Лабораторная работа ''Распределение Больцмана''

Министерство образования Российской Федерации

Аннотация

Восточно-Сибирский государственный технологический университет

Целью предлагаемой лабораторной работы – изучение распределение Больцмана, определение эффективной температуры частиц воды, изучение коэффициента воды, изучение коэффициента диффузии и коэффициента подвижности. В установке частицы получаются методом ультразвуковой кавитации. В результате истечения частиц через отверстие в ячейке в вертикально установленной стеклянной трубке возникает распределение частиц, концентрация которых по высоте меняется по экспоненциальному закону. В работе измеряется прозрачность столба частиц воды оптическим методом, передвигая по штативу лампочку с приемником излучения.

Лабораторная работа 17 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Ключевые слова: Распределение Больцмана, генератор, кавитация, концентрация, коэффициент диффузии, подвижность, ячейка, закон Бугера, коэффициенты Эйнштейна, эффективная температура.

Составители: Ринчинов А.П. Санеев Э.Л.

Издательство ВСГТУ Улан-Удэ, 2004

2

Описание установки

Введение Молекулы любого газа находятся в поле тяготения Земли. Если бы не было тяготения, то атмосферный воздух рассеялся бы по всей вселенной. Если не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они «упали» бы на Землю. Совместные действия поля тяготения и теплового движения приводят к такому состоянию атмосферы, при котором концентрация и давление газа убывают с возрастанием высоты над Землей. Выражение, описывающее распределение молекул по высоте в изотермической атмосфере, получено Л. Больцманом [1]:  m gx   Fx  n x = n0 exp − 0  = n0 exp  ,  kT   kT  (17.1) где nx – концентрация частиц воздуха на высоте х; n0 концентрация частиц воздуха на уровне моря (при х = 0); m0 – масса молекулы, g - ускорение свободного падения; х высота, отсчитанная от поверхности Земли; k - постоянная Больцмана; T - термодинамическая температура; F - сила тяжести. Можно показать, что формула (17.1) справедлива в случае потенциального силового поля любой природы для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. В связи с этим формулу можно переписать в общем виде [1]:  W  nx = n0 exp − n  , (17.2)  kT  где Wn - потенциальная энергия частиц на высоте х.

3

Ультразвук генерируется с помощью специальных излучателей, действие которых основано на свойстве некоторых тел изменять свои размеры под действием электрического и магнитного полей. Так, кристаллическая пластина кварца в электрическом поле ультразвуковой частоты совершает вынужденные колебания и становится излучателем ультразвуковых волн. Действия ультразвука весьма разнообразны. В жидких средах ультразвук вызывает огромные перепады давления, из-за чего в полупериод растяжения среды возникают разрывы жидкости, и образуются мелкие полости, куда устремляются растворенные в жидкости газы. В период сжатия эти полости под давлением в десятки и сотни атмосфер быстро схлопываются. Это явление называется кавитацией. В данной работе это явление используется для получения водяного пара, в котором размеры капель около 100мкм. Частицы воды диаметром около 100 мкм [2] получаются методом ультразвуковой кавитации с помощью ультразвукового генератора (1). Генератор создает вертикальный столб частиц воды в колбе (6) диаметром около 30 мм. Оптоэлектронная пара (8) позволяет измерить концентрацию частиц воды в колбе на различных высотах. Концентрация частиц, обратно пропорциональна прозрачности столба [3]. Лабораторная установка изображена схематично на рис. 1. На передней панели расположены: - мультиметр - 1; - тумблер включения осветителя - "лампа" - 2; - тумблер включения генератора - "генератор" с индикацией 3;

4

тумблер включения установок "сеть" с индикацией - 4; - ячейка для исследуемой жидкости – 5 со стеклянной трубкой – 6; - линейка - 7 для отсчета положения измерительного блока оптоэлектронной пары – 8. В установке частицы получаются методом ультразвуковой кавитации. В результате истечения частиц через отверстие в ячейке в вертикально установленной стеклянной трубке возникает распределение частиц, концентрация которых по высоте меняется по экспоненциальному закону. В работе измеряется прозрачность столба частиц воды оптическим методом, передвигая по штативу лампочку с приемником излучения.

Определение эффективной температуры частиц воды

Рассмотрим случай стационарной работы генератора (рис. 2). Тогда имеет место два процесса. Во-первых диффузионный поток частиц из ячейки (2) в вертикальном, (положительном) направлении [3] по закону: dn , (17.3) jD = −D dx где D - коэффициент диффузии. Во-вторых, движение частиц в постоянном и однородном силовом потенциальном поле 5

Земли со скоростью направленного движения u, определяемой по закону [3]: u = B⋅F , (17.4) где F = m ⋅ g = ρ ж ⋅ Vo ⋅ g - сила, действующая на частицу жидкости объемом V0, а В - подвижность частицы. Силами взаимодействия между частицами можно пренебречь. В силу стационарности процесса, концентрация частиц меняется в пространстве в соответствии с формулой Больцмана (17.1), (17.2):  Fx   W  n x = n0 exp −  = n0 exp  ,  kT   kT  (17.5) где Т - эффективная температура частиц. Поскольку, сила потенциальна, то выполняется соотношение W = - F·x . Тогда условие равновесия диффузионного (17.3) и «силового» потоков jc = B ⋅ F ⋅ n , запишется в виде: dn −D = B⋅ F ⋅n = 0. (17.6) dx Подставляя в (17.6) выражение для концентрации (17.5) можно получить D = k ⋅T ⋅ B . (17.7) Это соотношение было установлено Эйнштейном и носит его имя [3]. Из распределения Больцмана (17.5) найдем линейную зависимость ln(nx) от координаты x. ln(n x ) = ln(n0 ) + A ⋅ x , (17.8) ρ ⋅V ⋅ g ⋅ x где A = ж o . k ⋅T Значение эффективной температуры T можно определить методом наименьших квадратов через коэффициент А из выражения, которое имеет вид: 6

T=

ρ ж ⋅ Vo ⋅ g ⋅ x k⋅A

. (17.9) Для нахождения концентраций используется закон Бугера. Поскольку, в лабораторной работе используется оптоэлектронна я пара (5), то показания вольтметра (4) пропорциональ ны интенсивности излучения лампочки: I x = I ox e − χ ⋅l = I ox e − anxl , (17.10) где χ = a ⋅ n x - коэффициент поглощения, a - константа, l – расстояние, пройденное излучением. Тогда, для концентрации частиц можно получить выражение: 1 I  1 I  n x = ln ox  = ln ∞  . (17.11) al  I x  al  I x 

геометрические параметры установки. Тогда область изменения интенсивности определяется как I ∞ ≤ I x ≤ I o . Используя (17.11), в результате получаем выражение для логарифма отношения концентраций:  I∞   ln   nx  Ix   ln  = ln . (17.12)  I∞   no   ln   Io 

C учетом (17.12) перепишем (17.8): I ln(ln ∞ ) = B + A ⋅ x , Ix I где B = ln(ln ∞ ) . I0

Формула (17.13) позволяет по результатам измерения показаний вольтметра на различных высотах «x» определить эффективную температуру частиц воды по методу наименьших квадратов из выражения (17.9). Измерение коэффициента диффузии и коэффициента подвижности.

Лабораторная установка позволяет произвести оценочные измерения коэффициента диффузии частиц воды диаметром около 100 мкм, получаемых методом ультразвуковой кавитации (рис. 3).

Величину I ox = I ∞ удобно определить в результате измерений на высоте, где концентрацией частиц можно пренебречь. Такой способ позволяет учесть прозрачность колбы и 7

(17.13)

8

Число частиц диффузионн ого потока частиц ∆N из ячейки (4) за время ∆t в вертикально м, (положител ьном) направлени и [3] находится по закону: dn 1 ∆N = D S 0 ⋅ ∆t dx ∆Ω , (17.14) где S0 площадь отверстия ячейки, ∆Ω =

ST - телесный угол разлета H2

частиц S T - площадь сечения колбы, Н - высота столба частиц (высота, на которой концентрацией частиц можно пренебречь). Тогда выражение для коэффициента диффузии имеет вид: ∆N . (17.15) D= dn 1 S 0 ∆t dx ∆Ω Число частиц диффузионного потока частиц ∆N за время ∆t находится в результате измерения убыли жидкости в ячейке (4) за время измерения: 9

∆M ′ S ⋅ ∆h′ = , (17.16) m0 V0 где массовый расход жидкости ∆M ′ = ρ ж ⋅ S ⋅ ∆h′ , а масса одной частицы m0 = ρ ж ⋅ V0 , ∆N =

∆h' - изменение высоты жидкости в ячейке за время ∆t (рис. 3), т.е. изменение уровня жидкости в ячейке до и после включения генератора на время. Производная концентрации частиц по координате может быть определена экспериментально. Если считать, что концентрация на высоте Н равна нулю, а в низшей точке равна концентрации частиц в ячейке n0, то: dn n0 ∆h , (17.17) ≈ = dx H V0 ⋅ h ⋅ H где n0 находится как отношение полного числа N0 частиц в ячейке к объему ячейки, заполненному частицами жидкости V = S ⋅ h . Полное число частиц N0 в ячейке находится как отношение массы жидкости ∆M = ρ ж ⋅ S ⋅ ∆h , превращаемой в частицы к массе одной частицы m0 (∆h - измерение высоты жидкости в результате работы генератора). Подставляя в формулу (17.15) выражения для числа частиц диффузионного потока (17.16) и производной концентрации частиц (17.17), получаем окончательно формулу для нахождения коэффициента диффузии: ∆h ′ ⋅ h ⋅ S ⋅ S T D= . (17.18) ∆h ⋅ S 0 ⋅ H ⋅ ∆t При известной температуре частиц (17.9) соотношение (17.7) позволяет определить коэффициент подвижности: D B= . (17.19) kT

10

Цель работы: Изучение распределения частиц воды в поле тяготения Земли. Приборы:

Приборы

Предел Цена Точность Погрешность измерения деления

Линейка Мультиметр Принадлежности: ультразвуковой генератор, ячейка с водой, оптоэлектронная пара. Ход работы: 1. Залить исследуемую жидкость в "стакан" генератора между двумя рисками. Включить лабораторную установку тумблером "сеть". 2. Включить осветитель. 3. Включить вольтметр. 4. Снять показания вольтметра U∞. 5. 6. Включить генератор - наблюдать возникновение "столба" частиц жидкости. Внимание!!! Время непрерывной работы генератора не должно превышать 10 минут. 7. Перемещая оптоэлектронную измерительную систему, снять зависимость показаний вольтметра от положения оптоэлектронной пары по линейной шкале. Результаты измерений занести в таблицу. Выключение производиться в порядке обратном 8. включению. По зависимости (17.13) методом наименьших 9. квадратов определить эффективную температуру по формуле (17.9). Оценить погрешность [4]. Построить график зависимости y(x). 10. 11. Измерить параметры установки: S, ST, So, h, ∆h. 11

12. Включить лабораторную установку тумблером "сеть". 13. Включить генератор одновременно с секундомером. Внимание!!! Время непрерывной работы генератора не должно превышать 10 минут. 14. Через время ∆t определить высоту "столба" частиц жидкости – H и изменение высоты жидкости в ячейке - ∆h'. Результаты измерений занести в таблицу. По формулам (17.18) и (17.19) определить 15. коэффициент диффузии и коэффициент подвижности частиц жидкости. Оценить погрешность [4]. Измерения.

Таблица 1. x2 , x,

Ux,

(U∞/ Ux)

1 2 … n Ср.

-

-

Таблица 2. ∆t ,

12

H,

y = ln[ln(U∞/ x·y Ux)]

∆h',

Контрольные вопросы

1. Что такое концентрация, ускорение свободного падения, термодинамическая температура? 2. Распределение Больцмана. Распределение Максвелла – Больцмана. 3. Как должна была бы изменяться с высотой термодинамическая температура для того, чтобы атмосферное давление не зависело от высоты? 4. Что такое ультразвуковая кавитация? 5. Объясните физический смысл коэффициента диффузии, коэффициента поглощения, коэффициента подвижности. 6. Чему равна плотность воды? 7. Укажите геометрический смысл телесного угла. 8. Почему эффективная температура частиц жидкости не равна комнатной температуре?

Подписано в печать 4.01.2004 г. Формат 60х84 1/16, Усл. п. л. 0,93. Тираж 50. экз. Заказ №7 Издательство ВСГТУ, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40.в.

Рекомендуемая литература

1. Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные Законы. -М: Физматлит, 2001. С.54. 2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекулярная физика. -М: Наука, 1979. 561с. 3. Ринчинов А.П., Санеев Э.Л. Обработка данных физического эксперимента. -Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2003. 8с.

13

14