Небесная механика. Общий курс

Глава 10. Коэффициенты Лапласа 10.1. Определение коэффициентов Лапласа В главе 7, посвященной теории сферических функций, в качестве практического приложения была рассмотрена задача о вычислении ньютоновского потенциала вида (7.11.1) притяжения тела T произвольной формы. При этом обратное расстояние от исследуемой точки P (в которой определяется потенциал притяжения) до текущей точки P′ тела T 2 1 1⎡ ⎛ r′ ⎞ ⎤ ⎛ r′ ⎞ = ⎢1 − 2⎜ ⎟ cos γ + ⎜ ⎟ ⎥ Δ r ⎢⎣ ⎝ r ⎠ ⎥⎦ ⎝r⎠

−1 / 2

(10.1.1)

,

где r и r′ — радиус-векторы P и P′ соответственно, а γ — угол, образованный этими радиус-векторами, представлялось рядом (7.11.3) по полиномам Лежандра. Кроме того, аналогичная проблема вычисления выражения типа (10.1.1) возникает и в теории движения планет при разложении возмущающей функции (см. раздел 10.5 и главы 13 и 15). В связи с этим рассмотрим более общую, чем (10.1.1), функцию двух аргументов α и ϕ вида 2 − n/ 2 (10.1.2) Φ = (1 − 2α cos ϕ + α ) , в которой 0 < α < 1, − ∞ < ϕ < ∞, n = 2b + 1, b = 0, 1, ... *) . Очевидно, что эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле о разложении функций в ряды Фурье (см. раздел 9.2). Поэтому она может быть представлена, ввиду четности по переменной ϕ , рядом по косинусам углов, кратных ϕ, сходящимся для всех значений ϕ: Φ=

∞ 1 ( 0) (k ) Ln (α ) + ∑ Ln (α ) cos(kϕ ). 2 k =1

(10.1.3)

Здесь (см. раздел 9.2)

Ln (α ) = (k )

2

π

cos(kϕ ) dϕ

π ∫ (1 − 2α cos ϕ + α

2 n/ 2

0

)

.

(10.1.4)

Определенные выражением (10.1.4) коэффициенты L(nk ) (α ), являющиеся функциями от аргумента α, называются коэффициентами Лапласа. Полагая z = exp(iϕ), i 2 = −1 , так что 2cosϕ = z + z−1, из условия (10.1.2) получим

[

Φ = 1 + α 2 − α (z + z −1 )

]

− n/ 2

.

(10.1.5)

Поскольку при этом 2cos(kϕ) = zk + z−k, то равенство (10.1.3) можно представить в виде:

Φ=

*)

1 ⎡ ( 0) ∞ ( k ) k −k ⎤ Ln + ∑ Ln (z + z )⎥, ⎢ 2⎣ k =1 ⎦

В литературе иногда встречается определение коэффициентов Лапласа, когда предполагается, что n является произвольным натуральным числом (n = 1, 2, 3, ...).

Глава 10. Коэффициенты Лапласа

331

или

[

1 + α 2 − α ( z + z −1 )

]

− n/ 2

=

1 ∞ (k ) k ∑ Ln z . 2 k =−∞

(10.1.6)

В соотношении (10.1.6) было учтено, что согласно (10.1.4), (− k )

Ln (α ) = Ln (α ). (k )

(10.1.7)

Функцию в левой части равенства (10.1.6) принято называть производящей функцией для коэффициентов Лапласа. Если выражение (10.1.5) представить в виде Φ = (1 − αz )

− n/ 2

−1 − n/2

(1 − αz )

(10.1.8)

и разложить каждый сомножитель (10.1.8) в ряд по степеням z, то, очевидно, будем иметь n n(n + 2) n(n + 2)(n + 4) 3 3 − n/ 2 2 (1 − αz ) = 1 + αz + (αz ) + α z +..., 2 2⋅ 4 2⋅ 4⋅ 6 (10.1.9) − n/ 2 n −1 n(n + 2) 2 −2 n(n + 2)(n + 4) 3 −3 ⎛ α⎞ = 1 + αz + α z + α z +... ⎜1− ⎟ ⎝ z⎠ 2 2⋅ 4 2⋅ 4⋅ 6

Перемножая эти ряды, с учетом (10.1.6) получим Φ=

1 ∞ (k ) k ∑ Ln z . 2 k =−∞

(10.1.10)

где 2

2

2

1 (0) ⎛n⎞ ⎡ n(n + 2) ⎤ 4 ⎡ n(n + 2)(n + 4) ⎤ 6 α +⎢ Ln = 1 + ⎜ ⎟ α 2 + ⎢ ⎥⎦ α + ..., 2 2⋅4⋅6 ⎝2⎠ ⎣ 2 ⋅ 4 ⎥⎦ ⎣ 1 ( k ) n(n + 2)...(n + 2k − 2) k ⎡ n n + 2k 2 α ⎢1 + α + Ln = 2 2 ⋅ 4 ⋅ 6...(2k ) ⎣ 2 2k + 2 +

(10.1.11)

⎤ n(n + 2) (n + 2k )(n + 2k + 2) 4 α + ...⎥, 2⋅4 (2k + 2)(2k + 4) ⎦

или (0) n

L

L(nk )

2

⎡ ( n + 2m − 2)!! α m ⎤ , = 2∑ ⎢ ( n − 2)!! ( 2m )!! ⎥⎦ m =0 ⎣ ∞ 2 ( n + 2m − 2)!!( n + 2( m − 1) + 2k )!! 2 m + k α . = 2 ∑ [( n − 2)!! ] m =0 ( 2m )!!( 2k + 2m )!! ∞

(10.1.12)

Так как ряды (10.1.9) при 0 < α < 1 ввиду того, что |z| = |z−1| = |exp(±iϕ)| = 1, являются сходящимися, то полученные степенные ряды (10.1.12) для коэффициентов Лапласа также будут сходиться для всех 0 < α < 1.

332

Часть II. Аппарат специальных функций

10.2. Рекуррентные соотношения Из равенства (10.1.6) ∞ 1 −1 − n / 2 2 1 + α − α (z + z ) = ∑ L(nk ) z k , n = 2l + 1, l = 0, 1, ... 2 k = −∞ после дифференцирования обеих его частей по переменной z следует соотношение

[

]

[

]

n − −1 n 1 ∞ α (1 − z −2 ) 1 + α 2 − α ( z + z −1 ) 2 = ∑ kL(nk ) z k −1 , 2 2 k =−∞

(10.2.1)

которое можно представить в виде

[

]

∞ ∞ n α (1 − z −2 ) ∑ L(nk ) z k = 1 + α 2 − α ( z + z −1 ) ∑ kL(nk ) z k −1 . 2 k = −∞ k = −∞

(10.2.2)

После приравнивания при zk−1 коэффициентов обеих частей равенства (10.2.2), получим в итоге рекуррентное соотношение

[

]

[

]

1 nα L(nk −1) − L(nk +1) = (1 + α 2 ) kL(nk ) − α (k − 1) L(nk −1) + (k + 1) L(nk +1) , 2

или ( k +1)

(2k − n + 2) Ln

−1

( k −1)

= 2k (α + α ) Ln − (2k + n − 2) Ln (k )

,

(10.2.3)

позволяющее последовательно вычислять значения коэффициентов L(n2) , L(n3) и т. д., если известны величины L(n0) и L(n1) (n = 1, 3, 5, ...). Если теперь с учетом (10.1.6) представить равенство (10.2.1) в виде ∞ ∞ n α (1 − z −2 ) ∑ L(nk+)2 z k = ∑ kL(nk ) z k −1 , 2 k =−∞ k =−∞

то после приравнивания соответствующих коэффициентов при zk−1 будем иметь

[

]

n α L(nk+−21) − L(nk++21) = kL(nk ) . 2

(10.2.4)

Заменим далее в равенстве (10.2.3) n на n + 2, тогда ( k +1)

−1

( k −1)

(2k − n) Ln+ 2 = 2k (α + α ) Ln+ 2 − (2k + n) Ln+ 2 . (k )

(10.2.5)

Исключая из двух последних равенств коэффициент L(nk+−21) , получим следующее соотношение: 2 ( k +1) (k ) (k ) (10.2.6) 2nαLn+ 2 − n(1 + α ) Ln+ 2 + (2k + n) Ln = 0, а если исключить из этих же равенств L(nk++21) , то найдем ( k −1)

n(1 + α ) Ln+ 2 − 2nαLn+ 2 + (2k − n) Ln = 0, 2

(k )

(k )

(10.2.7)

или после замены здесь k на k + 1: ( k +1)

( k +1)

n(1 + α ) Ln+ 2 − 2nαLn+ 2 + (2k − n + 2) Ln 2

(k )

= 0.

(10.2.8)

Глава 10. Коэффициенты Лапласа

333

И, наконец, если исключить из (10.2.6.) и (10.2.8) коэффициент L(nk++21) , так что ( k +1)

n(1 − α ) Ln+ 2 = (n + 2k )(1 + α ) Ln − 2α (2k − n + 2) Ln 2 2

(k )

2

(k )

,

то после подстановки в последнее равенство выражения (10.2.3) для коэффициента ( k +1) Ln получим искомое соотношение ( k −1)

n(1 − α ) Ln+ 2 = (n − 2k )(1 + α ) Ln + 2α (2k + n − 2) Ln 2 2

(k )

2

(k )

(10.2.9)

,

которое позволяет вычислять значения коэффициентов L(nk+2) (n = 1, 3, 5, ...; k = 0, ±1, ...), если известны величины L(nk ) и L(nk −1) (n = 2l + 1; l = 0, 1, ...). Таким образом, соотношения (10.2.3) и (10.2.9) дают возможность вычислять коэффициенты Лапласа для произвольных индексов n и k (n = 2l + 1, l = 0, 1, ...; k = 0, ±1, ...) по известным значениям коэффициентов L(10) и L(11) , определяемых согласно (10.1.4) следующими выражениями

L(10) =

2

π

π∫ 0

dϕ 1 − 2α cos ϕ + α

2

, L(11) =

π

2

cos ϕdϕ

π∫

1 − 2α cos ϕ + α

0

2

.

(10.2.10)

Если в (10.2.10) от ϕ перейти к новой переменной τ такой что sin(τ − ϕ) = αsinτ,

(10.2.11)

то после дифференцирования (10.2.11) будем иметь cos(τ − ϕ)(dτ − dϕ) = αcosτ dτ, или dϕ =

Но, поскольку

cos(τ − ϕ ) − α cos τ ± 1 − α sin τ − α cos τ dτ = dτ . 2 2 cos(τ − ϕ ) ± 1 − α sin τ 2

2

(10.2.12)

cosϕ = cos[(τ − ϕ) − τ] = cos(τ − ϕ)cosτ + sin(τ − ϕ)sinτ,

то из (10.2.11) следует, что *)

cosϕ = ± cosτ 1 − α 2 sin 2 τ + α sin 2 τ ,

(10.2.13)

1 − 2α cosϕ + α 2 = 1 − α 2 sin 2 τ m α cosτ , поэтому, с учетом (10.2.12), получим

*)

При получении второго соотношения (10.2.13) было учтено, что

[

1 − 2α cos ϕ + α 2 = 1 + α 2 m 2α cos τ 1 − α 2 sin 2 τ − 2α 2 sin 2 τ

[

= 1 − α 2 sin 2 τ m 2α cos τ 1 − α 2 sin 2 τ + α 2 cos 2 τ

]

1/ 2

]

1/ 2

=

= 1 − α 2 sin 2 τ m α cos τ ,

и так как при 0 < α <1 1 − α 2 sin 2 τ > α 1 − sin 2 τ , то отсюда и следует искомое выражение (10.2.13).

334

Часть II. Аппарат специальных функций

dϕ 1 − 2α cos ϕ + α

dτ

=

2

1 − α sin τ 2

2

.

(10.2.14)

Следовательно, учитывая, что согласно (10.2.11) при изменении ϕ от 0 до π переменная τ также изменяется в этих пределах, из (10.2.14) и (10.2.10) найдем ( 0) 1

L

=

2

π

dτ

π∫

1 − α 2 sin 2 τ

0

,

или окончательно

2⎡ = ⎢∫ π⎢0 ⎣

π /2

( 0) 1

L

π

dτ

−

1 − α 2 sin 2 τ

∫

π /2

⎤ ⎥, 1 − α 2 sin 2 (π − τ ) ⎥⎦ d (π − τ )

то есть L(10) =

4

π

K (α ),

(10.2.15)

где K(α) — полный эллиптический интеграл первого рода вида (8.7.15) (см. раздел 8.7). Аналогично из (10.2.10)-(10.2.14) будем иметь π π ⎤ α sin 2 τ 2⎡ L = ⎢± ∫ cos τdτ + ∫ dτ ⎥, π⎢ 0 1 − α 2 sin 2 (τ ) ⎥⎦ 0 ⎣ (1) 1

так что π π ⎤ 2 ⎡ dτ − ∫ 1 − α 2 sin 2 τ dτ ⎥. L = ⎢∫ πα ⎢⎣ 0 1 − α 2 sin 2 τ 0 ⎥⎦ (1) 1

Обозначая через π /2

∫

E(α ) =

1 − α 2 sin 2 τ dτ

(10.2.16)

0

полный эллиптический интеграл второго рода, тогда получим окончательно L(11) =

4

πα

[ K (α ) − E (α )].

(10.2.17)

Таким образом, коэффициенты Лапласа L(10) (α ) и L(11) (α ) определяются через полные эллиптические интегралы первого и второго рода. При этом эллиптические интегралы K(α) и E(α) могут быть представлены соответствующими рядами вида (8.14.10) по степеням модуля α (см. раздел 8.14). 10.3. Дифференциальное уравнение Если дважды продифференцировать обе части соотношения (10.1.3)

[1 − 2α cosϕ + α ]

2 − n/ 2

по параметру α, то получим уравнения:

=

∞ 1 ( 0) Ln (α ) + ∑ L(nk ) (α ) cos(kϕ ) 2 k =1

(10.3.1)

Глава 10. Коэффициенты Лапласа

335

⎡ (n + 2)(cosϕ − α ) 2 − 1 + 2α cosϕ − α 2 ⎤ 1 d 2 L(n0 ) ∞ d 2 L(nk ) n⎢ +∑ cos(kϕ ), ⎥=2 2 (1 − 2α cosϕ + α 2 ) 2+ n / 2 dα 2 k =1 dα ⎦ ⎣ которое можно представить в виде 2 ( 0) ∞ d 2 L(nk ) n(n + 1) n(n + 2) sin 2 ϕ 1 d Ln +∑ cos(kϕ ) = − . (10.3.2) 2 2 dα 2 (1 − 2α cos ϕ + α 2 )1+ n/ 2 (1 − 2α cos ϕ + α 2 ) 2+ n/ 2 k =1 dα

Заменяя далее в соотношении (10.3.1) n на n + 2, так что 1 (1 − 2α cos ϕ + α 2 )1+ n/ 2

=

∞ 1 ( 0) Ln+ 2 + ∑ L(nk+)2 cos(kϕ ), 2 k =1

(10.3.3)

и дифференцируя с заменой индекса k на m обе части (10.3.3) уже по переменной ϕ, будем иметь: ∞ ( n + 2)α sin ϕ = mL(nm+)2 sin( mϕ ). ∑ 2 2+ n / 2 (1 − 2α cos ϕ + α ) m =1 Умножая затем обе части последнего равенства на sinϕ и учитывая, что sin ϕ sin(mϕ ) =

1 cos( (m − 1)ϕ ) − cos( (m + 1)ϕ ) , 2

[

]

получим ∞ ⎤ α (n + 2) sin 2 ϕ 1⎡ ∞ ( m) = mL cos( m − 1 ) ϕ − mL(nm+)2 cos(m + 1)ϕ ⎥ = n+ 2 ∑ ∑ ⎢ 2 2+ n/ 2 2 ⎣ m =1 (1 − 2α cos ϕ + α ) m=1 ⎦

1 (1) 1 ∞ = Ln+ 2 + ∑ (k + 1) L(nk++21) − (k − 1) L(nk+−21) cos(kϕ ). 2 2 k =1

[

]

(10.3.4)

Если подставить теперь в правую часть уравнения (10.3.2) полученные выражения (10.3.3) и (10.3.4), очевидно, будем иметь 2 ( 0) ∞ ∞ d 2 L(nk ) 1 d Ln n(n + 1) ( 0) n (1) + cos( ) = + ( + ) 1 k L n n L(nk+)2 cos(kϕ ) − Ln+ 2 − ϕ n+ 2 ∑ ∑ 2 2 2 dα 2 2α k =1 dα k =1

n ∞ − (k + 1) L(nk++21) − (k − 1) L(nk+−21) cos(kϕ ). ∑ 2α k =1

[

]

(10.3.5)

Следовательно, приравнивая коэффициенты при cos(kϕ) левой и правой частей равенства (10.3.5), получим

[

]

d 2 L(nk ) n = n(n + 1) L(nk+)2 − (k + 1) L(nk++21) − (k − 1) L(nk+−21) . 2 dα 2α

(10.3.6)

И, поскольку соотношение, получаемое из (10.3.5) приравниванием свободных членов (то есть слагаемых, не содержащих явно множители cos(kϕ)): d 2 L(n0 ) n = n(n + 1) L(n0+)2 − L(n1+) 2 , 2 dα α

336

Часть II. Аппарат специальных функций

совпадает с (10.3.6) при k = 0, то уравнение (10.3.6) оказывается справедливым при любых целочисленных значениях k, включая и k = 0. Преобразуем полученное уравнение (10.3.6) так, чтобы оно содержало лишь коэффициенты Лапласа с одними и теми же индексами. Для этого обратимся к равенству (10.1.6) −n / 2 1 ∞ 1 + α 2 − α ( z + z −1 = ∑ z k L(nk ) (α ) 2 k =−∞

[

]

и продифференцируем обе его части по α

−

[

][

]

n+ 2 − n 1 ∞ dL( k ) 2α − ( z + z −1 ) 1 + α 2 − α ( z + z −1 ) 2 = ∑ n z k , 2 2 k =−∞ dα

то есть

[

n z + z −1 − 2α 2

] ∑L ∞

k = −∞

(k ) n+2

zk =

dL(nk ) k z . ∑ k = −∞ dα ∞

k

Приравнивая затем коэффициенты при z левой и правой частей полученного равенства, найдем dL(nk ) n = − nαL(nk+)2 + (L(nk+−21) + L(nk++21) ), dα 2 или 2 dL(nk ) L(nk++21) + L(nk+−21) = + 2αL(nk+)2 . (10.3.7) n dα На основании выражения (10.3.7), а также соотношения (10.2.4) L(nk++21) − L(nk+−21) = −

2k ( k ) Ln , nα

уравнение (10.3.6) тогда можно представить в следующем виде:

d 2 L(nk ) 1 = n 2 L(nk+)2 + 2 2 dα α

⎛ 2 (k ) dL( k ) ⎞ ⎜⎜ k Ln − α n ⎟⎟. dα ⎠ ⎝

(10.3.8)

С другой стороны, учитывая, что согласно (10.2.6), (10.2.7),

2nαL(nk++21) = n(1 + α 2 ) L(nk+)2 − (2k + n) L(nk ) , 2nαL(nk+−21) = n(1 + α 2 ) L(nk+)2 + (2k − n) L(nk ) , из (10.3.7) имеем n(1 − α 2 ) L(nk+)2 = 2α

dL(nk ) + nL(nk ) , dα

(10.3.9)

или, учетом (10.2.9): dL(nk ) nα − k (α + α −1 ) ( k ) 2k + n − 2 ( k −1) Ln + Ln . = dα 1−α2 1−α2

(10.3.10)

Глава 10. Коэффициенты Лапласа

337

Заменяя теперь в уравнении (10.3.8.) коэффициент L(nk+)2 его выражением из (10.3.9), окончательно приходим к следующему искомому дифференциальному уравнению: (k ) d 2 L(nk ) 2 3 dLn α 2 (1 − α 2 ) + α ( 1 − α ) − 2 n α − n 2α 2 + k 2 (1 − α 2 ) L(nk ) = 0. (10.3.11) 2 dα dα

[

]

[

]

Таким образом, мы показали, что коэффициенты Лапласа L(kn ) (n = 1, 3, ...; k = 0, ±1, ...) удовлетворяют линейному дифференциальному уравнению второго порядка. 10.4. Вычисление коэффициентов Лапласа и их производных В проблеме разложения возмущающей функции в теории движения небесных тел (см. разделы 10.5, 10.6, а также главы 13, 15) необходимо знание не только величин самих коэффициентов Лапласа L(nk ) (α ), но и значений их производных различных поряд-

ков. Поэтому получим выражения для вычисления производных

d m L(nk ) любого порядdα m

ка m. Из равенства (10.3.7) следует соотношение dL(nk ) dL(nk −2 ) n n − = nα (L(nk+−22 ) − L(nk+)2 ) − (L(nk+−23) − L(nk+−21) ) − (L(nk+−21) − L(nk++21) ), dα dα 2 2 которое, с учетом (10.2.4), представимо в виде

⎡ dL(nk ) dL(nk −2 ) ⎤ ( k −2) ( k −1) (k ) − ⎥ = (2 − k ) Ln + 2(k − 1)αLn − kLn . dα ⎦ ⎣ dα

α⎢

(10.4.1)

Поскольку, полагая в (10.3.10) k = 0 и k = 1, имеем dL(n0 ) nα ( 0 ) n − 2 (1) Ln + Ln , = dα 1−α2 1−α 2 dL(1) (n − 1)α 2 − 1 (1) nα ( 0 ) α n = Ln + Ln , 2 dα 1−α 1−α2

(10.4.2)

то тогда из (10.4.1), как и непосредственно из (10.3.10), удается последовательно нахоdL(nk ) от коэффициентов Лапласа L(kn ) для любых целочисдить значения производных dα ленных индексов k и n (n = 1, 3, ...), если известны величины L(n0 ) , L(n1) , L(n2 ) , ... При n = 1 равенства (10.4.2) принимают вид dL1( 0 ) = αL1( 0 ) − L1(1) , dα dL(1) α (1 − α 2 ) 1 = αL1( 0) − L1(1) , dα (1 − α 2 )

так что

(10.4.3)

338

Часть II. Аппарат специальных функций

dL1( 0 ) dL1(1) . =α dα dα

(10.4.4)

Дифференцируя далее последнее равенство (10.4.3) m раз по α, будем иметь *)

α (1 − α 2 )

m (1) d m+1 L1(1) d m−1 L1(1) 2 d L1 + ( 1 − 3 ) − 3 ( − 1 ) − α α m m m dα m+1 dα m dα m−1 d m−2 L1(1) d m L1( 0 ) d m−1 L1( 0 ) d m L1(1) − m(m − 1)(m − 2) = α + − . m dα m − 2 dα m dα m−1 dα m

(10.4.5)

С другой стороны, после соответствующего дифференцирования соотношения (10.4.4) получим равенства: d m−1 L1( 0 ) d m−1 L1(1) d m− 2 L1(1) = + ( − 2 ) , α m dα m−1 dα m−1 dα m−2 d m L1( 0 ) d m L1( 0 ) d m−1 L1(1) = α + ( − 1 ) , m dα m dα m dα m−1

(10.4.6)

с учетом которых (10.4.5) можно представить в виде:

α (1 − α 2 )

[

]

d m+1 L1(1) d m L1(1) d m−1 L1(1) 2 2 = ( 3 + 1 ) − − 1 + ( 3 − − 1 ) + α α m m m m dα m+1 dα m dα m−1 d m−2 L1(1) + m 2 (m − 2) . dα m−2

(10.4.7)

И так как из дифференциального уравнения (10.3.11) для коэффициентов Лапласа L(kn ) при n = k = 1 следует, что d 2 L1(1) dL1(1) 2 = α (3α − 1) + L1(1) , α (1 − α ) 2 dα dα 2

2

(10.4.8)

то, полагая в (10.4.7) m = 2, 3, ..., на основании (10.4.3), (10.4.8) по величинам L1( 0) и L1(1) можно последовательно вычислить значения производных высших порядков от коэффициентов Лапласа L1(1) (α ) . Тогда производные любого порядка от коэффициента Лапласа L1( 0 ) (α ) можно будет непосредственно найти из (10.4.6). В случае произвольного целочисленного значения индекса n (n = 1, 3, ...) из (10.4.2) аналогично, после m-кратного дифференцирования, для производных высших порядков от коэффициентов Лапласа L(n0) и L(n1) получим соотношения:

*)

Выражение (10.4.5) непосредственно следует из формулы Лейбница для производных высших порядков m(m − 1) ( m − 2 ) m(m − 1)(m − 2 ) ( m −3) (u ⋅ v ) ( m ) = u ( m ) v + mu ( m-1) v ′ + u v ′′ + u v ′′′ + ... + uv ( m ) , 2! 3! dL(1) если считать, что u = 1 , а v = α (1 − α 2 ) . dα

Глава 10. Коэффициенты Лапласа

339

[

]

d m+1 L(n1) d m L(n1) 2 α (1 − α ) = α (2n + 3m − 1) − 1 − m + dα m+1 dα m d m−1 L(n1) d m−2 L(n1) m m n m n + [m + (m + n − 2)(3m + n)]α + ( + − 3 )( + − 1 ) , (10.4.9) dα m−1 dα m − 2 d m+1 L(n0) d m+1 L(n1) d m L(n1) =α + (m + n − 1) , dα m+1 dα m+1 dα m 2

из которых, с учетом (10.3.10) и (10.3.11), по величинам коэффициентов Лапласа L(n0 ) и L(n1) могут быть последовательно определены производные любого порядка от этих коэффициентов. d m L(nk ) И, наконец, для рекуррентного вычисления производной любого порядка dα m m при k = ±2, ±3, ... целесообразно использовать либо равенство, которое следует из соотношения (10.4.1), если его обе части (m − 1) раз продифференцировать по α:

⎡ d m L(nk ) d m L(nk −2 ) ⎤ d m−1 L(nk ) d m−1 L(nk −1) m k k α = ( 1 − − ) + 2 ( − 1 ) + − ⎥ m dα m ⎦ dα m−1 dα m−1 ⎣ dα

α⎢

d m−1 L(nk −2) d m−2 L(nk −1) k m + (1 + m − k ) + 2 ( − 1 )( − 1 ) , dα m−1 dα m−2

(10.4.10)

либо равенство, которое получается после m-кратного дифференцирования по α непосредственно соотношения (10.3.10):

α (1 − α 2 )

d m+1 L(nk ) = dα m+1

[

= α 2 (3m + n − k ) − m − k

] ddαL m

(k ) n m

d m− 2 L(nk ) + m(m − 1)(m + n − k − 2) dα m − 2

d m−1 L(nk ) (10.4.11) + dα m−1 ⎡ d m L(nk −1) d m−1 L(nk −1) ⎤ + (2k + n − 2) ⎢α +m ⎥. dα m dα m−1 ⎦ ⎣

+ mα [3(m − 1) + 2(n − k )]

Таким образом, вводя обозначения Dαm =

dm , dα m

β=

1 , 1−α 2

согласно (10.2.3), (10.2.9), а также (10.3.10), (10.3.11) и (10.4.9)-(10.4.11), для вычисления коэффициентов Лапласа и их производных окончательно получим следующую совокупность формул:

340 L(nk ) = L(nk+)2 = Dα L(nk )

Часть II. Аппарат специальных функций 2k + n − 4 (k −2) 2k − 2 Ln , (α + α −1 ) L(nk −1) − 2k − n 2k − n

β2

[( n − 2 k )(1 + α ) L + 2α ( 2 k + n − 2 ) L ] , n }, = β {[n α − k (α + α ) ]L + ( 2 k + n − 2 ) L ( k −1) n

(k ) n

−1

Dα2 L(nk ) = Dαm +1 L(n1)

2

( k −1) n

(k ) n

⎡ 2 2 k 2 ⎤ (k ) ⎫ β ⎧⎡ α⎤ 3 (k ) 2 n α D L − + ⎨ n ⎢ n α + β ⎥ L n ⎬, β ⎥⎦ α α 2 ⎩ ⎢⎣ ⎣ ⎦ ⎭ β = {[α 2 ( 2 n + 3 m − 1) − 1 − m ]Dαm L(n1) + [m + ( m + n − 2 )( 3 m + n ) ]α Dαm −1 L(n1) + α

}

+ m ( m + n − 3)( m + n − 1) Dαm − 2 L(n1) , Dαm +1 L(n0 ) = α Dαm +1 L(n1) + ( m + n − 1) Dαm L(n1) , Dαm L(nk ) = Dαm L(nk − 2 ) +

1

α

{(1 − m − k ) D

m −1

α

L(nk ) + 2 ( k − 1)α Dαm −1 L(nk −1) + (1 + m − k ) Dαm −1 L(nk − 2 ) +

}

+ 2 ( k − 1)( m − 1) Dαm − 2 L(nk −1) ,

β [ { α 2 (3 m + n − k ) − m − k ]Dαm L(nk ) + m α [3( m − 1) + 2 ( n − k ) ]Dαm −1 L(nk ) + α + m ( m − 1)( m + n − k − 2 ) Dαm − 2 L(nk ) + ( 2 k + n − 2 )α Dαm L(nk −1) + m ( 2 k + n − 2 ) Dαm −1 L(nk −1) }.

Dαm +1 L(nk ) =

Исходными данными здесь являются значения L1( 0) и L1(1) , которые, как уже указывалось в разделе 10.2, могут быть найдены с помощью рядов по возрастающим степеням α вида (8.14.10) (см. также раздел 10.7). 10.5. Разложение возмущающей функции задачи трех тел в случае круговых орбит Рассмотрим движение планеты (материальной точки) P под действием притяжения Солнца S и некоторой другой планеты P′. Будем предполагать, что орбиты этих двух планет являются круговыми и не пересекаются в пространстве. Как будет показано в главе 13, в системе координат, связанной с центром масс S, возмущающая функция R, описывающая гравитационное воздействие P′ на планету P, в рассматриваемом случае (когда “возмущенные орбиты” планет остаются круговыми) имеет вид: ⎛ 1 r cos H ⎞ (10.5.1) R = fm′⎜ − ⎟, r ′2 ⎠ ⎝Δ r где f — гравитационная постоянная, m′ — масса возмущающей планеты P′, r = r = a и r r ′ = r ′ = a′ — соответственно модули гелиоцентрических радиус-векторов (большие

полуоси орбит) планет P и P′ (при этом a ≠ a′), H — угол между радиус-векторами этих планет, а взаимное расстояние Δ между P и P′ определяется следующим выражением:

Δ = a 2 − 2aa′ cos H + a′ 2 .

(10.5.2)

Глава 10. Коэффициенты Лапласа

341

Если обозначить через I угол взаимного наклона плоскостей круговых орбит планет P и P′, то, как очевидно из рис. 36, на котором изображены проекции орбит рассматриваемых планет на небесную сферу, из сферического треугольника OPP′, согласно теореме косинусов, будем иметь *) : ∪

∪

∪

∪

cos H = cos OP cos OP ′ sin OP sin OP ′ cos I . P I

E Ω'

(10.5.3)

H P'

O i'

i

эклиптика

Ω

Рис. 36. ∪

∪

Здесь (в случае круговых орбит) OP = λср , OP′ = λср′ — средние долготы планет, отсчитываемые от их общего узла. Поскольку cos I = 1 − 2 sin 2 ( I 2), то (10.5.3) можно преобразовать к виду: cos H = cos(λср − λср′ ) − 2 sin 2 ( I 2) sin λср sin λср′ . (10.5.4) Введем далее следующие обозначения:

H 0 = λср − λср′ , σ = sin( I 2), Δ 0 = a 2 − 2aa′ cos H 0 + a′ 2 .

(10.5.5)

Тогда из (10.5.2) и (10.5.4) найдем ⎤ 1 1 ⎡ 4σ 2 aa′ sin λср sin λср′ ⎥ = ⎢1 + 2 Δ Δ0 ⎣ Δ0 ⎦

−1 / 2

.

(10.5.6)

Предполагая наклон I малой величиной (то есть σ 2 << 1 ), разложим (10.5.6) в ряд по возрастающим степеням σ : aa′ a 2 a′ 2 1 1 = − 2σ 2 3 sin λср sin λср′ + 6σ 4 5 sin 2 λср sin 2 λср′ + ... Δ0 Δ0 Δ Δ0

(10.5.7)

Считая для определенности, что a < a′, согласно (10.5.5) будем иметь **) *)

На рис. 36 точками P и P′ отмечены проекции положений рассматриваемых планет в некоторый момент времени t, а долготы узлов орбит планет P и P′ обозначены через Ω и Ω′ соответственно. **) При a > a′ следует выбрать α = a′⁄a <1, тогда 1 1 −1 / 2 = 1 − 2α cos(λ ср − λ ср′ ) + α 2 . Δ0 a

[

]

Если a = a′ (этот случай мы изначально исключили из рассмотрения), то Δ0 может обращаться в нуль, а следовательно, ряд (10.5.7) для 1⁄Δ расходится.

342

Часть II. Аппарат специальных функций

[

1 1 = 1 − 2α cos(λср − λср′ ) + α 2 Δ 0 a′

]

−1 / 2

,

где α = a′⁄a <1. И на основании (10.1.2), (10.1.3) и (10.1.7) (см. раздел 10.1), получим

[

]

∞ 1 1 ⎡ (0) 1 ∞ (k ) ⎤ (k ) ′ = L 2 L cos k ( λ λ ) = + − ∑ 1 1 ср ср ⎥ 2a′ ∑ L1 cos(kλср − kλср′ ), Δ 0 2a′ ⎢⎣ k =1 k = −∞ ⎦

2 aa ′ α ∞ ( k ) = ∑ L3 cos(kλср − kλср′ ), Δ30 a′ k =−∞ 6a 2 a′ 2 3α 2 = Δ50 a′

∞

∑L

k = −∞

(10.5.8)

cos(kλср − kλср′ ).

(k ) 5

Так как

[

]

1 cos(λср − λср′ ) − cos(λср + λср′ ) , 2 1 sin 2 λср sin 2 λср′ = 1 − cos 2λср − cos 2λср′ + 4 1 + cos(2λср − 2λср′ ) + cos(2λср + 2λср′ ) , 8 sin λср sin λср′ =

[

]

[

(10.5.9)

]

то, подставляя выражения (10.5.8) и (10.5.9) в (10.5.7), с учетом (10.1.7), после несложных преобразований найдем ∞ ∞ a′ 2 ′ = ∑ Ak cos(kλср − kλср ) + σ ∑ Bk cos (k − 1)λср − (k + 1)λср′ + Δ k = −∞ k = −∞

[

+σ

∞

4

∑C

k = −∞

k

[

]

]

(10.5.10)

cos (k − 2)λср − (k + 2)λср′ + ...

При этом для коэффициентов Ak, Bk и Ck справедливы следующие выражения *) : 1 ( k ) σ 2α ( k +1) 3σ 4α 2 ( k −1) Ak = L1 − L3 + L3 + 4 L(5k ) + L(5k + 2 ) + L(5k −2) + ..., 2 4 16 2 2 α 3σ α Bk = L(3k ) − L(5k +1) + L(5k −1) + ..., 2 4 3α 2 ( k ) Ck = L5 + ... 8

[

]

[

[

]

]

(10.5.11)

Представим теперь величину cosH, входящую в выражение для возмущающей функции (10.5.1), в виде слагаемых по косинусам углов, кратных λcp ± λ′cp. Согласно (10.5.4), (10.5.5) и (10.5.9), будем иметь

cos H = (1 − σ 2 ) cos(λср − λср′ ) + σ 2 cos(λср + λср′ ). *)

(10.5.12)

В (10.5.10) и (10.5.11) в явном виде выписаны все слагаемые разложения a′⁄Δ до σ 4 включительно.

Глава 10. Коэффициенты Лапласа

343

Таким образом, с учетом (10.5.10), (10.5.12), для возмущающей функции (10.5.1) получим следующее разложение в ряд Фурье *) R=

fm ′ ∞ Ak − δ k ,1α (1 − σ 2 ) cos(kλср − kλср′ ) + ∑ a′ k =−∞

{[

]

[

]

+ σ 2 (Bk − δ k ,0α ) cos (k − 1)λср − (k + 1)λср′ +

[

]

+ σ 4C k cos (k − 2)λср − (k + 2)λср′ + ...} ,

(10.5.13)

⎧1 при k = l ; где δ k ,l = ⎨ — символ Кронекера, а величины Ak, Bk, Ck определяются выра⎩0 при k ≠ l жениями (10.5.11) через коэффициенты Лапласа L(nk ) (α ) (n = 1, 3, ...; k = 0, ±1, ...), которые, в свою очередь, представимы рядами по возрастающим степеням α = a′⁄a вида (10.1.12). 10.6. Операторы Ньюкома В разделе 2.3, посвященном интегрированию уравнений движения задачи одного неподвижного центра, для характеристики положения материальной точки на эллиптической орбите было введено, в частности, понятие истинной аномалии v (угол между r радиус-вектором r материальной точки и большой полуосью a эллиптической орбиты, отсчитываемый от перицентра орбиты в направлении движения материальной точки по орбите). Распространим это понятие и на случай, когда рассматривается (как и в предыдущем разделе) проекция эллиптической орбиты на небесную сферу единичного радиуса (см. рис. 37).

P

С

ω П i

Ω E

ε

эклиптика

N

экватор Земли

Рис. 37. *)

Нетрудно видеть, что при a > a′ разложение (10.5.13) остается в силе, если в нем осуществить формальную замену a′ на a и α на α−2. При a > a′ следует уже считать, что α = a′⁄a < 1.

344

Часть II. Аппарат специальных функций

Величину v определим как угол, отсчитываемый по дуге проекции рассматриваемой эллиптической орбиты на небесную сферу единичного радиуса, от точки перицентра П до точки P, являющейся проекцией положения исследуемой материальной точки (движущейся по эллиптической орбите) в текущий момент времени t, то есть в согласии с (2.3.39): ∪

∪

v = PN − ПN , ∪

∪

где PN = u — аргумент широты, ПN = ω — аргумент перицентра. Тогда истинная долгота w (отсчитываемая от точки весеннего равноденствия γ) точки P будет равна (см. рис. 37) *) w = Ω + ω + v. (10.6.1) Но так как, согласно (2.3.45), средняя долгота λcp точки P связана со средней аномалией l соотношением вида (10.6.2) λср = Ω + ω + l , то из (10.6.1) получим

w = λср + v − l = λср + f ,

(10.6.3)

где f = v − l (то есть отличие истинной аномалии от средней) принято называть уравнением центра. Рассмотрим далее функцию двух переменных

ϕ (ln r , w) = F (ln r ) exp(isw ),

(10.6.4)

в которой r — модуль радиус-вектора материальной точки (а не ее проекции P), движущейся по эллиптической орбите, w — истинная долгота, определяемая выражением 2

(10.6.3), s — произвольное целое число, i = −1. Если ввести величину ρ = ln(r / a ) = ln(r ) − ln(a ),

(10.6.5)

где a — большая полуось орбиты рассматриваемой материальной точки, то функцию (10.6.4), с учетом (10.6.3), можно представить в виде:

ϕ = F (ln a + ρ ) exp[is (λср + f )] .

(10.6.6)

Используя разложения координат кеплеровского (эллиптического) движения в тригонометрические ряды, проведенные ранее в разделе 6.9, нетрудно получить соответствующие ряды по степеням эксцентриситета e эллиптической орбиты для ρ и f = v − l. Так, из (6.9.21) и (6.9.19), учитывая тейлоровское разложение для логарифмической функции, сразу находим

ρ = −e cos l +

e2 e3 (1 − 3 cos 2l ) + (9 cos l − 17 cos 3l ) + ... 4 24

(10.6.7)

Из первого соотношения (6.9.1) *)

Истинную долготу иногда отсчитывают и от других реперных точек, в частности, от точки пересечения (общего узла) проекций на небесную сферу двух орбит планет (небесных тел).

Глава 10. Коэффициенты Лапласа

tg

345

v 1+ e E = tg , 2 1− e 2

вводя обозначения x = exp(iv ),

y = exp(iE ), i 2 = −1,

(10.6.8)

после несложных преобразований получим

1 − βy −1 , 1 − βy

(10.6.9)

e⎛ 1 1 ⎞ = ⎜1 + e 2 + e 4 + ...⎟. 8 ⎠ 1+ 1− e2 2 ⎝ 4

(10.6.10)

x= y где

β=

e

Логарифмируя далее обе части (10.6.9) и разлагая правую часть получившегося равенства в ряд по степеням β (являющейся, согласно (10.6.10), величиной порядка эксцентриситета e), найдем ∞

βn

n =1

n

ln x = ln y + ∑

( y n − y −n ).

Но, как следует из (10.6.8), ln x = iv , ln y = iE ,

y n − y − n = 2i sin( nE ), i 2 = −1.

Следовательно, ∞

v = E + 2∑

βn

sin (nE ) (10.6.11) n и на основании разложений функции sin(nE) по кратным средней аномалии (см. раздел 6.9): ∞ 1 (10.6.12) sin( nE ) = n ∑ [J k −n ( ke) + J k + n ( ke)]sin( kl ), k =1 k где Jm (m = k ± n) — функции Бесселя целого индекса m вида (6.2.5), а также соответствующего разложения (6.9.23) для эксцентрической аномалии E n =1

∞ 2 E = l + ∑ J k ( ke) sin( kl ), k =1 k

с учетом (10.6.10), для уравнения центра f = v − l окончательно получим ряд по возрастающим эксцентриситетам e вида *) e3 5 f = 2e sin l + e 2 sin 2l + (−3 sin l + 13 sin 3l ) + ... 4 12

(10.6.13)

Учитывая представления (10.6.7) и (10.6.13), разложим теперь функцию (10.6.6) также в ряд по степеням эксцентриситета e, коэффициенты которого будут, очевидно, являться периодическими функциями от l.

*)

Ряды (10.6.7) и (10.6.13), как уже указывалось в разделе 6.9, для всех значений l при 0 ≤ e < 1 будут сходиться (но не абсолютно).

346

Часть II. Аппарат специальных функций

Предварительно заметим, что в случае функции одной переменной ξ ряд Тейлора имеет вид: ∞ (Δξ ) n d n ϕ (ξ + Δξ ) = ∑ [ϕ (ξ )] . n! dξ n n =0 Но, так как ∞

ξn

n =0

n!

exp(ξ ) = ∑

,

то ряд для функции ϕ(ξ + Δξ) можно представить в следующей символической форме: ⎛

ϕ (ξ + Δξ ) = exp⎜⎜ Δξ ⎝

d ⎞ ⎟ϕ (ξ ). dξ ⎟⎠

Аналогично и в случае функции многих переменных будет справедливо выражение

⎛

ϕ (ξ1 + Δξ1 , ξ 2 + Δξ 2 ,...) = exp⎜⎜ Δξ1 ⎝

Поэтому, вводя обозначения

D=

⎞ ∂ ∂ + Δξ 2 + ...⎟⎟ϕ (ξ1 , ξ 2 ,...). ∂ξ1 ∂ξ 2 ⎠

∂ ∂ , D1 = , ∂λср ∂ ln a

(10.6.14)

(10.6.15)

с учетом (10.6.14), для функции (10.6.6)

ϕ = ϕ (ln a + ρ , λср + f ) будем иметь следующее символическое равенство:

ϕ = exp( ρD + fD1 )ϕ (ln a, λср ).

(10.6.16)

Поскольку, согласно (10.6.6),

ϕ (ln a, λср ) = ϕ 0

ρ =λср =0

то

D1ϕ 0 =

= F (ln a) exp(isλср ),

(10.6.17)

∂ϕ 0 = isϕ 0 , ∂λср

2

то есть D1 = is (i = −1), а следовательно, для (10.6.16) получим следующее выражение:

ϕ = exp( ρD + isf )ϕ 0 .

(10.6.18)

Представим теперь ряды (10.6.7) и (10.6.13) в виде

ρ = eρ1 + e 2 ρ 2 + e 3 ρ 3 + ..., где с учетом обозначения z = exp(il),

f = ef1 + e 2 f 2 + e 3 f 3 + ...,

(10.6.19)

Глава 10. Коэффициенты Лапласа

347

1 1 2 8 1 ρ 3 = (9 z + 9 z −1 − 17 z 3 − 17 z −3 ), ..., 48 5 f1 = −iz + iz −1 , f 2 = − i ( z 2 − z −2 ), 8 i f 3 = (3z − 3 z −1 − 13z 3 + 13z −3 ), ... 24

ρ1 = − ( z + z −1 ), ρ 2 = (2 − 3z 2 − 3 z −2 ),

(10.6.20)

Тогда на основании (10.6.19) будем иметь exp( ρD + isf ) = exp[e( ρ1 D + isf1 )] exp[e 2 ( ρ 2 D + isf 2 )] exp[e 3 ( ρ 3 D + isf 3 )] ...,

или, после разложения экспонент в соответствующие ряды по возрастающим степеням эксцентриситета e, получим равенство exp( ρD + isf ) = a0 + ea1 + e 2 a 2 + e 3 a3 + ...,

(10.6.21)

в котором a0 = 1, a1 = ρ1 D + isf1 , a2 =

1 ( ρ1 D + isf1 ) 2 + ( ρ 2 D + isf 2 ), 2

(10.6.22) 1 3 a3 = ( ρ1 D + isf1 ) + ( ρ1 D + isf1 )( ρ 2 D + isf 2 ) + ( ρ 3 D + isf 3 ), ... 6 Если учесть далее выражения (10.6.20), то коэффициенты (10.6.22) можно представить в следующем виде: ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ a 0 = 1, a1 = ⎜ − D + s ⎟ z + ⎜ − D − s ⎟ z −1 , ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 1 1 a 2 = D 2 + (−4 s − 3) D + 5s + 4s 2 z 2 + ( D 2 + D − 4 s 2 ) + 8 4 1 + D 2 + (4 s − 3) D − 5s + 4s 2 z − 2 , ... , 8

[

]

[

(10.6.23)

]

или a0 = Π 00 , a1 = Π11 z + Π −11 z −1 , a2 = Π 22 z 2 + Π 02 + Π −22 z −2 ,

(10.6.24)

..... ak = Π kk z k + Π k k−2 + ... + Π −kk z −k , ... Здесь через Π qp = Π qp ( D, s ), где q и p — целые числа, обозначены полиномы степени q относительно D и s. Эти символические полиномы и называются операторами Ньюкома *) . *)

Указанные полиномы, рассматриваемые как операторы, были впервые введены С. Ньюкомом в его фундаментальном трактате, опубликованном в 1895 г. и посвященном разложению возмущающей функции в теории движения планет.

348

Часть II. Аппарат специальных функций

Сопоставляя равенства (10.6.24) и (10.6.23), для первых (с начальными индексами) операторов Π qp ( D, s ) получим следующие явные выражения: Π 00 = 1, 2Π 11 = − D + 2 s, 2Π −11 = − D − 2 s, 8Π 22 = D 2 − (4 s + 3) D + 4 s 2 + 5s, 4Π = D + D − 4 s , 8Π 2 0

2

2

2 −2

(10.6.25)

= D + (4 s − 3) D + 4 s − 5s, 2

2

из которых, в частности, следует, что

Π qp ( D,− s ) = Π −qp ( D, s), Π qp ( D, s) ≡ 0, если | p |> q,

(10.6.26)

q − | p |= 2n; n = 0, 1, ... Подставляя теперь (10.6.24) в равенство (10.6.21), найдем

(

)

(

)

exp( ρD + isf ) = Π 00 + e Π 11 z + Π −11 z −1 + e 2 Π 22 z 2 + Π 02 + Π −22 z −2 + ...,

или ∞

exp( ρD + isf ) = ∑ e q q =0

∑Π

| p| = q − 2 n

q p

zp

(2n = 0, 2, ..., q).

(10.6.27)

Следовательно, согласно (10.6.17) и (10.6.18), искомое разложение функции ϕ, определяемой выражением (10.6.6), в ряд по степеням эксцентриситета e будет иметь вид ∞

ϕ = ∑ eq q =0

∑Q

| p| = q − 2 n

q p

gsz p,

(10.6.28)

2

где g = exp(iλср), i = −1, а через Q pq обозначен результат применения оператора Ньюкоm

ма Π qp ( D, s ) к функции F(lna), то есть Q pq = Π qp F (ln a). При этом умножение D на F(lna), согласно (10.6.15), означает *)

d m F (ln a) D F (ln a) = . d (ln a ) m m

2

Поскольку z = exp(il), i = −1, то из (10.6.28), как уже указывалось, следует, что коэффициенты полученного ряда по возрастающим степеням эксцентриситета e являются периодическими функциями от средней аномалии l. Введенные в данном разделе операторы Ньюкома, а также функция вида (10.6.28) будут использованы в дальнейшем в главах 13 и 15, где операторы Ньюкома при определении величины Q pq будут применяться непосредственно к коэффициентам Лапласа L(nk ) . Действие операторов Ньюкома на коэффициенты Лапласа, согласно (10.6.24)(10.6.25), фактически сводится к нахождению коэффициентов Лапласа и их производных. А эта проблема была уже нами рассмотрена в разделе 10.4.

*)

Здесь уже берется полная, а не частная производная, поскольку, как следует из (10.6.6), переменные ρ и m

f разделяются и оператор D действует на функцию лишь одной переменной lnr = lna + ρ.

Глава 10. Коэффициенты Лапласа

349

10.7. Дополнения П. Лаплас в 1799 г. при рассмотрении проблемы разложения возмущающей функции в теории движения больших планет впервые исследовал функции вида (10.1.4), ныне именуемые как коэффициенты Лапласа L(nk ) (α ) . Основные свойства этих коэффициентов были изложены Лапласом в его “Трактате по небесной механике”, а позднее, более подробно, — Ф. Тиссераном и А. Пуанкаре [31, 41, 42]. В настоящее время имеются различные алгоритмы вычисления коэффициентов Лапласа L(kn ) и их производных (см. раздел 10.4, а также [43]). Как было показано в разделах 10.2 и 10.4, задача нахождения этих значений для произвольных индексов n и k (n = 1, 3, ...; k = 0, ±1, ...) фактически сводится к вычислению двух коэффициентов Лапласа π π 2 2 L1( 0 ) (α ) = ∫ Φ1 / n (α ,ϕ )dϕ , L1(1) (α ) = ∫ cosϕΦ1 / n (α ,ϕ )dϕ , (10.7.1)

π

π

0

0

где, согласно (10.1.2), Φ (α ,ϕ ) = (1 − 2α cos ϕ + α 2 ) − n / 2 , 0 < α < 1, по которым на основании рекуррентных соотношений легко определяются все остальные искомые величины. Достаточно эффективный способ вычисления коэффициентов (10.7.1) связан с использованием функций Вейерштрасса, которые были подробно рассмотрены ранее в главе 8. Если в (10.7.1) от ϕ перейти к переменной z = exp(iϕ), так что 2 cosϕ = z + z −1 , dz = izdϕ , 1 − 2 cos ϕ + α 2 = 1 + α 2 − α ( z + z −1 ),

(10.7.2)

то будем иметь *) L1( 0 ) (α ) =

1 iπ

∫

| z| =1

z −1dz 1 + α 2 − α ( z + z −1 )

,

L1(1) (α ) =

1 iπ

∫

| z| =1

dz 1 + α 2 − α ( z + z −1 )

. (10.7.3)

Построим теперь ℘-функцию Вейерштрасса по инвариантам g2 и g3, или, что то же самое согласно (8.4.21), по двум из трех корней γ1, γ2, γ3 характеристического (для ℘-функции Вейерштрасса) уравнения (8.4.19) 3

4w − g2w – g3 = 0. Определим значения этих корней γ j ( j = 1,3), а следовательно, и инвариантов g2, g3 так, чтобы (см. 8.4.21)

γ 1 + γ 2 + γ 3 = 0, γ 1 − γ 3 = α −1 , γ 2 − γ 3 = α , *)

(10.7.4)

При получении выражения для коэффициента L1(1) (α ) было учтено, что при замене z на 1/z функция

F (α , z ) = 1 + α 2 − α ( z + z −1 ) не изменяется, а следовательно, 1 2iπ + 1

− 1

dz

− z −2 dz

1

z −2 dz

1

∫ F (α , z ) = 2iπ ∫ F (α , z ) = 2iπ ∫ F (α , z ) ,

C1+

C1−

C1+

где C и C — контуры единичного радиуса |z| = 1, проходимые соответственно, в положительном и отрицательном направлениях.

350

Часть II. Аппарат специальных функций

то есть 1 3 4 g 2 == (α 2 − 1 + α −2 ), 3

1 3

1 3

γ 1 = − (α − 2α −1 ), γ 2 = (2α − α −1 ), γ 3 == − (α + α −1 ),

Тогда, полагая

4 g 3 == (2α 3 − 3α − 3α −1 + 2α −3 ). 27

z = ℘(u) – γ 3,

(10.7.5)

(10.7.6)

с учетом (10.7.4) найдем 1 + α 2 − α ( z + z −1 ) = −αz −1 ( z − α )( z − α −1 ) = −αz −2 (℘(u ) − γ 3 )(℘(u ) − γ 2 )(℘(u ) − γ 1 ) ,

или, на основании (8.4.18), будем иметь − αz −2 2 1 + α − α (z + z ) = ℘′ (u ). 4 Следовательно, учитывая, что согласно (10.7.6) dz = d℘(u), а изменение z по контуру единичного радиуса |z| = 1 соответствует изменению переменной u в пределах от нуля до значения основного вещественного периода ℘-функции Вейерштрасса (2ω1), из (10.7.3) получим *) −1

2

2

2ω1

2

2ω1

π α ∫0 π α ∫0 или, поскольку, как следует из определения дзета-функции Вейерштрасса (см. (8.1.19)), L1( 0) (α ) =

du ,

L1(1) (α ) =

zdu ,

∫℘(u )du = −ζ (u ) и при этом, согласно (8.1.22), (8.1.26),

ζ (u + 2ω1 ) − ζ (u ) = 2η1 , то с учетом (10.7.5) для искомых значений коэффициентов Лапласа будем иметь 4 4 L1( 0 ) (α ) = ω1 , L1(1) (α ) = ω1 (α + α −1 ) − 3ζ (ω 1 ) . (10.7.7) π α 3π α Алгоритмы вычислений вещественного периода 2ω1 и значений дзета-функции Вейерштрасса и, в частности, величины η1 = ζ(ω1), были подробно рассмотрены в разделах 8.7 и 8.15 главы 8. Здесь заметим лишь, что для вещественного полупериода ω1 можно получить еще одно важное представление, если воспользоваться первым соотношением (8.14.7) πΘ 32 (0) , ω1 = 2 γ1 −γ 3 которое, согласно (10.7.4), можно представить в виде:

*)

Из (10.1.11) следует, что коэффициенты Лапласа являются вещественными и положительными величинами.

Глава 10. Коэффициенты Лапласа

ω1 =

351

π α 2

Θ 32 (0).

(10.7.8)

Учтем далее, что, как следует из (8.14.6) и (8.14.7), между Θ-функциями Якоби нулевого аргумента существует соотношение

Θ 02 (0) γ −γ2 = 1 , 2 Θ3 (0) γ1 −γ 3 или, согласно (10.7.4), (10.7.5), а также (8.12.13) и (8.12.14), Θ 0 (0) = (1 − α 2 )1 / 4 Θ 3 (0).

Поэтому

[

[Θ 3 (0) + Θ 0 (0)] 2 = Θ 32 (0) 1 + (1 − α 2 )1 / 4

то есть

ω1 =

]

2

2ω 1

=

π α

π α [Θ 3 (0) + Θ 0 (0)] 2

[1 + (1 − α

]

ω1 =

(1 +

[1 + (1 − α

],

2 1/ 4 2

)

2

2 1/ 4 2

) или, учитывая (8.12.13), (8.12.14), получим окончательно 2π α

(10.7.9)

, 2

)

∞ 2 ⎤ ⎡ 1 2 q ( 2l ) ⎥ . + ∑ ⎢ l =1 ⎣ ⎦

(10.7.10) 2 1−α2 Здесь параметр q < 1 в общем случае определяется по величинам (10.7.4) (см. раздел 8.14) *) . И, наконец, отметим попутно, что из (10.7.10) и (8.7.16), (8.7.19) следует весьма эффективная формула для вычисления полного эллиптического интеграла первого рода

K=

*)

(1 +

4

2π 4

1−α 2

)

2

[1 + 2(q

4

]

2

+ q 16 + ...) .

(10.7.11)

1 (1 − ε ) (1 + ε ), из (8.12.13), (8.12.14) имеем 2 ∞ ∞ δ = q ∑ q 4 n ( n +1) ⎛⎜1 + 2∑ q 4 k ⎞⎟ . n =0 k =1 ⎝ ⎠ Разрешая далее (на основании теоремы о неявной функции) при 0 ≤ q < 1 последнее уравнение относительно q, получим ряд по возрастающим степеням δ вида: q = δ + 2δ 5 + 15δ 9 + ...,

Полагая ε = Θ 0 (0) Θ 3 (0) и вводя параметр δ =

2

из которого и может быть определен параметр q, если, согласно (10.7.9), выбрать δ =

1− 4 1−α 2

(

21+ 4 1−α 2

).