Методические указания к лабораторным работам по кинематике и динамике поступательного движения

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра радиофизики и электроники

Ю.Д.Лантух С.Н.Летута

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к лабораторным работам по кинематике и динамике поступательного движения

Оренбург 1999

4

ББК ……….. Р- 13 УДК

Вводная работа. Математическая обработка результатов измерений и представление экспериментальных данных Цель работы: 1. Познакомиться с элементами теории ошибок и обработки результатов измерений физических величин. 2. Экспериментально определить ускорение свободного падения при помощи математического маятника. В основе точных естественных наук, к числу которых относится и физика, лежат измерения. При измерениях значения физических величин выражаются в виде чисел, которые указывают, во сколько раз измеренная величина больше или меньше другой величины, значение которой принято за единицу. Полученные в результате измерений числовые значения различных величин, например, времени, пути, скорости и т.д., могут зависеть друг от друга. Физика устанавливает связь между такими величинами и выражает ее в виде формул, которые показывают, как числовые значения одних величин могут быть найдены по числовым значениям других. Получение надежных числовых значений физических величин отнюдь не является простой задачей из-за многочисленных погрешностей, неизбежно возникающих при измерениях. Ниже мы рассмотрим эти погрешности, а также методы, применяемые при обработке результатов, полученных при измерениях. Владение этими методами нужно для того, чтобы научиться получать из совокупности измерений наиболее близкие к истине результаты, вовремя заметить несоответствия и ошибки, разумно организовать сами измерения и правильно оценить точность полученных значений. Измерения делятся на прямые и косвенные. Прямые измерения производятся с помощью приборов, которые измеряют саму исследуемую величину. Так, массу тел можно найти с помощью весов, длину – измерить линейкой, а время – секундомером. Те же величины в других случаях могут быть найдены только с помощью косвенных измерений – путем пересчета других величин. Так находится масса Земли, расстояние от Земли до Солнца, продолжительность геологических периодов. Измерения плотности тел по их массе и объему, скорости поезда – по величине пути, пройденного за известно время, также принадлежат к косвенным измерениям. Качество измерений определяется их точностью. При прямых измерениях точность опытов устанавливается из анализа точности метода и приборов, а также из повторяемости результатов измерений. Точность косвенных измерений зависит как от надежности используемых для расчета данных, так и от структуры формул, связывающих эти данные с искомой величиной.

5

1 Погрешности результатов измерений Истинное значение физической величины обычно абсолютно точно определить нельзя. Каждое измерение дает значение определяемой величины х с некоторой погрешностью ∆x . Это значит, что истинное значение лежит в интервале

x изм − ∆х ≤ х ист ≤ х изм + ∆х

(1)

где х изм - значение величины x, полученное при измерении; ∆x - характеризует точность измерения x. Величину ∆x называют абсолютной погрешностью, с которой определяется x . Как определить ∆x , если само значение x ист нам неизвестно? Все погрешности подразделяются на систематические, случайные и промахи (грубые ошибки). Причины возникновения погрешностей самые разнообразные. Понять возможные причины погрешностей и свести их к минимуму – это и означает грамотно поставить эксперимент. Ясно, что это непростая задача. Систематической называют такую погрешность, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Такие погрешности возникают в результате конструктивных особенностей измерительных приборов, неточности метода исследования, каких-либо упущений экспериментатора, а также при применении для вычислений неточных формул, округленных констант. Измерительным прибором называют такое устройство, с помощью которого осуществляется сравнение измеряемой величины с единицей измерения. В любом приборе заложена та или иная систематическая погрешность, которую невозможно устранить, но порядок которой можно учесть, зная класс точности прибора (см. Приложение A). Систематические погрешности либо увеличивают, либо уменьшают результаты измерения, т.е. эти погрешности характеризуются постоянством знака. Случайные погрешности – ошибки, появление которых не может быть предупреждено. Случайные погрешности могут быть связаны с сухим трением в стрелочных приборах, с люфтами в механических приспособлениях, с вибрациями, которых трудно избежать в городских условиях, колебаниями температуры, напряжения в сети и т.п., а также с особенностями самой измеряемой величины. Случайные погрешности могут оказать определенное влияние на отдельное измерение, но при многократных измерениях они подчиняются статистическим законам и их влияние на результаты измерений можно учесть или значительно уменьшить. 6

Вместо того, чтобы говорить о систематических или случайных погрешностях, часто говорят о систематических и случайных ошибках измерений. Между терминами «погрешность» и «ошибка» нет никакого различия и мы будем пользоваться ими обоими. Промахи и грубые погрешности – чрезмерно большие ошибки, явно искажающие результат измерения. Этот класс погрешностей вызван чаще всего неправильными действиями наблюдателя. Измерения, содержащие промахи и грубые погрешности, следует отбрасывать.

7

2 Оценка точности многократных прямых измерений Пусть при повторении измерений физической величины х в одинаковых условиях получили некоторые значения: x 1 , x 2 ,..., x n (n – число измерений). Это означает, что: а) есть причины, приводящие к случайному отклонению каждого из измеренных значений xi от являющегося постоянным в условиях опыта x ист (например, случайные помехи, трение в измерительных узлах и т.п.); б) измеряемая величина x имеет случайный (статистический) характер, подобно тому как случайно меняется во времени, например: транспортный поток на магистрали. Наилучшей оценкой x ист является среднее арифметическое найденных значений x i : 1 (2) x ист ≈ x = ( x 1 + x 2 + ... + x n ) n

Смысл x , очевидно, исчерпывается его определением как среднего измеренных значений x i . Определив отклонения результатов каждого отдельного измерения от среднего (x i − x ) , можно найти случайную погрешность ∆x сл как среднее арифметическое этих величин, т.е.

∆x сл =

∑ xi − x i

n

.

Такая величина называется средней абсолютной погрешностью. Однако можно показать, что величина ∆x сл определяется более точно по формуле ∆x сл

(x1 − x ) 2 + (x 2 − x ) 2 + ... + (x n − x ) 2 = , (n − 1)

(3)

где x находят из соотношения (2), а n ≥ 2. Для оценки полной погрешности ∆x необходимо знать и ∆x сл , и ∆x сист . Тогда ∆x = (∆x сл ) 2 + (∆x сист ) 2

(4)

и результат измерений записывают в виде x = x ± ∆x , где x и ∆x определяются соотношениями (2) и (4). 8

(5)

Из анализа формулы (4) вытекает, что бессмысленно добиваться такого результата, при котором ∆x сл << ∆x сист . Наоборот, необходимое число измерений n можно определить из условия ∆x сл ≤ ∆x сист , и почти всегда достаточно взять n ≤ 10. Замечания: 1. Бессмысленно записывать x в (5) с точностью, значительно превышающей значение ∆x . Например, запись x = 5,6184±0,7 некорректна. Правильно: x = 5,6±0,7 2. Погрешность ∆x следует записывать до одной-двух значащих цифр. Например, запись x = 5,61±0,7232 лишена смысла. Правильно: x = 5,6±0,7 При наличии случайных погрешностей появление того или иного значения x i в процессе измерения является случайным событием. Существует некоторая вероятность появления этого значения x i в интервале xi − ∆xi , xi + ∆xi . Оно часто, как показывается в теории вероятностей, определяется законом нормального распределения Гаусса

1 e 2π σ

y (x ) =

−( x −x )2 2σ 2

(6)

где σ 2 - величина, называемая дисперсией распределения (рисунок 1). y

σ =1 σ =2 σ =4 x −4

x − 2 x −1 x

x +1 x + 2

x + 4 x +5

x

Рисунок 1

Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: средним значением случайной величины x , которое при бесконечно большом количестве измерений (n → ∞) совпадает с ее истинным значением, и дисперсией σ 2. Доверительным интервалом называют интервал (x − ∆x , x + ∆x ) , в который по определению попадает истинное значение x измеряемой величины с заданной вероятностью. Надежностью результата серии измерений называют вероятность α того, что истинное значение x измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал; выражается α или в долях единицы, или в процентах. 9

Чем больше доверительный интервал, т.е. чем больше задаваемая погрешность результата измерений ∆x , тем с большей надежностью величина x попадает в этот интервал. Естественно, что величина α зависит от числа n произведенных измерений, а также от задаваемой погрешности ∆x . Из каждых 1000 независимых измерений с дисперсией σ 2 приблизительно 80 дадут ошибку меньше 0,5 σ ; ≈ 500 – меньше 0,6475 σ ; ≈ 954 – меньше 2 σ ; ≈ 997 – меньше 3 σ . При n ≥ 30 , выбирая ∆x равным σ , мы получим значение α ≈ 0,68 (стандартный доверительный интервал). В случае большого числа измерений (n → ∞) величина σ , входящая в закон (6), оказывается равной среднеквадратичной погрешности отдельного измерения ∆x сл , которая часто называется стандартной ошибкой: n

∑ (x i − x ) 2 i =1

∆x сл = σ ≈

n

.

(7)

Полученное в данной серии измерений значение величины x принимается равным x . Величина σ характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше σ , тем точнее проведено измерение. Обработка результатов серии измерений сводится к возможно более точному нахождению x и σ . Если при измерении абсолютная погрешность ∆x > 3σ , то это измерение следует отнести к грубым погрешностям или промаху. Величину 3σ обычно принимают за предельную абсолютную погрешность отдельного измерения (иногда вместо 3σ берут абсолютную погрешность измерительного прибора). Подчеркнем, что по формуле (7) находят абсолютную погрешность единичного измерения x i , т.е. каждое последующее измерение в данной серии (или в последующих) будет произведено с такой же погрешностью. Отклонение средних значений измеряемой величины, полученных в различных сериях измерений, от ее истинного значения также носит случайный характер. Погрешности средних значений ( x - x ист ) подчиняются нормальному закону распределения, но с другим рассеиванием (дисперсией). Характеризуя окончательную точность измерений, принято указывать ошибку среднего арифметического. Это средняя квадратичная ошибка, равная n

σ0 =

σ n

=

∑ (x i − x ) 2 i =1

n (n − 1)

(8)

Рассеяние средних значений меньше, чем рассеяние отдельных измерений. 10

Поскольку нет смысла стремиться к очень большому числу измерений, то возникает вопрос: как изменяется надежность при изменении числа измерений? Зависимость эта сложна и не выражается в элементарных функциях. Боссет (псевдоним «Стьюдент») доказал, что статистический подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе измерений незначительно отличается от него. Функция распределения табулирована. Существуют специальные таблицы коэффициентов Стьюдента, по которым можно определить, во сколько раз нужно увеличить стандартный доверительный интервал [± S x ], чтобы при определенном числе измерений n получить заданную надежность α (таблица 1). За стандартный принимают интервал [± S x ], где S x = σ 0 , вычисленное по формуле (8). Это означает, что при проведении многочисленных серий измерений погрешность в 2 3 случаев оказывается меньше σ 0 , а в 13 случаев больше, чем σ 0 . Таблица 1 Число измНадежность рений 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,98 0,999 2 1,00 1,38 2,0 3,1 6,3 12,7 31,8 636,6 3 0,82 1,06 1,3 1,9 2,9 4,3 7,0 31,6 4 0,77 0,98 1,3 1,6 2,4 3,2 4,5 12,9 5 0,74 0,94 1,2 1,5 2,1 2,8 3,7 8,6 6 0,73 0,92 1,2 1,5 2,0 2,6 3,4 6,9 7 0,72 0,90 1,1 1,4 1,9 2,4 3,1 6,0 8 0,71 0,90 1,1 1,4 1,9 2,4 3,0 5,4 9 0,71 0,90 1,1 1,4 1,9 2,3 2,9 5,0 10 0,70 0,88 1,1 1,4 1,8 2,3 2,8 4,8 15 0,69 0,87 1,1 1,3 1,8 2,1 2,6 4,1 20 0,69 0,86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,5 3,9 40 0,68 0,85 1,1 1,2 1,7 2,0 2,4 3,6 60 0,68 0,85 1,0 1,3 1,7 2,0 2,4 3,5 120 0,68 0,85 1,0 1,3 1,7 2,0 2,4 3,4 0,67 0,84 1,0 1,3 1,6 2,0 2,3 3,3 ∞ Порядок обработки результатов измерений следующий: - выполняют n измерений и записывают их результаты в таблицу; - вычисляют по (2) x ; - по формуле (8) вычисляют S x и находят по таблице коэффициент Стьюдента t (α , n ) в зависимости от заданной надежности α и числа измерений n ; - результат записывают в виде x = x ± t (α , n )S x

(9) 11

Это означает, что истинное значение измеряемой величины x исх находится в интервале [x − t (α , n )S x ; x + t (α , n )S x ] с надежностью α . Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность (в процентах): ∆x ε= * 100% x Пример. При непосредственном измерении микрометром диаметра шара в нескольких местах получено 16 (n=16) значений от 12,50 до 12,55 мм. Среднее арифметическое этих значений Dс р =12,52 мм, а сумма квадратов абсолютных погрешностей отдельных измерений (от –0,022 до +0,028 мм) ∆D i2 =0,003096. Среднее значение абсолютных погрешностей ∆Dср =0,01 мм. Среднеквадратичная погрешность равна

σ =

∑ ∆ D i2 n −1

=

0,003096 ≈ 0,014 мм. 15

Предельная абсолютная погрешность отдельного измерения 3σ =3⋅0,014=0,042 мм. Следовательно, в серии проведенных измерений не было промахов. Результаты измерения записывают так: D =(12,52±0,01) мм или 12,51≤ D ≤12,53.

То же можно рассчитать через стандартный доверительный интервал при надежности, например, 0,95:

Sx =

∑ ∆Di2

n (n − 1)

=

0,003096 ≈ 0,004(tα = 2,1) 16 ⋅ 15

где D = 12,52 ± 0,004⋅2,1 = (12,52 ± 0,008) мм. 2.1 Оценка точности косвенных измерений Как быть, если x определяется не прямым измерением, а косвенным, т.е. по результатам измерений других величин y и z ? Пусть x является некоторой функцией y и z , т.е. x = f (y , z ) . 12

Тогда наилучшее значение x x = f (y , z )

(10)

где y и z находится по формуле (2). Как же найти ∆x , если известны ∆y и ∆z ? Так как сами величины y и z находятся путем прямых измерений, то их погрешности ∆y и ∆z можно оценить по формулам (3) и (4). Заметим, прежде всего, что ∆x = x − x ; следовательно, простой оценкой для ∆x является разность ∆x = f (y + ∆y , z + ∆z ) − f (x , y ) ≈

∂f ∂f ∆y + ∆z , ∂y ∂z

(11)

т.е. ошибка косвенного измерения находится через ошибки прямых измерений по правилу дифференцирования. Часто этой оценки оказывается достаточно. Более точным является следующее выражение: 2

2

 ∂f   ∂f  ∆x =   ∆y 2 +   ∆z 2 ,  ∂z   ∂y 

(12)

где ∂f ∂y и ∂f ∂z - частные производные по y и z , взятые при значениях y = y , z = z . Часто удобно выражать точность, с которой найдено x , через относительную погрешность ε . По определению,

ε=

∆x , x

(13)

где x - рассчитывается по формуле (2). Тогда

∆x = xε .

(14)

Относительная погрешность, очевидно, является безразмерной величиной. Приведем простейшие случаи расчета предельных погрешностей результата косвенного измерения величины Х . 1. Пусть Х = Б + В , а предельные абсолютные погрешности прямого измерения величин Б и В соответственно равны ДБ и ДВ (это или погрешности измерительной аппаратуры, или результат расчета). Тогда 13

Х ± ДХ = (Б ± ДБ) + (В ± ДВ) .

Очевидно, наиболее невыгодный случай тот, когда ДБ и ДВ будут одинаковы по знаку, например + ДБ и ДВ , тогда предельная абсолютная погрешность результата равна ± ДХ = ДБ + ДВ , а предельная относительная погрешность ДХ ДБ + ДВ ДХ = = . Х Б+В Б+В

2. Пусть Х = Б ⋅ В , тогда Х ± ДХ = (Б ± ДБ) ⋅ (В ± ДВ) = Б ⋅ В ± Б ⋅ ДВ ± В ⋅ ДБ .

Полагая ДБ и ДВ малыми, получаем ДХ ДБ ДВ ДХ = . = + Х Б ⋅В Б В

3. Пусть Х = Б n . Тогда Y =A 1 ⋅4A2⋅ ... 4 ⋅3A . n

Предельная относительная погрешность равна ДБ ДХ ДБ =∑ =n ⋅ , Б Х Б n

а предельная абсолютная погрешность ДХ =

ДХ ⋅ Х = n ⋅ Б n −1 ⋅ ДБ . Х

4. Пусть Х = sinб . Тогда

Х ± ДХ = sin(б ± Дб) . Положим, что ∆α мало. В этом случае sin ∆α ≈ ∆α . Следовательно,

и тогда 14

Х ± ДХ = sinб + Дб ⋅ cosб , ДХ ДХ = = Дб ⋅ ctgб . sinб Х

3 Экспериментальная часть Ускорение свободного падения определяют косвенным измерением при помощи математического маятника, период колебаний которого T при длине l равен l . Τ = 2 ⋅π ⋅ g Отсюда 4 ⋅π 2 ⋅l . g= Τ2

Для выполнения работы нужны: математический маятник (груз, подвешенный на тонкой нити), линейка и электронный секундомер. Маятник закрепляют на стойке, отклоняют от положения равновесия на небольшой угол и отпускают. Период колебаний маятника Τ определяют следующим образом. С помощью секундомера измеряют время t пяти полных колебаний маятника. Отсюда Τ = t 5 . Погрешность измерений времени электронным секундомером составляет 0,01 с. Последовательность работы такая: 1. Восемь раз измеряется период одного полного колебания маятника Τi (i=1,2,3,…,8). Результаты измерения заносятся в таблицу 2. Затем проводится обработка полученных результатов измерения по алгоритму обработки результатов серии прямых измерений, содержащих преимущественно только случайную ошибку: а) Вычисляется среднеарифметическое значение периода Τ : Τ=

(Τ1 + Τ2 + ... + Τ8 ) 8

б) Вычисляются отклонения измеренных значений Τi от среднеарифме-

тического Τ и квадрат каждого такого отклонения, т.е. (Τi − Τ ) и (Τi − Τ ) . Результаты вносятся в таблицу 2. 2

Таблица 2 1

2

3

4

5

6

7

8

Τi ,

с Τi − Τ

15

,с

(Τi − ,с n = 8,

Τ = … с, σ пр = 0,01 с,

Τ = Τ ± ∆Τ = … с, l = l ± ∆l = … м, σ = … с, ∆Τ = σ = … с.

в) Вычисляется стандартная ошибка измерения периода колебания математического маятника σ , как

σ=

2 σ пр

2 2 2 ( Τ1 − Τ ) + (Τ2 − Τ ) + ... + (Τ10 − Τ ) + ,

9

где σ пр - приборная ошибка, которая может быть допущена секундомером при этих значениях. Грубо можно положить σ пр = 0,01 с. г) Приравнивают абсолютную ошибку измерения периода ∆Τ к стандартной ошибке (∆Τ = σ ) и записывают результат в виде Τ = Τ ± ∆Τ = … с.

д) Метровой линейкой измеряют длину математического маятника. Полученное значение сразу берут за среднюю длину l математического маятника, а абсолютную ошибку ∆l приравнивают половине цены деления линейки, т.е. ∆l = 0,5см = 0,005м. Результат измерения записывают в виде l = l ± ∆l и заносят в таблицу. По алгоритму обработки косвенных значений вычисляют значение g : g=

4 ⋅ π 2 ⋅l Τ2

; 2

2 2  4π 2 ∆l   2 ⋅ 4π 2l  ∂g   ∂g   + ∆g =  ∆l  +  ∆Τ  =  2 3    ∂l   ∂Τ   Τ   Τ

4π 2l

2

2

2

2

  ∆Τ 2 =   2

 ∆l   ∆Τ   ∆l   ∆Τ  = 2 ⋅   + 4  = g ⋅   + 4  . l   Τ  l   Τ  Τ ∆g ε= ⋅ 100% g Результат запишите в виде: g = g ± ∆g = ... м

16

с2

, ε = ...%

Сравните полученный Вами результат со справочным значением g = (9,81 ± 0,01) м/с2. Сделайте вывод. Замечание: Если два сравниваемых результата относятся к одной и той же величине, но лежат в различных доверительных интервалах, то при перекрытии этих интервалов можно сказать, что в пределах ошибки измерения результаты согласуются друг с другом. Когда же доверительные интервалы не перекрываются, то допустимо заключение, что результаты расходятся, не согласуются.

17

Контрольные вопросы: 1. Поясните, что понимается под ошибками единичного измерения. 2. Случайные и систематические ошибки. Причины их возникновения. 3. Прямые и косвенные измерения. 4. Какой смысл вкладывается в понятие "приборная ошибка"? 5. Что понимается под абсолютной ошибкой? Можно ли ее определить, как разность между измеренным и истинным значением измеряемой величины? Почему? 6. Что характеризует и как вычисляется стандартная ошибка? 7. Поясните порядок математической обработки результатов косвенных измерений. 8. Поясните порядок математической обработки результатов серии прямых измерений, содержащих преимущественно случайную ошибку. 9. Какой смысл имеет запись x = x ± ∆x ? 10. Что такое доверительный интервал?

18

Приложение А Классы точности приборов

Для характеристики большинства измерительных приборов часто используют понятие погрешности Е п. (класса точности). Приведенная погрешность – это отношение абсолютной погрешности ∆x к предельному значению x пр измеряемой величины (т.е. к наибольшему ее значению, которое может быть измерено по шкале прибора). Приведенная погрешность, являясь по существу относительной погрешностью, выражается в процентах: Е п = │∆x/x пр│· 100%.

По приведенной погрешности приборы разделяют на семь классов: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4. Приборы класса точности 0,1; 0,2; 0,5 применяют для точных измерений и называют презиционными. В технике применяют приборы классов 1; 1,5; 2,5; 4 (технические). Класс точности прибора указывают на шкале прибора. Если на шкале такого обозначения нет, то данный прибор внеклассный, т.е. его приведенная погрешности более 4%. Завод, выпускающих прибор, гарантирует относительную погрешность измерения данным прибором, равную классу точности (приведенной погрешности) прибора при измерении величины, дающей отброс указателя на всю шкалу. Определив по шкале прибора класс точности и предельное значение, легко рассчитать его абсолютную погрешность ∆х = ±│Е п/100| х пр, которую принимают одинаковой по всей шкале прибора. Знаки «+» и «-» означают, что погрешность может быть допущена как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения от действительного значения измеряемой величины. Правда, при использовании прибора для конкретных измерений редко бывает так, чтобы измеряемая величина давала отброс на всю шкалу. Как правило, измеряемая величина меньше. Это увеличивает относительную погрешность измерения. Для оптимального использования приборов их (или соответствующую шкалу измерений) подбирают так, чтобы значение измеряемой величины попадало в конец шкалы прибора, это уменьшит относительную. погрешность измерения и приблизит ее к классу точности прибора. В тех случаях, когда на приборе класс точности не указан, абсолютная погрешность принимается равной половине цены и наименьшего деления. Так, например, при измерении линейкой, наименьшее деление которой 1 мм, допускается ошибка до 0,5 мм.

19

Для приборов, оснащенных нониусом, за приборную погрешность принимают погрешность определяемую нониусом (для штангенциркуля – 0,1 мм или 0,05 мм; для микрометра – 0,01 мм).

20

Приложение Б Оформление графиков

Результаты экспериментов обычно представляют не только в виде таблиц, но и в графической форме. Приведем простейшие правила построения графиков. Графики строятся на миллиметровой бумаге, размеры листа для графика выбираются примерно 10х10 см2. Сначала наносятся координатные оси. Для независимой переменной, как правило, выбирается ось абсцисс (ось Х). На концах осей указываются обозначения физической величины и ее размерность. В качестве делений на координатных осях указываются не полученные в опытах значения величин, а масштабные деления, или эти деления, умноженные на10±n, где n - целое число. Обычно порядок масштаба (множитель 10±n) указывается на конце оси и понимается как общий множитель к каждому делению. Например, по оси абсцисс отложен промежуток времени от нуля до 10·10-4с: 0

2,5

5

7,5

10

t, 10-4с

Здесь одно деление составляет 2,5·10-4с. Точка пересечения осей не обязательно должна иметь координаты 0,0, ее координаты должны быть близки в начале каждой оси к минимальным, а в конце к максимальным значениям откладываемых величин. С учетом этих рекомендаций график будет занимать все поле листа. Затем приступают к нанесению на график экспериментальных точек. Точки нужно наносить точно и аккуратно, обозначая их кружочками, крестиками и т.п. – иначе их трудно разглядеть, когда проведут линию графика. Не следует стремиться к тому, чтобы линия проходила обязательно через все точки. Обычно физические зависимости соответствуют гладким, плавно меняющимся функциям, поэтому линии надо проводить без резких изломов. Способ изображения на графике экспериментальных результатов зависит от того, известна ли их случайная погрешность. Если она неизвестна (что чаще всего и бывает), то результаты изображаются точками, а если известна, то лучше изображать их не точками, а крестами. Полуразмер креста по горизонтали должен быть равен стандартной погрешности по оси абсцисс, а его вертикальный полуразмер – погрешности по оси ординат. В том случае, если одна из ошибок – из-за своей малости – не может быть изображена графически, результаты изображаются черточками, вытянутыми на ± σ в том направлении, где погрешность не мала. Графики дают возможность определить промежуточные значения измеряемой величины для тех значений аргумента, при которых измерения не проводились.

21

Пример.1 В лабораторной работе «Маятники» необходимо экспериментально установить связь между периодом T и корнем квадратным из длины L математического маятника. В результате измерений получили следующие данные: Таблица Б.1 L, м

0.5

0.45

0.40

0.35

0.30

0.25

√L, м1/2

0.707

0.652

0.630

0.561

0.547

0.5

Т, с

1.41

1.30

1.25

1.19

1.09

1.02

По полученным данным на миллиметровой бумаге в прямоугольных координатах построили соответствующий график (рисунок Б.1), откладывая по оси абсцисс L , м1/2, а по оси ординат – T , с. Согласно таблице Б.1, L , м1/2 меняется, начиная от 0,5 м1/2, а на ось ординат – с 1,0 с. Причем, по оси абсцисс удобно нанести деления 50, 54, 58,… с общим множителем 10-2 м 1/2.

Рисунок Б.1 В тех случаях, когда величины, откладываемые на осях, составляют несколько порядков, удобно пользоваться полулогарифмическим или логарифмическим масштабами. Полулогарифмическая система координат – это прямоугольная система координат (рисунок Б.2), по одной оси (Х) которой отложен равномерный мас1

Данный пример и комментарии к нему взяты из сборника «Методические указания для студентов первого курса к лабораторным работам по механике и молекулярной физике» под ред. Э.П. Гофмана, Оренбург 1992 г.

22

штаб, а по второй (Y) – логарифмический (пропорциональный) lg натуральных чисел. Полулогарифмический масштаб удобен для изображения зависимости типа: y = a ±kx .

(например, зависимость a = a o ⋅ e − β ⋅t ). Действительно, lg y = lg a + k lg e

Рисунок Б.2

Рисунок Б.3

Если наносить величину Х по оси равномерной шкалы, а величину Y по оси логарифмические масштабы, то получится прямая линия. Логарифмическая система координат – это прямоугольная система координат (рисунок Б.3), на обеих осях которой отложены логарифмические масштабы. Логарифмическая система очень удобна для изображения зависимости вида – X n ⋅ Y n = const

(например, pV γ = const - закон Пуассона). Действительно, n lg x + m lg y = lg c В таких координатах зависимость между величинами изобразится прямой линией. 23

Приложение В Точность расчетов

Результат измерения записывается в виде, определяемом формулой (5). Запись m = 0,876 ± 0,008 г означает, что в результате измерений для массы тела найдено значение 0,876 г со стандартной погрешностью 0,008 г. Подразумевается, что при вычислении стандартной погрешности учтены как случайные, так и систематические ошибки. При записи погрешности следует округлять ее величину до двух значащих цифр, если первая из них является единицей, и до одной значащей цифры во всех остальных случаях. Так, правильно писать ±3; ±0,2; ±0,08; ±0,14 и не следует писать ±3,2; ±0,23; ±0,084. Не следует также округлять ±0,14 до ±0,1. Поясним это правило. Как мы уже говорили, погрешность эксперимента редко удается определить с точностью лучше 20%. Если вычисление стандартной ошибки приводит к 0,14, то округление 0,14 до 0,1 изменяет величину погрешности на целых 40%, в то время как округление до 0,3 числа 0,26 или 0,34 изменяет погрешность менее чем на 15%, т. е. несущественно. При записи измеренного значения последней должна указываться цифра того десятичного разряда, который использован при указании погрешности. Так, один и тот же результат, в зависимости от погрешности, запишется в виде: 1,2 ± 0,2; 1,24 ± 0,03; 1,243 ± 0,012 и т. д. Таким образом, последняя из указанных цифр (или даже две из них, как в последнем примере) оказывается сомнительной, а остальные — достоверными. Сформулированное правило следует применять и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями. Если при измерении получен результат m = 0,900 + 0,004 г, то писать нули в конце числа 0,900 необходимо. Запись m = 0,9 означала бы, что о следующих значащих цифрах ничего не известно, в то время как измерения показали, что они равны нулю. Аналогичным образом, если масса тела равна 58,3 кг (с погрешностью в десятых долях килограмма), то не следует писать, что она равна 58 300 г, так как эта запись означала бы, что тело взвешено с точностью несколько граммов. Если результат взвешивания должен быть выражен в граммах, то в нашем случае нужно писать 5,83 • 104 г. Необходимая точность расчетов определяется тем, что расчет не должен вносить в измерения дополнительной погрешности. Обычно в промежуточных расчетах сохраняется один лишний знак, который в дальнейшем — при записи окончательного результата — будет отброшен.

24

Приложение Г Выполнение работы и оформление отчета

Выполнение каждой лабораторной работы проводят, придерживаясь следующих правил: 1. Внимательно читают описание лабораторной работы в данном практикуме. 2. Знакомятся с приборами и принадлежностями, которые необходимы для проведения работы, и приступают к установке приборов или сборке установки в соответствии с описанием. Иногда работа проводится на готовой установке. 3. Производят наблюдения и отсчеты. Эта часть работы является наиболее ответственной и ее надо проводить очень аккуратно и тщательно, согласно указаниями, которые даны в данном практикуме по каждой работе для измерения и наблюдения данной физической величины. все результаты измерений записываются в таблицы записи результатов, которые даны в конце каждой работы. 4. Обрабатывают результаты измерений: вычисляют измеряемую величину по формулам и дают оценку погрешности измерений. Для оформления отчетов пот физическому практикуму необходимо иметь специальный журнал экспериментальной работы (тетрадь). Заполнение отчета проводят по следующей схеме: 1. Записывают название, номер работы и ее цель. 2. Дают краткое описание теории метода и приборов с описанием схем приборов и установок (берут из данной работы физического практикума) и подготавливают таблицу для записи измерений. 3. В таблицу записи измерений вписывают результаты измерений (берут из опытов). 4. Подсчитывают величину (величины), подлежащую определению. При этом указывают доверительный интервал, в котором лежит измеряемая величина. 5. Анализируют полученный результат. Выявляют основные источники погрешностей.

25

Литература, рекомендуемая для изучения темы 1. Лабораторные занятия по физике // Под ред. Л.А. Гольдина. – М.: Наука, 1983. 2. Каленков С.Г. и др. Практикум по физике. Механика. – М.: Высшая школа, 1990. 3. Дж. Тейлор Введение в теорию ошибок. – М.: Мир, 1985.

26

Работа № 1 Ускорение. Равноускоренное движение. Свободное падение. Цель работы: 1. Познакомиться с равноускоренным движением тел. 2. Рассмотреть факторы, влияющие на величину ускорения свободного падения. 3. Убедиться, что свободное падение – равноускоренное движение. Определить ускорение свободного падения.

1 Ускорение Для характеристики быстроты изменения вектора скорости при неравномерном движении в механике вводится понятие ускорения. Пусть материальная точка в момент времени t в

ρ v1

A

т. А имела скорость

ρ v1 ,

а в т. В в момент времени

ρ t + ∆t - скорость v 2 . Тогда (рисунок 1)

B

ρ ρ ∆v aср

ρ ρ ρ ∆v = v 2 − v 1

ρ v2

Отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, называется средним ρ ускорением a ср

ρ − v1 Рисунок 1

ρ ρ ∆v a ср = . ∆t

Устремив промежуток времени корение материальной точки в т. А.

∆t

(1)

к нулю и беря предел от выражения (1), получаем мгновенное ус-

ρ ρ ρ ρ ∆v dv ρ⋅ = =v a = lim aср = lim ∆t → 0 ∆t → 0 ∆t dt

(2)

ρ

Ускорением (мгновенным ускорением) материальной точки называется векторная величина a , равная первой производной по времени от скорости рассматриваемой материальной точки или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

ρ ρ ⋅⋅ ρ d  dr  d 2r ρ a= =r  = dt  dt  dt 2 Ускорение измеряется в м/с2

ρ an

ρ a = [м/с2].

ρ aτ

A

Вектор ускорения принято раскладывать на две составляющие, одна из которых направлена по касательной к траектории движения и называется касательным или тангенциальным ускорением

ρ a

(3)

ρ aτ ,

а другая по нор-

мали к траектории (к центру по радиус-вектору) и называ-

27

ется нормальным или центростремительным ускорением

ρ an

(рисунок 2)

ρ ρ ρ a = a n + aτ

Рисунок 2

a = a n2 + aτ2

Тангенциальное ускорение изменяет только величину скорости: a τ =

(4)

dv ,а dt

нормальное - только её направление. ρ v2 ρ an = n R Очевидно, что криволинейное движение всегда происходит с ускорением, т. к. в этом случае скорость всегда будет изменяться, во всяком случае по направлению. В зависимости от значения тангенциальной и нормальной составляющих ускорения, движение можно классифицировать следующим образом: 1. 2. 3. 4.

aτ aτ aτ aτ

= a n = 0 прямолинейное равномерное движение; ≠ 0 a n = 0 прямолинейное ускоренное движение; = 0 a n ≠ 0 равномерное криволинейное движение; = f (t ) a n ≠ 0 криволинейное движение с переменным ускорением.

Простейший случай неравномерного движения – это движение с постоянным ускорением. При таком виде движения

aτ = a = Если начальный момент времени

v 2 = v , получим

t1 = 0 ,

∆v v 2 − v1 = . ∆t t 2 − t1

а начальная скорость

v1 = v 0 ,

то, обозначив

v = v 0 + at

t2 = t и (5)

Проинтегрировав эту формулу от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что, длина пути, пройденного точкой в случае равнопеременного движения t

t

S = ∫ vdt = ∫ (v 0 + at )dt = v 0t + a 0

0

t2 . 2

(6)

2 Свободное падение Равноускоренное движение происходит в постоянном во времени однородном силовом поле. Примером такого поля может служить поле тяготения вблизи поверхности Земли при условии, что движение тела происхо-

28

дит в области, линейные размеры которой малы по сравнению с радиусом Земли. Согласно закону всемирного тяготения, сила взаимодействия (тяготения) между двумя телами с массами m и М обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними

FT = G

mM R2

,

(7)

где - G – гравитационная постоянная, равная в СИ 6,67*10-11 Нм/кг. Тяготеющими телами могут быть материальные точки, шарообразные образования со сферическисимметричным распределением плотности или материальная точка и шар. R – расстояние между центрами шаров или между точкой и шаром. С другой стороны любое тело, на которое действует сила, в том числе и

FT , по второму закону Нью-

тона будет двигаться с ускорением

a=

F FT = =g. m m

(8)

Из сопоставлений (7) и (8) в силу равенства инертной и гравитационной масс следует, что ускорение g, называемое ускорением свободного падения, является напряженностью земного поля тяготения

g =G

M R

2

,

(9)

где - М и R - масса и радиус Земли. Из (9) следует, что всем телам, находящимся в поле тяготения сообщается одинаковое ускорение. Установлено, что значение g различно в различных точках земной поверхности. Так, например, значение

g

изменяется с широтой местности от 9,78 м/с2 на экваторе до 9,83 м/с2 на полюсе.

Рассмотрим некоторые факторы, влияющие на величину

g.

ρ ρ ρ m g = FT + Fцб

R1=Rcosϕ

ρ Fцб

ρ FТ ϕ

Так как Земля вращается вокруг своей оси, то связанная с ней система отсчета будет неинерциальной. ось вращения Силу инерции, возникающую в неинерциальной (по отношению к инерциальным системам) системе отсчета, называют центробежной силой инерции.Рисунок Эта сила3действует на тело во вращающейся системе отсчета независимо от того покоится тело в этой системе или движется.

ρ ρ Fцб = mω 2 R ,

(10)

ρ

где m – масса тела, ω - угловая скорость вращения Земли ( ω =7,3·10-5 рад/с), R1 - радиус вектор, проведённый от оси вращения до рассматриваемого тела. Из рисунка 3 видно, что

R1 = R cos ϕ

, где

ϕ - широта местности.

Тогда выражение для центробежной силы примет вид

29

Fцб = mω 2 R cos ϕ . ρ g

Наблюдаемое относительно Земли ускорение свободного падения тел

ρ действием сил FT

(11)

ρ и Fцб . Результирующая этих сил есть сила тяжести

обусловлено совместным

ρ ρ FT + Fцб = mg . (12) Из рисунка 3 видно, что вращение Земли приводит к уменьшению g . Но отличие силы тяжести от сиρ лы тяготения невелико, т.к. центробежная сила инерции значительно меньше, чем FT * . Так, для массы в 1 кг наибольшее значение Fцб , наблюдаемое на экваторе (11), равно 0,035 Н, в то время как FT равно приблизиρ тельно 9,8 Н, т.е. почти в 300 раз больше. На полюсе Fцб =0. Из рисунка 3 также видно, что сила тяжести, а ρ значит и g не направлены точно к центру. В физике применяется также понятие веса тела. Весом тела называют силу, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного падения. Вес тела проявляется только в том случае, если тело движется с ускорением, отличным от g , т.е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости. Зависимость

Fцб

от

ϕ (11), а также сплюснутость Земли у полюсов (расстояние от центра Земли до

экватора на 21 км больше, чем у полюсов) приводит к монотонному росту Численное значения

g

g с широтой.

зависит от высоты h точки, в которой определяется ускорение, над поверхно-

стью Земли. Из формулы (9) получим, что

g (h ) = G

M

(R + h ) 2

.

Вблизи поверхности Земли g в среднем уменьшается на 3,1*10-6 м/с2 при увеличении высоты на 1 м. Укажем на еще одну причину отличия величины g от среднего значения. Реальное распределение плотности вещества в земной коре не является сферически-симметричным. В области залегания тяжелых пород (например, руд) сила тяготения, а следовательно, и g более среднего значения для данной широты. И наоборот, в местах сконцентрированы легкие породы или находятся нефтяные, газовые месторождения, плотность земной коры уменьшается, что приводит к уменьшению величины g . На широте Оренбурга

g

≈ 9.81 м/с2

3 Экспериментальная часть Рассмотрим падение тела (снаряда пушки) с некоторой высоты. Разобьем общую высоту падения Н на два участка: hoi (AB) и h (BC) (рисунок 4). Второй участок имеет постоянную длину h = 25см. Длина второго участка hoi меняется от опыта к опыту, от 0 до 14.5 см, что соответствует фиксированным положениям пушки и отсчитывается по шкале. Путь, который проходит снаряд, рассчитывается по формуле для свободного А падения тел:

h 0i

t 0i

gt 2 H = v 0t + 2

В v 0i

h

ti

*

.

где t – время падения,

При определении ускорения свободного падения как напряжённости земного гравитационного поля по (8), вклад Fцб не учитывался вследствие его малости. С

30

Рисунок 4

v 0 - начальная скорость тела. На участке AB (назовем его участком разгона) снаряд падает toi секунд, приобретая в т. B скорость

v 0i . Эта скорость является начальной для второго участка

BC. Время падения на втором участке ti будет зависеть от v 0 i . Время ti можно измерить, пользуясь ИСМ. Кинематические уравнения, которыми описывается движение тела в нашем случае, выглядят следующим образом: Для участка AB

v 0i = gt 0i ;

t 0i =

2h 0i g

(13)

;

(14)

v 0i 2 = 2gh 0i .

(15)

Для участка BC

h = v 0i t i − v 0i =

gt i2 2

h gt i − 2 ti

;

(16)

.

(17)

В результате выполнения практической части студент должен убедиться, что падение снаряда является равноускоренным движением, а также определить ускорение свободного падения.

4 Порядок выполнения работы Работа выполняется на комплексной установке по механике. Пушка устанавливается вертикально. Пружина пушки не используется. Зацеп удерживает снаряд в одном из фиксированных положений. При отпускании снаряда (как и при выстреле из пушки) определяется время падения снаряда между фотодатчиками. 1. Установить снаряд в одном из фиксированных положений 2. Измерить расстояние hoi между положением нижнего конца снаряда и первым фотодатчиком. Результат занести в таблицу. 3. На передней панели ИСМ нажать кнопки «СЕТЬ» и «ГОТОВ», кнопку «:2» отжать, переключатель «ДАТЧИК» установить в положение «3». 4. Отпустить снаряд поворотом рукоятки зацепа. Определить время падения ti с помощью таймера ИМС. Результат занести в таблицу 1. 5. Повторить опыт (пп. 1 – 4 ) для остальных начальных положений снаряда. 6. Заполнить таблицу 1. Таблица 1 i=1

2

3

4

5

6

hoi, m ti, с

v 0i ,м/с

31

v 0i2 ,м/с2 gi, м/с2

1.

2 Построить график зависимости v 0i = f(hoi) по формуле (15)

2.

Определить величину

3.

1 По данным таблицы определить g и ∆g = n

g

из графика. n

∑ g − gi

.

i

Контрольные вопросы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Что изучает кинематика? Какие виды движения вы знаете? Какой вид движения изучается в данной работе. Какой смысл имеет величина g ? Перечислите факторы, влияющие на величину g ? Что понимается под весом тела и силой тяжести ? Поясните цель практической части работы и способ ее достижения. Справедливо ли утверждение, что все тела падают с одинаковым ускорением ?

Литература, рекомендуемая для изучения темы 1. 2. 3.

32

Савельев И.В. Курс общей физики т.I М. 1982 г. Трофимова Т.В. Курс физики М. 1990 г. Хайкин С.Э. Физические основы механики. М. 1971 г.

Работа № 2 Динамика поступательного движения Цель работы: 1. Изучение законов динамики и их применения для описания поступательного движения твердого тела. 2. Исследование характера движения связанных тел. 3. Изучение зависимости ускорения системы грузов от их масс. 4. Экспериментальное определение ускорения свободного падения.

1 Законы Ньютона Сформулируем законы движения Ньютона. Первый закон Ньютона гласит: «Всякое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не вызовут изменения этого состояния».

В этом законе, прежде всего, имеется утверждение, что покой и равномерное и прямолинейное движение тела – одно и тоже механическое состояние тела. В первом законе Ньютона дана оценка действия силы: только сила может изменить состояние покоя и равномерного и прямолинейного движения тела. Так как описание движения возможно только в некоторой системе отсчета, этот закон постулирует существование хотя бы одной системы отсчета, где он выполняется. Такие системы отсчета называются инерциальными, а первый закон Ньютона часто называют законом инерции, понимая под инерцией сохранение физическими телами состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения при отсутствии внешних воздействий на них со стороны окружающих тел. Согласно второму закону Ньютона: «ускорение, сообщаемое материальной точке, пропорционально действующей силе и совпадает с ней по направлению:» ρ ρ F = kma

(1)

Постоянная k зависит от выбора единиц измерения, множитель m характеризует свойства материальной точки, испытывающей действие силы, и называется ее инертной массой.. Если второй закон применяют для описания поступательного движения твердого тела, то его массу считают сосредоточенной в центре масс, практически совпадающем с центром тяжести.

Если единицу массы выбрать так, чтобы коэффициент пропорциональности в (1) k = 1 , то выражение (1) примет вид:

33

ρ ρ ρ ρ dv d 2r F = ma ≡ m ≡m 2 dt dt

(2)

Уравнение (2) применимо для описания движения тела с постоянной массой. Однако, если для характеристики механического состояния при движении тела ввести понятие импульса тела, определяемого как произведение массы на скорость: ρ ρ P = mv ,

(3)

то второй закон приобретает более общий характер: ρ ρ dP F= dt

(4)

и формулируется так: «Скорость изменения механического импульса пропорциональна действующей силе и совпадает с ней по направлению». В таком виде второй закон применим и для описания движения тела с переменной массой. Уравнения (2) и (4) называются уравнениями движения. Уравнение (4) можно записать в виде: ρ ρ dP = Fdt .

(5)

Это означает, что изменение импульса пропорционально силе и времени ее действия. Следовательно, одно и то же изменение импульса может быть создано большой силой за малый промежуток времени и малой силой за большой промежуток. Отметим также, что результат действия силы не зависит от присутствия других сил и от имеющегося уже движения, так как и силы и ускорения подчиняются принципу наложения. Записанные уравнения движения имеют место только в инерциальных системах отсчета. Это значит, что в (2) или (4) необходимо подставлять ускорение относительно такой системы отсчета, которая сама не имеет ускорения. В ρ ρ ρ системах отсчета, движущихся с ускорением, сила F не равна ma , где a - ускорение, наблюдаемое относительно неинерциальной системы отсчета. В третьем законе Ньютона подчеркивается, что силы всегда есть результат взаимодействия тел. Этот закон гласит: «Силы взаимодействия, испытываемые двумя материальными точками, равны по модулю, противоположны по направлению и направления их совпадают с прямой, соединяющей точки». Аналитически он выражается так: ρ ρ F12 = −F21

34

(6)

ρ ρ Отметим, что силы F12 и F21 приложены к различным телам. Применимость третьего закона ограничена определенными пределами. ρ Этот закон утверждает, что сила F12 равна по величине и противоположна силе ρ F21 , когда обе они измеряются в один и тот же момент времени. Это требование противоречит известному положению о конечных скоростях передачи взаимодействий между телами, согласно которому, данное тело воспринимает действие силы, оказываемое другим телом не мгновенно, а через конечный промежуток времени. Поэтому третий закон Ньютона не всегда является достаточно хорошим приближением. Но, для изучения взаимодействий макроскопических тел, когда продолжительность взаимодействия велика по сравнению с промежутком времени, необходимым для передачи воздействия, применение этого закона вполне обосновано. Применим уравнение движения к изучению движения связанных тел. Пусть через очень легкий ρ шкив перекинута невесомая нить, к которой подвеT шены два груза разных масс m1 и m 2 (рисунок 1). На ρ ρ m g и m g , и силы грузы действуют силы тяжести ρ m2 1 2 ρ ρ T a натяжения нитей T . Полагая, что m1 > m 2 и считая, ρ ρ a , запичто система грузов движется с ускорением m1 m2 g шем уравнения (2) разу в скалярной форме, выбрав ρ положительным направлением направление вниз mg 1

x

m1g − T = m1a m 2 g − T = −m 2a

Рисуно Отсюда для a получаем

a =g

m1 − m 2 m1 + m 2

(7)

Чтобы учесть трение в подшипниках шкива, в уравнение движения необходимо ввести некоторую «эффективную» силу сопротивления Fc . Тогда уравнение движения для грузов имеет вид: a (m1 + m 2 ) = (m1 − m 2 )g − Fc

и a=

Fc m1 − m 2 . g− (m1 + m2 ) m1 + m 2

(8)

35

2 Экспериментальная часть 2.1 Исследование характера движения грузов

С помощью машины Атвуда можно определить характер движения системы тел, в частности, исследовать движение под действием постоянной силы на равнопеременность. Пусть система тел за промежуток времени t1 прошла путь h1, а за время t2 - путь h2. Если предположить, что движение тел равноускоренное, то, как известно, at12 at 22 и h2 = . h1 = 2 2

Удобно выбрать значения h1 и h2 так, чтобы h2 было кратно h1, например, h2 = 2h1. Тогда 2

 t2    = 2  t1 

(9)

Следовательно, при условии h2 = 2h1, выражение (9) будет является критерием равнопеременности движения. 2.2 Проверка выполнения второго закона Ньютона

При проверке этого закона необходимо, чтобы движущаяся масса оставалась постоянной, а величина действующей силы изменялась. Этого можно достичь путем перекладывания перегрузков с одного груза на другой. Сила F , приводящая систему в движение, равна разности весов правого и левого грузов. Если оба перегрузка µ 1и µ 2 ( µ 1 > µ 2 ) находятся на правом грузе, то F1 = (µ1 + µ 2 )g . Если меньший перегрузок ( µ 2 ) переложить на левый груз, то F2 = (µ1 − µ 2 )g . Для двух различных случаев на основании (2) получим F1 = (2m + µ1 + µ 2 )a1 и F2 = (2m + µ1 + µ 2 )a 2 ;

36

at12 at 22 h1 = и h2 = . 2 2 Тогда, при h2 = h1 , получаем 2

F1 µ1 + µ 2 a1  t 2  = = =  . F2 µ1 − µ 2 a 2  t1 

(10)

2.3 Определение ускорения свободного падения

Fc в (8 ) при изменении массы грузов почти не измеm1 + m 2 няется в случае сухого трения. Построив график зависимости ускорения a от величины Отношение

k=

m1 − m 2 m1 + m 2

(11)

и убедившись в том, что эта зависимость линейная, находим g как угловой коFc эффициент графика, а отношение - как экстраполированное значение m1 + m 2 произведения kg , при котором a = 0 .

3 Порядок выполнения работы 1. На перекинутую через шкив нить подвешивают два груза разных масс. Легкий груз опускают и удерживают прижатым к основанию установки. Поворачивая шкив, устанавливают щель в зазоре фотодатчика (на панели ИСМ – 2 загорается индикатор «ГОТОВ»). Отпускают груз и фиксируют первое после начала движения показание таймера. Если на ИСМ – 2 кнопка «:2» отпущена, это показание даст время одного оборота шкива (ϕ = 2π ) , если кнопка нажата – показание даст время двух полных оборотов шкива (ϕ = 4π ) . Ускорение грузов определяют по времени τ поворота шкива на определенный угол ϕ . Угловое ускорение шкива

β= Ускорение грузов

2ϕ

τ2

37

a = βR =

2ϕR

τ2

,

где R = 20,5мм - радиус шкива. Результаты эксперимента представить в виде: m1 = Масса тяжелого груза m2 = Масса легкого груза τ1 = Время одного оборота шкива τ2 = Время двух оборотов шкива

г. г. мс. мс.

2

τ  Критерий равнопеременности движения  2  =  τ1  Ускорение грузов a=

м/с2.

2. На нить подвешивают два груза равной массы (например по 230 г). На один из грузов (правый) положить два перегрузка, массами µ1 = 20 г и µ 2 = 10 г. Измерить время t1 двух полных оборотов шкива. Переложить перегрузок µ 2 на левый груз и снова измерить время t 2 двух полных оборотов шкива. Определить ускорения грузов. По полученным данным проверить справедливость соотношения (10). Результаты экспериментов представить в виде: масса тяжелого перегрузка, масса легкого перегрузка время двух полных оборотов шкива время двух полных оборотов шкива ускорение грузов ускорение грузов

µ1 + µ 2 = µ1 − µ 2

µ1 = µ2 =

г г t1 = с t2 = с a1 = м/с2 a 2 = м/с2

a ; 1 = a2

2

;

 t2    =  t1 

;

Подвесить на нить два груза различной массы (рекомендуемые соотношения масс приведены в таблице) и для различных соотношений масс определить: m − m2 , время двух полных оборотов шкива t и ускорение грузов величину k = 1 m1 + m 2 a . Построить график зависимости a = f (k ) и определить g , как угловой коэффициент графика. Результаты эксперимента представить в виде таблицы:

38

Таблица 1 Масса тяжелого груза, m1 , г.

250

260

250

270

Масса легкого груза, m2 , г.

240

240

220

230

k = (m1 − m 2 ) (m1 + m 2 )

Время двух оборотов шкива, t, мс. Ускорение грузов, a = 8πR 2 , м/с2 t Ускорение свободного падения g = ∆a , м/с2 ∆k

Контрольные вопросы: 1. Законы динамики Ньютона. 2. Инерциальные системы отсчета. 3. Границы применения законов Ньютона. 4. Кинематика поступательного и вращательного движения тел. 5. Погрешности измерений в данной работе.

Литература, рекомендуемая для изучения темы: 1. Стрелков С.П. Механика – М. «Наука», 1975. 2. Сивухин Д.В. Общий курс физики – М. «Наука», 1977-1980, т.1. 3. Ч.Киттель, У. Найт, И. Рудерман Механика – М. «Наука», 1975.

39