Геометрия: Рабочая учебная программа дисциплины

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Факультет математический Кафедра геометрии

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине

«Геометрия» для специальности «050201 – Математика» по циклу ДПП.Ф.07 – Дисциплины предметной подготовки (федеральный компонент) Очная форма Курс – 1, 2, 3

обучения

Заочная форма Курс – 1, 2, 3, 4, 5

обучения

Семестр – 1, 2, 3, 4, 5, 6

Семестр – 1, 2, 4, 6, 8, 10

Объем в часах всего – 800

Объем в часах всего – 800

в т.ч.: лекции – 200

в т.ч.: лекции – 70

практические занятия – 200

практические занятия – 46

самостоятельная работа – 400

самостоятельная работа - 684

Экзамен – 1, 2, 3, 4, 5, 6 семестр

Экзамен – 1, 3, 5, 7, 9, 11 семестр Контрольная работа – 1, 3, 5, 6, 9 семестр

Екатеринбург 2007

Рабочая учебная программа по дисциплине «Геометрия» ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2007. – 34 с.

Составители: Мухин Ю.Н., д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой геометрии УрГПУ Габушин В.Н., к. ф.-м. н, с.н.с., доцент каф. геометрии УрГПУ Унегова Т.А., к. ф.-м. н., доцент, доцент каф. геометрии УрГПУ Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры геометрии УрГПУ Протокол № 8 от 7 апреля 2006 г. Зав. кафедрой

Ю.Н. Мухин

Отделом нормативного обеспечения образовательного процесса УрГПУ присвоен рег. № от . Начальник отдела Р.Ю. Шебалов

2

1. Пояснительная записка Данная программа предназначена для работы со студентами, обучающимися по специальности «050201 – Математика». Программа составлена на основе Государственного образовательного стандарта Основная цель курса «Геометрия» состоит в формировании у будущего учителя дуальной, алгебро-геометрической культуры, обеспечивающей ясное понимание смысла и значения разделов школьного курса математики, оказывающей эффективную помощь в организации факультативных и кружковых занятий, в подготовке учащихся к олимпиадам по математике и физике, к успешному прохождению конкурсных экзаменов в различные вузы. Студент должен усвоить основные идеи программы, понять значение основных результатов, овладеть техникой всех рассуждений и доказательств и уметь убедительно их воспроизводить. Еще важнее овладение студентом методами и частными приемами решения конкретных задач, что и является основой успешного прохождения курсовых и выпускных экзаменов. Исходя из этого, изложение курса «Геометрия» строится на уровне строгости, адекватном принятому в настоящее время в большинстве мировых образовательных учреждений университетского статуса. Подходы, точки зрения, математический язык и степень общности приближены к современному состоянию математической науки. Важнейшая цель курса - обеспечение взаимосвязи, как между различными разделами геометрии, так и с другими математическими дисциплинами. Кроме того, программа методично отражает связи со многими другими разделами математики (прежде всего, алгебры), которые изучаются в педвузах и средней школе. Курс «Геометрия» отличается высоким уровнем абстракции при достаточно высоком уровне наглядности. Предлагаемая программа обеспечивает как можно более «плавный» переход от «простого» к «сложному», способствует лучшему усвоению студентами наиболее трудных разделов, постепенному постижению все более абстрактных слоев геометрии, а затем открытию альтернативы восприятия мира «по Евклиду» или «по Лобачевскому». При этом изучение наиболее сложных понятий курса проводится поэтапно, с постепенным нарастанием глубины проникновения в их сущность. От студента, изучающего курс «Геометрия» требуются, помимо достаточно глубокого усвоения теоретического материала, навыки уверенного решения ряда практических задач геометрического и алгебраического характера, и, что может быть еще более важно, он должен быть универсально подготовлен к синтезу геометрических и алгебраических парадигм, как в знаниях, так и в навыках. Продвинутые студенты должны получить при обучении по настоящей программе базу для решения нестандартных задач, требующих творческого подхода и интуиции. По курсу «Геометрия» предусматривается контроль знаний, включающий 24 индивидуальные контрольные работы, коллоквиумы, 6 экзаменов в 1,2,3,4,5 и 6 семестрах, весомый раздел в программе государственных экзаменов, а также контрольные работы по проверке «остаточных» знаний студентов на каждом курсе. 3

2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения 1 семестр № п/п

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

1. 2.

Векторная алгебра 64 Аналитическая планиметрия 80 Итого 144

Аудиторные занятия Все Лек Практиго ции ческие

Самостоятельная работа

32 40 72

32 40 72

16 20 36

16 20 36

2. семестр № п/п

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

3. 4.

Аналитическая стереометрия 80 Многомерные пространства 56 Итого 136

Аудиторные занятия Все Лек Практиго ции ческие

Самостоятельная работа

40 28 68

40 28 68

14 20 34

26 8 34

3 семестр № п/п

Наименование раздела, темы

5.

Геометрические преобразова- 76 ния Построения циркулем и ли68 нейкой Итого 144

6.

Всего трудоемкость

Аудиторные занятия Все Лек Практиго ции ческие

Самостоятельная работа

40

10

36

32

36

42

72

30

32 72

30

4 семестр № п/п

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

7. 8.

Проективная геометрия 68 Изображение фигур на плос- 68 кости Итого 136 4

Аудиторные занятия Все Лек Практиго ции ческие

Самостоятельная работа

38 30 68

34 -

4 30

30 38

34

34

68

5 семестр № п/п

Наименование раздела, темы

9

Дифференциальная рия и топология

Всего трудоемкость

геомет- 144 Итого 144

Аудиторные занятия Все Лек Практиго ции ческие

69 69

Самостоятельная работа

36

33

75

36

33

75

6 семестр № п/п

Наименование раздела, темы

10. Основания геометрии

Всего трудоемкость

96 Итого 96

Аудиторные занятия Все Лек Практиго ции ческие

Самостоятельная работа

51 51

45 45

30 30

21 21

2.2 Учебно-тематический план заочной формы обучения 1 семестр № п/п

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

1. 2.

Векторная алгебра 64 Аналитическая планиметрия 80 Итого 144

Аудиторные занятия Все Лек Практиго ции ческие

Самостоятельная работа

10 10 20

54 70 124

6 6 12

4 4 8

2. семестр № п/п

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

3. 4.

Аналитическая стереометрия 80 Многомерные пространства 56 Итого 136

Аудиторные занятия Все Лек Практиго ции ческие

Самостоятельная работа

14 6 20

66 50 116

8 4 12

6 2 8

4 семестр № п/п

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

5.

Геометрические преобразова- 76 5

Аудиторные занятия Все Лек Практиго ции ческие

Самостоятельная работа

14

62

10

4

6.

ния Построения циркулем и ли68 нейкой Итого 144

6

2

4

62

20

12

8

124

6 семестр № п/п

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

7. 8.

Проективная геометрия 68 Изображение фигур на плос- 68 кости Итого 136

Аудиторные занятия Все Лек Практиго ции ческие

Самостоятельная работа

12 8 20

10 2

2 6

56 60

12

8

116

8 семестр № п/п

Наименование раздела, темы

9.

Дифференциальная рия и топология

Всего трудоемкость

геомет- 144 Итого 144

Аудиторные занятия Все Лек Практиго ции ческие

20 20

Самостоятельная работа

12

8

124

12

8

124

10 семестр № п/п

Наименование раздела, темы

10. Основания геометрии

Всего трудоемкость

96 Итого 96

Аудиторные занятия Все Лек Практиго ции ческие

Самостоятельная работа

16 16

80 80

10 10

6 6

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1. Векторная алгебра

Векторы и линейные действия с ними Направленные отрезки (связанные векторы). Сонаправленность и антинаправленность, противоположность отрезков. Длина отрезка. Направленные отрезки нулевой длины, их сонаправленность со всеми, их середины. Векторы (свободные векторы) как классы сонаправленных отрезков одинаковой длины. Направленный отрезок как изображение вектора. Длины векторов, орты, нуль-вектор. Сонаправленность, антинаправленность, проти6

воположность, коллинеарность, компланарность векторов. “Аксиомы” Г. Вейля, связывающие векторы и точки. Критерии равенства векторов. Сложение векторов. “Правило треугольника”, его корректность. 4 закона сложения, их доказательства. Следствие о вычитании. Умножение вектора на число, его 4 закона, их доказательства. Понятия действительного векторного (=линейного) пространства, линейной зависимости и независимости системы векторов. Наследуемость линейной независимости подсистемами. Базис векторного пространства, размерность. Примеры. Арифметические векторные пространства. Базисы и координаты Разложение по базису. Базис на прямой. Теорема о разложении вектора по базису на прямой, критерий коллинеарности векторов. Базис на плоскости. Теорема о разложении вектора по базису на плоскости, критерий компланарности тройки векторов. Базис в пространстве, теорема о разложении вектора по нему. Линейная зависимость системы из более, чем трех векторов. Координаты вектора в данном базисе, их свойства, критерий коллинеарности векторов в координатах. Скалярное умножение векторов Угол между векторами. Перпендикулярность (= ортогональность) векторов, поведение нуль-вектора. Ортонормированный базис (ОНБ). Проекция вектора на (ненулевой) вектор, ее связь с углом между векторами и с координатами в ОНБ. “Направляющие косинусы” - координаты орта в ОНБ. Линейные свойства проекции как свойства координаты в ОНБ. Скалярное произведение векторов, его связь с длиной, перпендикулярностью, коллинеарностью и проекциями. Ортогонализация базиса на плоскости. Отсутствие закона сокращения для скалярного умножения и бессмысленность “сочетательного” закона. Законы скалярного умножения, их доказательства. Следствие о “сокращении”. Следствие о диагоналях параллелограмма. Неравенства для длин суммы и разности векторов. Скалярное произведение в координатах, вывод формулы (важнейший случай - в ОНБ). Приложения к вычислению длин векторов, углов между ними, проекций, работы силы на прямолинейном пути. Критерий перпендикулярности, построение вектора, перпендикулярного данному на плоскости. Векторное умножение векторов Ориентированные плоскость и пространство, правые и левые пары и тройки векторов, зависимость ориентации от порядка членов тройки. Правило правой руки (“буравчика”). Векторное произведение векторов, его связь с коллинеарностью и площадью параллелограмма. Тождество Лагранжа. 6 законов векторного умножения. Доказательства антипереместительного закона и закона вынесения скаляра. Ложность сочетательного закона (ассоциативности). Смешанное произведение трех векторов, теорема о геометрическом смысле его знака и модуля (связь с объемами). Следствие о перестановке зна7

ков векторного и скалярного умножений. Доказательство распределительных законов векторного умножения и законов смешанного умножения. Векторное и смешанное произведения в координатах: вывод общих формул и важного частного случая (в ОНБ). Приложения к вычислению площадей параллелограммов и треугольников, объемов параллелепипедов и тетраэдров, высот упомянутых фигур, проверке коллинеарности и компланарности векторов, ориентации тройки векторов. «Двойное» векторное произведение, доказательство тождества «бац минус цаб» и тождества Якоби. Направленные углы на ориентированной плоскости, нахождение их косинусов и синусов. 2. Аналитическая планиметрия Координатный метод Аффинный репер и аффинная система координат в пространстве. Радиус-вектор и координаты точек. Ортонормированный репер и прямоугольная система координат (ПСК). Задачи о координатах вектора, о расстоянии между точками, о “делении отрезка в данном отношении” (простое отношение трех точек), о центре масс треугольника. Задача о замене репера. Матрица перехода к новому базису, ее невырожденность. Вывод формул преобразования координат при замене репера. Важные частные случаи: замена базиса, перенос начала, поворот осей на плоскости. Об аналитическом задании фигур на плоскости Координатное (“неявное”) задание (уравнение, неравенство, система, совокупность уравнений и неравенств) с двумя неизвестными как аналитический способ задания фигур на плоскости. График уравнения (неравенства, системы). Две взаимнообратные задачи аналитической геометрии. Окружность, круг. Векторное (параметрическое) задание линий, примеры. Окружность. Полярная система координат на плоскости, связь полярных координат с прямоугольными. Задание фигур в полярной системе, примеры. Прямая линия на плоскости Векторное, параметрическое и каноническое уравнения прямой. Проведение прямой через две точки. Теорема об общем уравнении прямой, ее следствия о направляющем векторе, о “неполных” уравнениях, об уравнениях “в отрезках” и “с угловым коэффициентом”. Задание полуплоскости с помощью линейного неравенства. Взаимное расположение двух прямых, связь с системами линейных уравнений и определителями. Теорема о пучке прямых. Прямая в прямоугольной системе координат и метрические задачи. Нормальный вектор прямой. Геометрический смысл свободного члена в уравнении прямой и нормированное уравнение. Уравнение с угловым коэффициентом, геометрический смысл углового коэффициента. Расстояние от 8

точки до прямой. Угол между прямыми, направленный угол от прямой до прямой, биссектрисы углов, условие перпендикулярности, проведение перпендикуляров к прямым. Нахождение точки, симметричной данной точке относительно данной прямой. Квадрики на плоскости (кривые 2-го порядка) Эллипс, его фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение формы, эксцентриситет, директориальное свойство, параметрические уравнения эллипса. Гипербола, ее фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение формы. Асимптоты, эксцентриситет, директориальное свойство гиперболы, связь со “школьной” гиперболой. Парабола, вывод канонического уравнения, изучение формы. Эксцентриситет, фокальная хорда параболы, связь со “школьной” параболой. Понятие квадрики (кривой 2-го порядка), его независимость от выбора репера. Теорема о классификации квадрик, идея ее доказательства. Действие переноса начала системы координат на уравнение 2-го порядка. Инварианты переноса начала. Центры квадрик, их геометрический смысл. Действие поворота осей координат на уравнение 2-го порядка. Инварианты поворота осей. Существование угла поворота, изгоняющего из уравнения 2-го порядка член с произведением координат; тангенс, синус и косинус этого угла. Характеристическое уравнение для квадрики. Базисы главных направлений. Классификация квадрик (доказательство основной теоремы). Случай двух квадратов, метод их выделения. Эллиптические и гиперболические квадрики. Случай одного квадрата - параболические квадрики. Главные направления и оси. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат. Переход к ПСК и идентификация с коническими сечениями. Конические сечения как баллистические траектории. Квадрики и прямые Общие точки квадрики и прямой. Понятие асимптотического направления. Пересечение квадрики с прямой неасимптотического направления, “середины хорд”. Понятие касательной прямой к квадрике, вывод ее уравнения, если точка касания - не центр квадрики. Асимптоты. Поиск асимптотических направлений. Диаметр квадрики, сопряженный данному неасимптотическому направлению, вывод уравнения диаметра, сопряженные диаметры, связь с центрами квадрик. 3. Аналитическая стереометрия О задании фигур в пространстве Координатное (“неявное”) уравнение (неравенство, система уравнений и неравенств) с тремя неизвестными как аналитический способ задания фигур в пространстве. График уравнения (неравенства, системы). Две взаимнообратные задачи аналитической стереометрии. Примеры. Сфера, шар, откры9

тый шар. Цилиндрические поверхности как графики уравнений с двумя неизвестными в пространстве. “Неявное” задание кривых линий. Примеры: прямая как пересечение плоскостей, окружность как пересечение плоскости со сферой или с цилиндром. Возможность задания кривой линии одним неявным уравнением. Векторное (параметрическое) задание поверхностей. Сфера в географических координатах. Цилиндрические и конические поверхности. Плоскость в пространстве Векторное, параметрические и каноническое уравнения плоскости. Проведение плоскости через три точки. Теорема об общем уравнении плоскости, ее следствия о направляющих векторах, о признаке параллельности вектора плоскости, о “неполных” уравнениях, об уравнении “в отрезках”. Задание полупространства с помощью линейного неравенства с тремя неизвестными. Взаимное расположение двух плоскостей, связь с системами линейных уравнений. Теорема о пучке плоскостей. Плоскость в прямоугольной системе координат и метрические задачи. Нормальный вектор плоскости. Геометрический смысл свободного члена в уравнении плоскости и нормированное уравнение. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями, условие перпендикулярности плоскостей, биссекторные плоскости. Прямая линия в пространстве Векторное, параметрические и канонические уравнения прямой. Проведение прямой через две точки . Общие уравнения прямой, переход от них к каноническим. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых, роль двух направляющих и одного “соединяющего” вектора. Прямая в прямоугольной системе координат и метрические задачи. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямой и плоскостью, условие перпендикулярности. Проведение перпендикуляра к плоскости и нахождение симметричной точки относительно плоскости. Проведение плоскости перпендикулярно данной прямой и нахождение симметричной точки относительно прямой. Угол между прямыми, условия перпендикулярности и ортогональности. Проведение перпендикуляра к прямой. Биссектрисы углов между прямыми. Расстояние между фигурами, пример двух кругов. Расстояние между двумя прямыми, существование общего перпендикуляра скрещивающихся прямых, его уравнения. Квадрики в 3-мерном пространстве (поверхности второго порядка) Цилиндры второго порядка как графики алгебраических уравнений второго порядка в подходящей ПСК, их классификация. Эллипсоиды, их изучение методом сечений. Мнимый эллипсоид. Однополые и двуполые гиперболоиды. 10

Конусы второго порядка, их прямолинейные образующие и всевозможные плоские сечения. Конус второго порядка как коническая поверхность. Эллиптический и гиперболический параболоиды. Прямые на однополом гиперболоиде, его линейчатость, свойства прямолинейных образующих. То же - для гиперболического параболоида. Понятие квадрики в пространстве (поверхности второго порядка), его независимость от выбора репера. Квадратичная форма старших членов, ее матрица, определитель и ранг, их поведение при замене репера. Понятие центра, его геометрический смысл. Теорема о классификации квадрик в пространстве, идея доказательства. Классификация квадрик (доказательство основной теоремы в предположении отсутствия произведений координат в уравнении квадрики). Случай трех квадратов, метод выделения полных квадратов, приведение к каноническому виду (эллипсоиды, гиперболоиды, точка и конус). Случай двух квадратов, их выделение, канонические уравнения (параболоиды, эллиптические и гиперболический цилиндры, прямая, пара пересекающихся плоскостей). Случай одного квадрата, дополнительный поворот осей, канонические уравнения (параболический цилиндр, пара параллельных, совпавших или мнимых плоскостей). Приведение канонических уравнений к нормальному виду за счет изменения масштабов по осям. Приведение квадрик к главным осям и его связь с диагонализацией матрицы квадратичной формы. Ортогональность матрицы перехода от одного ОНБ к другому. Связь диагонализации с существованием ОНБ из собственных векторов матрицы. Связь собственных чисел матрицы с корнями ее характеристического уравнения. Действительность характеристических корней действительной симметричной матрицы и ортогональность собственных векторов, отвечающих различным собственным числам. Теорема о приведении действительной квадратичной формы к главным осям. Примеры. Квадрики и прямые в пространстве Общие точки квадрики и прямой. Случай неасимптотического направления прямой. Секущие, хорды, касательные, “внешние” прямые, “середины хорд”. Случай асимптотического направления, три возможных положения прямой относительно квадрики, поиск асимптотических направлений. Касательная прямая к квадрике в заданной точке касания, поиск ее (или прямолинейной образующей) направления, если точка касания - не центр квадрики. Касательная плоскость к квадрике, ее уравнение. Диаметральная плоскость квадрики, сопряженная данному неасимптотическому направлению, ее уравнение, связь с центрами квадрики. 4. Многомерные пространства Аффинные пространства Понятие аффинного пространства над полем действительных чисел, аксиомы Г.Вейля и их следствия. Аффинный репер, размерность пространства, координаты точек и их связь с координатами вектора. Простое отношение трех точек, его свойства и связь с координатами. Задача о замене репера и ее 11

частные случаи: перенос начала, замена базиса, переход от одного ОНБ к другому (ортогональные матрицы и их определители). Плоскости в аффинном пространстве Определение прямой, ее векторное и канонические уравнения. Отношение «лежать между», понятия отрезка и луча в действительном пространстве. Определение k-плоскости, ее независимость от выбора в ней начальной точки. Гиперплоскости. Векторное уравнение плоскости. Общие уравнения плоскости, геометрический смысл системы линейных уравнений. Гиперплоскость как график одного линейного уравнения. Плоскость как пересечение гиперплоскостей. Взаимное расположение двух плоскостей в случаях инцидентных и неинцидентных направляющих подпространств. Критерии непустоты пересечения и единственности общей точки. Наименьшая плоскость, содержащая данные плоскости. Плоскости в евклидовом пространстве Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Длины векторов и углы между ними, перпендикулярность (ортогональность), ОНБ, формула скалярного произведения в координатах. Евклидово точечное пространство. Расстояние между точками, его свойства, связь с отношением «лежать между» и с простым отношением трех точек. Понятие ортогональности подпространств и ортогонального дополнения в векторном пространстве. Понятие перпендикулярности плоскостей, теорема о перпендикуляре. Уравнения перпендикуляра при векторном и общем задании плоскости, нахождение основания перпендикуляра и расстояния от точки до плоскости. 5. Геометрические преобразования Группы преобразований Отображения и преобразования, сравнение “алгебраической” и “геометрической” терминологий; инъекции, сюръекции и биекции. Преобразования как биекции множества на себя, их обратимость; тождественное преобразование. Примеры: элементарные функции как отображения прямой; гомотетия аффинного пространства, центральная симметрия, параллельный перенос. Аналитическое задание преобразования. Композиция отображений и преобразований. Композиция двух центральных симметрий, нарушение коммутативности. Аналитическое задание композиции. Композиции переносов и гомотетий. Теорема о том, что множество всех преобразований пространства есть группа. Группа параллельных переносов и гомотетий аффинного пространства. Определение геометрии по Ф. Клейну, эквивалентность фигур. Примеры: теория множеств и совпадение фигур, метрическая геометрия и конгруэнтность (“равенство”) фигур, евклидова геометрия и подобие фигур, топология и взаимно непрерывные биекции, теория мощностей и равномощность фигур. Аффинные преобразования 12

Понятие аффинного преобразования аффинного пространства как сохраняющего коллинеарность точек и простые отношения. Свойства простого отношения, его связь с аффинной координатой. Группа аффинных преобразований, аффинная эквивалентность. Геометрические свойства аффинных преобразований. Образ репера и координаты в нем образа точки. Связь аффинного преобразования с линейным оператором векторного пространства. Формулы аффинного преобразования. Преобразования I и II родов. Примеры: растяжения и сжатия по осям, их композиции, косой сдвиг, косая симметрия. Формулы композиции и обратного преобразования. Аффинная эквивалентность. Теорема аффинной подвижности, ее следствия. Аффинная эквивалентность четырехугольников, квадрик. Неподвижные точки аффинных преобразований, их нахождение. Центроаффинные и перспективноаффинные преобразования, соответствующие подгруппы. Разложение аффинного преобразования в композицию центроаффинного преобразования и параллельного переноса. Нахождение неподвижных прямых аффинного преобразования. Коллинеации между n-мерными аффинными пространствами, n > 1. Сохранение неколлинеарности точек и обратная коллинеация. Связь коллинеации с линейным оператором векторных пространств. Образы прямых, kплоскостей и «середин отрезков» при коллинеациях. Теорема Дарбу об аффинности коллинеаций действительных аффинных пространств. Движения Понятие движения евклидова пространства, подгруппа движений в аффинной группе. Конгруэнтность фигур, определение метрической евклидовой геометрии по Ф.Клейну. Геометрические свойства движений. Связь движения с изометрическим линейным оператором евклидова векторного пространства. Теорема о формулах движения. Теорема подвижности в реперной и флаговой формах, ее следствия о конгруэнтности двух прямых, двух лучей, двух прямых углов и т.д. Признаки конгруэнтности треугольников. Классификация движений плоскости по числу неподвижных точек (теорема Шаля). Свойства поворотов, параллельных переносов, осевых симметрий. Разложение движений плоскости в композицию осевых симметрий. Изучение композиций двух и трех симметрий. Скользящие симметрии, их свойства. Композиции поворотов, переноса и осевой симметрии. Строение группы движений, ее подгруппы. Группы самосовмещений плоских фигур, их строение при условиях конечности группы или ограниченности фигуры. Канонический вид матрицы изометрического оператора и классификация движений трехмерного пространства. Подобия Понятие подобия, подгруппа подобий в аффинной группе. Гомотетии, их «основное свойство» и следствия из него. 13

Разложение подобия в композицию гомотетии и движения. Формулы подобия. Неподвижные точки подобий. Классификация подобий плоскости и трехмерного пространства. Признаки подобия треугольников. Подобие парабол, эллипсов, гипербол. Применение подобий к задачам “на построение” и “на доказательство”. Теоремы о прямой и окружности Эйлера для треугольников. 6. Построения циркулем и линейкой Аксиомы построений. Аксиома линейки. Аксиома циркуля. Следствия аксиом. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Основные задачи на построение в школьном курсе геометрии. Структура задачи на построение: анализ, его творческий характер; построение, алгоритмическая функция его символической записи; доказательство, его сопоставление с анализом; исследование существования и количества решений, его зависимость от позиционного или метрического характера задачи. Метод пересечений, его связь с заданием точечных множеств геометрическим свойством, основные примеры такого задания. Окружность Аполлония. Множество точек, из которых данный отрезок виден под данным углом. Метод движений. Построение образов точек, прямых и окружностей при параллельном переносе, повороте, осевой симметрии. Типичные примеры применения этих преобразований. Метод подобий. Построение образов точек, прямых и окружностей при гомотетии. Поиск коэффициента гомотетии и выбор центра в задачах, решаемых методом подобий. Алгебраический метод решения задач на построение отрезков. Основные школьные формулы построения отрезков (с привлечением единичного отрезка), их связь с квадратичными расширениями полей. Критерий разрешимости задачи на построение циркулем и линейкой. Примеры неразрешимых задач на построение циркулем и линейкой, понятие об их решении другими средствами. Метод инверсии. Инверсия, образы точек, прямых и окружностей при инверсии. Сохранение отношения касания и величин углов между прямыми и окружностями. Примеры задач, решаемых методом инверсии. Теорема МораМаскерони о разрешимости задачи на построение одним циркулем. Примеры решения задач на построение одним циркулем. 7. Проективная геометрия Проективные пространства Перспектива (центральная проекция) прямой на прямую и плоскости на плоскость, ее достоинства и недостатки. Образы окружности при перспективах. Цели проективной геометрии: изучение перспектив путем превращения их в биекции и связывания с естественной группой (проективных) преобразований, включение проективной геометрии в схему Ф. Клейна. Расширенное аффинное пространство над полем как модель проективного пространства. Несобственные точки, прямые, плоскости. Отсутствие па14

раллельных прямых и плоскостей в проективном пространстве, биективность перспектив. Однородные координаты в аффинной плоскости и ее расширении. Коллинеарность трех точек, векторное, каноническое и общее уравнения прямой в однородных координатах. Арифметическая модель проективной плоскости, ее вложимость в арифметическую модель проективного пространства. Векторная модель проективного пространства. Инцидентность точек, прямых и плоскостей в моделях проективного пространства, законы инцидентности и их проверка. Абстрактное проективное пространство. Принцип двойственности. Следствия законов инцидентности и принципа двойственности. Трехвершинник. Теорема Дезарга в абстрактном проективном пространстве. Обратная и двойственная теоремы к теореме Дезарга. Приложение к решению задач на построение на ограниченном чертеже, одной линейкой. Проективная плоскость Аксиомы абстрактной проективной плоскости, малый принцип двойственности. Дезарговы плоскости, сохранение двойственности для них. Четырехвершинник и четырехсторонник. Постулат Фано и двойственный постулат, пример их нарушения. Гармонические четверки точек, сохранение гармонизма при перестановках. Теорема о четвертой гармонической точке. Связь с серединой отрезка. Проективные реперы на прямой и плоскости, условие согласования, однородные координаты точки в данном репере. Задача о замене репера. Свойства арифметических моделей: дезарговость, фановость, папповость. Арифметичность папповых плоскостей. Проективные преобразования Ангармоническое (двойное, сложное) отношение четверки точек как проективная координата на прямой, его независимость от выбора репера, его свойства и вычисление через проективные координаты точек. Связь с простым отношением трех точек в аффинной плоскости. Признак гармонизма. Проективные отображения прямой на прямую, плоскости на плоскость. Линейные однородные преобразования плоскости как проективные, теорема подвижности для них, их связь с аффинными преобразованиями и с перспективами прямой на прямую. Теорема подвижности для проективных отображений прямой. Теорема Штаудта. Разложение проективных отображений и преобразований прямой в композицию перспектив. Построение образа точки при проективном отображении прямой. Дробно-линейная формула проективного преобразования прямой, ее частные случаи. Теорема проективной подвижности для плоскости. Теорема о линейности проективных преобразований. Существенность требования сохранения ангармонических отношений. Неподвижные точки и прямые проективных преобразований, их нахождение. Квадрики на проективной плоскости 15

Понятие квадрики на плоскости, его геометричность; ранг и невырожденность квадрик. Приведение уравнения квадрики к каноническому виду и проективная классификация квадрик. Квадрика и прямая, их общие точки. Полюсы и поляры, поляритет, сопряженность точек, автополярный треугольник. Построение касательной к овальной квадрике. Теоремы Штейнера, Паскаля и Брианшона. Построение овальной квадрики по пяти точкам. 8. Изображение фигур на плоскости Понятие изображения Требования к изображению фигуры: верность, наглядность, легкость исполнения, полнота и метрическая полнота. Несовместимость этих требований. Параллельная проекция, ее свойства. Конкурирующие точки. Проекция как аффинное отображение. Сохранение центров симметрии, выпуклости. Ортогональная проекция, длина проекции отрезка. Изображение как фигура, подобная проекции оригинала. Необходимость уточнения этого определения в соответствии с требованиями к изображению. Изображение плоских фигур Теорема об изображении репера (треугольника). Теорема об определяемости изображений точек плоскости изображением ее репера. Проекции и изображения четырехугольников (параллелограммов, трапеций) и многоугольников. Эллипс как изображение окружности, сопряженные диаметры эллипса как изображения перпендикулярных диаметров окружности. Построение точек эллипса. Изображение вписанных в окружность и описанных около нее треугольников и многоугольников. Построения на изображениях плоских фигур. Изображение пространственных фигур Изображение репера (тетраэдра) на плоскости. Теорема Польке-Шварца. Теорема об определяемости изображений точек изображением репера (аксонометрия). Полные и неполные изображения. Изображение параллелепипеда, призмы, пирамиды. Вторичные проекции. Построение сечений многогранников. Изображения цилиндра и конуса. Связь направления проектирования с параметрами изображения. Построение сечений цилиндра и конуса. Изображение сферы (ортогональная проекция), экватор и полюсы. Построение меридианов и параллелей. Построение изображений фигур, вписанных в шар или описанных около шара. Построения на изображениях пространственных фигур. 16

9. Дифференциальная геометрия и топология Теория гладких кривых линий Вектор-функции (в.-ф.) одной действительной переменной, действия с ними. Предел и непрерывность в.-ф. в точке. Непрерывные в.-ф. и их свойства. Дифференцируемость в.-ф., правила дифференцирования. Механический и геометрический смысл производной в.-ф. В.-ф. постоянной длины, постоянного направления. Теорема и формула Тэйлора для в.-ф. Понятие жордановой кривой, простой дуги, гладкой кривой. Примеры. Касательная прямая и нормальная плоскость гладкой кривой, их уравнения, точки возврата. Длина дуги кривой, ее вычисление, натуральный параметр и его связь с касательным ортом, вектор кривизны, кривизна, главная нормаль. Теорема о соприкасающейся плоскости. Репер Френе, его координатные оси и плоскости, их уравнения в случаях натурального и произвольного параметра. Формулы Френе. Кривизна, ее механический смысл. Линии нулевой кривизны. Кручение, его механический смысл. Линии нулевого кручения. Вычисление кривизны и кручения. Теорема о натуральных уравнениях. Поведение гладкой кривой вблизи ее точки относительно репера Френе. Плоские кривые, их особые точки и асимптоты. Эволюты плоских кривых, их особые точки и асимптоты. Эвольвенты. Теория гладких поверхностей Криволинейные координатные сети на поверхности, гладкие поверхности, касательная плоскость, нормальный вектор и его длина. “Явное” и “неявное” задание поверхностей. Плоскость в разных системах координат. Поверхности вращения, их проверка на гладкость. Круговые цилиндр и конус. Сфера. Тор. Линейчатые поверхности и торсы (развертывающиеся поверхности), признак торса. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности касательных, главных нормалей и бинормалей гладкой кривой. Геликоид. Лист Мебиуса. Теорема о торсах. Первая квадратичная форма и длины дуг на поверхности. Углы между кривыми на поверхности, координатный угол, биссекторные кривые, ортогональные траектории семейства кривых. Вторая квадратичная форма. Нормальная кривизна линии на поверхности, ее вычисление. Нормальная кривизна поверхности в данном направлении, ее связь с кривизной нормального сечения. Асимптотические направления и линии. Омбилические точки. Индикатриса Дюпена и типы точек на поверхности. Формула Эйлера. Главные кривизны как экстремумы нормальной кривизны, их нахождение. Гауссова и средняя кривизны. Главные направления и линии кривизны. Координатные сети из линий кривизны. Деривационные формулы для поверхности. Понятие об изгибании и внутренней геометрии поверхности. Геодезическая кривизна линии на поверхности, ее связь с кривизной плоской проекции и вычисление (в частно17

сти, – для координатных линий). Геодезические линии. Полугеодезическая сеть. “Кратчайшесть” геодезических. Теоремы Гаусса и Бонне. Поверхности постоянной гауссовой кривизны. Торсы как поверхности нулевой гауссовой кривизны. Их связь с линиями кривизны. Элементы общей топологии Определение топологического пространства через базу топологии. Примеры. Открытые множества, определение топологии. Критерий эквивалентности баз топологии. Индуцированная топология, подпространства. Произведение пространств. Замкнутые множества. Замыкание подмножества. Критерий принадлежности точки замыканию. Внутренние и граничные точки, предел последовательности. Хаусдорфовость и единственность предела. Непрерывные отображения (4 эквивалентных определения). Гомеоморфизмы. Определение топологии по схеме Клейна. Связность и связные компоненты точек. Связность промежутков и линейная связность. Компактные пространства, их образы, замкнутые подпространства и произведения. Замкнутость компакта в хаусдорфовом пространстве. Лемма Тихонова. Критерий компактности подмножества в евклидовом пространстве. 10. Основания геометрии Аксиоматический метод Аксиоматический метод в “Началах” Евклида, его характерные черты: выделение исходных понятий и аксиом, логическое построение теории, вспомогательная роль чертежей. Слабости “наивного” аксиоматического метода: попытки определения основных понятий, расчленение аксиоматики на аксиомы и постулаты; неполнота аксиоматики, вынуждающая апеллировать к “очевидности”, игнорирование проблемы непротиворечивости. История пятого постулата Евклида, доказательства равносильных ему утверждений о сумме углов треугольника, о единственности параллельной прямой. Теоремы Лежандра-Саккери (из абсолютной геометрии) о сумме углов треугольников. Понятие математической структуры и модели, сигнатура и род, теория данного рода, примеры. Изоморфизм моделей и категоричность теории. Непротиворечивость теории и способ ее доказательства с помощью построения модели. Схема доказательства непротиворечивости числовых систем и действительных векторных пространств, геометрии в аксиоматике Г. Вейля. Понятие независимости аксиомы, примеры из алгебры и геометрии. Эквивалентность теорий. Построение школьного курса геометрии Аксиоматика планиметрии по Гильберту. Аксиомы соединения, их следствия и конечная модель. Аксиомы порядка и конгруэнтности, их следствия и арифметические (рациональная и действительная) модели. Аксиомы 18

Архимеда, Кантора и Дедекинда, их следствия. Абсолютная геометрия, ее декартова модель. Эквивалентность аксиоматик Гильберта и Г. Вейля. Аксиоматика учебника Л.С. Атанасяна и др. Аксиоматика А.В. Погорелова. * Аксиоматика А.Н. Колмогорова. * Аксиоматика А. Д. Александрова. Геометрия Н.И. Лобачевского Аксиоматика гиперболической планиметрии, ее непротиворечивость (модель Кэли-Клейна). Треугольники, четыре признака конгруэнтности. Четырехугольники. Четырехугольник Хайама-Саккери. Параллельность, ее симметричность и транзитивность. Ось симметрии полосы. Секущая равного наклона. Расходящиеся прямые, их общий перпендикуляр. Поведение расстояния от точки, бегущей по прямой, до прямой, параллельной или расходящейся с данной прямой. Угол параллельности, функция Лобачевского. Перпендикуляр к стороне угла. Существование абсолютной единицы длины. Эквидистанта, ее нелинейность, симметричность и касательные. Орициклы, их конгруэнтность, пересечение с прямыми. Орисфера, модель евклидовой геометрии на ней. Измерение расстояний и углов на карте Кэли-Клейна. Формула Лобачевского для угла параллельности. Сферическая геометрия «Прямые» на сфере, сферические углы и движения. Сферические двуугольники, их углы и площади. Сферический треугольник, сумма его углов. Полярность сферических треугольников. Теоремы синусов и косинусов. Эллиптическая геометрия Римана и ее связь с действительной проективной планиметрией.

4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение 1. Многогранники. 2. Измерение геометрических величин.

1.

2. Примерные темы курсовых работ Квадратичные формы и квадрики в n-мерном аффинном пространстве Аn

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Решение задач элементарной геометрии с помощью векторной алгебры Симметрия Циклоидальные кривые Метод координат на плоскости Геометрия окружностей Аксонометрия Линейная перспектива 19

9. Теоремы Штейнера, Паскаля, Брианшона и их применение к решению гео-

метрических задач. 10. Аффинная геометрия с проективной точки зрения. 11. Геометрия Лобачевского с проективной точки зрения. 12. Некоторые вопросы теории графов. 13. Элементы тензорной алгебры и ее приложения в аналитической геометрии. 14. Псевдосфера и ее внутренняя геометрия. 15. Дифференциальная геометрия линейчатых поверхностей. 16. Наложимые поверхности. 17. Развертывающиеся поверхности. 18. Развитие понятия о геометрическом пространстве. 19. Аксиоматический метод построения геометрии. 20. Обоснование евклидовой геометрии по Г. Вейлю. 21. Сферическая геометрия. Трехгранные углы и сферические треугольники. 22. Эллиптическая геометрия. 23. Геометрия плоскости Лобачевского в модели А. Пуанкаре. 24. Геометрические построения на плоскости Лобачевского, выполняемые в модели Клейна. 25. Линии постоянной кривизны на плоскости Лобачевского. 26. Теория измерения длин отрезков. 27. Равновеликость и равносоставленность фигур. 28. Теория измерения площадей простых многоугольников в евклидовой геометрии. 29. Конечные геометрии. 30. Геометрия треугольника. 3. Вопросы для курсовых экзаменов 1 семестр 1. Направленные отрезки (связанные векторы). Сонаправленность и антинаправленность, противоположность отрезков. Длина отрезка. Направленные отрезки нулевой длины. 2. Свободные векторы. Длины векторов, орты, нуль-вектор. Сонаправленность, антинаправленность, противоположность, коллинеарность, компланарность векторов. “Аксиомы” Г. Вейля, связывающие векторы и точки. Критерии равенства векторов. 3. Сложение векторов. “Правило треугольника”, его корректность. 4 закона сложения, их доказательства. Следствие о вычитании. 4. Умножение вектора на число, его 4 закона, их доказательства. Понятия линейной комбинации и линейной выражаемости векторов. Базис на прямой. Теорема о разложении вектора по базису, критерии коллинеарности векторов. 5. Базис на плоскости, теорема о разложении по нему, критерии компланарности. 20

6. Базис в 3-пространстве, теорема о разложении вектора по базису и ее

следствие. 7. Координаты вектора в данном базисе, их свойства, критерий коллинеарности. 8. Угол между (ненулевыми) векторами. Перпендикулярность векторов, поведение нуль-вектора. Ортонормированный базис (ОНБ). Проекция вектора на вектор, ее связь с углом между векторами, с координатами в ОНБ и линейные свойства. 9. Скалярное произведение векторов, его связь с длиной, перпендикулярностью, коллинеарностью и проекциями, с вектором высоты треугольника. 10. Законы скалярного умножения, их доказательства. Следствие о “сокращении”, о диагоналях параллелограмма. Неравенства для длин суммы и разности векторов. 11. Формулы скалярного произведения в координатах. Приложения к вычислению длин векторов, углов между ними, проекций, работы силы на прямолинейном пути. Критерий перпендикулярности, нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору на плоскости. 12. Правые и левые тройки и пары векторов. Векторное произведение векторов, его связь с коллинеарностью и площадью параллелограмма. Тождество Лагранжа. 13. 6 законов векторного умножения. Доказательства антипереместительного закона и закона вынесения скаляра. Ложность сочетательного закона (ассоциативности). 14. Смешанное произведение трех векторов, теорема о геометрическом смысле его знака и модуля (связь с объемами). Доказательство распределительных законов векторного умножения и законов смешанного умножения. 15. Векторное и смешанное произведения в координатах. Приложения к вычислению площадей параллелограммов и треугольников, объемов параллелепипедов и тетраэдров, высот упомянутых фигур, проверке коллинеарности и компланарности векторов, ориентации тройки векторов. 16. «Двойное» векторное произведение, доказательство тождества «бац минус цаб» и тождества Якоби. 17. Направленные углы на ориентированной плоскости, нахождение их косинусов и синусов. 18. Аффинный репер и аффинная система координат в пространстве. Радиусвектор и координаты точек. Ортонормированный репер и прямоугольная система координат (ПСК). Задачи о координатах вектора, о расстоянии между точками. 19. “Деление отрезка в данном отношении” (простое отношение трех точек), середина отрезка и центр масс треугольника. 20. Задача о замене репера. Матрица перехода к новому базису, ее невырожденность. Вывод формул преобразования координат при замене репера. Важные частные случаи: замена базиса, перенос начала, поворот осей на плоскости. 21

21. Координатное (“неявное”) задание фигур на плоскости. График уравнения

(неравенства, системы). Две основные задачи аналитической геометрии. Окружность, круг. Векторное (параметрическое) задание линий, примеры. 22. Полярная система координат на плоскости, ее связь с сопряженной ПСК. Задание фигур в полярной системе, примеры. Прямая в полярной системе координат. 23. Векторное, параметрические и каноническое уравнения прямой на плоскости. Проведение прямой через две точки. 24. Теорема об общем уравнении прямой, ее следствия о направляющем векторе, о “неполных” уравнениях, об уравнениях “в отрезках” и “с угловым коэффициентом”. 25.Задание полуплоскости с помощью линейного неравенства. 26. Взаимное расположение двух прямых. Теорема о пучке прямых. 27. Прямая в прямоугольной системе координат и метрические задачи. Нормальный вектор прямой. Геометрический смысл свободного члена в уравнении прямой и нормированное уравнение. Расстояние от точки до прямой. 28. Угловой коэффициент, его геометрический смысл. Угол между прямыми , направленный угол от прямой до прямой, биссектрисы углов, условие перпендикулярности, проведение перпендикуляров к прямым. Нахождение точки, симметричной данной точке относительно данной прямой. 29. Эллипс, его фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение формы, эксцентриситет, директориальное свойство, параметрические уравнения. 30. Гипербола, ее фокальное определение, вывод канонического уравнения. Изучение формы, асимптоты, эксцентриситет, директориальное свойство, связь со “школьной” гиперболой. 31. Парабола, вывод канонического уравнения. Изучение формы, эксцентриситет, фокальная хорда, связь со “школьной” параболой. 32. Понятие квадрики (кривой 2-го порядка), его независимость от выбора репера. Теорема о классификации квадрик, идея ее доказательства. 33. Действие переноса начала на уравнение 2-го порядка. Инварианты переноса начала. Центры квадрик, их геометрический смысл. 34. Действие поворота осей на уравнение 2-го порядка. Инварианты поворота осей. Существование угла поворота, изгоняющего произведение координат из уравнения 2-го порядка; тангенс, синус и косинус этого угла. Характеристическое уравнение для квадрики. 35. Классификация квадрик. Случай двух квадратов, метод их выделения. Эллиптические и гиперболические квадрики. 36. Классификация квадрик. Случай одного квадрата - параболические квадрики. Главные направления и оси. 37.Кривые с директориальным свойством, вывод их полярного уравнения. Переход к ПСК и идентификация с коническими сечениями. 38. Общие точки квадрики и прямой. Пересечение квадрики с прямой неасимптотического направления, “середины хорд”. Пересечение квадри22

ки с прямой асимптотического направления. Асимптоты. Поиск асимптотических направлений. 39. Понятие касательной прямой к квадрике, вывод ее уравнения, если точка касания - не центр квадрики. 40. Диаметры квадрик, вывод их уравнения, сопряженные диаметры, связь с центрами. 2 семестр 1. Неявное и векторное задания сферы. 2. Неявное и векторное задания цилиндрической поверхности. 3. Векторное задание конической поверхности. Конус второго порядка. 4. Задание линий . Винтовая линия. 5. Векторное и каноническое уравнения плоскости. Уравнение плоскости (МоМ1 М2). 6. Теорема об общем уравнении плоскости. Критерий возможности изобразить вектор в плоскости. 7. “Неполные” уравнения плоскости, уравнения “в отрезках”, примеры построения плоскостей по общим уравнениям. 8. Задание полупространств. 9. Взаимное расположение 2 плоскостей. 10.Теорема о пучке плоскостей. 11. Плоскость в прямоугольной системе координат (ПСК): нормальный вектор, геометрический смысл свободного члена , уравнение плоскости , перпендикулярной данному вектору, нормированное уравнение плоскости. 12. Расстояние от точки до плоскости и между плоскостями. Биссекторные плоскости. 13. Угол между плоскостями. Проведение плоскости, перпендикулярной к данной. 14.Векторное и канонические уравнения прямой. 15.Общие уравнения прямой и переход от них к каноническим. 16. Взаимное расположение прямой и плоскости. 17.Взаимное расположение двух прямых. 18. Угол между прямыми, условие перпендикулярности, уравнения биссектрис. 19.Угол между прямой и плоскостью, условие их перпендикулярности. 20.Проведение перпендикуляра к плоскости, к прямой. 21.Существование общего перпендикуляра скрещивающихся прямых. 22. Расстояние от точки до прямой, угол между двумя прямыми. 23.Цилиндры 2 порядка. 24. Эллипсоид, его исследование методом сечений. Прямолинейные образующие. 25. Однополый гиперболоид. 26. Двуполый гиперболоид. Прямолинейные образующие. 27. Конус 2 порядка. Сечения конуса. 28. Эллиптический параболоид. Прямолинейные образующие. 23

29. Гиперболический параболоид.

30.Прямые на однополом гиперболоиде, их свойства. 31. Прямые на гиперболическом параболоиде. 32. Понятие квадрики в R3, преобразование ее уравнения при замене репера. 33. Центры квадрик. Действие переноса начала координат на уравнение квадрики. 34.Классификация квадрик. Случай 3 квадратов. 35. Классификация квадрик. Случай 2 квадратов. 36.Классификация квадрик. Случай 1 квадрата. 37. Связь приведения квадратичной формы к главным осям с собственными векторами ее матрицы. 38. Характеристические корни и собственные векторы симметрической матрицы. 39. Приведение квадрик к главным осям. Основная теорема о классификации квадрик. 40. Общие точки квадрики и прямой. 41. Асимптотические направления, касательные и диаметральные плоскости квадрик. 42.Аффинные пространства. Следствия из аксиом Г.Вейля. 43.Аффинные реперы и их замены. 44. Прямые в аффинном пространстве, отношение “между”, отрезки, лучи и углы. 45. Плоскости в аффинном пространстве. Векторное уравнение плоскости. Гиперплоскости. 46. Общее уравнение плоскости в аффинном пространстве (в матричной форме) и “геометрический смысл системы линейных уравнений”. Плоскость как пересечение гиперплоскостей. 47.Пересечение плоскостей в аффинном пространстве. 48. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве (случай неинцидентных направлений). 49.Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве (случай инцидентных направлений). 50.Наименьшая плоскость, содержащая две данные плоскости. 51. Евклидовы пространства, неравенство Коши-Буняковского, введение понятий ортогональности векторов, длины вектора, угла между векторами, ОНБ, расстояния между точками. Свойства расстояний. 52.Теорема о перпендикуляре. Вывод его уравнения в случае векторного или общего задания исходной плоскости. Нахождение расстояния от точки до плоскости. 3 семестр 1. Аффинные пространства. Аксиомы Вейля и их первоначальные следствия. Простое отношение трех коллинеарных точек, его существование и возможности. 24

2. Аффинные реперы и координаты точек в аффинном пространстве. Задача

о замене репера. 3. Прямые и плоскости разных размерностей в аффинном пространстве, их взаимное расположение. 4. Евклидовы векторное и точечное пространства. Введение расстояния (метрики) и способа измерения углов. Ортонормированные базисы и ПСК. 5. Аффинные преобразования плоскости, их формулы и возможности (теорема аффинной подвижности), строение аффинной группы для плоскости. 6. Движения и подобия евклидовой плоскости, их формулы в ОНР. Теоремы евклидовой подвижности, классификация движений и подобий плоскости. 7. Коллинеации аффинных пространств и обратные им отображения. 8. Связь коллинеаций с отображениями векторных пространств. 9. Образы плоскостей при коллинеациях. 10.Образ середины отрезка при коллинеациях. 11.Лемма Дарбу. 12.Теорема Дарбу. 13. Переход от коллинеации и связанного с нею отображения векторных пространств к автоморфизму основного поля. 14.Автоморфизмы поля действительных чисел. 15.Алгебраическое доказательство теоремы Дарбу. 16. Пример нелинейного автоморфизма аддитивной группы действительных чисел. 17.Пример неаффинной коллинеации комплексной плоскости. 18. Аффинные преобразования, их групповые и геометрические свойства. 19. Формулы аффинных преобразований (в координатном и векторном виде). Примеры. 20. Теорема аффинной подвижности, ее следствия для прямых, их частей, треугольников, тетраэдров, параллелограммов, других четырехугольников, параллелепипедов и квадрик. 21. Переносы и гомотетии, их групповые и геометрические свойства. Нормальная подгруппа переносов в группе аффинных преобразований. 22. Неподвижные точки аффинных преобразований. Строение аффинной группы. 23.Неподвижные гиперплоскости аффинных преобразований. 24.Неподвижные прямые аффинных преобразований. 25. Параллельные проекции и родственные преобразования аффинной плоскости. 26. Теорема подвижности для родственных преобразований. 27.Разложение аффинных преобразований плоскости на родственные. 28. Жорданова форма матриц линейных операторов двумерных действительных векторных пространств. 29. Классификация аффинных преобразований плоскости с неподвижной точкой. 30. Классификация аффинных преобразований плоскости без неподвижных точек. 25

31. Движения евклидова пространства, их групповые и геометрические свой-

ства, формулы в ОНР. 32. Связь движений с изометрическими (ортогональными) операторами векторных пространств. 33.Канонический вид матрицы изометрического оператора. 34. Классификация движений трехмерного пространства с неподвижной точкой. 35.Классификация движений трехмерного пространства без неподвижных точек. 36. Разложение движений на отражения. Примеры композиций отражений. 37. Разложение аффинных преобразований на движения и растяжения (геометрический подход). 38. Разложение матрицы в произведение ортогональной и диагональной. 39. Подобия, их групповые и геометрические свойства. 40. Неподвижные точки подобий. Классификация подобий плоскости и трехмерного пространства. 4 семестр 1. Центральная проекция прямой на прямую, плоскости на плоскость. Их свойства и недостатки. Перспективы эллипса. Основные задачи проективной геометрии. 2. Расширенные аффинные пространства как основные модели проективной геометрии. Проверка законов инцидентности в них. 3. Однородные координаты. Арифметические модели проективной планиметрии, их изоморфность расширенным аффинным плоскостям. Перспективы в них. Уравнение прямой (каноническое, общее, параметрические). 4. Аксиомы инцидентности. Абстрактные проективные пространства. Их модели и проверка законов инцидентности в моделях. 5. Большой принцип двойственности. Доказать, что в абстрактном проективном пространстве прямая содержит не менее 3 точек, и что если точка инцидентна двум плоскостям, то она инцидентна их общей прямой. Сформулировать двойственные утверждения. 6. Доказать, что если прямая и плоскость не инцидентны, то им инцидентна единственная точка, и что через 3 неколлинеарные точки проходит единственная плоскость. Сформулировать двойственные утверждения. 7. Доказать, что вне прямой (плоскости) в проективном пространстве имеется точка. Сформулировать двойственные утверждения. 8. Доказать, что вне прямой на проективной плоскости имеется точка. Каково двойственное утверждение? 9. Трехвершинник и двойственный объект в пространстве. Теорема Дезарга (неплоский случай). 10.Теорема Дезарга (плоский случай). 11. Одной линейкой провести через данную точку прямую, параллельную двум данным прямым. 12.Аксиомы проективной плоскости, малый принцип двойственности. 26

13.Аксиома Дезарга, связь с двойственностью. 14. 4-вершинник и 4-сторонник. Постулат Фано и двойственное утверждение. 15.Гармонические четверки. 16.Теорема о 4-й гармонической. 17. Проективные реперы и однородные координаты в них на проективной прямой. Замена репера. Проективная координата точки на прямой. Построение точки по координате. 18. Проективные реперы и координаты в них на проективной плоскости. Замена репера. 19.Выполнение аксиом Дезарга и Фано в арифметических моделях. 20. Аксиома Паппа, ее выполнимость в арифметических моделях и связь с аксиомой Дезарга. 21. Ангармоническое отношение 4 точек, его свойства и вычисление. Связь с простым отношением в аффинной плоскости. 22.Критерий гармонизма. 23. Построение на аффинной плоскости середины отрезка по заданной параллельной прямой и обратная задача. Линейные однородные преобразования, их проективность. 24. Связь аффинных преобразований с линейными однородными преобразованиями проективной плоскости. 25.Теорема проективной подвижности в аналитической форме. 26.Связь перспектив с линейными однородными преобразованиями. 27.Проективные биекции прямых. Теорема Штаудта. 28. Разложение проективной биекции прямой на прямую в композицию перспектив. 29. Построение образа точки при проективной биекции прямой на прямую. 30.Теорема о проективных преобразованиях плоскости. 31. Пример биекции, сохраняющей коллинеарность, но не сохраняющей ангармонические отношения. 32.Неподвижные точки проективного преобразования плоскости. 33.Неподвижные прямые проективного преобразования плоскости. 34. Найти неподвижные точки и прямые данного проективного преобразования. 35.Понятие квадрики на проективной плоскости и его геометричность. 36.Упрощение уравнений квадрик методом Лагранжа. 37.Классификация квадрик на действительной проективной плоскости. 38.Взаимное расположение квадрики и прямой. 39.Касательные к квадрикам. 40.Поляры и полюсы, теорема о поляритете. 41. Теоремы о касательной прямой к квадрике и о полярной сопряженности. 42.Построение поляры и касательных к овальной квадрике. 43.Пучки прямых. Теорема Штейнера. 44. Определяемость овальной квадрики 5 точками, теоремы Паскаля и Брианшона. 27

45. Построение одной линейкой точек овальной квадрики по данным 5 точ-

кам. 5 семестр 1. Понятие вектор-функции одной действительной переменной. Действия с вектор-функциями. Предел и непрерывность в.-ф. в точке. Непрерывные в.-ф. и их свойства. 2. Дифференцируемость вектор-функции, правила дифференцирования. 3. Механический и геометрический смысл производной в.-ф. 4. В.-ф. постоянной длины или постоянного направления. 5. Теорема и формула Тэйлора для вектор-функций. 6. Понятие жордановой кривой, простой дуги, гладкой кривой. Примеры. Касательная прямая и нормальная плоскость гладкой кривой, их уравнения, точки возврата. 7. Длина дуги кривой, ее вычисление, натуральный параметр и его связь с касательным ортом, вектор кривизны, кривизна, главная нормаль. 8. Теорема о соприкасающейся плоскости. 9. Репер Френе, его координатные оси и плоскости, их уравнения в случаях натурального и произвольного параметра. Формулы Френе. 10. Кривизна, ее механический смысл. Линии нулевой кривизны. 11.Кручение, его механический смысл. Линии нулевого кручения. 12. Вычисление кривизны и кручения. Теорема о натуральных уравнениях. 13. Поведение гладкой кривой вблизи ее точки относительно репера Френе. 14.Узнавание плоских кривых, их особые точки и асимптоты. 15. Эволюты плоских кривых, их особые точки и асимптоты. Эвольвенты. 16. Криволинейные координатные сети на поверхности, гладкие поверхности, касательная плоскость, нормальный вектор и его длина. “Явное” и “неявное” задание поверхностей. Плоскость в разных системах координат. 17. Поверхности вращения, их проверка на гладкость. Круговые цилиндр и конус. Сфера. Тор. 18. Линейчатые поверхности и торсы (развертывающиеся поверхности), признак торса. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности касательных, главных нормалей и бинормалей гладкой кривой. Геликоид. Лист Мебиуса. 19.Теорема о торсах. 20.Первая квадратичная форма и длины дуг на поверхности. 21. Углы между кривыми на поверхности, координатный угол, биссекторные кривые, ортогональные траектории семейства кривых и для чего они нужны. 22. Вторая квадратичная форма. Нормальная кривизна линии на поверхности, ее вычисление. 23. Нормальная кривизна поверхности в данном направлении, ее связь с кривизной нормального сечения. Асимптотические направления и линии. Омбилические точки. 28

24. Главные кривизны как экстремумы нормальной кривизны, их нахождение.

Гауссова и средняя кривизны. 25.Главные направления и линии кривизны. Координатные сети из линий кривизны. 26. Индикатриса Дюпена и типы точек на поверхности. Формула Эйлера. 27. Деривационные формулы для поверхности. Понятие об изгибании и внутренней геометрии поверхности. 28. Геодезическая кривизна линии на поверхности, ее связь с кривизной плоской проекции и вычисление (в том числе - для координатных линий). 29. Геодезические линии. Полугеодезическая сеть. “Кратчайшесть” геодезических. 30.Теоремы Гаусса и Бонне. 31. Поверхности постоянной гауссовой кривизны. Торсы как поверхности нулевой гауссовой кривизны. Их связь с линиями кривизны. 6 семестр 1. Сравнительная характеристика аксиоматического метода в “Началах” Евклида и в наши дни. 2. Равносильность пятого постулата Евклида и аксиомы Плейфера. 3. Связь пятого постулата Евклида с суммой углов треугольника. 4. Теоремы Саккери-Лежандра. 5. Сигнатура, аксиоматика, род, теория рода, математическая структура (модель) теории рода. Примеры. 6. Изоморфизм моделей (примеры). Категоричность теорий (примеры и контрпримеры). 7. Непротиворечивость теории, способы ее проверки. Ряд примеров. 8. Независимость аксиомы от остальных аксиом аксиоматики, способ проверки независимости. Примеры (включая аксиому Плейфера). 9. Аксиоматика планиметрии по Гильберту, ее характеристика. I группа аксиом, ее непротиворечивость (модели: конечная , арифметические над R и Q, Кэли-Клейна). 10. II группа аксиом Гильберта, ее проверка на моделях, упомянутых в п.9. 11. III группа аксиом Гильберта, ее связь с аксиомой (теоремой ) подвижности, проверка в арифметических моделях над R и Q. 12. IV группа аксиом Гильберта, ее проверка в арифметических моделях и в модели Кэли-Клейна. 13. Характеристика аксиоматики Атанасяна, ее непротиворечивость и эквивалентность аксиоматике Гильберта. 14.Характеристика аксиоматик Колмогорова и Погорелова. 15. Аксиоматика Вейля евклидовой планиметрии, ее непротиворечивость (арифметическая модель) и эквивалентность другим аксиоматикам (определение прямой, луча, отрезка, полуплоскости). 16. Существование для точек A,C точки D, чтобы A-D-C. Бесконечность отрезка (в аксиоматике Гильберта). 17. Конгруэнтность вертикальных углов (в аксиоматике Гильберта). 29

18. Конгруэнтность всех прямых углов (в аксиоматике Гильберта). 19. Существование середины отрезка (в аксиоматике Гильберта). 20. Теорема о внешнем угле треугольника (в аксиоматике Гильберта). 21. Пересечение прямой и окружности (в аксиоматике Гильберта). 22. V группа аксиом Гильберта, ее проверка в арифметических моделях и в

модели Кэли-Клейна. 23.Движения и проверка аксиом конгруэнтности в модели Кэли-Клейна 24. Аксиома Лобачевского. Абсолютная планиметрия и планиметрия Лобачевского, их непротиворечивость (модель Кэли-Клейна в кратком обзоре). 25.Треугольники в плоскости Лобачевского, их дефекты. 26.Четырехугольники в плоскости Лобачевского. 4-угольник Хайама-Саккери. 27.4-й признак конгруэнтности треугольников. 28. Параллельность и расходимость прямых по Лобачевскому. Угол параллельности. 29. Симметричность параллельности. Секущая равного наклона к двум прямым (в том числе - к параллельным). 30.Транзитивность параллельности. 31.Расходимость прямых, ее признаки. Теорема о расходящихся прямых. 32. Теорема о метрическом свойстве параллельных прямых. Конгруэнтность полос. 33. Существование перпендикуляра к стороне острого угла, не пересекающего другую сторону угла. 34. Существование перпендикуляра к стороне острого угла, параллельного другой стороне. 35.Теорема о функции Лобачевского, формула для нее. 36.Эквидистанты (2 определения), полугеодезические координаты. 37. Орициклы. Непротиворечивость евклидовой геометрии по Лобачевскому. 38.Измерение расстояний на карте Кэли-Клейна. 39.Перпендикулярность в модели Кэли-Клейна. Формула Лобачевского. 40.Модели Пуанкаре. 41.Двуугольники, их площади. Сферические треугольники, их площади. 42. Первая теорема косинусов на сфере. Геометрия Римана и ее связь с проективной геометрией действительной плоскости.

5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Студент, изучивший дисциплину, должен знать: основные определения, теоремы и формулы приведенных в программе разделов, понимать тесную взаимосвязь различных курсов математического профиля как на школьном, так вузовском уровнях. Студент, изучивший дисциплину, должен уметь:

30

доказывать составляющие теоретическую часть курса предложения, выводить формулы для разных геометрических величин, а также аналитические задания геометрических фигур с целью использования их при решении разнообразных задач.

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 6.1. Рекомендуемая литература Основная 1. Аргунов, Б.Н. Элементарная геометрия [Текст] : учеб. пособие / Б.Н. Аргунов, М.Б. Балк. – М.: Просвещение, 1966. – 366 с. 2. Атанасян, Л.С. Сборник задач по геометрии. Ч. 1 [Текст] /Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. – М.: Просвещение, 1973. – 256 с. 3. Атанасян, Л.С. Сборник задач по геометрии. Ч. 2 [Текст] /Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. – М.: Просвещение, 1975. – 287 с. 4. Атанасян, Л.С. Геометрия. Ч. 1 [Текст] : учеб. пособие / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. – М.: Просвещение, 1986. – 336 с. 5. Атанасян, Л.С. Геометрия. Ч. 2 [Текст] : учеб. пособие / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. – М.: Просвещение, 1987. – 352 с. 6. Базылев, В.Т. Геометрия. Ч 1 [Текст] : учеб. пособие / В.Т. Базылев, К.И. Дуничев, В.П. Иваницкая. – Б.м.:Б.и., 2004. – 351 с. 7. Базылев, В.Т. Геометрия. Ч 2 [Текст] : учеб. пособие / В.Т. Базылев, К.И. Дуничев. – М.: Просвещение, 1975. – 367 с. 8. Ефимов, Н.В. Высшая геометрия [Текст]: учеб. пособие / Н.В. Ефимов. – М.: Физматлит, 2003. – 584 с. 9. Жафяров, А.Ж. Геометрия. Ч. 1 [Текст]: учеб. пособие / А.Ж. Жафяров. – Новосибирск: Сибирское университет. изд-во, 2002. – 271 с. 10.Жафяров, А.Ж. Геометрия. Ч. 2 [Текст]: учеб. пособие / А.Ж. Жафяров. – Новосибирск: Сибирское университет. изд-во. – Новосибирск, 2003. – 267 с. 11.Погорелов, А.В. Основания геометрии [Текст]: учеб. пособие / А.В. Погорелов. – Подольск: Просвещение, 2005. – 150 с. Дополнительная 1. Аналитическая стереометрия [Текст]: сост. Ю.Н. Мухин, В.П. Толстопятов, Г.Ф. Шульгина. – Свердловск: СгПИ, 1991. – 36 с. 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в системе таблиц [Текст]: сост. Т.А. Унегова. – Екатеринбург: УрГПУ, 1999. – 34 с. 3. Геометрические величины [Текст]: сост. В.П. Толстопятов. – Екатеринбург: УрГПУ, 2005. – 22 с. 31

4. Геометрические преобразования [Текст]: сост. Ю.Н. Мухин, Т.А. Унегова, Г.Ф. Шульгина. – Екатеринбург: УрГПУ, 1996. – 32 с. 5. Дидактические материалы по векторной алгебре [Текст]: составители Г.А.Мазаева, Т.А.Унегова, Г.Ф. Шульгина. – Екатеринбург: УрГПУ, 1995. – 47 с. 6. Изображение фигур в параллельной проекции [Текст]: сост. Ю.Н. Мухин, В.П. Толстопятов. – Екатеринбург: УрГПУ, 1995. – 42 с. 7. Индивидуальные задания по аналитической планиметрии [Текст]: сост. Т.А. Унегова. – Екатеринбург: УрГПУ,. 1995. – 48 с. 8. Индивидуальные задания по конструктивной геометрии [Текст]: сост. Т.А. Унегова. – Екатеринбург: УрГПУ, 1999. – 34 с. 9. Индивидуальные задания по теме «Методы изображений» [Текст]: сост. В.П. Толстопятов. – Екатеринбург: УрГПУ, 1995. – 36 с. 10.Комплект индивидуальных заданий по курсу дифференциальной геометрии [Текст]: сост. В.П. Толстопятов, Т.А. Унегова. – Екатеринбург: УрГПУ, 1994. – 28 с. 11.Конструктивная геометрия в вопросах и ответах [Текст]: сост. Т.А. Унегова. – Екатеринбург: УрГПУ, 2000. – 24 с. 12.Линии и поверхности в евклидовом пространстве [Текст]: сост. В.П. Толстопятов. – Екатеринбург: УрГПУ, 1997. – 60 с. 13.Основные математические структуры курса геометрии [Текст]: сост. В.П. Толстопятов. – Екатеринбург: УрГПУ, 1995. – 26 с. 14.Основные методы и приемы решения задач конструктивной геометрии [Текст]: пособие для студ. педвузов и учителей; сост. Н.В. Дударева. – Екатеринбург: УрГПУ, 2001. – 92 с. 15.Планиметрия Лобачевского [Текст]: сост. В.Н. Габушин. – Екатеринбург: УрГПУ, 2001. – 50 с. 16.Построения циркулем и линейкой [Текст]: сост. Ю.Н. Мухин, Г.Ф. Шульгина. – Екатеринбург: УрГПУ, 1992. – 31 с. 17.Проективные факты в решении элементарно-геометрических задач [Текст]: сост. В.П. Толстопятов. – Екатеринбург: УрГПУ, 2000. – 42 с.

7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1. Наборы карточек с изображениями поверхностей второго порядка. 2. Модели конической, цилиндрической поверхности, однополостного гиперболоида, гиперболического параболоида, модели правильных и полуправильных многогранников.

32

8. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ПРОГРАММЫ Мухин Юрий Николаевич доктор физико-математических наук профессор заведующий кафедрой геометрии УрГПУ Габушин Владислав Николаевич кандидат физико-математических наук доцент доцент кафедры геометрии УрГПУ Унегова Татьяна Александровна кандидат физико-математических наук доцент доцент кафедры геометрии УрГПУ Раб. телефон (8-343) 371 29 10

33

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине «Геометрия» для специальности «050201 – Математика» по циклу ДПП.Ф.07 – Дисциплины предметной подготовки (федеральный компонент)

Подписано в печать Формат 60х84/16 Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 2 Тираж экз. Заказ Уральский государственный педагогический университет. 620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26

34