Расчёт линейных электрических цепей переменного тока.Методическое руководство

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Южно-Уральский государственный университет Кафедра “Теоретические основы электротехники”

621. 3 (07)

В. Н. Непопалов Расчет линейных электрических цепей переменного тока Методическое руководство по самостоятельной работе студентов

Челябинск

2001

УДК 621.3.011(075.8) Непопалов В. Н. Расчет линейных электрических цепей переменного тока: Методическое руководство по самостоятельной работе студентов. – 77 с. В руководстве поясняются методы расчета установившихся режимов линейных электрических цепей периодического тока. Рассматривается комплексный метод расчета линейных электрических цепей синусоидального тока. Руководство предназначено в помощь студентам при самостоятельной работе по курсу «Основы электротехники».

Ил. 63, табл. 3.

2

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Синусоидальные токи, напряжения. Параметры идеальных элементов электрических цепей синусоидального тока ............................................................ 4 1.1. Общие сведения................................................................................................ 4 1.2. Решение типовых задач ................................................................................. 10 1.3. Задачи и вопросы для самоконтроля............................................................ 16 2. Комплексный метод расчета ................................................................................ 18 2.1. Общие сведения.............................................................................................. 18 2.2. Решение типовых задач ................................................................................. 21 2.3. Задачи и вопросы для самоконтроля............................................................ 29 3. Расчет разветвленных цепей синусоидального тока комплексным методом. 31 3.1. Общие сведения.............................................................................................. 31 3. 2. Решение типовых задач ................................................................................ 33 3.3. Задачи и вопросы для самоконтроля............................................................ 49 4. Расчет установившихся режимов цепи синусоидального тока с индуктивно связанными элементами ........................................................................................... 50 4. 1. Общие сведения............................................................................................. 50 2. Решение типовых задач .................................................................................... 52 4.3. Задачи и вопросы для самоконтроля............................................................ 60 5. Расчет установившихся режимов электрической цепи периодического несинусоидального тока ........................................................................................... 62 5. 1. Общие сведения............................................................................................. 62 5. 2. Решение типовых задач ................................................................................ 64 5. 3. Задачи и вопросы для самоконтроля........................................................... 77

3

1. Синусоидальные токи, напряжения. Параметры идеальных элементов электрических цепей синусоидального тока 1.1. Общие сведения

Электромагнитный процесс в электрической цепи считается периодическим, если мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные называется периодом. Напряжения промежутки времени Т. Время Т u (t ) = u (t + T ) и токи i (t ) = i (t + T ) ветвей электрической цепи являются периодическими функциями времени. Величина, обратная периоду (число периодов в единицу времени), называется частотой: f = 1 T . Частота имеет размерность 1 с , а единицей измерения частоты служит Герц (Гц). Широкое применение в электротехнике нашли синусоидальные напряжения и токи: u (t ) = U m sin(ωt + ψ u ) , i (t ) = I m sin(ωt + ψ i ) . В этих выражениях: - u (t ) , i (t ) – мгновенные значения, - Um , Im – максимальные или амплитудные значения, - ω = 2π / T = 2πf – угловая частота (скорость изменения аргумента), - ψ u , ψ i – начальные фазы, - ωt + ψ u , ωt + ψ i – фазы, соответственно напряжения и тока. Графики изменения u (t ) , i (t ) удобно представлять не в функции времени t, а в функции угловой величины ωt , пропорциональной t (рис. 1.1).

u, i

u i

Um I m 0 ϕ

ψi

π 2

π Um I m

ψu ωT = 2π Рис. 1.1 4

3π 2

2π

ωt

Величина ϕ = (ωt + ψ u ) − (ωt + ψ i ) = ψ u – ψ i называется углом сдвига фаз. На рис. 1.1 ψ u > 0, ψ u > ψ i > 0, ϕ = ψ u − ψ i > 0, т. е. напряжение опережает ток. Аналогично можно ввести понятия углов сдвига фаз между двумя напряжениями или токами. Количество тепла, рассеиваемого на сопротивление R при протекании по нему тока, электромагнитная сила взаимодействия двух проводников с равными токами, пропорциональны квадрату тока. Поэтому о величине тока судят по действующему значению за период. Действующее значение периодического тока i (t ) определяется по выражению

1T 2 I= i dt . T ∫0 Для квадратов левой и правой частей этого равенства, после умножения их на RT , будем иметь: T

I RT = ∫ Ri 2 dt . 2

0

Из этого равенства следует, что действующее значение периодического тока равно по величине такому постоянному току I, который на неизменном сопротивление R за время Т выделяет тоже количество тепла, что и ток i (t ) . При синусоидальном токе i (t ) = I m sin ωt интеграл

I m2 ∫ I sin ωtdt = 2 0

T

2 m

2

I m2 ∫ (1 − cos 2ωt )dt = 2 T . 0

T

Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно

I=

Im . 2

Действующие значения синусоидальных напряжений u (t ) , э. д. с. e(t ) определяются аналогично:

U=

Um E ; E= m. 2 2

Для измерения действующих значений используются приборы электромагнитной, электродинамической, тепловой и др. систем. Среднее значение синусоидального тока определяется как среднее за половину периода. Поэтому,

2I 2 2T2 T 2 I ср = ∫ I m sin ωtdt = m (− cos ωt ) 0 = I m . ωT π T 0

5

Средние значения синусоидальных напряжений u (t ) , э. д. с. e(t ) определяются аналогично:

2 2 U ср = U m ; Eср = Em . π π Отношение амплитудного значения к действующему называется коэффициентом амплитуды kа, а отношение действующего значения к среднему– коэффициентом формы kф. Для синусоидальных величин, например, тока i (t ) , эти коэффициенты равны:

ka =

Im I π I π = 2 ≈ 1,41 ; kф = = m = ≈ 1,11. I I cp 2 2I m 2 2

Для синусоидальных токов i (t ) = I m sin(ωt + ψ i ) уравнения идеальных элементов R, L, C при принятых на рис. 1.2 положительных направлениях имеют вид u R = Ri = RI m sin(ωt + ψ i ) ;

di = ωLI m sin(ωt + ψ i + 90o ) ; dt t 1 1 u C = ∫ i ( τ ) dτ + u C ( 0 ) = I m sin(ωt + ψ i − 90o ) . C0 ωC uL = L

i

R

uR i

i

U R = RI , ϕ = ψu − ψi = 0

L

U L = ωLI ,

uL

ϕ = ψu − ψi =

C

uC

UR

UC =

π 2

1 I, ωC

ϕ = ψu − ψi = –

I

UL I I

π 2

UC

Рис. 1.2 На активном сопротивление R мгновенные значения напряжения и тока совпадают по фазе. Угол сдвига фаз ϕ = 0 . На индуктивности L мгновенное значение тока отстает от мгновенного значения напряжения на угол

π π . Угол сдвига фаз ϕ = . 2 2 6

На емкости С мгновенное значение напряжения отстает от мгновенно-

π π . Угол сдвига фаз ϕ = – . 2 2 Величины ωL и 1 ωC имеют размерность [Ом] и называются реактивным сопротивлением индуктивности или индуктивным сопротивлением X L :

го значения тока на угол

X L = ωL и реактивным сопротивлением емкости или емкостным сопротивлением X C :

XC =

1 . ωC

Величины 1 ωL и ωC имеют размерность [Ом –1] и называются реактивной проводимостью индуктивности или индуктивной проводимостью BL :

BL =

1 . ωL

и реактивной проводимостью емкости или емкостной проводимостью BC :

BC = ωC . Связь между действующими значениями напряжения и тока на идеальных элементах R, L, C устанавливают уравнения: U R = RI ; I = GU R ;

U L = X L I ; I = BLU L ; U C = X C I ; I = BCU C . Для синусоидального напряжения u = U m sin ωt начальная фаза тока на входе пассивного двухполюсника (рис. 1.3) равна ψ i = −ϕ , поэтому i = I m sin(ωt − ϕ) . Проекция напряжения на линию тока

i

u

U

R , L, C

ϕ

IG

Рис. 1.3

U R = U cos ϕ

называется активной составляющей напряжения. Проекция напряжения на линию, перпендикулярную току,

U X = U sin ϕ называется реактивной составляющей напряжения. Проекция тока на линию напряжения

I G = I cos ϕ называется активной составляющей тока. 7

ϕ UR

UX

IB I

Проекция тока на линию, перпендикулярную напряжению,

I G = I sin ϕ называется реактивной составляющей тока. Имеют место очевидные соотношения:

U = U R2 + U X2 ; I = I G2 + I B2 . В цепи синусоидального тока для пассивного двухполюсника по определению вводятся следующие величины: 1. Полное сопротивление Z:

Z=

U , I

2. Эквивалентные активное Rэк и реактивное X эк сопротивления:

UR U , X эк = X = X L − X C , I I 3. Полная проводимость Y : I Y= , U 4. Эквивалентные активная Gэк и реактивная Bэк проводимости: I I Gэк = G , Bэк = B = BL − BC . U U Rэк =

Из треугольников сопротивлений и проводимостей (рис. 1.4) следует:

Rэк = Z cos ϕ ; X эк = Z sin ϕ ; Z = Rэк2 + X эк2 ,

X эк

Gэк

X эк Bэк 1 1 = ;Z= ;Y= . Y Z Rэк Gэк

Bэк

ϕ

ϕ Rэк

Gэк = Y cos ϕ ; Bэк = Y sin ϕ ; Y = Gэк2 + Bэк2 ,

tg ϕ =

Z

Y Рис. 1.4

Эквивалентные параметры являются измеряемыми величинами, поэтому могут быть определены из физического эксперимента (рис. 1.5).

i u

A

I

ϕ U

Рис. 1.5

8

U

П

Электрическая цепь по схеме рис. 1. 5 должна содержать амперметр А и вольтметр U для измерения действующих значений напряжения и тока, фазометр ϕ для измерения угла сдвига фаз между мгновенными значениями напряжения и тока на входе пассивного двухполюсника П. Угол сдвига фаз пассивного двухполюсника −

π π ≤ϕ≤ . 2 2

Физическая величина, численно равная среднему значению от произведения мгновенных значений напряжения u (t ) и тока i (t ) , называется активной мощностью Р. По определению имеем:

1T P = ∫ uidt = T0 UmIm T UmIm = sin ω t sin( ω t − ϕ ) dt = T ∫0 2T Расчетные величины

T

∫ (cos ϕ − cos(2ωt − ϕ) )dt = UI cos ϕ . 0

S = Pmax = UI ; Q = UI sin ϕ

называются полной мощностью S и реактивной мощностью Q в цепи синусоидального тока. Имеет место равенство

S = P2 + Q2 . Коэффициент мощности k м в цепи синусоидального тока определяется выражением:

kм = i u

I

W

U

P = cos ϕ . S

Единицей измерения активной мощности является Ватт [Вт]. Для измерения активной мощности служит ваттметр. Ваттметр включается по схеме рис. 1.6. Единица измерения полной мощности [ВА], реактивной– [ВАр].

Рис. 1.6 Для вычисления мощностей удобно использовать следующие выражения:

P = U R I = I 2 Rэк = UI G = U 2Gэк ; Q = U X I = I 2 X эк = UI B = U 2 Bэк ; S = I 2 Z = U 2Y . 9

1.2. Решение типовых задач

Для измерения мгновенных значений напряжений u (t ) и токов i (t ) служит осциллограф. Поскольку сопротивление входа этого прибора очень большое, непосредственно для измерения тока осциллограф использовать нельзя. Измеряют не ток, а пропорциональное току напряжение на шунте Rш (рис. 1.7, а). К источнику синусоидального напряжения частотой f = 50 Гц подключена катушка индуктивности (рис. 1.7, а). Активное сопротивление провода, из которого изготовлена катушка, R = 10 Ом, индуктивность L = 1,6 мГн. Осциллограмма напряжения uш (t ) представлена на рис. 1.7, б. Сопротивление шунта Rш = 0,1 Ом. Масштаб по вертикальной оси осциллограммы mu = 0,02 B дел (0,02 вольта на деление). Рассчитать действующие значения напряжения u RL , составляющих u R и u L этого напряжения. Построить графики мгновенных значений напряжений u RL , составляющих u R и u L .

L

R

i

Задача 1.1.

u RL uш

u

Rш

К осцоллографу

а)

2A

б) Рис. 1.7

Решение.

По осциллограмме рис. 1.7, б двойная амплитуда напряжения на шунте 2А = 10 дел. Находим амплитудное значение Im тока i:

2 Amu 10 ⋅ 0,02 = = 1 А. 2 ⋅ 0,1 2 Rш Реактивное сопротивление Х индуктивности L на частоте ω = 2πf = 6,28⋅1000 = 6280 с –1

Im =

равно:

Х = ωL = 6280 ⋅1,6 ⋅10 –3 = 10,053 ≈ 10 Ом. Амплитудные значения напряжений u R и u L : U mR = I m R = 10 В; U mL = I m X = 10 В. Мгновенные значения составляющих напряжения на сопротивление R катушки индуктивности и индуктивности L соответственно равны ( ψ i = 0 ):

u R = U mR sin ωt = 10⋅sin 6280⋅t В; u L = U mL sin (ωt + π 2) = 10⋅sin ( 6280⋅t + π 2 ) В.

10

Мгновенное значение напряжения на активном сопротивление в фазе с током, на индуктивности– опережает ток на угол π 2 . Действующие значения напряжений:

ϕ=

U 10 U R = mR = = 7,07 В; 2 2 U 10 U L = mL = = 7,07 В; 2 2 U RL =

π 4

ϕ

U RL

UL

UR

I

2 ⋅ 7,07 = 10 В.

Рис. 1.8 Векторные диаграммы напряжений и тока приведены на рис. 1.8. Амплитудное значение

U mRL =

2 ⋅ 10 = 14,1 В.

Начальная фаза

ψ u = ϕ = arctg

UL π = (т. к. ψ i = 0 ), UR 4

следовательно

u RL = U mRL sin (ωt + ψ u ) = 14,1 sin (ωt + π 4) В.

Зависимости u R (ωt ) ; u L (ωt ) ; u RL (ωt ) представлены на рис. 1.9.

B u 10

5

u RL

uR

uL

0

π 2

−5

π

3π 4

ωt 2π

− 10 − 15 Рис. 1.9 Задача 1.2.

R

u

C

uR i

uC

Рис. 1.10

К цепи со схемой рис. 1.10 приложено синусоидальное напряжение u = 141sin 314t В. Найти мгновенные и действующие значения тока и напряжений на всех участках цепи, если R = 30 Ом, С = 79,62 мкФ.

11

Решение

Назначаем положительные направления тока и напряжений как на рис. 1.10. Определяем реактивное сопротивление ХС емкости С на частоте ω = 314 с –1:

1 10 6 ХС = = = 40 Ом. ωC 314 ⋅ 79,62 Полное сопротивление цепи

Z = R 2 + X C2 = 30 2 + 40 2 = 50 Ом. Амплитудные значения:

U m 141 = = 2,82 А; Z 50 - напряжения на резисторе R: U mR = RI m = 30 ⋅ 2,82 = 84,6 В; - напряжения на емкости С: U mC = X C I m = 40 ⋅ 2,82 = 112,8 В. Угол сдвига фаз между напряжением u и током i X − XC − 40 ϕ = arctg эк = arctg = arctg = – 53°. R R 30 Начальная фаза тока i определяется из соотношения ψ u − ψ i = ϕ . Откуда, ψ i = −ϕ = 53°. - тока i : I m =

Мгновенные значения тока и напряжений на участках цепи:

(

)

i = I m sin (ωt + ψ i ) = 2,82 sin 314t + 53o А;

(

)

u R = U mR sin (ωt + ψ i ) = 84,6 sin 314t + 53o t В;

uC = U mC sin (ωt + ψ i − 90o ) = 112,8 sin (314t − 37 o )В. Действующие значения:

I=

Im U U = 2 А; U R = mR = 60 В; U C = mC = 80 В. 2 2 2

Задача 1.3

Для пассивного двухполюсника (рис. 1.5) экспериментально определены:

U = 10 В; I = 2 А; ϕ = 30°. Найти полное и эквивалентные активное и реактивное сопротивления двухполюсника. Решение.

Имеем по определению:

Z=

U = 5 Ом; I 12

Rэк = Z cos ϕ = 5 cos 30o = 4,33 Ом; X эк = Z sin ϕ = 5 sin 30o = 2,5 Ом. Задача 1.4

В цепи по схеме рис. 1.10 действующие значения тока i на частотах f1 = 500 Гц и f 2 = 1000 Гц равны, соответственно, I1 = 1 А и I2 = 1,8 А. Определить параметры цепи R и С, если на этих частотах напряжение на входе U = 100 B. Решение

По определению на частотах f1 и f 2 имеем:

Z1 =

U U ; Z2 = . I1 I2

Непосредственно по схеме цепи рис. 1.10 находим: 2

2

 1   1   ; Z 22 = R 2 +   . Z = R +  ω ω C C  1   2  2 1

2

Значения параметров R и С найдем из решения системы уравнений 2   1  2  = Z12 ;  R +    ω1C   2  2  1  2 . + = R Z 2 ω C   2  

Программа расчета в пакете Mathcad. U

100 f1 500 f2 1000 I1 1 I2 U U z1 = 100 z2 = 55.556 z1 z2 I1 I2 ω1 2. π . f1 ω2 2. π . f2 6 R 100 C 10 . 1

1.8

2

условием задачи величин. ← Расчет полных сопротивлений на частотах f1 и f2. ← Расчет угловой частоты. ← Задание приближенных значений параметров R и С цепи. ← Решение системы нелинейных уравнений. нажмите [Ctrl] = Для набора

6

← Присвоение вектору RC найденных значений параметров R и С цепи. ← R = 27, 9 Ом, С = 3,3 мкФ.

Given 2

1 ω 1. C

2

2

1 ω 2. C

2

R R

RC RC =

2

z1 z2

Find( R , C ) 27.962 3.315 10

← Присвоение переменным заданных

13

Значения параметров цепи: R = 28 Ом; С = 3,3 мкФ. Задача 1.5

Вычислить действующее значение тока и активную мощность на входе пассивного двухполюсника с эквивалентными активной проводимостью G = 0,011 Ом –1 и реактивной проводимостью В = 0,016 Ом –1. Напряжение на входе двухполюсника U = 30 В. Решение

Полная проводимость

Y = G2 + B2 =

0,0112 + 0,016 2 = 0,019 Ом –1.

Действующее значение тока

I =YU = 0,019⋅30 = 0,58 А. Активная мощность G 0,011 P = UI cos ϕ = UI = 30⋅0,58⋅ = 10,1 Вт. Y 0,019 Задача 1.6

Действующее значение синусоидального тока ветви с резистором R равно 0,1 А (рис1.11). Найти действующие значения напряжения u, токов iL и i, если R = 430 Ом;

iL

i

iR

X L = 600 Ом. Чему равна активная, реактивная и пол- u

R

ная мощности этого двухполюсника? Решение

Положительные направления напряжения и токов указаны на рис. 1.11. Действующее значение тока I R = 0,1 А.

Рис. 1.11

По закону Ома U = I R R = 0,1⋅430 = 43 В. Ток

IL =

43 U = = 0,072 А. X L 600

Ток

I = I R2 + I L2 = 0,12 + 0,072 2 = 0,123 А. Действующее значение тока I можно вычислить, определив полную проводимость Y цепи. По виду схемы имем 2

2

2

2

1  1   1   1  –3 –1  =  Y =   +   +  = 2,86⋅10 Ом .  430   600   R  XL  14

L

Ток

I = YU = 2,86⋅10 –3 ⋅43 = 0,123 А. Мощности: P = I R2 R = 4,3 Вт; Q = I L2 X L = 3,082 ВАр, S = UI = 5,29 ВА.

Выполняется соотношение P 2 + Q 2 = S 2 . Задача 1.7

Действующее значение синусоидального напряжения на емкости С в цепи со схемой рис. 1.10 U C = 24 В. Найти действующие значения напряжения u и тока

i, если ХС = 12 Ом; R = 16 Ом. Решение

Определяем действующее

I=

U C 24 = = 2 А. X C 12

Полное сопротивление цепи

Z = R 2 + X C2 = 16 2 + 12 2 = 20 Ом. Действующее значение напряжения u U = IZ = 2 ⋅ 20 = 40 В. Задача 1.8

Для определения эквивалентных параметров пассивного двухполюсника в цепи синусоидального тока были сделаны измерения действующих значений напряжения и токаи активной мощности (рис. 1.12). Показания приборов:

i

A

u

I

W

U

U

iC

C

П

Рис. 1.12

А → 0,5 А, U → 100 В, W → 30 Вт. Для определения характера реактивного сопротивления (проводимости) параллельно двухполюснику была включена емкость С (ВС < Вэк). При этом показания амперметра уменьшились. Рассчитать эквивалентные сопротивления и проводимости двухполюсника. Решение

Действующие значения: I = 0,5 А, U = 100 В. Активная мощность, потребляемая двухполюсником, Р = 30 Вт. Полное сопротивление двухполюсника

Z=

U 100 = 200 Ом. = I 0,5 15

Эквивалентное активное сопротивление

30 P = 120 Ом. Rэк = 2 = 0,25 I

а) U I′

Эквивалентное реактивное сопротивление

X эк = Z 2 − R 2 = 200 2 − 120 2 = = 160 Ом.

IC

IC

I ϕ>0

б)

U

IC

I

I′ ϕ<0

IC

Рис. 1.13 Характер реактивного сопротивления индуктивный ( Х эк = X L , ϕ > 0 ). После включения параллельно двухполюснику емкости С, ток I ′ < I . Этому случаю соответствует векторная диаграмма рис. 1.13, а. Емкостному характеру соответствует векторная диаграмма рис. 1.13, б. Полная проводимость двухполюсника

Y=

0,5 I = 5⋅10 −3 Ом –1 . = U 100

Эквивалентная активная проводимость

Gэк =

30 P = 3⋅10 −3 Ом –1 . = 2 2 U 100

Эквивалентная реактивная проводимость

Bэк = Y 2 − Gэк2 = 25 ⋅ 10 −6 − 9 ⋅ 10 −6 = 4⋅10 −3 Ом –1 . Следует обратить внимание, что треугольники сопротивлений и проводимостей для одного и того же двухполюсника подобны (рис. 1.4). Поэтому,

R G X B = и = . Z Y Z Y Следовательно,

Gэк =

Rэк 120 X эк 160 –1 −3 B 10 Ом ; = = = 3⋅ = = 4⋅10 −3 Ом –1. эк 2 2 2 2 Z 200 Z 200

1.3. Задачи и вопросы для самоконтроля

1. Напряжение на индуктивности L = 0,1 Гн в цепи синусоидального тока изменяется по закону u L = 141sin(1000t − 30o ) . Найти мгновенное значение тока в индуктивности. 2. Ток в емкости С = 0,1 мкФ равен i = 0,1 sin( 400t + π 3) А. Найти мгновенное значение напряжения на емкости. 3. На участке цепи с последовательно включенными активным сопротивлением R = 160 Ом и емкостью С = 26, 54 мкФ мгновенное значение синусоидального тока i = 0,1sin 314t А. Найти мгновенные значения напряжений на емкости и на всем участке цепи. Чему равны действующие значения этих величин? 16

4. Записать уравнения идеальных элементов в цепи синусоидального тока. Нарисовать векторные диаграммы напряжения и тока для этих элементов. 5. Определить понятие угла сдвига фаз ϕ. Почему возникает угол ϕ в цепях синусоидального тока? 6. Как определить действующее значение синусоидального тока (напряжения)? Какой физический смысл имеют эти величины? 7. Дать определение активной мощности. В каких единицах измеряется активная мощность? Нарисовать схему включения ваттметра. 8. В чем заключается разница между активной, реактивной и полной мощностями? 9. Определить понятия активных и реактивных составляющих напряжения и тока. 10. Как определяются полное, эквивалентные активное и реактивное сопротивление пассивного двухполюсника? 11. Как определяются полная, эквивалентные активная и реактивная проводимость пассивного двухполюсника? 12. Как экспериментально определить эквивалентные параметра пассивного двухполюсника? 13. На участке цепи последовательно включены сопротивление R = 1000 Ом и индуктивность L = 0,12 Гн. Действующее значение синусоидального напряжения U R = 10 В. Частота f = 1000 Гц. Найти действующие значения тока и напряжения на участке цепи. 14. Вычислить действующее значение тока и активную мощность на входе пассивного двухполюсника с эквивалентным активным сопротивлением R = 160 Ом и эквивалентным реактивным сопротивлением Х = 120 Ом . Напряжение на входе двухполюсника U = 20 В. 15. Найти действующее значение тока i в электрических цепях со схемами рис. 1.14, а, б, в. U = 100 В, R = 80 Ом, X L = 100 Ом, X C = 60 Ом.

i

R

u

XL

u

i

б)

i

а)

R

XC

u

в) R

XL

XC Рис. 1.14 16. Для пассивного двухполюсника (рис. 1.5) экспериментально определены:

U = 10 В; I = 2 А; ϕ = – 30°. Найти полное и эквивалентные активное и реактивное сопротивления и проводимости двухполюсника. 17

2. Комплексный метод расчета 2.1. Общие сведения

При расчетах установившихся режимов линейных электрических цепей синусоидального тока мгновенным значениям синусоидальных функций времени ставят в соответствие комплексные мгновенного значения. Например, для тока i (t ) = I m sin(ωt + ψ i ) комплексные мгновенного значение имеет вид

i = I m e j ( ωt +ψi ) = I m e jψi e jωt = I m cos(ωt + ψ i ) + jI m sin(ωt + ψ i ) . Мнимая часть комплексного мгновенного значения равна i (t ) : i (t ) = Im[I m e j ( ωt +ψi ) ] . jψ Комплексное число I&m = I m e i называют комплексным амплитудным значением или комплексной амплитудой, а

I& I& = m = Ie jψi 2 – комплексным действующим значением тока. Аналогично определяются комплексные мгновенные значения синусоидальных напряжений, э. д. с., электрических зарядов, магнитных потоков и т. д. Так, напряжению u (t ) = U m sin(ωt + ψ u ) и э. д. с. e(t ) = Em sin(ωt + ψ e ) соответствуют комплексные мгновенные значения

u = U m e j ψ u e j ωt , e = E m e j ψ e e j ωt , jψ jψ комплексные амплитуды U& m = U m e u , E& m = Em e e и комплексные действующие значения

U& = Ue jψu , E& = Ee jψe . Производной от синусоидальной функции времени (тока) соответствует алгебраическая операция умножения на jω комплексного мгновенного значения:

d (I m sin(ωt + ψ i ) ) = ωI m sin(ωt + ψ i + π 2) → dt j ωt

→ ωI m e e

jψ i

e

j

π 2

= j ω I m e j ωt e j ψ i = j ω i .

Интегралу от синусоидальной функции времени (тока) соответствует алгебраическая операция деления на jω комплексного мгновенного значения:

1 ( ) I sin( ω t + ψ ) = I m sin(ωt + ψ i − π 2) → i ∫ m ω

π

−j I I i → m e j ωt e j ψ i e 2 = m e j ωt e j ψ i = . ω jω jω

18

В последних выражениях использовалась формула Эйлера: e ± jα = cos α ± j sin α . π

π

j −j π 1 При α = имеем: e 2 = j , e 2 = − j = . 2 j

Математические модели идеальных элементов в комплексной форме приведены в таблице 2.1. Таблица 2.1 Установившийся синусоидальный режим Идеальный Математическая модель Математическая модель элемент элемента относительно веэлемента в комплексной щественных функций вреформе мени Сопротивление

i

uR

R

Индуктивность

uL

i

L

u R = RI m sin(ωt + ψ i )

π u L = ωLI m sin(ωt + ψ i + ) 2

U& R = I&R

U& L = jωLI& = jX L I& = X L I&e

j

π 2

Емкость

i

uC

uC =

C

π 1 π & −j I m sin(ωt + ψ i − ) U& = I = − jX I& = X I&e 2 C C C ωC 2 jω C

Для пассивного двухполюсника (рис. 2. 1, а), вводятся по определению следующие величины: Комплексное сопротивление

U& Ue jψu Z = = jψi = Ze j ( ψu −ψi ) = Ze jϕ = Z cos ϕ + jZ sin ϕ = R + jX , I& Ie

Комплексная проводимость

I& Ie jψi − j ( ψ u −ψ i ) Y= = = Ye = Ye− jϕ = Y cos ϕ − jY sin ϕ = G − jB . j ψ u & U Ue

Из последних выражений следует, что этот участок цепи можно представить в виде последовательно соединенных эквивалентных активного R и реактивного X сопротивлений (рис. 2. 1, б), либо параллельно соединенных эквивалентных активной G и реактивной B проводимостей (рис. 2. 1, в). Выше приведенные выражения имеют место при ϕ > 0. 19

I&

I&

U&

П

I&

jX

R

U&

U&

а)

− jB

G

б)

в)

Рис. 2.1 В таблице 2.2 приведены схемы типичных участков цепи синусоидального тока и комплексные сопротивления этих участков. Таблица 2.2 Схема участка цепи Комплексное сопротивление

I&

R

I&

L

Z1

I&

Z L = jωL = jX L = X L e

Z1

j

π 2 π

C

I& I&

ZR = R

−j 1 ZC = − j == − jX C = X C e 2 ωC

Z2

Z = Z1 + Z 2

Z2

Z=

Z1Z 2 Z1 + Z 2

Переход к комплексным сопротивлениям и проводимостям и комплексным действующим значениям напряжений и токов позволяет: 1. Записать закон Ома для участка цепи U& = Z I& , 2. Первый закон Кирхгофа для любого узла ∑ I&k = 0 (алгебраическая сумма k

по всем k ветвям узла), 3. Второй закон Кирхгофа для любого контура

∑U& l = ∑ E& l l

(алгебраические

l

суммы по всем l ветвям контура), Мощности источников и пассивных участков цепи в комплексной форме записи имеют вид

S = U&I = Ue jψu Ie − jψi = Se jϕ = S cos ϕ + jS sin ϕ = P + jQ, где S комплексная мощность, I = Ie значения тока, S полная мощность.

− jψ i

20

сопряженный комплекс действующего

В цепи синусоидального тока выполняется баланс комплексных, активных и реактивных мощностей источников и нагрузок

∑ S EJ = ∑ S Z , ∑ PEJ = ∑ PZ , ∑ QEJ = ∑ QZ , l

l

l

l

l

l

где S EJ , PEJ , QEJ комплексная, активная и реактивная мощности источников э. д. с. и тока, S Z , PZ , QZ комплексная, активная и реактивная мощности нагрузок Z . Суммирование в этих выражениях ведется по всем ветвям цепи. Комплексная мощность источника э. д. с. E& или тока J& в зависимости от выбранных положительных направлений напряжений и токов определяется по выражениям, приведенным в таблице 2.3. Таблица 2.3

I&

I&

E&

E&

S = E& I

S = − E& I

J&

J&

U&

U&

S = U&J

S = −U&J

Комплексную мощность нагрузки Z удобно вычислять по выражению

S Z = U& Z I = Z I&I = Z I 2 = I 2 R + jI 2 X ,

где U& Z комплексное действующее значение напряжения на нагрузке Z . 2.2. Решение типовых задач Задача 2.1

Мгновенное значение напряжения u = 14,1sin(100t − 30o ) В. Записать комплексное мгновенное значение напряжения. Чему равна комплексная амплитуда и комплексное действующее значение этого напряжения? Решение

По определению o

- комплексное мгновенное значение u = 14,1e j (100t −30 ) В, o

- комплексная амплитуда U& m = 14,1e − j 30 В, - комплексное действующее значение U& = U& m

o

2 = 10e − j 30 В.

Задача 2.2

Комплексное действующее значение тока I& = −3 + j 4 А. Записать мгновенное значение тока i(t).

21

+j

Решение

Комплексное действующее значение тока дано в алгебраической форме записи (рис. 2.2). Перепишем комплексное значение так: I& = −3 + j 4 = −(3 − j 4) А. Показательная форма имеет вид

I& ψi

I& = – 32 + 4 2 e − j arctg ( 4 3 ) = −5e − j 53,13 = 5e j126,87 А. o

o

Комплексная амплитуда

+1

−3

o o I&m = 2 I& = 2 ⋅ 5e j126,87 = 7,07e j126,87 А.

+4

Рис. 2.2

По определению o i = Im[I&m e jωt ] = Im[7,07e j126,87 e jωt ] = 7,07 sin(ωt + 126,87 o ) А.

В программе Mathcad мнимая единица определяется произведением 1j, знак умножения после набора цифры 1 не ставится. Ниже приведена программа для решения задачи. i I

3 j .4 i I =5

Im 2. I Im = 7.071 ψ i arg( i) ψ i = 2.214 ψi

arg( i) .

← Присвоение переменной i комплекса действующего значения. ← Вычисление модуля комплекса i (действующего значения тока). ← Вычисление амплитудного значения тока. ← Вычисление начальной фазы комплекса i в радианах.

180 π

← Вычисление начальной фазы комплекса i в градусах.

ψ i = 126.87

Задача 2.3 Мгновенные значения напряжения и тока на входе пассивного двухполюсника соответственно равны: u = 100 sin 314t В; i = 0,2 sin 314t + 53o А. Определить комплексное сопротивление и комплексную проводимость двухполюсника. Решение Комплексы действующего значения напряжения и тока равны:

(

)

o 100 0,2 j 53o U& = = 70,71 В; I& = e = 0,141 e j 53 А. 2 2

По определению:

Z=

o U& 70,71 − j 53o = e = 501,5 e − j 53 = 300,9 – j 399,3 Ом; I& 0,141

22

o I& 0,141 j 53o = e = 1,994⋅10 –3 e j 53 = 1,204⋅10 –3 + j 1.597⋅10 –3 Ом –1. U& 70,71 C iL i Задача 2.4

Y=

Действующее значение напряжения на входе цепи со схемой рис. 2.3 U = 100 В. Найти действующие значения токов ветвей, если XС = 20 Ом, R = 80 Ом, XL = 60 Ом. Проверить выполнение баланса мощностей. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.

iR

u

L

R

Рис. 2.3

Решение

Пусть комплексное напряжение U& = U = 100 В. Комплексные сопротивления: - ветвей: Z 1 = − j XС = – j 20 Ом; Z 2 = R = 80 Ом; Z 3 = j XL = j 60 Ом, - участка 2-3: Z 23 =

o 80 j 60 Z2Z3 = = 28.8 + j 38.4 = 48 e j 53,1 Ом, Z 2 + Z 3 80 + j 60 o

- цепи: Z = Z 1 + Z 23 = – j 20 + 28.8 + j 38.4 = 28.8 + j 18.4 = 34,176 e j 32, 6 Ом. Ток на входе цепи

U& 100 − j 32 , 6o А. I& = = o = 2,466 – j 1,575 = 2,926 e Z 34,176e j 32, 6 Напряжение на участке 2-3 o o o U& 23 = I& Z 23 = 2,926 e − j 32,6 48 e j 53,1 = 140,45 e j 20,5 В.

Токи ветвей

I&R I&L

o o U& 23 140,45e j 20,5 = = = 1.756 e j 20,5 А; Z2 80 o o U& 23 140,45e j 20,5 = = = 2,341 e − j 69,5 А. Z3 j 60

Действующие значения токов ветвей: I = 2,926 А; I R = 1,756 А; I L = 2,341 А. Баланс мощностей. Комплексная мощность источника на входе цепи o S U = U&I = 100⋅2,926 e j 32,6 = 246,6 + j 157,5 ВА;

РU = 246,6 Вт; QU = 157,5 ВА. 23

Комплексная мощность нагрузок

S Z = I 2 Z 1 + I R2 Z 2 + I L2 Z 3 = 2,926 2⋅(– j 20) + 1,756 2⋅80 + 2,341 2⋅ j 60 = =246,6 + j 157,5 ВА; РZ = 246,6 Вт; +j QZ = 157,5 ВА. Баланс мощностей выполняется. I&R +1 U& На рис. 2.4 в комплексной плоскости построены векторные диаграммы токов и I& I&L напряжений. Напряжение U& 23 & o U 1 U& 1 = I& Z 1 = 58,52 e − j122,6 В ° на 90 отстает от тока I& . Ток I&R – в фазе,

Рис. 2.4

° ток I&L на 90 отстает от напряжения U& 23 .

Задача 2.5

В цепи со схемой рис. 2.5 найC2 i2 ти комплексы действующих значений токов ветвей, напря1i 2 L 1 R 3 жений u12 и u34. Действующее 1 i1 a значение синусоидального наi3 i4 пряжения U = 220 B. Активные u12 C3 сопротивления: R1 = 91 Ом; R3 = u b R4 u34 510 Ом; R4 = 820 Ом. Реактивные сопротивления на R3 частоте ω источника напряжения: X1 = ω L1 = 240 Ом; 4 X2 = 1/ ω C2 = 150 Ом; Рис. 2.5 X3 = 1/ ω C3 = 190 Ом. Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений. Решение

Назначаем положительные направления токов как на рис. 2.5. Пусть U& = U = 220 B . Определяем комплексные сопротивления: o Z 1 = R1 + jX 1 = 91 + j 240 = 256,67e j 69 Ом; o

Z 2 = − jX 2 = − j150 = 150e − j 90 Ом; o

Z 3 = R3 − jX 3 = 510 − j190 = 544,24e − j 20,4 Ом; 24

Z 4 = R4 = 820 Ом. Ветви R1 – L1 и С2 соединены параллельно, комплексное сопротивление

Z 12 =

o Z1Z 2 = 125 − j 273,6 = 300,8e − j 65,4 Ом. Z1 + Z 2

Ветви R3 – C3 и R4 соединены параллельно, комплексное сопротивление

Z 34 =

o Z3Z4 = 324,5 − j 70,78 = 332,18e − j 37 ,5 Ом. Z3 + Z4

Комплексное сопротивление цепи o

Z = Z 12 + Z 34 = 449,5 − j 344,4 = 566,3e − j 37 ,4 Ом. Ток

& 100 j 37 , 4o &I = U = А. o = 0,39 e Z 566,3e − j 37 ,4 Напряжения: o o U& 12 = I& Z 12 = 116,86e − j 28 В; U& 34 = I& Z 34 = 129,05e j 25 В.

Токи ветвей: o o U& U& I&1 = 12 = 0,46e − j 97 ,2 А, I&2 = 12 = 0,78e j 62 А, Z1 Z2 o o U& U& I&3 = 34 = 0,24e j 45,6 А, I&4 = 34 = 0,16e j 25 А. Z3 Z4

Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. R1 X3 rgd u

91 R3 510 R4 190 U 220 180

820 X1

240 X2

150

π

U

z1 R1 j . X1 Z1 z1 φ 1 rgd. arg( z1) Z1 = 256.67 φ 1 = 69.235 z1 = 91 + 240i . z2 j X2 Z2 z2 φ 2 rgd. arg( z2) z2 = 150i Z2 = 150 φ 2 = 90 . z3 R3 j X3 Z3 z3 φ 3 rgd. arg( z3) φ 3 = 20.43 z3 = 510 190i Z3 = 544.24 z4 R4 z4 = 820 . z1 z2 Z12 z12 φ 12 rgd. arg( z12) z12 z1 z2 z12 = 124.99 273.62i Z12 =300.8 φ 12 = 65.45

25

← Исходные данные.

← Формула перевода из радиан в градусы. ← Комплекс действующего значения приложенного напряжения ← Расчет комплексных сопротивлений ветвей.

← Расчет комплексных сопротивлений участков 1–2 и 3–4.

z3. z4

Z34 z34 φ 34 rgd. arg( z34) z3 z4 z34 = 324.55 70.78i Z34 = 332.18 φ 34 = 12.3 z z12 z34 φ rgd. arg( z) Z z Z = 566.3 z = 449.54 344.4i φ = 37.46 u I i ψ i rgd. arg( i) i z i = 0.31 + 0.24i I = 0.39 ψ i = 37.46 u12 i. z12 U12 u12 ψ u12 rgd. arg( u12) u12 = 103.19 54.85i U12 = 116.86 ψ u12 = 27.99 u34 i. z34 U34 u34 ψ u34 rgd. arg( u34) u34 = 116.81 + 54.85i U34 = 129.05 ψ u34 = 25.15 u12 I1 i1 ψ i1 rgd. arg( i1) i1 z1 i1 = 0.06 0.45i I1 = 0.46 ψ i1 = 97.23 u12 I2 i2 ψ i2 rgd. arg( i2) i2 z2 i2 = 0.37 + 0.69i I2 = 0.78 ψ i2 = 62.01 u34 I3 i3 ψ i3 rgd. arg( i3) i3 z3 i3 = 0.17 + 0.17i I3 = 0.24 ψ i3 = 45.59 u34 I4 i4 ψ i4 rgd. arg( i4) i4 z4 i4 = 0.14 + 0.07i I4 = 0.16 ψ i4 = 25.15 z34

← Расчет комплексного сопротивления цепи. ← Расчет комплекса действующего значения тока i. ← Расчет комплексов действующего значения напряжений u12 и u34 .

← Расчет комплексов действующего значения токов ветвей.

Баланс мощностей. Комплексная мощность источника напряжения U o S U = U&I = 220 ⋅ 0,39e − j 37 , 4 = 67,85 − j 51,98 ВА. I = Ie − jψi – сопряженный комплексный ток. Активная мощность PU = 67,85 Вт, реактивная мощность QU = −51,98 ВА. Характер реактивной мощности емкостной.

Комплексная мощность нагрузок

S Z = I12 Z 1 + I 22 Z 2 + I 32 Z 3 + I 42 Z 4 = = 0,462 ( 91+j 240) + 0,782 (– j 150) + 0,242(510 – j 190) + 0,162⋅820 = = 67,85 − j51,98 ВА . Баланс мощностей выполняется.

26

Для построения топографической диаграммы напряжений и векторной диаграммы токов необходимо дополнительно рассчитать напряжения U&1a ; U& a 2 ;

U& 3b ; U& b 4 (рис. 2.5). Расчет в программе Mathcad приводится ниже. u1a ua2

i1. j . X1 i1. R1

u1a = 108.4 ua2 = 5.21

u3b i3. ( j . X3) ub4 = 84.63 + 86.38i

13.75i 41.1i

u3b = 32.18 31.53i ub4 i3. R3

Диаграммы представлены на рис. 2.6.

I&4 I&3

I&1

+j

I&

+1 b

I&2

2 3

a

4

1

Рис. 2.6

R

Задача 2.6

В цепи со схемой рис. 2.7 найти мгновенные значения токов i1 и i2. Э. д. с. e(t ) = 12 sin 314t В; R = 47 кОм;

С = 0,068 мкФ; Z = 12000 + j 25000 Ом.

C

1

e(t )

Решение

Назначаем положительные направления тоi ков как на рис. 2.7. Комплексная амплитуда э. д. с. E& m = 12 В. Комплексные сопротивления на частоте ω = 314 с –1:

C

2 R 2 i1 Рис. 2.7

1 10 6 =− j = – j 4.681⋅10 4 Ом, - участок 1–2 Z 1 = − j ωC 314 ⋅ 0,068 3 - участок 1–3 Z 2 = R = 47⋅10 Ом, 1 10 6 - участок 2–3 Z 3 = − j =− j = – j 4.681⋅10 4 Ом. ωC 314 ⋅ 0,068

27

3 Z

i2

В схеме рис. 2.7 нет ни последовательно, ни параллельно соединенных участков. Поэтому с целью использования для расчета метода эквивалентных преобразований заменяем треугольник из сопротивлений Z 1 ; Z 2 ; Z 3 эквивалентной звездой (рис. 2.8). Комплексные сопротивления:

0

Z 12

2

1

Z1Z 2 Z Z Z Z ; Z 13 = 1 3 ; Z 23 = 2 3 , d d d где d = Z 1 + Z 2 + Z 3 ,

e(t )

i

Z 12 =

Z 13

Z 23

3

R 2

Z

i1

i2

Рис. 2.8

R = 1,41⋅10 4 – j 1.869 ⋅10 4 Ом, 2 Z 02 = Z 23 + Z = 3,08⋅10 4 + j 1.56 ⋅10 4 Ом, Z Z Z 0 = 01 02 = 1.66 ⋅10 4 – j 6,76 ⋅10 3 Ом. Z 01 + Z 02 Z 01 = Z 13 +

Комплексные амплитуды токов ветвей: o E& m = 0,308 e j 24,5 мА; Z 12 + Z 0 o o Z Z I&1m = I&m 0 = 0,236 e j 55, 4 мА; I&2 m = I&m 0 = 0,16 e − j 24, 4 мА. Z 01 Z 02

I&m =

Мгновенные значения токов:

i1 = 0,236 sin (314t + 55,4o ) мА; i2 = 0,16 sin (314t − 24,4o ) мА.

Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. 12 f 50 ω 2. π . f ω = 314.159 3 6 3 3 R 47. 10 C 0.068. 10 z 12. 10 j . 25. 10 em Em Em

z1

j z2 ω.C

R z3 4

z1 = 4.681 10 j

j ω.C 4

z2 = 4.7 10

4

z1 z2 z3 z1. z2 z1. z3 z2. z3 z12 z13 z23 d d d R 4 4 z01 = 1.412 10 1.869 10 j z01 z13 2 z23 z

4

← Комплекс амплитудного значения э. д. с. ← Расчет комплексных сопротивлений участков.

z3 = 4.681 10 j

d

z02

← Исходные данные.

← Эквивалентные преобразования из треугольника в звезду. ← Расчет комплексных сопротивлений.

4

z02 = 3.077 10 + 1.558 10 j

28

z0 im

z01. z02 z01 z02 em

4

3

z0 = 1.663 10

6.761 10 j

4

+ 1.282 10 j

im = 2.804 10

4

z12 z0 Im im Im. 1000 = 0.308 180 . ψ im arg( im) ψ im = 24.567 u0m π u0m i1m. 1000 = 0.134 + 0.194j i1m z01 I1m i1m I1m. 1000 = 0.236 180 . ψ i1m arg( i1m) ψ i1m = 55.39 π u0m i2m. 1000 = 0.146 0.066j i2m z02 I2m i2m I2m. 1000 = 0.16 180 . ψ i2m arg( i2m) ψ i2m = 24.405 π

← Расчет комплексных амплитуд токов.

im. z0

2.3. Задачи и вопросы для самоконтроля

1. Мгновенное значение напряжения u = 10 sin(100t + 90o ) В. Записать комплекс мгновенного значения. Чему равна комплексная амплитуда и комплекс действующего значения этого напряжения? 2. Комплексная амплитуда тока I&m = 80 − j 60 мА. Изобразить I&m на комплексной плоскости. Записать показательную форму комплексной амплитуды. Чему равно действующее значение этого тока? 3. Ток I& = 0,05 – j 0.087 А на пассивном участке цепи создает напряжение o U& = 200e j 30 В. Изобразить на комплексной плоскости векторные диаграммы

тока и напряжения. Чему равно комплексное сопротивление участка цепи? 4. Для пассивного двухполюсника (рис. 1.5) экспериментально определены: U = 10 В; I = 2 А; ϕ = – 30°. Определить комплексное сопротивление и комплексную проводимость двухполюсника. 5. Мгновенные значения напряжения и тока на входе пассивного двухполюсника соответственно равны: u = 100 sin 314t + 90o В; i = 0,2 sin 314t + 53o А. Определить комплексное сопротивление и комплексную проводимость двухполюсника. Чему равна комплексная мощность двухполюсника? 6. Найти комплексные сопротивления Z и проводимости Y цепей со схемами рис. 1.14.

(

)

(

29

)

7. Найти мгновенные значения токов ветвей цепи L i2 i со схемой рис. 2.9. Действующее значение напряжения U = 100 В, R = X L = X C = 10 Ом. i1 C Рассчитать комплексную мощность источ- U R U RC ника. Проверить выполнение баланса мощностей. Построить векторные диаграммы тока и напряжения. 8. Найти комплексы действующих значений тоРис. 2.9 ков ветвей и напряжения между точками a и b i (рис. 2.10), если действующее значение напряжения u равно 100 В, R = 20 Ом, R R X L = 2 X C = 10 Ом. Проверить выполнение баланса мощноu ab а стей. Построить векторные диаграммы тока и на- u b пряжения. XL 9. Для цепей со схемами рис. 2.11 не выполняя XC расчета построить векторные диаграммы токов и i1 i2 топографические диаграммы напряжений. 10. Записать выражения комплексных мгновенРис. 2.10 ных, амплитудных и действующих значений синусоидальных напряжения, токов. 11. Как определяется комплексное сопротивление пассивного участка цепи? 12. Как определяется комплексная проводимость пассивного участка цепи?

R1

R1

L

C u

R2

u

R2 L

R3 C

Рис. 2. 11 13. Записать уравнения идеальных элементов R , L и С в цепи синусоидального тока. Нарисовать на комплексной плоскости векторные диаграммы напряжения и тока для этих элементов. 14. Как рассчитать комплексную мощность пассивного участка цепи? 15. Как рассчитать комплексную мощность источников напряжения и тока? 16. Как составить уравнения баланса мощностей в комплексной форме записи? 17. Записать выражения комплексных сопротивлений ветвей цепей со схемами рис. 2.11. 30

3. Расчет разветвленных цепей синусоидального тока комплексным методом 3.1. Общие сведения

Переход от вещественных синусоидальных функций времени токов и напряжений к их изображению в комплексной форме записи позволяет распространить методы расчета разветвленных цепей постоянного тока на расчет разветвленных цепей синусоидального тока. Каноническая форма уравнений метода узловых напряжений для случая трех независимых узлов имеет вид

Y 11 U& 10 – Y 12 U& 20 – Y 13 U& 30 = J&11 ; – Y 21 U& 10 + Y 22 U& 20 – Y 23 U& 30 = J& 22 ; – Y 31 U& 10 – Y 32 U& 20 + Y 33 U& 30 = J&33 ,

где Y 11 ; Y 22 ; Y 33 – собственные комплексные проводимости ветвей, принадлежащих узлам, Y 12 = Y 21 ; Y 23 = Y 32 ; Y 13 = Y 31 – общие комплексные проводимости ветвей одновременно принадлежащих двум узлам, J&11 ; J& 22 ; J&33 – узловые токи. Каноническая форма уравнений метода контурных токов для случая трех независимых контуров имеет вид

Z 11 I&11 + Z 12 I&22 – Z 13 I&33 = E&11 ; Z 21 I&11 + Z 22 I&22 + Z 23 I&33 = E& 22 ; Z 31 I&11 + Z 32 I&22 + Z 33 I&33 = E& 33 ,

где Z 11 ; Z 22 ; Z 33 – собственные комплексные сопротивления контуров, Z 12 = Z 21 ; Z 23 = Z 32 ; Z 13 = Z 31 – общие комплексные сопротивления ветвей одновременно принадлежащих двум контурам, E&11 ; E& 22 ; E& 33 – собственные э. д. с. контуров. Правила получение узловых и контурных уравнения остаются такими, как в цепях постоянного тока. Схема и граф обобщенной ветви цепи синусоидального тока показаны на рис. 3.1. Уравнения Кирхгофа в матричной форме для электрической цепи со схемой, имеющей b обобщенных ветвей и q узлов, имеют вид A I& = 0 ;

& = 0. BU Матрицы соединений (инциденций) А и главных контуров В составляются

по тем же правилам, что в цепи постоянного тока.

31

& b , токов Матрицы э. д. с. ветвей E

I&

I&b

U&

U& b

Yb = E& b

1 Zb

J&b

U&

Рис. 3.1

I&

источников тока J& b формируются по тем же правилам, что для цепи постоянного тока. Коэффициенты в этих матрицах– комплексные действующие значения. Коэффициенты в матрицах сопротивлений – комплексные сопротивления Z b , в матрицах проводимостей – комплексные проводимости Y b ветвей.

Матрицы приобретают вид Z b и Y b . Матричное уравнение метода узловых напряжений для цепи синусоидального тока имеет вид

& n0 = −A YbE & b + A J& b . A Y b AT U Обозначив через Y nn = A b Yb A T квадратную матрицу комплексных уз-

& b + A J& b столбцевую матрицу комловых проводимостей, через J& nn = − A Y b E плексных действующих значений узловых токов, получим узловые уравнения в матричной форме & n 0 = J& nn . Y nn U Решение этого уравнения −1 & & n 0 = Y nn U J nn

определяет матрицу комплексных действующих значений узловых напряжений. Далее рассчитываются напряжения & = AT U & n0 , U &b =U & +E & U и токи & b , I& = I& b − J& . I& b = Y b U Матричное контурное уравнение для цепи синусоидального тока имеет вид

& b. B Z b B T I& nn = −B Z b J& b + B E Обозначив через Z nn = B Z b B T квадратную матрицу комплексных контурных & nn = −B Z b J& b + B E & b матрицу комплексов действующих сопротивлений, через E значений э. д. с. контуров, получим контурное уравнение в матричной форме

& nn . Z nn I& nn = E Решение этого уравнения −1 & &I nn = Z nn E nn

32

определяет матрицу комплексных контурных токов. Далее рассчитываются токи ветвей: I& = BT I& nn ; I& b = I& + J& , и напряжения: & b = Z b I& b ; U & =U & b −E &. U 3. 2. Решение типовых задач Задача. 3.1

На рис. 3.1 показан фрагмент цепи синусоидального тока. Найти действующее значение напряжения U& , если E& = 220 В; I& =15 e

π −j 6

E&

Z

I&

А; Z = 4 + j 2 Ом.

Решение

Назначаем положительные направления тока I& и U& напряжения U& . Рис. 3.1 Уравнение второго закона Кирхгофа для принятого на рис. 3.1 направления обхода контура имеет вид

U& – I& Z = – E& . Откуда

U& = I& Z – E& = 15 e

−j

π 6

– 220 = – 267,6 – j 47,2 В.

Действующее значение напряжения равно:

U = U& = 271,8 В. Задача. 3.2

На рис. 3.2 показан фрагмент цепи синусоидального тока. o

I&

Найти ток I& , если U& = 380 В; E& = 220 e j120 В; J& = − j 20 А; Z = 5 – j 2 Ом. Решение. Назначаем положительные направления токов ветвей и напряжения U& . Уравнения Кирхгофа имеют вид – I& + J& + I&b = 0;

U&

I&b

Z

E&

U& – I&b Z = – E& .

Из второго уравнения находим:

Рис. 3.2

33

J&

U& + E& 380 + 65,18 − j 210 I&b = = = 91,25 – j 5 А. 5 − j2 Z Из первого уравнения получаем: o I& = J& + I&b = –j 20 + 91,2 – j 5 = 91,25 – j 25 = 94,75 e − j15,6 А.

Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. π j . 2. 3

380 e 220. e e = 65.185 5 j .2 u e ib = 91.247 5.525i ib z i ib j i = 91.247 25.525i I 180 . ψ i = 15.628 ψi arg( i) π u z

210.121i

j

j . 20

← Исходные данные.

← Расчет тока ветви. i

I = 94.75

← Расчет тока I& в показательной форме записи. Аргумент в градусах.

Задача 3.3

Цепь со схемой рис. 3.3 содержит идеальный операционный усилитель ОУ. Параметры цепи R1 = R2 = R3 = R = 47 кОм, С = 0,068 мкФ. Найти напряжение uвых , если uвх = 10 sin 314t В.

R2

Решение

Назначаем положительные направления токов (рис. 3.3). U& вх

усилитель идеальный (токи входов равны нулю), уравнение по законам Кирхгофа имеют вид I&1 + I&2 = 0;

–U& вх + I&С Z = 0; –U& вх + I&1 R1 – I&2 R2 +U& вых = 0,

где Z = R −

i2

R1

10 = В. Поскольку 2 uвх

C

i1

∞ u вых

iC

ОУ R3

Рис. 3.3

j = (4,7 – j 4,68)⋅10 4 Ом. ωC

Из второго уравнения находим

U& I&С = вх . Z По закону Ома

U& вх & & U R 3 = I С R3 = R3 . Z 34

Токи

U& − U& R 3 I&1 = вх ; R1 I&1 = – I&2 . Комплексное действующее значение выходного напряжения определяется из уравнения Кирхгофа

U& вых = U& вх – I&1 R1 + I&2 R2 .

Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. Расчет ведется относительно комплексных амплитуд. Ubxm 10 R ubxm Ubxm

3 47. 10 C

6 0.068. 10

ω

314

← Комплексная амплитуда входного напряжения.

1 4 4 z = 4.7 10 4.683 10 j j . . ωC ubxm. uR3m R z ubxm uR3m i2m i1m i1m R uvxm ubxm i1m. R i2m. R uvxm = 0.035 + 10j Uvxm uvxm Uvxm = 10 180 . ψu arg( uvxm) ψ u = 89.797 π z

← Исходные данные.

R

← Расчет комплексного сопротивления Z . ← Расчет напряжения на резисторе R3. ← Расчет тока ветвей. ← Расчет выходного напряжения в показательной форме записи. Аргумент в градусах.

Амплитуда выходного напряжения

U вых m = 10 В.

Начальная фаза ψ u = 89,8°. Мгновенное значение выходного напряжения uвых = 10 sin 314t + 89,8o В.

(

)

Задача 3.4

В цепи со схемой рис. 3.4 найти комплексные действующие значения токов ветвей. Действующее значение синусоидального напряжения U = 220 B. Активные сопротивления: R1 = 91 Ом; R3 = 510 Ом; R4 = 820 Ом. Реактивные сопротивления: X1 = ω L1 = 240 Ом; X2 = 1/ ω C2 = 150 Ом; X3 = 1/ ω C3 = 190 Ом. Расчет выполнить методом узловых напряжений.

35

C2 1i

L1

i2 2

R1 i 1

a

3

i3

u12

u

b

u34

C3

i4 R4

R3

4 Рис. 3.4 Решение

Комплексные сопротивления ветвей рассчитаны в задаче 2.5. Имеем: o Z 1 = R1 + jX 1 = 91 + j 240 = 256,67e j 69 Ом; o

Z 2 = − jX 2 = − j150 = 150e − j 90 Ом; o

Z 3 = R3 − jX 3 = 510 − j190 = 544,24e − j 20,4 Ом; Z 4 = R4 = 820 Ом. Z2 I&2 & I Для расчета схему цепи удобно представить как на рис. 3.5. Рассчитываем U& 34 методом узловых напряжений. Узловое уравнение имеет вид

(

U&

I&1

Z1

U& 34

I&3

Z4

I&4

Z3

Рис. 3.5

1 1 1 1 1 1 + + + )U& 34 − ( + )U& = 0 , Z1 Z 2 Z 3 Z 4 Z1 Z 2

откуда

U& 34

1 &  1  + U Z Z  1 2  = . 1 1 1 1 + + + Z1 Z 2 Z 3 Z 4

Токи ветвей: o o U& − U& 34 U& − U& 34 I&1 = = 0,46e − j 97 , 2 А; I&2 = = 0,78e j 62 А; Z1 Z1

36

o o U& U& I&3 = 34 = 0,24e j 45,6 А; I&4 = 34 = 0,16e j 25 А; Z3 Z4 o I& = I&1 + I&2 = 0,39e j 37 , 4 А.

Задача 3.5

Для цепи со схемой рис. 3.6 найти комплексы действующих значений токов ветвей, если Z 1 = j10 Ом, Z 2 = 6 + j8 Ом, Z 3 = 3 Ом, Z 4 = Z 1 , Z 5 = − j 7 Ом,

J&1 = 5 А, E& = j110 В. Проверить выполнение мощностей.

баланса

U& J J&1

1

Решение

I&1

Z1

I&3

Z4

Z2

2 I&

U& 20

E&

Z 3 U& 10

Назначаем положительные направления токов ветвей. Выбираем в качестве базисного узел 0. Напряжение узла 2 относительно базисного U& 20 = E& .

I&4

U& 30

I&2

3 I&5 Z5

0 Рис. 3.6

Напряжения U& 10 и U& 30 определяем методов узловых напряжений. Узловые уравнения имеют вид:

Y 11U& 10 − Y 12U& 20 − Y 13U& 30 = J&11 ; − Y 31U& 10 − Y 32U& 20 + Y 33U& 30 = J&33 , 1 1 1 1 1 1 + + = + + = 0,33 − 0,2 j Ом –1; Z 1 Z 3 Z 4 j10 3 j10 1 1 1 1 1 1 Y 33 = + + = + + = 0,06 − 0,037 j Ом –1 – собственные Z 2 Z 5 Z 4 6 + j8 − j 7 j10 1 1 = = − 0,1 j Ом –1; комплексные проводимости узлов 1 и 3, Y 12 = Z 1 j10 1 1 1 1 Y 13 = = = − 0,1 j Ом –1; Y 31 = Y 13 ; Y 32 = = = 0,06 − 0,08 j Ом –1 Z 4 j10 Z 2 6 + j8

где Y 11 =

– общие комплексные проводимости, J&11 = J&1 = j5 А; J&33 = − J&1 = − j5 А узловые токи. Поскольку U& 20 = E& , решив матричное уравнение

37

U& 10   Y 11  &  = − Y U 30   31

−1 − Y 13  Y 12 E& + J&1  , Y 33  Y 32 E& − J&1 

найдем значения узловых напряжений:

U& 10 = 2 − j 42,4 В; U& 30 = 35,32 − j128,13 В. Токи ветвей определяются по уравнениям: o U& − E& I&1 = 10 = −4,24 + 10,8 j = 11,6e j111 А; Z1 & & &I 2 = − U 30 + E = 14,73 + 1,71 j = 14,83e j 6,6o А; Z2 o − U& 10 I&3 = = −0,67 + 14,13 j = 14,15e j 92 ,7 А; Z3 & & &I 4 = U 10 − U 30 = 8,57 + 3,33 j = 9,2e j 21o А; Z4 o − U& 30 I&5 = = −18,3 − 5,05 j = 18,99e − j164 А; Z5 o I& = I&2 − I&1 = 18,97 – 9,09 j = 21,03e − j 25,6 А.

Баланс мощностей. Комплексная мощность источников

Sист = E& I + (U& 10 − U& 30 ) J1 = 1,92 ⋅ 103 + 1,43 ⋅ 103 j ВА. Комплексная мощность потребителей

Sпот = I12 Z 1 + I 22 Z 2 + I 32 Z 3 + I 42 Z 4 + I 52 Z 5 = 1,92 ⋅ 103 + 1,43 ⋅ 103 j ВА. Здесь J1 , I – сопряженные комплексные значения. Баланс мощностей выполняется, Sист = Sпот. Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. j . 8 z3 3 z4 z1 z5 180 e 110 j1 5 rg π 1 1 1 1 1 1 y11 y33 z1 z3 z4 z2 z5 z4 y11 = 0.33 0.2i y33 = 0.06 0.04i 1 1 1 y31 y13 y12 y32 y13 z1 z2 z4 y12 = 0.1i y32 = 0.06 0.08i y13 = 0.1i 1 y12. e j1 u10 y11 y13 . u30 y32. e j1 y31 y33 z1

j . 10 z2

6

j .7

← Исходные данные. ← Расчет собственных и общих комплексных проводимостей.

← Расчет комплексных узловых напряжений.

38

u10 = 2 42.4i u30 = 35.32 128.13i u10 e I1 i1 ψ i1 rg. arg( i1) i1 z1 i1 = 4.24 + 10.8i I1 = 11.6 ψ i1 = 111.43 u30 e I2 i2 ψ i2 rg. arg( i2) i2 z2 i2 = 14.73 + 1.71i I2 = 14.83 ψ i2 = 6.64 u10 I3 i3 ψ i3 rg. arg( i3) i3 z3 i3 = 0.67 + 14.13i I3 = 14.15 ψ i3 = 92.7 u10 u30 I4 i4 ψ i4 rg. arg( i4) i4 z4 i4 = 8.57 + 3.33i I4 = 9.2 ψ i4 = 21.24 u30 I5 i5 ψ i5 rg. arg( i5) i5 z5 i5 = 18.3 5.05i I5 = 18.99 ψ i5 = 164.59 i i2 i1 I i ψ i rg. arg( i) i = 18.97 9.09i I = 21.03 ψ i = 25.59 se

← Расчет комплексных токов ветвей.

Баланс мощностей. ← Расчет комплексной мощности источников.

e. i ( u10 u30) . j1 3

3

se = 1.92 10 + 1.43 10 i 2 2 2 2 2 sz I1 . z1 I2 . z2 I3 . z3 I4 . z4 I5 . z5 3

← Расчет комплексной мощности нагрузок.

3

sz = 1.92 10 + 1.43 10 i Задача 3.6

Для цепи со схемой рис. 3.7 найти комплексные действующие значения токов ветвей. Комплексные сопротивления: Z 1 = j10 Ом, Z 2 = 6 + j8 Ом, Z 3 = 3 Ом, Z 4 = Z 1 , Z 5 = − j 7 Ом,

U& J J&1 I&1

J&1 = 5 А, E& 4 = j110 В.

Z1

Z3

Решение

Z2 I&4

I&3

Проверить выполнение баланса мощностей.

J&1

I&11

Z4 E& 4

I&2 I&5

I&22

Z5

Назначаем положительные направления токов ветвей. Определяем незаРис. 3.7 висимые контуры с токами I&11 и I&22 как показано на рис. 3.7. Ветвь с источником тока не должна входить в эти контуры. Контурный ток J&1 равен току источника тока. 39

Уравнения относительно контурных токов I&11 и I&22 имеют вид:

Z 11 I&11 + Z 12 I&22 + Z 13 J&1 = − E& 4 ; Z 21 I&11 + Z 22 I&22 + Z 23 J&1 = E& 4 ,

где:

Z 11 = Z 1 + Z 3 + Z 4 = j10 + 3 + j10 = 3 + j20 Ом; Z 22 = Z 2 + Z 5 + Z 4 = 6 + j8 – j7 + j10 = 6 + j11 Ом; Z 12 = − Z 4 = – j10 Ом, Z 21 = Z 12 ; Z 13 = − Z 1 = – j10 Ом; Z 23 = − Z 2 = – 6 – j8 Ом. Решение уравнения

 I&11   Z 11  &  = Z  I 22   21

−1 Z 12  − E& 4 − Z 13 J&1  Z 22   E& 4 − Z 23 J&1 

дает значения контурных токов:

I&11 = 2,26 + j 3,98 А; I&22 = 11,72 + j 7,29 А.

Токи ветвей: o I&1 = I&11 − J&1 = −2,74 + j 3,98 = 4,83e j124,5 А; o I&2 = I&22 − J&1 = 6,72 + j 7,29 = 9,91e j 47 ,3 А; o I&3 = I&11 = 2,26 + j 3,98 = 4,58e j 60, 4 А; o I&4 = I&22 − I&11 = 9,46 + j 3,3 = 10,02e j19, 25 А; o I&5 = − I&22 = −11,72 − j 7,29 = 13,8e − j148,1 А.

Рассчитываем баланс мощностей. Комплексная мощность источников Sист = U& J J1 + E& I 4 ,

где U& J – напряжение на источнике тока, J1 ; I 4 – сопряженные комплексные токи. Напряжение o U& J = − I&1 Z 1 − I&2 Z 2 = 90,84e − j 50,5 В. Подставляя данные, получаем Sист = 652,26 + j 689,82 ВА. Комплексная мощность Sпот потребителей: Sпот = I12 Z 1 + I 22 Z 2 + I 32 Z 3 + I 42 Z 4 + I 52 Z 5 = 652,26 + j 689,82 ВА.

Получили Sист = Sпот, баланс мощностей выполняется. Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. 40

z1 j1 rg

j . 10 z2 6 j . 8 z3 5 e4 j . 110 180

z11 z22 z12 z13 =

3 z4

j .7

z1 z5

π

z1 z2 z4 10i

z3 z4 z11 = 3 + 20i z4 z5 z22 = 6 + 11i z12 = 10i z21 z12 z13 z1 z23 z2 z23 = 6 8i 1 z11 z12 e4 z13. j1 . inn z21 z22 e4 z23. j1 i11 = 2.26 + 3.98i i22 = 11.72 + 7.29i i1 i11 j1 I1 i1 ψ i1 rg. arg( i1)

i1 = 2.74 + 3.98i i2 i22 j1 i2 = 6.72 + 7.29i i3 i11 i3 = 2.26 + 3.98i i4 i22 i11 i4 = 9.46 + 3.3i i5 i22 i5 = 11.72 7.29i

I1 = 4.83 I2 i2 I2 = 9.91 I3 i3 I3 = 4.58 I4 i4 I4 = 10.02 I5 i5 I5 = 13.8

uj i1. z1 i2. z2Uj uj Uj = 90.84 ψ uj = 50.5

ψ i1 = 124.51 ψ i2 rg. arg( i2) ψ i2 = 47.31 ψ i3 rg. arg( i3) ψ i3 = 60.4 ψ i4 rg. arg( i4) ψ i4 = 19.25 ψ i5 rg. arg( i5) ψ i5 = 148.13

ψ uj

rg. arg( uj)

← Исходные данные. ← Формула перевода из радиан в градусы. ← Расчет собственных и общих комплексных сопротивлений.

← Расчет контурных токов. ← Расчет токов ветвей.

← Расчет напряжения на источнике тока.

sej uj. j1 e4. i4 sej = 652.26 + 689.82i 2 2 2 2 2 sz I1 . z1 I2 . z2 I3 . z3 I4 . z4 I5 . z5 sz = 652.26 + 689.82i

← Расчет комплексной мощности источников. ← Расчет комплексной мощности нагрузок.

Задача 3.7

В цепи со схемой рис. 3.8 действующее значение синусоидальной э. д. с. Е = 2 В. Частота f = 1000 Гц; R1 = 1600 Ом; R2 = 2700 Ом; C = 0,05 мкФ; µ = – 1. На частоте f комплексное сопротивление нагрузки Z = 5100 + j 3000 Ом. Найти мгновенное значение тока в нагрузке. Решение

Определяем направления токов ветвей и напряжений U& 1 и U& 2 узлов 1 и 2 как на

рис. 3.8. Принимаем E& = Е.

41

C I&C

Уравнения метода узловых напряжений имеют вид

1 1 1 &  1 1 & U 2 = U1 −   + + + R R Z R Z C C    2  1 2 =

R1

E& ; R1

R2

1 I&2

I&1

U& 1

E&

2 I&3

I& U& 2

µU& 1

Z

U& 2 = µU& 1 , откуда

U& 1 =

Рис. 3.8

E& R1 . 1 R1 + (1 − µ )(1 R2 + 1 Z C )

Комплексное сопротивление емкости С на частоте ω = 2 π f = 6283 c -1

Z C = − j ωC = −3,18 ⋅ 103 j Ом. Тогда

U&1 =

o 2 1600 = 0,83e j155 В;  1  1  1    ( 1 1 ) + + ⋅ + 3   1600 2700 − j 3,18 ⋅ 10    

o

o

o U& 2 = µU&1 = e − j180 0,83e j155 = 0,83e − j 25 В.

Комплексное действующее значение тока нагрузки o U& I& = 2 = −8,026 ⋅ 10 −5 + 1154 , ⋅ 10 −4 = 1,405 ⋅ 10−4 e j125 А. Z

Мгновенное значение тока определяется по выражению: o

& jωt ) = Im( 2 ⋅ 1,405 ⋅ 10 −4 e j125 e jωt ) = 2 ⋅ 10 −4 sin(ωt + 125o ) А. i = Im( 2 Ie Задача 3. 8

В цепи со схемой замещения рис. 3.9 действующее значение синусоидальной э. д. с. Е = 2 В. Частота f = 1000 Гц;

R1 = 160 Ом; R2 = 2700 Ом; R3 = 30000 Ом; C = 0,1 мкФ, G = 0,001 Ом–1. На частоте f комплексное сопротивление нагрузки

C

I&C

I&1

R1

1

U& 1

I&2

E&

I&3

R2

R3

U& 10

U& 20

2 I&4

GU&1

0

Z = 300 + j600 Ом.

Рис. 3.9 Найти мгновенное значение тока в нагрузке. Рассчитать баланс мощностей. 42

I&

Z

Решение

Назначаем направления токов и напряжений U& 10 ; U& 20 узлов как на рис. 3.9. Уравнения первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеют вид: − I&1 + I&2 + I&3 + I&C = 0 ;

I& − I&4 − I&3 − I&C = 0 .

Выражаем токи ветвей через напряжения U& 10 и U& 20 :

& & & & & & & & &I1 = E − U 10 ; I&2 = U 10 ; I&3 = U 10 − U 20 ; I&C = U 10 − U 20 ; I& = U 20 ; ZC R1 R2 R3 Z I&4 = GU&1 = G ( E& − U&10 ) , получаем узловые уравнения:

1  1 1 1 1 & 1 & E&  + U10 −  + U 20 = ; + + R1  R1 R2 R3 Z C   R3 Z C   1  1 1 1 1 & U 20 = GE& . −  + − G U& 10 +  + +  R3 Z C   Z R3 Z C  В узловых уравнениях для схем цепей с зависимыми источниками в общем случае Y 12 ≠ Y 21 . Ток нагрузки равен

& &I = U 20 . Z Комплексные мощности источника Sист и нагрузок Sпот соответственно равны:

Sист = E

E& − U&10 ; R1

2 2 2 U U12 U10 U12 U12 Sпот = + + + + 20 − U& 20 I 4 , R1 R2 R3 Z C Z

где E и I 4 – сопряженные комплексные значения э. д. с. E& и тока I&4 , U1 ; U10 ; U12 ; U 20 – действующие значения напряжений. Внимание. При расчете по этим выражением комплексных мощностей знак + перед реактивной мощностью в выражении S = P + jQ соответствует емкостному характеру нагрузки. Численное решение в пакете Mathcad приводится ниже. R1 C

160.0 R2 6 0.1. 10 G

2700 R3 0.001 f

30000 z 1000 E

300

j . 600

2

← Исходные данные ← Расчет комплексного сопротивления емкости на частоте f

43

3 2. π . f ω = 6.283 10

ω Y11 Y12

1

1

1

1

R1 1

R2 1

R3

zC

E R1

u10

Un00 u20

u20

U1 U20

Sz Se

R3 zC 1 G R3 zC 1

z

J22 1.738 0.215j

0.605 + 1.247j Un01 u20 = 0.605 + 1.247j

i = 1.259 10

3

3

+ 1.638 10 j

3 2. i Im = 2.922 10 180. arg( i) ψ i = 52.457 π

E u10 u20

U10

2

u10

2

U12

2

u10 u20

U1

2

U10

U12

U20

U12

2

R1 E E.

R2 u10

R3

z

zC

u20. G. ( E

3

+ 2.687 10 j

Se = 3.28 10

3

+ 2.687 10 j

← Расчет комплекса действующего значения тока нагрузки ← Расчет амплитудного значения тока нагрузки ← Расчет начальной фазы тока нагрузки ← Расчет действующих значений напряжений для баланса мощностей u10) ← Комплексная мощность на-

грузок

← Комплексная мощность источника Sист

R1

Sz = 3.28 10

← Расчет матрицы узловых проводимостей ← Расчет узловых токов ← Расчет узловых напряжений

J11

G. E Jnn

J22

1 Ynn . Jnn Un0 =

ψi

1

← Расчет собственных и общих комплексных проводимостей

z

Y21

Un0

Im

1

Y21 Y22

J11

i

1

Y22

R3 zC Y11 Y12

Ynn

j ω.C

zc

3

3

Из расчета следует: − амплитудное значение тока нагрузки I m = 2,92 мА; − начальная фаза ψ i = 52,5°, следовательно, мгновенное значение тока i (t ) = 2,92 sin(ω t + 52,5o ) мА. Комплексные мощности: − Sист = 3,28 ⋅ 10 −3 + 2,687 ⋅ 10 −3 j ВА; − Sпот = 3,28 ⋅ 10 −3 + 2,687 ⋅ 10 −3 j ВА. Баланс выполняется, Sист = Sпот . 44

Задача 3. 9

В цепи с операционным усилителем ОУ (схема на рис. 3.10) действующее значение синусоидальной э. д. с. Е = 1 В. Частота f = 1000 Гц. Найти амплитудное значение напряжения U& вых и угол сдвига фаз ψ между этим напряжением и э. д. с. E& . Параметры элементов ветвей: R1 = 2300 Ом; R2 = R1; R = 5100 Ом; С1 = 0,068 мкФ; С2 = С1. Операционный усилитель – идеальный.

C1 I&1

R1

E&

I&C1 a & I2 U& a

ОУ

R2

1

I&вых

I&C 2 2

C2

R U& 1 = U& 2

U& вых

R

Рис. 3. 10 Решение

Назначаем положительные направления токов ветвей как на рис. 3.10. Пусть

E& = E = 1 В.

Идеальный ОУ не потребляет ток по входам 1 и 2, поэтому I&2 = I&C 2 Напряжение

U& 1 = U& 2 = U& вых 2 .

Уравнения первого закона Кирхгофа для узлов а и 1 имеют вид:

− I&1 + I&2 − I&C1 = 0 − I&2 + I&C 2 = 0 .

Выражаем токи ветвей через напряжения U& a и U& вых :

U& − U& a & E& − U& a & U& a − U& вых 2 & U& ; I2 = ; I C1 = вых ; I C 2 = вых . I&1 = R1 R2 Z C1 2Z C 2

Получаем узловые уравнения:

1 E& 1 1 &  1 1 & U вых = ; U a −   + + + R1  2 R2 Z C1   R1 R2 Z C1   1 1 1 & U вых = 0 . − U& a +  + 2 2 R2 R Z C2   2

Следует обратить внимание, что в узловых уравнениях Y 12 ≠ Y 21 . Численное решение в пакете Mathcad приводится ниже. 45

R1 C2 rg

2300 R2 R1 R C1 E 1 180

5100 C1

← Исходные данные.

6 0.068. 10

π

1000 ω 0

f0

ua

6283

zc1

1

1

1

R1

R2

zc1

1

ub_x

=

ub_x

1.034

0.981i

0.071

2.033i

ub_x = 0.07 2.03i ψ ub_x rg. arg( ub_x) 2. ub_x

Ub_xm

j . ω 0. C1 1 2. R2

1 2. R2

R2 ua

1 1

1

zc2

j . ω 0. C2

1

zc1 1

E . R1

2. zc2

0

← Формула перевода из радиан в градусы. ← Расчет комплексных сопротивлений емкостей на частоте f. ← Расчет узловых напряжений U& a и U& вых .

← Расчет U& вых . ← Расчет начальной фазы выходного напряжения. ← Расчет амплитудного значения выходного напряжения.

ψ ub_x = 88 Ub_xm = 2.88

Комплексное действующее значение o

U& вых = 0,07 − 2,03 j = 2,033e − j 88 В. Амплитудное значение U m = 2 ⋅ 2,033 = 2,88 В. o Поскольку E& = 1e j 0 , то угол сдвига фаз ψ = 0 − ( −88o ) = 88o . Примечания. Для цепи со схемой рис. 3.10 узловые уравнения можно записать непосредственно по виду схемы: 1 E& 1 1 & 1 & 1 & U a − U1 −  + U вых = ; + R2 Z C1 R1  R1 R2 Z C1 

1 &  1 1 & U1 = 0 ; U a +  + R2 R Z C2   2 U& U&1 − вых = 0 , 2 −

откуда

1 E& 1 1 &  1 1 & U вых = ; U a −   + + + R1  2 R2 Z C1   R1 R2 Z C1 

46

−

 1 1 & 1 & U вых = 0 . U a +  + 2 2 R2 R Z 2 C   2

Задача 3.10

Для электрической цепи со схемой рис. 3. 11 найти комплексное действующее значение тока I& . Параметра элементов ветвей: Z I& –1 Y 1 = 0, 02 j Ом ; Z 2 = 80 j Ом; Z 3 = 60 Ом; Z = 50 Ом;

J&

Y1

Z3

Z2

E& = – 100 В; J& = 0,1 j А.

E&

Решение

Для расчета тока одной ветви удобно избрать метод эквивалентного генератора.

Рис. 3.11 Определяем э. д. с. эквивалентного генератора. Разрываем ветвь с сопротивлением Z . Рассчитываем напряжение холостого хода U& 0 (рис. 1.12). Уравнение второго закона Кирхгофа U& 0 для контура, указанного на рис. 3.12, имеет вид

J&

Y1

Z2

I&1

I&2

Z3 E&

I& U& 0 + I&2 Z 2 – 1 = 0, Y1 откуда

I& U& 0 = 1 – I&2 Z 2 . Y1

Рис. 3.12 Находим:

I&2 =

o E& − 100 = = 1 e j127 А; I&1 = J& = j 0,1 А; Z 2 + Z 3 j80 + 60

o o U& 0 = j 0,1 j 0,02 – 1 e j127 ⋅ 80 j = 69 + 48 j = 84 e j 35 В.

Определение комплексного сопротивления эквивалентного генератора Z Г поясняет схема рис. 3.13.

ZГ

Y1

Z2

Z3

ZГ =

1 Z2Z3 = + Y1 Z 2 + Z 3 o

= 38,4– 21,2 j = 43,86 e − j 29 Ом. Рис. 3.13 47

Ток I& определяем из уравнения j 35o &0 U e 84 j 47 , 5o I& = = = 0,615+0,69 j = 0,82 e А. o Z Г + Z 43,86e − j 29 + 50

Рассчитаем ток I& методом наложения. В соответствие с методом ток ветви линейной электрической цепи определяется как алгебраическая сумма частичных токов, вызываемых действием каждого источника в отдельности. Z Рассчитаем ток I&01 от действия источI&01 ника тока J& (схема рис. 3.14). Комплексное сопротивление &

Z2Z3 = Z 023 = Z + Z2 + Z3 = 50 + 38,4 + 28,8j = 88,4 + 28,8j = o = 93 e j18 Ом.

J

1

Z 023

Z3

Z2

Рис. 3.14

Комплексная проводимость

Y = Y1 +

Y1

= 0, 02 j + 0.0102 – 3.33 ⋅10 –3 j = 0,0102 + 0,017 j = o

= 0,0196 e j 58 Ом –1. Ток

J& 0,1 j = o o = 0,0535+0,013j А. Y Z 023 0,0196e j 58 93e j18 Рассчитаем ток I&02 от действия источZ I&02 ника тока J& (схема рис. 3.15). I&01 =

Комплексные сопротивления:

Z 02

1   Z 2Z +  Y1   = = 1 Z2 + Z + Y1

Y1

Z2

o Рис. 3.15 = 94,12+23,53 j = 97 e j14 Ом; o Z 302 = Z 3 + Z 02 = 60 + 94,12+23,53 j =156 e j 8,7 Ом.

Ток j14o & − 100 97 e E Z 02 I&02 = ⋅ = o ⋅ o = – 0,56– 0,68 j А. Z 302 Z + 1 156e j 8, 7 70,7e − j 45 Y1

48

Z3

E&

Ток o I& = I&01 – I&02 = 0,0535+0,013j + 0,56+ 0,68 j = 0,615 + 0,69j = 0,82 e j 47,5 А.

3.3. Задачи и вопросы для самоконтроля

1. Записать канонические формы узловых и контурных уравнения. 2. Как определяются собственные Y nn и общие Y km комплексные проводимости узлов? 3. Определить понятие узлового тока J& nn . 4. Как определяются собственные Z nn и общие Z km комплексные сопротивления контуров? 5. Определить понятие собственной э. д. с. контура E& nn . 6. Нарисовать граф и схему обобщенной ветви. 7. Записать для схемы рис. 3.16 узловые и контурные уравнения. 8. Определить правила записи топологические матриц инциденций J&1 &b А, главных контуров В, э. д. с. E

Z1

I&1

и токов источников тока J& b обобщенных ветвей. 9. Нарисовать направленный граф для схемы рис. 3.16. Записать матрицы инциденций и главных контуров для этого графа. 10. Записать топологические мат& b и J& b для графа схерицы А, E мы рис. 3.16. 11. Записать уравнения по методу контурных токов для цепей со схемами рис. 3.8 и 3.9.

I&2

I&5

Z2

Z5 I&6

I&3

Z3 E& 3

J&4

I&4 Рис. 3.16

49

Z4

Z6 E& 6

4. Расчет установившихся режимов цепи синусоидального тока с индуктивно связанными элементами 4. 1. Общие сведения

На рис. 4.1 а, б показаны фрагменты схем электрических цепей с индуктивно связанными элементами. Точками отмечены так называемые одноименные зажимы. Зажимы называются одноименными, если при одинаковом способе «подтекания» тока к этим зажимам потокосцепления само – и взаимоиндукции складываются.

I&1

U& 1

обход L1

M

L1 I&2

I&1

a) L2

U& 1

обход L1

L1

I&2

обход L2

U& 2

M

б) L2

обход L2

U& 2

Рис. 4.1 В установившимся режиме синусоидального тока напряжение на индуктивно связанных элементах определяются составляющими напряжений само – и взаимоиндукции. Для элементов L1 и L2 напряжения соответственно равны:

U& 1 = U& L1 ± U& M 2 = jωL1 I&1 ± jωMI&2 ; U& 2 = U& L 2 ± U& M 1 = jωL2 I&2 ± jωMI&1 . При записи уравнений второго закона Кирхгофа для индуктивно связанных элементов составляющая напряжения самоиндукции U& L1 = jωL1 I&1 и

U& L 2 = jωL2 I&2 записывается по тем же правилам, что при отсутствии индуктив-

ной связи: знак плюс ставится, если положительное направление тока и направление обхода элемента L1 или L2 совпадают. Составляющая напряжения взаимоиндукции U& M 2 = U& 12 = jωMI&2 в уравнение для элемента L1 входит со знаком плюс, если направление обхода эле-

мента L1 и направление тока I&2 в элементе L2 относительно одноименных зажимов совпадают и со знаком минус, если не совпадают. Правило знаков для U& M 1 = U& 21 = jωMI&1 после замены индексов 1 на 2 и 2 на 1 остается таким же. Для цепей со схемами рис. 4.1, а, б соответственно имеем:

U& 1 = jωL1 I&1 + jωMI&2 ; U& 2 = jωL2 I&2 + jωMI&1 , U& 1 = jωL1 I&1 − jωMI&2 ; U& 2 = jωL2 I&2 − jωMI&1 . 50

Каноническая форма уравнений метода контурных токов для цепи с индуктивно связанными элементами могут быть получены непосредственно по виду схемы электрической цепи. a) б) На рис. 4.2 покаL L L L 1 2 1 2 M M заны фрагменты электрической цепи с контурным током I&kk и I&kk I&kk индуктивно связанныРис. 4.2 ми элементами. В собственное сопротивление Z kk кроме сопротивлений прочих ветвей войдет величина + 2 Z M , так как контурный ток I&kk по отношению одноименных зажимов ориентирован одинаковым образом (рис. 4.2, а) или − 2 Z M , так как контурный ток I&kk по отношению одноименных зажимов ориентирован не одинаковым образом (рис. 4.2, б). На рис. 4.3 показаны фрагменты электрической цепи с контурными токами I&kk ,

a)

M I&kk

L2

L1

I&mm и индуктивно свя-

I&kk

L1

M

I&mm

б) L2 I&mm

занными элементами в Рис. 4.3 этих контурах. В общее сопротивление контуров Z km = Z mk кроме сопротивлений ветвей общих для этих контуров войдет величина + Z M , если контурные токи I&kk и

I&mm по отношению одноименных зажимов ориентированы одинаковым образом (рис. 4.3, а) или − Z M , если контурные токи I&kk и I&mm по отношению одноименных зажимов ориентированы не одинаковым образом (рис. 4.3, б). Уравнения метода узловых напряжений могу быть получены по виду схемы, если сделать развязку индуктивных связей (рис. 4.4).

jωL1 jωL2

jωM

M

→

jω(L2 − M ) jω(L1 + M )

jωL1 jωL2

jω(L1 − M )

M

→ Рис. 4.4 51

− j ωM

jω(L2 + M )

2. Решение типовых задач Задача 4.1

К цепи со схемой рис. 4.5 приложено синусоидальное напряжение с действующим значением U = 100 B. Активное сопротивление R = 100 Ом, на частоте приложенного напряжения реактивные сопротивления XL1 = XL2 = XC = 100 Ом, XM = 0,5 XL1. U& Найти действующие значения токов ветвей, активную мощность, передаваемую из одной ветви в другую за счет индуктивной связи между ними. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.

I& I&1

C

I&2 R

M L1

L2

Рис. 4.5

Решение

Принимаем комплекс действующего значения U& = 100 В. Для указанных на рис.4.5 направлений токов уравнения Кирхгофа имеют вид: I& = I&1 + I&2 ;

Z 1 I&1 + jX M I&2 = U& ; jX M I&1 + Z 2 I&2 = U& , где Z 1 = − jX C + jX L1 = − j100 + j100 = 0 ; Z 2 = R + jX L 2 = 100 + j100 Ом; jX M = j50 Ом. Умножаем второе уравнение на Z 2 , третье– на − jX M и складываем полученные уравнения. Получаем:

Z 2 − jX M 100 + j100 − j 50 = 100 = 4 + j 2 А. 2 2500 Z 1 Z 2 − ( jX M ) Умножаем второе уравнение на − jX M , третье – на Z 1 и складываем. Получаем: Z 1 − jX M − j50 I&2 = U& = 100 = − j 2 А. Z 1 Z 2 − ( jX M ) 2 2500 I&1 = U&

Ток

I& = 4 + j 2 − j 2 = 4 А.

Действующие значения токов: I1 = I&1 = 4,47 А;

I 2 = I&2 = 2 А; I = 4 А. Для построения векторных диаграмм рассчитаем напряжения на элементах ветвей. U& L1 = jX L1 I&1 + jX M I&2 ; U& L 2 = jX L 2 I&2 + jX M I&1 , 52

jX L1 I&1 = j100(4 + j 2) = −200 + j 400 В; jX L 2 I&2 = j100( − j 2) = 200 В; jX M I&2 = j50( − j 2) = 100 В; jX M I&1 = j50(4 + j 2) = = − 100 + j 200 В; U& L1 = −100 + j 400 В; U& L 2 = 100 + j 200 В; U& C = − jX C I&1 = − j100(4 + j 2) = = 200 – j 400 В; U& R = − j 200 В. Векторные диаграммы токов и напряжений приведены на рис. 4.6.

jX M I&2

U& L1

+j

− jX C I&1

jX L1 I&1 +1

U& L2

jX M I&1 I&1 I&

RI&2

I&2

U&

jX L2 I&2 Рис. 4.6 Рассчитываем комплексные мощности первой и второй индуктивностей, обусловленные индуктивной связью между ними. Получаем: S 1M = U& 1M I1 = jX M I&2 I1 = j50 (– j2)(4 – j2) = 400 – j200 BA;

S 2 M = U& 2 M I 2 = jX M I&1 I 2 = j50(4 + j2) j2 = – 400 – j200 ВА.

Активная мощность в индуктивности L1 : Р1М = 400 Вт, Р1М > 0. Мощность отдается в магнитное поле индуктивностью L1 . Активная мощность в индуктивности L2 : Р2М = – 400 Вт, Р2М < 0. Эта мощность поступает в L2 из магнитного поля и численно равна мощности Р1М . Таким образом, активная мощность источника Pист = UI cos ϕ = 100⋅4 = 400 Вт через первую ветвь поступает во вторую и превращается в тепло в резисторе R . 53

I&1

I&

U&

C

W1

I&2

M

L1

Рис. 4.7

R

W2

L2

Действительно, мощность, рассеиваемая резистором R равна: 2 PR = I 2 R = 400 Вт. На рис. 4.7 показана схема включения ваттметров, для регистрации мощностей Р1М и Р2М. Следует отметить, что индуктивности L1 и L2 – идеальные элементы. Их активное сопротивление равно нулю. Задача 4. 2

Найти токи ветвей, напряжение U 2 и входное сопротивление в цепи со схемой рис. 4.8. Рассчитать величину активной мощности, передаваемой из ветви с то- U& 1 ком I1 в ветвь с током I2, магнитным полем. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.

I&1

U1 = 220 B; R1 = 60 Ом; R2 = 40 Ом;

I&2 R2

R1

Z U& 2 L1

L2 Рис. 4.8

X1 = 100 Ом; X2 = 80 Ом; kC = 0,6; Z = 40 − 20 j Ом. Решение

Выбираем положительные направления токов и напряжений как на рис. 4.8. Принимаем U& 1 = 220 В. Величина X M = k C X 1 X 2 = 53,67 Ом. Обозначаем:

Z 1 = R1 + jX 1 = 60 + 100 j Ом; Z 2 = R2 + jX 2 = 40 + 80 j Ом; Z M = jX M = j53,67 Ом. Уравнения Кирхгофа имеют вид

I&1 Z 1 + I&2 Z M = U& 1 ; I&2 Z 2 + I&1 Z M = 0 . Из второго уравнения

I&2 = − I&1 Z M Z 2 .

Из первого уравнения получаем

I&1 =

U& 1 . Z 2M Z1 − Z2 + Z

Комплексные действующие значения токов равны: o I&1 = 1,33 − 1,32 j = 1,88e −44 ,9 j А; o I&2 = −1 − 0,14 j = 1,01e −171,8 j А.

Напряжение o U& 2 = I&2 Z = −42,76 + 14,16 j = 45,05e161,7 j В.

54

Входное сопротивление определяем по закону Ома.

Z Вх

2 o U& 1 ZM = = Z1 − = 83,04 + 82,07 j = 117,2e 44,9 j Ом. I&1 Z2 + Z

Для построения векторной диаграммы рассчитываем напряжения на элементах: U& R1 = I&1 R1 = 77,79 − 79,48 j В; U& XL1 = I&1 jX L1 = 132,47 + 132,98 j В;

U& 1 M = I&2 jX M = 7,75 − 53,5 j В; U& R2 = I&2 R2 = −39,88 − 5,78 j В; U& XL 2 = I&2 jX L 2 = 11,55 − 79,75 j В; U& 2 M = I&1 jX M = 71,09 + 71,36 j В; U& Z = I&2 Z 2 = −42,76 + 14,16 j В.

Векторные диаграммы напряжения и тока представлены на рис. 4.9.

jX M I&2

jX 1 I&1

+j

+1

U& R1

U& L1

U& L2

U&

I&2

I&1

U& 2 U& R2 jX 2 I&2

jX M I&1 Рис. 4.9

Рассчитываем баланс мощностей. Комплексные мощности S ист источника и нагрузок S нагр равны:

S ист = U& 1 I1 = 292,55 + 291,42 j ВА, S нагр = ( U& R1 + U& XL1 ) I1 + U& 1 M I1 + (U& R2 + U& XL 2 + U& Z ) I 2 + U& 2 M I 2 = = 292,55 + 291,42 j ВА. Баланс мощностей выполняется. Активная мощность P1M , отдаваемая в магнитное поле индуктивностью L1 ,

P1M = Re(U& 1M I 2 ) = 81,17 Вт. Активная мощность P2 M , получаемая из магнитного поля индуктивностью L2 , 55

P2 M = Re(U& 2 M I1 ) = – 81,17 Вт; P1 M = − P2 M . Активная мощность, рассеиваемая на активных сопротивлениях второй ветви, P2 = I 22 ( R2 + Re( Z )) = 8117 , Вт, P2 = P1 M . Задача 4. 3

Найти токи ветвей цепи со схемой рис. 4.10. Величины комплексных сопротивлений: Z 1 = 10 − 8 j Ом; Z 2 = 6 Ом; Z 3 = − j 6 Ом, реактивные сопротивления индуктивностей L1 и L2 : XL1 = 6 Ом; XL2 = 10 Ом, коэффициент связи kC = 0,85, E&1 = 50 В; E& 2 = 50j В. Проверить выполнение баланса мощностей.

L1

I&1

Z1 E& 1

M

1

L2

Z3 I&22

I&3

1

I&2 Z2

I&11

I&1

E& 2

I&22

I&3

I&2

I&11 2

2 Рис. 4.10 Решение

Методом контурных токов. Определяем положительные направления токов ветвей и главные контура как показано на рис. 4.10. Комплексное сопротивление взаимной индукции

Z M = jX M = jkC X L1 X L 2 . Уравнение в матричной форме записи имеет вид

 Z 11 Z  21

Z 12   I&11   E&11  ⋅  =  . Z 22   I&22   E& 22 

Собственные комплексные сопротивления контуров: Z 11 = Z 1 + Z 2 + j ( X L1 + X L 2 ) + 2 Z M ; Z 22 = Z 1 + jX L1 + Z 3 . Общие комплексные сопротивления контуров: Z 12 = − Z 1 − jX L1 − Z M , Z 21 = Z 12 Собственные э. д. с. контуров E& 11 = − E& 1 + E& 2 ; E& 22 = E& 1 .

56

В собственное комплексное сопротивление первого контура Z 11 вошла величина + 2 Z M , т. к. контурный ток I&11 ориентирован относительно одноименных зажимов элементов X L1 и X L 2 одинаковым образом. В общее комплексное сопротивление Z 12 вошла величина − Z M , т. к. контурные токи I&11 и I&22 ориентированы относительно одноименных зажимов элементов X L1 и X L 2 не одинаковым образом. Подставляя данные, матричное уравнение принимает вид

, j − 10 − 4,58 j   I&11  − 50 + 50 j   16 + 2117 = − 10 − 4,58 j , 10 − 8 j   I&22   50   а его решение: −1

 I&11   16 + 21,17 j − 10 − 4,58 j  − 50 + 50 j  &  =    , − − − j j 10 4 , 58 10 8 50 I     22   дает значения контурных токов: I&11 = 1,45 + 4,56j А;

I&22 = 0,11 + 5,31j А.

Токи ветвей: o I&2 = I&11 = 1,45 + 4,56j = 4,78e j 72 А, o I&3 = I&22 = 0,11 + 5,31j = 5,31e j 89 А, o I&1 = − I&11 + I&22 = −1,34 + 0,76 j = 1,54e j150 А.

Напряжения на элементах ветвей для построения топографической диаграммы напряжений: U& XL1 = jX L1 I&1 = −4,54 − 8,03 j В,

U& 1 M = jX M I&2 = 30 − 9,56 j В, U& Z 1 = I&1 Z 1 = −7,34 + 18,27 j В, U& XL 2 = jX L 2 I&2 = −45,57 + 14,52 j В, U& 2 M = jX M I&1 = 4,98 + 8,82 j В, U& Z 2 = I&2 Z 2 = 8,71 + 27,32 j В, U& 3 = I&3 Z 3 = 31,88 – 0,68 j B.

Для расчета баланса мощностей определяем напряжения: U& 1 = I&1 ( Z 1 + jX L1 ) − I&2 Z M = 18,12 + 0,68j B,

U& 2 = I&2 ( Z 2 + jX L 2 ) − I&1 Z M = –31,88 + 50,68j B, U& 3 = I&3 Z 3 = 31,88 – 0,68j B.

Комплексные мощности источников: 57

S ист = E&1 I1 + E& 2 I 2 = 160,8 + 34,8j BA и нагрузок

S нагр = U& 1 I1 + U& 2 I 2 + U& 3 I 3 = 160,8 + 34,8j BA

равны. Баланс мощностей выполняется. Методом узловых напряжений. Делаем развязку индуктивных связей (схема на рис. 4. 11). При таком, как на рис. 4.10 расположение одноименных зажимов, к индуктивностям L1 и L2 необходимо прибавить + М, а в ветвь Z 3 добавить комплексное сопротивление − jωM . В схеме два узла. Узел 0 –базисный. Узловое уравнение имеет вид

U& 10 (

L +M I&1 1

1

L2 + M − jωM

Z1 & E& 1 U 10

Z3

I&2 Z2

E& 2

I&3 0 Рис. 4.11

1 1 1 )= + + Z 1 + j ( X L1 + X M ) Z 2 + j ( X L 2 + X M ) Z 3 − jX M =

E& 1 E& 2 + . Z 1 + j ( X L1 + X M ) Z 2 + j ( X L 2 + X M )

После подстановки данных получаем уравнение (0,1 − 0,01 j )U& 10 = 6,8 − 0,93 j , откуда U& 10 = 66,86 − 1,42 j В. Токи ветвей o E& 10 − U& 10 = −1,34 + 0,76 j = 1,54e j150 А; Z 1 + j ( X L1 + X M ) o E& 20 − U& 10 = = 1,45 + 4,56 j = 4,78e j 72 А; Z 2 + j( X L2 + X M ) o U& 10 = = 0,11 + 5,31 j = 5,31e j 89 А. Z 3 − jX M

I&1 = I&2 I&3

Внимание. Напряжения на элементах ветвей необходимо рассчитывать по выражения для цепи со схемой рис. 4.10. Решение методом контурных токов с использованием топологический формул. Для графа на рис. 4.10 (выделена ветвь дерева) записываем матрицы:

− 1 1 0 , 0 1

главных контуров B =  1

58

 E& 1    э. д. с. ветвей E =  E& 2  ,  0   Z 1 + jX L1 комплексных сопротивлений ветвей Z b =  − jX M  0 

− jX M Z 2 + jX L 2 0

0 0 .  Z 3 

Элементы матрицы Z b

Z 12 = Z 21 = − jX M , так как относительно одноименных зажимов токи ветвей ориентированы не одинаковым образом. Для расчета баланса мощностей следует использовать выражения: комплексная мощность источников S ист = ET I ,

& TI . комплексная мощность нагрузок S нагр = U В этих выражениях: ET – транспонированная матрица, I – матрица сопряженных комплексных токов. Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. z1 e1

10 8j z2 6 z3 50 e2 50j

XM

kc. XL1. XL2 180

rg

B

1 1 0 1 0 1

2i

6.58i 0

6

XL2

10 kc

0.85

Zb

z1 j . XL1 j . XM 0 j . XM z2 j . XL2 0 0 0

0 50

6 + 10i 0

Eb = 50i

6.58i 0

T B. Zb. B

Znn =

Enn

B. Eb

Enn =

1 Znn . Enn

Inn =

← Исходные данные. ← Расчет сопротивления взаимной индукции. ← Формула перевода из радиан в градусы.

XM = 6.58

Znn

Inn

XL1

π

10 Zb =

6j

0 6i 16 + 21.17i 10 10 4.58i 50 + 50i

10

z3

4.58i 8i

e1 Eb

e2

← Определение и расчет топологических матриц.

0

← Расчет матрицы контурных сопротивлений. ← Расчет матрицы контурных э. д. с. ← Расчет матрицы контурных токов.

50 1.45 + 4.56i 0.11 + 5.31i

59

Ib

T B . Inn

i1 = I1 I2 I3

1.34 i1 i2 i3

U

Zb. Ib

U1 U2 U3

1.34 + 0.76i

i1

Ib = 1.45 + 4.56i

i2

0.11 + 5.31i + 0.76i i2 = 1.45 + 4.56i ψ i1 rg. arg( i1) I1 = 1.54 ψ i2 rg. arg( i2) I2 = 4.78 ψ i3 rg. arg( i3) I3 = 5.31 18.12 + 0.68i

u1 u2 u3

U = 31.88 + 50.68i

i3 i3 = 0.11 + 5.31i ψ i1 = 150.55 ψ i2 = 72.32 ψ i3 = 88.78 u1 u2

u3 31.88 0.68i ψ u1 rg. arg( u1) U1 = 18.14 ψ u2 rg. arg( u2) U2 = 59.87 ψ u3 rg. arg( u3) U3 = 31.88

Se

T Eb . Ib

Se = 160.88 + 34.8i

Sz

T U . Ib

Sz = 160.88 + 34.8i

Ib

U

ψ u1 = 2.14 ψ u2 = 122.17 ψ u3 = 1.22

← Расчет матрицы токов ветвей.

← Расчет действующих значений и начальных фаз токов ветвей. ← Расчет матрицы напряжений на элементах ветвей. ← Расчет действующих значений и начальных фаз напряжений на элементах ветвей. ← Расчет комплексной мощности источников. ← Расчет комплексной мощности нагрузок.

Токи ветвей: o I&1 = 1,54e j150 А; o I&2 = 4,78e j 72 А; o I&3 = 5,31e j 89 А.

4.3. Задачи и вопросы для самоконтроля

1. Какие зажимы индуктивно связанных элементов называются одноименными? 2. Сформулировать правила записи уравнений второго закона Кирхгофа для цепи с индуктивно связанными элементами. 3. Сформулировать правила, по которым определяются собственные и общие сопротивления контуров. 4. Чему равна эквивалентная индуктивность двух последовательно согласно включенных индуктивностей? 5. Записать уравнения Кирхгофа для цепей со схемами рис. 4.13, 4.14. 6. Записать уравнения методов контурных токов и узловых напряжений для цепи со схемой рис. 4.13. 7. Определить показания вольтметра U (рис. 4.14), если R1 = 120 Ом, ωL1 = 160 Ом, 1 ωC = 320 Ом. Коэффициент связи kC = 0,9. Вольтметр– идеальный и измеряет действующие значения напряжения. 8. Записать уравнения Кирхгофа для схемы цепи по рис. 4.14, если вместо вольтметра U включен амперметр А ( RA = 0 ).

60

L1

R1

R1

M

L2 U

M

L1

U

R2

L2

U

C

C

Рис. 4.14 Рис. 4.13 9. Две индуктивности соединены параллельно согласно (встречно). Чему равна их эквивалентная индуктивность? 10. Выполнить развязку индуктивных связей и записать выражение для входного сопротивления цепи со схемой рис. 4.13. 11. Найти действующее значение тока в цепи M со схемой рис. 4.15. R = 10 Ом, ωL1 = ωL2 = 1 ωC = 20 Ом, ωM = 15 Ом, L1 L2 U = 100 В. U C 12. Рассчитать входное сопротивление цепи со R схемой рис. 4.15 для случая согласного включения индуктивностей L1 и L2 . Рис. 4.15 13. Построить векторную диаграмму напряжений цепи со схемой рис. 4.15. 14. Записать в общем виде выражение входного комплексного сопротивления цепи со схемой рис. 4.15. 15. Записать уравнения метода контурных токов для цепи со схемой рис. 4.16. Э. д. с. e(t ) = Em sin ωt .

M

R1

i1

R2

i2

L2

u L1

uL2

L1

R

e(t )

uC

C i3 Рис. 4.16

61

5. Расчет установившихся режимов электрической цепи периодического несинусоидального тока 5. 1. Общие сведения

Периодическую несинусоидальную функцию, например напряжения u(t) = = u (t + T ) , где Т – период, можно представить тригонометрическим рядом Фурье ∞

u (t ) = U 0 + ∑ ( Bk sin kωt + Ck cos kωt ) . k =1

Коэффициенты ряда определяются формулами Эйлера:

1T 2T 2T A0 = ∫ u(t ) dt ; Bk = ∫ u(t ) sin kωt dt ; Ck = ∫ u(t ) cos kωt dt . T0 T0 T0 Ряд Фурье можно представить в другой более удобной при расчетах форме: ∞

u (t ) = U 0 + ∑ U km sin(kωt + ψ k ) , k =1

где U km =

Bk2 + Ck2 ; ψ k = arctg

Поскольку ω = 2πf = 2π T , то

Ck . Bk ∞

u (t ) = U 0 + ∑ U km sin( k k =1

2π t + ψk ) . T

Гармоника с номером k = 1 имеет период заданной функции и называется основной. Остальные гармоники называются высшими. Каждой гармонической составляющей периодической несинусоидальной функции, например напряжения u(t), можно поставить в соответствие ее комjψ плексную амплитуду U& km = U km e k . Набор амплитудных значений U km называется дискретным частотным спектром, а набор ψ k – дискретным фазовым спектром напряжения u(t). Расчет линейной электрической цепи с одним или несколькими источниками периодических несинусоидальных э. д. с. и (или) токов состоит из следующих этапов. 1. Функции э.д.с. и токов источников представляют рядом Фурье вида n

A0 + ∑ Ak sin( kωt + ψ k ) с конечным числом членов. Для расчета обычно k =1

берут постоянную составляю, основной гармонику и две, три высших гармонических составляющих.

62

2. Решают основную задачу расчета цепи для каждой составляющей ряда п. 1. Токи (напряжения) ветвей определяют по принципу наложения. Расчет гармонических составляющих ведется комплексным (символическим) методом. Необходимо помнить, что величины реактивных сопротивлений зависят от частоты (от номера гармоники):

ХL(kω) = kωL; XC (kω) =

1 . kωC

Действующие значения токов и напряжений определяют по выражениям:

I = I 02 + I12 + I 22 +K I k2 +K ; U = U 02 + U 12 + U 22 +KU k2 +K . , где I0, U0 – величины постоянной составляющей, I1, U1, I2, U2 и т. д. – действую-

щие значения гармонических составляющих тока и напряжения, соответственно. Активная мощность

1T P = ∫ uidt T0 представляет собой сумму активных мощностей постоянной составляющей и каждой гармонической составляющей P = U 0 I 0 + U 1 I1 cos ϕ1 + U 2 I 2 cos ϕ 2 K+U k I k cos ϕ k +K . Реактивная мощность

Q = U 1 I1 sin ϕ1 + U 2 I 2 sin ϕ 2 K + U k I k sin ϕ k + K . . Здесь ϕ1 = ψ u1 − ψ i1 ; ϕ 2 = ψ u 2 − ψ i 2 ; ϕ k = ψ uk − ψ ik – углы сдвига фаз между напряжением и током на участке цепи на первой, второй и высших гармониках. Полная мощность

S = U 02 + U 12 + U 22 +KU k2 +K ⋅ I 02 + I12 + I 22 +K I k2 +K = UI . При несинусоидальных напряжениях и токах S 2 ≥ P 2 + Q 2 . Величину

(

T = S 2 − P2 + Q2

)

называют мощностью искажения. Коэффициент мощности kм в цепи несинусоидального тока определяется по выражению:

kм =

P P = . S UI

63

Степень отличия несинусоидальной функции, не имеющей постоянной ∞

составляющей, например напряжения u (t ) = ∑ U km sin( kωt + ψ k ) , от синусоиk =1

дальной формы характеризуют коэффициенты: − формы kф =

U , U cp

U max , U U − искажения k и = 1 . U

− амплитуды k a =

Здесь: U действующее, U max максимальное, U cp

1T = ∫ u (t ) dt среднее по T0

модулю значения напряжения u (t ) , U 1 действующее значение основной (первой) гармоники напряжения u (t ) . Для синусоидального напряжения kф = 1,11; k а = 2 ; k и = 1. В радиотехнике и электронике для оценки искажений пользуются коэффициентом гармоник ∞

1 kг = U1

∑ U k2 .

k =2

При отсутствии постоянной составляющей ( U 0 = 0)

kг =

1 1 − k и2 . kи

5. 2. Решение типовых задач Задача 5.1

Найти разложение в ряд Фурье для последовательности прямоугольных импульсов напряжения (рис. 5.1). Параметры импульса: U m = 10 В, час-

u (t ) U max

тота следования f = 1000 Гц, длительность импульса t им = T 4 .

0

Решение

Период следования импульсов

tим T

2T Рис. 5.1

1 1 T= = = 10 −3 с. f 1000 64

3T

t

Аналитическое выражение напряжения u(t ) имеет вид

U , 0 ≤ t ≤ tим , u (t ) =  m  0, tим < t < T . Ряд Фурье содержит постоянную составляющую и гармонические составляющие Вk и Сk. Положим k = 9, тогда 9

u (t ) = U 0 + ∑ U km sin( k k =1

2π t + ψk ) . T

Постоянная составляющая T

1T 1 tим 1 U 0 = ∫ u (t ) dt = ∫ U m dt = ⋅ 10t 04 = 2,5 В. T T0 T 0 Гармонические составляющие ряда:

2T 2 tим B1 = ∫ u (t ) sin ωt dt = ∫ U m sin ωt dt = T0 T 0 T  2U m   ωT  2 ⋅ 10  − cos ωt 4  = − + = 3,183 В; cos cos 0  = 0   ω T 2 π 4     2T 2 tим C1 = ∫ u (t ) cos ωt dt = ∫ U m cos ωt dt = T0 T 0

2U m = Tω

T  2U m  ωT   2 ⋅ 10  sin ωt 4  = = 3,183 В; − sin sin 0  = 0   T 2 π ω 4     2T 2 tим B2 = ∫ u (t ) sin2 ωt dt = ∫ U m sin 2ωt dt = T0 T 0

2U m = Tω

T  U  10 2ωT  Um  − cos 2ωt 4  = m  − cos = cos 0 = ( 1 + 1 ) = 3,183 В; +  0   π 4 2 π ω T     2T 2 tим C2 = ∫ u (t ) cos 2ωt dt = ∫ U m cos 2ωt dt = T0 T 0

2U m = 2ω T

2U m = ωT

T  2U m   2ωT   sin 2ωt 4  = − sin sin 0   = 0 В; 0   π 2 4    

2T 2 tим B3 = ∫ u (t ) sin3 ωt dt = ∫ U m sin 3ωt dt = T0 T 0

2U m = 3ωT

T  2U m   − cos 3ωt 4  = 0    3ωT 

10 3ωT   U + cos 0  = m = = 1,061 В;  − cos π 3 π 4 3   65

2T 2 tим C3 = ∫ u (t ) cos 3ωt dt = ∫ U m cos 3ωt dt = T0 T 0 T  U   sin 2ωt 4  = m  sin 3ωT − sin 0  = – 1,061 В; 0   4   3π   2T 2 tим B4 = ∫ u (t ) sin4 ωt dt = ∫ U m sin 4ωt dt = T0 T 0

2U m = 3ωT

T   U  − cos 4ωt 4  = m 0     4ωT 2T 2 tим C4 = ∫ u (t ) cos 4ωt dt = ∫ U m cos 4ωt dt = T0 T 0

2U m = 4ωT

2U m = 4ωT

4ωT   + cos 0  = 0 В;  − cos 4  

T   U  sin 4ωt 4  = m 0     4π

4ωT   − sin 0  = 0 В.  sin 4  

Выполнив вычисления для остальных высших гармоник, получим:

В5 = 0,637 В; С5 = 0,637 В; В6 = 1,061 В; С6 = 0 В; В7 = 0,455 В; С7 = – 0,455 В; В8 = 0 В; С8 = 0 В; В9 = 0,354 В; С9 = 0,354 В, Для представления ряда в форме

2π t + ψk ) T k =1 запишем комплексные амплитуды ряда U& km = Bk + jC k : U& 1m = 3,183 + j 3,183 = 4,502 e j 0,785 В; U& 2 m = 3,183 В, U& 3m = 1,061 − j1,061 = 1,501 e − j 0,785 В; U& 4 m = 0 В, U& 5 m = 0,637 + j 0,637 = 0,9 e j 0,785 В; U& 6 m = 1,061 В, U& 7 m = 0,455 − j 0,455 = 0,643 e − j 0,785 В; U& 8 m = 0 В, U& 9 m = 0,354 + j 0,354 = 0,5 e j 0,785 В. 9

u (t ) = U 0 + ∑ U km sin( k

Начальные фазы комплексных амплитуд даны в радианах. Так как 0,785 рад. = 45°, то ряд Фурье имеет вид u (t ) = 2,5 + 4,502 cos(ωt + 45o ) + 3,183 cos 2ωt + 1,501 cos(3ωt − 45o ) + + 0,9 cos(5ωt + 45o ) +1,061 cos 6ωt + 0,643 cos(7ωt − 45o ) + 0,5 cos(9ωt + 45o ) В.

66

Расчет коэффициентов ряда удобно выполнять в пакете Mathcad. Ниже приводится программа вычисления коэффициентов ряда. U1m

10

f

1000

T

1 f

T = 1 10

3

tim

4

← Задание исход-

k

1 .. 9

tim

1.

U0 = 2.5 U1m dt T 0 tim tim .π . 2 2. 2 . t dt C . . cos k. 2 π . t dt U1m. sin k. U1m k T T T T 0 0 . Bk j Ck Umk uk ψ k arg uk

U0

Bk uk uk

Umk

ψk

3.183 3.183j 3.183 1.061 1.061j

4.502 3.183 1.501

9 6.761j. 10 0.637 0.637j 1.061 0.455 0.455j

9 6.761. 10 0.9 1.061 0.643

0.785 0 0.785 1.571 0.785

6 9.215j. 10 0.354 0.354j

6 9.215. 10 0.5

t

T

0,

T 100

.. 2. T

u( t )

1.988. 10 0.785 1.571 0.785

←

Расчет комплексных амплитуд ряда Фурье.

15

← Определение интервала расчета и функции u( t ) .

U1m if t < tim U1m if T< t < T

ных данных, числа гармоник ряда Фурье. ← Расчет постоянной составляющей U 0. ← Расчет коэффициентов ряда.

tim

0 otherwise 9 uf( t ) k=1

2. π . t Umk. sin k. T

ψk

←

Ряд uf (t ) .

U0

15 10 u( t ) uf( t )

5 0 5 0

4 10

4

8 10

4

0.0012

0.0016

t

67

0.002

Фурье

← Графики напряжения u( t ) и ряда Фурье uf (t ) . По оси абсцисс отложено время в секундах, по оси ординат– напряжение в вольтах.

Задача 5.2

Напряжение и ток на пассивном участке цепи соответственно равны: u (t ) = 10+ 14,1 sin 314t + 14,1 sin 942t В; i (t ) = 1+ 1,41 sin(314t − 30o ) А. Найти действующие значения напряжения и тока, коэффициент мощности цепи. Решение

Действующие значения напряжения и тока:

14,12 14,12 U = 10 + + = 17,3 В; 2 2 2

1,412 I= 1 + = 1,41 А. 2 2

Коэффициент мощности

kм =

P P = . S UI

Активная мощность

P = 10 +

14,1 1,41 ⋅ cos 30o = 10 + 8,66 = 18,66 Вт. 2 2

Полная мощность S = 17,3⋅1,41= 24,4 ВА. Коэффициент мощности

kм = 0,765. Задача 5.3

К цепи со схемой рис. 5.2 приложено напряжение u (t ) = 10 + 14,1 sin ωt + 14,1 sin 3ωt В. Найти мгновенное значение тока i1 , если

R = 10 Ом, а на частоте ω напряжения u (t ) реактивные сопротивления X C = 30 Ом, X L = 30 Ом.

R

i1

i3 i2

u (t )

C

L

Рис. 5.2

Решение

Рассчитываем ток i10 для постоянной составляющей U0 =10 В. На постоянном токе емкость С – разрыв, индуктивность L – короткое замыкание. По закону Ома ток

i10 =

U 0 10 = = 1 А. R 10

Расчет гармонических составляющих выполняем символическим методом. 68

Первая гармоника

u1 (t ) = 14,1sin ωt .

Комплексная амплитуда U& m1 = 14,1 В. Комплексное сопротивление

Z LC1

1   jωL ⋅  − j  j 30 ⋅ (− j 30) ωC   = = = − j∞ , 1 j 30 − j 30 jωL − j ωC

следовательно

I&1m1 = 0 (на участке L − C имеет место резонанс токов).

Третья гармоника

u3 (t ) = 14,1 sin 3ωt . Комплексная амплитуда U& m 3 = 14,1 В. Комплексное сопротивление

Z LC 3 Ток

1   j 3ωL ⋅  − j  j 90 ⋅ (− j10) 3ωC   = = = –11,25 j Ом. 1 j 90 − j 10 j 3ωL − j 3ωC

I&1m 3 =

U& m 3 14,1 = = 0,94 e j 48, 4 А. R + Z LC 3 10 − 11,25 j

Мгновенное значение

(

)

i13 (t ) = Im I&1m 3 e j 3ωt = 0,94 sin(3ωt + 48,4o ) А. Для тока i1 получим:

i1 (t ) = 1 + 0,94 sin(3ωt + 48,4o ) А. Задача 5.4

К цепи со схемой рис. 5.3 приложено периодическое несинусоидальное напряжение u(t ) = 10 sin 314t В (рис. 5.4). Найти мгновенные и действующие значения тока i1 и напряжения u23 . Рассчитать активную мощность, потребляемую цепью. Параметры цепи: R1 = 15 Ом; R2 = 200 Ом; L = 0,15 Гн; С = 200 мкФ.

69

i1

u( t ) 10,0 B

L

R1

u( t )

u23

C

R2

5,0 0

Рис. 5.3

0

0,01

c 0,02 t

Рис. 5.4

Решение

Раскладываем в ряд Фурье функцию напряжения u(t ) . Функция u(t ) – четная, в разложении будет постоянная составляющая U0 и гармонические составляющие Ck cos kωt . Период функции приложенного напряжения Т = 0,01 с. Циклическая частота основной гармоники ω = –1

2π = 628 с –1. Следовательно, ω = 2ω0 , T

где ω0 = 314 с . Заданную функцию мощно представить в виде ряда

u(t ) Φ = U0 + C1 cos ωt + C2 cos 2ωt + C3 cos 3ωt + K = = U0 + C1 cos 2ω0t + C2 cos 4ω0t + C3 cos 6ω0t + K .

Вычисляем коэффициенты ряда. Постоянная составляющая

1T 1 0, 01 U 0 = ∫ u (t ) dt = 10 sin 314t dt = 6,366 В. T0 0,01 ∫0 Коэффициенты ряда первых трех гармоник:

2T C1 = ∫ 10 sin ω0t cos 2ω0t d t = −4,244 В, T0 2T C2 = ∫ 10 sin ω0t cos 4ω0t d t = −0,849 В, T0 2T C3 = ∫ 10 sin ω0t cos 6ω0t d t = −0,364 В. T0 Ряд Фурье для постоянной составляющей, основной и двух высших гармоник имеет вид u(t ) Φ = 6,366 − 4,244 cos2ω0t − 0,849 cos 4ω0t − 0,364 cos 6ω0t В. Расчет для постоянной составляющей U 0 = 6,366 В.

I 10 =

U0 = 0,03 А, U 230 = I 10 ⋅ R2 = 5,922 В. R1 + R2 70

Расчет для гармонических составляющих выполняем символическим методом. Используем переменные с индексами k = 1, 2, 3. Комплексная амплитуда гармонической составляющей с индексом k j

π 2

U& m k = Ck e .

Комплексные сопротивления участков цепи на частоте kω = k 2ω0 :

Z1k = R1 + jkωL ; Z 2 k = R2 ; Z 3k =

1 ; jkωC

1 jkωC ; Z k = Z1k + Z 23k . Z 23k = 1 R2 + jkωC R2

Комплексные амплитуды тока и напряжения гармоник:

U& I&1m k = m k ; Zk U& 23m k = I&1m k Z 23k . Амплитудные значения и начальные фазы тока и напряжения определяются выражениями: I1m k = I&1m k ; ψi1k = arg( I&1mk ) ,

U 23m k = U& 23m k ; ψu 23k = arg(U& 23mk ) . Действующие значения тока и напряжения:

I1m k ; 2 U 23m k . U 23k = 2 I1k =

Мгновенные значения гармонических составляющих тока и напряжения: i11 (t ) = I1m1 sin(ωt + ψi11 ) ;

i12 (t ) = I1m 2 sin(2ωt + ψi12 ) ; i13 (t ) = I1m 3 sin(3ωt + ψi13 ) ; u 231 (t ) = U 23m1 sin(ωt + ψu 231 ) ; u 232 (t ) = U 23m 2 sin(2ωt + ψu 232 ) ; u 233 (t ) = U 23m 3 sin(3ωt + ψu 233 ) .

Действующие значения тока и напряжения:

I1 = I10 2 + I112 + I122 + I132 ; 71

U 23 = U 230 2 + U 2312 + U 2322 + U 2332 . Активная мощность Р, потребляемая цепью, 2 U 23 2 P = I1 R1 + . R2 Для численного расчета используем программу Mathcad. Um

10

f

2. π . f

ω0

50

2. ω 0 T 6 200. 10

ω

← Задание исходных данных и индексов k.

0.01

R1 15 R2 200 L 0.15 c ω 2. ω 0 u( t ) k 1 , 2 .. 3 Um. sin( ω 0. t ) T T 1. 2. U0 u( t ) dt Ck cos( k. ω . t ) . u( t ) dt T 0 T 0 U0 = 6.366 Ck

← Расчет коэффициентов ряда Фурье.

4.244 0.849 0.364

U0

I10

R1 R2 U230 R2. I10 umk

π j . 2

Ck. e

← Расчет постоянной составляющей тока и напряжения.

I10 = 0.03 U230 = 5.922

←Комплексная амплитуда приложенного напряжения гармоники с номером k.

umk 4.244i 0.849i 0.364i

z1k zk

j . k. ω . L z2k

R1 z1k

z23k

z1k 15 15 15

i1mk

R2 z3k

1 z23k j . k. ω . c

z23k 94.248i 188.496i 282.743i

umk zk

zk

0.316 0.079 0.035

u23mk

7.945i 3.977i 2.652i

15.316 15.079 15.035

z2k. z3k z2k

z3k

←Комплексные сопротивления участков цепи для тока гармоники с номером k.

86.303i 184.518i 280.091i

i1mk. z23k

← Расчет комплексных амплитуд тока и напряжения гармоник с номером k.

72

i1mk

u23mk 0.048

3 8.461i. 10

3 4.57. 10

4 3.734i. 10

3 1.295. 10

I1mk

5 6.952i. 10

i1mk

U23mk

u23mk

0.048 4.585. 10

3 1.297. 10

I1mk

I1k

2

3 1.847. 10

0.018i

4 2.299. 10

3 3.432i. 10

arg i1mk

ψ uk

arg u23mk

U23k

← Расчет амплитуд и начальные фазы гармоник (начальные фазы в радианах)

U23mk

ψuk

0.385 0.018

1.786 1.672 1.638

2.966 3.06 3.088

3

0.376i

ψ i1k

ψi1k

I1mk

0.082

3 3.44. 10

U23mk

← Расчет действующих значений гармоник

2

← Расчет действующих значений несинусоидальных тока и напряжения

3 II1

I10

II1 = 0.045 P

Pe

Pe

3

2

2.

II1 R1

U0. I10

U0. I10

I1k

2

UU23

2

U230

U23k

k=1 UU23 = 5.928

2

k=1

2

UU23 R2 1. 2 1. 2

P = 0.207

← Расчет активной мощности цепи

3 Re umk. i1mk

Pe = 0.207

k=1 3 Re umk. i1mk

Pe = 0.207

← Проверка выполнения баланса активных мощностей

k=1

Программа построения графиков ряда Фурье u( t ) Φ и u (t ) входного напряжения и напряжения u 23(t ) на интервале 0 < t <2 T. T

.. 2. T 100 uF( t ) U0 C1. cos( 1. ω . t ) C2. cos( 2. ω . t ) C3. cos( 3. ω . t ) Um. sin( ω 0. t ) u( t ) u23( t ) U230 U23m1. sin 1. ω . t ψ u1 U23m2. sin 2. ω . t ψ u2 t

0,

73

U23m3. sin 3. ω . t

ψ u3

На графиках по оси абсцисс откладывается время в секундах, по оси ординат – напряжение в вольтах.

10 8 u23( t )

6

uF( t ) u( t )

4 2 0

0

0.005

0.01

0.015

0.02

t

Внимание! В программе расчета используются переменные с индексами. Недопустимо использовать одни и те же переменные с индексами и без индексов. Мгновенные значения тока и напряжения соответственно равны:

i1 (t ) = 0,03 + 0,048 sin(ωt − 2,966) + 4,585 ⋅ 10 −3 sin(2ωt − 3,06) + + 1,297 ⋅ 10 −3 sin(3ωt − 3,088) А; u 23 = 5,92 + 0,385 sin(ωt + 1,786) + 0,018 sin( 2ωt + 1,672) + + 3,44 ⋅ 10 −3 sin(3ωt + 1,638) В. Действующие значения тока и напряжения: I1 = 0,045 А; U 23 = 5,928 В. Активная мощность, потребляемая цепью,

5,9282 P = 0,045 ⋅15 + = 0,207 Вт. 200 2

Задача 5.5

К электрической цепи с операционным усилителем (рис. 5.5) приложено периодическое напряжение

 + U m , 0 < t < T0 / 2 u1 (t ) =  , − U T t T , / 2 < <  m 0 0 –3 где Um = 10 B, T0 = 10 c ( f0 = =1/T0 = 1 кГц). Параметры элементов:

R1 = R2 = R = 10 кОм, С1 = 0,0022 мкФ, С2 = С1 / 2.

C1 R1

R2

ua

u1

u2

∞ 1

∆u

2

C2

ОУ

u2

Рис. 5.5 Считая операционный усилитель идеальным, найти мгновенное значение напряжения u2 (t ) . 74

Решение

Функция напряжение u1 (t ) является нечетной и симметричной относительно оси абсцисс со сдвигом на половину периода. Ряд Фурье для такой функции содержит нечетные синусоидальные составляющие

Bk =

4U m . kπ

Для расчета выбираем основную (Т0 = 10

–3

с) и две высшие гармоники, тогда

4U m 4U m 4U m sin ω 0 t + sin 3ω 0 t + sin 5ω 0 t , π 3π 5π где ω0 = 2π T0 . u1 (t ) =

Определяем комплексную амплитуду гармоники с номером k

& m = 4U m . U1 k kπ

Операционный усилитель идеальный, ∆u = 0 . Напряжение, приложенное к емкости C2, равно u2 .

Узловые уравнения для комплексных амплитуд напряжений U&am k и U& 2 m k имеют вид

U& 1m k 2 & 1 & + ω − + ω = ; jk C U a jk C U 2   mk mk 0 1 0 1 R R  R  1 1  − U&am k +  + jkω0C2 U& 2 m k = 0 . R R  Обозначаем комплексные проводимости узлов 1 и 2 как:

2 1 + jkω0C1 ; Y 12 k = + jkω0C1 ; R R 1 1 Y 21k = ; Y 22 k = + jkω0C2 , R R Y 11k =

узловые токи:

U& 1m k & & ; J 22 k = 0 , J 11k = R

получаем узловое уравнение в матричной форме

 Y 11k − Y 21 k 

− Y 12 k  U&a mk   J&11k  ⋅ = . Y 22 k  U& 2 mk   J& 22 k 

Решаем уравнение

U&a mk   Y 11k &  = − Y 21 U 2 k  mk  

−1 − Y 12 k   J&11k  ⋅ , Y 22 k   J& 22 k 

определяем комплексную амплитуду напряжения U& 2 m k . 75

Мгновенное значение напряжения гармоники с номером k u 2(t ) k = Im U& 2 m k e jkω0t .

(

)

Для численного расчета используем программу Mathcad. f0

t

0,

T0 100

2

k

← Задание исходных данных и значений индексов k.

10

1 , 3 .. 5

.. 2. T0 j . ω 0. t

Im um1. e

u1( t )

3 10. 10 Um

R

π 3 T0 = 1 10 2. ω0

2. π . f0 T0

ω0

C1

6 0.022. 10 C2

1000 C1

Um 4. k. π 2 y11k j . k. ω 0. C1 R

j . 3. ω 0. t

← Ряд Фурье входного напряжения.

j . 5. ω 0. t

Im um3. e

Im um5. e

umk

y22k

1

j . k. ω 0. C2

R

uamk

1.

Ynnk

u2mk U2mk

u2mk

y12k

Ynnk

1

j . k. ω 0. C1

R

y11k

umk

y12k

Jnnk

y21k y22k

j . ω 0. t

u1( t )

Im um1. e

← Решение узлового уравнения. ψk

180 . π

ψk

arg u2mk

j . ω 0. t

88.151 151.376 163.195 j . 3. ω 0. t

Im u2m3. e

j . 3. ω 0. t

Im um3. e

j . 5. ω 0. t

Im um5. e

10

u1( t )

5 0 5 10 15

0

0.5

1

1.5

← Расчет амплитудных значений и начальных фаз (в градусах) напряжения u2(t) .

j . 5. ω 0. t

Im u2m5. e

15

u2( t )

R 0

9.206 0.49 0.107 Im u2m1. e

R

Jnnk

U2mk

u2( t )

1

y21k

← Расчет комплексных амплитуд приложенного напряжения. ← Расчет комплексных проводимостей и матриц узловых проводимостей и задающих токов.

2

3 t. 10

76

← Расчет мгновенных значений напряжений u2(t) и u1(t) для построения графиков. ←Графики рассчитанных напряжений. На графиках по оси абсцисс откладывается время в миллисекундах, по оси ординат – напряжение в вольтах.

Внимание! В программе расчета используются переменные с индексами. Недопустимо использовать одни и те же переменные с индексами и без индексов. Мгновенное значение напряжения

u 2 (t ) = 9,206 sin(ω0t − 88o ) + 0,49 sin(3ω0t − 151o ) + 0,107 sin(5ω0t − 163o ) B. 5. 3. Задачи и вопросы для самоконтроля

1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию напряжения при однополупериодном выпрямлении синусоидального напряжения (кривая 1 на рис. 5.6). 2. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию напряжения однополярных импульсов треугольной формы (кривая 2 на рис. 5.6). 3. Найти действующее значение периодического несинусоидального тока

B u 12,0

2

8,0

1

4,0 0

0,01

0,02

t c

0,03

Рис. 5.6

i (t ) = 10 + 10 sin(314t − 30o ) − 10 sin(628t + 60o ) А. 4. Напряжение и ток на пассивном участке цепи соответственно равны: u (t ) = 100 + 100 sin(314t + 30o ) В; i (t ) = 10 + 10 sin 314t − 10 sin(628t + 60o ) А. Вычислить активную, реактивную, полную мощности и мощность искажений на этом участке. 5. Рассчитать напряжение u (t ) в цепи со схемой рис. 5.2, если ток

i1 = 10 + 10 sin(314t − 30o ) + 10 sin(628t + 60o ) . На частоте ω = 314 с–1 величины реактивных сопротивлений X C = 60 Ом и X L = 30 Ом, R = 40 Ом. Найти действующее значение напряжения на участке L – C. 6. К входу электрической цепи со схемой R

рис. 5.6 приложено напряжение в виде периодических разно полярных импульсов прямоугольной формы. Период следования импульсов T = 0,02 с., скважность 0,5, амплитуда U = 10 В. Найти мгновенное значение напряжения uвых , если R = 47 кОм, емкость C = 0,068 мкФ. 8. Определить метод расчета линейной электрической цепи при несинусоидальных э. д. с. и токах источников.

77

R

uвх

∞

uвых

C ОУ

R Рис. 5.6