Специальный курс ''Асимптотики решений дифференциальных уравнений'': Методические указания

М инисте р ство о б р а зо ва ния Р о ссийско й ф е де р а ции В о р о не ж ский го суда р стве нный униве р сите т М а те ма тиче ский ф а культе т

К а ф едр а у р а вн ен и й в ча ст н ы х пр о и зво дн ы х и т ео р и и вер о ят н о ст ей

Спе циа льный кур с «А симпто тики р е ше ний диф ф е р е нциа льных ур а вне ний» М ет о ди чески е у ка за н и я для ст у ден т о в 3-6 ку р со в всех ф о р м о бу чен и я

Со ста вите ли: А .В . Глушко , В .П. Глушко

В о р о не ж 2002

2 В м етод и ческ и х ук азани ях рассм отрен ряд м етод ов п остроени я аси м п тоти ческ и х реш ени й обы к новенны х д и ф ф еренци альны х уравнени й. Особое вни м ани е уд еленом етод у В КБ. 1. Эвр истиче ские со о б р а ж е ния. Рассм отри м уравнени е второгоп оряд к а y′′ − k 2 q ( x ) y = 0

(1.1)

на к онечном отрезк е I = [a; b] . Буд ем п ред п олагать, чтоk > 0 , ф унк ци я q( x) вещ ественна, строгоп оложи тельна и беск онечнод и ф ф еренци руем а п ри x ∈ I . Н ас и нтересуетп овед ени е реш ени й уравнени я (1.1) п ри k → +∞ . Так ого род а зад ачи возни к аю тв сам ы х разны х ф и зи ческ и х м од елях , в частности в зад ачах о расп ространени и звук овы х , элек тром агни тны х , уп руги х волн и в к вантовой м ех ани к е. Если q − п остоянная, то уравнени е (1.1) и м еет д ва ли нейно незави си м ы х реш ени я y1,2 = e ± k

qx

. Буд ем и ск ать реш ени е в ви д е эк сп оненты ,

ум ноженной на ряд п остеп еням 1/ k : 1 1 y = e kS ( x ) [ a0 ( x) + a1 ( x) + ... + n an ( x) + ...]. k k Сх од и м ость ряд а м ы п ок а обсужд ать не буд ем . При вы чи слени ях уд обнее и ск ать y в неск ольк ои ном ви д е x

y = exp[ ∫ (kα −1 (t ) + α 0 (t ) + x0

α1 (t ) α (t ) + ... + n n + ...) dt ]. k k

(1.2)

Сд елаем в (1.1) п од становк у1 y′ = w, y тогд а д ля w п олучи м уравнени е Ри к к ати w′ + w2 = k 2 q ( x ) . Им еем и з (1.2), (1.4) w = kα −1 ( x) + α 0 ( x) +

α1 ( x) + ... k

Под стави м этовы ражени е в (1.4): k 2α −21 ( x) + k[2α 0 ( x)α −1 ( x) + α −′ 1 ( x)] + ... = k 2 q ( x)

и п ри равняем к оэф ф и ци енты п ри од и нак овы х степ енях k : 1

Провести вы к лад к и , связанны е с п од становк ой.

(1.3)

(1.4)

3 α −21 ( x ) = q ( x), 2α −1 ( x)α 0 ( x ) + α −′ 1 ( x ) = 0,...

Отсю д а нах од и м

α −1 = ± q ( x), α 0 = −

знак а к орня), и

м ожно затем

q′( x) ,... ( α 0 ( x ) не зави си т от вы бора 4q ( x )

п ослед овательно найти

α1 ( x),α 2 ( x),...

Под ставляя эти значени я в (1.2) и учи ты вая, что x q′(t ) 1 exp[− ∫ dt ] = C exp[− ln q( x)] = C (q ( x))−1/ 4 , п олучаем (с точностью д о c 4q (t ) 4 O (k −1 )) д ва п ри бли женны х реш ени я

y1,2 ≈ q −1/ 4 ( x)exp[± k ∫

x

c

q (t ) dt ]

(k → +∞)

(1.5)

Отм ети м , что 1 q′′( x) 5 (q′( x))2 α1 ( x ) = ⋅ − ⋅ 8 (q( x))3 / 2 32 (q ( x))5 / 2 (этоотвечаетвы бору + q в эк сп оненте). В п ослед ую щ и х лек ци ях эти ф орм альны е соображени я буд ут строго обоснованы . А си м п тоти ческ и е ф орм улы (1.5) носят названи е В КБ – п ри бли жени е (п о и м енам Г . В ентцеля, Г . Крам ера, Л . Бри ллю энта, к оторы е п олучи ли эти ф орм улы в 1926 год у в связи с зад ачам и м ех ани к и ), и ли к оротк оволновое п ри бли жени е. 2. О сно вные о це нки. Пр е о б р а зо ва ние ур а вне ния. Рассм отри м уравнени е y′′ − Q( x) y = 0 (2.1) на и нтервале I = ( a; b), a < b , к онечном и ли беск онечном . Усло вие 1. Ф унк ци я Q( x) и м еетд ве неп реры вны е п рои звод ны е и не обращ ается в нуль п ри x ∈ I . У равнени е (2.1) эк ви валентноси стем е 1  y   y ′  0  y′  =  Q( x) 0  y′  .      С учетом введ енногоранее обозначени я

(2.2)

1 Q′′( x) 5 (Q′( x))2 α1 ( x ) = ⋅ − ⋅ ; (2.3) 8 (Q( x))3 / 2 32 (Q( x))5 / 2 нетруд но д ок азать с п ом ощ ью неп осред ственны х утвержд ени й след ую щ ее утвержд ени е2 2

Провести вы к лад к и , связанны е с п олучени ем (2.3)

4 Ле мма . Преобразовани е y ( x) = u1 ( x) + u2 ( x) 1 Q′( x) 1 Q′( x) y′( x) = ( Q( x) − )u1 ( x) − ( Q( x) + )u2 ( x) 4 Q( x) 4 Q( x)

(2.4)

п ри вод и тси стем у (2.2) к ви д у 1   u1   u1′   1 0  Q′( x)  1 0  1 − + α1  (2.5)  u′  = [ Q ( x)     ]   .  0 −1 4Q ( x)  0 1   −1 −1   u 2   2 До ка за те льство . Сам остоятельно.3 За ме ча ние . Поясни м см ы сл и к онструк ци ю п реобразовани я (2.4) на

п ри м ере уравнени я y′′ − k 2 q ( x) y = 0 , гд е

k − больш ой п арам етр. Так к ак

Q( x) = k 2q ( x) в д анном случае, тоα1 ( x, k ) = O( k −1 ) , и м атри ца си стем ы (2.5) д и агональная, с точностью д о м алы х членов п оряд к а O (k −1 ) . Си стем а (2.2) и м еетви д 1  y  0 Y ′ = A( x, k ) Y , Y =   , A =  2 .  y′   k q ( x) 0  Буд ем вначале и ск ать п реобразовани еY = T0 ( x) Z , п ри вод ящ ее си стем у к п очти д и агональном у ви д у с точностью д оO(1) . Э та п од становк а п ри вод и тк dT0 ) Z , отк уд а ви д но, что в к ачестве T0 ( x) след ует dx взять м атри цу, п ри вод ящ ую м атри цу A( x, k ) к д и агональном у ви д у. си стем е Z ′ = (T0−1 AT0 − T0−1

Собственны е значени я этой м атри цы равны ± k q ( x) (и разли чны п ри всех x ∈ I , так к ак q( x) ≠ 0 ), а собственны е век торы (столбцы ) равны (1; ± q( x))T ,

1   1 так что м ожно п оложи тьT0 =   . Тогд а п олучи м си стем у  q ( x) − q ( x)  dT ( x) Z ′ = [k Λ ( x) − T0−1 ( x) 0 ]Z , гд е Λ( x) − д и агональная м атри ца с dx д и агональны м и

элем ентам и

д и агональном у

ви д у

д и агонали зи ровать

3

Провести д ок азательство.

q , − q.

с точностью ее

с

Итак , си стем а п ри вед ена к

д о членов точностью

п оряд к а O(1) . д оO (k −1 ) ,

Ч тобы сд елаем

5 п од становк у Z = ( I + k −1T1 ( x ))U . Так к ак

( I + k −1T1 ( x)) −1 = I − k −1T1 ( x) + O ( k −2 ),

топ олученная си стем а п ри м етви д dT0 ( x) ) + O(k −1 )]U . dx М атри цу T1 ( x) м ожнонайти и з услови я, чтобы зак лю ченная в к руглы е ск обк и U ′ = [k Λ ( x) + (T1 ( x)Λ ( x) − Λ ( x)T1 ( x) − T0−1 ( x)

м атри ца бы ла д и агональной. Э ти соображени я и п ри вод ят к п од становк е (2.4). О це нка р е ше ний. Если в си стем е (2.5) отброси ть члены , сод ержащ и еα1 ( x) , то си стем а расп ад ется на д ва незави си м ы х уравнени я. У к ороченная си стем а и м еетреш ени я u j ( x) = y 0j ( x0 , x)e j , j = 1,2,

(2.6)

гд е обозначено e1 = (1; 0),

e2 = (0; 1),

0 y1,2 ( x0 , x) = Q −1/ 4 ( x )e ± S ( x0 , x ) ,

S ( x0 , x) = ∫

x

x0

(2.7)

Q (t ) dt .

(2.8)

Пок ажем , что п ри услови ях , к оторы е буд ут сф орм ули рованы ни же, си стем а (2.5) и м еет реш ени я, бли зк и е к соотнош ени ям и (2.4), п олучи м уравнени я (2.1). Обозначи м

u1 , u 2 . Тогд а, восп ользовавш и сь

п ри бли женны е ф орм улы д ля реш ени й x

ρ ( x0 , x) =| ∫ | α1 (t ) | dt | .

(2.9)

x0

Пр е дпо ло ж е ние 2. Сущ ествуетд важд ы неп реры внод и ф ф еренци руем ая п ри x ∈ I ветвь к орня Q( x) , так ая, что Re Q( x) ≥ 0, x ∈ I . В овсех п ослед ую щ и х ф орм улах ф и гури руети м енноэта ветвь. За ме ча ние . Если ф унк ци я Q( x) вещ ественна, то п ред п оложени е 2 след ует

из

услови я Q( x) ≠ 0 , x ∈ I .

есть Q( x) > 0 . Если

же

ПустьQ( x) > 0 ;

и ск ом ая

ветвь

Q( x) < 0 , то Q( x) − чи сто м ни м ое чи сло, и в

к ачестве и ск ом ой ветви м ожновзять Q( x) = i⋅ | Q( x) | . Те о р е ма 1. Пусть вы п олнены п ред п оложени я 1,2 и ρ ( a , x ) < ∞, x ∈ I .

(2.10)

6 Тогд а уравнени е (2.1) и м еетреш ени е y1 ( x) так ое, что y1 ( x) − 1 ≤ 2 ⋅ (e2 ρ ( a , x ) − 1), x ∈ I . 0 y1 ( x0 , x)

(2.11)

До ка за те льство . Под становк а u j ( x) = y10 ( x0 , x) v j ( x), j = 1, 2 п ри вод и т си стем у (2.5) к ви д у v1′ = α1 ( x)(v1 + v1 ), v′2 + 2 Q ( x ) v2 = −α1 ( x )(v1 + v2 ). Реш и м эту си стем у, счи тая п равы е части и звестны м и ф унк ци ям и ; тогд а п олучи м си стем у и нтегральны х уравнени й x

v1 = C1 + ∫ α1 (t )(v1 (t ) + v2 (t )) dt , x1

x

v 2 = C2 exp{−2S ( x0 , x)} − ∫ exp{2S ( x, t )}α i (t )(v1 (t ) + v2 (t )) dt . x2

Положи м C1 = 1, C2 = 0 и x1 = x2 = a , тогд а п олучи м си стем у x

v1 ( x) = 1 + ∫ α1 (t )(v1 (t ) + v 2 (t )) dt , a

x

v 2 ( x) = − ∫ exp{2 S ( x, t )}α1 (t )(v1 (t ) + v 2 (t )) dt.

(2.12)

a

Пок ажем , что на и нтервале( a, x) , п о к отором у вед ется и нтегри ровани е, вы п олняется оценк а | exp{2S ( x, t )}| ≤ 1.

(2.13)

Д ействи тельно, Re Q( x) ≥ 0 п ри x ∈ I и так к ак a < t ≤ x , то x

Re S ( x, t ) = − ∫ Re Q(t ′) dt ′ ≤ 0 , t

отк уд а след ует(2.13) . При м ени м м етод п ослед овательны х п ри бли жени й к си стем е (2.12), п оложи в v10 ( x) = 1; v02 = 0; v1n+1 ( x) = 1 + ∫ α1 (t )(v1n (t ) + vn2 (t )) dt , x

a

x

v 2n+1 ( x) = − ∫ exp{2 S ( x, t )}α1 (t )(v1n (t ) + v2n (t )) dt . a

Им еем

x

x

a

a

| v11 ( x) − 1| ≤ ∫ | α1 (t ) | dt = ρ ( a, x), | v12 ( x ) | ≤ ∫ | α1 (t ) | dt = ρ (a, x).

Послед няя оценк а след уети з (2.13). Пок ажем п ои нд ук ци и , что (2 ρ ( a, x)) n (2.14) | v ( x) − v ( x) | ≤ , j = 1,2. n! При n = 1 оценк а д ок азана; соверш и м п ерех од и нд ук ци и отn к n + 1 . Им еем n j

n −1 j

7 x

| v1n +1 ( x) − v1n | ≤ ∫ | α1 (t ) |[| v1n (t ) − v1n −1 (t ) | + | v 2n (t ) − v 2n −1 (t ) | ] dt ≤ a

≤

2 x (2 ρ ( a, x))n +1 n | α ( t ) | ⋅ 2{ ρ ( a , t )} dt = , 1 n! ∫a (n + 1)! n

так к ак d ρ (a, t ) =| α1 (t ) | dt . Точнотак же4 д ок азы вается оценк а (2.14) п ри j = 2 ; в этом случае необх од и м оучесть оценк у (2.13). ∞

Рассм отри м ряд ы v j ( x) = ∑ (v nj +1 ( x ) − v nj ( x)),

j = 1,2. Из оценк и (2.14)

n =0

и услови я (2.10) след ует, что эти ряд ы сх од ятся абсолю тно и равном ерно на лю бом и нтервале ви д а ( a; x), x < b и что | v1 ( x) − 1| ≤ exp{2 ρ ( a, x)} − 1; | v 2 ( x) | ≤ exp{2 ρ ( a, x)} − 1.

(2.15)

Из (2.4) нах од и м y1 = y10 ( x0 , x) ⋅ [v1 ( x) + v 2 ( x)] , так что y1 ( x) − 1 ≤ | v1 ( x) + v 2 ( x) − 1| ≤ | v1 ( x) − 1| + | v 2 ( x ) | y10 ( x )

и и з (2.15) след ует(2.11). Теорем а д ок азана. Получи м оценк у д ля y1′( x) . Из соотнош ени я (см .(2.4)) y1′ ( x) = y10 ( x0 , x) Q( x)[(1 −

Q′( x) Q′( x) ) v1 ( x) − (1 + ) v 2 ( x)] 3/ 2 4Q ( x) 4Q 3 / 2 ( x)

и оценк и (2.15) вы тек ает Сле дствие 1. Сп равед ли ва оценк а  y1′ ( x) Q′( x) Q′( x) −1 ≤ + 4 1 + 3/ 2 0 4Q ( x) 4Q3 / 2 ( x) Q( x) y1 ( x0 , x) 

  (exp{2 ρ (a, x)} − 1). 

(2.16)

Сравни вая (2.11), (2.16) и учи ты вая, что ρ (a, x) → 0 п ри x → a , п олучаем Сле дствие 2. Реш ени е y1 ( x) уд овлетворяетк раевом у услови ю lim y1′( x)[( Q ( x) − x →a

Q′( x) ) y1 ( x )]−1 = 1, 4Q( x)

(2.17)

если Q′( x) / Q 3 / 2 ( x ) → 0 п ри x → a . Построи м реш ени е y2 ( x) . Точнотак же, к ак и теорем а 1, д ок азы вается5 Те о р е ма 2. Пусть вы п олнены услови я теорем ы 1 с той ли ш ь разни цей, что ρ ( x , b ) < ∞, x ∈ I . Тогд а уравнени е (2.1) и м еетреш ени е y2 ( x) так ое, что 4 5

Д ок азать (2.14) п ри j = 2. Д ок азать теорем у 2.

(2.18)

8 y2 ( x ) − 1 ≤ 2 ⋅ (exp{2 ρ ( x, b)} − 1), x ∈ I . y ( x0 , x)

(2.19)

0 2

Д алее, вы п олняю тся оценк и  y2′ ( x) Q′( x) Q′( x)  +1 ≤ + 4 1 +  (exp{2 ρ (b, x)} − 1) (2.20) 3/ 2 3/ 2 0 4Q ( x) 4 Q ( x ) Q( x) y2 ( x0 , x)   и к раевое услови е Q′( x) lim y2′ ( x)[( Q ( x) + ) y2 ( x)]−1 = 1. (2.21) x →b 4Q( x) 3. А симпто тика р е ше ний пр и б о льших зна че ниях а р гуме нта О сциллир ую щ ие р е ше ния. Рассм отри м уравнени е y′′ + Q( x) y = 0

(3.1)

на п олуоси x ≥ 0 . В вед ем услови я: 1. Q( x) > 0 п ри x ≥ x0 ≥ 0. 2. Q′′ > 0 неп реры вна п ри x ≥ 0. 3. Сх од и тся и нтеграл

∫

∞

0

| α1 ( x) | dx < ∞.

(3.2)

Ф унк ци я α1 вы п и сана в лек ци и № 1 (см . (1.6)). Те о р е ма 1. Пусть услови я 1 – 3 вы п олнены . Тогд а уравнени е (3.1) и м еетреш ени я y1 ( x), y2 ( x) ви д а y1,2 ( x) = Q −1/ 4 ( x)exp{± i ∫

x

x2

Q (t ) dt}(1 + ε1,2 ( x))

(3.3)

и д ля ф унк ци й ε j ( x) сп равед ли вы оценк и ∞

| ε j ( x) | ≤ C ∫ | α1 (t ) | dt , j = 1,2,

(3.4)

x

гд е C − п остоянная. Из услови я 3 след ует, что ε j ( x) → 0 п ри x → +∞, так что, в частности , сп равед ли ва аси м п тоти ческ ая ф орм ула y1,2 ( x) : Q −1/ 4 ( x)exp{± i ∫

x

x0

Д ок азательство.

В осп ользуем ся

Q(t ) dt}

(3. 3′ )

( x → ∞)

теорем ой

2

из

разд ела

2.

∞

Положи м I = ( x0 ; ∞) , так что a = x0 , b = ∞ и ρ ( x, ∞) = ∫ | α1 (t ) | dt. Так к ак этот x

и нтеграл

сх од и тся,

то

ρ ( x, ∞ ) → 0

п ри

x→∞

и

п отом у

9 | exp{2 ρ ( x0 , ∞)} − 1| ≤ C1ρ ( x, ∞ ) п ри д остаточно больш и х x . Поэтом у оценк у

(2.19) м ожнозап и сать в ви д е y2 ( x ) − 1 ≤ C ρ ( x, ∞ ). y ( x0 , x ) 0 2

Из этой оценк и и оп ред елени я ф унк ци и y20 ( x0 , x) (см . (2.7), (2.8)) след ует сущ ествовани е

реш ени я y2 ( x) , д ля к оторого сп равед ли вы ф орм улы (3.3),

(3.4). Ч тобы д ок азать сущ ествовани е реш ени я y1 ( x) , д остаточнозам ети ть, что если y ( x) − реш ени е уравнени я (3.1), то y ( x) - так же реш ени е. Сле дствие . Пусть вы п олненоуслови е Q′( x) = 0. x →∞ Q 3 / 2 ( x )

lim

(3.5)

Тогд а реш ени я y1 ( x ), y2 ( x) ли нейно незави си м ы и и х аси м п тоти к у м ожно д и ф ф еренци ровать, т.е. ′ ( x) : ±iQ1/ 4 ( x )exp{±i ∫ y1,2

x

x0

Q (t ) dt} ( x → ∞ ).

(3.6)

Д ок азательство. Из оценк и (3.20) и услови я (3.5) след ует (3.6) д ля y2′ ( x); аналоги чно д ок азы вается ф орм ула (3.6) д ля y1′( x) . Из(3.3′) , (3.6) п олучаем , чтоп ри x ? 1 вронск и ан w( x ) реш ени й y1 ( x), y2 ( x) равен w( x) = i ⋅

1 + o(1)

1 + o(1)

1 + o(1) −1 + o(1)

= −2i + o(1).

Так к ак вронск и ан 6 от x не зави си т, то, устрем ляя x к беск онечности , п олучаем w( x ) = −2i , (3.7) и ли нейная незави си м ость п остроенны х реш ени й д ок азана. В м есто y1,2 ( x) м ожно взять вещ ественны е реш ени я след ую щ и м и аси м п тоти к ам и п ри x → ∞ : y3 ( x) = Q −1/ 4 ( x)[cos ∫

x

x0

y3′ ( x) = −Q −1/ 4 ( x)[sin ∫

x

x0

y4 ( x) = Q −1/ 4 ( x)[sin ∫

x

x0

6

Q (t ) dt + o(1)], Q(t ) dt + o(1)], Q(t ) dt + o(1)],

Ч тотак ое вронск и ан, п очем у он не зави си тотx ? Послед ни й ф ак т– с д ок азательством .

y3,4 ( x)

со

10 y′4 ( x) = Q −1/ 4 ( x)[cos ∫

x

x0

Q (t ) dt + o (1)].

Их вронск и ан равен w = 1 . Полученны е аси м п тоти ческ и е ф орм улы п ок азы ваю т, что в с е реш ен и я у ра в н ен и я (3.1) ос ци лли ру ю т при боль ш и х x . Обсуд и м од но и з важнейш и х услови й теорем ы 1 – услови е 3. Пусть Q ( x ) = C1 xγ (зд есь и ни же C j − п остоянны е), C1 > 0 , тогд а α1 = C2 x −2−γ / 2 и

и нтеграл (3.2) сх од и тся, если γ > −2. При γ > −2 вы п олняется так же услови е (3.5). В частности , если Q( x) − м ногочлен (с п оложи тельны м к оэф ф и ци ентом п ри старш ей степ ени ), то все услови я теорем ы и след стви я вы п олнены . γ

Н етруд но п ровери ть, что если Q( x) есть ф унк ци я ви д а C3 (ln x) β , C4 eC5 x , гд е C j > 0, γ > 0, β − лю бое вещ ественное чи сло, то все услови я теорем ы 1 и след стви я вы п олнены .7 Э ти услови я вы п олняю тся так же, если аси м п тоти к а ф унк ци и Q( x) и м еет од и н и з ук азанны х вы ш е ти п ов и ее м ожно д важд ы д и ф ф еренци ровать. Н ап ри м ер, Q ( x ) : axγ , Q′( x) : γ a γ −1 , Q′′( x) : γ (γ − 1)ax γ −2 , a > 0, γ > −2 ( x → +∞ ). Отм ети м так же, чтововсех эти х случаях ,

∫

∞

x0

Q( x) dx = + ∞ .

(3.9)

У слови е (3.2) означает, чтоф унк ци я Q( x) «не сли ш к ом бы строубы вает п ри x → ∞ » (м ед леннее, чем x −2 ) и д остаточно п рави льно вед ет себя на беск онечности . При услови и (3.9) реш ени я y3 ( x), y4 ( x) и м ею т беск онечно м ного п оложи тельны х нулей, и если xn , xn +1 − сосед ни е нули од ногои з реш ени й, то

∫

xn +1

xn

Q(t ) dt = π + o(1), (n → ∞ ).

(3.10)

Пр име р 3.1. 8 Д ок азать, чтоуравнени е Э йри y′′ − xy = 0 и м еетреш ени я, так и е, чтоп ри x → −∞ 2 y1 ( x) =| x |−1/ 4 [cos( | x |3 / 2 ) + O (| x |−3 / 2 )], 3 2 y2 ( x) =| x |−1/ 4 [sin( | x |3 / 2 ) + O(| x |−3 / 2 )]. 3 7 8

Провери ть все вы ск азанные утвержд ени я овы п олнени и услови я 3. Реш и ть п ри м ер

11 Пр име р 3.2.9 Д ок азать, чтоп ри вед енное уравнени е Бесселя z′′ + (1 −

ν 2 − 1/ 4 ) z = 0∂x и м еетреш ени я так и е, чтоп ри x → +∞ : x2 z1 ( x) = cos x + O( x −1 ); z2 ( x) = sin x + O( x −1 ).

При вед ем ещ е од и н важны й результатоб аси м п тоти к е реш ени й уравнени й ти п а (3.1): y′′ + ( k 2 − V ( x )) y = 0 .

(3.11)

Те о р е ма 2. Пусть k > 0 - п остоянная, ф унк ци я V ( x) неп реры вна п ри x ≥ 0 и вы п олненоуслови е

∫

∞

0

| V ( x) | dx < ∞.

(3.12)

Тогд а уравнени е (3.11) и м еетли нейнонезави си м ы е реш ени я ви д а y1,2 ( x ) : e ± ikx ( x → ∞ ).

(3.13)

Д ок азательство. Пред стави м уравнени е10 в ви д е y′′ + k 2 y = V ( x ) y и реш и м его, счи тая п равую часть и звестной ф унк ци ей. Тогд а п олучи м и нтегральное уравнени е 1 ∞ (3.14) y ( x) = C1 eikx + C2 e− ikx + ∫ sin[k ( x − t )]V (t ) y (t ) dt . k x Положи м C1 = 1, C2 = 0 и п ри м ени м м етод п ослед овательны х п ри бли жени й: y0 ( x) = eikx , yn +1 ( x) = eikx +

1 ∞ sin[ k ( x − t )]V ( y ) yn (t ) dt. k ∫x

Φ n ( x) 1 ∞ Д ок ажем п ои нд ук ци и оценк у | yn ( x) − yn −1 ( x) | ≤ , Φ ( x) = ∫ | V (t ) | dt. n! k x 1 ∞ При n = 1 и м еем | y1 ( x) − y0 ( x) | ≤ ∫ | V (t ) | dt = Φ( x). Соверш и м п ерех од отn k 0 к n + 1. Им еем 1 ∞ | yn +1 ( x) − yn ( x) | ≤ ∫ | sin k ( x − t ) || V (t ) || yn (t ) − yn −1 (t ) | dt ≤ k x 1 ∞ 1 Φ n +1 ( x) ≤ ∫ Φ n (t ) | V (t ) | dt = , n! x k (n + 1)! так к ак | V (t ) | dt = k d Φ(t ). След овательно, Φ n ( x) | y ( x) |=| y0 ( x) + ( y1 ( x) − y0 ( x)) + ... + ( yn ( x) − yn−1 ( x)) + ...| ≤ ∑ ≤ eΦ (0) , n! n=0 ∞

9

Реш и ть п ри м ер При вести соответствую щ и е п рави ла п остроени я реш ени я и п острои ть реш ени е

10

12 и п оэтом у п ослед овательность yn ( x) равном ерносх од и тся к ф унк ци и y ( x) на п олуоси x ≥ 0 . Так к ак , п о д ок азанном у, ф унк ци я y ( x) ограни чена, то и з (3.14) нах од и м

∞

| y ( x) − eikx | ≤ ∫ | V (t ) | dt . Правая часть этого неравенства x

стрем и тся к нулю п ри x → +∞ , в си лу услови я (3.12), и реш ени е y1 ( x) п остроено. А налоги чнострои тся реш ени е y2 ( x) .11 Д оп усти м , что эти реш ени я ли нейно зави си м ы , тогд а c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) ≡ 0 п ри x ≥ 0 . Если c1 ≠ 0 , тоy1 ( x) / y2 ( x) ≡ −c2 / c1 . Н о и з (3.13) след ует, чтоy1 ( x) / y2 ( x) : e 2ikx ( x → ∞) , так что eikx : −c2 / c1 ( x → ∞) . Э то невозм ожно, так к ак п ред ел левой части этого равенства п ри x → ∞ не сущ ествует. Сле дствие 1. В услови ях теорем ы 2 сп равед ли вы оценк и ∞

∞

x

x

| y1 ( x) − eikx | ≤ C ∫ | V (t ) | dt , | y2 ( x) − e−ikx | ≤ C ∫ | V (t ) | dt.

(3.15)

limV ( x) = 0 , то аси м п тоти ческ и е ф орм улы (3.13)

Сле дствие 2. Если

x →∞

м ожнод и ф ф еренци ровать ′ ( x) : ±ik e ± ikx y1,2

( x → +∞ ) .

(3.16)

Д ля д ок азательства д остаточноп род и ф ф еренци ровать уравнени е (3.14). Н е о сциллир ую щ ие р е ше ния. Рассм отри м уравнени е y′′ − Q ( x) y = 0. (3.17) Те о р е ма 3. Если услови я теорем ы 1 вы п олнены , то уравнени е (3.17) и м еетреш ени я ви д а y1,2 ( x) = Q −1/ 4 ( x)exp{± ∫

x

x0

Q(t ) dt}(1 + ε1,2 ( x)), lim ε j ( x ) = 0, j = 1,2. x →∞

(3.18)

Сп равед ли ва оценк а ∞

| ε 2 ( x) | ≤ C ∫ | α1 (t ) | dt.

(3.19)

x

Если , к ром е того, вы п олненоуслови е (3.5), то ′ ( x) : ±Q1/ 4 ( x)exp{± ∫ y1,2

x

x0

Q (t ) dt}

и реш ени я y1 ( x ), y2 ( x) ли нейнонезави си м ы .

11

Провести вы к лад к и д ля y2 (x)

( x → ∞)

(3.20)

13 Д ок азательство. Сущ ествовани е реш ени я д ок азы ваю тся и нтеграл∫

∞

1

точно

так

же,

к ак

и

и

y2 ( x )

в

оценк а (3.19)

теорем е

1.12

Пусть

Q( x) dx = ∞ , т.е. вы п олнено(3.9). Ф унк ци я y1 ( x) = y2 ( x) ∫ Q(t ) y2−2 (t ) dt x

(3.21)

a

есть13 реш ени е уравнени я (3.17). Пусть a > 0 настольк о вели к о, что | ε 2 ( x) | ≤ 1/ 2 п ри x ≥ a , тогд а и нтеграл и з (3.21) м ожноп ред стави ть в ви д е I ( x) = ∫

x

Q (t ) exp{2 ∫

a

t

x0

Q(t ′) dt ′}(1 + ε 2 (t )) −2 dt .

I ( x) : J ( x ) = ∫

Д ок ажем , чтоп ри x → +∞ :

x

a

Q (t ) exp{2 ∫

t

x0

Q(t ′) dt ′} dt .

Тем сам ы м п ред ставлени е (3.18) буд етд ок азано д ля реш ени я y1 ( x) , так к ак x x 1 1 J ( x) = exp{2∫ Q(t ) dt}|ax : exp{2 ∫ Q(t ) dt} п ри x → +∞ . x0 x0 2 2 J ( x) → +∞ п ри x → +∞ , том ожноп ри м ени ть п рави лоЛ оп и таля:

Так

к ак

I ( x) I ′( x) = lim = lim(1 + ε 2 ( x)) −2 = 1. x →∞ J ( x ) x→∞ J ′( x ) x →∞

lim

Если же и нтеграл

∫

∞

1

Q (t ) dt сх од и тся, то реш ени е y1 ( x) м ожно

п острои ть с п ом ощ ью тогоже и нтегральногоуравнени я, чтои реш ени е y2 ( x) (см . разд ел 2). В ронск и ан w реш ени й y1 ( x), y2 ( x) , к ак след ует и з (3.18) – (3.20), равен w = −2 , и п отом у они ли нейнонезави си м ы . В д альнейш ем буд ем счи тать, чтоуслови е (3.9) вы п олнено. Сле дствие . Пусть услови е (3.5) вы п олнено. Тогд а п ри x ? 1 реш ени е y1 ( x) строго м онотонно возрастает, реш ени е y2 ( x) строго м онотонно убы вает, и lim y1 ( x) = +∞, lim y2 ( x ) = 0. x →∞

Д ействи тельно,

(3.22)

x →∞

из

(3.18),

(3.20)

след ует,

что

y2′ ( x) / y2 ( x) = Q( x)(1 + ε ( x)), гд е ε ( x) → 0 п ри x → ∞ . Пусть a > 0 так ово, что | ε ( x) | ≤ 1/ 2 п ри x ≥ a. Тогд а ln y2 ( x) − ln y2 ( a) = ∫

x

a

12 13

Провести д ок азательство Д ок азать, чтоэтои м еетм есто

Q(t )(1 + ε (t )) dt ≥

1 x Q(t ) dt → +∞ ( x → ∞), 2 ∫a

14 так что y2 ( x) → +∞ п ри x → ∞ . А налоги чно14 д ок азы вается второе и з соотнош ени й (3.22). Итак , в услови ях след стви я уравнени е (3.17) и м еет убы ваю щ ее п ри x → ∞ реш ени е y2 ( x) . В се остальны е реш ени я, не п роп орци ональны е этом у, растутп ри x → ∞ . Пр име р 3.3. 15Д ок азать, чтоуравнени е Э йри (см . п ри м ер 3.1) и м еет реш ени я так и е, чтоп ри x → +∞ y3 = x −1/ 4 exp[(2 / 3) x 2 / 3 ][1 + O ( x −3 / 2 )], y4 = x −1/ 4 exp[−(2 / 3) x 2 / 3 ][1 + O( x −3 / 2 )]. Реш ени е, к оторое отли чается от y4 ( x) ли ш ь п остоянны м м ножи телем , а 1 y4 ( x) , назы вается фу н кци ей Эйри и и граетважную роль 2 π в зад ачах расп ространени я волн. Пр име р 3.4. 16Р ассм отри м у ра в н ен и е Вебера y′′ + ( x 2 − a 2 ) y = 0, a ≥ 0. и м енно, Ai( x) =

Егореш ени я назы ваю тся фу н кци ями Вебера и ли фу н кци ями па ра боли чес кого ци ли н дра . Д ок азать, что уравнени е В ебера и м еет реш ени я так и е, что п ри x → ∞ : y1 ( x) : x −1/ 2−a / 2e x 2

2

/2

, y2 ( x) : x −1/ 2+a / 2e − x / 2 . . 2

2

Те о р е ма 4. Пусть вы п олнены услови я теорем ы 2. Тогд а уравнени е y′′ − (k 2 + V ( x )) y = 0 (3.23) и м еетли нейнонезави си м ы е реш ени я ви д а y1,2 ( x) : e ± kx ( x → +∞).

(3.24)

Д ок азательство. Реш ени е y2 ( x) строи тся точнотак же17, к ак и в теорем е 2, а

реш ени е y1 ( x) оп ред ели м

ф орм улой (3.21),

гд е Q( x) = k 2 + V ( x) .

x

Тогд а y1 ( x) = e− kx (1 + ε1 ( x)) ∫ e2 kt (1 + ε 2 (t )) dt , гд е ε j ( x) → 0 п ри x → +∞ . Тем же a

сп особом , чтои вы ш е, нетруд ноп ок азать, чтои нтеграл и з п равой части этого равенства равен e2 kx (1 + o(1)) п ри x → +∞ . 4. А симпто тика р е ше ний пр и б о льших зна че ниях па р а ме тр а О сциллир ую щ ие р е ше ния. Рассм отри м уравнени е y′′ + k 2 q ( x) y = 0, 14

Д ок азать Реш и ть п ри м ер 16 Реш и ть п ри м ер 17 Построи ть реш ени е

15

(4.1)

15 гд е

k >0−

п арам етр,

на

к онечном

отрезк е I = [a; b] .

Исслед уем

аси м п тоти ческ ое п овед ени е реш ени й п ри k → ∞ . В вед ем п ред п оложени я: 1. q′′( x) неп реры вна п ри x ∈ I ; 2. q( x) > 0 п ри x ∈ I . Те о р е ма 1. Если услови я 1, 2 вы п олнены , то уравнени е (4.1) и м еет реш ени е ви д а x ε ( x, k ) (4.2) y1,2 = q −1/ 4 ( x)exp{±ik ∫ q(t ) dt}[1 + 1,2 ]. x0 k Д ля ф унк ци й ε1,2 ( x, k ) сп равед ли вы оценк и | ε j ( x, k ) | ≤ C

( x ∈ I , k ≥ k0 > 0),

(4.3)

гд е п остоянная C не зави си тотx, k . А си м п тоти к у (4.2) м ожнод и ф ф еренци ровать, т.е. x ε% ( x, k ) ′ ( x, k ) = ±ikq1/ 4 ( x)exp{±ik ∫ q (t ) dt}[1 + 1,2 y1,2 ]. x0 k Д ля ф унк ци й ε%j и м ею тм естооценк и ви д а (4.3).

(4.4)

Д ок азательство. В осп ользуем ся теорем ой 1 и з разд ела 2. В д анном случае Q( x) = −k 2 q( x) ; п оложи м Q( x) = ik q ( x) . Д алее (см . (2.3), (2.9)) 2 x  ( q′) (t ) q′′(t ) + 3/ 2 ρ (a, x) ≤ C1k −1 ∫  5 / 2 a q (t )  q (t ) п ри k > 0 , x ∈ I , так к ак q( x) ≠ 0 , ф унк ци я q′′( x)

 −1  dt ≤ C2 k 

н е пре рыв н а . С л е д о в а те л ьн о ,

e2 ρ ( a , x ) − 1 ≤ C3k −1 , (k ≥ k0 > 0, x ∈ I ) , гд е k0 ф и к си ровано, и и з теорем ы 1 разд ела 2 след уетсущ ествовани е реш ени я y так ого, что y ( x, k ) − 1 ≤ 2C3k −1 п ри k ≥ k0 , x ∈ I . y ( x, x0 , k ) 0 1

Так к ак y10 ( x, x0 , k ) = Q −1/ 4 ( x)exp{ik ∫

x

x0

q (t ) dt}, Q −1/ 4 ( x) = k −1/ 2 ( −1) −1/ 4 q −1/ 4 ( x),

гд е q1/ 4 ( x) > 0 , то реш ени е y ли ш ь п остоянны м м ножи телем k −1/ 2 (−1) −1/ 4 отли чается от и ск ом ого реш ени я y1 ( x, k ) , (см . (4.2)). Ф орм ула (4.4) д ля п рои звод ной

y1′ ( x, k )

след ует и з (2.16).

А налоги чно д ок азы вается

сущ ествовани е реш ени я y2 ( x, k ) . В ронск и ан w(k ) эти х реш ени й равен, к ак

16 след уети з(4.3), (4.4) : w(k ) = −2ik[1 + O( k −1 )]

( k → +∞ ), и п отом у реш ени я

y1 , y2 ли нейнонезави си м ы , если k > 0 − д остаточновели к о18. Н е о сциллир ую щ ие р е ше ния. Рассм отри м уравнени е y′′ − k 2 q ( x) y = 0.

(4.6)

Те о р е ма 2. Если услови я 1, 2 вы п олнены , то уравнени е (4.6) и м еет реш ени я ви д а x ε ( x, k ) y1,2 ( x, k ) = q −1/ 4 ( x)exp{± k ∫ q(t ) dt}[1 + 1,2 ]. (4.7) x0 k Д ля ф унк ци й ε1,2 сп равед ли вы оценк и (4.3). А си м п тоти к у (4.7) м ожно д и ф ф еренци ровать, т.е. ′ ( x, k ) = ± kq1/ 4 ( x)exp{± k ∫ y1,2

x

x0

q(t ) dt}[1 +

ε% 1,2 ( x, k ) ], k

(4.8)

гд е д ля ф унк ци й ε% ооценк и ви д а (4.3). 1,2 и м ею тм ест Д ок азы вается эта теорем а точнотак же, к ак и теорем а 1. Рассм отри м уравнени е Дво йные а симпто тики. п олуоси I = [0; ∞) .

(4.1)

на

Те о р е ма 3. Пусть вы п олнены услови я теорем ы 1 и сх од и тся и нтеграл

∫

∞

1

| α1 ( x) | dx < ∞ .

(4.9)

Тогд а уравнени е (4.1) и м еетреш ени я y1,2 ( x, k ) ви д а (4.2), гд е д ля ф унк ци й ε1,2 сп равед ли вы оценк и ∞

| ε1,2 ( x, k ) | ≤ C ∫ | α1 (t ) | dt ( x ∈ I , k ≥ k0 > 0) . x

(4.10)

Если q′( x) = 0, x →+∞ q 3 / 2 ( x ) lim

(4.11)

то аси м п тоти к у (4.2) м ожно д и ф ф еренци ровать, и

д ля ф унк ци й ε% 1,2

сп равед ли вы оценк и | ε% 1,2 ( x, k ) | ≤ ϕ ( x ), ( x ∈ I , k ≥ k0 > 0), lim ϕ ( x ) = 0. x →∞

(4.12)

Д ок азательствоточнотак ое же, к ак и в теорем е 1, с той ли ш ь разни цей, что вм есто ρ ( x, a) след уетвзятьρ ( x, +∞) . Э то же зам ечани е относи тся и к п ослед ую щ ей теорем е19.

18 19

Поясни ть этоутвержд ени е. Провести д ок азательство.

17 Те о р е ма 4. Пусть вы п олнены услови я теорем ы 3. Тогд а уравнени е (4.6) и м еетреш ени е x ε ( x, k ) y2 ( x, k ) = q −1/ 4 ( x)exp{− k ∫ q(t ) dt}[1 + 2 ] (4.13) x0 k и д ля ε 2 сп равед ли ва оценк а (4.10). Если вы п олнено услови е (4.11), то эту аси м п тоти к у м ожнод и ф ф еренци ровать и д ля ε% енк а (4.12)20. 2 сп равед ли ва оц Теорем ы 3, 4 д аю т дв ойн у ю а с и мпт от и ку реш ени й. Им енно, остаточны е члены ε j ( x, k ) / k стрем ятся к нулю и п ри x → ∞, k ф и к си рованном , и п ри k → ∞, x ф и к си рованном , и п ри x → ∞, k → ∞ . Те о р ия во змущ е ний Н е ко то р ые ме то ды по стр о е ния ло ка льных а симпто тиче ских р а зло ж е ний 5. Р е гуляр на я те о р ия во змущ е ний Н ачнем со случая, к огд а зави си м ость уравнени я от м алого п арам етра ε п ростейш ая. Рассм отри м зад ачу Кош и dy = f (t , y, ε ), y (α ) = yα , (5.1) dt гд е ф унк ци я f и чи сла α , yα (начальное услови е) зад аны . Реш ени е (5.1) обозначи м y = y (t , ε ) . Рассм отри м так же зад ачу, к оторая п олучается и з (5.1), если в ней ф орм альноп оложи тьε = 0 : dy = f (t , y,0), y (α ) = yα . (5.2) dt реш ени е этой зад ачи обозначи м y = y0 (t ) . З ад ача (5.2) п рощ е и сх од ной зад ачи (5.1). Иногд а y0 (t ) уд ается д аже вы чи сли ть в явном ви д е. В озни к ает естественны й воп рос о бли зости на нек отором отрезк е I : α ≤ t ≤ β реш ени й возм ущ енной (5.1) и невозм ущ енной (5.2) зад ач. Ответ на этот воп рос сод ержи т теорем а о д и ф ф еренци руем ости реш ени я п о п арам етру, к оторая оп и сы вает п овед ени е реш ени й п ри ε → 0 . Она д ок азы вается в к урсах обы к новенны х д и ф ф еренци альны х уравнени й (см ., нап ри м ер, Ф ед орю к М .В . Обы к новенны е д и ф ф еренци альны е уравнени я. М .: Н аук а, 1983). М ы ограни чи м ся ли ш ь ф орм ули ровк ой этой теорем ы 21. Пред п оложи м , чтоф унк ци я f и з (5.1) беск онечнод и ф ф еренци руем а п о совок уп ности 20 21

п ерем енны х t , y , ε ,

Провести д ок азательство. Д ок азать.

к огд а t ∈ I , y ∈ J ,0 ≤ ε ≤ ε 0 .

З д есь J

-

18 нек оторы й отрезок , внутренней точк ой к оторогоявляется yα , ε 0 - к онстанта. Кром е того, п усть реш ени е невозм ущ енной зад ачи (5.2) y0 (t ) сущ ествует и ед и нственнона отрезк е I . Те о р е ма 1. Если ε 0 > 0 д остаточно м ало, то п ри 0 < ε ≤ ε 0 реш ени е зад ачи Кош и (5.1) сущ ествуетна всем отрезк е I и п ри лю бом целом n ≥ 0 сп равед ли воразложени е y (t , ε ) = y0 (t ) + ε y1 (t ) + ... + ε n yn (t ) + Rn (t , ε ),

(5.3)

Д ля остаточногочлена п ри t ∈ I , 0 < ε ≤ ε 0 сп равед ли ва оценк а | Rn (t , ε ) | ≤ Cnε n+1, ,

(5.4)

гд е п остоянная Cn не зави си тотt и ε . (Оценк у (5.4) м ожнозап и сать к ороче в ви д е Rn (t , ε ) ≤ O(ε n+1 ), ε → +0 ). Полагая n = 1 в (5.3), п олучаем , что д ля всех t ∈ I : y (t , ε ) = y0 (t ) + O (ε ). Так и м образом , п ред п оложени я теорем ы 1 ок азы ваю тся д остаточны м и д ля того, чтобы y0 (t ) бы логлавны м членом аси м п тоти к и реш ени я зад ачи (5.1). Счи тая ф унк ци ю y0 (t ) и звестной, найд ем след ую щ и е члены аси м п тоти ческ огоразложени я (5.3). Д ля этогоп од стави м (5.3) в уравнени е (5.1) n n dy i dyi n +1 ε + O(ε ) = f (t , ∑ ε i i + O(ε n +1 ), ε ) ∑ dt dt i =0 i =0 и разложи м п равую часть п о степ еням ε с точностью д о слагаем ы х п оряд к а O (ε n +1 ) . При равни вая затем к нулю вы ражени я п ри разли чны х степ енях ε , п олучаем зад ачи д ля оп ред елени я ф унк ци й y0 , y1 ,... . Д ля y0 (t ) буд ем и м еть зад ачу (5.2). Д ля ф унк ци и y1 (t ) п олучи м dy1 ∂f ∂f = (t , y0 (t ),0) y1 + (t , y0 (t ),0), y1 (α ) = 0 . (5.5) dt ∂y ∂ε Э то зад ача Кош и д ля ли нейного д и ф ф еренци ального уравнени я п ервого п оряд к а, реш ени е к оторого на отрезк е t ∈ I сущ ествует, ед и нственно и м ожетбы ть вы чи сленов явном ви д е22. В след ую щ и х п ри бли жени ях так же п олучи м зад ачи Кош и д ля ли нейны х д и ф ф еренци альны х уравнени й п ервогоп оряд к а. Они и м ею тви д dyi ∂f = (t , y0 (t ),0) yi + Fi (t , y0 ,..., yi −1 ), yi (α ) = 0, (5.6) dt dy гд е i ≥ 2, Fi - и звестны е ф унк ци и . Реш ени я эти х зад ач yi (t ) п ри t ∈ I 22

Почем у и к ак ?

19 сущ ествую т, ед и нственны и зап и сы ваю тся в к вад ратурах . За ме ча ние 1. Разложени е (5.3), п олученное п ри t ∈ I , м ожеток азаться неп ри год ны м д ля больш и х значени й t , что сущ ественно ограни чи вает область егоп ри м ени м ости . Теорем а 1, сф орм ули рованная д ля ск алярногоуравнени я, сп равед ли ва и в случае зад ачи Кош и д ля си стем ы и з N уравнени й п ервого п оряд к а, и м ею щ ей ви д (5.1), гд е y (t ) - век тор-ф унк ци я. К так и м си стем ам свод ятся ск алярны е д и ф ф еренци альны е уравнени я N -го п оряд к а. Д ля век торф унк ци й, оп и сы ваю щ и х члены аси м п тоти ческ ого разложени я, п олучаю тся си стем ы ли нейны х д и ф ф еренци альны х уравнени й с п ерем енны м и ∂f к оэф ф и ци ентам и ви д а (5.5), (5.6) , - м атри ца Я к оби . В се эти си стем ы ∂y разли чаю тся ли ш ь п равы м и частям и . Пр име р 5.1. Рассм отри м зад ачу Кош и д ля уравнени я Д ю ф ф и нга y′′ + y − 2ε y 3 = 0 , y (0) = a, y′(0) = 0, (5.7) гд е к онстанта a ≠ 0, ε > 0 - м алы й п арам етр, х арак тери зую щ и й степ ень нели нейности си стем ы . Так к ак ε м ало, то (5.7) есть уравнени е со слабой к уби ческ ой нели нейностью . Оно оп и сы вает, нап ри м ер, м алы е к олебани я м аятни к а вбли зи п оложени я равновеси я. Построи м аси м п тоти ческ ое реш ени е зад ачи (5.7) в ви д е y (t , ε ) = y0 (t ) + ε y1 (t ) + O (ε 2 ) . Под ставляя это разложени е в уравнени е, и м еем y0′′ + y0 + ε ( y1′′ + y1 − 2 y03 ) + O (ε 2 ) = 0 .

Отк уд а д ля нулевогоп ри бли жени я y0 (t ) п олучаем зад ачу Кош и y0′′ + y0 = 0,

y0 (0) = a,

y0′ (0) = 0,

реш ени е к оторой естьy0 (t ) = a cos t . Д ля ф унк ци и y1 (t ) и м еем зад ачу y1′′ + y1 = 2a 3 cos3 t , y1 (0) = y1′ (0) = 0 .

(5.8)

Поск ольк у 1 3 cos3 t = cos3t + cos t , (5.9) 4 4 y1 (t ) м ожно найти к ак сум м у частны х реш ени й, соответствую щ и х к ажд ом у и з слагаем ы х в п равой части (5.9). Так и м образом , п олучаем

20 3 3 a3 y1 (t ) = a t sin t + (cos t − cos 3t ) . 23 4 16 А налоги чнооп ред еляю тся и след ую щ и е члены разложени я (5.3). У же на этом п ри м ере ви д ны нек оторы е зак оном ерности , х арак терны е д ля м ноги х зад ач со слабой нели нейностью . В о-п ервы х , с увели чени ем точности аси м п тоти ческ ого разложени я (5.3) в нем возрастает к оли чество гарм они к . Д ействи тельно, нулевое п ри бли жени е y0 сод ержи т тольк о гарм они к у частоты 1, п ервое п ри бли жени е y0 + ε y1 coд ержи т гарм они к и с частотам и 1 и 3, и т.д . В о-вторы х , возни к аю тчлены , к оторы е неограни чены на п олуоси t > 0 . Н ап ри м ер, п ервое п ри бли жени е сод ержи т(3a 3ε t sin t ) / 4 . Так и е члены п ри нятоназы вать век овы м и и ли сек улярны м и *). Э ти м названи ем м ы обязаны том у обстоятельству, чтов астроном и ческ и х п ри ложени ях вели чи на ε ок азы вается обы чнок райне м алой. Поэтом у п рои звед ени е st начи наети грать зам етную роль в расчетах ли ш ь п о и стечени ю очень больш огоп ром ежутк а врем ени t , нап ри м ер, п оряд к а столети я. Появлени е сек улярны х членов сви д етельствует о том , что п ри t п оряд к а ε −1 (т.е. п ри больш и х врем енах ) п остроенное аси м п тоти ческ ое разложени е уже не п ри м ени м о, так к ак п оп равк и п ерестаю тбы ть м алы м и . Поэтом у, разложени я, п ри год ны е п ри больш и х t (это требуется д ля м ноги х ф и зи ческ и х зад ач), п ри х од и тся строи ть в и ном , более сложном , чем (5.3) ви д е. Ч тобы оп ред ели ть, к ак и е и зм енени я след уетвнести в ви д аси м п тоти к и , найд ем точное реш ени е зад ачи Кош и д ля уравнени я Д ю ф ф и нга (5.7). Его анали з п озволи тп онять, п очем у разложени е (5.3) неп ри год но п ри больш и х значени ях t . 6. То чно е р е ше ние ур а вне ния Дю ф ф инга Ч тобы п рои нтегри ровать уравнени е Д ю ф ф и нга, ум ножи м егона 2 y ′(t ) . Получи м (( y ′)2 + y 2 − ε y 4 )′ = 0 , отк уд а с учетом начальны х услови й д ля реш ени я зад ачи Кош и (1.7) и м еем ( y ′) 2 + y 2 − ε y 4 = a 2 − ε a 4 , y (0) = a .

(6.1)

Поряд ок уравнени я п они зи лся. Д алее, вы ражая y ′ через y , п ри х од и м к уравнени ю с разд еляю щ и м и ся п ерем енны м и 23

Провести вы к лад к и .

21 y ′ = ± ( a 2 − y 2 )(1 − ε a 2 − ε y 2 ) ,

к оторое и нтегри руется в к вад ратурах . Получаю щ ееся так и м образом реш ени е не вы ражается через элем ентарны е ф унк ци и . Од нак о оно м ожетбы ть зап и сано с и сп ользовани ем элли п ти ческ и х ф унк ци й Я к оби , к оторы е возни к аю тв больш ом чи сле зад ач и д етально и зучены (см ., нап ри м ер, [А брам ови цМ ., Сти ган И. Сп равочни к п о сп еци альны м ф унк ци ям с ф орм улам и , граф и к ам и и м атем ати ческ и м и табли цам и . М .: Н аук а, 1979] ). Н ап ом ни м , чтоэлли п ти ческ и й си нус u = sn(λ , k ) на отрезк е λ ∈ [ − K ; K ] , гд е K (k ) = ∫

dz

1

(1 − z 2 )(1 − k 2 z 2 )

0

, | k | < 1,

оп ред еляется п утем обращ ени я элли п ти ческ огои нтеграла λ=∫

dz

u

0

(1 − z )(1 − k z ) 2

2

2

.

Э то возм ожно, так к ак на этом отрезк е sn(λ , k ) строго м онотонно возрастает от -1 д о 1. Прод олжи м затем sn (λ , k ) на отрезок

λ ∈ [ K ; 3K ] четно

относи тельноточк и К : sn(λ , k ) = sn(2 K − λ , k ) sn ( λ , k ) 1 −K

0

K

2K

3K

λ

-1

и , нак онец, на всю ось, счи тая ф унк ци ю sn(λ , k ) 4К - п ери од и ческ ой п о λ . Оп ред еленная

так

ф унк ци я

u = sn(λ , k )

буд ет

уд овлетворять

д и ф ф еренци альном у уравнени ю du ( ) 2 = (1 − u 2 )(1 − k 2 u 2 ) . (6.2) dλ К так ом у же уравнени ю свод и тся и уравнени е Д ю ф ф и нга. Д ействи тельно, п осле зам ены

y = au, t = λ / 1 − ε a 2 зад ача (6.1) п ри м етви д

22 (

du 2 ) = (1 − u 2 )(1 − k 2 u 2 ), u (0) = 1, dλ

(6.3)

k = ε a 2 /(1 − ε a 2 ) .

(6.4)

гд е п арам етр (м од уль) Поск ольк у уравнени е (6.2) автоном ное, ф унк ци я u = sn(λ + c, k ) , гд е С – п рои звольная п остоянная, так же буд ет его реш ени ем . Из услови я u (0) = 1 вы тек ает, что c = K ( k ) , так к ак sn( K , k ) = 1 . След овательно, реш ени е зад ачи u (λ ) = sn(λ + K ( k ), k ) . В озвращ аясь к и сх од ны м

Кош и (6.3) и м еет ви д

п ерем енны м t , y , п олучаем , чтоф унк ци я y (t ) = a sn( 1 − ε a 2 t + K ( k ), k ) , гд е k оп ред еляется (6.4), является точны м реш ени ем зад ачи Кош и д ля уравнени я Д ю ф ф и нга. Так к ак ф унк ци я sn(λ , k ) и м еетп ери од 4 K ( k ) , п ери од точногореш ени я y (t ) есть T =

4 K (k ) 1 − ε a2

=

4 1 − ε a2

∫

1

0

dz (1 − z 2 )(1 − k 2 z 2 )

.

Д ля п ери од а п ри ε → 0

сп равед ли воразложени е 2 2 1 1 ε a z dz ε a2 dz 2 T = 4(1 + + O(ε ))(∫ +∫ + O (ε 2 )) = 0 0 2 1 − z2 2 1 − z2 (6.5) 2 2 π εa π 3a π + O (ε 2 ). = (4 + 2ε a 2 + O(ε 2 ))( + + O (ε 2 )) = 2π + ε 2 8 2 Ч лены (6.5) зави сятотε . След овательно, и угловая частота ω = 2π /T так же зави си тотε , а не является тожд ественноед и ни цей, к ак п ред п олагалось п ри п остроени и разложени я (5.3). Им еннов этом к роется п ри чи на неп ри год ности (5.3) д ля уравнени я Д ю ф ф и нга п ри больш и х врем енах t. У гловая частота всяк ого разложени я, п ри год ного равном ерно п о t , д олжна зави сеть отε . В след ую щ ем п араграф е буд ети зложен п ростейш и й и з м етод ов, учи ты ваю щ и х этообстоятельство. 7. М е то д Линдште дта - Пуа нка р е М етод Л и нд ш тед та - Пуанк аре м ы рассм отри м на п ри м ере автоном ного уравнени я второгоп оряд к а сослабой нели нейностью общ егови д а

d2y du + y = ε f ( y, ) . (7.1) 2 dt dt З д есь f - глад к ая ф унк ци я. При ε = 0 уравнени е (7.1) оп и сы ваетли нейны е к олебани я с частотой 1. Пред п оложи м , что и п ри м алы х ε уравнени е (7.1)

23 и м еетп ери од и ческ и е реш ени я. Требуется найти аси м п тоти ческ и е разложени я так и х реш ени й. Основу м етод а Л и нд ш тед та - Пуанк аре составляетп ерех од отп ерем енной t к новой незави си м ой п ерем енной τ = ω (ε )t , так ой, что ф унк ци я y = y (τ , ε ) станет 2π - п ери од и ческ ой п о τ . При этом п од лежатоп ред елени ю не сам и ф унк ци и ω (ε ) и y (τ , ε ) , а и х аси м п тоти ческ и е разложени я п остеп еням ε ω (ε ) = 1 + εω1 + ... + ε nωn + O (ε n+1 ), y (τ , ε ) = y0 (τ ) + ε y1 (τ ) + ... + ε n yn (τ ) + O(ε n +1 )

(7.2)

З д есь ε → 0, ω1 , ω2 ,..., ωn - к онстанты , y0 (τ ), y1 (τ ),..., yn (τ ) − 2π − п ери од и ческ и е ф унк ци и . В уравнени и (7.1) введ ем новую п ерем енную τ : d2y dy + y = ε f ( y, ω (ε ) ). (7.3) 2 dτ dτ Д алее п од стави м в (7.3) вм естоф унк ци й ω (ε ) и y (τ , ε ) и х аси м п тоти к и (7.2), ω 2 (ε )

разложи м п олучи вш ееся вы ражени е п о степ еням ε и п ри равняем к нулю слагаем ы е п ри од и нак овы х степ енях ε . Получатся уравнени я д ля оп ред елени я ф унк ци й y0 (τ ), y1 (τ ),..., yn (τ ) , в к оторы е войд ут так же чи сла ω1 , ω2 ,...,ωn . Э ти чи сла нах од ятся и з услови я отсутстви я сек улярны х членов в разложени и y (τ , ε ) . Под черк нем , что и м енно введ ени е новой п ерем енной τ п озволяети ск лю чи ть сек улярны е члены . Ограни чи м ся п остроени ем п ервого d 2 y0 + y0 = 0 , общ ее реш ени е dt 2 к оторого y0 (τ ) = a cos(τ − δ ) является 2π − п ери од и ческ ой ф унк ци ей п ри п ри бли жени я. У равнени е д ля y0 и м еет ви д

лю бы х к онстантах a и δ . При равняем к нулю слагаем ы е п оряд к а ε , вх од ящ и е в (7.3). Если зам ени ть п ри этом

d 2 y0 на − y0 , тод ля нах ожд ени я y1 п олучи м уравнени е dτ 2

dy d 2 y1 + y1 = 2ω1 y0 + f ( y0 , 0 ). (7.4) 2 dτ dτ dy Обозначи м ψ = τ − δ , f (ψ ) = 2ω1 y0 + f ( y0 , 0 ). Тогд а уравнени е п ри м етви д dτ d 2 y1 + y1 = F (ψ ), dψ 2

(7.5)

гд е f (ψ ) − 2π − п ери од и ческ ая ф унк ци я. В ы ясни м , к огд а так ое уравнени е

24 и м еетп ери од и ческ ое реш ени е. Ле мма 7.1. У равнени е

гд е

(7.5),

f (ψ ) −

неп реры вная,

2π -

п eри од и ческ ая ф унк ци я, и м еет 2π − п ери од и ческ ое реш ени е тогд а и тольк о тогд а, к огд а вы п олнены услови я разреш и м ости

∫

2π

0

f (ξ )cos ξ d ξ = 0,

∫

2π

f (ξ )sin ξ d ξ = 0,

0

(7.6)

(означаю щ и е отсутстви е в п равой части (7.5) п ервой гарм они к и ). Д ок азательство. У равнени е (7.5) и нтегри руется в к вад ратурах (нап ри м ер, с п ом ощ ью м етод а вари аци и п остоянны х ): ψ

ψ

0

0

y1 (ψ ) = sinψ ⋅ ∫ F (ξ )cos ξ d ξ − cosψ ⋅ ∫ F (ξ )sin ξ d ξ + a1 cos(ψ − δ1 ),

(7.7)

гд е a1 , δ1 - к онстанты . Поэтом у 2π

2π

0

0

y1 (ψ + 2π ) − y1 (ψ ) = sinψ ⋅ ∫ F (ξ )cos ξ d ξ − cosψ ⋅ ∫ F (ξ )sin ξ d ξ Так и м образом , услови я (7.6) необх од и м ы и д остаточны д ля п ери од и чности реш ени я. Л ем м а д ок азана. dy Если и сп ользовать к оэф ф и ци енты разложени я ф унк ци и f ( y0 , 0 ) в ряд dτ ∞ dy f ( y0 , 0 ) = f 0 ( a) + ∑ ( f k ,1 (a )cos kψ + f k ,2 ( a)sin kψ ), Ф урье то услови я dτ k =1 разреш и м ости (7.6) зап и ш утся в ви д е 2ω1a + f1,1 ( a) = 0, f1,2 ( a) = 0 . Из эти х уравнени й нах од ятся к онстанты ω1 и a . Отм ети м , чтов отли чи е отли нейны х уравнени й ам п ли туд а к олебани й a в слабо нели нейном случае, вообщ е говоря, не является п рои звольной. Д алее нах од и м п ери од и ческ ое реш ени е уравнени я (7.4) п о ф орм уле (7.7). Э тореш ени е м ожетбы ть зап и санотак же в ви д е ряд а Ф урье ∞

y1 (ψ ) = Y0 + ∑ (Yk ,1 cos kψ + Yk ,2 sin kψ ) , k =1

к оэф ф и ци енты к оторогооп ред еляю тся и з уравнени я (7.4): ∞

∞

Y0 + ∑ ( −k + 1)(Yk ,1 cos kψ + Yk ,2 sin kψ ) = f 0 + ∑ ( f k ,1 cos kψ + f k ,2 sin kψ ) . 2

k =2

(7.8)

k =2

Отк уд а ∞

1 ( f k ,1 cos kψ + f k ,2 sin kψ ) , (7.9) 2 k = 2 (1 − k )

y1 (ψ ) = f 0 + Y1,1 cosψ + Y1,2 sinψ + ∑

гд е Y1,1 , Y1,2 − п рои звольны е к онстанты . А налоги чном огутбы ть п остроены и след ую щ и е члены разложени й (7.2).

25 Отм ети м , что п ри

п остроени и

главного члена аси м п тоти к и

y0

п ри ш лось рассм отреть п равую часть уравнени я д ля y1 . Так же обстои тд елои д ля вы сш и х п ри бли жени й: нах ожд ени е yn требует и зучени я п равой части уравнени я д ля yn+1 . Э то х арак терно д ля м ноги х нели нейны х зад ач с м алы м п арам етром . Пр име р 7.1. Снова рассм отри м зад ачу Кош и (5.7) д ля уравнени я Д ю ф ф и нга. При м ени м к ней м етод Л и нд ш тед та - Пуанк аре. Согласно этом у м етод у y0 = a cos(τ − δ ) , гд е в си лу начальны х услови й y0 (0) = a, y0′ (0) = 0 к онстанта δ = 0 . Д алее, и сп ользуя (5.9), д ля y1 п олучи м уравнени е d 2 y1 a3 + y1 = 2ω 1a cosτ + (3cosτ + cos3τ ) (7.10) dτ 2 2 с нулевы м и начальны м и услови ям и , Константа ω1 в (7.10) нах од и тся и з услови я разреш и м ости . При равняв к нулю слагаем ы е п ри cosτ в п равой части , п олучи м ω1 = −3a 2 / 4 . В торое услови е разреш и м ости в (7.10) не возни к ает, так к ак в п равой части отсутствует sinτ . След овательно, начальная ам п ли туд а a м ожетбы ть п рои звольной, что является х арак терной чертой уравнени я Д ю ф ф и нга. Ф орм ула (7.9) п озволяетреш и ть уравнени е (7.10). Д ля п ери од и ческ ого реш ени я с нулевы м и начальны м и д анны м и и м еем y1 = a 3 (cosτ − cos 3τ ) /16 . Так и м образом , аси м п тоти ческ ое реш ени е зад ачи (5.7) п ри м етви д y (t , ε ) = a cosτ +

ε a3 (cosτ − cos3τ ) + O (ε 2 ), 16

(7.11)

гд е τ = t (1 − ε ⋅ 3a 2 / 4 + O (ε 2 )) , а п ери од к олебани й равен 2π 3a 2 3a 2π 2 T= = 2π /(1 − ε + O(ε )) = 2π + ε + O(ε 2 )) . (7.12) ω 4 2 Ф орм ула (7.12) совп ад аетс аси м п тоти к ой п ери од а точногореш ени я (7.5). Отм ети м , что разложени е (7.11) сп равед ли во и п ри больш и х врем енах t

п оряд к а ε −1 с п огреш ностью O(ε ) . Од нак о д ля t п оряд к а ε −2 разложени е уже не п ри м ени м о (п оск ольк у тогд а в (7.11) tO(ε 2 ) = O(1) ). Сущ ествует зави си м ость м ежд у к оли чеством членов в аси м п тоти ческ ом разложени и и областью п ри м ени м ости аси м п тоти к и . При и зложени и м етод а Л и нд ш тед та - Пуанк аре, а так же п ослед ую щ и х м етод ов, м ы ограни чи м ся п остроени ем ли ш ь ф орм альны х аси м п тоти ческ и х

26 реш ени й. Ч асто д аже и х нах ожд ени е п ред ставляет д остаточно сложную зад ачу. По оп ред елени ю , ф орм альны м аси м п тоти ческ и м реш ени ем д и ф ф еренци ального уравнени я

L(t , d / dt , y, ε ) y = 0

с точностью

O (ε N )

назы вается так ая ф унк ци я y N (t , ε ) п оряд к а O(1) , что п ри п од становк е ее в d N , y , ε ) y N = O (ε N ) . dt З а этап ом п остроени я след ует этап обосновани я ф орм ального аси м п тоти ческ ого реш ени я, т.е., д ок азательство того, что д ействи тельно сущ ествует точное реш ени е уравнени я, облад аю щ ее найд енной аси м п тоти к ой. З ад ача обосновани я, к ак п рави ло, нам ного сложнее и требует п ри влечени я соверш еннои ны х м атем ати ческ и х м етод ов, чем д ля п остроени я ф орм альны х аси м п тоти ческ и х реш ени й. Э ти х м етод ов м ы к асаться не буд ем . Отм ети м ли ш ь, что д ля уравнени я Д ю ф ф и нга м ожно неп осред ственно найти аси м п тоти к у реш ени я, разлагая п ри ε → 0 элли п ти ческ и й и нтеграл - точное реш ени е. В результате п ри х од и м к п олученны м с п ом ощ ью м етод а Л и нд ш тед та-Пуанк аре ф орм улам (7.11), (7.12). След овательно, ф орм альное аси м п тоти ческ ое реш ени е (7.11) д ля уравнени я Д ю ф ф и нга обосновано. Под обны й м етод обосновани я в более сложны х зад ачах , к ак п рави ло, не п ри м ени м , п оск ольк у в ни х ф орм улы д ля точногореш ени я отсутствую т. уравнени е возни к аетневязк а L(t ,

8. М е то д К р ыло ва -Б о го лю б о ва М етод Л и нд ш тед та-Пуанк аре, п озволяю щ и й нах од и ть аси м п тоти к у п ери од и ческ и х реш ени й уравнени я (7.1), не год и тся д ля и зучени я к олебани й, ам п ли туд а к оторы х м еняется соврем енем , нап ри м ер, затух аю щ и х к олебани й. Д ля этогорассм отри м более сложны й м етод Кры лова-Боголю бова. При отсутстви и возм ущ ени й, т.е. п ри ε = 0 , всяк ое реш ени е уравнени я (7.1) и м еетви д y = a cosψ , гд е ψ = t − δ , а ам п ли туд а a и сд ви г ф азы δ к онстанты . След овательно, a ' = 0, ψ ' = 1. Н али чи е слабого нели нейного возм ущ ени я п ри вод и т к м ед ленном у и зм енени ю ам п ли туд ы a и частоты ψ ' . Поэтом у буд ем и ск ать аси м п тоти ческ ое реш ени е уравнени я (7.1) п ри ε → 0 в ви д е y = y0 ( a,ψ ) + ε y1 ( a,ψ ) + ... + ε n yn (a,ψ ) + O (ε n +1 ) . З д есь y0 = a cosψ ;

y1 (a,ψ ),..., yn (a,ψ ) являю тся 2π

(8.1)

- п ери од и ческ и м и

ф унк ци ям и ψ , вели чи ны a и ψ оп ред еляю тся си стем ой уравнени й

27 a ' = ε A1 (a ) + ... + ε n An (a ) + O (ε n +1 ),

(8.2)

ψ ' = 1 + ε B1 ( a ) + ... + ε n Bn ( a) + O(ε n +1 ),

п ри чем вх од ящ и е в эту си стем у ф унк ци и A1 ,..., An , B1 ,...Bn так же п од лежат нах ожд ени ю . Д ля того, чтобы члены разложени я (8.1) оп ред еляли сь од нозначно, на ни х след уетналожи ть д оп олни тельны е услови я. А и м енно, п отребуем , чтобы п ри n ≥ 1 ф унк ци и yn (a,ψ ) не сод ержали п ервой гарм они к и . Так и м образом , п ервая гарм они к а п ри сутствуеттольк ов главном члене аси м п тоти к и . Н и же м ы ограни чи м ся п остроени ем ли ш ь п ервого п ри бли жени я. Поэтом у вы к лад к и

д остаточно п ровод и ть с точностью

O (ε 2 ) . При

п од становк е y = y0 ( a,ψ ) + ε y1 ( a,ψ ) + O (ε 2 ) в уравнени е (8.1), п олучи м d 2 y0 dy d 2 y1 + y0 + ε ( 2 + y1 ) + O(ε 2 ) = ε f ( y0 , 0 ) + O(ε 2 ) . (8.3) 2 dt dt dt В (8.3) п ри х од и тся вы чи слять п рои звод ны е от ф унк ци й ви д а y = y (α ,ψ ) . Им еем dy ∂y ∂y = a ' +ψ ' , dt ∂a ∂ψ 2 2 d2y ∂2 y ∂y ∂y 2 ∂ y 2 ∂ y = ( a ') + 2 a ' ψ ' + ( ψ ') + a '' + ψ '' . 2 2 2 dt ∂a ∂a∂ψ ∂ψ ∂a ∂ψ След овательно,

d 2 y0 = ( a ''− a(ψ ') 2 )cosψ − (2a 'ψ '+ aψ '')sinψ . 2 dt Д алее, в си лу си стем ы (8.2)

(8.4) (8.5)

(8.6)

( a ') 2 = O (ε 2 ), a 'ψ ' = ε A1 + O(ε 2 ), (ψ ')2 = 1 + 2ε B1 + O (ε 2 ), a '' = (ε A1 )'+ O(ε 2 ) = ε A '1 (a) a '+ O(ε 2 ), ψ '' = (1 + ε B1 )'+ O(ε 2 ) = ε B '1 ( a)a '+ O(ε 2 ) = O(ε 2 ). Из ф орм ул(8.4)-(8.7) вы тек ает, что d 2 y0 + y0 = −(1 + 2ε B1 + O(ε 2 ))a cosψ − (2ε A1 + O (ε 2 ))sinψ + a cosψ = 2 dt = ε (−2aB1 cosψ − 2 A1 sinψ ) + O(ε 2 ), dy0 d 2 y1 ∂ 2 y1 + y1 = + y1 + O (ε ), = −a sinψ + O (ε ). 2 2 dt dt ∂ψ

(8.7)

28 Под стави м теп ерь эти равенства в (8.3) и п ри равняем к нулю слагаем ы е п оряд к а ε . Получи м уравнени е ∂ 2 y1 + + y1 = 2aB1 cosψ + 2 A1 sinψ + f (a cosψ , − a sinψ ). ∂ψ 2 Э тоуравнени е ви д а (8.5) с п равой частью F (ψ ) = 2aB1 cosψ + 2 A1 sinψ + f (a cosψ , − a sinψ ),

(8.8)

являю щ ейся 2π − п ери од и ческ ой ф унк ци ей. Д ля разреш и м ости так ого уравнени я необх од и м о и д остаточно вы п олнени я услови й разреш и м ости (8.6). Разложи м в ряд Ф урье ф унк ци ю ∞

f (a cosψ , − a sinψ ) = f 0 (a) + ∑ ( f k ,1 (a )cos kψ + f k ,2 (a)sin kψ ). k =1

Тогд а услови я разреш и м ости уравнени я (8.8) п ри м утви д A1 ( a) = − f1,2 (a) / 2, B1 (a ) = − f1,1 (a) /(2a ). Тем сам ы м ф унк ци и A1 ( a ), B1 ( a ) найд ены . З ная A1 , B1 , м ожно оп ред ели ть ам п ли туд у a к ак реш ени е уравнени я с разд еляю щ и м и ся п ерем енны м и a ' = ε A1 (a) + O(ε 2 )

и

затем ,

п рои нтегри ровав

уравнени е

ψ ' = 1 + ε B1 (a) + O(ε 2 ) , найти ф унк ци ю ψ (t ) . Д алее разложи м в ряд Ф урье ф унк ци ю ∞

y1 (a,ψ ) = Y0 (a) + ∑ (Yk ,1 (a )cos kψ + Yk ,2 (a)sin kψ ) .

(8.9)

k =1

Тогд а уравнени е (8.8) зап и ш ется в ви д е (7.8), отк уд а од нозначно оп ред еляю тся все к оэф ф и ци енты ряд а (8.9), к ром е Y1,1 , Y1,2 (см . (7.9)). Н оони п оуслови ю равны нулю . След овательно, ∞ 1 y1 (a,ψ ) = f 0 (a) + ∑ ( f k ,1 ( a)cos kψ + f k ,2 (a )sin kψ ). (8.10) 2 k =2 1 − k Итак , п ервое п ри бли жени е п олностью п остроено. А налоги чно нах од ятся и вы сш и е п ри бли жени я п ри n ≥ 2 . У равнени я д ля ни х и м ею тви д ∂ 2 yn + yn = Fn (a,ψ , A1 ,..., An , B1 ,..., Bn , y1 ,..., yn−1 ), ∂ψ 2 гд е f n − и звестны е услови й

2π − п ери од и ческ и е п о п ерем енной ψ ф унк ци и . Из

разреш и м ости

∫

2π

0

Fn cosψ d ψ = 0,

∫

2π

0

Fn sinψ dψ = 0

п олучи м

29 си стем у уравнени й д ля оп ред елени я ф унк ци й An (a ), Bn ( a ) . З атем од нозначно нах од ятся yn (a,ψ ) . За ме ча ние 8.1. В к ни ге [Боголю бов Н .Н ., М и троп ольск и й Ю .А . А си м п тоти ческ и е м етод ы в теори и нели нейны х к олебани й // М .: Н аук а, 1974] п ри вед еном атем ати ческ ое обосновани е м етод а Кры лова-Боголю бова. Пр име р 8.1. рассм отри м уравнени е В ан-д ер-Поля со слабой нели нейностью y ''+ y = ε (1 − y 2 ) y ',

(8.11)

к оторое возни к ает п ри и зучени и авток олебательны х си стем . С п ом ощ ью м етод а Кры лова-Боголю бова п острои м п ервое п ри бли жени е y = a cosψ + ε y1 + O(ε 2 ) . Согласно (8.8) д ля нах ожд ени я

уравнени е

y1

п олучи м

∂ 2 y1 + y1 = 2aB1 cosψ + 2 A1 sinψ − (1 − a 2 cos 2 ψ )a sinψ . Так к ак 2 ∂ψ

cos 2 ψ ⋅ sinψ = (sinψ + sin 3ψ ) / 4 , этоуравнени е м ожноп ереп и сать в ви д е

∂ 2 y1 a3 a3 + y1 = 2aB1 cosψ + (2 A1 − a + )sinψ + sin 3ψ . ∂ψ 2 4 4

(8.12)

У слови ям и разреш и м ости (8.12) буд ут равенства B1 = 0, A1 = a(4 − a 2 ) / 8, а п ери од и ческ ое

реш ени е,

согласно

ф орм уле

(8.10)

и м еет

ви д

y1 = −(a sin 3ψ ) / 32 . Перейд ем к нах ожд ени ю ам п ли туд ы a и ф азы ψ . Им еем 3

a a ' = ε (4 − a 2 ) + O(ε 2 ) . (8.13) 8 Отброси м остаточны й член и п рои нтегри руем п олучи вш ееся уравнени е с начальны м услови ем a (0) = a0 . В результате п олучи м a (t ) = 2 ⋅ sign a0 ⋅ (1 + 4 /( a02 − 1)e − ε t ) −1/ 2 .

Н ак онец, и з уравнени я ψ ' = 1 + O (ε 2 ) найд ем ψ = t − δ 0 . З д есь δ 0 − к онстанта. Полученны е ф орм улы п озволяю т оп и сать к ачественное п овед ени е реш ени я.

Изучи м нели нейностью

9. М е то д уср е дне ния зад ачу Кош и д ля неавтоном ного уравнени я со слабой dy = ε f (t , y ), dt

y (0) = y0

(9.1)

30 (аналоги чно рассм атри ваю тся и

си стем ы уравнени й). Н ас и нтересует

п овед ени е реш ени я п ри ε → 0 на больш ом и нтервале врем ени п оряд к а ε −1 . Регулярное разложени е (5.3) д ля реш ени я так ой зад ачи не п ри м ени м о. Д ля п ростоты п ред п оложи м , что глад к ая, вещ ественнозначная ф унк ци я f (t , y ) 2π − п ери од и чна п о t . Тогд а ее м ожноразложи ть в ряд Ф урье f (t , y ) =

∞

∑

k =−∞

f k ( y )eikt .

При неп осред ственном и зучени и точны х реш ени й неавтоном ного уравнени я (9.1) возни к аю т значи тельны е труд ности . Ид ея м етод а усред нени я зак лю чается в зам ене уравнени я (9.1) усред ненны м уравнени ем dy = ε f 0 ( y ), (9.2) dt к оторое п олучается, если в п равой части (9.1) отброси ть все гарм они к и с k ≠ 0 . З д есь 1 2π f0 ( y ) = f (t , y )dt . 2π ∫0 Правая часть усред ненного уравнени я не зави си тотt , т.е. оностало п рощ е. При этом реш ени я зад ач Кош и д ля и сх од ногоуравнени я (9.1) и усред ненного уравнени я (9.2) с услови ем y (0) = y0 ок азы ваю тся бли зк и на и нтервале п оряд к а ε −1 . Пр име р 9.1. Рассм отри м уравнени е y ' = ε ( a + b cos t ), y (0) = 0,

(9.3)

гд е a и b - к онстанты . У сред ненное уравнени е буд ети м еть ви д y ' = ε a, y (0) = 0.

(9.4)

Э ти зад ачи легк о реш аю тся: y (t ) = ε at + ε b sin t ,

y (t ) = ε at . М ы ви д и м , что

на врем енах п оряд к а ε −1 точное реш ени е отли чается от реш ени я усред ненногоуравнени я ли ш ь осци лли рую щ ей м алой д обавк ой. При п ерех од е к усред ненном у уравнени ю (9.4) м ы отброси ли в п равой части (9.3) вели чи ны так огоже п оряд к а, к ак и оставленны е. Н а врем енах п оряд к а 1 к ак отброш енны е, так и оставленны е вели чи ны д аю т од и нак овы й эф ф ек т п оряд к а ε . Од нак о и х вли яни е на врем енах п оряд к а ε −1 соверш енно разли чно: оставленны е члены п ри вод ят к си стем ати ческ ом у д рейф у, а отброш енны е - ли ш ь к м алом у д рожани ю .

31 Поск ольк у п ри п ерех од е к усред ненном у уравнени ю в (9.1) бы ли отброш ены вели чи ны того же п оряд к а м алости , что и оставленное слагаем ое ε f 0 , этот п ерех од требует более

y

y

обоснованной ф орм ы . Соверш и м в уравнени и (9.1) зам ену п ерем енны х y = ξ + ε f%(t , ξ ) (9.5) гд е ξ - новая п ерем енная, а eikt ∞ eikt + f ( ξ ) . ∑ ∑ k ik ik k =−∞ k =1 Оп ератор ~ назы вается и нтегри рую щ и м , п оск ольк у ∂f%(t , ξ ) = f (t , ξ ) − f 0 (ξ ). (9.6) ∂t Д и ф ф еренци руя (9.5), и м еем dy dξ ∂f%(t ,ξ ) dξ ∂f%(t ,ξ ) = + ε( ⋅ + ). (9.7) ∂ξ ∂t dt dt dt Под ставляя (9.5)-(9.7) в (9.1), п олучаем dξ ∂f%(t , ξ ) dξ +ε ⋅ + ε ( f (t , ξ ) − f 0 (ξ )) = ε f (t , ξ + ε f%(t , ξ )), dt dt ∂ξ отк уд а dξ ∂f% −1 = ε (1 + ε ) ( f 0 (ξ ) + f (t , ξ + ε f%) − f (t , ξ )). (9.8) dt ∂ξ М ы наш ли уравнени е, к отором у уд овлетворяет ξ (t ) . Разлагая затем ∂f% −1 (1 + ε ) и f (t , ξ + ε f%) − f (t , ξ ) п остеп еням ε , п олучи м ∂ξ dξ = ε f 0 (ξ ) + O(ε 2 ) . dt Так и м образом , п равая часть (9.8) отли чается отп равой части усред ненного f%(t , ξ ) =

−1

f k (ξ )

уравнени я (9.2) на вели чи ну O (ε 2 ) . А п оск ольк у точны е реш ени я уравнени й (9.1) и (9.8) связаны ф орм улой (9.5), главны м членом аси м п тоти к и буд ет y − реш ени е усред ненного уравнени я (9.2). М етод усред нени я, од и н и з наи более глубок и х аси м п тоти ческ и х м етод ов, п ри м ени м и в горазд о более общ и х си туаци ях . Н еобх од и м ы м услови ем его п ри м ени м ости является

32 сущ ествовани е у п равой части уравнени я сред негоп оврем ени 1 T f ( y ) = lim ∫ f (t , y ) dt . (9.9) T →+∞ T 0 Если f − 2π - п ери од и чна п о t , тосред нее п оврем ени совп ад аетсосред ни м п оп ери од у: 1 2π n 1 2π f (t , y ) dt = f (t , y ) dt = f0 ( y ). ∫ n→∞ 2π n 0 2π ∫0 Сред нее п о врем ени (9.9) сущ ествует д ля более ш и рок ого, чем п ери од и ческ и е, к ласса ф унк ци й (нап ри м ер, д ля п очти - п ери од и ческ и х ф унк dy = f ( y) . ци й). У сред ненны м уравнени ем буд ет dt За ме ча ние 9.1. Построени е вы сш и х п ри бли жени й, услови я п ри м ени м ости , а так же м атем ати ческ ое обосновани е м етод а усред нени я и м ею тся в [Боголю бов Н .Н ., М и троп ольск и й Ю .А . А си м п тоти ческ и е м етод ы в теори и нели нейны х к олебани й. М .: Н аук а, 1974]. Пр име р 9.2. Снова рассм отри м уравнени е В ан-д ер-Поля (8.11) и найд ем аси м п тоти к у с п ом ощ ью м етод а усред нени я. Д ля этого зап и ш ем уравнени е В ан-д ер-Поля в ви д е си стем ы f ( y ) = lim

y ' = u,

u ' = ε (1 − y 2 )u − y.

Д оп олни м ее начальны м и услови ям и y (0) = y0 ,

(9.10)

u (0) = 0. δ

Если ввести новы е п ерем енны е a и

(9.11)

п о ф орм улам

y = a cos(t − δ ),

u = −a sin(t − δ ) , зад ача (9.10), (9.11) п ри м етви д a ' = ε (a(4 − a 2 ) − 4a cos 2(t − δ ) + a 2 cos 4(t − δ )) /8, a (0) = y0 , δ ' = ε ( −2(2 − a 2 )sin 2(t − δ ) + a 2 sin 4(t − δ )) / 8, Получи лась неавтоном ная си стем а, к усред нени я. З ап и ш ем усред ненную си стем у: a ' = ε a (4 − a 2 ) / 8, δ ' = 0,

След овательно,

δ (0) = 0.

к оторой п ри м ени м

м етод

a (0) = y0 ,

δ (0) = 0.

δ (t ) ≡ 0 , а ам п ли туд а а уд овлетворяет уравнени ю (8.13).

Так и м образом , м ы снова п ри х од и м к аси м п тоти ческ ом у реш ени ю , п олученном у ранее с п ом ощ ью м етод а Кры лова - Боголю бова. 10. Пр име не ние и тр а кто вка ме то да В К Б По ста но вка за да чи. Построи м аси м п тоти ческ ое реш ени е уравнени я

33 d2y ε 2 + V ( x) y = 0, dx п ри ε → 0 . З д есь α , β

x ∈ [α ; β ],

(10.1) - к онстанты , −∞ ≤ α , β ≤ + ∞ , вещ ественнозначная

ф унк ци я V ( x) ∈ C ∞ ([α ; β ]) . Так ое ли нейное уравнени е с м алы м п арам етром п ри п рои звод ной является м од ельны м п ри и зучени и м ноги х более сложны х м атем ати ческ и х зад ач. Кром е того, к нем у свод и тся целы й ряд м од елей м атем ати ческ ой ф и зи к и . Рассм отри м , нап ри м ер, зад ачу ом алы х п оп еречны х к олебани ях струны . В ели чи ну отк лонени я струны отп оложени я равновеси я в точк е x в м ом ент врем ени t обозначи м через u ( x, t ) . Ф унк ци я u ( x, t ) уд овлетворяетволновом у уравнени ю ∂ 2u ∂ 2u 2 = c ( x) 2 . ∂t 2 ∂x Буд ем и ск ать п ери од и ческ и е п о врем ени реш ени я: u ( x, t ) = y ( x) exp(iωt ). Тогд а д ля ам п ли туд ы к олебани й y ( x) п олучи м уравнени е c 2 ( x) y ''+ ω 2 y = 0. М ы п ри ш ли к уравнени ю (10.1), гд е V ( x ) = c −2 ( x),

ε = ω −1 . Парам етр ε → 0 ,

если частота к олебани й ω → +∞ . Поэтом у и аси м п тоти к а п ри ω → +∞ назы вается вы сок очастотной (и ли к оротк оволновой). У равнени е (10.1) возни к ает так же в к вантовой м ех ани к е. Д ви жени е к вантовой части цы в п отенци альном п оле U ( x) оп и сы вается волновой ф унк ци ей ψ ( x, t ) , к оторая уд овлетворяетуравнени ю Ш ред и нгера ∂ψ h2 ∂ 2ψ =− ⋅ + U ( x)ψ . ih ∂t 2m ∂ x 2 З д есь m - м асса части цы , h - п остоянная Планк а. Ф и зи ческ и й см ы сл волновой ф унк ци и зак лю чается в том , что | ψ ( x, t ) |2 является п лотностью вероятности нах ожд ени я части цы в м ом ентврем ени t в точк е x . В ажную роль и граю т реш ени я уравнени я Ш ред и нгера ψ = y ( x) exp(−iEt / h) , гд е E - к онстанта (энерги я). Так к ак п ри этом | ψ |2 не зави си т от t , так и е реш ени я оп и сы ваю т стаци онарны е состояни я. Д ля и х нах ожд ени я и м еем стаци онарное уравнени е Ш ред и нгера −

h2 d 2 y ⋅ + U ( x) y = Ey 2m d x 2

34 В этом уравнени и есть естественны й м алы й п арам етр h . У равнени е м ожно п ереп и сать в ви д е (10.1) с ε = h / 2m и V ( x) = E − U ( x) . Если E − U ( x) ≠ 0 , топ ред ельны й п ерех од п ри h → 0 назы ваю тк вази к ласси ческ и м . Э тоттерм и н беретсвое п рои сх ожд ени е оттого ф ак та, чтозак оны к ласси ческ ой м ех ани к и м ожно п олучи ть п ред ельны м п ерех од ом п ри h → 0 и з соответствую щ и х к вантовом ех ани ческ и х зак онов. А си м п тоти ческ ое разложени е д ля уравнени я (10.1) носи т так же названи е В КБ-аси м п тоти к и (п о п ервы м бук вам ф ам и ли й ф и зи к ов Г .В енцеля, Г .Крам ерса, Л .Бри ллю эна, п ри м ени вш и х эторазложени е в зад ачах к вантовой м ех ани к и ). Так ое названи е не м енее расп ространено, чем вы сок очастотная и ли к вази к ласси ческ ая аси м п тоти к а. Схе ма ме то да В К Б . Изложи м п од х од м етод а В КБ с неск ольк о и ной точк и зрени я, чем ранее. Ф орм альное аси м п тоти ческ ое реш ени е и щ ем в ви д е y ( x, ε ) = eiS ( x ) / ε {a0 ( x) − iε a1 ( x) + ... + ( −iε ) n an ( x) + O (ε n+1 )},

(10.2)

гд е ε → +0 , п ри чем ф унк ци я a0 ( x ) ≠ 0 . Д и ф ф еренци руя (10.2) п о x , и м еем −iε

n n −1 dy = eiS / ε {S ' ∑ ( −iε ) j a j + ∑ ( −iε ) j +1 a j ' + O(ε n+1 )} , dx j =0 j =0

n n −1 d2y iS / ε j 2 ε = −e {( S ') ∑ ( −iε ) a j + 2 S ' ∑ ( −iε ) j +1 a j ' 2 dx j =0 j =0 2

n −1

n −1

+ S '' ∑ (−iε ) a j + ∑ ( −iε ) j + 2 a j ''+ O(ε n +1 )} = j +1

j =0

j =0

n

= eiS / ε {( S ') 2 ∑ (−iε ) j a j − iε (2S ' a0 '+ S '' a0 ) + j =0

n−2

+ ∑ ( −iε ) j + 2 (2S ' a j +1 '+ S '' a j +1 + a j '') + O(ε n +1 )}. j =0

Под ставляя затем разложени я д ля y и ε 2 y '' в уравнени е (10.1) и сок ращ ая на exp(iS / ε ) , п олучаем n

(( S ')2 − V )∑ (−iε ) j a j − iε (2S ' a0 '+ S '' a0 ) + j =0

n −2

+ ∑ (−iε ) j+2 (2S ' a j+1 '+ S '' a j +1 + a j '') + O(ε n+1 ) = 0 . j =0

(10.3)

35 Равенство(10.З ) и м еетм естоли ш ьтогд а, к огд а равны нулю сум м ы слагаем ы х п ри к ажд ой ф и к си рованной степ ени ε . При м лад ш ей степ ени ε 0 п олучаем (( S ')2 − V )a0 = 0 , отк уд а, так к ак a0 ( x) ≠ 0 , ( S '( x))2 − V ( x)) = 0.

(10.4)

У равнени е (10.4), а точнее его м ногом ерны й аналог, в к вантовой м ех ани к е назы вается уравнени ем Г ам и льтона – Я к оби , а в оп ти к е – уравнени ем эйк онала. Отброси м в равенстве (10.3) слагаем ы е, п еред к оторы м и стои т ( S ') 2 − V . При равняв затем к нулю вы ражени я п ри степ енях ε j , j = 1,..., n,

п олучи м уравнени я 2 S ' a j '+ S '' a0 = 0 , 2 S ' a j '+ S '' a j = −a j −1 '',

(10.5) j = 1,..., n − 1 ,

(10.6)

к оторы е назы ваю тся уравнени ям и п ереноса. Так и м образом , найд ены уравнени я, к оторы м уд овлетворяю тф унк ци и S и a j , j = 0,..., n − 1 , вх од ящ и е в разложени е (10.2). Д ля д альнейш егоанали за эти х уравнени й п ред п оложи м , что у уравнени я (10.1) на отрезк е [α ; β ] нет точек п оворота, т.е. так и х точек x = xn , гд е V ( xn ) = 0 .

След овательно,

возм ожны д ва случая: V ( x) > 0 и ли V ( x) < 0

x ∈ [α ; β ] . Они

д ля всех

п ри нци п и ально отли чаю тся д руг от д руга п овед ени ем реш ени й (10.1). Поэтом у м ы рассм отри м и х отд ельно. 1 случа й. Пусть V ( x) > 0 . Тогд а, реш ая (10.4), и м еем S ( x) = ± ∫

x

x0

V (ξ )dξ , гд е x0 ∈ [α ; β ] , т.е. м ы нах од и м ся в

рам к ах уравнени я (3.17) и теорем ы 3 и з п унк та 3. В терм и нах п унк та 10 это соответствуетп остроени ю В КБ-п ри бли жени й реш ени й ви д а C i x y ± ( x, ε ) = exp(± ∫ V (ξ )dξ )(1 + O(ε )), (10.7) 4 ε x0 V ( x) уд овлетворяю щ и х уравнени ю (10.1) с точностью O (ε 2 ) . З д есь C - к онстанта, ε → +0 . В зави си м ости отзнак а + и ли − п олучаю тся д ва реш ени я, к оторы е ли нейнонезави си м ы . В случае V ( x) > 0 реш ени я бы строосци лли рую т. Д ействи тельно, и з ф орм улы (10.7) п олучаем ,

36 Re y+ =

y + + y+ |C | 1 x = cos( ∫ V (ξ ) d ξ + δ ) + O(ε ), 4 2 ε x0 V ( x)

Im y+ =

y − y+ |C | 1 x = sin( ∫ V (ξ ) d ξ + δ ) + O(ε ), 4 2 ε x0 V ( x)

гд е к онстанта δ = arg C . Поск ольк у уравнени е (10.1) ли нейное, ф унк ци и Re y+ , Im y+ так же буд ут аси м п тоти ческ и м и реш ени ям и этого уравнени я. Так к ак они вещ ественнозначны , в ряд е зад ач бы ваетуд обно п ользоваться и м еннои м и , а не ф унк ци ям и (10.7). 2 случа й. Пусть V ( x) < 0 . Тогд а реш ени ем (10 .4) буд етф унк ци я S ( x ) = ±i ∫

x

x0

| V (ξ ) |dξ , гд е x0 ∈ [α ; β ] .

т.е. м ы нах од и м ся в рам к ах уравнени я (3.1) и теорем ы 1 и з п унк та 3. В терм и нах п унк та 10 это соответствует п остроени ю В КБ-п ри бли жени й реш ени й ви д а C 1 x y± ( x, ε ) = exp(± ∫ | V (ξ ) |d ξ )(1 + O(ε )), (10.8) 4 ε x0 V ( x) В п унк те 3 п ок азано, чтоф унк ци и (10.8) уд овлетворяю туравнени ю (10.1) с точностью O(ε 2 y± ) . З д есь C − к онстанта, ε → +0 . В зави си м ости отзнак а + и ли − п олучаю тся реш ени я, к оторы е ли нейнонезави си м ы . Из ф орм улы (10.8) след ует, что п овед ени е реш ени й (10.1) в случае V ( x) < 0 сущ ественно и зм ени лось: п ри ε → +0 они ли бо эк сп онеци ально убы ваю т, ли бо эк сп оненци ально растут. Отм ети м так же, что п оск ольк у ф унк ци и (10.7), (10.8) и м ею т особенность п ри V ( x) = 0 , В КБ-п ри бли жени е вбли зи точк и п оворота неп ри м ени м о. З ам ечани е 10.1. У уравнени я (10.1) сущ ествую тточны е реш ени я (см . п унк т2, теорем а 1), и м ею щ и е вы п и санны е вы ш е аси м п тоти к и . В п унк тах 11 - 13 п ри вед ены п ри м еры зад ач, к оторы е уд ается п ри бли женно реш и ть, и сп ользуя м етод В КБ. 11. За да ча на со б стве нные зна че ния для ур а вне ния б е з то че к по во р о та Рассм отри м п ростейш ую зад ачу на собственны е значени я ε2

d2y + V ( x ) y = 0, dx 2

y (0) = 0,

0 < x < 1,

(11.1) y (1) = 0,

(11.2)

37 гд е ε − п арам етр, а п оложи тельная на отрезк е [0; 1] ф унк ци я V ( x) ∈ C ∞ ([0; 1]) . Собственны м и значени ям и назы ваю тся так и е чи сла ε , п ри к оторы х и м ею тся ненулевы е реш ени я зад ачи (11.1), (11.2) (собственны е ф унк ци и ). Собственны е ф унк ци и оп ред еляю тся, очеви д но, с точностью д о п остоянного м ножи теля. Д ля его нах ожд ени я стави тся д оп олни тельное услови е норм и ровк и . М ы п отребуем , чтобы реш ени е и м ело в L2 ([0; 1]) ед и ни чную норм у:

∫

1

0

y 2 ( x) dx = 1 .

(11.3)

Так ая зад ача на собственны е значени я д етально и зучена. Известно, в частности » что у зад ачи (11.1)-(11.3) и м еется счетное м ножество п оложи тельны х собственны х значени й ε = ε n , n = 1, 2,... п ри чем ε n → 0 п ри n → ∞ . М ы п олучи м аси м п тоти ческ и е ф орм улы д ля собственны х значени й ε n > 0 и д ля соответствую щ и х собственны х ф унк ци й yn п ри больш и х значени ях ном ера n. При ступ и м к и х п остроени ю . Общ ее реш ени е уравнени я (11.1) зап и сы вается в ви д е ли нейной к ом би наци и ли нейно незави си м ы х реш ени й. В осп ользуем ся ф унк ци ям и (10.7), в к оторы х п оложи м x0 = 0 . Им еем y ( x, ε ) = c2

c1 4

V ( x)

i exp( − + 4 ε V ( x)

гд е к онстанты

c1 , c2

exp(

∫

x

0

i ε

∫

x

0

V (ξ ) d ξ )(1 + O (ε )) +

(11.4)

V (ξ )d ξ )(1 + O (ε )),

п од лежат оп ред елени ю . В

си лу свойств В КБ-

п ри бли жени я эта ф унк ци я уд овлетворяет уравнени ю (11.1) с точностью O (ε 2 ) .

Д ля нах ожд ени я c1 , c2 п од стави м (11.4) в грани чны е услови я (11.2). Получи м си стем у c1 (1 + O(ε )) + c2 (1 + O(ε )) = 0, (11.5) i 1 i 1 V ( ξ ) d ξ )(1 + O ( ε )) + c exp( − V ( ξ ) d ξ )(1 + O ( ε )) = 0. 2 ε ∫0 ε ∫0 Как и звестно, д ля сущ ествовани я нетри ви альногореш ени я си стем у ли нейны х алгебраи ческ и х уравнени й, необх од и м ои д остаточно, чтобы ее оп ред ели тель бы л равен нулю . Поэтом у м ы п ри х од и м к соотнош ени ю 1 1 sin( ∫ V (ξ )dξ ) + O(ε ) = 0. (11.6) ε 0 c1 exp(

38 Онослужи тд ля нах ожд ени я собственны х значени й ε = ε n . Из (11.6) вы тек ает, что 1 εn

∫

1

0

V (ξ ) d ξ = π n + O (ε n ) , гд е чи сла n − целы е.

(11.7)

В ы ражая ε n и з соотнош ени я (11.7), п ри х од и м к след ую щ ей ф орм уле д ля аси м п тоти к собственны х значени й: 1 1 V (ξ )d ξ . (11.8) π n ∫0 З д есь n → +∞, n − целы е. Из п ервого уравнени я си стем ы (11.5) и м еем , что ε n0 =

c2 = −c1 (1 + O (ε )) .

Ф орм ула (7.4)

п озволяет зап и сать вы ражени е д ля

аси м п тоти к собственны х ф унк ци й c 1 Yn ( x, ε n0 ) = sin( 0 4 εn V ( x)

∫

x

0

V (ξ ) dξ ,

(11.9)

гд е c = 2ic1 - к онстанта. Положи м c = ± 2( ∫

1

0

dx V ( x)

−

1

) 2.

(11.10)

Сп равед ли ва Ле мма 11.1. Ч и сло ε n0 и ф унк ци я Yn ( x, ε n0 ) , зад анны е ф орм улам и (11.8)(11.10), являю тся аси м п тоти ческ и м

реш ени ем

зад ачи

(11.1)-(11.3) на

собственны е значени я. А и м енно, п ри ε = ε n ф унк ци я Yn ( x, ε n0 ) уд овлетворяет уравнени ю (1.1) с точностью O(n −2 ) , грани чны м услови ям (11.2) точно, а так же услови ю норм и ровк и (11.3) с точностью O(n −2 ) . З д есь n → +∞ . Д ок азательства требуетли ш ь часть утвержд ени я, к асаю щ аяся услови я норм и ровк и . Под ставляя вы ражени е (11.9) д ля Yn в услови е (11.3), и м еем c2

2 ∫0 Y ( x,ε )dx = ∫0 2 V ( x) (1 − cos( ε n0 1

так

2 n

0 n

к ак

1

∫

x

0

c2 V (ξ ) dξ ))dx = 2

∫

1

0

dx V ( x)

и нтеграл от бы стро осци лли рую щ ей части

+ O((ε n0 )2 ) = 1,

реш ени я м ал.

Д ействи тельно, и нтегри руя д важд ы п о частям и и сп ользуя ф орм улу д ля ε n0 , п олучаем

39

∫

1

0

1

2 cos( 0 εn V ( x)

∫

x

0

 1 ′ 2 x sin(   ∫0  V ( x)  ε n0 ∫0 V (ξ )d ξ )dx =

ε n0 V (ξ )d ξ )dx = − 2

1

   ′ ′   1   1    0 2  ′   V ( x)   (ε n )  1  1  2 cos( 0 V (ξ ) d ξ )dx  = O((ε n0 )2 ). = −     4  V ( x)  V ( x)  εn  V ( x)  0          

(11.11)

Так и м образом , к онстанта c найд ена. 12. А симпто тиче ско е р е ше ние кр а е во й за да чи Рассм отри м уравнени е без точек п оворота ε2

d2y + V ( x) y = 0, x ∈ (0; 1) dx 2

(12.1)

y (0, ε ) = A, y (1, ε ) = B.

(12.2)

с грани чны м и услови ям и З д есь A, B − к онстанты , вещ ественнозначная ф унк ци я V ( x) ∈ C ∞ ([0; 1]). При ε ≠ ε n реш ени е так ой зад ачи сущ ествуети ед и нственно.

I случа й. Пусть V ( x) > 0 на отрезк е [0; 1] . Н айд ем аси м п тоти ческ ое реш ени е зад ачи (12.1), (12.2) п ри ε → +0 , ε ≠ ε n . Ф унк ци ю y буд ем и ск ать в ви д е y ( x, ε ) =

c1 4

exp(

V ( x)

c2

i + exp(− 4 V ( x) ε Ч тобы оп ред ели ть к онстанты

i ε

∫

∫

x

0

V (ξ )d ξ )(1 + O (ε )) + (12.3)

x

0

V (ξ )d ξ )(1 + O(ε )),

c1 , c2 , п од стави м

вы ражени е (12.3) в

грани чны е услови я (12.2). Получи м си стем у уравнени й c1 (1 + O (ε )) + c2 (1 + O (ε )) = A 4 V (0), (12.4) i 1 i 1 4 c1 exp( ∫ V (ξ )d ξ )(1 + O (ε )) +c2 exp(− ∫ V (ξ )d ξ )(1 + O (ε )) = B V (1). ε 0 ε 0 При ε ≠ ε n од нород ная си стем а (12.4), (12.5) и м ееттольк отри ви альное реш ени е, а, след овательно, (12.4), (12.5) од нозначноразреш и м а. Д ом ножи м i 1 уравнени е (12.4) на exp( ∫ V (ξ ) dξ . В ы чи тая затем и з п ервогоуравнени я ε 0

40 си стем ы второе, п олучи м c2 = ( A 4 V (0) exp(

i ε

∫

1

0

V (ξ )d ξ − B 4 V (1) + O(ε )) /(2i ∆ ),

i 1 V (ξ )dξ ) + O(ε ). Так и м образом , аси м п тоти ческ ое реш ени е ε ∫0 зад ачи (12.1), (12.2) и м еетви д гд е ∆ = sin(

y ( x, ε ) =

x i 1 { A 4 V (0) exp( ( ∫ V (ξ ) dξ − ∫ V (ξ )d ξ )) − 0 4 ε 0 V ( x) 2i∆

1

x i 1 i x − exp(− ( ∫ V (ξ )dξ − ∫ V (ξ ) dξ )) + B 4 V (1) exp( ∫ V (ξ )dξ ) − 0 ε 0 ε 0 i x 1 1 1 − exp(− ∫ V (ξ )dξ ) + O(ε )} = { A 4 V (0) sin( ∫ V (ξ )d ξ ) + 4 ε 0 ε x V ( x)∆

1 x V (ξ ) dξ ) + (O(ε )}. ε ∫0 Отм ети м , что найд енная п ри ε → +0 аси м п тоти к а y ( x, ε ) сп равед ли ва ли ш ь + B 4 V (1) sin(

1 1 V (ξ ))d ξ | >> ε . См ы сл этого услови я состои тв той, ε ∫0 что чи сло ε не д олжно нах од и ться сли ш к ом бли зк о (на расстояни и п оряд к а п ри услови и | sin(

ε n3 ) от собственны х значени й ε n . При этом расстояни е м ежд у сосед ни м и собственны м и значени ям и в си лу ф орм улы (11.8) и м еетп оряд ок ε n2 . 2 случа й. Пусть V ( x) < 0 на отрезк е [0;1]. Тогд а реш ени е к раевой зад ачи (12.1), (12.2) сущ ествует и ед и нственно д ля всех ε > 0 . Н айд ем аси м п тоти ческ ое реш ени е так ой зад ачи п ри ε → +0 . Ф унк ци ю y буд ем и ск ать в ви д е ли нейной к ом би наци и В КБ-п ри бли жени й (10.8). Ч тобы реш ени е п ри ε → +0 бы ло ограни ченны м на отрезк е [0; 1] , ф унк ци и y+ и y− так же вы берем ограни ченны м и . Д ля этого в y− п оложи м x0 = 0, а в y+ — x0 = 1 . Получаем y ( x, ε ) =

c1 4

V ( x)

exp( −

1 x V (ξ )d ξ )(1 + O (ε )) + ε ∫0

1 x + exp( ∫ V (ξ ) d ξ )(1 + O (ε )), 4 ε 0 V ( x) c2

гд е c1 , c2 − к онстанты .

(12.6)

41 В си лу свойств В КБ-п ри бли жени я y± уд овлетворяетуравнени ю (12.1) с точностью O(ε 2 y± ) . Поэтом у ф унк ци я y ( x, ε ) буд етуд овлетворять (12.1) с точностью O(ε 2 y+ ) + O(ε 2 y− ) . Так и м образом , невязк а строговнутри отрезк а [0; 1] и м еетоценк у O(ε ∞ ) , и ли ш ь вбли зи к онцов отрезк а O(ε 2 ) . Константы c1 , c2 оп ред еляю тся и з грани чны х услови й. Под ставляя вы ражени е (12.6) в услови е y (0) = A , п олучаем

c1 = A 4 | V (0) |(1 + O(ε )).

А налоги чно, и з услови я y (1) = B вы тек ает, что c2 = B 4 | V (1) |(1 + O(ε )) . Итак , п ри V ( x) < 0 аси м п тоти ческ ое реш ени е к раевой зад ачи (12.1), (12.2) и м еет ви д y ( x, ε ) = A 4

V (0) 1 x exp( − ∫ V (ξ ) d ξ )(1 + O(ε )) + ε 0 V ( x)

(12.7)

V (1) 1 x exp( ∫ V (ξ )d ξ )(1 + O (ε )). + B4 V ( x) ε 0 Из ф орм улы (12.7) след ует, что реш ени е эк сп оненци ально убы вает вне м алы х ок рестностей к онцов отрезк а [0; 1] , гд е

B

y ( x, ε ) резк о и зм еняется отнуля д о A и ли

A

y

B. 0

1

x

13. За да ча р а ссе яния Рассм отри м уравнени е ε2

d2y + V ( x) y = 0, dx 2

x ∈ Ў 1,

(13.1)

гд е п оложи тельная ф унк ци я

V ( x) ∈ C ∞ (Ў 1 ) и сущ ествует так ое чи сло

l : 0 < l < ∞ , что V ( x) ≡ 1 п ри

| x | > l . При

x < −l у уравнени я

очеви д но, и м еется д ва ли нейно незави си м ы х реш ени я Обозначи м через

(13.1),

y = exp(±ix / ε ) .

y1,± оп ред еленны е на всей оси реш ени я (13.1), равны е

exp(±ix / ε ) п ри x < −l . Аналоги чно, оп ред еленны е на всей оси реш ени я (13.1), равны е exp(±ix / ε ) п ри x > l , обозначи м через y2,± . Так к ак ф унк ци и

y1,± образую т ф унд ам ентальную си стем у реш ени й

(13.1), то y2,± м ожноп ред стави ть в ви д е ли нейной к ом би наци и y1,± . Им еем

42 y2,± = a(ε ) y1,+ + b(ε ) y1,− . При м ени в

к

(13.2)

оп ераци ю

(13.2)

к ом п лек сного соп ряжени я,

y2,− = b (ε ) y1,+ + a (ε ) y1,− . Коэф ф и ци енты

1/ | a (ε ) |2 и

п олучи м

1/ | b(ε ) |2 назы ваю тся

к оэф ф и ци ентам и п рох ожд ени я и отражени я соответственно. В ы ясни м , к ак ой ф и зи ческ и й см ы сл они и м ею т. Д ля этого рассм отри м ф унк ци ю y = y2,+ / a (ε ) . В си лу ф орм улы (13.2) д ля так огореш ени я (13.1) и м еем  ix / ε b(ε ) −ix / ε п ри x < −l , e + a(ε ) e  (13.3) y ( x, ε ) =  1 ix / ε  e п ри x > l.  a(ε ) y ( x, ε ) оп и сы вает рассеяни е п лоск ой волны След овательно, ф унк ци я exp(ix / ε ) , и д ущ ей и з x = −∞ , на неод нород ностях сред ы в области | x | < l . 1/ a п рох од и т через область с При этом часть волны с м ножи телем неод нород ной сред ой и ух од и тна x = +∞ . Н аш а зад ача – найти аси м п тоти ческ и е п ред ставлени я д ля ф унк ци й a(ε ) и b(ε ) п ри ε → 0 . Л ем м а 13.1. При ε → 0 и м ею тм естосоотнош ени я i ∞ a(ε ) = exp(− ∫ ( V ( x) − 1)dx) + O(ε )); b(ε ) = O (ε ). (13.4) ε −∞ Д ок азательство. Рассм отри м В КБ-п ри бли жени е (10.7), в к отором п оложи м x0 = −l ; c = 1: y ± ( x, ε ) = | x| >l

Так к ак п ри

1 i exp(± 4 V ( x) ε

∫

x

−l

V ( x)dx )(1 + O (ε )) .

V ( x) ≡ 1 , в этой области ф унк ци я

(13.5) S ( x) является

ли нейной, а реш ени я уравнени й п ереноса не зави сятот x . Д ействи тельно, x < −l

п ри ψ =∫

l

−l

∫

x

−l

V (ξ )d ξ = x + l , а п ри

x>l

∫

x

−l

V (ξ )d ξ = ψ + x − l , гд е

V (ξ )d ξ . След овательно,

e± i ( x +l ) / ε (1 + O (ε )) п ри x < −l , y± ( x, ε ) =  ± (ψ + x −l ) / ε (13.6) e (1 + O ( ε )) п ри x > l .  Отм ети м , что В КБ-п ри бли жени е в области | x | > l (гд е V ( x) ≡ 1 ) является точны м реш ени ем уравнени я (13.1) и п ри м ени м она всей п рям ой.

43 Буд ем и ск ать п ри бли женное реш ени е зад ачи рассеяни я в ви д е ли нейной к ом би наци и ф унк ци й (13.5): y ( x, ε ) = c1 y+ ( x, ε ) + c2 y− ( x, ε ) , а значи т, в си лу (13.6) c ei ( x +l ) / ε (1 + O (ε )) + c2 e − i ( x +l ) / ε (1 + O(ε )) п ри x < −l , y ( x, ε ) =  1 i (ψ + x−l ) / ε (13.7) − i (ψ + x −l ) / ε c e (1 + O ( ε )) + c e (1 + O ( ε )) п ри x > l .  1 2 y уже бы ло п олучено вы ражени е (13.3). Д обьем ся Ранее д ля ф унк ци и совп ад ени я ф орм ул (13.3) и (13.7) с точностью д ослагаем ы х O(ε ) . Д ля этого п ри равняем в (13.3) и (13.7) к оэф ф и ци енты п ри exp(ix / ε ) . Получи м c1eil / ε (1 + O (ε )) = 1,

c1ei (ψ −l )ε (1 + O (ε )) = 1/ a,

отк уд а c1 = exp( −il / ε ) + O (ε ), i ∞ ( V (ξ ) − 1)d ξ ) + O (ε ) . ε ∫−∞ Если п оложи ть c2 = O (ε ), b(ε ) = O (ε ) , тои к оэф ф и ци енты п еред exp(−ix / ε ) a = exp(i (2l − ψ ) + O(ε ) = exp(−

станутп оряд к а O(ε ) . Л ем м а д ок азана.

1. 2. 3. 4.

Лите р а тур а Н айф эА . В вед ени е в м етод ы возм ущ ени й // М .: М и р, 1984, -535 с. Переск ок ов А .В . А си м п тоти ческ и е реш ени я обы к новенны х д и ф ф еренци альны х уравнени й // 1997, -108 с. В айнберг Б.Р. А си м п тоти ческ и е м етод ы в уравнени ях м атем ати ческ ой ф и зи к и // М .: Изд -воМ Г У , 1982, 296 с. Ф ед орю к М .В . Обы к новенны е д и ф ф еренци альны е уравнени я // М .: Н аук а, 1985, -448 с.

44 Со де р ж а ние 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Э ври сти ческ и е соображени я… … … … … … … … … … … … … … … … ... Основны е оценк и … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. Аси м п тоти к а реш ени й п ри больш и х значени ях аргум ента… … … … . Аси м п тоти к а реш ени й п ри больш и х значени ях п арам етра… … … … . Регулярная теори я возм ущ ени й… … … … … … … … … … … … … … … .. Точное реш ени е уравнени я Д ю ф ф и нга… … … … … … … … … … … … .. М етод Л и нд ш тед та – Пуанк аре… … … … … … … … … … … … … … … .. М етод Кры лова-Боголю бова… … … … … … … … … … … … … … … … ... М етод усред нени я… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … При м енени е и трак товк а м етод а В КБ… … … … … … … … … … … … … З ад ача на собственны е значени я д ля уравнени я без точек п оворота.. Аси м п тоти ческ ое реш ени е к раевой зад ачи … … … … … … … … … … ... З ад ача рассеяни я… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. Л и тература… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

2 3 8 14 17 20 22 26 29 32 36 39 41 43

Состави тели : Г луш к оА нд рей В лад и м и рови ч, Г луш к оВ лад и м и р Павлови ч

Ред ак тор

З ак аз №

Ти х ом и рова О.А .

от 2002 г. Ти раж 100 эк з. Л аборатори я оп ерати вной п оли граф и и В Г У