Алгебраическая геометрия для всех

Майлз Рид АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ДЛЯ ВСЕХ Автор, известный английский математик, поставил себе целью преодолеть страх математиков перед алгебраической геометрией, подобный страху нематематиков перед математикой. Примеры, задачи, рисунки и мотивировки занимают в книге больше места, чем формальный аппарат теории. Автор осторожно доводит читателя до содержательных результатов теории проективных алгебраических многообразий и оставляет его после критического обсуждения обобщений и обоснований (пучки, схемы и т. п.). Секреты специалистов, обычно сообщаемые лишь ученикам наедине, опубликованы здесь в открытую. Для математиков всех специальностей от студентов-младшекурсников до алгебраических геометров, а также физиков-теоретиков. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому переводу 5 Предисловие 7 § 0. Неформальное введение 8 Почему же алгебраическая геометрия? Проблема выбора материала; различные геометрические категории, необходимость привлечения коммутативной алгебры, частично определенная функция; репутация автора. Необходимые предварительные сведения, взаимоотношение курса с различными предметами, список рекомендуемых книг Гл. 1. Поиграем с плоскими кривыми 16 § 1. Плоские коники 16 Общее представление о P2 и однородных координатах; соотношение между A2 и P2; параметризация. Каждая гладкая коника в P2 изоморфна P1. Простые случаи теоремы Безу: прямая пересекает кривую степени d в d точках, коника пересекает кривую степени d в 2d точках. Линейная система коник, проходящих через точки P1,...,Pn. § 2. Кубики и групповой закон 32 Кривая (y2=x(x-1)(x-λ)) не может быть рационально параметризована. Линейные системы Sd(P1,...,Pn), пучок кубик, проходящих через 8 точек «в общем положении». Групповой закон на кубике. «Таинственная» гексаграмма Паскаля. Добавление к гл. 1. Кривые и их род 48 Топология неособых плоских комплексных кубик. Неформальное обсуждение рода кривой: топология, дифференциальная геометрия, модули, теория чисел, Морделл—Вейль—Фальтингс. Гл. 2. Категория аффинных многообразий 54 § 3. Аффинные многообразия и Nullstellensatz 54 Нётеровы кольца, теорема Гильберта о базисе; соответствия V и I, неприводимые алгебраические множества, топология Зарисского, формулировка Nullstellensatz. Неприводимая гиперповерхность.

Нормализация Нётер и доказательство Nullstellensatz; редукция к случаю гиперповерхности. § 4. Функции на многообразиях Координатное кольцо и полиномиальные отображения, морфизмы и изоморфизмы, аффинные многообразия. Поле рациональных функций и рациональные отображения, доминантные рациональные отображения и композиция рациональных отображений. Стандартные открытые множества. Закон сложения на эллиптической кривой является морфизмом. Гл. 3. Приложения § 5. Проективная и бирациональная геометрии Мотивировка: существуют многообразия, не содержащиеся ни в каком аффинном многообразии. Однородные соответствия V и I. Проективное и аффинное. Примеры: квадратичные поверхности, поверхность Веронезе, Бирациональная эквивалентность, рациональные многообразия. Каждое многообразие бирационально эквивалентно гиперповерхности. Произведения. § 6. Касательное пространство и неособость, размерность Мотивировка: теорема о неявной функции, многообразия и гладкие многообразия. Определение аффинного касательного пространства. Множество неособых точек является плотным. Касательное пространство и m/m2, инвариантное определение касательного пространства. Размерность Х равна tr degkk(X). Разрешение особенностей с помощью раздутий. § 7. 27 прямых на кубической поверхности Прямые на неособой кубической поверхности S. Доказательство существования прямой методом исключения. Пять пар прямых, пересекающих данную прямую. S рациональна. Классическая конфигурация из 27 прямых. Гессиан. Случай, когда все прямые рациональны. §8. Заключительные комментарии История и социологический аспект. Выбор тем, высоконаучные комментарии и технические замечания. Вместо предисловия. Благодарности. Предметный указатель

73

88 88

102

112

125

143

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абстрактное многообразие (abstract variety) 12, 88, 89, 131, 132 Алгебраически замкнутое поле (algebraically closed field) 24, 58, 62, 73, 86, 129, 133, 134, 136 — независимые элементы (—independent elements) 67, 98, 106, 111

Алгебраическое (под)множество (algebraic (sub-)set) 56—61, 72, 73, 74, 87, 90— 93 Асимптотическое направление (asymptotic direction) 16, 19, 21, 68 Аффинная замена координат (affine change of coordinates) 20, 31 — кривая (-curve) 44, 49, 88 — схема (-scheme) 133, 138 Аффинное многообразие (affine variety) 12, 79, 81, 83, 87, 133, 138 — накрытие проективного многообразия (-covering of projective variety) 93 — пространство Ank (-space) 56, 59, 68, 72, 73, 74, 76, 86, 87, 88, 101, 102, 103, 110, 126, 137 Аффинные координаты (affine coordinates) 21, 43, 44, 48, 93, 123 Аффинный конус над проективным многообразием (affine cone over projective variety) 91, 92 — кусок проективного многообразия (—piece of projective variety) 21, 44, 88, 93, 101, 122 Бесконечно удаленная прямая (line at infinity) 21 Бирациональная эквивалентность (birational equivalence) 96—98, 109, 111, 118, 137 Бирациональное отображение ( birational map) 96—98, 101, 110 Вещественная геометрия (real geometry) 129—130 Вложение Сегре (Segre embedding) 99 Геометрическая точка (geometric point) 135 — k-алгебра (-k-algebra) 133 Геометрическое кольцо (geometric ring) 133 Гессиан (Hessian) 44, 122, 142 Гиперповерхность (hypersurface) 64, 70—71, 73, 98, 102—104, 109 Групповой закон на кубике (group law on cubic) 39—42, 44—47, 51, 84 Декартов лист см. нодальная кубика Детерминант Сильвестра (Sylvester's determinant) 32 Диофантовы задачи (Diophantine problems) 8, 16—17, 31, 33, 47, 52 Доминантное отображение (dominant map) 82, 97 Евклидово преобразование (Euclidean transformation) 20 Замкнутая точка (closed point) 135 Знаменатель рациональной функции (denominator of a rational function) 11, 76, 80, 82, 83, 87 Идеал знаменателей (ideal of denominators) 80 Изолированная точка (isolated point) 14 Изоморфизм (isomorphism) 12, 76, 78, 83, 86, 88, 95, 97, 100, 101, 102, 108—109 Инцидентные к прямым (transversals of lines) 119, 121, 124 Касательное пространство Тр V (tangent space) 9, 39, 40, 103—111, 112, 122, 139 Каспидальная кубика (cuspidal cubic) 32, 47, 76, 83, 113, 123 Категории геометрии (categories of geometry) 9—11, 50, 51

Квадратичная поверхность (quadric surface) 72, 96, 100—101, 119, 120 Квазипроективное многообразие (quasiprojective variety) 12, 131 Классификация многообразий (classification of varieties) 48—53, 129 Кольцо дискретного нормирования (discrete valuation ring) 138, 140 Комплексно-аналитическая геометрия (complex analytic geometry) 10, 41, 42, 48— 53, 130, 131 Комплексный анализ (complex function theory) 13, 52, 53, 125, 130 Конечная алгебра (finite algebra) 11, 65—66, 67, 68, 69 Конечно порожденная алгебра (finitely generated algebra) 11, 56, 61, 65—67, 79, 133, 138 — порожденный идеал (-generated ideal) 54, 55, 56, 90 Коника (conic) 16—28, 31, 32, 36—38, 42, 43, 95, 102, 116, 117 Конконический набор точек (сопсо-nic set of points) 37 Координатное кольцо k[V] (coordinate ring) 74—81, 82, 83, 84, 133, 136 Корни формы см. нули формы Кратность пересечения (multiplicity of intersection) 24—25 Кратные корни (нули), кратности (multiple roots (zeros), multiplicities) 24, 39—40, 44, 45, 59, 103 110, 112, 117 Кубическая кривая (cubic curve) 8, 14, 32—47, 48, 49, 84, 86, 88, 102 — поверхность (-surface) 14, 112—124 Лемма о нормализации Э. Нётер (Noether normalisation lemma) 67, 73 Линейная проекция (linear projection) 17, 68, 73, 96, 101 Локализация (Д[5~1]) (localisation) 55, 72, 80, 138—139 Локальное кольцо 0v,p (local ring) 80, 93, 130, 138 Локальный параметр (local parameter) 138 Максимальный идеал (maximal ideal) 62, 63, 73, 133—135 Матрица Гессе (Hessian matrix) 113, 122 Метод бесконечного спуска Ферма (Format's method of infinite descent) 34, 48 Многообразие (алгебраическое) (variety) 8, 56, 64—65, 79, 89, 97, 98, 99, 106, 109, 113, 126, 130, 131—134 Модули (moduli) 50, 51, 53, 128, 137, 139 Морфизм (morphism) 12, 42, 83, 84, 86, 89, 95, 100, 102, 118, 123, 137 Невырожденная квадратичная форма (nondegenerate quadratic form) 22 Неособые точки, многообразия, ... (nonsingular points, varieties, ...) 9, 39, 101, 102, 103, 106, 109, 110, 111, 112, 117, 122, 123, 124, 130, 133 Неприводимая гиперповерхность (irreducible hypersurface) 64, 72 Неприводимое алгебраическое множество (irreducible algebraic set) 59—60, 62, 72, 75, 79, 87, 91, 93, 101 Несущественный идеал (irrelevant ideal) 91 Нётерова нормализация (Noether normalisation) 67—71, 73 Нётерово кольцо (Noetherian ring) 54, 55, 72 Нодальная кубика (nodal cubic) 32, 45. 76, 86, 113, 124

Нормальная форма кубики (normal form of cubic) 43—45, 46—47 Нуль (корень) формы (zero (root) of form) 24, 29, 30, 32, 36, 39, 44, 46. 114, 118, 124 Nullstellensatz (теорема Гильберта о нулях) 11, 36, 37, 62, 81, 92, 133 Область главных идеалов (principal ideal domain) 71 — определения (~of definition) 80, 86, 87, 93, 97, 100, 101 — с однозначным разложением (unique factorisation-) 34, 61 71 72, 80 Общая точка (generic point) 134, 135, 136, 137, 138 Однородные соответствия V, I (homogeneous V-I correspondences) 90, 91 Однородный идеал (homogeneous ideal) 90, 93 — многочлен (форма) (~ polynomial =form) 23—24, 29, 32, 35, 89, 90, 109 Особые точки, поверхности, (singulal points, surfaces, ...) 9, 14, 33, 103—104, 106, 110, 111, 112, 122, 123 Открытое плотное множество (dense open set) 42, 75, 79—82, 98, 104, 106, 109 Параллельность (parallelism) 18, 19, 21, 23, 31, 68—69 Параметризованные кривые (parametrised curve) 16-17, 23, 25, 31, 32—33, 45, 53, 76, 83, 86, 95, 96, 98, 137 Перегиб, точка перегиба (infexion) 40, 43—44, 46, 123 Пересечение плоских кривых (intersection of plane curves) 24, 38, 40—41, 101 — двух квадрик (~of two quadrics) 101, 129 — — коник (~ ~ -conies) 27—32, 129 Поверхность Веронезе (Veronese surface) 102 Поле функций k(V) (function field) 70—71, 79, 82, 83, 87, 92, 94, 97, 98, 106, 107, 125, 137, 139 Полиномиальная функция (polynomial function) 10, 11, 74—79, 80 Полиномиальное отображение (polynomial map) 9, 75—79, 83 Полное многообразие (complete variety) 131 Полукубическая парабола см. каспи-дальная кубика Поляризация многочлена (polar of polynomial) 114, 124 — многообразия (polarisation of variety) 132 Присоединенная кубика (auxilliary cubic) 30 Проективная алгебраическая геометрия (projective algebraic geometry) 131—133 — геометрия (-geometry) 16, 18—19, 88 — кривая (-curve) 21, 31, 49, 84 — плоскость P2 (-plane) 16, 18—28, 31, 36—39, 43, 53, 88, 96, 118 — прямая P1 (-line) 23, 48, 88, 89, 95, 100 — эквивалентность (— equivalence) 20, 22, 23, 25, 26 Проективное многообразие (projective variety) 11, 88—100, 131 — — и неособость (— — and nonsin-gularity) 109—110 — преобразование (замена координат) (projectivity, projective transformation) 20, 46, 47, 122

— пространство P3, Pn (—space) 12, 13, 69, 89, 90, 95, 96, 100—101, 109—110, 112, 118, 140—141 Произведение многообразий (product of varieties) 87, 98—100, 101 Простой идеал (prime ideal) 59, 61, 62, 70, 133, 135 — спектр Spec A (-spectrum) 133, 134, 138 Пустое множество 0 (empty set) 0, 52, 58, 59, 60, 62, 81, 91 Пучок O(')x (sheaf) 130 — коник (pencil of conies) 28—30 Радикал идеала (radical of ideal) 61, 62, 72, 91—92 Радикальный идеал (radical ideal) 61, 62 Раздутие (blow-up) 110—111 Размерность (dimension) 9, 106, 109, 113, 130, 141 Разрешение особенностей (resolution of singularities) 111 Рациональная кривая (rational curve) 52, 95, 101, 129, 133 — норм-кривая (-normal curve) 95, 101 — функция (-function) 11, 33, 53, 76, 80, 85, 86, 92, 131 Рациональное многообразие (rational variety) 97—98, 132, 141 — отображение (-map) 11, 33, 81, 84—87, 94—97, 101, 118—119, 123, 137 Регулярная функция (regular function) 9, 11, 80, 85, 86, 87, 92, 100, 130—131 Регулярное отображение (= морфизм) (regular map) 9, 12, 81, 83, 95 Результант (resultant) 114—116, 124 Риманова поверхность (Riemann surface) 48, 52 — сфера (-sphere) 48, 52 Род (genus) 48—53, 129 Сепарабельность (separability) 69—70, 104, 139 Скрученная кубика (twisted cubic) 95, 101, 127 Соответствия V, I (V-I correspondances) 56, 58, 59, 60, 61, 62, 72, 74—75, 90, 91, 93, 133, 134 Стандартное открытое множество Vf (standard open set) 83—84, 107 Стандартный аффинный кусок V(i) (standard afiine piece) 21, 44, 88, 93, 101, 122 Степень трансцендентности поля (transcendence degree) 71, 98, 106, 111 Точка на бесконечности (point at infinity) 16, 19, 21, 24, 44, 45, 48, 69, 85 Трансцендентный базис (transcendence basis) 107 Условие обрыва возрастающих цепей (ascending chain condition) 54, 55, 60, 63, 71 Таинственная гексаграмма Паскаля (Pascal's mystic hexagon) 42—43 Теорема Безу (Bezout's theorem) 24, 123 — о примитивном элементе (primitive element theorem) 70 Теория исключения (elimination theory) 64, 73, 113, 115—116, 124 — категорий (category-) 12, 127, 133, 137, 138 Топология Зарисского (Zariski topology) 42, 57—58, 72, 75, 80, 81, 82, 84, 87, 90, 93, 99, 101, 104 131, 133, 135 — кривой (~of a curve) 48—49, 50, 51 Форма (form) 23—24, 29, 32, 35, 89, 90, 109 Формула Эйлера (Euler's formula) 109, 122

Характеристика p (characteristic p) 12, 22, 23, 31, 33, 69, 70, 117, 139 Эквивалентность категорий V ->k[V] (equivalence of category) 77, 133, 136