Гауссовы пучки и резонаторы лазеров: Методические указания к лабораторной работе

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра общей физики В. М. Бойко

ГАУССОВЫ ПУЧКИ И ЛАЗЕРНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ Описание лабораторной работы 4.4 по физической оптике

Новосибирск 2004

www.phys.nsu.ru ГЛАВА 4

ГАУССОВЫ ПУЧКИ И ЛАЗЕРНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ ЦЕЛЬ РАБОТЫ: знакомство с характеристиками лазерного излучения, измерение пространственных параметров лазерного пучка, изучение особенностей преобразования гауссовых пучков.

ВВЕДЕНИЕ

www.phys.nsu.ru Краткая теория гауссовых пучков, необходимая для выполнения данной работы, рассмотрена в первой части в п. 2. Напомним, что основными характеристиками гауссова пучка являются следующие параметры: радиус пучка (или размер пятна) 1/ 2

⎡ ⎛ 2 z ⎞2 ⎤ w ( z ) = w0 ⎢1 + ⎜ 2 ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ kw0 ⎠ ⎥⎦

;

(1)

радиус кривизны волнового фронта

⎡ ⎛ kw2 ⎞ 2 ⎤ R ( z ) = z ⎢1 + ⎜ 0 ⎟ ⎥ ; ⎢⎣ ⎝ 2 z ⎠ ⎥⎦

(2)

расположение перетяжки там, где радиус пучка минимален; размер пятна в перетяжке, который для резонатора с радиусами кривизны зеркал R1 и R2 расстояния между ними L дается выражением

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 1/ 4

⎡⎛ λ ⎞ 2 L ( R1 − L )( R2 − L )( R1 + R2 − L ) ⎤ w0 = ⎢⎜ ⎟ ⎥ 2 ( R1 + R2 − 2 L ) ⎣⎢⎝ π ⎠ ⎦⎥

;

(3, а)

а для конфокального резонатора (L = R1 = R2)

Lλ = 2π

w0 =

L ; k

(3, б)

релеевская длина (или конфокальный параметр пучка)

zR =

kw02 , 2

(4)

определяющая расстояние от перетяжки, на котором размер пятна увеличивается в 2 раз; угол расходимости в дальней зоне (z >> kw02/2)

www.phys.nsu.ru θ=

λ w = 0. πw0 z R

(5)

Следует отметить, что релеевская длина zR близка к характерной длине, на которой начинает играть роль дифракция, а угол расходимости θ соответствует (с точностью до π) дифракционной расходимости на щели шириной w0. Эти совпадения не случайны, поскольку характерные особенности гауссовых пучков связаны именно с дифракцией. Отличие в поведении гауссовых пучков связано с тем, что дифракция здесь меняет только поперечный масштаб пучка, оставляя неизменным гауссовское распределение поля по сечению пучка на любых расстояниях от перетяжки (см. методические указания «Дифракция света», 1991, НГУ, стр. 28–29). Поэтому, в частности, преобразование гауссовых пучков оптическими системами отличается от преобразования хорошо известных гомоцентрических пучков, в которых явлением дифракции пренебрегается. (Гомоцентрическим называется обычный пучок от точечного источника света со сферической волновой поверхностью и равномерным распределением интенсивности по сечению пучка). В этом смысле гауссов пучок

www.phys.nsu.ru 2

www.phys.nsu.ru является новым объектом для технической оптики и требует в общем случае модернизации методов расчета оптических систем, предназначенных для трансформации лазерного излучения. Свойства гауссовых пучков необходимо учитывать при согласовании лазерного пучка с внешней резонансной системой. Согласование заключается в таком его преобразовании, чтобы пространственное распределение поля пучка совпало с полем резонансной моды согласуемой системы, и сводится к трем моментам: совмещению осей, совмещению плоскостей перетяжек и выравниванию размеров пятен в перетяжках или конфокальных параметров. Первый из указанных моментов осуществляется просто взаимной юстировкой пучка и пассивной резонансной системы. Чтобы выполнить два других момента согласования, необходимо решить задачу: какую выбрать линзу и как ее установить, чтобы получить перетяжку определенного размера на заданном расстоянии.

www.phys.nsu.ru §1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ ТОНКОЙ ЛИНЗОЙ

Рассмотрим, что происходит с гауссовым пучком после прохождения идеальной тонкой линзы с фокусным расстоянием f, установленным на расстоянии l1 от перетяжки w01 (рис. 1). Тонкая линза преобразует гауссов пучок с размером пятна в перетяжке w01 в пучок с размером пятна w02, причем коэффициент преобразования α дается выражением

α=

w02 1 = 2 2 w01 ⎡⎣1 − ( l1 f ) ⎤⎦ + ( zR1 f )

{

}

12

,

(6)

а местоположение перетяжки l2 определяется соотношением

( l2

f ) = 1+

⎡⎣ ( l1 f ) − 1⎤⎦ , 2 2 ⎡⎣( l1 f ) − 1⎤⎦ + ( z R1 f )

(7)

www.phys.nsu.ru 3

www.phys.nsu.ru kw01 . (Вывод формул приведен в приложении). 2 В этих формулах отношения l1 / f и l2 / f положительны, если где z R1 =

линза собирающая, и отрицательны, если линза рассеивающая. Когда в результате расчета оказывается, что l2 – отрицательно, пучок после линзы продолжает расходиться. Если в (6) и (7) принять zR << l1 − f , то получим хорошо известные из геометрической оптики формулы для тонкой линзы

Активный резонатор L

R1

Пассивный резонатор L’

Согласующая линза ZR1

R2

ZR2

R’1

R’2

www.phys.nsu.ru l1 a)

f

l2

l1

f

l2

б) Рис. 1. Преобразование гауссова (а) и гомоцентрического (б) пучков тонкой линзой

www.phys.nsu.ru 4

www.phys.nsu.ru ⎛Z ⎞ 1 + ⎜ R1 ⎟ ⎝ f ⎠ ⎛ Z R1 ⎞ ⎜2f ⎟ ⎝ ⎠

a=

2

Z R1 ω 01 = Z R 2 ω02

2

l1

0

1

2

f

Рис. 2.Завимость коэффициента преобразования от отношения l1/l

( l2

f ) = 1+

1 . ⎡⎣( l1 f ) − 1⎤⎦

www.phys.nsu.ru ⎡l ⎤ 1 . a = ⎢ 2⎥= ⎣ l1 ⎦ ⎡⎣1 − ( l1 / f ) ⎤⎦

Рассмотрим возможность преобразования гауссова пучка с размером пятна в перетяжке w01 в пучок с размером пятна в перетяжке w02 с помощью тонкой линзы с фокусным расстоянием f. Для этого обратимся к формулам (6), (7) и проанализируем зависимость коэффициента преобразования a = w01 / w02 от величины l1 / f . Эта зависимость приведена на рис. 2. Для некоторого конечного значения параметра z R1 / f преобразования с ростом l1 / f значения ⎡1 + ( z R1 f

⎣

)

2

коэффициент

сначала падает от начального

⎤ . При l1 / f = 1 коэффициент достигает ⎦

минимума, равного ( z R1 / f

)

2

, а затем монотонно растет, стремясь к

бесконечности при l1 / f → ∞ . При варьировании величины l1 / f от 1 до ∞ возможно достижение любого конфокального параметра преобразованного пучка, удовлетворяющего неравенству

www.phys.nsu.ru 5

www.phys.nsu.ru ( ) zR 2 ≤ f 2 / z R1 . Следовательно, для получения нужного значения

zR 2 при заданном zR1 фокусное расстояние линзы не должно быть меньше некоторого минимума, а именно:

f ≥ f min = zR1 z R 2 = kw01w02 .

(8)

Из (6) находится расстояние l1 от перетяжки w01 до согласующей линзы с произвольным f

l1 = f + f

z R1 ⎛ z R1 ⎞ − z R 2 ⎜⎝ f ⎟⎠

2

(9)

Аналогично определяется расстояние l2 от линзы до перетяжки w02 2

l2 = f + f

zR 2 ⎛ zR 2 ⎞ − . z R1 ⎜⎝ f ⎟⎠

(10)

www.phys.nsu.ru Часто возникает необходимость подобрать фокусное расстояние линзы f и определить ее местоположение l1 при заданных параметрах исходного пучка w01, размера перетяжки w02, которую необходимо получить, и расстояния между линзой и перетяжкой l2. Из (6), (7) получим

f =

l2 z R1 − z R1 z R 2 ( z R2 2 − z R1 z R 2 + l22 ) z R1 − z R 2 l1 = f +

z R1 ( f 2 − z R1 z R 2 ) zR 2

,

.

С помощью одной линзы можно обеспечить заданные параметры, если выполнено следующее условие:

l22 ≥ z R2 2 [ z R1 / z R 2 − 1] .

www.phys.nsu.ru 6

www.phys.nsu.ru Это означает, что с помощью одной линзы не всегда удается получить перетяжку гауссова пучка заданного размера. Для этих целей часто используется двухлинзовая оптическая система.

§2 РЕЗОНАТОРЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ. УСТОЙЧИВЫЕ РЕЗОНАТОРЫ При рассмотрении более общего случая сферического резонатора с зеркалами различной кривизны удобно воспользоваться обобщенными параметрами резонатора g1 и g2 (параметры конфигурации), которые связаны с длиной резонатора и радиусами кривизны следующим образом: g2 = 1 - L/R2 . (11) g1 = 1 - L/R1; В этом случае выражения для размеров пятен на двух зеркалах w1 и w2 оказываются довольно простыми:

www.phys.nsu.ru w1 =

λL g 2 1 , 4 π g1 (1 − g1 g 2 )

λL g1 1 w2 = . 4 π g 2 (1 − g1 g 2 )

(12)

Резонатор является устойчивым, если размеры пятен на зеркалах существенно меньше диаметра зеркал. Напомним, что условие устойчивости резонатора определяется следующим неравенством

0 ≤ g1 g 2 ≤ 1 .

(13)

На рис. 3 гиперболы g1g2 = 1 и оси координат, отвечающие уравнению g1g2 = 0, очерчивают область устойчивости. Для наглядности эта область заштрихована. Допустимые значения лежат в заштрихованной области и на границе. Вне заштрихованной области резонаторы являются неустойчивыми, т. е. обладающими большими дифракционными потерями. Для расчетов потерь здесь уже нельзя использовать скалярную теорию дифракции. Необходимо решать уравнения Максвелла с заданными граничными

www.phys.nsu.ru 7

www.phys.nsu.ru условиями. Некоторые качественные характеристики могут быть получены методами геометрической оптики (см. первую часть).

УПРАЖНЕНИЕ 1. Определение параметров гауссова пучка c помощью фотодиода и вольтметра определить распределение интенсивности излучения лазера в двух плоскостях, отстоящих друг от друга на расстоянии l. Положение плоскостей выбрать исходя из условия w(z) >> a, где а – размер входной диафрагмы фотоприемника. На основе полученного поперечного распределения определить радиусы пучков в соответствующих плоскостях. Используя формулы (2), (3), (4), (5), найти параметры w0, zR, R(z) и θ гауссова пучка, а также радиус пучка на выходном зеркале и положение перетяжки внутри резонатора лазера. Исходя из этих данных и известного расстояния между зеркалами резонатора определить радиусы кривизны зеркал и сравнить полученные значения с паспортными данными.

www.phys.nsu.ru q1

1 -1

0

1

q2

-1

Рис. 3. Диаграмма устойчивости на плоскости параметров конфигурации q1 и q2 для произвольного сферического резонатора Область устойчивости соответствует заштрихованным частям на рисунке. Для наглядности изображены некоторые конфигурации резонаторов длина стрелки пропорциональна радиусу кривизны зеркала.

www.phys.nsu.ru 8

www.phys.nsu.ru R

Устойчивый полуконцентрический резонатор

Плоское зеркало

L=R

Плоское зеркало

L>R

www.phys.nsu.ru R

Неустойчивый резонатор

Рис.4. Переход от устойчивого к неустойчивому резонатору при изменении расстояния между зеркалами УПРАЖНЕНИЕ 2. Преобразование гауссова пучка. Определить условия, при которых линза с заданным фокусным расстоянием f преобразует гауссов пучок так, что w02 / w01 = α . (З начение α определяется преподавателем). Сравнить с результатами опыта. Сопоставить с условиями преобразования гомоцентрических пучков. Для этого следует определить плоскость сфокусированного изображения рассеивающего (лист бумаги, матовое стекло) или излучающего (нить лампочки) объекта, установленного в плоскости расположения перетяжки w01. УПРАЖНЕНИЕ 3. Изучение пространственной структуры поля в резонаторе и областей устойчивости резонатора.

www.phys.nsu.ru 9

www.phys.nsu.ru На примере резонатора, состоящего из плоского и сферического зеркал, изучить ход лучей в резонаторе, пространственное распределение поля и размеры пятен на зеркалах, меняя расстояние между зеркалами и тем самым конфигурацию резонатора. §3 ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ: Собрать на стенде резонатор из плоского зеркала, содержащего отверстие связи, и сферического зеркала. В начале расстояние между зеркалами следует выбирать таким образом, чтобы резонатор был устойчивым. Через отверстие связи ввести в резонатор луч лазера и настройкой зеркал добиться симметричной картины распределения пучка на зеркалах. Изменяя расстояние между зеркалами с помощью подвижки, проследить ход лучей в случае устойчивого (полуконфокального и полуконцентрического) и неустойчивого резонаторов (рис. 4). Определить размеры пучков на зеркалах как функции расстояния между ними и сравнить с расчетной по формулам гауссова пучка. Проверить условие устойчивости резонатора (13). Из этого условия определить радиус кривизны зеркала.

www.phys.nsu.ru §3 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. На каком расстоянии от перетяжки имеет место максимальная кривизна волнового фронта в конфокальном резонаторе? 2. Можно ли точно определить фокусное расстояние линзы, используя гауссов пучок? 3. При каких условиях перетяжки располагаются в фокальных плоскостях линзы?

www.phys.nsu.ru 10

www.phys.nsu.ru ПРИЛОЖЕНИЕ

Анализ распределение поля в пучке наиболее удобно проводить на примере основной ТЕМ00q моды конфокального резонатора. Если направить ось z вдоль оси резонатора и расположить начало координат в центре резонатора, то распределение напряженности поля запишется в виде [1]:

E ( x, y , z ) = E0

⎡ x2 + y2 ⎤ w0 exp ⎢ − 2 ⎥× w( z) w z ( ) ⎣ ⎦

⎛ x2 + y2 ⎞ ⎡ ⎤ exp ⎣ −i ( kz + ϕ ( z ) )⎦ × exp ⎜ −ik ⎟, 2R ( z ) ⎠ ⎝ где E0 – напряженность поля на оси пучка, k – волновое число. В этом выражении первый экспоненциальный множитель представляет собой амплитуду поля, второй – изменение фазы вдоль оси распространения излучения, третий – кривизну фазового фронта. Распространение гауссова пучка можно описать в более простой и удобной форме, если ввести параметр q, определяемый следующим образом:

www.phys.nsu.ru 1 1 iλ = − . q R πw 2 Тогда поперечное изменение фазы пучка можно записать как 2 2 ⎧⎪ ik ( x 2 + y 2 ) ⎫⎪ ⎪⎧ ik ( x + y ) x 2 + y 2 ⎫⎪ − E ≈ exp ⎨ − ⎬ = exp ⎨ − ⎬. w2 ⎪⎭ 2R 2q ⎪⎩ ⎪⎩ ⎪⎭

Параметр q называется комплексным радиусом кривизны гауссова пучка, или, что более привычно, комплексным параметром пучка. Использование параметра q позволяет записать выражения (1) и (2) в более простом виде

www.phys.nsu.ru 11

www.phys.nsu.ru q ( z) = z +

ikw02 = z + iz R . 2

(14)

Действительно, комбинируя (14) и (15), получим комплексное уравнение

1 1 i2 = − 2 . 2 ikw0 R kw z+ 2

(15)

Решение этого уравнения дает зависимости (1) и (2). Рассмотрим изменение гауссова пучка после прохождения тонкой линзы с фокусным расстоянием f. Линза преобразует лишь волновой фронт, оставляя неизменным поперечное распределение амплитуды, т.е. преобразует сферическую волну с радиусом фронта R1 в сферическую волну с радиусом фронта R2. (Радиус кривизны положительный, если волновой фронт обращен выпуклостью в сторону распространения). При этом 1/R2 =1/R1 - 1/f Так как диаметр пучка непосредственно слева и справа от линзы одинаков, то комплексные параметры падающего и прошедшего пучков связаны соотношением 1/q2 = 1/q1 – 1/f. Пусть падающий пучок характеризуется определенным положением перетяжки l1 относительно линзы и конфокальным параметром zR1, а преобразованный пучок соответственно l2 и zR2. Тогда, раскрыв значение q справа и слева от линзы получим уравнение

www.phys.nsu.ru

1 1 1 = − , l2 + izR 2 l1 + iz R1 f

(16)

решив уравнение (16), найдем соотношения (6) и (7), связывающие характеристики преобразованного и падающего пучков с фокусным расстоянием тонкой линзы.

www.phys.nsu.ru 12

www.phys.nsu.ru α=

( l2

z R 2 w02 1 = = 2 2 z R1 w01 ⎡⎣1 − ( l1 f ) ⎤⎦ + ( z R1 f )

{

f ) = 1+

⎡⎣ ( l1 f ) − 1⎤⎦ . 2 2 ⎡⎣( l1 f ) − 1⎤⎦ + ( z R1 f )

}

12

,

(6)

(7)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Звелто О. Принципы лазеров. М.: Мир, 1990. Ринкевичюс Б. С. Лазерная диагностика потоков. М.: Издательство МЭИ, 1990. Дубнищев Б. Н., Ринкевичюс Б. С. Методы лазерной доплеровской анемометрии. М.: Наука, 1982. Ищенко Е. Ф., Климков Ю. М. Оптические квантовые генераторы. М.: Сов. радио, 1968. Ананьев Ю. А. Оптические резонаторы и лазерные пучки, М.: Наука ФМ, 1990. Ищенко Е. Ф. Открытые оптические резонаторы. М.: Сов. радио, 1980.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 13