行列と線形計算 (新・数学とコンピュータシリーズ)

片 桐 重 延 監修 片桐重延 ・ 室 岡和 彦 共著

R〈 日本 複 写 権 セ ン ター 委託 出版 物 〉 本 書 の全 部 また は一 部 を無 断 で複 写 複 製(コ ピー)す る こ とは,・著 作 権 法上 で の例 外 を除 き,禁 じ られ て い ます 。 本 書 か らの複 写 を希望 さ れ る場 合 は,日 本 複 写権 セ ン ター(03-3401-2382)に ご達 絡 くだ さい。

序

文

  平 成6年

度 よ り実 施 され た新 しい 高校 数 学 で は,コ

ン ピュ ー タ に関 す る取 扱 い

が い ま ま で 以 上 に重 視 され て い る。 そ れ は,こ れ か ら コ ンピ ュー タに つ い て,ま た,コ

ン ピ ュー タに 関連 す る 「数 学 」 に つ い て学 ぼ う とす る人 々 に と って学 びが

いの あ る もの で あ る。 元 来,日 本 の数 学 教 育 は,戦 後 長 い 間大学 進 学者 の ため の, あ る い は,将 来 特 に数 学 を必 要 とす る人 々 の た め の もの で あ った。 しか し,数 学 が情 報 化,高

度 技 術 社 会 の た め に さ ま ざ ま なか た ち で関 与 して き た現在 ,も

単 に,将 来,数

はや

学 を特 に必要 とす る人 々 や,理 工 系 を志 す 人 々 の ため の もの で は

な くな り,よ り広 い意 味 で の知 的 ユ ー ザ ー と いわ れ る人 々が 数学 を学 習 す る時 代 が きた の で あ る。 この こ と は,「 中 等 教 育(中 学 ・高 校)に

お ける数 学 的 リテ ラー

シ ー は,情 報 化,高 度 技 術 社 会 に お け る一 般 的 知 識 人 が もつ べ き標 準 的 な教 養 を 目指 す こ とに な る」(数 学教 育 の会)の 指 摘 に も端 的 に示 され て い る。 ま さ に, コ ン ピュ ー タ関 連 の数 学 は,こ れ か らの 生涯 学 習 の基盤 と して の数学 で あ るとい っ て も過 言 で は な い。   本 シ リー ズ(全10巻)は,コ

ン ピュー タ関 連 の 数 学 を 次 の 各 分 野 に分 け て 企

画 した。 そ れ は既 刊 の 「数 学 と コ ンピ ュー タ シ リー ズ(全8巻)」 現 代 向 け に発 展 させ,新

の思 想 を よ り

しい 中等 数 学 の考 え を取 り入 れ た もの で あ る。

  第 一 は,  

● コ ン ピ ュー タ言 語 と処 理

 

●BASICに

 

●BASICに

の 内容 で,コ 数 学A,数

よ る数 学 の 問題 解 法 よ る高 校 数 学 ン ピュ ー タ関 連 の 数 学 を 学 ぶ た め の 基 盤 と新 しい数 学 ,特 に高 校 の

学Bの 内 容 に準 拠 した もの で あ る。BASIC言

語 は,こ

れ らの 教 科 書

の ほ とん どで 使 用 され て い る言語 で あ り,こ れ か ら も数 学 教 育 用 言 語 の主 流 と し て 導 入 さ れ るで あ ろ う。

  第二 は   ●行 列 と線 形 計 算   ● 数 値計 算   ●確 率 統 計 に そ の特 徴 が見 られ る よ う に,こ れ か らの高 校 数 学,あ

る い は,大 学 初 年 度 の数

学 に取 り入 れ られ るで あ ろ う,行 列,線 形 計 算,数 値 計 算,確 率 統 計 の基 礎 を 目 ざ した。 主 題 の性 格 上,や

や難 解 な 問題 も含 ま れ るが,全 体 を とお して 読 め ば 高

校 生 に も理 解 で き る よ う に心 が け たつ も りで あ る。 い うまで もな く,高 校 現 場 で 数 学Cを 中 心 に これ か らコ ン ピュ ー タ関 連 の数 学 を教 え よ う とす る先 生 方 や,大 学 で これ らの数 学 を平 易 に学 習 しよ う とい う人 々 に と って も有 効 に利 用 で き るで あ ろ う。   第 三 は,  

●数 学 ソ フ トに よ る曲線 と図形 処 理

 

● 数学 ソ フ トに よ る数 式 処 理 と関数

に お いて取 り上 げ た数 学 ソ フ トウ ェ ア に よ る数 学 の展 開 で あ る。 数 学 ソ フ トは い まや ます ます 発 展 し,こ れ か らの数 学 で欠 く こ とので きな い分野 にな りつつ あ る。 図 形処 理 や数 式 処 理,関 数 と グ ラ フの扱 い に つ い て は,単 に中 等 数 学 の み な らず 数 学 教育 や数 学 の研 究 にお いて も有効 な手 段 にな る。 こ こで は,代 表 的 な数 学 ソ フ トにつ い て取 り上 げ,問 題 の解 法 を試 み た。  他 に  

● コ ン ピ ュー タ に よ る グ ラ フ ィ ック ス

は,コ ン ピ ュー タ グ ラ フ ィ ッ ク スを そ の基 盤 か ら誰 にで もわ か る よ うにや さ し く 解 説 した もの で あ り,  

● コ ン ピ ュー タ に よ る成 績 処 理

は,主 と して 小 学 校,中 学 校,高 等 学 校 に お け る教 科 担 任,学 年 担 任 の 先 生 方 の 学 期 ご との,ま た,学 年 末 の成 績 処 理 とそ の省 力 化 等 につ いて,誰 きる よ うに解説 した 。 また,こ も示 した。

にで も利 用 で

こで は ソフ トウ ェア を利 用 した処 理 方 法 に つ い て

  以 上,こ れ か らコ ン ピュ ー タを学 習 す る人,コ

ン ピュ ー タに関 連 す る数 学 を 学

習 し,教 育 しよ うとす る人,数 値 計 算 に習 熟 し数 学 の社 会 に お け る有 効 な活 用 を 図 る人,さ

らに,数 学 の ソ フ トウ ェア を有 効 に利 用 しよ うとす る人 々 に と って,

この 全10巻 の 書 が 座 右 の銘 の ご と く,有 効 に活 用 され る こ とを願 って や ま な い。   な お,多 忙 な 中 を この シ リー ズの執 筆 に あ た られ た 白石 和 夫,高 橋 公,飯 田 健 三,室 岡 和 彦,佐 藤 公 作,志 賀 清 一,山 路 進,金 子 伸 一 の各 氏 に お礼 を 申 し上 げ る と と もに,本

シ リー ズの 出 版 を 企 画 ・推 進 して くだ さ った東 京電 機大学 出版 局,

お よ び終 始 ご助 言 くだ さ った 同編 集 課 長 朝 武 清 実 氏 に深 甚 の 感 謝 を捧 げ た い。 1995年3月

監修 片桐 重延

は じめ に   本 書 で は,行 列 と線 形 計 算 を取 り扱 う。 行 列 と線 形 計 算 は,高 校 数 学 科 に新 た に設 け られ た 「数 学C」 の う ちで,最

も重 要 視 さ れて い る項 目の 一 つ で あ る。 い

まや,高 校 まで の多 くの 人 々が,十 分 に数 学 的 リテ ラ シーを もて る数 学 教 育 の 必 要 性 が 叫 ばれ て い る。 なか で もベ ク トル,行 列 を 中心 に した 数 理 的 な 手 法 は,自 然 科 学 の み な らず,社 会 科 学 や人 文 科 学 の分 野 に も導 入 され,コ

ン ピュ ー タの 普

及 と も相 ま って ます ます そ の必 要 性 を増 して きた。   第1章,第2章

で は,具 体 的 で身 近 な例 を も とに して,行 列 に 表 現 す る こ との簡

潔 さ,抽 象 化 す る こ との優 れ た点 につ い て述 べ る と と もに,そ の 基 本 的 な演 算 法 則 を示 した。 特 に,第2章

で は具 体 的 な現 象 を離 れ て行 列 の演 算 を 一 般 的 なか た

ちで 定 義 し,基 本 的 な数 値 を取 り上 げ て そ の数 学 的 な意 味 を紹介 す るよ うに した。   第3章 で は,連 立 方 程 式 の解 法 に主 眼 を お い て,連 立 方 程 式 の 行 列 表 現,ガ

ウ

ス の掃 き出 し法,最 小2乗 法 と連 立 方 程 式 の近 似 解 につ い て調 べ る。第4章 で は, 行 列 の応 用 と して,ベ

ク トル と行 列 の 問題,1次

変 換 につ い て 取 り上 げ,第5章

で は線 形 計 画 法 につ いて 基 本 的 な問 題 と問題 解 決 の方 法 につ いて 述 べ た。   ま た,全 体 を とお して い くつ か の問 題 につ い て は,具 体 的 に プ ロ グ ラム を組 ん で 実 際 に コ ン ピ ュー タで 問 題 を解 決 す る方 法 を示 した。   なか に は,や や難 解 な問 題 が含 ま れ て い るか も しれ な い が,基 本 的 に は,高 校 数 学,あ

るい は大 学 初 年 度 の数 学 に ね ら いを お いて書 い た もので あ る。 難 しい と

思 わ れ る箇 所 は読 み飛 ば して もよ い か ら,全 体 を とお して そ の意 味 をつ か む よ う に して い た だ きた い。   本 書 が,将 来,数 学 を特 に必 要 とす る人 は も ち ろん の こ と,将 来 の知 的社 会 生 活 に お い て,数 学 的 手 法 を身 に つ け た い と考 え る多 くの人 々 に活 用 され る こ とを 願 って や ま な い。   1995年5月 著 者 し るす

目 

次

第1章  行列による表現 1.1  成 績 表 と 行 列  [1] 

行 列 の 和,差,実

 1

数倍

 [2]  行 列 の演 算 法 則(和,差,実  [3] 

コ ン ピュ ー タ の利 用

 1

数 倍)

 4  5

1.2  行 列 の 積 の 表 現  [1] 

あ み だ く じと行 列

 10  10

 [2]  あ み だ く じと行 列 の積

 11

 [3]  逆 引 き あみ だ く じと逆 行 列

 12

 [4]  グ ラフ と推 移 行 列

 14

 [5] 

コ ン ピュ ー タの 利 用

 18

1.3  数,式 の 行 列 表 現

  21

 [1]  数 の 行 列 表 現

  21

 [2]  複 素 数 の 行 列 表 現

  23

 [3]  整 式 の 行 列 表 現

 24

練習問題

  29

第2章  行列と行列式 2.1  行列 の基 本 法 則

 31

 [1]  行 列 の表 し方

 31

 [2]  対 称 行 列,交 代 行 列

 32

 [3]  行 列 の演 算 法 則

 33

2.2  い ろ い ろ な 行 列  [1] 

い ろ い ろ な行 列

 36  36

 [2]  行 列 の 多項 式  [3]

  38

 小行列

  39

 [4]  零 因 子 とべ キ零 行 列

  41

 [5]  単 位 行列Eの

  43

累乗 根 とべ キ 等 行 列

 [6]  群 の構 造

  49

2.3  基本変形と行列式

  46

 2次 の 行 列 式

 [1]

 [2] 

 46   48

3次 以上 の 行 列 式

 [3]  行 列 式 の 基 本 的 な 性 質

 53

 [4]  基 本 変形

 55

 [5] 

 57

階

数

練習問題

  59

第3章  連立方程式の解 3.1  連 立 方程 式の 行 列 表 現  [1] 

  61

2点 を通 る関数

 61

 [2]  連 立方 程 式 の表 現;1次

関数

  63

 [3]  連 立 方程 式 の 表 現;2次

関数

  65

 [4]  基 本解 と特 殊 解

 71

3.2  ガ ウス の掃 き 出 し法

  74

 [1]  掃 き出 し法 の 意 味

  79

 [2]  掃 き出 し法 の手 順

 76

 [3] 

 78

掃 き 出 し法 の プ ロ グ ラ ム

 [4]  掃 き出 し法 の工 夫

  80

 [5]  掃 き出 し法 の適 用

 84

3.3  解 の 近 似 計 算  [1]

 最小2乗 法

 [2]  誤 差 の処 理

  88   88  93

 [3]  特 別 な 場 合 の近 似 法

 98

練習問題

 103

第4章  行列の応用 4.1  ベ ク トル と 行 列  [1] 

4.2 

 104

数 ベ ク トル の 意 味

 104  106

 [2] 

ベ ク トル の 演 算

 [3] 

ベ ク トル の1次

 [4] 

1次 結 合 と行 列 式

結 合

 108  111

1次 変 換

 112

 [1]

 1次 変 換

 [2] 

基 本 ベ ク トル の 利 用

 113

 [3]  回転 の1次 変 換  [4]  道 路 の反 射 板  [5]

 フ ラ ク タ ル

4.3  行列 のLU分

 116  118  121  123

解

 126

 [1]  基 本 変 形

 127

 [2]  軸 の移 動

 128

 [3] 

LU分

 [4]  LU分

解

 129

解 の数 値 計 算

 131

 134

4.4  固 有 値 ・固 有 ベ ク トル  [1] 

不 動 点,不

動 ベ ク トル

 134

 [2] 

固 有 値,固

有 べ ク ドル

 136

 [3]  固 有 値 の 数 値 計 算

 140

 [4] 

 142

プログラム

 [5]  再 帰 関 係 と固 有 値 練 習問題

 142  148

第1章  行列 による表現   線 形 代 数 は,日 常 的 に は多 数 の デ ー タを 一 度 に扱 う とき,移 り変 わ り を 表 す と き に使 わ れ る。 こ の章 で は,日 常 的 な 場 面 で 発 生 した 表 や デ ー タ,移 り変 わ りを 行 列 で 表 して,も と の デ ー タの もつ意 味 や 特 性 を探 り,現 象 を 行 列 に モ デ ル化 す る こ とに 焦 点 をあ て る。

1.1  成 績 表 と 行列   成 績 表 の デ ー タは数 だ けを 取 り出 し行 列 と して表 現 され る。 そ の デ ー タを も と に行 列 の和,差,実 [1] 

数 倍 を 求 め る計 算 を 行 い,基 本 的 な性 質 を 調 べ て み よ う。

行 列 の 和,差,実

数倍

  あ る高 校 で は,各 学 期 の 評 価 を10段 階 で 行 う。 あ る ク ラ ス の 生 徒 全 員 の 成 績 一 覧 表 は,数 が 生 徒 の 人 数 分 の 行,評 価 した科 目数 分 の列 が 並 ん で い る。例 えば, 表1.1  一 学 期 の 成績

表1.2  二 学 期 の成 績

A,B,C,D,E君

と い う5人

の 生 徒 の,国

成 績 が そ れ ぞ れ 表1.1,表1.2の

と い う 。 ま た 例 え ば,行 成 分 と い う 。 下 の5×3行

理,数

学Ⅰ の一 学 期,二

学 期 の

よ うで あ っ た と い う。

  こ の 表 で わ く を 取 り去 り,数 り が で き る 。 こ れ を5×3型

語Ⅰ,地

だ け 取 り 出 せ ば 下 の よ う に5行3列

の 行 列 ま た は5×3行

列 の 第2行3列 列 で,第1,1成

列 と い い,各

目 の 成 分 の こ と を,そ 分 は と も に8で

の数 の ま と ま 数 の こと を成 分 の 行 列 の 第2,3

あ る。 行 列 の 中 の 成

分 の 位 置 が こ の よ う に して 指 定 さ れ る。

  コ ン ピ ュー タ処 理 で デ ー タを処 理 す る と き,い

くつ か の 数 量 を 行 列 や数 ベ ク ト

ル の形 で 同 時 に取 り扱 う こと が多 いが,こ の よ うな 量 の こ とを 多 変 量 とい う。 上 の行 列 で 一,二 学 期 の平 均 を計 算 す る と きの 基 本 的 な 性 質 を 調 べ て み よ う。 (1)  和 の計 算  行 列 の和 は,次 の よ うに同 じ位 置 の成 分 ど う しの 加 法 で 得 られ る。

(2)  実 数 倍 の計 算   成 績 の平 均 は,前 で求 め た 和 の 行 列 に0.5を か け る計 算 で,そ

れ は各成 分 に

0.5を か け て得 られ る。 これ を行 列 の 実 数 倍 と い う。

(3)  行 列 の差 と零 行 列   行 列 の差 は,行 列Bが をA+(−B)と

 特 に,同

あ っ た と き−B=(−1)×Bと

し,行 列 の差A−B

考 え れ ば,行 列 の差 は各 成 分 ど う しの差 に な る。

じ行 列AとAの

差 はす べ て の成 分 が0に な り,こ れ を 零 行 列 と い う。

零行列

・行 列 と行 列 の和 は,各 成 分 ど う しの数 の加 法 で 得 られ る。 ・行 列 の和 は,型 が 一 致 して い る必 要 が あ る。 ・行 列 の実 数 倍 は,各 成 分 を 実 数 倍 して 得 られ る。 ・行 列 と行 列 の差 は,各 成 分 ど う しの数 の減 法 で 得 られ る。   この計 算 例 か らわか る よ うに,行 列 は多 くの デ ー タを 一 度 に 扱 う と きに 使 わ れ る。 次 の問 題 も行 列 の計 算 で,一 度 に多 くの 数 値 を 調 べ て い る。

問1  米 国 の1965年 (1) 

と1985年

に お け る未 成 年 の 犯 罪 件 数 が 表1.3で 示 され て い る。

この 表 を もと に行 列 の 計 算 を 行 い,1965年

何 で あ るか を 答 え よ。

か ら1985年

の20年

間 に減 少 し た 犯 罪 が

 (単 位1000件)

表1.3

(2)20年

[2] 

間 に,ど の 年 齢 層 の どの犯 罪 が最 も増 加 して い る か を調 べ よ。

行 列 の 演 算 法 則(和,差,実

 A,B,C,D,Eと

数 倍)

い う5人 の 生 徒 の,国 語Ⅰ,地

理,数 学Ⅰ の 三 学 期 の 成 績 が 表

1.4の よ うで あ った とい う。 表1.4  三学 期 の成 績

一

,二,三

学 期 の 平 均 を 行 列 を 用 い て 行 う と,次

  こ こ で 用 い ら れ て い る三 つ の 行 列 の 和 は,数  

の よ う に な る。

の結 合 法 則

(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c

と 同 じ法 則 を 用 い て い る。 こ の よ う に,行 算 の 基 本 的 な 法 則 に 基 づ い て 行 っ て い る。

列 で3項

の 演 算 を 行 う と き,2項

の演

行 列 の 基 本 的 な 性 質(和,差,実

数 倍)

 交 換法則 A+B=B+A  結合 法則1 A+(B+C)=(A+B)+C  分 配 法則1 k(A+B)=kA+kB  分 配 法 則2   結 合 法 則2 

(j+k)A=jA+kA (jk)A=j(kA)

 零 行 列  A+O=O+A=A   た だ しA,B,Cは [3]コ

同 じ型 の 行 列,Oは

零 行 列,j,kは

実 数 とす る。

ン ピュータの利用

  行 列 の 和,差,実

数 倍 の計 算 を 行 う問 題 を コ ン ピュ ー タで 求 め よ う。 あ る人 の

肥 満 度 は,次 の 式 で 計 算 す る。  a=0.9(身

長−100)−(体

  そ して,a＜0の

と き肥 満 傾 向 が あ る と しよ う。 日本 の 中学 ・高校 の 生 徒 の身

長 と体 重 は,表1.5の

重)

よ うで あ っ た。 表 1.5身

長 と体 重

(平成5年 度 学校保 健統 計調 査速報)   こ の 表 を も と に コ ン ピ ュ ー タ で 行 列 計 算 を 行 っ て,肥

満 傾 向が 出 て くる年 齢 を

調 べ て み よ う。 (1) 

ス プ レ ッ ドシ ー ト

  ス プ レ ッ ド シ ー トと は,表1.5の

よ う な 表 を 計 算 し,棒

グ ラ フや 円 グ ラ フに 表

す 既 成 ソ フ ト ウ エ ア で あ る 。 ス プ レ ッ ド シ ー ト の1つ (Lotus

1‐2‐3)で

は,こ

  行 列 で は,第i行j列 2,3…

の 表 計 算 を 次 の よ う に 行 う。 の 成 分 の よ う に成 分 の 位 置 を 決 め た が,こ

の 代 わ り に ア ル フ ァ ベ ッ トでA,B,Cの

3列 をC4と

で あ る ロ ー タ ス1‐2‐3

こで は 列 を1,

よ う に 表 す 。 例 え ば,第4行

表 す。 表1.6

(a) 

年次の入力

・ワ ー ク シ ー トを 起 動 し,↓ キ ー で セ ル ポ イ ン タをA2に ・「ち ゅ う」 と入 力 し,漢   第2行1列

に 「中1」

字 に変 換 す る。 次 に1を

(b) 

身 長,体

重,肥

移 動 し,「 中2」

位 置 に 「高3」

  以 下 同 様 に し て,身

を 入 力 す る。

を 入 力 す る。

長(女),体

移 し,身 重(男),体

(女)をC1,D1,E1,F1,G1に

長(男)と

入 力 す る。

重(女),肥

満 値(男),肥

満値

入 力 す る。

デ ー タ の入 力

・ ↓と ← キ ー で セ ル ポ イ ン タ をB2に   以 下 同 様 に し て,中1か (d) 

列 の

満 値 の入 力

・→ と ↑キ ー で セ ル ポ イ ン タ をB1に

(c) 

入 力 す る 。 こ れ で,行

と い う名 前 が 入 った。

・ ↓キ ー で セ ル ポ イ ン タ をA3に   以 下 同 様 に し て,A7の

移 動 す る。

ら 高3ま

移 して151

.8と 入 力 す る 。

で の 身 長 と体 重 を す べ て 入 力 す る 。

肥 満 値 の計 算

・→ キ ー でF2に

セ ル ポ イ ンタを移 す。

・+(B2−100)*0 ・／ ,C(複

写),F2(優

.9−D2と

入 力 す る 。2.62がF2に

先 元),F3(優

先 先)と

入 る。

押 し,Fの

他 の行 につ いて同

様 の 計 算 を 行 う。 ・G2に

セ ル ポ イ ンタを 移 し ,肥

こ の 計 算 の 結 果,肥

満 値(女)の

満 値 が 表1 .7の

計 算 も 同 様 に 行 う。

よ う に 計 算 さ れ る。 表1.7

  初 め の 式 か ら,肥

満 傾 向 は男 子 に は な い が,肥

れ る こ と が わ か る 。 た だ し,本 る た め に は,統 (2) 

満 傾 向 は 高1の

女 子 に な って現

当 に そ の 傾 向 が あ る か ど う か を こ の デ ー タ か ら知

計 的 な 処 理 を し て 有 意 差 検 定 を 行 う必 要 が あ る 。

構 造 化Basicプ

ログ ラ ム

  構 造 化Basic(Basic)プ

ロ グ ラ ム はN88‐Basicを,よ

り構 造 的 に し た プ ロ グ ラ

ミ ン グ ソ フ トで あ る。 こ の プ ロ グ ラ ム で は 行 列 を 配 列 と し て 扱 う。   例 え ば6×4行

列 は,プ

ロ グ ラ ム で は 図1.1の

図1.1 

  プ ロ グ ラ ム1.1で

はdim

列 の 位 置 の 数 をA(i,j)と

A(6,4)と 表 す が,こ

よ う に24個

の 配 列 と 考 え る。

行 列 と配 列

い う命 令 で 配 列 を 作 成 し,配 れ は,上

の 行 列 の 第i,j成

列 の 第i行 分aと

ｊ

同 じ位

置 に あ る 数 で あ る。   デ ー タ の 入 力 に は,こ る場 合 と,input文

の プ ロ グ ラ ム の よ うにdata文

で プロ グラムの中 に入 れ

で キ ー ボ ー ドか ら入 力 す る 場 合 が あ る 。 こ こ で は 行 列 の 見 や

す さ の 都 合 か らdata文

で デ ー タ の入 力 を 行 っ た 。

プ ロ グ ラ ム1.1

結果

図1.2  流 れ 図1 (注1) 左 図 は,iにつ i=1∼nま

い て で 処 理 を

繰 り返 す こ と を 示 す 。

(3)  情 報 処 理  ふつ う,コ ン ピュ ー タ で デー タ を計 算 した後,デ

ー タに 吟 味 が 加 え られ て,は

じめ て デ ー タ は情 報 に な っ て意 味 を もつ｡情 報 化社 会 が進展 す る につれ,そ の デー タ の意 味 を調 べ る こ とが,人 間 の情 報 処 理 の中 心 に な る と いわ れ る。  上 の処 理 の 結 果 得 られ た デ ー タで は,例 え ば 男 子 は中 学2,3年

で 最 もや せ て

お り,そ の後,肥 満 値 が 減 少 して肥 満 傾 向 に な る。 それ に対 して 女 子 は中 学1年

か ら減 少 す る の み で,高 校1年 で はマ イ ナ ス,つ ま り肥 満 傾 向 が 明確 に な る こ と が わ か る。 こ の こ とか ら,男 子 も身 長 の伸 びが 止 ま る18才 以 降 に は,女

子 と同

様 な肥 満 傾 向 が 現 れ る と予想 され る。   この よ うに,あ

る現 象 の性 質 を把 握 し,そ れ を仮 定 して予 測 を た て た り,新 た

な性 質 を探 る こ とが,情 報 処 理 の基 本 的 な活 動 で あ る とい え る。 問2 

表1.3で,1965年

い,そ

の20年

の 列 を10倍

間 で 犯 罪 増 加 率 が10倍

して1985年

の 列 か ら 引 く計 算 を プ ロ グ ラ ム1 .2で

行

以 上 に な った項 目を求 め よ。

プ ログラム1.2

図1.3 

流 れ 図2

注 意;図1.4の

記号 につ いて は図

1.19を 参 照 の こ と。

図1.4

1.2  行 列 の 積 の 表 現   行列 の積 を表 す 問題 場 面 と して,あ み だ く じや い くつ か の 点 か ら他 の点 へ の 移 動 の 状 態 な どが あ る。 具 体 的 な 問題 場 面 を行 列 の積 で 表 す 過 程 に つ い て調 べ,行 列 の 積 の 意 味 を考 え よ う。 [1] 

あ み だ く じ と行 列

  A,B,Cと

い う3人 が あ み だ く じを 引 い た と ころ,図1.5の

図1.5 

あ み だ く じ

  こ の 結 果,A→C',B→A',C→B'に で 示 す と表1.8の

よ うに な った。

な る が,こ

の こ と を 出 発,到

達 の対応

よ うに な る。 そ して数 字 だ け を取 り出す と行 列 にな る。 表1.8

 推移行列

  こ の よ う に して 作 られ る 行 列 の こ と を 推 移 行 列 と い う。 有 限 個 の も の が 互 い に 移 り変 わ る状 態 は,あ

み だ く じ の よ う に 行 列 で 表 現 さ れ る｡

  こ こ で 上 の 推 移 行 列 を よ く見 る と,次   ・各 行 に 数 字1が1個  

こ れ はA,B,Cが

  ・各 列 に も数 字1が1つ  

こ れ はA,B,Cに

あ り,残

の こ とが わ か る 。

り は す べ て0で

移 る先 が1と

あ る。

お りで あ る こ と を 示 して い る 。

しか な い。 対 し てA',B',C'が1つ

ず つ対 応 す る こと を示 す 。

  こ の よ う に 行 列 に は,対 問3  次 の図1.6の

応 の特 性 を調 べ られ る よ さが あ る。

あみ だ く じを行 列 で表 現 せ よ。

図1.6

[2]  あみだ くじと行列の積  縦 線 が何 本 も あ る あみ だ く じは,縦 線1本

の あ み だ く じが示 す 行 列 の積 に な っ

て い る こ とを示 そ う。 上 の あ み だ く じは,次 の図1.7の

よ うな 移 り変 わ りが続 け

て行 われ た と考 え られ る。

図1.7 

あ み だ く じの 継 続

 これ らの あ み だ く じに対 応 す る推 移 行 列 は,そ れ ぞ れ 次 の よ うにな る。

  こ こ でA→A',A'→A"の 択 可 能 性 は0×1と る と,次  

選 択 は そ れ ぞ れ0,1だ

計 算 で き る。 同 様 にA→A"と

か ら, A→A'→A"の

な る選 択 可 能 性 を す べ て あ げ

の よ う に な る。 移 り変 わ り 

 こ こ でA→A"の

選 択 を,そ

選

可能性

れ ぞ れ の 場 合 の 可 能 性 の 和 と み な せ ば,A→A"

の可 能 性 は次 の よ うに計 算 さ れ る。  

移 り変 わ り 

  同 様 な 方 法 でA,B,Cか

可能性

らA",B",C"へ

の 推 移 行 列 は次 の 表1.9よ

う に表 さ れ

る。 表1.9推

移 の表

推移行列

  この計 算 で 行 列 の 積 を表 す こ とに す る。 は じめ に取 り上 げ た あ み だ く じは,次 の行 列 の積 と して 表 され る。 各 行 列 は 図1.7の

  こ の よ う に,多

よ うな縦 線1本

数 の 縦 線 の あ る あ み だ く じ は,縦

線1本

の く じを 表 す 。

の あ み だ く じの 示 す 行

列 の 積 と して 表 され る。

問4  図1.8の

あ み だ く じを2回 繰 り返 す と ど うな るか 。 推 移 行 列 を 用 いて調 べ よ。

(a)

 (b) 図1.8

[3]逆

引 き あ み だ く じと 逆 行 列

  は じめ に取 り上 げ た あみ だ く じを3回 繰 り返 す と,図1.9の BはBに,CはCに

な り何 も変 わ らな い。

よ うにAはAに,

図1.9

これ を推 移 行 列 で表 現 して み よ う。

(1.1)

 こ こで,行

列

は 何 も変 え な い こ と を 表 す 行 列 で 単 位 行 列 と い い,ふつ は,数  

の1に

あ た り,あ

み だ く じ の 行 列Aに

うEと

表 す 。 単 位 行 列E

つ いて 次 の 等式 が成 り立 つ。

AE=EA=A

  ま た,上

の 行 列Aに

と 表 さ れ,式(1.1)か   と こ ろ で,数

で はaの

つ い てA×A=Bと

らBA=Eと

す れば

な る。

逆 数a'はa×a'=1と

な るa'と

し て 示 さ れ る が,行

列

で はA×A'=A'×A=Eと

な るA'をAの

逆 行 列 と い い,A-1と

表す。

 A×A-1=A-1×A=E   式(1.1)で

は,か

っ こ{}の

と り方 に よ っ て,AB=BA=Eと

な る か ら,

と な る。   こ れ は,は

じめ の あ み だ く じ の 「逆 引 き」 あ み だ く じ を 表 し て い る 。  も と の あ み だ く じ

 逆 引 き あ み だ く じ

図1.10

  よ って,Aの

逆 行 列A-１ は 「逆 引 き」 あ み だ く じの推 移 行 列 とい う意 味を もつ｡

あ み だ く じは有 限 個 の もの を,そ れ 自身 の 中 で 移 し変 え る こ と を表 して い る。 こ の よ うな 移 しか え の こ とを置 換 とい う。 問5  図1.11の

あみ だ く じの推 移 行 列 と,そ の逆 行 列 を求 め よ。

図1.11

[4] 

グラ フと推移 行列

  鉄 道 の路 線 図,飛 行 機 の航 路 な ど の具 体 場 面 を 行 列 で 表 し,逆 に行 列 を 用 いて 具 体 場 面 を ふ り返 っ て み よ う。 (1)  無 向 グ ラ フ と行 列   高尾 山 付 近 の 概 念 図 が 図1.12の

よ うに描 か れ て い る。 点 は休 憩 地 点,線

(ケ ー ブ ル等 を含 む)を 表 して い る。

は道

図1.12 

  図1.12の

よ う に,点(頂

点)と

ル ー ト図

線(辺)か

ら な る も の を グ ラ フ と い う。 グ ラ

フ は そ の ま ま で は コ ン ピ ュ ー タ で 扱 う こ と は 困 難 で あ る 。 そ こ で 表1.10の な 表 を 用 い て,各 る 道(ル

休 憩 地 点 か ら行 き方 の 個 数 を 示 す 。 た だ し,そ

ー プ)は,時

計 ま わ り と反 時 計 ま わ り が で き る の で2個

よ う

の地 点 自身 に戻 と数 え る。

表1.10

 推移行列

  休 憩 地 点 の名 前 や記 号A,B,C,Dを 表1.10は

省 略 し,第 何 行 第 何 列 か に注 意 す る ことで,

推 移 行 列 と して 表 現 され る。 例 え ば,2行4列

駅 か らD;高

尾 山 口 に行 く経 路 が3通

の 成 分3はB;高

尾山

り あ る こ と を示 して い る。 この よ う に推 移

行列 か ら,も との 経 路 に関 す る特 性 を 知 る こ とが で き る。 問6  上 の 推移 行 列 につ い て,次 の 各 問 に答 え よ。 (1)第1列

の成 分 の 和 を 求 め よ。 ま た,こ の 数 の もつ意 味 を調 べ よ。

(2)第2行

の成 分 の 和 を 求 め よ。 ま た,こ の 数 の もつ意 味 を調 べ よ。

(3)  対 角 成 分 の特 徴 を述 べ よ(対 角 成 分 につ い て は31ペ ー ジを参 照 の こ と)。 (2) 

有 向 グ ラ フ と行 列

  あ る 年 の 夏 は 異 常 に 雨 が 多 く,土 で 弱 い も の を 一 方 通 行 に し,下 A;高

尾 山 頂 とD;高

ま た,B;高

尾 山 口 の2本

尾 山 駅 とD;高

壌 侵 食 を 防 止 す る た め に 図1.12の

の 図1.13の

の 経 路 はAか

らDへ

尾 山 口 を 結 ぶ 経 路 の 中 で,ロ

往 復 の 通 行 可 能 で あ る が,歩

道 はBか

図1.13有

経 路 の中

よ う に 変 更 す る こ と に し た。 例 え ば,

らDへ

下 る一 方 通 行 と し た。 ー プ ウ ェ ー と リフ トは

の 一 方 通 行 と した 。

向 グ ラ フ

  こ の グ ラ フ は経 路 に 向 き がつ い て い る の で 有 向 グ ラ フ と い い,そ 移 行 列 を 有 向 推 移 行 列 と い う。 な お 図1.12の

れ に 対 す る推

グ ラ フ の こ と を 無 向 グ ラ フ と い う。

表1.11

 有向推移行列

  表1.11の   (a) 

推 移 行 列 を 調 べ て も と の グ ラ フ の 意 味 を 考 え て み よ う。

行 成 分 の和  

第1行

頂 か ら出 発 す る 経 路 は4本

の 成 分 の 和1+1+0+2=4か

あ る。

ら,A;高

尾 山

  (b) 

列成分の和 

第1列

の 成 分 の 和1+1+0+0=2か

る 経 路 が2本

あ る。

  (c) ij成

分 とji成 分 の 比 較  

2で あ る こ と か ら,B←

→Dと

う一 方 向 通 行 可 能 な 経 路 が1本

第2,4成

分 が3で

ら,Aに

到着す

あ る こ と,第4,2成

分 が

い う 両 方 向 通 行 可 能 な 経 路 が2本,B→Dと あ る 。 こ の よ う に,グ

い

ラ フ を 行 列 で 表 現 す る と,

経 路 の 個 数 が わ か る｡   次 に,有

向 推 移 行 列 の 積 の 意 味 に つ い て 考 え る 。 有 向 推 移 行 列 の 積 は,次

の よ

う に な る。

  例 え ば,積  

の 第2,4成

分 は

1×2+0×3+1×1+3×2=9

で あ る 。 そ れ は 図1.13に ど ってBか

らDに

お い てB→A→D,B→C→Dな

行 列 を2回

の ル ー トを た

至 る 経 路 の 本 数 を 意 味 して い る 。

図1.14 

  図1.14か

ど2つ

ら,B→ 

→Dと

Bか

らDへ

い う 経 路 が9本

か け た 積 の 行 列 に つ い て,そ

の ル ー ト

あ る こ と が わ か る 。 一 般 に,推

の 各 成 分 は2つ

移

の道 を経 る経 路 の本 数 を

意 味 して い る。

問7  上 に あげ た2つ の 推 移 行列 につ い て,次 の 各 問 に 答 え よ。

無向推移行列

 有向推移行列

(1)  有 向推 移 行列 の 第4行 の成 分 の和4は,何

を意 味 して い るか 。

(2)  各 推 移 行 列 の成 分 の総 和 を求 め よ。 そ の数 字 は何 を意 味 して い るか 。 (3)  有 向推 移 行列 と無 向推 移 行 列 は,対 角 成 分 につ いて どん な特 徴 が あ るか。 問8  次 の推 移 行 列 の積 を計 算 し,第1,1成

(1) 

分 の意 味 を 書 け。

積

(2)  意 味

図  1.15

[5]  コ ン ピ ュ ー タ の 利 用  あ る 経 路 の グ ラ フ を 推 移 行 列 で 表 し,さ 乗 を 計 算 し,そ   い ま,2地

らに コ ン ピ ュー タを利 用 して行 列 の累

れ を 活 用 して み よ う。

点a,bが

あ る。aか

bか

らaへ

の 経 路 が1つ

aか

らaに

戻 る経 路 が1つ

らb,

ず つ あ り,さ ら に あ る とす る。

  こ の 経 路 の グ ラ フ は 図1.16で,ま そ の推 移 行 列 は次 の よ うに表 され る。

た

図 1.16 表 1.12

こ の グ ラ フ で,aか

らaに

戻 る 経 路 の 本 数 を 数 え る と次 の よ う に な る 。

 

0個 の 辺;aか

ら動 か な い 経 路1つ

 

1個 の 辺;a→aと

 

2個 の 辺;a→a→a,a→b→aと

 

3個 の 辺;a→a→a→a,a→a→b→a,a→b→a→a

い う経 路1つ い う経 路2つ

と い う経 路3つ  こ こ で,例

え ば2個

の 辺 の個 数 は行 列Aの

図1.17 

 同 様 に,3個

の 辺 は 行 列A2とAの

グ ラ フ,行

積 で 表 さ れ る。

列の積

積 の 第1,1成

分 に な っ て い る。

  こ こ で,  A×A=A2,A2×A=A3, 

A3×A=A4,…, 

と 表 し た.An(n=2,3,4,…)の   行 列Anの

第2,1成

An=An-1A

こ と を 行 列 の 累 乗 と い う。 分 をanと

し て コ ン ピ ュ ー タ で 計 算 す れ ば,

 a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,… と な る。 こ の数 列 の こ と を フ ィボ ナ ッ チ 数 列 と い う。   フ ィ ボ ナ ッ チ 数 列{an}の

特 徴 は,前2つ

の 数 の 和 が,そ

の 後 の 数 に な る こ と

で あ る。 これ を

 an+an+1=an+2, a1=a2=1 の よ う に 表 し,こ

れ を 再 帰 関 係 式 ま た は 漸 化 式 と い う。

  こ の 行 列 の 積 を コ ン ピ ュ ー タ で 行 っ て み よ う。 た だ し,プ 行 列 の 積 を 行 え る よ う に(l×m行

列)×(m×n行

列)の

ロ グ ラ ム は一 般 的 な 計 算 を 行 う。

プ ロ グ ラ ム1.3

サ

ブ ル

ー

チ

ンmatread,matprint

は

プ

グ

ラ

ム1.1と

使

う 。

ロ

結 果1.行

結 果2.行

同

列BをAと

列BをA2と

一

の

も の

を

したとき

し た とき

図  1.18

  プ ロ グ ラ ム1.3で で,結

果1,2の

最 後 の2つ

のdata文

にA,  A2,  A3,…

よ う に行 列 の 累 乗 が 得 られ,そ

の 第2,1成

の成分 をお くこと 分 が フ ィボ ナ ッチ 数

列 にな って い る。 (注3)図1.18の

流 れ 図 に お い て,2重

ル ー プ を 意 味 す る 記 号(図1.19)は,

図1.19

を 表 す(図1.20)。

図1.20

まとめ

・行 列 は グ ラ フ とい う具 体 的 な事 象 を推 移 行 列 と して モ デ ル化 して 得 られ る。 ・行 列 の積ABの

第i ,j成 分 は,行 列Aのi行

の成 分 と行 列Bのj列

の成分 の

積 の和 と して計 算 す る。 ・行 列 の 積 は,そ の型 に よ って は定 義 さ れ な い こ とが あ る。 (k×l行

列)×(m×n行

列)でl=mの

と き積 が 計 算 で き る 。

 一致 (k×l行

1.3  数,式

列)×(l×n行

列)は(k×n)型

の 行 列 に な る。

の行列表 現

  行 列 に四 則 演 算 が あ る こ とか ら実 数 や 複素 数,さ

ら に は多項 式 を行 列 で表 現 す

る こ とを こ こで 試 み る。 そ れ に よ って別 々 の もの が 行 列 の 概 念 で ま とめ られ,行 列 の 表 現 を 借 りて これ らの 原 理 を 探 った り,他 の 概 念 に発 展 させ る ことが で き る。 [1] 

数の 行列表現

  数 を行 列 で 表 現 しよ うとす る と き,数 の 和 や 積 につ いて 似 た性 質 を もつ 行列 を 探 して そ れ を手 が か りにす る。 その ため に は数 や式 の演 算,お

よ び行 列 の基 本 的

な性 質 を比 較 す る必 要 が あ る。 こ こで は い くつ か の探 求 例 を あ げて 行 列 の 表 現 を 事 例 的 に示 そ う。   行 列 の和 と積 は,次 の よ うに計 算 され た。

  ・和

  ・積

 一 方 ,数 の加 法 お よ び乗 法 の演 算 につ いて の基 本 的 な性 質 は,次 の とお りで あ る｡   ・交 換 法 則 を 満 た す;a+b=b+a,ab=ba   ・結 合 法 則 を 満 た す;(a+b)+c=a+(b+c)  

(ab)c=a(bc)

  ・分 配 法 則 を 満 た す;a(b+c)=ab+ac   ・単 位 元0,1を

もつ;0+a=a+0=a,1a=a1=a

  ・aの 逆 元−a,a-1を   正 方 行 列 につ い て,数   (1) 

2×2行

もつ;(−a)+a=0,a-1a=1 と 行 列 と の 類 似 性 を 探 って み よ う。

列 の場 合

  ・加 法 の 単 位 元0に

は 零 行 列 が ,乗

零行列   ・数aをa×1と

法 の 単 位 元1に

は 単 位 行 列Eが

対 応 す る。

 単位行列 考 え る と,aは

次 の よ うな対 角 行 列 が 対 応 す る。

対角行列   ・数a ,bの

和a+bと

積abは,行

  対 角 行 列 に 対 す る加 法,乗 (後 者 はa≠0)で

列(a+b)E,abEに

法 につ い て のaの

あ る 。 よ っ て 数aは

行 列aEに

逆 元 は,そ 対 応 す る。

対 応 す る。

れ ぞ れ−aE,a-1E

(2) 

3×3行

  3×3行

列の場合

列 で は,加 法 の単 位 元 は零 行 列O,乗

応 し,数aは

法 の単 位 元 は単 位 行 列Eに

対

や は りaEと 表 され る。

 零行列

 単位行列

 ゆ え に,数aは

問9  2×2行

対角行列

で 表 され る。

列 につ いて 次 の各 性 質 が 成 り立つ こ とを 確認 し,こ れ を 用 い て 対 角 行 列 の

乗 法 につ い て の 交 換 法 則 を 導 け。 た だ し,a≠0と

す る。

[2]  複 素数 の行列 表現   複 素 数 は実 数a,bと

虚 数 単位iを 用 い てa+biの

数 単 位iは 方 程 式x2=−1の

解 を表 現 す る た め の記 号 で√−1と

実 際 に計 算 す る と きの特 性 はi2=−1だ   こ こで 虚 数 単 位iを2×2行  数−1は

行列

と す れ ばI2=−Eに

形 に 表 され る。 こ こに,虚

けで あ る。

列 で 表 現 す る こ と を考 え る。 で 表 さ れ た の で,例

な る。

え ば,

同 じで あ る。

 したが って 複素 数a+biは,

(1.2)

と表 され る。 ふつ う,実 数 が現 実 の数 で虚 数 が 本 来 存 在 しな い特 別 な 数 の よ うな 印 象 を受 け るが,行 列 で複 素 数 を 表 現 す れ ば

 実数aは

 虚数a+biは

の 形 を した 行 列 に な る。

問10  式(1.2)で r,sを 求 め,iに

は天 下 り的 に虚 数 単 位iを 行列Iで お いた 。 次 の 条 件 を満 たす実 数p,q, 相 当 す る他 の 行列 を調 べ よ。

[3]  整式 の行列 表現   整 式 に は,ax+byの

よ う な 同 時 一 次 式,ax2+bx+cの

よ うな 多 項 式 が あ る。

こ れ ら を 行 列 の 積 で 表 現 す る こ と を 考 え る 。 こ こ で 次 の よ う な1×3行 1行 列 の こ と を そ れ ぞ れ3次

行 ベ ク トル   (x

(1) 

y

の 行 ベ ク トル,2次

z)

列,2×

の 列 ベ ク トル と い う。

  列 ベ ク トル

1次 同 次 式 の 行 列 表 現

  2x+3yは

変 数x,yに

つ い て1次

式 の こ と を1次

の 同 次 式 ま た は1次

ax+byは,次

の よ う に1×2行

の 積 と して 表 さ れ る 。

だ け の単 項 式 か ら成 って い る。 こ の よ う な 同 次 式 と い う。xとyに

列(行

ベ ク トル)と2×1行

つ い て の1次 列(列

同次式

ベ ク トル)

 同 様 に して,2つ 2×1行

同 次 式ax+byとcx+dyは

はx,yの

列 と

  (ab),

係 数 を 取 り 出 し た 行 列 で あ る か ら,こ

う と,こ

れ を 係 数 行 列 と い う。 行 列 を 使

の よ う に 係 数 と変 数 を 分 離 して 表 現 で き る と い う よ さ が あ る 。 例 え ば, つ いて の連 立 方 程 式 は右 の よ う に行 列 で 表 され る。

問11  次 の 行 列 をx,y,zを

(2) 

次 の よ う に2×2行

列 の 積 と して 一 度 に 表 現 さ れ る 。

 行列

x,yに

の1次

成 分 とす る列 ベ ク トル と係 数 行 列 の積 で 表 せ。

2次 式 の 行 列 表 現

 行列 の 左 か ら行 列(x

y)を

 こ う し て,x,yに

 こ こ で,2つ

か け る と,

つ い て2次

の ベ ク ト ル(x

の よ う に 表 す 。 同 様 に,2×2行

だ け の 式 が 得 られ る。

y),

列

を 行 列 と して 考 え,

で は 第1,2成

分 と第2,1成

分 を 交 換 し た も の に な っ て い る 。 こ の と きBはAの

転 置 行 列 と い い,B=Atと

表 す。

 ax2+2bxy+cy2 は 転 置 行 列 を 用 い て,次

の よ う に 表 さ れ る 。 な お,こ

(3) 

形 式 と い う。

を計 算 せ よ。

問12  (1)  行 列  (2) xの2次

の 式 を2次

式ax2+2bx+cを,行

列 の積 で 表現 せ よ。

多項 式 の 導 関数 お よ び積 の 行 列 表 現

  い ま,3次

と2次

の 多項 式

(1.3) が あ っ た と す る 。 こ れ を 次 の よ う に 次 数 が そ れ ぞ れ4,3の

行 ベ ク トル で 表 現 す

る。

 定 数 項 の位 置  xの 位 置  x2の 位 置  x3の 位 置

  同 様 に してn次

多 項 式 は,n+1次

の 列 ベ ク トル で も 表 現 さ れ る 。

 定 数 項 の位 置   xの 位 置  x 2位置  x3 位 置  (a)  導 関 数   式1,x,x2,x3,x4,…

…

  式0,1,2x,3x2,4x3,…

に 対

し て,

…

を そ れ ぞ れ の 式 の 導 関 数 と い い,  

(1)'=0,(x2)'=2x,(x3)'=4x2,…

の よ う に 表 す 。 さ ら に,a,b,cを  

… 定 数 と し て,

(a+bx+cx2+dx3)'=0+b+2cx+3dx2

が 成 り 立つ｡   多 項 式(1.3)の

関 数 の 導 関 数,そ

の 行 ベ ク ト ル は 表1.13の

よ うに表 され る。

表 1.13

 関 数 か ら導 関 数 へ の 移 り変 わ り

を 行 列 で 表 す と,次

  こ こ に 表 さ れ た,関 D3が 零 行 列0に

の よ うにな る。

数 の ベ ク トル を 導 関 数 の ベ ク トル に 直 す 行 列Dは,累

な り,べ

き零 行 列 と呼 ば れ る。

乗

(b)  多 項 式 の 積 の 表 現 

次 に,多 項 式 の 積f(x)g(x)の

展 開式 を行列 の

積 で 表 現 して み よ う。

と 展 開 さ れ る か ら,  

f(x);(a,b,c,d)

と い う 表 現 を 生 か す と き,多

項 式 の 積 は 次 の よ う にg(x)の

係 数 を逆 に して 表 さ

れ る。

  例 え ば,(x+1)2=x2+2x+1は,次

の よ う に行 列 の 積 で 表 現 さ れ る。

  多 項 式 を ベ ク トル で表 し,多 項 式 を行 列 の積 で表 現 す る考 え方 は,離 散 数 学 の 母 関 数,有 理 論,特

限体 な ど で用 い られ る。 な お,多 項 式 の積 の行 列 表 現 は第6章

に サ イ ク リック コー ドを作 る と きの理 論 に用 い られ る。

の符 号

練習問題 1.3つ

の食 物 に お け る蛋 白質,脂 肪,炭 水 化 物 の100g中

の含 有 量 が 次 の 表1.14の

よう

に な って い る と い う。 表1.14

 

A君

が あ る昼 食 に カ レー を食 べ た と し,そ の カ レー に 肉80g,じ

ま ね ぎ90gが

含 まれ て いた とす る。 この と きA君

ゃが い も150g,た

が この 昼 食 で摂 取 した 蛋 白 質,脂

肪,

炭 水 化 物 の 量 を,行 列 を 用 いて 計 算 せ よ。 2.図1.21の

あみ だ く じを推 移 行 列 で 表 せ 。3回 これ を繰 り返す と何 も変 わ らな い こ と を

用 い て,こ の推 移 行 列 の逆 行 列 を求 め よ。

図1.21

3.図1.22の

経 路 を推 移 行 列 で 表 現 し,1行

の成 分 の和 の 意 味 を いえ 。 ただ し,矢

印の

な い辺 は両 方 向 に行 け る もの とす る。 ま た, 2回 の 経 路 を経 る推 移 行 列 を 求 めよ 。 4.xn,ynの 〓と

図1.22

漸 化 式 が次 の よ うに与 え られ て い ると き, 〓の 関 係 を 行 列 を 用 い て 表 現 し,x4,y4の

値 を求 め よ。

5.多

項式

 を ベ ク トル で次 の よ うに表 す と き,積f(x)g(x)を

行 列 で 表現 せ よ。

第2章  行列 と行列式   具 体 的 な 現 象 か ら離 れ て行 列 の 演算 を 一 般 的 な形 で 定義 し,基 本的 な性 質 を あ げ て,そ の 数 学 的 な 意 味 を紹 介 す る。 次 に,第3章

以 降 で 使 わ れ る こ とが 多 い特 別 な 形 の 行 列 を と

り あ げて,そ の 性 質 を 探 る。

2.1  行列の基本法則   行 列 の演 算 を定 義 し,そ の基 本 的 な性 質 を ま と めて み よ う。 [1] 

行 列 の 表 し方

  行 列 の演 算 を定 義 す る前 に,行 列 そ の もの を一 般 的 な形 で示 して お こ う。   ・型;m行n列

の行 列 をm×n型

の 行 列,n×n型

の行 列 を正 方 行 列 と い う。

 正方行列

  ・成 分;m×n行

列Aはmn個

の 数 か ら成 る が,こ

分 あ る い は 要 素 と い う。第i行j列 aij と 表 す 。特 に 第1,1成   ・ベ ク トル;1×n行

分,第2,2成

ひ とつ の こ と を 成

の 成 分 の こ と を 第i,j成 分,…

列 の こ と を 行 ベ ク トル,m×1行

と い う。

の1つ

分 と い い,

の こ と を 対 角 成 分 と い う。 列 の こ と を 列 ベ ク トル

  行 ベ ク トル(a1a2…an)

  列 ベ ク トル

  2つ の 行 列A,Bが

あ っ た と き,そ

い と き に,AとBは   例 え ば,次

の 型 が 一 致 し,か

等 し い と い い,A=Bと

つ そ の成 分 が す べ て 等 し

表す。

の 行 列 が 等 し い と き,a=b=1,c=3,x=5,y=7に

な る。

 ま た,

の よ う にaij=bjiに

な っ て い る と き,AをBの

転 置 行 列 と い い ,A=Btと

表 す。

  特 に,

で あ る。

[2]  対 称 行 列,交   行 列AがA=Atを と な る行 列Aを

代 行列 満 た す と き,行 列Aを

対 称 行 列 と い う。 ま た,A=−At

交 代 行 列 と い う。 交 代行 列 で はaii=−aiiだ

分 は0で あ る。

 対称行列 の例

か ら,そ の 対 角 成

 交代行列 の例

 の と き,対 称 行 列B=0.5(A+At),お

問1

C=0.5(A−At)を

よ び,交

代行列

求 め よ。

[3]  行 列 の 演 算 法 則   行 列 の和,差,実

数 倍,積 に つ い て の基 本 的 な性 質 を ま とめ て お こ う。

(1)  演 算 法 則   1.3節(第1章3節,以

下 同 じ)で 述 べ た よ うに,m×n行

あ った と き,そ の 和,差,数kの 列(bij)の

実 数 倍 が,ま たl×m行

列(aij),(bij)が 列(aij),とm×n行

積 が,次 の よ うに定 義 され る。

   行 列 の計 算 法 則 は数 の 計算 法 則 に依 存 し,数 と同 じよ うな演 算 法 則 が あ る。   ・和;(aij)+(bij)=(aij+bij)   ・差;(aij)−(bij)=(aij−bij)   ・実 数 倍;k(aij)=(kaij)   ・積;(aij)(bij)=(ai1b1j+ai2b2j+…+aimbmj)

  こ こで,行 列Aの て い る。 行 列Bに

第ij成 分aijを 行 列Aの

代 表 と見 て 行 列Aを(aij)と

つ い て も同様 で あ る。

(2)  行 列 の 積 の 交 換 法 則  次 の よ うな2×3型

  行 列A,Bの

の行 列Aと3×2型

積AB,BAを

計 算 し,交

の行 列Bが

あ った とす る。

換 法 則 に つ い て 考 え て み よ う。

表 し

と な っ て,成

分 が 一 致 し な い だ け で な く,型

ま で 異 な っ た 行 列 と な る。

  行 列 の 型 を 調 べ る と,  

A×Bで

は,(2×3行

 

B×Aで

は,(3×2行

列)×(3×2行

列)=(2×2行

列)

列)×(2×3行

列)=(3×3行

列)

に な っ て い る。 一 般 に,l×m行

列Aとm'×n行

と き に だ け 積ABが

果 はl×n行

定 義 さ れ,結

l×m行

列)×(m×n行

列Bが

あ る と き,m=m'の

列 にな る。

列)=(l×n行

列)

 一致

(3)  積 の 法 則   数 の積 に つ い て の 基 本 的 な 法 則 は,次 の よ うに ま とめ られ る。   ① 積 につ いて 閉 じて い る(積 の結 果,abも   ② 交 換 法 則;ab=baが

成 り立つ。

  ③ 結 合 法 則;a(bc)=(ab)cが   ④ 単 位 元1;a1=1a=aと   ⑤ 逆 元;a≠0の

数 に な る)。

成 り立つ。 な る1が あ る。

と きaの 逆 数a-1が あ り,aa-1=a-1a=1と

  これ らの 法則 は群 の 公 理 と よ ばれ,①

な る。

③ ④ ⑤ の法 則 を満 た す集 合 の こ とを 群

と い う。 さ ら に ② も満 た す 集 合 の こ とを可 換 群 と い う。   行 列 の積 の基 本 法 則 を,数 の基 本 的 な法 則 を も とに して 考 え る。 正 方 行 列A, B,Cの

場 合,次

  ①AB,BCな

の法 則 が成 り立つ。 ど は,ま た 正 方 行列 に な るか ら積 に つ い て 閉 じて い る。

  ② 結 合 法 則A(BC)=(AB)Cが   ③ 数 の0,1に

成 り立つ。

相 当 す る行 列 はそ れ ぞ れ零 行 列O,単

位 行 列Eで

あ る。

につ い て,数

  な お,数

と同様 の法 則 が成 り立つ。

で はab=0な

ら ば,a=0ま

た はb=0が

成 り 立 ち,こ

れを簡 約法

則と い う｡   一 方,行  

列 に は 次 の 性 質をもつA,Bが A≠O,B≠Oで

あ り,こ

れ を 零 因 子 と い う。

あ る がAB=O

  例 え ば,

と す る と,

に な る。   零 因 子 で は 簡 約 法 則 は 成 立 しな い か ら,行

列 で は 簡 約 法 則 は成 り立 た な い 。 し

た が っ て,  

A(B−C)=0 

 

A2=0 

な ら ばA=0 

ま た は  B=C

な ら ばA=0

と い った 推 論 を行 うこ と はで きな い。 (4) 

逆行列

  数aの あ れ ば,そ   数aの

逆 数 の 法 則 と 同 様 に,行 のBをAの

列Aに

逆 行 列 と いい,A-1と

逆 数aがa≠0の

つ い てAB=BA=Eと

な る 行 列Bが

表 す。

条 件 つ き で 存 在 す る よ う に,行

列Aの

逆 行 列 も条 件

つ き で 存 在 す る 。 逆 行 列 を もつ 行 列 の こ と を 正 則 行 列 と い う。 正 則 行 列 全 体 の 集 合 は 群 と な る が,可

換 群 で は な い 。 逆 行 列 の 計 算 に つ い て は2.3節

で述べ ること

に す る。  行 列 の和 と積 につ いて の基 本 法 則 を ま とめ て お こ う。 表2.1

  こ こに あ げ た和 と積 の演 算 法 則 を もつ集 合 の こ とを 体 とい う。 さ ら に,積 の 逆 元A-1を

もた な い が,残

列 は群,環,体

りの基 本 法 則 を満 たす よ うな 集 合 の こ とを 環 とい う。行

な ど,演 算 の構 造 を調 べ る の に適 した対 象 で あ る。

問2  次 の各 問 に答 え よ。  〓が 零 因 子 で あ る よ う に,数a,b,cの

(1)

(2)

2.2 

 〓でC2,C3を

求 め よ。

い ろ いろ な 行 列

  行 列 の 中 に は,あ 用 され る2×2行 [1] 

計 算 し て 逆 行 列C-1を

値 を定 め よ。

る条 件 を満 た す とお も しろ い特 性 を示 す こ とが あ る。 よ く利

列 を 中心 に,そ の よ うな特 性 を あ げ て み よ う。

いろい ろな行列

  零 行 列Oや

単 位 行 列Eは

何 乗 して も同 じO,Eで

あ る。 こ の よ うに,行

列で

は,和 や積 に つ い て 規 則 性 を もつ もの が あ る。 その規則 性 や形 の変 わ らない とい っ た 性 質 を うま く利 用 して 見 通 しを た て た り,固 有 値 な ど の理 論 を組 み立 て る こと が 行 列 で はよ く行 わ れ る。 こ こで は,正 方 行列 の規 則 性 に つ い て調 べ る。

(1)  対 角 行 列  対 角行 列 ど う しの和,実 数 倍,積 は や は り対 角 行 列 にな る。

  した が って,対 角 行 列 は和 や積 に つ い て 閉 じて い る。 ま た,対 角 行 列 で は積 の 交 換 法 則 が成 り立つ。

(2)  三 角 行 列  対 角成 分 よ り下 の成 分 が す べ て0で あ る行 列 を右 上 三 角 行 列,対 角成 分 よ り上 の成 分 が す べ て0で あ る行 列 を左 下 三 角 行 列 と い い,両 者 を三 角 行 列 と い う。

 右上 三角行列

 左下三 角行列

  三 角 行 列 ど う しの和,実 数 倍,積

もま た三 角 行 列 に な り積 につ いて 閉 じて いる。

次 に,対 角 成 分 が1の 三 角行 列 を考 え る。

と す る と,

(2.1) ・A=Bと

す れ ばa=b

 した が っ て,

  次 に,B=A2と

  以 下,同

して

様 に し てnが0以

上 の 整 数 の と き,次

の こ と が 成 り立 つ 。

  次 の項 にお いて これ を 多 項 式 で 考 え よ う。行 列 を 多項 式 で見 直 す と解 決 に見通 しが立 ち,ベ キ零 行 列 に関 連 づ け る こと もで き る。

[2]  行列 の多項式   正 方 行 列A,Bに て,次

つ い て,交

換 法 則AB=BAは

一 般 に成 り立 た な い 。 した が っ

の 等 式;

は 一 般の 行 列A,B,Xに   しか し,交

つ い て は 成 り立 た な い 。

換 法 則 が 成 り立つ よ う な 行 列A,B,Xに

つ い て は,こ

れ らの 式 は

文 字 式 と 同 じ よ う に 成 り立 つ 。   例 え ば,正

方 行 列Aと

単 位 行 列Eは

交 換 可 能;AE=EA=Aだ

か ら,次

等 式 が 成 り立 つ 。

の

〓だ か ら,こ

れ らの等 式 は さ らに簡 単 にで き る。

 式(2.1)の

三 角 行 列Aを

多 項 式 で 表 して み よ う。

と お け ば,

と表 さ れ る 。

  ここ で

だ か ら,n≧2の

とき

 ゆ え に,〓

 一 般 に

,

が 成 り 立つ(n=0,1,2,…

〓を,単 位 行 列

問3  三 角行列

和A=E+Pと

[3]

…)。

考 え て,A4を

〓と行 列

求 め よ。

小 行 列

  対 角成 分 を 境 に して 長 方 形 状 に0が 並 ん で い る行 列 の 積 を と って,そ 調 べ て み よ う。 行 列 は,行 や 列 につ いて 分割 して計 算 で き るが,0以

の特 性 を

外 の成分 が

長 方 形 に 並 ぶ よ うな行 列 につ いて も,次 の 例 の よ うな 規 則 性 が 見 られ る。

 こ こ に,

 した が っ て,

と お け ば,0ｔ=[000]で

 こ こ で,0t0=[0],a0t=0tB=[0 

  上 の3×3行

列 の 積 は,行

  こ の と き の0,0t,A,Bの

あ っ て,次

の式 が 成 り立つ。

0  0]

列 の 成 分 の 計 算 と 同 様 に して,次

行 列 の こ と を,も

の よ う に 書 け る。

と の 行 列 の 小 行 列 と い う。

問4  小 行 列 の計 算 を 利 用 して,次 の 行 列 の 積 を 求 め よ。

零 因 子 とべ キ 零 行 列

  A≠O,B≠Oで

あ る が,AB=Oで

次 の よ うな場 合,2つ

あ る行 列A,Bを

零 因 子 と い う。例 えば,

の行列 を と も に零 因子 とい う。

  ど の よ う な 行 列 が 零 因 子 に な る の か,2×2行

列 の場 合 につ いて調 べ てみ よ

う。

〔 例 題1〕2×2行

列 の 零 因 子 は,す

べて

の 形 で あ る こ と を示 せ 。

に な っ た と す る 。 た だ し,各

成 分 の 数 は0で

す れ ば,

 こ こ でb=ma,d=ncと

お く と,

 し た が って,m=nでb=na,d=nc,p=

 ゆ え に,行

列

 こ の 例 題 か ら,2×2行

と

列 の零 因子 は

q=−ns

はの 形 を して い る 。

ない

と

〔 解 〕 

と，〓

−nr,

[4] 

の 形 に な る こ と が わ か る。   次 に,こ き,各  

の2つ

の 行 列 が 同 一 で あ る特 別 な 場 合 を 調 べ て み よ う 。A=Bと

お

成 分 を 比 べ て み る と, b=c,a=−d,a=−ct,d=bt

 a,c,dをbで

表 して 行 列Aが

 こ の と き,A2を

だ か ら,確

得 られ る 。

計 算 す る と,

か にA≠Oで

あ っ て も 等 式A2=Oが

成 り立 っ て い る。 こ こで 数 と 行

列 の 違 いが 明 確 にな る。   ・数aで

はan=0の

と き必 ずa=0で

  ・正 方 行 列 で はAn=Oを   特 に,An=Oと

満 た すAで

あ る 。 つ ま り0の

累 乗 根 は0し

か な い。

零 行 列 で な い も の が 存 在 す る。

な る 行 列 を ベ キ 零 行 列 と い い,一

般 にn≧2の

と き,零

以 外 に も ベ キ 零 行 列 が 無 数 に あ る こ と が 上 の こ と か らわ か る 。   べ キ零 行 列 の例

べ き零 行 列 は,後 述 す る よ うに固 有 値 が0だ け と い う特 性 を もつ 。

行 列

〔 例 題2〕   ベ キ 零 行 列Aに

つ い て,A−Eは

〔 解〕   あ る 自 然数n≧2に

つ い て,

 一 方

,An−E=O−E=−Eだ

逆 行 列 を もつ こ と を 示 せ 。

か ら,A−Eの

−(An-1+An-2+…+A+E)

逆行列 は

,n=1の

と き は明 らか 。

問5  次 の行 列 はべ キ零 行 列 で あ る こ と を示 せ 。

(1)

 (2)

[5]  単 位行列Eの

累乗 根 とべ キ等行 列

 数 の虚 数 単 位iを 行 列 で表 現 す る と,〓 つ い て は,i2=−1,i3=−i,i4=1が

〓 =−E

成

,I4=Eが

 Iに 似 た 行 列 に つ い て,そ

 行列A=〓

を2乗

して み る と,次

A2=〓

  ゆ え に,A2=abE,ま 辺 を そ れ ぞ れab,b2=acで b=√acで

で あ った 。 虚 数 単 位iに り立 つ 。

推 定 さ れ る が,計

こ れ か

ら類 推

し てI2=

算 す る と 実 際 そ の よ う に な る。

の 性 質 を 探 っ て み よ う。

,B=〓

の よ うにな る。

, B2=〓

たb2=acと

 (2.2)

す れ ば,B2=b2Eに

割 れ ば 右 辺 はEに

割 る こ と と 同 じ で あ る。 そ の 結 果,

な る。 式(2.2)の

な る 。 こ れ はAを√ab,Bを

両

で はA2=E,B2=Eと

な る か ら,と

列 で あ る。 ま た,こ

れ ら にA,Bを

  な お,A2=Aと

も に 単 位 行 列Eの か け れ ばA3=A,B3=Bと

な る。

な る行 列 の こ と を ベ キ 等 行 列 と い う。 こ の 行 列 は 固 有 値 の 問

題 や 標 準 形 の 計 算 で 主 要 な 役 割 を 果 た し,ベ

問6 A2=Eと

「平 方 根 」 と い う べ き 行

キ 零 行 列 と密 接 な 関 連 性 が あ る 。

な る 行 列 は逆 行 列 を もつが,単 位 行 列 以 外 でA2=Aと

な る行 列 は,逆 行

列 を もた な い こ と を示 せ。

[6]群

の構造

  正 則 行 列 な ど,あ

る種 の行 列 につ いて はそ の 積 につ いて,次 の こ とが成 り立 ち,

積 の 基 本 的 な法 則 と い う。   ・閉 じて い る こと;積 の結 果 が 再 び も との 形 に な って い る。   ・結 合 法 則;積   ・単 位 元;積

の結 合 法 則 が 成 り立 つ;A(BC)=(AB)C

の単 位 元 は単 位 行 列Eで

  ・逆 元;正 則 行 列Aに

〔 例 題3〕

あ る。

つ いて は,積 の 逆 元 左A-1がた だ 一 つ 存 在 す る。

〓の形 の行 列 は積 につ いて 閉 じて い る こ とを 示 せ。

〔 解〕

 結 果 は ま た右 上 三 角行 列 に な る か ら,こ の行 列 は積 につ い て閉 じて い る。 〔例題4〕3×3型

〔解〕

の 対 角行 列 は交 換 法 則 を満 た す こ とを示 せ。

 〓 と お く。

 一 般 に,対 角 行 列Aは

積 につ いて 閉 じて お り,交 換 法 則,結 合 法 則 を 満 た す 。

ま た,す べ て の対 角 成 分 が0で

な い対 角 行 列Aで

は,

 〓の逆 行 列 が〓

とな る こ とか らわ か るよ うに,逆 行 列A-1が 列 全体 の集 合  Mは

存 在 す る。 したが って,次 の 対 角 行

可 換群 に な る。

 また,要 素 の 個 数 がn個 で あ る群 を 位 数nの 群 とい う。

〔 例 題5〕

行列

〔 解 〕

ゆ え にA,A-1の

〓は,積

に つ い て 位 数2の

〓と な る 。 し た が っ て,Aの

累 乗 全 体 の集 合 は{A,E}と

群 に な る こ と を示 せ 。

逆 行 列A-1はAと

な り,Aは

な る。

積 に つ い て 位 数2の

群 に な る。   積 に つ い て交 換 法 則 が成 り立つ 行 列 に は ど の よ うな もの が あ り,そ の 意 味 は何 か とい う問題 は,行 列 の計 算 と と もに問 題 の状 況 を考 察 す る必 要 が あ り,発 見 的

な探 求 が で き る。  例 え ば,1.3節

で は複素 数a+biに

全 体 の 集 合Mは,複

対 応 す る行 列

素 数 が 交 換 可能 で逆 数 を もつ の と 同様 に,交

換可能 な群 に

な る。 あ る特 殊 な 行 列 は,こ の よ うに積 に関 して群 を なす こ とが あ る。

問7

 〓の形 の行 列 の 集 合 は,可 換 群 で あ る こ とを 示 せ。 た だ しa≠0

ま た はb≠0と

し,逆

行 列 は 式(2.6)を

利用 せ よ。

2.3  基本 変形 と行列式   行 列 式 は,ク ラ ー メ ル の公 式 が示 す よ うに,も と も と連 立 方 程 式 の解 を う ま く 表 現 す る工 夫 か ら始 ま った。 こ こで は行 列 式 を 簡 単 な連 立 方 程式 につ いて定義 し, 同 じ考 え方 で 一 般 的 な場 合 に広 げ,基 本 変 形 を 用 いて 行 列 式 の 値 を 求 め る方 法 に つ いて 考 察 しよ う。

[1]  2次 の 行列 式   2元1次

連 立 方 程 式 を 解 く こ と は,数

学 の 問 題 を 解 く場 面 で よ く登 場 し,計

ミス の 非 常 に 多 い と こ ろ で もあ る。 そ こ で,問 つ い て は,そ

算

題 に登 場 す る個 々 の連 立 方 程 式 に

れ ぞ れ の 工 夫 で 最 も よ い 解 き 方 を し た りす る 。

  こ こ で は,コ

ン ピ ュ ー タ を 使 っ て で き る よ う に,一

般 的 な2元1次

連 立 方 程式

の 解 の 表 し方 に つ い て 考 え る 。   い ま,次

の よ う にx,yを

変 数 とす る2元1次

の 連 立 方 程 式 が あ っ た と す る。

(2.3)  こ の 連 立 方 程 式 の 解 き 方 は,ふつ  (1式)×5−(2式)×3と

して,

う 次 の よ う に す る。

 (1式)×4−(2式)×2と

し て,

 一 方 ,こ の連 立 方 程 式 を行 列 で 表 せ ば, (2.4)   連 立 方 程 式(2.3)の

解 の 分 母2×5−3×4を,式(2.4)の

行 列 と結 び つ け

て 次 の よ う に表 現 す る。

この と きの表 現  2×2型

〓の こ と を,行

の正 方 行 列Aの

列

〓の 行 列 式 と い う。

行 列 式 を2次 の行 列 式 とい い,￨A￨と

表 す。

  例 え ば,〓

 変 数x,yの

解 の分 子 に現 れ た数 も,行 列 式 で 次 の よ うに表 現 さ れ る。

  行 列 式 を 使 っ て 式(2.4)の

解 を 表 す と 次 の よ う に な り,こ

れ を クラーメ ルの

公 式 と い う。

(2.5)

〔 例 題6〕

行列

〔 解 〕Aの

逆行 列を

〓の 逆 行 列 を,ク

〓と お く と,逆

ラー メ ル の公 式 で 求 め よ。

行 列 の 条 件 はAB=BA=Eだ

っ

た か ら,

を連 立 方 程 式 で解 く。

を行 列 で 表 して,

よ っ て,次

の 式 が 成 り立つ｡

(2.6)

問8  次 の行 列A,Bの

[2] 

逆 行 列 を求 め よ。

3次 以 上 の 行 列 式

  2元 連立 方 程 式 の考 え方 を もと に,3元1次

の連 立 方 程 式 を 考 え る。 こ こで は

個 々 の 解 を 求 め る の で は な く,2元,3元,…

の1次

現 した い 。 後 の 議 論 の た め に定 数 項 を 文 字 でp,q,rと

連 立 方 程 式 を 同 じよ う に表 表す。

(2.7)

  連 立 方 程 式(2.7)か

らzを 消 去 す る。

ク ラ ー メ ル の 公 式(2.5)を

適 用 してx,yを

求 め る と,次

式 の よ う に な る。

(2.8)

  式(2.8)の

分 母 の 行 列 式 をDと

し,①

こ の か っ こ の 中 の 式 を 次 の よ う に表 し,3次

の 係 数1,4,7で

ま と め て み よ う。

の 行 列 式 とす る。

(2.9)

  式(2.9)で,成

分1,4,7と,そ

の小 行 列 式 の 位 置 関 係 は次 の よ うに な る。

3次 の行 列 式 は,2次

の 小行 列 式 を 次 の よ うに組 み合 わ せ て得 られ る。

式(2.8)に

お い て,xの

式(2.8)に

お け るyの

分 子 を 係 数p,4,7で

解 の 分 子 も同 様 に して

 〓 と な る か ら,式(2.7)の

こ こで 文 字p,q,rが

ま と め る と,

解 は,

分 子 の 行 列 式 に 縦 に き ち ん と並 ん で い る 。 こ の 式 か ら4

元 連 立1次

方 程 式 の 場 合 も予 想 で き る 。 これ が,関

孝和 や ク ラー メ ル の発 見 した

規 則 で あ った。

問9  次 の連 立 方 程 式 の解 を求 め よ。

 3次 の行 列 式 は次 の よ う に2次 の行 列 式 で 表 され,こ れ を もと に展 開 式 が 求 め られ る。

  こ の 最 後 の 式 の 符 号+−

は,図2.1で〓

方 向 の と き に+,〓

方 向の と きに

-を つ け る と い う規 則 性 が あ る。

図2.1  3次 の行 列 式

  4次 の 行 列 式 の 計 算 も,3次

の小 行 列 式 を用 いて 同 様 に定 義 され る。 小 行 列 式

の先 頭 に く る係 数 は行 列 式 の1行 目の 成 分a1,ｂ1,c1と 2行 目の 行 の 成 分a2,b2,c2な

い う選 び方 だ け で な く,

ど他 の行 の成 分 で も よ い し,列

の成分 で あ って

もよ い。 た だ しそ の場 合 に は,先 頭 の数 が 成 分aijの と き符 号 を(−1)i+jと 続 く小 行 列 式 を第i行 と第j列 を除 い た小 行 列 式 とす る。   例 え ば,

し,

 次 に,行 列 式 を用 いて 逆 行列 を 表 そ う。   式(2.6)か

ら行 列

〓の 逆 行 列 は,次

の よ う に 表 さ れ る。

 同様 に,次 の3つ の連 立1次 方 程 式(右 辺 はそ れ ぞ れ の列 ベ ク トル,左 辺 は 同 じ)

(2.10)

に ク ラ ー メ ル の 式 を 適 用 し,式(2.10)に

  なお,コ

お け る行 列Aの

逆 行 列 が 得 ら れ る。

ン ピュ ー タを用 い た別 の方 法 で逆 行 列 が簡 単 に求 め られ る。 こ こ にあ

げ た計算 は多 くの計 算 量 を必 要 と し,す で に過 去 の方 法 な ので 詳 しい説 明 は省 略

す る 。 あ え て や っ て み た い 向 き が あ れ ば,次

の問10,問11を

試 み られ た い。

問10  次 の 行列 式 の 値 を 求 め よ。

(1)

 (2)

 (3)

問11  次 の行 列 の逆 行 列 を求 め よ。

(1)

 (2)

[3]  行 列 式 の 基 本 的 な 性 質   3次 の行 列 式 を用 いて行 列 式 の基 本 的 な性 質 を あ げ て お こ う。 その意 味 を例 で, ま たそ の使 い方 を例 題 で示 す。

とす る と,次

の こ とが 成 り立つ｡

①  あ る 行(列)が

他 の 行(列)のk倍

②  あ る 行(列)の

成 分 にkを

③  あ る2つ

の 行(列)ど

④  あ る 行(列)に ⑤ ￨AB￨=￨A￨￨B￨で

① の 例〓

の と き￨A￨=0に

か け る と,行

列 式 の 値 はk￨A￨に

う し を 交 換 す る と−￨A￨に

他 の 行(列)をk倍 あ る。

な る。 な る。

な る。

して 加 え て も 行 列 式 の 値 は 変 わ らな い 。

② の例

④ の例

 行 列 式 の 値 を 求 め る と き,次 の よ うに性 質 を 利 用 し,0の 成 分 を作 り出 す。 〔 例 題7〕

次 の 行 列 式 の 値 を 求 め よ。

〔解 〕

 〓 1列 で 小行 列 式 に展 開

  な お,2番

目 の 行 列 式 で,第2行

と第3行

が 同 じ だ か ら結 果 が0に

な るなど と

して もよ い。

問12  次 の 行 列 式 の 値 を求 め よ。

(1)

 (2)

[4]  基 本変形   行列 式 の計 算 は,上 の基 本 的 な性 質 を使 って簡 単 な 形 に して い く。 特 に ①, ② の操 作 を基 本 変 形 とい う。 この よ うな操 作 を簡 単 な2×2行

列 で 示 し,3×3

行 列 や一 般 の行 列 に対 す る基 本 変 形 を類 推 す る。

 行列〓

に つ い て,基 本 変 形 を行 う行 列 を 求 め て み よ う。

(1)  行 お よ び列 をk倍 す る行 列

だか ら対 角 行 列

〓を左 か らか け る と,Aの1行

な り,右 か らこの 行 列 を か け る とAの1列 (2)  行 また は 列 を 交 換 す る 行 列

目 をk倍

す る基 本 変 形 に

目をk倍 す る基 本 変 形 に な る。

だ か ら,行

列

〓を左,右

か ら か け る と,そ

れ ぞ れ 行,列

を交 換 す る。

(3)  行 ま た は 列 を 実 数 倍 して加 え る 行列

(2.11) だ か ら,行

列

〓を 左 か ら か け る と,2行+1行

×k→2行

に な り,

〓を 右 か ら か け る と,2列+1列

×k→2列

の 操 作 と 同 じ に な る。

〔 例 題8〕3×3行 〔解 〕1行

列 で,(2列)×3+3列

→3列

は 何 も 変 化 しな い か ら,求

め る行 列 は

の 操 作 を 行 う行 列 を 求 め よ 。

 〓の 形 を し て い る｡

式(2.11)か

ら(2列)×3+3列

の 変 形 を 行 う行 列 に つ い て,

は〓の 形 を し て い る。

  こ う して3×3行 〔 例 題8〕

列 の基 本 変 形 の行 列 が2×2行

の 結 果 と基 本 的 な 性 質 ⑤;￨AB￨=￨A￨×￨B￨か

列 か らの 類 推 で 求 め られ る。 ら,

〓

 ゆ え に,行 列 の基 本 的 な性 質 ④ は3次 の行 列 式 で も成 り立 つ。

問13  (1)行

列〓

を,あ

る行 列 の右 か らか け た と きの 基 本変 形 を 示 せ。

(2)  ま た,こ の 基 本 変 形 と同 じ機 能 を果 たす3×3行

問14

列 を示 せ。

 〓を 基 本 変 形 で示 せ 。

[5]  階   数   行 列Aに 列,左

対 し て 基 本 変 形 を 行 っ て い く と,次

の よ う に 左 上 にr×r型

下 お よ び 右 下 に 零 行 列 が く る よ う に で き る。 数rは

よ ら ず 一 意 的 に 決 ま る 。 こ の と き のrをAの

 例 え ば,Oを

零 行 列,Eをn×n型

  階 数 の 特 性 と して,次

基 本 変 形 の や りか た に

階 数 と い い,r(A)と

の 単 位 行 列 と す る と,

  r(O)=0,r(E)=n の こ と が あ げ ら れ る。

の 単位 行

表 す。

・n×n行 列Aで

  Aの

  r(A)=nな

らAは

逆 行 列 を も ち,正

  r(A)＜nな

らAは

逆 行 列 を もた な い。

行 ベ ク トル は,n−r(A)〔

個 〕の も の で,残

則 で あ る。

り のr(A)〔

が 表 せ る。 列 ベ ク トル に つ い て も 同 様 で あ る 。 こ の と き,Aに トル がn−r(A)〔   次 に,行

個 〕あ る,ま

た は 自 由 度 がn−r(A)で

列 の 階 数 の 計 算 を 行 い,階

列 の 階 数 の 計 算 は,次

個 〕の 行 ベ ク トル は一 次 独 立 な ベ ク

あ る と い う。

数 と連 立 方 程 式 の 関 係 を 調 べ て み よ う。 行

の よ う に し て 行 う。

 行列〓

は,基

本 変 形;2行−(1行)×4→2行,お

さ ら に 基 本 変 形3行−(2行)×2→3行

 こ こ で,2次

 小行 列Bの  行 列Aを

よ び3行−(1行)×7→3行

で,

に よ って

の小 行 列 式

階 数 は2だ か ら,行 列Aの

階数 はr(A)=2と

な る。

係 数 行 列 とす る連 立 方 程 式 を 解 いて み よ う。

(2.12)

 2行−(1行)×4→2行,3行−(1行)×7→3行

と い う基 本 変 形 に よ っ て,

  3行−(2行)×2→3行

に よ っ て3式

の 式 が 未 知 数 を 決 定 す る 。 そ こ でzを

が0=0と

な っ て 消 え る か ら,上

の2つ

定 数 と し て,

(2.13) か ら解 は,zを

任 意 の 数 と し て,次

の よ う に表 さ れ る。

(2.14)

  こ の よ う に,3次

の 連 立 方 程 式 で 係 数 行 列Aの

連 立 方 程 式(2.12)の  

階 数 がr(A)=2で

あ る と き,

解 は,

3−r(A)=3−2=1個

  式(2.14)の

よ う に,1個

の ベ ク トル で 表 す こ と が で き,自

由 度1と

な る。

練習問題 1 . と お く。

 (1)  交 換 法 則AB=BAが  (2) ab≠0の  (3) A,Bの

成 り立つ こ と を示 せ 。

と き,Aの

逆 行 列 を 求 めよ 。

形 の行 列 は加 法,乗 法 に つ いて 閉 じて い る こ とを 示 せ 。

 *  (1),(2),(3)お

よ びA≠0,B≠0の

と き,逆 行 列 を もつ こ とか ら こ の形

の 行列 全 体 の 集 合 は体 を なす こ とが わ か る。 2. 次 の 行列 を あ る3×3行 るか。

列Pの

右 か らか け る と,列 あ る い は行 はPの

そ れ と ど う変 わ

(1)

 (2)

3.  う ま く工 夫 す る こ とに よ って 次 の 行 列 の 計 算 を せ よ。

(1)

 (2)

4.  行 列 式

5.  次 の行 列Aの

〓の値 を利 用 して,次 の連 立 方 程 式 を 解 け。

階 数 を 求 め よ。

第3章  連立方程式の解   最 小2乗 法 な ど,多

くの デ ー タか ら新 しい情 報 を得 る た めに,未 知 数 の 個 数 が5個

など

の 多元 連 立 方 程 式 を解 く こ とが あ る。 ま た,問 題 に よ って は,与 え られ た 連 立 方 程 式 に対 して一 定 の精 度 で近 似 解 を求 め る こ とが要 求 され る こ とが あ り,そ れ に応 じて い くつ か の 解 法 が あ る。 この章 で は,連 立 方程 式 の解 に つ い て の理 論 と解 法 の い く つ か に つ い て 探 る こ とに す る。

3.1  連立 方程式の行列表 現   連立 方 程 式 に は,解 が1通

り に決 ま る場 合 と,そ うで な い場 合 が あ る。 それ ぞ

れ の連 立 方 程 式 を行 列 とベ ク トル で表 現 す る しか た と,そ の利 用 方 法 につ いて, 具 体例 を も とに 考 え て み よ う。

[1]  2点 を通 る関数   い ま,次

の よ う な1次

関 数 と2次

関 数 が あ っ て,2点(1,2),(2,3)を

通 る こ

と が わ か っ て い る と し よ う。  1次 関 数;f(x)=mx+n  2次 関 数;g(x)=px2+qx+r

 1次 関数f(x)の

と き,次 の 連立 方程 式 を た て て係 数m,nの

値 を求 め る。

(3.1)   こ の 式 を 解 い てm=1,n=1が り に 決 ま る 。 しか し,2次

得 ら れ,2点 関 数g(x)の

を 通 る 直 線 はy=x+1と1通

場 合 は 多 くの 関 数 が で き る 。 こ の 関 数 群

を 方 程 式 で う ま く表 した い 。 そ れ に は ど うす れ ば よ い か 。

図3.1

図3.2

  2次 関 数g(x)にx=1,2を

代 入 して,連

立 方程 式

(3.2) が 得 られ,rを

定 数 と み てp,qを

  こ こでr=2tと   各tに 数tで

得 る。

お け ば,y=(t−0.5)x2−(3t−2.5)x+2t

つ い て2次

関 数g(x)の

グ ラ フ は,図3.2の

よ う に な る 。 こ の 式 は,変

決 っ て し ま う と い う 点 で 表 現 の よ さ が あ る。

  こ の よ うな 表 し方 を,行

列 と ベ ク トル で 考 え て み よ う。

[2]  連 立方程式 の表現;1次   連 立 方 程 式(3.1)は,行

関数

列 と 数 ベ ク トル で 次 の よ う に 表 さ れ る 。

  この 表 現 を も とに して,連 立 方 程 式(3.1)を

い くつ か の 方 法 で 表 して み よ う。

(1)  行 列 に よ る表 現

と お け ば,連   第2章

  Ax=yの

立 方 程 式(3.1)はAx=yと

で は,2×2行

両 辺 にA-1を

列 の 逆 行 列 を,次

表 され る。 の よ うに して求 め た。

か け て,A-1Ax=A-1yと

な る 。 し た が っ て,

  こ の 表 現 か ら,連 ば,x=A-1yと

立 方 程 式Ax=yの

解xは,も

し行 列Aに

一 意 的 に 決 ま る こ と が わ か る 。 こ の よ う に,行

に は,解 を一 次方 程式ax=bの

逆 行 列A-1が

あれ

列 の表 現

よ うに簡 潔 に表 す とい う表 現 の よ さが あ る。

(2)  列 ベ ク トル によ る表 現  連 立 方 程 式(3.1)は,列

ベ ク トル で

〓とす れ ば,上 の等 式 は

と 表 さ れ る。 そ こ で,

と 表 さ れ る。 こ の よ う に,ある をa,bの1次   な お,連

ベ ク トル を ベ ク トルa,bの1次

式 に 表 した もの

結 合 と い う。 立 方 程 式 の 解 はm=1,n=1と

面 上 で 示 せ ば 図3.4の

一 通 り に 決 ま っ た が,こ

れ を座 標 平

よ う に な る。

図3.3 図3.4

 この よ う に1次 結 合 の 表 現 で は,解 の有 無 が ベ ク トル で洞 察で きるよ さが ある。  (3)  行 ベ ク トル によ る 表現  連 立 方 程 式(3.1)は

行 ベ ク トル で,

(3.3)

と表 され る。   し た が っ て,行

列Aの

行 ベ ク トル をa1=(1,1),a2=(2,1),

〓と お け ば,

ま た,

と表 され る。   これ ら の 式 は,m+n=2,2m+n=3と

同 じ で,点(m,n)全

体 は,

 2直 線  x+y=2,2x+y=3 の 交 点 と な る 。 つ ま り,式(3.3)は2直

線 を 表 す 。 こ の よ う に,行

ベ ク トル で

の 表 現 は 図 形 の 方 程 式 を 表 す と い う 「よ さ 」 が あ る。

問1 

1次 関 数y=mx+nが2点(−1,0),(1,2)を

通 る と き,数

ベ ク トル

〓を 次 の しか た で表 せ。

〓を用いた表現

(1)  行 列

(2)  行 列Aの

列 ベ ク トル

(3)  行 列Aの

行 ベ ク トル

〓を 用 い た表 現 〓と,ベ

ク トルyの

成 分0,2を

用

い た表 現

[3]  連 立 方 程 式 の 表 現;2次   2点 を通 る2次 関 数g(x)=px2+qx+rは 合 に つ い て も,1次

関数 一 通 り に は決 ま らな い 。 そ の 場

関 数 と同様 な表 現 が で き るか試 み よ う。

  2次 関数 の連 立 方 程 式 は,次 の よ うに表 され た。

(3.2) (1)  行 列 に よ る表 現  連 立 方 程 式(3.2)は,行

列 で表 せ ば

 こ こ で,

と お け ば,Ax=yと  Aは い が,次 (2) 

表 され る。

正 方 行 列 で は な く,Aに

逆 行 列 は な い の でx=A-1yと

の工 夫 に よ って解 が表 され る。 列 ベ ク トル に よ る 表 現

  連 立 方 程 式(3.2)は,列

ベ ク トル で

と 表 さ れ る 。 そ こ で,

とお けば 連 立 方 程 式(3.2)は,

と表 さ れ る。 こ こ で,rを

定 数 と み な し た こ と を 思 い だ し て,

と し,行 列 を 使 って 表 現 す れ ば,

逆 行 列 を か け れ ば,

い う表 現 は で き な

(3.4)

 この関 係 を利 用 して ベ ク トル

〓をrで

表 し て み よ う。

だ か ら,

右 辺 のrを 変数tで お きか え れ ば,連 立 方 程 式

(3.5)

の解xは,次

の式 で表 現 さ れ る。

(3.6)

  こ う して,連

立 方 程 式 の 解 が 無 数 に あ る と き,ベ

簡 潔 に 表 現 さ れ る。 こ こ で,式(3.4)の

ク トル の1次

右 辺 でy=0と

結 合 で そ の解 が

お い た 式 を 考 え る。 い ま,

と す れ ば,

と な る 。x0は

右 辺 が0だ

け の 連 立 方 程 式(3.7)の

解(p,q,r)を

表 す。

(3.7)

 式(3.7)の

よ う に,左 辺 が0で あ る連 立 方 程式 を斉 次 方 程 式 と い い,そ

の解

とな る ベ ク トル を あ るベ ク トル の1次 結 合 で 表 した もの を基 本 解 とい う。

 この場 合 の基 本 解 は,

〓で あ る。 一 般 解xは

式(3.6)で

表 さ れ る が,

それ は こ の 基 本 解

〓の 和 でx=x0+x1と

 x1を 連 立 方 程 式(3.5)の

表 さ れ て い る。

特 殊解 とい う。 こ う して,連 立 方 程 式 の不 定 解 の 構

造 が列 ベ ク トル で 簡 潔 に表 現 され る。  図3.5か

ら,点(p,q)は

特 殊 解 の ベ ク トル

基 本 解 の ベ ク トル

〓に 平 行 な直 線 を なす こ とが わ か る。

図3.5

(3) 

〓の 終点 を通 り,

図3.6

行 ベ ク トル に よ る 表 現

  連 立 方 程 式(3.2)は,行

ベ ク トル で 次 の よ う に 表 さ れ る。

(3.8)

した が っ て,行

列Aの

行 ベ ク トル を

a1 =(1 ,1,1),a2=(4,2,1)

〓と お け ば,

 ま た,

と表 され る。 これ らの 式 は連 立 方 程 式

と な る が,そ

の 解(p,q,r)全

体 は 図3.6の

よ う に,座

標 空 間 上 の平 面

の 交 わ りの直 線 に な る。   一般 に,連 立 方 程 式(3.2)の

形 で表 さ れ る図 形 は,座 標 平 面 で は直 線,座

標

空 間 に あ って は平 面 とい うよ うに,座 標 の 次元 よ り も1だ け少 な い次 元 の 「超 平 面 」 にな る。 この よ う に,行 ベ ク トル に よ る表 現 に は図 形 的 な考 察 が で き る 「よ さ」 が あ る。 問2 

2次 関 数y=px2+qx+rの

グ ラ フ が2点(−1,0),(1,1)を

通 る と き,数

ベ ク

トル

を用 いて 次 の問 い に答 え よ。 〓を用 い て表 現 せ よ。

(1)  行 列

(2)  行 列Aの

列 ベ ク トル

(3)  行 列Aの

行 ベ ク トル

〓を 用 いて 表 現 せ よ。 〓と,ベ

ク トルyの

2を 用 いて 表 現 せ よ。 (4) p,q,rに

つ いて の連 立 方 程 式 の基 本 解,特 殊 解,一 般 解 を 求 め よ。

成 分0,

[4]  基本解 と特 殊解   連 立 方 程 式 の解 を基 本 解 と特 殊 解 で 表 す 方 法 を,さ

らに多 くの未 知 数 につ いて

行 い,そ の表 し方 に つ い て考 え る。 (1)  基 本 解,一 般 解   こ こで は,解 が 無数 に あ る場 合 の連 立 方 程 式 につ い て調 べ よ う。 〔 例 題1〕

次 の連 立方 程 式 の基 本 解,特 殊 解,一 般 解 を求 め よ。

〔 解 〕xの

係 数 を 消去 す るた め に行 の計 算 を 行 う。

 2式

−(1式)×2

 3式 −1式  4式

−(1式)×3

 これ か ら,4つ

の 方 程 式 は次 の2つ の方 程 式 と同 じに な る。

  上 式 の1式+(2式)×2か

ら,4個

の 変 数 の う ちx,yが

の よ う に 表 さ れ る 。 した が っ て 一 般 解 は,

残 り の 変 数z,uで,

こ こ で,基

〓特殊 解 は

本解 は

と な る。

(2)  行 列式 の 階数 と基 本 解   行 列 式 と未 知数,基 本 解 の個 数 の 関係 に つ い て調 べ てみ よ う。 〔例 題1〕

の係

数 行 列 につ いて,行 列 式,小 行 列 の 値 を 計算 す る。

の 行 列 式￨A￨の

値 は,2行

変 化 し な い の で,次

−(1行)×2→2行

とい うよ うな行 の操 作 に よ っ て

の よ う に 等 号 が 成 り立 つ 。

  2行−(1行)×2→2行,3行

−1行→1行,4行

う と,

 3行

−2行→3行,4行

−2行→4行

を 行 う と,

−(1行)×3→4行

を行

 した が って￨A￨=0で 数 は,r(A)=2と

あ る が,2次

の 連 立 方 程 式 は,事

か ら成 っ て お り,4個

の 変 数 の2つ,例

と 表 さ れ,し

た が っ て,基

実 上2つ

え ばx,yが

本 解 と し て2つ

,r(A)=r＜nの

が残 りの(n−r)個

と き,n個

の 方 程 式,

残 り の変z,uで,

の ベ ク トル が と れ る こ と か ら わ か る。

の 変 数 の う ちr個,例

え ば次 の解

の変数

の1次 式 と して 表 され る と き,基 本解 の ベ ク トル の個 数 は(n−r)個   さ らに,あ る連 立 方 程 式 の係 数 行 列Aが,￨A￨≠0な るが,￨A￨=0の

と き は解 が無 数 に あ る か,ま

とな る。

らば解 は た だ一 通 り決 ま

た は 解 が 存 在 しな い か ど ち らか

にな る。   特 に,￨A￨=0の

はx=0以

階

な る。

  ゆ え に,〔 例 題1〕

 一般 に

〓だ か ら,Aの

の 小 行 列式

と き,斉

外 の 解 を も ち,そ

次方程式

れ を基 本 解 で 表 す こ とが で き る。

問3  次 の連 立 方 程 式 の 基 本 解,特 殊解,一 般 解 を求 め よ。

ま とめ;こ の 連 立 方 程 式 に は次 の表 し方 が あ って,そ れ ぞ れ の よ さが あ る。   ・行 列 に よ る 表 現;Ax=b   ・列 ベ ク トル に よ る 表 現;a1x1+a2x2+…+anxn=b   ・行 ベ ク トル に よ る 表 現;ajtx=〔bj〕

,j=1,2,…,n

こ こ に,ajtは

列 ベ ク トルajの

  特 に 上 の2行

目 で は,解

転置 行 列 を と っ た も の とす る。

が 無 数 に あ る場 合 に つ い て は,基

本 解,特

殊 解,一

般

解 と い う ベ ク トル で そ の 解 が す べ て 表 さ れ る。

3.2  ガ ウスの掃 き出 し法   連 立1次 方 程 式 を解 く基 本 的 な 方 法 に,ガ ウ スの 掃 き出 し法 が あ る。 この掃 き 出 し法 の意 味,手 順 お よ び応 用 場 面 につ いて 探 る こ とに しよ う。

[1]  掃 き出 し法 の意味   前 節 で取 り上 げ た,2点(1,2),(2,3)を

通 る1次 関数y=mx+nに

つ いて の

連 立 方 程 式 を,係 数 を消 去 す る方 法 で 解 き,そ れ に対 応 す る行 列 の変 形 を行 う。

①  手 続 き1;mを

消 去 す る た め に2行

②  手 続 き2;2行×(−1)−1行

こ う してm=1,n=1が

−(1行)×2を

行 う。

を 行 う。

得 られ る。

  この よ うに,連 立1次 方程 式 の加 減 法 の 操作 を シ ス テ ム的 に行 う手 順 を ガ ウ ス の 掃 き出 し法 と い い,各 行計 算 の こ とを 掃 き出 し計 算 と い う。 また,掃 の う ち,右 上 三 角 行 列 を 作 る① の 操 作 を 順 行 演 算 と い い,右 位 行 列 を作 る② の操 作 を 逆 行 演 算 と い う。 〔 例 題2〕

次 の連 立 方 程 式 の 解 を,掃

き 出 し法 で 求 め よ。

き出 し法

上三 角 行 列 か ら単

〔解〕 行 列 に よ る操 作 と方 程 式 に よ る操 作 を 対 応 させ て,そ の 手 順 を 示 す 。

①  手 続 き1;2行

−(1行)×2→2行,3行

−1行→3行

② 手続 き2;3行+(2行)/3→3行

  以 上①,②

が 順 行 演 算 で あ る。 続 け て逆 行 演 算 を行 う。

③ 手 続 き3;3行×3/5→3行

④  手 続 き4;2行

−(3行)×2→2行,1行

⑤ 手続 き5;(2行)/3→2行

−(3行)×2→1行

⑥ 手続 き6;1行+2行→1行

 こ う し て,解x=−1,y=−2,z=1を

得 る。

  この よ う に,順 行演 算 で行 列 の対 角成 分(枢 軸)よ り,逆 行 演 算 の③,⑤

で対 角成 分 を1に

した後,④,⑥

り下 の成 分 が す べ て0に な で この 対 角 成 分 以 外 の

列 成 分 を0に す るよ う行操 作 を行 う。 掃 き 出 し計 算 で は,① ②で2行2列 の よ うに,掃

で1行1列

の 成分 を枢 軸 と し,そ れ よ り も下 の 行 の 成 分 を0に

の成 分 を,

して い く。 こ

き出 し計 算 は枢 軸 を 「か な め」 の よ う に扱 う。

問4  次 の連 立方 程 式 の解 を掃 き出 し法 で求 め よ。

[2]  掃 き出 し法 の手順   〔 例 題2〕 で順 行 演 算 の手 順 か ら,原 理 を探 って み よ う。 (1)  順 行 演 算  順 行 演 算 は,2行

お よ び3行 か ら1行 を実 数 倍 した もの を 引 くこ とで始 ま る。

① 2行 −(1行)×2→2行,3行−1行→3行

 この操 作 で 行 列 の1列 目の 掃 き出 し計 算 が 終 わ る。  次 に,2行2列

の成 分3を

−3で 割 っ た後,①

と 同様 な操 作 を第2列

目 につ い

 ①

て 行 う。

② 3行−2行/(−3)→3行

,②

の 操 作 で は,あ

て 枢 軸a11,a22よ

  な お,多

る 行 を 実 数 倍 し て 他 の 行 に 加 え た り,他

り も下 の 成 分 を0に

の行 か ら引 い

す る。

くの文 献 が そ うで あ る よ うに,本 書 で も順 行 演 算 で は対 角 成 分aiiを

1に まで 直 さず に お き,逆 行 演 算 で1に す る操 作 を 行 って い る。 しか し,対 角 成 分 を1に 直 す操 作 は,手 順 の順 序 につ い て交 換 法 則 が 成 り立 つ の で,い つ それ を 行 うか は あ ま り問 題 で はな い。 ま た,順 行 演 算 と い う用 語 は英 語 のdownsweep に あ た り,前 進 消 去 過 程,右 上 三 角 化 過 程 と い う場 合 もあ る。 (2)  逆 行 演 算   〔例題1〕

で は順 行 演 算 に よ って 次 の 式 が 得 られ た。 これ を も と に 逆 行 演 算 を

詳 し く調 べ て み よ う。

③ 3行×3/5→3行

 こ こ で は3行3列

の 成 分 を 枢 軸 に と り,z=1を

④ 2行 −(3行)×2→2行,1行

−(3行)×2→1行

得 て い る。

 こ の 方 程 式 で は1,2行

のzを

消 去 して い る 。

⑤ (2行)/3→2行

 こ こ で は2行2列

の 対 角 成 分 を1に

す る た め,2行

を3で

割 って い る。

⑥  1行+2行→1行

  この逆 行 演 算 の③ で は3行3列

の対 角 成 分 を1に

分 を0に す る操 作 を 行 う。⑤,⑥

も同様 な操 作 で あ る 。 こ う して 行 列 の 表 現 で

は,左 辺 に単 位 行 列 が で きてx,y,zの

し,④

は第3列

の残 りの 成

解 が 得 られ る。

問5  次 の三 角 行 列 か らな る連 立 方 程 式 の解 を,掃

き出 し法 の 逆 行 演 算 で 求 め よ。

[3]  掃 き出 し法の プ ログ ラム  順 行 演 算 と逆 行 演 算 の 手 順 で 掃 き出 し法 を行 う,流 れ図 とプ ログ ラムを次 のペ ー ジ に示 そ う。 た だ し,誤 差 に対 す る配 慮 や枢 軸 が0の 場 合 の処 置 は して い な い。   プ ロ グ ラム3.1は 次 の連 立 方 程 式 を 右 の3×4行

列 で 表 し,こ れ に ガ ウ スの 掃

き出 し法 を行 って解 を計 算 して い る。 この3×4行

列 を拡 大 行 列 とい う。

プ ロ グ ラ ム  3.1

図3.7

問6 

プ ログ ラム3.1を 用 い て,次 の連 立 方 程 式 の 解 を 求 め よ 。

[4]  掃き 出 し法 の工夫   掃 き出 し法 の 計 算 を コ ン ピュ ー タで 行 う とエ ラー を起 こす こ とが あ る。 そ の原 因 を 探 る と,次 の よ うな連 立 方 程 式 の 場合 で あ る こ とに気 づ くで あ ろ う。 ① 2文 字 が 消 え る。

(3.9)

② 行 が消 え る。

(3.10)

③ 定 数 だ けが 残 る。

(3.11)

 い ず れ の場 合 も,上 記 の 掃 き出 し法 を そ の ま ま適 用 す る と対 角成 分が0に な り, 0で 割 り算 を行 う こ とか ら,コ ン ピュ ータ で 計 算 の 続 行 が 不 可 能 に な る。  それ ぞれ の場 合 に つ い て,掃

き出 し法 の操 作 を 変 更 し,う ま くい くよ う に工 夫

しよ う。 (1) 

2個 以 上 の変 数 が 同 時 に消 え る場 合

  この 場 合,行

の交 換 を行 ってみ る。 例 え ば,上 の連 立1次 方 程 式(3.9)に

き出 し法 を 行 って み よ う。 ただ し便 宜 上,拡 大 行 列 を考 え る こ とに す る。

掃

・1列 の 掃 き 出 し;2行−1行→2行

  この 掃 き出 しで,2行2列

,3行

−(1行)/2→3行

の対 角 成 分 が0に な り,そ の ま まで は掃 き出 しが 続

行 で き な い。 しか し,3行2列

の成 分 は −5/2で0は

交 換 す る。 これ は,連 立 方 程 式 の2行

な い。 そ こで2行

と3行 を

と3行 を交 換 す る こ とを意 味 す る ので,ふ

つ う,行 列 は行 の交 換 は不 可 能 で あ るが,連 立方 程 式 の行 列 はか ま わ な い。

  この 場 合,2行

と3行 を交 換 した と ころで 右 上 三 角 行 列 が で き順 行 演 算 が 終 了

す る。   ・続 いて 逆 行 演 算 を行 い,3行

を3で 割 って 対 角 成 分 を1に

し,次 に3列

の成

分 で 対 角 成 分 以 外 を0に す る。   ・この 操 作 を 続 けて 行 けば,最 終 的 に左 に単 位 行 列 が で き て計 算 が終 了 す る。

(2)  あ る 行 が す べ て0に な る場 合  連 立1次 方 程 式(3.10)に

つ い て掃 き 出 し法 を行 って み よ う。

便 宜 上,こ

こで も拡 大 行 列 を 用 い る こ とにす る。

  ・この 拡 大 行 列 に 対 して2行

−(1行)×3→2行,3行

−(1行)×2→3行

と す れ ば,

  3行

−2行→3行

と す れ ば,3行

 この場 合,事 実 上2つ ・そこ で,2行

は す べ て0に

な る。

の方 程 式 だ けが 条 件 で あ る。 

か ら逆 行 演 算 を 行 う。

 2行×(−1)→2行

 1行−2行→1行

と す れ ば,

 よ っ て,

(3.12)

 ゆ え に,連

立 方 程 式(3.11)の

解 は,

x=−2z  こ の 解 を,前

に式(3.12)を

,y=z+2,zは

任 意 の実 数

節 の 基 本 解,特

殊 解,一

般 解 の を ベ ク トル で 表 現 し て み よ う。

変 形 し て 代 入 す る と,

〓特殊解 は

 ゆ え に,基 本 解 は

 一 般 解 は

〓と な り,

〓tは任 意 の実 数 にな る。

(3)  あ る 行 の 成 分 が 定 数 を 除 いて0に な る場 合  式(3.11)に

あ げ た例 につ いて,拡 大行 列 で 掃 き出 し法 を 行 って み る。

 2行

−(1行)×3→2行,3行

 3行

−2行→3行

と す れ ば,

−(1行)×2→3行

と す れ ば,

 3行 は定 数 の成 分 以 外 す べ て0に な る。  そ こで,前 節 で 取 り上 げ た行 成 分 の表 現 を 行 い,3行

の意 味 を考 え る。

(1)

は,0x+0y+0z=1 だ か ら,こ

の 方 程 式 を 満 た すx,y,zは

存 在 し な い 。 こ の よ う に,掃

途 中 で,あ

る 行 が 定 数 項 を 除 い て す べ て0に

な っ て し ま っ た と き,こ

き 出 し法 の の連 立 方 程

式 の 解 は 存 在 しな い 。

問7  次 の連 立 方 程 式 の解 を 掃 き出 し法 で求 め よ。 そ の際,行 の 交 換 な ど の工 夫 をせ よ。

(1)

(2)

(3)

[5]  掃 き出 し法 の適用   掃 き出 し法 は,単 に連 立 方 程 式 の解 を 計 算 す るだ けで な く,行 列 式 の値 を求 め た り,逆 行 列 を 計 算 す る こ と もで き る。 こ こで は,掃 き出 し法 を適 用 す る問題 場 面 を取 り上 げ,基 本 的 な性 質 と の関 わ りを 探 って み よ う。 (1)  行 列式 の 値   〔 例 題1〕

の連 立 方 程 式 に対 して,順 行 演 算 の掃 き出 しを次 の よ う に行 っ た。

 こ こで,対 角 成 分 の積

〓が

 行 列式

の 値 に な る。 そ の理 由 は,4.3節  行列 式 の 値 は,掃

のLU分

解 の と ころ で明 らか に な る。

き出 し法 を用 いて 容 易 に求 め る こ とが で き る。 プ ロ グ ラ ム

3.1で 逆 行 演 算 の 行 の 直前 に次 の プ ログ ラム を追 加 す る と,行 列 式 の 値 がdで 計 算 され る。

〓行列式 の値〓 (2)  一 度 に解 を求 め る  次 の よ う な問 題 が生 じた場 合,拡 大 行 列 を さ らに 拡 大 して 一 度 に解 を求 め る こ とが で き る。

〔 例 題3〕

次 の3つ の連 立 方 程 式 を同 時 に解 け。

〔 解 〕 次 の拡 大 行 列 に対 して掃 き出 し法 を 行 う。

 順項演算

 逆項演算

  列 ベ ク トル

が そ れ ぞ れ の解 で あ る。  この解 は,実 は 〔 例 題1〕

の連 立 方 程 式 で,2つ

の方 程 式

(3.13) の拡 大 行 列 に対 して 掃 き出 し法 を行 った行 列

の 列 ベ ク トル に な っ て い る 。

 な ぜ な ら,

と お け ば,連

立 方 程 式(3.13)は

と 表 さ れ る 。 こ の 等 式 の 両 辺 に 逆 行 列A-1を

か け て,

 こ の こ と か ら,

な ど に よ っ て,3つ

の連 立 方 程 式 のそ れ ぞ れ の解 と な る こ とが わ か る。

(3)  逆 行 列 の計 算  第2章

で は連 立 方 程 式 を ク ラー メ ル の公 式 で 求 め,そ れ を利 用 して逆 行 列 を求

め た。 こ こで は 同 じ連 立 方 程 式 を取 り上 げ,掃

き 出 し法 で 次 の 行 列Aの

逆 行列

A-1を

求 め る。

  前 項(2)で

は連 立 方 程 式 の解 を 同時 に求 め た。 こ こ で は,行

列 とす る3つ の連 立 方 程 式 の解 を同 時 に解 く。 す なわ ち,

と した解 を同 時 に求 め て み よ う。

に掃 き出 しを行 い,

 拡大行列

 し た が っ て,

 そ の理 由 は,3つ

両 辺 にA-1を

の連 立 方 程 式 を行 列 で表 せ ば,

か け れ ば,

列Aを

係数 行

とな るか らで あ る。  掃 き出 し法 を用 いて 行 列Aの

逆 行列 を計 算 す る に は,Aの

右 に単位 行列 を置

い た拡 大 行 列 につ いて 掃 き出 し法 を 行 え ば よ い こ とが わ か る。 問8  次 の 行 列 の 逆 行 列 を 掃 き出 し法 で 求 め よ 。

  な お,前 節 〔4〕 の プ ロ グ ラ ム に入 力 す る 方 法 は右 の よ うにdata文

で 行 う。

3.3  解の近 似計算   連 立 方 程 式 の 解 を 近 似 す る問題 は,掃

き出 し法 が うま く使 え な い特 殊 な行 列 な

ど に 対 す る工 夫 と して 発展 して きた。 そ の 源 は,ガ

ウス の誤 差 の研 究 に あ る と い

わ れ,近 似 と い う考 え 方 は特 異 な 発想 を必 要 とす る。 こ こで は,ガ ウ ス が用 い た 最 小2乗

法 を 用 いて,近 似 の考 え 方 を導 入 し,連 立方 程式 の近 似 解 に つ い て調 べ

よ う。

[1]  最小2乗 法   第1節

で は,2点(1,2),(2,3)を

通 る 直 線 を 求 め,そ

れが ただ 一 つ

で あ る こと を知 った。   こ こ で は5つ

の 点(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(4,0)を

た い 。 しか し,2点(2,3),(2,1)は,直

通 る直 線 を 求 め

線x=2上

を 通 る 直 線 は 存 在 し な い 。 「次 善 の も の と し て,条

に あ る の で,5点

のす べて

件 に 最 も近 い 直 線 は何 か 」。 こ

の よ う な 問 題 が 近 似 の 考 え 方 の 背 景 に な っ て い る。

図3.8

(1)  近似 の考 え方  直 線 で近 似 す る と きの,近 似 の考 え方 は次 の2つ で あ る。   ・5点 か ら最 も 「近 い 」 直 線 を 考 え,そ   ・5つ の 各 点 で 直 線 とy座

 一 方 ,2次

れ をy=px+qと

す る。

標 の 差 の 平 方 和 を と り 「距 離 」 をdと

す る。

式 の最 小 値 に つ い て の性 質 が,次 の よ うに して 探 求 的 に求 め られ る。

① 

(a1x+b1)2の

最 小 値 は,a1x+b1=0の

② 

(a1x+b1)2+(a2x+b2)2の

と きで あ る 。

最 小 値 は,

の と き で あ る。   実 際,展

開 式(a12+a22)x2+2(a1b1+a2b2)x+(b12+b22)に①

す る と,(a12+a22)x+(a1b1+a2b2)=0と ③ 

を適 用 な る。

(a1x+b1)2+…+(anx+bn)2の

最 小 値 は,

の と き で あ る。 こ の 性 質 は,偏

微 分 の 概 念 を 用 い て も導 く こ と も で き る。 しか し,

こ の よ う な ア プ ロ ー チ の 方 が 発 見 的 な お も し ろ さ が あ る。   さ て,上

の 問 題 のdに③

の性 質 を 適 用 しよ う。

 

・dをpの

式 と み た と き;

  ・dをqの

式 と み た と き;

 これ か ら,次 の連 立方 程 式 が で き る。

 これ を 解 い て,

こ う して 近 似 的 な直 線 が,次 式 の よ う に求 め られ る。

(3.14)   一 般 に,n個

の 点(ak,bk),k=1,2,…,nが

与 え ら れ た と き,こ

近 い と こ ろ を 通 る 近 似 的 な 直 線 をy=px+qと

す れ ば,平

れ らの 点 に

方 和;

を最 小 にす る条 件 か ら,次 の連 立 方 程 式 が得 られ る。

(3.15)  こ こ で,a1+a2+…+anを 2+a

Σak a1

22+…+an2を

  b1+b2+…+bnを  a 1b1+a2b2+…+anbnを

Σak2 Σbk Σakbk

とす る。  p ,qを

変 数 とす る連 立 方 程 式 を 解 け ば,近 似 的 な直 線y=px+qが

求 め られ

る。 こ の よ う に して,い

くつ か の ペ ア に な っ た 数 の 組(a,b)を

に 関 数 を 求 め る 方 法 を 最 小2乗 (2) 

も と に,近

似 的

法 と い う。

コ ン ピュ ー タの 利 用

  コ ン ピ ュ ー タ を 利 用 して,最 使 う こ と を 考 え て,次

の よ う な3×n行

  Aと そ の 転 置行 列Atの

こ の 行 列 の1行,2行

小2乗

積AAtを

の 行 列 は,上

る 。 そ こで こ の 拡 大 行 列 の2行   最 小2乗

法 を 行 っ て み よ う。 コ ン ピ ュー タ の 配 列 を 列Aを

と って み る と,次 の対 称 行 列 に な る。

の 連 立 方 程 式(3.15)の

y=px2+qx+rを,同

拡大行列 に な ってい

ま で 掃 き 出 し法 を 行 え ば,解p,qが

法 の 流 れ 図 と プ ロ グ ラ ム は,図3.9と

  こ の プ ロ グ ラ ム はm=1の

作 る。

プ ロ グ ラ ム3.2の

と き 直 線y=px+qを,m=2の 様 に3次

  2次 関 数 の 近 似 の と き は,行

得 られ る 。 よ う に な る。 と き2次

関数

以 上 の 関 数 で も近 似 で き る よ う に 作 っ て あ る 。

列Aを

と し,AAtの

第3行

まで を 拡 大 行 列 とす る 連 立 方 程 式 を掃 き 出 し法 で 計 算 し て

係 数p,q,rを

求 め る。 こ の連 立 方 程 式 を正 規 方 程 式 と い う。

プ ロ グ ラ ム3.2

図3.9

  プ ロ グ ラ ム を 実 行 す る と き,入 と し てdata文   最 小2乗

力 デ ー タ をm個

で 上 の プ ロ グ ラ ム3.2の

法 の 利 用 例 と して,第1章

る 中 ・高 男 子 生 徒 の 身 長xと

体 重yの

の 組(ak,bk),k=1,2,…,n

よ う に 入 力 し て 使 う。 の 肥 満 値 の 計 算 方 法 が あ る。 表1.5に デ ー タ を,

 

data 

 

data 

151.8,159.4,165.0,168.4,170.0,170.7

6,1

 

data 

44.0,49.3,54.7,59.7,61.5,62.8

と して 入 力 す る と,近 似 直線 は

お け

 y

=1

.0024x−109.279

と な る。 これ は,い わ ゆ る肥 満 度 と して身 長 か ら110を 引 く と標 準 的 な体 重 が 求 め られ る こ とを示 して い る。 この よ うに,最 小2乗 法 を 用 いて近 似 の考 え方 を適 用 す る 問題 場 面 は社 会 現 象 や 自然 現 象 の多 方 面 にわ た り,あ る変 数 を も とに予 測 す る こ とに利 用 され る。 問9 

5点(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(4,0)を

通 る2次

関 数 の 近 似 的 な 関 数 は,次

の式 に な る こ と を示 せ 。

[2]  誤 差の処 理   連 立 方 程 式 に対 して掃 き出 し法 を コ ン ピ ュー タで 行 うと き,連 立 方 程 式 によ っ て は丸 め誤 差 や桁 落 ち誤 差 が発 生 し,未 知 数 が多 い場 合 に はそ の 累積 に よ って信 頼 性 が 期 待 で きな い こと もあ る。 そ こで,誤 差 を少 な くす る工 夫 を して み よ う。 (1) 

5点 の移 動 と近 似 直 線

  掃 き 出 し法 で 連 立 方 程 式 を解 く場 合,3.2節

で み た よ うに,拡 大 行 列 の枢 軸 で

他 の成 分 を割 る計 算 を順 に行 って い く。 この と き,枢 軸 の値 が0に 近 い と き桁 落 ち が発 生 し,誤 差 が大 き くな る。   例 え ば,こ の節 の は じめ に取 り上 げ た図3.8の5つ に縮 小 し,次 にx軸 方 向 に1,y軸 て み よ う(図3.10で

〔例 題4〕

最 小2乗

(1.4,2.0)を

方 向 に2だ け平行 移 動 した5点

方 向 に0.1倍 につ いて考 え

は前 者 の5点 を× で,後 者 の5点 を・ で 示 した)。

法 で,5点(1.1,2.2),(1.2,2.3),(1.2,2.1),(1.3,2.2),

通 る近 似 的 な 直 線 を 求 め よ 。

〔 解 〕 近 似 直 線y=ax+bの 列 と して,掃

の 点 を,x軸

係 数 は,次 の行 列 の積 か ら得 られ る行 列 を 拡 大 行

き 出 し法 で 解 く ことが で き る。

と して 上 の プ ロ グ ラ ムを実 行 す る と

AAtを

掃 き出 し法 で 変形 した行 列Cは,

  直 線 の 方 程 式 は,y=−0.61545x+2.92310と 一致す る

な っ て 方 程 式(3.14)と

ほぼ

。

図3.10

(2)  誤 差 の原 因  も と の5点(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(4,0)を

通 る 近 似 直 線 は,

(3.16) で あ る。

 一方, この5点 をx軸 お よ びy軸 方 向 に1/10ず つ縮 小 し,そ の後,x軸 1,y軸

方 向 に2だ け平 行 移 動 した ものが 〔 例題4〕

の5個 の点 だ か ら,〔例題4〕

の直 線 の方 程 式 も式 の 上 で 同 じだ け縮 小,平 行 移 動 して,よ うに得 られ る。

方向に

り正 確 な式 が次 の よ

(3.17)   式(3.16)と

式(3.17)を

比 べ る と,定

こ の 誤 差 の 原 因 を 探 る た め,計

数 項 に 誤 差0.0766が

発 生 して い る。

算 過 程 を み る と次 の よ うに な って い る。

行列;(AAtの1,2行) に対 して,順 行演 算 で2行2列

の成 分 を計 算 す る とき,

と桁 落 ち が発 生 して い る。 そ して順 行 演 算 の結 果 は,次 の よ うに な る。

  ゆ え に,〔 例 題4〕 の デー タの よ うに違 い が あ ま りな い と き,掃 き 出 し法 を 行 う 過 程 で桁 落 ち が 生 じ,枢 軸aiiの 値 が0に 近 くな って 誤 差 が 発生 す る ことがわ か っ た。 (3)  枢 軸 選 び   掃 き 出 し法 の 操 作 を 工 夫 して 誤 差 が 少 な く な る よ う に し よ う。 順 行 演 算 を(k− 1)回 行 っ た と き,第k回 を 避 け る た め,第k列

目の 枢 軸 を ａkkに と る。 こ こ でakkが0に でk行

以 下 の 成 分aik,(j=k,k+1,…,m)の

が最 大 と な るlを 選 び,次 にl行 とk行 を交 換 して か らalkを 枢 軸 と し て 掃 き 出 しを行 う。   プ ロ グ ラ ム は,順 行 演 算 で 枢 軸 を 選 ぶ

の 前 に あ る2つ

のfor∼next文

の 間 に,次

の 操 作 を 追 加 す る。

近 くな る こ と 中 で,￨aik￨

w

=0  for

第k列 i=k

if

m 

の 成 分 の 絶 対 値 の 最

大 値 をw,そ

abs(w)
next if

to

then w=c(i,k)

の 行 をi1と

す る 。

:i1=i

i abs(w)>0.0001 for

j=k swap

next

then 

す べ て0な

ら,次

の 枢 軸 へ

ton c(k,j),c(i1,j) 

k行

とi1行

を 交 換

j

else end

(4)枢

if

軸 選 び の効 果

  〔 例 題4〕  

で 用 い た5点;

(1.1,2.2),  (1.2,2.3),  (1.2,2.1),  (1.3,2.2),  (1.4,2.0)

を 通 る 近 似 的 な2次 次 の3つ

関 数 に つ い て,こ

の 方 法 で 方 程 式 を 求 め,そ

  ①  正 確 な 方 程 式 を,問9の

の 行 交 換 の 効 果 を 調 べ て み よ う。 そ の た め れ らの 係 数 を 比 較 し て 誤 差 を 調 べ る。

グ ラ フ を 縮 小,平

行 移 動 し て 求 め る。

  ②   最 小2乗

法 で,枢

軸 選 びを 行 わ ず に係 数 を求 め る。

  ③   最 小2乗

法 で,枢

軸 選 びを 行 って係 数 を求 め る。

  (a)正

確 な 方 程 式 

を 通 る2次

関 数 の 方 程 式 は,

 

問9か

y=−0.45162x2+1.6774x+0.6451

こ の 関 数 の グ ラ フ をx軸,y軸 に+1,y軸

方 向 に+2だ

と な り,こ   (b)  大 行 列Aか

ら,5点(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(4,0)

方 向 に0.1倍

ず つ 縮 小 し,さ

ら に そ れ をx軸

方 向

け 平 行 移 動 す れ ば,

れ が 最 も正 確 な 方 程 式 で あ る 。

近 似 解  らAAtの

の 誤 差 はな い。

近 似 解 は,求 第1,2,3行

め る2次

関 数 をy=px2+qx+rと

お き,拡

が 次 の よ う に 計 算 さ れ る。 こ こ ま で は 桁 落 ち

図3.11

に つ い て,

  AAtの1,2,3行

① 枢 軸 選 び を行 わず に係 数 を求 め る。

 順行演算 の結果

 逆行演算 の結果

 近 似 関数 は,

と な る 。 た だ し,例

え ば1.92881E−4=0.000192881と

 ②  枢 軸 選 び を 行 っ て 係 数 を 求 め る 。

 1回 目の 掃 き出 し計 算 で,次 の行 列 に な る。

す る。

  2行2列

と2行3列

の成 分 を比 較 す る。

  0.051804＜0.082954だ

か ら2行

と3行

を 交 換 し,さ ら に 掃 き 出 し 計 算 を 行 う。

 逆行演算 の結果

 近 似 関 数 は,

  2つ の近 似 解 を正 確 な値 と比 較 し,相

表3.1(単

位1E−2)

対 誤 差 を求 め る と次 の よ うに な る。   表3.1か

ら,行 の交 換 で相 対 誤 差 が わ

ず か に減 少 して い る こと がわ か る。 これ らの計 算 は単 精 度 で 行 っ たが,倍 精 度 で 求 め る と,ほ ぼ 正 しい値 に な る。

[3]  特殊 な場合 の近似法   拡 大 行 列 が 左 下 三 角 行 列 の場 合,ま た そ の対 角成 分 の絶 対 値 が他 の 成分 の絶 対 値 よ り も大 き い と い う特 殊 な 場 合 の行 列 につ い て,解 の近 似 法 を 考 え よ う。 これ は,再 帰 的 な考 え を 使 う と こ ろ に特色 が あ る。 (1)  三角 行 列  次 の左下 三 角 行列 の 連 立 方 程 式 を考 え る。

こ の と き,1.2節

の フ ィ ボ ナ ッ チ 数 の 定 義 と似 た 次 の 再 帰 関 係 が 成 り立 つ 。

(3.18)

  各 対 角 成 分 が0で

な い と き,xkはk=1,2,…

  右 上 三 角 行 列 の 場 合 で も,式(3.18)に

の 順 に 求 め ら れ る。 似 た 再 帰 関 係 の 式 を も と に して 解 が 求

め られ る 。

プ ロ グ ラ ム3.3

・ サ ブ ル ー チ ンmatreadは 3.1を

結果

図3.12

参 照 の こ と

プ ロ グ ラ ム

(2)  ヤ コ ビの反 復法   ヤ コ ビの方 法 は,三 角行 列 の ア ル ゴ リズ ム を もと に して い る。 つ ま り,右 上 の 0の 成 分 が 相対 的 に0に 近 い と き,あ る い は対 角 成 分 の 絶 対 値￨akk￨が 分 の絶 対 値 よ り も大 きい よ うな特 殊 な場 合,式(3.18)の

他 の成

再 帰 関 係 と よ く似 た 次

の関 係 式 で 近似 す る。

  ・第1回

目は

,こ

の 式 でx1=x2=x3=…=xn=0と

し て 新 し いx1,x2,…,

xnを 求 め る 。   ・第2回

目 は ,こ

のxk,k=1,2,…,nを

上 の 式 に 代 入 し て 新 し いxkを

計 算

す る。   ・ これを 反 復 し

,上

の 条 件 を 満 た す 行 列 に つ い てxnを

あ る 値 に 近 づ け る。

こ う して 近 似 解 を 得 る方 法 を ヤ コ ビ の 反 復 法 と い う 。

 例 えば,連 立方程式

の 近 似 解 を 求 め る 関 係 式 は,次

こ こ で,n×(n+1)の

の よ う に な る 。 た だ し,x0=y0=z0=0と

拡大行列

す る。

プ ロ グ ラ ム3.4

ガ ゥ ス ・ザ イ デ ル 法 で は プ ロ グ ラ ム g・zで

は

・ ・ の4箇

所 を 修 正 す る 。

結果

図3.13 サ ブ ル ー チ ンmatreadは 3.1を

参 照 の こ と

プ ロ グ ラ ム

に つ い て ヤ コ ビの反 復 法 を適 用 し,近 似 解 を求 め る流 れ 図 と プ ロ グ ラ ムを 作 って み よ う。 な お,連 立 方 程 式 の定 数 の ベ ク トルbは 拡 大 行 列 の 第n+1列 また,プ

ロ グ ラム3.4の 注 釈 に あ るg・zは

にお く。

ガ ウ ス ・ザイデル 法 の 場 合 に 修 正 変

更 す る こ とを 示 す。   こ の手 順 の 中 でxk+1を 計 算 す る際 に,直 前 に計 算 して きたx1,x2,…,xkを 利 用 す る方 法 の こ とを ガ ウ ス ・ザイデル 法 とい う。   ガ ウ ス ・ザイデル 法 は,上 の プ ロ グ ラ ムで 指定 され た4箇 所 を修 正 あ る い は削 除 す れ ば よ く,こ の 方 法 で は配 列y(n)も

不 要 にな る。 さ らに,上 の実 行 結 果 が

示 す よ うに,ガ ウ ス ・ザイデル 法 は反 復 回 数 が 少 な い とい う利 点 が あ る。   な お,反 復 回 数 な どの 側 面 か ら,計 算 手順 を比 較 す る こ とを ア ル ゴ リズ ム の効 率 の問 題 とい う。 図3.14は2つ

の 方 法 に よ る解 の近 似 を,回

数 ご と に 比 較 した

もの で あ る。 この図 か ら,ほ ん の少 しの工 夫 が ア ル ゴ リズ ムの効 率 に大 き く結 び つ く こ とが わ か る。 この図 で は,ヤ

コ ビ法 の途 中 数 箇 所 で 誤 差 が大 き くな る現 象

が み られ,新 た な 問題 が生 じて い る。

図3.14

練習問題 1.  次 の 連 立 方 程 式 を掃 き 出 し法,ヤ

2.  行 列Aと

コ ビ法,ガ

ベ ク トル を次 の よ うに定 め る。

 ま た,A-1の

列 ベ ク トル をu1,u2,u3と

し,A-1=〔u1,u2,u3〕

 (1) e1,e2,e3をA,u1,u2,u3を  (2) u1,u2,u3を  (3) A-1を 3.  図3.15の

ウ ス ・ザイデル 法 の 各 方 法 で 解 け。

と す る 。 こ の と き,

用 いて 表 せ。

求 め よ 。(注 意:u1は

上 の 問 題1の

答 え で あ る。)

求 め よ。 よ う な 回 路 が あ り,各

流 をx1,x2,x3,x4,x5と ,x2,x3をx4,x5で

辺 の電

す る 。 こ の と き,x1 表 し,こ

の回路 の電

流 のす べ て を決 定 せ よ。

図3.15

第4章  行列の応用  行 列 の基 本 的 な 計 算 法 則 は具体 例 に あ て は め る と,い ろ い ろ な意 味 を もつ 。 この 章 で は, ベ ク トル と行 列 の 関 係 に つ い て考 察 し,次 に具 体 的 な事 例 に行 列 を適 用 す る。

4.1 

ベ ク トル と行 列

  こ こ で は,ベ

ク トル の 意 味,特

に 座 標 平 面 上 の ベ ク トル と,空

間座標上の ベク

トル の 意 味 に つ い て 考 え る こ と に し よ う。

[1]  数 ベ ク トルの意 味   数 ベ ク トル(a,b)や(a,b,c)は,そ と 大 き さ と い う意 味 を もつ の で,そ

れ ぞ れ 座 標 平 面 と空 間 座 標 上 で,向

き

の 計 算 に も意 味 が つ け 加 わ る 。 こ の よ う な 数

ベ ク トル と 行 列 の 関 連 を 探 ろ う 。

  数 ベ ク トル〓

を座 標 平 面 上 にお け る原 点O(0,0)か ま り,こ の ベ ク トル はx軸 方 向 にa,y軸

ら点A(a,b)へ

表 す とす る。

の 平 行 移 動 と考 え る。 つ

方 向 にbだ け平 面 全 体 を 移 動 す る量 を

(1)  矢 線 ベ ク トル  平 面 上 の あ る点Aか

らあ る点Bへ

が あ る とす る。 こ の量 をAを

の移 動 の よ うに,向

始 点,Bを

き と大 き さ を も っ た 量

終 点 とす る矢線 ベ ク トルABで

表す。

(2)  座 標 平 面 上 の ベ ク トル   数 ベ ク トル〓

は,座

標 平 面 上 で 始 点 を 原 点O(0,0),終

も表 せ る。 こ こで,原

点O(0,0)と

点A(a,b)と

点A(a,b)の

し た 矢 線 ベ ク ト ルOAで

距 離 をaの

大 き さ と い い,￨a￨

と表 す 。 す な わ ち,

(3)  座 標 空 間 上 のベ ク トル

  数 ベ ク トル〓

は,原

点O(0,0,0)を

始 点 と し,終

点 をB(a,b,c)と

ク トル と も考 え る こ と が で き る 。 こ の と きbの

(a)矢

線 ベ ク トル(b)座

  成 分 の 個 数 が2個,3個

き さ が0の

標 空 間 上 の ベ ク トル

ベ ク トル の 意 味

の 数 ベ ク トル は,こ

座 標 上 に お け る平 行 移 動 で あ っ て,そ   こ こ で,大

大 き さを 次 の 式 で 表 す 。

標 平 面 上 の ベ ク トル(c)座 図4.1 

す る座 標 空 間 上 の 矢 線 ベ

の よ う に そ れ ぞ れ 座 標 平 面,空

れ ぞ れ大 き さ と 向 き を もって い る。

ベ ク トル の こ と を 零 ベ ク トル と い い,0と

書 く。

間

 座標 平面で は

  ベ ク トルaが

〓，座標空間で は〓

あ っ た と き,大

き さ が 同 じ で 向 き が 逆 の ベ ク トル を 逆 ベ ク トル と

い い,−aと

表 す 。 さ ら に,ベ

ク トルaと

の こ と をaと

平 行 な ベ ク トル と い う。

向 き が 同 じか,ま

た は逆 の ベ ク トルb

[2]  ベ ク トルの 演算   数 ベ ク トル の 和,差,実 る い は,座

数 倍 の 計 算 は,行

列 の 計 算 と 同 じで あ る。 座 標 平 面 あ

標 空 間 上 の ベ ク トル の 演 算 の 図 形 的 な 意 味 に つ い て 考 え よ う。

  ベ ク トルa,bが

あ り,等

さ が 同 じ で あ る 。 ま た,数

号a=bが

成 り立 つと き,a,bは

移動 の 向 き と大 き

ベ ク トル で は,

 〓は,a=c,b=d

 〓は,a=d,b=e,c=f 図4,2

と 同 じ で あ る。

  数 ベ ク トル

〓 実 数kに

つ い て,そ

の 和,差,実

数倍

が 行 列 の場 合 と同 様 に定義 され る。

 ベ ク トルa,bの  こ こで,図

ク トル

和,差,実

数 倍 は 図4 .3の

よ う な 図 形 的 な 意 味 を もつ。

形 的 な 特 性 を も つも の と し て,実

数 倍 の ベ ク トル 全 体 を 考 え る。 べ

〓の実 数 倍 の ベ ク トル と して

〓を 作 り,kを 実 数 全 体

に わ た っ て 動 か す と き,ベ

ク トルkaの

終 点 は 常 に 原 点O(0,0)と

点A(a,b)を

(d

(a) 実 数 倍ka

(b)

) 差a−b

(e) 実 数 倍ka 図4.3  ベ ク トル の 演 算 の 意 味(座

結 ぶ 直 線OA上

(c) 和a+b

標 平 面)

に あ る。

  した が っ て,ベ

ク トルaとkaは

平 行 に な る。 こ こ で,零

ベ ク トル に平 行 で あ る と し て お け ば ,ベ

ク トルa,bが

ベ ク トル は す べ て の

平 行 で あ る と き,a=kb

とな る。

 3個 の成 分 か らな る数 ベ ク トル

a+b,差a−b,実

  特 に,ベ

ク トル

数 倍kaも

〓 実kに

つ い て,和

同 様 に定 義 さ れ,空 間座 標 上 で 同 様 な意 味 を もつ。

〓が平 行 で あ る と き,

a= kbと

な る 実 数k≠0が

あ り,

が成 り立 つ。

問1 

〓が平 行 で あ る と きp,qの

ベ ク トル

値 を求 め よ。 ま た,

そ の大 き さを 求 め よ。

[3]  ベ ク トル の1次 結合   こ こで は,ベ ク トル を基 本 的 なベ ク トル で表 す 可 能性 につ いて 探 り,行 列 との 関 連 を 考 え よ う。  ベ ク トル

〓と

〓は,座

ル で あ る 。e1,e2を

基 本 ベ ク トル と い う。

  任 意 の ベ ク トル

〓は,次

う にe1,e2を

ベ ク ト

のよ

用 い て 表 す こ と が で き る。

こ の と き,pをe1,e2に   次 に,あ

標 平 面 上 で 大 き さ が と も に1の

分 解 す る と い う。

る ベ ク ト ルpをe1,e2以

の ベ ク トルa,b(a≠0,b≠0)で

外 分解

図4.4 

ベ ク トル の分 解

す る こ と を 考 え る 。 ベ ク トルpが

と 表 さ れ た と き,pはa,bに

分 解 さ れ た,あ

る い はpはa,bの1次

結合 で 表 さ

れ た と い う。   こ こ で,1次

結 合 の し か た は 一 通 り な の か,基

べ て 表 せ る か,1個 る。

本 ベ ク トル2個

の 基 本 ベ ク トル で は 無 理 か,と

で ベ ク トル が す

い う問題 に答 え る ことにす

(1) 

1次 独 立

  例 え ば,基

本 ベ ク トルe1をe2だ

1=0,m=0で

矛 盾 が 生 じ る。 ま た,me1=ne2と

だ か ら,m=n=0と をe1だ

け で 表 す こ と を 考 え る 。e1=me2と

な る。 ゆ え にe1をe2だ

けで 表 す こ と も で き な い 。e1,e2以

況 に あ る と き,す

す れ ば,

け で 表 す こ と は で き な い 。 逆 にe2

外 の ベ ク トルa,bに

つ いて も同 じ状

なわち

 m a+nb=0な

ら ばm=n=0

と な る ベ ク トルa,bを1次   同 様 に,ベ

す れ ば,

独 立 とい う。

ク トルa1,a2,a3,…,anが

零 ベ ク トル で な い と き,

な らば,

と な る ベ ク トルa1,a2,a3,…,anを1次 ベ ク トル に つ い て の 性 質 に は ,次   (a) 

独 立 な ベ ク トル と い う 。1次

独 立 な

の よ う な 特 性 が あ る。

1次 独 立 な ベ ク トルa1,a2,a3,…,anは,互

い に 他 の ベ ク トル の1

次 結 合 で表 す こ とは で きな い。   (b) 

座 標 平 面 上 の1次 pは1次

独 立 な ベ ク トルa,bと

結 合p=ma+nbの

〓と し,

 こ こ でa,bが

す れ ば

つ い て,

形 で 一 意 的 に 表 す こ とが で き る 。

(証 明)  p=ma+nbと

任 意 の ベ ク ト ルpに

〓と す る 。

,

平 行 で あ れ ばa=kbで,こ

の と きad−bc=0と

な る。

 しか しa,bが

平 行 で な い の でad−bc≠0。

 お け ば,Aは

し た が っ て,

〓と

逆 行 列 を も ち,￨A￨≠0。

 の両 辺 に,こ の 逆行 列A-1を 左 側 か らか けて,

 こ れは,m,nが

一 意 的 に 決 ま る こ と を 示 して い る 。

(b')  座 標 空 間 上 の1次 pは,1次

結 合p=ka+lb+mcの

(b)  でa,bの b,cが

任 意 の ベ ク トルpに

つ いて

形 で 一 意 的 に 表 す こ と が で き る。

こ と を ベ ク トル の 集 合pの

基 底 と い う。 同 様 に(b')で

は,a,

座 標 空 間 上 の ベ ク トル の 基 底 と し て 選 ぶ こ と が で き る 。

  こ う し て,平

面 上 の ベ ク トル は2個

上 の ベ ク トル は3個 (2) 

独 立 な ベ ク トルa,b,cと

の1次

の1次

独 立 な ベ ク トル で,同

様 に座 標 空 間

独 立 な ベ ク トル で 一 意 的 に 表 さ れ る こ と が わ か る。

1次 従 属

 座 標 平 面 上 の ベ ク トル

〓で は2a+3b=0が

成 り立

つ 。 ま た,

では

(4.1) が 成 り 立 つ。 後 述 す る よ う に,こ

問2 合 と してp=ma+nbの

の よ う な ベ ク トル を1次

〓は1次 独 立 で あ る こ とを示 し, 形で表せ。

従 属 と い う。

〓をa,bの1次

結

[4]  1次 結 合 と行列式  ベ ク トル の1次 結 合 を行 列 で 表 して み よ う。

〓の1次

 座 標 平 面 上 の ベ ク トル

結 合p=ma+nbは,

(4.2) の よ うに行 列 で表 現 され る。 こ こ で,行

列

〓はa,b2つ

を 並 べ た 行 列[a,b]に

な っ て い る。

 座 標 空 間上 の1次 結 合 も同様 に行 列 の積 と して表 さ れ る。

  こ こ で,上

の1次

列A=[a,b]の

独 立 の 証 明 の 式(4.2)に 行 列 式 が￨A￨=0に

お い て,a,bが1次

な り,ま た,a,bが1次

従 属 な ら ば,行 独 立 な ら￨A￨≠0

で あ る こ とが 示 され た。   1次 結 合 式(4.1)の

関 係 は,1次

独 立 性 を 否 定 す る も の で,次

の形 で 示 さ れ

な る と き,a1,…,anを1次

従 属な ベ ク ト

る。

に お い て,2つ

以 上 のkiでki≠0と

ル と い う 。 こ の と き,1次

従 属 な ベ ク トルa1,…,anの

な す 行 列 式 は,

とな る。 この 特 性 は多 方 面 で 使 わ れ る。

〔 例 題1〕 合 で表 せ 。

次 の ベ ク トルa,b,cは1次

従 属 で あ る こ と を 示 し,cをa,bの1次

結

 

〔 解 〕 行 列式

  3列

〓に基 本 変 形 を行 う。

−(1列)×2→3列;

3列−2列

→3列

  し た が って,a,b,cは1次 り,c=2a+bと

 〔 例題1〕

か ら

従 属 で あ り,列

の 計 算 か らc−2a−b=0,つ

ま

表 さ れ る。

の よ うに,い

くつ か の ベ ク トル が あ っ た と き,そ れ が1次

従 属 か1

次 独 立 か を 判 定 し,1次 結 合 の係 数 を計 算 す る の に行列 式 が 使 わ れ る。

問3  ベ ク トル

r=kp+lqの

 ま た,

4.2 

〓が あ っ た と き,rをp,qの

一 結 合 で,

形 に表 す こ とが で き るか

。

〓で は ど う か 。

1次 変 換

 行 列 の 応 用 の 重 要 な柱 の1つ と して1次 変 換 が あ げ られ る。1次 変 換 は,行 列 を変 換 作 用 とす る ア イ デ ア に基 づ いて お り,LU分

解 や固 有 値 の 問 題 解 決 の基 本

とな る。1次 変 換 の具 体 場 面 と して座 標 平 面 や,座 標 空 間 上 の 点 や ベ ク トル を取

り 上 げ,そ

の 特 性 を 探 る こ と に し よ う。

[1]  1次 変 換   1次 変 換 は,行   い ま,カ 白 質,脂

列 と 数 ベ ク トル を 利 用 して そ の 全 体 像 を ま と め る こ とが で き る。

レ ー の 材 料 で あ る豚 肉,じ

肪,炭

水 化 物 の 量 が 表4.1で

ゃ が い も,た

ま ね ぎ,米

レ ー の 材 料 と して 豚 肉p,じ

〔g〕使 わ れ,蛋

白 質 がx,脂

肪 がy,炭

の蛋

表 さ れ て い る とす る 。 表4.1 

  こ こ で,カ

の 各100g中

(単 位g)

ゃ が い もq,た

ま ね ぎr,米s(×100)

水 化 物 がz〔g〕 あ る と す れ ば,

とい う式 が成 り立 つ。   こ こ で 成 分x,y,zは

定 数 項 の な いp,q,r,sの1次

関 数 に な っ て お り,行

列 と数

ベ ク トル を 用 い て 次 の よ う に 表 現 さ れ る。

 行 列 と数 ベ ク トルを 用 いて,こ の よ うな形 で表 現 さ れ る よ うな対 応 関 係 の こと を1次 変 換 と い う。 座 標 平 面上 の点 の移 動 で1次 変 換 に な る例 を あ げ て お こ う。 〔 例 題2〕

座 標 平 面 上 の点A(x,y)が,直

線y=2xに

関 して対 称 に 移 動 す る1

次 変 換 を求 め よ。 〔 解〕

点(x,y)が

対 称 移 動 で(x',y')に

移 った とす る。

と な る が,こ れ をx',y'に

つ い て 解 け ば,

図4.5

と な る。 こ の 対 称 移 動 に よ る 点 の 対 応(x,y)→(x',y')は,次

の1次

変 換で 示

さ れ る。

(1)  1次 変 換 の 定 義 と表現  座 標 平 面 上 の点 の移 動(x,y)→(x',y')が

(4.3)  行列 で (4.4) と い う関 係 で 行 わ れ る と き,x,yか

 1次 変 換 の 式(4.3)は

らx',y'へ

式(4.4)の

の 対 応 関 係 は1次

行 列 で 表 さ れ る の で,1次

変 換 にな る。

変換

い うい い か た をす る。   座 標 空 間 上 の 点(x,y,z)が か らx',y',z'へ

次 の 関 係 で 点(x',y',z')に

の 対 応 関 係 も1次

変 換 に な る。

移 動 す る と き,x,y,z

〓と

行列 で

  た だ し,点(p,q)に

関 す る対 称 移 動 の よ うに,1次

変 換 の 移 動 と平 行 移 動 を

あわ せ た 移 動 に よ る対 応 関 係 は ア フ ィ ン変 換 とい い,次 の よ う に表 され る。

〓行列 で〓 (2)  1次 変 換 の合 成,逆 変 換   点(x,y)を(x′,y′)に   次 に,こ

移 動 す る1次

の 点(x′,y′)を(x″,y″)に

変 換 をfと

し,そ

移 動 す る1次

の 行 列 をAと

変 換 をg,そ

し よ う。

の 行 列 をBと

す る。

f,gを

続 け て,点(x,y)を(x″,y″)に

と い い,そ

移 動 す る1次

の 行 列 は次 の よ う に 行 列 の 積BAと

  し た が っ て,1次

変 換A,Bを

  特 に,合

成 変 換f,gを

す れ ば,こ

の1次

変 換 をfとgの

して求 め られ る。

こ の 順 に 行 う 合 成 変 換 は,1次

行 っ た と き,点(x,y)が

な り,B=A-1と

変 換BAに

再 び(x,y)に

変 換 は 移 動 を 行 わ な い こ と に な り,そ

〓と な る 。 こ の と きBA=Eと

合 成変 換

な る。 な った と

の 行 列 は単 位 行 列

表 せ る 。gをfの

逆

変 換 と い う。

  ・1次 変 換 は行 列 で 表 され ,行 列Aの1次   ・1次 変 換A ,Bを   ・1次 変 換Aの

変換 を 「1次 変換A」

この 順 に合 成 した1次 変 換 は行 列 の積BAに

とい う。 な る。

逆 変 換 はA-1に な る。

問4  座標平面上 で,y軸 に関す る対称移動 の1次 変換 を行列 で表 せ。 座 標空 間上 でy軸

 に 関 す る対 称 移 動 は ど うな るか 。

図4.6 図4.7

[2]  基本 ベク トル の利用   一 般 の 点(x,y)の

移 動 で 決 定 が 困 難 な1次 変 換 も,基 本 ベ ク トル の 移 動 で 簡

単 に決 ま る。 この 考 え方 で 回転 移 動 の1次 変 換 を調 べ てみ よ う。 (1)  線 形性 の原 理  ベ ク トル

に対 して1次 変 換

 こ の と き,実

 1次 変 換 をfと

〓を 行 う とp,qは,

数m,nに

し,ベ

つ い て,1次

ク トルpの

結 合mp+nqの1次

移 動 をf(p)で

変 換 を 考 え る と,

表 現 す れ ば,こ

の性 質 は

とな る。 この性 質 を線 形 性 の原 理 と い う。   特 に,基

〓が,あ

本 ベ ク トル

に移 った と き,こ の1次 変 換 の 行 列Aは

る1次 変 換fで

ど うな るか 考 え て み よ う。 線 形 性 の原

理 か ら,

 し た が っ て,

〓つ ま りAは

次 の よ う に 一 通 り に 決 ま る。

(4.5)  同 様 に,座 標 空 間 にお いて も,あ る1次 変換fで3つ

の基 本 ベ ク トル

が,

に 移 る と き,fは

行 列

〓 で 表 さ れ る。 つ ま り,

(4.6)  よ って1次 変 換 の行 列 は,基 本 ベ ク トル を1次 変 換 で 移 動 した ベ ク トルで 作 ら

れる 。

(2) 

応

用

  1次 変 換 を 利 用 して,座 標 平 面 上 で の 光 の 入 射 と反 射 の 問 題 を解 決 して み よ う。  座 標 平 面 の第1象 限 に光 が 入 射 し,x軸 ど うな るか,ベ

に反 射 して か らy軸 に反 射 して 戻 る と

ク トル と1次 変 換 で 探 る こ と にす る。 〓とす る。x軸,y軸

 入 射 の光 線 を ベ ク トル

に 関 す る対 称 移 動 の 行 列

A,Bは,

  光 がx軸,y軸

の順 に 反 射 す るか ら,

そ れ ぞ れx軸,y軸

に関 す る対 称 移 動 を

行 い,合 成 変 換 を 行 う とベ ク トルaは, 次 の よ うに 逆 ベ ク トル−aに

  し た が っ て,入

変 わ る。

射 し た 光 線 は,反

射 で

図4.8  光 の 反 射(平

面)

は 逆 向 き に な る こ とが示 さ れ た。

問5  光 線 がy軸,x軸

の順 に反 射 した場 合 で もaは

−aに 移 る こ とを示 せ。

[3]  回転の1次 変 換   基 本 ベ ク トル の 考 え 方 を 用 い て 原点 の ま わ りの 回 転 移 動 の 行列 を求 め,そ れ を 用 い て三 角 関数 の 基 本 的 な性 質 を ま とめ よ う。 (1)  回転 の 行 列   基 本 ベ ク トルe1,e2を

原 点 の ま わ り に θ回 転 す る と,次

の よ う に な る。

  原 点 を 中心 に して θ回転 す る1次 変 換 は,式(4.5)か

ら次 の 行 列Aで

表

さ れ る。 図4.9  回 転 移 動

(2)  三 角 関 数 の 基 本 的 な 性 質   回 転 の行 列 に1次 変 換 の 合 成,逆 変 換 の考 え を組 み 合 わ せ る と三 角 関 数 の基 本 的 な性 質 が 次 の よ う に ま とめ らる。 こ の性 質 は,後 の 節 で利 用 す る。   (a)  加 法 定 理 

原点 のまわ りに角α,続 けて β回 転 す る と角α+β

の回 転 に

な る。角α,続 けて β回転 す る移 動 は角α,角β の合 成 の1次 変 換 で 表 され るか ら,

 したが って,三 角 関 数 の 加 法 定 理 が 次 の よ う に導 か れ る。

  (b)  倍 角 公 式  加 法 定 理 で,β=α

角α,続

けて α回 転 す る と角α+α=2α

とお け ば倍 角 公 式 が 導 か れ る。

  (c)  負 の角

 行列

〓の逆 行 列 は,〓

  Aの 逆 変 換 は角 − θの回 転 移 動 だ か ら,

の 回転 に な る。

  し た が っ て,負

の 角 の 公 式 が 成 り立 つ 。

  ・cos(−

θ)=cosθ

  ・sin(−

θ)=−sinθ

  (d) 

補 角 の公 式  

原 点 を 中 心 に90° 回 転 し て か ら− θ 回 転 す る と,補

角

90° − θの 回 転 に な る。

これ が

に な る か ら補 角 の 公 式 が 成 り立 っ。   ・cos(90°−

θ)=sinθ

  ・sin(90°−

θ)=cosθ

〔 例 題3〕

直 線y=mxに

関 す る 対 称 移 動 の1次

〔 解 〕m=tanθ

と す れ ば,こ

こ の 対 称 移 動fで

基 本 ベ ク トルe1,e2は

  式(4.2)か

の 直 線 とx軸

変 換 を 表 す 行列 を求 め よ。

の 正 の 方 向 と の な す 角 は θ に な る。

次 の ベ ク トル に移 る。

ら,直 線y=(tanθ)xに

関 す る対 称 移 動 を 表 す 行 列 は, 図4.10

  特 に,〔 例 題2〕

のy=2xに

関 す る 対 称 移 動 で はtanθ=2と

な る。 こ こ で 三

角 関 数 の 基 本 的 性 質 か ら,

 倍 角 公 式 か ら,

こ う し て,〔 例 題2〕

の式 が導 か れ る。

問6  原 点 の ま わ りに60° 回転 す る1次 変 換 の行 列Aを 称 移 動 す る1次 変 換 の行 列Bを

[4] 

求 め,直 線y=√3xに

関 して対

求 め よ。

道路 の反射板

  夜 に道 路 を車 で走 る と,自 分 の ヘ ッ ドライ トが 常 に反 射 す る反 射 板 が あ る。 こ れ は,座

標 空 間 で 原 点 と(1,0,0),

(0,1,0),(0,0,1)で 形 の,小

作 る四面 体 と同 じ

さ な四 面 体 の 内側 を反 射板 に し

て 無 数 埋 め 込 ん だ も の で あ る。 そ の 原 理 は,任

意 の 方 向 か ら 入 射 し た 光 がyz平

面 に 反 射 し,次 後 にxz平

にxy平

面 に 反 射 し,最

面 に 反 射 す る と き,こ

の光 の

方 向 と始 め に 入 射 し た 光 の 方 向 が 逆 に な る こ と に あ る。 図4.11 

座標空間 での反射

図4.12 

  基 本 ベ ク トルe1,e2,e3を,そ 称 移 動 す る と表4.2の

道路の反射板

れ ぞ れyz平

面,zx平

面,xy平

面 に 関 して 対

よ うに な る。

  yz平 面 の 対 称 移 動 で は基 本 ベ ク トルe1=

〓を〓 に移 す が,他 の 基 本

表4.2

ベ ク ト ルe1=〓

らな い。

は変 わ

とe2=〓

し た が っ て,そ

の1次

変換 は

と表 され る。

 同様 に,zx平 よ う に な る。

面,xy平

面 に関 す る対 称 移 動 に対 応 す る行 列Azx,Axyは,次

の

Ayz,Azx,Axyは

対 角 行 列 だ か ら,ど

と な る 。 こ れ はyz平

面,zx平

で あ る 。 こ の 合 成 変 換 で,任 え に,入

面,xy平

の 積 も交 換 可 能 で あ り,3つ

の 積 は,

面 に つ い て の対 称 移 動 の合 成 変 換 の行 列

意 の ベ ク トルpは

必 ず 逆 ベ ク トル −pに

移 る。 ゆ

射 した光 は必 ず 逆 方 向 に向 か う こ とに な る。

問7  座 標 空 間 上 で,ベ

最 後 にzx平

[5] 

の2つ

ク トルp=〓

面 に 反 射 す る と き,ベ ク トルpは

と同 方 向 で 入 射 した光 が,xy平

面,yz平

面,

どの よ う に変 わ って い くか 。

フ ラクタル

  座 標 平 面 上 の点(x,y)を

次 の規 則 で(x',y')に

移 す 移 動 の こ とを ア フ ィ ン変

換 とい う。

行列 で   一 方,あ

る図 形 は,そ れ と相 似 な形 が いく ら縮 小 して も現 れ る こ とが あ る。 そ

の よ う な形 の こ とを 自 己相 似 形 ま た は フ ラ ク タ ル とい う。 フ ラ ク タル を ア フ ィ ン 変 換 の 合 成 で 分 析 す る と,次 の操 作 に分 類 で き る。

  ・拡 大 縮 小:図

形 の 縮 尺 を変 え る。

  ・平 行 移動:点

を 一 定 の方 向 に一 定 の 距離 だ け移動 す る。

  ・回転 移動:回

転 の 中 心 の ま わ りに一 定 の 角 だ け回転 す る。

 例 え ば,図4.13(a)の

折 れ 線ADB,BECの

形は,破

線 の 図 形ABCを1/2に

縮

小 した形 にな って い る。 図(b)の 左 半 分,右 半 分 につ いて も同 じこ とが い え る。   図4.13(a)の 変 換 の構 成 要 素 を調 べ る と,次 の ①,②   ①  △ABCを

△ADBで

の 変 換 が導 か れ る。

お きか え る;△ABCを

原 点 の まわ り に−45° 回 転 し,

お きか え る;△ABCを

〓に縮 小 して,原 点 の ま わ

〓に縮 小 す る。

 ②  △ABCを り に−135°

△CEBで

回 転 し,x軸

方 向 に2だ

こ う して で き た △ADB,△CEBに

け平 行 移 動 す る。

対 して再 び ①,②

を 行 う。 た だ し,②

行 移 動 の 大 き さ は三 角 形 の大 きさ に比 例 させ,例 えば △ADBは 大 きさだ か ら1だ け右 に移 動 す る。 な お ①,②

の変 換 のn回

の平

△ABCの1/2の 目 の 反 復 で は,対

(a) 合 成1

(b) 合 成2

(c) 竜 の フ ラ ク タ ル

図4.13 

象 と な る 三 角 形 は2n-1個   そ こ で,全

竜 の フ ラ ク タ ル

に な る。

部 の 三 角 形 で は な く,各

ん で 変 換 す る と,図4.13(c)の

回 で2つ

の う ち の1つ

竜 の フ ラ ク タ ル が で き る 。 図(c)は

直 角 二 等 辺 三 角 形 に 対 し て ア フ ィ ン変 換 の 合 成(縮 得 られ る 。

だ け,で

小,回

た らめ に選

図(ａ)の 破 線 の

転)を8000回

行 って

プ ロ グ ラム4.1

図4.14

4.3  行列のLU分

解

  1次 変 換 は行 列 を 用 い て 表 現 され た。 こ こで は,あ る行 列 に対 して掃 き出 し法 の手 順 を行 列 で表 して逆 行 列 を求 め,そ の幾 何 的 な意 味 を調 べ て み よ う。

[1]  基本変 形   第3章

の掃 き出 し法 で は,行 列 の行 や列 を変 形 す る と き に基 本 変 形 を用 い た。

基 本 変 形 の行 列 を1次 変 換 と して みた と きの特 徴 を 考 え て み よ う。   掃 き 出 し法 を用 い て連 立 方 程 式 を解 く場 合,次 の 基本 変 形 を用 い る。   ①  あ る行 を実 数 倍 す る。   ②  あ る行 に他 の行 をk倍

して 加 え る。

  ③  行 の代 わ りに列 に つ い て ①,②

と同 様 な 操 作 を 行 う。

  これ らの基 本 変 形 は,行 列 の積 と して 表 現 で き る。 に対 す る基 本 変 形 に対 す る行 列 は,次 の よ うに な る。

  例 え ば,A=〓

 (a)  第1行

をm倍,第2行

をn倍 す る 行 列

 (b)  第1行

をk倍

して第2行

に加 え る 行列

 (c)  第2行 をk倍

して第1行

に加 え る 行列

 他 の 行 列 に対 す る基 本 変 形 も これ か ら類 推 され る。例 え ば,次 の3×3行

だ か ら,3行−(1行)×3→3行

を 行 う基 本 変 形 は,次

列 では

の 三 角 行 列 で あ る。

問8  行列A=〓

の1列 をk倍

し,2列

に加 え る基 本 変 形 の行 列 を求 め よ。

 [2]  軸 の 移 動   1次 変 換 は,点 や ベ ク トル を移 す だ けで な くx軸,y軸 例 え ば,1次

変 換A=

〓で,基

に 移 る か ら,x軸,y軸

本 ベ ク トル の 実 数 倍ke1,ke2は

は そ れ ぞ れ 直 線cy=ax,dy=bxに

変換

は 変 わ らな い が,x軸

る(図4.16)。

で は,x軸 x=kyに

移 る(図4

図4.16

図4.15

 例 え ば,1次

も移 す と考 えて み よ う。

で は,y軸 は 直 線y=kxに

ま た,1次

移

変 換

は 変 わ ら な い が,y軸

は直線

移 る(図4.17)。 図4.17

問9 

1次 変 換A=

〓でx軸,y軸

は ど の よ うな 直線 に移 るか 。

そ れ ぞ れ,

.15)。

[3]  LU分

解

に つ い て掃 き出 しを行 っ て行 列Aを

 行 列A=〓

対 角 行 列 に直 し,

そ の 意 味 を 考 え よ う。 (1) 

LU分

解

①2行+1行

×2→2行

②1行+2行

×(−3)→1行

よ っ て,

(4.7)  一 方 ,こ れ ら基 本 変 形 の三 角 行 列 の逆 行 列 は,

だ か ら,行

列Aは

列 を と っ た と き,成

次 の よ う に 三 角 行 列 と 対 角 行 列 で 表 さ れ る 。 こ こ で は,逆 分 の 符 号 が−3→3,2→−2と

変 化 す る こ と に 注 意 しよ う。

  こ の よ うに,行 列 を三 角 行 列 と対 角 行 列 の 積 に直 す こ と をLU分 LU分

行

解 と い う。

解 を す る と行 列 式 の値 が求 め られ,ま た 逆 行列 も計 算 で き る。 ふ つ う逆 行

列 の計 算 は多 くの計 算 量 を必 要 とす るが,い

ま まで の と こ ろで はLU分

解 は最 も

効 率 的 な アル ゴ リズ ムで あ る こ とが 知 られ て い る。 逆行 列A-1は,式(4.7)か ら次 の 式 にな る。

問10  行 列A=〓

をLU分

(2)  正 則 で な い 行 列 のLU分

解 せ よ。

解

 逆 行 列 のな い場 合 のLU分

解 を 同 じよ うに行 って み よ う。

 例 え ば,A=

〓に2行+(1行)×2の

基 本 変 形 を 行 う と,次

の よ

うに 分 解 され る。

 これ に 列 の基 本 変 形;2列+1列

×(−2)を

行 う。

ゆ え に,

よ っ て,

 逆 行 列 を もた な い行 列 をLU分 ら0の 対 角 行 列B,お 3×3行

列 のLU分

問11  行 列A=〓

解 す る と,左 下 三 角 行 列A,対

よ び右 上 三 角 行 列Cの

積ABCに

な る。 逆 行 列 を もた な い

解 も,こ の手 順 か ら類 推 す る こ とが で き る。

をLU分

解 せ よ。

角成 分 が途 中 か

[4]    LU分

LU分

解 の数値 計算

解 は基 本 変 形 を用 い て計 算 で き,そ れ はガ ウス の掃 き出 し法 と 密 接 な関

連 性 が あ る。 そ の原 理 を探 り,LU分 (1)  原

解 の手 順 を プ ロ グ ラム化 して み よ う。

理

  次 の連 立 方 程 式 に掃 き 出 し法 を行 い,そ れ に対 応 す る基 本変 形 を行 って み よ う。

左 辺 の係 数 の行 列 に つ い て基 本 変 形 を行 う。

と す れ ば,  ①  2行+1行  

3行+1行

 ②  3行+2行

よ っ て,

×(−2)→2行 ×1→3行

に よ って,Aは

次 の よ う に 変 わ る。

×(−1)→3行

に よ っ て,さ

ら に 次 の よ う に 変 わ る。

こ こ で,

〓と な る 。

この 逆 行 列 の証 明 は省 くが,対 角 成 分 よ り も左 下 の 成 分 は基 本 変 形 ①,② 数 の 符 号 を変 え た数 に な る。 す なわ ち,3.2節

の ガ ウ スの掃 き出 し法の手順 を使 っ

て,

の よ う に,Aが

左 下 行 列Bと

の 積A=BCと

してLU分

右 上 行 列C

解 され る。

(2)  数 値 計 算   ガ ウ ス の掃 き 出 し法 は,順 行 演 算 と逆 行 演 算 か らな る。 こ こで は,(1)の 法 で 順 行 演 算 で0に

方

した成 分 の 箇所 に基

本変 形 の 係 数 を入 れ てLU分

解を表現 す

る。  上 の 行 列Aに

の係

掃 き出 し と新 た な 計 算

を行 って み よ う。

図4.18

プ ログ ラ ム4.2

サ ブ ル ー チ ンmatreadとmatprintは 3.2節 と 同 じ も の を 用 い て い

る

。

結果

①  2行−1行 3行−1行

②  3行−2行

  こ こで,②

×2→2行 ×(−1)→3行

×1→3行

の 行列 は掃 き出 し計 算 で0と な る成 分 の 代 わ り に基 本 変 形 の 係 数

(網 部 分)を 入 れて い る。 こ うす る と,② 追 加 した行 列 を 左下 三 角 行 列B,② 角 行列Cと

してLU分

解 され る。

の行 列 の網 目 の部 分 に対 角 成 分 の1を

の 対 角 行 列 か ら右 上 の成 分 の 行 列 を右 上 三

(3) 

流 れ 図 と プ ロ グ ラム

  LU分 4.2に

解 を 計 算 す る 流 れ 図 と構 造 化Basicプ 示 す 。 こ の プ ロ グ ラ ム で はdで

4.4 

固 有 値,固

  行 列Aの

表 す1次

ロ グ ラ ム を,図4.18と

行 列 式 の 値 も計 算 し て い る 。

有 ベ ク トル

変 換 に よ って変 わ らな い点 や ベ ク トル を 探 る こ と に よ って

固 有 値,固 有 ベ ク トル の概 念 を 明 か に し,そ れを 用 い てAの [1] 

不 動 点,不

2×2行

で ベ ク トルp=

累 乗Anの 計 算 を行 う。

動 ベ ク トル

列A=

に 移 る。

〓は,Ap〓=

 こ こでpがAの1次

変 換 で 移 動 しなか った とす れ ば,Ap=pが

こ で,

〓を 解 い てa=0,bは

  こ の こ と は,図4.18のy軸

上 の任 意

の 点(0,b)が1次

動 か ない

変 換Aで

ク トルP=〓

も この1次

変 換 で動 か な い 。   こ の よ う に,あ 点,ベ

る1次

変換で動かない

ク トル の こ と を 不 動 点,不

動ベ ク

成 り立つ｡そ

任 意 の 実 数 を 得 る。

こ とを示 す。

 ま た,ベ

プ ロ グ ラム

図4.19

トル と い う。 一般 に,行 列Bと

零 ベ ク トル0に つ い てB0=0と

な るか ら,零

ベ

ク トル0は 不 動 ベ ク トル,原 点 は不 動 点 に な る。  不 動 点 の個 数 は,行 列 に よ って 異 な り,原 点 だ けが 不 動 点 で あ る よ うな 行 列, あ る 直線 上 の点 す べて が 不 動 点 で あ る よ う な行 列 な どが あ る。

〔 例 題4〕

対 角 行 列A=〓

の 不 動 ベ ク トル を 求 め よ 。

〔 解 〕〓

だ か ら,ベ ク トルp=〓

が不 動 ベ ク トル と す る

と,  

Ap=Pか

 し た が っ て,零   次 に,3×3行

ら,2a=a,3b=b ベ ク トル0だ 列 の1次

 行 列A=〓

の 不 動 ベ ク トル をp=〓

〓か ら,c=0で,a,bは

 ベ ク トル〓

点 が 不 動 点 に な る。

変 換 の 不 動 点 に つ い て も調 べ て み よ う。

  Ap

=ae1+be2と

け が 不 動 ベ ク トル,原

は,a〓

と す れ ば,

任 意 の 実 数 とな る。

+b〓

表 せ る。

  し た が っ て,不

動 点(a,b,0)はxy

平 面 上 の 任 意 の 点 に な る。

問12  行 列A=〓 ク トル を 求 め よ 。

の不 動 点,不 動 べ

図4.20

[2]  固有値,固 有ベ ク トル   不 動 ベ ク トル の 条 件 を ゆ る め て,1次

変 換 後 の ベ ク トル が,も

との ベ ク トル と

平 行 に な る場 合 を考 え て み よ う。  例 え ば,行 列A=〓 1次 変 換 で,pと

が あ っ た と し,あ

平 行 な ベ ク トルkpに

る ベ ク トルP=〓

≠0がAの

移 っ た と し よ う 。 こ の と き,

か ら,

(4.8)

 こ こ でp≠0だ

か ら,行

列式

と な る。(2−k)(1−k)=0か

らk=1,2が

し て,  k=1の

 k

=2の

と き,a+2b=0か

と き

,b=0か

ら

ら

(s,tは

し た が っ て,

実 数)

求 ま る 。 こ れ を 式(4.8)に

代 入

〓

(4.9)

(4.10)

こ こ で,

と す れ ば,Ap1=p1,Ap2=2P2だ

か ら,p1,p2は1次

に そ れ ぞ れk1=1倍,k2=2倍   こ のk1,k2を 固 有 値,固 で き,そ

行 列Aの

平 行

さ れ る。 固 有 値,p1,p2を

固 有 値k1,k2の

有 ベ ク トル が もつ 特 性 を 利 用 して,行 れ を 用 い て 行 列Aの

  こ こで,固

変 換Aでp1,p2と

累 乗Anの

有 ベ ク トルp1,p2の1次

列Aを

固 有 ベ ク トル と い う。 対角 行列 に直す ことが

計 算 を 行 っ て み よ う。 結 合 で 作 られ る ベ ク トル

を 考 え る。

(4.11)

(4.12)

式(4.11)に1次

変 換Aを

行 う と,

図4.21

(4.13)

式(4.12)にA2の1次

変 換 を 行 え ば,

(4.14)

式(4.13)と

ゆ え に,

式(4.14)を

比 べ て,

と す れ ば,〓

こ こ で,〓

両辺 を そ れ ぞ れ か けて,

よ っ て,

 こ う してAnが 行 列Aの

〔 例 題5〕

固 有 値 と固 有 ベ ク トル を用 い て 計算 で き る。 な お,次

の変形 を

対 角 化 と い い,固 有 値 の数 値 計 算 な どに 利 用 され る。

の 固 有 値 と 固 有 ベ ク トル,お

行 列A〓

〔 解 〕 行 列Aの

固 有 値 をk,そ

よ びAｎを 求 め よ 。

と す る。

の 固 有 ベ ク トル をp=〓

か ら次 の 連 立 方 程 式 が で き る。

(4.15) a =b=0は

自 明 な解 だ か ら

,p≠0と

し て み る と,行

列 式

か ら,−(2−k)(1+k)−4=0   2次

方 程 式k2−k−6=0を

  式(4.15)にkを

代 入 し て,

解 い て,k=−2,3が

求 ま る。

k =−2の

k =3の

と き,pは4a+b=0を

とき

,pはa−b=0を

満 たす か ら

(s,tは

ゆ え に,固

有 値k1,k2と

満 たす か ら

実 数)

そ れ に 対 応 す る 固 有 ベ ク トルp1,p2は

と お け ば,

よ っ て,

の 固 有 値 と,固

問13  行列A=〓

[3] 

有 ベ ク トル,Anを

求 め よ。

固有 値 の 数 値 計 算

 対 称行 列 に つ い て,そ の 固有 値,固 有 ベ ク トル の数 値 計 算 を 行 う原 理 と して, 回転 移動 の1次 変 換 を 用 い る方 法 につ い て考 え て み よ う。 (1) 

2×2行

列 の場 合 と,原 点 の ま わ り に45° 回 転 す る1次 変

 対 角成分 が等 しい行列A=〓 換 の 行列Pを

考 え る。

(4.16) で あ る。 ま た,行

列AはPに

よ っ て,

(4.17) と 対 角 化 さ れ る 。 こ こ で,Aの

固 有 値k1,k2は,

か ら,

 

k2−2ak+a2−b2=0

こ れ を 解 い て,k1=a+b,k2=a−bが

求 ま る。

  こ れ は 対 角 化 し た 行 列 の 対 角 成 分 で あ る 。 こ の よ う に,対 あ る 角 で の 回 転 の 行 列Pを とす る対 角 行 列 式(4.17)が (2) 

3×3行

  2×2行

計 算 す る と 固 有 値k1,k2を

対 し て, 対角成 分

得 られ る。

列

列 の 場 合 か ら類 推 し,次

 対称行列A=〓

P-1は2.3節

と り,P-1APを

称 行 列Aに

の 対 称 行 列Aに

対 して 行 列Pを

に,行 列P=〓

の 逆 行 列 の 計 算 で 求 め られ る 。 こ の と き,

探す。

を と れ ば,

と な っ て,P-1APも   な お,計 4.2節

ま た対 称 行 列 に な る。

算 過 程 で 倍 角 公 式sin2θ=2sinθcosθ,cos2θ=cost2θ-sin2θ

か ら 得 て い る 。 こ こ で,P-1APの

第3,1成

を

分

 -0.5(a−c)sin2θ+hcos2θ を0と

す れ ば,tan2θ=2h/(a−c)と

と な り,2個

な る か ら,こ

の θ でP-1APは,

の成 分 を0に す る こ とが で き る。 行列Aに

つ い て,対 角成 分 以 外 の

成 分 を0に す る操 作 を繰 り返 し行 え ば,最 後 に は対 角 成 分 だ けが 残 り,結 局,行 列Aは

対 角 化 さ れ る。 そ して,そ の 対 角 成 分 の 値 が 固 有 値 にな る。

  な お,行 列 式(4.16)の

よ う に,転 置 行列Ptが

行 列 と い う。 次 の プ ロ グ ラ ムで は,直 交 行 列Pに   ・Aの 固 有 値 とP-1APの

な る行 列 を 直 交

関 す る次 の性 質 を利 用 す る。

固有 値 は 同 じで あ る。

  ・対 称 行列 と直 交行 列Pに   ・P1,P2が

逆 行 列P-1と

よ ってP-1APを

直交 行 列 の と き,積P1P2も

対 角 行 列 に で き る。

直交 行 列 に な る。

[4]  プログ ラム   対 称 行 列Aに り,P-1APの

つ い て,上 の固 有 値 の 数 値 計 算 の 手 順 に 従 って 直 交 行 列Pを 成 分 を2つ ず つ0に

作

して い き,対 角成 分以 外 の 成 分 が10-5未 満 に

な った と き に計 算 を 終 了 す る。 この手 順で 固有 値 を 求 め る方 法 をヤ コ ビ法 とい う。

[5] 

再 帰 関 数 と 固 有 値

  数 列a1,a2,a3,…,an,an+1,an+2,… にanをnの し,自

が あ る と し よ う 。 例 え ば,an=n2の

式 で 表 す こ と が で き れ ば,そ

よ う

の数 列 は全 部 わ か っ た と い え る。 しか

然 現 象 や 社 会 現 象 か ら数 列 を 導 く と き 多 く の 場 合,

図4.22

と い っ た 再 帰 関 係 の 形 で 表 さ れ る 。 こ こ で は,再 表 し,固

有 値,固

  用 紙 の た て,よ

有 ベ ク トル を 使 っ て,an=n2の

縦;p1=840

よ う な 形 に 直 し て み よ う。

こ の長 さ と い う 国 際 的 な 規 格 にA判

  例 え ば,図4.23のA1判  

帰 関係 で表 され た数 列 を行 列 で

の 縦,横

の 長 さ は,

が あ る。

プ ロ グ ラ ム4.3

サ ブ ル ー チ ンmatread,matprintは, プ ロ グ ラ ム1.1を

結果

参 照 の こ と 。

 

横;q1=594(単

  A2判

は,こ

A2判

の 縦,横

位mm)

の 用 紙 を 半 分 に して 作 る 。 の 長 さp2,q2は

 

縦;p2=594=q1

 

横;q2=420=0.5p1

  実 際 に は,用

紙 の 規 格 はmm未

満 の丸

め 誤 差 を 避 け る た め に 切 り捨 て が 行 わ れ る 。 こ こ で は,簡

単 の た め に丸 め は行 わ

な い も の と し よ う。   そ う す る と,次

の再 帰 関係 の式 が成 り

図4.23

立つ｡

 こ こ でxn=〓

xn+1とxnの

と す れ ば,ベ

再 帰 関 係 は,次

 こ こ で,A=〓

ク トル の 列x1=〓

の よ う に 行 列 で 表 さ れ る。

と お け ば,

,x2,…,が

で

き て,

こ こ で,Aの

固 有 値k1,k2と

そ れ に 対 応 した 固 有 ベ ク トルp1,p2を

〓と な るkと,ベ

y=kx,0.5x=ky,つ

求 め る。

が あ った とす る。

ク トル〓

ま り

(4.18) を行 列 で 次 の よ う に表 す 。

 この連 立 方 程 式 はx=y=0以

外 の解 を もつか ら,係 数 行 列 の行 列 式 は,

〓だ か ら,固 有 値〓

 固有値〓

 した が っ て,〓

 固有 値〓

と して よ い。

に つ い て,式(4.18)の2式

な る か ら,

と して よ い 。

に つ い て,式(4.18)は

て,

(s,tは

 し た が っ て,

は と も にx=√yと

実 数)

〓と して よ い 。

と も に〓

とな る。 よ っ

と お け ば,

(4.19)

n =1の

と き,

n =2の

と き

,

と な って,式(4.19)の

正 し い こ と が わ か る。

練習問題 1.  直 線y=3x−5の

上 の 点 を(x,y)と

お よ びxを 用 い て表 現 せ よ 。

〓を,

2.  2×2行

3. 

をLU分

列〓

解 せ よ。

数 直 線 上 にa1=0,a2=1,an+2をan+1とanの

き,数  

す る。

列a1,a2,a3,…,an,…

(1) an+2をan+1とanの

固有 値,固 有 ベ ク トル を利 用 してAnを

 (4) anをnの

と

式 で 表 せ 。

と 置 く と き,Pn+2=Apn+1糞

 (2) 

 (3)  Aの

中 点 に と る 。n=1,2,… が で き る 。

式 で表 せ 。

満 た す 行 列Aを

求 め よ。

求 め よ。

し た

第5章  線形計画   線 形 計 画 と は,あ る要 素 を 組 み合 わ せ て値 を い ろ い ろ と った と きの,最 適 値 を 決 定 す る 方 法 で あ る。 この 方 法 は条件 式 を1次 不 等 式 や1次 関数 で表 現 し,最 も適 し た要 素 の組 み 合 わ せ方 を調 べ,こ の 関 数 に対 して上 記 の不 等 式 を あ て は め,吟 味 して,可

能 な解 の 中 か

ら最 適 解 を見 つ け 出 す とい う手 順 を と る。 こ こで は,そ の方 法 を会 社 の 業 績 や 輸 送 コ ス ト な ど,い ろ い ろ な要 素 が 交錯 す る現 代 社 会 の状 態 を分 析 し,予 測 す る の に利 用 す る。 そ の と き コ ン ピュ ー タが有 効 な道 具 と して 使 わ れ るの を み るで あ ろ う。

5.1  線形計 画の問題   この 方 法 を と って 解 決 で き る問 題 場 面 は,現 代 社 会 で 多 方 面 にわ た ってい るが, この 問題 解 決 の 方 法 は,オ ペ レー シ ョンズ リサ ー チ(OR)と

呼 ば れ て い る。

[1]  基本 的な 問題   線 形 計 画 の 問 題 は,1940年

代 に大 戦 の た め の企 画,予

想 とい う目的で行 わ れ

た。 線 形 計 画 が 発 見 され た の は1945年 以 降 で あ る が,そ の 発 端 と な った もの と 類 似 の問 題 場 面 を い くつ か あ げ て み よ う。 〔 例 題1〕

食 品 の 摂 取 量 の 問題

 あ る家 庭 で は,食 パ ン とベ ー コ ンで最 低 の栄 養 を まず 確 保 して い る と い う。 表

表5.1  食 品 の 成 分

5.1で

は,食

はmg単

パ ン と ベ ー コ ン の100gあ

位,カ

は1斤240円

ロ リー はkcal単

タ ミ ンA,ビ

タ ミ ンB1

段 は 円 で 示 さ れ て い る。 な お,こ

のパ ン

で あ る。

  平 均 的 な 成 人 は1日 以 上,2000カ

位,値

た り の 成 分 を,ビ

あ た り ビ タ ミ ンAは0.3mg以

上,ビ

タ ミ ンB1は2.4mg

ロ リ ー 以 上 の 摂 取 が 必 要 で あ る と い う 。 こ の と き,各

準 を 満 た し,かつ1日

の 費 用 が 最 小 に な る よ う に,1人

栄 養素 の基

が 食 べ る食 パ ン と ベ ー コ

ンの 量 を 定 め よ。 〔 解 〕 食 パ ン100x〔g〕,ベ

ー コ ン100y〔g〕

  ・ ビ タ ミ ンAの

条 件;0.08x+0.04y≧0.3

  ・ ビ タ ミ ンB1の

条 件;0.30x+0.60y≧2.4

とす る と,

  ・カ ロ リー の 条 件;300x+400y≧2000

 簡 単 な係 数 に直 す と,

(5.1)

 こ の 条 件 で,食

パ ン100x〔g〕

と ベ ー コ ン100y〔g〕

の合 計 の 値 段

(5.2) が 最 も小 さ く な る よ う なx,yを   式(5.1)の3式

が満 た す領 域

求 め る。 内D内 の 点P(x,y)のx,yで60x+90yの

調 べ る。

とお けば,こ れ は互 い に平 行 な直 線 群

値 を

図5.1

を 表 して い る 。   kの 値 を 動 か す と き,領 kの 値 は 図5.1か

域Dと

共 通 部 分 を もつ よ う な(x,y)の

中 で,最

小 の

ら,

(5.3) の 交 点x=4,y=2で

と る 。 式(5.2)に

代 入 し て,

が 最 小 値 と な る。

(終 わ り)

  この 問 題 で は,条 件 が式(5.1)の さ らに,最 小 値 を求 め た い式(5.2)も

よ うに変 数x,yの1次

題 の こ と を線 形 計 画 の 問題 と い う。 線 形 計 画 の 問 題 で,最 (5.2)の

不 等 式 で 与 え られ,

そ の変 数 の1次 関 数 で あ る。 こ の 形 の 問 小 値 を 問 題 に した式

こ と を 目 的関 数 とい う。

 〔 例 題1〕

の 方法 で,線 形 計 画 の 問題 を解 く手 順 は次 の2つ に ま とめ られ る。

  (a)条

件 を不 等 式 と領 域 で表 現 す る。

要 素 が2つ

の変 数x,yだ

か ら,条 件 が座 標平 面 上 の領 域 で 表 せ る。

  (b)  目的 関 数 を直 線 で 表 現 す る。   最 小 値 を求 め た い式 をkと

お き,平 行 な直 線 で 表 して 最 小 値 を と る。

  線 形 計 画 の問 題 は,1945年

ア メ リカ の軍 隊 で兵 員 の 食 料 の 問 題 と して は じめ

て 公 的 に用 い られ た。 こ の問 題 は基 本 的 な栄 養 素 の最 低 量 を満 た し,し か も使 う 原 料 の費 用 を最 小 にす る よ う な,1日

の 食 事 の 問題 で あ った。 しか し,こ の 種 の

問 題 は1940年 代,経 済 学 者G.T.Stiglerに

よ っ て最 初 に定 式化 され て い た。

  と こ ろ で,彼 は食 パ ンや ベ ー コ ンの よ うな材 料77種 リー につ い て吟 味 し,そ の 解 と して 小 麦 粉,引 ピ ー ナ ッツバ タ ー,ラ ー ド,牛 の レバ ー,キ

に対 して,栄

養素 とカ ロ

き割 りと う も ろ こ し,無 糖 練 乳, ャベ ツ,じ ゃが い も,ほ うれ ん 草 が

最 低 費 用 で で き る食 べ 物 で あ る と した。   しか し,こ れ らの材 料 か ら作 られ る食 品 は あ ま りお い し くな さそ うで あ るの は 明 か で あ る。 彼 は その 後,お

い しさ の要 素 も配 慮 した材 料 を あ らた め て作 成 し直

した と い う。 こ の よ う に,線 形 計 画 か ら解 を得 た と して も,実 際 に 実行 可 能 な解 とす る まで に は,多 方 面 か らの 慎 重 な吟 味 が 必 要 に な る。 問1〔

例 題1〕 で ベ ー コ ンの 値 段 が100円

数60x+100yをkと

お け ば,直 線

とな り,kが

最 小 に な る(x,y)は,上

〔 例 題2〕

工 業 製 品 の 利益 の 問 題

  あ る 工 場 で は,ビ

の 場 合 と異 な る こ と に注 意 せ よ。

デ オ と ワ ー プ ロ を 作 っ て い て,1台

利 益 が あ る と い う。 しか し,20機 ワ ー プ ロ1台

に つ い て1機

ー プ ロ1台

に は3人

あ た り7万

あ る 製 造 機 の う ち ビ デ オ1台

が 必 要 で あ る 。 ま た,こ

作 る の に 割 り 当 て ら れ る人 は最 大15人 る が,ワ

にな っ た と き の最 小 値 を 求 め よ。 な お,目 的 関

で あ り,ビ

に つ い て4機,

デ オ1台

に は1人

合 計7台

だ けで足 り

デ オ と ワ ー プ ロ1

分 以下 の電 力 しか使 え な

い と い う。   ビ デ オ と ワ ー プ ロ を1日

円の

の 工 場 で ビデ オ と ワ ー プ ロ を

が 必 要 で あ る と い う 。 さ ら に,ビ

台 作 る の に 消 費 す る電 力 は 同 じで あ る が,1日

円,12万

に 何 台 ず つ 作 る と 利 益 が 最 も大 き く な る か 。

表5.2

〔 解〕

ビ デ オ をx〔 台 〕,ワ ー プ ロ をy〔 台 〕作 る と す れ ば,次

の 条 件 式 が 得 られ る。

(5.4)

 こ の 条 件 の も と で7x+12yの   〔例 題1〕

最大 値 を求 め る。

で 用 い た(a),(b)の

こ の式 か ら直線〓

方 法 を 使 う。 目 的 関 数 をkと

を 得 る。kにい ろ い ろ な数 値 を 入 れ て 直 線 を

引 い て み る と,図5.2か

ら,x=3,y=4の

と き,こ

の 直 線 は最 も上 に 行 くか

ら,

  利 益kは

お け ば,

最 大 値;k=7×3+12×4=69〔

図5.2

万 円〕

と な る。   この 問題 で も,〔 例 題1〕 で 用 い た次 の 方 法(a),(b)で

解 決 す る ことがで

き る。   (a)  条件 を不 等 式 と領 域 で表 現 す る。   (b) 

目的 関数 を 直 線 で 表現 す る。

  これ は,要 素 がx,yと 素 の個 数 がx,y,zな

い う2つ の 変 数 の場 合 に だ け 使 う こ と が で き る が,要

ど3個 以 上 の場 合 に は この方 法 は使 え な い。〔 例 題2〕 の形 の

問 題 で変 数 が 多 い場 合 に は,次 の項 で述 べ る方 法;シ

ンプ レ ック ス法 を 用 い る。

  な お,こ の解 が得 られ た と して も,実 際 に適 用 した場 合,さ

ま ざ まな 不都 合 が

予 想 され る。 例 え ば,ビ デ オ の製 造 に従 事 す る人 は,ワ ー プ ロの製 造 に 従 事 す る 人 に比 べ て少 な す ぎ,疎 外 感 が前 者 に生 じて ビデ オ を製 造 す る人 の 生 産 性 が 劣 る よ うに な る こ と も考 え られ る。   この よ うに,線 形 計 画 で得 た解 を実 行 可 能 な もの に す る に は,慎 重 な 吟 味 が必 要 で あ る。 旧 ソ連 の経 済 政 策 で は線 形 計 画 が使 わ れて い たが,経 済 的 に破 綻 した 原 因 の1つ は入 念 な吟 味 の不 足 に あ った とい われ て い る。

[2]  問題 解決 の方法   線 形 計 画 は,オ ペ レー シ ョ ンズ リサ ー チ(OR)と

い う応 用 数 学 の 一 分 野 で あ

る。 こ の分 野 は,工 場 や組 織 の運 営 につ いて 数 学 を応 用 し,ま た あ る決 定 を下 す よ うな 問 題 に対 して,科 学 的 な 方 法 を用 い る こと に そ の特 徴 が あ る。   オ ペ レー シ ョ ンズ リサ ー チ に特 有 な方 法 は,次 の よ うな段 階 を経 て行 わ れ る。 (1)  問 題 の 定 式 化   「対象 と な る問 題 を は っ き り させ る」 こ とで 問 題分 析 と も い う。 例 え ば,次 の 項 目を 洗 い出 す 段 階 で あ る。   ・何 が 条 件 か 。   ・入 手 で き る情 報 は何 か 。   ・何 を 行 うか(そ の 目的,本 質 的 な要 素 を 明 確 にす る)。   線 形 計 画 で は 目的 関 数 を設 け る こ と,要 素 とな る変 数 を 決 め る こ とが この段 階

に相 当 す る。 (2)  数 学 的 モデ ルの 作 成   入 力 す る情 報,そ

の処 理 方 法,出 力 す る情 報 を 明 確 にす る。 線 形 計 画 の 問 題 で

は,要 素 とな る変 数 を決 め る こ と,目 的関 数 を設 け る こと,制 約 条 件 を 不 等 式 で 表 す こ とが この段 階 で あ る。 (3)  解 の計 算   入 手 した情 報 を用 い て実 際 に情 報 処 理 を行 い,必 要 な情 報 を 出 力 す る。 線 形 計 画 で は,条 件 式 と 目的 関 数 か ら解 を計 算 す る ことで あ る。   そ れ に は,上 の例 の よ うに 図形 を使 う方 法,後 述 す る よ うに,シ

ンプ レ ック ス

法 を使 う方 法 が あ る。 (4)  解 の吟 味   得 られ た解 の値 が何 を意 味 す るの か,現 実 的 な状 態 に照 ら し合 わ せて 吟味 す る。 必 要 な場 合 に は(1)に (5)  予

戻 って や り直す 。

測

  問題 の状 況 が将 来 ど の よ うに変 化 す るか を予 想 し,そ れ に対 応 して変 数 や 係 数 を変 化 させ る な ど の処 置 を講 じて お く。 (6)  実

行

  解 を実 際 の運 営 に取 り入 れ る。   この よ うな経 過 を問 題 解 決 とい う。 数 学 を 学 ぶ こ と は,解 〔 例 題1〕

の計算 だけで な く

の よ う に現 実 的 な問 題 か ら数 学 モデ ル を作 成 した り,解

を吟 味す るこ

と,す で に あ る数 学 モ デ ル を適 用 す る こ とな ど幅 の広 い内 容 を 含 ん で い る。 しか も,こ の よ うな問 題 解 決 を す る こ とで,さ ま ざ ま な数 学 を複 合 的 に利 用 す る だ け で な く,数 学 そ の もの に新 た な視 点 が生 じて く る。 これが 数 学 の有 用 性,創 造 性 の特 性 で あ る。

5.2  シ ン プ レ ック ス法  前 項 の線 形 計 画 の 問題 で は条 件 を 不等 式 で表 して解 を求 め た。 これ を行 列 で表

現 し,掃

き 出 し法 を 用 い て 解 決 し よ う 。 こ の 方 法 は,変 数 の 個 数 が3個

て も よ い し,コ

以 上で あ っ

ン ピ ュ ー タ を 使 っ て 計 算 す る こ と も で き る と い う利 点 を も っ て い

る。

[1] 

シ ン プ レ ック ス法

  前 節 で 取 り上 げ た ビデ オ と ワ ー プ ロの生 産 の 問題 を,行 列 で表 し,掃 き 出 し法 を 用 いて 解 決 しよ う。 〔 例 題3〕

工 業 製 品 の 利 益 の 問題

  あ る工場 で は,ビ デ オ と ワー プ ロを作 って い て,1台 利 益 が あ る と い う。 こ こで,20機

あた り7万 円,12万

あ る汎 用 製 造 機 の う ち ビ デ オ は4機,ワ

ロは1機 だ け必 要 で あ る。 人 員 は,ビ デ オ1台 に は1人,ワ が必 要 で あ るが 最 大15人 で あ るが,1日

円の ープ

ー プ ロ1台 に は3人

しか使 え な い。 消 費 電 力 は ビデ オ,ワ

ー プ ロ と も同 じ

合 計7台 分以 下 の電 力 しか使 え な い と い う。

  ビデ オ と ワ ー プ ロを1日

に何 台 ず つ作 る と利 益 が最 も大 き くな る か。 表5.3

〔 解 〕  ビ デ オ をx〔 台 〕,ワ ー プ ロ をy〔 台 〕作 る と す れ ば,次

の 条 件 式 が 得 られ

る。

(5.5)

 こ の 条 件 の も と で 目 的 関 数7x+12yをkと k=7x+12y

お き,

の最 大 値 を求 め る。 (1)  不 等 式 を 等 式 に 直 す  

変 数p≧0,q≧0,r≧0

を使 え ば,上 の不 等 式 は次 の よ うな 方 程式 に 直 す こ とが で きる。

(5.6) (5.7) (5.8)  こ の と き,目

的関数 は

(5.9) と表 さ れ る 。 (2) 

シ ン プ レ ッ ク ス 法,第1段

  式(5.9)を

見 て,最

  す な わ ち,3つ

階

も大 き い 係 数 で あ る 変 数yの

最 大 値 を 考 え る。

の 等 式(5.6),(5.7),(5.8)をy=…

の 形 で 表 し,yの

共通

範 囲 を求 め る。

(5.10) (5.11) (5.12)

だ か ら,式(5.10)か   し た が っ て,yだ

ら式(5.12)の3式

でyの

共 通 範 囲 を と っ てy≦5。

け を 動 か し た と き の 目 的 関 数 式(5.9)の

最 大 値 は,

(5.13)   こ こ でxの (3) 

値 を 大 き くす れ ば,kの

シ ン プ レ ッ ク ス 法,第2段

  式(5.11)を

式(5.6),(5.8)に

値 は ま だ 大 き くな る の で,次

階 代 入 す る。

の 手 順 を 行 う。

(5.14)

 な お,定 数 を左 辺 に移 項 した次 の式 は,後 述 す る シ ンプ レ ック ス表 で使 う。

(5.15) (5.16) (5.17)   次 に,こ

れ ら をx=…

の 式 で 表 し,xの

共 通 範 囲 を 求 め る。

(5.18)

(5.19) こ れ ら の 式 か ら,p=q=r=0の

と き にx≦3が

  目 的 関 数kの

目 的 関 数 の 式(5.13)に

値 は,式(5.18)を

共 通 範 囲 とな る。 代 入 して

(5.20) (4)シ

ン プ レ ッ ク ス 法,第3段

  目 的 関 数 式(5.20)はx,yを の と き,kは

最 大 値69を

階 含 ま ず,し

か もq≧0,r≧0だ

と る 。 こ の と きx=3と

式(5.11)か

か らq=r=0 ら

,y=4と

な

  こ の問 題 は,目 的 関 数 に対 して最 も効 果 が あ る変 数yの 範 囲 を求め,yを

他の

る。

等 式 と 目的 関 数 に代 入 して変 数yを 消 去 す る。 続 け て,他 の変 数xに つ いて,こ

の操 作 を行 い 目的 変 数 の 範 囲 を 求 め る。 この 手 続 きの こ とを シン プ レ ック ス法 と い う。 シ ンプ レ ック ス法 の手 続 き は,次 の シ ンプ レ ック ス表 と呼 ば れ る表 につ い て,掃 き 出 し法 で代 入 計 算 を して,表

[2] 

を完 成 す る こ と に よ って行 わ れ る。

シンプ レックス表

  シ ンプ レッ クス表 を使 う とシ ンプ レ ック ス法 を シス テ ム的 に行 う こ とが で き, コ ン ピ ュー タで も扱 え るよ うに な る。 そ の原 理 は,第1項 〔 例 題2〕

で 行 った とお りで あ る。

の問 題 につ いて シ ンプ レ ック ス表 を使 って み よ う。

(1)  基 本 的 な 表   変 数p,q,rを

付 け加 え て等 式 に した3つ の条 件 と目 的 関数

  か ら係 数 を 取 り 出 して,次

の シ ン プ レ ッ ク ス 表 を 作 成 す る。 表5.4  基 本 的 な表

  こ こ に,各

行 に は次 の よ うな意 味 が あ る。

  1行 目 の 数 は,pを

変 数 に 加 え て,20=4x+y+p

  2行 目 の 数 は,qを

変 数 に 加 え て,5=x+3y+q

  3行 目 の 数 は,rを

変 数 に 加 え て,7=x+y+r

  4行 目 の 数 は,目 (2) 

表 の 変 形 第1段

  表5.5の

計 算 は,次

的 関 数 をkの

項 と み て,k−7x−12y=0

階 の手 順 で 行 って い る。

 ①  目 的 関 数 の 行(第4行)で,最

も 小 さ い 負 の 数−12に

印*を

つ け る。

表5.5

 ②   sの 列(第1列)の

各 成 分 を*印 の列(第3列)の

で 割 っ た値 をaの 列 に入 れ,最 小 の成 分 に 印*を (2行)の

ま りyの 係 数

つ け る。 そ して ,こ

の行

左 端 にyを 書 き入 れ る。

 ③   2つ の*の 行 と列 が 交 差 す る成 分3に**を  ④  **のつ

成 分,つ

つ け る。

いた 成 分 を枢 軸 に して掃 き出 し法 を行 う。 表5.6

表5.6の1か

ら3行

は,158ペ

ー ジの 等式

(5.15) (5.16) (5.17) を意 味 して い る。   第4行

は,目

的 関 数k=7x+12yに

つ い て,

を変 形 した次 の 式 を意 味 して い る。

(5.13)

(3)表

の 変 形 第2段 階

 第1段

階 の表5.6に

つ いて,第1段

 ①  目的 関数 の行(4行)で,最   ② sの 列 の 各 成分 を−3の に,最

も小 さい 負 の数−3に 列(第2列)の

小 の 数3=2×〓

に 印*を

 ③  2つ の*が 交 差 す る成 分  ④  上 の**の   表5.8の

階 と同様 の手 順 を行 う。 印*を つ け る。

成 分 で 割 ってaの 列 に入 れ る。 次

つ け る。

〓に**を

つ け る。

つ い た成 分 を枢 軸 に掃 き 出 し法 を適 用 す る。

第4行

〓を変 形 した式

は,

を意 味 して い る。 表5.7

表5.8

  こ こ で,目

的 関 数 のx,yの

3,y=4の

と き最 大 値k=69が

  シ ン プ レ ッ ク ス法 で は,図 も 多 い 場 合 で も,同

問2〔

例 題2〕

係 数 が0だ

か ら,繰

り返 し を 終 了 し,表

か ら,x=

得 られ る 。 形 的 な 問 題 解 決 と 異 な り,変

数 の 個 数 がx,yよ

り

じ よ う に 掃 き 出 し法 を 繰 り返 して 解 決 す る こ と が で き る。

で ビ デ オ12万

円,ワ

ー プ ロ9万

円 と し た と き の 問 題 を,シ

ンブ レ ッ ク ス

表 を用 いて 解 決 せ よ。

[3]  行 列 表 現  〔 例 題3〕

の ビデ オ とワ ー プ ロ の問 題 を行 列 で表 して み よ う。 こ の こ とで 線 形

計 画 の 問題 を行 列 で 表現 す る こ とに な り,後 述 す る双 対 問 題 に発 展 す る基 礎 と な る。 (1)  行 列 表 現  上 に あ げ た シ ンプ レ ッ クス表 は変 数 をx,yと

す る156ペ ー ジの条 件 で あ った。

(5.5)

  条 件(5.5)を

行 列 を 用 い て,次

の よ う に 表 す こ と に す る。

 そ こで,係 数 行 列 をA=〓

とす れ ば,ビ

デ オ と ワ ー プ ロ の 問 題 は,次

の よ うに行 列 を用 い て表 現 され る。

と い う条 件 の も と で,[10

12]

〓の最 大 値 を求 め よ。

問3  この節 の始 めにあげた栄養素 の問題 を,行 列を用いて表現せよ。 [4] 

プ ログラム

  次 の拡 大行 列Aを

用 いて,シ

ンプ レ ック ス法 の 基本 的 な操 作 を行 う。

 ① Aの 最 下 行 の成 分 の最 小 値−12の  ② 第1列

の第1行

あ る第3列 に 着 目す る。

か ら4行 まで の成 分 を,第3列

の 同 じ行 の成 分 で 割 り,そ

の商 を計 算 す る。   ③ ② の商 が最 小 に な る行 を探 す 。 こ の場 合,第2行   ④ 第2行3列

に着 目す る。

そ の 結 果,次

を枢 軸 に して掃 き出 しを行 う。 の行 列Bに

な る。

この行 列 に つ い て も上 と同 じ手 順 で計 算 を行 う。  ① 最 下 行 の最 も小 さ い値 の成 分 を もつ 列 は第2列  ② 第1列

の各 行 の成 分 を第2列

 ③ 最 も小 さ い値 は,3行2列  ④ 第3行2列

の−3で あ る。

の同 じ行 の成 分 で 割 る。

の

〓で あ る。

を 軸 に 掃 き出 しを行 う。

そ の 結 果,行 列Cが

で き,最 下 行 の 成分 に負 の 数 が な いの で計 算 を終 了 す る。

 し た が っ て,線

形 計 画 の 問 題 を 解 決 す る プ ロ グ ラ ム は,基

本 的 に は行 列 の 掃 き

出 し法 と 同 じ に な る 。  プ ロ グ ラ ム5.1は,デ

ー タ を 行 列Aの

デ ー タ は プ ロ グ ラ ム の 最 後 にdata文

形 に そ ろ え た段 階 か ら開 始 す る。 そ の

で お き,プ

ロ グ ラ ム は 次 の 手1順で 行 う。

プ ロ グ ラ ム5.1

結果

サ ブ ル ー チ ンmatread,matprintは プ ロ グ ラ ム3.1 

を 参 照

図5.3

 ① 行 列Aの 列,成

最 も 下 の 行(m行)の 分a(m,υ)をminと

 ② min≧0の

と き,プ

 ④ 第u行

も小 さ い 成 分 を 探 し,そ

の 列 をυ

す る。

ロ グ ラ ム を 終 了 す る。

 ③ 第υ 列 でa(i,1)/a(i,υ)が た だ し,a(i,υ)≠0と

中 で,最

最 も小 さ い 成 分 を 探 し,そ

の 行 をu行

とす る。

す る。

第υ 列 を 枢 軸 と して 掃 き 出 しを 行 う。

 ⑤ ① に戻 る。 問4 

あ る線 形 計 画 で,変 数x,y,zを

の条 件 の もとで,30x+25y+48zの

選 ん だ と き,次 の よ う な条 件 が 出 て き た と い う。 こ 最 大 値 を求 め た い。

 シ ン プ レ ッ ク ス 表 を 作 成 し て,こ に 係 数 を 入 れ,実

の 問 題 を 解 決 せ よ 。 ま た,プ

ロ グ ラ ム5.1のdata文

行 し て そ の 結 果 を 求め よ 。

5.3  双 対 問題   シ ンプ レ ック ス法 を用 いて 基 本 的 な 問題 を解 決 したが,そ

の問 題 を 見 直 して 双

対 問 題 を作 成 し,そ れ を解 決 して み よ う。 双 対 問題 は,形 式 的 な構 造 の組 み替 え で あ るが,現 実 に あ て はめ る と き,逆 の側 面 か ら問題 を見 る と い う利 点 が あ る。

[1]  問題 場面   前 節 で 取 り上 げ た ビデ オ と ワ ー プ ロの 生 産 の 問題 を,再 び考 え て み よ う。 そ の 問 題 で は,次 の よ うな場 面 が設 定 され て い る。   ・あ る 工 場 は ,ビ   ・そ れ ぞ れ1台   ・製 造 機20台   ・人 員15人

デ オ と ワ ー プ ロ を 汎 用 製 造 機20台

あ た り7万 中 ,ビ

中 ,ビ

デ オ は1台 デ オ1台

  ・消 費 電 力 は ビ デ オ ,ワ   ・ ビ デ オ ,ワ

円,12万

で 制 作 して い る。

円 の利 益 が あ る。

に4機,ワ

につ き1人,ワ

ー プ ロ に は1機 ー プ ロ1台

ー プ ロ と も同 じで1日

合 計7台

が必 要 で あ る。

に3人

分 以 下 で あ る。

ー プ ロ を 何 台 ずつ 作 る と利 益 が 最 大 に な る か 。

表5.9

が 必 要 で あ る。

 問 題 解 決 に あ た っ て ビ デ オ をx〔 台 〕,ワ ー プ ロ をy〔 台 〕作 る と して 次 の 条 件

式 を得 た。

  こ れ ら の 条 件 の も と で7x+12yの   そ の 結 果,ビ

デ オx=3〔

た 。 こ の と き,逆

最 大 値 を 求 め る。

台 〕,ワ ー プ ロy=4〔

の 側 面 か ら み る と,機

15〔 人 〕,電 力 はx+y=7だ

械 は4x+y=16〔

か ら製 造 機 械 は4台

  こ う し た 経 理 の 立 場 に た っ て,製

台 〕 の と き最 大 値69が

造 機,人

数,電

得 られ

台 〕,人 はx+3y=

遊 んで い る こ とに な る。 力 を う ま く配 置 し て 損 を 最 小

に す る 目的 で 問 題 を解 決 す る こ とが考 え られ る。   線 形 計 画 に は,あ

る問 題 に対 して逆 の側 面 か らの ア プ ロー チが 必 ず 存 在 す る。

逆 の ア プ ロ ー チ に 沿 っ た 解 き 方 を,も

と の 問 題 の 双 対 問 題 と い う。

[2]  双対問題   経 理 の立 場 か ら上 の問 題 の双 対 問題 を さ らに詳 し く考 えて み よ う。 は じめ に あ げ た問 題 で は,ビ デ オ,ワ ー プ ロを売 る立 場1台 造 機 の コ ス ト,例 え ば償 却 費,人

あ た りにか か る売 値 の 中 に,製

の コ ス トつ ま り人 件 費,電 力 消費 な どの コ ス ト,

お よ び利 益 が 含 まれ て い る。 表5.10

  そ こ で,製

造 機1台

あ た り の コ ス ト,人 数1人

り の 電 力 の コ ス トを そ れ ぞ れx,y,zと

す れ ば,制

あ た り の コ ス ト,製

品1台

あた

約 条 件 は 次 の 式 で 表 さ れ る。

  こ こ で,20台 な い と き,コ 費15y,電

あ る 機 械 が 遊 ん で い た り,15人

い る人 の 誰 か が 仕 事 に つ い て い

ス トは 上 が る こ と に な る。 そ こ で,機

力 消 費7zに

械20台

の コ ス ト20x,人

つ い て の 総 コ ス ト;20x+15y+7zを

件

で き る だ け小 さ

くお さ え る こ と が 問 題 に な る 。   す な わ ち,目

的 関 数 は,

  こ の 問 題 を シ ン プ レ ッ ク ス 法 で 解 く と 表5.11の   た だ し,①

は 基 本 的 な 表,②

は 第1段

よ うに な る。

階 の 表,③

は 第2段

階 の 表,④

は 第3

段 階 の 表 で あ る。 表5.11  双 対 問題 の シ ンプ レ ック ス表

  表5.11に

お い て ④ の 行 とsの 列 か ら,

  が最 適値 に な って,も

の とき と の問 題 と結 果 が 一 致 す る。

  この よ う に,双 対 問 題 は もと の問 題 で は見 え に くい部 分 を表 面 化 させ る役 割 を も って お り,形 式 的 な双 対 関 係 が 問 題 の裏 側 を さ ぐ って,問 題 の新 しい 解 釈 を生 み 出 す と い う効 用 が あ る。

問5  前 の 問題 の工 場 が1日

に ビデ オ をx〔 台 〕,ワ ー プ ロをy〔 台 〕 製 造 す る と して,条

件 式 が次 の よ う に表 され て い る と い う。  

製造機械

… …4x+y≦20

 

人

員

… …x+3y≦15

 

電

力

… …x+y≦7

  こ の条 件 で,10x+12yの

最 大 値 を求 め る問題 に対 して,そ

の双 対 問 題 の式 を作 れ 。

[3]  行 列表 現   上 で取 り上 げ た問 題 と双 対 問題 を行 列 で比 較 して み よ う。 この こ とで も との 問 題 と双 対 問題 の違 い が数 学 的 に明 らか に な る。 (1)  も と の問 題 の 行 列 表 現

係数行列 を〓

と す れ ば,も

と の 問 題 は,次

と い う条 件 の も と で,

の 最大 値 を 求 め よ。

この問 題 の双 対 問 題 は,次 の よ うに行 列 で 表 され る。

と す れ ば,

と い う条 件 の も と で,

の よ うに表 され た。

の最 小 値 を求 め よ。

 こ の2つ

の 行 列 表 現 を 比 べ る と,次

・行 列BはAの

転 置 行 列(Bt=A)で

・ も と の 問 題 の 要 素 は2次 トルy=(x,y,z)で

の こ とが わ か る。 あ る。

の ベ ク トルx=(x

表 さ れ,そ

の 次 数 はAの

,y),双

対 問 題 の 要 素 は3次

の ベ ク

列 お よ び 行 の 個 数 で あ る。

・も と の 問 題 の 条 件 式

〓の ベ ク トルa=〓

は,双 対 問 題 の 目的 関 数 に

と して使 わ れ て い る。 ・も との 問 題 の 目的 関 数 を

と す れ ば,ベ

ク トルbt=[7 

12]は,双

対 問 題 の 条 件 式 に,次

の よ う に使 わ れ

て い る。

〓つ ま り〓

  数 学 的 な構 造 と い う観 点 か らみ る と,行 列 とそ の 転 置 行 列,ベ

ク トル の 不等 式

が 逆 に な る こ と,双 対 問 題 の また そ の双 対 問題 は も との 問 題 にな るな どの特 徴 の あ る こ とが 明 らか に な っ た。

  一 般 に,Aをm×n行 と し,x,yを

列,x,bをn次

の ベ ク トル,y,aをm次

要 素 の 変 数 ベ ク トル と して,線

の ベ ク トル

形計画 の問題 が次 の よ うに表 され

た と し よ う。   ・条 件 式Aty≧bの

も と でatyの

こ の 問 題 の 双 対 問 題 は,次   ・条 件 式Ax≦aの   ま た,も

最 小 値 を求 め よ。

も と でbtxの

最 大 値 を求 め よ。

と の 問 題 が 最 小 値 を 求 め る問 題 の と き,双

題 に な る。 結 局,線

  (5.21)

の形 で 表 さ れ る。   (5.22) 対 問 題 は最 大 値 を求 め る問

形 計 画 の 問 題 は 最 大 値 を 求 め る 式(5.22)の

問 題 に 帰 結 さ れ,

こ れ を 標 準 最 小 値 問 題 と い う。 こ う して 最 小 値 の 問 題 も シ ン プ レ ッ ク ス法 で 解 け る。

問6 

〔 例 題1〕

の栄 養 素 の問 題 か らそ の双 対 問 題 を作 り,行 列 で 表 現 せ よ。

5.4  ゲ ー ム の 理 論   線 形 計 画 法 を モ デ ル と して 利 用 す る問 題 場 面 に ゲ ー ム の理 論 が あ る。 ここで は, 2人 で行 う簡 単 な ゲ ー ム を考 え,線 形 計 画 法 を適 用 して み よ う。 そ の際,相 手 の 立 場 の戦 略 が ち ょ うど双 対 問 題 に な って い る こ とを知 る こと に な る。 [1]  単 純 な ゲ ー ム   将 棋 は2人 が8種 類 の もち駒 を使 って お互 い の手 を見 なが ら,あ る と き は用 心 深 く,あ る と き は果 敢 に 自分 の手 を打つ こ とで 進 行 す る。 こ こで は,A,Bの2 人 が行 う2人 ゲ ー ム を考 え る。 両 者 は い くつ か の手(戦 略)を

も って いて,相 手

の手 を見 な が ら最 も大 きい利 得 を得 るよ うな手 を打つ もの と しよ う。 その際,A, Bそ れ ぞ れ の打 つ手 に対 して 利 得 が あ らか じめ わ か って い る もの とす る。 (1)  循 環 す る場 合   表5.12で 利 得 が3,Bの

は,例 え ばAがⅠ 損 失 が−3と

とい う手 を,BがⅡ

とい う手 を打 った と き にAの

して示 され る。 こ の ゲ ー ム で はA,Bと

もこの表 を

も とに 自分 の打 つ手 を決 め る とす る。 この形 式 の表 を利得 表 といい,利 得 表 のゲ ー ム で は,一 方 の利 得 分 が相 手 の損 失 に な るの で,こ れ を ゼ ロ和 ゲ ーム とい う。

表5.12

  表5.12の

利 得 表 を も と に し た ゲ ー ム は,次 の よ う に 進 行 す る 。AがBのⅠ

ら ゲ ー ム を 始 め る と し,Aが が−1の

損 失 に な る 。 した が っ て,最

  ①  AがⅡ  

も しⅠ の 手 を う っ た と き は,BもⅠ

の 手 を 打 ち,Bは

A,Bの

初AはⅡ

Aは+2を

 ③  Aが

得,Bは−2を

の手 を打 つ。 得 る。

得,Bは+1を

の手 を打 つ 。

得 る。

  ④  Bが 打 っ たⅠ の 手 を 見 て,AはⅡ  

Aは+1を

  ⑤  Aが  

得,Bは−1を

の 手 を 打つ。 得 る。

打 っ たⅡ の 手 を 見 て,BはⅢ

A,Bの

の 手 を 打 つ は ず で あ る。

利 得 は と も に ±0

打 っ たⅠ の 手 を 見 て,BはⅠ

  Aは−1を

の 手 を 打 ちA

そ れ を 見 てⅢ の 手 を 打 つ 。

  ②  Bが 打 っ たⅢ の 手 を 見 て,AはⅠ  

列か

の手 を打 つ 。

利 得 は と も に ±0

  ⑤ は ① と 同 じ で あ り,こ

の ゲ ー ム は 以 下 同 じ 組 み 合 わ せ を 循 環 し,表5.13

の よ う にな る。 表5.13

  ゲ ー ムの 打つ 手 を調 べ る と,Aは

表5.12の 利 得 表 を 見 てBのⅠ,Ⅱ,Ⅲ

そ れ ぞ れ で 最 大 の成 分 を探 す 。 一 方,Bの

方 は同 じ表 を 見 てAの

行 の そ れ ぞ れ で 最 小 の成 分 を探 して い る こ とが わ か る(表5.14)。

の列 の

打 つ 手Ⅰ,Ⅱ の

表5.14

(2) 

1つ の手 に集 中 す る 場 合

 表5.15の

よ うな利 得 表 が 与 え られ た と き,A,Bは

ど の よ うな手 を 打 つ で あ ろ

うか 。BのⅠ 列 を 開始 の初 期 条 件 と して 実 際 にゲ ー ムを や って み よ う。 表5.15

  Aを

先 手 と す る と き,Aは

  ①  AがⅠ  

利 得 を よ り多 く得 る た め にⅠ の 手 を 打つ で あ ろ う。

の 手 を 打 っ た と き,Bは

Aが+1を

得,Bは−1を

得 る。

  ②  Bの 打 っ たⅡ の 手 を 見 て,Bは   Aが+1を

得,Bは−1を

  以 下AがⅠ,BがⅡ   こ の と き のA,B戦   ・Aは,Bの

  表5.16で 値3,1,4の

は,行

再 びⅠ の 手 を 打 つ 。 得 る。

の 手 を 打 ち 続 け る で あ ろ う。 略 を 調 べ る と,(1)と

打 つ 手Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ

  ・Bは,Aの打つ

そ れ を 見 てⅡ の 手 を 打 つ 。

手Ⅰ,Ⅱ

の列 そ れ ぞ れ の 中 で最 大 の成 分 を探 す 。

の行 それ ぞ れ の中 で 最 小 の成 分 を探 す。

の 最 小 値1,−3の

中 の 最 大 値 は1で

中 で 最 小 の 数 もや は り1で

  (行 の 最 小 値 の 最 大 値)=(列 で あ る と き にA,Bは と を 鞍 点 と い う。

同 じ よ う に な っ て い る 。 す な わ ち,

あ る 。 一 方,列

の最 大

あ る 。 こ の よ う に 利 得 表 で,

の 最 大 値 の 最 小 値)

同 じ手 を 打 ち 続 け る よ う に な る こ と が わ か る 。 こ の 手 の こ

表5.16

  一 方,循 環 す るゲ ー ム にな る場 合,表5.2の 値 の最 小 値,行

利 得 表 は図5.4の

よ うに列 の 最 大

の最 小 値 の最 大 値 を求 め てみ る と,列 の最 大 値 の最 小 値 は1,行

の最 小 値 の最 大 値 は0で,  

(行 の 最 小 値 の 最 大 値)＜(列

の最 大 値 の最 小 値)

と な って い る。

図5.4

 ゲ ー ム が循 環 す るか,同

じ手 に集 中 す るよ うに な る か は,利 得 表 か ら

  ・(行 の最 小 値 の最 大 値)＜(列

の最 大 値 の最 小 値)な ら循 環

  ・(行の 最 小 値 の最 大 値)=(列

の 最 大 値 の最 小 値)な ら集 中

とい う手 順 で判 断 す る こ とが で き る。  ま た,両 方 の問 題 と も,利 得 表 の行 と列 の利 用 につ いて,次

の こ とが いえ る。

・Aは 各 列 の最 大 値 を探 す。

(5.23)

・Bは 各 行 の最 小 値 を探 す。    こ れ ま で に あ げ た2人 る も の で あ り,そ

ず れ も最 も適 した 手 が 一 方 に 決 定 で き

の 意 味 で これ ら の ゲ ー ム の こ と を 決 定 的 な ゲ ー ム と い う。

問7  利 得 表 が 表5.17で (1) 

ゲ ー ム の 例 は,い

与 え られ て い る2人 ゲ ー ム が あ る とい う。

この表 に 従 うゲ ー ム に鞍 点 は あ るか 。 ま た,循 環 す る か を い え。

(2)  利 得 表 でⅠ,Ⅰ の 成 分 が1で

はな く,5の

と き は ど うか。

表5.17

[2]  混 合 戦 略   決 定 的 な ゲ ー ム に対 して,打 つ 手 が 確 率 的 に定 め られ る場 合 が あ る。 この よ う な ゲ ー ム の こ とを確 率 的 なゲ ーム と い う。 その 場 合,打つ

べ き手 に確 率 が あ る が

相 手 に そ れ が わ か らな い ので,ど ん な 手 を どん な割 合(確 率)で 打 つ か が問 題 に な る。 そ の意 味 で,確 率 的 な ゲ ー ムの と きの手 を 混 合 戦 略 と い う。 それ に対 して, 決 定 的 な ゲ ー ム の と きの手 の こ と を単 純 戦 略 と い う。   い ま,表5.18で

与 え られ た利 得 表 が あ って,そ れ ぞ れ の 手 を 打 て る確 率 が わ

か らな い もの とす る。 この利 得 表 はAに

有 利 にみ え る が,問

題 を簡単 にす るた

め にそ う して あ る。 しか し,ほ ん の 少 しの 変 形 で,例 え ば問7の

よ うに,よ

り公

平 な も の に な る。 表5.18

  こ こで は,AがⅠ,Ⅱ

の手 を ど ん な確 率 で打 った と きに最 も利 得 が大 き い か を

考 察 す る。 式(5.23)の

方 略 か ら次 の 式 が た て られ る。

(1)  確 率 を用 い た表 現   Aが 手Ⅰ,Ⅱ を 打つ 確 率 を そ れ ぞ れp,qと

  ま た,Bの

手Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ

  BのⅠ

す る と,次 の 条 件 を 満 た して い る。

に 対 す る利 得 は,表5.18の

に 対 して;p+4q

列 を 見 て,

 

BのⅡ に対 して;2p+q

 

BのⅢ に対 して;p+2q

  ここで,こ れ ら3つ の 式 の最 大値 の 中 の最 小 値mが か ら,最 小値mを

「底 上 げ 」 で き れ ば よ い

最 大 に す る よ うに戦 略 を考 え る。

  この と き,次 の不 等 式 と等 式 が成 り立 つ 。

(5.24)

(2)  線 形 計 画 法 との 関 連   式(5.24)の

全 体 をmで

わ る。 こ こ で はm＞0と

と お け ば,mが

で目的関数

して お く。〓

最 大 の と きkは 最 小 に な り,条 件 が

〓を最 小 にす る,と

い う 問 題 に な る。 こ れ は線 形 計

画 の問 題 その もの で,行 列 で は次 の よ うに 表 さ れ る。

の 条 件 で,   (5.25)

を最 小 にす る。

不 等 式 あ る い は シ ン プ レ ッ ク ス 法 で 解 決 す る と,こ

〓の と き,最

小 値〓

の 問 題 の 解 は,

と な る。 こ の と き,  

利 得 は 最 大m=1.5,確

率 はp=mx=0.5,q=my=0.5

に な る。 こ の と き,   確 率(p,q)=(0.5,0.5)の   最 大 利 得m=1.5の

こ とを最 適 混 合 戦 略 こ とを 最適 期待 利 得

とい う。   つ ま り,Aと

し て は 同 じ割 合 に な る よ う にⅠ,Ⅱ

大 き い 利 得1.5が (3) 

も

得 られ る こ とに な る。

双 対 問 題 と の 関連

  今 度 はBの る が,そ

の 手 を 打 っ て い く と き,最

立 場 か ら表5.18の

利 得 表 を 利 用 し て み よ う 。Bは

常 に 損 を して い

の 損 を で き る だ け 少 な く す る よ う に 戦 略 を た て る こ と に な る。

  Bが 手Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ

を 打つ 確 率 を そ れ ぞ れp,q,rと

を 満 た して い る 。 ま た,Aの

手Ⅰ,Ⅱ

 

AのⅠ

に 対 し て;p+2q+r

 

AのⅡ

に 対 し て;4p+q+2r

  式(5.23)か

ら,Bは2つ

相 対 的 な 損 失)mが

す る と,

に 対 す る 利 得 は,表

の 式 の 最 小 値 を 見 て,そ

の 行 を 見 て,

の 中 の 最 大 値(こ

最 も小 さ く な る よ う に 戦 略 を た て る 。 そ こ で,最

最 も小 さ くす る よ う に 式 を た て る。 よ っ て,次

の 等 式,不

と お け ば,

の 場 合 は, 大 値mを

等 式 が 成 り立 つ 。

でx+y+z=kを

最 大 に す る と い う 問 題 に な る 。 こ れ は 行 列 で,次

の ように表

現 され る。

の 条 件 で,

(5.26)  を 最 大 にす る。 

  A,Bの

そ れ ぞ れ か ら み た 線 形 計 画 の 問 題 式(5.25),(5.26)は,5.3節

た よ う に,互

い に 双 対 問 題 に な っ て い る 。 こ の よ う に,2人

い て ゼ ロ和 ゲ ー ム を 行 っ た と き,そ

で示 し

ゲ ー ムで 利 得 表 を 用

の 戦 略 は 互 い に 双 対 問 題 の 関 係 に な り,は

か

らず も 同 じ と こ ろ を め ざ す こ と が わ か る 。

問8  あ る町 にA,B2つ

の ス ーパ ー マ ー ケ ッ トが あ り,い ろん な企 画 を 月 間 キ ャ ンペ ー ン

と して行 い,客 を集 めて い る。 そ の町 の人 はA,Bの 総 売 り上 げ は毎 月 同 じで1億   こ こで,Aが

円で あ る と い う。

企 画Ⅰ,Ⅱ を,Bが

さ れ る とい う。Aは

どち らか に 買 い物 に行 く の でA,Bの

企 画Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ

を たて た と き の売 り上 げ が 表5.19で

表

どの よ うな戦 略 を たて る と最 も利 益 が 得 られ るか。 最 適 混 合 戦 略(p,

q)と 最 適 期 待 利 得 を 求 め よ。   な お,こ の表 は,例 え ばA,Bと

もⅡ の 戦 略 の と き,Aが6000万

売 り上 げ と な る こ とを 示 す 。 表5.19

円,Bが4000万

円の

練習問題 1.あ

る 食 品 工 場 で は,じ

ゃ が い も,に

ん じん,た

の レ トル ト食 品 を 作 っ て い る 。 カ レ ー,ハ 件 と 目 的 関 数 をx,yで   ・カ レ ー は1袋 し,ハ

ヤ シ

ヤ シ の 生 産 量 をx〔 個 〕,y〔 個 〕 と し て 制 約 条

表せ。

あ た り じ ゃ が い も,に

ヤ シ は1個

ま ね ぎ を 主 原 料 と し て カ レ ー,ハ

あ た り2,6,1単

ん じん,た

ま ね ぎ を そ れ ぞ れ1,5,2単

位 ずつ使 用

位 ず つ 使 用 す る と い う。 た だ し,100gを1単

位 と

す る。   ・原 料 の じ ゃ が い も,に

ん じん,た

ま ね ぎ は,そ

れ ぞ れ80,250,90kgず

つ の ス トック

が あ る と い う。   ・カ レ ー,ハ  

こ の と き,カ

ヤ シ の 値 段 は,そ

れ ぞ れ300円,400円

で あ る と い う。

レー とハ ヤ シ を どれ だ け作 れ ば利 益 が最 大 に な る か。

2.上

の 問 題 を,x,ｙ

の 不 等 式 と 目 的 関 数 で 表 し,シ

3.上

の 問 題 の 双 対 問 題 は,次

ンプ レ ック ス法 を用 い て解 決 せ よ。

の よ う に な る。 こ れ を 解 釈 せ よ 。

目的 関 数k=80x+250y+90z

第6章  いろ いろな問題   近 年,行 列 を活 用 した問 題 は離 散 数 学 の1つ の 分 野 と して 位 置 づ け られ る よ うに な っ た。 離 散 数 学 の特 徴 と して,コ

ン ピュ ー タや 情 報 処 理 だ けで な く 日常 生活 と密 接 な 関 わ りが あ

る こ と,再 帰 や 反 復 と い う特 有 な 問 題 解 決 手 順 が あ る こ とな どが あ げ られ る。 情 報 化 の 進 展 と と もに,専 門 家 に限 られ て い た 知 識 が 具 体 性 を もつ よ うに な り,社 会 現 象 や 自然 現 象 を 行 列 で 表 現 して 数 学 モデ ル を 作 り,行 列 で 考 察 す る探 求 方 法 が 最近 注 目 され て きて い る。 こ う した背 景 を考 慮 し,新 鮮 な 問 題 を 取 り上 げ,こ の 方 法 で 問 題 を展 開 した。

6.1  行列 と学校数学   公 理 体 系 に沿 って 行列 の定 義 や定 理 を学 ぶ の で はな く,具 体 的 な現 象 を行 列 で 表 現 し,数 学 モ デル を作 り,そ れ を も とに行 列 を体 系 的 に学 ぶ方 法 は,学 校 数 学 に お い て も学 習 者 が興 味 ・関心 を もち主 体 的 な学 び方 が で き,数 学 を 「作 る」 と い う点 で教 育 的 な重 要 性 が増 して い る。 この立 場 か ら行 列 を概 観 して お こ う。   図6.1は 正 確 な もので はな い し,時 代 に よ って 変 化 す る もの で もあ る。 しか し, あ る数 学 的 な 内容 を学 ぶ とい う立 場 か ら系 統 づ け る こ とは不 可 欠 な こ とで あ り, これ を避 け て学 ぶ こ とを議 論 す る こと は で きな い。 こ こで は,行 列 につ い て の 問 題 を次 の よ うな相 に分 け て考 え る。   ・具 体 的 な現 象 を行 列 で表 現 す る問 題(数 学 モ デ ル化)   ・行 列 の基 礎 ・基 本 を理 解,習 熟 す る問 題(理 解,練 習)

図6.1

  ・行列 を ゲ ー ム の 理 論 な ど に応 用 す る問題(応

用)

  ・あ る行 列 の演 算 法 則 な どの 構 造 につ いて 分析 す る問題(発 展,分 析)   この よ うな 問題 の そ れ ぞ れ につ いて展 開 と教 育 的 な意 味 を考 え る。 特 に,表 現 や分 析 で は,学 習 者 ど う しの コ ミュニ ケ ー シ ョンが可 能 に な る。

[1]  表 現,理

解,発

展 の問題場 面

  行 列 につ い て全 く知 らな い学 習 者 は,行 列 につ い て ど の よ うに学 ん で行 くの か。 この問 題 に対 す る一 般 的 な解 答 は,認 知 心 理 学 で そ の お お まか な ものが 得 られて い る。 ピア ジ ェ に よれ ば,行 列 の も とに な る原 イ メ ー ジが ビル デ ィ ング の骨 組 み の よ うに あ り,そ れ に整 合 し,都 合 の よ い よ うに行 列 の知 識 を くっつ けて い くと い う。 ち ょう ど,ビ ル の骨 組 み に壁 をつ け,窓 を取 りつ けて い くよ うに。   こ こで は,行 列 の もと に な る原 初 的 な イ メ ー ジを 明 確 化 し,行 列 の 概 念 に まで 結 びつ け る よ うな 問 題 を取 り上 げ る。 これ は数 学 を 「聞 く」,あ る い は 「理 解 す る」 だ けで な く,数 学 を 「作 る」こ と に もつ なが る。 学 校 数 学 で は,こ の よ うな ア プ ロー チの こ とをDoMathと

い う こ とが あ る。

(1)  経 路 の行 列表 現   現 代 の世 の 中 は交 通 手 段 が 発 達 し,列 車,飛 行機,長 距 離 バ ス な ど多様 な 行 き

方 が あ る。   こ こでA,B,Cの3市

が あ っ た と き,他

図6.2の

グ ラ フ,図6.3の

か らB市

に 行 く方 法 は2通

の 市 に 行 く方 法 に つ い て 調 べ た 結 果,

対 応 図 で 表 現 さ れ た と い う。 図6.2で,例 り,A市

か らC市

に 行 く方 法 は3と

え ば,A市

お り で あ る(こ

の よ う に 具 体 場 面 を 図 な ど で 表 す こ と の 教 育 的 な 価 値 が 見 直 さ れ て い る)。

図6.2 

グ ラ フ 図6.3 

  経 路 の 本 数 は ま た,表 で 表 す こ と もで き る 。 表6.1で 数,2行

と3行 はB市,C市

に到 着 す る経 路 数,2列,3列

対

は1行

応

はAの

出発経 路

か らの出 発 経 路 数 に な っ て い る。 ま た1列 目 はA市 はB市,C市

に 到 着 す る経 路 の個 数 で あ る。

表6.1

  こ の 表 で は,行

と 列 の 位 置 が わ か っ て い れ ば 枠 は 不 要 で あ る 。 位 置 が わ か る数

の 集 ま り は,Pの

よ う に 縦 横 の 長 方 形 に な り,こ

列 で 表 現 し た と き,次

の ことが で き る。

  ・出 発 ・到 着 の 個 数 が,A,B,Cと   ・2回 で 到 着 す る 経 路,3回 (2) 

れ を 行 列 と い う。 上 の 問 題 を 行

い う項 目 別 に 表 さ れ る 。

で到 着 す る経路 な どが 行 列 の積 で表 現 さ れ る。

行 列 の 積 の理 解

  2回 でAか

らAに

戻 る,A→(A,B,C)→Aと

い う経 路 の 個 数 は,図6.4か

ら計 算 で き る 。 こ れ を 用 い て 行 列 の 積 を 定 義 し て み よ う。

図6.4

  2回 続 く経 路 の 個 数 は,上

の 図6.4か

ら次 の よ う に して 求 め ら れ る。

  ・経 路A→

→Aの

個 数 は,0×0+2×1+3×2=8 

(6.1)

  ・経 路A→

→Bの

個 数 は,0×2+2×0+3×2=6 

(6.2)

  ・経 路A→

→Cの

個 数 は,0×3+2×4+3×0=4 

(6.3)

  こ こ で3つ

の 式 の 計 算 パ タ ー ンを 探 り,行

3つ の 式 で,積

× の 前 に あ る の は0,2,3で

行 目 の 行 ベ ク トル で あ る 。 ま た,積 (6.2)で

は2,0,2,式(6.3)で

列Pの

行 と列 で 表 す こ と を 考 え る 。

同 じ数 で あ る が,こ

れ は 行 列Pの1

× の 後 ろ の 数 は,式(6.1)で

は3,4,0で

あ る 。 こ れ は 行 列Pの

は0,1,2,式 列 ベ ク トル に

あ た って い る 。

  そ こで,2回

続 け て行 った経 路 を行 列 の積 で 表 す こ と にす れ ば,第1行1列

前 の 行 列 の行 の成 分 と後 ろの 列 の 成 分 を か けて 加 え た もの に な る。

は,

  この積 で,第1行

は計 算 で きた が,第2行,第3行

対 応 を作 り,式(6.1)か

ら式(6.3)と

に つ い て も図6.3と 同様 な

同 じよ うな規 則 性 を導 い て 同様 に計 算 で

き る。 この 問 題 解 決 で,学 習 者 は行列 の積 を 自 力 で定 義 で き るよ うに な る。 (3)  行 列 の 積 の 発 展   上 の 経路 を3回 続 け,途 中 に2市 を経 由 して 行 っ た と き の 個 数,例 B→C→Aと

え ばA→

い うよ うな経 路 の 個 数 を ま とめ て 表現 し,行 列 の累乗 を定 義 しよ う。

の 意 味 を 考 え てA,B,C市

か ら 出 発 して2回

の 経 路 を た ど っ てA,B,Cの

各 市 に

至 る 経 路 の 個 数 を 数 え る。   そ う す る と,次

の よ う な 推 移 の 表 が で き る。 表6.2

し た が って,3市

を 経 由 して 行 く と き の 経 路 の 個 数 は,次

の よ うに な る。

  こ の よ うに,具 体 的 な場 面 や現 象 を行 列 で 表 現 し,次 に行 列 の積 を学 習 者 が 自 力 で 作 れ る よ うに す る こ とが,ア プ ロー チ と して 重 要 に な る。 この こと を,ア メ リカ の学 習 指 導 基 準 で は,離 散 数 学 を重 視 す る実 際 場 面 の 中で あ げ て い る。   ・グ ラ フ,行 列 の よ うな,離 散 構 造 を用 い た問 題 場 面 を用 意 す る こと。   ・行 列 を用 い て グ ラ フを表 現 し,分 析 す る こと。 (4)  発 展,分 析 の 問題 場 面   行 列 の基 本 的 な性 質 を列 挙 した後,そ

れ を天 下 り的 に公 理 的 な解 釈 をす る こと

は専 門 的 に は よ いが,学 習 者 の 立 場 か らす れ ば,そ の 意 味 が わ か らな い ま まの 作 業 に終 始 す る こ とに な る可 能 性 が 大 き い。 そ こで,も

との 現 象 的 な 意 味 を保 った

次 の よ うな発 展,分 析 の 問 題 が 必 要 にな る。   問 題 例1.  移 動 の 行 列   正 三 角 形 の形 を した紙 片 が あ り,そ の頂 点 にA,B,Cと ABCと

す る。 この ラベ ルABCの

た い。 図6.5でeは

いうラベルをつ けて△

移 動 の しか た をす べ て あ げ,そ の 関連 性 を 調 べ

何 も移 動 せ ず,aは

120°回 転 してA→B,B→C,C→Aと

△ABCの

重 心 を 中 心 に時 計 ま わ り に

変 わ る変換 を表 し,pはBCの

分 線 に関 す る対 称 移 動 でB→C,C→Bと

垂 直2等

い う変 換 を表 す 。

図6.5

 こ の と き,変

換aでA,B,Cの

移 動 の 表 と そ の 推 移 行 列 は 次 の よ う に な る。 表6.3

  この と き,次 の問 題 を 解 決 す る こ とで 変 換 を行 列 で 表 現 す る こ と,行 列 の 積 の 理 解 か らは じま り,行 列 の積 か ら逆 行 列 へ 発 展 し,群 の構 造 を分 析 す る まで 自力 で 数 学 を作 る こ とに な る。 問1  移動pを 行列で表せ。 問2  図6.6の 移動 をaとpで

表せ。

問3  行列〓

の逆 行 列 は,そ れ 自身

で あ る こ とを,移 動pの

意 味 を利 用 して示 せ。

問4  120゜,240゜ の 回 転 移 動 をa,bと 線 分BC,CA,ABの

対 称 移 動 を そ れ ぞ れp,q,rと い,表6.4を

し,

垂 直2等 分 線 に関 す る

図6.6

す る。 各 積 を行

完 成 せ よ(こ の表 を乗 積 表,組

成 表 な ど と い う)。 表6.4  乗積表

  この こ とか ら行 列e,a,b,p,q,rの

積 の交 換 可 能 性 を調 べ る こ とが で き る。

  た だ し,左の 移 動 を 先 に行 う もの とす る。   これ らの 問題 を 実 際 にや って み る と,次 の ね らい が わ か る。   ・問1は,グ

ラ フか ら行 列 へ の 表 現 に 焦 点 を 当 て て い る。

  ・問2は,演

算 の 基 本 的 な 関 連 を 調 べ,乗 積 表 を 作 成 す る導 入 問 題 で あ る。

  ・問3は,移

動 の 合 成 を 題 材 と した 基本 法則 の理 解 を ね らい と して い る。

  ・問4は,移

動 の 合 成 の 構 造 につ い て分 析 し,表6.4で

移 動 の分 け方 な ど に つ

い て学 習 者 が議 論 しあ う こ とが ね らい で あ る。   こ の よ うに,具 体 的 な 場 面 や現 象 を行 列 で表 現 し,次 に 行 列 の 積 を 学 習 者 が 自 力 で作 る こと が で き る よ う にす る こ とが,重 要 な ア プ ロー チ に な る。 この ことを, ア メ リカ の学 習 指 導 基準 で も離散 数 学 を 重 視 す る学 習 法 の1つ る｡

と して あ げ て い

[2]  パ ズルを 用 いた分析 の問題   こ こで は,行 列 計 算 に パ ズル 的 な要 素 を取 り入 れ て,方 程 式 の不 定 解 と解 ベ ク トル の概 念 に つ い て探 求 し,高 度 な 内容 へ の動 機 づ け を与 え る。 や さ しい問 題 で 取 り上 げ る こ とで,学 習者 は行 列 の抽 象 的 な 内容 に入 って行 く こ とがで きる。 し か も,そ れ を主 体 的 に探 求 す る こと が重 要 な観 点 で あ る。   問 題 例2.  2×2行

列パ ズル

  4個 の 数a,b,c,dが

与 え られ た と き,表6.5の

だ ろ うか(条 件 は式(6.4)の

規 則 を満 たす 数p,q,r,sは

ある

連 立 方 程 式 で表 され る)。 表6.5

(6.4)

  例 え ば,a=2,b=3,c=4,d=5と p=r=1,q=2,s=3で

す れ ば1つ

の 解 は,表6.6の

よ う に

あ る。 表6.6

(6.5)

  こ の 問 題 を 解 決 す る に あ た っ て,次   ・a,b,c,dに

の 問 題 点 を 明 確 に し て お く必 要 が あ る。

い ろ い ろ な 値 を 入 れ た と き にp,q,r,sの

値 は 一 通 り に 求 め ら れる

か。   ・一 通 り に 求 め る こ と が で き な け れ ば,sを

変 数 と み てp,q,rをsで

表 す こ と

が で き るか。   ・そ れ も で き な け れ ば,r,sの2つ

を 変 数 と み てp,qをr,sで

表 す ことがで き

るか 。   こ の パ ズ ル を い く つ か 解 い た 学 習 者 は,自

分 で 何 を 解 決 す れ ば よ い の か,そ

方 向 性 を 次 の 問 題 で 理 解 す る 。 そ して,p,q,r,sを

の

求 め る連 立 方 程 式 の解 法 を 一

般 性 の も と で 観 察 し,こ

の 問 題 を 明 らか に す る 。 さ ら に,特

に つ い て パ ズ ル を 解 く こ と に よ っ て,す

値

べ て の 解 が 示 さ れ る。

〔例 題1〕a=2,b=3,c=4,d=5と

し た と き の 解p,q,r,sを

が 一 通 り に 求 め られ な い と き,p,q,r,sの1つ 〔 解〕

別 なa,b,c,dの

求 め よ。 解

を 数 と考 え て す べ て の 解 を 表 せ 。

上 の パ ズ ル の 連 立 方 程 式 を 行 列 で 表 す と,次

の よ うに な る。

(6.6)

 連 立 方 程 式 の行 に つ い て基 本 変 形 を行 う。  (1行)−(2行)−(3行)+(4行)→4行  (1行)−(3行)→3行 とす れ ば,

(6.7)

  こ こ で,式(6.7)の

左 側 の 行 列 をAと

して連 立 方 程 式 の解 を探 る。 学 習 者 は

次 の こ と を 見 い だ す で あ ろ う。   ・式(6.6)の4つ そ れ は,事 が3つ

の 方 程 式 の4個

の 未 知 数 を み る と,2つ

実 上 の 条 件 式 の 個 数3＜4,￨A￨=0,あ

以 上 の 解 が あ る。

る い はAの0で

な い行

あ る こ とか らわか る。

  ・式(6.7)の

第4行

を 展 開 して み る と,

0p+0q+0r+0s=a−b−c+d   だ か ら,a−b−c+d≠0の

と き 式(6.6)の

解 は な い 。 こ の 条 件 は, (6.8)

と表 せ る。

  こ こ で,未 知 数 の 個 数4に rank(A)と 中 の1つ

表 し,Aの

対 して 事 実 上 の 条 件 は3つ

階 数 と い う。 こ の と き,連

で あ る。 こ の 数3を

立 方 程 式 は 未 知 数p,q,r,sの

を パ ラ メ ー タ と して 選 ん で 解 を 表 現 す る こ と が で き る 。 こ の 数1は

数 の 個 数p,q,r,sの

個 数4か

  自 由 度=(未

ら階 数 を 引 い た 数 で あ り,こ

れ を 自 由 度 と い う。

知 数 の 個 数)−rank(A)

  こ の 場 合,4−3=1と

い う 自 由 度 を もつ か ら,1個

の 未 知 数,例

任 意 の パ ラ メ ー タ に と っ て パ ズ ル を 満 た す よ う にp,q,rをrで 式(6.5)の

未知

例(a=2,b=3,c=4,d=5)でrを

え ば,rを

表 す こ とが で き る。

特 定 し な い で お き, 表6.7

が 得 ら れ る。   表6.5のp,q,sに

こ れ を 代 入 す れ ば,表6.7に

rに つ い て も表6.7のp,q,sは 2,s=3は,r=1の   表6.7を,ベ

こ の と き,ベ

な る 。 し た が っ て,ど

んな実数

パ ズ ル の 条 件 を 満 た す 。 は じめ 例 の 値p=1,q=

場 合 で あ る。 ク トル で 表 現 す る と,次

ク ト ル〓

の よ う にな る。

を基 本 解,

〓を 特殊 解 と い う。

 基 本 解,特 殊 解 の概 念 が こ う して 必 然 性 の も と に導 か れ,次 場 合 に利 用 さ れ る。

の問 題 で 一般 的 な

〔 例 題2〕 〔 解〕

表6.5の

式(6.7)で

と き の 解p,q,r,sを

基 本 解 と特 殊 解 で 表 せ 。

条 件;a+d=b+cを

満 た す と して 拡 大 行 列 を 作 る。

(6.9)

式(6.9)の

行 列 に基 本 変 形 を 行 う。

(6.10)

連 立 方 程 式 でsを

決 め な い で パ ラ メ ー タ と して お く と,

基本解 は

〓特殊解 は

  このパ ズ ル は2×2行 3×3の

〓で あ る。

列 で 考 え たが,次

の問5の

よ うに小行列 で表 現 す る と

パ ズ ル に 自然 に発 展 す る。 そ の場 合 は,6×9行

列 か らな る連 立 方 程 式

の 解 を分 析 す る こ と に な る。   この 発 展 問 題 まで 調 べ る こ とが で きれ ば,連 立 方 程式 の解 空 間 と行 列 式 の 階数

rank(A)に

つ い て 数 学 的 に探 求 した こと に な る。

問5  (1)  式(6.6)の

左 辺 の行 列 を,次 の 行列 を用 い て 表 せ。

  (2)  次 に,右 の パ ズ ル に つ い て式(6.4) と同 様 な方 程 式 を 作 り,式(6.6)に る行 列 をE,I,Oと

6.2 

相 当す

類 似 な行 列 で表 せ 。

パ リテ ィチ ェ ック 行列

  現 在,情

報 を 光 フ ァ イ バ や 電 波 な ど の 通 信 メ デ イ ア に の せ て 伝 送 す る に は,1

つ ひ と つ の 文 字 な ど を2進 に そ れ を モ デ ム で0,1の 伝 送 の 際,何

数 の コ ー ド ワ ー ド(符 号)に

か の 障 害 の た め に デ ー タ が 変 わ っ て し ま う こ と が あ る。 こ の と き, ェ ッ ク)し,で

必 要 に な っ て く る 。 エ ラ ー の 生 じ方,エ

[1] 

きれ ば そ れ を修 復 す る こ とが

ラ ー を 検 査 す る方 法,エ

ラ ーを修 復 す る

よ び そ の 基 本 と し て の 行 列 の 解 空 間 の 概 念 を 紹 介 す る。

エ ラ ー の 生 じ 方

  伝 送 途 中 の デ ー タ に エ ラ ー が 発 生 す る と,そ え ば,キ

ら

信 号 の 列 に して 伝 送 す る 方 法 が と ら れ て い る 。 し か し

エ ラ ー の 起 こ っ た デ ー タ を 検 査(チ

方 法,お

直 し て コ ー ド化 し,さ

の結 果 は ど うな るで あ ろ うか。 例

ー ボ ー ドか ら 「東 」 と い う文 字 を 入 力 した と す る 。 「東 」 と い う 文 字 は

コ ン ピ ュ ー タ の 中 で はJISの

規 格 で456C,2進

せ て,次

の よ う に コ ー ド化 さ れ,1つ

 

100,0101,110,1100

  こ れ は モ デ ム で11001001101100に 害 が 起 こ る と,こ

数 で は7ビ

ッ ト を2個

組 み合 わ

の デ ー タ と し て 扱 わ れ る。

対 応 す る 信 号 の 列 と し て 送 ら れ,途

の よ う な デ ー タ の 中 の あ る0,1が

逆 の ビ ッ トに な る 。

中 で障

図6.7

図6.8

[2]  エ ラ ー の 検 査   エ ラ ー に は 意 味 上 の エ ラ ー な ど い く つ か の 種 類 が あ り,そ

れ に従 って エ ラー を

検 出 す る や り方 が 異 な る。 (1) 

意 味 上 の エ ラ ー と検 査 方 法

  い ま,あ

る デ ー タ を 通 信 で 伝 送 して い る 間 に 「東 京 電 輝 大 学 」 と い う メ ッ セ ー

ジ が 受 信 さ れ た と し よ う。 文 字 列 の 意 味 か ら,多

分 これ は

「東 京 電 機 大 学 」 の

「機 」 が 変 化 した エ ラ ー と意 味 の 上 か ら推 測 さ れ る。 こ こで,伝 所 だ け で 起 こ っ た と して1ビ   ・｢輝 」 のJISコ

ッ トの 違 い の あ る コ ー ド ワ ー ドを す べ て 検 査 す る 。

ー ド

 16進 数 で  

3531

 2進

011,0101,011,0001

数で 

  ・｢機 」 のJISコ

ー ド

 

16進 数 で  

3521

 

2進

011,0101,010,0001

 

右 か ら5番 こ う し て,エ

送 エ ラ ー が1箇

数 で 

目 の ビ ッ トが 異 な る コ ー ドと して ラ ー は機 が 輝 に 変 化 し た(化

「機 」 が あ る こ と が わ か る。

け た)も

の と,ほ

ぼ 間 違 い な く結 論

で き て,エ

ラ ー が 修 復 さ れ る。 そ の 理 由 は,エ

例 え ば0.001で

あ る と す れ ば,2箇

ラ ー が1箇

所 だ けで 起 こ る確 率 が

所 で 同 時 に 起 こ る 確 率 は0.0012と

な って 無 視

で き る程 度 に 小 さ く な る か ら で あ る。   しか し こ の よ う な エ ラ ー は,デ

ー タ の も と の 意 味 が わ か って い る と き に 限 られ

る 。 コ ンピ ュー タ で こ の よ う な 検 査 を 行 う に は,文 要 に な る が,完

法 の他 に人 工 知 能 の機 能 が必

全 な 実 現 化 は ま だ 困 難 で あ る。

問6  上 の メ ッセ ー ジ 「東 京 電 機 大 学 」 が 「東 京電 機 打楽 」 に変 化 した とす れ ば,ど 字 の どの ビ ッ トが 変 化 したか 。 こ こ に16進 数 のJISコ は3358,楽

は335Aで

ー ドで,大 は4267,打

の文

は4247,学

あ る。

(2)  機 械 的 な エ ラ ー 検 査   機 械 的 に エ ラ ー を 検 査 す る に は,2進

数 で 表 さ れ た コ ー ドワ ー ドを,あ

ク 数 で 計 算 し た 数 を つ け 加 え て 送 る 方 法 が と られ る 。 例 え ば,初 と い う文 字 のJISコ と き,次   

ー ドa=456Cをb=11010(2)と

の よ う に し て 余 りc=11(2)を

め に あ げ た 「東 」

い うチ ェ ッ ク数 で 送 信 す る

計 算 し,24aにcを

加 え て 送 信 す る。

456C×1000(2)=100010111011000000(2)を,図6.9の り,余

るチ ェ ッ

よ う に11010(2)で

割

りc=11(2)

を 得 る 。 た だ し,こ

の 割 り 算 は 途 中 を 引 算 で は な く,各

和 を 得 る(0+0→0,0+1→1,1+1→0)。

図6.9

② 100010111011000011 を送 信 す る。

ビ ッ トの 排 他 的 論 理

  ③  受 信 した 数 を11010で  

余 り が0の

割 る。

と き に の み 正 し く受 信 さ れ た と す る 。

  こ の 手 順 で チ ェ ッ ク を 行 う方 法 を 巡 回 冗 長 度 検 査(CRC)と 信 で ふ つ う に用 い ら れ て い る 。 こ の 方 法 で は,チ コ ー ド ワ ー ドに4ビ   一 般 に,kけ

い い,世

界 の通

ェ ック の た め に もと のデ ー タの

ッ トつ け 加 え ら れ る。

た の2進

数 を チ ェ ッ ク数 と す る と き,も

1個 の ビ ッ トを つ け加 え る こ と に な る。 し か し,こ コ ー ド ワ ー ドを 検 出 で き て も,そ な い 。 そ の た め に は,さ

と の コ ー ド ワ ー ドにk−

の方 法 で は エ ラー の起 こ った

れ を も と の コ ー ド ワ ー ドに 修 復 す る こ と は で き

ら に 多 く の ビ ッ トを 加 え,そ

の 中 か らあ る規 則 に従 って

コ ー ド体 系 を 作 る必 要 が あ る 。

[3]  コ ー ド 系   「東 」 と い う文 字 は,JISの

規 格 で は10001011101100と

で コ ー ド化 さ れ た 。 こ の よ う な2進 14ビ

ッ トの2進

数 の 各 桁1つ

数 は 全 部 で214=16384だ

  あ る ビ ッ ト数 の2進 し か し実 際 に は,検

い う14け

た の2進

数

ひ と つ の こ と を ビ ッ トと い う 。

け あ り得 る 。

数 の 集 合 の こ と を コ ー ド空 間 と い い,Vnの 査 な ど の た め に そ れ よ り も 少 な い 個 数 の2進

よ う に表 す 。 数 を,一

定 の規

則 で そ の 中 に 割 り当 て る。   こ の よ う に,あ

る 規 則 で 割 り 当 て ら れ た2進

数 の こ と を コ ー ド ワ ー ドと い い,

コ ー ド ワ ー ドの 集 ま りの こ と を コ ー ド系 あ る い は単 に コ ー ドと い う。 コ ー ド系C を 構 成 す る コ ー ドワ ー ドの 個 数 の こ と を,そ 表 す。

図6.10

の コー ド系 の 大 き さ と い い,￨C￨と

  例 え ば,JIS規

格 の 「情 報 交 換 用 漢 字 符 号 系 」 と い う コ ー ド系 で は,コ

ドが6854個

あ る か ら,こ

  ま た,2つ

の コ ー ド ワ ー ドa,bが

と 表 し,a,bの   例 え ば,コ

こ の2つ

の コ ー ド系Cの

大 き さ は￨C￨=6854で

あ っ た と き,異

ー ドワー

あ る。

な る ビ ッ トの 個 数 をd(a,b)

距 離 と い う。 ー ド ワ ー ド3521(16)(機)と3531(16)(輝)の

の コ ー ド ワ ー ドは1つ

距 離 は,

の ビ ッ トだ け 異 な って い る こ と が こ れ で わ か る 。

  も し 「機 」 を 送 信 し た け れ ど も伝 送 エ ラ ー に よ って 「輝 」 を 受 信 した 場 合,上 の検 査 に よ って機 械 的 に エ ラー を検 査 す る こ とが で き る。

[4] 

リ ニ ア コ ー ド

  こ こ で は,「 輝 」 の コ ー ド ワ ー ドを 「機 」 の コ ー ド ワ ー ドに 修 復 で き る よ う な コ ー ド系 を 作 る こ と を 考 え る。   コ ー ド ワ ー ドの チ ェ ッ ク の 方 法 と,そ (1) 

れ に 用 い る 行 列 を 決 め て お こ う。

リ ニ ア コー ド

  こ こ で,コ

ー ドワ ー ドを 行 ベ ク トル と み な し,ま

を 考 え る 。 例 え ば,コ

ー ド ワ ー ドをx=1110と

と き の 転 置 行 列 は,列

ベ ク トル

で 表 さ れ る 。 一 方,こ

の4ビ

を と れ ば,次

た 成 分 が0ま

し,こ

た は1の

れ を1×4行

ッ トの コ ー ドワ ー ドxに 対 して2×4行

の よ う に し て 零 ベ ク トル が 得 られ る 。

行 列H

列 と考 えた

列

  逆 に,行

列Hが

上 の 形 で 与 え ら れ た と き,ど

トル に な る か を 考 え て み よ う。 行 列Hと ドx,つ

の よ う な コ ー ド ワ ー ドが 零 ベ ク

の積 が零 行 列 に な る よ うな コ ー ドワ ー

ま り零 因 子 と な る行 ベ ク トル をx=[x1 x2 x3 x4]と

す る。

 した が っ て,

(6.11)   こ こ でx1,x2,x3,x4は0か1,足 −1=1(mod2)だ

し 算 は2の

か ら式(6.11)を2の

剰 余 類 が0と

い う 意 味 で あ り,

剰 余 類 で 考 え る と,

(6.12)  こ の 式 の 解 はx3,x4を 図6.11に,そ

そ れ ぞ れ0,1と

お い た4通

り の 組 合 せ でx1,x2が

決 ま る。

れ らの解 のす べ て を示 す 。

図6.11

 こ こ で,Cの

ど の2つ

の コ ー ドワ ー ドの排 他 的 論 理 和 を と っ て も,ま たCの

ドワ ー ドに な る。 例 え ば,

コー

 

1110+1001=0111(mod2)

こ の よ う な 特 性 を も つ コ ー ドの こ と を リ ニ ア コ ー ドと い う。 ま た,リ と の 積 が0に

な る行 列Hの

こ と を パ リテ ィ チ ェ ッ ク 行 列 と い う。

  と こ ろ で 式(6.12)は,2元 個 で 解 の 集 合 は 自 由 度2で

ニ ア コー ド

連 立 方 程 式Hxt=0に

お い て,未

知 数 の 個 数 が4

あ る こ と を 示 し て い る。 しか も式(6.12)の

係 数 は排

他 的 論 理 和 が 行 わ れ る。 こ の よ う な 集 合 を ガ ロ ア 体 と い う。 (2) 

エ ラ ー の 修復

  次 に,上  

の 計 算 で 求 め られ た コ ー ド系C

C={0000,1110,1001,0111}

の コ ー ド ワ ー ドの1つ

に エ ラ ー を 起 こ し,そ

〔例1〕

エ ラ ー コ ー ド0010を

 

0010と

 

d(0000,0010)=1

 

d(1110,0010)=2

 

d(1001, 

 

d(0111,0010)=2

 

だ か ら,距

0010)=3

離 が 最 も小 さ い0000が

 

d(0000,0001)=1

 

d(1110,0001)=4

 

d(1001,0001)=1

 

d(0111,0001)=2 だ か ら,修

受 信 し た と き,

各 コ ー ドワ ー ドの 距 離 を 計 算 す る 。

〔 例2〕   エ ラ ー コ ー ド0001を

 

の 修 復 を 考 え て み よ う。

正 し い コ ー ド ワ ー ドと 考 え られ る 。

受 信 し た と き も距 離 を 計 算 す る 。

復 す る コ ー ドワ ー ドが0000か1001は

 上 の 〔 例1〕,〔 例2〕 か ら,こ の コ ー ド系Cは

決 定 で き な い。

一 部 分 しか 修 復 で き な い こ とが わ か る。

[5]  八 ミ ン グ コ ー ド   ここで は完 全 に修 復 で き る コ ー ド系 を作 る こ と を 考 え る。 な お,上 で は第1列,第2列

の 行 列H

に単 位 行列 を お いて あ るの で,こ の お き方 を利 用 す る。

(1) 

パ リテ ィチ ェ ック 行 列 と ハ ミ ング コ ー ド

  1か ら111ま

で の2進

テ ィ チ ェ ッ ク行 列Hを

数 の1と0を

は 行 ベ ク トルxに

列 ベ ク トル の 成 分 に して,3×7型

次 の よ う に作 る。 た だ し,Hの

左 側3列

のパ リ

は 単 位 行 列,xt

対 応 す る列 ベ ク トル とす る 。

 こ の と き,Hxt=0と

な る よ う な コ ー ド ワ ー ドxの

全 体,つ

ま り リニ ア コー

ド

を 考 え る。 コ ー ドワ ー ドxを   [x1

と す る と,次

  2の x6,x7で

x2

x3

x4 x5 x6

x7],各xiは0ま

た は1

の 式 が 成 り立 つ 。

剰 余 類 で は−1=1だ

か ら,式(6.13)が

成 り 立 ち,x1,x2,x3がx4,x5,

表 せ る こと が わ か る。

(6.13)

  x4,x5,x6,x7の

に 式(6.13)を

そ れ ぞ れ が0,1に

代 入 す る とx1,x2,x3の

な る 組 み 合 わ せ は16と

お り あ り,そ

れ ぞ れ

値 が 決 ま る 。 こ の 手 順 で で き た コ ー ド系

Cを ハ ミ ン グ コ ー ド と い い,そ

の 大 き さ は￨C￨=16で

  図6.12に,作

ッ トの ハ ミ ン グ コ ー ドを 示 す 。

成 さ れ た7ビ

あ る。

図6.12

(2) 

エ ラ ー の修 復

  ハ ミ ン グ コ ー ドの 特 徴 は,エ る 。 例 え ば,エ

ラ ー が1個

の と きそ れ を 必 ず 修 復 で き る こ とで あ

ラ ー コ ー ドを 次 の よ う に と っ て み よ う 。

(6.14) こ の と き,パ

リテ ィ チ ェ ッ ク 行 列Hとaに

つ い て,

 こ れ か らaが

ッ ク行 列Hの

エ ラ ー で あ る こ と が わ か る。 ま た ベ ク トル

第6列

〓は,パ

リテ ィチ ェ

目 に あ る。 そ こ で,式(6.14)のa=1011000の

第6番

目

を 交 換 し,

が 正 し い コ ー ド ワ ー ドに な る。   受 診 し た ハ ミ ン グ コ ー ドaの

エ ラ ー の 検 査 と 修 復 の 手 順 は,次

の と お りで あ る。

①   エ ラ ー 検 査;   受 信 し た コ ー ドaと

パ リテ ィ チ ェ ッ ク 行 列Hで

積Hatを

  ・Hat=0の

と き ,エ

ラ ー が な か っ た と判 定 す る。

  ・Hat≠0の

と き,エ

ラ ー が あ っ た と 判 定 す る。

計 算 す る。

②  エ ラー の 修 復;  

Hat≠0の

と き,HatはHの

  ・HatがHの

ど れ か の 列 と一 致 す る 。 こ の と き,

第 何 番 目 の 列 と 同 じか を 見 つ け ,第k列

  ・エ ラ ー コ ー ドの 第k番

目 の0と1を

 こ の 単 純 な ア ル ゴ リズ ム の 理 由 は,次  エ ラ ー コ ー ド をat+etと

とす る。

交 換 す る。

の よ う に して 示 さ れ る 。

す る 。 こ こ に,aは

ハ ミ ン グ コ ー ドの 中 の あ る コ ー

ド ワ ー ドeは,

 つ ま り 第kビ ドだ か ら,次

 一般 に

ッ トだ け が1で,残

り が0の

行 ベ ク トル と す る 。Cは

リニ ア コ ー

の 式 が 成 り立 つ 。

,m×n行

列 に 第k成

分 が1で,残

りが0の

列 ベ ク トル を か け る と,

  した が っ て,HetはHの

第k列

に な る。 よ っ て ①,②

の 正 しさが示 さ れ た。

問7  次 の パ リテ ィ チ ェ ッ ク行 列Hで

定 め られ る リニ ア コー ドをCと

  い ま,110110を

ッ トの エ ラ ー の あ る こ と が わ か っ て い る と す る。 こ

受 信 し た と し,1ビ

す る。

の と き 正 し い コ ー ド ワ ー ドを 修 復 せ よ 。

[6]  サ イ ク リ ッ ク コ ー ド   サ イ ク リ ッ ク コ ー ドを 作 り,エ (1) 

ラ ー チ ェ ッ ク の 方 法 に つ い て 考 え て み よ う。

サ イ ク リ ック コー ド

  例 え ば,Cを ドを1つ

コ ー ド空 間V7の

と れ ば,そ

 

れ は7ビ

リ ニ ア コ ー ド系 と す る 。 つ ま りCの

コ ー ドワ ー

ッ トで 次 の よ う に 表 せ る 。 (各aiは0ま

た は1)

  こ の と き,

な ど が 再 びCの

コ ー ドワ ー ドに な っ て い る と き,Cを

ま た,a′

サ イ ク リ ッ ク シ フ トと い う 。 サ イ ク リ ッ ク コ ー ドの 特 徴 は,次

の2つ   (a)   

をaの

サ イ ク リ ッ ク コ ー ドと い う。

で あ る。 Cは

リ ニ ア コ ー ドで あ る。

2つ の コ ー ドワ ー ドの 足 し算+を,同

じ位 置 に あ る ビ ッ トの 排 他 的 論 理 和

  で 行 う と き,表6.8の (b) 

Cの

よ う に 計 算 結 果 が 再 びCの

コ ー ド ワ ー ドaの

サ イ ク リ ッ ク シ フ トは,Cの

 

例 え ば,a=011の

 

の よ う に サ イ ク リ ッ ク コ ー ドに な る。

Cの 特 徴(a)は,次

コ ー ドワ ー ドに な る 。 コ ー ド ワ ー ドで あ る。

サ イ ク リ ッ ク シ フ トと0は

の

「和 」 の 構 成 表 で 示 さ れ る。 表6.8  和 の構 成 表

(2) 

サ イ ク リ ッ ク シ フ トと 多 項 式

上 の 特 徴(b)は,011の

  一 般 に,サ

イ ク リ ック コー

  実 際,Cの

コー ドワ ー ド

サ イ ク リ ッ ク シ フ トを 順 に 行 っ て み れ ば わ か る 。

ドは リニ ア コ ー ドの 一 種 で あ る 。

に 対 して

を 対 応 さ せ る。 こ の と き,多 項 式 で 行 う サ イ ク リ ッ ク シ フ トは ど う な るで あ ろ う か。   そ の手 順 を考 え よ う。  aの サ イ ク リ ッ ク シ フ ト〓

は多項式

に な る が,こ の式 を変 形 す れ ば

  し た が っ て,aの  x〔

サ イ ク リ ッ ク シ フ トを 作 る 手 順 は,多

倍 〕 してxn−1の

項 式 で は,

剰 余 類 を と る。

と い う手 順 に な る 。 こ の こ と は,aの

サ イ ク リ ッ ク シ フ トa′ は ま たCの

コー ド

ワ ー ドに な る こ と を 示 して い る。 (3)サ

イ ク リ ッ ク コ ー ドの 構 成

 n=7と い ま6次

し,x7−1の

剰 余 類 を 考 え て,サ

イ ク リ ッ ク コ ー ドを 作 っ て み よ う 。

ま で の 多 項 式 を 考 え る 。 そ の と き,2の

多 項 式 の 計 算 を2の   例 え ば,次

剰 余 類 で あ る0,1を

係 数 と し,

剰 余 類 で 計 算 す る と し よ う。

の 式 は 同 じ と み な さ れ る。

 

x+2はxと,

 

x−1はx+1と,

 

x2+2x+1はx2+1と

同 じ で あ る。

こ の と き, (6.15) と 因 数 分 解 で き,x7−1の

  こ こ で,各

約 数 か ら コ ー ド系Cを

  例 え ば,g(x)=x3+x+1と の よ う にす る。

①

約 数 は次 式 の よ うにな る。

構成 す る こ とが で き る。 し て,g(x)か

ら コ ー ド系Cを

作 る 手 順 は,次

 

と考 え て

 

コ ー ド ワ ー ドa=1101000

 

を作 る。

  ②  aの

 

サ イ ク リ ッ ク シ フ トを 順 に 行 っ て で き る コ ー ド ワ ー ド全 体;

が サ イ ク リ ッ ク コ ー ド系 に な る 。 こ こ で,0=0000000で

(4) 

パ リテ ィ チ ェ ッ ク行 列 の 構 成

  上 で は,g(x)=x3+x+1か こ の コ ー ド系Cに

ら サ イ ク リ ッ ク コ ー ド系Cを

対 す る パ リ テ ィ チ ェ ッ ク 行 列Hを

  ① g(x)=x3+x+1に  

式(6.15)か

 ② 

対 して,g(x)h(x)=x7−1と

作 っ た 。 こ こで は,

作 っ て み よ う。 な るh(x)を

求 め る。

ら,

こ れ をg(x)の

先 頭 が1の  

あ る。

場 合 と は 逆 に,x4,x3,…,1,x6,x5の

コ ー ド ワ ー ドbを

順 に 対 応 さ せ て,

作 る。

す な わ ち,

 ③  bの サ イ ク リ ッ ク シ フ トを 作 り,3行

  ③ の 理 由 は,次

に 並 べ る と 求 め る 行 列Hが

で き る。

の よ う に して 示 さ れ る 。

と お け ば,g(x)h(x)=x7−1だ

か ら,

  し た が っ て,g0h0+g3h4=0(mod2)   g(x)h(x)を

展 開 す る と,xか

らx6ま

で の 項 の 係 数 は す べ て0だ

か ら,

 

xの

係 数;g0h1+g1h0=0

 

x2の

係 数;g0h2+g1h1+g2h0=0

 

x3の

係 数;g0h3+g1h2+g2h1+g3h0=0

 

x4の

係 数;g0h4+g1h3+g2h2+g3h1=0

 

x5の

係 数;g1h4+g2h3+g3h2=0

 

x6の

係 数;g2h4+g3h3=0

こ れ ら の 関 係 は,次

の 行 列 で一 度 に表 され る。

(6.16)

  し た が っ て,式(6.16)の な る 。 例 え ば,a=1101000で

成 分hiで は,次

表 さ れ た行 列 は パ リ テ ィチ ェ ッ ク行 列 に の パ リテ ィ チ ェ ッ ク 行 列 が 得 ら れ る 。

  な お,エ え ば,エ

ラ ー 修 復 の 方 法 は ハ ミ ン グ コ ー ド と 同 様 に して 行 う こ と が で き る。 例 ラ ー コ ー ドc=1101100を

 こ こ で,列

あ る か ら,cの

ベ ク トルd=

第5ビ

受 信 した と き,Hと

〓は,パ

ッ トを1か

ら0に

リ テ ィ チ ェ ッ ク 行 列Hの

  な お,上

  次 の問8は,そ 行 列Hを

と 同 じで

ミ ン グ コ ー ドと 同 じや り か た で パ

用 い て エ ラ ー の修 復 が 行 わ れ る こ とが わ か る。

の 例 で はg(x)=x3+x+1と

と い っ た,x7−1の

第5列

変 更 す る。

  こ う して サ イ ク リ ッ ク コ ー ドに つ い て も,ハ リテ ィ チ ェ ッ ク行 列Hを

の積 は次 の よ うに な る。

した が,

他 の 約 数 に つ い て も サ イ ク リ ッ ク コ ー ドを 作 る こ と が で き る。 の 中 の1つ

を 選 ん で サ イ ク リ ッ ク コ ー ド系 とパ リ テ ィ チ ェ ッ ク

作 る 問 題 と して あ げ た 。

問8

を も と に し て サ イ ク リ ッ ク コ ー ド系 と パ リ テ ィ チ ェ ッ ク 行 列Hを

構 成 せ よ。

6.3 

マ ル コ フ過 程

  天 気 の 晴 れ,曇

り,雨 の状 態,車

の 占有 状 況 な どを み る と,い

くつ か の 状 態 が

あ って,そ れ が時 間 の流 れ の 中 で一 定 の割 合 に落 ち着 くこ とが あ る。 この よ うな 問題 場面 で は,時 間 的 に遠 い将 来 どの場 面 に落 ち着 くか を 予 測 す る こ とが 問 題 に な る。 こ こで は グ ラ フを手 が か りに,問 題 場 面 を推 移 行 列 で 表 現 し,さ らに固 有 値 の 考 え方 を用 い て,こ の 問題 を数 学 的 に解 決 す る こ とを 考 え る。

[1]  問題の背 景   例 え ば,東 京 と大 阪 に住 ん で い る人 の移 動 を考 え る と しよ う。 そ の移 動 の しか た を 最 も単 純 な形 に直 し,毎 年 の移 動 が次 の よ うに な って い る とす る。   ・東 京 に住 ん で い る人 の半 分 が大 阪 に移 動 し,残 りは移 動 しな い。   ・大 阪 に住 ん で い る人 の40%が

東京 に移 動 し,残 りは移 動 しな い。

  この 移 動 を人 口 の移 動 とみ た と き,そ の都 市 に住 ん で い る人 口 に よ って そ の年 の 移 動数 が変 わ る。 も し東 京 の 人 口が 大 阪 に比 べ て極 端 に少 な い ことがあ って も, 大 阪 か らそ れ だ け 多数 の人 が東 京 に移動 す るの で,ど ち らかが 無 住 の都 市 に な る こ と はな いで あ ろ う。 しか も,移 動 の 規 則 か ら して2都 市 の人 口 が毎 年 大 幅 に変 動 す る こ と はな く,一 定 の 割 合 に落 ち着 く こ とが考 え られ る。 (1)  グ ラフ に よ る表 現   この 問 題 を グ ラ フで 表 す 方 法 に は二 通 りあ る。 図6.13は

地 理 的 な 変 化 を,図

6.14は 時 間 的 な推 移 を 表 現 して お り,後 者 の グ ラ フ を2部

グ ラ フ と もい う。 両

図6.13 

有 向 グ ラ フ

図6.14 

2部 グ ラ フ

者 は そ れ ぞ れ の 良 さ を 生 か して 問 題 場 面 の 理 解 や 問 題 の 発 展,分 (2) 

析 に 利 用 で き る。

シ ミ ュ レー シ ョン

  問 題 の 状 況 の 本 質 的 な 部 分 を で き る だ け忠 実 に 模 擬 実 験 す る こ と を シ ミ ュ レ ー シ ョ ン と い う。 コ ン ピ ュ ー タ の 繰 り返 し能 力 を 生 か し て,こ

の 問 題 の シ ミ ュ レー

シ ョ ン を 行 っ て み よ う。 条 件 を 整 理 す る と次 の よ う に な る 。  

・あ る 年 の 東 京 の 人 口 がx〔 人 〕で あ る と す る。

   

東 京 の 人 は0.5の

確 率 で 大 阪 に 移 動 す る。

・あ る 年 の 大 阪 の 人 口 がy〔 人 〕で あ る と す る。

 

大 阪 の 人 は0.4の

確 率 で東 京 に移 動 す る。

  シ ミ ュ レ ー シ ョ ン は,こ   ①  東 京 の 住 人,一

の 条 件 を 忠 実 に 実 行 し て 行 う。

人 ひ と り に 対 し,乱

ず つ 用 意 す る 。 そ の 乱 数pが0.5よ

数(で

た ら め な 数)0＜p＜1を1つ

り も小 さ い と き,そ

の人 は大 阪 に移 動 す

る。 した が っ て,  

・乱 数p＞0.5の

と き,東

京 の 人口一 人 減 少,大

  ②  大 阪 の 住 人 各 人 に対 し,乱  

乱 数q＜0.6の

 

つ ま り,

 

・乱 数q＞0.6の

  ③  最 初 に 東 京,大   ①,②

阪 の人 口が 一 人 増加

数0＜q＜1を1つ

ず つ 用 意 す る。

と き,そ

の 人 は 移 動 せ ず,そ

と き,大

阪 の 人 口 が 一 人 減 少,東

阪 の 人 口 を と も に1000人

人 口 の 人 数 だ け 繰 り返 して,翌

うで な け れ ば 移 動 す る。

京 の 人 口 が一 人 増 加

とす る。

年 の人 口 とす る。

  必 要 な 年 数 だ け こ れ を 繰 り返 す 。   こ の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を そ の ま ま コ ン ピ ュ ー タ で 行 う と,次 ロ グ ラ ム で は 東 京,大

阪 の は じめ の 人 口 をx(1),y(1)と

  実 行 結 果 で は,東

京:大

実 験 結 果2で

じ め の 人 口 を 東 京1500人,大

ず4年

は,は

阪 の 人 口 比 率 が9:11程

後 に は 比 率 が ほ と ん ど9:11に

の よ うに な る。 プ

し,10年

繰 り返 す 。

度 で 落 ち 着 い て い る。 特 に, 阪500人

と した に もか か わ ら

な って し ま う。

  シ ミュ レ ー シ ョ ンで は 現 象 を 細 か く観 察 し,一

人 ひ と りま で さ か の ぼ っ て 模

擬 実 験 を 行 う こ と が で き る 。 こ の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で は,1年

あ た り4000回

の

プ ロ グ ラ ム6.1

結 果1

図6.15

図6.16

結 果2

判 断 を 繰 り返 し,10年

で は40000回

の大 小 判 断 を 行 っ て い る。 コ ン ピ ュ ー タ で

は,多 数 回 の繰 り返 しに よ って 複 雑 な 現 象 の シ ミュ レー シ ョ ンも可 能 に な る。 [2] 

推移 行列 の利用

  この 問 題 状 況 の シ ミュ レー シ ョ ンで,そ の 移 り変 わ りの よ うす が 追跡 で き,東 京 と大 阪 の 人 口 の比 率 が 約9:11に

落 ち着 くこ とが わ か った。 しか し,な

ぜ9:

11な の か は わか らな い。 そ こで 推 移行 列 を使 って そ の根 拠 を 探 る こ とにす る。 (1)  問 題 の 表 現  人 口 移 動 の 推 移 の表 と推 移 行 列 は,次 の よ うに 表 され る。 表6.9

 こ こ で,n〔

年 〕後 の 東 京,大

阪 の 人 口 を そ れ ぞ れxn,ynと

す れ ば,こ

の問題

は推 移 行 列 と行 ベ ク トル を 用 い て次 式 の よ うに表 現 され る。

(6.17)   し か し,こ

の 章 ま で1次

変 換 な ど は 行 ベ ク トル で は な く,列

き た の で,転

置 行 列 の 性 質(AB)t=BtAtを

用 い て,こ

ベ ク トル を 用 い て

の 式 の 転 置 行 列 を と り,

次 式 の よ うに表 現 し直 す こ とに す る。

(6.18)   今 後 は,今 ま で の推 移 行 列 の転 置 行 列 の こ とを 推 移 行 列 と呼 ぶ こと にす る。 こ の 推 移 行 列 を使 って計 算 を繰 り返 す と,xn ,ynが

行 列 の 累 乗 と して表 され る。

(2) 

コ ン ピ ュー タ シ ミ ュ レー シ ョン

  コ ン ピ ュ ー タ を 使 っ て こ の 問 題 を 解 決 し よ う 。 プ ロ グ ラ ム6.2は,式(6.18) をn=10回

繰 り返 す 。 プ ロ グ ラ ム6.2

結果2

結 果1

図6.17

図6.18

  プ ロ グ ラ ム6.2の の 値 は,nが

結 果 が 示 す よ う に,式(6.18)で

大 き く な っ た と き,初

く。 一 般 に,そ

表 さ れ る 過 程 で は,xn,yn

期 値x0,y0に

無 関 係 に一 定 の 状 態 に 落 ち 着

の 成 分 が す べ て 正 の 値 で あ っ て,各

な 行 列 の こ と を 定 常 的 と い い,式(6.18)で フ 過 程 と い う 。 マ ル コ フ過 程 は,上 で 生 じ る と き,そ

列 の 成 分 の 和 が1で

あ るよ う

表 され るよ うな過 程 の こ とを マ ル コ

の 例 の よ う に,い

く つ か の 場 合 が,あ

る確 率

の 繰 り返 し の 現 象 と して 現 れ る。 マ ル コ フ過 程 の計 算 は コ ンピュ

ータ の シ ミュ レ ー シ ョ ン で も行 わ れ る が,究

極 的 な 状 態 に な る こ と の 確 認,お

よ

び 正 確 な 値 を 求 め る た め に 固 有 値 の 概 念 を 必 要 と す る。 (3) 

固有値

 上 の例 で,推 移 行 列A=〓

に よ っ て 東 京,大

阪 の 人 口x,yが

もは

や 変 化 しな くな った とす れ ば,次 の式 が 成 り立 つ。

(6.19)

(6.20) こ の 解 は と も に5x=4yだ

か ら,x:y=4:5で

あ る こ と を示 して い る。

〔 人〕 と す れ ば,x≒888.9,y≒1111.1と

な っ て,シ

ミュ レー シ ョ ン の 結 果 と よ く合

  数 学 的 に こ の 問 題 を 考 え る た め に,式(6.19)を

見 直 し て み よ う。 マ ル コ フ 過

う。

程 が 成 り立 つ こ と は,式

② の よ う な 形 の 行 列 と,数

と と 同 じ で あ る 。 そ の よ う な 条 件 は,次

の 式 でk=1の

ベ ク トル〓

≠0で

あるこ

場 合 で あ る。

(6.21)   4.4節

か ら,こ

こ と か ら,マ

のkは

固 有 値,ベ

ク トル(x,y)は

ル コ フ 過 程 の 推 移 行 列 で は,そ

固 有 ベ ク トル で あ る 。 こ の

の 固 有 値 に 必 ず1が

あ る こ とが わ

か る。

問9  状 態x,yが

推 移 行 列A=〓

0＜￨p￨＜0.5と

す る。 この と き,次 の各 問 に答 え よ。

(1) 

で 変化 す る現 象 が あ る。 た だ し,

この 現象 の 安定 した状 態 をpで 表 せ。

(2)  Aの

固有 値 をpで 表 せ。

(3)  pを い ろ い ろ変 化 さ せ た と き,そ の結 果 か らい え る こと を述 べ よ。

[3]  マ ル コフ過程の適用   マ ル コ フ過 程 は時 間 的 な推 移 につ い て の現 象 で あ る。 マ ル コ フ過 程 の あ て は ま る よ う な 自然 現 象 や 社 会 現 象 で は,将 来 的 に安 定 す るで あ ろ う定 常 的 な 状 態 を 予 測 す る こ とが 多 い。 そ の よ うな問 題 に対 して,固 有 値 と固 有 ベ ク トル の 考 え 方 を 適 用 して 解 決 して み よ う。 (1) 

マル コ フ過 程 の 問 題 例

  マ ル コ フ過 程 はx,yだ

けで な く,3つ

あ る い はそ れ 以上 の場 合 に つ い て も適 用

で き る。 適 用 の た め にマ ル コ フ過 程 の例 を い くつ か あ げ て お こ う。 〔例 題3〕   市 場 占有 率   あ る種 の週 刊 誌 は大 手 のA,Bと い う。 あ る週 にA社 そ の ま まA社

い う2社 が 独 占 し,毎 週 占 有 率 が 変 化 す る と

の週 刊 誌 を買 った読 者 の20%が

の週 刊 誌 を翌 週 も買 う読 者 は80%で

刊 誌 は多 少 飽 き られ やす く,25%の ま まB社 の 週 刊 誌 を買 う読 者 は75%し

読 者 が 翌 週A社

翌 週B社

の週 刊 誌 を買 い,

あ る と い う。 一 方 ,B社 の週 刊 誌 に の り か え,そ

の週

か いな い と い う。A,B両

有 率 は最 終 的 に ど う な るか 。 表6.10

図6.19

の

社 の週 刊 誌 の 占

〔 解 〕 この マ ル コ フ過 程 の推 移 行 列 は,上 の対 応 表 の 行 列 の転 置 行 列 に な る。

推移 行列A=〓

連立 方程式〓 か ら0.2x=0.25y   つ ま り,A社 〔 例 題3〕 題,2種

とB社

の割 合 は5:4に

と同 種 の 問 題 と して,国

な る。 と国 の 間 の人 口移 動,生

物 の住 み分 けの問

類 の 植物 が何 世 代 か後 に どの よ うな比 率 に な るか とい った 問題 が あ る。

  ま た,次 の天 気 の推 移 の問 題 は推 移 行 列 が3×3行

列 にな る例 と して 典 型 的 な

もので あ る。   あ る 土 地 の 天 気 は非 常 に 変 わ り や す い 。 あ る 日 が 晴 れ の と き,翌 る こ と は2日

に1度

い う。 ま た,曇 0.5,0.25で

で あ り,曇

り と雨 に な る こ と は と も に4日

り の 日 の 翌 日 が 晴 れ,曇

り,雨

に1回

り雨 に な る確 率 は そ れ ぞ

あ る と い う。 この と きの推 移 行 列 を求 め よ。

表6.11

図6.20

推 移 行 列Aは,表6.11の

あると

に な る 確 率 は そ れ ぞ れ0.25,

あ る 。 さ ら に 雨 の 日 の 翌 日 が 晴 れ,曇

れ0.6,0.2,0.2で

日 も晴 れ

対 応表 の行 列 の転 置 行 列 と して表 さ れ る。

  こ れ は,晴

れ,曇

程 の 例 で,こ

の 場 合,3×3の

はn×n行

り,雨

と い う3つ

の 場 合 を あ る 確 率 で 移 り変 わ る マ ル コ フ 過

行 列 に な る 。 一 般 に,n個

の 場 合 の マ ル コ フ過 程

列 で 表 現 さ れ る。

問10  ば らの 中 で,赤

と青 の色 の花 は親 か ら子 に な る と きに変 わ って しま う もの が あ る と

い う。 い ま,青 い 花 か ら と った種 の うち の60%が か らと った 種 か らは赤 が70%が

赤 で,30%が

青 に,40%が

赤 に な る。 ま た,赤

青 に な る と い う。 この2種

い花

類 の ば らを 何 世

代 に もわ た って 花 を 咲 か せ た と き,赤 と青 の 比 率 は究 極 的 に ど うな るか(推

移行 列 は次 の

よ うに な る)。

(2)  固 有 値,固 有 ベ ク トル の 適 用   上 の 天 気 の例 の推 移 行 列 に固有 値,固 有 ベ ク トル の考 え 方 を 適 用 して マ ル コ フ 過 程 にお け る各 年 の よ うす を 調 べ よ う。 そ こで,

に 対 し て,晴 べ て0と

れa,曇

りb,雨cの

比 が 変 わ ら な い と す る 。 こ の と きa,b,cは

い う こ と はな い と して よ い。 そ こで,

す

に 対 して,

(6.22)

と し,式(6.22)の

右 辺 を 左 辺 に 移 動 す れ ば,

(6.23)

これ をA,pと

単 位 行列E,零

  一 方,式(6.23)を

ベ ク トル0で 表 せ ば,次 式 の よ う にな る。

連 立 方 程 式 と み れ ば,p≠0か

らa=0,b=0,c=0以

外 の 解 を もつ｡   ゆ え に,行

列 式￨A−kE￨=0

と な る。 この 行 列 式 に2.3節 の基 本 変 形 で,あ る行 か ら他 の 行 の 実 数 倍 した も の を 引 くな ど して,行 列 式 の 値 を計 算 す る。   マ ル コ フ過 程 は,も との 行 列 で 各 列 の 成 分 の和 が常 に1で あ っ たか ら,行 列 式 の各 列 の 和 は1−kに

な る とい う特 徴 が あ る。 そ こで 次 の よ う に基 本変 形 を行 う。

1行+2行+3行

→1行 で

2行−1行

×0.25→2行,3行−1行

第1行1列

に つ いて の 小 行 列 式 を 取 り出 す。

×0.25→3行

ゆ え に,(k−1)(k−0.25)(k+0.05)=0 し た が っ て,こ

の 推 移 行 列Aの

固 有 値 は 次 の よ う に な る。

  次 に,式(6.23)の

行 列 に掃 き出 し法 を行 って,各 固 有 値 に対 す る固 有 ベ ク ト

ル を求 め よ う。 こ こで,列 の交 換 を行 う とベ ク トル の成 分 も入 れ替 わ る こ と に注 意 す る。   ①  k=1の

場合

2行−1行

×0.25→2行

1行+2行

×(−0.5)→1行

 

2行/(−0.375)→2行

連 立 方 程 式 に直 す 。

こ の連 立 方 程 式 を解 い て,a=28/15c,b=4/3c  こ こ でs=15cと

す れ ば,

固 有 ベ ク トル はp=s〓

式(6.22)の  

推 移 行 列 をAと

す れ ば,k=1だ

か ら

Ap=p

 

し た が って,A2p=Ap=p

 

n=2,3,4,…

と して

Anp=p   こ れ は,pが

定 常 的 で あ る こ と を 示 す 。 し た が っ て 定 常 的 な 比 率 は,

  a:b:c=28:20:15  

と な る。

 

念 の た め に,他

  ② k=−0.05の

の 固 有 値 で は 定 常 的 に な らな い こ と を 示 す 。 場合

  こ の 固 有 値 に 対 す る 固 有 ベ ク トル をpと

す れ ば,

 Ap=−0.05p  n=2,3,4,…

と して

 Anp=(−0.05)np   こ こ で 自然 数nを

大 き くす れ ば,(−0.05)nは0と

み な して よ い の で 定 常

状 態 で はな い。   ③  k=0.25の

場 合 も 同 様 に,

 Anp=0.25np   で0.25nは0と

問11 x,y,zの

み な して よい の で定 常 状 態 で は な い。

状 態 が あ り,マ ル コ フ過 程 が成 り立 ち,次 の推 移 行 列 で表 さ れ る 現 象 が あ

る とい う。

 (1)定

常 的 な状 態 にお け るx:y:zの

比 を求 め よ。

  (2) 

この行 列 の 固 有 値 と,そ れ に対 す る 固有 ベ ク トル を求 め よ(こ

のよ うなマ ル コフ

過 程 は,遺 伝 の メ ンデ ル の 法則 に 現 れ る)。

[4]  行列 の対角 化   マ ル コ フ過 程 で は,固 有 値 の考 え方 で定 常 的 な状 態 を一 通 りに予 測 で き る。 し か し,マ ル コ フ過 程 で第n番

目 の状 態 を計 算 す る問 題 が 残 され て い る。

  こ こで は,固 有 値 と固有 ベ ク トル を用 いて 問 題 を 解 決 す る こ と を考 え よ う。   この 節 の は じめ に取 り上 げ た人 口 の問 題 で,

のxn,ynを

自 然 数 の 各nに

  固 有 値k=1とk=0.1の

こ の2つ

の 式 は,行

つ い て 正 確 に 計 算 して み よ う。 と き の 関 係 は,そ

列 で1つ

れ ぞ れ次 の よ うに な って い る。

に 表 す こ と が で き る。

(6.24) さ ら に2.3節

の,第2行

を0.1倍

す る基 本 変 形 で 次 の よ うに表 さ れ る。

こ こ で,

(6.25) と お け ば,式(6.25)は

次 式 の よ うに表 され る。

(6.26)

こ こ でst≠0と

す れ ば,

  式(6.26)の

両 辺 に 右 側 か らP−1を

か け れ ば,

(6.27) こ れ を 行 列Aの

対 角 化 と い う。 式(6.27)の

両 辺 を 別 々 に か け て み る と,

(6.28)

式(6.28)で

こ こ で,対

は 隣 り あっ たP−1Pは

角 行 列 の 性 質 か ら,

ゆ え に,

P,P−1を

代 入 して計 算 す れ ば,

単 位 行 列Eに

な っ て 無 視 で き る か ら,一 般 に

(6.29)

(6.30)

  こ う し て,人

口 の マ ル コ フ 過 程 の 問 題 に対 し,固

を 用 い て 任 意 の 繰 り返 しnに

25)の

行 列Pは

・ 自然数nを

 

は,任

有 ベ ク トル の 考 え 方

対 す る 人 口 を 予 測 す る こ と が で き る。

  こ の 計 算 で 明 か に な っ た こ と は,次   ・式(6.29)で

有 値,固

の と お り で あ る。

意 の 定 数s,tは

適 当 にs,tを

約 分 さ れ て 消 え る 。 し た が っ て,式(6.

と って 次 の よ うにで き る。

限 り な く大 き く す る と,式(6.30)の

行 列 は,

とな り,列 ベ ク トルが 一 致 す る。 この こ とは,初 期 値 に無 関係 に安 定 状 態 が 起 こ る こ とを 示 して い る。

 天 気 の 推 移 行 列 と い う3×3行

列Aの

例 で も,

に対 応 す る固 有 ベ ク トル を この順 に並 べ た行 列

を と れ ば,

か ら,

が 導 か れ る。 両 辺 をn乗

こ こ で,2.3節

の 逆 行 列 の 式,あ

か ら 任 意 の 自 然 数nに   一 方,nを

して,

る い は 掃 き 出 し法 を 用 い て

つ い てAnが

求 め ら れ る。

大 き く した と き,(−0.05)n,0.25nは

と も に0に

近 づ き,次

のよ う

に 安 定 し た 状 態 を 予 測 す る こ と が で き る。

問12  問11の 推 移 行列Aに

つ い てAnを

は初 期 値 に無 関係 で あ る こ とを示 せ 。

求 め よ。 そ し て,x+y+z=1な

ら定 常 状 態

参考文献 1.文

部省 大 臣官 房 調 査 統 計 企 画 課 編,「 平 成4年 度 学 校 保 健 統 計 調 査 速 報 」,東 文 書 院,

1992 2.矢

野一 郎 監 修,「 日本 国 勢 図会 」,国 勢 社,1993.6

3.全

国 高等 学 校 長 協 力 家 庭 部 会 編,「 四訂 食 品 成 分 表 」,教 育 図 書,1994.1

問お よび練習問題 の解答 (1)  問の解 答 第1章  問1 

行 列 に よ る表 現 (1)  と もに破 壊 行 為

 (2)  18∼24歳

の 酒 酔 い 運 転 で約8.2倍

問2

 〓薬 の乱 用,18歳

未 満 の酒 酔 い運 転

問3

問4

問5  〓か ら,〓

問6 

(1)  5:Aに (3) 

問7 

4:ル

(1)  D(高

到 着 す る道 の数

 (2)  5:Bか

ー プ の 数 ×2倍

尾 山 口)に 到 着 す る道 の 数

(2)  無 向推 移 行 列:20,有

向 推 移 行 列:14,道

(3)  有 向推 移 行 列 は対 称 行 列(第i,j成

問8  (1)

ら出発 す る道 の 数

の本 数10,14

分 と第j,i成 分 の 値 が 同 じ)

 (2) か ら,2×1+0+0+0=2

問9

問10  p+s=0,p2+qr+1=0

問11

問12  (1)

 (2)

第2章  行列 と行列式 問1

問2 

(1)

 (2)

問3 問4

問6 

A2=A×A=A×A=Eか 背 理 法:も

ら,A=A−1

しA−1が

あ る と す れ ばA2A−1=AA−1,A=Eで

矛盾

問7

 な ど か ら,

問8 問9 問10  (1)

 (2)

 (3)

 

問11  (1)

 (2)

(2)

問12  (1)  問13  (1)  1列+(2列)×k→1列

問14 

2列+3列

 (2)

→3列,2列−3列

→2列,3列

を分 け る。

第3章  連立方程式 の解 問1

 (1) 

(2)

 (3)

問2

 (1) 

(2)

 (3)

問3

 基本解

,特 殊 解

一 般 解u

問4 問5 問6 問7  (1)  (2) 

(3)

問8

問9 と して デ ー タを入 力

 

第4章 

行列の応用

問1 問2  逆 行列[a,b]−1が

あ る こ と を示 す 。m=25,n=−8

問3

か ら不可能,

=0か ら可能

問4

問5

問6

問7  の順

問8

 を右 か らか け る。

問9 x軸

は 変 わ ら な い 。y軸

は 直線y=0.5xに

移 る。

問10

  ①y軸

方 向 に2倍,②x軸

方 向 にy,③y軸

方 向 に−6x「

問11 問12 

不 動 点;x軸

上 の 点,不

動 ベ ク トル(a,0),a;任

問13

第5章  線形計画 問1 

x=2,y=3.5の

と き 最 小 値470円

意 の実 数

横 すべ り」 移 動

問2

問3  の条 件 下 で,(60 

〓の 最 小 値 を 求 め る。

90)

問4   解:x=37.8,y=5,z=12.5 の と き,最

問5

 の も と で,20x+15y+7zの

大 値725

最 小 値 を求 め よ。

問6  の も と で,(7.5 

問7  (1)循

環

 (2) Ⅰ 行Ⅲ 列 が 鞍 点 とな る集 中

問8  最 適 混 合 戦 略(0.2,0.8),最

第6章 

い ろ い ろ な 問題

問1

問2  paま

8  20)

た はap

問3  2回 の合 成ppでeに

な る。

適 期 待 利 得5600万

円

 の最 小 値 を求 め よ。

−p

問4

問5 

(1)

 (2)

 〓の9×6行

問6  大 と打;右

か ら6ビ ッ ト目 が1か

ら0に 変 化 した。

学 と楽;右 か ら2ビ ッ ト目 が0か

ら1に 変 化 した。

問7  Hと

の積 でHの2番

列

目 の列 ベ ク トル に な る。 正 しい コ ー ドは100110

問8

,サ イ ク リ ッ ク コ ー ド

 

H=〓

問9

〓の割合

 (1)

(3) x,yはx+y=1の

 (2)  固 有 値   1,

関 数 関 係 で 変 化 す る。

問10  赤:青 の比 が4:3 問11  (1)

(2) 

固 有 値0,0.5,1固

有 ベ ク トル

問12

  x+y+z=1の

と き,

か ら定常的 に

 (2)  練習問題の解答 1

第1章  行列による表現

2 3   Bか

ら出 て い く道 の本 数,

4 5 1

第2章  行列と行 列式

2.

(1)  1列 と3列 を 交 換

3.

(1)

 (2)  1列+(3列)×k→1列

(2)

4. 

ク ラ ー メ ル の 公 式 を 使 う。

5. 

3

第3章

 連 立方 程 式 の解

1.  掃 き 出 し と ガ ウ ス ・ザ イ デ ル:(0.5625,0.625,0.75)  

ヤ コ ビ 法   (0.5625002,0.625001,0.7500002)

2.  (1)  (2)

(3)

3 ,特 殊 解0, 一 般 解(s+t

. 基本解

,s+t,s,s,t)

s,tは

任意

1

第4章  行列の応用 〓か ら,

2 3  (1) 

(2)

 (3)

 (4)

1

第5章  線形計画  〓の も とで,目 的 関 数3x+4yの

値 を最 大 に す る。

2   x=50,y=375の

と き,最 大 値16500円

3.  じ ゃが い も,に ん じん,た ま ね ぎの原 料 費 を最 小 に す るに は仕 入 れ を ど う す れ ば よ い か。

索 拡大行列

あ 行 ア フ ィ ン変 換

確 率 的 な ゲ ーム

 78  175

加法定理

 119

ア ル ゴ リズ ム

 100

環

 36

鞍点

 173

簡約法則

 35

  115,123

input文

位 数nの

 7

群

  45

基底

 110

基本解

  69

基 本 ベ ク トル

 108  55

1次 結合

 64

1次 従属

 110

基本変形

1次 独立

 109

逆行列

1次 変換

 112

逆行演算

  74

逆変換

 115

逆 ベ ク トル

 106

一般 解

m×n行

 69

列

 31

  14,35

行列

 2

LU分 解

 129

行列 の対角化

LU分 解 の数値計算

 131

行列 の和

エ ラ ー

 191

行列式

  47

行列式 の階数

  72   31

 219  2

OR

 149

行 ベ ク トル

オ ペ レー シ ョ ンズ リサ ー チ

 149

虚数

 24

大 き さ(ベ

ク トル)

 105

虚数単位

 23

大 き さ(コ

ー ド)

 194

距 離(コ

か 行 ガ ウ ス ・ザ イ デ ル 法

 102

ガ ウス の 掃 き出 し法

 74

ガ ロア体

 197

階数

 57

可換 群

 34

ー ド)

 195

近似 の考 え方

  89

ク ラー メ ル の公 式

  47

グ ラフ

 15

群

 34

群 の構造

 44

引

ゲ ー ムの 理 論

 171

係数行列

 25

桁落 ち

  93,95

シ ンプ レ ック ス法

 156

実数倍

  3,33

自由度

 58,189

決定的なゲ ーム

 174

コ ー

ド

 194

コ ー ド空 間

 194

小行列

 39

コ ー ド系

 194

小行列式

 49

 194

情報

乗積表

 186

巡 回冗長度検査

コ ー

ド ワ ー

ド

構造化BASIC

 7

交代行列

 32

合成変換

 115

固有値

 136,215

固有値 の数値 計算

 140  136,215

固 有 ベ ク トル

順行演算

 5

推移行列

 10,14

数学的 な構造

 181

数学的表現

 181

枢軸

混 合戦略

 175

数 ベ ク トル

 76   2,104

正規方程式

サ イ ク リ ック コー ド

  201

正則行列

サ イ ク リ ック シフ ト

  201

成分

再帰関係

 8  74

ス プ レ ッ ドシ ー ト

効率

差

  74

情報処理

 102

さ  行

 194

  3,27  143

 91  35   2,31

正方行列

 31

積

 12,33

再帰関係式

 19

斉次方程式

  69

漸化式

最小2乗 法

  88

線形計画

 151

最適期待利得

 177

線形性の原理

 116

最適混合戦略

 177

三角行列

 37

双対問題

 166

3次 の行列式

ゼ ロ和 ゲ ー ム

 48

 171  19

た 行

シ ミ ュ レ ー シ ョ ン

 208

体

シ ン プ レ ッ ク ス表

 159

対角化

 36  139

対角成分

 31

対称行列

 32

多変量

 2

単位行列

 13

単純戦略

 175

フ ィボ ナ ッチ数 列

 19

フ ラク タル

 123

負 の角 の公式

 120

不動点

 134

不 動 ベ ク トル

複素数

 8

分解

 108

 14

分析

 181

平 行 な ベ ク トル

 106

データ

置換 直交行列

 142

定常的

 212

転置行 列

 134

 7

data文

  26,32

 23

ベキ等行列

 44

ベキ零行列 導関数

 27

特殊解

 69

補角 の公式

な 行 2次 形式

は 行

パ リテ ィー チ ェ ック行 列

 212

 16

無 向グラフ

  111,197

倍 角公式 排他 的論理和

 193

掃 き出 し法 の工夫

マ ル コ フ過 程

 197

 119

配列

 120

ま 行  26

ハ ミン グ コー ド

  27,42

目的関数

 151

問題解決

 155

や 行

 7   80

ヤ コ ビの 反 復 法

 100

掃 き出 しの手 順

 76

ヤ コ ビ法

 142

掃 き出 し法 の プ ロ グ ラム

 78

矢 線 ベ ク トル

 105

ビ ッ ト

等 しい(行 列)

表現 標準最小値問題

 194

有向 グラフ

 16

 32

有向推移行列

 16

要素

 31

 10,180  171

ら 行 乱数

零 因子  208

  35,41

零行列

 3

零 ベ ク トル

 31

 195

列 ベ ク トル

 31

理解

 180

連立 方程 式の表 現

 63

利得表

 171

ループ

 15

累乗

 19

リ ニ ア コ ー

ド

わ 行 和

 2

〈著者紹介〉

片 桐 重 延 学 職

歴 歴

 東京教育大学理学部卒業(1953)  東京都立八潮高等学校教諭  東京都立戸山高等学校教頭  東京都立墨 田川高等学校校長  文部省高等学校学 習指導要領(数 学)同 解説作成協力者 東京都高等学校数学教育研究会会長  日本数学教育学会常任理事  理学博士

室 岡和 彦 学 職

歴  歴 

東京教育大学理学 部卒業(1969) 日本無線株式会社  東京都立井草 高等 学校教 諭  お茶 の水女子大 学附属 高等 学校教諭   教育学修士

新 ・数 学 と コ ン ピュ ー タ シ リー ズ4 行 列 と線 形 計 算

1995年8月10日

 第1版1刷

発行

著

者

 片 桐 重 延  室 岡 和 彦

発行者 学校法人 東 京 電 機 大 学 代 表 者 廣 川 利 男 発 行 所  東 京 電 機 〒101

大 学

出 版

局

東 京 都 千 代 田 区 神 田 錦 町2-2 振 替 口 座  00160-5-71715

印刷 三功印刷(株) 製本 (株)徳住 製本所 装丁 高橋壮一

〓

電 話  (03)5280-3433(営

業)

(03)5280-3422(編

集)

Katagiri

Shigenobu

Murooka

Kazuhiko

Printed

in Japan

*無 断 で 転 載 す る こ とを 禁 じま す 。 *落 丁 ・乱 丁 本 は お 取 替 え い た しま す 。 ISBN

4-501-52300-X

C3355

R〈日本 複 写 権 セ ンタ ー委 託 出版 物 〉

1995