Алгебра и логика, 39, N 6 (2000), 662—692
УДК 512.552.32
АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ТЕЛО МАКАР-ЛИМАНОВА П. С. КОЛЕСНИКОВ Введение
Понятие алгебраически замкнутого тела (алгебры Ли, группы) в смысле разрешимости произвольных уравнений было впервые предложе но Л.А.Бокутем [1—3]. До этого в [4] рассматривалось понятие алгебраически замкнутой группы в смысле разрешимости любого "совместного" уравнения (или системы уравнений). Это соответствует обычному теперь в теории моделей понятию алгебраически (экзистенциально) замкнутой группы (см., например, [5]). В частности, в [3] (работа является изложе нием доклада на конференции по универсальной алгебре, Варшава, 1965) были поставлены две проблемы: 1. Существуют ли алгебраически замкнутые тела? 2. Существуют ли алгебраически замкнутые группы? Положительным
ответом на первый вопрос является
пример
Л. Г. Макар-Лиманова [6]. Его результат (а он был доложен, в частности, на семинаре по теории колец в Новосибирске в 1977 г.) остается пока од ним из немногих фундаментальных результатов в (будущей) теории неком мутативных алгебраически замкнутых тел. Другим важным результатом является теорема Р. М.У. Вуда [7] о том, что тело кватернионов алгебра ически замкнуто в смысле Кона [8]. Интересно, что доказательство тео ремы [7], как и "основной теоремы алгебры", не является чисто алгебра ическим. Обзор П. М. Кона [8] намечает широкую программу исследова-
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
Алгебраически замкнутое тело Макар-Лим&нова,
663
ний алгебраически замкнутых в различных смыслах тел. Отметим, что не всякая ассоциативная алгебра вложима в алгебраически замкнутую в смы сле разрешимости произвольных уравнений. Например, ни в каком расши рении тела кватернионов не разрешимо так называемое "Metro-equation" ax — xa = 1 (его придумал П. М. Кон в парижском метро во время беседы с Ш.Амицуром, см. [9]). Отметим также результат Л. А. Бокутя [2], со гласно которому в случае алгебр Ли дело обстоит несколько проще: любая алгебра Ли вложима в алгебраически замкнутую в смысле разрешимости произвольных уравнений. Пока остается открытой проблема, поставлен ная в [8], о вложимости любого тела в алгебраически замкнутое в смысле существования собственных значений у любых квадратных матриц над этим телом. §1* Конструкция Построим некоммутативное тело А, удовлетворяющее условиям сле дующего определения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Тело А с центром F называется алгебраически залгкнутпым, если для любого S(x) Е А * F[#]\,4 существует элемент a € А такой, что S(a) = 0 (* означает свободное произведение). Пусть F — алгебраически замкнутое поле характеристики О, G — коммутативная группа, порожденная элементами 7) A l
а**1 г>Лг
а^2
где A,,/i, G Q, p»-, qi — символы некоторого счетного алфавита. Эта груп па изоморфна прямой сумме счетного числа аддитивных групп рацио нальных чисел Q. Определим лексикографический порядок на G, счи тая, что pi <С
• • • < 1. Здесь а <С Ь означает, что а11 < Ь
при всех п > 0. Соответственно, р'х'1 > Gn = ( p ^ , C , ^ ; + i \ - - - > , G(m)
q±l >
• •• > 1. Обозначим
= (pj 1 , «?,...,«&">• Очевидно, Gn изо-
морфно G. По группе G и полю F построим множество рядов Мальцева—
664
П. С. Колесников
Неймана 21. Элементы а £ 21 имеют вид а= V
а(д)д, На С G вполне упорядочено, а(#) 6 ^ \ { 0 }
(множество Я а будем обозначать через suppa). Выберем подмножество А множества 21 следующим образом: А = {а Е 211 suppa С G(n(a))}Соответственно будем обозначать Ап = {a E A | suppa С G n } , A(nj = = {а£ А\ suppa С
дрп ~Рк
дРп>
дРп ~Рк
дРп^Чк
дРп'
ggfc.fi __ -\дЧк dqn ~~Qk dqn'
дрк+i = 0 dqn ~" '
Неформально эти формулы можно понимать так, что при к J> n перемен ные Pk+i, gfc+i — сложные функции двух независимых переменных p n , g n , причем зависимость осуществляется посредством функций рк, qk: Pfc+x = P*+i(p*»g*)» dpk+l #Pfc
1 ^ ± 1 _ k
dqk
П
g*+i(p*,gJb), frft+l
дрк
-1 к
flg*+l dqk
-1
^ -x
k
Будем обозначать f-f- = xn% , ~ f = X J , Операции ?p-, ^ - распространяются на G\ по обычным правилам. Очевидно, что производные элементов g £ Gn по pi, gi — это элементы А п (носитель производной элемента группы конечен). Чтобы распростра нить эти дифференцирования на А по линейности, необходимо обосновать корректность такого продолжения, а именно, что аР1, aqi € А, если только а £ А. Для этого докажем, что имеет место следующая
Алгебраически замкнутое тело Макар-Лиманова
665
Л Е М М А 1.1. Пусть a £ A, h £ G, х £ {Pi,qi}-
Тогда h мо
жет встретиться г:
~
Y1
лишь в конечном числе слагаемых суммы ах
=
а
(в)9х1 множество suppa x вполне упорядочено. Иначе говоря,
gesuppa
ах определено в А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вначале проведем доказательство для aqi. Будем сейчас понимать suppa gi как последовательность, содержащую столько вхождений элемента h £ &\ сколько раз он встречается в каче стве слагаемого в сумме Yla{9)9q\* Пусть а £ А(ту Предположим, что suppa gi содержит бесконечную невозрастающую последовательность {#W}. Тогда существует возраста ющая последовательность gW £ suppa, для которой (]Г a(g^)g^)
не
определено в А, причем supp^j ^ supp^j при г > j . Если g,h £ G, g > h. s\xppgqi ^ snpphqi,
то обязательно gh~l £ t?2-
Это же верно и для дифференцирования по р\. Поэтому gW £ g^G2 для любых i, j . Пусть gW = p^gj 1 #2 » тогда
=
tftf^EWV
+tf«Г1 (£ak(,"W°)e-
Первое слагаемое последнего выражения определено в А, следовательно, (Sa(#^)#2 )
не
определено. Аналогичные рассуждения показывают,
что у последовательности д^ имеется бесконечная подпоследовательность §2 , для которой #^' £ <72 Сз при любых г, j , значит, #W Е g^G$.
По
вторяя подобные рассуждения га раз, получаем, что suppa содержит бес конечную последовательность одинаковых элементов, а это не так. Для аР1 доказательство аналогично, только
По доказанному выше не только первое, но и второе слагаемое последнего выражения определено в А, значит, последнее — не определено, и т. д. Введем также нормирование на А. Для 0 ф а £ А полагаем \а\ — = rnin suppa, |0| = 0, Будем считать, что 0 > #, д £ G.
П. С. Колесников
666
Легко вывести следующие соотношения: (1.2) они
Для элементов
проверяются непосредственно. Покажем
справедливость этих неравенств для х = д £ G. Если д = (р®1 .. .у?"", то
9Pl
_aj-ld
=^2aj Vi
dpi
\gPi | > min < V
IK'«W ) > Pi V
i*j
Для x =: a e A \aPl | > minsuppa|<7Pl | > p^1 minsuppa = p ^ l a j . Определим (как и в [6]) умножение * на А: а, б £ А , « * b = ^ - a g j b p j .
(1.3)
i>0
Оно корректно, т. е. для любых a, fr £ А результат а * 6 снова является элементом А: по (1.2) \aqib % | > (pi9i)""'la^i- Д л я любого д £ G существует номер j такой, что \а jb ;| > д. Поэтому д может встретиться лишь в конечном числе членов суммы (1.3). Легко проверить, что операции ?£-, •£- ведут себя как дифферен цирования по отношению к умножению *, следовательно, верна формула Лейбница. Докажем ассоциативность операции *. Пусть а, 6, с — элементы А, тогда
(а* 6)* с = Х)л( а * Ь ^( с р{ i>0
V* 6 «r iv,
zL< ,•? 1 2 ^ j>0
#
\j>0
W,
Алгебраически замкнутое тело Макар-Лимаяова
667
С другой стороны, проделав аналогичные выкладки, получаем
a
g{^M" c p5~ m+n *
Легко видеть, что эти выражения совпадают с точностью до замены ин дексов l~j
+ k,n~i
— j,m = k (г = / — m + n).
Таким образом, построенная система (Л,+,*,||) является ассоциа тивной алгеброй с нормированием. Тот факт, что это тело, следует из раз решимости в А уравнения а * х = 1. Существование этого решения может быть доказано независимо но схеме §4 (см. также § 6). Л Е М М А 1.2. Центр алгебры А состоит из элементов а • е, где a G F и е — единица группы G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Z = С(А), / G ЯП Л (то) , / = Х > 1 * •' • J&w/Ai...Am;
SU
PP/Ai...Am С
.
A
Используя очевидные равенства [/,pi] = / g i , [ ? ь / ] = / P l , где [а, 6] = a * b ~ b * a, получаем
A
Отсюда (/Ai...Am)qi — 0. Предположим, что среди fx1.,.\m находится эле мент /г, у которого supp/i / е. Тогда h = S t f i * ^ г Д е ^ € А2, и
Значит, \хЬ,р + {h^)q2 = 0. Это возможно только в том случае, если /U = О и (НЦ)Я2 = 0, поскольку КЛ^)^| > IffJ 1 ^! > |A/i|. Таким образом, Л б А 2 , Л й = 0. Аналогичное рассуждение показывает, что h 6 A3, й дз = 0 и т. д. Отсюда supp/г, С f\Gk
= {е} и s u p p / С (tff* | г = 1 , . . . , ттг,/2г £ Q).
Пользуясь [gi, / ] = fpi, аналогичным образом получаем s u p p / = {e}. Л Е М М А 1.3. Для любого нетривиального обобщенного полинома S(x) G А * F[a]\A существует элемент а £ А такой, что S(a) ф 0,
668
П. С. Колесников
т . е. А не удовлетворяет никакому обобщенному полиномиальному
то
ждеству (GPI). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если А удовлетворяет некоторому GPI, то, по известной теореме [10], оно конечномерно над своим центром. По лем ме 1.2, А бесконечномерно, следовательно, не является GPI-телом.
§ 2. Однородные операторы
Введем понятие, обобщающее понятие однородного многочлена из
A*F[x], ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Однородным оператором над Ап называется
выражение
sn(x)^j2f^x(iuJl)'--x{tk,Jk^
( 2Д )
где г = (ix. ..i*), j = ( j i . . .J*), fhJ G An, x — общий элемент АП1 если выполняются следующие три условия: (1) существует m такое, что fh3 £ A(m) для всех г, j ; (2) для любого # £ <3П, аг £ Л п неравенству \ftiJxlil'jl)...xlik'jk)\
удовлетворяет лишь конечное число слагаемых Sn(x)\ (3) все слагаемые имеют одинаковую степень по ж, ее обознача ют degSn(x)
(= k).
Если некоторый однородный многочлен S £ A* F[x]\A записать че рез коммутативное умножение • вместо
*, пользуясь (1.3) и формулой
Лейбница, то полученное выражение вида (2.1) является однородным опе ратором над А. Заметим, что в силу леммы 1.3 не все fhJ равны нулю. Обозначим множество однородных операторов над Ап через Сгруппировав слагаемые^ получаем
£„(*) = £
K+'^+J5*',i,s(x),
0(Ап).
Алгебраически замкнутое тело Макар-Ливанова,
669
где Sn^,s —~ операторы с коэффициентами из А п +ь содержащие i диф ференцирований по рп и j дифференцирований по qn. Если х £ A n +i, то (х) £ Ап+х. Отсюда, если Sn(x) = 5^р^вА5п,г|в(я?), ВДе Sn>r,8 = ] £ Р п в £ % Л ( ж ) , то из свойства (2) определения 2.1 следует, что {p£<j£} вполне упорядочено и каждый из операторов 5n?r?<s содержит лишь конечное число слагаемых. Пусть РпЯп ^
т п
^ {РпЯп}- Назовем старшей частью Sn G 0(Ап)
оператор
ЛЕММА. 2.1. Пусть Sn € 0 ( A n ) , degS n = fc, ж G Ап+\. Тогда Sn^p?Xx)=PnUVnVSn+i(x), где Sn+i G 0 ( A n + i ) . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если ж £ А п + 1 , то Зж __ / дх 5р„ " \дрп+1
дх \ dqn+i)
„j n
<9ж _ дх dqn~~ dqn+i
_! '
n
отсюда (pUnQ>fUJl) • • • (Punq»('k'}k)
=
jfr-^tf-^Sn+^jix).
Отметим, что Sn+i,i,j(x) содержит лишь конечное число слагаемых, поэто му 5 n + i ? 4 J (x) G 0 ( А п + ] ) . Имеем с
_ V ^ ni j qij
в этой сумме конечное число операторов Sn?r,s, в каждом из них J2г* ~ h Hit = j \ поэтому p ^ S ^ r , * е
0(Ап+г).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пусть Sn G 0(An)y
panqbnSn^b -~ его старшая
часть. Обозначим через Д и , г (5„) оператор 5 n+i (a?) = Рп*"д;Г**5П|а,ь(р;(9£ж) (ж € А п +1), операцию перехода от 5„ к 5 n + i назовем ад, v-шагом. Для двух элементов #,/i £ G n положим # < /i (modG n +i), если об раз g в фактор-группе Gn/Gn+i меньше образа h>
670
П. С. Колесников Л Е М М А 2.2. Пусть Sn 6 0{Ап),
f» = РпЯп/n+i + f'n, где / n + 1 6 An+l,
degS n = k, Sn =
panqbnSn^b,
| / ' „ | > p«g« (modG n + 1 ). 2ЪгА»
|5„(/„)|>^u+a^+6(modGn+1), причем равенство достигается в том и только в 'том случае,
если
A«,w(Sn)(/n+i)^0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Sn(fn) = Х)Л?»5„,г,.(/п),
5,, Г ,Л/ П ) - ^ Р ^ ^ 5 ^ ] ( / п ) .
Коэффициенты операторов Sn,r,s лежат в A n +i, поэтому и в силу (1.2)
Следовательно, |5 П , Г | ,(/ Я )| > Pknuqknv (modG n+1 )," |5„(/„)| > j£ tt+e tf* v+b (modG„4i)- Равенство выполняется, если |5„, а ,ь(/ п )| = PnUQnV (modGfn-fi). Запишем Sn,a}b{fn)
Остальные (f'n)^
= 5„,a,6(Pn^/n+l) + • • • •
(невыписанные)
члены
? п о норме больше p^q„v
этого
разложения,
содержащие
(modG^+i). Поэтому
0 ф Sn,a,b(PUnQUn+i)
=pknuqknv&u,ASn)(fn+i).
Если Д и> „(5„) = 5„+1, S„+i(/„ + i) ^ 0, то
|5„(pX/»+i)l = p^ +a e' +6 |5n +1 (/n + i)i, |5„(pX/n+i) -^u+e9nV+b5n+i(/„+1)| > |5„(pX/n+i)|. Обозначим через deg 1 5„, deg 2 5 n наибольшее общее число диффе ренцирований по рП) qn соответственно, встречающееся среди слагаемых S n (#), если это число конечно. Л Е М М А 2.3. Если Sn Е 0{An), всех гг, г;.
Sn{x) ф 0, то Д„ ||; (5„) ф 0 для
Алгебраически замкнутое тело Макар-Лямаяова
671
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть
(».j)6/
где % - deg 1 Sn^j\
j = deg 2 Sn^\
При х E A n + 1
Здесь i' ^ i, причем при г' = i имеет место jf' ^ j ; T ^ x получен из Sn(1'*' заменой ^
на д ^ - , ^
на д ^ - . Поэтому Г ^ х ф 0. Если выбрать а =
= max{i j ( г , / ) € J } , b = max{jf | (a, j ) Е / } , то для Г^Д не найдется подобного члена и он не сокращается. Рассмотрим, как ведут себя однородные операторы при последова тельном применении и, v-шагов. Для элемента a Е An\F определим чис ло m следующим образом: m ~ max{r ^ n \ a Е Л( г )\Л( г „х)}. Шириной элемента а Е Ап называется число wn(a) = т ~ п + 1, если а $ к, и wn(a) = 0, если а £ &. Ширина w(Sn) оператора Sn Е 0(А П ) определяется как максимум ширины его коэффициентов (это число всегда конечно). Пусть Sn Е 0(Ап),
S n + i = AWjU(5„), w(Sn) > 0. Если w(Sn) = m - n +
+ 1, то w(5 n + i) ^ m - (n + 1) + 1 < w(Sn). Таким образом, itf(5n+i) < < w(S n ). Значит, любой S Е 0(А П ) после применения конечного (не более w(Sn))
числа любых гцгыпагов превращается в оператор S' E 0(Ani)
с
коэффициентами из F (ширины нуль). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Оператор Sn E 0(Ап) называется чистым, ес ли Sn = Sn и все его коэффициенты лежат в F. Множество чистых опе раторов обозначим через
С(Ап).
Л Е М М А 2.4. Пусть Sn Е О (An) — оператор с коэффициента ми из F, 5 n + i = AUtV(Sn).
Тогда deg1 5 n + i ^ d e g 2 5 n . Если deg 1 5 n + ] =
~ deg 1 S n , mo deg2 S n +i $C deg2 S n . Если оба предыдущих соотношения — равенства, то S n +i получается из Sn заменой тр~ на ^-^— и -^~ — на
672
П. С. Колесников
0~—• (Следовательно, Sn инвариантен относительно этого и, v-шага.) Кроме того, deg 1 Sn+i + deg 2 Sn+i < deg1 Sn + deg 2 Sn. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как AS = AS, можно считать, что Sn e 6 С (An). Пусть 5„ = p~rq-s(prnqanSn),
Sn = p - r ? - s 5 r l ( _ r , _ s . Имеем
как и в лемме 2,3. Получаем S n +i(x) = S^n-n» г Д е *' ^ г ;
если г
' = Г>
то
/ ^ s; если г7 = г, jf = s, то Т ^ х найден из 5„ заменой дифференцирова ний. Учитывая равенство (deg1 S„+i, deg1 5 n +i) = min(i / ,j / ), видим, что при (г, s) = min (г',/) оператор S n +i состоит из одного слагаемого ТггДх, следовательно, инвариантен. С Л Е Д С Т В И Е . Любой оператор Sn G 0(Ап) после применения ко нечного числа и, v-шагов становится инвариантным относительно неко торого и, v-шага. После w{Sn) шагов полученный оператор Sm можно считать чистым. В дальнейшем, если он не инвариантен относительно некоторого гг, и-шага, то степени deg 1 или deg2 убывают при применении данного шага (см. лем му 2.4). Поэтому после 2 deg1 Sm + deg2 Sm гг, v-шагов получаем оператор S(x) — ахк, а £ F. инвариантный относительно любого и. и-шага. Если указанные степени не меняются при некотором шаге, то, по лемме 2.4, этот оператор инвариантен относительно данного и, и-шага. Обозначим множество инвариантных операторов через InvUjV(.An), ниже приводится его полное описание. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2.5. Пусть S{x) £ InvUtV(An). к
к т
х
т
— ах , если v ф О, и S(x) = ах ~ (х(°' )) >
Тогда S(x) =
если v = 0; здесь а £ F.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проведем индукцию по к = deg 5 . Для deg = — 1 непосредственные вычисления показывают, что &щу(хЩ
= х(а& + ах^-1'**1)
+lbv~
х^ь^
+ ....
Отсюда сразу следует, что а = 0. Если Ь = 1, то v = 0. Предположим, Ь > 1. Тогда v = (6 — 1)/2 — целое число (иначе возникает член, не содержащий
673
Алгебраически замкнутое тело Макар-Лимаяова производных). Подсчитаем коэффициент при х^0^:
Это выражение отлично от нуля, поскольку
и 1/(6 — k) ~ монотонная последовательность. Будем ix, и-шаг обозначать через А, соответствующее множество инвариантных однородных операторов (над Ап) — через Inv(A„). При deg S > 1 введем следующее упорядочение производных: #(а>6) больше, чем x(cd\
если либо a + b > c + d} либо a + b =^ c + d и a > с. Пусть x(Qyb> — стар ее шая в этом смысле производная в операторе 5. Тогда 5 = J2 (z ( a ' b ) ) e S ( e ) , е=0
где 5^е) не содержит xia>b\ d ^ 1. Имеем
&(x(°»)d = (х1°»У + d (AXM - х^)
(Ах^У'1
+....
Поэтому
AS(x) = (х^У + (х^У'1
(AS^
AS{d)+
+ d(Ax(°» - x^)ASW)
+...,
причем Д ж (а,Ь) _
x(a,b)
не содержит x^a,b\ Тогда AS^ AS^-V
+ d (Да;(0'ь) - x
= S(dh Отсюда и из
= S^" 1 ) получаем, что
Если d > 1, то deg (S( d_1 ) + da;( a ' b 'S^) < deg 5. По предположению ин дукции (a, 6) = (0,0) или (a, Ь) = (0,1), и утверждение верно. Рассмотрим случай d = 1, 5 (ж) = (S<0) + х ^ Э Д 1 ) ) . Следующие две леммы завершают доказательство. ЛЕММА
2,6. Если S инвариантно относительно 1
и} v-шага, то deg 5 = 0.
некоторого
П. С- Колесников
674
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Случай 1: v ф 0. Во введенных выше обозна + x(a,b)S(l\
чениях
где S^
G Inv(A n ) имеет меньшую степень. = axk~l,
По предположению индукции выполняется S^ AS = 5 , А5(°) - 5(°) = axk-l(xlaM
a £ F, Имеем
- Ах(аМ). При а ф 0 правая часть
этого уравнения содержит x(a~~l>b+l\ но в левую часть подобный член не может входить, поскольку наибольшая производная, в S^
меньше, чем
д.(а-1,6+1) в
С л у ч а й 2; v = 0, и ф 0. Тогда S*1) = а (а?*0»1))"1 a?*-™-1, deg 1 S =^ а. Если а ^ 0, то A (x(aMsM)
содержит x ^ ^ S ^ .
Если s(°-i.6+i) не
входит в 5^°), получаем а = 0 аналогично случаю 1. Если ajfa-^H-i) входит в запись оператора S^°\ то эта производная — старшая в нем. Тогда
S^
можно представить в виде, аналогичном использованному для 5 : 5
(o)^(>-i,b+i)y'5[o,,] f-0
Если здесь d > 1, то S ^ £ Inv(A n ), (случай а = 1, Ь = 0 легко исключить из рассмотрения) deg1 5 = а = (а — l)d, а и с/ — положительные целые, поэтому а = d = 2. Имеем 5 = s ^ S * 1 ) + ^ . H i ^ p ) , ! ] + (ж(1.ь+1))2 5[о,2] + + 5^0,°^. Из условия AS = S, приравнивая слагаемые при а^ 1 ^* 1 ), получаем 2AS(!) + A S ^ + 2(Дж( 1 ' 6+1 ) - я ? ( 1 . 6 +1))д5М - ж(1,Н1))5[о,23 +
д 5 [од] +
25(0 = s№.
=
5[<М],
т. е. 2(Ах( 1 ' ь + 1 ) -
Введем Т - 2х(1»&+1>5^21 + S ^ l
Тогда Д Г - Г = - 2 S W , degT < degS, deg1 T = 1, AT - T G Inv(A„). Если d -
1, то 5(°) - 5t°'°] + (a.(«-i.b+i)) 5l<M] и 5 = a ^ S ^ +
+ Sf°'oj + (a;*"-1»6*1)) S[°'1J. Используя Д 5 = 5 и сравнивая коэффициенты при аД0-1»6"1-1), имеем aS^
+ ASt 0 ' 1 ' = Sf0'1!. Здесь мы введем Т как Т =
= 5t°»1'. Заметим, что Д Г - Г = -aS* 1 *. В обоих случаях (d > 1 и d = 1) для оператора Т справедливо: degT < deg5, d e g * T = l , AT - T e Inv(A n ). Существование оператора с данными свойствами приведет нас к противо речию. d
Действительно, запишем этот оператор в виде Г = ]Г (#( с '^) Т ^ , где х(°Л} — наибольшая среди производных из Т (d ^> 1 — новое). По-
Алгебраически замкнутое тело Макар-Лиманова
675
скольку deg Т = 1, то с ^ 1. Если с = 1, то d = 1, а при с = О получаем / > 1. Имеем AT - Г производная х^^
(«(c»/))d ( Д Т ^ - Т ^ ) + . . . . Если
содержится в этом операторе, то она максимальна в
нем. Поэтому ДТ^) — Т^,
иначе бы условия на Т не выполнялись.
Поскольку degT^) < deg 5, по предположению индукции справедливо d e g 1 ! ^ = 0, следовательно, с = 1, d = 1. Итак, Т = X ^ ' ^ T W + Т^°1 Если при этом / = 0, то Г^0) = 0. (В противном случае все производ ные, входящие в Т^°\ меньше, чем x^li0\
а это — только х(°>%\ Получа
ем, что степень deg1 Т ^ = 0, а она должна быть равна 1.) В этом слу чае ДТ - Т = (а^0'1) + их) Т ^ $ Inv(A n ), поскольку даже не однороден по deg 2 . При / > 0 старшая часть оператора ДТ — Т содержит производную x(oj+i)
в степени
i# (Напомним, что и ф 0, Т ^ € Inv(A n ).) Поэтому в запиd
ей оператора Т^0) = ^ (а^ 0 ^ 4 4 ))' Т ^ число слагаемых d > 1. Если с/ > 1, то T[o,d] e
l n v(A n ), а тогда deg 240)
d = 1, Г<°> =
х(о,/+1)Т[од] +
=
0
что неверно. Таким образом, г[о,о]? д т - Т = ж(о,/+1)(Т(1) + д Г [од] _
01
- Г1 ' !) + . . . . Поскольку Д Т - Т е Inv(A n ), то Т ^ - ДТ*0»1! - T ^ l Рас смотрим оператор W = Т^0,11 Он удовлетворяет всем свойствам операто ра Т, но deg ТУ < degT. Теперь достаточно показать отсутствие оператора W с такими свойствами и степени 1. Действительно, если deg 1 W = 1 и deg И7 = 1, то можно полагать И7 — х(1'9\ Если # > 0, то AW — W = = ж(о,<Н-1) + . . . g lnv(A n ). А если # = 0, то Да;*1»0) ~ х ^ 0 ) = ж^ 1 ) + их 0 0Inv(A n ). С л у ч а й 3: гг = t> = 0. Представим S в следующем виде: S = ]Г} ж*5,-, i=o где 5,- не содержит ж. Условие Д 5 = 5 дает 5« 6 Inv(A n ), поскольку Дж(а,ь) не содержит х при а2 + Ь2 ф 0. По предположению индукции deg 1 5 = ~~ deg 1 Sd = 0 для с? > 0. Значит, d = 0. Если мы покажем, что S не содержит производных вида ж(ш>°), то S(x) = S(aj(0,1)), где 5 ' Е Invo,_i(A n ), и рассуждение сводится к преды дущему случаю. Для этого рассмотрим оператор #(*i»o)
. ж(г*'°)5' состав
ленный из слагаемых 5, где 5 ' не содержит ж(п,°), t — максимальное, а
Я. С. Колесников
676
последовательность (i\.. At) максимальна в лексикографическом смысле (можно считать, что i\ ^ • • • ^ г*). Пусть Д означает 0, 0-шаг. Если j ф 0, то Ах^г^
не содержит х^п,0\
поэтому S' 6 Inv(An). Пусть S' — a(x^°^)k~'t,
тогда deg 2 5 ' = deg 2 5 = k - t. С другой стороны, 5 = S<0) + z ^ S W , 5^) = а ^ 0 ' 1 ) ) * - ! . Имеем deg 2 5 = 6 + f c - l , * = 1-6 ^ 1. Таким образом, 6 ^ 0 , если t > 0. Запишем 5 = £ z ( , "' 0 ) % где 5 [ а ] = S*1) = afc* 0 ' 1 ))*' 1 . Пусть а > 1, тогда S[a„i] = aia^ 1 , 1 )^ 0 , 1 ))*" 2 , AS = *<".°> A S W + o ^ 1 ' 0 ) ( A S ^ J - ^ ^ Д 5 ПОЭТОМУ AS[a] Аахх^Цх^1^"2
=
5[0], Д5[ а _!] ~ ^ V ^ 5 W
=
Ы
) 5
+ ..., [а]-
TaK
KaK
= a i ^ ^ ^ - f a ; ' 0 ' 2 ' ) ^ 0 , 1 ) ) ^ 2 , последнее равенство при
нимает вид a l (x( 1 • 1 )
+
Ж(
0 2
• ))(г•(0•1))fc-2-^^(x(o'1))fc~1=al3;(1'1)(x(o'1))fc-^
что невозможно при а > 1. Если же а = 1, то S = x^'^Sji], Д 5 = = (ж(1'°) + a?(W)) 5 W ф 5 . Л Е М М А 2,7. £Ьш 5 € Inv U)t; (A n ), v ^ 0, то deg 2 5 = 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть S e Inv UjU (A n ), и ^ 0. По предыдущей лемме deg 1 5 = 0, тогда S £ lnvoyV(An). Без ограничения общности можно считать, что коэффициенты 5 рациональны. (В общем случае коэффици енты оператора S образуют конечномерное векторное пространство над Q. Если {с,} —- базис этого пространства, а 5 = ХГс*^(ф г Д е коэффициен ты 5(,-) рациональны, то AS = X^c,AS(,).) Будем рассматривать S(x) как дифференциальный оператор, дей ствующий на множестве гладких функций одной переменной у, где х(0^ : f(y) *-* 1^ЧУ)> Инвариантность 5 относительно некоторого и,!миага мо жет быть записана в виде
в соответствии с определением и, и-шага и формул (1.1). Предположим, что 6 ^ 1 , тогда 5(1) = 0. Запишем это как 0 = S(yve'v]ny)
=
ykv-bS(e~vyi).
Алгебраически замкнутое тело Макар-Лиманова Теперь S(e
677
vXi
v) = 0 (для любого рационального Aj — в силу однородно
сти). Действуя аналогично, получаем S(yV" v l n y )exp(-i;Aiexp(lny)) = 0. Следовательно, 5(ехр(—v\2y) exp(--t>Ai ехр(А2у))) = 0 и т . д . Построим по следовательность /TO(Ai, А 2 ,..., А т , у) = exp(A m / m _i) такую, что (f'm)~v = ехр( -иА ш у) exp(-vA m _i ехр(Ашу)) ...exp(-t;Ai ехр(...)) являются решениями S(x) = 0, т. е, для любого п выполняется 5((/£)~ v ) = = 0, Используя предыдущую лемму, при п = 6+2 запишем /„ циональной функции от меньших производных: fn Подобная зависимость производных /4
' в виде ра
= F(f„,...,
/£, /„).
как функций от рациональных
чисел А ] , . . . , Ап приводит к
"п
=
-U'
с>(А ь ...,А п )
поскольку функции гладкие, а множество рациональных чисел плотно. Предположим теперь, что Ь > 1. Тогда п > 3. Покажем, что D n - i = 0, если J9n ЕЕ 0, Обозначим через FT определитель Вронского (W(gi,...,
дп) —
= det | | 5 } Л | | , j = 0 , . . . , п - 1, t = 1 , . . . , п). Тогда
D
-w(*k
Щ
Vn w
- \d\n'-'d\j-
ЗамеТИМ, ЧТО §£*• =
=
fmfm-U
|£~
=
^mfm^f
П
РИ J
<
Ш
> fin
=
^тг = ^m/m/m-i' Будем также пользоваться известной формулой
^(e(i/)6i(i/),...,fl(y)b„(y)) - (a(j/))'W(b 1 (y),...,& n (y)), где a(y) - глад-кая функция. Тогда
Д. = и-(/„/„_„ л „ / „ | ^
=
*
л„/„^1)
^ ) = 0 ,
678
П. С. Колесников
где М ( / , А) — ненулевой множитель. Теперь
"r(*-^--Wls0Записав /^_ 2
по
приведенным выше формулам и проделав элементарные
преобразования, имеем W
( /А-3»/п-3 + ^п-2/п-з/п-31---1^п-2-^—/п--3+ ~^ХГ~ ) ~ °"
Этот определитель представляет собой полиномиальную функцию от Ап_2, поскольку /„_з
не
зависит от Ап_2- Коэффициент при А™!^ равен
тт/ ( ft г rt ft fl/n-3 w UJn™3 \ _ n ^ i /п-3»/п-3/п~3?/п-3^д ^••'/n-3~^T I = U>
и тогда
Умножая это выражение на /£4_2 А£_2, получаем
-('-ffe 1гЬ Аналогично, умножая на /"Г* A"lJ, имеем
Таким образом, мы показали, что из D n = 0 следует D n _i = 0, если п > 3. Теперь достаточно показать, что £>!, £>2, -Оз не равны тожде ственно нулю. (Случай п = 3 соответствует 6 — 1 , 5(ж) = х^ 0 , 1 ^"" 1 , тогда Ao,t;*5 = x^°^xk~l
+ rafc ^ 5.) Непосредственные вычисления по
казывают, что Di = j / / i , D 2 = A 2 (/i/2) 2 , # з = X\X2^lff(f2f3)3
не равны
тождественно нулю. Мы получили противоречие с предположением, что deg 2 S = Ь > 0. Поэтому 5(ж) = ax fc , a £ F . Предложение доказано, приступим к решению уравнений.
Алгебраически замкнутое тело Макар-Лиманова
679
§ 3. Решение уравнения |5(ar)| = g П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3.1. Пусть S G 0(A). Тогда уравнение \S(x)\ = ™ 9i (fli £ С?) WAteem решение х 6 G, причем существует
наибольшее
решение, обозначаемое через xs(gi), со следующими свойствами: a) если g < Л, т о 0:5(5) < xs{h); b) w(xs(g)) < max(w(g) + l,w(S) + 2 deg1 5 + deg 2 5); c) если у € А и \у\ > xs(g), то \S(y)\ > g. (Отметим, что такое решение для уравнения |а*х| = е указать легко: xs(e) = |а| —х .) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дг = p[1qslig2: 92 £ G 2 . Будем искать ж в виде а: = р" 1 ?] 71 ^? ж2 € А 2 . По леммам 2.2 и 2.3 получаем:
где £2 = A U b V l (5i). Пусть щ = (ri — r)/fc, t>i = (si — s)/&. Достаточно будет найти наибольшее решение для ^ ( ж г ) ! = gi и т.д. Аналогичным образом из уравнения |54(ж4)| = gi находим щ, Vi та кие, что Х{ = p^q^Xi+i,
Xi+i E Gi+\. После w(S\) шагов получим опера
тор с постоянными коэффициентами. Продолжим м, v-шаги, выбирая и, v, как и прежде. По следствию леммы 2.4, после 2 deg1 S + deg 2 S шагов мы получим оператор S t , инвариантный относительно некоторого г£,г;-шага. Предложение 2.5 определяет вид этого оператора. Если при этом для со ответствующего gi выполняется w(gi) > 1, то проделаем еще w(gi) - 1 ша гов. При этом текущие и} v могут отличаться от тех, что возникли на г-м шаге, но, как легко заметить, вид оператора 5 7 , j > г, не изменится: если Si = CiXk-mi(x(°^)mi,
то при j > г справедливо S3 = cjXk'mi (a?*0»1))"1'",
может быть, только mj ^ га,-. Поэтому через конечное (не более, чем max(t£;(<7), w(S) + 2 deg1 S + deg2 5)) число шагов исходное уравнение све дем к \xk~m(x(°>l))m\ то х = PjJqj\
= prfqjJ - Последнее легко решается: если т + s3 ф О,
uj = г//&, VJ = ($j + m)/fc; если m + Sj = 0, то x = Pj*qjJ+i J
itj = fj/fc, Vj+i = ra/fc. Окончательно, ж — p " 1 ^ 1 .. -fy+Y • Утверждение п.Ь очевидно следует из конструкции. Проверим п. а.
Л. С. Колесников
680
Пусть д < h, тогда существует г такое, что gh
x
£ G,-\Gt-+i. Поэтому пер
вые г —1и, и-шагов построения х$(д) и x$(h) идентичны (в том смысле, что • ^ •
\
r
•
Uj, Vj для j < г одинаковы), но на г-м шаге имеем pi Ui(h) Vi(h) .
следовательно, pi
v ;
gt>
"1(5) v,-(a)
' > p,-
/ \ ^
t ( M si(h) v /
qi
v ;
.
г{(д)
> pi
si(g)
v /
qi
,
/J \
и a?s(<7) < #5 (ft).
Докажем п. с. Пусть / £ А, | / | > xs{g). Тогда существует г такое, что x
s(g)\f\~l
& Gii xsg\f\~x > 1 (modG t >i). Искомое неравенство следует из
последовательного применения леммы 2.2. Таким образом, построено максимальное решение уравнения \S(x)\ = = д. Рассмотрим несколько полезных свойств этого решения. Л Е М М А 3.2. Пусть Sn £ 0(Ап),
hn £ Gn. Обозначим
xsn(hn)
через дп. Если fn £ Ап, | / п | > дп, то \Sn(9n + fn) ~ Sn(9n)\ > hn. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть д
=
punqvngn+i* Если | / п |
>
дп
(modGn+i), то в записи 5п?Г)5(5п + fn) = Sn,rA9n) + ••• все слагаемые (кроме первого) по норме больше, чем p^q^
(modG n +i). Тогда
\Sn(gn + fn) - Sn(gn)\ > pknu+aqknv+b = К (modGWO (PnQnSn}a,b = 5 n ) . Если же / n = #„ (modGn+i), то fn = p ^ / n + i + #> где /n-fi € A n + i , \R\ > p„qZ (raodGn+i). По аналогичным причинам достаточ но показать неравенство \Sn{p»qhn(gn+i + /n+i)) ~ £ » Ы 1 > Л„, а это, в свою очередь, эквивалентно неравенству |Sn+lG?n+l + /n+l) ~ 5n+l(ffn+l)| >
^п+1
в силу выбора и, v (здесь 5 n + i = &utv(Sn))- При этом | / n + i | > <7п+ь и, продолжая подобные рассуждения, мы через конечное число ша гов придем к неравенству \Sm(gm + fm) - Sm(gm)\
> hmi где |/ г о | >
> gm ( m o d G m + i ) . Следовательно, как отмечалось выше, |5 m (# m + fm) ~ (5m)I > hm (modG m + i).
Алгебраически замкнутое тело Макар-Лиманова
631
С Л Е Д С Т В И Е , Пусть выполняются условия леммы 3.2; тогда \Sn(g + f)\ = \Sn(g)\. Л Е М М А 3.3. Пусть 5„ £ 0(An),
f E Ап. Определим операторы
Зщ{ из равенств Sn(f + х) = Yli^n,i (deg5 n5 ; — г). Если h Е Gn такое, что xsn{h) < |/|, то при г > 0 справедливо xsn>i(h) < xsn(h). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим д{ = а?5п,.-(Л)> д = а?5п(Л), £о = = гпахр^. При некотором с £ А; имеем | 5 „ ( / + сдо)\ = | ]С с *£«Д#о)! = ^Предположим, до > д, тогда | / + с#о| > Р, по предложению 3.1(c), l^n/ + C(Jo\ > h} получили противоречие. Л Е М М А 3.4. Пусть 5,Т б 0(Ап), > XT(hi),
h > hi, тогда xs(h) l
(modG„+i), mo xs{h)xj [h)
0 < degS < degT xs(hx)
> хт{Ь). Если xsihijx^ihi)
>
> 1
> 1 (modG n + i).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Непосредственно следует из конструкции ре шения.
§ 4 . Решение уравнения S\(x) = /i Введем частичный порядок =<( на множестве 21 (всех рядов Мальце ва — Неймана, см. § 1) следующим образом: а =<( Ь, если \Ь — а\ > suppa. Пусть iV С 21 — линейно упорядоченное по ^ подмножество. Тогда существует такой элемент 6 £ 21, что b )? а для любого а £ A", supp Ь = =
U supp a. ТЕОРЕМА 4.1. Пусть Si(x) £ A*F[x]\A,
/i Е А. Тогда уравнение
S\{x) = / i имеет решение х £ А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО., Без ограничения общности можно считать, что 5i(0) = 0. Будем строить решение методом трансфинитной индук ции, а именно, построим последовательность х^ Е 21, удовлетворяющую следующим свойствам: 1) х^ 4 xv при р < v\ 2) если Si(x^) ~ иф
0, то |5i(x^) - / i | < | S i ( ^ ) - / i | при /г < z/.
682
Я. С. Колесников
Затем покажем, что все х^ лежат в А. Возрастающая трансфинитная цепочка \Si(x^) ~~ f\\ стабилизируется на некотором ординале
л*, а это
свидетельствует о том, что S\(xir) — /1 = 0 и хп является решением. Опишем алгоритм построения. Пусть ж0 = 0. Представим S\ в ви де суммы однородных компонент: S\(x) degSij
=
= J2^iAx)^
г
Д е ^i,t £
О(А),
г. Обозначим через д\^ максимальное решение уравнения
|*Si,«(аг)| = |/ij (найденное в §3) и выберем ду = max{ | Л | (с Е F ) . В силу алгебраической замкнутости поля F можно выбрать та кое с\ € F , что |5i(ci5i) - / i | > | / i | . Положим хх = Ci#i, легко видеть, что |Si(aro) — / i | — l/il < l^i (ciffi) ~ / i | - Свойство 1 формально также выполняется, поскольку suppO = 0 . Далее, предположим, что v является ординалом первого типа (т. е. существует /i = v — 1) и все ;г^ при рь < v найдены. Тогда исходное урав нение можно переписать в виде $\{%v--\ + ж) - 5 i ( ^ _ i ) = Л - Si(a,/-i). Обозначим левую часть этого выражения через Su(x), правую — через /„. Для уравнения Sy(x) = Д, найдем си £ F, д„ е G такие, что \Sy{cugu)\ ~~ = |/„|. Неравенство |5„(с„ \U\ доказывается так же5 как и выше для v = 1. Ясно, что 1/,,+il = |Si(x„) - / i | = \Sv{cygy) - /„| > |/„|. Если v является ординалом второго (предельного) типа, то положим хи = lim{cr/1 | // < и} (предполагаем, что все ж/х, р, < */, найдены). Следую щие леммы показывают, что такой предел существует (т. е. множество х^ линейно упорядочено по =<(). Л Е М М А 4.2, Пусть v — некоторый ординал, и для любых двух непредельных ординалов а и /3 таких, что а < j5 ^ v, выполняется да < < др. Тогда для любого \х < v |/^+i| < |/i/+i|ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При /г < v имеем |ж„ - а„ - с^хд^х\ поэтому \Sn+\{xv - Хр) - 5^+1 (c/i+1^4-1)1 > > minjS^+i,;^ - а^) - S^+i.t( l/^+i|
> ^,
Алгебраически замкнутое тело Макар-Лиманова
683
по предложению ЗД(с) и лемме 3.2. Поскольку [S^+ifoi+iiZ/i+i)! = l/^+il? то \S„+i{x„ - Хр)\ = | / ^ + i | . С другой стороны, Sn+i{x„ - х^) ~ S\(xv) -Si{xp)
-
= /„+i - / „ + ь т. е. 1/^x1 = | / „ + 1 - / „ + 1 | , значит, | / й + 1 | < | / „ + 1 | .
Если v = /А+1, то это неравенство строгое, как отмечалось при построении. Если же v > (i + 1, то l/^+il > [/^г! и l / ^ l > \f»+il Л Е М М А 4.3, Если // < z/, т о х^ ?$ х„. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для предельного ординала и утверждение очевидно. Рассмотрим случай непредельного и + 1. В соответствии с по строением имеем хи+\ = ху + cv+\gv+\. Можно считать, что х^ ^ х^. Докажем, что ди+\ > supp xv. Достаточно показать, что для любого непре дельного а такого, что а ^ Р) выполняется да < ди+\. По индукции можно считать, что для любых непредельных а и /3, а < /3 ^ */, выполняется 9а < 9(3- По предыдущей лемме | / а | < |/„ + 1| для любого а ^ i/. Предположим теперь, что gv+\
<
гда, по предложению 3.1(c), примененному к однородным компонентам, \S„+i(ga)\ > |/i/+i|. Элемент д„+х ~~ решение уравнения |S„+i(aO| = |/„+i|> где 5„ + i(x) = Siixy + x) - Si{x„) = Sa{xu-
xa„x + x) ~ Sa{x„ - ar a -i).
В силу индукционного предположения, |a: i y -x a _i | = gaj \х„—£Q_i — c a 0 a | > > £ a , поэтому |S|/(-C a ft*)| = \Sa(R) ~ 5 a (-C a flf a )| = \fa\ (здесь \R\ > # a ). Таким образом, | / a | = \Su(—cQga)\ > |/i/+i|, получили противоречие. Все построенные нами элементы хц лежат в 21. Осталось показать, что при построении ,т^, соответствующего предельному ординалу /л, мы не выходим за пределы алгебры А. Введем две функции, определенные на непредельных ординалах v < < /i: a{v) = тах{г | g^i = gy), b{v) = тах{г | р,,,,-^ 1 6 ^ г } - Очевидно, что а(и) ^ 6(f). Л Е М М А 4.4. Функции a(v)} b(u) не возрастают.
684
П, С. Колесников ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а < (3 < /г, тогда Sp{x) = Sa(xp„x
-
— x a _i + х) — S a (#0_i — ^a-i)- Разложим Sp и 5 a на однородные компо ненты: Sp = Е % м Sa = £ 5 Q j , тогда
S a , j ( s / ? - l ~ X a _ i + Я?) - 5 а , ( 3 / 9 - 1 ~ Я а - l ) = ^ ' S ' a j , , - , г
(4.1)
А: 5
/3,t = l>2Saj,i,
Г
Де
de
g 5 a,i,t = *• Легко заметить, что ss Qii>| .(|/ a |) <
gaj,
j=zi
поскольку \xp~i — # a - i | = да > gQj и к (4.1) можно применить лемму 3.3. Обозначим
\ i ^ j ^ k}. При # > д(г) выполняется
l5a,j,i(ff)| > |/ah поэтому \Sp,i{g)\ > \fQ\- Значит, xS/3ti(\fa\)
< 9{г)- Если г >
> а(а), то д(*) < \fa\ Для г > a(a), j ^ г. С другой стороны, Sp,a(a)(x)
(так как S Q J j = Saj).
= 5afa(a)(x) +
2 ^ ^«,j,a(a)(^) j>a(ar)
При j > a(a) имеем |S a?J ; a(c ,)(# a )| > | / a | , с другой
СТОРОНЫ, | S a , a ( a ) ( f f a ) | = ! / a | - ЗнаЧИТ, Х 5 / З а ( а ) ( | / a | ) = &*• Т е п е р ь :
г = deg 5/3,,- > a(a) = deg S ^ ^ ) , >xSfiiA\fa\),
%(a)(l/al)=fc
l/al < l/fllПо лемме 4.3, ^5 Д о { а ) (|/^|) > ж5>,,-(1//?1) при любом г > о(а). Следователь но, а(/3) ^ а(а): в противном случае (при а(/3) > а(а)) xSpM/3)(\fp\) Как было получено, я ^ Д|/ а |) ^ 9^ нию Ь, gW < ga (modG 2 ), т. е. xS(3}i(\fa\) ЧТО \Spjb(a){gaJb(a))\ =
>
при г > Ь(а); по определе
< 5a (modG 2 ). Легко показать,
= |Sa,b(a)(ft»,6(a))l = l / a | , И, более ТОГО, Ж5/3>6{а) ( | / а | ) =
9аЦа}- Как и для функции а, при г > 6(a) имеем г = degS/з,, > 6(a) = deg5^, 6 ( a ) , (l/al) — 9a, 6(a) >*s„.<(l/«l) (mod£ 2 ),
685
Алгебраически замкнутое тело Макар-Лимаяова
|/а| < ШИз леммы 4.3 следует, что xs0ti{\U\)
= #/?,* < ^S0Ma) (\fp\) (modG 2 ), поэто
му Ьф) < Ь{о). Л Е М М А 4,5, Если для всех и > тг a{v) = n, Ь(^) = m, m > п, то 9v9vl e G 2 , \Ufc-l\ 6G : 2 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В соответствии с конструкцией решения и определением а{и) и Ь(^) получаем
Запишем S„ |n = S^n + ]Р £*•,,;>• Покажем, что д^ — х-§ (|/*|). Действительно, ^,п(^Я") — *^?r,n(#7r) + х v ^тг^пУ^тг)?
причем iS^n^ir)! = 1Л|, |5ff)J>(flfir)| > |/тг| (см. лемму 4.4). Поэтому !^ ? n(^/r)| = |/ir|. Пусть при некотором д > дп выполняется \S^n(g)\ < | Д | . Значит, при некотором j справедливо \S7rjiTl(g)\ < \fn\. Для этого фикси рованного j рассмотрим
YlS^Acs) Здесь Л$РМС9) тельно, \S7rj(xl/^i
\Snij(x^i
- Xn-i + cfif) - S ^ a ^ - i -
x^i)\.
H
— a^-i)! < I/TTI- Последнее невоз
можно, так как |ж„_1 — ar^-i) = (j^, и при #*- > ^ ^ получаем противоречие с предложением 3.1(c), а в случае дж = ^ j — с леммой 3.2. Таким образом, 5тг = «^.„(I/TTI). Кроме того, S„, m == 5 f f , m , поэтому \S^m{g^)f~l\
G G2.
Запишем теперь эти операторы в виде
5„f„0r) - / ^ Г В Д , S„,m(*) = р ? Й а В Д , пусть также gv = р " 1 ^ 1 • . . ,
pr2+mu2ga2+mt^
следовательно, щ = и2 = ( п - г 2 )/(ш - n), £>i = и2 = (sx ~ s2)/{rn - n).
686
П. С.
Таким образом, дед^1
Колесников
6 G2, отсюда и \f„f7r1\ 6 G2 (поскольку \SVjn{gu)\
=
= 1/*И^,»Ы1 = 1М). Предположим теперь, что /2 — предельный ординал, и д л я всех u < fi соответствующие xv построены. Достаточно показать, что все эти хи лежат в некотором одном А^у
По лемме 4.4 существует 7Г < /i такой, что д л я
всех v ^ 7Г а (и) — п, Ъ{и) = т . Рассмотрим сначала случай т > п (покажем, что он сводится к случаю т = п). По лемме 4.5, дид^1
6 G*2
и
l/v/iT 1 ! € GV Запишем
U = tftf Д * + Я*, где |Я„| > | / „ | ( m o d G 2 ) и / 2 | „ € G 2 . Нас интересует последовательность { с ^ | 7Г ^ v < / i } , которая стро ится при решении уравнения Sv{x)
= /я-. Вычеркнем из оператора Sn те
однородные компоненты S*^, д л я которых д*^1
&
5i > i r (^)- Покажем, что при решении уравнения 5i | 7 r (^) = Pi #1/2,*- возникает та ж е последовательность {cvgv
\ TT ^ v < / i } , что и при решении исходного
уравнения. По индукции: пусть с?пд'п — решение |Si ? 7 r (#)| = p[qi\f2,n\-
Оче
видно, д'п — дп и с^. является корнем того же полинома, что и с^. Поэто му можно выбрать cfn равным сп. Далее, предположим, что
- хж-х + х) -- 5 i f 7 r ( ^ - i - ZTT-I)! = Pi?il/2,ir - S i , ^ - i - * * - i ) l ,
(4.2)
в то время как с„0„ ~~ и з выражения \3*{хи-1-Хъ-1+х)-8ъ(хи-1-х*-.{)\
= P i ? i | / 2 , i r - 5 l r ( x l / - i - a : w - i ) | . (4.3)
Правые части этих уравнений совпадают, так как слагаемые, удаленные из основного уравнения (4.3) при получении (4.2), больше, чем p\q{ (mod G 2 ) . Компонента S ff , n
не
была исключена, поэтому <j£ = <jf„. Кроме того, если
д л я г выполняется g^t < gn ( m o d G 2 ) , T o \Sir}i(xl/-i—Xir-.i+cgl,)—Sirii(xs/-i - Xn-i)\
—
> p\q* ( m o d G 2 ) . Следовательно, эти компоненты не учитываются
при построении полинома, корнем которого является с„. Таким образом, при 7г ^ v < \i можно искать ди не из Sn(x) а из Siy7r{p\q\x)
= /*.,
= Piq*f2tic, которое эквивалентно S( 2f1 r)(s) = /(2,тг)- Здесь
Алгебраически замкнутое тело Макар-Лиманова
687
$(2,ir) ~~ сумма результатов и,} и-шагов, примененных к однородным ком понентам оператора 5i )7r . Пусть a(2\v),
b^2\v) — соответствующие этому
уравнению функции, определенные выше. Заметим, что а^(р)
=
a(v),
2
Ъ( \р) ^ Ь(Р)) в частности, b^(7t) ^ Ь(тг), причем равенство достигается лишь при дп.тЯ^1 6 G 3 . Е а ш Ь(2)(7г) < Ь(тг) или b(2)(i/) < Ь(2)(тг) при неко тором v > 7Г, то, во всяком случае, существует некоторый ординал 7Г2 < /i, для которого a№(v) = n, b^(i/) = m 2 < m при z/ ^ тг2. Еаш же М 2 )^) = Ъ(р) = m при ^ ^ тг, то к уравнению S(2)7r)(#) = ~~ /(2,тг) можно применить лемму 4.5 и еще один гг, гьшаг, как это было сделано для Sn(x) = /*-, и т.д. Поскольку д^^д*1
£ G>\Crr+i, то спустя
не более чем г — 1 таких шагов получим уравнение S(;j7r)(#) — /«>> для которого либо бМ(7г) < ш, либо существует ординал 7Г2 < \i такой, что Ь^(у)
< т при всех v Е [я'2>м)* При этом значения функции а не меня
ются. Если т2 = Ь^)(7Г2) > 7i, то к уравнению S*)7r2(#) = Д ^ могут быть применены все те же рассуждения, что и к S1T(x) = /„.. В конце концов, для некоторого натурального г и ординала л* < // все #1/* ^ £ [я** м)> таковы, что xux~l
Е Crr\G>+b а их проекции хТ^ получаются
при решении уравнения Т(х) == / г , где / г Е Аг и Т(ж) — сумма однородных операторов над А г ; функции а и Ь, соответствующие этому уравнению, постоянны: a(z/) = 6(z/) = п при всех ^ Е [тг,//). Без ограничения общности можно считать, что г — 1, поскольку все Аг изоморфны А. Рассмотрим теперь уравнение Т(х)
~ / и соответствующие ему
функции a(v) и Ь(г/). Как было показано выше, можно считать, что а(и) = 6(z/) — п для всех i/ < д. Покажем, что все gv лежат в некото ром А^) при фиксированном fc. Заметим сначала, что все gv являются решениями уравнений |Т^ п (ж)| = |/„|, а Tv,n = Г п для всякого v. Коэффициенты оператора Т(х) и элемент / лежат в каком-то А^) при достаточно большом к; будем считать, что к > w(Tn) + 2deglTn
+
+ deg 2 T„. Обозначим С\щ = |J G(k)q£+V A ' w = {a E A | suppa С
688
Я. С. Колесников
ренцирований по р,-, #t при г = 1 , . . . , к. Наша цель — показать, что если коэффициенты Ти и /„ лежат в Af ^у то д„ Е G1 ^у Элемент ди является ре шением уравнения (^„(ж)) = |/„| в соответствии с процедурой построения этого решения (см. §3), спустя к первых и, и-шагов получаем уравнение вида
*Еи {*ш10Л)У
Vk+V
его решение — д£+ц где г = (г + п - т)/п ^ 0. Значит, ди 6 G(^y Теперь достаточно отметить, что если хи„\ 6 А'^) Т„(х) - Г(а? + х„-\) - T(xv-i), fu-f~
T(x^i)))
то
(поскольку
коэффициенты Ту и /„
тоже лежат в А'^), следовательно, ^ £ ^'(*)» ^ ~
ж
^-1 + cv9v £ ^'(fc)-
Значит, для всех (включая предельные) ординалов v < /i выполняется ^i/ € ^4(fc+i)> поэтому я^ £ А(ь+1)- Следовательно, предложенный транс финитный процесс приводит нас к решению уравнения.
§ 5. Теорема о свободе (Freiheitssatz)
Построенный пример оказывается полезным для доказательства те™ оремы о свободе (Freiheitssatz) для ассоциативных алгебр. Нижеприведен ное доказательство принадлежит Л. Г. Макар-Лиманову [6]. Т Е О Р Е М А 5.1 (о свободе). Пусть F(xi,..., гебра от п порождающих над полем f £ F(xi,...,
xn)\F(xi,...,
хп) ~ свободная ал
F характеристики нуль.
Пусть
ж„-г), тогда ( / ) n F < * i , . . . ,*„-!> = ().
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что S(a?i,...,ar n _i) е (/) П П F(a?i,..., £ n - i ) ' Тогда для любой алгебры А над полем, содержащим F , из / ( a i , . . . , a n ) = 0 следует 5 ( a i , . . . ,a„_i) = 0 ( a i , . . . , a n G А). В том числе это верно для для алгебраически замкнутого тела над К — алгебра ическим замыканием поля F. Пусть 5 =£ 0. Запишем / = /i + /o, где/i G (жп), / 0 € ^ { ж ь . . . , x n „ i ) . Тогда (5 • / ) ( ж 1 , . . . , хп) ф 0, следовательно, существуют а ь . . . , ап G А та-
Алгебраически замкнутое тело Макар-Лимаяова
689
кие, что ( S * / ) ( a i , . . . , a n ) ф 0. Выражение Т\{х) = / i ( o i , . . .,а„_1,ж) зави сит от я, поскольку Ti(0) — 0, и Ti(an) ф 0. Значит, левая часть уравнения / ( « 1 , . . . , a n - i , # ) = 0 зависит от ж, поэтому по теореме 4.1 существует Ь £ А, для которого / ( a i , . . . , a n _ i , b ) = 0. Значит, S(ai, . . . , a n _ i ) = 0 и (S * / i ) ( a i , . . . , an) = 0, получили противоречие.
§ 6. Сравнение с оригинальной конструкцией Построенное нами алгебраически замкнутое тело содержит пример, сконструированный Л. Г. Макар-Лимановым [6], в качестве подтела. Имен но, в [6] носитель алгебраической системы выбирается в виде
U АШэП,
(6.1)
тп,п
где A m , n = {а е 211 supp a С G m ? n }, G m ,„ = (pj / n , g£' n | г = 1 , . . . , m). При чтении работы [6] читатель сталкивается с рядом трудностей, причем не только технического характера. Одна из целей настоящей рабо ты заключалась в прояснении ряда этих вопросов. Другой основной целью явилось упрощение доказательства алгебраической замкнутости построен ного тела. Это упрощение достигнуто благодаря изменению конструкции, сохраняющму основные свойства алгебраически замкнутого тела МакарЛиманова [б]. Уже при построении алгебраической системы нам необходимо дока зать корректность определения операций д/дрп,
d/dqn
(§1, лемма 1.1).
Подобное утверждение не вошло в работу [б], возможно, потому, что в оригинальной конструкции доказательство этого утверждения несколько проще, чем приведенное нами в § 1. При реализации схемы Л. Г. Макар-Лиманова доказательства алге браической замкнутости нам следует заранее знать, что существуют реше ния уравнений вида a * х = 1 (т. е. то, что А —• тело). Доказательство это го факта в [6] нельзя признать удовлетворительным. Например, вопрос о существовании обратного элемента сводится там к обратимости элементов
690
Я. С. Колесников
в и д а а - 1 + Д, |Д| > 1. Именно, (a-l + R)~l = а~1(1-
{R/a) + (R/a)2 - . . . ) ,
и доказывается, что последний ряд сходится (т. е. является элементом А). Далее, объявляется, что для элемента вида а • g, можно взять обратный в виде (1 + оГ1<5Г1Д)~"1(аГ1 |1 — а * ж р |. Если ц — предельный ординал, то хц = lim ж^. Здесь, очевидно, gv < дц при v < /х, а свойства 1 и 2 выполнены. Более того, если здесь а Е 4(п)»
то
gfA Е С?(„), поэтому все хц Е А(п)? следовательно, а Е А(п) обратимо в А( п ). Те же рассуждения применимы и для оригинальной конструкции, но они не приводятся в [6]. Следует отметить, что одна из наиболее технически сложных частей доказательства [6] — описание инвариантных однородных операторов — полностью сохраняется в нашей работе, с той лишь разницей, что приве денное здесь доказательство более подробно, кроме того, полнее рассмо трена база индукции — операторы степени один (этот случай в [6] опущен). Незначительное, на первый взгляд, изменение конструкции алгебра ической системы из [6], произведенное в настоящей работе, позволяет су щественно упростить другую наиболее сложную часть — доказательство замкнутости трансфинитного процесса решения уравнений вида 5(ж) = / . Именно, в оригинальной конструкции необходима проверка того, что все
Алгебраически замкнутое тело Макар-Лиманова
691
приближения х^ лежат в некотором A m , n , т. е. не только количество поро ждающих, но и знаменатели их степеней ограничены. При доказательстве для оригинальной конструкции утверждения, аналогичного теореме 4.1 настоящей работы, необходимо было дополни тельно показать, что начиная с некоторого ординала и, все компоненты Q^+I#/i~fi ~ x»+i ~~ xv-> №> v-> находятся из линейного уравнения. Только тогда можно добиться того,, что х = lim х^ Е Ат)П для некоторых т ,
п.
Изменение конструкции, используемое в данной работе, позволяет обойти это. Действительно, мы не требуем ограниченности знаменателей степе ней порождающих, поэтому нет необходимости следить за их изменением в процессе решения. Таким образом, хотя изменение оригинальной конструкции [6] вле чет незначительное усложнение доказательства корректности построения самой алгебраической системы, оно, на наш взгляд, целесообразно, по скольку позволяет существенно упростить доказательство алгебраической замкнутости. Данная
работа
выполнена
под руководством
Л. А. Бокутя
и
И.В.Львова, которым я выражаю глубокую благодарность.
ЛИТЕРАТУРА 1. Л. А. Бокутъ, Вложение алгебр в алгебраически замкнутые алгебры, Докл. Акад. наук СССР, 1962, 154, №5 (1962), 963-964. 2. Л. А. Бокугпъ, Вложения алгебр Ли в алгебраически замкнутые алгебры Ли, Алгебра и логика, 1, N 2 (1962), 47—53. 3. L,A.Bokut\ Theorems of embedding in the theory of algebras, Colloq. Math., 14 (1966), 349-353. 4. W. R. Scott, Algebraically closed groups, Proc. Am. Math. Soc, 2 (1951), 118— 121. 5. G. Higman, E. Scott, Existentially closed groups, Oxford, Clarendon Press, 1988. 6. L. Makar-Limanov, Algebraically closed skew fields, J. Algebra, 93, N 1 (1985), 117-135.
692
П. С.
Колесников
7. R. M. W. Wood, Quaternionic eigenvalues, Bull. Lond. Math. Soc, 17, N 2 (65) (1985), 137-138. 8. P.M. Cohn, A brief history of infinite-dimensional skew fields, Math. Sci., 17, N 1 (1992), 1-14. 9. P. M. Cohn, Progress in free associative algebras, Isr. J. Math., 19, N 1—2 (1974), 109-151. 10. S. A. Amitsur, Generalized polynomial identities, Trans. Am. Math. Soc, 114, N 1 (1965), 210-226.
Адрес автора: КОЛЕСНИКОВ Павел Сергеевич, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, просп. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail: [email protected]
Поступило 16 октября 1998 г. Окончательный вариант 24 марта 2000 г.
