Простые коизотропные каустики

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 2 (2003). С. 45–56 УДК 514.16

ПРОСТЫЕ КОИЗОТРОПНЫЕ КАУСТИКИ c 2003 г.

В. M. ЗАКАЛЮКИН

АННОТАЦИЯ. Дается полное доказательство локальной классификации с точностью до симплектоморфизмов простых устойчивых пар, состоящих из лагранжева подмногообразия и коизотропного расслоения. В этом обобщении классификации Арнольда простых лагранжевых проекций возникают дискриминанты групп Вейля типов A, B, C, D, E, F .

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . 1. Определения и результаты 2. Доказательства . . . . . . . Список литературы . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

45 46 49 56

ВВЕДЕНИЕ Различные приложения теории особенностей в геометрии и физике используют симплектическую геометрию и, в частности, конструкцию Арнольда [1] лагранжевых проекций. Расслоение симплектического тотального пространства на лагранжевы слои называется лагранжевым расслоением. Основные примеры: кокасательное расслоение и слоение совместными множествами уровня первых интегралов вполне интегрируемой гамильтоновой системы. Ограничение проекции расслоения на вложенное лагранжево подмногообразие называется лагранжевым отображением. Его критические значения (т. е. точки базы, для которых соответствующие слои нетрансверсальны подмногообразию) образуют множество, называемое каустикой. Простые устойчивые ростки каустик связаны с группами Ли типов A, D, E. В работе описано естественное обобщение этой конструкции на случай не вполне интегрируемой гамильтоновой системы. А именно, рассмотрим набор независимых функций h1 , . . . , hk , k 6 n, определенных на симплектическом пространстве (M 2n , ω), которые попарно находятся в инволюции. Их множества совместного уровня Cc2n−k , c ∈ Rk , являются коизотропными подмногообразиями (касательное пространство к Cc в любой точке содержит свое косоортогональное дополнение), расслаивающими M. Каждый слой сам разбит на характеристические (изотропные) подмногообразия размерности k, являющиеся интегральными подмногообразиями распределения, порожденного гамильтоновыми векторными полями с гамильтонианами hi . Пространство этих характеристик является симплектическим (редуцированным) пространством размерности 2(n − k). Лагранжево подмногообразие L ⊂ M 2n может быть не трансверсально некоторым слоям Cc . В этом случае изотропное подмногообразие L ∩ Cc проектируется в лагранжево подмногообразие (вообще говоря) с особенностями соответствующего пространства характеристик. Множество таких значений c ∈ Rk называется коизотропной каустикой подмногообразия L. Мы классифицируем простые (не имеющие непрерывных инвариантов) устойчивые коизотропные каустики. Соответствующее отношение эквивалентности задается группой симплектоморфизмов объемлющего пространства, которые сохраняют коизотропное расслоение. Ответ оказался неожиданным. Простые устойчивые коизотропные каустики оказываются (за одним исключением) изоморфными пространству нерегулярных орбит групп Вейля A, B, C, D, E, F. Работа выполнена при поддержке грантов UR0401021, RBRF02010099, NWO04708005, INTAS00259. c

2003 МАИ

45

46

В. M. ЗАКАЛЮКИН

Доказательство основано на классификации особенностей контакта лагранжева подмногообразия только с одним коизотропным слоем [4]. Краткое изложение приведенных ниже результатов имеется в [6]. Мы находим также область хороших размерностей n и k, для которых простые устойчивые коизотропные особенности плотны. В частности, если k = 1, то типичная морсовская нетрансверсальность лагранжева подмногообразия с регулярной гиперповерхностью уровня некоторого гамильтониана устойчива. Все конструкции являются локальными, а исходные объекты — гладкими класса C ∞ . 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

И РЕЗУЛЬТАТЫ

Пусть h : R2n → Rk , k 6 n, — росток в нуле расслоения с коизотропными слоями Cc , c ∈ Rk , стандартного симплектического пространства (R2n , ω). Из теоремы Дарбу вытекает локальная симплектоморфность всяких двух таких расслоений одинаковой размерности. Рассмотрим пару (Ln , h), где L — росток лагранжева подмногообразия (R2n , ω). Две пары назовем эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую локальным симплектоморфизмом R2n . Пара называется устойчивой если ее орбита (псевдо)группы эквивалентностей является открытым подмножеством (в пространстве пар, снабженном соответствующей топологией). Устойчивая пара называется простой, если ростки L и h имеют таких представителей, что всякие их достаточно малые деформации во всех близких точках определяют ростки пар, эквивалентные парам из конечного списка нормальных форм. Обозначим через h0 стандартное координатное коизотропное расслоение, заданное в координатах Дарбу R2n = {(x, y, u, v)}, ω = dy ∧ dx + dv ∧ du, x = (x1 , . . . , xk ) ∈ Rk , y = (y1 , . . . , yk ) ∈ Rk , u = (u1 , . . . , un−k ) ∈ Rn−k , v = (v1 , . . . , vn−k ) ∈ Rn−k , проекцией h0 : (x, y, u, v) 7→ y. Соответствующие изотропные характеристические подмногообразия являются аффинными подпространствами, параллельными x-координатному подпространству, а отображение редукции задается проекцией ρc : Cc → R2(n−k) , ρc : (x, c, u, v) 7→ (u, v). Обозначим через Γk (псевдо)группу ростков симплектоморфизмов стандартного симплектического пространства R2n , которые коммутируют с проекцией h0 (т. е. отображают слои в слои). Она содержит ростки прямых произведений симплектоморфизмов пространства (x, y), dy ∧ dx, сохраняющих лагранжево слоение (y, x) 7→ y, и симплектоморфизмов пространства (u, v), dv ∧ du. Если k нечетно, то эта группа не связна. В этом случае обозначим через Γ+ k ее компоненту связности, содержащую тождественное преобразование, элементы которой сохраняют ориентацию слоя C0 = {y = 0}. Группа Γk (при нечетном k) изоморфна полупрямому произведению Γ+ k и Z2 , порожденному отражением I : (x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yk , u, v) 7→ (−x1 , . . . , xk , −y1 , . . . , yk , u, v), меняющим ориентацию C0 . Пусть r — ранг проекции h0 , ограниченной на касательное пространство T0 L в нуле к лагранжеву подмногообразию L. Существует лагранжево координатное подпространство L∗ , трансверсальное T0 L и имеющее r-мерное пересечение с x-изотропным координатным подпространством. С помощью подходящей перестановки подмножества (1, . . . , k) индексов и симплектической перестановки координат (u, v), задающих симплектоморфизм из Γ+ k , всегда можно добиться, чтобы это подпространство стало стандартным L∗ = {xr+1 = · · · = xk = y1 = · · · = yr = 0, u = 0}. В этом случае лагранжев росток L будет определяться производящей функцией S переменных xr+1 , . . . , xk , y1 . . . , yr , u по известным формулам   ∂S ∂S ∂S L = (x, y, u, v) yj = , j = r + 1, . . . , k, xi = − , i = 1, . . . , r; v = . ∂xj ∂yi ∂u Такой лагранжев росток, такую его производящую функцию и соответствующие переменные будет называть (r, k)−приспособленными. Если r = k (т. е. Ln трансверсально C0 в нуле), то пересечение L ∩ C0 трансверсально характеристическим слоям C и ограничение проекции ρc на L ∩ C0 невырождено.

ПРОСТЫЕ КОИЗОТРОПНЫЕ КАУСТИКИ

47

Все такие трансверсальные пары эквивалентны между собой. Действительно, в этом случае функция S зависит только от y и u и симплектоморфизм  (x, y, u, v) 7→

∂S ∂S x+ , y, v − ,u ∂y ∂u



принадлежит Γ+ k и отображает L на координатное лагранжево подпространство L∗ , заданное нулевой производящей функцией. Итак, случай k = n — это обычные лагранжевы проекции, не использующие координат v, u. Простые устойчивые пары в этом случае классифицируются производящими функциями S от x и y, являющимися версальными семействами (по отношению к группе R+ правых замен и сложений с функциями от параметров) с параметрами y и переменными x простых особенностей A, D, E. Пусть теперь k < n. Теорема 1. i. Всякая простая устойчивая нетрансверсальная пара имеет коранг k − r, равный 1. ii. Всякий простой устойчивый нетрансверсальный росток (Ln , h) эквивалентен ростку пары (LS , h0 ), состоящему из лагранжева подмногообразия LS , заданного в (k−1, k)-приспособленных координатах Дарбу производящей функцией (при k − r = 1) S(y1 , . . . , yk−1 , t, u) (где через t обозначено xk ) из следующего списка. (Ниже Q(u1 , . . . , uk ) обозначает невырожденную квадратичную форму Q = ±u21 ± · · · ± u2k .) 1. S = t3 + tf (y, u), где f (y, u) усеченная версальная деформация с параметрами y одной из простых особенностей функций от переменных u: Am : k > m > 1, f (u) = ±um+1 + Q(u2 , . . . , un−k ) + y1 u1 + · · · + ym−1 um−1 1 1 (для четных m особенности со знаками ± эквивалентны); Dm : k > m > 4, f (y, u) = u21 u2 ± um−1 + Q(u3 , . . . , un−k )+ 2 + ym−1 u1 +y1 u12 + · · · + ym−2 um−2 2 (для нечетных m особенности со знаками ± эквивалентны); E6 : k > 5,

f (y, q) = u31 ± u42 + Q(u3 , . . . , un−k )+ + y1 u1 + y2 u2 + y3 u1 u2 + y4 u22 + y5 u1 u22 ;

E7 : k > 6,

f (q) = u31 + u1 u32 + Q(u3 , . . . , un−k )+ + y1 u1 + y2 u2 + y3 u1 u2 + y4 u22 + y5 u21 + y6 u21 u2 ;

E8 : k > 7,

f (q) = u31 + u52 + Q(u3 , . . . , un−k )+ + y1 u1 + y2 u2 + y3 u1 u2 + y4 u22 + y5 u1 u22 + y6 u32 + y7 u32 u1 .

2. Класссы, отвечающие краевым особенностям Cm : k > m > 2,

S = t2m+1 + ym−1 t2m−1 + · · · + y1 t3 + t2 u1 + + xQ(u2 , . . . , un−k );

Bm : k > m > 2,

S = t3 u2 + t2 u1 + x(±um 2 + Q(u3 , . . . , un−k )+ + y1 u12 + · · · + ym−1 um−1 ); 2

F4 : k > 4,

S = t5 + y3 t3 + t2 u1 + t(u32 + Q(u3 , . . . , un−k ) + y2 u22 + y1 u2 ).

3. Исключительный класс Un−k+2 : k > n − k + 2,

S = ±t4 + t2 (y1 u1 + · · · + yn−k un−k + yn−k+1 ) + tQ(u1 , . . . , un−1 ).

48

В. M. ЗАКАЛЮКИН

Замечания. 1. Классы Ck , F4 имеют при n − k > 2 также другую эквивалентную форму S = t3 u2 + t2 u1 + tf , где f — версальная деформация (с параметрами y) соответствующей простой краевой особенности функции от переменных u2 , . . . , un−k и краевой гиперповерхностью u2 = 0. В частности, B2 эквивалентно C2 . 2. Таблица примыканий этих простых классов отличается от стандартной таблицы для краевых особенностей только примыканиями Un−k+2 → B2 . 3. Вообще говоря, коизотропная каустика состоит из двух компонент: одна (Σs ) образована такими значениями y = (y1 , . . . , yk ), для которых соответствующее приведенное лагранжево подмногообразие ρ(L ∩ Cy ) имеет особые точки, а другая (Σi ) образована такими значениями y, при которых соответствующее приведенное лагранжево подмногоообразие ρ(L ∩ Cy ) имеет нетрансверсальные самопересечения гладких ветвей. Непосредственные вычисления показывают, что гиперповерхность (Σs ) в y-пространстве для классов A, D, E из теоремы 1 задается уравнениями ∂f f (u, y) = yk , = 0, с производящей функцией f = f (u, y1 , . . . , yk−1 ). Таким образом, она яв∂u ляется гиперповерхностью нерегулярных орбит в пространстве орбит группы Коксетера A, D, E, порожденной отражениями. Гиперповерхность (Σi ) для этих классов представляет собой цилиндр (с одномерной образующей, параллельной оси yk ) над обычной каустикой A, D, E в пространстве y1 , . . . , yk−1 , заданной уравнениями  2  ∂f ∂ f = 0, det = 0. ∂u ∂ui ∂uj 4. Следуя работам [3, 5], нетрудно убедиться, что лагранжева проекция, заданная проекцией (u, v) 7→ u приведенного особого лагранжева подмногообразия ρ(L ∩ Cy ) для классов A, D, E теоремы 1, является устойчивой в смысле [3] (по отношению к возмущениям симплектической структуры и лагранжевой проекции) при всяком y. 5. Коизотропные каустики классов B, C, F теоремы 1 диффеоморфны бифуркационному множеству нулей (волновому фронту) соответствующей краевой особенности, иными словами, гиперповерхности нерегулярных орбит Σ соответствующей группы, порожденной oтражениями. Причем, одна из неприводимых компонент Σ совпадает Σs , а другая с Σi . Так, например, кривая Σs для особенности C2 : S = t5 + y1 t3 + t2 u1 (здесь k = 2, n = 4) состоит из пар параметров y1 , y2 , для которых нуль является кратным корнем многочлена P (t) = 5t4 + 3y1 t2 + 2tu1 − u2 , в то время как кривая Σi определяется условием, что P (t) имеет произвольный кратный корень при условии, что u1 = 0. Таким образом, коизотропная каустика на плоскости (y1 , y2 ) является объединением прямой и половины касающейся ее параболы (т. е. изоморфна бифуркационной диаграмме краевой особенности C2 ). 6. Аналогичные ответы возникают в соответствующей задаче классификации простых устойчивых пар, состоящих из ростка лежандрова подмногообразия и контактного коизотропного расслоения, по отношению к группе контактоморфизмов контактного пространства расслоения. Следующая теорема задает область хороших размерностей (n, k), для которых пары общего положения, состоящие из лагранжева подмногообразия и набора функций в инволюции, имеет только простые и устойчивые особенности. Поскольку наборы функций, находящихся в инволюции h1 , . . . , hk на R2n , сами образуют подмножество с очень сложными особенностями в пространстве наборов произвольных функций, если в некоторой точке ранг отображения h меньше, чем k − 1. В этом случае само понятие «набора общего положения» не определено. Чтобы избежать этой трудности, будем рассматривать наборы (называемые 1-типичными), не имеющие таких точек. Теорема 2. Для открытого всюду плотного подмножества в пространстве (снабженном тонкой топологией Уитни) пар, образованных собственным лагранжевым подмногообразием в R2n и 1-типичным коизотропным отображением h, ростки пар (L, h) устойчивы в каждой точке тогда и только тогда, когда n = k, k < 6, или n > k, k < 4, за исключением пары (k, n) = (3, 4).

ПРОСТЫЕ КОИЗОТРОПНЫЕ КАУСТИКИ

49

Следствие 1. В области хороших размерностей k < n встречаются только следующие типичные особенности: для k = 1: A1 (в изолированных точках); для k = 2: A1 (на кривых), A2 , B2 ≈ C2 (в изолированных точках); для k = 3, n > 4: A1 (на поверхностях), A2 , B2 ≈ C2 (на кривых), B3 , C3 (в изолированных точках). 2.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

2.1. Доказательство теоремы 1. Покажем, что (аналогично классическому результату Дж. Мазера о связи устойчивости гладких отображений по отношению к право-левой группе эквивалентностей и версальности по отношению к группе контактных эквивалентностей) классы, которые являются устойчивыми по отношению к группе Γk , являются деформациями, трансверсальными орбитам другой группы Gk , состоящей из симплектоморфизмов, сохраняющих только один коизотропный слой C0 . Обозначим через G+ k компоненту связности единицы в группе Gk . + Лемма 1. Симплектоморфизм ϕ из Γ+ k (соответственно из Gk ) можно соединить с тожде+ ственным отображением гладкой гомотопией внутри Γ+ k (соответственно внутри Gk ).

Доказательство. Очевидно, что линейные части в нуле ϕ∗ симплектоморфизмов ϕ ∈ Γ+ k (соответ+ ственно ϕ ∈ Gk ), сохраняющих C0 и начало координат, образуют связную подгруппу Λk линейной симплектической группы. Симплектоморфизм ϕ˜ = (ϕ−1 ∗ )ϕ имеет тождественную линейную часть в нуле. Следовательно, вблизи нуля он близок к тождественному и поэтому определен локальной производящей функцией F(P, q) (имеющей нулевую 2-струю в начале координат) по следующим формулам (где p = (y, v) и q = (x, u)): ϕ˜ : (p, q) 7→ (P, Q), Q1 dP1 + · · · + Qn dPn + p1 dq1 + · · · + pn dqn = d(P1 q1 + · · · + Pn qn + F(P, q)). Из условия, что f сохраняет расслоение h0 (или только слой C0 ), вытекает, что функции p i = Pi +

∂F ∂qi

для i = 1, . . . , k зависят только от P1 , . . . , Pk (или соответственно они обращаются в нуль, если P1 = · · · = Pk = 0). Это условие, очевидно, выполняется для семейства симплектоморфизмов ψ˜t с производящими функциями tF(P, q), t ∈ [0, 1]. Искомая гомотопия состоит из композиции ψ˜t и подходящей гомотопии в Λk . Зависящее от времени семейство локальных симплектоморфизмов из Γk представляет собой ∂H ∂ фазовый поток зависящего от времени гамильтонова векторного поля, компоненты − ко∂x ∂y торого, могут зависеть только от y. Аналогично для Gk -семейств эти компоненты обращаются в нуль на C0 . Отсюда вытекает следующая лемма. Лемма 2. i. Инфинитезимальное преобразование из Γ+ k задается гамильтоновым векторным полем с функцией Гамильтона H следующего вида H=

k X

xi Hi (y) + H0 (y, u, v),

i=1

где Hi и H0 некоторые функции. ii. Инфинитезимальное преобразование из G+ k задается гамильтоновым векторным полем ˜ с гамильтонианом H вида ˜ = H

k X

˜ i (x, y, u, v) + H ˜ 0 (u, v), yi H

i=1

˜i и H ˜ 0 — некоторые функции. где H

50

В. M. ЗАКАЛЮКИН

В частности, из этой леммы следует, что диффеоморфизмы из Γk сохраняют канонически заданную аффинную структуру на изотропных характеристических слоях. Лемма 3. Пусть в некоторых координатах Дарбу p, q росток лагранжева подмногообразия L ⊂ R2n задан производящей функцией S(q). Рассмотрим однопараметрическое семейство локальных симплектоморфизмов Φt гамильтонова фазового потока с функцией Гамильтона Ht (p, q). Тогда производящие семейства St (q) (в той же системе координат) лагранжевых подмногообразий Φt (L) связаны соотношением  ∂S  ∂St t = −Ht ,q . ∂t ∂q Доказательство. Лагранжевы подмногообразия Φt (L), каждое из которых вложено во временной t слой расширенного фазового пространства T ∗ Rn+1 , образуют лагранжево подмногообразие с n+1 производящей функцией S(t, q) = St (q), заданной  на R  . Эта функция удовлетворяет неавтоном∂S ∂S ному уравнению Гамильтона—Якоби + Ht , q = 0, которое и есть искомое соотношение. ∂t ∂q Введем новые обозначения для (r, k)-приспособленных координат: p = (p1 , . . . , pk−r ) = (yr+1 , . . . , yk ), w = (w1 , . . . , qr ) = (y1 , . . . , yr ),

q = (q1 , . . . , qk−r ) = (xr+1 , . . . , xk ), z = (z1 , . . . , zr ) = (x1 , . . . , xr ).

Образ (r, k)-приспособленного лагранжева ростка при симплектоморфизме ϕ из окрестности + единицы в Γ+ k или в Gk остается трансверсальным к L∗ . Таким образом, ϕ действует на приспособленных производящих семействах. Из предыдущих лемм вытекает следующий результат. Лемма 4. i. Касательное пространство TS Γ к Γ+ k -орбите производящей функции S состоит из всех функций вида S˜ =

k−r X

q i Hi

r  X  ∂S ∂S  ∂S  ∂S  ,w + Hj , w + H0 , w, u, , ∂q ∂w ∂q ∂q ∂u

 ∂S

j=1

i=1

с некоторыми гладкими функциями Hi , Hj и H0 . ii. Касательное пространство TS G к G+ k -орбита производящего семейства S состоит из всех функций вида S˜ =

r k−r  ∂S  X X ∂S Hi (q, w, u) + wj Hj (q, w, u) + H0 ,u , ∂qi ∂u i=1

j=1

с некоторыми гладкими функциями Hi , Hj и H0 . Рассмотрим (r, k)-приспособленный лагранжев росток L(S) с производящей функцией S(q, w, u). Такой росток называется инфинитезимально устойчивым, если его касательное пространство TS Γ совпадает со всем пространством C ∞ (q, w, u) ростков гладких функций от q, w и u. Из леммы 3 и гомотопического метода очевидным образом вытекает следующее утверждение. Лемма 5. Инфинитезимально устойчивый росток устойчив. Связь между этими двумя касательными пространствами становится наглядной, если ввести приспособленное производящее семейство F (q, y, u) = S(q, w, u) − q1 p1 − · · · − qk−r pk−r . ∂F = 0 выполняются в точках лагранжева ростка L(S). ∂q В терминах этого семейства условие инфинитезимальной устойчивости для ростка S принимает следующую форму. Уравнения

ПРОСТЫЕ КОИЗОТРОПНЫЕ КАУСТИКИ

51

Лемма 6. Росток S инфинитезимально устойчив тогда и только тогда, когда всякая функция S˜ от x, y, u имеет следующее разложение: S˜ =

k−r k  ∂S  X X ∂S ∂S Hi (q, y, u) + Hj (y, u) + H0 y, ,u . ∂qi ∂yj ∂u i=1

j=1

∂S и получим разложение i ∂q из леммы 4. В обратную сторону, разложим произвольную функцию от q, y, u в сумму функции ∂S ∂S ∂F = −pi + . Заметим, что всякая функция от − , w, u от q, w, u и функции, делящейся на ∂qi ∂qi ∂qi ∂F . представима как функция от p, w, u и функция, делящаяся на ∂qi ∂F Положим теперь y = 0 в разложении леммы 6, тогда получим, что функции порождают ∂y y=0 над R факторпространство C ∞ (q, w, u)/TS Gk . Другими словами, они порождают подпространство, трансверсальное к касательному пространству Gk -орбиты ростка S. Росток S(q, w, u) называется ростком (r, k)-конечного типа, если факторпространство n ∂S o ∞ ∞ K = Cq,w,u /Cq,w,u ∂q ∞ является конечнопорожденным Cw,u -модулем и для некоторого m факторпространство Доказательство. Если это разложение существует, то положим p =

∞ O = K/Cw,u {Dm (S, u), w},

∂S где Dm (S, u) есть пространство полиномов степени не больше m от , есть конечнопорожденный ∂u модуль над R. ∂F Лемма 7. Если классы порождают O, то росток S является инфинитезимально ∂y y=0 устойчивым (и, тем самым, устойчивым). Доказательство. Обозначим через mu максимальный идеал в алгебре Cu∞ . Подготовительная ∞ -модулю теорема Мальгранжа, примененная к конечнопорожденному Cw,u ∞ O∗ = K/Cw,u {Dm (S, u)} = O + mu O∗

и отображению (w, u) 7→ u, влечет равенство n ∂F o K= + , ∂y которое эквивалентно инфинитезимальной устойчивости ростка n o n ∂S o ∞ m ∞ ∂F ∞ ∞ Cq,w,u = Cq,w,u + K = Cw,u {D (S, u)} + Cu . ∂q ∂y ∞ Cw,u {Dm (S, u)}

Cu∞

Замечание. Трансверсальность к Gk -орбите сохраняется при преобразованиях из Γk . Следовательно, всякий приспособленный росток S (r, k)-конечного типа является инфинитезимально устойчивым. В противном случае он не был бы эквивалентен близким росткам, которые трансверсальны своим Gk -орбитам. Поскольку Γk -простой росток также является Gk -простым, нам остается расклассифицировать простые Gk -орбиты. Из леммы 4 следует, что Gk -орбита зависит только от ограничения Sˆ производящей функции на подпространство w = 0, которое совпадает с производящим семейством для приведенного ˆ в Mr = R2(n−r) = {(p, q, u, v)}-симплектическом пространстве, лагранжева подмногообразия L касательном к коизотропному подпространству C∗ = {p = 0}.

52

В. M. ЗАКАЛЮКИН

Итак, достаточно классифицировать ростки в нуле приведенных функций S (от q, u) с нулевой 2-струей в нуле, которые порождают лагранжевы подмногообразия в Mr , касательные к L0 = {p = 0, v = 0}-координатному лагранжеву подпространству. Группа эквивалентностей уменьшается до группы G0k−r симплектоморфизмов Mr , сохраняющих начало координат, коизотропное подпространство C∗ и касательное пространство к L0 в нуле. Для полноты изложения приведем основные этапы получения этой классификации [4]. + Группа G0k−r содержит подгруппу Rk−r симплектоморфизмов, сохраняющих также и лагранжево расслоение (p, q, u, v) 7→ (q, u). Преобразования из Rk+ действуют на производящие функции S правой заменой переменных q, сохраняющей расслоение над пространством u, и сложениями с функциями от u (с нулевой 2-струей). Касательное пространство TS R+ к орбите этой подгруппы отличается от пространства TS G0 тем условием, что функции H0 из разложения леммы 4 являются ∂S аффинными по . ∂u Следствие 2. Если лагранжевы подмногообразия L(S1 ) и L(S2 ), являющиеся графиками градиентов приведенных функций S1 и S2 , G0k−r -эквивалентны, то их 3-струи j 3 Si являются + Rk−r -эквивалентными. В частности, 3-струи их ограничений на слой u = 0 право-эквивалентны. Доказательство. По лемме 1 можно найти гомотопию в G+ k−r , которая является фазовым потоком некоторого гамильтониана Ht , отображающим L(S1 ) на L(S2 ) и удовлетворяющим условиям леммы 3 при любом t. Поскольку начало координат неподвижно, значение H0 в нуле можно (без потери общности рассуждений) принять за нуль во все моменты времени. Из леммы 3 вытекает, что соответствующее семейство производящих функций St удовлетворяет следующему уравнению: k−r  ∂S   ∂S  X ∂St ∂St t t =− Hit , q, u + H0t ,u . ∂t ∂qi ∂q ∂u i=1

Заметим, что 3-струи в нуле касательных пространств J 3 TS Gk и J 3 TS Rk+ приведенной производящей функции S совпадают. В самом деле, эти пространства отличаются на функции из квадрата ∂S идеала, порожденного функциями , принадлежащими квадрату максимального идеала mq,u в ∂u ∂St + алгебре ростков в нуле функций от q и u. Таким образом, j 3 ∈ J 3 TS Rk−r . В частности, положив ∂t u = 0 и обозначив st (q) = St (q, 0), получим k

X ∂st ∂st ˜ i (q, t)mod {m4 } =− H q,u ∂t ∂qi i=1

˜ i . Таким образом, соответствующее гомологическое уравнение для семейдля некоторой гладкой H + 3 ства j St (по отношению к группе Rk−r ) и 3-струи семейства st (по отношению к группе правых эквивалентностей) выполняется, что и требовалось. Заметим, что отражение I, меняющее ориентацию C∗ действует на производящую функцию правым преобразованием, и поэтому орбита всей группы Gk−r отвечает одной орбите правого действия на j 3 s. Если n = k, то Gk−r -орбиты касательных пар лагранжева подмногообразия L и C соответствуют правым орбитам S (в этом случае TS Gk = TS Rk+ ). Очевидно, простой Gk−r -орбите отвечает простая правая орбита 3-струи ограничения s(q). Приведенной функции S(q, u) отвечает ограничение из m3q , 3-струя которого не проста при k > 2. В самом деле, рассмотрим случай k − r = 2. Все приведенные особенности примыкают к классу D4± с j 3 sD (q) = q13 ± q1 q22 . Всякая функция S этого класса R2+ -эквивалентна функции со следующей 3-струей: j 3 S(x, z) = sD (q) + λ1 (u)(q12 ∓ q22 ) + λ2 (u)q1 + λ3 (u)q2 . Здесь линейная форма λ1 и квадратичные формы λ2 , λ3 определены с точностью до правой эквивалентности.

ПРОСТЫЕ КОИЗОТРОПНЫЕ КАУСТИКИ

53

Очевидно, такой набор имеет непрерывные инварианты по отношению к группе линейных преобразований u (число этих инвариантов равно 2(n−k +r)). Таким образом, не существует простых пар с k − r > 2. Утверждение i теоремы 1 доказано. Остается рассмотреть случай k − r = 1. В дальнейшем будем опускать индексы в G01 и R1+ . В пространстве 3-струй семейств функций одной переменной x (= q1 ) с параметрами u ∈ Rn−k + R -орбиты распадаются на три класса: ˜ ˜ 2 (u2 , . . . , un−k ) ← xQ(u). ˜ x3 + xQ(u) ← x2 u1 + xQ ˜ ˜ 2 (u2 , . . . , un−k ) — представители орбит линейной группы, действующей на квадраЗдесь Q(u), Q тичных формах от u и u2 , . . . , un−k соответственно. Функция S из первого класса R+ -эквивалентна функции вида S(q) = x3 + xλ(u). Касательное пространство к ее G-орбите   ∂λ  2 TS G = (3x + λ(z))H(x, u) + H0 x , u ∂u совпадает с касательным пространством к ее R+ -орбите   ∂λ TS R+ = (3x2 + λ(u))H(x, u) + x a(u) + b(u) . ∂u Здесь H, a, b — произвольные гладкие функции. Поэтому G-орбиты таких функций S находятся во взаимооднозначном соответствии с правыми орбитами функций λ(u). Отсюда следует приведенный (по модулю функций от y) список простых классов A, D, E теоремы 1. Для классификации особенностей оставшихся типов будем использовать спектральную последовательность Арнольда [2], принимая во внимание, что касательное пространство к G-орбите зависит от S нелинейно. Функция Гамильтона H инфинитезимального преобразования из группы G принадлежит m2p,q,u,v . Следовательно m-струя J m TS G касательного пространства TS G к G-орбите функции S зависит только от j m S. Пусть функции S0 и S1 связаны гомотопией St , t ∈ [0, 1], внутри одной G-орбиты, тогда m-струи st функций St удовлетворяют уравнению    ∂st ∂st ∂st m = −j Ht , q, u , ∂t ∂q ∂u которое можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение по отношению к компонентам m-струи st . Коэффициенты полиномиальной правой части задаются струей соответствующего семейства функций Гамильтона Ht . Ввиду единственности решения st (для фиксированного семейства Ht ) с данными начальными условиями s0 , семейство G-эквивалентностей, порожденное гамильтоновым семейством Ht , переводит произвольное продолжение S˜ струи s0 в семейство функций S˜t , m-струя которого совпадает с st при всяком t. + -эквивалентными, если их можно соединить гомотопиДве m-струи s0 и s1 называются  Gm ∂ ей st , удовлетворяющей условию st ∈ J m TSt G, т. е. являющейся решением (с заданными ∂t граничными условиями) указанного выше дифференциального уравнения, отвечающего некоторому семейству m-струй гамильтонианов Ht . Струи s0 и s1 назовем Gm -эквивалентными (и будем писать s0 ≈ s1 ), если s0 Gm -эквивалентна либо s1 , либо I(s1 ) = S1 (−x, u). Струи порядка m функций из одной G-орбиты, очевидно, принадлежат одному классу ≈-эквивалентности. Лемма 8 (определитель особенностей с вырожденной 3-струей). 1. Пусть 3-струя приведенной производящей функции S принадлежит второму классу: ˆ 2 , . . . , un−k ). j 3 ≈ x2 u1 + xQ(u ˆ 1.0. Если Q(u) невырождена, то j 4 S ≈ x2 u1 + x(±u22 ± · · · ± u2n−k ) и ˆ (в этом случае функция S G-эквивалентна приведенной либо J 5 S ≈ x5 + x2 u1 + xQ C2 нормальной форме); либо существует такое k > 2, что для любого i 6 2k ˆ и j 2k+1 S ≈ x2k+1 + x2 u1 + xQ ˆ j i (S) ≈ x2 u1 + xQ

54

В. M. ЗАКАЛЮКИН

(в этом случае S G-эквивалентно приведенной Ck нормальной форме); либо S имеет бесконечную коразмерность в пространстве ростков функций. ˆ равен 1: Q ˆ = ±u2 ± · · · ± u2 , то 1.1. Если коранг формы Q 3 n−k 4 3 2 ˆ (в этом случае функция S либо G-эквивалентна одной либо j S ≈ x u2 + x u1 + xQ из приведенных нормальных форм Bk либо принадлежит подмножеству бесконечной коразмерности); либо j 5 S ≈ x5 + x2 u1 + x(u32 ± u23 ± · · · ± u2n−k ) (в этом случае S G-эквивалентно приведенной F4 нормальной форме); либо j 5 S ≈ x2 u1 + x(u32 ± u23 ± · · · ± u2n−k ) и тогда j 6 S ≈ x2 u1 + · · · + u2 x5 a, константа a ∈ R является модулем (эту нормальную форму 5-струи назовем классом F˜ ); либо j 5 S ≈ x5 + x2 u1 + x(u42 ± u23 ± · · · ± u2n−k ) + ax3 u22 (здесь a — модуль); либо J 5 S ≈-эквивалентен струе, которая примыкает к особенности из предыдущего случая и, следовательно, не простая. ˆ равен 2: Q ˆ = ±u2 ± · · · ± u2 , то 1.2. Если коранг Q 4 n−k ˆ + u3 + au3 u2 + u3 ) (a является модулем); либо j 4 S ≈ x3 u2 + x2 u1 + x(Q 3 2 3 ˆ + u3 ± u2 u2 ); либо j 4 S ≈ x2 u1 + x(Q 2 3 либо j 4 S примыкает к этому классу. В этих случаях струя j 5 S не является простой. ˆ больше 2. 5-струя не простая, если коранг формы Q ˆ 2. Пусть 3-струя функции S лежит в третьем классе j 3 S ≈ xQ. 2.1. Если форма Q невырождена, то ˆ (и функция S G-эквивалентна приведенной нормальной форме U3 ); либо j 4 S ≈ x4 +xQ 4 3 ˆ где l(z) линейная форма от u, коэффициенты которой солибо j S ≈ x l(u) + xQ, держат модули при n − k > 1, если же n − k = 1, 5-струя не простая. Этот класс ˜. обозначим через U 2.2. Если форма Q вырождена, то либо j 4 S ≈ x4 + ax2 u22 + x(u32 ± u23 ± · · · ± u2n−1 ) (a является модулем); либо j 4 S примыкает к этому классу. Доказательство. Пусть m-струя функции S приведена к нормальной форме sm преобразованием из группы Gm . Тогда функция S эквивалентна некоторому продолжению sm . Подействуем на (m + 1)-струи этих продолжений подгруппой Gst m+1 , состоящей из преобразований из Gm+1 , сохраняющих струю sm . Касательное пространство K m+1 (sm+1 ) к орбите Gst k+1 содержит только струи, компоненты которых аффинно зависят от компонент продолжения sm+1 степени m+1. Таким образом, Gst k+1 -орбиты в пространстве однородных функций степени m + 1 совпадают с орбитами некоторой подгруппы группы аффинных преобразований этого пространства. Выбирая подходящего представителя подгруппы получаем Gm+1 -нормальную форму струи sm+1 . Простые орбиты примыкают только к конечному числу других орбит. Поэтому если коразмерность K m+1 (sm+1 ) в пространстве однородных функций степени m + 1 положительна для всякого продолжения sm+1 данной m-струи, то класс sm+1 не простой. Применяя такой спектральный метод ко всем Gm -простым орбитам в пространствах m-струй, получаем (индукцией по m) искомую классификацию. Например, в случае 1.0 пространство K 4 (s4 ) для произвольного 4-продолжения 3-струи 3 ˆ 2 , . . . , un−1 ) содержит 4-струи следующих функций (здесь символ ∼ означаj S = x2 u1 + xQ(u ет эквивалентность по модулю m5x,u )  ∂S 2 ∂S ∂S ∂S ∂S ui uj ∼ x2 ui uj ; ∼ x4 ; ∼ 2x3 uj ; ui uk ∼ 2xui uj uk ; ∂u1 ∂u1 ∂u1 ∂uj ∂uj ∂S ∂S ∂S ∂S 2 ∼ 4x2 uj um ; ui uj ∼ (2xu1 + Q)ui uj ; x ∼ 2x3 u1 + x2 Q. ∂uj ∂um ∂x ∂x Оно также содержит все мономы степени 4 от u. Следовательно, это касательное пространство содержит пространство всех 4-продолжений, которое и принадлежит одной орбите.

ПРОСТЫЕ КОИЗОТРОПНЫЕ КАУСТИКИ

55

Итак, функция S приводится G-эквивалентностью к виду S(5) , 4-струя которого уже приведена ˆ Если j 5 S(5) содержит моном x5 с ненулевым коэффициенк нормальной форме j 4 S(5) = x2 u1 + xQ.   ∂S(5) 3 , том, то, как легко видеть, классы образующих, перечисленные выше, и классы функций ∂u1 ∂S(5) x порождают над кольцом C ∞ u фактормодуль модуля m5x,u по идеалу, порожденному (над ∂x ∂S 3 кольцом C ∞ (x, z)) ростками x и m6u . По лемме Накаяма эти же классы порождают также и ∂x   ∂S 3 фактормодуль m5x,u /Cx,u x . Таким образом, пространство m5x,u содержится в TS(5) G. Други∂x ми словами, 5-струя S достаточна, и функция S(5) приводится к приведенной нормальной форме C2 с помощью гомотопического метода. Если коэффициент перед x5 в j 5 S(5) обращается в нуль, то орбита J 5 TS(5) G имеет положительную коразмерность в пространстве 5-струй. Таким образом, эта функция не эквивалентна относительно G предыдущей функции, поскольку ее 5-струя инвариантна относительно Gst 5 -преst образований, сохраняющих 4-струю S(5) . Все эти 5-струи образуют единую G5 -орбиту. Аналогично ˆ эквивалентны случаю 4-струй можно доказать, что все 6-продолжения 5-струй j 5 S = x2 u1 + xQ между собой. Рассматривая струи старших порядков, получаем последовательно приведенные классы Ck . К ним примыкает класс бесконечной коразмерности. Аналогичным образом получаются и остальные случаи, описанные в определите классов. Из леммы 8 вытекает, что размерности трансверсалей к орбитам равны индексу данного класса. Доказательство теоремы 1 завершается следующим замечанием. Все простые приведенные классы имеют нормальные формы (r, k)-конечного типа. Все классы, за исключением Bm , совпадают со своими приведенными нормальными формами из формулировки теоремы. Классы Bm задаются нормальной формой после линейного симплектического преобразования с гамильтонианом v12 . 2.2. Доказательство теоремы 2. В окрестности 1-типичного отображения h в пространстве инволютивных отображений имеется открытое всюду плотное подмножество, образованное отображениями, для которых размерность подмножества особенностей (коранга 1) не превосходит k − 1. Следовательно, лагранжево подмногообразие общего положения не пересекает это подмножество и все ростки пар являются ростками, куда входят только ростки регулярных изотропных расслоений. Выберем точку в пространстве расслоения. С помощью подходящего линейного преобразования из Γ+ всякий росток лагранжева подмногообразия, близкого к некоторому заданному, проходящему через заданную точку, можно отобразить в росток, имеющий производящую функцию S(x, u). Ограничение на L проекции h имеет ранг r 6 k − 2 в некоторой точке, если коранг матрицы порядка k × (n − k)  2  ∂ S ∂2S , , i, j = 1, . . . , k, m = 1, . . . , n − k, ∂xi ∂xj ∂xi ∂um не меньше 2. Поскольку первые k столбцов образуют симметричную матрицу, это условие определяет подмногообразие коразмерности e = 3 + 2(n − k) в пространстве струй функций S. Итак, если e превышает n, то не существует точек ранга r < k − 1 на типичном подмногообразии L. Если e 6 n, то такие точки неустранимы малым возмущением. Согласно теореме 1 росток пары L, h в такой точке не прост. Например, это случается при n = 5, k = 4. Непростые классы относительно группы G0k коранга 1 минимальной размерности следующие: ес˜3 , примыкающий к U3 и имеющий коразмерность 3; если n > 4, то ли k = 3, n = 4, то это класс U ˜ это класс F из леммы Q, примыкающий к F4 и встречающийся только при n − k > 2. Они определяют страты соответственно коразмерности 3, если k = 3, n = 4, и коразмерности 4, расслоенные на непрерывные семейства G+ k -орбит. Следовательно, если k = 3 и n = 4 или k > 4, то существует открытое подмножество производящих функций S, которые отвечают нетрансверсальным ˜3 или F˜ , которые не являются устойчивыми. деформациям к Γk -орбитам типов U

56

В. M. ЗАКАЛЮКИН

Для оставшихся наборов размерностей k < 4, k < n, (k, n) 6= (3, 4), типичная пара в каждой лагранжевой карте имеет производящее семейство, допускающее только трансверсальные Γk -развертки простых G+ k орбит в пространствах струй достаточно высокого порядка. Именно они образуют область хороших размерностей. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Арнольд В. И. Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, Ak , Dk , Ek группы Вейля и лагранжевы особенности// Функц. анализ и его прилож. — 1972. — 6, № 4. — С. 3–25 2. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений 1. — М.: Наука, 1982 3. Гивенталь А. Б. Особые лагранжевы многообразия и их лагранжевы проекции// Итоги науки и техн., сер. Соврем. пробл. мат., Новейшие достижения. — М.: ВИНИТИ, 1988. — 33. — С. 55-112 4. Закалюкин В. M., Мясниченко О. M. Лагранжевы особенности при симаплектической редукции// Функц. анализ и его прилож. — 1998. — 32, № 1. — С. 1–9 5. Робертс Р. M., Закалюкин В. M. Об особых лагранжевых многообразиях// Функц. анализ и его прилож. — 1992. — 26, № 3. — С. 28–34 6. Zakalyukin V. M. Simple coisotropic projections and caustics// Prog. Math. — 2001. — 2. — C. 575-583

Владимир Михайлович Закалюкин Московский авиационный институт (государственный технический университет), 125993, Москва, Россия E-mail: [email protected]