2色 刷 わかりやすい機械教室
機 械 力 学 考え方解き方 小山十郎 著
TDU 東京電機大学出版局
演習付
本 書 の 全部 また は一 部 を無 断で 複 写 複 製(コ ピー)す る こ とは,著 作 権 法 上 で...
65 downloads
842 Views
45MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
2色 刷 わかりやすい機械教室
機 械 力 学 考え方解き方 小山十郎 著
TDU 東京電機大学出版局
演習付
本 書 の 全部 また は一 部 を無 断で 複 写 複 製(コ ピー)す る こ とは,著 作 権 法 上 で の例 外 を 除 き,禁 じ られて い ます。 小 局 は,著 者 か ら複 写 に係 る 権 利 の管 理 に つ き委 託 を受 け てい ます ので,本 書 か らの複 写 を希望 され る場 合 は,必 ず小 局 (03-5280-3422)宛 ご連 絡 くだ さい。
ま え が き 本 書 は,工 業 高 校 の機 械 科 に お け る新 学 習 内 容 を基 準 と して,必 要 最 少 限 の 内容 を残 らず 取 り入 れ,や さ し く理 解 しや す い形 に ま とめ た もの で あ る。 対 象 と して は,一 応 機 械 科 の生 徒 諸 君 を 考 え て い るが,そ の 他 の 工 学 を学 ぶ 者 お よ び機 械 技 術者 を志 す 者,さ らに な お 広 く一 般 の好 学 者 の諸 君 の た め に も読 み な が ら内容 が把 握 で き る よ う配 慮 した つ も りで あ る。 編 纂 に あ た って は,次 の諸 点 に留 意 した。 ①
な るべ く短 時 間 に労 せ ず して学 び と れ るよ うに,演 習 問 題 形 式 に よ らず, 例 題 集 と し,考 え方 ・解 き方 に 力 点 を お い た。 しか し,例 題 を 少 しで も多 く取 り入 れ るた め,考 え方 ・解 き方 を 重 要 視 しなが ら も,こ れ を 簡 潔 に と ど め た。
②
重 要 な 基 本 事 項 が ひ と 目 でわ か りや す い よ うに,わ く組 みの 中 に ま とめ, そ れ らの 中 で 説 明 の 必 要 な もの は わ く外 に理 解 しや す く解説 した。
③
三 角関 数 を必 要 とす る と こ ろ で は,計 算 を 容 易 にす る た め,主 と し て 特 別 角 を用 い るよ うに した。
筆 者 は現 職 の体 験 を とお して,初 学 者 の 多 くの っ まづ き をみ て き た。 本 書 は 教 室 に お け る これ らの体 験 を 通 じて の授 業 の集 約 と もい う こ とが で き る。 執 筆 に あ た って は十 分 努 力 した つ も りで あ るが,不 足 の 点 はお 許 しい た だ き た い。 本 書 の作 成 に あ た って,ご 尽 力 下 さ った東 京電 機 大 学 出 版 局 な らび に,関 係 各 位 の絶 大 な る ご支 援 に対 し,心 か らお礼 を 申 し上 げ た い。
昭 和45年10月
筆者記 す
第 本 書 は昭 和45年(1970)に,初
2
次改訂に あた
っ
て
版 「機 械 の 力 学,考 え 方 ・解 き方 」 を タ イ ト
ル と して,機 械 力学 と材 料 力 学 の 合 本 で ス タ ー トし,そ れ以 来 多 くの版 を 重 ね, 昭 和60年(1985)に
な って,よ り見 や す くか つ 解 りや す くす る よ う に 期 待 を
こめ て 第 1次 改 訂 を行 い,2 色 刷 り 2分 冊 と した。 今 般,SI単 位 系(国 際 単位 系)へ の 移 行 を 契 機 と して,多 くの 本 書 ご活 用 の 方 々 な らび に時 代 の要 請 に こた え,第 2次 改 訂 を行 う こと と した。 初 版 以 来 一 貫 して 考 えて きた こ とは 「労 せ ず学 べ る例題 集 と し,考 え 方 ・解 き方 に力 点 を お く」 で あ り,ま た同 時 に 「機 械 設 計 へ の橋 渡 し と して役 立 つ も の」 で あ った。 か く して,第 1次 改訂 で は①2色 刷 り に して 解 説 ・図 ・問 題 点 な ど見 やす く, 理 解 しや す い よ うに浮 きぼ りに す る。 ② 演 習 問題 の追 加 と解答 に もな るべ く計 算 式 を付 加 す る。 ③MKS, SI単 位 の 換 算 表 を 追 加 し,④ 設 計 関 連 部 分 で は単 位 の関 連 性 を考 慮 し,⑤ 材 料 力 学 関 連 図 はJIS規 格 に従 い,⑥ 電 卓 利 用 も考 慮 し て 円周 率 πは そ の ま ま扱 うな ど 見 な お しあ るい は 改善 を 行 った。 今 回 の第 2次 改 訂 で は,第 1次 改 訂 の六 つ の ポ イ ン トか ら,さ ら に発 展 的 に 次 の諸 点 を重 点 と して意 を そ そ い だ つ も りで あ る。 ①SI単
位 系 の使 用(重 力 単 位 へ の 見 な お しも考 慮 した)。
②
機 械 力 学,材 料 力 学 の 二 つ を独 立 させ て 2分 冊 と した。
③
改 善 点 の見 な お しに よ る新 設 と廃 棄 。
④
機 械 工 学 便 覧(日 本 機 械 学 会 編)新 版 に 準 拠 す る よ う に した(例,曲
げ
モ ー メ ン トの正 負 の符 号 の扱 い な ど)。 ⑤
答 の数 値 は原 則 と して 四捨 五 入 で 有効 数 字 3桁 と す る。(特 に,一 部 の 問 題 で は,そ の 題 意 に よ り切 り捨 て,切 り上 げ あ る い は その 有 効 数 字 の 桁 数 の増 減 を行 った)
⑥
付 録 ・単 位 の換 算 表 に ギ リシ ャ文 字 の追 加。 初 版 で は主 と して工 業 高校 の機 械 科 の生 徒 諸 君 を 対 象 と して 作 成 した が,
年 が経 つ に つ れ て,現 実 に は多 くの機 械 工 業 な らび に,そ の 関連 企 業 等 の 現 場 で,広 範 に ご活 用 い た だ い て きた こ と は著 者 と して 至 上 の喜 び と す る もの で あ る。 な お,本 書 に よ る学 習 法(ご 活 用)の 工 夫 の た め に,幅 広 く利 用 者 諸 氏 の 選 択 の 自 由度 を 高 め るべ く十 分配 慮 した つ も りで あ る。 一 層 の ご活 用 を い た だ け れ ば幸 い で あ る。 初 版 以 来 この か た,第 1次 改 訂,第
2次 改 訂 を通 して重 ね が さね ご尽力下 さ っ
た東 京 電 機 大 学 出 版 局 岩 下 行徳 氏 な らび に関 係 各 位 に対 し深 く感 謝 申 し上 げ る次 第 で あ る。 平 成 6年 3月
著者 記す
も く じ
1.力
―
ちか ら
1・1
力
1
1・2
力 の 合 成 と 分 解
6
1.3
力 の モ ー メ ン ト
25
1.4
力 の つ り合 い
44
1.5 1・6
2.運
動
ト ラ ス に 働 く 力 と働 き 方 物 体 の 重 心
2・1 運
動
2・2 運 動 と力
55 71
78 99
2・3 運 動 量 と 力 積
113
3・1
す べ り 摩 擦
122
3・2
こ ろ が り摩 擦
127
4.仕 事 と動 力 と エ ネル ギ
4・1
仕 事 と 動 力
131
4・2
エ ネ ル ギ
136
5.機 械 の 効 率
5.1
力 の 利 用
145
5.2
機 械 の 効 率
154
3.摩
6.回
擦
転
体
6・1
ト ルク
168
6.2
慣 性 モ ー メ ン ト
170
6・3
角 運 動 方 程 式
174
6・4
等 角 加 速 度 運 動
176
問 題 の 解 答
178
付 録 SI単 位 に つ い て
197
1
力 ―
ちか ら 1・1力
〔1〕 一般 に
力の意味 ,力
力 と は,物
と は,次
の よ う に い う こ とが で き る。
体 の 運 動 状 態 を 変 化 さ せ た り,物
的 な 作 用 の こ と を い う(図1・1(a),(b),(c))。
(a)弓 と矢(矢 を飛 ば す 力)
(b)物 体 の 落 下(重 力)
体 を 変 形 させ た り す る 直 接
(c)膨 張す る 力 力の例
図1・1
例 題1・1
私 た ち の 日常 生 活 の な か で,考
え ら れ る 力 の種 類 を,で
き るだけ
多 くあ げ て み よ う。 〔 考 え 方 〕 火 力(熱)は,物 が,膨
体 の 運 動 状 態 を 変 え た り,物 体 を変 形 さ せ た りで き る
張 とか 化 学 変 化 な どの 過 程 を経 て い る もの で,力
と して の 直 接 的 な 作 用 とい え
ない。 〔 解 き 方 〕 具 体 的 な 言 葉 で あ げ る。 答(重
力,浮
力,打
圧 縮 力,推
力,弾
進 力,動
力,圧 力,摩
力,回
擦 力,万
転 力,引
張 り力,
有 引 力 な ど)
〔2〕 力 の 単 位 力 の 大 き さ を 表 す に は,い
くつ か の 基 準 が あ る 。 こ こ で は,SI単
位 系 を用
い る こ と とす る。
質 量 1㎏ 与 え る 力,1㎏
の 物 体 に,1m/s2(毎 ・m/s2を
秒 1mの
1N(ニ
割 合 で 速 度 を 増 す)の 加 速 度 を
ュ ー ト ン)と 表 し,こ
れ を 力 の 単 位 とす
る。 1〔 ㎏f〕=1〔
㎏
〕×9.80665〔m/s2〕=9.80665〔
㎏
・m/s2〕
≒9.8〔N〕
こ れ よ り,重 力 単 位 ㎏fか 1〔㎏f〕=9.8〔N〕
らSI単 位 へ の換 算 系 数 は9.8と す る。
《Sl単 位 系 》 力 の 大 き さ の 表 示 に,長
い あ い だ 重 力 単 位(㎏f)が
国 際 的 標 準 化 に よ り,わ
が 国 で も1974年
International
し てSI)の
d'Unites略
4 月 以 後,国
1.力
1N(ニ
ュ ー
(キ ロ ニ ュ ー
力のモー メン ト
{
1N・m(ニ
Systeme
の 単 位 を(N)
ュ ー ト ン)は1÷9.8≒0.102か
ら,
圧力
ト ン)=1㎏
・m/s2(定
義),…
…103N=1kN
ト ン)
㎜(ニ
1Pa(パ
{応力
の 主 な単 位 を あ げ て み よ う。
ュ ー
=1N・
トル ク
3.
位 の
ロ グ ラ ム 重)に 等 しい 力 の 大 き さ と い う こ と に な る 。
〈参 考 〉 機 械 力 学 で 用 い るSI系
2.
際 単 位 系(Le
導 入 が 決 定 し た こ と か ら,力
と 改 め る こ と に な っ た 。 こ れ に よ り1N(1ニ 0.102㎏f(キ
使 わ れ て き た が,単
トン メー ュー
ト ル),…
…10-3N・m
ト ン ・ミ リ メ ー
ス カ ル)=N/m2。(定
=1N/㎜2=1MPa(メ
ト ル)
義),…
…106N/m2
ガ パ ス カ ル),…102N/㎝2(ヘ
ク
ト パ ス カ ル)
4.
5.
仕事
1J(ジ
エ ネルギー
ジ ュ ー ル)=1W・h(ワ
仕事率
1W(ワ
{
{動 力
ュ ー ル)=1N・m(定
ッ ト)=1J/s(定
ト)〔735W=1PS(仏
例 題1・2水0.5m3の 〔考 え 方 〕 の1000倍
水1m3に
重 さ は,力
義),…
…103N・m=1kJ(キ
ッ ト ・時)=360W・s(ワ
義),…
ッ ト秒)
…103W=1kW(キ
ロワ ッ
馬 力)〕
の 大 き さ 何(N)に
相 当 す る だ ろ うか 。
か か る 重 力 の 大 き さ は 1t(ト ン)1000
で あ る 。 こ れ よ り 水0.5m3は1m3の
ロ
㎏fで
あ る か ら,9.8 N
何 倍 か を考 え る。
〔解 き 方 〕9.8N×1000×0.5=4900N
答(4900N)
問 題1・1長 (水 の7.8倍)で
さ50 ㎝,幅40
㎝,厚
あ る とす れ ば,こ
さ 5㎝
の 鋼 材 が あ る。 こ の 鋼 材 の 比 重 が7.8
の 重 さ は何 N の 力 に相 当す る か 。 答(764.4N)
問 題1・2重 30 ㎝
さ が150Nに
相 当 す る 内 容 積(う ち の り)長 さ50 ㎝,幅40
の 水 槽 が あ る。 こ れ を満 水 に し て つ り上 げ る に は,何
㎝,深
さ
Nの 力が 必要か 。 答(738N)
〔3〕 力 の 表 し方 力 は,図1・2の
よ う に,矢
印 を使 って 表 す 。
XX:力
の 作 用 線(力 の 方 向 を示 す)
O点:着
力 点(力 の 働 く点)
OA:力
の 大 き さ と方 向 を表 す。
図1・2
力の表 し方
《力 の 効 果 を決 め る もの 》 〔力 の 大 き さ 〕 ……力の三要素
〔方 向 〕 〔着 力 点 〕
}
《ベ ク トル(ベ ク トル 量)》 〔大 き さ 〕
〔方 向 〕 (例:ベ
}(こ の 二 つ を同 時 に 示 す 量)… … ベ ク トル(ベ ク トル 量) ク トル で 表 せ る 量 。 力,速
度,加
速 度 な ど)
〈参 考 〉 こ れ に 対 して 長 さが 3m,時 間 が 8時 間 な ど とい う よ うに た だ 一 つ の 数 量 だ け 示 す 量 の こ と を ス カ ラ ー 量 と い う。
例 題1・3定
点 P に,水
す る場 合 を,矢
1lの 量 の 重 力 が 作 用
印 の 長 さ 1㎝
が 1N の 力 の 大 き
さで ベ ク トル 表 示 して み よ う。 〔考 え 方 〕 水 1lの 水 の 目方 は 1㎏fだ
か ら,こ
れ
をN に 換 算 す る。 〔解 き 方 〕1〔
㎏f〕=9.8〔N〕
1㎝
×1〔 ㎏f〕=9.8〔N〕
×9.8=9.8㎝
答(作
図) 図1・3
問 題1・3100Nの 2㎝
力 の 大 き さ を,長
さ 5㎝
の 矢 印 で 表 す とす れ ば,そ
の 図の 中で
の 矢 印は何 N に相 当す るか。 答(40N)
問 題1・4図1・4(a)の
よ う に,点
P に 対 し て 2方 向 に2㎏f,3㎏fの
大 き さの 力 が
作 用 して い る。 これ を横 長 の 長 方 形 の 紙 面 に 力 の 矢 印 の 長 さ が 紙 面 一 杯 に お さ ま る よ う に 描 き た い 。 力 の 大 き さ 2N を 1㎝ 横 それ ぞれ何 ㎝
の 長 さ で 示 す た め に は紙 の 大 き さ は 最 低 で 縦
にすれ ば よいか。 答(縦10㎝,横15㎝)
(a)
(b) 図1・4
1・2力
の 合 成 と分 解
〔1〕 図 法 に よ る力の 合 成 と分解 (a)1点
に働 く 2力 の 合 成(図 法 に よ る)
ば ね を使 っ て,力
の合 成 を考 え て み よ う。
《フ ッ ク の 法 則 》 弾 性(物 体 が 外 力 を受 け て 変 形 して も,そ の 外 力 が 去 れ ば も と の 形 に戻 る性 質)の 限 度 内 で は,変
形 量 は 外 力 に 比 例 す る(ロ バ ー ト ・フ ッ ク,英,1635
∼1703) 。 ば ね ば か りは,こ
の法 則 の 応 用 。
《力 の合 成 》 2力 の 大 き さ,F1,F2の
働 き と 全 く同 じ効 果 を も つ 一 つ の 力(合 力)F を
求 め る こ とで あ る。
図1・5重
な る 2力 の和
図1・6重
(a)
(b)
図1・7等
図1・5∼ 方 法 で,そ
図1・8の
な る 2力 の 差
よ う に,そ
(c)
しい 2力 の 合 成(3 例)
れ ぞ れ の 場 合 の 力 の 合.成 は,各
図 の下段 に示 す
の 大 き さ や 方 向(向 き)が 求 め ら れ る 。
実 験 に よ る と,図1・7,図1・8の 合 力 の 大 き さ は,2
な か で 示 し た 4例 の よ う に,一
般 に2力
の
力 の 大 き さ を示 す 矢 印 で 作 る平 行 四 辺 形 の 対 角 線 に 相 当 す
る 矢 印 の 長 さ と 等 し くな る こ とが 知 ら れ て い る 。
(b)力 の 平 行 四 辺 形
(a)
(c)力 の 三 角 形 一 般 に 1点 0'に働 く大 き さの 違 う 2力 の合 成 も 、 そ の 2力 の平 行 四辺 形 の 対 角 線 の 大 き さ と一 致
(
)
す る こ とが知 られ て い る。 図1・8
例 題1・4あ
の か わ りに,一
る 点 に,東
へ30N,北
つ の 力 で,こ
等 し くな い 2力 の合 成
へ40Nの
力 が 作 用 し て い る 。 こ の 2力
れ と同 じ効 果 を与 え た い.何 N の 力 を どの 方 角 に
作 用 させ た ら よい だ ろ うか 。
(a)
(b)
図1・9
(c)完 成 図
(d)完 成 図
(力 の 平 行 四辺 形)
(力 の三 角 形)
力 の 平行 四 辺 形 と力 の三 角 形
〔考 え 方 〕 力 の 平 行 四辺 形 と 力 の 三 角 形 の,二 〔 解 き方 〕 矢 印 の 長 さ 1㎝
を10Nと
つ の 解 き方 が あ る。
し て 考 え,図1・9(a)∼(d)の
く と よ い 。 完 成 図 か ら合 力 の 長 さ と角 θ を 測 れ ば,合
力 が 5㎝,θ
よ うな順 序 で 描 が53° で あ る こ
とが わ か る。 答(50Nの
例 題1・5前
の 例 題1・4で,北
へ40Nの
力 を東53° 北 の 方 角 に 加 え る)
力 だけ 西 向 きに変 え た らど うな る
か 。 ま た東 向 きに 変 え た ら ど うな るか 。 〔 考 え方 〕
ど ち ら の 場 合 も作 用 線 は 重 な り,2 力 の 差 と和 に な る 。
〔解 き 方 〕
図1・10(a),(b)の
よ う に 描 い て 合 力 を測 れ ば よ い 。
答(西
へ10N,東
へ70N)
図1・10
例 題1・6図1・11の 力 で,ボ
よ う に,川
幅10mの
両 岸 に い る 人 が,そ
れ ぞ れ10Nの
ー トに つ け た 綱 を 引 い て い る 。 ボ ー トは 川 の 中 心 を 走 り,綱
図1・11
の 長 さは
両 方 と も そ れ ぞ れ10mで
あ っ た とい う。 ボー トを 前 進 させ る 力 は何 N に な る
か。 〔考 え方 〕 綱,川
幅 の 三 つ の 長 さ が10mだ
か ら,こ れ ら は 正 角 形 に な る こ とが わ
か る。 〔解 き 方 〕 例 と し て,1 ㎝ 辺 が10㎝
を 1N の 力 の 大 き さ と し て 作 図 す れ ば,鋭
角60°,一
の ひ し形 が 描 け る。 こ れ よ り合 力(対 角 線)を 測 定 す れ ば17.3㎝
こ れ よ り1N×17.3=17.3Nと
を得 る。
す れば よい。 答(17.3N)
問 題1・5図1・12の
よ う に,体
重10㎏fの
子供 を乗 せ た ブ ラ ン コに ひ もを結 ん で
引 張 る。 ひ もが ち ょ う ど地 面 と18° の 傾 き に な っ た と き,引 張 る 力 が60Nで
あ った
とい う。 こ の と き ブ ラ ン コの 綱 の 張 力 F は 2本 で何 N に な る だ ろ うか 。 答 (98N)
図1・12
問 題1・6図1・13の
よ う に,ば
ね ば か りで 引 い た 糸 の 中 間 に 重 り をつ る し た と き,
糸 は 水 平 面 との な す 角30° 下 向 き とな り,ば ね ば か りは0.08㎏fを
示 して い た。 重 り
は 何 ㎏fか 。 ま た 何 N に な るか 。 答(0.08㎏f,0.784N)
図1・13
(b) 力の 分 解 (図 法 に よ る) 図1・8の
場 合 の 全 く逆 に 考 え る。
《力 の 分 解 》 一 つの 力 F を
,こ
れ と全 く等 し い 効 果 を も つ 2 力F1,F2に
を 力 の 分 解 と い う。 こ の よ う なF1,F2を
例 題1・7図1・14の と お し て,重
よ う に1Nの
りP,Qで
分 け るこ と
F の 分 力 と い う。
力 に 相 等 す る 重 り を 糸 で つ り上 げ,滑
釣 り合 い が と れ た も の とす れ ば,重
りP,Qの
車 を 力 はそ
れ ぞ れ何 N に な る か。 〔 考 え 方 〕 力 の 合 成 と 同 じ よ うに,平
行 四 辺 形 ま た は 三 角 形 の 法 則 を,順 序 を 逆 に
し て 考 え る。 〔解 き方 〕 三 角 定 規 と分 度 器 を使 っ て,図1・15(a)ま →(4)の 順 に 作 図 す る と よ い 。 こ の よ う に してOAの OB,OCの
長 さ を,ま
た は(b)の(4)図 か らO'B',OCの
0.74,0.5と
な る こ とが わ か る 。 こ の こ とか ら, 重 りP…
…1[N]×0.74=0.74[N]
重 りQ…
…1[N]×0.5=0.5[N]
た は(b)の よ うに そ れ ぞ れ(1) 長 さ を 1と し て(a)の(4)図 か ら 長 さ を 測 れ ば,そ
が得 られ る。
答 (P=0.74N,Q=0.5N)
れ ぞれ が
図1・14
(a)力 の 平 行 四 辺 形 に よ る 方 法
(b)力 の 三 角 形 に よる 方 法 図1・15
問 題1・7図1・16の ㎏f相
よ う に,2 本 の 立 ち 樹 の 間 に ハ ン モ ッ ク を つ る し て,重
当 の 人 が そ の 上 に 寝 た。 こ の と き頭 側,足
角 は45°,30° に な っ た 。 頭 側,足
さ50
側 の つ りひ もが そ れ ぞ れ 地 面 と な す
側 の つ りひ も の 引 張 られ る 力 は そ れ ぞ れ 何 N に な
るか。 答 (頭側440〔N〕,足
側360〔N〕)
図1・16
問 題1・8
空 中 ケ ー ブ ル カー が 故 障 して,図1・17の
と な す 角30°,20° め て1500㎏fで
よ う に 引 張 り索 の 前 後 が 水 平 面
の 状 態 で 宙 づ りに な っ た 。 こ の と きの ゴ ン ドラ の 重 量 は 乗 客 を含
あ っ た 。 前 後 の 引 張 り索 に発 生 し た 引 張 り力 は そ れ ぞ れ 何 N に な る
か。 答 (前方18〔kN〕
後 方16.6〔kN〕)
図1・17
(c) 1点 に働 く多 数 の 力 の 合 成 (図 法 に よ る) 1点 に 働 く 多 数 の 力F1,F2,…
… を,一
2力F1,F2の
に,こ
合 力F'を
求 め,次
つ の 力 に 合 成 す る に は,ま
のF'とF3と
の 合 力F"を
ず,
求 め,
さ ら に こ の F"とF4と
の 合 力 F"',…
… と順 次 合 成 を 続 け て最 終 合 力 F
を 求 め る(図1・8)。
(1)
(2)
(4)
(3)
(a)力 の 平 行 四 辺 形 利 用
(1)
(2)
(4)
(3)
(b)力 の 三 角 形 利 用(力 の 多角 形 と もい う) 図1・18
1点 に 働 く多数 の 力 の合 成(図 法)
《力の 多 角 形 》 1点 に働 く多 数 の 力 の 合 成 で,図1・18(b)の
よ うに 力 の 三 角 形 を 順 次 組
み 合 わせ て で き た 多角 形 を 力の 多 角 形 とい う。
例 題1・8
北 向 きに20N,東
向 きに30N,東
南 向 き に10Nの
力 が 1点 に働
く と き の 合 力 と方 角 を 図 法 で 求 め て み よ う 。 〔 考 え方 〕 平 行 四 辺 形 を順 次 作 っ て い く方 法 と,力 の 多角 形 に よ る 方 法 とが あ る。 〔 解 き方 〕 図1・19の
よ うに 作 図 し,合 力 の 方 角 と長 さ を測 る。 そ の 結 果 合 力39N
で 方 角 が 北71° 東 で あ る こ とが わ か る。 答 (作図 に よ り計 測 し て,合
力39N,北71°
東 の 方 角)
(a)力 の 平 行 四 辺 形 利用
(b)力 の 多角 形 利 用 図1・19
問 題1・9 Nの
図1.20の
よ うに,壁
に 対 して 縦 の 垂 直 平 面 内 で,0 点 か ら 水 平 方 向 に8
引 張 り力 が 作 用 し,こ れ に 対 して さ らに 上 向20°,下
N,8Nの
向40° の 方 向 に そ れ ぞ れ15
引 張 り力 が 作 用 して い る。 こ の と き 0点 に 働 く合 力 の 大 き さ と方 向 と を,
力 の 平 行 四 辺 形 を作 図 して 求 め よ。 答 (壁 の 外 へ 向 っ て 水 平 方 向 に28.2N)
図1・20
(d) 着 力 点 の 違 う力 の 合 成 (図 法 に よ る) 私 た ち は,綱 か ろ うが,必 と,
で 物 体 を引 張 ろ う とす る と き,綱 の 長 さが 多 少 長 か ろ うが 短 か
要 な 力 の 大 き さ に は 変 わ りな い こ と を知 っ て い る。 い い か え る
「力 は 向 き を変 え な い か ぎ り,着 力 点 を そ の 作 用 線 上 の ど こへ 移 動 し て も効果 は変 わ らな い 」 と い う こ とが で き る 。
着 力 点 の 違 う 2力の 合 成 は,2 力 の 着 力 点 を,そ れ ぞ れ の作 用 線 を延 長 した 交 点 ま で移 動 し,次 に 前 に 習 っ た 方 法 で合 力 を求 め る。 3 力 の 場 合 の 例 …(図1・21)
〔 注 〕 3 力 以 上 の 合 成 の 場 合 は,始 め に 求 め た 2力 の 合 力 と,残 な か の 1力 と の 合 力 を,着
った
力点 の
移 動 に よ っ て求 め る。 こ れ を さ ら に順 次 繰 り返 し,最 終 合 力 を求 め れ ば よ い(図1・21)。
図1・21
着 力 点 の違 う 3力 の合 成
例 題1・9図1・22の
よ うに,正 方 形 の 板 の 頂 点 に働 く 4力 の合 力 を図 法 で求
め よ う。
図1・22
〔考 え 方 〕 力 の 平 行 四 辺 形 に よ る 場 合(図1.23)。 を求 め る順 序 を工 夫 す る と よ い 。
な る べ く簡 単 に す る た め,合
力
図1・24 図1・23
力 の 多角 形 に よ る場 合
力 の平 行 四辺 形 に よ る場 合
〔解 き方 〕 こ の 場 合,2 力 ず つ 別 々 に 合 力 を求 め,そ
れ ら二 つ の 合 力 か ら 4力 の 合
力 を 得 る(力 の 多角 形 は 図1・24)。
答 (約27N) 問 題1・10
図1・25の
よ うに,正
五 角 形 の 板 の 各 頂 点 に 働 く五 つ の 合 力 を 力 の 多 角
形 に よる方法 で求 め よ。
答 (約43N)
図1・25
〔2〕 計 算 に よ る力の 合 成 と分 解 (a) 1点 に働 く 2力 の 合 成(計 ①
算 に よ る)
角 θの 開 き を なす 2力 の 合 成
図 法 と 同 じ考 え方 を計 算 で 行 え ば よ い。 図1・26で,2
力F1,F2が
0点 に 角 θ の 開 き で 働 く と き,合
力 F は,
三 平 方(ピ タ ゴ ラ ス)の 定 理 か ら,
(1・1)
合 力 の 向 き α は,
(1.2) とな る。
図1・26角
②
図1・27直
θの開 き を なす 2力 の合 成
角 の 開 き を なす 2力 の 合 成
直 角 の 開 き を なす 2力 の 合 成
式(1・1),(1・2)で,θ=90°
と お
け ば,cos90°=0,sin90°=1よ
り(図
1.27),
(1.3) (1.4) こ れ は,図1・27か
例 題1・10図1・28に
ら わ か る よ う に,単
純 な三 平 方 の 定 理 の 形 とな る。
よ る それ ぞ れ の 合 力 の 大 きさ と方 向 を求 め よ。
(c)
(b)
(a)
図1・28
〔考 え方 〕 も ち ろ ん 式(1・1)∼(1・2)に よ っ て 解 くわ け で あ るが,図 て,お
お よ そ の 合 力 の 大 き さ,角
法 を頭 に浮 かべ
度 の 目安 を 立 て て み る と よ い 。
〔 解 き方 〕 そ れ ぞ れ の 合 力 を F と し,そ の 方 向 が40Nと
なす 角 を α とす れ ば,
(a)
(b)
(c)
答((a)36.9°,(b)25.3°,(c)46.1。)
問
題1・11図1.29(a)の
よ う に,二
つ の 力60Nと150Nと
が,30°
(b)
(a) 図1・29
の 開 き で 1点 に
働 く と きの 合 力 と,そ の 方 向 を 計 算 に よ っ て 求 め よ。 ま た,図(b)の
よ う に,二
答
つ の 力 の 開 き が135° の 場 合 は ど うか 。
30° の 場 合:204N,150Nの
(
方 向 か ら 左 ま わ り に8°27'
135° の 場 合:115.6N,150Nの
方 向 か ら 左 ま わ り に21°31'
(b) 力 の 分 解 (計 算 に よ る) ①
角 θの 開 き を なす 2力 に分 解
図1・30で,力
F を 角 α,β の 開 き で 2力F1,F2に
れ ば,α+β=θ
とお く と,
分 解 す る も の とす
(1.5) (1.6)
図1・30角
②
図1・31直
θの 開 き を なす 分 解
角 の開 き を なす 分 解
直 角 の 開 き を なす 2力 に分 解 式(1・5),(1・6)で,θ=90。
と お け ば,tan(90°-θ)=0,cos(90°-θ)=
1に な る こ と に よ り(図1・31),
実 際 に は,こ
F1=Fcosa
(1・7)
F2=Fsina
(1・8)
の θが 直 角 とな る 2力 へ の分 解 の場 合 が 多 い 。
)
例題
1・11図1・32に
よ る 力 F の そ れ ぞ れ 分 力F1,F2を
(a)
求 め よ。
(b) 図1・32
〔考 え 方 〕 式(1・5),(1・6)を
用 い れ ば よ い が,公
式 と して 暗 記 す る こ と よ り,式 の
導 き方 を覚 え た ほ うが 得 策 で あ る。 〔解 き 方 〕(a)
(b)
答((a)F1=3.66N,F2=7.07N(b)F,=8.66N,Fz=5N)
問 題1・12図1・33の と こ ろ,天
よ うに,天
井 か ら 2本 の ロ ー プ で 重 さ70Nの
井 と 2本 の ロ ー プ と の 間 の 角 が そ れ ぞ れ60°
図1・33
と30°
物体 をつ る した
と に な っ た 。 2本 の ロ
ー プ の 引 張 り力 を求 め よ
。 答(F1=35N(右
側),60.6N(左
側))
(c)1 点 に働 く多 くの 力 の 合 成(計 算 に よ る) 1点 に働 く多 くの 力 の合 成 は,作
用 点 を 原 点 とす る 直 角 座 標 を作 り,そ れ ぞ
れ の 力 の X 軸 成 分 の 和FXとY軸
成 分 の 和FYを
て,合
力 F を 求 め れ ば よ い(図1・34の
求 め,式(1・3)と
同様 に し
3力 の例 参 照)。
(1・9) (1・10) (1・11)
(1・12)
図1・35
図1・34多
例 題1・12図1・35に 〔 考 え 方 〕30Nの
数 の 力 の合 成
よ り,4 力 の 合 力 の 大 き さ と方 向 を 求 め よ 。 力 の 方 向 を X 軸 とす る場 合 と40N,10Nを
軸 と お く場 合 な どが 考 え られ る(図1・36(a),(b)参 〔解 き方 〕(a)30Nの
そ れ ぞ れ X 軸,Y
照)。
方 向 を X 軸 とす る場 合(図1・36(a)参
照)
(b) (a) 図1・36
(b)40Nを
X 軸 と す る 場 合(図1・36(b)参
∴a=-49.5°(こ
問 題1・13図1・37の 105°,60°
照)
の 場 合,合
力 の 向 き は 第 4 象 限 と な る)
答(作
図 に よ る 合 力46.5Nと,(a),(b)に
よ う に,X
軸 の 方 向 に20N,そ
の 開 き を も つ50N,60N,30Nの
よ る 方 向)
れ か ら 左 ま わ り に135°,
四 つ の 力 が 1点 O に か か る と き の 合 力
と そ の 向 き を計 算 に よ り求 め よ。 答(合
力52.3N,向
き X 軸 正 方 向 に 左 ま わ り234°28')
図1・37
(d)着
力 点 の 違 う 力 の 合 成(計
前 例 の 式(1・9)∼(1・12)を
算 に よ る)
使 っ て,合
力 の 大 きさ お よ び そ の 向 き が 求 め られ
る。
例 題1・13図1・38に
よ り,正
三 角 形 の ま わ り の 3力 の 合 力 と そ の 向 き を 求
め よ。
〔考 え 方 〕 X 軸 の 位 置 を ど の 部 分 に し た ら よ い か を考 え る 。 〔解 き方 〕30Nの
方 向(底 辺)を X 軸 とお け ば,
図1・38
こ れ よ り,合 力 の 大 き さ17.32N,向
き30Nの
作 用 線 に 対 して30° 右 下 か か る こ と
がわ か る。 な お,作 て は,こ
用線 の位 置 につ い こに作 図 に よって求
め た 例 を参 考 に 示 して お く (図1・39)。 図1・39の
よ う に,20Nの
作 用 点 を P,作 用 線 の 通 過 点 をQ(QはPか 線 上),三 さ=A㎜
らの水平 延長 角 形 の 一 辺 の 長 とす れ ば,こ
の
図1・39
問 題 の 場 合 で は, PQ=A㎜ (計測 し て) で あ る こ とが わ か る。 こ れ よ り,合 力17.32Nは30Nの
作 用 線 上 P か ら 外 側A㎜
の 点 Q を通 る右 下
30° の 向 き に か か る こ とに な る。 答(合 左 力 の 大 き さ17.32N,作 用 線 の 位 置 方 向 は,三 角 形 の 底 辺 の 延 長 線 上A㎜ は な れ た 点 Q を通 る30° 右 下 の 向 き)
1・3
〔1〕
力の モ ー メ ン ト
図 法 に よ る平 行 し た 力 の 合 成 法
あ る間 隔 をお い て,平 行 力F1,F2が
働 く と きの 合 力 F を求 め て み よ う。 こ
の ま ま で は 力 の 平 行 四 辺 形 が で き な い の で 工 夫 を す る。
図1・40(a)の
よ う に,間
隔 lの 両 端 に 平 行 力F1,F2が
は,図1・40(b)の
よ う に,打
の 合 力F1',F2'を
作 り,こ
ち 消 し 合 う 2力F'を
働 くときの合 力
両 端 に 加 え,そ
れ ぞれ
れ ら を 作 用 線 の 交 点 O ま で 移 し て,合
力 F を
求 め ろ。
(a)
(b) 図1・40
例 題1・141・41(a),(b)の
N,100Nの
よ う に,500㎜
の 間 隔 で50N,100Nま
た は20
平 行 力 が 働 く と き,そ れ ぞ れ の 合 力 の 大 き さ と作 用 線 の位 置 を図
法 で求 め よ。
(a)
(b) 図1・41
〔 考 え 方 〕 両 端 に加 え る打 ち 消 し合 う力 は,外
向 きば か りで な く内 向 き も考 え て み
る とよい。 〔解 き 方 〕 図1・41(a)は,打 く と,図1・42(a),(b)の
ち 消 し合 う 力 を外 向 き と し,図(b)は
内 向 き と して解
よ う に な る。
(a)
(b) 図1・42
平 行 で 大 き さ の 等 し い 反 対 向 き の 力 に つ い て は,後
の 偶力 の ところで学 ぶ。
答(図1・42の(a),(b)作 問 題1・14図1・43の
よ う に,300㎜
の 2の 力20Nと40Nと ま た,こ
の 棒 の 両 端 に,棒
と45° を な す 平 行 で 同 方 向
がかか った場合 の合 力 を図法 に よって求 め よ。
の 場 合 で,40Nの
力 だ け 反 対 向 きに 変 え た 場 合 は ど うな る か 。
図1・43
図 に よ る)
答
同 方 向:60N,作
用 線 は 棒 の 左 端 よ り右20㎝
(
反 対 向:20N,45°
右 上 方 向,作
用 線 は 棒 の 右 端 延 長30㎝
)
〔2〕 力 の モ ー メ ン ト と解 き 方
(a)て ①
こ と力 の モ ー メ ン ト
て この 作 用
図1・44の よ う に,て 長 い ほ ど,小
こ で 重 い 物 体 を持 ち 上 げ よ う とす る と き,柄 の 長 さ が
さ い 力 で す む こ とは 私 達 が 日常 経 験 す る こ と で あ る。 こ こ で い
ま,逆 に柄 の 長 さ を短 か く して 行 き,つ い に 長 さ を 0に した と考 え る と,ち
ょ
う ど支 え る点(こ れ を 支 点 とい う)の 真 上 を押 す こ とに な り,も は や どの よ う に 大 き な 力 を加 え て も持 ち上 げ る こ とは で き な い。 この こ と を,次 の よ う に考 え る こ とが で き る。 て この 支 点 か ら lの 距 離 に,て こ の 回 転 作 用 の 大 き さ M は,力
こ に 対 して 直 角 の 力 F が 働 く と き,て F と距 離 lの値 に 比 例 す る。
式 で 示せ ば, M=F・l
(1・13)
とな る。
(a)
(b) 図1・44
②
力の モーメ ン ト 物 体 を 回 転 さ せ よ う と す る 力 の 働 き を “力 の モ ー メ ン ト(モ ー メ ン ト)"
と い う。 す な わ ち,式(1・13)の N・ ㎜
を 用 い る 。 ま た,l
力 の モ ー メ ン 1・44(a),(b)を
トM=F・lに
M を 力 の モ ー メ ン ト と い う。 単 位 に は
を モ ー メ ン トの 腕 と い う。
つ い て,も
う少
し研 究
し て み よ う 。 い ま,図
て こ の 例 に あ て は め て み る と,図1・45(a),(b)の
よ う に な る。
こ れ よ り,
(a)
(b) 図1・45
(1・14)
と な る。 式(1・14)は,て
こ の 支 点 O に お い て,F1に
に よ る 時 計 回 転 方 向 モ ー メ ン ト と が,つ 合 力 に つ い て 考 え れ ば,図1・45か
り合 っ て い る こ と を 示 し て い る 。
ら わ か る よ う に,F=F1+F2と
の 作 用 線 は 支 点 の 位 置 を 通 る 。 し た が っ て,合 の 長 さ をl1+l2=lと
同 様 に し て,
お け ば,式(1・14)か
よ る 反 時 計 回 転 モ ー メ ン ト とF2
力 の 位 置 は,図
な り,そ に お い て,て
ら,
(1・15)
こ
とな る。
例
題1・15図1・46の
直 角 な 力100Nが
よ う に,回
転 軸 O か ら500㎜
の 点 P に 対 し,OPに
働 く と き の モ ー メ ン トは い く ら か 。
〔考 え 方 〕 式(1・13)に あ て は ま る こ とが 気 づ け ば よ い 。 〔解 き方 〕 求 め る モ ー メ ン トMは, M=F・l=100×500=50×103〔N.㎜
〕
図1・46 図1・47
答(50x103N・
問 題1・15図1・47の 1800㎜
よ う な 長 さ4000㎜
の と こ ろ に 体 重32㎏f相
重60㎏gf相
㎜)
の シ ー ソ ー が あ る。 中 央 の 支 点 か ら
当 の 子 供 が 乗 っ て い る。 こ れ とつ り合 う よ う に 体
当 の 大 人 が 乗 るた め に は,支
点か ら子供 と反対側 何 ㎜
の位 置 を とれ ば
上いか。 答(960㎜) 問 題1・16図1・48の 100Nの
よ う に,長
お も り をつ る して,棒
置 は左 端 か ら何 ㎜
さ2000㎜
の 棒 が あ る。 左 端 に60N,右
端 に
が 水 平 に な る よ うに 支 点 の 位 置 を 定 め た い。 支 点 の 位
に な るか。 答(1250㎜)
図1・48
(b)斜 ①
めの力 のモー メン ト
斜 めの力の モー メン ト
図1・49の
よ う に,モ
卜 は , これ と 腕 の
長
さ
モ
ー
ー メ
と の 積 で,次
メ
ン ト
の腕
l と な す
ン ト の腕 の直角 方 向に の式
角 F
のよ う に表
θ の力 F が
の 分力F
働 sinθ
く と き の モ ー メ ン を と
り,
さ れる 。
(1.16)
図1・49 図1・50
例 題1・16図1・50に
示 す モ ー メ ン トの 腕ABの
を 回 転 軸 と し,B
長 さ300㎜
に 腕 の 延 長 に 対 し て30° 方 向 で60Nの
に お い て,A
力が働 くときのモー
メ ン トを 求 め よ 。 〔 考 え方 〕 作 図 し て か ら数 式 を た て る とよ い 。 〔 注 〕 モ ー メ ン トの 腕 方 向 の 分 力 は,回 転 軸 に 作 用 す る だ け で,回
転 力に は影響 が
な い。 〔解 き方 〕 モ ー メ ン トをM とす れ ば, 答(9000N・
問 題1・17図1・51の 梁 B を 固 定 し,梁
よ う に,主 柱 A の 高 さ3000㎜ の 先 端 で 点 P か ら3000㎜
の 点 P の 位 置 に,傾
の と こ ろ に,ロ
ー プ で1000Nの
を つ り下 げ た 。 こ の 場 合 の 点 P の モ ー メ ン トを 求 め よ 。 ま た,主 メ ン トは 何kN・mか 答(点
㎜)
き30に 荷物
柱 の根 元 Q の モー
。 P の モー メ ン ト:2.6kN・m,点
Q の モ ー メ ン ト:2.6kN・m)
図1・51
②
合 力の モーメ ン ト
多 数 の 力 の,あ
る 点 の ま わ りの モ ー メ ン 卜の 総 和 は,そ
れ らの 合 力 に よ
る モ ー メ ン 卜に 等 し い 。 一 般 に,n
個 の 力 の 大 き さ を そ れ ぞ れF1,
の 腕 の 長 さ を そ れ ぞ れl1,l2,l3,… を そ れ ぞ れ さ を l,そ
θ1,θ2,θ3,…
…,ln,そ
…,θnと
し,合
F2,…
…,
Fn,モ
ー メ ン ト
れ ぞ れ の 腕 と力 との なす 角 力 の 大 き さ を F,そ
の 腕 の 長
の な す 角 を θ と す れ ば,
(1.17) と な る。
こ の 理 由 を 考 え て み よ う。 い ま,図1・52(a)の 置 に そ れ ぞ れ 腕 の 延 長 と の な す 角 θ1,θ2で,2
よ う に,点 力F1,F2が
O か らl1,l2の
位
働 く場 合 の モ ー メ
ン トを求 め て み る。 図1・52(b)の
よ う に し て,2
る 垂 線 上 に,そ
れ ぞ れF1,F2,Fか
合 力 の 成 分 は,
力F1,F2の
合 力 F を 求 め,点
ら 垂 線 を お ろ せ ば,
P のOPに
対 す
(b)
(a)
一 般 の 合 力 の モ ー メ ン ト
図1・52
と な る 。 ま た,合
力 の モ ー メ ン ト は,図1・52(b)か
ら, ……(モ
ー メ ン ト
の 式) と な り,点
O か らF1,F2,Fま
で の 腕 の 長 さ は,そ
れ ぞ れ 図(a),(b)か
ら,
こ れ ら を(モ ー メ ン トの 式)に 代 入 し て,
が 得 られ る。 多 数 の 力 の 場 合 も 同 様 に し て 求 め ら れ,式(1・17)が 〔注 〕Flsinθ=0の
と き は,合
得 られ る。
力 F の 作 用 線 は 回 転 の 中 心 O を通 り,モ ー メ ン ト
は つ り合 っ て い る こ とに な る。
例
題1・17図1・53の,点
〔考 え 方 〕
式(1・17)の
O の ま わ り の モ ー メ ン トは 何kN・ 考 え 方 で,二
㎜
か。
つ の モ ー メ ン ト の 和 を 求 め る(左
回 転 を 正,右
回 転 を 負 とす る)。 〔解 き方 〕
答 (右 回 転2.69kN・
㎜)
図1・53 図1・54
例 題1・18図1・54は,人 A,Bそ
が 自転 車 で 走 行 し よ う とす る状 態 を示 して い る。
れ ぞ れ の 場 合 の モ ー メ ン トは 何kN・
㎜
か。
〔考 え 方 〕 前 脚 と後 脚 の モ ー メ ン トの 和 に な る こ と に 注 意 し,図1・55(a),(b)の うに 線 図 を描 い て み る 。 〔解 き 方 〕 A の場 合:
B の 場 合:
よ
(a)
(b) 図1・55
答
問 題1・18図1・56は,水
さ100Nの
の 位 置 に80° を な し て 上 向 き に100N,も を な して 上 向 き に100Nの ㎜
㎜,B.11.11kN・
㎜)
車 小 屋 の 中 の 米 つ き の 様 子 を 示 して い る。 水 車 の 軸 が ち
ょ う ど 図 の よ う な 位 置 の と き,重
ー メ ン トは 何kN・
(A.27.7kN・
杵 の 2本 の う ち 1本 は 軸 心 か ら100㎜ う 1本 は 軸 心 か ら300 ㎜
の 位 置 に140°
力 が それ ぞれ か か って い る。 この 場 合 の 軸 心 に か か るモ
か。 答(29.13kN・
図1・56水
車小屋 の米つ き
㎜)
〔3〕 平 行 した 2力 の 合 成 法 (a) 同 じ向 きの 平 行 な 2力 の 合 成 法(計 算 に よ る) 図1・57に
よ り,間
2 力F1,F2の
隔 lの 着 力 点A,Bに
合 力 F が,点
お け る l に 直 角 で 同 じ向 き の
O を 通 る もの と す れ ば(式(1・15)参
照),
合 力 F の 着 力 点 の 位 置(作 用 線 の 通 過 点)は,
(1.18)
合 力 F の 大 き さ は, F=F1+F2
(1.19) 図1・57
と な る。
こ れ ら の 成 り立 つ 理 由 を 考 え て み よ う。 《式(1・18)に
ついて》
式(1・15)か
ら も わ か る が,モ
式(1・17)のF1・l1sinθ1+F2・l2sinθ2=F・lsinθ 換 え て み る と,こ い"こ
れ は"個
を 簡 単 にM1+M2=Mと
置 き
々 の モ ー メ ン トの 総 和 は 合 力 の モ ー メ ン トに 等 し
と を 示 し て い る の で あ る か ら,こ
モ ー メ ン トの 符 号 は,反
ー メ ン トの 考 え 方 か ら,
の 考 え 方 を 図1・57に
時計 回転量 方 向 を+,時
用 い て(た だ し,
計 回 転 方 向 を― と す る),O
点
の ま わ りの モ ー メ ン ト を 求 め れ ば,
(1.20) こ れ よ り,着
力 点 O はlをF1,F2の
大 き さの 逆 比 に 内 分 す る位 置 に な る こ
と が わ か る。 《式(1・19)に
つ いて》
点 B の ま わ りの モ ー メ ン トは,
こ こ で,式(1・20)か
ら
とな る こ とが わ か る。
例
題1・19
き,90Nか
400㎜
の 間 隔 で,平
行 な 同 じ 向 き の 2力90N,30Nが
働 く と
らの 合 力 の位 置 とそ の 大 き さ を求 め よ。
〔考 え方 〕 式(1・18),(1・19)を
よ く理 解 した う え で,な
る べ く図 を描 い て か ら式 を
た て る と よ い(図 は 省 略)。 〔 解 さ方〕90Nか
ら の合 力 の 位 置 を a,合 力 の 大 き さ を F とす れ ば,
答 (90Nの
例
題1・20平
行 で 同 じ 向 き の 2 力40N,60Nが,あ
力 の 位 置 は60Nか
ら120㎜
方 か ら100㎜
内 側 で120N)
る 間 隔 で 働 く と き,合
の と こ ろ で あ っ た と い う 。 2力 の 間 隔 と 合 力 の
大 き さ を求 め よ。
図1・58
〔 考 え方 〕 ま ず,図
を描 い て み る(図1・58)。
〔 解 き方 〕 2力 の 間 隔 をx〔 ㎜
〕,合 力 の 大 き さ を F 〔N〕とす れ ば,
答 (100N)
例 題1・21図1・59の
よ う に,平
㎜
力250Nがx〔N〕
の 間 隔 で 働 き,合
と す れ ば,x,aの
行 な 同 じ 向 き の 2力100N,x〔N〕 よ りa〔 ㎜
が500
〕の と こ ろ に 現 れ る も の
値 は い く らに な るか 。
図1・59
〔考 え 方 〕 計 算 の 順 序 を考 え る 。 〔解 き方 〕
答(x=150N,a=200㎜)
問 題1・19図1・60の
よ うな ク レー ンが あ る。 横 げ た の 長 さ は5000㎜,つ
る荷 物 の 重 量 は5000N,反 .y〔㎜
対 側 の バ ラ ン ス ・ウ ェ イ トはx〔N〕,荷
〕と し,主 塔 に か か る合 力 が12200N(た
だ し,横
り下 げ
物側 の腕 の 長 さ を
げ た の 重 量 は 考 え な い もの
とす る)で あ っ た とす る。 こ の 場 合 の バ ラ ン ス ・ウ ェ イ トx〔N〕 と,荷 物 側 の 腕 の 長 さy〔 ㎜
〕は い く らか 。
答 (x=7200N,y=2950mm)
図1・60
(b)反
対 向 きの 平 行 な 2力 の 合 成 法(計 算 に よ る)
図1・61に
よ り,間
F1,F2(F1>F2)が
隔 lの 着 力 点A,Bに,lに
働 く も の とす れ ば,合
直 角 で 反 対 向 き の 2力
力 F はF1の
外 側 の 点 O を 通 り,
合
力 の 着 力 点 O の 位 置(作 用 線 の 通 過 点)は,
(1.21)
合 力 の 大き さ は
(1.22) 図1・61
と な る。
前 例 に な ら っ て,式(1・21),(1・22)を 《式(1・21)に
つ い て》
検 討 し て み よ う。
点 O の ま わ りの モ ー メ ン トは,
(1.23) こ れ よ り合 力 の 着 力 点 O は,l をF1,F2の る こ とが わ か る。
大 き さの 逆 比 に外 分 す る点 で あ
よ り,
同 様 に,
《式(1・22)に
つ い て 》 点 B の ま わ り の モ ー メ ン ト は,
よ り,
ま た,式(1・23)よ
り,
結 果 と し て,F=F1-F2が
例 題1・22 き,合
600㎜
得 られ る。
の 間 隔 で,反
対 向 き の 平 行 2 力120N,70Nが
働 く と
力 の 大 き さ と 着 力 点 を 求 め よ(図1.62)。
〔考 え 方 〕 合 力 は 2力 の 差 に な る こ と,そ の 位 置 は 大 き い 方 の 力 の 外 側 で,2 力 の
図1・62
大 き さ に よ る 外 分 点 で あ る こ と を 考 え る。 〔解 き方 〕 合 力 を F と し,着 力 点 の 位 置 を120Nの
答(合
力50N着
外 側a〔 ㎜
力 点 は120)Nの
〕とす れ ば,
外 側840㎜
の 点)
問 題1・20図1・63の Nが
よ う に,b〔 ㎜
〕の 間 隔 で 反 対 向 きの 平 行 な 2力F1〔N〕,80
働 く と き,合 力 の 大 き さ60NがF1の
外 側 に80Nの
こ ろ に 生 じた とす る 。 こ の 場 合 のF1,bを
位 置 か ら,1500㎜
の と
求 め よ。
図
1・63
答(F1=140N,b=643㎜)
〔4〕 偶 力 と そ の 解 き方
大き さYが
等しく,平 行
で 反
対 向きの 2力 が,
一定 間隔で 働 く
よ
う な
1 組
の 力 を 偶 力 とい う。 い ま,こ
の 2力 を そ れ ぞ れF1,間
1 と す れ ば(図1・64参
隔 を
照),
偶 力 の 合 力=0 偶 力 の モ ー メ ン ト=F1・l
}
(1・24)
図 と な る 。 ま た,lを
偶 力の 腕
こ の 理 由 を 考 え て み よ う。 い ま,間 F1と2F1が
働 く と き,合
1・64
と い う。
隔 lの 両 端 に,平
力F=2F1-F1=F1,そ
行 で 反 対 向 き の 2力
の 位 置 0 は,2F1の
外側 に
で あ る こ とが わ か る(図1・65(a))。 こ こ で,2F1を
小 さ く し てF1に
近 づ け る と,図1・65(b),(c)の
よ う に な り,
つ い に 偶 力 と な る(図1・65(d))。 こ れ よ り,合 が わか る。
力 の 位 置 0 は 無 限 に 遠 く な る と 同 時 に,合
力 は 0に な る こ と
(a)
(b)
(c)
(d)
図
1・65
図
1・66
(a)
(b)
偶 力 の モ ー メ ン ト は,図1・66(a),(b)の く,F1・lと
よ う に,回
転 軸 Oの 位 置 に関 係 な
な る こ とが わ か る 。
例 題1・23図1・67で,そ
れ ぞ れ 2組 の 偶 力 の モ ー メ ン ト を 求 め よ。 ま た,
偶 力 の モ ー メ ン トの 和 を 求 め よ。 〔考 え 方 〕 式(1・24)の 考 え 方 に よ り,そ れ ぞ れ 2組 の 偶 力 の モ ー メ ン トを 求 め,さ ら に そ れ ら の 代 数 和 を求 め る。 〔解 き 方 〕 F1に
よ る 偶 力 の モ ー メ ン ト=-50×100=-5000〔N・
㎜
〕
F2に
よ る 偶 力 の モ ー メ ン ト=80sin30°
×120=4800〔N・
㎜
偶 力 の モ ー メ ン トの 和=(-5000)+(+4800)=-200〔N・
㎜
答(-5000N・
図
例 題1・
24
㎜,4800N・
さ1200㎜
〕
㎜,-200N・
図
1・67
図1・68は,幅900㎜,長
〕
㎜)
1・68
の テ ー ブ ル で あ る。 四 隅
に 図 の よ うな 偶 力 が働 く と きの 偶 力 の 和 を求 め よ。 〔
考 え 方〕100Nに
よ る偶 力 の 腕 は,テ
ー ブ ル の 対 角 線 で あ る か ら,こ れ は 三 平 方
の 定 理 を用 い れ ば よ い 。 〔解き方〕 テ ー ブ ル の 対 角 線 の 長 さ は,
偶 力 の 和 は,
答(-162kN・
図
1・69
㎜
〕
問 題1・21図1・69の
よ う な 円 板 に,200㎜,300㎜,500㎜
の 腕 を も つ 3組 の
偶 力 が 働 い て い る 。 こ れ らの 偶 力 の 和 を求 め よ。 答(13.5kN・
1・4力
㎜)
の つ り合 い
〔1〕 1点 に 働 く力 の つ り合 い
(a)つ
り合 い と 合 力
物 体 に,い
くつ か の 力 が 働 く と き,全
態 に あ れ ば,こ ま た,つ
体 と し て 力 が 働 か な い の と 同 じ状
れ ら の 力 は 互 い に つ り合 い の 状 態 に あ る と い う 。
り合 い の 状 態 に あ る 力 の 合 力 は 0 と な る。
全 体 と し て 力 が 働 か な い の と 同 じ状 態 と い う こ と と,合 は,全
力 が 0に な る こ と と
く同 じ こ と で あ る 。
(b)2力
の つ り合 い
1点 に 働 く 2力 が,つ き は,2
り合 い の 状 態 に あ る と
力 は 互 い に 大 き さ が 等 し く,向
きが 反
対 と な る(図1・70)。
図
(c)3力
1・70
の つ り合 い
1点 に 働 く 3力 が,つ
り合 い の 状 態 に あ る と き は,2
力 の 合 力 と残 りの
1力 と は 互 い に 大 き さ 等 し く,向
きが 反 対 とな る。
こ の 場 合,“ 力 の 三 角 形 は 閉 じ る ” と も い う。
《ラ ミー の 定 理 》
(b)参
(a)
考 図,(a)と
同 じ効 果 を もつ
図 1.71
1点
0 に お い て,3
力F1,F2,F3が,F1とF2,F2とF3,F3とF1の
1それ の な す 角 θ3,θ1,θ2で
つ り合 う と き,次
そ れ1
の 関 係 が 成 り立 つ(図1・71)。
(1.25) こ の 関 係 式 を ラ ミー の 定 理 と い う。 こ の 成 り立 ち を 調 べ て み よ う 。 図1・71の F2,F3の
よ う に,F1方
向 を X 軸 と す れ ば,
Y 軸 成 分 は 互 い に 反 対 向 き で 等 し い か ら,
F3方 向 を X 軸 とす れ ば,同 様 に して,
が 得 ら れ,式(1・25)
が 成 り立 つ こ とが わ か る。
問 題1・25図1・72の
よ う に,ひ
もAOBで
つ り 下 げ ら れ た100N相
当の荷
重 に よ るOA,OBの 〔
考 え 方
引張 力 を求 め よ。
〕 図法 な らば,100Nに
対 し て 反 対 向 きの100Nを
考 え,こ
れ を対 角 線 と
す る 平 行 四 辺 形 を作 っ て 求 め れ ば よ い 。 計 算 に よ る 2例 を考 え て み る と,一 つ は,垂 直 方 向,水
平 方 向 い ず れ も合 力 の 成 分 が 0に な る とい う考 え 方 。 も う一 つ は,ラ
ミー
の 定 理 を用 い る こ と,と が 考 え られ る。
図
〔解 F1,F2の
1・72
き方〕 図 法 は 省 略 。 くそ のI>OA,OBの 垂 直 分 力 の 和 は100Nに
そ れ ぞ れ の 張 力 をF1,F2と
等 し い こ と,ま
た,F1,F2の
す れ ば,
水 平分 力 も等 しい こ
と か ら,
(1)
(2)
F1=50〔N〕
F2≒86.6〔N〕
が 得 られ る。 <そ の
Ⅱ>ラ
ミー の 定 理(式(1・25))か
ら,
答(F1=50N,F2=86.6N)
問 題1・22図1・73の F1〔N〕,さ
よ う に,X
軸 の 正 方 向 に20N,そ
れ か ら左 回 転60° の 方 向 に
らに 加 え て165° の 方 向 にF2〔N〕 の 合 計 3力 が 原 点 で つ り合 っ て い る。 こ
の場 合 の 2力F1,F2を
ラ ミー の 定 理 を使 っ て 求 め よ。 答(F1=54.6N,F2=66.9N)
図
(d)4力
以 上 の つ り合 い
1点 に 多 数 の 力 が 働 き,つ 垂 直 分 力 の 総 和 は,と い ま,n 分
1・73
り合 う と きは,そ
もに 0 とな る(合 力 が 0 と同 じ)。
個 の 力F1,F2,F3,…
を そ れ ぞ れX1,X2,X3,…
れ ぞ れ の 水 平 分 力 の総 和,
…,FnのX,Yの …,Xn,Y1,Y2,Y3,…
直 角 座 標 軸 方 向 の 成 …,Ynと
す れ
ば, X1+X2+X3+… Y1+Y2+Y3+… と な る(図1・74)。
…Xn=0 …Yn=0
}
(1・26)
(a)
(b)直 角 分 力 の つ り合 い
図
例 題1・26図1・75の
よ う に,1点
1・74
O に 4 力 が 働 く と す れ ば,こ
れ ら とつ り
合 う力 F の X 軸 成分 と Y 軸 成 分 とを求 め よ。 〔考 え 方 〕 F を 含 め て,X る こ と を 考 え,式(1・26)を
図
軸 成 分 の 総 和 と,Y
軸 成 分 の 総 和 は,そ
用 い る。
1・75
図
〔 解 き 方 〕 F の X 軸 成 分 をFxと
す れ ば(図1・76),
1・76
れ ぞれ 0 とな
F の Y軸 成 分 をFYと
す れ ば,
答(つ
問題
1・23図1.77の
わ た って,原
よ
う に,X
り合 力 の X 軸 成 分35.9N,Y
軸 か ら 左
点 に20N,40N,40N,30N,30Nの
ま わ
軸 成 分-18.5N)
り に45°,120°,220°,240°,330°
に
5力 が 働 い て い る。
こ れ ら 5力 とつ り合 う 力 を F と す れ ば,F 答(X
の X 軸 成 分 と Y 軸 成 分 と を 求 め よ。 軸 成 分+25.6N,Y
軸 成 分+17.96N)
図1・77
〔2〕 着 力 点 の 違 う力 の つ り合 い (a)偶
力 の つ り合 い
一般に,偶力は合力が0であるが,つり合わない何組かの偶力が全体として,全く打ち消し合うとき
(図1・78)。
図1・78
(b)着
力 点 の 違 う多 数 の 力 の つ り合 い
着 力 点 の 違 う多数 の 力 が つ り合 うため に は,次
の二つ を同時に満 足 しな
け れ ば な らな い。
①合力が0であること。 ②任意の点のまわりのモーメントが0であること。 た と え ば,偶 力 は ① の み が 成 り 立 ち,モ ー メ ン トが 残 っ た 場 合 つ り合 わ な い 。 図1・79は,②
の み が 成 り 立 ち,合
力 が 残 っ て つ り合 わ な い 場 合 の 例 で あ
る 。
図 一 般 に,多
数 の 力F1,F2,F3,…
をX1,X2,X3…
…
…,Y1,Y2,Y3,…
1・79
が 物 体 に働 … と し,任
れ の モ ー メ ン ト をM1,M2,M3,…
…
く と き,直
角
2方 向 の 分 力
意 の 点 0 の ま わ りの そ れ ぞ
と す れ ば,
(1・27)
こ れ が
例 題1・27高
つ
り
合
いの条 件式である。
さが300㎜
,150㎜
の 正 三 角 形 が 図1・80の
と き,各 頂 点 に 図 に示 す よ うな 力 が働 く もの とす れ ば,こ い の状 態 に あ るか な い か,理
由 を述 べ て 説 明 せ よ。
よ う に位 置 す る
れ らの 力 は,つ
り合
図1・80
〔 考え 方〕 合 力,モ
ー メ ン トの そ れ ぞれ の 総 和 が,解
答の ポ イン トとな るこ とに気
づ け ば よ い。 合 力,モ
ー メ ン トの 両 方 と も 0な ら ば つ り合 うが,ど
ち らか 片 方 ま た は
両 方 と も 0で な い と き は つ り合 わ な い 。 式(1・27)を 用 い る。 〔解き 方〕 中心 O を原 点,水 の X 軸 方 向 成 分 の 総 和,同 れFX,FY,Mと
Fx〓0,FY=0(合
平 方 向 を X 軸,垂
直 方 向 を Y 軸 と し,お
じ く Y 軸 方 向 成 分 の 総 和,モ
の お の の力
ー メ ン トの 総 和 を,そ
れぞ
お け ば,
力=0)お
よ びM=0に
よ り,題
意 に よ る 力 は,つ
り合 い の 状
態 に あ る。 答 (FX=0,FY=0,(合
問 題1・24例
題1・27の
高 さ300㎜,150㎜
力=0),M=0で
つ り合 っ て い る)
の 正 三 角 形(図1・80)の
底 辺 を X軸,
そ の 左 端 を 原 点 と し て,全 総 和FY,お
7力 の X 軸 方 向 成 分 の 総 和Fx,同
よ び モ ー メ ン トの 総 和 M を 求 め よ(図1・81参
じ くY 軸 方 向成 分 の
考)。
答 (Fx=0,FY=0,(合
図1・81
問 題1・25前
力=0),M=0)
図1・82
問 と同 様 に し て,例 題1・27の
内 側 の 正 三 角 形 の 底 辺 左 頂 点 を 原 点,
そ の 左 斜 辺 を X 軸 と した と き の 同 じ全 7力 の X 軸 方 向 成 分 の 総 和FX,同 方 向 成 分 の 総 和FY,モ
ー メ ン トの 総 和 M を そ れ ぞ れ 求 め よ(図1・82参 (答 Fx=0,FY=0,(合
じくY軸 考)。
力=0),M〓0)
(c) 平 行 力 の つ り合 い
図1・83は,長 え た と き,支
さ lの 棒ABを
両 端 で 支 え,任
え た 点(こ れ を 支 点 と い う)A,Bに
れ を 反 力 と い う)RA,RBを つ り合 い の 条 件 か ら,次
生 ず る 。 距 離ACを
意 の 点 C に 荷 重 W を加 荷 重 と 反 対 向 き の 力(こ a,CBを
b と す れ ば,
の 関 係 が 成 り立 つ 。
(1・28)
図1・83
理 由 は,つ
り合 い の 条 件 か ら,合
力 は0に
な る の でW-RA-RB=0,こ
れ
よ り,W=RA+RBが な る の で,B
得 ら れ る 。 ま た,任
意 の 点 の ま わ りの モ ー メ ン ト も 0 と
点 の ま わ り の モ ー メ ン トは,し
っ て,と
たが
な る 。 さ ら に,
と な る 。 こ れ は,A
点 の ま わ りの モ ー メ ン トか ら も
得 ら れ る こ とは も ち ろん で あ る。
例題1・28 か ら800㎜
支 点A,Bで,水
平 に 支 え た 長 さ2000㎜
の 点 に 重 さ200Nの
の棒 が あ る。 支 点 B
お も り を か け る と,支
点A,Bの
反 力 は,
そ れに ぞ れに い ぐ らに な るか 。 〔考 え 方 〕 任 意 の 点 の ま わ りの モ ー メ ン トの 総 和 が 0に な る こ と を考 え る。 特 に, 単 位 に 注 意 す る こ と。 式(1・28) 〔解 き 方 〕
支 点A,Bの
反 力 をRA,RBと
す れ ば,
答 (支 点 A の 反 力80N,支 問 題1・26
図1・84の
よ うに,支
棒 の A 側 か ら100㎜,200㎜ て い る とす れ ば,支
点A,Bの
点A,Bに
支 え ら れ た長 さ500㎜
の 2箇 所 に そ れ ぞ れ20N,30Nの 各 反 力RA,RBは,そ
点 B の 反 力120N) の棒 が あ る。 荷 重 が加 わ っ
れ ぞ れ い く らに な る か 。 答 (RA=34N,RB=16N)
図1・84
問 題1・27
前 問 に さ ら に 加 え て,図1.85の
図1・85
よ う に棒 の A 側 か ら300㎜
の ところ
に,あ
る 大 き さ の 荷 重Wxを
この 場 合 の 各 反 力RA,RBと
か け て,A,B支 荷 重Wxの
点 の 各 反 力RA,RBを
等 し く し た い。
大 き さ を 求 め よ。 答(RA=RB=70N,Wx=90N)
問 題1・28図1・86の こ の 棒 に,A
よ う に,支
点A,Bで
側 か ら200㎜,300㎜
支 え ら れ た 長 さ400㎜ の と こ ろ に50N,50Nの
か り,こ れ と別 に 長 さ200㎜
の 棒 が C 点 を 支 点 と して 支 え ら れ,C
端 に10Nの
荷 重 が,ま
れ と反 対 側50㎜
か ら10㎜
の 点 に 対 し て か か っ て い る。 こ の 場 合 の 力 F,反
た,こ
の 棒 が あ る。 等 しい荷 重 が か よ り150㎜
の
の 端 に 上 向 き に 力 F が 棒ABの
A
力RA,RBの
大 き さを
求 め よ。 答 (F=30N,RA=15N,RB=55N)
図1・86
問 題1・29図1・87の Cと
し て 支 え,A
〔N〕,100Nの
よ う に,長
さ600㎜
の 棒ACの
か ら100㎜,200㎜,500㎜
両 端 と 中 心 を支 点A,B,
の と こ ろ に,そ
荷 重 を か け る も の と す る 。 こ の 場 合,反
図1・87
力RA,RB,RCが
れ ぞ れ20N,F 等 し くな る
よ うに す る た め に は,荷 重 F を何 N に す れ ば よい か 。
答 (F=160N)1・5 トラスに働く
〔 1〕
トラ ス の 意 味
直 線 状 の 部 材 を 結 合 し て,組
み 立 て た 骨 組 構 造 の 各 部 材 を組子
結合点 を 節 点
と い う 。 節 点 が ピ ン 結 合 で,回
ぶ 。 ま た,組
子 が す べ て 同 一 平 面 内 に あ る も の を平面トラス
を立体トラス
と い う(図1・88(a),(b))。
(a)平
と い い,
転 で き る 構 造 物 を ト ラス と 呼
面 トラ ス
(b)立
立 体 的 な もの
体 トラ ス
図1・88
節 点 が ピ ン 結 合(滑 に,ラーメン
接)で な く,完
と 呼 ぶ 。 こ こ で は,平
全 固 定(剛 節)を
含 ん だ 骨 組 構 造 物 を,特
面 トラ ス を 学 ぶ こ と に し よ う 。
《 トラ ス の 組 子 の 性 質 》 (図1・89(a),(b)) ①
各 組 子 に は,組
②
組 子 が 両 端 の 節 点 か ら 受 け る 力 は,大 る。
子 の 軸 線 方 向 に 力 が 働 く。 き さ が 等 し く,向
きが 反対 で あ
③
引 張 力 を受 け る組 子(引 張 材),圧 縮 力 を受 け る組 子(圧 縮材)は,い
ずれ
も内 部 に,元 の 長 さ に戻 そ う とす る抵 抗 力(応 力)が 発 生 す る。
(a)引
(b)圧 縮 材
張 材
図1・89
〔 2 〕
トラ ス に 働
トラスで
に 働
は,各
く 力の合
く力 の 計 算 法
節
点に 働
力は,そ
れ ぞれ
例 題1・29図1・90(a)は,2 Nの
荷 重 が 働 く と き,反
く 力 はつ
り 合って
い
る。 い い か え れ ば,各節点
0となる。
点A,Bで
支 え られ た トラ ス で あ る 。 点 C に100
力RA,RBと,各
組 子 に 発 生 す る 応 力 の 大 き さ,種
類(引 張 力 か 圧 縮 力 か)を 求 め よ。 〔考 え 方 〕 各 節 点 で は,つ 水 平 分 力 の 和,お い 。 た だ し,注 働 き,つ
り合 っ て い るの で,各
よ び 同 じ く垂 直 分 力 の 和 が,そ
節 点 ご と に働 い て い る全 部 の 力 の れ ぞ れ 0に な る こ と を 考 え れ ば よ
意 し な け れ ば な ら な い の は 正 負 の 符 号 の 用 い 方 で あ る。 物 体 に 外 力 が
り合 う と きは,物
とか ら,符 号 は 一 般 に,圧 対 す る応 力 を+と
体 内 に 外 力 と大 き さ 等 し く,反 対 向 きの 応 力 が 発 生 す る こ 縮 力 を+,引
張 力 を-,圧
縮 に 対 す る応 力 を-,引
張 りに
して 用 い る。
〔 解 き 方 〕 点A,Bの
反 力 をRA,RBと
す れ ば,荷
重 の 作 用 線 がABの
中 点 を通
るか ら, (1)
(a) (b)
(c)
(d)
図1・90
点 A の つ り合 い(節
点 よ り右 を正,左
を 負,上
を 正,下
を 負 で 表 す)
(水平 方 向)(図1・90(b))(2)
(垂直方向)(3) 式(2)か ら,
(4) 式(3)か ら,
(圧縮)(5) 式(5)を 式(4)へ 代 入 し て,
(引張 り) 点 C の つ り合 い (水平 方 向)(図1・90(c))(6)
(垂直 方 向)(7) 式(6)か ら,
式(7)か ら,
点 D の つ り合 い (引張 り) 反 力 は 点A,Bと
答
(
BDと
もに50N,応
も に86.6N(引
力 はAC100N(圧
張 り),BC100N(圧
縮),CD0(こ
縮),AD, の組 子
は力 学上 不要 で あ る)
例 題1・30図1・91に
よ り,組
子AC,BCに
発 生 す る 応 力 の種 類 と大 き さ を
求 め よ。 〔考 え 方〕 点 C に お け る 力 の つ り合 い を 考 え る。
〔解き 方〕 水 平方 向 のつ り合 い
(1)
垂 直 方向 のつ り合 い
(2)
式(1)-式(2)か
ら, (3)
図1・91
(圧縮) こ れ を 式(1)へ 代 入 す る と,
(引 張 り) 答(各
応 力 はAC;9659N(引
)
張 り),BC;13660N(圧
縮))
例
題1・31
図1・92に
〔 考 え 方 〕 点C,Dに
よ り,各
組 子 の 応 力 の 大 き さ と種 類 を 求 め よ 。
お け る力 の つ り合 い を考 え る。
〔解 さ 方 〕 点 C の つ り合 い
図1・92
(水平方向)(1) (垂直方向)(2) 式(2)か
ら,
(引 張 り) これ を 式(1)に 代 入 し て, (圧縮) 点 D の つ り合 い
(水平 方向)(3) (垂直方 向)(4) 式(4)か
ら,
(圧縮)
こ れ を 式(3)に 代 入 して,
(引 張 り)
答
各 応 力 はAD;2732N(引
(
BC;1000N(圧
例 題1・32図1・93で,各
張 り),BD;2000N(圧 縮),DC;1414N(引
縮)
張 り)
)
組 子 の 応 力 の 大 き さ と種 類 を 求 め よ 。
図1・93
〔考 え方 〕 順 序 と して,点
D,点
C の 順 に つ り合 い を考 え る。 なぜ な ら,CDの
力 が わ か っ て い な い か ら。 〔解 き方 〕 点 D の つ り合 い
(水平方向)(1) (垂直方向)(2) 式(2)か
ら,
(圧 縮) こ れ を 式(1)に 代 入 して, (引 張 り) 点 C の つ り合 い
(水平方 向)(3) (垂直方 向)(4) 式(4)か
ら,
(引 張 り)
応
こ れ を 式(3)に 代 入 して,
答
各 応 力 はAD;866N(引
(
BC;2598N(圧
例 題1・33図1・94に
よ り,反
類 を 求 め よ。 な お,点
B は,こ
張 り), AC;2000N(引 縮),CD;1000N(圧
力RA,RBお
縮)
張 り)
)
よ び各 組 子 の 応 力 の 大 き さ と種
ろ で支 持 され て い る もの とす る。
図1・94
〔考 え方 〕 点 A の つ り合 い で は,未
知 数 が 三 つ(FAD,FAE,FAB)あ
式(連 立 方 程 式)で は 解 け な い 。 そ こ で,点
る の で,二
つの
D の つ り合 い か ら求 め る の が よ い 。
〔 解 き方 〕 点 D の つ り合 い
式(1)よ
-FAD
cos
60°+F
-FAD
sin 60°-FDE
DE cos sin
30°=0(水 30°-400=0(垂
平 方 向)(1) 直 方 向)(2)
り,
(3)
式(2)よ
り,
(4) 式(3)+√3×
式(4)か
ら,
(圧縮) こ れ を 式(3)に 代 入 して,
(圧縮) 点 A の つ り合 い FAB+FAE FAE 一 方
,反
Sin
cos
30°+FAD
30°+FAD
cos
60°=0(水
Sin 60°+RA=0(垂
(5)
平 方 向)
(6)
直 方 向)
力 は,
(対称 形) ま た,式(5)か
(7)
ら, (8)
式(6)か
ら, (9)
よ り,式(9)か
ら,
こ れ を式 8 に代 入 して,
同 様 に し て,点 FADと
C の つ り 合 い か らFDEと
同 じ く,FBC=-346〔N〕(圧
B 点 の つ り合 い か ら,FAEと 反 力 はRA,RBと
答
(
DE,CE;200N(圧
同 じ く,FCE=-200〔N〕(圧
縮)
縮) 同 じ く,FBE=-200〔N〕(圧 も に400N,各
縮)
縮),AE,BE;200N(圧
組 子 の 応 力 はAD,BC;346N(圧 縮),AB;346N(引
縮) 張 り)
)
〔注 〕
E 点 の つ り合 い は 考 え な か っ た が,計
BEは,い
ず れ も200Nの
圧 縮 で,合
算 の 結 果 か ら 組 子DE,CE,AE,
力 が0と
な る こ とが わ か る。 こ の よ う に,
トラ ス の 計 算 で 用 い な か っ た 節 点 に つ い て も,つ 問 題1・30図1・95に
示 す トラ ス の,各
た だ し,B 点 に は 荷 重100Nが
り合 い を確 か め て み る と よ い 。
組 子 の 応 力 の 大 き さ と種 類 を求 め よ。
か か っ て い る もの と し,組 子 の 重 さ は 考 え な い も
の とす る。 各 組 子 の 応 力 はAB;100N(引
答
張 り),BC;173.2N(圧
AC;173.2N(圧
縮),AD;200N(引
CD;173.2N(圧
縮),CE;173.2N(圧
(
縮),
張 り), 縮)
)
図1・95
問 題1・31図1・96の 組 子AB,BCの
よ う に,荷
重100Nの
台 の 脚 部 を トラ ス に し て 支 え た と き,
応 力 の 大 き さ と種 類 を 求 め よ。 た だ し,平
面 的 に考 え る もの とす
る。
図1・96
答 (各 組 子 の 応 力 はAB;86.6N(圧
縮),BC;50N(引
張 り))
問 題1・32図1・97は,前
問 の 2支 点 を組 子BEで
こ の 場 合 の 組 子AB,BC,BEの 答(各
結 ん だ場 合 を示 して い る。
応 力 の 大 き さ と種 類 を求 め よ 。
組 子 の 応 力 はAB;38.5N(圧
縮),BC;33-3N(圧
縮),BE;48.1N(引
張 り))
図1・97
〔3〕
トラ ス の 図 式 に よ る解 き 方
(a)バ
ウの 記 号 法
図1.98(a)の
よ う に,力F1,F2,…
… の 作 用 線 で 区 切 ら れ た 場 所 に A,
(a)
(b) 図1・98
B,… A,Bに F2の
… の 記 号 を つ け,図(b)の
よ う に,F1よ
は さ ま れ た F1の ベ ク トル に はab,同 ベ ク トル に はbc,…
… と,場
り 力 の 多 角 形 を 描 き,場 じ くB,Cに
所
は さ まれ た
所 と力 を 関連 づ け た 記 号 を用 い て 図 の
よ うに 表 す 方 法 をバ ウ の 記 号 法 とい う。
(b)支
点 の 反 力 の 求 め 方(図 式 に よ る)
図1・99(a),(b),(c),(d)に
よ り,反
力R1,R2を
次 の よ うに して 求 め る。
(a) (c)
(d)
(注):
(
A,B,…,a,b,…
は
)
バ ウ の 記号 法 に よ る 。
(b) 図1・99
①
荷 重 の ベ ク トルabを
引 く(図(c))。
②
W の ベ ク ト ル の 横 に 任 意 の 点 O を と り,線
分Oa,Obを
引 く(図
(c))。
③R1の
作 用 線 上 に 任 意 の 点 1を も うけ,W
平 行 な1-2を ④2よ
りR2の
の 作 用 線 ま で 線 分Oaに
引 く(図(b))。 作 用 線 ま で,線
分bOに
平 行 な 線 分2-3を
引 く(図
(b))。 ⑤1と ⑥
3 を 線 分 で 結 ぶ(図(b))。 線 分1-3に
平 行 な 線 分Ocを
で き 上 っ た ベ ク ト ルca,bcは,反 (d))。
引 く(図(c))。 力R1,R2の
大 き さ を 示 す(図
こ の 理 由 を 考 え て み よ う。 図1・100に ベ ク トルOa,bOで -2方
向 で
,W
お い て,①
の 分 力 のOaと
向 で W の 分 力Obと
R1,同
②R1は
つ り合 う 力 お よ び 線 分1-3方 ③R2も
つ り合 う 力 お よ び 線 分1-3方
力 と に 置 き 換 え ら れ る(図(a),(d))。 は,R1,R2の
ク トルab)は,
置 き 換 え ら れ る(力 の 三 角 形,図(a),(b))。
と つ り 合 う 力 と に 置 き 換 え ら れ る(図(a),(c))。 -3方
荷 重 W(ベ
じ くベ ク トルcO,Obの
向 でR2の
合 力bcがR2と
分 力
同 様 に し て,線
分2
向 で の 分 力 とつ り合 う
④ 結 果 と し て 線 分1-3に
互 い に 打 ち 消 し合 う 分 力 と な り,ベ
線 分1
平 行 な 線Oc
ク トルaO,Ocの
合 力caが
な る こ と が わ か る(図(a),(c),
(d))。
(b)
(c) (d)
(a) 図1・100
(c)ト
ラ ス に働 く力 の 求 め 方(図 式 に よ る)
図1・101(a)で,ト
ラ ス に 働 く力 の,図
式 に よ る 解 き 方 を 示 せ ば,次
の よ
う に な る。
①
各 力 の 作 用 線 で 区 切 ら れ た 場 所 にA,B,C,Dの
記 号 を入 れ る
(図(b))。 ②
バ ウ の 記 号 法 に よ り,大
き さの わ か っ た力 を含 む 節 点 か ら順 次 力 の
多角 形 を 次 の 要 領 で 作 って い く。 節 点3
ab…
… 鉛 直,ad…
… 右60°
上,bd…
… 右30°
下(図(c))
節 点1ac…
… 鉛 直,ad…
節 点2bd…
… 左30° 上, dc… … 水 平, bc… … 垂 直 (図(e))
完 成 図 に よ りW(ベ
… 右60°
ク トルab)の
上,dc…
… 水 平(図(d))
長 さ を 基 準 に,各
矢 印 の 長 さ を 測 っ て,
各 応 力,各
反 力 の 値 を 求 め る こ とが で き る(図(f))。
な お,矢
印 の 向 き は,そ
(-),内
の 節 点 で 各 組 の 応 力 を示 す か ら,外
向 き は 引 張 り(+)を
向 きは 圧 縮
表す。
(e)節
点 2
(a)
(c)節
点3
(f)完 成 図 (b) 図1・101
例 題1・34図1・102(a)の
ト ラ ス で,反
さ と種 類 を 図 式 で 求 め よ 。 た だ し,W 〔 考え 方〕
(d)節 点1
力R1,R2お は100Nと
よび各 組子 の 応力 の 大 き す る。
力 の 大 き さが 与 え ら れ て い る 節 点 の 位 置 を考 え た う え で,解
序 を 決 め る。 こ の 問 題 の 場 合 は,荷
重 W の か か る 節 点 は,力
く節 点 の 順
の 多角 形 が 四 辺 形 で 作
図 で き な い か ら,反 力 か ら求 め る と よ い 。 〔解 き 方
〕 ①
図(b)の
に 適 当 な 番 号1,2,3,4を ②
図1・99の
よ う に 右 ま わ り に 区 域A,B,C,D,Eを
記 入 し,節
点
つ け る。
方 法 で,図1・102(b),(c)を
作 る と,ベ
ク トルcbはR1を,ベ
ク トル
(c) (a)
(d)
(e)
(f)
(b) 図1・102
acはR2を ③
表 す。
節 点1∼4に
従 っ て,力
ベ ク トルabの め,矢
答
の 多 角 形 を 作 る(図(d),(e),(f))。
長 さ を 基 準 に,各
ベ ク トル の 大 き さ を 測 っ て ,そ
れ ら の 値 を求
印 の 向 き で応 力 の種 類 を知 る こ とが で き る。
反 力ac(R2)75N,反
力cd(R1)25N,各
(
(圧 縮),ce86.6N(圧
縮),ea43.3N(引
応 力 はbd43.3N(引 張 り),de100N(引
(c)節
(d)節112
(e)節
図1・103
張 り)
(f)完 成 図
点 1
(a)
(b)
張 り),dc50N
点3,4
)
例 題1・35図1・103(a)の
トラ ス で 反 力,組
子 の 応 力 の 大 き さ と種 類 を,そ
れ
ぞ れ 図 式 に よ って 求 め よ。 〔考 え方 〕 作 図 の順 を考 え て 節 点 に 番 号 を つ け るの も よ い 。 区 域 の 符 号 は 壁 の と こ ろ で 2つ に 分 か れ な い こ と に 注 意 す る。 〔解 き 方 〕
500Nの
図1・103(b),(c),(d),(e),(f)の
よ うに 作 図 を進 め る。
ベ ク トル を基 準 に 各 ベ ク トル を測 って,次
答
ab(反
力R3)2790N(引
(
張 り),da(反
各 応 力 はbe866N(引
例 題1・36図1・94の
の 値 を 知 る こ とが で き る。
張 り),ae
ト ラ ス で,節
力R4)2600N(圧
2000N(引
縮),
張 り),ec
点 D の 荷 重 だ け600Nに
1000N(圧
縮)
)
変 え た場 合 図 式
に よ り反 力,組 子 の 応 力 を求 め よ 。
(c)節
(a)
(e)節
点 1
(d)節
点 2
(b)
点 3
(f)節
点 4
(g)節 点 5
(h)完 成 図
図1・104
〔考 え方 〕 こ の 場 合 は,手
始 め に 反 力 を求 め て か ら,解
きや す い 節 点 の 順 を考 え る
の が よい。 〔解 き 方 〕
図1・104(a),(b)の
場 合 は,ベ
ク ト ルab,bcの
和 を 作 り(図(b)),各
力
の 三 角 形 を 作 っ て か ら,R2の aO,bO,cOに
作 用 線 上 よ り600N,400N,R5の
そ れ ぞ れ 平 行 な線 分 を 引 き(図(a)),R2の
い た 線 分 に 平 行 な線dOを
引 く と(図(b)),ベ
各 作 用 線 の順 に
出 発 点 か らR5の
ク トルda,cdは
終 点 に引
そ れ ぞ れR2,R5を
示
す。 以 下,節
点1∼5に
従 っ て 解 く と(図(c)∼(g)),完
っ て値 を 求 め る と,次
の答 えの よ うにな る。
反 力R2;550N,R5;450N,応
答
(
eg;200N(圧 346N(圧
力ae;520N(圧
縮),gd;433N(引
反 力R3,R4の
題1・31の
(
N(圧
図1・92と
張 り),反
力R3;2730N(引
縮),ad;2000 張 り),
縮)
図1・105
問 題1・34図1・106の
)
同 じ も の で あ る 。 今 度 は,図
張 り),cd;1000N(圧
縮),bd;1414N(引
R4;2910N(圧
縮),fc;
大 き さ と種 類 を求 め よ 。
各 組 子 の 応 力ab;2730N(引
答
縮),
縮)
組 子 は,例
式 に よ り,各 組 子,各
縮),eb;300N(圧
張 り),bf;200M(圧
縮)gf;300N(圧
問 題1・33図1.105の
成 図(h)を 得 る。 各 ベ ク トル を 測
よ う な トラ ス の 各 組 子 に 働 く各 応 力 の 大 き さ と 反 力R5,R6
図1・106
)
の 大 き さ を 図 式 に よ り求 め よ 。 ab(反
答
力R6);250N(圧
(
縮),bc(反
応 力ad;250N(圧
af;200N(圧
縮),de;86.6N(圧 縮),ce;173N(引
力R5);150N(引 縮),ef;173N(圧 張 り),bd;0,cf;173N(引
張 り), 縮), 張 り)
)
1・6 物 体 の 重 心
〔1〕 重 心 の位 置
物 体 を 多数 の小 部 分 の 集 ま り とみ な す と き,各 小 部 分 に働 く重 力 の 合 力 の 着 力 点 を重 心 とい う。 重 心 の位 置 は,一 般 に,こ
の 合 力 の 着 力 点 の座 標 で 表 す こ とが で き る。
い ま小 部 分 の 重 さ(重 力 の 大 き さ と し て)を 図1・107の
よ う に,
これ らの 各 座 標 を,
物 体 の 重 さ(重 力 の 大 き さ)を,
重 心 の座 標 を, 図1.107
と す れ ば, x 軸 の ま わ りの モ ー メン ト y軸 の ま わ りの モ ー メン ト
重 心 の位 置 は, * x バ ー
,y
バ ー と読 む。
(1・29)
〔注 〕 密 度 が 一 定 な 物 体 の と き は W お よ びw1,w2,w3… 置 き換 え る こ と が で き,ま
た,密
… は,そ
れ ぞれ体 積 に
度 と厚 さ が 一 定 な物 体 の と き は,同
じ くそ れ ぞ
れ 面 積 に 置 き換 え る こ とが で き る。
例 題1・37
300㎜
の 棒 の 両 端 に,重
力 の 大 き さ10N,20Nの
小物 体 をつ
け た 機 械 の 部 品 が あ る 。 棒 の 目 方 を 無 視 で き る も の と す れ ば,重 10Nの
側 か ら い く らの と こ ろ に な るか 。
〔考 え 方 〕 X 軸,Y
軸 を ど の よ うな 位 置 に し た ら よ い か を考 え る。
〔解 き 方 〕 X 軸 を棒 の 軸 心 に 置 き,小
物 体10Nの
中 心 を 原 点,小
+側 と し,Y 軸 は 原 点 を通 り X 軸 に 垂 直 とす れ ば,重
答 (重 心 の 位 置 は棒 の 軸 心 上 で,10N側
問
題1・35図1・108の
10Nで,こ
心 の位 置 は
よ う に,3
よ り20N側
個 の 鉄 球A,B,Cが,そ
に 向 い200㎜
間 が200mm,A-C球
間 が400㎜
の 位 置 は ど こ に 位 置 す る か 。 軸 心A-B,A-Cか 答 (A-Bよ
り,C
の とこ ろ)
角 をは さむ各 球
で あ る とす れ ば,全
体 の 重心
らの距 離 で示せ 。
側 に33.3㎜,A-Cよ
図1・108
り,
れ ぞ れ50N,60N,
れ らが 直 角 三 角 形 の 形 に 棒 で つ な い で あ る 。 こ こ で,直
間 の 距 離 はA-B球
物 体20Nを
心 の 位 置 は,式(1・29)よ
り,B
側 に100㎜)
〔2〕 簡 単 な 形 の重 心 の 求 め 方 前 頁 〔1〕の 〔注 〕に よ り,重 さ の一 様 な物 体(重 さの か わ りに体 積 が使 え る)あ る い は,重
さ が 一 様 で厚 み の 一 定 な 平 面 形(重 さの か わ りに 面 積 が 使 え る)に つ
いて 簡 単 な形 の 重 心 を求 め て み よ う。
(a)直 線 形 (b)弓
形 (c)円 弧
(d)正 方 形 ・長 方 形 ・平 行 四 辺 形 ・ひ し 形 (e)三 角 形
(f)円 (g)扇
(i)直 方 体
(j)球
形
(k)半 球 図1・109
(h)半 円
(l)す い 形
(a)
(c)
(b)
(d) 図1・110
な お こ こ で,図1.109に 〔注 〕 一 般 に,こ
「基 本 形 の 重 心 」 を あ げ て お こ う 。
れ ら の 図 形 の 重 心 を 利 用 して 解 く場 合 が 多 い の で,よ
く覚 え て お
こ う。
例 題1・38図1・110(a)∼(d)は,い
ず れ も均 質 な 板 ま た は 立 体 で あ る 。 そ れ ぞ
れ の 重 心 を求 め よ。 〔考 え 方 〕 い ず れ も,座 標 軸 の 位 置 の 決 め 方 ひ とつ で,計 に も な る か ら,よ え,座
く考 え て 決 め る。 要 点 は,な
る べ く 単 純 な 図 形 の 組 合 せ と して 考
標 軸 も 重 心 の 位 置 を示 しや す い と こ ろ に 決 め る の が よ い(単 位 に 注 意)。
図 形 が 空 間 を も つ 場 合(た と え ば,図(a)で の 三 角 形,図(c)で を+,空
算 が 容 易 に も,め ん ど う
は,二
は,80×90の
つ の 円 の よ うに),空
間 図 形 の 重 心 の モ ー メ ン トを-と
長 方 形,図(b)で
は,み
ぞ
間 が な い もの と した 重 心 の モ ー メ ン ト
し て,代
数 和 を考 え れ ば よ い(図1・111参
照)。 〔 解 き 方 〕(a)90×30と10×90の を X 軸 と し,重 心 の 座 標 を(x,y)と
二 つ の 長 方 形 に 分 け,左 す れ ば,
端 の 縦 線 を Y 軸,底
辺
図1・111
答(左 〔 別 解 〕90×120と80×90の
端 よ り30㎜
で,底
二 つ の 長 方 形 に分 け,前
辺 よ り35mmの
と こ ろ)
と同 様 に 座 標 軸 を 取 る と,
次 の よ う に 同 じ答 が 得 られ る。
(b)底 辺 を X 軸,縦
の 中 心 線 を Y 軸 とす れ ば,Y
軸 に 対 し て 対 称 形 で あ る か ら重 心
は Y 軸 上 に あ る。 G の 底 辺 か ら の 座 標 を y,長 方 形 の 重 心Gl,三 す れ ば,図1・112(a),(b),(c)の
(a)
角 形 の 重 心G2と
よ うに な り,
(b) 図1・112
(c)
答 (中 心 線 上 で 底 辺 か ら約17.1㎜) (c)図1.110(c)か 線 を Y 軸,重
ら 重 心 G は,横
中 心 線 上 に あ る。 こ の 中 心 線 を X 軸 と し,左 端 縦
心 の X 座 標 を x とす れ ば,
答 (中 心 線 上 左 端 よ り,96.3㎜ (d)重 心 G は 中 心 線 上 に あ る(図1・110(d))。 考 え,中
心 線 上 の 左 端 を 原 点 と し,G
標 を そ れ ぞ れx1,x2,x3,同
立 体 を 半 球,正
の 座 標 を x,半
じ く体 積 をvi,v2,v3と
四 角 柱,円
球 ・正 四 角 柱
の と こ ろ) 柱 に分 け て
・円 柱 の 重 心 の 座
す れ ば,
答 (中 心 線 上 で,左 側 頭 の 先 端 か ら32.3㎜
問 題1・36図1・113は,直
径200㎜,長
さ400㎜
図1・113
の 均 質 の 丸 棒 で,そ
の と こ ろ)
の右端か
ら同 心 円 で 直 径100㎜,奥 線 上 に あ る は ず で あ る が,そ
行 き300㎜
の 穴 あけ を した もので あ る。重 心 はセ ン タ
れ は左 端 か ら何 ㎜
の とこ ろにな るか。 答 (左端 よ り188.5㎜)
問 題1・37図1.114は,均
質 で 一 定 な 肉 厚 の パ イ プ の 両 端 を,中
に 線 対 称 に 曲 げ た も の で あ る。 両 端 の 円 弧 の 半 径 は100㎜,中 ㎜,両 に何 ㎜
弧 の 先 に は さ ら に100 ㎜
心 角90° の 円 弧 状 心 間 の 距 離 は300
の 直 線 部 が あ る。 重 心 の 位 置 は A 点 か ら ど ち ら
に な るか 。 答 (A よ り中 心 線 上 で 右 へ50.9㎜
図1・114
の と こ ろ)
2
運
動 2・1運
動
物 体 が 時 間 と と もに 位 置 を変 え る こ と を運 動 とい う。 こ こ で は,運 動 に つ い て 考 え て み よ う。
〔1〕 変位 と経 路
物 体 が 位 置 を変 え る こ とを変 位 とい い,そ の 通 っ た路 を経 路 とい う。 変 位 は,始
点 と終 点 の 位 置 で 決 ま り,大 き さ ・方 向(向 き)を もつ の で ベ ク ト
ル 量 で あ る(図2・1)。
図2・1
変 位 の ベ ク トルAB
図2・2
図2・1に お い て,変 位 の 中間 点 を考 え,図2・2に トルABは,変
位 のベ ク トルACとCBと
変 位 ベ ク トル の 三 角 形
置 き換 え る と,変 位 の ベ ク
の 和 とな る こ とが 理 解 で き よ う。
〔2〕 直 線 運 動 と曲 線 運 動 (a)速
度 と相 対 速 度
時 間 に対 す る変 位 の 割 合 を速 度 と い う。 速 度 は,大
き さ,方 向(向 き)を
もつ の で ベ ク トル量 で あ る。 速 度 が 一 定 の 運 動 を 等速 度 運 動 とい い,時
間
tの 間 に 距 離 S だ け 動 く と きの 等 速 度 運 動 の 速 度 vは,
(2.1) あ る物 体 B を 基 準 に 物 体 A の 運 動 をみ る と き,こ の 運 動 を B に 対 す る 相 対 運 動 とい い,こ
の 速 度 を相 対 速 度 とい う。
《直 進 す る A 列 車 の B 列 車 に対 す る相 対 速 度 》 直 進 す る 2本 の 列 車A,Bが,角 (a))相
θの 大 き さ で 交 差 す る場 合(図2・3
対 速 度 を v とす れ ば三 平 方(ピ タ ゴ ラ ス)の 定理 よ り(図2・3(b))
(2.2) 〔注 〕 vの 向 き を求 め る に は 式(1.25)を
応用 す る とよい。
(a)
(b)
(e) (c)
(d)
図2・3
①
よ り
θ=0°(平 行 で 同 じ 向 き の 場 合)式(2・2)で, (図2・3(c)参
照),
(2.2)' ②
θ=90°(直
よ り(図2・3(d)
交 す る 場 合)式(2・3)で,
参 照),
(2.2)" ③
θ=180°(平 3(e)参
よ り(図2・
行 で 対 向 す る 場 合)式(2・2)で,
照),
(2.2)"' 速 度 の 方 向(向 き)を 考 え な い で,大 う。 速 さ の 単 位 はm/s,m/hの
き さ の み を問 題 に す る場 合 を 速 さ とい
よ う に 表 す 。 速 度 が 一 定 で な い と き,式(2・1)
の vは 平 均 の 速 さ(直 線 運 動 で は 平 均 速 度 と い え る)を 表 す 。
《変 化 す る速 度 》 時 刻t0を 含 む 短 か い 時 間 ⊿tの 間 に,距 離 ⊿S だ け動 い た とす れ ば,〓は, 時 間 ⊿tの 間 の 平 均 速 さ で あ る(図2・4(a))。
さ くと る と〓
し か し,こ
こ で ⊿tを き わ め て 小
は 時 刻t0に お け る速 度 を表 し,方 向 は 経 路 の 接 線 と一 致 す る
(図2・4(b))。
(b)
(a) 図2・4
この よ う な
例題 2・1
を 時 刻t0に
お け る速 度 とい う。
地 球 の 周 を40000㎞
とす れ ば,ま
る 1 日で 1周 す るに は 何 ㎞/
hの 速 さ が 必 要 か。 〔 考 え 方 〕 1日 を 時 間 に 直 して 考 え る。 〔解 き方 〕 答 (1667㎞/h)
例題 2・2
音 の 速 さ は 常 温 で 約340m/sで
〔考 え 方 〕 km㎞
す るため
あ る 。 こ れ は 何 ㎞/hに
倍 し,時 間 に 直 す ため に3600倍
あ た るか 。
す る。
〔 解 き方〕 答 (1224㎞/h)
例題 2.3 ら 考 え て,飛
音 速 と 同 じ速 さ を マ ッハ 1 と 呼 ん で い る が,例 行 機 で24時
間 に 地 球 1周 す る に は,マ
題2・1,例
題2・2か
ッハ い く ら で 飛 べ ば よ い
か。 〔考 え方 〕 音 速 で 地 球 の 周 の 大 き さ を 割 れ ば よ い。地
球 の 周:4
万 ㎞,音
速(常
温):340m/s。
〔解 き方 〕
(マ ッ ハ) 答
例題 2.4
速 度20㎞/hの
車 中 で,車
(マ ッ ハ1.362)
幅 の 方 向(進 行 方 向 に 直 角)に4㎞/h
で 歩 く人 が い る。 この 人 の 地 面 に対 す る相 対 速 度 は い く らか 。 〔 考 え方 〕 式(2・2)を
利 用 す る。
〔 解 き方 〕 答 (20.4㎞/h)
例題
2・5
2隻 の モ ー タ ー ボ ー ト が30° の 開 き で,と
も に60㎞/hの
速 度 で
走 っ て い る 。 ボ ー ト間 の 相 対 速 度 を 求 め よ 。 〔考 え 方 〕 式(2・2)と,他
に ラ ミ ー の 定 理 式(1・25)の
〔解 き方 〕 解 I式(2・2)よ
解
Ⅱ式(1・25)よ
応 用 が あ る。
り
り
(ラ ミー の 定 理)
答 (互 い に31.1㎞/hの
問題 2・1
音 の 速 さ は 空 気 中 で 常 温 で は 約340m/sで,海
約 5倍 で あ る と い う。 い ま,図2・5の
よ う に,船
速 さ で 遠 ざ か る)
水 中 で は 空気 中の 場 合 の
か ら 海 底 に 向 か っ て 音 を発 射 し,
0.5秒 後 に そ の 音 が 海 底 か ら は ね 返 っ て き た 。 海 の 深 さ は 約 何 m か 。 答 (425m)
図2・6 図2・5
問題
2・2
図2・6に 示 す よ う に,あ
回 転(2500rpm)す
る と き,こ
る 飛 行 機 の 直 径2mの
プ ロ ペ ラ が,毎
分2500
の プ ロ ペ ラ の 周 速 度(外 周 先 端 部 の 周 速 度)は 何
㎞/h
に な るか。 答 (942㎞/h)
問題 2.3 200㎞
図2・7の
1.8(音 速 の1.8倍)で m/sと
よ う に,フ
ラ ン ス の 新 幹 線(TGV)が,い
ま,東
へ 向か って 時速
で 走 っ て い る 。 ち ょ う ど そ の 上 空 を 超 音 速 ジ ェ ッ ト機(コ ン コ ル ド)が マ ッハ
す れ ば,新
北 東 か ら南 西 の 方 向 に 向 か っ て 交 差 し た 。 こ の 時 の 音 速 を340 幹 線 と ジ ェ ッ ト機 との 相 対 速 度 は 何 ㎞/hか。 答 (2349㎞/h)
図2・7
問題
2.4
図2・8
地 球 を 完 全 な 球 と考 え た と き,自 転 に よ る 赤 道 上 の 周 速 度 は,例
よ り約1667km/hで
あ っ た 。 図2・8の
よ う に,北
緯60度
題2・1
の あ る地 点 の 同 じ く自転
に よ る周 速 度 は い く らか。 答 (834㎞/h)
問題 2.5
100mを10秒
で 走 る 男 が い る。 こ の 男 は 時 速 何
㎞ の 速 さに相 当す るか。
答 (36㎞/h)
図2・9
(b)
加
速
度
速 度 の時 間 に 対 す る変 化 の 割 合 を加 速 度 とい う。 加 速 度 もベ ク トル 量 で あ る。 単 位 は,毎 秒1m/sず
つ の 割 合 で 速 度 が 変 わ る と き,1m/s2の
よ
うに 表 す 。 加 速 度 が 一 定 の と き の運 動 を等 加 速 度 運 動 とい う。 加 速 度 は 増 加(+)の
場 合 と,減 少(-)の
場 合 とが あ る こ とに 注 意 す る。
直 線 上 を 等 加 速 度 運 動 す る 物 体 の 速 度 が,時
間 tの 間 にv0か
ら vに 変 わ っ
た とす る と(図2・10(b)),
(a)等 速 度
(b)等 加 速度 図2・10
加 速 度 αは,
(2.3) 終 速 度 vは,
(2.4) 時 間 tの 間 に動 い た 距 離 S は,平
均 速度
よ り
(図2・11),
(2.5) 図2・11
加 速 度 と距 離
式(2・4),式(2・5)よ
り t を 消 去 す れ ば,初
速,終
速,加
速 度,距
離 の 関 係 式
(2・6)が 得 られ る。
(2.6)
例題
2.6
5秒 間 に,10m/sの
速 度 を増 す 物 体 の 加 速 度 は い く ら か 。
〔考 え 方 〕 式(2・3)に よ る 。 式 の 意 味 を よ く理 解 す る 。 〔解 き方 〕 答
例題
30㎞/hの
2・7
(2m/s2)
速 さの 自動 車 が ブ レー キ を か け て 3秒 間 で停 止 した 。
この 場 合 の加 速 度 は い く らか 。 〔考 え 方 〕 ㎞/hをm/sに
直 し て,式(2・3)に
代 入 す る。
〔解 き方 〕 加 速 度 を α とす れ ば,
答
例題
2.8
30㎞/hで
急 ブ レー キ を か け て 停 止 まで に10mを
の 自動 車 が あ る。 同 じ能 力 で40㎞/hの 〔考 え方 〕 式(2・6)に よ り,ブ い て,同
(-2.78m/s2)
必 要 とす る 能 力
速 さか ら停 止 す る に は何m必
レ ー キ の 能 力(加 速 度)を 求 め,次
要 か。
に この加 速 度 を用
じ く式(2・6)か ら制 動 距 離 を求 め る 。
〔解 き方 〕
制 動 距 離 をS とす れ ば,
答 (17.75m)
〔注 〕 車 の 制 動 距 離 は,初 ㎞/hで10mの
速 の 2乗 に 比 例 す る こ と が わ か る 。 上 例 で は,初
制 動 距 離 が,初
速40km/hに
速30
な る と,10m×(40/30)2=17.78
〔m〕と な る。 研 究 し て み る と お も しろ い 。
問 題2・6初
速8m/sで10秒
度 は い く らか 。 さ ら に,そ
後 の 速 度 が20m/sの
等 加 速 度 運 動 を す る物 体 の 加 速
の間 の走 っ た距離 は い くらか。 答 (1.2m/s2,140m)
問 題2・7前
問 の 場 合 で,さ
らか 。 ま た,こ
ら に10秒 後,す
な わ ち,始
め か ら20秒
後 の速度 は い く
の 場 合 の 走 っ た 距 離 は い く らか 。 答 (32m/s,400m)
問 画2・8初
速2m/sの
度 が8m/sで
あ っ た とい う。 加 速 度 は い く ら か 。
等 加 速 度 運 動 をす る物 体 が,ち
ょ う ど6m進
ん だ瞬 間 に速
答
(c)
(5m/s2)
落体の 運動
空 気 の な い と こ ろ(真 空 中)で は,物 は 地 球 の 重 力 に よ る も の で,こ
の 加 速 度 を 重 力 の 加 速 度 と い い,記
で 表 す 。 普 通g=9.8m/s2(980㎝/s2)と
表2・1 標 準 の g の 値980.665㎝/s2(定
体 は 一 定 の 加 速 度 で 落 下 す る。 こ れ
して計 算 す る。
各 地 の 重 力 実 測 値(「 理 科 年 表 」か ら) 義:1901年
国 際 度 量 衡 総 会),東
京979.76319㎝/s2
号 g
〔注 〕 空 気 中 で 落 下 す る物 体 は,空 が,近
気 抵 抗 を 受 け る た め,等
加 速度 運 動 では ない
似 的 に 等 加 速 度 運 動 とみ な す こ と に す る。 ま た,g の 値 は 地 球 上 の 場 所 に
よ っ て,わ
ず か に 違 っ た値 を 示 す(表2・1)。
《静 止 状 態 か ら 自由 落 下 す る場 合 》 物 体 が 落 ち 始 め て か ら t秒 後 の 速 度 を v,落 の 初 速V0を
下 距 離 を h と す れ ば,式(2・4)
0,α を g と 置 き 換 え て,
(2.7)
v=gt 式(2・5)か
ら は,
(2・8)
式(2・6)か
ら,
(2.9) を 得 る。
《鉛 直 下 向 き に投 げ られ た 場 合 》 鉛 直 下 向 き に 投 げ ら れ た 場 合,初 式(2・4)か
速v0と
す れ ば,上
式 と 同 じ よ う に し て,
ら,
(2.10)
v=v0+gt 式(2・5)か
ら,
(2.11) 式(2・6)か
ら,
(2.12)
v2-v02=gh
《鉛 直 上 向 き に投 げ られ た 場 合 》 式(2・10)∼(2・12)で
は g の 向 き が 反 対 向 き な の で,-g
に 置 き換 え れ ば よ
い 。
例 題2・9橋
の 上 か ら,小 石 を静 止 の 状 態 か ら落 下 させ た ら3.5秒 で 地 面 に 達
し た 。 橋 の 高 さ は い く ら か 。 ま た,地
面 に 達 す る と きの 速 度 は い く らか 。 た だ
し,空
気 の 抵 抗 は な い も の と考 え る 。
〔考 え方 〕 橋 の 高 さ は 式(2・8),速
度 は 式(2・7)を 用 い て 解 く。
〔解 き方 〕 高 さ を h,速 度 を v とす れ ば,
答 (高 さ60m,速
例 題2・10あ
度34.3m/s)
る荷 物 をパ ラ シ ュー トで 落 下 させ た と き,着 地 速 度 は3mの
高
さ か ら 自 由 落 下 さ せ た の と 同 じ だ っ た と い う。 着 地 速 度 は い く ら に な る か 。 〔考 え 方 〕 与 え られ た 数 値,求
め よ う とす る数 値 を み て,必
要 な公 式 を 考 え れ ば よ
い 。
〔解 き 方 〕
初 速v0=0,高
さh=3m,g=9.8m/s2か
ら,終
速 v は,
答
例 題2.11秒
速5mで
(7.67m/s)
落 下 す るパ ラ シュ ー トの荷 物 が,着 地 す る 前 に 綱 が 切
れ て 落 ち た 。 綱 が 切 れ て か ら激 突 ま で 2秒 だ っ た。 綱 が 切 れ た と きの 高 さ と, 激 突 の 速 度 と を求 め よ。 〔 考 え 方 〕 初 速5m/s,加
速 度9.8m/s2に
よ り 2秒 後 の 距 離 と 速 度 を 求 め る 式 を
考 え る° 〔解 き 方 〕
初 速v0=5m/s,時
間t=2s,g=9.8m/s2よ
り,
よ り,
答 (高 さ29.6m,速
例 題2・12初
速25m/sで,ボ
ー ル を 鉛 直 上 方 に 投 げ た と き,最
た 高 さ と,そ れ に 要 し た時 間 と を求 め よ。
度24.6m/s)
高 点 に達 し
〔考 え 方 〕
必 要 な 公 式 を 考 え る 。 な お,注
意 し な け れ ば な ら な い の は,g
がマ イナ
ス に な る こ とで あ る。 〔解 き 方 〕
初 速v0=25m/s,終
速v=0,g=9.8m/s2よ
り,
こ れ よ り,
ま た,v=v0+(-g)tよ
り,
答 (高 さ31.9m,時
問 題2・9水
面 か ら 計 っ て 高 さ19.6mの
ら 自 然 落 下 さ せ る も の とす れ ば,何
位 置 か ら小 石 を 落 とす。石
間2.55s)
は静 止 の状 態 か
秒 で 水 面 に達 す るか 。 た だ し,空 気 の 抵 抗 は 無 視
す る もの とす る。 答 (2s)
問 題2・10真
空 中 で,あ
る 物 体 を22.5mの
高 さ ま で 鉛 直 に 投 げ 上 げ る に は,秒
速何
m の速 度 で投 げ上 げれ ば よいか。 答 (21m/s)
(d)
放物運 動
い ま ま で,物 体 を鉛 直上 方 に 投 げ 上 げ た場 合 の 運 動 に つ い て学 ん だ が,今 は 物 体 を水 平 や 斜 め に投 げ た 場 合 の 運 動 を考 え て み よ う。
度
空 気 の な い と こ ろ(真 空 中)で は,物 体 が水 平 ま た は 斜 め に投 げ られ た と き,時 間 が た つ と と もに物 体 の 鉛 直 方 向 の分 速 度 は,重 力 の 加 速 度 gの 作 用 を受 け て 変 化 し,水 平 方 向 の 分 速 度 は 変 化 し な い。 この と き物 体 が 描 く 経 路 を 放 物 線 とい い,こ
の よ う な運 動 を放 物 運 動 とい う。
〔注 〕 落 体 の 場 合 と 同 じ よ う に,空 は な ら な い が,近
気 中 で は 抵 抗 を受 け る の で,正
しい放物 運動 に
似 的 に放 物 運 動 とみ な せ る。
《水 平 に投 げ ら れ た 物 体 の 放 物 運 動 》(図2・12) 水 平 方 向 の 移 動 距 離 x は,初
速v0,経
過 時 間 t と お け ば,V0=一
定 で,t
に
比 例 し,
(2.13)
図2・12
水平に投げた物体の放物運動
鉛 直 方 向 の移 動 距 離 y は,初 速 0,経 過 時 間 t とお け ば,g
に よ り等 加 速 度
運 動(落 体 の 運 動)と な っ て,
(2.14) とな る。
こ の 二 つ の 式 よ り tを消 去 す れ ば,水 平 に 投 げ た と きの放 物 線 の 方程 式
(2.15) が 得 られ る。
水平 方 向の分速度
時 間 tの 後 も変 化 な く;v0
鉛 直方 向の分速度
時 間 tの 後 の 速 度;gt
とな る か ら,時 間 tの 後 の 物 体 の 速 度 v と,こ れ が 水 平 面 と の な す 角 θは,
ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 と三 角 比 か ら,次 の よ うに な る。 (2・16)
《斜 め に投 げ られ た 物 体 の 放 物 運 動 》(図2・13) 水 平 面 との な す 角 aで,斜 め 上 方 に 初 速v0で 物 体 が 投 げ ら れ た 場 合,経 時 間 を tとす れ ば, 水 平 方 向 の 移 動 距 離 x は,式(2・13)と
図2・13斜
同 様 に,
め に 投 げ た 物体 の 放 物 運 動
x=(v0 cos a).t 鉛 直 方 向 の 移 動 距 離yは,式(2・5)で-gに
(2・17)
置 き 換 え, (2・18)
こ の 二 つ の 式 か ら tを消 去 す れ ば,こ
の物 体 の 経 路 を示 す 放 物 線 の 方 程 式 (2・19)
が 得 られ る。 次 に,経 過 時 間 tの 後 の 速 度 に つ い て 考 え て み よ う。 水 平 分 速 度vxは, vx=v0・cos
α
(2・20)
過
鉛 直 分 速 度vyは, (2・21)
最 高 点 に 達 し た 高 さymaxは, と す れ ば,式(2・21)よ
vy=0と
り,
な る か ら,そ
れ ま で の 経 過 時 間 をt1
と な り,式(2・18)に
代 入 し て,
(2・22)
出 発 点 と 同 一 平 面 に 落 下 す る ま で の 時 間t2は,式(2・18)でy=0と
か ら 求 め ら れ る わ け で あ る。t2=0は,出
お き,
発 時 点 を 意 味 す る の で,こ
れ をはぶ
き, (2・23)
と な る。 こ れ を式(2・17)に 代 入 す れ ば,同 一 水 平 面 の 到 達 距 離 が 得 られ る。 これ よ り, 出 発 点 と同 一 平 面 に落 下 す る まで の 水平 到 達 距 離x2は, (2・24)
とな る。 水 平 到 達 距 離 の 最 大xmaxは,初 2a=90°,ゆ
え に, a=45°
速v0に
お い てsin
2a=1の
と き で あ る か ら,
の と き で, (2・25)
とな る。
*sin(α+β)=Sin
α ・cosβ+cos
α・sinβ で α=β
と お け ば,sin
2α=2sin
α.cos
α と な る。
例題
2・13高
体 は,投
度200mで,速
度90㎞/hの
ヘ リ コ プ ター か ら投 下 させ た 物
下 鉛 直 下 方 地 点 よ り前 方 何 m の と こ ろ に 着 地 す る か 。
〔考 え 方 〕200mの
自由 落 下 時 間 を 出 し,こ
れ を水 平 方 向 の 初 速 に 乗 じて 得 ら れ
る。 〔解 き方 〕200mの
自 由 落 下 時 間 tは,式(2・14)か
水 平 方 向 移 動 距 離 xは,式(2・13)か
ら,
ら,
答(160m前
例題
2・14水
平 面 と な す 上 向 き の 角(仰 角)60°
た 物 体 の 4s後 の 高 さ お よ び 水 平 分 速 度,鉛
に,初
速40m/sで
投 げ上 げ
直 分 速 度 を そ れ ぞ れ 求 め よ。
〔考 え方 〕 初 速 の 鉛 直 分 速 度 に よ り,鉛 直 上 方 に 投 げ る場 合 の 式 で,時 を 求 め る 式 を 考 え る。 さ らに,経
方)
過 時 間 後 の 終 速 水 平 分 速 度,終
間 か ら高 さ
速 鉛 直分速 度 を求め
る。 〔 解 き方 〕 初 速v0,経
過 時 間 t とお け ば,式(2・18)か
水 平 方 向 の 終 速 度vxは,初
ら,
速 水 平 分 速 度 に 等 しい か ら,
鉛 直 方 向 の 終 速 度vyは,式(2・21)か
ら,
(下 向 き) 答(水
例題
2・15ボ
ー ル を 投 げ て,河
平 分 速 度20m/s,鉛 幅40mの
直 分 速 度 下 向 き4.56m/s)
向 う岸 へ 届 くた め の 最 小 の 初 速 を
求め よ。 〔 考 え 方 〕 仰 角 a,初 速 ν0で,水 平 距 離 を 出 す た め に は,初
速 の 鉛 直 分 速 度 で,
鉛 直 上 方 に 投 げ 上 げ,最
高 点 に 達 し て 再 び 同 一 平 面 上 に落 下 す る ま で の 時 間 を 求 め,
これ を初速 水平分 速 度 に掛 けれ ば よい。 し か し,こ で,簡
こ で は 水 平 距 離 の 最 大 を考 え る こ と に 注 意 し た い 。 も ち ろ ん,式(2・25)
単 に 解 け る が,な
る べ く筋 道 を立 て,式
〔 解 き 方 〕 同 一 平 面 落 下 ま で の 時 間t2は,仰
を作 り出 す 努 力 が ほ しい 。 角 a,初 速v0と
お け ば,式(2・23)か
ら,
し たが っ て,水
こ れ よ り,水
面 距 離 はx2は,
平 距 離 の 最 大 値xmaxは,sin
2 a=1の
と き で あ る か ら, a=45°
の と
き で,
と な る 。 数 値 を 代 入 し て,V0>0よ
り,
答(19.8m/s)
問題
2・11ピ
ッ チ ャ ー の 投 げ た ボ ー ル を,バ
だ 。 ボー ル の 初 速 は お よ そ何m/sか
ッ トで 打 っ た ら 仰 角30°
。 こ の 場 合,バ
で200m飛
ん
ッ トに 当 た っ た 高 さ は 無 視 す る
も の とす る。 答(47.6m/s)
問題
2・12い
ま,ゴ
ル フ で 飛 距 離 を160m出
し た い と思 う。 最 低 打 速 は い く らに す
れ ば よ い か 。 空 気 の 抵 抗 は な い もの とす る 。 答(39.6m/s)
(e)円
運
動
物 体 が 円 周 上 を 運 動 す る場 合,こ
れ を 円 運 動 とい い,速
さが 一 定 な 円運
動 を等 速 円 運 動 とい う。 《角速 度 と周 速 度 》(図2・14) 半 径 rの 円 運 動 をす る 1点 が あ る。 い ま,こ の 点 が 時 間 ⊿tの 間 に P か ら P'に 移 り,そ の 中 心角 が ⊿θで あ っ た とす る。 こ の場 合,時
間 ⊿tの 間 の角 の
変 化 量 ⊿θ を 角速 度 とい い,次 の よ うに 表 す 。 (2・26)
ま た,同 様 に ⊿tの 間 に運 動 す る 1点 の変 位 量PP'(円
孤 の 長 さ)を 周 速 度 と
い う。 これ を vで 示せ ば, (2・27)
図2・14角
こ こ で,⊿tを
無 限 に 小 さ く と れ ば,⊿
は 接 線 に 近 づ く。 こ れ よ り,そ
速度
θ も小 さ く な っ て,P,
の 点 の 瞬 間 速 度 の 大 き さ はr・
P'を ω で,方
結ぶ 直線 向 は接
線 方 向 と な る。
〔注 〕rad(radian
ラ ジ ア ン)は,角
さ の 円 弧 を と る と き,そ
の 単 位 で,1radは
円 周 上 に 半 径 と等 し い 長
の 弧 の 中 心 角 の 大 き さ に 当 た る 。 式 で 示 せ ば,図2・14
*記 号 ω(オ メ ガ と読 む)は 角 速 度 を表 し,単 位 はrad/s(ラ
ジ ア ン毎 秒)を
用 い る。
で,
〔rad〕 と な り,ゆ
え に, PP'=r・
⊿θ と な る 。
と
回転 数 と角 速 度 との 関 係 は, な る。 た だ し,rpmは 径 D,回
毎 分 回 転 数(revolution
転 数N〔rpm〕
の と き,周
速 度 vは,次
per
minute)を
示 す 。 ま た,直
の よ うに な る。 (2・28)
《角 加 速 度 》 時 間 に 対 す る角 速 度 の 変 化 の 割 合 を 角 加 速 度 とい う。 経 過 時 間 ⊿tの 間 に 角 速 度 が ⊿ω だ け 増 した とす れ ば,角 加 速 度 ω(オ メ ガ.ド ッ トと読 む)は, (2・29)
とな る。 単 位 はrad/s2で
ある。
《等 速 円運 動 》 円周 上 を一 定 の角 速 度 で動 く物 体 の 運 動 を 等速 円 運 動 とい う。 等 速 円 運 動 で は,速
度 の 大 き さは 変 わ らず,そ
の 方 向 は た え ず 変 化 す る。 し た が っ て,加 速
度 が 生 じて い る。
(b)
(a)
図2・15等
速 円 運動 の加 速 度
こ の 加 速 度 の 大 き さ と方 向 を 求 め て み よ う 。 図2・15(a)で,き 時 間 ⊿tの 間 に,1 は,大
点 が P か ら Q に 移 っ た と す れ ば,P,Q点
き さ が 等 し く,方
わ め て短 か い の 速 度vp,vQ
向 が ⊿θ だ け 違 う こ と が わ か る 。
こ れ よ りベ ク トル 図 を作 れ ば,図(b)の
よ う に な っ て,ベ
ク ト ルP'Q'の
変 化 が 生 じ た こ と に な る 。 ⊿θ を き わ め て 小 さ く す れ ば,P'Q'=O'P'・ く こ と が で き る(半 径 に 角 度 を 掛 け る と考 え る)。 速 度 変 化P'Q'は,こ の 加 速 度 を a と す れ ば,a・
⊿tと
な る か ら,vP=vQ=vと
速度
⊿θ と書 の とき
置 け ば,a・
⊿t=
v・⊿ θ と な る 。 ゆ え に,
v=r・
ω で あ る か ら,加
速 度 の 大 き さ a は,
(2・30)
加 速 度 の 方 向 は,⊿ に 向 か う)で,こ
例題
2・16
θ が ご く小 さ い と きP'Q'の
方 向(vpに
直 角 で 円 の 中心 O
れ を 向 心 加 速 度 と呼 ん で い る 。
15rad/sは
〔考 え 方 〕rpmは
何rpmか
。
毎 分 回 転 数 で あ る か ら,秒
を 分 に 直 す こ と 。 ま た,1
回 転 は2π
〔rad〕に な る こ と を 考 え れ ば よ い 。 〔解 き 方 〕
1 回 転(360ー)は2π
〔rad〕で あ る か ら,15〔rad〕
は
回 転 。 こ れ を60倍
し て,
答(143.2rpm)
例題
2・17直
径100㎝
の ホ イ ー ル の 周 速 度 が200㎝/sで
あ る。 角 速 度 と毎
分 回 転 数 を求 め よ。 〔 考 え 方 〕 角 速 度 はrad/sで た,毎
分 回 転 数 は,
あ る か ら,1 秒 当 た りの 角 の 変 化 量 と し て 考 え,ま よ り求 め ら れ る。
〔解 き方 〕 角 速 度 を ω 〔rad/s〕,回 転 数 をN〔rpm〕
とす れ ば,
答(4rad/s,38.2rpm)
例題 rpmに
2・18静
止 し た 車 が あ る 。 等 角 加 速 度 で 回 転 を は じ め,10秒
後 に1800
な った 。 角 加 速 度 は い くらか 。
〔考 え 方 〕10秒
後 の 角 速 度 を求 め,こ
れ を経 過 時 聞 で 割 れ ば よ い 。
〔解 き 方 〕10秒
後 の 角 速 度 を ω 〔rad/s〕,経 過 時 間 を t とす れ ば,角
加 速 度 ω は次
の よ う に な る。
答(18.85rad/s2)
例題
2・19直
る に は,周
径 8㎝
で 円 運 動 さ せ て,向
心 加 速 度 を16㎝/s2ち
ょ う どに す
速 度 を い くらに す れ ば よ い か 。
〔考 え 方 〕 周 速 度 v,半 径 r とす れ ば,向
心加速 度
よ り,v
を得 る。
〔解 き 方 〕 答(8㎝/s)
問題
2・13地
上10000mの
高 度 を 高 速 ロ ケ ッ トで 水 平 飛 行 す る と き,ロ
生 じ る 向心 加 速 度 が 重 力 の 加 速 度 と同 じ値 に な る ため に は,ロ 飛 ば し た ら よ い か 。 た だ し,地 球 の 円 周 を40000㎞
ケ ッ トに
ケ ッ トを秒 速 何 ㎞
と す る。 答(7.91㎞/s)
で
2・2運
動 と力
〔1〕 ニ ュ ー トン の 運 動 の 法 則 (a)運
動 の 第 1法 則
物 体 に 外 力 を作 用 しな け れ ば,静
止 して い る物 体 は 永 久 に 静 止 し,動 い
て い る物 体 は 永 久 に そ の 方 向 と速 さ を変 え な い。 これ を運 動 の 第 1法 則 と い い,物 体 の この よ うな 性 質 を慣 性 とい う。 運動 の 第 1法 則 の こ と を慣 性 の 法 則 と も い う。
〔注 〕 ア イ ス ・ス ケ ー トで 滑 っ て い る人 や,走
っ て い る電 車 な どが ブ レー キ を か け
な い か ぎ り永 く走 り続 け る の は 慣 性 の た め で,や か な 抵 抗 力(氷 の 抵 抗,車
輪 や 車 軸 の 抵 抗,空
が て 止 ま っ て し ま うの は,わ
ず
気 抵 抗 な ど)が 外 力 と し て,進 行 を
妨 げ る方 向 に 作 用 す る か ら で あ る 。
(b)運
動 の 第 2法 則
一 般 に,物 体 に外 力 が 作 用 す る と加 速 度 を生 ず る。 この 加 速 度 の 大 き さ は外 力 に 比 例 し,方 向 は外 力 の 方 向 と一 致 す る。 こ れ を運 動 の 第 2法 則 と い う。 あ る物 体 に 外 力 F が 働 き,加 速 度 a を生 じ た とす れ ば,運 動 の 第 2法 則 か らF〓aと
な る。 こ れ よ り比 例 定 数 を m と置 け ば, F=ma
(2・31)
とな る。 こ の 式 か ら,い ろ い ろ な 物 体 に 同 じ加 速 度 を与 え る た め に は,m
が
大 きい物 ほ ど大 き な 力 を必 要 とす る こ とが わ か る。 い い か え れ ば,m 質 量 とい う。
の 大 小 は慣 性 の 大 小 を表 す こ とに な る。 こ の m を 物 体 の
落 体 の 運 動 で は,重
さW,重
力 の 加 速 度 g よ り,
W=mg
(2・32)
を 得 る 。 こ れ を 式(2・31)に 代 入 す れ ば, (2・33)
が 得 ら れ る。 この 式 は,重
さ W の 物 体 に加 え た力 F と,生 ず る加 速 度 a との
関 係 を示 す もの で,こ れ を運 動 方 程 式 と呼 ぶ 。
例題
2・20
600N(約61.2kgf相
方 向 に 一 定 な 力 を 加 え,10秒
当)の 物 体 が 時 速10㎞ 間 で 時 速60㎞
で 動 い て い る。 運 動
に す る た め に は,力
の大 きさは
い くら にす れ ば よ い か。 〔考 え 方 〕 速 度 の 単 位 をm/sに
。 式(2・31),(2・32),(2・3)よ
り,
と順 に も ど っ て 考 え る と よ い。
〔解 き方 〕
答(85N)
例題
2・21静
止 し て い る600N(約61.2kgf相
当)の 物 体 が あ る。 こ れ に ロ ー
プ を つ け て つ り上 げ る と き,5 秒 間 一 定 の 力800Nで
引 き上 げ た とす れ ば,高
さ は何 m に達 す る か。 〔考 え方 〕 一 定 な 力(F-W)で, v ま で 等 加 速 度 a で 引 き上 げ る と考 え る。 〔解 き 方 〕 式(2・31)よ り,
式(2・11)よ
り,
の 物 体 を,時
間 tの 間 に 初 速 0か ら 終 速
答(40.8m)
例 題2・223000N(約306㎏f相
当)の ハ ン マ を 自 由 落 下 さ せ て,5
材 を打 っ た と こ ろ,鉄 材 の 厚 み10㎝
の もの が 7㎝
m下 の鉄
に な っ た 。 鉄 材 に作 用 し
た 力 を求 め よ。 〔考 え 方 〕 さ ら に,鉄
材 の 厚 み10㎝
か ら 7㎝
に 達 す る 間 の 加 速 度 を-α
と し,鉛
直 方 向の
変 形 量 を h'とす れ ば,2(-α)h'=-v2 〔解 き方 〕
答(503kN) 問 題2・148000N(約816㎏f相
当)の 車 が 時 速40㎞
で 走 っ て い て,そ
ン ク リー トの 電 柱 に 衝 突 し た。 車 も 電 柱 も 大 破 し た が,車 で 止 ま っ た。 電 柱 に 与 え た 力 は 約 何kNで
の ままコ
は 衝 突 後 お よ そ 2m 進 ん
あ ったか。 答(約25.2kN)
問 題2・15秒
速20m,2.5N(約0.255㎏f相
当)の 硬 球 を,30㎝
手 を引 き込 ん で
受 け 止 め た。 手 に は 何 N の 力 が 作 用 し た か 。 答(170N)
(c)運 動 の 第 3法 則 物 体 に は,静
止 あ る い は 運 動 の状 態 に 関 係 な く,次 の法 則 が 成 り立 つ 。
物 体 に 外 力 を 加 え る と,同 時 に そ の 物 体 に は 外 力 に 反 対 す る 力 が 生 れ る。 この 外 力 を作 用,反
力 を反 作 用 とい う。 作 用 と反作 用 とは 大 き さが 等
し く,向 きが 反 対 で あ る。 こ れ を運 動 の 第 3法 則 とい う。 ま た,こ
れ を作
用 反 作 用 の 法 則 と も い う(図2・16(a),(b))。
(a)バ ネば か り
(b)車 中 の作 用 反 作 用 図2・16
〔注 〕 作 用 と反 作 用 の例 を考 え て み よ う。 手 で 壁 を押 せ ば,壁 の 力 で 押 し返 す 。 また,綱
は こ れ と 同 じ大 き さ
引 きで は 勝 ち 負 け が 起 こ っ て も,綱 が 両 方 か ら 引 張 ら
れ る力 の 大 き さ は 等 し い。 こ の 場 合,勝
敗 の 原 因 は 地 面 と足 と の 間 の 摩 擦 力(抵
抗 力)の 大 小 に あ る の で あ る。
例 題2・239000N(約918㎏f相
当)の
静 止 し て い る6000N(約612㎏f相 た 。6000Nの
自動 車 は 何km/hと
自 動 車 が36㎞/hで
走 っ て い た が,
当)の 自 動 車 に 衝 突 し て,7.2km/hに
な っ
な るか 。
〔考 え 方 〕 作 用 反 作 用 の 法 則 が 成 り立 つ こ と を 考 え る。 〔解 き方 〕 時 速 を秒 速 に 直 して,
求 め る速 さ をv〔m/s〕,互
い に 力 をお よぼ し た 時 間 をt〔s〕 とす れ ば,9000Nの
自
動 車 の 受 け た 力 は,
6000Nの
自動 車 の 受 け た 力 は,
作 用 反作 用の 法則 か ら,
答(43.2㎞/h) 問 題2・16時
速30㎞
で 走 っ て い る10000N貸
に 進 ん で い る18000Nの
車 が 時 速10㎞
貸 車 に 衝 突 し た 。10000Nの
な っ た と す れ ば,18000Nの
貨 車 は時 速何 ㎞
の 速 さ で 同 じ方 向
貨 車 は 衝 突 後,時
速10㎞
に
に な るだ ろ う か 。 答(約21.1㎞/h)
〔2〕SI単
位 系 と他 の 単 位 系
機 械 力 学 で はSI単
位 系 を用 い る が,他
の 単 位 系 との 使 い わ け も あ り う る の
で,注 意 が 必要 で あ る。 SI単
位 系:長
さ(m)メ
ー トル ・質 量(㎏)キ
(A)ア ン ペ ア を 基 本 に,温
度(K)ケ
ロ グ ラ ム ・時 間(s)秒
ル ビ ン ・物 質 星(mol)モ
ン デ ラ を 加 え た 7個 の 基 本 単 位 と,平
面 角(rad)ラ
・電 流
ル ・光 度(cd)カ
ジ ア ン ・立 体 角(sr)ス
テ
ラ ジ ア ン の 2個 の 補 助 単 位 に よ り構 成 。 重 力 単 位 系:質 CGS単
位 系:長
量 の 代 りに 力(㎏f)重 さ(㎝)セ
本 単 位 とす る 単 位 系 。
量 キ ロ グ ラ ム を用 い た単 位 系 。
ン チ メ ー トル ・質 量(g)グ ラ ム ・時 間(s)秒 を 基
《CGSに CGSで
よ る力 の 単 位 》 は 力 は ダ イ ン(dyne,単
1dyn:質
量 1g の 物 体 に,加
N で 表 す と 式(2・31)よ
㎏fで
位 記 号dyn)で 速 度1㎝/s2を
示 す。 生 じ させ る 力 の 大 き さ。
り,
表 す と 式(2・33)よ
り
質 量 は 物 体 の 慣 性 の 大 きさ を示 す 量 で あ る。 だ か ら引 力 に 関 係 さ れ な い の で 地 上 で も 月面 で も値 が 変 わ らな い 。 と こ ろ が そ の 重 さ は,W=㎎
の よ う に g に 比 例 す る。 だ か ら重 力 の加 速
度 が 異 な る場 所 で は 重 さ も異 な る値 に な る。 例 題2・24水
1lの 重 さ をN,dynで
表せ 。 で立式 。
〔 考 え方 〕 重 力 〔 ㎏f〕 を考 え, 〔 解 き 方 〕 水 1tか ら1000㎏fと
して
答(9.8×103N,9.8×108dyn)
問 題2・171dyn(1g・
をMdynで
㎝/s2)の106倍
を 1 メ ガ ダ イ ン(Mdyn)と
い う 。 1㎏fの
示せ 。 答(0.98Mdyn)
〔3〕 慣
性
力
静 止 ま た は運 動 して い る物 体 の 運 動 状 態 を変 化 させ よ う とす る と き,そ の 物 体 に は,元
の 運 動 状 態 を維 持 し よ う とす る 力 が 生 まれ る(〔1〕(a)の運
動 の 第 1法 則)。 この 力 を慣 性 力 と い う。
力
〔注 〕 慣 性 力 の 大 き さ に つ い て 考 え て み よ う。 い ま,等 車 の 中 に,ひ 力 T と動
も で 重 さW の 物 体 を つ るす と,図2・17の W との 合 力(式(2.33))で
加 速 度 αで 走 っ て い る電 よ うに,電
物 体 を引張 る
車 は ひ もの 張 が わ か る。 し
か し,ひ
もは 一 定 の か た む き で 静 止 す る か ら,物 体 に は
い て,つ
り合 う もの と考 え られ る。 こ の よ う なつ り合 い を 動 的 つ り合 い と い う。
この 見掛 けの 力
の力 が生 まれ て
が 慣性 力に相 当す る
図2・17
例 題2・25500N(約51㎏f相
当)の 物 体 を ロ ー プ で0.2g(重
倍)の 加 速 度 で 引 き上 げ る と き,ロ
力 の 加 速 度 の0.2
ー プ の 張 力 は い くら に な るか。
〔考 え 方 〕 ロ ー プ の 張 力 F は 上 向 き に,物
体 の 重 力 と加 速 度 αに よ る 慣 性 力
と は 下 向 き の 力 と な る(動 的 つ り合 い を 考 え る)。 〔 解 き 方 〕 動 的 つ り合 い か ら,
答(600N)
例 題2・26
10m/sで
運 動 し て い る 重 さ400N(約41㎏f相
れ と 同 じ進 行 方 向 に 6秒 間 一 定 な 力 を 連 続 し て 加 え た ら,速
当)の 物 体 に,そ 度 が22m/sに
な
っ た。 加 え た 力 は い くらか 。 〔考 え 方 〕 慣 性 力 と加 え た 力 との 動 的 つ り合 い を 考 え る。 慣 性 力 は 進 行 方 向 と反 対 向 きであ る。 ,加
〔解 き方 〕 慣 性 力 を
と
え た 力 を F とす る。 加 速 度
な っ て 動 的 つ り合 い に よ り,
答(81.6N)
例 題2・27重
さ200N(約20㎏f相
当)の 物 体 を上 方 に 一 定 の 力300Nで
引
き上 げ る と き,発 生 す る加 速 度 は い くらか 。 〔 考 え 方 〕 重 さW と慣 性 力
は 下 向 きに,引
き上 げ る力 F は 上 向 き に して,動
的 つ り合 い を考 え る。 〔 解 き方 〕 動 的 つ り合 い か ら,
答(4.9m/s2)
例 題2・28
7000Nの
推 進 力 で10秒
間 働 く能 力 を もつ 重 さ3000N(約306
㎏f相 当)の ロ ケ ッ トが あ る。 こ れ を鉛 直 上 方 に 向 け て 発 射 す る と,高 さ何 m に達 す るか 。 た だ し,空 気 の 抵 抗 や 燃 料 消 費 に よ る重 量 の変 化 は な い もの とす る。 〔考 え方 〕10秒 に分 けて 考 え る。
間 の加 速 に よ る高 さ と,そ の後 の 惰性 に よ る上 昇 した分 との 二 つ
〔解 き方 〕
ロ ケ ッ トの 重 さW,推
打 ち 上 げ10秒
進 力 F,加
後 の 速 度 vは,
速 度 α とす れ ば,動
的 つ り合 い は,
よ り,
式(2・11)よ り,推 力 に よ る 加 速 度 αで10秒
後 の 高 度h1は,
10秒 後 の 速 度(初 速)v に よ る惰 性 で上 昇 し た 分h2は,式(2・12)か
ら,
求 め る 高 さ は,
答(1526m)
問 題2・18重
量 が15000N(約1531㎏f相
車 を 2人 で 協 力 して10秒 合,押
当)の 鉄 道 貨 車 が 止 ま っ て い る。 こ の 貨
間 一 定 の 力 で 押 した と こ ろ2m/sの
速 度 に 達 した 。 こ の 場
した 力 は 何 N に な る か 。 答(306N)
問 題2・19図2・18の こ の 場 合,人
よ うに,人
を乗 せ た ボ ー トA,Bが
を 含 め た ボ ー トの 重 量 は Aが2500N,B
図2・18
静 水 の 上 に 浮 か ん で い る。 が1500Nで
あ る。 2人 は 互
い に 一 定 な 力 で 3秒 間 押 し合 っ た。 そ の 結 果,ボ の 速 さ に達 した 。 こ の 時,ボ
ー ト B は 静 水 面 に 対 して 秒 速0.5m
ー ト A の 静 水 に 対 す る速 さ を 求 め よ。 答(0.3m/s)
〔4〕 向 心 力 と遠 心 力
円 運 動 す る物 体 に,向
心 加 速 度 を起 こ させ て い る力(向 心 加 速 度 の 方 向
と 同 じ 中心 向 き)を 向 心 力 と い い,こ れ とつ り合 う力(中 心 と反 対 向 き)を 遠 心 力 とい う(図2・19)。
(a)静 止 状 態 (b)水 平 回転 状 態 図2・19向
物 体 の 重 さ を W,向
心 力 と遠 心 力
心 加 速 度 を α,向 心 力 を F と す れ ば,式(2・30)よ
り,
(2.35)
例 題2・29長 け,他
さ 1m の ひ も の 先 端 に,重
さ 5N(約0.5㎏f相
当)の 物 体 を つ
端 を 中 心 に 水 平 面 内 に 回 転 さ せ る も の とす る(重 力 は 無 視 し て い る)。 ひ
も は 張 力200Nま
で た え ら れ る も の と す れ ば,角
速 度 は 最 大 何 ラ ジ ア ン毎 秒 に
な るか 。 〔考 え 方 〕 数 値 の 与 え ら れ て い る もの は何 か を考 え,数 〔解 き方 〕 ひ も の 張 力 F,同 式(2・35)よ り,
式 をたて る。
じ く半 径 r,物 体 の 重 さ W とお け ば,角
速 度 ω は,
角 速 度 は+と
考 え,
答(19.8rad/s)
例 題2・3O旋
盤 の 主 軸 を1200rpmに
ま わ し棒 1N は,ど
し た と き,軸
心 か ら100㎜
の位 置 の
れ ほ どの 遠 心 力 を発 生 す るか 。 た だ し,重 力 は 無 視 す る。
〔考 え 方 〕 単 位 に 注 意 。 周 速 度 を だ し,遠 心 力 を 求 め る 。 〔解 き 方 〕N=1200rpm,r=100㎜=0.1m,W=1Nよ
り,
周 速 度 vは,
遠 心 力 F'は,
答(向
例 題2・31長
心 力 と 反 対 向 き(中 心 か ら外 向 き)161N)
さ 1m の 糸 の 先 端 に 重 さ 1N(約0.1㎏f相
鉛 直 面 内 に100rpmで
当)の 物 体 を つ け て,
回 転 さ せ る 。 こ の と き 物 体 が 最 上 位 と最 下 位 に き た と
きの 糸 の 張 力 を求 め よ。 〔考 え 方 〕 重 力 の 作 用 を受 け る こ と を考 え て,そ
れ ぞ れ 鉛 直 方 向 の 動 的 つ り合 い を
考 え る。 〔解 き 方 〕 重 力 W,糸
の 張 力 S,遠 心 力 F'と す れ ば,最
最 下 位 の 動 的 つ り合 い は, -W+S-F'=0
上 位 の 動 的 つ り合 い は,
答(最
例 題2・32飛
行 機 が 旋 回 半 径100mで
(傾 斜 角)45° 時速何 ㎞
上 位 の 張 力10.19N,最
で,乗
飛 ん で い る。 機 体 の 水 平 面 との な す 角
客 は い す に 対 し て 垂 直 に 安 定 し て 座 っ て い る 。 こ の 場 合,
で飛 ん で い るか 。
〔考 え 方 〕 傾 斜 角45° と い う の は,飛 の 方 向 が,鉛
下 位 の 張 力12.19N)
行物 体 の重 さとその遠 心 力の 大 きさ との合 力
直 線 よ り45° 傾 い て い る こ とに な る。
〔解 き方 〕 飛 行 物 体 の 重 さW,そ
の 遠 心 力 F',旋 回 周 速 度 v,旋 回 半 径 r とす れ
ば,
F'=Wで
あ る か ら,
求 め る 速 度 は,正
を と っ て,
答(時 問 題2・20図2・20の 速60㎞
よ うに,電
車 が 半 径120mの
円 弧 に カ ー ブ し た レー ル 上 を 時
の 速 さ で 走 っ て い る。 電 車 の 総 重 量 が200×103N(約20.4tf相
とす れ ば,遠
速112.7㎞)
当)で あ っ た
心 力 は い く らか 。 答(47.24kN)
図2・20
〔5〕 円 す い 振 り子
図2・21の よ う に,糸 の 長 さ lの 先 端 に,重 固 定 して,お
さW の 重 りを つ け,上 端 を
も りに 円運 動 を与 え る と,糸 は 鉛 直 軸 を 中心 と し て 円 す い面
を描 く。 こ れ を 円 す い 振 り子 と い う。 円 す い 振 り子 の 高 さ hお よ び 周 期 T(お も りが 1回 転 す る時 間)は,角
速 度 ω だ け で 決 ま り,糸 の 長 さや 重
りの 重 さ に は 無 関係 で あ る。
図2・21円
す い振 り子
こ の 理 由 を 考 え て み よ う。 い ま,図2・21で,糸 F',重
の 張 力 S,お
も りの 遠 心 力
り の 重 さ W の 力 は つ り合 っ て い る 。 三 角 形 の 相 似 か ら,
こ れ に,
を 代 入 し て,(ω>0)
(2・36)
こ れ よ り,h
は ω2に 反 比 例 し,l
や W に は 無 関 係 で あ るこ とが わか る。
ま た,1 秒 間 の 回 転 角 が ω 〔rad/s〕 で あ る か ら,重 間,周
期 T は,
り 1回 転 に 必 要 と す る 時
(2・37)
と な っ て,周
期 も ま た 角 速 度 に 反 比 例 し,l
や W に 無 関 係 で あ る こ とが わ か
る。
例題
2・33長
す れ ば,周
さ50㎝
の 糸 に 重 り を つ け,鉛
直 線 と な す 角30°
で 回 す もの と
期 は い く らか 。
〔 考 え方 〕 円 す い 振 り子 の 高 さ h を求 め て,式(2・36)に
よ り求 め る。 h と糸 の 長 さ
が 成 り立 つ こ とに 気 づ け ば よ い 。
lの 間 に は,
〔 解 き方 〕
答 (周期1.32秒)
例 題2・34重
mで
り の 重 さ2N(約0.2㎏f),円
す い の 高 さ 1m,底
面 の 半 径0.5
運 動 して い る 円す い 振 り子 が あ る。 糸 の 張 力 は い くらか 。
〔考 え方 〕 糸 の 張 力,重
りの 重 さ,遠 心 力 に よ る 力 の 三 角 形(直 角 三 角 形)か ら 張 力
を 求 め る。 〔解 き 方 〕 W=2N,
h=1m,
r=0.5mと
す れ ば,
張 力 S は,
答(糸
の 張 力2.24N)
例 題2.35円
す い 振 り 子 の 回 転 数 が30rpmの
と き,振
り子 の 高 さは い く ら
に な るか 。 〔考 え 方 〕 回 転 数 と周 期 の 関 係 を よ く理 解 して お き た い 。 回 転 数 をN〔rpm〕 れ ば,1 秒 間 の 回 転 数 はN/60回
とす
。 そ こ で 1回 転 に 要 す る 時 間 T(周 期)は,
とな るこ とに気づ け ば よい。
両 辺 を 2乗 して hに つ い て 解 け ば
〔 解 き方 〕
答(高
問 題2・21糸
の 張 力 が4N,重
りの 重 さ が3N,1
さ0.993m)
秒 間 の 回 転 角 が5rad/sの
運動 を
して い る 円 す い 振 り子 が あ る 。 重 りが 描 く円 の 半 径 は い くら か 。 答(重
2.3
〔1〕 運
動
りの 描 く半 径0.346m)
運 動 量 と力積
量
運 動 の 強 さ を 表 す 量 と して,そ の 物 体 の 質 量 と速 度 との 積 を用 い,こ
れ
を運 動 量 とい う。 物 体 の 質 量 m,重
さ W,速
度 υ とお け ば,運
動 量 は, (2・38)
運 動 量 も また ベ ク トル 量 で,そ の と き の速 度 と 同 じ向 き を も っ て い る。 単 位 はN・sを
用 い る(参 考:
m・ υが 運 動 の 強 さ を意 味 す る の は,重
い物 体 ほ ど,ま た 速 度 の 大 き い 物 体
ほ ど 止 め に く い こ と か ら も う な ず け よ う。
《運 動 量 と力》 υ0の速 度 で 直 線 運 動 す る重 さ W の 物 体 が,運 動 の 方 向 に 力 F を 時 間 tの 間 受 け た とす る。 こ の と き加 速 度 αは, α=(υ-υ0)/t
これ を運 動 方 程 式 に代 入 して,
(2・39)
こ れ よ り,"運
動 量 の 時 間 的 変 化 の 割 合 は 力の 大 き さ に 等 し い” と い う こ と
が わ か る。
こ れ は 運 動 の第 2法 則 の 変 わ っ た表 現 法 の 一 つ とい え る。
例 題2・36
500N(約51㎏f相
当)の 物 体 が,速
度25m/s,5m/sの
それ ぞれ
の 場 合 の 運 動 量 を求 め よ。 〔考 え方 〕 式(2・38)が 思 い 出 さ れ れ ば よ い 。 〔解 き方 〕
よ り,速 度25m/sの
同 横 に し て 5m/sの
場合は
場 合 は
答(1276Ns,255Ns)
問 題2・22
500N(約51㎏f相
当)の 物 体 が,25m毎
の 物 体 に 3秒 間 一 定 の 外 力 を加 え,5m毎
秒 の 速 度 で 運 動 し て い る。 こ
秒 の 速 度 に お と した 。 加 え た 外 力 の 大 き さ
は い く らか 。 答(物
体 の 運 動 の 逆 方 向 に340N)
〔2〕 力
式(2・39)を
積
変 形 す れ ば, (2・40)
と な る 。 こ の 左 辺 のF・tを
力 積 と い う 。 こ の 式 は,力
積 は運動 量 の変化
に 等 しい こ と を示 して い る。
《衝 撃 力 と緩 衝 》 急 激 に 運 動 量 を変 化 させ る た め に は,非 常 に 大 きな 力 を必 要 とす る。 こ の よ うな 力 を衝 撃 力 とい う。 これ は 式(2・39)で,t 分 母 は小 さ くな る こ とか ら,F
を小 さ くす れ ば す る ほ ど,式 の
は大 き くな る こ とが理 解 で き よ う。
衝 撃 力 を和 らげ る こ と を緩 衝 と い う。 緩 衝 を実 現 す るた め に は,ゴ な ど を用 い て,式(2・39)の
例 題2・37静
tを大 き く してや れ ば よ い こ と に気 づ くで あ ろ う。
止 して い る6000N(約612㎏f相
加 え て,70㎞/hの
ムや ばね
当)の 物 体 に15秒 間 力 を一 定 に
速 度 に した い 。 こ の た め に は何 N の 力 が 必 要 か。
〔考 え方 〕 与 え られ た値 は一 定 時間 前後 の物体 の速 度 と重 さで あ るか ら,運 動 量 の 時問的 変化 よ り力 が求 め られ る。 〔 解 き方〕 あ る か ら,式(2・40)よ
で り
答(793N)
例 題2・381000N(約102㎏f相 っ た 初 速10m/sで,静
当)の 重 りで く い を 打 っ た ら,く 止 す る ま で に0.2秒
いに当 た
か か っ た と い う。 何 N の 力 で 打
った こ とに な る か 。 〔考 え 方 〕 前 間 と同 じ考 え 方 。 初 速 と終 速 は 逆 に な る。 重 力 も加 わ る。
〔解 き方 〕
こ こ で,マ
イ ナ ス(-)は,重
りの 運 動 と反 対 向 き に6.1kNの
意 味 す る。 くい は こ の 作 用 に 対 す る反 作 用 と し て,運
力 が作 用 した こ とを
動 方 向 に6.1kNの
力 を受 け た
こ と に な る。 答(打 問 題2・2340m/sで
力 は6.1kN)
飛 ん で き た ボ ー ル をバ ッ トで 打 ち 返 し た と こ ろ50m/sの
で 飛 ん で い っ た 。 バ ッ トは0.07秒
間 一 定 な 力 で ボ ー ル に 作 用 し た とす れ ば,作
た 力 は 何 N か 。 た だ し,ボ ー ル の 目 方 は3Nと
速度 用 し
す る。 答(-394N)
〔3〕 運 動 量 保 存 の法 則
図2・22(a)の
よ う に,重
さWA,WBの
物 体A,Bが,速
度 υa,υB(υA
>υB)で 同 方 向 に 運 動 し て い る。 や が て A は B に 追 い つ き,力 tの 間 作 用 し た の ち(図(b)),A,Bの
速 度 は υA',υB'に な っ た と す る(図
(c))。図(b)で,
(b)
(a)
図2・22運
A に働 く力 積 は, B に働 く力積 は,
F で時 間
動 量 の保 存
(c)
運 動 の 第 3法 則 よ り,
(2・41)
こ の 式 は,作
用 前 ・作 用 後 の そ れ ぞ れ の 運 動 量 の 総 和 が 等 し い こ と を示
して い る。 こ れ を運 動 量 保 存 の 法 則 とい う。
〔注 〕 特 に,運
動 量 保 存 の 法 則 が 成 り立 つ の は,他
か ら力 が 働 か な い と き と,も
し
働 い て も合 力 が 0の と き の い ず れ か に 限 ら れ て い る こ とに 注 意 さ れ た い 。
例 題2・39静 の 人 が,後
止 し て い る 重 さ1000N相 方 へ 3m/sの
当 の ボ ー トに 乗 っ た 体 重500N相
速 度 で 飛 び 込 ん だ と す れ ば,ボ
当
ー トは ど ん な 運 動 を す
るか 。 〔考 え 方 〕 飛 び 込 む 前 の 運 動 量 の 総 和 は 0,し たが っ て,飛
び込 ん だ後 の 運動 量 の
総 和 も 0に な る こ とに 気 づ け ば よ い 。 〔解 き方 〕 飛 び 込 ん だ 後 の ボー トの 速 度 を υ とす れ ば,式(2・41)か
答(1.5m/sの
ら,
速 度 で 前 進 す る)
問 題2・24同
一 直 線 上 を 同 じ方 向 に 運 動 す る 同 じ 目方 の 二 つ の 物 体ABが
A は25m/sの
速 度 で 先 に 進 み,B
は 衝 突 して A の 速 度 は35m/sと
は40m/sの
あ っ て,
速 度 で A を 追 っ た 。 そ の 後,A,B
な っ た 。 B の 速 度 は い く ら と な るか 。 運 動 量 保 存 の
法 則 を使 っ て 求 め よ 。 答(30m/s)
〔4〕 衝 (a)反
突
発係 数
一般 に
,物
体 は 他 の 物 体 に ぶ つ か る と は ね 返 る 。 こ の と き,当
の 速 度 を υ,は
ね 返 る 速 度 を υ'と す れ ば,実
の 結 果 で は,υ'は
た る とき
験
υ に お お よ そ 比 例 す る(図
2・23)。 (2・42) 図2・23反
と 置 き,こ
〔 注〕
eの 値 は,2 物 体 の 材 質 で 違 う値 と な る。e=1と
後 の 速 度 が 等 し く,e=0の <1と
発係数
の e を 反 発 係 数 と いう。
と きは,全
い うの は,ぶ
つ か っ た前
くは ね 返 ら な い 場 合 で あ る。 一 般 に は,e
な る。
例 題2・40ガ
ラ ス球 を10㎝
の 高 さか ら床 に 落 とす と,何 ㎝
か 。 た だ し,反
発 係 数 は0.95と
す る。
は ね上 が る
〔 考 え方 〕 自由 落下物 体 の速度 と高 さ との 関係 を考 える。式 を 用 い る。
〔 解 き方 〕 落 とす と き の 高 さ h,終 速 υ,は
ね 上 が る 高 さ を h',初 速 を υ',重 力
の 加 速 度 を g とす れ ば,
答(9.03㎝)
問 題2・25布
を 敷 い た 板 の 上 に25㎝
の 高 さ か ら鋼 球 を 自 由 落 下 さ せ た ら,1㎝
は ね 上 っ た 。 こ の 場 合 の 反 発 係 数 を求 め よ 。 答 (0.2)
(b)衝
突
図2・22(a)で,物
体A,Bが
近 づ く速 度 は υA-υB,図(c)で,物
が 離 れ る 速 度 は υB'-υA'で あ る か ら,図(b)を 衝 突 と考 え れ ば,反
体A,B 発係数 e
は, (1)
ま た,2 物 体 に は 外 力 が働 か な い か ら運 動 量保 存 の 法 則 が 成 り立 ち,式 (2・40)か ら g を消 去 して, (2) 式(1),(2)よ
り,
(2・43)
式(2・43)を
導 い て み よ う 。 式(1),(2)よ
り υB'を 消 去 す る 。
式(1)よ り,
こ れ を 式(2)に代 入 し て,
同 様 に し て,υB'に
例 題2・41重
つ い て も 求 め ら れ る(省 略)。
さ 1N,速
度 5m/sの
とが 同一 軸 線 上 で 同 じ向 きに0.5Nの 0.7と す れ ば,衝
物 体 と,重
さ0.5N,速
度 2m/sの
物 体
物 体 を先 に して 飛 ん で い る。 反 発 係 数 を
突 後 の そ れ ぞ れ の 速 度 は い く らか 。
〔考 え 方 〕 図2・22運 動 量 の 保 存 の 場 合 と全 く同 じ。 式(2・43)が そ の ま ま あ て は ま る。 〔解 き 方 〕 衝 突 後 の 速 度 を 1Nの 物 体 の 場 合 υA',0.5Nの
物 体 の 場 合 υB'とす れ
ば,
答(い
〔注 〕 検 算 は,運
ず れ も衝 突 前 と 同 じ 向 き に3.3m/sと5.4m/s)
動 量 保 存 の 法 則 に あ て は め て み る と よ い 。 例 題2・41を 検 算 し て
み よう。
両 辺 を g倍 して,数
値 を代 入 す れ ば,
左 辺=1×5+0.5×2=6右
両 辺 が 等 し く,正
例 題2・42水 m/sの
辺=1×3.3+0.5×5.4=6
しい こ とが わ か っ た わ け で あ る。
平 面 上 で 重 さ 2Nの
速 度 で 水 平 方 向 に た た く と,飛
だ し,反
発 係 数e=0.55と
〔考 え 方 〕
じ く 4Nの
ハ ン マ に よ り,6
び 出 す鋼 球 の 速 さ は い くらに な るか 。 た
す る。
式(2・43)で,υB'を
WB=2〔N〕,e=0.55と
鋼 球 を,同
求 め る 式 か ら,υB=0,υA=6〔m/s〕,WA=4〔N〕,
考 えて解 けば よい。
〔 解 き方〕 答(6.2m/s)
問 題2・26図2・24の とが,互
よ うに,あ
る 木 球 A 重 さ 1N相
い に 同一 直 線 上 を 向 か い合 っ て,A
こ の 二 つ は 衝 突 し た 後,A ま た,B
は 反 対 向 きに 1m/sに
球 は ど ち らへ 向 っ て,ど
当 と同 じ く木 球B0.5N相
は 5m/s,B
は 7m/sで
当
運 動 し て い る。
な っ た 。 反 発 係 数 を求 め よ 。
れ だ け の 速 さ に 変 わ るか 。 答(反
発 係 数0.5,反
対 向 き に 5m/s)
〔 注 〕 速 度 の 方 向 を正 負 で 表 す こ と に 気 を つ け よ う。
図2・24
図2・25
問 題2・27前
問 と そ れ ぞ れ 重 さ は 同 じで 材 質 の 違 っ たA,B2球
う に 糸 で つ り下 げ,B 結 果,B
を静 止 さ せ て お い て,A
球 は 右 方 向 へ5m/sで
ま た,同 様 に,衝
球 を左 方 か ら5m/sで
を,図2・25の
は ね 返 っ た。 反 発 係 数 は い く らか 。
突 後 の A 球 の 速 度 と そ の 向 き を求 め よ 。 答(反
発 係 数0.5,右
よ
B球 に 当て た
向 き に2.5m/s)
3
摩
擦 3.1
〔1〕 静
摩
すべ り摩 擦
擦
水 平 面 上 に 置 か れ た 物 体 を,水 平 方 向 に 引 く。 こ の とき力 が小 さ い う ち は,物 体 は動 か な い が,あ え た 力 に 対 して,反
る大 き さに 達 す る とつ い に 動 き だ す 。 こ れ は 加
対 向 きの 力 が 発 生 して い る ため で,こ
の 反 対 向 きの 力
を静 摩 擦 力 とい う。 また,す べ り始 め る と きの 静 摩 擦 力 を最 大 静 摩 擦 力 と い う(図3・1)。
(a)
(b) (c)
図3.1最
大静摩擦力
《 摩擦 係数》 図3・2で,最
大摩 擦 力 は 直圧 力(接 触 面 に垂 直 に 押 しつ け る 力)に 比例 す る。
こ こ で,最 大 摩 擦 力 をfmax,物 数 を μ0と す れ ば,
体 に 作 用 す る重 力 を W,直 圧 力 を R,比 例 定
図3・2
直圧 力 と最 大摩 擦 力
(3・1)
と な る。 比 例 定 数 μ0を 静 摩 擦 係 数 と い う。
こ の値 は 、 接 触 面 の 材 質 や 状 態 な どに よ っ て 定 ま る値 で,直 圧 力 に つ い て の あ る 限度 内 で は,接 触 面 の広 さに は無 関 係 に一 定 で あ る(表3・1)。 表3・1 静 摩 擦 係 数 の 例
《摩 擦 角》 図3・3の
よ う に,斜
面 に 物 体 を 乗 せ,傾
角 を し だ い に 大 き くす る と,物
体 は
す べ り始 め る 。 こ の と き の 傾 角 を 摩 擦 角 と い う。
図3・3
こ こ で,物 体 に 作 用 す る 重 力 を W,斜
摩擦角
面 に 平 行 な W の 分 力 を P,直 圧 力
に あ た る W の分 力 を R,摩 擦 角 を φ とす れ ば,
(3・2)
こ れ よ り,静 摩 擦 係 数 が 求 め られ る。
例 題3・1
重 さ200Nの
物 体 を,水 平 面 上 で 動 き だ させ る に は,い
を 必 要 と す る か 。 た だ し,摩
くらの力
擦 角 を30゜ と す る 。
〔考 え 方 〕 摩 擦 角 か ら静 摩 擦 係 数 を求 め,式(3・1)よ 〔解 き方 〕 物 体 に か か る 重 力 の 大 き さ W,静
り,答 え を得 る 。
摩 擦 係 数 μ0=tan30゜
よ り,物 体 を動
き だ させ る 力fmaxは,
答(115.5N)
問 題3・1 図3・4の
よ う に,30゜ の 斜 面 に 荷 重20N相
行 な 力 F で 下 か ら押 し上 げ る と き,動
当 の 物 体 を 乗 せ て,斜
面 に平
き始 め は 何 N を 必 要 とす る か 。 た だ し,摩 擦
角 は30゜ とす る。 答(20N)
図3・5
図3・4
問 題3・2 前 問 の 場 合 で,押 に な る か 。 た だ し,摩
し上 げ る力 F を,逆
擦 係 数 μ=tan45゜
向 き に 変 え る と,動
き始 め は 何 N
とす る。 答(7.33N)
〔2〕 動
摩
擦
平 面 上 の 物 体 は 外 力 を受 け て す べ りだ す と,平 面 との摩 擦 力 は 小 さ くな り,最 大 静 摩 擦 力 の 半 分 ぐらい に な る。 こ の 力 を動 摩 擦 力 とい う。
《 動摩 擦係 数》 動 摩 擦 力 を f,直 圧 力 を R とす れ ば,f は R に 比 例 す る。 そ こ で,比 例 定 数 を μ とす れ ば, (3・3)
とな る。 比 例 定 数 μ を動摩 擦 係 数 とい う。 こ の 値 は,接 触 面 の 性 質 に よっ て 定 ま り,接 触 面 の 広 さや す べ り速 度 の 大 き さ に よ る 影 響 は受 け な い。 た だ し,す べ り速 度 が,極
端 に大 きい とき と小 さ い
と き は除 く。
図3・6
動 摩擦角
〔注 〕 す べ り落 ち る速 度 が 等 速 度 で あ る よ う な 斜 面 の 角 度 を 動 摩 擦 角 と い う こ とが あ る(図3・6)。
例 題3・2傾
角20゜ の 斜 面 上 を,重 力 の 大 き さ W の 物 体 が 等 速 度 です べ り落
ち て い る。 この と きの 動 摩 擦 係 数 を求 め よ。 〔考 え 方 〕 等 速 度 で す べ り落 ち る と い う の は,す
べ り落 ち よ う と す る 力,す
なわ
ち,W
の 斜 面 方 向 の 分 力 とそ の 反 対 向 き の 力,い
い か え れ ば,動
摩 擦 力 と が つ り合
って い るこ とに気づ け ば よい。 〔解 き方 〕
W の 斜 面 方 向 の 分 力 を P,動 摩 擦 力 f とす れ ば,
答(動
例 題3・3傾 た だ し,動
摩 擦 係 数0.364)
角30゜ の 斜 面 をす べ り落 ち る物 体 は,加 速 度 が い く らに な るか 。 摩 擦 係 数 μ=0.25と
す る。 (式(2・33))よ
〔考 え方 〕 運 動方 程 式
り,加 速 度 を生 ず る た め に は,そ
方 向 に 力 が 発 生 して い る は ず で あ る 。 斜 面 に 沿 っ た 下 向 き の 力 と,同 との 差 が,加
じ く上 向 きの 力
速 度 の 原 因 で あ る こ とに 気 づ け ば よ い 。
〔解 き方 〕 物 体 に か か る 重 力 の 大 き さ W,動 向 きの 力 は,Wsin30゜,同
摩 擦 力 f と す れ ば,斜
じ く上 向 き の 力 はf=μ
・Wcos30゜,そ
力 の 大 き さ5Nの
速 度2.78m/s2)
V ブ ロ ッ ク を定 盤 の 上 に 置 き,水 平 面 に 対 し
て30゜ の 斜 め 上 方 か ら 力 を加 え て,V 要 か 。 た だ し,動
面 に 沿 った下
こ で,
答(加
例 題3・4重
の
摩 擦 係 数 は0.2と
ブ ロ ッ ク を 動 か す に は,何
N の 力が 必
す る。
〔考 え方 〕 直 圧 力 が V ブ ロ ッ クの 重 さ と加 え る 力 の 鉛 直 方 向 成 分 との 和 に な る こ と。 V ブ ロ ッ ク を動 か す 力 は,加
え る力 の 水 平 方 向 成 分 に な る こ とに 気 づ け ば よ い。
〔解 き方 〕 式(3・3)よ り,加 え る 力 を F と す れ ば,
よ っ て,
答(1.306N)
例 題3・5例
題3・4で,加
え る力 の 水 平 面 と な す 角 を大 き く変 え て い くと,
つ い に す べ ら な くな る。 こ の と きの 角 度 を求 め よ。 〔 考 え 方 〕 加 え る 力 を 大 き く し て も す べ ら な い わ け だ か ら,V
ブ ロ ッ クの 重 さ は
無 視 で き る く ら い 小 さ い と考 え る。 〔解 き 方 〕 V ブ ロ ッ ク の 重 さ を無 視 して,求
め る角 度 を α とす れ ば,
答(78゜42')
問 題3・3あ
る斜 面 を 等 加 速 度2.78m/s2で
め る ため に は,一
す べ り落 ち て い る物 体 が あ る 。 こ れ を止
定 時 間 最 低 何 N の 力 を 進 路 と反 対 方 向 に 加 え れ ば よ い か 。 た だ し,
物 体 の 重 さ は20Nと
す る。 答(5.68N)
問 題3・4前
問 で,斜
面 の 水 平 面 に 対 す る 角 度 が30゜ で あ っ た とす れ ば,こ
の場 合
の 動 摩 擦 係 数 は お よ そ い くら か 。 答(0.250)
3・2
ころが り摩 擦
こ ろや 車 輪 が こ ろが る と き,接 触 面 の と こ ろ に 運 動 を妨 げ る よ う な 力 が 発 生 す る 。 こ れ を こ ろ が り摩 擦 と い う。
〔注 〕 こ ろが り摩 擦 の 大 き さ は,接
触 面 の 性 質,こ
ろ が り速 度,面
ろ や 車 輪 の 直 径 な ど に よ っ て 複 雑 な 影 響 を受 け る。 一 般 に,こ
へ の 直 圧 力,こ ろが り摩 擦 は,す
べ り摩 擦 よ りは る か に 小 さ い 。
《ころ が り摩 擦 係 数 》(図3・7) こ ろ が り摩 擦 は,モ M
ー メ ン ト で 表 す こ と が で き る 。 い ま,こ
の モー メ ン トを
とす れ ば,
図3・7
M=e・R
た だ し,R
(3・4)
は 反 力(直 圧 力 の 大 き さに 等 しい)で,e
は 反 力 R の 働 く位 置(転
動 体 の 中 心 よ り進 行 方 向 に ず れ る 距 離)で あ る。 この e を こ ろ が り摩 擦 係 数 と い う。 eは 長 さ の 単 位 を も ち,接 触 面 の 性 質,直
圧 力,転 動 体 の 半 径 な ど に よ
っ て 決 ま る値 で あ る。
〔注 〕 こ ろ が り摩 擦 の 表 し方 と し て,直
圧 力1t当
た りの 抵 抗 何 〔 ㎏f〕,〔N〕 と い
うの が あ る。 鉄 道 車 両 の こ ろ が り抵 抗 に 用 い ら れ て い る。 単 位 は 〔 ㎏f/t〕,〔N/ t)。
例 題3・6重
量12tの
鉄 道 車 両 が あ る。 抵 抗 の 大 き さ が10㎏f/tで
あ る と
き,こ の 車 両 を動 か す の に 必 要 な 力 は何 ㎏fか 。 ま た何 N か 。 〔 考 え 方 〕 車 両 重 量1t当
た り10㎏fの
抵 抗 で あ る か ら,10㎏fの12倍
と考 え れ
ば よい。 〔解 き 方 〕10×12=120〔
㎏f〕,120×9.8=1176〔N〕
答(120㎏f,1176N)
例 題3・7重
量2N相
当,半 径20㎜
で動 か す の に,0.002Nの
の ロー ラが あ る。 あ る材 料 の 水 平 面 上
力 が 必 要 だ っ た 。 こ ろ が り摩 擦 係 数 は 何 ㎜
にな る
か。 〔 考 え方〕
ロ ー ラ を 動 か す の に 必 要 な モ ー メ ン ト を 出 し,こ れ と(直 圧 力 × こ ろ が
り摩 擦 係 数)と が 等 し い と考 え れ ば よ い。 〔解 き 方 〕
ロ ー ラ を 動 か す の に 必 要 な モ ー メ ン ト は0.002×2〔N・
㎜
〕で あ る か ら,
答(0.02㎜)
例 題3・8重
当 の機 械 を,径60㎜
の こ ろ 2個 使 っ て 移 動 させ
た い 。 力 は 水 平 方 向 に 加 え る も の と す れ ば,ど
さ5000N相
れ ほ ど の 大 き さが 必 要 で あ る
か 。 た だ し,こ ㎜,0.2㎜
ろ が り 摩 擦 係 数 は,機 で あ る も の と し,こ
械 と こ ろ,こ
ろ と 床 の そ れ ぞ れ0.1
ろ の 目 方 は 無 視 す る も の とす る 。
〔考 え 方 〕 機 械 を動 か す の に 必 要 な モー メ ン ト,こ ろが り摩 擦 の 総 和 を考 え る 。 〔解 き方 〕 機 械 の 移 動 に 要 す る モー メ ン トは,求 F×60〔N・
㎜
め る力 を F とす れ ば,
〕
こ ろ が り摩 擦 の 総 和 は,
答(25N)
例 題3・9ア
ス フ ァ ル ト道 路 で,重
量9900Nの
自動 車 の 車 輪 の 直 径 が570
㎜
で あ る と き,こ の 自動 車 を 押 し動 か す た め に は何 N の 力 を必 要 とす るか 。
た だ し,こ ろ が り摩 擦 係 数 を 1㎜
とす る。
〔考 え 方 〕 押 し動 か す た め の モ ー メ ン ト と,車 輪 の こ ろ が り摩 擦 とが 等 しい と考 え る。 〔解 き方 〕 押 し動 か す 力 を F とす れ ば,
答(34.7N)
問 題3・5図3・8の 径160㎜
よ う に,重
さ2000Nの
直 方 体 の ブ ロ ッ クが,平
らな床 上 に 直
の こ ろ 2本 で 乗 せ て あ る。 ブ ロ ッ ク を水 平 面 に 対 し30゜ 斜 め 上 方 か ら 押 し
動 か す た め に は 何 N の 力 が 必 要 か 。 た だ し,こ こ ろ と床 の それ ぞ れ が0.1㎜,0.2㎜
で,こ
ろ が り摩 擦 係 数 は ブ ロ ッ ク と こ ろ, ろ の 目 方 は 無 視 す る も の とす る。 答(4.33N)
図3・8
問 題3・6前
問 の 場 合,加
え る 力 の 水 平 面 と な す 角 を 大 き く変 え て い く と,つ
いに
は 動 か な く な る 。 こ の と き の 角 度 は何 度 何 分 か 。 答(89゜47')
4
仕 事 と動 力 とエ ネ ル ギ 4・1 仕 事 と動 力
〔1〕 仕
事
"仕 事 を す る"と
い うの は
力 を 物 体 に 働 か せ,あ
,ど
う い う こ と な の か 考 え て み よ う。
る変 位 量 が 生 じた とす る。 こ の とき 力 は 仕 事 を し
た と い う 。 仕 事 の 量 L は,力
の 大 き さ F(ま
た はFcosθ),こ
れ と同 じ
方 向 の 変 位 量 S と す れ ば(図4・1(a),(b)), L=F・
S
(ま た はL=F・Scosθ)
(4・1)
で表 さ れ る。
(a)力 の作 用 線 と変 位 の 方 向 が 一 致 す る場 合
(b)力 の作 用 線 と変 位 の方 向 が θだ け ず れ る場 合 図4・1
仕 事 の 単 位 は,力
〔 N 〕,変 位
〔 m 〕 よ り,〔N・m〕=〔J〕
を 用 い る。
〔注 〕 L=1N×1m=1N・m(ニ 10-7J=1erg(エ
ュ ー ト ン ・ メ ー ト ル)=1J(ジ
ュ ー ル)
ル グ)
(1erg=1erg×1cm)…
…こ れ は 単 位 が 小 さ い の で,機
械 力学 で
は ほ とん ど使 わ な い。
<参 考>重
力 の 単 位 系 で はL=1kgf×1m=1kgf・m=9.8N・m=9.8J
例 題4・1物
体 に 力300Nを
仕 事 は 何N・mに
加 え な が ら,そ
な る か 。 ま た,何
の 方 向 に10m移
動 さ せ た と き,
Jに な る か 。
〔考 え方 〕 式(4・1)の 考 え 方 に よ る。 〔解 き方 〕 求 め る仕 事 を L とす れ ば, L=300×10=3000〔N・m〕,3000〔J〕
答(3000Nm,3000J)
例 題4・2あ kJか
る物 体 を1000Nの
力 で10m引
き上 げ る の に 必 要 な 仕 事 は 何
。
〔考 え 方 〕 加 え る 力 の 大 き さ を考 え,変
位 量 を掛 け れ ば よい 。
〔解 き方 〕 力 を F,変 位 量 を S で示 せ ば, L=F・S=1000×10=10000〔N・m〕=10〔kJ〕
答(10kJ)
例 題4・32
力 を 加 え て 物 体 を10m動
ぞ れ200N,300Nで,こ す れ ば,仕
か し た 。 た だ し,力
の 大 き さ は,そ
れ ら が 変 位 の 方 向 と な す 角 は,15°,20°
れ
で あ った と
事 の総 量 は い く らか 。
〔考 え 方 〕 式(4・1)の 考 え 方 に よ る。 〔解 き方 〕 求 め る仕 事 の 総 量 を L とす れ ば,
答(4.75kJ)
問 題4・1図4・2の つ10m前
よ う に,あ
る物 体 を床 面 に 対 して45° 上 方 に50Nの
力 で 引 きつ
進 した 。 仕 事 は 何 Jに な るか 。 答(354J)
図4・2
〔2〕 動
力
同 じ仕 事 量 を な し とげ る の に 必 要 な 時 間 につ い て も考 え て み る 必 要 が あ る。 単 位 時 間 に す る仕 事 の割 合 を動 力(仕 事 率)と い う。 い ま,仕 事 L を時 間 tの 間 で す る と きの 動 力 を P とす れ ば, (4・2) と な り,L=F・Sよ
り,
(4・3) とな る。 動 力 の 単 位 は,F〔N〕,v〔m/s〕
〔注 〕1〔N〕
よ り,〔N・m/s〕,〔J/s〕,〔W〕
×1〔m/s〕=1〔N・m/s〕=1〔J/s〕(毎 =1〔W〕(ワ
1kgf=9.8Nよ
秒 ・1 ジ ュ ー ル の 動 力)
ッ ト)
り
と な る こ と が わ か る 。 な お,式(4・2)か L=P・t
を用 い る。
ら (4・4)
こ れ よ り,動
力 と 時 間 との 積 が 仕 事 に 相 当 す る こ とが わ か る 。
実 用 単 位 で は,735〔N・m/s〕(=〔J/s〕=〔W〕)=75〔kgf・m/s〕 し て 馬 力)と
す る 。1kWh(キ
動 力 1時 間 分 に 相 当 す る 仕事量
例 題4・4あ
ロワ で,大
る 物 体 を,1000Nの
ッ ト時)と
を1PS(仏
馬 力,略
い う 単 位 が あ る 。 こ れ は1kWの
き な 仕 事量 を 表 す と き に 用 い ら れ る 。
力 で 5秒 間 に 3m引
き 上 げ る に は,何J/s
(W)の 動 力 が 必 要 か 。 〔 考 え 方 〕 式(4・2)よ り,動 力 P を求 め れ ば 答 え を得 る。 〔 解 き方〕 答(600J/s,600W)
例 題4・5地 間 に15m3の
面 か ら水 面 ま で 5mの
深 さ の 井 戸 が あ る 。 こ の 井 戸 か ら,10分
水 を くみ 出 す に は,何J/s(kW)の
〔 考 え 方 〕15m3の
動 力 が 必要 か 。
水 に か か る 重 力 の 大 き さ が 約9.8×15×1000Nと
な る こ とに気
づ け ば よい。 〔 解 き 方 〕 1秒 当 た りの 仕 事 量(動 力)を P とす れ ば,
答(1225J/s,1.225kW)
例 題4・6重
さ200N相
当 の 物 体 を 5秒 間 に10m引
き上 げ る と きの 動 力 を 求
め よ。 〔 考 え 方 〕 式(4・3)よ
り,
〔解 き 方 〕 求 め る動 力 P は,
答(400J/s)
例 題4・7回
転 数250rpmで,20PSの
エ ン ジ ン が あ る。 こ の 動 力 を 腕 の 長
さ 1mの 摩 擦 動 力 計 で 測 定 す る と き,台 ば か りの 指 針 は 何 N(ま た は 何kgf) を指 す か。 〔考 え 方 〕
ま た,
よ り,
た だ し,r は 腕 の 長 さ,N
は 回 転 数 とす る。
〔解 き方 〕 求 め る 力 F は,上
式 か ら,
答(561N,57.2kgf)
例 題4・8重
量2000kNの
36km/hの
列 車 が,駅
を ス タ ー ト し て 等 加 速 度 で1.5分
速 度 に な っ た 。 抵 抗 を 考 え な い も の と す れ ば,機
kJ/s(kW),(PS)か 〔考 え 方 〕
関車 の動 力 は何
。
式(4・3)P=F・vよ
こ こ の,v は 平 均 速 度 。
り,
〔解 き方 〕 求 め る動 力 P は,上
735N・m/s=1PSで
後 に,
式 か ら,
あ る か ら,
答(113.4kJ/s,113.4kW,154.3PS)
問 題4・2600N(61kgf相 kmで
走 る に は,何PS必
20mm,空
当)の オ ー トバ イ に 体 重600Nの 要 か 。 た だ し,車 輪 の 直 径 は500mmと
人 が 乗 っ て,時 し,こ
速60
ろ が り摩 擦
気 抵 抗 そ の他 は 考 え な い もの とす る 。 答(2.18PS)
問 題4・3人 が 乗 っ て 重 力 の 大 き さ が1000N(約102kgf相 当)の オ ー トバ イ で ス タ ー ト して ,等 加 速 度 で10秒 後 に40km/hの 速 度 に し た い 。 抵 抗 を考 え な い も の とす れ ば,何PS必
要 か。 答(0.857PS)
4・2 エ ネ ル ギ
〔1〕 い ろ い ろ な エ ネ ル ギ
仕 事 を な し得 る能 力 の こ とを エ ネ ル ギ とい う。 高 い 所 の 物 体,変
形 した
物 体 な ど が もつ エ ネ ル ギ を位 置 エ ネ ル ギ(図4・3(a)),運 動 して い る物 体 の もつ エ ネ ル ギ を運 動 エ ネ ル ギ(図(b)),こ れ らの 両 エ ネ ル ギ を総 称 して 機 械 エ ネ ル ギ とい う。 エ ネ ル ギ に は,こ
れ らの ほ か に 熱 エ ネル ギ,電 気 エ ネ ル ギ,化 学 エ ネ ル
ギ,原 子 核 エ ネ ル ギ な どが あ る(図(c)∼(f))。
〔2〕 位 置 の エ ネ ル ギ
高 さ h の と こ ろ に,重 量 W の物 体 が あ る もの とす る。 この 物 体 は重 量 W に よ っ て,h だ け 変 化 す る 能 力,い
い か え れ ば,Whの
仕 事 を な し得
る能 力 を も っ て い る。 こ れ を,こ の 物 体 の もつ 位 置 エ ネ ル ギ と い い,U と表 せ ば, U=W・h と な る 。 単 位 は,W〔N〕,h〔m〕
例 題4・9断
面 が 1辺10cmの
よ り
正 方 形,長
〔N・m〕,〔J〕
を用 い る。
さ 1mの 角 柱 鋼 材 が あ る。 こ れ を
(c)熱
エ ネル ギ
(b)運 動 エ ネ ル ギ
(a)位 置 エ ネル ギ
(d)電 気 エ ネル ギ (e)化 学 エ ネ ル ギ
(f)原 子 核 エ ネ ル ギ 図4・3
水 平 面 に 倒 し て 置 く と き と,立 だ し,鋼
材 の 比 重 を7.86と
て て 置 く と きの位 置 エ ネ ル ギの 差 を求 め よ。 た
す る。
〔考 え 方 〕 鋼 材 の 重 さ と,重 心 の 高 さ の 差 に よ る位 置 エ ネ ル ギ を考 え よ 。 単 位 に 注 意。
〔解 き方 〕 鋼 材 の 重 さ を W とす れ ば,
求 め る位 置 エ ネ ル ギ の 差 は,
答(347J)
問 題4・4図4・4の
よ うに,落
当10kN(約1020kgf)当
差30mあ
る小 発 電 所 が あ る。 こ の 貯 水 池 の 水 重 力 相
た りの もつ 位 置 エ ネ ル ギ を 求 め よ。 答(30kJ)
図4・4
〔3〕 ば ね の エ ネ ル ギ
変 形 さ れ た ば ね は,弾 性 の 限度 内 で は 元 の 形 に戻 る ま で の仕 事 を 成 し得 る能 力 を も っ て い る。 これ が ば ね の エ ネ ル ギ で あ る。 ば ね の 変 形 量 は 外 力 に 比例 す る(1・2節 〔1〕(a)参 照)こ とか ら,外 力 を F,変 形 量 を δで 表 せ ば, F=kδ
とな る。 比 例 定 数 k を ば ね 定 数 とい い,ば に 必 要 な 力 の 大 き さ を表 す。
ね を単 位 長 さ だ け 伸 び 縮 み させ る の
ば ね の エ ネ ル ギ を U とす れ ば,平 均 力1/2Fと 変 位 δ との 積 と な る か ら, (4・6)
と な り,図4・5で,△OABの
面 積 で 表 され る。
図4・5ば 単 位 は,k〔N/m〕,δ
ねのエネルギ
〔m〕 よ り,〔N・m〕,〔J〕
を用 い る 。
例 題4・10あ
る コ イル ば ね に400Nの
度 内 で 7cm伸
び た 。 ば ね が た くわ え た エ ネ ル ギ は 何 Jか。
〔考 え方 〕 式(4・6)U=1/2F・
力 を作 用 させ た。 そ の ば ね は 弾 性 の 限
δ よ り,
〔解 き方 〕 答(14J)
例 題4・11弾 0.06m伸
性 の 限 度 内 で,0.01m伸
ば し た と き,何
ば す の に100Nの
力 を 要 す る ば ね は,
Jの位 置 エ ネ ル ギ を もつ か 。
〔 考 え 方 〕 式(4・6)に よ る 。 〔 解 き方 〕 求 め る位 置 エ ネ ル ギ を U とす れ ば,
よ り
答 (18J)
問 題4・52m伸 度 内 で30m伸
ば す た め10Nの ば し た と き,ゴ
力 が必 要 な長 い ゴム索 が あ る。 この 索 を弾性 の 限
ム 索 の もつ 位 置 エ ネ ル ギ は い く らか 。 答(2250J)
〔4〕 運 動 エ ネ ル ギ
速 度 v で運 動 して い る重 さ W の 物 体 が あ る。 こ の と き,物 体 が も っ て い る エ ネ ル ギ を運 動 エ ネ ル ギ とい う。 こ の 値 を K とす れ ば,K
は物 体 が
静 止 す る ま で に す る仕 事 に 等 し い。 い ま,物 体 に 運 動 の 反 対 向 きの 力F を加 え,静
止 す る まで に S だ け移 動 した とす れ ば,加
速 度 を α とす る
と,
と な り,K=F・Sよ
り,
(4・7)
と な る 。 単 位 は,仕
例 題4・12重
事 の 単 位 と 同 じ で,〔N・m〕,〔J〕
量10kN(1020kgf相
で あ る。
当)の 乗 用 車 が40km/hで
走 っ て い る。
この 乗 用 車 の 運 動 の エ ネ ル ギ を求 め よ。 〔考 え 方 〕
式(4・7)に
よる。
〔解 き方 〕 答(62.9kJ)
問 題4・6重
量5kN(510㎏f相
当)の 物 体 が1.5 m/sの
速 度 で 降 下 し て い る。 こ の
物 体 の 運 動 エ ネ ル ギ は い く らか 。 答(574J)
〔5〕 エ ネ ル ギ 保 存 の 法 則
エ ネ ル ギは,一 般 に,現 象 の変 化 に伴 っ て そ の形 を変 え る が,そ
の変化
の あ る 時 点 の エ ネ ル ギ の 総 和 は,変 化 前 の エ ネ ル ギ の 総 和 と同 じ で あ る。 これ を エ ネ ル ギ保 存 の 法 則 とい う。 図4・6は,例
と して,落 体 とば ね の 場
合 の エ ネ ル ギの 変 化 を示 して い る。
(b)
(a)
図4・6
例 題4・13重
さ5kN(510㎏f相
れ に ブ レ ー キ を か け て,0.5m/sに エ ネ ル ギ は い くらに な る か。
(c)
エ ネル ギ保 存 の 法 則
当)の 荷 物 が1.5m/sの
速 度 で 降 下 す る。 こ
減 速 し た と す れ ば,ブ
レー キ に 吸 収 され た
〔 考 え 方 〕 減 速 し た た め に,運 が,ブ
動 の エ ネ ル ギ は 減 少 し た は ず で あ る。 こ の 減 少 分
レー キ の 吸 収 エ ネ ル ギ に相 当 す る 〔 エ ネ ル ギ 保 存 の 法 則 〕。
〔解 き方 〕 求 め る ブ レ ー キ の 吸 収 エ ネ ル ギ を K とす れ ば,
答(510J)
例 題4・14重
さ600N(61.2㎏f相
る 。 こ れ が200Nの
当)の 物 体 が,速
抵 抗 を受 け な が ら10m変
は い く ら に な る か 。 ま た,運
度36㎞/hで
走 っ て い
位 し た とす れ ば
変位後 の速度
動 の エ ネル ギ は い くら に な るか 。
〔考 え方 〕 始 め の 運 動 エ ネ ル ギ は,抵 抗 の た め に 消 費 さ れ た エ ネ ル ギ と変 位 後 の 運 動 の エ ネ ル ギ との 和 に 等 しい こ とに 気 づ け ば よ い 。 〔解 き方 〕 求 め る速 度 を v と す れ ば,
vは 正 で あ る か ら,
求 め る運 動 の エ ネ ル ギ を K と す れ ば,
答(変
例 題4・15高
ま,水
さ30mの
位 後 の 速 度5.89m/s,運
ダ ム か ら,毎
秒10m3の
動 の エ ネ ル ギ1062J)
水 を 落 と し て 発 電 す る。 い
の もつ 機 械 エ ネ ル ギ が他 に失 わ れ る こ とな く,全 部 電 気 エ ネ ル ギ に 変 わ
る もの とす れ ば,何kWの
動 力 が 得 ら れ る か。
〔考 え方 〕 1秒 間 に流 れ る水 量の もつ位 置 エ ネル ギが,そ の まま電 気エ ネ ル ギに変 わ る と考 えれ ば よ い。
〔解 き方 〕 1秒 間 に 流 れ る水 の 重 さ は,1000㎏f×10×9.8=98000Nで 位 置 エ ネ ル ギ の 1秒 当 た りの 大 き さ,い
いか えれ ば
あ る か ら,
動 力 P は,
答(2940kW)
例 題4・16
㎝
図4・6で,W=10N,h1=2m,h2=0.8m,h3=0.6m,k=0.5N/
と す れ ば,図(a),(b),(c)の
エ ネ ル ギ,運
お の お の の 状 態 の 状 態 の 位 置 エ ネ ル ギ,ば
動 エ ネ ル ギ を 求 め,表
に ま と め て み よ。
〔考 え 方 〕 エ ネ ル ギ 保 存 の 法 則 に 従 い,各 〔解 き方 〕 図4・6(a)の 状 態;位
時 点 の エ ネ ル ギ の 総 和 をみ る。
置 エ ネ ル ギW・h1=10×2=20〔J〕
ばね のエ ネル ギ 0
運 動 エ ネル ギ 図4・6(b)の
状 態;位
置 エ ネ ル ギW・h2=10×0.8=8〔J〕
ばねの エ ネル ギ 0 運 動 エ ネ ル ギW・h-W・h2=20-8=12〔J〕 図4・6(c)の
状 態;位
置 エ ネ ル ギW・h3=10×0.6=6〔J〕
ば ねの エ ネル ギ
運動 エ ネル ギ
答
ね
問 題4・7
150m/sの
速 度 で飛 ん で い る重 さ0.6N相
当の銃 弾 の運 動 エ ネル ギは い く
らか。
答(689J)
問 題4・8
重 さ1.5N相
当 の ボ ー ル を鉛 直 上 方 に 初 速40m/sで
投 げ 上 げ た 。 2秒 後
の 位 置 エ ネ ル ギ U と運 動 の エ ネ ル ギ K と を 求 め よ。 答(U=90.6J,K=31.8J)
問 題4・9 た,こ
落 差(高 さ)100mの
水9.8kN(1t相
れ が 自 然 落 下 した 高 さ50mの
と を求 め よ 。 さ らに,地
当)の 位 置 エ ネ ル ギ は い く ら か 。 ま
位 置 に お け る位 置 の エ ネ ル ギ と運 動 の エ ネ ル ギ
上 に 達 し た 瞬 間 の 位 置 の エ ネ ル ギ と運 動 の エ ネ ル ギ は ど う な
るか 。
答
高 さ100mの
(
K=490m,地
と き;U=980kJ,K=0,高 上 で;U=0,K=980kJ
さ50mの
と き;U=490kJ
)
5
機 械 の 効 率 5・1力
の 利 用
〔1〕 て こ と仕 事
図5・1の
よ う に,て
こ で 重 さ W の 物 体 を 力 F で 持 ち 上 げ る と きの 仕 事
を考 え て み よ う。 点 A,点 △OBB'で
B の 鉛 直 方 向 の 変 位 を そ れ ぞ れh1,h2と
す れば
△OAA'∽
あ る か ら, (5・1)
こ のh2 /h1を 速 度 比 とい う。 ま た,式(1・14) よ り,
(5・2)
図5・1て
こ と仕 事
W/ Fを
力 比 と い う。
両 式 よ り, Fh1=Wh2
これ は,点 して い る。
A で な した仕 事 は,点
(5・3)
B で な され た 仕 事 に 等 し い こ と を示
問 題5・1図5・2の N(約1.02㎏f相
よ う に,点
C を支 点 と し て 回 転 で き る て こ が あ る。 点 A に10
当)の 力 を 下 向 き に か け れ ば,点
だ し,AC,BCの
長 さ は300㎜,100㎜
B に は何 N の 力が 発 生 す るか。 た
で あ る も の とす る 。 答(30N)
図5・2
〔2〕 輪 軸(段 滑 車)
図5・3の
よ う に,径
の 違 う大 円 筒(輪),小
円 筒(軸)を
共 通 な軸 に 固 定 し
た も の を 輪 軸 と い う。
図5・3輪
軸(段 滑 車)
図 か ら モ ー メ ン トの つ り合 い を 考 え る と, (5・4)
が 成 り立 つ 。
例 題5・1軸
の 径100㎜
の 輪 軸 が あ る 。 こ の 軸 に ロ ー プ を 巻 き つ け,こ
れ
で1000N(102kgf相 は,輪
当)の 荷 物 を200N(20.4kgf相
当)の 力 で 引 き 上 げ る に
の径 を い くら にす れ ば よ いか 。
〔考 え 方 〕 式(5・4)に よ る。 〔解 き 方 〕 輪 の 径 を D とす れ ば,
答(500㎜)
問 題5・2図5・4の 滑 車A,Bと で,荷
よ う な 輪 軸(段 滑 車)の 組 合 せ が あ る。 段
も に 輪,軸
重 が500N(約51㎏f相
の 直 径 が そ れ ぞ れ300㎜,100㎜ 等)の と き ロ ー プ の 張 力 F は い
くら と な る か 。
図5・4
〔3〕 滑
車
図5・5の
よ う な 輪 を 滑 車 と い い,回
(図(a)),回
転 軸 が 移 動 す る も の を 動 滑 車(図(b))と
(a)定 滑 車
転 軸 の 位 置 の 動 か な い もの を定 滑 車 い う。
(b)動 滑 車 図5・5
《定 滑 車 》 図5・6で,両
モ ー メ ン トの 腕 が 等 し い か ら, F=W
両 変 位も
等し く h とな る
図5・6定
滑車
図5・7動
滑車
《動 滑 車 》 図5・7で,W
と2Fと F=W/
の つ り合 い か ら,動
滑 車 の 重 さ を 無 視 す れ ば, (5・5)
2
引 き上 げ る ロ ー プ の 変 位 h'は 仕 事 の つ り合 い か ら,F・h'=W・hよ h'=2h
り, (5・6)
《定 滑 車 ・動 滑 車 の 組 合 せ 》 図5・8(a),(b)の n 組 な ら ば,力
よ う に,定
滑 車,動
滑 車 を 組 ん だ 滑 車 装 置 で は,輪
の数 が
の つ り合 い か ら, 2nF=W
(5・7)
ロ ー プ の 変 位 h'は, F・h'=W・h
(a)
(b)
図5・8定
∴
滑 車 ・動 滑 車 組 み 合 わ せ
h'=2nh
(5・8)
《動 滑 車 の 組 合 せ 》 図5・9の
よ う に,n
個 の 動 滑 車 の 組 合 せ で は,動
は, W×1/2
図5・9動
滑車 の 組 み 合 わせ
滑 車 1個 で ロ ー プ の 張 力
動 滑 車 2個 で ロー プ の 張 力 は,
動 滑 車 n個 で ロ ー プ の 張 力 F は, (5・9) ロ ー プ の 変 位h'は,F・h'=W・hよ
り,
h'=2n・h
(5・10)
《差 動 滑 車》
図5・10差
図5・10の
よ う に,段
動滑車
滑 車 と 動 滑 車 を鎖 で 連 結 し た も の を 差 動 滑 車 と い う。
モ ー メ ン トの つ り合 い か ら,
ロ ー プ の 張 力 F は,
(5・11) ロ ー プ の 変 位h'は,F・h'=W・hよ
り,
(5・12)
D と d の差 を大 き くす れ ば,小
さ い 力 で 重 量 物 を持 ち上 げ る こ と が で き る。
チ ェ ー ン ブ ロ ッ ク は,こ
例題
5.2
の 原 理 を 応 用 し た も の で あ る。
図5・10で,D=300mm,d=270mm,w=1000N(約102kgf相
当)と す れ ば,引 〔考 え 方 〕
き上 げ る力 F は い く らに な るか 。 速 度 比 は ど うか 。
式(5・11),式(5・12)に
よ る。
〔解 き方 〕
答(引
問題
5.3
図5・11は,5
方 を無 視 す れ ば,400Nの に な る か 。 また,荷 mmと
組 の 定 滑 車,動
き上 げ る 力50N,速
度 比1/20)
滑 車 を組 み 込 ん だ 装 置 で あ る。 動 滑 車 の 目
荷 物 を 引 き上 げ る た め に 必 要 な ロ ー プ の 張 力 F は い く ら
物 を100mm引
き上 げ る ため に 必 要 な ロー プ を 引 っ 張 る 変 位 は 何
な るか。 答 (40N,1000mm)
図5・12
図5・11
問題
5.4
図5・12は,軸
心 を 同 じ く し た 3組 の 定 滑 車 と動 滑 車 と を組 み 合 わ せ た 装
置 を示 して い る 。 動 滑 車 の 目方 を 無 視 した とす れ ば,300Nの 引 っ張 る ロー プ の 張 力 F は どれ ほ ど に な るか 。
荷 物 を 引 き上 げ る の に
ま た,引
っ張 る ロー プ の 変 位 を100mmと
した と き,荷 物 の 変 位 は どれ ほ ど に な る
か。 答 (50N,16.7mm)
問題
5.5
図5・13に
示 す よ う に,半
径150mm,100mm,50mmの
差 動 滑 車 が あ る 。 こ の 差 動 滑 車 を使 っ て 荷 重300Nの の 目 方 を30Nと ま た,引
す れ ば,ロ
半 径 を もっ た
荷 物 を 引 き上 げ た い 。 動 滑 車
ー プ を 引 っ 張 る 力 F は どれ ほ ど に な る か 。
っ 張 る ロ ー プ の 変 位 が100mmの
と き,引
き上 げ られ る荷 物 の 変 位 は どれ
ほ ど に な るか 。 答 (55N,16.7mm)
図5・13
問題
5.6
図5・9の 動 滑 車 の 組 合 せ に お い て,動
滑 車 が 4個,荷
重 が600Nの
場合
の ロー プ の 引 張 り力 を 求 め よ。 答 (37.5N)
〔4 〕
摩 擦 の な い斜 面
図5・14の よ う に,傾 斜 角 θ,長 さ lの 斜 面 に 重 さ W の 物 体 を 乗 せ, 摩 擦 の な い斜 面 に 平 行 な 力 F で,高
さ(落 差)h だ け 引 き上 げ る と きの 仕
事は
図5・14摩
擦 の な い斜 面
(5・13)
(5・14)
式(5・13)は,θ し,式(5・14)は
が 小 さ け れ ば,引
き上 げ る 力 が 小 さ くて す む こ と を 示
仕 事 が θ に 関 係 な く,物
体 を 鉛 直 に 引 き上 げ る の と 同 じ
で あ る こ とを示 して い る。
仕事の原理
(5)
て こ ・輪 軸 ・滑 車 ・斜 面 な ど,い ず れ も小 さ な 力 で 大 き な 力 が 得 られ る こ とが わ か っ た 。 一 方,仕 事 は 増 加 も減 少 もな い 。 機 械 の 運 動 部 分 に 摩 擦 が な け れ ば,加 え た エ ネ ル ギ は,な
され た仕 事 に 等 しい。 これ を仕 事 の 原 理
とい う。
問題 100Nの
5.7
図5・15の
物 体 を乗 せ,斜
よ うに,傾
斜 角45゜ で 十 分 な 長 さ の 摩 擦 の な い 斜 面 に,重
面 に 平 行 な 力 で斜 面 を1 .5m引
さ
き上 げ た 。 こ の 場 合 の 仕 事 は
い く らか 。 答
(106.1J)
図5・15
問題
5・8
あ る滑 ら か な摩 擦 の な い 平 ら な 斜 面 の 上 に 沿 っ て,500Nの
物体 を落差 2
m 引 き上 げ た。 仕 事 は い く らか 。 答 (1000J)
5・2
実 際 の 機 械 が,外
機械の効率
に 働 く仕 事 は,そ の た め に 与 え られ た エ ネ ル ギ よ り小 さ く
な る。 こ れ は 摩 擦 の た め,与
え ら れ た エ ネ ル ギ の 一 部 が 消 費 さ れ るか ら で あ
る。 そ こ で,摩 擦 が 機 械 に及 ぼ す 影 響 につ い て 考 え て み よ う。
〔 1〕
(a)
摩 擦 の あ る斜 面
斜 面 に平行 な力 を加 え る場合
図5・16で,物
体 を 引 き 上 げ る 力 を F,摩
擦 力 を f と す れ ば,
(5・15)
動 摩 擦 係 数 μ=tanφ
よ り,
図5・16摩
擦 の あ る斜 面
(5・16)
斜 面 に 沿 っ て lだ け 引 き 上 げ る 仕 事 は,式(5・15)よ
り,
(5・17)
μ・W・Sは
摩 擦 に よ る 消 費 エ ネ ル ギ,w・hは
位 置 エ ネル ギの増 加 で あ
る。
例題
5・3
傾 角10゜ の 斜 面 に,重
引 き 上 げ る に は,何
さ100Nの
物 体 を 乗 せ,斜
N の 力 が 必 要 か 。 た だ し,摩
〔 考 え 方 〕 式(5・16)に
擦 角 は20゜
面 に平 行 な 力 で とす る。
よ る。
〔解 き方 〕 求 め る力 を F とす れ ば,
答 (引 き上 げ る 力53.3N) 〔注 〕 答 の 数 値 は 切 り上 げ 値 とす る。
例題
5・4
例 題5・3と 同 じ状 態 で,物 体 を引 き下 げ る場 合 の 力 を求 め よ。
〔 考 え 方 〕 式(5・15)を 作 る と こ ろ に 戻 っ て 考 え て み よ う。 引 き下 げ る 力 F と,物 体 自身 で す べ り落 ち よ う とす る力W・sinθ θ と等 し い わ け で あ る。
との 和 は,抵
抗 力(摩 擦 力)tanφ ・W・cos
〔解 き方 〕 上 記 の 考 え方 か ら,
答 (引 き下 げ る 力18.5N)
例題
5・5
1 /2こ う配 の 斜 面 上 に,50Nの
で 引 き上 げ る と す れ ば,い
で,h=2mか
1 /2こ う 配 と は,水 ら,S=2×2=4mと
〔解 き 方 〕 F.l=μ
れ を 2m の 高 さ に ま
く ら の 仕 事 を す る こ と に な る か 。 た だ し,物
面 と の 間 の 摩 擦 係 数 を0.2と 〔 考 え方 〕
物 体 を 乗 せ,こ
体 と斜
す る。
平 に 2m 進 む と 高 さ 1m 増 加 す る こ と を意 味 す る の な る 。 式(5・17)を
用 い て解 く。
・W・S+W・h=0.2×50×4+50×2=140〔N・m〕
答 (引 き上 げ る仕 事140J)
例題
5・6
1 /5こ う 配 の 斜 面 上 に,50Nの
引 き下 げ る に は,い 摩 擦 係 数 を0.3と
れ を 高 さ に し て 1m
く ら の 仕 事 を 必 要 とす る か 。 た だ し,物
体 と斜 面 と の 間 の
す る。
〔考 え方 〕 例 題5・4と
同 様 に考 え て,
F+W・sinθ=μ
F・l=μ
物 体 を 乗 せ,こ
・Wcosθ
・W・S-w・h
とな る こ とが わ か る。 こ れ は式(5・17)のW・hの
符 号 が 変 わ っ た 形 で あ る。
〔解 き 方 〕 上 記 よ り, F・l=0.3×50×5-50×1=25〔N・m〕
答 (引 き下 げ る仕 事25J)
問 題5・9傾
角15゜ の 斜 面 に,重
げ る に は,何
N の 力 が 必 要 か 。 た だ し,摩 擦 角 は30゜ とす る。
さ100Nの
物 体 を 乗 せ,斜
面 に 平行 な力 で引 き上
答 (81.7N)
問 題5・10図5・17の
よ う に,傾
平 行 な 力 で 引 き 下 げ る に は,何
角15゜ の 斜 面 に 重 さ100Nの
物 体 を 重 せ,斜
面に
N の 力 が 必 要 か 。 た だ し,摩 擦 角 は30゜ で あ る も の
とす る。 答
(29.9N)
図5・17
問 題5・111/4こ
う 配 の 斜 面 上 に,50Nの
上 げ るに は,摩
物 体 を乗せ,こ
れ を高 さ に し て1.5m引
擦 に よ る消 費 エ ネ ル ギ は い く らか 。 ま た,位
置 エ ネ ル ギ の 変 化 と仕 事
と を求 め よ。 た だ し,物 体 と斜 面 との 摩 擦 係 数 は0.3と す る。 答 (90J,75J,165J)
(b)斜 面 上 の 物 体 に水 平 な 力 を加 え る場 合 図5・18で,物 力 は,W
体 を水 平 力 F に よ り押 し上 げ る場 合,F
の 斜 面 方 向 の分
の 斜 面 方 向 の 分 力 の 大 き さ と,F に よ り増 加 し た摩 擦 力 との 和
に 等 しい 。 式 で示 せ ば,
右 辺 の 分 子 ・分 母 をCOSθ
で 割 れ ば,
き
(5・18)
図5・18
∴ F=W・tan(φ+θ)
〔注 〕 式(5 ・19)は,正
接 の加法
(5・19)
を利 用 して変 形
定理
した もの で あ る。
例題
5・7
傾 角20゜ の斜 面 上 に100Nの
押 し上 げ る に は,ど
物 体 が あ る。 これ に 水 平 力 を 加 え て
〔考 え 方 〕 式(5・19)の
れ ほ どの 力 が 必 要 か 。 摩 擦 角 は10゜ とす る。 考 え 方 に よ る。
〔解 き方 〕 求 め る力 を F とす れ ば, F=100tan(10゜+20゜)=100×0.577=57.8〔N〕
答 (57.8N)
例題
5・8
傾 角10゜ の 斜 面 上 に100Nの
て 引 き 下 げ る に は,ど
物 体 が あ る。 こ れ に,水
れ ほ ど の 力 が 必 要 か 。 た だ し,摩
平 力 を加 え
擦 係 数 を0.3と
す る。
〔考 え方 〕 式(5・18)の 作 り方 に 戻 っ て 考 え て み よ う。 題 意 か ら、 F の 斜 面 方 向 の
分 力 と W の 斜面 方 向の分 力 との和 が,F に よって減 少 した摩 擦 力 と等 しい こ とに気 づ け ばよい。
〔 解 き 方 〕 上 記 の こ とか ら,図5・19に
も とづ い て 式 を 立 て る と,
図5・19
答 (引 き下 げ る 力11.75N) 〔注 〕 上 式 で,μ=tanφ
と な り,こ
れ は 式(5・19)の
と 置 き換 え れ ば,水
平 に 引 きお ろ す 力 F は,
θ の 符 号 を 変 え た 形 で,φ<θ
な ら ばF<0と
な り,す
べ
り落 らて し ま う こ とが わ か る 。
例題
40゜ の 斜 面 に 重 さ500Nの
5・9
物 体 を 乗 せ,こ
に 水 平 方 向 に 支 え る 力 を 求 め よ 。 た だ し,μo=0.25と 〔 考 え 方 〕 水 平 に 支 え る力 の 斜 面 方 向 分 力F・cosθ W・sinθ
か ら摩 擦 力 μ(W・cosθ+F・sinθ)を
い。
〔解 き 方 〕
れ が す べ り落 ち な い よ う す る。
は,す
べ り落 ち よ う とす る 力
引 い た大 きさに な る こ とに気づ けば よ
答 (水 平 に 支 え る 力244N)
問題
傾 角30゜ の 斜 面 上 に50Nの
5・11
げ る に は,ど
物 体 が あ る。 こ れ に 水 平 力 を 加 え て 押 し上
れ ほ どの 力 が 必 要 か 。 た だ し,摩 擦 係 数 μ=tan20゜
で あ る もの とす る。 答 (59.6N)
問題
5・13
図5・20の
よ う に,20゜ の 斜 面 上 に300Nの
を水 平 力 F で 引 き下 げ る とす れ ば,水 物 体 との 間 の 摩 擦 係 数 は0.5と
物 体 を 乗 せ て あ る。 こ の 物 体
平 力 F は 最 低 何 N 必 要 か 。 た だ し,斜
面 と
す る。 答 (34.6N)
図5・20
〔2〕
(a)
く さび の 打 ち込 み と抜 き取 り
くさび の 打 ち込 み
図5・21の よ うに,頂
角2θ,接
触 面 へ の 直圧 力 を R とす れ ば,く
さび
を打 ち 込 む 力 F は,直 圧 力 と摩 擦 力 の そ れ ぞれ くさ び の 中心 線 方 向 の 分 力 の 2倍 と等 しい か ら,こ れ を式 で示 す と, (5・20) ま た,
(5.21)
図5.21
問 題5・14
く さ び の 頂 角20°,直
くさ び の 打 ち 込 み
圧 力20N,摩
擦 係 数 μ=tan10°
の と きの く さ び を
打 ち込 む 力 を 求 め よ 。 答 (13.9N)
(b)く
さび の 抜 き取 り
図5・21で,く
さび を 抜 き取 る力 を F'と す れ ば,F'と
直圧 力 の中心 線
方 向 の 分 力 の 2倍 との 和 は,摩 擦 力 の 中 心 線 方 向 の 分 力 の 2倍 と等 しい 。 式 で示 す と,
(5.22) ま た,μ=tanφ
よ り,
(5.23)
〔注 〕 式(5・23)か ら,φ<θ
の と きはF'<0と
な るか ら,く
さび は 自然 に抜 け て し
ま う こ とが わ か る。
問 題5・15
くさ び の 打 ち込 み で,摩
に す る た め に は,く
擦 係 数 が0.35の
と き,自 然 に 抜 け て こ な い よ う
さ び の 頂 角 は 最 大 何 度 よ り小 さ く した ら よ い か 。 答(38.58°)
〔3〕 ね じ を ま わ す 力
図5・22の ね じで は,こ
よ う に,ね
じ は 円 筒 に 斜 面 を 巻 き つ け た も の と考 え ら れ る 。
の 斜 面 の 傾 角 を リー ド角(つ る 巻 角)と い う °
図5・22
い ま,軸
方 向 の 荷 重 W,摩
る 力(水 平 力)F
は,式(5・19)よ
擦 角 φ,ね
じれ 角 φ と す れ ば,ね
り,
(5.24)
F=W・tan(φ+θ) ね じ を ゆ る め る 力(水 平 力)F'は,例 F'=W・tan(φ-θ)
じ を締 め
題5.8の
〔注 〕 の 式 よ り,
(5.25)
《ね じを締 め る モ ー メ ン ト》 図5・23で,ね え,こ
じの 平 均 径(接 触 圧 力 は,ね
じ 山 の 高 さ の 中 点 に か か る と考
の 直径)を d,ピ ッチ(ね じ 1回転 の 軸 方 向へ の 進 み)を p とす れ ば,
(5.26)
(a)角 ね じ
(b)三 角 ね じ 図5・23
(c)台 形 ね じ
摩擦係数の 違い
ね じ を 締 め る モ ー メ ン ト M は,式(5・24)よ
り,
(5.27) ね じ を ゆ る め る モ ー メ ン ト M'は,式(5・25)よ
り,
(5.28) 〔注 〕 式(5・24)∼(5・28)は 擦 角,摩
い ず れ も角 ね じの 場 合 で,三
角 ね じ,台 形 ね じ な どの 摩
擦 係 数 は 補 正 値 を用 い る(図5・23(a),(b),(c))。
《ね じの 効 率 》 ね じ に 力 F を 加 え て 1回 転 す る と き,仕 W の 物 体 を ピ ッ チ p だ け 動 か す か ら,ね
事 はF・ π・dと な り,ね
じ の 仕 事 はW・pと
じは 重 さ
な る ° こ れ ら を,
(5.29)
と表 し,η(イ
〔注 〕 %ね
ー タ)を ね じ の 効 率 と い う 。
μ=tanφ=0の
と き は,φ=0°
と な り,η=1と
な る か ら,与
え た 仕 事 は100
じの 仕 事 に 変 わ る こ とが わ か る 。
例 題5・10平
均 径20.4㎜,ピ
じ の 軸 方 向 に,15000Nの る と す れ ば,何
ッ チ2.5㎜
の ね じ を 用 い て,あ
力 で 締 め つ け た い 。 長 さ400㎜
N の 力 が 必 要 か 。 た だ し,補
〔考 え 方 〕 式(5・27)か ら,μ や (5・26)を 参 照 す る こ と。 な お,ス
老
る物体 をね
の スパ ナ を用 い
正 し た 摩 擦 係 数 を0 .1と す る 。
を 含 む 式 に 変 形 す る。 式(5・19)の 導 き 方 と式
パ ナ で 締 め つ け る モ ー メ ン トは,ス
パ ナ の 長 さ と,
加 え る 力 の 積 に な る こ と は い う ま で も な い。 〔解 き 方 〕
求 め る 力 をF0と
す れ ば,
答 (53.4N)
問 題5・16図5.24の
000N相
よ う に,平
当 で あ る と き,長
さ300㎜
均 径20.4㎜,ピ
ッ チ2.5㎜
で,荷
重
W が1
の ス パ ナ で ハ ン ガ ー 上 部 の ナ ッ ト を締 め 上 げ る
も の とす る。 補 正 し た 摩 擦 係 数 は0.1と す る。 こ の 場 合,ス
パ ナ を ま わ す の に何 N の 力 が 必 要 か 。 答 (4.75N)
図5・24
〔4〕 軸 受 の 消耗 動 力
図5・25は,軸 軸 径 をd〔m〕,摩
と 軸 受 を 示 す ° い ま,荷
重W〔N〕
擦 係 数 を μ と す れ ば,軸
がN〔rpm〕
が 軸 受 面 に か か り, の ときの消耗動 力
Pω は,
(5.30)
図5.25軸
〔注 〕 式(4・3)のp=F・vよ
り,式(5・30)が
2πγN/60あ る い は(πdN/60)と
と軸 受
求 め ら れ る。 摩 擦 力 μW と 周 速 度
の 積 が 消 耗 動 力 とな る 。
問 題5・17
図5・26の よ う な 重 さ800Nの
が,500rpmで
フ ラ イ ホ イー ル を 支 え る 半 径20㎜
回転 して い る 。 軸 受 け の 摩 擦 係 数 μ=0.1と
す れ ば,消
の軸
耗動力はお よ
そ何 W か 。 答 (83.8W)
図5・26
図5・27
問 題5・18図5・27の られ,時
速30㎞
よ う に,重
量10000Nの
車 が 半 径30㎜
の 速 度 で走 っ て い る ° 車 輪 の 直 径 が800㎜
平 等 に荷 重 を受 け て い る も の とす れ ば,全 し,摩 擦 係 数 μ=0.05で
の 4個 の 軸 受 に 支 え と し,4 個 の い ず れ も
軸 受 け の 消 耗 動 力 は お よ そ何 W か 。 た だ
あ る も の とす る。 答 (313W)
〔5〕 機械の効率
機 械 に 与 え られ た 全 仕 事 は,直 接 に 目的 の 仕 事 をす る有 効 仕 事 と摩 擦 に よ る損 失分 に 当 た る無 効仕 事 とに 変 化 す る。 有 効 仕 事 の 全 仕 事 に 対 す る割 合 を 効 率 と い う。 式 で 示 せ ば,次 の よ うに な る。
(5.31) 全仕事=有 効仕 事+無 効 仕事
例 題5・11径30㎜
の 軸 が,軸
受 面 を500Nの
で 回 転 し て い る 。 摩 擦 係 数 が0.05で,軸
力 で 押 し つ け て,180rpm
受 の 効 率 が70%と
す れ ば,必
要 な動
力 は い くらか 。 〔 考 え 方 〕 無 効 仕 事 を 算 出 し て,効 率 か ら全 仕 事 を得 る。 特 に,単 位 に 注 意 。 〔 解 き 方 〕 無 効 仕 事(消 耗 動 力)を Pω と す れ ば,式(5・30)よ
り,
必要動 力(全 仕事)は,
答 (23.6J/s,23.6W)
例 題5・12
3kWの
動 力 が 供 給 さ れ て,0.2m/sの
速 度 で 重 さ10000Nの
荷
物 を上 げ る ク レー ンの 効 率 を求 め よ。 〔 考 え 方 〕 式(4・3)のP=F・ は3000W
υ よ り,有 効 仕 事(動 力)はW・
υ 〔W〕,全 仕 事(動 力)
。
〔 解 き 方 〕 求 め る効 率 は,
答(66.6%)
問 題5・19あ
る モ ー タ に,2kWの
動 力 を 供 給 して,1400J/sの
有 効 仕 事(動 力)が
み られ た 。 効 率 は い く ら か 。 答 (70%)
問 題5・20
10kNの
ち ょ う ど150馬
自動 車 が 時 速70㎞
の 時 点 で,2m/s2の
力 発 生 して い る も の とす れ ば,こ
加 速 を して い る と き,
の 自動 車 の 効 率 は い く らか 。 答 (35.9%)
6
回
転
体
6・1ト
歯 車 や ベ ル ト車 な ど,回 メ ン ト)と い う。 図6・1の 離 に あ る 点 A が,接
よ う な 回 転 体 で,O
線 方 向 の 力 F を 受 け,時
照),ト
T=F.r〔N・m〕
ク
転 軸 の ま わ り の モ ー メ ン ト を トル ク(回 転 モ ー
心 角 θ ま わ っ た とす る。 角 速 度 w,周 す れ ば(2・1〔2〕(e)参
ル
を 軸 と し て,O
か ら γの 距
間 tの 間 に A'に 達 し,中
速 度 vと
ル ク T は,
(6.1)
仕 事 L は,
(6.2) 図6・1
動 力 P は,
トル ク
(6.3) ま た,
(6.4)
例 題6・1
3800rpmで,130N・mの
トル ク の 自動 車 の エ ン ジ ン が あ る。 こ
の 回 転 時 に お け る動 力 は お よ そ何 馬力 か 。
〔考 え方 〕 式(6・4)を 用 い て,馬
力 に 換 算 す れ ば よ い。 ま た,式
を作 っ て み る と よ
い 。
仕 事L=F・S,
動力
馬 力 を 出 す に は,735N・m/sで 〔解 き 方 〕
求 め る 馬 力 をPSと
割 る(4・1・
〔2〕 参 照)。
す れ ば,
答(約70馬
例 題6・2直
径10㎝
の 歯 車 の 歯 に100Nの
力)
力 が 加 わ りな が ら 1秒 間 に1/4
回 転 の 速 さ で 回 転 し て い る 。 こ の 場 合 の トル ク と動 力 を 求 め よ。 〔 考 え方 〕 式(6.1),式(6.4)の
考 え方 で よ い 。 特 に,注
位 を m に す る こ と。 回転 数 は 〔解 き方 〕
意 を し た い の は,直
径の 単
〔rpm〕 な ど で あ る.
トル ク T は,
動 力 P は,
答 (ト ル ク5N・m,動
例 題6・3ボ 10㎝,軸
力7.85J/s)
ル ト数 が 4本 の フ ラ ン ジ継 手 が あ る。 ボ ル トの 中心 円 の 直 径 が の 回 転 数 が2000rpm,伝
達 馬 力 が25馬
力 の と き ,1 本 の ボ ル トに
か か る力 は い く らか 。 〔考 え 方 〕 式(6・4)の P を馬 力 の 式 に 直 して,さ を求 め,こ
れ を ボ ル ト数 で 割 れ ば よ い。
〔解 き 方 〕
ら に,T=F・
γ と置 き換 え て,F
ボ ル ト 1本 で は, 1755÷4≒439〔N〕 答(1
例 題6・4
1600rpmで,3kWを
〔考 え 方 〕 式(6.4)の
本 の ボ トル に か か る 力439N)
伝 え て い る 電 動 機 の トル ク を 計 算 せ よ 。
P の 式 よ り,ト ル ク T を 求 め れ ば よ い 。
〔 解 き方〕
答(17.9N・m)
問 題6・1回
転 数 が3500rpmで50馬
力 発 生 す るエ ン ジ ン が あ る。 こ の と き の トル
ク は い く らか 。 答(100.2N・m)
問 題6・2
ピ ッ チ 円 の 直 径120㎜
の 歯 車 が3500rpmで
回転 し,100馬
力 の動 力 を
伝 え て い る。 トル ク と歯 に 加 わ る力 と を 求 め よ 。 答(200.5N.m,3340N)
6・2 慣 性 モ ー メ ン ト
図6・2は,回
転 軸 の ま わ り に,重
れ ぞ れ 半 径 γ1,γ2,γ3,…
… で,角
さw1,w2,w3,…
… の 小 物 体 が,そ
速 度 は等 し く ωで 回転 して い る とこ
ろ を示 す 。 こ の 場 合,小 よ り,
物 体 の 回 転 運 動 エ ネ ル ギ の 総 和 K は,式(2・26),式(4・7)
こ こ で,
(6・5)
と 置 け ば, (6・6)
こ の J を慣 性 モ ー メ ン ト と い う。 単 位 は,N・m・s2で
図6・2
あ る。
〔 注〕 慣 性 モ ー メ ン トは,物 部 た し合 わ せ た も の で,値
体 各 部 の 質 量 と 回 転 軸 か ら の 各 距 離 の 2乗 と の積 を全 は 物 体 の 形 や 質 量 の 分 布 状 態,回
転軸 の位 置の違 いな
ど に よ っ て 定 ま る。 J が 大 きい ほ ど,回 転 運 動 の 状 態 を 変 え に くい 。
《回 転 半 径 》
物 体 の全質 量
が,回 転 軸 か ら半 径 k の と こ ろ の 1点 に あ る も の と考
え れ ば,式(6・5)と
同 様 に し て,
(6・7)
と な る° こ の よ う な k を 回 転 半 径 と い う。 k は,ま
た,k>0で,
(6・8)
と な る こ と は,す
ぐ に 理 解 で き よ う。 単 位 は m で あ る。
〔 注 〕 簡 単 な慣 性 モ ー メ ン トや 回 転 半 径 な ど の 値 は,表
表6・1慣
例 題6・5重 〔考 え 方 〕
さ5000N,回 式(6・7)の
を 用 い る(表6・1)。
性 モー メ ン トと回 転 半 径
転 半 径50㎝
の 車 輪 の 慣 性 モー メ ン トを求 め よ。
考 え 方 に よ る。
〔解 き 方 〕W=5000N,k=0.5mと
す れ ば,求
め る 慣 性 モ ー メ ン ト J は,
答(128N・m・s2)
例 題6・6慣
性 モ ー メ ン トが10N・m・s2,角
速 度 が6rad/sの
回転 体 の運 動
の エ ネ ル ギ を 求 め よ。 〔考 え 方 〕
式(6・6)の
考 え 方 に よ る。
〔解 き 方 〕J=10N・m・s2,ω=6rad/sに
よ り,求
め る 運 動 エ ネ ル ギ K は,
答(180J)
例 題6・7外
径80㎝,内
径60㎝,厚
み(幅)10㎝
る 。 ボ ス や ス ポ ー ク の 重 さ は 無 視 し,比 よ び 回 転 半 径 は,そ
重 を7.6と
さ をr2,W2,厚
ま た,ホ
転 半 径 につ いて
考 え 方 に よ る。
〔解 き方 〕 中 身 の 詰 ま っ た 円 柱 の 半 径,重
材 料1㎡
性 モ ー メ ン トお
身の 詰 まっ た円筒の 慣性 モー メ ン ト
空 部 分 の 慣 性 モ ー メ ン トを 引 い た も の に 等 し い。 ま た,回
は,式(6・7)の
径,重
す れ ば,慣
れ ぞ れ い く らに な るか。
〔考 え 方 〕 中 空 な 円 筒 の 慣 性 モ ー メ ン トは,中 か ら,中
の フ ラ イ ホ イー ル が あ
み を B とす れ ば,求
さ をr1,W1,中
空部分 相 当の 円柱 の 半
め る慣 性 モ ー メ ン トJ は,表6・1よ
当 た り の 重 さ は,7.6×1000×9.8=74480〔N〕
イ ー ル の 重 さ を W とす れ ば,求
り,
で あ る か ら,
め る 回転 半 径 k は,
答(20.9N・m・s2,0.354m)
問 題6・3慣
性 モ ー メ ン ト が40N・
m ・s2,角
速 度 が10rad/sの
回転 体 の 運動 エ ネ ル
ギ は い くら か 。
答(2000J)
問 題6・4充
実 球 体 半 径0.2m,比
重7.6の
直 径 を 軸 と し た フ ラ イ ホ イー ル が あ
る。 こ の 慣 性 モー メ ン トと 回 転 半 径 は い く らか 。 答(4.07N・m・s2,0.1265m)
6・3
角運動方程式
慣 性 モ ー メ ン ト J の 物 体 に,ト
ル ク T を 加 え る と き,角
変 化
号 は ω(オ メ ガ ド ッ ト と読 む),単
〔こ れ を 角 加 速 度 と い い,記
〔rad/s2〕 は,ト
速度 の時 間的 位 は
ル ク に 比 例 す る 。 式 で 示 す と,
T=J・
ω
(6・9)
と な る 。 こ れ を 角 運 動 方 程 式 と い う。
図6・3ト
式(6・9)の
ル ク と角加 速 度
成 り 立 つ 理 由 を 考 え て み よ う。 図6・3の
J の 物 体 の 軸 心 か ら 半 径 r の と こ ろ に,回 る 。 そ の 結 果,⊿
よ う に,慣
転 力 F を 時 間 ⊿tの 間 加 え た と す
θ だ け 回 転 し 角 速 度 が ω0か ら ω0+⊿ ω に 増 加 し た とす れ ば,
回 転 運 動 エ ネ ル ギ の 増 加(力
× 変 位)F×r・
⊿θ=T・
⊿θ は,変
か ら変 化 前 の エ ネ ル ギ を 引 い て,
と な り,
性 モー メン ト
(平均 角 加 速 度)で あ る か ら,
化 後 のエ ネル ギ
と な っ て,式(6・9)が
例 題6・8回
得 ら れ る こ とが わ か る。
転 半 径60㎝,重
30秒 間 に100rpmに
達 し た とす れ ば,作
〔考 え 方 〕T=J・
用 い,
量10kN(1020㎏f相
ω で 求 め る が,回
当)の は ず み 車 が あ る。
用 し た トル ク は い く ら に な る か 。
転 半 径 kが 与 え ら れ て い る の で,
を
を併 用 し て解 く。
〔 解 き方〕 ば,求
と置 け
め る トル ク T は,
答(128.2N・m)
例 題6・9重
量60N,長
位 置 とす れ ば,重
さ1mの
心 か ら半 径20㎝
棒 が あ る。 回転 軸 を棒 に垂 直 で 重 心 を 通 る の位 置 に 回転 力20Nを
加 え る と き,ど れ
くら い の角 加 速 度 を生 ず るか 。 〔考 え 方 〕 棒 に 垂 直 で 重 心 を通 る 場 合 の 慣 性 モ ー メ ン トは,表6・1よ
り,
で あ る。 〔解 き 方 〕
式(6・9)よ
り,求
め る 角 加 速 度 ω は,
答(7.84rad/s2)
問 題6・5長 し て,静
さ1m,重
量50Nの
太 さ が 一 定 な均 質 の 棒 が あ る。 こ の 中 点 を軸 心 と
止 状 態 か ら 2秒 間 で360rpmに
回 転 を 上 げ た と き,作
用 し た トル ク は い く
らか。 答(8.01N・m)
6・4
等角加速度運動
式(6・9)の よ う に,回 転 す る物 体 に 一 定 時 間連 続 し て一 定 の トル クが 働 く と,一 定 の角 加 速 度 を生 ず る。 この よ うな 回 転 運 動 を等 角 加 速 度 運 動 と い う。 等 角 加 速 度 運 動 で は,始 め の 角 速 度 ω0,時 間 t経 過 後 の 角 速 度 ω,角 加 速 度 ω とす れ ば, (6・10)
また,時
間 tの 間 の 角 変 位 を θ とす れ ば, (6・11)
式(6・10),(6・11)に
よ り,t
を 消 去 し て, (6・12)
例 題6・10図6・4は,回
転 して い る 円柱 に ブ レー キ をか け て 停 止 させ よ う と
す る装 置 を示 して い る。 こ こ で,記 号 で 示 さ れ た それ ぞ れ の 値 が,次 場 合 の,ブ
の よ うな
レー キ に よ り停 止 す る ま で の 時 間 を求 め よ。
(摩擦 係 数) 〔考 え 方 〕 式(6・9),(6・10)の
両 式 か ら tを 求 め る 。 た だ し,ブ
ス の トル ク と して 働 くか ら,角 加 速 度 は 負 に な る。
レ ー キ は,マ
イナ
図6・4
〔 解 き方 〕 始 め の 角 速 度 ω0,終 わ りの 角 速 度 ω,そ の 間 の 角 加 速 度 マ イ ナ ス ω, 求 め る時 間 を tとす れ ば,
ま た,
こ こ で,
(ブ レ ー キ 摩 擦 の モ ー メ ン ト),
(円 柱 の 慣 性 モ ー メ ン ト)よ り(表6・1),
ま た,
答(6.41秒) 問
題6
・67200rpmで
ま わ っ て い る こ ま が ,1
分30秒
で静 止 した。角 加 速 度 は い
く らか 。 答(-8.38rad/s2)
問題 の解答
力 ― ち か ら―
1.
問 題1・17.8×50×40×5×10-3×9.8-764.4〔N〕 問 題1・2150〔N〕+0.001×9.8〔N〕
×50×40×30=738〔N〕
問 題1・3100÷5×2=40〔N〕 縦 …2㎏f→19.6N
問 題1・4
(横 …3㎏f→29.4N 19.6÷2〔N〕=9.8→10㎝(縦)
(29.4÷2〔N〕=14.7→15㎝(横) 問 題1・5例
と し て 解 図 1の よ う に10Nの
き さ を 1㎝
力 の大
の 長 さ で 表 し,定 規 や 分 度 器 な ど
を使 っ て 作 図 し ま す 。 合 力 を測 っ て9.8㎝
に な る こ とが わ か り ま
す。 F=10〔N〕 問 題1・6糸
×9.8〔㎝ 〕=98〔N〕(綱
の 張 力)
の 張 力 は 左 右 対 称 で 等 し い か ら,解
図 2の よ う な 力 の 平 行 四 辺 形 が で き る。 三 角 形 の 部 分 は 正 三 角 形 に な るか ら,合 力 と な る対 角 線 は 糸 の 張 力 と等 し く0.08㎏fと
解図 1
なる。
ま た,0.08×9.8=0.784〔N〕 0.08㎏f,0.784N 問 題1・7解
図 3 の 力 の 三 角 形 の 作 図 よ り,頭 50〔 ㎏f〕=50×9.8〔N〕=490〔N〕
側440N,足
と し て,
側360N
解図 2
解図 3
問 題1・8解
図 4 の よ う に ゴ ン ド ラ の 重 量 を1500〔
〔N〕=14.7〔kN〕
と し て 計 算 し,矢
㎏f〕=1500×9・8〔N〕=14700
印 の 大 き さ 1 ㎝ 当 た り1〔kN〕
れ ば,力
の 三 角 形 の 他 の 2辺 は 約18㎝
〔kN〕,後
方16.6〔kN〕
と な る。
と16.6㎝
前 方18〔kN〕,後
解図 4
問 題1・9解
図 5の 作 図 よ り,壁 か ら外 へ 向 っ て28.2〔N〕 。
(a)力 の 平 行 四 辺 形
(b)力 の 多角 形 解図 5
と して作 図す
と な る の で,前
方 が18
方16.6〔kN〕
問 題1
・10解
図 6 の よ う に 1㎝
を10Nと
し て 作 図 し て ,合
力4.3㎝
よ り約43N°
(合 力) 問
題1・11
解図 6
(a)
(b)
(F=115.6〔N〕,150〔N〕
の 方 向 か ら 左 ま わ り に21°31')
解図 7 解図 8
問題
1・12
問題
1・13
(合 力52.3〔N〕,向
問題
1・14 作 図(解
き X 軸 正 方 向 よ り 左 ま わ り234°28')
図 9)に よ り,
(同 方 向:作
用 線 は,棒
の 左 端 よ り右200㎜
を通 り60N
で45° 左 下 方 向)
(反対 向:作
用 線 は,棒
の 左 端 よ り右600㎜
を通 り20N
で45° 右 上 方 向)
(1)
(2)
解図9
問題
1・15 支 点 か ら大 人 の 位 置 ま で の 距 離 をx〔 ㎜
〔注 〕 こ の 場 合,体
重 の ㎏fを,そ
れ ぞ れ9.8倍
〕と置 け ば,
し て N 単位 に 換 算 し て も し な く
て も 答 が 同 じに な る こ と は 理 解 され よ う。
問題
1・16 左 端 か ら支 点 ま で の 距 離 をx〔 ㎜
〕と置 け ば,
問題
1・17
問題
1・18
問題
1・19
問題
1・20
問題
1・21
問題
1・22
問題
1・23
(合 力 の X 軸 成 分 は+25.6N,Y軸 問題
1・24
成 分 は+17.96N)
問題
問題
(FX=0,FY=0,(合
力=0),モ
ー メ ン ト=0)
(FX=0,FY=0,(合
力=0),モ
ー メ ン ト=0)
1・25
1・26
(支点 の 反 力RA=34N,RB=16N) 問題
1・27
問題
1・28
(力F=30N,反
問題
1・29
力RA=15N,RB=55N)
問題
1・30
解 図10
B 節 点 で は,水
平 方 向 で,
(1)
垂 直 方 向 で,
(2)
式(1)× √3-式(2)か
ら,
(3)
式(3)を 式(1)に 代 入 し て,
同 様 に,A
垂 直 方 向:
節 点 で は,水
平 方 向:
C 節 点 で は,
問題
1・31
支 点B,Eで
B 節 点 で は,水
は,そ
れ ぞ れ50Nの
垂 直 力 が か か る。
平 方 向 で,
(1)
垂 直 方 向 で,
(2) 式(2)-式(1)×
√3か
解 図11
ら,
(3)
式(3)を 式(1)に 代 入 し て,
問 題 1・32支
点B,Eで
は50N,A,C,D節
点 で は-(100/3)Nの
に か か る 。 A 節 点 で は 水 平 方 向 に,
垂 直 方 向 で は,
(1)
B節 点で は 水 平 方 向 に,
垂 直力 が そ れ ぞ れ
(2)
垂 直 方 向 で は,
(a)
(3) 式(1),式(3)を
式(2)に
代 入 し て,
(b)
解 図12
問題
1・33
ab:2730N(引
張 り)
cd:1000N(圧
縮)
ad:2000N(圧
縮)
bd:1414N(引
張 り)
R3=2730N(引
張 り)
R4=2910N(圧
縮)
問 題
解 図13
1・34
ab(反
力R6):250N(圧
縮)
bc(反
力R5):150N(引
張 り)
ad:250N(圧 de:86.6N(圧
縮) 縮)
ef:173N(圧
縮)
af:200N(圧
縮)
ce:173N(引
張 り)
bd:0 cf:173N(引
張 り) 解 図14
問題
1・35
A-B側
か ら x 〔㎜
〕 と す れ ば,
A-C側
か ら y〔 ㎜
〕と す れ ば,
(A-Bよ 問題
1・36
左 端 よ り x〔 ㎜
り C 側 に33.3㎜,A-Cよ
り B 側 に100㎜)
〕の 位 置 とす れ ば,
(左端 よ り188.5㎜) 問題
1・37
A よ り右 へ セ ン タ ー 上 で x 〔 ㎜
〕の 位 置 と 置 き,解
図15の
よ うに 線状
に して 分 離 し立 式 す れ ば,
解 図15
(A よ り 中心 線 上 で 右 へ50.9㎜
の と こ ろ)
2.運
問題
2・1
問題
2・2
問題
2・3
動
(海 の 深 さ) (周速 度) ジ ェ ッ ト機 の 時 速
解 図 1,式(2・2)よ
り
(相対速 度)
解図 1
解図 2
問題
2・4
(解 図 2)(周
問題
2・5
(男 の 時 速)
問題
2・6
(物体 の加速 度) (走 っ た 距 離)
問題
(物体 の速 度)
2・7
(走 っ た 距 離)
問題
2・8
を,
に 代 入 す る と,
速 度)
ま た,
(物体 の加速 度) 問題
2・9
問題
2・10
問題
2・11
問題
2・12
(落下時 間) (投げ上 げ速度) (ボ ー ル の 初 速)
(最低打 速) 問題
2・13
地 球 の 半 径 を γ とす れ ば,
(ロ ケ ッ トの 秒 速)
問題
2・14
よ り算 出 す る。
(電車が 車 に与 えた力) 問題
2・15前
であ る か
問 と 同 様 に し て,
ら,
(手に 作 用 した 力)
問題
2・16
10000Nの
貨車 が与 えた力 を
と置 け ば,作
18000Nの
貨 車 が受 け た力 を
用 ・反 作 用 の 法 則 か ら,
数 値 を代 入 して,
問題
2・17
問題
2・18
問題
2・19
問題
2・20
問題
2・21
問題
2・22
か ら,
一 定
,
であ る
問 題 2・23
(ボ ー ル に 作 用 した 力) 問題 2・24
WA=WBで
あ る か ら,
(物体 Bの速 度) 問題
2・25
(反発 係 数)
問 題 2・26
(反対 向 き)
(反発 係 数) 問 題 2・27
(右向 き)
(反発 係数)
3. 摩
擦
問 題 3・1
(動 き 始 め の 力)
問題
3・2
(動 き始 め の 力)
問題
3・3
問題
3・4
(止め る 力)
(動摩 擦係 数)
問題
3・5
(斜め 上 方 か ら 加 え る 力)
問題
3・6
こ こ で,600Nは
F が 極 端 に 大 き く な る の で,無
視 で きる くらい 小 さ い と考 え
ら れ る か ら,
(物体 が 動 か な くな る と きの 角 度)
4.仕
問題
4・1
問題
4・2
事 と動 力 と エ ネ ル ギ
(物体 を動 か した仕 事) (R:直
(必要 な馬 力)
問題
4・3
(必要 な 馬 力)
圧 力 の 反 力)
問題
4・4
問題
4・5
問題
4・6
問題
4・7
問題
4・8
(水の 位 置 エ ネ ル ギ) (ゴ ム 索 の 位 置 エ ネ ル ギ)
(物体 の 運 動 エ ネ ル ギ)
(銃 弾 の 運 動 エ ネ ル ギ)
(位 置 エ ネ ル ギ)
問題
4・9
高 さ100mの
位 置エ ネル ギ (位 置 エ ネ ル ギ)
高 さ50mの (運 動 エ ネ ル ギ) (位 置 エ ネ ル ギ)
地上 で (運 動 エ ネ ル ギ)
5 .機
問題
5・1
問題
5・2
問題
5・3
械 の効 率
(点 B に 発 生 す る 力)
(ロ ー プ の 張 力)
(ロ ー プ の 張 力),
(引 っ 張 る変 位)
問題
5・4
(ロ ー プ の 張 力),
(荷物 の 変 位)
問題
(ロ ー プ の 張 力)
5・5
(荷物 の変 位)
問題
5・6
問題 問題
5・1
問題
5・9
(ロ ー プ の 引 っ張 り 力)
(物体 を引 き上 げ た仕 事) (物体 を引 き上 げた仕 事)
5・8
(引 き上 げ る 力) 〔別 解 〕
問題
5・10
例 題5・4参 照 (引 き下 げ る 力)
〔別 解 〕
問題
(消費 エ ネ ル ギ),
5・11
(位置エ ネル ギの 変化) (仕事)
問題
5・12
(押 し上 げ るの に 必 要 な 力) 〔別 解 〕
問題
5・13
例 題5・8参
照
(物体 を引 き下 げ るの に必 要 な最
低 の水 平 力)
問題
5・14
(く さび を 打 ち 込 む 力)
問題
5・15
sin(φ-θ)>0な
ら ば よ い か ら,φ
19.29° > θ と な っ て,く
さ び の 頂 角 は19.29°
> θ と な り,tanφ=0.35よ ×2≒38.58°
とが わ か る(中 の 値 は 切 り捨 て 値)。 問題
(く さ び の 頂 角38.58°)
スパナ をまわす 力
(スパ ナ を まわ す 力)
5・17
(消耗動 力)
問題
5・18
車 輪 の 直 径0.8mよ
りR=0.4を
代 入
(全軸受 消耗動 力)
問題
よ り
5・19
求 め る効 率 は, (効率)
問題
≒
よ り小 さ く す れ ば よ い こ
5・16
問題
り,φ
5・20
効率 (自動 車 の効 率)
6.回
問題
転 体
6・1
(ト ル ク)
問題
6・2
(ト ル ク)
(歯 に 加 わ る 力)
問題
6・3
式(6・6)よ
り,
(回転 体 の運 動の エ ネル ギ)
問題
6・4
表6・1よ
り,
(慣性 モ ー メ ン ト)
(回転 半経)
問題
6・5
表6・1よ
問題
6・6
式(6・10)よ
り,
(作用 した トル ク) り,
(角加速 度)
付 録 SI単 1.SIと
位 につ い て
は
SIと は,国 際 単位 系 の略 称 で,各 国 で使 わ れ て きた単 位 系 を 一本 に標 準 化 す る た め に 制 定 さ れ た もの で あ る。 わ が国 の工 学 や産 業界 で は従 来 メー トル系 の 中 の 重 力 単 位 系 が 多 く用 い られ て きた が,現 在 で はSIへ 国 際単 位 系(SI)は,基
の移 行 が急 速 に行 わ れ て い る。
本 単 位 7個 と補 助 単 位 2個 お よ び これ らの 単 位 を 掛 け た り,
割 った りす る こ とに よ って組 み立 て られ た 多数 の 組立 単 位 な ら び に10の
整 数乗倍 か ら
な る。SI単 位 とは,こ れ らの基 本 単 位 ・補 助単 位 ・組 立 単 位 の総 称 で あ る。 ま た,SI単
2.SI単
位 の10の
整数 乗 倍 を表 す の に 接頭 語 を用 い る こ とに して い る。
位 へ の切 り換 え の 要 点
(1) 力 の 単 位
㎏fか
機 械 工 学 関 係 で は,従
らN(ニ
来,力
の 単 位 と し て,質
が 使 わ れ て き た 。 と こ ろ が,同 た め,重
量 1㎏ に 対 す る 重 量 キ ロ グ ラ ム
量 キ ロ グ ラム を 単 位 と して 取 り扱 うの に は不 都
球 の 重 力 の 加 速 度 を 国 際 的 に 標 準 化 しgn=9.80665m/s2と
の 質 量 に1m/s2の
た 。 こ の こ と に よ り,1〔
〔㎏f〕
一 質 量 で あ って も場 所 に よ って 重 力 の 加速 度 g が 異 な る
量 が 違 っ て く る。 そ の た め,重
合 が あ る。 そ こ で,地 ま た1㎏
ュ ー ト ン)へ
加 速 度 を 与 え る 力 を1N(ニ ㎏f〕*=9.80665〔N〕
ュ ー ト ン)で
定 め,
表 す ことに な っ
と し て 重 力 単 位 系 か らSIに 切 り 換 え る こ
と が で き る.
(2) 圧 力 の 単 位
㎏f/㎝2か
圧 力 の 単 位 は,こ
れ まで
ン毎 平 方 メ ー トル
〔N/m2〕
た と え ば,1
らPa(パ
〔㎏f/cm2〕 と な り,こ
ス カ ル)へ
が 広 く 用 い ら れ て き た が,SI単 れ を パ ス カ ル(Pa)と
〔㎏f/cm2〕=1×9.80665×1002〔N/m2〕=9.80665×104〔N/m2〕
い う。
位 で はニ ュー ト
(約0.1MPa**)
(3) 応 力 の単 位
㎏f/mm2か
らPa(パ
ス カ ル)へ
た と え ば,
(約10MPa)
鋼の縦弾性係数
*
1㎏fと は.1
㎏ の 質 量 に9 .80665m/s2の
加速 度 を 生 じさ せ るよ うな 力,す
な わ ち9.80665Nに
相
当 す る。 **
kや M は 接 頭 語 で あ る。 なお ,接 頭 語 の前 の 数 は,原 則 と して0.1∼1000の る と よ い。
間 に入 る よ うにす
付表 1
ギ リ シア文 字
付 表 2SI基
量 長
さ
単位の名称
単位記号
メ ー トル
m
本 単 位(抜
萃)
定 メ ー トル は,ク
義
リプ トン86の 原 子 の 準 位2p10と5d5と
の
間 の 遷 移 に 対 応 す る光 の,真 空 中 に お け る波 長 の1650763.73 倍 に等 し い長 さで あ る。
質
量
キ ロ グ ラ ム
キ ロ グ ラ ム は(重 量 で も力 で も な い)質 量 の単位 であ って,
㎏
それ は国 際 キ ロ グ ラ ム原 器 の質 量 に等 しい。
時
間
秒
秒 は,セ
s
シ ウ ム133の
原子の基底状態の二つの超微細準位
の 間 の遷 移 に対 応 す る放 射 の9192631770周
期の継続時間
で あ る。
熱力学温度
ケ ル ビ ン
K
ケ ル ビ ンは,水
の三 重 点 の 熱 力 学 温 度 の1/273.16で
付 表 3 SI補 助 単 位(抜
量 平
面
単位 の名称 角
ラ ジ ア ン
単位記号 rad
定
あ る。
萃)
義
ラ ジ ア ン は,円 の 周 上 で そ の半 径 の長 さ に等 しい長 さ の孤 を切 り取 る 2本 の 半 径 の 間 に含 ま れ る平 面 角 で あ る。
付 表4 SI単 位
* 熱 ・電 気 磁 気 ・光 ・音 な ど省 略
付 表 5 SI接 頭 語
付 表 6 SI単 位 へ の 切 り換 え 換 算 表
〔注 〕
1Pa=1N/㎡
〔注 〕
1P=ldyn・s/㎝2=1g/㎝
・s lPa・s=1N・s/㎡,1cP=1mPa・s
〔注 〕
1J=1W・s,1W・h=3600
W・s
〔注 〕
1W=1J/s,
PS:仏
1cal=4.18605J(計
馬 力 1PS=0.7355
kW(計
量 法 カ ロ リ ー の 場 合)
量 法 施 行 法)
〈著者 紹 介 〉
小
山 十 郎 学 歴 東 京 都立 機 械 工業 専 門 学校 機 械 科 卒 業(1949) 職 歴 東 京 都 立杉 並 工 発業 高等学 校 教 諭 東 京 都立 ろ う学校 教 諭 都立 中 央 図 書 館
2色刷 演習付 わか りやすい機械教室 機 械 力 学 考 え方 ・解 き方 1970年10月31日 1985年 4 月20日
第 1版 1 刷 発行 第 1 版14刷 発 行
1985年10月20日 1993年
者 小
山
十 郎
第 2版 1 刷発行
3 月20日
第 2版 7 刷 発 行
1994年 5 月20日 2007年
著
学校 法 人 東 京 電 機 大 学
第 3版 1 刷発 行
5 月20日 第 3版12刷
行行 所 東 京 電 機 大 学 出 版 局
発行
代表 者 加 藤 康 太 郎 〒101-8457 東 京都
千代 田区神田 錦町2-2
振 替 口座00160-5-71715 電話(03)5280-3433(営 (03)5280-3422(編
印刷 三 立 工 芸㈱ 製 本 渡辺 製 本 ㈱ 装 丁 高橋 壮 一
C Koyama
Zyuro
1970,1985, 1994
Printed in Japan *無
断で 転 載す る こ とを禁 じ ます。
*落 丁 ・乱 丁 本 は お 取 替 え い た し ま す 。 ISBN
978-4-501-41260-9
C3353
業) 集)
基礎機械工学図書 わか りやすい機械教室
わか りやすい機 械教室
機 械 力 学 考 え 方 ・解 き方 演 習付
材 料 力 学 考 え 方 ・解 き 方 演 習付
小山十郎 著 A5判 214頁 2色刷 好評の 「 機械 の力学考 え方解 き方1機械力学編」を 全面的に見直 し,SI単 位系 に切 り換 え ると共 に書 名を 「 機械力学考 え方解 き方 」 とした。講習会 の テキス トとして も自習書 として も活川で きる。
萩原國雄 著 A5判 278頁 2色刷
わか りやす い機械教室
わか りやすい機械教室
改訂 流 体 の 基 礎 と 応 用
熱 力 学 考 え 方 ・解 き方
森川泰司 著 A5判 214頁
小林恒和 著 A5判 242頁
流体 につ いてや さ しく理 解で きるように,難 解 な 数式の展開 をさけ,多 くの図表に よ り解説。例題 と詳 しい解答 によ り理解 が深 め られ る。
例題 を多 く取 り人れ,各 例題 にそれぞれ 「 考 え方」. 「 解 き方」 を詳 しく解説 し,実 力が身 に付 くよ う
わか りやす い機械教室
わか りやすい機械教室
空 気 圧 の基 礎 と応 用
油 圧 の 基 礎 と応 用
高橋徹 著 A5判 210頁
高橋徹 著 A5判 226頁
流体の基礎事項 か ら卓上空気圧 プレスの設 計例 ま で を例題や練 習問題 を用いて空気圧 の基礎 と応用 を解説。
多 くの図や表 によ り,油 圧 の基礎事項 か ら応川 ま で学生や初級技術者 に容易 に理解で きるよ うや さ しく解説 した。
機械計算法 シ リーズ
機械計算法 シリーズ
機 械 の 力 学 計 算法
流 体 の 力 学 計算 法
橋本広 明 著 A5判 120頁
森 田泰 司 著 A5判 176頁
基礎 的な公 式や数式をで きるだ けわか りやす く解 説 してあ り,各 章 とも例題 と解答 を豊富 に取 り入 れ,こ れを基に練 習問題を解 き実 力をつけ る。
水 力 学を中心 に して,空 気や油 などの流 体に関す る基礎 的な事項 を計算問題 を通 じて修得 で きるよ うにや さ しく解説 。
機械計算 法シ リーズ
機械計 算法 シ リーズ
熱 力 学 の 計 算 法
熱
松村篤 躬/越後 雅夫 共著 A5判 200頁
越後雅 夫 著 A5判 232頁
熱 力学 の基礎的な公式や数式 をわか りやす く説明。 改訂 にあたって内容を見直す とともに,よ り理解 しや す く編 集 した。
熱 ・流 体 ・空調の基礎につ いて,公 式や数式 をわ か りやす く説明。例題や応用問題 について も,詳 しく解 説 した。
*定 価 ,図
書 目 録 の お 問 い 合 わ せ.ご URL
前書 「 機械の力学考 え方解 き方II材料 力学編」を 全面的に見直 し,SI単 位系 に切 り換 え ると共 に書 名を 「 材料力学考 え方解 き方」 とした。
配慮 した。
・流 体 ・空 調 の 計 算 法
要 望 は 出版 局 まで お願 い いた し ます。
http://www.dendai.ac.jp/press/
MK-001