Кинематический анализ плоского механизма с одной степенью свободы. Методические указания по выполнению лабораторной работы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

2

ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА» Методические указания по выполнению лабораторной работы для строительных и механических специальностей. В работе составляется математическая модель кинематики плоского механизма в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, которая интегрируется численным методом в системе MathCAD. Результаты выводятся в виде таблиц и графиков.

Кинематический анализ плоского механизма с одной степенью свободы Методические указания

Составитель:

Издательство ВСГТУ Улан-Удэ 2005

А.А. Алексеев

Ключевые слова: Кинематика плоского механизма в системе MathCAD

3

4

Кинематический анализ плоского механизма с одной степенью свободы Описание задания. Целью данной работы является овладение методикой аналитического исследования кинематики плоского механизма посредством построения её математической модели и выполнения численных расчетов на ЭВМ в системе MathCAD. Постановка задачи. Рассматривается движение четырехзвенного шарнирного механизма (рис. 1) имеющего следующие элементы: ОА - ведущее звено (ОА = L1), АВС – шатун (АВ = L2, АС = L5), BD – ведомое звено (BD = L3), OD – стойка (OD = L4). Ведущее звено совершает вращательное движение с угловой скоростью ω1.

C

B

ω2

Согласно теореме о сложении скоростей и с учетом (1) имеем: V = ω 1 × ОА + ω 2 × АВ + ω 3 × ВD = 0 . (2)

φ4 φ2

Проецируя это выражение на координатные оси получим: VDX = ω1 L1 sin φ1 + ω2 L2 sin φ2 – ω2 L3 sin φ2 = 0; (3) VDY = ω1 L1 cos φ1 + ω2 L2 cos φ2 + ω3 L3 cos φ3 = 0.

ω3

ω1 O

φ1

Составление уравнений движения механизма Дифференциальные уравнения для неизвестных угловых скоростей ω2, ω3 определяются внешними связями, налагаемыми на механизм: VD = 0. (1)

y

A

Требуется: 1) Составить дифференциальное уравнение движения механизма, определяющие изменение во времени угловых скоростей, углов поворота звеньев и скорости точки С. 2) Решить полученную систему дифференциальных уравнений на ЭВМ численным методом на интервале времени [t0, t1]. 3) Построить графики траектории движения шатунной точки С и ее скорости. 4) Построить графики изменения угловых скоростей и углов поворота звеньев механизма.

D

φ3 x

Рис. 1. Схема механизма

Разрешим уравнения (3) относительно ω2 и ω3: ω L (cos ϕ 1 ⋅ sin ϕ 3 − sin ϕ 1 ⋅ cos ϕ 3 ) ω2 = 1 1 ; L3 (cos ϕ 2 ⋅ sin ϕ 3 − sin ϕ 2 ⋅ cos ϕ 3 ) ω L (cos ϕ 1 ⋅ sin ϕ 2 − cos ϕ 1 ⋅ sin ϕ 2 ) ω3 = 1 1 L3 (cos ϕ 2 ⋅ sin ϕ 3 − sin ϕ 2 ⋅ cos ϕ 3 )

(4)

5

6

Уравнения (4) позволяют определить угловые скорости звеньев для фиксированного момента времени при заданных в этот момент значимых φ1, φ2, φ3. Изменение углов φ1, φ2, φ3 и угловых скоростей ω2, ω3 определится из выражений: φ1 = ω1; (5) φ2 = ω2; φ3 = ω3.

Интегрирование системы дифференциальных уравнений

Тогда имеем систему дифференциальных уравнений: ϕ1 = ω1 ; ω L (cos ϕ1 ⋅ sin ϕ 3 − sin ϕ1 ⋅ cos ϕ 3 ) ϕ2 = 1 1 ; L3 (sin ϕ 2 ⋅ cos ϕ 3 − cos ϕ 2 ⋅ sin ϕ 3 ) ω L (sin ϕ1 ⋅ cos ϕ 2 − cos ϕ1 ⋅ sin ϕ 2 ) . ϕ3 = 1 1 L3 (sin ϕ 2 ⋅ cos ϕ 3 − cos ϕ 2 ⋅ sin ϕ 3 )

1 [sin( α + β ) − sin( α − β )] ; 2 1 sin α cos β = [sin( α − β ) + sin( α + β )] . 2

z := rkfixed ( x,0,6,100, D)

(8)

При заданных значениях L1 = 0,1 (м), L2 = 0,3 (м), L3 = 0,3 (м), ω =2 (рад/с), L4 = 0,4 (м), ϕ 10 =0 (рад), ϕ 20 =

π

3

(рад),

2 π (рад) систему дифференциальных 0 3 3 уравнений (7) интегрируем в системе MathCAD.

ϕ 3 = π (рад), ϕ 4 = 0

2   sin ( x − x )  0 2  0.15 ⋅ sin x − x ( 1 2) D( t , x) :=   sin ( x − x ) 0 1  −0.15 ⋅ sin ( x − x )  1 2  

(6)

Используя известные формулы тригонометрических преобразований (см. 8) уравнения (6) приведем к следующему виду: ω L sin(ϕ1 − ϕ3 ) ω L sin(ϕ1 − ϕ 2 ) ; ϕ&3 = 1 1 ϕ&1 = ω1 ; ϕ&2 = 1 1 . (7) L2 sin(ϕ 2 − ϕ3 ) L3 sin(ϕ 2 − ϕ3 )

cos α sin β =

0    x := 1.04   2.08   

z= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 0 0,06 0,12 0,18 0,24 0,3 0,36 0,42 0,48 0,54 0,6 0,66 0,72 0,78 0,84 0,9

1 0 0,12 0,24 0,36 0,48 0,6 0,72 0,84 0,96 1,08 1,2 1,32 1,44 1,56 1,68 1,8

2 1,04 1,049 1,06 1,07 1,081 1,092 1,103 1,113 1,124 1,133 1,142 1,151 1,158 1,164 1,168 1,172

3 2,08 2,071 2,063 2,056 2,049 2,043 2,039 2,035 2,033 2,031 2,031 2,033 2,035 2,039 2,044 2,051

7

8

Построение графиков

Варианты индивидуальных заданий

12

z

15

В таблице 1 приведены размеры звеньев и начальные углы звеньев механизмов. Схемы механизмов с соответствующим номером приведены на рис.5, 6, 7, 8. Таблица 1 ϕ 20 ϕ 30 ϕ 40 № вар. R2 R3 R4

10

〈1〉

5 0

0

0

2

0

4 z

6

〈0〉

6

Рис. 2. Угол поворота ведущего звена (звено 1) z 1.175

z

1.2 1.1

〈2〉

1 1 0.9

0

2

0

4 z

6

〈0〉

6

Рис. 3. Угол поворота звена 2 2.207

z

〈3〉

2.2 2.1

2.031

2

0 0

2

4 z

6

〈0〉

Рис. 4. Угол поворота звена 3

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1 1 1 1,5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,8 1,6 1 1 0,8 1,2

1 1 0,8 1,5 1 1 1,2 1,8 0,5 0,8 0,5 1 1,2 1,5 0,5 1,2 0,8 1 1 1 1 1,2 0,5 1,4 1,6 0,8 1 1,2 1,4 0,8

1 1 1 1 1 0,8 0,8 0,8 1 1 1 0,8 1 0,5 1 1 1 0,8 0,5 0,8 0,8 0,8 1 0,8 1 1 0,5 0,5 1 1

0,5 0,7 2,1 2,8 5,5 0,5 0,5 0,5 2,6 2,6 0,5 0,7 2,6 4,2 0,5 0,5 2,6 0,5 2,1 0,5 3,9 2,4 0,5 2,6 0,7 1,8 0,5 0,5 0,5 2,5

4,7 5,3 0,7 3,6 3,9 2,6 1,9 2,1 3,9 4,2 4,1 5 0,7 0,7 1,5 2,3 3,9 0,5 0,5 2 1 5 0,5 3,9 1,6 5,5 0,5 2,6 1,5 1

5,7 2,6 5,2 5,7 3,6 1,2 3,5 3,6 0,5 0,5 1,7 0,5 3,1 4,7 2 0,3 2,6 5,2 4,7 2,6 3,1 2,6 0,3 2,6 0,5 5,3 4,1 4,1 2,6 5,7

9

10

Рис. 5

Рис. 6

11

12

Рис. 7

Рис. 8

13

14

Список рекомендуемой литературы:

1.

MathCAD 2000 Professional. User’s Guide. MathSoft Inc., 1988.

2.

Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической механике на базе ЭВМ: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1986.

3.

Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие для технических вузов. - М.: Высшая школа, 1988.

Подписано в печать 04.04.2005 г. Формат 60×84 1/16 Усл. п. л. 0,7 уч. -изд. л. 0,6. Тираж 50 экз. Заказ №53 Издательство ВСГТУ, г. Улан-Удэ, Ул. Ключевская, 40в. © ВСГТУ, 2005.