîíñòàíò èíòåãðèðîâàíèÿ:

Aν Y (x) → C1ν cos x+C2ν sin x ⇒ y(x) → √ cos (x + ψν ) . x

(110)

Äëÿ ïîëóöåëîãî èíäåêñà êîíñòàíòû Aν è ψν â (110) ìîãóò áûòü íåïîñðåäñòâåííî âû÷èñëåíû. Äåéñòâèòåëüíî, ñëåäóÿ ìåòîäó ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî ïðè x → ∞ v u u t

J 23 (x) → − v u u t

v u u t

2 cos x , πx

J 52 (x) → − v u

2 sin x , ... πx

u 2 2 1 1 1 π Jn+ 21 (x) → sin x− πn = t cos x− π n+ − . (111) πx 2 πx 2 2 4 Çàìåíèâ n+ 21 íà ïðîèçâîëüíîå ν , ïîëó÷èì èçâåñòíûå àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ðîäà !

"

!

Jν (x → ∞) '

v u u t

2 πν π cos x− − , πx 2 4

Yν (x → ∞) '

v u u t

2 πν π sin x− − , πx 2 4

!

!

Hν(1) (x → ∞) '

v u u t

24

2 i(x− πν2 − π4 ) e , πx

#

v u u t

2 −i(x− πν2 − π4 ) . (112) e πx Åñëè ìû èìååì äåëî ñ ôóíêöèÿìè Áåññåëÿ ìíèìîãî àðãóìåíòà ïðè x → ∞, òî èç óðàâíåíèÿ (4) ñëåäóåò, ÷òî Hν(2) (x → ∞) '

Y 00 (x) − Y = 0 ⇒ Y (x) = C1ν cosh x + C2ν sinh x .

(113)

Ïîâòîðÿÿ âûøåïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ, ïîëó÷èì øèðîêî èçâåñòíîå àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Ìàêäîíàëüäà s

Kν (x → ∞) '

π −x e , 2x

(114)

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ãëàâíàÿ ÷àñòü ýòîé ôóíêöèè íå çàâèñèò îò ν è ñîâïàäàåò ñ òî÷íûì çíà÷åíèåì äëÿ K± 1 (x) èç ôîðìóëû (81). 2

2.5. Î êîðíÿõ ôóíêöèé Áåññåëÿ

Òåîðèÿ êîðíåé ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ðîäà äåòàëüíî ðàçðàáîòàíà è èçëîæåíà, íàïðèìåð, â êíèãàõ [1,2], îäíàêî îáñóæäåíèå å¼ äåòàëåé âûõîäèò çà ðàìêè êóðñà. Ìû îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî îäíèì óòâåðæäåíèåì: Ôóíêöèè Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà

Jν (x) äåéñòâèòåëüíîãî èíäåêñà ν

èìåþò áåñ-

÷èñëåííîå ìíîæåñòâî íóëåé, ðàñïîëîæåííûõ íà äåéñòâèòåëüíîé îñè ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî òî÷êè

x = 0.

ν åñòü öåëîå ÷èñëî, òî âñå íóëè - ïðîñòûå çà èñêëþ÷åíèåì x = 0, êîòîðîå ïðè ν = n = 1, 2, ... ÿâëÿåòñÿ íóëåì ñîîòâåòñòâó-

Åñëè èíäåêñ çíà÷åíèÿ

n. Óêàçàííûå ñâîéñòâà íóëåé ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà ëåãêî èëëþñòðèðóþòñÿ íà ïðèìåðå ôóíêöèé ïîëóöåëîãî èíäåêñà (ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà ôîðìóëû (85)). þùåé êðàòíîñòè

25

ËÅÊÖÈß III. Ðÿäû Ôóðüå-Áåññåëÿ è èõ ïðèëîæåíèÿ 3.1. Îðòîãîíàëüíîñòü ôóíêöèé Áåññåëÿ

Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (45), ôóíêöèÿ Áåññåëÿ Jν (kx) ñ àðãóìåíòîì

kx åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ d2 d x J (kx) + x Jν (kx) + (k 2 x2 − ν 2 )Jν (kx) = 0 . ν 2 dx dx 2

(115)

Ïåðåïèøåì (115) â ñàìîñîïðÿæåííîì âèäå (3) äëÿ k = k1 è k = k2

d ν2  d 2  x Jν (k1 x) + k1 x − Jν (k1 x) = 0 , dx dx x "

#





d ν2  d 2  Jν (k2 x) = 0 , x Jν (k2 x) + k2 x − dx dx x "

#





(116)

óìíîæèì ïåðâîå èç ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé íà Jν (k2 x), âòîðîå íà Jν (k1 x) è íàéäåì èõ ðàçíîñòü. Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ïðèâåäåì ê âèäó

(k22 − k12 )xJν (k1 x)Jν (k2 x) = d d d = x Jν (k2 x) Jν (k1 x) − Jν (k1 x) Jν (k2 x) (117) dx dx dx è âûïîëíèì èíòåãðèðîâàíèå ïî x â èíòåðâàëå (0, l). Ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà îò ïîëíîé ïðîèçâîäíîé â ïðàâîé ÷àñòè (117) ïîòðåáóåì, ÷òîáû âûðàæåíèå (

"

#)

â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ îáðàòèëîñü â íóëü íà íèæíåì ïðåäåëå x = 0. Ó÷èòûâàÿ òîò ôàêò, ÷òî ðàçëîæåíèå â ðÿä ôóíêöèè Áåññåëÿ èíäåêñà ν (25) íà÷èíàåòñÿ ñî ñòåïåííîãî ìíîæèòåëÿ xν , ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðàâåíñòâî íóëþ âûïîëíèìî ïðè ν > −1.  ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó èíòåãðàëüíîìó ñîîòíîøåíèþ

(k22 −k12 )

Zl

xdxJν (k1 x)Jν (k2 x) =

0

= l [k1 Jν (k2 l)Jν0 (k1 l) − k2 Jν (k1 l)Jν0 (k2 l)] ,

(118)

â êîòîðîì øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî âñåìó àðãóìåíòó, óêàçàííîìó â ñêîáêàõ. Ïîñêîëüêó ôóíêöèè Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà èìåþò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî âåùåñòâåííûõ êîðíåé â èíòåðâàëå x > 0, ïðåäïîëîæèì, ÷òî Jν (k1 l) = 0 è 26

Jν (k2 l) = 0. Èíûìè ñëîâàìè, ïóñòü ïàðàìåòð k1 ñâÿçàí ñ i-ûì ïî ñ÷åòó êîð(ν) (ν) µ íåì µi ôóíêöèè Áåññåëÿ èíäåêñà ν ñîîòíîøåíèåì k1 = il , à ïàðàìåòð k2 ñ j -ûì êîðíåì ïî ïðàâèëó k2 = ðàùàåòñÿ â íóëü. Åñëè ïðè ýòîì

(ν)

µj l k12

. Òîãäà ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (118) îá-

6= k22 , ÷òî äëÿ íåêðàòíûõ ïîëîæèòåëüíûõ

êîðíåé îçíà÷àåò i 6= j , òî ïîëó÷àåì çíàìåíèòîå èíòåãðàëüíîå ñîîòíîøåíèå    (ν) (ν) µi x   µj x   Jν    xdxJν  

Zl

l

0

l

(119)

= 0,

êîòîðîå ïî óñòîÿâøåéñÿ òåðìèíîëîãèè îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèè Áåññåëÿ îäíîãî è òîãî æå èíäåêñà îðòîãîíàëüíû íà èíòåðâàëå (0, l) ñ âåñîâîé ôóíêöèåé x, (ν)

åñëè µi

(ν)

è µj

ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåñîâïàäàþùèå êîðíè ôóíêöèè Jν (x).

Åñëè ïàðàìåòðû k1 è k2 ñîâïàäàþò, ìû ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìîå ñîîòíîøåíèå íîðìèðîâêè äëÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ. ×òîáû ïîëó÷èòü ýòî ñîîòíîøåíèå, ïîëîæèì k1 = k , è ïóñòü k2 → k .  ýòîì ñëó÷àå èç (118) ñëåäóåò ðàâåíñòâî Zl



xdxJν2 (kx)

0



lk = lim  2 2 Jν0 (kl)Jν (k2 l) , k2 →k (k2 −k )

(120)

êîòîðîå ðàñêðûâàåòñÿ ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî k2 . Ýòà îïåðàöèÿ ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó Zl

xdxJν2 (kx)

0

l2 0 2 = [Jν (kl)] . 2

(121)

Åñëè kl åñòü îòëè÷íûé îò íóëÿ êîðåíü ôóíêöèè Áåññåëÿ, òî âòîðîå èç ñîîòíîøåíèé (57) ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî Jν0 (kl)=−Jν+1 (kl). Ñ ó÷åòîì ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè - íîðìèðîâêè ïðèíèìàåò îêîí÷àòåëüíûé âèä Zl

   (ν) (ν) µi x   µj x    Jν   xdxJν  

l

0

l

  l2 (ν) 2 = δij Jν+1 µi . 2

(122)

Íàïîìíèì, ÷òî îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ èíäåêñà ν > −1. 3.2. Ðÿäû Ôóðüå-Áåññåëÿ

 ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ñèñòåìà ôóíêöèé   

      (ν) (ν) (ν)    µ1 x   µ2 x   µi x        J , J , ... , J , ... ν ν ν     l l l 

27

(123)

(ν)

(ν)

îðòîãîíàëüíà íà èíòåðâàëå (0, l) ñ âåñîì x, åñëè ν > −1, à µ1 , ...µi

- ýòî

ïîëîæèòåëüíûå êîðíè ôóíêöèè Áåññåëÿ Jν (x), çàíóìåðîâàííûå â ïîðÿäêå èõ âîçðàñòàíèÿ. Ôóíêöèþ f (x), îïðåäåëåííóþ íà èíòåðâàëå (0, l), ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå-Áåññåëÿ

f (x) =

∞ X i=1

 (ν) µi x    ai Jν  

l

(124)

.

Êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ai íàõîäÿòñÿ ïî ñòàíäàðòíîé ñõåìå: ëåâóþ è ïðà! âóþ ÷àñòü (124) cëåäóåò äîìíîæèòü íà xJν

(ν)

µj x l

, ïðîèíòåãðèðîâàòü â ïðåäå-

ëàõ îò íóëÿ äî l è âîñïîëüçîâàòüñÿ óñëîâèÿìè îðòîãîíàëüíîñòè-íîðìèðîâêè (122).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì êîýôôèöèåíòû Ôóðüå-Áåññåëÿ

ai =

Zl

2

2 (µ(ν) ) l2 Jν+1 0 i

 (ν) µi x    xdxf (x)Jν  

l

(125)

.

Îáñóæäåíèå âîïðîñîâ ñõîäèìîñòè ðÿäà Ôóðüå - Áåññåëÿ âûõîäèò çà ðàìêè êóðñà, ìû îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî îäíîé íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìîé ôîðìóëèðîâêîé óñëîâèé, ãàðàíòèðóþùèõ òàêóþ ñõîäèìîñòü [1]:

f (x)

îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà âíóòðè èíòåðâàëà

(0, l),

xdxf (x)

ñóùåñòâóåò è àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, òî ïðè

ν ≥ − 12

Åñëè ôóíêöèÿ òåãðàë

Rl

√

0 Ôóðüå-Áåññåëÿ èíòåðâàëà

(124)

ñ êîýôôèöèåíòàìè

(125)

à èíðÿä

ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ âíóòðè

(0, l).

3.3. Î íåêîòîðûõ ïðèëîæåíèÿõ ôóíêöèé Áåññåëÿ 3.3.1. Çàäà÷à î ðàñïðîñòðàíåíèå òåïëà â öèëèíäðå êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ

Êëàññè÷åñêàÿ çàäà÷à òåïëîïðîâîäíîñòè [4,5] ïðèâîäèò ê èññëåäîâàíèþ óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà

∂ U = a2 ∆U . ∂t

(126)

Ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè çàäà÷è îïåðàòîð Ëàïëàñà ∆ çàïèñûâàåòñÿ â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ

1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 ∆= ρ + 2 2+ 2, ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z !

28

(127)

à èñêîìàÿ òåìïåðàòóðà èùåòñÿ êàê ôóíêöèÿ ÷åòûðåõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ U (t, ρ, ϕ, z). Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ ãðàíè÷íóþ çàäà÷ó ïåðâîãî ðîäà, òî åñòü áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà ðàäèóñà R (ρ=R), à òàêæå íà åãî íèæíåé (z=0) è âåðõíåé (z=h) êðûøêàõ ïîääåðæèâàåòñÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ:

U (t, R, ϕ, z) = U (t, ρ, ϕ, 0) = U (t, ρ, ϕ, h) = 0 .

(128)

Íà÷àëüíîå óñëîâèå çàäàäèì ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé ôóíêöèè F

U (0, ρ, ϕ, z) = F (ρ, ϕ, z) ,

(129)

êîòîðàÿ îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà âíóòðè öèëèíäðà è îáðàùàåòñÿ â íóëü íà åãî ïîâåðõíîñòè â ñîãëàñèè ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (128). Ñëåäóÿ ìåòîäó ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, èùåì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (126) â âèäå:

U (t, ρ, ϕ, z) = T (t) R(ρ) Φ(ϕ) Z(z) .

(130)

Ïîäñòàâèâ äàííîå ïðîèçâåäåíèå â (126), âûïîëíèâ îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è ðàçäåëèâ âñ¼ óðàâíåíèå íà U , ïîëó÷èì ðàâåíñòâî

1 1 Φ00 (ϕ) Z 00 (z) T˙ (t) 0 0 = [ρR (ρ)] + 2 + . T a2 ρR ρ Φ Z

(131)

Çäåñü äëÿ êðàòêîñòè òî÷êîé îáîçíà÷åíà ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè. Ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (131) íå çàâèñèò íè îò ρ, íè îò ϕ, íè îò z , à ïîòîìó îáÿçàíà áûòü êîíñòàíòîé. Ëîãèêà ïîäñêàçûâàåò, ÷òî ýòà êîíñòàíòà â ïðèíöèïå ìîæåò áûòü ïîëîæèòåëüíîé, íóëåâîé è îòðèöàòåëüíîé. Îäíàêî òîëüêî â ïîñëåäíåì ñëó÷àå, êîãäà êîíñòàíòó ìîæíî îáîçíà÷èòü êàê −λ2 , ðåøåíèå äëÿ âðåìåííîé ôóíêöèè T (t) 2 2

T (t) = T ∗ e−a

λ t

(132)

ýêñïîíåíöèàëüíî ñïàäàåò ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. Ýòî ïðèìåð òîãî, êàê ôèçè÷åñêèå ìîòèâû íàêëàäûâàþò îãðàíè÷åíèÿ íà ñâîáîäó ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Ïðîäîëæàÿ òàêèå ðàññóæäåíèÿ, ìû âûíóæäåíû çàêëþ÷èòü, ÷òî ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â (131) òàêæå ðàâíî êîíñòàíòå

Z 00 (z) = const , Z 29

(133)

è ýòà êîíñòàíòà äîëæíà áûòü îïðåäåëåíà èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé Z(0) =

Z(h) = 0. Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî äàííàÿ êîíñòàíòà ïîëîæèòåëüíà, òî åñòü const = κ2 > 0, òî ðåøåíèå (133) ïðèîáðåòàåò âèä Z(z) = C1 cosh κz + C2 sinh κz ,

(134)

è íèêàê íå ìîæåò îáðàòèòüñÿ â íóëü íà îáåèõ ãðàíèöàõ èíòåðâàëà (0, h). Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî êîíñòàíòà ðàâíà íóëþ, òî ðåøåíèå (133) ïðèìåò âèä (135)

Z(z) = C1 + C2 z

è òîæå íå ïîçâîëèò óäîâëåòâîðèòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Åñëè æå êîíñòàíòà îòðèöàòåëüíà, òî åñòü, const = −k 2 < 0, òî ðåøåíèå (136)

Z(z) = C1 cos kz + C2 sin kz óäîâëåòâîðèò íóëåâûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, åñëè

πn k= , h

πnz Z(z) = Cn sin . h !

(137)

Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî

Φ00 (ϕ) = const , Φ

(138)

îäíàêî òåïåðü âìåñòî ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿ ôóíêöèè Φ íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèå óñëîâèé ïåðèîäè÷íîñòè ïî ïîëÿðíîìó óãëó ϕ (139)

Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ) .

Ïåðåáèðàÿ çàíîâî ñëó÷àè ñ ïîëîæèòåëüíîé, íóëåâîé è îòðèöàòåëüíîé êîíñòàíòîé, íåìèíóåìî ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî òîëüêî îòðèöàòåëüíàÿ êîíñòàíòà

const = −m2 óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèþ (139), ïðè÷åì m ìîæåò áûòü òîëüêî öåëûì ÷èñëîì. Òîãäà ôóíêöèÿ Φ(ϕ) ìîìåíòàëüíî íàõîäèòñÿ (1) (2) Φ(ϕ) = Cm cos mϕ + Cm sin mϕ .

(140)

Âîçâðàùàÿñü ê óðàâíåíèþ äëÿ ôóíêöèè R(ρ), ïîäñòàâèì â (131) âñå íàéäåííûå íàìè êîíñòàíòû

1 m2 πn 0 0 [ρR (ρ)] − 2 = ρR ρ l 30

!2

− λ2

(141)

è ïðèâåäåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ê âèäó 

πn ρ2 R00 + ρR0 + λ2 − l

!2   ρ2



− m2  R = 0 .

(142)

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ R(R) = 0 íà ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà, à ïî ôèçè÷åñêèì ñîîáðàæåíèÿì ýòà ôóíêöèÿ îáÿçàíà áûòü îãðàíè÷åííîé âíóòðè öèëèíäðà, â ÷àñòíîñòè, íà îñè ñèììåòðèè ρ = 0.  ÷åòâåðòûé ðàç ïîâòîðèì ðàññóæäåíèÿ î êîíñòàíòàõ. Åñëè λ2 −

 πn 2 =−γ 2 l

< 0, òî óðàâíåíèå (142) ñâîäèòñÿ ê ìîäèôèöèðîâàííîìó óðàâíåíèþ Áåññåëÿ, è åãî ðåøåíèå èìååò âèä: 

(1) (2) R(ρ) = Cm Im (γρ) + Cm Km (γρ) ,

(143)

ãäå Im è Km - ôóíêöèè Áåññåëÿ ìíèìîãî àðãóìåíòà. Êàê ìû óæå çíàåì, ôóíêöèÿ Km íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò, åñëè å¼ àðãóìåíò ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, è ïîòîìó äàííàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò âõîäèòü â (143) òîëüêî ñ íóëåâûìè êîíñòàí(2) =0. Ìû çíàåì òàêæå, ÷òî ó ôóíêöèè Im íåò âåùåñòâåííûõ êîðíåé òàìè Cm

ïðè x > 0, à ïîòîìó çàñòàâèòü ðåøåíèå (143) îáðàòèòüñÿ â íóëü ïðè ρ = R íåâîçìîæíî, êàê íåâîçìîæíî áûëî îáðàòèòü â íóëü ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè (134) íà âåðõíåé è íèæíåé êðûøêå öèëèíäðà îäíîâðåìåííî.  πn 2 l

= 0, íî m 6= 0, óðàâíåíèå (142) ïðåâðàùàåòñÿ â óðàâíåíèå Ýéëåðà, ðåøåíèå êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñòåïåííûå ôóíêöèè Åñëè λ2 −



(1) m (2) −m R(ρ) = Cm ρ + Cm ρ .

(144)

(2) Äàííàÿ ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà â íóëå òîëüêî åñëè Cm =0, íî òîãäà âîçðàñòàþ-

ùàÿ ôóíêöèÿ ρm íå ñìîæåò îáðàòèòüñÿ â íóëü ïðè ρ=R. Åñëè λ2 −



 πn 2 l

= 0 è m = 0, òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (142) (145)

R(ρ) = C1 log ρ + C2 ïðèíèìàåò íåîãðàíè÷åííîå çíà÷åíèå íà îñè öèëèíäðà. Îñòàåòñÿ ïðåäïîëîæèòü, ÷òî λ2 −



 πn 2 =σ 2 l

> 0, òîãäà (142) ñâîäèòñÿ ê

óðàâíåíèþ Áåññåëÿ, è åãî îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä (1) (2) R(ρ) = Cm Jm (σρ) + Cm Ym (σρ) .

(146)

Ôóíêöèè Âåáåðà-Øëåôëè Ym (σρ), êàê ìû ñïåöèàëüíî ïîä÷åðêèâàëè â êîíöå ðàçäåëà 1.2.2., ÿâëÿþòñÿ íåîãðàíè÷åííûìè ïðè ρ = 0, è ìû âíîâü îáÿçàíû 31

(2) =0. ×òî æå êàñàåòñÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà Jm (σρ), ïðèíÿòü, ÷òî Cm

îíè èìåþò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíûõ âåùåñòâåííûõ êîðíåé è ñïîñîáíû îáåñïå÷èòü îáðàùåíèå â íóëü ôóíêöèè R(ρ) íà ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà ïî àíàëîãèè ñ òåì, êàê ýòî óäàëîñü ñäåëàòü ñ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè â (136)-(137). Ïîëàãàÿ Jm (σR) = 0, íàéäåì, ÷òî σ = (m)

ñèìâîëîì µi

(m)

µi R

, ãäå

îáîçíà÷åí i-ûé ïî ñ÷åòó êîðåíü ôóíêöèè Áåññåëÿ èíäåêñà m.

Çàâåðøàÿ ïîñòðîåíèå ðåøåíèÿ èñõîäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, çàïèøåì ñëåäóþùóþ òðîéíóþ ñóììó

U=

   

  (m) 2 ∞ X ∞ X ∞ X  µi   +  exp −a2   R  i=1 n=1 m=0

 (m) µi ρ   sin  ×Jm  

πnz h

R

! πn 2

l

      t ×    

!

 (1) (2) Cimn cos mϕ+Cimn sin mϕ

(147)

.

Ôóíêöèÿ U óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (126) ïî ïîñòðîåíèþ. Ýòà ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà âî âñåõ òî÷êàõ âíóòðè öèëèíäðà äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè è ïåðèîäè÷íà ïî ïîëÿðíîìó óãëó. Ïðè z = 0 è z = h ôóíêöèÿ U îáðàùàåòñÿ  πnz h . Ïðè (m) Jm (µi ) = 0.

ρ = R íàéäåííàÿ ôóíêöèÿ îáðàÎñòàâøèåñÿ íåîòîæäåñòâëåííûìè ùàåòñÿ â íóëü, ïîñêîëüêó (1) (2) êîíñòàíòû Cimn è Cimn ìîãóò áûòü íàéäåíû ñ ïîìîùüþ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ â íóëü çà ñ÷åò ìíîæèòåëÿ sin



(129). Äåéñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿ t = 0 â (147), ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå

F (ρ, ϕ, z) =



∞ ∞ X ∞ X X i=1 n=1 m=0

 (m) µi ρ   × Jm 

R

 πnz  (1) (2) × sin Cimn cos mϕ+Cimn sin mϕ . (148) h Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ îðòîãîíàëüíîñòè-íîðìèðîâêè äëÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé !

Z2π

0

cos m ϕ cos mϕdϕ = πδmm0 ,

0

Z2π

cos m0 ϕ sin mϕdϕ = 0 ,

(149)

0 Zh 0

πnz πn0 z  h  dz sin sin = δnn0 , h h 2 !





(150)

ëåãêî ïîëó÷èòü ïåðâîå èíòåãðàëüíîå ñëåäñòâèå (148): Z2π 0

dϕ cos mϕ

Zh 0

∞ X

πnz πh F (ρ, ϕ, z) = h 2 i=1 !

dz sin

32



 (m) µi ρ  (1)   Cimn Jm 

R

.

(151)

Âîñïîëüçîâàâøèñü äàëåå óñëîâèåì îðòîãîíàëüíîñòè - íîðìèðîâêè (122) äëÿ (1)

ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà, ïîëó÷èì íàáîð êîýôôèöèåíòîâ Cimn :

4

(1)

Cimn =

×

ZR Z2π Zh 0 0 0



2 πhR2 Jm+1 

(m) µi

(m)

×



µi ρ  πnz  cos mϕ sin  ρdρdϕdzF (ρ, ϕ, z)Jm  . R h !

(152)

Ñëåäóåò îñîáî íàïîìíèòü, ÷òî ñîãëàñíî ïðàâèëàì ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ôîðìóëà (152) ñïðàâåäëèâà òîëüêî äëÿ m ≥ 1, à äëÿ m = 0 ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó ñ ïîëîâèííûì êîýôôèöèåíòîì

2

(1)

Ci0n =

×

ZR Z2π Zh



(0)

πhR2 J12 µi

×



 (0) µi ρ    sin ρdρdϕdzF (ρ, ϕ, z)J0 

R

0 0 0

Êîýôôèöèåíòû

πnz . h

(153)

4

(2)

× (m) µi  (m) ZR Z2π Zh ρ µ  i   sin mϕ sin ρdρdϕdzF (ρ, ϕ, z)Jm  ×

Cimn =

!

2 πhR2 Jm+1 



R

0 0 0

πnz h

!

(154)

íàõîäÿòñÿ àíàëîãè÷íî. Ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à ðåøåíà, ïðè÷åì ïðè å¼ ðåøåíèè ìû ñóùåñòâåííî èñïîëüçîâàëè ñâîéñòâà ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà, à òàêæå ôóíêöèé Áåññåëÿ ìíèìîãî àðãóìåíòà. 3.3.2. Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè Ãåëüìãîëüöà â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò

Öåëûé ðÿä ôèçè÷åñêèõ çàäà÷ ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà (Helmholtz)

∆U + k 2 U = 0 .

(155)

Çäåñü k - íåêîòîðàÿ âîîáùå ãîâîðÿ íåíóëåâàÿ êîíñòàíòà; åñëè k = 0, óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà ïðåâðàùàåòñÿ â óðàâíåíèå Ëàïëàñà (Laplace).  ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà óäîáíî çàïèñàòü â âèäå

1 ∂ 1 2 ∂U r + ∆θϕ U + k 2 U = 0 , 2 2 r ∂r ∂r r !

33

(156)

ãäå ñèìâîëîì ∆θϕ îáîçíà÷åíà óãëîâàÿ ÷àñòü îïåðàòîðà Ëàïëàñà ∆:

1 ∂ ∂ 1 ∂2 . ≡ sin θ + sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2 !

∆θϕ

(157)

Íå îñòàíàâëèâàÿñü íà äåòàëÿõ, íàïîìíèì, ÷òî òàê íàçûâàåìûå ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè Ymn (θ, ϕ) ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè äàííîãî îïåðàòîðà, òî åñòü, óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ (158)

∆θϕ Ymn (θ, ϕ) = −n(n + 1)Ymn (θ, ϕ) , ãäå n - öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè [4,5] (1) (2) Ymn (θ, ϕ) = Pn(m) (cos θ) Cm cos mϕ + Cm sin mϕ 



(159)

âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðèñîåäèíåííûå ïîëèíîìû Ëåæàíäðà Pn(m) (cos θ). Èñïîëüçóÿ ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, ïðåäñòàâèì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (155) â âèäå ñóììû

U (r, θ, ϕ) =

∞ ∞ X X

(160)


n=0 m=0

òîãäà ðàäèàëüíûå ôóíêöèè


1 d n(n + 1)  2 d k 2 − r < +
Çàìåíîé èñêîìîé ôóíêöèè
√1 Yn (r) r

(161)

óðàâíåíèå (161) ñâîäèòñÿ ê óðàâíå-

íèþ Áåññåëÿ ïîëóöåëîãî èíäåêñà 

1 r2 Yn00 (r) + rYn0 (r) + k 2 r2 − n + 2

!2  Y

n

= 0.

(162)

Åñëè k 6= 0, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (161) èìååò âèä  1 
(163)

Åñëè k = 0, òî êëþ÷åâîå óðàâíåíèå (161) ïðåâðàùàåòñÿ â óðàâíåíèå Ýéëåðà, à ðåøåíèå ïîñëåäíåãî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñòåïåííûå ôóíêöèè


(164)

(1) (2) ˜n(1) , C˜n(2) , Cm è Cm íàõîäÿòñÿ èç ðåøåíèÿ ñîîòÊîýôôèöèåíòû Cn(1) , Cn(2) , C

âåòñòâóþùåé ãðàíè÷íîé çàäà÷è. 34

3.3.3. Ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîãî ãàçà

 òåîðèè ðåëÿòèâèñòñêèõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ñèñòåì ôóíêöèÿ

 √ c m2 c2 + p2  f (p) = A exp − (165)  kB T îïèñûâàåò èçîòðîïíîå îäíîðîäíîå ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòèö ïî èìïóëüñàì p, ãäå q p ≡ (~p)2 , m - ìàññà ïîêîÿ ÷àñòèöû, c - ñêîðîñòü ñâåòà, kB - ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà, T - òåìïåðàòóðà, A- íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü. ×èñëî ÷àñòèö â åäèíèöå îáúåìà N , ïëîòíîñòü ýíåðãèè E , äàâëåíèå â ñèñòåìå P îïðåäåëÿþòñÿ  

ñëåäóþùèìè èíòåãðàëàìè ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ (165):

N = 4π

Z∞

p2 dp f (p) ,

(166)

0

E = 4πc P=

4π 3

Z∞ 0 Z∞

q

p2 dp m2 c2 + p2 f (p) ,

(167)

p4 dp f (p) . m2 c2 + p2

(168)

√

0

Ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ p = mc sinh t óäàåòñÿ ïðåîáðàçîâàòü êâàäðàòíûé êîðåíü ê ãèïåðáîëè÷åñêîìó êîñèíóñó mc cosh t, è èñêîìûå âåëè÷èíû ïðåäñòàâëÿþòñÿ èíòåãðàëàìè 3 3

N = 4πAm c

Z∞

dt sinh2 t cosh te−λ cosh t ,

(169)

dt sinh2 t cosh2 te−λ cosh t ,

(170)

0 4 5

E = 4πAm c

Z∞ 0

Z∞ 4 4 5 P = πm c A dt sinh4 te−λ cosh t , 3 0

ãäå áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð λ =

mc2 kB T

(171)

çàäàåò îòíîøåíèå ýíåðãèè ïîêîÿ ÷àñòèö

ê èõ ñðåäíåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Ñîãëàñíî (107) èç èíòåãðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé Ìàêäîíàëüäà Kν (λ) ñëåäóåò, ÷òî

K1 (λ) = λ

Z∞

dt sinh2 te−λ cosh t ,

(172)

0

1 2 Z∞ K2 (λ) = λ dt sinh4 te−λ cosh t . 3 0 35

(173)

Ó÷èòûâàÿ òàêæå äèôôåðåíöèàëüíîå ñîîòíîøåíèå 



d K1 (λ)  K2 (λ) −  = dλ λ λ

(174)

âûòåêàþùåå èç (62), è ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå

K3 (λ) − K1 (λ) =

4 K2 (λ) , λ

(175)

ñëåäñòâèå ôîðìóëû (63), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì òðåì âûâîäàì. Âî-ïåðâûõ, èç ôîðìóëû äëÿ ïëîòíîñòè ÷èñëà ÷àñòèö íàõîäèì íîðìèðîâî÷íûé êîýôôèöèåíò A:

K2 (λ) λN → A= . (176) λ 4πm3 c3 K2 (λ) Âî-âòîðûõ, âèäèì, ÷òî äàâëåíèå ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîòíîñòè N è òåìïåðàòóðå T : mc2 4 5 K2 (λ) P = 4πm c A 2 = N = N kB T . (177) λ λ Íàêîíåö, ïëîòíîñòü ýíåðãèè âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îòíîøåíèå ôóíêöèé Ìàêäîíàëüäà: Z 4 5 ∞ E = 4πAm c sinh2 t(1 + sinh2 t)dte−λ cosh t = N = 4πA(mc)3

0

= 4πAm4 c5

"





K3 (λ) K1 3K2 + 2 = N kB T λ − 1 . λ λ K2 (λ) #

(178)

Óäåëüíàÿ ýíòàëüïèÿ (òåïëîñîäåðæàíèå) ñèñòåìû h ðàâíà â ýòîì ñëó÷àå

h≡

E+P K3 (λ) = mc2 . N K2 (λ)

(179)

Ïîäâîäÿ èòîã, ïîä÷åðêí¼ì åù¼ ðàç, ÷òî ôóíêöèè Ìàêäîíàëüäà, òî åñòü ìîäèôèöèðîâàííûå ôóíêöèè Áåññåëÿ, èãðàþò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü ïðè îïèñàíèè ñîñòîÿíèÿ ðåëÿòèâèñòñêèõ êèíåòè÷åñêèõ ñèñòåì.

36

Ëèòåðàòóðà

1. Ã.Í. Âàòñîí.

Òåîðèÿ áåññåëåâûõ ôóíêöèé

2. Ã. Áåéòìåí, À. Ýðäåéè.

. ×.1. Ì.: ÈË, 1949.

Âûñøèå òðàíñöåíäåíòíûå ôóíêöèè

, Ò.1,2. Ì.: Íà-

óêà, 1966. 3. Í.Í. Ëåáåäåâ. Ñïåöèàëüíûå ôóíêöèè è èõ ïðèëîæåíèÿ. Ì.: ÃÈÔÌË, 1963. 4. À.Í. Òèõîíîâ, À.À. Ñàìàðñêèé

. Ì.:

Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè

Íàóêà, 1977. 5. Í.Ñ. Êîøëÿêîâ, Ý.Á. Ãëèíåð, Ì.Ì. Ñìèðíîâ

Îñíîâíûå äèôôåðåíöèàëüíûå

. Ì.: ÃÈÔÌË, 1962.

óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè

6. Ý. Êàìêå

.

Ñïðàâî÷íèê ïî îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì

Ì.: Íàóêà, 1976. 7. Ë.È. ×èáðèêîâà.

Èçáðàííûå ãëàâû àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè îáûêíîâåííûõ

. Êàçàíñêèé Ôîíä "Ìàòåìàòèêà". Êàçàíü. 1996.

äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

37

Ñîäåðæàíèå ËÅÊÖÈß I. Öèëèíäðè÷åñêèå ôóíêöèè êàê ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ

4

1.1. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå ôóíêöèè Áåññåëÿ

4

1.2. Ïðåäñòàâëåíèå öèëèíäðè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ îáîáùåííûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ

5

1.2.1. Ôóíêöèè Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà

5

1.2.2. Ôóíêöèè Áåññåëÿ âòîðîãî ðîäà - ôóíêöèè Âåáåðà-Øëåôëè

10

1.2.3. Ôóíêöèè Áåññåëÿ òðåòüåãî ðîäà - ôóíêöèè Õàíêåëÿ

11

1.2.4. Ôóíêöèè Áåññåëÿ ìíèìîãî àðãóìåíòà

11

1.3. Çàìå÷àíèå î äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ, ñâîäÿùèõñÿ ê óðàâíåíèÿì Áåññåëÿ

12

ËÅÊÖÈß II. Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ, ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ è ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ

14

2.1. Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé Áåññåëÿ ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé

14

2.1.1. Âûâîä ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé

14

2.1.2. Ïðèëîæåíèå ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé ê ôóíêöèÿì Áåññåëÿ öåëîãî èíäåêñà (ν = n)

16

2.1.3. Ôóíêöèè Áåññåëÿ ïîëóöåëîãî èíäåêñà (ν=n+ 21 )

17

2.2. Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé Áåññåëÿ öåëîãî èíäåêñà ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè

20

2.3. Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ

21

2.3.1. Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå, ââåäåííîå Áåññåëåì äëÿ ôóíêöèé öåëîãî èíäåêñà ν=n

21

2.3.2. Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé Áåññåëÿ ïðîèçâîëüíîãî èíäåêñà ν ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ïóàññîíà

22

2.3.3. Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ìîäèôèöèðîâàííûõ ôóíêöèé Áåññåëÿ 23 2.4. Îá àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèè ôóíêöèé Áåññåëÿ ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà

24

2.5. Î êîðíÿõ ôóíêöèé Áåññåëÿ

25 38

ËÅÊÖÈß III. Ðÿäû Ôóðüå-Áåññåëÿ è èõ ïðèëîæåíèÿ

26

3.1. Îðòîãîíàëüíîñòü ôóíêöèé Áåññåëÿ

26

3.2. Ðÿäû Ôóðüå-Áåññåëÿ

27

3.3. Î íåêîòîðûõ ïðèëîæåíèÿõ ôóíêöèé Áåññåëÿ

28

3.3.1. Çàäà÷à î ðàñïðîñòðàíåíèå òåïëà â öèëèíäðå êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ

28

3.3.2. Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè Ãåëüìãîëüöà â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò

33

3.3.3. Ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîãî ãàçà

35

Ëèòåðàòóðà

37

Ñîäåðæàíèå

38

39