Алгебра и логика, 39, N 4 (2000), 395-440
УДК 512.54
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОММУТАТОРНОЙ
ДЛИНЫ
В С В О Б О Д Н Ы Х ГРУППАХ*)
В. Г. Б А Р Д А К О В Посвящается 60-летию со дня рождения Ю. И, Мерзлякова
Напомним, что коммутаторной длиной с\(д) неединичного элемента д из коммутанта G1 группы G называется наименьшее натуральное к такое, что д является произведением к коммутаторов. Для единичного элемента е полагают cl(e) = 0. Для произвольной неабелевой группы G естественно сформулировать вопрос о вычислении коммутаторной длины произволь ного элемента д из коммутанта G1. Этот вопрос связан, с одной стороны, с решением уравнений в группе G, а с другой — с вычислением ширины коммутанта относительно множества коммутаторов. В предлагаемой рабо те изучается коммутаторная длина в свободных группах. По-видимому, первый алгоритм вычисления коммутаторной длины был построен Голдстейном и Тернером [1]. Затем Каллер [2] дал другой алгоритм вычисления коммутаторной длины, который может быть исполь зован не только для свободных групп, но и для свободных произведений. Кроме того, он установил, что если а и Ь — свободные порождающие сво бодной группы J<2, то для всякого натурального т справедливо равенство cl([a, Ъ]т) = [ш/2] + 1, где [а, Ь] = a"1b"1ab и квадратные скобки после знака равенства означают взятие целой части. Еще один алгоритм вычисления •Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект 98-01-00699.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
396
В. Г. Бардаков
коммутаторной длины можно извлечь из работы Ольшанского [3]. Все эти алгоритмы в той или иной степени используют геометрические соображе ния: графы — в работе [1] или диаграммы на ориентируемых поверхностях в [2] и [3]. В § 1 будет построен чисто алгебраический алгоритм вычисления коммутаторной длины c\(z) произвольного элемента z E F', где JP — сво бодная неабелева группа. Реализуется этот алгоритм следующим образом. Элементу z мы сопоставим некоторую подстановку <7Q из группы подста новок S n , где п = \z\ — длина элемента z. Затем определим действие неко торой группы на множестве подстановок из S n , и в орбите элемента OQ найдем подстановку, имеющую наибольшее число независимых циклов. Ес ли это число обозначить через и, то искомая коммутаторная длина равна с1(г) = ( 1 - 1 ; ) / 2 + И / 4 . В §2 исследуется вопрос: как связаны c\(z) и cl(z m ), где z 6 F ' , т € N? К этому общему вопросу примыкает несколько более частных во просов, сформулированных в [4]. Перечислим некоторые известные резуль таты. Шютценберже [5] установил, что если z ф е и га > 1, то c\(zm) > 1. Отвечая на вопрос Эдмундса и Розенбергера [4], Комерфорд, Комерфорд и Эдмунде [6] показали, что при га > 3 для всякого неединичного z E F' вы полняется неравенство cl(zm) > 2, здесь же описаны все элементы, имею щие коммутаторную длину 2. В [7] построен алгоритм, позволяющий нахо дить слова заданной коммутаторной длины. Дункан и Хоуе [8] установили неравенство cl(zm) ^ (га + 1)/2. Эта нижняя оценка коммутаторной дли ны c\(zm) является наилучшей из известных автору. К сожалению, она не зависит от коммутаторной длины самого элемента z. В настоящей статье получена подобная оценка: c\{zm) ^ (ms(z) + 6)/12, где s(z) — некоторое неотрицательное число, определенное элементом z (см. теор. 2). Во мно гих случаях это неравенство дает более точную оценку, по сравнению с оценкой Дункана—Хоуе, а также в некоторых случаях помогает находить точное значение с1(г) (см. § 4). Можно высказать предположение о том, что справедлива ГИПОТЕЗА. Для всякого элемента z из коммутанта
свободной
Вычисление коммутаторной длины
397
неабелевой группы F и всякого натурального т справедливо неравенство cl(zm)^[(m+l)/2]cl(z). В § 3 для коммутативно-ассоциативного кольца К с единицей строит ся некоторая А~-алгебра Р и исследуются ее свойства. Эта алгебра обладает делителями нуля, не является разрешимой и не имеет свойство ассоциа тивности степеней. Тем не менее, она является Л и-допустимой, а соответ ствующая ей алгебра Ли Pi является 3-х ступенно разрешимой. Здесь же будет дано определение ширины производной подалгебры произвольной алгебры А, двойственное понятию ширины коммутанта, известному в тео рии групп. Будет найдена ширина производной подалгебры алгебры Р , а также ширина производной подалгебры алгебры Ли Pi. Помимо того, что алгебра Р является достаточно интересной и сама по себе, она использу ется при доказательстве теоремы 2. В §4, с учетом результатов предыдущих параграфов, будет получе на неулучшаемая верхняя оценка коммутаторной длины cl(z m ), а также установлено, что в свободной группе F2k со свободными порождающими «1, &i,..., аь, Ь&, k £ N, для всякого натурального т справедливо равен ство cl(([a b bi)... [ojb, bk])m) ~ [(2 - m)/2] + тк. При к = 1 отсюда будет следовать результат Каллера [2]. В [4] сформулирован вопрос: какие значения может принимать функ ция cl(z m ), z e F', при фиксированном натуральном ml При т = 2 дадим ответ на этот вопрос. Будет построена такая последовательность элемен тов dk Е i^, к == 1,2,..., что ни один из них не является собственной степенью и cl(d|) = к + 1. Кроме того, там же (см. [4, вопрос 3]) авторы спрашивают: "Если [w, w][x,y] = z2 в F , то что можно сказать о группе G = гр(г;, w,x,y1z)'}.i<' Ранее было известно, что ранг G не превосходит 3. На самом деле можно показать, что ее ранг не превосходит 2. Действи тельно, существует такой автоморфизм группы F , что образы элементов v, w, ж, у, z удовлетворяют уравнению x\x\xlx\x\
= 1, левая часть которо
го является минимальным строго квадратичным словом, а потому в силу известного результата Цишанга (см. [9, гл. 1, предд. 7.8]) ранг группы G
398
В. Г. Б&рдаков
не превосходит 2. Более того, используя описание решений квадратичных уравнений (см. [3], [10, гл. 1]), можно дать полное описание элементов v, ш, я, у, z таких, что [v, w][x, у] = z2. Для конечно-порожденной группы G известно понятие функции ро ста (см. обзор [10, гл.З]). Мы свяжем с коммутантом группы F2 некоторый ряд, зависящий уже от двух переменных и содержащий информацию не только о числе элементов с заданной длиной, но и о числе элементов с заданной коммутаторной длиной. По ходу изложения формулируются вопросы, ответы на которые, как мне кажется, помогут лучше понять строение некоторых групп и алгебр.
§ 1. Описание алгоритма Будем рассматривать свободную двупорожденную группу F2 со сво бодными порождающими а и b (обобщение на случай свободной группы F произвольного ранга не представляет особого труда). Пусть z — нееди ничный элемент из коммутанта F^. Так как z и любой сопряженный с ним элемент имеют одинаковую коммутаторную длину, то, не уменьшая общ ности, будем считать, что z представлен циклически приведенным словом * = cic2...cn,
Ci e {а±г,Ь±1}.
(1)
Всюду в дальнейшем под циклически приведенным словом понимается слово, являющееся циклически приведенным в свободном произведении F2 = гр(а) * гр(Ь). Поэтому в разложении (1) первый и последний символ лежат в разных множителях группы F2. Сопоставим слову z (чтобы не вводить новые обозначения, будем обозначать элемент группы и предста вляющее его слово одним и тем же символом) множество М = {1, 2 , . . . , п}, мощность которого равна длине слова z. Выделим в этом множестве че тыре непересекающихся подмножества: А = {г G М | с^ = а},
А = {j £ М \ Cj = а " 1 } ,
В = {к 6 М | ск = Ь},
B = {leM\ci
= Г1}.
399
Вычисление коммутаторной длины
Очевидно, объединение этих подмножеств совпадает со всем множеством М. Кроме того, поскольку z лежит в коммутанте, мощность множества А равна мощности множества А, а мощность множества В — мощности множества В. Пусть для определенности \А\ = \А\ = р, |В| = |В| = д. Очевидно, п = \М\ -- 2(р + q). Назовем а-спариванием взаимно однозначное отображение /i : А —> —у А множества А на множество А, а b-спаривапием — взаимно одно значное отображение v : В —* В множества В на В. Спариванием w, соответствующим слову z, назовем пару и = (^, и), которую будем рассма тривать как отображение и> : А X В —> Ах В, действующее по правилу: (а, (3)ш = (а^, /3й), где (а, /3) € А х В, а а** и /3" — образы символов а и /3 при действии отображений /i и г/ соответственно. Все множество спарива ний, соответствующих слову z, будем обозначать символом Q ~ Q(z). Построим по каждому спариванию и? из Q компактную ориентиру емую поверхность Рш. Пусть множество А состоит из чисел i\ < %2 < < . . . < гр, а множество В — из чисел Ji < J2 < • • • < jq- Слову z вида (1) сопоставим новое слово zw над расширенным алфавитом X = = с
{ a f 1 , . . . , а^ 1 ,
б*1,
. . . ,Ь^ 1 },
заменяя
соответственно
символы
с
п»• • • ? *р символами a i , . . . , аР) символы с^х \, . . . , с ^ ) символами
a j " 1 , . . . , a" 1 , символы c J ] t ,..., cJ
400
В. Г. Бардаков
тать слово Zcj-. Если мысклеим пары граничных ребер диска D, имеющие одинаковые метки, то получим компактную ориентируемую поверхность РШ) род д(Рш) которой равен коммутаторной длине c l ( ^ ) слова zw (см. [11, гл. 1, § 5]). Для коммутаторной длины самого слова z справедлива Л Е М М А 1 [1]. Для произвольного элемента z из коммутанта F^ выполняется равенство c\(z) = т т ^ Ц г ^ ) | и) £ £2}. Таким образом, задача вычисления коммутаторной длины cl(zw) сво дится к задаче вычисления рода д{Рш) поверхности Рш. Найти род д(Рш) исходя из определения, т.е. склеить из диска поверхность и подсчитать число ручек, достаточно сложно. Поэтому сведем эту задачу к простому подсчету числа независимых циклов некоторой подстановки. Сопоставим спариванию и) = (д, и) Е ^ подстановку аш
=
( 1 , 2 , . . . ,га)• (г ь /x(ti)) (i 2 , /i(i 2 )). •.
• • • (*Р, мЫШь Kii))(J2, ^ Ы ) . . . (jg, *&))
(2)
из симметрической группы S n . Эта подстановка является произведением цикла длины п и га/2 независимых транспозиций, определенных в соответ ствии со спариванием и. Справедлива Л Е М М А 2. Коммутаторная длина c\(zj) равна cl(*w) = ( l - v w ) / 2 + Ы / 4 , где i7w — число независимых циклов подстановки ош, а \гш\ — длина слова zw в алфавите X. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Используем одну конструкцию из [12] (ее краткое изложение, а также некоторые приложения содержатся в [13]). Сопоставим циклу (1,2,...,га), входящему в представление подста новки ст^, диск Do, граница которого разбита нагаребер, ориентированных по часовой стрелке и помеченных символами 1,2, ...,га так, что, обходя границу диска Do по часовой стрелке, прочитаем цикл ( 1 , 2 , . . . , га). Анало гично каждой трансвекции, входящей в правую часть представления (2), сопоставим диск с границей, разбитой на два ребра, каждый из дисков
Вычисление коммутаторной длины
401
помечен символом, входящим в трансвекцию, но ребра этого диска ориен тированы против часовой стрелки. Обозначим эти диски символами Di, D 2 , . . . , Dp+q, соответственно. Будем приклеивать границы этих дисков к границе диска D 0 по ребрам, имеющим одинаковые метки, в соответствии с их ориентацией. В результате получим замкнутую компактную ориенти руемую поверхность Q^. Как было установлено в [12], число вершин этой поверхности совпадает с числом независимых циклов подстановки аш. Заметим, что построенная поверхность Q^ гомеоморфна построенной ранее поверхности Рш. Действительно, удаляя из поверхности Q^ внутрен ности дисков D i , . . . , Dp+q, заклеивая полученные дыры, а также отожде ствляя соответственно ребра г ь . . . , гр, j i , . . . , j q и ^ ( i i ) v • • > АФР)> A*(ii)»- • • > fj>(jq) (черта означает переход к ребру с противоположной ориентацией), видим, что полученная поверхность гомеоморфна Рш. Поскольку выпол ненные преобразования не меняют эйлерову характеристику, то и QM го меоморфна P w . Сравнивая эйлеровы характеристики поверхностей Q^ и Рш, видим, что у них одинаковое число вершин. Следовательно, поверхность Рш име ет vw вершин. Воспользуемся далее формулой Эйлера—Пуанкаре (см. [11, гл. 1, § 8]): v~e+f
= 2-2#, где v — число вершин, е — число ребер, / — чис
ло граней, a g — род ориентируемой поверхности. В нашем случае v = vw, е = kw|/2, / = 1 , 5 = g{PJ) = d(zw)- Тогда из формулы Эйлера—Пуанкаре находим: с\(гш) = (1 — юш)/2 -j- \zM\/4, и требуемая формула установлена. Непосредственно из лемм 1 и 2 вытекает Л Е М М А 3. Коммутаторная длина слова z равна cl(*) = ( l - „ ) / 2 + | z | / 4 , где v = max{i>w | и 6 Я}. Теперь зададим действие группы Sp x 5 9 на множестве подстановок Е = {аш | ы Е Я}. Определение действия группы на множестве содержит ся, например, в [14, гл. 4, § 11]. Сопоставим введенным выше множествам А, Л, J3, В векторы г, г, j , J соответственно. Координаты этих векторов расположены в возрастающем
402
В. Г. Вардаков
порядке, и г = (г ь г 2 , . . . , г р ) ,
если А = { г ь г 2 , . . . , г р } , если
i — (*ь*2>- -->*р)?
А ={ii,i2,...,ip},
J = (ii»j2i...,ip),
если В =
7 = (7i»72»---»J P ),
ес
^и # =
XJlJJ2i•'•1JqJ*
Определим начальное спаривание UQ = (//0,2/0) € О, полагая /^о(ч) = «fc, fc = 1,...,р, ^o(j'0 =Jh I = 1,.-.,9Пусть г — некоторая подстановка из 5 т , а = (а?!,..., а т ) — век тор длины га. Тогда символом т[а] будем обозначать взаимно однознач ное отображение множества { a i , . . . , a m } на себя, определенное по пра вилу: т[а](а&) = ®T(k)i ^ = 1, ...,wi. Если ri — другая подстановка из 5 Ш , то положим (rri)[a] = r[a]ri[a]. Рассмотрим некоторое спаривание со = (//,!/) G П и пару подстановок 5 = (г,/>) Е 5 Р X 5 д . Положим u>s == (jur, z/p), где /хг и vp — а- и fc-спаривания, определенные равенствами:
Легко проверить, что так определенное отображение fit X (S p X 5^) —>• Я! является действием группы Sp X Sq на множестве спариваний Q. Распро страним это действие на множество подстановок Е, полагая (<тш)8 = сг^*, ( j w 6 S , Справедлива Л Е М М А 4. Пусть аш — подстановка из множества Е, отвечаю щая спариванию и — {ji^v) £^}
и s — (т,р) — пара подстановок из группы
Sp X Sg. Тогда (ашу = аш • т[г] • уГ1т"1\%\^ • p[J] • v~lp~lU\v, где действие подстановки /^~1т~1[г]// на символ х определяется по прави лу: ft"1(T~1[i]fi(x)),
действие подстановки v~1p~1(J]v определяется ана
логично. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку и8 = (/i r , i/'), то р
«
(7W- = (1,2,...,гг)Д(гА;,г[г](м(^)))ДО'/,рС7]г/0'/)). *=1
Ы
403
Вычисление коммутаторной длины Тогда р
q
p
q
Ь=1
/=1
/с=1
/=1
и нам достаточно проверить равенство подстановок:
к~1
1-Х
fc=l
= 1-Й • ^ ( ^ Ш
/=1
• />Ш • ^ ( Р
- 1
^).
(з)
Рассмотрим некоторый символ iu G Л и найдем его образ под действи ем левой подстановки. Нетрудно проверить, что он равен /^~ 1 (г~ 1 [г]^(г^)). При действии правой подстановки на %k нетривиально будет действо вать только подстановка /х""1г~1[г]/х, и она переведет символ г& в символ /г""1(г~1[г]/х(г^)), т.е. на символах из множества А выполняется равенство (3). Рассмотрим теперь символ fi(ik) £ А. Под действием левой подстанов ки он перейдет в т[г](д(г^)). При действии правой подстановки нетривиаль ным образом на символ /i(ifc) будет действовать только подстановка гр], которая переведет его в символ г[г](/х(гд.)). Аналогичным образом равен ство (3) проверяется для символов из множеств В и В. Лемма доказана. Установим взаимно однозначное соответствие между множеством подстановок Sp X Sq и множеством спариваний Q, сопоставив тождествен ной подстановке начальное спаривание и0, а произвольной подстановке s = (т,р) Е Sp X Sq спаривание и& = (/^о?^о)- Тогда все множество спа риваний fi является орбитой, полученной из начального спаривания при действии группы SpxSq.
Следовательно, все множество подстановок Е яв
ляется орбитой ОгЬ(сго) подстановки <JQ = аШо, построенной по начальному спариванию и0 при действии группы Sp X Sqy т. е. £ = Qrb(u;o). Мы получили чисто алгебраический алгоритм вычисления коммута торной длины с1(г): по начальному спариванию OJQ строим подстановку сто; используя лемму 4, находим орбиту этой подстановки при действии груп пы Sp X Sq; в этой орбите выбираем подстановку, имеющую наибольшее число независимых циклов, и по лемме 3 вычисляем cl(z). При реализации этого алгоритма приходится перебирать все подста новки, лежащие в орбите ОгЬ(о;0), число которых равно plql Покажем,
404
В. Г. Бардяков
что в некоторых случаях (например, когда z является собственной сте пенью) число перебираемых подстановок можно уменьшить. Рассмотрим правильный гс-угольник, вершины которого занумеруем числами 1,2,..., п при обходе многоугольника по часовой стрелке. Хорошо известно (см., на пример, [15, гл. 7, § 3]), что группой преобразований симметрии этого пугольника является группа диэдра D n , которая порождается вращением многоугольника в его плоскости на угол 2тг/п вокруг центра вписанной в многоугольник окружности и отражением многоугольника относитель но оси, проходящей через центр и одну из вершин. Ранее мы сопоставили слову z длины п четыре непересекающихся подмножества A, A, В, В , объ единение которых равно М = {1, 2 , . . . , п}. Будем называть множества А и А, а также В я В противоположными. Группой симметриии Sym(z) сло ва z назовем максимальную подгруппу группы диэдра D n , обладающую следующим свойством: всякий элемент из Sym(z) является подстановкой множества {А, А, В, В}, причем образы противоположных множеств будут противоположными. Группа симметрии Sym(z) является подгруппой группы SPX Sq. По этому Sp x Sq можно представить в виде объединения левых смежных классов по подгруппе Sym(z). Определим действие группы Sym(z) на мно жестве подстановок Е, полагая р
я
а5 = (1,2,...,гс).П(^^ для элемента g Е Sym(z) и подстановки аш Е Е. При этом действии мно жество Е будет объединением непересекающихся орбит. Справедлива Л Е М М А 5. Подстановки из Е, лежащие в одной орбите при дей ствии группы Sym(z), имеют одинаковое число независимых
циклов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Напомним определение кругового графа и матрицы пересечений из [1]. Пусть аш — подстановка из Е, соответству ющая спариванию и = (/i, v) Е Г2. На окружности 5 1 отметим п вершин, которые занумеруем числами 1,2,..., п при обходе окружности по часовой стрелке. Каждую вершину ik E А соединим ребром с вершиной за номе ром /i(u-), к = 1,...,р. Аналогично каждую вершину с номером ji E В
Вычисление коммутаторной длины
405
соединим ребром с вершиной за номером v(ji), I = 1 , . . . , q. Эти ребра бу дем называть внутренними. Ребра, лежащие на окружности, назовем гра ничными. Построенный 3-граф> назовем круговым графом, соответству ющим спариванию си, и обозначим символом Гш. Занумеруем внутренние ребра этого графа числами от 1 до п/2 и построим квадратную матри цу М& порядка п/2 с элементами из поля Z2. Если обозначить через га^-, г, j = 1 , . . . , п/2, элемент матрицы M w , стоящий на пересечении г-й строки и j-то столбца, то положим тц = 0 при всех г = 1 , . . . , п/2. При г ^ j по ложим m,j = 1, если внутреннее ребро с номером г пересекает внутреннее ребро с номером j , и га^ = 0 в противном случае. Эту матрицу назовем матрицей пересечений. Как установлено в [1], ранг матрицы Мш равен 2cl(*u,). Рассмотрим некоторую подстановку aw из Е и построим по ней кру говой граф Гш и матрицу пересечений Мш. Если элемент g лежит в группе Sym(z), то его действие на аш индуцирует действие на Гц,, при котором внутреннее ребро {г, j } , соединяющее вершины г и j , перейдет во внутрен нее ребро {#(г), <7(j)}. Полученный граф Т% будет круговым графом для подстановки <т£. Нетрудно выбрать нумерацию внутренних ребер получен ного графа таким образом, что матрица пересечений, соответствующая подстановке <т£, будет равна Мш. Теперь требуемое утверждение следует из леммы 2. В силу доказанной леммы при вычислении коммутаторной длины cl(z) можно перебирать не все подстановки из Е, а ограничиться предста вителями орбит, на которые разбивается множество Е при действии груп пы Sym(z). Обозначим символом ОгЬ(о;0) это множество представителей. Учитывая установленные ранее результаты, получаем основное утвержде ние настоящего параграфа. ТЕОРЕМА 1. Пусть z £ ^ , Тогда d(z) =
(l-v)/2+\z\/4,
где v = max{uw | аш 6 Orb(u>o)}. К сожалению, группа симметрии для многих слов оказывается три-
406
В. Г. Бардаков
виальной, но если z = ит, то |Sym(z)| ^ га. В следующем параграфе будет предложен метод вычисления нижней границы коммутаторной длины cl(z), который в сочетании с алгоритмом вычисления c l ^ ) позволяет находить значения коммутаторной длины, не перебирая все подстановки из Orb(cjo). Этот подход будет реализован в заключительном параграфе настоящей работы. Найдя по слову z оптимальное спаривание, т. е. такое спаривание, что подстановка <гш имеет наибольшее число независимых циклов, и используя хорошо известную процедуру (см. [11, гл. 1, §7] или [1]), представим ква дратичное слово гш в виде произведения наименьшего числа коммутато ров. Заменив в этом представлении все порождающие а\)..
м
ар порожда
ющим а, а все порождающие fti,...,b9 порождающим Ь, получим пред ставление исходного элемента z в виде произведения наименьшего числа коммутаторов.
§ 2. О представлении степеней в виде произведения коммутаторов Напомним вначале некоторые определения (см. [16]). Назовем 3следом целого числа га число ( 0 при га = 0
(mod 3),
tr(ra) = < 1 при га = 1 (mod 3), I -1 при га = - 1
(mod 3).
Легко проверить, что всегда имеет место неравенство |tr(ra + п) - tr(ra) - tr(n) | ^ 3.
(1)
Для свободной группы F2 с базой a, b зададим квазилогарифм
по
основанию а как отображение qla : F2 —> Z, определенное по правилу п
qia Ы = £>(«,),
(2)
если u = aaib01
...aanb0ny
(3)
Вычисление коммутаторной длины
407
где а,, /3,- — целые числа, отличные от нуля, за исключением, возможно, «1 и /?„. Квазилогарифм обладает следующими свойствами. Л Е М М А 6 [17]. ДЛЯ всяких и, v из F 2 выполняются соотношения: 1) qi0(w~1) = -qi«(«); 2) | q l a ( w ) - q l a ( - « ) - q l » K 3 ;
3)К([«,»])К9. Из этой леммы, в частности, следует, что функция ql a является ква зигомоморфизмом (см. [18]). Квазигомоморфизмы часто используются для вычисления ширины вербальных подгрупп в некоторых классах групп (см., напр., [16—18]). В этом параграфе покажем, как функция ql a может быть исполь зована для оценки коммутаторной длины в свободных группах. Главным образом нас будет интересовать ВОПРОС 1. Если z E F^ m 6 N, то как выражается cl(z m ) через с1(.г) и т ? Полный ответ на него известен лишь в случае, когда z является ком мутатором, а точнее, выполняется П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1. Если u,v — пеперестановочпые
элементы
из F} то справедливо равенство cl([n,t;]ra) = [m/2] + l. Для случая, когда u,v — свободные порождающие группы F2, пред ложение установлено Каллером [2]; из этого результата вытекает неравен ство с1([г&, v]m) ^ [m/2] + l. Противоположное неравенство следует из оцен ки Дункана—Хоуе [8]. В этом параграфе, а также в § 4 нами будет получен ответ на вопрос 1 лишь для некоторых частных случаев. Вначале установим, что имеет место Л Е М М А 7. Пусть z ~ циклически приведенное слово из коммутанта F'2. Тогда для всякого натурального т справедливо неравенство (m|ql a ( 2 )| + 3)/12^cl(z"*).
408
В. Г. Бардшов ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим произвольный элемент г G F [
Если обозначить к = cl(z), то z можно представить в виде произведения к коммутаторов. В силу леммы 6, |ql a (z)| ^ 9к + 3(к — 1) = 12к — 3, т.е. ^ ^ ( М а ^ ) ! + 3)/12. Пусть теперь слово z циклически приведено. Тогда для всякого натурального т справедливо равенство ql a (z w ) =
mq\a(z).
Теперь из полученного выше неравенства следует неравенство cl(zm)
^
^ (m|ql a (^)| + 3)/12. Лемма доказана. Эта лемма дает некоторую нижнюю оценку значения cl(z m ); если q\a(z) = 0, то полученная оценка становится тривиальной. Тем не менее, можно воспользоваться следующими соображениями. Так как при гомо морфизме коммутаторная длина не увеличивается, для всякого эндомор физма <р Е EndF2 группы F
[т/2}+1^с\{[а,Ь]т). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим эндоморфизм щ : F2 —> F2,
Вычисление коммутаторной длины
409
определенный действием на порождающих: а*1 = Ь а - 1 ,
b^
=a~lb2.
Тогда [a, b]pl = ab~saba"2b2 и ql a ([a, б]^1) = 3. Зададим эндоморфизм ф\ : р2 —^ F 2 , который действует на порождающих как а^ =аЬаЬ-1а~\
Ь*1 = а~гЬ.
Нетрудно проверить, что [ а , Ь ] ^ = аЬай~ 1 а~ 1 (Г 1 а) 2 6- 1 а 2 ЬаЬ~ 1 а- 2 ЬаЬа- 2 Ь"- 1 а" 2 Ьа~ 1 Ь и ql a ([a, b]^1^1) = 6. Так как элемент [а,?*]^1^1 циклически приведен, то для всякого натурального m справедливо равенство ql a (c m ) = 6m, где с = [а, Ь]*1^1. Кроме того, сопрягая элемент с™ элементом б"*1 а""1, получаем ci = (cm)b~" a ~ , для которого ql a (ci) = 6m + 3. С другой стороны, если обозначить k = cl(ci), то сх можно представить в виде произведения к коммутаторов. Тогда из леммы 6 следует неравенство: |ql a (ci)| ^ 9к + + 3{к — 1). Отсюда получаем cl(c1)^(|qlfl(c1)|+3)/12=(m+l)/2. Поскольку с\ является образом элемента [a, b]m при композиции эндомор физмов <р\, ф\ и внутреннего автоморфизма, то cl([a,b] m ) ^ [^г/2] 4- 1. Предложение доказано. В § 4 б}'дет показано, что справедливо и обратное неравенство. Построенный в предложении 2 элемент с = [а, Ь]^1^1 является оп тимальным в следующем смысле: для всякого эндоморфизма <р Е EndF 2 такого, что слово [a, b]v циклически приведено, справедливо неравенство 1ч1в([а»Ч^)1 ^ 1^а(с)1« Возникает естественный ВОПРОС 3. Пусть z — циклически приведенное слово из коммутан та F 2 . Чему равен максимум max{|qla(<2r¥>)| |
В. Г. Бардаков
410
Л Е М М А 9. Пусть z € F^ и <р — такой эндоморфизм группы F2, что z^ циклически приведен. Тогда для всякого натурального т справед ливо неравенство Hqla(^)| + 6)/12^cl(^). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если ql a (z^) = 0, то утверждение очевидно. Поэтому далее будем считать, что q\a(z^) ф 0. Так как слово z* цикличе ски приведено, то ql a (z^) m = mq\a(zif).
На циклически приведенное слово
(z^)™ подействуем эндоморфизмом ф : F 2 —> F2, определенным на поро ждающих: аф = а, Легко заметить, что слово [z^)m
Ъф = баб. циклически приведено. Далее, в зави
симости от знака qla(zv?^7), рассмотрим два случая. Предположим внача ле, что qla(z^) (z^)rn)
> 0. Тогда рассмотрим такой циклический сдвиг слова
при котором полученное слово z\ будет иметь вид z\ = a~1bc*u,
где а е Z\{0} и слово и оканчивается порождающим Ь. Сопрягаем эле мент Z\ порождающим а. Тогда z\ = a~2baua и ql a (^i) = q\a(zi) + 3 =' = ql a (z v ^) m + 3 = ql a (2 v? ) m + 3. Следовательно, построен такой эндомор физм Xi ч т о ^ a ( ^ m ) x ^ m4^a(z
*Г) > ( Ш г * Л + 3)/12 = ( m | q l a ( ^ ) | + 6)/12. Предположим теперь, что qla(z^)
< 0. Рассмотрим такой циклический
т
сдвиг слова ( ^ ^ ) , при котором полученное слово z\ будет иметь вид z\ == ab a a, где a G Z\{0}, а и — приведенное слово, начинающееся с по рождающего а и оканчивающееся порождающим Ъ. Сопрягая элемент z\ порождающим а" 1 , заметим, что q l a ( ^
) = ql a (^i) - 3. В силу леммы 7
c l ( ( z ^ ) M m | q l a ( ^ ) | + 3)/12. где х ~~ эндоморфизм, переводящий z в z\
. Поскольку ql a (^i
- 3 = q l a ( ( ^ ) m ) - 3 = q l „ ( ^ ) m - 3 = m q l e z * - 3 , то |ql e (zf _1 )l = — 3. Следовательно, c l ( ( ^ r ) ^ ( m | q l a ( ^ ) l + 6)/12.
) = чК21 ~~ m\q\az^\-
Вы числение коммутаторной длины Так как c\((z^)m)
^ c\((zx)m),
411
то из полученных неравенств следует тре
буемая оценка. Далее рассмотрим некоторые эндоморфизмы группы F2 и иссле дуем, как меняется функция qla при действии этими эндоморфизмами. Введем некоторые определения. Будем называть AB-napou слово aab&, a,/3 £ Z\{0}, являющееся произведением двух слогов. Аналогично, сло во b@aa, a,/3 £ Z\{0}, будем называть BA-napou. Пусть ааЬ@ — некоторая ЛВ~пара. Назовем ее ЛВ-парой первого типа, если а > 0 и /3 > 0; назовем ее ЛВ-парой второго типа, если а > 0 и /3 < 0; назовем ее ЛВ-парой третьего типа, если a < 0 и /3 > 0; назовем ее ЛВ-парой четвертого типа, если а < 0 и /3 < 0. Пусть далее b^a a — некоторая ВЛ-пара. Назо вем ее ВЛ-парой первого типа, если a < 0 и /3 < 0; назовем ее ВЛ-парой второго типа, если a > 0, а /3 < 0; назовем ее ВЛ-парой третьего типа, если а < 0, а /3 > 0; назовем ее ВЛ-парой четвертого типа, если a > 0 и /3 > 0. Выражение АВ{г) будет означать, что данная пара является АВпарой типа г, г — 1,2,3,4. Аналогично, ВЛ-пару типа г будем обозначать символом BA(i). Нетрудно проверить, что если слово v = aab@ является ЛВ(г)-парой, то обратное к нему: г;""1 = Ь~@а~~а будет ВЛ(г)-парой. Пусть и = аахЬ^х . . . aanb@n, a,-, ft E Z, i = l , . . . , n , - приведенный элемент свободной группы F2, где все показатели а,- и /3{, за исключением, возможно, а\ и /Зп отличны от нуля. Если и состоит более чем из одно го слога, то его подслова слоговой длины 2 являются АВ- и ВЛ-парами. Назовем j-типом
слова и разность между числом АВ(j)-nap
и числом
В Л ^ - п а р , входящих в и, j = 1, 2,3,4. Символом Tj(u) обозначается j-тип слова и. Рассмотрим далее семейство эндоморфизмов
J 0 _V (6a -i ri , где Si = ± 1 , г = 1,2. Будем обозначать их следующим образом: Ч>\ = ¥>(*> 1), Справедлива
<Рг = ^(1) -1)>
¥>з = У>(-1,1),
<^4 = <р(-1, - 1 ) .
412
В. Г. Бард&ков Л Е М М А 10. Пусть и — приведенное слово из F2> Тогда выполня
ются равенства: а) ql e (и**) - - loga и - logb и + Зп (и), б) ql a (ti^) = - loga и + log6 и + 3r 2 (u), в) ql a (« v *) = loga и - \ogbu + 3r 3 (ti), Г) ql a (>^4) = loga и + log6 и + 3r 4 (u), г 1 и пусть для всех слов слоговой длины < п требу емое равенство установлено. Выделим в и последний слог и представим и в виде произведения и = u\V, где щ имеет слоговую длину n - l , a i ; слоговую длину 1. В зависимости от того, какого типа окажется последняя пара в слове w, рассмотрим несколько случаев. Предположим вначале, что последняя пара является АВ-парой, т. е. щ = и2аа, v = Ь^, где а, /3 — ненулевые целые числа, а слово 1x2 либо пусто, либо оканчивается некоторой степенью порождающего Ь. Если при этом а > 0 и /3 > 0, т. е. последняя пара является АВ(1)-парой, то и*1 ~ = г*? 1 (Ьа- 1 )°- 1 Ьа- 2 Ь 2 (а- 1 Ь 2 )' 3 - 1 , и, в силу леммы 9, ql a (tt^) == q\a{uf)
-
x
- а - /3 + 3 = q l a ( ^ ) - /3 + 3. Поскольку ri(i£) = Ti(tti) + 1, требуемое равенство в этом случае установлено. Если же последняя пара в слове и является АВ(г)-парой, где г ф 1, то Т\(и) — Т\{и\) и qla(uv?1) = ql a (ti^ 1 ) - / 3 . Остается воспользоваться предположением индукции. Допустим, что последняя пара слогов слова и является ВА-парой, т. е. щ — щЬ^ и v = aQ, где опять а и /3 — ненулевые целые числа, а слово U2 либо пусто, либо оканчивается степенью порождающего а. Если /3 < О и a < 0, т. е. последняя пара является ВА(1)-парой, то т\(и) = ri(ui) — 1
Вычисление коммутаторной длины и и,™ ^u*l{b~2a)-^+l)h-2a2b-l(ab-l)-(a+l).
413
В этом случае
q l a K 1 ) - q l J O - /3 - a - 3 = -(log e щ +log b щ) - a + З ^ щ ) - 1). Учитывая очевидные равенства loga u = loga u\ + a, log6 w — logb ^i и предположение индукции, получаем требуемое равенство. Если же по следняя пара слова и не является парой первого типа, то Ti{u) = Ti{u\), q l a ( ^ 1 ) = qla(t^^1) - a и требуемое равенство следует из индукционного предположения. Лемма доказана. Рассмотрим еще четыре эндоморфизма группы i^: ф(е):
a—у
abab~~lа'"1,
—
I а—>
a~1b~1aba,
ф{е) : {
где е — ± 1 . Обозначим их следующим образом: фг = ф(1),
ф2 = ф(-1),
ф3 = ф(1),
ф4 = Ф(-1)-
Справедлива Л Е М М А 1 1 . Пусть и — приведенное слово из F2. Тогда выполня ются равенства: а) q l e ( u ^ ) = qlau-logb
и+ Цт1(и) + т3{и)),
б) q l a ( « ^ ) = qlau + log6 и + 3(r 2 (u) + r 4 (tt)), в) qla(u*>) - qlau + logbu - 3(ri(u) + т3(и)), г) q l a ( ^ 4 ) = qlflt£ - loghu~ 3(r 2 (u) + r 4 (tt)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем равенство из п. а (остальные ра венства доказываются аналогично). Доказательство проведем индукцией по слоговой длине слова и. Если и — аа для некоторого целого а, то и*1 = abaab-1a~l
и q l 0 ( t ^ ) = qla(w). Если г* = Ь^, /9 € Z, то аналогично,
t^i = (а-Ч)** и ql a (t*^) = ~/3 = - l o g 6 u . Пусть далее и = t*iv, где ui — непустое подслово слова гг, а и — по следний слог слова и. Предположим вначале, что v — 6^, /3 / 0. Тогда «! = и 2 а а , где a a — последний слог слова щ. В этом случае последней парой слова и является АВ-пара. Действуя эндоморфизмом ф\, получим иф1 = и*1 аЪааЪ~1 аГ1 (а~1Ъ)&. В зависимости от вида пары a a b^, рассмо трим четыре случая.
414
В. Г. Бардаков
С л у ч а й 1: а > 0, /3 > 0. Тогда и*1 = u ^ a b a ^ - ^ - ^ f a - ^ - 1 и в силу леммы 8 qU**) - qU**1) +1 + qU«a) + 1-/3 + 1 = q\aui - log6 MI + 3(^(^1) + r 3 («i)) - /3 + 3. Так как ql a u = q l a u b bg 6 w = logbux + /3, r ^ u ) = r ^ u i ) + 1, r 3 (u) = r 3 (t*i), то q l a ( « ^ ) = ql a u - log6 t* + 3(ri(t*) + r 3 (u)). С л у ч а й 2: a > 0, /3 < 0. Тогда и^
= ^аЬ^Ь-^-^б"1^"^ и
q l a ( ^ 1 ) = q l a ( ^ 2 ) + q l a ( a Q ) ~/3- Поскольку в этом случае Ti(u) — T\(ui) и г3(гг) = r 3 (t^i), получаем требуемое равенство. С л у ч а й 3: a < 0, /3 > 0. Рассуждения проводятся так же, как и в случае 1, с той лишь разницей, что здесь т\(и) = Ti(tti), r3(w) = r 3 (wi) + 1 . С л у ч а й 4: a < 0, /3 < 0. Рассматривается так же, как и случай 2. Пусть теперь и — a a , a /
0, т.е. последней парой слова и яв
ляется ВА-пара и w = щЬ^а®. Действуя эндоморфизмом ^>1? получаем M^I — и^ (а~~1ЪУаЬааЪ~1а~х. Если /3 > 0, то последняя пара является либо ВА(2)-парой, либо ВА(4)-парой. В обоих случаях т\(и) ~ т\{и\) и r3(w) = r 3 (ui), а поскольку qla(/w^1) = qla(w^ ) + ql a (a a ), получаем требуе мое равенство. Если же /3 < 0, то ^
= ^
( b " 1 a ) - ^ + 1 ) 6 - 1 a 2 b a a b - 1 a - 1 , q\a(u^)
= q l a ( « ^ ) ~/3 + ql a (a a ) - 3.
С другой стороны, если а > 0, то ri(w) = Ti(u\), а r 3 (u) = т$(щ) — 1; если же а < 0, то к щ добавляется ВА(1)-пара, а потому Ti(u) = Ti(wi) — 1. В обоих случаях отсюда следует требуемое равенство. Лемма доказана. Со всяким циклически приведенным словом z из F2 можно связать циклическое слово 2*, в котором за последним слогом слова z следует пер вый слог слова z. В циклическом слове z* на одну пару слогов больше, чем в £, а число АВ-пар равно числу ВА-пар. Для циклического слова z* естественным образом определяются значения гД^*), г = 1,2,3,4. Очевид но, что rj(z*) = гДг), для всех значений г, за исключением одного. Пусть ql a (z*) = ql a ^. Тогда из леммы 10 может быть получена Л Е М М А 12. Пусть и — циклически приведенное слово из комму танта F!}. Тогда существуют эндоморфизмы в\ >..., в4 группы F2 такие,
Вычисление коммутаторной длины
415
что слово u6i циклически приведено и q\a(uei) = 3r t (^*), i = 1,2,3,4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассматривая, если необходимо, циклический сдвиг, будем считать, что Т{(и) = г,-(ад*). Если r,-(w*) = 0, то в качестве ис комого эндоморфизма можно выбрать тождественный автоморфизм. По этому полагаем, что r,-(w*) ф О, и исследуем случай г = 1. Так как слово и лежит в коммутанте, циклическое слово и* содержит по крайней ме ре две АВ-пары и две ВА-пары. Рассмотрим ВА-пары, входящие в сло во и*. Очевидно, все они не могут быть ВА(1)-парами, в противном слу чае слово и не лежало бы в коммутанте. Рассмотрев, если надо, цикличе ский сдвиг слова и, перейдем к слову щ, у которого ВА-пара, состоящая из последнего и первого слогов, была бы отличной от ВА(1)-пары, т.е. щ =
£ a
i « i ^ i f t . ,,atn0tnb^n^n}
где а,-,# G N, £,•,/*,• = ± 1 , и хотя бы одно из
чисел fin или б\ равно 1. Действуя на щ эндоморфизмом y?i, получаем и*1 = (ba- 1 ) e i a i (
= 3ri(wi) = 3ri(u*). Если ei = 1, /i n = —1,
или 6i = — 1, //„ = 1, то в силу леммы 8 слово w^1 циклически приве дено, и в качестве в\ можно взять композицию внутреннего автоморфиз ма, переводящего и в щ, и эндоморфизма
При этом qla(tAj?I) = qla(u^1 ). Следовательно, в качестве эндоморфизма в\ можно взять композицию внутреннего автоморфизма, переводящего и в ?ii, и эндоморфизма <рг, а затем сопряжение порождающим Ь. Пусть теперь г = 2. Рассмотрим ВА-пары, входящие в слово и*. Все они не могут являться ВА(2)--парами, так как во всякую ВА(2)-пару поро ждающий Ь входит с положительным показателем, а по условию, и 6 F^. Рассмотрим такое слово и\, полученное циклическим сдвигом слова и, в котором ВА-пара, образованная последним и первым слогами слова щ, была бы отлична от ВА(2)-пары. Тогда щ =
eiai a
6^l/51 .
..aenQnbf*n,*nJ
416
В. Г. Бардаков
где (fimSi) £ {(1,1), (-1,1), ( - 1 , - 1 ) } . Действуя на слово щ эндоморфиз мом <р2} получаем и*2 = (ba- 1 ) c i a i (o"" 1 b 2 ) , l l A . . . ( b o - 1 ) e n a n ( b " 2 a ) ' 1 ^ n . В силу леммы 10, q\a(u^2) = 3r2(wi) = 3r 2 (^*). Если (/i n ,£i) = (1? 1)? то u f = (ba-1)ai...(b"2a)^ циклически приведено, и в качестве в2 можно взять композицию внутрен него автоморфизма и <р2. Если (/xn,£i) = ( — 1,1), то и*2 = (Ьа""1)"1 . . . . . . (а~ 1 6 2 ) /3п . Сопрягая это слово порождающим Ь, получаем циклически приведенное слово и*2 , для которого q\a(v%2) = q\a(u^2 ), В этом слу чае в качестве эндоморфизма 92 можно взять композицию внутреннего автоморфизма, переводящего и в щ, и эндоморфизма <р2, а затем со пряжение порождающим Ь. Если, наконец, (/xn,£i) = (—1,-1), то w^2 = = (ab~~l)ai .,.. (a - 1 b 2 )^ n — циклически приведенное слово. Оставшиеся случаи г — 3, 4 рассматриваются аналогично. Л Е М М А 13. J?cyiu ?/. — циклически приведенное слово из F2, то найдутся эндоморфизмы £ i , . . . , f4 группы F2 такие, что слово и& цикли чески приведено и справедливы равенства: а) qla(tt€i) = qlflW + 3(^(11*) + т3{и*)), б) ql a (u^) = ql a u + 3(r 2 ( U *) + r 4 (ti*)), в) qla(«C») = ql a u - 3(Г!(«*) + r 3 («-)), г) qlj"* 4 ) = ql a u - 3(T 2 (U*) +
r4(u')).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем равенство из п. а (остальные равен ства доказываются аналогично). Рассмотрим ВА-пары, входящие в слово и. Поскольку порождающий Ь входит как в ВА(1)-пару, так и в ВА(3)пару с отрицательным показателем, а слово и лежит в коммутанте F2, то в слове и найдется либо ВА(2)-пара, либо ВА(4)-пара. Рассмотрим циклический сдвиг слова и такой, что в полученном слове щ послед ний и первый слог образуют либо ВА(2)-пару, либо 2?А(4)-пару. Тогда TI(UI)
+ r 3 (ui) = п(и*) + т3(и*). Если ri(w*) + тз(и*) = 0, то в ка
честве £i возьмем внутренний автоморфизм, переводящий и в щ. Если
Вычисление коммутаторной длины ri(u*) + гз(и*) ф О, то подействуем на слово щ = a€iaib^^
417 .. .a £ n Q n b^ n / 3 n ,
где (fj,m€i) Е {(1, - 1 ) , (1,1)}, эндоморфизмом фх. Тогда uf1 - {abab~la~1)6^
(a'lb)^^
. . . (a6ab"- 1 a"" 1 ) en ° n (a- 1 6)' ln ^.
В силу леммы l l , q l a ( w f ) = ql a ui+3(r 1 (t*i) + r 3 (tti)) = q\a(u) + 3(ri(t**) + + r3(u*)).
Поскольку /лп
=
1, то «f1
=
a b a ^ ^ a " 1 ^ - 1 ^ 1 ^ 1 •••
...(a"* 1 ^)^ — циклически приведенное слово. Следовательно, в качестве £i можно взять композицию внутреннего автоморфизма, переводящего и в tti, и эндоморфизма fa. Лемма доказана. Для всякого циклически приведенного слова и из коммутанта F2 определим з(и) = max{|ql e «|+3|ri(u*)+r 3 (ii ,,, )|, 3|r 1 («*)|+3|r 4 (tt*)|, 3|r 2 (u*)|+3|r 3 (u*)|}. Теперь мы можем указать нижнюю оценку коммутаторной длины. ТЕОРЕМА 2. Пусть z Е Р'2. Тогда для всякого натурального т и всякого эндоморфизма <р Е Endi^ такого, что слово z* циклически при ведено, справедливо неравенство (ms(z*) + 6)/12
§ 3. Алгебра пар
Пусть К — произвольное ассоциативно-коммутативное кольцо с еди ницей. Определим А'-алгебру Р , которую будем называть алгеброй пар (смысл названия будет ясен из дальнейшего). Алгебра Р является 4-х мер ным свободным Л'-модулем с базой е^, е2, ез, е 4 . Умножение на базисных элементах определим равенствами exei = еге2 = е3ег = е3е2 = - е 4 ,
e2ei = е2е2 = еАех = е4е2 = - е 3 ,
В. Г. Бардаков
418
eie 3 = e i e 4 = езбз = е 3 е 4 = - е 2 ,
е2е3 = е2е4 = е4е3 = е4е4 =
-е\.
Легко проверить, что алгебра Р не коммутативна, не разрешима, обладает делителями нуля и не имеет свойства ассоциативности степеней. Последнее утверждение следует из равенств е\ех = е 3 ,
exe\ = e 2 .
Всякий элемент р £ Р однозначно представим в виде р — cqei + а 2 е 2 + а 3 е 3 + оце^,
a, G / 1 . 4
Определим отображения Е : Р —> К по правилу Е(р) = ]Г) од. Л Е М М А 14. Пусть p,q E Р. Тогда справедливо равенство Е(р
i=i
«=1
РЧ = - ( « 2 + а4)(Д$ + /34)ei - (а х + а 3 ) (/83 + At)«2 - («2 + " 4 )(/3i + &)е 3 - (oi + а 3 )(ft + /32)е4, S ( M ) = - ( « 1 + «2 + <*з + a4)(/8i + /32 + # , + /34) = -Е(р)Е($). Пусть / — идеал кольца А". Определим в алгебре Р подмножество P(i) =
{peP\z(P)ei}.
Из леммы 14 легко выводится Л Е М М А 15, Если I — идеал кольца К, гпо Р(1) — идеал алгебры Р. Однако, не всякий идеал алгебры Р представим в виде Р ( / ) , где I — некоторый идеала кольца А'. Действительно, пусть / = t\ - е2 — ез+е 4 G Р . Так как Е ( / ) = 0, то / G Р(0). Рассмотрим одномерный модуль
R={kf\keK}. Л Е М М А 16. Справедливо PR = RP = 0. В частности, R являет ся идеалом алгебры Р.
419
Вычисление коммутаторной длины
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО вытекает из легко проверяемых равенств е,-/ = /е.' = 0, г = 1,2,3,4. Построенная алгебра Р не принадлежит какому-либо известному классу алгебр (во всяком случае, автору не удалось обнаружить такой класс). Тем не менее, если в алгебре Р заменить операцию умножения скобочным умножением [a, b] = ab - Ьа, то полученная алгебра Pi будет алгеброй Ли. Одно и то же обозначение "[ , ]" для коммутаторов в группах и для скобочного умножения не приведет к недоразумениям, поскольку всякий раз ясно, откуда берутся аргументы. Справедлива Л Е М М А 17. 1) Алгебра Pi является алгеброй Ли. 2) Алгебра Pi является 3-х ступенно разрешимой и Р^ p f = Я, p f = 0, где Р « = [Ptl\Pt%
i = 1,2,3, P f =
= -Р(О)? ft.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что [р,р] = 0 для всех р € Р. Для проверки тождества Якоби J(x, У> *) = [[«IУЪ А + [[У, *],*] + [[*, ХЪ У) = О достаточно показать, что «/(е^е^е^) = 0 при всех г, j , A; G {1,2,3,4}. Оче видно, что если среди индексов г, «j, fc найдется хотя бы пара равных, то J(e t , ej, efc) = 0. Поэтому мы должны рассмотреть только случай, когда все индексы различны. Тогда требуемое утверждение вытекает из равенства [[ег, ej], ejc] = ег — е./, в справедливости которого легко убедиться непосред ственной проверкой. Для доказательства второго утверждения леммы рассмотрим два произвольных элемента р, q алгебры Pi. Для их скобочного произведения [р, д] найдем значение
Е ( М ) = S(pg) - Е(<и>) = -S(p)S(?) + £(
С Р(0). С другой стороны, справедливы равенства
[ei, е2] = е 3 - е 4 ,
[е4> ei] = е2 - е 3 ,
[е3, е4] = ei - e 2 , 4
4
t=l
t=l
из которых следует, что произвольный элемент р = £3 а*е»? г Д е ]С а « из Р(0) представим в виде р = аг[е3) е4] + (t*i + а 2 )[е 4 , ei] - а 4 [ е ь е 2 ].
=
0,
420
В. Г. Бардяков
Отсюда Р(0) С Р^ . Из предыдущего рассуждения вытекает, что элементы [ei, е 2 ], [ез, 64], [е4, ei] порождают подалгебру Р^ \ Тогда их попарные скобочные произ ведения порождают подалгебру р£ * = [Р£ , Р^ ]. Легко проверить, что справедливы равенства [[ei, е 2 ], [е3, е4]] = 0, Значит, Р^
[[е ь е 2 ], [е4, ех]] = - / ,
[[е3, е 4 ], [е4, cx]] = - / .
порождается элементом / , а потому является абелевой под
алгеброй. Нетрудно убедиться, что алгебра Pi не является нильпотентной. Действительно, поскольку [[ез, е 4 ], ei] = е 3 - е 4 ,
[[е3, е4], е3] = ех - е2,
[[е2, е 3 ], ei] = е2 - е 3 ,
имеем [[PL, P L ], P L ] = [P L , P L ]. Для произвольной алгебры А можно дать определение ширины про изводной подалгебры А ^ == АА, аналогичное ширине коммутанта группы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть А — некоторая алгебра. Шириной ее про изводной подалгебры А ^ называется наименьшее га £ N U {оо} такое, к что всякий элемент из А^ представим в виде Yl а А ? г Д е ai G А, Ь, € А и t=i
к ^ т. Ширину производной подалгебры А^ алгебры А будем обозначать символом wid(A). Очевидно, что если А содержит единицу или является абелевой ал геброй Ли, то ширина wid(A) равна единице. Почти очевидно и П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3. Пусть производная подалгебра алгебры А имеет размерность п. Тогда wid(A) ^ ?г. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Алгебру А можно рассматривать как модуль над некоторым кольцом К. Поэтому А порождается (как модуль) неко торыми элементами {е, | г £ / } . Тогда производная подалгебра А^1) поро ждается всевозможными произведениями F = {еге^ | г, j E / } . По условию, А^1) имеет размерность п, поэтому среди элементов множества F найдется п элементов / i , . . . , /„ таких, что всякий элемент из А^ представим в виде п
]Г) aifi, *=1
a
i £ К. Отсюда следует требуемое неравенство.
Вычисление коммутаторной длины
421
Интересно было бы исследовать ширину производных подалгебр в различных классах алгебр. Особый интерес представляют алгебры Ли в силу их связи с группами. ВОПРОС 4. Пусть G — группа Ли, L(G) ~ соответствующая ей ал гебра Ли. Как связаны ширина коммутанта группы G относительно мно жества коммутаторов и ширина производной подалгебры алгебры L(G)1 ВОПРОС 5. Пусть L — свободная неабелева алгебра Ли. Верно ли, что ширина wid(L) бесконечна? Для введенных выше алгебр Р и Р& справедливо П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 4. 1) Пусть К — область целостности. Тогда для К -алгебры Р выполняется wid(P) = 2. 2) Пусть К — поле или кольцо целых чисел. Тогда для К-алгебры Ли PL выполняется wid(Pi) = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Пусть р = £
ад,
а{ е К, q = Е А ^
Pi 6 К, — два произвольных элемента алгебры Р . Их произведение будет иметь вид pq = - ( а 2 + а 4 )(/3 3 + /34)ci - (аг + а 3 )(/3 3 + /34)е2 - {<*2 + of4)(/3i + /32)е3 - (ofi + аз)(Рг + /32)е4. Выберем в алгебре Р элемент г = е2 + ез + е 4 . Поскольку производная подалгебра pW совпадает с Р, то г 6 Р ^ . Покажем, что равенство г = pq невозможно в Р ни для каких р я q. Действительно, если предположить противное, то в кольце К выполнялась бы система равенств [ (а 2 + а4)08з + &) = О, I (а1+аз)О0з + 04) = - 1 , I ((Х2 +
а4){р1+р2)^-1,
( (а1+а 3 )(/91+/3 2 ) = - 1 . Поскольку кольцо 1*Т не имеет делителей нуля, из первого равенства сле дует, что либо а 2 + а 4 = 0, либо /33 + /34 = 0. Если предположить, что а2 + а 4 = 0, то третье равенство будет иметь вид 0 = 1, а это неверно ни для какого нетривиального кольца. Если /33 + /34 = 0, то второе равенство примет вид 0 = 1, что также невозможно в К. Следовательно, wid(P) > 1.
422
В. Г. Бард&ков
Покажем, что wid(P) ^ 2. Для этого нам достаточно доказать, что произ вольный элемент t из Р представим в виде t — pq + pxq\ для некоторых 4
Р, Q,Pi,Qi из Р . Если рх = £ i'=l
4
7 ,e t , 7* G A", qx = £ йе,-, & G А', то г= 1
Р9 + Р191 = - ( ( « 2 + а4)(/Зз + ^4) + (72 + 74)(<^3 + ^4))ei
4(ai+a3)(Arh84)+(7^ -((<*i + a 3 )(^i + /32) + (7i + 7з)(*1 + 82))е4. Для доказательства равенства £ = pq + p\qi достаточно установить, что система уравнений { (а2 + а 4 ) (/33 + At) + (72 + 74) [$з + S4) = «1, <
(<*i + ^з)(уЗз + /?4) + (7i + 7з)(*з + &*) - «2, (<*2 + ^4)(/3l + /32) + (72 + 74) (<*1 + *2) = *3,
[ Ы + a3)(/3i + /32) + (7i + 7з)(*1 + 82) = а 4 , относительно неизвестных а,-, /%,7п 4'» г — 1, 2,3,4, разрешима при любых значениях #i, ж2, Жз, ж4 из /<". Положим а2 + а4 = 0, 72+74 = 1? <^з + <$4 = .#ъ <5Х -f 82 = Ж3. Тогда выполняются первое и третье равенства, и останется система («1 + <*з)(/3з + Ai) + (7i + 7з)(<*з + 84) = x2j (ах + а 3 ) (Л + /32) + (71 + 7з)№ + *2) = х4. Если предположить, что 71 +7з = О, &\ +®з = 1? РЗ + РА — х2, Pi +P2 = ж47 то система равенств будет выполнена, а потому wid(P) ^ 2. 2) В алгебре Р/, переходим от базиса ex,€ 2 ,e 3 ,e 4 к новому базису / ъ / 2 , / 3 , / 4 , полагая Л = ei, / 2 = е2 - е 3 , /з = ез - е 4 , / i = ^i - е2 - е 3 + е 4 . Тогда скобочные произведения этих элементов равны [/ь/з] = /2 + 2/з, [/1,/з] = - / з , [/ь/ 4 ] = 0, [/2,/з] = Л , [Л,/4] = [/з,/4] = 0,
Вычисление коммутаторной длины
423
т.е. Р | ' порождается элементами / i , / 2 , /з- Пусть опять р — Yl a%fii Щ € 4
Е A', g = Y2 АЛ"» fii € К, — два произвольных элемента из Рх,. Получаем [р, g] = (ai/3 2 - /3ia 2 )/ 2 + (2ai/3 2 - 2ft a 2 + <*sft - ftai)/3 + (<*2ft - /3 2 a 3 )/ 4 . 4
Пусть далее £ = ]Г #i/i, xi Е /if, — произвольный элемент производной поа=2
далгебры Р£ \ Чтобы равенство * = [р,
{
<*lft -ft<*2 ^Ж 2 , 2(ofi/32 - fta2) + a 3 ft - j83ai = a?3, «2/З3 - ft<*3 = Ж4.
Очевидно, она равносильна системе
{
<*i/32 - f t t t 2 = ж2, a 3 ft — /33ori = ж3 -2а? 2 , « 2 ^ з - ) б 2 а з = а;4.
Обозначим ж = а;2, у = #з — 2ж2» 2 = £ 4 . Предположим вначале, что хотя бы один из коэффициентов х или г отличен от нуля. Тогда из первого и третьего уравнений системы находим a1=z(x
+
fta2)/ft,
a3 = (a 2 ft - *)/ft.
Подставляя эти выражения во второе уравнение системы, получаем
(Piz/fo) + (/Wft) = -0. Если исходное кольцо К является полем, то полагаем ft = 1. Далее, если z ф О, считаем ft = -у/г;, ft = 0, а 3 = - г , a i = ж, а 2 = 0. Если z = 0, а х ф 0, то положим ft = -у/ж, а 2 = а 3 = ft = 0, a i = ж. В обоих случаях легко проверить, что эти значения являются решениями системы уравнений. Если К = Z — кольцо целых чисел, то полагаем ft = d = НОД(ж, z). Тогда уравнение
ft*+fts=
-ft У
424
В. Г. Бярдаков
разрешимо над Z. Пусть далее а2 = d. Подставляя найденные значения /3i и /Зз в выражения для ai и аз, находим аг = (ar/d) + /З ь
а 3 = /33 - (*/<*).
Очевидно, все найденные значения являются целыми и удовлетворяют ис ходной системе. Предположим, наконец, что х = z — 0. Тогда система имеет вид
аф2 -fra 2 = 0, «3/3i - /Зз<*1 = У,
Пусть #2 = /Зг = 0. Тогда первое и третье уравнения системы исчезнут. Положив ai = 0, /3i = 1, аз = у, проверим, что найденные значения являются решениями системы. Лемма доказана. Будем далее считать, что кольцо К изоморфно Z. Покажем, как свя заны элементы свободной группы F2 с элементами алгебры Р . Для этого построим отображение р : F2 —> Р , постоянное на классах сопряженных элементов. В каждом классе сопряженных элементов выберем в качестве представителя циклически приведенное слово w = oeiaib/il/3l...aenanb/ln^n1 е . - ^ е {1,-1}, a i ? f t € N u { 0 } ,
(1)
при этом ах — 0 лишь в случае п = 1, /3i ^ 0, а /Зп = 0 лишь в случае п — 1, a i /- 0, т.е., когда w имеет только один слог. В остальных случаях все коэффициенты а« и /3,- отличны от нуля. Если и имеет слоговую длину 1, то положим р(и) = 0. Если слоговая длина гг больше 1, то представим и в виде произведения АВ-пар: гл = =
схс2...сП1
где с,- = aCtCKibniPi является АВ-парой. Если С{ является
AB(j)-napoft, то ему будет соответствовать порождающий е^, j £ {1,2, 3,4}, алгебры Р . В слове и между двумя соседними АВ-парами с, и Ci+i, а также между парами сГ1 и с\ находится некоторая ВА-пара. При этом, если парам С{ и Ci+\ соответствуют порождающие ej{ и е^.+1 алгебры Р , то стоящей между ними ВА-паре будет соответствовать элемент ej.ej. +1 алге бры Р . Нетрудно проверить, что тогда BA(j)-nape будет соответствовать
Вычисление коммутаторной длины
425
элемент —ej алгебры Р , являющийся противоположным для элемента ej. Сопоставим слову и элемент р{и) = ejx + ejx ej2 + ej2 + €j2€jz + . . . + ejn + e^e^ алгебры Р , где паре ct соответствует порождающий ej.. Рассматривая та блицу умножения для алгебры Р, отмечаем, что все произведения е^е/, &, / £ {1,2,3,4} равны порождающим алгебры Р , взятым со знаком минус. Следовательно, образ группы £\ при отображении р лежит в подалгебре Р(0), состоящей из элементов, у которых сумма всех координат равна ну лю. Как показывает следующий пример, в ядре отображения р будут ле жать не только однослоговые снова, но и некоторые элементы из комму танта F^ ПРИМЕР. Слово w = а- 3 Ь" 1 а" 1 Ьа"" 1 Ь" 2 а 3 Ь" 1 а- 1 Ьа" 1 Ь 2 а~ 3 Ь 2 а6- 1 аЬа 3 Ь" 2 а6" 1 аЬ лежит в коммутанте F^, и его образ в алгебре Р равен 0. Интересно было бы описать образ р(Рг); в частности, проверить, сов падает ли он с подалгеброй Р(0)? Напомним, что ранее мы для каждого циклического слова и* из F'2 определили значение Т((и*), i = 1,2,3,4, как разность между числом АВ(г)-пар и числом ВА(г)-пар, входящих в и*. Если образом циклически приведенного слова гг, соответствующего циклическому слову и*, является 4
элемент р(и) = ]П 7*е«> 7* € Z, то гДи*) = аг-, г = 1,2,3,4, что непосредг=1
ственно следует из построения отображения р. Всякий эндоморфизм группы Рг переводит АВ-п&ры в некоторые элементы группы Р 2 - Найдя для них представителей классов сопряжен ных элементов и, воспользовавшись определенным выше отображением р : F2 —> Р , получим некоторый эндоморфизм Z-модуля Р . Среди эн доморфизмов модуля Р выделим четыре эндоморфизма Фх, <$2, Фз, Ф4> которые на произвольном элементе р = aiei + <^2е2 + <*зез + #4е4 действу ют следующим образом: РФ1 = -<*3ei + (ai + « 3 )е 2 + (а 3 + <*4)е3 + <*2е4,
426
В. Г. Б&рд&ков р
2
= -a4ei
+ (а2 + а4)е2 + (а 3 + а' 4 )е 3 + ахе4}
рФз «. _ а 1 б 1 + ( а 1 +
аз)е2
+ («1 + а 2 )е 3 + <*4е4»
р ф 4 = -а 2 ех + (а 2 + а 4 )е 2 + («1 + а 2 )е 3 + а 3 е 4 . Ранее мы ввели эндоморфизмы у?,-, г = 1,2,3,4, группы JF2. Теперь попытаемся по всякому циклическому слову и*, представляющему элемент из коммутанта F^ установить, как связаны значения г,-(гг*) со значения ми Г|((ад*)^'), г,j — 1,2,3,4, где (w*)^ рассматривается как циклическое слово. Справедлива Л Е М М А 18. Пусть и — циклически приведенное слово из F 2 и 4 и
Р( ) ~ S 7*еЬ Tt £ Z ; — его образ в алгебре Р. Тогда выполняются равенства РК*)
= CPH)*S
* = 1,2,3,4,
где Фг — определенные выше эндоморфизмы. Непосредственно из этой леммы и вида эндоморфизмов Фе получаем С Л Е Д С Т В И Е . Если и — циклически приведенное слово из F^, то справедливы равенства 1) тг((и*)ъ) + т3((и*)п) = -r 2 ((ti*)*i) - r 4 ((t**)^) - r 4 (ti*), 2) Т!((«*)^) + r 3 ((n*)^) - -г2((г**)*2) - r 4 ((tt*)^) = r 3 («*), 3) ^((и*)* 8 ) + r 3 ((i**)^) - -r 2 ((u*)* e ) - r4((u*)*») - r 2 (ti*), 4) Г ! ( ( « * ) ^ ) + T 3 ( ( « * ) ^ ) = - r 2 ( ( t i * ) < " ) ~ T 4 ((tl*)*«) = Г!(«*).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО леммы. Приведем подробное доказательство для эндоморфизма i, получаем и^ = [ba'lyiai{a-lb2Y^
..
.{Ьа^1у^{а"хЬ2у^,
где 6i,/ii £ { 1 , - 1 } , о;,,^ G N. Найдем АВ- и ВА-пары, входящие в это слово. Заметим, что при действии эндоморфизмом
427
Вычисление коммутаторной длины
если слог г; = а а , a > О, то v^1 — (ba 1 ) а , т.е. появится a BA(2)-nap и (a ~~ 1) AB(3)~napa; если слог v = а _ а , a > 0, то г;^1 = (аЬ - 1 ) а , и появится a A2?(2)-nap и (а — 1) J3A(3)-napa; если v = 6^, /3 > 0, то г;^1 = (а" 1 ^ 2 )^, т.е. появится /3 AJ3(3)-nap и {/3 - 1) ВА(2)-пара; если v = 6"*^, /3 > 0, то и^1 = (Ъ~2а)Р, т.е. появится /3 J3A(3)-nap и (/3 - 1) АВ(2)-пара. Следовательно, в элемент р^и*)^1)
будут входить слагаемые
п
п 1
Pi = ^(""^'^ ~ ^ ( # ~~ )) + Х^М а » ~ Х) + ^А) е 3. *=1
62
г=1
Поскольку слово и лежит в коммутанте, то п
Pi = ^ P ( ~ ^ e 3 + /iie2)г= 1
С другой стороны, в слово и* входят непосредственно АВ~ и ВАпары. Посмотрим, что с ними будет происходить при действии эндомор физмом cpi. При этом достаточно рассмотреть только AjB-пары, так как £?А-пары получаются из них при переходе к обратным элементам. Рас сматривая далее пары, будем считать, что а и /3 — положительные целые числа. Пусть v v*1 г? =
ааЬ@ — некоторая АВ(1)-пара. Тогда ее образ
—
(ba~1)a~1ba"2b2(a~1b2)^~1)
= а
т.е. АВ(1)-пара исчезает. 1
а Ь~Р — некоторая АВ(2)-пара. Тогда v^
b~2a(b~2a)P~l,
=
Пусть
1 а 1
(Ьа~ ) ~ Ьа" 1 •
и мы видим, что вместо АВ(2)-пары появляется АВ(4)-
пара. Далее, пусть v = a~ab$ — некоторая АБ(3)-пара. Тогда v^1 l a l
l
= (ab~ ) ~ ab~
1
2
=
1 2 /3 1
•а~ & (а"" Ь ) ~ , т.е. AB(3)-napa переходит в ВА(1)-па-
ру. Наконец, пусть v = а~~аЬ~~Р — некоторая AS(4)-napa. Тогда v^1 = = (а6~ 1 ) а ~ 1 аЬ~ 3 а(Ь" 2 а)^~ 1 , т.е. AJ3(4)-napa исчезает. Следовательно, ес4
ли р(-м) = 53 ji€i, то в p(tt v i ) будут входить слагаемые 72^4 - 7з^1 • Поэтому р(иъ) = Р 1 + 72в4-7зв1. Опять вернемся к р\ и выразим его коэффициенты через коэффици енты элемента р(и). Заметим, что коэффициент л в р(и) равен разности
428
В. Г. Бардаков
между числом ЛВ(1)-пар и числом ЛА(1)-пар, входящих в циклическое слово и*. С другой стороны, если г-я пара в слове и является АВ(1)-парой, то в сумме pi ей соответствует слагаемое - е з + е<г\
если
'*~я пара является
АЛ(2)-парой, то в р\ ей отвечает слагаемое —ез — е2] если г-я пара является ЛВ(3)-парой, то в р\ ей отвечает слагаемое ез + ^2\ если, наконец г-я пара является АВ(4)-парой, то в р\ ей отвечает слагаемое ез — б2. Следователь но, pi можно представить в виде Pi = 5(71 ( - е 3 + е2) + 72(-е 3 - е2) + 7з(е 3 + е2) + 74(е3 - е 2 )) = l((7i - 72 + 7з ~ 74)е2 + (~7i - 72 + 7з + 74)е 3 ). Коэффициент 1/2 берется потому, что каждое слагаемое —£гез или д8б2 считается дважды (один раз входящим в АВ-пару, а другой — в ВА-пару). Учитывая, что Yi + 7з = —72 — 74 и 7з + 74 = - 7 i ~~ 72? окончательно имеем р(и*1) = pi + е 3 - е2 = -73*1 + (7i + 7з)е 2 + (7з + 74) ^з + 72^4Следовательно, р^1)
= (р(и^1 )) ф 1 , т. е. для эндоморфизма
новлена. Из полученной формулы для р(и^1) вытекают равенства ^((и*)*1)
+
+ г 3 ( ( « Т 1 ) = 74 = r4(t£*) и т2{{и*)ъ) + r 4 ((tt*) Vl ) - 71 + 73 + 72 - -74 = = т±(и*), что доказывает п. 1 следствия. Теперь возможно доказать теорему 2. Достаточно показать, что вы полняется Л Е М М А 19. Пусть z — циклически приведенное слово из комму танта F'2. Тогда найдется эндоморфизм <р Е EndF 2 такой, что z^ циклически приведенное слово и | q l a ^ | = s(z). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим вначале, что s(z) — \qlaz\ + + 3\тх(г*)+тз(г*)\. Если qlaz > 0 и TI(Z*) + T^(Z*) > О, то действуем на сло во z эндоморфизмом £i. В силу п. а леммы 13 полученное слово z*1 будет циклически приведено, и К (**')! = К * ! + 3|ri(2*) + r 3 (z*)| = s{z).
~
429
Вычисление коммутаторной длины
Если qlaz > 0, a T\{z*) + тз(г*) < О, то действуем на z эндоморфизмом £зВ силу п. в леммы 13 получаем требуемое утверждение. Если ql a z < 0, a T\(z*) + T$(Z*) > О, подействуем на z эндоморфиз мом £з- В силу п. в леммы 13, |ql a (^ 1 )| = s(z). Если, наконец, q\az < 0 и T z
i( *) + г з(^*) < 0, то, действуя эндоморфизмом £i, получаем требуемое
утверждение. Предположим теперь, что s(z) — 3|TI(2*)| + 3|T4(2*)|. ЕСЛИ подейство вать на z эндоморфизмом l?i, то в силу леммы 12 слово zBl будет цикли чески приведено, и qla(z$1) = 3ri(^*). Пусть образ слова z в алгебре пар 4
Р равен p(z) = ]Г a^e;, a,- £ Z, где а; = т* (
Тогда по следствию леммы 18
n((z*)e>) + T S ( ( 0 * ) = -T2((z*)en
- T4((Z*)*)
= r 4 (z*).
Если T~I(Z*) И T4(Z*) имеют одинаковые знаки или хотя бы одно из этих значений равно нулю, то подействуем на слово z°l эндоморфизмом £i, в противном случае подействуем эндоморфизмом £з- В обоих случаях слово zei&} где г — 1 или i = 3, будет циклически приведено и в силу леммы 13
|qia(^1^)l-|qia(^1)l + 3k1((^)^) + r3((^)ei)l = 3|x1(^)H-3|x4(olСлучай, когда s(z) = 3|r 2 (^*)| + 3|r 3 (z*)|, разбирается аналогично. Лемма доказана.
§ 4. Некоторые приложения В §3 мы нашли некоторую нижнюю оценку коммутаторной длины m
cl(z ). В этом параграфе дадим верхнюю оценку. Т Е О Р Е М А 3. Для всякого элемента z из коммутанта свободной группы F и всякого натурального т справедливо неравенство cl(z w ) ^ [(2 - т)/2] + mcl(z). Существуют элементы, для которых это неравенство превращается в равенство.
430
В. Г. Бард&ков ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть z = [ai,bi]...[ajt,bjb], fc = cl(z),
где a,, bt-, г = 1,...,&, входят в базу группы F . Предположим вна чале, что т нечетно, т. е. т = 2/ + 1 для некоторого натурального / (при / = 0 утверждение очевидно). Все порождающие, входящие в сло во zm = ([ai,bi]. ..[aj.,bfc])m, пронумеруем по порядку числами от 1 до 4km, Через А{ обозначим множество номеров, на которых в слове zm сто ит порождающий а,-; через А{ обозначим множество номеров, на которых в слове zm стоит порождающий а" 1 , г = 1 , . . . , к. Аналогично через JBf- обо значим множество тех номеров, на которых стоит порождающий Ь,-, а через В{ — множество номеров, на которых стоит порождающий Ь^1, г = 1 , . . . , к. Определим сц-спаривание /it- : А, —> А{ и Ь,-спаривание Vi : Д —> В{ для всех г = 1 , . . . , к равенствами: /*i(4Jfc(/ - %) + 3) = 4ki + 1, рх (4ki + 3) - Щ1 - 0 + 1»
г = 0 , 1 , . . . , [1/2]; « = 0 , 1 , . . . , [(/ - 1)/2];
/xi (-4Ar(i + 1) + 3) = 4*(Z + % + 1) + 1, /*i (-4fc(i + 1) + 1) = 4A;(/ + 1 + 1) + 3,
i = 0 , 1 , . . . , [(I - 1)/2]; / > 1,
i/i (—4А?(г + 1) + 4) = 4ki + 2,
i = 0 , 1 , . . . , /;
i/i(4fo' + 4) = - 4 f c ( t + l ) + 2,
i = 0,l,...,/-l
t = 0,1,...,[(/ - 2)/2];
(это спаривание фактически определено в [2]). Если к > 1, то для всех j = 2,3 . . . , А?, положим /х,-(4Ь' + 4jf - 1) = 4ki + 4j - 3,
i = 0 , 1 , . . . , 2/,
i/,(-4fc(i + 1) + 4j) = 4b' + 4j - 2,
i = 0 , 1 , . . . , /,
i/j{4ki + 4:j) = - 4 & ( i + l ) + 4 j - 2 ,
г = 0 , 1 , . . . , / - 1.
Здесь все числа рассматриваются в кольце вычетов Z4mfc, а в каче стве представителей выбраны числа 1,2, ...,4га&. Далее в соответствии с общим алгоритмом (см. § 1), по спариванию и = ( ^ i , . . . , /2&, ^ i , . . . , ^%) построим подстановку Р/2]
Ю-1)/2] 3 4Ь
da, = (1, 2,..., 4mfc) • Y[ (4*(/ - i ) + » ' + !) t=0
П i=0
( 4 Ь + 3> 4*С "" *) + х)
Вычисление коммутаторной длины [(/-1)/2]
х
431
[(/-2)/2]
Д (-4fc(t+l) + 3 , 4 * ( / + i + l ) + l) *=о
Ц (-4fc(i+l) + l,4A?(/+t + l ) + 3 ) *=о /-1
X YI(-Щг + 1) + 4,4Ы + 2) Yl(4fct + 4, -4*(i + 1) + 2) t*=0 k
i=0
/ 21
X Yl
I
Y\{4ki + 4j - 1,4fci + 4j - 3) JJ(-4*(i + 1) + 4j, 4A:i + 4j - 2)
j=2 \*'=0
*=0 /-1
X J|(4kt + 4j, -4*(i + 1) + 4j - 2) J , i=0
/ У
где, как обычно, произведение Д aQ считается равным единице, если его верхний предел меньше нижнего. Если / i ( j ) , /2(7)1 • • •» f*U) ~ некоторая последовательность символов, зависящая от натурального параметра j , то символом P j - 2 ( / i ( i ) , /2(7), • • •, /*(/)) будем обозначать упорядоченную последовательность /1(2))/2(2),...,/.(2),/1(3)1/2(3),...,Л(3))/1(Л),/2(Л)1...,/.(*). Представим подстановку аш в виде произведения независимых цик лов. Перемножив подстановки, участвующие в представлении аш, находим: 21
ош = Д (4k(l + г) + 3, Щ1 - г) + 2,4JW + 1, ~Ak(i + 1) + 4, t=0
PJL2<-4fc(t + 1) + 4j - 1, 4fc* + 4j - 2,4А;г + 4j - 3, -4fc(i + 1) + 4 j » . Следовательно, (7W является произведением m независимых циклов. В силу теоремы 1 cl(zm) ^ (1 - га) 12 + km <С [(2 - тп)/2] + km. Если ai, b i , . . . , a^fe, bfc — не являются порождающими свободной груп пы F , то, воспользовавшись тем, что при эндоморфизме коммутаторная длина не увеличивается, получим требуемое неравенство и в этом случае. Если m = 2/+ 2, т. е. является четным числом, то cl(z w ) ^ c\(z2l+l) + + c\(z). Отсюда, используя установленное выше неравенство, получаем cl(* m ) <С [(2 - (21 + 1))/2] + к{21 + 2) = [(2 - (2/ + 2))/2] + km,
432
В. Г. Бардаков
и первая часть теоремы установлена. Для доказательства второго утверждения теоремы опять же предпо ложим, что все элементы ai, 6 1 , . . . , a&, bk являются свободными порождаю щими группы F. Покажем, что для всякого спаривания а/, определенного по слову zm, подстановка аш( не может содержать цикла, длина которого меньше 4&. Действительно, выберем некоторый символ с 6 -Ai и просле дим, куда он перейдет под действием подстановки а^. Под действием цик ла ( 1 , 2 , . . . , 4fcra) он перейдет в некоторый символ из множества В,. Затем под действием трансвекции, определенной спариванием и/, он перейдет в символ из множества В,. Если мы на символ из этого множества опять по действуем циклом ( 1 , 2 , . . . , Акт), то попадем в символ из множества А,-, а под действием трансвекции перейдем в символ из множества А,. Действуя на символ из множества А{ циклом, попадем в множество В*, из которого под действием трансвекции попадем в множество В*. Аналогичным обра зом замечаем, что подстановка а^ переведет множество В,- в множество A,-+i. Продолжая этот процесс, заметим, что цикл, содержащий символ с, будет содержать хотя бы по одному символу из каждого множества Aj, A J? Bj, B J 5 j = l,...,fc, а потому его длина не меньше 4к. Аналогич ное утверждение справедливо для любого другого символа из множества { 1 , 2 , . . . , Акт). Следовательно, в силу теоремы 1 справедливо неравенство c\{zm) ^ (1 — га)/2 + km. Так как cl(zm) может принимать только целые значения, то из этого неравенства получаем: cl(zm) ^ [(2 — га)/2] + km. Теорема доказана. Непосредственно из приведенного доказательства вытекает С Л Е Д С Т В И Е . Пусть 2*2* — свободная группа со свободными по рождающими a?i, г/1, . . . , Xk, Ук- Тогда для всякого натурального га спра ведливо равенство с1(([х ь уг]...
[хк, ук])т) = [(2 - га)/2] + km.
Таким образом, коммутаторная длина c\(zm) зависит от ранга груп пы r p ( a i , 6 i , . . . ,а*,Ь&)) где z = [а ь Ь{\... [а*, 6*] и k = c\(z). Покажем, как, используя теорему 2, можно находить точное значение коммута-
Вычисление коммутаторной длины
433
торной длины. Рассмотрим множество элементов dk = (a~2b~~2)fc(ab)2fc, & = 1,2,..., свободной группы F2 = гр(а,Ь). Очевидно, никакой элемент dk не является собственной степенью. ПРЕДЛОЖЕНИЕ
5. Для всякого натурального т и всякого
к = 1, 2 , . . . справедливы соотношения: l)(fcm + l)/2
3)сЩ)
= к + 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Найдем значение s(dk). Легко проверить, что образ элемента dk в алгебре пар Р равен (к + 1)ех — в2 — вз ~ (к — 1)^41 & по тому 7i(djl) = к + 1, r2(d£) = г 3 (dj) = - 1 , r4(d£) = -& + 1 . Также нетрудно проверить, что qla(dk) = ЗА; и s(dfc) = max{6fc,3fc,6} = 6fc. Замечая, что элемент dk циклически приведен, и беря в качестве <р тождественный ав томорфизм непосредственно из теоремы 2, получаем неравенство из п. 1. При т = 1 из этого неравенства имеем оценку [fc/2] + l
При / = 0 имеем d\ = a~26~~2(ab)2 =
= [6а2, а" 1 6], т. е. в этом случае равенство из п. 2 справедливо. Поэтому да лее считаем, что / > 0. Так же, как мы делали в § 1, занумеруем по порядку все порождающие, входящие в dk, числами 1, 2 , . . . , 8к. На множестве этих чисел определим спаривание и формулами
u(4i+l)
8/ + 5,
при г = 0,
1 6 / - 4 г + 9,
при г = 1,2,...,/,
{ 20/ - 4г + 11, при г = / + 1, / + 2 , . . . , 2/, 1 2 / - 4 i + 7, при г = 0 , 1 , . . . , / , 16/ - 4г + 9, при г = / + 1, / + 2 , . . . , 2/, 12/ — 4i + б, при г = 0 , 1 , . . . , /, 16/ - 4г + 8, при г = / + 1, / + 2 , . . . , 2/,
434
В. Г. Бардаков
(
16/ - 4г + 6, при г = 0 , 1 , . . . , / - 1, 20/ - 4г + 8, при г = /, / + 1 , . . . , 2/.
Определим подстановки о^ и pkj действующие на множестве М* = { 1 , 2 , . . .
. . . , | 4 | = 8Л}: <7* = (1,2,...,8*),
p f c =(l,o;(l))(2,a;(2))... (4*^(4*)).
Вычисляя их произведение, получим I
<7*/>* = (8(2/ + 1), 8/ + 5,4/ + 3)(1,12/ + 7,8/ + 4) Д ( 4 г + 2,12/ - 4г + 6) 1=0 1-Х
2/
X Д (4г + 4,16/ - 4» + 5) Д «*=0
2/-1
(4г + 2,16/ - 4г + 8) Д (4г + 4, 20/ - 4г + 7)
i=/+l
t=f
1-1
X Д (4г + 3,16/ - 4г + 6,4(/ + г + 1) + 1,12/ - 4г + 5) 1=0 I
X Д (4г + 1,12/ - 4г + 7, 4(/ + г) + 3,16/ - 4г + 8). i=i
Следовательно, полученная подстановка в разложении на независимые циклы содержит 4/ + 1 трансвекцию, два 3-цикла и 2/ циклов длины 4, т.е. всего 6/ + 3 независимых цикла. По теореме 1 из § 1 при к = 2/ + 1 имеем неравенство cl(4) ^ (1 - (6/ + 3))/2 + 2А; - [fc/2] + 1. С учетом полученного выше неравенства получаем требуемое равенство для нечетных значений к. Пусть теперь к четно, т. е. к = 2/ + 2, / = 0,1,
В этом случае
cl(<W 2 ) ^ cl(rf2t+i) + 1 = / + 2 = [fc/2] + 1. Следовательно, для четных значений к равенство из п. 2 также справед ливо.
Вычисление коммутаторной длины
435
Пусть теперь m = 2. В силу неравенства из п. 1 имеем
к+ 1/2 ^cl(4). Так как cl(c/|) может принимать только целые значения, то к + 1 ^ cl(d^). Чтобы установить противоположное неравенство, будем считать вначале, что к нечетно, т. е. к = 2/ + 1, / = 0,1,
В этом случае
d ( 4 ) < 2 c l ( d * ) = A + l. Следовательно, для нечетных значений А; равенство 3 справедливо. Предположим теперь, что к четно, т. е. к — 21 для некоторого на турального /. Опять воспользуемся результатами § 1. Пронумеруем по по рядку все символы, входящие в слово d2k числами 1,2,..., 16А:. Множество М = { 1 , 2 , . . . , 16fc} представим в виде объединения четырех непересекаю щихся подмножеств: М = М\ U М 2 U М 3 U М 4 , где Mi = { 1 , 2 , . . . , 4&}, М 2 = {4* + l,4fc + 2,...,8ifc}, M 3 = {8* + 1,8Л + 2,...,12fc}, М 4 = = {12* + 1,12* + 2 , . . . , 16*}. Множествам Mi и Мз отвечают в слове d\, символы а"1 и Ь"~х, а множествам М 2 и М 4 в слове d£ — символы а и Ь. Определим на множестве М спаривание и. Поскольку каждый символ из объединения Мх U М 3 может быть спарен только с символом из М 2 U М 4 , нам достаточно определить действие и на символах из Mi U М 3 . Для сим волов из множества Mi положим w(l) = 12*? + 1,
w(2) = 16* - 1,
Ц З ) = 16* - 2,
w(4i) = 8fc - 4г - 2,
г = 1,2,..., к - 1,
u(4i + 1) = 8к - 4i - 3,
г" = 1, 2 , . . . , к - 1,
о;(4г + 2) = 16* - 4г - 3, к > 2, г = 1, 2 , . . . , * - 2, Ц4г + 3) = 16* - 4г - 4, А > 2, г = 1, 2 , . . . , к - 2, w(4* ~ 2) = 8А - 1,
и;(4* - 1) = 8А - 2,
u>(4*) = 8*.
Для символов из М 3 положим Ц 8 * + 1) = 8* - 3,
u>(8* + 2) = 16* - 3,
u(8k + 3) = 16* - 4,
436
В. Г. Бардаков и(8к + 4г) = 8* - 4г,
г = 1, 2 , . . . , Л - 1,
и(8к + 4г + 1) = 8* - 4г - 1,
г = 1,2,..., к - 1,
о;(8* + 4i + 2) = 16fc - 4г - 1, г = 1,2,..., к - 1, Ц 8 * + 4г + 3) = 16* - 4г - 2, г = 1,2,..., к - 1, Ц12*) = 16*. По спариванию и построим подстановку 12fc
4fc
из группы 5i6fc и найдем произведение аш = ( 1 , 2 , . . . , 16*) -p. Нетрудно проверить, что аш имеет следующее разложение в произведение независи мых циклов аш = (4fc,4Jb--3,8fc--l)(8Jb,8A:-3,4fc-l)(12fc,l,16fc--l)(16fc, 12* + 1,12Аг —1) х(2,16* - 2)(4* - 2,8* - 2)(8* + 2,16* - 4) х (3,8* - 6,8* + 5,16* - 5, 8* + 3,8* - 4,8* + 1,16* - 3) к-i X J J {(4г, 8* - 4г - 3)(8* + 4г, 8* - 4г - 1)(8* + 4г + 2,16* - 4г - 2)} к-2 X Д {(4г + 2,16* - 4г - 4)(4г + 1,16* - 4i - 3, 8* + 4г + 3,8* - 4г - 4) х (4
R x
( ) = ]>^7;ж\
где 7i -~ число различных несократимых слов из F2 длины г. Легко прове рить, что 7о — 1 и 7« = 4 • З*"1 при г = 1,2,
Вычисление
коммутаторной
437
длины
Аналогичным образом с коммутантом F^ можно связать ряд сю
ад = Х>?2\
(1)
1=0
где Si — число различных несократимых слов длины 2г из коммутанта F2. Слова из коммутанта, имеющие одинаковую длину, могут иметь различ ную коммутаторную длину. Поэтому определим многочлен [t/2]
Л (у)
^^hjV3!
где fij — число различных несократимых слов из F^ длины 2г и коммута торной длины j . Очевидно, /;(1) = ($,-. С коммутантом группы F2 свяжем коммутаторный ряд роста
o(x,y)=i+x;E^x2v, оо [г/2]
(2)
•=2 j = l
который зависит от двух переменных и отражает структуру коммутанта F'2. Рассматривая граф Кэли Г = Г ^ ) группы F2 относительно порожда ющего множества {а, 6}, превратим его в метрическое пространство, счи тая, что каждое ребро имеет длину 1. Для всякого г = 0 , 1 , . . . через S(r) обозначим сферу радиуса г с центром в единице. Множество S(r) состоит из несократимых элементов группы F2 длины г. Тогда множество вершин оо
У (Г) г р а ф а Г можно представить в виде объединения V ( r ) = [J Sr- Число r=0
вершин, лежащих на сфере S(r), равно уг. Если г четно, то S(r) является объединением двух подмножеств: первое имеет мощность 8г/2 и содержит элементы из коммутанта, а второе состоит из элементов, не лежащих в коммутанте F^. В свою очередь, первое множество разбивается на объ единение подмножеств, состоящих из элементов с коммутаторной длиной 1,2,..., [г/4]. Нетрудно найти первые коэффициенты этого ряда: П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 6. Справедливо равенство оо [t'/2] 4
6
8
8 2
Q{x, у) = 1 + 8х у + 40х у + Шх у + 8х у + ] Г ] Г i=5
j=l
fi3x2iyj.
438
В. Г. Бардахов ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, все слова длины 4, лежащие в ком
мутанте, являются коммутаторами, и всего таких слов — 8. Следовательно
? /2(2/) ~ /гдУ — 8у. Все слова длины 6, лежащие в коммутанте, также
являются коммутаторами, а потому /з(у) = /здУ
=
40у. Далее нетруд
но проверить, что слов длины 8, лежащих в F^, будет триста двенадцать. При этом среди них находятся слова коммутаторной длины 1 и 2. Легко убедиться, что циклически приведенное слово длины 8 имеет коммута торную длину 2 тогда и только тогда, когда оно является квадратом. Та ких слов будет восемь: [ае,6^]21У, e,fi,v — ± 1 . Все остальные слова длины 8 представляют элементы, являющиеся коммутаторами. Следовательно, f4(y) = /4,1 у + Л,2У2 = 304у 4- 8у2. Подставляя найденные коэффициенты в (2), получим требуемое разложение. Для проверки того, что элемент z £ F2 является коммутатором, удоб но использовать следующий критерий, легко вытекающий из известного результата Уикса [19] (см. также [9, гл. 1, предлож. 8.4]). Л Е М М А 20. Циклически приведенный элемент z £ F2 коммутатором
является
тогда и только тогда, когда z можно представить в
виде произведения z = z\z
Вычисление
коммутаторной
длины
439
ЛИТЕРАТУРА 1. R. Z. Goldstein, Е. С. Turner, Applications of topological graph theory to group theory, Math. Z., 165, N 1 (1979), 1-10. 2. M, Culler; Using surfaces to solve equations in free groups, Topology, 20, N 2 (1981), 133-145. 3. А. Ю. Ольшанский, Диаграммы гомоморфизмов групп поверхностей, Сиб. матем. ж., 30, N 6 (1989), 150-171. 4. С. С. Edmunds, G. Rosenberger, Powers of genus two in free groups, Can. Math. Bull., 33, N 3 (1990), 342-344. 5. M. P. Shutzenberger, Sur 1'equation a2+n = b2+mc2+p dans un group libre, С R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Math., 248 (1959), 2435-2436. 6. J. A. Comerjord, L. P. Comerford, Jr., С. С. Edmunds, Powers as product of commutators, Commun. Algebra, 19, N 2 (1991), 675-684. 7. A. A. Vdovina, Constructing of orientable Wicks forms and estimation of their number, Commun. Algebra, 23, N 9 (1995), 3205-3222. 8. A. J. Duncan, J. Howie, The genus problem for one-relator products of locally indicable groups, Math. Z., 208, N 2 (1991), 225-237. 9. P. Линдон, П. Шупп, Комбинаторная теория групп, М., Мир, 1980. 10. Р. И. Рригорнук, П. Ф. Курнапов, Некоторые вопросы теории групп, свя занные с геометрией, в кн: "Алгебра-7й (Итоги науки и техники. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления, 58), М., 1990, 191—256. 11. У. Масси, Дою. Столлингс, Алгебраическая топология. Введение, М., Мир, 1977. 12. R. Z. Goldstein, E. С. Turner, Counting orbits of a product of permutations, Discrete Math., 80, N 3 (1990), 267-272. 13. В. Г. Бардаков, Четные подстановки, не пред ставимые в виде произведения двух подстановок заданного порядка, Матем. заметки, 62, N 2 (1997), 169— 177. 14. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, 4-е изд., М., Наука, 1996. 15. А. И. Кострикин, Введение в алгебру, М., Наука, 1977. 16. В. Г. Бардаков, К теории групп кос, Матем. сб., 183, N 6 (1992), 3—42.
440
В. Г.
Бардаков
17. А. Н, Rhemtulla, A problem of bounded expressibility in free products, Proc. Camb. Phil. Soc, 64, N 3 (1969), 573-584. 18. В. Г. Бардаков, О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных кон струкций, Алгебра и логика, 36, N 5 (1997), 494—517. 19. М. J. Wicks, Commutators in free products, J. Lond. Math. Soc, 37, N 4 (1962), 433-444. 20. R. Grigorchuk, P. de la Flarpe, On problems related to growth entropy and spectrum in group theory, J. Dynamical and Control Systems, 3, N 1 (1997), 51-89.
Адрес автора: БАРДАКОВ Валерий Георгиевич, РОССИЯ, 630090, Новосибирск, 90, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail: [email protected]
Поступило 28 декабря 1998 г.
