Математика: Методические указания и задания к контрольной работе

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Рекомендованно к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственый университет»

Оренбург 2004

ББК 22.161 я73 Л 64 УДК 517 (075)

Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент Л.М. Невоструев

Л64

Литвиненко О.Д. Математика: Методические указания и задания к контрольной работе . – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. – 20 с.

Работа содержит задания и методические рекомендации по выполнению контрольной работы курса математики. Предназначена для студентов заочного отделения специальности 290500.

ББК 22.161. я73

© Литвиненко О.Д., 2004 © ГОУ ОГУ, 2004

Введение Математика является одним из важнейших элементов в образовании современного инженера. Современный инженер должен не только знать основы математики, но и хорошо владеть всеми новейшими математическими методами исследования, которые могут применяться в области его деятельности. Сегодня никакая научная и инженерная работа невозможна без математики. В процессе обучения студенту постоянно приходится пользоваться математикой. Такие основные предметы, как физика, теоретическая механика, сопротивление материалов, строительная механика и многие другие широко применяют математические методы. Математика способствует развитию логического мышления, именно поэтому, в наше время, несмотря на появление и распространение различных компьютерных математических и инженерно-строительных программ, овладение этой наукой по-прежнему остается актуальным. При изучении математики очень существенно решение задач. Еще Ньютон высказывал мнение, что эта сторона дела важнее, чем усвоение теории. Пожалуй полностью с эти согласиться нельзя, но нет сомнения, что для инженера одно лишь теоретическое знакомство с материалом было бы бесполезно. В соответствие с учебным планом студенты-заочники специальности «Городское строительство и хозяйство» выполняют письменную контрольную работу. Данное пособие содержит методические указания по подготовке к контрольной работе по математике. Специфика работы с пособием состоит в том, что студент сначала знакомиться с требованиями к оформлению контрольной работы, с образцом решения типовых задач, входящих в данный курс, а затем переходит к самостоятельному выполнению заданий конкретного варианта. Отбор материала и способы его изложения строились автором так, чтобы у студента постепенно складывалось цельное представление об основных математических идеях и методах. Автор стремился вложить в руки пользователя простой, но эффективный инструмент необходимый для разрешения прикладных задач разного уровня.

1 Оформление контрольной работы Выполненная контрольная работа должна соответствовать следующим требованиям: - контрольная работа должна быть выполнена и представлена на рецензирование в срок, установленный графиком; - лицевой бланк следует оформить согласно образцу, представленному в приложении; - задачи следует решать в том порядке, в котором они приведены в варианте; - решение задач следует сопровождать необходимыми формулами, подробными расчетами и пояснениями. Необходимо четко формулировать выводы, раскрывающие значение исчисленных показателей; - работа должна быть написана разборчиво, без помарок, аккуратно оформлена. В работе допускаются лишь общепринятые сокращения, каждая страница должна иметь поля для замечаний; - в конце работы нужно привести список используемой литературы (автор, название учебника), поставить подпись и дату выполнения работы; - в случае отсутствия замечаний работа допускается к собеседованию. При наличии замечаний перед выходом на собеседование необходимо внести исправления. Собеседование оценивается зачетом. Студенты, не получившие зачета по письменной работе, к экзамену не допускаются. Если выполнение работы вызывает затруднения, следует обратиться за устной или письменной консультацией на кафедру.

2 Образец решения задач +∞

dx

∫ 1+ x

Задача 1. Исследовать сходимость:

2

0

+∞

Решение: По определению ∫ dx 2 = lim ∫ dx. 2 = lim arctg (b) = π 2 1+ x b → +∞ b → +∞ 0 1 + x b

0

Так что интеграл

+∞

dx

∫1+ x

2

сходится и равен

0

π 2

.

Задача 2. Найти неопределенные интегралы: a)

∫

x 3dx 3

x4 + 1

Решение: Сделаем замену переменной x 4 + 1 = z , тогда dz = 4 x 3 dx 1 x 3 dx 1 dz 1 − 3 3 3 = ∫ 3 = ∫ z dz = 3 z 2 + c = 3 ( x 4 + 1) 2 + c, Поэтому ∫ 3 4 8 8 z 4 x +1 4 где c = const. б)

∫x

2

2 x dx

Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям ∫ udv = uv − ∫ vdu Здесь u = arcsin( x), dv = откуда находим du =

dx

x +1 dx 1− x

2

, ,v = ∫

dx x +1

= 2 x +1

Применяя вышеуказанную формулу, получим

∫x

2

2 x dx = 2 x + 1 arcsin( x ) − 2 ∫ x + 1

= 2 x + 1 arcsin( x ) + 4 1 − x + c

где c = const.

dx

1− x2

= 2 x + 1 arcsin( x ) − 2 ∫

dx

1− x

=

в)

dx

∫ sin x x 2

Решение: Применяем подстановку tg ( ) = t , откуда sin( x) = Поэтому

dx

2t 2 , dx = . 2 1+ t 1+ t2

dt x = ln t + c = ln tg ( ) + c , где c = const. t 2

∫ sin x = ∫

Задача 3. Вычислить определенные интегралы а)

1

∫ (2 x

3

− 1) x 4 − 2 x + 1dx

0

Решение: Сделаем замену t = x 4 − 2 x + 1 . В данном случае выражать x через t, т.е. находить функцию x = ϕ (t ) не нужно! Дифференцируя это равенство, получим dt = (4 x 3 − 2)dx , откуда ( 2 x 3 − 1) dx = 12 . 3 1

Поэтому будем иметь б)

0

1 1 1 1 t2 ∫0 (2 x − 1) x − 2 x + 1dx = 2 ∫1 t dt = 2 32 = 0 − 3 = − 3 3

4

π

∫ (π −x) sin xdx 0

Решение: Воспользуемся формулой

b

b

a

a

∫ udv = uv − ∫ vdu

В данном интеграле u = π − x, dv = sin xdx, тогда du = −dx, v = − cos x , π

π

0

0

∫ (π −x) sin xdx = −(π − x) cos x − ∫ cos xdx = π

поэтому

.

Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1 − x 2 , x = 2 и осями Ox и Oy. Решение: Воспользуемся тем, что если функция f(x) меняет свой знак при переходе x через точку c ∈ (a, b) , т.е. часть криволинейной трапеции abBA расположена над осью Ox, а другая часть под осью Ox, то площадь всей фигуры будет равна сумме двух площадей (рис.1) c

b

a

c

Q = Q1 + Q2 = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx

или

c

b

a

c

Q = ∫ f ( x) dx − ∫ f ( x)dx

Рисунок 1-Площадь фигуры Q

В данном случае 1

2

Q = ∫ (1 − x ) dx − ∫ (1 − x 2 ) dx = 2

0

= x−

1

x3 x3 1 8 1 −x+ = 1 − − 1 + − = 2( кв.ед ) 3 3 3 3 3

Рисунок 2- Площадь искомой фигуры

Задача 5. Найти длинну одной арки цеклоиды (рис.3). x = a (t − sin t ), y = a (1 − cos t ),0 ≤ t ≤ 2π , a > 0

Решение:

Рисунок 3-Арка циклоиды 2π

2π

2π

t S = a ∫ (1 − cos t ) + sin tdt = a ∫ 2 − 2 cos t dt = a ∫ 4 − sin 2 dt = 2 0 0 0 2

2π

2π

2

t t t = 2a ∫ sin dt = 2a ∫ sin dt = −4a cos = 8a (ед). 2 2 2 0 0

3 Варианты контрольной работы Вариант 0 1

Исследовать сходимость: ⌠  ⌡

0

x

x⋅ e dx

−∞

2 Найти неопределённые интегралы: а)

б) ⌠    ⌡

x

dx

2

x + 4x + 10

в) ⌠   ⌡

⌠  2  ( ln( 4x) ) dx ⌡

1 5 − 3⋅ cos ( x)

dx

3 Вычислить определённые интегралы:

⌠   ⌡

1

⌠ −x  x⋅ 2 dx ⌡ 0

4

x 1+

x

dx

1

а) б) 4 Найти площадь фигуры, заключённой между линиями: Сделать чертёж. 5 Найти длину цепной линии между точками с абсциссами 0 и х, при х > 0 2

y := 5⋅xx + 6⋅ x − 10

− x  x 2  a y := a x − 2⋅ x + 2 a⋅  e + e  y :=

2

Вариант 1 1

Исследовать сходимость: ⌠  ⌡

∞

arctg ( x) dx

0

2

Найти неопределённые интегралы: а) б) ⌠     ⌡

( x⋅

x − 1) 3

2

dx

x

⌠    ⌡

e e

2x

в) ⌠   ⌡

x

dx −9

1 3 + 5⋅ cos ( x)

dx

3 Вычислить определённые интегралы: а) б) ⌠   ⌡

5

2

4

5

x x− 1

dx

⌠  ⌡

3

(3⋅x2 + 1)⋅ln(x2 + 1) dx

0

Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, лежащей в I четверти и ограниченной линиями: y = x3 , y = 4x Сделать чертёж. Найти длину дуги параболы y = ax 2 , при а>0 от вершины до произвольной точки с абсциссой х.

Вариант 2 1 Исследовать сходимость: ⌠    ⌡

∞

1 2

dx

x +x

1

2 Найти неопределённые интегралы: а) б) ⌠   ⌡

2⋅ x + 5 x− 3

⌠   ⌡

dx

1 x⋅ ( ln( x) + 3)

в) ⌠    ⌡

dx

( sin ( x) )

5

( cos ( x) )

2

dx

3 Вычислите определённые интегралы: а) б) ⌠    ⌡

9

1

2

⌠ 2x  ( 2x + 1)e dx ⌡

dx

2

x − 7⋅ x + 10

0

6

4 Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: 2

2

y := x

y := 2xx

x

y :=

2

Сделать чертёж. 5 Вычислить всю длину астроиды, определяемой уравнением: 2

2

3

3

x +y

2

:= a

3

Вариант 3 1 Исследовать сходимость: π

⌠4   ctg ( x) dx ⌡ 0

2 Найти неопределённые интегралы: ⌠    ⌡

2x − 5

(x

2

)

3

dx

− 5x + 4

⌠  x  x⋅ 3 dx ⌡

⌠   ⌡

а) б) 3 Вычислить определённые интегралы: а) б) ⌠    ⌡

1

0

4

1 2 + sin ( x)

dx

в)

e

2

x − x+ 1 2

1+ x

dx

⌠ 1 + 2⋅ ln( x)  dx  x ⌡ 1

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = ln x, касательной к ней в точке х = е и отрезком оси ОХ. Сделать чертёж. 5 Найти длину дуги кривой у = ln x от точки с абсциссой 1 до точки с абсциссой 3.

Вариант 4 1

Исследовать сходимость: ⌠    ⌡

2

1 3

dx

1−x

0

2

Найти неопределённые интегралы: а) б) ⌠    ⌡

1 3

⌠   ⌡

dx

2x − 3

в)

(x2 − x + 1)⋅ln(x) dx

⌠ 4   ( cos ( x) ) dx ⌡

3 Вычислить определённые интегралы: а) б) e

1

⌠  1 + 4⋅ ( ln( x) ) 4  dx x  ⌡

⌠ x− 1  ( 3x + 1)⋅ 3 dx ⌡ 0

1

4 Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, заключённой между линиями: ху= 2; х-2у = 0; у = 0; х = 4. Сделать чертёж. 5

Вычислить длину дуги y := e

x

от точки с абсциссой 0 до точки с абсциссой Х

Вариант 5 1

Исследовать сходимость: ⌠  ⌡

∞

e

−x

dx

0

2

Найти неопределённые интегралы: а) б) ⌠    ⌡

3

x 2

dx

x + 4x + 1

⌠    ⌡

в)

ln ( x) 3

⌠    ⌡

dx

x

( cos ( x) ) ( sin ( x) )

5

2

dx

Вычислить определённые интегралы: а) б) 1

⌠ −x  ( 2 − x) ⋅ e dx ⌡ 0

⌠    ⌡

5

e

x+ 4

x+ 4

dx

0

4

Найти объём тела, образованного вращением вокруг фигуры, ограниченной линиями: х у = 6; у = 1; у = 6; х = 0; Сделать чертёж. 5 Вычислить длину одной арки циклоиды: x = а (t – sin t) y = a (1 – cos t)

Вариант 6 1

Исследовать сходимость: ⌠    ⌡

3

1 2

dx

9−x

0

2

Найти неопределённые интегралы: а) б) ⌠    ⌡

3

e e

4x

⌠    ⌡

2x

− 2⋅ e

2x

dx −3

ln( x) 3

в) ⌠    ⌡

dx

x

Вычислить определённые интегралы: а) б) ⌠   ⌡

9

e

x x− 1

⌠  x⋅ ( 1 + ln( x) ) dx ⌡

dx

1

4

4

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y := ( x − 4)

2

2

y := x

y := 1

Сделать чертёж. 5

Определить длину всей кривой Штейнера: x := 2R⋅ cos 

t

 − R⋅ cos  2t  3  3  

y := 2R⋅ sin 

t

 − R⋅ sin  2t  3  3  

cos ( x) ( 1 − cos ( x) )

2

dx

Вариант 7 1 Исследовать сходимость: ⌠    ⌡

∞

1 2

dx

x + 4x + 9

−∞

2

Найти неопределённые интегралы: а) б) ⌠    ⌡

3

(

2

)

⌠   ln x + ⌡

2

x +1

в)

dx

x −1

⌠ 6   ( cos ( x) ) dx ⌡

2

1 + x dx

Вычислить определённые интегралы: а) б) 1

⌠ 2 x  x ⋅ e dx ⌡

⌠  ⌡

0

4

− ln( 2)

1−e

− 2x

dx

0

Найти площадь фигуры , заключённой между линиями: у = х, 2

y := x + 1

х = 0 , у = 2, 5

Сделать чертёж. Найти поверхность тела, образованного вращением кардиоиды x := 2R⋅ cos ( t) − R⋅ cos ( 2t) y := 2R⋅ sin ( t) − R⋅ sin ( 2t)

вокруг её оси.

0 ≤ t ≤ 2π

Вариант 8 1

Исследовать сходимость: ⌠    ⌡

∞

1 3

dx

3

x −1

2

2

Найти неопределённые интегралы: а) б) ⌠    ⌡

1

dx

2

x + 6x + 5

⌠   ⌡

x 2x + 1 + 1

3 Вычмслить определённые интегралы: а) e

⌠ 2  ( ln( x) ) dx ⌡

в) ⌠   ⌡

dx

4 + tan ( x) + 4⋅ ctg ( x)

б) ⌠    ⌡

1

1

4

2

x +3 x− 2

dx

3

4

Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной линиями х у = 6, х + у = 7. Сделать чертёж.

5

Найти поверхность тела, полученного от вращения астроды y := R⋅  sin 

t

x := R⋅  cos 

t





  4 

  4

3

3

вокруг оси ОХ.

0 ≤ t ≤ 2π

dx

Вариант 9 1 Исследовать сходимость: ⌠  ⌡

∞

e

−x

⋅ sin ( x) dx

0

2 Найти неопределённые интегралы: а) б) ⌠    ⌡

3

2x + 3 2

dx

x +1

в)

⌠  − 2x dx  ( x + 3) ⋅ e ⌡

⌠   ⌡

1 5 − 4 sin ( x) + 3⋅ cos ( x)

Вычислить определённые интегралы: а) б) 2

⌠  xln( x) dx ⌡ 1

⌠    ⌡

1

4x + 8 2

dx

x + 4x + 5

0

4 Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: х = 1, у = 0, y = xe x Сделать чертёж. 5 Найти поверхность тела, образованного вращением одной арки циклоиды x := a⋅ ( t − sin(t) ) 0при ≤ t ≤ 2π y := a⋅ ( 1 − cos ( t ) ) вокруг оси ОХ.

dx

4 Рекомендуемая литература 1 Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Под ред. Арамановича Л.И. М.: Эдиториал УРСС, 1999.-416 с. 2 Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика: Учебник для вузов. Т.2 / М.: Эдиториал УРСС, 2000.-184с. 3 Натансон И.П. Краткий курс высшей математики: Учебник для высшей школы / СПб.: Лань, 1999.-7636с. 4 Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для немат.спец.вузов / Под ред. Акад. А.Н. Тихонова / М.: Высшая школа, 1995-479с.

Приложение А (обязательное) Образец оформления лицевого бланка контрольной работы

Министерство образования Российской Федерации (14 пт) Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования Оренбургский государственный университет (14 пт) Факультет вечернего и заочного обучения (14 пт) Кафедра математического анализа (14 пт)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ (16 пт) Вариант № (14 пт)

Выполнил: студент (группа, курс, специальность, ФИО) Проверил: преподаватель (звание, должность, ФИО) Оренбург 2004 (14 пт)