Теория управления: Методические указания к лабораторным работам

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Хабаровский государственный технический университет»

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ Методические указания к лабораторным работам № 1–8 для студентов дневной формы обучения специальности 210100 "Управление и информатика в технических системах"

Хабаровск Издательство ХГТУ 2003

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

Хабаровск Издательство ХГТУ 2003

УДК 62-52 (075.8) Теория управления: Методические указания к лабораторным работам № 1–8 для студентов специальности 210100 «Управление и информатика в технических системах» / Сост. С.В.Шалобанов. – Хабаровск: Изд-во Хабар. гос. техн. ун-та, 2003. – 55 с. Методические указания составлены на кафедре «Автоматика и системотехника» и предназначены для выполнения лабораторного практикума по теории управления. В них приводятся краткие теоретические сведения, порядок выполнения работ, примерные формы графиков, сформулированы требования к выполнению и оформлению лабораторных работ. Печатается в соответствии с решениями кафедры "Автоматика и системотехника" и методического совета института информационных технологий.

© Издательство Хабаровского государственного технического университета, 2003

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ Цель работы: изучение динамических звеньев.

переходных

характеристик

типовых

1. Общие сведения Чтобы составить уравнение динамики системы автоматического управления, система разбивается на звенья и затем рассматривается каждое звено в отдельности. Звено системы может являться техническим устройством любой физической природы, конструкции, назначения. Поэтому составление уравнения динамики каждого конкретного звена системы является предметом рассмотрения соответствующей конкретной области технических наук (электротехники, теплотехники, динамики полета и т.п.). Пусть в результате анализа динамики какого-либо звена получилось дифференциальное уравнение второго порядка: a0

d 2 x2 dx dx + a1 2 + a 2 x 2 = b0 1 + b1 x1 , 2 dt dt dt

где x1, x2 соответственно входная и выходная величины. В теории автоматического регулирования принято приводить уравнение звена к стандартному виду и символической записи: (T22 p 2 + T1 p + 1) x 2 = k1 (τ 1 p + 1) x1 , (1.1) где p =

d . dt

Здесь введены постоянные времени, которые в данном случае будут равны: T1 =

a b a1 2 ; T2 = 0 ; τ 1 = 0 , a2 b1 a2

и коэффициент усиления (передаточное число) звена k1 =

b1 . a2

В установившемся состоянии, когда x1 = const и x2 = const, получим из (1.1) уравнение x 2 = k 1x 1

и соответствующую ему линейную статическую характеристику звена (рис. 1.1). Коэффициент усиления k1 определяет крутизну наклона этой характеристики (с учетом размерностей x1 и x2). В уравнении (1.1) оператор при выходной величине x2 называют собственным оператором, а оператор при входном воздействии – оператором воздействия. 3

x2 α x1 k1=tgα Рис. 1.1 Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией. Передаточная функция звена, описываемого уравнением (1.1) будет иметь вид: W ( p) =

k1 ⋅ (τp + 1) . T p 2 + T1 p + 1 2 2

В общем случае передаточная функция звена имеет вид: W ( p) =

k1 ⋅ N ( p ) , L( p)

(1.2)

где N(p) и L(p) – многочлены с коэффициентами 1 в младших членах, причем степень N(p), как правило, ниже L(p). Типы звеньев систем автоматического регулирования различаются по виду их передаточной функции (или дифференциального уравнения), определяющей все их динамические свойства и характеристики. Основные типы звеньев делятся на три группы: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие. Позиционными звеньями называются такие, в передаточной функции которых многочлены N(p) и L(p) имеют свободные члены (равные 1), т.е. эти звенья обладают статической характеристикой x2=k1x1, определяющей их установившееся состояние (свойство позиционности). У дифференцирующих звеньев в выражении (1.2) отсутствует свободный член числителя, т.е. для однократно дифференцирующего звена передаточная функция W ( p) =

k1 ⋅ p ⋅ N 1 ( p ) , L( p)

где N1 имеет свободный член, равный 1. Для двукратного дифференцирующего звена k1 ⋅ p 2 ⋅ N 1 ( p ) W ( p) = . L( p )

4

Передаточные функции интегрирующих звеньев имеют соответственно вид W ( p) =

k1 N ( p ) k N ( p) или W ( p) = 12 , pL1 ( p ) p L1 ( p )

где L1(p) имеет свободный член, равный 1. В данной лабораторной работе рассматриваются временные характеристики основных видов динамических звеньев. К временным характеристикам относятся переходная и импульсная переходная характеристики. Переходной функцией звена (системы) называют функцию, описывающую изменение выходной величины системы (звена), когда на ее вход подается единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Переходную функцию обычно обозначают h(t). Аналитически единичное ступенчатое воздействие можно описать единичной функцией ⎧1 при t ≥ 0 1(t ) = ⎨ . ⎩0 при t < 0

График переходной функции – кривую зависимости функции h(t) от времени t – называют переходной или разгонной характеристикой. Импульсной переходной или весовой функцией системы (звена) называют функцию, описывающую реакцию системы (звена) на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях; обозначают эту функцию w(t). График импульсной переходной функции называют импульсной переходной характеристикой. Между весовой и переходной функциями звена имеет место следующее соотношение w(t ) =

dh(t ) . dt

1. Идеальное усилительное (безынерционное) звено Уравнение и передаточная функция звена: x2 = k1 ⋅ x1 ; W ( p) = k1 . Переходная и весовая функции h(t ) = k1 (t > 0), w(t ) = k1 ⋅ δ(t ).

Примерами таких безынерционных звеньев могут служить жесткие механические и гидравлические передачи, электронный усилитель сигналов на низких частотах, гироскоп и некоторые другие измерительные датчики. 2. Апериодическое (инерционное) звено Уравнение и передаточная функция звена: (T1 p + 1) x 2 = k1 x1 , W ( p) =

k1 . T1 p + 1

5

Передаточная функция, согласно решению уравнения звена, при x1=1(t) и нулевых начальных условиях имеет вид h (t ) = k1 (1 − e

−

t T1

), t > 0 ,

а весовая функция t

dh k1 − T1 w(t ) = = ⋅e , t > 0 . dt T1

Эти функции изображены на рис. 1.2.

Рис. 1.2 Постоянная времени T1 определяет наклон касательной в начале кривой, следовательно, величина T1 характеризует степень инерционности звена, т.е. длительность переходного процесса. Практически с точностью до 5% переходный процесс считается затухшим за время tn = 3T1 . Примером апериодического звена является электродвигатель, если x1 управляющее напряжение, x2 – угловая скорость вала. 3. Апериодическое звено второго порядка Уравнение и передаточная функция звена: (T22 p 2 + T1 p + 1) x2 = k1 x1 , W ( p ) =

k1 , T p + T1 p + 1 2 2

2

причем T1 ≥ 2T2 . Переходная и весовая функции апериодического звена второго порядка изображены на рис. 1.3.

6

Рис. 1.3 Как решение соответственно

дифференциального

уравнения

t t − − ⎛ T3 T4 T3 T4 ⎜ ⋅e + ⋅e h ( t ) = k1 ⋅ 1 − ⎜ T3 − T4 T3 − T4 ⎝

k1 w( t ) = T3 − T4

где T3, 4 =

t − ⎛ − Tt T4 3 ⎜ ⋅ e −e ⎜ ⎝

они

имеют

вид

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

⎞ ⎟, t > 0, ⎟ ⎠

T1 T2 ± 1 − T22 . 2 4

Примерами такого звена являются двигатель постоянного тока при учете инерционности цепи якоря, электромашинный усилитель. 4. Колебательное звено Уравнение звена имеет вид: (T22 p 2 + T1 p + 1) x2 = k1 x1 ,

причем T1 < 2T2 . Общепринята запись передаточной функции колебательного звена в виде W ( p) =

где

T = T2 , ξ =

T1 , 2T2

k1 , T 2 p 2 + 2ξTp + 1

причем

0 < ξ < 1,

при

ξ ≥1

звено

становится

апериодическим второго порядка. Переходная и весовая функции колебательного звена изображены на рис. 1.4.

7

h(t)

0

t

w(t)

0

t

Рис. 1.4 Как решение соответственно

дифференциального

уравнения

ξ ⎡ − t⎛ 1 − ξ2 1 − ξ2 ξ T h(t ) = k1 ⎢1 − e ⎜ cos t+ sin ⎜ T T ⎢⎣ 1 − ξ2 ⎝

w(t ) =

k1 T 1 − ξ2

e

ξ − t T

⋅ sin

1 − ξ2 t, T

они

имеют

вид

⎞⎤ t ⎟⎥, ⎟⎥ ⎠⎦

t > 0.

Огибающая на рис. 1.4 и частота колебаний определяется соответственно формулами k1e

ξ − t T

,

1 − ξ2 . T

Поэтому аналогично инерционному звену длительность переходного процесса можно оценить практически в виде T tп = 3 . ξ

Примером колебательного звена может служить колебательный контур (рис. 1.5).

. k

i C

x1=U1

x2=U2

. Рис. 1.5 5. Идеальное интегрирующее звено Уравнение и передаточная функция звена имеют вид: 8

x2 = k1 ∫ x1dt ,

W ( p) =

px2 = k1 x1 ,

k1 p

Переходная и весовая функция (рис. 1.6) имеют вид:

h(t)

0

t

w(t) k1

0

t Рис. 1.6

h(t ) = k1t ,

w(t ) = k1 ,

t>0

6. Инерционное (реальное) интегрирующее звено Уравнение и передаточная функция звена имеют вид: (T1 p + 1) ⋅ p ⋅ x2 = k1 ⋅ x1 , W ( p) =

k1 p (T1 p + 1)

Переходная и весовая функции как решения уравнения звена соответственно при x1 = 1(t ) и x1 = δ (t ) , изображенные на рис. 1.7, имеют вид: t ⎡ − ⎛ T1 ⎜ ⎢ h(t ) = k1 t − T1 1 − e ⎜ ⎢⎣ ⎝

t − ⎛ T1 ⎜ w(t ) = k1 1 − e ⎜ ⎝

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

⎞⎤ ⎟⎥ , ⎟⎥ ⎠⎦

t > 0,

t > 0.

Следовательно, за счет постоянной времени вместо интегрирование с инерционным запаздыванием (рис. 1.7).

идеального

9

Рис. 1.7 Примером такого инерционного интегрирующего звена является электродвигатель, если выходной величиной считать угол поворота. 7. Идеальное дифференцирующее звено Уравнение и передаточная функция звена: x2 = k1 px1 , W ( p) = k1 p Переходная и весовая функции имеют вид: h(t ) = k1 ⋅ δ(t ) ,

w(t ) = k1

dδ(t ) , dt

t > 0.

Примерами такого звена являются тахогенератор, если x1 = xвх и x2 = U ТГ и RC-цепочка с усилителем (рис. 1.8). R C

.

.

x1=U1

x2=U2

Рис. 1.8 8. Инерционное дифференцирующее звено Уравнение и передаточная функция звена: (T1 p + 1) ⋅ x2 = k1 ⋅ p ⋅ x1 , W ( p) =

k1 p T1 p + 1

Переходная и весовая функции показаны на рис. 1.9,

10

h(t) k1 T1

0

t

w(t) −

t

k1 T12

Рис. 1.9 имеют вид: t

h(t ) =

k1 − T1 ⋅e ; T1

t

w(t ) =

k1 k − ⋅ δ(t ) − 12 e T1 . T1 T1

Примерами такого звена является обычная RC-цепочка (рис. 1.10). C

.

x1=U1

R

x2=U2

. Рис. 1.10 2. Порядок выполнения работы 1. Ознакомиться с программой для исследования переходных характеристик типовых динамических звеньев. 2. Произвести снятие переходных характеристик для различных значений параметров по указанию преподавателя. 3. Построить полученные зависимости, сделать вывод о влиянии параметров на вид переходной характеристики. 4. Для апериодического звена первого порядка графически определить постоянную времени и коэффициент передачи. 3. Библиографический список 1. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1989. 304 с. 2. Теория автоматического управления: Учебник для вузов по специальности «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч. /Под редакцией А.А.Воронова. М.: Высшая школа, 1988. Ч. 1.367 с.

11

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ Цель работы: исследование амплитудных и фазовых частотных характеристик типовых динамических звеньев. 1. Общие сведения При анализе и синтезе систем автоматического регулирования и управления широкое распространение получили методы, основанные на использовании частотных характеристик. Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакции звена или системы на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме, т.е. вынужденные синусоидальные колебания звена. Если на вход звена подается сигнал вида j X 1 = sin ωt , ωt то на выходе звена в установившемся режиме sinωt будет X 2 = A sin(ωt + ϕ) , cosωt где А – амплитуда (точнее усиление амплитуды), а ϕ – сдвиг по фазе. Применяется символическая запись гармонических колебаний в виде Рис. 2.1 j ωt X1 = e . Поскольку e jωt = cos ωt + j sin ωt , то геометрически это изображается вращающимся единичным вектором (рис. 2.1). Пусть, например уравнение звена имеет вид: ((T2 p) 2 + T1 p + 1) ⋅ X 2 = K (T1 p + 1) ⋅ X 1 , где p = d / dt Используем символическую запись X 1 = e jωt ; pX 1 = jωe jωt ; X 2 = Ae j ( ωt + ϕ) ; pX 2 = Ajωe j ( ωt + ϕ) ; p 2 X 2 = A( jω) 2 e j ( ωt + ϕ) . Подставив эти величины в уравнение звена, получим ((T2 jω) 2 + T1 jω + 1) ⋅ Ae j ( ωt + ϕ) = K (T1 jω + 1) ⋅ e jωt , откуда Ae jϕ =

K (T1 jω + 1) ; (T2 jω) 2 + T1 jω + 1

Сравнивая это выражение с передаточной функцией W(p) данного звена видим, что 12

Ae jϕ = W ( p )

p = jω

= W ( jω) .

(2.1)

Из выражения (1) следует: A = W ( jω) ,

(2.2) (2.3) ϕ = arg W ( jω) . Выражение (2.1) представляет амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) звена. Иногда W ( jω) называют частотной передаточной функцией звена. Выражение (2.2) называют амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) звена. Выражение (2.3) – фазовая частотная характеристика (ФЧХ). Графически АФЧХ изображается на комплексной плоскости в полярных координатах (A, ϕ), как годограф функции W ( jω) . В прямоугольных координатах (рис. 2.2), выделяем в выражении W ( jω) вещественную и мнимую части W ( jω) = U(ω) + jV ( ω) . При этом U(ω) называют вещественной частотной характеристикой, а V ( ω) – мнимой. Заметим, что угол ϕ показан на рисунке как отрицательный (отложен по часовой стрелке), поскольку чаще реакция на выходе звена имеет отставание по фазе относительно входного сигнала. Из приведенных выше соотношений следует, что амплитудная частотная характеристика есть зависимость от U(ω ) частоты отношения амплитуд выходного и входного сигналов в вынужденном гармоническом режиме, а ϕ(ω) – ω →∞ ω =0 V(ω ) зависимость от частоты фазовых ϕ сдвигов этих сигналов. В автоматике, электронике и связи АЧХ и ФЧХ чаще всего изображают в логарифмическом масштабе, используя его свойство уменьшать крутизну исходных зависимостей. Это Рис. 2.2 обстоятельство позволяет заменить фактическую гладкую нелинейную АЧХ при построении элементов аппроксимированной характеристикой, представляющей собой набор последовательно соединенных прямолинейных отрезков с различной крутизной, и тем самым существенно упростить ее построение. При построении логарифмических АЧХ (ЛАЧХ) и логарифмических ФЧХ (ЛФЧХ) текущие значения частот наносятся на ось частот в логарифмическом масштабе (откладывается lg ω) и отсчет частот ведется либо в натуральных единицах измерения либо в декадах или октавах. Под декадой понимается диапазон частот между любым произвольным ωi и его

13

удесятеренным значением 10 ωi, а под октавой – диапазон частот между произвольным значением ωi и 2ωi. При построении ЛАЧХ по оси ординат откладываются значения Lm(ω) = 20 lg A(ω) = 20 lg W ( jω) , единицей измерения для которых является децибел (Дб). Начало координат по оси абсцисс помещают обычно в точке ω = 1, т.к. lg1 = 0. Точка же ω = 0 лежит в –∞. Однако в зависимости от интересующего нас диапазона частот можно начало координат брать в другой точке (ω = 0.1; ω = 10 и др.) Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза ωс (рис. 2.3).

Рис. 2.3 Верхняя полуплоскость ЛАЧХ соответствует значениям A>1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость значениям A<1 (ослабление амплитуды). При построении ЛФЧХ отсчет углов ϕ идет по оси ординат в обычном масштабе в угловых градусах (рис. 2.3). 2. Порядок выполнения работы Для исследования частотных характеристик типовых динамических звеньев разработан программный комплекс, позволяющий получить данные для построения АЧХ и ФЧХ звеньев, АФЧХ которых приведены ниже. 1. Ознакомиться с программой для исследования АЧХ и ФЧХ типовых динамических звеньев. Постоянные K и T1 задаются преподавателем. 2. Снять частотные характеристики звеньев. Выявить влияние параметров звеньев на вид частотных характеристик. 3. Сравнить полученные графики с теоретическими, сделать выводы. 3. Библиографический список 1. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1989. 304 с.

14

2. Теория автоматического управления: Учебник для ВТУЗов по специальности «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч. /Под редакцией А.А.Воронова. М.: Высшая школа, 1988. Ч. 1. 367 с.

Приложение 1 Передаточные функции и формулы для получения вещественных и мнимых частотных характеристик типовых динамических звеньев Интегро-дифференцирующее звено.

1.

W ( p) =

T1 p + 1 , T2 p + 1

U (ω ) =

1 + T1 ⋅ T2ω 2 (T − T ) ⋅ ω , V (ω ) = 1 22 2 . 2 2 1 + T2 ω 1 + T2 ω

Форсирующее звено 1-го порядка.

2.

W ( p) = T1 p + 1 , U (ω) = 1 , V (ω) = T1 ⋅ ω .

Форсирующее звено 2-го порядка.

3.

W ( p) = T22 p 2 + T1 p + 1 , U (ω ) = 1 − T22 ⋅ ω 2 , V (ω) = T1 ⋅ ω .

Инерционно-дифференцирующее звено.

4.

W ( p) =

pk , T1 p + 1

U (ω ) =

ω 2 kT1 ωk , V (ω) = 2 2 . 2 2 T1 ω + 1 T1 ω + 1

Инерционно-интегрирующее звено.

5.

W ( p) =

k , (T1 p + 1) p

U (ω) =

− T1k −k , V (ω) = 2 2 . 2 T ω +1 (T1 ω + 1) ⋅ ω 2 1

Апериодическое звено 1-го порядка.

6.

W ( p) =

k , T1 p + 1

U (ω) =

k −T ⋅ω⋅ k , V (ω) = 21 2 . 2 T1 ω + 1 T ω +1 2 1

Апериодическое звено 2-го порядка (E ≥ 1).

7. W ( p) =

k , 2 2 T2 p + 2ξT2 p + 1

V (ω ) =

(1 − T ω )

k ( −2ξT2ω )

2 2

2 2

+ 4ξ 2T22ω 2

ξ=

T1 , 2T2

U (ω ) =

k (1 − T22ω 2 )

(1 − T ω ) 2 2

2 2

+ 4ξ 2T22ω 2

,

.

8. Колебательное звено (0 < ξ < 1 для апериодического звена 2го порядка). 15

9.

Неминимально-фазовое звено.

W ( p) =

10.

U (ω) =

−k − T ωk , V (ω) = 2 12 . 2 T ω +1 T1 ω + 1 2 1

Изодромное звено. W ( p) =

16

k , T1 p − 1

T1 p + 1 , T1 p

U (ω) = 1 ,

V (ω) =

−1 . T1ω

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КРИТЕРИЕВ ГУРВИЦА И МИХАЙЛОВА Цель работы: изучение критериев устойчивости Гурвица и Михайлова. 1. Общие сведения Устойчивость систем автоматического управления является одним из важнейших условий её работоспособности. Под устойчивостью линейной системы понимают свойство затухания переходного процесса с течением времени, то есть следующее свойство собственного (свободного) движения системы: X соб (t ) → 0 , при t → ∞ . Поскольку собственную составляющую процесса управления можно представить в виде: n

X соб (t ) = ∑ C i e λ i t ,

(3.1)

i =1

где λi – корни характеристического уравнения замкнутой системы (различные), то условие устойчивости заключается в отрицательности вещественных частей всех корней характеристического уравнения. Только в этом случае все слагаемые суммы (3.1) с течением времени стремятся к нулю. Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень (λi = 0) или хотя бы одна пара чисто мнимых корней (λi, i+1 = ±jω), а все остальные корни имеют отрицательные вещественные части, то будем говорить, что система находится на границе устойчивости. Для случая нулевого корня граница устойчивости называется апериодической, для случая чисто мнимого корня – колебательной. Поскольку вычисление корней полиномов высокой степени затруднительно, в теории автоматического управления используются критерии устойчивости, позволяющие не вычисляя корни, судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения или по частотным характеристикам. В первом случае критерии называются алгебраическими, во втором – частотными. В теории автоматического управления из алгебраических критериев наиболее широко применяется критерий Гурвица [1]. Предварительно рассмотрим необходимое условие устойчивости. Пусть характеристическое уравнение линейной системы имеет вид: a0 λn + a1λn −1 + ... + a n −1λ + a n = 0 . 17

Докажем, что необходимым условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Для доказательства разложим левую часть характеристического уравнения на множители: a 0 (λ − λ 1 )(λ − λ 2 )...( λ − λ n ) = 0 . Пусть все его корни имеют вещественные отрицательные части λ 1 = − α 1 , λ 1 = − α 1 ± jω 2 , λ n = − α n . Подставив их в уравнение, получим: a 0 (λ + α 1 )(λ + α 2 − jω 2 )(λ + α 2 + jω 2 )...( λ + α n ) = 0 . Поскольку средние два сомножителя дают: [( λ + α 2 ) 2 + ω 22 ] , то видно, что после перемножения скобок получим в уравнении только положительное коэффициенты. Что и требовалось доказать. Однако положительность коэффициентов недостаточна для устойчивости системы, так как они могут появиться и при положительных вещественных частях комплексных корней. Но все вещественные корни при положительных коэффициентах уравнения будут обязательно отрицательными. Критерий устойчивости по Гурвицу формулируется следующим образом. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы были положительны n главных определителей следующей матрицы коэффициентов характеристического уравнения системы: ⎡ a1 a3 a5 ⎢a a a 2 4 ⎢ 0 ⎢L L L ⎢ ⎢0 0 0 ⎢⎣ 0 0 0

L

0

L

0

L

L

L a n −1 L a n−2

0⎤ 0 ⎥⎥ L⎥ , ⎥ 0⎥ a n ⎥⎦

(a 0 > 0) .

В первую строку матрицы вписываются коэффициенты с нечётными индексами, во вторую – с чётными, концы строк заполняются нулями так, чтобы матрица имела n столбцов. По диагонали располагаются коэффициенты, начиная с a1, до an. Указанные главные определители имеют вид: ∆ 1 = a1 > 0, ⎡a ∆2 = ⎢ 1 ⎣a0 ⎡ a1 ∆ 2 = ⎢⎢a 0 ⎢⎣ 0

a3 ⎤ > 0, a 2 ⎥⎦ a3 a5 ⎤ a 2 a 4 ⎥⎥ > 0. a1 a3 ⎥⎦

Они называются определителями Гурвица. Последний определитель Гурвица, как видно из приведённой выше матрицы, равен: ∆ n = ∆ n −1 ⋅ a n .

18

Для систем первого и второго порядков критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов. Для системы третьего порядка характеристическое уравнение имеет вид: a 0 λ3 + a1λ2 + a 2 λ + a 3 = 0 . Условие устойчивости по Гурвицу будет: ∆ n −1 = a1 ⋅ a 2 − a 0 ⋅ a3 > 0 , которое словесно формулируется так: “Произведение средних коэффициентов больше произведения крайних”. Для системы четвёртого порядка: a 0 λ4 + a1λ3 + a 2 λ2 + a 3 λ + a 4 = 0 . условием устойчивости по Гурвицу будет положительность всех коэффициентов характеристического уравнения и выполнение неравенства: ∆ n −1 = a 3 ( a1 ⋅ a 2 − a 0 ⋅ a 3 ) − a 4 ⋅ a12 > 0 . Рассмотрим критерий устойчивости Михайлова. Пусть характеристический многочлен линейной системы n–ого порядка имеет вид: D (λ ) = a 0 λn + a1λn −1 + a 2 λn − 2 + ... + a n −1λ + a n . Подставим в него чисто мнимое значение λ = jω, получим: D ( jω) = X (ω) + jY (ω) , где X(ω) = an – an-2ω2 +…; Y(ω) = an-1ω – an-3ω3 +…. Изобразим годограф этого выражения на комплексной плоскости (X, Y) для различных n, Примерные формы годографов представлены на рис. 3.1.

Рис. 3.1 Кривые Михайлова Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова D(jω ) при изменении ω от 0 до ∞ повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол nπ/2, где n – порядок характеристического уравнения. Для устойчивых систем кривая Михайлова должна начинаться при ω = 0 на положительной вещественной полуоси, поскольку D(0) = an > 0.

19

Учитывая сказанное выше, критерий устойчивости можно сформулировать так: для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая (годограф) Михайлова при изменении частоты ω от 0 до ∞, начинаясь при ω = 0 на вещественной положительной полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно n квадрантов координатной плоскости, где n – порядок характеристического уравнения. 2. Порядок выполнения работы В лабораторной работе исследуется устойчивость потенциометрической следящей системы, структурная схема которой представлена на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Структурная схема потенциометрической следящей системы 1. Выбрать по указанию преподавателя начальное значение постоянной времени T1. 2. Исследовать влияние коэффициентов передач K1, K2, K3 на устойчивость системы. Добиться случая устойчивой, неустойчивой системы и системы, находящейся на границе устойчивости. 3. Зарисовать графики переходных процессов и кривые Михайлова. 4. Проверить по критерию Гурвица полученные результаты. 5. Выяснить влияние величины постоянной времени T1 на устойчивость системы. 3. Содержание отчета 1. Структурная схема исследуемой системы. 2. Переходные характеристики. 3. Кривые Михайлова. 4. Расчеты устойчивости по критерию Гурвица. 5. Выводы. 4. Библиографический список 1. Теория автоматического управления: учебник для вузов по специальности «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч. / Под редакцией А.А.Воронова. М.: Высшая школа, 1988. Ч. 1. 367 с. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ 20

АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КРИТЕРИЯ НАЙКВИСТА Цель работы: изучение частотного критерия устойчивости Найквиста. 1. Общие сведения Частотный критерий устойчивости Найквиста был разработан в 1932 году американским ученым Г. Найквистом. Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы [1,2]. Рассмотрим три случая. 1. Система, устойчивая в разомкнутом состоянии Пусть передаточная функция разомкнутой цепи имеет вид: W ( p) =

K ⋅ N ( p) K ⋅ (b0 p m + ... + 1) = , L( p) (C 0 p n + ... + 1)

m≤n.

Этот случай соответствует системам автоматического управления без астатизма. Введем вспомогательную функцию W1 ( p) = 1 + W ( p ) =

L( p) + KN ( p) D ( p) , = L( p) L( p )

(4.1)

где D(p) – характеристический многочлен замкнутой системы, а L(p) – характеристический многочлен разомкнутой цепи этой системы. Заметим, что так как в реальных системах степень полинома N(p) не выше степени полинома L(p), т.е. m≤n, то степени полиномов D(p) и L(p) одинаковы и равны n. Подставляя в (4.1) p=jω, получим W1 ( jω) =

D( jω) . L( jω)

Так как разомкнутая цепь устойчива, то по критерию Михайлова изменение аргумента L(jω ) при 0≤ω≤∞ равно nπ/2. Для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо потребовать, чтобы изменение аргумента D(jω ) при 0≤ω≤∞ также было равно nπ/2. Отсюда следует, что изменение аргумента W1(jω ) должно быть: ∆ argW1 ( jω) = ∆ arg D( jω) − ∆ arg L( jω) = 0 . Это значит, что годограф W1(jω ) не должен охватывать начало координат (рис. 4.1a, 4.1б).

21

v1

v1 1

k

k

1 ω=0

ω=∞

ω=∞ 0

u1

0

ω=0

u1

a)

W1(jω)

W1(jω) б)

Рис. 4.1 Вернемся теперь к функции W(jω) = W1(jω) – 1 которая представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой цепи (рис. 4.2a, 4.2б). Отсюда получаем следующую формулировку частотного критерия Найквиста: если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи не охватывала точку с координатами (–1, j0) (см. рис. 4.2а, 4.2б). v k –1

ω=0

0

.

ω=∞

u W (jω) a)

v k –1

.

ω=∞

ω=0

0

u W(jω) б)

Рис. 4.2 График на рис. 4.2a соответствует случаю, когда устойчивость системы нарушается с увеличением общего коэффициента усиления разомкнутой цепи K (поскольку пропорционально величине K меняются все радиус-векторы точек характеристики), а график на рис. 4.2б – случаю, когда и при уменьшении K система может стать неустойчивой.

22

Для сложных характеристик (клювообразного вида, как на рис. 4.2б и более сложных) под “охватом точки (–1, j0)” понимается ее попадание внутрь контура, образованного годографом W(jω), замкнутым прямой, соединяющей точки W(0) и W(j∞). 2. Система, нейтральная в разомкнутом состоянии Характеристический многочлен разомкнутой цепи L(p) имеет нулевые корни, а все остальные корни имеют отрицательные вещественные части. Передаточная функция разомкнутой цепи W(p) имеет соответственно нулевые полюса: W ( p) =

K ⋅ (b p m + ... + 1) K ⋅ N ( p) = ν 0 n−ν , L( p) p (C 0 p + ... + 1)

m≤n.

Это соответствует астатическим системам, причем ν – порядок астатизма. Рассмотрим сначала случай ν = 1: L ( p ) = p (C 0 p n −1 + ... + 1) . Подстановка p=jω при 0≤ω≤∞ означает перемещение вдоль оси ω от точки 0 вверх по плоскости корней, показанной на рис. 4.3. ω

ρ

α

Рис. 4.3 При этом, чтобы все корни оставить слева, обойдем точку 0 по окружности малого радиуса ρ, т.е. W ( p) =

где R =

K K = = Re − jϕ , jϕ p ρe

0≤ϕ≤

π , 2

K – большая величина, причем при ρ → 0, R → ∞. ρ

Следовательно, точке ω = 0 плоскости корней соответствуют на характеристике W(jω) четверть окружности бесконечного радиуса (рис. 4.4).

23

Рис. 4.4 Поскольку при этих выкладках все корни оставались в левой полуплоскости, то формулировка критерия устойчивости остается той же: не должна охватываться точка (–1, j0). При этом под охватом понимается попадание этой точки внутрь замкнутого контура, образованного годографом W(jω), достроенным на вещественную положительную полуось четвертью окружности бесконечного радиуса. В случае ν=2 и ν=3 аналогично получаем ту же формулировку для годографа, достроенного половиной или тремя четвертями окружности большего радиуса, как показано на рис. 4.5a и 4.5б.

24

v ω=∞

–1

.

0

u

ω=0

а) v

ω=∞

–1

.

0

u

ω=0

б)

Рис. 4.5 3. Система с неустойчивой разомкнутой цепью Пусть характеристический многочлен L(p) разомкнутой цепи имеет l корней с положительной вещественной частью. Тогда, результирующее изменение аргумента L(jω): ∆ arg L( jω) = ( n − 2l ) ⋅

π . 2

Рассмотренная выше вспомогательная функция W1 ( p) = 1 + W ( p ) =

D( p) L( p )

при замене p=jω, согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутой системы, должна иметь следующее изменение аргумента при 0≤ω≤∞: ∆ arg W1 ( jω) = ∆ arg D ( jω) − ∆ arg L( jω) = n

π π − ( n − 2l ) = lπ. 2 2

Отсюда следует, что для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи охватывала точку (–1, j0) против часовой стрелки на угол lπ,

25

где l – число полюсов с положительной вещественной частью передаточной функции разомкнутой цепи. Например, если l=1 (один положительный полюс), то для устойчивости замкнутой системы АФЧХ разомкнутой цепи должна иметь вид, примерно как на рис. 4.6a или рис. 4.6б. v –1

–k

.

ω=0

v

ω=∞ 0

–k ω=0

u

ω=∞

–1

.

0

а)

u

б)

Рис. 4.6 Если l = 3, то АФЧХ разомкнутой цепи, показанная на рис. 4.7, будет соответствовать устойчивой замкнутой системе, поскольку точка (–1, j0) охватывает на угол 3π против часовой стрелки. v –k

ω=0

–1

.

ω=∞ 0

u

Рис. 4.7 2. Порядок выполнения работы Для выполнения лабораторной работы разработан программный комплекс, позволяющий исследовать устойчивость потенциометрической следящей системы, структурная схема которой показана на рис. 4.8 [3]. Программа позволяет изменять параметры K1, K2, T1, T2, степень астатизма (0 или 1) и наблюдать переходные характеристики системы.

Рис. 4.8 Установите степень астатизма ν=0. 1. 2. Изменяя параметры K1, K2, T1, T2 выясните их влияние на устойчивость системы. Устойчивость контролируйте по переходным и частотным характеристикам. 3. Установите степень астатизма ν=1.

26

4. Повторите исследования, проведенные в п.2 задания. Зарисуйте графики переходных характеристик и АФЧХ для устойчивой и неустойчивой систем, а также системы, находящиеся на границе устойчивости. 5. Результаты исследований в п.2 и п.4 проверьте по критерию Гурвица. 3. Содержание отчета 1. Структурная схема исследуемой системы. 2. Графики переходных характеристик и АФЧХ для ν=0 и ν=1 для устойчивой и неустойчивой системы. 3. Результаты расчетов устойчивости по критерию Гурвица. 4. Выводы. 4. Библиографический список 1. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1989. 304 с. 2. Теория автоматического управления: учебник для вузов по специальности «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч. / Под редакцией А.А.Воронова. М.: Высшая школа, 1988. Ч. 1. 367 с. 3. Бобышев В.В., Шалобанов С.В. Исследование устойчивости системы автоматического управления. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 940067, РосАПО, 1994. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ САУ СО ЗВЕНОМ ЧИСТОГО ЗАПАЗДЫВАНИЯ Цель работы: исследование влияния значений параметров K, T и времени чистого запаздывания τ на устойчивость замкнутой САУ. 1. Общие сведения Системой с запаздыванием называется такая система, в которой имеется звено, обладающее тем свойством, что реакция на его выходе отстает по времени на некоторую величину τ [1]. Звено чистого запаздывания описывается уравнением. Xвых(t) = Xвх(t– τ), (5.1) где τ – время запаздывания. Примерами такого рода звеньев могут служить: акустическая линия связи (τ – время прохождения звука в среде), дозирование вещества с перемещением его по ленточному транспортеру (τ – время движения между определенными точками транспортера).

27

Согласно теореме запаздывания операционного исчисления, для уравнения (5.1) получим передаточную функцию: Wτ ( p) = e − τp . (5.2) Рассмотрим случай, когда звено запаздывания находится в прямой цепи системы и не охватывается местными обратными связями (рис. 5.1).

Рис. 5.1 Общая передаточная функция разомкнутой цепи будет иметь вид: W ( p) = W0 ( p) ⋅ e − τp =

KN ( p) − τp ⋅e , L( p )

(5.3)

где W0(p) – общая передаточная функция всех остальных звеньев цепи, кроме элемента запаздывания. Передаточная функция замкнутой системы равна: Φ( p) =

W ( p) KN ( p)e − τp = . (5.4) 1 + W ( p) L( p ) + KN ( p)e − τp

Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы будет определяться выражением: W ( jω) = W0 ( jω) ⋅ e− jτω , (5.5) амплитудная характеристика: A(ω) = A0 (ω) , фазовая характеристика: ϕ(ω) = ϕ 0 (ω) − τω , то есть наличие элемента запаздывания не меняет амплитудной частотной характеристики, но существенно влияет на фазовую частотную характеристику, причем ϕ(ω) → −∞ при ω → ∞ . Поэтому все вектора A(ω) поворачиваются в отрицательную сторону (по часовой стрелке) на угол τω (рис. 5.2) и кривая W(jω) принимает спиральную форму, асимптотически приближаясь к началу координат.

28

Рис. 5.2 Рассмотрим устойчивость системы с запаздыванием. Характеристическое уравнение системы будет трансцендентным: L(λ ) + KN (λ )e − τλ = 0 . (5.6) Поэтому алгебраические критерии устойчивости становятся сложными для применения. Критерии устойчивости Найквиста и Михайлова сохраняют для систем с запаздыванием свою прежнюю формулировку. Критерий Михайлова удобно применять для определения границ устойчивости систем с запаздыванием. На границе устойчивости кривая Михайлова проходит через начало координат, причем так, что все остальные участки кривой соответствуют устойчивости (при малой деформации кривой у начала координат критерий устойчивости будет выполняться). Итак, на границе устойчивости: D(jω) = 0 или D ( jω) = L( jω) + KN ( jω)e − τjω = = L( jω) + KN ( jω)(cos τω − j sin τω) = 0

.

(5.7)

После выделения вещественной Х и мнимой Y частей, получим два уравнения:

X (ω, cos τω, sin τω) = 0, Y (ω, cos τω, sin τω) = 0.

Этими двумя уравнениями определяются границы устойчивости по одному параметру или в плоскости двух параметров, входящих в коэффициенты уравнений (5.7). Рассмотрим пример системы, структурная схема которой показана на рис. 5.3.

Рис. 5.3 29

Поскольку передаточная функция разомкнутой системы Ke − τp W ( p) = , p (Tp + 1) то характеристическое уравнение замкнутой системы определяется выражением: D (λ ) = Tλ2 + λ + Ke − τλ . В частотной области: D ( jω) = −Tω 2 + jω + K (cos τω − j sin τω) . Уравнение границы устойчивости X = −Tω2 + K cos τω = 0, Y = ω − K sin τω = 0. Отсюда находим, что на границе устойчивости: ω 1 K= T= ; . ωtgτω sin τω При заданном значении τ на плоскости параметров K, T строим по этим уравнениям (меняя ω) границу устойчивости (рис. 5.4). Отметим, что при отсутствии τ рассматриваемая система устойчива при любых положительных K и T. T

область устойчивости

K

Рис. 5.4 Рассмотрим использование критерия Найквиста. Из рис. 5.2 видно, что частотные характеристики за счет запаздывания τ изменяются так, что система приближается к границе устойчивости и даже может стать неустойчивой. Найдем критическое время запаздывания τкр, т.е. такую величину τ, которая выводит систему на границу устойчивости. Тогда W(jω) проходит через точку (–1, j0) (рис. 5.5). Это значит, что при некотором значении ω=ωкр ϕ 0 (ωкр ) − τ кр ωкр = −π . A0 (ωкр ) = 1 , Отсюда находим: 30

τ кр =

π + ϕ 0 (ω кр ) ω кр

=

ϕ(ω кр ) ω кр

,

(5.8)

где ωкр определяется из условия: A0 (ω кр ) = 1 .

(5.9)

Для нашего случая: A0 (ω кр ) =

K ω кр T 2 ω 2кр + 1

= 1,

Откуда получим: 4 2 ω кр T 2 + ω кр − K2 = 0.

(5.10) Уравнение (5.10) имеет два корня ω , нас интересует положительный корень, определяемый выражением: 2 кр

2 ω кр =

− 1 + 1 + 4T 2 K 2 . 2T 2

Извлекая квадратный корень из последнего выражения, найдем искомое значение ωкр.

Рис. 5.5 2. Порядок выполнения работы Для выполнения лабораторной работы разработан программный комплекс на языке Borland C, позволяющий исследовать устойчивость системы с запаздыванием со структурной схемой представленной на рис. 5.3 [2]. 1. Введите по указанию преподавателя начальные значения K, T и времени запаздывания τ. 2. Получите переходные характеристики, амплитудно-фазовые характеристики, график границы устойчивости в плоскости параметров K, T. 3. Произведя анализ границы устойчивости ,измените параметры K, T так, чтобы система была устойчива, неустойчива, на границе устойчивости для начального значения времени запаздывания τ.

31

4. Для начальных значений K, T рассчитайте по формуле (5.8) критическое время запаздывания τкр через ϕ(ωкр) (на экране монитора обозначено Yкр) и ωкр. 5. Установите τкр в системе и проверьте устойчивость по АФЧХ и h(t). 6. Сделайте вывод о влиянии запаздывания в прямой цепи замкнутой системы на устойчивость системы.

1. 2. 3. 4.

3. Содержание отчета Структурная схема системы. Графики АФЧХ, h(t) и границы области устойчивости. Значение параметров K, T, ωкр, τкр. Выводы.

4. Библиографический список 1. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1989. 304 с. 2. Жидков Д. Ю., Проскурина Е. А., Шалобанов С. В. Исследование устойчивости системы со звеном чистого запаздывания. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 950443, РосАПО, 1995. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ САУ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ Цель работы: исследование влияния степени астатизма на установившуюся ошибку САУ при ступенчатом и линейно возрастающем входных воздействиях. 1. Общие сведения С точки зрения протекания процесса управления, требования у системе формируются по следующим трем основным направлениям [1]: 1) точность; 2) устойчивость; 3) качество переходного процесса. Точность системы задается и определяется в установившихся режимах. Среди типовых режимов работы системы автоматического управления, определяющих точность этой системы, простейшими являются режимы работы при постоянной величине внешнего воздействия и при изменении внешнего воздействия с постоянной скоростью. 32

Найдем значение установившейся ошибки в замкнутой системе автоматического управления при постоянной величине внешнего задающего воздействия g(t) = const = g0. Пусть задана передаточная функция разомкнутой цепи системы K ⋅ N ( p) W ( p) = , L( p ) где N(p) и L(p) не содержат множителя p (свободные члены их равны единице). Тогда передаточная функция замкнутой системы для ошибки будет равна Фε =

1 L( p ) = . 1 + W ( p) L( p) + KN ( p)

Для установившейся ошибки справедливо выражение ε уст = lim ε(t ) . t →∞

(6.1) (6.2)

Заменяя в выражении (6.2) правую часть равенства согласно теореме о конечном значении оригинала [2] получим: ε уст = lim E ( p ) ⋅ p = lim Фε ( p ) ⋅ G ( p ) ⋅ p , (6.3) p→0 p→0 где G(p) – изображение задающего воздействия. Для ступенчатого воздействия g0 G ( p) =

g0 . p

Подставляя это значение в выражение (6.3) и заменяя Фε ( p) с учётом формулы (6.1), получаем:

ε уст =

g0 , 1+ K

(6.4)

так как свободные члены N(p) и L(p) равны единице. Это значение ошибки называется статической ошибкой. При подаче на вход системы задающего воздействия, изменяющегося с постоянной скоростью g(t) = g0 + g1t, (6.5) установившаяся ошибка ε также будет изменяться с постоянной скоростью. При достаточно длительном воздействии, такое нарастание ошибки недопустимо. Для ликвидации этого явления нужно изменить структуру системы так, чтобы многочлен L(p) не имел свободного члена, т.е. чтобы L(p) = p⋅L1(p). (6.6) Это соответствует случаю, когда передаточная функция разомкнутой цепи системы W(p) имеет нулевой полюс. В самом деле, при воздействии вида (6.5), изображение которого G ( p) =

g 0 g1 + , p p2

по формуле (6.3), с учетом (6.1) и (6.6), получим: 33

ε уст = lim p →0

⎛g pL1 ( p) g ⎞ g ⋅ p⎜⎜ 0 + 12 ⎟⎟ = 1 . pL1 ( p) + KN ( p ) ⎝ p p ⎠ K

Это установившееся значение ошибки называется скоростной ошибкой

ε ск =

g1 . K

(6.7)

Итак, система, обладающая свойством (6.6), т.е. нулевым полюсом в передаточной функции разомкнутой цепи W(p), не будет иметь статической ошибки (поскольку при g(t) = g0, G(p) = g0/p и ε уст = 0 ) и дает постоянной значение скоростной ошибки. Такая система, отличающаяся отсутствием статической ошибки, называется астатической системой. Таким образом, для обеспечения астатизма системы, необходимо присутствие интегрирующего звена в ее прямой цепи. Следящие системы и системы программного управления, имеющие дело с переменными задающими воздействиями должны проектироваться как астатические. В системах стабилизации допустимо иметь и статические ошибки (астатизм не обязателен). Как видно из формул (6.4) и (6.7), для уменьшения величины ошибки нужно добиваться достаточно большого значения общего коэффициента усиления К разомкнутой цепи системы. Можно строить системы автоматического управления с астатизмом второго и более высокого ν-го порядка, когда многочлен L(p) имеет соответственно L(p) = p2⋅L1(p), L(p) = pν⋅L1(p), (6.8) то есть с двойным нулевым полюсом или нулевым полюсом ν-го порядка в передаточной функции W(p). Тогда если мы имеем на входе задающее воздействие в виде времястепенного ряда g(t) = g0 + g1t +…+ gν−1tν−1 + gνtν, (6.9) для которого имеем изображение G ( p) =

g 0 g1 (v − 1)! g v −1 vgv + 2 +L+ + v +1 , p p pv p

то по формуле (6.3) с учетом (6.1) и (6.8) в системе с астатизмом ν-го порядка будем иметь постоянную ошибку v! g v ε уст = . (6.10) K Если степень задающего воздействия меньше степени астатизма ν, то установившаяся ошибка равна нулю, если степень время-степенного задающего воздействия вида (6.9) больше степени астатизма, то установившаяся ошибка будет неограниченно возрастать.

34

2. Порядок выполнения работы Для выполнения лабораторной работы разработана программа на языке Borland C [3], позволяющая исследовать точность следящей системы угловых перемещений на постоянном токе со структурной схемой, показанной на рис. 6.1.

Рис. 6.1 Функциональная схема исследуемой системы приведена на рис. 6.2, где КУ – корректирующее устройство, МУ – магнитный усилитель.

Рис. 6.2 Программа позволяет: 1. Задавать вид входного сигнала (ступенчатый или линейноизменяющийся); 2. Задавать передаточную функцию корректирующего устройства; 3. Изменять параметры KU и Т1 звеньев; 4. Наблюдать семейства графиков выходного параметра Qвых и ошибки; 5. Изменять масштабы графиков по обеим осям координат. Перечисленные выше операции осуществляются клавишами F1–F7 и клавишами «стрелки». Проведите исследование точности следящей системы, для чего: 1. Установите по указанию преподавателя постоянную времени магнитного усилителя T1; 2. Для трех видов КУ определите степень астатизма системы и добротность К;

35

3. Получите переходные характеристики и графики ошибок для различных КУ и различных входных воздействий (угол наклона линейного входного воздействия выберите равным 45°, что соответствует g1 = 1 в формуле (6.5)); 4. Определите по графику численное значение установившейся ошибки и сравните с расчетным; 5. Сделайте вывод о характере изменения установившихся значений ошибки системы при различных соотношениях порядка астатизма системы и степени входного воздействия. 3. Содержание отчета 1. Функциональная и структурная схемы САУ. 2. Графики переходных характеристик и ошибок для различных КУ и параметров системы. 3. Расчеты ε уст . 4. Выводы. 4. Библиографический список 1. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1989. 304 с. 2. Математические основы теории автоматического регулирования: В 2 т. / Под ред. Б.К. Чемоданова. М.: Высшая школа, 1977. Т.2. –455 с. 3. Седых В.П., Шалобанов С.В. Исследование точности системы автоматического управления. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №94068. РосАПО, 1994. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7 ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИНВАРИАНТНОСТИ ОШИБКИ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ К ЗАДАЮЩЕМУ ВОЗДЕЙСТВИЮ Цель работы: исследование свойства инвариантности комбинированной следящей системы к задающему воздействию.

ошибки

1. Общие сведения Основной целью следящих систем является возможно более точное воспроизведение регулируемой координатой изменяющегося задающегося воздействия [1, 2]. Этому способствует дополнительная цепь по задающему воздействию. Следящую систему в этом случае называют комбинированной следящей

36

системой, ее типичная структурная схема показана на рис. 7.1, а Wку – передаточная функция дополнительной цепи. По структурной схеме комбинированной следящей системы определим передаточные функции относительно задающего воздействия для регулируемой величины: Φ gу =

и для ошибки слежения: Φ gε =

W2W3W4 (W1 + Wку ) 1 + W1W2W3W4

1 − W2W3W4Wку 1 + W1W2W3W4

.

(7.1)

.

(7.2)

Если обеспечить 1 , (7.3) W2W3W4 то передаточная функция для регулируемого параметра (7.1) обращается в единицу, а передаточная функция для ошибки слежения – в нуль. Следовательно, соотношение (7.3) – это условие инвариантности ошибки слежения ε от задающего воздействия, или условие идеального воспроизведения выходной координатой y задающего воздействия g. Wку =

WКУ

g

ε

W1

W2

W3

W4

у

Рис. 7.1 Выполнение условия (7.3) связано с практическими трудностями, обусловленными тем, что поскольку регулируемый объект (W4), исполнительное устройство (W3) и усилительное устройство (W2) обладают инерционностью, корректирующее устройство должно обладать форсирующими свойствами. Поскольку практически невозможно аппаратно реализовать производные выше второго порядка, в комбинированных следящих системах достигается лишь частичная инвариантность ошибки ε от задающего воздействия g до нулевой, первой, или второй производной включительно. Это означает соответственно астатизм первого, второго и третьего порядка. Неизбежная незначительная инерционность дифференцирующих элементов, а также неточности в определении параметров ведут к тому, что и частичная инвариантность обеспечивается лишь с точностью до малой величины δ.

37

Корректирующая цепь Wку не влияет на устойчивость замкнутого контура, но сама эта цепь должна быть устойчивой. 2. Порядок выполнения работы Для исследования свойства инвариантности ошибки САУ к задающему воздействию разработан программный комплекс, моделирующий систему, функциональная схема которой показана на рис. 7.2. Здесь введены следующие обозначения: КУ – корректирующее устройство, ПУ – предварительный усилитель, УМ – усилитель мощности, Д – двигатель, Р – силовой редуктор. САУ представляет собой следящую систему угловых перемещений. Структурная схема системы представлена на рис. 7.3. Наличие знаменателя третьей степени в передаточной функции корректирующего устройства обусловлено трудностью физической реализуемости чистого дифференцирования. Однако величина постоянной времени Т знаменателя передаточной функции КУ пренебрежимо мала по сравнению с постоянными времени TУ и TД системы. КУ

ПУ

Р

Д

УМ

Рис. 7.2. Kp (T1 p + 1)(T2 + 1) (Tp + 1) 3

QВХ

КП

KУ TУ p + 1

KД (T Д p + 1) p

КР QВЫХ

Рис. 7.3. Учитывая значения КУ, КД, КР, ТУ, ТД, подберите постоянные 1. времени Т1, Т2 и коэффициент усиления К корректирующего устройства так, чтобы обеспечить максимальную инвариантность ошибки следящей системы к ступенчатому задающему воздействию. 2. Убедитесь, что инвариантность нарушается при изменении параметров усилителя, двигателя и редуктора. 3. Исследуйте влияние параметра КП предварительного усилителя на инвариантность ошибки. 4. Повторите исследования по п. 1–3 для линейно изменяющегося задающего воздействия.

38

3. Содержание отчета 1. Функциональная и структурная схемы следящей системы. 2. Расчеты оптимальных параметров корректирующего устройства. 3. Графики ошибки и регулируемой величины для полной и неполной инвариантности. 4. Выводы. 4. Библиографический список 1. Теория автоматического управления. В 2-х ч.Ч.1. Теория линейных систем автоматического управления /Н.А.Бабаков, А.А.Воронов, А.А. Воронова и др.; Под ред. А.А.Воронова. – М:. Высш. шк., 1986.–367 с. 2. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1989. 304 с. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8 УЛУЧШЕНИЕ КАЧЕСТВА РАБОТЫ САР Цель работы: изучение средств, применяемых для повышения точности, быстродействия, устойчивости САР. 1. Общие сведения Рассмотрим некоторые средства, позволяющие улучшить качество работы САР. 1. Неединичная обратная связь Как известно, статическая САР имеет ненулевую установившуюся ошибку при подаче на вход постоянного воздействия. Одним из средств, позволяющих устранить эту ошибку, является введение неединичной обратной связи по схеме представленной на рис. 8.1. ε(t)

g(t)

y(t) W(p) φ(p)

Рис .8.1 Передаточная функция такой системы будет иметь вид: Ф( p) =

W ( p) , 1 + φ( p ) ⋅W ( p )

(8.1)

39

где φ(p) – передаточная функция обратной связи. Для полной инвариантности системы требуется, чтобы Φ(p)=1, в этом случае y(t) = g(t). Из выражения (8.1) в этом случае получим: φ( p ) = 1 −

1 , W ( p)

(8.2)

Из этого выражения видно, насколько передаточная функция главной обратной связи должна отличаться от единицы, чтобы система стала инвариантной, т.е. воспроизводила без установившейся ошибки любое задающее воздействие. Поскольку разомкнутая цепь обладает инерционностью, соотношение (8.2) можно практически реализовать только приближенно. Кроме того, из выражения (8.1) видно, что при таком способе коррекции изменяется характеристическое уравнение замкнутой системы, поэтому необходимо следить, чтобы получалось желаемое качество переходного процесса. В равновесном состоянии (Р=0) из (8.2) имеем: 1 K ОС = 1 − , (8.3) K0 где K0 – коэффициент усиления разомкнутой системы. Следовательно, если ввести в главную ОС системы коэффициент усиления KОС согласно формуле (8.3), то статическая система превратится в астатическую без введения интегрирующего звена. 2. Введение изодромных звеньев Последовательное включение изодромных звеньев WU(p)=1+KU/p в прямую цепь, как будет показано ниже, повышает порядок астатизма системы. При этом устраняется статическая ошибка, что позволяет уменьшить общий коэффициент усиления системы и повысить тем самым запас устойчивости, улучшить вид переходного процесса. Рассмотрим систему, структурная схема которой показана на рис. 8.2. KU p

g(t )

W( p)

Рис. 8.2

40

y(t )

Пусть исходная передаточная функция W(p) не имеет нулевых полюсов. Следовательно, замкнутая система без изодромного звена, обведенного пунктиром, имеет статическую ошибку. Запишем передаточную функцию для ошибки замкнутой системы с изодромным звеном: 1 = ⎛ KU ⎞ ⎟ ⋅ W ( p) 1 + ⎜⎜1 + p ⎟⎠ , ⎝ L( p ) ⋅ p = L( p) ⋅ p + ( p + K U ) ⋅ KN ( p)

Φ ε ( p) =

(8.4)

где L(p)=a0pn+a1pn-1+…+1 – знаменатель W(p); N(p)=b0pm+ …+ bm – числитель W(p); K – коэффициент усиления разомкнутой цепи. Из выражения (8.4) видно, что Φε(p) имеет однократный нуль (нулевой корень числителя), т.е. система обладает астатизмом 1-го порядка. 3. Система с переменной структурой Большие дополнительные возможности улучшения процессов регулирования дает нелинейное управление работой объекта путем изменения структуры регулятора в зависимости от знака и величины ошибки. Например, если известно, что при одном законе регулирования получается быстрое начальное изменение регулируемой величины, но с большими последующими колебаниями (кривая 1, рис. 8.3), а при другом законе – медленное изменение, но плавный подход к новому установившемуся режиму (кривая 2), то можно, включив сначала первый закон, переключить затем систему на второй закон в некоторой точке А, когда величина ошибки достигнет определенного значения g0–уA (кривая 3). В результате процесс регулирования будет объединять оба качества – быстроту и плавность процесса. Для осуществления этого необходимо иметь в системе переключающее устройство, срабатывающее в данном случае при у=уA Необходимо отметить, что за счет реализации переключения, происходящего автоматически в процессе регулирования, система становится нелинейной.

41

Рис. 8.3 2. Порядок выполнения работы Для выполнения лабораторной работы используется программный комплекс, позволяющий проводить исследования описанных выше способов коррекции САР для системы, состоящей из двух апериодических звеньев первого порядка. 1. Введением неединичной обратной связи добейтесь астатизма первого порядка для исходных параметров K и T системы. Зарисуйте графики переходной характеристики и ошибки. Определите величину перерегулирования. 2. Изменяя параметры системы и величину коэффициента неединичной обратной связи, добейтесь отсутствия перерегулирования при сохранении свойства астатизма. Зарисуйте переходные характеристики и графики ошибки. 3. Введите изодромное звено в разомкнутую цепь системы и изменением коэффициента усиления интегрирующего канала K добейтесь минимального времени переходного процесса при отсутствии

42

перерегулирования. Определите статическую ошибку системы. Зарисуйте графики ошибки и переходного процесса. 4. Для системы с переменной структурой подберите параметры Kδ, KM и порог срабатывания коммутатора, которые обеспечивали бы минимальное время регулирования, отсутствие перерегулирования и минимальную статическую ошибку системы. Зарисуйте графики выходных характеристик и ошибок системы. 3. Содержание отчета 1. Структурные схемы системы с неединичной обратной связью, изодромным звеном, с переменной структурой. 2. Графики переходных характеристик, ошибок. 3. Расчеты параметров и значение показателей качества процесса регулирования. 4. Выводы. 4. Библиографический список 1. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления; Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1989. 304 с.

43

ОГЛАВЛЕНИЕ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ3 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ12 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КРИТЕРИЕВ ГУРВИЦА И МИХАЙЛОВА .............................. 17 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КРИТЕРИЯ НАЙКВИСТА

20

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ САУ СО ЗВЕНОМ ЧИСТОГО ЗАПАЗДЫВАНИЯ 27 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ САУ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ………………….. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7 ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИНВАРИАНТНОСТИ ОШИБКИ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ К ЗАДАЮЩЕМУ ВОЗДЕЙСТВИЮ .......................................... 36 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8 УЛУЧШЕНИЕ КАЧЕСТВА РАБОТЫ САР ... 39

44

32

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ Методические указания к лабораторным работам № 1–8 для студентов специальности 210100 "Управление и информатика в технических системах"

Шалобанов Сергей Викторович

Главный редактор Л.А.Суевалова Редактор В.Н. Костенко Компьютерная верстка В.Ю.Сапегина

Подписано в печать . Формат 60x84 1/16. Бумага писчая. Гарнитура «Таймс». Печать офсетная: Усл. печ. л. 3,2. Уч.-изд. л. 2,7. Тираж 100 экз. Заказ .

Издательство Хабаровского государственного технического университета. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.

Отдел оперативной полиграфии издательства Хабаровского государственного технического университета. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136