Индивидуальные задания по дисциплине ''Теория функций действительного переменного'': Методическая разработка

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет

О.Г. Вздорнова, И.А. Сушинцева, Н.В. Ткаленко

Индивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительного переменного"

Методическая разработка

УДК 517.5 ББК 22.162

РЕЦЕНЗЕНТЫ: доктор физ.-мат. наук, проф. Т.Ф.Филиппова, ст. преп. Н.Г. Фомина Индивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительного переменного". Методическая разработка / Урал. гос. пед. ун-т; Сост.: ассистенты кафедры математического анализа О.Г. Вздорнова, И.А.Сушинцева, Н.В.Ткаленко. Екатеринбург, 2005.-21с. ISBN

Предназначена для студентов 3 курса математического факультета очного и заочного отделений. Включает индивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительного переменного" и указания к их решению.

Библиогр.: 13 назв.

Введение Данная методическая разработка предназначена для студентов математического факультета очного и заочного отделений и содержит индивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительного переменного"с указаниями к их решению. Работа включает 8 заданий (25 вариантов в каждом) по следующим темам: – множества, операции над множествами; – взаимно однозначное соответствие, отображение множеств; – мощность множеств, счетные множества, множества мощности континуум; – структура открытых и замкнутых множеств; – измеримость множеств, мера Лебега, измеримые функции; – интеграл Лебега. Ниже приведены методические указания к решению задач. 1. Методические указания к решению Задание 1. Определить и изобразить на рисунках множества A, B, A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A, A∆B, где A = {(x, y) ∈ R2 : |x| 6 1, |y| 6 1}, B = {(x, y) ∈ R2 : |x−1| 6 1, |y−1| 6 1} Решение. Множества A, B, C = A ∪ B, D = A ∩ B, F = A\B, G = B\A, M = A∆B изображены на Рис.1 - 7, соответственно.

3

Задание 2. Пусть A, B, C — подмножества некоторого множества X. Доказать, что (A\B) ∪ (B\A) = (A ∪ B)\(A ∩ B). Решение. Для доказательства данного равенства воспользуемся свойствами операций над множествами (ниже символом B обозначено дополнение B до всего множества X: B = X\B): (A\B) ∪ (B\A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A) = ((A ∩ B) ∪ B) ∩ ((A ∩ B) ∪ A) = = (A ∪ B) ∩ X ∩ X ∩ (B ∪ A) = (A ∪ B) ∩ (B ∪ A) = = (A ∪ B) ∩ (A ∩ B) = (A ∪ B)\(A ∩ B). Задание 3. Установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) между отрезком [0, 1] и интервалом (0, 1). Решение. © 1 ª Выделим на интервале (0, 1) последовательность точек {xn } = n+1 , n > 1. Установим следующее соответствие: 0 → x1 , 1 → x2 , x1 → x3 , и т.д. xn → xn+2 (n > 1). Тогда множество {0, 1, 12 , 13 , . . . } 4

взаимно однозначно отобразтится на множество { 12 , 13 , 41 , . . . }. Остальным точкам x ∈ [0, 1] поставим в соответствие сами точки x (x → x). Полученное отображение биективно. Задание 4. a) Доказать, что если для любого счетного A ⊂ X верно равенство |X\A| = |X|, то множество X несчетно. b) Какова мощность множества всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты? Решение. a) Предположим противное: X — счетное множество, тогда X = {x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . }. Рассмотрим его счетное подмножество A = {x5 , x6 , x7 , . . . , xn , . . . }, тогда X\A = {x1 , x2 , x3 , x4 } и |X\A| = 4. Таким образом, для X нашлось счетное подмножество, такое что |X\A| = 6 |X|, что противоречит предположению. b) Всякий треугольник на плоскости однозначно определяется координатами своих вершин. Тогда каждому треугольнику данного множества соответствует элемент из M = Q2 × Q2 × Q2 (набор рациональных координат его вершин) и наоборот. Множество M счетно как декартово произведение конечного числа счетных множеств. Значит |M | = ℵ0 и, следовательно, семейство таких треугольников счетно. Задание 5. Доказать, что отрезок [a, b] нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых множеств. Решение. Предположим, что [a, b] = F ∪ G, где F и G замкнуты, непусты и не пересекаются. Поскольку каждое из множеств F , G является замкнутым, непустым и ограниченным снизу числовым множеством, то F и G содержат свои наименьшие точки. Одна из этих точек обязательно совпадет с a, т.к. [a, b] = F ∪ G. Пусть, например, для множества F это будет точка a, а для множества G — некоторая точка c. Очевидно, что c ∈ (a, b] и, следовательно, c > a (так как F ∩ G = ∅). Поскольку [a, b] = F ∪ G и c — наименьшая точка множества G, то [a, c) ⊂ F , а так как множество F замкнуто, то и [a, c] ⊂ F . Значит точка c принадлежит одновременно и множеству F и множеству G, что противоречит тому, что эти множества не пересекаются. Таким образом отрезок [a, b] нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых множеств. Задание 6. Найти меру Лебега множества тех точек отрезка [0, 1], 5

которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 7. Решение. Пусть E — множество тех точек отрезка [0, 1], которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 7. Это множество строится следующим образом: делим отрезок [0, 1] на десять равных частей и выбрасываем интервал (0.7, 0.8). Затем каждый из оставшихся отрезков первого ранга: [0, 0.1], [0.1, 0.2], [0.2, 0.3], [0.3, 0.4], [0.4, 0.5], [0.5, 0.6], [0.6, 0.7], [0.8, 0.9], [0.9, 1] делим на десять равных частей и выбрасываем в каждом из них седьмой интервал, то есть из [0, 0.1] — интервал (0.07, 0.08); из [0.1, 0.2] — (0.17, 0.28) и т.д. Затем каждый из оставшихся отрезков второго ранга делим на 10 равных частей и выкидываем 7-ой из них и т.д. Построенное таким образом множество E есть нигде не плотное совершенное множество на отрезке [0, 1] (доказывается так же, как для канторового множества). Мера дополнительного множества равна сумме длин смежных интервалов: 1 9 92 9k ¯ µE = + + + · · · + k+1 + . . . = 1. 10 102 103 10 Следовательно, µE=0. Задание 7. Доказать, что если функция f измерима на E, то и функция f − (x) = − min{f (x), 0} измерима на E. Решение. Рассмотрим множества E(f − > c) = {x ∈ E : f − (x) > c} для всех действительных c и докажем, что они измеримы. Функцию f − можно представить иначе: ½ −f (x), f (x) 6 0 f − (x) = 0, f (x) > 0 Отсюда, получаем ½ E(f < 0) = {x ∈ E : f (x) < 0} , c > 0 E(f − > c) = E, c<0 Из измеримости f следует, что для каждого c ∈ R множество E(f − > c) измеримо. Тогда функция f − измерима по определению. Задание 8. Вычислить интеграл Лебега

R E

ствует: 6

f (x) dµ, если он суще-

( 1 , при x ∈ (0, 1)\Q f (x) = , E = (0, 1) x2 6x + 7, при x ∈ (0, 1) ∩ Q 1 Решение. Рассмотрим функцию g(x) = 2 . Из определения функции x f (x) следует, что f (x) = g(x) почти всюду. Тогда Z Z f (x) dµ = g(x) dµ (0,1)

(0,1)

Вычислим интеграл от g(x). Функция g(x) пожительна и неограничена на (0, 1). Построим "срезку" g(x) числом n > 0:    n, при 1 > n x2 [g(x)]n = 1 1   , при 6n x2 x2 Иначе,

   n,

1 при 0 < x < √ n [g(x)]n = 1 1   , при √ 6 x < 1 2 x n

Вычислим интеграл от [g(x)]n . Функция [g(x)]n непрерывна на (0, 1), а значит интегрируема по Риману: √1

Z (L)

Zn ndx + (R)

[g(x)]n dµ = (R) 0

(0,1)

По определению

Z1

R (0,1)

√ 1 dx = 2 n−1 x2

√1 n

√ g(x) dµ = lim (2 n − 1) = ∞. n→∞

Значит функция g(x), а следовательно, и эквивалентная ей функция f (x) не интегрируемы по Лебегу на (0, 1).

7

2. Варианты индивидуальных заданий Задание 1. Определить и изобразить на рисунках множества A, B, A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A, A∆B. 1. A = {(x, y) ∈ R2 : x = y}, B = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| 6 1} 2. A = {(x, y) ∈ R2 : y = −x}, B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 6 1} 3. A = {(x, y) ∈ R2 : y = x2 }, B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + (y − 1)2 6 1} 4. A = {(x, y) ∈ R2 : xy > 0}, B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 > 1} 5. A = {(x, y) ∈ R2 : y = −x2 }, B = {(x, y) ∈ R2 : (x + 1)2 + (y + 1)2 6 1} 6. A = {(x, y) ∈ R2 : xy 6 0}, B = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| > 1} 7. A = {(x, y) ∈ R2 : x > y}, B = {(x, y) ∈ R2 : 9x2 + y 2 6 36} 8. A = {(x, y) ∈ R2 : x 6 y}, B = {(x, y) ∈ R2 : 4x2 + 9y 2 > 36} 9. A = {(x, y) ∈ R2 : max {|x|, |y|} = 1}, B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 6 1} 10. A = {(x, y) ∈ R2 : max {|x|, |y|} 6 2}, B = {(x, y) ∈ R2 : y > x + 1} 11. A = {(x, y) ∈ R2 : y > x2 }, B = {(x, y) ∈ R2 : y 6 4 − x2 } 12. A = {(x, y) ∈ R2 : x = −y}, B = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| 6 2} 13. A = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| > 3}, B = {(x, y) ∈ R2 : max {|x|, |y|} 6 2} 14. A = {(x, y) ∈ R2 : y = −x2 }, B = {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + (y + 1)2 6 1} 15. A = {(x, y) ∈ R2 : xy 6 0}, B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + (y + 1)2 > 1} 16. A = {(x, y) ∈ R2 : xy 6 0}, B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 > 4} 17. A = {(x, y) ∈ R2 : y = x2 }, B = {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + (y − 1)2 6 4} 8

18. A = {(x, y) ∈ R2 B = {(x, y) ∈ R2 19. A = {(x, y) ∈ R2 B = {(x, y) ∈ R2 20. A = {(x, y) ∈ R2 B = {(x, y) ∈ R2 21. A = {(x, y) ∈ R2 B = {(x, y) ∈ R2 22. A = {(x, y) ∈ R2 B = {(x, y) ∈ R2 23. A = {(x, y) ∈ R2 B = {(x, y) ∈ R2 24. A = {(x, y) ∈ R2 B = {(x, y) ∈ R2 25. A = {(x, y) ∈ R2 B = {(x, y) ∈ R2

: x2 = y}, : x2 + y 2 > 4} : xy > 0}, : |x| + |y − 2| > 1}} : x = −y}, : (x − 2)2 + (y + 3)2 > 1} : x 6 y}, : 9x2 + y 2 6 9} : x > y}, : x2 + 4y 2 > 4} : |x| + |y| 6 2}, : 9x2 + y 2 > 9} : max {|x|, |y|} 6 2}, : x2 + 1 6 y} : max {|x|, |y|} 6 2}, : 4 − x2 > y}

Задание 2. Пусть A, B, C - подмножества некоторого множества X. Доказать, что 1) (X\C)\(X\A) ⊂ A\C; 2) (X\C)\B = X\(C ∪ B); 3) A\C ⊂ (A\B) ∪ (B\C); 4) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C); 5) A ⊂ B ⇔ X\B ⊂ X\A; 6) A ∩ B = X\((X\A) ∪ (X\B)); 7) A ∪ B = A ∪ (A4B); 8) A\B = A ∩ (A4B); 9) если A4B = A, то B = Ø; 10) (A4C) ∪ (B4C) = (A ∪ B ∪ C)\(A ∩ B ∩ C); 11) (A ∪ B)4C ⊂ (A4C) ∪ (B4C); 12) A4B = (X\A)4(X\B); 13) A4(A4B) = B; 14) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C); 15) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D); 16) (A\B) × C = (A × C)\(B × C); 17) (A\C)\(B\A) ⊂ (A\C) ⊂ (A\B) ∪ (B\C); 18) A ∩ (B4C) = (A ∩ B)4(A ∩ C); 9

19) A4B ⊂ (A4C) ∪ (B4C); 20) A\(B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C); 21) (A\B)\C = (A\C)\(B\C); 22) (A ∩ B)\C = (A\C) ∩ (B\C); 23) если C ⊂ A, то A\(B\C) = (A\B) ∪ C; 24) (A4B)\C = (A\C)4(B\C); 25) (A\B) ∩ C = (A ∩ C)\B. Задание 3. Установить взаимно однозначное соответствие 1) между полуотрезком [0, 1) и полуосью [0, +∞); 2) между интервалом (0, 1) и отрезком [0, 1]; 3) между отрезком [0, 1] и всей числовой прямой R; 4) между множествами [0, 3] и [0, 1) ∪ [2, 3]; 5) между окружностью единичного радиуса и отрезком [0, 1]; 6) между открытым единичным кругом и замкнутым единичным кругом; 7) между поверхностью сферы с одной выколотой точкой и плоскостью; 8) между множеством [0, 1] ∪ {2, 3} и интервалом (0, 1); 9) между множеством всех иррациональных чисел и множеством всех действительных чисел; 10) между числовой прямой R и интервалом (a, b); 11) между отрезком [0, 1] и лучом [0, ∞); 12) между лучом [0, ∞) и всей числовой прямой R; 13) между лучом [0, ∞) и интервалом (a, b); 14) между точками открытого квадрата (− π2 , π2 ) × (− π2 , π2 ) и точками открытого прямоугольника (a, b) × (c, d); 15) между точками открытого квадрата (− π2 , π2 ) × (− π2 , π2 ) и точками плоскости; 16) между замкнутым единичным кругом и дополнением к открытому единичному кругу; 17) между замкнутым единичным кругом и дополнением к нему; 18) между окружностью и прямой; 19) между множествами [0, 5] и [0, 1] ∪ [2, 3] ∪ [4, 5]; 20) между открытым единичным кругом и множеством точек плоскости, являющихся дополнением к замкнутому единичному кругу; 21) между точками открытого прямоугольника (a, b) × (c, d) и точками плоскости; 22) между плоскостью и открытым квадратом (− π2 , π2 ) × (− π2 , π2 ); 10

23) между всей поверхностью сферы и плоскостью; 24) между множествами (−∞, 0] ∪ [1, +∞) и (0, 1); 25) между множествами [−1, 0] ∪ { n1 : n = 1, 2, . . .} и (0, 1). Задание 4. 1. a) Доказать, что если |A\B| = |B\A|, то |A| = |B|. b) Какова мощность бесконечного множества попарно непересекающихся интервалов на прямой? 2. a) Доказать, что если A ⊂ B и |A| = |A ∪ C|, то |B| = |B ∪ C|. b) Какова мощность множества всех конечных последовательностей действительных чисел? 3. a) Верно ли утверждение: "Если |A| = |C|, |B| = |D|, причем B ⊂ A, D ⊂ C, то |A\B| = |C\D|"? b) Какова мощность множества M точек на плоскости с целочисленными координатами? 4. a) Пусть C ⊂ A, D ⊂ B, |C ∪ B| = |C|. Доказать, что |A ∪ D| = |A|. b) Какова мощность множества всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел? 5. a) Верно ли утверждение: "Если |A| = |B|, A ⊂ C, B ⊂ C, то |C\A| = |C\B|"? b) Какова мощность множества P [x ] всех многочленов с целыми коэффициентами? 6. a) Верно ли утверждение: "Если |A| = |B|, C ⊂ A, C ⊂ B, то |A\C| = |B\C|"? b) Какова мощность множества всех кругов на плоскости? 7. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна, что любой круг равномощен любому квадрату. b) Какова мощность множества всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональны и координаты центра которых — рациональные числа? 8. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна, что на плоскости замкнутый круг и открытый круг того же радиуса эквивалентны. b) Какова мощность множества всех многочленов с произвольными действительными коэффициентами? 9. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность плоскости и замкнутого квадрата на плоскости. b) Какова мощность множества всех конечных десятичных дробей? 11

10. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность любого отрезка и любого интервала на прямой. b) Какова мощность множества всевозможных последовательностей рациональных чисел 11. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность плоскости и открытого круга на плоскости. b) Какова мощность множества уравнений вида an xn + an−1 xn−1 + + . . . + a1 x1 + a0 = 0, где коэффициенты - рациональные числа, а nнатуральное число? 12. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность замкнутого эллипса и замкнутого круга на плоскости. b) Какова мощность множества точек {(x, y) ∈ R2 : y > x2 }? 13. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность любого замкнутого шара и куба в трехмерном пространстве. b) Какова мощность множества всех конечных подмножеств множества натуральных чисел? 14. a) Пусть |A| = |B| и A и B — бесконечные множества. Существует ли подмножество множества A, отличное от A, эквивалентное B? b) Какова мощность множества всех сторого возрастающих непрерывных функций, заданных на отрезке? 15. a) Пусть |A| = |B| и A и B — бесконечные множества. Существует ли множество, содержащее множество A, отличное от A, эквивалентное B? b) Какова мощность множества чисел вида nk , где n, k — натуральные? 16. a) Можно ли сказать, что если A = B, то |A| = |B| и, наоборот, если |A| = |B|, то A = B? b) Какова мощность множества всех действительных чисел, заключенных между 0 и 1, в разложении которых в бесконечную десятичную дробь отсутствует цифра 5? 17. a) Верно ли утверждение: "Если E - бесконечное множество чисел, расположенное на луче (0, +∞), то найдется такое число τ > 0, что множество E ∩ (τ, +∞) бесконечно"? b) Какова мощность множества всех точек плоскости с целыми координатами, расположенных вне квадрата с центром в начале координат и стороной a? 18. a) Верно ли утверждение, что если |A| = |B|, то |A\B| = |B\A|? 12

b) Какова мощность множества всех действительных чисел, заключенных между 0 и 1, в разложении которых в бесконечную десятичную дробь имеется цифра 5? 19. a) Верно ли утверждение, что если |A| = |B|, |C| = |D|, то |A∩ C| = = |B ∩ D|? b) Какова мощность бесконечного множества отрезков, лежащих на прямой и не имеющих общих внутренних точек? 20. a) Верна ли формула: |A × B| = |B × A|? b) Доказать, что если A = B ∪ C и A имеет мощность континуум, то по крайней мере одно из множеств B и C имеет мощность континуум. 21. a) Верна ли формула: (A1 ∼ B1 ) ∧ (A2 ∼ B2 ) → (A1 × A2 ) ∼ ∼ (B1 × B2 )? b) Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества E на прямой больше единицы, то множество E конечно или счетно. 22. a) Доказать, что для любого конечного множества A, содержащего m элементов, множество всех его подмножеств содержит 2m элементов. b) Доказать, что если A = ∪An , n ∈ N и A имеет мощность континуум, то по крайней мере одно из множеств An имеет мощность континуум. 23. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна, что замкнутый эллипс и открытый квадрат на плоскости эквивалентны. b) Какова мощность множества строго возрастающих последовательностей натуральных чисел? 24. a) Пусть A, B ⊂ R. Верна ли формула: A ∼ B → arctg A ∼ arctg B? b) Какова мощность множества всех действительных чисел, заключеных между 0 и 1 , в разложении которых в бесконечную десятичную дробь цифра 3 находится на втором месте? 25. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность трехмерного пространства и замкнутого куба. b) Какова мощность множества всех логарифмических функций y = loga x, где a ∈ R, a > 0, a 6= 1? Задание 5. 1. Множество A = A ∪ A0 , где A0 — множество всех предельных точек A, называется замыканием множества A. Доказать, что A замкнуто тогда и только тогда, когда A = A. 13

2. Доказать, что A — наименьшее замкнутое множество, то есть A = ∩{F : A ⊂ F }, где все F — замкнуты. 3. Доказать, что для любых множеств A и B выполняется равенство A ∪ B = A ∪ B. 4. Доказать, что для любого множества A из того что A ⊂ B следует, что A ⊂ B. 5. Обозначим через intA — множество внутренних точек множества A. Доказать, что R\A = int(R\A), R\intA = R\A. 6. Доказать, что intA ⊂ A. Привести пример, когда эти множества различны. 7. Доказать, что если множества A и B открыты и A ∩ B = ∅, то A ∩ B = ∅ и A ∩ B = ∅ (хотя, возможно A ∩ B 6= ∅). 8. Доказать, что intA ⊂ A. Привести пример, когда эти множества различны. 9. Доказать, что если множество A на прямой замкнуто и ограничено, то любая последовательность точек из A имеет предельную точку в A. Привести пример. 10. Доказать, что если множество A на прямой ограничено, но не замкнуто, то неверно утверждение: любая последовательность точек из A имеет предельную точку в A. Привести пример. 11. Доказать, что если множество A на прямой замкнуто, но не ограничено, то неверно утверждение: любая последовательность точек из A имеет предельную точку в A. Привести пример. 12. Доказать, что если функция y = f (x) непрерывна, то ее график G = {(x, y) : y = f (x)} — замкнутое множество на плоскости. 13. Пусть f (x), g(x) — две непрерывные функции. Доказать, что множество точек {x : f (x) = g(x)} замкнуто на числовой прямой. 14. Пусть f (x), g(x) — две непрерывные функции. Доказать, что множество точек {x : f (x) > g(x)} замкнуто на числовой прямой. 15. Пусть f (x) — непрерывная функция. Доказать, что для любого a ∈ R множество точек {x : f (x) = a} замкнуто на числовой прямой. 16. Пусть f (x) — непрерывная функция. Доказать, что для любого a ∈ R множество точек {x : f (x) > a} замкнуто на числовой прямой. 17. Доказать, что внутренность любого множества есть наибольшее открытое множество, содержащееся в нем. 18. Всегда ли объединение конечного семейства совершенных множеств является совершенным множеством? 14

19. Верно ли утверждение: "Внутренность пересечения двух множеств равна пересечению их внутренностей"? 20. Верно ли утведждение: "Внутренность объединения двух множеств равна объединению их внутренностей"? 21. Доказать, что граница объединения двух множеств содержится в объединении их границ. 22. Доказать, что замыкание каждого множества замкнуто. 23. Пусть f (x) – непрерывная функция, определенная всюду на оси Ox. Доказать, что множество тех точек оси Ox, где f (x) > a, открыто. 24. Построить последовательность открытых множеств, пересечение которых не является открытым. 25. Доказать, что интервал (a, b) нельзя представить в виде объединения счетной совокупности попарно не пересекающихся замкнутых множеств. Задание 6. 1. Доказать, что всякое измеримое множество A положительной линейной меры имеет мощность континуум. 2. Каково строение и какова мера множества тех точек отрезка [0, 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 3? 3. Доказать, что всякое множество A, расположенное на действительной оси (даже если оно является неизмеримым множеством на прямой), измеримо на плоскости Oxy и его плоская мера равна 0. 4. Доказать, что любое измеримое множество A на плоскости, имеющее положительную плоскую меру 5, содержит измеримое подмножество M плоской меры 3. 5. Может ли равняться нулю мера множества, которое содержит хотя бы одну внутреннюю точку? 6. Какова мера Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 1? 7. Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], в десятичной записи которых не встречается цифра 1. 8. Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], в десятичной записи которых не встречаются цифры 1 и 2. 9. Пусть E — неизмеримое множество, E ⊂ [0, 1] и множество A таково, что µ([0, 1]\A) = 0. Доказать, что E ∩ A неизмеримо. 10. Может ли объединение A = ∪An , n ∈ N возрастающей последова15

тельности измеримых множеств конечной меры иметь конечную меру? Бесконечную меру? 11. Доказать, что на прямой любое ограниченное измеримое множество E меры µ(E) = 3 содержит измеримое подмножество меры 1. 12. Пусть на отрезке [0, 5] заданы измеримые множества A и B такие, что µ(A) + µ(B)>4. Доказать, что µ(A ∩ B) > 0. 13. Построить счетное множество на прямой такое, что µ(A0 ) > 0. 14. Пусть G — открытое множество на прямой и µ(G) = 3. Доказать, что существует открытое множество H ⊂ G такое, что µ(H) = 2. 15. Можно ли на отрезке [3, 5] построить замкнутое множество, мера которого равна 2, но которое отлично от всего отрезка [3, 5]? 16. Доказать, что для любого открытого множества A, мера µ(A) > 0. 17. Пусть A, B измеримые множества и существуют множества E, F такие, что A4E = B4F , причем µ(E) = µ(F ) = 0. Показать, что тогда µ(A) = µ(B). 18. Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [1, 2], в десятичной записи которых не встречается цифра 2. 19. Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], в десятичной записи которых не встречаются цифры 3 и 4. 20. Доказать, что на прямой любое ограниченное измеримое множество E меры µ(E) = 4 содержит измеримое подмножество меры 2. 21. Доказать, что в каждом совершенном множестве, есть совершенное подмножество меры нуль. 22. Доказать, что если A измеримое множество положительной меры на отрезке [a, b], то в нем существуют такие точки x и y, расстояние между которыми рационально. 23. Пусть G открытое множество на прямой и µ(G) = 6. Доказать, что существует открытое множество H ⊂ G такое, что µ(H) = 4. 24. Можно ли на отрезке [−1, 1] построить замкнутое множество, мера которого равна 2, но которое отлично от всего отрезка [−1, 1]? 25. Каково строение и какова мера множества тех точек отрезка [0, 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 2? Задание 7. 1. Доказать, что если функции f и g измеримы на множестве E, то и функция m(x) = min {f (x), g(x)} измерима.

16

2. Доказать, что если функция f измерима на множестве E, то функция ½ f (x), f (x) 6 n [f (x)]n = , n∈N n, f (x) > n также измерима. 3. Измерима ли функция f (x) =

1 x(x − 1)

на интервале (0, 1)?

4. Доказать, что если {fn (x)} — ограниченная последовательность измеримых функций, то g(x) = sup fn (x) измерима. n

5. Доказать, что любая кусочно-монотонная на отрезке [a, b] функция измерима. 6. Измерима ли на множестве [0, 1] функция ½ 1, при x ∈ [0, 1]\Q ? f (x) = n, при x ∈ Q ∩ [0, 1] 7. Доказать, что если функция, определенная на отрезке [a, b], измерима на любом отрезке вида [a + ε, b − ε], где ε > 0, то она измерима и на всем отрезке [a, b]. 8. Доказать, что произведение функции Дирихле на произвольную функцию есть функция измеримая. 9. Измерима ли на интервале (0, π2 ) функция ½ 0, x∈E f (x) = sin x, x ∈ / E, где E — неизмеримое подмножество интервала (0, π2 )? 10. Доказать, что если функция f измерима, то и |f | измерима. Верно ли обратное? 11. Измерима ли на всей числовой прямой функция ½ g(x), x∈E f (x) = 1 − g(x), x ∈ / E, где E — неизмеримое подмножество R, а g(x) непрерывна и не обращается в ноль на R? 12. Доказать, что если функции f и g измеримы, то измеримы также 17

функции f + g, f − g, f · g. 13. Измерима ли на интервале (0, π2 ) функция ½ sin x, x ∈ E f (x) = cos x, x ∈ / E, где E — неизмеримое подмножество интервала (0, π2 )? 14. Описать те числа n, при которых из измеримости f n (x) следует измеримость f (x). 15. Измерима ли на всей числовой прямой функция ½ tgx, при x ∈ Q f (x) = ? sin x, при x ∈ /Q 16. Доказать, что если f измеримая функция на множестве E, то f + (x) = = max{f (x), 0} — измеримая функция на E. 17. Измерима ли на луче (0, +∞) функция ½ x 2 , x∈E f (x) = √ x, x ∈ / E, где E — неизмеримое подмножество луча (0, +∞)? 18. Доказать, что если f 3 (kx + b) измеримая функция, то и f (x) измерима, и наоборот. 19. Измерима ли на числовой прямой функция ½ k, x ∈ Ek f (x) = 1, x ∈ / E, где E = ∪∞ k=1 Ek , а Ek — неизмеримые подмножества числовой прямой ? 1 20. Доказать, что если функция f измерима, то измерима. f 21. Измерима ли на луче (0, +∞) функция ½ 2 x + 3, x ∈ E f (x) = ln x, x∈ / E, где E — неизмеримое подмножество луча (0, +∞)? 22. Измерима ли на всей числовой прямой функция ½ cos x, x ∈ Q f (x) = ? 2 − x, x ∈ /Q 18

23. Доказать, что характеристическая функция множества измерима тогда и только тогда, когда измеримо само множество. 24. Доказать, что непрерывные на отрезке [a, b] функции эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны. 25. Доказать, что если функция f дифференцируема на отрезке [a, b], то ее производная измерима на [a, b]. Задание 8. Вычислить интеграл Лебега

R E

f (x) dµ, если он суще-

ствует (ниже  символом Ir обозначено множество Ir = R\Q): 1 1   √ √ , при x ∈ Ir ∩ [ 16 , 1]   x+ 4x 1 5 4 1. f (x) = , E = [ 16 , 4] 5 , при x ∈ Ir ∩ [1, ]  4   x 2  sin x, при x ∈ Q  1  , при x ∈ Ir ∩ [0, 1] , E = [0, 1] 2. f (x) = (x + 1)3  7x, при x ∈ Q  1  √ ,  при x ∈ Ir ∩ [0, 4]   1+ x 2x − 3 3. f (x) = , E = [0, 5] , при x ∈ Ir ∩ [4, 5]  2    x − 3x +28 sin(3 + x ), при x ∈ Q 1 4. f (x) = , E = (0, 1) x − x2  √ x2 − x + 1    p , при x ∈ Ir ∩ [0, 3]   (x2 + 1)3 √ 5. f (x) = , E = [0, 3] 1  , при x ∈ Ir ∩ [ 3, 3]  3    ln (1x + x), при x ∈ Q 1 , E = (0, 1) 6. f (x) = x(x − 1) ½ x cos2 x, при x ∈ Ir ∩ [0, π] 7. f (x) = , E = [0, π] x sin2 x, при x ∈ Q x 8. f (x) = 2 , E = (−2, −1) x − 1 ½ 1 √ , при x ∈ Ir ∩ (0, 1) x 9. f (x) = , E = (0, 1) sin x , при x ∈ Q x2 10. f (x) = , E = (4, 5) x−4 19

11.

12.

13.

14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

 2 x −1    , при x ∈ Ir ∩ [0, √13 ]  2  (x + 1) √ √ f (x) = , E = [0, 3] x4 √1 , 3]  , при x ∈ Ir ∩ [  2 3  1   x + 7, при x ∈ Q x f (x) = , E = (0, 1) 1 − x2  √ arctg x   3] , при x ∈ Ir ∩ [0,   1 + x2 √ 1 f (x) = , при x ∈ Ir ∩ [ − 3, 2] , E = [0, 2]   2   x+ cos2 x, при x ∈ Q x f (x) = √ , E = (1, 2)  x2 − 1 1  √ , при x ∈ Ir ∩ [0, π4 ] 2 f (x) = , E = [0, π4 ] cos x 1 + tg x  8x2 + 4, при x ∈ Q x f (x) = √ , E = (−1, 1) 2 1 − x   √1 , при x ∈ Ir ∩ [ 12 , 1] f (x) = , E = [ 12 , 1] x 1 + x2  (x5 + 1)3 , при x ∈ Q x f (x) = 2 , E = (0, 2) x −1  x2  , при x ∈ Ir ∩ [2, 4] f (x) = , E = [2, 4] (x + 2)2 (x + 4)2  3 x, , при x ∈ Q x f (x) = , E = (1, 2) 1 − x2 1 f (x) = √ , E = (1, 2) 3 x−1 1 f (x) = √ , E = (−1, 8) 3 xp  (1 − x2 ) , при x ∈ Ir ∩ [ 12 , 1] , E = [ 1 , 1] 2 f (x) = x 2  x3 + x2 , при x ∈ Q 1 , E = (1, 2) f (x) = √ 4 x − 1 ½ x sin2 x, при x ∈ Ir ∩ [0, π] f (x) = , E = [0, π] x cos2 x, при x ∈ Q 20

Рекомендуемая литература 1. Белугин В.И., Филиппова Т.Ф., Фомина Н.Г. Основы теории функций действительного переменного. Ек-бург: УрГПУ, 2003. 2. Виленкин Н.Я., Балк М.Б., Петров В.А. Математический анализ. Мощность. Метрика. Интеграл. М.: Просвещение, 1980. 3. Вулих Б.З. Ведение в функциональный анализ. М.: Наука, 1973. 4. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука, 1973. 5. Данилин А.Р., Филиппова Т.Ф., Яхин Р.А. Введение в математику. Ек-бург: УрГПУ, 1995. 6. Метрические пространства: метод. разработка. (Сост. Охезин С.П.) Свердловск, СГПИ, 1985. 7. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1986. 8. Люстерник П.В., Соболев С.Л. Краткий курс функционального анализа. М.: Высш.школа., 1982. 9. Люстерник П.В., Соболев С.Л. Элементы функционального анализа. М.: Высш.школа., 1982. 10. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 11. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. Общая теория множеств и функций. М.: Просвещение, 1981. 12. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976. 13. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. М.: Физматгиз, 1960.

21

Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага для множ. аппаратов. Печать на ризографе. Усл. печ. л. Тираж экз. Заказ . Оригинал-макет изготовлен и отпечатан в отделе множ. техники Уральского государственного педагогического университета 620017 Екатеринбург, просп. Космонавтов, 26 E-mail: [email protected]