Функция и ее предел: Методические указания к самостоятельному изучению раздела курса математики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра математики

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей Составители: Ю.А.Фадеев Е.В.Салтанова Утверждены на заседании кафедры Протокол № 5 от 29.12.2008 г. Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией специальности 270102 Протокол № 27 от 29.12.2008 г. Электронная копия хранится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2009

2 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу π . Переменной называется величина, которая может принимать 1 различные числовые значения. Например, площадь круга S = πD 2 , 4 здесь D - диаметр круга является переменной величиной. Множество X всех значений, которые может принимать данная переменная величина x , называется областью определения. Пусть задана переменная величина x , имеющая областью определения некоторое множество X . Если каждому значению переменной x из множества X ставится в соответствие по известному закону некоторое число y , то говорят, что на множестве X задана функция y = f (x) . Переменная x называется аргументом или независимой переменной, y - зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия. Число y , которое соответствует данному значению x , называется частным значением функции в точке. Совокупность всех частных значений образует множество Y , которое называют областью значения функции. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке X и x0 - предельная точка для множества X . Из множества X выберем последовательность точек, отличных от x0 : x1 , x2 , x3 , K, xn , K , (1) сходящуюся к x0 . Значения функции в точках этой последовательности образуют числовую последовательность f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ), K, f ( xn ), K , (2) которая может оказаться сходящейся или расходящейся. Т.к. выбор последовательности точек (1) ничем не обусловлен, кроме того, что

3 бы она сходилась к точке x0 , то ее можно составить различными способами. Следовательно, и последовательностей (2) можно составить сколь угодно. Если все последовательности (2) имеют предел равный числу А , то функция y = f (x) имеет в точке x0 предел, равный А . Если хотя бы одна из последовательностей (2) имеет предел отличный от А или не имеет предела, то в точке x0 функция y = f (x) предела не имеет. Окрестностью точки x0 называется любой интервал с центром в точке x0 . Пусть функция f (x) задана в некоторой окрестности точки

x0 ,

кроме, быть может, самой точки x0 . Определение (по Коши). Число А называется пределом функции f ( x) в точке x0 (или при x → x0 ) если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое положительное число δ > 0 (зависящее от ε , δ = δ (ε ) ), что для всех x , не равных x0 ( x ≠ x0 ) и удовлетворяющих

условию

x − x0 < δ ,

выполняется

неравенство

f ( x) − A < ε .

Обозначение: lim f ( x) = A . x → x0

Геометрический смысл предела функции в точке (рис. 1). Неf ( x) − A < ε равносильно двойному неравенству равенство A − ε < f ( x) < A + ε , соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2ε . Аналогично неравенство x − x0 < δ равно-

сильно двойному неравенству x0 − δ < x < x0 + δ , соответствующему попаданию точек x в δ -окрестность точки x0 .

4 y

f(x)

A+ε

2ε

A A−ε x0 − δ

x0

x0 + δ

x

Рис. 1. Число A есть предел функции f (x) при x → x0 , если для любого ε > 0 найдется такая δ -окрестность точки x0 , что для всех x ≠ x0 из этой окрестности, соответствующие ординаты графика функции f ( x) будут заключены в полосе A − ε < y < A + ε , какой бы узкой эта полоса ни была. Замечание. Определение предела не требует существования функции в самой точке x0 , т.к. рассматривает значения x ≠ x0 в некоторой окрестности точки x0 . Т.е. рассматривая lim f ( x) , предполагаx→ x0

ем, что x стремится к x0 , но не достигает значения x0 . ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

Пусть множество X , на котором задана функция f ( x) , для любого δ > 0 имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [− δ , + δ ] . Определение. Число А называется пределом функции f ( x) при x → ∞ , если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 найдется такое положительное число S > 0 (зависящее от ε , S = S (ε ) ), что для всех x , удовлетворяющих условию x > S , справедливо неравенство f ( x) − A < ε . Обозначение: lim f ( x) = A . x →∞

5 Геометрический смысл (рис. 2).

предела функции в бесконечности

Рис. 2. Неравенство

f ( x) − A < ε равносильно двойному неравенству

A − ε < f ( x) < A + ε , соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2ε . Число A есть предел функции f (x) при x → ∞ , если для любого ε > 0 найдется такое число S > 0 , что для всех x таких, что x > S , соответствующие ординаты графика функции f (x) будут заключены в полосе A − ε < y < A + ε , какой бы узкой эта полоса ни была. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПРИ СТРЕМЛЕНИИ К БЕСКОНЕЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕННОГО ЗНАКА

Для введения предела функции при стремлении к бесконечности определенного знака, необходимо, чтобы функция f (x) была задана на таком множестве X , которое для любого δ > 0 имело хотя бы один элемент, лежащий правее δ (соответственно левее δ ). Определение. Число А называется пределом функции f (x) при x → +∞ (соответственно x → −∞ ), если для любого положительного числа ε > 0 найдется такое положительное число δ > 0 (зависящее от ε , δ = δ (ε ) ), что для всех значений аргумента x , удовлетворяющих условию x > δ ( соответственно x < −δ ), выполняется неравенство f ( x) − A < ε .

6 Обозначение: lim f ( x) = A (соответственно lim f ( x) = A ). x → +∞

x → −∞

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ

Для введения одностороннего (т.е. правого или левого) предела функции в точке x0 потребуем, чтобы множество X , на котором задана функция f (x) , для любого δ > 0 имело хотя бы один элемент, принадлежащий интервалу (x0 , x0 + δ ) (соответственно интервалу (x0 − δ , x0 ) ). Т.е. в определении предела функции потребовать, чтобы x стремилось к x0 не любым способом, а только справа (оставаясь, все время больше x0 ) или только слева (оставаясь, все время меньше x0 ). Определение. Число А называется пределом справа (соответственно пределом слева) функции f (x) в точке x0 , если для любого положительного числа ε > 0 найдется такое число δ > 0 (зависящее от ε , δ = δ (ε ) ), что для всех значений аргумента x , удовлетворяющих условию x0 < x < x0 + δ (соответственно условию x0 − δ < x < x0 ), выполняется равенство f ( x) − A < ε . Пределы справа и слева называются односторонними пределами. Обозначение: lim f ( x) = A (соответственно lim f ( x) = A ). x → x0 + 0

x → x0 − 0

Если функция имеет в какой-либо точке односторонние пределы, причем lim f ( x) = lim f ( x) , то их значение будет равно x → x0 + 0

x → x0 − 0

lim f ( x) , т.е.

x→ x0

lim f ( x) = lim f ( x) = lim f ( x) .

x → x0 + 0

x → x0 − 0

x → x0

7 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Пусть две функции f (x) и g (x) заданы на одном и том же множестве X и имеют в точке x0 (или на ∞ ) пределы lim f ( x) = A , x → x0 ( ∞ )

lim g ( x) = B .

x → x0 ( ∞ )

I. Предел постоянной равен самой постоянной lim С = С x → x0 ( ∞ )

(3)

II. Предел суммы (разности) конечного числа функций равен сумме (разности) пределов этих функций lim [ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) = A ± B (4) x → x0 ( ∞ )

x → x0 ( ∞ )

x → x0 ( ∞ )

III. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций, т.е. lim [ f ( x) ⋅ g ( x)] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) = A ⋅ B (5) x → x0 ( ∞ )

x → x0 ( ∞ )

x → x0 ( ∞ )

IV. В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е. lim [k ⋅ f ( x)] = k lim f ( x) = k ⋅ A (6) x → x0 ( ∞ )

x → x0 ( ∞ )

V. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии lim g ( x) = B ≠ 0 ) т.е. x → x0 ( ∞ )

f ( x) A f ( x) x →lim x0 ( ∞ ) lim = = x → x0 ( ∞ ) g ( x ) lim g ( x) B

(7)

x → x0 ( ∞ )

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Определение. Функция α (x) называется бесконечно малой, если ее предел существует и равен нулю, т.е.

8 lim α ( x) = 0 .

x → x0 ( ∞ )

Определение. Функция α (x) называется бесконечно большой,

если

lim α ( x) = ∞ .

x → x0 ( ∞ )

Для бесконечно больших в точке x0 справа (соответственно слева) функций вводят обозначения: lim A( x) = +∞ (соответственно lim A( x) = +∞ ) x → x0 + 0

x → x0 − 0

или lim A( x) = −∞ (соответственно lim A( x) = −∞ )

x → x0 + 0

x → x0 − 0

СВЯЗЬ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ВЕЛИЧИНАМИ

Если функция α (x) есть бесконечно малая величина при x → x0 1 ( x → ∞) , то функция f ( x) = является бесконечно большой при α ( x) x → x0 ( x → ∞) . И, обратно, если функция f (x) бесконечно большая 1 есть величина бескопри x → x0 ( x → ∞) , то функция α ( x) = f ( x) нечно малая при x → x0 ( x → ∞) . ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ Первым замечательным пределом называется sin x lim = 1. (8) x →0 x Критерии для распознавания первого замечательного предела 0 1. выражение представляет собой неопределенность вида , 0 sin аргумента 2. , аргумент

9 3. аргумент → 0 . sin kx (8*) =k x Пример. Среди приведенных ниже пределов выбрать первый замечательный предел sin( x − 1) sin( x − 1) sin(1 x) 1. lim ; 2. lim ; 3. lim ; x →1 x → 0 x →∞ 1x x −1 x −1 Следствие

lim x →0

sin( x − π 2) . 2 x −π 2

4. lim x→π

Пределы 1, 3, и 4 являются первыми замечательными, т.к. все три условия, перечисленные в критерии распознавания первого замечательного предела, выполнены. Во втором примере не выполнены sin( x − 1) не является первым первое и третье условия, поэтому lim x →0 x −1 замечательным пределом. Вторым замечательным пределом (числом e ) называется предел ⎛ 1⎞ e = lim⎜1 + ⎟ x →∞ ⎝ x⎠

x

(9)

или 1

lim(1 + x ) x = e x →0

(10)

Критерии для распознавания второго замечательного предела а) должна быть неопределенность вида 1∞ , б) 1+ бесконечно малая, 1

в) (1 + б. м.) б . м. , в показателе степени стоит величина, обратная той бесконечно малой, которая прибавляется к числу 1. Следствия из второго замечательного предела ln(1 + x) а x −1 lim =1 (11) lim = ln a (12) x →0 x →0 x x ex −1 (1 + x )μ − 1 = μ lim =1 (13) (14) lim x →0 x →0 x x

10 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке x0 (т.е. существует f ( x0 ) ); 2) имеет конечный предел при x → x0 ; 3) этот предел равен значению функции в точке x0 , т.е. lim f ( x) = f ( x0 ) . (15) x → x0

Непрерывность функции играет важную роль при нахождении предела, т.к. если функция определена на промежутке X и непрерывна в точке x0 ∈ X , то непрерывность функции позволяет заменить задачу вычисления предела в точке x0 задачей вычисления значения функции в этой точке. Соотношение (15) можно записать в виде: lim f ( x) = f ( lim x) . (15*) x → x0

x → x0

Т.е. для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак предела. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

При решении задач используются эквивалентные преобразования, справедливые при x → 0 : tgx ~ x ;

(18)

arctgx ~ x ;

(20)

ln(1 + x) ~ x ;

(21)

a x − 1 ~ x ln a ;

(23)

(16)

1 − cos x ~

arcsin x ~ x ;

(19) (22)

n

1 + x −1 ~

x ; n

x2 ; 2

(17)

sin x ~ x ;

11 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ПО ПРАВИЛУ ЛОПИТАЛЯ Теорема (Правило Лопиталя). Пусть две функции f (x) и g (x) определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки x0 , за исключением, быть может, самой точки x0 . Пусть, далее, lim f ( x) = lim g ( x) = 0 x → x0

x → x0

и производная g ′(x) отлична от нуля всюду в указанной окрестности точки x0 . Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел f ′( x) , lim x → x0 g ′( x ) f ( x) , причем справедлива формула то существует и предел lim x → x0 g ( x ) f ( x) f ′( x) = lim . (24) lim x → x0 g ( x ) x → x0 g ′( x ) Замечание 1. Если производные f ′(x) и g ′(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции f (x) и g (x) , то правило Лопиталя можно применить повторно: f ( x) f ′( x) f ′′( x) = lim = lim lim . x → x0 g ( x ) x → x0 g ′( x ) x → x0 g ′′( x ) Применяя неоднократно правило Лопиталя, нужно каждый раз проверять, раскрыта уже или нет неопределенность, иначе можно получить неверный результат. Замечание 2. Правило Лопиталя справедливо, когда аргумент x стремится к бесконечному пределу x → +∞ или x → −∞ : f ( x) f ′( x) = lim . lim x → +∞ ( −∞ ) g ( x ) x → +∞ ( −∞ ) g ′( x ) Замечание 3. Пусть две функции f (x) и g (x) определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки x0 , за исключением, быть может, самой точки x0 . Пусть, далее,

12 lim f ( x) = lim g ( x) = ∞ , тогда отношение двух функций

x → x0

x → x0

f ( x) предg ( x)

∞ , для раскрытие ∞ которой можно использовать правило Лопиталя (20). Правило Лопиталя применяют для раскрытия неопределенностей вида [0 ⋅ ∞ ] , которая возникает, если требуется найти lim [ f ( x) ⋅ g ( x)] при условии lim f ( x) = 0 , lim g ( x) = ∞ . В результате

ставляет собой при x → x0 неопределенность вида

x → x0

x → x0

x → x0

f ( x) g ( x) (или f ( x) ⋅ g ( x) = ) получа1 g ( x) 1 f ( x) ⎡0⎤ ⎡∞ ⎤ ется неопределенность ⎢ ⎥ (или ⎢ ⎥ ). ⎣0⎦ ⎣∞ ⎦ Неопределенность [∞ − ∞ ] возникает, если требуется найти lim [ f ( x) − g ( x)] при условии lim f ( x) = ∞ и lim g ( x) = ∞ . Используя

преобразования f ( x) ⋅ g ( x) =

x → x0

x → x0

преобразование f ( x) − g ( x) =

x → x0

1 f ( x) − 1 g ( x) , получим неопределен1 f ( x) ⋅ g ( x)

⎡0⎤ ность вида ⎢ ⎥ , которую раскрывают по правилу Лопиталя. ⎣0⎦ Если имеется неопределенность вида 0 0 или ∞ 0 , при вычис-

[ ]

[ ]

лении предела функции [ f ( x)] , то логарифм этой функции представляет собой неопределенность вида [0 ⋅ ∞ ] , при этом используется соотношение: g ( x)

lim

lim f ( x) g ( x ) = e x→x0 ( ∞ )

x → x0 ( ∞ )

g ( x ) ln f ( x )

.

(25)

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПРЕДЕЛОВ

Для того чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения

13 функции, необходимо использовать понятие непрерывности функции в точке (15), т.е. нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его предельное значение. Пример 1. Найти lim(2 x + 3) . x →7

Решение. На основании непрерывности функции f ( x) = 2 x + 3 в точке x = 7 искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е. lim(2 x + 3) = 2 ⋅ 7 + 3 = 17 . x →7

5 . x→ 0 x 3 Решение. Числитель дроби равен 5 и является функцией, предел которой отличен от нуля ( lim 5 = 5 ). Знаменатель дроби x 3 при Пример 2. Найти lim

x →0

x → 0 является бесконечно малой величиной (б.м.). Из связи между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами следует, что 1 при x → 0 является бесконечно большой величиной, следовательx3 но, искомый предел равен ∞ . 5 1 1 lim 3 = [используем (5)] = lim 5 ⋅ lim 3 = 5 ⋅ =∞. x →0 x x →0 x →0 x б. м. 2 Пример 3. Найти lim . x → +∞ 3 x Решение. Числитель дроби равен 2 и является функцией, предел которой отличен от нуля ( lim 2 = 2 ). Знаменатель дроби 3 x при x → +∞

x → +∞ является бесконечно большой величиной (б.б.). Из связи между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами следует, 1 что при x → +∞ является бесконечно малой величиной, следова3x тельно, искомый предел равен нулю. 2 1 1 lim = [используем (5)] = lim 2 ⋅ lim = 2⋅ =0 x → +∞ 3 x x → +∞ x → +∞ 3 x б.б. 4x2 + 6 Пример 4. Найти lim 2 . x →3 2 x − 4 x + 1

14 Решение. Применяя теоремы о пределах функций, получим lim(4 x 2 + 6) 4x 2 + 6 lim 2 = [используем (7)] = x →3 2 = [используем (4)] = x →3 2 x − 4 x + 1 lim(2 x − 4 x + 1) x →3

lim 4 x + lim 6

4 lim x ⋅ lim x + lim 6 ⎡используем⎤ x →3 x →3 x →3 =⎢ = = ⎥ (6) и ( 5) lim 2 x − lim 4 x + lim1 ⎣ 2 lim x ⋅ lim x − 4 lim x + lim1 ⎦ x →3 x →3 x →3 x →3 x →3 x →3 x →3 2

=

x →3 2

x →3

⎡ x = 3 принадлежит области ⎤ ⎢ определения элементарных ⎥ ⎥ = 4 ⋅3⋅3 + 6 = 6 . =⎢ ⎥ 2 ⋅3⋅3 − 4 ⋅3 +1 ⎢функций используем ⎥ ⎢ ⎣непрерывнсть функции (15) ⎦ Приведенные в решении выкладки будем использовать при решении следующих примеров как заранее известные факты. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ

Часто подстановка предельного значения в функцию не дает значения предела, такие случаи называются неопределенностями; к ним относятся неопределенности видов ⎡∞ ⎤ ⎡0⎤ ∞ 0 0 ⎢ ∞ ⎥, ⎢ 0 ⎥, [∞ − ∞], [0 ⋅ ∞], 1 , ∞ , 0 . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Устранить неопределенности можно с помощью алгебраических преобразований. f ( x) 1 тип. Необходимо вычислить lim с неопределенностью x →∞ ϕ ( x) ⎡∞ ⎤ вида ⎢ ⎥ , где f (x) и ϕ (x) - сложные степенные или показательные ⎣∞ ⎦ функции. В случае степенных функций необходимо вынести за скобку в числителе и в знаменателе дроби x с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби; в случае показательных функций за скобку выносится наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби. После сокращения дроби неопределенность устраняется.

[ ][ ][ ]

15 4x2 + 7x4 . x → +∞ 5 x 4 + x 2 − 1 Решение. Применяя теоремы о пределах, получим 4 x2 + 7 x4 ⎡∞ ⎤ =⎢ ⎥. A = lim 4 2 x → +∞ 5 x + x − 1 ⎣∞ ⎦ Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функ⎡∞⎤ ции, поэтому имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ . Для раскрытия не⎣∞⎦ определенности, вынесем за скобку в числителе и знаменателе x с наибольшим показателем степени - x 4 , получим ⎞ ⎛ 4 4 x4 ⎜ 2 + 7⎟ +7 2 x ⎠ ⎝ x A = lim = lim = x → +∞ 1 1 1 1 ⎞ x →+∞ 4⎛ 5+ 2 − 4 x ⎜5 + 2 − 4 ⎟ x x x x ⎠ ⎝ Пример 5. Найти lim

1 4 1 ⎡ воспользуемся (7) и (4) и тем, что 2 , 2 и 4 ⎢ = x x x ⎢ ⎢⎣бесконечно малые при x → +∞

⎤ −⎥ 0+7 7 = = ⎥ 5+0−0 5 ⎥⎦

3x − 2 x Пример 6. Найти lim . x → +∞ 2 − 3 x Решение. При x → +∞ показательная функция y = a x , при a > 1 стремится к + ∞ . Быстрее возрастает та функция, у которой основание больше, в данном случае быстрее возрастает 3 x , поэтому за скобки выносим 3 x : x ⎛ 2x ⎞ ⎛2⎞ 2x 3 x ⎜⎜1 − x ⎟⎟ 1 − ⎜ ⎟ 1− x 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ = 1 − 0 = −1 , 3 = lim A = lim ⎝ = lim x → +∞ 2 ⋅ 0 −1 ⎛ 2 ⎞ x →+∞ 2 − 1 x →+∞ ⎛ 1 ⎞ x 3 x ⎜ x − 1⎟ 2⎜ ⎟ − 1 x 3 ⎝3 ⎠ ⎝ 3⎠

16 т.к. при x → +∞ показательные функции y = a x , при a = x

a=

2 <1 и 3

x

1 ⎛2⎞ ⎛1⎞ < 1 стремятся к нулю, то lim ⎜ ⎟ = 0 lim ⎜ ⎟ = 0 . x → +∞ 3 x → +∞ 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Пример 7. Найти lim

4x2 + 3 − x

. 8x3 + 5 − 3 Решение. Применяем теоремы о пределах, получим x → +∞ 3

4x2 + 3 − x

⎡∞⎤ = ⎢ ⎥. 8x + 5 − 3 ⎣ ∞ ⎦ Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, ⎡∞ ⎤ поэтому имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ . Чтобы выяснить, какова ⎣∞ ⎦ наибольшая степень среди слагаемых дроби, сначала выносят x с наибольшим показателем степени в выражениях под знаком радикала: A = lim

x → +∞ 3

3

3 ⎞ ⎛ 3 x2 ⎜ 4 + 2 ⎟ − x x 4+ 2 − x x ⎠ ⎝ x . = lim A = lim x → +∞ x → +∞ 5 5⎞ 3⎛ 3 x ⎜8 + x3 8 + 3 −3 ⎟ −3 x x3 ⎠ ⎝ Наибольшая степень первая, выносим за скобки x , получим: ⎞ ⎛ 3 3 x⎜⎜ 4 + 2 − 1⎟⎟ + −1 4 2 x 4 + 0 −1 1 x ⎠ ⎝ = lim =3 A = lim = , x → +∞ ⎛ ⎞ x →+∞ 3 5 3 8+0 −0 2 5 3 8+ 3 − x⎜⎜ 3 8 + 3 − ⎟⎟ x x x x⎠ ⎝ 4 5 3 т.к. 2 , 3 , - бесконечно малые величины при x → +∞ . x x x f ( x) 2 тип. Необходимо вычислить lim с неопределенностью x → x0 ϕ ( x ) ⎡0⎤ вида ⎢ ⎥ . Для раскрытия неопределенности необходимо разложить на ⎣0⎦

17 множители и числитель и знаменатель дроби или умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения (см. приложение 1П-5П). Неопределенность устраняется после сокращения дроби. x3 − 8 Пример 8. Найти lim 2 . x→2 x − 4 Решение. Применяя теорему (7) и (15), имеем x3 − 8 0 x 3 − 8 lim x→2 lim 2 = = x→2 x − 4 lim x 2 − 4 0 x→2

( (

) )

⎡0⎤ Для раскрытия неопределенности вида ⎢ ⎥ разложим числи⎣0⎦ тель и знаменатель на множители: числитель по формуле (3П), знаменатель – (1П), получим 3 2 2 x −8 ( x − 2)( x + 2 x + 4) x + 2x + 4 A = lim 2 = lim = lim . x→2 x − 4 x→2 x→2 ( x − 2)( x + 2) x+2 В полученной дроби знаменатель не стремится к нулю при x → 2 , поэтому можно применить теоремы о пределах (7, 4, 6) и непрерывности функции (15): lim( x 2 + 2 x + 4) 2 2 + 2 ⋅ 2 + 4 = =3. A = x→2 lim( x + 2) 2+2 x→2

x 2 − x − 12 Пример 9. Найти lim 2 . x→4 x − 3x − 4 Решение. Применяя теоремы о пределах, имеем x 2 − x − 12 ⎡ 0 ⎤ x 2 − x − 12 lim x→4 A = lim 2 = . = x→4 x − 3x − 4 lim x 2 − 3 x − 4 ⎢⎣ 0 ⎥⎦ x→4

( (

) )

⎡0⎤ Для раскрытия неопределенности вида ⎢ ⎥ разложим квадрат⎣0⎦ ные трехчлены числителя и знаменателя на множители по формуле (6П), получим

18 A = lim x→4

( x − 4)( x + 3) x+3 4+3 7 = lim = = . x → 4 ( x − 4)( x + 1) x +1 4 +1 5

1 − cos x . sin 2 x Решение. Пределы числителя и знаменателя при x → 0 равны ⎡0⎤ нулю, т.е. имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ . Если выражение, пре⎣0⎦ дел которого необходимо найти, содержит сумму или разность тригонометрических функций, то для раскрытия неопределенности нужно тождественно преобразовать их в произведение по формулам тригонометрии. ⎤ ⎡используем 1 − cos x ⎢ 1 − cos x ⎡используем ⎤ ⎥ lim lim = = ⎢формулу 2 ⎥ x→0 1 − cos 2 x = ⎢формулу 1П ⎥ x→0 sin x ⎣ ⎦ ⎢sin 2 x + cos 2 x = 1⎥ ⎦ ⎣ 1 − cos x 1 = lim = lim x→0 (1 − cos x )(1 + cos x ) x→0 1 + cos x В полученной дроби знаменатель не стремится к нулю при x → 0 , поэтому можно применить теорему о пределе частного (7) и непрерывности функции (15): lim1 1 1 1 x→0 lim = = = . x→0 1 + cos x lim(1 + cos x) 1 + cos 0 2 Пример 10. Найти lim x →0

x→0

x + 36 − 6 . x →0 x 2 + 3x Решение. Применим теоремы о пределах, получим x + 36 − 6 0 x + 36 − 6 lim x →0 A = lim = = . x →0 x 2 + 3x lim x 2 + 3x 0 Пример 11. Найти lim

(

x →0

(

)

)

19

⎡0⎤ Имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ . Для раскрытия неопреде⎣0⎦ ленности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю ( x + 36 − 6)( x + 36 + 6) ⎡формулу (1П) применяем ⎤ =⎢ A = lim ⎥ x→0 ( x 2 + 3x)( x + 36 + 6) ⎣в числителе ⎦ ⎡в выражении ⎤ ⎢ ⎥ (x 2 + 3x) выносим ( x + 36 ) 2 − 6 2 ⎢ ⎥= = lim 2 = x → 0 ( x + 3 x )( x + 36 + 6) ⎢общий множитель x :⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢⎣ x + 3x = x( x + 3) ⎥⎦ x + 36 − 6 2 x = lim = A = lim x → 0 x ( x + 3)( x + 36 + 6) x → 0 x ( x + 3)( x + 36 + 6) ⎡числитель и ⎤ ⎢знаменатель⎥ 1 1 1 ⎢ ⎥ = lim = = ⎢сокращаем ⎥ x →0 ( x + 3)( x + 36 + 6) (0 + 3)( 0 + 36 + 6) 36 ⎢ ⎥ ⎣на x ⎦

3 тип. Необходимо вычислить предел функции с неопределенностью вида [∞ − ∞] . Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределенность устраняется или приводится ко 2-му типу после приведения дробей к общему знаменателю. Если функция представляет собой алгебраическую сумму иррациональных выражений, то неопределенность или устраняется или приводится к 1-му типу путем умножения и деления функции на одно и то же (сопряженное) выражение, приводящее к формулам сокращенного выражения. 4 ⎞ ⎛ 1 Пример 12. Найти lim⎜ − 2 ⎟. x→2 x − 2 x −4⎠ ⎝ Решение. Имеем неопределенность вида [∞ − ∞] . Для раскрытия неопределенности приведем дроби к общему знаменателю:

20 4 ⎞ x+2−4 x − 2 ⎡0⎤ ⎛ 1 − 2 A = lim⎜ = lim 2 =⎢ ⎥. ⎟ = lim 2 x→2 x − 2 x→2 x − 4 x − 4 ⎠ x→2 x − 4 ⎝ ⎣0⎦ Имеем предел 2-го типа, необходимо разложить на множители знаменатель дроби, используя формулу (1П), получим: x−2 1 1 A = lim = lim = . x → 2 ( x − 2)( x + 2) x→2 x + 2 4

)

(

Пример 13. Найти lim x − x 2 + 4 x . x → +∞

Решение. Применим теоремы о пределах (4), получим

)

(

lim x − x 2 + 4 x = lim x − lim

x → +∞

x → +∞

x → +∞

x 2 + 4 x = [∞ − ∞ ]

Имеем неопределенность вида [∞ − ∞] . Для раскрытия неопределенности умножим и разделим функцию, стоящую под знаком предела на сопряженное выражение: ( x + x 2 + 4 x ) , приводящее к разности квадратов, получим:

(x − A = lim

)(

x2 + 4x x + x2 + 4x

) = lim x − ( x 2

2

+ 4x

)= 2

x → +∞ x + x2 + 4x x + x2 + 4x x 2 − ( x 2 + 4 x) − 4x ⎡∞ ⎤ = lim = lim = ⎢ ⎥. 2 2 x → +∞ x → +∞ x + x + 4x x + x + 4x ⎣ ∞ ⎦ Имеем предел 1-го типа, решаем аналогично примеру 7: сначала вынесем x 2 под знаком радикала, получим: − 4x − 4x . = lim A = lim x → +∞ x → +∞ 4 4⎞ 2⎛ x + x 1+ x + x ⎜1 + ⎟ x ⎝ x⎠ В знаменателе дроби выносим за скобки x , получим: − 4x −4 = lim = −2 , A = lim x → +∞ ⎛ 4 4 ⎞ x →+∞ 1+ 1+ x⎜⎜1 + 1 + ⎟⎟ x x⎠ ⎝ x → +∞

т.к.

4 - бесконечно малая величина при x → +∞ . x

21 4 тип. К этому типу относят функции, сводящиеся к первому sin x = 1. замечательному пределу (8): lim x →0 x sin 3x Пример 14. Найти lim . x → 0 sin 2 x ⎡0⎤ Решение. Имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ , для раскрытия ⎣0⎦ которой числитель и знаменатель дроби разделим на x и воспользуемся первым замечательным пределом (8*), получим: ⎛ sin 3x ⎞ ⎜ ⎟ sin 3 x x ⎠ 3 A = lim = . = lim ⎝ x → 0 sin 2 x x → 0 ⎛ sin 2 x ⎞ 2 ⎟ ⎜ ⎝ x ⎠

tg x . x →0 x

Пример 15. Найти lim

⎡0⎤ Решение. Имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ , для раскрытия ⎣0⎦ которой воспользуемся первым замечательным пределом (8), получим: lim x →0

sin x sin x 1 1 tg x = lim = lim ⋅ lim = 1⋅ =1. x → 0 x → 0 x → 0 x x ⋅ cos x x cos x cos 0

5 тип. К этому типу относят пределы функции с неопределенностью вида 1∞ , для раскрытия которой выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой степенно-показательную функцию, в основании которой необходимо выделить целую часть дроби (которая должна быть равна 1). Неопределенность устраняется при помощи выделения второго замечательного предела (9) и (10).

[ ]

x

⎛ 3⎞ Пример 16. Найти lim⎜1 + ⎟ . x →∞ ⎝ х⎠ Решение. Имеем неопределенность вида 1∞ , т.к.

22 3 ⎛ 3⎞ lim⎜1 + ⎟ = lim1 + lim = 1 + 0 = 1 . x →∞ ⎝ х ⎠ x →∞ x →∞ х Для раскрытия неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом (9). ⎞ ⎛ ⎜ 1⎟ A == lim⎜1 + ⎟ x → ∞⎜ x⎟ ⎟ ⎜ 3⎠ ⎝

3⋅

x 3

3

x ⎤ ⎡ 3 ⎞ ⎛ ⎥ ⎢⎜ 1⎟ ⎥ ⎢ = e3 . = lim ⎜1 + ⎟ x → ∞ ⎢⎜ x⎟ ⎥ ⎟ ⎥ ⎢⎜ 3⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ ⎦ 3

Пример 17. Найти lim(1 − 2 x ) x . x →0

Решение. Имеем неопределенность вида 1∞ . Воспользуемся вторым замечательным пределом (10), для этого введем α ( x) = −2 x , которая является бесконечно малой величиной при x → 0 . Умножим ⎛ 1 ⎞ ⎟ , это действие не нарушает знака показатель степени на ⎜⎜ α ( x) ⋅ α ( x) ⎟⎠ ⎝ равенства: 3 x

⎛ 1 ⎞3 ( −2 x )⋅⎜ − ⎟⋅ ⎝ 2x ⎠ x

lim(1 − 2 x ) = lim(1 + (−2 x) ) x→0

x→0

1 − = lim ⎡⎢(1 + (−2 x) ) 2 x ⎤⎥ x→0 ⎣ ⎦

−2 x⋅

3 x

= e −6

. x

⎛ x+4⎞ Пример 18. Найти lim⎜ ⎟ . x →∞ x − 2 ⎠ ⎝ Решение. Имеем неопределенность вида 1∞ . Выделим целую 6 x+4 x−2+6 . часть дроби = =1+ x−2 x−2 x−2 6 α ( x) = является бесконечно малой величиной при x → ∞ . x−2 ⎛ 1 ⎞ ⎟ , получим: Умножим показатель степени на ⎜⎜ α ( x) ⋅ α ( x) ⎟⎠ ⎝

[ ]

23 6x ⋅ x −2

x−2 ⎡ ⎤ 6 6 ⎞ ⎛ = lim ⎢⎜1 + ⎟ ⎥ = x →∞ ⎢ ⎝ x−2⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 6x 6x ⋅ lim x−2 ⎡используем⎤ = lim e x − 2 = ⎢ = e x→∞ , ⎥ x →∞ ⎣15 * ⎦ 1 6x . Имеем неопредет.к. lim(1 + α ( x) )α ( x ) = e . Найдем lim x →∞ x − 2 x →0 ⎡∞ ⎤ ленность вида ⎢ ⎥ - это предел 1-го типа. В знаменателе вынесем за ⎣∞ ⎦ скобки x : 6x 6x 6 lim = lim = lim =6. x →∞ x − 2 x →∞ ⎛ x → ∞ 2 2⎞ 1 − x ⎜1 − ⎟ x ⎝ x⎠ 6

x

6 ⎞ x−2 ⎛ ⎛ x+4⎞ A = lim⎜ = lim⎜1 + ⎟ ⎟ x →∞ x − 2 ⎠ x → ∞⎝ x − 2 ⎠ ⎝

⋅

x−2 ⋅x 6

6x

Итак, e

lim x−2 ⋅

x→∞

= e6 .

e3 x − 1 . x →0 4x

Пример 19. Найти lim

⎡0⎤ Решение. Имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ , для раскрытия ⎣0⎦ которой воспользуемся следствием из второго замечательного предела (13). e3 x − 1 e3 x − 1 3 e3 x − 1 3 = lim = lim = . lim x →0 x →0 4 x → 0 (3 x ) 4x 4 4 (3x) 3 Пример 20. Найти lim x →0

ln( x + 3) − ln 3 . 4x

24 ⎡0⎤ Решение. Имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ , преобразуем ее в ⎣0⎦ ∞ неопределенность вида 1 , пользуясь свойствами логарифмов (8П и 9П), получим:

[ ]

1

x + 3⎞ ln( x + 3) − ln 3 ⎛ x + 3 ⎞ 4x ⎛ 1 A = lim = lim ln⎜ = lim⎜ ln ⎟ = ⎟ x →0 x →0 4 x 3 ⎠ x →0 ⎝ 3 ⎠ 4x ⎝ 1 4x

.

⎛ x⎞ = lim ln⎜1 + ⎟ x →0 ⎝ 3⎠ Учитывая непрерывность логарифмической функции (15*), символы lim и ln можно переставить, получим 1

3 x 1 ⋅ ⋅

⎛x 1 ⎞

1

lim ⎜ ⋅ ⎟ 1 ⎛ x ⎞ 4x ⎛ x ⎞ x 3 4x A = ln lim⎜1 + ⎟ = ln lim⎜1 + ⎟ = ln e x→0 ⎝ 3 4 x ⎠ = ln e 12 = . x →0 x →0 12 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ Пример 21. Найти lim( x ⋅ cos x ) . x →∞

Решение. lim( x ⋅ cos x ) - не существует, т.к. − 1 < cos x < 1 . x →∞

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОДНОСТОРОННИХ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ Пример 22. Найти односторонние пределы функции y =

x2 4 − x2

в точке x = 2 . Решение. В точке x = 2 заданная функция не определена, т.к. числитель при x = 2 обращается в нуль. Вычислим односторонние пределы: x2 . Т.к. рассматривается предел при x → 2 − 0 , то lim x→2−0 4 − x 2 4 − x 2 > 0 и знаменатель 4 − x 2 → +0 , т.е. является положительной (по знаку) бесконечно малой величиной x2 22 = = +∞ lim x→2−0 4 − x 2 б.м. > 0

25

x2 x→2+ 0 4 − x 2 Т.к. рассматривается предел при x → 2 + 0 , то 4 − x 2 < 0 и знаменатель 4 − x 2 → −0 , т.е. является отрицательной (по знаку) бесконечно малой величиной x2 22 = = −∞ lim x→2+ 0 4 − x 2 б.м. < 0 lim

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

tg 4 x . x →0 2 x Решение. При x → 0 используем (18) tgx ~ x , имеем 4x 4 tg 4 x lim = lim = = 2. x →0 2 x x →0 2 x 2 3x − 1 Пример 24. Найти lim x . x →0 5 − 1 Решение. При x → 0 используем (23) и (10П), имеем 3x − 1 x ln 3 ln 3 lim x = lim = = log 5 3 . x →0 5 − 1 x → 0 x ln 5 ln 5 Пример 23. Найти lim

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ (ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ).

x3 −1 . x →1 x 2 − 1 Решение. Применяем теоремы о пределах, получим (x 3 − 1) ⎡ 0 ⎤ x 3 − 1 lim x →1 lim 2 = = x →1 x − 1 lim(x 2 − 1) ⎢⎣ 0 ⎥⎦ x →1 Пример 25. Найти lim

26 ⎡0⎤ При x → 1 имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ , для раскрытия ⎣0⎦ которой используем правило Лопиталя (24): ′ ( 3x 2 3 3 x3 − 1 x 3 − 1) = lim = lim x = . = lim lim 2 x →1 x − 1 x →1 (x 2 − 1)′ x→1 2 x x→1 2 2 2 x 2 − 3x + 1 Пример 26. Найти lim 2 . x →∞ 3 x + 4 x − 2 Решение. Применяем теоремы о пределах, получим 2 x 2 − 3x + 1 ∞ A = lim 2 = . x →∞ 3 x + 4 x − 2 ∞ ⎡∞⎤ При x → ∞ имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ , для раскры⎣∞⎦ тия которой используем замечание 2 и правило Лопиталя: (2 x 2 − 3x + 1)′ = lim 4 x − 3 . 2 x 2 − 3x + 1 A = lim 2 = lim x →∞ 3 x + 4 x − 2 x →∞ (3x 2 + 4 x − 2)′ x→∞ 6 x + 4 ⎡∞⎤ При x → ∞ имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ , применяем ⎣∞⎦ правило Лопиталя повторно (4 x − 3)′ = lim 4 = 2 . 4x − 3 A = lim = lim x →∞ 6 x + 4 x →∞ (6 x + 4)′ x→∞ 6 3 1 2

Пример 27. Найти lim x x . x →∞

[ ]

Решение. Имеем неопределенность вида ∞ 0 , применяем последовательно (11П), (9П) и (15*): 1

A = lim x x →∞

Найдем

x2

= lim e x →∞

1 2

ln x x

1

= lim e x x →∞

2

ln x

lim

1

= e x→∞ x

2

ln x

27 1 ′ ( 1 ln x ) 1 ⎡∞⎤ lim 2 ln x = ⎢ ⎥ = lim = lim x = lim 2 = 0 , x →∞ x ⎣ ∞ ⎦ x →∞ x 2 ′ x →∞ 2 x x →∞ 2 x

( )

тогда A=e

lim

1

x →∞ x 2

ln x

= e0 = 1 .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ I. Используя свойства пределов функций, найдите пределы: 4x + 1 lim 3 x 2 − 2 x + 1 . lim 3 . 1. 2. x → −2 x →1 x + 2 x − 1 2 6 lim 4 . lim 2 . 3. 4. x →0 x x →∞ x 2 5 x 4 − 3x 3 + 2 x + 1 3x − 2 x 5. 6. lim lim . . x →∞ 4 x 3 + 6 x →∞ 2 x 3 + 3x 2 − 4 1 − x3 3x + 2 7. 8. lim 3 lim . . x →∞ x + 5 x 2 − 3 x → +∞ 5 x + 3 2x + 3 4 x + 3x+2 9. 10. lim x +1 . lim . x →∞ 2 x → −∞ 4 x +1 + 3 x −1

(

11. 13. 15. 17. 19. 21.

)

9x2 + 2 − x . x−3

lim

x → +∞

x2 lim 3 . x →0 x − x 2 x2 −1 lim 2 . x → −1 x + 3 x + 2 x −1 − 2 . lim x →5 x−5 2 − x −1 . lim x →1 8+ x −3

(

)

lim x + 3 1 − x 3 .

x → +∞

12. 14. 16. 18. 20. 22.

lim

3x − 3 x 3 + 2 x 2 + 1

x 2 + 5x − 4 x x 2 − 3x − 4 lim . x→4 x 2 − 16 x2 + 2x − 8 lim 2 . x→2 x − 5 x + 6 2 − x +1 . lim x →3 x−3 1 2 lim − . x →1 1 − x 1− x2 x → +∞

(

)

lim x 2 + 3 − x 2 − 3 . x →∞

28 23.

6 ⎞ ⎛ 1 lim⎜ − 2 ⎟. x →3 x − 3 x −9⎠ ⎝

24.

lim

(

3

x → +∞

)

x +1 − 3 x .

II. Найдите пределы, используя первый и второй замечательные пределы: tg 2 x sin 2 x lim lim . . 1. 2. x → 0 sin 5 x x →0 3x sin 4 x lim x ⋅ ctgx . lim . 3. 4. x →0 x → 0 tgx sin 4 x + sin 2 x sin 2 3x lim . 6. 5. lim . x →0 x →0 4x 2x 3x 1 + sin x − 1 − sin x lim . 8. 7. lim . x → 0 arcsin 9 x x →0 3x x x ⎛ 5⎞ ⎛ 2⎞ 9. 10. lim⎜1 + ⎟ . lim⎜1 − ⎟ . x →∞ x →∞ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ x

11.

⎛ x +1 ⎞ lim⎜ ⎟ . x →∞ x + 4 ⎝ ⎠

12.

lim 2 x 1 + 3x .

14.

lim

x →0

1

13.

⎛ 3x 2 + 2 x − 1 ⎞ x ⎟ . lim⎜⎜ 2 x →0 3x + x − 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ln(1 − x ) lim . x →0 3x

x →0

ln 2 − ln(2 − x) . 5x

e4 x − 1 . x →0 2x x2 в точке x = 3 . III. Найдите односторонние пределы функции y = x −3 IV. Найдите пределы, используя эквивалентные бесконечно малые: ln(1 + 3x) tg 3 x lim lim . . 1. 2. x →0 6 x x → 0 arcsin 2 x e6 x − 1 3sin x − 1 lim . 3. 4. lim . x → 0 ln(1 + 3 x ) x →0 x 3 ln(1 + 2 x) 1 + x2 −1 lim . 5. 6. . lim x →0 tgx x → 0 1 − cos x 15.

16.

lim

29 V. Найдите пределы, используя правило Лопиталя: x 2 + x −12 x 3 −13x lim 2 lim 4 . . 1. 2. x → 3 2 x −9 x + 9 x →∞ 3 x + 7 3.

sin x lim x . x →0 e − 1

4.

5.

lim( x ⋅ ln 2 x) .

6.

7.

lim( x)

9.

lim

x →0

x →∞

x →0

1 x

.

arcsin x . sin x

8. 10.

4 x 3 − 2 x +3 lim 2 . x → ∞ x + 5 x −1 1 ⎛ ⎞ lim x 2 ⋅ ⎜⎜1 − e x ⎟⎟ . x →∞ ⎝ ⎠ 2 ln ln( x − 3) . lim x→2 ln( x − 2) 1 ⎞ ⎛ 1 − x lim⎜ ⎟. x →1 x − 1 e −e⎠ ⎝

ОТВЕТЫ

1 при x → +∞ ; -3 2 5 2 1 при x → −∞ ; 10. 9; 11. 2; 12. − ; 13. -1; 14. ; 15. -2; 16. -6; 17. ; 4 3 8 18. − 1 4 ; 19.-3; 20. − 1 2 ; 21. 0; 22. 0; 23. 1 6 ; 24. 0. II. 1. 2 5 ; 2. 2 3 ; 3. 4; 4. 1; 5. 0; 6. 1,5; 7. 1 2 ; указание: замена переI. 1. 17; 2. 2,5; 3. ∞ ; 4. 0; 5. 0; 6. ∞ ; 7. -1; 8. 0; 9.

3

менной arcsin x = y ; 8. 1 3 ; 9. e 5 ; 10. 1 e 2 ; 11. 1 e3 ; 12. e 2 ; 13. 1 e ; 14. 0,1; 15. 0; 16. 2. x2 x2 III. lim = −∞; lim = +∞ . x→3−0 x − 3 x→3+ 0 x − 3 IV. 1. 1 2 ; 2. 3 2 ; 3. 2; 4. ln 3 ; 5. 2 3 ; 6. 2. V. 1. 1 2 ; 2. 0; 3. 1; 4. ∞ ; 5. 0; 6. -0,5; 7. 1; 8. 1; 9. 1; 10. ∞ . ПРИЛОЖЕНИЕ

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b) (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2

(1П) (2П)

30 a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) (a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b 3 ax 2 + bx + c = a( x − x1 )( x − x2 ) , где x1, 2 = log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y

(3П) (4П) (5П) − b ± b 2 − 4ac 2a

⎛x⎞ log a ⎜⎜ ⎟⎟ = log a x − log a y ⎝ y⎠ log a x n = n log a x ln x log a x = ln a

(6П) (7П) (8П)

(9П) (10П)

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. М.: Проспект, 2007. – 600с. 2. Высшая математика для экономистов. Под ред. Кремера Н.Ш. М.: Юнити, 2004. – 471 с. 3. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Лань, 2007. – 688 с. 4. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. М.: Лань, 2007. – 736 с.

31

Составители Юрий Александрович Фадеев Елена Владимировна Солтанова

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

Отпечатано в филиале ГУ КузГТУ в г. Прокопьевске. 653033, г. Прокопьевск, ул. Ноградская, 19 а. Подписано в печать 12.01.09 г. Отпечатано на ризографе. Формат 60×84 1/16. Объем 1,9 п. л. Тираж 100 экз. Заказ 011.

32