Расчет стержневых систем на устойчивость и динамическую нагрузку: Указания к выполнению расчетно-проектировочных работ по строительной механике

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ И ДИНАМИЧЕСКУЮ НАГРУЗКУ

Указания к выполнению расчетно-проектировочных работ по строительной механике.

САРАНСК 2004

1

Печатается по решению научно-методического совета Мордовского ордена Дружбы народов государственного университета имени Н. П. Огарева.

Указания

содержат

задания

и

примеры

выполнения

расчетно-

проектировочных работ по расчету стержневых систем: на устойчивость и динамическую нагрузку с применением ЭВМ. Составитель – В. В. Ерастов.

© Мордовский ордена Дружбы народов государственный университет имени Н. П. Огарева, 2004.

2

§1

ОБЩИЕ

УКАЗАНИЯ

И

ЗАДАНИЯ

ДЛЯ

РАСЧЕТНО-

ПРОЕКТИРОВОЧНЫХ РАБОТ Студенты IV курса специальности ПГС в соответствии с учебной программой выполняют: ⎯ расчетно-проектировочную работу по исследованию стержневых систем на устойчивость, в которой необходимо осуществить расчет плоской рамы на устойчивость с последующей проверкой полученного результата на ЭВМ; ⎯ расчетно-проектировочную работу по расчету стержневых систем на динамическую нагрузку, в которой требуется определить частоты собственных колебаний масс стержневой системы и построить эпюры внутренних усилий от неподвижной динамической нагрузки. Эта работа может быть выполнена или в традиционной, или в матричной форме с обязательной последующей проверкой частот собственных колебаний и динамической эпюры изгибающих моментов на ЭВМ. Расчетные схемы стержневых систем (рис. 1, 2) и исходные данные (табл. 1, 2) выбираются по шифру, соответствующему номеру зачетной книжки. Расчетно-проектировочная работа выполняется на бумаге формата А-4 с необходимыми вычислениями и пояснениями. Чертежи должны быть выполнены без помарок, с четкими надписями и обязательным соблюдением масштабов длин и сил. При всех характерных ординатах эпюр должны быть проставлены числовые значения, а фигуры эпюр должны быть заштрихованы тонкими линиями, которые проводятся перпендикулярно линиям основания. ординаты эпюр изгибающих моментов откладываются со стороны растянутого волокна, при этом знак не указывается. На чертеже показывается схема задания с проставленными числовыми (но не буквенными) значениями размеров и нагрузки. Работы, выполненные по заданию, не соответствующему шифру зачетной книжки студента, не зачитываются.

3

1

β1 P β 2 P β 3 P

P I1

h1

2I2

I4

2

2I4

I3

β1 P

β3P

I1

h2 h3

h2

I3 I3

h4

I1

I3

l2

l1

l4

l3

l2

h1

I1 I2

l1

I4

I4

I2

β2P

P

3

h3

l3

4

2I1

2I2

β3P

β3P

β1 P β 2 P

P

I1

2I4

2I3

I3

I2

I1

β1 P

I2

h1 I4

β2P

I3

I4 I2

I3

I4

P I1 h1

h2 h3

h2 h3 l2

l1 l2

l1

5

l4

l3

6

β3P

2I1

2I2

β 2 P I3

2I1

β1 P

2I1

I4

P I4

2I2

I3 l1

4

l4

l3

β1 P

I2

2I2

h1

2I1

h2

2I1

h3

I2 I1 I1

β3P I 4

h1

I1

β2P I 2

h2

I2

P

h3

2I3 l1

Рис. 1 (начало)

I2

I4

h4 l2

I1

h4 l2

8

β3P I4

I4

β 2 P 2I1 2I2

P

I4

2I4 l1

I2

h2

I3

h3

I4

ось симметрии метрии

I2

I3 I4

β3P

10

β2P

h1 β 2 P

β1 P

h2 β 1 P

P

h3

2I4

β1 P

h1

2I2

h1

2I3

I4

ось симметрии

I2

I3

h1

P

I1 2I4

I2

I3 I4

2I3 2I1 2I2

2l1

I1

h1

h1

I2

l2

h4

11

2I1

h1

I3

2I4

2l1

h1

h1

I1

P

l1

β3P

I1

h1

h2 l2

9

I1

2I3

I2

β3P 2I2

β2P

I1

h1

I4

I3

I4

h1

I4

β 1 P 2I3

I4

h1

I4

I2

12

P

β2P

h1

β1 P

β3P

h1

β2P

P

h2

β3P

2I1 I3

I1

I1 2I2

ось симметрии

I4

h1

β1 P I1

ось симметрии

7

2I3 2I4

h3 2l1

I4

2l1

Рис.1(продолжение) 5

P

I1 I1

β1 P

2I2 I3

h1

β1 P

h1

P

h1

β3P

β2P

β3P

I4 3I4

h1

h1

I1

2I3

I1

h1 2l1

16

P

P

I1

β1 P

h3

I3

h2

ось симметрии

β2P

h2

β3P

h1

I4

I1

h4

β1 P

h3

β2P

2I2

h2

β3P

3I3

h1

I2 I3

I1 2I2 3I3

2l1

18

P

I1

3I4

2l1

17

I2

3I4

2l1

15

I1

ось симметрии

h1

ось симметрии

h1

β2P

14

ось симметрии

13

0

P

P

β1 P

I1

h1

P

β2P

I2

h4

β1 P

P

2I2

h3

β3P

3I3

h2

4I4

h1

I1

β2P

β3P

h4

h3

h2

h1 h1

I1

h4

I2

h1

I3

h3

I4

h2

2I4

h4

Рис.1(окончание) 1

1

2 m1

I2

I1

h2

h2

P1sin0t Msin0t I3

m2 I1

I1

P1sin0t

I4

h1

h1

I2 Msin0t m1 I3 l2

h2

l3

P1sin0t

I1

Msin0t

I2

l1

l2

3

4 I3

I3 m1

I2

h1

h1

m2

I4

h2

l1 m1

m2

I1 Msin0t I4 I4

l1

l2

l1

P1sin0t

m2

P1sin0t

l2

Msin0t

5

I1

6

h2

h2

I3

m1 m1

I3

I2

I1

I4

I4

h1

h1

I2

P1sin0t Msin0t

l1

l1

l2

Рис. 2 (начало) 2

l2

7 Msin0t

I1

h2

h2

I2

8

m2

I3 m1

Msin0t

P1sin0t

I2 h1

h1

I4 I1

P1sin0t

I4 I3 m1 l2

l1

l1

Msin0t

Msin0t I1

9

m2

10

I1

h2

h2

m2

l3

l2

I3

I2

m1

h1

I2

I3 P1sin0t

P1sin0t

I4

l1

I2

l1

Msin0t

11

l2

Msin0t

I4

12

h2

h2

m2

h1

I4

m1

m2 I1

m1

I3

I1

I3

I2

h1

h1

I4

m1

P1sin0t P1sin0t l1

l1

l2

l2

Рис. 2 (продолжение) 3

13 m1 h3

14

m1 Msin0t h3

Msin0t

h2

P1sin0t m2

I3

I4

I3

l1

l1

l2

P1sin0t

16

m1 h2

15

m1

I2

m2

Msin0t I1 I3 I4

m1

l1

17

I2

P1sin0t m2

I1

I1

P1sin0t

I2

m1

I3

I1

l1

l2

I3

Msin0t

I3

l1

l2

Рис. 2 (окончание) 4

0

m2

h1

Msin0t

l2

I4

Msin0t

P1sin0t

h1

18

m1

h2

I2

l2

h3

l1

I3

h2

h1

I1

Msin0t

P1sin0t h1

I2

h1

h2

h1

P1sin0t

h2

I1

h1

I2

I1

h2

I2

l1

l2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

М l3, м

3,0 3,5 4,0 4,5 5.0 5,5 6.0 6,5 7,0 7,5

l4, м

3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,1 4,2 4,3 4,4 4,6

h3

h4

м

м

2,8 3,2 3,6 4,0 4,2 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4

8,0 7,6 7,2 6,6 6,4 5,8 5,4 4,8 4,2 3,8

КН м

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Последняя цифра шифра

Предпоследняя цифра шифра

Таблица 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

β2

β3

Ι α1 = 2 Ι1

Ι α2 = 3 Ι1

м

кН ⋅ с 2 м

(масса)

1,2 2,0 0,8 1,4 3,2 0,6 1,5 2,8 1,6 2,4

1,4 3,2 1,6 2,1 1,5 2,4 2,2 1,9 2,8 1,8

3,0 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

40 38 36 34 32 30 28 26 24 22

Таблица 2 Сумма предпоследней и последней цифр шифра (номер схемы)

кН

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

3600 4000 4400 4800 5200 5600 6000 6400 6600 6200 5800 5400 5000 4600 4200 3800 3400 3200 3200

§2 1.

ik =

Ι 1 = EJ 1

м2

α3 =

м

θ ωmax β 1

2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0

0,75 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92 0,88 0,86 0,84 0,82 0,80 0,78 0,75 0,90 0,94 0,96

1,1 1,05 1,15 1,25 1,35 1,45 1,55 1,65 1,75 1,85 1,95 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2

h1

h2

l1

l2

кН

m2 m1

м

м

м

9,6 9,4 9,2 8,8 8,6 8,4 8,2 7,8 7,6 7,4 7,2 6,8 6,6 6,4 6,2 5,8 5,6 5,4 5,2

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8

6,0 5,8 5,6 5,4 5,2 5,0 4,8 4,6 4,4 4,2 4,0 3,8 3,6 3,4 3,2 3,0 2,8 2,6 2,4

Ρ1

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

Ι4 Ι1

ПОРЯДОК РАСЧЕТА РАМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ. Найти погонные жесткости ik для всех стержней по формуле

EJ k I k . = lk lk

(1)

5

Для стержней, загруженных сжимающими силами, определить критические параметры Vk , т. е. Vk = l k ⋅

Pk , Ik

(2)

где l k и I k - соответственно длина и жесткость k - го стержня;

Pk - продольная сила в k - м стержне. 2.

Вычислить степень кинематической неопределимости

n = nл + nу , где n л - число линейных связей, n у - число угловых связей, накладываемых на заданную систему, с тем чтобы она стала кинематически определимой. 3.

Выбрать основную систему метода перемещений. Для рам, показанных

на схемах 9-16, она выбирается в виде полурамы. При этом погонная жесткость ригелей должна быть увеличена вдвое, а наложение на систему линейных связей не обязательно. Для стержневых систем, см. схемы 0, 17 и 18, постановка линейных связей также не обязательна. Записать систему канонических уравнений и уравнение устойчивости в общем виде:

r11 ⋅ z 1 + r12 ⋅ z 2 + K + r1n ⋅ z n = 0; ⎫ r21 ⋅ z 1 + r22 ⋅ z 2 + K + r2 n ⋅ z n = 0; ⎪⎪ ⎬ KKKKKKKKKKKKKK⎪ rn1 ⋅ z 1 + rn 2 ⋅ z 2 + K + rnn ⋅ z n = 0; ⎪⎭

;

Δ=

r11 r21

r12 r22

K r1n K r2 n

K K K K rn1 rn 2 K rnn

=0

Если при выборе основной системы неизвестные z i составят последовательность (их прикладывать по порядку) то, система канонических уравнений будет состоять из трехчленных уравнений и она может быть преобразована к виду:

z1 (r11 + f 21 ⋅ r12 ) = 0 ,

6

где f 21 =

− r21 r23 ⋅ r32 r22 − r ⋅r r33 − 34 43 r44 − K

при этом уравнение устойчивости 4.

Δ = r11 + f 21 ⋅ r12

Построить эпюры изгибающих моментов, последовательно задаваясь

единичными перемещениями наложенных связей. Для этого пользуются таблицами реакций (см. приложение 1). Если стержень не загружен сжимающими силами, необходимо все поправочные коэффициенты положить равными единице (эпюры изгибающих моментов для незагруженных стержней в приложении 1 показаны пунктирной линией). 5.

Определить коэффициенты уравнения устойчивости путем составле-

ния уравнений равновесия для узлов и элементов системы. 6.

Из трансцендентного уравнения устойчивости путем подбора найти

значение параметра V0 . Для этого надо задать ряд значений критического параметра V0 , который изменяется в пределах от 0 до 2π. Определить значения поправочных коэффициентов и вычислить Δ = r11 + f 21 ⋅ r12 . Построить график функции в зависимости от изменения параметра V0 , искомое значение которого соответствует точке пересечения графика функции ∆ с осью V . Полученное приближенное решение задачи необходимо уточнить до 0,01. Для

этого необходимо задать величину параметра V0 , лежащего в окрестностях точного решения, определить значения поправочных коэффициентов. Если последние не удовлетворяют уравнению Δ = r11 + f 21 ⋅ r12 , то надо принять другое значение параметра V0 . 7.

Для загруженных стержней найти величины критических сил

Vi2 I i P = 2 . li i kp

7

§3

ПРИМЕР РАСЧЕТА НА УСТОЙЧИВОСТЬ

симметричной рамы

Для показанной на рис. 3 рамы определить величину критической силы Р, если EJ=7200 кHм2 . Решение

1. i1 =

Определяем погонные жесткости стержней: 4EJ 4 ⋅ 7,2i 0 = = 1,6i 0 ; 18 18

i2 =

i 3 = i 5 = i 7 = i 1 = 1,6i 0 ; i6 =

2EJ = 4i 0 ; 3,6

EJ = 2i 0 ; 3,6

i4 =

1,5EJ = 3i 0 ; 3,6

i8 =

3EJ = 6i 0 . 3,6

Находим критические параметры: V2 = 3,6 ⋅

(P

V6 = 3,6 ⋅

(317

2.

EJ ) = 0,725V0 ;

2EJ ) = 0,987 V0 ;

V4 = 3,6 ⋅

(2,2P 1,5EJ ) = 0,879V

V8 = 3,6 ⋅

(5,7P

0

;

3EJ ) = V0 .

Вычисляем степень кинематической неопределимости.

Потеря устойчивости рассматриваемой рамы происходит по кососимметрической форме (с поворотом и горизонтальным смещением узлов (рис.4)). При этом углы поворота узлов – одного знака, а поперечные силы в стойках каждого этажа равны нулю. Следовательно, для заданной рамы с учетом симметрии степень кинематической неопределимости n = n л + n y = 0 + 4 = 4 . 3. Для полу рамы, жесткость ригелей которой увеличена в два раза(рис.5), выбираем основную систему, приведенную на рис. 6. Записываем систему канонических уравнений:

r11 z 1 + r12 z 2 + r13 z 3 + r14 z 4 = 0; r21 z 1 + r22 z 2 + r23 z 3 + r24 z 4 = 0;⎫ ⎬. r31 z 1 + r32 z 2 + r33 z 3 + r34 z 4 = 0; r41 z 1 + r42 z 2 + r43 z 3 + r44 z 4 = 0.⎭

8

1

P 3,6м м

4EJ EJ

2 3

1,2P

Q=0

Q=0

3,6 м

4

1,5P

Q=0

3,6 м

5

Q=0

Q=0

3,6 м

4EJ

Q=0

Q=0

Q=0

4EJ ось симметрии

2EJ

4EJ

3EJ

6

2P

7

8

18 м

EJ = 7,2 I 0 Рис. Рис 4 4

Рис 33 Рис.

z1

1 2

3,2 i0

2 i0

3 4

3,2 i0

3 i0

5

6 8

4.

3,2 i0

4 i0

1,6 i0

i0 z2 1,5 i0

1,6 i0

z3 2 i0

1,6 i0

z4

7

1,6 i0

3,2 i0 3 i0

6 i0

l/2

l/ 2

Рис.5

Рис.6

Последовательно задаем единичные перемещения Zi=1 (i =1,2,3,4) и с помо-

щью таблицы реакций (см. приложение 1, случай 1, 6) строим эпюры изгибающих моментов (рис. 7). 9

r11 F2 (V2 )

r12

F3 (V2 )

F1 (V1 )

F3 (V2 )

r22

r21 r31

F2 (V2 ) F1 (V3 )

r32

F3 (V4 )

r23 F2 (V6 )

F2 (V4 )

F3 (V 4 )

F3 (V 6 )

М1

М2

F1 (Vi ) = 3ii ;

F2 (Vi ) =

М3 ii ⋅ Vi ; tgVi

r24

F2 (V4 )

r33 r43

r42

r41

r14

r13

F3 (Vi ) =

F3 (V6 )

r34

F2 (V6 )

F2 (V6 )

r44

F3 (V6 )

F3 (V8 ) ii ⋅ Vi

М4

sinVi

Рис. 7

5.

Определяем коэффициенты канонических уравнений. Главные коэф-

фициенты: − r11 = F1 (V1 ) + F2 (V2 ) =

⎡ 9,6 + 2 ⋅ 0,725V0 ⎤ 3 ⋅ 2 ⋅ 1,6i 0 + 2i 0 ⋅ 0,725V0 = i0 ⎢ ⎥; tg (0,725)V0 ⎣ tg (0,725V0 ⎦

⎡ 9,6 + 2 ⋅ 0,725V0 3 ⋅ 0,879V0 ⎤ − r22 = F1 (V3 ) + F2 (V2 ) + F2 (V4 ) = i 0 ⎢ + ⎥; tg ( 0 , 725 V ) tg ( 0 , 879 V ) ⎣ 0 0 ⎦

⎡ 3 ⋅ 0,879V0 4 ⋅ 0,987 V0 ⎤ − r33 = F3 (V4 ) + F2 (V6 ) = i 0 ⎢ + ⎥; tg ( 0 , 879 V ) tg ( 0 , 987 V ) ⎣ 0 0 ⎦ ⎡ 9,6 + 4 ⋅ 0,987 V0 6V0 ⎤ − r44 = F1 (V7 ) + F2 (V6 ) + F2 (V8 ) = i 0 ⎢ + ⎥; tgV0 ⎦ ⎣ tg (0,987 V0 )

Побочные коэффициенты: − r12 = r21 = −F3 (V2 ) =

10

− i 2 V2 − 2i 0 ⋅ 0,725V0 ; = sin V2 sin(0,725V0 )

− r32 = r23 = −F3 (V4 ) =

− 3i 0 ⋅ 0,879V0 ; sin(0,879V0 )

− r43 = r34 = −F3 (V6 ) =

− 4i 0 ⋅ 0,879V0 ; sin(0,879V0 )

Остальные коэффициенты r ij = 0 . Задаем ряд значений V0 , вычисляем величину Δ = r11 + f 21 ⋅ r12

6.

(см. табл. 3) и строим ее график (рис. 8). Таблица 3 V0

r11 i0

r22 i0

r33 i0

r44 i0

r12 i0

r23 i0

r34 i0

∆

0 0,5 1,0 1,2 1,28

11,6 11,512 11,237 11,068 10,990

14,6 14,316 13,421 12,863 12,602

7 6,474 4,792 3,723 3,217

19,6 18,761 16,061 14,327 13,503

-2 -2,044 -2,187 -2,276 -2,319

-3 -3,099 -3,424 -3,638 -3,741

-4 -4,167 -4,731 -5,115 -5,302

11,296 11,179 10,757 10,187 -8,569

-3,727 -3,738 -3,743 -3,745 -3,738 -3,738

-5,277 -5,297 -5,307 -5,309 -5,298 -5,298

Уточняем корень и асимптоту уравнения (7) 1,27 1,278 1,282 1,283 1,2783 1,2782

11,000 10,992 10,988 10,987 10,992 10,992

12,636 12,609 12,596 12,592 12,608 12,609

3,283 3,230 3,204 3,197 3,228 3,229

13,610 13,524 13,481 13,470 13,521 13,522

-2,313 -2,318 -2,320 -2,320 -2,318 -2,318

7,179 0,605 -222,4 61,48 -0,168 0,102

Принимаем V0 =1,2782.

V0 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4

0,2 0

Δ 2

4

6

8

10

12 11

Рис.8

7.

Определяем величины критических сил для загруженных стержней:

3,6

P

7 1,6P

6

3 1,8P

Pкр , 6 3,6 м

1,1P

Pкр , 4 Pкр ,8 §4

2EJ 4,8 м

2EJ

(1,2782 ⋅ 0,987 ) =

2

⋅ 7200 ⋅ 2

= 1768,4кН ; 3,6 2 1,2732 ⋅ 0,879 ) ⋅ 7200 ⋅ 1,5 ( = = 1051,9кН ; 3,6 2 1,2782 2 ⋅ 7200 ⋅ 3 = = 2723,0кН . 3,6 2 2

ПРИМЕР РАСЧЕТА НА УСТОЙЧИ-

ВОСТЬ

5

4

= 477,1кН ;

3,6 м

8

2

2EJ

⋅ 7200

2

2EJ

1 EJ 2

2

3,6 м

Pкр , 2

(1,2782 ⋅ 0,725) =

не симметричной рамы

Для заданной рамы (рис. 9) определить величину критической силы Р, если EJ=7200 кHм2.

4,8 м

Рис.9

Рис 9

1. i1 =

Определяем погонные жесткости:

i EJ = 0; 2 ⋅ 3,6 2

i2 =

EJ = i0 ; 3,6

i4 =

2EJ = 1,5i 0 ; 4,8

i5 =

2EJ = 1,5i 0 ; 4,8

i6 =

4EJ = 3i 0 ; 4,8

i7 =

4EJ = 3i 0 ; 4,8

i8 =

2EJ = 1,5i 0 . 4,8

Находим критические параметры: V1 = 3,6 ⋅

12

2P 2,1P = 0,640V0 ; V2 = 3,6 ⋅ = 0,655V0 ; EJ EJ

i3 =

2EJ = 2i 0 ; 3,6

V3 = 3,6 ⋅

2.

3,7P 5,5P = 0,615V0 ; V4 = 4,8 ⋅ = V0 . 2EJ 2EJ Вычисляем степень кинематической неопределимости n = n y + n л ;

n y = 3 ; n л = 0 ; n = 3 . Выбираем основную систему метода перемещений (рис.10). Записываем систему кинематических уравнений и уравнение устойчи-

3. вости:

r11 ⋅ z 1 + r12 ⋅ z 2 + r13 ⋅ z 3 = 0; ⎫ ⎪ r21 ⋅ z 1 + r22 ⋅ z 2 + r23 ⋅ z 3 = 0;⎬ ; r31 ⋅ z 1 + r32 ⋅ z 2 + r33 ⋅ z 3 = 0.⎪⎭

r11

r12

r13

Δ = r21

r22

r23 = 0 .

r31

r32

r33

Последовательно задаем единичные перемещения z i = 1 (i = 1,2,3,4) и с

4.

помощью таблицы реакций (см. приложение 1 случаи 1 и 3) строим эпюры изгибающих моментов (рис.11). 5.

Определяем коэффициенты канонических уравнений.

Главные коэффициенты:

r11 = i 0 [1,5ϕ1 (0,64V0 ) + 4ϕ 2 (0,655V0 )] ; r22 = i 0 [12 + 4ϕ 2 (0,655V0 ) + 8ϕ 2 (0,615V0 )] ; r33 = i 0 [4,5 + 8ϕ 2 (0,615V0 ) + 6ϕ 2 (V0 )].

i0 2 i0 2 i0

1,5 i0 z1 = 1

z1 3 i0

3i1ϕ1 (V1 ) =

4i 2ϕ2 (V2 ) =

4i0ϕ3 (0,615V0 )

= 4i 0ϕ2 (0,655V0 )

z2 3 i0

4i 0 ϕ 2 (0,655V0 )

= 1,5i 0 ϕ1 (0,64V0 )

2i 0 ϕ 3 = (0,6 55V0 ) 4i6 = 12i0

z3 1,5 i0

1,5 i0

4i 3ϕ2 (V3 ) =

= 8i ϕ (0,615V ) z 3 = 1 Рис.11 0

2

4i 0ϕ3 (0,615V0 )

8i 0 ϕ2 (0,615V0 )

0

4i 0 ϕ3 (0,615V0 )

М1 Рис.10

6i0

z2 = 1

М2 Рис.11

6i 0 ϕ 2 (V0 )

3i 5 = 4,5i 0

М3 3i0ϕ 3 (V0 )

13

Побочные коэффициенты: r12 = 2i0 ⋅ ϕ 3 (0,655V0 ) ; r13 = 0 ; r23 = 4i0 ⋅ ϕ 3 (0,615V0 ) .

6. Задаем ряд значений V0 , вычисляем величину Δ = r11 + f 21 ⋅ z12 (см. табл. 4). Таблица 4 ϕ1 (0,64V0 ) ϕ2 (0,655V0 ) ϕ2 (0,615V0 )

V0

ϕ2 (V0 )

r11 i0

r22 i0

r33 i0

r12 i0

r23 i0

Δ

5,5

24

18,5

2

4

5,327

0

1

1

1

1

2,5

0,8153

0,9045

0,9186

0,7720 4,841

5

-0,0635

0,5769

0,6359

-0,4772 2,2123 19,3948 6,724

2,5264 4,8808

1,8097

5,4

-0,4137

0,4888

0,5627

-1,1583 1,3346 18,4568 2,0518

2,6638 5,0964

0,1108

5,42

-0,4352

0,4847

0,5585

-1,2043 1,286

2,6716 5,1084

-0,796

5,41

-0,4244

0,4865

0,5608

-1,1813 1,3094 18,4324 1,8986

2,656

-0,1858

5,404

-0,4178

0,4878

0,5617

-1,1675 1,3245 18,4448 1,9886

2,6656 5,0988

22,9668 16,4808 2,1004 4,1696

18,4068 1,7422

5,1028

4,6397

0,0017

Принимаем V0 = 5,404. 7. Вычисляем критические параметры и силы: V1 = 3,45856 ;

V12 = 11,9616 ;

Pкр ,1 =

11,9616 ⋅ 7200 = 3322,7 ; 2 ⋅ 3,6 2

V2 = 3,5396 ;

V22 = 12,5289 ;

Pкр , 2 =

12,5289 ⋅ 7200 = 6960,5 ; 3,6 2

V3 = 3,32346 ;

V32 = 11,0454 ;

V4 = 5,404 ;

V42 = 29,2032 ;

11,0454 ⋅ 2 ⋅ 7200 = 12272,7 ; 3,6 2 29,2032 ⋅ 2 ⋅ 7200 = = 18252 . 4,8 2

Pкр ,3 = Pкр , 4

§ 5 РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭВМ. Программа «USTOJ», созданная на кафедре прикладной механики Мордовского государственного университета имени Н. П. Огарева, позволяет рассчитывать плоские стержневые системы на устойчивость. Она базируется на методе перемещений и может применяться при расчете систем, кинематически неопределимых до десяти раз. Основная особенность программы заключается в том, что она

14

позволяет находить критические силы в плоских системах, для которых системы канонических уравнений устойчивости состоят из трехчленных уравнений. Для заданной схемы в произвольном порядке нумеруются стержни (следует помнить, что 1-й стержень должен быть выбран из стержней сжатых продольной силой), определяется число неизвестных метода перемещений, строятся эпюры изгибающих моментов от единичных смещений наложенных связей. Ввод исходной информации осуществляется в соответствии с запросом компьютера без соблюдения формата. Первоначально вводится информация общего характера: фамилия пользователя, имя решаемой задачи и т. д. Ее объем ограничен 70 символами, вводимыми в одну строку, например: Иванов И. И.

Устойчивость рамы,

ПГС, д/о,

группа 401.

Исходная информация, подготовленная для расчета, содержит: -количество стержней системы; -информацию о стержнях системы; -число неизвестных метода перемещений; -информацию о количестве кодовых чисел; -информацию о кодовых числах; -параметр точности решаемой задачи. Информация о стержнях системы содержит сведения о длине, жесткости и продольной силе (в единицах Р). Она заносится для каждого стержня в одну строку. Так, для стержня 1 (рис. 12) имеем: 3.6 21600 5.7. Для схем, в которых учитывается симметрия (погонная жесткость ригелей должна быть увеличена в два раза), вводится половина длины ригеля. Например, для стержня 7 информация имеет вид: 9 28800 0. Информация о количестве кодовых чисел κ представляет собой вектор-столбец, каждый элемент которого равняется числу слагаемых в коэффициентах канонических

уравнений,

взятых

в

следующей

последовательности:

r11 , r12 , r22 , r23 , r33 ,K .

15

7

2I

1,5P 2P

4I

4I

3I

z3 4

z2

3

2

z1 1

3,6 м

5

4I

двух элементов: кодового числа и номера элемента, которые вводятся в одну строку. Кодовое

3,6 м

1,5I

1,2P

6 ось симметрии метрии

I

Информация о кодовых числах состоит из

z4

число несет информацию о величине соответствующего слагаемого в коэффициенте rij (табл. 5).

3,6 м м 3,6 м

4I

0

18 м

0

Рис.12

Таблица 5 Тип загружения А

Вид элемента

Ma

κ

В

Ma

С

Ma

MВ

κ

3i

− iV ⋅ 3i ⋅ 1 ⋅ ϕ1 (V ) 2 ⋅ tgV 3 0

4

0

5

0

6

4i

iV − 8 7 ⋅ ϕ1 (V ) tgV 9 2i

2i ⋅ iV − ⋅ ϕ 3 (V ) 12 10 11 sin V

4i ⋅

Здесь

В

С κ

κ

κ

MВ

В

MВ

ϕ=1

а

А κ

ϕ=1

а

В

M a и M В ⎯ значение момента в сечениях а и В;

κ ⎯ кодовое число типа закрепления; А - для стержня, не загруженного сжимающей силой; В - для стержня, загруженного сжимающей силой; стержень не имеет возможности перемещаться линейно; С - для стержня, загруженного сжимающей силой; стержень имеет возможность перемещаться линейно.

16

Файл набора данных (рис. 13) составлен для схем, показанных на рис. 12. Результаты расчета, выполненного по стандартной процедуре, отражены на рис. 14. Файл исходных данных приведен на рис. 13б, а результаты расчета на ЭВМ даны на рис.15.

Кузнецова Г. П. 7 3,6 21600 5.7 9 28800 0 3,6 14400 3.7 3,6 10800 2.2 9 28800 0 3,6 7200 1 9 28800 0 4 3 1 2 1 3 1 2 91 12 93 12 3 93 94 12 4 94 96 15 12 6 96 17 а) 0.001

Кузнецова Г. П. 6 3,6 3600 1 3,6 7200 2,1 3,6 14400 3,7 4,8 14400 5,5 4,8 14400 0 4,8 28800 0 3 2 1 3 1 3 21 82 11 2 82 83 76 11 3 83 84 15 0.001

б)

Рис. 13

17

Кузнецова Г.П. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ **КОЛИЧЕСТВО СТЕРЖНЕЙ РАМЫ=7** **ИСХОДНАЯ ИНФОРМАЦИЯ** N=1L=3.600E+00EJ= 2.160E+04P=5.700E+00 N=2L=9.000E+00EJ= 2.880E+04P=0.000E+00 N=3L=3.600E+00EJ= 1.440E+04P=3.700E+00 N=4L=3.600E+00EJ= 1.080E+04P=2.200E+00 N=5L=9.000E+00EJ= 2.880E+04P=0.000E+00 N=6L=3.600E+00EJ= 7.200E+03P=1.000E+00 N=7L=9.000E+00EJ= 2.880E+04P=0.000E+00 **КРИТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ** N=1 V=.100E+01 N=2 V=.000E+00 N=3 V=.987E+00 N=4 V=.879E+00 N=5 V=.000E+00 N=6 V=.725E+00 N=7 V=.000E+00 **ПРИВЕДЕННЫЕ ЖЕСТКОСТИ И ДЛИНЫ** N=1PGI= .600E+04L=.360E+01 N=2PGI= .320E+04L=.900E+01 N=3PGI= .400E+04L=.360E+01 N=4PGI= .300E+04L=.360E+01 N=5PGI= .320E+04L=.900E+01 N=6PGI= .200E+04L=.360E+01 N=7PGI= .320E+04L=.900E+01 КРИТИЧЕСКИЕ СИЛЫ 1PN= .27243E+04 2PN= .00000E+00

3PN= 4PN= 18

.17684E+04 .10515E+04

5PN= 6PN= 7PN=

.00000E+00 .47794E+03 .00000E+00

Рис.14

.600E+04L=.480E+01

Кузнецова Г.П. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ **КОЛИЧЕСТВО СТЕРЖНЕЙ РАМЫ= 6** **ИСХОДНАЯ ИНФОРМАЦИЯ** N=1L=3.600E+00EJ=3.600E+03P=1.0 00E+00 N=2L=3.600E+00EJ=7.200E+03P=2.1 00E+00 N=3L=3.600E+00EJ=1.440E+04P=3.7 00E+00 N=4L=4.800E+00EJ=1.440E+04P=5.5 00E+00 N=5L=4.800E+00EJ=1.440E+04P=0.0 00E+00 N=6L=4.800E+00EJ=2.880E+04P=0.0 00E+00 **КРИТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ** N=1 V=.100E+01 N=2 V= .102E+01 N=3 V= .962E+00 N=4 V= .156E+01 N=5 V= .000E+00 N=6 V= .000E+00 **ПРИВЕДЕННЫЕ ЖЕСТКОСТИ И ДЛИНЫ** N=1PGI= .100E+04L=.360E+01 N=2PGI= .200E+04L=.360E+01 N=3PGI= .400E+04L=.360E+01 N=4PGI= .300E+04L=.480E+01 N=5PGI= .300E+04L=.480E+01 N=6PGI=

КРИТИЧЕСКИЕ СИЛЫ

19

1PN=.33186E+04 2PN=.69690E+04 3PN=.12279E+05 4PN=.18252E+05 5PN=.00000E+00 6PN=.00000E+00

Рис.15

§6 ПОРЯДОК РАСЧЕТА НА ДИНАМИЧЕСКУЮ НАГРУЗКУ Расчет задания состоит из двух частей. Первоначально требуется определить частоты собственных колебаний заданной рамы. Решение задачи необходимо осуществить в следующей последовательности: 1.

Установить число степеней свободы К, т. е. число независимых пара-

метров (связей), необходимых для закрепления всех сосредоточенных масс системы от линейных перемещений. 2.

По направлению перемещений масс последовательно приложить еди-

ничные силы Pi = 1 ( i = 1,2,3, K , κ ) и построить эпюры изгибающих моментов M i . Так как, заданная система статически неопределимая, то при построении эпюр изгибающих моментов необходимо воспользоваться методом сил. 3.

Записать вековое уравнение, для определения частот собственных ко-

лебаний, т. е.

(δ

11

m1 − λ )

(δ

δ 21 m 1 K

22

δ k2 m 2 l

где δ ij = ∑ ∫ 0

δ 1k m k

K

m 2 − λ) K K

δ k1 m 1

4.

δ 12 m 2

Mi ⋅ M j EJ

dx ;

K K

δ 2k m k

(δ

K

kk

= 0,

m k − λ) λ=

1 . ω2

Вычислить коэффициенты δ ij , подставить их в вековое уравнение и

решить его любым известным способом. В результате определить частоты собственных колебаний ωi .

20

5.

При найденной частоте собственных колебаний ω max принять частоту

вынуждающей нагрузки в соответствии с заданием. Следует помнить, что в практических расчетах частота возмущающей силы (заданной нагрузки) определяется параметром технологического оборудования, установленного на строительных конструкциях, и является изначально заданной. Во второй части работы требуется построить эпюру изгибающих моментов от действия динамической нагрузки. Решение задачи необходимо выполнить в следующей последовательности: 1.

В заданной статически неопределимой системе построить эпюру изги-

бающих моментов от действия амплитудных значений динамической нагрузки

M ap (при построении эпюры применить метод сил). 2.

Записать систему канонических уравнений для определения ампли-

тудных значений сил инерции, возникающих в массах системы, т. е. δ11* J 1 + δ12 J 2 + L + δ1k J k + Δ 1P = 0; ⎫ ⎪ δ 21 J 1 + δ *22 J 2 + L + δ 2 k J k + Δ 2 P = 0; ⎪ ⎬. LLLLLLLLLLLLLLL⎪ δ k1 J 1 + δ k 2 J 2 + L + δ *kk J k + Δ kP = 0. ⎪⎭ 3.

Вычислить коэффициенты:

1 ; δ = δ ii − mi ⋅ θ2 * ii

4.

l

Δ iP = ∑ ∫

M i M ap

dx, EJ Найти силы инерции J i . В результате решения системы уравнений по0

строить “исправленные” эпюры изгибающих моментов M i J i , а затем окончательную эпюру изгибающих моментов k

M ∂P = M aP + ∑ M i J i . i =1

5.

По эпюре изгибающих моментов построить эпюру поперечных сил

Q ∂P , а затем эпюру продольных сил N ∂P .

Выполнить проверку правильности построения эпюр внутренних усилий.

21

§7 ПРИМЕР РАСЧЕТА Для заданной невесомой массы, несущей две сосредоточенные точечные нагрузки (рис.16), найти частоту свободных колебаний ωi и построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил от действия динамической нагрузки. kH ⋅ c 2 Если: m 1 = 25 ; m 1 : m 2 = 5 : 3; м EJ = I1 = 3600kH ⋅ м 2 ;

M = 16kH ⋅ м;

P = 6kH.

EJ 2 = I 2 = 2400kH ⋅ м 2 ; EJ 3 = I 3 = 1200kH ⋅ м 2 ;

kH ⋅ c 2 I1 : I 2 : I 3 = 3 : 2 : 1; m 2 = 15 ; м

θ1 = 0,85ω min и θ 2 = 0,85ω max .

Решение M sin θt

1. Определяем число степеней свободы W=2

m1

(на рис.16 возможные перемещения масс пока-

I3 6м

I2

P sin θt 2м

I1

кладываем силу P1 = 1 и строим эпюру изгибаю-

3м

I2

2. По направлению перемещения массы m1 при-

I1

I3

m2

заны стрелками).

щих моментов. Так как заданная система статически неопределимая, то находим степень ки-

2м

нематической

Рис.16

неопределимости:

n = 3k − ш = 3 ⋅ 4 − 10 = 2 . 2.1. Выбираем основную систему метода сил (рис.17) и записываем систему канонических уравнений:

22

δ x1 + δ x 2 + Δ * 11

* 12

* 1P1

δ x1 + δ x 2 + Δ * 21

* 22

* 2 P1

= 0; ⎫ ⎬. = 0.⎭

X1 X2

X2 X1

Рис.17

Р1=1

2.2. Вычисляем коэффициенты канонических уравнений метода сил, для этого строим эпюры изгибающих моментов от последовательного приложения к основной системе сил x1 = 1, x 2 = 1 и P1 = 1 (см. рис18,19 и 20):

M 1 ⋅ M1 1 1 1 1 2 1 92 dx = ⋅ 2 ⋅ 6 ⋅ 2 + ⋅ 2 ⋅ 6 ⋅ 2 + ⋅ ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ⋅ 2 ⋅ 4 = (24 + 36 + 32 ) = ; EJ I1 I2 I3 2 3 I1 I1 0 l

4

δ11* = ∑ ∫ 1

M1 ⋅ M 2 18 1 1 1 1 1 dx = ⋅ 2 ⋅ 6 ⋅ ⋅ 6 + ⋅ 2 ⋅ 6 ⋅ ⋅ (− 6 ) = (36 − 54) = − ; I1 2 I2 2 I1 I1 EJ 0 l

2

δ = δ = ∑∫ * 12

* 21

δ *22 = +

1

4

l

1

0

∑∫

M

⋅M EJ

2

2

1 1 3 1 1 2 1 1 2 ⋅ ⋅6 ⋅6 ⋅ ⋅6 + ⋅ ⋅6 ⋅3⋅ ⋅6 + ⋅ ⋅6⋅6⋅ ⋅6 + I1 2 2 I1 2 3 I2 2 3

dx =

1 1 2 1 (72 + 36 + 108 + 54 ) = 270 ; ⋅ ⋅6 ⋅3⋅ ⋅6 = I2 2 3 I1 I1 3

M 0P 1 ⋅ M 1 −1 9 2 1 1 1 1 (36 + 36) = − 72 ; dx = ⋅ ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ (− 2) + ⋅ ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⋅ (− 2) ⋅ 2 = I1 I1 2 3 I3 2 I1 2 EJ 0 l

Δ*1P = ∑ ∫ 1

x1=1 x1=1

2 2

x1=1

P1=1

x1=1 6

2

6 2

M1

0 0

0

Рис.18

3

M2

2

0

9 2

6

0

2 0

Рис.19

3 2

3 2

9 2 1 2

M 0P1 9 4

Рис.20

9 4

M *P 1 ⋅ M 2 1 1 2 1 1 3 2 1 1 9 2 dx = ⋅ ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ ⋅ (− 6 ) + ⋅ ⋅ 3 ⋅ ⋅ ⋅ (− 6 ) + ⋅ ⋅ 3 ⋅ ⋅ ⋅ (− 6 ) = EJ I1 2 3 I1 2 2 3 I2 2 2 3 0 l

Δ*2 P = ∑ ∫ 1

=−

1⎛ 81 ⎞ 243 . ⎜ 72 + 9 + ⎟ = − I1 ⎝ 2⎠ 2I 1

2.3. Полученные коэффициенты подставляем в систему канонических уравнений 23

92x 1 − 18x 2 = 72; ⎫ ⎪ 243 ⎬, . − 18x 1 + 270x 2 = 2 ⎪⎭ и решаем ее. В результате получим: x1 = 0,882; x 2 = 0,509.

2.4. Строим «исправленные» эпюры изгибающих моментов M 1 x 1 , M 2 x 2 и окончательную эпюру M 1 = M 0P1 + M 1 x 1 + M 2 x 2 (рис.21,22,23). 1,764

1,764

1,764

1,764

1,764 1,764

3,054

3,054

2,736

1,446 1,29 2,736

1,554 1,182

M1x1

Mx 2

M1

Рис.21

Рис.22

Рис.23

3. По направлению перемещения массы m2 прикладываем единичную силу P2 = 1 и строем эпюру изгибающих моментов. 3.1.

Основную систему метода сил выберем, как показано на рис. 17.

В этом случае часть коэффициентов системы канонических уравнений известна, т. е.

18 92 ⎫ x ′1 − x ′2 + Δ*1P = 0; ⎪ ⎪ I1 I1 ⎬. 18 * − x ′1 + 270x ′2 + Δ 2 P = 0.⎪ ⎪⎭ I1 2

2

3.2. Для определения свободных членов построим эпюру изгибающих моментов в основной системе от единичной силы P2 = 1 ,приложенной по направлению перемещения массы m2 (рис.24). 3.3. Вычисляем свободные члены:

24

Δ

* 1P2

Δ

* 2 P2

2

l

= ∑∫ 1

0

2

l

= ∑∫ 1

M 1 ⋅ M P0

2

EJ M 2 ⋅ M P0

0

2

EJ

dx =

1 1 3 2 12 ⋅ ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⋅ (− 2 ) ⋅ 2 = − ; I3 2 2 3 I1

dx =

1 1 2 3 1 1 2 ⎛ 3⎞ 1 ⎛ 27 ⎞ 9 . ⋅ ⋅ 3⋅ 6 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 3⋅ 6 ⋅ ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎜9 − ⎟ = − I1 2 3 2 I2 2 3 ⎝ 2 ⎠ I1 ⎝ 2 ⎠ 2I 1

3.4. Решаем систему канонических уравнений 92 x 1′ − 18x ′2 = 12; ⎫ ⎪ 9 ⎬, − 18x 1′ + 270 x ′2 = .⎪ 2⎭

P2=1

откуда находим x 1′ = 0,135 , x ′2 = 0,026 . 3.5.

Строим

«исправленные»

3 2

3 2

1 2

эпю3 4

ры M 1 x ′1 , M 1 x ′2 (рис.25 и 26) и окончательную

M 0P2

Рис. 24

1 2

3 4

эпюру изгибающих моментов M 2 = M 0P + M 1 x ′1 + M 2 x ′2 (рис.27). 2

0,27

0,27

0,114 0,27 0,27

0,27

0,27

0,156

Рис.26

Рис.25

1,344

0,426

0,156

M 2 x′2

M1 x 1′

1,23

1,23

1,656

M2 Рис.27

4. Находим частоты собственных колебаний. 4.1. Записываем вековое уравнение

D=

(δ

m1 − λ) δ 21 m 1

11

δ 12 m 2 = 0. (δ 22 m 2 − λ )

4.2. Определяем коэффициенты δ ij , входящие в вековое уравнение:

25

M1 ⋅ M1 1 1 2 dx = ⋅ ⋅ 1,554 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 1,554 + EJ I1 2 3 0 l

6

δ 11 = ∑ ∫ 1

+

1 1 2 1 6 ⋅ ⋅ (2 ⋅ 1,764 ⋅ 1,764 + 2 ⋅ 1,182 ⋅ 1,182 − 2 ⋅ 1,764 ⋅ 1,182 ) + ⋅ ⋅ 1, 446 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 1, 446 + I2 2 3 I1 6

+

1 6 1 1 2 ⋅ (2 ⋅ 1,764 ⋅ 1,764 + 2 ⋅ 1, 29 ⋅ 1, 29 − 2 ⋅ 1,29 ⋅ 1,764 ) + ⋅ ⋅ 2 ⋅ 1,764 ⋅ ⋅ 1,764 ⋅ 2 + I2 6 I3 2 3

+

1 1 2 1 ⋅ ⋅ 2 ⋅ 2,736 ⋅ ⋅ 2,736 ⋅ 2 = (2, 415 + 4,847 + 3,136 + 7 ,500 + 12 , 447 + 29 ,943 ) = I3 2 3 I1

=

60 , 288 ; I1

δ 22 =

6

ll

1

0

M2 ⋅M2 1 1 2 ⋅ ⋅ 3 ⋅ 1, 656 ⋅ ⋅ 1, 656 + dx = EJ I1 2 3

∑∫

+

1 1 2 1 6 ⋅ ⋅ (2 ⋅ 0 , 426 ⋅ 0 , 426 + 2 ⋅ 0 , 27 ⋅ 0 , 27 + 2 ⋅ 0 , 27 ⋅ 0 , 426 ) + ⋅ ⋅ 3 ⋅ 1,344 ⋅ ⋅ 1,344 + I2 2 3 I1 6

+

1 6 1 1 2 ⋅ (2 ⋅ 0 , 27 ⋅ 0 , 27 + 2 ⋅ 0 ,114 ⋅ 0 ,114 + 2 ⋅ 0 , 27 ⋅ 0 ,114 ) + ⋅ ⋅ 2 ⋅ 0 , 27 ⋅ ⋅ 0 , 27 ⋅ 2 + I2 6 I3 2 3

+

1 1 2 1 (2 ,742 + 0 ,739 + 2 ,710 + 0 ,351 + 0 , 292 + 6 ,052 ) = ⋅ ⋅ 2 ⋅ 1, 23 ⋅ ⋅ 1, 23 ⋅ 2 = I3 2 3 I1

=

12 ,886 ; I1

6

M1 ⋅ M 2 1 1 2 dx = ⋅ ⋅ 3 ⋅ 1,656 ⋅ ⋅ 1,554 + 3 EJ I1 2 0 l

δ 12 = ∑ ∫ 1

+

1 6 1 1 2 ⋅ ⋅ (2 ⋅ 1,764 ⋅ 0,27 − 2 ⋅ 1,182 ⋅ 0,426 + 1,764 ⋅ 0,426 − 0,27 ⋅ 1,182 ) + ⋅ ⋅ 3 ⋅ 1,344 ⋅ ⋅ 1,446 + I1 6 I2 2 3

+

1 6 1 1 2 ⋅ (2 ⋅ 0,27 ⋅ 1,764 − 2 ⋅ 0,114 ⋅ 1,29 + 1,764 ⋅ 0,114 − 1,29 ⋅ 0,27 ) + ⋅ ⋅ 2 ⋅ 0,27 ⋅ ⋅ 1,764 ⋅ 2 + I2 6 I3 2 3

+

1 1 2 1 22 ⋅ ⋅ 2 ⋅ 1,23 ⋅ ⋅ 2,736 ⋅ 2 = (2,573 + 0,378 + 2,915 + 0,768 + 1,905 + 13,462 ) = . I3 2 3 I1 I1

4.3.

Записываем вековое уравнение в развернутом виде, т. е.

λ2 − (δ11m1 + δ22m2 ) ⋅ λ + (δ11δ − δ122 ) ⋅ m1m2 = 0 22

или λ2 −

1700,49 109826,68 λ+ = 0. I1 I12

Отсюда: 26

850,246 783,001 ; ± I1 I1 λ1 = 0,45368 ; λ 2 = 0,01868 ; λ 1, 2 =

1 1 = 1,485 c −1 ; ω2 = = 7,317 c −1 . . λ1 λ2

ω1 =

Принимаем частоты возмущающей нагрузки: θ1 = 0,85ω min = 1,626c −1 ;

5.

θ 2 = 0,85ω max = 6,2195 c −1

6.

Строим эпюру изгибающих моментов в заданной системе от ампли-

тудного значения действующей на систему вибрационной нагрузки. Выбираем основную систему метода сил, как показано на рис.17. C

6.1.

учетом известных коэффициентов система канонических уравнений принимает вид: 16kH•M

92 18 ⎫ x ′1′ − x ′2′ + Δ 1′P = 0; ⎪ ⎪ I1 I1 ⎬. 18 270 − x ′1′ + x ′2′ + Δ ′2 P = 0.⎪ ⎪⎭ I1 I1

16 16

6.2. Для определения свободных членов

14

2

построим эпюру изгибающих моментов в основной системе метода сил от амплитудного значения динамической нагрузки (рис.28).

2

2 3

6 kH

2 3

M 0P 1

7

Рис.28

Находим свободные члены:

6.3. Δ 1′ P = +

4

l

1

0

∑∫

M 1 ⋅ M 0P 1 1 1 dx = 16 ⋅ 6 ⋅ (− 2 ) + 16 ⋅ 2 ⋅ ⋅ (− 2 ) + EJ I1 I3 2

1 1 2 1 1 2 ⋅ ⋅ 2 ⋅ 14 ⋅ ⋅ (− 2 ) + ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ (− 2 ) = I3 2 3 I3 2 3

=−

1 (192 + 96 + 56 + 8 ) = − 352 ; I1 I1

Δ ′2 Р = =−

M 2 M 0P 1 1 1 1 2 1 1 2 ∑1 ∫ EJ dx = I ⋅ 16 ⋅ 6 ⋅ 2 (− 6 ) + I ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ( −6) + I ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ (− 6 ) = 0 1 1 2 3

l

1 (288 + 12 + 18 ) = − 318 . I I 1

1

27

6.4. Подставим найденные коэффициенты в систему уравнений и в результате ее решения имеем: x 1′′ = 4,11 ; x ′2′ = 1,452 . 6.5. Строим «исправленные» эпюры M1x1′ , M 2 x′2 (рис.29 и 30) и окончательную эпюру M 2 = M 0P + M1 x 1′ + M 2 x ′2 (рис.31). 2

8,22

8,22

7,78

8,22 16 0,492 8,22 8,22

7. 7.1.

8,712

6,22

8,712 6,712

M1 x 1′′

M 2 x ′2′

Рис.29

Рис.30

0,932 5,78

M

6,712

a P

Рис.31

Находим силы инерции, возникающие в массах системы. Запишем систему уравнений для определения сил инерции:

δ11** J 1 + δ12 J 2 + Δ1P = 0; ⎫ ⎬, δ 21 J 1 + δ *22* J 2 + Δ 2 P = 0.⎭

где

1 ; δ = δ ii − miθ2 ** ii

M i M aP Δ iP = ∑ ∫ dx . EJ 0 l

7.2 Определяем коэффициенты входящие в систему уравнений при условии θ = θ1: I1 1 30,128 60,288 1 ; ( ) 60 , 288 90 , 416 − ⋅ = − = − I1 I1 25 ⋅1,262 2 I1 I1 I 12,886 1 1 137,807 ; δ*22* = − ⋅ 1 = (12,886 − 150,693) = − 2 I1 15 ⋅1,262 I1 I1 I1 δ11** =

28

Δ 1P

M 1 M aP 1 1 2 1 6 dx = ⋅ 3 ⋅ 6,712 ⋅ 1,554 + ⋅ (− 2 ⋅ 7,78 ⋅ 1,764 − = ∑∫ 1 0 EJ I1 2 3 I1 6 8

l

2 ⋅ 1,182 ⋅ 0,932 + 1,764 ⋅ 0,932 + 1,182 ⋅ 7,78 ) + 8,22 ⋅ 1,29 − 1,764 ⋅ 0,492 ) −

1 6 ⋅ (2 ⋅ 8,22 ⋅ 1,764 + 2 ⋅ 1,29 ⋅ 0,492 − I2 6

1 1 2 1 1 2 ⋅ 3 ⋅ 6,712 ⋅ 1,446 + ⋅ 2 ⋅ 5,78 ⋅ 2,736 − I2 2 3 I3 2 3

−

1 1 2 1 1 2 1 2 ⋅ 2 ⋅ 6,22 ⋅ 2,736 + ⋅ 2 ⋅ 8,22 ⋅ 1,764 − ⋅ (2 ⋅ 7,78 ⋅ 1,764 + 16 ⋅ 1,764 ) = I3 2 3 I3 2 3 I3 6

=

1 (10,430 − 18,813 + 28,196 −14,558 + 31,628 − 34,036 + 29,000 − 55,672 ) = − 23,828 ; I1 I1

Δ 2P

l

M 2 M Pa 1 1 2 1 6 = ∑∫ dx = ⋅ 3 ⋅ 6,712 ⋅ 1,656 + ⋅ (2 ⋅ 0,426 ⋅ 0,932 − 2 ⋅ 7,78 ⋅ 0,27 − 3 EJ I1 2 I1 6 1 0 8

0,462 ⋅ 7,78 + 0,27⋅ 0,932) +

1 6 ⋅ (2 ⋅ 8,22 ⋅ 0,27 − 2 ⋅ 0,114 ⋅ 0,492 + 8,22 ⋅ 0,114 − 0,492 ⋅ 0,27) + I2 6

2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ⋅ 3 ⋅ 6,712 ⋅ (− 1,344) + ⋅ 2 ⋅ 5,78 ⋅ 1,23 − ⋅ 2 ⋅ 6,22 ⋅ 1,23 + ⋅ 2 ⋅ 8,22 ⋅ 0,27 − 3 3 3 3 I2 2 I3 2 I3 2 I3 2 −

1 2 1 ⋅ (2 ⋅ 0,27 ⋅ 7,78 + 16 ⋅ 0,27) = (11,115 − 6,469 + 7,697 −13,531+ 14,219 − 15,301+ I3 6 I1

+ 4,439 − 8,521) = −

6,352 . I1

7.3. Подставляем найденные коэффициенты в систему уравнений, т. е. − 30,128J1 + 22J 2 = 23,828;⎫ ⎬. 22J1 − 137,807J 2 = 6,352. ⎭

Откуда находим: J 1 = −0,933 , J 2 = −0,195 .

8. M 2 J 2 (рис.32

Строим «исправленные» эпюры изгибающих моментов M 1 J1 и и

33)

и

окончательную

эпюру

изгибающих

моментов

M ∂P = M aP + M1J 1 + M 2 J 2 (рис. 34).

29

1,646

1,646

6,521

1,646

1,646

9,479 16,0

2,554 1,451

1,35 1,204

0,24

0,262

1,103

0,323

9,014

8,324

0,24

0,022

2,554

0,083

1,952 2,986

0,69

M 1J1

M 2J 2

M ∂P

Рис.32

Рис.33

Рис.34

4,938

9. В соответствии с эпюрой изгибающих моментов строим эпюру поперечных сил (рис.35) и эпюру продольных сил (рис.36). 0,972 +

+

3,26

_

_

+ 6

4,507 +

1,493

Q ∂P

1,247

1,646

_

_

J1=0,195 +

_

3,551

N ∂P

Рис.35

_

4,753

_

2,775

J1=0,933

3,26

_

1,905

0,972

3,26

Рис.36

10. Выполним проверку правильности 16

y

построения эпюр. Для этого рассмотрим рав-

0,933

новесие системы в целом (рис.37). 6

∑x = 0;

6

2,775 − 1,646 − 0,195 − 0,933 = = 2,775 − 2,774 = 0,001 ≈ 0.

0,195 3 1,646

A 2,775 1,247 2

Рис.37 30

4,753 2

x

∑ y = 0; 1,247 − 6 + 4,753 = 6 − 6 = 0 .

∑M

A

= 0;

16 + 6 ⋅ 2 − 0,195 ⋅ 3 − 0,933 ⋅ 9 − 4,753 ⋅ 4 = = 28 − 270994 = 0,006 ≈ 0.

Погрешность, обусловлена округлениями и составляет: П=

28 − 27,994 ⋅ 100 0 0 = 0,021 0 0 . 28

11.

Построим эпюру изгибающих моментов при условии, что

θ = θ 2 = 6,2195 с −1 .

Определяем коэффициенты: δ11** =

I 56,565 60,288 1 1 ; − ⋅ 1 = (60,288 − 3,723) = 2 I1 I1 25 ⋅ 6,2195 I1 I1

δ *22* =

I 12,886 1 1 6,628 − ⋅ 1 = (12,886 − 6,204 ) = . 2 I1 15 ⋅ 6,2195 I1 I1 I1

56,565J 1* + 22J *2 = 23,828;⎫ Решаем систему уравнений: ⎬, 22J 1* + 6,682J *2 = 6,352. ⎭

и находим силы инерции:

J 1* = −0,1837 ; J *2 = 1,5553 .

12. Строим «исправленные эпюры» M1J1* и M 2 J *2 (рис.38 и рис.39) и оконча0,324

0,4

0,324

0,4

7,68

8,316 16,0

0,237

* 2 2

M J

Рис.38

Рис.39

1,583

6

Q ∂P Рис.41

9,00

Рис.40 16

_

0,184

6 1,555

4,584 _ +

1,753

_

1,812

M ∂P

y

+

3,595 _ 3,001

1,629

J2=1,55

7,19

+

2,405 +

4,80

4,88

1,39

J1=0,184

_

0,078

2,57

0,502

_

1,399

1,91

0,66

1,91

M1J1*

4,158

+

2,0

4 158

0,26

0,17

4,158

0,217

0,285

+

_

N ∂P Рис.42

3,001

A

4,753

0,50

x

1,629 1,753

Рис.43

7,753

31

тельную

эпюру изгибающих моментов M ∂P = M aP + M1J1 + M 2 J 2 (рис.40).

13. По эпюре изгибающих моментов строим эпюру поперечных сил, а затем эпюру продольных сил (рис.41 и 42) 14. Выполним проверку исправности построения эпюр внутренних усилий (рис.43)

∑ x = 0; 2,775 − 1,646 − 0,195 − 0,933 = 2,775 − 2,774 = 0,001 ≈ 0.

∑ y = 0; − 1,753 − 6 + 7,753 = 0 .

∑M

A

= 0;

1,555 ⋅ 3 + 16 + 6 ⋅ 2 − 0,184 ⋅ 9 − 7,753 ⋅ 4 = = 32,665 − 32,668 = −0,003 ≈ 0.

§8.ПОРЯДОК РАСЧЁТА СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ. 1. Установить число степеней свободы, т.е. число независимых параметров (связей), необходимых для закрепления всех сосредоточенных масс системы от линейных перемещений. 2. Найти степень статической неопределимости и выбрать основную систему метода сил. Построить эпюры изгибающих моментов: M op ,i от единичных обобщённых сил, приложенных по направлению колебаний сосредоточенных масс; M i от единичных неизвестных метода сил x t , приложенных по направлению отброшенных связей. 3. Составить исходные матрицы: -квазидиагональную матрицу податливости ƒ, имеющую вид

32

δ1 0 0 0 0 0 l ƒ= , где δ i = i ... ... ... 6EJ i 0 0 δn

⎡2 ⎢1 ⎣

1⎤ − матрица податливости прямолинейного 2⎥⎦

стержня постоянного сечения; -если на одном из концов стержня имеет место шарнир, то δ i =

li [1] ; 3EJ i

-матрицу усилий B1 от последовательного приложения основных неизвестных

x 1 = 1; x 2 = 1;...; x n = 1; -матрицу усилий B o от последовательного приложения (загружения) единичных сил по направлению колебания масс. 4. Выполнить матричные операции в следующей последовательности: а) транспортировать матрицы B1 и B o ; б) вычислить перемещение от единичных сил x i : Y = B1' ⋅ ƒ ⋅ B1 ; в) произвести обращение матрицы Y и сделать проверку по формуле Y ⋅ Y −1 = E, где E - единичная матрица; г) найти величины неизвестных X i : X = X i = − Y −1 ⋅ B1' ⋅ ƒ ⋅ B o ; д) определить усилия в стержнях статически неопределимой рамы от действия единичных сил, приложенных по направлению перемещения масс: B = B o + B1 ⋅ X . 5. Получить матрицу податливости заданной системы: F = B 'o ⋅ ƒ ⋅ B .

Если заданная система статически определима, то, очевидно, что B = B o и выполнение пункта 4 производить не нужно. 6. Составить диагональную матрицу сосредоточенных масс M 0 и подсчитать произведение матриц: D = F ⋅ M o . 33

7. Найти частоту свободных колебаний ω из характеристического уравнения:

[F ⋅ M

o

− λ ⋅ E ]⋅ Z = 0.

Здесь λ =

1 ; Z - вектор амплитуд перемещений. Данное уравнение решаетω2

ся любым известным способом или с помощью ЭВМ. 8. Построить эпюру усилий от амплитудных значений динамических сил

P ∗ , по которой составить матрицу B p . Так как заданная система статически неопределима, то первоначально необходимо построить эпюру M op и выполнить матричные операции, изложенные в пункте 4. В итоге найдем матрицу B p . Если эпюру M op строить не от амплитудных значений, а от единичных сил, приложенных по направлению действия нагрузки, то в результате получим матрицу B∗ . В этом случае

B p = B∗ ⋅ P ∗ , где P ∗ - матрица-столбец нагрузок.

9. Определить перемещения: Δ p = B'⋅ ƒ ⋅ B p .

10. Записать канонические уравнения для нахождения инерционных сил J :

F o ⋅ J + Δ p = 0, где F o = F −

1 ⋅ E; mi ⋅ θ2

m i - i - я сосредоточенная масса, соответствующая i -й строке канонических уравнений; θ - частота вынужденных колебаний.

11. Вычислить инерционные силы: J = [F o ] ⋅ Δ p . −1

34

12. Найти амплитудные значения усилий (изгибающих моментов) от заданной динамической нагрузки: S = Bp + B ⋅ J и выразить их в графической форме. 13. По эпюре изгибающих моментов построить эпюры поперечных и продольных сил и выполнить проверку. §9. ПРИМЕР РАСЧЁТА СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ДИНАМИЧЕСКУЮ НАГРУЗКУ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ Для рамы, показанной на рис.16, с исходными данными, приведёнными в §7, найти частоты собственных колебаний ωi и построить эпюру изгибающих моментов от действия исходных значений динамической нагрузки при условии

θ = θ1 . Решение.

Расчёт рассматриваемой рамы выполнен в §7. В дальнейшем мы будем использовать исходные результаты и производить сопоставление результатов расчёта. Разбиваем заданную систему на элементы, как показано на рис.44. Находим матрицы податливости отдельных элементов: 3 [1] = 3 [1] = 1 ⎡⎢ 3 ⎤⎥; 3I 2 2I 1 I1 ⎣ 2 ⎦ 3 ⎡2 1⎤ 1 6 ⎡2 1⎤ δ2 = = = ⎢ ⎥ 6I 2 ⎣1 2⎦ 2I1 ⎢⎣1 2⎥⎦ I1 2 [1] = 2 ⋅ 3 [1] = 1 = [2]; δ3 = 3I 3 3I1 I1 δ1 =

⎡ 3 3 2⎤ ⎢3 2 3 ⎥; ⎣ ⎦

35

δ4 =

2 6I 3

⎡2 ⎢1 ⎣

δ5 =

6 6I 1

⎡2 ⎢1 ⎣

δ6 =

3 [1] = 1 [1]; 3I1 I1

δ7 =

2 [1] = 1 [2]; 3I 3 I1

δ8 = δ 7 =

1⎤ 1 ⎡2 1⎤ ; = 2⎥⎦ I1 ⎢⎣1 2⎥⎦ 1⎤ 1 ⎡2 1⎤ ; = 2⎥⎦ I1 ⎢⎣1 2⎥⎦

1 [2]. I1

Составляем квазидиальную матрицу податливости отдельных элементов: 1,5 0 0 0 3 1,5 0 1,5 3 0 0 0 0 0 0 1 ƒ= 0 0 0 I1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0

0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 2

По эпюрам изгибающих моментов M 1 и M 2 (рис.18 и 19), построенным в основной системе метода сил от единичных неизвестных x 1 и x 2 , приложенных по направлению отброшенных связей, записываем матрицу B1 , а по эпюрам изгибающих моментов M oP1 и M oP 2 (рис.20 и 24), построенным от единичных обобщённых сил P1 = 1 и P2 = 1, приложенных по направлениям перемещений масс, составляем матрицу B o :

36

0 −6 2 −6 2 0 2 0 0 0 B1 = − 2 0 ; 2 0 2 6 0 6 2 0 −2 0

4,5 1,5 0 0 0 0 0 0 0 0 Bo = 0 0 . 0 0 0 −6 − 1,5 1,5 − 4,5 − 1,5 4,5 1,5

Находим транспонированные матрицы: 2 2 2 0 − 2 2 2 0 2 − 2⎤ ⎡0 B1' = ⎢ ⎥; ⎣− 6 − 6 0 0 0 0 0 6 6 0 0 ⎦ ⎡4,5 0 0 0 0 0 0 − 6 − 1,5 − 4,5 4,5⎤ B '0 = ⎢ . 1,5 − 1,5 1,5 ⎥⎦ ⎣1,5 0 0 0 0 0 0 0

Определяем перемещение от единичных сил: Y = B1' ⋅ ƒ 1,5 0 0

0

0

2 2 2 0 − 2 2 2 0 2 − 2⎤ 1 ⎡0 ⋅ B1 = ⎢ ⎥× I − 6 − 6 0 0 0 0 0 6 6 0 0 ⎣ ⎦ 1

=

0 0 0 0 0 0 0 0

3 1,5 0 0 0 0 0 0 0 0 1,5 3 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0

0

2 0 0 0 0 0 0 0

0 = 0

0 0

0 0

0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 × B1 =

0 0

0 0

0 0

0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0

0

0

0

0 0 0 0 0 0 0 2

37

=

0 2

−6 −6

2

0

2 0

0 0

2 0

6 6

2

0

−2

0

9 9 4 − 2 − 4 6 6 0 4 − 4⎤ 1⎡0 × −2 ⎢ 0 6 12 6 0 0 ⎥⎦ I1 ⎣− 9 − 18 − 9 0 0 2

1 92 − 18 . 0 = I1 − 18 270 0

Выполняем обращение матрицы Y. Для этого рядом с заданной матрицей записываем единичную. Путём сложения строк этой матрицы, взятых с некоторыми множителями, на месте исходной матрицы нужно получить единичную. Тогда на месте единичной матрицы будем иметь обратную. 92 − 18 1 0 18 и прибавим её по − 18 270 0 1 Умножим первую строку на множитель 92 второй строке. 18 - 3,52174 0,19565 0. 92 − 18 1 0 . Разделим все элементы второй строки на величи0 266,47826 0,19565 1 ну 266,47826. 92 − 18 1 0 . Умножим вторую строку на 18 и прибавим 0 1 0,0007342 0,0037526 её к первой строке. 0 38

18

0,013216

0,067547 .

Затем все элементы первой строки поделим на 92. 1 0 0,0110128 0,0007342 0 1 0,0007342 0,0037526

.

Проверка.

(0,0110128 (0 ,0007342

Y −1 ⋅ Y = =

0 ,99996 0

⋅ 92 − 0 ,0007342 ⋅ 18 )

(− 0,0110128 ⋅ 18 ) (− 0 ,0007342

⋅ 92 − 0 , 0037526

0 1 ≈ 0 ,99999 0

⋅ 18 + 0 , 0007342 ⋅ 270 )

⋅ 18 + 0 ,0037526 ⋅ 270 )

=

0 . 1

Вычисляем величины неизвестных X i : ƒ X = −Y −1 ⋅ B1' ⋅ ⋅ B 0 = −I 1

⎡ 0 ⋅⎢ ⎣− 9

9 − 18

9 −9

4 0

−2 0

0,0110128 0,0007342 1 ⋅ ⋅ 0,0007342 0,0037526 I 1

−4 0

6 6 6 12

0 6

4 0

− 4⎤ ⋅ 0 ⎥⎦

4,5 0 0 0 0 0 0 −6 − 1,5 − 4,5 4,5

⋅

− 72

− 12

− 121,5 − 4,5

=

0,8821

0,1355

0,5088 − 0,0257

1,5 0 0 0 0 0,0110128 0 =− 0,0007342 0 0 1,5

0,0007342 ⋅ 0,0037526

− 1,5 1,5

.

Определяем усилия в стержнях заданной рамы от действия единичных сил Р1 и Р2. 39

4 ,5 0

1,5 0

0 2

−6 −6

4 ,5 0

1,5 0

0

0

2

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

B = B 0 + B1 ⋅ X =

2

0

0 ,5088

0 ,0257

=

0

1,764

0 , 271

0

0

0

0

0

0

0

0

+ − 1,764 1,764

− 0 , 271 = 0 , 271

−6

0

2

6

−6

0

4 ,817

0 , 425

1,5

0

6

0 ,154

− 1,5

2

0

1,5 − 1,5

3,053

− 4 ,5

− 1,5 − 4 ,5

1,764

0 , 271

4 ,5

1,5

−2

0

4 ,5

1,5

− 1,764

− 0 , 271

1,345

− 1,289 1,764

0,116 0,721

1,764 0

0,721 0 − 0,721 . 0,721

− 1,183

0,425

1,553 − 2,736

1,654 − 1,229

2,736

1,229

М1

0 ⋅

0 ,1355

0

0 , 271

− 1,5

1,447

= − 1,764 1,764

+ −2

0 ,8821

− 0 ,154 0 ,116

0

− 3,053 − 1, 289 1,764

М2

Транспонируем матрицу B:

⎡1,447 −1,289 1,764 1,764 0 −1,764 1,764 −1,183 1,553 − 2,736 2,736⎤ B' = ⎢ ⎥. ⎣1,345 0,116 0,271 0,271 0 − 0,271 0,271 0,425 1,654 −1,229 1,229⎦ Вычисляем перемещения по направлению колебания масс: ⎡4,5 0 0 0 0 0 0 − 6 − 1,5 − 4,5 4,5⎤ 1 F = B 'o ⋅ƒ ⋅ B = ⎢ ⎥× I × 1 , 5 0 0 0 0 0 0 0 1 , 5 1 , 5 1 , 5 − ⎣ ⎦ 1

40

1,5

0

0

0 0 0 0 0 0 0 0

0

3

0

1,5

3

0 0 0 0 0 0 0 0

0

0

0

2 0 0 0 0 0 0 0

0 × 0

0 0

0 0

0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 ×B =

0

0

0

0 0 0 2 1 0 0 0

0

0

0

0 0 0 1 2 0 0 0

0

0

0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2

1,5 0 0 0 0 0 0 0 0

1,345 ⎤ ⎡ 1,447 ⎢ − 1,289 0,116 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1,764 0,271 ⎥ ⎢ ⎥ 0,271 ⎥ ⎢ 1,764 ⎢ 0 0 ⎥ ⎥ 1 60,297 21,994 1 ⎡6,75 0 0 0 0 0 − 6 − 12 − 1,5 − 9 9⎤ ⎢ = ⎢ × ⎢ − 1,764 − 0,271⎥ = ⋅ . ⎥ 22,002 12,881 0 1,5 − 3 3⎦ I 1 ⎣2,25 0 0 0 0 0 0 I 1 ⎢ 1,764 0,271 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 1,183 0,425 ⎥ ⎢ 1,553 − 1,654 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 2,736 − 1,229 ⎥ ⎢ 2,736 1,229 ⎥⎦ ⎣

Составляем диагональную матрицу масс:

Mo =

25 0 . 0 15

Вычисляем элементы матрицы: D = F ⋅ Mo =

1 60,297 21,994 25 0 1 1507,4 329,9 = . I1 22,002 12,881 0 15 I1 550,1 193,2

Записываем вековое уравнение: D −λ⋅E = 0 или

41

⎛ 1507,4 ⎞ ⎜⎜ − λ ⎟⎟ ⎝ I1 ⎠ 550,1 I1

329,9 I1 = 0. ⎛ 193,2 ⎞ ⎜⎜ − λ ⎟⎟ I ⎝ 1 ⎠

Раскрываем определитель ⎛ 1507,4 193,2 ⎞ ⎛ 193,2 1507,4 329,9 550,1 ⎞ ⎟⎟ ⋅ λ + ⎜⎜ ⎟=0 λ2 − ⎜⎜ + ⋅ − ⋅ I1 ⎠ I1 I1 I1 ⎟⎠ ⎝ I1 ⎝ I1 или

λ2 − 1700,6 ⋅ λ + 109751,7 = 0. Решаем квадратное уравнение:

λ 1, 2 =

850,3 1 850,3 783,1 ± 850,3 2 − 109751,7 ⋅ = ± ; I1 I1 I1 I1 ;

1633,4 λ1 = = 0,4537 I1 λ2 =

67,2 = 0,018667. I1

Определяем частоты: ω1 =

1 = 1,4846; 0,4537

ω2 =

1 = 7,3192. 0,018667

Вычисляем частоту вынужденных колебаний в соответствии с заданием θ = 0,85 ⋅ 1,4846 = 1,2619 = 1,262c −1 По эпюре изгибающих моментов M op (рис.28), построенной в основной системе метода сил от амплитудных значений динамической нагрузки, составляем матрицу B op :

42

⎡2 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢16 ⎥ ⎢ ⎥ B op = ⎢16 ⎥. ⎢− 16⎥ ⎢ ⎥ − 16 ⎢ ⎥ ⎢− 2 ⎥ ⎢ ⎥ − 14 ⎢ ⎥ ⎢2 ⎥ ⎣ ⎦ Для нахождения матрицы B p , элементы которой характеризуют величины изгибающих моментов в заданной статически неопределимой системе от действия амплитудных значений динамических нагрузок, необходимо выполнить ряд матричных операций, а именно: −1 Y = B1′ ⋅ ƒ ⋅ B1 ; X 1 = − Y ⋅ B′1 ⋅ ƒ ⋅ B op ; B p = B op + B1 ⋅ X 1 .

Часть матричных операций Y = B′`1 ⋅ ƒ ⋅ B1 ; B1' ⋅ ƒ = A выполнена ранее. Находим неизвестные: X 1 = − y −1 ⋅ b1' ⋅ ƒ ⋅ B op = − y −1 ⋅ A ⋅ B o ,p

43

9 9 4 −2 −4 6 6 ⎡0,0110128 0,0007342⎤ 1 ⎡ 0 X1 = −I1 ⎢ ⋅ ⎢ ⎥ ⎣0,0007342 0,0037526⎦ I1 ⎣− 9 −18 − 9 0 0 0 6 12 ⎡− 0,0066 0,0859 0,0925 0,0441 − 0,0220 − 0,0441 0,0705 = −⎢ ⎣− 0,0338 − 0,0609 − 0,0272 0,0029 − 0,0015 − 0,0029 0,0269

0 4 − 4⎤ ⋅ Bo,p = 6 0 0 ⎥⎦ 0,0749 0,0044 0,0441 − 0,0441⎤ × 0,0494 0,0225 0,0029 − 0,0029⎥⎦

⎡ 2 ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 16 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡4,111⎤ × ⎢ 16 ⎥ = ⎢ . 1,450⎥⎦ ⎣ ⎢−16⎥ ⎢ ⎥ ⎢−16⎥ ⎢−2⎥ ⎢ ⎥ ⎢−14⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦

Находим матрицу Bp ; ⎡ 2 ⎤ ⎡ 0 − 6⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡ − 8,7 ⎤ ⎡ − 6,7 ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎢− 0,478⎥ ⎢− 0,478⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 2 − 6⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 8,222 ⎥ ⎢ 8,222 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢2 0⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 8,222 ⎥ ⎢ 8,222 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢2 ⎢ 16 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 16 ⎥ ⎢ 16 ⎥ ⎢ 0 0⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡4,111⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ B p = ⎢ 16 ⎥ + ⎢− 2 0 ⎥ ⋅ ⎢ = ⎢ 16 ⎥ + ⎢ − 8,222⎥ = ⎢ 7,778 ⎥. ⎥ ⎣1,450⎦ ⎢ ⎢− 16⎥ ⎢ 2 0⎥ − 16⎥ ⎢ 8,222 ⎥ ⎢− 7,778⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 6⎥ ⎢− 16⎥ ⎢ 16,922 ⎥ ⎢ 0,922 ⎥ ⎢− 16⎥ ⎢ 2 ⎢ − 2 ⎥ ⎢ 8,7 ⎥ ⎢ 6,7 ⎥ ⎢−2⎥ ⎢ 0 6⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0⎥ ⎢− 14⎥ ⎢ 8,222 ⎥ ⎢ − 5,778⎥ ⎢− 14⎥ ⎢ 2 ⎢ 2 ⎥ ⎢ − 8,222⎥ ⎢− 6,222⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢− 2 0 ⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣

Определяем перемещения:

44

⎡1,447 − 1,289 1,764 1,764 0 − 1,764 1,764 − 1,183 1,553 − 2,736 2,736⎤ ⋅ Bp = ⎢ ⎥× ⎣1,345 0,116 0,271 0,271 0 − 0,271 0,271 0,425 1,654 − 1,229 1,229⎦ ⎡1,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎤ ⎡ − 6,7 ⎤ ⎢ 0 3 1,5 0 0 0 0 0 0 0 0⎥ ⎢ 0,478 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 0 1,5 3 0 0 0 0 0 0 0 0⎥ ⎢ 8,222 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0⎥ ⎢ 8,222 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0⎥ ⎢ 16 ⎥ . ⎥ 1 ⎡− 23,821⎤ ⎥ ⎢ ⎢ × ⎢ 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0⎥ ⋅ ⎢ 7,778 ⎥ = ⎢ − 6,355 ⎥⎦ ⎢ 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0⎥ ⎢− 7,778⎥ I1 ⎣ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0⎥ ⎢ 0,922 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0⎥ ⎢ 6,7 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0⎥ ⎢− 5,778⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2⎥ ⎢− 6,222⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ Δ pƒ = b'⋅

Составляем каноническое уравнение для инерциальных сил:

F o ⋅ J + Δ p = 0, где F o = F −

1 E; miθ2

1 1 = = 0,02512; 2 m1θ 25 ⋅ 1,5926 1 1 = = 0,04186; 2 m2θ 15 ⋅ 1,5926 Fo = F −

1 1 ⎡60,297 21,994⎤ 1 ⎡0,02512 ⋅ I 1 E= ⎢ − 2 0 miθ I 1 ⎣22,002 12,881⎥⎦ I 1 ⎢⎣

0 21,994 ⎤ ⎤ ⎡− 30,135 . =⎢ ⎥ 0,04186 ⋅ I 1 ⎦ ⎣ 22,002 − 137,815⎥⎦

Выполняем обращение матрицы Fo :

Fo

Е

21,994 ⎤ ⎡1 ⎡− 30,135 ⎢ 22,002 − 137,815⎥ ⎢0 ⎣ ⎦⎣

0⎤ 1⎥⎦

Умножаем вторую строку на

21,994 и сложим с 137,816

первой. 3,511 − 26,624 22,022

21,994 0

0 0,1596

1 0,1596

− 137,816 0

1

Разделим первую строку на -26,624.

45

1 0 − 0,03756 − 0,005995 22,002 − 137,816 0 1

Умножим I-юстроку на -22,002 и сложим со

второй. -22,002

0

0,8264

0,131879

1 0 − 0,03756 − 0,005995 0 − 137,816 0,8264 1,131879

Поделим вторую строку на -137,816.

⎡1 0⎤ ⎡− 0,037560 − 0,005995⎤ ⎢0 1⎥ ⎢− 0,005996 − 0,008213⎥ ⋅ I 1 ⎣ ⎦⎣ ⎦

Проверка. 21,994 ⎤ − 0,005996⎤ 1 ⎡− 30,135 ⋅ ⎢ ⎥ ⎥= ⎣− 0,005996 − 0,008213⎦ I1 ⎣ 22,002 − 137,815⎦ ⎡ (0,03756 ⋅ 30,135 − 0,005996 ⋅ 22,002 ) (− 0,03756 ⋅ 21,994 + 0,005996 ⋅ 137,815) ⎤ =⎢ ⎥= ( ) ( ) ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ 0 , 005996 30 , 135 0 , 008213 22 , 002 0 , 005996 21 , 994 0 , 008213 137 , 815 ⎣ ⎦ ⎡0,99995 0,000240⎤ ⎡1 0⎤ =⎢ ⎥≈⎢ ⎥ ⎣ 0,00001 0,999998⎦ ⎣0 1⎦

[F ] ⋅ [F ] = I ⎡⎢− 0,037560 o −1

o

1

Определяем силы инерции: ⎡ 0,03756 0,005996⎤ 1 ⎡− 23,821⎤ ⎡− 0,9328⎤ −1 J = −[F o ] ⋅ Δ p = I1 ⎢ ⎥. ⎥⋅ ⎢ ⎥=⎢ ⎣0,005996 0,008213⎦ I1 ⎣ − 6,355 ⎦ ⎣ − 0,1950 ⎦

Находим амплитудные значения изгибающих моментов от периодической динамической нагрузки:

46

⎡ − 6,7 ⎤ ⎡ 1, 447 ⎢ − 0, 478 ⎥ ⎢ − 1, 289 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 8, 222 ⎥ ⎢ 1,764 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 8, 222 ⎥ ⎢ 1,764 ⎢ 16 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ S = B 0 + B ⋅ J = ⎢ 7 ,778 ⎥ + ⎢ − 1,764 ⎢ − 7 ,778 ⎥ ⎢ 1,764 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0,922 ⎥ ⎢ − 1,183 ⎢ 6,7 ⎥ ⎢ 1,553 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ − 5,778 ⎥ ⎢ − 2,736 ⎢ − 6, 222 ⎥ ⎢ 2,736 ⎣ ⎦ ⎣

1,3545 ⎤ ⎡ − 6,7 ⎤ ⎡ − 1,612 ⎤ ⎡ − 8,312 ⎤ ⎢ − 0, 478 ⎥ ⎢ 1,179 ⎥ ⎢ 0,701 ⎥ ⎥ 1,116 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 8, 222 ⎥ ⎢ − 1,698 ⎥ ⎢ 6,524 ⎥ 0, 271 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 0, 271 ⎥ ⎢ 8, 222 ⎥ ⎢ − 1,698 ⎥ ⎢ 6,524 ⎥ ⎢ 16 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 16 ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎡ − 0,9328 ⎤ ⎢ − 0, 271 ⎥ ⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ 7 ,778 ⎥ + ⎢ 1,698 ⎥ = ⎢ 9, 476 ⎥. − 0 , 195 ⎣ ⎦ ⎢ − 7 ,778 ⎥ ⎢ − 1,698 ⎥ ⎢ − 9, 476 ⎥ 0, 271 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 0, 425 ⎥ ⎢ 0,922 ⎥ ⎢ 1,021 ⎥ ⎢ 1,943 ⎥ ⎢ 6,7 ⎥ ⎢ − 1,771 ⎥ ⎢ 4,929 ⎥ 1,654 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ − 1, 229 ⎥ ⎢ − 5,778 ⎥ ⎢ 2,792 ⎥ ⎢ − 2,986 ⎥ ⎢ − 6, 222 ⎥ ⎢ − 2,792 ⎥ ⎢ − 9,014 ⎥ 1, 229 ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Сопоставляя поперечные результаты (см. табл. 3), не трудно заметить, максимальные расхождения в значениях изгибающих моментов в характерных сечениях, обусловленные погрешностью вычислений, не превышают oдного процента. §10. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ ДИНАМИКА DINAMIKA Программа DINAMIKA, созданная на кафедре Прикладной механики Мордовского университета, базируется на матричной форме расчёта стержневых систем в последовательности метода сил см.§8. Она позволяет определять собственные частоты и внутренние усилия (изгибающие моменты) в невесомых статически неопределимых стержневых системах, несущих сосредоточенные точечные массы и загруженных периодической гармонической нагрузкой. Использование программ, соответствующей полуавтоматизированному подходу, требует предварительных расчётов, а именно: Для заданной невесомой стержневой системы, несущей ряд сосредоточенных точечных масс, определяется степень статической неопределимости (n) и степень свободы масс (К). Выбирается основная система метода сил, в которой строятся эпюры изгибающих моментов: от единичных сил, приложенных по направлению отброшенных связей; от единичных сил, приложенных по направлению колебаний сосредоточенных масс; от амплитудных значений заданной динамической нагрузки.

47

Заданная статически неопределимая система разбивается на отдельные стержни-элементы и применимо правило знаков для изгибающих моментов. Следует напомнить, что правило знаков и нумерация стержней-элементов выбираются произвольно. Каждый произвольный элемент характеризуется двумя сечениями. Если сечение примыкает к шарниру и в нём не приложен сосредоточенный момент, то в расчёте оно не учитывается. Поэтому общее количество сечений не меньше или равно удвоенному количеству стержней-элементов, на которые разбивается основная система. Затем составляют исходные матрицы: -квазидиагональная матрица податливости не объединённых между собой элементов системы, её порядок f (m, m ) ; -матрица усилий B1 (m, n ) по эпюрам изгибающих моментов, построенным от последовательного приложения неизвестных метода сил (X i = 1); -матрица усилий B o (m, k ) по эпюрам изгибающих моментов, построенным от последовательного приложения единичных сил по направлению колебаний масс; -матрица усилий B op (m, l ) по эпюрам изгибающих моментов, построенным от амплитудных значений заданной динамической нагрузки ( l -количество загружений); -диагональная матрица масс системы М (К,К). Программа DINAMIKA предусматривает бесформатный ввод данных в следующей последовательности: -первоначально вводится информация общего характера: фамилия пользователя, имя решаемой задачи и т.д. Её объём ограничен 70 символами, вводимыми в одну строку; -степень статической неопределимости ( n ) (число неизвестных метода сил); -число сечений системы ( m ); -степень свободы масс ( K ); -количество загружений системы ( l );

48

Табл.3 № Сечения 1 2 3 4 5 6 7 8

Традиц. форма -8,324 0,69 6,521 6,521 16 9,479 -9,479 1,952

Матр. форма -8,312 0,701 6,524 6,524 16 9,476 -9,476 1,943

-матрицу B1 (m, n ) (все матрицы вводятся по строкам); -матрицу B o (m, K ) ; -матрицу f (m, m ) ; -матрицу масс M (K , K ) ; -матрицу B op (m, l ) ; -жёсткость EJ p ( EJ p -расчётная жёсткость, которая фигурирует вводе множителя при матрице податливости f (m, m ) ; -массы системы m 1 и m 2 ; -множитель частоты вынужденных колебаний

С=

ω max 1 = , θ θ ω max

где величина

θ - является заданной (см. табл.2). ωmax

Файл исходных данных для примера, распространённого в §7 приведён на рис.45 Результаты счёта, в виде распечатки, даны на рис.46. Здесь приводятся частоты собственных колебаний Wi и значения изгибающих моментов S θ в характерных сечениях заданной рамы от действия динамической нагрузки. Полученных результаты сопоставили с найденными ранее (см. табл. 4). Кузнецова Г.П. Пояснения

2 11 2 1

49

0 2 2 2 0

−6 −6 0 0 0

−2 2 2 0 2 −2

0 0 6 6 0 0

4.5 1.5 0

0

0

0

0

0

Табл. 4 Расхождения в десятых долях обусловленные погрешностью вычислений № Сече-

Значения изгибающих моментов

ния

Традиц. форма расчета

На ЭВМ

1

-4,887

-4,886

2

-0,078

-0,074

3

8,316

8,319

4

8,316

8,319

5

16,000

16,000

6

7,684

7,681

7

-7,684

-7,681

8

1,812

1,807

9

2,003

8,995

10

-7,191

-9,188

11

-4,809

-4,812

0

0

0

0

0

0

-6

0

-1.5 1.5 -4.5 -1.5 4.5 1.5

50

1.5 0

0 3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.5 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

1.5 0 0

3 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0

0

0

0

0 0 0 0 0 0 0 2

25 0 0 15 2 0 0 0 16 16 -16 -16 -2 -14 2 3600 25 ∟ 15 1.1764705

Рис. 45. Файл исходных данных Кузнецова Г.П. W1=1.48465 W2=7.31804 Матрица So -4.885954 - .074072 8.318755 8.318755 16.000000 7.681245 -7.681245 1.806704 8.994822 -7.188118 -4.811882

Рис. 46

51

Приложение 1

52

Реактивные моменты и реакции в стержнях от единичных смещений

P

1

M A = 3iϕ1 (V )

H

5

P

M B = i ⋅ tg(V)

H

A

1

l

l

A 3i H = ϕ1 (V ) l

B 2

δ

P

1

P

P

A

H=0 H

MB = 0

ϕ (V ) M A = 3i 1 l

MB = 0

B

6

δ

P

P H

H

A

MA =

iV tgV

l

l

1

H=

B

3i η1 (V ) l2

MB = 0

P

3

M B = 2iϕ3 (V )

H

7

MB =

1

P

iV sin V

P

A

1

H

MA =0

l

l

A

H=

6i ϕ4 (V ) l

B 4

H=0

B

P

H=

B

M B = 2iϕ3 (V )

1

P H

M A = 6iϕ 4 (V ) l

8

P

A

2

P

2

MB = 0

MA = 0

1

l

l

A

Pl iV = 2 l l

H=

B

12i η2 (V ) l2

H=0 MB = MA

B

M B = iVtgV

53

Приложение 2

Поправочные множители и обозначения ϕ1 (V ) = V 2 [3(1 − V tgV )];

ϕ 2 (V ) = [1 − V tgV ] {4[− 1 + (tg0,5V ) (0,5V )]}; ϕ 3 (V ) = [V sin V − 1] {2[− 1 + (tg0,5V ) 0,5V ]} ; ϕ 4 (V ) = ϕ1 (0,5V ) ; η1 (V ) = ϕ 1 (V ) − V 2 3 ;

η 2 = η1 (0,5V ) = ϕ 4 (V ) − V 2 12 ;

i = EJ l ; V=

(Pl ) EJ = 2

Pl i .

ϕ1 (V ) = V 2 [3(1 − V tgV )];

ϕ 2 (V ) = [1 − V (tgV )] [4(tg (V 2) (V 2) − 1)]; ϕ 3 (V ) = [V (sin V ) − 1] [2(tg(V 2 ) (V 2) − 1)] ;

ϕ 4 (V ) = ϕ1 (0,5V ) ; η1 (V ) = − ϕ1 (V ) − V 2 3 ; η 2 (V ) = ϕ 4 (V ) − V 2 12 ;

54

Приложение 3

V

ϕ1 = (V ) ϕ 2 = (V ) ϕ 3 = (V )

ϕ 4 = (V )

η1 (V )

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 π/2 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.02 2.04 2.06 2.08 2.10 2.12 2.14 2.16 2.18 2.20 2.22 2.24 2.26 2.28 2.30 2.32 2.34 2.36 2.38 2.40 2.42 2.44 2.46 2.48 2.50 2.52 2.54 2.56 2.58 2.60

1.0000 0.9973 0.9895 0.9756 0.9567 0,9313 0,9164 0,8998 0,8814 0,8613 0,8393 0,8225 0,8153 0,7891 0,7609 0,7297 0,6961 0,6891 0,6819 0,6747 0,6672 0,6597 0,6521 0,6443 0,6364 0,6284 0,6202 0,6119 0,6034 0,5948 0,5861 0,5772 0,5681 0,5589 0,5496 0,5401 0,5304 0,5205 0,5105 0,5003 0,4899 0,4793 0,4685 0,4576 0,4464 0,4350 0,4234

1.0000 0.9992 0.9973 0.9941 0.9895 0,9832 0,9798 0,9756 0,9714 0,9669 0,9620 0,9580 0,9567 0,9540 0,9449 0,9383 0,9313 0,9299 0,9285 0,9270 0,9255 0,9240 0,9225 0,9210 0,9195 0,9180 0,9164 0,9148 0,9132 0,9116 0,9100 0,9083 0,9066 0,9049 0,9032 0,9015 0,8998 0,8981 0,8963 0,8945 0,8927 0,8909 0,8890 0,8871 0,8852 0,8833 0,8814

1.0000 0.9840 0.9362 0.8556 0.7434 0,5980 0,5131 0,4198 0,3181 0,2080 0,0893 0,0000 -0,0380 -0,1742 -0,3191 -0,4736 -0,6372 -0,6710 -0,7053 -0,7398 -0,7749 -0,8103 -0,8465 -0,8822 -0,9188 -0,9557 -0,9931 -1,0309 -1,0691 -1,1077 -1,1457 -1,1861 -1,2260 -1,2263 -1,3069 -1,3480 -1,3896 -1,4316 -1,4743 -1,5169 -1,5602 -1,6040 -1,6381 -1,6929 -1,7381 -1,7838 -1,8299

1.0000 0.9986 0.9945 0.9881 0.9787 0,9662 0,9590 0,9511 0,9424 0,9329 0,9226 0,9145 0,9116 0,8998 0,8871 0,8735 0,8590 0,8560 0,8530 0,8499 0,8468 0,8437 0,8405 0,8372 0,8339 0,8306 0,8273 0,8239 0,8204 0,8170 0,8134 0,8099 0,8063 0,8026 0,7989 0,7952 0,7915 0,7877 0,7838 0,7799 0,7760 0,7720 0,7679 0,7638 0,7596 0,7555 0,7513

1.0000 1.0009 1.0026 1.0061 1.0111 1,0172 1,0209 1,0251 1,0296 1,0348 1,0403 1,0445 1,0463 1,0529 1,0600 1,0676 1,0760 1,0777 1,0795 1,0813 1,0831 1,0850 1,0868 1,0887 1,0907 1,0926 1,0946 1,0966 1,0988 1,1009 1,1029 1,1050 1,1072 1,1095 1,1117 1,1140 1,1164 1,1188 1,1212 1,1236 1,1261 1,1286 1,1311 1,1337 1,1363 1,1390 1,1417

η 2 (V ) 1.0000 0.9959 0.9840 0.9641 0.9362 0,8999 0,8790 0,8556 0,8306 0,8025 0,7745 0,7525 0,7434 0,7102 0,6749 0,6375 0,5980 0,5899 0,5817 0,5734 0,5650 0,5565 0,5480 0,5394 0,5307 0,5220 0,5131 0,5041 0,4951 0,4860 0,4768 0,4675 0,4581 0,4486 0,4391 0,4295 0,4198 0,4101 0,4002 0,3902 0,3802 0,3701 0,3598 0,3495 0,3391 0,3286 0,3181 55

V

ϕ1 = (V ) ϕ 2 = (V ) ϕ 3 = (V )

ϕ 4 = (V )

η1 (V )

2.62 2.64 2.66 2.68 2.70 2.72 2.74 2.76 2.78 2.80 2.82 2.84 2.86 2.88 2.90 2.92 2.94 2.96 2.98 3.00 3.02 3.04 3.06 3.08 3.10 3.12

0,4116 0,3996 0,3873 0,3748 0,3620 0,3491 0,3358 0,3223 0,3085 0,2944 0,2801 0,2654 0,2505 0,2352 0,2195 0,2036 0,1878 0,1706 0,1535 0,1361 0,1182 0,1000 0,0812 0,0621 0,0424 0,0223 0,0000 -0,0195 -0,0412 -0,0635 -0,0864 -0,1100 -0,1342 -0,1591 -0,1847 -0,2111 -0,2383 -0,2663 -0,2931 -0,3248 -0,3555 -0,3878 -0,4202 -0,4542 -0,4894 -0,5259 -0,5638 -0,6031 -0,6439

0,8795 0,8776 0,8756 0,8736 0,8716 0,8696 0,8676 0,8655 0,8634 0,8613 0,8592 0,8571 0,8550 0,8528 0,8506 0,8484 0,8462 0,8439 0,8416 0,8393 0,8370 0,8347 0,8323 0,8299 0,8275 0,8251 0,8224 0,8203 0,8178 0,8153 0,8128 0,8102 0,8076 0,8050 0,8024 0,7998 0,7972 0,7945 0,7918 0,7891 0,7863 0,7835 0,7807 0,7779 0,7751 0,7723 0,7695 0,7667 0,7638

-1,8765 -1,9236 -1,9712 -2,0193 -2,0679 -2,1170 -2,1667 -2,2169 -2,2676 -2,3189 -2,3707 -2,4231 -2,4760 -2,5296 -2,5838 -2,6385 -2,6939 -2,7499 -2,8066 -2,8639 -2,9219 -2,9805 -3,0400 -3,0991 -3,1609 -3,2225 -3,2898 -3,3480 -3,4120 -3,4768 -3,5425 -3,6092 -3,6767 -3,7453 -3,8147 -3,8852 -3,9568 -4,0295 -4,1032 -4,1781 -4,2543 -4,3318 -4,4107 -4,4910 -4,5727 -4,6560 -4,7410 -4,8276 -4,9160

π

3.16 3.18 3.20 3.22 3.24 3.26 3.28 3.30 3.32 3.34 3.36 3.38 3.40 3.42 3.44 3.46 3.48 3.50 3.52 3.54 3.56 3.58 56

0,7470 0,7427 0,7383 0,7339 0,7294 0,7249 0,7204 0,7158 0,7111 0,7064 0,7016 0,6967 0,6918 0,6869 0,6819 0,6768 0,6717 0,6665 0,6613 0,6560 0,6506 0,6454 0,6398 0,6343 0,6287 0,6230 0,6168 0,6115 0,6057 0,5997 0,5937 0,5876 0,5815 0,5753 0,5691 0,5628 0,5564 0,5499 0,5433 0,5366 0,5299 0,5231 0,5162 0,5092 0,5021 0,4950 0,4878 0,4805 0,4731

1,1445 1,1473 1,1501 1,1530 1,1559 1,1589 1,1619 1,1650 1,1681 1,1712 1,1744 1,1777 1,1810 1,1844 1,1878 1,1913 1,1948 1,1984 1,2020 1,2057 1,2095 1,2133 1,2172 1,2212 1,2252 1,2292 1,2336 1,2376 1,2419 1,2463 1,2507 1,2552 1,2597 1,2644 1,2691 1,2739 1,2788 1,2838 1,2889 1,2940 1,2992 1,3045 1,3099 1,3155 1,3212 1,3270 1,3328 1,3387 1,3447

η 2 (V ) 0,3075 0,2968 0,2860 0,2751 0,2641 0,2531 0,2420 0,2307 0,2192 0,2080 0,1968 0,1850 0,1734 0,1616 0,1498 0,1379 0,1261 0,1138 0,1016 0,0893 0,0770 0,0646 0,0520 0,0394 0,0267 0,0139 0,000 -0,0118 -0,0249 -0,0380 -0,0512 -0,0646 -0,0780 -0,0915 -0,1051 -0,1187 -0,1324 -0,1463 -0,1602 -0,1742 -0,1884 -0,2026 -0,2169 -0,2313 -0,2457 -0,2602 -0,2748 -0,2894 -0,3042

V

ϕ1 = (V ) ϕ 2 = (V ) ϕ 3 = (V )

ϕ 4 = (V )

η1 (V )

3.60 3.62 3.64 3.66 3.68 3.70 3.72 3.74 3.76 3.78 3.80 3.82 3.84 3.86 3.88 3.90 3.92 3.94 3.96 3.98 4.00 4.02 4.04 4.06 4.08 4.10 4.12 4.14 4.16 4.18 4.20 4.22 4.24 4.26 4.28 4.30 4.32 4.34 4.36 4.38 4.40 4.42 4.44 4.46 4.48 4.50 4.52 4.54 4.56

-0,6862 -0,7303 -0,7763 -0,8243 -0,8745 -0,9270 -0,9819 -1,0395 -1,0999 -1,1634 -1,2303 -1,3009 -1,3754 -1,4543 -1,5380 -1,6268 -1,7214 -1,8227 -1,9310 -2,0473 -2,1725 -2,3074 -2,4547 -2,6142 -2,7888 -2,9806 -3,1915 -3,4262 -3,6877 -3,9824 -4,3155 -4,6970 -5,1369 -5,6516 -6,2607 -6,9949 -7,8956 -9,0306 -10,503 -12,523 -15,330 -19,703 -27,349 -44,148 -111,57 +227,80

0,7609 0,7580 0,7550 0,7520 0,7488 0,7457 0,7425 0,7393 0,7361 0,7329 0,7297 0,7265 0,7232 0,7199 0,7166 0,7133 0,7099 0,7065 0,7031 0,6996 0,6961 0,6926 0,6891 0,6855 0,6819 0,6783 0,6747 0,6710 0,6673 0,6635 0,6597 0,6559 0,6521 0,6482 0,6443 0,6404 0,6364 0,6324 0,6284 0,6243 0,6202 0,6161 0,6119 0,6077 0,6034 0,5991 0,5948 0,5905 0,5861

-5,0062 -5,0984 -5,1928 -5,2895 -5,3886 -5,4899 -5,5947 -5,7020 -5,8124 -5,9262 -6,0436 -6,1650 -6,2906 -6,4203 -6,5561 -6,6968 -6,8435 -6,9972 -7,1582 -7,3274 -7,5058 -7,6942 -7,8952 -8,1087 -8,3376 -8,5839 -8,8496 -9,1394 -9,4562 -9,8065 -10,196 -10,633 -11,129 -11,701 -12,367 -13,158 -14,116 -15,309 -16,840 -18,918 -21,783 -26,215 -33,920 -50,779 -118,26 +221,05

0,4656 0,4580 0,4503 0,4425 0,4345 0,4265 0,4184 0,4102 0,4010 0,3935 0,3850 0,3764 0,3677 0,3588 0,3498 0,3407 0,3315 0,3221 0,3126 0,3030 0,2933 0,2834 0,2734 0,2632 0,2529 0,2424 0,2318 0,2210 0,2101 0,1990 0,1877 0,1762 0,1646 0,1528 0,1409 0,1288 0,1165 0,1040 0,0912 0,0781 0,0648 0,0513 0,0376 0,0237 0,0096 -0,0048 -0,0194 -0,0343 -0,0495

1,3508 1,3571 1,3635 1,3700 1,3766 1,3834 1,3903 1,3973 1,4044 1,4117 1,4191 1,4267 1,4344 1,4423 1,4503 1,4584 1,4667 1,4752 1,4838 1,4928 1,5018 1,5110 1,5204 1,5301 1,5400 1,5501 1,5604 1,5709 1,5816 1,5925 1,6036 1,6150 1,6267 1,6482 1,6510 1,6637 1,6767 1,6899 1,7033 1,6243 1,6202 1,6161 1,7602 1,7754 1,7910 1,8070 1,8234 1,8402 1,8575

η 2 (V ) -0,3191 -0,3340 -0,3491 -0,3643 -0,3797 -0,3951 -0,4107 -0,4263 -0,4420 -0,4578 -0,4736 -0,4895 -0,5056 -0,5217 -0,5379 -0,5542 -0,5706 -0,5871 -0,6037 -0,6204 -0,6372 -0,6541 -0,6710 -0,6881 -0,7053 -0,7225 -0,7398 -0,7573 -0,7749 -0,7925 -0,8103 -0,8231 -0,8460 -0,8641 -0,8822 -0,9004 -0,9188 -0,9372 -0,9557 -0,9744 -0,9931 -1,011 -1,0309 -1,0499 -1,0691 -1,0884 -1,1077 -1,1231 -1,1457 57

V 4.58 4.60 4.62 4.64 4.66 4.68 4.70 3π/2 4.72 4.74 4.76 4.78 4.80 4.82 4.84 4.86 4.88 4.90 4.92 4.94 4.96 4.98 5.00 5.02 5.04 5.06 5.08 5.10 5.12 5.14 5.16 5.18 5.20 5.22 5.24 5.26 5.28 5.30 5.32 5.34 5.36 5.38 5.40 5.42 5.44 5.46 5.48 5.50 5.52 58

ϕ1 = (V ) ϕ 2 = (V ) ϕ 3 = (V ) -0,0650 -0,0808 -0,0969 -0,1133 -0,1301 -0,1472 -0,1646 -0,1755 -0,1824 -0,2005 -0,2190 -0,2379 -0,2572 -0,2770 -0,2973 -0,3181 -0,3385 -0,3612 -0,3834 -0,4061 -0,4293 -0,4530 -0,4772 -0,5022 -0,5280 -0,5545 -0,5818 -0,6099 -0,6388 -0,6685 -0,6999 -0,7306 -0,7630 -0,7964 -0,7310 -0,8668 -0,9039 -0,9423 -0,9821 -1,0233 -1,0660 -1,1103 -1,1583 -1,2043 -1,2544 -1,3067 -1,3612 -1,4181 -1,4777

1,8752 1,8933 1,9119 1,9310 1,9507 1,9710 1,9919 2,0052 2,0134 2,0355 2,0582 2,0816 2,1056 2,1304 2,1560 2,1824 2,2096 2,2377 2,2667 2,2966 2,3275 2,3594 2,3924 2,4266 2,4620 2,4986 2,5365 2,5757 2,6164 2,6587 2,7027 2,7485 2,7961 2,8454 2,8968 2,9504 3,0064 3,0648 3,1257 3,1893 3,2559 3,3257 3,3989 3,4757 3,5563 3,6409 3,7298 3,8234 3,9222

ϕ 4 = (V ) 0,5817 0,5772 0,5727 0,5681 0,5635 0,5589 0,5543 0,5514 0,5496 0,5449 0,5402 0,5354 0,5305 0,5255 0,5205 0,5155 0,5105 0,5054 0,5003 0,4951 0,4899 0,4846 0,4793 0,4739 0,4685 0,4630 0,4576 0,4520 0,4464 0,4407 0,4350 0,4292 0,4234 0,4175 0,7116 0,4056 0,3996 0,3931 0,3873 0,3811 0,3748 0,3685 0,3621 0,3556 0,3491 0,3425 0,3358 0,3291 0,3223

η1 (V )

η 2 (V ) -1,1662 -1,1861 -1,2060 -1,2250 -1,2461 -1,2663 -1,2865 -1,2992 -1,3069 -1,3274 -1,3480 -1,3686 -1,3896 -1,4105 -1,4316 -1,4528 -1,4743 -1,4954 -1,5169 -1,5385 -1,5602 -1,5821 -1,6040 -1,6261 -1,6483 -1,6706 -1,6929 -1,7155 -1,7381 -1,7609 -1,7838 -1,8058 -1,8299 -1,8532 -1,8765 -1,9000 -1,9236 -1,9477 -1,9712 -1,9952 -2,0193 -2,0435 -2,0679 -2,0924 -2,1170 -2,1418 -2,1667 -2,1917 -2,2169

V 5.54 5.56 5.58 5.60 5.62 5.64 5.66 5.68 5.70 5.72 5.74 5.76 5.78 5.80 5.82 5.84 5.86 5.88 5.90 5.92 5.94 5.96 59.8 6.00 6.02 6.04 6.06 6.08 6.10 6.12 6.14 6.16 6.18 6.20 6.22 6.24 6.26 6.28 2π

ϕ1 = (V ) ϕ 2 = (V ) ϕ 3 = (V ) -1,5402 -1,6059 -1,6751 -1,7481 -1,8252 -1,9065 -1,9920 -2,0833 -2,1804 -2,2838 -2,3944 -2,5130 -2,6406 -2,7777 -2,9262 -3,0876 -3,2634 -3,4563 -3,6678 -3,9018 -4,1603 -4,4547 -4,7816 -5,1589 -5,5845 -6,0653 -6,6753 -7,3699 -8,2355 -9,2939 -10,646 -12,440 -14,921 -18,594 -24,575 -36,100 -67,436 -492,67 −∞

4,0267 4,1374 4,2549 4,3794 4,5118 4,6526 4,8026 4,9629 5,1346 5,3190 5,5173 5,7314 5,9628 6,2140 6,4873 6,7859 7,1132 7,4738 7,8726 8,3163 8,8122 9,3706 10,004 10,727 11,561 12,534 13,683 15,060 16,739 18,832 21,511 25,065 29,999 37,308 49,255 72,272 135,03 984,32 +∞

ϕ 4 = (V ) 0,3154 0,3085 0,3015 0,2944 0,2873 0,2801 0,2727 0,2654 0,2580 0,2505 0,2429 0,2352 0,2374 0,2195 0,2116 0,2036 0,1955 0,1873 0,1790 0,1706 0,1621 0,1535 0,1448 0,1361 0,1272 0,1182 0,1091 0,0999 0,0906 0,0812 0,0717 0,0621 0,0523 0,0425 0,0324 0,0223 0,0121 0,0017 0

η1 (V )

η 2 (V ) -2,2422 -2,2676 -2,2932 -2,3189 -2,3447 -2,3707 -2,3969 -2,4231 -2,4495 -2,4760 -2,5027 -2,5296 -2,5466 -2,5838 -2,6111 -2,6385 -2,6661 -2,6939 -2,7218 -2,7499 -2,7782 -2,8066 -2,8352 -2,8639 -2,8928 -2,9219 -2,9512 -2,9805 -3,0102 -3,0420 -3,0699 -3,0991 -3,1304 -3,1609 -3,1916 -3,2225 -3,2535 -3,2848 -3,2898

59