Геометрия и алгебра. Рабочая программа дисциплины

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет) УТВЕРЖДАЮ Ректор СПбГИТМО(ТУ) _______________________В.Н.Васильев "_____"__________________2001 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Геометрия и алгебра (указывается наименование дисциплины в соответствии с ГОС) по направлению подготовки

51.02.00

специальности

Прикладная математика и информатика

Факультет

Естественнонаучный

Председатель УМС университета

А.А.Шехонин

2

1. Цели и задачи дисциплины. Развить у студентов логическое мышление,

познакомить их с идеями и методами линейной алгебры и аналитической геометрии, привить им опыт работы с математической и связанной с математикой научной и учебной литературой, опыт решения задач с использованием математических методов. 2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины (требования к знаниям, умениям и навыкам, приобретенным в результате изучения дисциплины) Умение интерпретировать аналитические выкладки

геометрическими образами и с помощью геометрических аналогов находить нужные аналитические описания. Умение работать с литературой. 3. Объем дисциплины и виды учебной работы Вид учебной работы Общая трудоемкость дисциплины Аудиторные занятия Лекции Практические занятия (ПЗ) Семинары (С) Лабораторные работы (ЛР) и(или) другие виды аудиторных занятий Самостоятельная работы Курсовой проект (работа) Расчетно-графические работы Реферат и(или) другие виды самостоятельной работы Вид итогового контроля (зачет, экзамен)

Всего часов 216 90 126

126 126 54 72

Семестры 1, 2. 90 90 36 54

131

100

Зач. Экз.

Зач. Экз.

4. Содержание дисциплины 4.1. Разделы дисциплины и виды занятий (допускается название п. 4.1. "Тематический план") № п/п 1 2 3 4 5 6 7 8

Раздел дисциплины Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Алгебраические структуры. Линейное пространство. Линейные алгебраические системы. Полилинейные формы. Линейные операторы. Преобразование координат. Тензоры. Спектральный анализ

Лекции

ПЗ (или С)

4 10 6

6 14 10

4

12

10 12 8

12 16 14

20

22

ЛР

3

9

операторов в линейном пространстве. Евклидово пространство.

16

20

4.2. Содержание разделов дисциплины 1. Векторная алгебра. Координаты на плоскости и в пространстве. Преобразование координат при замене системы координат. Векторы. Координаты вектора. Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное и двойное векторное произведение векторов. Их свойства. 2. Аналитическая геометрия. Алгебраические линии на плоскости. Уравнения линий и поверхностей в пространстве. Линейные объекты аналитической геометрии – прямая и плоскость. Алгебраические линии второго порядка на плоскости (эллипс, гипербола, парабола). Поверхности второго порядка в пространстве. Метод сечений. 3. Алгебраические структуры. Линейное пространство. Группа, кольцо, поле, линейное пространство, алгебра. Поле комплексных чисел. Линейная зависимость векторов. Базис и размерность линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств. Подпространства линейного пространства. Линейные многообразия. 4. Линейные алгебраические системы. Геометрическое исследование систем. Теоремы Крамера и Кронекера-Капелли. Альтернатива Фредгольма. Однородные системы. Фундаментальная система решений. Общее решение системы. 5. Полилинейные формы. Линейные формы. Сопряженное пространство. Полилинейные формы, валентность. Тензор полилинейной формы. Линейное пространство форм одинаковой валентности. Симметричные и антисимметричные формы. Опредилители и их основные свойства. Критерий линейной независимости набора векторов. Ранг матрицы. 6. Линейные операторы. Линейные операторы и их матричная запись. Алгебра операторов. Обратный оператор. Ядро и образ оператора. Функции матриц и операторов. Сопряженный оператор. 7. Преобразование координат. Тензоры. Преобразование координат векторов линейного пространства при замене базиса. Ковариантный и контравариантный законы преобразования. Преобразование подобия. Ковариантный и контравариантный тензоры. Транспонирование и свертка тензоров. 8. Спектральный анализ операторов в линейном пространстве. Инварианты матрицы оператора. Собственные векторы и собственные значения. Спектральная теорема для скалярного оператора. Приведение матрицы оператора к диагональной форме. Алгебра операторных полиномов. Спектральная теорема для оператора общего вида. Структура нильпотентного оператора, базис Жордана. Приведение матрицы оператора к нормальной жордановой форме. Кратности собственных значений. 9. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Метрический тензор. Ортогональность векторов. Естественный изоморфизм евклидова пространства и сопряженного ему пространства. Тензоры в евклидовых пространствах. Эрмитовски сопряженные, эрмитовы и самосопряженные операторы. Унитарные операторы. Квадратичные формы. Индекс инерции. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. (указывается название каждого раздела и его содержание) 5. Лабораторный практикум не предусмотрен.

4

6. Учебно-методическое обеспечение дисциплины 6.1. Рекомендуемая литература 1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука.1987. 2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. . – М.: Наука.1988. 3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука.1984. 4. Булдырев В.С., Павлов Б.С. Линейная алгебра. Функции нескольких вещественных переменных. - Л.: ЛГУ.1985. 5. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. . – М.: Наука.1981. 6. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Наука.1987. 7. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач высшей алгебре. – М.: Наука.1977. 8. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука.1984. (указываются издания, в т.ч. и периодические не позднее 1996 года) 6.2. Средства обеспечения освоения дисциплины Компьютерные тесты. 7. Материально-техническое обеспечение дисциплины Факультетские компьютерные классы. 8. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины Перечень вопросов, включенных в рабочую программу дисциплины, может быть изложен с различной степенью глубины в соответствии с объемом часов на самостоятельную работу студентов. Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки (специальности) 51.20.00 Прикладная математика и информатика Программу составили: кафедра__высшей математики _Рыжков А.Е., доцент (Ф.И.О., ученое звание) Программа одобрена на заседании УМК ЕН цикла Председатель УМК ЕН цикла

Смирнов В.П.