Мера возмущенной вероятности. Лекция

!#"$!#"&%')(*')+-,-./')( 021*3*46587:9...

Author: Новоселов А.А.

10 downloads 240 Views 195KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

!#"$!#"&%')(*')+-,-./')( 021*3*46587:9<;<7>=@?BAC961*DB?FEHGJIKB?L1*IKB?M5ON*1P=*3QE6RSEUTK<3VAQ;XWY?L1@?*K[Z \8] ∗

`^ _)_)aBbQc-d)e*f o -p-g*P«6¡B§MF6¡½¬@F ¾ ¾· ¹¦6 H¬V®HP6 6 ¢¡½¿6P6 6*¥F6 6 À ÁÃÂÅÄ6«6¥8³´6P6 O§ Æ Ç ÈÊÉ XvvËÌ`Í`ÎÐÏvvÅÑ ÒÕVß@Ó*ÔFÔFÕ@Õ@ÙnÖ ×8ß@×8àSØå½Õ@ê@ÙnÔFÔFÕ#Õ@Ú@çFÔFáFÛàSÓ*Ü`çFØYÕ@ÝQÞ8Ó½ß@ÝQànÞ ÔL×8ß@ä:ànÕ@áFÔL×FÝJ×âèáFÔF×FÕYÙnëãBÝànÙæäFß@ÚCÚ@åLàÅäFÚ@àæànß@áFÙsäâÕQä8çFß@Õ@ÔFÙæÕ@ß@ÙæáFß@Õ@ÔFànÛÔFÜ:×FàáLèÝVànÙnáFçFÛ´áFàSáFÓ*×FàSå*Ùnã8ànÔLÝ8éC×FèÖíÕ@ìïÔFînÕVðòñôß@Õ@ó*ÔFÓ*ÔFànÕ@ÙnÖê áLÙæß@ÝVÚ-ÙnÝÙnèôûSÝCå*ß@ànáFè×FànÚ-Ô8ÝVß-àæÕVß-Ú Ùsäâûæß@ãBÕ@å½ünÝVÕ ÙnãBÙå½èÝVànÙná ÙjÝBáFñ8×FýÙnãBànÝ8áLéCÝÚ@Ú@Ú@ÕVàSØnÓ*èànÔF÷PÔFþ ÛàæÖâÔFÔFÚ Õ@Ö2ì õYðòÚ@é8ànì áFöCðòÕQéQä8× ß@ÔF×FÕ@ÙnÙSÙæå*ß@×2àSÓLçF÷BànøáFß@Ú@ÙkÕ@äâÔLÝYÔFÞLànÝQãPå*ÕVê@ß@ÔFÕ@áFÕ`ÛçFàùáFàkÙnÓ*Ú@ÔLÕ@ÖBÝQúú ØjÔL×FÝQáFÞLÕ@ÝQãBå½Õ@ÝVè°ÙnêãBÓFå½åLÝVä2ÙnÙnÚ@àÛØjÞFÝQ×FÓ½ÙSÝQå*Þ<ànéLÔFÚ@×8ãBäÿå*øÙæß@ÞLáLÝCÝQävÜ-Õ@çFÚ@Õ@Õ@á8Ö2ßçFáFàSànå*èê@ÔF×FÛ×<éBÖJÔFÝVÕ`ÔLèÝYÕQå*ëâ×8Ø@àæñ ß @Ûùß@ê ×FÙæçFÕCå*êVØjÕ@Ú-ÝVÔLÝ`×Ú @ÕCå*ànà Ùæß@Ú@Õ2Ò ÔF@ÕVàæÕVØjÔLß@áFÝYÞF× ×FLèÝCß-àSå*ê@èÔFÔFÛùÕYÜëâÙkànåLÙæß@÷BÚ@ÞLÕÿÝVÖFÚ@ÔFÙnÛàSÜÜÚ@Ú@àSàSþ å*×FànÙæÞFß-×FÚ@ Ô àn ÔFÔFÛùÜJÙSåL÷BÞLÝCÖFÔFÛÜJÚ@àSå*×FÞF×FÔ<é<Ý èÔFÕYëàSú X

X+

@øÚþ àS×BÓ*Üànè¢ãBÕ@ßCÔFÝVàæã8ÞFëâÔFà`ÛÙnè¢çFà èôFÝC×Lß@ÝQànå*èôê@ÝCÔFß@Û×FÞFà ànÕÙj@ÕãFV×FØjè>ÔLÝYÕYÞFë2ànÔF×B×8Ó½ävÝVÔFÓF×FåLànäè èÔFÕQëâànÙæß@Ú2ÙSåL÷BÞLÝVÖFÔFÛÜÚ@àSå*×FÞF×FÔ<é½ÕCå½ÝQÓ½ÝQú X+ = {X ∈ X | P{X ≥ 0} = 1}.

f = {X ∈ X : E|X| < ∞}, X f = {X ∈ X : E|X| < ∞}. X + +

!"#$%&$'$)("*$ +-,/.021436587:99;;<97=*+$),*>?7@3A>+B("C'%&$*$)($>?7DE F GH IKJGLMBNO6HQPFR STUGVWL?R TWX 7 RZY <[\)]^`_ [ a<b] ∗

î

õ

cd cd@egfhifj k)lmfh

-Ú@àS÷ å*Ùæ×Fß@ÞFêF×FéHÔFÓ½Û ÝQå*ànàVé é/Ý ànÙæß@êo÷BÔFãF×8ä:áLÝVÙnçFáFàSÓ*ànàSàå*Ó*àjÔFÕ@çF×8ÕCä°å*ÙSÔFåL×8÷Bß@ÞLàSå*ÝVÖFê@ÔFÔLÕ@ÝCäÖ ÷BÔFãF×8äáLÝVÙnçFáFàSÓ*àSå*ànÔF×8ä<ñ F Ô æ à i@ÛÚ-ÝVøþâÝCäp÷BÔFãF×8ä<éùçFáF×FÞFànè ÷ ñ n ÷@Ùæß@ê Ú@Ò àæ@Õß@VÙæØjß@ÔLÚVÝQ÷-ÞFàæß×Fè:Ó*Ú@ãBÕ@å½ÖFÝVÙæÙnß@ÙÚ@Ú@ànÔFÙnàSÔLÜÅÝCrä ßCÝVãF÷B×BÔFÜ/ãF×8÷BäÔFãF×FÖ éFñ@Õ@qçFáFàæàSß@Ó*á8àS÷jå*Ó*ànÔFÔFÕÔLØYÝCÝVäèáLàæÝVß@Ú@×8ànß@ÔFêFÙæé*ß@Þ8Ú@ß@Õ@Õè Ú@ÙsäFãPÕ@Ö ÙæÕ@ÕVßCú s ît ñ u ÙnÔFÕßCÝVã8ëàVéLÞ8ß@Õ ì õQAð @Ûå½ÝâÚ@Ú@àSÓ*ànÔLÝèànáLÝáF×FÙnãBÝ s õt Ý Úvì öQð<çFáFàSÓFå*ÕYëâànÔLÝ èÕjÓ*× ×Fã8vÝ F×8ä s õ t/ÓFåLäÅáLÝVÙnçFáFàSÓ*àSå*ànÔF×FÖÔLÝ Ú@ÙnànÖÅÚ@àæþ ànÙæß@Ú@ànÔFÔLÕVÖÕ@Ùn× s ö4t Ú@ÒàSß@å*è×FÒàæÞF@Õß@×FV×FÔFØjèÛÔLéMÝYÞ8ÞFß@×FñÕvè¢èàæþ ànáFà ÛáF×FãBÙnå½ãBÝÝVÙnÙ`s õ ÙStÐåL× ÷BÞLs ÝV4ö ÖFtÐÔFØYÛÝVÚ@Ü×FÚ@Ùsä8àSå*ßÅ×Fß@ÞFÕC×Få*Ô<ê@éLãPÓFÕvåLÕVäßÅãPáLÕVÝVß@ÙnÕ@çFáFáFÛàSÜÓ*àSØjå*ÔLànÝYÔFÞF×Fànä ÔF×Fà èÙSànåLáF÷BÛ ÞLÝVáFÖF×FÔFÙnÕ@ãBÖÝ Ö ÷BÔFã F×F× ãPÕ@ÔFànÞFÔFÕ s 4ö tçFáF×vÓ½ÝVÔFÔFÕ@/ n

FX (x) = P{X ≤ x}, x ∈ R X ∈ X SX (x) = P{X > x} = 1 − FX (x), x ∈ R

g : [0, 1] → [0, 1]

g(0) = 0, g(1) = 1 g∈G

G ge ∈ G

ge(x) = 1 − g(1 − x), x ∈ [0, 1].

gee = g

πg (X) = π(X) =

Z

∞

0

g(SX (t)) dt, X ∈ X+ ,

R

πg (X) = π(X) =

Z

0

−∞

[g(SX (t)) − 1] dt +

Z

∞

0

g(SX (t)) dt, X ∈ X . SX

X

Xg

g

sxw t

Ý Ó*Ú@Õ@ÖFÙæß@Ú@ànÔFÔ8÷Bø èàná8÷ÅáF×FÙnã8Ý8éLÕ@çFáFàSÓ*àSåLäFànè/÷Bøã8ÝVã

Xg = {X ∈ X | |πg (X)| < ∞},

πe

sUy t

πeg (X) = πeg (X), X ∈ Xeg .

v X}|~ É vÅÑí~{ í~{vÏv|X 2JvÅÑ Ó½ÝVÔFÔFÕ@è çLÝVáLÝVünáLÝvàUÚ@ÛÚ@àSÓ*ànè Ó*Ú-Ý:çFÕCå*àæØjÔFÛÜ çFáFàSÓ*ÙæßVÝVÚCå*ànÔF×8äíÓFåLäíèôÝCß@ànèôÝCß@×FÞFànÙjãPÕ@ünÕ ÕQë2×BÓ½ÝVÔF×8ä<ñ P¯¯¥ ¨ Z v?v ` vv: z

{

f X∈X

Z

0

¡*±<¥8¤P¥FF-®½¬@F*¡ ñi ànÖFÙæß@Ú@×8ß@àSå½ê@ÔFÕFé EX = −

Z

FX (t) dt +

−∞

∞

Z

0

Z

∞ 0

(1 − FX (t)) dt. Z

∞

sW t sU t

Vß@àSÝ å*Ùnê@ÙnÙæèß-ÕVÚ@ß@ÕváF×FÓFèåLä#ÙSåLÙSåL÷B÷BÞLÞLÝVÝCÖ ä éHÚçFáFÞLàkÝVÓ*ÙæÕ@ß@ÙæÔFßVÕ@ÝVÙæÚCß@åL×<äFéàæß@ÕÙk-Ýä ÞF×F×8Ô8ßVß@ÝCàæß@ünàSá*å*ÝQø å½ÝJé6ÙnÚ èsUñ< ÷BtçFãPá<Õ@ñ ÔFànñ ÞFîÔFtSñ Û n sáFÓ*×#Õ@ãBûæÝCß@ØYÕ@ÝQè ú y ×BÜÅÜ8ÚVÕ@Ùæß@ÛíäFÚCåLäFøß@Ùsä¢@ànÙnãPÕ@ÔFànÞFÔFÕ2èôÝQå*Ûè× ¡

EX =

t dFX (t) =

−∞

t dFX (t) +

−∞

0

t dFX (t).

|EX| < ∞ E|X| = ∞ lim

Z

A

A→−∞ −∞

t dFX (t) = 0,

lim

Z

∞

B→∞ B

t dFX (t) = 0.

sW£ t

ö

¤ k&¥ ¦hif§¨©Zªk)««:f¬hik&¥f®m¯«:fj¯°

áFÕ@èàß@Õ@ünÕFé

±

Z

×

Z

Þ8ß@Õ2Ú@èànÙæß@à`Ù sW£ tôÓ½ÝVàæß n

A −∞

t dFX (t) ≤ A

∞

t dFX (t) ≥ B

B

−∞

×

0

dFX (t) = B(1 − F (B)) ≥ 0,

B

lim B(1 − F (B)) = 0.

= − lim tFX (t) − t→−∞

∞

t dFX (t) = −

Z

B→∞

tFX (t)|0−∞

t dFX (t) =

−∞

Z

dFX (t) = AF (A) ≤ 0

∞

A→−∞

Z

0

A

lim AF (A) = 0,

Õ@ûæß@Õ@è/÷

Z

Z

Z

0

Z

−

FX (t) dt = −

−∞

0

FX (t) dt

−∞ Z 0

−∞

∞ 0

t d(1 − FX (t)) = −t(1 − Z

= − lim t(1 − FX (t)) +

FX (t))|∞ 0

+

∞

(1 − FX (t)) dt =

ÕYÓ*ÙæßCÝVÚ@×FÚ sW² tSé s î-³4tÚ sU St éFçFáF×BÜPÕjÓ*×Fè¢ãÅ÷Pß@Ú@ànáPëÓ*ànÔF×Fø å*ànèèÛñ P¯¯¥ ¨ &¨´Z v?v ` vv: t→∞

n

f X∈X

EX =

Z

0

1

−

Z

0

FX (t) dt =

−∞

Z

0 −∞

(SX (t) − 1) dt =

S(0)

×

−1 = (v − 1)SX (v)|1

n

Z

−

∞ 0

(1 − FX (t)) dt =

−1 = vSX (v)|0S(0) −

Z

0

Z

Z

S(0) 1

Z

∞

Z0 ∞ 0

−1 SX (v) dv =

Z

Z

0 S(0)

S(0)

1 S(0)

−1 SX (v) dv

−1 v dSX (v)

−1 SX (v) dv.

ÕYÓ*ÙæßCÝVÚCåLä8ä s îQõt× s îYö4tÚ sW St éLçFáF×BÜ-ÕjÓ*×Fè¢ãv÷Pß@Ú@àná-ëÓ*ànÔF×Fø å*ànèèÛñ S(0)

0

î

s -³4t

î@î ××FÔ8ß@ànünáL×FáFÕ@Ú-ÝVÔF×8ä çFÕ

−1 (v − 1) dSX (v)

−1 SX (v) dv =

Z

(1 − FX (t)) dt

v = SX (t)

1

SX (t) dt =

(1 − FX (t)) dt

s t

S(0)

∞ 0

Z

−1 SX (v) dv.

ÞLÝV¡*Ùæ±<ßQäF¥8è°¤P¥F×FFè-àn® àn½è ¬@F*¡ ñAµ çFÕ@èÕVþ ê@øÊØYÝVèànÔFÛÊçFànáFànèànÔFÔFÛÜ

0

sW² t

FX (t) dt

îQõ

s t

îYö

s 4t

cd cd@egfhifj k)lmfh

w

É ·¢|~ É ¸/¹ É Î pº¼»vv· É vÐÑ¼~{vg|~{ ©«6@H®H¡B³#P6 6µ p½ ` ¾¿ À ¡*±<¥8¤P¥FF-® ½¬@F*¡ iñ ànÖFÙæß@Ú@×8ß@àSå½ê@ÔFÕFé*Úâ÷@ÙSå*Õ@Ú@×8äBÜÅå*ànèèÛ èôàæáLÝáF×FÙnã8Ý ×Fèànàæß2Ú@×BÓ ¶

g(t) ≡ t

π(X) = EX

π

Z

0

Z

∞

Þ8ß@Õ2¡ çFÝVÕ ÙnÙnå*èànÕVèß@èáFà ×Fè°õBñ î`÷-ÙkÙnå*Õ@Õ@Ú@Ú@çL×8ÝYäÓ½ÝVÙæàæ÷Pß2þ Ù àæÙnß@Ú@Õ@ñÚ-ÝVÔF×8ä×FÔ8ß@ànünáLÝQå½ÝÚ ö4tSñ s ©«6@H®H¡B³#P6 6 µ &¨ ÁB `Â4Ã ÁB¾ Ã ÁB π(X) =

−∞

(SX (t) − 1) dt +

0

SX (t) dt,

EX

î C Ú * å n à F Þ æ à ß ñ { Ø ¡*±<¥8¤P¥FF-®½¬@F*¡ ñ n ÷-Ùæß@êÚ@ÛçFÕCå*ÔFànÔFÕ s î w tSñ n Õ@ãBÝCëànèé)Þ8ß@Õ ÷-ÙSå*Õ@Ú@×8ä çFáF× Ú@Ûùß@ñànãB ÝVÛ àæß:@ànáFÙæ÷Pànþ è ànÙæß-Ú@Õ@Ú-ÝVÔF×Fà ßCÝVã<éLÞ8ß@Õ × çFáF× ßVÝVñ@ãFÅH×BÕ@Ü)üÓ½éùÝ Þ8ß@Õ f= X X g

0 < g 0 (0) < ∞, 0 < g 0 (1) < ∞.

g 0 (0) < ∞ g(x) ≤ M x x ∈ [0, δ] Z

∞

Z

f X ∈X X ∈ Xg 0 < M < ∞ δ ∈ (0, 1) B ∈ (0, ∞) SX (t) ≤ δ t≥B

B

Z

∞

Z

s wt Ä

∞

@Þ8ß@Ú Õ ×BÓL÷JÙæ÷Pþ ànÙæß-Ú@Õ@Ú-ÝVÔF×8ä ×FÔ8ß@ànünáLÝQå´ÚvçFáLÝVÚ@Õ@ÖÞLÝVÙæß@×#ûæß@Õ@ünÕÔFàæáLÝVÚ@ànÔFÙæß@Ú-ÝãPÕ@ÔFànÞFànÔ<éMßCÝVã sîy t ÝQå*ànàVé×8Ø Ú@Ûùß@ànãBÝVñ àæ ßUÛ Ùæ@à÷Pnþ áFànànÙæè ß-Ú@Õ@Ú-ÝCÔF×Fà ßCÝVã<é)Þ8ß@Õ@Û× ßCçFÝVáFãF× ×BÜ)éôÞ8ß@Õ ñ F ç F á × ÅHÕ@üsÓ½Ý

0

g(SX (t)) dt =

0

g(SX (t)) dt +

g(SX (t)) dt ≤ B + M

B

SX (t) dt.

B

EX

0≤

Z

∞

g(SX (t)) dt < ∞.

0

g 0 (1) < ∞ g(x) ≥ 1 − M x x ∈ [δ, 1] Z

0

Z

0 < M < ∞ A ∈ (−∞, 0)

A

Z

0

δ ∈ (0, 1) SX (t) ≥ δ Z

t≤A

A

ó*Ó*ànÙnê×FÔ8ß@ànünáLÝQåÚçFáLÝVÚ@Õ@ÖvÞLÝVÙæß@×ßCÝVã8ëàãBÕ@ÔFànÞFànÔÚ@Ú@×BÓL÷ÅÙæ÷Pþ ànÙæß-Ú@Õ@Ú-ÝVÔF×8ä éLçFÕ@ûæß@Õ@è/÷ −∞

[g(SX (t)) − 1] dt =

−∞

[g(SX (t)) − 1] dt +

A

[g(SX (t)) − 1] dt ≥ −M

SX (t) dt + A.

−∞

EX

Z

0

î

s t

ÄÙnèçFçBÕCå*å*×FêVã8ØnÝv÷@Fä ×8ä s î y tSé s î t Ú s ö4tSéçFáF×BÜ-Ú@ÕYÛùÓ*×Fß@èÊànã8ÝVã:àæßÿÚ@ÛÝVÔLÚ@ÕYÝQÓLå*÷@Õ@éün×FÞ8ÞFß@ÔFÕ Õ×8Ø é× ß@Õ#ànÙæß@ê ñ ñ Å/ÝVãF×FèÕ@áLÝCØjÕ@èéYçFÕ@ã8ÝCØYÝVÔFÕFéYÞ8ß@ÕçFáF× Ú@ÛçFÕCå*ÔFànÔF×F× s î w t<ãBå½ÝVÙnÙnÛ × ÙnÕ@Ú@çLÝQÓ½ÝVøßQñåLä ×Bûæß@åF×Bå*ÜøãBÙæß@å½áLÝVÝvÙnFÙnÕ@×LÚ×ÅçFÕáF@á×LÝCÔLß@ÝVÔFá8Õ@÷ ünÕ ànçFÔFáF×F×F×vÚ@àSÜ-Ó*ÕVànßQè´ä¢çF@ÛáF×FèÕjÓ*ànÔFáFÕ@Û ünÕáLÝV×8ÙnØçF÷@áFÙSàSå*Ó*Õ@àSÚ@å*×FànÔLÖ×FÚ Ö<é8îçFÕ@tSã8ñ ÝCØjÛÚ-ÝVøþ ×Fà{áLÝCØæå*×FÞF×Fà ñ ñ n ÷@Ùæß@ê u ÙnÔFÕFé*Þ8ß@Õ ¡ ÝVÙnÙnèÕVß@sáF×Fw è ÙkåL÷BÞLÝVÖFÔ8÷BøÊÚ@àSå*×FÞF×FÔ8÷ Ù{Ó*ÕVçFÕCå*ÔF×8ß@àSå*ê@ÔFÕ@Ö ÷BÔFã F×FànÖáLÝVÙnçFáFàSÓ*àSå*ànÔF×8ä ñé n áF×ûæß@Õ@è Ä

0≥

−∞

[g(SX (t)) − 1] dt > −∞.

|π(X)| < ∞ X ∈ Xg 0 0 g (0) > 0 g (1) > 0 f X X g

f X ∈ Xg =⇒ X ∈ X

X

g(x) = x2 , x ∈ [0, 1]

g 0 (0) = 0

SX (t) =

π(X) =

(1 + t)−1 , t ≥ 0 0, t<0

Z

∞

0

2 SX (t) dt = 1,

¤ k&¥ ¦hif§¨©Zªk)««:f¬hik&¥f®m¯«:fj¯°

y

ß@Õ@üsÓ½Ý>ãBñÝV ã á8÷BèôünÝC×Fß@à ànèôÚ-ÝCÝVß@áF×F×LÞFÝVànÔ8Ùjß@ãPÛ Õ@à:ÔFànÕYÙnë2Õ@Ú@×BçLÓ½ÝQÝVÓ*ÔFàn×FÔFà ×8ä éÕ@Ù ÞFànÚ@×BÓ*ÞF×8ÔFßCÕFÝCéß@@ààSnå½ÙnøÊãPÕ@çFÔFáFànàSÞFÓFÔFå½ÕFÝVéüSßVÝVÝVàæß@ã ÙkäJÞ8ß@áLÕ ÝVÙnÙnèÕVß@áFàæß@ê é ÙjÝVèÕ@ÙæåLß@ä ÕQä8ß@àSå*ê@ÔFÕ Õ @Õs V÷BØjçFÔLáLÝYÝCÞFë2×FÔFè ànÔF×8ä Ú@y Ûñ õBáFé ÕQyëâñ ö4Ó*tSànñ ÔFÔ8÷Bø ÙSåL÷BÞLÝVÖFÔ8÷Bø Ú@àSå*×FÞF×FÔ8÷: ½ é × áLÝVÙnÙnèÕVß@áF×Fè¢ÔFànãBÕVß@Õ@áFÛà`ûSå*ànèànÔ8ßVÝVáFÔFÛà ÙnÚ@Õ@ÖFÙæß@Ú-Ý ñ ©«6@H®H¡B³#P6 6 µ &Çµ Æ !? Ã -È vÉ Ê4Ë Ì iÍ v-Î` Í:Ï

f X∈ 6 X

ÐÀ ÒÀ ÓÀ

ÔÀ

b∈R

X ∈ Xg

X f X X g

Wb

P{Wb = b} = 1

π

π

π(Wb ) = b, b ∈ R Ñ

π(X + b) = π(X) + b, b ∈ R ¾ X ∈ Xg Ñ π(aX) = aπ(X), a ≥ 0 ¾ X ∈ Xg Ñ

πg (aX) = aπeg (X), a < 0 ¾ X ∈ Xg ¾ÁB ge(x) = 1 − g(1 − x), x ∈ [0, 1] À

¡*±<¥8¤P¥FF-®½¬@F*¡ ñ<î@ñi Õ@çFÕCå*ÔF×8ß@àSå*ê@ÔLÝCär÷BÔFãF×8äáLÝVÙnçFáFàSÓ*àSå*ànÔF×Fä ×Fèànàæß2Ú@×BÓ éñ ×Fèànànè Ä{Ø s 4ö tçFáF× ÝçFáF× B õ C ñ < ó V Ý è æ à @ ß F × F Ú Q é 8 Þ @ ß Õ Q é ô Ù F ç @ Õ è V Õ

þ @ ê [ ø Y Ø V Ý è n à F Ô U Û F ç n à F á n à è n à F Ô F Ô Û Ü ×8Ø ö4tùçFÕCåL÷BÞLÝCànè¢çFáFàSÓ*ÙæßCÝVÚCå*ànÔF×Là Wb

SWb (t) =

b≥0

π(Wb ) =

b<0

π(Wb ) =

Z

0

b

Z

1, t < b 0, t ≥ b

b

g(1) dt = b,

0

[g(0) − 1] dt = −

SX+b (t) = SX (t−b), t ∈ R

s

Z

−∞

π(X + b) = π(X) −

[g(SX (u)) − 1] du +

Z

0 −b

Þ8ß@Õ2ö8×Åñ nß@áFáFà × @Õ@Ú-ÝQå*Õ@ÙnêFáLñ ÝVÚ@ànÔFÙæß@Ú@Õ @Õ ÞFànÚ@×BÓ*ÔFÕFñåLä çFÕ@ûæß@Õ@è/÷vÙçFÕ@èÕVþ ê@ø ØYÝVèànÔFÛ çFnà áFànèànÔFÔFÛùÜ a = 0

Z

0

Z

0 −∞

Þ8ß@Õ2×Åñ n ß@áFáFà × @Õ@Ú-ÝQå*Õ@ÙnÓFêFåLñ äçFÕ@Þ8ß@×Ú@ÙnàSÜ a<0

g(SX (u)) du.

−b

0

Z

0

−∞

t∈R

Z

du = π(X) + b,

×çFÕCåLè÷BÞLànànÝVè ànè F

×Fèànànè

∞ 0

g(SX (u)) du

−b

−b

[g(SaX (t)) − 1] dt +

[g(SX (u)) − 1] du + a

u = t−b

∞

a > 0 u = t/a

π(aX) =

w

Z

dt = b.

b

[g(SX (u)) − 1] du + = π(X) +

=a

0

Z

−b

Òß@ÙnøùÓ½ÝÔFàæß@á8÷YÓ*ÔFÕØYÝVèàæß@×8ß-êFé*Þ8ß@Õ π(X + b) =

Z

Z

SaX (t) = SX (t/a), t ∈ R

∞ 0

g(SaX (t)) dt

g(SX (u)) du = aπ(X),

SaX (t) = P{aX > t} = P{X < t/a} = 1 − SX (t/a).

é

ÙnçFÕCå*êVØn÷@äÙnÔFÕ@Ú-Ý ØYÝVèànÔ8÷vçFànáFànèànÔFÔFÛÜ Ä

πg (aX) = Z

=

Z

0 −∞

0 −∞

éFçFÕCåL÷BÞLÝVànè

[g(SaX (t)) − 1] dt +

[g(1 − SX (t/a)) − 1] dt +

= −a 0

Z

u = t/a

Z

0 ∞

ge(SX (u) du − a Z

cd cd@egfhifj k)lmfh

∞

Z

Z

Z

∞ 0

g(SaX (t)) dt

∞

g(1 − SX (t)) dt

0 −∞

[ge(SX (u)) − 1] du

0

Fá àSÓFå*ÕQëâànÔF×Fà{Ó*Õ@ã8ÝCØjÝVÔFÕFñ © «6@H®H¡B³#P6 6µ ï¾ÕZÍ !`Ö×v Ø Í Ê4Ì@`-Îov!: ` =a

n

−∞

[ge(SX (u)) − 1] du + a

ge(SX (u)) du = aπeg (X).

0

v?v ` vÙv: Ú Z 1 t −1 πg (X) = s SX (v) dg(v). 0 s y wt

´Z v` Øvv `Â @Ö6Û g ∈ G ¾ X ∈ X v?v ` v g

î

¡*±<¥8¤P¥FF-®½¬@F*¡ çFáFàSÓ*Õ@ÙæßCÝVÚCåLäFàæß-ÙsäÞF×8ßVÝCß@àSå*ø ÷BçFáLÝCë2ÔFànÔF×Fà ñ Sñ ©«6@H®H¡B³#P6 6µ &Á

ÁB

πg (−X) = −πeg (X),

¢Í Ã Ü v-Î`v@@ !? ¾-v: @@ rÝÞßÀ i

¡*±<¥8¤P¥FF-® ½¬@F*¡ ñ åLävçFáFÕ@×8ØjÚ@ÕCå*ê@ÔFÕ@ünÕáLÝVÙnçFáFàSÓ*àSå*ànÔF×8äçFáF×çFÕ@Þ8ß@×Ú@ÙnàSÜ Ä{Ø s 4ö tÙçFÕ@èÕVþ ê@ø ûSå*ànèànÔ8ßCÝVáFÔFÛùÜçFáFànÕ @áLÝCØjÕ@Ú-ÝVÔF×FÖ<é s î t× s î £ tçFÕCåL÷BÞLÝVànè

πeg

t∈R

×Fèànànè

Z

πg (−X) = =

Z

0

−∞

ó<ÝVèànÔLÝçFànáFànèànÔFÔFÛÜ

0 −∞

[g(S−X (t)) − 1] dt +

[g(1 − SX (−t)) − 1] dt +

=−

Z

0 −∞

u = −t

πg (−X) = =−

Z

Z

çFáF×FÚ@ÕYÓ*×8ßâÓ½ÝQå*ànà`ã

[ge(SX (−t))] dt + 0

∞ Z 0

ge(SX (u)) du +

−∞

Z

Z

∞

∞ 0

g(S−X (t)) dt

g(1 − SX (−t)) dt

0 ∞

0

Z

î

s £t

S−X (t) = P{−X > t} = P{X < −t} = 1 − SX (−t).

[1 − ge(SX (−t))]. dt

−∞ 0

[ge(SX (u)) − 1] du

[ge(SX (u)) − 1] du −

Z

∞

0

ge(SX (u)) du

Þ8ß@Õ2×Å÷Pß@Ú@ànáPëâÓ½ÝQå*Õ@ÙnêFñ ¶`®H@¬@F* 6 µ Õ ½ ` ?v: iÍàÍ á @â ` ¾¿ ¡*±<¥8¤P¥FF-® ½¬@F*¡ ÔFànçFÕ@ÙnáFàSÓ*Ùæß@Ú@ànÔLÔFÕ`Ú@Ûùß@ànãBÝVàæß ×8ØÐçFáFàSÓFå*ÕYëâànÔF×8äö8ñ y éVçFÕ@ÙnãBÕCå*ê@ã8÷ × ×Fèànøß2ÕYÓ*×FÔLÝVãPÕ@Ú@ÛàáLÝVÙnçFáFàSÓ*àSå*ànÔF×8ä<ñ = −πeg (X) = −πeg (X),

X

πg (X) + πeg (X) = 0.

X

−X

¤ k&¥ ¦hif§¨©Zªk)««:f¬hik&¥f®m¯«:fj¯°

È ¹ Ïv¢ | vv Ì ävv É vv Ó½ÝVÔFÔFÕ@èUçLÝVáLÝVünáLÝvàáLÝVÙnÙnèÕVß@áF×Fè[èàæß@ÕjÓvÚ@ÛÞF×FÙSå*ànÔF×8äÅèànáFÛ Ú@ÕVØjè/÷Pþ ànÔFÔFÕ@ÖÅÚ@ànáFÕYä8ß@ÔFÕ@Ùæß@× ÓFÔLåLÝvCåä[*Ó*øù×FÓ*ÙnànãFÔFáF×8àæäFß@èÔFñÕ@ünÕUáLÝVÙnçFáFàSÓ*àSå*ànÔL×8ä<éÝJßCÝVã8ëâàèàæß@ÕjÓ ànàvÙæßVÝCß@×FÙæß-×FÞFànÙjãPÕ@ünÕUÕFànÔF×FÚ-ÝVÔF×8ä°çFÕ ß@Õ@ÞFnàn ã ÷@ Ùæß@ê°áLÝVÙnçFáFàSÓ*àSå*ànÔL×Fà ÙSåL÷BÞLÝVÖFÔFÕ@ÖíÚ@àSå*×FÞF×FÔFÛ ÙnÕ@ÙnáFàSÓ*ÕVß@Õ@ÞFànÔLÕ¢Ú:ãPÕ@ÔFànÞFÔFÕ@è ÞF×FÙSå*à sî² t L á V Ý n Ù F ç C Õ * å Y Õ ë n à F Ô Û ´ Ú F ç @ Õ á B ä * Ó P ã à å àæØÕ@ünáLÝVÔF×FÞFànÔF×8ä Õ Vþ ÔFÕ@Ùæß@× èÕQë2ÔFÕ ÙnÞF×8ßVÝCß@êFéÞ8ß@ÕUß@Õ@ÞFãF× Ú@ÕVØjáLÝVÙæßVÝVÔF×8 ä ñ ©Ð4«6é @HÍ ®H¡B³#P6 6A¾ Â Ç æ âi@ â Í !`ÖçÍ v Ø Í ÍÊ4Ì@`-Îèv!: ` Z ?v: i Ý ß êëìÈÖí Ö ``îïC Ê s võ ³4t ã

X

P{X = xk } = pk , k = 1, . . . , n; p1 ≥ 0, . . . , pn ≥ 0, p1 + . . . + pn = 1. xk

x1 < x 2 < . . . < x n

πg (X) =

ÁB

x0 = 0 ¾

n X

g

s=1

?` πg (X) =

n X

s=1



xs  g

n X

k=s

n X

k=s

!

pk (xs − xs−1 ), 

!

n X

pk − g 

k=s+1



p k  ,

õBî

s t

ÁBg@Ê? Ê àÍ Í Pnk=n+1 pk ` ÁB ?`-ÎñðÀ Ä n r xr ≤ 0 ≤ xr+1

¡Ú@Ûùß@±<àn¥8ã8¤PÝV¥FàæßF-® ½¬@F*¡ ñ ÷@Ùæß@ê ÔFÕ@èàná<é<ßCÝVãPÕ@Ö<éMÞ8ß@Õ * "

πg (X) = g

n X

k=2

!

+ g 

+g 

"

pk − 1 (x2 − x1 ) . . . + g

 



#

n X

n X

k=r+1







ñ {Ø s ö4tÙâ÷BÞFàæß@Õ@è s î ² t

n X

k=r

!

#

pk − 1 (xr − xr−1 )



pk  − 1 (0 − xr ) + g 

n X

k=r+1

pk  (xr+2 − xr+1 ) + . . . + g

n X



pk  (xr+1 − 0) !

pk (xn − xn−1 ).

Ùæ÷Bàæèß@èá8÷Yà Ó*ÔFÕØYÝVèàæß@×8ß@êFéOÞ8ß@ÕéLÙSçFå½Õ@ÝVûæüSß@ÝVÕ@ànè/è÷vÛàVÕ@éOãPçFÕ@ÔFÕ@áFÞLÕYÝCëß@àSÓ½å*ÝVê@ànÔFèÕÛçFà ÕCåLúkîâ÷BÞLÚvÝVànãFè Ú-ÝQÓ*áLÝCß@ÔFÛÜ#ÙnãPÕ@ãBÝQÜ)é)Ó½ÝVøßÚ q

k=r+2

x1 = g(1)(x1 − x0 ) πg (X) = x1 +

n X

g

n X

!

pk (xs − xs−1 ) =

n X

k=n

g

n X

Þ8ß@Õ2×ÅåLß@äÿáFÓ*à @ÕÕ@@ãBÚ-ÝCÝQØYÝCå*ß@Õ@àSÙnå*êFê@ñ Ùæß-Ú@Ý õBî-t×FÙnçFÕCå*êVØn÷-ànè î tSé8ØYÝVèàæß@×FÚFé*Þ8ß@Õ s s s=2

k=s



−1 SX (v) = xk , v ∈ 

n X

s=k+1

pk ,

n X

s=k

s=1



k=s

!

pk (xs − xs−1 ),

pk  , k = 1, . . . , n.

cd cd@egfhifj k)lmfh

£

Ú ànîÕYÓ*tSÔFéYÕVçFØjÕ@ÔLûæÝYß@ÞFÕ@ÔFè/Õ@÷gÙæß@ê÷BÚÔFØYãÝQFÓ½×FÝV× ÔF×F× èÕYë2Ú FÔ ß@ÕÕ@ÞFçFãBáFÝQ×FÜ çF×FÙjÝCß@ê{ÔFÚ×FãBûæß@ÝV×Bã Ü ÔFß@àÕ@ÚCÞFå*ãB×8ÝQäFÜ àæßçFáFÔLÕ@ÝÐ×8ØjØjÔLÚ@ÝYÕCÞFå*ànê@ÔFÔF×FÛàùà×FãPÔ8Õ@ß@ÔFànànünÞFáLÔFÝQÛå½Ýà ØjÔLs ÝQÞF ànÔF×8ä<ñ`Äèànànè q

P

−1 SX

−1 SX

pk

πg (X) = xn g(pn ) + xn−1 (g(pn + pn−1 ) − g(pn )) + . . . + x1 (g(1) − g(pn + . . . + p2 )) =

n X



n X

xs  g



!

pk − g 

n X



p k  ,

Þ8ß@Õ2Ò×Åß@ß@èáFàæà ß@@Õ×F@èÚ-é/ÝQå*Þ8Õ@ß@ÙnÕêFûnñ ãFÚ@×FÚ-ÝQå*ànÔ8ß@ÔFÕ@Ùæß-ê õv³4t× õBîtèÕYë2ÔFÕvÓ*Õ@ãBÝCØYÝCß@êJÙ2çFÕ@èÕVþ ê@ø çFáLÝVÚ@×Bå½Ý s ÚÙSå*àSÓL÷BøþâànÖå*ànèèàVñ ò Ùæ÷Bèè×FáFÕ@Ú-ÝVÔF×8äçFÕÞLÝVÙæßYäFè ò éLÙnÕYÓ*àná-ëÝCs þ ànünÕ@Ùsä P¯¯¥A¾ p ó Ê? Â `Â âi Ü v: Øvv @ÖïàvÌ v@@Öï 4À¿ôÁB s=1

a1 , . . . , a n

ÁBg` ÁB n v n

n X

s=1

k=s

k=s+1

b1 , . . . , b n

as (bs − bs−1 ) =

a0 = bn+1 = 0 À

n X

s=1

bs (as − as+1 ),

*¡ ±<¥8áF¤P×F¥FÚ@FàS-Ó*® ànè½¬@àæFþ *¡àÕjÓ*÷B×FçFÔ:áLÝCçFë2áFÕ@ÔFÙæànß@ÔFÕ@×FÖ°à Ùny çFñ Õ@ñ ÙnÕ#ÙæßCÝCß@×FÙæß-×FÞFàjÙnãPÕ@ünÕUÕFànÔF×FÚ-ÝVÔF×8ä çFÕÚ@Û @Õ@áFãPà Ó*ÙnÔLÕ@àSÝ ÕVå*Cåß@*ànÚ@ÔFøùàæÔFÓ*ß@ÛÙæànÜß-ÔFÚV×FÙS÷BÖ<åLøñ ÷BþâÞLÝV×F÷@ÖFÙæà ß@ÔFçFê ÛÕ@ÜUá-äBÚ@Ó*àkãPå*Õ@×FÚ@ÞFÛ×FàÔ ÙæÙßCçFÝCß@Õ@ß@ànÙS×Fèå*ÙæàSß-ëÓ*×FÕ@àâãLÚ-×<áLÝCñ`ß@ÝVÅHÙnàkå*çFÕ@ê@áFüÓ½ÔFàSÓ*Ý8Õ@àSÙæéFå*ß-×FêÅànÙnÔFçFÔF×LÕCàæànå*ØYèêVÝVØné6Ú@÷V×FÞ8äÙnß@×FÕûnèè× ÛçFÜ×FáFÕjéO×FÓ*ÝÞF×FànÔLÙnÝVãBãBÕ@Õ@à`Ú@áLÕÝVáLÙnçFÝVÙnáFçFàSÓ*áFàSàS úú Ú@ànáFÕQä8ß@ÔFÕ@Ùæß@× é}Ú Õ@áFè/÷Yå½ÝQÜ s võ ³4tSé s õBî tSé å*çFànÕCÔFåL×F÷BàVÞLéôÝVànçFè áF×FçF×FÙnÛÚ-ÝVøþ ànàvß@Õ@ÞFã8ÝVè s õ@õt s õVö4t õ öø÷ vvÅÑ ÂÅÄ6«6¥8³´6P6 6# Á Ã Øv Â ÍàÍ Ê Ò À Ð Z Ê â À ÂÅÄ6«6 ¥8³´ 6P6`Â 6# Á &Ç¨ ó Ê?Ã4û@ Â ¾ù Ê â vÎ@@ v `@âi @ iÍ i πg

X1 , ..., Xn

X

X1 , . . . , X n

n X

X(1) , . . . , X(n)

1/n

n−s+1 (X(s) − X(s−1) ) n s=1 n X n−s n−s+1 = −g . X(s) g n n s=1

πbg (X) =

-` @Ê4ËúîíÊ4

g

g(x) =

√

x, x ∈ [0, 1]

Ë2?v: SX (t) =

Ã Øv Â ¾ â

E|X| = ∞

f ` X 6∈ X À X∈X g

ÂÅÄ6«6i¥8 ³´6P6 6 #Á &µÇó á: Â

(1 + t)−2 , 0,

X

t ≥ 0¾ t < 0À

?Í !`Öü` @v iýÃ Xf X v Êo@`Ê4Ú v þ ?Ê Î g0(1) > 0 g0(1) < ∞ ÀÝKÿ 4À Z `á: i gÃ4 Û v i Í ! : ` -È Û`- iÍ ¼-È ` âi Â ` û@ î @â Ã g@v SX (t) v t → −∞ßÀ

¤ k&¥ ¦hif§¨©Zªk)««:f¬hik&¥f®m¯«:fj¯°

²

ÂÅÄ6«6¥8³´6P6 6#Á ï¾Õ Ã Øv Â v: êë Ó À Ô Í - Í ¾6v iÍ `@@Ö Í ÍàÍ Ò À Ò À ÂÅZÄ6 «6¥8 ³´Ã 6P6 6# Á & Á Öïv îïC Í Ê Ö Ö âiâ i Í !Í`Ö v Ø Í Ê4Ì@`Î}v!` @`û ` Â @Ö6 Û û : Ö6Û @Ö6âi Û ? Nv:¢ Í ` êëÎZ ¾ !v:gv -)Û û @6Ö @Ö6Û Ûñâi @ Z` Ï êë vv )Ûo` -á

vÚ

ÂÅÃ Ä6«6¥8³´Â 6P6 6#Á Í ´ Â Ã ØÃ v Â v? ? Â Ê ÍàÍ Í : v Ò i ` Òiâ Ð iÍ Ý ÍàÍ Ô À Ð ß `-Ú Øv g Á` -Ì Ë @` îïC Ê Ý ðBß Ý ßÀ ÷ ¢ | / ~{~áº2/¹ ìïînð Ã "!#"! s võ ³³³4ti Ò{ÙnÔF Õ@Ú@Ã ÔFÛñ/à.01çF03Õ@2 Ô8 546ä84ß@7×88äv9;:½ß@ànñ 8/Õ@7áF<1×F9>×=<ñáF<1?@×F4BÙnãBACEÝ8Dñ%03?$ <1CEÃ4Fnû@ñ .i03G Z Ê4@Ú &('*)´` Ê :Ê,+ ô C -+ ì õQIð HKdaeUJMfLOg3NQhjPi*ROk>! lYs lîm²npor²qt s tTé ¨@SU <1CEé/GW22F1lrF1lVm96npor8q é9]¨@ é½.õB<1é
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.

² ²4y

c $ ""&> )+#"^g *+Bv+M;%_ XI I D H L ($ "&*-"&" aí$*'@+"M|$ +B(*"C*Ep J 3¡¡¡íR P&GVUGP R MT¢ )I H £TUGTp¤B BGV H L6

Our partners will collect data and use cookies for ad personalization and measurement. Learn how we and our ad partner Google, collect and use data. Agree & close