Основы компьютерного проектирования и моделирования радиотехнических устройств и систем: Программа, методические указания и контрольные задания

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÝÐÎÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁÎÐÎÑÒÐÎÅÍÈß

ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Программа, методические указания и контрольные задания

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2004

Составитель О. С. Астратов Рецензенты: кафедра радиотехнических систем ГУАП; кандидат технических наук доцент В. В. Саломасов

Приведена программа курса "Основы компьютерного проектирования и моделирования радиоэлектронных систем" с подробным списком литературы по каждому из разделов с указанием соответствующих страниц. Кроме того, даны контрольные задания для самостоятельного решения по тематике основных разделов курса, включающие принципиальные схемы с конкретными данными по радиотехническим элементам. По выполнению заданий даны краткие методические указания. Программа и контрольные задания предназначены для студентов заочного факультета по направлению "Радиотехника", специальность 2007. Подготовлены к публикации кафедрой радиопередающих и телевизионных систем и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.

© ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения», 2004

Редактор В. П. Зуева Компьютерный набор и верстка Н. С. Степановой

Подписано к печати 28.06.04. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,12. Уч. -изд. л. 1,92. Тираж 300 экз. Заказ №

Редакционно-издательский отдел Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

2

ВВЕДЕНИЕ Курс "Основы компьютерного проектирования и моделирования радиоэлектронных систем" изучается студентами радиотехнической специальности. Цель дисциплины – ознакомление студентов с основами компьютерного проектирования и моделирования с применением современных пакетов прикладных программ для автоматизированного проектирования радиоэлектронных средств. В процессе изучения дисциплины решаются следующие задачи: – определение целей, способов, задач и процессов автоматизированного компьютерного проектирования и моделирования; – изучение математических основ компьютерного моделирования компонентов радиоэлектронных систем (РЭС) различного уровня сложности и электромагнитных полей; – ознакомление с алгоритмами компьютерного анализа и оптимизации аналоговых и цифровых устройств; – ознакомление с современными пакетами прикладных программ для автоматизированного компьютерного проектирования РЭС и методами их использования. Автоматизированное проектирование электронных схем освобождает инженера от разработки и настройки натурных моделей, заменяя их математическими моделями электронных схем; оно призвано преодолеть принципиальное противоречие между стремительно растущей сложностью современной электронной аппаратуры и необходимостью ее проектирования в сжатые сроки, ограниченные временем морального старения аппаратуры. Основное внимание в курсе уделяется методам автоматизированного получения метематических моделей схем, методам детерминированного и статистического анализа электронных устройств и систем, их оптимизации, изучению и использованию методов вычислительной математики при машинном анализе электронных схем. Для изучения курса необходимы знания программирования, явных и неявных методов численного интегрирования систем обыкновенных 1

дифференциальных уравнений, различных методов анализа электронных схем в статическом и динамическом режимах, методов параметрической оптимизации, теории линейной алгебры, методов математической статистики. Общей задачей дисциплины является подготовка радиоинженеров широкого профиля, способных использовать современную вычислительную технику и методы вычислительной математики при проектировании радиоэлектронной аппаратуры и оптимизации ее параметров. Дисциплина базируется на следующих дисциплинах, изучаемых в академии: – высшая математика; – информатика; – электронные и квантовые приборы; – радиотехнические цепи и сигналы; – усилительные устройства; – радиотехнические системы. Основная форма изучения курса для студентов заочного факультета – самостоятельная работа над учебным материалом. Для успешного изучения курса в методической разработке приведена программа, в каждом разделе которой указана литература и вопросы для самопроверки. В процессе изучения курса студенты должны выполнить две контрольные и две лабораторные работы в дисплейном классе. Выполнение контрольных и лабораторных работ способствует закреплению теоретических знаний и подкреплению навыков работы с ЭВМ. По каждой из лабораторных работ студенты сдают отчет.

2

ПРОГРАММА 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ, ЕЕ МЕСТО В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ 1.1. Цель преподавания дисциплины Основной целью преподавания дисциплины является ознакомление студентов с современными методами проектирования радиоэлектронных устройств и систем: – автоматизированным проектированием, машинным анализом электронных схем и радиотехнических систем, ознакомление с алгоритмами компьютерного анализа и оптимизации аналоговых и цифровых устройств; ознакомление с современными пакетами прикладных программ для автоматизированного компьютерного проектирования РЭС и методами их использования. В курсе рассматриваются вопросы анализа электронных схем, оптимизации их параметров, методика разработки алгоритмов расчета электронных схем, анализ чувствительности, современные пакеты САПР РЭС. 1. 2. Задачи изучения дисциплины В результате изучения дисциплины студент должен знать: – математические основы составления моделей и макромоделей компонентов РЭС; – методы машинного анализа электронных схем в статическом и динамическом режимах; – математические модели радиосигналов и помех; – принципы статистического моделирования сложных РЭС; – методы анализа чувствительности и оптимизации параметров и характеристик РЭС. Студент должен уметь: – описывать РЭС на входных языках пакетов прикладных программ (ППП) для автоматизированного компьютерного проектирования; – составлять и рассчитывать математические модели РЭС с применением ППП; – проводить вычислительные эксперименты на базе современных ЭВМ и ПЭВМ. 3

Общей задачей дисциплины является подготовка радиоинженеров широкого профиля, способных использовать современную вычислительную технику, программное обеспечение и методы вычислительной математики при проектировании радиоэлектронной аппаратуры. 2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Автоматизация проектирования радиоэлектронной аппаратуры является следствием научно-технического прогресса. Дисциплина ориентирована на изучение методов и средств автоматизированного проекТаблица 1 Номер Всего Лекции Лаборатор- Самостоятель- Экзамен Зачет Контрольсеместра часов ные работы ная работа ные работы

9

77(36)

12

12

41

Зачет

1

тирования радиоэлектронных устройств и систем. Распределение времени по видам занятий приведено в табл. 1. 2.1. Наименование тем, их содержание, объем в часах лекционных занятий Тема 1. Предмет и задачи курса Значение автоматизированного проектирования при разработке радиоэлектронной аппаратуры. Основные задачи и методы проектирования радиосхем и систем. Этапы проектирования РЭА и место в них машинных методов проектирования. Связь с другими дисциплинами. Понятие технологического процесса проектирования. Функциональный, конструкторский и технологический уровни проектирования. Место схемотехнического проектирования и статистического моделирования в сквозном цикле проектирования РЭА. Объем в часах: Лекционные занятия – 1 Самостоятельная работа – 2 Литература: 1, с. 7–23; 2, с. 12–36; 3, с. 3–8. 4

Вопросы для самопроверки 1. Достоинства и возможности САПР РЭС. 2. Основные этапы проектирования РЭС и место в них методов машинного проектирования. 3. Задачи синтеза и задачи анализа при проектировании РЭС. Тема 2. Автоматизация составления топологических матриц электронных схем. Определение математической модели. Модели компонентов электронных схем, макромодели. Иерархия и примеры моделей для разных функциональных уровней проектирования. Получение топологических матриц. Топологические уравнения электронных схем. Объем в часах: Лекционные занятия – 1 Самостоятельные занятия – 2 Литература: 1, с. 62–101; 2, с. 85–96; 3, с. 8–17, 31 – 39; 6, с. 71–113, 178–228. Вопросы для самопроверки 1. Основные требования, предъявляемые к математическим моделям компонентов электронных схем. 2. Граф схемы, дерево графа, главное сечение и главный контур, структурная матрица. 3. Матрица главных сечений, главных контуров и полная топологическая система уравнений. Тема 3. Машинные методы анализа электронных схем. Общий вид математической модели электронных схем (ММЭС). Возможность представления ММЭС в форме Коши. Метод переменных состояний в общем виде для схем без особенностей. Методы численного интегрирования, их сравнительная оценка, выбор шага интегрирования. Метод узловых потенциалов и особенности его машинной реализации. Примеры расчета переходных процессов. Объем в часах: Лекционные занятия – 2 Самостоятельные занятия – 2 Литература: 1, с. 102–137; 2, с. 97–114; 3, с. 17–30, 51–72; 6, с. 129–140; 7, с. 136–143, 174–186. 5

Вопросы для самопроверки 1. Особенности метода переменных состояния. 2. Методы численного интегрирования, применяемые при анализе электронных схем, их особенности. 3. Матрица узловых проводимостей и ее место при анализе схем методом узловых потенциалов. 4. LU-метод. Тема 4. Моделирование радиосигналов и радиопомех. Особенности моделирования радиосигналов и помех. Принципы и алгоритмы моделирования базовых случайных последовательностей. Моделирование последовательностей с заданным законом распределения. Алгоритмы моделирования нормальных случайных последовательностей. Методы проверки статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона. Объем в часах: Лекционные занятия – 2 Самостоятельные занятия – 2 Литература: 1, с. 285–289; 4, с. 3–33. Вопросы для самопроверки 1. Базовая случайная последовательность, параметры, методы формирования. 2. Методы формирования последовательностей с заданным законом распределения. 3. Алгоритм применения критерия согласия Пирсона. 4. Критическая область, уровни значимости, доверительные границы. Тема 5. Моделирование типовых случайных процессов. Особенности алгоритма скользящего суммирования и рекурентного алгоритма. Методы моделирования нормальных случайных процессов. Задача анализа. Задача синтеза. Примеры моделирования нормального стационарного случайного процесса с заданной корреляционной функцией. Объем в часах: Лекционные занятия – 1 Самостоятельные занятия – 3 Литература: 4, с. 33–96. 6

Вопросы для самопроверки 1. Алгоритмы работы линейных цифровых фильтров. 2. Основные параметры случайных процессов. 3. Моделирование стационарного нормального случайного процесса. Тема 6. Метод статистического моделирования РЭС. Структурная схема метода статистического моделирования, его особенности и достоинства. Точечные и интервальные оценки. Оценка точности при проведении статистического моделирования. Понятие чувствительности. Метод приращений и метод наихудшего случая. Объем в часах: Лекционные занятия – 1 Самостоятельные занятия – 2 Литература 1, с. 233–268; 4, с. 24–33; 5, с. 3–16; 7, с. 157 –162, 170–173 . Вопросы для самопроверки 1. Сравнение натурного эксперимента и статистического моделирования РЭС. 2. Требования к оценкам. 3. Надежность и точность оценки, представительность выборки. Тема 7. Цифровые модели непрерывных динамических систем. Модели, основанные на дискретной свертке. Моделирование с помощью рекурсивных алгоритмов с использованием Z-преобразования. Пример цифрового моделирования радиолокационного дальномера. Объем в часах: Лекционные занятия – 2 Самостоятельные занятия – 2 Литература 7, с. 435–451. Вопросы для самопроверки 1. Импульсная характеристика, коэффициент передачи линейной системы. 2. Свойства Z-преобразования. 3. Достоинства рекуррентных методов моделирования. 7

Тема 8. Методы использования пакетов прикладных программ при компьютерном проектировании РЭС. Определение ППП для автоматизированного проектирования РЭС. Классификация ППП. Особенности ППП для автоматизированного схемотехнического проектирования и конструкторско-технологического проектирования. Виды обеспечения ППП. Объем в часах: Лекционные занятия – 2 Самостоятельные занятия – 2 Литература: 1, с. 460–471; 2, с. 223–234. Вопросы для самопроверки: 1. Перечислите известные ППП и их возможности. 2. Основные составляющие обеспечения автоматизированного проектирования РЭС. 3. Состав и классификация информационного обеспечения. 2.2. Лабораторные занятия, их наименование и объем в часах Целью выполнения лабораторных работ является закрепление у студентов знаний, полученных в результате прослушивания теоретического курса, практическое использование полученных знаний при анализе конкретных схем и систем, выработка и закрепление навыков практической работы на ЦВМ и навыков программирования. Лабораторная работа 1 Метод переменных состояния. Анализ радиоэлектронных схем с помощью пакета прикладных программ МС6 или МС7. Объем в часах: Аудиторные занятия – 4 Самостоятельные занятия – 4 Литература: МУ1, МУ2, МУ3 Лабораторная работа 2 Моделирование шумовых входных воздействий с заданными статистическими характеристиками. Изучение случайных последовательностей с различными распределениями с помощью пакета MatLab 6.5 8

Объем в часах: Аудиторные занятия – 4 Самостоятельные занятия – 4 Литература: МУ1, МУ2,МУ3 Лабораторная работа 3 Автоматизированное исследование разрешающей способности оптико-электронного звена системы передачи информации с использованием либо алгоритмических языков, либо пакета MathCad. Объем в часах: Аудиторные занятия – 4 Самостоятельные занятия – 4 Литература: МУ1, МУ2 3. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Студенты должны выполнить контрольную работу, состоящую из двух заданий: 1. Операции над матрицами. 2. Расчет переходного процесса электронных схем. Обе работы выполняются по заданиям, приведенным ниже, в соответствии с положенным вариантом. 3.1. Контрольное задание № 1 1. Что называется следом квадратной матрицы? 2. Рассмотреть пример нахождения следа квадратной матрицы в соответствии с заданием. 3. Что такое определить матрицы? 4. Рассмотреть пример нахождения определителя матрицы произведения двух матриц. В качестве второй матрицы берется матрица следующего по номеру варианта. Для варианта № 10 вторая матрица берется из варианта № 1. 5. Что такое обратная матрица? 6. Рассмотреть пример нахождения обратной матрицы. 7. Найти неизвестный вектор Х из матричного уравнения АХ = В, где А – квадратная матрица (по варианту задания); В – вектор (первый столбец матрицы следующего по номеру задания; для варианта № 10 – первый столбец матрицы из варианта № 1). 9

8. Вычислить билинейную форму Z = X·A·Y, где А – квадратная матрица; X и Y – векторы, соответственно первый и третий столбцы заданной матрицы. Варианты матриц порядка 3
3 для контрольной работы 1:

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

3

2

5

1

7

3

4

3

2

2

1

6

2

4

8

1

4

7

2

5

6

1

5

3

3

2

1

3

1

5

6

1

2

1

3

2

3

7

1

5

4

3

4

2

3

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

3

1

6

1

2

1

4

1

3

2

3

5

2

3

4

2

4

1

7

5

3

3

5

7

1

2

4

4

1

2

5

7

2

3

6

2

2

3

1

6

1

3

8

5

3

3.2. Контрольное задание № 2 Рассчитать переходной процесс схемы по методу переменных состояния. В отчете представить: – принципиальную схему; – граф схемы; – собственное дерево графа и главные сечения; – матрицу главных сечений; – главные контуры; – матрицу главных контуров; – систему топологических уравнений; – полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для динамических компонентов схемы (C, L); – программу численного интегрирования системы ОДУ на 30 шагов интегрирования явным методом Эйлера; – распечатку расчета переходного процесса на динамических компонентах схемы. Шаг интегрирования h = (0,2...0,5)τ min . Последний пункт отчета может быть выполнен в дисплейном классе кафедры и приложен к отчету. Для выполнения работы следует ознакомиться с /2, 4/. 10

Вариант 2

Вариант 1 I9

+

R6 300

0.5 L8 V1

C3 0.5u

1000 R7

R5 500

V2

C3 0.1u

R6 500

R5 1000 L8 0.2 R7 2000

C4 0.2u

V 1

V1=10 B, V2=20 B, I 9=50 mA

V 2

C4 0.05u

V1 = 12 B, V2 = 15 B, I9 = 20 mA

Вариант 3

Вариант 4

100 R4 0.02 L6 C3 0.5u

270 R4

0.01 L7

V1

C2 1u

R5 200

V1 I8

C3 0.2u

L7 0.2

C2 0.1u

R5 510

R6 1000

I8

V1 = 30 B, I 8 = 100 mA V1 – 10 B, I 8 = 100 mA

100 R4 V1

Вариант 6

Вариант 5 200 L9 0.02 R5 C2 0.5u

1000 R3

R6 300

L8 0.01 I 10

200 R7

C3 1u

V1

C2 0.01u

0.05 L7 500 R4

300 R6 R5 200

I8

V1 = 15 B, I 8 = 10 mA

V1 = 10 B, I 10 = 25 mA

11

Вариант 7

V1

0.1 L7

300

C2 0.5u

C3 0.2u

0.03 L9

0.05 L8

R5

I 9

R6 500

R4 1000

Вариант 8 100 R7

I 10 470 R6

V2

R5 C3 150 0.1u

V1

C4 0.05u

R8 200

V1 = 12 B, V2 = 15 B, I 10 = 0,03 A V1 = 20 B, I 9 = 0,02 A Вариант 10

Вариант 9 0.2 L6

1000 R3

I8 V1

C2 0.5

300 R5

0.05 L7

R4 500

V1 = 30 B, I 8 = 10 mA

R5 300

1000 R4 1u C2

0.03 L7 V1

L8 0.01

200 R6

I9

C3 0.5

V1 = 30 B, I 9 = 15 mA

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ЗАДАНИЮ № 2 АНАЛИЗ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ 4.1. Топологическое уравнение цепи Анализ электронных схем на ЦВМ производят с помощью математической модели, которая представляет собой систему уравнений, описывающих работу исследуемой схемы. Алгоритмы автоматического составления уравнений с помощью ЦВМ основаны на использовании топологического описания цепей. В основе топологического описания схем лежит понятие графа. 12

Графом электронной схемы называется скелетная схема, изображающая топологию элементов схемы, т. е. соединения элементов между собой. Вершины графа соответствуют узлам схемы, ребра – отдельным элементам. Построение графа производят по эквивалентной схеме. В общем виде эквивалентную схему получают из принципиальной электрической путем замены нелинейных элементов (транзисторов, диодов) их упрощенными эквивалентными схемами, но в данной работе мы ограничимся рассмотрением линейных цепей, предполагая, что замена нелинейных элементов уже произведена. Пусть задана эквивалентная схема (рис. 1). Построим граф и выберем его собственное дерево. 1. Обозначим узлы на схеме, учитывая, что каждый элемент схемы: источник напряжения, емкость, резистор, индуктивность, источник тока находятся между узлами. Нумерацию узлов обозначим арабскими цифрами, шину "земля" принципиальной схемы обозначим узлом "0". 2. Пронумеруем элементы схемы, давая им сквозную нумерацию. При этом будем соблюдать иерархию: источники напряжения, емкости, резисторы, индуктивности, источники тока (E, C, R, L, I). 3. Нанесем узлы на чертеж графа (рис. 2), сохраняя нумерацию узлов эквивалентной схемы. Их следует располагать так, чтобы по возможности избежать взаимных пересечений ребер. 4. Узлы на графе соединяют линиями произвольной длины и формы, которые называются ребрами. Ребра графа сохраняют номера элементов, которые они заменяют. 5. На ребрах графа стрелками обозначают положительные направления токов и напряжений, принятые на эквивалентной схеме. После построения графа выбирают собственное дерево графа. Деревом графа называется совокупность ребер, содержащая все узлы графа, но не образующая ни одного замкнутого контура (рис. 3). Ребра, вошедшие в дерево, называются ветвями, ребра, дополняющие дерево графа – хордами. Граф может иметь ряд деревьев (рис. 3). Если граф содержит n узлов, то каждое дерево графа состоит из m ветвей, где m = n – 1. Для графа, изображенного на рис. 2, m = n – 1 = 5 – 1 = 4. С учетом упомянутой иерархии E1, С2, R3, R4, R5, R6, L7, I 8 образуется последовательность ребер 1–2–3–4–5–6–7–8. Из этой последовательности выбираем по порядку номеров ребра, не образующие ни 13

L7

R4

R3 1

2

E1

R6 3

4 R5

C2

I8

Рис. 1

одного замкнутого контура. В результате этого получаем собственное нормальное дерево 1–2–4–6 (рис. 3). На рис. 4 сплошными линиями изображено собственное дерево графа с ветвями 1–2–4–6, а пунктирными линиями – хорды 3–5–7–8. Собственное нормальное дерево содержит все источники напряжения, все емкости и часть резисторов и не содержит индуктивностей и источников тока. Оставшаяся часть резисторов, все индуктивности и источники тока входят в хорды. Такое распределение элементов эквивалентной схемы связано с принятой иерархией нумерации (E, C, R, L, I) эквивалентной схемы.

2

7

4

6

3 1

3

2

4

5 8

1

Рис. 2

14

2

4

6 3

1

4

2 1 2 3 2

1

4

5 8

1

2

3

4

6 3

4

1

8

Рис. 3

7

C

4

6

3 D A

2

B

5 8

1 Рис. 4

Информация, содержащаяся в графе, переводится на алгоритмический язык с помощью топологических матриц – матрицы главных сечений графа, матрицы главных контуров и структурной матрицы графа. 15

4.2. Матрица главных сечений графа Сечением графа называется линия, делящая граф на две несвязанные части. На рис. 5, а изображены произвольные сечения графа (A, B, C, D). Линии сечения на этом рисунке пересекают произвольное число ребер и хорд. Для получения главного сечения графа нужно линию сечения графа провести таким образом, чтобы она пересекала только одну ветвь при произвольном пересечении хорд. Поскольку главное сечение графа пересекает только одну ветвь, то число главных сечений равно числу ветвей дерева. На рис. 5, б сечения A, B, C, D – главные. Построим матрицу главных сечений АС, строки которой соответствуют главным сечениям, а столбцы – ребрам графа. Начальные столбцы матрицы соответствуют ветвям в порядке возрастания номеров ветвей графа, остальные – хордам в порядке возрастания хорд графа. РЕБРА Ветви 1 0 AC = 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

Хорды 0 0 0 1

–1 0 –1 1 0 –1 0 0

а)

0 0 0 –1 1 1 1 1

(1)

б)

C 7 4 2

B

A

7 4

6

3

D

2

5 8

1

1

6 5 8

Рис. 5

Каждый элемент аij матрицы АС равен: аij = +1, если j-е ребро пересекает i-е сечение в том же направлении, что и ветвь, определяющая это сечение; аij = –1, если j-е ребро пересекает i-е сечение в 16

направлении, противоположном направлению ветви, определяющей это сечение; aij = 0, если j-е ребро не пересекает i-е сечение. Сформированная матрица главных сечений АС состоит из двух подматриц: матрицы главных сечений для ветвей и матрицы главных сечений для хорд. Из способа формирования матрицы АС очевидно, что каждый из диагональных элементов аij первой подматрицы равен единице, поэтому первая подматрица – матрица главных сечений для ветвей – представляет собой единичную матрицу E. Вторую подматрицу – матрицу главных сечений для хорд – обозначим F. Таким образом, матрица главных сечений может быть представлена как ΑC = Ε F .

(2)

Матрицу главных сечений АС можно использовать для записи уравнений по первому закону Кирхгофа, если придать ее элементам определенный физический смысл: каждый идентичный элемент в j-м столбце означает ток Ij в j-м ребре, сумма токов каждой i-й строки равна алгебраической сумме токов, протекающих через i-е сечение. По принципу нейтральности зарядов алгебраическая сумма токов, протекающих через каждое сечение, должна быть равна нулю. Для рассматриваемого графа (рис.5, б) i1 − i3 = 0,  i2 − i3 + i5 − i8 = 0, i − i + i − i = 0, ( 3) 4 5 7 8  i6 + i7 + i8 = 0. Система уравнений (3) является первым законом Кирхгофа, обобщенным на сечения схемы. Систему (3) можно представить как

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

0 −1 0 −1 0 0 1 0

0 1 −1 0

0 0 1 1

i1 i2 0 i4 −1 i6 ⋅ =0, 1 i3 1 i5 i7 i8

(4)

17

либо (5) AC ⋅ I = 0 , где I – вектор-столбец токов ребер. В векторе I последовательность элементов должна соответствовать последовательности столбцов в АС. Уравнение (5) обозначает, что АС можно использовать как оператор алгебраического суммирования токов ребер при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа. Матричное уравнение (5) является экономной формой записи уравнений (3). Вектор токов I состоит из двух подвекторов: вектора токов ветвей и IВ вектора токов хорд IХ. T

IT = i1 i2 i4 i6 i3 i5 i7 i8 =

IB , IX

(6)

С учетом (6) и (2) уравнение (5) преобразуется к виду

А C ⋅ I = E, F ⋅

IB = E ⋅ I B + F ⋅ Iх = F ⋅ Iх + I B, , Iх

(7)

или I = −F ⋅ i Х .

Уравнение (7) выражает зависимость токов ветвей через токи хорд. Для рассматриваемой схемы i1 1 0 0 0 i3 i2 1 −1 0 1 i5 = ⋅ . i4 0 1 −1 −1 i7 i6 0 0 −1 −1 i8

4.3. Матрицы главных контуров Для получения матрицы главных контуров нанесем на граф линии главных контуров (см. рис. 4). Главный контур получается путем подключения к дереву хорды, подключение к дереву хорды 3 приводит к формированию контура А, подключение хорды 5 – к получению главного контура В, хорды 7 – к получению главного контура С, 8 – к D. Число главных контуров равно числу хорд графа. Положительным направлением каждого контура выбирается совпадающим с положительным направлением хорды, с помощью которой он образовался. 18

Построим матрицу главных контуров АК, строки которой соответствуют главным контурам, а столбцы – ребрам графа. Как и в матрице главных сечений, начальные столбцы матрицы соответствуют ветвям, остальные хордам: РЕБРА Ветви Хорды 1 1 0 0 0 –1 1 0 AК = 0 0 – 1 –1 0 0 – 1 –1

0 0 0

10 0 0 1 0 0 1 0 0

0 . 0 1

(8)

Каждый элемент аij матрицы АК равен: аij = +1, если направление j-го ребра совпадает с направлением главного контура, аij = –1, если направление j-го ребра противоположно направлению главного контура, аij = 0, если j-е ребро не образует главного контура. Матрица АК состоит из двух подматриц, из которых вторая представляет собой единичную матрицу, а первая, как видно из сравнения АС и АК, представляет собой транспонированную матрицу F, взятую со знаком минус (–FT). Матрицу главных контуров можно использовать для записи уравнений по второму закону Кирхгофа, придав ее элементам определенный физический смысл. Каждый единичный элемент в j-м столбце обозначает напряжение u в j-м ребре, алгебраическая сумма напряжений вдоль замкнутых контуров цепи равна нулю. Обозначив напряжения на ребрах 1, 2 ... 8, в графе через u1, u2 ... u8 запишем для главных контуров уравнения по второму закону Кирхгофа  u1 + u2 + u3 = 0  −u2 + u4 + u5 = 0  −u − u + u = 0 . 4 6 7  u2 − u4 − u6 + u8 = 0

(9)

Систему (9) можно представить в виде произведения АК на вектор – столбец напряжений U: 19

1 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 − 1 −1 0 1 − 1 −1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

u1 u2 u4 u ⋅ 6 =0, u3 u5 u7 u8

AК . U = 0.

либо

(10)

(11)

В векторе U последовательность элементов должна соответствовать последовательности столбцов в матрице АК. Уравнение (11) означает, что АК можно использовать как оператор алгебраического суммирования напряжений при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа. Матричное уравнение (11) является экономной формой записи уравнения (9). Вектор напряжений U состоит из двух подвекторов: вектора напряжений ветвей UВ и вектора напряжений хорд Uх. T

U = u1 u2 u4 u6 u3 u5 u7 u8 =

UВ . UХ

(12)

С учетом (12) и (8) уравнение (11) преобразуется к виду T

AК ⋅ U = − F , E ⋅

UB = − F T ⋅U B + E ⋅U X = − F T ⋅U В + U Х , UX

или ( 13 ) U X = F T ⋅ U B. Уравнение (13) выражает зависимость напряжений хорд от напряжений ветвей. Для рассматриваемой схемы уравнение (13) записывается в виде u3 −1 −1 0 u5 0 1 −1 = u7 0 0 1 u8 0 −1 1

20

0 u1 0 u2 ⋅ . 1 u4 1 u6

4.4. Топологическое уравнение цепи Уравнения (7) и (13), полученные путем использования первого и второго законов Кирхгофа, объединяют в одно матричное уравнение −F 0 I Х IВ = ⋅ UХ 0 FT U В

(14)

и называют топологическим уравнением цепи. Форма (14) удобна для составления машинных программ анализа электронных схем, однако формирование матрицы F (разд. 1.2), удобно лишь при ручном составлении уравнений. При составлении уравнений с помощью ЭВМ матрицу F формируют с помощью алгоритма Гаусса из структурной матрицы. 4.5. Реализация метода переменных состояния Для уменьшения числа уравнений в системе, полностью описывающей поведение электронной схемы с динамическими реактивными элементами С и L, перейдем с помощью топологической системы уравнений (14) и компонентных уравнений к системе уравнений переменных состояния. Переменными состояния называются токи в индуктивностях L и напряжение на емкостях U. Обозначим вектор переменных состояния Х. Тогда, если схема имеет m индуктивностей и n емкостей, число составляющих вектора Х, т. е. порядок системы уравнений переменных состояния, будет m + n. Для динамических элементов компонентные уравнения в общем виде можно записать так

ul =

d ( L ⋅ il ); dt

ic =

d (C ⋅ uc ), dt

или

i с = C 0 ⋅ d uc = C 0 ⋅ dx(t ) = S ⋅ x′ t , () 0 L dt ul 0 L dt il

21

где

S=

C 0 = 0 L

С1 0 ... 0 0 C2 ... 0 . . . . 0 0 ... Cn 0

0 L1 0 . 0

0 ... 0 L2 ... 0 . . . . 0 ... Ln

Выразим токи Ic через матрицу F, поскольку емкости входят в ветви Iв = –F ⋅ Iх , откуда Iс = –F ⋅ Iх. Аналогично Uх = FT ⋅ Uв , откуда U L = F TL ⋅ U в , где FC и F TL – те строки матриц F и FT, которые относятся к емкостям и индуктивностям. При этом метод переменных состояния предусматривает такое преобразование уравнений (14), при котором напряжения и токи нереактивных элементов резисторов выражаются через переменные состояния iL и uC и независимые источники тока и напряжения. Вектор нереактивных токов и напряжений обозначим y(t). Тогда полную систему уравнений можно записать

x
(t ) = f1( X (t ), A(t )),

(15)

(16) y(t ) = f 2 ( X (t ), A(t )). где А(t) – вектор независимых источников тока и напряжения, входящих в рассматриваемую схему. Решение полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (15) и алгебраической системы уравнений (16) выполняется в следующем порядке. Из физических соображений или из начальных заданных условий определяются начальные значения переменных состояния uC и iL, которые, например, представляют собой значения напряжений и токов в момент включения схемы и , следовательно, равны нулю. По значениям uC и iL находятся значения y, т. е. значения токов и напряжений на резисторах схемы в начальный момент времени. Далее, решая систему ОДУ методами численного интегрирования, вычисляют значения переменных состояния в конце интервала дискретизации, называемого ша22

гом интегрирования: x(uC1, iL1). Подставляя uC1 и iL1, вычисленные на первом шаге, в y(t), получаем значения токов и напряжений на нереактивных элементах в конце первого шага и приступаем к решению системы (15) на втором шаге, вычисляя uC2, iL2 и т. д. В результате этих вычислений будет получен весь переходный процесс в виде последовательности значений в дискретные моменты времени t1, t2 ... tk. Выбор шага интегрирования ∆t = ti – ti–1 зависит, в первую очередь, от постоянных времени схемы и практически определяется наименьшей из них, а также от конкретного метода интегрирования и его сходимости. Общее же число шагов определяется максимальной постоянной времени. Для нашего примера полная топологическая система уравнений в раскрытом виде с обозначениями типов элементов запишется следующим образом: i E1 iR 3 1 0 0 0 iR 3 − iC 2 i i i −i 1 −1 0 1 R 5 = ⋅ = R 3 R5 8 , iR 4 0 1 −1 −1 iL7 iR5 − iL7 − i8 iR 6 −iL7 − i8 0 0 −1 −1 i8 uR 3 −1 −1 0 uR5 0 1 −1 = uL7 0 0 1 u8 0 −1 1

− E1 − uC 2 0 u E1 uC 2 − uR 4 0 uC 2 ⋅ = . uR 4 + uR 6 1 uR 4 1 uR 6 −uC 2 + uR 4 + uR 6

(17)

(18)

Переменными состояния в нашей схеме являются iL7, uC2. Именно через них необходимо выразить токи и напряжения резисторов iR3, iR5, uR4, uR6, входящие в систему уравнений (17), используя уравнения (18) и компонентные уравнения. Проведя указанные операции, получаем iR3 = uR3 / R3 = (–E1 – uC2) ⋅ (R3)–1, iR5 = uR5 / R5 = (uC2 – uR4 ) ⋅ (R5)–1, uR4 = iR4 ⋅ R4 = (iR5 – iL7 – i8) ⋅ R4. Подставляя uR4 в выражение для iR5, получим iR5 = [uC2 – (iR5 – iL7 –i8) ⋅ R4] ⋅ (R5)–1 . 23

Находим из полученного уравнения iR5 iR5 = (uC2 + iL7 ⋅ R4 + i8 ⋅ R4) ⋅ R5–1 ⋅ (1 + R4 ⋅ R5–1)–1. Подобным же образом находим uR4 = R4 ⋅ iR4 = R4 ⋅ [(uC2 + iL7 ⋅ R4 + i8 ⋅ R4) ⋅ R5–1 ⋅ (1 + R4 ⋅ R 5–1)–1 – iL7 – i8], uR6 = R6 ⋅ iR6 = R6 ⋅ (–iL7 – i8). Из компонентных уравнений для реактивных элементов C2 и L7: duC 2 di , uL7 = L L7 , dt dt получаем систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши: iC 2 = C

   ( − E1 − uС 2 ) R3−1 −    , = C 2 −1    − (uC 2 + iL7 R 4 + i8 R 4 ) R5−1 (1 + R 4 R5)−1 + i8       . (19) diL7  = L7 −1 ⋅ u L 7 = dt   R 4 (u + i R 4 + i R 4 ) R5−1 (1 + R 4 R5)−1 − i − i  +   C2 L7 L7 8 8 −1     = L7     + R6 ( −iL7 − i8 )   duС 2 = C 2 −1 ⋅ iС 2 = dt

Применим явный метод численного интегрирования Эйлера для решения системы ОДУ. В соответствии с этим методом ∆u2 u2 (n ) − u2 (n − 1) , = h ∆t ∆i7 i7 (n ) − i7 (n − 1) . = h ∆t

где ∆t = h – интервал дискретизации по осям времени или шаг численного интегрирования; u2(n), i7(n) – значения переменных состояния на 24

n-м шаге интегрирования; u2(n – 1), i7(n – 1) – значения переменных состояния на (n – 1)-м шаге численного интегрирования. Используя выражение (19), получим систему из двух рекуррентных алгебраических выражений u2 (n ) = u2 (n − 1) + ( − E1 − u2 (n − 1)) R3−1 −    + h ⋅ C 2 −1   u2 (n − 1) + ,  −1 −1  −   R5 (1 + R 4 R5) + i8    +iL7 (n − 1) R 4 + i8 R 4  

i7 (n ) = i7 (n − 1) + h ⋅ L7 −1 ⋅  (u (n − 1) + i (n − 1) R 4 + i R 4 ) R5−1 (1 + R 4 R5)−1 −   L7 8  R 4  C 2  +  ⋅   −iL7 (n − 1) − i8   ,   + R6 ( −iL7 (n − 1) − i8 )  

где в качестве начальных условий можно принять нулевые начальные условия uC2(0) = 0, iL7(0) = 0. 4.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Определение графа схемы. 2. Что такое "собственное дерево графа"? 3. Что называется главным сечением графа? 4. Как получается матрица главных сечений? 5. Как получается матрица главных контуров? 6. Что такое топологическое уравнение цепи? 7. Метод переменных состояния, его достоинства. 8. Методы решения системы ОДУ?

25

Библиографический список Основной 1. Алексеев О. В., Головков А. А. и др. Автоматизация проектированияч р/э средств. М.: Высшая школа. 2000. 479 с. 2. Норенков И. П. Основы автоматизированного проектирования/ МГТУ им. Н. Э. Баумана. М.: 2000. 360 с. 3. Астратов О. С., В. Я. Сорин. Автоматизация схемотехнического проектирования: Учеб. пособие/ЛИАП. Л., 1987. 75 с. 4. Астратов О. С. Цифровое моделирование радиосигналов/ ЛИАП. Л., 1983.72 с. 5. Астратов О. С., Сорин В. Я. Автоматизация проектирования радиосхем и систем. Анализ чувствительноссти, оптимизация/ЛИАП. Л., 1992. 28 с. 6. Разевиг В. Д. Система схемотехнического моделирования MICROCAP6/М.: Горячая линия, 2001. 344 с. 7. Разевиг В. Д. Система сквозного проектирования электронных устройств Design Lab 8.0. М.: Солон, 1999. 735 с. Дополнительный 8. Норенков И. П. Введение в автоматизированное проектирование технических устройств и систем. М.: Высшая школа, 1986. 9. Семанина Г. Л., Салтыков А. И. Программирование на языке Паскаль. М.: Наука, 1988, 125 с. 10. Черноруцкий И. Г. Оптимальный параметрический синтез. Л.: Энергоатомиздат, 1987. 127 с. Методические указания 1. О. С. Астратов, Н. А. Обухова, В. Н. Федоренко. Основы компьютерного проектирования и моделирования радиотехнических устройств и систем: Метод. указ. к выполнению лабораторных работ/ГУАП. СПб., 2000. 64 с. 2. О. С. Астратов, Н. А. Обухова. Основы компьютерного проектирования и моделирования радиотехнических устройств и систем: Метод. указ. к выполнению лабораторных работ/ГУАП. СПб., 2000. 64 с. 3. О. С. Астратов, В. Я. Сорин. САПР радиоэлектронных устройств: Программа, метод. указ. и контрольные задания/ГААП. СПб., 1997, 16 с. 26